eul_wid: iaw-ad
Review of Optics by TheonἘπισκόπησις Ὀπτικῶν ὑπὸ Θεωνος
Euclid of Alexandria Review of Optics by Theon PDF
The Review of Optics by Theon is a critical commentary traditionally attributed to Euclid of Alexandria. This work, consisting of fifty-two passages, offers a mathematical critique of an optical treatise by Theon, most likely the second-century Platonist philosopher Theon of Smyrna. It functions as a scholarly examination, analyzing and correcting propositions concerning vision, perspective, and the geometry of light rays within the established Euclidean tradition. The text systematically addresses the behavior of light, arguing for its rectilinear propagation and explaining phenomena such as the formation of shadows and the effects of different light sources. It critiques the original treatise's geometrical models, seeking to impose greater mathematical rigor on the physical theory of optics.
The work's transmission is obscure, as it is not widely attested within the principal manuscript traditions of Euclid's major geometrical works. Its survival in discrete passages suggests a fragmentary state or preservation within later anthologies of scientific material. The attribution to Euclid himself is traditional but requires careful scrutiny, as his name was often generically applied to mathematical texts in antiquity. While its direct influence on later optical science is difficult to trace, the review provides valuable insight into the critical discourse of post-Euclidean mathematics. It exemplifies the Hellenistic scholarly practice of rigorously engaging with and refining predecessor theories, thereby contributing to our understanding of the transmission and evolution of ancient mathematical science.
| 144 [20] | Ἀποδεικνὺς τὰ κατὰ τὴν ὄψιν παραμυθίας ἐκόμιζέ τινας προσεπιλογιζόμενος, διότι κατ’ εὐθείας γραμμὰς πᾶν φῶς φέρεται. σημεῖον δὲ τούτου μέγιστον τάς τε ἀπὸ τῶν σωμάτων ἀπορριπτουμένας σκιὰς καὶ τὰς ἀπὸ τῶν θυρίδων τε καὶ ὀπῶν φερομένας αὐγὰς κομίζει. ἕκαστον δὲ τούτων οὐκ ἂν ἐγίγνετο, καθάπερ νῦν θεωρεῖται γιγνόμενον, εἴπερ μὴ αἱ ἀπὸ τοῦ ἡλίου φερόμεναι ἀκτῖνες κατά τινας εὐθείας ἐφέροντο. ἐπί τε τῶν παρ’ ἡμῖν πυρῶν τὰς ἀποστελλομένας ἔφασκεν αὐγὰς αἰτίας εἶναι τοῦ τε φωτίζεσθαί τινα τῶν παρακειμένων σωμάτων καὶ ἀπορρίπτειν σκιὰς τὰς μὲν ἴσας τοῖς ὑποκειμένοις σώμασι, τὰς δὲ μείζονας, τὰς δὲ ἐλάσσονας τῶν ὑποκειμένων σωμάτων. καὶ ἴσας μὲν ἀπορρίπτειν σκιάς, ὅσα τοῖς φωτίζουσι πυροῖς ἴσα ἐστί, τάς τε ἐσχάτας ἀκτῖνας ἐπὶ τούτων συμβαίνειν παραλλήλους γίγνεσθαι καὶ μήτε συναπτούσας αὐτὰς μειοῦν τὴν σκιὰν μήτε μὴν ἐξαπλουμένας αὔξειν, ἀλλ’ οἷόν ἐστι τὸ ἐπιπροσθοῦν, τοιαύτην καὶ τῆς σκιᾶς συμμετρίαν φυλάσσειν· ἐλάσσονες δὲ τῶν σωμάτων αἱ σκιαί εἰσιν, ὅταν τὰ φωτίζοντα πυρὰ μείζονα ᾖ· τὰς γὰρ ἐσχάτας ἀκτῖνας συμπίπτειν ἑαυταῖς· διὸ δὴ καὶ μειοῦν τὰς σκιάς. |
| 146 [25] | μείζους δὲ τῶν σωμάτων αἱ σκιαί εἰσιν, ὅταν τὰ φωτίζοντα πυρὰ ἐλάσσονα ᾖ· τὰς γὰρ ἐσχάτας ἀκτῖνας ἐπὶ τούτων ἐξαπλοῦσθαι συμβαίνει καὶ μεῖζον τὸ σκιαζόμενον μέρος ἀποτελεῖν· οὐδέποτε δ’ ἂν τοῦτο συνέβαινεν, εἰ μὴ αἱ ἀπὸ τοῦ πυρὸς φερόμεναι ἀκτῖνες ἐπ’ εὐθείας ἐφέροντο. ἐκφανέστατα δὲ τούτων πάντων τοῦτο ἐπὶ τῶν κατασκευαστῶς γινομένων θεωρεῖσθαι συμβαίνει. λύχνου γὰρ ὁπωσδηποτοῦν κειμένου εἰ προστεθείη τούτῳ πτυχίον ἔχον ἐπιτομὴν λεπτοῦ πριονίου, ὥστε καὶ τὴν ἐπιτομὴν κατὰ μέσου τοῦ λύχνου πίπτειν, τῷ δὲ πτυχίῳ τούτῳ κατὰ τὰ ἕτερα μέρη παρατεθείη πτυχίον ἔγγιον, ᾧ προσπεσεῖται ἡ αὐγὴ ἡ διὰ τῆς ἐντομῆς φερομένη, πάντως τὴν προσπίπτουσαν αὐγὴν τῷ πτυχίῳ εὐθείαις γραμμαῖς περιεχομένην εὑρήσομεν καὶ τὴν ἐπιζευγνύουσαν τό τε μέσον τοῦ λύχνου καὶ τὴν ἐντομὴν τοῦ πτυχίου κατὰ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν οὖσαν. ἐναργοῦς οὖν ὄντος τοῦ, ὅτι πᾶν φῶς κατ’ εὐθεῖαν γραμμὴν φέρεται, καὶ πᾶσι προδήλου μεταβαίνειν ἐπὶ τὴν ὄψιν ἠξίου καὶ τὰς ἀπ’ αὐτῆς ἐκχεομένας ἀκτῖνας καὶ ὁμολογεῖν κατ’ εὐθείας φέρεσθαι γραμμὰς καὶ ταύτας ἐν διαστήμασι, καὶ διὰ τοῦτο μηδὲ τὰ ὁρώμενα ἅμα ὅλα ὁρᾶσθαι, ὑπόμνησιν φέρων τοιαύτην· πολλάκις γὰρ βελόνης ἤ τινος τοιούτου ἑτέρου σωματίου ἐκριφέντος εἰς τὸ ἔδαφος φιλοτιμότερόν τινες προσεκάθισαν τῇ ζητήσει καὶ τὸν αὐτὸν τόπον πολλάκις ἐμάτευσαν οὐδενὸς ἐπιπροσθοῦντος τῷ ζητουμένῳ σωματίῳ· εἶτα μέντοι γε ὕστερον ἐπιβάλλοντες τὴν ὄψιν τῷ τόπῳ, ἐν ᾧπερ ἦν τὸ σωμάτιον, εἶδον τὴν βελόνην. |
| 148 [5] | δῆλον οὖν, ὡς, ὅτε οὐχ ἑωρᾶτο τὸ ἐξερριμμένον, οὐδὲ ὁ τόπος, ἐν ᾧ ἦν, ἑωρᾶτο· ὥστε τοῦ ὑπὸ τὴν ὄψιν τοῦ ζητοῦντος κειμένου τόπου μὴ ἅπαντα τὰ μέρη θεωρεῖσθαι. εἰ γὰρ ἐθεωρεῖτο, καὶ τὸ ζητούμενον ἂν ἑωρᾶτο· οὐχ ἑωρᾶτο δέ. ἐπί τε τῶν ἀτενιζόντων τοῖς βιβλίοις συνιστάμενος ἔφασκε μηδὲ τούτους ἂν δύνασθαι πάντα τὰ ἐν τῇ σελίδι γράμματα ὁρᾶν. πολλὰ γοῦν ἀναγκαζομένους δεῖξαι τῶν σπανίως γραφομένων γραμμάτων μὴ δύνασθαι δεῖξαι διὰ τὸ μὴ πρὸς πάντα τὰ γράμματα τὰς ὄψεις φέρεσθαι, ἀλλ’ ἐκ διαστημάτων ταύτας ὑπάρχειν καὶ πολλὰ τῶν κατατεταγμένων μὴ θεωρεῖν. ὥστε ἐκ τούτου φανερόν ἐστι, διότι οὐδὲ ὁ τόπος τῆς σελίδος ὅλος ὁραθήσεται. καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων θεαμάτων τὸ αὐτὸ συμβαίνει. ὥστε οὐχ ὁραθήσεται ἅμα ὅλα τὰ ὁρώμενα· δοκεῖ δὲ ὁρᾶσθαι διὰ τὸ κινεῖσθαι τὰς ὄψεις ὑπερβολῇ τάχους μηδὲν ἀπολειπούσας, τουτέστι κατὰ συνέχειαν παραφερομένας καὶ μὴ ἁλλομένας. πρὸς δὲ τὸ τῇ ὄψει μὴ προσπίπτειν τι εἴδωλον ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου εἰς τὸ κινῆσαι αὐτὴν πρὸς τὸ καταλαβεῖν τὸ ὁρώμενον ἔφερεν αἰτίας τοιαύτας· καὶ γὰρ ἐπὶ τοῦ ζητουμένου σώματος καὶ τοῦ τῷ βιβλίῳ ἀτενίζοντος ἀπορίαν κομίζων ἔλεγεν· εἰ ἦν κατ’ εἰδώλων ἔμπτωσιν τὸ ὁρατικὸν πάθος, καὶ ἀπὸ παντὸς σώματος διηνεκῶς εἴδωλα ἀπέρρεεν, ἃ κινεῖ ἡμῶν τὴν αἴσθησιν, τίς ἡ αἰτία γίγνεται, δι’ ἣν οὐχ ὁρᾷ ὅ τε ζητῶν τὴν βελόνην καὶ ὁ τῷ βιβλίῳ ἀτενίζων πάντα τὰ γράμματα; πότερόν ποτε διὰ τὸ μετεωρίζεσθαι τῇ διανοίᾳ; ἀλλ’ οὐδὲν ἧττον ἐπιλογιζόμενοι ζητοῦσι καὶ ὁλοσχερῶς οὐχ εὑρίσκουσι, πολλάκις δὲ ὁμιλοῦντες ἑτέροις καὶ περισπώμενοι τῇ διανοίᾳ εὑρίσκουσι θᾶττον. |
| 150 [5] | ἀλλ’ οὐ πάντα τὰ εἴδωλα εἰσκρίνεται εἰς τὴν ὅρασιν; καὶ τίς αἰτία τοῦ ἀποκληροῦσθαι τὰ εἰσκρινόμενα; καὶ μὴν τὴν φύσιν ἔφασκε κατὰ τὰ ζῶα τὰ μὲν τῶν αἰσθητηρίων πρὸς ὑποδοχὴν εὔθετα κατεσκευακέναι, τὰ δὲ μή. ἀκοὴν μὲν γὰρ καὶ γεῦσιν καὶ ὄσφρησιν κοῖλα κατεσκεύακεν ἐντὸς ὡς ἔξωθεν αὐταῖς προσπίπτειν σώματα κινήσοντα τὰς αἰσθήσεις ταύτας. ἀκοῇ μὲν γὰρ φωνὴ προσπίπτουσα τόπον ἐπιτήδειον ὤφειλεν εὑρίσκειν πρὸς τὸ ἀναμεῖναι καὶ μὴ κατὰ τὴν πρόσπτωσιν εὐθέως ἀποπαλθεῖσαν τήν τε αἴσθησιν ἀκίνητον διαφυλάττειν καὶ τὴν ἐπιφερομένην συγχέαι φωνήν. ὁμοίως δὲ καὶ ὄσφρησιν· ἐπὶ μὲν γὰρ γεύσεως τί δεῖ καὶ λέγειν; διὸ καὶ μάλιστά πως αὗται αἱ αἰσθήσεις κοῖλαί τε καὶ ἀντροειδεῖς κατεσκευάσθησαν πρὸς τὸ ἐμμένειν τὰ προσπίπτοντα σώματα πλείονας χρόνους. καὶ ἐπὶ τῆς ὁράσεως οὖν, εἴπερ ἔξωθεν αὐτῇ προσέπιπτε τὰ κινήσοντα αὐτὴν σώματα, καὶ μὴ αὐτὴ ἐξαπέστελλέ τι ἀφ’ ἑαυτῆς, ἔδει τὴν κατασκευὴν αὐτῆς κοίλην τε καὶ εὔθετον πρὸς ὑποδοχὴν τῶν προσπιπτόντων σωμάτων εἶναι· νυνὶ δὲ θεωρεῖται τοῦτο οὐχ οὕτως ἔχον, ἀλλὰ μᾶλλον σφαιροειδὴς οὖσα θεωρεῖται ἡ ὅρασις. πρὸς οὖν τὸ πιστὸν εἶναι κατὰ τὸ παρὸν τὸ ἀκτῖνας εἶναι τὰς ἐκχεομένας καὶ κινούσας τὸ ὁρατικὸν πάθος ἀρκούντως ἐδόκει εἰρῆσθαι, πρὸς δὲ τὸ τὰς ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ταῖς ὄψεσι κειμένας περιφερείας εὐθείας φαίνεσθαι ἔλεγε τάδε· διότι ἡ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ κειμένη ὄψις ᾡτινιοῦν θεωρητῷ τοιαύτη ἐστὶν ὥστε μήτε ὑψηλοτέρα εἶναι τοῦ θεωρουμένου μήτε ταπεινοτέρα· τὸ γὰρ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ κεῖσθαι τοῦτ’ ἔστιν. |
| 152 [25] | εἰ οὖν οὔτε ταπεινοτέρα οὔτε ὑψηλοτέρα ἐστὶν ἡ ὄψις τῆς ἐν τῷ ἐπιπέδῳ γεγραμμένης περιφερείας, οὐχὶ τοῖσδε μὲν τοῖς μέρεσιν ὑψηλοτέρας προσβάλλει ἀκτῖνας τοῖσδε δὲ ταπεινοτέρας, ἀλλὰ πᾶσι τοῖς μέρεσι τῆς περιφερείας ἴσας τὰς διὰ τοῦ ἐπιπέδου φερομένας ἀκτῖνας προσβάλλει ὥστε τὴν αὐτὴν γίγνεσθαι αἰτίαν τοῦ τε τὸ ἐπίπεδον εὐθείας φαντασίαν ἀπολιπεῖν καὶ τὴν ἐν τῷ ἐπιπέδῳ γεγραμμένην περιφέρειαν. καὶ γὰρ τὸ ἐπίπεδον τὸ ἐπ’ εὐθείας κείμενον τῇ ὄψει αὐτὸ μὲν ἀθεώρητόν ἐστι διὰ τὸ μὴ προσπίπτειν αὐτῷ μηδεμίαν τῶν ἀπὸ τῆς ὄψεως ἐκχεομένων ἀκτίνων, τὸ δὲ πέρας αὐτοῦ θεωρεῖται, ὅπερ ἐστὶν ἡ περιφέρεια. λέγει δὲ [διὰ] τὴν πρὸς τῇ ὄψει κειμένην γραμμήν, ἥτις τοῖς λοιποῖς τοῦ ἐπιπέδου μέρεσιν ἐπιπροσθοῦσα ἀθεώρητον ποιεῖ τὸ ἐπίπεδον. ἡ δὲ αὐτὴ αἰτία ἡ περὶ τοῦ ἐπιπέδου τοῦ ἐπ’ εὐθείας κειμένου τῷ ὄμματι ποιεῖ εὐθείας ἀποδιδόναι φαντασίαν καὶ τῶν περιφερειῶν τῶν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ κειμένων τῷ ὄμματι. φαίνεσθαι δὲ τὸ μὲν μεῖζον, ὅταν πλείονες ὄψεις ἐπιβάλλωσιν, τὸ δὲ ἴσον, ὅταν ἴσαι, τὸ δὲ ἔλασσον, ὅταν ἐλάσσονες γίγνωνται τῶν ὄψεων οἷον γωνίαι τινὲς πρὸς τῷ ὄμματι. |
