… γὰρ αὐτοὺς ἐλάσσονας μὲν εἶναι ἑκατοντάδος μετρεῖσθαι δὲ ὑπὸ δεκάδος, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐξ αὐτῶν στερεὸν εἰπεῖν μὴ πολλαπλασιάσαντα αὐτούς.
Ἔστωσαν οὖν οἱ ἀριθμοὶ νʹ νʹ νʹ μʹ μʹ λʹ· ἔσονται ἄρα οἱ πυθμένες εʹ εʹ εʹ δʹ δʹ γʹ· ὁ ἄρα ἐξ αὐτῶν στερεὸς γίνεται μονάδων ͵ϛ. καὶ ἐπεὶ τὸ πλῆθος τῶν δεκάδων ἐστὶν ϛʹ καὶ μετρούμενον ὑπὸ τετράδος λείπει δύο, ἔσται ὁ ἐξ αὐτῶν στερεὸς μυριάδων ἁπλῶν ἑκατόν. καὶ ἐπεὶ ὁ ἐκ τῶν δεκάδων στερεὸς ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν πυθμένων στερεὸν ποιεῖ τὸν ἐκ τῶν ἐξ ἀρχῆς στερεόν, αἱ ἄρα μυριάδες ρʹ ἐπὶ τὰς μονάδας ͵ϛ γενόμεναι ποιοῦσιν μυριάδας ξʹ διπλᾶς, ὥστε ὁ ἐκ τῶν νʹ νʹ νʹ μʹ μʹ λʹ στερεός ἐστιν μυριάδων ξʹ διπλῶν.
ιεʹ. Ἔστωσαν δὴ πάλιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἐφʼ ὧν τὰ Β, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρείσθω δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐξ αὐτῶν στερεὸν εἰπεῖν μὴ πολλαπλασιάσαντα τοὺς ἀριθμούς.
Γεγονέτω, καὶ ὁ διπλάσιος τοῦ πλήθους αὐτῶν μετρείσθω πρότερον ὑπὸ τετράδος, καὶ ὑποκείσθω ὑπὸ ἕκαστον τῶν Β ἑκατοντὰς ἡ αʹ, καὶ καθὸ μετρεῖται ἕκαστος τῶν Β ὑπὸ τῆς ἑκατοντάδος ἔστωσαν οἱ ἐφʼ ὧν τὰ Γ· πυθμένες ἄρα εἰσὶν οἱ ἐφʼ ὧν τὰ Γ τῶν ἐφʼ ὧν τὰ Β. ὁ δὲ διὰ τῶν πυθμένων στερεὸς ἔστω ὁ Ε. δείκνυται οὖν διὰ τῶν γραμμῶν ὁ διὰ τῶν ἐφʼ ὧν τὰ Β στερεὸς μυριάδων διπλῶν ρκ, ἐπειδὴ καὶ ὁ διὰ τῶν ἐφʼ ὧν τὰ Β στερεὸς ἴσος ἐστὶν τῷ διὰ τῶν ἑκατοντάδων στερεῷ ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν πυθμένων στερεόν, τουτέστιν διπλῆ μυριὰς αʹ ἐπὶ τὰς ρκʹ μονάδας.
Ἀλλʼ ὁ διπλάσιος τοῦ πλήθους τῶν ἐφʼ ὧν τὰ Β μὴ μετρείσθω ὑπὸ τετράδος· μετρούμενος ἄρα λείψει δυάδα ἐξ ἀνάγκης — τοῦτο γὰρ προδέδεικται —, ὥστε καὶ ὁ διπλάσιος τοῦ πλήθους τῶν ἑκατοντάδων μετρούμενος ὑπὸ τετράδος· τὸ ἄρα πλῆθος τῶν ἑκατοντάδων μετρούμενον ὑπὸ δυάδος λείψει μίαν ἑκατοντάδα. ὁ τοίνυν διὰ τῶν ἑκατοντάδων στερεὸς ἔσται μυριάδων ρʹ ὁμωνύμων τῷ Ζ, τουτέστι διπλῶν, ὥστε δῆλον ὅτι ὁ διὰ τῶν ἐφʼ ὧν τὰ Β μυριάδες εἰσὶν ρʹ ὁμώνυμοι τῷ Ζ γενόμεναι ἐπὶ τὸν Ε. γίνονται μυριὰς μία δισχίλιαι διπλῶν μυριάδων.
