Λαέρτιος Διογένης Ἀρχύτας Μνησαγόρου Ταραντῖνος, ὡς δὲ Ἀριστόξενος Ἑστιαίου, Πυθαγορικὸς καὶ αὐτός. οὗτός ἐστιν ὁ Πλάτωνα ῥυσάμενος διʼ ἐπιστολῆς παρὰ Διονυσίου μέλλοντα ἀναιρεῖσθαι. ἐθαυμάζετο δὲ καὶ παρὰ τοῖς πολλοῖς ἐπὶ πάσηι ἀρετῆι· καὶ δὴ ἑπτάκις πολιτῶν ἐστρατήγησε, τῶν ἄλλων μὴ πλέον ἐνιαυτοῦ στρατηγούντων διὰ τὸ κωλύειν τὸν νόμον. πρὸς τοῦτον καὶ Πλάτων γέγραφεν ἐπιστολὰς δύο, ἐπειδήπερ αὐτῶι πρότερος γεγράφει τοῦτον τὸν τρόπον.
γεγόνασι δὲ Ἀρχῦται τέτταρες· πρῶτος αὐτὸς οὗτος, δεύτερος Μιτυληναῖος μουσικός, τρίτος Περὶ γεωργίας συγγεγραφώς, τέταρτος ἐπιγραμματοποιός. ἔνιοι καὶ πέμπτον ἀρχιτέκτονά φασιν, οὗ φέρεται βιβλίον Περὶ μηχανῆς ἀρχὴν ἔχον ταύτην· «τάδε περὶ Τεύκρου Καρχηδονίου διήκουσα». — περὶ δὲ τοῦ μουσικοῦ φέρεται καὶ τόδε, ὡς ὀνειδιζόμενος ἐπὶ τῶι μὴ ἐξακούεσθαι εἴποι· «τὸ γὰρ ὄργανον ὑπὲρ ἐμοῦ διαγωνιζόμενον λαλεῖ». —
τὸν δὲ Πυθαγορικὸν Ἀριστόξενός φησι μηδέποτε στρατηγοῦντα ἡττηθῆναι· φθονούμενον δʼ ἅπαξ ἐκχωρῆσαι τῆς στρατηγίας, καὶ τοὺς αὐτίκα ληφθῆναι. οὗτος πρῶτος τὰ μηχανικὰ ταῖς μαθηματικαῖς προσχρησάμενος ἀρχαῖς μεθώδευσε καὶ πρῶτος κίνησιν ὀργανικὴν διαγράμματι γεωμετρικῶι προσήγαγε, διὰ τῆς τομῆς τοῦ ἡμικυλίνδρου δύο μέσας ἀνὰ λόγον λαβεῖν ζητῶν εἰς τὸν τοῦ κύβου διπλασιασμόν. κἀν γεωμετρίαι πρῶτος κύβον εὗρεν, ὥς φησι Πλάτων ἐν Πολιτείαι.
Σοῦδα Ἀρχύτας Ταραντῖνος Ἑστιαίου υἱὸς ἢ Μνησάρχου ἢ Μνασαγέτου ἢ Μνασαγόρου, φιλόσοφος Πυθαγορικός. οὗτος Πλάτωνα ἔσωσε μὴ φονευθῆναι ὑπὸ Διονυσίου τοῦ τυράννου. τοῦ κοινοῦ δὲ τῶν Ἰταλιωτῶν προέστη, στρατηγὸς αἱρεθεὶς αὐτοκράτωρ ὑπὸ τῶν πολιτῶν καὶ τῶν περὶ ἐκεῖνον τὸν τόπον Ἑλλήνων. ἅμα δὲ καὶ φιλοσοφίαν ἐκπαιδεύων μαθητάς τʼ ἐνδόξους ἔσχε καὶ βιβλία συνέγραψε πολλά.
τοῦτον φανερῶς γενέσθαι διδάσκαλον Ἐμπεδοκλέους … καὶ παροιμία «Ἀρχύτου πλαταγή», ὅτι Ἀ. πλαταγὴν εὗρεν ἥτις ἐστὶν εἶδος ὀργάνου ἦχον καὶ ψόφον ἀποτελοῦντος.
Στράβων ἴσχυσαν δέ ποτε οἱ Ταραντῖνοι καθʼ ὑπερβολὴν πολιτευόμενοι δημοκρατικῶς ... ἀπεδέξαντο δὲ καὶ τὴν Πυθαγόρειον φιλοσοφίαν, διαφερόντως δʼ Ἀ. ὃς καὶ προέστη τῆς πόλεως πολὺν χρόνον.
