eul_wid: txs-aa
Commentary-Ptolemy's Mathematical Syntax 5–6Ὑπόμνημα εἰς Πτολεμαίου Μαθηματικὴν Σύνταξιν
Pappus of Alexandria Commentary Ptolemy's Mathematical Syntax 5–6 PDF
Pappus of Alexandria’s Commentary on Ptolemy’s Mathematical Syntax is a fourth-century CE mathematical treatise composed in Greek. It functions as a scholarly exegesis of Claudius Ptolemy’s foundational astronomical work, the Almagest. Only a fragment of the original commentary survives, specifically the portion addressing Books 5 and 6 of Ptolemy’s text, which concern lunar theory, solar theory, eclipses, and the calculation of parallax. The extant section comprises approximately 300 explanatory notes or lemmas. Rather than providing a continuous, line-by-line exposition, Pappus offers targeted discussions that supply alternative geometrical proofs, elaborate on steps omitted by Ptolemy, and recast trigonometric relationships into purely geometric terms. Scholars regard the work as a significant pedagogical text, likely composed for advanced students in Alexandria to facilitate mastery of the intricate Ptolemaic system and to preserve the Hellenistic mathematical tradition for a later audience. The complete commentary on all thirteen books of the Almagest is lost; the text for Books 5 and 6 survives in a single manuscript dating from the ninth or tenth century. It was first published in the modern era in 1710. Through its influence on later commentators such as Theon of Alexandria, Pappus’s explanations played a crucial role in transmitting the technical details of Ptolemaic astronomy to subsequent scholarly traditions.
| 1 (1t) | Πάππου ἀλεξανδρέως εἰς τὸ πέμπτον τῶν Κλαυδίου Πτολεμαίου μαθηματικῶν σχόλιον. Διεξελθὼν ὁ Πτολεμαῖος καὶ ἐν τῷ τετάρτῳ βιβλίῳ τῶν μαθηματικῶν, ἀπὸ ποίων τηρήσεων τὰ περὶ τὴν σελήνην ἐξετάζειν δεῖ· περί τε τῶν περιοδικῶν αὐτῆς χρόνων, τουτέστιν τῶν ἀποκαταστατικῶν κινήσεων ἐν ἔτεσιν αἰγυπτιακοῖς τμε καὶ ἡμέραις πβ καὶ ὥρᾳ ἰσημερινῇ α κατὰ τὴν γενομένην ὑπ’ αὐτοῦ διόρθωσιν, μηνῶν μὲν ἀποτελουμένων ͵ δσξζ ἀνωμαλίας δὲ κύκλων συναγομένων ͵ δφοβ καὶ μοιρῶν τνθ ν κγ ἔγγιστα, πλάτους δὲ κύκλων ͵ δχλ καὶ μοιρῶν ρϙα κβ νζ ἔγγιστα, μήκους δὲ κύκλων ͵ δχια λειπόντων μοίρας γ καὶ ἑξηκοστὰ β ἔγγιστα, ὅσας καὶ ὁ ἥλιος εἰς τοὺς τμε κύκλους λείπει ὡς τῆς ἀποκαταστάσεως αὐτῶν πρὸς τὰ νοητὰ σημεῖα τοῦ ζῳδιακοῦ γινομένης, ἀποχῆς δηλονότι κύκλων ͵ δσξϛ· ἑξῆς δὲ καὶ περὶ τῶν κατὰ μέρος τῆς σελήνης μέσων κινήσεων διαλαβών· ἀφ’ ὧν καὶ οἱ τῆς ὁμαλῆς κινήσεως τῆς σελήνης κανόνες συνεστάθησαν, μήκους τε καὶ πλάτους καὶ ἀνωμαλίας καὶ ἀποχῆς· εἶθ’ ὅτι καὶ ἐπὶ τῆς ἁπλῆς ὑποθέσεως ἀνωμαλίας τὰ αὐτὰ φαινόμενα ποιοῦσιν ἥ τε κατ’ ἐκκεντρότητα λεγομένη καὶ ἡ κατ’ ἐπίκυκλον, τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων λόγων τοῦ λόγου τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ὁμοκέντρου πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ἢ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου πρὸς τὴν μεταξὺ τῶν κέντρων τοῦ τε ζῳδιακοῦ καὶ ἐκκέντρου δειχθέντος τῶν ξ πρὸς τὰ ε δʹ ἔγγιστα· δι’ οὗ καὶ τὸ μέγιστον παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν τῆς σελήνης διάφορον συνάγεται μοιρῶν ε λα, καὶ ὅλον τὸ τῆς πρώτης καὶ ἁπλῆς ἀνωμαλίας συνεστάθη· διὰ δὲ τῶν γραμμῶν κανόνιον ὥσπερ ἐπὶ τοῦ ἡλίου· ἔπειτα δὲ περί τε τῆς διορθώσεως τῶν μέσων κινήσεων σελήνης μήκους τε καὶ ἀνωμαλίας καὶ πλάτους, καὶ περὶ τῆς ἐποχῆς αὐτῶν, τῆς εἰς τὸ πρῶτον ἔτος Ναβονασσάρου, τῆς κατ’ αἰγυπτίους Θὼθ πρώτης τῆς μεσημβρίας ἐπουσιαζομένης εἰπών· κατὰ τὸ ἀκόλουθον ἐν τῷ ἐφεξῆς πέμπτῳ βιβλίῳ περὶ τῆς πρὸς τὴν διπλῆν ἀνωμαλίαν τῆς σελήνης ποιούμενος τὸν λόγον, προεκτίθεται κατασκευὴν ἀστρολάβου ὀργάνου χρησίμου πάνυ πρός τε τὰς ὡροσκοπήσεις νύκτωρ τε καὶ μεθ’ ἡμέραν, καὶ πρὸς τὰς λήψεις τῶν τόπων, ἐπὶ μὲν ἡλίου καὶ τῶν ἀστέρων ἀπλανῶν τε καὶ πλανωμένων ἀκριβῶν, ἐπὶ δὲ σελήνης τῶν φαινομένων. |
| 4 | Καὶ τὰ μὲν μεγέθη τῶν κρίκων οὐ δηλοῖ· ἐν δὲ τῷ διακατασκευασμένῳ ὀργάνῳ ὃ καλεῖται μετεωροσκοπεῖον λέγει σαφῶς· ἡμεῖς οὖν πρὸ τῆς κατὰ μέρος τῶν ἄλλων ὑφηγήσεως διαληψόμεθα περὶ τῆς τῶν κρίκων συμμετρίας καὶ τῆς ἐπὶ μέρους τοῦ ὀργάνου κατασκευῆς καὶ χρήσεως. Φησὶν δὲ πρῶτον· «δύο γὰρ κύκλους λαβόντες ἀκριβῶς τετορνευμέ«νους τετραγώνους ταῖς περιφερείαις, καὶ συμμέτρους μὲν τῷ μεγέθει «πανταχόθεν δὲ ἴσους καὶ ὁμοίους, ἀλλήλοις συνηρμόσαμεν κατὰ διάμε«τρον πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἐπὶ τῶν αὐτῶν ἐπιφανειῶν». Τετραγώνους ταῖς περιφερείαις δηλῶν τοὺς τὸ αὐτὸ πλάτος καὶ βάθος ἔχοντας. |
| 6 | πανταχόθεν δὲ ἴσους καὶ ὁμοίους, ὧν αἵ τε ἐκ τῶν κέντρων ἴσαι εἰσίν, καὶ τὰ πλάτη δὲ καὶ τὰ βάθη ἴσα. πλάτος μὲν γὰρ λέγεται τὸ ἤτοι ἐπὶ τῆς κυρτῆς ἢ τῆς κοίλης ἐπιφανείας διάστημα πρὸς ὀρθὰς γωνίας ταῖς περιμέτροις, βάθος δὲ ἡ ἀπὸ τῆς κυρτῆς ἐπιφανείας ἐπὶ τὴν κοίλην τοῦ κρίκου διάστασις, ἡ ἐπὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου αὐτοῦ λαμβανομένη. συμμέτρους δὲ λέγει μεγέθει, τοὺς τὰς διαμέτρους καὶ τὰ πάχη αὐτάρκως ἔχοντας, τουτέστιν οἵων ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἑκατέρου ἄχρι τῆς κυρτῆς ἐπιφανείας ξ, τοιούτων τό τε πλάτος καὶ τὸ βάθος ἐκ τμημάτων β, τῆς διαμέτρου τοῦ μεγίστου καὶ μεσημβρινοῦ ὑποτεθείσης ἡμῖν ἐν ὀργάνου κατασκευῇ πήχεως ἑνός, διὰ τὰ μοιριαῖα διαστήματα, καὶ ὅσα ἐνδέχεται τούτων μέρη· ἐν γὰρ τῷ μετεωροσκοπείῳ, τὸ μὲν ὅλον μέγεθος τοῦ ὀργάνου ἐπὶ τῇ δυνάμει ποιεῖται τοῦ κατασκευαζομένου τοῦτο, ὥστε μέντοι τὴν διάμετρον τοῦ φέροντος καὶ μεγίστου κρίκου μὴ ἐλάσσονα εἶναι δακτύλων ιβ. ὁρίζει δὲ τὸ μὲν βάθος τῶν ἴσων κρίκων κατὰ τὰς διαμέτρους πολεύοντός τε καὶ ζῳδιακοῦ, ἐκ τμημάτων β, τὸ δὲ πλάτος τοῦ μὲν πολεύοντος, β 𐅵 ʹ, τοῦ δὲ ζῳδιακοῦ α 𐅵 ʹ, οἵων ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἑκατέρου μέχρι τῆς κυρτῆς περιφερείας μθ· λόγος δὲ τῶν μθ πρὸς τὸ α 𐅵 ʹ πλάτος τοῦ ζῳδιακοῦ καὶ τῶν ξ πρὸς τὰ β, ὁ αὐτὸς ἔγγιστα. Ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς γωνίας κατὰ διάμετρον συναρμογὴ γίγνεται τῶν κρίκων ἐπὶ τὸ ἥμισυ τοῦ βάθους ἐντεμνομένων, τοῦ ζῳδιακοῦ ἐκ τῆς κοίλης, τοῦ δὲ ἑτέρου, ἀντὶ τοῦ δι’ ἀμφοτέρων τῶν πόλων, ἐκ τῆς κυρτῆς ἐπιφανείας, ὥστε δέξασθαι ἀλλήλων τὰ πλάτη καὶ μίαν ἐπιφάνειαν ποιεῖν κατά τε τὴν κυρτὴν καὶ τὴν κοίλην. |
| 7 | οὐδὲν δὲ κωλύει ἀσφαλείας ἕνεκεν ὀλίγῳ μεῖζον πλάτος ἔχειν τοῦ ζῳδιακοῦ τὸν ἀντὶ τοῦ δι’ ἀμφοτέρων τῶν πόλων κρίκον. «Ἐφ’ οὗ λαβόντες ἀπὸ τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς μεγέθους τὰ «τοὺς τοῦ διὰ μέσων κύκλου πόλους ἀφορίζοντα σημεῖα», τουτέστιν ἀπὸ τῶν μέσων σημείων τῶν ἐντομῶν τὰ ϙ μοῖρα ἀπέχοντα σημεῖα ἐπὶ τῆς κυρτῆς ἢ τῆς κοίλης ἐπιφανείας κατὰ μέσον τὸ πλάτος· ἡ γὰρ διὰ τούτων τῶν σημείων ἐκβαλλομένη εὐθεῖα τὴν κατ’ ἄλληλον θέσιν ἔχοντος τῷ ζῳδιακῷ, τοῦ ἐν τῷ ὀργάνῳ ζῳδιακοῦ ἐπὶ τοὺς πόλους αὐτοῦ πίπτει, ὥστε φανεροὺς ἡμῖν τοὺς πόλους τοῦ ζῳδιακοῦ γίνεσθαι· κατὰ δὲ τῶν εἰρημένων σημείων τρημάτια γίνεται σύμμετρα. Καὶ ἐμπολίζεται «ἀμφότερα κυλινδρίοις ἐξέχουσι πρός τε τὴν ἐντὸς «καὶ τὴν ἐκτὸς ἐπιφάνειαν. κατὰ μὲν τῶν ἐκτὸς ἐνεπολίσαμεν ἄλλον «κύκλον ...» καὶ τὰ λοιπά. ἰσοπαχεῖς τῷ ζῳδιακῷ καὶ οὗτοι γίνονται ὥστε τὴν μὲν τοῦ ἔξωθεν ἐκ κέντρου εἶναι μέχρι τῆς κοίλης ἐπιφανείας τῶν αὐτῶν ξ, τὴν δὲ τοῦ ἐντὸς μέχρι τῆς κυρτῆς νη. «Διελόντες τε τοῦτον τὸν ἐντὸς κύκλον καὶ ἔτι τὸν ἀντὶ τοῦ διὰ μέσων «τῶν ζῳδίων γινόμενον εἰς τὰς ὑποκειμένας τῆς περιμέτρου μοίρας τξ, «καὶ ὅσα ἐνεδέχετο τούτων μέρη». Ὁ μὲν ἐντὸς διαιρεῖται εἰς ιβ ἴσα δι’ ὅλου τοῦ βάθους ἐκ μιᾶς τῶν πλευρῶν, καὶ καθ’ ἕκαστον τούτων εἰς πενταμοιρίας ϛ ἐπὶ τὸ ἥμισυ τοῦ βάθους τὸ πρὸς τῇ κοίλῃ ἐπιφανείᾳ, παρ’ ἣν ὑποσημειοῦνται αἱ μοῖραι γραμμαῖς, καὶ τὰ ἐνδεχόμενα μέρη στιγμαῖς. |
| 8 | καὶ ἐπιγράφονται οἱ ἀριθμοὶ διὰ ε ἕως ϙ ἐπὶ τῶν δ τεταρτημορίων, τουτέστιν ἀπὸ τῶν ἐσομένων κοινῶν τομῶν τουτέστιν τοῦ κρίκου πρὸς τὸν ζῳδιακὸν ἀκρίτων σημείων· ἀγίνεται κατὰ τοὺς πόλους τοῦ ζῳδιακοῦ, πρὸς οἷς ὁ τῶν ϙ μοιρῶν ἀριθμὸς ἀπαρτίζεται, τῶν γραμμάτων ἔσω πρὸς τὴν κοίλην ἐπιφάνειαν νενευκότων. Ὁ δὲ ζῳδιακὸς ἐξ ἀμφοτέρων τῶν πλευρῶν διαιρεῖται εἰς ιβ μὲν ἴσα πάλιν, γραμμῶν ἐγχαρασσομένων δι’ ὅλου τοῦ βάθους· ἕκαστον δὲ τούτων εἰς πενταμοιρίας ϛ, ἐπὶ τὸ ἥμισυ τοῦ βάθους, τῆς μὲν ἑτέρας πλευρᾶς τὸ πρὸς τῇ κοίλῃ ἐπιφανείᾳ, τῆς δὲ λοιπῆς, τὸ πρὸς τῇ κυρτῇ· παρ’ ἃς πάλιν ὑποσημειοῦνται αἱ μοῖραι καὶ τὰ ἐνδεχόμενα μέρη. |
| 9 | καὶ ἐπιγράφεται κατὰ τῆς κυρτῆς ἐπιφανείας μεταξὺ τῶν ὁμοταγῶν γραμμῶν τὰ τῶν δωδεκατημορίων ὀνόματα κατὰ τὴν οἰκείαν τάξιν. «Ὑφηρμόσαμεν ἀκριβῶς ἕτερον λεπτὸν κυκλίσκον ...» καὶ τὰ λοιπά. τόνδε λεπτὸν κυκλίσκον τὸ μὲν πλάτος ἔχειν δεῖ τὸ αὐτὸ τῷ διῃρημένῳ, ὑποτρίβοντα τῇ κυρτῇ αὐτοῦ ἐπιφανείᾳ τὴν κοίλην ἐκείνου· τὸ δὲ βάθος ἔλασσον, ὡς τμήματος ἑνός· καὶ συνέχεσθαι ἐκ τῶν ἰδίων πλευρῶν ἀπὸ τῆς κυρτῆς ἐπιφανείας ἐπ’ ὀλίγον τοῦ βάθους διάστημα ὑπὸ πιταρίων δ μενόντων πρὸς τὸν διῃρημένον, δύο μὲν περὶ τὰς τρήσεις τασσομένων ἐγκόλλων κατὰ διάμετρον, δύο δὲ ὑπὸ τὸν ζῳδιακὸν πάντοτε ἐσομένων, τουτέστιν περὶ τὰ ἀπέχοντα σημεῖα τῶν τρήσεων μοίρας ϙ· ὥστε μηδαμῶς μὲν ἀποπίπτειν αὐτὸν τοῦ συνημμένου, περιάγεσθαι δύνασθαι ἀκωλύτως κατὰ τὸ αὐτὸ ἐκείνῳ ἐπίπεδον, ἕνεκεν τῆς κατὰ πλάτος παρόδου τῆς τε σελήνης καὶ τῶν ἀστέρων. Αἱ δὲ ἐξέχουσαι ὀπαὶ κατὰ διάμετρον ἐπὶ μιᾶς πλευρᾶς τοῦ λεπτοῦ κρίκου, τῆς ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐσομένης τῇ καταγεγραμμένῃ τοῦ συνημμένου, γίνονται σταματίων καταλειπομένων ἢ ἐντιθεμένων πρὸς ὀρθὰς τῇ πλευρᾷ, καὶ παραλλήλων ἀλλήλοις ὄντων, ἐφ’ ὧν αἱ ὀπαὶ σύμμετροί τε καὶ νεύουσαι πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ἀκριβῶς, δι’ ὧν δυνατὸν ἔσται διοπτεύειν. Φανερὸν δὲ καὶ τοῦτο, ὅτι ἐν τῇ συνθέσει τοῦ ὀργάνου πρῶτος μὲν οὗτος ὁ λεπτότατος κρίκος ὑφαρμόζεται καθ’ ὃν εἴπομεν τρόπον ὑπὸ τὸν ἐντὸς τῶν διῃρημένων· εἶτα ὁ διῃρημένος αὐτὸς ἐμπολίζεται πρὸς τὸν δι’ ἀμφοτέρων τῶν πόλων κρίκον τοῖς ἐξέχουσι κυλινδρίοις εἰς τὸ ἐντός· εἶτα ὁ ζῳδιακὸς κατὰ διάμετρον Καρκίνου ἀρχῇ 〈καὶ〉 Αἰγόκερω ἀρχῇ ἔχων τὰς εἰρημένας ἐντομάς, ἐναρμόζεται πρὸς ὀρθὰς γωνίας τῷ δι’ ἀμφοτέρων τῶν πόλων, τοῦ διῃρημένου ἐντὸς κρίκου τὴν πρὸς ὀρθὰς γωνίας αὐτῶν θέσιν ἀκριβῶς ἐμφανίσαι δυναμένου· τὰ γὰρ κατὰ διάμετρον αὐτοῦ δύο σημεῖα μέσα τοῦ πλάτους καὶ ἐπὶ τῆς κυρτῆς ἐπιφανείας ὄντα, τὰ ἀπέχοντα ἀμφοτέρων τῶν ἐμπολίσεων αὐτοῦ μοίρας ϙ, πρὸς οἷς τὰ δύο πιτάρια ἔγκολλα, ὑπὸ τὸν ζῳδιακὸν ἔγκολλα ἐλέγομεν ἔσεσθαι, παραφέρειν δεήσει ὑπὸ τὰ κατὰ διάμετρον τοῦ ζῳδιακοῦ ὁμοίως μέσα τοῦ πλάτους δύο σημεῖα, τουτέστιν Κριοῦ ἀρχῇ, καὶ Ζυγοῦ ἀρχῇ. |
| 10 | καὶ οὕτω κολλᾶν ἀσφαλῶς τὰς συναρμογὰς τῶν ἐντομῶν προχρισθεισῶν κασσιτέρῳ μικτῷ. μετὰ δὲ ταῦτα καὶ ὁ μὲν ἔξωθεν τῶν ἀστρολάβων κρίκος ἐμπολίζεται τοῖς ἐξέχουσι κυλινδρίοις εἰσαγόμενος τῇ τάσει· διὸ τὸ ἕτερον τῶν κυλινδρίων, ἔλασσον δεῖ εἶναι τοῦ βάθους τοῦ κρίκου, ὡς ἂν ἡ χρεία ἀπαιτῇ. Ἐπὶ δὲ τοῦ δι’ ἀμφοτέρων τῶν πόλων κρίκου διαστήσαντα ἀφ’ ἑκατέρου τῶν τοῦ ζῳδιακοῦ πόλων τὴν μεταξὺ δεδειγμένην περιφέρειαν ἰσημερινοῦ καὶ ἑκατέρου τῶν τροπικῶν μοιρῶν κγ 𐅵 ʹγʹ, κατὰ τῶν γενομένων περάτων πάλιν ἐκ διαμέτρου ἀλλήλοις ὄντων καὶ ἐν τῇ κυρτῇ ἐπιφανείᾳ μέσων εὔλογον, ἀσφαλείας ἕνεκεν ἐμπολίζειν ὀρθὰ κυλίνδρια μένοντα μὲν δηλονότι τετραγώνοις τρήμασιν ἔγκολλα, ἐξέχοντα δὲ πρὸς τὴν κυρτὴν αὐτοῦ ἐπιφάνειαν, τοσοῦτον δὲ τὸ βάθος καὶ τὸ πάχος ἔχοντα ὅσον ἐστὶν τὸ βάθος τοῦ ἔξωθεν τῶν ἀστρολάβων· ὧν τὸ μὲν ἕτερον ἕξει θέσιν μεταξὺ Καρκίνου ἀρχῇ καὶ τοῦ ἐσομένου βορείου πόλου τοῦ ζῳδιακοῦ· τὸ δὲ ἕτερον καὶ κατὰ διάμετρον μεταξὺ ἔσται Αἰγόκερω ἀρχῇ καὶ τοῦ πρὸς νότον πόλου τοῦ ζῳδιακοῦ· ταῦτα δὲ τὰ κυλίνδρια τετορνευμένα λαμβάνει τρήματα σύμμετρα ὡς ἐπὶ τὸ ἥμισυ τοῦ βάθους κατὰ τοὺς ἄξονας αὐτῶν πρὸς ὀρθὰς ἀκριβῶς ταῖς βάσεσι. |
| 11 | καὶ ἐμπολίζεται πρὸς τὸν ὅμοιον μεσημβρινὸν τῷ ἐν τῷ αʹ βιβλίῳ τῆς συντάξεως ὑποδεδειγμένῳ περονίων εἰσαγομένων κατὰ διάμετρον ἀπὸ τῆς κυρτῆς τοῦ μεσημβρινοῦ ἐπιφανείας δι’ ὅλου τοῦ βάθους ἄχρι τοῦ βάθους τῶν ἐν τοῖς κυλινδρίοις τρηματίων· ὥστε περὶ ταῦτα τὰ περόνια ὡς ἀξόνια μένοντα πρὸς μεσημβρινὸν τὴν τῶν λοιπῶν κρίκων περιαγωγὴν ἀποτελεῖσθαι. |
| 12 | Ὁ δὲ μεσημβρινὸς ὁ ἐντὸς τῇ κοίλῃ ἑαυτοῦ ἐπιφανείᾳ τῆς κυρτῆς τοῦ ἔξωθεν τῶν ἀστρολάβων, καὶ τῶν βάσεων τῶν κυλινδρίων ἀκριβῶς ἅπτεσθαι ὀφείλει. ἀρκέσει δὲ τούτου, καὶ οὐ τοῦ ἔξωθεν αὐτοῦ ὡς ἐν τῷ αʹ βιβλίῳ λέγει καὶ τὴν διαίρεσιν ἐπὶ μιᾶς πλευρᾶς τῆς πρὸς ἀνατολὰς ἐσομένης ποιήσασθαι, ἀπὸ τοῦ σημείου τοῦ κατὰ τὸν ἰσημερινὸν πίπτοντος, τουτέστιν ἀπὸ τοῦ τεταρτημορίου ἀπέχοντος τοῦ ὁμοταγοῦς βορείου πόλου τοῦ ἰσημερινοῦ, μέχρι μοιρῶν ξγ τοῦ ὅλου τῆς καθ’ ἡμᾶς οἰκουμένης πλάτους, ὡς πρὸς τὸν βόρειον πόλον τῆς διαιρέσεως γινομένης, ὡς ἐπὶ τοῦ μετεωροσκοπείου πεποίηται τὰ μοιριαῖα ἐνταῦθα δὲ μόνον πρὸς τῇ κυρτῇ περιφερείᾳ, διὰ τὴν τῶν ἐξαρμάτων παραφοράν. Ἐπὶ πᾶσιν δὲ ὁ μεσημβρινὸς ἐντὸς καθάπερ ἐν τῷ αʹ βιβλίῳ ὑποδεδειγμένος πρὸς τὰς τηρήσεις τῆς μεταξὺ τῶν τροπικῶν περιφερείας ἐναρμόζεται τῷ ἐξωτέρῳ μεσημβρινῷ, διῃρημένῳ καὶ αὐτῷ εἰς ἴσα δ δι’ ὅλου τοῦ βάθους ἐξ ἀμφοτέρων τῶν πλευρῶν γραμμῶν ἐγχαρασσομένων. «Ὥστε τούτου κατὰ τὴν αὐτὴν θέσιν ἐκείνῳ κατασταθέντος, τουτέσ«τιν ὀρθοῦ τε πρὸς τὸ τοῦ ὁρίζοντος ἐπίπεδον, καὶ κατὰ τὸ οἰκεῖον ἔξαρ«μα, καὶ ἔτι παραλλήλου τῷ τοῦ φύσει μεσημβρινῷ ἐπιπέδῳ ...» Τὸ μὲν ἔξαρμα λαμβάνεται ἐκ τῆς εἰς τὰ ξγ τμήματα διῃρημένης τοῦ μεσημβρινοῦ καὶ πρὸς ἀνατολὰς πλευρᾶς· παραφέρεται γὰρ τὰ ἰσάριθμα τμήματα ταῖς μοίραις τοῦ οἰκείου ἐξάρματος τοῦ πόλου τῆς ὑποκειμένης οἰκήσεως· ὥστε τὴν ὑπὸ τὸ ἄρτημα γιγνομένην γραμμὴν τοῦ τε ἐκτὸς μεσημβρινοῦ, τουτέστιν τὸ κατὰ κορυφὴν λεγόμενον, πίπτειν κατὰ τὸ τέλος τῶν τμημάτων, τουτέστιν ὡς πρὸς νότον αὐτῶν τῶν τμημάτων ἀπολαμβανομένων ὑπὸ τῆς εἰρημένης γραμμῆς, καθάπερ ἐπὶ Ῥόδου αἱ λϛ μοῖραι ὑπὸ ταύτης ἀπολαμβάνονται. |
| 13 | Ὀρθὸς δὲ ἵσταται ὁ μεσημβρινὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα ἐπὶ τῆς αὐτῆς ὑπὸ τὸ ἄρτημα γραμμῆς διὰ τρηματίου προσφερομένης σπάρτου βάρος ἐχούσης· ὅταν γὰρ ἡ σπάρτος ἠρεμοῦσα ἐπιψαύουσα φαίνηται τῆς κατὰ διάμετρον γραμμῆς, ἢ διὰ τοῦ κέντρου τοῦ μεσημβρινοῦ ἐντὸς ἐπὶ κανονίου λαμβανομένου ἔρχηται, ἢ πάλιν τῆς διχοτομίας τοῦ μήκους ἁπλῶς τοῦ κανονίου κατὰ παράλληλον τῷ ὁρίζοντι θέσιν ὄντος ἅπτηται, τότε τεθείς ἐστιν ὁ μεσημβρινὸς κρίκος πρὸς τὸν ὁρίζοντα. |
| 14 | Γίγνεται δὲ καὶ παράλληλος οὗτος τῷ τοῦ φύσει μεσημβρινοῦ ἐπιπέδῳ τουτέστιν αἱ πλευραὶ αὐτοῦ, διὰ σπάρτου πάλιν βάρος ἐχούσης κωνικόν· μεσημβρινῆς γὰρ εὐθείας προδιαβληθείσης ἐν ἀκλινεῖ τῷ ὑποκειμένῳ τῷ μεσημβρινῷ ἐπιπέδῳ καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως τοῦ κωνικοῦ βάρους ὀρθοῦ κατασταθέντος ἐξαπτομένης τῆς σπάρτου, καὶ προσφερομένης ἐπὶ δύο ἢ πλειόνων σημείων συμμέτρους διαστάσεις ἐχόντων ἐφ’ ἑκάτερα τῆς ὑπὸ τὸ ἄρτημα μέσης γραμμῆς τοῦ μεσημβρινοῦ, ὅταν ἡ κορυφὴ τοῦ κώνου ἀκριβῶς ἐξ ἀμφοτέρων ἅψηται τῆς μεσημβρινῆς εὐθείας, ἐφαπτομένης οὐ πάντως τῆς πλευρᾶς τοῦ μεσημβρινοῦ κρίκου ἠρεμούσης τῆς σπάρτου, τότε καὶ τὸ προκείμενον ἐπιτελεῖται. «Τοῦτον δὴ τὸν τρόπον καθιστάντες τὸ ὄργανον, ὁποσάκις ὑπὲρ γῆν «ἅμα φαίνεσθαι ἠδύνατο ὅ τε ἥλιος καὶ ἡ σελήνη ...», καὶ τὰ ἑξῆς ἄχρι τέλους τοῦ κεφαλαίου. Εἰ γὰρ οὕτω κατασταθείη τὸ ὄργανον ὡς ἔφη, δυνατὸν ἔσται τὴν τῶν ἐντὸς ε κύκλων περιαγωγὴν ἀποτελεσθῆναι περὶ τοὺς τοῦ ἰσημερινοῦ πόλους ἀπὸ ἀνατολῶν ἐπὶ δυσμὰς ἀκολούθως τῇ τῶν ὅλων πρώτῃ λεγομένῃ κινήσει. καὶ ἐὰν τὴν τοῦ ἡλίου μοῖραν ὑπὲρ γῆν ὄντος θέλωμεν λαμβάνειν, περιάξομεν τὸν δι’ ἀμφοτέρων τῶν πόλων κρίκον, ἕως ἂν ὁ ζῳδιακὸς ἐκ τῆς κοίλης ἐπιφανείας ἑαυτὸν σκιάσῃ· καὶ μενούσης αὐτοῦ τῆς θέσεως, παροίσομεν καὶ τὸν ἔξωθεν τῶν ἀστρολάβων κύκλον, ἕως ἂν ἀφώτιστος καὶ αὐτὸς ἐκ τῆς κοίλης ἐπιφανείας γένηται. τούτου γὰρ γενομένου, τουτέστιν ἅμα τῶν κύκλων σκιαζόντων αὑτοὺς, δῆλον ὡς ἐκ τῆς κατὰ τὴν ὑπὲρ γῆν αὐτῶν τῶν κύκλων τομῆς καὶ τῆς διαιρέσεως τοῦ ζῳδιακοῦ φανήσεται ποίαν ἐπέχει μοῖραν ζῳδίου ὁ ἥλιος. Αὐτὸς δὲ λέγει δεῖν παραφέρεσθαι πρῶτον τὸν ἔξωθεν τῶν ἀστρολάβων κύκλον ἐπὶ τὴν κατ’ ἐκείνην τὴν ὥραν εὑρισκομένην ἔγγιστα τοῦ ἡλίου μοῖραν, καὶ οὕτως περιάγειν τὸν διὰ τῶν πόλων ἕως ἂν σκιάσωσιν αὑτοὺς ἅμα οἱ κύκλοι, ὃ δὴ καὶ ἄμεινόν ἐστιν ἐν ταῖς τηρήσεσι ποιεῖν, τάχους ἕνεκεν· συμβαίνει γὰρ διὰ βραδυτῆτα ἐκπεσεῖν ποτε καὶ τοῦ ζητουμένου, τοῦ ἡλίου ἐν τῇ διοπτείᾳ περὶ δυσμὰς ὄντος. |
| 15 | Τοῦ δὲ ἡλίου καὶ τῆς σελήνης ὑπὲρ γῆν ὄντων καὶ ἡ τῆς σελήνης φαινομένη μοῖρα κατά τε μῆκος καὶ πλάτος καταλαμβάνεται ἐκ τῆς πρὸς τὸν ἥλιον αὐτῆς διαστάσεως· ὑποκειμένης γὰρ τῆς ἡλίου μοίρας καὶ ὁ ἐντὸς τῶν ἀστρολάβων κύκλος παραφέρεται πρὸς τὴν σελήνην, ὅπως ἅμα τῇ τοῦ ἡλίου διοπτεύσει, καὶ ἡ σελήνη διὰ τῶν κατὰ τὸν λεπτὸν κυκλίσκον ὀπῶν διοπτευθῇ ἑνὶ τῶν ὀφθαλμῶν. οὕτω γὰρ ἂν ποῖόν τε τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου κατὰ μῆκος ἐπέχει τμῆμα ῥᾴδιον ἐπιγινώσκειν ἐκ τῆς κατὰ τὴν διαίρεσιν τοῦ ζῳδιακοῦ κύκλου γινομένης ὑπὲρ γῆν πάλιν τοῦ ἐντὸς ἀστρολάβου τομῆς· καὶ πόσας αὐτοῦ τοῦ διὰ μέσων μοίρας ἀφέστηκεν ἤτοι πρὸς ἄρκτους ἢ μεσημβρίαν ὡς ἐπὶ τοῦ πρὸς ὀρθὰς αὐτῷ κύκλου, διὰ τῆς αὐτοῦ τοῦ ἐντὸς τῶν ἀστρολάβων διαιρέσεως· ὅση γὰρ ἂν εὑρίσκηται ἡ διάστασις ἀπὸ μέσου τῆς ὑπὲρ γῆν ὀπῆς σημείου τοῦ ὑπὸ τὸν ἀστρολάβον κυκλίσκου ἐπὶ τὴν μέσην γραμμὴν τῆς κοινῆς τομῆς τοῦ τε ἀστρολάβου καὶ τοῦ ζῳδιακοῦ, τοσαύτη ἔσται καὶ ἡ τῆς σελήνης ἀπόστασις ἐφ’ ὁπότερα μέρη τοῦ διὰ μέσων νοουμένου κύκλου. Τῆς δὲ σελήνης ὑπὲρ γῆν οὔσης νύκτωρ, καὶ ὁ τόπος τοῦ ἐπιζητουμένου ἀστέρος ἤτοι ἀπλανοῦς ἢ πλανωμένου καταλαμβάνεται ἐκ τῆς διαστάσεως τοῦ ἀστέρος καὶ σελήνης. ὑποκειμένης τῆς τοῦ ἀστέρος μοίρας ἀπλανοῦς ἢ πλανωμένου, ἡ τῆς σελήνης μοῖρα φαινομένη λαμβάνεται. καὶ πάλιν ἀπὸ τῆς τοῦ ἀστέρος μοίρας, ἄλλου τινὸς ἁπλῶς ἀστέρος τῶν ἐπιζητουμένων, εὔλημπτος ὁ τόπος ὁμοίως ἐκ τῆς μεταξὺ αὐτῶν διαστάσεως· ὁ μὲν γὰρ ἔξωθεν τῶν ἀστρολάβων κύκλος παραφέρεται πρὸς τὸν τοῦ ὑποκειμένου τόπον ἀστέρος ἢ σελήνης (καὶ περιάγεται ὁ διὰ τῶν πόλων) ἕως ἂν ὁ ὑποκείμενος ἀστὴρ ἢ ἡ σελήνη διοπτευθῇ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν πλευρῶν κατ’ ἴσας αὐτῶν διαστάσεις, ἵν’ ὥσπερ κεκολλημένον ᾖ τὸ ὁρώμενον ταῖς πλευραῖς ὑπὸ τοῦ ἑτέρου τῶν ὀφθαλμῶν, ὃς παρατίθεται πρὸς τὰ ὑπὸ γῆν τοῦ κρίκου πίπτοντα μέρη ταῖς πλευραῖς. |
| 16 | ὁ δὲ ἐντὸς καὶ διῃρημένος πρὸς τὸν ἐπιζητούμενον ἀστέρα πάλιν ἢ τὴν σελήνην παραφέρεται. καὶ οὕτως πάλιν διά τε τῆς τοῦ ἐντὸς ἀστρολάβου πρὸς τὸν ζῳδιακὸν κρίκον τομῆς καὶ τῆς κατὰ τὸν ὑφηρμοσμένον αὐτῷ κυκλίσκον ὀπῆς, ἡ τῆς σελήνης ἢ τοῦ ἀστέρος μοῖρα κατά τε μῆκος καὶ πλάτος καταλαμβάνεται. Φανερὸν δ’ ὅτι καὶ ἡ μεσουρανοῦσα τοῦ ζῳδιακοῦ μοῖρα ἐκ τῆς ἐν τῷ ὀργάνῳ πρὸς τὸν μεσημβρινὸν τομῆς τοῦ ἀντὶ τοῦ διὰ μέσων δίδοται ἅμα τῇ διοπτεύσει, ἡμέρας μὲν ἡλίου, νυκτὸς δὲ σελήνης ἢ ἀστέρος· ὅτι καὶ ἡ τοῦ κόσμου θέσις οὕτως ἐκλαμβάνεται. Ἀπὸ δὲ τῆς μεσουρανούσης λοιπὸν τό τε ἀνατέλλον σημεῖον τοῦ διὰ μέσων δοθήσεται καὶ ὁ χρόνος καθ’ ὃν τόπον καὶ ἡ τήρησις γίνεται, διὰ τῶν προεκτεθειμένων ἀναφορικῶν κανονίων. Περὶ τῆς πρὸς τὴν διπλῆν ἀνωμαλίαν τῆς σελήνης ὑποθέσεως. |
| 17 (1t) | Ἁπλῶς μὲν οὖν ὁ Πτολεμαῖος ἐν ταῖς τυχούσαις ἡμέραις ἐσκόπει, τὸ ὄργανον τιθεὶς ὡς εἴρηται, τὰς διαστάσεις τοῦ ἑτέρου τῶν φώτων πρὸς τὸ ἕτερον τὰς ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ, συναμφοτέρων ὑπὲρ γῆν τυγχανόντων· καὶ ὁτὲ μὲν αὐτὰς συμφώνους κατελαμβάνετο ταῖς ἀπὸ τῶν κανόνων ἡλίου καὶ σελήνης ἔν τε τῷ γʹ καὶ δʹ βιβλίῳ τῆς συντάξεως ἐκτεθειμένων ὁμαλῶν καὶ ἀνωμάλων κινήσεων ἐπιλογιζομέναις διὰ τῶν ἀριθμῶν, ὁτὲ δὲ διαφώνους, καὶ ὁτὲ μὲν ὀλίγῳ, ὁτὲ δὲ πολλῷ· πλείονος δὲ αὐτῷ τῆς ἐπιστάσεως καὶ περιεργοτέρας συνεχῶς οἷον καθ’ ἡμέραν γινομένης περὶ τὴν τάξιν τῆς τοιαύτης ἀνωμαλίας, κατελαμβάνετο ὥς φησιν «ὅτι περὶ «μὲν τὰς συνόδους ἀεὶ» τουτέστιν περὶ τὰς πρὸς ἥλιον τῶν φάσεων γινομένας τῆς σελήνης ἀνατολὰς καὶ περὶ τὰς δύσεις, ὁμοίως «καὶ τὰς παν«σελήνους, ἢ οὐδὲν αἰσθητὸν» γίνεται ἁμάρτημα, ὀλίγον, καὶ τοσοῦτον ὅσον ἂν αἱ παραλλάξεις τῆς σελήνης διάφορον ἀπεργάσασθαι ἐδύναντο τῶν φαινομένων τῆς σελήνης τόπων πρὸς τὰς ἀκριβεῖς αὐτῆς κατὰ μῆκος ἐποχάς· «περὶ δὲ τὰς διχοτόμους ἀμφοτέρας», τουτέστιν τῆς σελήνης ἀπὸ τοῦ ἡλίου διαστάσεις μέσως πρῶτον μοίρας ϙ καὶ δεύτερον σο ὡς ἐπὶ τὰ ἑπόμενα, βραχύτατον μὲν πάλιν ἢ «οὐδὲν διαμαρτάνεται, «τῆς σελήνης κατὰ τὸ ἀπόγειον ἢ τὸ περίγειον τοῦ ἐπικύκλου τυγχα«νούσης», τουτέστιν ἀνωμαλίας 𐆊 ἢ ρπ· «πλεῖστον δ’ ὅταν περὶ τοὺς «μέσους δρόμους οὖσα», τουτέστιν μοίρας ϙ ἕως ρβ τῆς ἀνωμαλίας ἀπέχουσα τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου καὶ μοίρας σνη ἕως σο, «πλεῖ«στον καὶ τὸ παρὰ τὴν πρώτην ἀνωμαλίαν διάφορον ποιῇ», ὅπερ ἐστὶν μοιρῶν ε, ἢ καὶ ἕως δ νθ. |
| 18 | Ἐπὶ γὰρ τῆς δευτέρας ἀνωμαλίας τὸ πλεῖστον διάφορον δείκνυται παρὰ τὴν πρώτην ἐν ταῖς διχοτόμοις μοιρῶν β μ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἐπὶ τῆς πρώτης βιβλίῳ δʹ, μοιρῶν ε α. ἐὰν οὖν ἐπιπλοκὴ καὶ μῖξις αὐτῶν γένηται, γίνεται τὸ μέγιστον διάφορον ἀμφοτέρων, μοιρῶν ζ μ, καὶ τεταρτημόριον ἀπέχει ἡ μέση σελήνη τοῦ μέσου ἡλίου. καὶ τοῦ μὲν κέντρου σελήνης τεταρτημόριον ἔγγιστα ἀπέχοντος τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου, ἡ σελήνη κινεῖται τὰ μέσα μοίρας ιγ ια· τῆς δὲ σελήνης ἀπὸ τοῦ ἡλίου τεταρτημόριον ἀπεχούσης, οὐ πάντως καὶ τὸ κέντρον αὐτῆς ἀπέχει τεταρτημόριον τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου. Ἰστέον δ’ ὅτι παρατηρεῖν χρὴ τὰς διαστάσεις τῶν φώτων, ἐπί τε τῶν διχοτόμων μάλιστα καὶ τῶν πανσελήνων καὶ ἀμφικύρτων καὶ μηνοειδῶν, τῆς σελήνης περὶ τὴν τεταρτημοριαίαν περιφέρειαν ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ ἀπεχούσης τοῦ ὁρίζοντος, τουτέστι τοῦ ἀνατέλλοντος ἢ δύνοντος σημείου· οὕτω γὰρ ἂν μόνως τὸ τῶν παραλλάξεων αὐτῆς κατὰ μῆκος διάφορον ἀνεπαίσθητον γίνοιτο παντελῶς· ἐπεὶ μὴ δίδοται προχείρως ἡ παράλλαξις ἄνευ τοῦ δοθῆναι πρῶτον τὸν λόγον τῆς ἐκκεντρότητος τοῦ σεληνιακοῦ κύκλου. |
| 19 | Ἐπεὶ οὖν περὶ παραλλάξεως καὶ νῦν καὶ μικρῷ ὕστερον ὁ Πτολεμαῖος ἐμνημόνευσεν, δοκεῖ δὲ παραλαμβάνειν τὸν περὶ αὐτῶν λόγον ὃν ὕστερον διδάσκει, δόξα φέρεται δὲ ὅτι ταῖς τῶν προτέρων μαθηματικῶν ἐχρήσατο παραλλάξεσιν, οὐκ ἔστιν δὲ τοῦτο ἀληθὲς ἀλλ’ ἐπειδὴ ὡς εἴπομεν τεταρτημοριαίαν ἀπέχουσα τοῦ ὁρίζοντος περιφέρειαν ἡ σελήνη, μᾶλλον δ’ ἐπὶ τοῦ γραφομένου διὰ τῶν πόλων τοῦ ζῳδιακοῦ, καὶ τοῦ πόλου τοῦ ὁρίζοντος καὶ τοῦ διχοτομοῦντος σημείου τὸ ὑπὲρ γῆν ἡμικύκλιον τοῦ ζῳδιακοῦ μεγίστου κύκλου τυγχάνουσα ἀπαράλλακτός ἐστιν κατὰ μῆκος· διὰ τοῦτο εἰ τὰς περὶ τοῦτον τὸν κύκλον τῆς σελήνης θέσεις διοπτεύοντες τῷ ὀργάνῳ λάβοιμεν τὰς διαστάσεις αὐτῆς πρὸς τὸν ἥλιον, ἕξομεν τὴν σελήνην ἀπαράλλακτον, καὶ οὐκ ἔσται ἡμῖν χρεία πρὸς τὸ ὑποκείμενον τὰ νῦν τῆς τῶν παραλλάξεων πραγματείας. Καὶ γὰρ ἐν τοῖς ἑξῆς Ἵππαρχός τε καὶ Πτολεμαῖος φαίνονται λαβόντες ἐπὶ διχοτόμων καὶ μηνοειδῶν κατὰ τὰς τοιαύτας θέσεις τὴν σελήνην ἀπαράλλακτον, ἐλάχιστα δὲ παραλλάσσουσαν κατὰ μῆκος, εἰ ἀφεστηκυῖα τοῦ προειρημένου κύκλου φαίνοιτο ὀλίγην τινὰ τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρειαν. «Καὶ ὅτι ἀφαιρετικῆς μὲν οὔσης τῆς πρώτης ἀνωμαλίας ἐν ὁποτέρᾳ «τῶν διχοτόμων, ἔτι ἐλάσσων ὁ τόπος τῆς σελήνης εὑρίσκεται τοῦ ἐκ «τῆς πρώτης» ἀνωμαλίας ἐν τῷ τετάρτῳ βιβλίῳ κατὰ ἀφαίρεσιν ἐπιλογιζομένου, «προσθετικῆς δὲ ἔτι πλείων ὡσαύτως καὶ ἀναλόγως τῷ μεγέ«θει τῆς πρώτης προσθαφαιρέσεως». |
| 20 | Εἰ γὰρ τὰ μέγιστα προστίθησιν ἡ πρώτη μοίρας ε α, καὶ ἡ δευτέρα τὰς μοίρας β μ προστίθησιν· καὶ ἐὰν ἡ πρώτη τὰ μέγιστα ἀφαιρῇ, καὶ ἡ δευτέρα ἀφαιρήσει τὰ μέγιστα· ἐὰν δὲ τὰ μέσα ἀφαιρῇ ἢ προστιθῇ ἡ πρώτη μοίρας β λ, κἀκείνη ὁμοίως τὰ μέσα μοίραν α κ· κἂν τὰ ἐλάχιστα, κἀκείνη ὥστε καὶ ἀναλόγως ἡ προσθαφαίρεσις αὐτῶν γίνεται, ὡς διὰ ταύτην τὴν τάξιν ἤδη συνορᾶν, ὅτι καὶ τὸν ἐπίκυκλον τῆς σελήνης ἐπὶ ἐκκέντρου κύκλου φέρεσθαι δεῖ, ἀπογειότατον μὲν γινόμενον καὶ περὶ τὰς συνόδους καὶ περὶ τὰς πανσελήνους, περιγειότατον δὲ κατ’ ἀμφοτέρας τὰς διχοτόμους. «Συμβαίνοι δ’ ἂν τὸ τοιοῦτο, τῆς πρώτης ὑποθέσεως τοιαύτην τινὰ «τὴν διόρθωσιν λαμβανούσης ...» καὶ τὰ ἑξῆς ἄχρι τέλους τοῦ πρώτου θεωρήματος. Ἐν γὰρ τῷ τετάρτῳ βιβλίῳ κατὰ τὴν πρώτην ὑπόθεσιν, ὑπέκειτο ὁ μὲν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τῷ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων γραφόμενος μέγιστος κύκλος ἐν τῷ λοξῷ τῆς σελήνης ἐπιπέδῳ, κινούμενος σὺν αὐτῷ ἢ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων ἐπὶ τὰ προηγούμενα τοῦ κόσμου ἐν τῇ μιᾷ ἡμέρᾳ 𐆊 γ ἔγγιστα, οἷς ὑπερέχει ἡ κατὰ πλάτος ἡμερησία κίνησις μοιρῶν ιγ ιδ ἔγγιστα τὴν κατὰ μῆκος μοιρῶν ιγ ια ἔγγιστα· τὸ δὲ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου τὰς τοῦ πλάτους ιγ ιδ· ἡ δὲ σελήνη τὸν καλούμενον ἐπίκυκλον περιερχομένη πάλιν εἰς τὰ προηγούμενα ὡς κατὰ τὴν ἀπόγειον αὐτοῦ περιφέρειαν, ἐν τῇ μιᾷ ἡμέρᾳ μοίρας ιγ δ· ἐνταῦθα δὲ δύο κινήσεις ἐναντίας ἀλλήλαις ὑποτίθεται, ὁμαλάς τε καὶ περὶ τὸ κέντρον τοῦ διὰ μέσων ἀμφοτέρας ἀποτελουμένας, καὶ ἐν τῷ λοξῷ τῆς σελήνης ἐπιπέδῳ· ὧν μίαν μὲν τὴν περιάγουσαν δι’ εὐθείας τὸ τοῦ ἐπικύκλου κέντρον εἰς τὰ ἑπόμενα τῶν ζῳδίων ἐν ἡμέρᾳ μιᾷ τὰς τοῦ πλάτους μοίρας ιγ ιδ, ἑτέραν δὲ τὴν περιάγουσαν διά τινος εὐθείας τὸ κέντρον καὶ τὸ ἀπόγειον τοῦ ἐν τῷ λοξῷ ἐπιπέδῳ γραφομένου ἐκκέντρου, ἐφ’ οὗ πάντοτε τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου τέτακται, ἐν ἡμέρᾳ μιᾷ πάλιν ὡς εἰς τὰ προηγούμενα τῶν ζῳδίων μοίρας ια θ, αἷς ὑπερέχουσιν αἱ διπλασίονες τῆς ἀποχῆς μοῖραι κδ κγ τὰς τοῦ πλάτους ιγ ιδ· ἀλλὰ καὶ τὸ λοξὸν ἐπίπεδον ὑποτίθεται κινούμενον τὰ 𐆊 γ οἷς ὑπερέχουσιν αἱ τοῦ πλάτους τὰς τοῦ μήκους· ὥστε ἐν τῇ μιᾷ ἡμέρᾳ τὸ μὲν τοῦ ἐπικύκλου κέντρον κινούμενον τὰς τοῦ πλάτους μοίρας ιγ ιδ, φαίνεσθαι κεκινημένον τὰς τοῦ μήκους ιγ ια, τὸ δὲ ἀπόγειον τοῦ ἐκκέντρου ἐπὶ τὰ προηγούμενα μοίρας ια ιβ. |
| 21 | οὕτω γὰρ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ἐναντίων κινήσεων περὶ τὸ τοῦ ζῳδιακοῦ κέντρον ὡς εἶπεν ἀποτελουμένων, ἡ διὰ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου καὶ τοῦ ἀπογείου αὐτοῦ ἀγομένη εὐθεῖα προσαποστήσεται τῆς διὰ τοῦ κέντρου τοῦ ζῳδιακοῦ καὶ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ἀγομένης, τὴν συντιθεμένην ἐκ τῶν ιγ ιδ, καὶ τῶν ια θ περιφέρειαν, διπλῆν γινομένην τῶν τῆς ἀποχῆς μοιρῶν ιβ ια 𐅵 ʹ ἔγγιστα. |
| 22 | καὶ διὰ τοῦτο δὶς ἐν τῷ ἑνὶ μηνιαίῳ μέσῳ χρόνῳ τὸν ἔκκεντρον ὁ ἐπίκυκλος περιελεύσεται, τῆς πρὸς τὸ ἀπόγειον τοῦ ἐκκέντρου νοουμένης ἀποκαταστάσεως ἐν ταῖς μέσαις συνόδοις τε καὶ πανσελήνοις ὑποτιθεμένης ἀποτελεῖσθαι. [Omitted graphic marker] Νοείσθω ἐν τῷ λοξῷ τῆς σελήνης ἐπιπέδῳ ὁμόκεντρος κύκλος τῷ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων περὶ διάμετρον τὴν ΑΒΡ· ἐφ’ ἧς ὑποκείσθω τὸ μὲν κέντρον τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τὸ Β, τὸ δὲ τοῦ ἐκκέντρου τὸ Ν, τὸ δὲ περίγειον αὐτοῦ τὸ Ρ. νοείσθω δὲ καὶ τὸ Α Κριοῦ ἀρχὴ καὶ τὸ βόρειον πέρας τοῦ λοξοῦ κύκλου σελήνης καὶ τὸ ἀπόγειον τοῦ ἐκκέντρου καὶ τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου ἐπὶ τῆς περιφερείας τοῦ ἐκκέντρου κατὰ τὴν κοινὴν τομὴν τῆς ΒΑ καὶ τοῦ ἐκκέντρου. Καὶ κεκινήσθω ἡμέρας δρόμον τὸ μὲν βόρειον πέρας τοῦ λοξοῦ κύκλου ἐπὶ τὰ προηγούμενα 𐆊 γ τὴν ὑπὸ ΑΒΔ γωνίαν περὶ τὸ κέντρον τοῦ ζῳδιακοῦ, συμμεταφέροντος τὸν ἔκκεντρον καὶ τὸν ἐπίκυκλον ὁδοῦ τοῦ λοξοῦ τῆς σελήνης ἐπιπέδου πρὸς τὸν ζῳδιακόν, τὸ δὲ ἀπόγειον τοῦ ἐκκέντρου περιφέρειαν μοιρῶν ια θ ἐπὶ τὰ προηγούμενα περὶ τὸ Β κέντρον τοῦ ζῳδιακοῦ τὴν ὑπὸ ΔΒΕ, ὥστε τὴν ὑπὸ ΑΒΕ ὅλην εἶναι ια ιβ, οἵων ἡ α ὀρθὴ ϙ, τοῦ ἐπικύκλου συγκινουμένου τῷ ἐκκέντρῳ ἐπειδὴ τὸ κέντρον αὐτοῦ ἐπὶ τῆς περιφερείας ἐστὶν τοῦ ἐκκέντρου, τοῦ τοίνυν κέντρου τοῦ ζῳδιακοῦ τοῦ Β μένοντος, καὶ τοῦ Ν κέντρου τοῦ ἐκκέντρου κινουμένου ἐπί τινος κυκλίσκου περὶ τὸ Β κέντρον, καὶ διάστημα τὸ ΒΝ, ἔσται τὸ Ν ἐπὶ τῆς ΒΕ κατὰ τὸ Μ, καὶ τὸ Ρ περίγειον κατὰ τὸ Σ, ἐπὶ τῆς διὰ τοῦ ἀπογείου εὐθείας τῆς ΕΒΣ. |
| 23 | πάλιν δὲ τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου τὸ Η κεκινήσθω ἡμέρας δρόμον, περιφέρειαν μοιρῶν κδ κγ, διπλῆν γινομένην τῶν τῆς ἀποχῆς ιβ ια 𐅵 ʹ ἀπὸ τοῦ Ε ἀπογείου τοῦ ἐκκέντρου περὶ τὸ Β κέντρον τοῦ ζῳδιακοῦ τῆς ὑπὸ ΕΒΗ γωνίας κδ κγ, οἵων ἡ α ὀρθὴ ϙ. ὥστε εἶναι ἀπὸ τοῦ Α τὴν ὑπὸ ΑΒΗ ιγ ια τοῦ μήκους· τὴν δὲ τοῦ πλάτους ἀπὸ τοῦ βορείου πέρατος τοῦ Δ, τὴν ὑπὸ ΔΒΗ, ὑποτείνουσαν τοῦ ὁμοκέντρου τῷ ζῳδιακῷ περιφέρειαν μοιρῶν ιγ ιδ. Ἐπεὶ δὲ καὶ ἐν τῷ δʹ βιβλίῳ ἐδείχθη ὁ μέσος μηνιαῖος χρόνος ἡμερῶν κθ λα η ἔγγιστα, ἐν δὲ τῷ τοσούτῳ χρόνῳ κινεῖται μέσως ὁ μὲν ἥλιος μοίρας κθ ϛ κγ ἔγγιστα, ἡ δὲ σελήνη ὁμοίως μοίρας τπθ ϛ κγ· ὥστε εἶναι ἀποχὴν κινήσεως μοίρας τξ. |
| 24 | τὸ δὲ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου τὸ Η πλάτους μοίρας τϙ μ ιδ. τὸ δὲ βόρειον πέρας τοῦ λοξοῦ κύκλου, μοῖραν α λγ να, αἷς ὑπερέχουσιν αἱ τοῦ πλάτους τϙ μ ιδ τὰς τοῦ μήκους τπθ ϛ κγ. τὸ δὲ ἀπόγειον τοῦ ἐκκέντρου μοιρῶν τκθ ιθ μϛ, αἷς ὑπερέχουσιν αἱ διπλασίονες τῆς ἀποχῆς ψκ μοῖραι τῶν τοῦ πλάτους τϙ μ ιδ. [Omitted graphic marker] Ἐὰν ἄρα πάλιν ὑποθώμεθα τὸ Α Κριοῦ ἀρχῇ καὶ ἐπ’ αὐτοῦ τὸν μέσον ἥλιον καὶ τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου, τὸ αὐτὸ ὃν τῇ μέσῃ σελήνῃ, καὶ τὸ βόρειον πέρας τοῦ λοξοῦ κύκλου καὶ τὸ ἀπόγειον τοῦ ἐκκέντρου, καὶ διεκβάλωμεν ἀπὸ τοῦ Α τὰς μοίρας οἰκείως τοῦ τε ἡλίου καὶ τῆς μέσης σελήνης καὶ τοῦ βορείου πέρατος, καὶ πίπτῃ ὁ μὲν μέσος ἥλιος καὶ ἡ μέση σελήνη κατὰ τὸ Η, Κριῷ, μοίρᾳ κθ ϛ κγ· τὸ δὲ βόρειον πέρας κατὰ τοῦ Δ, Ἰχθύοι, μοίρᾳ κη κϛ θ· διεκβάλωμεν δὲ καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ μὲν τὰ ἑπόμενα τὰς τοῦ πλάτους, τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου, μοίρας τϙ μ ιδ, ἐπὶ δὲ τὰ προηγούμενα τὰς τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐκκέντρου μοίρας τκθ ιθ μϛ, τουτέστιν εἰς τὰ ἑπόμενα τὰς λοιπὰς εἰς τὸν κύκλον μοίρας λ μ ιδ, ἔσται καὶ τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου καὶ τὸ ἀπόγειον τοῦ ἐκκέντρου ἅμα, καὶ ὁ μέσος ἥλιος κατὰ τὸ Η. |
| 25 | ὥστε ἐν τῷ μέσῳ μηνιαίῳ χρόνῳ διαστας... . |
| 26 | .. ἐστιν τῆς ὑπὸ ΖΗΕ. πολλῷ [μείζων] ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΒΛ μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΖΗΕ. |
| 27 | διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΔΚ μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΖΘΕ. ἐὰν οὖν περὶ τὰ Β, Ε σημεῖα τὸν ἐπίκυκλον τῆς σελήνης νοήσωμεν γεγραμ[Omitted graphic marker] μένον, καὶ ἐκβεβλημένας τὰς μὲν ΕΗ, ΖΗ, μέχρι τῆς περιφερείας τοῦ ἐπικύκλου ὡς κατὰ τὰ Π, Ρ σημεῖα, ἔσται ἀπόγεια ὁμαλὰ μὲν τὰ Ν, Ρ, ἀκριβῆ δὲ τὰ Ξ, Π σημεῖα· καὶ διαφοραὶ τῶν μέσων ἀπογείων πρὸς τὰ ἀκριβῆ ἔσονται περιφέρειαι τοῦ ἐπικύκλου ἥ τε ἀπὸ τοῦ Ρ ὁμαλοῦ ἀπογείου ἐπὶ τὸ Π ἀκριβές, καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ν ὁμαλοῦ ἐπὶ τὸ Ξ ἀκριβές· καὶ γωνίαι δηλονότι πρὸς τῷ κέντρῳ τοῦ ἐπικύκλου καὶ αἱ κατὰ κορυφὴν ὑποτείνουσαι τὰς περιφερείας τοῦ ἐπικύκλου. Ὥστε μείζων ἐστὶν ἡ περιφέρεια τῆς ὑπὸ ΖΒΕ γωνίας ἤπερ ἡ τῆς ὑπὸ ΖΗΕ. |
| 28 | Ὁμοίως δειχθήσεται ὅτι καὶ ἐπὶ πάντων μὲν τῶν ἐπὶ τῆς ΑΒ περιφερείας λαμβανομένων σημείων μεταξὺ τῶν Α, Β, μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΒΕ γωνία. πάντων δὲ τῶν ἐπὶ τῆς ΑΔ περιφερείας λαμβανομένων σημείων μεταξὺ τῶν Α, Δ, μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΔΕ. Καὶ δῆλον ὡς ἐὰν ὁ μὲν ἐπίκυκλος ἐντὸς ρπ μοιρῶν ᾖ, 〈ἢ〉 ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ ἡμικυκλίου, προστιθέναι δεῖ τὰς διαφορὰς τῶν ἀπογείων τῷ κέντρῳ 〈τῆσ〉 σελήνης. ἐὰν δὲ ὑπὲρ ρπ μοίρας ᾖ, τουτέστιν ἐν τῷ Γ〈Δ〉Α ἡμικυκλίῳ, ἀφαιρεῖν δεῖ τὰς διαφορὰς τῶν ἀπογείων τοῦ κέντρου τῆς σελήνης, ἵνα σχῶμεν τὰς ἀπὸ τῶν ἀκριβῶν ἀπογείων κινήσεις τοῦ κέντρου τῆς σελήνης ἀεὶ ἐπὶ τὰ ἡγούμενα κινουμένου. [Omitted graphic marker] Πάλιν ἔστω ἔκκεντρος κύκλος ὁ ΑΒΓ, περὶ διάμετρον τὴν ΑΕΓ, καὶ κέντρον τὸ Μ. καὶ κέντρον μὲν τοῦ ζῳδιακοῦ τὸ Ε σημεῖον, τὸ δὲ τῆς προσνεύσεως τοῦ ἐπικύκλου τὸ Ζ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΕΔ. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΖ καὶ περὶ τὸ ΒΕΖ τρίγωνον κύκλος γεγράφθω· καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΒΘ περιφερείας τυχὸν σημεῖον τὸ Λ· καὶ διήχθω ἡ ΖΛΚ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΛ, ΕΚ, ΕΘ, ΖΘ. |
| 29 | Ἐπεὶ οὖν αἱ ὑπὸ ΕΒΖ, ΕΚΖ, ΕΘΖ γωνίαι ἐπὶ τῆς αὐτῆς περιφερείας τῆς ΕΖ βεβήκασιν, ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· τῆς δὲ ὑπὸ ΕΚΖ ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΕΛΖ μείζων ἐστίν. καὶ ἑκατέρας ἄρα τῶν ὑπὸ ΕΒΖ, ΕΘΖ γωνιῶν μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΛΖ. ὥστε τὴν μεγίστην διαφορὰν τοῦ μέσου ἀπογείου, πρὸς τὸ ἀκριβὲς συνίστασθαι μεταξὺ τῶν Β, Θ. Δείκνυται δὲ διὰ τῶν ἀριθμῶν μοιρῶν ιγ η, ἡ τῆς ὑπὸ ΑΕΛ γωνίας οὔσης τοιούτων ριε, οἵων ἡ α ὀρθὴ ϙ. καὶ πάλιν ἐπὶ τοῦ ΓΔ τμήματος ἡ μεγίστη διαφορὰ γινομένη κατὰ τὴν ἴσην ἀπὸ τοῦ περιγείου γωνίαν τουτέστιν ξε, ἡ ἀπὸ τοῦ ἀπογείου σμε, οἵων ἡ α ὀρθὴ ϙ. Καὶ ὅτι ὁ περὶ τὸ ΒΕΖ γραφόμενος κύκλος οὔτε ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύκλου κατὰ τὸ Β, οὔτε τέμνει τὴν ΑΒ περιφέρειαν, οὔτε διὰ τοῦ Γ ἥξει, διὰ τὰ ἐπὶ τούτοις ἄτοπα συμβησόμενα δείκνυται. Ἐὰν γὰρ ὑποθώμεθα τὴν ἁφὴν τῶν κύκλων εἶναι κατὰ τὸ Β καὶ λάβωμεν ἐπὶ τῆς ΒΖ διαμέτρου τὸ κέντρον οἷον τὸ Π, ἡ ἐπὶ τὰ Μ, Π σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἥξει καὶ διὰ τοῦ Β τῆς ἁφῆς, ὡς ἔστιν στοιχείων γʹ βιβλίῳ. καὶ ἔσται αὐτῷ εὐθειῶν τῶν ΒΖ, ΜΠΒ κοινὸν τμῆμα τὸ ΒΠ, ὅπερ ἀδύνατον. Ἐὰν δὲ τὸ Ξ σημεῖον ὑποθώμεθα καθ’ ὃ τέμνει ὁ περιγραφόμενος κύκλος τὴν ΑΒ περιφέρειαν, ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Ξ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἔγγιον οὖσα τῆς ΑΖ, μείζων ἔσται τῆς ΒΖ διαμέτρου, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· ἔσται γὰρ ἐν κύκλῳ εὐθεῖα διηγμένη μείζων τις τῆς διαμέτρου. |
| 30 | Εἰ δὲ διὰ τοῦ Γ σημείου ἄρχεσθαι λέγοι τις τὸν περιγραφόμενον κύκλον, ἡ ΓΕ εὐθεῖα τέμνει αὐτὸν κατὰ τρία σημεῖα, τὰ Ε, Ζ, Γ, ὅπερ ἀδύνατον. Ἐπὶ «μὲν οὖν τῶν ἄλλων ὑποθέσεων πασῶν ἁπλῶς ...» τῶν ἀστέρων, ἡ διὰ τοῦ ἀπογείου καὶ περιγείου διάμετρος τοῦ ἐπικύκλου πρὸς τὸ κέντρον τοῦ ἐκκέντρου πάντοτε προσνεύει, περὶ ὃ αἱ τῶν ἐπικύκλων κατὰ μῆκος κινήσεις ἀποτελοῦνται, πρὸς ὃ καὶ ἐν τοῖς ἴσοις χρόνοις ἴσαι γωνίαι τῆς ὁμαλῆς κινήσεως ἀποτελοῦνται. ἐπὶ δὲ τῆς σελήνης, οὐκέτι τὴν αὐτὴν ἀεὶ συντηρεῖ θέσιν ἡ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἀπὸ τοῦ σημείου πρὸς ὃ προσνεύει ἡ τοῦ ἐπικύκλου διάμετρος ἐπὶ τὸ τοῦ ἐπικύκλου κέντρον, τῇ τοῦ ἐπικύκλου διαμέτρῳ τῇ γινομένῃ ὑπὸ τῆς ἐπιζευγνυμένης ἀπό τε τοῦ σημείου τοῦ περὶ ὅ φαμεν τὴν τῶν ἐπικύκλων κίνησιν ἀποτελεῖσθαι· μάχεται γὰρ τὰ φαινόμενα. ὥστε μηδὲν ἀεὶ ταὐτὸν εἶναι τὸ ὁμαλὸν ἀπόγειον τῷ ἀκριβεῖ, μόνον δὲ ἐν ταῖς συζυγίαις ἢ ταῖς διχοτόμοις, ὅτε καὶ τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου ἐπὶ τοῦ ἀπογείου ἐστὶν ἢ τοῦ περιγείου τοῦ ἐκκέντρου, τὸ ὁμαλὸν ἀπόγειον τὸ αὐτὸ γίνεται τῷ ἀκριβεῖ. ἐπὶ γὰρ τῶν μεταξὺ διαστάσεων, ἕτερον ἀεὶ γίνεται τὸ ἀκριβὲς ἀπόγειον τῷ ὁμαλῷ, τοῦ ἐπικύκλου περὶ τὸ ἴδιον ἀεὶ κέντρον στρεφομένου· ἀπὸ μὲν τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐκκέντρου ἐπὶ τὰ προηγούμενα αὐτοῦ μέχρι μοιρῶν ϙ· μετὰ δὲ ϙ ἕως ρπ τοῦ περιγείου, ἐπὶ τὰ ἑπόμενα· μετὰ δὲ ρπ ἕως σο, εἰς τὰ ἑπόμενα· μετὰ δὲ σο ἕως τξ, εἰς τὰ προηγούμενα. σύνεγγυς γὰρ τὸ τῆς σελήνης κέντρον ἐφαίνετο ἐπέχον Ἰχθύων κα Γ β . |
| 31 | ἐπεῖχεν δὲ ἀκριβῶς κα γʹ. ὡς εἶναι παραλλάξεως 𐆊 κ. τοῦ γὰρ ἡλίου Ταύρῳ ὄντος μοίρᾳ ζ με, ὥρᾳ αʹ καιρικῇ ἐν Ῥόδῳ ἀνέτελλεν Διδύμων μοῖρα α, καὶ ἐμεσουράνει Ὑδροχόῳ μοῖρα ι, ἡ δὲ σελήνη Ἰχθύσι μοίρᾳ κα γʹ οὖσα, διειστήκει τοῦ μὲν ἀνατέλλοντος σημείου μοίρας ξθ μ, τοῦ δὲ ὀρθοῦ τῷ ὁρίζον τι καὶ ζωδιακῷ κ γʹ ἐπὶ τὰ ἑπόμενα αὐτοῦ οὖσα, τοῦ δὲ μεσημβρινοῦ πρὸς ἀνατολὰς χρόνους λθ 𐅵 ʹ περιέχοντας ὥρας ἰσημερινὰς β Γ β . ἐκ τοῦ παραλλακτικοῦ κανόνος σχεδὸν 𐆊 κ παραλλάξεως κατὰ μῆκος συνάγεται. εἰ μέντοι συνέβαινεν ὥρᾳ 〈γʹ〉 γενέσθαι τὴν τήρησιν, ἦν ἂν ἡ σελήνη ἐπὶ τοῦ ὀρθοῦ τῷ ὁρίζοντι καὶ ζῳδιακῷ σχεδὸν οὖσα, κατὰ μῆκος ἀπαράλλακτος. πρὸς δὲ τὸν προκείμενον χρόνον διὰ τῶν κανόνων εὑρίσκομεν τὸν ὁμαλὸν ἥλιον Ταύρῳ ϛ μ, τὸν δὲ ἀκριβῆ, ζ με· τὴν ὁμαλὴν σελήνην Ἰχθύσι κβ ιγ, ἀνωμαλίας δ’ ἀπὸ τοῦ ὁμαλοῦ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου, ρπε λ. Εἰς τὸ δʹ θεώρημα. Ἐπεὶ τοίνυν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία δέδοται πη νϛ, λείπουσα εἰς τὰς τξ μοίρας τῶν τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου, σοα δ, αἵ εἰσιν μετὰ κύκλον διπλασίονες τῶν τῆς ἀποχῆς γινομένων τιε λγ, ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΕΒ, ΑΝΒ. καὶ διὰ τοῦτο, αἱ ΔΚ, ΕΞ κάθετοι ἐπὶ τὰς ΕΒ, ΒΝ πίπτουσιν. |
| 32 | ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΚΕ ὀρθή· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΔΕ ἐστὶν δοθεῖσα. ὥστε καὶ τὸ ΔΕΚ τρίγωνον ὀρθογώνιον τῷ εἴδει δεδομένον [Omitted graphic marker] ἔσται. δοθεῖσα δὲ ἡ ΔΕ μεταξὺ τῶν κέντρων θεωρήματι τρίτῳ· δοθεῖσα ἄρα ἑκατέρα τῶν ΕΚ καὶ ΚΔ. ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΚ δοθέν ἐστιν. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ δοθέν ἐστιν· δοθεῖσα γὰρ ἡ ΔΒ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου, θεωρήματι τρίτῳ, μθ μα, οἵων ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ε ιε, καὶ ἡ ΔΕ, ι ιθ. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΚ ἔσται δεδομένη. δέδοται δὲ καὶ ἡ ΕΚ. καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΒΕ δοθεῖσά ἐστιν. Καὶ «ἐπεὶ ἡ μὲν τῆς ὁμαλῆς σελήνης ἀπὸ τοῦ ἀκριβοῦς ἡλίου διάστασις «δοθεῖσά ἐστιν ἐκ τῶν κανόνων,» ἔστιν γὰρ μοιρῶν τιδ κη· ἡ δὲ τῆς «ἀκριβοῦς τῶν ἐκ τῆς τηρήσεως μοιρῶν τιγ μβ· ὥστε ἀφαιρεῖν τὸ «παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διάφορον αὐτῆς 𐆊 μϛ. |
| 33 | θεωρεῖται δ’ ἡ ὁμαλὴ σελή«νη ἐπὶ τῆς ΕΒ εὐθείας. ὑποκείσθω ἡ σελήνη κατὰ τὸ Η, ἐπειδὴ περὶ «τὸ περίγειόν ἐστιν, καὶ ἐπιζευχθεισῶν τῆς τε ΕΗ καὶ τῆς ΒΗ», ἵνα ἡ ὑπὸ ΒΕΗ γωνία γίνηται 𐆊 μϛ ἐκ τῆς παρὰ τὴν ΗΘ περιφέρειαν διαφορᾶς. «Καὶ κάθετος ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὴν ΕΗ ἐκβληθεῖσαν, ἤχθω ἡ ΒΛ». Οὐ γὰρ οἷόν τέ ἐστιν ἐπὶ τὴν κοινὴν πίπτειν τῆς ΕΛ εὐθείας καὶ τῆς περιφερείας τοῦ ἐκκέντρου τὴν κάθετον, ἐπεί τοι ἡ ἐπὶ τὸ σημεῖον τῆς εἰρημένης κοινῆς τομῆς ἀπὸ τοῦ Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ὡς ἡ ΒΟ, μετὰ τῆς ΟΕ ἐκβαλλομένης ἐπὶ τὸ ἀντικείμενον ἡμικύκλιον τοῦ ἐκκέντρου τῷ ἐπικύκλῳ, ὀρθὴν περιέχει γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΟΠ, ἥτις ἐπ’ ἐλάττονος ἡμικυκλίου ἔσται τοῦ ΒΟΓΠ, ὅπερ ἀδύνατον· ἡ κάθετος ἄρα ἐκτὸς τῆς περιφερείας τοῦ ἐκκέντρου πίπτει. «Ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΒΕΛ γωνία περιέχει τὸ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν τῆς «σελήνης διάφορον», καὶ δοθεῖσα ἐδείχθη, καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ Λ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΒΛ γωνία δοθεῖσά ἐστιν. δέδοται ἄρα τῷ εἴδει τὸ ΒΕΛ τρίγωνον ὀρθογώνιον. καὶ ἐδείχθη δοθεῖσα ἡ ΒΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΒΛ, ΛΕ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΗ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τοῦ ἐπικύκλου δεδομένη ἐστίν. καὶ ὀρθὴ ἡ Λ γωνία. καὶ τὸ ΒΗΛ ἄρα τρίγωνον τῷ εἴδει δεδομένον ἔσται. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία δοθεῖσά ἐστιν. ἦν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΛ δοθεῖσα. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΒΗ δεδομένη ἐστίν. ὥστε καὶ ἡ ΗΘ τοῦ ἐπικύκλου περιφέρεια δοθεῖσά ἐστιν, τὴν ἀπὸ τῆς σελήνης ἐπὶ τὸ ἀκριβὲς περίγειον περιέχουσα διάστασιν. δείκνυται δὲ τῶν ἀριθμῶν παραληφθέντων μοιρῶν ϛ κα. «Ἀλλ’ ἐπειδὴ τοῦ μέσου ἀπογείου ἀπεῖχεν ἡ σελήνη κατὰ τὸν χρόνον «τῆς τηρήσεως μοιρῶν ρπε λ, δῆλον ὅτι καὶ τὸ περίγειον τὸ ὁμαλὸν «προηγεῖται τῆς σελήνης τουτέστιν τοῦ Η σημείου. ἔστω δὴ τὸ Μ καὶ «διήχθω ἡ ΒΜΝ. |
| 34 | » καθέτου οὖν οὔσης καὶ τῆς ΕΞ, ἐπεὶ ἡ ΗΘ περιφέρεια δοθεῖσα ἐδείχθη μοιρῶν ϛ κα, ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΗΜ τῶν ἀπὸ τοῦ περιγείου μοιρῶν ε λ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΒΞ γωνία δοθεῖσά ἐστιν· καὶ ὀρθὴ γωνία ἐστὶν ἡ Ξ· δέδοται ἄρα τὸ ΒΕΞ τρίγωνον ὀρθογώνιον τῷ εἴδει. καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΒΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΞ, ΞΒ. πάλιν ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία δοθεῖσά ἐστιν, δέδοται δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΒΝ, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΝΒ δεδομένη ἐστίν. καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ Ξ· δέδοται ἄρα τὸ ΕΝΞ τρίγωνον τῷ εἴδει. καὶ ἔστιν ἡ ΞΕ δοθεῖσα· καὶ ἡ ΕΝ ἄρα δεδομένη ἔσται. ἀναλέλυται ἄρα. Δείκνυται δὲ τῶν ἀριθμῶν παραληφθέντων, ἡ ΕΝ, ι καὶ ἑξηκοστὰ ιη, οἵων ἐδείχθη ἡ μὲν ΔΕ μεταξὺ τῶν κέντρων ι ιθ, ἡ δ’ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου μθ μα, ἡ δ’ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου, ε ιε. ἴση ἄρα ἔγγιστα τῇ ΔΕ τὴν ΕΝ ἀπείληφεν ἡ διὰ τοῦ μέσου περιγείου τῆς ΒΜ ἐπὶ τὸ Ν γενομένη πρόσνευσις. Εἰς τὸ εʹ. . «Ὡσαύτως δ’ ἵνα καὶ ἐκ τῶν ἀντικειμένων μερῶν τοῦ τε ἐκκέντρου καὶ «τοῦ ἐπικύκλου» ὄντος 〈πρὸσ〉 ρπ μοιρῶν 〈τοῦ〉 ἐπικύκλου, ὄντος καὶ ὑπὲρ ρπ ἀνωμαλίας τοῦ ἀριθμοῦ, «τὸ αὐτὸ συμβαῖνον δείξωμεν», φησίν, καὶ τὰ λοιπά. ἐτηρήθη γὰρ πάλιν ὑπὸ Ἱππάρχου ἐν Ῥόδῳ ἔτει ρϙζ ἀπὸ τῆς Ἀλεξάνδρου τελευτῆς Παϋνὶ καθ’ αἰγυπτίους ιζʹ ὥρᾳ θ καὶ γʹ· καθ’ ἣν ὥραν ὁ ἥλιος ἐκ τῆς διοπτείας ἐφαίνετο ἐπέχων Καρκίνου μοίρας ι νδ, τὸ δὲ φαινόμενον κέντρον τῆς σελήνης καὶ τὸ ἀκριβὲς τὰς αὐτὰς ἐπεῖχεν μοίρας κθ τοῦ Λέοντος· ἀνέτελλεν γὰρ τότε ἐν Ῥόδῳ Σκορπίου μοῖρα κθ, καὶ ἐμεσουράνει Παρθένου μοῖρα ια. |
| 35 | καὶ γίνεται ἡ διάστασις τῆς σελήνης πρὸς τὸ ἀνατέλλον σημεῖον ἀκριβῶς μοιρῶν ϙ, ὥστε ἐν αὐτῷ ὀρθῷ τῷ ζῳδιακῷ καὶ τῷ ὁρίζοντι οὖσαν τὴν σελήνην, καὶ ἀπέχουσαν τοῦ μεσημβρινοῦ α ὥραν ἔγγιστα ἰσημερινήν, ἀπαράλλακτον εἶναι μήκει, ἐπιμελέστατα ταύτην τὴν τήρησιν τοῦ Ἱππάρχου ποιησαμένου. κατὰ τὸν ἐκκείμενον οὖν χρόνον ἀπεῖχεν τὸ ἀκριβὲς κέντρον σελήνης τοῦ ἀκριβοῦς ἡλίου μοίρας εἰς τὰ ἑπόμενα μη ϛ. ἐπεὶ οὖν γέγονεν ἡ τήρησις μετὰ μεσημβρίαν τῆς ιζʹ, ὡρῶν καιρικῶν γ γʹ, ἰσημερινῶν δὲ δ δʹ, ὡριαίων χρόνων ὄντων ἐκείνης τῆς ἡμέρας ιη γ, πρὸς δὲ τὰ ὁμαλὰ νυχθήμερα ὡρῶν γ Γ β γινομένων· ὁ γὰρ ὁμαλὸς ἥλιος ἐκ τῶν κανόνων εὕρητο Καρκίνῳ ιβ ε, ὁ δὲ ἀνώμαλος μοίρᾳ ι μ· ὁ δὲ κατὰ τὴν ἐποχὴν Ἰχθύσι 𐆊 με, καὶ γ η· καὶ γίνεται ὁμαλὴ διάστασις μοιρῶν ρλα κ, ἡ δὲ ἀνώμαλος ρκζ λβ, αἷς ἐπιβάλλουσιν χρόνοις συμμεσουρανήσεως ρκϛ δ ἐλάσσονες τῶν τῆς ὁμαλῆς ρλα κ χρόνοις ε ἔγγιστα, οἳ ποιοῦσιν γʹ μέρος ὥρας ἰσημερινῆς· λοιπαὶ ἄρα γίνονται ὧραι γ Γ β πρὸς ἃς ὥρας ἡ ὁμαλὴ σελήνη ἐκ τῶν κανόνων εὑρίσκεται Λέοντι κζ κ, «ὥστε καὶ τὴν «διάστασιν αὐτῆς ἀπὸ τοῦ ἀκριβοῦς ἡλίου ὄντος Καρκίνῳ, μοίρᾳ ι μ, «συνάγεσθαι μοιρῶν μϛ μ», τὴν δὲ ὁμαλὴν τῆς ἀποχῆς με ιε, «ἀνω«μαλίας δὲ ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου μοίρας τλγ ιβ. «Τούτων ὑποκειμένων ...» ἀναλύσομεν τὸ εʹ τῆς συντάξεως θεώρημα τὸν τρόπον τοῦτον. Ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία τὴν διπλῆν τῆς ἀποχῆς περιέχουσα δοθεῖσά ἐστιν· ἔστιν γὰρ μοιρῶν ϙ λ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΚ δοθεῖσά ἐστιν. |
| 36 | [Omitted graphic marker] ἀλλὰ καὶ ὀρθὴ ἡ Κ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΔΚ δεδομένη ἔσται. δοθὲν ἄρα τὸ ΔΕΚ τρίγωνον τῷ εἴδει. καὶ ἔστιν ἡ ΔΕ μεταξὺ τῶν κέντρων δοθεῖσα. καὶ ἑκατέρα τῶν ΔΚ, ΕΚ ἔσται δοθεῖσα. ἀλλὰ καὶ ἡ ΔΒ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου. καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς ἄρα δοθέν ἐστιν. ὧν τὸ ἀπὸ ΔΚ δοθέν. καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΚ δοθέν. ἐπεὶ δὲ καὶ ἡ ΕΚ δέδοται, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ δοθεῖσα. πάλιν ἐπεὶ ἡ μὲν τῆς ὁμαλῆς σελήνης ἀπὸ τοῦ ἀκριβοῦς ἡλίου διάστασις μοιρῶν ἦν μϛ μ, ἡ δὲ τῆς ἀκριβοῦς μοιρῶν μη ϛ, καὶ διὰ τοῦτο προσθετικὸν ἐγίνετο τὸ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διάφορον μοίρας α κϛ. ὑποκείσθω ἡ σελήνη κατὰ τὸ Η τοῦ ἐπικύκλου σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἡ ΕΗ καὶ ἡ ΒΗ, καὶ κάθετος ἀπὸ τοῦ Β ἡ ΒΛ. |
| 37 | ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΒΕΛ γωνία δοθεῖσά ἐστιν, ὑποτείνει γὰρ τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρειαν μοίρας α κϛ τοῦ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διαφόρου, καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ Λ, δοθὲν ἄρα τὸ ΒΛΕ τρίγωνον ὀρθογώνιον τῷ εἴδει. καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ ΒΕ, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΛ· ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΗ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου· καὶ τὸ ΒΛΗ ἄρα τρίγωνον ὀρθογώνιον δέδοται τῷ εἴδει. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ δέδοται. ἦν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΗ δοθεῖσα· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΗ ἐκτὸς τοῦ τριγώνου ἴση οὖσα ταῖς ἀπεναντίον δοθεῖσά ἐστιν· καὶ ἔστιν πρὸς τῷ κέντρῳ τοῦ ἐπικύκλου· καὶ ἡ ΗΖ ἄρα τοῦ ἐπικύκλου περιφέρεια δοθεῖσά ἐστιν, δείκνυται δὲ τῶν ἀριθμῶν παραληφθέντων, μοιρῶν ιδ μγ οἵων ὁ ἐπίκυκλος τξ, περιέχουσα διάστασιν ἀπὸ τῆς σελήνης ἐπὶ τὸ ἀκριβὲς ἀπόγειον. ἀλλ’ ἐπεὶ τοῦ μέσου ἀπογείου ἀπεῖχεν κατὰ τὸν χρόνον τῆς τηρήσεως ἀπὸ τοῦ ὁμαλοῦ ἀπογείου μοιρῶν τλγ ιβ, ὑποκείσθω τὸ μέσον ἀπόγειον κατὰ τὸ Μ· οὔτε γὰρ κατὰ τὸ Ζ δύναται ὑποτίθεσθαι, οὔτε μεταξὺ τῶν Ζ, Η· ἡ γὰρ λείπουσα εἰς τὸν ἕνα κύκλον τῆς ἀνωμαλίας περιφέρεια, μοιρῶν ἐστιν κϛ μη, ὅλη δὲ ἡ ΖΗ ἐστὶν ιδ μγ· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΜΒΝ, καὶ κάθετος ἡ ΕΞ. ὀξεῖα γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΝΞ, ὅτι ἡ ὑπὸ ΑΕΒ ἐστὶν ϙ λ, ἡ δ’ ὑπὸ ΜΒΖ τῶν αὐτῶν ιβ ε, οἵων ἡ α ὀρθὴ ϙ. ἐπεὶ καὶ ἡ ΜΗ περιφέρεια τὴν ΖΗ ὑπερέχει τῇ ΖΜ καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΝΕ οη κε. ὀξεῖα οὖν ἐστιν, καὶ κάθετος ἡ ΕΞ. ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΜΒΖ γωνία τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΕΒΞ δοθεῖσά ἐστιν, καὶ ὀρθὴ ἡ Ξ γωνία, καὶ τὸ ΒΕΞ ἄρα τρίγωνον δοθέν ἐστιν. καὶ δοθεῖσα ἐδείχθη ἡ ΕΒ, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΒΞ, ΕΞ. πάλιν ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ δοθεῖσά ἐστιν, ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΒΞ δοθεῖσα, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΝΕ δεδομένη ἔσται. καὶ τὸ ΕΝΞ τρίγωνον τῷ εἴδει. καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΕΞ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΕΝ. ἀναλέλυται ἄρα. Τῶν δὲ ἀριθμῶν παραλημφθέντων, δείκνυται ι ιθ, οἵων ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ε ιε. καὶ ἡ ΔΒ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου μθ μα. Πῶς διὰ τῶν γραμμῶν τῶν ἀπὸ τῶν ὁμαλῶν κινήσεων ἡ ἀκριβὴς τῆς σελήνης πάροδος λαμβάνεται. |
| 38 (1t) | «Τούτων δὴ οὕτως ἀποδεδειγμένων ...» καὶ τὰ ἑξῆς. Ἐὰν γὰρ ὑποδείγματος ἕνεκεν καὶ ἐν ἄλλοις ἀριθμοῖς καὶ μὴ τοῖς προκειμένοις ἐν τῷ εʹ θεωρήματι ὑποθώμεθα ὁμαλὰς κινήσεις ἀποχῆς καὶ ἀνωμαλίας, οἷον ἀποχῆς μὲν μοιρῶν λε, ἀνωμαλίας δὲ ἀπὸ τοῦ ἀπογείου μοιρῶν ν, εὑρήσομεν διὰ τῶν γραμμῶν τὴν γινομένην ἀφαίρεσιν τῆς μέσης κατὰ μῆκος κινήσεως τοῦ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διαφόρου, πανταχόθεν συνηγμένην μοιρῶν δ μγ, συμφώνως ταῖς ἀπὸ τοῦ κανόνος συναγομέναις. [Omitted graphic marker] Ἔστω γὰρ ἔκκεντρος τῆς σελήνης κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ διάμετρον τὴν ΑΓ, ἐφ’ ἧς τὸ μὲν τοῦ ζῳδιακοῦ κέντρον τὸ Ε, τὸ δὲ τοῦ ἐκκέντρου τὸ Δ, τὸ δὲ τῆς προσνεύσεως τὸ Ν. |
| 39 | καὶ γεγράφθω περὶ τὸ Β ὁ ΖΜΗ ἐπίκυκλος, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΒΜ, ΖΒΕ. καὶ κάθετοι ἀπὸ τῶν Δ, Ν, ἐπὶ τὴν ΖΒΕ ἐκβληθεῖσαν, αἱ ΝΞ, ΚΔ. ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία τῶν ἐκ τῆς διπλῆς ἀποχῆς, οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ τοιούτων ο, οἵων δ’ αἱ δύο τξ τοιούτων ρμ, εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ ΕΔΚ λείπουσα εἰς τὰς δύο ὀρθὰς τῶν αὐτῶν μ. ὥστε καὶ ἡ ἐπὶ τῆς ΔΚ περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν ρμ, ἡ δὲ ἐπὶ τῆς ΚΕ τῶν λοιπῶν μ, οἵων ὁ περὶ τὸ ΔΕΚ τρίγωνον ὀρθογώνιον τξ. καὶ τῶν ὑπ’ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν, ἡ μὲν ΔΚ τοιούτων ριβ με μη, οἵων ἡ ΔΕ, ρκ, ἡ δὲ ΚΕ τῶν αὐτῶν μα β λγ. καὶ οἵων ἡ ΔΕ ι ιθ, ἡ δὲ ΔΒ μθ μα, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΔΚ θ μβ, ἡ δὲ ΚΕ γ λβ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ ἐστὶν ͵ βυξη κδ κα, ὧν τὸ ἀπὸ ΔΚ, ϙδ ε, λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ, ͵ βτοδ ιθ. |
