eul_wid: tii-ae
Scholia-Euclid's OpticsΣχόλια εἰς Εὐκλείδου Ὀπτικά
Thucydides Scholia Scholia Euclid's Optics PDF
The Scholia on Euclid's Optics constitute a collection of ninety-four marginal annotations providing commentary on Euclid's foundational treatise on the mathematical theory of vision. These explanatory notes, typical of the genre, were composed to clarify the geometric propositions and proofs of the primary text for pedagogical use within the Hellenistic and subsequent Byzantine educational traditions. The scholia engage directly with the core tenets of Euclidean optics, which models sight as rays emanating from the eye to form a visual cone. They offer detailed explanations of propositions concerning visual rays and the geometric perception of size, shape, and distance, often elucidating the accompanying diagrams and logical steps of Euclid's arguments. As part of the manuscript tradition, the scholia are transmitted in the margins or between the lines of Greek codices preserving the Optics, with the oldest surviving witness dating from the tenth century. Their significance lies in their role as ancillary scholarly material that shaped the teaching and interpretation of mathematical optics throughout the medieval period, both in the Byzantine East and, following translation, the Latin West. They represent an anonymous but critical layer of exegetical engagement, reflecting the ongoing scholarly effort to master and transmit classical Greek mathematical science.
| book 1 | Διάστημα p. 2, 3] ἤτοι κατὰ διαστάσεις καὶ τὰς ἀπ’ ἀλλήλων ἀποτμήσεις. |
| book 2 | Ἐν διαστήματι p. 4, 1] τουτέστι κατὰ διάστασιν. |
| book 3 | Τουτέστιν ἐπεὶ μὴ συνεχεῖς προσπίπτουσιν αἱ ὄψεις, ἀλλὰ κατὰ διάστημα, ἔσονταί τινα ἐν τῷ ΑΔ διαστήματι, πρὸς ἃ αἱ ὄψεις οὐ προσπεσοῦνται. |
| book 4 | Δεῖ γὰρ τὰ ὁρώμενα ἀπόστασίν τινα ἔχειν πρὸς τὸ ὄμμα· οὕτω γὰρ ὁραθήσεται· ὡς εἴ γε μηδεμίαν ἔχει ἀπόστασιν, οὐχ ὁραθήσεται. |
| book 5 | Μείζων ἂν ἦν τῆς ΓΔ p. 4, 20] μάνθανε, διὰ τί μείζων ἡ ΚΛ τῆς ΓΔ καίτοι ἴση οὖσα κατὰ τὴν ὑπόθεσιν, ὅταν διέλθῃ καὶ ἡ ΕΚ καὶ ἡ ΕΛ διὰ τῆς ΓΔ. ἐπεὶ παράλληλος ἐλήφθη ἡ ΓΔ τῇ ΚΛ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΚΕ, ἐγένετο ἡ ἐκτὸς γωνία ἴση τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἡ ὑπὸ ΔΓΕ τῇ ὑπὸ ΛΚΓ. διὰ τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἡ πρὸς τῷ Δ τῇ πρὸς τῷ Λ. ἔστι δὲ καὶ κοινὴ γωνία ἡ πρὸς τῷ Ε· καί εἰσι δύο τρίγωνα τὰ ΓΕΔ, ΚΕΛ τὰς τρεῖς γωνίας ἴσας ἀλλή‐ λαις ἔχοντα—ἡ πρὸς τῷ Γ τῇ πρὸς τῷ Κ, ἡ πρὸς τῷ Δ τῇ πρὸς τῷ Λ, κοινὴ ἡ πρὸς τῷ Ε—, τῶν δὲ ἰσογωνίων τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευραὶ διὰ τοῦ δʹ τοῦ ϛʹ τῶν Στοιχείων. ἔσται οὖν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΕΛ πρὸς τὴν |
| book 5 | ΛΚ· καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΕΛ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΚΛ. μείζων δὲ ἡ ΕΛ τῆς ΕΔ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΚΛ τῆς ΓΔ. |
| book 6 | Ὑπὸ πλειόνων ὄψεων p. 4, 21] εἰ δὲ ὑπὸ πλει‐ όνων ὄψεων, καὶ ὑπὸ πλειόνων γωνιῶν. |
| book 7 | Ἐν τῷ μεταξὺ διαστήματι p. 6, 2] τουτέστι τῶν ΒΓ καὶ ΒΔ ἐπὶ τὰ ἔμπροσθεν ὡς πρὸς τὸ Κ ἐρχομένων. |
