ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Ε.Περιέχει δὲ συγκρίσεις τῶν ἴσην περίμετρον ἐχόντων ἐπιπέδων σχημάτων πρὸς ἄλληλά τε καὶ τὸν κύκλον, καὶ συγκρίσεις τῶν ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων στερεῶν σχημάτων πρὸς ἄλληλά τε καὶ τὴν σφαῖραν.
Σοφίας καὶ μαθημάτων ἔννοιαν ἀρίστην μὲν καὶ τελειοτάτην ἀνθρώποις θεὸς ἔδωκεν, ὦ κράτιστε Μεγεθίον, ἐκ μέρους δέ που καὶ τῶν ἀλόγων ζῴων μοῖραν ἀπένειμέν τισιν. ἀνθρώποις μὲν οὖν ἅτε λογικοῖς οὖσι τὸ μετὰ λόγου καὶ ἀποδείξεως παρέσχεν ἕκαστα ποιεῖν, τοῖς δὲ λοιποῖς ζῴοις ἄνευ λόγου τὸ χρήσιμον καὶ βιωφελὲς αὐτὸ μόνον κατά τινα φυσικὴν πρόνοιαν ἑκάστοις ἔχειν ἐδωρήσατο. τοῦτο δὲ μάθοι τις ἂν ὑπάρχον καὶ ἐν ἑτέροις μὲν πλείστοις γένεσιν τῶν ζῴων, οὐχ ἥκιστα δὲ κἀν ταῖς μελίσσαις· ἥ τε γὰρ εὐταξία καὶ πρὸς τὰς ἡγουμένας τῆς ἐν αὑταῖς πολιτείας εὐπείθεια θαυμαστή τις, ἥ τε φιλοτιμία καὶ καθαριότης ἡ περὶ τὴν τοῦ μέλιτος συναγωγὴν καὶ ἡ περὶ τὴν φυλακὴν αὐτοῦ πρόνοια καὶ οἰκονομία πολὺ μᾶλλον θαυμασιωτέρα. πεπιστευμέναι γὰρ, ὡς εἰκός, παρὰ θεῶν κομίζειν τοῖς τῶν ἀνθρώπων μουσικοῖς τῆς ἀμβροσίας ἀπόμοιράν τινα ταύτην οὐ μάτην ἐκχεῖν εἰς γῆν καὶ ξύλον ἤ τινα ἑτέραν ἀσχήμονα καὶ ἄτακτον ὕλην ἠξίωσαν, ἀλλʼ ἐκ τῶν ἡδίστων ἐπὶ γῆς φυομένων ἀνθέων συνάγουσαι τὰ κάλλιστα κατασκευάζουσιν ἐκ τούτων εἰς τὴν τοῦ μέλιτος ὑποδοχὴν ἀγγεῖα τὰ καλούμενα κηρία πάντα μὲν ἀλλήλοις ἴσα καὶ ὅμοια καὶ παρακείμενα, τῷ δὲ σχήματι ἑξάγωνα. τοῦτο δʼ ὅτι κατά τινα γεωμετρικὴν μηχανῶνται πρόνοιαν οὕτως ἂν μάθοιμεν. πάντως μὲν γὰρ ᾤοντο δεῖν τὰ σχήματα παρακεῖσθαί τε ἀλλήλοις καὶ κοινωνεῖν κατὰ τὰς πλευράς, ἵνα μὴ τοῖς μεταξὺ παραπληρώμασιν ἐμπίπτοντά τινα ἕτερα λυμήνηται αὐτῶν τὰ ἔργα. τρία δὲ σχήματα εὐθύγραμμα τὸ προκείμενον ἐπιτελεῖν ἐδύνατο, λέγω δὲ τεταγμένα τὰ ἰσόπλευρά τε καὶ ἰσογώνια, τὰ δʼ ἀνόμοια ταῖς μελίσσαις οὐκ ἤρεσεν. τὰ μὲν οὖν ἰσόπλευρα τρίγωνα καὶ τετράγωνα καὶ τὰ ἑξάγωνα χωρὶς ἀνομοίων παραπληρωμάτων ἀλλήλοις δύναται παρακείμενα τὰς πλευρὰς κοινὰς ἔχειν. ὁ γὰρ περὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον τόπος ὑπὸ ϛʹ μὲν τριγώνων ἰσοπλεύρων καὶ διὰ ϛʹ γωνιῶν, ὧν ἑκάστη διμοίρου ἐστὶν ὀρθῆς, συμπληροῦται, τεσσάρων δὲ τετραγώνων καὶ δʼ ὀρθῶν γωνιῶν, τριῶν δὲ ἑξαγώνων καὶ ἑξαγώνου γωνιῶν τριῶν, ὧν ἑκάστη αʹ γʹʹ ἐστὶν ὀρθῆς. πεντάγωνα δὲ τὰ τρία μὲν οὐ φθάνει συμπληρῶσαι τὸν περὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον τόπον, ὑπερβάλλει δὲ τὰ τέσσαρα· τρεῖς μὲν γὰρ τοῦ πενταγώνου γωνίαι δʹ ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν — ἑκάστη γὰρ γωνία μιᾶς καὶ εʹʹ ἐστὶν ὀρθῆς —, τέσσαρες δὲ γωνίαι μείζους τῶν τεσσάρων ὀρθῶν. ἑπτάγωνα δὲ οὐδὲ τρία περὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον δύναται τίθεσθαι κατὰ τὰς πλευρὰς ἀλλήλοις παρακείμενα· τρεῖς γὰρ ἑπταγώνου γωνίαι τεσσάρων ὀρθῶν μείζονες — ἑκάστη γάρ ἐστιν μιᾶς ὀρθῆς καὶ τριῶν ἑβδόμων. ἔτι δὲ μᾶλλον ἐπὶ τῶν πολυγωνοτέρων ὁ αὐτὸς ἐφαρμόσαι δυνήσεται λόγος. ὄντων δὴ οὖν τριῶν σχημάτων τῶν ἐξ αὑτῶν δυναμένων συμπληρῶσαι τὸν περὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον τόπον, τριγώνου τε καὶ τετραγώνου καὶ ἑξαγώνου, τὸ πολυγωνότερον εἵλαντο διὰ τὴν σοφίαν αἱ μέλισσαι πρὸς τὴν παρασκευήν, ἅτε καὶ πλεῖον ἑκατέρου τῶν λοιπῶν αὐτὸ χωρεῖν ὑπολαμβάνουσαι μέλι.
Καὶ αἱ μέλισσαι μὲν τὸ χρήσιμον αὑταῖς ἐπίστανται μόνον τοῦθʼ ὅτι τὸ ἑξάγωνον τοῦ τετραγώνου καὶ τοῦ τριγώνου μεῖζόν ἐστιν καὶ χωρῆσαι δύναται πλεῖον μέλι τῆς ἴσης εἰς τὴν ἑκάστου κατασκευὴν ἀναλισκομένης ὕλης, ἡμεῖς δὲ πλέον τῶν μελισσῶν σοφίας μέρος ἔχειν ὑπισχνούμενοι ζητήσομέν τι καὶ περισσότερον. τῶν γὰρ ἴσην ἐχόντων περίμετρον ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων ἐπιπέδων σχημάτων μεῖζόν ἐστιν ἀεὶ τὸ πολυγωνότερον, μέγιστος δʼ ἐν πᾶσιν ὁ κύκλος, ὅταν ἴσην αὐτοῖς περίμετρον ἔχῃ. δείξομεν δὲ πρότερον ὅτι τῶν ἀνισοπληθεῖς μὲν ἐχόντων τὰς γωνίας τεταγμένων πολυγώνων, τὴν δὲ περίμετρον ἴσην, τὸ πολυγωνότερον ἀεὶ καὶ μεῖζόν ἐστιν.
αʹ. Ἔστω δύο πολύγωνα ἰσόπλευρά τε καὶ ἰσογώνια τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, καὶ ἔστωσαν ἴσαι μὲν αὐτῶν αἱ περίμετροι, πολυγωνότερον δὲ τὸ ΔΕΖ· λέγω ὅτι τὸ ΔΕΖ μεῖζον τοῦ ΓΑΒ.
Εἰλήφθω γὰρ τὰ κέντρα τῶν περιγραφομένων αὐτοῖς κύκλων τὰ Η Θ, κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΗΚ ΘΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ ΗΓ ΘΔ ΘΖ. ἐπεὶ οὖν πολυγωνότερόν ἐστιν τὸ ΕΔΖ τοῦ ΑΒΓ, πλεονάκις ἡ ΔΖ τὴν τοῦ ΔΕΖ πολυγώνου καταμετρεῖ περίμετρον ἤπερ ἡ ΑΓ τὴν τοῦ ΑΒΓ· μείζων ἄρα ἡ ΑΓ τῆς ΔΖ — ἴσαι γὰρ ὑπόκεινται αἱ περίμετροι —, ὥστε καὶ ἡ ΑΚ μείζων τῆς ΔΛ — ἡμίσεια γὰρ ἑκατέρα ἑκατέρας. κείσθω τῇ ΔΛ ἴση ἡ ΚΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΜΗ. καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ἡ ΑΓ εὐθεῖα τῆς τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΓ γωνία τεσσάρων ὀρθῶν — ἐπειδὴ ἰσόπλευρόν ἐστι τὸ πολύγωνον —, ὁμοίως δὲ καί, ὃ μέρος ἐστὶν ἡ ΔΖ τῆς τοῦ ΔΕΖ περιμέτρου, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΘΖ γωνία τεσσάρων ὀρθῶν, καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ περίμετροι ἀλλήλαις καὶ αἱ δʼ ὀρθαὶ ταῖς δʹ ὀρθαῖς, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΑΒΓ περίμετρον, οὕτως ἡ Η γωνία πρὸς δʹ ὀρθάς. ὡς δὲ ἡ περίμετρος τοῦ ΔΕΖ, τουτέστιν τοῦ ΑΒΓ, πρὸς τὴν ΔΖ, αἱ δʹ ὀρθαὶ πρὸς τὴν ὑπὸ ΔΘΖ γωνίαν· διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΑΗΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΔΘΖ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΚ πρὸς τὴν ΛΔ, τουτέστιν πρὸς ΚΜ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΑΗΚ πρὸς τὴν ὑπὸ ΔΘΛ.ἡ δὲ ΑΚ πρὸς τὴν ΚΜ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ πρὸς τὴν ὑπὸ ΜΗΚ — τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς εἰς τὰ σφαιρικὰ λήμμασιν δέδεικται· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ ἄρα γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΔΘΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΜΗΚ· μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΜΗΚ τῆς ὑπὸ ΔΘΛ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Κ ὀρθὴ ἴση τῇ πρὸς τῷ Λ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΜΚ τῆς ὑπὸ ΘΔΛ ἐλάσσων. ἔστω τῇ ὑπὸ ΘΔΛ ἴση ἡ ὑπὸ ΚΜΝ· καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΔΛ τῇ ΚΜ· καὶ ἡ ΛΘ ἄρα τῇ ΚΝ ἴση ἐστίν· μείζων ἄρα ἡ ΘΛ τῆς ΚΗ. ἴσαι δὲ αἱ περίμετροι· μεῖζον ἄρα τὸ ὑπὸ ΛΘ καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ΔΕΖ περιεχόμενον ὀρθογώνιον τοῦ ὑπὸ τῆς ΚΗ καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ. καὶ ἔστιν τῶν εἰρημένων χωρίων ἡμίση τὰ πολύγωνα· μεῖζον ἄρα τὸ ΔΕΖ πολύγωνον τοῦ ΑΒΓ.
βʹ. Ἔστω πάλιν τὸ πολύγωνον τὸ ΑΒΓ ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἴσην ἔχον τὴν περίμετρον τῇ τοῦ ΔΕΖ κύκλου περιφερείᾳ· λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν ὁ ΔΕΖ κύκλος τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου.
Εἰλήφθω τοῦ μὲν ΔΕΖ κύκλου κέντρον τὸ Θ, τοῦ δὲ περὶ τὸ ΑΒΓ πολύγωνον περιγραφομένου κύκλου κέντρον τὸ Η, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸν κύκλον πολύγωνον ὅμοιοντῷ ΑΒΓ τὸ ΛΜΝΞΟ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΔ, καὶ κάθετος ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν ΑΓ ἤχθω ἡ ΗΚ. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ τοῦ ΛΜΝΞΟ πολυγώνου περίμετρος τῆς τοῦ ΔΕΖ κύκλου περιφερείας, ὡς ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου Ἀρχιμήδει ὑπόκειται, ἡ δὲ τοῦ κύκλου περιφέρεια ἴση ἐστὶν τῇ τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρῳ, καὶ ἡ τοῦ ΛΜΝΞΟ πολυγώνου περίμετρος μείζων τῆς τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου. καὶ ἔστιν ὅμοια τὰ πολύγωνα· μείζων ἄρα ἡ ΛΔ τῆς ΑΚ. καὶ ἔστιν ὁμοῖον τὸ ΑΗΚ τρίγωνον τῷ ΛΘΔ τριγώνῳ — καὶ γὰρ τὰ ὅλα πολύγωνα ὅμοιά ἐστι· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΘΔ τῆς ΗΚ. ἴση δὲ ἡ τοῦ ΔΕΖ κύκλου περιφέρεια τῇ τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρῳ· μεῖζον ἄρα τὸ ὑπὸ τῆς ΔΘ καὶ τῆς τοῦ ΔΕΖ κύκλου περιφερείας τοῦ ὑπὸ τῆς ΗΚ καὶ τῆς τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου. καὶ ἔστι τὸ μὲν ὑπὸ τῆς ΔΘ καὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας διπλάσιον τοῦ ΔΕΖ κύκλου — καὶ τοῦτο γὰρ ὑπὸ Ἀρχιμήδους ἐν τῷ περὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας δέδεικται —, τὸ δὲ ὑπὸ τῆς ΗΚ καὶ τῆς τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου διπλάσιον τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου, καὶ τὰ ἡμίση· μείζων ἄρα ὁ κύκλος τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου.
γʹ. Ὅτι μὲν οὖν τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου διπλάσιόν ἐστι τοῦ κύκλου Ἀρχιμήδης ἀπέδειξεν, οὐδὲν δὲ ἧττον καὶ ἑξῆς δειχθήσεται τοῦτο πρὸς τὸ μὴ δεῖσθαι τοῦ Ἀρχιμηδείου συντάγματος ἕνεκεν μόνου τοῦ θεωρήματος τούτου.
Ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ τοῦ ὑπὸ τῆς περιμέτρου αὐτοῦ καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ἥμισυ ἔστω τὸ Ζ χωρίον· λέγω ὅτι ἴσον ἐστὶν τὸ Ζ χωρίον τῷ ΑΒΓΔ κύκλῳ.
Ἔστω γὰρ πρότερον, εἰ δυνατόν, ἔλασσον. δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἀκολούθως τῇ ἀγωγῇ τῇ ἐν τῷ δωδεκάτῳ τῶν στοιχείων ἐγγράψαι εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον πολύγωνον, ὥστε τὸ ἐγγραφὲν πολύγωνον μεῖζον εἶναι τοῦ Ζ χωρίου, εἰ πρότερον ἐγγραφείη τετράγωνον εἰς τὸν κύκλον καὶ αἱ περιφέρειαι τῶν περιλειπομένων τμημάτων αἰεὶ δίχα τέμνοιντο, μέχρις ἂν λειφθείη τινὰ τμήματα ἐλάσσονα ὄντα τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὑπερέχει ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τοῦ Ζ χωρίου. ἐγγεγράφθω, καὶ ἔστω τὸ ΑΒΓΔΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ Η κέντρου ἤχθω ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ ΑΒΓΔΕ πολυγώνου ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθετος ἡ ΗΘ. ἐπεὶ οὖν ἡ περίμετρος τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου μείζων ἐστὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓΔΕ ὁποσαγώνου, ἡ δʼ ἐκ τοῦ κέντρου μείζων τῆς ΗΘ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓΔΕ πολυγώνου καὶ τῆς ΗΘ. καὶ τὰ ἡμίση· μεῖζον ἄρα τὸ Ζ χωρίον τοῦ ΑΒΓΔΕ πολυγώνου, ὅπερ ἀδύνατον· ὑπόκειται γὰρ ἔλασσον· οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τοῦ Ζ χωρίου.
Λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ἐλάσσων· δυνατὸν ἄρα περιγράψαι περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον πολύγωνον, ὥστε τὸ Ζ χωρίον μεῖζον εἶναι τοῦ περιγεγραμμένου πολυγώνου, εἰ πρότερον τετράγωνον περιγραφείη περὶ τὸν κύκλον καὶ δίχα ἀεὶ τεμνομένων τῶν ἀπολειπομένων περιφερειῶν ἄγοιντο ἐφαπτόμεναι, μέχρις ἂν ἀπολειφθῇ τινα τμήματα τῶν ἐκτὸς σχημάτων, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὑπερέχει τὸ Ζ χωρίον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου· τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν γενέσθαι δέδεικται. περιγεγράφθω οὖν, ὡς εἴρηται, τὸ πολύγωνον καὶ ἔστω τὸ ΚΛΜΝΞ, καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Η κέντρου ἐπὶ μίαν τῶν συναφῶν τὴν Ο ἡ ΗΟ. ἐπεὶ οὖν ἡ περίμετρος τοῦ ΚΛΜΝΞ πολυγώνου μείζων ἐστὶν τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΚΛΜΝΞ πολυγώνου καὶ τῆς ΗΟ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου καὶ τῆς ΗΟ. καὶ τὰ ἡμίση· τὸ ἄρα ΚΛΜΝΞ πολύγωνον μεῖζον τοῦ Ζ χωρίου, ὅπερ ἀδύνατον· ὑπόκειται γὰρ ἔλασσον· οὐκ ἄρα τὸ Ζ χωρίον μεῖζον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου.
Ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ἔλασσον· ἴσον ἄρα. καὶ ἔστι τοῦ Ζ χωρίου διπλάσιον τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου.
δʹ. Οὐ μόνον δὲ τῶν τεταγμένων ἐπιπέδων σχημάτων, ἅ ἐστιν ἰσόπλευρά τε καὶ ἰσογώνια, ὁ κύκλος γίνεται μείζων, ἀλλὰ καὶ τῶν ἀνισοπλεύρων καὶ τῶν ἀνομοιογωνίων, ὅταν τὴν αὐτὴν αὐτοῖς περίμετρον ἔχῃ. δειχθήσεται γὰρ ὅτι καὶ τῶν ἰσοπεριμέτρων σχημάτων πολυγώνων καὶ πλευρὰς ἰσοπληθεῖς ἐχόντων τὸ μέγιστον ἰσόπλευρόν τέ ἐστιν καὶ ἰσογώνιον. πρότερον οὖν τὰ εἰς τὴν ἀπόδειξιν αὐτοῦ λαμβανόμενα θεωρήματα προγράψομεν.
Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μείζονα ἔχον τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ, καὶ εὐθεῖα ἡ Ε, ἥτις ἔστω ἐλάσσων μὲν τῆς ΑΒ, μείζων δὲ τῆς ΒΓ· ὅτι δυνατόν ἐστιν ἐπὶ τῆς ΑΓ δύο εὐθείας συσταθῆναι, ὥστε συναμφοτέρας μὲν ἴσας εἶναι ταῖς ΑΒΓ, μίαν δὲ αὐτῶν ἴσην τῇ Ε.
Ὅσον γὰρ ὑπερέχουσιν αἱ ΑΒ ΒΓ τῆς Ε, ἔστω ἡ Ζ· ἡ Ζ ἄρα τῆς μὲν ΑΒ ἐλάσσων ἐστὶν — ὅτι συναμφότεραι αἱ ΑΒΓ ταῖς Ε.Ζ ἴσαι εἰσίν, ὧν ἡ Ε τῆς ΓΒ μείζων —, τῆς δὲ ΓΒ μείζων — ἐπεὶ συναμφότεραι πάλιν αἱ ΑΒΓ ταῖς Ε Ζ ἴσαι, ὧν ἡ Ε τῆς ΑΒ ἐλάσσων. ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΒΓ τῆς ΑΓ μείζονές εἰσιν, καὶ αἱ Ε Ζ ἄρα τῆς ΑΓ μείζονές εἰσιν. ἐπεὶ δὲ καὶ αἱ ΑΓΒ τῆς ΑΒ μείζονές εἰσιν, καὶ ἔστι τῆς μὲν ΓΒ μείζων ἡ Ε, τῆς δὲ ΑΒ ἐλάσσων ἡ Ζ, πολλῷ ἄρα αἱ ΑΓ Ε τῆς Ζ μείζονές εἰσιν. ὁμοίως ἐπεὶ αἱ ΑΓΒ τῆς ΑΒ μείζονες, ἀλλὰ τῆς μὲν ΓΒ μείζων ἡ Ζ, τῆς δὲ ΑΒ ἐλάσσων ἡ Ε, πολλῷ ἄρα αἱ ΑΓ Ζ τῆς Ε μείζονές εἰσιν· δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἐκ τῶν ΑΓ Ε Ζ τρίγωνον συστήσασθαι. συνεστάτω τὸ ΑΓΔ …
εʹ. Τῶν ἰσοπεριμέτρων τριγώνων καὶ τὴν αὐτὴν βάσιν ἐχόντων τὸ ἰσοσκελὲς μέγιστόν ἐστιν, καὶ ἀεὶ τὸ ἰσοσκελέστερον μεῖζον.
Ἐπὶ γὰρ τῆς ΒΓ βάσεως ἰσοπερίμετρα ἔστω τρίγωνα, ἰσοσκελὲς μὲν τὸ ΑΒΓ, ἰσοσκελέστερον δὲ τὸ ΒΔΓ τοῦ ΒΕΓ — δυνατὸν γὰρ κατασκευάσαι διὰ τὸ προδειχθὲν ἔναγχος· λέγω ὅτι μέγιστον μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ, μεῖζον δὲ τὸ ΒΔΓ τοῦ ΒΕΓ.
Ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΑ, καὶ κείσθω τῇ ΓΑ ἴση ἡ ΑΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΔ ΔΑ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΖΔΒ τῆς ΒΖ μείζονές εἰσιν, καὶ τῶν ΒΑΓ ἄρα μείζονές εἰσιν — ἴση γὰρ ἡ ΑΓ τῇ ΑΖ. ἀλλʼ αἱ ΒΑΓ ταῖς ΒΔΓ ἴσαι εἰσίν· καὶ αἱ ΒΔΖ ἄρα τῶν ΒΔΓ μείζονές εἰσιν. κοινῆς ἀφαιρεθείσης τῆς ΒΔ λοιπὴ ἡ ΖΔ τῆς ΔΓ μείζων ἐστίν. δύο δὴ αἱ ΖΑΔ δύο ταῖς ΓΑΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ βάσις ἡ ΖΔ βάσεως τῆς ΔΓ μείζων· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΑΔ γωνίας τῆς ὑπὸ ΔΑΓ μείζων ἐστίν· ἡ ἄρα ὑπὸ ΖΑΓ τῆς ὑπὸ ΔΑΓ μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ. διπλῆ δέ ἐστιν τῆς ὑπὸ ΑΒΓ, τουτέστιν τῆς ὑπὸ ΑΓΒ — ἰσοσκελὲς γὰρ τὸ τρίγωνον· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ ἄρα μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΔΑΓ. κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ὑπὸ ΓΑΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΒΓ διὰ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας. ἐκβληθείσης οὖν τῆς ΓΔ ἐπὶ τὸ Η καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΒΗ φανερὸν ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τοῦ ΒΔΓ μεῖζόν ἐστιν· ἴσον γὰρ τὸ ΒΑΓ τῷ ΒΗΓ. πάλιν ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΔ ἐπὶ τὸ Κ, καὶ κείσθω τῇ ΔΓ ἴση ἡ ΔΚ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΕ ΔΕ. ἐπεὶ αἱ ΒΕΚ τῆς ΒΚ, τουτέστιν τῶν ΒΔΓ, τουτέστιν τῶν ΒΕΓ μείζονές εἰσιν, κοινῆς ἀφαιρεθείσης τῆς ΒΕ λοιπὴ ἡ ΕΚ τῆς ΕΓ μείζων ἐστίν. δύο δὴ αἱ ΚΔΕ δυσὶ ταῖς ΓΔΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ βάσις ἡ ΚΕ βάσεως τῆς ΕΓ μείζων· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΔΕ γωνίας τῆς ὑπὸ ΓΔΕ μείζων ἐστίν· μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΔΓ ἢ διπλῆ τῆς ὑπὸ ΓΔΕ. τῆς δὲ ὑπὸ ΔΓΒ ἐλάσσων ἢ διπλῆ ἡ αὐτὴ ἡ ὑπὸ ΚΔΓ — μείζων γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΔΓΒ τῆς ὑπὸ ΔΒΓ· ἴσαι γὰρ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ ΑΓΒ· μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΓΒ τῆς ὑπὸ ΓΔΕ. συνεστάτω πρὸς τῇ ΔΓ καὶ τῷ Δ τῇ ὑπὸ ΔΓΒ ἴση ἡ ὑπὸ ΓΔΛ· φανερὸν γὰρ ὅτι μεταξὺ τῶν ΔΕ ΔΚ ἡ ΔΛ ἔσται παράλληλος οὖσα τῇ ΒΓ διὰ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας· ἐκβληθείσης ἄρα τῆς ΓΕ ἄχρι τῆς ΔΛ παραλλήλου καὶ συμπιπτούσης κατὰ τὸ Λ καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΒΛ ἔσται τὸ ΒΓΔ τρίγωνον ἴσον τῷ ΒΛΓ. ὥστε μεῖζον εἶναι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τοῦ ΒΕΓ ἐλάσσονος ὄντος τοῦ ΒΔΓ.