Πλάτων ὅμως δʼ οὖν ἀσφαλέστερόν μοι ἔδοξε χαίρειν τότε γε πολλὰ καὶ Δίωνα καὶ Διονύσιον ἐᾶν καὶ ἀπηχθόμην ἀμφοῖν ἀποκρινάμενος ὅτι γέρων τε εἴην καὶ κατὰ τὰς ὁμολογίας οὐδὲν γίγνοιτο τῶν τὰ νῦν πραττομένων. ἔοικε δὴ τὸ μετὰ τοῦτο Ἀρχύτης τε παρὰ Διονύσιον ἀφικέσθαι· ἐγὼ γὰρ πρὶν ἀπιέναι ξενίαν καὶ φιλίαν Ἀρχύτηι καὶ τοῖς ἐν Τάραντι καὶ Διονυσίωι ποιήσας ἀπέπλεον ... ἔπεμψε μὲν γὰρ δὴ Διονύσιος τρίτον ἐπʼ ἐμὲ τριήρη ῥαιστώνης ἕνεκα τῆς πορείας, ἔπεμψε δὲ Ἀρχέδημον, ὃν ἡγεῖτό με τῶν ἐν Σικελίαι περὶ πλείστου ποιεῖσθαι τῶν Ἀρχύτηι ξυγγεγονότων ἕνα καὶ ἄλλους γνωρίμους τῶν ἐν Σικελίαι ... ἐπιστολαὶ δὲ ἄλλαι ἐφοίτων παρά τε Ἀρχύτου καὶ τῶν ἐν Τάραντι τήν τε φιλοσοφίαν ἐγκωμιάζουσαι τὴν Διονυσίου, καὶ ὅτι, ἂν μὴ ἀφίκωμαι νῦν, τὴν πρὸς Διονύσιον αὐτοῖς γενομένην φιλίαν διʼ ἐμοῦ οὐ σμικρὰν οὖσαν πρὸς τὰ πολιτικὰ παντάπασι διαβαλοίην. πορεύομαι δὴ ... πολλὰ δεδιὼς μαντευόμενός τε οὐ πάνυ καλῶς. προσιόντες δέ μοι ἄλλοι τε καὶ οἱ τῶν ὑπηρεσιῶν ὄντες Ἀθήνηθεν ἐμοὶ πολῖται ἀπήγγελλον ὅτι διαβεβλημένος εἴην ἐν τοῖς πελτασταῖς καί μοί τινες ἀπειλοῖεν, εἴ που λήψονταί με, διαφθερεῖν. μηχανῶμαι δή τινα τοιάνδε σωτηρίαν· πέμπω παρʼ Ἀρχύτην καὶ τοὺς ἄλλους φίλους εἰς Τάραντα, φράζων ἐν οἷς ὢν τυγχάνω. οἱ δὲ πρόφασίν τινα πρεσβείας πορισάμενοι παρὰ τῆς πόλεως πέμπουσι τριακόντορόν τε καὶ Λαμίσκον αὑτῶν ἕνα, ὃς ἐλθὼν ἐδεῖτο Διονυσίου περὶ ἐμοῦ λέγων, ὅτι βουλοίμην ἀπιέναι καὶ μηδαμῶς ἄλλως ποιεῖν· ὁ δὲ ξυνωμολόγησε καὶ ἀπέπεμψεν ἐφόδια δούς ... ἐλθὼν δὲ εἰς Πελοπόννησον εἰς Ὀλυμπίαν Δίωνα καταλαβὼν θεωροῦντα ἤγγελλον τὰ γεγονότα. Ἀρχύταν τὴν Ταραντίνων πόλιν οὕτω καλῶς καὶ φιλανθρώπως διοικήσαντα καὶ κύριον αὐτῆς καταστάντα, ὥστʼ εἰς ἅπαντας τὴν ἐκείνου μνήμην διενεγκεῖν· ὃς ἐν ἀρχῆι καταφρονούμενος ἐκ τοῦ Πλάτωνι πλησιάσαι τοσαύτην ἔλαβεν ἐπίδοσιν.
Πρόκλος ἐν δὲ τούτωι τῶι χρόνωι καὶ Λεωδάμας ὁ Θάσιος ἦν καὶ Ἀ. ὁ Ταραντῖνος καὶ Θεαίτητος ὁ Ἀθηναῖος, παρʼ ὧν ἐπηυξήθη τὰ θεωρήματα καὶ προῆλθεν εἰς ἐπιστημονικωτέραν σύστασιν.