| book 8 | Οὐκοῦν πρὸς τὸ Κ p. 6, 3] τῶν γὰρ διαστά‐ σεων ἢ μᾶλλον ἀποστάσεων προχωρουσῶν ἔσται μεταξὺ διάστημα, οὗ αἱ ἀποστάσεις διὰ τὸ ἀπ’ ἀλλήλων ἀπο‐ σχισθῆναι οὐχ ἅψονται. |
| book 9 | Μείζων δὲ πλευρὰ ἡ ΒΖ p. 6, 26] μείζων εὐλόγως· ὀρθὴν γὰρ ὑποτείνει, ἡ δὲ ΖΑ ἐλάττονα ὀρθῆς· οὐ γὰρ ἐγχωρεῖ πολλὰς ὀρθὰς εἶναι ἐν ἑνὶ τρι‐ γώνῳ· πᾶν γὰρ τρίγωνον τὰς τρεῖς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ἔχει. |
| book 10 | Καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΕ p. 6, 28] διὰ τὸ εἰς παρ‐ αλλήλους τὴν ΕΒ ἐμπεσεῖν καὶ ποιῆσαι τὰς ἐναλλὰξ ἴσας. |
| book 11 | Μείζων ἄρα ὀφθήσεται p. 8, 1] διὰ τὸν ὅρον, ὅτι τὰ ὑπὸ μειζόνων γωνιῶν ὁρώμενα. |
| book 12 | εʹ p. 8, 5] ἕτερον τοῦτο τοῦ δευτέρου θεω‐ ρήματος· ἐκεῖ μὲν γὰρ ἐδείκνυεν, ὡς τὰ ἔγγιον κείμενα ἀκριβέστερον ὁρᾶται, ἐνταῦθα δέ, ὡς μεῖζον τὸ ἔγγιον. |
| book 13 | Μείζων δὲ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΒ p. 8, 15] ὡς περιέχουσα· οὐ γὰρ ἂν πέσῃ ἡ ΕΓ πρὸς τῷ Α, ὡς ἐν τῷ βʹ ἤκουσας. |
| book 14 | Ἐν μετεώρῳ p. 10, 6] ἐπὶ τοῦ πρὸ τούτου θεωρήματος τὸ μὲν ὄμμα ἦν, ἐφ’ ὃ ἐπίπεδον καὶ τὰ παράλληλα διαστήματα, ἐνταῦθα δὲ τὸ ὄμμα μετεωρό‐ τερον ἐν μετεώρῳ ὄντων καὶ τῶν διαστημάτων. |
| book 15 | Ἡ ΑΒ p. 10, 8] ἡ ΑΒ οὐκ ἔστιν ἀκτίς, ἀλλὰ εὐθεῖα, ὡς ἀπό τινος σημείου τοῦ Α ἀγομένη ἐπὶ τὸ διὰ τῶν ΔΓ, ΕΖ ἐπίπεδον κάθετος. ὁμοίως καὶ ἡ ΑΡ οὐκ ἀκτίς ἐστιν, ἀλλὰ κάθετος εὐθεῖα ἐπὶ τὴν ΡΞ, οὐ μὴν καὶ πρὸς τὸ ἐπίπεδον κάθετος· ἡ γὰρ ΑΒ κάθετος ἦν πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον. |
| book 16 | Ἡ ΑΡ ἄρα ἐπὶ τὴν ΡΞ p. 10, 20] διὰ τὸ δειχθὲν παρὰ τοῦ Πάππου λημμάτιον ἐν τοῖς εἰς τὰ Ὀπτικὰ Εὐκλείδου· ἐὰν ἀπὸ μετεώρου σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἀχθῇ, ἀπὸ δὲ τοῦ ση‐ μείου, καθ’ ὃ προσβάλλει τῷ ἐπιπέδῳ ἡ κάθετος, ἀχθῇ πάλιν κάθετος πρός τινα εὐθεῖαν ἐν τῷ ἐπιπέδῳ οὖσαν, καὶ ἡ ἀγομένη ἀπὸ τοῦ μετεώρου σημείου ἐπ’ αὐτὴν κάθετος ἔσται [cfr. Pappus VI, 81]. |
| book 17 | Μείζων ἄρα γωνία p. 10, 24] ἐπεὶ ὀρθογώνιά ἐστιν, αἱ δὲ βάσεις ἴσαι, αἱ δὲ πλευραὶ ἄνισοι. |
| book 18 | Δεικτέον, πῶς μείζων ἡ ὑπὸ ΞΑΡ τῆς ὑπὸ ΠΑΝ. ἐπεὶ ὀρθογώνιά ἐστι τὰ τρίγωνα, ἡ δὲ ΠΑ τῆς ΑΡ μείζων· τριγώνου γὰρ τοῦ ΠΑΡ μείζων γωνία ἡ ὑπὸ ΠΡΑ· ἀμβλεῖα γάρ· ἡ γὰρ ΑΡ πρὸς τὴν ΡΞ ἐστιν ὀρθή, οὐ μὴν καὶ πρὸς τὴν ΠΒ, ὅτι μηδὲ πρὸς τὸ ἐπίπεδόν ἐστιν ὀρθή, ἵνα καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτο‐ μένας ποιῇ ὀρθὰς γωνίας, ἀλλὰ κέκλιται πρὸς αὐτό, καί ἐστιν ἡ κλίσις ὀξεῖα γωνία ἡ ὑπὸ ΒΡΑ· ἀμβλεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ ΠΡΑ. μείζων ἄρα ἡ ΠΑ τῆς ΑΡ· ὑπὸ γὰρ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει. μείζων δὲ καὶ ἡ ΑΝ τῆς ΑΞ· ἐπεὶ γὰρ αἱ ὑπὸ ΝΠΑ καὶ ὑπὸ ΞΡΑ ὀρθαί εἰσιν, ἐδείχθη δὲ ἡ ΠΑ τῆς ΑΡ μείζων· ὥστε καὶ τὸ παραλληλόγραμμον τὸ ὑπὸ ΝΠΑ τοῦ ὑπὸ ΞΡΑ μεῖζον, καὶ ἡ τοῦ μείζονος διάμετρος |
