eul_wid: odi-aj
DefinitionsὍροι
Hero of Alexandria Definitions PDF
The Definitions is a concise mathematical glossary attributed to Hero of Alexandria, the noted engineer and inventor of the 1st century CE. This systematic work presents 133 definitions of fundamental geometric terms—including points, lines, angles, and plane and solid figures—followed by 36 postulates concerning magnitudes and equality, totaling 169 entries. Its clear and structured format indicates it was designed as a textbook or reference manual, likely intended to standardize core geometric vocabulary for students before they engaged with the more advanced applied mechanics found in Hero's other treatises. The complete text is preserved in medieval Greek manuscripts dating from the 12th century onward. Modern scholarship considers it part of the "Heroian corpus," a collection of scientific works attributed to Hero, though the precise authorship of individual texts within this group is occasionally debated. Its primary historical significance lies in its role in preserving and transmitting essential Greek geometric terminology into later Byzantine and scholarly traditions, where it served as a foundational supplement to the study of mathematics.
| 1.1.(1t) | ΗΡΩΝΟΣ ΟΡΟΙ ΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΟΝΟΜΑΤΩΝ. [αʹ. |
| pinax 1 | Τί ἐστι σημεῖον; βʹ. Τί γραμμή; γʹ. Τίνες αἱ τῶν γραμμῶν διαφοραί; δʹ. Τί ἐστιν εὐθεῖα γραμμή; εʹ. Τίνες αἱ κυκλικαὶ γραμμαί; ϛʹ. Τίνες αἱ καμπύλαι γραμμαί; ζʹ. Τίνες αἱ ἑλικοειδεῖς γραμμαί; ηʹ. Περὶ ἐπιφανείας. θʹ. Τί ἐστιν ἐπίπεδος ἐπιφάνεια; ιʹ. Τίς ἡ οὐκ ἐπίπεδος ἐπιφάνεια; ιαʹ. Περὶ στερεοῦ σώματος. ιβʹ. Περὶ γωνίας καὶ κεκλασμένης γραμμῆς. ιγʹ. Τίνες αἱ γενικαὶ τῶν γωνιῶν διαφοραί; ιδʹ. Τί ἐστι κοινῶς ἐπίπεδος γωνία; ιεʹ. Τίς ἡ ἐπίπεδος εὐθύγραμμος γωνία; ιϛʹ. Τίνες αἱ τῶν εὐθυγράμμων γωνιῶν διαφοραί; ιζʹ. Τίς ἡ ὀρθὴ γωνία; ιηʹ. Τίς ἡ ὀξεῖα γωνία; ιθʹ. Τίς ἡ ἀμβλεῖα γωνία; κʹ. Πῶς ἔχουσι πρὸς ἀλλήλας αἱ εὐθύγραμμοι; καʹ. Ὅτι ἡ ὀρθὴ γωνία καὶ ἡ μονὰς καὶ τὸ νῦν ὁμοίως ἔχουσιν. κβʹ. Περὶ στερεᾶς γωνίας. κγʹ. Περὶ σχήματος. κδʹ. Τίνες οἱ τῶν σχημάτων ὅροι; κεʹ. Τίνες αἱ γενικαὶ τῶν σχημάτων διαφοραί; κϛʹ. Τίνες αἱ τῶν ἐπιπέδων σχημάτων διαφοραί; κζʹ. Περὶ ἀσυνθέτου ἐπιπέδου σχήματος, ὅ ἐστι κύκλος. κηʹ. Περὶ διαμέτρου. κθʹ. Περὶ τῶν ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἐξ ἀνομογενῶν συνθέτων περιφερειῶν σχημάτων, οἷον τί ἐστιν ἡμικύκλιον; λʹ. Τί ἐστιν ἁψίς; λαʹ. Τί ἐστι τμῆμα κύκλου τὸ μεῖζον; λβʹ. Τί ἐστι κοινῶς τμῆμα κύκλου; λγʹ. Τίς ἡ ἐν τμήματι κύκλου γωνία; λδʹ. Τί ἐστι τομεὺς κύκλου; λεʹ. Περὶ τῶν ἐκ δύο περιφερειῶν ἐπιπέδων σχημάτων καὶ λοιπῶν, τουτέστι περὶ κυρτῆς καὶ κοίλης περιφερείας. λϛʹ. Τί ἐστι μηνίσκος; λζʹ. Τί ἐστι στεφάνη; ληʹ. Τί ἐστι πέλεκυς; λθʹ. Τίνες αἱ τῶν ἐν τοῖς ἐπιπέδοις εὐθυγράμμων σχημάτων διαφοραί; μʹ. Τί ἐστι τρίγωνον; μαʹ. Τίνα τῶν τριγώνων εἴδη καὶ πόσα; μβʹ. Τί τὸ ἰσόπλευρον; μγʹ. |
| pinax 1 (50) | Τί τὸ ἰσοσκελές; μδʹ. Τί τὸ σκαληνόν; μεʹ. Τί τὸ ὀρθογώνιον; μϛʹ. Τί τὸ ὀξυγώνιον; μζʹ. Τί τὸ ἀμβλυγώνιον; μηʹ. Τριγώνων ἰδιότητες. μθʹ. Περὶ τετραπλεύρων σχημάτων. τί ἐστι τετράπλευρον ἐπίπεδον; νʹ. Τίνες αἱ τῶν τετραπλεύρων διαφοραί; ναʹ. Τίνα τὰ τετράγωνα; νβʹ. Τίνα τὰ ἑτερομήκη; νγʹ. Τί ῥόμβοι; νδʹ. Τί ῥομβοειδῆ; νεʹ. Τίνα παραλληλόγραμμα; νϛʹ. Περὶ παραλληλογράμμων ὀρθογωνίων. νζʹ. Τίς ὁ ἐν παραλληλογράμμῳ γνώμων; νηʹ. Τί ἐστι γνώμων κοινῶς; νθʹ. Τί ἐστι τραπέζιον; ξʹ. Τίνα τὰ τραπέζια; ξαʹ. Τίνα τὰ τραπεζοειδῆ; ξβʹ. Τί τραπέζιον ἰσοσκελές; ξγʹ. Τί τραπέζιον σκαληνόν; ξδʹ. Τίνα τὰ πολύπλευρα ἐπίπεδα; ξεʹ. Περὶ τῶν ἐν τοῖς ἐπιπέδοις εὐθυγράμμων καὶ ἕκαστα λεγομένων, οἷον τί ἐστι βάσις; ξϛʹ. Τί ἐστι πλευρά; ξζʹ. Τί ἐστι διαγώνιος; ξηʹ. Τί ἐστι κάθετος; ξθʹ. Τί ἐστι κάθετος πρὸς ὀρθάς; οʹ. Τίνες εἰσὶ εὐθεῖαι παράλληλοι; οαʹ. Τίνες οὐ παράλληλοι εὐθεῖαι; οβʹ. Τί ἐστι τριγώνου ὕψος; ογʹ. Τίνα τῶν ἐπιπέδων σχημάτων συμπληροῖ τὸν τοῦ ἐπιπέδου τόπον; Ἑρμηνεῖαι τῶν στερεομετρουμένων. οδʹ. Τίνες τῶν ἐν τοῖς στερεοῖς σχήμασι τῶν ἐπιφανειῶν διαφοραί; οεʹ. Τίνες τῶν ἐν τοῖς στερεοῖς σχήμασι τῶν γραμμῶν διαφοραί; οϛʹ. Περὶ σφαίρας ἀσυνθέτου στερεοῦ σώματος καὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας. οζʹ. Τί κέντρον σφαίρας; οηʹ. Τί ἄξων σφαίρας; οθʹ. Τί πόλος ἐν σφαίρα; πʹ. Τί κύκλος ἐν σφαίρᾳ; παʹ. Τί κύκλου πόλος ἐπὶ σφαίρᾳ; πβʹ. Ὅτι τῶν στερεῶν ἰσοπεριμέτρων σχημάτων μείζων ἡ σφαῖρα. πγʹ. Περὶ τῶν ἐξ ἀνομογενῶν συνθέτων στερεῶν σχημάτων οὕτως· τί κῶνος; πδʹ. |
| pinax 1 (100) | Τί βάσις κώνου; πεʹ. Τί κορυφὴ κώνου; πϛʹ. Τί ἄξων κώνου; πζʹ. Τίς ὁ ἰσοσκελὴς κῶνος; πηʹ. Τίς ὁ σκαληνὸς κῶνος; πθʹ. Τίς ὀρθογώνιος κῶνος; Ϟʹ. Τίς ὀξυγώνιος κῶνος; Ϟαʹ. Τίς ἀμβλυγώνιος κῶνος; Ϟβʹ. Τί κόλουρος κῶνος; Ϟγʹ. Τίς ἐπιφάνεια κώνου; Ϟδʹ. Τί τομὴ κώνου; Ϟεʹ. Περὶ κυλίνδρου ἄξονος καὶ βάσεως αὐτοῦ καὶ τομῆς κυλίνδρου. Ϟϛʹ. Περὶ τομῆς κοινῶς. Ϟζʹ. Περὶ τῶν ἐκ δύο περιφερειῶν στερεῶν σχημάτων, σπείρας ἤτοι κρίκου. Ϟηʹ. Τίνες αἱ τῶν εὐθυγράμμων στερεῶν σχημάτων διαφοραί; Ϟθʹ. Τί ἐστι πυραμίς; ρʹ. Τί ἐστι κύβος; ραʹ. Τί ἐστιν ὀκτάεδρον; ρβʹ. Τί ἐστι δωδεκάεδρον; ργʹ. Τί ἐστιν εἰκοσάεδρον; ρδʹ. Ὅτι πλὴν τοῦ δωδεκαέδρου τὰ δ λόγον ἔχουσι πρὸς τὴν σφαῖραν. ρεʹ. Τί ἐστι πρίσματα; ρϛʹ. Τίνα τῶν σχημάτων οὔτε πυραμίδες οὔτε πρίσματά εἰσι; ρζʹ. Τίνα δὲ παραλληλόγραμμα πρίσματα; ρηʹ. Τίνα τὰ παραλληλεπίπεδα; ρθʹ. Τίς ἡ ἐν στερεῷ κάθετος; ριʹ. Τίνα τὰ παραλληλόπλευρα ὀρθογώνια πρίσματα, τίνα δὲ οὐκ ὀρθογώνια; ριαʹ. Τί ἐστι κύβος; ριβʹ. Τί ἐστι δοκός; ριγʹ. Τί ἐστι πλινθίς; ριδʹ. Τί ἐστι σφηνίσκος; ριεʹ. Τίνων καὶ πόσαι ἐν τοῖς σχήμασιν ἐπαφαί; ριϛʹ. Περὶ ἴσων καὶ ὁμοίων σχημάτων. ριζʹ. Περὶ ἴσων γραμμῶν. ριηʹ. Περὶ ἴσων καὶ ἀντιπεπονθότων σχημάτων. ριθʹ. Περὶ τοῦ ἐν μεγέθεσιν ἀπείρου. ρκʹ. Περὶ τοῦ ἐν μεγέθεσι μέρους. ρκαʹ. Περὶ πολλαπλασίου. ρκβʹ. Περὶ τῆς κατὰ μεγέθη ἀναλογίας. ρκγʹ. Τίνα λόγον ἔχει πρὸς ἄλληλα τὰ μεγέθη; ρκδʹ. Τίνα τὰ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ μεγέθη ἐστίν; ρκεʹ. Διάφοροι μεγεθῶν ἀναλογίαι. ρκϛʹ. Τίνα τὰ ὁμόλογα μεγέθη; ρκζʹ. Περὶ τῆς ἐν τοῖς μεγέθεσι τῶν λόγων διαφορᾶς. ρκηʹ. |
| pinax 1 (150) | Περὶ μεγεθῶν συμμέτρων καὶ ἀσυμμέτρων. ρκθʹ. Περὶ εὐθειῶν συμμέτρων καὶ ἀσυμμέτρων. ρλʹ. Τίνα μέρη τῶν ἐν τοῖς μεγέθεσι μετρήσεων καταμετροῦντα τὰ ὅλα; ρλαʹ. Τί τῶν εἰρημένων ἕκαστον δύναται; ρλβʹ. Εὐθυμετρικά. ρλγʹ. Ἐμβαδομετρικά. ρλδʹ. Ἥρωνος ἀρχὴ τῶν γεωμετρουμένων. ρλεʹ. Εἴδη τῆς μετρήσεως πέντε. ρλϛʹ. Κύκλων θεωρήματα δ . ρλζʹ. Ἥρωνος εἰσαγωγαὶ τῶν γεωμετρουμένων. Καὶ τὰ μὲν πρὸ τῆς γεωμετρικῆς στοιχειώσεως τεχνολογούμενα ὑπογράφων σοι καὶ ὑποτυπούμενος, ὡς ἔχει μάλιστα συντόμως, Διονύσιε λαμπρότατε, τήν τε ἀρχὴν καὶ τὴν ὅλην σύνταξιν ποιήσομαι κατὰ τὴν τοῦ Εὐκλείδου τοῦ στοιχειωτοῦ τῆς ἐν γεωμετρίᾳ θεωρίας διδασκαλίαν· οἶμαι γὰρ οὕτως οὐ μόνον τὰς ἐκείνου πραγματείας εὐσυνόπτους ἔσεσθαί σοι, ἀλλὰ καὶ πλείστας ἄλλας τῶν εἰς γεωμετρίαν ἀνηκόντων. |
| proem 1 | ἄρξομαι τοίνυν ἀπὸ σημείου. [Περὶ σημείου. |
| 1.1 | ] Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθὲν ἢ πέρας ἀδιάστατον ἢ πέρας γραμμῆς, πέφυκε δὲ διανοίᾳ μόνῃ ληπτὸν εἶναι ὡσανεὶ ἀμερές τε καὶ ἀμέγεθες τυγχάνον. τοιοῦτον οὖν αὐτό φασιν εἶναι οἷον ἐν χρόνῳ τὸ ἐνεστὸς καὶ οἷον μονάδα θέσιν ἔχουσαν. ὅτι μὲν οὖν τῇ οὐσίᾳ ταὐτὸν τῇ μονάδι· ἀδιαίρετα γὰρ ἄμφω καὶ ἀσώματα καὶ ἀμέριστα· τῇ δὲ ἐπιφανείᾳ καὶ τῇ σχέσει διαφέρει· ἡ μὲν γὰρ μονὰς ἀρχὴ ἀριθμοῦ, τὸ δὲ σημεῖον τῆς γεωμετρουμένης οὐσίας ἀρχή, ἀρχὴ δὲ κατὰ ἔκθεσιν, οὐχ ὡς μέρος ὂν τῆς γραμμῆς, ὡς τοῦ ἀριθμοῦ μέρος ἡ μονάς, προεπινοούμενον δὲ αὐτῆς· κινηθέντος γὰρ ἢ μᾶλλον νοηθέντος ἐν ῥύσει νοεῖται γραμμή, καὶ οὕτω σημεῖον ἀρχή ἐστι γραμμῆς, ἐπιφάνεια δὲ στερεοῦ σώματος. [Περὶ γραμμῆς. |
| 2.1 | ] Γραμμὴ δέ ἐστι μῆκος ἀπλατὲς καὶ ἀβαθὲς ἢ τὸ πρῶτον ἐν μεγέθει τὴν ὑπόστασιν λαμβάνον ἢ τὸ ἐφ’ ἓν διαστατόν τε καὶ διαιρετόν· γίνεται δὲ σημείου ῥυέντος ἄνωθεν κάτω ἐννοίᾳ τῇ κατὰ τὴν συνέχειαν, περιέχεταί τε καὶ περατοῦται σημείοις πέρας ἐπιφανείας αὐτὴ γενομένη. λέγοιτο δὲ ἂν εἶναι γραμμὴ τὸ διαιροῦν ἀπὸ τῆς σκιᾶς τὴν ἡλιακὴν ἀκτῖνα ἢ ἀπὸ τοῦ πεφωτισμένου μέρους τὴν σκιὰν καὶ ἐν ἱματίῳ ὡς ἐν συνεχεῖ νοουμένῳ τὸ χωρίζον τὴν πορφύραν ἀπὸ τοῦ ἐρίου ἢ τὸ ἔριον ἀπὸ τῆς πορφύρας. ἤδη δὲ κἀν τῇ συνηθείᾳ τῆς γραμμῆς ἔννοιαν ἔχομεν ὡς μῆκος μόνον ἐχούσης, οὐκέτι δὲ πλάτος ἢ βάθος. λέγομεν γοῦν· εἷς τοῖχός ἐστι καθ’ ὑπόθεσιν πηχῶν ρ , οὐκέτι ἀποβλέποντες εἰς τὸ πλάτος ἢ τὸ πάχος, ἢ ὁδὸς σταδίων ν , τὸ μῆκος μόνον, οὐκέτι δὲ καὶ τὸ πλάτος αὐτῆς πολυπραγμονοῦντες, ὡς γραμμικὴν ἡμῖν εἶναι καὶ τὴν τοιαύτην ἐξαρίθμησιν· αὐτίκα καὶ εὐθυμετρικὴ καλεῖται. [Τίνες αἱ τῶν γραμμῶν διαφοραί;] Τῶν γραμμῶν αἱ μέν εἰσιν εὐθεῖαι, αἱ δὲ οὔ, καὶ τῶν μὴ εὐθειῶν αἱ μέν εἰσι κυκλικαὶ περιφέρειαι ὀνομαζόμεναι, αἱ δὲ ἑλικοειδεῖς, αἱ δὲ καμπύλαι. |
| 4.1 | [Τίς εὐθεῖα γραμμή;] Εὐθεῖα μὲν οὖν γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐπ’ αὐτῆς σημείοις κεῖται ὀρθὴ οὖσα καὶ οἷον ἐπ’ ἄκρον τεταμένη ἐπὶ τὰ πέρατα· ἥτις δύο δοθέντων σημείων μεταξὺ ἐλαχίστη ἐστὶν τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν γραμμῶν, καὶ ἧς πάντα τὰ μέρη πᾶσι τοῖς μέρεσι παντοίως ἐφαρμόζειν πέφυκε, καὶ τῶν περάτων μενόντων καὶ αὐτὴ μένουσα, οἷον ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ στρεφομένη καὶ περὶ τὰ αὐτὰ πέρατα, τὸν αὐτὸν ἀεὶ τόπον ἔχουσα. οὔτε δὲ μία εὐθεῖα οὔτε δύο σχῆμα τελοῦσιν. [Τίνες αἱ κυκλικαὶ γραμμαί;] Κυκλικαὶ γραμμαί εἰσιν, ὅσαι περὶ ἓν σημεῖον περιφερῶς ἐπ’ ἄκρον τεταμέναι ἢ κύκλους ἢ μέρη κύκλων ἀποτελοῦσι μόναι τῶν ἄλλων γραμμῶν σχήματος οὖσαι ποιητικαί. |
| 6.1 | [Τίνες αἱ καμπύλαι γραμμαί;] Τῶν δὲ καμπύλων γραμμῶν ἔστιν μέντοι πλῆθος ἄπειρον· αἱ μὲν γὰρ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ κοῖλα ἔχουσιν, αἱ δὲ οὔ. ἐπὶ τὰ αὐτὰ μὲν οὖν κοίλη γραμμή ἐστιν, ὅταν δύο σημείων ληφθέντων αὐτῆς ὁποιωνοῦν ἡ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνύουσα εὐθεῖα ἤτοι κατ’ αὐτῆς πίπτῃ τῆς γραμμῆς ἢ ἐντός, ἐκτὸς δὲ μηδέποτε. οὐκ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κοίλη γραμμή ἐστιν ἡ οὐχ οὕτως ἔχουσα. [Τίνες αἱ ἑλικοειδεῖς γραμμαί;] Ἕλιξ δὲ γραμμή ἐστιν ἐν ἐπιπέδῳ μέν, ἐὰν εὐθείας μένοντος τοῦ ἑτέρου πέρατος [καὶ] κινουμένης ἐν τῷ ἐπιπέδῳ, ἕως εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, φέρηταί τι σημεῖον ἀπὸ τοῦ μένοντος πέρατος ὁμοῦ ἀρξάμενον τῇ εὐθείᾳ· καὶ ἡ μὲν ἀπὸ ταύτης τῆς εὐθείας γινομένη γραμμὴ κύκλος ἔσται, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ κατὰ τῆς εὐθείας φερομένου σημείου ἕλιξ καλεῖται. |
| 7.1 | ἐὰν δὲ παραλληλογράμμου ὀρθογωνίου μενούσης μιᾶς πλευρᾶς τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιενεχθέντος τὸ μὲν παραλληλόγραμμον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἅμα δὲ τῷ παραλληλογράμμῳ σημεῖόν τι φέρηται κατ’ αὐτῆς τῆς μὴ μενούσης παραλλήλου ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ ἑτέρου πέρατος, τὸ μὲν [οὖν] περιληφθὲν σχῆμα ὑπὸ τῆς τοῦ παραλληλογράμμου κινήσεως καλεῖται κύλινδρος, ἡ δὲ ὑπὸ τοῦ φερομένου σημείου γραμμὴ γίνεται ἕλιξ, ἧς πᾶν μέρος ἐπὶ πᾶν ἐφαρμόζει, ὅταν ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ κοῖλα ἔχῃ. [Περὶ ἐπιφανείας. |
| 8.1 | ] Ἐπιφάνειά ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει ἢ πέρας σώματος καὶ τόπου ἢ τὸ ἐπὶ δύο διαστατὸν ἀβαθὲς ἢ τὸ παντὸς στερεοῦ τε καὶ ἐπιπέδου σχήματος κατὰ δύο διαστάσεις μήκους καὶ πλάτους ἐπιφαινόμενον πέρας. γίνεται δὲ ῥύσει ὑπὸ γραμμῆς κατὰ πλάτος ἀπὸ δεξιῶν ἐπ’ ἀριστερὰ ῥυείσης. καὶ νοοῖτ’ ἂν εἶναι ἐπιφάνεια πᾶσα σκιὰ καὶ πᾶσα χρόα, καθ’ ὃ καὶ χρόας ἐκάλουν οἱ Πυθαγόρειοι τὰς ἐπιφανείας· νοοῖτο καί, καθ’ ὃ μίγνυται ὁ ἀὴρ τῇ γῇ ἢ ἄλλῳ στερεῷ σώματι ἢ ὁ ἀὴρ ὕδατι ἢ τὸ ὕδωρ ποτηρίῳ ἢ ἄλλῳ τινὶ δοχείῳ. [Τίνες αἱ τῶν ἐπιφανειῶν γενικαὶ διαφοραί· ἢ τίς ἐπίπεδος ἐπιφάνεια;] Τῶν δὲ ἐπιφανειῶν αἱ μὲν ἐπίπεδοι καλοῦνται, αἱ δὲ οὔ. [Τί ἐστιν ἐπίπεδος ἐπιφάνεια;] Ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφ’ ἑαυτῆς εὐθείαις κεῖται ὀρθὴ οὖσα ἀποτεταμένη· ἧς ἐπειδὰν δύο σημείων ἅψηται εὐθεῖα, καὶ ὅλη αὐτῇ κατὰ πάντα τόπον παντοίως ἐφαρμόζεται, τουτέστιν ἡ κατὰ ὅλην εὐθεῖαν ἐφαρμόζουσα, καὶ ἡ ἐλαχίστη πασῶν τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν ἐπιφανειῶν, καὶ ἧς πάντα τὰ μέρη ἐφαρμόζειν πέφυκε. |
| 10.1 | [Τίς δὲ οὐκ ἐπίπεδος ἐπιφάνεια;] Οὐκ ἐπίπεδοι ἐπιφάνειαί εἰσιν αἱ μὴ οὕτως ἔχουσαι, τουτέστιν αἱ μὴ πάντη κατ’ εὐθείας φερόμεναι γραμμάς, ἔχουσαι δέ τινα ἀνωμαλίαν καὶ οὐκ ὀρθαὶ δι’ ὅλου. [Περὶ στερεοῦ σώματος. |