ϛʹ. Πάλιν ἔστω δύο τρίγωνα ὀρθογώνια ὅμοια τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς Γ Ζ γωνίας· λέγω ὅτι τὸ ἀπὸ ΑΓ ΔΖ ὡς μιᾶς ἴσον ἐστὶ τῷ τε ἀπὸ ΒΓ ΕΖ ὡς μιᾶς καὶ τῷ ἀπὸ ΑΒ ΔΕ ὡς μιᾶς.
Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΕΖ ἐπὶ τὸ Η, καὶ κείσθω τῇ ΒΓ ἴση ἡ ΕΗ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Η παράλληλος τῇ ΔΕ ἀχθεῖσα συμπιπτέτω τῇ ΔΖ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Κ, διὰ δὲ τοῦ Δ παράλληλος τῇ ΖΗ ἡ ΔΘ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΘ τῇ ΗΕ ἐν παραλληλογράμμῳ, τουτέστιν τῇ ΒΓ, καὶ ἡ ὑπὸ ΚΔΘ γωνία τῇ Ζ ἴση, τουτέστιν τῇ Γ, καὶ ὀρθὴ ἡ Θ τῇ Β, καὶ λοιπὴ ἡ Κ τῇ Α, ἰσογώνια ἄρα τὰ ΚΘΔ ΑΒΓ τρίγωνα καὶ ἴσα· τὸ ἄρα ἀπὸ ΚΖ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ ΚΗΖ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΑΓ ΔΖ ὡς μιᾶς τῷ τε ἀπὸ ΑΒ ΔΕ ὡς μιᾶς καὶ τῷ ἀπὸ ΒΓ ΕΖ ὡς μιᾶς.
ζʹ. Τὰ ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα συναμφότερα τῶν ἐπὶ ταῖς αὐταῖς βάσεσι συναμφοτέρων ἰσοσκελῶν τριγώνων ἀνομοίων μὲν ἀλλήλοις καὶ τοῖς ὁμοίοις, ἰσοπεριμέτρων δὲ αὐτοῖς, μείζονά ἐστιν.
Ἔστω ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα τὰ ΔΖΒ ΒΑΓ, καὶ ἐπὶ τῶν αὐτῶν βάσεων ἄλλα ἰσοσκελῆ τρίγωνα τὰ ΔΕΒ ΒΛΓ ἰσοπερίμετρα μὲν τοῖς ΔΖΒ ΒΑΓ, ἀνόμοια δὲ ἐξ ἀνάγκης· τοῦτο δὲ ὡς δυνατὸν κατασκευάσαι δειχθήσεται· λέγω ὅτι τὰ ΔΒΖ ΒΑΓ συναμφότερα τῶν ΔΕΒ ΒΛΓ συναμφοτέρων μείζονά ἐστιν.
Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ ΑΛ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰς βάσεις· τεμοῦσι δὴ αὐτὰς δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθάς· ἴσαι γάρ εἰσιν αἱ ΔΕΖ ταῖς ΒΕΖ, καὶ βάσεις ἴσαι αἱ ΔΖ ΖΒ διὰ τὸ ἰσοσκελῆ εἶναι τὰ τρίγωνα, καὶ γωνίαι ἴσαι, ὥστε καὶ τὰς ἐκτὸς γωνίας Ζ Ζ ἴσας εἶναι, ἴσαι δέ εἰσιν καὶ αἱ Δ Β, καὶ αἱ λοιπαὶ αἱ Η Η ἴσαι· ὀρθαὶ ἄρα εἰσίν· καὶ ἴσαι αἱ ΔΗ ΗΒ. ὁμοίως δὲ καὶ αἱ ΒΜ ΜΓ ἴσαι εἰσίν, καὶ ὀρθαὶ αἱ Μ Μ. τεμνέτωσαν οὖν κατὰ τὰ Η Μ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΗ, καὶ κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΒ· ἔσται δὴ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΒΗ τῇ ὑπὸ ΘΒΗ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΕΒΗ μείζων τῆς ὑπὸ ΑΒΓ — ὅτι καὶ τῆς ὑπὸ ΖΒΗ ἴσης· ὅμοια γὰρ τὰ ΔΒΖ ΒΑΓ τρίγωνα· καὶ ἡ ὑπὸ ΘΒΗ ἄρα μείζων τῆς ὑπὸ ΑΒΓ· ἡ ἄρα τὰ Θ Λ σημεῖα ἐπιζευγνύουσα τέμνει τὴν ΒΜ, ὑποκειμένης τῆς ΔΒΓ εὐθείας καὶ τῆς ΘΒΝ ἐκβεβλημένης ἔξωθεν τῆς ΑΒ, ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τῆς ὑπὸ ΘΒΗ, τουτέστιν τῆς κατὰ κορυφὴν τῆς ὑπὸ ΝΒΓ, καὶ πολλῷ ἡ ὑπὸ ΛΒΓ ἐλάσσων, ὥστε τὴν ΒΜ τέμνεσθαι ὑπὸ τῆς ΘΛ κατὰ τὸ Κ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΔΕΒ ΒΑΓ ταῖς ΔΖΒ ΒΑΓ ἴσαι εἰσίν — ὑπόκεινται γὰρ ἰσοπερίμετροι —, καὶ αἱ ἡμίσειαι αἱ ΕΒΛ, τουτέστιν αἱ ΘΒΛ, ταῖς ΖΒΑ ἴσαι εἰσίν, αἱ δὲ ΘΒΛ τῆς ΘΛ μείζονέςεἰσιν, καὶ αἱ ΖΒΑ ἄρα τῆς ΘΛ μείζονές εἰσιν. καὶ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου ἄρα τῆς ΖΒΑ ὡς μιᾶς μεῖζόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΘΛ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΖΒΑ ὡς μιᾶς ἴσα εἰσὶν τὰ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΖΗ ΑΜ μετὰ τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΒΜ ὡς μιᾶς, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΗΜ, διὰ τὴν τῶν ΗΖΒ ΒΑΜ τριγώνων ὀρθογωνίων ὁμοιότητα — τοῦτο γὰρ προεδείχθη —, τῷ δὲ ἀπὸ ΘΛ, τουτέστιν τῷ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΘΚ ΚΛ ὡς μιᾶς, ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΛΜ ΗΘ ὡς μιᾶς, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΛΜ ΗΕ ὡς μιᾶς, μετὰ τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΚ ΚΜ ὡς μιᾶς, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΗΜ, διὰ τὸ αὐτὸ προδειχθέν· τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΜ ΖΗ ὡς μιᾶς μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΜ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΕΗ ΛΜ ὡς μιᾶς μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΜ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΗΜ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΖΗ ΑΜ ὡς μιᾶς μεῖζόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΕ ΛΜ ὡς μιᾶς· καὶ μήκει ἄρα μείζων ἡ ΖΗ ΑΜ ὡς μία τῆς ΕΗ ΛΜ ὡς μιᾶς. τὰ δʼ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα τρίγωνα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις· ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ἡ ΗΕ πρὸς ΗΖ, τά τε ἡμίση τῶν τριγώνων τὸ ΕΗΒ πρὸς ΖΗΒ καὶ τὰ ὅλα τρίγωνα τὸ ΔΕΒ πρὸς ΔΖΒ, ὡς δὲ ἡ ΛΜ πρὸς ΜΑ, τὸ ΜΛΓ πρὸς τὸ ΜΑΓ, καὶ τὸ διπλάσιον ΒΛΓ πρὸς τὸ ΒΑΓ· καὶ συνθέντι ἄρα πρὸς συγκείμενον τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ὡς ἡ ΕΗ ΛΜ πρὸς τὴν ΖΗ ΑΜ, τὰ ΔΕΒ ΒΛΓ τρίγωνα πρὸς τὰ ΔΖΒ ΑΒΓ τρίγωνα· καὶ τοῦτο γὰρ ἑξῆς. ἐλάσσων δὲ συναμφότερος ἡ ΕΗ ΛΜ τῆς ΖΗ ΑΜ συναμφοτέρου· ἐλάσσονα ἄρα καὶ τὰ συναμφότερα ΔΕΒ ΒΛΓ τρίγωνα τῶν ΔΖΒ ΒΑΓ συναμφοτέρων τριγώνων.
ηʹ. Ἔστω ἐπὶ ἀνίσων βάσεων τῶν ΑΒ ΓΔ ἰσοσκελῆ τρίγωνα τὰ ΑΕΒ ΓΔΖ, καὶ ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΓΖ ἴση ἔστω, ἡ δὲ ΑΒ τῆς ΔΓ μείζων — ἀνόμοια ἄρα τὰ τρίγωνα· δεῖ δὴ ἐπὶ τῶν ΑΒ ΓΔ ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα συστήσασθαι, ὥστε τὰς δʹ πλευρὰς αὐτῶν ἅμα ἴσας εἶναι ταῖς ΑΕΒ ΓΖΔ ἅμα.
Ἐκκείσθω γὰρ ἡ ΗΘ εὐθεῖα ἴση οὖσα ταῖς ΑΕΒ ΓΖΔ, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Κ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΗΚ πρὸς ΚΘ, οὕτως τὴν ΑΒ βάσιν πρὸς τὴν ΓΔ, τετμήσθω δὲ καὶ ἑκατέρα τῶν ΗΚ ΚΘ δίχα κατὰ τὰ Λ Μ σημεῖα. ἐπεὶ οὖν ἡ ΗΘ συναμφοτέρων τῶν ΑΒ ΓΔ μείζων ἐστίν — ὅτι καὶ αἱ ΑΕΒ ΓΖΔ —, καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΓΔ, ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ, μείζων ἄρα καὶ ἡ μὲν ΗΚ τῆς ΑΒ, ἡ δὲ ΚΘ τῆς ΓΔ. καὶ τέτμηται ἑκατέρα δίχα· τῶν ἄρα ΑΒ ΗΛ ΛΚ αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν πάντη μεταλαμβανόμεναι. ὁμοίως καὶ τῶν ΓΔ ΚΜ ΜΘ. συνεστάτω οὖν ἐκ μὲν τῶν ΑΒ ΗΛ ΛΚ τὸ ΑΞΒ τρίγωνον — φανερὸν γὰρ ὅτι ἔξω πίπτουσιν τῶν· ΑΕΒ διὰ τὸ μείζους εἶναι τὰς ΗΛΚ τῶν ΑΕΒ· ἡ μὲν γὰρ ΑΕΒ ἡμίσεια τῆς ΗΘ, ἴσαι γὰρ αἱ ΑΕΒ ταῖς ΓΖΔ, καὶ αἱ δʹ ἅμα εὐθεῖαι τῇ ΗΘ, ἡ δὲ ΗΚ μείζων ἢ ἡμίσεια τῆς ΗΘ —, ἐκ δὲ τῶν ΓΔ ΚΜΘ τὸ ΓΝΔ — ὁμοίως γὰρ ἔνδον συνίστανται. καὶ φανερὸν ὅτι ὁμοῖα ἔσται τὰ τρίγωνα, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΓΔ, οὕτως ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ, καὶ αἱ ἡμίσειαι ἥ τε ΗΛ πρὸς ΚΜ καὶ ἡ ΛΚ πρὸς ΜΘ, καὶ αἱ ἴσαι συνιστάμεναι ἡ ΑΞ πρὸς ΓΝ καὶ ἡ ΒΞ πρὸς ΔΝ.
Τὸ λοιπὸν τῶν ἐν ὑπερθέσει …
θʹ. Τούτων προγραφέντων τὸ προκείμενον δείξομεν, τουτέστιν ὅτι τῶν ἰσοπεριμέτρων εὐθυγράμμων σχημάτων καὶ τὰς πλευρὰς ἰσοπληθεῖς ἐχόντων τὸ μέγιστον ἰσόπλευρόν τέ ἐστιν καὶ ἰσογώνιον. Ἔστω γὰρ πολύπλευρον τὸ ΑΒΓΔΕ μέγιστον τῶν ἰσοπεριμέτρων αὐτῷ καὶ ἰσοπληθεῖς πλευρὰς ἐχόντων· λέγω ὅτι ἰσόπλευρόν ἐστιν. μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ἔστωσαν αἱ ΑΒΓ ἄνισοι, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ, ἐφʼ ἧς συνεστάτω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΖΓ, ὥστε συναμφοτέρας τὰς ΑΖΓ ἴσας εἶναι συναμφοτέραις ταῖς ΑΒΓ διὰ τὸ δʹ. ἐπεὶ οὖν πρὸ τριῶν ἐδείχθη ὅτι τῶν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ἰσοπεριμέτρων τριγώνων τὸ ἰσοσκελὲς μέγιστόν ἐστιν, μεῖζον ἄρα τὸ ΑΖΓ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ΑΓΔΕ τετραπλεύρου ἔσται τι χωρίον τὸ ΖΓΔΕΑ τοῦ ΑΒΓΔΕ μεγίστου, ἰσοπερίμετρον αὐτῷ καὶ ἰσαρίθμους πλευρὰς ἔχον, μεῖζον, ὅπερ ἀδύνατον· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΓΔΕ. καὶ φανερὸν ὅτι τὸ ἰσοπλευρότερον ἀεὶ μεῖζον· καὶ γὰρ τὸ ἰσοσκελέστερον ἀεὶ μεῖζον, ὡς ἐδείχθη πρὸ τριῶν.
ιʹ. Λέγω δὴ ὅτι καὶ ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔΕ πολύπλευρον. μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ἔστω ἡ Β γωνία τῆς Δ μείζων. καὶ ἡ ΑΓ εὐθεῖα τῆς ΓΕ ἄρα μείζων — ἴσαι γὰρ αἱ ΑΒΓ ΓΔΕ. συνεστάτω ἐπὶ τῶν ΑΓ ΓΕ ἀνίσων ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα, ὡς πρὸ ἑνὸς ἐδείχθη, τὰ ΑΖΓ ΓΗΕ τὰς ΑΖΓ ΓΗΕ πλευρὰς συναμφοτέρας ἴσας ἔχοντα συναμφοτέραις ταῖς ΑΒΓ ΓΔΕ. μείζονα δὴ ἔσται τὰ συσταθέντα τὰ ΑΖΓ ΓΗΕ ἅμα τῶν ἐξ ἀρχῆς ΑΒΓ ΓΔΕ· καὶ τοῦτο γὰρ δέδεικται πρὸ δύο. κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ΑΓΕ τριγώνου ἔσται τὸ αὐτὸ ἄτοπον· τὸ γὰρ ΑΖΓΗΕ μεῖζον ἔσται τοῦ ΑΒΓΔΕ μεγίστου καὶ ἰσοπεριμέτρου αὐτῷ. καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓΔΕ πολύπλευρον· τῶν ἄρα ἰσοπεριμέτρων εὐθυγράμμων σχημάτων καὶ τὰς πλευρὰς ἰσοπληθεῖς ἐχόντων τὸ μέγιστον ἰσόπλευρόν τέ ἐστιν καὶ ἰσογώνιον.
Καὶ δῆλον ὅτι μέγιστος πάντων τῶν ἰσοπεριμέτρων σχημάτων ὁ κύκλος, ἐπειδὴ τοῦ ἰσοπεριμέτρου τεταγμένου σχήματος, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, ἐδείχθη μείζων.
ιαʹ. Τῆς αὐτῆς δέ ἐστιν τοῖς προειρημένοις θεωρίας καὶ τοῦτο. τῶν ἴσην ἐχόντων περιφέρειαν κυκλικῶν τμημάτων μέγιστόν ἐστι τὸ ἡμικύκλιον. δείξομεν δὲ τοῦτο προγράψαντες πρότερον τὰ εἰς αὐτὸ λαμβανόμενα.
Αἱ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ διάμετροι.
Ἔστωσαν δύο κύκλοι οἱ ΑΒ ΓΔ, καὶ διάμετροι αὐτῶν αἱ ΑΒ ΓΔ· λέγω· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ τοῦ ΑΒ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν τοῦ ΓΔ κύκλου περιφέρειαν, οὕτως ἡ ΑΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΓΔ.
Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΑΒ κύκλος πρὸς τὸν ΓΔ κύκλον, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ, ἀλλὰ τοῦ μὲν ΑΒ κύκλου τετραπλάσιόν ἐστι τὸ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ὑπό τε τῆς ΑΒ εὐθείας καὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, τοῦ δὲ ΓΔ κύκλου τετραπλάσιόν ἐστιν τὸ ὑπὸ τῆς ΓΔ εὐθείας καὶ τῆς τοῦ ΓΔ κύκλου περιφερείας — τοῦτο γὰρ προδέδεικται —, καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῆς ΑΒ καὶ τῆς περιφερείας τοῦ ΑΒ κύκλου πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ΓΔ καὶ τῆς τοῦ ΓΔ κύκλου περιφερείας, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ. καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ὑπὸ τῆς τοῦ ΑΒ κύκλου περιφερείας καὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῆς τοῦ ΓΔ κύκλου περιφερείας καὶ τῆς ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ· ὡς ἄρα ἡ τοῦ ΑΒ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν ΑΒ, οὕτως ἡ τοῦ ΓΔ περιφέρεια πρὸς τὴν ΓΔ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ τοῦ ΑΒ περιφέρεια πρὸς τὴν τοῦ ΓΔ περιφέρειαν, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ.
ιβʹ. Τοῦτο ἀποδείκνυται καὶ χωρὶς τοῦ λαβεῖν ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου καὶ τῆς περιφερείας τετραπλάσιόν ἐστιν τοῦ κύκλου. τὰ γὰρ ἐγγραφόμενα τοῖς κύκλοις ἢ περιγραφόμενα ὅμοια πολύγωνα τὰς περιμέτρους ἔχει λόγον ἐχούσας πρὸς ἀλλήλας τὸν αὐτὸν ταῖς ἐκ τῶν κέντρων, ὥστε καὶ αἱ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ διάμετροι.
Πάλιν ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Δ, ἐκ τοῦ κέντρου δὲ αὐτοῦ ἡ ΔΒ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ διήχθω τις ἡ ΔΕ· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ περίμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν ΒΖΕ περιφέρειαν, οὕτως ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα.
Εἰ μὲν οὖν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΖΕ περιφέρεια τῇ ΑΒΓ περιμέτρῳ τοῦ κύκλου, ἐπεὶ διαιρεθείσης τῆς ΑΒΓ περιμέτρου τοῦ κύκλου εἰς τὰ μέτρα καὶ ἀπὸ τῶν τῆς διαιρέσεως σημείων ἐπὶ τὸ Δ κέντρον ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν ἐφαρμόσουσιν ἀλλήλοις πάντες οἱ τομεῖς, καὶ ἔστιν ἴσον τὸ πλῆθος αὐτῶν τῷ πλήθει τῶν μέτρων, ἔσται ἄρα ὡς ὅλη ἡ ΑΒΓ περίμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν ΒΖΕ περιφέρειαν, οὕτως ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα. εἰ δὲ μὴ ἔστιν σύμμετρος τῇ ΒΖΕ περιφερείᾳ, ὁμοίως ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος πρὸς τὴν ΒΖΕ περιφέρειαν. ἔστω, εἰ δυνατόν, ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος αὐτοῦ πρὸς τὴν ΒΖ περιφέρειαν πρότερον ἐλάσσονα οὖσαν τῆς ΒΖΕ περιφερείας, καὶ εἰλήφθω τις ἑτέρα περιφέρεια ἡ ΒΗ τῆς μὲν ΒΖ μείζων τῆς δὲ ΒΖΕ ἐλάσσων, σύμμετρος δὲ οὖσα τῇ ΑΒΓ περιμέτρῳ, ὡς ἔστιν λῆμμα σφαιρικῶν, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΗ. ἔστιν οὖν διὰ τὰ προειρημένα καὶ ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΗ τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν ΒΖΗ περιφέρειαν. ἀλλὰ ἡ ΑΒΓ περίμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν ΒΖΗ περιφέρειαν ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΒΖ περιφέρειαν, τουτέστιν ἤπερ ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα· καὶ ὁ ΑΒΓ οὖν κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΗ τομέα ἐλάσσονα λόγον ἕξει ἤπερ πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα, ὅπερ ἄτοπον· οὐκ ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος αὐτοῦ πρὸς τὴν ΒΖ περιφέρειαν ἐλάσσονα οὖσαν τῆς ΒΖΕ περιφερείας. λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ πρὸς μείζονα τῆς ΒΖΕ. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸς τὴν ΒΕΓ περιφέρειαν, καὶ εἰλήφθω τις ὁμοίως ἡ ΒΕΘ περιφέρεια τῆς μὲν ΒΖΕ περιφερείας μείζων τῆς δὲ ΒΕΓ περιφερείας ἐλάσσων, σύμμετρος δὲ πρὸς τὴν ΑΒΓ περίμετρον τοῦ κύκλου, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΘ. ἐπεὶ οὖν πάλιν ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΘ τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν ΒΕΘ περιφέρειαν, ἡ δὲ ΑΒΓ περίμετρος πρὸς τὴν ΒΕΘ περιφέρειαν μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΒΕΓ περιφέρειαν, τουτέστιν ἤπερ ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα, ἕξει δηλονότι καὶ ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΘ τομέα μείζονα λόγον ἤπερ πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα, ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον· οὐκ ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος αὐτοῦ πρὸς μείζονα τῆς ΒΖΕ περιφέρειαν. ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ πρὸς ἐλάσσονα· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος αὐτοῦ πρὸς τὴν ΒΖΕ περιφέρειαν.
ιγʹ. Τὰ ὅμοια τμήματα τῶν κύκλων πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν βάσεων τετράγωνα πρὸς ἄλληλα, καὶ αἱ περιφέρειαι δὲ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις.
Ἔστω ὅμοια τμήματα κύκλων τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ· λέγω ὅτι ὡς μὲν τὸ ΑΒΓ τμῆμα πρὸς τὸ ΔΕΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ, ὡς δὲ ἡ ΑΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΕΖ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΔΖ.
Προσαναπεπληρώσθωσαν οἱ κύκλοι, καὶ εἰλήφθω αὐτῶν κέντρα τὰ Η Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗΓ ΔΘΖ. ἐπεὶ οὖν ὅμοιά ἐστιν τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ τμήματα, ἴση ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Η γωνία τῇ πρὸς τῷ Θ, καὶ ὅμοιον τὸ ΑΗΓ τρίγωνον τῷ ΔΘΖ, καὶ ἡ ΑΒΓ περιφέρεια ὁμοία τῇ ΔΕΖ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΑΗΓΒ τομέα, οὕτως ἡ περίμετρος τοῦ ΑΒΓ κύκλου πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν, τουτέστιν δʹ ὀρθαὶ πρὸς τὴν Η γωνίαν. ὡς δὲ ὁ ΔΕΖ κύκλος πρὸς τὸν ΔΘΖΕ τομέα, οὕτως ἡ περίμετρος τοῦ ΔΕΖ κύκλου πρὸς τὴν ΔΕΖ περιφέρειαν, τουτέστιν δʹ ὀρθαὶ πρὸς τὴν Θ γωνίαν. καὶ ἴση ἐστὶν ἡ Θ γωνία τῇ Η γωνίᾳ· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΑΗΓΒ τομέα, οὕτως ὁ ΔΕΖ κύκλος πρὸς τὸν ΔΘΖΕ τομέα, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΔΕΖ, οὕτως ὁ ΑΗΓΒ τομεὺς πρὸς τὸν ΔΘΖΕ τομέα. ὡς δὲ ὁ κύκλος πρὸς τὸν κύκλον, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΘ, τουτέστιν τὸ ΑΗΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΘΖ τρίγωνον· καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓΒ τομεὺς πρὸς τὸν ΔΘΖΕ τομέα, οὕτως τὸ ΑΗΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΘΖ τρίγωνον. καὶ λοιπὸν τὸ ΑΒΓ τμῆμα πρὸς τὸ ΔΕΖ τμῆμά ἐστιν ὡς τὸ ΑΗΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΘΖ τρίγωνον, τουτέστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ.