Ἰάμβλιχος Σπίνθαρος γοῦν διηγεῖτο πολλάκις περὶ Ἀρχύτου τοῦ Ταραντίνου ὅτι διὰ χρόνου — τινὸς — εἰς ἀγρὸν ἀφικόμενος ἐκ στρατείας νεωστὶ παραγεγονώς, ἣν ἐστρατεύσατο ἡ πόλις εἰς Μεσσαπίους, ὡς εἶδε τόν τε ἐπίτροπον καὶ τοὺς ἄλλους οἰκέτας οὐκ εὖ τῶν περὶ τὴν γεωργίαν ἐπιμέλειαν πεποιημένους, ἀλλὰ μεγάληι τινὶ κεχρημένους ὀλιγωρίας ὑπερβολῆι, ὀργισθείς τε καὶ ἀγανακτήσας οὕτως, ὡς ἂν ἐκεῖνος, εἶπεν, ὡς ἔοικε … πρὸς τοὺς οἰκέτας, ὅτι εὐτυχοῦσιν, ὅτι αὐτοῖς ὤργισται· εἰ γὰρ μὴ τοῦτο συμβεβηκὸς ἦν, οὐκ ἄν ποτε αὐτοὺς ἀθώιους γενέσθαι τηλικαῦτα ἡμαρτηκότας.
Ἀθήναιος καὶ Ἀθηνόδωρος δὲ ἐν τῶι Περὶ σπουδῆς καὶ παιδιᾶς Ἀρχύτην φησὶ τὸν Ταραντῖνον πολιτικὸν ἅμα καὶ φιλόσοφον γενόμενον πλείστους οἰκέτας ἔχοντα αἰεὶ τούτοις παρὰ τὴν δίαιταν ἀφιεμένοις εἰς τὸ συμπόσιον ἥδεσθαι·
Κλαύδιος Αἰλιανός ἀλλὰ καὶ Ἀ. ὁ Ταραντῖνος πολιτικός τε καὶ φιλόσοφος ἀνὴρ γενόμενος πολλοὺς ἔχων οἰκέτας τοῖς αὐτῶν παιδίοις πάνυ σφόδρα ἐτέρπετο μετὰ τῶν οἰκοτρίβων παίζων· μάλιστα δὲ ἐφίλει τέρπεσθαι αὐτοῖς ἐν τοῖς συμποσίοις.
Ἀθήναιος Ἀριστόξενος δʼ ὁ μουσικὸς ἐν τῶι Ἀρχύτα βίωι ἀφικέσθαι φησὶ παρὰ Διονυσίου τοῦ νεωτέρου πρεσβευτὰς πρὸς τὴν Ταραντίνων πόλιν, ἐν οἷς εἶναι καὶ Πολύαρχον τὸν Ἡδυπαθῆ ἐπικαλούμενον, ἄνδρα περὶ τὰς σωματικὰς ἡδονὰς ἐσπουδακότα καὶ οὐ μόνον τῶι ἔργωι ἀλλὰ καὶ τῶι λόγωι. ὄντα δὲ γνώριμον τῶι Ἀρχύται καὶ φιλοσοφίας οὐ παντελῶς ἀλλότριον ἀπαντᾶν εἰς τὰ τεμένη καὶ συμπεριπατεῖν τοῖς περὶ τὸν Ἀρχύταν ἀκροώμενον τῶν λόγων. ἐμπεσούσης δέ ποτε ἀπορίας καὶ σκέψεως περί τε τῶν ἐπιθυμιῶν καὶ τὸ σύνολον περὶ τῶν σωματικῶν ἡδονῶν ἔφη ὁ Πολύαρχος κτλ.
Ἀριστοτέλης καὶ τὴν Ἀρχύτου πλαταγὴν οἴεσθαι γενέσθαι καλῶς, ἣν διδόασι τοῖς παιδίοις ὅπως χρώμενοι ταύτηι μηδὲν καταγνύωσι τῶν κατὰ τὴν οἰκίαν· οὐ γὰρ δύναται τὸ νέον ἡσυχάζειν.
Αὖλος Γέλλιος, Φαβωρῖνος ὁ Ἀρελάτης Ἀ. Ταραντῖνος τὰ ἄλλα καὶ μηχανικὸς ὢν ἐποίησεν περιστερὰν ξυλίνην πετομένην, ἣν ὁπότε καθίσειεν, οὐκέτι ἀνίστατο. μέχρι γὰρ τούτου …
Κλαύδιος Αἰλιανός Ἀ. τά τε ἄλλα ἦν σώφρων καὶ οὖν καὶ τὰ ἄκοσμα ἐφυλάττετο τῶν ὀνομάτων. ἐπεὶ δέ ποτε ἐβιάζετό τι εἰπεῖν τῶν ἀπρεπῶν, οὐκ ἐξενικήθη, ἀλλʼ ἐσιώπησε μὲν αὐτό, ἐπέγραψε δὲ κατὰ τοῦ τοίχου, δείξας μὲν ὃ εἰπεῖν ἐβιάζετο, οὐ μὴν βιασθεὶς εἰπεῖν.
Ἀριστοτέλης Ἀ. ἔφη ταὐτὸν εἶναι διαιτητὴν καὶ βωμόν· ἐπʼ ἄμφω γὰρ τὸ ἀδικούμενον καταφεύγει.
Ἡσύχιος ὁ Ἀλεξανδρεύς περὶ τῆς Ἀρχύτου φιλοσοφίας γ, ἐκ τῶν Τιμαίου καὶ Ἀρχύτου α. περὶ τῆς Ἀρχυτείου φιλοσοφίας α β γ. Ἀριστοτέλης δὲ ἐν τοῖς Ἀρχυτείοις ἱστορεῖ καὶ Πυθαγόραν ἄλλο τὴν ὕλην καλεῖν ὡς ῥευστὴ καὶ ἀεὶ ἄλλο καὶ ἄλλο γιγνόμενον.
Εὐτόκιος ὁ Ἀσκαλωνίτης ἡ Ἀρχύτου εὕρεσις, ὡς Εὔδημος ἱστορεῖ. Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΔ, Γ. δεῖ δὴ τῶν ΑΔ, Γ δύο μέσας ἀνὰ λόγον εὑρεῖν. γεγράφθω περὶ τὴν μείζονα τὴν ΑΔ κύκλος ὁ ΑΒΔΖ, καὶ τῆι Γ ἴση ἐνηρμόσθω ἡ ΑΒ, καὶ ἐκβληθεῖσα συμπιπτέτω τῆι ἀπὸ τοῦ Δ ἐφαπτομένηι τοῦ κύκλου κατὰ τὸ Π. παρὰ δὲ τὴν ΠΔΟ ἤχθω ἡ ΒΕΖ, καὶ νενοήσθω ἡμικυλίνδριον ὀρθὸν ἐπὶ τοῦ ΑΒΔ ἡμικυκλίου, ἐπὶ δὲ τῆς ΑΔ ἡμικύκλιον ὀρθὸν ἐν τῶι τοῦ ἡμικυλινδρίου παραλληλογράμμωι κείμενον, τοῦτο δὴ τὸ ἡμικύκλιον περιαγόμενον ὡς ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Β μένοντος τοῦ Α πέρατος τῆς διαμέτρου τεμεῖ τὴν κυλινδρικὴν ἐπιφάνειαν ἐν τῆι περιαγωγῆι καὶ γράψει ἐν αὐτῆι γραμμήν τινα· πάλιν δέ, ἐὰν τῆς ΑΔ μενούσης τὸ ΑΠΔ τρίγωνον περιενεχθῆι τὴν ἐναντίαν τῶι ἡμικυκλίωι κίνησιν, κωνικὴν ποιήσει ἐπιφάνειαν τῆι ΑΠ εὐθείαι, ἣ δὴ περιαγομένη συμβαλεῖ τῆι κυλινδρικῆι γραμμῆι κατά τι σημεῖον· ἅμα δὲ καὶ τὸ Β περιγράψει ἡμικύκλιον ἐν τῆι τοῦ κώνου ἐπιφανείαι. ἐχέτω δὴ θέσιν κατὰ τὸν τόπον τῆς συμπτώσεως τῶν γραμμῶν τὸ μὲν κινούμενον ἡμικύκλιον ὡς τὴν τοῦ ΔʹΚΑ, τὸ δὲ ἀντιπεριαγόμενον τρίγωνον τὴν τοῦ ΔʹΛΑ, τὸ δὲ τῆς εἰρημένης συμπτώσεως σημεῖον ἔστω τὸ Κ. ἔστω δὲ καὶ τὸ διὰ τοῦ Β γραφόμενον ἡμικύκλιον τὸ ΒΜΖ, κοινὴ δὲ αὐτοῦ τομὴ καὶ τοῦ ΒΔΖΑ κύκλου ἔστω ἡ ΒΖ. καὶ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ τοῦ ΒΔΑ ἡμικυκλίου ἐπίπεδον κάθετος ἤχθω· πεσεῖται δὴ ἐπὶ τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν διὰ τὸ ὀρθὸν ἑστάναι τὸν κύλινδρον. πιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΚΙ, καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ι ἐπὶ τὸ Α ἐπιζευχθεῖσα συμβαλέτω τῆι ΒΖ κατὰ τὸ Θ, ἡ δὲ ΑΛ τῶι ΒΜΖ ἡμικυκλίωι κατὰ τὸ Μ. ἐπεζεύχθωσαν δὲ καὶ αἱ ΚΔʹ, ΜΙ, ΜΘ. ἐπεὶ οὖν ἑκάτερον τῶν ΔʹΚΑ, ΒΜΖ ἡμικυκλίων ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, καὶ ἡ κοινὴ ἄρα αὐτῶν τομὴ ἡ ΜΘ πρὸς ὀρθάς ἐστι τῶι τοῦ κύκλου ἐπιπέδωι· ὥστε καὶ πρὸς τὴν ΒΖ ὀρθή ἐστιν ἡ ΜΘ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΘΒ, ΘΖ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΘΑ, ΘΙ, ἴσον ἐστὶ τῶι ἀπὸ ΜΘ. ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΜΙ τρίγωνον ἑκατέρωι τῶν ΜΙΘ, ΜΑΘ· καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΙΜΑ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΔʹΚΑ ὀρθή. παράλληλοι ἄρα εἰσὶν αἱ ΚΔʹ, ΜΙ, καὶ ἔσται ἀνὰ λόγον ὡς ἡ ΔʹΑ πρὸς ΑΚ, τουτέστιν ἡ ΚΑ πρὸς ΑΙ, οὕτως ἡ ΙΑ πρὸς ΑΜ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων· τέσσαρες ἄρα αἱ ΔʹΑ, ΑΚ, ΑΙ, ΑΜ ἑξῆς ἀνὰ λόγον εἰσίν. καὶ ἔστιν ἡ ΑΜ ἴση τῆι Γ, ἐπεὶ καὶ τῆι ΑΒ. δύο ἄρα δοθεισῶν τῶν ΑΔ, Γ δύο μέσαι ἀνὰ λόγον ηὕρηνται αἱ ΑΚ, ΑΙ.
