ΠΕΡΙ ΑΤΟΜΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ.
Ἆρά γʼ εἰσὶν ἄτομοι γραμμαί, καὶ ὅλως ἐν ἅπασι τοῖς ποσοῖς ἐστί τι ἀμερές, ὥσπερ ἔνιοί φασιν; εἰ γὰρ ὁμοίως ὑπάρχει τό τε πολὺ καὶ τὸ μέγα καὶ τὰ ἀντικείμενα τούτοις, τό τε ὀλίγον καὶ τὸ μικρόν, τὸ δʼ ἀπείρους σχεδὸν διαιρέσεις ἔχον οὐκ ἔστιν ὀλίγον ἀλλὰ πολύ, φανερὸν ὅτι πεπερασμένας ἕξει τὰς διαιρέσεις τὸ ὀλίγον καὶ τὸ μικρόν· εἰ δὲ πεπερασμέναι αἱ διαιρέσεις, ἀνάγκη τι εἶναι ἀμερὲς μέγεθος, ὥστε ἐν ἅπασιν ἐνυπάρξει τι ἀμερές, ἐπείπερ καὶ τὸ ὀλίγον καὶ τὸ μικρόν. ἔτι εἰ ἔστιν ἰδέα γραμμῆς, ἡ δʼ ἰδέα πρώτη τῶν συνωνύμων, τὰ δὲ μέρη πρότερα τοῦ ὅλου τὴν φύσιν, διαιρετὴ ἂν εἴη αὐτὴ ἡ γραμμή, τὸν αὐτὸν δὲ τρόπον καὶ τὸ τετράγωνον καὶ τὸ τρίγωνον καὶ τὰ ἄλλα σχήματα, καὶ ὅλως ἐπίπεδον αὐτὸ καὶ σῶμα· συμβήσεται γὰρ πρότερʼ ἄττα εἶναι τούτων. ἔτι εἰ σώματός ἐστι στοιχεῖα, τῶν δὲ στοιχείων μηδὲν πρότερον, τὰ δὲ μέρη τοῦ ὅλου πρότερα, ἀδιαίρετον ἂν εἴη τὸ πῦρ καὶ ὅλως τῶν τοῦ σώματος στοιχείων ἕκαστον, ὥστʼ οὐ μόνον ἐν τοῖς νοητοῖς ἀλλὰ καὶ ἐν τοῖς αἰσθητοῖς ἐστί τι ἀμερές. ἔτι δὲ κατὰ τὸν Ζήνωνος λόγον ἀνάγκη τι μέγεθος ἀμερὲς εἶναι, εἴπερ ἀδύνατον μὲν ἐν πεπερασμένῳ χρόνῳ ἀπείρων ἅψασθαι, καθʼ ἕκαστον ἁπτόμενον, ἀνάγκη δʼ ἐπὶ τὸ ἥμισυ πρότερον ἀφικνεῖσθαι τὸ κινούμενον, τοῦ δὲ μὴ ἀμεροῦς πάντως ἔστιν ἥμισυ. εἰ δὲ καὶ ἅπτεται τῶν ἀπείρων ἐν πεπερασμένῳ χρόνῳ τὸ ἐπὶ τῆς γραμμῆς φερόμενον, τὸ δὲ θᾶττον ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ πλεῖον διανύει, ταχίστη δʼ ἡ τῆς διανοίας κίνησις, κἂν ἡ διάνοια τῶν ἀπείρων ἐφάπτοιτο καθʼ ἕκαστον ἐν πεπερασμένῳ χρόνῳ, ὥστε εἰ τὸ καθʼ ἕκαστον ἅπτεσθαι τὴν διάνοιαν ἀριθμεῖν ἐστίν, ἐνδέχεται ἀριθμεῖν τὰ ἄπειρα ἐν πεπερασμένῳ χρόνῳ. εἰ δὲ τοῦτο ἀδύνατον, εἴη ἄν τις ἄτομος γραμμή. ἔτι καὶ ἐξ ὧν αὐτοὶ οἱ ἐν τοῖς μαθήμασι λέγουσιν, εἴη ἄν τις ἄτομος γραμμή, ὡς φασίν, εἰ σύμμετροί εἰσιν αἱ τῷ αὐτῷ μέτρῳ μετρούμεναι· ὅσαι δʼ εἰσὶ σύμμετροι, πᾶσαί εἰσι μετρούμεναι. εἴη γὰρ ἄν τι μῆκος ᾧ πᾶσαι μετρηθήσονται. τοῦτο δʼ ἀνάγκη ἀδιαίρετον εἶναι. εἰ γὰρ διαιρετόν, καὶ τὰ μέρη μέτρου τινὸς ἔσται· σύμμετρα γὰρ τῷ ὅλῳ. ὥστε μέρους τινὸς εἴη διπλασία τὴν ἡμίσειαν, ἐπειδὴ τοῦτʼ ἀδύνατον ἂν εἴη μέτρον. ὡσαύτως δὲ καὶ αἱ μετρούμεναι ἅπαξ ὑπʼ αὐτοῦ, ὥσπερ πᾶσαι αἱ ἐκ τοῦ μέτρου σύνθετοι γραμμαί, ἐξ ἀμερῶν σύγκεινται. τὸ δʼ αὐτὸ συμβήσεται κἀν τοῖς ἐπιπέδοις· πάντα γὰρ τὰ ἀπὸ τῶν ῥητῶν γραμμῶν σύμμετρα ἀλλήλοις, ὥστε ἔσται τὸ μέτρον αὐτῶν ἀμερές. ἀλλὰ μὴν εἴ τι τμηθήσεται μέτρον τινὰ τεταγμένην καὶ ὡρισμένην γραμμήν, οὐκ ἔσται οὔτε ῥητὴ οὔτʼ ἄλογος, οὔτε τῶν ἄλλων οὐδεμία ὧν νῦν δὴ εἴρηται, οἷον ἀποτομὴν ἐκ δυοῖν ὀνομάτοιν· ἀλλὰ καθʼ αὑτὰς μὲν οὐδέ τινας ἕξουσι φύσεις, πρὸς ἀλλήλας δὲ ἔσονται ῥηταὶ καὶ ἄλογοι. ἢ πρῶτον μὲν οὐκ ἀνάγκη τὸ ἀπείρους ἔχον διαιρέσεις μὴ εἶναι μικρὸν καὶ ὀλίγον· καὶ γὰρ τόπον καὶ μέγεθος καὶ ὅλως τὸ συνεχὲς μικρὸν μὲν λέγομεν, καὶ ἐφʼ ὧν μὲν ἁρμόττει τὸ ὀλίγον, οὐ μὴν ἀλλʼ ἀπείρους διαιρέσεις φαμὲν ἔχειν. ἔτι δʼ εἰ ἐν τῷ συνθέτῳ γραμμαί, κατὰ τούτων τῶν ἀτόμων λέγεται τὸ μικρόν, καὶ ἄπειροι στιγμαὶ ἐνυπάρχουσιν. ᾗ δὲ γραμμή, διαίρεσις κατὰ στιγμήν, καὶ ὁμοίως καθʼ ὁποιανοῦν ἀπείρους ἂν ἔχοι διαιρέσεις ἅπασα ἡ μὴ ἄτομος. ἔνιαι δὲ τούτων εἰς μακρὰ καὶ ἄπειροι οἱ λόγοι. πᾶσαν δὲ τμηθῆναι τὸν ἐπιταχθέντα δυνατὸν τὴν μὴ ἄτομον. ἔτι εἰ τὸ μέγα ἐκ μικρῶν τινῶν σύγκειται, ἢ οὐθὲν ἔσται τὸ μέγα, ἢ τὸ πεπερασμένας ἔχον διαιρέσεις οὐ μέγα ἔσται. τὸ γὰρ ὅλον τὰς τῶν μερῶν ἔχει διαιρέσεις ὁμοίως. εὔλογον δʼ ἐστὶ τό τε σμικρὸν πεπερασμένας ἔχειν διαιρέσεις καὶ τὸ μέγα ἀπείρους, οὕτως ἀξιοῦσιν. ὥστε φανερὸν ὅτι οὐκ ἐν τούτῳ λέγοιτο τὸ μέγα καὶ τὸ μικρόν, τῷ πεπερασμένας ἔχειν καὶ ἀπείρους διαιρέσεις. εἰ δʼ ὅτι καὶ ἐν ἀριθμοῖς τὸ ὀλίγον πεπερασμένας ἔχει διαιρέσεις, καὶ ἐν γραμμαῖς τις ἀξιοίη τὸ μικρόν, εὔηθες. ἐκεῖ μὲν γὰρ ἐξ ἀμερῶν τε ἡ γένεσις, καὶ ἔστι τι ὃ τῶν ἀριθμῶν ἀρχή ἐστι, καὶ πᾶς ὁ μὴ ἄπειρος πεπερασμένας ἔχει διαιρέσεις· ἐπὶ δὲ τῶν μεγεθῶν οὐχ ὁμοίως. οἱ δʼ ἐν τοῖς εἴδεσι τὰς ἀτόμους κατασκευάζοντες τοὔλαττον ἴσως ἀξίωμα λαμβάνουσι τοῦ προκειμένου, τὸ τιθέναι τούτων ἰδέας· καὶ τρόπον τινὰ ταῦτʼ ἀναιροῦσι διʼ ὧν δεικνύουσιν. καὶ γὰρ διὰ τούτων τῶν λόγων ἀναιρεῖται τὰ εἴδη. πάλιν δὲ τῶν σωματικῶν στοιχείων εὔηθες τὸ ἀμερῆ ἀξιοῦν. εἰ γὰρ αὖ καὶ ἀποφαίνονταί τινες οὕτως, ἀλλὰ πρός γε τὴν ὑποκειμένην σκέψιν αὐτὸ τὸ ἐξ ἀρχῆς λαμβάνουσιν. μᾶλλον δὲ ὅσῳ μᾶλλον τὸ ἐξ ἀρχῆς δόξειαν ἀναλαμβάνεσθαι, τόσῳ μᾶλλον δοκεῖ διαιρετὸν