Λέγω δὴ ὅτι ἐστὶν καὶ ὡς ἡ ΑΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΕΖ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΖ.
Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ἐστὶν ὡς ἡ τοῦ ΑΒΓ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν τοῦ ΔΕΖ κύκλου περιφέρειαν, οὕτως ἡ ΑΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΕΖ. ὡς δὲ αἱ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΔΘ, τουτέστιν ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΖ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΕΖ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΖ.
ιδʹ. Ἔστωσαν δύο κύκλοι καὶ πρὸς τοῖς κέντροις αὐτῶνἴσαι γωνίαι ἔστωσαν αἱ ὑπὸ ΑΒΓ ΔΕΖ περιεχόμεναι, καὶ ἐφαπτόμεναι μὲν αἱ ΑΗ ΔΘ, κάθετοι δὲ αἱ ΑΚ ΔΛ· δεῖξαι ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ΑΗΚ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΚ τρίγραμμον, οὕτως καὶ τὸ ΔΘΛ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΖΛ τρίγραμμον.
Ἔστι δὲ φανερὸν ἐκ τοῦ προγεγραμμένου. ὅμοιον γὰρ γίνεται τὸ ΑΗΚ τρίγωνον τῷ ΔΘΛ, καὶ τὸ ΑΓΚ τρίγραμμον τῷ ΔΖΛ τριγράμμῳ, καὶ λόγον ἔχει πρὸς ἄλληλα ἑκάτερον πρὸς ἑκάτερον, ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΛ.
ιεʹ. Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Γ διὰ τοῦ Α περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΑΔ, ὀρθὴ δὲ ἔστω ἡ πρὸς τῷ Β γωνία· δεῖξαι ὅτι ὁ ΑΔΓ τομεὺς πρὸς τὸ ΔΑΒ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὀρθὴ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ τῶν ΒΓΑ περιεχομένην.
Ἤχθω τῇ ΓΑ ὀρθὴ ἡ ΖΑ — ἐφάπτεται ἄρα τῆς ΑΔ περιφερείας —, καὶ διὰ τοῦ Β περὶ κέντρον τὸ Α περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΕΒΗ, καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΖ ἤχθω ἡ ΒΘ. ἐπεὶ οὖν μείζονα λόγον ἔχει τὸ ΕΒΖ τρίγραμμον πρὸς τὸ ΕΒΘ τρίγραμμον ἤπερ πρὸς τὸν ΕΑΒ τομέα, καὶ συνθέντι μείζονα λόγον ἔχει τὸ ΖΘΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΘΒ τρίγραμμον ἤπερ τὸ ΖΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸν ΕΑΒ τομέα, ὡς δὲ τὸ ΖΘΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΒΘ τρίγραμμον, οὕτως τὸ ΖΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΒ τρίγραμμον διὰ τὸ ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ ΕΑΒ ΑΓΔ γωνίας — τοῦτο γὰρ προδέδεικται —, καὶ τὸ ΖΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΑΒ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ αὐτὸ τρίγωνον πρὸς τὸν ΕΑΒ τομέα, μείζων ἄρα ὁ ΕΑΒ τομεὺς τοῦ ΔΑΒ τριγράμμου· μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ὁ ΕΑΒ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα ἤπερ τὸ ΔΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα. τὸ δὲ ΔΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα μείζονα λόγον ἔχει ἢ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον· πολλῷ ἄρα ὁ ΕΑΒ τομεὺς πρὸς τὸν ΒΑΗ τομέα μείζονα λόγον ἔχει ἢ τὸ ΔΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον. ὡς δὲ ὁ ΕΑΒ τομεὺς πρὸς τὸν ΒΑΗ τομέα, οὕτως ἡ ὑπὸ ΖΑΒ πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΓ· καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ ἄρα πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΓ μείζονα λόγον ἔχει ἢ τὸ ΔΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον. καὶ ἀνάπαλιν τὸ ΒΑΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΖ, καὶ συνθέντι ὁ ΔΓΑ τομεὺς πρὸς τὸ ΔΑΒ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΖΑΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΖΑΒ, τουτέστιν ἤπερ ἡ ὀρθὴ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΓΒ — ἴση γὰρ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ διὰ τὸ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΖΑΓ κάθετον εἶναι τὴν ΑΒ, καὶ ὅμοιον τὸ ΖΑΒ τρίγωνον τῷ ΑΓΖ.
ιϛʹ. Ἔστω πάλιν ὀρθογώνιον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β, καὶ περὶ κέντρον τὸ Γ διὰ τοῦ Α γεγράφθω κύκλου περιφέρεια ἡ ΑΔ· λέγω ὅτι ὁ ΑΓΔ τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒΔ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὀρθὴ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΓΔ.
Ἤχθω τῇ ΑΓ ὀρθὴ ἡ ΑΕ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΑ, καὶ διὰ τοῦ Γ σημείου περὶ κέντρον τὸ Α γεγράφθω κύκλου περιφέρεια ἡ ΕΓΖ. ἐπεὶ οὖν περὶ τὴν αὐτὴν ἐκ τοῦ κέντρου τὴν ΓΑ γεγραμμέναι εἰσὶν αἱ περιφέρειαι, φανερὸν ὅτι ἴσων εἰσὶ κύκλων. καὶ μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΔ γωνία τῆς ὑπὸ ΓΑΕ· μείζων ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΓΔ τομεὺς τοῦ ΑΓΕ τομέως· μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ὁ ΑΓΔ τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἤπερ ὁ ΑΓΕ τομεὺς πρὸς τὸ αὐτὸ τρίγωνον, καὶ πολὺ μᾶλλον ἤπερ ὁ ΑΓΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΓΖ τομέα. ὡς δὲ ὁ ΑΓΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΓΑΖ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΓΑΖ· καὶ ὁ ΑΓΔ ἄρα τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΓΑΖ. καὶ ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι μείζονα λόγον ἔχει ὁ ΑΓΔ τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒΔ τρίγραμμον ἤπερ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΑΖ, τουτέστιν ἤπερ ὀρθὴ πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΓΔ — ἔστιν γὰρ ἡ ὑπὸ ΕΑΖ γωνία ἴση τῇ ὑπὸ ΑΓΔ, ὅτι καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓΔ ἴση ἐστὶν ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΓΒΑ καὶ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ.
ιζʹ. Τούτων προγεγραμμένων τὸ προκείμενον θεώρημα συγκριτικὸν ὑπάρχον δείξομεν οὕτως.
Ἔστω δύο τμήματα κύκλων τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς ΑΒΓ ΔΕΖ περιφερείας, καὶ ἔστω ἡμικύκλιον μὲν τὸ ΑΒΓ, τὸ δὲ ΕΔΖ πρότερον ἔλαττον ἡμικυκλίου· λέγω ὅτι μεῖζόν ἐστιν τὸ ἡμικύκλιον τοῦ τμήματος.
Εἰλήφθω κέντρα τῶν κύκλων τὰ Η Θ, καὶ ὀρθὴ μὲν ἡ ΗΒ, ἀπὸ δὲ τοῦ Θ κάθετος ἐπὶ τὴν ΔΖ ἡ ΘΚΕ, καὶ τῇ ΔΖ παράλληλος ἡ ΛΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΘ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΛΕ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΛΘ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΑΗ — αἱ γὰρ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ διάμετροι —, ἴση δὲ ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΔΕ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΛΕ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΛΘ πρὸς τὴν ΑΗ. ὡς δὲ ἡ ΕΛ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΕ, ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΕΘΔ τομέα. καὶ ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΛΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ διπλασίονα λόγον τοῦ τῆς ΘΛ πρὸς ΗΑ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΘΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ, τουτέστιν ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΗΒ, διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΛΕΘ τομεὺς πρὸς τὸν ΔΕΘ τομέα· τῶν ἄρα ΛΕΘ ΑΒΗ τομέων μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ὁ ΔΕΘ τομεύς. καὶ ἐπεὶ ἔχει διὰ τὸ προδειχθὲν λῆμμα μείζονα λόγον ὁ ΕΔΘ τομεὺς πρὸς τὸ ΕΔΚ τρίγραμμον ἤπερ ὀρθὴ γωνία, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΛΘΕ, πρὸς τὴν ὑπὸ ΔΘΕ, τουτέστιν ἤπερ ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΔΘΕ, ὡς δὲ ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΔΘΕ, οὕτως ὁ ΔΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα, ὁ ἄρα ΔΘΕ τομεὺς πρὸς τὸ ΔΕΚ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ αὐτὸς τομεὺς πρὸς τὸν ΑΒΗ τομέα· μείζων ἄρα ὁ ΑΒΗ τομεὺς τοῦ ΔΚΕ τριγράμμου. καὶ τὰ διπλάσια· μεῖζον ἄρα τὸ ΑΒΓ ἡμικύκλιον τοῦ ΔΕΖ τμήματος.
ιηʹ. Ἔστω δὴ πάλιν τὸ ΔΕΖ τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου· λέγω ὅτι καὶ οὕτως μεῖζόν ἐστι τὸ ἡμικύκλιον.
Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτά. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΔΘΕ, οὕτως ὁ ΔΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΗΒ — ἴσαι γὰρ αἱ ΑΒ ΔΕ περιφέρειαι. καὶ ἐπεὶ διὰ τὸ πρὸ δύο λῆμμα μείζονα λόγον ἔχει ὁ ΔΘΕ τομεὺς πρὸς τὸ ΔΚΕ τρίγραμμον ἤπερ ὀρθὴ γωνία, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΛΘΕ, πρὸς τὴν ὑπὸ ΔΘΕ, τουτέστιν ἤπερ ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΔΘΕ, τουτέστιν ἤπερ ὁ ΔΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΒΗ, ἔσται μείζων ὁ ΑΗΒ τομεὺς τοῦ ΔΕΚ τριγράμμου. καὶ τὰ διπλάσια· μεῖζον ἄρα τὸ ΑΒΓ ἡμικύκλιον τοῦ ΔΕΖ τμήματος· πάντων ἄρα τῶν ἴσας ἐχόντων τὰς περιφερείας κυκλικῶν τμημάτων μέγιστόν ἐστιν τὸ ἡμικύκλιον. Περὶ τῶν στερεῶν.
ιθʹ. Τὸν πρῶτον καὶ δημιουργὸν τῶν πάντων θεὸν οἱ φιλόσοφοί φασιν εἰκότως τῷ κόσμῳ σχῆμα περιθεῖναι σφαιρικὸν ἐκλεξάμενον τῶν ὄντων τὸ κάλλιστον, τά τε προσόντα τῇ σφαίρᾳ φυσικὰ συμπτώματα λέγοντες ἔτι καὶ τοῦτο προστιθέασιν ὅτι πάντων τῶν στερεῶν σχημάτων τῶν ἴσην ἐχόντων τὴν ἐπιφάνειαν μεγίστη ἐστὶν ἡ σφαῖρα. τἄλλα μὲν οὖν ὅσα προσεῖναι λέγουσιν αὐτῇ πρόδηλά τέ ἐστιν καὶ παραμυθίας ἐλάσσονος δεῖται, τὸ δʼ ὅτι μείζων ἐστὶ τῶν ἄλλων σχημάτων οὔθʼ οἱ φιλόσοφοι δεικνύουσιν, ἀλλʼ ἀποφαίνονται μόνον, οὔτε παραμυθήσασθαι ῥᾴδιον ἄνευ θεωρίας πλείονος. φέρʼ οὖν, ὥσπερ ἐν τοῖς πρόσθεν εὕρομεν τὸν κύκλον μέγιστον ὄντα τῶν ἴσην ἐχόντων αὐτῷ τὴν περίμετρον τεταγμένων πολυγώνων σχημάτων, καὶ νῦν τὴν σφαῖραν κατὰ τὸ ἀκόλουθον ἀποδεῖξαι πειραθῶμεν μεγίστην οὖσαν τῶν ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων αὐτῇ τεταγμένων στερεῶν σχημάτων. πρότερον δὲ περὶ τῶν στερεῶν αὐτῶν, πρὸς ἃ δεῖ συγκρίνειν τὴν σφαῖραν, ὀλίγα προδιαληψόμεθα· πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα, μᾶλλον δʼ ἄν τις ἀξιώσειε λόγου τὰ τετάχθαι δοκοῦντα. ταῦτα δʼ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα, τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ ἑξάεδρον, ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον, πέμπτον δʼ εἰκοσάεδρον, ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δὲ πολυγώνων περιεχόμενα.
τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων δʹ καὶ ἑξαγώνων δʹ.
τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα, ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηʹ καὶ τετραγώνοις ϛʹ, τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ϛʹ καὶ ἑξαγώνοις ηʹ, τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις ηʹ καὶ ὀκταγώνοις ϛʹ.
μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο, ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηʹ καὶ τετραγώνοις ιηʹ, τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβʹ, ἑξαγώνοις ηʹ καὶ ὀκταγώνοις ϛʹ.
μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία, ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κʹ καὶ πενταγώνοις ιβʹ, τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβʹ καὶ ἑξαγώνοις κʹ, τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κʹ καὶ δεκαγώνοις ιβʹ.
μετὰ δὲ ταῦτα ἕν ἐστιν ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβʹ καὶ τετραγώνων ϛʹ.
μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο, ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κʹ καὶ τετραγώνοις λʹ καὶ πενταγώνοις ιβʹ, τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λʹ καὶ ἑξαγώνοις κʹ καὶ δεκαγώνοις ιβʹ.
μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον, ὃ περιέχεται τριγώνοις πʹ καὶ πενταγώνοις ιβʹ.
Ὅσας δὲ γωνίας ἕκαστον ἔχει στερεὰς τῶν ιγʹ τούτων σχημάτων πολυέδρων καὶ ὅσας πλευράς, διὰ τοῦδε τοῦ τρόπου θεωρεῖται· ὅσων μὲν γὰρ ἁπλῶς πολυέδρων αἱ στερεαὶ γωνίαι τρισὶν ἐπιπέδοις περιέχονται γωνίαις, ἐξαριθμηθεισῶν τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἃς ἔχουσιν πᾶσαι αἱ ἕδραι τοῦ πολυέδρου, δῆλον ὡς ὁ τῶν στερεῶν γωνιῶν ἀριθμὸς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ, ὅσων δὲ πολυέδρων ἡ στερεὰ γωνία περιέχεται τέσσαρσιν ἐπιπέδοις, ἐξαριθμηθεισῶν πασῶν τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἃς ἔχουσιν αἱ ἕδραι τοῦ πολυέδρου, τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ τὸ τέταρτον μέρος ἐστὶν ὁ ἀριθμὸς ὁ τῶν στερεῶν γωνιῶν τοῦ πολυέδρου. ὁμοίως δὲ καὶ ὅσων πολυέδρων ἡ στερεὰ γωνία περιέχεται ὑπὸ εʹ γωνιῶν ἐπιπέδων, τὸ πέμπτον τοῦ πλήθους τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἐστιν ὁ ἀριθμὸς τοῦ πλήθους τῶν στερεῶν γωνιῶν.
Τῶν δὲ πλευρῶν τὸ πλῆθος ἃς ἕκαστον ἔχει τῶν πολυέδρων τόνδε τὸν τρόπον εὑρήσομεν. ἐξαριθμηθεισῶν γὰρ πασῶν τῶν πλευρῶν ἃς ἔχει τὰ ἐπίπεδα τὰ περιέχοντα τὸ πολύεδρον, ὁ ἀριθμὸς αὐτῶν δῆλον ὡς ἴσος ἐστὶν τῷ πλήθει τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν. ἀλλʼ ἐπειδὴ δύο ἐπιπέδων ἑκάστη τῶν πλευρῶν αὐτοῦ κοινή ἐστιν, δῆλον ὅτι τοῦ πλήθους τὸ ἥμισυ αἱ πλευραί εἰσι τοῦ πολυέδρου.
τὸ μὲν οὖν πρῶτον τῶν ἀνομοιογενῶν ιγʹ πολυέδρων ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις δʹ καὶ ἑξαγώνοις δʹ, γωνίας μὲν ἔχει στερεὰς ιβʹ, πλευρὰς δὲ ιηʹ· τῶν μὲν γὰρ τεσσάρων τριγώνων αἵ τε γωνίαι ιβʹ εἰσιν καὶ αἱ πλευραὶ ιβʹ, τῶν δὲ δʹ ἑξαγώνων αἵ τε γωνίαι κδʹ εἰσιν καὶ αἱ πλευραὶ κδʹ· γενομένου δὴ τοῦ ἀριθμοῦ παντὸς λϛʹ ἀναγκαῖόν ἐστιν τὸν μὲν τῶν στερεῶν γωνιῶν ἀριθμὸν τρίτον μέρος εἶναι τοῦ προειρημένου ἀριθμοῦ, ἐπεὶ καὶ ἑκάστη τῶν στερεῶν αὐτοῦ γωνιῶν ἐπιπέδοις γωνίαις περιέχεται γʹ, τὸ δὲ τῶν πλευρῶν πλῆθος τὸ ἥμισυ τοῦ ἀριθμοῦ, τουτέστιν τοῦ λϛʹ, ὥστε εἶναι πλευρὰς ιηʹ.
τῶν δὲ τετρακαιδεκαέδρων τὸ πρῶτον περιέχεται τριγώνοις ηʹ καὶ τετραγώνοις ϛʹ, ὥστε ἔχειν στερεὰς μὲν γωνίας ιβʹ — ἑκάστη γὰρ αὐτοῦ γωνία ὑπὸ τεσσάρων ἐπιπέδων γωνιῶν περιέχεται —, πλευρὰς δὲ κδʹ. τὸ δὲ δεύτερον τῶν τετρακαιδεκαέδρων, ἐπεὶ περιέχεται τετραγώνοις ϛʹ καὶ ἑξαγώνοις ηʹ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας κδʹ — ἑκάστη γὰρ τῶν γωνιῶν αὐτοῦ περιέχεται ὑπὸ γʹ γωνιῶν ἐπιπέδων —, πλευρὰς δὲ λϛʹ. τὸ δὲ τρίτον τῶν τετρακαιδεκαέδρων, ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις ηʹ καὶ ὀκταγώνοις ϛʹ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας κδʹ, πλευρὰς δὲ λϛʹ.
τῶν δὲ ἑκκαιεικοσαέδρων τὸ μὲν πρῶτον, ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε ηʹ καὶ τετραγώνοις ιηʹ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας κδʹ, πλευρὰς δὲ μηʹ. τὸ δὲ δεύτερον τῶν ἑκκαιεικοσαέδρων, ἐπεὶ περιέχεται τετραγώνοις ιβʹ καὶ ἑξαγώνοις ηʹ καὶ ὀκταγώνοις ϛʹ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας μηʹ, πλευρὰς δὲ οβʹ.
τῶν δὲ δυοκαιτριακονταέδρων τὸ μὲν πρῶτον, ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε κʹ καὶ πενταγώνοις ιβʹ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας λʹ, πλευρὰς δὲ ξʹ. τὸ δὲ δεύτερον τῶν δυοκαιτριακονταέδρων, ἐπεὶ περιέχεται πενταγώνοις ιβʹ καὶ ἑξαγώνοις κʹ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξʹ, πλευρὰς δὲ ϙʹ. τὸ δὲ τρίτον τῶν δυοκαιτριακονταέδρων, ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε κʹ καὶ δεκαγώνοις ιβʹ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξʹ, πλευρὰς δὲ ϙʹ.
τὸ δὲ ὀκτωκαιτριακοντάεδρον, ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε λβʹ καὶ τετραγώνοις ἕξ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας κδʹ, πλευρὰς δὲ ξʹ.
τῶν δὲ δυοκαιεξηκονταέδρων τὸ μὲν πρῶτον, ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε κʹ καὶ τετραγώνοις λʹ καὶ πενταγώνοις ιβʹ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξʹ, πλευρὰς δὲ ρκʹ. τὸ δὲ λοιπὸν τῶν δυοκαιεξηκονταέδρων, ἐπεὶ περιέχεται τετραγώνοις λʹ καὶ ἑξαγώνοις κʹ καὶ δεκαγώνοις ιβʹ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ρκʹ, πλευρὰς δὲ ρπʹ.
τὸ δὲ δυοκαιενενηκοντάεδρον, ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε πʹ καὶ πενταγώνοις ιβʹ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξʹ, πλευρὰς δὲ ρνʹ.
Ταῦτα μὲν οὖν τὰ ιγʹ σχήματα ὑπὸ ἀνίσων καὶ ἀνομοίων πολυγώνων περιεχόμενα διὰ τὸ ἀτακτότερον παρῃτήσθω τὸ νῦν, τὰ δὲ καλούμενα εʹ σχήματα τῇ σφαίρᾳ συγκρίνειν ἄξιον· ὑπὸ γὰρ ἴσων καὶ ὁμοίων ἐπιπέδων περιεχόμενα μόνα ταῦτα τὰς στερεὰς γωνίας ἴσας ἔχει, καὶ διὰ τοῦτʼ εὔτακτα παρὰ τὰ λοιπὰ μᾶλλόν ἐστιν. ὅτι δὲ πλείω τῶν εʹ τούτων ἀδύνατόν ἐστιν εὑρεῖν ἄλλα σχήματα ἴσοις καὶ ὁμοίοις ἰσοπλεύροις πολυγώνοις περιλαμβανόμενα, καὶ ὑπὸ τοῦ Εὐκλείδου καὶ ὑπό τινων ἄλλων ἀποδέδεικται. συγκρίνωμεν οὖν αὐτὰ ταῦτα πρότερον τὰ πολύεδρα τῇ σφαίρᾳ.
Ἔστω γὰρ σφαῖρα μὲν ἐν ᾗ τὸ Α, ἓν δέ τι τῶν προειρημένων εʹ σχημάτων ἴσην ἔχον τὴν σύμπασαν ἐπιφάνειαν τῇ τῆς Α σφαίρας· λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ σφαῖρα.
Νοείσθω γὰρ εἰς τὸ πολύεδρον ἐγγεγραμμένη σφαῖρα, ὥστε τῶν περιεχόντων ἐπιπέδων ἅπτεσθαι· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ τοῦ πολυέδρου ἐπιφάνεια τῆς ἐπιφανείας τῆς ἐγγεγραμμένης σφαίρας· περιέχει γὰρ αὐτήν. ἀλλʼ ἡ τοῦ πολυέδρου ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν τῇ τῆς Α σφαίρας ἐπιφανείᾳ, ὥστε καὶ ἡ τῆς Α σφαίρας ἐπιφάνεια μείζων ἐστὶν τῆς ἐπιφανείας τῆς ἐγγεγραμμένης τῷ πολυέδρῳ σφαίρας· καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἄρα τῆς Α σφαίρας μείζων ἐστὶν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐγγεγραμμένης σφαίρας. ἴση δὲ ἡ τῆς Α σφαίρας ἐπιφάνεια τῇ τοῦ πολυέδρου ἐπιφανείᾳ· ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων κύκλον ἴσον τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς Α σφαίρας, ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς Α σφαίρας, μείζων ἐστὶν τῆς πυραμίδος τῆς βάσιν ἐχούσης εὐθύγραμμον τὸ ἴσον τῇ τοῦ πολυέδρου ἐπιφανείᾳ καὶ ὕψος τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐγγεγραμμένης αὐτῷ σφαίρας. ἀλλʼ ὁ μὲν κῶνος ἴσος ἐστὶν τῇ Α σφαίρᾳ — τοῦτο γὰρ ἐκ τῶν ὑπʼ Ἀρχιμήδους δεδειγμένων ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου καὶ τῶν ἄλλων ὑφʼ ἡμῶν ὑποτεταγμένων λημμάτων ἐστὶ φανερόν —, ἡ δὲ πυραμὶς ἴση τῷ πολυέδρῳ· μείζων ἄρα καὶ ἡ Α σφαῖρα τοῦ ὑποκειμένου πολυέδρου.