Ἐρατοσθένης ὁ Κυρηναῖος, Εὐτόκιος ὁ Ἀσκαλωνίτης μηδὲ σύ γʼ Ἀρχύτεω δυσμήχανα ἔργα κυλίνδρων μηδὲ Μεναιχμείους κωνοτομεῖν τριάδας διζήσηι, μηδʼ εἴ τι θεουδέος Εὐδόξοιο καμπύλον ἐν γραμμαῖς εἶδος ἀναγράφεται. τῶν δὲ φιλοπόνως ἐπιδιδόντων ἑαυτοὺς καὶ ζητούντων δύο τῶν δοθεισῶν δύο μέσας λαβεῖν Ἀ. μὲν ὁ Ταραντῖνος λέγεται διὰ τῶν ἡμικυλίνδρων εὑρηκέναι, Εὔδοξος δὲ διὰ τῶν καλουμένων καμπύλων γραμμῶν. συμβέβηκε δὲ πᾶσιν αὐτοῖς ἀποδεικτικῶς γεγραφέναι, χειρουργῆσαι δὲ καὶ εἰς χρείαν πεσεῖν μὴ δύνασθαι πλὴν ἐπὶ βραχύ τι τοῦ Μεναίχμου καὶ ταῦτα δυσχερῶς. διὸ καὶ Πλάτων αὐτὸς ἐμέμψατο τοὺς περὶ Εὔδοξον καὶ Ἀρχύταν καὶ Μέναιχμον εἰς ὀργανικὰς καὶ μηχανικὰς κατασκευὰς τὸν τοῦ στερεοῦ διπλασιασμὸν ἀπάγειν ἐπιχειροῦντας, ὥσπερ πειρωμένους διʼ ἀλόγου δύο μέσας ἀνὰ λόγον, ἧι παρείκοι, λαβεῖν· ἀπόλλυσθαι γὰρ οὕτω καὶ διαφθείρεσθαι τὸ γεωμετρίας ἀγαθὸν αὖθις ἐπὶ τὰ αἰσθητὰ παλινδρομούσης καὶ μὴ φερομένης ἄνω μηδʼ ἀντιλαμβανομένης τῶν ἀιδίων καὶ ἀσωμάτων εἰκόνων, πρὸς αἷσπερ ὢν ὁ θεὸς ἀεὶ θεός ἐστιν.
