ΣΧΟΛΙΑ ΕΙΣ ΤΟ Μ ΤΩΝ ΜΕΤΑ ΤΑ ΦΥΣΙΚΑ
Ἐν τῷ Λ τῆς προκειμένης πραγματείας, ἣν καὶ Μετὰ τὰ Φυσικὰ ἐπιγράφει, εἰπὼν περὶ τῆς πρώτης καὶ θείας καὶ ἀκινήτου ἀρχῆς ὅτι νοῦς ἐστι καὶ ἐνέργεια πάντῃ πάντως ἀμοιροῦσα τοῦ δυνάμει, εὑρὼν δὲ καὶ ἀπὸ τοῦ πλήθους τῶν φερομένων σφαιρῶν ὁπόσαι εἰσὶν αἱ ὑφειμέναι μὲν τῆς πρώτης ἀρχῆς κινητικαὶ δὲ τοῦ πλανωμένου παντὸς σώματος, ἀσώματοι καὶ αὗται καὶ ἀκίνητοι οὖσαι, ἐν τῷ παρόντι βιβλίῳ, ὃ Μ ἐπιγράφεται, καὶ τῷ ἐφεξῆς τῷ Ν, ὃ τέλος ἐστὶ τῆς ὅλης πραγματείας, ἐπισκέπτεται τάς τε τῶν Πυθαγορείων περὶ ἀρχῶν δόξας καὶ τὰς τοῦ Πλάτωνος, ζητῶν πάνυ ἐντρεχέστατα εἰ ἔστι τὰ μαθήματα καὶ πῶς ἐστιν, εἴ εἰσιν αἱ ἰδέαι καὶ ὁ τῶν ἰδεῶν ἀριθμός, καὶ τρίτον εἰ τῶν ὄντων ἀρχαί εἰσιν αἱ ἰδέαι καὶ οἱ ἀριθμοί. καὶ ἐν μὲν τῷ Μ διαλέγεται περὶ τῶν προτέρων δύο, ἐν δὲ τῷ Ν περὶ τοῦ τρίτου.
Λέγει οὖν ὅτι περὶ μὲν τῆς τῶν αἰσθητῶν ὑλικῆς οὐσίας εἴρηται ἐν τῷ Α τῆς Φυσικῆς ἀκροάσεως, ὕστερον δέ, τουτέστιν ἐν τῷ Β τῆς πραγματείας ἐκείνης, περὶ τῆς κατʼ ἐνέργειαν καὶ εἰδικῆς οὐσίας. ἀλλὰ περὶ μὲν ὕλης καὶ εἴδους εἴρηται ἐν ἐκείνοις· ἐπεὶ δέ, φησίν, ἡ σκέψις ἡμῖν ἐστιν ἐν τῇ παρούσῃ πραγματείᾳ ἰδεῖν εἰ ἔστι τις παρὰ τὰς αἰσθητὰς οὐσίας ἀκίνητος καὶ ἀίδιος καὶ ἀσώματος, ἢ οὐκ ἔστι, καὶ εἰ ἔστι, τίς ἐστιν, εἴρηται δὲ ἡμῖν τὰ δοκοῦντα περὶ τῆς τοιαύτης οὐσίας, μετὰ ταῦτα τὰ παρὰ τῶν ἄλλων λεγόμενα θεωρητέον — οὐ γὰρ ἐνδεικτικόν ἐστι τὸ πρῶτον τοῦ μετὰ τὸ τὰ παρὰ τῶν ἄλλων ἐπισκέψασθαι ἐρεῖν αὐτὸν περὶ ἐκείνης· εἴρηκε γάρ· εἰ μὴ ἄρα τὸ πρῶτον ἀντὶ τοῦ προηγουμένως καὶ ἐπιμελῶς τὰ παρὰ τῶν ἄλλων λεγόμενα θεωρητέον εἴληπται· καὶ τὴν αἰτίαν, διʼ ἣν τὰ παρὰ τῶν ἄλλων λεγόμενα τεθεωρηκέναι βούλεται, ἐπήγαγεν εἰπὼν ὅπως εἴτε τι μὴ καλῶς λέγουσι, μὴ τοῖς αὐτοῖς ἔνοχοι ὦμεν. εἴη δʼ ἂν λέγων ὅτι τὸ ἀντιλέγειν τε τοῖς ὑπʼ αὐτῶν λεγομένοις, καὶ εὐθύνειν εἴ τι μὴ καλῶς λέγουσιν, ἅμα τε δείξει ἡμᾶς μὴ ἀρεσκομένους τοῖς τούτων δόγμασι, καὶ σὺν αὐτοῖς εἰς εὐθύνας ὑποπεσεῖν οὐκ ἐάσει. ὡς γὰρ ὁ μὴ προδοὺς πόλιν οὐ συγκολασθησόμενος ἄγεται τῷ προδεδωκότι, οὕτως οὐδὲ ἡμεῖς σὺν αὐτοῖς εὐθυνθησόμεθα ὑπὸ τῶν ἐλέγχειν αὐτοὺς βουλομένων, δείξαντες ἐκ τοῦ ἀντειπεῖν πρὸς αὐτοὺς ὅτι οὐ συγκοινωνοὶ τοῖς ὑπʼ αὐτῶν λεγομένοις ἐσμέν. εἴ τι οὖν, φησίν, ὑπὸ τούτων λέγεται μὴ καλῶς, οὐ σὺν αὐτοῖς καὶ ἡμεῖς ὡς ἀρεσκόμενοι αὐτῷ κατακριθησόμεθα· ἐκ γὰρ τοῦ ἐνίστασθαι πρὸς αὐτὸ δείκνυμεν ὡς οὔτε ἀρεσκόμεθα τούτῳ καὶ ἑαυτοὺς ἐλευθεροῦμεν τῶν ἐλέγχων, οἷς ὑποπεσεῖσθαι μέλλουσιν οἱ τούτοις ἀρεσκόμενοι. εἰ δέ τι κοινὸν ἡμῖν τε καὶ ἐκείνοις ἐστὶ δόγμα, βουληθείη δέ τις κατʼ αὐτοῦ τοῦ δόγματος καὶ διʼ αὐτοῦ καθʼ ἡμῶν ἐνίστασθαι, οὐ δυσχερανοῦμεν ὡς καθʼ ἡμῶν μόνων ἰδίᾳ ἐνισταμένου. ὥσπερ γὰρ ὅταν τις μόνος ζημίᾳ περιπέσῃ ἀφορήτως λυπεῖται, ὅταν δὲ καὶ ἄλλους τὸ αὐτὸ πάσχοντας ὁρᾷ μετρίως φέρει διὰ τὸ ὁρᾶν καὶ ἄλλους αὑτῷ συμπάσχοντας, οὕτω καὶ περὶ τοὺς λόγους. ὅταν γάρ τις μόνος ἐλέγχηται περί τινος δόγματος, δυσχεραίνει ἀμέτρως καὶ ἑαυτὸν πάνυ ταλανίζει ὡς αὐτὸς μόνος ἀπατηθείς· εἰ δὲ καὶ ἄλλους τούτῳ περιπεπτωκότας ἴδῃ, οὐ δυσχεραίνει τοσοῦτον, ὅσον ὅταν μόνος αὐτὸς ηὐθύνετο. ὥστε εἴ τι, φησίν, ἐστὶ κοινὸν ἡμῖν τε καὶ ἐκείνοις, τοῦτʼ ἰδίᾳ μὴ καθʼ ἡμῶν δυσχεραίνωμεν, τουτέστιν οὐ δυσχερανοῦμεν ὡς καθʼ ἡμῶν μόνον ὂν τὸ ἔγκλημα — ἀφορήτως γὰρ ἂν ἡμῶν ἥψατο τὸ πάθος —, ἀλλʼ ἕξομεν μετρίως διὰ τὸ καὶ ἄλλους ἔχειν ἡμῖν τοῦ τοιούτου συγκοινωνούς. τὸ δὲ ἀγαπητὸν γὰρ εἴ τις τὰ μὲν κάλλιον λέγει τὰ δὲ μὴ χεῖρον ἀντὶ τοῦ ἀγαπητὸν γὰρ καὶ φίλιον ἡμῖν ἔσται, ἐὰν τῶν ὑφʼ ἡμῶν λεχθησομένων τὰ μὲν κάλλιον ἔσται τῶν ὑπʼ ἐκείνων λεγομένων, τὰ δὲ μὴ χεῖρον. ὅσα γὰρ ἂν πρὸς ἔλεγχον ῥηθείη τῆς τῶν Πυθαγορείων καὶ Πλάτωνος δόξης, καλλίονα ἔσται τῶν τοῦ Πυθαγόρου καὶ Πλάτωνος δογμάτων, ὅσα δὲ τοῖς τούτων δόγμασι συνᾴσεται, οὐ χείρονα. Δύο δʼ εἰσὶ δόξαι περὶ τούτων. τά τε γὰρ μαθηματικά φασιν οὐσίας εἶναί τινες.
Δύο θεὶς αἰτίας διʼ ἃς τὰ ὑπὸ τῶν Πυθαγορείων καὶ Πλάτωνος λεγόμενα ἐπισκέψασθαι τὴν πρόθεσιν ποιεῖται, πρῶτον ἐκτίθεται τὰς τούτων δόξας καὶ οὕτως ἐπισκέπτεται αὐτάς. λέγει οὖν ὅτι δύο εἰσὶν αἱ δόξαι περὶ τούτων, τουτέστι δύο εἰσὶν αἱ τούτων δόξαι, μία μὲν ἡ τῶν ἀριθμῶν καὶ γραμμῶν καὶ τῶν συγγενῶν τούτοις ἐπιπέδων καὶ στιγμῶν, ἄλλη δὲ ἡ τῶν ἰδεῶν· ἀμφότεροι δὲ οὐσίας αὐτὰ ἔλεγον, ἤτοι ἐνεργείᾳ καὶ καθʼ αὑτά, οἱ μὲν τὰς γραμμὰς καὶ τὰ ἐπίπεδα καὶ τοὺς ἀριθμούς, οἱ δὲ τὰ εἴδη. καὶ ἐπεὶ οἱ μὲν τῶν Πυθαγορείων δύο γένη καὶ δύο φύσεις ποιοῦσι τὰ μαθηματικὰ καὶ τὰς ἰδέας, ἄλλην μὲν τὴν τῶν μαθηματικῶν καὶ ἄλλην τὴν τῶν ἰδεῶν, ἄλλοι δὲ τοὺς ἀριθμοὺς καὶ τὰς ἰδέας τῆς αὐτῆς ποιοῦσι φύσεως, μηδὲν διαφέρειν ἀλλήλων λέγοντες, ἕτεροι δὲ καὶ αὐτοὶ Πυθαγόρειοι τὰς μὲν ἰδέας ἀποδοκιμάζουσι καὶ οὐδαμῶς προσίενται, μόνας δὲ τὰς μαθηματικὰς οὐσίας εἶναί φασι, σκεπτέον, φησί, πρῶτον περὶ τῶν μαθηματικῶν, μηδεμίαν προστιθέντας αὐτοῖς φύσιν, μηδὲ θεωροῦντας ἢ ὅλως ἀναλογιζομένους εἴτε ἰδέαι τὰ μαθηματικὰ τυγχάνουσι καὶ τὰ αὐτά ἐστιν ἐκείναις εἴτε μή. οὔτε οὖν τοῦτο σκοπητέον οὔτε πολλῷ τέως τὸ νῦν πολυπραγμονητέον εἴ εἰσιν ἀρχαὶ τὰ μαθηματικὰ πάντων τῶν ὄντων, ἀλλὰ μόνον τοῦτο ἐξεταστέον εἰ ὅλως εἰσὶν ἐν ὑπάρξει, καὶ ἂν ὦσι, πῶς εἰσι, πότερον ἐνεργείᾳ καὶ καθʼ αὑτά, ὡς οἱ ταῦτα τιθέμενοι βούλονται, ἢ ἐξ ἀφαιρέσεως παρʼ ἡμῶν γεννῶνται καὶ τοῦ εἶναι τυγχάνουσιν, ὡς αὐτῷ τε τῷ Ἀριστοτέλει καὶ τῇ φίλῃ δοκεῖ ἀληθείᾳ. εἶτα μετὰ τὴν τῶν μαθηματικῶν ἐπίσκεψιν ζητητέον, φησί, καὶ περὶ τῶν ἰδεῶν χάριν νόμου. ἐπεὶ γὰρ νόμος καὶ ἔθος ἐστίν, ὅταν τις περί τινων ἀποφαίνηται, ἐπισκέπτεσθαι καὶ τὰς τῶν ἄλλων περὶ τῶν τοιούτων δόξας, ἵνα μὴ μένουσαι ἀνεξέταστοι ταράττωσι τοὺς ἐντυγχάνοντας, εἴρηκε δὲ αὐτὸς περὶ τῶν πρώτων καὶ ἀκινήτων ἀρχῶν τίνες καὶ πόσαι εἰσί, διὰ τὸν νόμον, φησί, τοῦτον καὶ τὸ ἔθος ἐπισκέψασθαι τὰ περὶ τῶν ἰδεῶν βούλομαι. ἐπεὶ ὅτι οὔκ εἰσιν ἰδέαι, δέδεικται μὲν πολλαχοῦ, τεθρύληται δὲ καὶ εἰς ἐξέτασιν τὰ περὶ αὐτῶν ἤχθη καὶ ἐν τοῖς ἐξωτερικοῖς λόγοις, καὶ οὐκ ἔδει πάλιν τὸν περὶ αὐτῶν ἀνακινεῖν λόγον· ἀλλὰ διὰ τὸν νόμον καὶ τὸ ἔθος πάλιν ἐπισκεπτέον περὶ αὐτῶν μετὰ τὰ περὶ τῶν μαθηματικῶν σκέμματα. ἔτι δέ, φησίν, ὅταν ἐπισκοπῶμεν τὰ περὶ τῶν εἰδῶν, τοῦτο ζητεῖν ἡμᾶς ὑποληπτέον, ὡς ἄρα οὐσίαι καὶ ἀρχαί εἰσιν αἱ ἰδέαι τῶν ὄντων ἢ οὔ· μετὰ γὰρ τὴν τῶν ἰδεῶν ζήτησιν τοῦτο λοιπόν ἐστιν ἰδεῖν ἡμᾶς, εἴτε εἰσὶν ἀρχαὶ καὶ οὐσίαι τῶν ὄντων αἱ ἰδέαι εἴτε μή. ἢ τὸ μετὰ γὰρ τὰς ἰδέας αὕτη λείπεται τρίτη σκέψις ἴσον ἐστὶ τῷ μετὰ γὰρ τὸ δεῖξαι ὡς οὔκ εἰσιν αἱ ἰδέαι, λοιπόν ἐστι λέγειν ὅτι ὅλως ἀνύπαρκτοι οὖσαι πῶς ἂν εἶεν ἀρχαὶ τῶν ὄντων; τὸ γὰρ ἁπλῶς μὴ ὂν οὐδενός ἐστιν ἀρχή. ταῦτα εἰπὼν καὶ ἤδη χωρῆσαι βουλόμενος πρὸς ἔλεγχον τῶν μαθηματικῶν, διαιρέσει χρῆται τοιαύτῃ. ἀνάγκη, εἴπερ εἰσὶ τὰ μαθηματικὰ οὐσίαι τινὲς καὶ φύσεις καὶ ἐνεργείᾳ ἀλλὰ μὴ δυνάμει, ἢ ἐν τοῖς αἰσθητοῖς εἶναι, ὥσπερ τινὲς τῶν Πυθαγορείων λέγουσι — λέγουσι γάρ τινες τούτων ὅτι ὥσπερ ἡ λογικὴ ψυχή, οἷον φέρε τοῦ Σωκράτους ἢ τοῦ οὐρανοῦ, εἰ καὶ ἐν ὑπάρξει ἐστὶ καὶ ὀντότητος μετέχει καὶ καθʼ αὑτήν ἐστιν, ὅμως ἐν σώματι ἔστιν, ἡ μὲν οὐρανία τοῦ παντός, ἡ δὲ τοῦ Σωκράτους ἐν τῷ τοῦ Σωκράτους σώματι, οὕτω καὶ τὰ μαθηματικὰ ἐνεργείᾳ καὶ καθʼ αὑτὰ ὄντα ἐν τοῖς αἰσθητοῖς εἰσιν· ἢ οὖν ἐν τοῖς αἰσθητοῖς εἰσι τὰ μαθηματικά, ἢ οὐκ ἐν τούτοις ἀλλὰ καθʼ αὑτά, ἔν τινι μὴ ὄντα, ὥσπερ οὐδὲ αἱ ἀσώματοι καὶ ἀκίνητοι καὶ θεῖαι οὐσίαι. ἢ εἰ μήτε ἐν τοῖς αἰσθητοῖς μήτε καθʼ αὑτά, ἢ ὅλως οὔκ εἰσι, καὶ ἔσονται αἱ μαθηματικαὶ περὶ μὴ ὄντα, ἢ εἰσὶ μέν, ἀλλʼ ἄλλον τρόπον, ὡς οὗτος βούλεται, ἐξ ἀφαιρέσεως. ὥστε, φησίν, ἡ ἀμφισβήτησις ἡμῖν ἐστιν οὐ περὶ τοῦ εἰ ἔστι τὰ μαθηματικά — εἶναι γὰρ καὶ ἡμεῖς φαμεν —, ἀλλὰ περὶ τοῦ τρόπου τῆς ὑπάρξεως πῶς τὸ εἶναι ἔχουσι, πότερόν εἰσιν ἐνεργείᾳ καὶ καθʼ αὑτὰ ἢ ἐν τοῖς αἰσθητοῖς εἰσιν ἢ ἐξ ἀφαιρέσεως. Ὅτι μὲν οὖν ἔν γε τοῖς αἰσθητοῖς ἀδύνατον εἶναι καὶ ἅμα πλασματίας ὁ λόγος, εἴρηται μὲν καὶ ἐν τοῖς ἀπορήμασιν.
Ἐντεῦθεν ἄρχεται τῶν ἐλέγχων δεικνὺς ὅτι τὰ μαθηματικὰ οὔκ εἰσιν ἐν τοῖς αἰσθητοῖς ἄλλα ὄντα τῶν αἰσθητῶν. καί φησιν ὅτι μὲν οὖν οὔκ εἰσι τὰ μαθηματικὰ ἐν τοῖς αἰσθητοῖς, εἴρηται καὶ ἐν τῷ Β ταύτης τῆς πραγματείας· ἐκεῖ γὰρ περὶ τούτων ἠπόρησε, λέγων εἰ τὸ μαθηματικὸν σῶμα τριχῇ ἐστι διαστατόν, ἐστὶ δὲ καὶ τὸ αἰσθητὸν καὶ φυσικὸν σῶμα τριχῇ διαστατόν, ἔστι δὲ τὸ μαθηματικὸν σῶμα ἐν τῷ φυσικῷ σώματι, ἐχώρησαν αἱ τοῦ μαθηματικοῦ διαστάσεις ἐν ταῖς τοῦ αἰσθητοῦ διαστάσεσιν, ὥστε ἐχώρησε σῶμα διὰ σώματος· ἀλλʼ ἀδύνατον. διʼ οὗ οὖν λόγου δείκνυται ὅτι ἀδύνατον τὰ μαθηματικὰ στερεὰ ἄλλα ὄντα παρὰ τὰ φυσικὰ ἐν τούτοις εἶναι, διὰ τοῦ αὐτοῦ δειχθήσεται ὅτι οὐδὲ τὰς ἄλλας δυνάμεις καὶ φύσεις — λέγοι δʼ ἂν δυνάμεις καὶ φύσεις τὰ πέρατα τούτων, τὰ ἐπίπεδα καὶ τὰς γραμμάς, εἰ μὴ ἄρα καὶ τὰ τῇ ὀπτικῇ καὶ τῇ ἁρμονικῇ καὶ ταῖς συστοίχοις ἐπιστήμαις ὑποβεβλημένα περιλαμβάνει —, οὐδὲ τὰς ἄλλας οὖν δυνάμεις οἷόν τε ἄλλας οὔσας τῶν αἰσθητῶν ἐν αὐτοῖς εἶναι· ἀλλὰ ἔσονται μὲν ἐν τοῖς αἰσθητοῖς, ἀλλὰ δυνάμει καὶ ἐξ ἀφαιρέσεως αὐτοῖς τὸ εἶναι ἔσται. ἀλλὰ ταῦτα μὲν εἰρῆσθαι καὶ πρότερόν φησι, προσάπτει δὲ αὐτοῖς καὶ ἕτερον ἄτοπον, λέγων ἀλλὰ πρὸς τούτοις φανερὸν ὅτι ἀδύνατον διαιρεθῆναι ὁτιοῦν σῶμα. ὃ δὲ λέγει δυνάμει τοιοῦτόν ἐστιν. εἰ γὰρ τὰ μαθηματικὰ μεγέθη ἄλλα ὄντα τῶν αἰσθητῶν ἐν αὐτοῖς ἐστιν, οὐ διαιρεθήσεται τὰ σώματα· εἰ γὰρ διαιρεθῇ, διαιρεθήσεται ἡ στιγμή· εἰ δὲ ἀδύνατον διαιρεθῆναι τὴν στιγμήν, ἀδύνατον καὶ ᾧ εἵπετο τὸ διαιρεθῆναι αὐτήν· τοῦτο δὲ ἦν τὸ τὰ μαθηματικὰ ἄλλα ὄντα τῶν αἰσθητῶν ἐν αὐτοῖς εἶναι. ὅτι δὲ τῶν μαθηματικῶν ἐνεργείᾳ καὶ καθʼ αὑτὰ φύσεών τινων ὄντων καὶ οὐσῶν ἐν τοῖς αἰσθητοῖς, διαιρουμένων τῶν αἰσθητῶν διαιρεθήσεται ἡ στιγμὴ δῆλον. ἐπεὶ γὰρ τὸ μαθηματικὸν στερεὸν ἐνεργείᾳ ἔχει ἐν ἑαυτῷ καὶ ἐπίπεδα καὶ γραμμὰς ἀλλʼ οὐ δυνάμει ὡς τὰ φυσικά — ταῦτα γὰρ ὅταν διαιρεθῇ, τότε ἐν αὐτοῖς γίνεται ἐνεργείᾳ καὶ τὸ ἐπίπεδον καὶ ἡ γραμμή, ὁμοίως δὲ καὶ ἡ στιγμή, πρὶν δὲ διαιρεθῆναι δυνάμει εἰσὶν ἐν αὐτοῖς ταῦτα —, ἐπεὶ οὖν, ὡς εἴρηται, ἐνεργείᾳ εἰσὶν ἐν τῷ μαθηματικῷ σώματι τὰ ἐπίπεδα καὶ αἱ γραμμαί, ἐχώρησε δὲ διʼ ὅλου τοῦ φυσικοῦ σώματος, διαιρουμένου τοῦ αἰσθητοῦ σώματος διαιρεθήσεται καὶ τὸ ἐν αὐτῷ ὂν μαθηματικὸν σῶμα· πάντως δὲ ἐπιπέδῳ· οὐκοῦν καὶ τὸ ἐπίπεδον γραμμῇ, καὶ γραμμὴ στιγμῇ· ὥστε ἐπεὶ ἐνεργείᾳ εἰσὶ καὶ αἱ γραμμαὶ καὶ αἱ στιγμαί, διαιρεθήσεται ἡ στιγμή. ἡμεῖς μὲν γὰρ δυνάμει λέγοντες εἶναι τὰς στιγμὰς ἐν ταῖς γραμμαῖς καὶ αὐτὰς ἐν τοῖς ἐπιπέδοις καὶ ταῦτα ἐν τοῖς σώμασιν, ὅταν διαιρεθῇ ἡ γραμμὴ λέγομεν γίνεσθαι τὴν δυναμένην ἐν αὐτῇ γίνεσθαι στιγμὴν ἐνεργείᾳ· οὗτοι δὲ συνεχῆ μὲν τὰ μεγέθη λέγοντες, ἐνεργείᾳ δὲ εἶναι ἐν αὐτοῖς τὰ ἐπίπεδα καὶ τὰς γραμμὰς καὶ στιγμάς, ὑποθέμενοι δὲ καὶ ἐν τοῖς αἰσθητοῖς εἶναι, κινουμένης τῆς γραμμῆς καὶ τεινομένης κατὰ τὴν διαίρεσιν ὥσπερ τριχός, ἀνάγκη συνεπεκτείνεσθαι καὶ τὰς ἐν αὐτῇ στιγμάς, ἐνεργείᾳ μὲν οὔσας, μὴ ἁπτομένας δέ· εἰ γὰρ ἥπτοντο, οὐκ ἂν ἦν ἡ γραμμὴ συνεχής· ὥστε διαιρεθήσεται ἡ στιγμή. εἰ μὲν γὰρ ἥπτοντο αἱ στιγμαί, δυνατὸν ἦν λέγειν ὅτι ἀπολυόμεναι ἀπʼ ἀλλήλων διαιρεῖται ἡ γραμμή· ἐπεὶ δὲ οὐχ ἅπτονται — συνεχὴς γὰρ ἡ γραμμή —, ἀνάγκη τεμνομένης τῆς στιγμῆς διαιρεῖσθαι τὴν γραμμήν, ὁμοίως σχιζομένης τῆς γραμμῆς διαιρεῖσθαι τὸ ἐπίπεδον, καὶ τούτου τὸ σῶμα. ταῦτα εἰπὼν ἐπάγει τί οὖν διαφέρει ἢ ταύτας εἶναι τοιαύτας φύσεις, ἢ αὐτὰς μὲν μή, καὶ τὰ ἑξῆς. λέγει δὲ ὅτι οὐδὲν διαφέρει εἴτε τὰς φυσικὰς στιγμὰς λέγοι τις τοιαύτας φύσεις, τουτέστιν ἀδιαιρέτους, ἢ αὐτὰς μὲν μὴ λέγειν ἀδιαιρέτους εἶναι, εἶναι δὲ ὡς ἐν ὑποκειμέναις αὐταῖς τοιαύτας φύσεις, ἤτοι μαθηματικὰς στιγμὰς καὶ ἀδιαιρέτους· διαιρουμένων γὰρ τῶν αἰσθητῶν καὶ φυσικῶν στιγμῶν, ἤτοι γινομένων γὰρ τῶν διαιρέσεων κατʼ αὐτάς, αἱ ἐν αὐταῖς ὡς ὑποκειμέναις οὖσαι μαθηματικαὶ στιγμαὶ διαιρεθήσονται. ἐν δὲ τῇ λέξει τῇ τί οὖν διαφέρει ἢ ταύτας εἶναι ἢ ταύτας μὲν μή, εἶναι δʼ ἐν αὐταῖς ὑποστικτέον εἰς τὸ μή, εἶτα δὲ ἐπακτέον τὸ εἶναι δὲ ἐν αὐταῖς τοιαύτας φύσεις, ἵνʼ ᾖ «τί διαφέρει τὰς φυσικὰς στιγμὰς ἀδιαιρέτους λέγειν, ἢ ταύτας μὲν μὴ λέγειν, ἐπεὶ μηδʼ ὅλως εἰσὶν ἐνεργείᾳ ἀλλὰ δυνάμει, εἶναι δʼ ἐν αὐταῖς ταῖς δυνάμει στιγμαῖς τὰς μαθηματικάς, αἵ τινες ἐνεργείᾳ εἰσίν;» Ἀλλὰ μὴν οὐδὲ κεχωρισμένας γε εἶναι τοιαύτας φύσεις δυνατόν.
Δείξας ὅτι ἀδύνατον τὰ μαθηματικὰ σώματα καὶ μεγέθη, ἄλλα ὄντα τῶν αἰσθητῶν, ἐν αὐτοῖς εἶναι, δείκνυσιν ὅτι οὐδὲ κεχωρισμένας καὶ αὐτὰς καθʼ αὑτὰς εἶναι τοιαύτας οὐσίας δυνατόν, ὥσπερ τὰς θείας οὐσίας καὶ ἀσωμάτους ἡμεῖς εἶναί φαμεν. εἰ γάρ εἰσι, φησί, στερεὰ ἢ σώματα — ταὐτὸν γάρ ἐστι τὸ σῶμα στερεὸν καὶ τὸ στερεὸν σῶμα —, εἰ οὖν εἰσι σώματα μαθηματικὰ παρὰ τὰ αἰσθητὰ καὶ φυσικὰ κεχωρισμένα καὶ καθʼ αὑτὰ καὶ πρότερα ὡς ἁπλούστερα — τὸ γὰρ ἁπλούστερον πρότερον τοῦ συνθετωτέρου —, δῆλον ὅτι καὶ παρὰ τὰ ἐπίπεδα τὰ ἐν τοῖς σώμασι τοῖς φυσικοῖς ὄντα ἔσονται ἄλλα ἐπίπεδα πρότερα· τοῦ γὰρ αὐτοῦ λόγου καὶ τῆς αὐτῆς αἰτίας. εἰ ἄρα εἰσὶ σώματα παρὰ τὰ αἰσθητὰ καὶ φυσικά, ἔσονται καὶ ἐπίπεδα παρὰ τὰ φυσικὰ ἐπίπεδα, ἁπλούστερα τῶν φυσικῶν ἐπιπέδων καὶ καθʼ αὑτὰ ὄντα καὶ οὐκ ἐν σώμασιν. ἀλλὰ μὴν εἰ τὰ μαθηματικὰ σώματα ἔχει ἐπίπεδα, ἔσονται τῶν τοιούτων ἐπιπέδων ἄλλα ἐπίπεδα ἁπλούστερα καὶ καθʼ αὑτά, ἐξ ὧν ὡς ἀπὸ ἁπλουστέρων γίνεται τὰ μαθηματικὰ σώματα. πάλιν ἐπεὶ ἐν τοῖς ἐπιπέδοις τοῖς οὖσι μετὰ τῶν μαθηματικῶν σωμάτων εἰσὶ γραμμαὶ καὶ ἐν αὐταῖς στιγμαί, ἔσονται καὶ παρὰ τὰς τοιαύτας γραμμὰς ἄλλαι ἁπλούστεραι γραμμαὶ καθʼ αὑτὰς οὖσαι καὶ μὴ ἐν ἐπιπέδοις τισί. πάλιν ἐπεὶ αἱ τοιαῦται γραμμαὶ αἱ καθʼ αὑτὰς οὖσαι καὶ μὴ ἐν ἐπιπέδοις τὸ εἶναι ἔχουσαι ἔχουσι στιγμάς, ἔσονται τῶν τοιούτων στιγμῶν ἄλλαι πρότεραι στιγμαὶ μὴ ἐν γραμμαῖς οὖσαι ἀλλʼ αὐταὶ καθʼ αὑτάς. τούτων δὲ τῶν στιγμῶν οὐκ ἔσονται ἄλλαι πρότεραι στιγμαί· ἁπλούσταται γάρ εἰσι διὰ τὸ μὴ κεῖσθαι ἐν γραμμαῖς. ὥστε, φησί, συμβαίνει εἶναι παρὰ τὰ αἰσθητὰ στερεὰ ἄλλα στερεὰ μοναχῶς, τουτέστιν ἓν γένος καὶ μίαν φύσιν στερεῶν, ἐπιπέδων δὲ παρὰ τὰ αἰσθητὰ καὶ τὰ φυσικὰ ἐπίπεδα γένη τριττά, τά τε παρὰ τὰ φυσικὰ ἐπίπεδα καὶ τὰ ἐν τοῖς μαθηματικοῖς σώμασι καὶ τὰ παρὰ τὰ ἐν τοῖς μαθηματικοῖς, ἃ καθʼ αὑτὰ ὑπάρχει. γραμμαὶ δέ, φησίν, ἔσονται τετραξαὶ καὶ στιγμαὶ πενταξαί, τουτέστι γένη δὲ καὶ φύσεις γραμμῶν ἔσονται τετραπλαῖ, στιγμῶν δὲ πενταπλαῖ. τοῦτο δὲ ὧδέ ἐστι δῆλον. ἓν μὲν γένος γραμμῶν ἔσται τὸ ὂν μετὰ τῶν ἐπιπέδων, ἅπερ ἐπίπεδα ἄλλα μὲν τῶν φυσικῶν ἐπιπέδων καθʼ αὑτὰ δὲ εἶναι ὁ λόγος ἠνάγκασεν· ἄλλο δὲ γένος γραμμῶν ἔσται τὸ ὂν μετὰ τῶν ἐπιπέδων τῶν ἐν τοῖς μαθηματικοῖς σώμασιν ὄντων· τρίτον δὲ γένος γραμμῶν ἔσται τὸ συνὸν τοῖς καθʼ αὑτὰ οὖσιν ἐπιπέδοις, ἀφʼ ὧν ὡς ἁπλουστέρων τὰ μαθηματικὰ ἐπίπεδα ἢ καὶ σώματα γίνεται· τέταρτον δὲ γένος γραμμῶν ἔσται τὸ ὂν παρὰ τὰς γραμμὰς τὰς ἐν τοῖς καθʼ αὑτὰ ἐπιπέδοις ὑπάρχουσιν οὔσας, λέγω δὴ αὐτὰς τὰς καθʼ αὑτὰς οὔσας γραμμὰς καὶ οὐκ ἐν ἐπιπέδοις ὅλως ὑπάρχουσιν οὔσας. στιγμῶν δὲ γένη εἰσὶ ταῦτα, πρῶτον μὲν τὸ συνὸν ταῖς γραμμαῖς ταῖς οὔσαις ἐν τοῖς ἐπιπέδοις τοῖς παρὰ τὰ φυσικὰ ἐπίπεδα οὖσι, δεύτερον δὲ τὸ συνὸν ταῖς γραμμαῖς ταῖς οὔσαις ἐν τοῖς ἐπιπέδοις τοῖς συνοῦσι τοῖς μαθηματικοῖς σώμασι· τρίτον γένος στιγμῶν ἔσται τὸ συνὸν ταῖς γραμμαῖς ταῖς συνούσαις τοῖς καθʼ αὑτὰ οὖσιν ἐπιπέδοις, ἀφʼ ὧν ὡς ἁπλουστέρων τὰ μαθηματικὰ ἐπίπεδα ἢ καὶ σώματα γίνεται· τέταρτον γένος τὸ συνὸν ταῖς καθʼ αὑτὰς οὔσαις γραμμαῖς καὶ μὴ ἐν ἐπιπέδοις οὔσαις· πέμπτον γένος στιγμῶν ἔσται αὐτὸ καθʼ αὑτὸ ὂν καὶ μὴ ἐν γραμμαῖς τὸ εἶναι ἔχον. ὥστε, φησί, ποίων γραμμῶν ἢ ποίων ἐπιπέδων ἔσονται αἱ ἐπιστῆμαι; πότερον τῶν μετὰ τῶν ἀκινήτων στερεῶν ὄντων; ἀλλʼ ἄτοπον· αἱ ἐπιστῆμαι γὰρ ἀεὶ τῶν προτέρων καὶ ἁπλουστέρων εἰσί. τούτοις καὶ ἄλλο προστίθησι λέγων ὁ δʼ αὐτὸς λόγος καὶ περὶ τῶν ἀριθμῶν· παρʼ ἑκάστας γὰρ τὰς στιγμὰς ἕτεραι ἔσονται μονάδες. λέγοι δʼ ἂν «ἐπειδὴ πάλιν αἱ μονάδες ἁπλούστεραί εἰσι τῶν στιγμῶν, καθὸ αὗται μὲν ἄθετοί εἰσιν αἱ δὲ στιγμαὶ θέσιν ἔχουσιν καὶ κεῖνταί που, ἔσται ἄλλο γένος μονάδων, ἀφʼ ὧν ὡς ἀπὸ ἁπλουστέρων εἰσὶν αἱ στιγμαί· ὥστε ἄλλο μὲν γένος ἔσται μονάδων τὸ ὂν παρὰ τὰς στιγμὰς τὰς συνούσας ταῖς γραμμαῖς ταῖς συνούσαις τοῖς ἐπιπέδοις τοῖς οὖσι παρὰ τὰ φυσικὰ ἐπίπεδα, ἄλλο δὲ πάλιν γένος μονάδων ἔσται τὸ ὂν παρὰ τὰς στιγμὰς τὰς συνούσας ταῖς γραμμαῖς αἵτινες σύνεισι τοῖς ἐν τοῖς μαθηματικοῖς σώμασιν οὖσιν ἐπιπέδοις· καὶ ὅλως ὅσα γένη τῶν στιγμῶν, τοσαῦτα καὶ μονάδων καὶ ἔτι πλείω.» τὸ δὲ ἔτι πλείω προσέθηκα ἐγὼ διὰ τὸ μέλλον ὑπʼ αὐτοῦ εὐθὺς λέγεσθαι· ἔστι δὲ τόδε. ἐπεὶ ὁ Σωκράτης καθὸ ἄνθρωπος ἕν ἐστι καὶ ὁ Πλάτων καὶ ἁπλῶς πάντα τὰ αἰσθητὰ καθὸ τόδε τί ἐστιν ἕν εἰσιν, ἔσται ἄλλη μὲν μονὰς παρὰ τὸ ἐν τῷ Σωκράτει ἕν, καὶ ἄλλη παρὰ τὸ ἐν Πλάτωνι, καὶ ἄλλη παρὰ τὸ ἐν ἐμοί, καὶ οὕτως ἐπὶ πάντων τῶν αἰσθητῶν. ἀλλʼ ἐπεὶ καὶ τὰ νοητὰ ἕκαστον αὐτῶν ἕν ἐστι καὶ μᾶλλον ἕν — τούτου γὰρ δηλωτικόν ἐστι τὸ εἶτα τὰ νοητά —, ἔσονται καὶ παρὰ τὸ ἐν ἑκάστῳ τῶν νοητῶν ἓν ἄλλαι ἁπλούστεραι μονάδες καὶ καθʼ αὑτάς· τὸ γὰρ ἐν ἑκάστῳ ἕν, ἐπειδὴ ἐν ἐκείνῳ καθʼ οὗ λέγεταί ἐστιν, οὐχ ἁπλοῦν ἐστιν ἀλλὰ σύνθετον· ὥστε ἔσονται ἄπειρα γένη τῶν μαθηματικῶν μονάδων καὶ ἀριθμῶν. ἡ μὲν οὖν σύμπασα διάνοια τῶν λεγομένων αὕτη, τὰ δὲ κατὰ τὴν λέξιν ὧδέ πῃ ἔχει. εἰ γάρ εἰσι, φησί, παρὰ τὰ αἰσθητὰ στερεὰ ἕτερα καὶ πρότερα τῶν αἰσθητῶν, δῆλον ὅτι καὶ παρὰ τὰ ἐπίπεδα τὰ φυσικά — τούτου γὰρ δεῖ προσυπακούειν — ἔσονται ἄλλα ἐπίπεδα κεχωρισμένα παντὸς σώματος καὶ καθʼ αὑτά· ὁμοίως καὶ γραμμαί· αἱ γὰρ ἐν τοῖς τοιούτοις ἐπιπέδοις γραμμαὶ καὶ στιγμαὶ δῆλον ὡς ἕτεραι ἔσονται τῶν φυσικῶν γραμμῶν καὶ στιγμῶν. τὸ δὲ τοῦ γὰρ αὐτοῦ λόγου ἴσον ἐστὶ τῷ τίς γὰρ ἡ ἀποκλήρωσις τοῦ στερεὰ μὲν εἶναι παρὰ τὰ αἰσθητά, ἐπίπεδα δὲ καὶ γραμμὰς μὴ εἶναι ἑτέρας τῶν φυσικῶν γραμμῶν καὶ ἐπιπέδων καθʼ αὑτὰ ὄντα. ἀλλὰ καὶ παρὰ τὰ τοῦ ἀκινήτου καὶ μαθηματικοῦ σώματος ἐπίπεδα ἔσονται ἄλλα πρότερα ἐπίπεδα. καὶ τὴν αἰτίαν ἐπήγαγεν εἰπὼν πρότερα γὰρ τῶν συγκειμένων ἐστὶ τὰ ἀσύνθετα· ὥστε ἔστιν ἄλλο τι γένος ἐπιπέδων ἁπλούστατον, ἐξ ὧν συντεθειμένων ταῦτα τὰ ἀκίνητα καὶ μαθηματικὰ ἀποτελεῖται στερεά· τούτων δὲ τῶν ἐν τοῖς ἀκινήτοις στερεοῖς ὄντων ἐπιπέδων ἔσονται τὰ πέρατα γραμμαί, ὧν γραμμῶν δεήσει ἑτέρας εἶναι προτέρας γραμμάς.
Ἔτι ἅπερ καὶ ἐν τοῖς διαπορήμασιν ἐπήλθομεν πῶς ἐνδέχεται λύειν;
Ἀπορῶν ἐν τῷ Β τῆς προκειμένης πραγματείας ἐζήτησε καὶ τοῦτο, ὅτι εἰ αἱ μαθηματικαὶ ἐπιστῆμαι περὶ ἄλλας φύσεις εἰσὶ μεταξὺ οὔσας τῶν αἰσθητῶν καὶ νοητῶν, ἔστι δὲ ἡ ἀστρολογία μία τῶν μαθηματικῶν ἐπιστημῶν, ἔσται παρὰ τὸν αἰσθητὸν οὐρανὸν ἄλλος οὐρανὸς μαθηματικὸς καθʼ αὑτὸν ὢν καὶ ἐνεργείᾳ ἀλλʼ οὐκ ἐπινοίᾳ τὸ εἶναι ἔχων· ὡς γὰρ περὶ ἃ ἡ γεωμετρία ἐστὶ μεταξύ εἰσι κατʼ αὐτοὺς τοῦ αὐτομεγέθους καὶ τῶν αἰσθητῶν μεγεθῶν, οὕτως ἕξει καὶ περὶ ἃ ἡ ἀστρολογία. τοῦτον οὖν τὸν λόγον τὸν ἀποροῦντα καὶ λέγοντα ὅτι εἰ ἔστι τις μαθηματικὸς οὐρανός, ἀνάγκη αὐτὸν ἀκίνητον εἶναι καὶ τὰ μόρια αὐτοῦ ἤτοι τοὺς ἀστέρας, οὐρανὸν δὲ ἀκίνητον ἀδύνατον εἶναι — πᾶς γὰρ οὐρανὸς ἐν τῷ εἶναι ἐν κινήσει τοιᾳδὶ ἔχει τὸ οὐρανὸς εἶναι —, ὁμοίως κἂν ἄλλο τι ἐν κινήσει ὂν καὶ ἐν αὐτῇ τὸ εἶναι ἔχον οὐκ ἐνδέχεται ἀκίνητον εἶναι, τοῦτον δὴ τὸν λόγον πῶς ἐνδέχεται αὐτοὺς λύειν; ὁμοίως δὲ τῇ ἀστρολογίᾳ ἕξει καὶ ἡ ὀπτικὴ καὶ ἡ ἁρμονική· ἡ μὲν γὰρ ἔσται περὶ ὄψεις ἄλλας παρὰ τὰς αἰσθητάς, καὶ ἡ ἁρμονικὴ περὶ φωνάς· ὥστε ἔσονται καὶ αἱ ἄλλαι αἰσθήσεις. διὰ τί γὰρ ὄψεις μὲν ἔσονται παρὰ τὰς αἰσθητάς, παρὰ δὲ τὰς λοιπὰς αἰσθήσεις οὐκ ἔσονται ἄλλαι; εἰ δὲ τοῦτο, ἔσονται καὶ ζῷα μαθηματικά. Ἔτι γράφεται ἔνια καθόλου ὑπὸ τῶν μαθηματικῶν.
Τὸ γράφεται ἀντὶ τοῦ δείκνυται νῦν εἴληπται. λέγει δὲ ὅτι ἐπεὶ δείκνυταί τινα παρὰ τοῖς μαθηματικοῖς διὰ τῶν καθόλου λόγων καὶ διά τινων ἀξιωμάτων — οἷον διὰ τοῦ ἀπὸ ἴσων ἴσα ἂν ἀφέλῃς, τὰ καταλειπόμενα ἴσα ἐστί, καὶ διὰ τοῦ ἂν τέσσαρά τινα ᾖ ἀνάλογον, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων, καὶ ἄλλων πολλῶν τοιούτων —, ἀνάγκη, φησίν, ὄντων χωριστῶν μεγεθῶν καὶ ἀριθμῶν, καὶ τὰ ὑπὸ τῶν ἀξιωμάτων δηλούμενα, οἷον τὰ τινά, εἶναι χωριστὰ καὶ καθʼ αὑτά, αὐτὸ τοῦτο τινὰ ὄντα, οὔτε γραμμαὶ οὔτε ἐπίπεδα οὔτε χρόνοι οὔτε ἄλλο τι· ἕτερον γὰρ τούτων ἁπάντων ἔσται καθολικώτερον ὂν καὶ τῶν γραμμῶν καὶ τῶν ἐπιπέδων καὶ χρόνων καὶ στερεῶν καὶ τῶν ἄλλων ἁπάντων. ὥστε ἔσται τις φύσις μεταξὺ τοῦ αὐτομεγέθους καὶ τοῦ μαθηματικοῦ παντὸς μεγέθους τοῦ χωριστοῦ καὶ καθʼ αὑτὸ ὄντος, οὔτε γραμμὴ οὖσα ἡ φύσις αὕτη οὔτε χρόνος, οὐ σῶμα, οὐκ ἄλλο τι, ὃ ἂν εἴη ἐκείνοις μὲν ἴσως δῆλον τοῖς ταῦτα τιθεμένοις, ἡμῖν δὲ ἄδηλον. ὡς γὰρ κατʼ αὐτούς εἰσι παρὰ τὰ αἰσθητὰ τρίγωνα καὶ τὰς αἰσθητὰς γραμμὰς καὶ τὰ σώματα ἄλλα τρίγωνα καὶ γραμμαὶ καὶ σώματα, ἃ μαθηματικά φασιν, ἐπειδὴ ταῦτα τὰ μαθηματικὰ λέγεται τινά, ἀνάγκη εἶναι ἄλλην τούτων καθολικωτέραν φύσιν τὴν δηλουμένην ὑπὸ τῆς τινὰ φωνῆς. ἔχει δέ τινα βραχεῖαν ἀσάφειαν ἡ λέξις ἡ ἔσται οὖν καὶ αὕτη τις ἄλλη οὐσία μεταξὺ κεχωρισμένη τῶν τε ἰδεῶν καὶ τῶν μεταξύ· λέγει δὲ ἰδέας μὲν τὸ αὐτοποσὸν καὶ τὰ τοιαῦτα, μεταξὺ δὲ τὰ μαθηματικά· μεταξὺ γὰρ τῶν τε ἰδεῶν καὶ τῶν αἰσθητῶν ἐτίθεντο τὰ μαθηματικά. λέγει οὖν ὅτι ἔσται τις ἄλλη φύσις καθʼ αὑτὴν οὖσα μεταξὺ τῶν τε ἰδεῶν καὶ τῶν μεταξύ, τουτέστι τῶν μαθηματικῶν, ὡς εἶναι κάτωθεν ἀρχομένοις πρῶτα τὰ μαθηματικά, δευτέρα ἡ φύσις αὕτη καὶ ἡ οὐσία, καὶ τρίται αἱ ἰδέαι. εἰ δὲ πρὸς τὰ αἰσθητὰ ἀπίδοις, ἔσονται πρῶτα μὲν τὰ αἰσθητά, δεύτερα δὲ τὰ μαθηματικά, τρίτη ἡ φύσις αὕτη καὶ τέταρτον αἱ ἰδέαι. ἀλλʼ εἰ ἀδύνατον, φησίν, εἶναι οὐσίαν καθʼ αὑτὴν μὴ χρόνον μὴ ἐπίπεδον μὴ ἄλλο τι οὖσαν, ἀδύνατον καὶ τὰ μαθηματικὰ εἶναι καθʼ αὑτά· εἰ γὰρ αὐτά, κἀκείνη, εἰ δὲ μὴ ἐκείνη, οὐδʼ αὐτά. Ὅλως δὲ τοὐναντίον συμβαίνει καὶ τοῦ ἀληθοῦς καὶ τοῦ εἰωθότος ὑπολαμβάνεσθαι.