κʹ. Ἔχει δέ τινα σύγκρισιν καὶ ταῦτα τὰ εʹ σχήματα πρὸς ἄλληλα, περὶ ἧς ὕστερον ἐπισκεψόμεθα· δείκνυται γὰρ ὑποκειμένων ἴσων τῶν ἐπιφανειῶν τὸ πολυεδρότερον ἀεὶ καὶ μεῖζον. οἷον τὸ μὲν εἰκοσάεδρον τοῦ δωδεκαέδρου, τὸ δὲ δωδεκάεδρον τοῦ ὀκταέδρου, καὶ ὁμοίως τὸ μὲν ὀκτάεδρον τοῦ κύβου, ὁ δὲ κύβος τῆς πυραμίδος· ὅμοιον γάρ τι πέπονθεν τὰ στερεὰ ταῦτα τοῖς ἐπιπέδοις πολυγώνοις· καὶ γὰρ ἐπʼ ἐκείνων, ὁπότε τὰς περιμέτρους ἴσας εἶχεν, ἀεὶ μεῖζον ἀπεδείκνυτο τὸ πολυγωνότερον, καὶ πάντων ὁ κύκλος μείζων, ὥσπερ ἐδείχθη νῦν τῶν πολυέδρων ἡ σφαῖρα. πρόδηλον δʼ ὅτι καὶ ὁ κῶνος καὶ ὁ κύλινδρος ἑκάτερος ὁ ἴσην ἔχων ἐπιφάνειαν τῇ τῆς σφαίρας ἐλάσσων ἐστὶν αὐτῆς. ὁ μὲν γὰρ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας, ὅλην δὲ τὴν ἐπιφάνειαν μείζονα τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ἴσος αὐτῇ καταλαμβάνεται, ὅταν τὸ ὕψος αὐτοῦ ἴσον ᾖ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ὁ δὲ κύλινδρος ὁ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχων τῷ κώνῳ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας, ὕψος δὲ τὸ γʹʹ τοῦ ἄξονος τοῦ κώνου, καὶ ἴσος ὢν τῷ κώνῳ, ἴσος εὑρίσκεται καὶ τῇ σφαίρᾳ μείζονα τὴν ἐπιφάνειαν· ἔχων αὐτῆς· αἱ γὰρ δύο βάσεις αὐτοῦ τῆς βάσεως τοῦ κώνου, τουτέστιν τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, διπλασίους εἰσίν, ὥστε ὅταν ἑκάτερον τῶν σχημάτων ἴσην ἔχῃ τὴν ἐπιφάνειαν τῇ τῆς σφαίρας, τότʼ ἐξ ἀνάγκης ἡ σφαῖρα ἑκατέρου σχήματος μείζων ἐστίν.
Τοσαῦτα μὲν οὖν περὶ τῆς συγκρίσεως τῆς σφαίρας πρὸς τὰ εʹ σχήματα καὶ τὸν κῶνον καὶ κύλινδρον, τὰ δʼ ὑπὸ τοῦ Ἀρχιμήδους, ὡς εἴρηται, δειχθέντα καὶ ἄλλως ἀποδείξομεν, προγράψαντες ὅσα εἰς τὰς ἀποδείξεις αὐτῶν συντείνει λημμάτια.
Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ διαμέτρου καὶ τυχοῦσαι ἐπὶ τὴν διάμετρον κάθετοι αἱ ΓΔ ΕΖ, καὶ ἐφαπτομένη ἡ ΓΕ· ὅτι τὸ δὶς ὑπὸ ΖΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΒ ΔΖ.
Ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ε κάθετος ἐπὶ τὴν ΓΔ ἡ ΕΗ, καὶ ληφθέντος τοῦ Θ κέντρου ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ. ἐπεὶ οὖν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΓΕΘ τῇ ὑπὸ ΖΕΗ ἐστὶν ἴση, κοινῆς ἀφαιρεθείσης τῆς ὑπὸ ΗΕΘ ἔσται λοιπὴ ἡ ὑπὸ ΓΕΗ τῇ ὑπὸ ΖΕΘ ἴση. ἀλλὰ καὶ ὀρθὴ ἡ Ζ τῇ Η ἴση· ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΓΕΗ τρίγωνον τῷ ΖΕΘ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΕ πρὸς ΕΘ, ἡ ΗΕ πρὸς ΕΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΘΕΗ, ὥστε καὶ τὸ δὶς ὑπὸ ΖΕΓ τῷ δὶς ὑπὸ ΘΕΗ ἐστὶν ἴσον. ἀλλὰ τῷ δὶς ὑπὸ ΘΕΗ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΒ ΔΖ — ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΗΕ τῇ ΔΖ· καὶ τὸ δὶς ὑπὸ ΖΕ ΕΓ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΒ ΔΖ, ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΕΖ ΔΗ καὶ τῆς ΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΒ ΔΖ.
καʹ Ἔστωσαν δὴ πάλιν ἐπὶ τὴν διάμετρον τυχοῦσαι κάθετοι αἱ ΓΔ ΕΖ, καὶ ἡ ΕΘΓ ἐφαπτομένη τοῦ ἡμικυκλίου, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΓΘ τῇ ΘΕ· ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΒ ΔΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΔ ΕΖ καὶ τῆς ΓΕ.
Ἤχθω κάθετος ἡ ΘΚ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΗΕ. ἐπεὶ παράλληλοί εἰσιν αἱ ΓΔ ΘΚ ΕΖ, καὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΓΕ τῆς ΕΘ, διπλῆ ἐστιν καὶ ἡ μὲν ΓΔ τῆς ΘΗ, ἡ δὲ ΕΖ τῆς ΗΚ, ὥστε καὶ συναμφότερος ἡ ΓΔ ΕΖ τῆς ΘΚ ἐστὶν διπλῆ. διὰ δὲ τὸ προδειχθὲν τὸ δὶς ὑπὸ ΚΘΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΒ ΔΚ. καὶ τὰ διπλάσια· τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου ἄρα τῆς ΓΔ ΕΖ καὶ τῆς ΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΒ ΔΖ.
κβʹ Ἔστω πάλιν τὸ ἡμικύκλιον καὶ τυχοῦσα ἡ ΓΕ καὶ κάθετοι αἱ ΓΔ ΕΖ· ὅτι τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΔ ΕΖ καὶ τῆς ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τῆς ΔΖ καὶ τῆς ὑποτεινούσης περιφέρειαν, ἥ ἐστιν μετὰ τῆς ΓΕ ἡμικυκλίου.
Προσαναγεγράφθω ὁ κύκλος, καὶ ἔστω διάμετρος αὐτοῦ ἡ ΓΘ, καὶ ἐκβληθείσης τῆς ΓΔ ἐπὶ τὸ Κ κάθετος ἐπʼ αὐτὴν ἡ ΕΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΘ ΕΚ. ἐπεὶ ἡ ΑΒ τὴν ΓΚ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, ἴση ἐστὶν ἡ ΓΔ τῇ ΔΚ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΗΔ τῇ ΕΖ ἐστὶν ἴση· ἡ ΗΚ ἄρα συναμφοτέρῳ τῇ ΓΔ ΕΖ ἐστὶν ἴση. ἡ δὲ τὴν λοιπὴν ὑποτείνουσα τοῦ ΓΕΘ ἡμικυκλίου ἐστὶν ἡ ΕΘ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Κ γωνία τῇ Θ, ἡ δὲ ὑπὸ ΘΕΓ ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνία ὀρθὴ ἴση ἐστὶν τῇ Η, ἰσογώνια ἄρα ἐστὶν τὰ ΘΕΓ ΚΕΗ τρίγωνα· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΘΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΚΗ πρὸς ΗΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς ΘΕ καὶ τῆς ΕΗ, τουτέστιν τῆς ΔΖ, ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΗΚ ΓΕ, τουτέστιν τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΔ ΕΖ καὶ τῆς ΓΕ.
κγʹ Καὶ ἐκ τούτου φανερὸν ὅτι, ἐὰν ἡμικυκλίου τινὸς ὡς τοῦ ΑΒΓ περιφέρειά τις ὡς ἡ ΑΓΔ διαιρεθῇ εἰς ὁποσαοῦν ἴσα καὶ ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι, αἱ ὑπὸ τῶν ἐπιζευχθεισῶν τῶν ΑΕ ΕΖ ΖΓ ΓΗ ΗΔ κατὰ τὴν περὶ ἄξονα τὴν ΑΒ στροφὴν γινόμεναι ἐπιφάνειαι ἴσαι εἰσὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται, ἐπιζευχθείσης τῆς ΕΒ, τὸ ὑπὸ ΕΒ ΑΘ.
Ἡ μὲν γὰρ ὑπὸ τῆς ΗΔ γινομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΚ ΔΘ καὶ τῆς ΗΔ. λέγει γὰρ Ἀρχιμήδης ὅτι «ἐὰν κῶνος ἰσοσκελὴς ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ τῇ βάσει, τῇ μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου, ἴσος ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέσον λόγον ἔχει τῆς πλευρᾶς τοῦ κώνου τῆς μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων καὶ τῆς ἴσης ἀμφοτέραις ταῖς ἐκ τῶν κέντρων τῶν κύκλων τῶν ἐν τοῖς παραλλήλοις ἐπιπέδοις». ὥστε ἡ ὑπὸ τῆς ΗΔ γινομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΚ ΔΘ καὶ τῆς ΗΔ, ὅπερ ἐδείχθη τῷ ὑπὸ ΕΒ ΚΘ ἴσον. ἡ δὲ ὑπὸ τῆς ΓΗ ὁμοίως ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒ ΛΚ, καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς τὰ αὐτά. καὶ ἡ ὑπὸ τῆς ἐσχάτης τῆς ΑΕ κωνικὴ ἐπιφάνεια γινομένη ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒ ΑΝ, ὅπερ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΕΝ — καὶ γὰρ ἰσογώνιά ἐστιν τὰ ΑΕΒ ΑΕΝ τρίγωνα, καὶ ἡ ὑπὸ τῆς ΑΕ γινομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΕΝ· καὶ τοῦτο γὰρ Ἀρχιμήδης ἀπέδειξεν. καὶ ἡ ὑπὸ πασῶν ἄρα τῶν ΔΗ ΗΓ ΓΖ ΖΕ ΕΑ γινομένη σύνθετος ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒ ΑΘ.
Δῆλον δὲ ὅτι καὶ ἐὰν ἡ ὅλη τοῦ ἡμικυκλίου περιφέρεια εἰς ἴσα διαιρεθῇ, ὧν μία ἐστὶν ἡ ΑΕ, καὶ ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι, ἡ γινομένη ὑπὸ πασῶν τῶν τοῦ πολυγώνου πλευρῶν ἐπιφάνεια κατὰ τὴν ὁμοίαν στροφὴν ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒΑ.
κδʹ Διῃρήσθω δὲ πάλιν ἡ τοῦ ἡμικυκλίου περιφέρεια εἰς ἴσα ὁποσαοῦν, ἀφʼ ὧν ἐφαπτόμεναι ἤχθωσαν, ὡς καταγέγραπται· ὅτι αἱ ὑπὸ τῶν ΓΔ ΔΕ ΕΖ ΖΗ ΗΘ γινόμεναι ἐπιφάνειαι κατὰ τὴν ὁμοίαν στροφὴν ἴσαι εἰσὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ.
Κάθετοι ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Δ Ε Ζ Η ἐπὶ τὴν διάμετρον. διὰ δὴ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΓΞ τῇ ΞΔ καὶ καθέτους τὰς ΓΑ ΔΚ, τὸ ὑπὸ ΒΑΚ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΑ ΔΚ καὶ τῆς ΓΔ· τοῦτο γὰρ βʹ θεωρήματι προδέδεικται. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ τῆς ΓΔ γινομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΑ ΔΚ καὶ τῆς ΓΔ διὰ τὸ αὐτὸ Ἀρχιμήδους ιζʹ θεώρημα· καὶ ὁ κύκλος ἄρα οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΒΑΚ ἴσος ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς ΓΔ γινομένῃ ἐπιφανείᾳ. ὁμοίως δὲ καὶ ὁ κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΒ ΚΛ, διὰ τὸ ἴσην εἶναι πάλιν τὴν ΔΟ τῇ ΟΕ, ἴσος ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς ΔΕ γινομένῃ ἐπιφανείᾳ, καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς τὰ αὐτά. καὶ ὁ κύκλος ἄρα οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ ἴσος ἐστὶν τῇ ὑπὸ πασῶν τῶν ΓΔ ΔΕ ΕΖ ΖΗ ΗΘ γινομένῃ ἐπιφανείᾳ.
κεʹ. Ἢ οὕτως τὸ αὐτό. ἐγγεγράφθω τὸ ΑΓΔΕΖΗΘΒ πολύγωνον εἰς ἕτερον ἡμικύκλιον περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον,καὶ ἔστω αὐτοῦ διάμετρος ἡ ΡΣ, καὶ κάθετοι ὁμοίως ἤχθωσαν· γίνεται δὴ διπλῆ ἡ μὲν ΓΔ τῆς ΓΡ, ἡ δὲ ΗΘ τῆς ΘΣ διὰ τὸ προκείμενον, καὶ διὰ τοῦτο ἡ ΓΔ μετὰ τῆς ΓΔΘ ἴση ἐστὶν τῇ ΡΘΣ. ὑποτείνει δὲ τὴν ΓΔΘ ἡ ἐπὶ τὰ Γ Θ ἐπιζευγνυμένη ἴση τῇ ΑΒ· ἔσται δὴ διὰ τὸ γʹ θεώρημα τὸ ὑπὸ ΘΓ ΑΚ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΒΑΚ, ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΑ ΔΚ καὶ τῆς ΓΔ, καὶ τὸ ὑπὸ ΒΑ ΚΛ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΔΚ ΕΛ καὶ τῆς ΔΕ. καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς τὰ αὐτά. καὶ πάντα ἄρα πᾶσιν ἴσα· καὶ ὁ κύκλος ἄρα οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ ἴσος ἐστὶν ταῖς ὑπὸ τῶν ΓΔ ΔΕ ΕΖ ΖΗ ΗΘ γινομέναις ἐπιφανείαις.
κϛʹ … Ἡμικύκλιον οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ ἤχθω τυχοῦσα ἡ ΑΗ, καὶ ἡ ΑΗ περιφέρεια διῃρήσθω εἰς ἴσας ὁποσασοῦν περιφερείας τοῖς Μ Ν Ξ σημείοις καὶ ἀπὸ τῶν Α Η καὶ τῶν διαιρέσεων ἐφαπτόμεναι αἱ ΑΓ ΓΔ ΔΕ ΕΖ ΖΗ, καὶ τῇ ΖΗ ἴση ἡ ΗΘ καθέτου οὔσης τῆς ΗΡ· ὅτι, εἰ περὶ ἄξονα τὸν ΑΒ στραφὲν τὸ ἡμικύκλιον ἀποκατασταίη, ἡ γινομένη ὑπὸ πασῶν τῶν ΑΓ ΓΔ ΔΕ ΕΖ ΖΗ ἐπιφάνεια τοῦ κύκλου οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΗ μείζων ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ἥμισυ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ.
Ἤχθωσαν κάθετοι ἀπὸ τοῦ Ζ, ἐπὶ μὲν τὴν ΑΒ ἡ ΖΛ, ἐπὶ δὲ τὴν ΗΡ ἡ ΖΚ, τῆς ΖΚ καθέτου, ὀξείας μὲν οὔσης τῆς ὑπὸ ΖΗΘ, μεταξὺ τῶν Η Θ πιπτούσης, ἀμβλείας δὲ οὔσης τῆς ὑπὸ ΖΗΘ, ἐκτὸς τοῦ Η, ὡς ἔχουσιν αἱ καταγραφαί. ἐπεὶ οὖν τὸ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ ἢ ΡΗΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΒ ΛΡ — τοῦτο γὰρ ἐν τῷ αʹ θεωρήματι δέδεικται —, κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ ΒΑΛ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΒΑΛ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΑ ΛΡ καὶ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ τῷ τε δὶς ὑπὸ ΡΗΘ καὶ τῷ ὑπὸ ΒΑΛ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ. ἀλλὰ τῷ ὑπὸ ΒΑΛ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΑ ΛΡ, τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΒΑΡ, ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ τῷ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ καὶ τοῦ ὑπὸ ΒΑΛ. ἀλλὰ τῷ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ καὶ τῷ ὑπὸ ΗΘΚ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ — τοῦτο γὰρ ἑξῆς δειχθήσεται· καὶ τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΗ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΒΑΛ καὶ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ. ἐπεὶ δὲ καὶ οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ἐκ τῶν κέντρων, καὶ ἐδείχθη πρὸ ἑνὸς τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΓΔ ΔΕ ΕΖ ἐφαπτομένων κωνικῶν ἐπιφανειῶν γινόμενον σχῆμα ἴσον κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΒΑΛ, τὸ δὲ ὑπὸ τῆς ΖΗ ἐν τῇ στροφῇ γινόμενον σχῆμα κωνικῆς ἐπιφανείας ἴσον κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ, τὸ δὲ ὑπὸ τῆς ΓΑ γινόμενον σχῆμα κύκλος ἐστὶν οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ἀπὸ ΗΘ, οἱ τρεῖς ἄρα κύκλοι, τουτέστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΓΔ ΔΕ ΕΖ ΖΗ γινομένη ἐπιφάνεια μείζων ἐστὶ τοῦ κύκλου οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΗΘΚ, τουτέστιν τὸ ἥμισυ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ.
Ὅτι δὲ τὸ ἥμισυ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΗΘΚ, δῆλον ἐντεῦθεν. ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης καταγραφῆς, ὀξείας οὔσης τῆς ὑπὸ ΖΗΘ, τὸ ἀπὸ ΖΘ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ ΘΗΚ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ ΖΗ ΗΘ, ὡς ἔστιν δευτέρῳ στοιχείων· τὸ ἥμισυ ἄρα τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΘ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΘΗΚ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΘΗ — ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ. ἀλλὰ τῷ ἀπὸ ΘΗ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΘΗΚ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ· κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ὑπὸ ΘΗΚ λοιπὸν ἄρα τὸ ἥμισυ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ λοιπῷ τῷ ὑπὸ ΗΘΚ ἐστὶν ἴσον. ἀμβλείας δὲ οὔσης τῆς ὑπὸ ΖΗΘ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, πάλιν τὸ ὑπὸ ΚΘΗ ἴσον γίνεται τῷ ἡμίσει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ οὕτως· ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΖΘ μεῖζόν ἐστιν τῶν ἀπὸ ΖΗ ΗΘ τῷ δὶς ὑπὸ ΘΗΚ καὶ τὸ ἥμισυ ἄρα τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ τοῦ ἀπὸ ΗΘ μεῖζόν ἐστιν τῷ ὑπὸ ΘΗΚ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΘΗ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΘΗΚ ἴσον ἐστὶν τῷ ἡμίσει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ. τῷ δὲ ἀπὸ ΘΗ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΘΗΚ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΚΘΗ διὰ τὸ γʹ τοῦ βʹ στοιχείων· καὶ τὸ ἥμισυ ἄρα τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΚΘΗ.
Καὶ ἐπεὶ τὸ ἥμισυ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ ἔλασσόν ἐστιν ἀεὶ τοῦ δὶς ἀπὸ Ζ Η, δῆλον ὡς ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΓΔ ΔΕ ΕΖ ΖΗ γινομένη ἐπιφάνεια τοῦ κύκλου οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΗ μετὰ δύο κύκλων, ὧν ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΖΗ, ἐλάσσων ἐστίν.
κζʹ Ὅτι τὸ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ.
Κείσθω τῇ μὲν ΗΡ ἴση ἡ ΡΣ, τῇ δὲ ΘΡ ἡ ΡΛ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΛΣ τῇ ΘΗ ἐστὶν ἴση. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΡΗΘ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΡΘΗ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ, καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ ΡΗΘ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΡΘΗ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΗΘ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΗΡ τῇ ΡΣ, ἡ δὲ ΘΡ τῇ ΡΛ, ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΣΗΘ τῷ ὑπὸ ΛΘΗ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΗΘ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ ΚΘΗ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΣΗΘ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ ΚΗΘ καὶ τοῦ ἀπὸ ΗΘ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ, ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΛΘΗ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΗΘ καὶ τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ. ἴσον δὲ τὸ μὲν ὑπὸ ΛΘΗ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ τῷ ὑπὸ ΛΗΘ, τὸ δὲ ἀπὸ ΗΘ τῷ ὑπὸ ΗΘ ΛΣ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΣΗΘ, ὅπερ ἐστὶν τὸ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ, μετὰ τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ.
κηʹ Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἐπʼ αὐτῆς τυχόντα σημεῖα τὰ Γ Δ· ὅτι τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ ΑΔ καὶ τῆς ΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒ ΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΓΔ.
Τῇ ΑΔ ἴση ἡ ΑΕ, τῇ δὲ ΑΓ ἡ ΑΖ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΔ τῇ ΕΖ ἐστὶν ἴση. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ διὰ τὸ γʹ θεώρημα τοῦ βʹ στοιχείων, τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΓΒ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΓΒ. τῷ δὲ δὶς ὑπὸ ΑΓΒ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΖΓΒ — διπλῆ γάρ ἐστιν ἡ ΖΓ τῆς ΓΑ· καὶ τὸ ὑπὸ ΖΓΒ ἄρα μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ ΓΒ ΕΖ, ὅπερ ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΓ ΓΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΓ ΓΒ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΓΔ. ἀλλὰ τῷ ὑπὸ ΕΓΒ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΕΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ — τὸ γὰρ ὑπὸ ΕΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΕΒΓ διὰ τὸ αὐτὸ στοιχείων· καὶ τὸ ὑπὸ ΕΒΓ ἄρα, ὅπερ ἐστὶν τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ ΑΔ καὶ τῆς ΒΓ, μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ, ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΓΔ.
κθʹ Ἔστω τις κύκλου περιφέρεια ἡ ΚΑΒΓ καὶ εὐθεῖα ἡ Δ· ὅτι δυνατόν ἐστιν ἀπειραχῶς ἀπολαβεῖν τὴν ΚΑ περιφέρειαν μέρος οὖσαν τῆς ΚΒΓ, ὅπως, ἐφαπτομένων ἀχθεισῶν τῶν ΚΕ ΑΕ, ἐλάσσονες ὦσιν αὗται τῆς Δ. Ἔστω γὰρ ἐφαπτομένη ἡ ΚΗ ἴση τῇ Δ, καὶ ἐπὶ τὸ κέντρον ἡ ΗΒΘ. τέμνοντες δὴ τὴν ΚΒΓ περιφέρειαν δίχα καὶ τὴν ἡμίσειαν αὐτῆς δίχα, καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες λείψομέν τινα περιφέρειαν ὡς τὴν ΚΑ ἐλάσσονα τῆς ΚΑΒ. καὶ ἤχθω ἐφαπτομένη τοῦ τμήματος ἡ ΑΕ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΚΕ, καὶ ἔσται γεγονὸς τὸ ζητούμενον· ἡ γὰρ διὰ τῶν Θ Α ἐκβάλλεται ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ αἱ ΚΕΑ τῆς ΚΖ ἐλάσσονές εἰσιν διὰ τὸ μείζονα εἶναι τὴν ΖΕ ἑκατέρας τῶν ΑΕ ΕΚ, ὀρθῆς οὔσης τῆς ὑπὸ ΖΑΕ, καὶ πολὺ μᾶλλον τῆς Δ ἴσης ὑποκειμένης τῇ ΚΗ.
λʹ Παντὸς τμήματος σφαίρας ἡ κυρτὴ ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶν τῇ ἐκ τοῦ πόλου τοῦ τμήματος.
Ἔστω γὰρ τμῆμα σφαίρας, οὗ πόλος μέν ἐστιν τὸ Κ σημεῖον, ἐκ πόλου δὲ ἡ ΚΒ, καὶ ὁ διὰ τῶν Κ Β μέγιστος, οὗ διάμετρος ἡ ΚΓ, ἐφʼ ἣν κάθετος ἡ ΒΑ· λέγω ὅτι σφαιρικὴ ἐπιφάνεια τοῦ τμήματος, οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ, κορυφὴ δὲ τὸ Κ σημεῖον, ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ.
Ἔστω γάρ, εἰ δυνατόν, ἄνισα ταῦτα, καὶ πρότερον μείζων ἡ τοῦ τμήματος ἐπιφάνεια, καὶ τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν νοείσθω ἐλάσσων κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ Θ, ὥστε τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ τμήματος μείζονα εἶναι τῶν δύο κύκλων, οὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ καὶ οὗ διάμετρος ἡ Θ, καὶ διῃρήσθω ἡ ΚΒ περιφέρεια εἰς ἴσας ὁποσασοῦν, καὶ ἐφαπτόμεναι ἤχθωσαν, ὡς καταγέγραπται, ὥστε ἑκάστην αὐτῶν ἐλάσσονα εἶναι τῆς δυναμένης τὸ ηʹʹ τοῦ ἀπὸ Θ· τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν προγέγραπται. ἐπεὶ οὖν μεῖζόν ἐστιν τὸ ἀπὸ Θ τοῦ ὀκτάκις ἀπὸ ΗΒ, καὶ ὁ περὶ διάμετρον ἄρα τὴν Θ κύκλος μείζων ἐστὶν δύο κύκλων ὧν ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΗΒ. οὗτοι δὲ οἱ δύο κύκλοι καὶ ὁ κύκλος οὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ, ὡς προδέδεικται τῷ ϛʹ θεωρήματι, μείζονές εἰσιν τῆς γινομένης ὑπὸ τῶν ἐφαπτομένων ἐπιφανείας, ἥτις περιγέγραπται περὶ τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας· ἔσται ἄρα αὕτη ἡ ἐπιφάνεια, καὶ πολὺ μᾶλλον ἡ τοῦ τμήματος τῆς σφαίρας, ἐλάσσων κύκλων οὗ τε ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ καὶ οὗ διάμετρος ἐστὶν ἡ Θ. ἀλλὰ καὶ μείζων ὑπόκειται, ὅπερ ἄτοπον.
λαʹ Ἔστω δὲ μείζων ὁ κύκλος οὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ τῆς σφαιρικῆς ἐπιφανείας τοῦ τμήματος· καὶ ὁ κύκλος ἄρα οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΓΚΑ μείζων ἐστὶν τῆς κυρτῆς ἐπιφανείας τοῦ τμήματος. νοείσθω δὲ μεταξὺ αὐτῶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ Θ ΚΑ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΓ τῆς Θ· ἔστω τῇ Θ ἴση ἡ ΓΟ, καὶ διῃρήσθω ἡ ΚΟΒ περιφέρεια εἰς περιφερείας ἴσας ὁσασδήποτε, ὧν ἑκάστη ἐλάσσων ἔστω τῆς ΚΛΟ, ὡς ἔστιν πρὸ ἑνός, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΛ ΛΜ ΜΝ ΝΒ. ἡ δὴ ὑπὸ τούτων γινομένη ἐπιφάνεια περιέχεται ὑπὸ τῆς τοῦ τμήματος ἐπιφανείας καὶ ἔστιν ἴση μὲν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται, ἐπιζευχθείσης τῆς ΓΛ, τὸ ὑπὸ ΛΓ ΚΑ διὰ τὸ δʹ θεώρημα, ἐλάσσων δὲ τῆς σφαιρικῆς τοῦ τμήματος ἐπιφανείας· πολλῷ ἄρα ὁ κύκλος οὗ ἡ ἐκ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΟΓ ΚΑ ἢ τὸ ὑπὸ Θ ΚΑ ἐλάσσων ἐστὶν τῆς σφαιρικῆς τοῦ τμήματος ἐπιφανείας. ἀλλὰ καὶ μείζων ὑπόκειται μεταξὺ ὢν τοῦ τμήματος καὶ τοῦ κύκλου οὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ, ὅπερ ἀδύνατον· ἴσα ἄρα ἐστὶν τὰ ζητούμενα.
Καὶ δῆλον ὡς, ἐὰν τὸ Α κέντρον ᾖ, γίνεται τὸ τμῆμα ἡμισφαίριον, καὶ ἔσται ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας ὅλης ἴση κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΓ, ἢ καὶ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν τμημάτων, ὁποῖα ἂν ᾖ, τὸ αὐτὸ συναχθήσεται.
λβʹ Ἐὰν ὦσιν γʹ εὐθεῖαι ὡς αἱ Α Β Γ, ὁ κῶνος οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ Α Β, ὕψος δὲ ἡ Γ, ἴσος ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ Β Γ, ὕψος δὲ ἡ Α. Ἐκκείσθωσαν γὰρ δύο κύκλοι οἱ Ε Ζ, καὶ τοῦ μὲν Ε ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δυνάσθω τὸ ὑπὸ Α Β, τοῦ δὲ Ζ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δυνάσθω τὸ ὑπὸ Β Γ, ὕψος δὲ τοῦ μὲν Ε κώνου ἔστω τὸ ΕΗ ἴσον τῇ Γ, τοῦ δὲ Ζ ὕψος τὸ ΖΘ ἴσον ἔστω τῇ Α. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς Γ, τουτέστιν ὡς ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΕΗ, τὸ ὑπὸ Α Β πρὸς τὸ ὑπὸ Β Γ, τουτέστιν ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, ἴσος ἄρα ὁ κῶνος οὗ βάσις μὲν ὁ Ε κύκλος, ὕψος δὲ τὸ ΕΗ, τῷ κώνῳ οὗ βάσις μὲν ὁ Ζ κύκλος, ὕψος δὲ τὸ ΖΘ· ἀντιπεπόνθασιν γὰρ αὐτῶν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν.
λγʹ Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ μενούσης τῆς ΒΓ περιενεχθὲν τὸ τρίγωνον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκαθεστάτω· ὅτι τὸ γινόμενον ὑπʼ αὐτοῦ στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν ἴση τῇ ὑπὸ τῆς ΑΒ ἐν τῇ στροφῇ γινομένῃ κωνικῇ ἐπιφανείᾳ, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος.
Ἤχθωσαν γὰρ ἐπὶ τὰς ΑΒ ΒΓ κάθετοι ἀπὸ τῶν Α Γ αἱ ΓΕ ΑΔ. ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ Δ ὀρθῇ τῇ Ε ἴση, κοινὴ δὲ ἡ Β, ἰσογώνιον γίνεται τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΒΓΕ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ἡ ΒΑ πρὸς ΑΔ, ἡ ΒΓ πρὸς ΓΕ. ὡς δὲ ἡ ΒΑ πρὸς ΑΔ, τὸ ὑπὸ ΒΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ· ἔσται ἄρα καὶ ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΕ· καὶ ὁ κῶνος ἄρα οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΒΑΔ, ὕψος δὲ ἡ ΓΕ, ἴσος ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΔ, ὕψος δὲ ἡ ΒΓ — διὰ τὸ ἀντιπεπονθέναι πάλιν τὰς βάσεις αὐτῶν τοῖς ὕψεσιν. καὶ ἔστι τὸ γινόμενον ὑπὸ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐν τῇ στροφῇ στερεὸν ἴσον τῷ κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ ΑΔ, ὕψος δὲ ἡ ΒΓ· τὸ αὐτὸ ἄρα στερεὸν ἴσον ἐστὶν τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι κύκλον οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΒΑΔ, ὕψος δὲ τὴν ΓΕ κάθετον. ἀλλʼ ὁ μὲν κύκλος οὗτος ἴσος ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς ΑΒ ἐν τῇ στροφῇ γινομένῃ κωνικῇ ἐπιφανείᾳ διὰ τὸ ιεʹ πάλιν Ἀρχιμήδους θεώρημα. ἐὰν ἄρα μενούσης τῆς ΒΓ περιενεχθὲν τὸ τρίγωνον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκατασταθῇ ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, τὸ γινόμενον ὑπʼ αὐτοῦ στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν ἴση τῇ ὑπὸ τῆς ΑΒ ἐν τῇ στροφῇ γινομένῃ κωνικῇ ἐπιφανείᾳ, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος.
λδʹ Ἔστω πάλιν τρίγωνον τὸ ΑΓΖ καὶ τυχοῦσα διήχθω ἡ ΓΒ, ἧς μενούσης περιενεχθὲν τὸ τρίγωνον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκαθεστάτω· ὅτι τὸ γινόμενον ὑπʼ αὐτοῦ στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος ἴσος τῇ ὑπὸ τῆς ΑΖ γινομένῃ ἐπιφανείᾳ κατὰ τὴν στροφήν, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΖ κάθετος. Ἐκβεβλήσθω ἡ ΖΑ ἐπὶ τὸ Β· διὰ τὸ προδειχθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μὲν ἴση ἐστὶν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου ἣν ποιεῖ ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΒΑ, τὸ δὲ ὑπὸ τοῦ ΒΖΓ γινόμενον ὁμοίως ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου ἣν ποιεῖ ἡ ΒΖ, ὕψος δὲ τὸ αὐτό· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΓΖ γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κολούρου κώνου ἣν ποιεῖ ἡ ΑΖ, ὕψος δὲ τὸ αὐτό.
λεʹ Ἔστω δὲ παράλληλος ἡ ΑΖ τῇ ΒΓ καὶ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΖΓ ΑΔ· ὅτι τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΖ τριγώνου ἐν τῇ στροφῇ γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΓΖ, ὕψος δὲ ἡ διπλῆ τῆς ΑΖ, τουτέστιν τῆς ΔΓ.
Ἐπεὶ γὰρ ὁ ἀπὸ τοῦ ΑΓ παραλληλογράμμου γινόμενος κύλινδρος ἴσος ἐστὶν κώνῳ βάσιν μὲν ἔχοντι κύκλον οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΔ, ὕψος δὲ τὴν τριπλασίαν τῆς ΔΓ, ὁ δὲ ὑπὸ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου γινόμενος κῶνος βάσιν μὲν ἔχει τὴν αὐτήν, ὕψος δὲ τὴν ΒΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ τοῦ ΑΒΔ τριγώνου μετὰ τοῦ ὑπὸ τοῦ ΑΔΓΖ παραλληλογράμμου γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως ὕψος ἔχοντι τὴν ΒΔ μετὰ τριῶν τῶν ΔΓ. κοινὸς ἀφῃρήσθω ὁ ὑπὸ τοῦ ΒΓΖ τριγώνου γινόμενος ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως κῶνος, ὕψος ἔχων τήν τε ΒΔ καὶ ἅπαξ τὴν ΔΓ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΖ γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν αὐτήν, ὕψος δὲ τὴν διπλασίαν τῆς ΔΓ ἢ τῆς ΑΖ.
Ἔτι δὲ καὶ τοῦτο φανερὸν ὅτι τῇ ὑπὸ τῆς ΑΖ γινομένῃ ἐπιφανείᾳ, κυλινδρικῇ οὔσῃ, ἴσος ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέσον λόγον ἔχει τῆς πλευρᾶς τοῦ κυλίνδρου καὶ τῆς διαμέτρου τῆς βάσεως — τοῦτο γὰρ Ἀρχιμήδης ἔδειξεν ιδʹ θεωρήματι περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου —, ὥστε ἡ ὑπὸ τῆς ΑΖ γινομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΖΓΔ.
λϛʹ Ἐὰν μέντοι τὸ Β μεταξὺ ᾖ τῶν Δ Γ, εὐχερέστερον δείκνυται. ὁ γὰρ ὑπὸ τοῦ ΑΔΓΖ παραλληλογράμμου γινόμενος κύλινδρος, τοῖς ὑπὸ τῶν ΑΒΔ ΖΒΓ τριγώνων γινομένοις κώνοις τὴν αὐτὴν ἔχων βάσιν καὶ ὕψος τὴν ΔΓ, ὑπερέχει αὐτῶν τῷ ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως κώνῳ ὕψος ἔχοντι τὴν διπλασίαν τῆς ΔΓ, ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΖ τριγώνου γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν τῷ αὐτῷ κώνῳ, ὅπερ· ⁓
λζʹ Ἔστω τετράπλευρον τὸ ΑΒΓΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὰς ΑΔ ΔΓ κάθετοι ἴσαι, καὶ διήχθω τις ἡ ΒΕ, καὶ μενούσης αὐτῆς περιενεχθὲν τὸ τετράπλευρον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκαθεστάτω· ὅτι τὸ γινόμενον ὑπὸ τοῦ τετραπλεύρου στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν ταῖς ὑπὸ τῶν ΑΔ ΔΓ ἐν τῇ στροφῇ γινομέναις ἐπιφανείαις, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ μίαν τῶν ΑΔ ΔΓ κάθετος.
Ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ τοῦ τετραπλεύρου γινόμενον στερεὸν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΔ ΔΓΒ τριγώνων ἐστὶν γινόμενον. καὶ δέδεικται πρὸ δυοῖν τὸ μὲν ὑπὸ τοῦ ΑΒΔ γινόμενον ἴσον κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς ΑΔ γινομένῃ ἐπιφανείᾳ, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ μίαν τῶν ΑΔ ΔΓ κάθετος, τὸ δὲ ὑπὸ τοῦ ΔΒΓ τριγώνου ἴσον κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς ΔΓ γινομένῃ ἐπιφανείᾳ, ὕψος δὲ τὸ αὐτό· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραπλεύρου γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν ταῖς ὑπὸ τῶν ΑΔ ΔΓ γινομέναις κατὰ τὴν στροφὴν ἐπιφανείαις, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ μίαν τῶν ΑΔ ΔΓ.
ληʹ Κἂν ἀντὶ τοῦ τετραπλεύρου δὲ πεντάπλευρον ᾖ τὸ ΔΑΒΖΓ ἢ καὶ ὁποσασοῦν πλευρὰς ἔχον, ὥστε τὰς ἀπὸ τοῦ Β ἐφʼ ἑκάστην τῶν ΑΔ ΔΓ ΓΖ καθέτους ἴσας εἶναι, δειχθήσεται ὁμοίως τὸ ὑπὸ τοῦ πολυγώνου γινόμενον στερεὸν ἴσον κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν ταῖς ὑπὸ τῶν ΑΔ ΔΓ ΓΖ γινομέναις ἐπιφανείαις, ὕψος δὲ μία τῶν εἰρημένων ἴσων καθέτων. καὶ οὐδὲν διαφέρει, ἂν ἡ ἐσχάτη ἐφαρμόζῃ τῇ ΕΒ.
λθʹ Τὸ δʼ αὐτό ἐστιν τῷ εἰρημένῳ λέγειν ὅτι, ἐὰν περὶ ἡμικύκλιον οὗ κέντρον τὸ Σ, γραφῇ τι πολύγωνον ὁποσασοῦν ἔχον πλευράς, ὡς τὸ ΒΕΖΘΛΓ, μενούσης δὲ τῆς ΒΓ περιενεχθὲν τὸ πολύγωνον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκατασταθῇ, τὸ γινόμενον ὑπʼ αὐτοῦ στερεόν, ὃ δὴ καὶ περιγέγραπται περὶ τὴν σφαῖραν ἣν ποιεῖ τὸ ἡμικύκλιον, ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μὲν ἡ ἐπιφάνειά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν τοῦ πολυγώνου πλευρῶν γινομένη κατὰ τὴν στροφήν, ὕψος δὲ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας· πᾶσαι γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ Σ ἀγόμεναι ἐπὶ τὰς πλευρὰς κάθετοι, ὡς αἱ ΣΜ, ΣΚ ΣΗ ΣΑ ΣΔ, ἴσαι εἰσίν. καὶ οὐ διαφέρει, ἐὰν τὸ Δ τῷ Ο, ἢ τὸ Μ τῷ Ξ ταὐτὸν ἦ.
Δῆλον δʼ ὅτι, κἂν περὶ τομέα κύκλου, οἷον τὸν ΞΣΑ ἢ ΜΣΑ περιγραφῇ τι πολύγωνον, τὰ αὐτὰ δειχθήσεται.
μʹ Πᾶσα σφαῖρα ἴση ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας, ὕψος δὲ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου.
Ἔστω γὰρ σφαῖρα ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, κέντρον δὲ τὸ Γ, καί, εἰ δυνατόν, πρότερον ἔστω μείζων ὁ κῶνος οὗ βάσις μὲν ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας, τουτέστιν ὁ κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΓΒ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, καὶ μεταξὺ αὐτῶν, τουτέστιν ἐλάσσων μὲν τοῦ κώνου, μείζων δὲ τῆς σφαίρας, νοείσθω κῶνος ἄλλος, οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν ἡ αὐτή, ὕψος δὲ ἡ ΒΔ, ἐλάσσων οὖσα τῆς ΓΒ, καὶ ἡμικυκλίου ὄντος τοῦ ΑΕΒ ἤχθω ἡ ΑΚ δυναμένη τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒ ΓΔ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Κ Β. καὶ τὰ ἡμίση· τὸ ὑπὸ ΑΒΔ ἴσον ἐστὶν ἡμίσει τῷ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Β Κ. ἐγγεγράφθω δὴ εἰς τὸ ἡμικύκλιον πολύγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΕΖΗΘΛΒ, ὥστε ἐλάσσονα εἶναι τὴν ΒΛ περιφέρειαν τῆς ΒΛΚ δυνατὸν δὲ τοῦτο·τέμνοντες γὰρ τὸ ἡμικύκλιον δίχα καὶ τὴν ἡμίσειαν περιφέρειαν δίχα καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες λείψομέν τινα περιφέρειαν ἐλάσσονα τῆς ΒΛΚ, ὡς τὴν ΒΛ. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΛ, καὶ παράλληλος αὐτῇ ἡ ΓΟ. ἐπεὶ οὖν ἰσογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΛΒ τρίγωνον τῷ ΓΟΒ τριγώνῳ καὶ διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΑΛ τῆς ΓΟ, ἡ δὲ ΛΒ τῆς ΒΟ, καὶ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΛΒ τῆς ΑΛ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΛ ΓΟ μεῖζόν ἐστιν ἡμίσους τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΒ. διὰ ταὐτὰ δὴ κἂν μὲν τὴν ΚΒ ἐπιζεύξωμεν, παράλληλον δὲ διὰ τοῦ Γ μέχρι τῆς ΚΒ τῇ ΑΚ ἀγάγωμεν, τὸ ὑπὸ τῆς ἀγομένης παραλλήλου καὶ τῆς ΑΚ μεῖζόν ἐστιν ἡμίσους τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΒ εὐθείας· καὶ πολλῷ τὸ ὑπὸ ΑΛ ΓΟ ἡμίσους τοῦ ἀπʼ αὐτῆς, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ ΑΒΔ. καὶ ὁ κῶνος ἄρα, οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΛ ΓΟ, ὕψος δὲ ἡ ΑΒ, μείζων ἐστὶν τοῦ κώνου οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΒΔ, ὕψος δὲ ἡ ΑΒ. ἀλλʼ ὁ κῶνος οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΛ ΓΟ, ὕψος δὲ ἡ ΑΒ, ἴσος ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΛ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΓΟ· καὶ ὁ κῶνος ἄρα οὗτος, τουτέστιν οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΛΑΒ,ὕψος δὲ ἡ ΓΟ, μείζων ἐστὶν τοῦ κώνου, οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΒΔ, ὕψος δὲ ἡ ΑΒ, τουτέστιν τοῦ ἴσου κώνου οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΒΔ. καὶ δέδεικται τῷ δʹ θεωρήματι ἡ γινομένη ὑπὸ πασῶν τοῦ πολυγώνου πλευρῶν ἐπιφάνεια κατὰ τὴν ὁμοίαν στροφὴν ἴση κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΛΑΒ· καὶ ὁ κῶνος ἄρα οὗ ἡ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΛΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΓΟ, ὅς ἐστιν ἴσος τῷ ἐγγεγραμμένῳ εἰς τὴν σφαῖραν στερεῷ σχήματι, μείζων ἐστὶν τοῦ κώνου οὗ ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεώς ἐστιν ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΒΔ, ὥστε καὶ τὸ εἰρημένον στερεὸν σχῆμα μεῖζόν ἐστιν τοῦ κώνου οὗ ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεώς ἐστιν ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΒΔ. ὑπόκειται δὲ καὶ ὁ κῶνος οὗτος μείζων τῆς σφαίρας· πολλῷ ἄρα μεῖζόν ἐστιν τῆς σφαίρας τὸ στερεὸν σχῆμα τὸ ἐγγεγραμμένον εἰς αὐτήν, ὅπερ ἀδύνατόν ἐστιν.
μαʹ Ἔστω δὲ ἐλάσσων τῆς σφαίρας ὁ εἰρημένος κῶνος, οὗ βάσις μέν ἐστι κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶνἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΓΒ, τουτέστιν οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΒΓ, ὕψος δὲ ἡ ΑΒ, καὶ μεταξὺ τῆς σφαίρας καὶ τοῦ κώνου νοείσθω κῶνος οὗ βάσις μέν ἐστιν ἡ αὐτή, ὕψος δὲ ἡ Κ μείζων τῆς ΑΒ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ἡμικύκλιον πολύγωνον ἰσόπλευρον, ὥστε μίαν αὐτοῦ πλευρὰν τὴν ΔΕ τῆς ὑπεροχῆς τῶν Κ ΑΒ ἐλάσσονα εἶναι. καὶ ἔστιν μείζων ἡ ΔΕ τῶν ΔΑ ΒΜ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΝΔ τῆς ΔΑ· καὶ ἡ ΔΜ ἄρα τῆς Κ ἐλάσσων ἐστίν. ἐπεὶ δὲ καὶ ἡ γινομένη ὑπὸ τοῦ πολυγώνου ἐπιφάνεια κατὰ τὴν περὶ ἄξονα τὴν ΔΜ στροφὴν διὰ τὸ δʹ θεώρημα ἴση ἐστὶ κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ δυναμένη τὸ ὑπὸ ΔΜ ΑΒ, δῆλον ὡς καὶ τὸ γινόμενον ὑπʼ αὐτοῦ στερεόν, ὃ δὴ περιγέγραπται περὶ τὴν σφαῖραν ἣν ποιεῖ τὸ ἡμικύκλιον, ἴσον ἐστὶν κώνῳ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεώς ἐστιν ἡ δυναμένη τὸ ὑπὸ ΔΜ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΓΒ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας διὰ τὸ κʹ θεώρημα. καὶ ἔστιν μείζων ἡ Κ τῆς ΔΜ, ὁ δὲ κῶνος, οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ Κ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΒΓ, ἐλάσσων ἐστὶν τῆς σφαίρας· πολλῷ ἄρα τὸ περιγεγραμμένον στερεὸν ἔλασσόν ἐστιν τῆς σφαίρας, ὅπερ ἀδύνατον. ἴσος ἄρα ὁ κῶνος τῇ σφαίρᾳ.
μβʹ Σφαίρας δοθείσης καὶ λόγου, τεμεῖν τὴν ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας ἐπιπέδῳ τινί, ὥστε τὰς ἐπιφανείας τῶν τμημάτων πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχειν τὸν αὐτὸν τῷ δοθέντι.
Ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς μέγιστος κύκλος ὁ ΑΔΒΕ, καὶ διάμετρος ἡ ΑΒ, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς Ζ πρὸς Η, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Γ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΓ πρὸς ΓΒ, οὕτως τὴν Ζ πρὸς Η, καὶ διὰ τοῦ Γ ἐπιπέδῳ τετμήσθω ἡ σφαῖρα πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ, καὶ ἔστω κοινὴ τομὴ ἡ ΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ ΔΒ, καὶ ἐκκείσθωσαν δύο κύκλοι οἱ Θ Κ, ὁ μὲν Θ ἴσην ἔχων τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῇ ΑΔ, ὁ δὲ Κ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου ἴσην ἔχων τῇ ΔΒ· ἔσται ἄρα ὁ μὲν Θ κύκλος ἴσος τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ΔΑΕ τμήματος, ὁ δὲ Κ τοῦ ΔΒΕ τμήματος· τοῦτο γὰρ προδέδεικται. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΔΒ καὶ κάθετος ἡ ΔΓ, ἔστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, τουτέστιν ἡ Ζ πρὸς Η, τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Θ κύκλου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Κ κύκλου, τουτέστιν ὁ Θ κύκλος πρὸς τὸν Κ κύκλον, τουτέστιν ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ΔΑΕ τμήματος πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ΔΒΕ τμήματος τῆς σφαίρας.
μγʹ. Ὄντων δὲ τούτων φανερὸν ὅτι καὶ πάσης σφαίρας ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῷ μεγίστῳ κύκλῳ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, ὕψος δὲ ἴσον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας, αὐτός τε ἡμιόλιός ἐστιν τῆς σφαίρας, καὶ ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας.