ιϛʹ. Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α Β, καὶ ὁ μὲν Α ὑποκείσθω ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος, οἷον μονάδες φʹ, ὁ δὲ Β ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, οἷον μονάδες μʹ, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐξ αὐτῶν ἀριθμὸν εἰπεῖν μὴ πολλαπλασιάσαντα αὐτούς.
Ἔστι δὲ φανερὸν διὰ τῶν ἀριθμῶν· οἱ γὰρ εʹ δʹ πυθμένες αὐτῶν ὄντες πολλαπλασιασθέντες ποιοῦσι μονάδας κʹ, χιλιάκις δὲ ὁ κʹ ἀριθμὸς ποιεῖ μυριάδας δύο ποιούσας τὸν ὑπὸ τῶν Α Β γινόμενον. τὸ δὲ γραμμικὸν δῆλον ἐξ ὧν ἔδειξεν Ἀπολλώνιος.
ιζʹ. Ἐπὶ δὲ τοῦ ιηʹ θεωρήματος. Ἔστω πλῆθος ἀριθμῶν τὸ ἐφʼ ὧν τὰ Α, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, καὶ ἄλλο πλῆθος ἀριθμῶν τὸ ἐφʼ ὧν τὰ Β, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν ἐφʼ ὧν τὰ Α Β στερεὸν εἰπεῖν μὴ πολλαπλασιάσαντα αὐτούς.
Ἔστωσαν γὰρ πυθμένες τῶν μὲν ἐφʼ ὧν τὰ Α οἱ ἐφʼ ὧν τὰ Η, μονάδες αʹ καὶ βʹ καὶ γʹ καὶ δʹ, τῶν δὲ ἐφʼ ὧν τὰ Β οἱ ἐφʼ ὧν τὰ Θ, μονάδες βʹ καὶ γʹ καὶ δʹ καὶ εʹ, καὶ ληφθέντος τοῦ ἐκ τῶν πυθμένων στερεοῦ, τουτέστιν τοῦ Ε, μονάδων ὄντος ͵βωπʹ, τὸ πλῆθος τῶν ἐφʼ ὧν τὰ Α προσλαβὸν τὸν διπλασίονα τοῦ πλήθους τῶν ἐφʼ ὧν τὰ Β μετρείσθω πρότερον ὑπὸ τετράδος ͵. καὶ δείκνυσιν ὁ Ἀπολλώνιος τὸν ἐκ πάντων τῶν ἐφʼ ὧν τὰ Α Β στερεὸν μυριάδων τοσούτων, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Ε μονάδες, ὁμωνύμων τῷ Ζ ἀριθμῷ, τουτέστιν τριπλῶν μυριάδων ͵βωπʹ.
Ἀλλὰ δὴ τὸ πλῆθος τῶν ἐφʼ ὧν τὰ Α, προσλαβὸν τὸν διπλασίονα τοῦ πλήθους τῶν ἐφʼ ὧν τὰ Β, μετρούμενον ὑπὸ τετράδος καταλειπέτω πρότερον ἕνα. καὶ συνάγει ὁ Ἀπολλώνιος ὅτι ὁ ἐκ τῶν ἀριθμῶν ἐφʼ ὧν τὰ Α Β στερεὸς μυριάδες εἰσὶν τοσαῦται ὁμώνυμοι τῷ Ζ, ὅσος ἐστὶν ὁ δεκαπλασίων τοῦ Ε, ἐὰν δὲ τὸ προειρημένον πλῆθος μετρούμενον ὑπὸ τετράδος καταλείπῃ δύο, ὁ ἐκ τῶν ἀριθμῶν στερεὸς τῶν ἐφʼ ὧν τὰ Α Β μυριάδες εἰσὶν τοσαῦται ὁμώνυμοι τῷ Ζ, ὅσος ἐστὶν ὁ ἑκατονταπλάσιος τοῦ Ε ἀριθμοῦ, ὅταν δὲ τρεῖς καταλειφθῶσιν, ἴσος ἐστὶν ὁ ἐξ αὐτῶν στερεὸς μυριάσιν τοσαύταις ὁμωνύμοις τῷ Ζ, ὅσος ἐστὶν ὁ χιλιαπλάσιος τοῦ Ε ἀριθμοῦ.