Κλαύδιος Πτολεμαῖος Ἀ. δὲ ὁ Ταραντῖνος μάλιστα τῶν Πυθαγορείων ἐπιμεληθεὶς μουσικῆς· πειρᾶται μὲν τὸ κατὰ τὸν λόγον ἀκόλουθον διασώιζειν οὐκ ἐν ταῖς συμφωνίαις μόνον ἀλλὰ καὶ ταῖς τῶν τετραχόρδων διαιρέσεσιν, ὡς οἰκείου τῆι φύσει τῶν ἐμμελῶν ὄντος τοῦ συμμέτρου τῶν ὑπεροχῶν ... τρία μὲν τοίνυν οὗτος ὑφίσταται γένη, τό τε ἐναρμόνιον καὶ τὸ χρωματικὸν καὶ τὸ διατονικόν· ἑκάστου δὲ αὐτῶν ποιεῖται τὴν διαίρεσιν οὕτως· τὸν μὲν γὰρ ἑπόμενον λόγον ἐπὶ τῶν τριῶν γενῶν τὸν αὐτὸν ὑφίσταται καὶ ἐπὶ κζ, τὸν δὲ μέσον ἐπὶ μὲν τοῦ ἐναρμονίου ἐπὶ λε, ἐπὶ δὲ τοῦ διατονικοῦ ἐπὶ ζ, ὥστε καὶ τὸν ἡγούμενον τοῦ μὲν ἐναρμονίου γένους συνάγεσθαι ἐπὶ δ, τοῦ δὲ διατονικοῦ ἐπὶ η. τὸν δὲ ἐν τῶι χρωματικῶι γένει δεύτερον ἀπὸ τοῦ ὀξυτάτου φθόγγου λαμβάνει διὰ τοῦ τὴν αὐτὴν θέσιν ἔχοντος ἐν τῶι διατονικῶι· φησὶ γὰρ λόγον ἔχειν τὸν ἐν τῶι χρωματικῶι δεύτερον ἀπὸ τοῦ ὀξυτάτου πρὸς τὸν ὅμοιον τὸν ἐν τῶι διατονικῶι τὸν τῶν σνϛ πρὸς τὰ σμγ. συνίσταται δὴ τὰ τοιαῦτα τετράχορδα κατὰ τοὺς ἐκκειμένους λόγους ἐν πρώτοις ἀριθμοῖς τούτοις· ἐὰν γὰρ τοὺς μὲν ὀξυτάτους τῶν τετραχόρδων ὑποστησώμεθα, ͵αφιβ, τοὺς δὲ βαρυτάτους κατὰ τὸν ἐπίτριτον λόγον τῶν αὐτῶν ͵βιϛ, ταῦτα μὲν ποιήσει ἐπὶ κζ πρὸς τὰ ͵αϡμδ· καὶ τοσούτων ἔσονται πάλιν ἐν τοῖς τρισὶ γένεσιν οἱ δεύτεροι λόγοι ἀπὸ τῶν βαρυτάτων· τῶν δʼ ἀπὸ τοῦ ὀξυτάτου δευτέρων ὁ μὲν τοῦ ἐναρμονίου γένους ἔσται ͵αωϙ. ταῦτα γὰρ πρὸς μὲν τὰ ͵αϡμδ ποιεῖ τὸν ἐπὶ λε λόγον, πρὸς δὲ τὰ ͵αφιβ τὸν ἐπὶ δ· ὁ δὲ τοῦ διατονικοῦ γένους τῶν αὐτῶν ἔσται ͵αψα· καὶ ταῦτα γὰρ πρὸς μὲν τὰ ͵αϡμδ τὸν ἐπὶ ζ ποιεῖ λόγον· πρὸς δὲ τὰ ͵αφιβ τὸν ἐπὶ η· ὁ δὲ τοῦ χρωματικοῦ καὶ αὐτὸς ἔσται τῶν αὐτῶν ͵αψϙβ· ταῦτα γὰρ λόγον ἔχει πρὸς τὰ ͵αψα, ὃν τὰ σνϛ πρὸς τὰ σμγ.
Πορφύριος τῶν Πυθαγορικῶν τινες, ὡς Ἀ. καὶ Δίδυμος ἱστοροῦσι, μετὰ τὸ καταστήσασθαι τοὺς λόγους τῶν συμφωνιῶν συγκρίνοντες αὐτοὺς πρὸς ἀλλήλους καὶ τοὺς συμφώνους μᾶλλον ἐπιδεικνύναι βουλόμενοι τοιοῦτόν τι ἐποίουν· πρώτους λαβόντες ἀριθμούς, οὓς ἐκάλουν πυθμένας, τῶν τοὺς λόγους τῶν συμφωνιῶν ἀποτελούντων ... τούτους οὖν τοὺς ἀριθμοὺς ἀποδόντες ταῖς συμφωνίαις ἐσκόπουν καθʼ ἕκαστον λόγον, τῶν τοὺς ὅρους περιεχόντων ἀριθμῶν ἀφελόντες ἀφʼ ἑκατέρων τῶν ὅρων ἀνὰ μονάδα, τοὺς ἀπολειπομένους ἀριθμοὺς μετὰ τὴν ἀφαίρεσιν οἵτινες εἶεν· οἷον τῶν β α, οἵπερ ἦσαν