| 11.1 | ] Στερεόν ἐστι σῶμα τὸ μῆκος καὶ πλάτος καὶ βάθος ἔχον ἢ τὸ ταῖς τρισὶ διαστάσεσι κεχρημένον. καλοῦνται δὲ στερεὰ σώματα καὶ οἱ τόποι. σῶμα μὲν οὖν μαθηματικόν ἐστι τὸ τριχῆ διαστατόν, σῶμα δὲ ἁπλῶς τὸ τριχῆ διαστατὸν μετὰ ἀντιτυπίας. περατοῦται δὲ πᾶν στερεὸν ὑπὸ ἐπιφανειῶν καὶ γίνεται ἐπιφανείας ἀπὸ τῶν πρόσω [ἔμπροσθεν] ἐπὶ τὰ ὀπίσω ἐνεχθείσης. [Περὶ γωνίας καὶ κεκλασμένης γραμμῆς. |
| 12.1 | ] Γωνία ἐστὶ συναγωγὴ πρὸς ἓν σημεῖον ὑπὸ κεκλασμένης ἐπιφανείας ἢ γραμμῆς ἀποτελουμένη. κεκλασμένη δὲ λέγεται γραμμή, ἥτις ἐκβαλλομένη οὐ συμπίπτει αὐτὴ καθ’ ἑαυτῆς. [Τίνες αἱ γενικαὶ γωνιῶν διαφοραί;] Τῶν δὲ γωνιῶν αἱ μέν εἰσιν ἐπίπεδοι, αἱ δὲ στερεαί, καὶ τῶν ἐπιπέδων ἢ στερεῶν αἱ μέν εἰσιν εὐθύγραμμοι, αἱ δὲ οὔ. |
| 14.1 | [Τί ἐστι κοινῶς ἐπίπεδος γωνία;] Ἐπίπεδος μὲν οὖν ἐστι κοινῶς γωνία ἡ ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμῶν ἁπτομένων ἀλλήλων καὶ μὴ ἐπ’ εὐθείας κειμένων πρὸς ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις. εἰσὶ δὲ οὐ συνεχεῖς ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ γραμμαί, ὅταν ἡ ἑτέρα προσεκβαλλομένη κατὰ τὴν ἑαυτῆς σύννευσιν μὴ πίπτῃ κατὰ τῆς ἑτέρας. καὶ ἄλλως δέ· ἐπίπεδός ἐστι γωνία γραμμῆς ἐν ἐπιπέδῳ πρὸς ἑνὶ σημείῳ κλάσις ἢ συναγωγὴ πρὸς ἓν σημεῖον ὑπὸ κεκλασμένῃ γραμμῇ. [Τίς ἡ ἐπίπεδος εὐθύγραμμος γωνία;] Ἐπίπεδος δὲ εὐθύγραμμος καλεῖται γωνία, ὅταν αἱ περιέχουσαι αὐτὴν γραμμαὶ εὐθεῖαι ὦσιν [ἐπίπεδος δὲ γωνία ἡ ἐν ἐπιπέδῳ πρὸς ἑνὶ σημείῳ σύννευσις γραμμῆς], ἢ γραμμῆς εὐθείας πρὸς ἑνὶ σημείῳ κλάσις· οὕτω γοῦν γλωχῖνας ἐκάλουν οἱ Πυθαγόρειοι τὰς γωνίας. |
| 16.1 | [Τίνες αἱ τῶν εὐθυγράμμων γωνιῶν διαφοραί;] Τῶν ἐν τοῖς ἐπιπέδοις οὐκ εὐθυγράμμων γωνιῶν πλῆθός ἐστιν ἄπειρον. τῶν δὲ ἐν τοῖς ἐπιπέδοις εὐθυγράμμων γωνιῶν εἴδη ἐστὶ τρία· αἱ μὲν γὰρ ὀρθαί, αἱ δὲ ὀξεῖαι, αἱ δὲ ἀμβλεῖαι καλοῦνται. [Τίς ἡ ὀρθὴ γωνία;] Ὀρθὴ μὲν οὖν ἐστι γωνία ἡ τῇ ἀντικειμένῃ ἴση. |
| 17.1 | ἀντικείμεναι δέ εἰσιν, ἃς ποιεῖ εὐθεῖα ἐπ’ εὐθεῖαν σταθεῖσα· ὅταν γὰρ εὐθεῖα ἐπ’ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν. [Τίς ἡ ὀξεῖα γωνία;] Ὀξεῖα γωνία ἐστὶν ἡ ἐλάττων ὀρθῆς. |
| 19.1 | [Τίς ἡ ἀμβλεῖα γωνία;] Ἀμβλεῖα δὲ ἡ μείζων ὀρθῆς· ὅταν γὰρ εὐθεῖα ἐπ’ εὐθεῖαν σταθεῖσα γωνίας ἀνίσους ποιῇ, ἡ μὲν ἐλάττων καλεῖται ὀξεῖα, ἡ δὲ μείζων ἀμβλεῖα. [Πῶς ἔχουσι πρὸς ἀλλήλας αἱ εὐθύγραμμοι;] Πᾶσα μὲν ὀρθὴ πάσῃ ὀρθῇ ἐστιν ἴση, οὐκέτι δὲ πᾶσα ὀξεῖα πάσῃ ὀξείᾳ ἐστὶν ἴση, οὐδὲ πᾶσα ἀμβλεῖα πάσῃ ἀμβλείᾳ ἐστὶν ἴση. |
| 20.1 | εὐθείας γὰρ ἐπὶ εὐθεῖαν σταθείσης καὶ ἐγκλινάσης ἀπὸ τῆς ὀρθῆς μέχρι τούτου ἐλαττοῦται ἡ ὀξεῖα, ἕως συνιζήσωσιν αὐταὶ αἱ εὐθεῖαι καὶ ἐφίκωνται ἀλλήλων, εὐθείας δὲ ἐπ’ εὐθεῖαν σταθείσης καὶ ἀποκλινάσης ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας μέχρι τούτου μείζων γίνεται ἡ ἀμβλεῖα, ἕως ἂν ὑπτιάσασα ἡ κάθετος ἐπ’ εὐθείας καὶ συνεχὴς γένηται τῇ ὑποκειμένῃ. [Ὅτι ἡ ὀρθὴ γωνία καὶ τὸ νῦν καὶ ἡ μονὰς ὁμοίως ἔχουσιν. |
| 21.1 | ] Ἡ ὀρθὴ γωνία καὶ τὸ νῦν καὶ μονὰς ὁμοίως ἔχουσιν· ἥ τε γὰρ ὀρθὴ γωνία ἀεὶ ἕστηκεν ἡ αὐτὴ μένουσα τῆς ὀξείας καὶ ἀμβλείας ἐπ’ ἄπειρον μετακινουμένων, ἥ τε μονὰς μὲν αὐτὴ ἕστηκεν, ὁ δὲ μερισμὸς περὶ αὐτὴν καὶ ἡ σύνθεσις, καὶ τὸ νῦν δὲ αὐτὸ ἕστηκεν, ὁ δὲ παρεληλυθὼς καὶ ὁ μέλλων ἐπ’ ἄπειρον. [Περὶ στερεᾶς γωνίας. |
| 22.1 | ] Στερεὰ γωνία κοινῶς μέν ἐστιν ἐπιφανείας ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ κοῖλα ἐχούσης πρὸς ἑνὶ σημείῳ συναγωγή. καὶ ἄλλως δέ· στερεὰ γωνία ἐστὶν ἡ ὑπὸ τριῶν ἢ πλειόνων γωνιῶν περιεχομένη [ἢ] συναγωγὴ στερεοῦ πρὸς ἑνὶ σημείῳ ὑπὸ κεκλασμένῃ ἐπιφανείᾳ. κεκλασμένη δέ ἐστιν ἐπιφάνεια πρὸς γραμμήν, ἥτις ἐκβαλλομένη οὐ συμπίπτει αὐτὴ καθ’ ἑαυτῆς· νοεῖται δὲ ἐκβαλλομένη, ὅταν [μὴ] φαίνηται μὴ ἐκβαίνουσα ὅλον αὐτῆς τὸ μῆκος· ὁμοίως καὶ ἐπίπεδον ἐκβαλλόμενον νοεῖται. Ἰδίως δὲ εὐθύγραμμοι στερεαὶ γωνίαι καλοῦνται, ὧν αἱ ἐπιφάνειαι αἱ ποιοῦσαι τὰς γωνίας ὑπὸ ἐπιπέδων εὐθυγράμμων περιέχονται, ὡς αἱ τῶν πυραμίδων καὶ αἱ τῶν στερεῶν πολυέδρων καὶ αἱ τοῦ κύβου, οὐκ εὐθύγραμμοι δὲ αἱ μὴ οὕτως ἔχουσαι, ὡς αἱ τῶν κώνων. [Περὶ σχήματος. |
| 23.1 | ] Σχῆμά ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον ἢ τὸ πέρατι ἢ πέρασι συγκλειόμενον. τουτὶ μὲν οὖν τὸ ἐσχηματισμένον· λέγεται δὲ ἄλλως σχῆμα πέρας συγκλεῖον ἀπὸ τοῦ συσχηματίζοντος. εἴρηται δὲ τὸ σχῆμα παρὰ τὸ σῆμα, ὅ ἐστι συγκλειόμενον ἢ συγκλεῖον. διαφέρει δὲ τὸ περιέχον πέρατος· πέρας μὲν γὰρ καὶ τὸ σημεῖον, οὔπω δὲ σχήματος ποιητικόν. [Τίνες οἱ τῶν σχημάτων ὅροι;] Ὅροι δὲ σχημάτων εἰσὶν αἵ τε ἐπιφάνειαι καὶ γραμμαί. |
| 24.1 | κέκληνται δὲ ὅροι παρὰ τὸ ὁρίζειν, μέχρι ποῦ τὸ σχῆμά ἐστι, τουτέστι τὰ τέλη τῶν σχημάτων καὶ τὰ πέρατα δείκνυται. [Τίνες αἱ γενικαὶ τῶν σχημάτων διαφοραί;] Τῶν δὲ σχημάτων ἃ μέν ἐστιν ἐπίπεδα, ἃ δὲ στερεά. |
| 25.1 | ἐπίπεδα μὲν οὖν ἐστι τὰ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πάσας ἔχοντα τὰς γραμμάς, στερεὰ δὲ τὰ μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πάσας ἔχοντα τὰς γραμμάς. [Τίνες αἱ τῶν ἐπιπέδων σχημάτων διαφοραί;] Τῶν ἐν ταῖς ἐπιφανείαις σχημάτων ἃ μέν εἰσιν ἀσύνθετα, ἃ δὲ σύνθετα. |
| 26.1 | ἀσύνθετα μὲν οὖν ἐστι τὰ μὴ συγκείμενα ἐκ γραμμῶν, σύνθετα δὲ τὰ ἐκ γραμμῶν συγκείμενα. τῶν δὲ συνθέτων σχημάτων τῶν ἐν ταῖς ἐπιφανείαις ἃ μέν ἐστιν ἐξ ὁμογενῶν σύνθετα, ἃ δὲ ἐξ ἀνομογενῶν, οἷον οἱ λεγόμενοι τομεῖς τῶν κύκλων καὶ τὰ ἡμικύκλια καὶ αἱ ἁψῖδες καὶ τὰ μείζονα τμήματα τῶν κύκλων. λέγοιντο δ’ ἂν ἐξ ὁμογενῶν σύνθετα οἱ μηνίσκοι καὶ αἱ στεφάναι καὶ τὰ παραπλήσια. [Περὶ ἀσυνθέτου ἐπιπέδου σχήματος, ὅ ἐστι κύκλος. |
| 27.1 | ] Κύκλος ἐστὶ τὸ ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον ἐπίπεδον. τὸ μὲν οὖν σχῆμα καλεῖται κύκλος, ἡ δὲ περιέχουσα γραμμὴ αὐτὸ περιφέρεια, πρὸς ἣν ἀφ’ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ἐὰν μὲν οὖν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τὸ σημεῖον ᾖ, κέντρον καλεῖται, ἐὰν δὲ μὴ ᾖ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, πόλος, ὡς ἔχει ἐπὶ τῶν ἐν ταῖς σφαίραις κύκλων. λέγεται δὲ καὶ ἄλλως κύκλος γραμμή, ἥτις πρὸς πάντα τὰ μέρη [πάντα] ἴσα ποιεῖ τὰ διαστήματα. γίνεται δὲ κύκλος, ἐπὰν εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ὑπάρχουσα μένοντος τοῦ ἑνὸς πέρατος τῷ ἑτέρῳ περιενεχθεῖσα εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι. [Περὶ διαμέτρου. |
| 28.1 | ] Διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη, ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν κύκλον, ἢ εὐθεῖα διὰ τοῦ κέντρου ἕως τῆς περιφερείας διηγμένη. [Περὶ τῶν ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἐξ ἀνομογενῶν συνθέτων περιφερειῶν σχημάτων, οἷον τί ἐστιν ἡμικύκλιον;] Ἡμικύκλιόν ἐστιν τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς διαμέτρου καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπ’ αὐτῆς περιφερείας, ἢ τὸ ὑπὸ διαμέτρου κύκλου καὶ περιφερείας περιεχόμενον σχῆμα. |
| 30.1 | [Τί ἐστιν ἁψίς;] Ἁψὶς δέ ἐστιν τὸ ἔλαττον ἡμικυκλίου περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας ἐλάττονος τῆς διαμέτρου καὶ περιφερείας ἐλάττονος ἡμικυκλίου. [Τί ἐστιν τμῆμα κύκλου τὸ μεῖζον;] Τμῆμα δὲ κύκλου τὸ μεῖζόν ἐστιν, ὃ περιέχεται ὑπὸ εὐθείας ἐλάττονος τῆς διαμέτρου καὶ περιφερείας μείζονος ἡμικυκλίου. |
| 32.1 | [Τί ἐστι κοινῶς τμῆμα κύκλου;] Κοινῶς δὲ τμῆμα κύκλου ἐστίν, ἄν τε μεῖζον ἄν τε ἔλαττον ἡμικυκλίου, τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπὸ εὐθείας καὶ κύκλου περιφερείας. [Τίς ἡ ἐν τμήματι κύκλου γωνία;] Ἐν τμήματι κύκλου γωνία ἐστίν, ὅταν ἐπὶ τῆς περιφερείας τοῦ τμήματος ληφθῇ τι σημεῖον, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου ἐπὶ τὰ πέρατα τῆς εὐθείας ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι, ἡ περιεχομένη γωνία ἐν τῷ σχήματι. |
| 34.1 | [Τί ἐστιν τομεὺς κύκλου;] Τομεὺς δὲ κύκλου ἐστὶ τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπὸ δύο μὲν εὐθειῶν, μιᾶς δὲ περιφερείας, ἢ τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπὸ τῶν τὴν τυχοῦσαν ἐν κύκλῳ γωνίαν περιεχουσῶν εὐθειῶν καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπ’ αὐτῶν περιφερείας. [Περὶ τῶν ἐκ δύο περιφερειῶν ἐπιπέδων σχημάτων καὶ λοιπῶν, τουτέστι περὶ κυρτῆς καὶ κοίλης περιφερείας. |
| 35.1 | ] Πᾶσα περιφέρεια κατὰ μὲν τὴν πρὸς τὸ περιεχόμενον χωρίον νόησιν κοίλη καλεῖται, κατὰ δὲ τὴν πρὸς τὸ περιέχον κυρτή. [Τί ἐστι μηνίσκος;] Μηνίσκος τοίνυν ἐστὶ τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπὸ δύο περιφερειῶν κοίλης καὶ κυρτῆς, ἢ δύο κύκλων οὐ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὑπεροχή, ἢ τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δύο περιφερειῶν ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ κοῖλα ἐχουσῶν. |
| 37.1 | [Τί ἐστι στεφάνη;] Στεφάνη δέ ἐστιν τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπὸ [τῶν] δύο κυρτῶν περιφερειῶν, ἢ δύο κύκλων περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὑπεροχή. [Τί ἐστι πέλεκυς;] Πέλεκυς δέ ἐστι τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δ περιφερειῶν, δύο κοίλων καὶ δύο κυρτῶν. |
| 38.1 | Καθόλου δὲ εἰπεῖν ἀπερίληπτόν ἐστι τὸ πλῆθος τῶν ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἐκ περιφερειῶν σχημάτων, ἔτι δὲ μᾶλλον τῶν ἐν ταῖς ἐπιφανείαις. [Τίνες αἱ τῶν ἐν τοῖς ἐπιπέδοις εὐθυγράμμων σχημάτων διαφοραί;] Τῶν ἐν τοῖς ἐπιπέδοις εὐθυγράμμων σχημάτων ἃ μέν εἰσι τρίγωνα ἢ τρίπλευρα, ἃ δὲ τετράγωνα ἢ τετράπλευρα, ἃ δὲ ἐπ’ ἄπειρον πολύγωνα ἢ πολύπλευρα. |
| 40.1 | [Τί ἐστι τρίγωνον;] Τρίγωνόν ἐστι σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ τριῶν εὐθειῶν περιεχόμενον τρεῖς ἔχον γωνίας. [Τίνα τῶν τριγώνων εἴδη καὶ πόσα;] Τῶν δὲ τριγώνων ἢ τριπλεύρων σχημάτων τὰ γενικώτατα εἴδη εἰσὶν ἕξ· ἀπὸ μὲν γὰρ τῶν πλευρῶν ἃ μὲν καλοῦνται ἰσόπλευρα, ἃ δὲ ἰσοσκελῆ, ἃ δὲ σκαληνά· ἀπὸ δὲ τῶν γωνιῶν ἃ μέν εἰσιν ὀρθογώνια, ἃ δὲ ὀξυγώνια, ἃ δὲ ἀμβλυγώνια. |
| 41.1 | ἐπὶ μὲν οὖν τῶν ὀρθογωνίων δύο γένη, τό τε ἰσοσκελὲς καὶ τὸ σκαληνὸν ἐπ’ ἄπειρον προϊόν· οὐδὲν γὰρ ὀρθογώνιον ἰσόπλευρον· τὰ δὲ ἄλλα τρίγωνα τὰ μὴ ὀρθογώνια πλὴν τοῦ ἰσοπλεύρου οὐ δύο μόνον ἔχει φύσεις, ἀλλὰ καὶ ἐπ’ ἄπειρον χωρεῖ. [Τί τὸ ἰσόπλευρον;] Ἰσόπλευρον μὲν οὖν ἐστιν, ὅταν τρεῖς ἴσας ἔχῃ πλευρὰς ἢ γωνίας. |
| 43.1 | [Τί τὸ ἰσοσκελές;] Ἰσοσκελὲς δέ, ὅταν τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχῃ πλευράς. [Τί τὸ σκαληνόν;] Σκαληνὰ δέ, ὅσα τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχει πλευράς. |
| 45.1 | [Τί τὸ ὀρθογώνιον;] Ὀρθογώνιον δέ ἐστι τὸ μίαν ἔχον ὀρθὴν γωνίαν. [Τί τὸ ὀξυγώνιον;] Ὀξυγώνιον δὲ τὸ τὰς τρεῖς ὀξείας ἔχον γωνίας. |
| 47.1 | [Τί τὸ ἀμβλυγώνιον;] Ἀμβλυγώνιον δὲ τὸ μίαν ἔχον ἀμβλεῖαν γωνίαν. [Τριγώνων ἰδιότητες. |
| 48.1 | ] Τὰ μὲν οὖν ἰσόπλευρα πάντα ὀξυγώνιά ἐστι, τῶν δὲ ἰσοσκελῶν καὶ σκαληνῶν ἃ μέν εἰσιν ὀρθογώνια, ἃ δὲ ὀξυγώνια, ἃ δὲ ἀμβλυγώνια. [Περὶ τετραπλεύρων σχημάτων. |
| 49.1 | Τί ἐστιν τετράπλευρον ἐπίπεδον;] Τετράπλευρον ἐπίπεδόν ἐστι σχῆμα τὸ ὑπὸ τεσσάρων εὐθειῶν περιεχόμενον τέσσαρας ἔχον γωνίας. [Τίνες αἱ τῶν τετραπλεύρων διαφοραί;] Τῶν τετραπλεύρων σχημάτων ἃ μέν εἰσιν ἰσόπλευρα, ἃ δὲ οὔ· τῶν δὲ ἰσοπλεύρων ἃ μὲν ὀρθογώνια, ἃ δὲ οὔ. |
| 51.1 | [Τίνα τετράγωνα;] Τὰ μὲν οὖν ὀρθογώνια ἰσόπλευρα τετράγωνα καλεῖται. [Τίνα τὰ ἑτερομήκη;] Τὰ δὲ ὀρθογώνια μέν, μὴ ἰσόπλευρα δέ, ἑτερομήκη καλεῖται. |
| 53.1 | [Τί ῥόμβοι;] Τὰ δὲ ἰσόπλευρα μέν, μὴ ὀρθογώνια δέ, ῥόμβοι. [Τί ῥομβοειδῆ;] Τὰ δὲ μήτε ἰσόπλευρα μήτε ὀρθογώνια, τὰς δὲ ἀπεναντίας πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχοντα, ῥομβοειδῆ καλεῖται. |
| 55.1 | [Τίνα παραλληλόγραμμα;] Ἔτι δὲ τῶν τετραπλεύρων ἃ μὲν καλεῖται παραλληλόγραμμα, ἃ δὲ οὐ παραλληλόγραμμα· παραλληλόγραμμα μὲν οὖν τὰ τὰς ἀπεναντίον πλευρὰς παραλλήλους ἔχοντα, οὐ παραλληλόγραμμα δὲ τὰ μὴ οὕτως ἔχοντα. [Περὶ παραλληλογράμμων ὀρθογωνίων. |
| 56.1 | ] Τῶν δὲ παραλληλογράμμων ὅσα μὲν ὀρθογώνιά ἐστιν, περιέχεσθαι λέγεται ὑπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν εὐθειῶν· ἔστι γὰρ μέγιστον τῶν ὑπὸ ἴσων πλευρῶν περιεχομένων παραλληλογράμμων τὸ ἐν ὀρθῇ γωνίᾳ. ἐπ’ ἄπειρον γὰρ ἐπινοεῖται παραλληλόγραμμα [δὲ ὅσα] ὑπ’ ἴσων περιεχόμενα πλευρῶν διάφορα κατὰ τὸ ἐμβαδὸν τυγχάνοντα· ὧν τὰ μὲν ὀξείας γωνίας ἔχοντα ἐλάττονα γίνεται, τὸ δὲ ἔχον τὴν ὀρθὴν μέγιστον. ἐπεὶ οὖν ἐλάττους ἀεὶ αἱ ὀξεῖαι εὑρίσκονται, οἱ βουλόμενοι ἀναμετρεῖν τὰ τοιαῦτα σχήματα ὅρον καὶ ὑπόστασιν ἔθεντο τὸν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν λόγον. [Τίς ὁ ἐν παραλληλογράμμῳ γνώμων;] Παντὸς δὲ παραλληλογράμμου τῶν περὶ τὴν διάμετρον αὐτῷ παραλληλογράμμων ἓν ὁποιονοῦν σὺν τοῖς δυσὶ παραπληρώμασι γνώμων καλεῖται. |
| 58.1 | [Τί ἐστι γνώμων κοινῶς;] Καθόλου δὲ γνώμων ἐστὶν πᾶν, ὃ προσλαβὸν ὁτιοῦν, ἀριθμὸς ἢ σχῆμα, ποιεῖ τὸ ὅλον ὅμοιον, ᾧ προσείληφεν. [Τί ἐστι τραπέζιον;] Τῶν παρὰ τὰ εἰρημένα τετραπλεύρων ἃ μὲν τραπέζια λέγεται, ἃ δὲ τραπεζοειδῆ. |
| 60.1 | [Τίνα τὰ τραπέζια;] Τραπέζια μὲν οὖν εἰσιν, ὅσα μόνον δύο παραλλήλους ἔχει πλευράς. [Τίνα τὰ τραπεζοειδῆ;] Τραπεζοειδῆ δέ, ὅσα μὴ ἔχει παραλλήλους πλευράς. |