εἶναι σῶμα καὶ μῆκος καὶ τοῖς ὄγκοις καὶ τοῖς διαστήμασιν. ὁ δὲ τοῦ Ζήνωνος λόγος οὐ συμβιβάζει οὐ συμπεπερασμένῳ χρόνῳ τῶν ἀπείρων ἅπτεσθαι τὸ φερόμενον ὡδὶ τὸν αὐτὸν τρόπον. ὁ γὰρ χρόνος καὶ τὸ μῆκος ἄπειρον καὶ πεπερασμένον λέγεται, καὶ τόσας ἔχει διαιρέσεις. οὐδὲ δὴ τὸ καθʼ ἕκαστον ἅπτεσθαι τῶν ἀπείρων τὴν διάνοιαν οὐκ ἔστιν ἀριθμεῖν, εἰ ἄρα τις καὶ νοήσειεν οὕτως ἐφάπτεσθαι τῶν ἀπείρων τὴν διάνοιαν. ὅπερ ἴσως ἀδύνατον· οὐ γὰρ ἐν συνεχέσι καὶ ὑποκειμένοις ἡ τῆς διανοίας κίνησις, ὥσπερ ἡ τῶν φερομένων. εἰ δʼ οὖν καὶ ἐγχωρεῖ κινεῖσθαι οὕτως, οὐκ ἔστι τοῦτο ἀριθμεῖν· τὸ γὰρ ἀριθμεῖν ἐστὶ τὸ μετὰ ἐπιστάσεως. ἀλλʼ ἄτοπον ἴσως τὸ μὴ δυναμένους λύειν τὸν λόγον δουλεύειν τῇ ἀσθενείᾳ, καὶ προσεξαπατᾶν ἑαυτοὺς μείζους ἀπάτας, βοηθοῦντας τῇ ἀδυναμίᾳ. τὸ δʼ ἐπὶ τῶν συμμέτρων γραμμῶν, ὡς ὅτι αἱ πᾶσαι τῷ αὐτῷ τινὶ καὶ ἑνὶ μετροῦνται, κομιδῇ σοφιστικὸν καὶ ἥκιστα κατὰ τὴν ὑπόθεσιν τὴν ἐν τοῖς μαθήμασιν· οὔτε γὰρ ὑποτίθενται οὕτως, οὔτε χρήσιμον αὐτοῖς ἐστίν. ἅμα δὲ καὶ ἐναντίον πᾶσαν μὲν γραμμὴν σύμμετρον γίνεσθαι, πασῶν δὲ τῶν συμμέτρων κοινὸν μέτρον εἶναι ἀξιοῦν. ὥστε γελοῖον τὸ κατὰ τὰς ἐκείνων δόξας καὶ ἐξ ὧν αὐτοὶ λέγουσι φάσκοντες δείξειν, εἰς ἐριστικὸν ἅμα καὶ σοφιστικὸν ἐκκλίνειν λόγον, καὶ ταῦθʼ οὕτως ἀσθενῆ. πολλαχῇ γὰρ ἀσθενής ἐστι καὶ πάντα τρόπον διαφυγεῖν καὶ τὰ παράδοξα καὶ τοὺς ἐλέγχους. ἔτι δʼ ἄτοπον ἂν εἴη διὰ μὲν τὸν Ζήνωνος λόγον παραπεπεῖσθαί τινας ἀτόμους ποιεῖν γραμμάς, τῷ μὴ ἔχειν ἀντειπεῖν, διὰ δὲ τῆς εὐθείας εἰς τὴν ἡμιόλιον κίνησιν, ἣν ἀναγκαῖον εὐθὺς τέμνειν ἀπείρων μεταξὺ πιπτουσῶν περιφερειῶν καὶ διαστημάτων ὄντων, καὶ πάλιν διὰ τὴν τῶν ἴσων κύκλων εὔπειστον, ὅτι ἀνάγκη ἂν ὅτι κινηθῇ, μεῖζον ἡμικύκλιον κινεῖσθαι, καὶ ὅσα ἄλλα τοιαῦτα τεθεώρηται περὶ τὰς γραμμὰς μὴ οἷόν τε ἐνδέχεσθαι τοιαύτην δή τινα γενέσθαι κίνησιν ὥστʼ ἐφʼ ἑκάστην τῶν μεταξὺ μὴ πίπτειν πρότερον· πολὺ γὰρ ταῦτα μᾶλλον ὁμολογούμενα ἐκείνων. ὅτι μὲν οὖν ἔκ γε τῶν εἰρημένων λόγων οὔτʼ ἀναγκαῖον ἀτόμους εἶναι γραμμὰς οὔτε πιθανόν, φανερόν. ἔτι δὲ καὶ ἐκ τῶνδε γένοιτʼ ἂν φανερώτερον. πρῶτον μὲν ἐκ τῶν ἐν τοῖς μαθήμασι δεικνυμένων καὶ τιθεμένων, ἃ οὐ δίκαιον ἢ πιστοτέροις λόγοις κινεῖν. οὔτε γὰρ ὁ τῆς γραμμῆς οὔτε ὁ τῆς εὐθείας