| 154 [20] | Ὅροι. αʹ. Ὑποκείσθω τὰς ἀπὸ τοῦ ὄμματος ὄψεις κατ’ εὐθείας γραμμὰς φέρεσθαι διάστημά τι ποιούσας ἀπ’ ἀλλήλων. βʹ. καὶ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ὄψεων περιεχόμενον σχῆμα εἶναι κῶνον τὴν κορυφὴν μὲν ἔχοντα πρὸς τῷ ὄμματι, τὴν δὲ βάσιν πρὸς τοῖς πέρασι τῶν ὁρωμένων. γʹ. καὶ ὁρᾶσθαι μὲν ταῦτα, πρὸς ἃ ἂν αἱ ὄψεις προσπίπτωσιν, μὴ ὁρᾶσθαι δέ, πρὸς ἃ ἂν μὴ προσπίπτωσιν αἱ ὄψεις. δʹ. καὶ τὰ μὲν ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεσθαι, τὰ δὲ ὑπὸ ἐλάσσονος ἐλάσσονα, ἴσα δὲ τὰ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα. εʹ. καὶ τὰ μὲν ὑπὸ μετεωροτέρων ἀκτίνων ὁρώμενα μετεωρότερα φαίνεσθαι, τὰ δὲ ὑπὸ ταπεινοτέρων ταπεινότερα. ϛʹ. καὶ ὁμοίως τὰ μὲν ὑπὸ δεξιωτέρων ἀκτίνων ὁρώμενα δεξιώτερα φαίνεσθαι, τὰ δὲ ὑπὸ ἀριστερωτέρων ἀριστερώτερα. ζʹ. τὰ δὲ ὑπὸ πλειόνων γωνιῶν ὁρώμενα ἀκριβέστερον φαίνεσθαι. αʹ. |
| 156 [25] | Οὐδὲν τῶν ὁρωμένων ἅμα ὅλον ὁρᾶται. ἔστω γὰρ ὁρώμενόν τι τὸ ΑΔ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Β, ἀφ’ οὗ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΒΑ, ΒΓ, ΒΚ, ΒΔ. οὐκοῦν ἐπεὶ ἐν διαστήματι φέρονται αἱ προσπίπτουσαι ὄψεις, οὐκ ἂν προσπίπτοιεν συνεχεῖς πρὸς τὸ ΑΔ. ὥστε γένοιτο ἂν καὶ κατὰ τὸ ΑΔ διαστήματα, πρὸς ἃ αἱ ὄψεις οὐ προσπεσοῦνται. οὐκ ἄρα ὀφθήσεται ἅμα ὅλον τὸ ΑΔ. δοκεῖ δὲ ὁρᾶσθαι ἅμα τῶν ὄψεων ταχὺ παραφερομένων. βʹ. Τῶν ἴσων μεγεθῶν ἐν διαστήματι κειμένων τὰ ἔγγιον κείμενα ἀκριβέστερον ὁρᾶται. ἔστω ὄμμα μὲν τὸ Β, ὁρώμενον δὲ τὸ ΓΔ καὶ τὸ ΚΛ· χρὴ δὲ νοεῖν αὐτὰ ἴσα καὶ παράλληλα, ἔγγιον δὲ ἔστω τὸ ΓΔ· καὶ προσπιπτέτωσαν ὄψεις ὡς αἱ ΒΓ, ΒΔ, ΒΚ, ΒΛ. οὐ γὰρ ἂν εἴποιμεν, ὡς αἱ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος πρὸς τὸ ΚΛ προσπίπτουσαι ὄψεις [ὡς] διὰ τῶν Γ, Δ σημείων ἐλεύσονται. ἢ γὰρ ἂν τριγώνου τοῦ ΒΔΛΚΓΒ ἡ ΚΛ μείζων ἂν ἦν τῆς ΓΔ· ὑπόκειται δὲ καὶ ἴση. οὐκοῦν τὸ ΓΔ ὑπὸ πλειόνων ὄψεων ὁρᾶται ἤπερ τὸ ΚΛ. ἀκριβέστερον ἄρα φανήσεται τὸ ΓΔ τοῦ ΚΛ. γʹ. Ἕκαστον τῶν ὁρωμένων ἔχει τι μῆκος ἀποστήματος, οὗ γενόμενον οὐκέτι ὁρᾶται. ἔστω γὰρ ὄμμα μὲν τὸ Β, ὁρώμενον δὲ τὸ ΓΔ. |
| 158 [25] | φημὶ δή, ὅτι τὸ ΓΔ ἔν τινι ἀποστήματι γενόμενον οὐκέτι ὁραθήσεται. γεγενήσθω γὰρ τὸ ΓΔ ἐν τῷ μεταξὺ διαστήματι τῶν ὄψεων, ἐφ’ οὗ τὸ Κ. οὐκοῦν πρὸς τὸ Κ οὐδεμία τῶν ἀπὸ τοῦ Β ὄψεων προσπεσεῖται [πρὸς ὃ δέ γε αἱ ὄψεις οὐ προσπίπτουσιν, ἐκεῖνο οὐχ ὁρᾶται]. ἕκαστον ἄρα τῶν ὁρωμένων ἔχει τι μῆκος ἀποστήματος, οὗ γενόμενον οὐκέτι ὁρᾶται. δʹ. Τῶν ἴσων διαστημάτων ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ὄντων τὰ ἐκ πλείονος ἀποστήματος ὁρώμενα ἐλάττω φαίνεται. ἔστω γὰρ ἴσα τὰ ΒΓ, ΓΔ, ΔΖ, ὄμμα δὲ τὸ Κ, ἀφ’ οὗ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΚΒ, ΚΓ, ΚΔ, ΚΖ· ἡ δὲ ΚΒ πρὸς ὀρθὰς ἔστω τῇ ΒΖ. ἐπεὶ οὖν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΚΒΖ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΒΓ, ΓΔ, ΔΖ, μείζων ἐστὶν ἡ μὲν Ε γωνία τῆς Η γωνίας, ἡ δὲ Η γωνία τῆς Θ γωνίας. μεῖζον ἄρα φαίνεται τὸ μὲν ΒΓ τοῦ ΓΔ, τὸ δὲ ΓΔ τοῦ ΔΖ. εʹ. Τὰ ἴσα μεγέθη ἄνισον διεστηκότα ἄνισα φαίνεται, καὶ μεῖζον αἰεὶ τὸ ἔγγιον τοῦ ὄμματος κείμενον. ἔστω γὰρ ἴσον τὸ ΓΔ τῷ ΚΛ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Β, ἀφ’ οὗ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΒΔ, ΒΛ, ΒΚ, ΒΓ. |
| 160 [25] | οὐκοῦν τὸ ΓΔ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρᾶται ἤπερ τὸ ΚΛ· μεῖζον ἄρα φαίνεται τὸ ΓΔ τοῦ ΚΛ. ϛʹ. Τὰ παράλληλα τῶν διαστημάτων ἐξ ἀποστήματος ὁρώμενα ἀνισοπλατῆ φαίνεται. ἔστω γὰρ τὸ ΒΓ τῷ ΔΖ παράλληλον διάστημα, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Κ. λέγω, ὅτι τὰ ΒΓ, ΔΖ ἀνισοπλατῆ φαίνεται, καὶ μεῖζον ἀεὶ τὸ ἔγγιον διάστημα τοῦ πορρώτερον. προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΚΞ, ΚΛ, ΚΠ, ΚΝ, ΚΒ, ΚΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΞΛ, ΠΝ, ΒΔ. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΞΚΛ γωνία τῆς ὑπὸ ΠΚΝ γωνίας, μείζων ἄρα φαίνεται καὶ ἡ ΞΛ εὐθεῖα τῆς ΠΝ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΠΝ εὐθεῖα μείζων φαίνεται τῆς ΒΔ εὐθείας. οὐκέτι οὖν ὀφθήσεται παράλληλα τὰ διαστήματα, ἀλλ’ εἰς ἔλαττον καὶ ἀνισοπλατῆ. τὰ ἄρα παράλληλα τῶν διαστημάτων ἐξ ἀποστήματος ὁρώμενα ἀνισοπλατῆ φαίνεται. οὕτω μέν, εἰ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τὸ ὄμμα τῷ ὁρωμένῳ κέοιτο, εἰ δὲ μετεωρότερον εἴη τὸ ὄμμα, οὕτως. ἔστω γὰρ τὸ Κ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΚΑ, ἀπὸ δὲ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΖΛ ἡ ΑΜ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ο, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΚΒ, ΚΗ, ΚΖ, ΚΔ, ΚΝ, ΚΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΜ, ΚΞ, ΚΟ. |
| 162 [20] | ἐπεὶ οὖν ἀπὸ μετεωροτέρου τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Μ ἐπέζευκται ἡ ΚΜ, κάθετος ἄρα ἐστὶν ἐπὶ τὴν ΜΛ. ὁμοίως δὴ καὶ ἡ ΚΞ ἐπὶ τὴν ΗΝ, ἡ δὲ ΚΟ ἐπὶ τὴν ΒΔ. ὀρθογώνια ἄρα ἐστὶ τὰ ΚΜΛ, ΚΞΝ, ΚΟΔ τρίγωνα. καί ἐστιν ἡ μὲν ΞΝ τῇ ΜΛ ἴση· παραλληλόγραμμον γὰρ τὸ ΜΝ· ἑκατέρα δὲ τῶν ΞΚ, ΚΝ μείζων ἐστὶν ἑκατέρας τῶν ΜΚ, ΚΛ. μείζων ἄρα καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΜΚΛ τῆς ὑπὸ ΞΚΝ. μεῖζον ἄρα ὀφθήσεται καὶ τὸ ΜΛ τοῦ ΞΝ· ὁμοίως καὶ τὸ ΖΜ τοῦ ΗΞ. ὥστε καὶ ὅλη ἡ ΖΛ ὅλης τῆς ΗΝ μείζων φαίνεται. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΗΝ τῆς ΒΔ. ἀνισοπλατῆ ἄρα καὶ οὕτω φαίνεται τὰ μεγέθη. ζʹ. Τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ὄντα ἴσα μεγέθη πορρωτέρῳ ἀλλήλων τεθέντα ἄνισα φαίνεται. ἔστω γὰρ ἴσα μεγέθη τὰ ΒΓ, ΔΖ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ ὄμματος τοῦ Κ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΚΒ, ΚΓ, ΚΔ, ΚΖ· ὀρθὴ δὲ ἔστω ἡ ὑπὸ ΚΖΒ γωνία. οὐκοῦν μείζων ἐστὶν ἡ Σ γωνία τῆς Φ. ὥστε καὶ ἡ ΔΖ μείζων φανήσεται τῆς ΓΒ. ἄνισα ἄρα φαίνεται τὰ ΒΓ, ΔΖ μεγέθη. ηʹ. |
| 164 [25] | Τὰ ἴσα μεγέθη ἄνισον διεστηκότα οὐκ ἀναλόγως τοῖς ἀποστήμασιν ὁρᾶται. ἔστω γὰρ τὸ ΒΓ τῷ ΔΖ ἴσον καὶ κείσθω αὐτῷ παράλληλον, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Κ, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΚΖΓ, ΚΒ, ΚΔ, ὧν ἡ ΚΓ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΓΒ ἔστω. φημὶ δή, ὅτι οὐκ ἀναλόγως φανήσεται τὰ ΒΓ, ΔΖ μεγέθη τοῖς ΓΚ, ΚΖ διαστήμασιν. ἐπεὶ γὰρ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΔΖΚ, ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΘΚ· ὥστε καὶ ἡ ΘΚ τῆς ΚΖ ἐστι μείζων. ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Κ, διαστήματι δὲ τῷ ΘΚ κύκλος γραφόμενος ὑπερπεσεῖται τὴν ΚΖ. γεγράφθω καὶ ἔστω ὁ ΕΘΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ΘΔΚ τρίγωνον μείζονα λόγον ἔχει πρὸς τὸν ΘΕΚ τομέα ἤπερ τὸ ΖΘΚ τρίγωνον πρὸς τὸν ΗΘΚ τομέα, ἐναλλὰξ ἄρα τὸ ΘΔΚ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΘΚ τρίγωνον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΕΘΚ τομεὺς πρὸς τὸν ΗΘΚ τομέα. συνθέντι ἄρα τὸ ΖΔΚ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΘΚ τρίγωνον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΕΗΚ τομεὺς πρὸς τὸν ΗΘΚ τομέα. ἀλλ’ ὡς τὸ ΖΔΚ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΘΚ τρίγωνον, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς ΖΘ, ὡς δὲ ὁ ΗΕΚ τομεὺς πρὸς τὸν ΗΘΚ τομέα, οὕτως ἡ ὑπὸ ΔΚΖ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΘΚΖ. ἐν μείζονι λόγῳ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΖΘ ἤπερ ἡ Σ, Ρ γωνία πρὸς τὴν Ρ γωνίαν. ὡς δὲ ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΖΘ, οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΖ· καὶ ἡ ΚΓ ἄρα πρὸς τὴν ΚΖ ἐν μείζονι λόγῳ ἐστὶν ἤπερ ἡ Σ, Ρ γωνία πρὸς τὴν Ρ γωνίαν. καὶ ἐκ μὲν τῆς Σ, Ρ γωνίας τὸ ΔΖ ὁρᾶται, ἐκ δὲ τῆς Ρ γωνίας τὸ ΒΓ. |
| 166 [25] | οὐκ ἀνάλογον ἄρα τοῖς ἀποστήμασι τὰ ἴσα μεγέθη ὁρᾶται. θʹ. Τὰ ὀρθογώνια μεγέθη ἐξ ἀποστήματος ὁρώμενα περιφερῆ φαίνεται. ἔστω γὰρ ὀρθογώνιον τὸ ΒΓ [ἑστὼς μετέωρον] ἐξ ἀποστήματος ὁρώμενον. οὐκοῦν ἐπεὶ ἕκαστον τῶν ὁρωμένων ἔχει τι μῆκος ἀποστήματος, οὗ γενόμενον οὐκέτι ὁρᾶται, ἡ μὲν Γ ἄρα γωνία οὐχ ὁρᾶται, τὰ δὲ Δ, Ζ σημεῖα μόνον φαίνεται. ὁμοίως καὶ ἐφ’ ἑκάστης τῶν λοιπῶν γωνιῶν τοῦτο συμβήσεται. ὥστε ὅλον περιφερὲς φανήσεται. ιʹ. Τῶν κάτω τοῦ ὄμματος ἐπιπέδων κειμένων τὰ πόρρω μετεωρότερα φανεῖται. ἔστω γὰρ ὄμμα τὸ Β ἄνω τοῦ ΓΚ ἐπιπέδου κείμενον, ἀφ’ οὗ ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΓ, ΒΔ, ΒΖ, ΒΚ, ὧν ἡ ΒΚ κάθετος ἔστω ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον. λέγω, ὅτι τὸ ΓΔ τοῦ ΔΖ μετεωρότερον φαίνεται, τὸ δὲ ΔΖ τοῦ ΖΚ. εἰλήφθω [γὰρ] ἐπὶ τῆς ΖΚ τυχὸν σημεῖον τὸ Ε, καὶ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΗ. καὶ ἐπεὶ αἱ ὄψεις πρότερον πρὸς τὴν ΗΕ προσπίπτουσιν ἤπερ πρὸς τὴν ΕΓ, προσπιπτέτω τῇ ΗΕ ἡ μὲν ΒΓ κατὰ τὸ Η σημεῖον, ἡ δὲ ΒΔ κατὰ τὸ Λ, ἡ δὲ ΒΖ κατὰ τὸ Μ. |