| 62.1 | [Τί τραπέζιον ἰσοσκελές;] Τῶν δὲ τραπεζίων ἃ μέν εἰσιν ἰσοσκελῆ, ἃ δὲ σκαληνά· ἰσοσκελῆ μὲν οὖν ἐστιν, ὅσα ἴσας ἔχει τὰς μὴ παραλλήλους. [Τί τραπέζιον σκαληνόν;] Σκαληνὰ δέ, ὅσα μὴ ἴσας ἔχει τὰς μὴ παραλλήλους. |
| 64.1 | [Τίνα ἄρα τὰ πολύπλευρα ἐπίπεδα;] Πολύπλευρα ἐπίπεδα σχήματά εἰσι τὰ ὑπὸ πλεῖον τῶν τεσσάρων εὐθειῶν περιεχόμενα, οἷον πενταγώνια, ἑξαγώνια καὶ τὰ ἑξῆς πολύγωνα ἐπ’ ἄπειρον προϊόντα. [Περὶ τῶν τῶν ἐν τοῖς ἐπιπέδοις εὐθυγράμμων καθ’ ἕκαστα λεγομένων, οἱονεὶ τί ἐστι βάσις;] Βάσις λέγεται ἐπιπέδου χωρίου γραμμὴ ἡ ὡσανεὶ κάτω νοουμένη. |
| 66.1 | [Τί ἐστι πλευρά;] Πλευρὰ δὲ μία τῶν τὸ σχῆμα περικλειουσῶν. [Τί ἐστι διαγώνιος;] Διαγώνιος δὲ ἡ ἀπὸ γωνίας εἰς γωνίαν ἀγομένη εὐθεῖα. |
| 68.1 | [Τί ἐστι κάθετος;] Κάθετος δέ ἐστιν ἡ ἀπὸ σημείου εὐθεῖα ἐπὶ εὐθεῖαν ἠγμένη. [Τί ἐστι κάθετος πρὸς ὀρθάς;] Κάθετος δὲ πρὸς ὀρθὰς λέγεται ἡ ὀρθὰς ποιοῦσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας, τῇ δὲ εὐθείᾳ ἐφεστηκυῖα. |
| 70.1 | [Τίνες εἰσὶ παράλληλοι γραμμαί;] Παράλληλοι δὲ καλοῦνται γραμμαὶ ἀσύμπτωτοι, ὅσαι ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι καὶ ἐκβαλλόμεναι ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ μηδέτερα συμπίπτουσιν ἀλλήλαις, αἱ μήτε συννεύουσαι μήτε ἀπονεύουσαι ἐν ἐπιπέδῳ, ἴσας δὲ ἔχουσαι τὰς καθέτους πάσας τὰς ἀγομένας ἀπὸ τῶν ἐπὶ τῆς ἑτέρας σημείων ἐπὶ τὴν λοιπήν. [Τίνες οὐ παράλληλοι εὐθεῖαι;] Οὐ παράλληλοι δὲ εὐθεῖαί εἰσιν, ὅσαι συννεύουσαι μείους ἀεὶ τὰς καθέτους ποιοῦσιν. |
| 72.1 | [Τί ἐστι τριγώνου ὕψος;] Τριγώνου δὲ ὕψος καλεῖται ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀγομένη. [Τίνα τῶν ἐπιπέδων σχημάτων συμπληροῖ τὸν τοῦ ἐπιπέδου τόπον;] Μόνα δὲ τῶν ἐπιπέδων ἰσογωνίων καὶ ἰσοπλεύρων σχημάτων συμπληροῖ τὸν τοῦ ἐπιπέδου τόπον τό τε τρίγωνον καὶ τὸ τετράγωνον καὶ τὸ ἑξάγωνον. |
| 73.1 | τρίγωνον γοῦν ἀπὸ τῆς ἑαυτοῦ κορυφῆς προσλαβὸν ἄλλα πέντε συμπληροῖ τὸν τοῦ ἐπιπέδου τόπον χώραν ἐν μέσῳ μηδεμίαν καταλεῖπον, καὶ τετράγωνον ὁμοίως προσλαβὸν τρία, καὶ ἑξάγωνον προσλαβὸν δύο. [Ὃ λέγει, τοιοῦτόν ἐστι· τῶν τεσσάρων γωνιῶν τὸν ὅλον συμπαραλαμβάνει τόπον, καθ’ ὃ τέμνουσιν ἀλλήλας αἱ εὐθεῖαι ὡσαύτως· αἱ γὰρ τέσσαρες γωνίαι τέσσαρσι καθέτοις ἴσαι εἰσί. καὶ τετράγωνον ὁμοίως καὶ ἑξάγωνον.] Ἑρμηνεία τῶν στερεομετρουμένων. [Τίνες τῶν ἐν τοῖς στερεοῖς σχήμασι τῶν ἐπιφανειῶν διαφοραί;] Τῶν ἐν τοῖς στερεοῖς σχήμασι τῶν ἐπιφανειῶν αἱ μὲν ἀσύνθετοι λέγονται, αἱ δὲ σύνθετοι. |
| 74.1 | ἀσύνθετοι μὲν οὖν εἰσιν, ὅσαι ἐκβαλλόμεναι αὐταὶ καθ’ ἑαυτῶν πίπτουσιν, οἷον ἡ τῆς σφαίρας, σύνθετοι δέ, ὅσαι ἐκβαλλόμεναι τέμνουσιν ἀλλήλας. τῶν δὲ συνθέτων αἱ μὲν ἐξ ἀνομοιογενῶν εἰσι σύνθετοι, αἱ δὲ ἐξ ὁμοιογενῶν, ἐξ ἀνομοιογενῶν μὲν αἱ τῶν κώνων καὶ κυλίνδρων καὶ ἡμισφαιρίων καὶ τῶν τούτοις ὁμοίων, ἐξ ὁμοιογενῶν δὲ αἱ τῶν στερεῶν εὐθυγράμμων. καὶ καθ’ ἑτέραν δὲ διαίρεσιν τῶν ἐν τοῖς στερεοῖς σχήμασιν τῶν ἐπιφανειῶν αἱ μέν εἰσιν ἁπλαῖ, αἱ δὲ μικταί. ἁπλαῖ μὲν οὖν εἰσιν ἐν τοῖς στερεοῖς ἥ τε ἐπίπεδος καὶ ἡ σφαιρική, μικταὶ δὲ ἥ τε κωνικὴ καὶ κυλινδρικὴ καὶ αἱ ταύταις ὅμοιαι. αὗται μὲν οὖν μικταὶ ἐξ ἐπιπέδου καὶ περιφεροῦς, αἱ δὲ σπειρικαὶ μικταί εἰσιν ἐκ δύο περιφερειῶν, καὶ ἄλλαι δὲ πλείους εἰσὶν ὥσπερ σύνθετοι οὕτω καὶ μικταὶ ἄπειροι. [Τίνες ἐν τοῖς στερεοῖς σχήμασι γραμμῶν διαφοραί;] Τῶν ἐν τοῖς στερεοῖς σχήμασι τῶν γραμμῶν αἱ μέν εἰσιν ἁπλαῖ, αἱ δὲ μικταί. |
| 75.1 | ἁπλαῖ μὲν οὖν αἵ τε εὐθεῖαι καὶ περιφερεῖς, μικταὶ δὲ αἵ τε κωνικαὶ καὶ σπειρικαί. καὶ αὗται μὲν τεταγμέναι εἰσίν, τῶν δὲ ἀτάκτων πλῆθος ἄπειρόν ἐστιν ὡς καὶ τῶν συνθέτων. [Περὶ σφαίρας, ἀσυνθέτου στερεοῦ σώματος, καὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας. |
| 76.1 | ] Σφαῖρά ἐστι σχῆμα στερεὸν ὑπὸ μιᾶς ἐπιφανείας περιεχόμενον, πρὸς ἣν ἀφ’ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς καὶ κατὰ μέσον τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ἢ σχῆμα στερεὸν ἄκρως στρογγύλον, ὥστε ἐκ τοῦ μέσου πάντη ἴσας ἔχειν τὰς ἀποστάσεις· ὅταν γὰρ ἡμικυκλίου μενούσης τῆς διαμέτρου περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς ταὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ἡ μὲν γινομένη ἐπιφάνεια ὑπὸ τῆς τοῦ ἡμικυκλίου περιφερείας σφαιρικὴ ἐπιφάνεια καλεῖται, τὸ δὲ περιληφθὲν στερεὸν σχῆμα σφαῖρα. [Τί κέντρον σφαίρας;] Τὸ δὲ μέσον τῆς σφαίρας κέντρον αὐτῆς καλεῖται· ἔστι δὲ ταὐτὸ τοῦτο καὶ τοῦ ἡμικυκλίου κέντρον. |
| 78.1 | [Τί ἄξων σφαίρας;] Ἡ δὲ διάμετρος τῆς σφαίρας ἄξων καλεῖται, καὶ ἔστιν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ἀμετακίνητος, περὶ ἣν ἡ σφαῖρα κινεῖται καὶ στρέφεται. [Τί ἐστι πόλος;] Τὰ πέρατα τοῦ ἄξονος πόλοι καλοῦνται. |
| 80.1 | [Τί κύκλος ἐν σφαίρᾳ;] Ἐὰν δὲ σφαῖρα τμηθῇ, ἡ τομὴ κύκλος γίνεται. [Τί κύκλου πόλος ἐπὶ σφαίρᾳ;] Κύκλου δὲ πόλος ἐν σφαίρᾳ λέγεται σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ἀφ’ οὗ πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι πρὸς τὴν περιφέρειαν ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. |
| 82.1 | [Ὅτι τῶν στερεῶν ἰσοπεριμέτρων σχημάτων μείζων ἡ σφαῖρα.] Ὥσπερ δὲ τῶν ἐπιπέδων ἰσοπεριμέτρων σχημάτων μείζων ἐστὶ κύκλος, οὕτως τὸ τῆς σφαίρας σχῆμα πάντων τῶν στερεῶν ἰσοπεριμέτρων αὐτῇ σχημάτων, τουτέστι τῶν τῇ ἴσῃ ἐπιφανείᾳ κεχρημένων, μέγιστόν ἐστι· διὸ καὶ περιεκτικὸν τῶν ἄλλων ἁπάντων ἐλαττόνων. [Περὶ τῶν ἐξ ἀνομογενῶν συνθέτων στερεῶν σχημάτων οὕτως.] [Τί κῶνος;] Κῶνός ἐστι σχῆμα στερεὸν βάσιν μὲν ἔχον κύκλον, συναγόμενον δὲ ὑφ’ ἓν σημεῖον· ἐὰν γὰρ ἀπὸ μετεώρου σημείου ἐπὶ κύκλου περιφέρειαν εὐθεῖά τις προβληθῇ καὶ περιενεχθεῖσα εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, τὸ ἀπογενηθὲν σχῆμα κῶνος γίνεται. |
| 83.1 | καὶ ἄλλως· ἐὰν ὀρθογωνίου τριγώνου μενούσης μιᾶς πλευρᾶς τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιενεχθὲν τὸ τρίγωνον [σχῆμα] εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι [περιληφθὲν σχῆμα], ἡ μὲν γινομένη ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης τοῦ τριγώνου πλευρᾶς περιοχὴ ἐπιφάνεια κωνικὴ καλεῖται, τὸ δὲ περιληφθὲν σχῆμα στερεὸν κῶνος. [Τί βάσις κώνου;] Βάσις δὲ κώνου ὁ κύκλος καλεῖται. |
| 85.1 | [Τί κορυφὴ κώνου;] Κορυφὴ δὲ κώνου τὸ σημεῖον. [Τί ἄξων κώνου;] Ἄξων δὲ κώνου ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα, τουτέστιν ἡ μένουσα. |
| 87.1 | [Τίς ἰσοσκελὴς κῶνος;] Ἰσοσκελὴς δὲ κῶνος λέγεται ὁ τοῦ τριγώνου ἴσας ἔχων τὰς πλευράς. [Τί κῶνος σκαληνός;] Σκαληνὸς δὲ κῶνος ὁ ἀνίσους λέγεται. |
| 89.1 | [Τί ὀρθογώνιος κῶνος;] Ὀρθογώνιος δὲ κῶνός ἐστιν, ἐὰν ἡ μένουσα πλευρὰ ἴση ᾖ τῇ περιφερομένῃ, ἢ οὗ τμηθέντος διὰ τοῦ ἄξονος τὸ γενόμενον ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ σχῆμα τρίγωνον ὀρθογώνιον γίνεται. [Τί ὀξυγώνιος κῶνος;] Ὀξυγώνιος δὲ κῶνός ἐστιν, οὗ ἡ μένουσα μείζων ἐστὶ τῆς περιφερομένης, ἢ οὗ τμηθέντος τὸ γενόμενον τμῆμα τρίγωνον ὀξυγώνιον γίνεται. |
| 91.1 | [Τί ἀμβλυγώνιος κῶνος;] Ἀμβλυγώνιος δὲ κῶνός ἐστιν, οὗ ἡ μένουσα πλευρὰ ἐλάττων ἐστὶ τῆς περιφερομένης, ἢ οὗ τμηθέντος τὸ γενόμενον ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τρίγωνον ἀμβλυγώνιον γίνεται. [Τί κόλουρος κῶνος;] Κόλουρος δὲ κῶνος καλεῖται ὁ τὴν κορυφὴν κολοβωθεῖσαν ἐσχηκώς. |
| 93.1 | [Τί ἐπιφάνεια κώνου;] Ἡ δὲ ἐπιφάνεια τοῦ κώνου ἄλλως μὲν κυρτὴ καλεῖται, ἄλλως δὲ κοίλη. [Τί τομὴ κώνου;] Τεμνόμενος δὲ κῶνος διὰ τῆς κορυφῆς τρίγωνον ποιεῖ τὴν τομήν, παραλλήλως δὲ τῇ βάσει τμηθεὶς κύκλον, μὴ παραλλήλως δὲ τμηθεὶς ἄλλο τι μέρος γραμμῆς, ὃ καλεῖται κώνου τομή. |
| 94.1 | τῶν δὲ τοῦ κώνου τομῶν ἡ μὲν καλεῖται ὀρθογώνιος, ἡ δὲ ἀμβλυγώνιος, ἡ δὲ ὀξυγώνιος. ὀξυγώνιος μὲν οὖν ἡ αὑτῇ συνάπτουσα καὶ ποιοῦσα σχῆμα θυρεοειδές, καλεῖται δὲ ὑπό τινων καὶ ἔλλειψις· ἡ δὲ τοῦ ὀρθογωνίου καλεῖται παραβολή, ἡ δὲ τοῦ ἀμβλυγωνίου ὑπερβολή. [Περὶ κυλίνδρου ἄξονος καὶ βάσεως αὐτοῦ καὶ τομῆς κυλίνδρου. |
| 95.1 | ] Κύλινδρός ἐστι σχῆμα στερεόν, ὅπερ νοεῖται ἀποτελούμενον παραλληλογράμμου ὀρθογωνίου περὶ μίαν τῶν πλευρῶν μένουσαν στραφέντος καὶ ἀποκατασταθέντος, ὅθεν καὶ ἤρξατο φέρεσθαι. ἡ δὲ μένουσα εὐθεῖα, περὶ ἣν ἡ στροφή, ἄξων λέγεται, αἱ δὲ βάσεις κύκλοι οἱ γενόμενοι ὑπὸ τῶν ἴσων πλευρῶν τοῦ παραλληλογράμμου, τομαὶ δὲ κυλίνδρου αἱ μὲν παραλληλόγραμμοι, αἱ δὲ ὀξυγωνίων κώνων. [Περὶ τομῆς κοινῶς. |
| 96.1 | ] Τέμνεται δὲ στερεὸν μὲν ὑπὸ ἐπιφανείας, ἐπιφάνεια δὲ ὑπὸ γραμμῆς, γραμμὴ δὲ ὑπὸ στιγμῆς· ἐνίοτε δὲ καὶ ὑπὸ γραμμῆς λέγεται τέμνεσθαι κατὰ ἀναφορὰν τὴν ἐπὶ τὴν στιγμήν, καὶ ἐπιφάνεια δὲ ὑπὸ ἐπιφανείας κατὰ ἀναφορὰν τὴν ἐπὶ τὴν γραμμήν. Περὶ τῶν ἐκ β περιφερειῶν στερεῶν σχημάτων, σπείρας ἤτοι κρίκου. |
| 97.1 | ] Σπεῖρα γίνεται, ὅταν κύκλος ἐπὶ κύκλου τὸ κέντρον ἔχων ὀρθὸς ὢν πρὸς τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον περιενεχθεὶς εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ· τὸ δὲ αὐτὸ τοῦτο καὶ κρίκος καλεῖται. διεχὴς μὲν οὖν ἐστι σπεῖρα ἡ ἔχουσα διάλειμμα, συνεχὴς δὲ ἡ καθ’ ἓν σημεῖον συμπίπτουσα, ἐπαλλάττουσα δέ, καθ’ ἣν ὁ περιφερόμενος κύκλος αὐτὸς αὑτὸν τέμνει. γίνονται δὲ καὶ τούτων τομαὶ γραμμαί τινες ἰδιάζουσαι. οἱ δὲ τετράγωνοι κρίκοι ἐκπρίσματά εἰσι κυλίνδρων· γίνονται δὲ καὶ ἄλλα τινὰ ποικίλα πρίσματα ἔκ τε σφαιρῶν καὶ ἐκ μικτῶν ἐπιφανειῶν. [Τίνες αἱ τῶν εὐθυγράμμων στερεῶν σχημάτων διαφοραί;] Τῶν δὲ εὐθυγράμμων στερεῶν σχημάτων ἃ μὲν καλοῦνται πυραμίδες, ἃ δὲ κύβοι, ἃ δὲ πολύεδρα, ἃ δὲ πρίσματα, ἃ δὲ δοκίδες, ἃ δὲ πλινθίδες, ἃ δὲ σφηνίσκοι, καὶ τὰ παραπλήσια. |
| 99.1 | [Τί ἐστι πυραμίς;] Πυραμὶς μὲν οὖν ἐστι σχῆμα στερεὸν ἐπιπέδοις περιεχόμενον ἀφ’ ἑνὸς ἐπιπέδου πρὸς ἑνὶ σημείῳ συνεστηκός. καὶ ἄλλως δὲ λέγεται πυραμὶς τὸ ἀπὸ βάσεως τριπλεύρου ἢ τετραπλεύρου ἢ πολυγώνου, τουτέστιν ἁπλῶς εὐθυγράμμου, κατὰ σύνθεσιν τριγώνων εἰς ἓν σημεῖον συναγόμενον σχῆμα. ἰδίως δὲ ἰσόπλευρος λέγεται πυραμὶς ἡ ὑπὸ τεσσάρων τριγώνων ἰσοπλεύρων περιεχομένη καὶ ἰσογωνίων· καλεῖται δὲ τὸ σχῆμα τοῦτο καὶ τετράεδρον. [Τί ἐστι κύβος;] Κύβος ἐστὶ σχῆμα στερεὸν ὑπὸ ϛ τετραγώνων ἰσοπλεύρων καὶ ἰσογωνίων περιεχόμενον· καλεῖται δὲ τὸ σχῆμα τοῦτο καὶ ἑξάεδρον. |
| 101.1 | [Περὶ ὀκταέδρου.] Ὀκτάεδρόν ἐστι σχῆμα στερεὸν ὑπὸ ὀκτὼ τριγώνων ἰσοπλεύρων περιεχόμενον. [Τί ἐστι δωδεκάεδρον;] Δωδεκάεδρον δέ ἐστι σχῆμα ὑπὸ ιβ πενταγωνίων ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων περιεχόμενον. |
| 102.1 | τὸ δὲ πεντάγωνον, ἐξ οὗ γίνεται τὸ δωδεκάεδρον, ἴσον ἐστὶ τριγώνοις τρισὶ παρὰ δύο πλευρῶν. [Τί ἐστιν εἰκοσάεδρον;] Εἰκοσάεδρόν ἐστιν σχῆμα στερεὸν ὑπὸ εἴκοσι τριγώνων ἰσοπλεύρων περιεχόμενον. |
| 103.1 | Εἰσὶ πέντε ταῦτα μόνον ὑπὸ ἴσων καὶ ὁμοίων περιεχόμενα, ἃ δὴ ὑπὸ τῶν Ἑλλήνων ὕστερον ἐπωνομάσθη Πλάτωνος σχήματα. [Ὅτι πλὴν τοῦ δωδεκαέδρου τὰ δ λόγον ἔχουσι πρὸς τὴν σφαῖραν. |
| 104.1 | ] Τῶν δὲ τεσσάρων τούτων αἱ πλευραὶ λόγον ἔχουσι πρὸς τὴν σφαῖραν. Εὐκλείδης μὲν οὖν ἐν τῷ ιγʹ τῶν Στοιχείων ἀπέδειξε, πῶς τῇ σφαίρᾳ τὰ πέντε ταῦτα σχήματα περιλαμβάνει· μόνα γὰρ τὰ Πλάτωνος οἴεται. Ἀρχιμήδης δὲ τριακαίδεκα ὅλα φησὶν εὑρίσκεσθαι σχήματα δυνάμενα ἐγγραφῆναι τῇ σφαίρᾳ προστιθεὶς ὀκτὼ μετὰ τὰ εἰρημένα πέντε· ὧν εἰδέναι καὶ Πλάτωνα τὸ τεσσαρεσκαιδεκάεδρον, εἶναί τε τοῦτο διπλοῦν, τὸ μὲν ἐξ ὀκτὼ τριγώνων καὶ τετραγώνων ἓξ σύνθετον, ἐκ γῆς καὶ ἀέρος, ὅπερ καὶ τῶν ἀρχαίων τινὲς ᾔδεσαν, τὸ δὲ ἕτερον πάλιν ἐκ τετραγώνων μὲν ὀκτώ, τριγώνων δὲ ϛ , ὃ καὶ χαλεπώτερον εἶναι δοκεῖ. Καθόλου δὲ τῶν εὐθυγράμμων στερεῶν σχημάτων ἃ μέν ἐστι πυραμίδες, ἃ δὲ πρίσματα, ἃ δὲ οὔτε πυραμίδες οὔτε πρίσματα. τί μὲν οὖν ἐστι πυραμίς, προείρηται. [Τί δὲ πρίσματα;] Πρίσματα δέ εἰσι τὰ ἀπὸ βάσεως εὐθυγράμμου κατ’ εὐθυγράμμων σύνθεσιν πρὸς χωρίον εὐθύγραμμον συνάπτοντα. |
| 106.1 | [Τίνα τῶν σχημάτων οὔτε πυραμίδες οὔτε πρίσματα;] Οὔτε δὲ πυραμίδες οὔτε πρίσματά εἰσι τὰ ἀπὸ βάσεως εὐθυγράμμου κατ’ εὐθυγράμμων σύνθεσιν πρὸς εὐθεῖαν συνάπτοντα. [Τίνα ἐστὶ παραλληλόγραμμα πρίσματα;] Τῶν δὲ πρισμάτων παραλληλόπλευρα καλεῖται, ὅσα ἑξάεδρα ὄντα τὰ ἀπέναντι ἐπίπεδα παράλληλα ἔχει. |
| 108.1 | [Τίνα τὰ παραλληλεπίπεδα;] Παράλληλα δὲ ἐπίπεδά εἰσιν, ὅσα ἐκβαλλόμενα οὐ συμπίπτει ἀλλήλοις, ἢ ἐν οἷς ἴσων τριγώνων τινῶν γραφέντων ἑκάστη πλευρὰ παράλληλός ἐστιν. [Τίς ἡ ἐν στερεῷ κάθετος;] Κάθετος δὲ ἐν στερεῷ λέγεται ἡ ἀπὸ μετεώρου σημείου πρὸς ἐπίπεδον ἠγμένη, ἥτις πάσαις ταῖς ἁπτομέναις αὐτῆς ἐν τῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. |
| 110.1 | [Τίνα τὰ παραλληλόπλευρα ὀρθογώνια πρίσματα, τίνα δὲ οὐκ ὀρθογώνια;] Τῶν δὲ παραλληλοπλεύρων πρισμάτων ἃ μέν εἰσιν ὀρθογώνια, ἃ δὲ οὐκ ὀρθογώνια. ὀρθογώνια μὲν οὖν εἰσιν, ὅσα ἑκάστην τῶν γωνιῶν ὑπὸ τριῶν ὀρθῶν γωνιῶν περιεχομένην ἔχει εὐθυγράμμων, οὐκ ὀρθογώνια δὲ τὰ μὴ οὕτως ἔχοντα. [Τί ἐστι κύβος;] Κύβος δέ ἐστι τῶν παραλληλοπλεύρων ὀρθογωνίων, ὃ προείρηται σχῆμα. |