τῆς διὰ πασῶν, ἀφελόντες ἀνὰ μονάδα ἐσκόπουν τὸ καταλειπόμενον· ἦν δὲ ἕν. τῶν δὲ δ καὶ γ, οἵτινες ἦσαν τῆς διὰ τεσσάρων, ἀφελόντες ἀνὰ μονάδα εἶχον ἐκ μὲν οὖν τῶν τεσσάρων ὑπολειπόμενον τὸν τρία, ἐκ δὲ τῶν τριῶν τὸν δύο· ὥστʼ ἀπὸ συναμφοτέρων τῶν ὅρων μετὰ τὴν ἀφαίρεσιν τὸ ὑπολειπόμενον ἦν πέντε. τῶν δὲ γ καὶ β, οἵτινες ἦσαν τῆς διὰ πέντε, ἀφελόντες ἀνὰ μονάδα εἶχον ἐκ μὲν τῶν τριῶν ὑπολειπόμενα δύο, ἐκ δὲ τῶν δύο ὑπολειπόμενον ἕν, ὥστε τὸ συναμφότερον λειπόμενον εἶναι τρία. ἐκάλουν δὲ τὰς μὲν ἀφαιρουμένας μονάδας ὅμοια, τὰ δὲ λειπόμενα μετὰ τὴν ἀφαίρεσιν ἀνόμοια, διὰ δύο αἰτίας, ὅτι ἐξ ἀμφοῖν τῶν ὅρων ὁμοία ἡ ἀφαίρεσις ἐγίνετο καὶ ἴση· ἴση γὰρ ἡ μονὰς τῆι μονάδι· ὧν ἀφαιρουμένων ἐξ ἀνάγκης τὰ ὑπολειπόμενα ἀνόμοια καὶ ἄνισα. ἐὰν γὰρ ἀπὸ ἀνίσων ἴσα ἀφαιρεθῆι, τὰ λοιπὰ ἔσται ἄνισα. οἱ δὲ πολλαπλάσιοι λόγοι καὶ ἐπιμόριοι, ἐν οἷς θεωροῦνται αἱ συμφωνίαι, ἐν ἀνίσοις ὅροις ὑφεστήκασιν, ἀφʼ ὧν ἴσων ἀφαιρουμένων τὰ λοιπὰ πάντως ἄνισα. γίνεται οὖν τὰ ἀνόμοια τῶν συμφωνιῶν συμμιγέντα· συμμίσγειν δὲ λέγουσιν οἱ Πυθαγόρειοι τὸ ἕνα ἐξ ἀμφοτέρων ἀριθμὸν λαβεῖν. ἔσται οὖν τὰ ἀνόμοια συντεθέντα καὶ καθʼ ἑκάστην τῶν συμφωνιῶν τοιαῦτα· τῆς μὲν διὰ πασῶν ἕν, τῆς δὲ διὰ τεσσάρων πέντε, τῆς δὲ διὰ πέντε τρία. ἐφʼ ὧν δʼ ἄν, φασί, τὰ ἀνόμοια ἐλάσσονα ἦι, ἐκεῖνα τῶν ἄλλων εἰσὶ συμφωνότερα· σύμφωνον μέν ἐστιν ἡ διὰ πασῶν, ὅτι ταύτης τὰ ἀνόμοια ἕν· μεθʼ ἣν ἡ διὰ πέντε, ὅτι ταύτης τὰ ἀνόμοια τρία· τελευταία δὲ ἡ διὰ τεσσάρων, ὅτι ταύτης τὰ ἀνόμοια πέντε.
Πορφύριος ἔλεγον δὲ οἱ περὶ τὸν Ἀρχύταν ἑνὸς φθόγγου γίνεσθαι κατὰ τὰς συμφωνίας τὴν ἀντίληψιν τῆι ἀκοῆι.
Θέων ὁ Σμυρναῖος οἱ δὲ περὶ Εὔδοξον καὶ Ἀρχύταν τὸν λόγον τῶν συμφωνιῶν ἐν ἀριθμοῖς ὤιοντο εἶναι ὁμολογοῦντες καὶ αὐτοὶ ἐν κινήσεσιν εἶναι τοὺς λόγους καὶ τὴν μὲν ταχεῖαν κίνησιν ὀξεῖαν εἶναι ἅτε πλήττουσαν συνεχὲς καὶ ὠκύτερον κεντοῦσαν τὸν ἀέρα, τὴν δὲ βραδεῖαν βαρεῖαν ἅτε νωθεστέραν οὖσαν.
Θέων ὁ Σμυρναῖος Ἀ. δὲ καὶ Φιλόλαος ἀδιαφόρως τὸ ἓν καὶ μονάδα καλοῦσι καὶ τὴν μονάδα ἕν.
Θέων ὁ Σμυρναῖος Ἀριστοτέλης δὲ ἐν τῶι Πυθαγορικῶι τὸ ἕν φησιν ἀμφοτέρων μετέχειν τῆς φύσεως· ἀρτίωι μὲν γὰρ προστεθὲν περιττὸν ποιεῖ, περιττῶι δὲ ἄρτιον, ὃ οὐκ ἂν ἠδύνατο, εἰ μὴ ἀμφοῖν τοῖν φυσέοιν μετεῖχε· διὸ καὶ ἀρτιοπέριττον καλεῖσθαι τὸ ἕν. συμφέρεται δὲ τούτοις καὶ Ἀ.