ιηʹ. Ἐπὶ δὲ τοῦ ιθʹ θεωρήματος. Ἔστω τις ἀριθμὸς ὁ Α ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, καὶ ἄλλοι ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἐλάσσονες δεκάδος οἷον οἱ Β Γ Δ Ε, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ε στερεὸν εἰπεῖν.
Ἔστω γὰρ καθʼ ὃν μετρεῖται ὁ Α ὑπὸ τῆς δεκάδος ὁ Ζ, τουτέστιν ὁ πυθμὴν τοῦ Α, καὶ εἰλήφθω ὁ ἐκ τῶν Ζ Β Γ Δ Ε στερεὸς καὶ ἔστω ὁ Η· λέγω ὅτι ὁ διὰ τῶν Α Β Γ Δ Ε στερεὸς δεκάκις εἰσὶν οἱ Η.
Καὶ ἔστι φανερὸν διὰ τῶν ἀριθμῶν· τοῦ γὰρ Α ὑποκειμένου, φέρʼ εἰπεῖν, μονάδων κʹ καὶ τοῦ Β μονάδων γʹ καὶ τοῦ Γ μονάδων δʹ καὶ τοῦ Δ μονάδων εʹ καὶ τοῦ Ε μονάδων ϛʹ, ὁ ἐξ αὐτῶν στερεὸς γίνεται μονάδες ͵ζςʹ. ἀλλὰ καὶ τοῦ Ζ ὄντος μονάδων βʹ, ὅς ἐστι πυθμὴν τοῦ Α, ὁ ἐκ τούτου καὶ τῶν Β Γ Δ Ε στερεὸς δεκάκις γενόμενος ἔσται μονάδες ͵ζςʹ, ἴσος τῷ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ε στερεῷ. τὸ δὲ γραμμικὸν ὑπὸ τοῦ Ἀπολλωνίου δέδεικται.
ιθʹ. Ἀλλὰ δὴ ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α Β, ὧν ἑκάτερος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, τῶν δὲ Γ Δ Ε ἕκαστος ἐλάσσων δεκάδος ἔστω, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ε στερεὸν εἰπεῖν.
Ἔστωσαν γὰρ τῶν Α Β πυθμένες οἱ Ζ Η· λέγω ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ε στερεὸς τοῦ ἐκ τῶν Ζ Η Γ Δ Ε στερεοῦ ἑκατονταπλάσιός ἐστιν.
Φανερὸν δὲ καὶ τοῦτο διὰ τῶν ἀριθμῶν, τοῦ Α ὄντος μονάδων κʹ καὶ τοῦ Β μονάδων λʹ καὶ τοῦ Γ μονάδων βʹ καὶ τοῦ Δ μονάδων γʹ καὶ τοῦ Ε μονάδων δʹ καὶ τοῦ Ζ μονάδων βʹ καὶ τοῦ Η μονάδων γʹ· ὁ γὰρ ὑπὸ τῶν Α Β Γ Δ Ε στερεός ἐστιν μα ͵δυʹ, ὁ δὲ ὑπὸ Ζ Η Γ Δ Ε μονάδες ρμδʹ, οὗτος δὲ γενόμενος ἑκατοντάκις ποιεῖ μα ͵δυʹ. τὸ δὲ γραμμικὸν ἐκ τῶν Ἀπολλωνίου.
κʹ. Ἀλλὰ δὴ ἔστωσαν τρεῖς ἀριθμοὶ οἱ Α Β Γ, καὶ ἔστω ἕκαστος αὐτῶν ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, ἕκαστος δὲ τῶν Δ Ε Ζ ἔστω ἐλάσσων δεκάδος, καὶ ἔστωσαν τῶν Α Β Γ πυθμένες οἱ Η Θ Κ, καὶ εἰλήφθω ὁ ἐκ τῶν Η Θ Κ Δ Ε Ζ στερεὸς καὶ ἔστω ὁ Ξ· ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ε Ζ στερεὸς ἴσος ἐστὶν χιλίοις τοῖς Ξ.