Καὶ ἡ ἀλήθεια, φησί, βοᾷ καὶ πάντες οἱ σοφοὶ εἰώθασιν ὑπολαμβάνειν ὅτι τὸ ἀτελὲς τῷ μὲν χρόνῳ πρότερόν ἐστι τοῦ τελείου, τῇ δὲ φύσει ἤτοι τῷ τελείῳ ὕστερον. ἐξ ὧν δʼ οὗτοι λέγουσι — λέγουσι δὲ ὅτι τὰ μαθήματα ἄλλα ἐστὶ τῶν αἰσθητῶν καὶ καθʼ αὑτὰ ὄντα καὶ χωριστά —, συμβαίνει τοὐναντίον τοῦ εἰωθότος ὑπολαμβάνεσθαι καὶ τῆς ἀληθείας· τοῦτο δʼ ἐστὶ τὸ τὰ μαθηματικὰ ἀτελέστερα τῶν φυσικῶν ὄντα πρότερα εἶναι οὐ τῷ χρόνῳ ἀλλὰ καὶ τῇ φύσει· ὁμοίως δὲ καὶ ὕστερα· οὐδὲν δέ ἐστι καὶ πρότερον καὶ ὕστερον τῇ φύσει. καθὸ μὲν γὰρ αἱ μαθηματικαὶ οὐσίαι χωρισταί εἰσι καὶ καθʼ αὑτὰς καὶ τέλειαι κατʼ αὐτοὺς καὶ ἁπλούσταται, ἀνάγκη προτέρας εἶναι τῇ φύσει καὶ τῇ οὐσίᾳ τῶν αἰσθητῶν μεγεθῶν, κατὰ δὲ τὸ ἀληθὲς ὑστέρας. καὶ τὴν αἰτίαν ἐπήγαγεν εἰπὼν τὸ γὰρ ἀτελὲς μέγεθος τῷ χρόνῳ μὲν ἀεὶ πρότερόν ἐστι τῇ οὐσίᾳ δὲ ὕστερον, οἷον ἄψυχον ἐμψύχου. ὥσπερ γὰρ πρότερον μὲν γίνεται τὸ ἄψυχον σῶμα καὶ οὕτως ἐμψυχοῦται καὶ τελειοῦται, οὕτω καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων· πρότερον μὲν ὁ λόγος ὑπονοεῖ τὸ τριχῇ διαστατὸν γινόμενον, ὅπερ ἀναλογεῖ τῷ μαθηματικῷ σώματι, καὶ οὕτως ὅτι εἰσῆλθον ἐν αὐτῷ ὑπὸ τῆς φύσεως θερμότητες κουφότητες ἢ ἄλλη τις ποιότης, καὶ ἀπετέλεσαν τὸ φυσικὸν τέλος. ὡς οὖν τὸ ἄψυχον πρότερον ὂν τῇ γενέσει — πρότερον γὰρ αὐτὸ γίνεται — ἀτελέστερόν ἐστι τοῦ ἐμψύχου, οὕτω καὶ τὰ μαθηματικὰ τῇ μὲν γενέσει πρότερά ἐστι τῶν φυσικῶν σωμάτων, τῇ δὲ φύσει καὶ τῷ τελείῳ ὕστερα· ὥστε κατὰ μὲν τὴν ἀλήθειαν καὶ ἀτελέστερά ἐστι τὰ μαθηματικὰ τῶν φυσικῶν, καὶ διὰ τοῦτο καὶ ὕστερα τῇ φύσει· ἀλλὰ καὶ πρότερα κατὰ τοὺς χωρίζοντας αὐτὰ καὶ ἄλλα τῶν φυσικῶν εἶναι λέγοντας. ταῦτα εἰπὼν διὰ μέσου ζητεῖ τινα ζήτησιν καὶ οὕτως πάλιν ἐπάνεισιν ἐπὶ τὸ προκείμενον. ὃ δὲ ζητεῖ τοιοῦτόν ἐστιν· ἐπεὶ τὰ μαθηματικὰ σώματα ἐξ ἐπιπέδων εἰσί, τί τὸ αἴτιον αὐτοῖς τῆς ἑνώσεως; τοῖς μὲν γὰρ φυσικοῖς σώμασιν ἢ ἡ ψυχὴ ὡς εἶδός ἐστιν αἰτία τοῦ ἓν εἶναι, ὡς ἐπὶ τῶν τελείων ζῴων, ἢ μέρος ψυχῆς, ὡς ἐπὶ τῶν ἐχόντων ἁφὴν μόνην, ἢ ἄλλο τι εὔλογον, κόλλα δηλαδὴ ἢ δεσμός. εἰ δὲ μή ἐστι τὸ δεσμοῦν ἀλλὰ ἐξέλθοι ἀπʼ αὐτῶν, εὐθὺς πολλά τε γίνεται καὶ διαλύεται. τοῖς δὲ μαθηματικοῖς καὶ δυναμένοις διαιρεῖσθαι διὰ τὸ ποσὰ εἶναι τί τὸ αἴτιον τῆς αὐτῶν ἑνώσεως; τοῦτο διὰ μέσου εἰπὼν ἄνεισι πάλιν ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς, ἐν ᾧ τὸ αἰσθητὸν πρότερον ἐδείκνυ τοῦ μαθηματικοῦ τῇ οὐσίᾳ, καὶ δείκνυσι καθόλου, ὅτι πᾶν σῶμα τῇ οὐσίᾳ πρότερόν ἐστι καὶ γραμμῆς καὶ ἐπιπέδου. ἐκ τούτου δὲ ἔχει ὅτι καὶ τῶν σωμάτων τὸ τελειότερον πρότερόν ἐστι τῶν ἀτελεστέρων· τελειότερον δὲ τὸ φυσικὸν τοῦ μαθηματικοῦ. λέγει δὴ ὅτι αἱ γενέσεις δηλοῦσιν ὅτι τὰ σώματα πρότερά ἐστι καὶ ἐπιπέδων καὶ γραμμῶν τῇ οὐσίᾳ· πρότερον γὰρ ἐπὶ μῆκος γίνεται ἡ αὔξησις ἢ ὅλως ἡ κίνησις, ἔπειτα εἰς πλάτος, εἶτα εἰς βάθος, καὶ τελειοῦται ὡς σῶμα ἁπλῶς, ὕστερον δὲ προσλαβὸν καὶ ποιότητα τελειοῦται ὡς φυσικὸν σῶμα. ὥστε εἰ τὰ τῇ γενέσει ὕστερα τῇ φύσει πρότερα, πρότερον ἂν εἴη τὸ σῶμα καὶ ἐπιπέδου καὶ γραμμῆς, καὶ τοῦ σώματος πάλιν τὸ αἰσθητὸν σῶμα, καὶ τούτου τὸ ἔμψυχον, καὶ ἐφεξῆς ἀκολούθως. ἔτι, φησί, καὶ διὰ τὸ τὸ μὲν σῶμα ἔμψυχον δύνασθαι γενέσθαι, τὴν δὲ γραμμὴν καὶ τὸ ἐπίπεδον οὐδαμῶς — οὐδεὶς γὰρ ἑώρακέ ποτε γραμμὴν ἔμψυχον —, καὶ διὰ τοῦτο πρότερον ἂν εἴη τὸ σῶμα τῆς ἐπιφανείας καὶ τῆς γραμμῆς. πῶς δὲ ἀδύνατον, δῆλον. τὰ μὲν γὰρ εἴδη τῶν ἐμψύχων οἷς ἂν παρῇ ἔμψυχα καὶ ζῆν αὐτὰ ποιεῖ· οὐδεμία δὲ γραμμὴ ἢ ἐπίπεδον αἴτιον ζωῆς οὐδενί ἐστιν· οὐκ ἄρα εἰσὶν ὡς εἴδη ἐμψύχων οὐσίαι. ἀλλὰ μὴν οὐδʼ ὡς ἀψύχων. τὰ γὰρ τῶν ἀψύχων εἴδη αἴτια αὐτοῖς ἐστι τοῦ ὡδὶ κινεῖσθαι, εἴ γε ἡ φύσις ἀρχὴ κινήσεως καὶ ἠρεμίας· αἱ δὲ γραμμαὶ καὶ τὰ ἐπίπεδα οὐδεμιᾶς ἠρεμίας οὐδὲ κινήσεώς ἐστιν αἴτια· οὐκ ἄρα εἰσὶν ὡς εἴδη οὐσίαι. ἀλλὰ μὴν οὐδʼ ὡς ὕλη, εἴ γε ἡ μὲν ὕλη τοιωσδὶ ἀλλοιοῦσθαι δύναται καὶ βαρεῖα καὶ κούφη γίνεσθαι καὶ μανοῦσθαι καὶ πυκνοῦσθαι, οὐδεμία δὲ γραμμὴ ἢ ἐπίπεδον οὐδὲν τούτων πάσχειν δύναται. Ἔτι τὸ μὲν σῶμα οὐσία τις· ἤδη γὰρ ἔχει πως τὸ τέλειον.
Καὶ τοῦτο κατασκευαστικόν ἐστι τοῦ δευτέρας εἶναι τὰς γραμμὰς καὶ τὰ ἐπίπεδα τῶν σωμάτων. δείκνυσι δὲ τοῦτο διὰ τοῦ δεῖξαι ὅτι αἱ γραμμαὶ καὶ τὰ ἐπίπεδα οὔκ εἰσιν οὐσίαι, τὸ δὲ σῶμα οὐσία, ὥστε εἰ τὸ σῶμα οὐσία αἱ δὲ γραμμαὶ καὶ τὰ ἐπίπεδα οὐκ οὐσίαι, πᾶσα δὲ οὐσία προτέρα τῶν μὴ οὐσιῶν — τοῦτο γὰρ δέδεικται —, τὸ σῶμα ἄρα ὡς οὐσία πρότερον ἂν εἴη τῶν γραμμῶν καὶ ἐπιπέδων ὡς μὴ ὄντων οὐσιῶν. λέγει δὲ αὐτὸς ὅτι τὸ μὲν σῶμα οὐσία τίς ἐστι· σημεῖον δὲ ὅτι ἔχει πως τὸ τέλειον. καὶ ὅτι μὲν τὸ σῶμα τέλειον, δέδεικται εὐθὺς ἐν ἀρχῇ τῆς Περὶ οὐρανοῦ πραγματείας. τὸ δὲ πῶς πρόσκειται διὰ τὰ μαθηματικά· οὐ γάρ εἰσιν ἁπλῶς τέλεια ὡς τὰ φυσικά, ἀλλὰ καθὸ μὲν ἔχει τὰς τρεῖς διαστάσεις, εἰσὶ τέλεια, ὡς ἐν τῇ Περὶ οὐρανοῦ λέγεται, ᾗ δὲ ἐλλείπει αὐτοῖς τὰ πάθη, καθʼ ἃ τὰ φυσικὰ εἰδοποιεῖται, ἐστὶν ἀτελῆ. καὶ ὅτι μὲν τὰ σώματα οὐσίαι, δέδεικται, ὡς εἴρηται· τὰ δὲ ἐπίπεδα καὶ αἱ γραμμαὶ ἐπειδὴ ἁπλᾶ εἰσιν, εἰ ἔσονται οὐσίαι, ἢ ὡς εἶδος ἔσονται ἢ ὡς ὕλη, ὥσπερ ἡ μὲν ψυχὴ οὐσία ἐστὶν ὡς εἶδος, τὸ δὲ σῶμα ὡς ὕλη. οὐδεμία δὲ οὐσία φαίνεται ἐκ γραμμῶν ἢ ἐξ ἐπιπέδων μαθηματικῶν συνίστασθαι δυναμένη· ἢ γὰρ ὡς ἐξ ὕλης τῆς γραμμῆς καὶ τοῦ ἐπιπέδου συσταίη ἂν ἡ οὐσία, ἢ ὡς ἐξ εἴδους· ἀδύνατον δὲ τούτων ἑκάτερον, ὥστε ἀνούσιοι αἱ γραμμαὶ καὶ αἱ στιγμαί, εἰ δὲ τοῦτο, δεύτεραι τῶν οὐσιῶν. κατὰ δὲ τὴν λέξιν τὸ εἰ δʼ ἦν οὐσία τις ὑλική, τοῦτʼ ἂν ἐφαίνετο πάσχειν ἴσον ἐστὶ τῷ «εἰ δʼ ἦσαν αἱ γραμμαὶ καὶ τὰ ἐπίπεδα ὑλικαὶ οὐσίαι, τοῦτʼ ἄν, τουτέστι τὸ ἀλλοιουμένων αὐτῶν ἕτερον ἐξ αὐτῶν συνίστασθαι, ἐφαίνοντο πάσχουσαι.» ταῦτα εἰπὼν λέγει ὅτι τῷ μὲν λόγῳ ἔστωσαν πρότερα τὰ μαθηματικὰ τῶν αἰσθητῶν, ἐπειδή τις τὸ αἰσθητὸν ὁριζόμενος δεῖται τῶν διαστάσεων, αἳ ὁρίζουσι τὸ μαθηματικόν· ὥστε ἐπεὶ ὁ τοῦ αἰσθητοῦ σώματος λόγος προσδεῖται τῶν διαστάσεων καὶ τῶν λόγων αὐτῶν, ὥσπερ καὶ ὁ προσδεόμενος τοῦ ζῴου τοῦ λόγου αὐτοῦ προσδεῖται — τὸ γὰρ πρᾶγμα καὶ ὁ λόγος αὐτοῦ ταὐτόν —, ὥστε ἐπεὶ ὁ τοῦ αἰσθητοῦ σώματος λόγος προσδεῖται τῶν διαστάσεων καὶ τῶν λόγων αὐτῶν, ἔσονται πρότερα τὰ διαστήματα τῷ λόγῳ· οὐκέτι δὲ καὶ τῇ οὐσίᾳ. εἶτα ἵνα μή τις νομίσῃ ὅτι τὰ τῷ λόγῳ πρότερα καὶ τῇ οὐσίᾳ πρότερα εὐθύς ἐστι, δείκνυσι τὴν τοιαύτην ὑπόνοιαν ψευδῆ. οὐ πάντα γάρ, φησίν, ὅσα τῷ λόγῳ πρότερα καὶ τῇ οὐσίᾳ πρότερα. καὶ τέως πρότερον διαρθροῖ τίνα ἐστὶ τὰ τῇ οὐσίᾳ πρότερα καὶ τίνα τὰ τῷ λόγῳ, καὶ οὕτω δείκνυσιν ὅτι οὐ πάντα τὰ τῷ λόγῳ πρότερα καὶ τῇ οὐσίᾳ πρότερά ἐστιν. ἔστιν οὖν, φησί, τῇ οὐσίᾳ πρότερα ὅσα χωριζόμενα τῷ εἶναι ὑπερβάλλει, τουτέστιν ὅσα χωριζόμενα τῶν ἐν οἷς εἰσιν, αὐτὰ μὲν εἶναι δύναται, ἐκεῖνα δὲ μή, ὥσπερ ἐπὶ τῆς μονάδος καὶ ἐπʼ ἄλλων πολλῶν. οὔσης μὲν γὰρ δυάδος ἔστι καὶ μονάς, καὶ μὴ οὔσης δυάδος καὶ οὕτως ἔστι μονάς· ὥστε ἐπεὶ ἡ μονὰς καὶ συνυπάρχει καὶ μεθυπάρχει τῇ δυάδι, ἐπὶ πλέον ἐστὶ τὸ εἶναι αὐτῆς, ἀντὶ τοῦ μᾶλλον εἶναι δύναται τῆς δυάδος· ἡ γὰρ ὕλη εἰς τὸ εἶναι συντείνει, αἱ δὲ διαφοραὶ εἰς τὸ τοιοῖσδε εἶναι. ἐκδηλότερόν γε μὴν ἐπὶ τοῦ ζῴου τοῦτό ἐστιν· ἐπὶ τούτῳ γὰρ λέγομεν τὸ τοῦ ζῴου εἶναι ἐπὶ πλέον τῆς τοῦ ἀνθρώπου ὑπάρξεως εἶναι, ὅτι καὶ συνεῖναι τῷ ἀνθρώπῳ δύναται, καὶ μὴ ὄντος τοῦ ἀνθρώπου καὶ οὕτως εἶναι δύναται. ὅσα μὲν οὖν χωριζόμενα καὶ χωρὶς τῶν ἀφʼ ὧν κεχώρισται δύναται εἶναι, εἰσὶ τῇ οὐσίᾳ πρότερα. τῷ δὲ λόγῳ, φησί, πρότερά ἐστιν ὅσων οἱ λόγοι ἐκ τῶν λόγων. ἔστι δὲ τὸ λεγόμενον τοιοῦτον. ἐπεὶ ὁ τοῦ λευκοῦ ἀνθρώπου λόγος ὁ λέγων ζῷον πεζὸν δίπουν ἔχον χρῶμα διακριτικὸν ὄψεως ἐκ τοῦ λόγου ἐστὶ τοῦ λευκοῦ καὶ τοῦ ἀνθρώπου, ὁ ἄνθρωπος καὶ τὸ λευκὸν πρότερά ἐστι τῷ λόγῳ τοῦ λευκοῦ ἀνθρώπου· ἐκ γὰρ τῶν λόγων αὐτῶν ὁ τοῦ λευκοῦ ἀνθρώπου λόγος. τὸ δὲ ταῦτα δὲ οὐχ ἅμα ὑπάρχει ἀντὶ τοῦ οὐ συνδυάζεται οὐδὲ εὑρίσκεται ἅμα, ὥστε τὰ τῷ λόγῳ πρότερα εὐθὺς καὶ τῇ οὐσίᾳ πρότερα εἶναι, ἀλλὰ κεχώρισται καὶ εἰσί τινα τῷ λόγῳ πρότερα τῇ δὲ οὐσίᾳ οὐκέτι. εἰπὼν οὖν τίνα ἐστὶ τὰ τῇ φύσει πρότερα καὶ τίνα τὰ τῷ λόγῳ, ἄνεισιν ἐπὶ τὸ προκείμενον, δεικνὺς ὅτι οὐ τὰ τῷ λόγῳ πρότερα ἀνάγκη καὶ τῇ φύσει καὶ τῇ οὐσίᾳ πρότερα εἶναι. εἰ γὰρ μὴ ἔστι, φησί, τὰ πάθη, οἷον λευκὸν καὶ κινούμενον, τουτέστι κίνησις, παρὰ τὰς οὐσίας, ἀλλʼ ἐν αὐταῖς τὸ εἶναι ἔχει, τοῦ λευκοῦ ἀνθρώπου ἔσται πρότερον τὸ λευκὸν κατὰ τὸν λόγον, ὅτι ὁ λόγος αὐτοῦ ἐν τῷ τοῦ λευκοῦ ἀνθρώπου λόγῳ εἴληπται, κατὰ δὲ τὴν οὐσίαν καὶ τὸ εἶναι οὐκέτι· εἰ γάρ ἐστι τὸ λευκὸν καὶ κατὰ τὴν οὐσίαν καὶ κατὰ τὸ εἶναι πρότερον τοῦ λευκοῦ ἀνθρώπου, ἔσται τὸ λευκὸν χωρὶς τῆς οὐσίας καὶ καθʼ αὑτό· ἀλλʼ οὐκ ἐνδέχεται τὸ λευκὸν καθʼ αὑτὸ εἶναι ἀλλʼ ἀεὶ μετὰ τοῦ συνόλου ἐστίν. τί δʼ ἐστὶ τὸ σύνολον, αὐτὸς ἐσαφήνισεν εἰπὼν σύνολον δὲ λέγω τὸν ἄνθρωπον καὶ τὸ λευκόν, τουτέστι τὸ ἐξ ἀνθρώπου καὶ λευκοῦ συγκείμενον. ὥστε φανερόν, φησίν, ὅτι οὔτε τὸ ἐξ ἀφαιρέσεως — λέγοι δʼ ἂν ἐξ ἀφαιρέσεως τὸ μαθηματικόν — πρότερον τῇ οὐσίᾳ, ἐπεὶ καὶ τὸ λευκὸν ἐξ ἀφαιρέσεώς ἐστιν — ἐχώρισε γὰρ αὐτὸ ὁ λόγος τοῦ ὑποκειμένου — καὶ ὅμως οὐ πρότερον τοῦ ἀνθρώπου, οὔτε πάλιν τὸ ἐκ προσθέσεως, τουτέστι τὸ μαθηματικὸν σῶμα μετὰ τῶν ποιοτήτων, ὕστερον τοῦ μαθηματικοῦ σώματος, ἀλλὰ τῷ μὲν λόγῳ ὕστερον τῇ δὲ οὐσίᾳ πρότερον. ἢ ἐξ ἀφαιρέσεως λέγοι ἄν — δύναται γάρ τις καὶ οὕτως ἀκούειν — τὸ λευκόν· τοῦτο γὰρ ὁ λόγος ἀφαιρεῖται καὶ χωρίζει τοῦ ὑποκειμένου, καὶ οὐκ ἔστι τὸ λευκὸν τῆς οὐσίας πρότερον τῇ οὐσίᾳ ἀλλὰ τῷ λόγῳ· ἐκ προσθέσεως δὲ τὸ ἐκ λευκοῦ καὶ ἀνθρώπου. καὶ οὐκ ἔστι τοῦτο πάντῃ ὕστερον, ἀλλὰ τῷ μὲν λόγῳ ὕστερον τῇ δὲ φύσει πρότερον. τὸ δὲ ἐκ προσθέσεως γὰρ τῷ λευκῷ ὁ λευκὸς ἄνθρωπος λέγεται ἀντὶ τοῦ προσθέσει γὰρ τοῦ λευκοῦ ὁ λευκὸς ἄνθρωπος λέγεται ἐκ προσθέσεως. καὶ συμπεραίνεται λοιπὸν λέγων ὅτι μὲν οὔτε οὐσία τὰ μαθηματικὰ μᾶλλον τῶν σωμάτων εἰσὶ τῶν φυσικῶν, οὔτε πρότερα τῷ εἶναι καὶ τῇ οὐσίᾳ ἀλλὰ τῷ λόγῳ μόνῳ, οὔτε δὲ κεχωρισμένα που καὶ καθʼ αὑτὰ εἶναι δυνατόν, εἴρηται αὐτάρκως.