Ἡμικυκλίου γὰρ ὄντος τοῦ ΑΕΓ, οὗ διάμετρος ἡ ΑΓ, διχοτομία δὲ τὸ Ε, καὶ κέντρον τὸ Ζ, ὁπόταν τρεῖς ἀχθῶσιν ἐφαπτόμεναι διὰ τῶν Α Ε Γ, ὡς αἱ ΑΒ ΒΔ ΔΓ, μενούσης δὲ τῆς ΑΓ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ὁ γινόμενος ὑπὸ τοῦ ΑΒΔΓ παραλληλογράμμου ὀρθογωνίου κύλινδρος πρὸς τὴν σφαῖραν τὴν ὑπὸ τοῦ ἡμικυκλίου γινομένην ἡμιόλιον λόγον ἕξει ὅνπερ καὶ ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας. ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ τῆς ΒΔ γινομένη ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΓ, οὗτος δὲ ὁ κύκλος ἴσος ἐστὶν τέσσαρσι μεγίστοις τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, δέδεικται δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια δʹ μεγίστοις ἴση, ἡ ἄρα ὑπὸ τῆς ΒΔ γινομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν τῇ τῆς σφαίρας ἐπιφανείᾳ· μετὰ δύο ἄρα κύκλων, οἵ εἰσιν βάσεις τοῦ κυλίνδρου, λόγον ἔχει πρὸς τὴν τῆς σφαίρας ἐπιφάνειαν, ὃν ἔχει τὰ ϛʹ πρὸς τὰ δʹ. οὗτος δὲ ὁ λόγος ἡμιόλιός ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ὁ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας, ὕψος δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας … ἕκτον μέρος ἐστὶν τοῦ παντὸς κυλίνδρου, ἡμιόλιος ἄρα καὶ ὁ κύλινδρος τῆς σφαίρας.
Καὶ τὰ μὲν περὶ τῶν ὑπὸ Ἀρχιμήδους δειχθέντων ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου τοσαῦτʼ ἐστίν, ἑξῆς δὲ τούτοις γράψομεν, ὡς ὑπεσχόμεθα, τὰς συγκρίσεις τῶν ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων πέντε σχημάτων, πυραμίδος τε καὶ κύβου καὶ ὀκταέδρου δωδεκαέδρου τε καὶ εἰκοσαέδρου, οὐ διὰ τῆς ἀναλυτικῆς λεγομένης θεωρίας, διʼ ἧς ἔνιοι τῶν παλαιῶν ἐποιοῦντο τὰς ἀποδείξεις, ἀλλὰ διὰ τῆς κατὰ σύνθεσιν ἀγωγῆς ἐπὶ τὸ σαφέστερον καὶ συντομώτερον ὑπʼ ἐμοῦ διεσκευασμένας. προγράφεται δὲ τάδε.
μδʹ Παντὸς ἰσοπλεύρου τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς τετράγωνον μεῖζον μέν ἐστιν ἢ διπλάσιον τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου, ἔλασσον δὲ ἢ τετραπλάσιον.
Ἔστω γὰρ τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΓ βάσιν ἡ ΑΘ — δίχα δηλονότι τέμνουσα τὴν ΒΓ —, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ ΒΔΕΓ — δῆλον γὰρ ὅτι ὑπερπεσεῖται τὸ ΑΒΓ τρίγωνον διὰ τὸ ἐλάσσονα εἶναι τὴν ΑΘ κάθετον τῆς πλευρᾶς τοῦ τριγώνου —, καὶ διὰ τοῦ Α παράλληλος ἤχθω τῇ ΒΓ ἡ ΖΑΗ. ἐπεὶ οὖν τετραπλῆ ἐστιν ἡ ΑΒ τῆς ΒΘ δυνάμει, ἐπίτριτος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΑΘ δυνάμει, τουτέστιν ἡ ΔΒ τῆς ΒΖ· ἡ ΔΒ ἄρα τῆς ΒΖ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλῆ. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς ΒΖ, τὸ ΒΕ τετράγωνον πρὸς τὸ ΖΓ παραλληλόγραμμον· καὶ τὸ ΒΕ ἄρα τετράγωνον ἔλασσόν ἐστιν ἢ διπλάσιον τοῦ ΖΓ παραλληλογράμμου τουτέστιν ἢ τετραπλάσιον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. τὸ ΒΕ ἄρα τετράγωνον ἔλασσον μὲν ἢ τετραπλάσιόν ἐστιν, μεῖζον δὲ ἢ διπλάσιον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου.
μεʹ Ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸ ὀκτάεδρον ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον τοῦ ὀκταέδρου κάθετος δυνάμει τρίτον μέρος ἐστὶν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας.
Ἔστω τρίγωνον τοῦ ὀκταέδρου τὸ ΑΒΓ, ἐν τῇ σφαίρᾳ ὄν, καὶ περὶ αὐτὸ κύκλος, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΔΕ· φανερὸν δὴ ἐκ τῶν σφαιρικῶν ὅτι τὸ Ε κέντρον ἐστὶν τοῦ κύκλου. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΒ ΒΔ· ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τριπλάσιον τοῦ ἀπὸ ΔΕ.
Ἐπεὶ γὰρ ἐδείχθη ἐν τῷ ὀκταέδρῳ ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει διπλασία ἐστὶν τῆς τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς, ἔστιν δὲ καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας δυνάμει τετραπλασία, διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΓ τοῦ ἀπὸ ΒΔ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ τοῦ μὲν ἀπὸ ΒΕ τριπλάσιόν ἐστιν διὰ τὸ ιβʹ τοῦ ιγʹ στοιχείων, τοῦ δὲ ἀπὸ ΒΔ διπλάσιον, τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΔ τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἡμιόλιον. ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ ΒΔ τοῖς ἀπὸ ΒΕΔ· τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΕΔ ἡμιόλια τοῦ ἀπὸ ΒΕ· διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΕ τοῦ ἀπὸ ΔΕ· τριπλάσια ἄρα τὰ ἀπὸ ΒΕ ΕΔ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΒΔ, τοῦ ἀπὸ ΔΕ. Ἄλλως τὸ αὐτό.
μϛʹ Ἐκκείσθω τετράγωνον, ἐφʼ οὗ τὸ ἥμισυ τοῦ ὀκταέδρου ἔστω τὸ ΑΒΓΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἵ τε ΑΓ ΒΔ διάμετροι τοῦ τετραγώνου καὶ ἡ ΕΖ· ἡ ΕΖ ἄρα ἐκ κέντρου ἐστὶν τῆς περιλαμβανούσης τὸ ὀκτάεδρον σφαίρας, ὡς ἐν τοῖς στοιχείοις· ἀπὸ τοῦ Ζ κέντρου τοίνυν ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΖΗ — ἴση ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΗΒ —, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΗ. καὶ ἐπεὶ ἰσόπλευρόν ἐστιν τὸ ΑΒΕ τρίγωνον, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΒ, καὶ ἡ ΕΗ ἥξει διὰ τοῦ κέντρου τοῦ περὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον κύκλου· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον τοῦ ΑΒΕ κύκλου κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν ΕΗ πεσεῖται. πιπτέτω ὡς ἡ ΖΘ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΖΒ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΖΑΗ ἡμίσους ὀρθῆς ἐστιν. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΗΑ ὀρθή· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΗ ἡμίσους ὀρθῆς· ἴση ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΖΗ· διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΖ τοῦ ἀπὸ ΖΗ. ἴση δὲ ἡ ΑΖ τῇ ΕΖ· τριπλάσια ἄρα τὰ ἀπὸ ΕΖΗ τοῦ ἀπὸ ΖΗ. ἀλλὰ τὰ ἀπὸ ΕΖΗ ἴσα ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΗ διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν ΕΖ πρὸς τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον· καὶ τὸ ἀπὸ ΕΗ ἄρα τριπλάσιόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΖΗ. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΗΖ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΘ διὰ τὸ ἰσογώνια εἶναι τὰ ΕΖΗ ΕΖΘ τρίγωνα· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΘ καθέτου ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον τοῦ ὀκταέδρου. τριπλάσιόν ἐστιν.
μζʹ Ἔστω τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ ἐγγεγραμμένον εἰς σφαῖραν, κέντρον δὲ τῆς σφαίρας τὸ Δ, καὶ ἤχθω ἀπʼ αὐτοῦ ἐπὶ τὸ τοῦ τριγώνου ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΔΕ — τὸ Ε ἄρα κέντρον ἐστὶν τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον γραφομένου κύκλου, ὡς ἔστιν ἐν σφαιρικοῖς —, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΕ ἐκβεβλήσθω· ὅτι ἡ ΑΕ τῆς ΕΖ διπλῆ ἐστιν.
Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ ΕΓ· ἴσαι ἄρα ἀλλήλαις εἰσίν. καὶ ἐπεὶ τρίτου μὲν ὀρθῆς ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΕ ΕΒΖ, διμοίρου δὲ ὀρθῆς ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΕΖ ΑΒΓ, ἰσογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΒΖ τρίγωνον τῷ ΒΕΖ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΖ, ἡ ΒΕ, τουτέστιν ἡ ΑΕ, πρὸς ΕΖ. διπλῆ δὲ ἡ ΑΒ τῆς ΒΖ· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΖ.
μηʹ Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ περὶ κέντρον τὸ Ε καὶ διάμετρον τὴν ΑΓ, πενταγώνου δὲ ἔστω ἡ ΔΗΒ πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῇ ΑΓ διαμέτρῳ, καὶ κείσθω τῇ ΓΗ ἴση ἡ ΖΗ· ὅτι ἡ ΕΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ζ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΕΖ. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΕΔ ΖΔ ΓΔ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΓΔ περιφέρεια δεκαγώνου ἐστίν — πενταγώνου γὰρ ἡ ΔΓΒ —, εἴη ἂν ἡ ὑπὸ ΔΕΓ γωνία δύο πέμπτων ὀρθῆς· ὥστε ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΕΓΔ ΕΔΓ τεσσάρων πέμπτων ὀρθῆς ἐστιν. ἀλλʼ ἐπεὶ ἡ ΖΗ τῇ ΗΓ ἴση ἐστίν, κοινὴ δὲ ἡ ΔΗ καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΖΓ, ἔστιν ἄρα καὶ ἡ ΔΖ εὐθεῖα τῇ ΔΓ ἴση· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΔΖΓ ἴση οὖσα τῇ ὑπὸ ΔΓΖ τεσσάρων πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς. δύο δὲ πέμπτων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΕΔ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΔΖ δύο πέμπτων ὀρθῆς ἐστιν· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΖ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΕΖ τῇ ΖΔ ἴση ἐστίν, τουτέστιν τῇ ΔΓ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΔΓ τῇ ὑπὸ ΕΓΔ, τουτέστιν τῇ ὑπὸ ΔΖΓ, καὶ κοινὴ ἡ ὑπὸ ΔΓΖ, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΖΔΓ ἐστὶν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΔΕΓ τρίγωνον τῷ ΔΖΓ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΓ πρὸς ΓΔ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς ΓΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΓΔ. ἴση δὲ ἡ ΓΔ τῇ ΕΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΖ· ἡ ΕΓ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ζ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΕΖ.
μθʹ … Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δʹ πρὸς γʹ.
Εὐθεῖα γὰρ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔστω ἔλασσον αὐτῆς τμῆμα τὸ ΓΒ· λέγω ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δʹ πρὸς γʹ.
Κείσθω τῇ ΓΒ ἴση ἡ ΓΔ· γίνεται ἄρα, διὰ τὸ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμῆσθαι τὴν ΑΒ εὐθεῖαν, τὸ ἀπὸ ΑΒ καὶ τὸ ἀπὸ ΓΒ ἴσα τῷ τρὶς ἀπὸ ΑΓ, ὡς ἔστιν στοιχείοις δʹ τοῦ τρισκαιδεκάτου θεωρήματι, τουτέστιν τῷ τρὶς ὑπὸ ΑΒΓ. ἀλλὰ τὸ τρὶς ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τρὶς ὑπὸ ΑΓΒ καὶ τῷ τρὶς ἀπὸ ΓΒ — ἐπεὶ καὶ τὸ ἅπαξ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓΒ καὶ τῷ ἀπὸ ΒΓ, ὥς ἔστι στοιχείοις τὸ γʹ θεώρημα τοῦ βʹ· τὰ ἄρα ἀπὸ ΑΒΓ ἴσα ἐστὶν τῷ τρὶς ὑπὸ ΑΓΒ καὶ τῷ τρὶς ἀπὸ ΓΒ· κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ἀπὸ ΒΓ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ τρὶς ὑπὸ ΑΓΒ καὶ τῷ δὶς ἀπὸ ΒΓ, τουτέστιν τῷ τρὶς ὑπὸ ΑΓΔ καὶ τῷ δὶς ἀπὸ ΓΔ. ἀλλὰ τὸ τρὶς ὑπὸ ΑΓΔ ἴσον ἐστὶν τῷ τρὶς ἀπὸ ΑΔΓ καὶ τῷ τρὶς ἀπὸ ΓΔ — ἐπεὶ καὶ τὸ ἅπαξ ὑπὸ ΑΓΔ ἴσον τῷ ὑπὸ ΑΔΓ καὶ τῷ ἀπὸ ΔΓ διὰ τὸ αὐτὸ γʹ τοῦ βʹ στοιχείων θεώρημα· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τρὶς ὑπὸ ΑΔΓ καὶ τῷ πεντάκις ἀπὸ ΓΔ, τουτέστιν τῷ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ. κείσθω δὴ τῇ ΑΔ ἴση ἡ ΔΕ· φανερὸν γὰρ ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΔΑ τῆς ΓΔ, ἐπειδήπερ καὶ ἡ ΓΑ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν τὸ ΔΓ. καθόλου γάρ, ἐὰν ἄκρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἡ ΑΒ, καὶ τὸ ἔλασσον τμῆμα οἷον τὸ ΓΒ, καὶ τῇ ΓΒ ἴση τεθῇ ἡ ΓΔ, καὶ ἡ ΑΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν τὸ ΔΓ. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ΔΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται τῷ Ε, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΔΕ· τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ ΔΕΓ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΔΓΕ. κοινὸν προσκείσθω τὸ τετράκις ὑπὸ ΔΓΕ· τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ ΔΕΓ καὶ τὸ τετράκις ὑπὸ ΔΓΕ, τουτέστιν τὸ τετράκις ἀπὸ ΔΕ, μεῖζον τοῦ πεντάκις ὑπὸ ΔΓΕ. ἀλλὰ τὸ τετράκις ὑπὸ ΔΕΓ καὶ τὸ τετράκις ἀπὸ ΔΕ ἴσον ἐστὶν τῷ τετράκις ὑπὸ ΓΔΕ· τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ ΓΔΕ μεῖζον τοῦ πεντάκις ὑπὸ ΔΓΕ. κοινὸν προσκείσθω τὸ πεντάκις ὑπὸ ΓΔΕ· τὸ ἄρα ἐννάκις ὑπὸ ΓΔΕ μεῖζόν ἐστιν τοῦ πεντάκις ὑπὸ ΓΔΕ καὶ τοῦ πεντάκις ὑπὸ ΔΓΕ, τουτέστιν τοῦ πεντάκις ἀπὸ ΔΓ· τὸ ἄρα τρὶς ὑπὸ ΑΔΓ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΔΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ ἐννάκις ὑπὸ ΑΔΓ. λόγος δὲ τοῦ τρὶς ὑπὸ ΑΔΓ πρὸς τὸ ἐννάκις ὑπὸ ΑΔΓ, ὃν αʹ πρὸς γʹ· τὸ ἄρα τρὶς ὑπὸ ΑΔΓ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΔΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ αʹ πρὸς γʹ· συνθέντι τὸ ἄρα τρὶς ὑπὸ ΑΔΓ καὶ πεντάκις ἀπὸ ΔΓ, τουτέστιν τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ, πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δʹ πρὸς γʹ. ἐδείχθη δὲ τὸ τρὶς ὑπὸ ΑΔΓ καὶ τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ ἴσον τῷ ἀπὸ ΑΒ τετραγώνῳ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΒ τετράγωνον πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δʹ πρὸς γʹ.
Ἐκ δὴ τούτου φανερὸν ὅτι καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ πεντάκις ἀπὸ τῆς ΒΓ μεῖζόν ἐστιν.
νʹ Τῆς ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸ εἰκοσάεδρον ἐφʼ ἓν ἐπίπεδον τῶν τοῦ εἰκοσαέδρου καθέτου τὸ δυνάμει δωδεκαπλάσιον μεῖζόν ἐστιν τοῦ δυνάμει πενταπλασίου τῆς πλευρᾶς τοῦ εἰκοσαέδρου.
Ἐκκείσθω κύκλος ὁ ΑΒΓ ὁ δεχόμενος τὸ πεντάγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου, ὡς ἐν στοιχείοις, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΓ διάμετρος τοῦ κύκλου, τὸ δὲ Ε κέντρον, ἡ δὲ ΔΚΒ πενταγώνου ἰσοπλεύρου πλευρὰ κάθετος οὖσα ἐπὶ τὴν διάμετρον, καὶ ἀπὸ τῶν Ε Γ ἀνεστάτωσαν ὀρθαὶ τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ κύκλου αἱ ΖΕΗ ΓΛ, καὶ ἑκατέρα μὲν τῶν ΕΘ ΓΛ ἑξαγώνου, ἑκατέρα δὲ τῶν ΕΖ ΗΘ δεκαγώνου, καὶ τετμήσθω ἡ ΕΘ δίχα κατὰ τὸ Ο· τὸ Ο ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶν τῆς σφαίρας, ὡς ἐν τοῖς στοιχείοις ιϛʹ θεώρημα τοῦ ιγʹ. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΔ ΛΒ ΛΚ ΒΓ. ἐπεὶ οὖν ἑξαγώνου ἐστὶν ἡ ΓΛ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΒΓ, καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΓΛ, πενταγώνου ἄρα ἐστιν ἡ ΒΛ διὰ τὸ ιʹ θεώρημα τοῦ ιγʹ· ὁμοίως καὶ ἡ ΛΔ. ἔτι δὲ καὶ ἡ ΒΔ· τὸ ἄρα ΒΛΔ τρίγωνον ἰσόπλευρόν ἐστιν τῶν περιεχόντων τὸ εἰκοσάεδρον. καὶ ἐπεὶ ἡ ΛΚ τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθάς ἐστιν, καὶ τὸ διὰ τῶν ΑΓ ΚΛ ἄρα ἐπίπεδον, ὅπερ ἐστὶν τὸ διὰ τῶν ΕΗ ΓΛ παραλλήλων, ὀρθόν ἐστιν πρὸς τὴν ΒΔ· καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΒΔ ἐπίπεδα, ὧν ἐστιν καὶ τὸ ΒΔΛ τρίγωνον, ὀρθά ἐστιν πρὸς τὸ διὰ τῶν ΕΗ ΓΛ παραλλήλων ἐπίπεδον, ἐν ᾧ ἐστιν καὶ τὸ ΓΚΛ τρίγωνον· ὥστε καὶ τὸ ΒΔΛ τρίγωνον ὀρθόν ἐστιν πρὸς τὸ ΓΚΛ. ἤχθω ἐπὶ τὴν ΚΛ κάθετος ἡ ΟΝ· δύο οὖν ἐπίπεδά ἐστιν ὀρθὰ ἀλλήλοις τό τε ΓΚΛ καὶ τὸ ΒΔΛ, καὶ τῇ κοινῇ τομῇ αὐτῶν τῇ ΚΛ ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων ὀρθή ἐστιν ἡ ΟΝ· καὶ ἡ ΟΝ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὸ ΒΔΛ τρίγωνον. καὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΛΒ τῆς ΒΚ· ὥστε διπλῆ ἐστιν ἡ ΛΝ τῆς ΝΚ διὰ τὸ δʹ. τετμήσθω δὲ δίχα ἡ ΓΛ κατὰ τὸ Μ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΜ· ἔσται δὴ παράλληλος ἡ ΟΜ τῇ ΕΓ — ἴση γὰρ ἡ ΕΟ τῇ ΓΜ, ἐπεὶ καὶ αἱ ΓΛ ΕΘ διπλαῖ ἴσαι καὶ παράλληλοί εἰσιν —, καὶ ἡ ΛΙ τῇ ΙΚ ἴση — τριγώνου γὰρ τοῦ ΓΚΛ παρὰ τὴν ΓΚ ἦκται ἡ ΙΜ, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΓΜ τῇ ΜΛ. καὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΛΝ τῆς ΝΚ· οἵων ἄρα ἡ ΚΛ ϛʹ, ἡ ΛΝ δʹ καὶ ἡ ΚΝ βʹ, καὶ ἑκατέρα τῶν ΛΙ ΙΚ τριῶν, καὶ λοιπὴ ἡ ΙΝ ἑνός· τριπλῆ ἄρα ἡ ΛΙ τῆς ΙΝ· λέγω οὖν ὅτι δώδεκα τὰ ἀπὸ ΟΝ μείζονά ἐστιν εʹ τῶν ἀπὸ ΒΔ.
Κείσθω τῇ ΚΓ ἴση ἡ ΚΞ· διὰ μὲν οὖν τὸ εʹ θεώρημα τῶν προγραφομένων ἡ ΕΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ξ, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΕΞ, διὰ δὲ τὸ ϛʹ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ τοῦ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος τῆς ΞΓ μεῖζον· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ τοῦ μὲν ἀπὸ τῆς ΞΓ μεῖζόν ἐστιν ἢ πενταπλάσιον, τοῦ δὲ ἀπὸ τῆς ΚΓ μεῖζον ἢ εἰκοσαπλάσιον. καὶ ἔστιν ὡς τὸ ἀπὸ ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΓ, τὸ ἀπὸ ΓΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΚ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΟΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΙ — ἰσογώνια γὰρ τὰ ΟΝΙ ΛΙΜ ΛΚΓ τρίγωνα· τὸ ἄρα ἀπὸ ΟΝ εἴκοσι τῶν ἀπὸ ΝΙ μεῖζόν ἐστιν. καὶ λϛʹ ἄρα τὰ ἀπὸ ΟΝ ψκʹ τῶν ἀπὸ ΝΙ μείζονά ἐστιν. ψκʹ δὲ τὰ ἀπὸ ΝΙ ὀγδοήκοντά ἐστιν τὰ ἀπὸ ΛΙ — ἐδείχθη γὰρ τριπλῆ ἡ ΛΙ τῆς ΙΝ. ὀγδοήκοντα δὲ τὰ ἀπὸ ΙΛ εἴκοσί ἐστιν τὰ ἀπὸ ΛΚ — διπλῆ γὰρ ἡ ΛΚ τῆς ΛΙ. εἴκοσι δὲ τὰ ἀπὸ ΚΛ ιεʹ ἐστὶν τὰ ἀπὸ ΒΔ — ἰσόπλευρον γάρ ἐστιν τὸ ΔΒΛ τρίγωνον, καὶ κάθετος ἡ ΛΚ, καὶ ἐπίτριτος δυνάμει ἡ ΒΔ τῆς ΚΛ· ὥστε λϛʹ τὰ ἀπὸ ΟΝ δεκαπέντε τῶν ἀπὸ ΒΔ, καὶ δώδεκα ἄρα τὰ ἀπὸ ΟΝ μείζονα πέντε τῶν ἀπὸ ΒΔ, ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
ναʹ Ἐὰν δύο εὐθεῖαι ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῶσιν, ἐν ἀναλογίᾳ εἰσὶν τῇ ὑποκειμένῃ.
Τετμήσθω γὰρ ἡ μὲν ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Γ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα αὐτῆς ἔστω ἡ ΑΓ, ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ΔΕ κατὰ τὸ Ζ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα ἔστω ἡ ΔΖ· λέγω ὅτι ὡς ὅλη ἡ ΑΒ πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα τὴν ΑΓ, οὕτως ὅλη ἡ ΔΕ πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα τὴν ΔΖ.