| 40 | ὧν πλευρὰ μη μδ. ἦν δὲ καὶ ἡ ΕΚ τῶν αὐτῶν γ λβ· ὅλη ἄρα ἡ ΒΕ ἔσται νβ ιϛ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΞ γ λβ· τὸ γὰρ ΔΕΚ τρίγωνον τῷ ΕΝΞ τριγώνῳ ἴσον τέ ἐστιν καὶ ἰσογώνιον. ὅλη ἄρα ἡ ΒΞ γίνεται νε μη. καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς ͵ γριγ λη. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΝΞ θ μβ, ἴση οὖσα τῇ ΔΚ. τὸ δ’ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον ϙδ ε. γίνεται οὖν τὸ ἀπὸ ΒΝ ͵ γσζ μγ, ὧν πλευρὰ νϛ λη. καὶ ἐπεὶ οἵων νϛ λη ἡ ΒΝ, τοιούτων ἡ ΝΞ θ μβ, οἵων δὲ ρκ ἡ ΒΝ, τοιούτων ἡ ΝΞ κ λγ. καὶ περιφέρεια, καὶ γωνία οἵων μὲν αἱ δύο ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ιθ μδ 𐅵 ʹ· οἵων δ’ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ἡ ὑπὸ ΝΒΞ θ νβ. τοσούτων ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ τοῦ ἐπικύκλου περιφέρεια. ὑποκείσθω οὖν ἡ σελήνη ἀπέχουσα τοῦ Μ ὁμαλοῦ ἀπογείου τὰς προκειμένας μοίρας ν κατὰ τὸ Η. καὶ ἐπεζεύχθω ἥ τε ΕΗ καὶ ἡ ΗΒ, καὶ κάθετος ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν ΖΒ ἡ ΗΛ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΖΜ μοιρῶν ἐστιν θ νβ, ἀλλὰ καὶ ἡ ΜΗ μοιρῶν ν, ὅλη ἄρα ἡ ΖΗ ἔσται νθ νβ. ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΒΗ, οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων νθ νβ, οἵων δ’ αἱ δύο ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ριθ μδ. καὶ ἡ ἐπὶ τῆς ΛΗ ἄρα περιφέρεια, τοιούτων ἐστὶν ριθ μδ οἵων ὁ περὶ τὸ ΒΗΛ τρίγωνον ὀρθογώνιον κύκλος τξ· ἡ δὲ ἐπὶ τῆς ΛΒ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ξ ιϛ. καὶ τῶν εὐθειῶν ἡ μὲν ΛΗ τοιούτων ριγ μζ οἵων ἡ ΒΗ διάμετρος ρκ, ἡ δὲ ΒΛ ὁμοίως ξ ιδ. καὶ οἵων ἄρα ἡ ΒΗ ε ιε, τοιούτων ἡ μὲν ΛΗ δ λβ, ἡ δὲ ΛΒ β λη. πάλιν ἐπεὶ ἡ ΒΕ ἐδείχθη νβ ιϛ ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΛ β λη, ὅλη ἄρα ἡ ΕΛ ἔσται νδ νδ. |
| 41 | καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον ͵ γιδ α. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΗ κ λγ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΗ ἔσται ͵ γλδ λδ. μήκει ἄρα ἡ ΕΗ, νε ε ἔγγιστα, οἵων ἡ ΛΗ δ λβ. καὶ οἵων ἄρα ἡ ΕΗ ρκ, τοιούτων ἡ ΛΗ θ νγ, ἡ δὲ ταύτης περιφέρεια τοιούτων θ κζ, οἵων ὁ περὶ τὸ ΕΛΗ τρίγωνον ὀρθογώνιον κύκλος τξ. καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΕΗ, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων θ κζ, οἵων δ’ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων δ μγ, συμφώνως τοῖς ἐκ τοῦ κανονίου τῆς καθόλου σεληνιακῆς ἀνωμαλίας ἐπιλογιζομένοις. ταῖς γὰρ ο μοίραις τῆς διπλῆς ἀποχῆς παράκεινται τρίτῳ σελιδίῳ μοῖραι θ να, αἳ καὶ προστίθενται ταῖς τῆς ἀνωμαλίας μοίραις ν· καὶ γίνεται νθ να, αἷς παράκεινται δʹ σελιδίῳ μοῖραι δ η, καὶ πέμπτῳ σελιδίῳ μοῖραι β γ. ταῖς δὲ τῆς ἀποχῆς μοίραις ο παράκεινται ϛʹ σελιδίῳ ἑξηκοστῶν ιζ ἔγγιστα. ταῦτα ἐπὶ τὰς β γ μοίρας γενόμενα, γίνεται ἑξηκοστὰ λε, ἃ καὶ προστίθημι ταῖς τοῦ τετάρτου σελιδίου μοίραις δ η, καὶ γίνονται ὁμοῦ δ μγ. Πάλιν ἔστω τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου ἀπέχον ἀπὸ τοῦ ἀπογείου μοίρας ρκ, διπλῆς ἀποχῆς. τὸ δὲ κέντρον τῆς σελήνης ἀπεχέτω ἀπὸ τοῦ ἀκριβοῦς ἀπογείου μοίρας ξ. καὶ ὁ ἔκκεντρος τῆς σελήνης κύκλος ἔστω οὗ κέντρον τὸ Δ, τοῦ δὲ ζῳδιακοῦ κέντρον τὸ Ε, ἡ δὲ δι’ ἀμφοτέρων τῶν κέντρων διάμετρος ἡ ΑΔΕΓ, καὶ γεγράφθω περὶ τὸ Β κέντρον ὁ ΖΗΘ ἐπίκυκλος τῆς σελήνης. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΒ, ΕΒΖ καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὴν ΒΖ ἐκβληθεῖσαν κάθετος ἡ ΔΛ, καὶ ἔστω τὸ κέντρον τῆς σελήνης κατὰ τὸ Η. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΒ, ΕΗ, καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΖ ἡ ΗΜ. |
| 42 | ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΗΒΜ γωνία, οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ἐστὶν ξ, οἵων δ’ αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ρκ· καὶ ἡ ἐπὶ τῆς ΗΜ ἄρα [Omitted graphic marker] περιφέρεια τῶν αὐτῶν ἔσται ρκ, οἵων ὁ περὶ τὸ ΒΗΜ τρίγωνον ὀρθογώνιον κύκλος τξ, ἡ δ’ ἐπὶ τῆς ΒΜ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ξ. καὶ τῶν ὑπ’ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν, ἡ μὲν ΗΜ τοιούτων ἔσται ργ νε ἔγγιστα, οἵων ἡ ΒΗ ρκ, ἡ δὲ ΒΜ τῶν αὐτῶν ξ. καὶ οἵων ἄρα ἡ ΒΗ ε ιε, τοιούτων ἡ μὲν ΗΜ δ λγ, ἡ δὲ ΜΒ β λζ λ. πάλιν, ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ τοιούτων ρκ, οἵων δ’ αἱ δύο ὀρθαὶ τξ τοιούτων σμ, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΛ τῶν λοιπῶν εἰς τὰς β ὀρθὰς ρκ. καὶ ἡ ἐπὶ τῆς ΔΛ περιφέρεια τῶν αὐτῶν ρκ, ἡ δ’ ἐπὶ τῆς ΕΛ ξ, οἵων ὁ περὶ τὸ ΔΕΛ τρίγωνον ὀρθογώνιον κύκλος τξ. καὶ τῶν ὑπ’ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν ἡ μὲν ΔΛ τοιούτων ἐστὶν ργ νε, οἵων ἡ ΔΕ ὑποτείνουσα ρκ, ἡ δὲ ΕΛ ὁμοίως ξ. καὶ οἵων ἄρα ἡ ΔΕ ι ιθ, ἡ μὲν ΔΛ η νϛ, ἡ δὲ ΕΛ ε ι. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΔΛ, ΛΒ, καὶ ἔστιν τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΔΒ ͵ βυξη κδ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΔΛ οϛ να, λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΛ ͵ βτϙα λγ. |
| 43 | μήκει ἄρα ἔσται ἡ ΒΛ μη νδ, ὦν ἡ ΕΛ ε ι, λοιπὴ ἡ ΒΕ μγ μδ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΒΜ β λζ· ὅλη ἄρα ἡ ΕΜ μϛ κα, καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον, ͵ βρμη ιθ. ἔστιν δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΜΗ κ μβ. μήκει γάρ ἐστιν ἡ ΗΜ δ λγ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΗΕ ͵ βρξθ α. μήκει ἄρα ἡ ΗΕ μϛ λγ, οἵων ἡ ΜΗ δ λγ. καὶ οἵων ἄρα ἡ ΕΗ ρκ, τοιούτων ἡ ΗΜ ια μγ. καὶ περιφέρεια ἐπ’ αὐτῆς, τοιούτων ια ιγ, οἵων αἱ δύο ὀρθαὶ τξ· οἵων δ’ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ε λϛ, συμφώνως τῷ κανόνι. Ταῖς γὰρ μοίραις ξ τετάρτου σελιδίου δ η, πέμπτου β γ, ἕκτου σελιδίου ἑξηκοστὰ μγ ἔγγιστα· γίνεται α κη. προσθὲς τοῖς τοῦ τετάρτου, γίνεται ε λϛ σύμφωνα. Φανερὸν δὲ διὰ τούτων τῶν θεωρημάτων καὶ τὰ περὶ τὰς ἄλλας καταγραφάς, ὅταν ἤτοι ἡ σελήνη ὑπὲρ ρπ μοίρας ἀπέχῃ τοῦ ὁμαλοῦ ἀπογείου, ἢ τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐκκέντρου, ἢ καὶ ἡ κάθετος ἡ ἀπὸ τῆς σελήνης ἀγομένη ἐπὶ τὴν ΕΒ πίπτῃ, ἢ κατ’ αὐτὸ τὸ Β. τῆς γὰρ σελήνης τότε ὑπὲρ ϙ μοίρας ἀπὸ τοῦ ἀπογείου ἀπεχούσης ἡ κάθετος ἐπὶ τὴν ΕΒ πίπτει· ὅταν δὲ ϙ, κατ’ αὐτὸ τὸ Β. Κανόνος πραγματεία τῆς καθόλου σεληνιακῆς ἀνωμαλίας. |
| 44 (1t) | «Ἵνα δὲ πάλιν καὶ διὰ τῆς κανονικῆς ἐκθέσεως μεθοδεύωμεν τὴν «ἐξ ἑτοίμου διάκρισιν ...» καὶ τὰ ἑξῆς. Τὸ τρίτον σελίδιον γραμμικῶς ἐλήφθη διὰ τοῦ ϛʹ θεωρήματος, πρὸς διάκρισιν τοῦ μέσου ἀπογείου πρὸς τὸ ἀκριβές. Ὁμοίως καὶ τὸ τέταρτον, τοῦ ἐπὶ τοῦ μεγίστου ἀποστήματος, καὶ τὸ εʹ ὅπερ ἐστὶν ὑπεροχὴ τῆς συμπεπλεγμένης ἀνωμαλίας πρὸς τὴν πρώτην. Ἔστιν δὲ οὕτως γεγενημένα ὥσπερ ἐπὶ τῆς πρώτης ἀνωμαλίας. τὸν ἐπίκυκλον ἔστησεν ἐπὶ τῶν συζυγιῶν πρὸς τῷ ἀπογείῳ, τὸ δὲ κέντρον σελήνης ἐκίνησεν πανταχῆ ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου, οὕτως καὶ ἐνταῦθα τὸ εʹ σελίδιον αὐτῷ γεγένηται, ὅπερ ἔχει τὰς ὑπεροχὰς τῆς δευτέρας ἀνωμαλίας πρὸς τὴν πρώτην, τοῦ μὲν ἐπικύκλου ὄντος ἀεὶ πρὸς τῷ περιγείῳ, τοῦ δὲ κέντρου τῆς σελήνης κινουμένου κατὰ πᾶσαν θέσιν ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου. ὡς μέντοι τῆς ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ ζῳδιακοῦ ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου εὐθείας λόγον ἐχούσης πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου, ὃν ἔχει τὰ ξ πρὸς τὰ η ἔγγιστα, ᾧ λόγῳ ὁ αὐτός ἐστιν καὶ ὁ τῶν λθ κβ πρὸς τὰ ε ιε. Καὶ τὸ ἕκτον δὲ σελίδιον γραμμικῶς ἐλήφθη, ὃ περιέχει τὰ ἑξηκοστὰ τὰ ἐπιβάλλοντα μέρη τῶν ὑπεροχῶν τουτέστιν τῶν παρακειμένων εἰς τὸ πέμπτον σελίδιον. |
| 45 | ἅτινα ἑξηκοστὰ καὶ αὐτὰ εὗρεν οὕτως· τὸν μὲν ἐπίκυκλον ἐκίνησεν κατὰ πᾶσαν θέσιν ἐπὶ τοῦ ἐκκέντρου, τὸ δὲ κέντρον τῆς σελήνης ἀεὶ ἔλαβεν ἀπέχον τοῦ ἀπογείου τοῦ ἀκριβοῦς τεταρτημόριον ἔγγιστα, τουτέστιν περὶ ϙε μοίρας, ἵνα λάβῃ τὸ πλεῖστον διάφορον τοῦ κατ’ ἐκεῖνον τὸν στίχον ἀριθμοῦ. Οἷον ὡς αὐτὸς ἔλαβεν ἐπικύκλου ρκ καὶ εὗρεν τὸ διάφορον μοιρῶν ϛ νδ, οὗ μεῖζον οὐκ ἔστιν εὑρεῖν διάφορον, τοῦ ἐπικύκλου ὄντος ρκ μοιρῶν. τὸ διάφορον τοῦ ἐπικύκλου ἄρα τῆς δευτέρας ἀνωμαλίας μοίρας α νγ, οἷς ἐπέβαλλεν τὰ μβ λη ἑξηκοστά. καὶ ἀεὶ κατὰ πᾶσαν θέσιν τοῦ κέντρου τῆς σελήνης ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου ὄντος, ἐπιβάλλει τὰ μβ λη ἑξηκοστὰ τοῦ ἐπικύκλου ὄντος ρκ. Ταῦτα δὲ οὐκέτι γραμμικῶς ἔλαβεν, ἀλλὰ ἀριθμητικῶς δεῖν φησιν λαμβάνειν ὡς οὐδὲν αἰσθητὸν ποιούσης τὸ διάφορον τῆς ἀριθμητικῆς παρὰ τὸ γραμμικόν. ὡς νῦν ἡμεῖς εὕρομεν τοῦ μὲν ἐπικύκλου ὄντος ρκ τοῦ δὲ κέντρου τῆς σελήνης ξ τῆς συμπεπλεγμένης τὸ διάφορον ε λϛ ἔγγιστα γραμμικῶς, ὧν ἐν τῷ δʹ σελιδίῳ ἔχομεν δ η. λοιπὸν ἄρα τὸ διάφορον τῆς ὑπεροχῆς α κη λέξομεν. καὶ ἐὰν τὰ μβ λη ἑξηκοστὰ ποιήσωμεν ἐπὶ τὰ παρακείμενα τῷ κέντρῳ τῆς σελήνης, τουτέστιν ταῖς ξ μοίραις τοῦ εʹ σελιδίου τῆς ὑπεροχῆς πρὸς τὴν πρώτην ἀνωμαλίαν, τουτέστιν ἐπὶ τὰς β γ, γίνεται α κζ. |
| 46 | ἡμεῖς δὲ εὕρομεν α κη, παρὰ μίαν ἑξηκοστήν, ἀνεπαίσθητον γινόμενον. καὶ οὕτως εὑρήσομεν τὸ διάφορον ἐπὶ πάσης θέσεως οὔσης τῆς σελήνης, τουτέστιν τοῦ κέντρου αὐτῆς, ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου, καὶ τοῦ ἐπικύκλου ὄντος ρκ. καὶ ὁμοίως ἐὰν ᾖ τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου ξ, τὰ παρακείμενα ἑξηκοστὰ τῷ ἐπικύκλῳ πάσῃ θέσει ἁρμόζει ὄντος τοῦ κέντρου τῆς σελήνης ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου. καὶ γὰρ ἀναλόγως τὰ ἐπιβάλλοντα μέρη τῶν ὑπεροχῶν λαμβάνεται, ὥς φησιν· τὰ γὰρ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. στήσομεν γὰρ πάλιν τὸν λόγον ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου ὄντος ρκ, τοῦ δὲ κέντρου τῆς σελήνης πρότερον ϛ. ὡς κατὰ τὴν εἰρημένην οὖν ἔφοδον δεῖ προσθεῖναι τῷ δʹ σελιδίῳ ἑξηκοστὰ ι· παράκειται γὰρ ταῖς ϛ μοίραις τῆς ἀνωμαλίας εʹ σελιδίῳ 𐆊 ιδ· καὶ ἃ μέρος ἐστὶν τὰ μβ λη ἑξηκοστὰ τῶν ξ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν καὶ τὰ 𐆊 ι τῶν 𐆊 ιδ. Ἐὰν δὲ ᾖ τὸ κέντρον τῆς σελήνης ιβ, ὁ δὲ ἐπίκυκλος ἀεὶ μένῃ ρκ, προστίθεται τῇ πρώτῃ ἀνωμαλίᾳ, ἑξηκοστὰ κ. |
| 47 | καὶ ὃν λόγον ἔχει τὰ κη τοῦ εʹ σελιδίου πρὸς τὰ ιδ τοῦ αὐτοῦ σελιδίου, οὕτως ἔχει καὶ τὰ κ τῆς προσθέσεως 〈πρὸς τὰ ι.〉 Καὶ πάλιν ὁμοίως, ἐὰν ᾖ τὸ κέντρον τῆς σελήνης ιη, προστίθεται τῇ αʹ ἀνωμαλίᾳ ἑξηκοστὰ λ. καὶ πάλιν τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον τὰ μβ τοῦ εʹ σελιδίου πρὸς τὰ κη τοῦ αὐτοῦ σελιδίου, οὕτως τὰ λ πρὸς τὰ κ. ἀμφότερα γὰρ ἡμιόλια. Καὶ ἑξῆς οὕτως ποιοῦντες, ἀνάλογον εὑρήσομεν. τὰ γὰρ αὐτὰ μέρη προστίθεται τὰ μβ λη ἑξηκοστά, τουτέστιν Γ β κʹ ἔγγιστα. Καὶ ὁμοίως, ἐὰν ᾖ ὁ ἐπίκυκλος ξ, τὸ κέντρον ποιοῦντες πρῶτον ϛ, εἶτα ιβ, εἶτα ιη, καὶ ἑξῆς ὁμοίως, εὑρήσομεν πάλιν ἀνάλογον· τὰ γὰρ αὐτὰ ἑξηκοστὰ μέρη τουτέστιν τὰ ιβ κς προστίθεται, καὶ ἐπὶ μὲν τῶν ϛ, γ προστίθησιν· ἐπὶ δὲ τῶν ιβ, ϛ. καὶ ἔστιν διπλάσια τὰ ϛ τῶν γ, ὡς καὶ τὰ κη τῶν ιδ. ἐπὶ δὲ τῶν ιη, προστίθησιν θ. καὶ ἔστιν τὰ θ τῶν ϛ ἡμιόλια ὡς καὶ τὰ μβ τῶν κη, καὶ ἐξ ἀναλόγου τὰ προστιθέμενα τοῖς παρακειμένοις τῷ εʹ σελιδίῳ τοῖς μέρεσιν. ἔλαβεν δὲ τὰ ἑκάστῳ στίχῳ τῷ ἐπικύκλῳ παρακείμενα, ἐπιβάλλοντα πάσῃ θέσει τοῦ κέντρου τῆς σελήνης ὄντος ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου, ἐπειδήπερ ἑώρα ἀνεπαίσθητα αὐτὰ γινόμενα τοῖς γραμμικοῖς, καὶ ὅτι ἀμήχανον ἦν αὐτὸν τοσούτους κανόνας ποιῆσαι κατὰ α μοῖραν τῆς κινήσεως τοῦ ἐπικύκλου ἀπὸ τοῦ ἀπογείου, καὶ ἅπασαν θέσιν κινοῦντα τὸ κέντρον τῆς σελήνης ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου ἐὰν γὰρ ἑκατοντάκις καὶ ὀγδοηκοντάκις κινήσωμεν τὸν ἐπίκυκλον κατὰ μοῖραν α κινοῦντες, καὶ καθ’ ἑκάστην μοῖραν τὸ κέντρον τῆς σελήνης κατὰ πᾶσαν θέσιν ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου, ἕξομεν ρπ σελίδια τοῦ κανόνος, ὅπερ ἦν αὐτῷ ἀμήχανον, καὶ τοῖς ἐν τυγχάνουσιν πράγματα μὴ ὑφισταμένοις, τὸν κατὰ τὸν ... τῶν συλλογισμῶν. συνάγονται οὖν τοῦ κανόνος τῆς ἀνωμαλίας τῆς σελήνης οἱ πάντες συλλογισμοὶ κατὰ Πτολεμαῖον ρπ· τουτέστιν τοῦ μὲν ἀπογείου τοῦ ἐκκέντρου καὶ τοῦ δʹ σελιδίου, με· τοῦ δὲ περιγείου καὶ τοῦ εʹ σελιδίου, ἄλλοι με· τοῦ δὲ ἕκτου σελιδίου καὶ τῆς κινήσεως τοῦ ἐπικύκλου διὰ τῆς ἐφαπτομένης εὐθείας, ἕτεροι με. |
| 48 | καὶ ὁμοίως τοῦ γʹ σελιδίου καὶ τῆς προσνεύσεως τοῦ ἐπικύκλου, οἱ λοιποὶ συλλογισμοὶ με· ὡς εἶναι πάντας συλλογισμοὺς ρπ διὰ γραμμῶν εἰλημμένους. Περὶ τῆς καθόλου σεληνιακῆς ψηφοφορίας. |
| 49 (1t) | Ταῦτα μὲν οὖν περὶ τῆς τοῦ κανόνος πραγματείας. αἰτία δὲ τῆς ψηφοφορίας τοιαύτη τίς ἐστιν· οἷον ἐὰν ᾖ κύκλος ἔκκεντρος τῆς σελήνης ὡς ὁ ΑΒΓ, περὶ διάμετρον τὴν ΑΓ, καὶ κέντρον τὸ Δ, κέντρον δὲ τοῦ ζῳδιακοῦ νοήσωμεν τὸ Ζ, καὶ περὶ τὰ Α, Β, Γ γράψωμεν ἴσους ἐπικύκλους τοὺς ΚΕ, ΝΠ, ΛΜ, ὧν ἀπόγεια τὰ Ε, Ν, Μ, καὶ ἀπολάβωμεν ἴσας περιφερείας, τὰς ΕΚ, ΝΠ, ΛΜ, καὶ ἐπιζεύξωμεν τὰς ΖΚ, ΖΠ, ΖΛ, καὶ ἀγάγωμεν ἐφαπτομένας τῶν ἐπικύκλων τὰς ΖΘ, ΖΟ, ΖΗ· συγχρώμεθα τῷ εἶναι ὡς τὴν τῶν ὑπὸ ΓΖΗ, ΑΖΘ γωνιῶν ὑπεροχὴν πρὸς τὴν τῶν ὑπὸ ΒΖΟ, ΑΖΘ γωνιῶν ὑπεροχήν, οὕτως τὴν τῶν ὑπὸ ΜΖΛ, ΕΖΚ γωνιῶν ὑπεροχὴν πρὸς τὴν τῶν ὑπὸ ΝΖΠ, ΕΖΚ γωνιῶν ὑπεροχήν. οἷον ἐπικύκλου ὄντος μοιρῶν ρκ καὶ ἀνωμαλίας ἀπὸ τοῦ ἀκριβοῦς ἀπογείου μοιρῶν ξ, γίνεται τὸ διάφορον μοίρας α κζ. |
| 50 | ἡ γὰρ ὑπὸ τῶν ΜΖΗ μοιρῶν ἐστιν ζ μ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΖΘ μοι[Omitted graphic marker] ρῶν ε α, ὧν ἡ διαφορὰ μοιρῶν β λθ· ἡ δὲ ὑπὸ τῶν ΝΖΟ μοιρῶν ϛ νγ, ἡ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΖΘ μοιρῶν ε α, ὧν ἡ διαφορὰ μοιρῶν α νβ. καὶ λόγος ἐστὶν τῶν β λθ πρὸς α νβ, ὃν ἔχει τὰ ξ πρὸς μβ λη. καὶ πάλιν ἡ τῶν ὑπὸ ΜΖΛ, ΕΖΚ ὑπεροχὴ μοιρῶν ἐστιν β γ. ὥστε καὶ ἡ τῶν ὑπὸ ΝΖΠ, ΕΖΚ ὑπεροχὴ μοίρας γίνεται α κζ. αἱ γὰρ μοῖραι β γ ἐπὶ τὰ [ο] μβ λη γενόμεναι καὶ παρὰ τὸν ξ τῶν γενομένων μερισθέντων, γίνεται μοῖρα α κζ· ἀνθ’ ὧν τὸ γραμμικὸν ἤγαγεν μοῖραν α κη· ὥστε τὴν ὑπὸ ΝΖΗ γίνεσθαι μοιρῶν ε λε. [Omitted graphic marker] Παράκειται δὲ τοῖς εἰρημένοις σελιδίοις καὶ ζʹ σελίδιον, ἐπιγραφὴν ἔχον πλάτους. |
| 51 | δύναται γὰρ διασημαίνειν τὰ μεγέθη τῶν ἀπολαμβανομένων περιφερειῶν μεταξὺ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων καὶ τοῦ λοξοῦ τῆς σελήνης κύκλου, κατὰ τοὺς γραφομένους μεγίστους κύκλους διά τε τῶν πόλων τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων καὶ τῶν ἐπὶ τοῦ λοξοῦ τῆς σελήνης λαμβανομένων σημείων, ἤτοι κατὰ μοιριαίας περιφερείας, ἢ καὶ καθ’ ἑτέρας. Γέγονε δὲ καὶ ἡ τοῦ σελιδίου τούτου πῆξις διὰ τοῦ θεωρήματος, δι’ οὗ καὶ τὸ τῆς λοξώσεως τοῦ ἡλίου κανόνιον ἐπραγματεύσατο, ἐνθάδε μέντοι ὡς τῆς ἐγκλίσεως τοῦ σεληνιακοῦ κύκλου ε μοιρῶν ἀπολαμβανούσης τοῦ διὰ τῶν πόλων ἀμφοτέρων τῶν κύκλων, ὡς ἐν τοῖς ἑξῆς ἀποδειχθησομένοις ἔσται δῆλον. Ὅτι μηδὲν ἀξιόλογον γίνεται διάφορον ἐν ταῖς συζυγίαις παρὰ τὸν ἔκκεντρον τῆς σελήνης κύκλον. |
| 52 (1t) | «Ἐπεὶ δὲ ἀκόλουθόν ἐστιν διστάσαι τινάς, μήποτε καὶ περὶ τὰς συνό«δους καὶ πανσελήνους καὶ τὰς ἐν αὐταῖς ἐκλείψεις ἀξιόλογός τις δια«φορὰ παρακολουθήσει ...», καὶ τὰ ἑξῆς ἄχρι τοῦ τέλους τοῦ θʹ θεωρήματος. Βούλεται δεῖξαι διὰ τοῦ ηʹ καὶ θʹ θεωρήματος ὅτι κἂν πρὸς ἄλλῳ τόπῳ τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου συμβαίνῃ εἶναι, καὶ μὴ κατὰ τὸ ἀπόγειον τοῦ ἐκκέντρου κατὰ τὸν τῆς ἀκριβοῦς συνόδου ἢ τῆς πανσελήνου χρόνον, οὐδὲν ἄτοπον ἐπακολουθήσει περὶ τὸν λόγον τοῦ ἀποστήματος τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου αὐτοῦ, ἀλλ’ ὁ αὐτὸς διαμένων εὑρεθήσεται πρὸς αἴσθησιν τῷ διὰ τῶν ἐκλείψεων ἀποδεδειγμένῳ ξ πρὸς ε ιε· τὰ δ’ ἐκ τούτου συναγόμενα τῆς ἀνωμαλίας διάφορα τὰ αὐτὰ εἶναι τοῖς κατὰ τὴν πρώτην ὑπόθεσιν συναγομένοις· ὥστε καὶ τὰ περὶ τὰς ἐκλείψεις φαινόμενα μηδενὶ διοίσειν αἰσθητῷ, κἂν μὴ συνεπιλογίζηται τὸ παρὰ τὸν ἔκκεντρον κύκλον τῆς ἀνωμαλίας μέγεθος κατὰ δύο τρόπους δυνάμενον διαφέρειν τῆς κατὰ τὸ ἀπόγειον τοῦ ἐκκέντρου θέσεως τοῦ ἐπικύκλου, διά τε τὸ περιγειότερον αὐτὸν γινόμενον μείζονα πρὸς τῇ ὄψει γωνίαν ἀπολαμβάνειν, καὶ τὸ τὴν πρόσνευσιν τῆς διὰ τοῦ ὁμαλοῦ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου διαμέτρου πρὸς τὸ ἴσην ἀπέχον διάστασιν σημεῖον τῷ κέντρῳ τοῦ ἐκκέντρου καὶ ἐπὶ τὰ ἐναντία αὐτοῦ ὂν πάντοτε νεύειν, καὶ μὴ πρὸς τὸ κέντρον τοῦ ζῳδιακοῦ ὡς ἀνώτερον ἀπέδειξεν. |
| 53 | ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν παρὰ τὴν πρώτην αἰτίαν διάφορον, ὅπερ ἐστὶν τοῦ πέμπτου σελιδίου, πλεῖστον συνίσταται ὅταν καὶ τὸ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν τῆς σελήνης διάφορον δʹ σελιδίου πλεῖστον ᾖ· δείκνυται δὲ τοῦτο διὰ τοῦ ηʹ θεωρήματος ἑξηκοστὰ β, τῆς σελήνης ἀφαιρούσης τὸ μέγιστον μοίρας ε, καὶ τοῦ ἡλίου προστιθέντος τὸ πλεῖστον μοίρας β κγ. τὸ δὲ κατὰ τὴν δευτέραν ὅταν ἡ σελήνη κατὰ τὸ ἀπόγειον ἢ τὸ περίγειον τοῦ ἐπικύκλου ᾖ· καὶ τοῦτο δὲ διάφορον πλεῖστον δείκνυται διὰ τοῦ θʹ θεωρήματος ἑξηκοστὰ δ, τῆς σελήνης κατὰ τὸ μέσον περίγειον τοῦ ἐπικύκλου τυγχανούσης, καὶ τοῦ ἡλίου τὸ πλεῖστον μοίρας β κγ προστιθέντος. δῆλον ὅτι ὅταν μὲν τὸ παρὰ τὴν πρώτην αἰτίαν διάφορον πλεῖστον συμβαίνῃ, περὶ ϙε μοίρας σελήνης οὔσης ἀπὸ τοῦ ὁμαλοῦ ἀπογείου, τότε τὸ παρὰ τὴν δευτέραν, τουτέστιν τὴν τοῦ ἐπικύκλου πρόσνευσιν ἀνεπαίσθητον ἔσται παντελῶς. ἐπείπερ καὶ ὅλαις μοίραις ιε τῆς διπλῆς ἀποχῆς, ἃς οὐχ οἷόν τε ἀποστῆναι τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐκκέντρου ἐν ταῖς συζυγίαις, παράκειται τρίτῳ σελιδίῳ ἐν τῷ κανόνι τῆς καθόλου σεληνιακῆς ἀνωμαλίας μοῖραι β ιγ. |
| 54 | καὶ ἐὰν ταύτας προσθῶμεν ταῖς ϙε μοίραις τῆς ἀνωμαλίας τῆς σελήνης γίνονται ϙζ ιγ. καὶ παράκεινται ταῖς ϙε πέμπτῳ σελιδίῳ μοῖραι β λη, καὶ ταῖς ϙζ ιγ αἱ αὐταὶ β λη. οὐκ ἐποίησεν ἄρα διάφορον διὰ τὸ τὴν σελήνην ἐπὶ τῶν ἐφαπτομένων εὐθειῶν οὖσαν περὶ τὰς ϙε μοίρας ἐπὶ πολὺ τὴν προσθαφαίρεσιν ἀδιάφορον ποιεῖν. ἀπὸ γὰρ ϙ ἕως ϙϛ ἡ προσθαφαίρεσις τοῦ δʹ σελιδίου, δ νθ καὶ ε α, ὡς εἶναι τὴν διαφορὰν ἑξηκοστῶν β. Δυνατὸν δὲ ἔσται τὴν ἀκριβῆ συζυγίαν τῆς μέσης διενεγκεῖν συναμφοτέροις τοῖς παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διαφόροις μοίραις ζ κδ, ἑκατέρου τῶν φώτων τοῦ μὲν κατὰ πρόσθεσιν ὄντος, τοῦ δὲ κατὰ ἀφαίρεσιν, ὡς τοῦ ἡλίου ἀκινήτου μένοντος ἐν τῷ μεταξὺ χρόνῳ τῆς ἀκριβοῦς συζυγίας καὶ τῆς μέσης. Ὅταν δὲ τὸ κατὰ τὴν δευτέραν τῆς προσνεύσεως διάφορον πλεῖστον συμβαίνῃ, τότε τὸ παρὰ τὴν πρώτην πάλιν ἀνεπαίσθητον ἔσται, διὰ τὸ καὶ ὅλον τὸ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν ἢ μηδέ, ἢ βραχὺ παντάπασι γίνεσθαι, τῆς σελήνης περὶ τὸ ἀπόγειον ἢ περίγειον τοῦ ἐπικύκλου τυγχανούσης. ἐπείπερ καὶ ὅλαις μοίραις ε τῆς διπλασίας ἀποχῆς, ἃς οὐχ οἷόν τε ἀποστῆναι τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου ἐν ταῖς τοιαύταις συζυγίαις ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐκκέντρου γʹ σελιδίῳ παράκειται 𐆊 με, καὶ γίνονται ρπ με· αἷς παράκειται δʹ σελιδίῳ 𐆊 δ, καὶ εʹ, 𐆊 β, καὶ ϛʹ, 𐆊 𐆊 . ὥστε εἶναι τὰ τοῦ δʹ μόνα ἑξηκοστὰ δ. |
| 55 | διοίσει δ’ ἡ ἀκριβὴς συζυγία τῆς μέσης μόνῳ τῷ παρὰ τὴν ἡλιακὴν ἀνωμαλίαν διαφόρῳ, ὡς τοῦ ἡλίου πάλιν ἀκινήτου μένοντος ἐν τῷ μεταξὺ χρόνῳ τῆς μέσης συζυγίας καὶ τῆς ἀκριβοῦς. [Omitted graphic marker] Ἐκκείσθω δὴ ἡ διὰ τοῦ ἀπογείου καὶ περιγείου τοῦ ἐκκέντρου διάμετρος ἡ ΑΔΕΖΓ, ἐφ’ ἧς τὸ μὲν τοῦ ζῳδιακοῦ κέντρον τὸ Ε, τὸ δὲ τοῦ ἐκκέντρου τὸ Δ, τὸ δὲ τῆς προσνεύσεως τοῦ ἐπικύκλου τὸ Ζ. καὶ νοείσθω τὸ μὲν Α σημεῖον τὸ ἀπογειότατον τοῦ ἐκκέντρου, τὸ δὲ Γ τὸ περιγειότατον, καὶ τοῦ ΝΞ ἐπικύκλου κατὰ τὸ Α ἀπόγειον τεταγμένου, ἤχθω αὐτοῦ ἐφαπτομένη ἡ ΕΝ. Ἐπεὶ οὖν οὕτως ἔχοντος τοῦ ἐπικύκλου ἐνδέχεται τὴν σελήνην ἤτοι κατὰ τὸ ἀπόγειον τοῦ ἐπικύκλου εἶναι, ἢ κατὰ τὸ περίγειον, ἢ κατὰ τὸ Ν τῆς ἁφῆς σημεῖον, ἢ κατ’ ἄλλο τι τοῦ ἐπικύκλου σημεῖον, μὴ πάντως τοῦ ἡλίου πίπτοντος ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ἐπιζευγνυούσης τό τε Ε κέντρον τοῦ διὰ μέσων καὶ τὸ τῆς σελήνης κέντρον, φανερὸν ὅτι οὐ πάντως κατὰ τὴν τοιαύτην τοῦ ἐπικύκλου θέσιν ἐπιτελεσθῆναι δεῖ τὴν ἀκριβῆ σύνοδον ἢ πανσέληνον. |
| 56 | πίπτοντος γὰρ καὶ τοῦ ἡλίου κατὰ τῆς ΕΝ εὐθείας φέρ’ εἰπεῖν, τῆς σελήνης οὔσης πρὸς τῷ Ν τῆς ἁφῆς σημείῳ, δῆλον ὡς καὶ σύνοδος καὶ πανσέληνος εἰ τύχοι ἀκριβὴς ἐπιτελεσθήσεται, τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου κατὰ τὸ Α ἀπογειότατον σημεῖον ὄντος. Παραλλασσέτω οὖν ὁ ἥλιος τὴν σελήνην ἔν τινι συζυγίᾳ, κατὰ τὴν ὑποκειμένην τοῦ ἐπικύκλου θέσιν τῆς μὲν σελήνης οὔσης, πρὸς τῇ ΕΝ ἐφαπτομένῃ, κατὰ μεγίστην ἀφαίρεσιν τῶν ε α μοιρῶν· τοῦ δὲ ἡλίου πρὸς τῇ ΕΘ εὐθείᾳ κατὰ μεγίστην πρόσθεσιν τῶν β κγ μοιρῶν· ἵνα καὶ ἡ ὑπὸ ΝΕΘ γωνία τὰς συναμφοτέρας περιέχῃ μοίρας ζ κδ, οἵων ἡ α ὀρθὴ ϙ. Ἐπεὶ οὖν ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ σελήνη κατὰ μέσην κίνησιν συμμεταπίπτουσα τῷ ἐπικύκλῳ καὶ τῇ ΕΝ εὐθείᾳ κινεῖται τὸ τῆς ὑπὸ ΝΕΘ γωνίας μέγεθος μοιρῶν ζ κδ ὑποκείμενον, ἐν τούτῳ καὶ ἡ ΕΘ συμμεταπίπτουσα τῷ ἡλίῳ κινεῖται τὸ ιγʹ αὐτῶν μέρος 𐆊 λδ ἔγγιστα· ἐν ὅσῳ δὲ πάλιν ἡ σελήνη τὰ 𐆊 λδ κινεῖται, ἐν τούτῳ καὶ ὁ ἥλιος τὸ ιγʹ αὐτῶν μέρος 𐆊 γ, ἃ συντεθέντα μετὰ τῶν ἐξ ἀρχῆς ποιεῖ μοίρας η α, ἃς δεήσει κινηθῆναι τὸν ἐπίκυκλον καὶ τὴν ΕΝ εὐθεῖαν ἔχουσαν τὴν σελήνην, ἕως ἂν ἐφαρμόσῃ ἡ ΕΝ ἐπὶ τὴν ΕΘ σύνεγγυς, καὶ αὐτὴ ἐφαπτομένη γινομένη· κεκινήσθω οὖν τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου καὶ θέσιν ἐχέτω κατὰ τὸ Β ὥστε τὴν ΕΘ ἐφαπτομένην εἶναι, καὶ τὴν σελήνην σύνεγγυς κατὰ τὸ Θ τῆς ἁφῆς σημεῖον, καὶ ἑκατέραν τῶν ὑπὸ ΝΕΘ, ΑΕΒ γωνιῶν η α μοιρῶν εἶναι. ἀλλ’ ἐπεὶ πάλιν ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΕΝ ἐπὶ τὴν ΕΘ ἐφαρμόζει, ἐν τούτῳ καὶ ὁ ἔκκεντρος κύκλος κατὰ τὴν ἰδίαν ὑπόθεσιν περὶ τὸ Ε κέντρον στρεφόμενος ἐπὶ τὰ προηγούμενα μεταπίπτει, μεταπιπτέτω καὶ ἔστω ἡ διὰ τῶν κέντρων καὶ τοῦ ἀπογείου διάμετρος ἡ ΚΗΕΛΜ, τοῦ Κ ἀπογείου ὄντος, καὶ τοῦ Η ἀντὶ τοῦ Δ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου, καὶ τοῦ Λ ἀντὶ τοῦ Ζ προσνευτικοῦ σημείου, καὶ τοῦ Μ ἀντὶ τοῦ Γ, ὥστε ἀποχῆς εἶναι διπλῆς τὴν ὑπὸ ΚΕΒ γωνίαν. Δεῖ οὖν ταύτην πορίσασθαι, καὶ δίδοται οὕτως. |
| 57 | ἐπεὶ γὰρ ὑπόκειται ἡ τῆς ΕΒ εὐθείας ἡμερησία κίνησις ἀπὸ τοῦ Α ἀπογείου μοιρῶν ιγ ιδ, ἡ δὲ τῆς ΕΚ ἐπὶ τὰ ἐναντία ια θ, καὶ ἔστιν ὡς τὰ ιγ ιδ πρὸς τὰ ια θ, οὕτως η α πρὸς ϛ με· γίνεται ἄρα καὶ ἡ τοῦ ἐκκέντρου κίνησις ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ μοιρῶν ϛ με. αἳ συντεθεῖσαι μετὰ τῶν μοιρῶν η α, ποιοῦσιν σύνεγγυς μοίρας ιδ μη. ἃς καὶ ὑποθέμενος διὰ τῶν ἀριθμῶν τῆς ὑπὸ ΑΕΒ γωνίας ἀντὶ τῆς ὑπὸ ΚΕΒ, ἔδειξεν τὸ τῆς ὑπὸ ΘΕΒ γωνίας μέγεθος μοιρῶν ε γ ἀντὶ ε α τῶν κατὰ τὸ ἀπόγειον ἀποδεδειγμένων· ὡς εἶναι τὴν ὑπεροχὴν ἑξηκοστῶν β, ἅπερ οὐδὲ ιϛʹ δύναται μιᾶς ὥρας διαψευσθῆναι· κινεῖται γὰρ ἡ σελήνη ἐν μιᾷ ὥρᾳ ἰσημερινῇ ἑξηκοστὰ λβ. ὥστε καὶ τὰ β ἑξηκοστὰ τῆς διαφορᾶς ὡς ἐν ιϛʹ μέρει μιᾶς ὥρας ἰσημερινῆς κινηθήσεται. ἐὰν δὲ ὡς ἀκίνητον λάβωμεν τὸν ἥλιον ἐν τῷ μεταξὺ χρόνῳ τῆς ἀκριβοῦς συζυγίας καὶ τῆς μέσης, ἔτι μᾶλλον τὰ διάφορα ἐλάσσονα καὶ τῶν βʹ ἑξηκοστῶν εὑρεθήσεται, προσαποστήσεται γὰρ ἡ ΕΒ τῆς ΕΚ ἐλάσσονα γωνίαν τῆς ὑπὸ ΒΕΚ, οὕτως· ἐπεὶ τὸ ἡμερήσιον τῆς ΕΒ εὐθείας κίνημά ἐστιν ιγ ιδ, τὸ δὲ τῆς ΕΚ ια θ, ἡ δ’ ὑπὸ ΑΕΒ ἐστὶν ζ κδ, καὶ ἔστιν ὡς τὰ ιγ ιδ πρὸς τὰ ια θ, οὕτως ζ κδ πρὸς ϛ ιδ ϛ· γίνονται ἐπὶ τὸ αὐτὸ μοῖραι ιγ λη ϛ, ἐλάσσους τῶν ιδ μη. πρὸς ἃς τὰ β ἑξηκοστὰ διάφορα δέδεικται, τοῦ ἡλίου μὴ μένοντος ἀκινήτου ἐν τῷ μεταξὺ χρόνῳ τῆς ἀκριβοῦς συζυγίας καὶ τῆς μέσης. «Πάλιν ὑποκείσθω,» φησίν, «ἡ σελήνη κατὰ τὸ Λ μέσον περίγειον, ἵνα «δηλονότι ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία τὰς διπλασίονας ἔγγιστα περιέχῃ, μόνης «τῆς ἡλιακῆς ἀνωμαλίας. |
| 58 | ». Καὶ ἐνταῦθα φαίνεται οὐχ ὡς ἀκίνητον τὸν ἥλιον ὑποθέμενος ἐν τῷ μεταξὺ τῆς ἀκριβοῦς συζυγίας καὶ ἐπὶ τῆς μέσης χρόνῳ ἐν ᾧ γὰρ πάλιν ἡ φέρουσα τὸν ἐπίκυκλον εὐθεῖα κινεῖται τὰς β κγ μοίρας, ἐν τούτῳ ὁ ἥλιος κινηθήσεται 𐆊 ια· ἐν ᾧ δὲ ταῦτα ἡ φέρουσα τὸν ἐπίκυκλον, ὁ ἥλιος 𐆊 α. ἃ συντεθέντα μετὰ τῶν β κγ, γίνεται β λε. καὶ ἔστιν ὡς τὰ ιγ ιδ πρὸς τὰ ια θ, οὕτως τὰ β λε πρὸς β ια. ταῦτα συντεθέντα ποιεῖ μοίρας δ μϛ, ἃς ὑποθέμενος τοῦ μεγέθους τῆς ὑπὸ ΑΕΒ γωνίας ἐν τῷ θʹ θεωρήματι δείκνυσι διὰ τῶν ἀριθμῶν τὸ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν τῆς σελήνης διαφορεῖν ἑξηκοστοῖς δ, μηδ’ ὄγδοον μιᾶς ὥρας ἰσημερινῆς δυναμένοις, ὅσον καὶ παρ’ αὐτὰς τὰς τηρήσεις οὐ παράδοξον ἔσται πλεονάκις διαπεσεῖν. Καὶ ἐνταῦθα δ’ ἐὰν ὡς ἀκίνητον ὑποθώμεθα τὸν ἥλιον τῷ μεταξὺ χρόνῳ τῆς ἀκριβοῦς συζυγίας καὶ τῆς μέσης, μειοῦται τὸ τῆς διπλῆς ἀποχῆς μέγεθος· ἔστιν γὰρ ὡς τὰ ιγ ιδ πρὸς ια θ, οὕτως β κγ πρὸς τὰ β 𐆊 λ. καὶ δῆλον ὡς τοῦ ἐκκέντρου μεταπίπτοντος τὰς β 𐆊 λ, καὶ τῆς φερούσης τὸν ἐπίκυκλον εὐθείας τὰς β κγ, προσαποστήσονται ἀλλήλων αἱ κινήσεις ἐναντίαι οὖσαι τὰς ἐπὶ τὸ αὐτὸ τῆς διπλῆς ἀποχῆς δ κγ λ. |
| 59 | καὶ διὰ τοῦτο τὸ μὲν τῆς ΕΒ εὐθείας μέγεθος αὔξεται, τὸ δὲ τῆς ὑπὸ ΑΕΒ γωνίας μειοῦται. ὥστε τὸ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν τῆς σελήνης ἔλασσον ἢ δ ἑξηκοστῶν ἔσται. Ἀποδέδεικται μὲν οὖν ὅτι, κἄν τε περὶ τὴν ἐφαπτομένην τοῦ ἐπικύκλου ἡ σελήνη τυγχάνῃ, κἄν τε περὶ τὸ περίγειον αὐτοῦ, μὴ ὄντος κατὰ τὸ ἀπόγειον τοῦ ἐκκέντρου τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ἐν τῷ χρόνῳ τῆς ἀκριβοῦς συνόδου ἢ πανσελήνου, οὐδὲν ἄτοπον ἔσται περὶ τὸν λόγον τοῦ ἀποστήματος καὶ τῆς ἀνωμαλίας ἢ τῶν κατὰ τὰς ἐκλείψεις φαινομένων. Ἕπεται δὲ τούτοις, εἰ καὶ πρὸς τοῖς λοιποῖς τοῦ ἐπικύκλου τόποις ἡ σελήνη τυγχάνοι, τὸ αὐτὸ τοῦτο δείκνυσθαι, καὶ διὰ τῶν γραμμῶν καὶ διὰ τοῦ κανονίου τῆς καθόλου σεληνιακῆς ἀνωμαλίας. Οἷον ἐὰν ὑπάρχῃ κατὰ τὸ ὁμαλὸν ἀπόγειον ἡ σελήνη τῆς αὐτῆς διαστάσεως οὔσης τῶν δ μϛ μοιρῶν διπλῆς ἀποχῆς, ἐπεὶ παράκειται αὐταῖς τρίτῳ σελιδίῳ 𐆊 με, γίνεται ὁ τῆς ἀνωμαλίας ἀριθμὸς 𐆊 με· αἷς παράκειται τετάρτῳ σελιδίῳ 𐆊 γ, ἕκτω σελιδίῳ 𐆊 𐆊 · γίνεται 𐆊 γ τὰ διάφορα. Ἐάν τε μεταξὺ τοῦ ἀπογείου καὶ τῆς ἐφαπτομένης ἡ σελήνη τυγχάνῃ, οἷον ἀπέχουσα τοῦ ὁμαλοῦ ἀπογείου μοίρας με, καὶ οὕτως τὸ διάφορον γίνεται 𐆊 γ. ταῖς γὰρ με μοίραις παράκεινται τετάρτῳ σελιδίῳ μοῖραι γ κ. εἰσὶν δὲ καὶ ἡλίου τοῦ πλείστου διαφόρου μοῖραι β κγ· γίνονται μοῖραι ε μγ. ὧν ἡ διπλῆ ποιεῖ τὰς τῆς διπλῆς ἀποχῆς ια κϛ, αἷς παράκειται τρίτῳ σελιδίῳ α μβ, ἕκτῳ σελιδίῳ 𐆊 𐆊 · γίνονται ἀνωμαλίας μοῖραι μϛ μβ, αἷς παράκεινται τετάρτῳ σελιδίῳ γ κγ· ταῖς δὲ με, γ κ. ὡς εἶναι τὴν ὑπεροχὴν 𐆊 γ. Πάλιν ἐὰν μεταξὺ τοῦ περιγείου καὶ τῆς ἐφαπτομένης ἡ σελήνη τυγχάνῃ, οἷον τοῦ τῆς ἀνωμαλίας αὐτῆς ἀριθμοῦ ἀπὸ τοῦ ὁμαλοῦ ἀπογείου ὄντος ρλε μοιρῶν· ἐπειδὴ ταύταις παράκεινται τετάρτῳ σελιδίῳ μοῖραι γ μϛ, εἰσὶν δὲ καὶ ἡλίου β κγ, γίνονται μοῖραι ϛ θ, ὧν ἡ διπλῆ ποιεῖ ιβ ιη, τῆς διπλῆς ἀποχῆς. |
| 60 | ταύταις δὲ παράκεινται τρίτῳ σελιδίῳ μοῖρα α μθ, εἰς ἣν θέσιν γίνονται ἀνωμαλίας ρλϛ μθ. αἷς παράκεινται τετάρτῳ σελιδίῳ γ λθ, ἕκτῳ 𐆊 𐆊 . ὑπεροχὴ οὖν τῶν γ μϛ πρὸς γ λθ, 𐆊 ζ. Ὥστε κατ’ οὐδεμίαν θέσιν τῆς σελήνης ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου οὔσης συμβήσεται αἰσθητὸν τὸ διάφορον τῆς ἀνωμαλίας γενέσθαι παρὰ τὴν πρώτην ὑπόθεσιν ἐν ταῖς συζυγίαις. Τὰ δ’ αὐτὰ νοεῖν δεῖ καὶ κατ’ ἀμφοτέρας τὰς διχοτομίας γινόμενα. ὅταν γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου παραλλάσσῃ τὴν κατὰ τὸ περίγειον θέσιν ὡς πρὸς αἴσθησιν, τὰ αὐτὰ τῆς ἀνωμαλίας διάφορα συναχθήσεται τοῖς καὶ κατ’ αὐτὸ τὸ περίγειον συναγομένοις. οἷον ἀποχῆς μοιρῶν σο, δευτέρας διχοτομίας σελήνης κατὰ ἀφαίρεσιν τῶν ε α μοιρῶν οὔσης καὶ ἡλίου κατὰ πρόσθεσιν τῶν β κγ, γίνεται διπλῆ ἀποχὴ ρπ καὶ ιδ μϛ· γίνονται ρϙδ μϛ. αἷς παράκεινται τρίτῳ σελιδίῳ ε η, ἕκτῳ ἑξηκοστὰ νθ. καὶ τῷ τῶν ϙε ἀριθμῷ τῆς ἀνωμαλίας τετάρτῳ σελιδίῳ παράκεινται ε α. γίνονται ἀνωμαλίας πρὸς τὸ ἀκριβὲς ἀπόγειον μοῖραι ρ καὶ ἑξηκοστὰ η. αἷς παράκεινται δʹ σελιδίῳ μοῖραι ε 𐆊 , εʹ σελιδίῳ β λη. ταῦτα ἐπὶ τὰ 𐆊 νθ γίνονται μοῖραι β λε. ταύτας ἐὰν προσθῶμεν ταῖς ε α μοίραις, γίνονται ζ λϛ ἀντὶ τῶν κατὰ τὸ περίγειον ἀποδεδειγμένων μοιρῶν ζ μ. Καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως τῆς σελήνης κατὰ τὸν ἐπίκυκλον τόπων καὶ τῆς πρώτης διχοτόμου δείκνυται καὶ διὰ τῶν γραμμῶν καὶ διὰ τῶν ἀριθμῶν τὸ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διάφορον ἀνεπαίσθητον. |
| 61 | ἀκριβεστέρα δὲ ἡ διὰ τῶν γραμμῶν λῆψις, διὰ τὰ ἔγγιστα τῶν ἑξηκοστῶν οὗ δὴ καὶ αὐτὸς ἕνεκεν, οὐ διὰ τῶν ἀριθμῶν, διὰ δὲ τῶν γραμμῶν ἀπέδειξεν τὸ προκείμενον. Ἐπὶ τέλει τοῦ αὐτοῦ κεφαλαίου φησίν· «Ταῦτα μέντοι παρεθέμεθα «οὐχ ὡς μὴ ὄντος δυνατοῦ καὶ πρὸς τὰς τῶν συζυγιῶν ἐπισκέψεις συν«επιλογίζεσθαι καὶ αὐτὰς ταύτας τὰς διαφορὰς κἂν βραχύταται τυγχά«νωσιν, ἀλλ’ ὡς μηδενὸς ἡμῖν αἰσθητοῦ διημαρτημένου κατὰ τὰς διὰ τῶν «ἐκτεθειμένων σεληνιακῶν ἐκλείψεων ἀποδείξεις, παρὰ τὸ μὴ συγκεχρῆ«σθαι τῇ διὰ τῆς ἐκκεντρότητος ἀναπεπληρωμένῃ διὰ τῶν ἑξῆς ὑποθέσει». Δυνατὸν γάρ ἐστιν παντὶ τῷ βουλομένῳ, ὡς ἐν προχείροις κανόσιν τῷ δʹ καὶ λʹ χρησάμενον τῆς διαστάσεως τῶν φώτων, ἐπιλογίζεσθαι καὶ τὴν παρὰ τὸν ἔκκεντρον διαφοράν· ἀλλ’ οὐ τούτου ἕνεκεν παρέθετο ἃ τῷ ηʹ καὶ θʹ θεωρήματι ἀπέδειξεν, ἀλλ’ ὅτι αἰσθητὸν οὐδὲν διημάρτηται ἐν τῷ τὰς ἀποδείξεις τὰς διὰ τῶν ϛ σεληνιακῶν ἐκλείψεων, τουτέστιν περί τε τὸν λόγον τῶν ξ πρὸς ε ιε, καὶ τὴν ἀνωμαλίαν, καὶ τὰς εἰς τὸ αʹ ἔτος Ναβονασσάρου λημφθείσας ἐποχὰς μήκους καὶ ἀνωμαλίας. Ὅτι γὰρ μεταπίπτειν ἀνάγκη τὴν ἐποχὴν τοῦ μήκους διὰ τὴν βʹ ὑπόθεσιν, τῷ λόγῳ παραστήσομεν οὕτως. |
| 62 | [Omitted graphic marker] Ἔστω σελήνης ἔκκεντρος κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Ζ καὶ διάμετρον τὴν ΑΕΓ, ἐφ’ ἧς τὸ μὲν τοῦ ζῳδιακοῦ κέντρον τὸ Ζ, τὸ δὲ τῆς προσνεύσεως τοῦ ἐπικύκλου σημεῖον τὸ Η. καὶ ἐν τῷ χρόνῳ τῆς βʹ ἐκλείψεως ἥτις ἦν κατὰ τὸ βʹ ἔτος Μαρδοκεμπάδου γεγενημένη, ὑποκείσθω τὸ μὲν κέντρον τοῦ ἐπικύκλου κατὰ τὸ Β σημεῖον, ἡ δὲ σελήνη κατὰ τὸ Δ τοῦ ἐπικύκλου σημεῖον· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΖ, ΖΒΘ, ΗΚ, ΒΔ εὐθεῖαι. |
| 63 | Ἔσται ἄρα ἡ ΚΔ περιφέρεια εἰς τὸν ὑποκείμενον τῆς ἐκλείψεως χρόνον περιέχουσα τὰς ἀνωμαλίας μοίρας ιβ κδ· τοσαῦτα γὰρ τετάρτῳ βιβλίῳ ἀπεδείχθησαν κινουμένης τῆς σελήνης ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Δ καὶ τὸ Θ, ἐναντίως τῷ ἐπικύκλῳ. Πάλιν οὖν ὑποκείσθω καὶ ὁ ΜΧΥ κύκλος, ὁμόκεντρος τῷ ζῳδιακῷ, ἴσην ἔχων τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῇ ΖΑ εὐθείᾳ. καὶ ἐπ’ αὐτοῦ νοείσθω ὁ τῆς σελήνης ἐπίκυκλος περὶ τὰ Μ, Χ γεγραμμένος κατὰ β θέσεις. καὶ τοῦ Π ὑποκειμένου κέντρου τοῦ ζῳδιακοῦ, ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΠΧΦ, ΠΜΣ εὐθεῖαι. ὑποκείσθω δὲ ὁ μὲν ἐπίκυκλος φερόμενος ὡς ἀπὸ τοῦ Υ ἐπὶ τὸ Μ καὶ τὸ Χ, ἡ δὲ σελήνη ἐναντίως πάλιν τῷ ἐπικύκλῳ ἔστω δὲ τῷ μὲν αʹ ἔτει Ναβονασσάρου κατ’ αἰγυπτίους Θὼθ νεομηνίας ὥρας ϛ, τὸ μὲν κέντρον τοῦ ἐπικύκλου κατὰ τὸ Χ, ἐπέχον Ταύρου ια κβ, ἡ δὲ σελήνη κατὰ τὸ Ψ, ἀπέχουσα τὴν ΦΩΨ περιφέρειαν μοιρῶν σξη μθ· τῷ δὲ χρόνῳ τῆς ὑποκειμένης ἐκλείψεως τὸ μὲν κέντρον τοῦ ἐπικύκλου ἔστω κατὰ τὸ Μ σημεῖον, Παρθένῳ ιδ μδ, ἡ δὲ σελήνη κατὰ τὸ Τ τοῦ ἐπικύκλου σημεῖον. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΤΜ, ΤΠ. ἔσται ἄρα ἡ ΣΤ τοῦ ἐπικύκλου περιφέρεια εἰς τὸν ὑποκείμενον τῆς ἐκλείψεως χρόνον κατὰ τὰ ὁμαλὰ κινήματα τὰς τῆς ἀνωμαλίας περιέχουσα μοίρας ιβ κδ. ὥστε καὶ ἡ ΚΔ περιφέρεια ἴση ἔσται τῇ ΣΤ περιφερείᾳ ἴσων ὑποκειμένων τῶν λόγων τῆς τε ΖΑ πρὸς ΘΒ, καὶ τῆς ΠΜ πρὸς ΜΣ, τουτέστιν ξ πρὸς ε ιε κατ’ ἀμφοτέρας τὰς ὑποθέσεις· καὶ γὰρ ἑκάτερον τῶν Σ, Κ σημείων ὁμαλὸν ἀπόγειον ὑπόκειται. ἐπεὶ οὖν ἡ ΒΖ ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ΜΠ, ἴση δὲ ἡ ΔΒ τῇ ΤΜ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΖ τῆς ὑπὸ ΤΜΠ ἐλάσσων, ἐπεὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΤΜΣ ἐλάσσων τῆς ὑπὸ ΔΒΘ. |
| 64 | μείζων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΔΖΒ γωνία τῆς ὑπὸ ΤΠΜ. καὶ ἰσοδυναμεῖ ἡ μὲν ΖΔ εὐθεῖα τῇ ΤΠ καθ’ ἣν ἡ ἀκριβὴς θεωρεῖται σελήνη ἐν τῷ μέσῳ χρόνῳ τῆς ὑποκειμένης ἐκλείψεως, ἡ δὲ ΠΣ εὐθεῖα καθ’ ἣν ἡ ὁμαλὴ τοῦ μήκους κίνησις γίνεται τῇ ΖΘ εὐθείᾳ. καὶ ἡ ΖΘ ἄρα εὐθεῖα ὑπολειπτικωτέρα ἔσται τῆς ΠΣ ἑξηκοστῶν ἔγγιστα ε, ὅσοις ὑπερέχει ἡ ὑπὸ ΔΖΒ γωνία συναγομένη διὰ τῶν προϋποδεδειγμένων ἀριθμητικῶς μοίρας α δ, τῆς ὑπὸ ΤΠΜ γωνίας 𐆊 νθ. τοῦτο γὰρ ἑξῆς. καὶ κινεῖται ἐν τῷ μεταξὺ χρόνῳ τοῦ αʹ ἔτους Ναβονασσάρου καὶ τῆς ἐκκειμένης ἐκλείψεως ἡ τὸν ἐπίκυκλον ἄγουσα εὐθεῖα τὴν ΧΥΜ περιφέρειαν, μοιρῶν οὖσαν μήκους ρκγ κβ. Καὶ ἡ κατὰ τὰ ὁμαλὰ κινήματα τοίνυν τοῦ μήκους ἐποχὴ κατὰ τὴν τοῦ ἐκκέντρου ὑπόθεσιν ἐν τῇ κατὰ τὸ αʹ ἔτος Ναβονασσάρου ἐποχῇ εἰς τὰ ἑπόμενα τῶν ζῳδίων ἔσται, τῆς κατὰ τὸν ὁμόκεντρον γινομένης τοῖς εἰρημένοις ἑξηκοστοῖς. Ὥστε κατὰ τὴν βʹ ὑπόθεσιν εἰς τὸν τῆς ἐποχῆς χρόνον τὴν μέσην σελήνην ἐπέχειν Ταύρου μοίρας ια κζ, ἀντὶ τῶν ια κβ τῶν κατὰ τὴν αʹ ὑπόθεσιν ἀποδεδειγμένων. Ἐπεὶ δὲ καὶ τὸ ὁμαλὸν ἀπόγειον ἀδιαφορεῖ κατ’ ἀμφοτέρας τὰς ὑποθέσεις τουτέστιν τὸ Κ τοῦ Φ, φανερὸν ὅτι καὶ ἡ τῆς ἀνωμαλίας περιφέρεια μοιρῶν οὖσα κατὰ τὴν αʹ ὑπόθεσιν σξη μθ εἰς τὴν κατὰ τὸ αʹ ἔτος Ναβονασσάρου ἐποχήν, ἡ αὐτή ἐστιν πρὸς αἴσθησιν τῇ κατὰ τὴν βʹ ὑπόθεσιν· ἡ δὲ ἀκριβὴς τῆς σελήνης μοιρῶν κατὰ μὲν τὴν αʹ ὑπόθεσιν ἁπλῶς Ταύρῳ ιϛ [ι] κα, κατὰ δὲ τὴν βʹ Ταύρῳ 〈ιη κε〉. |
| 65 | Λέγω ὡς ὅτι ἡ μὲν αʹ μόνη πρὸς τὰς συζυγίας σύμφωνός ἐστιν. ἡ δὲ βʹ μετὰ τῆς παρὰ τὸν ἔκκεντρον διαφορᾶς, ἀποχῆς οὔσης ο λζ, ἐπελογίσθη ὑφ’ ἡμῶν. Ὅτι δὲ ἡ ὑπὸ ΔΖΒ γωνία τοιούτων ἐστὶν α δ οἵων ἡ α ὀρθὴ ϙ, δείκνυται οὕτως. Ἐπεὶ ἐν τῷ χρόνῳ τῆς βʹ ἐκλείψεως, ἡ μὲν μέση σελήνη Παρθένῳ ἐστὶν μοίρᾳ ιδ μδ, ὁ δὲ μέσος ἥλιος Ἰχθύσι μοίρᾳ ια κδ, γίνεται ἀποχῆς μοῖραι ρπγ κ. καὶ διπλῆς ἀποχῆς μοῖραι ϛ μ· αἷς παράκειται γʹ σελιδίῳ ἐν τῷ κανόνι τῆς ἀνωμαλίας σελήνης μοῖρα α. ὡς εἶναι ἀνωμαλίας πρὸς τὸ ἀκριβὲς ἀπόγειον μοίρας ιγ κϛ τὴν ΘΔ περιφέρειαν αἷς παράκειται δʹ σελιδίου μοῖρα α δ τῆς ὑπὸ ΔΖΒ γωνίας. Ἐδείχθη δὲ καὶ δʹ βιβλίῳ εʹ θεωρήματι ἡ ὑπὸ ΤΠΜ, 𐆊 νθ· ὥστε ἡ διαφορά ἐστιν 𐆊 ε. Περὶ τῶν τῆς σελήνης παραλλάξεων. |
| 66 (1t) | «Τὰ μὲν οὖν πρὸς τὰς ἀκριβεῖς καταλήψεις τῶν ἀκριβῶν παρόδων τῆς «σελήνης σχεδὸν ταῦτ’ ἂν εἴη». Τοῦτο λέγει σχεδόν, ὡς καὶ ὑπολειπομένων ἄλλων, τουτέστιν συνόδων καὶ πανσελήνων καὶ ἐκλείψεων. ἀναγκαῖον ἂν εἴη καὶ ἀκόλουθον τῶν τε ἄλλων φαινομένων ἕνεκεν καὶ μάλιστα τῶν περὶ τὰς τοῦ ἡλίου ἐκλείψεις θεωρουμένων, τὸν περὶ τῶν παραλλάξεων αὐτῆς ποιήσασθαι λόγον. Πρὸς μὲν τὸ τυπῶσαι τί ἐστιν παράλλαξις, ἤδη πολλάκις εἴπομεν ἐν τοῖς πρὸ τούτου σχολίοις. καὶ ὡς ὅτι οὔτε ἔκλειψιν ἡλίου δυνατὸν προειπεῖν οὔτε ἀστέρος τινὸς πάροδον εὑρεῖν ἄνευ τοῦ προδιαλημφθῆναι τὸν τῶν παραλλάξεων τῆς σελήνης λόγον. Τοῦ γραφομένου αὐτῆς ἐν τῷ ἀστρολάβῳ τόπου ὑποτεθέντος, ἡ πρὸς τὸν ἀστέρα διάστασις φαινομένη ἐκ τῆς διοπτείας καταλαμβάνεται· καὶ ἀνάπαλιν ἀπὸ τῆς φαινομένης διαστάσεως ἡ πρὸς τὸν ἀστέρα διάστασις ἀκριβής, ἤδη προκατειλημμένου τοῦ ἀκριβοῦς τόπου τῆς σελήνης. ὥστε καὶ τὴν τοῦ ἀστέρος ἀκριβῆ ἐποχὴν δίδοσθαι. χρεία ἄρα καὶ τῶν κατὰ μέρος παραλλάξεων. Ταύτας δὲ οὐκ ἔστιν, φησίν, πραγματευθῆναι ἄνευ τοῦ δοθῆναι τὸν τοῦ ἀποστήματος λόγον, οὔτε τὸν τοῦ ἀποστήματος λόγον δοθῆναι ἄνευ τοῦ παράλλαξίν τινα δοθῆναι. |
| 67 | ὅθεν ἐπὶ μὲν τῶν μηδὲν αἰσθητὸν παραλλασσόντων ἀστέρων, πρὸς οὓς ἡ γῆ σημείου καὶ κέντρου λόγον ἔχει, οὐδὲ τοῦ ἀποστήματος λόγος δίδοται. Ἐπὶ δὲ σελήνης παραλλάξεώς τινος ληφθείσης ὡς διὰ τοῦ ἑξῆς ὀργάνου λαμβάνεται, τὸ κατὰ τὸν χρόνον τῆς τηρήσεως ἀπόστημα δίδοται, καὶ ἀπὸ τούτου αἱ κατὰ μέρος παραλλάξεις, ὡς δείξει διὰ τῶν ἑξῆς θεωρημάτων. «Ὁ μὲν οὖν Ἵππαρχος ἀπὸ τοῦ ἡλίου μάλιστα τὴν τοιαύτην ἐξέτασιν, «οὐκ ἀκριβῶς πεποίηται.». ἐπειδὴ γὰρ ἀπὸ τοῦ ἐν ταῖς συζυγίαις κατὰ τὸ μέγιστον ἀπόστημα ἴσην ἔγγιστα τῷ ἡλίῳ φαίνεσθαι τὴν σελήνην, καὶ ἀπὸ τοῦ μετὰ μεγέθη τῶν διαμέτρων ἡλίου καὶ σελήνης δίδοσθαι, «ὑπὲρ «ὧν ἐν τοῖς ἑξῆς ποιεῖται τὸν λόγον, ἀκολουθεῖ τὸ τοῦ κατὰ τὸ ἕτερον τῶν «φώτων ἀποστήματος δοθέντος, καὶ τὸ κατὰ τὸ ἕτερον δίδοσθαι», ὡς ἔστιν ιβʹ θεωρήματι τοῦ σεληνιακοῦ ἀποστήματος δοθέντος καὶ τῶν διαμέτρων ἡλίου καὶ σελήνης, τὸ τοῦ ἡλίου ἀπόστημα δοθῆναι. πειρᾶται ὁ Ἵππαρχος ἀπὸ τοῦ ἡλίου στοχαζόμενος τὰς παραλλάξεις καὶ τὰ ἀποστήματα αὐτοῦ καὶ τὸ τῆς σελήνης ἀπόστημα δεικνύειν, «δισταζο«μένου παντάπασιν τοῦ κατὰ τὸν ἥλιον οὐ μόνον ἐν τῷ πόσον ἀλλὰ εἰ καὶ «ὅλως τί παραλλάσσει.» Οὕτως γὰρ ἐν δισταγμῷ ἦν ὁ Ἵππαρχος περὶ τοῦ ἡλίου· οὐ μόνον πόσον, ἀλλὰ καὶ εἰ ὅλως τι παραλλάσσει. ὑπέθετο ἐν τῷ πρώτῳ περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων, πρὸς τὸν ἥλιον τὴν γῆν σημείου τε καὶ κέντρου λόγον ἔχειν. |
| 68 | καί ποτε μὲν διὰ τῆς ἐκλείψεως τῆς ὑπ’ αὐτοῦ παρατιθεμένης ὑπετίθετο ἐλάχιστον παραλλάσσειν αὐτόν, ποτὲ δὲ μεῖζον. διὸ καὶ τῶν ἀποστημάτων τῆς σελήνης οἱ λόγοι διάφοροι γεγένηνται. Ἐν γὰρ τῷ αʹ περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων λαμβάνει φαινόμενον τοῦτο· ἔκλειψιν ἡλίου, ἐν μὲν τοῖς περὶ τὸν Ἑλλήσποντον τόποις ὅλου τοῦ ἡλίου ἀκριβῶς γεγενημένην ὥστε μηδὲν αὐτοῦ παραφαίνεσθαι, ἐν Ἀλεξανδρείᾳ δὲ τῇ κατ’ Αἴγυπτον τὰ δ μάλιστα πεμπτημόρια τῆς διαμέτρου ἐκλελοιπότα. διὰ δὲ τῶν προκειμένων ἀποδείκνυσιν ἐν τῷ αʹ βιβλίῳ ὅτι οἵου ἑνός ἐστιν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς γῆς, τοιούτων τὸ μὲν ἐλάχιστον ἀπόστημα τῆς σελήνης οα, τὸ δὲ μέγιστον πγ, τὸ ἄρα μέσον οζ. Τὰ δὲ προκείμενα ἀποδείξας, ἐπὶ τέλει τοῦ βιβλίου φησίν· ἐν μὲν τούτῳ τῷ συντάγματι μέχρι τούτων ἡμῖν ὑποδέδεικται. μὴ μέντοι διαλάβῃς ἤδη κατὰ πᾶν διευκρινεῖσθαι τὸν περὶ τοῦ τῆς σελήνης ἀποστήματος λόγον ποτέ· λείπεται γάρ τις ἐπίσκεψις καὶ ἐν τούτοις, καθ’ ἣν ἔλασσον ἀποδειχθήσεται τὸ τῆς σελήνης ἀπόστημα τοῦ νῦν ἐκλελογισμένου, ὡς καὶ αὐτὸν ὁμολογεῖν μὴ πάνυ ἔχειν ἀποφαίνεσθαι περὶ τῶν παραλλάξεων. Εἶτα πάλιν αὐτὸς ἐν τῷ δευτέρῳ περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων ἐκ πολλῶν ἀποδείκνυσιν ὅτι οἵου ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς γῆς ἑνός, τοιούτων ἐστὶν τὸ μὲν ἐλάχιστον ἀπόστημα τῆς σελήνης ξβ, τὸ δὲ μέσον ξζ γʹ, τὸ δὲ τοῦ ἡλίου ἀπόστημα ͵ βυϙ, δῆλον δὲ ὅτι καὶ τὸ μέγιστον ἀπόστημα τῆς σελήνης οβ Γ β . Περὶ παραλλακτικοῦ ὀργάνου «Πόσον καὶ ἀπὸ πηλίκης τοῦ κατὰ κορυφὴν ἀποστάσεως ἡ σελήνη «παραλλάσσει, ὡς ἐπὶ τοῦ διὰ τῶν πόλων τοῦ ὁρίζοντος καὶ αὐτῆς γραφο«μένου μεγίστου κύκλου». |
| 70 | Ἐὰν γὰρ ᾖ πλησίον τοῦ κατὰ κορυφήν, οὐδὲν ἢ ἀνεπαίσθητον παραλλάσσει. ἵν’ οὖν γνῷ ἀπὸ πηλίκου ἀποστήματος ἄρχεται αἰσθητὸν παραλλάσσειν, διὰ τοῦτο εἶπεν ἀπὸ πηλίκης ἀποστάσεως. «Ἐποιήσαμεν γὰρ κανόνας δύο τετραπλεύρους τὸ μὲν μῆκος οὐκ «ἔλασσον δ πηχῶν πρὸς τὸ τὰς διαιρέσεις εἰς πλείονα μέρη δύνασθαι γε«νέσθαι, τὴν δὲ περιοχὴν συμμέτρους ...» ἕως «φθάνον δὲ μέχρι τῆς πλεί«στης παραφορᾶς τοῦ τὸ ἴσον ἀφεστῶτος πέρατος τῆς τοῦ ἑτέρου κανόνος «γραμμῆς, ὥστε δύνασθαι συμπεριαγόμενον αὐτῷ τὸ μεταξὺ τῶν δύο «περάτων γινόμενον ἐπ’ εὐθείας διάστημα δεικνύειν». Τὰ λεγόμενα ἐπὶ καταγραφῆς μᾶλλον γενήσεται σαφῆ. Ἔστωσαν γὰρ δύο κανόνες ἐνηξονισμένοι πρὸς ἀλλήλους, καθάπερ τὰ τῶν καρκίνων ὀργάνων ἢ διαβητῶν σκέλη ἐναξονίζεται, ἔχοντες τὰς πλατυτέρας πλευρὰς καθ’ ἃς ἥνωνται ἀλλήλοις ὡς τὰς ΦΧΨΩ, ΡΣΤΥ. |
| 72 | καὶ διὰ τοῦ Α σημείου ὡς κέντρου καθ’ οὗ τὸ ἀξόνιον ἐναρμόζεται πρὸς τὸ συντεθῆναι τοὺς κανόνας, ἔστωσαν εὐθεῖαι παράλληλοι ταῖς ΨΦ, ΧΩ, ΡΥ, ΣΤ, αἱ ΑΒ, ΑΟ ἴσαι τε καὶ μείζονες ὡς οἷόν τε λαμβανόμεναι ἀπὸ τοῦ Α σημείου. καὶ ἡ μὲν ΑΒ νοείσθω διῃρημένη εἰς ξ ἴσα, καὶ ὅσα ἐνδέχεται μέρη οἷον δωδέκατα. Τότε δὲ λεπτὸν κανόνιον ἐνηξονισμένον κατὰ τὸ Β σημεῖον περονίῳ τινὶ ἔλασσον τῷ μήκει τῆς ΑΒ τμήμασι δ, οἵων ξ ἡ ΑΒ, ἐχέτω στερέωμά τι περὶ τὸ Β, ὥστε τὴν μίαν αὐτοῦ πλευρὰν πίπτειν διὰ τοῦ Β, ὡς ἔχει τὸ ΘΚϡ 𐅶 Σ ͵ Ο σχῆμα. |
| 73 | Ἐντετμήσθω δὲ καὶ ἀπὸ μέρους τινὸς ὁ ΡΣΤΥ κανὼν πρὸς τῷ κάτω πέρατι κατὰ πλευρὰν ἐν ᾗ ἐστιν ἡ ΑΟΓ εὐθεῖα, ἐπὶ τοσοῦτον βάθος, ὅσον ἐστὶν τὸ πάχος τοῦ ΘΚ κανονίου, ὡς ἔχει τὸ ΡΣΞΟΠ σχῆμα· οὕτω γὰρ ἂν γένοιτο δυνατὸν τὴν πλευρὰν τοῦ ΘΚ καθ’ ἣν ἥνωται τῷ ΨΧ, ἐν τῇ πρὸς τὸν ΤΡ κανόνα συναφῇ ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ γενέσθαι ταῖς ΤΡ, ΨΧ πλευραῖς. μετὰ τοίνυν τὸ ἐντμηθῆναι ὡς εἴρηται τὸν κανόνα κατὰ τὸ σχῆμα τὸ ΡΣΠΟΞ, ἡμικυκλίου ὄντος τοῦ ΞΟΠ, περὶ μέσον τὸ Ο συμφυὲς τῷ κανόνι μοιρογνωμόνιον ἔστω, ὥστε τὸ ἄκρον αὐτοῦ ἐπ’ εὐθείας κείμενον τῇ ΑΟ εὐθείᾳ, ἀπέχειν τοῦ Α διαστήμασιν ἴσην τῇ ΑΒ, καὶ εἶναι κατάλληλον τῷ πρὸ τῆς ἐντομῆς Γ. |
| 74 | Ὅταν οὖν προαιρώμεθα τὸ μέγεθος τῆς πρὸς τῷ Α γωνίας λαβεῖν, παραφέρομεν τὸ ΘΚ κανόνιον ἕως ἂν ἅψηται τοῦ ἄκρου τοῦ μοιρογνωμονίου, καὶ τηροῦντες τὴν θέσιν αὐτοῦ σημειωσόμεθα, καὶ ἕξομεν ἀπὸ τοῦ τῆς ἁφῆς σημείου ἐπὶ τοῦ ΘΚ κανονίου μέχρι τοῦ Β τὴν ὑποτείνουσαν τὴν πρὸς τῷ Α γωνίαν εὐθεῖαν, ἣν καὶ προσβάλλοντες τῇ ΑΒ ἐπιγνωσόμεθα ἐκ τῆς τῶν τμημάτων ποσότητος καὶ τὸ μέγεθος τῆς γωνίας ἢ τῆς ὑποτεινούσης ταύτην περιφερείας, ἀπὸ τοῦ τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν κανόνος. Καὶ ταῦτα μὲν οὕτω γινέσθω. λαμβάνει δὲ ὁ μὲν ΤΡ κανὼν πρὸς τοῖς ἄκροις ὀρθὰ πρισμάτια οὐκ ἐν ᾗ ἐστιν πλευρᾷ ἡ ΑΟ εὐθεία καὶ τὸ μοιρογνωμόνιον, ἀλλ’ ἐν τῇ ἀντικειμένῃ ὡς τὰ ΔΕ, ΖΗ· ὀπὰς ἔχοντα τὰς ͵ Α, ͵ Β καὶ μείζονα τὴν ͵ Α τῆς ͵ Β οὔσης πρὸς τῇ ὄψει καὶ τῷ μοιρογνωμονίῳ, ὥστε δι’ αὐτῶν ἐν τῇ διοπτείᾳ ὅλην τὴν σελήνην φαίνεσθαι. Ὁ δὲ ΧΨ κανὼν καὶ αὐτὸς οὐκ ἐν ᾗ ἐστιν πλευρᾷ ἡ ΑΒ, ἀλλ’ ἐν τῇ ἀντικειμένῃ λαμβάνει πρισμάτια ἢ μᾶλλον κυλίνδρια ὡς ἐπὶ τῆς πλινθίδος, ἴσα καὶ ὅμοια, ὀρθὰ πρὸς τὴν πλευράν, ὧν οἱ ἄξονες ἐκβαλλόμενοι τέμνουσιν τὴν ΑΒ εὐθεῖαν ὀρθοὶ ὄντες καὶ τῷ ΧΨ ἐπιπέδῳ. νοείσθωσαν δὲ οὗτοι οἱ Μ ͵ Γ, Ν ͵ Α, τῶν δὲ κυλινδρίων αἱ βάσεις αἱ ἄνω κύκλοι περὶ τὰ Μ, Ν κέντρα. |
| 75 | Ἵσταται δὲ ὁ μὲν ΨΧ κανὼν ὀρθὸς πρὸς τὸ τοῦ ὁρίζοντος ἐπίπεδον, συμφυὴς ὢν βάσει τινὶ οὕτως· προσφερομένης γὰρ σπάρτου τῷ Μ σημείῳ βάρος ἐχούσης σφαιρικόν, ὅταν ἡ σπάρτος ἠρεμοῦσα ἐπιψαύῃ καὶ τοῦ Ν, τότε καὶ ὁ κανὼν ὀρθός ἐστιν τῷ ὁρίζοντι, καὶ ἡ ΑΒ ἐκβαλλομένη παράλληλος οὖσα τῇ ΜΝ σπάρτῳ ἐπὶ τὸ κατὰ κορυφὴν ἡμῶν σημεῖον πίπτει. Λήψεται δὲ καὶ ὁ ΤΡ κανὼν μετὰ τοῦ ΧΨ τὴν ἐν τῷ τοῦ μεσημβρινοῦ ἐπιπέδῳ θέσιν, ἐν τῷ παρὰ τὴν βάσιν ἀκλινεῖ ἐπιπέδῳ πρὸς τὸν ὁρίζοντα μεσημβρινῆς εὐθείας βεβλημένης, ὡς τῆς ͵ Θ ͵ Ζ ͵ 𐅶 . ἀπὸ γάρ τινος τῶν ἐπὶ τῆς ΑΟ εὐθείας λαμβανομένων σημείων ἢ τῆς πλευρᾶς ἁπλῶς, ὡς τοῦ ͵ Η, σπάρτου καθιεμένης βάρος ἐχούσης κωνικὸν καὶ ἠρτημένον ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως, ὅταν ἡ τοῦ κώνου κορυφὴ ὀρθοῦ ὄντος ἅψηται τῆς μεσημβρινῆς εὐθείας, ὡς ἔχει τὸ ͵ Ζ, τότε καὶ αἱ πλευραὶ τῶν κανόνων ἐν αἷς εἰσιν αἱ ΑΒ, ΑΟ ἐν τῷ τοῦ μεσημβρινοῦ ἐπιπέδῳ τὴν θέσιν λαβοῦσαι, ἐκπέμπειν δυνήσονται τὰς ἀπὸ τῆς ὄψεως εὐθείας διὰ τῶν ͵ Α ͵ Β ὀπῶν ἐπὶ τὰ ἐν τῷ τοῦ μεσημβρινοῦ λαμβανόμενα σημεῖα. «Καταλαμβανόμεθα δέ, φησί, περὶ τὰς τοιαύτας παρόδους ἀπέχον ἀεὶ «τὸ κέντρον τῆς σελήνης τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου δύο καὶ ηʹ ἔγγιστα «μοίρας, ὡς ἐκ τῆς τοιαύτης ἐξετάσεως ε μοιρῶν ἀποδείκνυσθαι τὴν «πλείστην αὐτῆς κατὰ πλάτος ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων «πάροδον». Ἡ ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν τοῦ δι’ Ἀλεξανδρείας μεσημβρινοῦ μέχρι τοῦ μεσημβρινοῦ ἰσημερινοῦ σημείου δέδεικται ἀκολούθως τῷ ἐξάρματι τῆς οἰκήσεως μοιρῶν λ νη. |
| 76 | ἀπεῖχεν δὲ τοῦ κατὰ κορυφὴν ἡ σελήνη κατὰ τὰς τηρήσεις ὡς πρὸς μεσημβρίαν μοίρας β ζ· ὡς εἶναι τὰς ἀπὸ τοῦ μεσημβρινοῦ ἰσημερινοῦ σημείου ἐπὶ τὸ κέντρον τῆς σελήνης μοίρας κη να. ἀφ’ ὧν ἐὰν ἀφέλωμεν τὰς ἀπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ ἐπὶ τὸν θερινὸν τροπικὸν ἀποδεδειγμένας μοίρας κγ να, καταληφθήσονται αἱ τοῦ πλάτους μοῖραι ε. ὡς ἐκ τούτου συνάγεσθαι καὶ τὸ πρὸς τὴν σελήνην γινόμενον τοῦ ζῳδιακοῦ πλάτος μοιρῶν [ι] 〈ε〉 ἔγγιστα, ἀκολούθως τῇ τε Ἱππάρχου γνώμῃ καὶ τῇ προληφθείσῃ τοῦ ζʹ σελιδίου ἐν τῷ κανονίῳ τῆς καθόλου σεληνιακῆς ἀνωμαλίας πραγματείᾳ. Ἐπὶ τέλει τοῦ κεφαλαίου φησίν· «καὶ διὰ τὸ πλεῖστον τότε αὐτὴν «ἀφεστῶσαν ὡς ἐπὶ τῆς ὁμοίας κατὰ τὸν μεσημβρινὸν παρόδου τοῦ «κατὰ κορυφὴν σημείου, καὶ τὴν παράλλαξιν μείζονα καὶ εὐσημαντοτέ«ραν παρέχειν». Ἵνα τὴν πλατικὴν παράλλαξιν δεόντως λάβῃ, ἐπὶ μὲν τῆς τῶν τροπικῶν μεσουρανήσεως ἔγγιστα τὴν λῆψιν αὐτῆς πεποίηται, περὶ μέντοι τὸ χειμερινὸν τροπικόν, ὅπως τὸ πλεῖστον ἐπὶ τοῦ Αἰγόκερω ὄντος νοτιωτέρου, μείζων καὶ εὐσημαντοτέρα ἡ παράλλαξις φανῇ τῶν ἄλλων ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ γινομένων παραλλάξεων. Τοῦτο δὲ, τουτέστιν ὅτι ὅσῳ πλέον ἀφίσταται τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου τοσούτῳ μείζονα ποιεῖ τὴν παράλλαξιν, δέδεικται μὲν ὑφ’ ἡμῶν ἐν τῷ εἰς τὸ τέταρτον βιβλίον σχολίῳ διὰ τοῦ συγκριτικοῦ τε καὶ γραμμικοῦ λόγου. |
| 77 | δείκνυται δὲ καὶ ἑξῆς διὰ τοῦ ιγʹ θεωρήματος, λόγου χάριν, ὅτι ἡ ἐπιβάλλουσα παράλλαξις ταῖς λ μοίραις ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου περιφερείας ἐλάσσων ἐστὶν τῆς τῶν μ, καὶ αὐτὴ τῆς τῶν ν, καὶ αὐτὴ τῆς τῶν ξ, καὶ ἑξῆς ὁμοίως, καθάπερ ἔχουσιν οἱ τοῦ παραλλακτικοῦ κανόνος ἀριθμοὶ τῶν παραλλάξεων. Ἀπόδειξις τῶν τῆς σελήνης ἀποστημάτων. |
| 78 (1t) | «Ἐτηρήσαμεν γάρ, τῷ κʹ ἔτει Ἁδριανοῦ κατ’ αἰγυπτίους Ἀθὺρ ιγʹ «μετὰ ε 𐅵 ʹ γʹ ὥρας ἰσημερινὰς τῆς μεσημβρίας, μέλλοντος τοῦ ἡλίου «καταδύνειν, τὴν σελήνην ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ γεγενημένην ...» καὶ τὰ ἑξῆς, ἕως «παρήλλαξεν ἄρα κατὰ τὸ περὶ τὴν ἐκκειμένην πάροδον ἀπόστη«μα μοίρας α καὶ ἑξηκοστῶν ζ, ἐπὶ τοῦ δι’ αὐτῆς καὶ τῶν πόλων τοῦ «ὁρίζοντος γραφομένου μεγίστου κύκλου, ἀπέχουσα ἀκριβῶς τοῦ κατὰ «κορυφὴν σημείου μοίρας μθ μη». Ἔστω γὰρ τοῦ μὲν διὰ μέσων τῶν ζῳδίων ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΓ, τοῦ δὲ λοξοῦ τῆς σελήνης τὸ ΑΒΓ, καὶ μεσημβρινοῦ τμῆμα τὸ ΜΖΗ, ἐφ’ οὗ νοείσθω ὁ πόλος τοῦ ἰσημερινοῦ, τὸ Μ. καὶ ἔστω ἀναβιβάζων μὲν σύνδεσμος τὸ Γ σημεῖον, καταβιβάζων δὲ τὸ Α· βόρειον δὲ πέρας τὸ Ζ· ἀρχὴ δὲ Αἰγόκερω τὸ Η· κατὰ κορυφὴν δὲ Ἀλεξανδρείας τὸ Ε σημεῖον. ἡ δὲ ἀκριβὴς σελήνη πρὸς τῷ Β νοείσθω κατὰ τὸν τῆς διοπτείας χρόνον, φαινομένη πρὸς τῷ Κ σημείῳ. καὶ διὰ τῶν Ε, Κ σημείων γεγράφθω μεγίστου κύκλου τμῆμα, τὸ ΜΒΚΔ. ἔσται δὴ τὸ μὲν Δ σημεῖον τῆς ἀκριβοῦς ἔγγιστα τοῦ μήκους τῆς σελήνης ἐποχῆς, ἀπολαμβάνον τὴν ΗΔ περιφέρειαν τοῦ Αἰγόκερω μοιρῶν ἔγγιστα οὖσαν γ ι· ἡ γὰρ κίνησίς ἐστιν τῆς σελήνης, ὡς ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Δ καὶ τὸ Α. τὸ δὲ Β σημεῖον ἐπὶ τοῦ λοξοῦ τῆς ἀκριβοῦς σελήνης ὄν, ἀπολαμβάνον πλάτους πρὸς τῷ Ζ βορείῳ πέρατι τὴν ΒΖ μοιρῶν οὖσαν β ϛ, ἡ δὲ ΚΕ φαινομένη διάστασις μοιρῶν ν νε, τοσαῦται γὰρ ἐκ τῆς διοπτείας κατελήφθησαν, ἡ δὲ ΒΔ ἡ αὐτὴ ἔγγιστα οὖσα τῇ διὰ τοῦ Β ἀκριβοῦς κέντρου τῆς σελήνης ὀρθῇ τῷ ΑΔΓ ζῳδιακῷ. |
| 79 | τοῦτο γὰρ ἑξῆς ἔσται δῆλον. [Omitted graphic marker] Ἐπεὶ οὖν δεῖ εὑρεῖν τὴν ΒΚ περιφέρειαν ἥτις ἐστὶν κατὰ τὴν ὑποκειμένην τήρησιν κατὰ πλάτος τῆς σελήνης παράλλαξις, ἔστω τὸ Ξ σημεῖον καθ’ ὃ τέμνει ὁ ἰσημερινὸς κύκλος τὸν μεσημβρινόν. ἔσται τοίνυν διὰ τοῦ τῆς λοξώσεως κανονίου δοθεῖσα ἡ ΞΔ περιφέρεια μοιρῶν οὖσα κγ μθ· τοσαῦται γὰρ ἐπιβάλλουσιν ταῖς τοῦ Αἰγόκερω μοίραις γ ι λοξώσεως. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΕΞ τῶν τοῦ ἐξάρματος ἐν Ἀλεξανδρείᾳ μοιρῶν λ νη. καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΕΔ μοιρῶν ἔσται νδ μζ ἔγγιστα. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΒΔ τοῦ πλάτους σελήνης περιφέρεια μοιρῶν δ νθ ἔγγιστα. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΒ ἔσται μοιρῶν μθ μη. ὑπέκειτο δὲ καὶ ἡ ΕΚ ὅλη τῶν ἀπὸ τῆς τηρήσεως μοιρῶν ν νε. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΚ τῆς παραλλάξεως περιφέρεια ἔσται μοίρας α καὶ ἑξηκοστῶν ζ. Ὥστε κατὰ τὸν ὑποκείμενον τῆς τηρήσεως χρόνον ἡ σελήνη παρήλλασσεν μὲν κατὰ πλάτος μοίρας α καὶ ἑξηκοστῶν ζ, ἀπεῖχεν δὲ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου ἀκριβῶς μοίρας μθ μη· ἐπεῖχεν δὲ μέσως Τοξότου μοίρας κε μδ, ἀνωμαλίας δὲ ἀπὸ τοῦ ὁμαλοῦ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου μοίρας σξβ κ, ἀποχῆς δὲ ἀπὸ τοῦ ἡλίου κατὰ τὰ ὁμαλὰ κινήματα μοίρας οη ιγ· τῆς παραλλάξεως γινομένης πρὸς ὃν ἡ γῆ σημείου καὶ κέντρου λόγον ἔχει μέγιστον κύκλον ἐπινοούμενον ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ὑπεράνω τοῦ κατὰ τὴν τήρησιν ἀποστήματος τὴν θέσιν ἔχειν. |
| 80 | Ὅτι δὲ ἡ ΒΔ ὀρθή ἐστιν ἔγγιστα τῷ ΑΔΗ ζῳδιακῷ κύκλῳ ἐντεῦθεν ἔσται δῆλον. [Omitted graphic marker] Τῶν γὰρ αὐτῶν ὑποκειμένων καὶ τῆς ὑπὸ ΔΗΜ γωνίας ὀρθῆς οὔσης πρὸς τῷ μεσημβρινῷ Αἰγόκερω ἀρχῇ καὶ τοῦ Δ σημείου περὶ τὰς γ μοίρας ὄντος τοῦ Αἰγόκερω, καὶ τῆς ἐν τῷ ἑξῆς ζῳδίῳ Ὑδροχόου ἀρχῆς γωνίας πρὸς τῷ μεσημβρινῷ οὔσης ὑπὸ ΑΔΜ τοιούτων οζ λ, οἵων ἡ α ὀρθὴ ϙ· ἐὰν τὴν ὑπεροχὴν ᾗ ὑπερέχουσιν αἱ ϙ τῆς ὀρθῆς τὰς οζ λ, τουτέστιν τὰς ιβ λ, ἀναλύσαντες εἰς ξ, καὶ τὰ γενόμενα ἑξηκοστὰ ψν μερίσωμεν παρὰ τὰς λ μοίρας τοῦ ζῳδί[ακ]ου, ἕξομεν τῇ α μοίρᾳ ἐπιβάλλοντα ἑξηκοστὰ κε. |
| 81 | ὥστε καὶ τὰς γ μοίρας τοῦ Αἰγόκερω ἐπιβάλλειν γωνίας μέγεθος ἐξ ἀναλόγου τοιούτων πη με, οἵων ἡ α ὀρθὴ ϙ. Ἔσται οὖν καὶ ἡ πρὸς τῷ Δ μεσημβρινοῦ γωνία τῶν αὐτῶν πη με, ἡ δὲ ἐφεξῆς αὐτῇ ϙα ιε. καὶ ἡ ΔΜ τῇ ΜΗ ἔγγιστα ἴση. ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ Ξ γραφῇ τὸ ΞΛ τοῦ ἰσημερινοῦ τμῆμα, ἔσται ἡ μὲν ΛΗ μοιρῶν κγ να ἔγγιστα. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΞΔ μοιρῶν κγ μθ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΜΞ τῇ ΜΛ ἴση, ἐκ πόλου ἰσημερινοῦ. μείζων ἄρα ἡ ΜΗ τῆς ΜΔ β ἑξηκοστοῖς. Ὥστε ἀδιαφορεῖν πρὸς αἴσθησιν τὴν πρὸς τῷ Δ γωνίαν ὀρθῆς. κἂν γράψωμεν δὲ διὰ τοῦ Ν πόλου τοῦ ζῳδιακοῦ καὶ τῶν Ξ, Β σημείων μεγίστων κύκλων τεταρτημόρια τὰ ΝΞΘ, ΝΡΒΠ, ἀδιαφορεῖ τὸ Π τοῦ Δ, καὶ ἡ ΔΞ τῆς ΞΘ καὶ ΠΡ. Ἐπεὶ γὰρ εἰς β μεγίστων κύκλων περιφερείας τὰς ΗΑ, ΗΜ δύο διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΜΔ, ΘΝ, τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Ξ, ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΜΗ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΗΝ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΜΔ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΔΞ, καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΞ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΝ. |