Ἐπεὶ δʼ οὐδʼ ἐν τοῖς αἰσθητοῖς ἐνεδέχετο αὐτὰ εἶναι, φανερὸν ὅτι ἢ ὅλως οὐκ ἔστιν ἢ τρόπον τινά.
Δείξας ὅτι τὰ μαθηματικὰ οὔτε κεχωρισμένα εἰσὶ καὶ καθʼ αὑτά, οὔτε αἰσθητὰ ἄλλα ὄντα παρὰ τὰ αἰσθητά εἰσι, λέγει ποία ἐστὶν αὐτῶν ἡ ὑπόστασις, καὶ τάχα ἀρέσκει αὐτῷ καὶ τῇ ἀληθείᾳ μήτε καθʼ αὑτὰ ὑφεστηκέναι τὰ μαθηματικὰ μεγέθη, μήτε ἐν τοῖς αἰσθητοῖς εἶναι ἄλλα ὄντα παρὰ τὰ αἰσθητά, ἀλλὰ ἀπὸ τῶν αἰσθητῶν κατὰ ἀφαίρεσιν τῶν ἐν τοῖς παθητικοῖς ποιοτήτων ἐπινοεῖσθαι. κατὰ ἀφαίρεσιν γὰρ τῆς ἐν τῷ αἰσθητῷ κύβῳ βαρύτητος σκληρότητος λευκότητος καὶ τῶν ὁμοίων ἐπινοεῖται ὁ μαθηματικὸς κύβος, καὶ οὔτε ἄλλος ὢν παρὰ τὸν αἰσθητὸν ἐν αὐτῷ ἐστιν — οὕτω γὰρ ἂν συνέβαινε δύο σώματα εἶναι ἐν τῷ αὐτῷ —, οὔτε ἔστιν αὐτὸς καθʼ αὑτόν. ἀλλὰ ταῦτα μὲν προϊοῦσιν ἔτι μᾶλλον ἔσται δῆλα· αὐτὸς δέ φησιν «ἐπεὶ δέδεικται ὅτι καθʼ αὑτὰ τὰ μαθηματικὰ σώματα οὔκ εἰσιν, ἐνεδέχετο δὲ ἢ καθʼ αὑτὰ εἶναι ἢ ἐν τοῖς αἰσθητοῖς, ἐδείχθη δὲ καὶ τοῦτο ἀδύνατον, φανερὸν ὅτι ἢ ὅλως οὔκ εἰσιν ἢ τρόπον τινά, καὶ διὰ τοῦτο ἁπλῶς μέν, οἷον Σωκράτης ἢ αἱ θεῖαι καὶ ἀσώματοι οὐσίαι, οὔκ εἰσιν, ἀφαιρέσει δέ· πολλοὶ γὰρ τρόποι ὑπάρξεως. ὥστε κἂν μὴ ἁπλῶς εἶναι δύνωνται, ἀλλʼ ἐξ ἀφαιρέσεως ἔσονται, ἄλλως δὲ οὐκέτι.»
Ὥσπερ γάρ, φησί, καὶ τὸ καθόλου — λέγει δὲ καθόλου τό τε ἂν πρῶτον πρὸς δεύτερον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον, καὶ ἐναλλὰξ ληφθέντων σωθήσεται τὸ ἅμα τὸν αὐτὸν ἔχειν λόγον, καὶ τὸ ἂν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ καταλειπόμενα ἴσα ἐστί, καὶ τὰ ὅμοια —, ὥσπερ οὖν, φησί, καὶ τὸ καθόλου ἐν τοῖς μαθήμασιν οὐ περὶ κεχωρισμένων ἐστί τινων καὶ καθʼ αὑτὰ ὄντων καὶ ἑτέρων παρὰ τὰ αἰσθητὰ μεγέθη καὶ ἀριθμούς, ἀλλὰ περὶ τούτων μὲν ποιεῖται τοὺς λόγους, οὐχ ᾗ δὲ αἰσθητὰ οὐδὲ ᾗ δυνάμενα ἔχειν μέγεθος καὶ διαιρεῖσθαι, ἀλλʼ αὐτὸ τοῦτο μόνον ὁρᾷ ὅτι δύνανται τὸν τῆς ἀναλογίας λόγον φυλάσσειν ἐναλλὰξ ληφθέντα, οὕτω καὶ ὁ γεωμέτρης ποιήσεται λόγον καὶ ἀπόδειξιν ἀκριβῆ περὶ τὸ αἰσθητὸν στερεόν, οὐχ ᾗ δὲ ἔχον ἀντιτυπίαν ἢ βάρος ἢ λευκόν, ἀλλʼ ᾗ τοιόνδε, τουτέστιν ᾗ μέγεθος καὶ ᾗ τριχῇ διαστατόν, ὅλως μὴ προσεννοῶν τὴν ἐν αὐτῷ λευκότητα ἢ θερμότητα ἢ βαρύτητα ἢ ἄλλην τινὰ ποιότητα· ἐχώρισε γὰρ αὐτὰ λόγῳ καὶ καθʼ αὑτὴν μόνην ὁρᾷ τὴν τοιανδὶ διάστασιν. πρὸς τούτῳ καὶ διʼ ἄλλου ὑποδείγματος σαφηνίζει τὸ λεγόμενον λέγων ὥσπερ γὰρ καὶ ᾗ κινούμενα μόνον πολλοὶ λόγοι εἰσί, τουτέστιν ὥσπερ γὰρ πολλοὶ λόγοι καὶ ἀποδείξεις εἰσὶ τῶν κινουμένων — λέγομεν γὰρ καὶ δεικνύομεν ὅτι τὰ ἰσοταχῶς κινούμενα ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ αὐτὸ διάστημα διέξεισιν, οὐδὲν ἁπτόμενοι τῶν ὑποκειμένων πραγμάτων, ἀλλὰ περὶ τῆς κινήσεως αὐτῶν μόνης διαλεγόμεθα, καὶ ὅμως οὐ διὰ τὸ μὴ ἅπτεσθαι τῶν ὑποκειμένων ὑπολαμβάνομεν εἶναι κίνησιν κεχωρισμένην· ἀλλὰ καὶ οἱ φυσικοὶ δεικνύουσι πάντα τὰ καθʼ αὑτὰ ταῖς κινήσεσι μὴ θεωροῦντες μηδὲ πολυπραγμονοῦντες τὰ ὑποκείμενα τίνα ἐστί, πότερον ἄνθρωποι ἢ οὐρανός, ἀλλʼ οὐδὲ τί συμβέβηκε τῷ ἀνθρώπῳ ἢ τῷ οὐρανῷ θεωροῦσιν, ἀλλʼ αὐτὴν καθʼ αὑτὴν τὴν τῆς κινήσεως φύσιν καὶ τὰ καθʼ αὑτὰ ὑπάρχοντα αὐταῖς ἀνιχνεύουσί τε καὶ ἀποδεικνύουσι, καὶ οὐδεμία ἀνάγκη διὰ τὸ μὴ τὸν φυσικὸν ὁρᾶν τὸ κινούμενον, αὐτὸ δὴ τὸ τῇ κινήσει ὑποκείμενον, τί ἐστιν, εἶναί τι παρὰ τὰ αἰσθητὰ κινούμενον καὶ κεχωρισμένον καὶ καθʼ αὑτό· ἀλλʼ οὐδὲ πάλιν ἀνάγκη εἶναί τι κινούμενον παρὰ τὰ αἰσθητὰ καὶ ἄλλην τινὰ φύσιν, εἶναι δὲ ἐν αὐτοῖς —, ὥσπερ οὖν ἐπὶ τούτων, οὕτω καὶ ἐπὶ τῶν κινουμένων καὶ αἰσθητῶν — κινούμενα γὰρ τὰ αἰσθητά —, φησίν, ἕξει, καὶ ἔσονται λόγοι αὐτῶν καὶ ἐπιστῆμαι, ἀλλʼ οὐχ ᾗ κινούμενά ἐστιν οὐδὲ ᾗ βαρύτητα ἢ κουφότητα ἔχει, ἀλλὰ καθὸ σῶμα μόνον, οὐδαμῶς θεωροῦντες εἴτε βαρύ ἐστι τὸ τοιοῦτον μέγεθος ἢ σῶμα εἴτε καὶ μή· ὁμοίως καὶ τῶν ἐπιπέδων καὶ μηκῶν ἔσονται λόγοι καὶ ἀποδείξεις, καθὸ μόνον ἐπίπεδά ἐστι καὶ καθὸ μήκη, τοῦ ἐν αὐτοῖς λευκοῦ ἢ βαρέος ἢ θερμοῦ κατορχούμενοι. ἀλλὰ κἂν περὶ διαιρετῶν θεωρῶσιν, οὕτω καὶ αὐτοὶ ἐπισκέπτονται ὡς μόνον δυνάμενα διαιρεῖσθαι· εἰ δὲ βαρέα ταῦτα οὐδὲ εἷς αὐτοῖς λόγος. ἀλλὰ καὶ τὰς στιγμὰς ὡς ἀδιαιρέτους μόνον ἐπισκέπτονται, ἄλλο τι μὴ προσθεωροῦντες. Ὥστʼ ἐπεὶ ἁπλῶς λέγειν ἀληθὲς μὴ μόνον τὰ χωριστὰ εἶναι ἀλλὰ καὶ τὰ μὴ χωριστά.
Ἔνστασίν τινα δυναμένην φέρεσθαι πρὸς τὰ λεγόμενα διὰ τούτων λύει. ἔστι δὲ ἡ ἔνστασις τοιαύτη. εἰ τὰ μαθηματικὰ ἐξ ἀφαιρέσεως τὸ εἶναι ἔχει, πῶς αὐτά φαμεν ὅτι εἰσίν; ταύτην λύων λέγει «ἐπεὶ οὐ μόνον τὰς οὐσίας — ταύτας γὰρ λέγει χωριστάς — ἁπλῶς φαμεν εἶναι, ἀλλὰ καὶ τὰ μὴ χωριστὰ ἤτοι τὰ συμβεβηκότα καὶ μὴ καθʼ αὑτὰ δυνάμενα εἶναι — κατηγοροῦμεν γὰρ καὶ κατὰ τούτων τὸ εἶναι ἁπλῶς, φημὶ δὴ τοῦ τε λευκοῦ καὶ τοῦ κινουμένου ἤτοι τῆς κινήσεως —, ὡς οὖν οὐ μόνον τὰς οὐσίας εἶναί φαμεν, ἀλλὰ καὶ τὰς κινήσεις καὶ ὅλως τὰ πάθη, ἃ οὐ δύναται καθʼ αὑτὰ εἶναι ἀλλʼ ἐν ἄλλοις, οὕτω καὶ τὰ μαθηματικὰ ἕξουσι μὲν ἐξ ἀφαιρέσεως τὸ εἶναι, ἕξουσι δὲ καὶ τὸ κατʼ αὐτῶν ἁπλῶς τὸ εἶναι λέγεσθαι, καὶ οὐ μόνον θαρρούντως ἐροῦμεν ὡς εἰσίν, ἀλλὰ καὶ ἀποφανούμεθα ὅτι τοιαῦτά εἰσιν οἷα λέγουσιν, οἷον ὅτι ἡ γραμμὴ ἀπλατὴς καὶ ἡ ἐπιφάνεια ἀβαθὴς καὶ τὰ ἄλλα ὁμοίως· ὁ γὰρ λόγος ὁ χωρίσας τὴν γραμμὴν δύναται αὐτὴν τοιαύτην εἶναι νοεῖν οἵαν ἐχώρισε.» καὶ ὥσπερ, φησίν, ἀληθές ἐστιν εἰπεῖν καὶ τὰς ἄλλας ἐπιστήμας τούτων μόνων ὧν εἰσιν ἐπιστῆμαι εἶναι καὶ οὐ τοῦ συμβεβηκότος, οἷον ὅτι ἡ ἰατρικὴ τοῦ ὑγιεινοῦ ἐστιν οὗ καὶ ἔστιν ἐπιστήμη, καὶ οὐ τοῦ συμβεβηκότος τῷ ὑγιεινῷ, οἷον τοῦ λευκοῦ, εἴ γε τῷ ὑγιεινῷ συμβέβηκε λευκῷ εἶναι, οὕτω καὶ τὴν γεωμετρίαν ἀληθὲς εἰπεῖν ὅτι τοῦ μεγέθους καὶ σχήματός ἐστι καὶ οὐ τοῦ βαρέος ἢ τοῦ θερμοῦ ἢ ὅλως τοῦ αἰσθητοῦ. ταῦτα γὰρ τῷ σώματι ὡς μὲν φυσικῷ καθʼ αὑτὰ ὑπάρχει, ὡς δὲ μαθηματικῷ κατὰ συμβεβηκός. ὥστε οὔτε τῶν αἰσθητῶν ἁπλῶς ὡς αἰσθητῶν εἰσιν αἱ μαθηματικαί, οὔτε παντάπασιν ἑτέρων ἄλλων ὄντων παρὰ τὰ αἰσθητά, ἀλλὰ τῶν αἰσθητῶν μέν, οὐχ ᾗ δὲ αἰσθητὰ ἀλλʼ ᾗ μόνον μεγέθη εἰσὶ καὶ γραμμαὶ καὶ ἐπιφάνειαι. ἡ μὲν οὖν τῶν λεγομένων διάνοια αὕτη. κατὰ δὲ τὴν λέξιν πολλὴν ἀσάφειαν ἐποίησε τὸ οὐχὶ τοῦ συμβεβηκότος, οἷον ὅτι λευκοῦ εἰ τὸ ὑγιεινὸν λευκόν, ᾗ δʼ ἐστὶν ὑγιεινοῦ. λέγει δὲ ὅτι ὥσπερ αἱ ἄλλαι ἐπιστῆμαι τούτων εἰσὶν ὧν εἰσιν ἐπιστῆμαι καὶ πρὸς ἃ λέγονται ἀλλʼ οὐ τῶν συμβεβηκότων αὐτοῖς, καὶ σαφηνίζει τοῦτο ἐπὶ τῆς ἰατρικῆς καὶ τοῦ ὑγιεινοῦ, πρὸς ὃ αὕτη λέγεται, λέγων ὅτι οὐ τοῦ συμβεβηκότος ἐστὶν ἡ ἰατρική, οἷον τοῦ λευκοῦ, εἰ τὸ ὑγιεινὸν περὶ ὅ ἐστιν ἡ ἰατρικὴ λευκόν ἐστιν· οὐκ ἔστιν οὖν ἡ ἰατρικὴ τοῦ λευκοῦ, ᾗ δʼ ἐστὶν ὑγιεινοῦ, τουτέστιν ἀλλὰ καθό ἐστιν ὑγιεινόν, ἐστὶν αὐτοῦ ἡ ἰατρική, καὶ οὐ καθὸ λευκόν. ἢ οὖν οὕτως ἢ ὑπερβατῶς ἀναγνωστέον τὸ οὐχὶ τοῦ συμβεβηκότος, οἷον ὅτι λευκοῦ, εἰ τὸ ὑγιεινὸν λευκόν, ᾗ δʼ ἐστὶν ὑγιεινοῦ, οὕτως «οὐχὶ τοῦ συμβεβηκότος ἐστὶν ἡ ἰατρική, καθὸ ὑγιεινοῦ ἐστιν· οὖσα γὰρ καθʼ αὑτὸ τοῦ ὑγιεινοῦ ὡς ὑγιεινοῦ, οὐκ ἔστι καὶ τοῦ συμβεβηκότος, οἷον τοῦ λευκοῦ, εἰ τὸ ὑγιεινὸν λευκόν ἐστιν.» τὸ δὲ ἀλλʼ ἐκείνου οὗ ἐστιν ἑκάστη, εἰ ὑγιεινὸν ὑγιεινοῦ, τὸ ἀλλʼ ἐκείνου ἀντὶ τοῦ ὅλως· ἵνʼ ᾖ τὸ λεγόμενον «καὶ ὅλως ἑκάστη ἐπιστήμη ἐκείνου ἐστὶν οὗ ἐστι καὶ οὗ λέγεται εἶναι.» καὶ δέον διʼ ἄλλου ὑποδείγματος σαφηνίσαι τὸν λόγον, οὐ ποιεῖ τοῦτο, ἀλλὰ πάλιν διὰ τοῦ ὑγιεινοῦ λέγων εἰ ὑγιεινόν, ἐκείνου, τουτέστιν εἰ ἔστι τὸ τῇ ἰατρικῇ ἐπιστήμῃ ὑποκείμενον ὑγιεινόν, ἐκείνου ἔσται καὶ οὐ τοῦ λευκοῦ ἢ ἄλλου τινός. εἰ δʼ ἐστὶ τὸ ἐπιστητὸν ἄνθρωπος καὶ ἡ τούτου ἐπιστήμη ἀνθρώπου ἔσται, ἢ εἰ ἔστι τὸ ὑγιεινὸν ἄνθρωπος ἀνθρώπου ἔσται. ὡς οὖν ἐπὶ τούτων οὕτως, φησί, καὶ τὴν γεωμετρίαν· οὐκ εἰ συμβέβηκεν αἰσθητὰ εἶναι ὧν ἐστι, μή ἐστι δʼ ᾗ αἰσθητά. καὶ παρέλκει γε ἐν τῇ λέξει τῇ οὐκ εἰ συμβέβηκεν αἰσθητὰ εἶναι ἡ οὔ ἀπόφασις. ἔστι δὲ τὸ κατάλληλον τῆς λέξεως τοιοῦτον «οὕτω καὶ τὴν γεωμετρίαν, εἰ συμβέβηκεν αἰσθητὰ εἶναι ὧν ἐστι θεωρητική, οὐκ ἔστι δὲ τούτων θεωρητικὴ ᾗ ἐστιν αἰσθητά, οὐδὲ θεωρεῖ αὐτὰ καθὸ θερμὰ ἢ βαρέα ἐστὶν ἀλλὰ καθὸ μόνον μεγέθη, εἰ δὴ τοῦθʼ οὕτως ἔχει, οὔθʼ ἡ γεωμετρία οὔτʼ ἄλλη τις τῶν μαθηματικῶν ἐπιστημῶν ἔσται τῶν αἰσθητῶν ἁπλῶς, ἀλλὰ τούτων μὲν οὐχ ᾗ δὲ αἰσθητά ἐστιν.»