Ἐπεὶ γὰρ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΔΕΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ· καὶ ὡς ἄρα τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, οὕτως τὸ τετράκις ὑπὸ ΔΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΖ, καὶ συνθέντι ὡς τὸ τετράκις ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, οὕτως τὸ τετράκις ὑπὸ ΔΕΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΖ. ἀλλὰ τὸ μὲν τετράκις ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου ἐστὶν τῆς ΑΒ καὶ ΒΓ διὰ τὸ ηʹ θεώρημα τοῦ βʹ στοιχείων, τὸ δὲ τετράκις ὑπὸ ΔΕΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΖ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου ἐστὶν τῆς ΔΕΖ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΔΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΖ· καὶ μήκει ἄρα ὡς συναμφότερος ἡ ΑΒΓ πρὸς ΑΓ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΔΕΖ πρὸς ΔΖ. καὶ συνθέντι ὡς συναμφότεραι αἱ ΑΒ ΒΓ μετὰ τῆς ΑΓ, τουτέστιν δύο αἱ ΑΒ, πρὸς ΑΓ, οὕτως συναμφότεραι αἱ ΔΕ ΕΖ μετὰ τῆς ΔΖ, τουτέστιν δύο αἱ ΔΕ, πρὸς ΔΖ. καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ ἡμίση, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς ΔΖ.
Ἐκ δὴ τούτου φανερὸν ὅτι, ἐὰν ὦσιν δύο εὐθεῖαι ἴσαι, ὡς αἱ ΑΒ ΔΕ, καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ κατὰ τὰ Γ Ζ, ἔσται τὰ μείζονα τμήματα αὐτῶν ἴσα καὶ τὰ ἐλάσσονα ὁμοίως ἴσα. ἐπεὶ γάρ, ὡς ἐδείχθη, ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς ΖΔ, καὶ ἐναλλάξ· ⁓
νβʹ Ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, οὗ κέντρον τὸ Ε, καὶ τριπλῆ ἡ ΑΓ τῆς ΓΔ, καὶ τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ· ἡ ΑΓ ἄρα τῆς ΒΓ δυνάμει τριπλασίων ἐστίν ὡς γὰρ ἡ ΑΓ πρὸς ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΓ ΒΔΓ τριγώνων. τετμήσθω δʼ ἡ ΒΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τῷ Θ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα ἔστω ἡ ΒΘ, καὶ γεγενήσθω ἡ ΓΕ τῆς ΕΖ δυνάμει πενταπλῆ — δυνατὸν δὲ τοῦτο· ἡ γὰρ ΕΓ τῆς ΕΔ τριπλῆ· λέγω ὅτι λόγος ἐστὶν τῆς ΒΘ πρὸς τὴν ΓΖ δυνάμει ὃν εʹ πρὸς γʹ.
Κείσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΕΗ, καὶ ἡ ΖΗ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω τῷ Κ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΓΕ ἑαυτῆς τμήματος τῆς ΕΖ πενταπλάσιον δύναται, καὶ ἡ διπλῆ τῆς ΕΖ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται τῷ Κ, ἡ ΚΖ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ ΖΓ διὰ τὸ βʹ θεώρημα τοῦ ιγʹ στοιχείων· ὥστε καὶ ἡ ΓΗ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται τῷ Ζ, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΖΗ. ἀλλὰ διὰ τὸ προδειχθέν ἐστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΘ, ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΖ, τουτέστιν ἡ ΖΗ πρὸς ΖΓ· καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΖΗ, ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΓΖ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ τῆς μὲν ΒΓ δυνάμει τριπλῆ ἐστιν, τῆς δὲ ΗΖ πενταπλῆ, οἵων ἄρα δυνάμει ἡ ΑΓ ιεʹ, τοιούτων ἡ μὲν ΒΓ εʹ, ἡ δὲ ΖΗ γʹ· ἡ ΒΓ ἄρα πρὸς ΖΗ λόγον ἔχει δυνάμει ὃν εʹ πρὸς γʹ· ὥστε καὶ ἡ ΒΘ πρὸς ΖΓ λόγον ἔχει δυνάμει ὃν εʹ πρὸς γʹ.
νγʹ Πάλιν ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ οὗ κέντρον τὸ Ζ, καὶ πενταπλάσιον τὸ ἀπὸ ΓΖ τοῦ ἀπὸ ΕΖ, καὶ τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΕ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω τῷ Δ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΒΔ· ὅτι τὰ ἀπὸ ΓΒ ΒΔ πενταπλάσια τοῦ ἀπὸ ΓΕ.
Κείσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΖΗ· ἡ ΗΓ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται τῷ Ε, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΕΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΗΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΗ, ἴση δέ ἐστιν ἡ ΕΓ τῇ ΑΗ — ὅτι καὶ ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ —, ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΕΓ τῷ ἀπὸ ΕΗ. καὶ ἔστιν ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΕΗ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΑΕΓ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ — ἐπεὶ καὶ ὡς ἡ ΗΕ πρὸς ΕΓ, οὕτως πρὸς ΒΔ. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΑΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς ΕΓ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ. συνθέντι ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ, τουτέστιν ὡς τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ, οὕτως τὰ ἀπὸ ΓΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ. ἔστι δὲ καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ, τὸ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ· διʼ ἴσου ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ, τὰ ἀπὸ ΓΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ. πενταπλάσιον δὲ τὸ ἀπὸ ΑΓ τοῦ ἀπὸ ΗΕ· πενταπλάσια ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ ΓΒΔ τοῦ ἀπὸ ΓΕ, ὅπερ· ⁓
νδʹ Τῆς δὲ τοῦ ἑξαγώνου πλευρᾶς ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης, τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ τοῦ δεκαγώνου πλευρά. Ἑξαγώνου γὰρ ἡ ΔΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΔΓ· λέγω ὅτι ἡ ΔΓ δεκαγώνου ἐστίν.
Προσκείσθω ἡ ΔΑ δεκαγώνου οὖσα· ἡ ΑΒ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται τῷ Δ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΔΒ τῷ Γ· διὰ ἄρα τὸ ηʹ λῆμμά ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΔ, τουτέστιν ἡ ΒΔ πρὸς ΔΑ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ· ἴση ἄρα ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ. δεκαγώνου δὲ ἡ ΑΔ· δεκαγώνου ἄρα καὶ ἡ ΔΓ.
νεʹ Τῶν εἰς τὴν αὐτὴν σφαῖραν ἐγγραφομένων τὸ πεντάγωνον τοῦ δωδεκαέδρου καὶ τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει. Ἐκκείσθω γὰρ τῆς σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ περὶ αὐτὴν ἡμικύκλιον οὗ κέντρον τὸ Γ, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ ὀρθὴ πρὸς τὴν ΑΒ ἡ ΓΔ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ ὥστε διπλασίαν εἶναι τὴν ΑΕ τῆς ΕΒ, καὶ ὀρθὴ ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΛΒ ΖΒ· ἡ ΖΒ ἄρα κύβου ἐστὶν πλευρά, ὡς ἔστιν ἐν τῷ ιγʹ τῶν στοιχείων ἐπὶ τοῦ κύβου. τετμήσθω ἡ ΖΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τῷ Η, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΖΗ· ἡ ΖΗ ἄρα δωδεκαέδρου ἐστὶν πλευρὰ διὰ τὸ ἐν τῷ ιγʹ στοιχείων ἐπιλεγόμενον τῷ δωδεκαέδρῳ. ἐπιζευχθεῖσα δὲ ἡ ΛΓ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Κ, καὶ κάθετος μὲν ἡ ΚΘ ἐπὶ τὴν ΑΒ, ἐπιζευχθεῖσα δὲ ἡ ΚΒ. ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω τῷ Μ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΚΜ. καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΒΓ διπλῆ, ἡ δὲ ΑΕ τῆς ΕΒ διπλῆ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΒ λοιπῆς τῆς ΓΕ διπλῆ. ἀλλὰ ἡ ΒΕ τῇ ΕΛ ἐστὶν ἴση διὰ τὸ εἶναι ὡς τὴν ΒΓ πρὸς ΔΓ, τὴν ΒΕ πρὸς ΕΛ· καὶ ἡ ΛΕ ἄρα τῆς ΕΓ ἐστὶν διπλῆ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΚΘ τῆς ΘΓ διπλῆ· τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΘΚ τοῦ ἀπὸ ΓΘ πενταπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΚΓ τοῦ ἀπὸ ΓΘ· καὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ ἄρα τοῦ ἀπὸ ΓΘ ἐστὶν πενταπλάσιον· ἡ ΚΒ ἄρα εἰκοσαέδρου ἐστὶν πλευρά· τοῦτο γὰρ ἐδείχθη ἐν τῷ ιγʹ στοιχείων. ἐπεὶ οὖν ἐν μὲν τῷ θʹ λήμματι δέδεικται λόγος τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΘ ὃν ἔχει τὰ εʹ πρὸς τὰ γʹ, ἐν δὲ τῷ δεκάτῳ τὰ ἀπὸ ΒΚ ΚΜ πενταπλάσια τοῦ ἀπὸ ΒΘ, τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΚ ΚΜ τριπλάσια τοῦ ἀπὸ ΖΗ. ἐκκείσθω οὖν κύκλος ὁ περιλαμβάνων τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου, καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τυχοῦσα διηγμένη ἡ ΝΞ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω τῷ Ο, καὶ μεῖζον ἔστω τμῆμα τὸ ΟΝ· δεκαγώνου ἄρα ἡ ΝΟ διὰ τὸ προδειχθέν. καὶ ἐπεὶ ἡ τοῦ τριγώνου τοῦ ἰσοπλεύρου τοῦ εἰς τὸν κύκλον οὗ κέντρον τὸ Ν γραφομένου τριπλασία ἐστὶν δυνάμει τῆς ΝΞ ἐκ κέντρου, ὡς ἔστιν ἐν τῷ ιγʹ βιβλίῳ στοιχείων, ἦν δὲ ἡ τοῦ τριγώνου ἡ ΚΒ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΒ τριπλάσιον τοῦ ἀπὸ ΝΞ. καὶ εἰσὶν ἀμφότεραι ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμημέναι· διὰ τὸ ἐν ἀρχῇ τοίνυν ἐστὶν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΝΞ, ἡ ΚΜ πρὸς ΝΟ. καὶ τὰ τετράγωνα. καὶ ὡς ἓν πρὸς ἕν, πάντα πρὸς πάντα· τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΚΜ τῶν ἀπὸ ΞΝΟ ἐστὶν τριπλάσια. ἐδείχθη δὲ καὶ τοῦ ἀπὸ ΖΗ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΚΜ τριπλάσια· ἴσα ἄρα τὰ ἀπὸ ΞΝΟ τῷ ἀπὸ ΖΗ. καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΝΞ ἑξαγώνου, ἡ δὲ ΝΟ δεκαγώνου· ἡ ΖΗ ἄρα πενταγώνου ἐστὶν πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν κύκλον, οὗ κέντρον τὸ Ν, γραφομένου — δέδεικται γὰρ ἐν τῷ ιγʹ στοιχείων καὶ τοῦτο. ἡ δὲ ΖΗ πενταγώνου οὖσα πλευρὰ καὶ δωδεκαέδρου πλευρά ἐστιν· ὁ αὐτὸς ἄρα κύκλος περιλαμβάνει τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ τὸ πεντάγωνον τοῦ δωδεκαέδρου.
νϛʹ Ἄλλως ὅτι ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τοῦ εἰκοσαέδρου τρίγωνον καὶ τοῦ δωδεκαέδρου πεντάγωνον.
Ἐκκείσθω τις σφαῖρα καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὴν δωδεκάεδρον καὶ εἰκοσάεδρον, καὶ ἔστω τοῦ μὲν δωδεκαέδρου πεντάγωνον τὸ ΓΔΕΖΗ κύκλῳ περιεχόμενον τῷ ΓΔΕ, εἰκοσαέδρου δὲ τρίγωνον ἐν κύκλῳ τῷ ΠΡΣ· λέγω ὅτι οἱκύκλοι ἴσοι εἰσίν, τουτέστιν ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τὸ πεντάγωνον καὶ τὸ τρίγωνον.
Ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ· κύβου ἄρα τοῦ ὑπὸ τὴν αὐτὴν σφαῖραν τῷ δωδεκαέδρῳ πλευρά ἐστιν ἡ ΓΕ· τοῦτο γὰρ ἐδείχθη ιγʹ στοιχείων. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Κ, καὶ κάθετος ἀπʼ αὐτοῦ ἡ ΚΛ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ Γ Θ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ· δεκαγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΘ, τουτέστιν τὰ ἀπὸ τῶν ΓΕΘ τετραπλάσια τοῦ ἀπὸ ΘΚ, τὰ ἄρα ἀπὸ ΓΕ ΕΘ ΘΚ πενταπλάσια τοῦ ἀπὸ ΘΚ. ἀλλὰ τοῖς ἀπὸ ΕΘ ΘΚ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ — ἡ γὰρ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων, ὡς ἔστιν ιγʹ στοιχείων· τὰ ἄρα ἀπὸ ΓΕ ΕΖ πενταπλάσια τοῦ ἀπὸ ΘΚ. ἐκκείσθω δὴ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ καὶ εὐθεῖά τις ἡ ΜΝ, ὥστε πενταπλάσιον εἶναι τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ ΜΝ, ὡς ἔστιν λῆμμα ιγʹ στοιχείων. ἔστιν δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει πενταπλασία τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἀφʼ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον, ὡς ἔστιν ιγʹ στοιχείων· ἐκ τοῦ κέντρου ἄρα ἐστὶν τοῦ κύκλου ἀφʼ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἡ ΜΝ. τετμήσθω ἡ ΜΝ ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Ξ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΜΞ· δεκαγώνου ἄρα ἡ ΜΞ διὰ τὸ ιαʹ λῆμμα. καὶ ἐπεί ἐστιν τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ ΜΝπενταπλάσιον, ἔστιν δὲ καὶ τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ ΓΕ τῆς πλευρᾶς τοῦ κύβου τριπλάσιον, ὡς ἔστιν ιγʹ στοιχείων, τρία ἄρα τὰ ἀπὸ ΓΕ ἴσα ἐστὶν εʹ τοῖς ἀπὸ ΜΝ. ὡς δὲ τρία τὰ ἀπὸ ΓΕ πρὸς τρία τὰ ἀπὸ ΓΔ, οὕτως πέντε τὰ ἀπὸ ΜΝ πρὸς πέντε τὰ ἀπὸ ΜΞ — τῆς γὰρ ΓΕ κύβου πλευρᾶς ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρά, ὡς ἔστιν ιγʹ στοιχείων· τρία ἄρα τὰ ἀπὸ ΓΕ καὶ τρία τὰ ἀπὸ ΖΕ ἴσα ἐστὶν πέντε τοῖς ἀπὸ ΜΝ καὶ πέντε τοῖς ἀπὸ ΜΞ. πέντε δὲ τὰ ἀπὸ ΜΝ καὶ πέντε τὰ ἀπὸ ΜΞ ἴσα ἐστὶν πέντε τοῖς ἀπὸ ΡΣ, ὡς ἐν τῷ εἰκοσαέδρῳ ιγʹ στοιχείων δείκνυται· πέντε ἄρα τὰ ἀπὸ ΡΣ ἴσα ἐστὶν τρισὶ τοῖς ἀπὸ ΓΕ καὶ τρισὶ τοῖς ἀπὸ ΖΕ. ἀλλὰ πέντε μὲν τὰ ἀπὸ ΡΣ ἴσα ἐστὶν δεκαπέντε τοῖς ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ περὶ τὸ ΠΡΣ γραφομένου διὰ τὸ ιβʹ τοῦ ιγʹ στοιχείων. τρία δὲ τὰ ἀπὸ ΓΕ καὶ τρία τὰ ἀπὸ ΖΕ ἴσα ἐστὶν δεκαπέντε τοῖς ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ περιγραφομένου περὶ τὸ ΓΔΕΖΗ πεντάπλευρον — ἐδείχθη γὰρ τὰ ἀπὸ ΓΕΖ τοῦ ἀπὸ ΘΚ πενταπλάσια· δεκαπέντε ἄρα τὰ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ περὶ τὸ ΠΡΣ τρίγωνον κύκλου ἴσα ἐστὶν δεκαπέντε τοῖς ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ περὶ τὸ ΓΔΕΖΗ κύκλου· ὥστε καὶ τὸ ἓν τῷ ἑνὶ ἴσον· ἡ ἄρα διάμετρος ἴση τῇ διαμέτρῳ, καὶ ὁ κύκλος τῷ κύκλῳ· ὁ αὐτὸς ἄρα κύκλος περιλαμβάνει τό τε τοῦ δωδεκαέδρου πεντάγωνον καὶ τὸ τοῦ εἰκοσαέδρου τρίγωνον τῶν εἰς τὴν αὐτὴν σφαῖραν ἐγγραφομένων.
νζʹ Τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων τὰ δώδεκα πεντάγωνα μείζονά ἐστιν εἴκοσι τριγώνων.
Ἔστω κύκλος ὁ περιλαμβάνων τό τε τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ τὸ πεντάγωνον τοῦ δωδεκαέδρου ὁ ΒΓΔΕ, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὸν τριγώνου μὲν πλευρὰ ἡ ΒΕ, πενταγώνου δὲ ἡ ΓΔ, καὶ ἔστωσαν παράλληλοι, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Α, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ κάθετος ἐπὶ τὰς παραλλήλους ἡ ΑΖΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΑΓ ΑΔ ΑΕ ΒΘ ΓΘ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΒΕ τριγώνου πλευρά ἐστιν, ἡ ΒΘ ἄρα ἑξαγώνου ἐστίν. πάλιν ἐπεὶ ἡ ΓΔ πενταγώνου ἐστίν, ἡ ΓΘ ἄρα δεκαγώνου ἐστίν. καὶ κάθετοί εἰσιν αἱ ΒΖ ΓΗ· μεῖζον ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΗΑ τοῦ ὑπὸ ΒΖΑ διὰ τὸ ἑξῆς· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΑΓΔ τρίγωνον τοῦ ΑΒΕ τριγώνου· καὶ ξʹ ἄρα τρίγωνα τὰ ΓΔΑ ξʹ τριγώνων τῶν ΒΑΕ μείζονά ἐστιν. ἀλλὰ ξʹ μὲν τὰ ΓΑΔ τρίγωνα τὸ δωδεκάεδρόν ἐστιν — ἕκαστον γὰρ πεντάγωνον πέντε ἔχει τρίγωνα ὅμοια τῷ ΓΑΔ —, ξʹ δὲ τὰ ΒΑΕ τὸ εἰκοσάεδρόν ἐστιν — ἕκαστον γὰρ τρίγωνον τρία ἔχει ὅμοια τῷ ΒΑΕ· μείζονα ἄρα τὰ δώδεκα πεντάγωνα εἴκοσι τριγώνων τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων.
νηʹ Τὸ ὑπερτεθέν. ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ οὗ κέντρον τὸ Κ, καὶ διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ ΒΔ, καὶ ἑξαγώνου μὲν περιφέρεια ἡ ΔΕ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΔΖ, καὶ αἱ ΕΘ ΖΗ κάθετοι ἐπὶ τὴν ΒΔ διάμετρον· ὅτι τὸ ὑπὸ ΖΗΚ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΕΘΚ.
Ἔστω γὰρ ὀκταγώνου ἡ ΔΟ· οἵων ἄρα ὁ κύκλος τξʹ, τοιούτων ἡ μὲν ΔΕ ξʹ, ἡ δὲ ΔΖ λϛʹ, ἡ δὲ ΟΔ μεʹ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΟ θʹ, ἡ δὲ ΟΕ ιεʹ. κείσθω οὖν τῇ ΖΟ ἴση ἡ ΟΡ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΡ τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν. ἐπιζευχθεῖσαι δὲ αἱ ΖΕ ΖΡ ἐκβεβλήσθωσαν καὶ ἔστωσαν ὡς αἱ ΝΕΖΞ ΛΡΖΜ εὐθεῖαι· ἐπιζευχθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΚΟ δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθὰς τεμεῖ τὴν ΖΡ. τεμνέτω κατὰ τὸ Σ. καὶ ἐπεὶ ἡμίσους ὀρθῆς ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΟΚΛ ΟΚΜ, ἴση ἄρα καὶ ἡ μὲν ΚΜ τῇ ΚΛ, μείζων δὲ ἡ ΚΞ πολλῷ τῆς ΚΝ. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΝΚ πρὸς ΚΞ, ἡ ΖΗ πρὸς ΗΞ· ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ΖΗ τῆς ΗΞ. ἀλλὰ ἡ ΖΗ μείζων ἐστὶν τῆς ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΑΚ καθέτου, τουτέστιν τῆς ΘΚ — τῇ γὰρ ἀπὸ τοῦ Ρ καθέτῳ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΗ· ἡ ΗΘ ἄρα πρὸς ΘΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΗΞ. καὶ συνθέντι ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΞ πρὸς τὴν ΞΗ, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΖΗ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΗΚ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΕΘΚ.
νθʹ Ἐὰν τρίγωνον ἰσοσκελὲς ἔχον τὴν πρὸς τῇ κορυφῇ γωνίαν τεσσάρων πέμπτων ὀρθῆς καὶ ἰσόπλευρον αὐτῷ ἴσον ᾖ, δείκνυται τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς τοῦ ἰσοπλεύρου πρὸς τὸ ἀπὸ μιᾶς τῶν ἴσων πλευρῶν τοῦ ἰσοσκελοῦς ἐλάσσονα λόγον ἔχον ἤπερ εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος. Ἔστω γὰρ ἰσοσκελὲς τρίγωνον τὸ ΒΔΕ ἔχον τεσσάρων πέμπτων τὴν πρὸς τῷ Ε περιειλημμένην κύκλῳ οὗ κέντρον τὸ Ε καὶ διάμετρος ἡ ΑΕΖΓ κάθετος οὖσα ἐπὶ τὴν ΒΔ· πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΖΔ πλευρά. ἐὰν δὲ ἀπολάβωμεν ἑκατέραν τῶν ΓΗ ΓΘ περιφερειῶν δωδεκαγώνου, καὶ ἐπιζεύξωμεν τὴν ΗΘ καὶ τὰς ΕΗ ΕΘ, ἔσται ἰσόπλευρον τὸ ΕΗΘ. καὶ ἐὰν ἀγάγωμεν ἐφαπτομένην τὴν ΚΓΛ, ἔσται καὶ τὸ ΕΚΛ τρίγωνον ἰσόπλευρον. καὶ ἐὰν θέλωμεν ἁρμόσαι ἴσον τῷ ΒΔΕ τριγώνῳ, δείκνυται ὅτι μεταξὺ πίπτει τῶν ΘΕΗ ΚΕΛ, τουτέστιν τοῦ μὲν ΕΗΘ μεῖζον ἔσται τοῦ δὲ ΚΕΛ ἔλασσον.
Ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ ΘΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΜ ὃν δʹ πρὸς γʹ, ἴση δὲ ἡ ΘΕ τῇ ΕΓ, λόγος ἄρα καὶ τοῦ ἀπὸ ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΜ ὃν δʹ πρὸς γʹ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΜ, τὸ ἀπὸ ΚΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΗ, τουτέστιν τὸ ΚΕΛ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΗΘ τρίγωνον. καὶ τὰ ἑξαπλᾶ· τὸ περιγεγραμμένον ἑξάγωνον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον λόγον ἔχει ὃν δʹ πρὸς γʹ, τουτέστιν ὃν ιβʹ πρὸς θʹ. τοῦ δὲ περιγεγραμμένου ἑξαγώνου πρὸς εʹ τρίγωνα τὰ ΚΕΛ λόγος ἐστὶν ὃν ιβʹ πρὸς ιʹ· καὶ πέντε ἄρα τρίγωνα τὰ ΚΕΛ μείζονά ἐστιν τοῦ ἐγγεγραμμένου ἑξαγώνου· πολλῷ ἄρα τοῦ ἐγγεγραμμένου πενταγώνου μείζονά ἐστιν — ἐν γὰρ κύκλῳ τὸ ἐγγεγραμμένον πεντάγωνον ἰσόπλευρον τοῦ ἐγγραφομένου ἑξαγώνου ἔλασσόν ἐστιν· ἔλασσον ἄρα τὸ ΔΕΒ τοῦ ΚΕΛ. Λέγω δὴ ὅτι καὶ τοῦ ΕΗΘ μεῖζόν ἐστιν. εἰλήφθω γὰρ ἡ ΓΝ περιφέρεια ἑξαγώνου καὶ κάθετος ἡ ΝΞ. καὶ ἐπεὶ διὰ τὸ πρὸ τούτου τὸ ὑπὸ ΔΖΕ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΝΞΕ, καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ὑπὸ ΝΞΕ τὸ ὑπὸ ΘΜΕ — πάντα γὰρ πᾶσίν ἐστιν ἴσα —, καὶ τὸ ὑπὸ ΔΖΕ ἄρα μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΘΜΕ, ὥστε καὶ τὸ ΒΔΕ τρίγωνον μεῖζόν ἐστιν τοῦ ΘΕΗ τριγώνου.