| 112.1 | [Τί ἐστι δοκός;] Δοκὸς δέ ἐστιν, ὃ τὸ μῆκος μεῖζον ἔχει τοῦ τε πλάτους καὶ τοῦ πάχους, ἔστι δὲ ὅτε τὸ πλάτος καὶ τὸ πάχος ἴσα. πάχος δὲ καὶ βάθος καὶ ὕψος τὸ αὐτὸ λεγέσθω. [Τί ἐστι πλινθίς;] Πλινθὶς δέ ἐστι τὸ ἔχον τὸ μῆκος ἔλαττον τοῦ τε πλάτους καὶ βάθους, ἔστι δ’ ὅτε ταῦτα ἀλλήλοις ἴσα. |
| 114.1 | [Τί ἐστι σφηνίσκος;] Σφηνίσκος δέ ἐστι τὸ ἔχον ἄνισα ἀλλήλοις τό τε μῆκος καὶ τὸ πλάτος καὶ τὸ βάθος. τινὲς δὲ καὶ βωμίσκον καλοῦσι τὸ τοιοῦτον σχῆμα. [Τίνων καὶ πόσαι ἐν τοῖς σχήμασιν ἐπαφαί;] Ἐφάπτεται δὲ γραμμὴ μὲν γραμμῆς καὶ ἐπιφανείας καὶ στερεοῦ κατὰ στιγμὴν καὶ κατὰ γραμμήν. |
| 115.1.(t) | στιγμὴ δὲ στιγμῆς ἁψαμένη μία γίνεται. γραμμὴ δὲ γραμμῆς ἁψαμένη ὅλη ὅλης ὁμοίως μία γίνεται. εὐθεῖα δὲ κύκλου ἐφάπτεσθαι λέγεται, ἥτις ἁπτομένη τοῦ κύκλου καὶ ἐκβαλλομένη ἐπὶ μηδέτερα τὰ μέρη τέμνει τὸν κύκλον. κύκλοι δὲ ἐφάπτεσθαι ἀλλήλων λέγονται, οἵτινες ἁπτόμενοι ἀλλήλων οὐ τέμνουσιν ἀλλήλους. Εὐθεῖα δὲ πρὸς ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν, ὅταν πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιῇ τὰς γωνίας. |
| 115.3 | Ἐπίπεδον δὲ πρὸς ἐπίπεδον ὀρθόν ἐστιν, ὅταν αἱ τῇ κοινῇ αὐτῶν τομῇ πρὸς ὀρθὰς ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων ἀγόμεναι εὐθεῖαι καὶ τῷ λοιπῷ πρὸς ὀρθὰς ὦσιν. Ἐπίπεδα δὲ παράλληλά εἰσι τὰ ἀσύμπτωτα. |
| 116.1 | [Περὶ ἴσων καὶ ὁμοίων σχημάτων.] Διαφέρει μὲν καὶ ἐν στερεοῖς καὶ ἐν ἐπιπέδοις, ἤδη δὲ καὶ ἐν γραμμαῖς, ὁμοιότης καὶ ἰσότης. οὕτω γοῦν καὶ ἐν τῷ ϛʹ τῶν Εὐκλείδου δύο δοθέντων εὐθυγράμμων ᾧ μὲν ὅμοιον, ᾧ δὲ ἴσον συστήσασθαι πρόκειται. κἀκεῖ μέσην ἀνάλογον εὑρόντες διὰ ταύτης κατασκευάζομεν τὸ προβληθέν, ἐπὶ δὲ τῶν στερεῶν διὰ δύο μεσοτήτων. [Περὶ ἴσων γραμμῶν. |
| 117.1 | ] Νυνὶ δὲ καθόλου λέγομεν περὶ μὲν ἴσων, ὅτι ἴσαι γραμμαί εἰσι καὶ ἐπιφάνειαι καὶ στερεά, ὅσα ἁρμόττει ὅλα ὅλοις ἢ κατὰ μέρος ἢ κατὰ σχηματισμόν. λέγεται δὲ ἴσον καὶ τὸ ἰσοπερίμετρον τῇ περιοχῇ καὶ τὸ ἴσον ταῖς γραμμαῖς ὥστε καὶ τῷ ἐμβαδῷ καὶ τὸ μόνον ἐμβαδῷ. ἴσαι δὲ γωνίαι εἰσὶν αἱ ἐφαρμόζουσαι ὅλαι ὅλαις ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἢ ἐν τοῖς στερεοῖς κατὰ τὴν αὐτὴν συναγωγὴν ἢ κατὰ μέρος ἢ κατὰ σχηματισμόν. ἴσοι δὲ κύκλοι εἰσίν, ὧν αἱ διάμετροι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ἀπὸ γὰρ τῶν αὐτῶν διαμέτρων οὐκ ἔστιν ἕτερον καὶ ἕτερον κύκλον ἐπινοῆσαι, δοθείσης δὲ τῆς διαμέτρου δέδοται καὶ ὁ κύκλος τῷ μεγέθει. ἴσον δὲ ἀπέχειν τὰς εὐθείας λέγεται τοῦ κέντρου, ὅταν αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπ’ αὐτὰς κάθετοι ἀγόμεναι ἴσαι ὦσιν, μεῖζον δέ, ἐφ’ ἣν ἡ μείζων κάθετος πίπτει. ἴσα δὲ στερεὰ σχήματά εἰσι τὰ ὑπὸ ἴσων ἐπιπέδων περιεχόμενα καὶ ὁμοίως κειμένων ἴσων τὸ πλῆθος καὶ τὸ μέγεθος. [Περὶ ἴσων καὶ ἀντιπεπονθότων σχημάτων. |
| 118.1 | ] Ὅμοιά εἰσι σχήματα εὐθύγραμμα τὰ ἔχοντα κατὰ μίαν τὰς γωνίας ἴσας. καὶ ἄλλως· ὅσα τάς τε γωνίας ἴσας ἔχει κατὰ μίαν καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον. ἀντιπεπονθότα δὲ σχήματά εἰσιν, ἐν οἷς ἐν ἑκατέρῳ τῶν σχημάτων ἡγούμενοί τε καὶ ἑπόμενοι λόγοι εἰσίν. ὅμοια τμήματα κύκλων εἰσὶ τὰ δεχόμενα γωνίας ἴσας, ἢ ἐν οἷς αἱ γωνίαι ἴσαι εἰσί· παραπλησίως δὲ καὶ τμήματα σφαιρῶν. ὅμοια στερεὰ σχήματά εἰσι τὰ ὑπὸ ὁμοίων ἐπιπέδων περιεχόμενα καὶ ὁμοίως κειμένων. πᾶς δὲ κύκλος παντὶ κύκλῳ ὅμοιός ἐστι τῷ εἴδει· μία γὰρ ἡ γένεσις τοῦ κύκλου καὶ ἓν τὸ εἶδος. τῶν δὲ τμημάτων οὐκ ἔστιν ἡ αὐτὴ ὁμοιότης, ἀλλ’ ὅσα μὲν ἔχει τὴν ὁμοίαν κλίσιν, τουτέστι τὰς ἐν αὐτοῖς γωνίας ἀλλήλαις ἴσας, ταῦτα καλεῖται ὅμοια, οὐχ ὅμοια δὲ τὰ μὴ οὕτως ἔχοντα. παραπλησίως δὲ ἔχει καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ἐπιπέδων τε καὶ στερεῶν σχημάτων. [Περὶ τοῦ ἐν μεγέθεσιν ἀπείρου. |
| 119.1 | ] Μέγεθός ἐστι τὸ αὐξανόμενον καὶ τεμνόμενον εἰς ἄπειρον· εἴδη δὲ αὐτοῦ γ , γραμμή, ἐπιφάνεια, στερεόν. ἄπειρον δέ ἐστι μέγεθος, οὗ μεῖζον οὐθὲν νοεῖται καθ’ ὑπόστασιν ἡλικηνδήποτε, ὥστε μηδὲν εἶναι αὐτοῦ πέρας. [Περὶ τοῦ ἐν μεγέθεσι μέρους. |
| 120.1 | ] Μέρος ἐστὶ μέγεθος μεγέθους τὸ ἔλαττον τοῦ μείζονος, ὅταν καταμετρῆται τὸ μεῖζον εἰς ἴσα. εἴρηται δὲ τὸ μέρος νῦν οὔτε ὡς κόσμου μέρος ἡ γῆ οὔτε ὡς ἀνθρώπου κεφαλή, ἀλλὰ μὴν οὐδὲ ὡς τῆς πρὸς ὀρθὰς τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου ἀπ’ ἄκρας ἀγομένης λέγομεν μέρος εἶναι τὴν ἐκτὸς τοῦ ἡμικυκλίου λαμβανομένην γωνίαν τῆς ὑπὸ τῆς πρὸς ὀρθάς· ἀδύνατον γάρ ἐστιν ὑπὸ ταύτης τῆς γωνίας, ἥτις κερατοειδὴς καλεῖται, καταμετρηθῆναι τὴν ὀρθήν, πάσης γωνίας εὐθυγράμμου ἐλάττονος οὔσης τῆς κερατοειδοῦς. μᾶλλον οὖν τὸ ἐν μεγέθεσι μέρος ἐπὶ τῶν ὁμοιογενῶν ληψόμεθα καὶ οὕτως ἐροῦμεν τὸ ἐν μεγέθεσι μέρος, ὡς τὴν τοῦ τρίτου ὀρθῆς γωνίαν λέγομεν τῆς ὀρθῆς μέρος εἶναι. τὸ γὰρ σοφισμάτιον ἐκεῖνο παραλειπτέον τὸ λεγόμενον, ὅτι· εἰ τὸ μέρος ἐστὶ τὸ καταμετροῦν, καὶ τὸ καταμετροῦν ἐστι μέρος, καταμετρεῖται δὲ τὸ στερεὸν ὑπὸ ποδιαίας εὐθείας, μέρος ἄρα ἡ ποδιαία εὐθεῖα τοῦ στερεοῦ, ὅπερ ἄτοπον. ποδιαία εὐθεῖα τὸ μῆκος καταμετρεῖ τοῦ στερεοῦ καὶ τὸ βάθος καὶ τὸ πλάτος, ἅπερ εἰσὶν ὁμογενῆ αὐτῇ τῇ εὐθείᾳ, οὐ μὴν τὸ στερεόν. [Περὶ πολλαπλασίου. |
| 121.1 | ] Πολλαπλάσιόν ἐστι τὸ μεῖζον τοῦ ἐλάττονος, ὅταν καταμετρῆται ὑπὸ τοῦ ἐλάττονος. [Περὶ τῆς κατὰ μεγέθη ἀναλογίας. |
| 122.1 | ] Τί μέρος μὲν οὖν ἐστι καὶ λόγος, καὶ τίνα ὁμογενῆ ἅμα καὶ τί ἀναλογία, εἴρηται μὲν ἀκριβέστερον ἐν τοῖς πρὸ τῆς ἀριθμητικῆς στοιχειώσεως, νυνὶ δὲ λέγομεν, ὅτι, ὡς ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοιογενῶν ἡ ἀναλογία ἐφαρμόζει, οὕτω καὶ ἐπὶ τῶν ἐν τοῖς μεγέθεσιν ὁμοιογενῶν. [Τίνα λόγον ἔχει πρὸς ἄλληλα τὰ μεγέθη;] Λόγον ἔχειν πρὸς ἄλληλα τὰ μεγέθη λέγεται, ἃ δύνανται πολυπλασιαζόμενα ἀλλήλων ὑπερέχειν. |
| 123.1 | πρὸς δὲ τοὺς ἀντιθέντας τῷ ὅρῳ τούτῳ καὶ λέγοντας, ὅτι μόνα λόγον ἔχει πρὸς ἄλληλα, ἃ δύνανται πολυπλασιαζόμενα ἀλλήλων ὑπερέχειν, οὐδὲν δὲ οὕτως ὁμογενὲς ὡς σημεῖον σημείῳ, δῆλον ἄρα, ὅτι πολυπλασιαζόμενον τὸ σημεῖον ὑπερέξει τοῦ σημείου, πρὸς δὲ τούτους ῥητέον, ὅτι τὸν κατὰ μεγέθη προσπολυπλασιασμὸν οὐκ ἐπιδέχεται σημεῖον· ὃ γὰρ ἀτευκτεῖ μεγέθους, τοῦτο ἀτευκτεῖ καὶ τοῦ κατὰ μέγεθος πολυπλασιασθῆναι, μόνως δὲ ἐπιδέξεται πολυπλασιασμὸν κατ’ ἀριθμόν· οὕτως ἐπειδὴ τῇ εὐθείᾳ ἄπειρά εἰσι σημεῖα, τὰ τοσάδε τοσῶνδέ ἐστι πολυπλάσια. ὅλως τε ὡς περὶ μεγέθους διαλέγονται τοῦ σημείου ἔχοντός τινα διάστασιν, τοῦ Στοιχειωτοῦ ἄντικρυς τὸ μὲν σημεῖον ἀμερὲς ὁρισαμένου, λόγον δὲ ἔχειν πρὸς ἄλληλα τὰ μεγέθη εἰπόντος. [Τίνα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ μεγέθη ἐστίν;] Ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ μεγέθη λέγονται πρῶτον πρὸς δεύτερον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, ὅταν τὰ τοῦ πρώτου καὶ τοῦ τρίτου ἰσάκις πολυπλάσια τῶν τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου ἄλλων, ὧν ἔτυχεν, ἰσάκις πολυπλασίων ἢ ἅμα ὑπερέχῃ ἢ ἅμα ἴσα ᾖ ἢ ἅμα ἐλλείπῃ ληφθέντα κατάλληλα. |
| 124.2 | Τὰ δὲ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντα ἀνάλογον καλείσθω. Ἀναλογία δὲ ἐν τρισὶν ὅροις ἐλαχίστη ἐστίν, ἐνταῦθα ὅρων λαμβανομένων ἤτοι τῶν μεγεθῶν ἢ τῶν ἐπικειμένων αὐτοῖς ἀριθμῶν· ὡς γὰρ κύκλου ὅρος ἐστὶν ἡ περιφέρεια καὶ τριγώνων αἱ πλευραί, οὕτω τοῦ τοῦ θ πρὸς τὸν ϛ λόγου ὅροι εἰσὶν οἱ αὐτοὶ ἀριθμοί. |
| 125.1.(t) | [Διάφοροι μεγεθῶν ἀναλογίαι.] Ὅταν δὲ τρία μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ αʹ πρὸς τὸ τρίτον διπλασίονα λόγον ἔχειν λέγεται ἢ πρὸς τὸ βʹ. φησὶ γοῦν Ἐρατοσθένης, ὅτι, ὥσπερ ἐπὶ τῶν διαστημάτων ἴσων καὶ κατ’ εὐθεῖαν κειμένων τὰ διαστήματα διπλασιάζεται, οὕτως ἐπὶ τῶν λόγων ὡσανεὶ κατ’ εὐθεῖαν κειμένων τὸ αʹ πρὸς τὸ γʹ διπλάσιον λόγον ἔχει ἢ πρὸς τὸ δεύτερον. τὰ γὰρ θ τῶν ϛ ἀφέστηκεν ἡμιόλια, καὶ τὰ ϛ τῶν δ τὰ αὐτὰ ἡμιόλια· τὰ ἄρα θ τῶν τεσσάρων ἀφέστηκεν δυσὶν ἡμιολίοις. καὶ γὰρ αἱ ὑπεροχαὶ αἱ δύο τῇ μιᾷ εἰσιν αὑταί, οἷον ὡς ἐπὶ τῶν θ καὶ τῶν ϛ καὶ τῶν δ · ὑπερέχει γὰρ ὁ θ τῶν ϛ τοῖς τρισίν, ὑπερέχει δὲ καὶ ὁ ϛ τῶν δ τοῖς δυσίν, τὰ δὲ τρία καὶ τὰ β συντεθέντα ποιεῖ τὸν πέντε, ὅς ἐστι τοῦ θ καὶ δ ὑπεροχή. ὥσπερ δὲ ἀπὸ τῶν μειζόνων ἐπὶ τοὺς ἐλάττονας αἱ ὑπεροχαὶ ποιοῦσι διπλασίους λόγους καὶ τριπλασίους, οὕτως ἀπὸ τῶν ἐλαττόνων αἱ ἐλλείψεις. Ὅταν δὲ τῶν ἰσάκις πολλαπλασίων τὸ μὲν τοῦ πρώτου πολλαπλάσιον ὑπερέχῃ τοῦ τοῦ δευτέρου πολυπλασίου, τὸ δὲ τοῦ τρίτου πολλαπλάσιον μὴ ὑπερέχῃ τοῦ τοῦ δʹ πολλαπλασίου, τότε τὸ πρώτον πρὸς τὸ δεύτερον μείζονα λόγον ἔχειν λέγεται ἢ τὸ γʹ πρὸς τὸ δʹ. |
| 125.2 | ἐν δὲ ταύτῃ τῇ ὑπογραφῇ τοῦ ὅρου βεβούληται ὁ Εὐκλείδης εἰς ὑπόνοιαν ἡμᾶς ἀγαγεῖν καὶ παραστῆσαι, ἐν τίσιν εὑρίσκεσθαι δεῖ μείζονα λόγον λόγου· καὶ ἐπεὶ τὰ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ κεχαρακτηρίσθαι ἀπὸ τῶν ἰσάκις πολυπλασίων ἤτοι ἅμα ὑπερεχόντων ἢ ἅμα ἴσων ὄντων ἢ ἅμα ἐλλειπόντων, τὰ ἐν μείζονι λόγῳ ὄντα ἐκεῖνα ἔχειν τὴν ὑπεροχήν. ὅπως δὲ γίνεται ὑπεροχή, αὐτὸς ἐν τῷ εʹ τῆς καθόλου λόγων στοιχειώσεως ἐν τῷ θεωρήματι τῶν ἀνίσων μεγεθῶν ἐπέδειξεν. [Τίνα τὰ ὁμόλογα μεγέθη;] Ὁμόλογα μεγέθη λέγεται εἶναι τὰ μὲν ἡγούμενα τοῖς ἡγουμένοις, τὰ δὲ ἑπόμενα τοῖς ἑπομένοις. |
| 127.1 | [Περὶ τῆς ἐν τοῖς μεγέθεσι τῶν λόγων διαφορᾶς.] Λόγος μὲν εἴρηται, ὅτι β ὁμογενῶν ἐστιν ἡ πρὸς ἄλληλα σχέσις. ἐπὶ δὲ τῶν μεγεθῶν λέξομεν ἰδίως, ὅτι λόγος ἐστὶν δύο μεγεθῶν ὁμοιογενῶν ἡ κατὰ πηλικότητά ποια σχέσις, ὡς εἶναι καὶ ἐπ’ αὐτῶν ἀναλογίαν τὴν τοιούτων λόγων ὁμοιότητα. Ἀνάπαλιν λόγος ἐστὶν ὁ τοῦ ἑπομένου πρὸς τὸ ἡγούμενον. Συνθέντι λόγος ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου μετὰ τοῦ ἑπομένου πρὸς αὐτὸ τὸ ἑπόμενον. Διελόντι λόγος ἐστὶ λῆψις τῆς ὑπεροχῆς, ἣν ὑπερέχει τὸ ἡγούμενον τοῦ ἑπομένου, πρὸς τὸ ἑπόμενον. Ἀναστρέψαντι λόγος ἐστι λῆψις τοῦ ἡγουμένου πρὸς τὴν ὑπεροχήν, ἣν ὑπερέχει τὸ ἡγούμενον τοῦ ἑπομένου. Ἐναλλὰξ λόγος ἐστὶν ὁ τοῦ ἡγουμένου πρὸς τὸ ἡγούμενον καὶ τοῦ ἑπομένου πρὸς τὸ ἑπόμενον. Δι’ ἴσου λόγος ἐστὶ τεταγμένης ἀναλογίας, ὅταν ᾖ, ὡς ἡγούμενον πρὸς ἑπόμενον, οὕτως ἡγούμενον πρὸς ἑπόμενον, ᾖ δὲ καί, ὡς ἑπόμενον πρὸς ἄλλο τι, οὕτως ἑπόμενον πρὸς ἄλλο τι, λῆψις ἐν ἀμφοτέροις τοῦ ἡγουμένου πρὸς ἄλλο τι, τουτέστιν ὑπεξαιρεθέντων τῶν μεταξὺ ἐναλλὰξ ὅρων. [Περὶ μεγεθῶν συμμέτρων καὶ ἀσυμμέτρων. |
| 128.1 | ] Τίνες μὲν ἄλογοι καὶ ἀσύμμετροι, καὶ τίνες ῥητοὶ καὶ σύμμετροι, ἐν τοῖς πρὸ τῆς ἀριθμητικῆς στοιχειώσεως εἴρηται· νυνὶ δὲ Εὐκλείδῃ τῷ στοιχειωτῇ ἑπόμενοι περὶ τῶν μεγεθῶν φαμεν, ὅτι σύμμετρα μεγέθη λέγεται τὰ ὑπὸ τῶν αὐτῶν μέτρων μετρούμενα, ἀσύμμετρα δέ, ὧν μηδὲν ἐνδέχεται κοινὸν μέτρον γίνεσθαι. [Περὶ εὐθειῶν συμμέτρων καὶ ἀσυμμέτρων. |
| 129.1 | ] Εὐθεῖαι δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν, ὅταν τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα τῷ αὐτῷ χωρίῳ μετρῆται, ἀσύμμετροι δέ, ὅταν τοῖς ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνοις μηδὲν ἐνδέχηται κοινὸν μέτρον χωρίον γενέσθαι. τούτων ὑποκειμένων δείκνυται, ὅτι τῇ προτεθείσῃ εὐθείᾳ σύμμετροί εἰσί τινες εὐθεῖαι ἄπειροι. καλείσθω οὖν ἡ μὲν προτεθεῖσα εὐθεῖα ῥητὴ καὶ αἱ ταύτῃ σύμμετροι ῥηταὶ καὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς προτεθείσης εὐθείας τετράγωνον ῥητόν, τὰ δὲ ἀπ’ αὐτῆς σύμμετρα καὶ τὰ τούτων σύμμετρα ῥητά. [Τίνα μέρη τῶν ἐν τοῖς μεγέθεσι μετρήσεων καταμετροῦντα τὰ ὅλα;] Τῶν δὲ ἐν τοῖς μεγέθεσι μετρήσεων καταμετροῦντα τὰ ὅλα ἐστὶ τάδε· δάκτυλος, παλαιστή, σπιθαμή, πούς, πῆχυς, βῆμα, ὀργυιά. |
| 130.1 | πάντων δὲ ἐλαχιστότερόν ἐστιν δάκτυλος, διαιρεῖται δὲ καὶ εἰς μέρη ἔσθ’ ὅτε· λέγομεν γὰρ καὶ 𐅵 ʹ καὶ γʹ καὶ λοιπὰ μόρια. Εἰσὶ δὲ καὶ ἕτερα μέτρα ἐπινενοημένα τισὶ τάδε· ἄμπελος, πάσσον, ἄκαινα, πλέθρον, ἰούγερον, στάδιον, μίλιον, σχοῖνος, σχοῖνος Περσικὴ καὶ σχοῖνος Ἑλληνικὴ καὶ λοιπά. [Τί τῶν εἰρημένων ἕκαστον δύναται;] Κατὰ μὲν τὴν παλαιὰν ἔκθεσιν παραλιπόντες τὰ περισσὰ τὴν νῦν κρατοῦσαν δύναμιν ὑπετάξαμεν. |
| 131.1 | Ὁ παλαιστὴς ἔχει δακτύλους δ . Ἡ σπιθαμὴ ἔχει παλαιστὰς γ , δακτύλους ιβ . Ὁ ποὺς ἔχει σπιθαμὴν α γʹ, παλαιστὰς δ , δακτύλους ιϛ . Ὁ πῆχυς ἔχει πόδας β , σπιθαμὰς β 𐅷 ʹ, δακτύλους λβ . Τὸ βῆμα ἔχει πῆχυν α , πόδας β , σπιθαμὰς β 𐅷 ʹ. Ἡ ὀργυιὰ ἔχει βήματα β δʹ, πήχεις β δʹ, πόδας δ 𐅵 ʹ, σπιθαμὰς ϛ , δακτύλους οβ . Ἡ ἄμπελος ἔχει ὀργυιὰν α θʹ, βήματα β 𐅵 ʹ, πόδας ε , σπιθαμὰς ϛ 𐅷 ʹ, παλαιστὰς κ , δακτύλους π . Τὸ πάσσον ἔχει ἄμπελον α εʹ, ὀργυιὰν α γʹ, βήματα γ , πήχεις γ , πόδας ϛ , σπιθαμὰς η , παλαιστὰς κδ , δακτύλους. Ϟϛ . Ἡ ἄκαινα ἔχει πάσσα β , ἀμπέλους β γʹ ιεʹ, ὀργυιὰς β 𐅵 ʹ ϛʹ, βήματα ϛ , πήχεις ϛ , πόδας ιβ , σπιθαμὰς ιϛ , παλαιστὰς μη , δακτύλους ρϞβ . Τὸ πλέθρον ἔχει ἀκαίνας ρ , πάσσα ς , ἀμπέλους σμ , ὀργυιὰς σξϛ 𐅷 ʹ, βήματα χ , πήχεις χ , πόδας ͵ ας , σπιθαμὰς ͵ αχ , παλαιστὰς ͵ δω , δακτύλους α̈ ͵ θς . Τὸ ἰούγερον ἔχει ἀμπέλους υπ , πάσσα υ , ὀργυιὰς φλγ γʹ, πλέθρα β , ἀκαίνας ς , βήματα ͵ ας , πήχεις ͵ ας , πόδας ͵ βυ , σπιθαμὰς ͵ γς , παλαιστὰς ͵ θχ , δακτύλους γ̈ ͵ ηυ . Τὸ στάδιον ἔχει ἀμπέλους ρκ , πάσσα ρ , ὀργυιὰς ρλγ γʹ, πλέθρον 𐅵 ʹ, ἀκαίνας ν , βήματα τ , πήχεις τ , πόδας χ , σπιθαμὰς ω , παλαιστὰς ͵ βυ , δακτύλους ͵ θχ . Τὸ μίλιον ἔχει στάδια ζ 𐅵 ʹ, πλέθρα γ 𐅵 ʹδʹ, ἀκαίνας τοε , πάσσα ψν , ἀμπέλους ϡ , ὀργυιὰς ͵ α , βήματα ͵ βσν , πήχεις ͵ βσν , πόδας ͵ δφ , σπιθαμὰς ͵ ϛ , παλαιστὰς α̈ ͵ η , δακτύλους ζ̈ ͵ β . Ἐν συντόμῳ δὲ ἔχει ἕκαστον οὕτως, ὡς προείρηται, κατὰ τὴν νῦν κατάστασιν τῆς γεωμετρίας, ἤγουν τῆς ἀπογραφῆς τοῦ κίνσου. Μετὰ τὸν δάκτυλον, ὅς ἐστι μέρος ἐλάχιστον πάντων, ἔστιν ὁ παλαιστής, ὃν καὶ τέταρτόν τινες καλοῦσι διὰ τὸ δ ἔχειν δακτύλους, μετὰ τοῦτον ἡ σπιθαμὴ παλαιστῶν γ , εἶτα ἐν κεφαλαίῳ ὁ ποὺς ἔχει παλαιστὰς δ , εἶτα ὁ πῆχυς ἔχει πόδας β , παλαιστὰς η , βῆμα ἴσον τοῦ πήχεως, ὀργυιὰ ἔχει πόδας δ 𐅵 ʹ, παλαιστὰς ιη , ἄκαινα πόδας ιβ , παλαιστὰς μη , ἄμπελος ἔχει πόδας ε , παλαιστὰς κ , πάσσον ἔχει πόδας ϛ , παλαιστὰς κδ , πλέθρον πόδας ͵ ας , παλαιστὰς ͵ δω , ἰούγερον πόδας ͵ βυ , παλαιστὰς ͵ θχ , στάδιον πόδας χ , παλαιστὰς ͵ βυ , μίλιον πόδας ͵ δφ . [Εὐθυμετρικά, ἐμβαδομετρικὰ καὶ στερεομετρικά. |