| 168 [20] | ἐπεὶ οὖν τὸ Η τοῦ Λ μετεωρότερον, τὸ δὲ Λ τοῦ Μ, ἀλλ’ ἐν ᾧ ἐστι τὸ Η, ἐν τούτῳ τὸ Γ, ἐν ᾧ δὲ τὸ Λ, ἐν τούτῳ τὸ Δ, ἐν ᾧ δὲ τὸ Μ, ἐν τούτῳ τὸ Ζ, διὰ δὲ τῶν ΒΓ, ΒΔ ἡ ΔΓ φαίνεται, διὰ δὲ τῶν ΒΔ, ΒΖ ἡ ΖΔ, διὰ δὲ τῶν ΒΖ, ΒΚ ἡ ΚΖ, οὐκοῦν ἡ μὲν ΓΔ τῆς ΖΔ μετεωροτέρα φαίνεται, ἡ δὲ ΖΔ τῆς ΖΚ· τὰ γὰρ ὑπὸ μετεωροτέρων ἀκτίνων ὁρώμενα μετεωρότερα φαίνεται. ιαʹ. Τῶν ἄνω τοῦ ὄμματος ἐπιπέδων κειμένων τὰ πόρρω ταπεινότερα φανεῖται. ἔστω γὰρ ὄμμα τὸ Β κάτω τοῦ ΔΖ ἐπιπέδου κείμενον, ἀφ’ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΔ, ΒΓ, ΒΖ, ὧν ἡ ΒΖ κάθετος ἔστω ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον. λέγω, ὅτι τὸ ΓΔ τοῦ ΓΖ ταπεινότερον φαίνεται. διὰ δὴ τὸ προεκτεθὲν θεώρημα ταπεινοτάτη τῶν ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος πρὸς τὸ ΔΖ ἐπίπεδον προσπιπτουσῶν ἀκτίνων ἐστὶν ἡ ΒΔ, ἡ δὲ ΒΓ τῆς ΒΖ ταπεινοτέρα. ἀλλὰ διὰ μὲν τῶν ΒΔ, ΒΓ ἀκτίνων τὸ ΔΓ φαίνεται, διὰ δὲ τῶν ΒΓ, ΒΖ τὸ ΓΖ. τὸ ΔΓ ἄρα ταπεινότερον τοῦ ΓΖ ὁρᾶται. ιβʹ. |
| 170 [5] | Τῶν εἰς τοὔμπροσθεν μῆκος ἐχόντων τὰ μὲν ἐν τοῖς δεξιοῖς εἰς τὰ ἀριστερὰ δοκεῖ παρῆχθαι, τὰ δὲ ἐν τοῖς ἀριστεροῖς εἰς τὰ δεξιά. ἔστω γὰρ ὁρώμενα τὰ ΒΓ, ΔΖ, ὄμμα δὲ τὸ Κ, ἀφ’ οὗ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΚΓ, ΚΑ, ΚΒ, ΚΖ, ΚΗ, ΚΔ. οὐκοῦν τὸ Δ παρῆχθαι δοκεῖ εἰς τὰ ἀριστερὰ ἤπερ τὸ Η. ὁμοίως δὲ καὶ τὸ Β εἰς τὰ δεξιὰ δοκεῖ παρῆχθαι ἤπερ τὸ Α. ὥστε τῶν εἰς τοὔμπροσθεν μῆκος ἐχόντων τὰ μὲν ἐν τοῖς δεξιοῖς εἰς τὰ ἀριστερὰ δοκεῖ παρῆχθαι, τὰ δὲ ἐν τοῖς ἀριστεροῖς εἰς τὰ δεξιά. ιγʹ. Τῶν ἴσων μεγεθῶν ὑπὸ τὸ ὄμμα κειμένων τὰ πόρρω κείμενα μετεωρότερα φαίνεται. ἔστω γὰρ ἴσα μεγέθη τὰ ΒΓ, ΔΖ, ΚΛ ὑπὸ τὸ ὄμμα τὸ Ν κείμενα, καὶ ἀπὸ τοῦ Ν ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΝ, ΝΔ, ΝΚ. οὐκοῦν μετεωροτάτη ἐστὶν ἡ ΝΒ τῶν λοιπῶν ἀκτίνων· ὥστε καὶ τὸ Β σημεῖον. τὸ ἄρα ΒΓ τοῦ ΔΖ μετεωρότερον φαίνεται, τὸ δὲ ΔΖ τοῦ ΚΛ. τῶν ἄρα ἴσων μεγεθῶν ὑπὸ τὸ ὄμμα κειμένων τὰ πόρρω κείμενα μετεωρότερα φαίνεται. ιδʹ. Τῶν ἴσων μεγεθῶν ἄνω τοῦ ὄμματος κειμένων τὰ πόρρω κείμενα ταπεινότερα φαίνεται. ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ ΚΝ, ΛΖ, ΓΔ ἄνω τοῦ ὄμματος κείμενα τοῦ Β, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΝ, ΒΖ, ΒΔ. |
| 172 [25] | οὐκοῦν ταπεινοτάτη ἐστὶν ἡ ΒΔ· ὥστε καὶ τὸ Δ. ὥστε καὶ τὸ μὲν ΓΔ ταπεινότερον φαίνεται τοῦ ΛΖ, τὸ δὲ ΛΖ τοῦ ΚΝ. ιεʹ. Ὅσα ἀλλήλων ὑπερέχει τῶν ὑπὸ τὸ ὄμμα κειμένων, προσιόντος μὲν τοῦ ὄμματος μείζονι τὸ ὑπερφαινόμενον φαίνεται μεῖζον, ἀπιόντος δὲ ἐλάττονι μεῖζον. ἔστω γὰρ μεῖζον τὸ ΒΓ τοῦ ΘΖ, καὶ ὄμμα κείσθω τὸ Κ ἄνω τῶν ΒΓ, ΘΖ, καὶ προσπιπτέτω ἀκτὶς διὰ τοῦ Θ ἡ ΚΔ. οὐκοῦν τὸ ΒΓ τοῦ ΘΖ μεῖζον φαίνεται τῷ ΒΔ· ἴσον γὰρ ἐφαίνετο τὸ ΘΖ τῷ ΔΓ, ἐπειδὴ ὑπὸ τοῦ αὐτοῦ ὄμματος καὶ τῆς ΚΔ ἀκτῖνος ἑωρᾶτο. πάλιν δὴ μετακείσθω τὸ ὄμμα ἐπὶ τὸ Λ, καὶ διὰ τοῦ Θ προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡ ΛΝ. οὐκοῦν πάλιν τὸ ΒΓ τοῦ ΘΖ μεῖζον φαίνεται τῷ ΒΝ. ἐλάττονι ἄρα φαίνεται ὑπερέχον τὸ ΒΓ τοῦ ΘΖ ἀπιόντος τοῦ ὄμματος ἤπερ προσιόντος. ιϛʹ. Ὅσα ἀλλήλων ὑπερέχει κάτω τοῦ ὄμματος κειμένου, προσιόντος μὲν τοῦ ὄμματος ἐλάττονι μεῖζον τὸ ὑπερφαινόμενον φαίνεται, ἀπιόντος δὲ μείζονι μεῖζον. ἔστω μεῖζον τὸ ΒΖ τοῦ ΘΚ, καὶ τοῦ Λ ὄμματος κάτω κειμένου προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡ ΛΓ διὰ τοῦ Θ. |
| 174 [25] | οὐκοῦν τὸ ΒΖ τοῦ ΘΚ μεῖζον φαίνεται τῷ ΒΓ. μετακείσθω δὴ τὸ Λ ὄμμα ἐπὶ τὸ Ν, καὶ προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡ ΝΔ διὰ τοῦ Θ. οὐκοῦν πάλιν τὸ ΒΖ τοῦ ΘΚ μεῖζον φαίνεται τῷ ΒΔ. προσιόντος μὲν ἄρα τοῦ ὄμματος ἐλάττονι μεῖζον φαίνεται ὑπερέχον τὸ ΒΖ τοῦ ΘΚ, ἀπιόντος δὲ μείζονι. ιζʹ. Ὅσα ἀλλήλων ὑπερέχει τοῦ ὄμματος ἐπ’ εὐθείας τῷ ἐλάσσονι μεγέθει ὄντος, προσιόντος τε καὶ ἀφισταμένου τοῦ ὄμματος τῷ ἴσῳ αἰεὶ δόξει τὸ ὑπερφαινόμενον τοῦ ἐλάσσονος ὑπερέχειν. ὑπερεχέτω γὰρ τὸ ΒΔ τοῦ ΘΗ τῷ ΒΓ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΘ ἐκβεβλήσθω, καὶ ἔστω τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Ζ. οὐκοῦν ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἀκτὶς προσπίπτουσα κατὰ τὴν ΖΓ ἐνεχθήσεται. πάλιν δὴ μετακείσθω τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Κ. οὐκοῦν διὰ τὰ αὐτὰ ἡ ἀπὸ τοῦ Κ ὄμματος ἀκτὶς προσπίπτουσα κατὰ τὴν ΚΓ ἐνεχθήσεται. τῷ αὐτῷ ἄρα ὑπερέξει τὸ ΒΔ τοῦ ΘΗ καὶ προσιόντος τοῦ ὄμματος καὶ ἀφισταμένου. ιηʹ. Τὸ δοθὲν ὕψος γνῶναι, πόσον ἐστίν. ἔστω γάρ, ὃ δεῖ ἐπιγνῶναι ὕψος, πόσον ἐστί, τὸ ΒΓ, καὶ προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡλίου διὰ τοῦ Β ἡ ΒΔ. οὐκοῦν σκιὰ ἔσται ἡ ΓΔ. |
| 176 [25] | ἔλαβον δή τι γνώριμον μέγεθος τὸ ΚΖ καὶ ἐνήρμοσα ὑπὸ τὴν Δ γωνίαν παράλληλον τῇ ΒΓ. οὐκοῦν ἐστιν, ὡς τὸ ΔΓ πρὸς τὸ ΓΒ, οὕτως τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΖΚ. καὶ γνώριμος ὁ λόγος ὁ τῆς ΔΖ πρὸς ΖΚ· γνώριμος ἄρα καὶ ὁ τῆς ΔΓ πρὸς ΓΒ. καί ἐστι γνώριμος ἡ ΔΓ σκιά· γνώριμον ἄρα καὶ τὸ ΓΒ ὕψος. ιθʹ. Μὴ ὄντος ἡλίου τὸ δοθὲν ὕψος γνῶναι, ἡλίκον ἐστίν. ἔστω γάρ, ὃ δεῖ ἐπιγνῶναι ὕψος, πηλίκον ἐστίν, τὸ ΒΓ, καὶ κείσθω κάτοπτρον τὸ ΚΑ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Δ, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡ ΔΘ καὶ ἀνακεκλάσθω ὡς ἡ ΘΒ ἐπὶ τὸ Β πέρας, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ὄμματος κάθετος ἡ ΔΖ. οὐκοῦν ἴσαι εἰσὶν αἱ πρὸς τῷ Θ γωνίαι ἀλλήλαις· τοῦτο γὰρ δείκνυται ἐν τοῖς Κατοπτρικοῖς. ἀλλὰ καὶ ἡ πρὸς τῷ Γ τῇ πρὸς τῷ Ζ ἴση ἐστίν· ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα αὐτῶν. λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Β λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Δ ἴση ἐστίν. ὥστε ὅμοιον ἂν εἴη τὸ ΒΓΘ τρίγωνον τῷ ΔΖΘ τριγώνῳ. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΘΓ πρὸς ΓΒ, οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς ΖΔ. τῆς δὲ ΘΖ πρὸς ΖΔ λόγος δοθείς ἐστιν· καὶ τῆς ΘΓ ἄρα πρὸς ΓΒ γνώριμος ὁ λόγος ἐστίν. γνώριμος δὲ ἡ ΘΓ· γνώριμον ἄρα καὶ τὸ ΓΒ ὕψος. κʹ. |
| 178 [25] | Τὸ δοθὲν βάθος ἐπιγνῶναι, πηλίκον ἐστίν. ἔστω γὰρ τὸ βάθος, ὃ δεῖ ἐπιγνῶναι, πηλίκον ἐστίν, τὸ ΚΒ, καὶ κείσθω ὄμμα τὸ Δ, καὶ προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡ ΔΛΚ εἰς τὸ βάθος, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ παρὰ τὴν ΒΚ ἡ ΔΖ. ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΚ τῇ ΔΖ, καὶ ἐμπέπτωκεν ἡ ΔΚ, τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ ΒΚΛ, ΛΔΖ ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ. εἰσὶ δὲ καὶ αἱ κατὰ κορυφὴν αἱ πρὸς τῷ Λ ἴσαι ἀλλήλαις· καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα γωνία τῇ λοιπῇ ἴση ἐστίν. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΚΛ τρίγωνον τῷ ΛΔΖ τριγώνῳ. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΛΖ πρὸς ΖΔ, ἡ ΛΒ πρὸς ΒΚ. δοθεὶς δὲ ὁ τῆς ΛΖ πρὸς ΖΔ λόγος· δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ τῆς ΛΒ πρὸς ΒΚ λόγος. καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ΛΒ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΚ. καʹ. Τὸ δοθὲν μῆκος ἐπιγνῶναι, πηλίκον ἐστίν. ἔστω γάρ, ὃ δεῖ μῆκος ἐπιγνῶναι, πηλίκον ἐστίν, τὸ ΒΓ. κείσθω δὴ ὄμμα τὸ Δ, ἀφ’ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΔΒ, ΔΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἤχθω παρὰ τὴν ΒΓ ἡ ΖΚ. οὐκοῦν ἐστιν, ὡς ἡ ΖΚ πρὸς ΚΔ, ἡ ΒΓ πρὸς ΓΔ. γνώριμος δὲ ὁ τῆς ΖΚ πρὸς ΚΔ λόγος· γνώριμος ἄρα καὶ ὁ τῆς ΒΓ πρὸς ΓΔ λόγος. καὶ γνώριμος ἡ ΓΔ· γνώριμος ἄρα καὶ ἡ ΓΒ. κβʹ. |
| 180 [25] | Ἐὰν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἐν ᾧ τὸ ὄμμα, κύκλου περιφέρεια τεθῇ, εὐθεῖα γραμμὴ ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια φανεῖται. ἔστω γὰρ περιφέρεια ἡ ΒΓ, ὄμμα δὲ τὸ Δ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ὂν τῇ ΒΓ περιφερείᾳ, ἀφ’ οὗ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΔΒ, ΖΔ, ΔΓ. οὐκοῦν, ἐπεὶ τῶν ὁρωμένων οὐδὲν ἅμα ὁρᾶται, οὐκ ἂν φαίνοιτο ἡ ΖΒ περιφέρεια, τὰ δὲ Ζ, Β πέρατα. δόξει ἄρα ἡ ΖΒ περιφέρεια εὐθεῖα εἶναι. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ΖΓ. ὅλη ἄρα ἡ ΒΓ περιφέρεια εὐθεῖα δόξει εἶναι. κγʹ. Σφαίρας ὁπωσοῦν ὁρωμένης ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ὄμματος ἔλαττον αἰεὶ ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται, αὐτὸ δὲ τὸ ὁρώμενον τῆς σφαίρας ὑπὸ κύκλου περιεχόμενον φαίνεται. ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς κέντρον ἔστω τὸ Κ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Β, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΚ, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἤχθω διὰ τοῦ Κ ἡ ΓΚΔ, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν ΒΚ, ΓΚΔ ἐπίπεδον· ποιήσει δὴ ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλον. ποιείτω δὴ τὸν ΓΔΛΝ, περὶ δὲ τὴν ΚΒ [διάμετρον] κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΖ, ΖΒ, ΒΛ, ΛΚ, ΛΖ. οὐκοῦν ἐπεὶ ὀρθαί εἰσιν αἱ ὑπὸ ΚΖΒ, ΒΛΚ διὰ τὸ ἐν ἡμικυκλίοις εἶναι καὶ ἐκ κέντρου τὰς ΚΖ, ΚΛ, καθ’ ἓν σημεῖον ἐφάψονται αἱ ΒΛ, ΒΖ τῆς σφαίρας· αἱ ἄρα ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος προσπίπτουσαι ἀκτῖνες κατὰ τὰς ΒΖ, ΒΛ πεσοῦνται. |