| 82 | Ἀλλ’ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΜΗ μοιρῶν ἐστιν σκζ μβ. καὶ ἡ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα, τουτέστιν ἡ ὑπὸ τὰς ρλβ ιη λείπουσα εἰς μοίρας τξ, τμημάτων ρθ με ιβ. ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΝΗ μοιρῶν ρπ· καὶ ἡ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ. ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΜΔ μοιρῶν σκζ λη· καὶ ἡ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρθ μζ ια. ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΔΞ μοιρῶν μζ μη ἔγγιστα· καὶ ἡ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων μη κζ κϛ. ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ τῶν ρθ με ιβ πρὸς τὰ ρκ λόγου ἀφέλωμεν τὸν λόγον τῶν ρθ μζ ια πρὸς τὰ μη κζ κϛ, καταλειφθήσεται ἡμῖν λόγος τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΞ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΝ, ὁ τῶν μη κϛ ιδ πρὸς τὰ ρκ. τὰ γὰρ ρθ με ιβ ἐπὶ τὰ μη κζ κϛ γίνεται ͵ ετιη κ μθ νθ ιβ. καὶ παρὰ τὰ ρκ, γίνεται τῶν μδ ιθ ι πρὸς τὰ μη κζ κϛ ὁ λόγος, ὁ αὐτὸς τῷ τῶν ρθ με ιβ πρὸς τὰ ρκ. μέσου δὲ τασσομένου τούτων ρθ μζ ια, γίνεται ὁ συγκείμενος λόγος μδ ιθ ι πρὸς ρθ μζ ια καὶ ρθ μζ ια πρὸς μη κζ κϛ. καὶ ἀφαιρεθέντος τοῦ τῶν ρθ μζ ια πρὸς μη κζ κϛ, καταλείπεται ὁ τῶν μδ ιθ ι πρὸς τὰ ρθ μζ ια· ᾧ λόγῳ ὁ αὐτός ἐστιν καὶ τῶν μη κϛ ιδ πρὸς τὰ ρκ, τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΞ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΝ. καὶ ἔστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΝ τμημάτων ρκ. καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς ΘΞ ἔσται τῶν αὐτῶν μη κϛ ιδ· ἡ δ’ ἐπ’ αὐτῆς περιφέρεια μοιρῶν μζ λζ. |
| 83 | ὧν τὴν ἡμίσειαν, τουτέστιν τὴν ΘΞ περιφέρειαν, ἕξομεν κγ μη λ. ἔχομεν δὲ καὶ τὴν ΞΔ μοιρῶν κγ μθ. μείζων ἄρα ἡ ΞΔ τῆς ΘΞ δευτέροις ἑξηκοστοῖς λ ἀνεπαισθήτοις. Πάλιν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΜΝ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΝΗ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΜΞ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΞΔ, καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΔ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΗ. Ἀλλ’ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΜΝ περιφερείας μοιρῶν ἐστιν μζ μβ μ· καὶ ἡ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων μη λα νε. ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΝΗ μοιρῶν ρπ· καὶ ἡ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ. ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΜΞ μοιρῶν ρπ· καὶ ἡ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ. ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΞΔ μοιρῶν μζ μη· καὶ ἡ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων μη κζ κϛ. ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ λόγου τοῦ τῶν μη λβ πρὸς τὰ ρκ ἀφέλωμεν τὸν τῶν ρκ πρὸς τὰ μη κζ κϛ λόγον, λείπεται λόγος τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΔ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΗ, ὁ τῶν ιθ λε νϛ πρὸς τὰ ρκ. τὰ γὰρ μη λβ ἐπὶ τὰ μη κζ κϛ γίνεται ͵ βτνα μζ κε νβ· παρὰ ρκ, γίνεται ιθ λε νϛ. καὶ ὁ συγκείμενος ἔσται ιθ λε νϛ πρὸς ρκ καὶ ρκ πρὸς μη κζ κϛ. καὶ λοιπὸς λόγος τῶν ιθ λε νϛ πρὸς ρκ. ὥστε καὶ τὴν ΘΔ περιφέρειαν συνάγεσθαι μοιρῶν 𐆊 λϛ μ, ὡς δείξω. Ἐπεὶ οὖν ἡ σελήνη βορειοτέρα ἐστὶν τοῦ ζῳδιακοῦ μοίραις ε κατὰ τὸ Β οὖσα, καὶ ὁ ΝΒΠ κύκλος ἀφορίζει αὐτῆς τὸ μῆκος κατὰ τὸ Π, ὅ ἐστιν Αἰγόκερω μοίρᾳ γ ι, τῆς ΗΠ διαστάσεως ἀπὸ τοῦ Η Αἰγόκερω ἀρχῆς ἐπὶ τὰ ἑπόμενα τυγχανούσης, ἔσται τὸ Δ τοῦ μεσημβρινοῦ προηγούμενον τοῦ Π ἀκριβοῦς διὰ τοῦ ὀργάνου ληφθέντος Αἰγόκερω μοίρᾳ γ ι. τὴν γὰρ ΠΔ διαφορὰν ἀνεπαίσθητον ἔχει, διὰ τὸ καὶ ὅλην τὴν ΘΔ συνάγεσθαι ὡς εἴπομεν 𐆊 λϛ μ. |
| 84 | Συνάγεται δὲ ἡ ΘΔ 𐆊 λϛ μ διὰ τοῦ ιγʹ θεωρήματος πρώτου βιβλίου [Omitted graphic marker] τῆς συντάξεως, οὕτως. ἔστω γὰρ ἀντὶ τῆς ΑΔΗ περιφερείας ἡ ΑΒΓ, [περὶ] κέντρον δὲ τὸ Ε τοῦ κύκλου. καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΑ ἐκβεβλήσθω, καὶ συμπιπτέτω τῇ ΓΒ ἐπιζευχθείσῃ καὶ ἐκβληθείσῃ, κατὰ τὸ Δ. καὶ ἤχθω κάθετος ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΒΓ ἡ ΕΖ. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΒ, τοῦ Β ὑποκειμένου Αἰγόκερω μοῖρα γ ι, καὶ τοῦ Γ Αἰγόκερω ἀρχῇ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΕΖ τὴν ΒΓ δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, καὶ ἐκβαλλομένη τὴν περιφέρειαν διχᾷ. ὥστε βαίνειν ἐπὶ περιφερείας μοίρας α λε τὴν ὑπὸ ΒΕΖ γωνίαν οἵων αἱ δ ὀρθαὶ τξ, οἵων δ’ αἱ δύο ὀρθαὶ τξ τοιούτων ἐστὶν γ ι, ἡ δ’ ὑπὸ ΕΒΖ τῶν αὐτῶν ροϛ ν. Καὶ περιφέρειαι ἄρα τοῦ περὶ τὸ ΒΕΖ γραφομένου κύκλου, ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΒΖ γ ι, ἡ δ’ ἐπὶ τῆς ΕΖ ροϛ ν. |
| 85 | καὶ εὐθεῖα ἡ μὲν ΒΖ γ ιη νδ, ἡ δὲ ΕΖ ριθ νζ ιε, οἵων ἡ ΒΕ διάμετρος ρκ. καὶ οἵων ἐστὶν ἄρα ἡ ΕΒ ξ, τοιούτων ἡ μὲν ΒΖ α λθ κζ, ἡ δὲ ΕΖ νθ νη λζ. καὶ ἐπεὶ ὁ τῆς ΒΑ πρὸς ΑΓ λόγος ἐδείχθη ὁ τῶν ιθ λε νϛ πρὸς τὰ ρκ, ἀνάπαλίν ἐστιν ὁ τῶν ρκ πρὸς τὰ ιθ λε νϛ, τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΓΑ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΑΒ, τουτέστιν τῆς ΓΔ εὐθείας πρὸς τὴν ΔΒ, ὡς ἔστιν δωδεκάτῳ τοῦ πρώτου. Καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΒΓ γ ιη νδ, οἵων ἡ ΕΖ ξ. ἔσται ἄρα καὶ ἡ ΒΔ 𐆊 λη μθ. Οἵων γὰρ ἡ ΓΔ ρκ, ἡ ΔΒ ιθ λε νϛ. λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΒ ρ κδ δ, οἵων ἡ ΒΔ ιθ λε νϛ. καὶ οἵων ἄρα ἡ ΒΓ γ ιη νδ, ἡ ΒΔ 𐆊 λη μθ, καὶ ὅλη ἡ ΔΒΖ β ιη ιϛ, ὅτι τῶν αὐτῶν ἐστιν ἡ ΒΖ α λθ κζ, ἡμίσεια οὖσα τῆς ΒΓ. Ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΕΖ τῶν αὐτῶν νθ νη λζ. καὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΔΖ τετράγωνον ε ιη λζ, τὸ δ’ ἀπὸ τῆς ΕΖ ͵ γφϙζ ιδ β· ἃ συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ ͵ γχβ λβ λθ. μήκει ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ ξ α ιϛ οἵων ἡ ΔΖ ἦν β ιη λϛ· καὶ οἵων ἄρα ἡ ΔΕ ρκ, τοιούτων ἡ ΔΖ δ λε μβ. ἡ δ’ ἐπ’ αὐτῆς περιφέρεια τοῦ περὶ τὸ ΔΕΖ γραφομένου κύκλου καὶ ἡ ὑπὸ ταύτην γωνία ἡ ὑπὸ ΔΕΖ, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων δ κγ κ· οἵων δ’ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων β ια μ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΖ α λε. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΒ ἔσται 𐆊 λϛ μ. ὥστε ἡ ΑΒ περιφέρειά ἐστιν 𐆊 λϛ μ. Ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΒΓ μοιρῶν γ ι, γίνεται ἡ ΑΓ ὅλη μοιρῶν γ μϛ μ. |
| 86 | ἡ δὲ διπλῆ αὐτῆς ζ λγ κ. ἡ δ’ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ζ νδ κγ. ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΑΒ μοίρας α ιγ κ· καὶ ἡ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων α ιϛ μη. ὥστε λόγος ἐστὶν τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΑΓ, ὁ τῶν α ιϛ μη πρὸς τὰ ζ νδ κγ, ᾧ λόγῳ ὁ αὐτὸς ἔγγιστά ἐστιν καὶ ὁ τῶν ιθ λε νϛ πρὸς τὰ ρκ. Τῆς οὖν κατὰ τὴν τήρησιν παραλλάξεως διὰ τοῦ παραλλακτικοῦ ὀργάνου δοθείσης μοίρας α καὶ ἑξηκοστῶν ζ, τὸ κατ’ αὐτὴν τὴν τήρησιν τῆς σελήνης ἀπόστημα διὰ τοῦ ιʹ θεωρήματος ἀποδείκνυται τοιούτων λθ με οἵου ἐστὶν ἑνὸς ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς γῆς. καὶ ἔτι τούτου τοῦ ἀποστήματος δοθέντος, δείκνυται διὰ τοῦ ιαʹ θεωρήματος, ὅτι οἵων ἐστὶν τὸ κατὰ τὴν τήρησιν τῆς σελήνης ἀπόστημα λθ με, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς γῆς α, τοιούτων ἔσται καὶ τὸ κατὰ τὰς συζυγίας μέσον ἀπόστημα νθ 𐆊 , τὸ δὲ κατὰ τὰς διχοτόμους μέσον ἀπόστημα λη μγ. ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου τῶν αὐτῶν ε ι· ὡς ἐκ τούτου συνάγεσθαι τὸ μὲν κατὰ τὰς συζυγίας μέγιστον ἀπόστημα ξδ ι, καὶ τὸ ἐλάχιστον νγ ν. τὸ δὲ κατὰ τὰς διχοτόμους μέγιστον ἀπόστημα μγ νγ καὶ τὸ ἐλάχιστον λγ λγ. σαφῆ δέ ἐστιν αὐτὰ τὰ θεωρήματα, ὥστε μὴ εἶναι χρείαν σχολίων εἰς ταῦτα. Περὶ τῆς πηλικότητος τῶν ἐν ταῖς συζυγίαις φαινομένων διαμέτρων ἡλίου καὶ σελήνης καὶ σκιᾶς. |
| 87 (1t) | «Τῶν δὴ πρὸς τὴν τοιαύτην ἐπίσκεψιν ἐφόδων, τὰς μὲν ἄλλας, ὅσαι δι’ «ὑδρομετρίων ἢ τῶν κατὰ τὰς ἰσημερινὰς ἀνατολὰς χρόνων δοκοῦσιν τὴν «τῶν φώτων ποιεῖσθαι καταμέτρησιν, παρῃτησάμεθα διὰ τὸ μὴ ὑγιῶς «δύνασθαι διὰ τῶν τοιούτων τὸ προκείμενον λαμβάνειν.». Οἱ μὲν γὰρ ἀρχαιότεροι τῶν μαθηματικῶν, κατασκευάσαντες ἀγγεῖον καθ’ ὁμαλὴν ῥύσιν ῥέον διὰ τρηματίου πρὸς τῷ πυθμένι ὄντος καὶ ἔχον τὴν χορηγίαν ἔκ τινος ἐπιῥῥύτου ὕδατος, ἅμα τῇ τοῦ ἡλίου ἀνατολῇ πρώτῃ ἐν τῇ ἰσημερινῇ ἡμέρᾳ εἴων φέρεσθαι τὸ ὕδωρ εἴς τι παρακείμενον ἀγγεῖον, ἕως ἂν ὅλον τὸ σῶμα τοῦ ἡλίου πρώτως ὑπὲρ τὸν ὁρίζοντα γένηται· καὶ φυλάσσοντες τὸ ἀποῥῥεῦσαν ὕδωρ, εἰς ἕτερον ἀγγεῖον εἴων φέρεσθαι τὴν ῥύσιν μέχρι τῆς κατὰ τὴν ἑξῆς ἡμέραν γινομένης τοῦ ἡλίου πρώτης ἀνατολῆς· καὶ ἐκμετροῦντες τὸ πᾶν ῥυὲν ὕδωρ ἐν ἀμφοτέροις τοῖς ἀγγείοις, ἐζήτουν τοῦτο ποσαπλάσιον ἔσται τοῦ κατὰ τὴν ἀνατολὴν τοῦ ἡλίου ληφθέντος ὕδατος. |
| 88 | καὶ ὃν λόγον ἔχει τοῦτο τὸ κατὰ τὴν ἀνατολὴν τοῦ ἡλίου ληφθὲν ὕδωρ πρὸς τὸ πᾶν τῆς ῥύσεως ὕδωρ, τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον ἔφασκον, οὐ μόνον τὸν χρόνον τῆς ὅλης τοῦ ἡλίου ἀνατολῆς πρὸς τὸν χρόνον τὸν ἀπὸ τῆς πρώτης ἀνατολῆς μέχρι τῆς κατὰ τὴν ἑξῆς ἡμέραν πρώτης ἀνατολῆς, ἀλλὰ καὶ τὴν περιφέρειαν ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ ἡλίου φαινομένη διάμετρος πρὸς τὸν ἐν τῇ σφαίρᾳ αὐτοῦ καθ’ ὅ ἐστιν ἀπόστημα μέγιστον κύκλον, ὡς τῆς διαμέτρου δηλονότι τοῦ ἡλίου ἀδιαφορούσης τῆς ὑποτεινομένης ὑπ’ αὐτῆς τοῦ κύκλου περιφερείας πρὸς αἴσθησιν. Ἵππαρχος δὲ ἐπὶ μὲν τῆς ὀρθῆς σφαίρας ἀληθὲς εἶναι τοῦτό φησιν, ὡς ἀδιαφοροῦντος ἐν τῇ ἰσημερίᾳ τοῦ χρόνου τῆς τοῦ κόσμου περιστροφῆς πρὸς τὸν χρόνον τῆς ὅλης ἡμέρας, ὅς ἐστιν ἀπὸ τῆς πρώτης ἀνατολῆς τοῦ ἡλίου μέχρι τῆς κατὰ τὴν ἑξῆς ἡμέραν πρώτης ἀνατολῆς· ἐπὶ δὲ τῆς ἐγκεκλιμένης, ψεῦδος, διὰ τὸ τὸν ἥλιον ἐπὶ τῶν βορειοτέρων ἀεὶ κλιμάτων παρὰ τὴν τοῦ ἰσημερινοῦ ἔγκλισιν ἐν πλείοσι χρόνοις ἀναφέρεσθαι τοῦ ὁρίζοντος ἤπερ ἐπὶ τῶν νοτιωτέρων. Ἔστω γὰρ ὁρίζοντος τμῆμα τὸ ΑΒ, ἰσημερινοῦ τὸ ΓΔΖΕ· ἥλιος δὲ ἐν τῇ ἰσημερίᾳ ἀνατέλλων πρώτως μὲν ὁ ΒΖ, οὗ κέντρον τὸ Ε· ἐσχάτως δὲ ὁ ΑΗ, οὗ κέντρον τὸ Γ. ἐφάψεται ἄρα τοῦ ὁρίζοντος κατὰ τὰ Α, Β σημεῖα, καὶ ἔσται ὁ χρόνος τῆς ἀνατολῆς αὐτοῦ ὁ κατὰ τὴν ΓΔΖΕ περιφέρειαν, ἥτις αἰεὶ ὀρθουμένου μὲν τοῦ ἰσημερινοῦ ἐλάσσων γίνεται, ἐγκλινομένου δὲ μείζων. ὥστε καὶ ἡ προειρημένη τήρησις ἐν παντὶ τῆς οἰκουμένης τόπῳ οὐκ ὀρθῶς μεταχειρισθήσεται, μὴ προσαφελόντων ἡμῶν ἀπὸ τοῦ παντὸς τῆς ἀνατολῆς χρόνου τὸν κατὰ τὴν ΔΖ περιφέρειαν ἐπιβάλλοντα. Καὶ ἄλλως δὲ οὐ τῆς τυχούσης ἐπισκέψεως τὸ συνεπιλογίσασθαι ἀκρι[Omitted graphic marker] βῶς, πόστον μέρος τυγχάνει τὸ κατὰ τὴν ἀνατολὴν τοῦ ἡλίου ῥυὲν ὕδωρ τοῦ παντὸς τῆς ῥύσεως. |
| 89 | Ὅπως δὲ συμβαίνει τὸ ἐν τῷ ἀγγείῳ ὕδωρ καθ’ ὁμαλὴν ῥύσιν ῥεῖν, ὑπέδειξεν Ἥρων ἐν τῷ πρώτῳ τῶν ὑδρίων ὡροσκοπείων. «Κατασκευάσαντες δὲ καὶ αὐτοὶ τὴν ὑποδεδειγμένην ὑπὸ τοῦ Ἱππάρχου «διὰ τοῦ τετραπήχους κανόνος διόπτραν . |
| 90 | ..» [Omitted graphic marker] Γίνεται γὰρ κανὼν μῆκος ἔχων οὐκ ἔλασσον πηχῶν δ, πλάτος δὲ καὶ βάθος αὔταρκες, ὥστε ἀδιάστροφον διαμένειν τὸν κανόνα. |
| 91 | τούτου δὲ νοείσθω ἡ κατὰ πλάτος ἄνω ἐπιφάνεια τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον. ἔστω δ’ ἐν αὐτῷ διὰ τῆς ΠΟ εὐθείας κατὰ μέσον σωλήν, ὥστε πελεκυνάριον ἐν αὐτῷ ἁρμοστῶς φέρεσθαι ὅτε βουλόμεθα καθ’ ὅλον τὸ τοῦ κανόνος μῆκος μηδαμῶς ἀποπίπτειν αὐτοῦ. καὶ προσπεπηγέτω αὐτῷ συμφυὲς πρισμάτιον ὀρθὸν πρὸς τὸν κανόνα δυνάμενον διαμένειν, ὡς τὸ ΓΔ, πλάτος ἔχον πρὸς μὲν τῷ πελεκυναρίῳ τὴν ΡΔΣ, πρὸς δὲ τῷ ἄνω ἄκρῳ τοῦ πρισματίου τὴν ΖΓΗ εὐθεῖαν. γίνεται δὲ καὶ ἄλλο πρισμάτιον πρὸς τῷ ἑτέρῳ πέρατι τοῦ κανόνος συμφυὲς αὐτῷ καὶ ὀρθόν, ὡς τὸ ΕΟ, ὀπὴν ἔχον οὐ πρὸς τῷ κανόνι λεπτήν, ἀλλὰ ὡς τὴν Ε κατὰ μέσον, ἵνα τῆς ὄψεως ἡμῶν πρὸς αὐτῇ τασσομένης ἐν τῇ χρήσει, αἱ ἀπ’ αὐτῆς ἐκπεμπόμεναι εὐθεῖαι πρὸς τὸ κινούμενον πρισμάτιον διὰ τῶν κροτάφων αὐτοῦ τὴν φαινομένην τοῦ ἡλίου διάμετρον ὅλην δυνῶνται περιλαμβάνειν ἐπιψαύουσαι τῶν ἄκρων αὐτῆς. Εἰ μὲν οὖν ὡς ἔχει θέσεως τὸ ΓΔ πρισμάτιον θεωροῖμεν πρὸς τῷ ὁρίζοντι τὰ ἄκρα τῆς τοῦ ἡλίου διαμέτρου τὸ μὲν διὰ τοῦ Ζ σημείου καὶ τῆς ΕΖ ὄψεως, τὸ δὲ λοιπὸν διὰ τοῦ Η σημείου καὶ τῆς ΕΗ ὄψεως, λέξομεν τὴν ὑπὸ ΗΕΖ γωνίαν περιέχειν τὴν τοῦ ἡλίου διάμετρον. |
| 92 | εἰ δὲ μὴ θεωροῖτο διὰ τῆς ΕΗ εὐθείας, διὰ δὲ τῆς ΕΖ μόνης, ἢ μηδόλως, δεήσει τὸν κανόνα κινεῖν, ἢ καὶ τὸ πρισμάτιον ἀπωτέρω τῆς ὄψεως καταστῆσαι ἵν’ ἐλάσσων ἡ γωνία γένηται, καὶ διὰ τῆς ὀπῆς καὶ τῶν τοῦ πρισματίου κροτάφων ἐκπεμπόμεναι ὄψεις περιλάβωσιν τὴν τοῦ ἡλίου διάμετρον, ὡς ἔχει ἡ ὑπὸ ΘΕΚ γωνία. ἐὰν δὲ πάλιν διὰ τῆς ΕΘ εὐθείας τὸ ἄκρον τῆς διαμέτρου τοῦ ἡλίου θεωρῆται τὸ δὲ λοιπὸν ὑπερπίπτῃ τὴν ΕΚ καὶ μέρος τοῦ σώματος αὐτοῦ φαίνηται ὑπὲρ τὸ πλάτος τοῦ πρισματίου, δεήσει πάλιν τὸ πρισμάτιον ἐγγυτέρω τῆς ὄψεως κινοῦντα ἠρεμαίως καὶ τὸν κανόνα καταστῆσαι, ἕως ἂν ἡ γωνία μείζων γένηται ἡ περιλαμβάνουσα τὴν τοῦ ἡλίου διάμετρον, ὡς ἔχει ἡ ὑπὸ ΛΕΜ γωνία. Χρὴ δὲ καὶ τοῦτο γινώσκειν, ὅτι αἱ πρὸς τῇ ὄψει συνιστάμεναι γωνίαι ὑπὸ τῶν διαμέτρων ἡλίου καὶ σελήνης ἐν τῇ διοπτείᾳ ἰσοσκελῶν τριγώνων οὐχ ἁπλῶς εἰσιν κορυφαί, ὧν βάσεις αἰεὶ τὸ αὐτὸ πλάτος τοῦ πρισματίου, ἀλλὰ καὶ παραλλήλων τριγώνων τῷ ΑΒ ἐπιπέδῳ καὶ ὁμοίων τοῖς ἐν αὐτῷ συνισταμένοις πρὸς τῇ Ο κορυφῇ, καὶ τοῖς λαμβανομένοις πέρασι τοῦ πρὸς τῷ πελεκυναρίῳ πλάτους ἐν τῇ μετακινήσει τοῦ πρισματίου, ὡς ἔχει τὸ ΡΟΣ τρίγωνον ἰσοσκελὲς πρὸς τὸ ΕΖΗ τρίγωνον, ἴσον καὶ ὅμοιον ἐξ ἀνάγκης αὐτῷ γινόμενον. |
| 93 | καὶ γὰρ τὰς ἀπὸ τῆς ὄψεως ἐκπεμπομένας πρὸς τὸ κινούμενον πρισμάτιον εὐθείας, ὅπου ποτ’ ἂν ἐπινοηθῇ τοῦ κανόνος κείμενον, ἴσας δεῖ εἶναι ταῖς πρὸς τοῖς ἴσοις ἀπολαμβανομένοις πέρασιν. Ἐχρήσατο οὖν τῇ διοπτείᾳ καὶ Πτολεμαῖος εἰς τὸ γνῶναι πότε δύναται ἴσα τὰ μεγέθη φαίνεσθαι ἡλίου καὶ σελήνης, οὐκ εἰς τὸ γνῶναι καὶ πηλίκην περιφέρειαν ἡ φαινομένη διάμετρος ἑκάστου αὐτῶν ὑποτείνει τοῦ γραφομένου κατὰ τὸ μέγιστον ἢ ἐλάχιστον ἢ μέσον ἀπόστημα μεγίστου κύκλου, δι’ ἥν φησιν ἑξῆς αἰτίαν. Δείκνυνται δὲ ἐφεξῆς αἱ φαινόμεναι τοῦ ἡλίου καὶ τῆς σελήνης διάμετροι ἀδιαφοροῦσαι πρὸς αἴσθησιν τῶν ἀληθινῶν αἵ εἰσιν ἐν τοῖς σφαιρικοῖς σώμασιν αὐτῶν. «Πάνυ ἡμῖν κατεφαίνετο διστάξιμον τῆς ἐν ταῖς ἐπιβολαῖς τοῦ ἐπι«προσθήσαντος πλάτους ἐπὶ τὸ μῆκος τοῦ κανόνος τὸ ἀπὸ τῆς ὄψεως ἐπὶ «τὸ πρισμάτιον πλείσταις οὔσαις παραμετρήσεως διαψευσθῆναι τῆς ἀ«κριβείας δυναμένης.» Τὸ γὰρ πρισμάτιον τῷ πλάτει ἑαυτοῦ ἐπιπροσθείη ἡλίῳ, ὡς τὸ ΖΗ πλάτος τουτέστιν τὸ μεταξὺ τῶν κροτάφων διάστημα, καὶ ἑλκόμενον ἐπὶ τὸ μῆκος τοῦ κανόνος, ὅπερ ἐστὶν ἀπὸ τῆς ὄψεως ἐπ’ αὐτὸ τὸ πρισμάτιον ἐν πλείσταις ἐπιβολαῖς τουτέστιν παραφοραῖς· οὐ γὰρ ἥνωται. |
| 94 | τοῦτο δὲ τὴν παραμέτρησιν τῆς γωνίας δύναται ποιῆσαι διαψευσθῆναι τῆς ἀκριβείας. Καὶ εἰ μὴ τοῦτο, ἐκεῖνό γε. ἐπεὶ ἡ γωνία ἑξηκοστῶν εὑρίσκεται οὖσα, ἐκθέσθαι μὲν δεῖ ὀρθὴν γωνίαν ἢ περιφέρειαν τεταρτημοιριαίαν κύκλου καὶ ταύτην τεμεῖν ὀργανικῶς εἰς ϙ καὶ τούτων πρῶτον τμῆμα εἰς ξ, τὴν δὲ γωνίαν τὴν περιέχουσαν τὸν ἥλιον ἐφαρμόσαι τῇ ἐκ τῶν ξ ἑξηκοστῶν συγκειμένῃ, ὥστε ἐπιγνῶναι πηλίκη ἐστὶν τῷ μεγέθει ἡ γωνία τὸν ἥλιον περιέχουσα. |
| 95 | τοῦτο δὲ στοχασμῷ μᾶλλον ἢ ἀκριβῶς ἐστιν ποιῆσαι· δε〈ῖ〉 γὰρ ἁμάρτημα γενέσθαι κἂν ἐκ τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν λαμβάνηται γωνία, διὰ τὸ ἐπὶ μικρῶν οὕτως γωνιῶν ποιεῖσθαι τὴν διαίρεσιν. Πρὸς δὲ τούτοις, ἐπεὶ ἡ συνισταμένη γωνία κατὰ τὴν διοπτείαν οὕτω λαμβάνεται, ὡς τῆς γῆς σημείου καὶ κέντρου λόγον ἐχούσης πρὸς τὰ ἀποστήματα ἡλίου καὶ σελήνης· τοῦτο δὲ οὐ φαίνεται ἀληθές, ἀλλὰ πρὸς τῶν ἀπλανῶν ἄστρων ἀπόστημα· ἀνάγκη καὶ διὰ τοῦτο μὴ ἀκριβῶς λαμβάνεσθαι ποσάκις ὅ τε ἥλιος καὶ ἡ σελήνη καταμετροῦσιν τὸν κατὰ τὸ ἴδιον ἀπόστημα μέγιστον κύκλον. διὰ ταῦτα μὲν οὖν παρῃτήσατο καὶ τὴν λῆψιν. Ἑξῆς δέ φησιν· «ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν τῶν δύο ἐκλείψεων ὑπεροχὴ τὸ δʹ «περιέχει τῆς σεληνιακῆς διαμέτρου, ἡ δὲ τῶν ἐκκειμένων τοῦ κέντρου αὐτῆς δύο διαστάσεων ἀπὸ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων, τουτέστιν ἀπὸ «τοῦ κέντρου τῆς σκιᾶς ἑξηκοστῶν μιᾶς ζ 𐅵 ʹ γʹ, φανερὸν ὅτι «καὶ ἡ διάμετρος τῆς σελήνης ὑποτείνει μεγίστου κύκλου περιφέρειαν «ἑξηκοστῶν μιᾶς μοίρας λα γʹ. |
| 96 | » Νενοήσθω γὰρ ὁ μὲν διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, ὁ δὲ λοξὸς τῆς σελήνης ὁ ΑΕΓΗ, ὥστε εἶναι τὸ μὲν Γ σημεῖον τοῦ ἀναβιβάζοντος [Omitted graphic marker] συνδέσμου, τὸ δὲ Α τοῦ καταβιβάζοντος, βόρειον δὲ πέρας τὸ Θ. |
| 97 | καὶ ἀπειλήφθωσαν ἀπὸ τῶν συνδέσμων αἱ περιφέρειαι ἃς ἀπεῖχε τὸ κέντρον τῆς σελήνης ἐν ἀμφοτέραις ταῖς ἐκλείψεσιν ἐπὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου, τουτέστιν ἡ μὲν ΑΕ μοιρῶν θ καὶ γʹ, ἡ δὲ ΓΗ μοιρῶν ζ μη· γεγράφθωσάν τε διὰ τῶν Ε, Η σημείων πρὸς ὀρθὰς τῷ λοξῷ κύκλῳ αἱ ΕΖ, ΔΗ περιφέρειαι, καὶ περὶ μὲν τὰ Ε, Η κέντρα οἱ φαινόμενοι τῆς σελήνης κύκλοι, τουτέστιν τοῦ σφαιρικοῦ αὐτῆς σώματος, περὶ δὲ τὰ Ζ, Δ οἱ τῆς σκιᾶς κύκλοι, τέμνοντες τοὺς τῆς σελήνης κατὰ τὰ Μ, Ν καὶ Ξ, Ο. |
| 98 | Ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται ἡ σελήνη, κατὰ μὲν τὸ Η σημεῖον τὴν θέσιν ἔχουσα, ἐκλελοιπέναι ἐν τῷ μέσῳ τῆς δευτέρας ἐκλείψεως χρόνῳ, τὸ 𐅵 ʹ τῆς ἰδίας διαμέτρου τῆς φαινομένης, ἥτις ἀδιαφορεῖ τῆς ἀληθοῦς ὡς ἑξῆς δειχθήσεται, δῆλον ὅτι κατὰ τοῦτον τὸν χρόνον ὁ τῆς σκιᾶς κύκλος διὰ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης πεσεῖται. ἡ ἄρα ΔΗ περιφέρεια ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν τοῦ τῆς σκιᾶς κύκλου, καὶ ἔστιν ἴση τῇ ΖΚ· περὶ γὰρ τὸ αὐτὸ ἀπόστημα μέγιστον ἑκατέρα τῶν ἐκλείψεων ὑπόκειται γινομένη. Ἐπεὶ δὲ ἡ σελήνη κατὰ τὸ Ε τὴν θέσιν ἔχουσα ὑπόκειται ἐκλελοιπέναι κατὰ μέσον τὸν τῆς πρώτης ἐκλείψεως χρόνον τὸ τέταρτον τῆς ἰδίας διαμέτρου φαινομένης, δῆλον ὅτι ὁ τῆς σκιᾶς κύκλος διχοτομῶν τὴν ἐκ τοῦ πόλου τοῦ φαινομένου κύκλου τῆς σελήνης κατὰ τὸ Κ, ἴσην ποιήσει τὴν ΕΚ περιφέρειαν τῇ ΚΛ. διπλῆ ἄρα ἡ ΛΕ περιφέρεια τῆς ΕΚ. καὶ ἔστιν ἡ ΕΚ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει ἡ ΕΖ περιφέρεια μεταξὺ τῶν κέντρων τὴν ΖΚ περιφέρειαν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σκιᾶς τουτέστιν τὴν ΔΗ. ἀλλὰ ἡ μὲν ΔΗ περιφέρεια τουτέστιν ἡ ΖΚ ἑξηκοστῶν ἐστιν μ Γ β , ἡ δὲ ΕΖ ἑξηκοστῶν μη 𐅵 ʹ· ὥστε καὶ ἡ ΕΚ, δʹ μέρος οὖσα τῆς ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τῆς σελήνης διάμετρος καὶ ὑπεροχὴ τῶν δύο διαστάσεων, ἑξηκοστῶν ἔσται ζ ν. καὶ ἡ τετραπλασία ἄρα τῆς ΕΚ, τουτέστιν ἡ ὑποτεινομένη περιφέρεια ὑπὸ τῆς διαμέτρου τῆς σελήνης, ἑξηκοστῶν ἔσται λα κ. «Εὐκατανόητον δ’ αὐτόθεν ὅτι καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σκιᾶς τῆς κατὰ «τὸ αὐτὸ μέγιστον ἀπόστημα τῆς σελήνης ὑποτείνει μιᾶς μοίρας ἑξη«κοστὰ μ καὶ Γ β . |
| 99 | » ἡ γὰρ ΔΗ περιφέρεια τῆς ἀποστάσεως τοῦ κέντρου τῆς σελήνης ἐν τῇ δευτέρᾳ ἐκλείψει, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σκιᾶς κύκλου, ἑξηκοστῶν ἦν τοσούτων. Καὶ ἄλλως δὲ τῆς ΖΕ οὔσης ἑξηκοστῶν μη 𐅵 ʹ καὶ τῆς ΕΚ ἑξηκοστῶν ζ ν, καταλείπεται ἡ ΚΖ περιφέρεια, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σκιᾶς, τῶν αὐτῶν μ Γ β , «ἀδιαφόρῳ δὲ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλασίων «καὶ ἔτι τοῖς γ εʹ μείζων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης, ἑξηκοστῶν «οὔσης ιε Γ β .» Τῶν γὰρ ιε Γ β ἑξηκοστῶν τὰ γ εʹ γίνεται ἑξηκοστὰ θ κδ. ἀλλὰ καὶ τὰ διπλάσια τῶν ιε Γ β ἑξηκοστῶν γίνεται λα κ. καὶ ὁμοῦ, γίνεται μ μδ. ταῦτα δὲ ὑπερέχει τῶν μ Γ β ἑξηκοστῶν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σκιᾶς ἑξηκοστοῖς δευτέροις δ. ἀδιαφόρῳ ἄρα ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σκιᾶς ἐλάττων ἐστὶν τῆς διπλασίας καὶ τοῖς γ εʹ μείζονος τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης. Καὶ γὰρ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σκιᾶς εὐθεῖά ἐστιν 𐆊 μβ λε, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου σελήνης 𐆊 ιϛ κδ. ἡ ἄρα ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τῆς σκιᾶς τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης διπλασία ἐστὶ καὶ ἡμίσεια δέκατον ἔγγιστα. Ὁ αὐτὸς δὲ λόγος καὶ τῶν περιφερειῶν πρὸς ἀλλήλας· τὰ γὰρ 𐆊 μ Γ β τῶν 𐆊 ιε μ διπλάσιά ἐστιν καὶ ἡμίσεια δέκατον ἔγγιστα. ἐπεὶ οὖν λέγει τὴν ἐκ τοῦ κέντρου σελήνης 𐆊 ιε μ, δῆλον ὅτι ταῖς περιφερείαις ἀντὶ τῶν εὐθειῶν κατεχρήσατο διὰ τὸ ἀδιάφορον. καὶ πάλιν ἐπὶ τῆς διαμέτρου σελήνης πρὸς τὰ μέρη τῆς διαμέτρου, οἱ αὐτοὶ λόγοι εἰσὶν ταῖς ἐπ’ αὐτῶν περιφερείαις· ὑποτείνει γὰρ τὴν περιφέρειαν τῶν 𐆊 λα γʹ εὐθεῖα 𐆊 λβ μθ, τῶν δὲ 𐆊 ζ 𐅵 ʹ γʹ εὐθεῖα 𐆊 η ιβ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν περιφέρειαν 𐆊 λα κ πρὸς τὴν περιφέρειαν 𐆊 ζ 𐅵 ʹ γʹ, οὕτως εὐθεῖαν 𐆊 λβ μθ πρὸς εὐθεῖαν 𐆊 η ιβ. |
| 100 | ἐπὶ δὲ μειζόνων περιφερειῶν οἷον ξ καὶ λ, οὐ γίνονται ἀνάλογον αἱ περιφέρειαι ταῖς εὐθείαις. τὴν γὰρ τῶν ξ μοιρῶν περιφέρειαν ὑποτείνει εὐθεῖα τμημάτων ξ οἵων ἡ τοῦ κύκλου διάμετρος ρκ. καὶ τὴν τῶν λ μοιρῶν περιφέρειαν ὑποτείνει εὐθεῖα τμημάτων ἔγγιστα λα. καὶ οὐκ ἔστιν ὡς ξ περιφέρεια πρὸς λ, οὕτως εὐθεῖα ξ πρὸς εὐθεῖαν λα. «Ἀλλὰ ἐὰν μὲν θ καὶ γʹ μοίρας ἀπέχῃ τῶν συνδέσμων ἐπὶ τοῦ λοξοῦ «κύκλου τὸ κέντρον τῆς σελήνης, μη 𐅵 ʹ ἑξηκοστῶν μιᾶς μοίρας ἀπέχει «τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων ἐπὶ τοῦ πρὸς ὀρθὰς τῷ λοξῷ δι’ αὐτοῦ γραφο«μένου μεγίστου κύκλου», καὶ τὰ ἑξῆς. Τὴν ἀποχὴν τοῦ κέντρου τῆς σελήνης ἀπὸ τοῦ ζῳδιακοῦ ἐπὶ τοῦ ὀρθοῦ τῷ λοξῷ ἔλαβεν, καὶ οὐκ ἐπὶ τοῦ ὀρθοῦ τῷ ζῳδιακῷ· οὕτως γὰρ ἂν ἀκριβέστερον λημφθείη τὸ ζητούμενον πόσην ὑποτείνει περιφέρειαν ἡ διάμετρος· πάντως δὲ κατὰ τὸν μέσον τῆς ἐκλείψεως χρόνον τὰ τρία κέντρα ἡλίου καὶ σελήνης καὶ σκιᾶς γίνεται ἐπὶ τοῦ ὀρθοῦ τῷ λοξῷ. Ἔστω γὰρ ὁ δι’ ἀμφοτέρων τῶν πόλων τοῦ τε ζῳδιακοῦ καὶ τοῦ λοξοῦ τῆς σελήνης κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ζῳδιακοῦ μὲν ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΔ, τοῦ δὲ λοξοῦ τὸ ΒΕΓ, κοινὴ δὲ αὐτῶν τομὴ ὅπερ ἐστὶν σύνδεσμος, τὸ Ε. |
| 101 | [Omitted graphic marker] καὶ ἀπεχέτω τοῦ Ε συνδέσμου ἡ σελήνη ὡς κατὰ τὴν προτέραν ἔκλειψιν μοίρας θ καὶ γʹ, καὶ ἔστω κατὰ τὸ Θ. καὶ διὰ τοῦ Θ καὶ τοῦ Ζ πόλου λοξοῦ κύκλου γεγράφθω μεγίστου κύκλου περιφέρεια ἡ ΖΘΗ. τὸ ἄρα κέντρον τοῦ ἡλίου κατὰ διάμετρόν ἐστιν τῷ Η· πανσέληνος γάρ. καὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τῆς σκιᾶς, ὅπερ ἐστὶν κατὰ διάμετρον τῷ ἡλίῳ, κατὰ τὸ Η, οὐκ ὂν τῆς κατὰ μῆκος ἀκριβοῦς ἐποχῆς τῆς σελήνης, ἥτις ἐπὶ τοῦ ὀρθοῦ τῷ ζῳδιακῷ θεωρεῖται, ὡς αἱ τηρήσεις ἔχουσιν, ἀλλὰ τοῦ μέσου χρόνου ἀκριβῶς τῆς ἐκλείψεως. πρὸς αἴσθησιν γὰρ λαμβάνομεν ἐν τῷ μέσῳ τῆς ἐκλείψεως χρόνῳ ἀντὶ τοῦ Η σημείου τὸ σημεῖον τῆς κατὰ μῆκος ἐποχῆς, ἣν ἀφορίζει ὁ ὀρθὸς τῷ ζῳδιακῷ διὰ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης γραφόμενος μέγιστος κύκλος. ὁ ἄρα ὀρθὸς τῷ λοξῷ ἐπὶ τοῦ μέσου χρόνου ἔχει τὰ γ κέντρα, ἡλίου τε καὶ σελήνης καὶ σκιᾶς. Τὸ δὲ πλάτος τὸ λαμβανόμενον ἐπὶ τοῦ ὀρθοῦ τῷ λοξῷ, τουτέστιν τὰ μη 𐅵 ʹ ἑξηκοστά, εὑρίσκεται οὕτως· ἐπεὶ γὰρ εἰς δύο τὰς ΑΕ καὶ ΑΖ, δύο διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΘΒ, ΖΘΗ, τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Θ, ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΑ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΑΒ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΗ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΗΘ, καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΘ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΒ. |
| 102 | ἀλλ’ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΖΑ μοιρῶν ἐστιν ρϙ. καὶ ἡ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα, τουτέστιν ἡ ὑπὸ τὰς ρο μοίρας, τμημάτων ἐστὶν ριθ λβ λζ. ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΑΒ μοιρῶν ι. καὶ ἡ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ι κζ λβ. ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΕΘ μοιρῶν ιη μ. καὶ ἡ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ιθ κζ μα. ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΕΒ μοιρῶν ρπ. καὶ ἡ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ. ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ τῶν ριθ λβ λζ πρὸς τὰ ι κζ λβ λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ιθ κζ μα πρὸς τὰ ρκ λόγον, καταλειφθήσεται ἡμῖν λόγος τῶν ριθ λβ λζ πρὸς τὸ α μα μϛ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΗ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΗΘ. τῷ γὰρ ι κζ λβ ὅρῳ τὸν λόγον τῶν ιθ κζ μα πρὸς ρκ ἐὰν ὑποβάλωμεν τὸν δεύτερον ἐπὶ τὸν γʹ πολλαπλασιάσαντες, καὶ τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ σγ λβ, τὸ ρκʹ λαβόντες, ἕξομεν α μα μϛ ἔγγιστα. καὶ ἔστιν ἡ ΖΗ τεταρτημορίου. Δι’ ἄρα τὸ ιγʹ θεώρημα τοῦ πρώτου τῆς συντάξεως καὶ ἡ ΘΗ περιφέρεια ἔσται μοιρῶν 𐆊 μη 𐅵 ʹ. ἐκκείσθω γὰρ τὸ ιγʹ θεώρημα τοῦ πρώτου συντάξεως. καὶ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΓΑ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΑΒ, τουτέστιν τῆς ΓΕ εὐθείας πρὸς ΕΒ λόγος, ἔστω ὁ τῶν ριθ λβ λζ πρὸς α μα μϛ. καὶ λοιπῆς ἄρα τῆς ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ λόγος ἐστὶν ὁ τῶν ριζ ν να πρὸς α μα μϛ. καὶ οἵων ἄρα ἡ ΒΓ πδ να ι, τοιούτων ἡ ΒΕ α ιγ ι. ὁ γὰρ ὑπὸ δευτέρου καὶ τρίτου γενόμενος ρμγ μα να παραβληθεὶς παρὰ τὸν πρῶτον ριζ ν να ποιεῖ α ιγ ι. |
| 103 | ἐπεὶ οὖν ἡ ἡμίσεια τῆς ΒΓ ἐστὶν ἡ ΖΒ, τμημάτων μβ κε λε, ὅλη ἄρα ἡ ΕΖ ἔσται μγ λη με, οἵων ἡ ΒΖ, τουτέστιν ΖΔ, μβ κε λε. καὶ ἔστιν τὸ μὲν ἀπὸ ΕΖ ͵ αϡδ νζ λβ, [Omitted graphic marker] τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΔΖ ͵ αψϙθ νθ νδ· ἃ συντεθέντα ὁμοῦ γίνεται ͵ γψδ νζ κϛ. μήκει ἄρα ἔσται ἡ ΕΔ τοιούτων ξ νθ ϛ, οἵων ἡ ΕΖ ἦν μγ λη με. καὶ οἵων ἄρα ἡ ΔΕ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων ΕΖ πς β μζ· ἡ δ’ ἐπ’ αὐτῆς περιφέρεια τοιούτων ϙα λζ, οἵων ὁ περὶ τὸ ΔΕΖ ὀρθογώνιον κύκλος τξ. ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΔΖ, οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ϙα λζ· οἵων δ’ αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων με μη 𐅵 ʹ. ὧν ἡ ὑπὸ ΒΔΖ τῶν αὐτῶν με. λοιπῶν ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΑ, τουτέστιν ἡ ΒΑ περιφέρεια, 𐆊 μη 𐅵 ʹ. «Καὶ ὡς τῶν περιλαμβανομένων ὑπὸ τῶν κώνων κύκλων ἡλίου τε καὶ «σελήνης καὶ γῆς ἀδιαφόρῳ ἐλασσόνων ὄντων τῶν ἐν ταῖς σφαίραις αὐτῶν «γραφομένων μεγίστων κύκλων αὐτῶν τε καὶ τῶν διαμέτρων.» Ὅτι μὲν οἱ περιλαμβανόμενοι κύκλοι κατὰ τὰς σφαίρας τῶν φώτων ὑπὸ τῶν πρὸς τῇ ὄψει συνισταμένων κώνων ἐλάσσονές εἰσιν τῶν ἐν αὐταῖς μεγίστων κύκλων, δῆλον ἐκ τῶν Εὐκλείδου ὀπτικῶν. |
| 104 | ὅτι δὲ καὶ ἀδιαφόρῳ ἐλάσσονές εἰσιν αὐτῶν, οὕτως ἔσται δῆλον. [Omitted graphic marker] Ἔστω γὰρ τὸ τοῦ ἡλίου ἢ τὸ τῆς σελήνης κέντρον κατὰ τὸ μέγιστον οὔσης ἀπόστημα πρὸς τῷ Ε σημείῳ, καὶ ὄψις τὸ Δ. καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΔΕ, δι’ αὐτῆς ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω. καὶ ποιείτω τομὴν ἐν μὲν τῇ τοῦ φωτὸς σφαίρᾳ μέγιστον κύκλον τὸν ΑΒΓ, ἐν δὲ τῷ κώνῳ τῷ περιλαμβάνοντι τὸν ἥλιον ἢ τὴν σελήνην οὗ κορυφὴ τὸ Δ, τὰς ΔΑ, ΔΒ εὐθείας ἐφαπτομένας οὔσας τοῦ κύκλου. καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἥ τε ΑΖΒ διάμετρος οὖσα τοῦ φαινομένου κύκλου, καὶ ἡ ΑΕ ἐκ κέντρου τοῦ μεγίστου κύκλου, ὥστε καὶ τὴν ΖΑ ἐκ κέντρου εἶναι τοῦ φαινομένου κύκλου. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΖΕ τρίγωνον τῷ ΑΖΔ τριγώνῳ· ὀρθογώνιον γὰρ ἑκάτερον καὶ ὅμοιον τῷ ΕΑΔ τριγώνῳ ὀρθογωνίῳ. |
| 105 | ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΖ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς ΔΖ. ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΑΔΒ γωνία ἑξηκοστῶν ὑπόκειται λα γʹ, εἴη ἂν διὰ τοῦτο καὶ ἡ ὑπὸ ΑΔΖ τοιούτων λα γʹ οἵων εἰσὶν αἱ δύο ὀρθαὶ τξ. καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΑΖ ἄρα περιφέρεια τοῦ περὶ τὸ ΑΔΖ τρίγωνον περιγραφομένου κύκλου, τοιούτων ἐστὶν ἑξηκοστῶν λα γʹ οἵων ὁ εἰρημένος κύκλος τξ· ἡ δ’ ἐπὶ τῆς ΔΖ περιφέρεια τῶν λοιπῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ροθ κη μ. καὶ ἡ μὲν ΑΖ ἄρα εὐθεῖα τοιούτων ἐστὶν 𐆊 λβ μη οἵων ἐστὶν ἡ ΑΔ διάμετρος ρκ, ἡ δὲ ΔΖ εὐθεῖα τῶν αὐτῶν ρκ ἔγγιστα. ἀδιαφορεῖ ἄρα ἡ ΑΔ τῆς ΔΖ. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς ΔΖ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς ΑΖ. ὥστε καὶ ἡ ΕΑ ἀδιαφόρῳ μείζων ἐστὶν τῆς ΑΖ· καὶ τὰ διπλάσια, ἡ διάμετρος τοῦ ΑΒΓ κύκλου τῆς ΑΒ διαμέτρου τοῦ φαινομένου κύκλου ἀδιαφόρῳ μείζων ἐστίν. Ἐὰν δὲ καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Δ, διαστήματι δὲ τῇ ΔΕ εὐθείᾳ, μεγίστου κύκλου περιφέρειαν γράψωμεν τὴν ΗΕΘ, ὁ περὶ διάμετρον τὴν ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Θ ἐπιζευγνυμένην εὐθεῖαν γραφόμενος κύκλος ἀδιαφορήσει πολλῷ τοῦ μεγίστου ἐν τῇ σφαίρᾳ τῆς σελήνης, καὶ αὐτὴ ἡ ΘΗ εὐθεῖα τῆς ἀληθινῆς διαμέτρου. ὁμοίως καὶ ἐπὶ τοῦ ἡλίου δειχθήσεται καὶ τῶν ἄλλων ἀστέρων. Καὶ ἐπεὶ πάλιν ἐλάττων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΑΔΒ γωνίας ἡ περιλαμβάνουσα τὸν ἥλιον καὶ τὴν γῆν γωνία, δῆλον ὡς καὶ πολλῷ 〈ἀ〉διάφορος ἔσται ὁ διορίζων ἐν τῇ γῇ τὸ λαμπρὸν αὐτῆς καὶ τὸ σκιερὸν κύκλος τοῦ ἐν αὐτῇ μεγίστου κύκλου. Φησὶν δὲ ἐν τῷ δωδεκάτῳ θεωρήματι· «ἀλλὰ συναμφότερος ἥ τε ΡΠ «καὶ ἡ ΘΣ ὅλη, τοιούτων εἰσὶν δύο διὰ τὸ ἴσας αὐτὰς εἶναι δυσὶν ταῖς ΝΜ· «παράλληλοί τε γάρ εἰσιν ὡς ἔφαμεν πᾶσαι, καὶ ἴση ἡ ΝΠ τῇ ΝΘ. |
| 106 | » Δείκνυται δὲ οὕτως· ἔστω τρίγωνον τὸ ΘΞΖ, καὶ ἴση ἡ ΘΝ τῇ ΝΠ καὶ παράλληλοι αἱ ΝΜ, ΠΡ. ὅτι συναμφότερος ἡ ΠΡ, ΘΣ διπλασίους εἰσὶν τῆς ΜΝ. Ἐπεζεύχθω ἡ ΣΒΠ. ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΠΘΣ παρὰ τὴν ΘΣ ἦκται ἡ ΝΒ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΘΠ πρὸς ΠΝ ἡ ΘΣ πρὸς ΝΒ. |
| 107 | διπλῆ δὲ ἡ ΘΠ τῆς ΠΝ. διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΘΣ τῆς ΝΒ. καὶ ἔστιν ὡς μὲν ἡ ΠΘ πρὸς ΘΝ, οὕτως [Omitted graphic marker] ἡ ΠΣ πρὸς ΣΒ· ὡς δὲ ἡ ΠΣ πρὸς ΣΒ, ἡ ΠΡ πρὸς ΒΜ. διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΠΡ τῆς ΒΜ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΘΣ τῆς ΝΒ διπλῆ. καὶ συναμφότεραι ἄρα αἱ ΘΣ, ΠΡ τῆς ΝΒΜ ὅλης διπλασίους εἰσίν. Ἐν τῷ αὐτῷ δωδεκάτῳ θεωρήματί φησιν· «οἵου ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου «τῆς γῆς ἑνὸς τοιούτων ἐστὶν τὸ μὲν τῆς σελήνης ἐν ταῖς συζυγίαις μέσον «ἀπόστημα νθ, τὸ δὲ τοῦ ἡλίου ͵ ασι ...» περὶ τὸ μέσον ἀπόστημα αὐτοῦ ὄντος ἐλήφθη, εἴποιμεν ἄν τι· ἐπεὶ δεῖ τὸ μέσον ἴσον ἀπέχειν τῶν ἄκρων, ἐὰν ὑποθώμεθα τὸ μέσον εἶναι ͵ ασι γίνεται τὸ μὲν μέγιστον ἀπόστημα ͵ ασξ κε, τὸ δὲ ἐλάχιστον ͵ αρνθ λε. ὥσπερ γὰρ ἐπὶ τοῦ ἐκκέντρου αὐτοῦ τοῦ ἡλίου, μέση μέν ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου μέχρι τοῦ ἀπογείου ξ· μεγίστη δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ ζῳδιακοῦ μέχρι τοῦ ἀπογείου ξβ 𐅵 ʹ· καὶ ἐλαχίστη ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ ζῳδιακοῦ μέχρι τοῦ περιγείου νζ 𐅵 ʹ· ᾧ ὑπερέχει καὶ ὑπερέχεται· οὕτως καὶ ἐπὶ τῶν ἀποστημάτων εὐλόγως δεῖ τὸ μέσον ἴσον ὑπερέχειν τε καὶ ὑπερέχεσθαι· καὶ εἶναι ὡς τὰ ξβ λ πρὸς τὰ ξ οὕτως τὰ ͵ ασξ κε πρὸς τὰ ͵ ασι, ὡς δὲ τὰ ξ πρὸς τὰ νζ λ οὕτως τὰ ͵ ασι πρὸς τὰ ͵ αρνθ λε. |
| 108 | ἐν εἰκοσαπλασίονι ἄρα λόγῳ καὶ τῷ ἕκτῳ μείζονα τὰ ἀποστήματα τῶν εὐθειῶν. Ἔστιν δὲ καὶ ἐπὶ σελήνης τὰ ξδ ι τοῦ μεγίστου ἀποστήματος πρὸς τὰ νθ τοῦ μέσου ἐν ἐπιενδεκάτῳ λόγῳ ἔγγιστα· τὰ δὲ τοῦ ἡλίου ͵ ασξ κε τοῦ μεγίστου πρὸς τὰ ͵ ασι τοῦ μέσου ἐν ἐπιεικοστοτετάρτῳ λόγῳ· μείζων ἄρα ὁ λόγος ἐπὶ τῆς σελήνης ἤπερ ἐπὶ τοῦ ἡλίου. καὶ ἴσως διὰ τοῦτο τὸ ἀπόστημα αὐτοῦ ταὐτὸν φαίνεται ἀεί. καὶ ὅτι φύσει μέγιστόν ἐστιν τὸ ἡλιακὸν ἀπόστημα ἤπερ τὸ σεληνιακόν. Περὶ μεγεθῶν ἡλίου καὶ σελήνης καὶ γῆς. |
| 109 (1t) | «Κατὰ τὰ αὐτὰ δέ, ἐπεὶ ὁ μὲν ἀπὸ τοῦ ἑνὸς κύβος τοῦ αὐτοῦ ἐστιν ἑνός, «ὁ δ’ ἀπὸ τοῦ γ καὶ β πέμπτων τῶν αὐτῶν ἔγγιστα λθ δʹ ...» καὶ τὰ ἑξῆς. Ἐπεὶ αἱ σφαῖραι πρὸς ἀλλήλας ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶν τῶν ἰδίων διαμέτρων, ἔστιν δὲ καὶ τὰ ὁμοιοστερεὰ παραλληλεπίπεδα ἐν τριπλασίονι λόγῳ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν, ἔσται καὶ ὡς ὁ ἀπὸ διαμέτρου τῆς σφαίρας κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας κύβον, οὕτως ἡ σφαῖρα πρὸς τὴν σφαῖραν. καὶ ἔστιν ὁ μὲν ἀπὸ τῆς μονάδος κύβος τῆς αὐτῆς μονάδος, ὁ δ’ ἀπὸ τῶν τριῶν καὶ β πέμπτων τῶν αὐτῶν λθ δʹ, ὁ δ’ ἀπὸ τῶν ιη καὶ δ πέμπτων τῶν αὐτῶν ͵ σχμδ 𐅵 ʹ ἔγγιστα. ἔσται οὖν διὰ «τοῦτο «καὶ οἵου ἐστὶν μία τὸ τῆς σελήνης στερεὸν μέγεθος, τοιούτων τὸ «μὲν τῆς γῆς λθ δʹ, τὸ δὲ τοῦ ἡλίου ͵ ϛχμδ 𐅵 ʹ. ὥστε ἑκατοντακαιεβδο«μηκονταπλάσιον ἔγγιστα τὸ τοῦ ἡλίου τοῦ τῆς γῆς.» Περὶ τῶν κατὰ μέρος παραλλάξεων ἡλίου καὶ σελήνης. |
| 110 (1t) | «Τούτων τοίνυν οὕτως ὑποδεδειγμένων,» καὶ τὰ ἑξῆς ἄχρι τέλους. Ἐκκείσθωσαν γὰρ τρεῖς κύκλοι μέγιστοι περὶ τὸ κέντρον ἐπινοούμενοι [Omitted graphic marker] τῆς γῆς, καὶ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ὧν ὁ μὲν ΑΒ ἔστω κείμενος ἐν τῇ γῇ, οἱ δὲ λοιποὶ διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου ἡστινοσοῦν οἰκήσεως, ὁ μὲν ΓΔ ἤτοι ἔν τινι τῶν κατὰ τὴν σελήνην ἀποστήματι, ἢ πάλιν ἐν τῷ ἀποδεδειγμένῳ κατὰ τὸν ἥλιον ἀποστήματι (ἐνδεχόμενον γὰρ ἔσται καὶ τὸν ἥλιον παραλλάσσειν, ἐπεὶ μὴ τῆς γῆς σημείου καὶ κέντρου λόγον ἐχούσης πρὸς τὸ ἀπόστημα αὐτοῦ, ὁ προειρημένος ἀπεδείχθη λόγος) ὁ δὲ ΖΗΘ πρὸς ὃν ἡ γῆ πρώτως σημείου καὶ κέντρου λόγον ἔχει. |
| 111 | «Καὶ κέντρον μὲν πάντων ἔστω τὸ Κ, ἡ δὲ διὰ τῶν κατὰ κορυφὴν σημείων «διάμετρος ἡ ΚΑΓΕ. καὶ ἀποληφθείσης ἀπὸ τοῦ Γ κατὰ κορυφὴν σημείου «δοθείσης τῆς ΓΔ περιφερείας»... ἐπεζεύχθωσαν ἥ τε ΚΔΗ καὶ ἡ ΑΔΘ. ἤχθω παράλληλος τῇ ΚΗ ἡ ΑΖ· καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΚΔ ἡ ΑΛ. «ἐπεὶ τοί«νυν μὴ μένοντος ἀεὶ τοῦ αὐτοῦ ἀποστήματος» διὰ τὴν τοῦ βάθους τουτέστιν τὴν ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου κατὰ τὸ ὑποκείμενον τοῦ ἡλίου ἢ τῆς σελήνης κίνησιν, ἡ μὲν περὶ τὸν ἥλιον ἐσομένη δι’ αὐτὸ τοῦτο τῶν παραλλάξεων διαφορὰ βραχεῖά τε καὶ ἀνεπαίσθητος γίνεται τῷ μικρὰν εἶναι τὴν ἐκκεντρότητα τοῦ κύκλου αὐτοῦ, τουτέστιν μικρὰν μὲν εἶναι τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου αὐτοῦ, μεγάλην δὲ τὴν μεταξὺ τοῦ κέντρου τῆς γῆς καὶ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου αὐτοῦ, τουτέστιν τὴν ἀποδεδειγμένην τοῦ ἀποστήματος διάστασιν· ἡ δὲ περὶ τὴν σελήνην καὶ πάνυ αἰσθητή, τῆς τε κατὰ τὸ ὑποκείμενον ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου κινήσεως αὐτῆς ἕνεκεν, καὶ τῆς αὐτοῦ τοῦ ἐπικύκλου κατὰ τὸν ἔκκεντρον κινήσεως· καλῶς ἔχειν ἡγεῖται τὰς μὲν τοῦ ἡλίου παραλλάξεις ἐπὶ μόνου τοῦ ἀποδεδειγμένου ἀποστήματος διὰ τῶν ἀριθμῶν ἐκθέσθαι ὡς μηδαμῶς βάθος αὐτοῦ κινουμένου, τὰς δὲ τῆς σελήνης ἐπὶ διαφόρων δ ἀποστημάτων, ὧν μάλιστα καὶ εἰς τὰς ἐφεξῆς ἐφόδους χρείαν ἔχειν δοκοῦμεν. ἔστιν δὲ τούτων τὸ μὲν πρῶτον τοῦ ἐπικύκλου τὸ κέντρον ἔχοντος κατὰ τὸ ἀπογειότατον σημεῖον τοῦ ἐκκέντρου κύκλου, μέγιστον ἀπόστημα, ὅπερ ἀποδέδεικται διὰ τῶν πρὸ τῶν τοιούτων ξδ οἵου ἐστὶν ἐνὸς ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς γῆς· τὸ δὲ δεύτερον, ὁμοίως μὲν κειμένου τοῦ ἐπικύκλου, κατὰ τὸ ἐλάχιστον δὲ ἀπόστημα τῆς σελήνης οὔσης, ὅπερ ἀποδέδεικται διὰ τῶν πρὸ τῶν τοιούτων νγ ν, οἵου ἐστὶν ἑνὸς ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς γῆς· τὸ δὲ τρίτον, τοῦ ἐπικύκλου τὸ κέντρον ἔχοντος κατὰ τὸ περιγειότατον τοῦ ἐκκέντρου κύκλου σημεῖον μέγιστον ἀπόστημα, ὅπερ ἀποδέδεικται τοιούτων μγ νγ, οἵου ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς γῆς ἑνός· τὸ δὲ τέταρτον, ὁμοίως κειμένου τοῦ ἐπικύκλου κατὰ τὸ ἐλάχιστον δὲ ἀπόστημα τῆς σελήνης ὅπερ ἀποδέδεικται τοιούτων λγ λγ, οἵου ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς γῆς ἑνός. |
| 112 | Ἐπεὶ τοίνυν δοθεῖσα ἔσται καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΓΚΔ γωνία, ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΛΚ ὀρθή, δοθὲν ἄρα τῷ εἴδει τὸ ΑΛΚ τρίγωνον· ὥστε καὶ τῆς ΑΚ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς γῆς πρὸς ἑκατέραν τῶν ΑΛ, ΛΚ λόγος ἔσται δοθείς. ὑποκείσθω καὶ πρὸς τὸ ΚΔ ἀπόστημα τῆς ΑΚ λόγος δοθείς, καὶ πρὸς λοιπὴν οὖν τὴν ΛΔ λόγος ἔσται τῆς ΑΚ δοθείς. ἦν δὲ καὶ πρὸς τὴν ΑΛ· καὶ τῆς ΑΛ ἄρα πρὸς ΛΔ λόγος ἔσται μήκει τε καὶ δυνάμει δοθείς. λόγος ἄρα καὶ τῆς ΑΔ πρὸς ΑΛ δοθείς. δοθεῖσα οὖν καὶ ἡ ὑπὸ ΑΔΒ γωνία, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΘΑΖ, καὶ ἔστιν τὸ μὲν Α σημεῖον ὡς πρὸς αἴσθησιν κέντρον τοῦ ΕΖΘ κύκλου, τὸ δὲ Ζ σημεῖον ταὐτὸν τῷ Η σημείῳ ἐπεὶ καὶ ὅλον τὸ ἀπὸ τῆς γῆς μέγεθος πρὸς τὸ κατὰ τὸν ΕΖΘ κύκλον ἀπόστημα σημείου καὶ κέντρου λόγον ἔχει. δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΖΘ τουτέστιν ἡ ΘΗ περιφέρεια παράλλαξις οὖσα ἣν παραλλάσσει πρὸς τῷ Δ σημείῳ ἤτοι ἡ σελήνη ἢ καὶ ὁ ἥλιος παρὰ τὴν ΚΔΗ. Ἀδιαφόρῳ δέ εἰσιν ἄνισοι, ὥς φησιν, αἱ ΑΔ, ΛΔ. τὸ γὰρ ἀπὸ ΑΛ, τῶν 𐆊 λ, γίνεται 𐆊 ιε· μετὰ δὲ τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΔ, τῶν ͵ ασθ η ἐπὶ τοῦ ἡλιακοῦ ἀποστήματος, ὅ ἐστιν μυριάδων ἁπλῶν ρμς καὶ ͵ βγ καὶ πρώτων ἑξηκοστῶν κε, γίνεται ὁμοῦ μυριάδων ρμϛ καὶ ͵ βγ καὶ πρώτων ἑξηκοστῶν μ. ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ἔσται ͵ ασθ η, καὶ τρίτων ἑξηκοστῶν κβ. |
| 113 | ἀδιαφόρῳ ἄρα, μᾶλλον δὲ οὐδενὶ διαφέροντι ἐλάσσων ἐστιν ἡ ΔΛ τῆς ΔΑ. Ἐπὶ δὲ τῶν τῆς σελήνης κατὰ μὲν τὸν πρῶτον ὅρον γίνεται ἡ ΑΔ ξγ ιη ζ· κατὰ δὲ τὸν δεύτερον ὅρον νβ νη θ· κατὰ δὲ τὸν γʹ, μγ α ι· κατὰ δὲ τὸν δʹ, λβ μα ιδ ἔγγιστα. ὡς ἑξηκοστοῖς δευτέροις μόνοις εἶναι τὴν διαφοράν. Ἐν τῷ ιδʹ θεωρήματί φησιν· «καὶ τὸ κατὰ τὸ Β ἄρα διάφορον, τοιούτων «ἐστὶν β κζ...» ὑπερέχει γὰρ τὰ 〈ξ〉ε ιε τοῦ πρώτου ὅρου τὸ κατὰ τὸ Β ἀπόστημα εὑρημένον ξβ μη τοῖς β κζ. «Ὥστε καὶ οἵων ἐστὶν τὸ ὅλον διάφορον ξ τοιούτων ἔσται καὶ τοῦτο «τὸ διάφορον ἑξηκοστῶν ιδ 𐆊 ». ὁ γὰρ αὐτὸς λόγος ἐστὶν τῶν ι λ τοῦ ὅλου διαφόρου πρὸς τὰ β κζ καὶ τῶν ξ πρὸς τὰ ιδ 𐆊 . Τοῦ δὲ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ὄντος κατὰ τὸ περίγειον τοῦ ἐκκέντρου «λόγος ἐστίν», φησίν «τῆς ΖΕ πρὸς τὴν ΕΒ, ὁ τῶν ξ πρὸς τὰ η»· ἡ γὰρ ΖΕ, τοῦ Ε κέντρου ὄντος κατὰ τὸ περίγειον τοῦ ἐκκέντρου, ἀπεδείχθη θεωρήματι τρίτῳ τοιούτων λθ κβ, οἵων ε ιε ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου. |
| 114 | τούτῳ δὲ τῷ λόγῳ ὁ αὐτός ἐστιν τῶν με λη μγ πρὸς τὰ 〈ϛ〉 ε ι, τῶν δὲ ξ πρὸς τὰ η ἔγγιστα. [Omitted graphic marker] Ἐν δὲ τῷ ιεʹ θεωρήματί φησιν· «ἅπερ καὶ αὐτὰ τῶν κ λη ἑξηκο«στῶν γίνεται μζ κα.». Δεδομέναι γάρ εἰσιν αἱ ΑΖ, ΖΓ, ΖΔ. καὶ ὁ τῆς ὑπεροχῆς ἄρα τῶν ΑΖ, ΖΓ πρὸς τὴν ὑπεροχὴν τῶν ΖΑ, ΖΔ λόγος ἐστὶν δοθείς. ἐὰν ἄρα ἀφέλωμεν ἀπὸ τῆς ΑΖ τὴν ΖΔ, καταλειφθήσεται τὸ διάφορον τῆς ὑπεροχῆς, ιϛ ιζ, οἵων τὸ ὅλον διάφορον κ λη. καὶ οἵων ἄρα τὸ ὅλον διάφορον ξ, τοιούτων τὸ τῆς τῶν ΑΖ, ΖΔ ὑπεροχῆς διάφορον γίνεται ἑξηκοστῶν μζ κα. »... διὰ ιβ τμημάτων, ἃ γίνεται πάλιν ϛ τμήματα», ἐπεὶ καὶ ἀπὸ τοῦ ἀπογείου ἐπὶ τὸ περίγειον, μοιρῶν οὐσῶν ρπ, συνάγονται μόναι μοῖραι ϙ. Περὶ τῆς τῶν παραλλάξεων διακρίσεως. |
| 115 (1t) | «Ὅταν οὖν προαιρώμεθα λαμβάνειν πόσον ἡ σελήνη καθ’ ἑκάστην τῶν «παρόδων παραλλάσσει ...» καὶ τὰ ἑξῆς ἕως «καὶ τὰ γινόμενα μερίζοντες «εἰς τὸν ρκ τὰ ἐκ τοῦ μερισμοῦ συναγόμενα μόρια ἕξομεν τῆς οἰκείας «παραλλάξεως.» Ὑποδείγματος δὲ ἕνεκεν ὑποκείσθω τὸ ἀκριβὲς κέντρον τῆς σελήνης ἐν ἀρχῇ τοῦ Ταύρου ἀπέχον πρὸς ἀνατολὰς τοῦ μεσημβρινοῦ ὥρας ἰσημερινὰς δ κατὰ τὸν διὰ Ῥόδου παράλληλον. ἔστω δὲ καὶ ὁ τῆς ἀνωμαλίας αὐτῆς ἀριθμὸς ὁ διακεκριμένος διὰ τοῦ τρίτου σελιδίου μοιρῶν ρκ, ὁ δὲ τῆς ἀποχῆς ἣν ἀπέχει ἡ μέση σελήνη τοῦ μέσου ἡλίου, μοιρῶν ρκ. Ἐπεὶ τοίνυν δεῖ εὑρεῖν πρῶτον τὴν γινομένην τῆς σελήνης παράλλαξιν ἐπὶ τοῦ δι’ αὐτῆς καὶ τοῦ κατὰ κορυφὴν γραφομένου μεγίστου κύκλου, εἰσοίσαντες τὰς δ ἰσημερινὰς ὥρας εἰς τὸν τῶν γωνιῶν κανόνα τοῦ οἰκείου κλίματος δʹ καὶ ζῳδίου Ταύρου, τὰς παρακειμένας αὐταῖς μοίρας νθ περιφερείας ἀπογραψόμεθα ἃς καὶ εἰσοίσομεν εἰς τὸ πρῶτον σελίδιον τοῦ παραλλακτικοῦ κανόνος, καὶ τὰ παρακείμενα τῷ ἀριθμῷ τῶν μοιρῶν ἔν τε τῷ τρίτῳ σελιδίῳ καὶ δʹ καὶ εʹ καὶ ϛʹ ἀπογραψόμεθα. |
| 116 | ἔστιν δὲ τρίτον μὲν 𐆊 μϛ ιζ· τέταρτον δὲ 𐆊 η νη· εʹ δὲ α ζ κ· ϛʹ δὲ 𐆊 κα ν. ἔπειτα τοῦ κατ’ ἐκείνην τὴν ὥραν διακεκριμένου τῆς ἀνωμαλίας ἀριθμοῦ, τουτέστιν τοῦ ρκ, τὸ 𐅵 ʹ λαβόντες, τουτέστιν τὸν ξ, εἰσοίσομεν εἰς τὸ αὐτὸ αʹ σελίδιον· καὶ τὰ παρακείμενα αὐτῷ ἐν τῷ ζʹ καὶ τῷ ηʹ σελιδίῳ ἐκθησόμεθα. ἔστιν δὲ ζʹ μὲν σελιδίου ἑξηκοστῶν μδ 𐆊 , ηʹ δὲ ἑξηκοστῶν μγ κδ. καὶ πολυπλασιάσαντες τὰ μὲν τοῦ ζʹ ἐπὶ τὰ τοῦ δʹ, τὰ γενόμενα 𐆊 ϛ λε προσθήσομεν τοῖς 𐆊 μϛ ιζ τοῦ τρίτου σελιδίου. καὶ τὰ γενόμενα 𐆊 νβ νβ ἕξομεν ἃ παραλλάσσει ἡ σελήνη, τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου κατὰ τὸ ἀπόγειον τοῦ ἐκκέντρου ὄντος, καὶ τῆς σελήνης ἀπεχούσης τοῦ ἀκριβοῦς ἀπογείου τὰς ὑποκειμένας τῆς ἀνωμαλίας μοίρας ρκ. Τὰ δὲ τοῦ ηʹ σελιδίου, ἑξηκοστῶν μγ κδ, πολυπλασιάσαντες ἐπὶ τὰ τοῦ ϛʹ, 𐆊 κα ν, τὰ γενόμενα 𐆊 ιε μη προσθήσομεν τοῖς τοῦ πέμπτου σελιδίου, μοίρας α ζ κ. καὶ τὴν συναχθεῖσαν μοῖραν α κγ η ἕξομεν ἃ παραλλάσσει ἡ σελήνη, τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου κατὰ τὸ περίγειον τοῦ ἐκκέντρου ὄντος, ἐν ταῖς μέσως θεωρουμέναις διχοτόμοις, ὡς τῆς σελήνης πάλιν ἀπεχούσης τοῦ ἀκριβοῦς ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου τὰς αὐτὰς τῆς ἀνωμαλίας μοίρας ρκ. ἀλλ’ ἐπειδὴ καὶ ὁ τῆς ἀποχῆς ἀριθμὸς ὃν ἀπέχει ἡ μέση σελήνη τοῦ μέσου ἡλίου μοιρῶν ἐστιν ρκ, τὰς λειπούσας εἰς τὰς ρπ μοίρας ξ, ἥτις ἐστὶν ἐγγυτέρα διάστασις τῆς μέσης σελήνης ἀπὸ τοῦ διαμετροῦντος τὴν μέσην τοῦ ἡλίου μοῖραν, εἰσοίσομεν εἰς τὸ αὐτὸ πρῶτον σελίδιον. |
| 117 | καὶ τὰ παρακείμενα τῷ ἀριθμῷ ἐν τῷ θʹ σελιδίῳ, ἑξηκοστῶν μζ κα, πολυπλασιάσομεν ἐπὶ τὴν ὑπεροχὴν τῶν ἐκκειμένων δύο παραλλάξεων, ἥτις ἐστὶν 𐆊 λ ιϛ, οἷς ὑπερέχει ἡ α κγ η μοῖρα τὰ ο νβ νβ. καὶ τὰ γενόμενα 𐆊 κγ νγ προσθήσομεν τοῖς ἐκ τοῦ γʹ καὶ δʹ σελιδίου διακρινομένοις 𐆊 νβ νβ. καὶ γίνεται κατὰ τὸ ὑποκείμενον ἀπόστημα μοῖρα α ιϛ με, ἃ παραλλάξει ἡ σελήνη ἐν τῷ ὑποκειμένῳ κλίματι, τοῦ μὲν κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ἀπέχοντος τῆς μέσης τοῦ ἡλίου μοίρας τὰς τῆς ἀποχῆς ρκ μοίρας, τοῦ δὲ κέντρου τῆς σελήνης ἀπὸ τοῦ ἀκριβοῦς ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου τὰς αὐτὰς τῆς ἀνωμαλίας μοίρας ρκ, καὶ αὐτῆς τῆς σελήνης ἐν ἀρχῇ τοῦ Ταύρου ὑποκειμένης πρὸς ἀνατολὰς ἀπέχειν τοῦ μεσημβρινοῦ ὥρας ἰσημερινὰς δ. Ποιοῦμεν δὲ τούτων ἕκαστον ἀκολούθως τοῖς προαποδεδειγμένοις, ἃ καὶ διὰ τῆς ὑποκειμένης καταγραφῆς οὐδὲν ἧττον γενήσεται φανερά. [Omitted graphic marker] Ἔστω γὰρ ἔκκεντρος τῆς σελήνης κύκλος ὁ ΑΒΓΔ οὗ κέντρον τὸ Ε, ἡ δὲ διὰ τοῦ πρώτου ἀπογείου καὶ τοῦ τρίτου περιγείου διάμετρος αὐτοῦ ἡ ΑΕΓ, ἐφ’ ἧς τὸ τοῦ ζῳδιακοῦ κέντρον τὸ Ζ, καὶ περὶ τὰ Α, Γ κέντρα οἱ ἐπίκυκλοι τῆς σελήνης. |
| 118 | ἔστω δὲ καὶ κατ’ ἄλλην θέσιν, οἷον τὴν ὑποκειμένην τῆς ἀποχῆς ρκ ὁ ἐπίκυκλος τῆς σελήνης κατὰ τὸ Δ. καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΖΔ τεμνέτω τὸν ἐπίκυκλον κατὰ τὰ Ρ, Σ σημεῖα. τεμνέτω δὲ καὶ ἡ ΑΓ διάμετρος τοὺς περὶ τὰ Α, Γ σημεῖα ἐπικύκλους κατὰ τὰ Ξ, Μ, Ν, Π σημεῖα. ἔσται ἄρα κατὰ τὰς ὑποκειμένας τοῦ ἐπικύκλου θέσεις ἀκριβῆ μὲν ἀπόγεια τὰ Ξ, Π, Ρ σημεῖα, ἀκριβῆ δὲ περίγεια τὰ Μ, Ν, Σ, πρὸς ἃ καὶ τὰς τῆς ἀνωμαλίας μοίρας τῆς σελήνης διακρίνοντες διὰ τοῦ τρίτου σελιδίου τὰ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν λαμβάνομεν διάφορα. Ἐπεὶ τοίνυν αἱ κατὰ τὸν πρῶτον ὅρον παραλλάξεις εἰσὶν ὡς τῆς σελήνης οὔσης κατὰ τὸ Ξ ἀπογειότατον σημεῖον τοῦ ἐπικύκλου, αἱ δὲ κατὰ τὸν δεύτερον ὡς τῆς σελήνης οὔσης κατὰ τὸ Μ, αἱ δὲ κατὰ τὸν τρίτον ὡς τῆς σελήνης οὔσης κατὰ τὸ Π, αἱ δὲ κατὰ τὸν τέταρτον ὡς τῆς σελήνης οὔσης κατὰ τὸ Ν· ὅταν μὲν ἐπιζητῶμεν τὴν γινομένην κατὰ τὸ Ρ παράλλαξιν τῆς σελήνης, διδομένης δηλονότι τῆς κατὰ τὸ ἀπόστημα ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν περιφερείας ὡς τῶν προκειμένων μοιρῶν νθ, συγχρώμεθα τῷ εἶναι ὡς τὴν τῶν ΑΖ, ΖΓ ἀποστημάτων ὑπεροχὴν πρὸς τὴν τῶν ΑΖ, ΖΔ ἀποστημάτων ὑπεροχήν, οὕτως τὴν τῶν κατὰ τοὺς Ξ, Π τόπους παραλλάξεων ὑπεροχὴν πρὸς τὴν τῶν κατὰ τοὺς Ξ, Ρ τόπους παραλλάξεων ὑπεροχήν, κατὰ τὴν ἴσην ἐπὶ τῶν ὑποκειμένων ἀποστημάτων γ ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου διάστασιν. Καὶ ὁμοίως τῆς σελήνης οὔσης κατὰ τὸ Σ, ὅταν ἐπιζητῶμεν τὴν γινομένην αὐτῆς παράλλαξιν, συγχρώμεθα τῷ εἶναι ὡς τὴν τῶν ΑΖ, ΖΓ ὑπεροχὴν πρὸς τὴν τῶν ΑΖ, ΖΔ ὑπεροχήν, οὕτως τὴν τῶν κατὰ τοὺς Μ, Ν τόπους παραλλάξεων ὑπεροχὴν πρὸς τὴν τῶν κατὰ τοὺς Μ, Σ τόπους παραλλάξεων ὑπεροχήν. |
| 119 | Ὑποκειμένης δὲ νῦν τῆς σελήνης ἀπὸ τοῦ ἀκριβοῦς ἀπογείου ἀπέχειν περιφέρειαν λόγου χάριν μοιρῶν ρκ, καὶ ἀποληφθεισῶν ἴσων τῆς τε ΞΘ καὶ τῆς ΠΚ καὶ τῆς ΡΛ, καὶ ἐπιζευχθεισῶν τῶν ΖΘ, ΖΚ, ΖΛ· ὅταν ἐπιζητῶμεν, τῆς σελήνης οὔσης πρὸς τῷ Θ, τὴν γινομένην κατὰ τὸ ΖΘ ἀπόστημα παράλλαξιν εὑρεῖν, διδομένης τῆς ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν ἐπὶ τὴν σελήνην διαστάσεως, συγχρώμεθα πάλιν τῷ εἶναι ὡς τὴν τῶν ΞΖ, ΖΜ ἀποστημάτων ὑπεροχὴν πρὸς τὴν τῶν ΞΖ, ΖΘ ὑπεροχήν, οὕτως τὴν τῶν κατὰ τοὺς Ξ, Μ τόπους παραλλάξεων ὑπεροχὴν πρὸς τὴν τῶν κατὰ τοὺς Ξ, Θ τόπους παραλλάξεων ὑπεροχήν. Ὅταν δέ, τῆς σελήνης οὔσης πρὸς τῷ Κ, ἐπιζητῶμεν τὴν κατὰ τὸ ΖΚ ἀπόστημα γινομένην παράλλαξιν, διδομένης τῆς ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν ἐπὶ τὴν σελήνην διαστάσεως, συγχρώμεθα πάλιν τῷ εἶναι ὡς τὴν τῶν ΠΖ, ΖΝ ὑπεροχὴν πρὸς τὴν τῶν ΠΖ, ΖΚ εὐθειῶν ὑπεροχήν, οὕτως τὴν τῶν κατὰ τοὺς Π, Ν τόπους παραλλάξεων ὑπεροχὴν πρὸς τὴν τῶν κατὰ τοὺς Π, Κ τόπους παραλλάξεων ὑπεροχήν. Ὅταν δὲ πάλιν, τῆς σελήνης οὔσης κατὰ τὸ Λ, ἐπιζητῶμεν τὴν κατὰ τὸ ΛΖ ἀπόστημα γινομένην τῆς σελήνης παράλλαξιν, ἴσων οὐσῶν τῶν ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν ἐπὶ τὴν σελήνην διαστάσεων κατὰ τὰς ὑποκειμένας τοῦ ἐπικύκλου τρεῖς θέσεις καὶ τῶν ΞΘ, ΠΚ, ΡΛ περιφερειῶν διακεκριμένων πρὸς τὸ ἀκριβὲς ἀπόγειον τοῦ ἐπικύκλου, συγχρώμεθα πάλιν τῷ εἶναι ὡς τὴν τῶν ΑΖ, ΖΓ ἀποστημάτων ὑπεροχὴν πρὸς τὴν τῶν ΑΖ, ΖΔ ἀποστημάτων ὑπεροχήν, οὕτως τὴν τῶν κατὰ τοὺς Θ, Κ τόπους παραλλάξεων ὑπεροχὴν πρὸς τὴν τῶν κατὰ τοὺς Θ, Λ τόπους παραλλάξεων ὑπεροχήν. Ἀλλ’ ἐπεὶ πρὸς τὴν κατάλημψιν τῶν κατὰ τοὺς Θ, Κ τόπους καὶ τῶν παραπλησίως λαμβανομένων, κατὰ τὰς αὐτὰς τοῦ ἐπικύκλου θέσεις γινομένων παραλλάξεων δεῖ πάντως συγχρήσασθαι ταῖς κατὰ τοὺς Ξ, Μ καὶ Π, Ν τόπους γινομέναις παραλλάξεσιν, ἀναγκαῖον γέγονεν καὶ πρὸς τὰς εἰρημένας τῶν δ ἀποστημάτων διαφορὰς ἐπιλογίσασθαι. |
| 120 | οἷον, ἐπεὶ ἡ ΑΖ ἐστὶν ξ οἵων ἡ ΖΓ λθ κβ, ἡ δ’ ὑπεροχὴ αὐτῶν κ λη, ἡ δὲ ΖΔ τῆς ὑποκειμένης θέσεως τοῦ ἐπικύκλου τουτέστιν τῶν τῆς ἀποχῆς μοιρῶν ρκ συνάγεται μγ μγ, γίνεται ιϛ ιζ· προεδείχθη δὲ καὶ ἐν τῷ ὑποδείγματι ἡ τῶν κατὰ τοὺς Θ, Κ τόπους παραλλάξεων διαφορὰ 𐆊 λ ιϛ· γίνεται ὡς τὰ κ λη πρὸς τὰ ιϛ ιζ, οὕτως τὰ 𐆊 λ ιϛ πρὸς τὰ 𐆊 κγ ν ἔγγιστα. ταῦτα δὲ εὑρήκεμεν ἐκ τοῦ πολυπλασιασμοῦ τῶν ἑξηκοστῶν τοῦ θʹ σελιδίου πρὸς τὴν ὑπεροχὴν τῶν ἐκτεθειμένων δύο παραλλάξεων. Ταύτῃ οὖν τῇ ἀγωγῇ ὁ Πτολεμαῖος κέχρηται ὡς εἴρηται πρὸς τὰς ἐπιζητουμένας παραλλάξεις ἐπὶ τῶν ἄλλων ἀποστημάτων παρὰ τὰ δ ἀποστήματα τῶν δ ὅρων, οὐδὲν αἰσθητὸν διάφορον ποιούσῃ παρὰ τὰ ἐκ τῶν γραμμῶν συναγόμενα, ἵνα μὴ πλείοσι σελιδίοις χρήσηται. Εἰ γάρ, τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ὄντος κατὰ τὸ ἀπογειότατον τοῦ ἐκκέντρου σημεῖον, κινοῦμεν τὸ κέντρον τῆς σελήνης κατὰ μοίρας ιβ ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου, ἔδει σελίδια ιϛ γενέσθαι, τοσούτων ἀποστημάτων γινομένων. καὶ πάλιν τοῦ ἐπικύκλου μετὰ τὴν κατὰ τὸ ἀπόγειον θέσιν ἀποχῆς οὔσης μοιρῶν ιβ ἔδει ἄλλα σελίδια ιϛ γενέσθαι, τοσούτων καὶ ἐνταῦθα γινομένων ἀποστημάτων. καὶ ὁμοίως κατὰ τὰς κδ μοίρας τῆς ἀποχῆς ἄλλα ιϛ, καὶ ἑξῆς ἄχρι τοῦ περιγείου ἀποστημάτων ις τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου σελιδίων ιϛ καὶ ἀποστημάτων τοσούτων· ὥστε γίνεσθαι τὰ πάντα σελίδια σνϛ, καὶ ἀποστήματα τοσαῦτα. Ὧν ἕκαστον ἐν συλλογισμοῖς ἀπαρτίζεται ιε, τῶν ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου μέχρι τοῦ ὁρίζοντος μοιρῶν ϙ κατὰ ἑξάμοιρον ἐχουσῶν τὸν ἐπιλογισμὸν διὰ τοῦ ιγʹ θεωρήματος. |