| 132.1 | ] Ὁ παλαιστὴς ὁ εὐθυμετρικὸς ἔχει δακτύλους δ , ὁ ἐπίπεδος δακτύλους ιϛ , ὁ δὲ στερεὸς δακτύλους ξδ . Ὁ ποὺς ὁ εὐθυμετρικὸς ἔχει παλαιστὰς δ , δακτύλους ιϛ , ὁ δὲ ἐπίπεδος ἔχει παλαιστὰς ιϛ , δακτύλους σνϛ , ὁ δὲ στερεὸς ποὺς ἔχει παλαιστὰς ξδ , δακτύλους ͵ δϞϛ . Ὁ πῆχυς ἔχει ὁ εὐθυμετρικὸς πόδας β , παλαιστὰς η , δακτύλους λβ , ὁ δὲ ἐπίπεδος πῆχυς ἔχει πόδας δ , παλαιστὰς ξδ , δακτύλους ͵ ακδ , ὁ δὲ στερεὸς πῆχυς ἔχει πόδας η , παλαιστὰς φιβ , δακτύλους γ̈ ͵ βψξη . Τὰ δὲ τῆς μετρήσεως εἴδη εἰσὶ ταῦτα· τετράγωνα, τρίγωνα, ῥόμβοι, τραπέζια, κύκλοι. |
| 133.1 | ἔχουσι θεωρήματα δεκαοκτὼ οὕτως· τετραγώνων θεωρήματα β , τετράγωνον ἰσόπλευρον ὀρθογώνιον καὶ τετράγωνον παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον· τριγώνων θεωρήματα ϛ , τρίγωνον ἰσόπλευρον, τρίγωνον ἰσοσκελές, τρίγωνον σκαληνόν, τρίγωνον ὀρθογώνιον, τρίγωνον ὀξυγώνιον, τρίγωνον ἀμβλυγώνιον· ῥόμβου θεωρήματα β , ῥόμβος καὶ ῥομβοειδές· τραπεζίων θεωρήματα τέσσαρα, τραπέζιον ὀρθογώνιον, τραπέζιον ἰσοσκελές, τραπέζιον ὀξυγώνιον, τραπέζιον ἀμβλυγώνιον· κύκλων θεωρήματα τέσσαρα, κύκλος, ἁψὶς ἤτοι ἡμικύκλιον, τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου καὶ τμῆμα ἧττον ἡμικυκλίου. Καὶ ταῦτα μὲν οὖν τὰ εἴδη καὶ τὰ θεωρήματα ὅσον ἐπὶ τῶν ἐμβαδομετρικῶν· ἐπὶ δὲ τῶν στερεῶν προστιθεμένου ἑκάστῃ μετρήσει καὶ τοῦ πάχους ἐξαίρετα θεωρήματα ἐπὶ τῶν στερεῶν εἰσι δέκα οὕτως· σφαῖρα, κῶνος, ὀβελίσκος, κύλινδρος, κύβος, σφηνίσκος, μείουρος, κίων, πλινθίς, πυραμίς. |
| 133.3 | Εἰσὶ δὲ καὶ ὅροι τῆς μετρήσεως ἐστηριγμένοι οἵδε· παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντη μεταλαμβανόμεναι, καὶ παντὸς τριγώνου ὀρθογωνίου [αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς] τὰ ἀπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν δύο πλευρῶν τετράγωνα ἴσα τῷ ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης τετραγώνῳ, καὶ παντὸς κύκλου ἡ περίμετρος τῆς διαμέτρου τριπλάσιός ἐστι καὶ ἐφέβδομος, καὶ ἐμβαδὸν ἀπὸ τῆς διαμέτρου ἐπὶ τὸν κύκλον μετρούμενα τετράγωνα ἴσα εἰσὶν ἐμβαδοῖς κύκλων δ . Ἐπειδὴ δὲ ἐν τοῖς κλίμασιν ἐκράτησε τις συνήθεια τοῖς ἐγχωρίοις μέτροις χρᾶσθαι ἕκαστον, καὶ ἐκ τῆς ἀναλογίας τοῦ ποδὸς πρὸς τὸν πῆχυν ἐξισοῦται τὸ μέτρον, τούτων δὲ οὕτως ἐχόντων τὴν μέτρησιν τῶν θεωρημάτων ποίει, ὡς προείρηται. |
| 134.1.(t) | Αἰτήματα ε . Ἠιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν, Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν ἐπ’ εὐθείας κατὰ τὸ συνεχὲς ἐκβαλεῖν, Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γεγράφθαι, Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι, Καί, ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ’ ἄπειρον συμπίπτειν ἀλλήλαις, ἐφ’ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες γωνίαι. Καὶ δύο εὐθεῖαι χωρίον οὐ περιέχουσιν. Κοιναὶ ἔννοιαι. |
| 134.2 | Τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις εἰσὶν ἴσα. Καὶ ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα. Καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ λοιπά ἐστιν ἴσα. Καὶ ἐὰν ἀνίσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἄνισα. Καὶ ἐὰν ἀπὸ ἀνίσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ λοιπά ἐστιν ἄνισα. Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστί. Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ ἡμίση ἴσα ἀλλήλοις ἐστί. Καὶ τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζόν ἐστι. Καὶ δύο εὐθεῖαι χωρίον οὐ περιέχουσιν. Ὅρος γεωμετρίας. |
| 135.1.(t) | Γεωμετρία ἐστὶν ἐπιστήμη μεγεθῶν καὶ σχημάτων καὶ τῶν περιοριζουσῶν καὶ περατουσῶν ταῦτα ἐπιφανειῶν καὶ γραμμῶν τῶν τε ἐν τούτοις παθῶν καὶ σχέσεων καὶ ἐνεργειῶν ἐν μορφαῖς καὶ κινήσεως ποιότησι. πάθη μὲν οὖν λέγεται τὰ περὶ τὰς διαιρέσεις, σχέσεις δὲ οἱ τῶν μεγεθῶν πρὸς ἄλληλα λόγοι καὶ θέσεις καὶ καθ’ αὑτὸ ἐπιβάλλουσιν ἡμῖν αὐτοῖς καὶ πρὸς ἄλληλα συγκρίνουσιν. Ὅ, τι τὸ ἐν τοῖς σώμασι μέγεθος συνεχές. |
| 135.2 | Συνεχῆ δέ εἰσι τὰ ὁμοιομερῆ δι’ ὅλων, καὶ ὧν ἐπ’ ἄπειρον ἡ τομή, οἷον σῶμα, τόπος, χρόνος, κίνησις, ἐπιφάνεια, γραμμή. τοῦ τε γὰρ σώματος πᾶν μέρος σῶμα, καὶ διὰ τοῦτο οὐδὲν ἔστιν ἐλάχιστον σῶμα. ἐπεὶ πᾶν σῶμα τρεῖς ἔχει διαστάσεις, μῆκος, πλάτος, βάθος, καὶ ὅπου δὲ πᾶν μέρος, τόπος ἐστί, καὶ ὅθεν, οὐδὲ τόπος ἐλάχιστος ἔστι· πᾶς γὰρ τόπος ἴσας ἔχει σωματικὰς διαστάσεις. ὁμοίως καὶ πᾶν μέρος τοῦ χρόνου χρόνος ἐστί. καὶ ἄλλα δὲ συνεχῆ ἐστι, γραμμὴ μέν, ὅτι λαβεῖν ἔστι κοινὸν ὅρον, πρὸς ὃν τὰ μόρια αὐτῆς συνάπτει, στιγμήν, ἐπιφάνεια δέ, ὅτι τὰ τοῦ ἐπιπέδου μόρια πρὸς κοινὸν ὅρον συνάπτει, γραμμήν· ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τοῦ σώματος. Ὅτι τινὲς ἀρχαὶ γεωμετρίας. |
| 135.3 | Ἀρχὰς γεωμετρίας ἔνιοί φασιν εἶναι τὰς τοῦ σώματος διαστάσεις τοῦ μαθηματικοῦ· εἰσὶ δὲ τρεῖς, μῆκος, πλάτος καὶ βάθος. τούτων δὲ τὴν πρώτην γίνεσθαί φασιν ἀπὸ τῶν πρόσω εἰς τὰ ὀπίσω καὶ εἶναι μῆκος, τὴν δὲ δευτέραν γίνεσθαι ἀπὸ τῶν δεξιῶν εἰς τὰ εὐώνυμα καὶ εἶναι πλάτος, τὴν δὲ τρίτην γίνεσθαι ἄνω καὶ κάτω καὶ εἶναι βάθος, ὡς ἐκ τῶν τριῶν τούτων ἓξ γίνεσθαι διαστάσεις, δύο καθ’ ἑκάστην· καλοῦσι δὲ ταύτας κινήσεις κατὰ τόπον. Τί ἐστι τέλος γεωμετρίας; Τέλος ἐστὶ ταύτῃ παραπλησίως τῇ ἀριθμητικῇ, πλὴν τοῦ ζητεῖν καταλαβεῖν οὐ τὰ τῇ διωρισμένῃ, ἀλλὰ τὰ συνεχεῖ οὐσίᾳ συμβάντα. |
| 135.5 | Περὶ λογιστικῆς. Λογιστική ἐστι θεωρία ἡ τῶν ἀριθμητῶν, οὐχὶ δὲ τῶν ἀριθμῶν, μεταχειριστική, οὐ τὸν ὄντως ἀριθμὸν λαμβάνουσα, ὑποτιθεμένη δὲ τὸ μὲν ἓν ὡς μονάδα, τὸ δὲ ἀριθμητὸν ὡς ἀριθμόν, οἷον τὰ τρία τριάδα εἶναι καὶ τὰ δέκα δεκάδα, ἐφ’ ὧν ἐπάγει τὰ κατὰ ἀριθμητικὴν θεωρήματα. θεωρεῖ οὖν τὸ μὲν κληθὲν ὑπ’ Ἀρχιμήδους βοϊκὸν πρόβλημα, τοῦτο δὲ μηλίτας καὶ φιαλίτας ἀριθμούς, τοὺς μὲν ἐπὶ φιάλης, τοὺς δὲ ἐπὶ ποίμνης, καὶ ἐπ’ ἄλλων δὲ γενῶν τὰ πλήθη τῶν αἰσθητῶν σωμάτων σκοποῦσα, ὡς περιττὸν ἀποφαίνεσθαι. Τίς ὕλη λογιστικῆς; Εἴρηται μὲν ἤδη, ὅτι πάντα τὰ ἀριθμηθέντα. |
| 135.6 | ἐπεὶ δὲ τὸ ἕν ἐστιν ἐν τῇ ὕλῃ ἐλάχιστον, ὁποῖον ἐν τῇ ἀριθμητικῇ ἡ μονάς, προσχρῆται τῷ ἑνὶ ὡς ἐλαχίστῳ τῶν ὑπὸ τὸ αὐτὸ πλῆθος ὁμογενῶν· ἕνα γοῦν τίθεται ἄνθρωπον ἐν πλήθει ἀνθρώπων ἀδιαίρετον, ἀλλ’ οὐχ ἅπαξ, καὶ μίαν δραχμὴν ἐν δραχμαῖς ἄτομον, εἰ καὶ ὡς νόμισμα διαιρεῖται. Γεωδαισία ἐστὶν ἐπιστήμη τῶν ἐν τοῖς αἰσθητοῖς σώμασι μεγεθῶν καὶ σχημάτων διαιρετικὴ καὶ συνθετική. |
| 135.8 | Ποταπὴ τῆς γεωδαισίας ὕλη; Λαμβάνει τὰ σχήματα οὐ τέλεια οὐδ’ ἀπηκριβωμένα τῷ σωματικὴν ὕλην ὑποβεβλῆσθαι, καθώσπερ καὶ ἡ λογιστική· μετρεῖ γοῦν καὶ σωρὸν ὡς κῶνον καὶ φρέατα περιφερῆ ὡς κυλινδρικὰ σχήματα καὶ τὰ μείουρα ὡς κώνους κολούρους. χρῆται δέ, ὡς ἡ γεωμετρία τῇ ἀριθμητικῇ, οὕτω καὶ αὕτη τῇ λογιστικῇ. χρῆται ὀργάνοις εἰς μὲν τὰς διοπτείας χωρίων διόπτραις, κανόσι, στάθμαις, γνώμοσι καὶ τοῖς ὁμοίοις πρὸς διαστημάτων καὶ ὑψῶν ἀναμετρήσεις, τοῦτο μὲν σκιᾷ, τοῦτο δὲ αὖ διοπτείαις, ἔστι δὲ ὅτε καὶ δι’ ἀνακλάσεως θηρᾶται τὸ προβληθέν. ὥσπερ καὶ ὁ γεωμέτρης τὰς λογικὰς εὐθείας μεταχειρίζεται πολλαχοῦ, οὕτως ὁ γεωδαίτης ταῖς αἰσθηταῖς προσχρῆται· τούτων δ’ αἱ μὲν ἀκριβέστεραι διὰ τῶν ἀκτίνων τοῦ ἡλίου λαμβάνονται ἢ δι’ ὀπτήρων ἢ τῶν ἐπιπροσθετήσεων ἐκλαμβανόμεναι, αἱ δὲ σωματικώτεραι διὰ τάσεως καὶ ἕλξεως μηρίνθων ἢ στάθμης· τούτοις γὰρ χρώμενος ὁ γεωδαίτης μετρεῖ πόρρωθεν ἀφεστῶτα χωρία, ὀρῶν ἀναστήματα, τειχῶν ὕψη, ποταμῶν πλάτη καὶ βάθη, καὶ ὅσα τοιαῦτα. ἔτι ἡ γεωδαισία ποιεῖται τὰς διαιρέσεις οὐ μόνον εἰς ἰσότητας, ἀλλὰ καὶ κατὰ λόγους καὶ ἀναλογίας, ἔστι δ’ ὅτε καὶ κατὰ τὴν τῶν χωρίων ἀξίαν. Ὅτι αἱ πρὸς ὄμμα τε καὶ ὀρθογώνιοι στοαὶ πόρρωθεν μείουροι φαίνονται καὶ τῶν πύργων οἱ τετράγωνοι στρογγύλοι καὶ προσπίπτοντες πόρρωθεν ὁρώμενοι, ἄνισά τε τὰ ἴσα φατνώματα παρὰ τὰς θέσεις καὶ τὰ μήκη. |
| 135.10 | Ὅτι ὑποτίθεται ἡ ὀπτικὴ τὰς ἀπὸ τοῦ ὄμματος ὄψεις κατ’ εὐθείας γραμμὰς φέρεσθαι, καὶ τοῦ ὄμματος περιφερομένου συμπεριφέρεσθαι καὶ τὰς ὄψεις, καὶ ἅμα τῷ ὄμματι διανοιγομένῳ πρὸς τὸ ὁρώμενον γίνεσθαι τὰς ὄψεις. καὶ καθ’ ἕτερον δὲ τρόπον ὑποτίθεται τὰ μὲν δι’ αἰθέρος καὶ ἀέρος ὁρώμενα κατ’ εὐθείας γραμμὰς ὁρᾶσθαι· φέρεσθαι γὰρ πᾶν φῶς κατ’ εὐθείας γραμμάς· ὅσα δὲ διαφαίνεται δι’ ὑέλων ἢ ὑμένων ἢ ὕδατος, κατὰ κεκλασμένας, τὰ δὲ φαινόμενα ἐν τοῖς κατοπτρίζουσι κατὰ ἀνακλωμένας [γωνίας]. Ὅτι οὔτε φυσιολογεῖ ἡ ὀπτικὴ οὔτε ζητεῖ, εἴτε ἀπόρροιαί τινες ἐπὶ τὰ πέρατα τῶν σωμάτων φέρονται ἀπὸ τῶν ὄψεων ἀκτίνων ἐκχεομένων, εἴτε ἀπορρέοντα εἴδωλα ἀπὸ τῶν αἰσθητῶν εἴσω τῶν ὄψεων εἰσδύεται κατὰ στάθμην ἐνεχθέντα, εἴτε συνεκτείνεται ἢ συστρέφεται ὁ μεταξὺ ἀὴρ τῷ τῆς ὄψεως αὐγοειδεῖ πνεύματι, μόνον δὲ σκοπεῖ, εἰ σώζεται καθ’ ἑκάστην ὑπόθεσιν ἡ ἰθυτένεια τῆς φορᾶς ἢ τάσεως καὶ τὸ κατὰ τὴν συναγωγὴν εἰς γωνίαν τὴν σύννευσιν γίνεσθαι, ἐπειδὰν μειζόνων ἢ ἐλαττόνων ὄψεως ᾖ θεωρία. |
| 135.11 | προηγουμένως τε σκέπτεται, ὡς ἀπὸ παντὸς [τῆς κόρης ἢ τοῦ ὁρωμένου] μέρους ἡ ὄψις ἐγγίνεται, οὐχὶ δὲ ἀπό τινος ὡρισμένου σημείου, καὶ ὅτι κατὰ γωνίαν ὁτὲ μὲν εἴσω νενευκυῖαν, ὁτὲ δὲ ἔξω κορυφουμένην, ὁτὲ δὲ κατὰ παραλλήλους. Ὀπτικῆς μέρη λέγοιτο μὲν ἂν κατὰ τὰς διαφόρους ὕλας καὶ πλείω, τὰ δὲ γενικώτατα τρία τὸ μὲν ὁμωνύμως τῷ ὅλῳ καλούμενον ὀπτικόν, τὸ δὲ κατοπτρικόν, τὸ δὲ σκηνογραφικόν. |
| 135.12 | κατοπτρικὸν δὲ λέγεται ὁλοσχερέστερον μὲν τὸ περὶ τὰς ἀνακλάσεις τὰς ἀπὸ τῶν λείων, οὐ μόνον περὶ ἓν κάτοπτρον, ἔστι δ’ ὅτε καὶ περὶ πλείω στρεφόμενον, ἔτι μὴν καὶ περὶ τὰ ἐν ἀέρι δι’ ὑγρῶν ἐμφαινόμενα χρώματα, ὁποῖά ἐστι τὰ κατὰ τὰς ἴριδας· ἕτερον δὲ τό τε θεωροῦν τὰ συμβαίνοντα περὶ τὰς τοῦ ἡλίου ἀκτῖνας ἔν τε κλάσει καὶ φωτισμοῖς αὐτοῖς καὶ σκιαῖς, οἷον ὁποία τις ἡ διορίζουσα γραμμὴ τὴν σκιὰν ἐν ἑκάστῳ σχήματι γίνεται, καὶ τὸ περὶ τὰ πυρεῖα προσαγορευόμενον σκοποῦν περὶ τῶν κατὰ ἀνάκλασιν συνιουσῶν ἀκτίνων, αἳ κατὰ σύννευσιν ἀθρόαν τῆς τοῦ φωτὸς ἀνακλάσεως παρὰ τὴν ποιὰν κατασκευὴν τοῦ κατόπτρου εἰς ἓν συνιοῦσαι ἢ κατὰ γραμμὴν εὐθεῖαν ἢ κυκλοτερὲς ἐκπυροῦσί τινα τόπον. αὗται δ’ αἱ θεωρίαι τὰς αὐτὰς ὑποθέσεις ἔχουσαι τῇ περὶ τὰς ὄψεις τὸν αὐτὸν ἐκείνῃ τρόπον ἐφοδεύονται· ὁποία γὰρ ἡ τῶν ὄψεων πρόπτωσις, τοιοῦτος καὶ ὁ καταφωτισμὸς ὑπὸ τοῦ ἡλίου γίνεται, καὶ τότε μὲν κατ’ εὐθείας ἀκλάστους, τότε δὲ κατὰ δυομένας, ὥσπερ ἐπὶ τῶν ὑέλων· κατακλώμεναι γὰρ καὶ εἰς ἓν συννεύουσαι ἐξάπτουσι παρὰ τὰ ποιὰ σχήματα· τότε δὲ κατὰ ἀνάκλασιν, ὥσπερ οἱ ἀχιλλεῖς φαίνονται ἐπὶ τῶν ὀροφῶν· ὥς τε ἀπὸ πάσης τῆς ὄψεως ἡ θεωρία, καὶ ἀπὸ παντὸς μέρους τοῦ ἡλίου ὁ φωτισμὸς γίνεται. ἡ δ’ ἐπὶ τῶν ὑδάτων καὶ τῶν ὑμένων τὰ κατὰ διάδυσιν θεωροῦσα ὀπτικὴ ἐλάττω μὲν θεωρίαν ἔχει, αἰτιολογεῖ δὲ τὰ ὑπὸ τοῖς ὕδασι καὶ ὑμέσι καὶ ὑέλοις, ὁπότε διασπαραττόμενα φαίνεται τὰ ἡνωμένα καὶ σύνθετα τὰ ἁπλᾶ καὶ τὰ ὀρθὰ κεκλασμένα καὶ τὰ μένοντα κινούμενα. Τί τὸ σκηνογραφικόν; Τὸ σκηνογραφικὸν τῆς ὀπτικῆς μέρος ζητεῖ, πῶς προσήκει γράφειν τὰς εἰκόνας τῶν οἰκοδομημάτων· ἐπειδὴ γὰρ οὐχ, οἷά ἐστι τὰ ὄντα, τοιαῦτα καὶ φαίνεται, σκοποῦσιν, πῶς μὴ τοὺς ὑποκειμένους ῥυθμοὺς ἐπιδείξονται, ἀλλ’, ὁποῖοι φανήσονται, ἐξεργάσονται. |
| 135.13 | τέλος δὲ τῷ ἀρχιτέκτονι τὸ πρὸς φαντασίαν εὔρυθμον ποιῆσαι τὸ ἔργον καί, ὁπόσον ἐγχωρεῖ, πρὸς τὰς τῆς ὄψεως ἀπάτας ἀλεξήματα ἀνευρίσκειν, οὐ τῆς κατὰ ἀλήθειαν ἰσότητος ἢ εὐρυθμίας, ἀλλὰ τῆς πρὸς ὄψιν στοχαζομένῳ. οὕτω γοῦν τὸν μὲν κύλινδρον κίονα, ἐπεὶ κατεαγότα ἔμελλε θεωρήσειν κατὰ μέσα πρὸς ὄψιν στενούμενον, εὐρύτερον κατὰ ταῦτα ποιεῖ, καὶ τὸν μὲν κύκλον ἔστιν ὅτε οὐ κύκλον γράφει, ἀλλ’ ὀξυγωνίου κώνου τομήν, τὸ δὲ τετράγωνον προμηκέστερον καὶ τοὺς πολλοὺς καὶ μεγέθει διαφέροντας κίονας ἐν ἄλλαις ἀναλογίαις κατὰ πλῆθός τε καὶ μέγεθος. τοιοῦτος δ’ ἐστὶ λόγος καὶ ὁ τῷ κολοσσοποιῷ διδοὺς τὴν φανησομένην τοῦ ἀποτελέσματος συμμετρίαν, ἵνα πρὸς τὴν ὄψιν εὔρυθμος εἴη, ἀλλὰ μὴ μάτην ἐργασθείη κατὰ οὐσίαν σύμμετρος· οὐ γάρ, οἷά ἐστι τὰ ἔργα, τοιαῦτα φαίνεται ἐν πολλῷ ἀναστήματι τιθέμενα. Εὕρηται ἡ γεωμετρία πρῶτον μὲν ἐκ τῶν Αἰγυπτίων, ἤγαγε δὲ εἰς τοὺς Ἕλληνας Θαλῆς. |