| 182 [20] | καὶ ἐπεὶ ἑκάστη τῶν πρὸς τῷ Θ γωνιῶν ὀρθή ἐστι διὰ τὸ παράλληλον εἶναι τὴν ΓΔ τῇ ΖΛ, καὶ ἴση ἡ ΖΘ τῇ ΘΛ, ἐὰν δὴ μενούσης τῆς ΘΒ τὸ ΘΖΒ τρίγωνον περιενεχθὲν εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἥ τε ΒΖ περιφερομένη καθ’ ἓν ἐφάψεται τῆς σφαιρικῆς ἐπιφανείας κατὰ τὸ Ζ, καὶ κύκλος ἔσται γεγραμμένος διὰ τῶν Ζ, Λ σημείων. ὥστε ὑπὸ κύκλου ἂν περιέχοιτο τὸ ὁρώμενον τῆς σφαίρας, ὅ γε ἔλαττόν ἐστιν ἡμισφαιρίου· τὸ γὰρ ΖΛ ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου. ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῆς ὄψεως περιεχόμενον ἔλαττόν ἐστιν ἡμισφαιρίου. κδʹ. Τοῦ ὄμματος προσιόντος ἔγγιον τῆς σφαίρας ἔλαττον ἔσται τὸ ὁρώμενον, δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι. ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς κέντρον ἔστω τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ὄμματος ἐπεζεύχθω ἐπὶ τὸ κέντρον ἡ ΔΚ, καὶ διὰ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΒΓ, περὶ δὲ τὴν ΔΚ κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΝ, ΝΚ, ΔΛ, ΛΚ. οὐκοῦν ὀρθαὶ ἔσονται αἱ πρὸς τοῖς Λ, Ν γωνίαι διὰ τὸ ἐν ἡμικυκλίῳ εἶναι· καθ’ ἓν ἄρα ἐφάπτονται αἱ ΔΛ, ΔΝ τῆς σφαίρας. |
| 184 [25] | αἱ ἄρα ἀπὸ τοῦ Δ ὄμματος προσπίπτουσαι ἀκτῖνες κατὰ τὰς ΔΛ, ΔΝ πεσοῦνται. πάλιν δὴ μετακινείσθω τὸ Δ ὄμμα ἐπὶ τὸ Ρ, καὶ περὶ τὴν ΡΚ κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΡΖ, ΖΚ, ΡΣ, ΣΚ. οὐκοῦν αἱ ΡΖ, ΡΣ καθ’ ἓν ἐφάπτονται τῆς σφαίρας. καὶ αἵ γε ἀπὸ τοῦ Ρ ὄμματος ἀκτῖνες προσπίπτουσαι κατὰ τὰς ΡΖ, ΡΣ πεσοῦνται. ὥστε ὁρᾶται ὑπὸ μὲν τῆς Ρ γωνίας τὸ ΖΣ, ὑπὸ δὲ τῆς Δ τὸ ΝΖΛ· μεῖζον δὲ τὸ ΝΖΛ τοῦ ΖΣ ἐστιν. φαίνεται δὲ ἔλαττον· μείζων γάρ ἐστιν ἡ Ρ γωνία τῆς Δ γωνίας, τὰ δὲ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεται. μεῖζον ἄρα φαίνεται τὸ ΖΣ τοῦ ΝΖΛ, ἔστι δὲ ἔλαττον. κεʹ. Σφαίρας διὰ τῶν δύο ὀμμάτων ὁρωμένης, ἐὰν ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ἴση ᾖ τῇ εὐθείᾳ τῇ διεστώσῃ ἀπὸ τῶν ὀμμάτων, ἡμισφαίριον αὐτῆς ὀφθήσεται. ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς διάμετρος ἡ ΒΓ, καὶ ἀπὸ τῶν Β, Γ ἤχθωσαν πρὸς ὀρθὰς αἱ ΒΖ, ΓΛ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἤχθω παρὰ τὴν ΒΓ ἡ ΖΛ, καὶ κείσθω ἓν ὄμμα ἐπὶ τοῦ Ζ, τὸ δὲ ἕτερον ἐπὶ τοῦ Λ, ἀπὸ δὲ τοῦ Δ κέντρου ἤχθω παρὰ τὴν ΒΖ ἡ ΔΚ. οὐκοῦν ἐὰν μενούσης τῆς ΔΚ τὸ ΒΚ παραλληλόγραμμον περιενεχθὲν εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, τὸ περιγραφὲν ὑπὸ τῆς ΒΔ σχῆμα κύκλος ἔσται, ὅς γε διὰ τοῦ κέντρου ἐστὶ τῆς σφαίρας. ὥστε τὸ ἡμισφαίριον τῆς σφαίρας μόνον ὀφθήσεται ὑπὸ τῶν Ζ, Λ ὀμμάτων. |
| 186 [5] | κϛʹ. Ἐὰν τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα μεῖζον ᾖ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας, ἡμισφαιρίου μεῖζον τὸ ὁρώμενον τῆς σφαίρας ὀφθήσεται. ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς κέντρον τὸ Κ, τῶν δὲ ὀμμάτων διάστημα τὸ ΒΓ μεῖζον ὂν τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας, καὶ διὰ τοῦ Κ καὶ τῆς ΒΓ ἐκβεβλήσθω ἐπίπεδον καὶ ποιείτω ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλον τὸν ΔΖΝ, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες καθ’ ἓν ἁπτόμεναι αἱ ΒΔ, ΓΖ. οὐκοῦν ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται ἀλλήλαις, ἐπειδὴ ἡ ΒΓ τῆς ἐν τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου μείζων ἐστί. συμπιπτέτωσαν δὴ κατὰ τὸ Θ σημεῖον. οὐκοῦν ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ Θ σημείου αἱ ΘΖ, ΘΔ καθ’ ἓν ἐφαπτόμεναι προσπεπτώκασιν, ἔλασσον ἂν εἴη τὸ ΖΝΔ ἡμικυκλίου· αἱ γὰρ ΘΖΚ, ΘΔΚ γωνίαι ὀρθαί εἰσιν. τὸ ἄρα λοιπὸν τῆς σφαίρας μεῖζον ἡμισφαιρίου ὁρᾶται ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΓΖ. κζʹ. Ἐὰν τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα ἔλασσον ᾖ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας, τὸ ὁρώμενον τῆς σφαίρας ἔλασσον ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται. ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς κέντρον τὸ Κ, τῶν δὲ ὀμμάτων διάστημα τὸ ΒΓ ἔλαττον ὂν τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας, καὶ διὰ τοῦ Κ καὶ τῆς ΒΓ ἐκβεβλήσθω ἐπίπεδον καὶ ποιείτω ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλον τὸν ΖΗΝ. ἤχθωσαν δὲ ἀπὸ τῶν Β, Γ ὀμμάτων καθ’ ἓν ἐφαπτόμεναι αἱ ΒΖ, ΓΝ καὶ συμπιπτέτωσαν ἀλλήλαις κατὰ τὸ Θ· συμπεσοῦνται γάρ, ἐπειδήπερ ἄνισοί εἰσιν ἥ τε ΓΒ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος. |
| 188 [25] | οὐκοῦν αἱ ἀπὸ τοῦ Θ σημείου προσπίπτουσαι πρὸς τὴν σφαῖραν ἔλαττον ἡμισφαιρίου περιλήψονται· τὸ ἄρα ΖΗΝ ἔλασσον ἡμισφαιρίου ἐστίν. ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ ὀμμάτων ὁρώμενον ἔλασσον ἂν εἴη ἡμισφαιρίου. κηʹ. Κυλίνδρου ὁπωσοῦν ὁρωμένου ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ὄμματος ἔλαττον ἡμικυλίνδρου ὀφθήσεται. ἔστω γὰρ κυλίνδρου τοῦ περὶ τὴν βάσιν κύκλου κέντρον τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ν ὄμματος ἤχθω ἐπὶ τὸ Κ ἡ ΝΚ, καὶ διὰ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἤχθω ἡ ΒΓ, περὶ δὲ τὴν ΚΝ κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΖ, ΖΚ, ΝΔ, ΔΚ. οὐκοῦν ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Ζ, Δ· καθ’ ἓν ἄρα ἐφάπτονται αἱ ΖΝ, ΝΔ, καὶ αἵ γε ἀπὸ τοῦ Ν ὄμματος φερόμεναι ἀκτῖνες κατὰ τὰς ΝΖ, ΝΔ πεσοῦνται· ὥστε τὸ ΖΛΔ μόνον ὀφθήσεται. ἀλλὰ τὸ ΖΛΔ ἔλαττόν ἐστι τοῦ ΓΛΒ ἡμικυκλίου· τὸ ἄρᾳ ΖΛΔ ἔλασσον ἡμικυκλίου ὀφθήσεται, τουτέστιν ὁ κύλινδρος· ὁμοίως γὰρ τῇ βάσει κατὰ πᾶσαν ἐπιφάνειαν τοῦ κυλίνδρου δείξομεν. |
| 190 [20] | ὥστε ὅλου τοῦ κυλίνδρου τοῦ ἡμίσεος ἔλαττον φαίνεται. κθʹ. Τοῦ δὲ ὄμματος ἔγγιον τεθέντος τοῦ κυλίνδρου ἔλασσον μὲν ἔσται τὸ περιλαμβανόμενον ὑπὸ τῶν ὄψεων τοῦ κυλίνδρου, δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι. ἔστω γὰρ κυλίνδρου τοῦ περὶ τὴν βάσιν κύκλου κέντρον τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ἐπὶ τὸ Κ κέντρον ἐπεζεύχθω ἡ ΒΚ, διὰ δὲ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΓΔ, καὶ περὶ τὴν ΚΒ κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΝ, ΝΚ, ΒΛ, ΛΚ. διὰ δὴ τὰ πρότερον τὸ ΛΖΝ ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου, καὶ ὁμοίως τῇ βάσει ὅλου τοῦ κυλίνδρου ἔλαττον ἢ τὸ ἥμισυ ὁραθήσεται. προσήχθω δὴ τὸ ὄμμα καὶ ἔστω τὸ Φ, καὶ περὶ τὴν ΦΚ κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΦΡ, ΡΚ, ΚΣ, ΣΦ. οὐκοῦν αἱ ἀπὸ τοῦ Φ ἀκτῖνες προσπίπτουσαι κατὰ τὰς ΦΡ, ΦΣ πεσοῦνται, αἱ δέ γε ἀπὸ τοῦ Β κατὰ τὰς ΒΛ, ΒΝ· μεῖζον ἄρα τὸ ΝΖΛ τοῦ ΡΖΣ. δοκεῖ δὲ μεῖζον φαίνεσθαι τὸ ΡΖΣ τοῦ ΝΖΛ· μείζων γὰρ ἡ Φ γωνία τῆς Β γωνίας. ὥστε καὶ τοῦ κυλίνδρου ἔλαττον μέρος ὀφθήσεται, δοκεῖ δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι. λʹ. |
| 192 [25] | Κώνου κύκλον ἔχοντος τὴν βάσιν ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ὄμματος ὁρωμένου ἔλασσον ἡμικωνίου ὀφθήσεται. ἔστω γὰρ κώνου βάσις κύκλος, οὗ κέντρον τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ἤχθω ἐπὶ τὸ κέντρον ἡ ΒΚ, καὶ διὰ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΚΒ ἡ ΝΛ, περὶ δὲ τὴν ΚΒ κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΖ, ΖΚ, ΒΔ, ΔΚ. οὐκοῦν ὀρθαί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς Ζ, Δ γωνίαι· καθ’ ἓν ἄρα ἐφάπτονται αἱ ΒΔ, ΒΖ, καὶ αἵ γε ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἀκτῖνες προσπίπτουσαι κατὰ τὰς ΒΔ, ΒΖ πεσοῦνται. ἔσται δὴ ὁρώμενον τὸ ΖΡΔ ἔλασσον ὂν τοῦ ΝΡΛ. ἀλλὰ τὸ ΝΡΛ ἡμικύκλιόν ἐστιν· τὸ ἄρα ΖΡΔ ἔλασσόν ἐστιν ἡμικυκλίου. ὥστε καὶ τὸ ὁρώμενον τοῦ κώνου ἔλασσόν ἐστιν ἡμικωνίου· ὁμοίως γὰρ καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν κύκλων τῶν ἐν τῇ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ δείξομεν. λαʹ. Τοῦ δὲ ὄμματος ἔγγιον μετατεθέντος ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἔλασσον μὲν ἔσται τὸ ὑπὸ τῶν ὄψεων περιλαμβανόμενον μέρος, δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι. ἔστω γὰρ κώνου βάσις κύκλος, οὗ κέντρον ἔστω τὸ Κ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Α, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Κ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΚ, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἤχθω διὰ τοῦ Κ ἡ ΓΚΒ, γεγράφθω δὲ περὶ τὴν ΑΚ κύκλος, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΚ, ΑΔ, ΔΚ. μετακείσθω δὴ τὸ Α ὄμμα ἐπὶ τὸ Ν, καὶ περὶ τὴν ΚΝ κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΡ, ΡΚ, ΝΣ, ΣΚ. |
| 194 [25] | οὐκοῦν αἱ ἀπὸ τοῦ Α ὄμματος ἀκτῖνες προσπίπτουσαι κατὰ τὰς ΑΔ, ΑΖ πεσοῦνται· ὥστε φανεῖται τὸ ΖΦΔ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Ν ὄμματος ἀκτῖνες προσπίπτουσαι κατὰ τὰς ΝΡ, ΝΣ πεσοῦνται· ὀφθήσεται ἄρα τὸ ΡΦΣ. μεῖζον δὲ τὸ ΖΦΔ τοῦ ΡΦΣ. φαίνεται δὲ ἔλασσον· μείζων γὰρ ἡ πρὸς τῷ Ν γωνία τῆς πρὸς τῷ Α γωνίας. λβʹ. Κώνου κύκλον ἔχοντος τὴν βάσιν, ἐὰν ἀπὸ τῶν συναφῶν τῶν ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὴν τοῦ κώνου βάσιν προσπιπτουσῶν ἀκτίνων εὐθεῖαι διαχθῶσι διὰ τῆς ἐπιφανείας τῆς τοῦ κώνου πρὸς τὴν κορυφὴν αὐτοῦ, διὰ δὲ τῶν ἀχθεισῶν καὶ τῶν ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὴν βάσιν τοῦ κώνου προσπιπτουσῶν ἐπίπεδα ἐκβληθῇ, ἐπὶ δὲ τῆς κοινῆς τομῆς τῶν ἐπιπέδων τὸ ὄμμα τεθῇ, τὸ ὁρώμενον τοῦ κώνου ἴσον διὰ παντὸς ὀφθήσεται τῆς ὄψεως ἐπὶ παραλλήλου ἐπιπέδου τῷ προϋποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὑπαρχούσης. ἔστω γὰρ κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΓΔ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Β σημεῖον, ὄμμα δὲ τὸ Κ, ἀφ’ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΚΔ, ΚΓ ἁπτόμεναι κατὰ τὰ Γ, Δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τῶν Δ, Γ σημείων ἐπὶ τὴν κορυφὴν τοῦ κώνου αἱ ΔΒ, ΓΒ, καὶ διὰ μὲν τῶν ΓΒ, ΓΚ ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω, διὰ δὲ τῶν ΔΒ, ΔΚ ὁμοίως ἕτερον ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω. |