| book 18 | μείζων· διάμετροι δέ εἰσι τῶν παραλληλογράμμων αἱ ΝΑ, ΞΑ· ἡμίση γὰρ τούτων τὰ τρίγωνα. ὥστε, ἐὰν ἡ ΡΞ πεσεῖται ἐπὶ τὴν ΠΝ, ἐφαρμόσει· ἴση γὰρ ταύτῃ· καὶ αἱ ΡΑ, ΑΞ ἐντὸς πεσοῦνται τῶν ΑΠ, ΑΝ· ἐλάτ‐ τονες γὰρ αὐτῶν. ὥστε διὰ τὸ καʹ τοῦ αʹ τῶν Στοι‐ χείων μείζων ἔσται ἡ ὑπὸ ΡΑΞ γωνία τῆς ὑπὸ ΠΑΝ. ὅτι δὲ ἡ ὑπὸ ΠΡΑ γωνία ἀμβλεῖά ἐστιν, ἐκδηλότερον οὕτω δειχθήσεται· ἐπεὶ τὸ ΑΒΡ τρίγωνον ὀρθογώνιόν ἐστιν· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Β· ἐκτὸς δὲ αὐτοῦ ἡ ὑπὸ ΠΡΑ, μείζων ἔσται τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον· ἀμβλεῖα ἄρα. ἀλλὰ καὶ τριγώνου τοῦ ΑΞΝ ἡ πρὸς τῷ Ξ γωνία μείζων τῆς πρὸς τῷ Ν· ὥστε καὶ ἡ ὑποτείνουσα τὴν μείζονα γωνίαν μείζων. ἡ ἄρα ΑΝ μείζων τῆς ΑΞ. |
| book 19 | Πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἴσαι p. 12, 18] εἰ γάρ τις εἴποι, ὡς ἡ ΗΓ κάθετός ἐστι πρὸς τὴν ΓΔ, ὡσαύτως δὲ καὶ ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΑ, δῆλον ἔσται τὸ ἄτοπον. εἰ γὰρ ἡ ὑπὸ ΗΓΔ γωνία ὀρθή, καὶ ἡ ὑπὸ Β[ΓΗ] ὀρθὴ ἔσται. |
| book 20 | Κείσθω πρὸς τῷ Δ γωνία ὀρθὴ [ἡ ΑΔΕ]· διάμετρος ἄρα ἡ ΑΕ. ὥστε ἡ ὑπὸ ΕΓΔ γωνία ὀξεῖα καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῇ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΓΕ ἀμβλεῖα καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῇ ἡ ὑπὸ ΗΓΔ. ὥστε ἡ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη τῇ ΓΔ ἡ ΚΓ δηλαδὴ ἐντὸς πεσεῖται. πάλιν ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΕ ἀμβλεῖα, ὀξεῖα ἡ ὑπὸ ΓΒΕ καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῇ ἡ ὑπὸ ΖΒΑ. ὥστε ἡ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη τῇ ΑΒ ἐκτὸς πεσεῖται ἡ ΘΒ δηλονότι. ἐκβεβλήσθωσαν ἡ ΘΒ καὶ ΚΓ ἐπὶ τὴν περιφέρειαν, καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἤχθωσαν πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τὴν ΘΒ καὶ ΚΓ ἐκβεβλημένας ἡ ΛΜ, ΛΝ· τέμνουσιν ἄρα ταύτας δίχα κατὰ τὰ Μ, Ν σημεῖα διὰ τὸ γʹ τοῦ γʹ τῶν Στοιχείων. ἐπεζεύχθω ἡ ΛΘ, ΛΚ. καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αὗται· ἐκ κέντρου γὰρ τοῦ Λ· καὶ |
| book 20 | ὑποτείνουσιν ὀρθὰς γωνίας τὰς πρὸς τῷ Μ καὶ Ν, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΛΘ ἴσον ἔσται τοῖς ἀπὸ ΘΜ, ΜΛ, ὡσαύτως δὲ καὶ τὸ ἀπὸ ΚΛ ἴσον τοῖς ἀπὸ ΚΝ, ΝΛ. ἀλλὰ ἡ ΘΜ τῇ ΚΝ ἴση· ὥστε καὶ ἡ ΜΛ τῇ ΛΝ ἴση. ἴσαι ἄρα ἡ ΘΒΞ, ΚΓΠ. ἂν δὴ τοίνυν ἴσας ταύταις ἑτέρας δύο εὐθείας ἀγάγωμεν· δυνατὸν γάρ· τὴν ΑΔ τυχὸν καὶ ΡΣ τεμνούσας πρὸς ὀρθὰς τὴν ΘΒΖ, ΚΓΠ κατά τε τὰ Β, Γ καὶ Τ, Υ σημεῖα, καὶ ἴσων ἀφαιρε‐ θεισῶν τῶν ΓΒ, Β[Τ]· ἴσαι γὰρ διὰ τὴν ἴσην ἀπὸ τοῦ κέντρου ἀπόστασιν· δειχθήσεται ἡ ΘΒ τῇ ΒΑ ἴση καὶ ἡ ΚΓ τῇ ΓΔ. |
| book 21 | Μεῖζον p. 14, 15] ὡς περιέχον. Ἔλαττον p. 14, 16] ὡς περιεχόμενον. |
| book 22 | Καὶ ὡς ἡ ΑΒ κτλ. p. 14, 25] ἰσογώνια γὰρ τὰ ΕΑΒ, ΕΖΔ τρίγωνα, ὅτι ἡ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΕΒΑ· ἐμπέπτωκε γὰρ εὐθεῖα ἡ ΕΒ εἰς παραλλή‐ λους τὰς ΓΔ, ΑΒ· καὶ πάλιν ἡ ὑπὸ ΕΖΔ τῇ ὑπὸ Ε[Α]Β [ἐστιν] ἴση διὰ τὴν αὐτὴν αἰτίαν, ἡ δὲ πρὸς τῷ Ε κοινὴ καὶ ἀμφοτέροις. τῶν δὲ ἰσογωνίων τρι‐ γώνων αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευραὶ ἀνάλογον διὰ τὸ δʹ τοῦ ϛʹ τῶν Στοιχείων. ὡς ἡ ΑΒ οὖν πρὸς τὴν ΒΕ, ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΔΕ· καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΖΔ, ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΔΕ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. |
| book 23 | Τῶν ΑΓ, ΑΔ p. 18, 10] δηλονότι ἀκτίνων. |