Τὸ ἄρα τῷ ΒΔΕ ἴσον συνιστάμενον ἰσόπλευρον, ὥστε τὴν βάσιν αὐτοῦ παράλληλον εἶναι τῇ ΗΘ ἢ τῇ ΚΛ, μεταξὺ τῶν Κ Θ πίπτει. ἐπεὶ οὖν δέδεικται ἐν τῷ ϛʹ λήμματι ὅτι εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δʹ πρὸς γʹ, ἔχει δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ, λόγον ὃν δʹ πρὸς γʹ, πολλῷ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης εὐθείας πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν ΚΕ ΘΕ τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου πλευρᾶς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ, τουτέστιν τῆς ΕΔ τοῦ ἰσοσκελοῦς.
ξʹ. Τὰ μὲν οὖν λαμβανόμενα εἰς τὰς συγκρίσεις τῶν ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων πέντε σχημάτων ἐδείχθη καθʼ αὑτά, δεικτέον δʼ ἐφεξῆς ὅτι τὸ μὲν εἰκοσάεδρον μέγιστόν ἐστιν, μετὰ δὲ τοῦτο τὸ δωδεκάεδρον, εἶτα τὸ ὀκτάεδρον, μετὰ δὲ τὸ ὀκτάεδρον ὁ κύβος, ἐλάχιστον δὲ τὸ τῆς πυραμίδος.
Ἔστω δὲ πρῶτον ἐπὶ τοῦ κύβου καὶ τῆς πυραμίδος ὁ λόγος, καὶ ἔστω κύβου μὲν τετράγωνον τὸ ΑΒΓ, πυραμίδος δὲ τρίγωνον τὸ ΔΕΖ. ἐπεὶ οὖν ἴσαι ὑπόκεινται τῶν σχημάτων αἱ ἐπιφάνειαι, ἓξ ἄρα τετράγωνα τὰ ΑΒ ἴσα ἐστὶν τέσσαρσι τριγώνοις τοῖς ΔΕΖ· λόγος ἄρα τοῦ ΔΕΖ τριγώνου πρὸς τὸ ΑΒ τετράγωνον ὃν γʹ πρὸς βʹ. ἤχθω δὴ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τῆς πυραμίδος ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ· φανερὸν δὴ ὅτι τὸ Θ κέντρον ἐστὶν τοῦ περὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον γραφομένου κύκλου· τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΔΕ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΕΗ, τοῦ ἀπὸ ΕΘ. καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΕΘΗ· λόγος ἄρα τοῦ ἀπὸ ΗΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΘ ὃν γʹ πρὸς βʹ, τουτέστιν ὃν νδʹ πρὸς λϛʹ. τοῦ δὲ ἀπὸ ΗΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ γʹ τῆς ΗΘ λόγος ἐστὶν ὃν λϛʹ πρὸς δʹ· καὶ τοῦ ἀπὸ ΗΕ ἄρα, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΕΖ, πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ τρίτου τῆς ΗΘ λόγος ἐστὶν ὃν νδʹ πρὸς δʹ. καὶ ἐπεὶ παντὸς ἰσοπλεύρου τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς τετράγωνον ἔλασσον ἢ τετραπλάσιόν ἐστιν τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου, τέσσαρα ἄρα τρίγωνα τὰ ΔΕΖ, ἅπερ ἐστὶν ἓξ τετράγωνα τὰ ἀπὸ ΑΓ, μείζονά ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΕΖ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΖ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ὃν αʹ πρὸς ϛʹ, τουτέστιν ἢ ὃν θʹ πρὸς νδʹ. τοῦ δὲ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ τρίτου τῆς ΗΘ λόγος ἐστὶν ὃν νδʹ πρὸς δʹ, ὡς ἐδείχθη, καὶ διʼ ἴσου τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ τρίτου τῆς ΗΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὰ θʹ πρὸς τὰ δʹ· καὶ μήκει ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς τὸ τρίτον τῆς ΗΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὰ γʹ πρὸς τὰ βʹ. ἐδείχθη δὲ λόγος τοῦ ΔΕΖ τριγώνου πρὸς τὸ ΑΒ τετράγωνον, ὃν γʹ πρὸς βʹ· τὸ ΔΕΖ ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒ τετράγωνον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΓ πρὸς τὸ γʹ τῆς ΗΘ. καὶ ἀνάπαλιν ἡ ΑΓ πρὸς τὸ τρίτον τῆς ΗΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒ τετράγωνον. ἐὰν ἄρα ποιῶμεν ὡς τὴν ΑΓ πρὸς τὸ τρίτον τῆς ΗΘ, οὕτως τὸ ΔΕΖ τρίγωνον πρὸς ἄλλο τι, ἔσται πρὸς ἔλασσον χωρίον τοῦ ΑΒ τετραγώνου· καὶ ἔστιν ὁ μὲν κύβος τὸ ΑΒ τετράγωνον ἐφʼ ὕψος τὴν ΑΓ, ἡ δὲ πυραμὶς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον ἐφʼ ὕψος τὸ τρίτον τῆς ἀπὸ τῆς κορυφῆς τῆς πυραμίδος ἀγομένης καθέτου ἐπὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον· μείζων ἄρα ὁ κύβος τῆς πυραμίδος.
ξαʹ. Τὸ ὀκτάεδρον τοῦ κύβου μεῖζόν ἐστιν.
Ἔστω γὰρ ὀκταέδρου μὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, κύβου δὲ τετράγωνον τὸ ΖΗ, καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς περιλαμβανούσης τὸ ὀκτάεδρον σφαίρας ἔστω κάθετος ἠγμένη ἐπὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἡ ΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΒ ΒΕ. ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται ὀκτὼ τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ἴσα ἓξ τετραγώνοις τοῖς ΖΗ, λόγος ἄρα τοῦ ΖΗ τετραγώνου πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ὃν δʹ πρὸς γʹ. καὶ ἔστιν διὰ τὸ αʹ λῆμμα καθόλου παντὸς τριγώνου ἰσοπλεύρου τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς τετράγωνον μεῖζον ἢ διπλάσιον τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου· καὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ ἄρα μεῖζόν ἐστιν ἢ ϛʹ οἵων τὸ ἀπὸ ΖΘ δʹ. τέσσαρα ἄρα πρὸς ϛʹ, τουτέστιν λϛʹ πρὸς νδʹ, μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ. καὶ ἐπεὶ διὰ τὸ βʹ λῆμμα λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ ὃν γʹ πρὸς αʹ, ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ ΒΔ τοῖς ἀπὸ ΒΕΔ, λόγος ἄρα τοῦ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ ὃν αʹ πρὸς βʹ. τοῦ δὲ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ ὃν ϛʹ πρὸς βʹ διὰ τὸ ιβʹ τοῦ ιγʹ στοιχείων· λόγος ἄρα τοῦ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ ὃν αʹ πρὸς ϛʹ, τουτέστιν ὃν θʹ πρὸς νδʹ. τοῦ δὲ ἀπὸ τοῦ γʹ τῆς ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ λόγος ἐστὶν ὃν αʹ πρὸς θʹ — τὰ γὰρ μήκει τριπλάσια δυνάμει ἐνναπλάσια ἐστιν· καὶ τοῦ ἀπὸ τοῦ τρίτου οὖν τῆς ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ λόγος ἐστὶν ὃν αʹ πρὸς νδʹ. ἐδείχθη δὲ ὅτι λϛʹ πρὸς νδʹ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ· διʼ ἴσου ἄρα λϛʹ πρὸς αʹ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ γʹ τῆς ΔΕ· καὶ μήκει ἄρα ϛʹ πρὸς αʹ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὸ γʹ τῆς ΔΕ. λόγος δὲ ϛʹ τετραγώνων τῶν ΖΗ πρὸς αʹ ὃν ϛʹ πρὸς αʹ. καὶ ἔστιν τὰ ϛʹ τετράγωνα ἴσα ηʹ τριγώνοις τοῖς ΑΒΓ· καὶ ηʹ ἄρα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ πρὸς τὸ ΖΗ τετράγωνον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὸ γʹ τῆς ΔΕ. καὶ ἔστιν ὀκτάεδρον ὀκτὼ τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ἐφʼ ὕψος τὸ γʹ τῆς ΔΕ, κύβος δὲ τὸ ΖΗ τετράγωνον ἐφʼ ὕψος τὴν ΘΖ· μεῖζον ἄρα τὸ ὀκτάεδρον τοῦ κύβου.
ξβʹ. Ἔστω δεῖξαι ὅτι τὸ εἰκοσάεδρον τοῦ ὀκταέδρου μεῖζόν ἐστιν.
Καὶ ἔστω ὀκταέδρου μὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, εἰκοσαέδρου δὲ τὸ ΔΕΖ, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν κέντρων τῶν σφαιρῶν τῶν περιλαμβανουσῶν τὰ στερεὰ ἐπὶ τὰ ἐπίπεδα τῶν στερεῶν κάθετοι αἱ ΗΘ ΚΛ. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ἐν τῷ ζʹ θεωρήματι τῶν προγραφομένων ὅτι δώδεκα τὰ ἀπὸ ΗΘ μείζονά ἐστιν πέντε τῶν ἀπὸ ΕΖ, πέντε δὲ τὰ ἀπὸ ΕΖ δύο ἐστὶν τὰ ἀπὸ ΒΓ — ἐπείπερ καὶ πέντε τρίγωνα τὰ ΔΕΖ ἴσα ἐστὶν δυσὶ τριγώνοις τοῖς ΑΒΓ· καὶ γὰρ τετραπλάσια κʹ τρίγωνα τοῖς ηʹ ἴσα ἐστίν, καὶ ὡς τὸ τρίγωνον πρὸς τὸ τρίγωνον, οὕτως τὸ τετράγωνον πρὸς τὸ τετράγωνον τῶν ὁμοίων σχημάτων πρὸς ἄλληλα διπλασίονα λόγον ἐχόντων ἤπερ τῆς ὁμολόγου πλευρᾶς πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν —, δύο δὲ τὰ ἀπὸ ΒΓ δώδεκά ἐστιν τὰ ἀπὸ ΚΛ — προδέδεικται γὰρ λόγος τοῦ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΛ ὃν ϛʹ πρὸς αʹ —, δώδεκα ἄρα τὰ ἀπὸ ΗΘ μείζονά ἐστιν δώδεκα τῶν ἀπὸ ΚΛ· μείζων ἄρα ἡ ΘΗ τῆς ΚΛ. καὶ τὸ γʹ τῆς ΘΗ τοῦ γʹ τῆς ΚΛ μεῖζον. καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν εἰκοσάεδρόν ἐστιν εἴκοσι τρίγωνα τὰ ΔΕΖ ἐφʼ ὕψος τὸ γʹ τῆς ΗΘ, τὸ δὲ ὀκτάεδρον ὀκτὼ τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ἐφʼ ὕψος τὸ γʹ τῆς ΚΛ, καὶ ἔστιν κʹ τρίγωνα τὰ ΔΕΖ ἴσα ὀκτὼ τριγώνοις τοῖς ΑΒΓ διὰ τὴν ὑπόθεσιν, μεῖζον ἄρα τὸ εἰκοσάεδρον τοῦ ὀκταέδρου.
ξγʹ. Τὸ εἰκοσάεδρον τοῦ δωδεκαέδρου μεῖζόν ἐστιν.
Ἔστω γὰρ πεντάγωνον μὲν τὸ ΑΒΓ ἓν τῶν τοῦ δωδεκαέδρου, τρίγωνον δὲ τὸ ΔΕΖ ἓν τῶν τοῦ εἰκοσαέδρου, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν κέντρων τῶν σφαιρῶν τῶν περιεχουσῶν τὰ στερεὰ σχήματα ἐπὶ τὰ ΔΕΖ ΑΒΓ ἐπίπεδα κάθετοι αἱ ΗΘ ΚΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΔ ΘΔ ΚΑ ΑΛ. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ἐν τῷ ιβʹ θεωρήματι τῶν προγραφομένων ὅτι ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τό τε πεντάγωνον τοῦ δωδεκαέδρου καὶ τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου τοῦ εἰς τὴν αὐτὴν σφαῖραν ἐγγραφομένου τῷ δωδεκαέδρῳ, ὥστε ἡ ΑΛ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν τοῦ κύκλου τοῦ περιλαμβάνοντος τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου, ἡ δὲ ΚΛ ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπʼ αὐτὸν κάθετος, ἡ δὲ ΚΑ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ἀλλὰ καὶ τὸ ΗΘΔ τρίγωνον ὁμοίως ἐστὶν λαμβανόμενον, καὶ ἐπεὶ πάλιν ἐδείχθη ἐν τῷ ιδʹ θεωρήματι τῶν προγραφομένων ὅτι εἴκοσι τρίγωνα τὰ ΔΕΖ, τουτέστιν δώδεκα πεντάγωνα τὰ ΑΒΓ, μείζονά ἐστιν εἴκοσι τριγώνων τῶν ἐγγραφομένων εἰς τὸν κύκλον τὸν περιλαμβάνοντα τὸ ΑΒΓ πεντάγωνον, φανερὸν ὡς καὶ ὁ περὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον κύκλος μείζων ἐστὶν τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ πεντάγωνον· ὥστε καὶ ἡ ΔΘ μείζων ἐστὶν τῆς ΑΛ. καὶ ἔστιν ὅμοια τὰ ΔΗΘ ΑΚΛ τρίγωνα· ὡς ἄρα ἡ ΔΘ πρὸς ΘΗ, οὕτως ἡ ΑΛ πρὸς ΛΚ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΔΘ πρὸς ΑΛ, ἡ ΗΘ πρὸς ΚΛ. μείζων δὲ ἡ ΔΘ τῆς ΑΛ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΗΘ τῆς ΚΛ. καὶ τὸ τρίτον ἄρα τῆς ΗΘ τοῦ τρίτου τῆς ΚΛ μεῖζόν ἐστιν. καὶ ἔστιν τὸ μὲν εἰκοσάεδρον εἴκοσι τρίγωνα τὰ ΔΕΖ ἐπὶ τὸ τρίτον τῆς ΗΘ, τὸ δὲ δωδεκάεδρόν ἐστιν δώδεκα πεντάγωνα τὰ ΑΒΓ ἐπὶ τὸ τρίτον τῆς ΚΛ. καὶ ὑπόκειται κʹ τρίγωνα τὰ ΔΕΖ ιβʹ πενταγώνοις τοῖς ΑΒΓ ἴσα· μεῖζον ἄρα τὸ εἰκοσάεδρον τοῦ δωδεκαέδρου.
ξδʹ. Τὸ δωδεκάεδρον τοῦ ὀκταέδρου μεῖζόν ἐστιν.
Ἔστω δωδεκαέδρου μὲν πεντάγωνον τὸ ΦϙΤ καὶ κάθετος ἡ ΥΩ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸ δωδεκάεδρον ἐπὶ τὸ ΦϙΤ πεντάγωνον ἠγμένη, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΩΦ Ωϙ ΩΤ ΥΦ, ὀκταέδρου δὲ τρίγωνον τὸ ΣΡΠ ἔστω, καὶ ὁμοίως ἡ ΧΨ κάθετος, ἣν δεῖ ἐλάσσονα δεῖξαι τῆς ΥΩ καθέτου.
Ἐκκείσθω δὲ καὶ τὸ ληφθὲν θεώρημα εἰς τὴν σύγκρισιν τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ ὀκταέδρου, διʼ οὗ ἐδείχθη δώδεκα τὰ ἀπὸ ΟΝ μείζονα πέντε τῶν ἀπὸ ΒΔ. ἔστω δὲ καὶ τὸ ͵Δ͵Β͵Γ τρίγωνον εἰκοσαέδρου, καὶ κάθετος ἀπὸ τοῦ ͵Δ ἡ ͵Δ͵Ε, ὡς ἐν τῷ προκειμένῳ θεωρήματι· ὅμοιον ἄρα τὸ ΥΦΩ τῷ τε ͵Δ͵Α͵Ε τριγώνῳ καὶ τῷ ΟΝΛ ἐπεὶ οὖν διὰ τοῦ ιϛʹ λημματίου ἐδείχθη ὅτι, ἐὰν ᾖ τρίγωνον ἰσοσκελὲς ὡς τὸ ϙΩΤ ἔχον τὴν πρὸς τῷ Ω γωνίαν τεσσάρων πέμπτων ὀρθῆς καὶ ἰσόπλευρον ἴσον αὐτῷ ὡς τὸ ΜαΜβΜΓ, τὸ ἀπὸ ΜαΜβ πρὸς τὸ ἀπὸ ϙΩ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος, καὶ ἡ ΕΓ εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ξ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΞΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΜαΜβ πρὸς τὸ ἀπὸ ϙΩ, τουτέστιν τὸ πεντεκαιδεκάκις ἀπὸ ΜαΜβ πρὸς τὸ πεντεκαιδεκάκις ἀπὸ ϙΩ. καὶ ἐπεὶ ἔχομεν ηʹ τρίγωνα τὰ ΣΡΠ ἴσα ιβʹ πενταγώνοις τοῖς ΦϙΤ, τουτέστιν ξʹ τριγώνοις τοῖς ϙΩΤ, ὥστε καὶ δύο τρίγωνα τὰ ΣΡΠ ἴσα ἐστὶν ιεʹ τριγώνοις τοῖς ϙΩΤ, τουτέστιν ιεʹ τοῖς ΜαΜβΜΓ ὥστε καὶ τὸ δὶς ἀπὸ ΣΠ ἴσον ἐστὶν τῷ πεντεκαιδεκάκις ἀπὸ ΜβΜΓ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ΞΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δύο τὰ ἀπὸ ΣΠ πρὸς τὸ πεντεκαιδεκάκις ἀπὸ ΩΦ — ἴση γάρ ἐστιν ἡ Ωϙ τῇ ΩΦ. δύο δὲ τὰ ἀπὸ ΣΠ ιβʹ ἐστιν τὰ ἀπὸ ΧΨ, ὡς ἐδείχθη ἐν τῇ συγκρίσει τοῦ κύβου καὶ ὀκταέδρου· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΞΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβʹ τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιεʹ τὰ ἀπὸ ΩΦ. καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΞΚ τῇ ΚΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ εἰκοσάκις ἀπὸ τῆς ΚΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβʹ τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιεʹ τὰ ἀπὸ ΩΦ· ὥστε καὶ λϛʹ τὰ ἀπὸ ΕΓ, τουτέστιν λϛʹ τὰ ἀπὸ ΓΛ, πρὸς ψκʹ τὰ ἀπὸ ΓΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβʹ τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιεʹ τὰ ἀπὸ ΩΦ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΓΛ πρὸς ΓΚ, ἡ ΛΜ πρὸς ΙΜ, ὡς δὲ ἡ ΛΜ πρὸς ΜΙ, ἡ ΟΝ πρὸς ΝΙ· ὥστε καὶ λϛʹ τὰ ἀπὸ ΟΝ πρὸς ψκʹ τὰ ἀπὸ ΝΙ, τουτέστιν πʹ τὰ ἀπὸ ΙΛ — τριπλασία γὰρ ἐν τῷ ζʹ λήμματι ἐδείχθη ἡ ΙΛ τῆς ΙΝ —, τουτέστιν κʹ τὰ ἀπὸ ΚΔ, τουτέστιν ιεʹ τὰ ἀπὸ ΒΔ — ἐπίτριτος γὰρ ἡ ΒΔ τῆς ΚΛ δυνάμει —, μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβʹ τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιεʹ τὰ ἀπὸ ΩΦ· ὥστε καὶ ιβʹ τὰ ἀπὸ ΟΝ πρὸς εʹ τὰ ἀπὸ ΒΔ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβʹ τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιεʹ τὰ ἀπὸ ΩΦ. πέντε δὲ τὰ ἀπὸ ΒΔ ιεʹ ἐστιν τὰ ἀπὸ ΝΛ, ὡς ἔστιν ἐν τῷ ιγʹ τῶν στοιχείων — τὸ γὰρ κέντρον τοῦ περὶ τὸ ΒΔΛ τρίγωνον κύκλου τὸ Ν σημεῖόν ἐστιν· καὶ ιβʹ ἄρα τὰ ἀπὸ ΟΝ πρὸς ιεʹ τὰ ἀπὸ ΛΝ, τουτέστιν ιβʹ τὰ ἀπὸ ͵Δ͵Ε πρὸς ιεʹ τὰ ἀπὸ ͵Ε͵Α, μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβʹτὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιεʹ τὰ ἀπὸ ΩΦ. καὶ ἔστιν ὅμοιον τὸ ͵Δ͵Α͵Ε τρίγωνον τῷ ΥΦΩ τριγώνῳ· καὶ ιβʹ ἄρα τὰ ἀπὸ ΥΩ πρὸς ιεʹ τὰ ἀπὸ ΩΦ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβʹ τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιεʹ τὰ ἀπὸ ΩΦ· μείζων ἄρα ἡ ΥΩ κάθετος τῆς ΧΨ καθέτου. καὶ ὑπόκεινται αἱ ἐπιφάνειαι ἴσαι τῶν στερεῶν σχημάτων· μεῖζον ἄρα τὸ δωδεκάεδρον τοῦ ὀκταέδρου.
ξεʹ. Ὅτι μὲν οὖν τῶν εʹ σχημάτων τούτων ἃ δὴ καὶ πολύεδρα καλεῖται τὸ πολυεδρότερον αἰεὶ μεῖζόν ἐστιν φανερὸν ἐκ τῶν ἀποδεδειγμένων, ὅτι δὲ πλείω τῶν πέντε τούτων ἀδύνατόν ἐστιν εὑρεῖν ἄλλα σχήματα ἴσοις καὶ ὁμοίοις ἰσοπλεύροις πολυγώνοις περιεχόμενα μάθοι τις ἂν καὶ οὕτως.
Πᾶσαν στερεὰν γωνίαν ἐκ τριῶν ἐλαχίστων συνεστάναι γωνιῶν ἐπιπέδων ἀναγκαῖον, καὶ αἱ περιέχουσαι αὐτάς, ἐάν τε τρεῖς ὦσιν ἐάν τε πλείους, τῶν τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσιν πάντως. ὑπὸ μὲν οὖν ἑξαγώνου γωνιῶν ἤ τινος εὐθυγράμμου πολυγωνοτέρου περισχεθῆναι στερεὰν γωνίαν ἀδύνατον — αἱ γὰρ ἐλάχισται δυνάμεναι περιλαβεῖν αὐτὴν τρεῖς τεσσάρων ὀρθῶν οὐκ εἰσὶν ἐλάττους —, ὑπὸ δὲ πενταγώνου τριῶν μόνων δυνατόν, ὡς καὶ συνέστηκεν ἡ τοῦ δωδεκαέδρου. πάλιν δὲ τέσσαρες μὲν ἢ πλείους τετραγώνου γωνίαι περιέχειν στερεὰν γωνίαν οὐ δύνανται — τεσσάρων γὰρ ὀρθῶν οὐκ εἰσὶν ἐλάττους —, τρεῖς δὲ περιέχουσιν τὴν τοῦ κύβου. κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ ἰσοπλεύρου τριγώνου ἓξ μὲν ἢ πλείους γωνίαι τεσσάρων ὀρθῶν οὐκ εἰσὶν ἐλάττους, καὶ διὰ τοῦτο στερεὰν γωνίαν οὐ περιέχουσι, πέντε δὲ καὶ τέσσαρες καὶ τρεῖς δύνανται, καὶ περιέχεται ὑπὸ μὲν πέντε ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου, ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἡ τοῦ ὀκταέδρου, ὑπὸ δὲ τριῶν ἡ τῆς πυραμίδος. δῆλον οὖν ἐκ τῶν εἰρημένων ὅτι παρὰ ταύτας οὐκ ἔστιν ἄλλη στερεὰ γωνία ἐξ ἴσων καὶ τοῦ αὐτοῦ πολυγώνου συνεστηκυῖα γωνιῶν, ὥστε οὐδὲ πολύεδρον εὑρεῖν ἄλλο παρὰ τὰ προειρημένα πέντε δυνατόν ἐστιν ὑπὸ ἴσων καὶ ὁμοίων πολυγώνων περιεχόμενον.