ὅρος ἐφαρμόσει τῇ ἀτόμῳ διὰ τὸ μήτε μεταξὺ τινῶν εἶναι μήτʼ ἔχειν μέσον. ἔπειτα πᾶσαι αἱ γραμμαὶ σύμμετροι ἔσονται. πᾶσαι γὰρ ὑπὸ τῶν ἀτόμων μετρηθήσονται, αἵ τε μήκει σύμμετροι καὶ αἱ δυνάμει. αἱ δὲ ἄτομοι σύμμετροι πᾶσαι μήκει· ἴσαι γάρ· ὥστε καὶ δυνάμει. εἰ δὲ τοῦτο, διαιρετὸν ἔσται τὸ τετράγωνον. ἔτι εἰ ἡ περὶ τὴν μείζω τὸ πλάτος ποιεῖ παραβαλλομένη, τὸ ἴσον τῶν ἀπὸ τῆς ἀτόμου καὶ τῆς ποδιαίας παραβαλλομένων περὶ τὴν δίπουν ἔλαττον ποιήσει τὸ πλάτος τῆς ἀμεροῦς· ἔσται ἔλαττον τὸ περὶ τῆς ἀτόμου. ἔτι εἰ ἐκ τριῶν δοθεισῶν εὐθειῶν συνίσταται τρίγωνον, καὶ ἐκ τῶν ἀτόμων συσταθήσεται. ἐν ἅπαντι δὲ ἰσοπλεύρῳ ἡ κάθετος ἐπὶ μέσην πίπτει, ὥστε καὶ ἐπὶ τὴν ἄτομον. ἔτι εἰ τὸ τετράγωνον τῶν ἀμερῶν διὰ μέσου ἐμπεσούσης καὶ καθέτου ἀχθείσης, ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τὴν κάθετον δύναται καὶ τὴν ἡμίσειαν τῆς διαμέτρου, ὥστε οὐκ ἐλαχίστη. οὐδὲ διπλάσιον τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου χωρίον ἔσται τοῦ ἀπὸ τῆς ἀτόμου. ἀφαιρεθέντος γὰρ τοῦ ἴσου ἡ λοιπὴ ἔσται ἐλάσσων τῆς ἀμεροῦς. εἰ γὰρ ἴσως τετραπλάσιον ἂν ἔγραψεν ἡ διάμετρος, ἄλλα δʼ ἄν τις καὶ ἕτερα τοιαῦτα συνάγοι· πᾶσι γὰρ ὡς εἰπεῖν ἐναντιοῦται τοῖς ἐν τοῖς μαθήμασιν. πάλιν τοῦ μὲν ἀμεροῦς μία ἡ σύναψις, γραμμῆς δὲ δύο· καὶ γὰρ ὅλη ὅλης ἅπτεται, καὶ κατὰ τὸ πέρας ἐξ ἐναντίας. ἔτι γραμμὴ προστεθεῖσα οὐ ποιεῖ μείζω τὴν ὅλην· τὰ γὰρ ἀμερῆ συντιθέμενα οὐ ποιήσει μεῖζον. ἔτι ἐκ δυοῖν ἀμεροῖν μηδὲν γίνεσθαι συνεχὲς διὰ τὸ πλείους διαιρέσεις ἔχειν ἅπαν τὸ συνεχές· ἅπασα δὲ γραμμὴ παρὰ τὴν ἄτομον συνεχὴς οὐκ ἂν εἴη γραμμὴ ἄτομος. ἔτι εἰ ἅπασα γραμμὴ παρὰ τῆς ἀτόμου καὶ ἴσα καὶ ἄνισα διαιρεῖται, καὶ μὴ ἐκ τριῶν ἀτόμων καὶ ὅλως περιττῶν, ὥστʼ ἀδιαίρετος ἡ ἄτομος. ὁμοίως δὲ κἂν εἰ δίχα τέμνεται· πᾶσα γὰρ ἡ ἐκ τῶν περιττῶν. εἰ δὲ δίχα μὲν μὴ πᾶσα τέμνεται ἀλλʼ ἡ ἐκ τῶν ἀρτίων, τὴν δὲ δίχα διαιρουμένην καὶ ὅσα δυνατὸν τέμνειν, διαιρεθήσεται καὶ οὕτως ἡ ἄτομος, ὅταν ἡ ἐκ τῶν ἀρτίων εἰς ἄνισα διαιρῆται. πάλιν εἰ τὸ κεκινημένον ἐν ᾧ χρόνῳ κινεῖται τὴν ὅλην ἐν τῷ ἡμίσει τὴν ἡμίσειαν κινηθήσεται, καὶ ἐν τῷ ἐλάττονι ἔλαττον ἢ τὴν ἡμίσειαν, ὥστʼ εἰ μὲν περιττῶν σύγκειται τῶν ἀτόμων τὸ μῆκος, ἀναιρεθήσεται ἡ μέση τομὴ τῶν ἀτόμων, εἴπερ ἐν τῷ ἡμίσει χρόνῳ τὸ ἥμισυ δίεισιν· ὁμοίως γὰρ ὅ τε χρόνος καὶ ἡ γραμμὴ τμηθήσεται. ὥστε οὐδεμία τῶν συγκειμένων τμηθήσεται εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, οὐδʼ ὁμοίως τοῖς χρόνοις τμηθήσονται. οὐκ ἔσονται ἄτομοι γραμμαί. τὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ λόγου ἐστί, καθάπερ ἐλέχθη, τὸ πάντα ταῦτα ποιεῖν ἐξ ἀμερῶν. ἔτι ἅπασα ἡ μὴ ἄπειρος δύο ἔχει πέρατα· γραμμὴ γὰρ ὥρισται τούτοις. ἡ δὲ ἄτομος οὐκ ἄπειρος, ὥστε ἕξει πέρας. διαιρετὴ ἄρα· τὸ γὰρ πέρας ἄλλο καὶ οὗ πέρας. ἢ ἔσται τις οὔτʼ ἄπειρος οὔτε πεπερασμένη γραμμὴ παρὰ ταύτας. ἔτι οὐκ ἐν ἁπάσῃ γραμμῇ στιγμὴ ἔσται. ἐν μὲν γὰρ τῇ ἀτόμῳ οὐκ ἔστιν· εἰ μὲν γὰρ μία μόνη, ὑπάρξει γραμμή, εἶτα στιγμή· εἰ δὲ πλείους, διαιρετὴ ἡ γραμμή. εἰ μὲν οὖν ἐν τῇ ἀτόμῳ μὴ ἐνυπάρχει στιγμή, οὐδʼ ὅλως ἐν γραμμῇ ἔσται· αἱ γὰρ ἄλλαι ἐκ τῶν ἀτόμων. ἔτι ἢ μηθὲν τῶν στιγμῶν ἔσται μεταξὺ ἢ γραμμή· εἰ δὲ μεταξὺ γραμμή, ἐν ἁπάσαις δὲ πλείους στιγμαί, οὐκ ἔσται ἄτομος. ἔτι οὐχ ἁπάσης ἔσται γραμμῆς τετράγωνον· ἕξει γὰρ μῆκος καὶ πλάτος, ὥστε διαιρετόν, ἐπεὶ τὸ μέν, τὸ δέ τι. εἰ δὲ τὸ τετράγωνον, καὶ ἡ γραμμή. ἔτι τὸ πέρας τῆς γραμμῆς στιγμὴ ἔσται, ἀλλʼ οὐ γραμμή. πέρας μὲν γάρ, τὸ ἔσχατον δὲ ἡ ἄτομος. εἰ γὰρ στιγμή, τὸ πέρας τῇ ἀτόμῳ ἔσται στιγμή, καὶ ἔσται γραμμὴ γραμμῆς στιγμῇ μείζων. εἰ δʼ ἐνυπάρχει τῇ ἀτόμῳ ἡ στιγμή, διὰ τὸ ταὐτὸ πέρας τῶν συνεχουσῶν γραμμῶν, ἔσται τι πέρας τῆς ἀμεροῦς. ὅλως τε τί διοίσει στιγμὴ γραμμῆς; οὐδὲν γὰρ ἴδιον ἕξει ἡ ἄτομος γραμμὴ παρὰ τὴν στιγμὴν πλὴν τοὔνομα. ἔτι ὁμοίως μένει ἐπίπεδον καὶ σῶμά ἐστιν ἄτομον. ἑνὸς γὰρ ὄντος ἀδιαιρέτου καὶ τἆλλα συνακολουθήσει διὰ τὸ θάτερον διῃρῆσθαι κατὰ θάτερον. σῶμα οὐκ ἔσται ἀδιαίρετον διὰ τὸ εἶναι ἐν αὐτῷ βάθος καὶ πλάτος, οὐδʼ ἂν γραμμὴ εἴη ἀδιαίρετος· σῶμα μὲν γὰρ κατʼ ἐπίπεδον, ἐπίπεδον δὲ κατὰ γραμμήν. ἐπεὶ δὲ οἵ τε λόγοι διʼ ὧν ἐπιχειροῦσι πείθειν ἀσθενεῖς εἰσί, καὶ ψευδεῖς ἐναντίαι δόξαι πᾶσαι τοῖς ἰσχύουσι πρὸς πίστιν, φανερὸν ὅτι οὐκ ἂν εἴη γραμμὴ ἄτομος. δῆλον δʼ ἐκ τούτων ὅτι οὐδʼ ἂν ἐκ στιγμῶν εἴη γραμμή. σχεδὸν γὰρ οἱ πλεῖστοι τῶν λόγων οἱ αὐτοὶ ἁρμόσουσιν. ἀνάγκη γὰρ διαιρεῖσθαι τὴν στιγμήν, ὅταν ἢ ἐκ περιττῶν τέμνηται ἴσα ἢ ἐξ ἀρτίων τὰ ἄνισα. καὶ τὸ τῆς γραμμῆς μέρος μὴ εἶναι γραμμήν, μηδὲ τὸ τοῦ ἐπιπέδου ἐπίπεδον. καὶ γραμμὴ δὲ γραμμῆς στιγμῇ εἶναι μείζων· ἐξ ὧν γὰρ σύγκειται, τούτοις καὶ ὑπερέξει. τοῦτο δʼ ὅτι ἀδύνατον, ἔκ τε τῶν ἐν τοῖς μαθήμασι δῆλον, καὶ ἔτι συμβήσεται τὴν στιγμὴν ἐν χρόνῳ δὴ εἶναι τὸ φερόμενον, εἴπερ τὴν μείζω μὲν ἐν πλείονι χρόνῳ, τὴν δʼ ἴσην ἐν ἴσῳ, ἡ δὲ τοῦ χρόνου ὑπεροχὴ χρόνος. ἀλλʼ ἴσως καὶ ὁ χρόνος ἐστὶν ἐκ τῶν νῦν, καὶ τοῦ αὐτοῦ λόγου λέγειν ἄμφω. εἰ δὴ τὸ νῦν ἀρχὴ καὶ πέρας τοῦ χρόνου καὶ ἡ γραμμὴ στιγμῆς, μή ἐστι δὲ συνεχὴς ἡ ἀρχὴ καὶ τὸ πέρας ἀλλʼ ἔχουσί τι μεταξύ, οὐκ ἂν εἴη οὔτε τὰ νῦν οὔτε στιγμαὶ ἀλλήλοις συνεχεῖς. ἔτι ἡ μὲν γραμμὴ μέγεθός τι, ἡ δὲ τῶν στιγμῶν σύνθεσις οὐδὲν ποιεῖ μεγέθος διὰ τὸ μηδʼ ἐπὶ πλείω τόπον ἔχειν. ὅταν γὰρ ἐπὶ γραμμὴν γραμμὴ τεθῇ καὶ ἐφαρμόσῃ, οὐδὲν γίνεται μεῖζον τὸ πλάτος. ἐν δὲ τῇ γραμμῇ καὶ στιγμαὶ ἐνυπάρχουσιν, οὐδʼ ἂν αἱ στιγμαὶ πλείω κατέχοιεν τόπον, ὥστε οὐκ ἂν ποιοῖεν μέγεθος. ἔτι εἰ ἅπαντα ἅπτεται παντὸς ἢ ὅλον ὅλου ἢ τινὶ τινὸς ἢ ὅλον τινός, ἡ δὲ στιγμὴ ἀμερὴς ὅλως ἅπτοιτο. τὸ δʼ ὅλον ὅλου ἁπτόμενον ἀνάγκη ἓν εἶναι. εἰ γάρ τι ἐστὶν ἢ θάτερον μή ἐστιν, οὐκ ἂν ὅλον ὅλου ἅπτοιτο. εἰ δʼ ἅμα ἐστὶ τὰ ἀμερῆ, τὸν αὐτὸν κατέχει τόπον πλείων ὃν καὶ πρότερον τὸ ἕν· τῶν γὰρ ἅμα ὄντων καὶ μὴ ἐχόντων ἐπέκτασιν κατὰ ταὐτὰ ὁ αὐτὸς ἀμφοῖν τόπος. τὸ δʼ ἀμερὲς οὐκ ἔχει διάστασιν, ὥστʼ οὐκ ἂν εἴη μέγεθος συνεχὲς ἐξ ἀμερῶν. οὐκ ἄρα οὔθʼ ἡ γραμμὴ ἐκ στιγμῶν οὔθʼ ὁ χρόνος ἐκ τῶν νῦν. ἔτι εἰ ἔστιν ἐκ στιγμῶν, ἅψεται στιγμὴ στιγμῆς· ἐὰν οὖν ἐκ τοῦ Κ ἐκβληθῇ ἡ ΑΒ καὶ ΓΔ, ἅψεται τοῦ Κ καὶ ἡ ἐν τῇ ΚΔ στιγμή. ὥστε καὶ ἄλλῳ τινί· τὸ γὰρ ἀμερὲς τοῦ ἀμεροῦς ὅλον ὅλου ἐφάπτεται. ὥστε τὸν αὐτὸν ἐφέξει τόπον τοῦ Κ, καὶ ἁπτόμεναι στιγμαὶ ἐν τῷ αὐτῷ τόπῳ ἀλλήλαις. εἰ δʼ ἐν τῷ αὐτῷ, καὶ ἅπτονται· τὰ γὰρ ἐν τῷ αὐτῷ τόπῳ ὄντα πρῶτα ἅπτεσθαι ἀναγκαῖον, εἶθʼ οὕτως εὐθεῖα εὐθείας ἅψεται κατὰ δύο στιγμάς. ἡ γὰρ ἐν τῇ ΑΚ στιγμὴ καὶ τῇ ΚΓ καὶ ἑτέρας ἅπτεται στιγμῆς. ὥστε ἡ ἐκ τῆς ΓΔ κατὰ πλείους ἅπτεται στιγμάς. ὁ αὐτὸς δὲ λόγος καὶ εἰ μὴ διʼ ἀλλήλων ἀλλʼ ὁπωσοῦν ἥψατο γραμμῆς. ἔτι καὶ ἡ τοῦ κύκλου τῆς εὐθείας ἅψεται κατὰ πλείω. τῆς γὰρ συναφῆς καὶ ἡ ἐν τῷ κύκλῳ καὶ ἡ ἐν τῇ εὐθείᾳ ἅπτεται καὶ ἀλλήλων. εἰ δὲ τοῦτο μὴ δυνατόν, οὐδὲ τὸ ἅπτεσθαι στιγμὴν