| book 24 | Κοῖλα φανήσεται p. 18, 14] τοῦ πορρωτέρου ἄκρου μετεωροτέρου φαινομένου. |
| book 25 | Ὡς πόρισμα τοῦτο ἐπάγειν δοκεῖ. |
| book 26 | Ταπεινότερον φαίνεται p. 20, 1] καὶ γὰρ πρό‐ χειρον, ὅτι τὰ ὑπὸ ταπεινοτέρων ἀκτίνων ὁρώμενα ταπεινότερα φαίνεται. |
| book 27 | Μείζονι p. 24, 13] μείζονι ὑπερφέρον. |
| book 28 | Ἴσα ἀλλήλοις φαίνεται p. 24, 20] διὰ πλάνην τὴν τῆς ὄψεως. |
| book 29 | Μέχρι τοῦ Δ ὄμματος p. 28, 2] ὡς κάτωθεν τῆς ἀκτῖνος. |
| book 30 | Ὡς ἡ ΔΕ κτλ. p. 28, 10] διὰ τὸ δʹ τοῦ ϛʹ τῶν Στοιχείων· ἰσογώνια γὰρ τὰ τρίγωνα διὰ τὸ ἐν ταῖς παραλλήλοις ἐμπίπτειν εὐθεῖαν. |
| book 31 | Ἄχρις οὗ συμβαλεῖ p. 28, 24] τουτέστι μέχρις ἂν τὸ πέρας τοῦ ὕψους ἢ τὸ ἄκρον δηλαδὴ τὸ Α ἐμ‐ φανήσεται τῷ κατόπτρῳ μετακινουμένῳ· οὐ γὰρ κατὰ πρώτην τυχὸν προσβολὴν τῆς ὄψεως κατ’ ἔμφασιν ὁρα‐ θήσεται παρὰ τῆς ὄψεως ἐν τῷ κατόπτρῳ τὸ ἄκρον τοῦ ὕψους. |
| book 32 | Ἐν τοῖς Κατοπτρικοῖς p. 30, 3] διὰ τὸν ἐν τοῖς Κατοπτρικοῖς ὅρον [prop. I]. |
| book 33 | Ἴση γωνία ἡ ὑπὸ ΕΖΒ p. 30, 25] κάθετοι γὰρ αἱ ΕΖ καὶ ΑΔ. |
| book 34 | Ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ p. 30, 26] κατὰ κορυ‐ φὴν γάρ. |
| book 35 | Καὶ ἡ τρίτη ἄρα p. 30, 26] δι’ ὃν λόγον ἄνωθεν γέγραπται. |
| book 36 | Βλέπεται p. 34, 1] οὕτως ἡ ΚΔ ἐλάττων φανήσεται τῆς ΚΒ μὴ τοῦ Δ πρὸς τῇ περιφερείᾳ δο‐ κοῦντος φαίνεσθαι, ἀλλ’ ὑποκάτω τοῦ Β, καὶ τὸ Ε ὡσαύτως οὐχὶ πρὸς τῇ περιφερείᾳ, ἀλλ’ ὑποκάτω τοῦ Δ καὶ οὕτως ὡς καὶ εὐθείας ἀπὸ τοῦ Β πρὸς ὀρθὰς κατηγμένης διὰ τῶν Δ, Ε διῆχθαι. ἀλλὰ δὴ καὶ τοῦ Ζ· καὶ τὸ Ζ γὰρ ὑποκάτω τοῦ Ε ὀφθήσεται καὶ οὐ πρὸς τῇ περιφερείᾳ. τὸν αὐτὸν δὲ τρόπον καὶ ἀπὸ τοῦ Γ, ὡς φαίνεσθαι ἐπὶ μιᾶς εὐθείας τῆς ΒΓ τὰ Β, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ, Γ στοιχεῖα. |
| book 37 | Διὰ τὸ συμβαίνειν, ὅπερ γίνεται εὐθείας ὑπο‐ κειμένης τῆς νῦν οὔσης περιφερείας, νομίζεται καὶ ἡ περιφέρεια εὐθεῖα· ἔστι δὲ τοῦτο τὸ φαίνεσθαι τὰς ἀπὸ τοῦ κέντρου καὶ ταῦτα ἴσας οὔσας τὴν ἐκτὸς μείζω [Omitted graphic marker] τῆς ἐντός, οἷον τὴν ΚΒ τῆς ΚΔ, ὃ γίνεται, εἰ ἐπ’ εὐθείας κείσεται ἡ ΒΓ. ἐπὶ γὰρ εὐθείας συμβαίνει τὴν ἐκκειμένην οἷον τὴν ΚΒ μείζονα τῆς ΚΔ εἶναι. εἰ γὰρ ἄλλως λέγει τις ταύτας ἴσας εἶναι, συμβαίνει ἄτοπόν τι· ὀρθογωνίου γὰρ κει‐ μένου τοῦ ΚΕΒ τριγώνου τὸ ἀπὸ τῆς βάσεως τῆς ΚΒ ἴσον ἔσται τοῖς ἀπὸ τῶν πλευρῶν τῶν ΚΕ, ΕΒ. ὁμοίως καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΔ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΕ, ΕΔ. πῶς οὖν ἔσται ἴση ἡ ΚΔ τῇ ΚΒ τῶν ἀπὸ [τῆς ΚΕ] ἐν ἴσοις ἴσων ὄν‐ των; φαίνεται οὖν ἡ περιφέρεια εὐθεῖα διὰ τὸ φαίνεσθαι συμβαῖνον ἐπὶ τῆς περιφερείας, ὃ καὶ ἐπὶ τῆς εὐθείας. |
| book 38 | Ὃ ὄπισθεν ἔλεγε δυνατὸν δείκνυσθαι καὶ ἐπὶ τῆς κοίλης περιφερείας, τοῦτο νῦν δεικνύει· οἷον ἐὰν ἐπὶ τοῦ κέντρου τῆς περιφερείας τεθῇ τὸ ὄμμα, αἱ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου ὑποτεθῶσιν ὡς ἀκτῖνες, μέγιστον μὲν φανήσεται ἡ ΑΒ εὐθεῖα, [ἣ] τὸ πρότερον ἀκτὶς ὑπέκειτο, ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον τῆς ΑΒ τῆς ἀπώτερον μείζων τῆς προ‐ τέρας προχωρούσης δείξεως. |
| book 39 | Καθέτου ἐπ’ αὐτὴν οὔσης p. 34, 23] τῆς ΒΓ περιφερείας ὡς εὐθείας νοουμένης. |