Ἔστι φανερὸν διὰ τῶν ἀριθμῶν, τοῦ Α ὄντος λόγου χάριν μονάδων κʹ καὶ τοῦ Β μονάδων λʹ καὶ τοῦ Γ μονάδων μʹ καὶ τοῦ Δ μονάδων βʹ καὶ τοῦ Ε μονάδων γʹ καὶ τοῦ Ζ μονάδων δʹ, τοῦ δὲ Η μονάδων βʹ καὶ τοῦ Θ μονάδων γʹ καὶ τοῦ Κ μονάδων δʹ· ὁ γὰρ ὑπὸ Α Β Γ Δ Ε Ζ στερεός ἐστιν μυριάδων νζʹ ἁπλῶν καὶ μονάδων ͵ϛ, ὁ δὲ ὑπὸ τῶν Η Θ Κ πυθμένων καὶ τῶν Δ Ε Ζ ἔσται μονάδων φοϛʹ, αὗται δὲ χιλιάκις γενόμεναι, τουτέστιν ὁ ἐκ πάντων στερεός, γίνεται μυριάδων ἁπλῶν νζʹ καὶ μονάδων ͵ϛ.
καʹ. Ἀλλὰ δὴ ἔστωσαν πλείους τριῶν οἱ Α Β Γ Δ Ε, καὶ ἕκαστος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, τῶν δὲ Ζ Η Θ ἕκαστος ἔστω ἐλάσσων δεκάδος.
Τὸ πλῆθος τῶν Α Β Γ Δ Ε πρότερον μετρείσθω ὑπὸ τετράδος κατὰ τὸν Ο, καὶ ἔστωσαν τῶν Α Β Γ Δ Ε πυθμένες οἱ Κ Λ Μ Ν Ξ· ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ζ Η Θ στερεὸς ἴσος ἐστὶν μυριάσιν ὁμωνύμοις τῷ Ο ὅσαι μονάδες εἰσὶν ἐν τῷ στερεῷ τῷ ἐκ τῶν Κ Λ Μ Ν ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν Ζ Η Θ.
Ἔστι δὲ φανερὸν διὰ τῶν ἀριθμῶν, τοῦ Α ὑποκειμένου λόγου χάριν μονάδων ιʹ καὶ τοῦ Β μονάδων κʹ καὶ τοῦ Γ μονάδων λʹ καὶ τοῦ Δ μονάδων μʹ, καὶ τῶν Κ Λ Μ Ν πυθμένων ὄντων μονάδων αʹ καὶ βʹ καὶ γʹ καὶ δʹ· ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α Β Γ Δ στερεός ἐστιν ἁπλῶν μυριάδων κδʹ, ὁ δὲ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ζ Η Θ μυριάδων ἁπλῶν ρμδʹ, ὁ δὲ ἐκ τῶν Κ Λ Μ Ν πυθμένων μονάδων κδʹ· οὗτος δὲ γενόμενος ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν Ζ Η Θ, ὄντα μονάδων ϛʹ, ποιεῖ μονάδας ρμδʹ, ὅσαι μυριάδες ἁπλαῖ εἰσιν τοῦ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ζ Η Θ στερεοῦ, διὰ τὸ καὶ τετράδα ἅπαξ μετρεῖν τὸ πλῆθος τῶν Α Β Γ Δ.
Ἀλλὰ δὴ τὸ πλῆθος τῶν Α Β Γ Δ Ε μὴ μετρείσθω ὑπὸ τετράδος· μετρούμενον δὴ ἤτοι αʹ ἢ βʹ ἢ γʹ λείψει. εἰ μὲν οὖν ἕνα λείψει, ἔσται ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ στερεὸς μυριάδων ὁμωνύμων τῷ Ο, ὅσος ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Κ Λ Μ Ν Ξ στερεὸς ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν Ζ Η Θ γενόμενος δεκάκις, εἰ δὲ δύο λείψει, ἑκατοντάκις. εἰ δὲ τρεῖς λείψει, ὅσων ὁ ἐκ τῶν Κ Λ Μ Ν Ξ ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν Ζ Η Θ χιλιάκις γενόμενος ἔσται μονάδων, τοσούτων μυριάδων ὁμωνύμων τῷ Ο. τὸ δὲ γραμμικὸν ἐκ τοῦ στοιχείου δῆλον.