| 136.1 | μετὰ δὲ τὸν Θαλῆν Μαμέρτιος ὁ Στησιχόρου ποιητοῦ ἀδελφὸς καὶ Ἱππίας ὁ Ἠλεῖος καὶ μετὰ ταῦτα ὁ Πυθαγόρας ἄνωθεν τὰς ἀρχὰς αὐτῆς ἐπισκοπούμενος καὶ ἀύλως καὶ νοερῶς τὰ θεωρήματα διερευνώμενος καὶ μετὰ τοῦτον Ἀναξαγόρας καὶ ὁ Πλάτων καὶ Οἰνοπίδης ὁ Χῖος καὶ Θεόδωρος ὁ Κυρηναῖος καὶ Ἱπποκράτης πρὸ τοῦ Πλάτωνος. μετὰ ταῦτα καὶ Λεωδάμας ὁ Θάσιος καὶ Ἀρχύτας ὁ Ταραντῖνος καὶ Θεαίτητος ὁ Ἀθηναῖος, Εὔδοξος ὁ Κνίδιος· καὶ τρισὶν ἀναλογίαις ἄλλας τρεῖς προσέθηκε· καὶ ἄλλοι πολλοί. οὐ πολὺ δὲ τούτων νεώτερός ἐστιν ὁ Εὐκλείδης ὁ τὰ Στοιχεῖα συναγαγών, γέγονε δὲ οὗτος ἐπὶ τοῦ πρώτου Πτολεμαίου νεώτερος μὲν τοῦ Πλάτωνος, ἀρχαιότερος δὲ τοῦ Ἐρατοσθένους καὶ Ἀρχιμήδους· οὗτοι γὰρ σύγχρονοι ἀλλήλοις ἦσαν. Τὸ ὄνομα τῆς μαθηματικῆς καὶ τῶν μαθημάτων φαμὲν ταῖς ἐπιστήμαις ταύταις δεδόσθαι, καθ’ ὃ πᾶσα καλουμένη μάθησις ἀνάμνησίς ἐστιν οὐκ ἔξωθεν ἐντεθειμένη τῇ ψυχῇ, ὡς τὰ ἀπὸ τῶν αἰσθητῶν φαντάσματα τυποῦνται ἐν τῇ φαντασίᾳ, οὐδὲ ἐπεισοδιώδης οὖσα, καθάπερ δοξαστικὴ γνῶσις, ἀλλ’ ἀνεγειρομένη μὲν ἀπὸ τῶν φαινομένων, προβαλλομένη δὲ ἔνδοθεν ἀφ’ ἑαυτῆς τῆς διανοίας εἰς ἑαυτὴν ἐπιστρεφομένης κατ’ εἶδος· καὶ τὰς ἐπιστήμας αὐτῶν ἐν ἑαυτῷ προείληφε, κἂν μὴ ἐνεργῇ κατ’ αὐτάς, ἔχει πάσας οὐσιωδῶς καὶ κρυφίως, προφαίνεται δ’ ἑκάστη, ὅταν ἀφαιρεθῇ τὸ ἐμπόδιον τῶν ἐκ τῆς αἰσθήσεως· αἱ μὲν γὰρ αἰσθήσεις συνάπτουσιν αὐτὴν τοῖς μεριστοῖς, αἱ δὲ φαντασίαι ταῖς μορφωτικαῖς κινήσεσιν, αἱ δὲ ὀρέξεις περισπῶσιν εἰς τὸν ἐμπαθῆ βίον, πᾶν δὲ τὸ μεριστὸν ἐμπόδιόν ἐστιν τῆς εἰς ἑαυτοὺς ἡμῶν ἐπιστροφῆς. |
| 136.3 | Ἀριστοτέλης πού φησιν· ὅσοι καταφρονητικῶς ἔχουσι τῆς τῶν μαθημάτων γνώσεως, ἄγευστοι τυγχάνουσι τῶν ἐν αὐτοῖς ἡδονῶν, ὁ δὲ Πλάτων, καθαρτικὴν τῆς ψυχῆς καὶ ἀναγωγὸν τὴν μαθηματικὴν εἶναι σαφῶς. Τὰ τῆς μαθηματικῆς εἴδη τῆς ἀμερίστου φύσεώς ἐστιν ἀπολειπόμενα καὶ τῆς μεριστῆς ὑπεριδρυμένα, καὶ τοῦ νοῦ μέν ἐστι δεύτερα, δόξης δὲ τελεώτερα καὶ ἀκριβέστερα καὶ καθαρώτερα. |
| 136.5 | Εἰς ἕνωσιν καὶ διάκρισιν τῶν ὅλων τὴν ταυτότητα μετὰ τῆς ἑτερότητος εἰς τὴν τῆς ψυχῆς συμπλήρωσιν ὁ δημιουργὸς παρείληφε καὶ πρὸς ταύταις στάσιν καὶ κίνησιν· ἐκ τούτων αὐτὴν τῶν γενῶν ὑπέστησεν. λεκτέον, ὅτι κατὰ τὴν ἑτερότητα αὐτῆς καὶ τὴν διαίρεσιν τῶν λόγων καὶ τὸ πλῆθος ἡ διάνοια στᾶσα καὶ νοήσασα ἑαυτὴν ἓν καὶ πολλὰ οὖσαν τοὺς ἀριθμοὺς προβάλλει καὶ τὴν τούτων γνῶσιν τὴν ἀριθμητικήν, κατὰ δὲ τὴν ἕνωσιν τοῦ πλήθους καὶ τὴν πρὸς ἑαυτὸ κοινωνίαν καὶ σύνδεσμον τὴν μουσικήν, ἐπεὶ καὶ ἡ ψυχὴ διαιρεῖται πρῶτον δημιουργικῶς, εἶθ’ οὕτως συνδέδεται τοῖς λόγοις. καὶ αὖ πάλιν κατὰ μὲν τὴν στάσιν τὴν ἐν αὑτῇ τὴν ἐνέργειαν ἱδρύσασα γεωμετρίαν ἀφ’ ἑαυτῆς ἐξέφηνε, κατὰ δὲ τὴν κίνησιν τὴν σφαιρικήν. Ἀξίωμά ἐστι κατὰ τὸν Ἀριστοτέλην, ὅταν μὲν καὶ τῷ μανθάνοντι γνώριμον ᾖ καὶ καθ’ αὑτὸ πιστὸν τὸ παραλαμβανόμενον εἰς ἀρχήν, οἷον τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἴσα· ὅταν δὲ μὴ ἔχῃ ἔννοιαν ὁ ἀκούων τοῦ λεγομένου τὴν αὐτόπιστον, πείθεται δὲ ὅμως καὶ συγχωρεῖ τῷ λαμβάνοντι, τὸ τοιοῦτον ὑπόθεσίς ἐστι· τὸ γὰρ εἶναι τὸν κύκλον σχῆμα τοιόνδε κατὰ κοινὴν μὲν ἔννοιαν οὐ προείληφεν ἀδιδάκτως, ἀκούσας δὲ συγχωρεῖ χωρὶς ἀποδείξεως. |
| 136.7 | Πᾶσά γε μὴν εἰς τὸ ἀδύνατον ἀπαγωγὴ λαβοῦσα τῷ ζητουμένῳ τὸ μαχόμενον καὶ τοῦτο ὑποθεμένη πρόεισιν, ἕως ἂν εἰς ὁμολογούμενον ἄτοπον καταντήσῃ καὶ δι’ ἐκεῖνο τὴν ὑπόθεσιν ἀνελοῦσα βεβαιώσηται τὸ ἐξ ἀρχῆς ζητούμενον. ὅλως γὰρ εἰδέναι χρή, ὅτι πᾶσαι αἱ μαθηματικαὶ πίστεις ἢ ἀπὸ τῶν ἀρχῶν εἰσιν ἢ ἐπὶ τὰς ἀρχάς, ὥς πού φησι καὶ ὁ Πορφύριος. αἱ μὲν ἀπὸ τῶν ἀρχῶν διτταὶ καὶ αὐταὶ τυγχάνουσιν· ἢ γὰρ ἀπὸ τῶν κοινῶν ἐννοιῶν ὥρμηνται καὶ τῆς ἐναργείας μόνης τῆς αὐτοπίστου ἢ ἀπὸ τῶν προδεδειγμένων· αἱ δὲ ἐπὶ τὰς ἀρχὰς ἢ θετικαὶ τῶν ἀρχῶν εἰσιν ἢ ἀναιρετικαί. ἀλλὰ θετικαὶ μὲν οὖσαι τῶν ἀρχῶν ἀναλύσεις καλοῦνται, καὶ ταύταις αἱ συνθέσεις ἀντίκεινται· δυνατὸν γὰρ ἀπὸ τῶν ἀρχῶν ἐκείνων προελθεῖν εὐτάκτως ἐπὶ τὸ ζητούμενον, καὶ τοῦτό ἐστιν ἡ σύνθεσις. ἀναιρετικαὶ δὲ οὖσαι εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγαὶ προσαγορεύονται· τὸ γὰρ τῶν ὡμολογημένων τι καὶ ἐναργῶν ἀνατρέψαι ταύτης ἔργον τῆς ἐφόδου. καὶ ἔστι καὶ ἐπὶ ταύτης συλλογισμός τις, ἀλλ’ οὐχ ὁ αὐτὸς ὥσπερ καὶ ἐπὶ τῆς ἀναλύσεως· ἐν γὰρ ταῖς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγαῖς ἡ πλοκὴ κατὰ τὸν δεύτερόν ἐστι τῶν ὑποθετικῶν, οἷον· εἰ μή εἰσι τῶν ἴσας ἐχόντων γωνίας τριγώνων αἱ ὑποτείνουσαι πλευραὶ τὰς ἴσας γωνίας ἴσαι, τὸ ὅλον ἴσον ἐστὶ τῷ μέρει· ἀλλὰ τοῦτο ἀδύνατον· εἰσὶν ἄρα τῶν ἴσας ἐχόντων δύο γωνίας τριγώνων αἱ ὑποτείνουσαι πλευραὶ τὰς ἴσας γωνίας καὶ αὐταὶ ἴσαι. Ἰστέον, ὅτι ὁ περὶ ἓν σημεῖον τόπος εἰς τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας γωνίας διανέμεται, καὶ μόνα ταῦτα τὰ τρία πολύγωνα πληροῦν δύνανται τὸν περὶ ἓν σημεῖον ὅλον τόπον, τὸ ἰσόπλευρον τρίγωνον καὶ τὸ τετράγωνον καὶ τὸ ἑξάγωνον τὸ ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον· ἀλλὰ τὸ μὲν ἰσόπλευρον τρίγωνον ἑξάκις παραληφθέν· ἓξ γὰρ δίμοιρα ποιήσει τὰς τέσσαρας ὀρθάς· τὸ δὲ ἑξάγωνον τρὶς γενόμενον· ἑκάστη γὰρ ἑξαγωνικὴ γωνία ἴση ἐστὶ μιᾷ ὀρθῇ καὶ τρίτῳ· τὸ δὲ τετράγωνον τετράκις· ἑκάστη γὰρ τετραγωνικὴ γωνία ὀρθή ἐστιν. |
| 136.8 | ἓξ οὖν ἰσόπλευρα τρίγωνα συννεύσαντα κατὰ τὰς γωνίας τὰς τέσσαρας ὀρθὰς συμπληροῖ· τὰ δὲ λοιπὰ πολύγωνα ἢ πλεονάζει ἢ ἐλλείπει τῶν τεσσάρων ὀρθῶν, μόνα δὲ ταῦτα ἐξισοῦται κατὰ τοὺς εἰρημένους ἀριθμούς. Ἀπὸ τῆς προτεθείσης εὐθείας τετράγωνον ῥητὸν λέγει ὁ Εὐκλείδης. |
| 136.9 | προτεθεῖσα εὐθεῖα καλεῖται, ἥτις ἀρχὴ μέτρων καὶ οἱονεὶ κανὼν εἰς ἐκμέτρησιν ἡμῖν μηκῶν καθ’ ὑπόθεσιν εἴληπται· οἷον, εἴ τις προτείνοι, πόσον εἴη τὸ μεταξὺ διάστημα ὑποκειμένων τινῶν σημείων, οὐδὲν ἂν ἔχοιμεν λέγειν, εἰ δὲ οὕτως πυνθάνοιτο, πόσων ἐστὶ ποδῶν ἢ πηχῶν, ἀναγκαίως ἂν δέοι πήχεως καὶ ποδὸς αἰτεῖν ἡμᾶς παρὰ τοῦ παρέχοντος πηλικότητα καὶ ἐκείνῃ χρωμένους τῇ προτεθείσῃ καὶ ῥητῇ εὐθείᾳ τὸ προτεθὲν διάστημα ἐξετάζειν, εἰ ἔστιν ὅλως ῥητῷ σύμμετρον. Φανερὸν δέ, ὅτι ἡ ὀρθότης τῆς γωνίας τῇ ἰσότητι συγγενής ἐστιν, ὥσπερ ὀξύτης καὶ ἀμβλύτης τῇ ἀνισότητι, ὁμοίως δὲ ὁμοιότης τῷ πέρατι, ἡ δὲ ἀνομοιότης ἀπειρίᾳ· ὅπερ γάρ ἐστιν ἐν ποσοῖς ἰσότης, τοῦτο ἐν τοῖς ποιοῖς ὁμοιότης. |
| 136.11 | Τῶν εὐθυγράμμων γωνιῶν κατά τε πέρας καὶ ἀπειρίαν ὑφισταμένων ἀπὸ τοῦ πέρατος ἥκων λόγος τὴν ὀρθὴν ἀπετέλεσε γωνίαν μίαν ἰσότητι κρατουμένην ἀεὶ μήτε αὔξησιν μήτε μείωσιν ἐπιδεχομένην, ὁ δὲ ἀπὸ τῆς ἀπειρίας δεύτερος ὢν καὶ δυαδικὸς καὶ γωνίας ἀνέφηνε διπλᾶς περὶ τὴν ὀρθὴν ἀνισότητι διῃρημένας κατὰ τὸ μεῖζον καὶ ἔλασσον καὶ κατὰ τὸ μᾶλλον καὶ ἧττον ἀπέραντον ἐχούσας κίνησιν τῆς μὲν ἀμβλυνομένης μᾶλλον καὶ ἧττον, τῆς δὲ ὀξυνομένης. διὰ δὴ ταῦτα καὶ τῶν θείων διακόσμων καὶ τῶν μερικωτέρων δυνάμεων τὰς μὲν ὀρθὰς γωνίας εἰς τοὺς ἀχράντους ἀναπέμπουσιν ὡς τῆς ἀκλίτου προνοίας τῶν δευτέρων αἰτίους· τὸ γὰρ ὀρθὸν καὶ ἀκλινὲς πρὸς τὸ χεῖρον καὶ ἄτρεπτον ἐκείνοις προσήκει τοῖς θείοις· τὰς δὲ ἀμβλείας καὶ ὀξείας τοῖς τῆς προόδου καὶ τοῖς τῆς κινήσεως καὶ τῆς ποικιλίας τῶν δυνάμεων χορηγοῖς ἀνεῖσθαι λέγουσι· τό τε γὰρ ἀμβλὺ τῆς ἐπὶ πᾶν ἁπλουμένης τῶν εἰδῶν ἐκτάσεώς ἐστιν εἰκών, καὶ τὸ ὀξὺ τῆς διαιρετικῆς καὶ κινητικῆς τῶν ὅλων αἰτίας ἀφομοίωσιν ἔλαχε. καὶ μὴν καὶ ἐν αὐτοῖς τοῖς οὖσι τῇ μὲν οὐσίᾳ ἡ ὀρθότης τὸν αὐτὸν ὅρον τοῦ εἶναι φυλάττουσα προσέοικε, τοῖς δὲ συμβεβηκόσιν ἥ τε ἀμβλεῖα καὶ ὀξεῖα· ταῦτα γὰρ δέχεται τὸ μᾶλλον καὶ τὸ ἧττον καὶ ἀορίστως μεταβάλλοντα οὐδέποτε παύεται. σύμβολον οὖν καὶ ἡ κάθετός ἐστιν ἀρρεψίας, καθαρότητος ἀχράντου, δυνάμεως ἀκλινοῦς, πάντων τῶν τοιούτων. ἔστι δὲ καὶ μέτρου θείου καὶ νοεροῦ σύμβολον· διὰ γὰρ καθέτου καὶ τὰ ὕψη τῶν σχημάτων ἀναμετροῦμεν, καὶ πρὸς τὴν ὀρθὴν ἀναφορᾷ τὰς ἄλλας εὐθυγράμμους γωνίας ὁρίζομεν αὐτὰς ἐφ’ ἑαυτῶν ἀορίστους οὔσας· ἐν ὑπερβολῇ γὰρ καὶ ἐλλείψει θεωροῦνται, τούτων δὲ ἑκατέρα καθ’ ἑαυτὴν ἀπέραντός ἐστιν. Ἀποδείξεως δεῖσθαι καὶ κατασκευῆς παρὰ τὴν ἰδιότητα τῶν ζητουμένων τῆς τῶν αἰτημάτων καὶ ἀξιωμάτων ἐναργείας ἀπολειπομένην. |
| 136.12 | ἄμφω μὲν οὖν τὸ ἁπλοῦν ἔχειν δεῖ καὶ εὔληπτον, τό τε αἴτημα λέγω καὶ τὸ ἀξίωμα, ἀλλὰ τὸ μὲν αἴτημα προστάττειν ἡμῖν μηχανήσασθαι καὶ πορίσασθαί τινα ὕλην εἰς συμπτωμάτων ἀπόδοσιν ἁπλῆν ἔχουσαν καὶ εὐπετῆ τὴν λῆψιν, τὸ δὲ ἀξίωμα συμβεβηκός τι κατ’ αὐτὸ λέγειν γνώριμον αὐτόθεν τοῖς ἀκούουσιν, ὥσπερ καὶ τὸ θερμὸν εἶναι τὸ πῦρ. ἑκάτερον δέ ἐστιν ἀρχὴ ἀναπόδεικτος, καὶ τὸ αἴτημα καὶ τὸ ἀξίωμα, εἰ καὶ τὸ μὲν ὡς εὐπόριστον λαμβάνεται, τὸ δὲ ὡς εὔγνωστον. Πᾶν πρόβλημα καὶ πᾶν θεώρημα τὸ ἐκ τελείων αὑτοῦ μερῶν πεπληρωμένον βούλεται ταῦτα πάντα ἔχειν ἐν ἑαυτῷ· πρότασιν, ἔκθεσιν, διορισμόν, κατασκευήν, ἀπόδειξιν, συμπέρασμα. |
| 136.13 | τούτων δὲ ἡ μὲν πρότασις λέγει, τίνος δεδομένου τί τὸ ζητούμενόν ἐστιν· ἡ γὰρ τελεία πρότασις ἐξ ἀμφοτέρων ἐστίν· ἡ δὲ ἔκθεσις αὐτὸ καθ’ ἑαυτὸ τὸ δεδομένον ἀποδιαλαβοῦσα προευτρεπίζει τῇ ζητήσει, ὁ δὲ διορισμὸς χωρὶς τὸ ζητούμενον, ὅ τι ποτέ ἐστι, διασαφεῖ, ἡ δὲ κατασκευὴ τὰ ἐλλείποντα τῷ δεδομένῳ πρὸς τὴν τοῦ ζητουμένου θήραν προστίθησιν, ἡ δὲ ἀπόδειξις ἐπιστημονικῶς ἐκ τῶν ὁμολογηθέντων συνάγει τὸ προκείμενον, τὸ δὲ συμπέρασμα πάλιν ἐπὶ τὴν πρότασιν ἀναστρέφει βεβαιοῦν τὸ δεδειγμένον. καὶ τὰ μὲν σύμπαντα μέρη τῶν τε προβλημάτων καὶ τῶν θεωρημάτων ἐστὶ τοσαῦτα, τὰ δὲ ἀναγκαιότατα καὶ ἐν πᾶσιν ὑπάρχοντα πρότασις καὶ ἀπόδειξις καὶ συμπέρασμα· δεῖ γὰρ καὶ προειδέναι τὸ ζητούμενον καὶ δείκνυσθαι τοῦτο διὰ τῶν μέσων καὶ συνάγεσθαι τὸ δεδειγμένον, καὶ τούτων τῶν τριῶν ἐκλείπειν τι τῶν ἀδυνάτων ἐστί· τὰ δὲ λοιπὰ πολλαχοῦ μὲν παραλαμβάνεται, πολλαχοῦ δὲ καὶ ὡς οὐδεμίαν παρέχοντα χρείαν παραλείπεται· διορισμός τε γὰρ καὶ ἔκθεσις οὐκ ἔστιν ἐν ἐκείνῳ τῷ προβλήματι. Τῶν προβλημάτων τὰ μὲν μοναχῶς γίνεται, τὰ δὲ διχῶς, τὰ δὲ πλεοναχῶς, τὰ δὲ ἀπειραχῶς, μοναχῶς μὲν ὡς τὸ ἰσόπλευρον τρίγωνον, τῶν δὲ λοιπῶν τὸ μὲν διχῶς συνίσταται, τὸ δὲ τριχῶς· ἀπειραχῶς δὲ τὰ τοιαῦτα προβλήματα γένοιτ’ ἄν· τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τέμνειν εἰς τρία ἀναλόγως. |
| 136.15 | Πρὸ τῶν ἄλλων καὶ ἐν τοῖς πολλοῖς καὶ κατὰ τὴν πρὸς αὐτὰ σχέσιν καὶ κατηγορίαν ὑφιστάμενα. τριττῶν δὲ ὄντων ὡς συνελόντι φάναι τῶν καθολικῶν εἰδῶν τοῦ μετεχομένου ἐν τοῖς πολλοῖς ὄντος καὶ τὰ μερικὰ ἐκπληροῦντος νοήσωμεν διαφορὰς κατὰ τὴν ὑποκειμένην ὕλην καὶ τὰ μετέχοντα αὐτοῦ διττὰ θέμενοι, τὰ μὲν αἰσθητά, τὰ δὲ φαντασίᾳ τὴν ὑπόστασιν ἔχοντα· καὶ γὰρ ἡ ὕλη διττὴ καὶ ἡ μὲν αἰσθήσει συζυγούντων, ἡ δὲ φανταστῶν. Πᾶν γὰρ τὸ καθόλου καὶ τὸ ἓν καὶ τῶν πολλῶν περιληπτικὸν ἢ ἐν τοῖς καθ’ ἕκαστα φαντάζεσθαι καὶ τὴν ὕπαρξιν ἐν τούτοις ἔχειν ἀχώριστον ἀπ’ αὐτῶν ὑπάρχον καὶ κατατεταγμένον ἐν αὐτοῖς καὶ μετὰ τούτων ἢ συγκινούμενον ἢ μονίμως ἑστὼς καὶ ἀκινήτως, ἢ πρὸ τῶν πολλῶν ὑφεστάναι καὶ γεννητικὸν εἶναι τοῦ πλήθους ἐμφάσεις ἀφ’ ἑαυτοῦ τοῖς πολλοῖς παρέχον καὶ ἀμερίστως μὲν αὐτὸ προτεταγμένον τῶν μετεχόντων, ποικίλας δὲ μεθέξεις εἰς τὰ δεύτερα χορηγοῦν. |
| 136.17 | Τὸ τῆς γραμμῆς εἶδος διττὴν συνέχουσα δύναμιν, ἀμέριστον καὶ μεριστήν· ἔχει γὰρ τὸ σημεῖον ἀμερῶς καὶ τὰ διαστήματα μεριστῶς. Τὴν μονάδα λέγουσι στιγμὴν ἄθετον, τὴν δὲ στιγμὴν θέσιν ἔχουσαν. |
| 136.18 | τὸ δὲ σημεῖον ἐν φαντασίᾳ προτείνεται καὶ οἷον ἐν τόπῳ γέγονε καὶ ἔνυλόν ἐστι κατὰ τὴν νοητὴν ὕλην. ἄθετος οὖν ἡ μονὰς ὡς ἄυλος καὶ παντὸς ἔξω διαστήματος καὶ τόπου· θέσιν ἔχει τὸ σημεῖον ὡς ἐν τοῖς φαντασίας κόλποις. Διττὸν δὲ τὸ σημεῖον, ἢ καθ’ αὑτὸ ἢ ἐν τῇ γραμμῇ, καὶ ὡς πέρας ὂν μόνον καὶ ἓν οὔτε ὅλον οὔτε μέρη ἔχον μιμεῖται τὴν ἀκρότητα τῶν ὄντων καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἀνάλογον τίθεται τῇ μονάδι. |
| 136.19 | δυάδι δὲ τὴν γραμμήν, τριάδι δὲ τὴν ἐπιφάνειαν. Οἱ Πυθαγόρειοι τῇ τριάδι προσήκειν ἔλεγον τὴν ἐπιφάνειαν, διότι δὴ τὰ ἐπ’ αὐτῆς σχήματα πάντα πρώτην αἰτίαν ἔχει τὴν τριάδα. |
| 136.20 | ὁ μὲν γὰρ κύκλος, ὅς ἐστιν ἀρχὴ τῶν περιφερομένων, ἐν κρυφίῳ ἔχει τὸ τριαδικὸν τῷ κέντρῳ, τῇ διαστάσει, τῇ περιφερείᾳ, τὸ δὲ τρίγωνον ἁπάντων ἡγεμονοῦν τῶν εὐθυγράμμων παντί που δῆλον ὅτι τῇ τριάδι κατέχεται καὶ κατ’ ἐκείνην μεμόρφωται. Ἓν λέγεται τὸ πέρας καὶ ἀπειρία καὶ τὸ μικτόν· πάντα γὰρ τὰ ὄντα ἐκ τούτων ἑνοῦται. |