| 121 | ὥστε τὸν κανόνα τῶν παραλλάξεων ὅλον πληροῦσθαι διὰ συλλογισμῶν τῷ ιγʹ θεωρήματι ͵ γωμ, καὶ μηδὲν ἐκ τούτων πλὴν πορίσαι αἰσθητὸν παρὰ τὰς προχειρότερον ὡς εἴρηται λαμβανομένας παραλλάξεις κατὰ τὰς τῶν ἄλλων ἀποστημάτων θέσεις. Αὐτὸς δὲ ἐπὶ τῶν δ ἀποστημάτων αʹ ὅρου καὶ βʹ καὶ γʹ καὶ δʹ κέχρηται ἀποστήμασιν μόνοις δ, τῷ ξδ ι καὶ τῷ νγ ν καὶ τῷ μγ νγ καὶ τῷ λγ λγ, διὰ ϛ δὲ μοιρῶν τῶν ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφήν, ὡς εἶναι συλλογισμοὺς ξ, διὰ γραμμῶν τῶν παραλλάξεων οἰκείως λαμβανομένων τῷ ιγʹ θεωρήματι· ἀριθμητικῶς δὲ τὸ ζʹ καὶ τὸ ηʹ σελίδιον ἔλαβεν ἐξ ἄλλων συλλογισμῶν ἀνὰ ιε, τὴν σελήνην κινήσας ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου διὰ μοιρῶν ιβ, καὶ παραθεὶς τὰ ἑξηκοστὰ τῷ 𐅵 ʹ τοῦ ἀριθμοῦ, διὰ τὸ καὶ ὅλας τὰς ρπ μοίρας τοῦ ἐπικύκλου διπλασίους εἶναι τῶν τοῦ αʹ σελιδίου μοιρῶν ϙ. Τὰ δὲ μεταξὺ τῶν ϛ μοιρῶν διαστήματα εἰς γ μερίσας καὶ ἐπὶ τῶν παραλλάξεων καὶ ἐπὶ τῶν ἑξηκοστῶν καθ’ ὁμαλὴν παραύξησιν ἔλαβεν διὰ δύο μοιρῶν, τοῦ μερισμοῦ εἰς τρία γενομένου. Κέχρηται δὲ καὶ ἄλλοις συλλογισμοῖς ιε ἐπὶ τῶν τῆς ἀποχῆς μοιρῶν καὶ τοῦ θʹ σελιδίου, κινήσας τὸν ἐπίκυκλον ὁμοίως διὰ μοιρῶν ιβ, αἳ γίνονται διὰ μοιρῶν ϛ, καὶ ποιοῦσιν συλλογισμοὺς ιε, ὡς ἐπὶ τοῦ ζʹ καὶ ηʹ σελιδίου, ὡς εἶναι πάντας συλλογισμοὺς κατὰ Πτολεμαῖον ἐπὶ τοῦ παραλλακτικοῦ κανόνος ριε· καὶ μήτε ἐπὶ τῶν παραλλάξεων μήτε ἐπ’ αὐτῶν τῶν ἑξηκοστῶν αἰσθητὴν διαφορὰν γίνεσθαι παρὰ τὰ γραμμικά, ὡς ἐξέσται πειρωμένῳ σκοπεῖν. Οἷον ὡς ἐπὶ τοῦ προκειμένου ὑποδείγματος, ἀποχῆς οὔσης μοιρῶν ρκ, καὶ ἀνωμαλίας σελήνης ἀπὸ τοῦ ἀκριβοῦς ἀπογείου μοιρῶν ρκ, καὶ τῆς ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν Ῥόδου μέχρι τῆς ἀκριβοῦς σελήνης Ταύρου ἀρχῆς δοθείσης μοιρῶν νθ, ἐκκείσθω τὸ θεώρημα, ἐκκέντρου μὲν ὄντος [Omitted graphic marker] τοῦ ΑΒΓ, περὶ διάμετρον τὴν ΑΓ καὶ κέντρον τὸ Δ, καὶ κέντρου τοῦ μὲν ζῳδιακοῦ ὄντος τοῦ Ε, κέντρου δὲ ἐπικύκλου τοῦ Β, καὶ ἀπογείου ἀκριβοῦς τοῦ Κ, καὶ σελήνης οὔσης πρὸς τῷ Η, καὶ καθέτου ἐπὶ τὴν ΒΕ τῆς ΗΘ, ἀπὸ δὲ τοῦ Δ ἐπὶ τὴν ΒΕ ἐκβληθεῖσαν καθέτου τῆς ΔΖ, καὶ ἐπιζευχθεισῶν τῶν ΒΗ, ΕΗ, ὥστε τὴν ὑπὸ τῶν ΔΕΖ γωνίαν μοιρῶν εἶναι ξ οἵων αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τὴν δὲ ὑπὸ τῶν ΗΒΘ τῶν αὐτῶν ξ. |
| 122 | συνάγεται οὖν ἡ ΕΗ διὰ τῶν ἀριθμῶν τοιούτων μα κ, οἵων ἡ ΒΗ ἐκ κέντρου ἐπικύκλου ε ιε. |
| 123 | καὶ οἵων ἄρα ἡ ΒΗ ε ι, τοιούτων ἡ ΕΗ μ μ λη. καὶ τῷ ιγʹ θεωρήματι ἡ κατὰ τὸ Η παράλλαξις τῆς σελήνης συνάγεται μοίρας α ιγ κϛ, τῆς ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν Ῥόδου δοθείσης μοιρῶν νθ. Ἀριθμητικῶς δὲ συνῆκται μοίρας α ιϛ με. διαφορὰ 𐆊 γ ἔγγιστα. Ἰστέον δὲ καὶ τοῦτο, ὅτι ἡ ἐπὶ τῇ μέσῃ ἀποχῇ μοιρῶν ξ καὶ ρκ καὶ σμ καὶ τ λαμβανομένη παράλλαξις μία καὶ ἡ αὐτή ἐστιν· καὶ γὰρ καὶ τὸ ἀπόστημα δυνάμει ἓν καὶ ταὐτόν. καὶ γὰρ οἱ διπλασίονες τῆς ἀποχῆς τοῦ ἐπικύκλου ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐκκέντρου γίνονται τῆς μὲν τῶν ξ ὁ ρκ, καὶ τῆς τῶν ρκ ὁ σμ, καὶ τῆς τῶν σμ ὁ ρκ, τῆς δὲ τῶν τ ὁ σμ. |
| 124 | καὶ ἔστιν τὰ αὐτὰ ἀποστήματα πρὸς τῷ περιγείῳ διπλῆς ἀποχῆς ρκ. καὶ διπλῆς ἀποχῆς σμ. καὶ στίχος εἷς ὁ τῶν ξ ἀντὶ δ στίχων. καὶ ἐπ’ ἄλλων ἀριθμῶν παραπλησίως ὁ αὐτὸς λόγος. διὸ καὶ καθόλου, ἐὰν μὲν ἕως ϙ ἢ ἐλάσσων τῶν ϙ μοιρῶν ᾖ ὁ τῆς ἀποχῆς ἀριθμός, ὡς ὁ ξ, αὐτὸν εἰσάξομεν εἰς τὸ πρῶτον σελίδιον. ἐὰν δὲ μείζων μὲν τοῦ ϙ ἐλάσσων δὲ τοῦ ρπ, ὡς ὁ ρκ, τὸν λείποντα τουτέστιν τὸν ξ πάλιν εἰσαγαγεῖν δεῖ. ἐὰν δὲ μείζων μὲν ᾖ τοῦ ρπ ἐλάσσων δὲ τοῦ σο, ὡς ὁ σμ, τὴν ὑπεροχὴν ᾗ ὑπερέχει οὗτος τὸν τῶν ρπ, τουτέστιν τὸν ξ εἰσοίσομεν. ἐὰν δὲ μείζων μὲν ᾖ τοῦ σο ἐλάσσων δὲ τοῦ τξ, ὡς ὁ τ, τὰς λειπούσας εἰς τξ, πάλιν τὰς ξ, εἰσάγομεν εἰς τὸ πρῶτον σελίδιον τοῦ παραλλακτικοῦ κανόνος. ἔστιν γὰρ ἐγγυτέρα διάστασις τοῦ μὲν ἡλίου ἀποχῆς ξ, καὶ ἀποχῆς τ μοιρῶν, λείπουσαι καὶ ὑπερβάλλουσαι τὴν μοῖραν τοῦ ἡλίου μοίραις ξ, τοῦ δὲ διαμέτρου ἀποχῆς μοιρῶν ρκ καὶ ἀποχῆς σμ, λείπουσαι καὶ ὑπερβάλλουσαι τὰς ρπ τοῦ διαμέτρου μοίραις ξ. Τῆς οὖν παραλλάξεως εὑρεθείσης ἐπὶ τοῦ προκειμένου ὑποδείγματος, ἐν μοίρᾳ α ιϛ με, ἣν δὲ καὶ μηκοπλατῆ παράλλαξιν καλοῦμεν, ἀπὸ ταύτης τὴν ἐπιβάλλουσαν τῷ τε μήκει καὶ τῷ πλάτει πρὸς τὸν ζῳδιακὸν κύκλον διακρινοῦμεν οὕτως. τὰς γὰρ αὐτὰς πάλιν ἰσημερινὰς ὥρας δ, ἃς ἀπεῖχεν ἡ σελήνη τοῦ μεσημβρινοῦ πρὸς ἀνατολὰς ἐν ἀρχῇ τοῦ Ταύρου οὖσα, εἰσενεγκόντες εἰς τὸ αὐτὸ πρῶτον σελίδιον τοῦ τῶν γωνιῶν κανόνος οἰκείως τῷ τε κλίματι καὶ τῷ ζῳδίῳ ἐν ᾧ ἡ σελήνη, τὰς παρακειμένας τῷ ἀριθμῷ τῶν ὡρῶν τῆς γωνίας μοίρας ἐν τῷ τρίτῳ σελιδίῳ ἐπισκεψάμενοι, καὶ εὑρόντες αὐτὰς ρκγ μ, ὑπὲρ ϙ, τὰς λειπούσας αὐταῖς εἰς ρπ μοίρας ἀπεγραψάμεθα· εἴσιν δὲ αὐταὶ μοῖραι νϛ κ. |
| 125 | ἃς καὶ διπλώσαντες, τὰς γενομένας ριβ μ εἰσηνέγκαμεν εἰς τὸν τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν κανόνα αὐτάς τε καὶ τὰς λειπούσας αὐταῖς ξζ κ μοίρας εἰς τὰς ρπ. καὶ εὕρομεν παρακειμένας, ταῖς μὲν ριβ μ περιφερείας εὐθεῖαν τμημάτων ϙθ νβ κγ, ταῖς δὲ ξζ κ περιφερείας παρακειμένην εὐθεῖαν τμημάτων ξϛ λα κγ. ἐπεὶ οὖν ὃν ἂν ἔχῃ λόγον ἡ τὴν τῶν δεδιπλωμένων μοιρῶν περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τὴν λείπουσαν εἰς τὸ ἡμικύκλιον, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ἡ κατὰ πλάτος παράλλαξις πρὸς τὴν κατὰ μῆκος, πολυπλασιάσαντες τὸν ἀριθμὸν τῶν ϙθ νβ κγ καὶ τῶν ξϛ λα κγ ἐπὶ τὴν εὑρεθεῖσαν μοῖραν α ιϛ με τῆς μηκοπλατοῦς παραλλάξεως, καὶ τὰ γενόμενα ρκζ λβ ιε καὶ πε ε λθ μερίσαντες χωρὶς εἰς τὸν ρκ, εὕρομεν τὰ μὲν ἐκ τῶν ρκζ λβ ιε γενόμενα μοίρας α γ μϛ τῆς κατὰ πλάτος παραλλάξεως, τὰ δ’ ἐκ τῶν πε ε λθ τῆς κατὰ μῆκος 𐆊 μβ λγ. Πάλιν, τῶν μὲν ἄλλων ὑποκειμένων τῶν αὐτῶν, τῆς δὲ σελήνης ἐν τῇ ἀρχῇ τοῦ Κριοῦ οὔσης λόγου χάριν, δέον ἔστω τὰς πρὸς τὸν ζῳδιακὸν τῆς σελήνης κατὰ μῆκος καὶ πλάτος παραλλάξεις λαβεῖν. Ἐπεὶ τοίνυν ταῖς δ ὥραις ἰσημεριναῖς κλίματος τετάρτου Κριοῦ ἀρχῇ παράκειται περιφέρεια μοιρῶν ξϛ θ· ταύταις δὲ παράκεινται ἐν τῷ παραλλακτικῷ κανόνι τρίτῳ σελιδίῳ 𐆊 μθ ιη· δʹ, 𐆊 θ λβ· εʹ, α ιβ ε· ϛʹ ο κγ α· παράκειται δὲ καὶ τῷ ἡμίσει τῆς ἀνωμαλίας ἀριθμῷ τουτέστιν ταῖς ξ μοίραις ζʹ σελιδίῳ ἑξηκοστῶν μδ 𐆊 · ηʹ, ἑξηκοστῶν μγ κδ. τὰ οὖν τοῦ ζʹ, 𐆊 μδ ἐπὶ τὰ τοῦ δʹ, 𐆊 θ λβ γενόμενα, γίνεται 𐆊 ϛ νθ. ταῦτα μετὰ τῶν 𐆊 μθ ιη τοῦ τρίτου σελιδίου, γίνεται 𐆊 νϛ ιζ. πάλιν τὰ τοῦ ηʹ σελιδίου ἑξηκοστῶν μγ κδ ἐπὶ τὰ τοῦ ἕκτου σελιδίου γενόμενα 𐆊 κγ α, ποιεῖ 𐆊 ιϛ λθ. |
| 126 | ταῦτα μετὰ τῶν τοῦ πέμπτου σελιδίου α ιβ ε, γίνεται μοῖρα α κη μδ. ὧν ὑπεροχὴ πρὸς τὰ γενόμενα 𐆊 νϛ ιζ γίνεται 𐆊 λβ κζ. ταῦτα ἐπὶ τὰ παρακείμενα ἐν τῷ ἐνάτῳ σελιδίῳ ταῖς ξ μοίραις λειπούσαις εἰς ρπ τῶν τῆς ἀποχῆς ρκ, ἑξηκοστῶν μζ κα γενόμενα, ποιεῖ 𐆊 κε λϛ. ταῦτα προστεθέντα τοῖς ἀπὸ τοῦ γʹ καὶ δʹ σελιδίου γενομένοις 𐆊 νϛ ιζ, γίνεται μοῖρα α κα νγ, ἣν παραλλάξει ἡ σελήνη ἐν ἀρχῇ τοῦ Κριοῦ τυγχάνουσα, ἀκολούθως τῷ προκειμένῳ χρόνῳ καὶ τῷ τετάρτῳ κλίματι, καὶ τοῖς προκειμένοις ἀριθμοῖς ἀποχῆς τε καὶ ἀνωμαλίας. Πάλιν οὖν ἀπὸ ταύτης τῆς μηκοπολατοῦς παραλλάξεως τὸ ἐπιβάλλον τῷ τε μήκει καὶ τῷ πλάτει πρὸς τὸν ζῳδιακὸν διακρίνεται οὕτως· ὡρῶν ἰσημερινῶν δʹ, Κριοῦ ἀρχῆς, κλίματος δʹ, γωνία πρὸς ἀνατολὰς ριϛ ιϛ, ἡ λείπουσα ξγ μδ. ὧν ἡ διπλῆ ρκζ κη. ἃς εἰσαγαγόντες εἰς τὸν τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν κανόνα καὶ τὰς λειπούσας αὐταῖς νβ λβ εἰς ρπ, εὕρομεν ταῖς μὲν ρκζ κη περιφερείας εὐθεῖαν ρζ λς λδ· ταῖς δὲ νβ λβ περιφερείας, εὐθεῖαν τμημάτων νγ ϛ κβ. καὶ πολυπλασιάσαντες τὸν ἀριθμὸν τῶν ρζ λϛ λδ καὶ τῶν νγ ϛ κβ ἐπὶ τὴν εὑρηθεῖσαν μοῖραν α κα νγ, καὶ τὰ γενόμενα ρμε νζ λζ καὶ οβ α νζ μερίσαντες χωρὶς εἰς τὸν ρκ, εὕρομεν τὰ μὲν ἐκ τῶν ρμε νζ λζ μοίρας α ιγ ἔγγιστα, τὰ δὲ ἐκ τῶν οβ α νζ, 𐆊 λϛ ἔγγιστα. ὥστε εἶναι τὴν μὲν μοῖραν α ιγ τῆς κατὰ πλάτος παραλλάξεως, τὰ δὲ 𐆊 λϛ τῆς κατὰ μῆκος. |
| 127 | Ὁ μὲν οὖν τρόπος τῆς λήμψεως τῶν κατὰ μῆκός τε καὶ πλάτος πρὸς τὸν ζῳδιακὸν γινομένων παραλλάξεων τῆς σελήνης ὑποκειμένης κατά τινα ζῳδίου ἀρχὴν ὑποδέδεικται. συμβαίνοντος δὲ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων θέσεων τῆς σελήνης τῶν μεταξὺ τῆς ἀρχῆς τοῦ δωδεκατημορίου καὶ τοῦ τέλους μήτε τὴν περιφέρειαν τὴν ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου ἐπὶ τὴν ἀκριβῆ σελήνην ἀκριβῶς δίδοσθαι καθ’ ἑαυτήν, μήτε τὴν γωνίαν ὁμοίως τὴν πρὸς ἀνατολὰς ἢ πρὸς δυσμάς, διὰ τὸ ἀξιολόγους εἶναι αὐτῶν τὰς διαφοράς, ἀναγκαῖον ἔσται πρότερον δοθῆναι τὰς γινομένας πρὸς τὸν ζῳδιακὸν μήκους τε καὶ πλάτους παραλλάξεις τῆς σελήνης κατ’ ἀμφοτέρας τὰς θέσεις ὑποκειμένης, τουτέστιν ἔν τε τῇ ἀρχῇ τοῦ ζῳδίου ἐν ᾧ ἐστιν ἡ σελήνη καὶ ἐν ἀρχῇ τοῦ ἑξῆς καὶ ἑπομένου ζῳδίου, καθὼς ὑποδέδεικται ἐπὶ τῆς Κριοῦ ἀρχῆς καὶ Ταύρου ἀρχῆς, τῶν ἄλλων ἁπάντων ὑποκειμένων τῶν αὐτῶν· ἔπειτα ποιῆσαι καθόλου ὡς τὰς λ μοίρας πρὸς τὰς μοίρας τῆς σελήνης ἃς ἀπέχει κατὰ μῆκος τοῦ ζῳδίου, οὕτως τὴν διαφορὰν ᾗ διαφέρει ἡ πρὸς τῇ ἀρχῇ τοῦ ζῳδίου ἐν ᾧ ἡ σελήνη κατὰ μῆκος παράλλαξις, τῆς πρὸς τῇ ἀρχῇ τοῦ ἑξῆς καὶ ἑπομένου ζῳδίου κατὰ μῆκος παραλλάξεως πρὸς ἄλλον τινὰ ἀριθμόν. καὶ τὸν γενόμενον προσθεῖναι μὲν τῷ κατὰ τὴν ἀρχὴν τοῦ ζῳδίου ἐν ᾧ ἡ σελήνη τῆς παραλλάξεως ἀριθμῷ ἐάνπερ οὗτος ἐλάττων ᾖ τοῦ κατὰ τὴν ἀρχὴν τοῦ ἑξῆς καὶ ἑπομένου ζῳδίου τῆς παραλλάξεως ἀριθμοῦ· ἀφελεῖν δὲ ἀπ’ αὐτοῦ, ἐάνπερ οὗτος μείζων ᾖ τοῦ κατὰ τὴν ἀρχὴν τοῦ ἑξῆς καὶ ἑπομένου ζῳδίου τῆς παραλλάξεως ἀριθμοῦ. καὶ τὸν οὕτω γενόμενον ἀριθμὸν ἕξομεν τῆς πρὸς τῇ ἀκριβεῖ μοίρᾳ τῆς σελήνης κατὰ μῆκος παραλλάξεως. |
| 128 | καὶ τὴν κατὰ πλάτος δηλονότι πρὸς τῇ αὐτῇ μοίρᾳ τῆς σελήνης παράλλαξιν, πάντων ὁμοίως γινομένων, προχείρως εὑρήσομεν. οὕτως γὰρ ἂν μᾶλλον ἀκριβέστερον ληφθείη τὸ ζητούμενον ἤπερ ἀπὸ τῶν περιφερειῶν καὶ γωνιῶν τῶν πρὸς τῇ ἀκριβεῖ μοίρᾳ τῆς σελήνης μοιρῶν λαμβανομένων ἐκ τῆς ἐρημένης ἀναλογίας τῶν λ μοιρῶν πρὸς τὰς τῆς σελήνης μοίρας ἃς ἀπέχει κατὰ μῆκος τοῦ ζῳδίου. [Omitted graphic marker] Καὶ ἵνα ταῦτα σαφέστερα γένηται, ἔστω ζῳδιακοῦ μὲν περιφέρεια ἡ ΑΔΗ, καὶ τὸ μὲν Α σημεῖον ἡ ἀρχὴ τοῦ Κριοῦ, τὸ δὲ Η ἡ ἀρχὴ τοῦ Ταύρου, τὸ δὲ Δ τῆς ἀκριβοῦς τῆς σελήνης μοίρας οἷον Κριοῦ ιε, τὸ δὲ Λ τὸ κατὰ κορυφὴν τῆς ὑποκειμένης οἰκήσεως λέγω δὴ Ῥόδου. καὶ διὰ τοῦ Λ σημείου καὶ ἑκάστου τῶν Α, Δ, Η γεγράφθω μεγίστων κύκλων τμήματα, τὰ ΛΑΒ, ΛΔΕ, ΛΗΘ. καὶ ὑποκειμένης τῆς σελήνης δυνάμει, ὁτὲ μὲν πρὸς τῷ Α σημείῳ ὁτὲ δὲ πρὸς τῷ Η σημείῳ, ἔστωσαν αἱ ἐπὶ ταῖς ΛΑ, ΛΗ περιφερείαις γενόμεναι παραλλάξεις, αἱ ΑΒ καὶ ΗΘ. ἡ μὲν ΑΒ μοίρας α κα νγ, ἡ δὲ ΗΘ μοίρας α ιϛ με, τὰς αὐτὰς τοῦ μεσημβρινοῦ ὥρας ἰσημερινὰς δ ἀπεχούσης τῆς σελήνης κατὰ τὸ Α καὶ τὸ Η πρὸς ἀνατολάς. ἀπὸ τῶν Β καὶ Θ σημείων κάθετοι ἐπὶ τὸν ζῳδιακὸν αἱ ΒΓ, ΘΚ. |
| 129 | ἔσται ἄρα κατὰ πλάτος μὲν παράλλαξις ἥ τε ΒΓ καὶ ἡ ΘΚ, κατὰ μῆκος δὲ ἥ τε ΑΓ, καὶ ἡ ΚΗ. ἐπεὶ οὖν τὸ Α σημεῖον ἡ ἀρχή ἐστιν τοῦ Κριοῦ ὥρας ἰσημερινὰς δ ἀπέχουσα πρὸς ἀνατολὰς τοῦ μεσημβρινοῦ· καὶ ἔστιν ἑπομένη τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρεια ἡ ΑΗ, ἀρχὴ γάρ ἐστιν Ταύρου τὸ Η· βόρειος δὲ περιφέρεια ἡ ΛΑ· καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΑΗ βορααπηλιωτική, δοθεῖσα ἔσται ἐν μοίραις ριϛ ιϛ οἵων ἡ α ὀρθὴ ϙ. |
| 130 | καὶ ἡ ἐφεξῆς ἄρα αὐτῇ οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ξγ μδ· οἵων δ’ αἱ β ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ρκζ κη. ἔστιν δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῶν αὐτῶν ρπ, ὡς ἐν εὐθυγράμμῳ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ· καὶ γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ καὶ ταύταις παραπλησίως λαμβανόμεναι ἀδιαφοροῦσιν εὐθειῶν. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τῶν αὐτῶν ἐστιν νβ λβ. ὥστε καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΒΓ περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν ρκζ κη, οἵων ὁ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ὀρθογώνιον κύκλος τξ· ἡ δ’ ἐπὶ τῆς ΓΑ νβ λβ. καὶ τῶν ὑπ’ αὐτὰς ἄρα εὐθειῶν, ἡ μὲν ΒΓ ἔσται ρζ λϛ λδ οἵων ἡ ΑΒ διάμετρος τοῦ κύκλου ρκ, ἡ δὲ ΓΑ τῶν αὐτῶν νγ ϛ κβ. ὥστε καὶ οἵων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς μηκοπλατοῦς παραλλάξεως, μοίρας α κα νγ, τοιούτων ἔσται καὶ ἡ μὲν ΓΒ τῆς κατὰ πλάτος παραλλάξεως μοίρας α ιγ ἔγγιστα, ἡ δὲ ΓΑ τῆς κατὰ μῆκος παραλλάξεως 𐆊 λϛ α, συμφώνως τοῖς προκειμένοις. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ΚΘ τῆς κατὰ πλάτος παραλλάξεως ἔσται μοίρας α γ μϛ, ἡ δὲ ΚΗ τῆς κατὰ μῆκος 𐆊 μβ λγ, συμφώνως πάλιν τοῖς ἐπιλελογισμένοις κατὰ τὴν ἀρχὴν τοῦ Ταύρου τῆς σελήνης ὑποκειμένης. |
| 131 | Ἔστω δὴ καὶ κατὰ τὴν ἀκριβῆ τῆς σελήνης ἐποχὴν τουτέστιν τὴν Δ τὴν ιεʹ μοῖραν τοῦ Κριοῦ, ἐπὶ τοῦ διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου γραφομένου μεγίστου κύκλου παράλλαξις ἡ ΔΕ. καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸν ζῳδιακὸν κάθετος ἤχθω ἡ ΕΖ. ἔσται ἄρα καὶ ἡ κατὰ ταύτην τὴν θέσιν κατὰ πλάτος μὲν παράλλαξις ἡ ΕΖ, κατὰ μῆκος δὲ ἡ ΔΖ. ἐπεὶ οὖν συγχρώμεθα τῷ εἶναι ὡς τὴν ΗΑ περιφέρειαν πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως τὴν τῶν ΑΓ, ΗΚ κατὰ μῆκος παραλλάξεων διαφορὰν πρὸς τὴν τῶν ΑΓ, ΔΖ κατὰ μῆκος παραλλάξεων διαφοράν, καὶ πάλιν ὡς τὴν ΗΑ περιφέρειαν πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως τὴν τῶν ΒΓ, ΘΚ κατὰ πλάτος παραλλάξεων διαφορὰν πρὸς τὴν τῶν ΒΓ, ΕΖ κατὰ πλάτος παραλλάξεων διαφοράν, δεδομέναι δέ εἰσιν ἥ τε ΑΓ τοῦ μήκους 𐆊 λϛ α, καὶ ἡ ΚΗ 𐆊 μβ λγ· καὶ ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν 𐆊 ϛ λβ εἰς πρόσθεσιν· καὶ πάλιν ἥ τε ΒΓ τοῦ πλάτους μοίρας α ιγ ἔγγιστα, καὶ ἡ ΘΚ μοίρας α γ μϛ· ἡ δ’ ὑπεροχὴ αὐτῶν εἰς ἀφαίρεσιν 𐆊 θ ιδ· φανερὸν ὅτι ἡ μὲν ΕΖ τοῦ πλάτους παράλλαξις συνάγεται μοίρας α η κγ, ἡ δὲ ΔΖ τοῦ μήκους 𐆊 λθ ιζ ἐλαχίστων γὰρ οὐσῶν ἐν ταῖς συνοδικαῖς ἐκλείψεσιν, ἐν αἷς μάλιστα τούτων χρῄζομεν, τῶν τε κατὰ μῆκος καὶ πλάτος παραλλάξεων, ὡς πρὸς αἴσθησιν καὶ τὰ περὶ τὴν τοιαύτην ἀναλογίαν οὕτως ἔχοντα φαίνεται· μὴ πάντως οὕτως ἐχουσῶν καὶ τῶν ΛΑ, ΛΔ, ΛΗ περιφερειῶν καὶ τῶν ὑπὸ ΛΑΗ, ΛΔΗ, ΛΗΚ γωνιῶν, διὰ τὸ ἀξιολόγους αὐτῶν εἶναι ὡς εἴρηται τὰς διαστάσεις. Ἐὰν δὴ τὴν μὲν ΑΒ ὑποθώμεθα 𐆊 μθ ιη τοῦ πρώτου ὅρου, τὴν δὲ ΗΘ 𐆊 μϛ ιζ τοῦ αὐτοῦ αʹ ὅρου οὖσαν, τῶν ἄλλων ἁπάντων ὑποκειμένων τῶν αὐτῶν, γίνεται ἡ μὲν ΑΓ τοῦ μήκους 𐆊 κα, ἡ δὲ ΒΓ τοῦ πλάτους 𐆊 μβ, ἡ δὲ ΗΚ τοῦ μήκους 𐆊 κδ, ἡ δὲ ΘΚ τοῦ πλάτους 𐆊 λζ, συμφώνως προχείροις. |
| 132 | «Συνεχρησάμεθα μέντοι τοῖς προαποδεδειγμένοις, φησίν, περὶ τὸν «ἥλιον ...» καὶ τὰ ἑξῆς. Ἃ λέγει προαποδεδεῖχθαι ταῦτ’ ἐστίν· ἡ μεταξὺ τῶν τροπικῶν περιφέρεια, καὶ ὁ χρόνος τῆς ὑπ’ αὐτοῦ τετηρημένης ἰσημερίας, ἀφ’ οὗ καὶ ἡ κατὰ τὸ πρῶτον ἔτος Ναβονασσάρου ἀπὸ τοῦ ἀπογείου ἐποχὴ τοῦ ἡλίου συνεστάθη. |
| 133 | καὶ πάλιν τῶν προαποδεδειγμένων ἐστὶν ὁ λόγος τῆς ἐκκεντρότητος αὐτοῦ ξ πρὸς β 𐅵 ʹ, καὶ τὸ ἀπόγειον Διδύμοις ε 𐅵 ʹ, ἐκ τῆς διαστάσεως τῶν ἡμερῶν ϙδ 𐅵 ʹ καὶ ϙβ 𐅵 ʹ· ἐξ ὧν καὶ τὰς λοιπὰς εὗρεν ἡμέρας πη ηʹ καὶ ϙ καὶ ηʹ ἔγγιστα, συμφώνως τοῖς ὑπὸ τοῦ Ἱππάρχου λελογισμένοις. Περὶ ταῦτα οὖν πάντα, φησίν, οὐκ ἀγνοοῦμεν ὅτι ἐκ τῆς ὕστερον εὑρημένης τοῦ ἡλίου παραλλάξεως γίνεταί τις διαφορὰ ὡς πρὸς τὸν λόγον καὶ τὸ κέντρον τῆς γῆς· ἀλλ’ οὐκ ἀξιόλογος, τουτέστιν αἰσθητή, μεγάλη, ὥστε ἀναγκαῖον εἶναι διόρθωσιν ἐπ’ αὐτῶν τινα ποιήσασθαι, τῆς μετὰ ταῦτα παραλλάξεως γνωσθείσης βραχείας οὔσης, καὶ διὰ τοῦτο μὴ δυναμένης αἰσθητὴν διαφορὰν περιποιῆσαι τοῖς προαποδεδειγμένοις· πρὸς ἃ καὶ τὰ φαινόμενα σύμφωνα τῇ αἰσθήσει καταλαμβάνεται. «Ὁμοίως δὲ καὶ πρὸς τὰς παραλλάξεις τῆς σελήνης ἠρκέσθημεν, φησίν, «ταῖς πρὸς τὸν διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλον γινομέναις ὑπὸ τοῦ διὰ τῶν «πόλων τοῦ ὁρίζοντος γραφομένου μεγίστου κύκλου περιφερείαις τε καὶ «γωνίαις, ἀντὶ τῶν πρὸς τὸν λοξὸν τῆς σελήνης θεωρουμένων, ἐπεὶ τὸ μὲν «ἐν ταῖς ἐκλειπτικαῖς συζυγίαις παρὰ τοῦτο ἐσόμενον διάφορον ἀνεπαίσ«θητον ἦν ...» καὶ τὰ ἑξῆς. Ἐκκείσθω γὰρ ὑποδείγματος ἕνεκεν τὸ ιϛʹ τῆς συντάξεως θεώρημα, τῆς ΑΒΓ περιφερείας οὔσης τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου, καὶ τῆς [Omitted graphic marker] ΑΔ τοῦ λοξοῦ τῆς σελήνης κύκλου, καὶ τῆς σελήνης αὐτῆς κατὰ τὸ Δ ὑποκειμένης, καὶ τῆς ΔΒ πρὸς ὀρθὰς τῷ ζῳδιακῷ οὔσης, καὶ τῆς ΕΔΖ διὰ τοῦ Ε πόλου τοῦ ὁρίζοντος, ἐφ’ ἧς ἡ ΔΗ τῆς σελήνης παράλλαξις νοείσθω· καὶ τὸ μὲν Α σημεῖον ἑνὸς τῶν συνδέσμων, τὸ δὲ Η τὸ φαινόμενον κέντρον τῆς σελήνης, ἀφ’ οὗ ἐπὶ τὰς ΒΔ καὶ ΒΖ ὀρθαὶ περιφέρειαι γεγραμμέναι αἱ ΗΚ, ΗΘ, ὥστε τῶν μὲν κατὰ μῆκος τῆς σελήνης διαστάσεων ἀπὸ τοῦ Α συνδέσμου, τὴν μὲν ἀκριβῆ γίνεσθαι τὴν ΑΒ, τὴν δὲ φαινομένην τὴν ΑΚ· τῶν δὲ κατὰ πλάτος ἀπὸ τοῦ ζῳδιακοῦ, τὴν μὲν ἀκριβῆ τὴν ΔΒ, τὴν δὲ φαινομένην τὴν ΚΗ· καὶ τῶν ἀπὸ τῆς ΔΗ πρὸς τὸν ζῳδιακὸν θεωρουμένων παραλλάξεων, κατὰ μῆκος μὲν τὴν ἴσην τῇ ΗΘ, κατὰ πλάτος δὲ τὴν ἴσην τῇ ΔΘ· δίδοται οὖν ἑκατέρα τῶν ΔΘ, ΘΗ, τῆς ὑπὸ ΕΖΒ γωνίας δοθείσης. |
| 135 | ἴση γὰρ αὑτή ἐστιν τῇ ὑπὸ ΔΗΘ. δοθεῖσα οὖν ἡ ὑπὸ ΔΗΘ. ἀλλὰ καὶ ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ Θ. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΔΗ γωνία ἐστὶν δοθεῖσα. καὶ τὸ ΔΗΘ τρίπλευρον ἀδιαφοροῦν εὐθυγράμμου. καὶ λόγος οὖν τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν πρὸς τὴν ΔΗ ἐστὶν δοθείς. δοθεῖσα δὲ ἡ ΔΗ· εὑρίσκεται γὰρ διὰ τοῦ ιγʹ θεωρήματος τῆς ΕΔ περιφερείας δοθείσης. δοθεῖσα ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΔΘ, ΘΗ παραλλάξεων. Ἐπεὶ οὖν οὐ δίδοται ἡ ὑπὸ ΕΖΓ γωνία διὰ τῶν προδεδειγμένων ἐν τῷ δευτέρῳ βιβλίῳ τοῦ Ζ σημείου μὴ δοθέντος, ἐκεῖ γὰρ ἀπέδειξεν τὰς πρὸς τὰ δοθέντα τοῦ ζῳδιακοῦ σημεῖα γινομένας γωνίας τε καὶ περιφερείας τοῦ διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν μεγίστου κύκλου, μόνον δέ ἐστιν δεδομένον ἐνταῦθα τοῦ ζῳδιακοῦ τὸ Β σημεῖον, φανερὸν ὅτι συγχρώμεθα τῇ μὲν ΕΒ περιφερείᾳ ἀντὶ τῆς ΕΔ, τῇ δὲ ὑπὸ ΕΒΓ γωνίᾳ ἀντὶ τῆς ὑπὸ ΕΖΓ ἐπὶ τῶν ἡλιακῶν ἐκλείψεων κατὰ λόγον ποιοῦντες· τὸ γὰρ παρὰ τὴν διαφορὰν τῶν ΕΒ, ΕΔ περιφερειῶν καὶ τῶν ὑπὸ ΕΒΓ, ΕΖΓ γωνιῶν γινόμενον τῶν παραλλάξεων διάφορον ἐπὶ τῶν ἡλιακῶν ἐκλείψεων τὸ πλεῖστον δείκνυται ἑξηκοστῶν α 𐅵 ʹ. ἐπεὶ γὰρ ἐν ταῖς ἡλιακαῖς ἐκλείψεσιν ἡ ΔΒ οὐ μείζων δείκνυται διὰ τοῦ πρώτου θεωρήματος τοῦ ἕκτου βιβλίου μοίρας α 𐅵 ʹ ἔγγιστα, καὶ ἡ τῶν ΕΒ, ΕΔ ἄρα περιφερειῶν ὑπεροχὴ οὐ μείζων ἐστὶν μοίρας α 𐅵 ʹ. δείκνυται δὲ διὰ τοῦ παραλλακτικοῦ κανόνος ὁπηλίκη τις ἂν ᾖ ἡ ΕΒ περιφέρεια ἡ παρὰ α 𐅵 ʹ μοῖραν ἢ μετὰ μιᾶς ἡμισείας μοίρας γινομένη παράλλαξις παρὰ τὴν ἐπὶ τῇ ΕΒ γινομένην παράλλαξιν ἑξηκοστῶν α 𐅵 ʹ ἔγγιστα διαφοροῦσα κατὰ πᾶν τὸ ἀπὸ τῆς γῆς ἀπόστημα τῆς σελήνης. |
| 136 | διαιρεῖται δὲ πάλιν καὶ ἡ τηλικαύτη περιφέρεια εἰς τὴν κατὰ μῆκος καὶ πλάτος παράλλαξιν. καὶ πρὸς τὴν ἀκριβῆ σελήνην, ἡ ἄρα (τουτέστιν πρὸς τὴν ΕΔ λαμβανομένη) κατὰ μῆκος καὶ πλάτος παράλλαξις, ἥ τε ΗΘ καὶ ἡ ΘΔ, ἡ αὐτὴ ἔσται τῇ κατὰ τὴν πρώτην ὑπόθεσιν (τουτέστιν τῇ πρὸς τὴν ΕΒ διάστασιν λαμβανομένῃ) κατὰ μῆκός τε καὶ πλάτος παραλλάξει. «Τὸ δὲ καὶ ταύτας ἐκθέσθαι πολύχουν τε ταῖς δείξεσιν καὶ ἐργῶδες «ἐν τοῖς ἐπιλογισμοῖς μὴ ὡρισμένων καθ’ ἑκάστην τῶν ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ «παρόδων τῆς σελήνης καὶ τῶν ἀπὸ τοῦ συνδέσμου διαστάσεων, ἀλλὰ καὶ «τοῖς μεγέθεσι καὶ ταῖς θέσεσιν αὐταῖς ποικίλας μεταβάσεις λαμβανου«σῶν.». Ὃ λέγει τοιοῦτόν ἐστιν· ὅτι τὰς πρὸς τὸν λοξὸν κύκλον γινομένας γωνίας τε καὶ περιφερείας οὐκ ἐξεθέμεθα κανονικῶς, διὰ τὸ πολὺ πλῆθος εἶναι δείξεων καὶ ἐργῶδες ἐν τοῖς ἐπιλογισμοῖς, κινουμένων καὶ τοῦ ἀναβιβάζοντος συνδέσμου καὶ τοῦ καταβιβάζοντος εἰς τὰ προηγούμενα τῶν ζῳδίων. ἀφ’ ὧν αἱ τῆς σελήνης κινήσεις, ἐπὶ τὰ ἐναντία τοῖς συνδέσμοις οὖσαι, καὶ ταῖς διαστάσεσιν ἀπ’ αὐτῶν μοιρικῶς καὶ ταῖς θέσεσιν ἐπὶ τὰ βόρεια καὶ τὰ νότια τοῦ ζῳδιακοῦ πολυτρόπους μεταβάσεις λαμβάνουσιν. Ὅπως δὲ γίνεται ἡ λῆψις τῶν τοιούτων γωνιῶν τε καὶ περιφερειῶν καθ’ ἑκάστην ἀρχὴν τῶν τοῦ ζῳδιακοῦ δωδεκατημορίων οὐκ ἄτοπον ὑποδεῖξαι θεωρίας ἕνεκεν, διδομένων ἡμῖν τῶν πρὸς τὰ διδόμενα τοῦ ζῳδιακοῦ σημεῖα γωνιῶν τε καὶ περιφερειῶν ἐκ τοῦ κανόνος τῶν γωνιῶν· καὶ ὅτι τὸ ὁμαλὸν νυχθήμερον χρόνων ἐστὶν τξ νθ η· ἐν δὲ τούτῳ κινεῖσθαι τὸ βόρειον πέρας τοῦ λοξοῦ κύκλου καὶ τοὺς συνδέσμους, 𐆊 γ ια· ταῦτα γὰρ ὑπεροχή ἐστιν τοῦ ἡμερησίου κατὰ πλάτος κινήματος τῆς σελήνης πρὸς τὰ τοῦ ἡμερησίου κατὰ μῆκος κινήματος. |
| 137 | Ὥστε καὶ ἐν ὁμαλοῖς νυχθημέροις φξς τοῖς ἀνὰ χρόνοις τξ νθ η κινεῖσθαι τὸ βόρειον πέρας τοῦ λοξοῦ κύκλου καὶ τοὺς συνδέσμους τοῦ λοξοῦ μοίρας λ· κόσμου δὲ περιστροφὰς γίνεσθαι φξζ καὶ μοίρας ἰσημερινοῦ ρϙζ μθ. καὶ ἐν τῷ τριπλασίονι ἄρα χρόνῳ, τουτέστιν νυχθημέροις ὁμαλοῖς ͵ αχϙη, κινηθήσεται καὶ τὸ βόρειον πέρας καὶ οἱ σύνδεσμοι τοῦ λοξοῦ μοίρας ἀκριβῶς ϙ. καὶ ἐν τῷ τετραπλασίονι ἄρα χρόνῳ, τουτέστιν ἐν ὁμαλοῖς νυχθημέροις ͵ βσξδ, κινηθήσεται τὸ βόρειον πέρας καὶ οἱ σύνδεσμοι μοίρας ρκ. καὶ ἐν τῷ δωδεκαπλασίονι ἄρα χρόνῳ, τουτέστιν ἐν ὁμαλοῖς νυχθημέροις ͵ ϛψϙβ, κινηθήσεται καὶ τὸ βόρειον πέρας καὶ οἱ σύνδεσμοι τοῦ λοξοῦ κύκλου μοίρας τξ. Δῆλον δὲ ὅτι καὶ ἐν τοῖς προκειμένοις ὁμαλοῖς νυχθημέροις φξϛ, κόσμου δὲ περιστροφαῖς φξζ καὶ μοίραις ἰσημερινοῦ ρϙζ μθ, ἡ τῆς μέσης κατὰ πλάτος κινήσεως διάστασις μοιρῶν οὖσα σπζ ν τῆς κατὰ μῆκος τοῦ αὐτοῦ χρόνου λαμβανομένης διαστάσεως, μοιρῶν οὔσης σνζ ν, ὑπερέχει μοίραις λ. καὶ ταῦτα γὰρ ἐκ τῶν κανόνων τετάρτου βιβλίου λαμβάνεται ὥστε ἡ εἰς τὰ προηγούμενα τοῦ βορείου πέρατος κίνησις ἐν τῷ αὐτῷ χρόνῳ ἴση ἐστὶν τῇ εἰς τὰ ἑπόμενα τῶν ζῳδίων λαμβανομένῃ ὑπεροχῇ τῆς κατὰ πλάτος κινήσεως πρὸς τὴν κατὰ μῆκος. Ἔτι καὶ τοῦτο φανερόν, ὅτι ἡ μέση σελήνη ἀπέχουσα τῶν συνδέσμων ἑνὸς μοίρας ϙ ἐπὶ τοῦ βορείου πέρατός ἐστιν ἢ νοτίου, καὶ τὸ πλάτος αὐτῆς ἐστιν μοιρῶν ε· ἀπέχουσα δὲ τῶν συνδέσμων ἑνὸς ἐπὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου μοίρας ξ, τὸ πλάτος ἔχει τὸ πρὸς τὸν ζῳδιακὸν μοίρας δ κ· λ δὲ μοίρας ἀπέχουσα τῶν συνδέσμων ἑνὸς τὸ πλάτος ἔχει μοίρας β 𐅵 ʹ. |
| 138 | καὶ ταῦτα γὰρ ἐκ τοῦ σεληνιακοῦ πλάτους τοῦ κανονίου λαμβάνεται. Ὅτι δὲ πλῆθος τῶν τοιούτων περιφερειῶν τε καὶ γωνιῶν συνάγεσθαι, καὶ τὸ ἐκτίθεσθαι ταύτας ἐν κανόσι, ἐργῶδές ἐστιν ἐν τοῖς ἐπιλογισμοῖς καὶ πολύτροπον ἐν ταῖς δείξεσιν, οὐκ ἄτοπον ὑποδεῖξαι. Νοείσθω γὰρ ὁ λοξὸς τῆς σελήνης κύκλος ὁ ΑΘΠΤ, βόρειον πέρας ἔχων τὸ Α καὶ νότιον πέρας τὸ Θ, καὶ ἀναβιβάζοντα μὲν τὸ Τ, καταβιβάζοντα [Omitted graphic marker] δὲ τὸ Π. |
| 140 | καὶ ζῳδιακὸς νοείσθω ὁ ΔΠΜΤ, τέμνων τὸν λοξὸν κατὰ τοὺ Π, Τ συνδέσμους. καὶ τὸ Δ ἔστω Καρκίνου ἀρχή, τὸ δὲ Μ Αἰγόκερω ἀρχή. μεσημβρινὸς δὲ νοείσθω Ῥόδου δι’ ἀμφοτέρων τῶν πόλων τοῦ τε λοξοῦ καὶ ζῳδιακοῦ, ὁ ΡΑΔΜΝΟ. |
| 141 | τὸ δὲ Ρ σημεῖον ὁ πόλος τοῦ ὁρίζοντος Ῥόδου νοείσθω, καὶ τὸ Σ σημεῖον καθ’ ὃ τέμνεται ὁ μεσημβρινὸς ὑπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ. |
| 142 | καὶ τετμήσθω ἕκαστον τῶν ΑΠ, ΠΘ, ΘΤ, ΤΑ τεταρτημορίων εἰς γ ἴσα τοῖς ͵ Β, ͵ Γ, ͵ Δ, ͵ Ε, ͵ 𐅶 , ͵ Ζ, Η, ͵ Θ, σημείοις. τετμήσθω δὲ καὶ ἡ ΔΑ περιφέρεια τοῦ μεσημβρινοῦ τοῖς Β, Γ σημείοις, ὥστε τὴν μὲν ΔΒ τοιούτων εἶναι μοιρῶν δ κ, οἵων ἡ ΔΑ, ε· τὴν δὲ ΔΓ τῶν αὐτῶν μοιρῶν β 𐅵 ʹ. |
| 143 | ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ΔΗ περιφέρεια τοῦ μεσημβρινοῦ μοιρῶν οὖσα ε τετμήσθω τοῖς Ε, Ζ σημείοις ὥστε τὴν μὲν ΔΕ γίνεσθαι μοιρῶν β 𐅵 ʹ, τὴν δὲ ΔΖ, δ κ, λοιπὴν δὲ τὴν ΖΗ, 𐆊 μ. Καὶ ὑποκείσθω ἡ μέση σελήνη κατὰ τὸ Α βόρειον πέρας ἀπέχουσα ἑκατέρου τῶν Π, Τ συνδέσμων ἐκ μοιρῶν ϙ, τοῦ δὲ Δ σημείου τῆς τοῦ Καρκίνου ἀρχῆς μοίρας ε. Ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὴν Α ͵ Β περιφέρειαν διαπορεύεται, ἐν τούτῳ ἡ Α ͵ Β περιφέρεια ἐξαλλάξει τὸν ΑΔ μεσημβρινόν, καὶ 〈τὸ〉 ͵ Β σημεῖον ἥξει κατὰ τὸ Β· καὶ ἡ σελήνη ἅμα ἀπέχουσα τοῦ μὲν Δ πρὸς βορρᾶν μοίρας δ κ, τοῦ δὲ Π συνδέσμου μοίρας ξ. Ἐν ᾧ δὲ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ ͵ Γ σημεῖον παραγίνεται, ἐν τούτῳ ἡ Α ͵ Γ περιφέρεια τὸν μεσημβρινὸν ἐξαλλάξει· καὶ τὸ ͵ Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Γ ἥξει· καὶ ἡ σελήνη ὁμοίως ἀπέχουσα τοῦ μὲν Δ πρὸς βορρᾶν μοίρας β 𐅵 ʹ, τοῦ δὲ Π συνδέσμου μοίρας λ. Ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ ἡ μὲν σελήνη ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Π παραγίνεται, ἐν τούτῳ τὸ ΑΠ τεταρτημόριον ἐξαλλάξει τὸν μεσημβρινόν, καὶ τὸ Π σημεῖον ἐπὶ τὸ Δ ἥξει· καὶ ἡ σελήνη ἀπέχουσα τοῦ μὲν καταβιβάζοντος 𐆊 𐆊 , τοῦ δὲ διὰ μέσων 𐆊 𐆊 . ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ ͵ Δ παραγίνεται ἡ σελήνη, ἐν τούτῳ καὶ ἡ Α ͵ Δ παραλλάξει τὸν μεσημβρινόν, καὶ τὸ ͵ Δ ἐπὶ τὸ Ε σημεῖον ἥξει, καὶ ἡ σελήνη ἀπέχουσα τοῦ μὲν Δ ἐπὶ τὰ νότια μοίρας β 𐅵 ʹ τὴν ΔΕ περιφέρειαν, τοῦ δὲ Π συνδέσμου μοίρας λ. Ἐν ᾧ δὲ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ ͵ Ε παραγίνεται, ἐν τούτῳ καὶ ἡ Α ͵ Ε περιφέρεια τοῦ λοξοῦ παραλλάξει τὸν ΑΔΕ μεσημβρινὸν καὶ τὸ ͵ Ε ἐπὶ τὸ Ζ σημεῖον ἥξει, καὶ ἡ μέση σελήνη ἀπέχουσα τοῦ Δ μοίρας δ κ, τοῦ δὲ Π συνδέσμου μοίρας ξ. Ἐν ᾧ δὲ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Θ παραγίνεται ἡμικύκλιον διελθοῦσαν, ἐν τούτῳ τὸ ΑΠΘ ἡμικύκλιον παραλλάξει τὸν μεσημβρινόν, καὶ τὸ Θ σημεῖον ἥξει κατὰ τὸ Η, καὶ ἡ μέση σελήνη ἀπέχουσα ὅλην τὴν ΔΗ περιφέρειαν μοιρῶν οὖσαν ε, τοῦ δὲ Π συνδέσμου μοίρας ϙ. |
| 144 | Ὥστε καὶ τὰς ἀπὸ τοῦ Ρ πόλου τῆς Ῥόδου οἰκήσεως πρὸς τὸν λοξὸν κύκλον περιφερείας ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ δίδοσθαι Καρκίνου ἀρχῆς μεσουρανούσης. ἔστιν γὰρ ἡ μὲν ΡΣ μοιρῶν λϛ· ὧν ἡ ΣΑ, κθ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΡΑ ζητουμένη μοιρῶν ἐστιν ζ. ἡ δὲ ΡΒ ὁμοίως μοιρῶν ζ μ. ἡ δὲ ΡΓ μοιρῶν θ λ. ἡ δὲ ΡΔ ὁμοίως μοιρῶν ιβ. καὶ ὀρθαί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η γωνίαι. Ἐὰν δὴ μένοντος τοῦ ΔΠΜΤ ζῳδιακοῦ νοήσωμεν τὸν ΑΠΘΤ λοξὸν μεταπίπτοντα ἐν ὁμαλοῖς νυχθημέροις ͵ γτϙϛ λήψεται θέσιν κατὰ διάμετρον τὴν τοῦ ΗΠΟΤ κύκλου· καὶ τὸ μὲν Ο σημεῖον βόρειον πέρας ἔσται, τὸ δὲ Η νότιον· καὶ τὸ Π τοῦ ἀναβιβάζοντος, τὸ δὲ Τ τοῦ καταβιβάζοντος. Κἂν διὰ τὰ προκείμενα διέλωμεν τὴν ΟΜ περιφέρειαν μοιρῶν οὖσαν ε τοῖς Ν, Ξ σημείοις, ὥστε τὴν ΟΞ περιφέρειαν εἶναι μοιρῶν 𐆊 μ, τὴν δὲ ΟΝ μοιρῶν β 𐅵 ʹ, λοιπὴν δὲ τὴν ΝΜ μοιρῶν β 𐅵 ʹ, καὶ πάλιν τὴν ΜΛ μοιρῶν β 𐅵 ʹ, τὴν δὲ ΜΚ μοιρῶν δ κ, λοιπὴν δὲ τὴν ΚΘ 𐆊 μ· ἕξομεν τὰς ζητουμένας περιφερείας ἐπὶ τὸν λοξὸν κύκλον ἀπὸ τοῦ Ρ πόλου τῆς τοῦ Αἰγόκερω ἀρχῆς μεσουρανούσης ὑπὲρ γῆς, τὴν μὲν ΡΟ μεγίστην μοιρῶν ξε, τὴν δὲ ΡΞ μοιρῶν ξδ κ, 〈τὴν δὲ ΡΝ μοιρῶν ξβ 𐅵 ʹ〉, τὴν δὲ ΡΜ μοιρῶν ξ 𐆊 , τὴν δὲ ΡΛ μοιρῶν νζ λ, τὴν δὲ ΡΚ μοιρῶν νε μ, τὴν δὲ ΡΘ, μοιρῶν νε 𐆊 . καὶ ὀρθαί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς Θ, Κ, Λ, Μ, Ν, Ξ, Ο σημείοις. Ἑπτὰ μὲν οὖν περιφερείας τὰς πρὸς τὸν λοξὸν κύκλον καὶ γωνίας ἀπεδείξαμεν ἐφ’ ἑκάστης ἀρχῆς Καρκίνου καὶ Αἰγόκερω ὑπὲρ γῆς οὔσης. |
| 145 | παραπλησίως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν δέκα ζῳδίων ἀρχῶν μεσουρανουσῶν ὑπὲρ γῆς αἱ πρὸς τὸν λοξὸν κύκλον γινόμεναι περιφέρειαι καὶ γωνίαι ληφθήσονται. Ὁ δὲ τρόπος τῆς λήψεως αὐτῶν τοιοῦτός ἐστιν. νοείσθω γὰρ μεσημβρι[Omitted graphic marker] νοῦ περιφέρεια ἡ ΡΕΦ, τοῦ Ρ σημείου τὸ κατὰ κορυφὴν ὄντος Ῥόδου, καὶ τὸ Ε σημεῖον μιᾶς ἡστινοσοῦν ἀρχῆς ἤτοι Ὑδροχόου ἢ Ἰχθύων ἢ Κριοῦ ἢ Ταύρου ἢ Διδύμων καὶ ἤχθω τις τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρεια ἡ ΑΕΒ. δοθεῖσα δηλονότι ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΡΕΒ γωνία καὶ ἡ ΡΕ περιφέρεια ἐκ τοῦ κανόνος τῶν ἐν τῷ δευτέρῳ βιβλίῳ γωνιῶν. καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Ε πρὸς τὴν ΑΒ ὀρθαὶ περιφέρειαι αἱ ΖΕ, ΕΘ, ὥστε ἑκατέραν τῶν ΕΖ, ΕΘ μοιρῶν εἶναι ε οἵων ὁ κύκλος μοιρῶν τξ, ἑκατέραν δὲ τῶν ΕΣ, ΕΤ μοιρῶν εἶναι β 𐅵 ʹ, ἑκατέραν δὲ τῶν ΕΟ, ΕΥ μοιρῶν δ κ. |
| 146 | καὶ ἀπὸ τοῦ Ρ διὰ τῶν Ζ, Θ γεγράφθωσαν περιφέρειαι τέμνουσαι τὴν τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρειαν κατὰ τὰ Α, Β. τὰ Α, Β ἄρα σημεῖα ποιεῖ τὰς ζητουμένας γωνίας. Δίδοται δὲ καὶ ΡΖ, ΡΘ περιφέρειαι πρὸς τὸν λοξὸν οὖσαι τῆς σελήνης βορειοτέρας καὶ νοτιωτέρας οὔσης τοῦ ζῳδιακοῦ τρόπῳ τοιῷδε. ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ ΡΕΑ γωνία δέδοται, ὧν ἡ ὑπὸ ΖΕΑ ὀρθή ἐστιν, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΡΕΖ δοθεῖσά ἐστιν. καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Η. δοθὲν ἄρα τὸ ΕΖΗ τρίπλευρον. δοθεῖσα ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΖΗ, ΗΡ. καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν ἄρα δοθέντα ἐστίν. ὥστε καὶ ἡ ΡΖ περιφέρεια πρὸς τὸν λοξὸν κύκλον δοθεῖσά ἐστιν τῆς σελήνης βορειοτέρας οὔσης τοῦ ζῳδιακοῦ. ὁμοίως καὶ ἡ ΡΘ περιφέρεια πρὸς τὸν λοξὸν κύκλον δοθεῖσά ἐστιν τῆς σελήνης νοτιωτέρας οὔσης τοῦ ζῳδιακοῦ. κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ τὰς ἀπὸ τοῦ Ρ ἐπὶ τὰ Ο, Σ καὶ Τ, Υ περιφερείας ληψόμεθα. καὶ γίνονται πᾶσαι περιφέρειαι τὸν ἀριθμὸν ζ. Τῶν δὲ ἄλλων καὶ λοιπῶν ἀρχῶν τοῦ ζῳδιακοῦ δωδεκατημορίων ἕνεκεν, ὑποκείσθω πάλιν τοῦ διὰ Ῥόδου μεσημβρινοῦ τμῆμα τὸ ΡΚΣ, καὶ τὸ μὲν Ρ τὸ κατὰ κορυφὴν σημεῖον τῆς οἰκήσεως Ῥόδου, τὸ δὲ Κ σημεῖον ἀρχὴ ἑνὸς δωδεκατημορίου ἤτοι Λέοντος ἢ Παρθένου ἢ Ζυγοῦ ἢ Σκορπίου ἢ Τοξότου [ἀρχῆς] τυγχάνουσα. καὶ διὰ τοῦ Κ ἤχθω τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρεια ἡ ΑΚΒ, ὥστε τὴν ὑπὸ ΡΚΑ γωνίαν δεδόσθαι, καὶ τὴν ΡΚ περιφέρειαν· δίδοται γὰρ ἐκ τοῦ κανόνος τῶν γωνιῶν. καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Κ τῇ ΑΒ ὀρθὴ περιφέρεια ἡ ΚΓ, μοιρῶν οὖσα ε. καὶ κείσθω τῇ ΚΓ 〈ἴση〉 [μοιρῶν οὔσῃ ε] ἡ ΚΕ ἐπ’ εὐθείας τῆς ΚΓ. καὶ ἀπὸ τῶν Γ, Ε σημείων ἐπὶ τὴν ΡΣ, ὀρθαὶ περιφέρειαι ἤχθωσαν αἱ ΕΖ, ΓΔ. καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΡΓ, ΡΕ, τεμνέτωσαν τὴν ΑΒ τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρειαν κατὰ τὰ Α, Β σημεῖα. |
| 147 | [Omitted graphic marker] Καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΚΔ, ΕΚΖ γωνιῶν, καὶ ὀρθαί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς Ζ, Δ γωνίαι, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΚΕ, δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΓΔΚ, ΕΖΚ τριπλεύρων· ὥστε καὶ ἑκατέρα τῶν ΓΔ, ΡΔ δοθεῖσά ἐστιν, τουτέστιν ἡ ΡΓ ζητουμένη περιφέρεια. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἑκατέρας τῶν ΡΖ, ΖΕ δοθείσης περιφερείας δοθεῖσα ἔσται καὶ ἡ ΡΕ ζητουμένη περιφέρεια. Πάλιν ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΡΚΑ γωνία δέδοται, ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΡΓ, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΡΑΚ ζητουμένη γωνία δοθεῖσά ἐστιν. κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ δοθεῖσά ἐστιν καὶ ἡ ὑπὸ ΡΒΚ ζητουμένη γωνία, διὰ τὸ καὶ ἑκατέραν τῶν ὑπὸ ΡΚΒ, ΚΡΒ δεδόσθαι. Ἐὰν οὖν καὶ ἑκατέραν τῶν ΚΛ, ΚΧ θῶμεν ἐκ μοιρῶν β 𐅵 ʹ, ἑκατέραν δὲ τῶν ΚΜ, ΚΩ ἐκ μοιρῶν δ κ, καὶ ἀπὸ τῶν σημείων ἐπὶ τὴν ΡΣ ὀρθὰς ἀγάγωμεν περιφερείας, τὰ ἴσα καὶ ὅμοια τρίγωνα δοθέντα ἔσται. καὶ διὰ τοῦτο πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Ρ ἐπὶ τὰ Λ, Μ σημεῖα διαγόμεναι περιφέρειαι, καὶ ὁμοίως ἐπὶ τὰ Χ, Ω, δεδόμεναί εἰσιν. καὶ διεκβαλλόμεναι τέμνουσιν τὰς ΚΑ, ΚΒ περιφερείας εἰς τὰς ζητουμένας γωνίας. Ὥστε τὰς πρὸς τὸν λοξὸν κύκλον ζητουμένας περιφερείας ζ τὸν ἀριθμὸν εἶναι καὶ γωνίας τοσαύτας, τῆς μέσης σελήνης ἐπὶ τὰ βόρεια τοῦ ζῳδιακοῦ καὶ τὰ νότια φερομένης. |
| 148 | Ἰστέον δὲ καὶ τοῦτο ὅτι τῶν ἴσων ἀπεχόντων τοῦ αὐτοῦ τροπικοῦ σημείου καὶ μεσουρανούντων αἱ πρὸς τὸν λοξὸν κύκλον γινόμεναι περιφέρειαι καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. Λοιπῶν δὲ τῶν διδομένων τοῦ ζῳδιακοῦ σημείων ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ μεσημβρινοῦ καὶ δοθείσας ὥρας ἀπεχόντων τοῦ μεσημβρινοῦ 〈καὶ〉 ἀπὸ τῶν συνδέσμων δοθείσας περιφερείας τὰς πρὸς τὸν λοξὸν κύκλον περιφερείας καὶ γωνίας εὑρήσομεν οὕτως. [Omitted graphic marker] Μεσημβρινοῦ γὰρ ὄντος πάλιν τοῦ ΡΣ καὶ ζῳδιακοῦ περιφερείας τῆς ΓΒΑ, τὸ Β σημεῖον ὑποκείσθω λόγου χάριν Ἰχθύων ἀρχῇ ἀπέχον τοῦ ΡΣ μεσημβρινοῦ ἰσημερινὰς ὥρας γ. καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΔ μοιρῶν ε οὖσα καὶ γεγράφθω διὰ τῶν Α, Δ περιφέρεια· ἡ ΔΑ ἄρα μοιρῶν ἐστιν ϙ. |
| 149 | ἐκβεβλήσθω δὲ ἡ ΔΒ ἐπὶ τὸ Ε, καὶ τῇ ΒΔ ἴση ἡ ΒΕ. καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΡΒ, ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Θ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ὀρθὴ περιφέρεια ἐπὶ τὴν ΒΘ ἡ ΕΘ. καὶ γεγράφθω διὰ τῶν Ρ, Ε περιφέρεια τέμνουσα τὴν ΑΓ περιφέρειαν κατὰ τὸ Η. γεγράφθω δὲ καὶ διὰ τῶν Ρ, Δ περιφέρεια, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ. αἱ μὲν ἄρα ζητούμεναι πρὸς τὸν λοξὸν κύκλον περιφέρειαι, ἥ τε ΡΔ ἐστὶν καὶ ἡ ΡΕ· γωνίαι δὲ ἥ τε Ζ καὶ ἡ Η. Δίδοται δὲ αἱ ΡΔ καὶ ΡΕ περιφέρειαι τρόπῳ τοιῷδε. ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ ΡΒΓ δοθεῖσά ἐστιν, ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΒΓ, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΡ γωνία δοθεῖσά ἐστιν. γεγράφθω ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὴν ΒΡ περιφέρειαν 〈ὀρθὴ〉 ἡ ΔΚ· δοθὲν ἄρα τὸ ΒΔΚ τρίπλευρον. καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΒΔ μοιρῶν ε. δοθεῖσα ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΒΚ, ΚΔ. ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ ΡΒ δοθεῖσα ἐκ τοῦ κανόνος τῶν γωνιῶν· καὶ λοιπὴ οὖν ἡ ΡΚ δοθεῖσά ἐστιν. ἦν δὲ καὶ ἡ ΚΔ δοθεῖσα· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΡΔ περιφέρεια ζητουμένη πρὸς τὸν λοξὸν κύκλον. Ἐπεὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΡΔ γωνία δοθεῖσά ἐστιν, καὶ ἡ ὑπὸ ΡΒΑ, δίδοται γὰρ ἐκ τοῦ κανόνος τῶν γωνιῶν, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΡΖΒ ζητουμένη πρὸς τὸν λοξὸν κύκλον δοθεῖσά ἐστιν. ὁμοίως ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΒΘ ἴση οὖσα τῇ ὑπὸ ΚΒΔ, καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Θ, δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ ΕΒΘ τρίπλευρον. καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΕΒ ἴση οὖσα τῇ ΒΔ. δοθεῖσα ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΒΘ, ΘΕ περιφερειῶν. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΡΒ δοθεῖσα. καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΡΘ δοθεῖσά ἐστιν. ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΘ δοθεῖσά ἐστιν, καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν. καὶ ἡ ΡΕ ἄρα περιφέρεια ζητουμένη πρὸς τὸν λοξὸν κύκλον δοθεῖσά ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΒΡΖ γωνία δοθεῖσά ἐστιν, ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΡΗ, καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΡΗ δοθεῖσά ἐστιν. ἦν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΡΖΗ γωνία δοθεῖσα. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΡΗΖ ζητουμένη γωνία δοθεῖσά ἐστιν. Ἐὰν δὲ καὶ ἑκατέραν τῶν ΒΔ, ΒΕ περιφερειῶν τεμῶμεν τοῖς Λ, Μ καὶ Ν, Ξ οὕτως ὥστε ἑκατέραν τῶν ΒΜ, ΒΝ εἶναι μοιρῶν β 𐅵 ʹ, ἑκατέραν δὲ τῶν ΒΛ, ΒΞ περιφερειῶν εἶναι μοιρῶν δ κ· καὶ διὰ τῶν γενομένων σημείων καὶ τοῦ Ρ διάξαντες περιφερείας, ἕξομεν ἄλλας περιφερείας πρὸς τὸν λοξὸν κύκλον δ· μετὰ δὲ τῶν ΡΔ, ΡΕ καὶ τῆς ΡΒ, ὅλας ζ, καὶ γωνίας τοσαύτας, Ἰχθύων ἀρχῆς ἀπεχούσης τοῦ μεσημβρινοῦ ὥρας ἰσημερινὰς γ, καὶ τῆς ΔΑ περιφερείας ὁτὲ μὲν ϙ μοιρῶν οὔσης, ὁτὲ δὲ ξ, ὁτὲ δὲ λ. |
| 150 | Τοσαῦται δὲ περιφέρειαι καὶ γωνίαι συνάγονται καθ’ ἑκάστην ὥραν ἰσημερινὴν ἀπὸ τοῦ μεσημβρινοῦ Ἰχθύων ἀρχῆς. καὶ ἐπεὶ ζ ὧραι ἰσημεριναί εἰσιν κατὰ τὸ διὰ Ῥόδου κλίμα, χωρὶς τοῦ ὁρίζοντος ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ μεσημβρινοῦ, γίνονται γωνίαι τῶν ζ ὡρῶν ἰσημερινῶν μθ· τῶν δὲ ιβ ζῳδίων περιφέρειαι φπη, καὶ γωνίαι τοσαῦται. Ἀλλ’ ἐπεὶ καὶ τῶν ἴσον ἀπεχόντων τοῦ αὐτοῦ τροπικοῦ σημείου καὶ τοῦ ζῳδιακοῦ, ἴσοις χρόνοις ἀπεχόντων ἀπὸ τοῦ μεσημβρινοῦ, καὶ ἴσας περιφερείας ἀπὸ τῶν συνδέσμων ἀπεχόντων ἐπὶ τοῦ λοξοῦ, αἱ πρὸς τὸν λοξὸν κύκλον περιφέρειαι καὶ γωνίαι οἰκήσεως ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, γίνονται δηλονότι τῶν ιβ ζῳδίων ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ μεσημβρινοῦ περιφέρειαι ͵ αροϛ καὶ γωνίαι τοσαῦται. μετὰ δὲ τῶν προδεδειγμένων κατὰ τὸν μεσημβρινὸν περιφερειῶν πδ καὶ γωνιῶν πδ, ὁμοῦ γίνονται περιφέρειαι πρὸς τὸν λοξὸν κύκλον ͵ ασξ καὶ γωνίαι τοσαῦται. ὅθεν ὁ Πτολεμαῖος κανονικὴν ἔκθεσιν οὐ πεποίηται τῶν περιφερειῶν τούτων καὶ γωνιῶν, μεθόδῳ δὲ αὐτὰς ὑπέδειξεν ὅπως δεῖ λαμβάνειν τοῖς βουλομένοις. «Ὁ μὲν οὖν Ἵππαρχος ἐπεχείρησε μὲν καὶ τὴν τοιαύτην διόρθωσιν ποιή«σασθαι. |
| 151 | πάνυ δ’ ἀναισθήτως ἀνεπιστάτως καὶ παρὰ τὸν λόγον αὐτῇ «φαίνεται προσβεβληκώς ...» καὶ τὰ ἑξῆς ἄχρι τέλους τοῦ ιϛʹ θεωρήματος. [Omitted graphic marker] Καὶ ἵνα τὰ λεγόμενα φανερώτερα γένηται, ἐκκείσθω ἡ καταγραφὴ τοῦ ιϛʹ θεωρήματος, τοῦ Α συνδέσμου καταβιβάζοντος ὑποκειμένου, καὶ τοῦ Ε σημείου κατὰ κορυφὴν ὄντος Ῥόδου, καὶ τοῦ Ζ Ἰχθύων ἀρχῆς, ἀπεχούσης δὲ τοῦ διὰ Ῥόδου μεσημβρινοῦ πρὸς ἀνατολὰς λόγου χάριν ὥρας ἰσημερινὰς γ· ὥστε τὴν μὲν ΑΖ γίνεσθαι μοιρῶν λ, καὶ τὴν ΕΖ δίδοσθαι ἐκ τοῦ κανόνος τῶν γωνιῶν μοιρῶν ξε μη, τὴν δὲ ὑπὸ ΕΖΓ· γωνίαν λείπουσαν εἰς β ὀρθὰς μοιρῶν οα κϛ οἵων αἱ δ ὀρθαὶ τξ, οἵων δ’ αἱ δύο ὀρθαὶ τξ τοιούτων ρμβ νβ. |
| 152 | Ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Ζ τῇ ΑΔ περιφερείᾳ ὀρθὴ περιφέρεια ἡ ΖΞ. 〈Ἔστιν μὲν ἡ ὑπὸ ΖΑΔ γωνία〉 τοιούτων ε οἵων αἱ δ ὀρθαὶ τξ. οἵων δ’ αἱ δύο ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ἡ ὑπὸ ΖΑΔ γωνία ι 𐆊 . |
| 153 | καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΞΖ ρπ. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΞ τῶν αὐτῶν ρο 𐆊 . οἵων ἄρα ἡ ΑΖ ρπ τοιούτων ἡ ΖΞ ι 𐆊 , καὶ οἵων ἄρα ἡ ΑΖ λ τοιούτων ἡ ΖΞ α μ. |
| 154 | Ὥστε καὶ ἡ ἐφεξῆς αὐτῇ ἡ ὑπὸ ΞΖΓ τῶν αὐτῶν ἐστιν ρϙ 𐆊 . ἦν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΖ τῶν αὐτῶν ρμβ νβ. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΖΞ τῶν αὐτῶν ἐστιν μζ η. καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΖΞΔ. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΔΞ τῶν αὐτῶν ρλβ νβ. δοθὲν ἄρα τὸ ΖΔΞ τρίπλευρον. οἵων ἄρα ἡ ΔΖ ρπ τοιούτων ἡ ΖΞ ρλβ νβ. καὶ οἵων ἄρα ἡ ΞΖ α μ, ἡ δὲ ΑΖ λ, τοιούτων ἡ ΔΖ α μδ. Ὑπέκειτο δὲ καὶ ἡ ΕΖ ὅλη μοιρῶν ξε μη. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΔ ἔσται μοιρῶν ξδ δ. Πάλιν δοθείσης τῆς ὑπὸ ΒΔΑ γωνίας καὶ ὀρθῆς οὔσης τῆς ὑπὸ ΑΒΔ, δοθὲν ἔσται τὸ ΑΒΔ τρίπλευρον, καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΑΒ. τὸ γὰρ Β νῦν Ἰχθύων ἐστὶν ἀρχῇ. καὶ ἡ ΒΔ ἄρα τοῦ πλάτους σελήνης μοιρῶν ἐστιν β λ, τῆς γὰρ ΑΔ δοθείσης ἀκριβῶς μοιρῶν [β] λ [καὶ τὸ Β σχεδὸν Ἰχθύων ἀρχῇ]. ἤχθω δὴ ἐπὶ τὴν ΕΒ ἀπὸ τοῦ Δ ὀρθὴ περιφέρεια ἡ ΔΗ. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΓ τοιούτων ἐστὶν ρπ οἵων αἱ β ὀρθαὶ τξ, ἔστιν δὲ καὶ ΕΒΓ τῶν αὐτῶν ρμβ νβ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΒΔ τῶν αὐτῶν λζ η. ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΗΔ τῶν αὐτῶν ρπ. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΗ τῶν αὐτῶν ρμβ νβ. δοθὲν ἄρα τὸ ΒΔΗ τρίπλευρον. οἵων ἄρα ἡ ΒΔ ρπ τοιούτων ἡ μὲν ΒΗ ρμβ νβ, ἡ δὲ ΗΔ λζ η. καὶ οἵων ἄρα ἡ ΒΔ μοιρῶν β λ, τοιούτων ἡ μὲν ΒΗ ἔσται μοιρῶν α νθ, ἡ δὲ ΗΔ μοιρῶν ο λα. καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς μοιρῶν 𐆊 ιϛ. Ἦν δὲ καὶ ὅλη ἡ ΕΒ περιφέρεια ἐπὶ τὴν Ἰχθύων ἀρχὴν πρὸ γ ὡρῶν ἰσημερινῶν τοῦ μεσημβρινοῦ μοιρῶν ξε μη. καὶ λοιπὴ ἡ ΕΗ περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν ξγ μθ. |
| 155 | καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς μοιρῶν ͵ δοβ λθ. ἦν δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΗ μοιρῶν 𐆊 ιϛ. καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΔΗΕ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΔ μοιρῶν ἐστιν ͵ δοβ νε. ὧν πλευρὰ μοιρῶν ξγ μθ. κατὰ δὲ Ἵππαρχον ἦν ἡ ΔΕ μοιρῶν ξδ δ. διαφορὰ 𐆊 ιε. ἐπεὶ οὖν ἡ τῶν ΕΒ, ΔΒ διαφορὰ μοιρῶν οὖσα ξγ ιη ἐλάττων ἐστὶν τῆς ΕΔ τῶν ξγ μθ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΕΒ τῇ ΕΖ ὡς ὑπόκειται, μείζων δὲ ἡ ΔΖ τῆς ΔΒ διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν ὑπὸ ΔΒΖ· καὶ ἡ τῶν ΕΖ, ΖΔ ἄρα διαφορὰ πολλῷ ἐλάττων οὖσα τῆς ΕΔ τῶν ξδ δ αἰσθητῶς διαφέρει τῆς αὐτῆς τῶν ξδ ι, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· ἡ γὰρ τῶν ΕΖ, ΖΔ διαφορὰ προδέδεικται οὐδενὶ διαφέρουσα τῆς ΕΔ τῶν ξδ ι. καὶ πάλιν ἐπεὶ ἡ τῶν ΕΒ, ΕΔ διαφορά, μοίρας οὖσα α νθ, ἐλάττων ἐστὶν τῆς ΒΔ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΕΒ τῇ ΕΖ, μείζων δὲ ἡ μὲν ΔΖ τῆς ΔΒ, [ἡ δὲ ΕΔ τῶν ξδ ι, τῆς ΕΔ τῶν ξγ μη], καὶ ἡ τῶν ΕΖ, ΕΔ ἄρα διαφορὰ αἰσθητῶς διαφέρουσα ἐλάττων ἐστὶν τῆς ΔΖ, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· προεδείχθη γὰρ ἡ τῶν ΖΕ, ΕΔ διαφορὰ οὐδεμίαν διαφορὰν ἔχουσα πρὸς τὴν ΔΖ. Ἔνθεν οὖν ὁ Ἵππαρχος λανθανόμενος πλείοσιν ἀτόποις περιπέπτωκεν· ὅτι τὴν ΕΖ περιφέρειαν ἀντὶ τῆς ΕΒ ὑποτίθεται, καὶ τὴν ὑπὸ ΕΖΒ γωνίαν ἀντὶ τῆς ὑπὸ ΕΒΓ. διὰ τοῦτο γὰρ οὐδὲ ἡ ΕΔ περιφέρεια κατ’ αὐτὸν δοθεῖσά ἐστιν, οὐδὲ ὁ λόγος τῆς ΕΖ περιφερείας μὴ δοθείσης πρὸς ἑκατέραν τῶν ΕΔ, ΔΖ. Ἐπὶ τέλει δὲ τοῦ ιϛʹ θεωρήματός φησιν ὁ Πτολεμαῖος· «Τῆς δὲ [ΓΕ]ΒΕ «τῆς τῷ ὄντι δεδομένης ἡ πρὸς τὴν ΕΔ διαφορὰ τὸ πλεῖστον διοίσει μόνῳ «τῷ τῆς ΒΔ καθ’ ἑκάστην τῶν ἀπὸ τοῦ συνδέσμου διαστάσεων μεγέθει.» Τοῦτο δὲ λέγει, ὅτι ὅταν ἡ ΒΕ διὰ τῶν πόλων γένηται τοῦ ζῳδιακοῦ καὶ τῶν πόλων τοῦ λοξοῦ, καὶ συμπίπτῃ τῇ ΒΔ, ὑπεροχὴ γίνεται τῆς ΒΕ πρὸς ΕΔ ἡ ΔΒ. νῦν γὰρ ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ΒΔ, ἐπείπερ καὶ παντὸς τριπλεύρου αἱ β πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν. Ἐκ τοῦ ιηʹ. |
| 156 (1n) | «Ἐὰν μὲν δὴ τοιαύτην ἔχῃ θέσιν ὁ ζῳδιακός, ὥστε πρὸς ὀρθὰς γωνίας «εἶναι τῷ διὰ τοῦ Ζ κατὰ κορυφὴν ...» καὶ τὰ λοιπά. Εἰ. φησίν ὁ ζῳδιακὸς ὀρθὸς εἴη πρὸς τὸν διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν γραφόμενον μέγιστον κύκλον μὴ πίπτων διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου, ἢ πίπτῃ διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν ὀρθὸς ὢν πρὸς τὸν αὐτὸν κύκλον, προχείρως καὶ οὕτως διὰ τῆς προειρημένης μεθόδου αἵ τε περιφέρειαι καὶ αἱ γωνίαι αἱ προειρημέναι πρὸς τὸν λοξὸν κύκλον δύνανται λαμβάνεσθαι. ἐκκείσθω γὰρ τὸ [Omitted graphic marker] ιηʹ θεώρημα, ὥστε ὀρθὸν εἶναι τὸν ΑΒΓ ζῳδιακὸν πρὸς τὸν διὰ τοῦ Ζ κατὰ κορυφὴν καὶ τῆς Β ἀρχῆς τοῦ ζῳδίου ἐν ᾧ ἐστιν ἡ ἀκριβὴς μοῖρα τῆς σελήνης γραφόμενον μέγιστον κύκλον· καὶ τὴν ἀκριβῆ σελήνην εἶναι ὁτὲ μὲν πρὸς τῷ Δ, ὁτὲ δὲ πρὸς τῷ Ε σημείῳ. |
| 157 | ἔσται οὖν διὰ τὴν ὑπόθεσιν καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου ἐπὶ τὴν ἀκριβῆ σελήνην τὸ Β διάστασις μείζων μὲν τῆς ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Δ τῇ ΒΔ τοῦ πλάτους διαστάσει, ἐλάσσων δὲ τῆς ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Ε τῇ ΒΕ τοῦ πλάτους διαστάσει. ὥστε κἂν ἐκ τοῦ τῶν γωνιῶν κανόνος εὑρίσκωμεν τὴν πρὸς τὸν ζῳδιακὸν τοῦ ὀρθοῦ τῷ ὁρίζοντι γωνίαν ὀρθήν, προχείρως ληψόμεθα καὶ τὴν ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν ἐπὶ τὴν ἀκριβῆ σελήνην διάστασιν, μὴ ἐρχομένου τοῦ ζῳδιακοῦ διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου. ἐρχομένου δὲ τοῦ ζῳδιακοῦ διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου, πολλῷ μᾶλλον προχειρότερον λημψόμεθα τὰς ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν ἐπὶ τὴν ἀκριβῆ σελήνην διαστάσεις· ἴσαι γάρ εἰσιν αὗται ταῖς κατὰ πλάτος ἀποχαῖς τῆς σελήνης, τουτέστιν ταῖς ΒΔ καὶ ΒΕ περιφερείαις, τοῦ Β δηλονότι σημείου τοῦ κατὰ τὸν τοῦ ὁρίζοντος πόλον ὑποκειμένου, καὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ζῳδιακοῦ πρὸς ὀρθὰς τῷ ΖΒΕ διαμένοντος. Ἐκ τοῦ ιθʹ. «Ἐὰν δὲ συμπίπτῃ ὁ ΑΒΓ ζῳδιακὸς τῷ διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου «γραφομένῳ μεγίστῳ κύκλῳ» ... καὶ τὰ λοιπά. Τὸν ΑΒΓ ζῳδιακὸν καὶ νῦν ὄντα διὰ τοῦ Α πόλου τοῦ ὁρίζοντος ὑποτίθεται καὶ τὴν σελήνην ἐπὶ τοῦ ΔΒΕ μεγίστου κύκλου ὀρθοῦ ὄντος πρὸς τὸν ζῳδιακόν, ὁτὲ μὲν πρὸς τῷ Δ, ὁτὲ δὲ πρὸς τῷ Ε σημείῳ οὖσαν. ἐὰν οὖν ἐπιζεύξωμεν τὰς ΑΔ καὶ ΑΕ καὶ δοθῇ ἡ ΑΒ περιφέρεια ἥτις ἐστὶν ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου ἐπὶ τὴν ἀρχὴν τοῦ ζῳδίου ἐν ᾧ ἐστιν ἡ ἀκριβὴς ἐποχῆς κατὰ μῆκος τῆς σελήνης διάστασις, δοθῇ δὲ καὶ ἡ κατὰ πλάτος ἀποχὴ τουτέστιν ἑκατέρα τῶν ΒΔ, ΔΕ, δοθήσεται καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΔ, ΑΕ περιφερειῶν ἀπὸ τοῦ πόλου τοῦ ὁρίζοντος οὖσα ἐπὶ τὴν ἀκριβῆ σελήνην, [Omitted graphic marker] καὶ ἡ περιεχομένη γωνία ὑπό τε τοῦ ζῳδιακοῦ καὶ τοῦ γραφομένου μεγίστου διά τε τοῦ κατὰ κορυφὴν καὶ τῆς ἀκριβοῦς σελήνης. |
| 158 | δίδοται γὰρ διὰ τὸ ἀδιάφορον ὡς ἐν εὐθυγράμμοις τὰ ΑΔΒ, ΑΒΕ τρίπλευρα τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει. «Καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΔΑΒ, ΒΑΕ γωνιῶν διοίσουσιν τῆς μὴ οὔσης πρό«τερον.» ἔστιν γὰρ ρπ ἢ 𐆊 𐆊 . Ἐκ τοῦ κʹ. «Τῆς δὲ τοῦ ζῳδιακοῦ θέσεως ἐγκλινομένης ἐὰν ἀπὸ τοῦ Ζ πόλου «τοῦ ὁρίζοντος ...» καὶ τὰ λοιπὰ τοῦ κʹ θεωρήματος. Ἐπεὶ γὰρ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΒΑ γωνία, ὀρθῇ δὲ ἴση καὶ συναμφότερος ἥ τε ὑπὸ ΕΒΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΛ, κοινῆς ἀφαιρεθείσης τῆς ὑπὸ ΕΒΛ, ἔσται [Omitted graphic marker] δηλονότι καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΖ δοθεῖσα ἴση τῇ ὑπὸ ΒΕΛ. |
| 159 | δοθεῖσα οὖν ἔσται καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΛ. καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΕΛΒ. δοθὲν ἄρα ἔσται καὶ τὸ ΒΕΛ τρίγωνον. καὶ ἐπεὶ τῆς ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΛ γωνίας πρὸς ὀρθὴν γωνίαν λόγος ἐστὶν δοθείς, καὶ τῆς διπλῆς αὐτῆς πρὸς β ὀρθὰς λόγος. ἔσται ἄρα δοθεῖσα καὶ ἑκατέρα τῶν ἐπὶ ταῖς ΛΒ, ΛΕ περιφερείαις τοῦ περὶ τὸ ΒΕΛ τρίπλευρον γραφομένου κύκλου. ὥστε καὶ τῆς ΒΕ πρὸς ἑκατέραν τῶν ΒΛ, ΛΕ εὐθειῶν λόγος ἔσται δοθείς, κατὰ τὴν πραγματείαν τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν. καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ ΒΕ κατὰ πλάτος ἀποχή, λόγον ἔχουσα πρὸς τὴν ΒΖ δοθέντα, ἐπεὶ καὶ ἡ ΒΖ περιφέρεια δοθεῖσά ἐστιν. |
| 160 | δοθεὶς ἄρα ἔσται ὁ τῆς ΒΖ εὐθείας πρὸς ἑκατέραν τῶν ΒΛ, ΛΕ εὐθειῶν λόγος. ἔσται δὲ διὰ τοῦτο καὶ τῆς ΖΛ πρὸς ΛΕ λόγος δοθείς. καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΖΛΕ. δοθεῖσα ἄρα ἔσται καὶ ἡ ΖΕ εὐθεῖα. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶν τῆς ΖΕ πρὸς ΕΛ, ἔσται κατὰ τὴν πραγματείαν τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν, οἵων ἐστὶν ρκ ἡ ΖΕ, τοιούτων τινῶν ἡ ΕΛ. δοθεῖσα ἄρα ἔσται ἡ ὑπὸ ΕΖΛ. καὶ ἔστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΖ τῆς ὑπὸ ΕΖΒ μείζων τῇ ὑπὸ ΑΘΖ· δοθεῖσα οὖν ἔσται καὶ ἡ ὑπὸ ΑΘΖ γωνία. κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ τὴν ΖΔ περιφέρειαν εὑρήσομεν καὶ τὴν ὑπὸ ΑΗΖ γωνίαν, ἀπὸ τῆς ΖΒ δοθείσης καὶ τῆς ΒΛ, καὶ ἔτι τῆς ὑπὸ ΑΒΖ γωνίας· ἐλάσσων γὰρ εὑρίσκεται νῦν ἡ ὑπὸ ΑΒΖ τῆς ὑπὸ ΑΗΖ τῇ ὑπὸ ΒΖΗ. καὶ δῆλον πῶς. Ἑξῆς δέ φησιν μετὰ τὸ κʹ θεώρημα· «φανερὸν δ’ ὅτι καὶ πλείστη γίνε«ται διαφορὰ τῆς αὐτῆς κατὰ πλάτος ἀποχῆς ὑποκειμένης» καὶ τὰ ἑξῆς. Ταῦτα δὲ ἐπὶ παραδείγματος γενήσεται φανερὰ οὕτως· κατὰ γὰρ τὸ διὰ Μερόης κλίμα Παρθένου ἀρχῆς ἀπεχούσης τοῦ μεσημβρινοῦ πρὸς ἀνατολὰς ὥραν ἰσημερινὴν α, μεσουρανοῦσιν αἱ τοῦ Λέοντος μοῖραι ιδ μ, ἐν αὐτῷ τῷ τοῦ ὁρίζοντος πόλῳ οὖσαι· λοξοῦνται γὰρ ἀπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ μοῖραι ιϛ γʹ ιβʹ, ὅσας ἀπέχει ὁ πόλος τοῦ ὁρίζοντος τουτέστιν τὸ κατὰ κορυφὴν τῆς οἰκήσεως ταύτης· καὶ ἐφαρμόζει ὁ ζῳδιακὸς τῷ διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου καὶ τῆς ἀρχῆς τῆς Παρθένου γραφομένῳ μεγίστῳ κύκλῳ. ὥστε τὴν περιφέρειαν εἶναι ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν ἐπὶ τὴν ἀρχὴν τῆς Παρθένου μοιρῶν ιε κ, καὶ γωνίαν 𐆊 𐆊 , Παρθένου ἀρχῆς ὥρας α πρὸς ἀνατολάς. |
| 161 | ἐὰν οὖν τὴν ἐποχὴν τῆς σελήνης ὑποθώμεθα εἶναι Λέοντος μοίραις ιδ μ ὡς τὸ Β, αὐτὴ δὲ ἀπέχῃ κατὰ πλάτος ἐπὶ τοῦ ὀρθοῦ τῷ ζῳδιακῷ κύκλῳ τὰς ΒΔ, ΒΕ περιφερείας, ὁτὲ μὲν πρὸς τῷ Δ οὖσα, ὁτὲ δὲ πρὸς τῷ Ε, αἱ ΔΒ καὶ ΒΕ ποιήσουσι πρὸς τὸν ζῳδιακὸν γωνίας ὀρθάς, ἀντὶ τῶν πρότερον μὴ οὐσῶν. καὶ αἱ περιφέρειαι δὲ αἱ ζητούμεναι πρὸς τὸν λοξὸν σελήνης κύκλον ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφήν, ἐὰν τὴν εἰρημένην θέσιν ἔχῃ ὁ ζῳδιακός, τηλικαῦται ἔσονται, ἡλίκαι ἂν ὦσιν αἱ κατὰ πλάτος ἀποχαὶ τῆς σελήνης ἐφ’ ὁπότερα μέρη τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων. Τὸ γὰρ παραπλήσιον δειχθήσεται καὶ ὅταν Ταύρου ἀρχὴ πρὸς δυσμὰς ἀπέχῃ ἐν ἐκείνῳ τῷ κλίματι ὥραν α ἰσημερινήν. μεσουρανοῦσιν γὰρ τοῦ Ταύρου μοῖραι ιε κ, ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ τοσαύτας μοίρας ὅσας καὶ αἱ τοῦ Λέοντος μοῖραι ιδ μ ἀπέχουσιν τουτέστιν ιϛ γʹ ιβʹ. καὶ γωνία πρὸς δυσμὰς οὐκ ἔστιν Ταύρου ἀρχῇ, τοῦ διὰ τῆς ἀρχῆς τοῦ Ταύρου καὶ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου γραφομένου μεγίστου κύκλου τὸν αὐτὸν ποιοῦντος τῷ ζῳδιακῷ κύκλον· ταῦτα γὰρ ἐκ τοῦ τῶν γωνιῶν κανόνος ἐστὶν φανερά. Κἂν ὀρθὸς δὲ ᾖ πρὸς τὸν ζῳδιακὸν ὁ γραφόμενος μέγιστος κύκλος διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν καὶ τῆς ἐποχῆς τῆς σελήνης, αἱ ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν ἐπὶ τὴν σελήνην περιφέρειαι τῶν ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν ἐπὶ τὴν ἐποχὴν τῆς σελήνης περιφερειῶν ὅλῃ πάλιν τῇ κατὰ πλάτος ἀποστάσει τῆς σελήνης διοίσουσιν, ὡς ἡ μὲν ΖΒ τῆς ΖΕ τῇ ΕΒ, ἡ ΖΔ τῆς ΖΒ τῇ ΒΔ. αἱ γὰρ ΔΒΕ καὶ ΖΒΚ ἐπὶ μιᾶς εὐθείας ἔσται. Ἐν δὲ ταῖς ἄλλαις τοῦ ζῳδιακοῦ θέσεσιν, ὡς ἐπὶ τῶν καθ’ ἡμᾶς οἰκήσεων ἐγκλινομένης καὶ τῆς ΔΕ πρὸς τὴν ΒΖ τουτέστιν γωνίαν ποιούσης τυχοῦσαν, καὶ αἱ τῶν περιφερειῶν ὑπεροχαὶ καὶ τῶν γωνιῶν ἐλάττους ἔσονται τῶν προειρημένων. |
| 162 | «Ὥστε καὶ ὅταν μὲν ε μοίρας ἡ σελήνη κατὰ πλάτος ἀπέχῃ τοῦ διὰ «μέσων, ἡ πλείστη διαφορὰ τῶν παραλλάξεων ἔσται ι ἔγγιστα ἑξηκοστῶν· «αἱ γὰρ τοῦ μεγίστου διαφόρου τῶν περιφερειῶν μοῖραι ε, τοσαῦτα «ποιοῦσιν ἑξηκοστὰ παραλλάξεως ἐπὶ τῶν μεγίστων ὑπεροχῶν καὶ ἐλαχί«στων ἀποστημάτων.» Ἐπεὶ γὰρ ἡ μεγίστη διαφορὰ τῶν μὲν περιφερειῶν διττῶς ἐδείχθη γινομένη, τῶν δὲ γωνιῶν ὅταν μόνον ὀρθὸς ᾖ ὁ ζῳδιακὸς τῷ ὁρίζοντι, ἐὰν τὴν σελήνην ὑποθώμεθα τὰς τοῦ πλάτους μοίρας ε ἀπέχειν τοῦ διὰ μέσων, καὶ τὴν ἐποχὴν αὐτῆς τοῦ μήκους εἶναι Λέοντι μοίραις ιδ μ, καὶ ἐπὶ τοῦ κατὰ κορυφὴν Μερόης, τοῦ ζῳδιακοῦ τότε ὀρθοῦ ὄντος τῷ ὁρίζοντι καὶ διὰ τῶν πόλων δηλονότι, ἡ μεγίστη διαφορὰ γίνεται καὶ τῶν γωνιῶν καὶ τῶν περιφερειῶν, τουτέστιν ὀρθὴ μὲν γωνία περιφέρεια δὲ μοιρῶν ε, ὡς ἐδείχθη. Καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ἐποχὴ σελήνης ἀπαράλλακτός ἐστιν μήκει καὶ πλάτει ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ ὑποκειμένη, αὐτὴ δὲ ἡ σελήνη ἀπέχουσα τὰς τοῦ πλάτους μοίρας ε παραλλάσσει, ἴδωμεν πρῶτον [τὸν] ἐπὶ τοῦ δι’ αὐτῆς καὶ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου γραφομένου μεγίστου κύκλου πόσον παραλλάσσει. Ὑποκείσθω δὲ καὶ τὸ κέντρον αὐτῆς κατὰ τὸ ἐλάχιστον ἀπόστημα, ὅπερ ἐστὶν τετάρτου ὅρου τοῦ τῆς ἀνωμαλίας ἀριθμοῦ περιέχοντος μοίρας ρπ καὶ τοῦ τῆς ἁπλῆς ἀποχῆς μοίρας ϙ. |