Πολλὰ δὲ συμβέβηκε καθʼ αὑτὰ τοῖς πράγμασιν, ᾗ ἕκαστον ὑπάρχει τῶν τοιούτων.
Ὃ λέγει τοιοῦτόν ἐστιν. ὥσπερ γὰρ πολλὰ πολλοῖς ὑπάρχει καθʼ αὑτά, καὶ ἔστι τούτων, λέγω δὴ τῶν ἐνυπαρχόντων, ἀπόδειξις ἀκριβής, ὄντων καὶ τῶν ὑποκειμένων αὐτοῖς ἐν ἄλλοις, καὶ ὅμως οὔκ εἰσι χωρὶς τῶν ἐν οἷς ὑπάρχουσι διὰ τὸ εἶναι ἀκριβεῖς ἀποδείξεις τῶν ἐν τούτοις ὑπαρχόντων — οἷον τὸ θῆλυ καὶ τὸ ἄρρεν ἀχώριστά εἰσι πάθη τῶν ζῴων καὶ ἐν τοῖς ζῴοις τὸ εἶναι ἔχει, εἰσὶ δὲ πάλιν τοῦ θήλεος καὶ τοῦ ἄρρενος ᾗ θῆλυ καὶ ᾗ ἄρρεν πάθη, τοῦ μὲν θήλεος τὸ θρεπτικὸν καὶ ὑποδεκτικὸν τῶν σπερμάτων, τοῦ δὲ ἄρρενος τὸ γεννητικόν, καί εἰσιν ἀποδείξεις τοῦ θρεπτικοῦ καὶ δεκτικοῦ, ὁμοίως δὲ καὶ τοῦ γεννητικοῦ —, ὥσπερ οὖν τοῦ θρεπτικοῦ καὶ ὑποδεκτικοῦ ἀλλὰ καὶ τοῦ γεννητικοῦ παθῶν ὄντων τοῦ ἄρρενος καὶ τοῦ θήλεός εἰσιν ἐπιστῆμαι, καὶ οὐ δήπου εἰσὶ τὰ ὑποκείμενα αὐτοῖς, φημὶ δὴ τὸ θῆλυ καὶ ἄρρεν, χωρὶς τοῦ ζῴου καὶ καθʼ αὑτὰ ἀλλʼ ἐν τῷ ζῴῳ τὸ εἶναι ἔχει, οὕτω καὶ τῶν καθʼ αὑτὰ ὑπαρχόντων τοῖς μαθήμασιν ἔσται ἐπιστήμη, ἀλλʼ οὐ διὰ τοῦτο χωρὶς τῶν αἰσθητῶν ἔσται τὰ μαθηματικά. εἰ γὰρ διὰ τὸ ἀποδείξεις καὶ ἐπιστήμας εἶναι τῶν καθʼ αὑτὰ ὑπαρχόντων τοῖς μαθηματικοῖς ἀνάγκη τὰ μαθηματικὰ καὶ χωρὶς τῶν αἰσθητῶν εἶναι ἔσται καὶ τὸ θῆλυ καὶ τὸ ἄρρεν χωρὶς τοῦ ζῴου, ὅτι καὶ τῶν ἐν τούτοις ὄντων, τοῦ γεννητικοῦ καὶ θρεπτικοῦ καὶ ὑποδεκτικοῦ, εἰσὶν ἐπιστῆμαι. ἐν δὲ τῇ λέξει τῇ ὥστε καὶ ᾗ μὴ κινούμενον καὶ ᾗ ἐπίπεδα, ἀντὶ τοῦ ὥστε καθὸ ἀκίνητα ἔσται αὐτῶν ἐπιστήμη καὶ καθὸ ἐπίπεδα, μὴ φυσικά· τούτου γὰρ δεῖ προσυπακούειν. εἰ δὲ τὸ ἀκριβὲς ἔχει ἡ γεωμετρία διὰ τὸ ὡς ἁπλᾶ καὶ χωρὶς ποιοτήτων θεωρεῖν τὰ μεγέθη καὶ τὰ τούτοις καθʼ αὑτὰ ὑπάρχοντα, ἡ ἐπιστήμη ἡ ποιουμένη τὴν θεωρίαν οἵα ἂν εἴη περὶ τῶν πραγμάτων τῶν τῷ λόγῳ προτέρων καὶ μᾶλλον ἁπλουστέρων μᾶλλον ἕξει τὸ ἀκριβὲς τῆς περὶ ἧττον ἁπλᾶ καταγινομένης. τὸ δὲ τοῦτο δὲ τὸ ἁπλοῦν ἐστιν ἴσον ἐστὶ τῷ τὸ δέ ἐστιν ἁπλούστερον τὸ μᾶλλον τὴν ἀκρίβειαν ἔχον. εἰ δέ τις πάλιν ἐπιστήμη ἐξετάζει τι ἀμέγεθες, ἐν μεγέθει δὲ τὸ εἶναι ἔχον, ὡς αἱ ποιότητες — ἀμεγέθεις γὰρ οὖσαι ἐν μεγέθεσίν εἰσι —, μᾶλλον ἐπιστήσεται θεωρῶν αὐτὸ χωρὶς τοῦ ἐν ᾧ ἐστι μεγέθους· εἰ δὲ καὶ ἐν κινήσει ὂν ὡς ἀκίνητον αὐτὸ θεωροίη, μᾶλλον ἐπιστήσεται αὐτὸ χωρὶς τῆς κινήσεως ἐνορῶν· ἁπλούστερον γὰρ τὸ μὴ κινούμενον τοῦ κινουμένου, ὥσπερ καὶ τὸ ἀχρωμάτιστον τοῦ κεχρωσμένου. ἀλλὰ κἂν μὴ περὶ κινουμένου τὴν ζήτησιν ποιῆται, ἀλλὰ περὶ αὐτῆς τῆς κινήσεως, μᾶλλον ἐπιστήσεται τοὺς λόγους περὶ τῆς ἁπλουστέρας ποιούμενος· αὕτη δέ ἐστιν ἡ ὁμαλής. ὁμοίως δέ, φησί, καὶ περὶ ἁρμονικῆς καὶ ὀπτικῆς· οὔτε γὰρ ἡ ὀπτικὴ τὴν ὄψιν ᾗ ὄψις καὶ ὅλως τὸ τῆς ὄψεως εἶδος ἐπισκέπτεται, οὔτε ὁ ἁρμονικὸς τὸ εἶδος τῆς φωνῆς, ἀλλʼ ὁ ὀπτικὸς περὶ ἀκτίνων καὶ οἱονεὶ περὶ γραμμῶν τὸν λόγον ποιεῖται καὶ περὶ γωνιῶν, οἷον ὅτι τὰ ὑπὸ μειζόνων γωνιῶν ὁρώμενα ἢ ὑπὸ πλειόνων ἀκτίνων ἢ γραμμῶν μείζονα ὁρᾶται· τίς δὲ ἡ φύσις τῶν τοιούτων ἀκτίνων ἢ γραμμῶν καὶ τί τὸ εἶδος αὐτῶν, οὐ προσθεωρεῖ· καὶ ὁ ἁρμονικὸς δὲ περὶ τῶν πρός τι ἀριθμῶν· ἅπερ, αἱ ἀκτῖνές τε καὶ οἱ πρός τι ἀριθμοί, καθʼ αὑτό εἰσι πάθη αἱ μὲν τῶν ὄψεων, οἱ δὲ τοιοῦτοι ἀριθμοὶ τῶν φωνῶν. παραπλησίως δὲ ταύταις καὶ ἡ μηχανικὴ ποιεῖ. ὥστε καὶ ἡ γεωμετρία καὶ πᾶσαι αἱ μαθηματικαὶ τὰ πάθη ὁρῶσι καὶ τὰ συμβεβηκότα καθʼ αὑτά, τῶν δὲ ἄλλων ἀποστρέφονται. ὥστε, φησίν, εἰ καὶ μή εἰσι τὰ μεγέθη καὶ τὰ σώματα χωριστὰ τῶν παθητικῶν ποιοτήτων, χωρίσει δέ τις αὐτὰ τὰ σώματα ἀλλὰ καὶ τὰ ἐπίπεδα καὶ τὰς γραμμὰς τῶν τοιούτων παθῶν τῷ λόγῳ, καὶ ἐπιβλέπει τίνα τούτοις ὑπάρχει ᾗ τοιαῦτά ἐστι, τουτέστιν ᾗ χωριστὰ καὶ πάντῃ ἐστερημένα θερμοτήτων καὶ βαρυτήτων καὶ τῶν ὁμοίων, οὐδὲν ἂν ψεύδοιτο, ἐπεὶ οὐδʼ ὁ ἐν τῷ ἐδαφίῳ τὴν μὴ ποδιαίαν ὡς ποδιαίαν γράφων ψεύδεται· οὐ γὰρ ἐν τῇ προτάσει τὸ ψεῦδος, ἀλλʼ ἐν τῇ καταγραφῇ. εἰ γὰρ καὶ μή ἐστιν ἐν τῇ γῇ ἢ ὅλως ἐν τῷ ἐδαφίῳ γεγραμμένη γραμμὴ ποδιαία, ἀλλʼ ἐν τῇ προτάσει ὡς ποδιαίαν καὶ λαμβάνει καὶ νοεῖ. Ἄριστα δʼ ἂν οὕτω θεωρηθείη ἕκαστον, εἴ τις τὸ μὴ κεχωρισμένον θείη χωρίσας.
Ἔνστασιν ἐνταῦθα κομιζομένην πρὸς τὴν ἑαυτοῦ δόξαν διαλύει. ἡ δὲ ἔνστασις τοιαύτη. εἰ γάρ, φασί, μὴ συγχωρεῖς εἶναι χωριστοὺς ἀριθμοὺς μηδὲ σχήματα, περὶ μὴ ὄντων οἱ μαθηματικοὶ διαλέγονται· οὔτε γὰρ περὶ τῶν ἐν τοῖς σώμασι τοῖς αἰσθητοῖς διαλέξονται — ἔνυλα γὰρ τὰ τοιαῦτα, οἱ δὲ μαθηματικοὶ περὶ ἄυλα ἀναστρέφονται — οὔτε περὶ χωριστῶν, ἐπεὶ μηδʼ ὅλως δίδως εἶναι χωριστά. λύων οὖν ταύτην τὴν ἔνστασιν λέγει ὅτι περὶ μὴ ὄντων μὲν ἐνεργείᾳ δυνάμει δὲ ὄντων τὴν θεωρίαν ποιοῦνται. ἄριστα οὖν, φησί, τοῦτο θεωρηθείη, ἤτοι τὸ περὶ ὄντων μὲν δυνάμει, ἐνεργείᾳ δὲ μὴ ὄντων τὴν σκέψιν ποιεῖσθαι τόν τε γεωμέτρην καὶ τὸν ἀριθμητικόν, εἴ τις τὰ μὴ κεχωρισμένα μηδὲ ἐνεργείᾳ ὄντα καθʼ αὑτὰ χωρίσει τῇ ἐπινοίᾳ· ὄψεται γὰρ ὅτι πρότερον μὴ ὄν τι ὕστερον γέγονεν· ἀχώριστα γὰρ ὄντα πρότερον τῶν ποιοτήτων ὕστερον ἐχωρίσθη τῇ ἐπινοίᾳ, ὥστε δυνάμει εἰσὶ χωρὶς παθῶν· δύνανται γὰρ τούτων χωρισθῆναι τῇ ἐπινοίᾳ. πῶς δὲ δυνάμει εἰσὶ ταῦτα καὶ οὐκ ἐνεργείᾳ διδάσκων τῷ ἀνθρώπῳ χρῆται παραδείγματι καί φησιν ὅτι ἓν μὲν ὁ ἄνθρωπος καὶ ἀδιαίρετος καθὸ ἄνθρωπος ἐνεργείᾳ, τουτέστιν ἓν τῷ ὑποκειμένῳ· ὁ δʼ ἔθετο ἓν ἀδιαίρετον, τουτέστιν ὁ δὲ ἀριθμητικὸς προσελθὼν αὐτῷ ἔθετο καὶ ἔλαβε τὸ ἐν αὐτῷ ἓν ἀδιαίρετον, ἤτοι τὸ μοναδικὸν αὐτοῦ καὶ τὸ ἄτομον, καὶ θεωρεῖ τί τούτῳ ᾗ ἀδιαίρετος συμβαίνει. ὁ δὲ γεωμέτρης τὸ στερεὸν αὐτοῦ καὶ τὸ πάντῃ διαστατὸν ἐπισκέπτεται· οὐ γὰρ ᾗ ἄνθρωπον αὐτὸν θεωρεῖ οὐδʼ ᾗ ἀδιαίρετον, ἀλλʼ ᾗ στερεὸν καὶ πάντῃ διαστατόν. ὑπάρχει γὰρ τῷ ἀνθρώπῳ οὐ μόνον τὸ μοναδικὸν καὶ ἄτομον, ἀλλὰ καὶ τὸ πάντῃ διαστατόν. οὐ προσποιεῖται οὖν αὐτοῦ ὁ γεωμέτρης τὸ ἀδιαίρετον, ἀλλὰ ταῦτα ἃ ὑπάρχει αὐτῷ μετὰ τοῦ ἀδιαιρέτου, δυνάμενα δὲ ὑπάρχειν κἂν εἰ μὴ ἦν ἀδιαίρετος. καὶ γὰρ ἀδιαιρέτῳ ὄντι ὑπάρχει αὐτῷ τὸ τριχῇ διαστατόν, τὸ ἐπʼ ἄπειρον διαιρετὸν καὶ ὅσα ὅλως περὶ τῶν στερεῶν ὁ γεωμέτρης τε λέγει καὶ δείκνυσιν, κἂν εἰ μὴ ἦν ἀδιαίρετος ὑπῆρξεν αὐτῷ ταῦτα, δυνάμενα αὐτῷ καὶ ἀδιαιρέτῳ ὄντι ὑπάρχειν. τούτου γάρ ἐστι δηλωτικὸν τὸ κἂν εἰ μή που ἦν ἀδιαίρετος ὑπῆρχεν αὐτῷ, δηλονότι καὶ ἄνευ τούτου, ἤτοι τοῦ ἀδιαιρέτου, ἐνδέχεται ὑπάρχειν αὐτῷ τὸ δυνατόν, ἤτοι τὸ τριχῇ διαστατόν, τὸ ἐπʼ ἄπειρον διαιρετόν· ὥστε ὀρθῶς ὁ γεωμέτρης περὶ τούτων διαλέγεται ὡς περὶ ὄντων· ὄντα γάρ εἰσιν, οὐχ ὡς ἔνυλα δέ, ἀλλʼ ὡς ἄυλα καὶ εἴδη. Ἐπεὶ δὲ τὸ ἀγαθὸν καὶ τὸ καλὸν ἕτερον· τὸ μὲν γὰρ ἀεὶ ἐν πράξει, τὸ δὲ καλὸν καὶ ἐν τοῖς ἀκινήτοις.