| 196 [25] | οὐκοῦν συμπεσεῖται [τὰ ἐπίπεδα]· αἵ τε γὰρ ΓΒ, ΔΒ συμπίπτουσι καὶ αἱ ΓΚ, ΚΔ. συμπιπτέτωσαν οὖν τὰ ἐπίπεδα, καὶ ἔστω αὐτῶν κοινὴ τομὴ ἡ ΒΚ. λέγω, ὅτι, ὅπου ἂν ἐπὶ τῆς ΒΚ τεθῇ τὸ ὄμμα, ἴσον τοῦ κώνου τὸ ὁρώμενον φαίνεται. κείσθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΒΚ τὸ Ζ ὄμμα, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ζ παρὰ μὲν τὴν ΚΔ ἡ ΖΝ, παρὰ δὲ τὴν ΓΚ ἡ ΖΣ. οὐκοῦν αἱ ΖΝ, ΖΣ τῆς τοῦ κώνου ἐπιφανείας κατὰ τὰ Ν, Σ ἐφάπτονται· τὰ γὰρ ἐν τῇ ΒΓΔ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ τῶν παραλλήλων κύκλων τμήματα ὅμοιά ἐστιν. τὰ ἄρα ἐν τῇ ΒΔΓ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ διαστήματα ὁρώμενα ἴσα φαίνεται. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστίν, ἣν περιέχουσιν αἱ ΖΣ, ΖΝ, γωνία τῇ περιεχομένῃ ὑπὸ τῶν ΚΔ, ΚΓ, ἴσον ἂν φαίνοιτο τὸ ΣΝ διάστημα τοῦ κώνου τῷ ΔΓ διαστήματι. ὥσθ’ ὅπου ἂν τὸ ὄμμα τεθῇ ἐπὶ τῆς ΚΒ εὐθείας, ἴσον ἀεὶ φανεῖται τὸ ὁρώμενον. λγʹ. Ἴσον δὲ ἀεὶ τοῦ ὄμματος ἀπὸ τοῦ κώνου ἀπέχοντος μετεώρου μὲν τοῦ ὄμματος τεθέντος ἔλασσον φαίνεται τοῦ κώνου τὸ ὁρώμενον, ταπεινοτέρου δὲ μεῖζον. ἔστω γὰρ κώνου κορυφὴ μὲν πρὸς τῷ Δ σημείῳ, βάσις δὲ ὁ ΒΓ κύκλος, καὶ ἤχθω ἡ ΚΘ παρὰ τὴν ΒΔ, καὶ κείσθω τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Θ. |
| 198 [20] | φημὶ δὴ ἔλασσον ὀφθήσεσθαι τοῦ κώνου τὸ ὁρώμενον τεθέντος τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Θ σημείου ἤπερ ἐπὶ τοῦ Σ. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐπὶ τὰ Θ, Σ σημεῖα αἱ ΔΘ, ΔΣ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Ν, Λ. οὐκοῦν ἐπί τε τοῦ Ν καὶ ἐπὶ τοῦ Λ σημείου τεθέντος τοῦ ὄμματος ἄνισα φαίνεται τὰ ὁρώμενα τοῦ κώνου, καὶ ἔλασσον μὲν φαίνεται τὸ πρὸς τῷ Ν, μεῖζον δὲ τὸ πρὸς τῷ Λ. ἴσον δὲ τὸ μὲν πρὸς τῷ Ν τῷ πρὸς τῷ Θ, τὸ δὲ πρὸς τῷ Λ τῷ πρὸς τῷ Σ, ὡς ἐν τῷ πρὸ αὐτοῦ ἐδείχθη. τοῦ ἄρα ὄμματος πρὸς τῷ Θ σημείῳ ὄντος ἔλασσον φαίνεται τὸ ὁρώμενον τοῦ κώνου ἤπερ πρὸς τῷ Σ. λδʹ. Ἐν κύκλῳ ἐὰν ἀπὸ τοῦ κέντρου πρὸς ὀρθάς τις ἀχθῇ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ, ἐπὶ δὲ ταύτης τεθῇ τὸ ὄμμα, ἴσαι αἱ διάμετροι τοῦ κύκλου φαίνονται. ἔστω γὰρ κύκλος, οὗ κέντρον τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς ἀνήχθω τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ κύκλου ἡ ΚΒ, τὸ δὲ ὄμμα κείσθω ἐπὶ τοῦ Β, καὶ διάμετροι ἤχθωσαν αἱ ΓΑ, ΔΖ. φημὶ δὴ τὴν ΑΓ τῇ ΔΖ ἴσην φαίνεσθαι. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΑ, ΒΖ, ΒΓ, ΒΔ. οὐκοῦν δύο αἱ ΒΚ, ΚΖ δυσὶ ταῖς ΒΚ, ΚΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ. |
| 200 [25] | ἔστι δὲ καὶ ἡ Ρ γωνία τῇ Σ ἴση· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΒΖ βάσις τῇ ΒΓ βάσει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΔ τῇ ΒΑ ἐστιν ἴση. δύο δὴ αἱ ΔΒ, ΒΖ δυσὶ ταῖς ΓΒ, ΒΑ ἴσαι εἰσίν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΔΖ τῇ ΓΑ ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΒΑ ἴση ἐστίν. τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται. ἴση ἄρα ἡ ΓΑ τῇ ΔΖ φαίνεται. λεʹ. Καὶ ἐὰν ἡ ὑπὸ τοῦ κέντρου ἀναχθεῖσα μὴ πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ἐπιπέδῳ, ἴση δὲ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, ἴσαι αἱ διάμετροι φανήσονται. ἔστω κύκλος, οὗ κέντρον τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Κ μὴ πρὸς ὀρθὰς ἀνήχθω τῷ ἐπιπέδῳ ἡ ΚΒ, ἴση δὲ ἔστω τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τοῦ Β σημείου αἱ αὐταὶ ταῖς πρότερον. οὐκοῦν ἐπεὶ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν αἱ ΔΚ, ΚΒ, ΚΖ, ὀρθὴ ἂν εἴη ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν ΖΒΔ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ὀρθὴ ἂν εἴη· ἴσαι ἄρα ἔσονται ἀλλήλαις. τὰ δέ γε ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται. ἴση ἄρα ἡ ΔΖ τῇ ΑΓ φαίνεται. Ἀλλὰ δὴ ἡ ΑΖ μήτε ἴση ἔστω τῇ ἐκ τοῦ κέντρου μήτε πρὸς ὀρθὰς τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ, ἴσας δὲ γωνίας ποιείτω τὰς ὑπὸ ΔΑΖ, ΖΑΓ καὶ ΕΑΖ, ΖΑΒ. |
| 202 [25] | λέγω, ὅτι καὶ οὕτως αἱ διάμετροι ἴσαι φανήσονται. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΓ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΖ, καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΖΓ ἴση ἐστὶν καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΖΑ τῇ ὑπὸ ΑΖΓ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΕΖΑ τῇ ὑπὸ ΑΖΒ ἐστιν ἴση. ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΖΒ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΕΖΓ ἐστιν ἴση. ὥστε αἱ διάμετροι ἴσαι φανήσονται. λϛʹ. Ἐὰν δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὸ κέντρον προσπίπτουσα τοῦ κύκλου μήτε πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ μήτε ἴση ᾖ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου μήτε ἴσας γωνίας περιέχουσα μετὰ τῶν ἐκ τοῦ κέντρου, μείζων δὲ ἢ ἐλάσσων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἄνισοι αἱ διάμετροι φανοῦνται. ἔστω γὰρ κύκλος, οὗ κέντρον τὸ Α, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου εὐθεῖα ἤχθω ἡ ΒΑ καὶ ἔστω μήτε πρὸς ὀρθὰς τῷ ἐπιπέδῳ μήτε ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου μήτε ἴσας γωνίας περιέχουσα μετὰ τῶν ἐκ τοῦ κέντρου. λέγω, ὅτι αἱ διάμετροι τοῦ κύκλου ἄνισοι φανήσονται. ἤχθω γὰρ ἡ μὲν ΓΖ διάμετρος πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῇ ΑΒ, ἡ δὲ ΔΚ ἀνίσους ποιοῦσα γωνίας πρὸς τῇ ΑΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ, ΒΔ, ΒΖ, ΒΚ, ἔστω δὲ πρότερον ἡ ΒΑ τῆς ΑΚ μείζων. |
| 204 [25] | οὐκοῦν μείζων ἐστὶν ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν ΓΒΖ τῆς περιεχομένης ὑπὸ τῶν ΚΒΔ, ὡς ἐν τοῖς θεωρήμασιν ἀποδείκνυται. τὰ δέ γε ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεται· μείζων ἄρα ἡ ΓΖ τῆς ΔΚ φαίνεται. ἐὰν δὲ ἡ ΒΑ τῆς ΑΚ ἐλάσσων ᾖ, μείζων φαίνεται ἡ ΔΚ τῆς ΓΖ. Ἔστω κύκλος, οὗ κέντρον τὸ Α, ὄμμα δὲ τὸ Β, ἀφ’ οὗ ἡ ἐπὶ τὸν κύκλον κάθετος ἀγομένη μὴ πιπτέτω ἐπὶ τὸ κέντρον τὸ Α, ἀλλ’ ἐκτός, καὶ ἔστω ἡ ΒΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Α ἡ ΓΑ, ἔτι δὲ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἡ ΒΑ. λέγω, ὅτι πασῶν τῶν διὰ τοῦ Α διαγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΒΑ γωνίας ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑΒ. διήχθω γὰρ εὐθεῖα ἡ ΔΑΕ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΔΕ κάθετος ἐν τῷ ἐπιπέδῳ ἡ ΓΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΖ· καὶ ἡ ΒΖ ἄρα ἐπὶ τὴν ΔΕ κάθετός ἐστιν. ἐπεὶ οὖν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΓΖΑ, ἡ ὑπὸ ΑΓΖ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ὀρθῆς· μείζων ἄρα ἡ ΑΓ πλευρὰ τῆς ΑΖ. ἡ ΒΑ ἄρα πρὸς τὴν ΑΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΑΓ. ἀλλ’ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ γωνία καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΖΑ εἰσιν ὀρθαί, καί εἰσιν αἱ ΓΑ, ΑΖ ἄνισοι· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΖΑΒ τῆς ὑπὸ τῶν ΓΑΒ ἐστι μείζων. |
| 206 [25] | ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ πασῶν τῶν διὰ τοῦ Α διαγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ γωνίαν ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑΒ. Ὅτι ἡ ΖΒ τῇ ΔΕ ἐστι πρὸς ὀρθάς, δείξομεν οὕτως. ἐπεὶ ἡ ΒΓ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς, καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΒΓ ἐπίπεδα ἐκβαλλόμενα τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς. ἓν δὲ τῶν διὰ τῆς ΒΓ ἐκβαλλομένων ἐπιπέδων ἐστὶ τὸ ΒΓΖ τρίγωνον· καὶ τὸ ΒΓΖ ἄρα τρίγωνον τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς. ἐπεὶ οὖν δύο ἐπίπεδα τό τε τοῦ ΕΔ κύκλου καὶ τὸ τοῦ ΒΓΖ τριγώνου τέμνουσιν ἄλληλα, καὶ τῇ κοινῇ αὐτῶν τομῇ τῇ ΓΖ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΖΔ ἐν τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ· κάθετος γὰρ ἦκται ἡ ΓΖ ἐπὶ τὴν ΕΔ· καὶ ἡ ΖΔ ἄρα τῷ τοῦ ΒΓΖ τριγώνου ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς. ὥστε καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΓΖΒ τριγώνου ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς· ἡ ΔΖ ἄρα τῇ ΖΒ ἐστι πρὸς ὀρθάς. ἀνάπαλιν ἄρα ἡ ΒΖ τῇ ΕΖΔ διαμέτρῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΒΓΑ, ΒΖΑ ὀρθὰς ἔχοντα τὰς πρὸς τοῖς Γ, Ζ γωνίας, καὶ ἡ ΒΑ πρὸς ΖΑ μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ πρὸς τὴν ΓΑ. λέγω, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΑΒ γωνία τῆς ὑπὸ ΓΑΒ γωνίας. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΖΑ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΓΑ, καὶ ἀνάπαλιν ἄρα ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΑΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, οὗ ἔχει ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ· ὥστε ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΑ πρὸς ΑΒ. |