κβʹ. Ἔστω ὁ μὲν Α ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος, ἕκαστος δὲ τῶν Β Γ Δ ἐλάσσων δεκάδος, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν Α Β Γ Δ στερεὸν εἰπεῖν.
Κείσθω γὰρ τοῦ μὲν Α πυθμὴν ὁ Ε, ὁ δὲ ἐκ τῶν Ε Β Γ Δ ὁ Ζ· ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ στερεὸς ἑκατοντάκις ἐστὶν ὁ Ζ.
Φανερὸν δὲ καὶ τοῦτο διὰ τῶν ἀριθμῶν, τοῦ Α ὑποκειμένου, φέρʼ εἰπεῖν, μονάδων τʹ καὶ τοῦ Β μονάδων γʹ καὶ τοῦ Γ μονάδων δʹ καὶ τοῦ Δ μονάδων εʹ· ὁ μὲν γὰρ ὑπὸ τῶν Α Β Γ Δ ἐστὶν μα ͵η, ὁ δὲ ὑπὸ τῶν Ε Β Γ Δ ἐστὶν μονάδων ρπʹ· οὗτος δὲ γενόμενος ἑκατοντάκις ἔσται μα ͵η. τὸ δὲ γραμμικὸν ἐκ τοῦ στοιχείου δῆλον.
κγʹ. Ἐπὶ δὲ τοῦ κδʹ θεωρήματος. Τοῦ Α ὑποκειμένου λόγου χάριν μονάδων ςʹ καὶ τοῦ Β μονάδων τʹ καὶ τοῦ Γ μονάδων βʹ τοῦ δὲ Δ μονάδων γʹ καὶ τοῦ Ε μονάδων δʹ, ὁ στερεὸς ἐξ αὐτῶν ἔσται μυριάδων ἁπλῶν ρμδʹ, ἐπεὶ τὸ διπλάσιον τοῦ πλήθους τῶν Α Β μετρεῖται ὑπὸ τετράδος ἅπαξ, ὁ δὲ ὑπὸ τῶν Ζ Η πυθμένων καὶ τῶν Γ Δ Ε ἐστιν μονάδων ρμδʹ.
Ἐὰν δὲ τὸ διπλάσιον τοῦ πλήθους τῶν Α Β μὴ μετρῆται ὑπὸ τετράδος, δῆλον ὅτι μετρούμενον κατὰ τὸν Κ λείψει δύο· τοῦτο γὰρ ἀνώτερον ἐδείχθη. διὰ δὴ τοῦτο μυριάδες εἰσὶν ἑκατὸν ὁμώνυμοι τῷ Κ, καὶ ἔστιν ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ε στερεὸς ὁ Θ ἴσος τῷ ἐκ τῶν Ζ Η Γ Δ Ε στερεῷ ἐπὶ τὰς ἑκατὸν μυριάδας ὁμωνύμους τῷ Κ. τὸ γραμμικὸν ὡς Ἀπολλώνιος.
κδʹ. Ἐπὶ δὲ τοῦ κεʹ θεωρήματος. Ἔστω τῶν μὲν Α Β ἑκάτερος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, ἕκαστος δὲ τῶν Γ Δ Ε ἐλάσσων δεκάδος, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐξ αὐτῶν στερεὸν εἰπεῖν.
Ἔστωσαν γὰρ τῶν Α Β πυθμένες οἱ Θ Κ, καὶ τῷ ἐκ τῶν Θ Κ Γ Δ Ε στερεῷ ἴσος ἔστω ὁ Λ· ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ε στερεὸς ἴσος ἐστὶν ἑκατὸν τοῖς Λ.