| 136.22 | Τὴν ἐπιστήμην διαιροῦσιν εἰς ἀνυπόθετον καὶ ἐνυπόθετον, καὶ τὴν μὲν ἀνυπόθετον τῶν ὅλων εἶναι γνωστικὴν μέχρι τοῦ ἀγαθοῦ καὶ τῆς ἀνωτάτω τῶν πάντων αἰτίας ἀναβαίνουσαν καὶ τῆς ἀναγωγῆς τέλος ποιουμένην τὸ ἀγαθόν, τὴν δὲ ἐνυπόθετον ὡρισμένας ἀρχὰς προστησαμένην ἀπὸ τούτων δεικνύναι τὰ ἑπόμενα αὐταῖς, οὐκ ἐπ’ ἀρχὴν ἀλλ’ ἐπὶ τελευτὴν ἰοῦσαν. καὶ οὕτως δὴ τὴν μαθηματικὴν ἅτε ὑποθέσεσιν χρωμένην τῆς ἀνυποθέτου καὶ τελείας ἐπιστήμης ἀπολείπεσθαι· μία γὰρ ἡ ὄντως ἐπιστήμη, καθ’ ἣν τὰ ὄντα πάντα γινώσκειν πέφυκε, καὶ ἀφ’ ἧς πᾶσαι αἱ ἀρχαὶ ταῖς μὲν ἐγγυτέρω τεταγμέναις ταῖς δὲ πορρωτέρω [καθάπερ ὁ νοῦς]. Περὶ δὲ διαλεκτικῆς, καθάπερ ὁ νοῦς ὑπερίδρυται τῆς διανοίας καὶ χορηγεῖ τὰς ἀρχὰς ἄνωθεν αὐτῇ καὶ τελειοῖ τὴν διάνοιαν ἀφ’ ἑαυτοῦ, κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ διαλεκτικὴ φιλοσοφίας οὖσα τὸ καθαρώτατον μέρος προσεχῶς οὖσα ὑπερήπλωται τῶν μαθημάτων καὶ περιέχει τὴν ὅλην αὐτῶν ἀνέλιξιν καὶ δίδωσι δυνάμεις ἀφ’ ἑαυτῆς ταῖς ἐπιστήμαις αὐτῶν παντοίας τελειουργοὺς καὶ κριτικὰς καὶ νοεράς, τὴν ἀναλυτικὴν λέγω καὶ διαιρετικὴν καὶ τὴν ὁριστικὴν καὶ ἀποδεικτικήν, ἀφ’ ὧν δὴ χορηγουμένη καὶ τελειουμένη ἡ μαθηματικὴ τὰ μὲν δι’ ἀναλύσεως εὑρίσκει, τὰ δὲ διὰ συνθέσεως, καὶ τὰ μὲν διαιρετικῶς ὑφηγεῖται, τὰ δὲ ὁριστικῶς, τὰ δὲ δι’ ἀποδείξεως καταδεῖται τῶν ζητουμένων, συναρμόζουσα μὲν τοῖς ὑποκειμένοις ἑαυτῇ τὰς μεθόδους ταύτας. |
| 136.24 | Τὴν γωνίαν σύμβολον εἶναί φαμεν καὶ εἰκόνα τῆς συνοχῆς τῆς ἐν τοῖς θείοις γένεσιν καὶ τῆς συναγωγοῦ τάξεως τῶν διῃρημένων εἰς ἓν καὶ τῶν μεριστῶν εἰς τὸ ἀμερὲς καὶ τῶν πολλῶν εἰς συνδετικὴν κοινωνίαν· δεσμὸς γὰρ γίνεται καὶ αὐτὴ τῶν πολλῶν γραμμῶν καὶ ἐπιπέδων καὶ συναγωγὸς τοῦ μεγέθους εἰς τὸ ἀμερὲς τῶν σημείων καὶ συνεκτικὴ παντὸς τοῦ κατ’ αὐτὴν ὑφισταμένου σχήματος. διὸ καὶ τὰ λόγια τὰς γωνιακὰς συμβολὰς τῶν σχημάτων συνοχηίδας ἀποκαλεῖ, καθ’ ὅσον εἰκόνα φέρουσι τῶν συνοχικῶν ἑνώσεων καὶ συζεύξεων τῶν θείων, καθ’ ἃς τὰ διεστῶτα συνάπτουσιν ἀλλήλοις. αἱ μὲν οὖν ἐν ταῖς ἐπιφανείαις γωνίαι ἀυλοτέρας αὐτῶν καὶ ἁπλουστέρας ἀποτελοῦνται καὶ τελειοτέρας ἑνώσεις, αἱ δὲ ἐν τοῖς στερεοῖς προϊούσας μέχρι τῶν ἐσχάτων καὶ τοῖς διεσπασμένοις κοινωνίαν καὶ τοῖς πάντη μεριστοῖς ὁμοφυῆ σύνταξιν παρεχομένας. τῶν δὲ ἐν ταῖς ἐπιφανείαις αἱ μὲν τὰς πρώτας αὐτῶν καὶ ἀμίκτους, αἱ δὲ τὰς τῆς ἀπειρίας συνεκτικὰς τῶν ἐν αὐταῖς προόδων ἀπεικονίζονται, καὶ αἱ μὲν τὰς τῶν νοερῶν εἰδῶν ἑνοποιοῦσιν, αἱ δὲ τὰς τῶν αἰσθητῶν λόγων, αἱ δὲ τὰς τῶν μεταξὺ τούτων συνδετικάς. αἱ μὲν οὖν περιφερόγραμμοι μιμοῦνται γωνίαι τὰς συνελισσούσας αἰτίας τὴν νοερὰν ποικιλίαν εἰς ἕνωσιν· νοῦ γὰρ καὶ νοερῶν εἰδῶν αἱ περιφέρειαι συννεύειν ἐπειγόμεναι πρὸς ἑαυτὰς εἰκόνες· αἱ δὲ εὐθύγραμμοι τὰς τῶν αἰσθητῶν προϊσταμένας καὶ τὴν σύνδεσιν τῶν ἐν τούτοις λόγων παρεχομένας, αἱ δὲ μικταὶ τάς τε κοινωνίας τῶν τε αἰσθητῶν καὶ τῶν νοερῶν κατὰ μίαν ἕνωσιν ἀσάλευτον φυλαττούσας. δεῖ δὴ πρὸς ταῦτα τὰ παραδείγματα ἀποβλέποντας καὶ τῶν καθ’ ἕκαστα αἰτίας ἀποδιδόναι. Κυκλικῶς λέγεται κινεῖσθαι ἡ ψυχὴ ταῖς νοητικαῖς δυνάμεσιν οὕτως· τὸ νοητὸν ὡς κέντρον ἐστὶ τῷ νῷ, ὁ δὲ νοῦς συνέχει περὶ αὐτὸ καὶ ἐρᾷ καὶ ἑνίζεται πρὸς αὐτὸ ταῖς νοεραῖς ὅλαις πανταχόθεν ἐνεργείαις. |
| 136.25 | ταῖς ψυχαῖς ἐπιλάμπει τὸ αὐτόζωον, τὸ αὐτοκίνητον, τὸ πρὸς νοῦν ἐστράφθαι καὶ περιχορεύειν τὸν νοῦν, τὸ ἀποκαθίστασθαι κατὰ τὰς οἰκείας περιόδους ἀνελισσούσας τοῦ νοῦ τὴν ἀμέρειαν· πάλιν γὰρ αἱ μὲν νοεραὶ τάξεις ὥσπερ τὰ κέντρα τὴν ὑπεροχὴν ἕξουσι πρὸς τὰς ψυχάς, αἱ δὲ ψυχαὶ περὶ αὐτὰς κατὰ κύκλον ἐνεργήσουσι. καὶ γὰρ πᾶσα ψυχὴ κατὰ μὲν τὸ νοερὸν ἑαυτῆς καὶ αὐτὸ τὸ ἓν τὸ ἀκρότατον κεκέντρωται, κατὰ δὲ τὸ πλῆθος κυκλικῶς περιπορεύεται περιπτύξασθαι ποθοῦσα τὸν ἑαυτῆς νοῦν. Ἑπτὰ εἴδη εἰσὶ τῶν τριγώνων· τὸ ἰσόπλευρον μονοειδῶς, τὸ δὲ ἰσοσκελὲς ἢ ὀρθογώνιόν ἐστιν ἢ ἀμβλυγώνιον ἢ ὀξυγώνιον, καὶ τὸ σκαληνὸν ὁμοίως. |
| 136.27 | Οὐκ ἔστιν εὑρεῖν τετράγωνον ἀριθμὸν τετραγώνου διπλάσιον, ἀλλ’ οὐδὲ ἰσόπλευρον τρίγωνον ὀρθογώνιον τὴν ὑποτείνουσαν ἴσην τῶν δύο τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ἔχον. Ἔστι διαφορὰ μονάδος καὶ ἑνάδος οὕτως· ἐπειδὴ ἔστιν ἐν τοῖς οὖσιν εἰδοποιία καὶ ταυτότης, καλεῖται μονάς. |
| 136.28 | ἔστι δὲ ἑτερότης· καλεῖται δυάς. ἔστιν ἑτέρα ὑπερτέρα δύναμις, ἀρχὴ κοινὴ τῶν δύο τούτων, ἥτις πάντα ἐπίσταται· αὕτη ἓν καλεῖται. ὥστε τὸ ἓν ὑπέρτερόν ἐστι τῆς μονάδος. ἰστέον δέ, ὅτι, ἐπειδὴ ἔστι δυὰς καὶ μονὰς καὶ τὸ ἕν, δυὰς μὲν αὐτὰ τὰ σώματα, μονὰς δὲ τὸ εἶδος τὸ ἐν αὐτοῖς, ἓν δὲ ἡ φύσις. Διαφέρει ἡ πρώτη φιλοσοφία τῆς διαλεκτικῆς, ὅτι ἡ μὲν πρώτη φιλοσοφία δι’ ἀληθεστάτων πρόεισιν, ἡ δὲ διαλεκτικὴ ἐκ πιθανῶν. |
| 136.30 | Τὰ περιφερόγραμμα ἴσα δεικνύναι δυνατὸν τοῖς εὐθυγράμμοις. ὁ Ἀρχιμήδης ἔδειξεν, ὅτι πᾶς κύκλος ἴσος ἐστὶν τριγώνῳ ὀρθογωνίῳ, οὗ ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ μιᾷ τῶν περὶ τὴν ὀρθήν, ἡ δὲ περίμετρος τῇ βάσει. Ἀναλογία ἐστὶν ἡ τῶν λόγων ὁμοιότης. |
| 136.31 | ἀναλογία ἐν τρισὶν ὅροις ἐλαχίστη ἐστίν. Πρότασις διαιρεῖται εἰς δεδομένον καὶ ζητούμενον, οὐ μὴν τοῦτο ἀεὶ γίνεται, ἀλλ’ ἐνίοτε λέγει μόνον τὸ ζητούμενον. |
| 136.32 | ὅταν δὲ ἡ πρότασις ἀμφότερα σχῇ τὸ δεδομένον καὶ τὸ ζητούμενον, τότε διορισμὸς εὑρίσκεται καὶ ἔκθεσις, ὅταν δὲ ἐλλείπῃ τὸ δεδομένον, ἐλλιμπάνει καὶ ταῦτα· ἡ γὰρ ἔκθεσις τοῦ δεδομένου ἐστὶ καὶ ὁ διορισμός. τί γὰρ ἂν εἴποι ὁ διοριζόμενος ἐπὶ προβληθέντος προβλήματος, εἰ μὴ ὅτι δεῖ εὑρεῖν ἰσοσκελὲς τοιόνδε; τοῦτο δ’ ἦν ἡ πρότασις. ἐὰν ἄρα ἡ πρότασις μὴ ἔχῃ μὲν τὸ δεδομένον, τὸ δὲ ζητούμενον, ἡ μὲν ἔκθεσις σιωπᾶται τῷ μὴ εἶναι τὸ δεδομένον, ὁ δὲ διορισμὸς παραλείπεται. Ἰστέον, ὅτι τῶν τριγώνων τὰ μέν εἰσιν ἔκγονα ἰσότητος, τὰ δὲ ἀμφοτέρων ἀπογεννώμενα. |
| 136.33 | διὰ παντὸς ἡ τριὰς αὕτη πέφυκεν, οἷον γραμμῶν, γωνιῶν, σχημάτων, καὶ ἐν τοῖς σχήμασι τριπλεύρων, τετραπλεύρων, ἑξῆς ἁπάντων, καὶ τὰ μὲν ὄντα πέρατι συγγενῆ, τὰ δὲ ἀπειρίᾳ, τὰ δὲ κατὰ τὴν μῖξιν ἀμφοτέρων. [Ῥητὰ μεγέθη λέγεται, ὅσα ἐστὶν ἀλλήλοις σύμμετρα, ὅσα δὲ ἀσύμμετρα, ἄλογά εἰσι μὴ ἔχοντα λόγον πρὸς ἄλληλα. |
| 136.34 | ] Τὸ ῥητὸν καὶ ἄλογον μέγεθος ἑκάτερον οὐκ ἔστι τῶν καθ’ ἑαυτὰ νοουμένων, ἀλλὰ πρὸς ἕτερον συγκρινομένων· ὅσα γὰρ ἀλλήλοις σύμμετρα, ταῦτα καὶ ῥητὰ πρὸς ἄλληλα λέγεται, ὅσα δὲ ἀλλήλοις ἀσύμμετρα, ταῦτα ἄλογα πρὸς ἄλληλα λέγεται. οἱ μὲν ἀριθμοὶ σύμμετροι τυγχάνουσιν, ἐπείπερ ἕκαστος αὐτῶν ὑπό τινος ἐλαχίστου μέτρου μετρεῖται. ὁμοίως δὲ πῆχυς καὶ παλαιστὴς συμμετρίας ἔχουσι πρὸς ἀλλήλους· ἑκάτερος γὰρ ὑπὸ ἐλαχίστου μέτρου καταμετρεῖται ὑπὸ δακτύλου θέσει τῶν μέτρων ὄντων μονάδος θέσιν ἔχοντος αὐτοῦ. ἀπείρου δὲ τῆς ἐν τοῖς μεγέθεσιν ὑπαρχούσης τομῆς καὶ μηδενὸς ὑφεστηκότος ἐλαχίστου μέτρου δῆλον, ὅτι τοῦ ῥητοῦ μεγέθους οὐχ ἕν τι καὶ ὡρισμένον, ὡς ὁ δάκτυλος, ἐλάχιστον μέτρον, ἀλλ’ ἐφ’ ἡμῖν ἔστιν, ὁπηλίκον ἂν θέλωμεν, ἐλάχιστον ὑποθέσθαι μέτρον γνώριμον, ἐν ᾧ ἡ μονάς· πᾶν γὰρ καθ’ ἑαυτὸ μέγεθος, ὡς ἐλέχθη, οὔτε ῥητὸν οὔτε ἄλογον, ὅτι καὶ πᾶσα εὐθεῖα καθ’ ἑαυτὴν οὔτε ῥητὴ οὔτε ἄλογός ἐστιν, συγκρινομένη δὲ πρὸς ὑποτεθεῖσαν ἐν θέσει μονάδα ῥητὴ ἢ ἄλογος εὑρίσκεται. οὕτως οὖν τῆς τετραγώνου πλευρᾶς ὑποτεθείσης ῥητῆς ἡ διάμετρος δυνάμει ῥητὴ εὑρίσκεται· μήκει γὰρ ἄλογος εὑρίσκεται· καὶ πάλιν αὖ τῆς διαμέτρου ῥητῆς ὑπαρχούσης ἡ πλευρὰ δυνάμει ῥητὴ ἑκατέρας αὐτῶν καθ’ αὑτὴν οὔτε ῥητῆς οὔτε ἀρρήτου, τουτέστιν ἀλόγου, ὑπαρχούσης. οὕτως οὖν τῶν εὐθειῶν ἐλάχιστόν τι μέτρον ὑποθέμενοι εὐθεῖαν μονάδα οἱ ἀπὸ τῶν μαθημάτων ῥητὴν ὠνόμαζον καὶ τὰς αὐτῇ συμμέτρους ῥητάς· ὁμοίως καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον ῥητὸν καὶ τὰ τούτῳ σύμμετρα χωρία ῥητὰ ἐκάλεσαν καὶ ῥητὸν ὁμοίως τὸν ἀπ’ αὐτῆς κύβον καὶ τὰ τούτῳ σύμμετρα στερεά. ἄρρητον δ’ ἀκουστέον, τουτέστιν ἄλογον, στερεὸν μὲν τὸ ἀσύμμετρον τῷ ἀπὸ ῥητῆς κύβῳ, ἐπίπεδον δὲ τὸ ἀσύμμετρον τῷ ἀπὸ ῥητῆς τετραγώνῳ, μῆκος δέ, τουτέστιν εὐθεῖαν, τὸ ῥητῇ ἀσύμμετρον. ἐπὶ δὲ τῶν εὐθειῶν διττῆς νοουμένης τῆς ἀσυμμετρίας, μιᾶς μέν, ὅταν αὐταὶ αἱ εὐθεῖαι ἀσύμμετροι ὦσι, τὰ δὲ ἀπ’ αὐτῶν χωρία σύμμετρα ἀλλήλοις, ἑτέρας δέ, ὅταν καὶ τὰ αὐτὰ χωρία ἀσύμμετρα ἀλλήλοις ᾖ, διττὴ καὶ ἡ πρὸς τὴν ῥητὴν διαφορὰ κατὰ τοὺς παλαιοὺς ὑπῆρχεν· αἱ μὲν γὰρ λέγονται δυνάμει ῥηταὶ καὶ ἄλογοι, αἱ δὲ λοιπαὶ μήκει. δυνάμει μέν εἰσι ῥηταί, ὡς προείπομεν, ὅσαι μέν εἰσιν αὐταὶ ἀσύμμετροι τῇ ῥητῇ, τὰ δ’ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα σύμμετρα τῷ ἀπὸ ῥητῆς τετραγώνῳ, μήκει δέ, ὅταν τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα ἢ ἐν τετραγώνοις ἀριθμοῖς ᾖ ἢ τὰς πλευρὰς ἔχῃ συμμέτρους τῇ ῥητῇ μήκει. καὶ καθόλου καλεῖται ἡ τῇ ῥητῇ σύμμετρος ῥητὴ εἴτε μήκει εἴτε δυνάμει μόνον. |
| 136.35 | Ὁρίζονται δὲ τὴν ῥητὴν καὶ οὕτως· ῥητή ἐστιν ἡ δι’ ἀριθμῶν γνωρίμη. οὐκ ἔστι δὲ ῥητῆς ὅρος οὗτος, ἀλλὰ συμβεβηκὸς αὐτῇ. ὅταν γὰρ λόγου χάριν ἐκτεθῶσι ῥηταὶ τῶν ἀπὸ τῆς πηχυαίας ῥητῆς, οἴδαμεν ἑκάστην, πόσων ἐστὶ παλαιστῶν ἢ δακτύλων· ὅθεν ἐκ τῶν συμβεβηκότων λέγομεν ῥητὴν δι’ ἀριθμῶν γνωρίμην. διαφέρει δὲ ῥητὴ δοθείσης τῷ τὴν μὲν ῥητὴν δοθεῖσαν εἶναι πάντως, τὴν δοθεῖσαν δὲ οὐκ ἐξ ἀνάγκης ῥητήν· ἡ μὲν ῥητὴ καὶ πηλικότητι καὶ ποιότητι γνωρίμη ἐστίν, ἡ δὲ δοθεῖσα πηλικότητι καὶ μεγέθει μόνον· καὶ γάρ εἰσί τινες ἄλογοι δεδομέναι. Ἡ ἄπειρος γραμμὴ οὐδὲ πολλαπλασιάζεσθαι δύναταί ποτε οὐδὲ συγκρίνεσθαι ἕτερον πρὸς ἕτερον. |
| 136.36 | τὰ γὰρ μὴ ὁμογενῆ οὐ δύναται λόγον ἔχειν πρὸς ἄλληλα, λόγος δέ ἐστι δύο μεγεθῶν ὁμογενῶν πρὸς ἄλληλα ποιὰ σχέσις, οἷον γραμμὴ πρὸς γραμμὴν καὶ ἐπιφάνεια πρὸς ἐπιφάνειαν καὶ τὰ λοιπὰ ὁμοίως. Τῶν ἀναλογιῶν αἱ μέν εἰσι συνεχεῖς, αἱ δὲ διεχεῖς, συνεχεῖς μὲν αἱ ἑξῆς καὶ ἀδιακόπως ἔχουσαι τὰς σχέσεις, διεχεῖς δέ εἰσιν, ὅταν μὴ οὕτως ἔχωσιν οἱ λόγοι, ἀλλὰ διῃρημένοι ἀπ’ ἀλλήλων καὶ μὴ ὑπὸ τοῦ μέσου ὅρου συναπτόμενοι ἀλλήλοις· ὁ γὰρ μέσος ὅρος τοῦ μὲν ἡγεῖται, τῷ δὲ ἕπεται. |
| 136.37 | συνεχὴς ὡς η δ β , διεχὴς ὡς η πρὸς δ καὶ ϛ πρὸς γ . Λόγος ἐστὶ τὸ διάστημα τὸ μεταξὺ τῶν μεγεθῶν τῶν ἐκκειμένων. Ἡ ὀρθὴ γωνία σύμβολόν ἐστι τῆς ἀκλινῶς συνεχομένης ἐνεργείας τῇ ἰσότητι καὶ ὅρῳ καὶ πέρατι· ὅθεν καὶ ζωῆς εἰκὼν λέγεται κατιούσης τὴν κάθοδον ἡ κάθετος, ἣ ποιεῖ τὰς ὀρθὰς γωνίας. |
| 136.38 | —δύο μονάδας λέγει τὰς προνοητικὰς ἐνεργείας παρὰ τοῦ θεοῦ εἰς ἡμᾶς κυκλικῶς καὶ κατ’ εὐθεῖαν· ὅθεν καὶ τὸ ἰσόπλευρον τρίγωνον σύμβολον τῆς ψυχῆς μέσον δύο κύκλων ἐχόντων τοὺς λόγους τῶν αἰσθητῶν ἐπὶ τῆς θείας ψυχῆς. καί ἐστιν ἡ εὐθεῖα σύμβολον τῆς γνώσεως τῶν ὅλων ἀπείρως καὶ ἀορίστως κινουμένης. —τὰς δύο ὀρθὰς ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας [ἀλλήλων]· αἱ μὲν δύο ὀρθαὶ ἴδιόν ἐστι, τὸ δὲ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας κοινόν. τὰ γὰρ ἄνισα δυσὶν ὀρθαῖς δύνανται ἐλθεῖν εἰς τὴν ἰσότητα. Πᾶν γε μὴν τὸ δεδομένον καθ’ ἕνα τούτων δέδοται τῶν τρόπων, ἢ θέσει ἢ λόγῳ ἢ μεγέθει ἢ εἴδει. |
| 136.39 | τὸ μὲν γὰρ σημεῖον θέσει δέδοται μόνον, γραμμὴ δὲ καὶ τὰ ἄλλα πᾶσιν· ὅταν γὰρ λέγωμεν τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον, τὸ εἶδος λέγομεν ὁποῖον δέδοται τῆς γωνίας, ὅτι εὐθύγραμμον, ἵνα μὴ ζητῶμεν διὰ τῶν αὐτῶν μεθόδων καὶ τὴν περιφερόγραμμον δίχα τεμεῖν, ὅταν δὲ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων ἀπὸ τῆς μείζονος τῇ ἐλάσσονι ἴσην ἀφελεῖν, τῷ μεγέθει· δέδοται γὰρ τὸ μεῖζον καὶ ἔλασσον καὶ τὸ πεπερασμένον καὶ ἄπειρον, ἃ τοῦ μεγέθους ἐστὶν ἴδια κατηγορήματα. ὅταν δὲ λέγωμεν· ἐὰν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ * . ὅταν δὲ πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ χρῇ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι, τότε τῇ θέσει δέδοται τὸ σημεῖον· διὸ καὶ τῆς θέσεως διαφόρου δυναμένης εἶναι καὶ ἡ κατασκευὴ ποικιλίαν ἐπιδέχεται. τετραχῶς οὖν λαμβανομένου τοῦ δεδομένου δῆλον, ὅτι καὶ ἡ ἔκθεσις γίνεται τετραχῶς. Ὁ μὲν κύκλος εἰκών ἐστι τῆς νοερᾶς οὐσίας, τὸ δὲ τρίγωνον τῆς πρώτης ψυχῆς διὰ τὴν ἰσότητα καὶ τιμιότητα καὶ τὴν ὁμοιότητα τῶν γωνιῶν καὶ πλευρῶν. |
| 136.40 | διὰ τοῦτο καὶ τὸ πρῶτον θεώρημα τὸ ἰσόπλευρον τρίγωνον μέσον τῶν κύκλων ἰσόπλευρον ἀποδεικνύει καὶ ἰσογώνιον. καὶ πᾶσα ψυχὴ πρόεισιν ἀπὸ νοῦ καὶ ἐπιστρέφει πρὸς νοῦν καὶ μετέχει τοῦ νοῦ. Τὰ κυρίως λεγόμενα προβλήματα βούλεται τὴν ἀοριστίαν διαφυγεῖν. |
| 136.42 | Τῶν προβλημάτων τὰ μὲν ἄπτωτά ἐστι, τὰ δὲ πολύπτωτα, ὥσπερ καὶ τῶν θεωρημάτων. ὅσα μὲν τὴν αὐτὴν δύναμιν ἔχει διὰ πλειόνων πεφοιτηκυῖαν διαγραμμάτων καὶ τὰς θέσεις ἐξαλλάττοντα τὸν αὐτὸν φυλάττει τῆς ἀποδείξεως τρόπον, ταῦτα λέγεται πτώσεις ἔχειν, ὅσα δὲ κατὰ μίαν θέσιν καὶ κατασκευὴν μίαν προκόπτει, ταῦτα ἄπτωτά ἐστιν· ἁπλῶς γὰρ πτῶσις περὶ τὴν κατασκευὴν ὁρᾶται καὶ τῶν προβλημάτων καὶ τῶν θεωρημάτων. Τῶν γεωμετρικῶν προτάσεων τὰ πολλὰ καταφάσεις εἰσὶν οὐ πολὺ προσδεόμενα ἀποφάσεων, τὸ δὲ καθόλου ἀποφατικὸν δεῖται καὶ καταφάσεων μέλλον δείκνυσθαι· ἄνευ γὰρ καταφάσεως οὐδ’ ἀπόδειξις ἔστιν οὐδὲ συλλογισμός. |
| 136.43 | διὰ τοῦτο αἱ ἀποδεικτικαὶ τῶν ἐπιστημῶν τὰ μὲν πλεῖστα καταφατικὰ δεικνύουσιν. Τετραχῶς δύναται δεδόσθαι, πρῶτον θέσει, ὡς ὅταν λέγωμεν πρὸς τῇδε τῇ εὐθείᾳ καὶ τῷδε τῷ σημείῳ κεῖσθαι τὴν γωνίαν, δεύτερον τὸ εἶδος, οἷον ὅταν ὀρθὴν λέγωμεν ἢ ὀξεῖαν ἢ ἀμβλεῖαν ἢ ὅλως εὐθύγραμμον ἢ μικτήν, τρίτον καὶ λόγῳ, ὅταν διπλασίαν ἢ ὅλως μείζονα καὶ ἐλάσσονα, τέταρτον καὶ μεγέθει, ὡς ὅταν τρίτον ὀρθῆς λέγωμεν. |