| book 40 | Ἐγχάλασμα p. 34, 28] τύχ κοίλωμα. |
| book 41 | Εὐθεῖαι γίνονται p. 36, 3] περιφερειῶν μὲν οὔσης τῆς σκιᾶς, διὰ δὲ τὰς ἐξερχομένας ἀπὸ τοῦ φωτί‐ ζοντος ἀποστάσεις φαίνεσθαι ταύτας, οἵας καὶ ἐν τῇ εὐθείᾳ, καὶ εἶναι τοιαύτας. |
| book 42 | Ποιήσει οὖν τομὴν κύκλον p. 36, 23] τοῦτο ἐν τοῖς Σφαιρικοῖς τοῦ Θεοδοσίου δείκνυται [I, 1]. |
| book 43 | Αἱ ΓΒ, ΒΔ ἄρα ἐφάπτονται p. 38, 1] ἡ τῇ διαμέτρῳ γὰρ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπ’ ἄκρας ἀγο‐ μένη ἐφάπτεται τοῦ κύκλου, διάμετρος δὲ ἡ ΑΓ τοῦ ΓΗΔΘ κύκλου. |
| book 44 | Ὀρθαὶ ἄρα αἱ πρὸς τῷ Κ p. 38, 3] διὰ τί ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Κ; ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΑΓΒΔ ἐφ‐ άπτηταί τις εὐθεῖα ἡ ΗΘ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἐπαφὴν ἐπεζεύχθη εὐθεῖα ἡ ΒΑ, ἡ ἐπιζευχθεῖσα ἄρα κάθετος ἔσται ἐπὶ τὴν ἐφαπτομένην· ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΗ. ἐπεὶ δὲ εἰς παραλλήλους τὰς ΗΘ, ΓΔ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΑΒ, ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΒΚΓ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΒΑΗ. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΗ· [ὀρθὴ ἄρα] καὶ ἡ ὑπὸ ΒΚΓ. ὀρθαὶ ἄρα αἱ πρὸς τὸ Κ. |
| book 45 | Ὑπὸ τοῦ Θ ὄμματος βλέπεται p. 40, 10] πῶς ὑπὸ ὄμματος τοῦ Θ βλέπεται τὸ ΚΛ μέρος τῆς σφαί‐ ρας; ἐπεὶ περὶ διάμετρον τὴν ΑΘ κύκλος ὁ ΑΛΘΚ γέγραπται τέμνων τὸν [Ε]ΓΔΖ κύκλον κατὰ τὰ Κ, Λ [σημεῖα], ἀπὸ δὲ τοῦ [Α] σημείου [τοῦ πέρατος] τῆς διαμέτρου [τοῦ ΑΛΘ]Κ κύκλου ἐπὶ [τὰ Λ, Κ] σημεῖα ἤχθησαν εὐθεῖαι αἱ ΑΛ, ΑΚ, καὶ ἀπὸ τοῦ [ἑτέρου] πέρατος τοῦ Θ ...... ἀνακυκλουμ.... [αἱ] ΘΛ, ΘΚ, καὶ ὀρθὰς γωνίας [ποιοῦσι] τὰς ὑπὸ ΑΛΘ, [ΑΚ]Θ· |
| book 45 | ἡμικυκλί[ου γάρ· ἔστι] δὲ διάμετρος ἡ ΑΚ καὶ ἡ ΑΛ τοῦ ΕΓΔΖ ἐκβαλλόμεναι, ἡ ΘΚ, ΘΛ ἄρα ἐφάπτονται τοῦ κύκλου διὰ τὸ πόρισμα τοῦ ιϛʹ τοῦ γʹ τῶν Στοι‐ χείων. ἀχθείσης οὖν τῆς ΚΛ παραλλήλου οὔσης τῇ ΕΖ γίνονται τὰ ΛΘΜ, [Μ]ΘΚ τρίγωνα ὀρθογώνια, ὡς προδέδεικται ἐν τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι. μενούσης ἄρα τῆς ΘΜ [περὶ τὴν] ὀρθὴν γωνίαν εὐθείας περι‐ στρεφόμενον τὸ τρίγωνον ποιεῖ τὴν κωνικὴν ἐπιφάνειαν ἡ ΘΛ [ἀπὸ τοῦ] Θ τῆς σφαίρας ἐφαπτομένη, ἡ δὲ [Λ]Μ τὸν κύκλον, ὅστις ἐστὶ βάσις τοῦ κώνου. ὑπὸ τῶν ΘΚ, ΘΛ ἄρα ἀκτίνων ὄμματος τοῦ Θ βλέπεται τὸ ΛΚ μέρος τῆς σφαίρας. |
| book 46 | Μείζων γὰρ ἡ ὑπὸ ΚΘΛ p. 40, 14] πῶς ἡ πρὸς τῷ Θ γωνία μείζων τῆς πρὸς τῷ Β; ἐπεὶ δύο τρίγωνα τὰ ΒΓΑ, ΘΛΑ τὰς ὑπὸ ΒΓΑ, ΘΛΑ ἴσας ἔχουσιν· ἐν ἡμικυκλίοις γάρ· ἔχει δὲ τὸ ΘΛΑ τρίγωνον τὴν ὑπὸ ΘΑΛ ἐλάττονα τῆς ὑπὸ ΒΑΓ· περιέχεται γάρ· λοιπὴν ἄρα τὴν ὑπὸ ΑΘΛ μείζονα ἔχει τῆς ὑπὸ ΑΒΓ. ὁμοίως καὶ τὴν ὑπὸ ΑΘΚ μείζονα ἔχει τῆς ὑπὸ ΑΒΔ. ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΘΚ μείζων τῆς ὑπὸ ΓΒΔ. |
| book 47 | Παραλληλόγραμμόν ἐστι p. 42, 13] ἀλλὰ καὶ ἴσον τῷ ΓΖ παραλληλογράμμῳ· ἴση γὰρ ἡ Γ[Α] τῇ ΑΒ. |
| book 48 | Ἐλεύσεται δὲ καὶ ἐπί p. 42, 16] τοῦ γὰρ ΑΔ περιστρεφομένου ἐφάψεται ἡ ΔΒ τῆς σφαίρας, ὅτι καὶ τοῦ ΒΓ κύκλου. |
| book 49 | Συμβάλλουσι δὴ ἀλλήλαις p. 44, 3] διότι ἐλάτ‐ τους εἰσὶ β ὀρθῶν αἱ Β, Γ γωνίαι διὰ τὸ κατ’ ἀνάγκην τῆς ἁφῆς τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου μείζονος οὔσης. |