| 208 [5] | πεποιήσθω οὖν, ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ, οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΑΒ τὴν ΑΔ· ἰσογώνια ἄρα ἐστὶ τὰ τρίγωνα τὰ ΒΓΑ, ΔΖΑ. ὥστε ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΑΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΑΔ. μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΑΒ γωνία τῆς ὑπὸ ΓΑΒ. Ἔστω κύκλος ὁ ΑΓΒΔ, καὶ διήχθωσαν δύο διάμετροι αἱ ΑΒ, ΓΔ τέμνουσαι ἀλλήλας πρὸς ὀρθάς, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε, ἀφ’ οὗ ἡ ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένη ἡ ΕΖ πρὸς ὀρθὰς μὲν ἔστω τῇ ΓΔ, πρὸς δὲ τὴν ΑΒ τυχοῦσαν γωνίαν περιεχέτω, καὶ ἔστω ἡ ΕΖ ἑκατέρας τῶν ἐκ τοῦ κέντρου μείζων. ἐπεὶ οὖν ἡ ΓΔ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ, ΕΖ ἐστι πρὸς ὀρθάς, καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΓΔ ἐπίπεδα ἐκβαλλόμενα τῷ διὰ τῶν ΕΖ, ΑΒ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. ἤχθω οὖν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος· ἐπὶ τὴν κοινὴν ἄρα τομὴν πίπτει τῶν ἐπιπέδων τὴν ΑΒ. πιπτέτω οὖν καὶ ἔστω ἡ ΕΚ, καὶ διήχθω διάμετρος ἡ ΗΘ, καὶ κείσθω τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου ἴση ἡ ΛΜ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Ν, καὶ ἀνήχθω ἀπὸ τοῦ Ν τῇ ΛΜ πρὸς ὀρθὰς μετέωρος εὐθεῖα ἡ ΝΞ, καὶ ἔστω ἡ ΝΞ τῇ ΕΖ ἴση· τὸ ἄρα περὶ τὴν ΛΜ γραφόμενον τμῆμα καὶ ἐρχόμενον διὰ τοῦ Ξ μεῖζόν ἐστιν ἡμικυκλίου, ἐπειδήπερ ἡ ΝΞ μείζων ἐστὶν ἑκατέρας τῶν ΛΝ, ΝΜ. |
| 210 [25] | ἔστω τὸ ΛΣΞΜ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΞΛ, ΞΜ. ἡ ἄρα πρὸς τῷ Ξ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΛΞΜ ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Ε σημείῳ τῇ περιεχομένῃ ὑπὸ τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τὸ Ε καὶ τὰ Γ, Δ σημεῖα. ἐκκείσθω τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖ, ΖΗ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΛΝ, ΝΟ, καὶ ἀφῃρήσθω ἴση τῇ ΕΖ ἡ ΝΟ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΟ, ΜΟ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΛΟΜ τρίγωνον τμῆμα κύκλου τὸ ΛΟΜ. ἔσται δὴ καὶ ἡ πρὸς τῷ Ο σημείῳ γωνία ἴση τῇ ὑπὸ τῶν ΗΕΘ. ἔτι κείσθω τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΚ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΛΝΠ, καὶ ἐκκείσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΝΠ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΠ, ΠΜ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΛΠΜ τρίγωνον τμῆμα κύκλου. ἔσται δὴ καὶ ἡ πρὸς τῷ Π σημείῳ ἴση τῇ ὑπὸ ΑΕΒ γωνίᾳ. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Ξ τῆς πρὸς τῷ Ο γωνίας· ἡ μὲν γὰρ πρὸς τῷ Ξ ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Σ γωνίᾳ, ἡ δὲ πρὸς τῷ Σ μείζων ἐστὶ τῆς πρὸς τῷ Ο γωνίας· τριγώνου γὰρ τοῦ ΛΣΟ ἐκτός ἐστιν· καὶ ἡ πρὸς τῷ Ξ ἄρα μείζων ἐστὶ τῆς πρὸς τῷ Ο· καί ἐστιν ἡ μὲν πρὸς τῷ Ξ ἴση τῇ ὑπὸ ΓΕΔ, ἡ δὲ πρὸς τῷ Ο τῇ ὑπὸ ΗΕΘ, μείζων ἄρα φανήσεται καὶ ἡ ΓΔ τῆς ΗΘ. πάλιν ἡ μὲν πρὸς τῷ Ο γωνία τῇ ὑπὸ ΗΕΘ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ πρὸς τῷ Π τῇ ὑπὸ ΑΕΒ· μείζων δὲ ἡ Ο τῆς Π. |
| 212 [5] | μείζων ἄρα φανήσεται ἡ ΗΘ τῆς ΑΒ εὐθείας. Μὴ ἔστω δὴ μείζων ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένη τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἀλλὰ ἐλάσσων· ἔσται δὴ περὶ τὰς διαμέτρους τοὐναντίον· ἡ γὰρ τότε μείζων τῶν διαμέτρων νῦν ἐλάσσων φανήσεται, ἡ δὲ ἐλάσσων μείζων. ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ διήχθωσαν δύο διάμετροι τέμνουσαι ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς αἱ ΑΒ, ΓΔ, ἑτέρα δέ τις διήχθω ἡ ΗΘ, ὄμμα δὲ τὸ Ε, ἀφ’ οὗ ἡ ἐπὶ τὸ Ζ κέντρον ἐπιζευχθεῖσα ἔστω ἡ ΕΖ ἐλάσσων οὖσα ἑκατέρας τῶν ἐκ τοῦ κέντρου, πρὸς ὀρθὰς δὲ τῇ ΓΔ ἔστω ἡ ΕΖ, καὶ κείσθω τῇ τοῦ κύκλου διαμέτρῳ ἴση ἡ ΛΜ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Ν, καὶ ἀνήχθω ἀπὸ τοῦ Ν πρὸς ὀρθὰς ἡ ΝΞ ἴση τῇ ΕΖ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν ΛΜ καὶ τὸ Ξ σημεῖον τμῆμα κύκλου τὸ ΛΞΜ· ἔσται δὴ ἔλασσον ἡμικυκλίου, ἐπειδήπερ ἡ ΝΞ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου. ἔσται δὴ ἡ πρὸς τῷ Ξ σημείῳ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΛΞΜ ἴση τῇ πρὸς τῷ Ε, περιεχομένῃ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΕΔ. ἔτι κείσθω τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΗ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΛΝΟ, καὶ ἀφῃρήσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΝΟ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν ΛΜ καὶ τὸ Ο σημεῖον τὸ ΛΟΜ τμῆμα. ἡ δὴ πρὸς τῷ Ο σημείῳ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΛΟΜ ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Ε τῇ περιεχομένῃ ὑπὸ τῶν ΘΕΗ. ἔτι κείσθω τῇ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΕ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΛΝ, ΝΠ, καὶ ἀφῃρήσθω ἡ ΝΠ ἴση τῇ ΕΖ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν ΛΜ καὶ τὸ Π τμῆμα κύκλου τὸ ΛΠΜ· ἔσται δὴ ἡ πρὸς τῷ Π γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΛΠΜ ἴση τῇ πρὸς τῷ Ε γωνίᾳ, περιεχομένῃ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ. |
| 214 [25] | ἐπεὶ οὖν ἐλάσσων ἡ πρὸς τῷ Ξ τῆς πρὸς τῷ Ο, ἴση δὲ ἡ μὲν πρὸς τῷ Ο τῇ πρὸς τῷ Ε, περιεχομένῃ δὲ ὑπὸ τῶν ΘΕ, ΕΗ, ἡ δὲ πρὸς τῷ Ξ τῇ πρὸς τῷ Ε, περιεχομένῃ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΕΔ, ἐλάσσων ἄρα φανήσεται ἡ ΓΔ τῆς ΗΘ. πάλιν ἐπεὶ ἐλάσσων ἡ πρὸς τῷ Ε, περιεχομένη δὲ ὑπὸ τῶν ΘΕΗ τῆς πρὸς τῷ Ε, περιεχομένης δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, ἐλάσσων ἄρα φανήσεται καὶ ἡ ΗΘ τῆς ΑΒ. λζʹ. Τῶν ἁρμάτων οἱ τροχοὶ ὁτὲ μὲν κυκλοειδεῖς, ὁτὲ δὲ παρεσπασμένοι φανοῦνται. ἔστω γὰρ τροχός, οὗ διάμετροι αἱ ΔΖ, ΒΓ. οὐκοῦν ὅταν μὲν ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος εἰς τὸ κέντρον νεύουσα πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ἐπιπέδῳ ἢ ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, ἴσαι αἱ διάμετροι φανοῦνται, ὡς ἐν τῷ πρὸ αὐτοῦ θεωρήματι ἀπεδείχθη· ὥστε ὁ τροχὸς ὁ τοῦ ἅρματος κυκλοειδὴς φαίνεται τούτων ὑπαρχόντων. παραφερομένου δὲ τοῦ ἅρματος καὶ τῆς ἀπὸ τοῦ ὄμματος νευούσης εἰς τὸ κέντρον ἀκτῖνος μήτε πρὸς ὀρθὰς οὔσης τῷ τοῦ τροχοῦ ἐπιπέδῳ μήτε ἴσης τῇ ἐκ τοῦ κέντρου αὐτοῦ ἄνισοι αἱ διάμετροι φανοῦνται ὁμοίως διὰ τὸ πρὸ αὐτοῦ δειχθέν· ὥστε παρεσπασμένος ἂν φαίνοιτο ὁ τροχός. ληʹ. |
| 216 [20] | Ἐὰν μέγεθός τι πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ μετέωρον, τεθῇ δὲ τὸ ὄμμα ἐπί τι σημεῖον τοῦ ἐπιπέδου, καὶ μεθιστῆται τὸ ὁρώμενον ἐπὶ κύκλου περιφερείας, ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται. ἔστω ὁρώμενόν τι μέγεθος τὸ ΑΒ μετεωρότερον τοῦ ἐπιπέδου, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Γ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΒ, καὶ κέντρῳ τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῷ ΓΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΔ. λέγω, ὅτι, ἐὰν ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας μεθιστῆται τὸ ΑΒ, ἀπὸ τοῦ Γ ὄμματος ἴσον ἀεὶ ὀφθήσεται. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΒ ἐστιν ὀρθὴ καὶ ποιεῖ πρὸς τὴν ΒΓ ὀρθὴν γωνίαν, πᾶσαι ἄρα αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ Γ πρὸς τὸ ΑΒ μέγεθος προσπίπτουσαι ἀλλήλαις ἴσας γωνίας ποιοῦσιν. ἴσον ἄρα τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται. ὁμοίως δὲ κἂν ἀπὸ τοῦ Γ κέντρου μετέωρος ἀχθῇ εὐθεῖα, καὶ ἐπ’ αὐτῆς τὸ ὄμμα τεθῇ ἐπὶ παραλλήλου ὂν τῷ ὁρωμένῳ μεγέθει, καὶ μετακινῆται τὸ μέγεθος, ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον φαίνεται. λθʹ. Ἐὰν δὲ τὸ ὁρώμενον πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, μεθιστῆται δὲ τὸ ὄμμα ἐπὶ κύκλου περιφερείας, ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον φανήσεται. ἔστω ὁρώμενον μὲν τὸ ΑΒ μετέωρον ὂν καὶ πρὸς ὀρθὰς πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Γ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ΒΓ κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΔ. |