Ἐν τούτοις ἀποτείνεται πρὸς Ἀρίστιππον καὶ εἴ τις ἄλλος ἀπεσκοράκιζε τὰ μαθήματα. εἰ γὰρ πᾶν, φησὶν ὁ Ἀρίστιππος, ὂν ἀγαθοῦ ἢ καλοῦ ἕνεκεν ἐργάζεται, τὰ δὲ μαθηματικὰ οὔτε καλοῦ οὔτε ἀγαθοῦ στοχάζεται, τὰ μαθηματικὰ ἄρα οὔκ εἰσιν. καί φησι τοῦ χρησίμου μὲν οὖν καὶ συμφέροντος τοῦ ἐν τοῖς πρακτοῖς — τοῦτο γὰρ νῦν ἀγαθὸν καλεῖ — μὴ μετεῖναι τοῖς μαθήμασιν, ἐπεὶ μηδὲ τὴν ἀρχὴν πολιτική τις ἕξις ἦν ἡ μαθηματική· περὶ γὰρ τὴν πολιτικὴν ἕξιν τὸ ὡς πρακτὸν καὶ ὡς συμφέρον ἀγαθόν ἐστιν· τοῦ μέντοι καλοῦ μάλιστα ἔχεται ἡ μαθηματική, περὶ τὰ σύμμετρα καὶ εὔτακτα καὶ ὡρισμένα διατρίβουσα. κἂν γὰρ μὴ ὀνόματα τῶν μαθηματικῶν ἐν τοῖς συμπεράσμασι λαμβάνουσιν — οὐ γὰρ λέγουσιν ὅτι παντὸς ἄρα τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ὅτι τοῦτο καλόν —, ἀλλʼ οὖν δήλη ἐστὶν αὐτῶν πᾶσα ἡ πραγματεία συμμετριῶν καὶ ὁμοιοτήτων καὶ ἀναλογιῶν καὶ τάξεων στοχαζομένη. ἀλλὰ καὶ ἐπʼ ἄλλων πολλῶν αἴτια φαίνεται ἡ τάξις καὶ τὸ ὡρισμένον· πολλὰ γὰρ ἐν τῇ φύσει τέλος ποιεῖται τὸ καλὸν καὶ τὸ εὔτακτον καὶ τὸ ὡρισμένον. ἐν δὲ τῇ λέξει τῇ τὸ δὲ καλὸν καὶ ἐν τοῖς ἀκινήτοις ἀκίνητά φησι τὰ μαθηματικά. τὸ καλὸν οὖν φησι καὶ ἐν τοῖς πρακτοῖς, ἔστι δὲ καὶ ἐν τοῖς ἀκινήτοις ἤτοι τοῖς μαθήμασι. τὸ δὲ εἰ γὰρ καὶ μὴ ὀνομάζουσι, τὰ δʼ ἔργα καὶ τοὺς λόγους δεικνύουσι ἀντὶ τοῦ εἰ μὴ λέγουσιν ἐν τοῖς συμπεράσμασι τὸ καλόν, δεικνύουσι δὲ τοῦ καλοῦ ἔργα — ἔργον γὰρ καλοῦ τὸ σύμμετρον καὶ τὰ ὅμοια —, οὐ διὰ τοῦτο δὴ ὑποληπτέον ὡς οὐ λέγουσι περὶ τοῦ καλοῦ. καὶ συμπεραίνεται λέγων περὶ μὲν οὖν τῶν μαθηματικῶν, ὅτι τε ὄντα ἐστὶ καὶ πῶς ὄντα, ὅτι δυνάμει καὶ ἐξ ἀφαιρέσεως, καὶ πῶς πρότερα, ὅτι τῷ λόγῳ, τοσαῦτα εἰρήσθω. Περὶ δὲ τῶν ἰδεῶν πρῶτον αὐτὴν τὴν κατὰ τὴν ἰδέαν δόξαν ἐπισκεπτέον.
Δείξας ὅτι τὰ μαθήματα ἐνεργείᾳ μὲν καὶ καθʼ αὑτὰ οὔκ εἰσι, δυνάμει δὲ καὶ ἐξ ἀφαιρέσεως, νῦν ἐξετάζει τὰ περὶ τῶν ἰδεῶν. καὶ ἐπεὶ ὁ Πλάτων ἀριθμοὺς εἰδητικοὺς ἐκάλει τὰς ἰδέας ἑπόμενος τοῖς Πυθαγορείοις, πρότερον, φησίν, ὡς ἰδέας αὐτὰς ἐξετάσωμεν μὴ συνάπτοντες μηδὲ μεμνημένοι μηδʼ ὅλως ἀναλογιζόμενοι εἴτε εἰσὶν ἀριθμοὶ τὰ εἴδη εἴτε καὶ μή, ἀλλʼ εἰς αὐτὴν τὴν ἔννοιαν ἀνελθόντες καθʼ ἣν ἰδέας εἶναι ὑπέλαβεν, ἐπισκεπτέον εἰ δυνατὸν εἶναι ἰδέας. ζητήσει γὰρ μετὰ ταῦτα εἰ καὶ ἀριθμοὶ εἶναι εἰδητικοὶ δύνανται. τοῦτο θεὶς εὐθὺς λέγει τὴν αἰτίαν ἐξ ἧς εἴδη εἶναι λέγειν ὡρμήθησαν. ἔχοντες γὰρ ὁμολογούμενον ὥς εἰσιν ἐπιστῆμαι καὶ φρόνησις, πεισθέντες δὲ καὶ τοῖς Ἡρακλειτείοις λόγοις ὡς ἀληθέσι τοῖς λέγουσιν ὅτι πάντα τὰ αἰσθητὰ ἐν συνεχεῖ ἐστι ῥύσει καὶ οὐδὲν οὐδέποτε αὐτῶν ἐν ταυτότητί ἐστιν, ἐταράχθησαν καὶ ἠπόρουν τίνων ἔσονται αἱ ἐπιστῆμαι. τῶν γὰρ αἰσθητῶν ἀδύνατον· ῥεῖ γὰρ καὶ καθʼ ὁμωνυμίαν μέν εἰσιν ὄντα, κυρίως δὲ μὴ ὄντα, αἱ δὲ ἐπιστῆμαι τῶν κυρίως ὄντων καὶ τῶν ἀεὶ ὡσαύτως ἐχόντων εἰσί. λείπεται δὴ εἶναι ἄλλας τινὰς ἑτέρας παρὰ τὰ αἰσθητὰ φύσεις, αἵτινες καὶ μένουσαί εἰσι καὶ ἀεὶ ὡσαύτως ἔχουσαι, ὧν ἔσονται αἱ ἐπιστῆμαι· ταύτας δὲ ἐκάλουν ἰδέας. ἀλλʼ οὗτοι μὲν τὰς ἰδέας διὰ ταύτην εἶναι τὴν αἰτίαν λέγουσιν, ὁ δὲ Σωκράτης ἰδέας μὲν εἶναι οὐκ ἔλεγε, περὶ μόνας δὲ τὰς ἠθικὰς ἀρετὰς διατρίβει. καὶ οὗτος πρῶτος ἐζήτησεν ὁρισμοὺς λαμβάνειν τῶν καθόλου, οἷον τῆς καθόλου σωφροσύνης, τῆς καθόλου δικαιοσύνης καὶ τῶν ἄλλων ἁπασῶν. εἰπὼν δὲ ὅτι πρῶτος ὁ Σωκράτης ὁρισμοὺς τῶν καθόλου λαμβάνειν ἐζήτησεν, ἐπειδὴ πρὸ τοῦ Σωκράτους Δημόκριτος καὶ πρὸ τοῦ Δημοκρίτου οἱ Πυθαγόρειοι, ὁ μὲν τὸ θερμὸν καὶ τὸ ψυχρόν, οἱ δὲ Πυθαγόρειοι τὸν καιρὸν καὶ τὸ δίκαιον καὶ τὸν γάμον ὡρίζοντο καὶ τὰ τοιαῦτα, ἐπήγαγε τῶν μὲν φυσικῶν ἐπὶ μικρὸν Δημόκριτος ἥψατο μόνον, δυνάμει λέγων ὅτι ὁ μὲν Σωκράτης τὰς ἀρετὰς ὁρίζεσθαι ἐζήτει τῶν φυσικῶν μηδένα λόγον ποιούμενος, Δημόκριτος δὲ ἥψατο μὲν τῶν φυσικῶν, ἀλλʼ ὡρίσατο τὸ θερμὸν καὶ τὸ ψυχρόν πως, τουτέστι μαλακῶς καὶ ὡς ἔτυχε. καὶ πρὸ τούτου, ὡς εἴρηται, οἱ Πυθαγόρειοί τινων ὀλίγων ὁρισμοὺς ἀπέδωκαν, οὓς ὁρισμοὺς εἰς τοὺς ἀριθμοὺς ἀνῆγον· δικαιοσύνη γάρ, φασίν, ἐστὶν ἀριθμὸς ὁ διαιρῶν τὴν δεκάδα δίχα, καὶ τὰ λοιπὰ ὁμοίως. ἀλλʼ οὗτοι μὲν οὕτως· ὁ δὲ Σωκράτης, φησίν, εὐλόγως ἐζήτει τὸ τί ἐστι καὶ τοὺς ὁρισμούς. ἐπειδὴ γὰρ ὁ ὁρισμὸς ἀρχὴ συλλογισμοῦ καὶ ἀποδείξεώς ἐστιν, ὡς ἐν τῇ Ἀποδεικτικῇ δείκνυται, ὁ δὲ Σωκράτης συλλογίζεσθαι ἐζήτει, εἰκότως τὸ τί ἐστι καὶ τοὺς ὁρισμοὺς ἐζήτει. ἐπειδὴ δὲ καί εἰσι συλλογισμοὶ χωρὶς ὁρισμοῦ — οἱ γὰρ διαλεκτικοὶ ἅπαντες τοιοῦτοι, τῶν δʼ ἀποδεικτικῶς δεικνύντων ἐστὶ τὸ ὁρισμοὺς λαμβάνειν, ὡς οἱ γεωμέτραι καὶ οἱ λοιποί —, ἐπήγαγεν ὅτι διαλεκτικὴ ἰσχὺς οὔπω τότʼ ἦν, ὥστε δύνασθαι καὶ χωρὶς τοῦ τί ἐστι καὶ τοῦ ὁρισμοῦ τἀναντία περὶ τὸ αὐτὸ συλλογίζεσθαι, οἷον ὅτι ἡ ἡδονὴ ἀγαθόν ἐστι καὶ πάλιν ὅτι ἡ ἡδονὴ κακόν ἐστι, καὶ ὅτι τῶν ἐναντίων ἡ αὐτὴ ἐπιστήμη. διὰ δὴ τὸ μὴ εἶναι ἰσχὺν διαλεκτικῆς ἐζήτει πάντων ὁρισμοὺς λαμβάνειν. ὥστε, φησί, δύο ἄν τις ἀποδώσοι καὶ ἀναθήσοι τῷ Σωκράτει δικαίως, τούς τε ἐπακτικοὺς λόγους καὶ τὸ ὁρίζεσθαι τὰ καθόλου· ἀρχὴ γὰρ συλλογισμοῦ καὶ ἡ ἐπαγωγὴ καὶ ὁ ὁρισμός. ἀλλʼ ὁ μὲν Σωκράτης τὰ καθόλου, ὧν καὶ τοὺς ὁρισμοὺς ἐζήτει, οὐ χωριστὰ ἐποίει τῶν αἰσθητῶν, οὐδὲ τοὺς ὁρισμοὺς χωριστῶν φύσεων εἶναι ἔλεγεν, οἱ δὲ περὶ Πλάτωνα ἐχώρισαν καὶ τὰ τοιαῦτα ἰδέας κατωνόμασαν· ὥστε συμβαίνει αὐτοῖς πάντων καὶ ὅλως ὧν οὐ βούλονται ἰδέας εἶναι. εἰ γὰρ κατʼ αὐτοὺς ὅπου ἓν ἐπὶ πολλῶν καὶ καθόλου ἕτερον τῶν μερικῶν νοεῖται, τούτων εἰσὶν ἰδέαι, ἔσται καὶ τῶν πρός τι καὶ τῶν οἰκιῶν καὶ ἄλλων πολλῶν ἰδέαι, ὧν ἰδέας εἶναι οὐ βούλονται.
Ταῦτα μὲν δὴ μέχρι τῆς λέξεως ταύτης κατὰ τὴν ἐμὴν σεσαφήνισται δύναμιν· ἀπὸ δὲ τῆς λέξεως τῆς καὶ παραπλήσιον ὥσπερ ἂν εἴ τις ἀριθμῆσαι βουλόμενος ἕως τοῦ ἀλλὰ περὶ μὲν τῶν ἰδεῶν καὶ τοῦτον τὸν τρόπον καὶ διὰ λογικωτέρων καὶ ἀκριβεστέρων λόγων ἔσται πολλὰ συναγαγεῖν ὅμοια τοῖς τεθεωρημένοις τὰ αὐτά ἐστιν ἀπαραλλάκτως τοῖς ἐν τῷ μείζονι Α λεγομένοις, πλὴν τῆς λέξεως τῆς εἰ δὲ τὰ μὲν ἄλλα τοὺς κοινοὺς λόγους ἐφαρμόττειν θήσομεν ἕως τοῦ ἣ πᾶσιν ὑπάρξει τοῖς εἴδεσιν ὡς γένος· διὸ ταύτην μὲν σαφηνιοῦμεν, ἐκείνων δὲ τὴν σαφήνειαν ἐκ τῶν ἐν τῷ μείζονι Α σχολῶν θηρᾶσθαι χρή.
Εἰ δὲ τὰ μὲν ἄλλα τοὺς κοινοὺς λόγους ἐφαρμόττειν θήσομεν τοῖς εἴδεσιν.