| book 50 | Εἰ γὰρ οὐ συνέβαλλον, ἦν ἂν παράλληλος ἡ [ΒΖ] τῇ ΓΖ, καὶ τὸ [ΔΕ]ΒΖ παραλληλόγραμμον, καὶ ἡ διάμετρος ἴση [τῷ] διαστήματι· [ὅπερ] οὐχ ὑπόκειται. |
| book 51 | Διὰ τί προσπεσοῦνται αἱ ΒΕ, ΓΔ; ἐπεὶ τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα μεῖζόν ἐστι καὶ παράλληλον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας, ἐφάψονται δὲ αἱ ἀκτῖνες τῆς σφαίρας κατὰ πέρατα διαμέτρου κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ ἐλάττονος καὶ παραλλήλου οὔσης τῷ δια‐ στήματι τῶν ὀμμάτων, ἐπεὶ καὶ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας ἐλάσσων αὕτη ἐστὶ καὶ παράλληλος, καὶ οὐχὶ κατὰ τὰ πέρατα τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας, αἱ ἐπι‐ ζευγνῦσαι τὰς παραλλήλους μέν, μὴ ἴσας δέ, οὐκ ἔσονται παράλληλοι. συμπεσοῦνται ἄρα αἱ ΒΕ, ΓΔ. ὅτι δὲ οὐκ ἐφάψονται κατὰ τὰ πέρατα τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας, φανερόν· εἰ γὰρ ἐφάψονται κατὰ τὰ πέρατα τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας, διὰ τὸ ιηʹ τοῦ γʹ τῶν Στοιχείων ὀρθὰς ποιήσει γωνίας ἡ ἐφαπτομένη μετὰ τῆς διαμέτρου τῆς |
| book 51 | σφαίρας· αἱ δὲ ἀπὸ δύο ὀρθῶν ἐκβαλλόμεναι οὐ συμ‐ πεσοῦνται· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἀκτίνων, τοῦ διαστήματος τῶν ὀμμάτων καὶ τῆς δια‐ μέτρου τῆς σφαίρας περιεχόμενον. τῶν δὲ παραλληλο‐ γράμμων αἱ ἀπεναντίον πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί· ἴσον ἄρα τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα τὸ ΒΓ τῇ δια‐ μέτρῳ τῆς σφαίρας· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται. οὐκ ἐφάψονται ἄρα κατὰ τὰ πέρατα τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας. |
| book 52 | Ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου p. 44, 8] διὰ τὸ κεʹ· νοηθήτω γὰρ ὄμμα τὸ Ζ προσβάλλον τῇ [ΕΘ]ΔΗ σφαίρᾳ. |
| book 53 | Ἐπεὶ οὖν ἀπό τινος p. 46, 6] νοηθήτω γὰρ ὄμμα τὸ Ζ· διὰ τὸ κεʹ. |
| book 54 | Κύλινδρος p. 46, 14] σημείωσαι τὸν κύλινδρον ὀρθὸν ἱστάμενον. |
| book 55 | Οὐδέτερον ἄρα p. 48, 1] κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν γὰρ τοῦ κυλίνδρου ἅπτονται αἱ εὐθεῖαι. |
| book 56 | κθʹ p. 50, 9] τὸ παρὸν θεώρημα δείκνυται, δι’ ὧν καὶ τὸ κζʹ ἐδείχθη. |
| book 57 | Τὸ ἴσον ἄρα p. 58, 9] ἴσον μὲν ταῖς ὄψεσι φαίνεται διὰ τὸ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρᾶσθαι, οὐκ ἔστι δέ· τὰ γὰρ ἀνωτέρω τοῦ κώνου στενοῦνται. |
| book 58 | Ἴσαι αἱ γωνίαι, ὅτι τὰ ἐπίπεδα τοῖς αὐτοῖς ἐμπεριέχεται διαστήμα[σιν]· ἐξ ὡρισμένων γὰρ εὐθειῶν [παρ]έδωκεν ....οπτικον ἐξενεχθῆ[ναι] αὐτάς. |
| book 59 | Αἱ ΓΒ, ΒΖ ἄνισοι p. 68, 16] δύο γὰρ τρί‐ γωνά εἰσι τὰ ΒΓΑ, ΒΖΑ ὀρθὴν ἔχοντα γωνίαν τὸ μὲν τὴν πρὸς τῷ Γ, τὸ δὲ τὴν πρὸς τῷ Ζ, καί ἐστι λοιπὸν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ ἴσον ἀνὰ μέρος τῷ ἀπὸ τῶν ΒΓ, ΓΑ καὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΖ, ΖΑ. ἀλλ’ ἡ ΓΑ μεί‐ ζων ἐδείχθη τῆς ΖΑ. ὥστε, ὅπερ ἐλλείπει τὴν ΖΑ, ἕξει τοῦτο ἡ ΒΖ καὶ ἔσται μείζων τῆς ΒΓ. |