Ἔστι δὲ φανερὸν διὰ τῶν ἀριθμῶν, τοῦ Α ὄντος μονάδων κʹ καὶ τοῦ Β μονάδων κʹ, καὶ τοῦ Γ μονάδων εʹ καὶ τοῦ Δ μονάδων ϛʹ καὶ τοῦ Ε μονάδων ζʹ, καὶ τῶν Θ Κ πυθμένων ὄντων μονάδων βʹ· ὁ γὰρ ὑπὸ τῶν Θ Κ Γ Δ Ε γίνεται στερεὸς μονάδων ωμʹ, οὗτος δὲ ἑκατοντάκις γενόμενος ἔσται μυριάδων ηʹ μονάδων ͵δ, ἴσος τῷ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ε στερεῷ ἀριθμῷ.
κεʹ. Τὸ δʼ ἐπὶ πᾶσι θεώρημα κϛʹ πρότασιν ἔχει καὶ ἀπόδειξιν τοιαύτην. Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ ἢ πλείους οἱ Α Β, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος, καὶ ἄλλοι ἀριθμοὶ ὁσοιδήποτε οἱ Γ Δ Ε, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, καὶ ἄλλοι πάλιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ οἱ Ζ Η Θ, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων δεκάδος, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ στερεὸν εἰπεῖν.
Ἔστωσαν γὰρ τῶν Α Β Γ Δ Ε πυθμένες οἱ Λ Μ Ν Ξ Ο. ὁ δὴ διπλάσιος τοῦ πλήθους τῶν Α Β μετὰ τοῦ τῶν Γ Δ Ε ἁπλοῦ ἀριθμοῦ ἤτοι μετρεῖται ὑπὸ τετράδος ἢ οὔ.
Μετρείσθω πρότερον ὑπὸ τετράδος κατὰ τὸν Κ, καὶ ὑποτετάχθωσαν τοῖς μὲν Α Β ἑκατοντάδες αἱ Π Ρ, τοῖς δὲ Γ Δ Ε δεκάδες αἱ Σ Τ Υ. καὶ φανερὸν ὅτι ὁ ἐκ τῶν Π Ρ Σ Τ Υ ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν Λ Μ Ν Ξ Ο ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ε στερεῷ. εἰλήφθω δὴ ὁ ἐκ τῶν Λ Μ Ν Ξ Ο Ζ Η Θ στερεὸς καὶ ἔστω ὁ Φ· ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ στερεὸς μυριάδες εἰσὶν τοσαῦται ὁμώνυμοι τῷ Κ ὅσαι μονάδες εἰσὶν ἐν τῷ Φ. τοῦτο δὲ γραμμικῶς Ἀπολλώνιος ἀπέδειξεν.
Ἐὰν δὲ ὁ διπλάσιος τοῦ πλήθους τῶν Α Β μετὰ τοῦ πλήθους τῶν Γ Δ Ε μὴ μετρῆται ὑπὸ τετράδος, μετρούμενος ἄρα κατὰ τὸν Κ λείψει ἢ ἕνα ἢ δύο ἢ τρεῖς. εἰ μὲν οὖν ἕνα λείψει, ὁ ἐκ τῶν Π Ρ Σ Τ Υ στερεὸς μυριάδες εἰσὶν δέκα ὁμώνυμοι τῷ Κ, εἰ δὲ δύο, μυριάδες ἑκατὸν ὁμώνυμοι τῷ Κ, εἰ δὲ τρεῖς, μυριάδες χίλιαι ὁμώνυμοι τῷ Κ. καὶ δῆλον ἐκ τῶν γεγραμμένων ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ στερεὸς μυριάδες εἰσὶν τοσαῦται, ὅσος ὁ δεκαπλάσιος τοῦ Φ, ὁμώνυμοι τῷ Κ ἀριθμῷ, ἢ ὅσος ὁ ἑκατονταπλάσιος τοῦ Φ, ὁμώνυμοι τῷ Κ, ἢ ὅσος ὁ χιλιαπλάσιος τοῦ Φ, ὁμώνυμοι τῷ Κ.