στιγμῆς· εἰ δὲ μὴ ἅπτεσθαι, οὐδʼ εἶναι τὴν γραμμὴν στιγμήν· οὐδὲ γὰρ ἅπτεσθαι ἀναγκαῖον. ἔτι πῶς ποτὲ ἔσται εὐθεῖα γραμμὴ καὶ περιφερής; οὐδὲν γὰρ διοίσει ἡ σύναψις τῶν στιγμῶν ἐν τῇ εὐθείᾳ καὶ τῇ περιφερεῖ. τὸ γὰρ ἀμερὲς τοῦ ἀμεροῦς ὅλον ὅλου ἅπτεται, καὶ οὐκ ἔστιν ὅλως ἅπτεσθαι. εἰ οὖν αἱ μὲν γραμμαὶ διάφοροι, ἡ δὲ σύναψις ἀδιάφορος, οὐκ ἔσται δὴ γραμμὴ ἐκ τῆς συνάψεως, ὥστʼ οὐδʼ ἐκ στιγμῶν. ἔτι ἀναγκαῖον ἢ ἅπτεσθαι ἢ μὴ ἅπτεσθαι τὰς στιγμὰς ἀλλήλων. εἰ μὲν οὖν τὸ ἐφεξῆς ἅπτεσθαι ἀνάγκη, ὁ αὐτὸς ἔσται λόγος· εἰ δὲ ἐνδέχεται ἐφεξῆς τι εἶναι μὴ ἁπτόμενον, τὸ δὲ συνεχὲς οὐδὲν ἄλλο λέγομεν ἢ τὸ ἐξ ὧν ἐστὶν ἁπτομένων· ὥστε καὶ οὕτως ἀνάγκη τὰς στιγμὰς ἅπτεσθαι ἀλλήλων, ἢ εἶναι γραμμὴν συνεχῆ. ἔτι εἰ ἄτοπον στιγμὴ ἐπὶ στιγμῆς, ἵνʼ ᾖ γραμμὴ καὶ ἐπὶ στιγμῇ, ἐπεὶ ἡ γραμμὴ ἐπίπεδον, ἀδύνατον τὰ εἰρημένα εἶναι. εἴτε γὰρ ἐφεξῆς αἱ στιγμαί εἰσι, τμηθήσεται ἡ γραμμὴ κατʼ οὐδετέραν τῶν στιγμῶν, ἀλλʼ ἀνὰ μέσον· εἴθʼ ἅπτονται, γραμμὴ ἔσται τῆς μιᾶς στιγμῆς χώρα. τοῦτο δʼ ἀδύνατον. ἔτι διαιροῖτʼ ἂν ἅπαντα καὶ ἀναλύοιτο εἰς στιγμάς, καὶ ἡ στιγμὴ μέρος σώματος, εἴπερ τὸ μὲν σῶμα ἐξ ἐπιπέδων, τὸ δʼ ἐπίπεδον ἐκ γραμμῶν, αἱ δὲ γραμμαὶ ἐκ στιγμῶν. εἰ δʼ ἐξ ὧν πρώτων ἐνυπαρχόντων ἕκαστά ἐστι, στοιχεῖά ἐστι ταῦτα, αἱ στιγμαὶ ἂν εἴησαν στοιχεῖα σωμάτων. ὥστε συνώνυμα στοιχεῖα οὐδέτερα τῷ εἴδει. φανερὸν οὖν ἐκ τῶν εἰρημένων ὅτι οὐκ ἔστι γραμμὴ ἐκ στιγμῶν. ἀλλʼ οὐδʼ ἀφαιρεθῆναι οἷόν τε στιγμὴν ἀπὸ γραμμῆς. εἰ γὰρ ἐνδέχεται ἀφαιρεθῆναι, καὶ προστεθῆναι δυνατόν· προστεθέντος δέ τινος τὸ προστεθὲν μεῖζον ἔσται τοῦ ἐξ ἀρχῆς, ἐὰν τοιοῦτον ᾖ τὸ προστιθέμενον ὥστε ἓν ὅλον ποιεῖν. ἔσται γραμμὴ γραμμῆς στιγμῇ μείζων. τοῦτο δʼ ἀδύνατον. ἀλλὰ καθʼ ἑαυτὴν μὲν οὐχ οἷόν τε, κατὰ συμβεβηκὸς δʼ ἐνδέχεται στιγμὴν ἀπὸ γραμμῆς ἀφελεῖν, τῷ ἐνυπάρχειν ἐν τῇ ἀφαιρουμένῃ γραμμῇ. εἰ τοῦ ὅλου ἀφαιρουμένου καὶ ἡ ἀρχὴ καὶ τὸ πέρας ἀφαιρεῖται, γραμμῆς δʼ ἦν ἡ ἀρχὴ καὶ τὸ πέρας στιγμή, καὶ γραμμῆς ἐγχωρεῖ ἀφαιρεῖν καὶ στιγμὴν ἐνδέχοιτο. αὕτη δʼ ἡ ἀφαίρεσις κατὰ συμβεβηκός. εἰ δὲ τὸ πέρας ἅπτεται, οὔτε πέρας ἢ αὐτοῦ ἢ τῶν ἐκείνου τινός. ἡ δὲ στιγμή, ᾗ πέρας γραμμῆς, ἅπτεται. ᾗ μὲν οὖν γραμμῆς ἔσται στιγμὴ μείζων, ἡ δὲ στιγμὴ ἐκ στιγμῶν· τῶν γὰρ ἁπτομένων οὐδὲν ἀνὰ μέσον. ὁ αὐτὸς λόγος καὶ ἐπὶ τῆς τομῆς, εἰ ἡ τομὴ στιγμῆς καὶ ἡ τομὴ ἅπτεταί τινος καὶ ἐπὶ στερεοῦ καὶ ἐπιπέδου· ὡσαύτως δὲ καὶ τὸ στερεὸν ἐξ ἐπιπέδων καὶ γραμμῶν. οὐκ ἀληθὲς δὲ κατὰ στιγμὴν εἰπεῖν, οὐδʼ ὅτι ἐλάχιστον τῶν ἐκ γραμμῆς εἰς τὸ ἐλάχιστον τῶν ἐνυπαρχόντων εἴρηται. τὸ δὲ ἐλάχιστον, ὧν ἐστὶν ἐλάχιστον, καὶ ἔλαττόν ἐστιν. ἐν δὲ τῇ γραμμῇ οὐδὲν ἄλλο ἢ στιγμαὶ καὶ γραμμαὶ ἐνυπάρχουσιν. ἡ δὲ γραμμὴ τῆς στιγμῆς οὐκ ἔστι μείζων· οὐδὲ γὰρ αὖ τὸ ἐπίπεδον τῆς γραμμῆς. ὥστʼ οὐκ ἔσται στιγμὴ τὸ ἐν γραμμῇ ἐλάχιστον. εἰ δὲ συμβλητὸν τῇ γραμμῇ ἡ στιγμή, τὸ δὲ ἐλάχιστον ἐν τρισὶ προσώποις, οὐκ ἔσται ἡ στιγμὴ τῶν ἐν τῇ γραμμῇ ἐλάχιστον. καὶ ἄλλʼ ἄττα ἐνυπάρχει παρὰ τὰς στιγμὰς καὶ τὰς γραμμὰς ἐν τῷ μήκει· οὐ γὰρ ἐκ στιγμῶν. εἰ δὲ τὸ ἐν τόπῳ ὂν ἡ στιγμὴ μῆκος ἢ ἐπίπεδον ἢ στερεὸν ἐκ τούτων τι, ἐξ ὧν δʼ ἐστὶν ἡ γραμμή, ἐκεῖνα ἐν τόπῳ — καὶ γὰρ ἡ γραμμή —, καὶ μήτε σῶμα μήτʼ ἐπίπεδον μήτε ἐκ τούτων τι ἐνυπάρχει τῇ γραμμῇ, οὐκ ἔσται οὐθὲν ὅλως παρὰ τὰς στιγμὰς καὶ τὰς γραμμὰς ἐν τῷ μήκει. ἔτι εἰ τοῦ ἐν τόπῳ ὄντος τὸ μεῖζον λεγόμενον μῆκος ἡ ἐπιφάνεια στερεόν, ἡ δὲ στιγμὴ ἐν τόπῳ, τὸ δʼ ἐν τῷ μήκει ὑπάρχον παρὰ τὰς στιγμὰς καὶ τὰς γραμμὰς οὐθὲν τῶν προειρημένων, ὥστʼ οὐκ ἔσται ἡ στιγμὴ τῶν ἐνυπαρχόντων ἐλάχιστον. ἔτι εἰς ὃ ἐλάχιστόν τι τῶν ἐν τῇ οἰκίᾳ, μήτε τῆς οἰκίας συμβαλλομένης πρὸς αὐτὸ λέγεται· ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων· οὐδὲ τὸ ἐν γραμμῇ ἐλάχιστον πρὸς γραμμὴν συγκρινόμενον ἔσται. ὥστε οὐχ ἁρμόσει τὸ ἐλάχιστον, ἐπεὶ τὸ μὴ ὂν ἐν τῇ οἰκίᾳ μή ἐστι τῶν ἐν τῇ οἰκίᾳ ἐλάχιστον. ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων. ἐνδέχεται γὰρ στιγμὴν αὐτὴν καθʼ αὑτὴν εἶναι. οὐκ ἔσται κατὰ ταύτης ἀληθὲς εἰπεῖν ὅτι τὸ ἐν γραμμῇ ἐλάχιστον, ὅτι οὐκ ἔστιν ἡ στιγμὴ ἄρθρον ἀδιαίρετον. τὸ μὲν γὰρ ἄρθρον ἀεὶ δυοῖν ὅρος, ἡ δὲ στιγμὴ καὶ μιᾶς γραμμῆς ὅρος ἐστίν. ἔτι ἡ μὲν πέρας, τὸ δὲ διαίρεσίς ἐστι μᾶλλον. ἔτι ἡ γραμμὴ καὶ τὸ ἐπίπεδον ἄρθρα ἔσονται· ἀνάλογον γὰρ ἔχουσιν, ὅτι τὸ ἄρθρον διάφορόν πως ἐστίν, διὸ καὶ Ἐμπεδοκλῆς ἐποίησε διὸ δεῖ ὀρθῶς. ἡ δὲ στιγμὴ καὶ τὸ ἐν τοῖς ἀκινήτοις. ἔτι οὐδεὶς ἔχει ἄπειρα ἄρθρα ἐν τῷ σώματι ἢ τῇ χειρί, στιγμὰς δʼ ἀπείρους. ἔτι λίθου ἄρθρον οὐκ ἔστιν, οὐδʼ ἔχει, στιγμὰς δὲ ἔχει.