Ἀριστοτέλης ἔοικε γὰρ ὁ μὲν διὰ τῶν διαφορῶν λόγος τοῦ εἴδους καὶ τῆς ἐνεργείας εἶναι, ὁ δʼ ἐκ τῶν ἐνυπαρχόντων τῆς ὕλης μᾶλλον. ὁμοίως δὲ καὶ οἵους Ἀ. ἀπεδέχετο ὅρους· τοῦ συνάμφω γάρ εἰσιν. οἷον τί ἐστι νηνεμία; ἠρεμία ἐν πλήθει ἀέρος. ὕλη μὲν γὰρ ὁ ἀήρ, ἐνέργεια δὲ καὶ οὐσία ἡ ἠρεμία. τί ἐστι γαλήνη; ὁμαλότης θαλάττης, τὸ μὲν ὑποκείμενον ὡς ὕλη ἡ θάλαττα, ἡ δʼ ἐνέργεια καὶ ἡ μορφὴ ἡ ὁμαλότης.
Εὔδημος ὁ Ῥόδιος, Σιμπλίκιος ὁ Κίλιξ Πλάτων δὲ τὸ μέγα καὶ μικρὸν καὶ τὸ μὴ ὂν καὶ τὸ ἀνώμαλον καὶ ὅσα τούτοις ἐπὶ ταὐτὸ φέρει τὴν κίνησιν λέγει· φαίνεται δὲ ἄτοπον αὐτὸ τοῦτο τὴν κίνησιν λέγειν· παρούσης γὰρ δοκεῖ κινήσεως κινεῖσθαι τὸ ἐν ὧι. ἀνίσου δὲ ὄντος ἢ ἀνωμάλου προσαναγκάζειν ὅτι κινεῖται γελοῖον· βέλτιον γὰρ αἴτια λέγειν ταῦτα ὥσπερ Ἀ.
Ἀριστοτέλης διὰ τί τὰ μόρια τῶν φυτῶν καὶ τῶν ζώιων, ὅσα μὴ ὀργανικά, πάντα περιφερῆ, τῶν μὲν φυτῶν τὸ στέλεχος καὶ οἱ πτόρθοι, τῶν δὲ ζώιων κνῆμαι, μηροί, βραχίονες, θώραξ· τρίγωνον δὲ οὐδὲ πολύγωνον οὔτε ὅλον οὔτε μόριόν ἐστιν; πότερον, ὡς Ἀ. ἔλεγε, διὰ τὸ ἐν τῆι κινήσει τῆι φυσικῆι ἐνεῖναι τὴν τοῦ ἴσου ἀναλογίαν — κινεῖσθαι γὰρ ἀνάλογον πάντα —, ταύτην δὲ μόνην εἰς αὑτὴν ἀνακάμπτειν, ὥστε κύκλους ποιεῖν καὶ στρογγύλα, ὅταν ἐγγένηται;
Εὔδημος ὁ Ῥόδιος, Σιμπλίκιος ὁ Κίλιξ Ἀ. δὲ, ὥς φησιν Εὔδημος, οὕτως ἠρώτα τὸν λόγον· «ἐν τῶι ἐσχάτωι οἷον τῶι ἀπλανεῖ οὐρανῶι γενόμενος πότερον ἐκτείναιμι ἂν τὴν χεῖρα ἢ τὴν ῥάβδον εἰς τὸ ἔξω ἢ οὔ;» καὶ τὸ μὲν οὖν μὴ ἐκτείνειν ἄτοπον· εἰ δὲ ἐκτείνω, ἤτοι σῶμα ἢ τόπος τὸ ἐκτὸς ἔσται — διοίσει δὲ οὐδέν, ὡς μαθησόμεθα. ἀεὶ οὖν βαδιεῖται τὸν αὐτὸν τρόπον ἐπὶ τὸ ἀεὶ λαμβανόμενον πέρας καὶ ταὐτὸν ἐρωτήσει, καὶ εἰ ἀεὶ ἕτερον ἔσται ἐφʼ ὃ ἡ ῥάβδος, δῆλον ὅτι καὶ ἄπειρον. καὶ εἰ μὲν σῶμα, δέδεικται τὸ προκείμενον· εἰ δὲ τόπος, ἔστι δὲ τόπος τὸ ἐν ὧι σῶμά ἐστιν ἢ δύναιτʼ ἂν εἶναι, τὸ δὲ δυνάμει ὡς ὂν χρὴ τιθέναι ἐπὶ τῶν ἀιδίων, καὶ οὕτως ἂν εἴη σῶμα ἄπειρον καὶ τόπος.