Τούτου δὴ προτεθεωρημένου πρόδηλον, πῶς ἔστιν τὸν δοθέντα στίχον πολλαπλασιάσαι καὶ εἰπεῖν τὸν γενόμενον ἀριθμὸν ἐκ τοῦ τὸν πρῶτον ἀριθμὸν ὃν εἴληφε τὸ πρῶτον τῶν γραμμάτων ἐπὶ τὸν δεύτερον ἀριθμὸν ὃν εἴληφε τὸ δεύτερον τῶν γραμμάτων πολλαπλασιασθῆναι καὶ τὸν γενόμενον ἐπὶ τὸν τρίτον ἀριθμὸν ὃν εἴληφε τὸ τρίτον γράμμα καὶ κατὰ τὸ ἑξῆς περαίνεσθαι μέχρι τοῦ διεξοδεύεσθαι τὸν στίχον, ὃν εἶπεν Ἀπολλώνιος ἐν ἀρχῇ οὕτως.
Ἀρτέμιδος κλεῖτε κράτος ἔξοχον ἐννέα κοῦραι — τὸ δὲ κλεῖτέ φησιν ἀντὶ τοῦ ὑπομνήσατε.
Ἐπεὶ οὖν γράμματά ἐστιν ληʹ τοῦ στίχου, ταῦτα δὲ περιέχει ἀριθμοὺς δέκα τοὺς ρʹ τʹ ςʹ τʹ ρʹ τʹ ςʹ χʹ υʹ ρʹ, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μέν ἐστιν χιλιάδος μετρεῖται δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος, καὶ ἀριθμοὺς ιζʹ τοὺς μʹ ιʹ οʹ κʹ λʹ ιʹ κʹ οʹ ξʹ οʹ οʹ νʹ νʹ νʹ κʹ οʹ ιʹ, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μέν ἐστιν ἑκατοντάδος μετρεῖται δὲ ὑπὸ δεκάδος, καὶ τοὺς λοιποὺς ιαʹ τοὺς αʹ εʹ δʹ εʹ εʹ αʹ εʹ εʹ εʹ αʹ αʹ, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων δεκάδος, ἐὰν ἄρα τοῖς μὲν δέκα ἀριθμοῖς ὑποτάξωμεν ἰσαρίθμους δέκα κατὰ τάξιν ἑκατοντάδος, τοῖς δὲ ιζʹ ὁμοίως ὑποτάξωμεν δεκάδας ιζʹ, φανερὸν ἐκ τοῦ ἀνώτερον λογιστικοῦ θεωρήματος ιβʹ ὅτι δέκα ἑκατοντάδες μετὰ τῶν ιζʹ δεκάδων ποιοῦσι μυριάδας ἐνναπλᾶς δέκα.
Ἐπεὶ δὲ καὶ πυθμένες ὁμοῦ τῶν μετρουμένων ἀριθμῶν ὑπὸ ἑκατοντάδος καὶ τῶν μετρουμένων ὑπὸ δεκάδος εἰσὶν οἱ ὑποκείμενοι κζʹ
αʹ γʹ βʹ γʹ αʹ γʹ βʹ ϛʹ δʹ αʹ
δʹ αʹ ζʹ βʹ γʹ αʹ βʹ ζʹ ϛʹ ζʹ ζʹ εʹ εʹ εʹ βʹ ζʹ αʹ, ἀλλὰ καὶ τῶν ἐλασσόνων δεκάδος εἰσὶν ιαʹ, τουτέστιν ἀριθμοὶ οἱ
αʹ εʹ δʹ εʹ εʹ αʹ εʹ εʹ εʹ αʹ αʹ, ἐὰν τὸν ἐκ τούτων τῶν ιαʹ καὶ τὸν ἐκ τῶν κζʹ πυθμένων στερεὸν διʼ ἀλλήλων πολλαπλασιάσωμεν, ἔσται ὁ στερεὸς μυριάδων τετραπλῶν ιθʹ καὶ τριπλῶν ͵ϛλϛʹ καὶ διπλῶν ͵ηυπʹ.
Ἴσος δὲ τούτῳ συνάγεται καὶ ὁ διὰ τῶν τοῦ στίχου πυθμένων ἅμα ταῖς μονάσιν
Ἀρτέμιδος κλεῖτε κράτος ἔξοχον ἐννέα κοῦραι, οἵ εἰσιν αʹ αʹ γʹ εʹ δʹ αʹ δʹ ζʹ βʹ βʹ γʹ εʹ αʹ γʹ εʹ βʹ αʹ αʹ γʹ ζʹ βʹ εʹ ϛʹ ζʹ ϛʹ ζʹ εʹ εʹ εʹ εʹ εʹ αʹ βʹ ζʹ δʹ αʹ αʹ αʹ.