| book 60 | Ἐλάσσων μὲν ἄρα p. 70, 1] ἐπειδὴ γὰρ ἴσα εἰσὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΖ, ΖΑ τῷ ἀπὸ τῶν ΒΚ, ΚΑ, ἔστι δέ, ὡς δέδεικται, ἡ ΖΑ μείζων τῆς ΚΑ, δῆλον, ὅτι ἡ ΒΖ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ΒΚ· ὅσῳ γὰρ ὑπερέχει ἡ ΖΑ τῆς ΑΚ, τοσοῦτον ἐλαττοῦται ἡ ΒΖ τῆς ΒΚ διὰ τό, ὡς εἴρηται, ἴσον εἶναι τὸ ἀπὸ τῶν ΒΖ, ΖΑ τῷ ἀπὸ τῶν ΒΚ, ΚΑ. |
| book 61 | Μείζων δὲ πάλιν p. 70, 4] [ἔσται] μείζων ἡ ὑπὸ ΒΑΚ τῆς ὑπὸ ΒΑΖ, διότι τὴν ὑπὸ ΒΑΚ ἡ ΒΚ ὑποτείνει μείζων οὖσα, ὡς δέδεικται, τῆς ΒΖ. |
| book 62 | Ἤχθω οὖν p. 72, 11] ἐπεὶ ἡ ΕΖ ἐτέθη πρὸς μὲν τὴν ΓΔ πρὸς ὀρθάς, πρὸς δὲ τὴν ΑΒ τυχούσας γωνίας ποιοῦσα, οὐκ ἔστι πρὸς ὀρθὰς τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ. |
| book 63 | Ἡ ΛΜ p. 72, 14] ἡ ΛΜ ἴση μέν ἐστι τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου, οὐ μὴν καὶ διάμετρος, ἀλλ’ ὑπο‐ τείνουσα μεῖζον τμῆμα ἡμικυκλίου διὰ τὸ ὑποτεθῆναι τὴν ΕΖ ἴσην ὑποτεθεῖσαν τῇ ΞΝ μείζονα τῶν ἐκ τοῦ κέντρου. |
| book 64 | Ἡ ΝΞ μείζων p. 72, 19] ἡ γὰρ ΕΖ μείζων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἡ δὲ ΝΞ τῇ [ΕΖ] ἴση. [ἡ ΝΞ ἄρα] μείζων [ἑκατέρας] τῶν ΛΝ, ΜΝ. |
| book 65 | Ἡ ἄρα πρὸς τῷ Ξ γωνία p. 74, 1] ἐπεὶ γὰρ ἡ ΕΖ ἴση ἐστὶ τῇ ΞΝ, ἡ δὲ ΛΜ ἴση τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου καὶ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Ν, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΓΖ τῇ ΛΝ καὶ ἡ ΖΔ τῇ ΝΜ. δύο δὴ αἱ ΓΖ, ΖΕ ἴσαι εἰσὶ τῇ ΛΝ, ΝΞ. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΛΝΞ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΖΕ ἴση· πρὸς ὀρθὰς γὰρ ὑπόκειται καὶ ἡ ΕΖ τῇ ΓΔ· βάσις ἄρα ἡ ΕΓ βάσει τῇ ΛΞ ἴση, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΕΖ τῇ ὑπὸ ΛΞΝ. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΔ ἴση τῇ ὑπὸ ΝΞΜ. ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΕΔ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΛΞΜ. |
| book 66 | Ἔσται δὴ καί p. 74, 8] ἐπεὶ ἡ ΗΖ ἴση ἐστὶ τῇ ΛΝ, ἡ δὲ ΖΕ ὑπετέθη ἴση τῇ ΝΟ, καὶ ἡ ὑπὸ ΗΖΕ ἴση τῇ ὑπὸ ΛΝΟ, ἔσται καὶ ἡ ΕΗ βάσις ἴση τῇ ΟΛ καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ καὶ ἡ ὑπὸ ΗΕΖ ἴση τῇ ὑπὸ ΛΟΝ. ἐπεὶ οὖν εὐθειῶν τῶν ΕΖ, ΟΝ ἐπ’ εὐθειῶν σταθεισῶν γεγόνασιν αἱ ὑπὸ ΗΖΕ, ΛΝΟ ἴσαι, καὶ αἱ λοιπαὶ αἱ ὑπὸ ΕΖΘ, ΟΝΜ ἴσαι ἔσονται. καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΖ, ΖΘ ἴση ἐστὶ τῇ ΟΝ, ΝΜ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΖΘ ἴση τῇ ὑπὸ ΟΝΜ, βάσις ἡ ΕΘ βάσει τῇ ΟΜ ἴση καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΘ ἴση τῇ ὑπὸ ΝΟΜ. ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΕΘ ἴση τῇ ὑπὸ ΛΟΜ. |
| book 67 | Ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ πρός p. 74, 15] διὰ τὸ κβʹ τοῦ γʹ τῶν Στοιχείων. ἐπὶ τῆς αὐτῆς γὰρ εὐθείας δύο ὅμοια τμήματα κύκλων οὐ συσταθήσονται, ὅμοια δὲ τμήματα κύκλων κατὰ τὸν ὅρον τοῦ αὐτοῦ βιβλίου τὰ δεχόμενα γωνίας ἴσας. ὅτι δὲ ἡ πρὸς τῷ Ξ μείζων τῆς πρὸς τῷ Ο καὶ πάλιν αὕτη τῆς πρὸς τῷ Π, δειχθήσεται διὰ τῆς δείξεως τοῦ κβʹ τοῦ γʹ τῶν Στοι‐ χείων. |
| book 68 | Μεγίστη δὲ ἡ Ξ p. 76, 6] διὰ τὸ λῆμμα τὸ πρὸ τούτου· αἱ γὰρ ἴσον ἀπέχουσαι τῆς διαμέτρου γωνίαι ἴσαι εἰσίν. |
| book 69 | Ὑπερπίπτειν p. 76, 9] εἰ γὰρ ἴση, τὸ δὲ ἡμικυκλοειδὲς σχῆμα στενοῦται, ὑπερπέσῃ ἂν ἡ ἴση αὐτῇ. στενοῦνται δὲ διὰ τὸ ἐφάπτεσθαι [τῶν] ἀπὸ τοῦ κέντρου μειζόνων οὐσῶν τῆς ΝΞ. |
| book 70 | Περιγεγράφθω p. 78, 3] δέδεικται ἐν τῷ δʹ βιβλίῳ Γεωμετρίας περὶ τὸ δοθὲν τρίγωνον κύκλον περιγράψαι. ὥστε δυνατόν ἐστι τῷ βουλομένῳ περὶ τὸ ΚΞΛ τρίγωνον καὶ ἔτι περὶ τὸ ΚΟΛ τμήματα κύκλων γράψαι. περιγραφέντων δὲ τῶν γ τμημάτων φανερόν, ὅτι μεῖζον τῶν β ἐστὶ τὸ ΚΝΛ τμῆμα, τὸ δὲ ΚΞΛ ἔλαττον [μὲν] αὐτοῦ, μεῖζον δὲ τοῦ ΚΟΛ. διὰ ταῦτα δὴ μείζων ἡ ἐν τῷ Κ[Ο]Λ τμήματι γωνία· ἡ γὰρ ἐν ἐλάττονι τμήματι γωνία .. μείζων· ἡ δὲ πρὸς τῷ Ξ μείζων τῆς πρὸς τῷ Ν. |
| book 71 | Καὶ κείσθω τῇ ΗΘ p. 78, 9] ἐπεὶ γὰρ τμῆμα κύκλου ἐστὶ τὸ ΚΝΛ, ἀπὸ τοῦ Μ σημείου πρὸς τὴν περιφέρειαν ἄλλη τις ἴση τῇ ΜΝ οὐκ ἐκβληθήσεται, ἀλλ’ εἰ ἴση τῇ ΗΘ ἐκβληθῆναι ἐπιταχθήσεται, ἔξω ἐκ‐ βληθήσεται. |
| book 72 | Ἐπεὶ οὖν μείζων p. 78, 18] διὰ τὸ λαʹ τοῦ γʹ τῶν Στοιχείων καὶ διὰ τὸ πρὸ τούτων λῆμμα· ὡς γὰρ οἷον λῆμμα ἐλήφθη τὸ .... |
| book 73 | Παρεσπασμένοι p. 80, 7] ἤτοι εἰς ἓν μέρος καθ’ ὅλην μίαν διάμετρον ἐπιμήκεις. |
| book 74 | Ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσιν p. 82, 23] ὑπὸ γὰρ τῶν αὐτῶν ἀκτίνων περιέχεται. |
| book 75 | Πρὸς ὀρθάς p. 84, 2] σημείωσαι, ὅτι, εἰ πρὸς ὀρθὰς ἕστηκεν ἐξ ἀρχῆς, πρὸς ὀρθὰς φερέσθω. |
| book 76 | Ἐὰν δὲ ἀπό p. 84, 22] ὅτι ἴσα τὰ τρίγωνα πάντα γίνονται τά τε ὑπὸ τῆς ἀκτῖνος καὶ τῶν εὐθειῶν περιεχόμενα καὶ τοῦτο ...... τοῦ παρόντος βιβλίου. |
| book 77 | Τὸ αὐτό p. 88, 3] ἤτοι ἡ ΑΒ, ΕΓ, ΔΖ· αἱ αὐταὶ γὰρ ἴσαι ἐλήφθησαν. |
| book 78 | Ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΒΕΑ p. 88, 8] διὰ τὸ λδʹ· τοῦ αʹ τῶν Στοιχείων· δίχα γὰρ τέτμηται τὸ παραλληλό‐ γραμμον ὑπὸ τῆς ΕΒ εὐθείας. |
| book 79 | Μέγιστον δέ p. 88, 15] φανήσεται γὰρ εὐρυχω‐ ροτέρα ἡ πρὸς τῷ Ε γωνία, εἰ ἐκ τοῦ Α διάμετρος ἀχθείη πρὸς τὸ μέρος τοῦ Β. |
| book 80 | Πᾶσαι γὰρ αἱ p. 90, 7] [ἴσα] γὰρ τὰ τρίγωνα [τὰ ὑ]πὸ τῆς ἀκτῖνος [τοῦ ὄ]μματος καὶ τῶν [ἀ]πὸ τοῦ κέντρου [καὶ τῆς ΑΒ] περιεχόμενα. |
| book 81 | Μέση ἀνάλογον p. 92, 23] ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου. |
| book 82 | Ἡ Σ τῆς Β γωνίας μείζων p. 94, 11] ἡ πρὸς τῷ Σ γωνία μείζων τῆς πρὸς τῷ Β, ἐπειδὴ παντὸς τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον, τριγώνου δὲ τοῦ ΔΒΣ ἐκτός ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Σ γωνία. |
| book 83 | Ἴσα φανήσεται p. 96, 19] καθ’ ὁποιονοῦν γὰρ μέρος τῆς ΖΔ τιθεμένου τοῦ ὄμματος ἴσαι γωνίαι γίνονται αἱ πρὸς τῷ ὄμματι· ἴσα γὰρ τρίγωνα καὶ ὅμοια γίνεται τὰ ΑΒΘ, ΘΒΓ, καὶ αἱ βάσεις αἱ ΑΘ, ΘΓ ἴσαι καὶ αἱ γωνίαι ἴσαι. |
| book 84 | Μείζων ἄρα p. 98, 1] διότι ὑπὸ μείζονος γω‐ νίας ὁρᾶται τῆς ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑποτεινομένης ὑπὸ τῆς ΑΔΗ περιφερείας. |
| book 85 | Ἐπὶ τῆς ΕΗ p. 98, 2] κἂν καθ’ ὁτιοῦν, φη‐ σίν, μέρος τῆς ΕΗ τίθηται τὸ ὄμμα, [ἄν]ισα φα‐ νήσεται. |
| book 86 | Τῆς πρὸς ὀρθάς p. 98, 3] τοῦ Ζ δηλονότι καὶ Δ. |
| book 87 | Ἴσα δὲ φανήσεται p. 98, 22] δυνατὸν γὰρ ἐπὶ τῶν ΒΓ, ΓΔ καὶ ἀμφοτέρων γράψαι μείζονα τμήματα ἡμικυκλίων, ἅτινα οὐ τεμοῦσιν ἄλληλα, ἀλλ’ ἐφάψονται κατὰ τὸ Γ σημεῖον. |
| book 88 | Προηγούμενον p. 108, 9] ἀντὶ τοῦ ἐγγύτερον εἶναι δοκεῖ τῷ Ν σημείῳ ἤτοι πορρώτερον τοῦ Σ σημείου. |
| book 89 | Μείζων ἡ Δ γωνία p. 112, 10] διὰ τὸ καʹ τοῦ αʹ τῶν Στοιχείων. |