| 163 | εἰσοίσαντες οὖν τὰς τοῦ ὅλου πλάτους μοίρας ε εἰς τὸν παραλλακτικὸν κανόνα, εὕρομεν αὐταῖς παρακείμενα ἐν μὲν τῷ γʹ σελιδίῳ 𐆊 δ μδ λ, ἐν δὲ τῷ δʹ, 𐆊 𐆊 νϛ, ἐν δὲ τῷ εʹ, 𐆊 ζ λ, ἐν δὲ τῷ ϛʹ, 𐆊 β ε. εἰσαγαγόντες δὲ καὶ τὸ 𐅵 ʹ τῶν ρπ μοιρῶν τῆς ἀνωμαλίας τὰς ϙ μοίρας, εὕρομεν παρακείμενα ζʹ σελιδίῳ ἑξηκοστὰ ξ, ηʹ δὲ σελιδίῳ ἑξηκοστὰ ξ. καὶ πολυπλασιάσαντες τὰ μὲν τοῦ ζʹ σελιδίου ἐπὶ τὰ τοῦ δʹ τὰ γενόμενα 𐆊 𐆊 νϛ προσεθήκαμεν τοῖς τοῦ γʹ σελιδίου, καὶ γίνεται 𐆊 ε μ λ. τὰ δὲ τοῦ ηʹ ἐπὶ τὰ τοῦ ἕκτου τὰ γενόμενα 𐆊 β ε προσεθήκαμεν τοῖς τοῦ εʹ· γίνεται 𐆊 θ λε. ὧν ἡ ὑπεροχὴ πρὸς τὰ 𐆊 ε μ λ γίνεται 𐆊 γ νδ λ. ἐπεὶ οὖν παράκειται καὶ τῇ μέσῃ ἀποχῇ ἐν τῷ θʹ σελιδίῳ ἑξηκοστῶν ξ, ταῦτα ἐπὶ τὴν ὑπεροχὴν τουτέστιν τὰ 𐆊 γ νδ λ γενόμενα ποιεῖ 𐆊 γ νδ λ. ταῦτα προστεθέντα τοῖς 𐆊 ε μ λ γίνεται 𐆊 θ λε, ἔγγιστα 𐆊 ι. τοσαῦτα ἄρα παραλλάξει ἡ σελήνη ἐπὶ τοῦ δι’ αὐτῆς καὶ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου γραφομένου μεγίστου κύκλου ε μοίρας ἀπέχουσα τοῦ πόλου τοῦ ὁρίζοντος καὶ τῆς ἐποχῆς αὐτῆς, ὅπερ ἐστὶν κοινὸν σημεῖον τοῦ ζῳδιακοῦ καὶ τοῦ ὀρθοῦ αὐτῷ, καὶ κατὰ τὸ ἐλάχιστον οὖσα ἀπόστημα. Φανερὸν δ’ ὅτι καὶ πρὸς τὸν ζῳδιακὸν τῆς παραλλάξεως ταύτης θεωρουμένης οὐκ ἔσται μήκους παράλλαξις, ὀρθὴν γωνίαν πρὸς αὐτὸν ποιοῦντος τοῦ διὰ τῆς σελήνης καὶ τῆς ἐποχῆς αὐτῆς γραφομένου μεγίστου κύκλου, ἀλλὰ πλάτους μόνου. |
| 164 | Εἰ δ’ οὖν βουλοίμεθα καὶ διὰ τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν τοῦτον γνῶναι, τὴν διπλῆν γωνίαν τῶν ϙ τουτέστιν τὰς ρπ εἰσοίσομεν εἰς τὰς ἐν κύκλῳ εὐθείας, αὐτάς τε καὶ τὰς λειπούσας ταῖς ρπ, δηλονότι τὰ 𐆊 𐆊 , τὰ παρακείμενα ἐκθησόμεθα. παράκειται δὲ ταῖς μὲν ρπ εὐθεῖα ρκ, ταῖς δὲ 𐆊 𐆊 δηλονότι 𐆊 𐆊 . ὡς οὖν ρκ πρὸς 𐆊 𐆊 , οὕτως ἡ κατὰ πλάτος παράλλαξις πρὸς τὴν κατὰ μῆκος. ρκ δὲ ἐπὶ τὰ 𐆊 θ λε καὶ παρὰ τὰ ρκ, αὐτὰ ποιεῖ τὰ 𐆊 θ λε. ὥστε ὅλα ἐστὶν τὰ τοῦ πλάτους, μήκους δὲ 𐆊 𐆊 , ἐπὶ τῆς μεγίστης διαφορᾶς περιφερείας καὶ γωνίας, τουτέστιν περιφερείας μοιρῶν ε καὶ γωνίας ὀρθῆς. Ἴδωμεν δὲ ἑξῆς καὶ μιᾶς οὔσης μόνης διαφορᾶς ἐν ταῖς περιφερείαις τουτέστιν μοιρῶν πάλιν ε, πόσα ἑξηκοστὰ τῆς παραλλάξεως συνάγεται· δηλονότι τοῦ διὰ τῶν πόλων τοῦ ὁρίζοντος καὶ τοῦ κέντρου σελήνης ὀρθοῦ πρὸς τὸν ζῳδιακὸν ὄντος, καὶ ἑνὸς καὶ τοῦ αὐτοῦ κύκλου γινομένου τοῦ διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν καὶ τῆς ἀκριβοῦς ἐποχῆς σελήνης καὶ τοῦ διὰ τοῦ κατὰ κορυφήν, καὶ τοῦ κέντρου σελήνης οὔσης ἐν τῷ λοξῷ, μηκέτι δὲ καὶ τοῦ ζῳδιακοῦ διὰ τῶν πόλων τοῦ ὁρίζοντος ὄντος. Ἔστω δὲ πάλιν ἡ σελήνη περιγειοτάτη, καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ πόλου τοῦ ὁρίζοντος διάστασις ἐπὶ μὲν τὴν ἐποχὴν αὐτῆς μοιρῶν ι, ἐπὶ δὲ τὸ κοινὸν σημεῖον σελήνης καὶ λοξοῦ μοιρῶν ε· ὥστε τὴν μεγίστην διαφορὰν γίνεσθαι τῶν περιφερειῶν μοιρῶν ε. φανερὸν γὰρ ὅτι γωνιῶν οὐκ ἔστιν διαφορά· ὀρθὴν γὰρ ποιεῖ πρὸς τὸν ζῳδιακὸν γωνίαν καὶ ἡ διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν καὶ τῆς ἐποχῆς σελήνης, καὶ ἡ διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν καὶ τοῦ κέντρου σελήνης οὔσης ἐν τῷ λοξῷ. |
| 165 | γίνεται ἄρα παραλλάξεως ἐπὶ μὲν τοῦ διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν καὶ ἀκριβοῦς ἐποχῆς σελήνης σημείου τοῦ ζῳδιακοῦ 𐆊 ιη λ, ἐπὶ δὲ τοῦ διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν καὶ σελήνης ἐπὶ τοῦ λοξοῦ οὔσης 𐆊 θ λε· ἔστιν γὰρ ἡ ἀπὸ τοῦ πόλου ὁρίζοντος ἐπὶ τὸ κέντρον σελήνης μοιρῶν ε. διαφορὰ τοίνυν τῶν δύο παραλλάξεων 𐆊 η νε ἔλασσον αὐτῶν 𐆊 θ λε. Καὶ πάλιν ἐὰν ὑποθώμεθα τὴν μὲν μεγίστην διαφορὰν τῶν περιφερειῶν μοιρῶν ε, τὴν δὲ ἀπὸ τοῦ πόλου τοῦ ὁρίζοντος ἐπὶ τὸ ἀκριβὲς σελήνης σημεῖον μοιρῶν ιε, εὑρήσομεν τὴν διαφορὰν τῶν παραλλάξεων ἐλάσσονα καὶ τῶν 𐆊 θ λε καὶ τῶν 𐆊 η νε. ἔστιν γὰρ παραλλάξεως ἐπὶ τῆς οὔσης περιφερείας μοιρῶν ιε, 𐆊 κζ ιε. ἦν δὲ καὶ ἡ ἐπὶ τῆς περιφερείας τῆς οὔσης μοιρῶν ι, 𐆊 ιη λ. ὧν ἡ διαφορὰ 𐆊 η με. ἐὰν δὲ μεταλάβωμεν ἀπὸ τῶν ἐπὶ τοῦ ὀρθοῦ τῷ ὁρίζοντι ἐπὶ τὸν ζῳδιακόν, ὅλαι τοῦ πλάτους ἔσονται, κατὰ μῆκος παραλλάξεως μὴ γινομένης. Ἐὰν δὲ ὑποθώμεθα τὴν ἀπὸ τοῦ πόλου τοῦ ὁρίζοντος ἐπὶ τὸ ἀκριβὲς σημεῖον ζῳδιακοῦ μοιρῶν κ παραλλάξεως γίνεται 𐆊 λϛ. ἦν δὲ καὶ ἡ τῶν ιε μοιρῶν παράλλαξις 𐆊 κζ ιε. διαφορὰ ἄρα 𐆊 η με. καὶ ἔστιν ἐλάσσονα μὲν τῶν 𐆊 θ λε, ἴσα δὲ τοῖς γενομένοις διαφόροις ἐπὶ τῶν ιε μοιρῶν οὔσης περιφερείας καὶ ἐπὶ τῶν ι μοιρῶν οὔσης 〈περιφερείασ〉. |
| 166 | ἐχρῆν δὲ αὐτὰ ἐλάσσονα εἶναι τῶν 𐆊 η με καὶ μὴ ἴσα. Γραμμικώτερον δὲ δείκνυται ὅτι τὸ διάφορον τῶν παραλλάξεων ἐπὶ τῶν καθ’ ὑπεροχὴν ἴσων περιφερειῶν μεῖζον δείκνυται πρὸς τῷ μεσημβρινῷ ἤπερ τῶν ἀπώτερον τοῦ μεσημβρινοῦ. δῆλον οὖν ὅτι παρὰ τοὺς ἐπιλογισμοὺς γέγονεν συνδραμεῖν τὸ ἀδύνατον τοῦτο. Τῆς δὲ σελήνης μοῖραν α 𐅵 ʹ ἀπεχούσης 〈τοῦ κατὰ κορυφὴν〉 [κατὰ πλάτος τοῦ ζῳδιακοῦ] τῶν ἄλλων ὁμοίως ὑποκειμένων καὶ κατὰ τὸν βʹ ὅρον τῆς σελήνης οὔσης, παρακείμενά ἐστιν γʹ μὲν σελιδίου 𐆊 α κε, δʹ δὲ 𐆊 𐆊 ιζ, καὶ ζʹ ἑξηκοστὰ ξ. ταῦτα ἐπὶ τὰ 𐆊 𐆊 ιζ γίνεται 𐆊 𐆊 ιζ. ταῦτα προσθέντες τοῖς ο α κε, γίνεται 𐆊 α μβ. (περὶ δὲ τὸ μέσον ἀπόστημα, γίνεται ἑξηκοστῶν α 𐅵 ʹ). ὅπερ σπανίως συμβαίνει· πολλὰ γὰρ δεῖ συνδραμεῖν ἵνα ἢ ἐν ταῖς ἡλιακαῖς ἐκλείψεσιν 〈ἢ〉 ἐν ταῖς ἄλλαις παρόδοις τῆς σελήνης τὸ μέγιστον διάφορον τῶν παραλλάξεων γένηται. «Ἡ μέντοι μέθοδος ἡ πρὸς τὴν τοιαύτην διόρθωσιν τῶν τε γωνιῶν καὶ «τῶν περιφερειῶν γένοιτ’ ἂν προχείρως τοῖς βουλομένοις ὡς ἐν οὕτως «μικροῖς λόγοις ...» καὶ τὰ ἑξῆς ἄχρι τέλους. Ὑποδείγματος γὰρ ἕνεκεν, ὑποκείσθω ἡ μὲν ΒΖ περιφέρεια μοιρῶν με, ἡ δ’ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία τοιούτων λ, οἵων εἰσὶν αἱ δ ὀρθαὶ τξ. |
| 167 | ἑκατέρα δὲ τῶν ΔΒ, ΒΕ περιφερειῶν μοιρῶν ε. ἔσται ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία τῶν αὐτῶν λ. οἵων δ’ αἱ β ὀρθαὶ τξ τοιούτων ξ. καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς [Omitted graphic marker] ΒΛ εὐθείας περιφέρεια μοιρῶν ξ, ἡ δ’ ἐπὶ τῆς ΛΕ τῶν αὐτῶν μοιρῶν ρκ, οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ ΒΛΕ τρίγωνον γραφόμενος κύκλος τξ. Ἐπεὶ οὖν παράκειται ἐν τῷ κανόνι τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν ταῖς μὲν ξ μοίραις εὐθεῖα τμημάτων ξ, ταῖς δὲ ρκ μοίραις εὐθεῖα τμημάτων ρδ ἔγγιστα, ἔσται διὰ τοῦτο καὶ τῆς ΒΛ πρὸς ΛΕ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ ὃν ἔχει τὰ ξ πρὸς τὰ ρδ ἔγγιστα. τῶν δ’ αὐτῶν ἐστιν καὶ ἡ ΕΒ ρκ. καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΒ εὐθεῖα τμημάτων ε, τοιούτων ἔσται ἡ μὲν ΒΛ τμημάτων β λ, ἡ δὲ ΛΕ τμημάτων δ κ· τὸ μὲν γὰρ ὑπὸ τῶν ξ καὶ τῶν ε γινόμενον τ, ἴσον ἔσται τῷ ὑπὸ τῶν β λ καὶ τῶν ρκ· τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ρδ καὶ ε γινόμενον ἴσον ἔσται τῷ ὑπὸ τῶν δ κ καὶ τῶν ρκ, γίνεται γὰρ καὶ τοῦτο φκ. |
| 168 | καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΛ εὐθεῖα καὶ ἴση ἡ ΒΚ εὐθεῖα, μοιρῶν ἐστιν β λ, ἡ δὲ ΒΖ ὑπόκειται μοιρῶν με, ἔσται καὶ ἡ μὲν ΖΛ εὐθεῖα μοιρῶν μβ λ, ἡ δὲ ΖΚ μοιρῶν μζ λ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΛΕ εὐθεῖα αὐτή τε καὶ ἡ ΔΚ εὐθεῖα μοιρῶν δ κ. καὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΖΕ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΛ, ΛΕ ͵ αωκε β, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΖΔ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΚ, ΚΔ ͵ βσοε β. ἔσται ἄρα καὶ ἡ μὲν ΖΕ πλευρὰ μοιρῶν μβ νϛ ἔγγιστα, ἡ δὲ ΖΔ πλευρὰ μοιρῶν μζ νδ. Καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἄρα κατὰ κορυφὴν σημείου ἐπὶ τὴν ἀκριβῆ σελήνην βορειοτέραν μένουσαν τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρεια μοιρῶν ἔσται σύνεγγυς μβ νϛ· νοτιωτέραν δὲ οὖσαν τοῦ ζῳδιακοῦ μοιρῶν ἔσται σύνεγγυς μζ νδ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶν τῆς ΖΕ πρὸς τὴν ΕΛ ὁ αὐτὸς τῷ ὃν ἔχει τὰ μβ νϛ πρὸς τὰ δ κ, τῆς δὲ ΖΔ πρὸς τὴν ΔΚ ὁ αὐτὸς τῷ ὃν ἔχει τὰ μζ νδ πρὸς τὰ δ κ, ἔσται καὶ τῆς μὲν ΖΕ πρὸς τὴν ΕΛ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ ὃν ἔχει τὰ ρκ πρὸς τὰ ιβ ηʹ ἔγγιστα, τῆς δὲ ΖΔ πρὸς τὴν ΔΚ ὁ αὐτὸς τῷ ὃν ἔχει τὰ ρκ πρὸς τὰ ι 𐅵 ʹ γʹ ἔγγιστα. καὶ γὰρ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν μβ νϛ καὶ τῶν ιβ ηʹ γινόμενον φκ ἴσον ἐστὶν ἔγγιστα τῷ ὑπὸ τῶν δ κ καὶ ρκ. τὸ δὲ ὑπὸ τῶν μζ νδ καὶ ι 𐅵 ʹ γʹ γινόμενον φκ, ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν δ κ καὶ ρκ. ἐπεὶ οὖν παράκειται ἐν τῷ κανόνι τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν, τῇ μὲν τῶν ιβ ηʹ εὐθείᾳ μοῖραι ια γ ε, τῇ δὲ τῶν ι 𐅵 ʹ γʹ μοῖραι ι γʹ ἔγγιστα, ἔσται δηλονότι καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΕ γωνία τοιούτων ια καὶ γε οἵων εἰσὶν αἱ β ὀρθαὶ τξ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΖΔ τῶν αὐτῶν ι γʹ. καὶ οἵων ἄρα εἰσὶν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ἔσται ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΕ γωνία ε καὶ δε, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΖΔ, ε ϛʹ. ὑπόκειται δὲ ἡ ὑπὸ ΖΒΑ γωνία μοιρῶν λ, οἵων ἐστίν. ἡ α ὀρθὴ ϙ. ἔσται ἄρα διὰ τοῦτο καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΘΖ γωνία μοιρῶν κδ εʹ, οἵων ἡ μία ὀρθὴ ϙ, ἡ δ’ ὑπὸ τῶν ΑΗΖ γωνία μοιρῶν λε ϛʹ, οἵων ἐστὶν ἡ μία ὀρθὴ ϙ. Τὰ μὲν οὖν κατὰ τὴν λέξιν μέχρι τοσούτων εἰρήσθω. |
| 169 | δῆλον δὲ καὶ τοῦτο, ὡς ἐν ταῖς ἡλιακαῖς ἐκλείψεσιν ἐπιζητοῦντες τὴν κατὰ μῆκος καὶ πλάτος τοῦ ἡλίου παράλλαξιν εὑρεῖν, τῇ αὐτῇ ἀναλογίᾳ χρησόμεθα ᾗ καὶ ἐπὶ τῆς σελήνης ἀνώτερον ὑπεδείξαμεν· κατά τε τὴν ἀρχὴν τοῦ ζῳδίου καὶ κατὰ τὸ τέλος ἐν ᾧ ἐστιν ἡ ἀκριβὴς μοῖρα τῆς συνόδου λαμβανομένων τῶν ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου ἐπὶ τὸν ἥλιον περιφερειῶν, αἱ αὐταὶ δὲ γίνονται ταῖς ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου ἐπὶ τὴν σελήνην· καὶ τῆς ἐπὶ τοῦ διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν κύκλου παραλλάξεως τοῦ ἡλίου διακρινομένης εἰς τὴν πρὸς τὸν ζῳδιακὸν κατὰ μῆκος καὶ πλάτος παράλλαξιν, διὰ τοῦ τῶν γωνιῶν κανόνος καὶ τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν. Πάππου ἀλεξανδρέως εἰς τὸ ϛʹ τῶν Κλαυδίου Πτολεμαίου μαθηματικῶν σχόλιον. |
| 171 (1t) | Ἐν τῷ εʹ βιβλίῳ τῶν μαθηματικῶν ὑπὸ τοῦ Πτολεμαίου, πρώτῳ κεφαλαίῳ, τοῦ ἀστρολάβου κατασκευή τε καὶ χρῆσις ὑποδέδεικται. 〈δευτέρῳ〉 μὲν ἦν ἡ πρὸς τὴν διπλῆν ἀνωμαλίαν τῆς σελήνης ὑπόθεσις, διόρθωσιν λαβούσης τῆς πρώτης· καὶ κατὰ τὴν μῖξιν ἀμφοτέρων τῶν ἀνωμαλιῶν τῆς τε πρώτης καὶ δευτέρας τὸ μέγιστον διάφορον μοιρῶν ζ 𐅵 ʹ, συναγουσῶν ἐν τοῖς μέσως θεωρουμένοις διχοτόμων τῆς σελήνης σχηματισμοῖς. εἶτα ὅτι λόγος ἐστὶν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου πρὸς τὴν μεταξὺ τῶν κέντρων ὄψεως καὶ ἐκκέντρου, ὁ τῶν μθ μα πρὸς τὰ ι ιθ, ἀπεδείχθη τρίτῳ κεφαλαίῳ· ᾧ λόγῳ ὁ αὐτός ἐστιν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου πρὸς τὴν μεταξὺ τῶν κέντρων ὄψεως καὶ ἐκκέντρου, ὁ τῶν ξ πρὸς τὰ ιβ κη. εἶτα, ἐπὶ τοῦ τετάρτου κεφαλαίου, ὅτι ἡ διὰ τοῦ ὁμαλοῦ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου διάμετρος προσνεύει πρὸς τὸ σημεῖον τὸ ἴσην ἄπεχον διάστασιν τῇ μεταξὺ τῶν κέντρων καὶ ἐπὶ τὰ ἐναντία τῷ κέντρῳ τοῦ ἐκκέντρου. μετὰ δὲ ταῦτα, κεφαλαίῳ εʹ, πῶς διὰ τῶν γραμμῶν ἡ ἀκριβὴς τῆς σελήνης κατὰ μῆκος μοῖρα λαμβάνεται. τῷ δὲ ἕκτῳ πῶς ὁ κανὼν τῆς καθόλου σεληνιακῆς ἀνωμαλίας πεπραγμάτευται. |
| 172 | μετὰ δὲ τὸν κανόνα, τῷ ζʹ κεφαλαίῳ, περὶ τῆς καθόλου σεληνιακῆς ψηφοφορίας μέθοδος ὑποδέδεικται. εἶτα, τῷ ηʹ κεφαλαίῳ, ὅ μηδὲν αἰσθητὸν γίνεται διάφορον ἐν ταῖς συζυγίαις παρὰ τὸ μὴ συγκεχρῆσθαι τῇ δευτέρᾳ ὑποθέσει καὶ παρὰ τὸν ἔκκεντρον γινομένῃ. καὶ ἑξῆς, ἐπὶ τοῦ θʹ κεφαλαίου, περὶ τῶν τῆς σελήνης παραλλάξεων διάληψίς ἐστιν, καὶ ὑπόδειξίς τε καὶ χρῆσις ὀργάνου παραλλακτικοῦ, δι’ οὗ τετήρηται ἡ σελήνη ἐν Ἀλεξανδρείᾳ μηδέποτε πλέον μοιρῶν β καὶ ηʹ ἀποστᾶσα τοῦ κατὰ κορυφὴν ἡμῶν σημείου ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ· τοσαύτας γὰρ περὶ τὴν τοῦ Καρκίνου ἀρχὴν οὖσα ὤφθη πολλάκις ἀφεστηκυῖα, ὡς ἐκ τῆς τοιαύτης ἐξετάσεως ε μοιρῶν ἀποδείκνυσθαι τὴν κατὰ πλάτος αὐτῆς ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων πάροδον, ἐπεὶ τὸ μὲν ἔξαρμα Ἀλεξανδρείας ἐστὶν μοιρῶν λ νη, ἡ δὲ μεταξὺ τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ μοιρῶν κγ να ἔγγιστα. εἶτα, ἐπὶ τοῦ δεκάτου κεφαλαίου, ἀπόδειξίς ἐστιν τῶν τῆς σελήνης ἀποστημάτων, ἐν ᾧ τὴν καθόλου πρῶτον παράλλαξιν διὰ τοῦ παραλλακτικοῦ ὀργάνου μοίρας α καὶ ἑξηκοστῶν ζ εὑρὼν καὶ ὑποθέμενος αὐτὴν τὸ κατὰ τὸν χρόνον τῆς τηρήσεως ἀπόστημα, δεικνύσει τοιούτων λθ με οἵου ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς γῆς ἑνός· καὶ τούτου δοθέντος δίδοται τῶν αὐτῶν τὸ κατὰ τὰς συζυγίας μέσον ἀπόστημα νθ 𐆊 , ἡ δ’ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου ε ι, τὸ δὲ κατὰ τὰς διχοτόμους μέσον ἀπόστημα λη μγ· ὥστε καὶ τὸ μὲν τοῦ πρώτου ὅρου γίνεσθαι ξδ ι, τὸ δὲ τοῦ δευτέρου νγ ν, τὸ δὲ τοῦ τρίτου μγ νγ, τὸ δὲ τοῦ τετάρτου λγ λγ· ἑξῆς δέ ἐστιν κεφάλαιον περὶ τῆς πηλικότητος τῶν ἐν ταῖς συζυγίαις φαινομένων διαμέτρων ἡλίου καὶ σελήνης καὶ σκιᾶς, ἐν ᾧ ἀπεδείχθη κατὰ τὸ μέγιστον ἀπόστημα τῆς σελήνης οὔσης ἡ διάμετρος ὑποτείνειν μεγίστου κύκλου ἑξηκοστῶν μιᾶς μοίρας λα γʹ ὅσα καὶ ἡ τοῦ ἡλίου διάμετρος ὑποτείνει τοῦ ἰδίου κύκλου ἡ δὲ τῆς σκιᾶς κατὰ τοῦτο τὸ ἀπόστημα μοῖραν α καὶ Γ β ἔγγιστα. |
| 173 | ἐπὶ τοῦ ιαʹ κεφαλαίου, ὅτι οἵου ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς γῆς ἑνός, τοιούτων τὸ μὲν τῆς σελήνης ἐν ταῖς συζυγίαις μέσον ἀπόστημα νθ, τὸ δὲ τοῦ ἡλίου, ͵ ασι, τὸ δ’ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς γῆς μέχρι τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου τῆς σκιᾶς σξη. ἀπὸ δὲ τῶν διαμέτρων ἡλίου καὶ σελήνης καὶ γῆς ἐπὶ τοῦ δωδεκάτου κεφαλαίου φανερὸς καὶ ὁ τῶν στερῶν μεγεθῶν λόγος γεγένηται· οἵου μὲν γάρ ἐστιν ἡ τῆς σελήνης διάμετρος ἑνός, τοιούτων ἡ μὲν τῆς γῆς γ κδ, ἡ δὲ τοῦ ἡλίου ιη μη· οἵου δὲ ἑνὸς τὸ στερεὸν μέγεθος τῆς σελήνης, τοιούτων τὸ μὲν τῆς γῆς λθ, τὸ δὲ τοῦ ἡλίου ͵ ϛχμδ 𐅵 ʹ, ἑκατονκαιεβδομηκονταπλάσιον δὲ τὸ τοῦ ἡλίου τοῦ τῆς γῆς. ἐπὶ τέλει δὲ, κατὰ τὸ ιγʹ κεφάλαιον, περὶ τῶν κατὰ μέρος παραλλάξεων λόγος ἐστὶν ἐφ’ ᾧ καὶ τὸ κανόνιον ἐκκεῖται περιέχον τοὺς ἀριθμοὺς ἡλίου καὶ πρώτου ὅρου σελήνης καὶ δευτέρου ὅρου καὶ τρίτου καὶ τετάρτου καὶ τὰ λοιπὰ τρία σελίδια ζʹ, ηʹ, θʹ, τῶν ἑξηκοστῶν, ἀφ’ ὧν αἱ κατὰ μῆκός τε καὶ πλάτος παραλλάξεις λαμβάνονται, συμπαραλαμβανομένου αὐτοῖς καὶ τοῦ τῶν γωνιῶν κανόνος· τὰς γὰρ πρὸς τὸν λοξὸν κύκλον γινομένας περιφερείας τε καὶ γωνίας καὶ δηλονότι παραλλάξεις, ὡς μηδὲν αἰσθητὸν διάφορον ποιούσας δείξας διὰ τῶν θεωρημάτων ἐν ταῖς ἡλιακαῖς ἐκλείψεσιν, παρεπέμψατο. Ταῦτα μὲν οὖν ἡμῖν ὡς ἐν περιοχῆς λόγῳ ὑπομνήσεως ἕνεκεν εἴρηται· ἀρξόμεθα δὲ κατὰ τὸ ἀκόλουθον ἤδη καὶ τὴν τοῦ ἕκτου βιβλίου ἐξήγησιν ποιήσασθαι λαβόντες ἀρχὴν ἐντεῦθεν. Πραγματεία κανονίων μέσων συζυγιῶν. |
| 174 (1t) | «Πρῶτον μὲν γάρ, ἵνα πάλιν καὶ τὰς τῶν μηνῶν τῶν σεληνιακῶν ἐποχάς, «ὥσπερ καὶ τὰς ἄλλας ...» ἐποχὰς ἡλίου καὶ σελήνης καὶ ἀστέρων «ἀπὸ τοῦ «πρώτου ἔτους Ναβονασσάρου συστησώμεθα, τὴν ἀποδεδειγμένην ...» ἐν τῷ τετάρτῳ κατὰ τὸ πρῶτον τοῦτο ἔτος τῆς τοῦ Θὼθ κατ’ αἰγυπτίους ἐν τῇ νεομηνίᾳ μεσημβρίας ἐπίληψιν, μετὰ κύκλους ἀποχῆς μοιρῶν οὖσαν ο λζ, μερίσαντες παρὰ τὸ ἡμερήσιον τῆς ἀποχῆς μέσον κίνημα μοίρας ιβ ια κϛ ἔγγιστα, εὕρομεν ἡμέρας ε μζ λγ· ὡς πρὸ τοσούτων γεγονέναι τὴν ἐν τῇ νεομηνίᾳ τοῦ Θὼθ μεσημβρίας προγεγονυῖαν μέσην σύνοδον Ὑδροχόῳ μοίραις κε γ. ἐν γὰρ ταῖς ε ἡμέραις καὶ ὥραις ιθ [ν], ὁ ἥλιος μέσως κινεῖται μοίρας ε μβ· καὶ ἦ 〈ν ἡ〉 τοῦ ἡλίου ἐποχὴ 𐆊 με Ἰχθύσι Θὼθ α ὥρᾳ ϛʹ. «Καὶ ἡ ἑξῆς ἄρα, φησίν, γέγονεν μετὰ ἡμέρας κγ μδ ιζ ἔγγιστα «τῆς αὐτῆς μεσημβρίας, τουτέστιν μετὰ ἑξηκοστὰ ἡμέρας μιᾶς μδ ιζ «τῆς ἐν τῇ κδʹ μεσημβρίας». Εὐλόγως· ἀπὸ γὰρ τοῦ μέσου μηνιαίου χρόνου ἡμερῶν ὄντος κθ λα ν ἔγγιστα ἐὰν ἀφέλωμεν τὰς ε μζ λγ ἡμέρας, καταλείπονται ἡμέραι κγ μδ ιζ ἔγγιστα. |
| 175 | ὡς μετὰ ἑξηκοστὰ ἡμέρας μιᾶς μδ ιζ τῆς ἐν τῇ κδʹ τοῦ Θὼθ μεσημβρίας γεγονέναι τὴν μέσην σύνοδον· τουτέστιν μετὰ ὥρας ἰσημερινὰς τῆς αὐτῆς μεσημβρίας ιζ 𐅵 ʹ εʹ οεʹ, τῶν ξ ἑξηκοστῶν δηλονότι ποιούντων ἡμέραν μίαν. ἐγένετο δὲ καὶ αὐτὴ Ἰχθύσι μοίραις κδ θ. Τὰ δὲ συναγόμενα ἑξηκοστὰ μετοίσομεν εἰς ὥρας ἰσημερινὰς οὕτως· ἐπεὶ γὰρ τὸ νυχθήμερον ὑπέθετο ἑξηκοστῶν ξ, τοῦτο δέ ἐστιν χρόνων τξ, οἵ εἰσιν ἑξαπλάσιοι τοῦ ξ ἀριθμοῦ, ἑξάκις ἄρα ποιήσαντες τὰ συναγόμενα ἑξηκοστὰ καὶ μερίσαντες παρὰ τοὺς ἐπιβάλλοντας χρόνους ιε τῇ α ὥρᾳ ἰσημερινῇ, ἕξομεν ὥρας ἰσημερινάς· οἷον τὰ μδ ιζ ἑξάκι γενόμενα ποιεῖ ὡς χρόνους σξε μβ περιέχοντας ὥρας ἰσημερινὰς τὰς προκειμένας ὥρας ιζ 𐅵 ʹ εʹ οε ἔγγιστα. ἢ τὰ μδ ιζ ἑξηκοστὰ εἰς ξ, γίνεται ͵ βχνζ· παρὰ τὸν ρν, γίνονται ὥραι ιζ 𐅵 ʹ εʹ οεʹ. «Ἐπεὶ δὲ ἐν κε ἔτεσιν αἰγυπτιακοῖς λείπουσι μιᾶς ἡμέρας ἑξηκοστοῖς β μζ ε, ὅλοι τε μῆνες ἔγγιστα ἀπαρτίζονται ..» Ἐὰν γὰρ τὰ κε ἔτη αἰγυπτιακὰ πολυπλασιάσωμεν ἐπὶ τὰς τοῦ αἰγυπτιακοῦ ἐνιαυτοῦ ἡμέρας τξε, καὶ ἀπὸ τῶν γενομένων ἡμερῶν ͵ θρκε τὰ β μζ ε ἑξηκοστά, καταληφθήσονται ἡμῖν ἡμέραι ͵ θρκδ νζ ιβ νε. αὗται δὲ μεριζόμεναι παρὰ τὰς τοῦ μέσου μηνιαίου χρόνου τῆς σελήνης ἡμέρας κθ λα ν η ἔγγιστα ποιήσουσιν ἀπαρτιζομένους μῆνας τθ ἔγγιστα. |
| 176 | καὶ ἀνάπαλιν οἱ τθ μῆνες πολυπλασιασθέντες ἐπὶ τὰς κθ λα ν η ἡμέρας, ποιοῦσιν τὰς ͵ θρκδ νζ ιβ νε, λειπούσας εἰς ὅλας ἡμέρας ͵ θρκε ἑξηκοστοῖς β μζ ε. γίνονται οὖν κύκλοι ιϛ ἐκ μηνῶν ιβ, ρϙβ, καὶ πλήρεις θ, ἐκ μηνῶν ιγ, ριζ. καὶ τῷ κεʹ ἔτει, εἰς ὅλους μῆνας ιβ, ἡμέραι γίνονται κθ κθ γ, ἐλλειποῦσαι 𐆊 β μζ εἰς ὅλους μῆνας τθ «Καὶ ἐπιλαμβάνει μεθ’ ὅλους κύκλους μέσως ὁ μὲν ἥλιος μοίρας «τνγ νβ λδ ιγ· ἡ δὲ σελήνη ἀνωμαλίας μὲν μοίρας νζ κα μδ 〈α〉, «πλάτους δὲ μοίρας ριζ ιβ μθ νδ. |
| 177 | » Τοῖς γὰρ ιη ἔτεσιν ἡλίου μοῖραί εἰσιν τνε λζ κε λϛ, καὶ τοῖς ζ ἔτεσιν μοῖραι παράκεινται τνη ιζ νγ ιζ. γίνονται μοῖραι τνγ νε ιη νγ. ἀφ’ ὧν τῇ [πρώτῃ] ὥρᾳ α ιʹ οεʹ, β μδ μ, λοιπαὶ γίνονται τνγ νβ λδ ιγ. Καὶ πάλιν ἀνωμαλίας σελήνης τοῖς ιη ἔτεσιν, μοῖραι ρνϛ νϛ ιδ λϛ καὶ τοῖς ζ ἔτεσιν μοῖραι σξα α νβ 〈κ〉. καὶ γίνονται μοῖραι νζ νη ϛ νϛ ἀφ’ ὧν ὥρᾳ α ιʹ οεʹ ἔγγιστα 𐆊 λϛ κβ νε, λοιπαὶ γίνονται μοῖραι ἀνωμαλίας νζ κα μδ α. Πλάτους δὲ ὁμοίως τοῖς ιη ἔτεσιν ρνϛ ν θ μθ. καὶ τοῖς ζ ἔτεσιν τκ νθ λ. κθ ἀφ’ ὧν ὥρᾳ α ιʹ οεʹ ἔγγιστα 𐆊 λϛ ν κδ, λοιπαὶ γίνονται ριζ ιβ μθ νδ. «Ἐπὶ δὲ τοῦ δευτέρου τὰς ἐπιλαμβανούσας ἐν τοῖς ιγ μησὶν ἡμέρας «ιη νγ να μη...» Ἡ γὰρ τρισκαιδεκάμηνος ἡμερῶν ἐστιν τπγ νγ να μη. |
| 178 | ἀφ’ ὧν τὰς τοῦ αἰγυπτιακοῦ ἐνιαυτοῦ ἡμέρας τξε εἰς ἔτος ἓν λογισάμενος τῷ πρώτῳ σελιδίῳ, τὰς καταλειπομένας ἡμέρας ιη νγ νβ ἔγγιστα παρέθηκεν ν τῷ δευτέρῳ σελιδίῳ τῷ πρώτῳ ἔτει. ἃς καὶ παραυξήσας ταῖς δωδεκαμήνου ἡμέραις τνδ κβ β ἔγγιστα, ἀκριβῶς δὲ κβ α λϛ, ἀπὸ τῶν γενομένων τογ ιε νγ ἔγγιστα ἀφεῖλεν ὁμοίως τξε. καὶ τὰς καταλειπομένας η ιε νγ παρέθηκεν τῷ δευτέρῳ ἔτει. καὶ ἐπὶ τῶν ὑποκειμένων δὲ στίχων ὁμοίως πεποίηκεν, ποτὲ μὲν τνδ κβ β ἔγγιστα προσθείς, ποτὲ δὲ τπγ νγ νβ ἔγγιστα, μέχρι τῶν κδ ἐτῶν αἰγυπτιακῶν ἐχόντων ἐπουσίαν ἡμερῶν ι λε ια εἰς μῆνας ὅλους ἀπαρτιζομένους ςϙζ. τοσοῦτοι γὰρ γίνονται ἐν τοῖς κδ αἰγυπτιακοῖς ἔτεσιν πρὸς ταῖς ι λε ια ἔγγιστα ἡμέρας. «Ἐπὶ δὲ τοῦ τρίτου, τὰς ἐν τῷ τοσούτῳ χρόνῳ τῆς ἡλιακῆς ἐπουσίας «μοίρας ιη κβ νθ ιη...» καὶ τὰ ἑξῆς. Εἰσὶν γὰρ ἡλίου τοῦ ἑνὸς ἔτους μοῖραι τνθ με κδ με, τῶν ιη ἡμερῶν μοῖραι ιζ μδ κθ θ, τῶν ὡρῶν κα 𐅵 ʹ λʹ οεʹ, ἔγγιστα 𐆊 νγ ε κδ· γίνεται ιη κβ νθ ιη. ἀνωμαλίας δὲ σελήνης, τοῖς αὐτοῖς χρόνοις παράκεινται πη μγ ζ κθ καὶ σλε ι ι νγ, καὶ ια μγ μγ κθ· γίνονται τλε λζ α να. πλάτους δὲ μοῖραι ρμη μβ μζ ιβ καὶ μοῖραι σλη ζ μα νζ καὶ ια νβ λδ μβ· γίνονται μοῖραι λη μγ γ να. ». |
| 179 | .. αἳ συνάγουσιν ἡμέρας μὲν τνδ κβ α μ, μοίρας δὲ τῆς μὲν ἡλιακῆς «ἐποχῆς τμθ ιϛ λϛ ιϛ ...» καὶ τὰ ἑξῆς. Ταῖς γὰρ ἡμέραις τλ μοῖραί εἰσιν ἡλίου τκε ιε λδ μγ, καὶ ταῖς κδ ἡμέραις μοῖραι κγ λθ ιη νγ, καὶ ταῖς ὥραις η 𐅵 ʹ δʹ κʹ ἔγγιστα κα μβ μ· γίνονται μοῖραι τμθ ιϛ λϛ ιϛ. ἀνωμαλίας σελήνης τοῖς αὐτοῖς χρόνοις εἰσὶν μοῖραι τνα κϛ λθ λη καὶ τιγ λγ λδ λα καὶ δ μζ μζ λγ· γίνονται μοῖραι τθ μη α μβ. πλάτους δὲ τοῖς αὐτοῖς χρόνοις εἰσὶν μοῖραι με μα η νθ καὶ μοῖραι τιζ λ ιε νϛ καὶ μοῖραι δ να κδ μζ· γίνονται μοῖραι η β μθ μα. Ὡς δεῖ τὰς περιοδικὰς καὶ τὰς ἀκριβεῖς συζυγίας ἐπισκέπτεσθαι. |
| 180 (1t) | »... Μετὰ τὰ ἴσα ἑξηκοστὰ τῆς ἐν τῇ δʹ τοῦ Φαωφὶ μεσημβρίας.» Ὅταν γὰρ εἰς τὸν Φαωφὶ μῆνα ἢ ὕστερον ὁ ἐκείνου τοῦ ἐπιζητουμένου ἔτους τῆς πρώτης γινομένης συζυγίας ἐκπίπτῃ χρόνος, ἀπὸ τούτου τοῦ χρόνου καὶ οὐκ ἀπὸ τοῦ Θὼθ τὴν σύνθεσιν τῶν μηνῶν ἐπιλογίζεσθαι δεήσει. Ἔνεστι δὲ τὴν ἐπισύνθεσιν τῶν μηνῶν ποιεῖσθαι καὶ οὕτως· οἷον ἐὰν ἀπὸ τοῦ πρώτου ἔτους Ναβονασσάρου τῆς ἐν τῷ ͵ αξη ἔτει κατ’ αἰγυπτίους Τυβὶ συνοδικῆς ἐκλειπτικῆς συζυγίας τόν τε τόπον καὶ τὸν ἐν Ἀλεξανδρείᾳ χρόνον ἐθέλωμεν ἐπιγνῶναι, ληψόμεθα πρότερον τὰς ἀπὸ Θὼθ αʹ ἡμέρας τῶν πληρημήνων· εἰσὶν δὲ ρκ ἡμέραι ἃς καὶ ἀπογραψόμεθα. |
| 181 | ἔπειτα λαβόντες τὰ ἔτη ἕως τοῦ ζητουμένου ἔτους, τουτέστιν ἔτη ͵ αξη, παρακείμενα αὐτοῖς ἔν τε τῇ εἰκοσαπενταετηρίδι τῶν συνόδων καὶ τοῖς ἔτεσιν ἀπογραψόμεθα ὁμοίως, καὶ συνθέντες τὰς τοῖς χρόνοις παρακειμένας ἡμέρας ἐν ἑκατέρῳ σελιδίῳ, ἀφελοῦμεν αὐτὰς ἀπὸ τῶν ἀπογεγραμμένων ἀπὸ Θὼθ ἡμερῶν, οἵων τῶν ρκ. παράκεινται δὲ τῷ μὲν ͵ αναʹ ἔτει ἡμέραι κβ μζ κ, τοῖς ιζ ἔτεσιν ἡμέραι κε νζ ιθ· ὁμοῦ γίνονται ἡμέραι μη μδ λθ. καὶ λοιπαί εἰσιν ἡμέραι οα ιε κα. τούτων δὲ τῶν λοιπῶν ἡμερῶν τὸν πρώτως μείζονα ἀριθμὸν ἐν τῷ τῶν μηνῶν σελιδίῳ ἐπισκεψάμενοι, αὐτόν τε ἀπογραψάμενοι, παράκεινται δὲ μησὶν τρισὶν ἡμέραι πη λε λ, καὶ συνθέντες ὁμοῦ τά τε τῇ εἰκοσαπενταετηρίδι παρακείμενα καὶ τοῖς ἔτεσιν καὶ τοῖς μησίν, τὰς μὲν συναγομένας ἡμέρας ρλζ κ θ ἐκβαλοῦμεν ἀπὸ Θώθ. καὶ ἕξομεν ἐν τῷ δοθέντι κατ’ αἰγυπτίους μηνὶ τὴν ὁμαλὴν σύνοδον, τουτέστιν μετὰ ἑξηκοστὰ κ θ τῆς ἐν τῇ ιζʹ τοῦ Τυβὶ μεσημβρίας, τουτέστιν μετὰ χρόνους ρκ νδ. ἐὰν δὲ ἐλάττους ὦσιν αἱ τῶν πληρημήνων ἡμέραι τῶν συναγομένων ἐκ τοῦ πρώτου κανόνος καὶ τοῦ τρίτου, ἢ τῶν ἐκ τοῦ δευτέρου καὶ τρίτου, προσθέντες ἡμέρας τξε ταῖς ἡμέραις τῶν πληρημήνων, τότε ἀφελοῦμεν τὰς ἐκ τῶν κανόνων ἡμέρας· καὶ τὰ λοιπὰ ὁμοίως ποιήσομεν. ἀπογραψόμεθα δὲ καὶ τὰς ἐν τοῖς λοιποῖς σελιδίοις μετὰ κύκλων ἀφαιρέσεις μοίρας. συνάγονται δὲ ἐποχῆς μὲν ἡλίου μοῖραι ρμ ιβ νδ, ἀνωμαλίας δὲ σελήνης μοῖραι σλβ νϛ λδ, καὶ πλάτους μοῖραι σοδ μϛ μγ. Τοῦ δὲ ὡριαίου δρομήματος τῆς σελήνης τοῦ κατὰ τὰς μέσας συζυγίας ἡ λῆψις ἔσται φανερὰ διὰ καταγραφῆς καὶ τῶν ἀριθμῶν οὕτως. Ἐκκέντρου γὰρ ὄντος τοῦ ΑΒΓ, περὶ διάμετρον τὴν ΑΔΓ καὶ κέντρον τὸ Δ, εἰλήφθω τὸ Κ κέντρον τοῦ ζῳδιακοῦ· καὶ περὶ τὸ Α κέντρον γε[Omitted graphic marker] γράφθω ὁ ΕΖΘ τῆς σελήνης ἐπίκυκλος ἀπόγειον ἔχων τὸ Ε καὶ περίγειον τὸ Ζ. |
| 182 | αὐτὴ δὲ ἡ σελήνη κατὰ τὸ Θ σημεῖον ἔστω, ἀπέχουσα τοῦ Ε ἀπογείου ἀνωμαλίας μοίρας σλβ νϛ. καὶ ἡ ΗΘ ἔστω μοίρας α, ἡ δὲ ΡΘ, 𐆊 λβ λθ τοῦ ὡριαίου δρομήματος οὖσα τῆς ἀνωμαλίας τῆς σελήνης καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΚ, ΡΚ, ΘΚ, ὥστε τὴν ὑπὸ ΖΚΘ γωνίαν γίνεσθαι μοιρῶν δ ιδ, τὴν δὲ ὑπὸ ΖΚΗ τοιούτων δ ιζ οἵων ἡ μία ὀρθὴ ϙ, καὶ λοιπὴν τὴν ὑπὸ ΗΚΘ τῶν αὐτῶν 𐆊 γ. Ἐὰν οὖν ποιήσωμεν ὡς τὴν μίαν μοῖραν τὰ 𐆊 ξ τῆς ΝΘ περιφερείας πρὸς τὰ 𐆊 λβ λθ τῆς ΘΡ ἀνωμαλίας, οὕτως τὰ 𐆊 γ πρός τινα, ἔσται πρὸς 𐆊 α λη. ὥστε τὴν ὑπὸ ΘΚΡ γωνίαν γίνεσθαι τῶν αὐτῶν 𐆊 α λη. Καὶ κεκινήσθω ὁ ἐπίκυκλος καὶ τὸ κέντρον αὐτοῦ μήκους ὥρας α ἰσημερινῆς δρόμον 𐆊 λ νϛ τὴν ὑπὸ ΑΚΒ γωνίαν. καὶ περὶ τὸ Β γραφέντος τοῦ ΛΜΝ ἐπικύκλου, ἀπόγειον ἔστω τὸ Λ καὶ περίγειον τὸ Μ ἀκριβῶς. καὶ ἡ σελήνη ἔστω κατὰ τὸ Ν σημεῖον ἀπέχουσα τοῦ Λ ἀπογείου τὰς τῆς ἀνωμαλίας μοίρας σλβ νϛ· οὐδὲν γὰρ αἰσθητὸν γίνεται διάφορον τοῦ ὁμαλοῦ ἀπογείου πρὸς τὸ φαινόμενον τῷ τοσούτῳ χρόνῳ τῆς μιᾶς ὥρας ἰσημερινῆς. |
| 183 | Καὶ κείσθω δὴ τῇ ὑπὸ ΘΚΡ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΝΚΣ. ἡ ἄρα ὑπὸ ΝΚΣ ἔσται 𐆊 α λη. ἦν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΘΚΝ τῶν αὐτῶν 𐆊 λβ νϛ, ἴση οὖσα τῇ ὑπὸ ΑΚΒ. ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΚΣ γωνία ἔσται τῶν αὐτῶν 𐆊 λδ λδ. Προσεθήκαμεν δὲ τὰ 𐆊 α λη τοῖς 𐆊 λβ νϛ, ὅτι ὁ τῆς ἀνωμαλίας ἀριθμὸς τῶν σλβ νϛ ἐν τοῖς ὑποκάτω στίχοις τουτέστιν τοῖς ἀπὸ μοιρῶν ϙε ἕως σξε· ἐφαπτομένων γὰρ ἀκτίνων ἀπὸ τοῦ κ τοῦ ΛΜΝ ἐπικύκλου ἡ μεταξὺ τῶν ἐφαπτομένων περιφέρεια ἔχουσα τὸ περίγειον ὅλη προσθετική ἐστιν, ἡ δὲ λοιπὴ καὶ τὸ ἀπόγειον ἔχουσα ὁμοίως ἀφαιρετική. Περὶ τῶν ἐκλειπτικῶν ὁρῶν ἡλίου καὶ σελήνης. |
| 184 (1t) | «Ἀλλ’ ἐὰν μὲν η καὶ γʹ μοίρας ἀπέχῃ τῶν συνδέσμων ἐπὶ τοῦ λοξοῦ «κύκλου τὸ κέντρον τῆς σελήνης, μγ καὶ κʹ ἑξηκοστῶν μιᾶς μοίρας ἐπὶ «τοῦ διὰ τῶν πόλων αὐτοῦ γραφομένου μεγίστου κύκλου διίσταται τοῦ διὰ «μέσων· ὅταν δὲ ι μοίρας καὶ τρία πέμπτα τῶν συνδέσμων ἀπέχῃ κατὰ «τὸν λοξὸν κύκλον, νδ 𐅵 ʹ γʹ ἑξηκοστῶν μιᾶς μοίρας ἐπὶ τοῦ διὰ τῶν πόλων «αὐτοῦ γραφομένου μεγίστου κύκλου ...». Δέδεικται μὲν καὶ ἐν τοῖς εἰς τὸ πέμπτον σχολίοις ὡς δεῖ τὰς πρὸς ὀρθὰς τῷ λοξῷ τῆς σελήνης θεωρουμένα κατὰ πλάτος παρόδους λαμβάνεσθαι· ὑπομνήσομεν δὲ καὶ ἐνταῦθα. ἔστω γὰρ ὁ μὲν δι’ ἀμφοτέρων τῶν πόλων τοῦ τε διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου καὶ τοῦ λοξοῦ τῆς σελήνης ὁ ΑΒΓΔ· καὶ ζῳδιακοῦ μὲν ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΓ· τοῦ δὲ λοξοῦ τῆς σελήνης τὸ ΒΕΔ· καὶ ὑποκείσθω ἀπὸ τοῦ συνδέσμου ἡ ΕΗ περιφέρεια δοθεισῶν μοιρῶν. καὶ ληφθέντος τοῦ Ζ πόλου τοῦ λοξοῦ κύκλου, γεγράφθω δι’ αὐτοῦ καὶ τοῦ Η μεγίστου κύκλου τμῆμα τὸ ΖΗΘ. Ἐπεὶ οὖν δέδοται ἡ ΑΒ μοιρῶν ε οὖσα, δέδοται δὲ καὶ ἡ ΖΑ περιφέρεια, λόγος ἄρα τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΑ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΑΒ δοθείς· ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ συγκειμένῳ ἐκ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΘ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΗ, καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΗ [Omitted graphic marker] πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΒ. |
| 185 | δοθεὶς δὲ ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΗ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΒ· ἥ τε γὰρ ΕΗ δέδοται, καὶ ἡ ΕΒ τεταρτημορίου. δέδοται ἄρα καὶ ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΘ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΗ λόγος. καὶ ἔστιν τεταρτημορίου ἡ ΖΗ. Διὰ τοίνυν τὸ ιγʹ θεώρημα τοῦ πρώτου βιβλίου δοθήσεται καὶ ἡ ΘΗ περιφέρεια. τῆς οὖν ΕΗ ὑποκειμένης μοιρῶν ι λϛ, ἡ ΘΗ ἔσται 𐆊 νδ ν. ἡ γὰρ διπλῆ τῆς ΖΑ μοιρῶν ἐστιν ρϙ· καὶ ἡ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ριθ λβ λζ. ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΑΒ μοιρῶν ι· καὶ ἡ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ι κζ λβ. ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΕΗ κα ιβ· καὶ ἡ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων κβ δ κζ. ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΕΒ μοιρῶν ρπ· καὶ ἡ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ. ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ λόγου τῶν ριθ λβ λζ πρὸς τὰ ι κζ λβ, ἀφέλωμεν τὸν λόγον τῶν κβ δ κζ πρὸς ρκ, καταλειφθήσεται λόγος ὁ τῶν ριθ λβ λζ πρὸς τὰ α ν ε κϛ, τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΖ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΗ. Ἐκκείσθω οὖν τὸ ιγʹ θεώρημα τοῦ πρώτου βιβλίου τῆς συντάξεως. |
| 186 | καὶ ἔστω ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΓΑ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΑΒ τουτέστιν τῆς ΓΕ εὐθείας πρὸς ΕΒ λόγος ὁ τῶν ριθ λβ λζ πρὸς τὰ α νε κϛ· καὶ λοιπὸν ἄρα τῆς ΓΒ πρὸς ΒΕ λόγος ἐστὶν ὁ τῶν ριζ λζ ια πρὸς τὰ α νε κϛ. [Omitted graphic marker] Ἔστω δὲ ἡ ΒΓ περιφέρεια τεταρτημορίου μοιρῶν ϙ. καὶ οἵων ἄρα ἡ ΒΓ εὐθεῖα πδ να ι τοιούτων ἡ ΕΒ α κγ ιϛ 𐅵 ʹ· ὁ γὰρ ὑπὸ δευτέρου καὶ τρίτου γενόμενος ρξγ ιδ ν κ κ παραβληθεὶς παρὰ πρῶτον τὸν ριζ λζ ια ποιεῖ τὰ α κγ ιϛ 𐅵 ʹ. ἐπεὶ οὖν ἡμίσεια τῆς ΒΓ ἐστὶν τμῆμα τῶν μβ κε λε, ὅλη ἄρα ἡ ΕΖ εὐθεῖα ἔσται μγ μη να, οἵων ἡ ΒΖ τουτέστιν ἡ ΔΖ μβ κε λε· καὶ ἔστιν τὸ μὲν ἀπὸ ΕΖ τετράγωνον ͵ αϡιθ μα λθ τὸ δ’ ἀπὸ ΔΖ ͵ αψϙθ νθ νδ, ἃ συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ ͵ γψιθ μα λγ· μήκει ἄρα ἔσται ἡ ΕΔ ξ νθ κα κε, οἵων ἡ ΖΕ ἦν μγ μη να 𐅵 ʹ. καὶ οἵων ἄρα ἡ ΕΔ ὑποτείνουσα ρκ, τοιούτων ἡ ΕΖ πϛ ιβ κϛ, ἡ δ ἐπ’ αὐτῆς περιφέρεια ϙα μθ μ οἵων ὁ περὶ τὸ ΔΕΖ ὀρθογώνιον κύκλος τξ. |
| 187 | ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΔΖ οἵων μέν εἰσιν αἱ δύο ὀρθαὶ τξ τοιούτων ϙα μθ μ, οἵων δ αἱ δ ὀρθαὶ τξ τοιούτων με νδ ν. ὧν ἡ ὑπὸ ΒΔΖ τῶν αὐτῶν με. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΑ τουτέστιν ἡ ΑΒ περιφέρεια ἑξηκοστῶν νδ 𐅵 ʹ γʹ οἵων ὁ ΑΒΓ κύκλος τξ. Καὶ ἡ ΘΗ ἄρα περιφέρεια ἐν τῷ προκειμένῳ θεωρήματι ἑξηκοστῶν ἐστιν νδ 𐅵 ʹ γʹ. «Ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν τῶν δύο ἐκλείψεων ὑπεροχὴ τὸ τρίτον περιέχει τῆς «σεληνιακῆς διαμέτρου, ἡ δὲ τῶν ἐκκειμένων τοῦ κέντρου αὐτῆς ἐπὶ τοῦ «αὐτοῦ μεγίστου κύκλου δύο διαστάσεων ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ διὰ «μέσων τουτέστιν τοῦ κέντρου τῆς σκιᾶς ἑξηκοστῶν μιᾶς μοίρας ια μζ, «δῆλον ὅτι καὶ ἡ διάμετρος ὅλη τῆς σελήνης ὑποτείνει τοῦ κατὰ τὸ ἐλά«χιστον αὐτῆς ἀπόστημα γραφομένου περὶ τὸ κέντρον τοῦ ζῳδιακοῦ με«γίστου κύκλου περιφέρειαν ἑξηκοστῶν μιᾶς μοίρας λε γʹ ἔγγιστα.» Τὴν ὑπεροχὴν ἐτριπλασίασεν τὰ ια μζ ἑξηκοστά, ἐπειδὴ τῶν δύο σεληνιακῶν ἐκλείψεων ἡ ὑπεροχή ἐστιν δακτύλων δ, αὐτοὶ δὲ τρίτον μέρος εἰσὶν τῆς ὅλης διαμέτρου τῆς σελήνης δακτύλων ιβ ὑποτιθεμένης, ἴσοι δὲ γίνονται ἐν περι〈γείῳ〉 τοῖς τῆς ὑπεροχῆς ἑξηκοστοῖς. Νενοήσθω οὖν ὁ μὲν διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλος, ἐφ’ οὗ ἐστιν τὰ Α, Γ σημεῖα· ὁ δὲ λοξὸς τῆς σελήνης ἐφ’ οὗ ἐστιν τὰ Δ, Ε σημεῖα· σύνδεσμος ἄρα ἐστὶν τὸ Ζ σημεῖον. νενοήσθω δὲ καὶ ἐν δυσὶ ταῖς προκειμέναις ἐκλείψεσιν περὶ τὸ ἐλάχιστον ἀπόστημα τῆς σελήνης οὔσης κατ’ ἀμφοτέρας τὰς ἐκλείψεις ἐν τοῖς μέσοις τῶν ἐκλείψεων χρόνοις, τὸ μὲν τῆς σελήνης κέντρον κατὰ τὸ Δ καὶ κατὰ τὸ Ε σημεῖον, τὸ δὲ τοῦ τῆς σκιᾶς κύκλου κατὰ τὸ Α καὶ τὸ Γ σημεῖον. καὶ ὑποκείσθω κατὰ μὲν τὸ Ε ἐκλείπουσα ἡ σελήνη ἀπὸ νότου τὸ ἥμισυ ιβʹ μέρος τῆς ἰδίας διαμέτρου, τοῦ Ζ ὑποκειμένου τοῦ καταβιβάζοντος συνδέσμου· κατὰ δὲ τὸ Δ ἐκλειπέτω τὸ τέταρτον τῆς διαμέτρου ἀπὸ βορρᾶ, τοῦ Ζ νῦν ὑποκειμένου τοῦ ἀναβιβάζοντος [Omitted graphic marker] συνδέσμου. |
| 188 | καὶ διὰ τῶν Α, Δ, Γ, Ε σημείων μεγίστων κύκλων περιφέρειαι γεγράφθωσαν ὀρθαὶ δηλονότι πρὸς τὴν ΔΕ αἱ ΑΔ, ΓΗ. γεγράφθωσαν δὲ οἵ τε τῆς σκιᾶς καὶ οἱ τῆς σελήνης κύκλοι μέγιστοι. καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΓ ἐπὶ τὴν περιφέρειαν τοῦ τῆς σκιᾶς κύκλου. Ἐπεὶ οὖν πρὸς τῷ Δ σημείῳ τετάχαμεν τὴν σελήνην ἐκλείπουσαν τὸ δʹ τῆς ἰδίας διαμέτρου κατὰ τὸν μέσον τῆς ἐκλείψεως χρόνον, φανερὸν ὅτι ὁ τῆς σκιᾶς κύκλος κατὰ ταύτην τὴν θέσιν πρὸς αἴσθησιν διχοτομεῖ ἣν ὑποτείνει περιφέρειαν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης, ὡς τὴν ΔΚ κατὰ τὸ Θ. καὶ τοῦ τῆς σκιᾶς κύκλου ἀπὸ τοῦ πόλου ἔσται ἡ ΑΘ περιφέρεια, ἴση οὖσα τῇ ΓΗ· περὶ γὰρ τὸ αὐτὸ ἀπόστημα τῆς σελήνης οὔσης ἑκατέρα τῶν ἐκλείψεων ὑπόκειται γινομένη. Ἀλλ’ ἐπειδὴ καὶ πρὸς τῷ Ε σημείῳ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης ὄντος ὑπόκειται τὸ ἥμισυ καὶ ιβʹ ἐκλείπουσα ἡ σελήνη τῆς ἰδίας διαμέτρου, δῆλον ὅτι ὡς ἡ τὴν ΕΗ περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα ιβʹ μέρος ἐστὶν πρὸς αἴσθησιν τῆς σεληνιακῆς διαμέτρου. ἔστιν δὲ καὶ ἡ τὴν ΘΔ περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα ὁμοίως τέταρτον μέρος αὐτῆς· διπλασία γὰρ ἡ ΚΔ περιφέρεια τῆς ΔΘ. συναμφοτέρας ἄρα τὰς ΔΘ, ΕΗ περιφερείας ὡς μίαν πρὸς αἴσθησιν ἀδιαφορῶς τὸ τρίτον ὑποτείνει[ν] τῆς σεληνιακῆς 〈διαμέτρου〉. κα εἰσιν αἱ ΘΔ καὶ ΕΗ περιφέρειαι ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει ἡ ΑΔ περιφέρεια μεταξὺ τῶν κέντρων τῆς ΓΕ· ἡ μὲν γὰρ ΑΔ περιφέρεια μείζων ἐστὶν τῆς ΑΘ περιφερείας, τουτέστιν τῆς ΓΗ, τῇ ΔΘ περιφερείᾳ· ἡ δὲ ΓΕ περιφέρεια ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ΓΗ περιφερείας τῇ ΕΗ περιφερείᾳ. ἡ δ’ ὑπεροχὴ τῶν ΑΔ, ΓΕ περιφερειῶν ἑξηκοστῶν ἐστιν ια μζ. καὶ συναμφότεραι ἄρα αἱ ΔΘ, ΕΗ ἑξηκοστῶν εἰσιν ια μζ. |
| 189 | ἡ δ’ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα 𐆊 ιβ κ, γʹ μέρος τῆς διαμέτρου σελήνης οὖσα. Καὶ διὰ τοῦτο δοθεῖσα ἔσται ἡ τῆς σελήνης διάμετρος ἑξηκοστῶν λζ ἔγγιστα· ἡ δ’ ἐπ’ αὐτῆς περιφέρεια ἑξηκοστῶν λε γʹ, τετραπλασία οὖσα τῆς εἰρημένης ὑπεροχῆς. Καὶ ὁ λόγος ἄρα ὃν ἔχει ὅλη ἡ κατὰ τὸ ἐλάχιστον ἀπόστημα ἐν ταῖς συζυγίαις μεγίστου κύκλου περιφέρεια, πρὸς τὴν κατὰ τὸ αὐτὸ ἀπόστημα φαινομένην περιφέρειαν ἣν ὑποτείνει ἡ τῆς σελήνης διάμετρος, δοθεῖσα ἔσται μεριζομένων τῶν τοῦ μεγίστου κύκλου ἑξηκοστῶν Μβ ͵ αχ εἰς τὰ προκείμενα ἑξηκοστὰ λε κ. «Φανερὸν αὐτόθεν ὅτι καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σκιᾶς κατὰ τὸ ἐλά«χιστον τῆς σελήνης ἀπόστημα καταλείπεται ἑξηκοστῶν μϛ ...» Ἀπὸ γὰρ τῶν νδ 𐅵 ʹ γʹ ἑξηκοστῶν τῆς ΑΔ περιφερείας ἐπὶ τοῦ προκειμένου σχήματος ἀφαιρεθείσης τῆς ΔΘ περιφερείας ἥτις ἐστὶν ἑξηκοστῶν η 𐅵 ʹ γʹ· ἴση γάρ ἐστιν τῇ ΚΘ περιφερείᾳ τουτέστιν τῷ τετάρτῳ μέρει ὑφ’ ἣν ὑποτείνει τὸ τέταρτον τῆς σεληνιακῆς διαμέτρου· καταλείπεται ἡ ΑΗ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σκιᾶς κύκλου περιφέρεια ἑξηκοστῶν μϛ. καὶ ἔστιν ἀδιαφόρῳ μείζων ἢ διπλασίων καὶ τοῖς τρεῖς πέμπτοις μείζων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης ἑξηκοστῶν οὔσης ιζ μ. καὶ γὰρ διέστη τὸ Δ κέντρον τῆς σελήνης τοῦ Α κέντρου τῆς σκιᾶς κατὰ τοῦ πλάτους ἑξηκοστῶν νδ ν καὶ τὸ μὲν ἐκλελοιπὸς τέταρτον μέρος τῆς διαμέτρου σελήνης ὑποτείνει τὴν ΚΘ περιφέρειαν οὖσαν ἑξηκοστῶν η ν· τὸ δ’ ἀνέκλειπτον δʹ μέρος ὑποτείνει περιφέρειαν τὴν ΘΔ οὖσαν ἑξηκοστῶν η ν. λοιπὸν ἄρα τὸ Α κέντρον τοῦ κύκλου τῆς σκιᾶς διέστη τῆς περιφερείας αὐτοῦ τοῦ κύκλου τὴν ΑΘ περιφέρειαν ἑξηκοστῶν οὖσαν μϛ. Ἔλαβεν οὖν αὐτὸς τὰς περιφερείας ἀπὸ τῶν κέντρων σελήνης καὶ σκιᾶς ἀντὶ τῶν ὑπ’ αὐτὰς εὐθειῶν, τὸν αὐτὸν πάλιν ἐχούσης λόγον τῆς περιφερείας πρὸς τὴν περιφέρειαν καὶ τῆς εὐθείας πρὸς τὴν εὐθεῖαν ἐπὶ τῶν τηλικούτων περιφερειῶν· οἷον ἡ διάμετρος σελήνης ὑποτείνει περιφέρειαν ἑξηκοστῶν λε κ, καὶ ἔστιν ἡ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα ἑξηκοστῶν λζ ἔγγιστα· ἐστὶν δὲ καὶ ἡ ταύτης ἡμίσεια ἑξηκοστῶν ιη λ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τῆς σελήνης, ἡ δ’ ἐπ’ αὐτῆς περιφέρεια ἑξηκοστῶν ιζ μ· ἀλλὰ καὶ τὴν τῶν νδ ν ἑξηκοστῶν περιφέρειαν ὑποτείνει εὐθεῖα ἑξηκοστῶν νζ κγ· ἀφ’ ὧν τὴν τῶν η ν ἑξηκοστῶν περιφέρειαν ὑποτείνει εὐθεῖα ἑξηκοστῶν θ ιε· λοιπὴν ἄρα τὴν τῶν μϛ ἑξηκοστῶν περιφέρειαν ὑποτείνει εὐθεῖα 𐆊 μη η. |
| 190 | καί εἰσι ἀνάλογον, τουτέστιν ὡς ἡ περιφέρεια τῶν 𐆊 νδ ν πρὸς περιφέρειαν τῶν 𐆊 η ν, οὕτως ἡ εὐθεῖα τῶν 𐆊 νζ κγ πρὸς τὴν εὐθεῖαν τῶν 𐆊 θ ιε. ὥστε καὶ ὡς ἡ περιφέρεια τῶν 𐆊 νδ ν πρὸς τὴν περιφέρειαν τῶν 𐆊 μϛ, οὕτως ἡ εὐθεῖα τῶν 𐆊 νζ κγ πρὸς 𐆊 μη η. ὡς δὲ ἡ περιφέρεια τῶν 𐆊 μϛ πρὸς τὴν περιφέρειαν τῶν 𐆊 λε κ, οὕτως ἡ εὐθεῖα τῶν 𐆊 μη η πρὸς τὴν εὐθεῖαν τῶν 𐆊 λζ ἔγγιστα. ἐπεὶ οὖν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης ἐστὶν 𐆊 ιη λ. ἡ δ’ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σκιᾶς 𐆊 μη η· καὶ ἔστιν τὰ μὲν 𐆊 μη η τῶν 𐆊 ιη λ ἀδιαφόρῳ μείζονα ἢ διπλάσια καὶ γ εʹ, τὰ δὲ μϛ ἑξηκοστῶν τῶν ιζ μ ἑξηκοστῶν ἀδιαφόρῳ μείζονά ἐστιν ἢ διπλάσια καὶ γ εʹ· δῆλον ὡς τὰς περιφερείας καταχρηστικῶς ἔλαβεν ἀντὶ τῶν εὐθειῶν. |
| 191 | «Ὅταν ἄρα τὸ φαινόμενον κέντρον τῆς σελήνης ἀφεστήκῃ τοῦ κέντρου «τοῦ ἡλίου ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ διὰ μέσων ...» ἐπὶ τὰ βόρεια καὶ τὰ νότια καὶ τὰ ἑξῆς. Αἱ γὰρ ἐκ τῶν κέντρων ἀμφοτέρων τῶν φώτων τοσαῦτα ποιοῦσιν ἑξηκοστῶν· ἡ μὲν γὰρ τοῦ ἡλίου ἐκ κέντρου ἐδείχθη ἑξηκοστῶν ιε μ, ἡ δὲ τῆς σελήνης ἑξηκοστῶν ιζ μ· ὁμοῦ λγ κ. Εἰς τὸ αʹ θεώρημα. «Οἷον ἐὰν νοήσωμεν τοῦ μὲν διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου περιφέρειαν [Omitted graphic marker] «τὴν ΑΒ, τοῦ δὲ λοξοῦ τῆς σελήνης τὴν ΓΔ, παραλλήλους πρὸς αἴσθησιν «γινομένας μέχρι γε τῶν κατὰ τοὺς ἐκλειπτικοὺς παρόδων ...» Οὐδὲ γὰρ κατὰ τὸ ἐλάχιστον ἀπόστημα ἐφ’ ἑνὸς τῶν συνδέσμων τοῦ μέσου χρόνου τῆς ἐκλείψεως γινομένου, ὑπερέξειν ποτὲ δυνήσεται μοιρῶν β γʹ ἔγγιστα ἡ τῆς σελήνης κίνησις ἐν συνόδῳ τῷ τῆς ἐκλείψεως χρόνῳ. |
| 192 | ἡ μὲν γὰρ διάμετρος τοῦ κύκλου τῆς σκιᾶς κατὰ τοῦτο τὸ ἀπόστημα ὑποτείνουσα ἐδείχθη μοίρας α λβ· ἡ δὲ τῆς σελήνης ἑξηκοστῶν λε κ· καὶ τὰς ἐπὶ τὸ αὐτὸ συναγομένας μετὰ τοῦ ιβʹ αὐτῶν, τουτέστιν μοίρας β γʹ δεῖ κινηθῆναι τὴν σελήνην ἀπὸ τοῦ τῆς ἀρχῆς τῆς ἐκλείψεως χρόνου μέχρι τοῦ τέλους τῆς ἐκλείψεως. αἱ δὲ τοῦ λοξοῦ καὶ ζῳδιακοῦ τηλικαῦται τῶν κύκλων περιφέρειαι παράλληλοι πρὸς αἴσθησίν εἰσιν ὅτι καὶ οἱ ὀρθοὶ τῷ λοξῷ τηλικαύτας ἀπολαμβάνονται περιφερείας τὰς μεταξὺ τῶν παραλλήλων 〈αἳ ἴσω〉ς πρὸς αἴσθησιν ἔχουσιν. «Καὶ διὰ τῶν τοῦ λοξοῦ πόλων γράψωμεν μεγίστου κύκλου περιφέρειαν «τὴν ΑΕΓ, νοήσωμεν δὲ καὶ περὶ μὲν τὸ Α σημεῖον τὸ τοῦ ἡλίου ἡμικύκλιον, «περὶ δὲ τὸ Ε τὸ φαινόμενον τῆς σελήνης ὥστε ἐφάπτεσθαι ... τοῦ ἡλιακοῦ «κατὰ τὸ Ζ σημεῖον, ἡ ΑΕ περιφέρεια ἣν ἀφέστηκεν τὸ Ε φαινόμενον «κέντρον τῆς σελήνης τοῦ Α ἡλιακοῦ, δύναται ἀπογενέσθαι τῶν ἐκκει«μένων 𐆊 λγ κ.» Τοῦτο πῶς λέγεται ἄξιον ἐπιστῆσαι, καὶ δι’ ἣν αἰτίαν ἀφαιρεῖ τὴν τοῦ ἡλίου παράλλαξιν ἀπὸ τῆς σεληνιακῆς παραλλάξεως, ἀφ’ ἧς καὶ τὴν ἀπὸ τοῦ συνδέσμου ἐπὶ τὴν κατὰ τὸ Γ ἐποχὴν τοῦ πλάτους φαινομένην διάστασιν τῆς σελήνης ἔνεστι λαβεῖν κατὰ τὸν τοῦ α πρὸς τὰ ια 𐅵 ʹ λόγον. |
| 193 | ἐπεὶ γὰρ καὶ ὁ ἥλιος παραλλάσσει κατὰ πλάτος ὡς καὶ ἡ σελήνη, δύναταί ποτε ἡ ΑΕ γενέσθαι τῶν 𐆊 λγ κ· ἑνὸς δὲ ὄντος τοῦ ζητουμένου τοῦ τὴν ΑΕΓ περιφέρειαν ἔχειν, κἄν τε τὴν ΓΕ κατὰ πλάτος παράλλαξιν σελήνης λάβωμεν οἷον ἑξηκοστῶν κ, καὶ τὴν μεταξὺ τοῦ Α καὶ τοῦ Ε φαινομένου κέντρου τοῦ ἡλίου τὰ 𐆊 λγ κ, τοῦ ἡλίου παραλλάσσοντος τὸ κʹ ἔγγιστα τῆς σελήνης 𐆊 α, ἡ ΓΕΑ περιφέρεια γίνεται ἑξηκοστῶν νβ κ, ἀφαιρεθείσης δηλονότι τῆς ἡλίου παραλλάξεως· κἄντε τὸν ἥλιον κατὰ τὸ Α ὡς αὐτὸς ὑπέθετο μὴ παραλλάσσοντα νοήσωμεν, ἀφέλωμεν δὲ τὸ ἓν ἑξηκοστὸν τῆς παραλλάξεως αὐτοῦ ἀπὸ τῶν τῆς σελήνης ἑξηκοστῶν κ, τὰ λοιπὰ ἑξηκοστὰ ιθ τῆς ΓΕ περιφερείας μετὰ τῆς ΕΑ τῶν 𐆊 λγ κ συνάγεται 𐆊 νβ κ. «Ἀλλ’ ἐν τοῖς ἀπὸ Μερόης τόποις ὅπου ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἐστιν «ἰσημερινῶν ιγ, μέχρι τῶν ἐκβολῶν Βορυσθένους ὅπου ἡ μεγίστη ἡμέρα «ὡρῶν ἐστιν ἰσημερινῶν ιϛ, πρὸς μὲν ἄρκτους τὸ πλεῖστον ἡ σελήνη παραλ«λάσσει κατὰ τῶν συζυγιῶν ἐλάχιστον ἀπόστημα, ὑπολογουμένης τῆς τοῦ «ἡλίου παραλλάξεως, 𐆊 η ἔγγιστα· πρὸς μεσημβρίαν δ’ ὁμοίως τὸ πλεῖ«στον 𐆊 νη... .» Ἐπειδὴ γὰρ τὸ μὲν βορειότατον σημεῖον τοῦ ζῳδιακοῦ ἐστιν ἡ τοῦ Καρκίνου ἀρχή, τὸ δὲ νοτιώτατον ἡ τοῦ Αἰγόκερω, δῆλον ὅτι ἡ σελήνη, ὅταν μὲν ἐν ἀρχῇ τοῦ Καρκίνου οὖσα μεσουρανῇ, ἀφέξει τοῦ διὰ Μερόης παραλλήλου ἐπὶ τὰ βόρεια μοίρας ζ κδ· ὅτι λοξοῦται ἡ ἀρχὴ τοῦ Καρκίνου μοίρας κγ να, ὧν ἔξαρμα Μερόης μοιρῶν ιϛ κζ, λοιπαὶ μοῖραι ζ κδ· ἃς ἀπέχουσα παραλλάξει τὸ πλεῖστον ὡς εἰς τὰ βόρεια τοῦ ζῳδιακοῦ ἐπὶ τοῦ πρὸς ὀρθὰς αὐτῷ κατὰ τὸ ἐν ταῖς συζυγίαις ἐλάχιστον ἀπόστημα, ὑφαιρουμένης τῆς ἡλίου παραλλάξεως, 𐆊 η. |
| 194 | τῇ γὰρ μεσημβρίᾳ παράκειται ἐν τῷ κανονίῳ τῶν γωνιῶν ἡ αὐτὴ περιφέρεια μοιρῶν ζ κδ. ταύταις δὴ παράκειται ἐν τῷ παραλλακτικῷ κανόνι ἡλίου μὲν παραλλάξεως ἐξ ἀναλόγου 𐆊 𐆊 κγ, σελήνης δε γʹ σελιδίῳ πρώτου ὅρου ἐξ ἀναλόγου 𐆊 ζ 𐆊 , καὶ δʹ σελιδίῳ 𐆊 α κγ, ζʹ σελιδίῳ ἑξηκοστῶν ξ· γίνεται ὁμοῦ δευτέρου ὅρου 𐆊 η κγ· ἀφ’ ὧν ἡλίου 𐆊 𐆊 κγ· λοιπὰ 𐆊 η ἔγγιστα, σύμφωνα. Ὅταν δὲ ἐν ἀρχῇ τοῦ Αἰγόκερω γένηται ἡ σελήνη κατὰ τὸν μεσημβρινόν, ἀφέξει τοῦ διὰ Βορυσθένους παραλλήλου μοίρας οβ κγ, καὶ παραλλάξει τὸ πλεῖστον ὡς εἰς τὰ νότια τοῦ ζῳδιακοῦ κατὰ πλάτος, ὁμοίως ὑφαιρουμένης τῆς ἡλίου παραλλάξεως, 𐆊 νη. τὰς γὰρ αὐτὰς μοίρας οβ κγ εἰσαγαγόντες εἰς τὸ πρῶτον σελίδιον, τὰ παρακείμενα τῷ ἀριθμῷ ἡλίου βʹ σελιδίῳ 𐆊 β μβ ἀφελόντες ἀπὸ τῶν συναγομένων βʹ ὅρου ἐκ τοῦ τρίτου καὶ δʹ σελιδίου μοιρῶν α α ιβ, τὰ λοιπὰ 𐆊 νη λ ἔγγιστα ἕξομεν, ἃ παραλλάσσει ἡ σελήνη κατὰ τὸ αὐτὸ ἀπόστημα, ὑπολελογισμένης τῆς τοῦ ἡλίου παραλλάξεως. «Παραλλάσσει δὲ καὶ κατὰ μῆκος τὸ πλεῖστον ὅταν μὲν τὰ 𐆊 η πρὸς «τὰς ἄρκτους παραλλάσσῃ περὶ τὸν Λέοντα καὶ τοὺς Διδύμους 𐆊 λ ἔγ«γιστα. |
| 195 | ». Ἐν γὰρ τῇ τοῦ Λέοντος ἀρχῇ σὺν ἡλίῳ οὖσα ἡ σελήνη πρὸ δύο ὡρῶν ἰσημερινῶν τῆς μεσημβρίας, καὶ Διδύμων ἀρχῇ μετὰ δύο ὥρας ἰσημερινὰς τῆς μεσημβρίας, ἐπὶ τοῦ διὰ Μερόης παραλλήλου παραλλάσσει κατὰ τὸ ἐν ταῖς συζυγίαις ἐλάχιστον ἀπόστημα ἀφαιρεθείσης πάλιν τῆς ἡλίου παραλλάξεως, κατὰ πλάτος μὲν ὡς εἰς τὰ βόρεια 〈 𐆊 η〉, κατὰ μῆκος δὲ ὡς εἰς τὰ ἑπόμενα αὐτοῦ καὶ ἡγούμενα 𐆊 λ ἔγγιστα. Λέοντος γὰρ ἀρχῇ πρὸ ὡρῶν ἰσημερινῶν δύο τῆς μεσημβρίας ἐπὶ τοῦ ὑποκειμένου κλίματος καὶ μεσουρανουσῶν Καρκίνου μοιρῶν β δ περιφέρειά ἐστιν ἐν τῷ κανόνι τῶν γωνιῶν μοιρῶν κη μβ· αἷς παράκειται παραλλάξεως ἐξ ἀναλόγου ἡλίου μὲν 𐆊 α κβ, σελήνης δὲ ἐξ ἀναλόγου δευτέρου ὅρου συναχθέντα ἀπὸ τοῦ τρίτου καὶ δʹ καὶ ζʹ σελιδίου ἑξηκοστὰ λα ι. ὑπεροχὴ δ’ αὐτῶν πρὸς τὰ τοῦ ἡλίου γίνεται 𐆊 κθ μη. Καὶ γωνία ἀνατολικὴ πρὸ ὡρῶν δύο ἰσημερινῶν τῆς μεσημβρίας μοιρῶν ιε κη. ἡ ἄρα διπλῆ ἐστιν μοιρῶν λ νϛ· ἡ δ’ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα λβ 𐆊 . καὶ ἡ λείπουσα εἰς ρπ μοίρας περιφέρεια μοιρῶν ρμθ δ. ἡ δ’ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ριε λθ ιϛ· ὡς οὖν ρκ πρὸς λβ, οὕτως τὰ 𐆊 κθ μη πρὸς 𐆊 ζ νζ, ἅ ἐστιν 𐆊 η ἔγγιστα τῆς κατὰ πλάτος παραλλάξεως. πάλιν δὲ ὡς ρκ πρὸς ριε λθ, οὕτως 𐆊 κθ μη πρὸς ἄλλα· ἐὰν γένηται, ἔσται πρὸς 𐆊 κη μγ, ἅ ἐστιν ἔγγιστα λ τῆς κατὰ μῆκος παραλλάξεως. |
| 196 | ἔστιν δὲ καὶ κατὰ προχείρους σύμφωνα ἔγγιστα. Ὁμοίως δὲ καὶ μετὰ δύο ὥρας τῆς μεσημβρίας Διδύμων ἀρχῇ ἡλίου καὶ σελήνης ὄντων ἐν τῷ ὑποκειμένῳ κλίματι, καὶ μεσουρανούσης Διδύμων μοίρας κζ νϛ, τὰ κατὰ μῆκος καὶ πλάτος τῆς παραλλάξεως εὑρεθήσεται 𐆊 η ἔγγιστα καὶ 𐆊 λ, ὡς ἔστιν ἔγγιστα καὶ ἐν προχείροις. »... Ὅταν δὲ τὰ 𐆊 νη ἔγγιστα κατὰ μεσημβρίαν περὶ τὸν Σκορπίον «καὶ τοὺς Ἰχθύας 𐆊 ιε.» Ὁμοίως γὰρ ἐπὶ τοῦ διὰ Βορυσθένους παραλλήλου παραλλάσσει ἡ σελήνη ἐν ἀρχῇ τῶν Ἰχθύων οὖσα πρὸ ὡρῶν ἰσημερινῶν δ τῆς μεσημβρίας, καὶ μετὰ δ ὥρας ὁμοίως ἐν ἀρχῇ τοῦ Σκορπίου, κατὰ μῆκος μὲν ἑξηκοστῶν ιε, κατὰ πλάτος δὲ ἑξηκοστῶν νη. Ἰχθύων γὰρ ἀρχῇ πρὸ δ ὡρῶν ἰσημερινῶν τῆς μεσημβρίας ἐπὶ τοῦ ὑποκειμένου κλίματος περιφέρειά ἐστιν ἐν τῷ κανόνι τῶν γωνιῶν μοιρῶν π γ· αἷς παράκειται παραλλάξεως ἐξ ἀναλόγου ἡλίου μὲν 𐆊 β μη, σελήνης δὲ ἐξ ἀναλόγου δευτέρου ὅρου συναχθέντα ἀπὸ τοῦ τρίτου καὶ τετάρτου καὶ ζʹ σελιδίου μοῖρα α γ α ὑπεροχὴ δ’ αὐτῶν πρὸς τὰ 𐆊 β μη τοῦ ἡλίου γίνεται μοῖρα α 𐆊 ιγ. |
| 197 | Γωνία δὲ ἀνατολικὴ πρὸ ὡρῶν ἰσημερινῶν δ τῆς μεσημβρίας μοιρῶν ρδ κη· καὶ ἡ λείπουσα εἰς ρπ μοίρας περιφέρεια οε λβ· ἡ διπλῆ ρνα δ· ἡ δ’ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα ριϛ ια μβ. καὶ πάλιν ἡ λείπουσα εἰς ρπ πρὸς τὰς ρνα δ γίνεται κη νϛ· ἡ δ’ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα κθ νη μβ. ὡς οὖν ρκ πρὸς α 𐆊 ιγ οὕτως τὰ ριϛ ια μβ πρὸς 𐆊 νη ιη, ἃ ἔσται τῆς κατὰ πλάτος παραλλάξεως. πάλιν δὲ ὡς ρκ πρὸς μοίρας α 𐆊 ιγ οὕτως κθ νη μβ πρὸς ἄλλα· ἐὰν γένηται ἔσται πρὸς 𐆊 ιε κ, ἅ ἐστιν ἔγγιστα ιε, τῆς κατὰ μῆκος παραλλάξεως. ἔστιν δὲ καὶ κατὰ προχείρους σύμφωνα ἔγγιστα. Ὁμοίως δὲ καὶ μετὰ δ ὥρας τῆς μεσημβρίας Σκορπίου ἀρχῇ σελήνης οὔσης τὰ κατὰ μῆκος καὶ πλάτος τῆς παραλλάξεως εὑρεθήσεται μεσουρανουσῶν Τοξότου μοιρῶν κη, 𐆊 ιε ἔγγιστα καὶ 𐆊 νη, ὡς ἔστιν καὶ ἐν προχείροις κανόσιν. Ἀφ’ ὧν ἡμῖν οὐδὲν διοίσει, συμφώνων οὐσῶν τῶν πραγματειῶν, τὰς ζητουμένας παραλλάξεις λαμβάνειν, πρὸς τὴν τῶν ἑξῆς παρακολούθησιν, ἵνα μὴ ἀεὶ διακρινῶμεν ἀπὸ τῆς μηκοπλατοῦς παραλλάξεως τὰς κατὰ μῆκος καὶ πλάτος παραλλάξεις, ἔχοντες ἤδη ἐν τοῖς προχείροις διακεκριμένας αὐτὰς καθ’ ἑκάστην ὧραν ἀπὸ τοῦ μεσημβρινοῦ, ὑπολογισθείσης καὶ τῆς τοῦ ἡλίου παραλλάξεως, καὶ ὡς τῆς σελήνης κατὰ τὸ μέγιστον ἀπόστημα οὔσης, ὅπερ ἐστὶν κατὰ τὸν πρῶτον ὅρον, τό τε ἐπὶ ταῖς παραλλάξεσιν τῆς διορθώσεως κανόνιον, ὃ ἐγένετο ἀπὸ τοῦ ἑξῆς ἐκκειμένου τῆς διορθώσεως κανονίου, κατὰ στίχον αὐτοῦ πεμπτημορίων ληφθέντων παρακειμένων τοῖς κοινοῖς ἀριθμοῖς ἑξηκοστοῖς. «Ἐὰν ἄρα τὸ ἀκριβὲς τῆς σελήνης κέντρον ὑποθώμεθα κατὰ τὸ Δ καὶ «ἐπιζεύξωμεν τὴν ΔΕ τῆς ὅλης παραλλάξεως, ἡ μὲν ΔΓ τῆς κατὰ μῆκος «ἔγγιστα ἔσται παραλλάξεως, ἡ δὲ ΓΕ τῆς κατὰ πλάτος. |
| 198 | » Τοῦτο δείκνυται διὰ τῶν ἐπὶ τέλει τοῦ εʹ βιβλίου, κʹ καὶ καʹ θεωρήματι· 〈οὐ γὰρ〉 συμπίπτει [γὰρ] καὶ ἐνταῦθα ὁ διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν κύκλος τῷ ζῳδιακῷ. καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΔΓΕ καὶ ὀξεῖα ἡ ὑπὸ ΓΔΕ. ἀνθ’ ὧν γωνιῶν τὰς πρὸς τῷ ζῳδιακῷ ἐκεῖ λαμβάνει, καὶ τὴν ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν περιφέρειαν μέχρι τοῦ πρὸς τὸν ζῳδιακὸν θεωρουμένου κατὰ μῆκος ἀκριβοῦς τῆς σελήνης κέντρου ἀντὶ τῆς μέχρι τοῦ Δ· διὰ τὸ ἀδιάφορον τῶν περὶ τοὺς συνδέσμους καὶ τὰς ἐκλείψεις παραλλάξεων ὡς ἐδείξαμεν ἐν τοῖς εἰς τὸ εʹ σχολίοις. |
| 199 | «Ὥστε ὅταν μὲν ἀπ’ ἄρκτων ᾖ ἡ σελήνη τοῦ ἡλίου καὶ παραλλάσσῃ τὸ «πλεῖστον πρὸς μεσημβρίαν, ἡ μὲν ΔΓ ἔσται τῶν 𐆊 ιε, ἡ δὲ ΑΕΓ μοίρας «α λα ἔγγιστα ...» καὶ τὰ λοιπά, ἕως· «μετὰ δὲ τῆς ΓΔ τῶν αὐτῶν ιζ μδ.» Ὑποκείσθω γὰρ ἡ σελήνη πρὸς δυσμὰς τοῦ μεσημβρινοῦ πρῶτον ἀπέχουσα ἐν ἀρχῇ τοῦ Σκορπίου ὥρας ἰσημερινὰς δ, καὶ ἐκβληθεῖσαι αἱ ΓΔ, ΑΒ περιφέρειαι τεμνέτωσαν ἀλλήλας μὲν κατὰ τὸ Μ σημεῖον ὃ ἔσται δηλονότι τοῦ ἀναβιβάζοντος συνδέσμου, τὴν δὲ ΘΚΛ περιφέρειαν τοῦ μεσημβρινοῦ κατὰ τὰ Κ, Λ. καὶ ἔτι ἡ ΔΕ ἐκβληθεῖσα τεμνέτω τὸν ζῳδιακὸν κατὰ τὸ Π καὶ τὸν μεσημβρινὸν κατὰ τὸ Θ. καὶ ὀρθὴ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸν ζῳδιακὸν ἤχθω ἡ ΔΗ. καὶ διὰ τοῦ Θ σημείου κατὰ κορυφὴν τῆς οἰκήσεως ὑποκειμένου καὶ τοῦ Η ἀκριβοῦς κέντρου τῆς σελήνης γεγράφθω ἡ ΘΗΡ. καὶ ἔστω ἡ ΗΡ τῶν προκειμένων τῆς παραλλάξεως μοιρῶν α 𐆊 ιγ. καὶ ἀπὸ τοῦ Ρ ὀρθὴ πρὸς τὸν ζῳδιακὸν πάλιν ἡ ΡΝ. Ἡ μὲν ἄρα ΗΝ πρὸς δυσμὰς τῆς κατὰ μῆκος ἔσται παραλλάξεως τῶν προκειμένων 𐆊 ιε ἔγγιστα, ἡ δὲ ΡΝ τῶν 𐆊 νη πρὸς νότον τοῦ πλάτους. ταύτας γὰρ παραλλάξεις, καὶ τὴν ΘΗ περιφέρειαν μοιρῶν π γ, καὶ τὴν ὑπὸ ΘΗΛ γωνίαν μοιρῶν οβ λβ, τὰς πρὸς τὸν ζῳδιακόν, ἔχομεν ἀντὶ τῶν πρὸς τὸν λοξόν· τουτέστιν τῆς ΘΔ περιφερείας καὶ τῆς ὑπὸ ΘΠΗ γωνίας, τουτέστιν τῆς ὑπὸ ΕΔΓ ἀντὶ τῆς ὑπὸ ΘΔΚ ὡς ἔστιν εʹ βιβλίῳ, τῆς ὅλης ΕΔ παραλλάξεως οὔσης καὶ τῆς ΓΔ τοῦ μήκους καὶ τῆς ΓΕ τοῦ πλάτους· αὐταὶ γάρ εἰσιν αἱ ἀκριβεῖς. |
| 200 | συγχρώμεθα δὲ ταῖς πρὸς τὸν ζῳδιακὸν ἀδιαφόρως· διὰ τοῦτο ἔγγιστα λέγει τὰς παραλλάξεις. ἐπεὶ οὖν τὸ Η σημεῖον τὸ ἀκριβὲς τῆς σελήνης κέντρον κατὰ μῆκος νοεῖται, φανερὸν ὅτι τῆς ἀρχῆς τοῦ Σκορπίου ἀπεχούσης πρὸς δυσμὰς ὥρας ἰσημερινὰς δ, πανταχῇ μεσουρανοῦσιν ὑπὲρ γῆν αἱ τοῦ Τοξότου [ἐστὶν] μοῖραι κη ἔγγιστα· τὸ Λ ἄρα σημεῖον Τοξότου ἐστὶν μοίραις κη, καὶ ἡ ΗΛ περιφέρεια μοιρῶν νη. «Καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶν τῆς ἀπὸ τοῦ συνδέσμου ἐπὶ τὸ Γ περιφερείας πρὸς τὴν ΓΑ κατὰ τὸ μεταξὺ τῶν ἐκλειπτικῶν ὅρων διάστημα ὃν ἔχει τὰ ια 𐅵 ʹ πρὸς τὸ α...» τοῦτο γὰρ μικρῷ πρόσθεν ἡμῖν ἐδείχθη διὰ τοῦ σφαιρικοῦ θεωρήματος ὡς δεῖ λαμβάνειν τῷ συνημμένῳ λόγῳ· δι’ οὗ συνάγεται ἡ μὲν ΓΜ μοιρῶν ιζ κϛ· ἔστιν γὰρ ἡ ΓΕ 𐆊 νη, καὶ ἡ ΕΑ 𐆊 λγ ἔγγιστα· τὰ γὰρ δεύτερα ἐξέβαλεν. ὥστε ὅλη ἡ ΑΕΓ ἐστὶν μοιρῶν α λα. καὶ γίνεται ὡς α πρὸς ια 𐅵 ʹ οὕτως α λα πρὸς ιζ κϛ. ἡ ἄρα ΓΜ μοιρῶν ἐστιν ιζ κϛ. μετὰ δὲ τῆς ΓΔ τῶν 𐆊 ιε, γίνεται μοιρῶν ιζ μα. ἐλάσσων δέ ἐστιν ἡ ΜΗ τῆς ΜΔ ἑξηκοστοῖς τρισίν, ὡς δείκνυται διὰ τοῦ αὐτοῦ σφαιρικοῦ θεωρήματος· δι’ οὗ μικρῷ ὕστερον τὴν ΜΔ ὑποθέμενοι μοιρῶν λ τὴν ΜΗ εὑρίσκομεν μοιρῶν κθ νε, ε δὲ ἑξηκοστοῖς ἔγγιστα τὴν πλείστην παρὰ τὴν ἔγκλισιν τῶν κύκλων διαφοράν, ὡς καὶ αὐτὸς λέξει. ἔστιν οὖν καὶ ἡ ΗΜ τῆς ΔΜ ἐλάσσων τοῖς τρισὶν ἑξηκοστοῖς. ὥστε ἐπεὶ ἡ ΜΗ μοιρῶν ἐστιν ιζ λη, καὶ τὸ Η Σκορπίου 𐆊 , καὶ τὸ Μ δηλονότι ἔσται τοῦ καταβιβάζοντος συνδέσμου Χηλῶν μοίραις ιβ κβ καὶ τὸ βόρειον πέρας τοῦ λοξοῦ τῆς σελήνης Καρκίνου ιβ κβ. |
| 201 | Πάλιν ἀπεχέτω ἡ σελήνη πρὸς ἀνατολὰς τοῦ μεσημβρινοῦ τὰς αὐτὰς ὥρας ἰσημερινὰς δ, ὥστε μέντοι τὸ Η σημεῖον τὴν ἀρχὴν εἶναι τῶν Ἰχθύων, καὶ τὸ Μ σημεῖον τοῦ ἀναβιβάζοντος συνδέσμου, καὶ τὸ Λ σημεῖον μεσουρανοῦν Αἰγόκερω μοίραις β. ἐπεὶ οὖν ἡ ΗΘ περιφέρεια ἡ αὐτή ἐστιν καὶ πρὸς ἀνατολὰς καὶ πρὸς δυσμάς, μοιρῶν ἐστιν πάλιν π γ. καὶ ἡ ΗΡ τῆς ἐπὶ τοῦ διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν τῆς μηκοπλατοῦς παραλλάξεως ἀφαιρεθείσης τῆς τοῦ ἡλίου, τῶν αὐτῶν συνάγεται ὡς ἐπὶ Σκορπίου μοιρῶν α 𐆊 ιγ. καὶ ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τοῦ ἑπομένου τμήματος τοῦ ζῳδιακοῦ καὶ τῆς βορείας περιφερείας ἡ ὑπὸ ΘΝΑ δοθεῖσα ἔσται τῶν προκειμένων μοιρῶν ρδ κη. καὶ λοιπὴ εἰς δύο ὀρθὰς ὀξεῖα ἡ ὑπὸ ΑΗΡ. καὶ διὰ τοῦτο ἥ τε ΗΞΝ τῆς κατὰ μῆκος παραλλάξεως γίνεται τῶν προκειμένων 𐆊 ιε, τουτέστιν ἡ ΓΔ. καὶ ἡ κατὰ πλάτος ἡ ΡΝ 𐆊 νη, τουτέστιν ἡ ΓΕ. ὥστε καὶ τὴν ἀπὸ τοῦ ἀναβιβάζοντος συνδέσμου ἐπὶ τὸ Γ μοιρῶν ιζ κϛ εἶναι, τὴν δὲ ΜΔ ὅλην ιζ μα, καὶ τὸ Μ σημεῖον τοῦ ἀναβιβάζοντος συνδέσμου Ἰχθύσι μοίραις ιζ λη, καὶ τὸ βόρειον πέρας τοῦ λοξοῦ Διδύμοις μοίραις ιζ λη. «Ὅταν δὲ ἀπὸ μεσημβρίας οὖσα τοῦ ἡλίου τὸ πλεῖστον πρὸς ἄρκτους «παραλλάσσῃ, ἡ μὲν ΔΓ ἔσται τῶν 𐆊 λ, ἡ δὲ ΑΕΓ ὅλη τῶν 𐆊 μα. καὶ διὰ «τὰ αὐτὰ ἡ μὲν ἀπὸ τοῦ συνδέσμου ἐπὶ τὸ Γ μοιρῶν ζ νβ, ἡ δὲ μετὰ τῆς «ΓΔ ὅλη τῶν αὐτῶν η κβ.». Νοείσθω γὰρ ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἡ σελήνη ἀπέχουσα β ὥρας ἰσημερινὰς τῆς μεσημβρίας πρὸς ἀνατολάς, τοῦ Η σημείου ὑποκειμένου τοῦ ἀκριβοῦς αὐτῆς κέντρου, κατὰ μῆκος ἐν τῇ τοῦ Λέοντος ἀρχῇ, 〈αὐ〉τῆς οὔσης ἐπὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου κατὰ τὸ Δ, ὡς διὰ τοῦτο καὶ τὸ Λ μεσουρανοῦν σημεῖον γίνεσθαι Καρκίνῳ μοίραις β ἔγγιστα, βορειότερον τοῦ Θ κατὰ κορυφὴν σημείου, τοῦ διὰ Μερόης παραλλήλου. |