| 218 [25] | λέγω, ὅτι, ἐὰν τὸ Γ μεθιστῆται ἐπὶ κύκλου περιφερείας, ἴσον ἀεὶ τὸ ΑΒ φανήσεται. τοῦτο δὲ φανερόν ἐστιν· πᾶσαι γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου πρὸς τὸ ΑΒ προσπίπτουσαι ἀκτῖνες πρὸς ἴσας γωνίας προσπίπτουσιν, ἐπειδήπερ ἡ πρὸς τῷ Β ὀρθή ἐστιν. ἴσον ἄρα τὸ ὁρώμενον φανήσεται. μʹ. Ἐὰν δὲ τὸ ὁρώμενον μέγεθος μὴ πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, μεθιστῆται δὲ ἐπὶ κύκλου περιφερείας, ἄνισον ἀεὶ ὀφθήσεται. ἔστω κύκλος ὁ ΑΘ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἀνεστάτω μὴ πρὸς ὀρθὰς τῷ κύκλῳ εὐθεῖα ἡ ΔΖ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε. λέγω, ὅτι ἡ ΔΖ, ἐὰν ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας μεθιστῆται, ποτὲ μείζων φανήσεται, ποτὲ ἐλάσσων. ἤτοι δὴ ἡ ΔΖ μείζων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ἢ ἴση ἢ ἐλάσσων. ἔστω πρότερον μείζων, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ε κέντρου τῇ ΔΖ παράλληλος ἡ ΕΓ, καὶ ἔστω ἴση τῇ ΔΖ ἡ ΕΓ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΓΗ καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Η σημεῖον, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΗ ἐκβεβλήσθω καὶ συμβαλλέτω τῇ περιφερείᾳ κατὰ τὸ Α, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ ΕΓ παράλληλος ἡ ΑΒ, καὶ ἔστω ἡ ΑΒ τῇ ΔΖ ἴση. |
| 220 [20] | λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ πασῶν τῶν ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας μεθισταμένων εὐθειῶν ἐλάσσων φανήσεται. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΓΖ, ΕΖ, ΒΓ, ΕΒ. ἔχομεν δὲ ἐν τῷ παρακειμένῳ τῷ λϛʹ θεωρήματι, ὅτι πασῶν τῶν διὰ τοῦ Ε σημείου ἀγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΕΓ γωνίαν ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΕΑ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΓΕ τῇ ΑΒ παράλληλός ἐστιν, ἀλλὰ καὶ ἴση, καὶ ἡ ΕΑ ἄρα τῇ ΓΒ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΕ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμόν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ δεῖ δεῖξαι, ὅτι ἔλασσον φαίνεται τὸ ΑΒ τοῦ ΔΖ, δῆλον, ὅτι πρότερον δεῖ δεῖξαι, ὅτι ἡ ὑπὸ ΒΕΑ γωνία ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΖΕΔ γωνίας. ἐπεὶ οὖν δέδεικται, ὅτι πασῶν τῶν διὰ τοῦ Ε σημείου διαγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΓΕ γωνίας ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΕΑ, ἐλάσσων ἄρα ἐστὶ καὶ τῆς ὑπὸ ΓΕΔ ἡ ὑπὸ ΓΕΑ. ἐκκείσθω τῷ τοῦ κύκλου ἡμικυκλίῳ ἴσον τὸ ΚΑΛ, καὶ εἰλήφθω αὐτοῦ τὸ κέντρον τὸ Ν, καὶ κείσθω τῇ ὑπὸ ΓΕΑ ἴση γωνία ἡ ὑπὸ ΚΝΜ, τῇ δὲ ὑπὸ ΓΕΔ ἴση ἡ ὑπὸ ΚΝΟ, καὶ κείσθω τῇ ΔΖ ἑκατέρα τῶν ΟΝ, ΜΝ ἴση, καὶ διὰ μὲν τοῦ Μ τῇ ΚΝ ἴση καὶ παράλληλος ἤχθω ἡ ΜΠ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΠΚ· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΝΠ καὶ ἴσον καὶ ὅμοιον τῷ ΒΕ. |
| 222 [5] | πάλιν διὰ τοῦ Ο τῇ ΚΝ ἴση καὶ παράλληλος ἤχθω ἡ ΟΡ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΡΚ· τὸ ΡΝ ἄρα παραλληλόγραμμον ἴσον τε καὶ ὅμοιόν ἐστι τῷ ΖΕ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ διαγώνιοι αἱ ΡΝ, ΠΝ. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΚΝΠ γωνία τῆς ὑπὸ ΚΝΡ γωνίας ἐλάσσων ἐστίν. καί ἐστιν ἡ μὲν ὑπὸ ΚΝΠ ἴση τῇ ὑπὸ ΑΕΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΚΝΡ ἴση τῇ ὑπὸ ΔΕΖ· ἐλάσσων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑπὸ ΔΕΖ. ὥστε καὶ τὸ ΑΒ μέγεθος τοῦ ΔΖ μεγέθους ἔλασσον ὀφθήσεται. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ἡ ΒΑ τῆς ΖΔ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ΖΔ ἴσης τε καὶ ἐλάσσονος τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ὑπαρχούσης. ἀλλὰ δὴ ἔστω ἡ ΔΖ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση, καὶ κατεσκευάσθω πάντα τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον, καὶ κείσθω τῷ τοῦ κύκλου ἡμικυκλίῳ ἴσον ἡμικύκλιον τὸ ΘΚΛ, καὶ εἰλήφθω αὐτοῦ τὸ κέντρον τὸ Ν. καὶ ἐπεὶ ἡ ΔΖ ἴση ὑπόκειται τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΖ τῇ ΘΝ. καὶ κείσθω τῇ μὲν ὑπὸ ΓΕΑ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΘΝΚ, καὶ ἤχθω τῇ ΘΝ παράλληλος ἡ ΚΞ, καὶ τῇ ΘΝ ἀφῃρήσθω ἴση ἡ ΚΞ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΞΘ, τῇ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΕΔ ἴση κείσθω ἡ ὑπὸ τῶν ΘΝΔ, καὶ τῇ ΘΝ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΟ, καὶ ἴση τῇ ΘΝ ἀφῃρήσθω ἡ ΔΟ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΘ· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΘΔ, ΘΚ, καί ἐστιν ἴσα τε καὶ ὅμοια τοῖς ΕΖ, ΕΒ. |
| 224 [25] | ὥστε καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΘΝΔ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΓΕΔ, ἡ δὲ ὑπὸ ΘΝΚ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΓΕΑ. ἐλάσσων δὲ ἡ ὑπὸ ΓΕΑ τῆς ὑπὸ ΓΕΔ· ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΘΝΚ τῆς ὑπὸ ΘΝΔ. [καὶ] ἐπεζεύχθωσαν αἱ διαγώνιοι αἱ ΞΝ, ΟΝ· ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΘΝΞ τῆς ὑπὸ ΘΝΟ. ἴση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ ΘΝΞ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΘΝΟ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ· ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑπὸ ΔΕΖ. ἔλασσον ἄρα ὀφθήσεται τὸ ΑΒ μέγεθος τοῦ ΔΖ μεγέθους· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ἀλλὰ δὴ ἔστω ἡ ΔΖ ἐλάσσων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, καὶ κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον, καὶ κείσθω τῷ τοῦ κύκλου ἡμικυκλίῳ ἴσον τὸ ΘΜ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ν, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΘΝ τῇ ΔΖ ἴση ἡ ΝΞ, καὶ κείσθω τῇ μὲν ὑπὸ ΓΕΑ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΘΝΚ, τῇ δὲ ὑπὸ ΓΕΔ ἴση ἡ ὑπὸ ΘΝΛ, καὶ ἔστω ἴση ἑκατέρα τῶν ΝΚ, ΝΛ τῇ ΔΖ, καὶ ἤχθω διὰ μὲν τοῦ Κ τῇ ΝΞ ἴση καὶ παράλληλος ἡ ΚΟ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΞ, διὰ δὲ τοῦ Λ τῇ ΞΝ παράλληλος ἡ ΛΠ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΠΞ· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΚΞ, ΞΛ, καί ἐστι τὸ μὲν ΚΞ τῷ ΕΒ ἴσον τε καὶ ὅμοιον, τὸ δὲ ΞΛ τῷ ΕΖ· ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΘΝΚ ἴση τῇ ὑπὸ ΓΕΑ, ἡ δὲ ὑπὸ ΘΝΛ τῇ ὑπὸ ΓΕΔ. |
| 226 [20] | μείζων δὲ ἡ ὑπὸ ΓΕΔ τῆς ὑπὸ ΓΕΑ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΘΝΛ τῆς ὑπὸ ΘΝΚ. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΟ, ΝΠ· καὶ ἡ ὑπὸ ΞΝΟ ἄρα τῆς ὑπὸ ΞΝΠ ἐλάσσων ἐστίν. ἴση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ ΞΝΟ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΞΝΠ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ· ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑπὸ ΔΕΖ. καὶ βλέπεται ὑπὸ μὲν τῆς ΑΕΒ τὸ ΑΒ μέγεθος, ὑπὸ δὲ τῆς ὑπὸ ΔΕΖ τὸ ΔΖ. ἔλασσον ἄρα ὀφθήσεται τὸ ΑΒ μέγεθος τοῦ ΔΖ μεγέθους· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. μαʹ. Ἔστι τις τόπος, οὗ τοῦ ὄμματος μένοντος, τοῦ δὲ ὁρωμένου μεθισταμένου, ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον φαίνεται. ἔστω γὰρ ὁρώμενον μὲν τὸ ΒΓ, ὄμμα δὲ τὸ Ζ, ἀφ’ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΖΓ, ΖΒ, καὶ περιειλήφθω τὸ ΖΒΓ τρίγωνον κύκλῳ τῷ ΔΒΖ. λέγω, ὅτι τὸ ΒΓ μεθιστάμενον ἐπὶ τῆς τοῦ γραφέντος κύκλου περιφερείας ἴσον ἀεὶ ὁραθήσεται. μετακείσθω γὰρ τὸ ΒΓ ἐπὶ τοῦ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΖ. οὐκοῦν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ περιφέρεια τῇ ΓΔ περιφερείᾳ. ἴση ἄρα καὶ ἡ Ρ γωνία τῇ Σ γωνίᾳ. τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται. ἴσον ἄρα φαίνεται τὸ ΒΓ τῷ ΓΔ. μβʹ. |
| 228 [25] | Ἔστι τις τόπος, οὗ τοῦ ὄμματος μεθισταμένου, τοῦ δὲ ὁρωμένου μένοντος, ἀεὶ ἴσον τὸ ὁρώμενον φαίνεται. ἔστω γὰρ ὁρώμενον μὲν τὸ ΒΓ, ὄμμα δὲ τὸ Ζ, ἀφ’ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΖΒ, ΖΛ, καὶ περιειλήφθω τὸ ΒΖΓ τρίγωνον τμήματι κύκλου τῷ ΒΖΓ, καὶ μετακείσθω τὸ Ζ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Δ, καὶ μεταπιπτέτωσαν αἱ ἀκτῖνες αἱ ΔΒ, ΔΓ. οὐκοῦν ἴση ἡ Ρ γωνία τῇ Σ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι. τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται. ἴσον ἄρα τὸ ΒΓ διὰ παντὸς φαίνεται τοῦ ὄμματος μεθισταμένου ἐπὶ τῆς ΒΓΔ περιφερείας. μγʹ. Ἔστι τις τόπος, οὗ τοῦ ὄμματος μεθισταμένου, τοῦ δὲ ὁρωμένου μένοντος, ἄνισον τὸ ὁρώμενον φανεῖται. ἔστω γὰρ ὁρώμενον τὸ ΚΔ, εὐθεῖα δὲ ἡ ΒΓ συμπίπτουσα τῇ ΚΔ προσεκβαλλομένῃ, καὶ εἰλήφθω τῆς ΔΓ καὶ τῆς ΓΚ μέση ἀνάλογον ἡ ΓΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΚ καὶ ἡ ΖΔ, περὶ δὲ τὴν ΚΔ τμῆμα γεγράφθω ὀξεῖαν ἔχον τὴν Φ γωνίαν· ἐφάψεται δὴ τῆς ΒΓ εὐθείας, ἐπείπερ ἐστίν, ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς τὴν ΓΚ. κείσθω οὖν τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Β σημείου, καὶ προσβεβλήσθωσαν αἱ ΔΒ, ΒΚ, ἐπεζεύχθω δὲ ἡ ΣΔ. |
| 230 [20] | οὐκοῦν ἴση ἡ Φ γωνία τῇ Σ γωνίᾳ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσιν. καί ἐστιν ἡ Σ τῆς Β γωνίας μείζων· καὶ ἡ Φ ἄρα γωνία τῆς Β μείζων ἐστίν. τοῦ ἄρα ὄμματος ἐπὶ τοῦ Ζ ὄντος μεῖζον φανεῖται τὸ ΚΔ ἤπερ ἐπὶ τοῦ Β. μδʹ. Τὸ δ’ αὐτὸ συμβήσεται, κἂν παράλληλος ᾖ ἡ γραμμὴ τῷ ὁρωμένῳ μεγέθει, ἐφ’ ἧς τὸ ὄμμα μεθίσταται. ἔστω γὰρ παράλληλος ἡ ΒΓ τῷ ὁρωμένῳ τῷ ΔΖ, καὶ δίχα τετμήσθω ἡ ΔΖ κατὰ τὸ Κ, πρὸς ὀρθὰς δὲ ἀνήχθω ἡ ΚΝ. κείσθω οὖν τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Ν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΔ, ΝΖ, περὶ δὲ τὴν ΔΖ τμῆμα γεγράφθω, ὃ δέξεται τὴν Φ, Α γωνίαν. ἐπεὶ οὖν διάμετρός ἐστιν ἡ ΚΝ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἀπ’ ἄκρας ἦκται ἡ ΚΝ τῇ ΒΓ, ἡ ΒΓ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΔΝΖ τμήματος. μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Γ, καὶ προσβεβλήσθωσαν αἱ ΓΖ, ΓΔ, ἐπεζεύχθω δὲ ἡ ΡΖ. οὐκοῦν ἴση ἡ Φ, Α γωνία τῇ Ρ γωνίᾳ. ἡ δὲ Ρ τῆς Σ γωνίας μείζων ἐστίν· μείζων ἄρα καὶ ἡ Φ, Α τῆς Σ. τὰ δὲ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεται· μεῖζον ἄρα φανεῖται τὸ ΔΖ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Ν κειμένου ἤπερ ἐπὶ τοῦ Γ. τοῦ ἄρα ὄμματος ἐπὶ τῆς ΒΓ μεθισταμένου παραλλήλου οὔσης τῇ ΔΖ ἄνισον φαίνεται τὸ ὁρώμενον. μεʹ. |