| 136.45 | Μόνα τρία πολύγωνα πληροῦν δυνάμενα τὸν περὶ ἓν σημεῖον τόπον· ἰσόπλευρον τρίγωνον καὶ τετράγωνον καὶ ἑξάγωνον τὸ ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον. Τετραχῶς τὸ δεδομένον, πρῶτον ἐπὶ τῆς γωνίας, δεύτερον δύο δοθεισῶν εὐθειῶν, τρίτον ἐὰν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον, τέταρτον ὅταν πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ χρῇ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι· ἐξ ὧν δῆλον, ὅτι καὶ ἡ ἔκθεσις τετραχῶς γίνεται τοῦ προβλήματος ἐπὶ δεδομένου καὶ ζητουμένου. |
| 136.47 | Τὰ μὲν αἰτήματα συντελεῖ ταῖς κατασκευαῖς, τὰ δὲ ἀξιώματα ταῖς ἀποδείξεσιν. Ὑπόθεσις καὶ ἀντιστροφὴ λέγεται παρὰ τοῖς γεωμέτραις· οἷον ὑποτίθεται τρίγωνον ἰσοσκελές· παντὸς ἰσοσκελοῦς αἱ πρὸς τὴν βάσιν γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί, καὶ ὃ ἔχει τὰς πρὸς τὴν βάσιν γωνίας ἴσας, ἰσοσκελές ἐστιν. |
| 136.48 | ἑτέρα δ’ ἀντιστροφή· παντὸς τριγώνου τοῦ ἔχοντος τὰς δύο γωνίας ἴσας καὶ αἱ ὑποτείνουσαι πλευραὶ ἴσαι εἰσίν, καὶ ἀντιστρόφως πάλιν ὁμοίως. Τὴν μὲν ἀρετὴν κατὰ τὴν ὀρθότητά φασιν ἑστάναι, τὴν δὲ κακίαν κατὰ τὴν ἀοριστίαν τῆς ἀμβλείας καὶ ὀξείας τῶν γωνιῶν ὑφίστασθαι καὶ μερίζεσθαι τὰς ἐνδείας καὶ ὑπερβολὰς καὶ τῷ μᾶλλον καὶ ἧττον δεικνύναι τὴν ἑαυτῆς ἀμετρίαν. |
| 136.49 | τελειότητος ἄρα καὶ ἀκλινοῦς ἐνεργείας καὶ ὅρου νοεροῦ καὶ πέρατος καὶ τῶν τούτοις ὁμοίων εἰκόνα θησόμεθα τὴν ὀρθότητα τῶν εὐθυγράμμων γωνιῶν, τὴν δ’ ἀμβλεῖαν καὶ ὀξεῖαν ἀορίστου κινήσεως καὶ ἀσχέτου προόδου καὶ διαιρέσεως καὶ μερισμοῦ καὶ ὅλως ἀπειρίας. καί ἐστι γένος τῶν ἑκατέρων γωνιῶν ὀξείας τε καὶ ἀμβλείας ἡ εὐθύγραμμος γωνία. Ἀρχή ἐστι τὸ πρῶτον πέρας τῶν μετὰ ταῦτα. |
| 136.50 | οὕτως οὖν καὶ ἀρχὴν τὸ ἀεὶ ὂν ἔθος αὐτοῖς πολλάκις καλεῖν, καὶ οἱ μὲν αὐτῶν ἀρχὴν τῶν ὄντων ἔφασαν θεόν. Πᾶν τὸ προσεχῶς ἑκάστου τῶν ὄντων ἁπλούστερον οἱ ὅροι ἐπάγονται καὶ τὸ πέρας ἑκάστου· καὶ γὰρ ψυχὴ τὴν τῆς φύσεως ἐνέργειαν ἀφορίζει καὶ τελειοῖ καὶ φύσις τὴν τῶν σωμάτων κίνησιν, καὶ πρὸ τούτων νοῦς μετρεῖ τὰς περιόδους τῆς ψυχῆς καὶ αὐτοῦ τοῦ νοῦ τὴν ζωὴν τὸ ἕν· πάντων γὰρ ἐκεῖνο μέτρον· ὥσπερ δὴ καὶ ἐν τοῖς γεωμετρουμένοις ὁρίζεται μὲν τὸ στερεὸν ὑπὸ τῆς ἐπιφανείας καὶ ἐπιφάνεια ὑπὸ τῆς γραμμῆς καὶ αὕτη ὑπὸ τοῦ σημείου· πάντων γὰρ ἐκεῖνο πέρας. |
| 136.52 | Ἐπὶ τοῦ κύκλου εὐθεῖα ἡ διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη διάμετρος καλεῖται, ἐπὶ δὲ τῆς σφαίρας ἄξων, τοῦ δὲ τετραγώνου διαγώνιος. Ἑπτὰ εἴδη λέγεται εἶναι τριγώνων καὶ παραλληλογράμμων. |
| 136.54 | Κινηθὲν τὸ σχῆμα τοῦ ῥόμβου δύναται εἶναι τετράγωνον, τὸ δὲ ῥομβοειδὲς ἑτερόμηκες. Ἐκ πάντων τῶν σχημάτων μόνον τὸ τετράγωνόν ἐστιν ἴσας ἔχον τὰς πλευρὰς καὶ ὀρθὰς τὰς γωνίας· διὰ τοῦτο καὶ τιμιώτερον λέγεται. |
| 136.55 | ὅθεν οἱ Πυθαγόρειοι τῷ θείῳ παρεικάζουσιν, ὃ ὡς ἄχραντον τάξιν ἔχον ἰσότητι καὶ ὀρθότητι τὴν μόνιμον δύναμιν μιμεῖται· κίνησις γὰρ ἀνισότητος ἔκγονος, στάσις δὲ ἰσότητος. Ἐπειδὴ δ’ ἡ ψυχὴ μέση ἐστὶ τῶν νοερῶν καὶ τῶν αἰσθητῶν, καθ’ ὅσον μὲν συνάπτει τῇ νοερᾷ φύσει, κατὰ κύκλον ἐνεργεῖ, καθ’ ὅσον δὲ τοῖς αἰσθητοῖς ἐπιστατεῖ, κατὰ τὸ εὐθὺ ποιεῖται τὴν πρόνοιαν. |
| 136.56 | τοσαῦτα καὶ περὶ τῆς πρὸς τὰ ὄντα τούτων τῶν εἰδῶν ὁμοιότητος. τὸν δὲ τῆς εὐθείας ὁρισμὸν ὁ μὲν Εὐκλείδης τοῦτον ἀποδέδωκεν. Μετὰ τὸ ἓν τρεῖς εἰσιν ὑποστάσεις, τὸ πέρας, τὸ ἄπειρον, τὸ μικτόν. |
| 136.57 | διὰ τούτων ὑφίσταται τὰ τῶν γραμμῶν εἴδη καὶ τῶν γωνιῶν καὶ τῶν σχημάτων· καὶ τῷ μὲν πέρατι ἀνάλογόν ἐστιν ἡ περιφέρεια καὶ περιφερόγραμμος γωνία καὶ ὁ κύκλος ἐν ἐπιπέδοις καὶ ἡ σφαῖρα ἐν στερεοῖς, τῇ δ’ ἀπειρίᾳ τὸ εὐθὺ κατὰ πάντα ταῦτα· διήκει γὰρ διὰ πάντων οἰκείως ἑκασταχοῦ φανταζόμενον· τὸ δὲ μικτὸν τὸ ἐν πᾶσι τούτοις. τὸ ἄρα πέρας καὶ ἄπειρον καὶ μικτόν ἐστιν ἐν τούτοις πᾶσι. καὶ διὰ ταύτην τὴν αἰτίαν καὶ ἡ ψυχὴ τό τ’ εὐθὺ καὶ τὸ περιφερὲς κατ’ οὐσίαν ἑαυτῆς προείληφεν, ἵνα πᾶσαν τὴν ἐν τῷ κόσμῳ τοῦ ἀπείρου συστοιχίαν καὶ πᾶσαν τὴν περιττοειδῆ κατευθύνῃ φύσιν, τῷ μὲν εὐθεῖ τὴν πρόοδον αὐτῶν ὑφιστᾶσα, τῷ δὲ περιφερεῖ τὴν ἐπιστροφήν, καὶ τῷ μὲν εἰς πλῆθος αὐτὰ προάγουσα * . καὶ οὐχ ἡ ψυχὴ μόνον ἀλλὰ καὶ ὁ τὴν ψυχὴν ὑποστήσας καὶ ταύτας αὐτῇ τὰς δυνάμεις παραδοὺς ἀμφοτέρων ἔχει τὰς πρωτουργοὺς αἰτίας ἐν ἑαυτῷ· τῶν γὰρ ὄντων πάντων ἀρχὴν καὶ μέσα καὶ τέλη προειληφὼς εὐθείας περαίνει κατὰ φύσιν περιπορευόμενος, φησὶν ὁ Πλάτων. καὶ γὰρ ἐπὶ πάντα πρόεισι ταῖς προνοητικαῖς ἐνεργείαις καὶ πρὸς ἑαυτὸν ἐπέστραπται ἐν τῷ ἑαυτοῦ κατὰ τρόπον. σύμβολον δ’ ἡ μὲν εὐθεῖα τῆς ἀπαρεγκλίτου προνοίας καὶ ἀδιαστρόφου καὶ ἀχράντου καὶ ἀνεκλείπτου καὶ παντοδυνάμου καὶ πᾶσι παρούσης, ἡ δὲ περιφέρεια καὶ τὸ περιπορεύεσθαι τῆς εἰς ἑαυτὴν συννευούσης ἐνεργείας καὶ πρὸς ἑαυτὴν συνελισσομένης καὶ καθ’ ἓν νοερὸν πέρας τῶν ὅλων ἐπικρατούσης. δύο δὴ ταύτας ὁ δημιουργικὸς νοῦς ἐν ἑαυτῷ προστησάμενος ἀρχάς, τὸ εὐθὺ καὶ τὸ περιφερές, δύο μονάδας παρήγαγεν ἀφ’ ἑαυτοῦ, τὴν μὲν κατὰ τὸ περιφερὲς ἐνεργοῦσαν καὶ τῶν νοερῶν οὐσιῶν τελεσιουργόν, τὴν δὲ κατὰ τὸ εὐθὺ καὶ τοῖς αἰσθητοῖς τὴν γένεσιν παρεχομένην. Τὰ ιϛ καὶ κδ τῶν ιβ καὶ κδ ἅμα ὑπερέχει, τὰ ιβ καὶ τὰ ιβ τῶν ιϛ καὶ ιϛ ἅμα ἐλλείπει, τὰ κδ καὶ κδ ἅμα ἴσον ἐστίν. |
| 136.58 | τὰ δὲ μεγέθη τίθενται, καθὰ πρόκειται, τὸ πρῶτον καὶ τὸ τρίτον, τὸ δεύτερον καὶ τὸ τέταρτον. [Start of a diagram] α β γ ζ ε α β θ ε α β θ κτ α η η κδ ιϛ η ϛ ιβ κδ η η κδ [End of a diagram] Ἰστέον, ὅτι ἐπὶ ἑκάστου γεωμετρικοῦ θεωρήματος ἓξ κεφάλαια παραλαμβάνονται, πρότασις, ἔκθεσις, προδιορισμός, κατασκευή, ἀπόδειξις, συμπέρασμα. |
| 137.1 | καὶ ἡ μὲν πρότασις διαιρεῖται εἴς τε ὑποκείμενον καὶ κατηγορούμενον, καὶ ἐκ μὲν τοῦ ὑποκειμένου γίνεται ἡ ἔκθεσις, ἐκ δὲ τοῦ κατηγορουμένου ὁ προδιορισμός. Ἰστέον, ὅτι τὰ αἰτήματα συμβάλλονται ἡμῖν εἰς κατασκευήν, αἱ δὲ κοιναὶ ἔννοιαι εἰς τὴν ἀπόδειξιν. |
| 137.3 | Δεῖ δὲ γινώσκειν, ὅτι ἐπὶ τῆς προτάσεως τῆς λεγούσης· ἄνθρωπος ζῷόν ἐστιν, ὑποκείμενον μέν ἐστι τὸ ἄνθρωπος κατὰ τοὺς φιλοσόφους, κατηγορούμενον δὲ τὸ ζῷον· ἐν δὲ τῇ γεωμετρίᾳ ἡ πρότασις ἢ ὡς πρόβλημα ἢ ὡς θεώρημα λαμβάνεται, ἀντὶ μὲν τοῦ ὑποκειμένου τῆς προτάσεως τὸ δεδομένον, ἀντὶ δὲ τοῦ κατηγορουμένου τὸ ζητούμενον. Ταύρου Σιδονίου ἔστιν ὑπόμνημα εἰς Πολιτείαν Πλάτωνος, ἐν ᾧ ἔστι ταῦτα· Ὡρίσατο ὁ Πλάτων τὴν γεωμετρίαν ἐν τῷ Μένωνι οὕτως· δόξαν ὀρθὴν δεθεῖσαν αἰτίας λογισμῷ· Ἀριστοτέλης δ’ ὑπόληψιν μετὰ ἀποδείξεως, Ζήνων δὲ ἕξιν ἐν προσδέξει φαντασιῶν ἀμετάπτωτον ὑπὸ λόγου. |
| 137.4 | Ἀρχιμήδης Συρακούσιος Δωρίδι φωνῇ, Εὐκλείδης, Ἀπολλωνίου, Εὔδοξος. Πῶς πάντα μορφωτικῶς καὶ μεριστῶς τῆς φαντασίας δεχομένης ἀμερὲς τὸ σημεῖον ὁ γεωμέτρης θεωρεῖ; καὶ γὰρ καὶ τὰς τῶν νοερῶν καὶ θείων εἰδῶν ἐμφάσεις ἡ φαντασία κατὰ τὴν οἰκείαν φύσιν, τῶν μὲν ἀμόρφων μορφάς, τῶν δὲ ἀσχηματίστων σχήματα. |
| 137.5 | ὅτι τῆς φανταστικῆς κινήσεως τὸ εἶδος οὔτε ** ἐκ τοῦ ἀμόρφου εἰς τὸ μεμορφωμένον. εἰ γὰρ ἦν μεριστή, οὐκ ἂν τοὺς πολλοὺς τύπους τῶν εἰδῶν ἐν αὑτῇ σώζειν ἠδύνατο τῶν ἐπεισιόντων ἀμυδρούντων τοὺς πρὸ αὐτῶν, εἴτε ἀμέριστος, τῆς διανοίας ** οὐδ’ ἂν μορφωτικῶς ἐποιεῖτο τὰς ἐνεργείας. Αἱ ἀρχαὶ τῆς γεωμετρίας διαιροῦνται εἰς ἀξίωμα, ὑπόθεσιν, αἴτημα, τὰ δὲ μετὰ τὰς ἀρχὰς διαιροῦνται εἰς πρόβλημα καὶ θεώρημα. |
| 137.7 | Τί ἐστιν ἀξίωμα; ὅταν τῷ μανθάνοντι γνώριμον ᾖ καὶ καθ’ ἑαυτὸ πιστὸν τὸ παραλαμβανόμενον εἰς ἀρχῆς τάξιν, ἀξίωμα τὸ τοιοῦτόν ἐστιν, οἷον τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἴσα. Τί ἐστιν ὑπόθεσις; ὅταν μὴ ἔννοιαν ἔχῃ ὁ ἀκούων τοῦ λεγομένου τὴν αὐτόπιστον, τίθεται δὲ ὁμοίως καὶ συγχωρεῖ τῷ λαμβάνοντι, τὸ τοιοῦτον ὑπόθεσίς ἐστι· τὸ γὰρ εἶναι τὸν κύκλον σχῆμα τοῖον κατὰ τὴν κοινὴν ἔννοιαν οὐ προειλήφαμεν ἀδιδάκτως, ἀκούσαντες δὲ συγχωροῦμεν ἀποδείξεως χωρίς. |
| 137.9 | Τί ἐστιν αἴτημα; ὅταν ἄγνωστον ᾖ τὸ λεγόμενον ἢ μὴ συγχωροῦντος τοῦ μανθάνοντος ὅμως λαμβάνηται, τηνικαῦτα, φησίν, αἴτημα τοῦτο καλοῦμεν, οἷον τὸ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας εἶναι. Ἐκ τῶν Ἀνατολίου. |
| 138.1.(t) | Ἀριστοτέλης συνεστάναι τὴν πᾶσαν φιλοσοφίαν ἐκ θεωρίας καὶ πράξεως οἰόμενος καὶ τὴν μὲν πρακτικὴν διαιρῶν εἰς ἠθικὴν καὶ πολιτικήν, τὴν δὲ θεωρίαν εἰς θεολογικὸν καὶ τὸ φυσικὸν καὶ τὸ μαθηματικόν, μάλα σαφῶς καὶ ἐντέχνως φιλοσοφίαν οὖσαν τὴν μαθηματικὴν ἀποδείκνυσιν. Ὅτι Χαλδαῖοι μὲν ἀστρονομίαν, Αἰγύπτιοι δὲ γεωμετρίαν καὶ ἀριθμητικήν. |
| 138.3 | Ἀπὸ τίνος δὲ μαθηματικὴ ὠνομάσθη; Οἱ μὲν ἀπὸ τοῦ Περιπάτου φάσκοντες ῥητορικῆς μὲν καὶ ποιητικῆς συμπάσης τε τῆς δημώδους μουσικῆς δύνασθαί τινα συνεῖναι καὶ μὴ μαθόντα, τὰ δὲ καλούμενα ἰδίως μαθήματα οὐδένα εἰς εἴδησιν λαμβάνειν μὴ οὐχὶ πρότερον ἐν μαθήσει γενόμενον τούτων, διὰ τοῦτο μαθηματικὴν καλεῖσθαι τὴν περὶ τούτων θεωρίαν ὑπελάμβανον. θέσθαι δὲ λέγονται τὸ τῆς μαθηματικῆς ὄνομα ἰδιαίτερον ἐπὶ μόνης γεωμετρίας καὶ ἀριθμητικῆς οἱ ἀπὸ τοῦ Πυθαγόρου· τὸ γὰρ πάλαι χωρὶς ἑκατέρα τούτων ὠνομάζετο, κοινὸν δὲ οὐδὲν ἦν ἀμφοῖν ὄνομα. ἐκάλεσαν δὲ αὐτὰς οὕτως, ὅτι τὸ ἐπιστημονικὸν καὶ πρὸς μάθησιν ἐπιτηδείως ἔχον εὕρισκον ἐν αὐταῖς· περὶ γὰρ ἀίδια καὶ ἄτρεπτα καὶ εἰλικρινῆ ὄντα ἀναστρεφομένας ἑώρων, ἐν οἷς μόνοις ἐπιστήμην ἐνόμιζον. οἱ δὲ νεώτεροι περιέσπασαν ἐπὶ πλεῖον τὴν προσηγορίαν οὐ μόνον περὶ τὴν ἀσώματον καὶ νοητὴν ὕλην ἀξιοῦντες πραγματεύεσθαι τὸν μαθηματικόν, ἀλλὰ καὶ περὶ τὴν ἐφαπτομένην τῆς σωματικῆς καὶ αἰσθητῆς οὐσίας· θεωρητικὸς γὰρ ὀφείλει εἶναι καὶ φορᾶς ἄστρων καὶ τάχους αὐτῶν μεγεθῶν τε καὶ σχημάτων καὶ ἀποστημάτων, ἔτι τε ἐπισκεπτικὸς τῶν κατὰ τὰς ὄψεις παθῶν ἐρευνῶν τὰς αἰτίας, δι’ ἃς καὶ οὐχ, ὁποῖα καὶ πηλίκα τὰ ὑποκείμενα, τοιαῦτα καὶ τηλικαῦτα ἐκ παντὸς διαστήματος θεωρεῖται τηροῦντα μὲν τοὺς πρὸς ἄλληλα λόγους, ψευδεῖς δὲ φαντασίας καὶ τῆς θέσεως καὶ τῆς τάξεως ἐμποιοῦντα τοῦτο μὲν κατ’ οὐρανὸν καὶ ἀέρα, τοῦτο δ’ ἐν κατόπτροις καὶ πᾶσι τοῖς λείοις, κἀν τοῖς διαφανέσι δὲ τῶν ὁρωμένων καὶ τοιουτοτρόποις σώμασι. πρὸς τούτοις μηχανικὸν εἶναι τὸν ἄνδρα δεῖν ᾤοντο καὶ γεωδαίστην καὶ λογιστικόν, ἔτι δὲ καὶ περὶ τὰς αἰτίας τῆς ἐμμελοῦς κράσεως τῶν φθόγγων καὶ τῆς περὶ μέλος συνθέσεως ἀσχολούμενον· ἅπερ σώματά ἐστιν ἢ τήν γε ἐσχάτην ἀναφορὰν ἐπὶ τὴν αἰσθητὴν ὕλην ποιεῖται. Τί ἐστι μαθηματική; Μαθηματική ἐστιν ἐπιστήμη θεωρητικὴ τῶν νοήσει τε καὶ αἰσθήσει καταλαμβανομένων πρὸς τὴν τῶν ὑποπιπτόντων δέσιν. |
| 138.4 | ἤδη δὲ χαριεντιζόμενός τις ἅμα καὶ τοῦ σκοποῦ τυγχάνων μαθηματικὴν ἔφη ταύτην εἶναι, ἥτ’ ὀλίγη μὲν πρῶτα κορύσσεται, αὐτὰρ ἔπειτα οὐρανῷ ἐστήριξε κάρη καὶ ἐπὶ χθονὶ βαίνει· ἄρχεται μὲν γὰρ ἀπὸ σημείου καὶ γραμμῆς, εἰς δὲ τὴν οὐρανοῦ καὶ γῆς καὶ συμπάντων ἀσχολεῖται πραγματείαν. Πόσα μέρη μαθηματικῆς; Τῆς μὲν τιμιωτέρας καὶ πρώτης ὁλοσχερέστερα μέρη δύο, ἀριθμητικὴ καὶ γεωμετρία, τῆς δὲ περὶ τὰ αἰσθητὰ ἀσχολουμένης ἕξ, λογιστική, γεωδαισία, ὀπτική, κανονική, μηχανική, ἀστρονομική. |
| 138.5 | ὅτι οὔτε τὸ τακτικὸν καλούμενον οὔτε τὸ ἀρχιτεκτονικὸν οὔτε τὸ δημῶδες μουσικὸν ἢ τὸ περὶ τὰς φάσεις, ἀλλ’ οὐδὲ τὸ ὁμωνύμως καλούμενον μηχανικόν, ὡς οἴονταί τινες, μέρη μαθηματικῆς εἰσι, προϊόντος δὲ τοῦ λόγου σαφῶς τε καὶ ἐμμεθόδως δείξομεν. Ὅτι ὁ κύκλος ἔχει στερεὰ μὲν ὀκτώ, ἐπίπεδα δὲ ἕξ, γωνίας δὲ δ . |
| 138.7 | Τίνα τίσι προσεγγίζει τῶν μαθημάτων; Συνεγγίζει μᾶλλον τῇ μὲν ἀριθμητικῇ ἡ λογιστικὴ καὶ ἡ κανονική· καὶ γὰρ αὕτη ἐν ποσότητι λαβοῦσα κατὰ, λόγους ἀριθμοὺς καὶ ἀναλογίας πρόεισι· τῇ δὲ γεωμετρίᾳ ἡ ὀπτικὴ καὶ ἡ γεωδαισία, ἀμφοτέραις δὲ καὶ ἐπὶ πλέον ἡ μηχανικὴ καὶ ἀστρολογική. Ὅτι ἡ μαθηματικὴ τὰς ἀρχὰς μὲν ἔχει ἐξ ὑποθέσεως καὶ περὶ ὑπόθεσιν. |
| 138.8 | λέγεται δὲ ὑπόθεσις τριχῶς ἢ καὶ πολλαχῶς, καθ’ ἕνα μὲν τρόπον ἡ δραματικὴ περιπέτεια, καθ’ ὃν λέγονται εἶναι ὑποθέσεις τῶν Εὐριπίδου δραμάτων, καθ’ ἕτερον δὲ σημαινόμενον ἡ ἐν ῥητορικῇ τῶν ἐπὶ μέρους ζήτησις, καθ’ ὃν λέγουσιν οἱ σοφισταὶ θετέον ὑπόθεσιν· κατὰ δὲ τρίτην ὑποβολὴν ὑπόθεσις λέγεται ἡ ἀρχὴ τῆς ἀποδείξεως αἴτησις οὖσα πραγμάτων εἰς κατασκευήν τινος. οὕτω μὲν λέγεται, Δημόκριτον ὑποθέσει χρῆσθαι ἀτόμοις καὶ κενῷ καὶ Ἀσκληπιάδην ὄγκοις καὶ πόροις. ἡ οὖν μαθηματικὴ περὶ τὴν τρίτην εἴληται. Ὅτι τὴν ἀριθμητικὴν οὐ μόνος ἐτίμα Πυθαγόρας, ἀλλὰ καὶ οἱ τούτου γνώριμοι ἐπιλέγοντες ἀριθμῷ δέ τε πάντ’ ἐπέοικεν. |
| 138.10 | Ὅτι τέλος μὲν ἔχει ἀκόλουθον ἀριθμητικὴ κυρίως μὲν τὴν ἐπιστημονικὴν θεωρίαν, ἧς οὐδὲν τέλος οὔτε μεῖζον οὔτε κάλλιόν ἐστιν, ἑπομένως δὲ συλλήβδην καταλαβεῖν, πόσα τῇ ὡρισμένῃ οὐσίᾳ συμβέβηκε. Τίς τί εὗρεν ἐν μαθηματικοῖς; Εὔδημος ἱστορεῖ ἐν ταῖς Ἀστρολογίαις, ὅτι Οἰνοπίδης εὗρε πρῶτος τὴν τοῦ ζωδιακοῦ διάζωσιν καὶ τὴν τοῦ μεγάλου ἐνιαυτοῦ περίστασιν, Θαλῆς δὲ ἡλίου ἔκλειψιν καὶ τὴν κατὰ τροπὰς αὐτοῦ πάροδον, ὡς οὐκ ἴση ἀεὶ συμβαίνει, Ἀναξίμανδρος δέ, ὅτι ἐστὶν ἡ γῆ μετέωρος καὶ κινεῖται περὶ τὸ τοῦ κόσμου μέσον, Ἀναξιμένης δέ, ὅτι ἡ σελήνη ἐκ τοῦ ἡλίου ἔχει τὸ φῶς, καὶ τίνα ἐκλείπει τρόπον· οἱ δὲ λοιποὶ ἐξευρημένοις τούτοις ἐπεξεῦρον ἕτερα, ὅτι οἱ ἀπλανεῖς κινοῦνται περὶ τὸν διὰ τῶν πόλων ἄξονα μένοντα, οἱ δὲ πλανώμενοι περὶ τὸν τοῦ ζωδιακοῦ πρὸς ὀρθὰς ὄντα αὐτῷ ἄξονα, ἀπέχουσι δ’ ἀλλήλων ὅ τε τῶν ἀπλανῶν καὶ τῶν πλανωμένων ἄξων πεντεκαιδεκαγώνου πλευράν, ὅ τι εἰσὶ μοῖραι τὸν ἀριθμὸν εἰκοσιτέσσαρες. |