| 202 | γίνεται δὲ καὶ ἡ ΗΘ περιφέρεια τῶν προκειμένων τοῦ διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν μεγίστου κύκλου μοιρῶν κη μβ· καὶ ἡ ΗΡ τῆς μηκοπλατοῦς παραλλάξεως τῶν 𐆊 κθ μη· καὶ ἡ ὑπὸ ΡΗΑ γωνία βορααπηλιωτικὴ ὁμοίως μοιρῶν ιε κη· καὶ ἡ ΗΝ τῆς κατὰ μῆκος παραλλάξεως, τουτέστιν ἡ ΓΔ, 𐆊 λ· ἡ δὲ ΡΝ, τουτέστιν ἡ ΓΕ, τῆς κατὰ πλάτος 𐆊 η. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΕΑ μεταξὺ τῶν κέντρων 𐆊 λγ ἔγγιστα· 〈τὰ〉 γὰρ κ δεύτερα παρεπέμψατο. ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν ΓΑ ὅλη ἐστὶν 𐆊 μα, γίνεται καὶ ἡ μὲν ΓΜ κατὰ τὸν τῶν ια 𐅵 ʹ πρὸς τὸ α λόγον μοιρῶν ζ νβ· μετὰ δὲ τῆς ΓΔ τῶν 𐆊 λ, η κβ· ἡ δὲ ΜΗ μοιρῶν η κ. ἔσται ἄρα καὶ τὸ Μ σημεῖον τοῦ ἀναβιβάζοντος συνδέσμου κατὰ τὰς η κ μοίρας τοῦ Λέοντος, καὶ τὸ βόρειον πέρας κατὰ τοῦ Σκορπίου μοίρας η κ. Ὁμοίως δὴ ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς, καὶ πρὸς δυσμὰς τῆς σελήνης ἀπεχούσης ὥρας ἰσημερινὰς τῆς μεσημβρίας δύο, ὑποκειμένης μέντοι Διδύμων ἀρχῇ, δειχθήσεται ἡ μὲν ΓΜ τῶν ζ νβ μοιρῶν· μετὰ δὲ τῆς ΓΔ, μοιρῶν η κβ, ὡς καὶ πρὸς ἀνατολάς· ἥ τε γὰρ ΗΘ περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν κη μβ, καὶ ἡ ὑπὸ τοῦ ΛΗ ἑπομένου τμήματος τοῦ ζῳδιακοῦ καὶ τῆς ΗΡ περιφερείας γωνία ἡ ὑπὸ ΛΗΡ ἀμβλεῖα μοιρῶν ρο κη, καὶ λοιπὴ ἡ ὑπὸ ΡΗΑ θ λβ. ἥ τε ΗΡ ὁμοίως τῆς μηκοπλατοῦς παραλλάξεως ἀφαιρεθείσης τῆς τοῦ ἡλίου 𐆊 κθ μη, καὶ ἡ ΗΝ, τουτέστιν ἡ ΓΔ, 𐆊 λ τῆς κατὰ μῆκος, καὶ ἡ ΡΝ, τουτέστιν ἡ ΓΕ, 〈 𐆊 η〉 τῆς κατὰ τὸ πλάτος. 〈καὶ τῆς ΓΕ 𐆊 η〉 καὶ τῆς ΑΕ 𐆊 λγ μόνων λαμβανομένων, ὅλη γίνεται ἡ ΓΕΑ τῶν αὐτῶν 𐆊 μα. τῆς οὖν ΜΔ περιφερείας οὔσης μοιρῶν η κβ, ἡ ΜΗ πάλιν ἐστὶν η κ, καὶ τὸ Μ σημεῖον τοῦ καταβιβάζοντος συνδέσμου κατὰ τὰς τοῦ Ταύρου μοίρας κα μ, τὸ δὲ βόρειον πέρας Λέοντι μοίραις κα μ, τὸ δὲ μεσουρανοῦν σημεῖον τὸ Λ Διδύμοις μοίραις κη. «Ὅταν ἄρα τὸ κέντρον τῆς σελήνης ἀκριβῶς ἀπέχῃ ὁποτέρου τῶν «συνδέσμων ἐπὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου πρὸς μὲν τὰς ἄρκτους μοίρας ιζ κα, «πρὸς δὲ μεσημβρίαν, μοίρας η κβ, τότε πρῶτον ἐν τοῖς ἐκκειμένοις «τόποις 〈ὑπὸ〉 τοῦ διὰ Μερόης παραλλήλου καὶ τοῦ διὰ τῶν ἐκβολῶν Βορυσθένους «δυνατὸν ἔσται τὴν φαινομένην αὐτῆς θέσιν» πρὸς ἀνατολὰς καὶ δύσεις τοῦ μεσημβρινοῦ «κατὰ τὴν ἐπαφὴν γενέσθαι τοῦ ἡλίου. |
| 203 | » «Πάλιν ἐπεὶ τὸ μὲν τῆς ἡλιακῆς ἀνωμαλίας πλεῖστον διάφορον ἀπε«δείχθη τρίτῳ βιβλίῳ μοιρῶν β κγ τὸ δὲ τῆς σεληνιακῆς τὸ περὶ τὰς «συζυγίας ...», ὅ ἐστιν τῆς πρώτης καὶ ἁπλῆς ἀνωμαλίας μοιρῶν ε α. ὡς ἔστιν δʹ σελιδίῳ κανόνος ἀνωμαλίας σελήνης, «δυνατὸν ἔσται ποτὲ τὴν «σελήνην ἀφεστάναι τοῦ ἡλίου κατὰ τὰς ὁμαλὰς συζυγίας ἀκριβῶς ἐπὶ τοῦ «ζῳδιακοῦ μοίρας ζ κδ...» τοῦ μὲν κατὰ πρόσθεσιν ὄντος, τῆς δὲ κατὰ ἀφαίρεσιν οὔσης. «ἀλλ’ ἐν ᾧ διέρχεται ταύτας ἡ σελήνη, ὁ μὲν ἥλιος ...» ἐπικινηθήσεται τὸ ιγʹ αὐτῶν μέρος, τουτέστιν 𐆊 λδ ἔγγιστα, ὅτι καὶ τὰ 𐆊 β λ ἔγγιστα τοῦ μέσου ὡριαίου τοῦ ἡλίου δρομήματος τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν ἔγγιστα τῶν τοῦ ὡριαίου τῆς σελήνης 𐆊 λβ νϛ. «ἐν ὅσῳ δὲ πάλιν «ἡ σελήνη τὰ 𐆊 λδ κινεῖται, ἐπικινηθήσεται καὶ ὁ ἥλιος τὸ ιγʹ αὐτῶν «ἔγγιστα 𐆊 γ, ὧν οὐκέτι τὸ ιγʹ αἰσθητὸν γίνεται. ἐὰν ἄρα τὰ ἐπὶ τὸ αὐτὸ » 𐆊 λζ, ἅ ἐστιν τῶν ἐξ ἀρχῆς μοιρῶν ζ κδ μέρος δωδέκατον, προσθῶμεν «ταῖς τῆς ἡλιακῆς ἀνωμαλίας μοίραις β κγ, ἕξομεν μοίρας γ αἷς τὸ «πλεῖστον διοίσουσιν τῶν ταῖς ὁμαλαῖς συζυγίαις μέσων παρόδων μήκους «τε καὶ πλάτους ἔγγιστα αἱ ἀκριβεῖς. |
| 204 | ». [Omitted graphic marker] Ἔστω γὰρ ζῳδιακὸς ὁ ΖΘΚΛ, οὗ κέντρον τὸ Δ· ἐπίκυκλος δὲ τῆς σελήνης ὁ ΑΒΓΕ, τὸ Η κέντρον ἔχων κατὰ τὸ ἀπόγειον τοῦ ἐκκέντρου σελήνης. καὶ διήχθω ἡ ΔΓΗΑΘ εὐθεῖα· ἀπόγειον ἄρα ἐπικύκλου ἐστὶν τὸ Α, περίγειον δὲ τὸ Γ. ἤχθω δὴ ἡ ΔΕΖ ἐφαπτομένη αὐτοῦ. ἡ δὲ ΔΒΚ διήχθω οὕτως ὥστε τὴν ΘΚ περιφέρειαν τοῦ ζῳδιακοῦ εἶναι μοιρῶν β κγ, τοῦ ἡλίου κατὰ πρόσθεσιν ὄντος, καὶ τῆς σελήνης ἐπὶ τοῦ Ε κατὰ ἀφαίρεσιν. ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν ΖΘ ἐστὶν μοιρῶν ζ κδ, ἔστω τῆς ΖΚ ιβʹ μέρος ἡ ΚΛ, ἑξηκοστῶν οὖσα λζ. τὸ μὲν ἄρα Θ σημεῖον ἔσται τῆς μέσης συζυγίας, τὸ δὲ Λ τῆς ἀκριβοῦς, καὶ ἡ ΘΛ μοιρῶν γ, αἷς τὸ πλεῖστον διήνεγκεν ὁ τόπος τῆς ὁμαλῆς συζυγίας τῆς ἀκριβοῦς συνόδου. Ὁμοίως δὴ καὶ ἐπὶ πανσελήνου δειχθήσεται, κἂν ἡ μὲν σελήνη κατὰ πρόσθεσιν ᾖ, ὁ δὲ ἥλιος κατὰ ἀφαίρεσιν. «Ὅταν ἄρα ἡ μέση πάροδος τοῦ κέντρου τῆς σελήνης ἀφεστήκῃ «τῶν συνδέσμων ἐπὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου πρὸς μὲν τὰς ἄρκτους μοίρας κ μα, «πρὸς μεσημβρίαν δὲ μοίρας ια κβ. |
| 205 | ..» ἕως «τότε μόνον ἐν τοῖς ἐκκει«μένοις τόποις δυνατὸν ἔσται τὸ προκείμενον.». [Omitted graphic marker] Ἔστω γὰρ ὁ λοξὸς τῆς σελήνης κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, τοῦ Α ὑποκειμένου ἀναβιβάζοντος, τοῦ δὲ Β βορείου πέρατος, καὶ τοῦ Δ νοτίου πέρατος καὶ κατὰ διάμετρον. καὶ τῶν μὲν ΑΜ, ΖΓ τοῦ λοξοῦ πρὸς ἄρκτους παρόδων τῆς σελήνης οὐσῶν ἐκ μοιρῶν ιζ μα, τῶν δὲ ΓΗ, ΑΛ πρὸς μεσημβρίαν ἐκ μοιρῶν η κβ, φανερὸν τοίνυν ὅτι ὅταν μὲν κατὰ τὸ Ζ γένηται ἡ ἀκριβὴς συζυγία, τότε τὴν μέσην σελήνην προηγουμένην ποιεῖ τοῦ Ζ ταῖς μοίραις γ, τοῦ ἡλίου κατὰ πρόσθεσιν ὄντος καὶ τῆς σελήνης κατὰ ἀφαίρεσιν. ὅταν δὲ κατὰ τὸ Μ, τὸ ἐναντίον τὴν μέσην σελήνην ἕξομεν ὡς εἰς τὰ ἑπόμενα τοῦ Μ, τοῦ ἡλίου κατὰ ἀφαίρεσιν ὄντος καὶ τῆς σελήνης κατὰ πρόσθεσιν· ὅταν δὲ κατὰ τὸ Η, ὁμοίως τὴν μέσην ἐπὶ τὰ ἑπόμενα· καὶ κατὰ τὸ Ζ, ἐπὶ τὰ προηγούμενα· ὡς τὰς κατὰ τὰ Ε, Θ, Κ, Ν μέσας. |
| 206 | ὥστε γίνεσθαι ἑκατέραν τῶν ΑΝ καὶ ΕΓ μέσων 〈παρόδων〉 ἐκ μοιρῶν κ μα· ἑκατέραν δὲ τῶν ΓΘ, ΚΑ μέσων παρόδων ἐκ μοιρῶν ια κβ· καὶ τὴν μὲν ΒΕ περιφέρειαν μοιρῶν ξθ ιθ· τὴν δὲ ΒΓΘ μοιρῶν ρα κβ· τὴν δὲ ΒΓΚ μοιρῶν σνη λη· καὶ τὴν ΒΓΝ μοιρῶν σϙ μα. Διὰ ταῦτα οὖν ὅταν ὁ ἀπὸ τοῦ βορείου πέρατος τοῦ λοξοῦ τῆς σελήνης· παρακειμένης τῆς μέσης συζυγίας μοιρῶν ἀριθμός, ἤτοι ταῖς ἀπὸ ξθ ιθ μέχρι ρα κβ, ἢ ταῖς ἀπὸ σνη λη μέχρι σϙ μα συνεμπίπτῃ, τότε μόνον ἐν τοῖς ἐκκειμένοις τόποις, τουτέστιν Μερόῃ καὶ ἐκβολαῖς Βορυσθένους ποταμοῦ καὶ πᾶσι τοῖς ὑπὸ τοὺς αὐτοὺς παραλλήλους, δυνατὸν ἔσται τὴν φαινομένην τῆς σελήνης θέσιν κατὰ τὴν ἐπαφὴν γενέσθαι τοῦ ἡλίου. «Πάλιν καὶ τῶν τῆς σελήνης ἐκλειπτικῶν ὅρων ἕνεκεν, ἐπεὶ τὴν ἐκ «τοῦ κέντρου τῆς σελήνης κατὰ τὸ ἐλάχιστον αὐτῆς ἀπόστημα ὑποτεί«νουσαν ἔδειξεν διὰ δύο ἐκλείψεων ἑξηκοστῶν 𐆊 ιζ μ, τὴν δ’ ἐκ τοῦ «κέντρου τῆς σκιᾶς διπλασίαν οὖσαν καὶ ἔτι τοῖς γ πέμπτοις ἔγγιστα «μείζονα τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης ...» λαμβάνει 𐆊 με νϛ ἀντὶ τῶν δεδειγμένων 𐆊 μϛ. διὰ τοῦτο γὰρ ἔγγιστα εἶπεν. «Δῆλον ὅτι καὶ ὅταν τὸ κέντρον τῆς σελήνης ἀκριβῶς ἀπέχῃ τοῦ κέν«τρου τῆς σκιᾶς ...» καὶ τὰ ἑξῆς ἄχρι τέλους. Ἔστω γὰρ ὁ λοξὸς τῆς σελήνης κύκλος ὁ ΑΒΓΔ· καὶ τὸ μὲν Α σημεῖον ὑποκείσθω τὸ βόρειον πέρας αὐτοῦ, τὸ δὲ Γ τὸ νότιον, τῶν συνδέσμων τὰ Β, Δ, ἀναβιβάζοντος μὲν τὸ Δ, καὶ τοῦ ἐναντίου τὸ Β. ἐπεὶ οὖν αἱ ἐκ τῶν κέντρων σελήνης καὶ σκιᾶς ἐκ πόλων τῶν κύκλων οὖσαι ὑποτείνουσιν περιφέρειαν τοῦ κατὰ τὸ ἐλάχιστον τῆς σελήνης ἀπόστημα μοίρας α γ λϛ, ταύτῃ δὲ ἐπιβάλλουσιν τοῦ λοξοῦ κύκλου τῆς σελήνης ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ διὰ μέσων πρὸς νότον καὶ βορρᾶν ἐξ ἴσων μοῖραι ιβ ιβ ἔγγιστα κατὰ τὸν [Omitted graphic marker] τῶν ια 𐅵 ʹ πρὸς τὸ ἓν λόγον· ἐὰν ταῖς ιβ ιβ μοίραις εἰς ἑκάτερα μέρη ἀπὸ τῶν συνδέσμων προσθῶμεν τὰς προαποδεδειγμένας τῆς ἀνωμαλίας μοίρας γ, αἷς τὸ πλεῖστον ἔγγιστα διοίσουσιν τῶν ἐν ταῖς ὁμαλαῖς συζυγίαις μέσων παρόδων μήκους τε καὶ πλάτους ἔγγιστα αἱ ἀκριβεῖς· ἕξομεν μοίρας ιε ιβ, ἃς ἀπὸ τῶν συνδέσμων ἀφέξει μέσως τὸ τῆς σελήνης κέντρον ὡς τὰς ΒΕ, ΔΗ πρὸς βορρᾶν καὶ τὰς ΒΖ, ΔΘ πρὸς νότον, πάσας δὲ ἐκ μοιρῶν ιε ιβ. |
| 207 | ὥστε τὴν μὲν ΑΕ περιφέρειαν γίνεσθαι οδ μη, τὴν δὲ ΑΒΖ ρε ιβ, καὶ τὴν ΑΒΘ σνδ μη, καὶ ἔτι τὴν ΑΒΗ λοιπὴν σπε ιβ. διὰ ταῦτα οὖν, ὅταν τὸ κατὰ τὴν ὁμαλὴν πάροδον τῆς σελήνης κέντρον συνεμπίπτῃ κατὰ τοὺς προκειμένους ἀριθμοὺς τῶν ὅρων οδ μη, καὶ ρε ιβ, καὶ σνδ μη, καὶ σπε ιβ, τότε πρῶτον δυνατὸν ἔσται τὴν σελήνην πανταχῇ τοῦ κύκλου τῆς σκιᾶς ἐφάπτεσθαι. Τούτους δὲ τοὺς ἀριθμοὺς καὶ τοὺς τῶν ἡλιακῶν ὅρων ξθ ιθ, καὶ ρα κβ καὶ σνη λη, καὶ σϙ μα, παρέθηκεν τοῖς τῶν συζυγιῶν κανονίοις μεταξὺ τῶν ἁπλῶν ἐτῶν καὶ τῶν μηνῶν, πρὸς τὸ ἐξ ἑτοίμου τὴν διάκρισιν ποιεῖσθαι τῶν δυναμένων συζυγιῶν εἰς ἔκλειψιν ἐμπεσεῖν. |
| 209 (1t) | Περὶ τῆς διαστάσεως τῶν ἐκλειπτικῶν μηνῶν. »... Καὶ δι’ ὅσων δ’ ὡς ἐπίπαν μηνῶν σεληνιακῶν δυνατὸν ἔσται τὰς «συζυγίας τῶν φώτων ἐκλειπτικὰς γίνεσθαι, χρήσιμον ἂν γένοιτο τοῖς «προαποδεδειγμένοις προσθεῖναι, πρὸς τὸ λαβόντας ἡμᾶς χρόνον τινὰ «ἐκλειπτικῆς συζυγίας μὴ πάσας πάλιν ἁπλῶς τὰς ἐφεξῆς συζυγίας, «ἀλλὰ μόνας τὰς δι’ ὅσων ἂν ἐνδεχόμενον ᾖ μηνῶν ἔκλειψιν γενέσθαι» ἡλίου καὶ σελήνης παραλαμβάνειν πρὸς τὴν ἐπίσκεψιν τῶν ἐκτεθειμένων ὅρων ἡλίου καὶ σελήνης. «Τὸ μὲν οὖν δι’ ἓξ μηνῶν δυνατὸν εἶναι τὸν ἥλιον καὶ τὴν σελή«νην ἐκλείπειν, αὐτόθεν ἂν εἴη δῆλον, ἐπειδήπερ ἡ μὲν μέση κατὰ «πλάτος πάροδος τῆς σελήνης ἐν τοῖς ἓξ μησὶν συνάγει μοί«ρα ρπδ α κε...» τοσαῦται γὰρ παράκεινται [ἐν] τοῖς ἓξ μησὶν ἐν τῷ μηνιαίῳ κανονίῳ τῶν συζυγιῶν «... αἱ δὲ μεταξὺ τῶν ἐκλειπτικῶν ὅρων «περιφέρειαι ἐπί τε τοῦ ἡλίου καὶ τῆς σελήνης, αἱ μὲν ἡλίου καὶ τῆς σε«λήνης, αἱ μὲν ἐντὸς ἡμικυκλίου ἐλάσσονας» μοίρας τῶν ρπδ α κε «περιέχουσιν, αἱ δ’ ὑπὲρ τὸ ἡμικύκλιον πλείονας». Ἐπὶ γὰρ τοῦ ἡλίου ἡ μὲν ἀπ’ ἄρκτων ἀνέκλειπτος περιφέρεια γίνεται μοιρῶν ρλ λη, ὡς ἐπὶ τοῦ προκειμένου τοῦ ἡλίου θεωρήματος ἡ ΕΒΝ περιφέρεια, ἡ δ’ ἀπὸ μεσημβρίας ἡ ΘΔΚ μοιρῶν ρνζ ιϛ, διὰ τὸ καὶ ἑκατέραν μὲν τῶν ΓΕ, ΑΝ περιφερειῶν πρὸς ἄρκτους δεδεῖχθαι μοιρῶν κ μα, ἑκατέραν δὲ τῶν ΓΘ καὶ ΑΚ πρὸς μεσημβρίαν μοιρῶν ια κβ. ἐπὶ δὲ τῆς σελήνης, ὡς ἐπὶ τοῦ θεωρήματος τοῦ προκειμένου ἐπὶ σελήνης, ἡ ἀνέκλειπτος περιφέρεια ἥ τε ἀπ’ ἄρκτων ἡ ΕΑΗ καὶ ἀπὸ μεσημβρίας ἡ ΖΓΘ, ἑκατέρα μοιρῶν ἐστιν ρμθ λϛ· οἱ γὰρ ἐκλειπτικοὶ ὅροι αὐτῆς ὡς τὰ Ε, Ζ, Θ, Η σημεῖα ἐδείχθησαν ἀπὸ τῶν συνδέσμων ἀπολαμβάνοντες εἰς ἑκάτερα τὰ μέρη τοῦ διὰ μέσων ἐπὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου ἐκ μοιρῶν ιε ιβ, ὡς τὰς ΕΒ, ΗΔ πρὸς ἄρκτου καὶ τὰς ΒΖ, ΔΘ πρὸς μεσημβρίαν. |
| 210 | ὥστε καὶ ἑκατέραν τῶν ἀνεκλείπτων περιφερειῶν ἡλίου ρλη λη καὶ ρνζ ιϛ καὶ σελήνης ρμθ λϛ ἐλάσσονα ἡμικυκλίου καὶ πολλῷ τῶν ρπδ α κε. Καί εἰσιν μεταξὺ τῶν ἐκλειπτικῶν ὅρων περιφέρειαι ἥ τε τῶν ρλη λη καὶ ρνζ ιϛ, καὶ σελήνης ρμθ λϛ, καθάπερ καὶ αἱ λείπουσαι ταύταις εἰς ἕνα κύκλον μείζους οὖσαι τῶν ρπδ α κε καὶ πολλῷ μείζους τοῦ ἡμικυκλίου μεταξύ εἰσιν τῶν ἐκλειπτικῶν ὅρων· ἔστιν γὰρ ἐπὶ μὲν ἡλίου ἡ τῶν σκα κβ ὡς ἡ ΕΔΝ περιφέρεια, καὶ ἡ τῶν σμ μδ ὡς ἡ ΘΒΚ, ἐπὶ δὲ σελήνην ἡ τῶν σι κδ ὡς ἑκατέρα τῶν ΕΓΗ, ΖΑΘ περιφέρεια. Καὶ πάλιν ἐπὶ τοῦ ἡλίου μεταξὺ τῶν ἐκλειπτικῶν ὅρων περιφέρειαί εἰσιν μείζονες καὶ ἐλάσσονες ἡμικυκλίου· μείζονες μὲν ἡμικυκλίου ἥ τε ἀπὸ τῆς προσαγωγῆς τοῦ καταβιβάζοντος συνδέσμου μέχρι τῆς προσαγωγῆς τοῦ ἀναβιβάζοντος συνδέσμου ὡς ἡ ΕΔΚ, καὶ ἡ ἀπὸ τῆς ἀποχωρήσεως 〈τοῦ καταβιβάζοντος συνδέσμου μέχρι τῆς ἀποχωρήσεωσ〉 τοῦ ἀναβιβάζοντος ὡς ἡ ΘΑΝ· ἑκατέρα γὰρ τῶν περιφερειῶν μοιρῶν ἐστιν ρπθ ιθ· ἐλάσσων δὲ ἡμικυκλίου ἥ τε ἀπὸ τῆς ἀποχωρήσεως τοῦ ἀναβιβάζοντος μέχρι τῆς ἀποχωρήσεως τοῦ ἐναντίου συνδέσμου, καὶ ἡ ἀπὸ τῆς προσαγωγῆς τοῦ ἀναβιβάζοντος μέχρι τῆς προσαγωγῆς τοῦ καταβιβάζοντος· καὶ τούτων γὰρ ἑκατέρα μοιρῶν ἐστιν ρο μα. Ἐπὶ γὰρ σελήνης ἑκατέρα τῶν οὕτω λαμβανομένων περιφερειῶν ἡμικυκλίου ἐστίν, διὰ τὸ ἴσας εἶναι τὰς ἀπὸ τῶν συνδέσμων ἐπὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου περιφερείας ἐκλειπτικὰς ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ διὰ μέσων καθ’ ἑκάτερον συνδέσμων, ἐκ μοιρῶν ιε ιβ· ὥστε πάντως δυνατόν ἐστιν τήν τε σελήνην καὶ τὸν ἥλιον δι’ ἓξ μηνῶν, τουτέστιν τὰς ἄκρας συνόδους ἢ πανσελήνους εἰς ἔκλειψιν ἐμπεσεῖν. »... Τούτων δ’ αἱ μὲν ρμε λβ τοῦ ἡλίου μοῖραι κατὰ τὴν ἐφ’ ἑκάτερα «τοῦ περιγείου μεγίστην πάροδον ἐπιλαμβάνουσιν παρὰ τὴν μέσην μοίρας «δ λη, αἱ δὲ τοῦ ἐπικύκλου τῆς σελήνης ρκθ ε μοῖραι κατὰ τὴν ἐφ’ ἑκά«τερα τοῦ ἀπογείου ἐλαχίστην πάροδον ἀφαιροῦσι τῆς μέσης μοίρας η μ, «ἐν τῷ χρόνῳ τῆς μέσης πενταμήνου, ὅταν ὁ μὲν ἥλιος τὴν μεγίστην «ποιεῖται πάροδον ἡ δὲ σελήνη τὴν ἐλαχίστην, ἔτι προηγουμένη ἔσται τοῦ «ἡλίου ἡ σελήνη ταῖς ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ἀνωμαλιῶν συναγομέναις μοίραις «ιγ ιη. |
| 211 | » Τὴν ἀρχὴν τῆς μέσης πενταμήνου ὑποτίθεται ἀπὸ πανσεληνιακῆς συζυγίας ἀκριβοῦς γινομένης περὶ τὰ δύο μέρη τῶν Ἰχθύων, τουτέστιν μοίραις κ κε, τῆς σελήνης κατ’ ἐκεῖνον τὸν χρόνον ἀπεχούσης τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου ἐπὶ τὰ ἡγούμενα μοίρας ςϙε κη, ὥστε καὶ τὸν μὲν μέσον ἥλιον γίνεσθαι Παρθένῳ μοίραις κβ μδ, τὴν δὲ μέσην σελήνην Ἰχθύσι μοίραις ιϛ ε· αἱ γὰρ ἀπὸ τοῦ ἀπογείου Διδύμων ε 𐅵 ʹ μοῖραι ἐπὶ τὸν μέσον ἥλιον Παρθένου κβ μδ συναγόμεναι μοῖραι ρζ ιδ ἀφαιροῦσι τῆς μέσης μοίρας β ιθ· αἱ δ’ ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου τῆς σελήνης μοῖραι ςϙε κη προστιθοῦσι τῇ μέσῃ σελήνῃ Ἰχθύων μοίραις ιϛ ε μοίρας δ κ. ἐπειδὴ οὖν ἡ μὲν ἑκατέρου τῶν φώτων μέση κατὰ μῆκος πάροδος ἐν τῷ χρόνῳ τῆς μέσης πενταμήνου συνάγεται μοιρῶν ρμε λβ, τῆς δὲ σεληνιακῆς ἀνωμαλίας μοιρῶν ρκθ ε· τοσαῦται γὰρ παράκεινται τοῖς ε μησὶν ἐπὶ τοῦ τῶν μηνῶν κανονίου τῶν συνοδοπανσελήνων· φανερὸν ὅτι ἐν τῷ τέλει τοῦ τῆς μέσης πενταμήνου χρόνου, ὁ μὲν ἥλιος μέσως μὲν ἐφέξει Ὑδροχόου μοίρας ιη ιϛ ἀκριβῶς δὲ μοίρας κ λε, ἡ δὲ σελήνη μέσως μὲν Λέοντος μοίρας ια λζ ἀκριβῶς δὲ μοίρας ζ ιζ. |
| 212 | καὶ γὰρ πάλιν αἱ ἀπὸ τοῦ ἀπογείου Διδύμων ε 𐅵 ʹ ἐπὶ τὸν μέσον ἥλιον Ὑδροχόου μοίραις ιη ιϛ συναγόμεναι μοῖραι σνβ μϛ προστιθοῦσι τῇ μέσῃ μοίρας β ιθ· αἱ δ’ ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου τῆς σελήνης ἐπὶ τὰ ἡγούμενα ὁμοίως τοῦ ἀπογείου μοῖραι ξδ λδ ἀφαιροῦσι τῆς μέσης Λέοντος ια λζ μοίρας δ κ. ὡς προηγεῖσθαι τὴν ἀκριβῆ σελήνην τοῦ ἀκριβοῦς ἡλίου παρὰ τὴν ἀκριβῆ πανσέληνον κατὰ τὸ τέλος τῆς μέσης πενταμήνου ταῖς ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ἀνωμαλιῶν συναγομέναις μοίραις ιγ ιη· ἐπείπερ καὶ ὅλη ἡ διάστασις ἡ ἐπὶ τὰ ἑπόμενα ἀπὸ τοῦ ἀκριβοῦς ἡλίου Παρθένου μοίραις κ κε κατὰ τὴν ἀρχὴν καὶ τὴν πρώτην πανσέληνον, ἐπὶ τὸν ἀκριβῆ ἥλιον Ὑδροχόου μοίραις κ λε κατὰ τὸ τέλος τῆς μέσης πενταμήνου μοιρῶν οὖσα ρν ι, μείζων ἐστὶν τῆς ἀπὸ τῆς ἀκριβοῦς πανσελήνου Ἰχθύων μοίραις κ κε μέχρι τῆς ἀκριβοῦς σελήνης Λέοντος μοίραις ζ ιζ διαστάσεως συναγομένης μοιρῶν ρλϛ νβ, μοίραις ιγ ιη, αἵ εἰσιν ἴσαι ταῖς ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ἀνωμαλιῶν συναγομέναις· ἔστιν γὰρ ἡλίου μὲν μοιρῶν δ λη, αἷς ὑπερέχουσιν αἱ ρν ι μοῖραι τῆς ἀκριβοῦς διαστάσεως τὰς τῆς μέσης ρμε λβ, σελήνης δὲ η μ, αἷς ὑπερέχονται αἱ ρλϛ νβ μοῖραι τῆς ἀκριβοῦς διαστάσεως ὑπὸ τῶν τῆς μέσης ρμε λβ· διὸ καί φησιν τὰς μὲν ρμε λβ κατὰ τὴν ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ περιγείου Τοξότου ε 𐅵 ʹ ἐπιλαμβάνειν παρὰ τὴν μέσην μοίρας δ λη· τὰς δὲ τοῦ ἐπικύκλου τῆς σελήνης, αἵ εἰσιν τῆς ἀνωμαλίας, μοίρας ρκθ ε, κατὰ τὴν ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου ἐλαχίστην πάροδον ἀφαιρεῖν τῆς μέσης τῶν ρμε λβ μοιρῶν μοίρας η μ. Ἔστω γὰρ τοῦ ἡλίου ἔκκεντρος κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Ε καὶ διάμετρον τὴν ΑΕΓ· ἐφ’ ἧς ὑποκείσθω τὸ τοῦ ζῳδιακοῦ κέντρον τὸ Ζ. ἀπόγειον ἄρα ἐκκέντρου ἐστὶν τὸ Α, περίγειον δὲ τὸ Γ. ἔστω δὲ καὶ ζῳδιακὸς ὁ ΑΗΘΚ. καὶ ἔστω ἑκατέρα τῶν ΒΓ, ΓΔ μοιρῶν οβ μϛ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΒ, ΕΔ, ΖΒΗ, ΖΔΚ. ἡ ἄρα ΑΒ περιφέρεια τῶν λειπουσῶν εἰς ἡμικύκλιόν ἐστιν ρζ ιδ, αἷς παράκειται γʹ σελιδίῳ τῆς ὑπὸ ΕΒΖ γωνίας ἀφαιρετικὰ β ιθ. |
| 213 | λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΗ τοῦ ζῳδιακοῦ ρδ νε ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τοῦ κατὰ τὸ Α. ἔσται ἄρα τὸ Η σημεῖον Παρθένου μοίραις κ κε. καθ’ ὃ ὑποκείσθω ὁ ἥλιος ἀκριβῶς κατὰ τὴν ἀρχὴν τῆς μέσης πενταμήνου. ἐπεὶ δὲ καὶ ἡ ΓΔ τῇ ΒΓ ἐστὶν ἴση, ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΔΖ [Omitted graphic marker] γωνία τῇ ὑπὸ ΕΒΖ. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΕΔΖ τοῦ διαφόρου οὖσα γʹ σελιδίῳ προσθετικὴ οὖσα μοιρῶν β ιθ ἐστίν· αὗται γὰρ παράκεινται ταῖς ἀπὸ τοῦ ἀπογείου σνβ μϛ τουτέστιν τῇ ΑΔ περιφερείᾳ. ὥστε τὴν ΑΗΚ περιφέρειαν τοῦ ζῳδιακοῦ μοιρῶν εἶναι σνε ε· καὶ τὸ Κ σημεῖον Ὑδροχόου κ λε, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος κατὰ τὸ τέλος τῆς μέσης πενταμήνου παραγίγνεται· καὶ τὴν ΗΘΚ περιφέρειαν διάστασιν εἶναι ἀπὸ ἀρχῆς τῆς μέσης πενταμήνου ἐπὶ τὸ τέλος τῆς αὐτῆς, ἀπὸ Παρθένου μοιρῶν κ κε ἐπὶ Ὑδροχόου μοίρας κ λε τῶν συναγομένων μοιρῶν ρν 〈ι〉· καὶ ὑπερβάλλειν τὰς τῆς μέσης πενταμήνου ρμε λβ τοῖς δύο διαφόροις μοίραις δ λη. Πάλιν ἔστω καὶ τῆς σελήνης ἕνεκεν ὁ μὲν ὁμόκεντρος τῷ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Ε καὶ διάμετρον τὴν ΑΕΖ· ἐπίκυκλος δὲ περὶ τὸ Α ὁ ΗΞΓ, τῆς σελήνης ὑποκειμένης κατὰ τὸ Ξ καὶ ἀπεχούσης τοῦ Η τὴν ΞΗ περιφέρειαν μοιρῶν ξδ λβ, του[Omitted graphic marker] τέστιν τὴν ΗΣΞ ἀπὸ τοῦ Η ἀπογείου μοιρῶν οὖσαν ςϙε κη· ὥστε καὶ τὴν ὑπὸ ΑΕΒ γωνίαν τουτέστιν τὴν ΑΒ περιφέρειαν εἶναι τοῦ δʹ σελιδίου τῆς πρώτης ἀνωμαλίας σελήνης μοιρῶν δ κ. |
| 214 | πιπτέτω δ’ ἡ ΕΒΞ εὐθεῖα φέρουσα τὴν κατὰ τὸ Ξ σελήνην τῇ ἀρχῇ τῆς 〈μέσησ〉 πενταμήνου κατὰ διάμετρον ἡλίου οὖσα δηλονότι Ἰχθύων μοίραις κ κε, ὥστε καὶ τήν τε μέσην μοῖραν τῆς σελήνης, τουτέστιν τὸ Α σημεῖον, εἶναι Ἰχθύων ιϛ ε καὶ τὸ ἀπόγειον τοῦ ἐκκέντρου. καὶ κινείσθω ὁ μὲν ἐπίκυκλος ἐν τῷ χρόνῳ τῆς μέσης πενταμήνου τὰς ἐν τῷ κανόνι τῶν μηνιαίων μέσων συζυγιῶν τὰς τῶν ε μηνῶν μοίρας ρμε λβ. καὶ ἐχέτω θέσιν τὸ κέντρον αὐτοῦ κατὰ τὸ Π τῆς μέσης σελήνης· καὶ ἡ ΕΑΗ κατὰ τὴν ΕΠΛ τῆς σελήνης· καὶ ἡ ΕΒΞ κατὰ τὴν ΕΔΚ, κατὰ τὸ Κ οὔσης τῆς σελήνης, ὡς ἂν μὴ ἰδίαν κίνησιν ὑπέκειτο ποιουμένη, ὥστε τὴν ΒΠΔ περιφέρειαν κίνησιν οὖσαν τῆς μέσης σελήνης 〈ἴσην εἶναι〉 τῇ ΑΒΠ οὔσῃ μοιρῶν ρμε λβ. |
| 215 | ἐπεὶ δὲ καὶ κατὰ τὸν ἐπίκυκλον κινεῖται ἡ σελήνη τὰς παρακειμένας ἐν τῷ κανόνι τοῖς ε μησὶ τῆς ἀνωμαλίας ρκθ ε, κινείσθω τὴν ΚΛΜ περιφέρειαν μοιρῶν οὖσαν ρκθ ε, ὥστε ἑκατέραν τῶν ΛΚ, ΛΜ μοιρῶν εἶναι ξδ λβ. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΡΜ, ὥστε καὶ τὴν ὑπὸ ΜΕΛ γωνίαν τουτέστιν τὴν ΡΠ περιφέρειαν ἴσην οὖσαν τῇ ΠΔ τουτέστιν τῇ ΑΒ, μοιρῶν εἶναι δ κ, καὶ ὅλην τὴν ΔΡ τῶν δύο διαφορῶν μοιρῶν η μ· καὶ λοιπὴν τὴν ΒΡ διάστασιν ρλϛ νβ, ἐλάσσονα τῶν τῆς μέσης ρμε λβ μοιρῶν η μ, τουτέστιν τοῖς δύο διαφόροις· καὶ τὸ Ρ σημεῖον τῆς ἐποχῆς τῆς σελήνης τῆς ἀκριβοῦς κατὰ τὸ τέλος τῆς μέσης πενταμήνου Λέοντι μοίραις ζ ιζ. ἦν δὲ καὶ ὁ ἥλιος κατὰ τὸ τέλος τῆς αὐτῆς πενταμήνου Ὑδροχόῳ μοίραις κ λε. ὑπερέχει ἄρα ὁ ἥλιος τῆς [μέσης] σελήνης ταῖς ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ἀνωμαλιῶν συναγομέναις, τουτέστιν τῆς σελήνης μὲν η μ, τοῦ δὲ ἡλίου δ λη, ταῖς ἐπὶ τὸ αὐτὸ μοίραις ιγ ιη. Τὸ δ’ αὐτὸ καὶ ἐπὶ συνόδων δειχθήσεται. «Ὧν πάλιν τὸ ιβʹ λαβόντες ...» δι’ ἣν εἶπεν ἀνώτερον αἰτίαν, ἕξομεν μοίρας α καὶ ἑξηκοστῶν ϛ, ἣν ὁ ἥλιος ἐπικινηθήσεται μέχρι τοῦ καταληφθῆναι ὑπὸ τῆς σελήνης. ταύτην δὲ τὴν μοῖραν α ϛ ταῖς ιγ ιη προσθέντες καὶ τὰς γενομένας μοίρας ιδ κδ μερίσαντες παρὰ τὸ ἡμερήσιον τοῦ μήκους ὁμαλὸν κίνημα τῆς σελήνης μοιρῶν ιγ ια, ἕξομεν ἡμέραν α καὶ ὡρῶν β δʹ. ἃς ἐὰν προσθῶμεν ταῖς κατὰ τὴν μέσην πεντάμηνον συναγομέναις ἡμέραις ρμζ καὶ ὥραις ιε 𐅵 ʹ δʹ τῆς μεγίστης πενταμήνου, γίνεται χρόνος ἡμερῶν ρμη καὶ ὡρῶν ἰσημερινῶν ιη. ἐπεὶ οὖν ἐκ μὲν τῆς ἰδίας ἀνωμαλίας ἐπειλήφειν μοίρας δ λη, αὗται δὲ μετὰ τῆς α μοίρας καὶ ἑξηκοστῶν ϛ γίνονται μοιρῶν ε μδ, ἔσται ἡ μεγίστη πεντάμηνος, ἡμερῶν συναγομένη ρμη καὶ ὡρῶν ιη, παρὰ τὴν μέσην ἐπειληφυῖα κατὰ μῆκος μοίρας ε μδ. |
| 216 | τοσαύτας δὲ καὶ ἡ μέση κατὰ πλάτος τῆς σελήνης ἐπειληφυῖα, ἔσται τοῖς κατὰ τὴν μέσην πεντάμηνον συναγομένοις ἐκ τοῦ τῶν μηνῶν κανονίου τμήμασιν ρνγ κα ἔγγιστα. «Ὥστε καὶ ἡ ἀκριβῶς θεωρουμένη κατὰ πλάτος πάροδος ...» τῆς σελήνης ἐν τῷ χρόνῳ τῆς μεγίστης πενταμήνου τῶν ρμη ἡμερῶν καὶ ὡρῶν ιη ἔγγιστα, καὶ συναχθήσεται μοιρῶν ρνθ ε, αἵτινες πλείους εἰσὶν τῶν κατὰ τὸ ἐλάχιστον ἀπόστημα προαποδεδειγμένων τῆς ἀνεκλείπτου περιφερείας μοιρῶν ρμθ λϛ τμήμασιν θ 𐅵 ʹ ἔγγιστα. Καὶ πάλιν ἐπὶ τοῦ μέσου ἀποστήματος τῆς σελήνης ἐκλειπτικοὶ ὅροι ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ διὰ μέσων ἀπολαμβάνουσιν ἐπὶ τοῦ πρὸς ὀρθὰς τῷ λοξῷ σελήνης μοῖραν α ἔγγιστα διὰ τὸ, ὥς φησιν, «τὴν μὲν κατὰ τὸ ἐλάχιστον «εἶναι μοῖραν α γ λϛ τὴν δὲ κατὰ τὸ μέγιστον 𐆊 νϛ κδ», ὡς ἔστιν εʹ βιβλίῳ. ἀμφότερα γὰρ μίξαντες καὶ τῶν γενομένων μοιρῶν β τὸ ἥμισυ λαβόντες, τὴν μοῖραν α ἐπὶ τοῦ μέσου ἀποστήματος τῶν ἐκλειπτικῶν ὅρων φήσομεν ἐπὶ τοῦ πρὸς ὀρθὰς τῷ λοξῷ. «Ἐπὶ δὲ τοῦ λοξοῦ ἀπὸ τῶν συνδέσμων τμήματα ια 𐅵 ʹ ...» κατὰ τὸν ἐκκείμενον λόγον τοῦ α πρὸς τὰ ια 𐅵 ʹ. διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ μεταξὺ τῶν ἐκλειπτικῶν ὅρων καὶ ἀνέκλειπτος περιφέρεια ἐπὶ τοῦ μέσου ἀποστήματος συνάγεται μοιρῶν ρνζ 𐆊 , αἵτινες ἐλάσσονές εἰσιν τῶν κατὰ τὴν μεγίστην πεντάμηνον λαμβανομένων ρνθ ε ἐπὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου τμήμασιν β ε. Ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τοῦ μεγίστου ἀποστήματος ἡ ἀνέκλειπτος περιφέρεια συνάγεται μοιρῶν ρνη μη ἐλάσσων καὶ αὐτὴ τῶν κατὰ τὴν μεγίστην πεντάμηνον ρνθ ε, γʹ μέρει ἔγγιστα μοίρας α. Διὸ καὶ ἐπὶ τοῦ μέσου ἀποστήματος τὴν δεῖξιν πεποίηται ὁμολογουμένης τῆς κατὰ τὸ ἐλάχιστον. |
| 217 | Δῆλον οὖν ὅτι δυνατὸν ἔσται τὰς ἄκρας τῆς μεγίστης πενταμήνου πανσεληνιακὰς συζυγίας ἐκλειπτικὰς γενέσθαι, ἀμφοτέρας μέντοι ἢ ἀπὸ νότου ἢ ἀπὸ βορρᾶ, καὶ οὐδέποτε κατὰ μὲν τὴν ἀρχὴν τῆς μεγίστης πενταμήνου ἐκλείπειν τὴν σελήνην ἀπὸ νότου φέρ’ εἰπεῖν, κατὰ δὲ τὸ τέλος ἀπὸ βορρᾶ ἢ ἀνάπαλιν. «Τούτων δοθέντων, αἱ μὲν σγ με μοῖραι τοῦ ἡλίου κατὰ τὴν ἐφ’ ἑκά«τερα τοῦ ἀπογείου ἐλαχίστην πάροδον ἀφαιροῦσιν τῆς μέσης ...» καὶ τὰ ἑξῆς. Ὥσπερ ἐπὶ τῆς μεγίστης πενταμήνου ἐδείχθη, καὶ ἐνταῦθα δειχθήσεται ὅτι κατὰ τὸ τέλος τῆς μέσης ἑπταμήνου ἑπομένη ἔσται τοῦ ἡλίου ἡ σελήνη μοίραις ιδ μ· τῶν γὰρ σγ με τὸ ἥμισυ γίνεται μοιρῶν ρα νβ 𐅵 ʹ, ἃς ἀφέξει ὁ μέσος ἥλιος ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ ἀπογείου ἡγούμενα καὶ ἑπόμενα Διδύμων ε 𐅵 ʹ. ὥστε εἶναι κατὰ τὴν ἀρχὴν τῆς μέσης ἑπταμήνου τὸν μὲν μέσον ἥλιον Ὑδροχόῳ μοίραις κγ λζ 𐅵 ʹ, τὸν δὲ ἀκριβῆ μοίραις κ νη 𐅵 ʹ· καὶ κατὰ τὸ τέλος ὁμοίως τὸν μὲν μέσον ἥλιον Παρθένῳ μοίραις ιζ κβ 𐅵 ʹ, τὸν δὲ ἀκριβῆ Παρθένῳ μοίραις ιε α 𐅵 ʹ. Πάλιν ἐπὶ σελήνης τῶν ρπ μγ τὸ ἥμισυ γίνεται μοιρῶν ϙ κα, ἃς ἀφέξει τὸ κέντρον τῆς σελήνης τοῦ περιγείου τοῦ ἐπικύκλου ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ περιγείου κατὰ τὴν ἀρχὴν τῆς μέσης ἑπταμήνου καὶ κατὰ τὸ τέλος, τουτέστιν κατὰ μὲν τὴν ἀρχὴν ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου ἐπὶ τὰ ἡγούμενα μοίρας πθ λθ, κατὰ δὲ τὸ τέλος τῆς μέσης ἑπταμήνου ἐπὶ τὰ αὐτὰ ἡγούμενα μοίρας σο κα. ὥστε τῆς ἀκριβοῦς σελήνης ὑποτιθεμένης κατὰ τὴν ἀρχὴν τῆς ἑπταμήνου Λέοντι μοίραις κε νη 𐅵 ʹ, πανσέληνος γὰρ κατ’ ἐκεῖνον τὸν χρόνον, τὴν μέσην σελήνην γίνεσθαι Παρθένῳ 𐆊 νζ 𐅵 ʹ, διὰ τὸ τὰς πθ λθ τῆς ἀνωμαλίας ἀφαιρεῖν τῆς μέσης σελήνης μοίρας δ νθ. |
| 218 | κατὰ δὲ τὸ τέλος τῆς μέσης ἑπταμήνου ἡ μὲν μέση σελήνη γίνεται Ἰχθύσι μοίραις κδ μβ 𐅵 ʹ, ἡ δὲ ἀκριβὴς μοίραις κθ μα 𐅵 ʹ· ἀπὸ γὰρ τῶν 𐆊 νζ 𐅵 ʹ τῆς Παρθένου τὰς σγ με μοίρας τῆς σελήνης κινήσεως τῆς ἑπταμήνου ὡς ἐπὶ τὰ ἑπόμενα διεκβαλοῦμεν, καὶ ἔχοντες τὴν μέσην σελήνην Ἰχθύσι μοίραις κδ μβ 𐅵 ʹ, ταύτα ς προσθήσομεν τὰς ἐπιβαλλούσας τοῖς τῆς ἀνωμαλίας τῆς σελήνης τμήμασιν σο κα μοίρας δ νθ, καὶ ἕξομεν τὴν ἀκριβῆ σελήνην Ἰχθύσι μοίραις κθ μα 𐅵 ʹ· ἔχομεν δὲ καὶ τὸν ἀκριβῆ ἥλιον κατὰ τὸν αὐτὸν χρόνον ἐπέχοντα Παρθένου μοίραις ιε α 𐅵 ʹ. ἀπέστη ἄρα ἡ ἀκριβὴς σελήνη ὡς ἐπὶ τὰ ἑπόμενα τοῦ σημείου τοῦ διαμετροῦντος τὸν ἀκριβῆ ἥλιον μοίρας ιδ μ. καὶ ἡ μὲν ἀπὸ Λέοντος μοιρῶν κε νη 𐅵 ʹ ἄχρι Ἰχθύων κθ μα 𐅵 ʹ διάστασις ἐπὶ τὰ ἑπόμενα συναγομένη μοιρῶν σιγ μγ, ὑπερέχει τῆς μέσης τῶν σγ με, μοίραις θ νη. ἡ δ’ ἀπὸ τοῦ Ὑδροχόου μοιρῶν κε νη 𐅵 ʹ ἄχρι Παρθένου μοίρας ιε α 𐅵 ʹ ἐπὶ τὰ ἑπόμενα οὖσα ρϙθ γ, λείπεται τῆς αὐτῆς μέσης, τουτέστιν τῶν σγ με, μοιρῶν δ μβ. Αὐτὴ δὲ ἡ τῶν σιγ μγ φαινομένη διάστασις τῆς τῶν ρϙθ γ μοιρῶν φαινομένης διαστάσεως ὑπερέχει «ταῖς ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ἀνωμαλιῶν συν«αγομέναις μοίραις ιδ μ.» «Ὧν διὰ τὰ αὐτὰ τὸ ιβʹ λαβόντες μοίρας α ιγ καὶ προσθέντες ταῖς «ἐκ τῆς ἡλιακῆς ἀνωμαλίας ἐλλελοιπυίαις μοίραις δ μβ, τὰς συναγο«μένας μοίρας ε νε ἔγγιστα ἕξομεν ὅσαις ἥ τε κατὰ μῆκος πάροδος ἐν «τῇ ἐλαχίστῃ ἑπταμήνῳ ὑστερήσει τῆς ἐν τῇ μέσῃ. καὶ ἡ κατὰ πλάτος ὡσ«αύτως ἐλλείψει τῶν κατὰ τὴν μέσην ἑπτάμηνον συναγομένων ἐκ τοῦ «κανονίου τῶν μηνῶν τμημάτων σιδ μβ.» «Ἐν τῇ ἐλαχίστῃ ἄρα ἑπταμήνῳ ἐπειληφυῖα μετὰ κύκλους ἔσται κατὰ «πλάτος ἡ σελήνη ἐπὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου τμήματα ση μζ, ὅλης τῆς μετα«ξὺ τῶν ἐκλειπτικῶν κατὰ τὸ μέσον ἀπόστημα τῆς σελήνης ὅρων τοῦ λοξοῦ «κύκλου τῆς σελήνης περιφερείας τοῦ τε κατὰ τὴν προσαγωγὴν τοῦ ἑτέρου «τῶν συνδέσμων καὶ τοῦ κατὰ τὴν ἀποχώρησιν τοῦ ἑτέρου συνδέσμου τμη«μάτων οὔσης σγ 𐆊 . |
| 219 | » λείπουσι γὰρ εἰς τὰς τξ μοίρας αἱ σγ 𐆊 ταῖς ἐπάνω κατὰ τὸν μέσον ἀπόστημα τῆς σελήνης ἐπὶ τῆς ἀνεκλείπτου περιφερείας δεδειγμέναις μοίραις ρνζ, ὡς ἐπὶ τοῦ προκειμένου θεωρήματος σελήνης, ἑκατέρα τῶν ΕΓΗ, ΖΑΘ περιφερειῶν [η] σγ 𐆊 , ἑκατέρα δὲ τῶν ΕΑΗ, ΖΓΘ τῆς ἀνεκλείπτου μοιρῶν ρνζ 𐆊 . Οὐκ ἄρα δυνατὸν ἔσται τὴν σελήνην οὐδ’ ἐν τῇ ἐλαχίστῃ ἑπταμήνῳ ἐκλείπουσαν κατὰ τὴν πρώτην πανσέληνον ὁπωσδήποτε, καὶ κατὰ τὴν τελευταίαν πανσέληνον ἐκλείπειν· ἀρχομένη γὰρ ἀπὸ τοῦ Ε καὶ κινηθεῖσα τὴν ΕΓΗ περιφέρειαν, ὑπερπίπτει τὸ Η κατὰ τὴν δευτέραν πανσέληνον· καὶ πάλιν ἀπὸ τοῦ Θ ἀρχομένη κατὰ τὴν πρώτην πανσέληνον, ὑπερπίπτε[ν] τὸ Ζ σημεῖον κατὰ τὴν τελευταίαν πανσέληνον καὶ τὸ τέλος τῆς ἐλαχίστης ἑπταμήνου, ὅλην τὴν ΘΑΒΖ περιφέρειαν διελθοῦσα. Συνάγεται δὲ ἐνταῦθα καὶ ἡ ἐλαχίστη ἑπτάμηνος ἡμερῶν σε καὶ ὡρῶν ἰσημερινῶν ιβ· αἱ γὰρ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ἀνωμαλιῶν συναγόμεναι μοῖραι ιδ μ μετὰ τοῦ ιβʹ τῆς μοίρας α ιγ, γίνεται ὁμοῦ ιε νγ· παρὰ μοίρας ιγ ια ὁμαλοῦ μήκους, ποιοῦσιν ἡμέραν καὶ ὡρῶν ε. ἣν ἀφελόντες ἀπὸ τῆς μέσης ἡμερῶν σϛ καὶ ὡρῶν ιζ ἰσημερινῶν, λοιπαὶ ἔσονται ἡμέραι αἱ προκείμεναι σε καὶ ὧραι ἰσημεριναὶ ιβ. Περὶ τῶν ἐκλειπτικῶν μηνῶν ἡλίου. |
| 220 (1t) | »... Τῆς ἀνεκλείπτου περιφερείας ἐπὶ τοῦ ἡλίου κατὰ τὸ μέσον ἀπό«στημα τῆς σελήνης τῶν αὐτῶν γινομένης ρξζ λϛ, διὰ τὸ καὶ τοὺς ἐκ«λειπτικοὺς ὅρους αὐτοῦ τοῦ διὰ μέσων ἀπέχειν ἐπὶ μὲν τοῦ διὰ τῶν «πόλων αὐτοῦ κύκλου τμήματα 𐆊 λβ κ ἐπὶ δὲ τοῦ λοξοῦ τῆς σελήνης «μοίρας ϛ ιβ ...». Ἡ γὰρ ἐκ τοῦ κέντρου κατὰ τὸ μέσον ἀπόστημα τῆς σελήνης ἑξηκοστῶν ἐστιν ιϛ μ, τῆς κατὰ τὸ μέγιστον οὔσης ιε μ, καὶ τῆς κατὰ τὸ ἐλάχιστον ιζ μ. ὧν συντιθεμένων μεγίστου καὶ ἐλαχίστου τὸ ἥμισυ ποιεῖται ιϛ μ. ἔστιν δὲ καὶ ἡλίου ιε μ. ὁμοῦ συντεθέντα ποιεῖ 𐆊 λβ κ· οἷς ἐπιβάλλει τμήματα ϛ ιβ· ταῖς γὰρ τοσαύτα ς παράκειται ἐν τῷ κανόνι τοῦ πλάτους τῆς σελήνης τὰ 𐆊 λβ κ. ἀφαιρεθεισῶν τοίνυν δὶς τῶν ϛ ιβ, ἃ γίνεται ιβ κδ, ἀπὸ τῶν ρπ μοιρῶν τοῦ ἡμικυκλίου, καταλειφθήσονται αἱ τῆς ἀνεκλείπτου περιφερείας ἐπὶ τοῦ ἡλίου κατὰ τὸ μέσον ἀπόστημα τῆς σελήνης μοῖραι ρξζ λϛ. |
| 222 | »... Ἐπὶ μὲν τοῦ λοξοῦ κύκλου η λα, ἐπὶ δὲ τοῦ πρὸς ὀρθὰς τῷ διὰ «μέσων 𐆊 με...». Ταῖς γὰρ η λα παράκειται ἐν τῷ κανόνι τοῦ πλάτους τῆς σελήνης τὰ 𐆊 με. καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς δ’ ἵνα μὴ καθ’ ἕκαστον ταυτολογῶμεν, ἐὰν μὲν 〈ἀπὸ τῶν〉 ἐπὶ τοῦ λοξοῦ τὰ ἐπὶ τοῦ πρὸς ὀρθὰς τῷ ζῳδιακῷ ζητῶμεν λαβεῖν ἢ τὸ ἀνάπαλιν, ἀπὸ τοῦ κανονίου αὐτὰ λημψόμεθα· ἐὰν δὲ ἀπὸ τῶν τοῦ πρὸς ὀρθὰς τῷ λοξῷ τὰς αὐτοῦ τοῦ λοξοῦ ἢ τὸ ἀνάπαλιν, ὡς δειχθήσεται, ἀπὸ τοῦ τῶν ια 𐅵 ʹ πρὸς τὸ α λόγου εὑρήσομεν τὰς ζητουμένας. «Ὅπου δ’ ἂν δύνηται παραλλάσσειν οὕτως, ὥστε τὰς ἐν ὁποτέρᾳ τῶν «ἄκρων συνόδων ἢ καὶ τὰς συναμφοτέρων ἅμα παραλλάξεις τὰ 𐆊 με ὑπερ«βάλλειν, ἐκεῖ δυνατὸν ἔσται καὶ τὰς ἄκρας συνόδους ἀμφοτέρας ἐκλειπτικὰς «γίνεσθαι ...» καὶ τὰ ἑξῆς. Ἐπεὶ ἐδείχθη ἡ μὲν ἀνέκλειπτος ἀκριβὴς περιφέρεια ἐπὶ τοῦ ἡλίου [τῆς μεγίστης πενταμήνου] κατὰ τὸ μέσον ἀπόστημα τῆς σελήνης μοιρῶν ρξζ λϛ, ἡ δὲ κατὰ πλάτος τῆς σελήνης πάροδος 〈τῆς μεγίστης πενταμήνου〉 διευκρινηθεῖσα μοιρῶν ρνθ ε, δῆλον ὅτι μηδὲν μὲν παραλλασσούσης τῆς σελήνης ἀδύνατον ἔσται τὸν ἥλιον κατ’ ἀμφοτέρας τὰς ἄκρας συνόδους εἰς ἔκλειψιν ἐμπεσεῖν. Ἐπεὶ δὲ παραλλάσσουσα ἐδείχθη ἀναλόγως τῇ τε τῶν ἐξαρμάτων διαφορᾷ καὶ τῇ πρὸς τὸν ζῳδιακὸν ἐποχῇ καὶ ἔτι τῇ πρὸς τὸ κατὰ κορυφὴν σημεῖον ἀποστάσει, ὑπεροχὴ δὲ γίνεται τῆς ἀνεκλείπτου περιφερείας πρὸς τὴν κατὰ πλάτος πάροδον μοιρῶν η λα, αἷς ἐπιβάλλει ἐπὶ τοῦ πρὸς ὀρθὰς τῷ ζῳδιακῷ 𐆊 με· ἐὰν ἄρα ἔν τινι τόπῳ σελήνη συνοδεύουσα τῷ ἡλίῳ παραλλάττῃ τὰ 𐆊 με, ἤτοι κατὰ τὴν πρώτην σύνοδον περὶ τὰ δύο μέρη τῆς Παρθένου γινομένην, 〈ἢ〉 κατὰ τὴν ἐσχάτην περὶ τὰ δύο μέρη τοῦ Ὑδροχόου μεθ’ ἡμέρας ρμη καὶ ὥρας ἰσημερινὰς ιη ἐσομένην, ἡ καὶ κατ’ ἄμφω τὰς εἰρημένας συνόδους, δυνατὸν ἔσται τὴν σελήνην ἐν ἀμφοτέραις ταῖς συνόδοις κατὰ τὴν ἐπαφὴν γενέσθα τοῦ ἡλίου, ὡς δῆλον ποιήσομεν διὰ καταγραφῆς. |
| 223 | [Omitted graphic marker] Λοξοῦ γὰρ ὑποκειμένου κύκλου τῆς σελήνης τοῦ ΓΜΔ, ζῳδιακοῦ δὲ τοῦ ΑΒ, ἀναβιβάζοντος δὲ συνδέσμου τοῦ Ζ νοουμένου, καταβιβάζοντος δὲ τοῦ Ε, ἐκλειπτικῶν δὲ ὅρων ἀκριβῶν τῶν ΕΗ, ΖΘ· φανερὸν ὅτι ἡ ΗΘ περιφέρεια ἡ ἀνέκλειπτος τμημάτων ἐστὶν ρξζ λϛ, τῶν ΕΗ, ΘΖ συναμφοτέρων ἀποδεδειγμένων μοιρῶν ιβ κδ. Ἐὰν τοίνυν τὴν ἐν Παρθένῳ σύνοδον ὑποθώμεθα κατὰ τὸ Θ, ἡ ἐν Ὑδροχόῳ ἔσται μεταξὺ τῶν Η, Θ, διὰ τὸ τὴν πλατικὴν πάροδον εἶναι μοιρῶν ρνθ ε. ἔστω δὴ κατὰ τὸ Μ. ἡ μὲν ἄρα ΗΜ ἔσται μοιρῶν η λα, ἡ δὲ ΕΜ ὅλη ιδ μγ. ὥστε καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ βορείου πέρατος τοῦ Ν ἐπὶ τὸ Μ διάστασις γίνεται μοιρῶν οε ιζ, αἷς παράκειται ἐν τῷ κανόνι τοῦ πλάτους σελήνης μοῖρα α ιζ. γραφέντων οὖν καὶ ὀρθῶν τῷ ζῳδιακῷ διὰ τῶν Η, Μ, Θ σημείων μεγίστων κύκλων, τοῦ τε ΗΚ, καὶ τοῦ ΜΞ, καὶ τοῦ ΘΛ, παραλλήλου δὲ αὐτῷ τοῦ ΗΟΘ· φανερὸν ὅτι ἑκατέρα μὲν τῶν ΗΚ, ΟΞ, ΘΛ περιφερειῶν 𐆊 λβ κ ἐστίν, ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις, μεταξὺ τῶν παραλλήλων οὖσαι· ὀρθοὶ γάρ εἰσιν οἱ κύκλοι πρός τε τὸν διὰ μέσων καὶ πρὸς τὸν παράλληλον αὐτῷ· ἡ δὲ ΜΟ, ὑπεροχὴ οὖσα τῶν ΜΞ, ΟΞ, 𐆊 μδ μ, ἔγγιστα δὲ 𐆊 με. |
| 224 | ἑκατέρα γὰρ τῶν ΗΚ, ΘΛ τὰς ἐκ τῶν κέντρων ἀμφοτέρων τῶν φώτων περιέχει 𐆊 λβ κ· ἡ δὲ ΜΞ τοῦ πλάτους εἴρηται περιέχειν μοίρας α ιζ· ὧν ἡ ὑπεροχὴ τὰ 𐆊 μδ μ. ἐὰν ἄρα ἡ σελήνη θέσιν ἔχουσα κατὰ τὸ Μ ἐπὶ τῆς δευτέρας συνόδου, τῆς πρώτης οὔσης κατὰ τὸ Θ, παραλλάττῃ τὰ 𐆊 με, δυνατὸν ἔσται τὸ προκείμενον γενέσθαι. Ὁμοίως δὲ δείξομεν ὅτι κἂν τὴν ΘΠ ὑποθώμεθα τῶν η λα μοιρῶν, παραλλάττῃ δὲ ἡ σελήνη θέσιν ἔχουσα κατὰ τὸ Π τὰ 𐆊 με, δυνατὸν ἔσται τὰς ἄκρας συνόδους ἐκλειπτικὰς γενέσθαι, κατά τε τὸ Π καὶ κατὰ τὸ Η. Ἐὰν δὲ τὴν σελήνην ὑποθώμεθα κατὰ τὸ Υ τῇ πρώτῃ συνόδῳ, ὅπερ ἐστὶν μεταξὺ τῶν Θ, Π, ἀνάγκη κατὰ τὴν ὑστέραν σύνοδον μεταξὺ τῶν Η, Μ αὐτῶν εἶναι. ἔστω δὴ κατὰ τὸ Ρ. ἐὰν οὖν πάλιν ἥ τε κατὰ τὸ Υ παράλλαξις μετὰ[ξυ] τῆς κατὰ τὸ Ρ παραλλάξεως συνάγῃ τὰ 𐆊 με καὶ οὕτως δυνατὸν ἔσται τὴν σελήνην ἐν ἀμφοτέραις ταῖς συνόδοις κατὰ τὴν ἐπαφὴν γενέσθαι τοῦ ἡλίου. ἐὰν γὰρ ὑπερβάλῃ τὰ 𐆊 με τὰ τῆς παραλλάξεως, καὶ ὑποδραμεῖται τὸν ἥλιον, ὥστε ἑκατέραν συζυγίαν ἐκλειπτικὴν γενέσθαι. ἐνδέχεται γὰρ, τῆς σελήνης οὔσης κατὰ τὸ Υ καὶ διεστώσης τοῦ διὰ μέσων τῆς ΥΩ, παραλλάσσειν αὐτὴν ἐλάσσονα μὲν τῶν 𐆊 με μείζονα δὲ τῶν 𐆊 λβ κ, καὶ ὑποδραμεῖν τὸν ἥλιον. |
| 225 | ὡσαύτως δὲ καὶ κατὰ τὸ Ρ διεστῶσαν τὴν ΡΦ παραλλάσσουσαν οὐκ ἐλάσσονα τῆς ὑπεροχῆς ἧς ὑπερέχει τὰ 𐆊 με τῆς κατὰ τὸ Υ παραλλάξεως, ὑποδραμεῖν αὐτὴν καὶ οὕτως· κατὰ μόνην μέντοι τὴν ἀπ’ ἄρκτων τῆς σελήνης τοῦ διὰ μέσων πάροδον τοῦ τοιούτου συμβαίνοντος, ὡς καὶ αὐτός φησιν. κατὰ γὰρ τὴν ἀπὸ μεσημβρίας ἀδύνατον, μηδ’ αὐτοῖς τοῖς ὑπὸ τὴν ὀρθὴν σφαῖραν οἰκοῦσιν πρὸς ἄρκτους τῆς παραλλάξεως γινομένης τῆς πλατικῆς μείζονος ἑξηκοστῶν κγ κατὰ τὸ μέσον ἀπόστημα σελήνης, ὑπολογουμένης τῆς τοῦ ἡλίου παραλλάξεως. ταῖς γὰρ κδ μοίραις τοῦ ἡλίου παραλλάξεώς ἐστιν 𐆊 α θ, σελήνης πρώτου ὅρου 𐆊 κβ ϛ, δευτέρου ὅρου 𐆊 δ ιη, ζʹ σελιδίου ἑξηκοστῶν λ. γίνεται ἐπὶ τοῦ βʹ, 𐆊 β θ. |
| 226 | γίνεται σελήνης 𐆊 κδ ιε. ὧν ἡλίου 𐆊 α θ. λοιπὰ σελήνης 𐆊 κγ ἔγγιστα. Ἐν ἀμφοτέροις δὲ τοῖς δωδεκατημορίοις ὑπερβάλλει τὰ 𐆊 με πρὸς τοῖς ἑξηκοστοῖς δ τὰ τῆς παραλλάξεως ὑπολογουμένης τῆς ἡλίου παραλλάξεως ἐπὶ τοῦ κλίματος τοῦ ποιοῦντος τὴν μεγίστην ἡμέραν ὡρῶν ἰσημερινῶν ιβ 𐅵 ʹ, ὡς ἑξῆς δειχθήσεται· ὥστε μέντοι τὴν ἐν Παρθένῳ σύνοδον ἐπὶ τοῦ δυτικοῦ ὁρίζοντος ὑποτίθεσθαι γινομένην, τὴν δὲ ἐν Ὑδροχόῳ ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ, διὰ τὸ λείπειν εἰς ὅλας ἡμέρας ρμθ ὡρῶν ϛ, ἐπείπερ ρμη καὶ ὡρῶν ιη ἔχομεν προκειμένας τὰς περιεχούσας τὸν τῆς μεγίστης πενταμήνου χρόνον. Τὸ δὲ ὑπερτεθὲν νῦν δείξομεν. |
| 227 | Ἔστω γὰρ μεσημβρινὸς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ· καὶ τῆς ὑποκειμένης οἰκήσεως ὅπου ὡρῶν 〈ἰσημερινῶν ἡ μεγίστη ἡμέρα〉 ιβ 𐅵 ʹ ὁρίζοντος δυτικὸν ἡμικύκλιον τὸ ΒΕΔ· καὶ γεγράφθω ὁμοίως τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τὸ ΑΕΓ δυτικὸν ἡμικύκλιον, ὥστε τὸ Ε σημεῖον κατὰ τὰς κ μοίρας εἶναι τῆς [Omitted graphic marker] Παρθένου. καὶ ἐπεὶ ἐν ταύτῃ τῇ οἰκήσει τῆς κ μοίρας τῆς Παρθένου δυνούσης μεσουρανοῦσιν ὑπὸ γῆν αἱ τῶν Διδύμων μοῖραι κβ η, γίνεται ἡ ΕΓ περιφέρεια μοιρῶν πζ νβ ἐλάσσων τεταρτημορίου. πόλῳ δὴ τῷ Ε διαστήματι δὲ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ γεγράφθω μεγίστου κύκλου τμῆμα τὸ ΖΗΘ. καὶ προσαναπεπληρώσθω τό τε ΕΓΗ τεταρτημόριον καὶ τὸ ΕΔΘ. γίνεται δὲ καὶ ἥ τε ΔΓΖ καὶ ἡ ΖΗΘ ἑκατέρα τεταρτημορίου, ὅτι τὸ Ζ σημεῖον πόλος ἐστὶν τοῦ ΒΕΔ ὁρίζοντος, διὰ τῶν πόλων ὄντος τοῦ τε ΖΗΘ μεγίστου καὶ τοῦ ΑΒΓ μεσημβρινοῦ. ἐπεὶ δὲ καὶ αἱ μὲν τῶν Διδύμων μοῖραι κβ η ἀπέχουσιν τοῦ ἰσημερινοῦ πρὸς βορρᾶν ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ μοίρας κγ λζ, ὁ δὲ ἰσημερινὸς ὑπὸ γῆν πρὸς ἄρκτους τοῦ Ζ πόλου τοῦ ὁρίζοντος μοίρας η κε, γίνεται ὅλη ἡ ΖΓ μοιρῶν λβ β· καὶ λοιπὴ ἡ ΓΔ μοιρῶν νζ νη. |
| 228 | Τούτων δὴ δοθέντων, γίνεται λοιπὸν διὰ τὴν καταγραφὴν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΓΔ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΔΖ συγκείμενος λόγος ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΓΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΗ, καὶ ἐκ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΗΘ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΘ, ὡς ἔστιν βιβλίῳ βʹ. ἀλλὰ διὰ τὰ προκείμενα ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΓΔ μοιρῶν ἐστιν ριε νϛ, καὶ ἡ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρα μγ μδ· ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΔΖ μοιρῶν ρπ, καὶ ἡ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ· καὶ πάλιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΓΕ μοιρῶν ροε μδ, καὶ ἡ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ριθ νε· ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΕΗ μοιρῶν ρπ, καὶ ἡ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ. ἐὰν οὖν ἀπὸ τοῦ λόγου τοῦ τῶν ρα μγ μδ πρὸς τὰ ρκ ἀφέλωμεν τὸν τῶν ριθ νε πρὸς τὰ ρκ λόγον, καταλειφθήσεται ἡμῖν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΗ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΖ λόγος, ὁ τῶν ρα μγ μδ πρὸς τὰ ριθ νε. καὶ ἔστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΖ τμημάτων ρκ. καὶ 〈ἡ〉 ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς ΘΗ τῶν αὐτῶν ἐστιν ρα να μη, ἡ δ’ ἐπ’ αὐτῆς περιφέρεια μοιρῶν ριϛ ιβ· ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΘΗ μοιρῶν ἐστιν ριϛ ιβ, ἡ δὲ ΘΗ αὐτή τε καὶ ἡ ὑπὸ ΘΕΗ γωνία οἵων ἡ μία ὀρθὴ ϙ τοιούτων νη ϛ. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΕΑ γωνία ρκα νδ. καὶ ἐὰν διὰ τοῦ Κ πόλου τοῦ ὁρίζοντος καὶ τοῦ Ε γράψωμεν τὸ ΚΘ τεταρτημόριον, γίνεται ἡ ὑπὸ ΚΕΘ γωνία ὀρθή. καὶ λο πὴ ἡ ὑπὸ ΚΕΑ γωνία περιεχομένη ὑπὸ τοῦ ἑπομένου τμήματος τοῦ ζῳδιακοῦ καὶ τῆς βορείας περιφερείας τοῦ διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν τῆς ὑποκειμένης οἰκήσεως, ὅπου ἔξαρμα η κθ καὶ ὡρῶν ἰσημερινῶν ἡ μεγίστη ἡμέρα ιβ 𐅵 ʹ, λα νδ. Ἐπεὶ οὖν ἐὰν ἀπέχῃ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου ἡ σελήνη τὰς ὅλου τοῦ τεταρτημορίου μοίρας ϙ ἐπὶ τοῦ διὰ τῶν πόλων τοῦ ὁρίζοντος, παραλλάσσει κατὰ τὸ μέσον ἀπόστημα ὑπολογουμένης τῆς ἡλίου παραλλάξεως ἑξηκοστῶν νε νβ (ταῖς γὰρ ϙ μοίραις ἡλίου παράκειται παραλλάξεως βʹ σελιδίου 𐆊 β να, καὶ γʹ σελιδίου σελήνης 𐆊 νγ λδ, καὶ δʹ σελιδίου 𐆊 ι ιζ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ἑξηκοστὰ ζʹ σελιδίου καὶ μέσῳ ἀποστήματι [τῷ ἐλαχίστῳ] τοῦ ἡμίσους τῆς ἀνωμαλίας μζ 𐅵 ʹ, 〈λ〉 ἔγγιστα, γίνεται 𐆊 ε η 𐅵 ʹ· μετὰ δὲ τῶν 𐆊 νγ λδ γίνεται 〈 𐆊 νη μβ 𐅵 ʹ〉, ἐξ ὧν ἡλίου 𐆊 β να λοιπὰ σελήνης 𐆊 νε νβ) παραλλασσέτω οὖν τὴν ΕΛ περιφέρειαν· καὶ ὀρθὴ ἀπὸ τοῦ Λ πρὸς τὸν ζῳδιακὸν ἡ ΛΜ. |
| 229 | ἡ μὲν ἄρα ΕΜ τῆς κατὰ μῆκος ἐπὶ τὰ ἡγούμενα ἔσται παραλλάξεως 𐆊 κζ ἔγγιστα, ἡ δὲ ΛΜ τῆς κατὰ πλάτος πρὸς νότον 𐆊 κθ, ἀφαιρεθείσης τῆς ἡλίου παραλλάξεως. ἔστιν γὰρ ἡ ὑπὸ ΛΕΜ γωνία λα νδ· ἡ διπλῆ ξγ μη· ἡ δ’ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ξγ κε. καὶ ἔστιν ὡς ὁ ρκ πρὸς 𐆊 νε νβ οὕτως ξγ κε πρὸς 𐆊 κθ ἔγγιστα. λέγει δὲ 𐆊 κζ. Ἐπὶ δὲ τοῦ ἰσημερινοῦ ἡ ὑπὸ ΑΕΘ γωνία, ἡ αὐτὴ οὖσα τῇ τοῦ μεσημβρινοῦ, πανταχῇ μοιρῶν ἐστιν ριβ νδ· ὧν ἡ ὑπὸ ΚΕΘ μοιρῶν ϙ· λοιπὴ ἡ ὑπὸ ΑΕΚ κβ νδ. |
| 230 | Ἡ γὰρ πρὸς τὸν μεσημβρινὸν γινομένη γωνία μεσουρανούσης τῆς κ μοίρας τοῦ Ὑδροχόου πανταχῇ πάλιν ἐστὶν μοιρῶν οδ μ. |
| 231 | καὶ γίνεται ἡ παράλλαξις τοῦ πλάτους Ὑδροχόου μοίρας κ οὔσης ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ ὅπου ὡρῶν 〈ἰσημερινῶν ἡ μεγίστη ἡμέρα〉 ιβ 𐅵 ʹ, 𐆊 κβ ἔγγιστα. «Ὅπου δ’ ἂν δύνηται παραλλάσσειν οὕτως ὥστε τὰς ἐν ὁποτέρᾳ «τῶν ἄκρων συνόδων ἢ καὶ τὰς συναμφοτέρας ἅμα παραλλάξεις ὑπερ«βάλλειν τὴν α κε μοῖραν, ἐκεῖ δυνατὸν ἔσται τὰς ἄκρας συνόδους «ἐκλειπτικὰς γενέσθαι . |
| 232 | ..» καὶ τὰ ἑξῆς ἕως «... μείζονες γίνεσθαι τῆς α «μοίρας καὶ τῶν κε ἑξηκοστῶν». Ὥσπερ ἐπὶ τῆς μεγίστης πενταμήνου ἐδείχθη διὰ τῆς πρὸ ἑνὸς θεωρήματος καταγραφῆς, οὕτως καὶ ἐπὶ τῆς ἐλαχίστης ἑπταμήνου διὰ τῆς αὐτῆς σαφηνισθήσεται τὸ λεγόμενον. ἐπειδὴ γὰρ ἐν τῇ ἐλαχίστῃ ἑπταμήνῳ τὴν κατὰ πλάτος τῆς σελήνης πάροδον ἀπέδειξεν τμημάτων ση μζ, τὴν δὲ ΗΘ περιφέρειαν τῆς ἀνεκλείπτου κατὰ τὸ μέσον ἀπόστημα τῆς σελήνης ρξζ λϛ, διὰ τὸ ἑκατέραν τῶν ΖΘ, ΗΕ εἶναι ϛ ιβ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ μεταξὺ τῶν Η, Θ ἐκλειπτικῶν ὅρων εἰς τὸν κύκλον μοιρῶν ἐστιν ρϙβ κδ. Ὑποκείσθω δὴ ἡ σελήνη κατὰ τὸ Η σημεῖον ἐπὶ τῆς πρώτης συνόδου περὶ τὰ τέλη τοῦ Ὑδροχόου, ὡς ἀπαράλλακτος οὖσα κατὰ πλάτος. ἐπὶ τῆς τελευταίας ἄρα περὶ τὰ μέσα τῆς Παρθένου ὑπὲρ τὸ Θ σημεῖον μετὰ τὸ ἡμικύκλιον τὴν θέσιν ἕξει. ἔστω οὖν κατὰ τὸ Π. ἡ ΘΠ ἄρα περιφέρεια τῆς τῶν ση μζ πρὸς ρϙβ κδ παρόδων ὑπεροχὴ οὖσα, μοιρῶν ἐστιν ιϛ κγ, αἷς ἐπιβάλλει πλάτους σελήνης μοῖρα α κε. |
| 233 | ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΖΘ ϛ ιβ. ὅλη ἄρα ἡ ΖΠ μοιρῶν ἐστιν κβ λε, αἷς παράκειται πλάτους σελήνης μοῖρα α νε. ἡ ΠΤ ἄρα ἐπὶ τοῦ πρὸς ὀρθὰς τῷ ζωδιακῷ μοίρας ἐστιν α νε· ὧν ἡ ΤΣ, ἴση οὖσα τῇ ΘΛ, 𐆊 λβ ἔγγιστα· λοιπὴ ἡ ΠΣ α κγ. ἐὰν οὖν παραλλάττῃ ἡ σελήνη ἐπὶ [μὲν] τοῦ πρὸς ὀρθὰς τῷ ζῳδιακῷ τὴν ΠΣ, [ἐπὶ δὲ τοῦ λοξοῦ τὴν ΠΘ] ἵνα τὸ φαινόμενον κέντρον αὐτῆς ἀπέχῃ τοῦ [μὲν] ζῳδιακοῦ τὴν ΣΤ τουτέστιν τὴν ΘΛ, [τοῦ δὲ λοξοῦ ἀπὸ τοῦ Ζ ἀναβιβάζοντος συνδέσμου ϛ ιβ,] δῆλον ὅτι κατ’ ἀμφοτέρας τὰς συνόδους ἡ σελήνη κατὰ τὴν ἐπαφὴν ἔσται τοῦ ἡλίου. Ὁμοίως δὲ κἂν τὴν ΜΗ ὑποθώμεθα μοιρῶν ιϛ κγ, παραλλάττῃ δὲ ἡ σελήνη, θέσιν ἔχουσα κατὰ τὸ Μ, τὴν μοῖραν α κε, δυνατὸν ἔσται τὸ προκείμενον. Ἐὰν δὲ τὴν σελήνην ὑποθώμεθα κατὰ τὸ Ρ τῇ πρώτῃ συνόδῳ, ὅπερ ἐστὶν μεταξὺ τῶν Η, Μ, ἀνάγκη κατὰ τὴν ὑστέραν σύνοδον μεταξὺ τῶν Π, Θ αὐτὴν εἶναι· ἔστω κατὰ τὸ Υ. ἐὰν οὖν πάλιν ἥ τε κατὰ τὸ Ρ παράλλαξις μετὰ τῆς κατὰ τὸ Υ παραλλάξεως συνάγῃ μοίρας α κε, καὶ οὕτως δυνατὸν ἔσται τὸ προκείμενον. ἐὰν γὰρ ὑπερβάλῃ τὴν α κε τὰ τῆς παραλλάξεως, καὶ ὑποδραμεῖται τὸν ἥλιον. ἐν ἀμφοτέροις δὲ τοῖς δωδεκατημορίοις ὑπερβάλλει, ὑπολογουμένης τῆς ἡλίου παραλλάξεως, ἐπὶ τοῦ διὰ Ῥόδου παραλλήλου 𐆊 〈μ〉ζ· ἔστιν γὰρ πλάτους Ὑδροχόου τέλους, ὅ ἐστιν Ἰχθύων ἀρχή, ἀνατολῆς ἐν προχείροις μεγίστου ἀποστήματος νότῳ 𐆊 μγ· καὶ Παρθένῳ δύσεως νότῳ 𐆊 μγ· ταῦτα ἐπὶ τὰ τῆς διορθώσεως ἑξηκοστὰ ϛ γενόμενα ποιεῖ 〈δ, ἃ τοῖς 𐆊 μγ προστεθέντα, γίνεται〉 𐆊 μζ ἔγγιστα. |
| 234 | «Πλείονος δὴ γινομένης τῆς πρὸς μεσημβρίαν παραλλάξεως ...» ἕως «φανερὸν ὅτι δυνατὸν ἔσται τοῖς κατ’ αὐτοὺς οἰκοῦσιν, δὶς ἐν τῇ ἐλαχίστῃ «ἑπταμήνῳ ἔκλειψιν ἡλίου φανῆναι, κατὰ μόνην μέντοι πάλιν ...» Ὡς ἐπὶ τῆς μεγίστης πενταμήνου τὴν ἀπὸ βορρᾶ τοῦ διὰ μέσων τῆς σελήνης κίνησιν, τουτέστιν ὅταν μὲν ἐπὶ τῆς πρώτης ἐκλείψεως προσάγῃ τῷ Ε καταβιβάζοντι συνδέσμῳ, ἐπὶ δὲ τῆς βʹ ἀποχωρῇ τοῦ Ζ ἀναβιβάζοντος. ἐμπεσεῖται γὰρ κατὰ μὲν τὴν πρώτην σύνοδον μεταξὺ τῶν Ε, Η· κατὰ δὲ τὴν δευτέραν μεταξὺ τῶν Ζ, Θ σημείων. «Καταλείποιτο δ’ ἂν ἐπιδεῖξαι καὶ διότι διὰ μηνὸς ἑνὸς οὐ δυνατὸν «ἔσται δὶς τὸν ἥλιον ἐκλείπειν ἐν τῇ καθ’ ἡμᾶς οἰκουμένῃ ...» Τεταρτημόριον ἐγγιστατῆς γῆς περιεχούσης ἀπὸ τῆς ὀρθῆς σφαίρας μέχρι τοῦ διὰ Θούλης παραλλήλου, οὔτ’ ἐν τῷ αὐτῷ κλίματι τῷ τρίτῳ φέρε λέγειν, ἢ ἐν τῷ δʹ, ἢ ἄλλῳ τινί· οὔτ’ ἐν διαφόροις, τουτέστιν τοῖς ἐν Ῥώμῃ οἰκοῦσιν ἐκλελοιπότος τοῦ ἡλίου κατά τινα πρῶτον συζυγίαν συνοδικήν, τοῖς ἐν Ἀλεξανδρείᾳ μετὰ μῆνα σεληνιακὸν ἕνα ἐκλείποντα αὐτὸν φαίνεσθαι· κἂν πάντα τις ὑπόθηται τὰ μὴ δυνάμενα μὲν κατὰ τὸ αὐτὸ γενέσθαι, ἄλλως δὲ συμβαλλόμενα πρὸς τὸ δυνατὸν ποιῆσαι τὸ προκείμενον, τουτέστιν κἂν ἡ μὲν σελήνη κατὰ τὸ περίγειον τοῦ ἐπικύκλου ἐν ἀμφοτέραις ταῖς συζυγίαις ὑποκειμένη ᾖ, ἵνα πλείονα ἑξηκοστὰ παραλλάσσῃ, τὸν δὲ μῆνα ἐλάχιστον ὑποθώμεθα, ὡς ἐπὶ τῆς ἐλαχίστης ἑπταμήνου ἔδειξεν, ἵνα ὅσῳ δυνατὸν ἐλαχίστῳ μείζων ἡ κατὰ πλάτος μηνιαία κίνησις τῆς σελήνης γίνηται τῆς ὑπὸ τῶν ἐκλειπτικῶν ὅρων τοῦ ἡλίου περιεχομένης περιφερείας, ἥτις ἐστὶν μοιρῶν ιβ κδ (ὡς γὰρ α πρὸς ια 𐅵 ʹ, οὕτως 𐆊 λγ πρὸς ϛ ιβ καὶ α πρὸς ιβ κδ· τὰ γὰρ δεύτερα κ παρεπέμψατο)· κἂν ἀδιαφόρως καὶ ταῖς ὥραις ἀπὸ τοῦ μεσημβρινοῦ καὶ τοῖς τοῦ ζῳδιακοῦ δωδεκατημορίοις, καθ’ ὧν τὰς μεγίστας παραλλάξεις φαίνεται ποιουμένη, ὡς ἐπὶ Τοξότου τοῖς ὑπὸ τὸν διὰ Θούλης παράλληλον οἰκοῦσιν πρὸς ἀνατολὰς καὶ δύσεις, καὶ μὴ τῆς μὲν πρώτης συνόδου γινομένης ἀκριβῶς Ταύρῳ μοίραις κα 𐅵 καὶ ὡρῶν οἷον πρὸ μεσημβρίας α 𐅵 , τῆς δὲ δευτέρας μετὰ μῆνα ἕνα Διδύμοις ιθ 𐅵 ἀπὸ μεσημβρίας ὥρας α 𐅵 · ἢ τῆς μὲν περὶ ἀνατολὰς ἢ ὁπωσδήποτε, τῆς δ’ ἑτέρας μετὰ ὥρας τρεῖς τὰς εἰς ὅλας ἡμέρας κθ ἐπιλαμβανομένας ἐν τῷ ἐλαχίστῳ μηνί. |
| 235 | «Ἐπεὶ τοίνυν ἐν τῷ μέσῳ μηνὶ ἡ μὲν κατὰ μῆκος ἑκατέρου τῶν φώτων «κίνησις ἐπιλαμβάνει μέσας μοίρας κθ ϛ, ἡ δὲ κατὰ τὸν ἐπίκυκλον τῆς «σελήνης μοίρας κε μθ...» τοσαῦται γὰρ παράκεινται τῷ ἑνὶ μηνὶ ἐποχῆς ἡλίου καὶ ἀνωμαλίας σελήνης. «Τούτων δὲ αἱ μὲν κθ ϛ τοῦ ἡλίου κατὰ τὴν ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ ἀπο«γείου ἐλαχίστην πάροδον ἀφαιροῦσι τῆς μέσης μοῖραν α η, αἱ δὲ τῆς «σελήνης κε μθ κατὰ τὴν ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ περιγείου μεγίστην πάροδον «προστιθέασι τῇ μέσῃ μοίρας β κη...» Ταῖς γὰρ ιδ λγ τῷ ἡμίσει τῶν κθ ϛ, γʹ σελιδίῳ ἐστὶν ἡλίου ἀνωμαλίας 𐆊 λδ· καὶ ταῖς τῆς σελήνης ρϙβ νε παράκειται δʹ σελιδίῳ τῆς ἀνωμαλίας μοῖρα α ιδ· ὡς εἶναι ἡλίου τὰ διπλάσια εἰς ἀφαίρεσιν μοίρας α η καὶ σελήνης τὰ διπλάσια εἰς πρόσθεσιν μοιρῶν β κη, καὶ ἐπὶ τὸ αὐτὸ γενέσθαι μοίρας γ λϛ· ὧν τὸ ιβʹ ὡς ἐπὶ τῆς ἐλαχίστης ἑπταμήνου λαβόντες, ἔστιν δὲ 𐆊 ιη, προσθήσομεν οἷς ὁ ἥλιος ἐλλελοίπει· καὶ γίνεται τμήματα α κϛ. |
| 236 | τοσούτοις ἄρα ἐλάσσονα ἕξομεν τὴν τοῦ ἐλαχίστου μηνὸς ἡμερῶν ϛ ἔγγιστα κίνησιν πάροδον, τῆς ἐν τῷ μέσῳ κατὰ μῆκος καὶ πλάτος. ὥστε ἐπειδὴ ἡ τοῦ μέσου μηνιαίου κατὰ πλάτος μοιρῶν ἐστιν λ μ, τοσαῦται γὰρ ἔγγιστα παράκεινται τῷ ἑνὶ μηνί, ἡ τοῦ ἐλαχίστου μηνὸς πάροδος ἔσται μοιρῶν κθ ιδ, «αἵτινες ποιοῦσιν ἐπὶ τοῦ πρὸς ὀρ«θὰς τῷ ζῳδιακῷ μεγίστου κύκλου τμήματα β λγ.» τὸ γὰρ ἥμισυ τῶν κθ ιδ ὡς ἀπὸ τῶν συνδέσμων εἰσαγαγόντες εἰς τὸ τοῦ πλάτους κανόνιον σελήνης, καὶ τὴν παρακειμένην πρὸς ἀνάλογον μοῖραν α ιϛ 𐅵 ʹ διπλώσαντες, ἕξομεν τὰ β λγ τμήματα. «Ἀλλ’ ἡ πᾶσα τῶν ἐκλειπτικῶν ὅρων τοῦ ἡλίου πάροδος συνάγεται «κατὰ τὸ ἐλάχιστον ἀπόστημα τῆς σελήνης οὔσης μοῖρας α ϛ ...» Τὰ γὰρ ταῖς ϛ ιβ μοίραις ἀπὸ τῶν συνδέσμων παρακείμενα, ἐστὶν δὲ 𐆊 λγ, δὶς γενόμενα ἕξομεν μοῖραν α ϛ. [Omitted graphic marker] Οἷον ἔστω τοῦ λοξοῦ τῆς σελήνης τμῆμα τὸ ΑΒΓ, τοῦ δὲ ζῳδιακοῦ τὸ ΔΒΕ· σύνδεσμος ἄρα τὸ Β. |
| 237 | ἔστω οὖν ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΒΓ περιφερειῶν μοιρῶν ϛ ιβ. καὶ ὀρθαὶ ἀπὸ τῶν Α, Γ αἱ ΑΔ, ΓΕ· ἑκατέρα ἄρα αὐτῶν ἐστιν 𐆊 λγ. ἔστωσαν δὲ καὶ αἱ ΒΖ, ΒΘ ἐκ μοιρῶν ιδ λζ. καὶ ὀρθαὶ ἐπὶ τὸν ζῳδιακὸν αἱ ΖΗ, ΚΘ. Ἐὰν οὖν ᾖ κατὰ μὲν τὸ Α βορει〈ότερ〉ον τοῦ ζῳδιακοῦ σημεῖον ἡ σελήνη, κατὰ δὲ τὸ Γ νοτιώτερον, ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Α βορείας θέσεως μέχρι τῆς κατὰ τὸ Γ νοτίας τὸ πλάτος αὐτῆς ὅλον ἐπὶ νότον γίνεται μοίρας α ϛ. ἔστιν δὲ ἡ τοῦ ἐλαχίστου μηνὸς διὰ ταὐτὰ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Ζ μέχρι τῆς κατὰ τὸ Θ μοιρῶν β λγ. ὧν ὑπεροχὴ μοίρας α κζ. εἴπερ οὖν ὁ ἥλιος δὶς ἐν τῷ ἑνὶ μηνὶ ἐκλείποι, ἀναγκαῖόν ἐστιν τὴν σελήνην πλέον τῶν α κζ παραλλάσσειν ἤτοι κατὰ τὸ Ζ οὖσαν ἢ κατὰ τὸ Θ ἢ καὶ ἐν ἀμφοτέροις ὑπερβάλλειν τὴν α κζ, ἵνα δυνατὸν γένηται τὰς ἄκρας συνόδους ἐκλειπτικὰς γενέσθαι, τῆς μὲν ἑτέρας πρὸς ἄρκτους γινομένης τῆς δὲ ἑτέρας πρὸς μεσημβρίαν τοῦ διὰ μέσων. ἀλλ’ οὐδαμῇ τῆς γῆς ἐν ταῖς συνοδοπανσελήνοις οὐδὲ κατὰ τὸ ἐλάχιστον ἀπόστημα οὖσα τοῦ ἐπικύκλου ἡ σελήνη παραλλάσσει, τῆς ἡλίου παραλλάξεως ἀφαιρουμένης, πλέον μοίρας α· τοσαύτην γὰρ ἐπὶ τοῦ διὰ Βορυσθένους κλίματος εὑρίσκεται παραλλάσσουσα κατὰ πλάτος ἐν Τοξότῃ, ὑπολογουμένης τῆς ἡλίου παραλλάξεως, ὡς ἔστιν προχείροις, μετὰ δύο ὥρας τῆς μεσημβρίας 𐆊 μθ, καὶ Αἰγόκερω τῇ μεσημβρίᾳ 𐆊 μθ. καὶ ἐπὶ τὰ ιβ ἑξηκοστὰ γίνεται 〈ι ἔγγιστα, ἃ προστεθέντα τοῖς 𐆊 μθ, γίνεται〉 𐆊 νθ. οὐκ ἄρα δυνατὸν ἐν τῷ ἑνὶ μηνὶ δὶς ἐκλείπειν τὸν ἥλιον ἐπὶ τῆς καθ’ ἡμᾶς οἰκουμένης, ἐπείπερ καὶ τοῖς ὑπ’ αὐτὸν τὸν ἰσημερινὸν οἰκοῦσιν οὐ πλέον ἑξηκοστῶν κε πρὸς βορρᾶν καὶ νότον ἐφ’ ἑκάτερα Καρκίνου καὶ Αἰγόκερω οὖσα ἡ σελήνη εὑρίσκεται παραλλάσσουσα ὑπολογουμένης τῆς ἡλίου παραλλάξεως· ταῖς γὰρ ὅλαις κδ μοίραις συνάγεται δευτέρου ὅρου ἐκ τοῦ γʹ καὶ δʹ, 𐆊 κϛ κδ, ἀφ’ ὧν ἡλίου βʹ σελιδίου παραλλάξεως 𐆊 α θ, λοιπὸν 𐆊 κε ιε· ὥστε ταῖς κγ 𐅵 ʹ γʹ γίνεσθαι 𐆊 κε. |
| 238 | Ἐνδεχόμενον δὲ ἔσται τοῦτο ἄνω ἐπὶ διαφόρου οἰκουμένης, τουτέστιν τῆς καθ’ ἡμᾶς ἀπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ πρὸς ἄρκτους καὶ τῆς κατὰ τοὺς ἀντίχθονας ἀπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ πρὸς μεσημβρίαν, διὰ τὸ δύνασθαι τὴν σελήνην ἐφ’ ἑκάτερα παραλλάσσειν μετὰ τὴν τοῦ ἡλίου παράλλαξιν ἀπὸ 𐆊 κε μέχρι μοίρας α ἐπὶ τὰ βόρεια, καὶ ἀπὸ τῶν αὐτῶν 𐆊 κε μέχρι μοίρας α ἐπὶ τὰ νότια· καὶ τὰς ἐπὶ τὸ αὐτὸ μοίρας β συναγομένας παραλλάξεις ὑπερβάλλειν τὴν μοῖραν α κζ. «Παρὰ μὲν τοῖς αὐτοῖς ἄρα οὐδαμῇ τῆς γῆς δὶς ἐν τῷ ἑνὶ μηνὶ δυνατὸν «ἔσται τὸν ἥλιον ἐκλείπειν, παρὰ δὲ διαφόροις οὐδαμῇ τῆς αὐτῆς οἰκουμέ«νης.» Πραγματεία κανονίων ἐκλειπτικῶν. |
| 239 (1t) | «Ποίας μὲν οὖν διαστάσεις τῶν συζυγιῶν εἰς τὴν ἐπίσκεψιν τῶν ἡλίου «καὶ σελήνης ἐκλείψεων ὀφείλομεν παραλαμβάνειν, διὰ τῶν προειρημέ«νων γέγονε δῆλον. ὅπως δὲ καὶ τῶν κατὰ ...» τὰς ἐκλειπτικὰς συζυγίας μέσων χρόνων διακριθέντων, εἰς τοὺς ἀκριβεῖς ἀνώτερον ἔγνωμεν, καὶ τῶν ἐν τούτοις τόπων «τῆς σελήνης ἐπιλογισθέντων ἐπὶ μὲν τῶν συνο«δικῶν τῶν φαινομένων, ἐπὶ δὲ τῶν πανσεληνιακῶν τῶν ἀκριβῶν ...» διὰ τῆς κατὰ πλάτος τῆς σελήνης ἀπὸ τοῦ βορείου πέρατος ἐποχῆς, ἐπισκέπτεσθαι δυνώμεθα προχείρως, καὶ τὰς πάντως ἐσομένας ἐκλειπτικὰς συζυγίας καὶ τὰ τούτων μεγέθη τῶν ἐπισκοτήσεων καὶ τοὺς χρόνους ἐν οἷς ἀποτελοῦνται· ἐπραγματεύσατο κανόνια δ πρὸς τὴν τοιαύτην εὕρεσιν· δύο μὲν ἡλίου, δύο δὲ σελήνης, ἐπί τε τοῦ μεγίστου ἀποστήματος καὶ τοῦ ἐλαχίστου. Ὧν ἡ ἐπισύνθεσις τῶν αʹ, βʹ, γʹ σελιδίων σαφὴς οἶμαί ἐστιν. τὰ δὲ ἑξῆς σελίδια δʹ καὶ εʹ, ἃ περιέχει τὰς παρόδους τῆς σελήνης χωρὶς ἡλίου κινήσεως καὶ τῶν ἐπιπαραλλάξεων σελήνης, καθ’ ἑκάστην τῶν ἐπισκοτήσεων, τοῖς τῆς διαμέτρου δακτύλοις τὰ ἐπιβάλλοντα τῆς ἐμπτώσεως μόρια καὶ τῆς ἀναπληρώσεως καὶ ἔτι τοῦ ἡμίσους τῆς μονῆς. |