| 232 [25] | Ἔστι τις τόπος κοινός, ἐν ᾧ τὰ ἴσα μεγέθη ἄνισα φαίνεται. ἔστω γὰρ ἴση ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ, καὶ περὶ μὲν τὴν ΒΓ ἡμικύκλιον γεγράφθω τὸ ΒΖΓ, περὶ δὲ τὴν ΓΔ τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΓ, ΖΔ. οὐκοῦν ἡ ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνία μείζων ἐστὶ τῆς ἐν τῷ μείζονι τμήματι. τὰ δὲ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεται· μείζων ἄρα ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ φαίνεται· ἦν δὲ καὶ ἴση. ἔστιν ἄρα τόπος κοινός, ἐν ᾧ τὰ ἴσα μεγέθη ἄνισα φαίνεται. μϛ.ʹ Ἔστι τις τόπος κοινός, ἀφ’ οὗ τὰ ἄνισα μεγέθη ἴσα φαίνεται. ἔστω γὰρ μείζων ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ, καὶ περὶ μὲν τὴν ΒΓ μεῖζον ἡμικυκλίου τμῆμα γεγράφθω, περὶ δὲ τὴν ΓΔ ὅμοιον τῷ περὶ τὴν ΒΓ, τουτέστι δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ ἐν τῷ ΒΖΓ, ἐπεζεύχθωσαν δὲ αἱ ΖΒ, ΖΓ, ΖΔ. οὐκοῦν ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ἐν τοῖς ὁμοίοις τμήμασι γωνίαι ἀλλήλαις, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ἐν τοῖς ΒΖΓ, ΓΖΔ τμήμασι γωνίαι ἀλλήλαις. τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται· τοῦ ἄρα ὄμματος τιθεμένου ἐπὶ τοῦ Ζ σημείου ἴση ἂν φαίνοιτο ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ· ἔστι δὲ μείζων. |
| 234 [25] | ἔστι τις ἄρα τόπος κοινός, ἀφ’ οὗ τὰ ἄνισα μεγέθη ἴσα φαίνεται. μζʹ. Εἰσί τινες τόποι, ἐν οἷς τὰ ἄνισα μεγέθη δύο εἰς ταὐτὸ συντεθέντα ἴσα ἑκατέρῳ τῶν ἀνίσων φαίνεται. ἔστω γὰρ μείζων ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ, καὶ περὶ τὰς ΒΓ, ΓΔ ἡμικύκλια γεγράφθωσαν καὶ περὶ ὅλην τὴν ΒΔ. οὐκοῦν ἴση ἡ ἐν τῷ ΒΑΔ ἡμικυκλίῳ γωνία τῇ ἐν τῷ ΒΚΓ· ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα αὐτῶν. ἴση ἄρα φαίνεται ἡ ΒΓ τῇ ΒΔ· ὡσαύτως δὲ καὶ ἡ ΒΔ τῇ ΓΔ τῶν ὀμμάτων ἐπὶ τῶν ΒΑΔ, ΒΚΓ, ΓΖΔ ἡμικυκλίων κειμένων. εἰσί τινες ἄρα τόποι, ἐν οἷς τὰ ἄνισα μεγέθη δύο εἰς ταὐτὸ συντεθέντα ἴσα ἑκατέρῳ τῶν ἀνίσων φαίνεται. μηʹ. Εὑρεῖν τόπους, ἀφ’ ὧν τὸ ἴσον μέγεθος ἥμισυ φανεῖται ἢ τέταρτον μέρος καὶ καθόλου ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ, ἐν ᾧ καὶ ἡ γωνία τέμνεται. ἔστω γὰρ εὐθεῖα ἡ ΛΖ, καὶ περὶ τὴν ΛΖ γεγράφθω τμῆμα τυχόν, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὸ γωνία ἡ Κ, τῇ δὲ ΛΖ ἴση ἔστω ἡ ΒΓ, καὶ περὶ τὴν ΒΓ περιγεγράφθω τμῆμα, ὃ δέξεται τὴν τῆς Κ γωνίας ἡμίσειαν. |
| 236 [20] | οὐκοῦν ἡ Κ γωνία διπλασία ἐστὶ τῆς Δ γωνίας. διπλασία ἄρα φαίνεται ἡ ΛΖ τῆς ΒΓ τῶν ὀμμάτων ἐπὶ τῶν ΛΚΖ, ΒΔΓ περιφερειῶν κειμένων. μθʹ. Τῶν ἴσῳ τάχει φερομένων καὶ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ὄντων προσιόντων μὲν πρὸς τὸ ὄμμα τὸ τελευταῖον προηγεῖσθαι δόξει, παραλλαξάντων δὲ τὸ μὲν προηγούμενον ἐπακολουθεῖν, τὸ δὲ ἐπακολουθοῦν προηγεῖσθαι δόξει. φερέσθω γὰρ ἰσοταχῶς τὰ ΒΓ, ΔΖ, ΚΛ, καὶ ἀπὸ τοῦ Μ ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΜΓ, ΜΖ, ΜΛ. οὐκοῦν μετεωροτάτη ἐστὶ καὶ δεξιωτέρα τῶν ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἀκτίνων προσπιπτουσῶν ἡ ΜΓ· τὸ ἄρα ΒΓ δόξει προηγεῖσθαι. παραλλαξάντων δὲ τῶν ΒΓ, ΔΖ, ΚΛ καὶ ἐπὶ τῶν ΝΞ, ΠΡ, ΣΤ γενομένων προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΜΝ, ΜΠ, ΜΣ. οὐκοῦν πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἀκτίνων προσπιπτουσῶν δεξιωτέρα ἐστὶν ἡ ΜΣ, ἀριστερὰ δὲ μᾶλλον ἡ ΜΝ· ὥστε καὶ τὸ μὲν ΣΤ προηγεῖσθαι δόξει, ἐπακολουθεῖν δὲ τὸ ΝΞ. τὸ μὲν ἄρα ΒΓ προηγούμενον ἐπὶ τοῦ ΝΞ γενόμενον δόξει ἐπακολουθεῖν, τὸ δὲ ΛΚ ἐπακολουθοῦν ἐπὶ τοῦ ΣΤ γενόμενον δόξει προηγεῖσθαι. νʹ. |
| 238 [25] | Ἐάν τινων φερομένων πλειόνων ἀνίσῳ τάχει συμπαραφέρηται ἐπὶ τὰ αὐτὰ καὶ τὸ ὄμμα, τὰ μὲν τῷ ὄμματι ἰσοταχῶς φερόμενα δόξει ἑστάναι, τὰ δὲ βραδύτερον εἰς τοὐναντίον φέρεσθαι, τὰ δὲ θᾶττον εἰς τὰ προηγούμενα. φερέσθω γὰρ ἀνίσῳ τάχει τὰ Β, Γ, Δ, καὶ βραδύτατα μὲν φερέσθω τὸ Β, τὸ δὲ Γ ἰσοταχῶς τῷ Κ ὄμματι, τὸ δὲ Δ θᾶττον τοῦ Γ, ἀπὸ δὲ τοῦ Κ ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΚΒ, ΚΓ, ΚΔ. οὐκοῦν τοῦ ὄμματος συμπαραφερομένου τοῖς Β, Γ, Δ τὸ μὲν Γ κατὰ τὴν ΓΚ ἀεὶ φερόμενον ἑστάναι δόξει, τὸ δὲ Β ὑπολειπόμενον εἰς τοὐναντίον δόξει φέρεσθαι, τὸ δὲ Δ, ἐπεὶ θᾶττον τοῦ Γ φέρεται, δόξει εἰς τοὔμπροσθεν· πλεῖον γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ ἀποστήσεται. ναʹ. Ἐάν τινων φερομένων διαφαίνηταί τι μὴ φερόμενον, δόξει τὸ μὴ φερόμενον εἰς τοὐναντίον φέρεσθαι. φερέσθω γὰρ τὰ Β, Δ, μενέτω δὲ τὸ Γ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΖΒ, ΖΓ, ΖΔ. οὐκοῦν τὸ μὲν Β φερόμενον ἔγγιον ἔσται τοῦ Γ, τὸ δὲ Δ ἀποχωροῦν πορρώτερον. ὥστε δόξει τὸ Γ εἰς τοὐναντίον φέρεσθαι. νβʹ. |
| 240 [25] | Τοῦ ὄμματος ἔγγιον τοῦ ὁρωμένου προσιόντος δόξει τὸ ὁρώμενον ηὐξῆσθαι. ὁράσθω γὰρ τὸ ΒΓ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Ζ κειμένου ὑπὸ τῶν ΖΒ, ΖΓ ἀκτίνων, καὶ μετακείσθω τὸ ὄμμα ἔγγιον τοῦ ΒΓ καὶ ἔστω ἐπὶ τοῦ Δ, καὶ ὁράσθω τὸ αὐτὸ ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΔΓ ἀκτίνων. οὐκοῦν μείζων ἡ Δ γωνία τῆς Ζ γωνίας. τὰ δὲ ὑπὸ μειζόνων γωνιῶν ὁρώμενα μείζονα φαίνεται· δόξει ἄρα ηὐξῆσθαι τὸ ΒΓ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Δ ὄντος ἤπερ ἐπὶ τοῦ Ζ. νγʹ. Τῶν ἴσῳ τάχει φερομένων τὰ πόρρω δοκεῖ βραδύτερον φέρεσθαι. φερέσθω γὰρ ἰσοταχῶς τὰ Β, Κ ὡς ἐπὶ τὰ Ζ μέρη, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ὄμματος ἀκτῖνες ἤχθωσαν αἱ ΑΓ, ΑΔ, ΑΖ. οὐκοῦν τὸ Κ ἐλάσσονας ἔχει τὰς ἀπὸ τοῦ Α ὄμματος ἀκτῖνας ἠγμένας ἤπερ τὸ Β· ἔλαττον ἄρα διάστημα διελεύσεται καὶ πρότερον παραλλάσσον τὴν ΑΖ ὄψιν δόξει ταχύτερον φέρεσθαι. νδʹ. Τοῦ ὄμματος παραφερομένου τὰ πόρρω τῶν ὁρωμένων καταλείπεσθαι δόξει. ἔστω γὰρ ὄμμα τὸ Β, ἀφ’ οὗ ἤχθωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΓ, ΒΔ, ΒΖ, ὁρώμενα δὲ τὰ Κ, Λ. |
| 242 [25] | οὐκοῦν τοῦ ὄμματος παραφερομένου πρὸς τοῖς Γ μέρεσι θᾶττον παρελεύσονται αἱ ὄψεις τὸ Κ ἤπερ τὸ Λ. δόξει ἄρα τὸ Κ ὑπολείπεσθαι, τὸ δὲ Λ εἰς τοὐναντίον φέρεσθαι, τουτέστιν ὡς ἐπὶ τὰ πρὸς τῷ Ζ μέρη. νεʹ. Τὰ αὐξανόμενα τῶν μεγεθῶν ἔγγιον δοκεῖ τῷ ὄμματι προσάγεσθαι. ἔστω γὰρ ὁρώμενον τὸ ΓΒ ὑπὸ τῶν ΚΒ, ΚΓ ἀκτίνων, καὶ ηὐξήσθω τὸ ΒΓ τῷ ΒΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Κ ὄμματος προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡ ΚΔ. οὐκοῦν μείζων ἡ ὑπὸ ΔΚΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΚΓ γωνίας. τὰ δὲ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα ἔγγιον φαίνεται. ἔγγιον ἄρα δόξει εἶναι τὸ ΓΔ ἤπερ τὸ ΒΓ. νϛ.ʹ Ὅσα μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἀποστήματι κεῖται μὴ παράλληλα κείμενα τῶν ἄκρων μὴ κατάλληλα κειμένων τῶν μέσων μηδὲ ἐπ’ εὐθείας ὄντων, τὸ ὅλον σχῆμα ὁτὲ μὲν κοῖλον, ὁτὲ δὲ κυρτὸν ποιεῖ. ὁράσθω γὰρ τὰ Β, Γ, Δ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Κ κειμένου, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΚΒ, ΚΓ, ΚΔ. |
| 244 [5] | οὐκοῦν τὸ ὅλον σχῆμα κοῖλον ἂν δόξειεν εἶναι. μετακινείσθω δὴ πάλιν τὸ ὁρώμενον καὶ ἔγγιον κείσθω τοῦ ὄμματος. οὐκοῦν τὸ ΔΒΓ δόξει κυρτὸν εἶναι. νζʹ. Τετραγώνου ὑπάρχοντος ἐὰν ἀπὸ τῆς συναφῆς τῶν διαμέτρων πρὸς ὀρθάς τις ἀναχθῇ τῷ τοῦ τετραγώνου ἐπιπέδῳ, ἐπὶ δὲ ταύτης τεθῇ τὸ ὄμμα, αἵ τε πλευραὶ τοῦ τετραγώνου καὶ αἱ διάμετροι ἴσαι φανοῦνται. ἔστω γὰρ τετράγωνον τὸ ΓΖ, καὶ διάμετροι ἤχθωσαν αἱ ΓΖ, ΚΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω τῷ ἐπιπέδῳ ἡ ΘΒ, τὸ δὲ ὄμμα κείσθω ἐπὶ τοῦ Β, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΚΒ, ΒΔ, ΒΓ, ΒΖ. οὐκοῦν δύο αἱ ΖΘ, ΘΒ δύο ταῖς ΓΘ, ΘΒ ἴσαι εἰσίν. εἰσὶ δὲ καὶ αἱ γωνίαι αἱ περιεχόμεναι ὑπ’ αὐτῶν ἴσαι, τουτέστιν αἱ πρὸς τῷ Θ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΖΒ βάσις τῇ ΒΓ βάσει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΚΒ τῇ ΒΔ ἴση ἐστίν. δύο δὴ αἱ ΖΒ, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΚΒ, ΔΒ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καί εἰσιν αἱ διάμετροι ἴσαι· ὥστε καὶ αἱ πρὸς τῷ Β γωνίαι ἴσαι ἔσονται. τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται· ἴσαι ἄρα φανοῦνται αἵ τε διάμετροι καὶ αἱ πλευραὶ τοῦ τετραγώνου. Τῆς δὲ ἀπὸ τῶν ὀμμάτων ἐπὶ τὴν συναφὴν τῶν διαμέτρων μήτε πρὸς ὀρθὰς οὔσης τῷ ἐπιπέδῳ μήτε ἴσης ἑκατέρᾳ τῶν ἀπὸ τῆς συναφῆς πρὸς τὰς γωνίας τοῦ τετραγώνου ἀγομένων μήτε ἴσας γωνίας περιεχούσης μετ’ αὐτῶν αἱ διάμετροι ἄνισοι φανοῦνται. |
| 246 | ὁμοίως γὰρ δείξομεν τὰ συμβαίνοντα, καθάπερ καὶ ἐν τοῖς κύκλοις. |