Αὗται δὴ συμπολλαπλασιαζόμεναι ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν ἑκατοντάδων καὶ δεκάδων στερεόν, τουτέστι τὰς προκειμένας μυριάδας ἐνναπλᾶς δέκα, ποιοῦσιν μυριάδας τρισκαιδεκαπλᾶς ρϙϛʹ, δωδεκαπλᾶς τξηʹ, ἑνδεκαπλᾶς ͵δωʹ. ταῦτα γὰρ πάντα προδέδεικται.
Φατέον οὖν τὸν ἐξ ἀρχῆς στίχον
Ἀρτέμιδος κλεῖτε κράτος ἔξοχον ἐννέα κοῦραι πολλαπλασιασθέντα διʼ ἀλλήλων δύνασθαι μυριάδων πλῆθος τρισκαιδεκαπλῶν ρϙϛʹ, δωδεκαπλῶν τξηʹ, ἑνδεκαπλῶν ͵δωʹ, συμφώνως τοῖς ὑπὸ Ἀπολλωνίου κατὰ τὴν μέθοδον ἐν ἀρχῇ τοῦ βιβλίου προγεγραμμένοις.
Πάλιν δεδόσθω στίχος ὁ ὑποκείμενος Μῆνιν ἄειδε θεὰ Δημήτερος ἀγλαοκάρπου, καὶ εἰλήφθω τά τε ἀνάλογα καὶ οἱ πυθμένες ἅμα ταῖς μονάσιν ὥσπερ ὑπόκεινται δʹ ηʹ εʹ αʹ εʹ αʹ εʹ αʹ δʹ εʹ θʹ εʹ αʹ δʹ ηʹ δʹ ηʹ γʹ εʹ αʹ ζʹ βʹ αʹ γʹ γʹ αʹ ζʹ βʹ αʹ αʹ ηʹ ζʹ δʹ, καὶ πεπολλαπλασιάσθωσαν διʼ ἀλλήλων οἱ ἀριθμοί· γίνονται τετραπλαῖ μυριάδες δύο, τριπλαῖ ͵αωμθʹ, διπλαῖ ͵δυβʹ, ἁπλαῖ ͵εχʹ.
Τῶν δὴ ἀναλόγων κβʹ καὶ μετρουμένων ὑπὸ τετράδος ὅσαι μονάδες γεγόνασιν, τοσαυτάκις αὐξήσομεν τὸν ἐκβάντα διά τε τῶν μονάδων καὶ πυθμένων ἀριθμόν — λέγω δὲ τοσαυτάκις κατὰ μυριάδων αὔξησιν —, ὥστε γίνεσθαι τὸν πρότερον ὑπάρχοντα μυριάδων τετραπλῶν δύο, τριπλῶν ͵αωμθʹ, διπλῶν ͵δυβʹ καὶ ἁπλῶν ͵εχʹ, νῦν ἐνναπλῶν βʹ, ὀκταπλῶν, ͵αωμθʹ, ἑπταπλῶν ͵δυβʹ, ἑξαπλῶν ͵εχʹ.
Ὅτι δὲ περιλέλειπται τῶν ἀναλόγων δύο, ἅπερ ἐστὶ τῆς ἑκατοντάδος, τοσαυτάκις αὐξήσομεν τὸν εἰρημένον ἀριθμόν, ὥστε εἶναι μυριάδων ἐνναπλῶν σιηʹ, ὀκταπλῶν ͵δϡμδʹ, ἑπταπλῶν σνϛʹ.
Ῥητέον οὖν τὸν ἐξ ἀρχῆς στίχον Μῆνιν ἄειδε θεὰ Δημήτερος ἀγλαοκάρπου πολλαπλασιασθέντα δύνασθαι μυριάδων πλῆθος ἐνναπλῶν σιηʹ, ὀκταπλῶν ͵δϡμδʹ, ἑπταπλῶν σνϛʹ.