| 210 | Ἐπραγματεύσατο γραμμικῶς, συγχρησάμενος μέντοι ταῖς δείξεσιν ὡς ἐφ’ ἑνὸς ἐπιπέδου καὶ ὡς ἐπὶ εὐθείας, διὰ τὸ ἀδιάφορον τῶν περιφερειῶν· ὥσπερ καὶ ἐν τῷ πρώτῳ θεωρήματι παραλλήλους πρὸς αἴσθησιν καὶ εὐθείας καὶ ὡς κατὰ τὸ αὐτὸ ἀπόστημα οὔσας καὶ ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ ἐλάμβανεν τοῦ λοξοῦ κύκλου σελήνης καὶ τοῦ ζῳδιακοῦ τὰς περιφερείας διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν κατὰ διάφορα ἀποστήματα περιφερειῶν ἡλίου καὶ σελήνης. ἐπὶ μὲν γὰρ σελήνης καὶ τοῦ κύκλου τῆς σκιᾶς ἓν καὶ τὸ αὐτὸ ἀπόστημά ἐστιν, καὶ δῆλον ὡς ἐφ’ ἑνὸς ἐπιπέδου ἡ δεῖξις. ἐπὶ δὲ τοῦ ἡλίου δειχθήσεται ὑφ’ ἡμῶν διαφέρειν ἡ ἐν ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ ἐπιπέδῳ δεῖξις τῆς ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ λαμβανομένης, καὶ ὑπ’ αὐτοῦ δευτέρῳ θεωρήματι· ὡς μηδεν〈ὶ〉 πάλιν ἀξιολόγῳ διαφερούσης τῆς ἐπὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου κινήσεως τῆς σελήνης παρὰ τὴν πρὸς τὸν διὰ μέσων θεωρουμένην. διὰ τοῦτο γοῦν «καὶ «καθόλου πρὸς τὴν κατὰ μῆκος πάροδον τῆς σελήνης ... τοῦ διὰ μέσων καὶ «ἔτι τοὺς τῶν συζυγιῶν χρόνους οὐκ ἐξακολουθεῖ τοὺς αὐτοὺς ἀπαραλλάκ«τως εἶναι τοῖς μέσοις τῶν ἐκλείψεων.» Λέγει δὲ «καὶ ἐπεὶ τῷ δωδεκάτῳ τῆς ἡλιακῆς διαμέτρου ἐπιβάλλει «τοῦ λοξοῦ κύκλου μοίρας α ἑξηκοστὰ λ» ... ὅλη γάρ ἐστιν μοιρῶν ϛ ἡ τοῦ λοξοῦ κύκλου περιφέρεια ἀπὸ μοιρῶν πδ τῆς ἐπαφῆς ἕως ϙ τοῦ συνδέσμου κατὰ πρόσθεσιν, καὶ ἀπὸ σοϛ 𐆊 ἕως σο κατὰ ἀφαίρεσιν· καὶ τὸ δωδέκατον τῶν ϛ μοίρας ἐστιν 𐆊 λ. ἡ δὲ ἐπιζευγνύουσα κέντρα ἡλίου καὶ σελήνης κατὰ τὴν ἐπαφὴν ὄντων ἐστὶν 𐆊 λα κ· καὶ τὸ δωδέκατον αὐτῶν 𐆊 β λϛ μ. |
| 241 | ἀλλὰ καὶ τῆς διαμέτρου, οὔσης δακτύλων δώδεκα, τὸ δωδέκατόν ἐστιν δακτύλου α. ὡς ἄρα ὅλη ἡ περιφέρεια τῶν μοιρῶν ϛ πρὸς ὅλην τὴν διάμετρον 𐆊 λα κ, οὕτως 𐆊 λ πρὸς 𐆊 β λϛ μ. καὶ πάλιν ὡς ἐν περιφερείᾳ μοιρῶν ϛ πρὸς δακτύλους δώδεκα τῆς διαμέτρου ἡλίου, οὕτως 𐆊 λ πρὸς δάκτυλον α. καὶ τὰ μέρη ἄρα τὰ ιβʹ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἐστίν· ὡς ἡ περιφέρεια τοῦ λοξοῦ σελήνης 𐆊 λ πρὸς 𐆊 β λϛ μ, οὕτως αὐτὰ τὰ 𐆊 λ πρὸς δάκτυλον ἕνα τοῦ ιβʹ τῆς διαμέτρου ἡλίου· ὥστε ὁμαλὴν εἶναι τὴν τῶν δακτύλων διαφορὰν πρὸς αἴσθησιν, ὡς γὰρ 𐆊 λ τοῦ λοξοῦ τῆς σελήνης ἄχρι μοιρῶν ϛ πλάτους ϙ κατὰ δάκτυλον 𐆊 λ τὰ 𐆊 β λϛ ποιούντων, καὶ τῶν τοῦ πλάτους περιφερειῶν τοῦ ὀρθοῦ τῷ λοξῷ ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν τοῖς δωδεκάτοις τῶν διαμέτρων ἡλίου καὶ σελήνης ὑποτιθεμένων. «Ὥστε ὅταν πρώτης ἅπτηται τῆς σκιᾶς ἡ σελήνη, τότε τὸ κέντρον «αὐτῆς ἀφεστηκέναι τοῦ μὲν κέντρου τῆς σκιᾶς πάλιν ὁμοίως μοίρας «α καὶ ἑξηκοστῶν γ λϛ, τοῦ δὲ συνδέσμου ἐπὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου μοι«ρῶν ιβ καὶ ἑξηκοστῶν ιβ...» Ὡς γὰρ ια 𐅵 πρὸς α, οὕτως ιβ ιβ πρὸς α γ λϛ. «Πάλιν τὴν αὐξομείωσιν αὐτῶν ποιησόμεθα τοῖς ἐπιβάλλουσιν τῷ «ιβʹ τῆς τότε σεληνιακῆς διαμέτρου λδ ἑξηκοστοῖς ...» Ὡς γὰρ α πρὸς ια 𐅵 , οὕτως 𐆊 λε κ τῆς διαμέτρου σελήνης πρὸς μοίρας ϛ μη τοῦ λοξοῦ τῆς σελήνης. ὧν τὸ ιβʹ, 𐆊 λδ. Ὅλοι οὖν γίνονται δάκτυλοι κα Γ β οὕτως· λοξοῦ γὰρ ὄντος τῆς σελήνης τοῦ ΒΔ καὶ ζῳδιακοῦ τοῦ ΕΖ καὶ τοῦ Α σημείου ἑνὸς τῶν συνδέσμων, ὁ φαινόμενος τῆς σελήνης κύκλος ἔστω ὁ ΓΔ· καὶ ἡ ΓΔ διάμετρος [Omitted graphic marker] ἑξηκοστῶν λε κ· ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΒΖ τῆς σκιᾶς κύκλου ἡ ΑΒ, ἑξηκοστῶν οὖσα με νϛ. |
| 242 | λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΒ ἑξηκοστῶν ἔσται κη ιϛ. καὶ ὅλη δηλονότι ἡ ΔΒ μοίρας α γ λϛ, ἃ ποιεῖ μίαν διάμετρον σελήνης 𐆊 λε κ καὶ τούτων τὸ ἥμισυ τέταρτον εἰκοστόν. ποιοῦσιν δὲ καὶ οἱ δάκτυλοι κα Γ β μιᾶς διαμέτρου σελήνης δακτύλους ιβ καὶ τούτων τὸ ἥμισυ δʹ κʹ ἔγγιστα· ὡς γὰρ δάκτυλοι κα Γ β πρὸς δακτύλους ιβ οὕτως μοῖρα α γ λϛ πρὸς 𐆊 λε γ. Ἐκ τοῦ βʹ. «Ἀλλ’ αἴτιον τοῦ μὴ καὶ ταύτας ἡμᾶς, φησίν, ἐπιλογίζεσθαι τὰς «περιφερείας ἐν ταῖς κατὰ μέρος πραγματείαις ...» ἀλλὰ λαμβάνειν ἐπὶ μὲν τοῦ μήκους τὴν ΑΓ περιφέρειαν ἴσην τῇ ΑΒ ἀντὶ τῆς ΑΔ, καὶ τὸ κέντρον τῆς σελήνης ἐπὶ τοῦ μέσου χρόνου τῆς ἐκλείψεως κατὰ τὸ Γ, δέον κατὰ τὸ Δ, «τὸ μικρὰς εἶναι καὶ ἀνεπαισθήτους αὐτῶν τὰς διαφοράς. |
| 243 | Δυνατὸν γὰρ ἦν αὐτὸν καὶ ταύτας ἐκθέμενον κανόνιον ὡς ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ καὶ ἰσημερινοῦ καὶ σφαίρας συναναφορῶν ἐπιλογίζεσθαι. »... Τὴν γοῦν ὁμοίαν τῇ ΓΔ περιφερείᾳ καθόλου μὲν οὐ μείζονα εὑρί«σκομεν ἑξηκοστῶν ε μιᾶς μοίρας ...» καὶ τὰ ἑξῆς ἕως· «καὶ καταλεί«πεται ἡ ΓΔ λοιπὴ δύο ἑξηκοστῶν». Τῆς ἀφ’ ἑνὸς τῶν συνδέσμων περιφερείας ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ κύκλου ἢ τοῦ λοξοῦ ὑποκειμένης μοιρῶν ιβ, ἡ τοῦ λοιποῦ δείκνυται διὰ τῆς πρώτης καταγραφῆς τοῦ σχολίου μοιρῶν ια νη καὶ ἡ μεταξὺ ἀπολαμβανομένη αὐτῶν τοῦ πλάτους μοίρας α· ἀπολαμβανομένης δὲ ἑνὸς αὐτῶν μοιρῶν λ, ἡ τοῦ λοιποῦ εὑρίσκεται μοιρῶν κθ νϛ. Ἔστω γὰρ ἡ αὐτὴ καταγραφή, τῆς ΕΗ μοιρῶν οὔσης λ καὶ τῆς ΑΒ, ε· ἔστιν οὖν ἡ διπλῆ τῆς ΖΒ μοιρῶν ρο, καὶ ἡ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ριθ λβ λζ· ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΒΑ μοιρῶν ι, καὶ ἡ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ι κζ λβ· ἡ δὲ τῆς ΖΗ περιφερείας διπλῆ μοιρῶν ροε, καὶ ἡ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ριθ νγ ι· ἡ δὲ τῆς ΗΘ μοιρῶν ε, καὶ ἡ ὑπ’ αὐτὴν εὐθεῖα ε ιδ δ. ἐὰν οὖν ἀπὸ τοῦ λόγου τῶν ριθ λβ λζ πρὸς τὰ ι κζ λβ ἀφέλωμεν τὸν τῶν ριθ νγ ι πρὸς τὰ ε ιδ δ, καταλειφθήσεται ἡμῖν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΘ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν [Omitted graphic marker] τῆς ΕΑ λόγος, ὁ τῶν νθ μη πρὸς ρκ. |
| 244 | ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΘ περιφερείας εὐθεῖα τμημάτων ἐστὶν νθ νγ θ· ἡ δὲ ἐπ’ αὐτῆς περιφέρεια μοιρῶν νθ νε ἔγγιστα· αὐτὴ δὲ ἡ ΕΘ ἡμίσεια μοιρῶν κθ νϛ. [Omitted graphic marker] Καὶ ἄλλως δὲ ἡ ΓΔ ἐπὶ τοῦ δευτέρου θεωρήματος εὑρίσκεται ἑξηκοστῶν δύο. οἵων γάρ ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΑΓ ιβ, τοιούτων ἐστὶν ἡ ΒΔ ἑνὸς ἔγγιστα, ἐπεὶ καὶ ταῖς ιβ μοίραις ἀπὸ τῶν συνδέσμων εἰς τὸ κανόνιον τοῦ πλάτους παράκειται μοῖρα α γ· διὸ καί φησιν τὸ ἔγγιστα. ἀφελόντες οὖν ἀπὸ τοῦ ρμδ ἀριθμοῦ τετραγώνου, ὅς ἐστιν ἀπὸ τοῦ ιβ, τὸ ἓν τετράγωνον, καὶ τῶν καταλειπομένων ρμγ τὴν πλευρὰν λαβόντες, ἕξομεν ια νη. |
| 245 | ὡς καταλείπεσθαι τὴν ΓΔ ἑξηκοστῶν β. ἅπερ οὐδὲ ιϛʹ, φησίν, ποιεῖ ὥρας μιᾶς ἰσημερινῆς. ἐὰν γὰρ τὸ ὡριαῖον μέσον δρόμημα τῆς σελήνης λάβωμεν, ὅ ἐστιν ἐν ταῖς συζυγίαις 𐆊 λγ, ιϛʹ μέρος οὐ γίνεται τὰ 𐆊 β τῶν 𐆊 λγ ἀλλ’ ἧττον ιϛ μορίου. Ἐκ τοῦ γʹ. «Ἡ δὲ ΑΓ ἐλάσσων ἐστὶν ἑκατέρας αὐτῶν τῷ ὑπὸ τῆς ἐπισκοτήσεως «ἀπολαμβανομένῳ μέρει τῆς τοῦ ἐκλείποντος διαμέτρου.» Ἔστω τὸ τῆς συντάξεως θεώρημα· καὶ ὁ μὲν τοῦ ἡλίου κύκλος ἢ τῆς σκιᾶς ὁ ΠΕΖ, περὶ διάμετρον τὴν ΠΗ καὶ κέντρον τὸ Α· ὁ δὲ τῆς σελήνης ὅταν ὁ μέσος χρόνος γίνηται καὶ ἡ μεγίστη ἐπισκότησις ὁ ΘΛ, περὶ διάμετρον τὴν ΘΗΛ καὶ κέντρον τὸ Γ· καὶ οἱ ἐφαπτόμενοι κατά τε τὴν ἀρχὴν καὶ τὸ τέλος τῆς ἐκλείψεως οἱ ΕΜ, ΖΝ. καὶ ἐκβληθείσης τῆς ΘΛ ὡς ἐπὶ τὸ Κ, κείσθω ὁποτέρᾳ τῶν ΓΛ, ΓΘ, ΒΕ, ΔΖ, ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις, ἴση ἡ ΗΚ· καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΓ ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ΑΚ τῇ ΓΚ, ἴση δέ ἐστιν ἡ ΓΚ τῇ ΗΚ· ἴσαι γὰρ καὶ αἱ ΗΚ, ΓΘ, καὶ κοινὴ ἡ ΓΗ· ἡ ΑΓ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ΑΚ τῇ ΗΘ. |
| 246 | ἀλλὰ ἡ ΑΚ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ, ΑΔ ἴση ἐστίν· περιέχει γὰρ τὰς ἐκ τῶν κέντρων ἀμφοτέρας τήν τε ΑΗ τοῦ ἡλίου ἢ τῆς [Omitted graphic marker] σκιᾶς, καὶ τὴν ΗΚ ἴσην τῇ ΓΘ ἐκ κέντρου σελήνης, καθάπερ καὶ αἱ ΑΒ, ΑΔ τὰς ἐκ τῶν κέντρων ἀμφοτέρων τοῦ τε ἡλίου ἢ τῆς σκιᾶς καὶ τῆς σελήνης. καὶ ἑκατέρας ἄρα τῶν ΑΒ, ΑΔ ἡ ΑΓ ἐλάσσων ἐστὶν τῇ ΘΗ, ἥτις ἐστὶν μέρος τῆς τοῦ ἐκλείποντος διαμέτρου, ἐπὶ μὲν σεληνιακῆς ἐκλείψεως τῆς ΘΛ διαμέτρου, ἐπὶ δὲ ἡλίου τῆς ΗΠ. Συναποδείκνυται δὲ ὅτι καὶ ἡ ΑΓ μεταξὺ τῶν κέντρων ἴση ἐστὶν συναμφοτέρῳ τῇ τε ὑπεροχῇ τῶν ἀπὸ τῶν κέντρων καὶ τῷ ἀνεπισκοτήτῳ μέρει τῆς τοῦ ἐκλείποντος διαμέτρου. ᾧ γὰρ ὑπερέχει ἡ ΑΗ τῆς ΓΛ ἐπὶ σεληνιακῆς ἐκλείψεως, κοινῆς ἀφαιρουμένης τῆς ΓΗ, τούτῳ ὑπερέξει καὶ ἡ ΑΓ τῆς ΗΛ. ἔστω οὖν ἡ ὑπεροχὴ τῶν ΑΓ, ΗΛ ἡ ΑΝ. ἴση ἄρα ἡ ΝΓ λοιπῇ τῇ ΗΚ. ἡ ΑΓ ἄρα ἴση ἐστὶν συναμφοτέρῳ τῇ ὑπεροχῇ τῶν ἀπὸ τῶν κέντρων, τουτέστιν τῇ ΑΝ, καὶ τῇ ΝΓ, τουτέστιν τῷ μὴ ἐπισκοτηθέντι μέρει τῆς τοῦ ἐκλείποντος διαμέτρου, τουτέστιν τῇ ΗΛ. Πάλιν ἐπὶ τοῦ ἡλίου, ὅταν μὴ κατὰ τὸ μέγιστον ἀπόστημα ἡ σελήνη τυγχάνῃ, τὸ αὐτὸ δειχθήσεται οὕτως· ἔστω ὁ μὲν τοῦ ἡλίου κύκλος ὁ ΜΗ περὶ κέντρον τὸ Α, ὁ δὲ τῆς σελήνης ὁ ΘΛ περὶ κέντρον τὸ Γ. |
| 247 | ἐπεὶ οὖν ᾧ ὑπερέχει ἡ ἐκ τοῦ κέντρου σελήνης ἡ ΓΘ τῆς ΑΜ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ [Omitted graphic marker] ἡλίου, τούτῳ ὑπερέχει ἡ ΑΓ τῆς ΘΜ, κοινῆς ἀφαιρουμένης τῆς ΑΘ, ἔστω ὑπεροχὴ αὐτῶν ἡ ΑΒ. λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΓ ἴση ἐστὶν τῇ ΘΜ. ὥστε ἡ ΑΓ μεταξὺ τῶν κέντρων οὖσα, ἴση ἐστὶν συναμφοτέρῳ τῇ τε ὑπεροχῇ τῶν ἐκ κέντρων τουτέστιν τῇ ΑΒ καὶ τῷ μὴ ἐπισκοτηθέντι μέρει τῆς τοῦ ἡλίου διαμέτρου τουτέστιν τῇ ΘΜ. ἐὰν μέντοι κατὰ τὸ μέγιστον ἀπόστημα ἡ σελήνη τυγχάνῃ, ἴση ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΘΜ, ΗΛ μεταξὺ τῶν κέντρων τῇ ΑΓ. ἴσων γὰρ οὐσῶν τῶν ΑΜ, ΓΘ ἐκ κέντρων, ἐὰν κοινὴν ἀφέλωμεν τὴν ΑΘ, ἴση γίνεται ἡ ΑΓ τῇ ΘΜ. καὶ πάλιν τῶν ΑΗ, ΓΛ ἴσων οὐσῶν καὶ κοινῆς ἀφαιρεθείσης τῆς ΓΗ, λοιπὴ ἡ ΑΓ τῇ ΗΛ ἴση ἐστίν. αἱ γ ἄρα αἱ ΜΘ, ΑΓ, ΗΛ, ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. 〈ἐκ τοῦ δʹ〉 «Ἑκατέρα τῶν ΑΓ καὶ ΑΕ εὐθειῶν περιέχει τὴν ὑπεροχὴν ᾗ ὑπερέχει «τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σκιᾶς . |
| 248 | ..» Ὑποκειμένου γὰρ τοῦ τῆς συντάξεως θεωρήματος, καὶ περὶ κέντρον τὸ Α γραφέντος κύκλου τοῦ τῆς σκιᾶς ὡς τοῦ ΗΘΚΛΜ, τῶν ΑΓ, ΑΔ, ΑΕ [Omitted graphic marker] ἐκβληθεισῶν, ὡς κατὰ τὰ Θ, Κ, Λ, εὐσύνοπτον ὅτι ἑκατέρα τῶν ΑΕ, ΑΓ ὑπεροχή ἐστιν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σκιᾶς πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης. ἑκατέρα μὲν γὰρ τῶν ΑΘ, ΑΛ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σκιᾶς ἐστιν, ἑκατέρα δὲ τῶν αὐτῶν ΓΘ, ΕΛ, ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης ἔσωθεν ἐφαπτομένη τοῦ κύκλου τῆς σκιᾶς κατὰ τὰ Θ, Λ σημεῖα. ὥστε ἑκατέρα τῶν ΑΓ, ΑΕ ὑπεροχή ἐστιν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σκιᾶς πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης. Ἐκ τοῦ αὐτοῦ. «Ὅταν ἡ ΑΔ ἐλάσσων ᾖ ἑκατέρας μὲν τῶν ΑΒ καὶ ΑΖ τῇ προκειμέ«νῃ μιᾷ σεληνιακῇ διαμέτρῳ καὶ ἔτι τετάρτῳ αὐτῆς μέρει ...» Ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἑκατέρα μὲν τῶν ΑΒ, ΑΖ ἑκατέρας τῶν ΑΗ, ΑΜ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης, ἴση δὲ ἑκατέρα τῶν ΑΗ, ΑΜ τῇ ΑΚ, ἐκ κέντρου σκιᾶς γὰρ ἀμφότεραι· καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΒ, ΑΖ μείζων ἐστὶν τῆς ΑΚ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου. |
| 249 | τῆς σελήνης θέσιν ἐχούσης κατὰ τὸ Δ, περιέχει τὴν ἐκ τοῦ κέντρου αὐτῆς καὶ ἔτι τὸ τέταρτον μέρος τῆς ὅλης διαμέτρου. ὑπόκειται γὰρ ἐκλείπουσα μίαν σεληνιακὴν διάμετρον καὶ τὸ τέταρτον τῆς διαμέτρου. καὶ ἡ ΑΚ ἄρα μείζων ἐστὶν τῆς ΑΔ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τῆς διαμέτρου. ἦν δὲ καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΑΖ μείζων τῆς ΑΚ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης. καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΒ, ΑΖ τῆς ΑΔ μείζων ἐστὶν μιᾷ σεληνιακῇ διαμέτρῳ καὶ ἔτι τετάρτῳ αὐτῆς μέρει. ὥστε ἡ ΑΔ ἐλάσσων ἐστὶν ἑκατέρας τῶν ΑΒ, ΑΖ μιᾷ σεληνιακῇ διαμέτρῳ καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τῆς διαμέτρου. Ἐκ τοῦ αὐτοῦ. «Ἑκατέρα〈σ〉 δὲ τῶν ΑΓ καὶ ΑΕ δʹ μέρει μιᾶς διαμέτρου σεληνια«κῆς ...». Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΔ ἐλάσσων ἐδείχθη ἑκατέρας τῶν ΑΒ, ΑΖ τῇ διαμέτρῳ τῆς σελήνης καὶ ἔτι δʹ αὐτῆς μέρει· ἑκατέρα δὲ τῶν ΑΓ, ΑΕ τῆς ΑΒ ἢ τῆς ΑΖ μιᾷ διαμέτρῳ σεληνιακῇ, ὡς δειχθήσεται· καὶ ἡ ΑΔ ἄρα ἑκατέρας τῶν ΑΓ, ΑΕ ἐλάσσων ἐστὶν τετάρτῳ μέρει τῆς διαμέτρου τῆς σελήνης. Ὅτι δὲ ἑκατέρα τῶν ΑΓ, ΑΕ τῆς ΑΒ ἢ ΑΖ ἐλάσσων ἐστὶν μιᾷ διαμέτρῳ σελήνης, οὕτως δείκνυται. ἐπεὶ ἡ ΑΗ, τουτέστιν ἡ ΑΘ, τῆς ΑΒ ἐλάσσων ἐστὶν τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης, ἡ δὲ ΓΘ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης ἐστίν, ἡ ΑΓ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ΑΒ τῇ διαμέτρῳ τῆς σελήνης. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΑΖ ἐλάσσων ἐστὶν τῇ διαμέτρῳ τῆς σελήνης. Ὅτι δὲ κἄν τε ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐπὶ τῶν ἡλιακῶν ἐκλείψεων κατὰ τὸ ἀπόστημα αὐτοῦ ποιώμεθα τὴν δεῖξιν τῶν παρόδων τῆς σελήνης, κἄν τε ἐν δύο ἐπιπέδοις τῷ καθ’ ὅ ἐστιν ὁ ἥλιος καὶ καθ’ ὅ ἐστιν ἀπόστημα ἡ σελήνη, τὰ αὐτὰ ἔσται φαινόμενα, ἐντεῦθεν ἄν τις εἴδοι· ἔστω γὰρ τὸ μὲν [Omitted graphic marker] Α κέντρον τοῦ ἡλίου, τῆς σελήνης τὰ Β, Γ, ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, κατά τε τὴν ἀρχὴν τῆς ἐμπτώσεως καὶ κατὰ τὸ τέλος τῆς ἀναπληρώσεως· τὸ δὲ ἀπόστημα τῆς σελήνης ὑποκείσθω τὸ μέγιστον. |
| 250 | ἴσα ἄρα τὰ μεγέθη αὐτῶν δεῖ ὑποκεῖσθαι ἐπὶ τὰ κέντρα τὰ Α, Β, Γ, ὡς ἔστιν πρὸ δύο θεωρημάτων. καὶ πάλιν κατὰ τὸ μέγιστον τῆς σελήνης ἀπόστημα τὰ Θ, Η καὶ κέντρα σελήνης ἐν τῷ τῆς ἀρχῆς ἐμπτώσεως χρόνῳ καὶ τῷ τέλει τῆς ἀνακαθάρσεως, 〈ὥσ〉τε τοὺς αὐτοὺς κώνους περιλαμβάνειν τὰ Γ, Θ κέντρα καὶ τὰ Β, Η, καὶ ἴσα φαίνεσθαι τὰ μεγέθη ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ὧν κέντρα τὰ Β, Α, Γ, Η, Θ. |
| 251 | δῆλον οὖν ὡς τὸ σφαιρικὸν σῶμα τῆς σελήνης καὶ ἐν τοῖς δυσὶν ἐπιπέδοις ἔν τε τῷ διὰ τῆς ΒΓ καὶ ἐν τῷ διὰ τῆς ΗΘ παραλλήλοις τὰ αὐτὰ μόρια τῆς ἐμπτώσεως καὶ τῆς ἀναπληρώσεως ποιήσει. οἱ γὰρ διὰ τῶν Η, Β κέντρων γραφόμενοι μέγιστοι κύκλοι περὶ τὸ Ζ κέντρον τῆς ὄψεως ἐρχόμενοι, καὶ διὰ τῶν Γ, Θ, ὁμοίας τὰς μεταξὺ τῶν Β Γ, Η Θ περιφερείας ποιήσουσιν· ὥστε ἐὰν τὴν ΒΓ λάβωμεν ἀντὶ τῆς ΗΘ ἢ τὴν ἡμίσειαν τῆς ΒΓ ἀντὶ τῆς ΗΟ ἢ τὰ λοιπὰ μέρη, οὐδὲν διοίσει καὶ δῆλον πῶς. Τὰ μὲν οὖν τῶν ἡλίου καὶ σελήνης ἐκλείψεων δ κανόνια μεγίστου ἀποστήματος καὶ ἐλαχίστου τὸν προκείμενον ἐπραγματεύθη τρόπον. «Ἵνα δέ, φησίν, καὶ ἐπὶ τῶν μεταξὺ τοῦ τε μεγίστου καὶ τοῦ ἐλαχίστου «ἀποστήματος τῆς σελήνης ...» καὶ τὰ ἑξῆς, ἕως· «ὁ γὰρ αὐτὸς ἔγγιστα λό«γος ἐπί γε τῆς τηλικαύτης τῶν διαμέτρων αὐξομειώσεως συνίσταται ...» Ὑπέταξεν γὰρ τούτοις ἄλλα δύο κανόνια, ὧν τὸ μὲν ἕτερον 〈ἐπὶ〉 στίχους μὲν λ σελίδια δὲ τρία καὶ καλούμενον κανόνιον διορθώσεως, ἐν δὲ προχείροις προκανόνιον, περιέχει τὴν ποσότητα τῶν ἐν τῷ ζʹ σελιδίῳ τοῦ παραλλακτικοῦ τῆς σελήνης κανόνος ἑξηκοστῶν, ἃ παράκειται οἰκείως ταῖς ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τῆς ἀνωμαλίας τῆς σελήνης μοίραις· οἷον ταῖς ρκ καὶ σμ μοίραις παράκειται ἑξηκοστὰ μδ 𐆊 · ἐν δὲ τῷ παραλλακτικῷ τὰ αὐτὰ ἑξηκοστὰ μδ τῷ ἡμίσει τῶν ρκ παράκειται τουτέστιν τῷ τῶν ξ ἀριθμῷ, δι’ ἣν εἶπεν ἐκεῖ αἰτίαν. |
| 252 | καὶ πάλιν ἐκεῖ μὲν τὰ ὅλα ξ ἑξηκοστὰ ταῖς ϙ παράκειται, ἐνταῦθα δὲ ταῖς ρπ· καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ἀριθμῶν ὁμοίως. Χρήσιμον δέ ἐστιν τὸ κανόνιον ὡς ἐπὶ τῶν παραλλάξεων πρὸς τὸ καὶ τὰς ὑπεροχὰς λαμβάνειν τῶν τε δακτύλων καὶ τῶν τῆς σελήνης παρόδων, τουτέστιν ἐμπτώσεως καὶ ἀνακαθάρσεως καὶ μονῆς, ἐν τοῖς μεταξὺ ἀποστήμασιν τοῦ τε μεγίστου καὶ ἐλαχίστου, ὃν ὑποδείξει τρόπον. Τὸ δὲ ἕτερον βραχὺ κανόνιον ἐπὶ στίχους μέν ἐστιν ιβ σελίδια δὲ πάλιν τρία· ὧν ἐν μὲν τῷ πρώτῳ [τετράγωνοί] εἰσιν οἱ τῆς διαμέτρου ἑκατέρου τῶν φώτων δάκτυλοι ιβ, ὥσπερ καὶ ἐπ’ αὐτῶν τῶν ἐκλειπτικῶν κανονίων ὡς τοῦ ἑνὸς δακτύλου περιέχοντος τὸ ιβʹ τῆς διαμέτρου· «ἐν «δὲ τοῖς ἑξῆς τὰ ἐπιβάλλοντα αὐτοῖς πάλιν δωδέκατα τῶν ὅλων ἐμβαδῶν. «παράκειται δὲ ἐν μὲν τῷ δευτέρῳ τὰ τοῦ ἡλίου ἐν δὲ τῷ τρίτῳ τὰ τῆς «σελήνης.» Ἐπελογίσατο δὲ καὶ ταῦτα γραμμικῶς, ὡς τῆς σελήνης κατὰ τὸ μέσον ἀπόστημα ὑποκειμένης· διὰ τὸ μηδενὶ αἰσθητῷ διαφέρειν τὰ κατὰ τὸ μέσον ἀπόστημα λαμβανόμενα δωδέκατα, τῶν μεγεθῶν αὐτῶν παρὰ τὰ συνιστάμενα κατὰ τὸ ἐλάχιστον ἀπόστημα τῆς σελήνης, ἢ τὸ μέγιστον, ἢ τὰ μεταξὺ αὐτῶν καὶ τοῦ μέσου· ἐπὶ γὰρ τῆς τηλικαύτης μικρᾶς τῶν διαμέτρων σελήνης καὶ σκιᾶς αὐξήσεως καὶ μειώσεως ἀπὸ τοῦ μέσου ὁ αὐτὸς ἔγγιστα λόγος συνίσταται. εἰσὶν γὰρ ἡλίου τοῖς ϛ δακτύλοις τῆς διαμέτρου ἐμβαδοὶ δ Γ β μέσου ἀποστήματος, καὶ τοῖς αὐτοῖς κατὰ μὲν τὸ μέγιστον σελήνης ἀπόστημα δ〈 𐅵 εʹ〉, κατὰ δὲ τὸ ἐλάχιστον δ 〈 𐅵 δʹ〉· καὶ σελήνης ὁμοίως τοῖς αὐτοῖς ϛ δακτύλοις μέσου ἀποστήματος ε 𐅵 , ἐλαχίστου ε 〈δʹ〉, μεγίστου ε 〈 𐅵 δʹ〉. |
| 253 | «Καὶ ὡς τοῦ λόγου τῶν περιμέτρων πρὸς τὰς διαμέτρους ὄντος ὃν ἔχει «τὰ γ η λ πρὸς τὸ α...» καὶ τὰ ἑξῆς. Ἀπέδειξεν γὰρ ὁ Ἀρχιμήδης ἐν τῷ περὶ τοῦ κύκλου βιβλίῳ, ὅτι παντὸς κύκλου ἡ περίμετρος μείζων ἐστὶν ἢ τριπλασίων, ἐλάσσων μὲν ἢ ζʹ μέρει τῆς διαμέτρου, μείζων δὲ ἢ ι οαʹ· καὶ ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ κύκλου ὡς εὐθείας καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου περιεχόμενον ὀρθογώνιον, διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ἐμβαδοῦ τοῦ κύκλου. τὰ μὲν οὖν τριπλάσια καὶ τὰ ι οαʹ τοῦ α γίνεται γ η κζ· τὰ δὲ τριπλάσια πρὸς τῷ ζʹ μέρει γίνεται γ η λδ· ὧν μεταξύ ἐστιν ἔγγιστα τὰ γ η λ. Πρὸς δὲ τὸ μὴ δεῖσθαι τοῦ Ἀρχιμήδους συντάγματος, ἐν τοῖς εἰς τὸ πρῶτον σχολίοις ἀπεδείχθη ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου αὐτοῦ διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ἐμβαδοῦ τοῦ κύκλου. |
| 256 | ὥστ’ ἐπεὶ ὁ αὐτὸς λόγος ἐστὶν τῶν κύκλων πρὸς τὰς περιφερείας, καὶ τῶν ἐμβαδῶν αὐτῶν πρὸς τὰ τῶν ὑπὸ τὰς περιφερείας τομέων. [Omitted graphic marker] Ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Δ, ἐκ τοῦ κέντρου δὲ αὐτοῦ ἡ ΔΒ. καὶ ἀπὸ τοῦ Δ διήχθω τις ἡ ΔΕ. ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ περίμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν ΒΖΕ περιφέρειαν, οὕτως ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα. |
| 257 | Εἰ μὲν οὖν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΖΕ περιφέρεια τῇ ΑΒΓ περιμέτρῳ τοῦ κύκλου, ἐπιδιαιρεθείσης τῆς ΑΒΓ περιμέτρου τοῦ κύκλου εἰς τὰ μέτρα καὶ ἀπὸ τῶν τῆς διαιρέσεως σημείων ἐπὶ τὸ Δ κέντρον ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν, ἐφαρμόσουσιν ἀλλήλοις πάντες οἱ τομεῖς· καὶ ἔστιν ἴσον τὸ πλῆθος αὐτῶν τῷ πλήθει τῶν μέτρων. ἔσται ἄρα ὡς ὅλη ἡ ΑΓΒ περίμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν ΒΖΕ περιφέρειαν, οὕτως ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα [ιεʹ τοῦ εʹ]. Εἰ δὲ μή ἐστιν σύμμετρος ἡ ΑΒΓ περίμετρος τῇ ΒΖΕ περιφερείᾳ, μηδέ ἐστιν ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος πρὸς τὴν ΒΖ〈Ε〉 περιφέρειαν, ἔστω εἰ δυνατὸν ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος αὐτοῦ πρὸς τὴν ΒΖ περιφέρειαν, πρότερον ἐλάσσονα οὖσαν τῆς ΒΖΕ περιφερείας. καὶ εἰλήφθω τις ἑτέρα περιφέρεια ἡ ΒΗ τῆς μὲν ΒΖ μείζων τῆς δὲ ΒΖΕ ἐλάσσων, σύμμετρος δὲ οὖσα τῇ ΑΒΓ περιμέτρῳ, [ὡς ἔστιν λῆμμα σφαιρικόν], καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΔ εὐθεῖα. ἔστιν οὖν διὰ τὰ προειρημένα καὶ ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΗ τομέα οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν ΒΖΗ περιφέρειαν. ἡ δὲ ΑΒΓ περίμετρος πρὸς τὴν ΒΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΒΖ περιφέρειαν, τουτέστιν ἤπερ ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα. καὶ ὁ ΑΒΓ οὖν κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΗ τομέα ἐλάσσονα λόγον ἕξει ἤπερ πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα, ὅπερ ἄτοπον· οὐκ ἔσται ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος αὐτοῦ πρὸς τὴν ΒΖ περιφέρειαν, ἐλάσσονα οὖσαν τῆς ΒΖΕ περιφερείας. Λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ πρὸς μείζονα. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸς τὴν ΒΕΓ περιφέρειαν. |
| 258 | καὶ εἰλήφθω τις ὁμοίως ἡ ΒΕΘ περιφέρεια τῆς μὲν ΒΖΕ περιφερείας μείζων, τῆς δὲ ΒΕΓ περιφερείας ἐλάσσων, σύμμετρος δὲ πρὸς τὴν ΑΒΓ περίμετρον τοῦ κύκλου. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΘ. ἐπεὶ οὖν πάλιν ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΘ τομέα οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν ΒΕΘ περιφέρειαν, ἡ δὲ ΑΒΓ περίμετρος πρὸς τὴν ΒΕΘ περιφέρειαν μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΒΕΓ περιφέρειαν, τουτέστιν ἤπερ ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα, ἕξει δηλονότι καὶ ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΘ τομέα μείζονα λόγον ἤπερ πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα, ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον· οὐκ ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος αὐτοῦ πρὸς μείζονα τῆς ΒΖΕ περιφερείας. ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ πρὸς ἐλάσσονα. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος αὐτοῦ πρὸς τὴν ΒΖΕ περιφέρειαν. Ἔστω οὖν τῇ μὲν ΑΒΓ περιμέτρῳ ἴση ἡ ΚΛ εὐθεῖα· τῇ δὲ ΒΖΕ περιφερείᾳ ἴση ἡ ΛΜ· καὶ τῇ ΚΜ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΛΝ, ἴση οὖσα τῇ ΔΕ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου. καὶ συμπεπληρώσθω τὰ ΚΝ, ΜΝ παραλληλόγραμμα. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΚΛ πρὸς ΛΜ, τὸ ΚΝ πρὸς ΝΜ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΚΛ πρὸς ΛΜ, ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΑΔΕ τομέα· δέδεικται γάρ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ΚΝ πρὸς τὸ ΝΜ, ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΒΔΕ τομέα. διπλάσιον τὸ ΚΝ τοῦ ΑΒΓ κύκλου· διπλάσιον ἄρα καὶ τὸ ΜΝ τοῦ ΒΖΕ τομέως. Καὶ ἄλλως δέ, ὑπομνήσεως ἕνεκεν, ὡς ἐπὶ τοῦ κύκλου δείξομεν ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς περιφερείας τοῦ τομέως καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου διπλάσιόν ἐστιν τοῦ τομέως. Ἔστω γὰρ τομεὺς κύκλου ὁ ΑΒΓ. |
| 259 | καὶ τοῦ ὑπὸ τῆς ΑΕΒ περιφερείας καὶ τῆς ΑΓ ἐκ κέντρου ἥμισυ ἔστω τὸ Δ χωρίον. λέγω ὅτι τὸ Δ χωρίον [Omitted graphic marker] ἴσον ἐστὶν τῷ ΑΒΓ τομεῖ. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρότερον ἔλασσον. τέμνοντες δὴ τὴν ΑΒ περιφέρειαν δίχα, καὶ τὴν τῆς ἡμισείας δίχα, τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες ληψόμεθά τινα τμήματα ἃ ἔσται ἐλάσσονα τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὑπερέχει ὁ ΑΒΓ τομεὺς τοῦ Δ χωρίου. |
| 260 | τετμήσθω, καὶ ἔστω τὰ περιλειπόμενα τμήματα τὰ ΑΖ, ΖΕ, ΕΗ, ΗΒ. λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΖΕΗΒΓ εὐθύγραμμον μεῖζόν 〈ἐστιν τοῦ Δ χωρίου. ἀλλ’ ἡ ΑΒ περιφέρεια μείζων〉 ἐστὶν τῶν ΑΖ, ΖΕ, ΕΗ, ΗΒ εὐθειῶν, ἐπεὶ καὶ ἑκάστη περιφέρεια τῆς ὑπ’ αὐτὴν εὐθείας μείζων· ἡ δ’ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ τομέως μείζων τῆς ΓΟ καθέτου· μεῖζον ἄρα τὸ Δ χωρίον τοῦ ΑΖΕΗΒΓ, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. ὑπόκειται γὰρ ἔλασσον. οὐκ ἄρα τὸ Δ χωρίον ἔλασσόν ἐστιν τοῦ ΓΑΒ τομέως. Λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ μεῖζον. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω. καὶ περὶ τὸ ΑΕΒ τμῆμα ὅμοιον τῷ ΑΖΕΗΒ πολυγώνῳ περιγεγράφθω τὸ ΘΚΛΜΝ, ὥστε τὸ Δ χωρίον μεῖζον εἶναι τοῦ ΘΚΛΜΝ πολυγώνου. καὶ ἔτι περ ἀπὸ τοῦ Γ κέντρου ἐπὶ μίαν τῶν συναφῶν τὴν Ξ, ἡ ΓΞ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΘΚ, ΚΛ, ΛΜ μείζονές εἰσιν τῶν κατ’ αὐτὰς τμημάτων, ὡς ἔστιν Ἀρχιμήδους ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου, τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς ΓΞ καὶ τῶν ΘΚ, ΚΛ, ΛΜ, ΜΝ εὐθειῶν μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ τῆς ΓΞ καὶ τῆς ΑΕΒ περιφερείας περιεχόμενον ὀρθογώνιον. καὶ τὰ ἡμίσεια. τὸ ἄρα ΘΚΛΜΝΓ εὐθύγραμμον μεῖζόν ἐστιν τοῦ Δ χωρίου, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· ὑπόκειται γὰρ ἔλασσον. οὐκ ἄρα τὸ Δ χωρίον μεῖζόν ἐστιν τοῦ ΑΒΓ τομέως. ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ἔλασσον. ἴσον ἄρα. καὶ ἔστιν τοῦ Δ χωρίου διπλάσιον τὸ ὑπὸ τῆς ΑΕΓ περιφερείας τοῦ τομέως καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, καθάπερ καὶ τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου αὐτοῦ διπλάσιον τοῦ ἐμβαδοῦ τοῦ κύκλου. Εἰς τὸ εʹ θεώρημα. |
| 261 (1n) | Ἐπὶ τοῦ εʹ θεωρήματός φησιν· «ὑποκείσθω τὸ δʹ ἐκλελοιπέναι τῆς «διαμέτρου τῆς ἡλιακῆς, ὥστε τὴν μὲν ΖΔ τοιούτων εἶναι τριῶν οἵων ἐσ«τὶν ἡ ΒΔ διάμετρος ιβ, τὴν δὲ ΖΗ τῆς σελήνης διάμετρον τῶν αὐτῶν «ιβ κ, κατὰ τὸν τῶν ιε μ πρὸς τὰ ιϛ μ λόγον.» [Omitted graphic marker] Ἡ γὰρ ἐκ τοῦ κέντρου σελήνης κατὰ τὸ μέγιστον ἀπόστημα ἑξηκοστῶν ἐδείχθη ιε μ καὶ κατὰ τὸ ἐλάχιστον ιζ μ· ὧν συντιθεμένων τὸ ἥμισυ ποιεῖ ἑξηκοστῶν ιϛ μ κατὰ τὸ μέσον ἀπόστημα. ἀλλὰ καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἡλίου ἐστὶν ἑξηκοστῶν ιε μ. ἔστιν οὖν ὡς τὰ ιε μ πρὸς τὰ ιϛ μ, οὕτως ἡ ΒΔ τοῦ ἡλίου διάμετρος ιβ πρὸς τὴν ΖΗ τῆς σελήνης διάμετρον οὐκ ἀκριβῶς ιβ κ· ἀλλὰ γὰρ ὁ μὲν ὑπὸ πρώτου καὶ δʹ, ιε μ καὶ ιβ κ, γίνεται ρϙγ ιγ· ὁ δ’ ὑπὸ βʹ καὶ γʹ, ιϛ μ καὶ ιβ, γίνεται ς 𐆊 . μήποτε οὖν, πλάνη ἐστίν. Τῆς δὲ ΕΔ οὔσης ἐκ κέντρου ἡλίου ϛ, καὶ τῆς ΔΖ γ, λοιπή ἐστιν ἡ ΕΖ γ. |
| 262 | ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΖΘ ἐκ κέντρου σελήνης ϛ ι. ὅλη οὖν ἡ ΕΘ ἔσται θ ι. καὶ τῶν περιμέτρων ἄρα κατὰ τὸν τοῦ α πρὸς τὰ γ η λ λόγον, ἡ μὲν τοῦ ἡλιακοῦ κύκλου γίνεται περίμετρος τμημάτων λζ μβ, ἡ δὲ τοῦ σεληνιακοῦ τῶν αὐτῶν λη μϛ, οἵων ἡ μὲν ΒΔ ιβ ἡ δὲ ΖΗ ιβ κ ἔγγιστα. Ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου καὶ τῆς περιμέτρου περιεχόμενον ὀρθογώνιον δύο ἐμβαδὰ τοῦ κύκλου ποιεῖ ὡς προείρηται, συναχθήσεται τὸ μὲν ὅλον τοῦ ἡλίου ἐμβαδὸν ριγ ϛ, τὸ δὲ τῆς σελήνης τῶν αὐτῶν ριθ λβ. Τούτων δὴ οὕτως ἐχόντων, προκείσθω εὑρεῖν πόσων ἐστὶν τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν ΑΔΓ, ΓΖΑ περιφερειῶν ἐμβαδὸν μέγεθος οἵων ἐστὶν τὸ ὅλον τοῦ ἡλιακοῦ κύκλου ιβ. «ἐπεὶ οὖν τοίνυν οἵων ἐστὶν ἡ ΕΘ εὐθεῖα θ 𐅵 , τοιούτων ἑκατέρα μὲν τῶν ΑΕ καὶ ΕΓ ὑπόκειται ϛ, ἑκατέρα δὲ τῶν ΑΘ καὶ ΘΓ τῶν αὐτῶν ϛ ι· καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ Κ γωνία ...» δύο γὰρ αἱ ΑΕΘ δυσὶν ταῖς ΓΕΘ ἴσαι εἰσίν, καὶ βάσεις αἱ ΑΘ, ΘΓ ἴσαι ἀλλήλαις· καὶ αἱ γωνίαι αἱ πρὸς τῷ Ε. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΓΑ· καὶ λοιπαὶ αἱ πρὸς τῷ Κ ὀρθαί. ἐὰν τὴν ὑπεροχὴν ᾗ ὑπερέχει τὸ ἀπὸ τῆς ΘΑ τετράγωνον λη β τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ, λϛ, τουτέστιν τὰ δύο ἑξηκοστὰ δύο, παραβάλωμεν παρὰ τὴν ΕΘ, ἕξομεν τὴν τῶν ΕΚ, ΚΘ ὑπεροχὴν ἑξηκοστῶν ιγ γʹ· ὅτι καὶ τὸ ἀπὸ ΘΑ μεῖζον τοῦ ἀπὸ ΑΕ τῷ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ ὑπὸ τῆς ΕΘ καὶ τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὑπερέχει ἡ ΘΚ μείζων τῆς ΚΕ· τοῦτο, γὰρ ἑξῆς δειχθήσεται. διὰ τοῦτο δέ, καὶ ἡ μὲν ΕΚ συνάγεται δ κη κ ἡ δὲ ΚΘ, δ μα μ· ἀνθ’ ὧν τὰ ἔγγιστα ἔλαβεν δ κη καὶ δ μβ. |
| 263 | ὥστε καὶ ἑκατέρα μὲν τῶν ΑΚ, ΚΓ, ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν διὰ τὸ τὴν ΕΔ πρὸς ὀρθὰς τέμνειν τὴν ΑΓ, ἔσται δ. καὶ τὸ μὲν τοῦ ΑΕΓ τριγώνου ἐμβαδόν, ἴσον ὂν τῷ ὑπὸ ΑΚ, ΚΕ, γίνεται ιζ νβ· τὸ δὲ τοῦ ΑΓΘ τῶν αὐτῶν ιη μη. πάλιν ἐπεὶ οἵων ἡ ΒΔ διάμετρος ιβ τοιούτων καὶ ἡ ΓΑ η, οἵων ἄρα ἡ ΒΔ ρκ τοιούτων ἡ ΑΓ ἔσται π· ἡ δὲ ἐπ’ αὐτῆς περιφέρεια ἡ ΑΔΓ τοιούτων πγ λζ οἵων ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τξ. καὶ πάλιν οἵων ἡ ΖΗ ιβ κ, ἡ ΑΓ η· οἵων δὲ ρκ ἡ ΖΗ, ἡ ΑΓ οζ ν· ἡ δὲ ἐπ’ αὐτῆς περιφέρεια ἡ ΑΖΓ τοιούτων π νβ οἵων ὁ ΑΖΓΗ κύκλος τξ. ὥστ’ ἐπεὶ ἐδείχθη ὡς μὲν ἡ ΑΔΓ περιφέρεια πρὸς τὴν περίμετρον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου. ὁ ΑΕΓΔ τομεὺς πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐμβαδόν· ὡς δὲ ἡ ΑΖΓ περιφέρεια πρὸς τὴν τοῦ ΑΖΓΗ περίμετρον, οὕτως ὁ ΘΑΖΓ τομεὺς πρὸς τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΖΓΗ κύκλου· δηλονότι καὶ τὸ μὲν τοῦ ΑΕΓΔ τομέως ἐμβαδὸν ἕξομεν τοιούτων κϛ ιϛ οἵων ἐδείχθη τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ρπ ιϛ· τὸ δὲ τοῦ ΑΘΓΖ τομέως κϛ να οἵων ἦν τὸ τοῦ ΑΖΓΗ κύκλου ριθ λβ· ἔστιν γὰρ ὡς μὲν τξ πρὸς τὰ ριγ ϛ, οὕτως πγ λζ πρὸς κϛ να· ὡς δὲ τξ πάλιν πρὸς τὰ ριθ λβ, οὕτως π νβ πρὸς τὰ κϛ να. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ μὲν τοῦ ΑΕΓ τριγώνου ἐμβαδὸν ιζ νβ· τὸ δὲ τοῦ ΑΘΓ τῶν αὐτῶν ιη μη· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ μὲν περιεχόμενον ὑπὸ τῆς ΑΓ καὶ τῆς ΑΔΓ περιφερείας ἐμβαδὸν ἕξομεν η κδ, τὸ δὲ ὑπὸ τῆς αὐτῆς ΑΓ καὶ τῆς ΑΖΓ περιφερείας περιεχόμενον ἐμβαδὸν τῶν αὐτῶν η γ. καὶ ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΓ, ΓΔΑ περιφερειῶν περιεχόμενον ἐμβαδὸν τοιούτων ἐστὶν ιϛ κζ, οἵων τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ὑπόκειται ριγ ϛ. καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν τὸ τοῦ ἡλιακοῦ κύκλου ἐμβαδὸν ιβ, τοιούτων τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τοῦ ἐκλείποντος μέρους ἐστὶν α 𐅵 δʹ ἔγγιστα. ὡς γὰρ ριγ ϛ πρὸς ιϛ κζ οὕτως ιβ πρὸς α 𐅵 δʹ. ἃ καὶ παρέθηκεν ἐν τῷ κανονίῳ τῷ στίχῳ τῶν τριῶν δακτύλων. Ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν σεληνιακῶν ἐκλείψεων τοῖς τρεῖς δακτύλοις τῆς διαμέτρου δειχθήσεται τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τοῦ ἐκλείποντος αὐτῆς τμήματος ἐμβαδὸν β καὶ ἔτι ιεʹ, οἵων τὸ ὅλον τοῦ σεληνιακοῦ κύκλου ιβ. ἃ καὶ παρέθηκεν τοῖς τρεῖς δακτύλοις ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ κανονίου τῷ στίχῳ τῶν τριῶν δακτύλων ἐν τῷ γʹ σελιδίῳ. Ὅτι δὲ αἱ ΑΘ, ΓΘ εὐθεῖαι 〈οὐ〉 τέμνουσιν τὰς ΑΔ, ΔΓ περιφερείας ἐντεῦθεν ἔσται φανερόν· ἐπεὶ γὰρ ἡ ΖΔ ἐστὶν τριῶν, οἵων ἐστὶν ἡ ΔΒ ιβ, ἡ δὲ ΘΖ ϛ ι· λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΘ γ ι· ὅλη δὲ ἡ ΒΘ ιε ι. |
| 264 | ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΘ, ΘΔ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἀπὸ τοῦ Θ σημείου, γίνεται μη β· τὸ δ’ ἀπὸ τῆς ΑΘ ἐστὶν λη β· ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΑΘ τῆς ἀπὸ τοῦ Θ ἐφαπτομένης τοῦ ΑΒΓ κύκλου. ὥστε ἡ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Α ἐπιζευγνυμένη, τὴν μὲν ΑΔ περιφέρειαν οὐ τέμνει, τὴν δὲ ΑΒ ἐξ ἀνάγκης τοῦ τῆς ἐπαφῆς σημείου ἑκτὸς τοῦ Α ἐπὶ τῆς ΒΑ περιφερείας γινομένου. [Omitted graphic marker] Ἐὰν δὲ τὴν ΔΖ ὑποθώμεθα δακτύλων δ, λοιπὴ γίνεται ἡ ΔΘ β ι οἵων ἡ ΒΔ ιβ· ὅλη δὲ ἡ ΒΘ ιδ ι· τὸ δ’ ὑπὸ τῶν ΒΘ, ΘΔ λ μβ· τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης ἀπὸ τοῦ Θ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἔλασσον τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΘ. ὥστε τὴν ἀπὸ τοῦ Θ ἐφαπτομένην μὴ κατὰ τὸ Α ἐφάπτεσθαι ἀλλὰ κατά τι σημεῖον μεταξὺ τῶν Α, Δ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, οἷον τὸ Λ, τὴν δὲ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Α ἐπιζευγνυμένην τέμνειν τὴν ΑΔ περιφέρειαν, οἷον κατὰ τὸ Μ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ τῆς ΕΖ οὔσης τῶν λοιπῶν δύο, καὶ τῆς ΗΖΕ ὅλης ιδ κ· συνάγεται τὸ ὑπὸ ΗΕ, ΕΖ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης ἀπὸ τοῦ Ε τοῦ ΑΖΓΗ κύκλου, τῶν αὐτῶν κη μ, οἵων τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ λϛ. ὥστε καὶ ἐνθάδε τὴν ΑΖ περιφέρειαν τέμνεσθαι μεταξὺ τοῦ τῆς ἐφαπτομένης σημείου καὶ τοῦ Ζ, οἷον κατὰ τὸ Ν. ὁμοίως δὲ καὶ αἱ ΔΓ, ΖΓ περιφέρειαι τμηθήσονται ὑπὸ τῶν ΘΓ, ΕΓ κατὰ τὰ μεταξὺ σημεῖα τῶν ἐφαπτομένων καὶ τῶν Δ, Ζ σημείων. διὰ τὰ αὐτὰ δὲ ἐὰν μὲν ἀπὸ τοῦ ΘΑΖΓ τομέως δοθέντος, ἀφέλωμεν τὸ τοῦ ΑΓΘ τριγώνου ἐμβαδὸν δοθέν, ἕξομεν λοιπὸν τὸ περιεχόμενον τμῆμα ὑπό τε τῆς ΑΚΓ εὐθείας καὶ τῆς ΑΖΓ περιφερείας δοθέν. |
| 265 | ἐὰν δὲ ἀπὸ τοῦ ΑΕΓΖ τομέως δοθέντος ἀφέλωμεν τὸ τοῦ ΑΕΓ τριγώνου ἐμβαδὸν δοθέν, καὶ αὐτὸ ἕξομεν λοιπὸν τὸ περιεχόμενον τμῆμα ὑπὸ τῆς ΑΓ εὐθείας καὶ τῆς ΑΔΓ περιφερείας. ὥστε καὶ ὅλον τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν ΑΖΓ, ΑΔΓ περιφερειῶν ἐμβαδὸν δοθὲν ἔσται οἵων τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐμβαδὸν ιβ. [Omitted graphic marker] Ἐὰν δὲ δακτύλους ϛ ἐκλείπειν τῆς ἰδίας διαμέτρου ὁ ἥλιος ὑποτεθῇ, ὁ τῆς σελήνης κύκλος ὁ ΑΕΓΗ διὰ τοῦ κέντρου τοῦ ἡλίου ἥξει. καὶ οὐδὲν ἧττον ἡ ΑΘ καὶ ἡ ΘΓ τέμνουσιν τὰς ΑΔ, ΔΓ περιφερείας· αἱ δὲ ΕΑ, ΕΓ ἐντὸς τοῦ ΑΕΓΗ κύκλου πεσοῦνται ὑποτείνουσαι τὰς ΑΕ, ΕΓ περιφερείας, ὡς ὑπόκειται τὸ σχῆμα, οὐχὶ δὲ καὶ ἐκτὸς μὲν ὡς ἐπὶ τῶν τριῶν δακτύλων, ἐκτὸς δὲ καὶ ἐντὸς ὡς ἐπὶ τῶν δ καὶ ε. δίδοται οὖν κατὰ τὰ αὐτὰ τὸ περιεχόμενον ἐμβαδὸν ὑπὸ τῶν ΑΕΓ, ΑΔΓ περιφερειῶν. Ἐὰν δὲ ζ δακτύλους ὑποτεθῇ ἐκλείπειν ὁ ἥλιος, φανερὸν ὅτι τῆς ΔΖ οὔσης ζ οἵων ἡ ΒΔ ιβ καὶ τῆς ΖΘ ἐκ κέντρου ϛ ι, ἡ μὲν ΖΕ ἐστὶν ἑνός, ἡ δὲ ΕΘ μεταξὺ τῶν κέντρων ε ι, ἡ δὲ ΘΔ 𐆊 ν, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς ὑποκειμένης καταγραφῆς, τῆς αὐτῆς γινομένης καὶ ἐπὶ τῶν η. γίνεται γὰρ πάλιν ἡ μὲν ΖΕ δύο, ἡ δὲ ΕΘ μεταξὺ τῶν κέντρων δ ι, ἡ δὲ ΔΘ α ν. Ἐπὶ δὲ τῶν θ δακτύλων ἡ ΖΕ γ, ἡ ΕΘ μεταξὺ τῶν κέντρων γ ι, ἡ ΘΔ β ν. |
| 266 | τὸ δὲ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν ΑΔΓ, ΑΖΒ περιφερειῶν [Omitted graphic marker] ἐμβαδὸν μέγεθος δεδομένον ἔσται, εἰ ἀπὸ μὲν τοῦ ΘΑΖΓ τομέως δοθέντος ἀφαιρεθείη τὸ τοῦ ΑΘΓ τριγώνου ἐμβαδὸν δοθέν, ἀπὸ δὲ τοῦ ΕΑΔΓ τομέως δοθέντος τὸ τοῦ ΑΕΓ τριγώνου ἐμβαδόν· λοιπὸν γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΓ, ΓΔΑ περιφερειῶν μέγεθος δεδομένον ἔσται. [Omitted graphic marker] Ἐπὶ δὲ τῶν ια δακτύλων, ἡ ΔΖ ἐστὶν ια, ὧν ἡ ΖΘ ϛ ι. λοιπὴ ἡ ΔΘ δ ν. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΕΔ ϛ· λοιπὴ ἡ ΕΘ α ι. τὸ δ’ ἀπ’ αὐτῆς α κβ, ἔλασσον ὂν τοῦ ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὑπερέχει τὸ ἀπὸ τῆς ΘΑ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ, τουτέστιν β β, ἑξηκοστοῖς μ, ἅ ἐστιν τοῦ δὶς ὑπὸ ΚΘ, ΘΕ. |
| 267 | ἐὰν οὖν τὰ 𐆊 κ τοῦ ὑπὸ ΚΘ, ΘΕ παρὰ τὴν ΕΘ παραβάλωμεν, τουτέστιν τὸ α ι, ἕξομεν τὴν ΚΕ μήκει, καὶ λοιπὴν τὴν ΚΑ. καὶ διὰ τοῦτο δοθὲν ἑκάτερον τῶν ΑΓΕ, ΑΓΘ τριγώνων. ἐπεὶ δὲ καὶ ὁ μὲν ΑΘΖ τομεὺς δίδοται, ὧν τὸ ΑΓΘ δοθέν, λοιπὸν τὸ ΑΖΓ τμῆμα τοῦ κύκλου δοθὲν ἔσται. καὶ πάλιν ἐὰν ἀπὸ τοῦ ΕΑΒΓ τομέως δοθέντος τὸ τοῦ ΑΓΕ τριγώνου ἐμβαδὸν ἀφέλωμεν, λοιπὸν τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῆς ΑΓ εὐθείας καὶ τῆς ΑΒΓ περιφερείας τμῆμα δοθὲν ἔσται. καὶ λοιπὸν εἰς ὅλον τὸν κύκλον τὸ ὑπὸ τῆς αὐτῆς ΑΓ εὐθείας καὶ τῆς ΑΔΓ περιφερείας δοθήσεται. καὶ ὅλον ἄρα δηλονότι τὸ περιεχόμενον ἐμβαδὸν μέγεθος ὑπὸ τῶν ΑΖΓ, ΑΔΓ περιφερειῶν δεδομένον ἔσται. Τῶν οὖν ἀριθμῶν παραληφθέντων καὶ ἐπὶ τῶν οὕτως ὑποτεθειμένων ἡμῖν δακτύλων συλλογισάμενοι εὑρήσομεν τοὺς ἐπιβάλλοντας αὐτοῖς ἐμβαδοὺς δακτύλους συμφώνους τοῖς ἐν τῷ κανονίῳ παρακειμένοις, τοῦ μὲν ἡλιακοῦ ἐν τῷ δευτέρῳ σελιδίῳ, τοῦ δὲ σεληνιακοῦ ἐν τῷ τρίτῳ. Τὸ δὲ ὑπερτεθὲν λῆμμα νῦν δείξομεν. Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΕΘ, μείζονα ἔχον τὴν ΑΘ πλευρὰν τῆς ΑΕ· κάθετον δὲ ἐπὶ τὴν ΕΘ τὴν ΑΚ· δεῖξαι ὅτι ἡ ὑπεροχὴ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΕ ἴση ἐστὶν τῷ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ ὑπό τε τῆς ΕΘ καὶ τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὑπερέχει ἡ ΘΚ τῆς ΚΕ. Ἐπεὶ γὰρ μείζονα τὰ ἀπὸ ΑΚ, ΚΘ τῶν ἀπὸ ΑΚ, ΚΕ· ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΘ τῆς ΑΕ μείζων, κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ἀπὸ ΑΚ, λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΚΘ [Omitted graphic marker] τοῦ ἀπὸ ΚΕ μεῖζον· μείζων ἄρα ἡ ΚΘ εὐθεῖα τῆς ΚΕ. |
| 268 | κείσθω οὖν τῇ ΕΚ ἴση ἡ ΚΛ. ἡ ΛΘ ἄρα ὑπεροχή ἐστιν τῶν ΚΘ, ΚΕ. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΕΘ, ΘΛ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΚΛ, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΚΕ, ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΚΘ, κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ἀπὸ ΚΑ, γίνεται τὸ ὑπὸ ΕΘ, ΘΛ μετὰ τῶν ἀπὸ ΕΚ, ΚΑ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΘ, ΚΑ. ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ ΕΚ, ΚΑ ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΕΑ· τοῖς δὲ ἀπὸ ΑΚ, ΚΘ ἴσον τὸ ἀπὸ ΑΘ. τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΘ, ΘΛ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΑΘ. ὥστε 〈τὸ〉 ἀπὸ ΑΘ ὑπερέχειν τοῦ ἀπὸ ΑΕ τῷ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ ὑπό τε τῆς ΕΘ καὶ τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὑπερέχει ἡ ΚΘ τὴν ΚΕ, τουτέστιν τῆς ΘΛ. Σεληνιακῶν ἐκλείψεων διάκρισις. |
| 269 (1n) | Ἐν τῷ περὶ διακρίσεως σεληνιακῶν ἐκλείψεων κεφαλαίῳ τὰ μὲν ἄλλα σαφῆ ἐστιν· ὡς γὰρ ἐν τῷ εʹ βιβλίῳ τὰς παραλλάξεις ἀναλόγως τοῖς ἀποστήμασι λαμβάνομεν, οὕτως καὶ ἐνθάδε τὰ μεγέθη τῶν ἐπισκοτήσεων ἀναλόγως τοῖς ἀποστήμασι λαμβάνομεν. ὃ δέ φησιν «ἐὰν μέντοι συμβαίνῃ «τὸν τοῦ πλάτους ἀριθμὸν εἰς τὸ δεύτερον μόνον κανόνιον ἐμπίπτειν τῶν «ἐν τῷ μόνῳ παρακειμένων δακτύλων καὶ μορίων τὰ εὑρισκόμενα ἑξη«κοστὰ ἐκθησόμεθα ...» τοιοῦτόν ἐστιν. Ὑποκείσθω ὁ τοῦ πλάτους ἀριθμὸς μοιρῶν οθ λ καὶ σπ λ, καὶ ὁ τῆς ἀνωμαλίας ρκ ἢ σμ. ἐπεὶ οὖν τῷ τοῦ πλάτους ἀριθμῷ παράκεινται δάκτυλοι τρεῖς καὶ ἐμπτώσεως ἑξηκοστῶν λβ κ, τῷ δὲ τῆς ἀνωμαλίας ἑξηκοστῶν μδ λαμβάνω τῶν τε τριῶν δακτύλων τὰ ἑξηκοστὰ μδ, καὶ τῶν 𐆊 λβ κ· καὶ γίνεται δάκτυλοι β ιβ, ἐμπτώσεως ἑξηκοστῶν κγ μβ. Πάλιν φησὶν ἐν τῷ αὐτῷ κεφαλαίῳ· «φανερῶν αὐτόθεν γινομένων τῶν «τε κατὰ τὰς ἀρχὰς καὶ τὰ τέλη τῶν ἐμβάσεων ...» καὶ τὰ ἑξῆς. Ἀφελόντες μὲν γὰρ τὰς τῆς ἐμπτώσεως ὥρας καὶ τὰς τῆς μονῆς εἴπερ εἴη ἀπὸ τοῦ μέσου τῆς ἐκλείψεως χρόνου, τουτέστιν ἀπὸ τῆς κατὰ τὴν πρώτην ἀκριβῆ πανσέληνον ἔγγιστα ὥρας, ἐκ τότε ἄρχεσθαι τὴν ἔκλειψιν φήσομεν. μετὰ δὲ τὸν τῆς ἐμπτώσεως χρόνον παύεσθαι ἐκλείπουσαν, μένειν δὲ ἀφανῆ τὸν διπλασίονα τῆς μονῆς χρόνον, μετὰ δὲ τὸ τέλος τῆς μονῆς ἄρχεσθαι ἀνακαθαίρεσθαι μετὰ δὲ τὸν ἴσον τῷ τῆς ἐμπτώσεως χρόνῳ παύεσθαι ἀνακαθαιρομένην. |
| 270 | ἑκάστου δὲ λοιπὸν αὐτῶν τῶν χρόνων τὰς ὥρας μεταληψόμεθα εἰς τὰς φαινομένας τότε ὥρας κατὰ τὸν προϋποδεδειγμένον τρόπον ἐν τῷ βʹ βιβλίῳ. «Ὁ μὲν οὖν λόγος αἱρεῖ μὴ πάντοτε τὸν ἀπὸ τῆς ἀρχῆς τῆς ἐκλείψεως «χρόνον μέχρι τοῦ μέσου ἴσον γίνεσθαι τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου μέχρι τοῦ ...» τῆς ἐσχάτης ἀναπληρώσεως. Ἴσους γίνεσθαι τοὺς χρόνους τούτους τότε μόνον λόγος αἱρεῖ, ὅταν ἐν τῷ μέσῳ χρόνῳ τῆς ἐκλείψεως ἐπὶ μιᾶς εὐθείας γένηται τῆς διὰ τοῦ ἀπογείου καὶ περιγείου τοῦ ἡλιακοῦ ἐκκέντρου αὐτὸς ὁ ἥλιος καὶ ἡ σελήνη τό τε ἀπόγειον καὶ τὸ περίγειον αὐτῆς τοῦ ἐκκέντρου καὶ οἱ σύνδεσμοι τοῦ λοξοῦ κύκλου αὐτῆς πρὸς τὸν ζῳδιακόν. Ἔστω γὰρ ἡ ΒΔΖΝΞ εὐθεῖα διὰ τῶν εἰρημένων σημείων, ἐφ’ ἧς τὸ μὲν Β σημεῖον πιπτέτω κατὰ τὰς τῶν Διδύμων μοίρας ε λ, καὶ τὸ Ξ κατὰ τὰς τοῦ Τοξότου ε 𐅵 ʹ μοίρας· τὸ δὲ Δ κέντρον ἔστω τοῦ τοῦ ἡλίου ἐκκέντρου· τὸ δὲ Ζ κέντρον τοῦ ζῳδιακοῦ· τὸ δὲ Ν τὸ τῆς προσνεύσεως τοῦ ἐπικύκλου τῆς σελήνης ἐν τῷ μέσῳ χρόνῳ. καὶ ἔστωσαν ἴσαι αἱ ὑπὸ ΒΔΓ, ΒΔΑ γωνίαι ἐν τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ ζῳδιακοῦ ὁμαλὰς δηλονότι τοῦ ἡλίου κινήσεις περιέχουσαι, οἷον ἡμέρας α δρόμον 𐆊 νθ, τῶν Α, Γ ση μείων ἐν τῇ περιφερείᾳ τοῦ ἐκκέντρου ὄντων. |
| 271 | ἐπιζευχθεισῶν τοίνυν τῶ [Omitted graphic marker] ΖΓ, ΖΑ, ἑκατέρα τῶν Α, Γ γωνιῶν ἔσται τοῦ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διαφόρου 𐆊 γ, ὡς ἔστιν γʹ σελιδίῳ κανόνος ἀνωμαλίας ἡλίου· λοιπὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΖΔ, ΒΖΑ τῆς φαινομένης καὶ ἀκριβοῦς τοῦ ἡλίου παρόδου 𐆊 νϛ. διήχθωσαν δὲ καὶ ἐπὶ τῆς σελήνης ἐν τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ λοξοῦ κύκλου αὐτῆς αἱ ΖΥ, ΖΦ γωνίαι ποιοῦσαι τὰς ὑπὸ ΥΖΒ Φ ἴσας καὶ ἰσοχρονίους τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐκκέντρου τῆς σελήνης ὁμαλὰς κινήσεις, τουτέστιν ἡμέρας α μετὰ τῆς τοῦ λοξοῦ ἐπιπέδου κινήσεως, ὁμοῦ μοιρῶν ια ιβ, ὡς ἔστιν καὶ προχείροις, ἀπογείου· αἱ δὲ ΖΚΠ, ΖΛΟ εὐθεῖαι γωνίας ποιοῦσαι τὰς ὑπὸ ΦΖΛ, ΥΖΚ ἴσας καὶ ἰσοχρονίους ὁμοίως ὁμαλὰς κινήσεις, τουτέστιν διπλῆς ἀποχῆς, ἡμέρας μιᾶς ἐκ μοιρῶν κδ κγ. |
| 272 | καὶ περὶ τὰ Κ, Λ σημεῖα, ἐν τῇ περιφερείᾳ ὄντα τοῦ ἐκκέντρου ἄλλην καὶ ἄλλην θέσιν ἔχοντος οὗ κέντρα τὰ Ε, Μ κατ’ ἄλλον καὶ ἄλλον χρόνον, καὶ γεγράφθωσαν οἱ ἐπίκυκλοι τῆς σελήνης ἐφ’ ὧν τὰ Ο, Π σημεῖα ἀπόγεια φαινόμενα τοῦ ἐπικύκλου. καὶ ἐπεζεύχθωσαν μὲν αἱ ΕΚ, ΜΛ, ἐκβληθεισῶν δὲ τῶν ΥΖ, ΦΖ ἐπὶ τὰ Ψ, Χ, κείσθω ἑκατέρα τῶν ΖΨ, ΖΧ ἴση τῇ ΖΝ. καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΚΨ, ΧΛ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Η, Θ. τὰ Η, Θ ἄρα σημεῖα ἀπόγειά ἐστιν ὁμαλά, καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΘΚΠ, ΗΛΟ, τουτέστιν ἑκατέρα τῶν ΘΠ, ΟΗ περιφερειῶν τοῦ τρίτου σελιδίου μοιρῶν γ λδ. κείσθωσαν δὴ αἱ ΘΣ, ΗΡ περιφέρειαι ἴσαι ἐκ μοιρῶν ιγ δ τῆς ἡμερησίας ἀνωμαλίας ἐπὶ τοῦ ἐπικύκλου τῆς σελήνης. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΣ, ΖΡ. ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΣΖΠ, ΡΖΟ γωνιῶν, ἐκ τοῦ γʹ καὶ δʹ καὶ εʹ καὶ ἕκτου σελιδίου ἀνωμαλίας σελήνης κανόνος, συνάγεται μοίρας α κ. καὶ λοιπή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΦΖΡ, ΥΖΣ γωνιῶν μοιρῶν κγ γ· ὧν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΖΥ, ΒΖΦ μοιρῶν ια ιβ· λοιπὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΖΡ, ΒΖΣ τῆς ἀκριβοῦς παρόδου τῆς σελήνης ἀπὸ τοῦ Β Διδύμων ε λ συνάγεται μοιρῶν ια να, ἑπομένων οὖν μερῶν νοουμένων ἀπὸ τοῦ Β ὡς ἐπὶ τὸ Α. Ὅταν ἄρα ἡ σελήνη ἀπὸ τοῦ Σ ἐπὶ τὸ Θ παραγένηται ἐν τῇ ἡμερησίᾳ παρόδῳ, φανερὸν ὅτι τότε καὶ ἥ τε ΥΨ εὐθεῖα καὶ ἡ ΖΚΠ φέρουσα τὸν ἐπίκυκλον καὶ ἡ ΨΚΘ καὶ ἡ ΔΓ τοῦ ἡλίου ἐπὶ τῆς ΒΔΖΝΞ εὐθείας πεσοῦνται, καὶ τὸ Ψ ἐπὶ τὸ Ν, καὶ ὁ μέσος καὶ ὁ ἀκριβὴς ἥλιος καὶ ἡ μέση καὶ ἡ ἀκριβὴς σελήνη, τουτέστιν Διδύμων ε λ. καὶ πάλιν ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ, τουτέστιν τῆς μιᾶς ἡμέρας, ἡ διὰ τοῦ ἀπογείου εὐθεῖα λαμβάνει θέσιν τὴν τῆς ΖΦ εὐθείας, καὶ ἡ διὰ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου τὴν τῆς ΖΛΟ, καὶ ἡ διὰ τοῦ Χ τῆς προσνεύσεως καὶ τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου τὴν τῆς ΧΛΗ, καὶ ἡ διὰ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης καὶ τοῦ Ζ τὴν τῆς ΖΡ. |
| 273 | Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἐπὶ τῶν ἐλασσόνων χρόνων τῆς α ἡμέρας, οἷον ὡρῶν δ καὶ τριῶν καὶ τῶν λοιπῶν, ὅσων ἐστὶν ὁ πᾶς τῆς ἐκλείψεως χρόνος, ἴσα ἔχων τὰ κινήματα ἀκριβῆ ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ ἀπογείου Διδύμων ε λ, τοῦ μὲν ἡλίου ἐν τῷ ζῳδιακῷ, τῆς δὲ σελήνης ἐν τῷ λοξῷ· καὶ 〈ἐὰν〉 ἤτοι κατὰ τὸ περίγειον τοῦ ἐκκέντρου, τουτέστιν Τοξότου ε λ, ὁ μέσος χρόνος πίπτῃ καὶ εἷς τῶν συνδέσμων σελήνης, ἢ πάλιν ἡ σελήνη ἴσας ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ περιγείου ἐπικύκλου περιφερείας ἀπέχῃ κατὰ τὴν ἀρχὴν τῆς ἐκλείψεως καὶ τὸ τέλος. Δειχθείη δ’ ἂν ἔτι τὸ προκείμενον ἀπὸ μόνων τῶν γραμμῶν καὶ οὕτως· ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΚ τῇ ΛΜ, ἡ δὲ ΕΖ τῇ ΖΜ, ἔστιν ἄρα ὡς ΚΕ πρὸς ΕΖ οὕτως ἡ ΛΜ πρὸς ΜΖ. |
| 274 | καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΛΖΜ τῇ ὑπὸ ΚΖΕ· ἀποχῆς γάρ ἐστιν ἑκατέρα. ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΕΚΖ τρίγωνον τῷ ΜΖΛ τριγώνῳ. ἴση ἄρα ἡ ΖΚ τῇ ΖΛ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΖΨ τῇ ΖΧ ἴση. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΒΖΚ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΖΛ ἐστὶν ἴση· ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν μήκους ἐστίν· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΖΝ τῇ ὑπὸ ΛΖΝ ἐστὶν ἴση. ὧν ἡ ὑπὸ ΨΖΝ τῇ ὑπὸ ΧΖΗ, διὰ τὰς κατὰ κορυφήν, ἴση ἐστίν· ἀπογείου γάρ εἰσιν αἱ κατὰ κορυφὴν κινήσεις. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΖΨ τῇ ὑπὸ ΛΖΧ ἐστὶν ἴση· ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΚΖΨ τρίγωνον τῷ ΛΖΧ τριγώνῳ. ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΨΚΖ τῇ ὑπὸ ΧΛΖ, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΗΚΘ τῇ ὑπὸ ΟΛΗ, τουτέστιν ἡ ΠΘ περιφέρεια τῇ ΟΗ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΘΣ τῇ ΗΡ. καὶ ὅλη οὖν ἡ ΠΣ τῇ ΟΡ. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΠΚΣ τῇ ὑπὸ ΟΛΡ. καὶ ἡ ἐφεξῆς τῇ ἐφεξῆς, ἡ ὑπὸ ΣΚΖ τῇ ὑπὸ ΡΛΖ. ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΣΚΖ τρίγωνον τῷ ΡΛΖ τριγώνῳ. ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΖΣ τῇ ὑπὸ ΛΖΡ. ἦν δὲ ὅλη ἡ ὑπὸ ΚΖΒ τῇ ὑπὸ ΛΖΒ ἴση. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΣΖΒ τῇ ὑπὸ ΡΖΒ ἐστὶν ἴση. [Omitted graphic marker] Τούτων ὑποκειμένων, ἔστω ἡ μὲν ἀντὶ τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρεια ἡ ΔΒΕ, ἀντὶ δὲ τοῦ λοξοῦ ἡ ΑΒΓ· σύνδεσμος ἄρα ἐστὶν τὸ Β σημεῖον· ὃ ὑποκείσθω καὶ ἀπόγειον τοῦ ἡλίου καὶ τοῦ μέσου χρόνου τῆς ἐκλείψεως. καὶ τὸ μὲν Δ τὸ τοῦ ἡλίου κέντρον θέσιν ἐχέτω ἐν τῷ χρόνῳ τῆς ἀρχῆς τῆς ἐμπτώσεως, τὸ δὲ Ε, ἐν τῷ τέλει, ὥστε τὴν ΔΒ τῇ ΒΕ ἴσην εἶναι ὡς ἐδείχθη· καὶ τὸ τῆς σελήνης ὁμοίως κέντρον ὅτε ἐφάπτεται τοῦ ἡλίου κατά τε τὴν ἀρχὴν τὸ Α καὶ κατὰ τὸ τέλος τὸ Γ, ὥστε τὰς ἐκ τῶν κέντρων ΑΔ, ΓΕ αὐτῶν ἴσας εἶναι. ἴσαι ἄρα καὶ αἱ ΑΒ, ΒΓ εἰσίν. φανερὸν οὖν αὐτόθεν ὅτι ἐν ᾧ χρόνῳ ὁ ἥλιος ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Β παραγίνεται, ἐν τούτῳ καὶ ἡ σελήνη ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β· ἐν ᾧ δὲ ὁ ἥλιος ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Ε, ἐν τούτῳ καὶ ἡ σελήνη ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Γ. κείσθω ἑκατέρᾳ τῶν ΔΒ, ΒΕ ἴση ἑκατέρα τῶν ΗΒ, ΒΖ. ὁ ἄρα τῆς ἐμπτώσεως ἢ τῆς ἀνακαθάρσεως χρόνος περιεχόμενός ἐστιν ὑφ’ ἑκατέρας τῶν ΑΗ, ΓΖ περιφερειῶν. καί εἰσιν ἴσαι. ἴσος ἄρα καὶ τῆς ἐμπτώσεως χρόνος τῷ τῆς ἀνακαθάρσεως. ἴσος ἄρα καὶ ὁ ἀπὸ τῆς ἀρχῆς τῆς ἐμπτώσεως μέχρι τοῦ μέσου χρόνου, τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου μέχρι τοῦ τῆς ἐσχάτης ἀναπληρώσεως· ἐπείπερ καὶ ὅλη ἡ ΑΒ ὅλῃ τῇ ΒΓ ἐστὶν ἴση ἴσων ο σῶν καὶ τῶν ΗΒ, ΒΖ. |
| 275 | [Omitted graphic marker] Πάλιν ἔστω ζῳδιακοῦ περιφέρεια ἡ ΑΒΗ, τοῦ δὲ λοξοῦ τῆς σελήνης ἡ ΗΖΕ, μὴ μείζων ἑκατέρας τῆς μέχρι τῶν ἐκλειπτικῶν ὅρων περιφερείας, ὡς μοιρῶν ιβ. καὶ ἔστω τὸ μὲν Η σημεῖον λόγου χάριν ὁ καταβιβάζων σύνδεσμος, τῆς ΗΕ περιφερείας βορειοτέρας οὔσης τοῦ διὰ μέσων. καὶ ἔστω τὸ Β σημεῖον Διδύμων ε 𐅵 ʹ ἢ Τοξότου ε 𐅵 ʹ. ἀφ’ οὗ ἐπὶ τὴν ΗΕ ὀρθὴ περιφέρεια ἡ ΖΒ. καὶ ὑποκείσθω ὁ ἥλιος ἐπὶ μὲν τοῦ μέσου χρόνου τῆς ἐκλείψεως γινόμενος κατὰ τὸ Β, ἐπὶ δὲ τοῦ τῆς ἀρχῆς τῆς ἐμπτώσεως κατὰ τὸ Α, ἐπὶ δὲ τοῦ τέλους κατὰ τὸ Γ, ἴσων οὐσῶν τῶν ΒΑ, ΒΓ. ἡ δὲ σελήνη ὁμοίως ἔστω ἐπὶ μὲν τοῦ τῆς ἀρχῆς τῆς ἐμπτώσεως χρόνῳ κατὰ τὸ Ε, ἐπὶ δὲ τοῦ μέσου δηλονότι κατὰ τὸ Ζ, ὡς εἶπεν βʹ θεωρήματι. καὶ κείσθω τῇ ΖΕ ἴση ἡ ΖΟ. καὶ γεγράφθωσαν διὰ τῶν Α, Ε σημείων καὶ τῶν Β, Ε καὶ Β, Δ καὶ Γ, Δ μεγίστων κύκλων περιφέρειαι αἱ ΑΕ, ΒΕ, ΒΔ, ΓΔ. ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΔ, ὡς ἔστιν Μενελάου σφαιρικοῖς. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΑΒΖ ἀμβλεῖα μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΓΒΖ ὀξείας, ὡς Μενέλαος σφαιρικοῖς, ἐπεὶ καὶ ἡ ΗΒ πλευρὰ τῆς ΗΖ μείζων· ὀρθὴ γὰρ ἡ Ζ, καὶ ἑκατέρα τῶν ΗΒ, ΗΖ ἐλάσσων τεταρτημορίου. |
| 276 | λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΒΔ ἐλάσσων τῆς ὑπὸ ΑΒΕ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐδεί〈χθη〉 ἡ μὲν ΒΔ τῇ ΒΕ, ἡ δὲ ΒΑ τῇ ΒΓ, ὑπόκειται ἴση δύο δυσὶν καὶ γωνία ἐλάσσων ἡ ὑπὸ τῶν ἴσων πλευρῶν περιεχομένη. βάσις ἄρα ἡ ΓΔ βάσεως τῆς ΑΕ ἐλάσσων ἐστίν. ἡ ἄρα ὑπὸ τὴν ΓΔ περιφέρειαν εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ἐκ τῶν κέντρων ἀμφοτέρων τῶν φώτων. ἡ γὰρ ΑΕ ἴση ἐστὶν αὐταῖς. ὥστε ὁ χρόνος ὁ τοῦ τέλους τῆς ἀνακαθάρσεως οὐκ ἔσται τῆς σελήνης οὔσης κατὰ τὸ Δ καὶ τοῦ ἡλίου κατὰ τὸ Γ, ἀλλ’ ἐπὶ τὰ ἑπόμενα τῶν Δ, Γ σημείων, ἵνα ἡ μὲν δι’ αὐτῶν γραφομένη περιφέρεια ὡς ἡ ΘΚ τὰς ἐκ τῶν κέντρων ἀμφοτέρων τῶν φώτων περιέχῃ, συμβαίνῃ δὲ ἐν τῷ αὐτῷ χρόνῳ τόν τε ἥλιον ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Κ παραγίνεσθαι καὶ τὴν σελήνην ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Θ. ἐπεὶ οὖν ἐν ᾧ χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΚΓ διαπορεύεται, ἐν τούτῳ καὶ ἡ σελήνη τὴν ΔΘ, ἐν ᾧ δὲ ὁ ἥλιος τὴν ΒΓ, ἡ σελήνη τὴν ΔΖ, ἐπεὶ καὶ ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΒΑ διαπορεύεται, ἐν τούτῳ καὶ ἡ σελήνη τὴν ΖΕ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΒΑ τῇ ΒΓ ὑπόκειται, ἡ δὲ ΖΕ τῇ ΖΔ, καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΒΚ τῆς ΒΑ μείζων, ἡ δὲ ΖΘ τῆς ΖΕ, ἐλάσσονι ἄρα χρόνῳ ὁ μὲν ἥλιος ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β παρέσται ἤπερ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Κ. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ σελήνη ἐν ἐλάσσονι χρόνῳ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Ζ ἤπερ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Θ. ὁ ἄρα ἀπὸ τῆς ἀρχῆς τῆς ἐμπτώσεως χρόνος περιεχόμενος ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΖΕ περιφερειῶν μέχρι τοῦ μέσου ἐλάσσων ἐστὶν τοῦ ἀπὸ τοῦ μέσου μέχρι τοῦ τῆς ἐσχάτης ἀναπληρώσεως περιεχομένου ὑπὸ τῶν ΒΚ, ΖΘ περιφερειῶν. μόνως ἄρα τὸ προκείμενον ἐπιτελεῖται, σπανίως μέντοι καθὼς ὑπεδείξαμεν ἐν τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι. «Τῆς δὲ αἰσθήσεως ἔνεκεν, οὐδὲν ἀξιόλογον ἀπεργάσαιτο πρὸς τὰ φαι«νόμενα διαμάρτημα τὸ μὴ ἀνίσους χρόνους τούτους ὑποτίθεσθαι τῷ, «κἂν περὶ τοὺς μέσους δρόμους ὦσιν, ὅπου μείζονές εἰσιν αἱ τῶν παραυ«ξήσεων ὑπεροχαί, τήν γε μέχρι τῶν τοσούτων ὡρῶν πάροδον, ὅσων ἐστὶν «ὁ πᾶς τῆς ἐκλείψεως χρόνος, μηδεμίαν παντάπασιν αἰσθητὴν ποιεῖν «τὴν τῆς ὑπεροχῆς διαφοράν.» Οὐ τὰς τῶν παραυξήσεων ὑπεροχὰς λέγει τὰς ἐν τοῖς κανονίοις τοῦ μὲν ἡλίου κατὰ τὸ τρίτον σελίδιον τῆς ἀνωμαλίας, τῆς δὲ σελήνης κατὰ τὸ τέταρτον· ἐκεῖ γὰρ αἱ πρὸς τῷ ἀπογείῳ παραυξήσεις κατὰ στίχον μιᾶς μοίρας μείζονές εἰσιν τῶν περὶ τοὺς μέσους δρόμους παραυξήσεων. οἷον ἐπὶ σελήνης ταῖς ϛ μοίραις ἐστὶν 𐆊 κθ ἀπὸ 𐆊 𐆊 , καὶ ταῖς ἀπὸ ϙ, δ νθ μοιρῶν ἕως ϙϛ μοιρῶν ε α ὑπεροχή, δύο ἑξηκοστῶν· ὥστε οἱ πρὸς τῷ ἀπογείῳ στίχοι μείζονας ἔχουσιν τὰς ὑπεροχὰς τῶν στίχων τῶν περὶ τοὺς μέσους δρόμους καὶ κατὰ μοίρας ϛ καὶ κατὰ μοῖραν α. λέγει τοίνυν τὰς ὑπεροχὰς τῶν ὡριαίων αὐτῶν δρομημάτων· πρὸς ἑαυτὰ γὰρ συγκρινόμενα τὰ ὡριαῖα δρομήματα περὶ τοὺς μέσους δρόμους ὄντα, χωρὶς τὰ τοῦ ἡλίου καὶ τὰ τῆς σελήνης, μείζονας ἕξει τὰς ὑπεροχὰς τῶν μὴ περὶ τοὺς μέσους δρόμους λαμβανομένων ὡριαίων δρομημάτων, ὡς δῆλον ποιήσομεν ἐπὶ σελήνης διὰ τῶν ἀριθμῶν ὑποδείγματος ἕνεκεν. Ὅταν οὖν ϙε μοίρας ἢ σξε ἀνωμαλίας ἀπέχει τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου περὶ τὸν μέσον δρόμον οὖσα, κινηθήσεται 𐆊 λβ με· ἡ γὰρ ἐπιβάλλουσα τῇ α μοίρᾳ προσθαφαίρεσις ἑξηκοστῶν ἐστιν 𐆊 κ· ταῦτα δὲ πολλαπλασιάσαντες ἐπὶ τὸ ὡριαῖον τῆς ἀνωμαλίας μέσον κίνημα τὰ 𐆊 λβ μ, καὶ τὰ γενόμενα 𐆊 𐆊 ια ἀφελόντες ἀπὸ τῶν τοῦ κατὰ μήκους ὡριαίου μέσου κινήματος 𐆊 λβ νϛ, ἐπειδὴ ὁ τῆς ἀνωμαλίας ἀριθμὸς ἐν τοῖς ἐπάνω τῆς μεγίστης προσθαφαιρέσεως στίχοις ἐστίν, ἕξομεν τὰ προκείμενα 𐆊 λβ με. ὅταν δὲ ϙϛ μοίρας ἢ σξδ ἀπέχῃ τοῦ ἀπογείου, περὶ τὸν μέσον μὲν δρόμον ἐστὶν ὁμοίως, κινηθήσεται δὲ ἑξηκοστῶν λγ ζ· ἡ γὰρ ἐπιβάλλουσα προσθαφαίρεσις κἀνταῦθά ἐστιν 𐆊 𐆊 κ· ταῦτα δὲ πολυπλασιασθέντα ἐπὶ τὰ 𐆊 λβ με, καὶ τὰ γενόμενα 𐆊 𐆊 ια προστεθέντα τοῖς 𐆊 νβ νϛ, ἐπειδὴ ὁ τῆς ἀνωμαλίας ἀριθμὸς ἐν τοῖς ὑποκάτω τῆς μεγίστης προσθαφαιρέσεως στίχοις, ποιήσει τὰ προκείμενα ἑξηκοστὰ λγ ζ, ὧν ὑπεροχὴ γίνεται πρὸς τὰ λβ με, 𐆊 𐆊 κβ, ἅπερ ποιήσει διενεγκεῖν τὸν ἀπὸ τῆς ἀρχῆς τῆς ἐκλείψεως χρόνον μέχρι τοῦ μέσου, τοῦ ἀπὸ τοῦ μέσου μέχρι τοῦ τῆς ἐσχάτης ἀναπληρώσεως, ἀνεπαισθήτῳ τινὶ μέρει μιᾶς ὥρας ἰσημερινῆς. |
| 278 | περὶ δὲ ἄλλους δρόμους οὔσης τῆς σελήνης καὶ μὴ περὶ τοὺς μέσους, αἱ ὑπεροχαὶ τῶν ὡριαίων δρομημάτων ἥττους ἔσονται τῶν 𐆊 𐆊 κβ. ἀπὸ γὰρ τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου ἡ σελήνη ἐπὶ πολλὰς ὥρας καὶ σχεδὸν ἕως μοιρῶν ιβ τὸ αὐτὸ ἐλάχιστον δρόμημα 𐆊 λ ἔχει. τοῦ τῆς διορθώσεως ἐνταῦθα κανονίου ἐστὶν ἐπιλογίσασθαι, τῶν παραυξήσεων κατὰ στίχον ἐν τούτοις περὶ τοὺς μέσους δρόμους τὸ ἐναντίον μειζόνων γινομένων· παράκειται γὰρ ταῖς ϙϛ καὶ σξδ, 𐆊 λα μη· καὶ ταῖς ρβ καὶ σνη, 𐆊 λδ νδ· ὧν ὑπεροχὴ 𐆊 γ ϛ· ὡς εἶναι τῇ α μοίρᾳ 𐆊 𐆊 λα βʹ ἑξηκοστῶν. ἡ δὲ περὶ τὸ ἀπόγειόν ἐστιν ταῖς ϛ, 𐆊 𐆊 κα· ταῖς ιβ, 𐆊 𐆊 μβ· ὡς εἶναι τῇ α, 𐆊 𐆊 γ 𐅵 . Τὰς οὖν παρόδους τῆς τε ἐμπτώσεως καὶ ἀνακαθάρσεως καὶ μονῆς ὡς ἐν εὐθυγράμμοις ὀρθογωνίοις τριγώνοις λαμβάνει, κατὰ τὸ μέγιστον καὶ ἐλάχιστον ἀπόστημα σελήνης οὔσης, καὶ διορθοῦται τὴν παρὰ τὰ ἄλλα γινομένην ἀποστήματα διαφορὰν ἐκ τοῦ τῆς διορθώσεως κανονίου, ὡς ἐν τῷ εʹ βιβλίῳ τὰς ἐν ταῖς ἐκλείψεσιν ἡλίου παραλλάξεις ἐκ τοῦ ζʹ σελιδίου τοῦ παραλλακτικοῦ κανόνος διαφόρους γινομένας παρὰ τὴν τῶν ἀποστημάτων διαφορὰν διορθοῦται. διάφοροι γάρ εἰσιν κατὰ τὰ διάφορα τῆς ὄψεως ἀποστήματα αἱ πάροδοι τῆς σελήνης καὶ τῶν ἐμπτώσεων καὶ ἀνακαθάρσεων καὶ μονῶν· μάλιστα δὲ ὅταν περὶ τὸ μέσον ἀπόστημα ἡ σελήνη τυγχάνῃ ἐν ταῖς ἐκλείψεσιν, ἀπέχουσα τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου περὶ τὰς ϙε μοίρας ἢ σξε· ὅτε καὶ τὰ μέσα κινεῖται καὶ κατὰ τὰς ἐφαπτομένας εὐθείας ἐστὶν τοῦ ἐπικύκλου ἀπὸ τῆς ὄψεως ἡμῶν· αἱ ὑπεροχαὶ μέγισταί εἰσιν, καὶ τῶν κινήσεων σελήνης, καὶ τῶν ἀποστημάτων, καὶ τῶν δακτύλων τῆς ἐκλείψεως, καὶ τῆς ἐμπτώσεως, καὶ ἀναπληρώσεων καὶ μονῶν, καὶ παραλλάξεων, ἀκολουθούντων πάντων ἀλλήλοις, τῷ γὰρ μεγίστῳ διαφόρῳ τῶν ἀποστημάτων τὸ μέγιστον διάφορον ἕπεται καὶ τῶν παραλλάξεων καὶ τῶν φαινομένων διαμέτρων σελήνης καὶ τῆς ἐπισκοτήσεως τῶν δακτύλων, καὶ δηλονότι τῶν μορίων τῆς ἐπισκοτήσεως τῶν δακτύλων, καὶ δηλονότι τῶν μορίων τῆς τε ἐμπτώσεως καὶ ἀνακαθάρσεως καὶ μονῆς. |
| 279 | καὶ γὰρ τὰ τῆς διορθώσεως ἑξηκοστῶν τῶν ἐκλείψεων, καὶ τὰ τοῦ ζʹ σελιδίου τῶν παραλλάξεων, καὶ τὰ τοῦ προκανονίου τῶν προχείρων, τὰ αὐτά ἐστιν· καὶ περὶ τὰς ϙε καὶ σξε τῆς ἀνωμαλίας μοίρας, μεγίστην ἔχει τὴν ὑπεροχὴν τῶν ἑξαμοίρων καὶ τῶν μοιριαίων παραυξήσεων ἀναλόγως τοῖς ἀποστήμασιν· ταῖς γὰρ ϛ μοίραις καὶ τνδ παράκειται κανόνος διορθώσεως 𐆊 𐆊 κα· καὶ ταῖς ιβ καὶ ταῖς τμη, 𐆊 𐆊 μβ· ὧν ὑπεροχὴ 𐆊 𐆊 κα. καὶ πάλιν ταῖς μὲν ροδ καὶ ρπϛ, 𐆊 νθ μα· ταῖς δὲ ρπ, ξ· ὧν ὑπεροχὴ 𐆊 𐆊 ιθ. καὶ ὁμοίως ταῖς ϙϛ καὶ σξδ, παράκειται 𐆊 λα μη· καὶ ταῖς ρβ καὶ σνη 𐆊 λδ νδ· ὧν ὑπεροχὴ πρὸς τὰ 𐆊 λα μη γίνεται 𐆊 γ ϛ. ἀλλὰ περὶ μὲν τὸ ἀπόγειον ἦν 𐆊 𐆊 κα, περὶ δὲ τὸ περίγειον 𐆊 𐆊 ιθ· ἐλαχίστη μὲν ἄρα τῶν παραυξήσεων ὑπεροχὴ γέγονεν περὶ τὸ περίγειον, μεγίστη δὲ περὶ τὸ μέσον ἀπόστημα. καὶ ἀεὶ ἀπὸ μὲν τοῦ μεγίστου ἀποστήματος, ὅ ἐστιν κατὰ τὸ ἀπόγειον τοῦ ἐπικύκλου ἐν ταῖς συζυγίαις, ἄχρι τοῦ μέσου, αἱ ὑπεροχαὶ τῶν ἑξηκοστῶν ἐκ προσαγωγῆς αὔξονται· καὶ μειοῦνται ἀπὸ τοῦ μέσου ὁμοίως ἄχρι τοῦ ἐλαχίστου ἀποστήματος, ὅπερ ἐστὶν κατὰ τὸ περίγειον τοῦ ἐπικύκλου ἐν ταῖς συζυγίαις, τοῦ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου κατὰ τὸ ἀπόγειον τοῦ ἐκκέντρου ὄντος· ὡς ἔστιν τὰ ἑξηκοστὰ τοῦ τῆς διορθώσεως κανονίου κατὰ στίχον τῆς τῶν ϛ μοιρῶν ὑπεροχῆς ἀπὸ 𐆊 𐆊 ἄχρι τῶν ρπ μοιρῶν τῆς ἀνωμαλίας ἀνάλογον, ληφθέντα ταῖς τῶν ἀποστημάτων ὑπεροχαῖς διὰ τοῦ ιδʹ θεωρήματος τοῦ εʹ βιβλίου. |
| 280 | [Omitted graphic marker] Ἔστω γὰρ ἐπίκυκλος μὲν ὁ ΑΒΓ, ἡ δὲ διὰ τοῦ Θ κέντρου τοῦ ἐπικύκλου καὶ τῆς Δ ὄψεως ἡ ΔΒΘ, ὥστε τὴν ΔΑ τοῦ ἀποστήματος τοῦ πρώτου ὅρου πρὸς τὴν ΒΔ τοῦ ἀποστήματος τοῦ δευτέρου ὅρου λόγον ἔχειν ὃν τὰ ξε ιε πρὸς τὰ νδ με. ἀποληφθεισῶν τε ἴσων περιφερειῶν τῶν ΑΓ, ΓΕ, ΕΖ, λόγου χάριν ἐκ μοιρῶν λ, ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΓ, ΔΕ, ΔΖ. Ἐπεὶ οὖν διὰ τὸ ιδʹ τοῦ εʹ βιβλίου, οἵων ἐστὶν τὸ ΑΔ μέγιστον ἀπόστημα ξε ιε, καὶ τὸ ΔΒ ἐλάχιστον νδ με, τοιούτων ἐστὶν τὸ ΔΓ ἀπόστημα ξδ λγ, τὸ δὲ ΔΕ ξβ μη, τὸ δὲ ΔΖ ξ ιε· καὶ οἵων ἄρα ἡ τῶν ΑΔ, ΔΒ ὑπεροχὴ ι λ, τοιούτων ἡ μὲν τῶν ΔΓ, ΔΑ ὑπεροχὴ 𐆊 μβ, ἡ δὲ τῶν ΔΕ, ΔΑ ὑπεροχὴ β κζ, ἡ δὲ τῶν ΔΖ, ΔΑ, ε· ὥστε καὶ οἵων ἐστὶν ἡ τῶν ΔΑ, ΔΒ ὑπεροχὴ ξ, τοιούτων ἡ μὲν τῶν ΔΑ, ΔΓ ὑπεροχὴ 𐆊 δ α, ἡ δὲ τῶν ΔΑ, ΔΕ 𐆊 ιδ, ἡ δὲ τῶν ΔΑ, ΔΖ 𐆊 κη μβ. |
| 281 | τοσαῦτα ἄρα παράκειται ἑξηκοστὰ τοῖς τρισὶ στίχοις ἐπὶ τῶν τριῶν ἀποστημάτων, τουτέστιν τῷ μὲν κατὰ τὸ Γ καὶ τὰς λ, μοίρας 𐆊 δ α· τῷ δὲ κατὰ τὸ Ε καὶ τὰς ξ, μοίρας 𐆊 ιδ· τῷ δὲ κατὰ τὸ Ζ καὶ τὰς ϙ, μοίρας 𐆊 κη μβ. καὶ ἔστιν τῶν μὲν κατὰ τὰ Α, Γ ἀποστήματα ἑξηκοστῶν ὑπεροχὴ αὐτὰ τὰ 𐆊 δ α, τῶν δὲ κατὰ τὰ Ε, Ζ ἑξηκοστῶν ὑπεροχὴ 𐆊 γ, τῶν δὲ κατὰ τὰ Ε, Ζ ἑξηκοστῶν ὑπεροχὴ 𐆊 ιδ μβ. καὶ πάλιν τῶν ΑΔ, ΔΓ ἀποστημάτων ὑπεροχὴ 𐆊 μβ, τῶν δὲ ΓΔ, ΔΕ ὑπεροχὴ α με, καὶ ἔτι ΕΔ, ΔΖ ἀποστημάτων ὑπεροχὴ β λγ. ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ἡ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἀποστημάτων ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν κατὰ τὰ Α, Γ ἀποστήματα ἑξηκοστῶν ὑπεροχήν, τουτέστιν τὰ 𐆊 μβ πρὸς τὰ 𐆊 δ α, οὕτως ἡ τῶν ΓΔ, ΔΕ ἀποστημάτων ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν κατὰ τὰ Γ, Ε ἀποστήματα ἑξηκοστῶν ὑπεροχήν, τουτέστιν τὸ α με πρὸς τὰ 𐆊 ι. ὁ γὰρ ὑπὸ πρώτου τούτων 𐆊 μβ καὶ δʹ, 𐆊 ι, γινόμενος 𐆊 ζ, ἴσος ἐστὶν τῷ ὑπὸ δευτέρου τοῦ 𐆊 δ, καὶ τρίτου τοῦ α με, γινομένῳ καὶ αὐτῷ 𐆊 ζ. ὡς δὲ ἡ τῶν ΓΔ, ΔΕ ἀποστημάτων ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν κατὰ τὰ Γ, Ε ἀποστήματα ἑξηκοστῶν ὑπεροχή, τουτέστιν τὸ α μθ πρὸς τὰ 𐆊 ι, οὕτως ἡ τῶν ΕΔ, ΔΖ ἀποστημάτων ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν κατὰ τὰ Ε, Ζ ἀποστήματα ἑξηκοστῶν ὑπεροχήν, τουτέστιν β λγ πρὸς τὰ 𐆊 ιδ μβ. ὁ γὰρ ὑπὸ πρώτου τοῦ α με καὶ δʹ τοῦ 𐆊 ιδ μβ, γινόμενος 𐆊 κε μγ, ἴσος ἔγγιστα τῷ ἐκ βʹ τοῦ 𐆊 ι καὶ γʹ τοῦ β λγ γινομένῳ· ἔστιν γὰρ 𐆊 κε λ. Δῆλον οὖν ὅτι καὶ διὰ ϛ μοιρῶν κατὰ στίχον τοῦ κανονίου τῆς διορθώσεως 〈ὡσ〉 ἔστιν ἡ τῶν ἑξηκοστῶν ὑπεροχὴ τῶν τοῦ πρώτου στίχου καὶ βʹ, ἥτις ἐστὶν 𐆊 𐆊 κα, πρὸς τὴν τῶν ἑξηκοστῶν ὑπεροχὴν τῶν τοῦ βʹ στίχου καὶ γʹ, τουτέστιν 𐆊 α, οὕτως ἡ τῶν κατὰ τὸν πρῶτον καὶ δεύτερον στίχον ἀποστημάτων ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν κατὰ τὸν βʹ καὶ γʹ στίχον τῶν ἀποστημάτων ὑπεροχὴν καὶ τοῦτο ἄχρι τοῦ περιγείου τῶν ρπ μοιρῶν τῆς ἀνωμαλίας σελήνης. |
| 282 | καὶ ἡ πρὸς τῷ περιγείῳ τῶν ἀποστημάτων τῆς ἑξαμοίρου ὑπεροχὴ ἐλαχίστη ἐστὶν πασῶν, μεγίστη δὲ ἡ πρὸς τῷ μέσῳ ἀποστήματι ἀεὶ δὲ μείζων ἀπὸ τοῦ ἀπογείου κατὰ στίχον ἡ τῶν ἀποστημάτων ὑπεροχή, ἄχρι τοῦ μέσου ἀποστήματος καὶ τῆς ἐφαπτομένης τοῦ ἐπικύκλου εὐθείας, καθ’ ἣν τὰ μέσα ἡ σελήνη κινεῖται· ἀπὸ δὲ τῆς ἐφαπτομένης μέχρι τοῦ περιγείου αἱ ὑπεροχαὶ ὁμοίως τῶν ἀποστημάτων ἐκ προσαγωγῆς ἐλάττους γίνονται τῶν πρότερον, ἄχρι τῆς συστάσεως 〈τῆς δι’ ἑξα〉μοίρου περιφερείας, ποιούσης τὴν ἐλαχίστην τῶν ἀποστημάτων ὑπεροχήν. Καὶ ταῦτα μὲν διὰ τῶν ἀριθμῶν. ἔστιν δὲ καὶ γραμμικῶς δεικνύμενον ὅτι τὰ ἴσα τμήματα τοῦ ἐπικύκλου τὰ ἔγγιον ἀλλήλων ὄντα καὶ πλησίον τοῦ ἀπογείου ἢ τοῦ περιγείου, τὴν διαφορὰν τῶν ἀποστημάτων ἢ τῶν ἑξηκοστῶν ἢ τῶν προσθέσεων καὶ ἀφαιρέσεων τῆς μέσης κινήσεως σελήνης, ἐλάσσονα ποιεῖ ἢ τὰ πόρρω. Ἔστω γὰρ ἐπίκυκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Ε· ἡ δὲ δι’ αὐτοῦ καὶ τοῦ Ζ τῆς ὄψεως σημείου διήχθω ἡ ΑΕΖ, καὶ ἀπειλήφθωσαν ἴσαι περιφέρειαι κατὰ τὸ ἑξῆς ἀπὸ τοῦ Α ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου αἱ ΑΒ, ΒΓ, ἐπὶ τὰ ἑπόμενα πρότερον. |
| 283 | καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΓ. λέγω ὅτι ἡ τῶν ΒΖ, ΖΓ ὑπεροχὴ μείζων ἐστὶν τῆς τῶν ΒΖ, ΖΑ ὑπεροχῆς. [Omitted graphic marker] Κέντρῳ γὰρ τῷ Ζ καὶ διαστήματι ἑκάστῳ τῶν ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ κύκλοι γεγράφθωσαν ὅ τε ΑΔΚ καὶ ὁ ΒΗ καὶ ὁ ΓΘ· καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΖΒΔ, ΖΓΗΚ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΒΗ, ΒΚ. ἐπεὶ τοίνυν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΚ, κοινὴ δὲ ἡ ΖΒ, δύο δὴ αἱ ΑΖ, ΖΒ δυσὶν ταῖς ΒΖ, ΖΚ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΖΒ γωνίας τῆς ὑπὸ ΒΖΚ μείζων, ὡς δειχθήσεται. βάσις ἄρα ἡ ΑΒ βάσεως τῆς ΒΚ μείζων. ἴση δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ, ἐπεὶ καὶ περιφέρεια ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ. μείζων ἄρα καὶ ἡ ΒΓ τῆς ΒΚ. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΒΚΗ γωνία μείζων ἐστὶν τῆς ΒΓΚ. ὀξεῖα δὲ ἡ ὑπὸ ΓΗΒ· ἡ γὰρ ἀπὸ τοῦ Η πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη τῇ ΖΗ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΒΗ κύκλου ἐκτὸς τῆς ΒΗ [καὶ τοῦ ἐπικύκλου] πίπτει. ὀξεῖα δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΗ· ἀμβλεῖα γὰρ ἡ ὑπὸ ΒΓΖ ἐν ἐλάσσονι ἡμικυκλίου οὖσα. ἤχθω δὴ κάθετος ἐπὶ τὴν ΓΗ ἡ ΒΛ· μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΓ τοῦ ἀπὸ ΚΒ, τουτέστιν τὰ 〈ἀπὸ〉 ΓΛ, ΛΒ τῶν ἀπὸ ΒΛ, ΛΚ. |
| 284 | κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΒΛ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΛ τοῦ ἀπὸ ΛΚ μεῖζόν ἐστιν. μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΛ τῆς ΛΓ. καὶ πολλῷ ἡ ΓΗ τῆς ΗΚ μείζων ἐστίν. καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΓΗ ὑπεροχὴ τῶν ΒΖ, ΖΓ, ἡ δὲ ΗΚ ὑπεροχὴ τῶν ΑΖ, ΖΒ· ἴση γὰρ καὶ ἡ μὲν ΑΖ τῇ ΖΔ, ἡ δὲ ΒΔ τῇ ΚΗ. ἡ τῶν ΒΖ, ΖΓ ἄρα ἀποστημάτων ὑπεροχὴ μείζων ἐστὶν τῆς τῶν ΑΖ, ΖΒ ἀποστημάτων ὑπεροχῆς. Ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ δὲ θεωρήματος καὶ ἐπὶ τὰ προηγούμενα τοῦ ἀπογείου ἡ δεῖξις 〈ἔσται〉 ἐὰν τὰς ΑΒ, ΒΓ ἑτέρας ἴσας κατὰ τὸ ἑξῆς περιφερείας ἀπολαμβάνοντες ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπιζεύξωμεν. ὁμοίως δείξομεν μείζονα τὴν διαφορὰν τῶν ἔγγιον τοῦ μέσου ἀποστήματος ἢ τῶν ἀπώτερον, ἐλάσσονα δὲ τὴν ἔγγιον τοῦ ἀπογείου, καὶ τοῦτο μέχρι τῆς ἐφαπτομένης τοῦ ἐπικύκλου. μετὰ γὰρ τὴν ἐφαπτομένην ἡ διαφορὰ ἡ ἔγγιον τοῦ περιγείου τοῦ ἐπικύκλου τῶν ἴσων περιφερειῶν ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ἀπώτερον, καὶ μείζων ἡ ἔγγιον τοῦ μέσου ἀποστήματος τῆς ἀπώτερον. Ἔστω γὰρ ἐπίκυκλος ὁ ΑΒΓ οὗ κέντρον τὸ Ε, ὄψις δὲ τὸ Ζ. καὶ ἀπειλήφθωσαν ἴσαι περιφέρειαι ἀπὸ τοῦ Α περιγείου ἐπὶ τὰ ἡγούμενα τοῦ ἐπικύκλου αἱ ΑΒ, ΒΓ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΗ, ΘΓ. δεικτέον ὅτι ἡ τῶν ΓΖ, ΖΒ ὑπεροχὴ μείζων ἐστὶν τῆς τῶν ΒΖ, ΖΑ ὑπεροχῆς. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ πάλιν αἱ ΑΒ, ΒΓ. καὶ γεγράφθωσαν διὰ τῶν Α, Β, Γ περὶ κέντρον τὸ Ζ κύκλοι οἱ ΓΝ, ΘΒ, ΑΛΗ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΒ, ΗΒ, ΗΛ, ΗΑ· καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἡ μὲν ΓΒ συμπίπτουσα τῇ ΗΑ κατὰ τὸ Κ, ἡ δὲ ΗΛ συμπίπτουσα τῇ ΒΚ κατὰ τὸ Μ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ, κοινὴ δὲ ἡ ΖΒ, δύο δὴ αἱ 〈ΑΖ, ΖΒ〉 δυσὶν ταῖς 〈ΒΖ, ΖΗ〉 εἰσὶν ἴσαι. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΖΒ γωνίας τῆς ὑπὸ ΒΖΗ μείζων, ὡς δειχθήσεται. βάσις ἄρα ἡ ΑΒ βάσεως τῆς ΒΗ ἐστὶν μείζων. ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΗΑ γωνίας τῆς ὑπὸ ΒΑΗ μείζων ἐστίν. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΒΚΑ τῆς ὑπὸ ΒΗΑ μείζων ἐστὶν ἐκτὸς οὖσα τοῦ ΒΗΚ τριγώνου. |
| 285 | πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΚΑ μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΒΑΚ. μείζων ἄρα καὶ ἡ πλευρὰ ἡ ΑΒ τῆς ΚΒ. ἴση δὲ ἡ ΑΒ τῇ [Omitted graphic marker] ΒΓ. ἡ ΒΓ ἄρα μείζων ἐστὶν τῆς ΒΚ καὶ πολλῷ τῆς ΒΜ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΘΒ τῇ ΗΛΜ, ἰσοσκελῆ γάρ εἰσιν τὰ ΖΗΛ, ΖΒΘ τρίγωνα, κοινὴν ἔχοντα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΗΖΛ, ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΓΗΜ τρίγωνον τῷ ΓΘΒ τριγώνῳ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΜ, ἡ ΓΘ πρὸς ΘΗ. μείζων δὲ ἡ ΓΒ τῆς ΒΜ. μείζων ἄρα καὶ ἡ ΓΘ τῆς ΘΗ. καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΓΘ ὑπεροχὴ τῶν ΓΖ, ΖΘ, τουτέστιν τῶν ΓΖ, ΖΒ, ἡ δὲ ΗΘ, τουτέστιν ἡ ΒΛ, ὑπεροχὴ τῶν ΘΖ, ΖΗ, τουτέστιν τῶν ΘΖ ΖΑ. ἡ ἄρα τῶν ΓΖ, ΖΒ ὑπεροχὴ μείζων ἐστὶν τῆς τῶν ΒΖ, ΖΑ ὑπεροχῆς. κἂν ἐπὶ τὰ ἕτερα δὲ τοῦ περιγείου ἀποληφθῶσιν αἱ ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ὁμοίως δείξομεν, καὶ ὅταν μὴ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης ὦσιν, ἢ ὅταν μὴ ὦσιν ἀπὸ τοῦ περιγείου ἢ τοῦ ἀπογείου, ἀλλὰ ἀπὸ τυχόντος σημείου. |
| 286 | [Omitted graphic marker] Τὰ δὲ ὑπερτεθέντα νῦν δειχθήσεται. ἔστω ἐπίκυκλος ὁ ΑΒ περὶ κέντρον τὸ Δ, καὶ ὄψις τὸ Γ· καὶ διάμετρος διὰ τοῦ Γ, ἡ ΓΒΔΑ· καὶ ἴσαι περιφέρειαι ἀπὸ τοῦ ἀπογείου αἱ ΑΕ, ΕΖ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΕ, ΓΖ, ΕΒ, ΖΗ. ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΕ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΓΖ. Ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ ΕΒ τῆς ΖΗ [ιδʹ τοῦ τρίτου], ἐλάσσων δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΓΗ [ηʹ τοῦ τρίτου], ἡ ΕΒ πρὸς ΒΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΗ πρὸς ΓΗ. γεγονέτω οὖν ὡς ἡ ΕΒ πρὸς ΒΓ ἡ ΗΘ πρὸς ΗΓ [ιηʹ τοῦ εʹ]. |
| 287 | ἐπεὶ οὖν ἡ ΗΘ πρὸς ΗΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΗ πρὸς ΗΓ, μείζων ἐστὶν ἡ ΗΘ τῆς ΖΗ [θʹ καὶ ιαʹ τοῦ εʹ]. ἐπεζεύχθω ἡ ΘΓ. ἐπεὶ οὖν αἱ ὑπὸ ΑΒΕ, ΕΗΖ γωνίαι ἴσαι εἰσίν [κϛʹ τοῦ γʹ], καὶ λοιπαὶ ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις αἱ ὑπὸ ΕΒΖ, ΖΗΓ. καὶ περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογον. ἰσογώνια ἄρα ἐστὶν τὰ τρίγωνα [ἕκτου τοῦ ϛʹ] τὰ ΕΒΓ, ΘΗΓ. ἴσαι ἄρα εἰσὶν αἱ ὑπὸ ΒΓΕ, ΗΓΘ. μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓΕ τῆς ὑπὸ ΗΓΖ. ὥστε καὶ ἡ γινομένη ἀνωμαλία μείζων ἐστὶν ἐπὶ τῶν ἴσων περιφερειῶν. Ὁμοίως δὲ ἐπὶ τοῦ ἄλλου ἡμικυκλίου τοῦ ΑΚΒ δειχθήσεται, τῶν περιφερειῶν ΑΕ, ΕΖ ἴσων ἐπὶ τὰ προηγούμενα τοῦ Α ἀπογείου οὐσῶν, ὥστε μεγίστην μὲν εἶναι τὴν ἔγγιον τοῦ Α καὶ ἀεὶ μείζονα τὴν ἔγγιον τῆς ἀπωτέρω, ἐλαχίστην δὲ τὴν πρὸς τῇ ἐφαπτομένῃ, καθ’ ἣν ἡ μέση κίνησίς ἐστιν, καὶ τεταρτημόριον ἀπὸ τοῦ ἀπογείου τοῦ φαινομένου. Καὶ πάλιν αἱ πρὸς τῷ Β περιγείῳ μείζονες τῶν ἀπωτέρω, καὶ αἱ ἔγγιον μείζονες τῶν ἀπωτέρω ἀεί. ἔστω γὰρ ἐπίκυκλος ὁ ΑΒ, περὶ κέντρον τὸ Δ, καὶ ὄψις τὸ Γ, καὶ διάμετρος ἡ ΓΒΔΑ, καὶ ἴσαι περιφέρειαι ἀπὸ τοῦ Β περιγείου αἱ ΒΕ, ΕΖ, καὶ ἑπόμεναι καὶ προηγούμεναι τοῦ Β. καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΓΕ, ΓΖ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Η, Θ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΗΖ. Ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ μείζων ἐστὶν τῆς ΗΓ [ηʹ τοῦ τρίτου], ἡ δὲ ΓΕ ἐλάσσων τῆς ΓΖ, ἡ ΑΓ μείζονα λόγον ἔχει πρὸς τὴν ΓΕ ἤπερ ἡ ΗΓ πρὸς τὴν ΓΖ [ιβʹ τοῦ εʹ]. γεγονέτω οὖν ὡς ἡ ΗΓ πρὸς τὴν ΓΖ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΚ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΓ πρὸς ΓΚ [ιβʹ τοῦ εʹ], ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΓΕ τῆς ΓΚ [θʹ τοῦ εʹ]. κέντρῳ δὴ τῷ Γ, διαστήματι τῷ ΓΚ, κύκλου περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΚΛ. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΓ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΓ τῇ ΓΚ, ἔστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΛ ἡ ΓΗ πρὸς ΓΖ. εἰσὶν δὲ καὶ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΑΛ, ΓΗΖ ἴσαι [κϛʹ τοῦ τρίτου] καὶ αἱ λοιπαὶ αἱ ὑπὸ ΑΛΓ, ΗΖΓ ἀμβλεῖαι, ὅτι ἡ ὑπὸ ΗΖΘ ἐστὶν ὀξεῖα βεβηκυῖα ἐπὶ περιφερείας τῆς ΗΘ ἐλάσσονος ἡμικυκλίου [λʹ τοῦ τρίτου] καὶ οὖσα ἐν μεί[Omitted graphic marker] ζονι ἡμικυκλίου. |
| 288 | ὥστε καὶ λοιπὴ ἡ ὑπὸ ΗΖΓ ἀμβλεῖά ἐστιν. πάλιν ἐπεὶ τοῦ ΚΛ κύκλου κέντρον ἐστὶν τὸ Γ καὶ σημεῖον ἐκτὸς τὸ Α καὶ διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΑΓ καὶ ἡ ΛΓ, καὶ ἐπέζευκται ἡ ΑΛΕ, ἐὰν γραφῇ ὁ κύκλος καὶ ἐκβληθῆ ἡ ΑΛΕ, τεμεῖ τὴν περιφέρειαν τοῦ κύκλου, καὶ ἔσται ἡ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΛΕ ἐπὶ τῆς 〈ΝΜ〉 περιφερείας βεβηκυῖα [ἐπὶ] ἐλάσσονος ἡμικυκλίου 〈καὶ〉 οὖσα ἐν μείζονι ἡμικυκλίου. ὥστε ὀξεῖά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΓΛΕ· καὶ λοιπὴ ἀμβλεῖα ἡ ὑπὸ ΑΛΓ. γεγράφθω οὖν ὁ κύκλος καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΛΓ καὶ ΛΕ ἐπὶ τὰ Μ, Ν. ἔστιν ἄρα ἡ περιφέρεια ἡ ΜΝ ἐλάσσων ἡμικυκλίου τοῦ ΜΝΛ· ἰσογώνια ἄρα ἐστὶν τὰ ΑΛΓ, ΗΓΖ τρίγωνα [ζʹ τοῦ ϛʹ]. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΛΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΓΖ. μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τῆς ὑπὸ ΗΓΖ. ». |
| 289 | .. Ἀλλ’ ἐπὶ μὲν τῆς προτέρας α μοίρᾳ ἔγγιστα, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέ«ρας ὀγδόῳ μιᾶς μοίρας ...» Ἐπὶ μὲν γὰρ τῆς πρώτης ἐκλείψεως κατὰ τὸν μέσον χρόνον εἰς ὃν συνάγεται ὁ ἀπὸ τῆς ἐποχῆς χρόνος, ὡς ἔστιν δʹ βιβλίῳ, ἐτῶν αἰγυπτιακῶν κζ καὶ ἡμερῶν ιζ καὶ ὡρῶν ἰσημερινῶν ια ϛʹ. ἀπεῖχεν ἡ σελήνη τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου ἐπὶ τὰ ἡγούμενα αὐτοῦ μοίρας ιβ κδ. καὶ παράκειται ταῖς τοσαύταις μοίραις ἐν τῷ δʹ σελιδίῳ προσθαφαιρέσεως ἀνωμαλίας 𐆊 νθ. διὸ καί φησιν· «ἔγγιστα μοίρᾳ α.» ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ἐκλείψεως, ἀπεῖχεν μὲν ὁμοίως ἡ σελήνη ἐπὶ τὰ αὐτὰ ἡγούμενα μοίρας ροη μϛ, ὥς εἰσιν προκείμενοι ἐν ἀρχῇ τοῦ ἕκτου βιβλίου, διὰ τὸ καὶ τὸν ἀπὸ τῆς ἐποχῆς χρόνον ἐπὶ τὸν μέσον τῆς ἐκλείψεως ἐτῶν εἶναι αἰγυπτιακῶν χϛ καὶ ἡμερῶν ρκα καὶ ὡρῶν ἰσημερινῶν ἁπλῶς τε καὶ πρὸς τὰ ὁμαλὰ νυχθήμερα ι ϛʹ· παράκειται δὲ ταῖς ροη μϛ ἐν τῷ δʹ σελιδίῳ τοῦ αὐτοῦ ἀνωμαλίας κανόνος 𐆊 ζ 𐅵 , ἅπερ ηʹ ἐστὶν μοίρας α. «Κατὰ μὲν τὴν προτέραν ἔκλειψιν ἀπὸ ἐλάσσονος διαστάσεως τοῦ ἀναβι«βάζοντος συνδέσμου, κατὰ δὲ τὴν δευτέραν ἀπὸ μείζονος, ὧν τὴν διαφορὰν «ἀπεδείξαμεν μοίρας α καὶ πεμπτημορίου συναγομένην». τοῖς γὰρ τρεῖς δακτύλοις παράκειται ἐν τοῖς κανονίοις τῶν σεληνιακῶν ἐκλείψεων, ἐπὶ μὲν τοῦ μεγίστου ἀποστήματος ὁ τῶν σοθ ιη ἀπὸ τοῦ βορείου πέρατος τὴν ἀρχὴν ἔχων ἀριθμός, ἐπὶ δὲ τοῦ ἐλαχίστου ὁ τῶν σπ λ, ὥστε εἶναι ἀπὸ τοῦ ἀναβιβάζοντος ἐπὶ τὰ ἑπόμενα μοίρας ι λ κατὰ τὸ ἐλάχιστον ἀπόστημα, καὶ κατὰ τὸ μέγιστον μοίρας θ ιη, καὶ ὑπερέχειν τὴν κατὰ τὸ ἐλάχιστον ἀπόστημα διάστασιν τῆς κατὰ τὸ μέγιστον διαστάσεως ἀπὸ τοῦ ἀναβιβάζοντος μοίρας α ιβ. «Τὸ μὲν οὖν ὅσον ἐπ’ αὐτῇ τῇ πλάνῃ ...» καὶ τὰ ἑξῆς. Ἐὰν γὰρ νοήσωμεν ἐπὶ τῆς πρώτης ἐκλείψεως τοῦ λοξοῦ τῆς σελήνης κύκλου περιφέρειαν τὴν ΑΒΓ, τοῦ Α σημείου κατὰ τὸν ἀναβιβάζοντα σύνδεσμον ὑποκειμένου, καὶ τοῦ Β καθ’ ὃ τὸ ἀκριβὲς κέντρον τῆς σελήνης νοεῖται, τὸ δὲ Γ καθ’ ὃ ἡ μέση σελήνη, αὐτῆς δὲ κατὰ τὸ Κ σημεῖον τοῦ ἐπικύκλου ὑποκειμένης, ἀπέχειν τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου μοίρας ιβ κδ, καὶ ἀπὸ τοῦ Η κέντρου τοῦ ζῳδιακοῦ διηγμένας τὰς ΗΒΚ, ΗΓ, [Omitted graphic marker] γίνεται ἡ ἀπὸ ΓΗΒ, τουτέστιν ἡ ΒΓ περιφέρεια τοῦ διαφόρου τῆς ἀνωμαλίας, ἀφαιρετικὴ μοίρας α ἔγγιστα. |
| 290 | ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ἐκλείψεως, τοῦ Δ ὑποκειμένου ὁμοίως συνδέσμου καὶ τοῦ μὲν Ε καθ’ ὃ τὸ ἀκριβὲς τῆς σελήνης κέντρον νοεῖται, τοῦ δὲ Ζ καθ’ ὃ ἡ μέση σελήνη, ἐὰν διαγάγωμεν ἀπὸ τοῦ Θ κέντρου τοῦ ζῳδιακοῦ τὰς ΘΕ, ΘΖ, ὑποθέμενοι τὴν σελήνην κατὰ τὸ Λ ἀπέχειν τοῦ ἀπογείου μοίρας ροη μϛ, γίνεται ἡ ὑπὸ ΕΘΖ γωνία, τουτέστιν ἡ ΖΕ περιφέρεια, 𐆊 η ἔγγιστα. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ΓΒ περιφέρεια τῆς ΖΕ τοῖς τῆς ὑπεροχῆς ἑξηκοστοῖς νβ, ἐὰν οὖν ἴσην ὑποθώμεθα τὴν ΑΒ ἀπὸ τοῦ συνδέσμου διάστασιν τῇ ΔΕ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ συνδέσμου, τὴν αὐτὴν οὖσαν ὡς ἐπὶ ἴσων ἀποστημάτων, διὰ τὴν ὁμοιότητα κατὰ πάντα τῶν δύο ἐκλείψεων, ὥστε καὶ ἀποκατάστασιν εἶναι, ἀνάγκη τὴν ΔΖ περιφέρειαν τοῦ λοξοῦ σελήνης τῆς ὁμαλῆς ἀπὸ τοῦ ἀναβιβάζοντος συνδέσμου ἐλάσσονα εἶναι τῆς ΑΓ ὁμαλῆς ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἀναβιβάζοντος τοῖς 𐆊 νβ· ὅσο〈ι〉ς ἐλλείψει καὶ ἡ τοῦ πλάτους ἀποκατάστασις. Καὶ πάλιν ἐπεί, κατὰ μὲν τὴν πρώτην ἔκλειψιν ἡ σελήνη περὶ τὸ ἀπόγειον ἦν τοῦ ἐπικύκλου, κατὰ δὲ τὴν δευτέραν περὶ τὸ περίγειον δῆλον ὡς παρὰ τὰ ἀποστήματα τῆς σελήνης, ὁμοίων τῶν ἐπισκοτήσεων πάλιν οὐσῶν, τουτέστιν δακτύλων τριῶν, διάφοροι γίνονται αἱ ἀπὸ τοῦ συνδέσμου περιφέρειαι ἀνώμαλοι κατά τε τὴν πρώτην ἔκλειψιν καὶ κατὰ τὴν δευτέραν. οἷον, ἡ μὲν ΑΒ μοιρῶν θ ιη, ἡ δὲ ΔΕ ι λ, ὧν ἡ διαφορὰ μοίρας α ιβ. |
| 291 | ὥστε τοῦ αὐτοῦ ὑποκειμένου καθ’ ἑκατέραν ἔκλειψιν τοῦ παρὰ τὴν ἀνωμαλίαν διαφόρου, πλεονάζειν νῦν τὴν ἀκριβῆ πάροδον εἰς ὅλας ἀποκαταστάσεις τῆς ἀκριβοῦς, καὶ δηλονότι τὴν μέσην τῆς μέσης μοῖραν α ιβ. ἐνέλειπεν δὲ παρὰ τὸ τῆς ἀνωμαλίας διάφορον 𐆊 νβ. τοῖς τῆς ὑπεροχῆς ἄρα ἑξηκοστοῖς κ φανήσεται πλείων οὖσα ἡ ἐπίληψις τῆς ἀποκαταστάσεως, ἣν ἴσως καὶ ὁ Ἵππαρχος ἀνταναπληρουμένην πως κατανενοήκει. εἰ μέντοι πρὸς τὸ ἔλασσον ἢ τὸ πλεῖον λόγου ἕνεκεν ἐτύγχανον ἀμφότεραι φέρουσαι τὴν διαφορὰν αἱ ἁμαρτίαι, τὰς ἐξ ἀμφοτέρων συναγομένας μοίρας β ἔγγιστα, ἀκριβῶς δὲ μοίρας β δ ἐσφάλη ἂν ἡ περιοδικὴ τουτέστιν ἡ ὁμαλὴ τοῦ πλάτους ἀποκατάστασις. Περὶ ἡλιακῶν ἐκλείψεων. |
| 292 (1t) | «Κἂν μὲν εἰς τὰ ἑπόμενα τῶν ζῳδίων ἡ κατὰ μῆκος παράλλαξις ᾖ γι«νομένη, δεδείχαμεν γὰρ ἐν τοῖς ἔμπροσθεν πῶς ἡμῖν ἡ τοιαύτη διάκρισις «λαμβάνηται ...» καὶ τὰ ἑξῆς. Τὰ λεγόμενα ἐπὶ καταγραφῆς ἐν ὑποδείγματι διὰ τῶν ἀριθμῶν ἔσται φανερά. |
| 294 | Νοείσθωσαν γὰρ τρεῖς κύκλοι ἐν ἑνὶ τῷ τοῦ διὰ μέσων ἐπιπέδῳ, ὁ ΓΖ τῆς σελήνης καὶ ὁ ΒΗ τοῦ ἡλίου, καὶ ὁ ΑΘ τῶν ἐν τῇ ἀπλανεῖ, περὶ κέντρον τὸ Ε, καὶ ἡ διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν εὐθεῖα νοείσθω ἡ ΑΒΓΔΕ, ὄψις δὲ τὸ Δ. καὶ ὑποκείσθω ἀκριβὴς σύνοδος γινομένη κατὰ τὴν ΕΖΗΘ εὐθεῖαν· ὥστε τὸ μὲν Ζ σημεῖον εἶναι κέντρον τῆς σελήνης, τὸ δὲ Η τοῦ ἡλίου, τὸ δὲ Θ τῆς ἀκριβοῦς αὐτῶν ἐποχῆς. |
| 295 | ἀπεχέτω δὲ τὸ Θ λόγου χάριν ὑποκείμενον [Omitted graphic marker] Λέοντος ἀρχῇ τοῦ μεσημβρινοῦ ὥρας ἰσημερινὰς δύο πρὸς ἀνατολάς, ὥστε μεσουρανεῖν Καρκίνου μοίρας β. καὶ διήχθω ἡ ΔΖΚΝ εὐθεῖα τὴν φαινομένην μοῖραν τὴν τῆς σελήνης περιέχουσα· τὸ μὲν ἄρα Ν ἐποχή ἐστιν τῆς φαινομένης σελήνης. ἀλλὰ καὶ τὸ Θ τῆς ἀκριβοῦς. διήχθω δὲ καὶ ἡ ΔΗΜ, τὸ φαινόμενον ἀφορίζουσα τοῦ ἡλίου κέντρον τὸ Μ· ἡ μὲν ἄρα ΘΜ ἡλίου ἐστὶν παράλλαξις, εἰκοστὸν μέρος οὖσα τῆς ΘΝ. Ἐπεὶ οὖν τὴν ἀκριβῆ σύνοδον ὑπεθέμεθα Λέοντος ἀρχὴν ἀπέχειν τοῦ μεσημβρινοῦ ὥρας ἰσημερινὰς δύο, ταύτας εἰσάξαντες εἰς τὸ οἰκεῖον κλίμα, λέγω δὴ τὸ διὰ Σοήνης καὶ ζῴδιον Λέοντος, εὕρομεν παρακείμενα αὐταῖς μήκους παραλλάξεως ἀφαιρεθείσης τῆς ἡλίου παραλλάξεως ἑξηκοστῶν κδ· τοσούτων ἄρα ἑξηκοστῶν ἐστιν ἡ ΜΝ περιφέρεια. Νοείσθω δὲ καὶ ἡ σελήνη τοῦ ἀπογείου τοῦ ἐπικύκλου ἀπέχειν μοίρας ξ, αἷς παράκειται ἐν τῷ κανονίῳ τῆς διορθώσεως ἑξηκοστὰ ιδ· ὥστε καὶ τὸ ὡριαῖον δρόμημα τῆς σελήνης ἑξηκοστῶν εἶναι λα ἔγγιστα. |
| 296 | Καὶ ἐπεὶ πρὸ δύο ὡρῶν τοῦ μεσημβρινοῦ ἐν τῷ κανόνι τῶν γωνιῶν Λέοντος ἀρχῇ παράκειται περιφέρεια μοιρῶν κζ νϛ, τοσαῦται δὲ σχεδὸν ἀπὸ Καρκίνου μοιρῶν β ἄχρι Λέοντος ἀρχῆς συνάγονται, ταύτας 〈τὰσ〉 κη μοίρας εἰσαγαγόντες εἰς τὸν παραλλακτικὸν κανόνα, καὶ ἀπὸ τῶν παρακειμένων αὐταῖς ἐν τῷ δευτέρῳ σελιδίῳ τοῦ πρώτου ὅρου ἑξηκοστῶν κε ἀφελόντες τὴν ἡλίου παράλλαξιν ἑξηκοστοῦ α· τὰ λοιπὰ ἑξηκοστὰ κδ ἕξομεν τῆς παραλλάξεως τῆς σελήνης ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ, ἀφαιρεθείσης τῆς ἡλίου παραλλάξεως, συμφώνως προχείροις. ὥστε τὴν ΜΝ περιφέρειαν εἶναι ἑξηκοστῶν κδ, καὶ τὸ Ν σημεῖον Λέοντος 𐆊 κδ. ταῦτα τοίνυν τὰ κδ ἑξηκοστὰ πολυπλασιάσαντες ἐπὶ τὰ 𐆊 ιδ παρακείμενα τῷ αὐτῆς σελήνης ὄντι ἀριθμῷ μοιρῶν ξ, καὶ τὰ γενόμενα 𐆊 ϛ ἔγγιστα προσθέντες τοῖς 𐆊 κδ ἔσχομεν 𐆊 λ. |
| 297 | ταῦτα μερίσαντες παρὰ τὰ 𐆊 λα ἔγγιστα τοῦ ὡριαίου δρόμου σελήνης ἔσχομεν ὥραν α· ἣν καὶ προσθέντες ταῖς τῆς ἀκριβοῦς συνόδου πρὸ μεσημβρίας ὥραις δύο ἔσχομεν ὥρας ἰσημερινὰς τρεῖς. καὶ ἐπεὶ ταῖς μὲν πρὸ δύο ὡρῶν τῆς μεσημβρίας παράκειται Λέοντος ἀρχῇ παραλλάξεως μήκους 𐆊 κδ, πρὸς δὲ πρὸ τριῶν ὡρῶν ἑξηκοστὰ λδ, ὑπεροχὴ δὲ τῶν λδ ἑξηκοστῶν πρὸς τὰ κδ γίνεται ἑξηκοστῶν ι, ποιοῦμεν οὖν ὡς τὰ λ ἑξηκοστὰ πρὸς τὰ 𐆊 ι, οὕτως τὰ 𐆊 ι πρὸς τὰ 𐆊 γ. καὶ τὰ γενόμενα ὁμοῦ τῆς παραλλάξεως καὶ ἐπιπαραλλάξεως ἑξηκοστὰ μγ, μετὰ τοῦ ιβʹ αὐτῶν τουτέστιν ἑξηκοστὰ γ, τὰ γενόμενα ἑξηκοστὰ μϛ μερίσομεν παρὰ τὸν ὡριαῖον δρόμον τῆς σελήνης τὰ 𐆊 λα. καὶ γίνεται ὥρα μία ἥμισυ ἔγγιστα, ᾗ προτερήσει ὁ χρόνος τῆς φαινομένης συνόδου τοῦ τῆς ἀκριβοῦς. |
| 298 | Καὶ γίνεται ὁ χρόνος τῆς φαινομένης συνόδου πρὸ ὡρῶν γ 𐅵 ʹ τῆς μεσημβρίας, ἡ δὲ ἀκριβὴς σελήνη κατ’ αὐτὰς τὰς ὥρας ἔσται ἀφαιρεθέντων τῶν 𐆊 μϛ ἀπὸ τῆς Λέοντος ἀρχῆς Καρκίνου μοίραις κθ ιδ. Ἀνατολικώτερος δέ ἐστιν ὁ χρόνος τῆς φαινομένης συνόδου τοῦ χρόνου τῆς ἀκριβοῦς συνόδου, καὶ ἡ φαινομένη σύνοδος τῆς ἀκριβοῦς συνόδου, ἐπείπερ ἡ φαινομένη σελήνη Καρκίνῳ μοίραις κθ ιδ πρὸ γ 𐅵 ʹ ὡρῶν τῆς μεσημβρίας οὖσα, καὶ παραλλάσσουσα 𐆊 μβ πρὸς ἀνατολάς, καὶ κατ’ ὀλίγον ἀναφερομένη σὺν τῷ ζῳδιακῷ ὑπὸ τῆς πρώτης φορᾶς ἕως τῆς πρὸ δύο ὡρῶν ἰσημερινῶν τῆς μεσημβρίας θέσεως τὴν τοῦ Λέοντος ἀρχὴν καταλαμβάνει, καὶ συνοδεύει τῷ ἡλίῳ. καὶ γὰρ ἐὰν καὶ 〈ἐπὶ〉 τῇ προκειμένῃ καταγραφῇ τὴν ΝΞ ἴσην θῶμεν τῇ παραλλάξει τοῖς 𐆊 ι καὶ τοῖς 𐆊 γ, καὶ τὴν ΞΟ τῇ παρὰ τὸ ἀπόστημα διαφορᾷ τοῖς 𐆊 ϛ, καὶ τὴν ΟΠ ἴσην τῷ δωδεκάτῳ μέρει τῆς ΘΠ τοῖς 𐆊 δ, καὶ τῇ γενομένῃ διαστάσει τῆς ΘΠ τοῖς 𐆊 μϛ ἴσην θῶμεν τὴν ΘΤ, καὶ ἐπιζεύξωμεν τὴν ΤΡΣΕ, καὶ τὴν ΔΣΥΦ διάξωμεν, τὸ μὲν Τ σημεῖον ἔσται Καρκίνου μοίραις κθ ιδ τῆς ἐποχῆς τῆς σελήνης, ἡ δὲ ΔΣΥΦ περιέξει τὴν φαινομένην σύνοδον ἡλίου καὶ σελήνης, τοῦ μὲν Σ νοουμένου τῆς σελήνης, τοῦ δὲ Υ τοῦ ἡλίου, τοῦ δὲ Φ τῆς φαινομένης αὐτῶν ἐποχῆς. |
| 299 | ἡ δὲ ΥΗ ἔσται 𐆊 δ τῆς ἡλίου κινήσεως ἀπὸ τοῦ Υ ἐπὶ τὸ Η, ὅτι καὶ ἡ ΤΦ 𐆊 μγ ἐστίν [τουτέστιν ἡ ΡΥ] παραλλάξεως οὖσα τῆς σελήνης Καρκίνου μοίραις κθ ιδ τῆς πρὸ γ 𐅵 ὡρῶν ἰσημερινῶν τῆς μεσημβρίας κατὰ τὸ Ω σημεῖον τῆς ἀκριβοῦς τοῦ ἡλίου ἐποχῆς ἐπιζευχθείσης τῆς ΕΥΩ εὐθείας, ἡ δὲ ΦΩ τῆς παραλλάξεως τοῦ ἡλίου, καὶ ἡ ΤΩ 𐆊 μβ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΡΥ τῶν αὐτῶν 𐆊 μβ. καὶ λοιπὴ ἡ ὑπὸ ΥΗ 𐆊 δ· ἐν ᾧ γὰρ ἡ σελήνη τὴν ΣΖ περιφέρειαν διέρχεται, ἐν τούτῳ ὁ κατὰ τὸ Υ ἥλιος ἐπὶ τὸ Η ἥξει, τῆς τοῦ ἡλίου κινήσεως οὔσης τῆς ΥΗ 𐆊 δ· αὐτὴ γὰρ δωδέκατον μέρος ἐστὶν τῆς ΡΥ. καὶ φανήσονται συνοδεύοντες ἀκριβῶς ἥλιος καὶ σελήνη κατὰ τὴν πρὸ δύο ὡρῶν ἰσημερινῶν τῆς μεσημβρίας στάσιν ἐπὶ τῆς ΕΖ, ΗΘ εὐθείας ὄντες. Κατὰ λόγον οὖν ἀπὸ τῆς Λέοντος ἀρχῆς ἀφελοῦμεν τὰ 𐆊 μϛ τῆς παραλλάξεως καὶ ἐπιπαραλλάξεως καὶ τῆς παρὰ τὸ ἀπόστημα διαφορᾶς καὶ τοῦ ἡλιακοῦ κινήματος ὄντα, ἵνα σχῶμεν τὴν ΤΕ εὐθεῖαν τὰς τοῦ Καρκίνου μοίρας κθ ιδ ἐπέχουσαν κατὰ τὸν χρόνον τῆς φαινομένης συνόδου ἥτις ἐστὶν πρὸ γ 𐅵 ʹ ὡρῶν ἰσημερινῶν τῆς μεσημβρίας γινομένη καὶ ἀπέχουσα τῆς πρὸ δύο ὡρῶν ἰσημερινῶν τῆς μεσημβρίας ὥραν μίαν ἥμισυ. «Ἐὰν μὲν ἡ κατὰ πλάτος παράλλαξις ὡς πρὸς τὰς ἄρκτους ᾖ τοῦ διὰ «μέσων ἀποτελουμένη ...» ἕως· «περὶ δὲ τὸν καταβιβάζοντα προσθήσομεν «ὁμοίως καὶ οὕτως ἕξομεν τὸν ἐν τῷ χρόνῳ τῆς φαινομένης συνόδου τοῦ «φαινομένου πλάτους ἀριθμόν.» Τὸ λεγόμενόν ἐστιν μὲν καὶ ἀσαφὲς καὶ δυσερμήνευτον ἔχον φύσει τὸ αἴτιον. |
| 300 | παρακολουθήσει〈εν〉 δέ τις ἂν μᾶλλον τῷ λόγῳ τῆς προσθέσεως καὶ ἀφαιρέσεως εἰ νοήσειεν λοξὸν μὲν τῆς σελήνης κύκλον τὸν ΑΒΓ, ζῳδιακὸν δὲ τὸν ΜΓΑΧ, ἀναβιβάζοντα σύνδεσμον τὸ Α, καταβιβάζοντα τὸ Γ, βόρειον πέρας τὸ Β, σελήνης τὸ ἀκριβὲς κέντρον κατὰ διαφόρους θέσεις οἷον κατὰ [Omitted graphic marker] τὰ Δ 〈Κ, Υ, Π〉, ἐν τοῖς χρόνοις τῶν φαινομένων συνόδων, ἀπέχον τῶν Α, Γ συνδέσμων ἐπὶ τοῦ λοξοῦ τὰς ΓΔ, ΓΚ, ΑΠ, ΑΥ. καὶ γεγράφθωσαν μέγιστοι κύκλοι διὰ τῶν Δ, Κ, Π, Υ, ὀρθοὶ πρὸς τὸν διὰ μέσων, ὡς οἱ ΖΔΘ, ΚΛΜ, ΟΠΡ, ΥΦΧ· αἱ δ γὰρ αἱ ΔΘ, ΚΜ, ΟΠ, ΥΧ, ἔσονται ἃς ἀποστήσεται τοῦ διὰ μέσων ἡ ἀκριβὴς σελήνη· κατὰ μὲν τὸ Δ οὖσα τὴν ΔΘ διΐσταται τοῦ διὰ μέσων· κατὰ δὲ τὸ Κ, τὴν ΚΜ· κατὰ δὲ τὸ Π, τὴν ΠΟ· κατὰ δὲ τὸ Υ, τὴν ΥΧ. Κἂν μὲν ἡ κατὰ πλάτος παράλλαξις καθ’ ἑκατέραν θέσιν τῶν Δ, Κ, Υ, Π τῆς σελήνης οὔσης ὡς πρὸς ἄρκτους τοῦ διὰ μέσων ἀποτελῆται· γίνηται δὲ ἐπὶ μὲν τῆς κατὰ τὸ Δ θέσεως ἡ ΔΖ παράλλαξις, ἐπὶ δὲ τῆς κατὰ τὸ Κ ἡ ΚΛ, ἐπὶ δὲ τῆς κατὰ τὸ Υ ἡ ΥΦ, ἐπὶ δὲ τῆς κατὰ τὸ Π ἡ ΠΡ· τὰς ἴσας ταῖς ΘΔΖ, ΜΛ, ΟΠΡ, ΧΦ ἀφέξει κατὰ πλάτος τοῦ διὰ μέσων τὸ φαινόμενον κέντρον αὐτῆς. ἐὰν δὲ πρὸς μεσημβρίαν τὰς ἴσας ταῖς Θ ͵ Α, Μ ͵ Β, Ο ͵ Γ, Χ ͵ Δ, τῶν Δ ͵ Α, Κ ͵ Β, Υ ͵ Δ, Π ͵ Γ παραλλάξεων λαμβανομένων, ἐπεὶ δὲ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ἔγγιστα ἡ ΓΔ πρὸς ΔΘ, καὶ ἡ ΓΚ πρὸς ΚΜ, καὶ ΑΥ πρὸς ΥΧ, καὶ ΑΠ πρὸς ΠΟ, ὃν ἔχει τὰ ιβ πρὸς τὸ α· ἐπεὶ καὶ ἡ ἀπό τινος τῶν συνδέσμων τοῦ λοξοῦ τυχοῦσα περιφέρεια μέχρι μοιρῶν λ μὴ πλέον, πρὸς τὴν ἐπιβάλλουσαν αὐτῇ τοῦ πρὸς ὀρθὰς τῷ ζῳδιακῷ μεταξὺ ἀπολαμβανομένην τοῦ τε ζῳδιακοῦ καὶ τοῦ λοξοῦ τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ἔγγιστα. |
| 301 | ἐὰν μὲν ἄρα ἡ κατὰ πλάτος παράλλαξις γένηται πρὸς τὰς ἄρκτους τοῦ διὰ μέσων καὶ ποιήσωμεν ὡς μὲν τὴν ΔΘ πρὸς ΔΓ οὕτως τὴν ΘΖ πρὸς ἄλλην· ὡς δὲ τὴν ΜΚ πρὸς ΚΓ οὕτως τὴν ΜΛ πρὸς ἄλλην· ὡς δὲ τὴν ΥΧ πρὸς ΥΑ οὕτως τὴν ΦΧ πρὸς ἄλλην· ὡς δὲ τὴν ΟΠ πρὸς ΠΑ οὕτως τὴν ΟΡ πρὸς ἄλλην· ἔσται ἡ μὲν ΘΖ πρὸς μείζονα τῆς ΓΔ· ἡ δὲ ΜΛ πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΚΓ· ἡ δὲ ΦΧ πρὸς ἐλάσσονα ὁμοίως τῆς ΥΑ· ἡ δὲ ΟΡ πρὸς μείζονα τῆς ΑΠ. γεγενήσθω δέ, καὶ ἔστωσαν αἱ ΓΕ, ΓΝ, ΑΨ, ΑΣ, ὥστε καὶ ἑκάτερον λόγον τῆς τε ΕΔ πρὸς ΔΖ καὶ τῆς ΚΝ πρὸς ΚΛ, ἀλλὰ καὶ τῆς ΥΨ πρὸς ΥΦ, καὶ ἔτι τῆς ΣΠ πρὸς ΠΡ, τὸν αὐτὸν εἶναι ἔγγιστα τῷ ὃν ἔχει τὰ δώδεκα πρὸς τὸ α. ἐὰν δὴ πρὸς μεσημβρίαν τοῦ διὰ μέσων ἡ κατὰ πλάτος παράλλαξις ἀποτελῆται· ποιήσωμεν δὲ πάλιν ὡς μὲν τὴν ΔΘ πρὸς ΔΓ, τὴν Δ ͵ Α πρὸς ἄλλην· ὡς δὲ τὴν ΚΜ πρὸς ΚΓ, τὴν Μ ͵ Β πρὸς ἄλλην· ὡς δὲ τὴν ΥΧ πρὸς ΥΑ, τὴν ͵ ΔΧ πρὸς ἄλλην· ὡς δὲ τὴν ΟΠ πρὸς ΠΑ οὕτως τὴν ͵ ΓΟ πρὸς ἄλλην· ἔσται ἡ μὲν Δ ͵ Α πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΓΔ ἀπὸ τοῦ Γ, ἡ δὲ Μ ͵ Β πρὸς μείζονα τῆς ΚΓ, ἡ δὲ Χ ͵ Δ πρὸς μείζονα ὁμοίως τῆς ΥΑ ἀπὸ τοῦ Α, ἡ δὲ ͵ ΓΟ πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΠΑ. ἔστωσαν οὖν καὶ αὐταὶ ἥ τε Γ ͵ Ψ καὶ Γ ͵ Φ καὶ Α ͵ Ι καὶ Αϡ, ὡς γίνεσθαι καὶ ἐνθάδε ὡς τὴν Δ ͵ Ψ πρὸς Δ ͵ Α, καὶ τὴν ΚΝ πρὸς Κ ͵ Β, καὶ Υ ͵ Ι πρὸς Υ ͵ Δ, καὶ Πϡ πρὸς Π ͵ Γ, ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ τουτέστιν τῶν ιβ πρὸς α. Καὶ φανερὸν ὅτι τῆς μὲν κατὰ πλάτος παραλλάξεως πρὸς ἄρκτους γινομένης τοῦ διὰ μέσων, ἐὰν μὲν κατὰ τὸ Δ ἡ σελήνη τυγχάνῃ ἐν τῷ χρόνῳ τῆς φαινομένης συνόδου, ἀφελεῖν δεῖ ἀπὸ τῆς ΒΕΔ πλατικῆς ἀκριβοῦς παρόδου τὴν ΔΕ· ἐὰν δὲ κατὰ τὸ Κ, ἀφελεῖν ὁμοίως ἀπὸ τῆς ΒΓΚ τὴν ΚΝ· ἐὰν δὲ κατὰ τὸ Υ, προστιθέναι τῇ ΒΓΥ τὴν ΥΨ· ἐὰν δὲ κατὰ τὸ Π, προστιθέναι ὁμοίως τῇ ΒΓΑΠ τὴν ΠΣ. τῆς δὲ κατὰ πλάτος παραλλάξεως πρὸς μεσημβρίαν ἀποτελουμένης τοῦ ζῳδιακοῦ, ἐὰν μὲν πάλιν ἡ σελήνη κατὰ τὸ Δ ᾖ ἐν τῷ χρόνῳ τῆς φαινομένης συνόδου προστιθέναι χρὴ τῇ ΒΕΔ τὴν Δ ͵ Ψ· ἐὰν δὲ κατὰ τὸ Κ, προστιθέναι ὁμοίως τῇ ΒΓΚ τὴν Κ ͵ Φ· ἐὰν δὲ κατὰ τὸ Υ, ἀφελεῖν δεήσει τὴν Υ ͵ Ι ἀπὸ τῆς ΒΓΥ· ἐὰν δὲ κατὰ τὸ Π, ἀφελεῖν ὁμοίως ἀπὸ τῆς ΒΓΑΠ τὴν Πϡ· καὶ οὕτως ἕξομεν τοὺς εἰς τοὺς χρόνους τῶν φαινομένων συνόδων κατὰ τὰς ἐκκειμένας θέσεις συναγομένας ἀπὸ τοῦ βορείου πέρατος ἐπὶ τὰ ἑπόμενα τῶν ζῳδίων τοῦ φαινομένου πλάτους ἀριθμούς· τουτέστιν τὸν τῆς ΒΕ καὶ ΒΔ ͵ Ψ καὶ ΒΓΝ καὶ ΒΓ ͵ Φ καὶ ΒΓ ͵ Ι καὶ ΒΓΨ καὶ ΒΑΓϡ καὶ ΒΓΑΣ· ἀντὶ τῶν πρὸς τὸ ἀκριβὲς τῆς σελήνης κέντρον λαμβανομένων· τουτέστιν τῆς ΒΕΔ καὶ ΒΓΚ καὶ ΒΓΥ καὶ ΒΓΑΠ. |
| 302 | Ἀναγκαῖον δέ ἐστιν καὶ τοῦτο ἐπισημήνασθαι, διότι πρὸς τὴν ὑποκειμένην δεῖξιν ἐχρησάμεθα ταῖς πρὸς τὸν λοξὸν τῆς σελήνης θεωρουμέναις τοῦ πλάτους παραλλάξεσιν ἐπὶ τῶν ὀρθῶν τῷ ζῳδιακῷ κύκλῳ ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ λοξοῦ πρὸς ἄρκτους τε καὶ μεσημβρίαν, ἀντὶ τῶν πρὸς τὸν διὰ μέσων λαμβανομένων παραλλάξεων ὁμοίως πλατικῶν ἐφ’ ἑκάτερα αὐτοῦ· διά τε τὸ παρακολουθητόν, καὶ διὰ τὸ πρὸς αἴσθησιν ἀδιαφορεῖν ταύτας ἐκείνων ἐπὶ τῶν ἡλιακῶν ἐκλείψεων, ὡς ἐδείξαμεν ἐν τῷ εἰς τὸ εʹ σχολίῳ. ὅταν μὲν γὰρ τὸ κατὰ κορυφὴν σημεῖον τῆς ὑποκειμένης οἰκήσεως νοτιώτερον ᾖ τοῦ μεσουρανοῦντος σημείου τοῦ ζῳδιακοῦ, ἡ 〈μὲ〉ν πρὸς τὸ Θ σημεῖον τοῦ ζῳδιακοῦ λαμβανομένη πλατικὴ πρὸς τὰς ἄρκτους παράλλαξις ἀδιαφορεῖ πρὸς αἴσθησιν τῆς ΔΖ περιφερείας, ἡ δὲ κατὰ τὸ Ο βορεία παράλλαξις τῆς ΠΡ, ἡ δὲ κατὰ τὸ Μ βορεία τῆς 〈ΛΚ〉, ἡ δὲ κατὰ τὸ Χ τῆς ΥΦ περιφερείας. ὅταν δὲ τὸ κατὰ κορυφὴν σημεῖον τῆς οἰκήσεως βορειότερον ᾖ τοῦ μεσουρανοῦντος, τότε ἡ μὲν πρὸς τὸ Θ σημεῖον τοῦ ζῳδιακοῦ γινομένη πλάτους πρὸς μεσημβρίαν παράλλαξις ἀδιάφορός ἐστιν τῆς Δ ͵ Α περιφερείας νοτιωτέρας τοῦ λοξοῦ, ἡ δὲ πρὸς τὸ Ο νοτία πλάτους παράλλαξις τῆς Π ͵ Γ, ἡ δὲ πρὸς τὸ Μ ὁμοίως πλάτους πρὸς μεσημβρίαν παράλλαξις τῆς Κ ͵ Β νοτιωτέρας τοῦ λοξοῦ περιφερείας, ἡ δὲ πρὸς τὸ Χ τῆς Υ ͵ Δ νοτίας ἀδιάφορός ἐστιν. |
| 303 | καὶ διὰ ταῦτα τῆς μὲν κατὰ πλάτος παραλλάξεως πρὸς ἄρκτους ἀποτελουμένης, περὶ μὲν τὸν καταβιβάζοντα ἡ ἀφαίρεσις γίνεται τῆς ἀπὸ τοῦ βορείου πέρατος πλατικῆς περιφερείας, περὶ δὲ τὸν ἀναβιβάζοντα ἡ πρόσθεσις· τῆς δὲ κατὰ πλάτος παραλλάξεως πρὸς νότον γινομένης, περὶ μὲν τὸν ἀναβιβάζοντα τὸ ἐναντίον ἡ ἀφαίρεσις γίνεται τῆς ἀπὸ τοῦ βορείου πέρατος περιφερείας, περὶ δὲ τὸν καταβιβάζοντα προστίθεται τῇ ἀπὸ τοῦ βορείου πέρατος ἀκριβεῖ περιφερείᾳ τοῦ λοξοῦ τὰ δώδεκα γινόμενα τῆς τοῦ πλάτους παραλλάξεως ἑξηκοστά. «Διὰ τὸ γίνεσθαί τινας ἐν τῇ φαινομένῃ τῆς σελήνης παρόδῳ πάντοτε «τῶν παραλλάξεων ἕνεκεν ὥσπερ προηγητικάς τινας φαντασίας, εἰ μη«δὲν ἰδίως εἰς τὰ ἑπόμενα διαλαμβάνοιτο κινουμένη ...» καὶ τὰ ἑξῆς. Ὑποκείσθω γὰρ εἰ τύχοι τὴν ἀκριβῆ σελήνην εἶναι ἐπὶ τῆς τοῦ Καρκίνου ἀρχῆς κατὰ τὸ μέγιστον ἀπόστημα ἐν Ἀλεξανδρείᾳ ἀπὸ ὥρας ἰσημερινῆς τῆς μεσημβρίας ζ. καὶ ἐπεὶ ταῖς τοσαύταις ὥραις ἐπιβάλλει κατὰ μῆκος παραλλάξεως ἕως ἑξηκοστῶν μη ἔγγιστα (ὑπολογουμένης γὰρ τῆς ἡλίου παραλλάξεως ἐν προχείροις ἐστὶν 𐆊 μϛ) δῆλον ὡς ἂν μηδὲν μὲν διαλαμβάνοιτο κινουμένη εἰς τὰ ἑπόμενα τῶν ζῳδίων. |
| 304 | ἀνενέχθη δὴ σὺν τῇ τοῦ κόσμου φορᾷ καὶ ἀπέχει τῆς μεσημβρίας λόγου χάριν ὥρας δύο· ὀφθήσεται τὴν προήγησιν πεποιημένη ἐν ὥραις ε ἑξηκοστῶν κε. κατὰ μὲν γὰρ τὴν ἐπὶ τὸν ἀνατολικὸν ὁρίζοντα θέσιν ἀφέξει τὸ φαινόμενον κέντρον αὐτῆς Καρκίνου ἀρχῆς 𐆊 μη· κατὰ δὲ τὴν πρὸ δύο ὡρῶν τῆς μεσημβρίας στάσιν Καρκίνου 𐆊 κγ. ἐὰν δὲ μετὰ τὸν μεσημβρινόν, μετὰ μὲν δύο ὥρας ἑξηκοστὰ κγ, μετὰ δὲ ὥρας ζ τῆς μεσημβρίας στάσιν Καρκίνου 𐆊 μη παραλλάττουσα. καὶ οὕτως ἀπὸ τῆς μετὰ δύο ὥρας τῆς μεσημβρίας στάσεως μέχρι τῆς ἐπὶ τὸν δυτικὸν ὁρίζοντα θέσεως φανήσεται τὰ τῆς ὑπεροχῆς τῶν δύο παραλλάξεων κε προηγησαμένη· κατὰ γὰρ τὴν πρώτην θέσιν πάλιν τὸ φαινόμενον κέντρον αὐτῆς ἔσται Διδύμων μοίραις κθ λζ, κατὰ δὲ τὴν δευτέραν τοῦ ὁρίζοντος Διδύμοις κθ ιβ. εἰ δὲ κινουμένη διαλαμβάνοιτο λόγου χάριν καὶ κατὰ τὸ μέγιστον ἀπόστημα ἐν ὥρᾳ μιᾷ ἑξηκοστῶν λβ ῥᾴδιον φαίνεται τὴν εἰς τὰ ἑπόμενα μετάβασιν ποιουμένη· ἐπέχοντος γὰρ πάλιν τοῦ ἀκριβοῦς κέντρου Καρκίνου ἀρχήν, τὸ φαινόμενον ἔστα ἐν μὲν τῇ πρὸ ζ ὡρῶν στάσει 𐆊 μη, ἐν δὲ τῇ πρὸ δύο 𐆊 κγ· ὥστε εἶναι προηγήσεως 𐆊 κε μηδὲ μετακινουμένης τῆς σελήνης. |
| 305 | ἀλλ’ ἐν ταῖς ε ὥραις κινεῖται μοίρας β 𐅵 · ὀφθήσεται ἄρα κεκινημένη μὲν βραδύτερον τῆς ἰδίας ἀκριβοῦς κινήσεως ἑξηκοστοῖς κε. καὶ πάλιν μετὰ τὸν μεσημβρινόν, ἐκ μὲν τῆς ὑπεροχῆς τῶν δύο παραλλάξεων, ὄντων εἰς προήγησιν ἑξηκοστῶν κε, ἐκ δὲ τῆς ἰδίας ἐπικινήσεως ἐν ταῖς ε ὥραις μοιρῶν β 𐅵 , βραδύτερον φανήσεται τὴν εἰς τὰ ἑπόμενα τῶν ζῳδίων μετάβασιν ποιησαμένη τοῖς αὐτοῖς κε ἑξηκοστοῖς «Καὶ διὰ ταύτην τὴν αἰτίαν, ὅταν μὲν εἰς τὴν αὐτὴν μεσημβρίαν ὁ μέσος «χρόνος τῆς ἐκλείψεως ἐκπίπτῃ, τότε μόνον ἴσον ἔγγιστα γίνεσθαι τὸν «τῆς ἐμπτώσεως χρόνον τῷ τῆς ἀναπληρώσεως, ἴσης ἐφ’ ἑκάτερα συμβαι«νούσης ἔγγιστα καὶ τῆς ἐκ τῶν παραλλάξεων προηγητικῆς φαντασίας.» Ἐπεὶ γὰρ οἱ χρόνοι ἴσοι εἰσὶν ἐμπτώσεως καὶ ἀνακαθάρσεως, ὡς οἱ ἐν τοῖς ἐκλειπτικοῖς κανονίοις ἡλίου ἐν τοῖς ἀριθμοῖς κείμενοι, τοῦ ἄρα μέσου χρόνου τῆς ἐκλείψεως ὄντος κατ’ αὐτὴν τὴν μεσημβρίαν, διϊστᾶσιν οἱ χρόνοι ἐφ’ ἑκάτερα ὁ μὲν πρὸς ἀνατολάς, ὁ δὲ πρὸς δυσμάς· καὶ αἱ περιφέρειαι ἄρα τοῦ ὀρθοῦ τῷ ὁρίζοντι ἴσαι εἰσὶν ἀπὸ τοῦ πόλου τοῦ ὁρίζοντος. ὥστε καὶ αἱ παραλλάξεις αἱ ἐπὶ τοῦ ὀρθοῦ τῷ ὁρίζοντι ἴσαι εἰσίν· τὸ γὰρ κέντρον τῆς σελήνης ἔγγιστα ἴσον ἀπέχει τοῦ μεσημβρινοῦ. ἐπεὶ οὖν αἱ γωνίαι οὔκ εἰσιν αἱ αὐταὶ τοῦ ζῳδιακοῦ πρὸς τὸν ὀρθὸν τῷ ὁρίζοντι ἀλλ’ ἡ μὲν ἀνατολικὴ γʹ σελιδίῳ, ἡ δὲ δυτικὴ δʹ σελιδίῳ, καὶ ἡ πρὸς τὸν ζῳδιακὸν ἄρα γινομένη παράλλαξις διάφορος ἔσται ἐμπτώσεως καὶ ἀναπληρώσεως. |
| 306 | τῶν μέντοι παραλλάξεων τῶν γινομένων κατὰ ἴσας διαστάσεις ἐφ’ ἑκάτερα τῆς μεσημβρίας αἱ ὑπεροχαὶ χωρὶς πρὸς τὴν γινομένην ἐν τῷ μεσημβρινῷ παράλλαξιν ἔγγιστα ἴσαι εἰσίν. καὶ ἔστιν ἰδεῖν τοῦτο ἐπὶ τοῦ προχείρου κανόνος· κλίματος γὰρ τρίτου Κριοῦ ἀρχῇ, πρὸς μεσημβρίας ὥρας α, σελήνη ἀπαράλλακτος μήκει 𐆊 𐆊 · καὶ τῇ μεσημβρίᾳ παράκειται παραλλάξεως ἐπὶ τὰ ἡγούμενα 𐆊 ια· τῇ δὲ μετὰ μίαν ὥραν ὁμοίως ἐπὶ τὰ ἡγούμενα παράκειται παραλλάξεως 𐆊 〈κ〉α. καί εἰσιν αἱ ὑπεροχαὶ τῶν πρὸς τὴν μεσημβρίαν παραλλάξεων ἴσαι ἐκ 𐆊 ια. κἂν ἐναντίαι δὲ ὦσιν αἱ παραλλάξεις, ἀλλ’ αἱ ὑπεροχαὶ ἔγγιστα ἴσαι εἰσίν· Ταύρου γὰρ ἀρχῇ πάλιν πρὸ μιᾶς ὥρας παραλλάξεως μήκους ἐπὶ τὰ ἑπόμενα 𐆊 ε ἐστίν, καὶ τῇ μεσημβρίᾳ 𐆊 ϛ ἐπὶ τὰ προηγούμενα· ὥστε κατὰ σύνθεσιν εἶναι τὰς παραλλάξεις, διὰ τὸ ἐπὶ τὰ ἐναντία εἶναι, 𐆊 ια. ἔστιν δὲ καὶ μετὰ ὥραν μίαν τῆς μεσημβρίας μήκους 𐆊 ιζ· ὧν ὑπεροχὴ πρὸς τὰ τῇ μεσημβρίᾳ παρακείμενα ἐπὶ τὰ αὐτὰ γὰρ αἱ παραλλάξεις, γίνεται 𐆊 ια· ὥστε καὶ οὕτως αἱ ὑπεροχαὶ ἴσαι εἰσίν. καὶ τῶν ἐμπτώσεων ἄρα καὶ ἀνακαθάρσεων ἴσοι ἔγγιστά εἰσιν οἱ χρόνοι, τοῦ μέσου τῆς ἐκλείψεως χρόνου εἰς αὐτὴν τὴν μεσημβρίαν ἐκπίπτοντος. «Ἔστω δὲ λόγου ἕνεκεν ὁ μὲν χρόνος ἑκάτερος ὥρας μιᾶς ἰσημερινῆς, «ἡ δὲ τοῦ κατὰ κορυφὴν ἀπόστασις μοιρῶν οε...» καὶ τὰ λοιπὰ ἄχρι τέλους. Αἱ ἀποστάσεις τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου οὐχ οὕτω λαμβάνονται, ὡς μοιρῶν οὐσῶν ιε καθ’ ἑκάστην ὥραν ἀπὸ τοῦ μεσημβρινοῦ, ἀλλ’ ὡς ἐν τῷ κανόνι τῶν γωνιῶν αἱ περιφέρειαι λογίζονται· οἷον ἐὰν ᾖ ὁ χρόνος τοῦ μέσου χρόνου τῆς ἐκλείψεως πρὸ ὡρῶν ἰσημερινῶν δ τῆς μεσημβρίας κλίματος 〈γʹ〉 τῇ τοῦ Καρκίνου ἀρχῇ, ἡ περιφέρειά ἐστιν μοιρῶν νγ ιδ διὰ τοῦ κατὰ κορυφήν· καὶ ταῖς ὥραις γ μοιρῶν μ ιθ, καὶ οὐχὶ λη ιδ ὑπὸ ιε μοιρῶν ὡς ἐχρήσατο. |
| 307 | καὶ πάλιν ταῖς ὥραις ε μοιρῶν ξε νε, καὶ οὐχὶ ξη ιδ ὡς αὐτὸς λαμβάνει. Ἀκριβῶς οὖν τὰς διαφορὰς τῶν παραλλάξεων τῶν ἀκριβῶν χρόνων ἐμπτώσεως καὶ ἀνακαθάρσεως πρὸς τὴν μέσην διάστασιν τοῦ μέσου χρόνου τῆς ἐκλείψεως διαλαμβάνει[ν] ὥς εἰσιν αἱ παραλλάξεις ἐπὶ τῶν τριῶν χρόνων καὶ τὰ τῷ μήκει πάλιν ἐπιβαλόντα, κατὰ τοὺς προχείρους κανόνας, ἢ τοὺς ἀπογείους· ἐνθάδε γάρ, ὡς ἐν συντάξει, οὐ τὰ τῇ κατὰ μῆκος ἐπιβάλλοντα διακρίνει[ν] ἀλλὰ ταῖς ὑπεροχαῖς τῶν 𐆊 νβ πρὸς τὰ 𐆊 μζ καὶ τῶν 𐆊 νγ 𐅵 πρὸς τὰ 𐆊 νβ. |
| 308 | συνεχρήσατο οὖν ταῖς 𐆊 ε καὶ 𐆊 α 𐅵 , ὧν ἡ διαφορά ἐστιν μορίων μὲν γ 𐅵 , θʹ δὲ ἔγγιστα ὥρας ἰσημερινῆς ἐν ὅσῳ τὰ γ 𐅵 ἑξηκοστὰ μέσως ἡ σελήνη κινεῖται κατὰ μῆκος. Περὶ τῶν ἐν ταῖς ἐκλείψεσι προσνεύσεων. |
| 309 (1t) | Ἐν τῷ κεφαλαίῳ περὶ τῶν ἐν ταῖς ἐκλείψεσι προσνεύσεων τὸν λόγον ποιούμενός φησιν· «τῆς τῶν ἀνέμων ἀρχῆς διαφόρως μὲν ἐν πολλοῖς πολ«λάκις ὑπακουσθησομένης, δυναμένης δ’ οὖν εἴ τις βούλοιτο καὶ ἀπὸ «τῶν ἐκκειμένων τοῦ ὁρίζοντος γωνιῶν ἐμφανίζεσθαι.» Τοὺς γὰρ ἀνέμους ἄλλοι ἄλλως ὠνόμασαν τῶν παλαιῶν, δυνατὸν δέ ἐστιν τῷ βουλομένῳ ἀπὸ τῶν πρὸς τὸν ζῳδιακὸν γινομένων γωνιῶν ὑπὸ τοῦ δι’ ἀμφοτέρων τῶν κέντρων ἡλίου καὶ σελήνης καὶ σκιᾶς, καὶ ἀπὸ τῶν γινομένων τομῶν πρὸς τὸν ὁρίζοντα ὑπό τε τοῦ ζῳδιακοῦ καὶ τοῦ δι’ ἀμφοτέρων τῶν κέντρων ἡλίου καὶ σελήνης καὶ σκιᾶς μεγίστων κύκλων τοὺς ἀνέμους ἐμφανίζεσθαι παχυμερέστερον καὶ οὐκ ἀκριβῶς, ἐπὶ τῶν δ χρόνων, ὅταν καὶ μονῆς εἴη χρόνος· ἢ ἐπὶ τῶν τριῶν ἄνευ μονῆς, τοῦ μέσου χρόνου τῆς ἐκλείψεως τοῦ αὐτοῦ ὄντος καὶ ἐσχάτου ἐκλείποντος καὶ πρώτου [Omitted graphic marker] ἀναπληρουμένου. ὅτι δὲ παχυμερῶς δίδοται τὸ σημεῖον τοῦ ὁρίζοντος ἐφ’ ὃ ἡ πρόσνευσις γίνεται οὕτως ἔσται δῆλον. ὁρίζοντος γὰρ ὄντος τοῦ ΑΒΓΔ, καὶ ζῳδιακοῦ ὑπὲρ γῆς ἡμικυκλίου τοῦ ΑΕΓ· καὶ τοῦ μὲν ἡλίου κατὰ τὸ Ε, τῆς δὲ σελήνης κατὰ τὸ Ζ, κατά τινα χρόνον τῶν εἰρημένων οἵων ἀρχῆς ἐμπτώσεως· καὶ τοῦ δι’ ἀμφοτέρων τῶν κέντρων ὄντος τοῦ ΒΕΖΔ· ἐὰν τὸ διδόμενον τῆς γωνίας μέγεθος ᾖ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΓ περιφερειῶν περιεχόμενον, φανερὸν ἐξ ὧν δείξει ὅτι ἀντὶ τῆς ὑπὸ ΔΕΓ γωνίας τὴν ΔΓ περιφέρειαν τοῦ ὁρίζοντος λαμβάνει ὁλοσχερέστερον. |
| 310 | ἐὰν μὴ ἐκατέρα τῶν ΕΓ, ΕΔ περιφερειῶν τεταρτημορίου τυγχάνῃ, ἐὰν δὲ ὁποτέρα μείζων ᾖ ὡς ἡ ΕΓ τῆς ΕΔ τεταρτημορίου οὔσης, πόλῳ τῷ Ε διαστήματι δὲ τῇ 〈Ε〉Δ τὴν ΔΘ περιφέρειαν μεγίστου κύκλου γράψαντες, τὴν ΔΓ περιφέρειαν πάλιν οὐκ ἀκριβῶς λαμβάνομεν ἀντὶ τῆς ΔΘ. ἐὰν δὲ ἑκατέρα τῶν ΕΔ, ΕΓ ἐλάσσων ᾖ τεταρτημορίου, καὶ πόλῳ τῷ Ε καὶ διαστήματι τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ μεγίστου κύκλου γράψωμεν περιφέρειαν ὡς τὴν ΚΛ· καὶ οὕτως ἀντὶ τῆς ΚΛ ἀκριβοῦς τὴν ΔΓ παχυμερῶς λαμβάνομεν. καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως, ἱκανῆς οὔσης, ὥς φησιν, ἐν τοῖς τοιούτοις καὶ τῆς καθ’ ὁλοσχέρειαν διαλήψεως. [Omitted graphic marker] «Ὥστε τῷ ἡμίσει τῆς διαμέτρου πάλιν ἐλάσσονα εἶναι τὴν ΑΓ τῆς ΑΔ καὶ καταλείπεσθαι τῶν αὐτῶν ἑξηκοστῶν ι.» Ἐὰν γὰρ ἐκβάλλοντες τὴν ΑΓ ὡς ἐπὶ τὸ Κ, θῶμεν τῇ μὲν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σκιᾶς ἴσην τὴν ΑΚ, τῇ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης τὴν ΓΗ, ἔσται ἡ μὲν ΚΗ δακτύλων ιη, ἡ δὲ ΓΚ ἴση τῇ διαμέτρῳ τῆς σελήνης τουτέστιν ἑξηκοστῶν λγ κ. |
| 311 | ἀλλὰ ἡ ΑΚ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σκιᾶς ἑξηκοστῶν ἐστιν μγ κ. λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΓ καταλείπεται ἑξηκοστῶν ι. καὶ ὡσαύτως δὲ λέγει τὴν ΑΓ τῆς ΑΔ ἐλάσσονα δεῖξαι τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης, καὶ καταλείπεσθαι αὐτὴν ἑξηκοστῶν ι, ἐπεὶ ἡ ΑΓ τῆς ΑΚ ἐκκέντρου σκιᾶς ἐλάσσων ἐστὶν τῇ ΚΓ διαμέτρῳ τῆς σελήνης, ἡ δὲ ΑΔ τῆς ΑΚ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης ἐλάσσων ἐστίν· τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς ἔμπροσθεν ἐδείξαμεν. καὶ ἡ ΑΓ ἄρα τῆς ΑΔ ἐλάσσων ἐστὶν τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης. ἀλλ’ ἡ μὲν ΑΔ ἑξηκοστῶν ἐστιν κϛ μ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΕ, ξ, μείζων οὖσα τῆς ΑΔ τῇ διαμέτρῳ τῆς σελήνης. ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης ιϛ μ. λοιπὴ ἄρα 〈ἡ〉 ΑΓ ἑξηκοστῶν ι. Σαφηνισθέντων δὴ καὶ τῶν ἐν τῷ ϛʹ βιβλίῳ ὀφειλόντων ἐξηγήσεως τυχεῖν, τὰς αἰτίας τῶν κατὰ τὴν μέθοδον τῶν προσνεύσεων λεγομένων [Omitted graphic marker] διὰ καταγραφῆς ποιήσομεν φανερὰς οὕτως· ὁρίζοντος γὰρ ὄντος τοῦ ΑΓΒΔ, καὶ μεσημβρινοῦ τοῦ ΤΩ, καὶ ζῳδιακοῦ τοῦ ΑΒ, καὶ ἰσημερινοῦ πίπτοντος κατὰ τὰ Ψ, Φ σημεῖα, καὶ ἀνατολικῶν ὄντων μερῶν τῶν Ψ, Α, καὶ δυτικῶν τῶν Β, Φ, ἡ σελήνη πρότερον κατ’ αὐτὸν τὸν διὰ μέσων ἔστω. |
| 312 | καὶ ὁ ϡΠ κύκλος νοείσθω ὁτὲ μὲν ὁ τοῦ ἡλίου ὁτὲ δὲ ὁ τῆς σκιᾶς. Ἐπὶ μὲν τοίνυν τοῦ πρώτου ἐκλείποντος τοῦ ἡλίου, ὄντος κατὰ τὸ Ρ, καὶ τῆς σελήνης, οὔσης κατὰ τὸ Υ, καὶ ἐσχάτου ἐκλείποντος ἔπι τῆς σελήνης, αὐτῆς οὔσης κατὰ τὸ Ι, καὶ ἐσχάτου ἀναπληρουμένου ἔπι τῆς σελήνης, αὐτῆς οὔσης κατὰ τὸ Χ σημεῖον, ἡ πρόσνευσις ἔσται κατὰ τὸ Β δύνον τοῦ ζῳδιακοῦ σημεῖον. ἐκλείπει μὲν γὰρ πρώτως ὁ ἥλιος ἐκ τῶν πρὸς δύσιν μερῶν, ὑπολειπτικῶς κινουμένης τῆς σελήνης, καὶ τὸ ἀφανισθὲν αὐτοῦ μέρος νεύει ἐπὶ τὰ πρὸς δύσιν μέρη. ἐκλείπει δὲ ἐσχάτως ἡ σελήνη ὅταν πρώτως ἔσωθεν ἐφάπτηται τῆς σκιᾶς, καὶ τὸ ἀφανισθὲν αὐτῆς μέρος ἐσχάτως νεύει πάλιν ἐπὶ τὰ πρὸς δύσιν. ἀναπληροῦται δὲ ὅταν τὸ δεύτερον ἔξωθεν ἐφάπτηται τῆς σκιᾶς, καὶ τὸ ἀναπληρωθὲν αὐτῆς ἐσχάτως μέρος νεύει πάλιν ἐπὶ τὰ πρὸς δύσιν μέρη. Ἐπὶ δὲ τοῦ πρώτου ἐκλείποντος τῆς σελήνης, αὐτῆς οὔσης κατὰ τὸ Υ, καὶ τοῦ πρώτου ἀναπληρουμένου σελήνης, αὐτῆς οὔσης κατὰ τὸ Σ· καὶ ἐσχάτου ἐκλείποντος τοῦ ἡλίου, σελήνης οὔσης κατὰ τὸ Χ, ἡ πρόσνευσις ἔσται κατὰ τὸ Α ἀνατέλλον τοῦ ζῳδιακοῦ σημεῖον. ἐκλείπει μὲν γὰρ ὁ ἥλιος ἐσχάτως, πάλιν ἐκ τῶν ἀνατολικῶν μερῶν γινομένης αὐτοῦ τῆς σελήνης, καὶ τὸ ἀφανισθὲν αὐτοῦ μέρος νεύει ἐπὶ τὰ ἀνατολικὰ μέρη. ἐκλείπει δὲ πρώτως ἡ σελήνη, 〈ὅταν〉 ἐφάπτηται τοῦ τῆς σκιᾶς κύκλου, καὶ τὸ ἀφανισθὲν αὐτῆς μέρος νεύει ἐπὶ τὰ ἀνατολικὰ μέρη· ἀναπληροῦται δὲ πρώτως, ὅταν τὸ δεύτερον ἔσωθεν ἐφάπτηται τοῦ τῆς σκιᾶς κύκλου, καὶ τὸ ἀναπληρωθὲν αὐτῆς πρώτως νεύει ἐπὶ τὶ πρὸς ἀνατολὰς μέρη. Μὴ ἔστω δὴ τὸ κέντρον τῆς σελήνης κατ’ αὐτὸν τὸν διὰ μέσων, ἀλλ’ ὑποκείσθω πρότερον βορειότερον τοῦ διὰ μέσων. ἐπὶ μὲν οὖν πάλιν τοῦ πρώτου ἐκλείποντος τοῦ ἡλίου, τῆς σελήνης οὔσης κατὰ τὸ Κ, καὶ ἐσχάτου ἐκλείποντος ἔπι τῆς σελήνης, αὐτῆς οὔσης κατὰ τὸ Λ, ὅτε πάλιν πρώτως ἔσωθεν ἐφάπτηται τοῦ τῆς σκιᾶς κύκλου, ἡ πρόσνευσις ἔσται κατὰ τὸ Δ, ἀπέχον τοῦ Β τῆς δυτικῆς τομῆς ὡς πρὸς ἄρκτους τὴν ΒΔ τοῦ ὁρίζοντος περιφέρειαν, ἀντὶ τῆς ὑπὸ ΒΡΔ γωνίας λαμβανομένης. |
| 313 | τὸ γὰρ ἀφανισθὲν κατ’ ἀμφοτέρας τὰς ὑποθέσεις νεύει πάλιν ἐπὶ τὰ πρὸς δύσιν καὶ ἄρκτους μέρη, διὰ τὴν προειρημένην αἰτίαν. ἐπὶ δὲ τοῦ πρώτου ἀναπληρουμένου τῆς σελήνης, αὐτῆς οὔσης κατὰ τὸ Μ, ὅτε τὸ δεύτερον ἔσωθεν ἐφάπτεται τοῦ τῆς σκιᾶς κύκλου, καὶ τοῦ ἐσχάτου ἀναπληρουμένου τοῦ ἡλίου, τῆς σελήνης οὔσης κατὰ τὸ Ν, ἡ πρόσνευσις ἔσται κατὰ τὸ Ε, ἀπὸ τῆς ἀνατολικῆς τομῆς τοῦ Α ὡς πρὸς ἄρκτους τὴν ΑΕ περιφέρειαν τοῦ ὁρίζοντος, ἀντὶ τῆς ὑπὸ ΑΡΕ γωνίας. τὸ γὰρ ἀφανισθὲν κατ’ ἀμφοτέρας τὰς ὑποθέσεις ἐπὶ τὰ 〈βόρειά τε καὶ〉 ἀνατολικὰ νεύει μέρη. ἐπὶ δὲ τοῦ πρώτου ἐκλείποντος τῆς σελήνης, αὐτῆς οὔσης κατὰ τὸ Κ, ὅτε πρώτως ἔξωθεν ἐφάπτεται τοῦ κύκλου τῆς σκιᾶς, καὶ τὸ ἀφανισθὲν αὐτῆς μέρος πρὸς μεσημβρίαν τε καὶ ἀνατολὰς νεύει, ἡ πρόσνευσις ἔσται κατὰ τὸ Γ, ἀπέχον τοῦ Α τῆς ἀνατολικῆς τοῦ ζῳδιακοῦ τομῆς ὡς πρὸς μεσημβρίαν τὴν ΑΓ τοῦ ὁρίζοντος περιφέρειαν, ἀντὶ τῆς ὑπὸ ΑΡΓ γωνίας. ἐπὶ δὲ τοῦ ἐσχάτου ἀναπληρουμένου τῆς σελήνης, αὐτῆς οὔσης κατὰ τὸ Ν, ὅτε τὸ δεύτερον ἔξωθεν ἐφάπτεται τοῦ κύκλου τῆς σκιᾶς, καὶ τὸ ἀφανισθὲν μέρος πρὸς μεσημβρίαν καὶ δύσιν νεύει, ἡ πρόσνευσις ἔσται κατὰ τὸ Ζ, ἀπέχον τῆς δυτικῆς τομῆς ὡς πρὸς μεσημβρίαν τὴν ΒΖ περιφέρειαν, ἀντὶ τῆς ὑπὸ ΒΡΖ γωνίας. ὅταν δὲ τὸ κέντρον τῆς σελήνης νοτιώτερον ᾖ τοῦ διὰ μέσων, ἐπὶ μὲν τοῦ πρώτου ἐκλείποντος τοῦ ἡλίου, τῆς σελήνης οὔσης κατὰ τὸ Η, καὶ τοῦ ἐσχάτου ἐκλείποντος ἔπι τῆς σελήνης, αὐτῆς οὔσης κατὰ τὸ Θ, ὅτε τὸ πρῶτον ἔσωθεν ἐφάπτεται τοῦ τῆς σκιᾶς κύκλου, καὶ τὸ ἀφανισθὲν αὐτῶν μέρος ἐπὶ μεσημβρίαν τε καὶ δύσιν νεύει, ἡ πρόσνευσις ἔσται κατὰ τὸ Ζ, ἀπέχον τῆς δυτικῆς τοῦ ζῳδιακοῦ τομῆς τοῦ Β τὴν ΒΖ τοῦ ὁρίζοντος περιφέρειαν ὡς πρὸς μεσημβρίαν. |
| 314 | ἐπὶ δὲ τοῦ ἐσχάτου ἀναπληρουμένου τοῦ ἡλίου, τῆς σελήνης οὔσης κατὰ τὸ Ο, καὶ πρώτου ἀναπληρουμένου τῆς σελήνης, αὐτῆς οὔσης κατὰ τὸ Ξ, ὅτε τὸ δεύτερον ἔσωθεν ἐφάπτεται τῆς σκιᾶς ἡ σελήνη, καὶ τὸ ἀφανισθὲν μέρος αὐτῶν νεύει πρὸς μεσημβρίας τε καὶ ἐπὶ τὰ πρὸς ἀνατολὰς μέρη, ἡ πρόσνευσις ἔσται κατὰ τὸ Γ ἀπέχον τῆς ἀνατολικῆς τοῦ ζῳδιακοῦ τομῆς τοῦ Α ὡς πρὸς μεσημβρίαν τὴν ΑΓ περιφέρειαν τοῦ ὁρίζοντος, ἀντὶ τῆς ὑπὸ ΑΡΓ γωνίας. ἐπὶ δὲ τοῦ πρώτου ἐκλείποντος τῆς σελήνης, αὐτῆς οὔσης κατὰ τὸ Η, ὅτε τὸ πρῶτον ἔξωθεν ἐφάπτεται τοῦ τῆς σκιᾶς κύκλου, καὶ τὸ ἀφανισθὲν αὐτῆς μέρος νεύει πρὸς ἄρκτους τε καὶ πρὸς ἀνατολάς, ἡ πρόσνευσις ἔσται κατὰ τὸ Ε τῆς ἀνατολικῆς ὡς πρὸς ἄρκτους. ἐπὶ δὲ τοῦ ἐσχάτου ἀναπληρουμένου τῆς σελήνης, αὐτῆς οὔσης κατὰ τὸ Ο, ὅτε τὸ δεύτερον ἔξωθεν ἐφάπτεται τοῦ κύκλου τῆς σκιᾶς, καὶ τὸ ἀφανισθὲν αὐτῆς μέρος νεύει πρὸς ἄρκτους τε καὶ δύσεις, ἡ πρόσνευσις ἔσται κατὰ τὸ Δ ἀπὸ τῆς δυτικῆς τομῆς τοῦ Β ὡς πρὸς ἄρκτους τὴν ΒΔ περιφέρειαν τοῦ ὁρίζοντος, ἀντὶ τῆς ὑπὸ ΒΡΔ γωνίας. |