Εἰπὼν ὅτι εἰ τὸ αὐτὸ εἶδος καὶ ἡ αὐτὴ φύσις ἐστὶ τῆς αὐτοδυάδος καὶ τῆς αἰσθητῆς δυάδος καὶ τοῦ αὐτοανθρώπου καὶ τοῦ αἰσθητοῦ ἀνθρώπου, ἔσται καὶ τρίτη δυὰς καὶ τρίτος ἄνθρωπος, εἰ δὲ μὴ τὸ αὐτό, ὁμώνυμον ἂν εἴη, λέγει ὅτι εἰ δὲ τὰ μὲν ἄλλα τὰ λεγόμενα κατὰ τῶν αἰσθητῶν κύκλων, οἷον τὸ σχῆμα, τὸ ἐπίπεδον καὶ τὰ λοιπὰ μέρη τοῦ λόγου, ἐφαρμόζειν θήσομεν καὶ τῷ αὐτοκύκλῳ — τοῦτον γὰρ εἶπεν αὐτὸν τὸν κύκλον —, εἰ δὴ κατὰ τὰ μέρη τοῦ ὁρισμοῦ μηδὲν διαφέρειν τὰ αἰσθητὰ καὶ τὰς ἰδέας αὐτῶν φήσομεν, τὸ δʼ οὗ ἐστι προστεθήσεται, τουτέστι παράδειγμα ὂν τῶν αἰσθητῶν, ἵνʼ ᾖ τοῦ μὲν αἰσθητοῦ κύκλου ὁρισμὸς σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον, πρὸς ἣν ἀφʼ ἑνὸς τῶν ἐντὸς τοῦ κύκλου σημείων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, τοῦ δὲ αὐτοκύκλου σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον, πρὸς ἣν ἀφʼ ἑνὸς τῶν ἐντὸς τοῦ κύκλου σημείων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, παράδειγμα ὂν τῶν αἰσθητῶν κύκλων, καὶ πάλιν τοῦ μὲν αἰσθητοῦ ἀνθρώπου τὸ ζῷον πεζὸν δίπουν, τοῦ δὲ αὐτοανθρώπου τὸ ζῷον πεζὸν δίπουν παράδειγμα ὂν τῶν αἰσθητῶν ἀνθρώπων, —εἰ οὖν τοῦτο φήσουσι τὸ δεῖν ταῖς ἰδέαις προστεθῆναι τὸ οὗ ἐστι παράδειγμα, οἷον ἀνθρώπου ἢ ἵππου ἢ οὗ ἂν εἴη, καὶ κατὰ τοῦτο μόνον διαφέρειν αὐτὰς τῶν αἰσθητῶν εἴπωσι, σκοπεῖν, φησί, δεῖ μὴ κενὸν ᾖ τὸ λεγόμενον. τίνι γὰρ ἡ προσθήκη αὕτη προστεθήσεται, τῷ σχήματι, τῇ γραμμῇ, τῷ ἐπιπέδῳ, τῷ μέσῳ — λέγων μέσον τὸ σημεῖον ἀφʼ οὗ πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν — ἢ πᾶσι; πάντα γὰρ τὰ ἐν τῇ ἰδέᾳ κατʼ αὐτοὺς οὐσίαι καὶ ἰδέαι, οἷον τὸ αὐτοσχῆμα, τὸ αὐτοεπίπεδον· ὁμοίως καὶ τὸ ἐν τῷ αὐτοανθρώπῳ ζῷον οὐσία καὶ ἰδέα, ἀλλὰ καὶ τὸ πεζόν, ἀλλὰ καὶ τὸ δίπουν· ὥστε εἰ ταῖς ἰδέαις δεῖ προσκεῖσθαι τὸ «παράδειγμα ὂν τῶν αἰσθητῶν,» προστεθήσεται καὶ τῷ ἐν τῷ αὐτοανθρώπῳ ζῴῳ ἰδέᾳ ὄντι καὶ τῷ δίποδι· ἰδέα γὰρ καὶ αὐτό. συμβαίνει οὖν ἐρωτωμένους τί ἐστιν αὐτοάνθρωπος λέγειν ὅτι ζῷον παράδειγμα ὂν τῶν αἰσθητῶν, πεζὸν παράδειγμα ὂν τῶν αἰσθητῶν, δίπουν παράδειγμα ὂν τῶν αἰσθητῶν. ἔτι, φησίν, ὥσπερ τὰ ἐνυπάρχοντα τῷ αὐτοανθρώπῳ οἷον τὸ ζῷον καὶ τὰ λοιπά, ὁμοίως καὶ τῷ αὐτοκύκλῳ, τὸ σχῆμα τὸ ἐπίπεδον τὰ ὅμοια, φύσεις εἰσί τινες κατʼ αὐτούς, ἀνάγκη καὶ τὸ προσκείμενον αὐτοῖς τὸ «παράδειγμα ὂν τῶν αἰσθητῶν» εἶναι φύσιν τινὰ καὶ οὐσίαν καθʼ αὑτὴν καὶ ἰδέαν, ἵνʼ ὡς γένος ὑπάρχῃ πάσαις ταῖς ἰδέαις. ὡς γὰρ τὸ ζῷον πεζὸν τῷ αὐτοανθρώπῳ ὡς γένος ὑπάρχει, οὕτω καὶ τὸ «παράδειγμα ὂν τῶν αἰσθητῶν» ὡς γένος αὐτῷ τε καὶ ταῖς ἄλλαις ὑπάρξει ἰδέαις. διὰ τί γὰρ τὸ ζῷον ὑπάρχον τῷ αὐτοανθρώπῳ φύσις τις καὶ οὐσία ἐστί, τὸ δὲ «παράδειγμα ὂν τῶν αἰσθητῶν», ὑπάρχον αὐτῷ, οὐκ ἔσται φύσις τις καὶ οὐσία; ἀλλὰ καὶ τοῦτο, λέγω δὴ τὸ φύσιν εἶναι καὶ οὐσίαν τὸ τοιοῦτον, ἀλογώτατον. Ἐπεὶ δὲ διώρισται περὶ τούτων, καλῶς ἔχει πάλιν τὰ περὶ τοὺς ἀριθμοὺς ἰδεῖν συμβαίνοντα.
Ἐνστὰς πρὸς τὰς ἰδέας μεταβαίνει καὶ ἐπὶ τὴν τῶν ἀριθμῶν ὑπόθεσιν τὴν τοῖς ἀριθμοῖς οὐσίαν ἀπονέμουσαν νοητήν· ἐκ διαιρέσεως δὲ αὐτὴν τίθησι καὶ καθʼ ἕκαστον τῶν τῆς διαιρέσεως τμημάτων ἐνίσταται. λέγει οὖν ὅτι ἐπειδὴ τὰ περὶ τῶν ἰδεῶν διώρισται, καλῶς ἔχει λοιπὸν θεωρῆσαι καὶ τὰ συμβαίνοντα τοῖς τοὺς ἀριθμοὺς θεμένοις χωριστάς τινας φύσεις καὶ τῶν ὄντων πάντων αἰτίας πρώτας. τοῦτο εἰπὼν ἐκτίθεται τοὺς τρόπους, καθʼ οὓς ἄν τις εἶναι ἀριθμοὺς χωριστοὺς ὑπονοήσειε, λέγων ἀνάγκη γὰρ εἴπερ ἔστιν αὐτοαριθμός — τούτου γάρ ἐστι δηλωτικὸν τὸ ἀνάγκη δʼ εἴπερ ἔστιν ὁ ἀριθμὸς φύσις τις, καὶ μὴ ἄλλη τίς ἐστι φύσις καὶ οὐσία ὁ ἀριθμός, οἷον φέρε ξύλον ἢ ἄνθρωποι ἢ ἵπποι ἢ ἄλλο ὁτιοῦν, ἀλλʼ αὐτὸ τοῦτο ἀριθμός —, ὥς φασιν οἱ τοῦτο βουλόμενοι, ἤτοι εἶναι τὸν ἐχόμενον τοῦ προτέρου διαφέροντα κατʼ οὐσιώδεις καὶ εἰδοποιοὺς διαφοράς, ὥσπερ ἄν τις εἴποι τὸν ἄνθρωπον τοῦ ἵππου πρότερον διὰ τὴν τοῦ λογικοῦ διαφοράν· τὸ γὰρ λογικὸν τοῦ ἀλόγου τῇ τιμιότητι καὶ τῷ ἀρίστῳ πρότερον· καὶ τοῦτο πάλιν, λέγω δὴ τὸ διαφόρους εἶναι καὶ προτέρους καὶ ὑστέρους τῷ εἴδει τοὺς ἀριθμούς, ἢ εὐθὺς ἐπὶ τῶν μονάδων ὑπάρχει, καὶ ἔστιν ἀσύμβλητος καὶ ἑτεροειδὴς ὁποιαοῦν μονὰς ὁποιᾳοῦν μονάδι, ἤτοι πᾶσα μονὰς πάσῃ μονάδι· ἢ οὔκ εἰσιν ἑτεροειδεῖς αἱ μονάδες ἀλλὰ μόνον ἐφεξῆς — ὥς φαμεν ἄνωθεν κάτω ἐρχόμενοι πρώτην τὴν ἀπλανῆ σφαῖραν, ἐφεξῆς δὲ τὴν Κρονίαν καὶ ἐφεξῆς τὴν Δίιον, καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν ὁμοίως —, καὶ ὁμοειδεῖς πᾶσαι πάσαις, οἷόν φασι τὸν μαθηματικὸν ἀριθμόν· ἐν γὰρ τῷ μαθηματικῷ ἀριθμῷ πᾶσαι αἱ μονάδες ἀδιάφοροί εἰσιν· ἢ οὖν ἀσύμβλητοί εἰσι πᾶσαι αἱ μονάδες, ἢ συμβληταὶ πᾶσαι, ἢ αἱ μὲν συμβληταὶ αἱ δὲ ἀσύμβλητοι, οἷον εἰ ἔστι πρῶτον τὸ ἓν ἤτοι τὸ αὐτοέν, δευτέρα ἡ αὐτοδυάς, τρίτη ἡ αὐτοτριάς, λέγοιμεν ἂν ὅτι αἱ ἐν τῇ δυάδι τῇ πρώτῃ ἤτοι τῇ αὐτοδυάδι μονάδες εἰσὶ συμβληταὶ πρὸς ἑαυτὰς καὶ ὁμοειδεῖς, ὁμοίως καὶ ἐν τῇ αὐτοτριάδι — πάλιν γὰρ τὴν αὐτοτριάδα πρώτην εἴρηκε τριάδα — καὶ αὗται συμβληταὶ καὶ ὁμοειδεῖς πρὸς ἑαυτάς, πρὸς δὲ τὰς ἐν τῇ αὐτοδυάδι οὔσας ἀσύμβλητοι καὶ ἀνομοειδεῖς, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὡσαύτως, ὥσπερ καὶ οἱ τοὺς εἰδητικοὺς ἀριθμοὺς τιθέμενοι βούλονται. διό, τουτέστι καὶ διὰ τὸ τὰς εἰδητικὰς μονάδας τὰς ἐνούσας τῇ αὐτοδυάδι ἀσυμβλήτους εἶναι καὶ ἀνομοειδεῖς κατὰ τοὺς λέγοντας πρὸς τὰς ἐν τῇ αὐτοτριάδι οὔσας μονάδας, τὰς δὲ μαθηματικὰς πάσας πάσαις συμβλητάς, διὰ δὴ τοῦτο ὁ μὲν μαθηματικὸς ἀριθμὸς ἀριθμεῖται καὶ τῇ προληφθείσῃ μονάδι προσληφθεῖσα ἑτέρα μονὰς γίνεται δυάς, ταῖς δὲ δύο ταύταις μονάσι συντεθεῖσα ἄλλη μονὰς συνίσταται ἡ τριάς, καὶ ταύταις ταῖς τρισὶ μονάσιν ἑτέρα μονὰς συναφθεῖσα ἀπογεννᾶται ἡ τετρὰς καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν ἀριθμῶν ὁμοίως. ὁ δὲ εἰδητικὸς ἀριθμὸς ἀσύμβλητος ὤν, ὡς αὐτοῖς λέγεται, μετὰ τὸ αὐτοέν ἐστιν ἡ αὐτοδυάς, ὥς φασιν, οὐ προστεθέντος τῷ αὐτοενὶ ἄλλου ἑνὸς καὶ ἀποτελέσαντος τὴν αὐτοδυάδα, ἀλλʼ εὐθὺς τὰ ἐν τῇ αὐτοδυάδι δύο ἕτερα, φασί, καὶ ἀνομοειδῆ τῷ πρώτῳ ἑνί — λέγων πάλιν πρῶτον ἓν τὸ αὐτοέν —, καὶ γεννᾷ τὴν αὐτοδυάδα ἄνευ τοῦ πρώτου ἑνός, ὁμοίως καὶ τὴν αὐτοτριάδα ἄνευ τῆς αὐτοδυάδος· οὐ γὰρ προστεθέντος τῇ αὐτοδυάδι ἄλλου ἑνὸς γίνεσθαι λέγουσι τὴν αὐτοτριάδα, ἀλλʼ εὐθὺς τὰς ἐν τῇ αὐτοτριάδι μονάδας ἄλλας καὶ ἀνομοειδεῖς εἶναι λέγουσι ταῖς ἐν τῇ αὐτοδυάδι μονάσι· παραπλήσια δὲ τούτοις καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ἀποφαίνονται ἀριθμῶν. ἢ οὖν οὕτως ἄν, ὡς εἴρηται, ἔχοιεν οἱ εἰδητικοὶ ἀριθμοί, ἤ, φησίν, ἀνάγκη τινὰς μὲν τῶν ἀριθμῶν, οἷον εἰπεῖν τὸν τρία, τὸν τέσσαρα, τὸν πέντε εἶναι οἷος ὁ πρῶτος ἐλέχθη τρόπος, ἤτοι ἀσυμβλήτους — τοῦτο γὰρ ἔλεγε τὸ πρῶτον τῆς διαιρέσεως τμῆμα —, τινὰς δὲ οἷον πάλιν τὸν ἑπτά, τὸν ὀκτώ, τὸν ἐννέα εἶναι οἷος ὁ μαθηματικός, ἤτοι συμβλητοὺς καὶ ὁμοειδεῖς, ἄλλους δέ, οἷον τὸν εἴκοσι, τὸν τριάκοντα, τοὺς ὁμοίους εἶναι οἷος ὁ τρίτος ἔλεγε τρόπος· οὗτος δὲ ἦν ὁ τιθεὶς τὰς μὲν ἐν τῷ εἴκοσιν ἀριθμῷ μονάδας εἶναι πρὸς ἑαυτὰς συμβλητὰς καὶ ὁμοειδεῖς, πρὸς δὲ τὰς ἐνούσας τῷ τριάκοντα ἀριθμῷ ἀσυμβλήτους καὶ ἀνομοειδεῖς· τούτου γὰρ ἦν μηνυτικὸν τὸ αἱ δὲ ἐν ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ διάφοροι καὶ ἀσύμβλητοι. καὶ πάλιν ἢ πάντες καὶ οἱ συμβλητοὶ καὶ οἱ ἀσύμβλητοι χωριστοί εἰσι τῶν αἰσθητῶν ἢ ἀχώριστοι καὶ ἐν τοῖς αἰσθητοῖς. οὐχ οὕτω δέ, φησίν, ἐν τοῖς αἰσθητοῖς εἶναί φημι τοὺς ἀριθμοὺς ἐξ ἀφαιρέσεως καὶ τῇ ἐπινοίᾳ, ὡς πρότερον ἐπὶ τῶν μαθηματικῶν ἐσκοποῦμεν, οὐ τοῦτο δὴ ζητητέον, ἀλλʼ εἰ δυνατὸν εἶναι τοὺς ἀριθμοὺς ἐν τοῖς αἰσθητοῖς ὡς στοιχεῖα, ἵνα ὡς ἐκ στοιχείων τῶν ἀριθμῶν ἡ φύσις εἴη τῶν αἰσθητῶν, ὥς φασί τινες τῶν Πυθαγορείων. ἢ δὴ οὕτως ἀναγκαῖόν ἐστι λέγειν, ἢ τινὰς μὲν αὐτῶν ὡς στοιχεῖα ὄντας τῶν αἰσθητῶν ἐνυπάρχειν τοῖς αἰσθητοῖς τινὰς δὲ μὴ ἐνυπάρχειν, ἢ πάντας ὑπάρχειν, ἢ πάντας μὴ ὑπάρχειν.
Ταῦτα εἰπὼν λέγει οἱ μὲν οὖν τρόποι καθʼ οὓς ἐνδέχεται τοὺς ἀριθμοὺς εἶναι οὗτοί εἰσιν ἐξ ἀνάγκης μόνοι. καὶ οἱ ἐκ τοῦ ἑνὸς τοῦ πρώτου ὡς ἀρχῆς καὶ στοιχείου καὶ ἄλλου τινός, τῆς ἀορίστου δηλαδὴ δυάδος, τοὺς ἑκασταχοῦ γεννῶντες ἀριθμοὺς τινὶ τῶν ῥηθέντων τρόπων κέχρηνται. οἱ μὲν γὰρ αὐτῶν περὶ τῶν ἀχωρίστων μόνων τὸν πολὺν ποιοῦνται λόγον καὶ πάντας ἀχωρίστους εἶναί φασιν, οἱ δὲ πάντας χωρίζουσιν, οἱ δὲ περὶ ἀμφοῖν λέγουσι, τοὺς μὲν αὐτῶν χωρίζοντες τοὺς δὲ οὐδαμῶς. τὸ δὲ σχεδὸν πρόσκειται διὰ τὸ εὐθὺς ὑπʼ αὐτοῦ ἐπενεχθὲν τὸ πλὴν τοῦ πάσας τὰς μονάδας ἀσυμβλήτους εἶναι, ὃ ἴσον ἐστὶ τῷ οὐδεὶς τῶν περὶ ἀριθμοὺς εἰπόντων πάσας τὰς μονάδας ἀσυμβλήτους εἴρηκε. διὸ καὶ τὸ σχεδὸν δὲ καὶ οἱ λέγοντες τὸ ἓν ἀρχὴν καὶ τὰ ἑξῆς ἴσον ἐστὶ τῷ καὶ ἕκαστος τῶν λεγόντων τὸ ἓν καὶ τὴν ἀόριστον δυάδα ἀρχὴν τινὶ τῶν εἰρημένων τρόπων χρῆται πλὴν ἑνὸς τρόπου τοῦ πάσας τὰς μονάδας ἀσυμβλήτους λέγοντος· τούτῳ γὰρ τῷ τρόπῳ οὐδεὶς ἐχρήσατο. καὶ ἔστι τὸ πλὴν ἐφερμηνευτικὸν τοῦ σχεδόν. τὸ δὲ καὶ τοῦτο συμβέβηκεν εὐλόγως· οὐ γὰρ ἐνδέχεται ἔτι ἄλλον τρόπον εἶναι παρὰ τοὺς εἰρημένους οὕτως ἐπῆκται ὡς εἰ ἔλεγεν «εἰ γὰρ μὴ τελείαν τὴν διαίρεσιν ἐποιησάμην, εἰκός, μᾶλλον δʼ ἀναγκαῖον ἦν τοὺς εἰπόντας περὶ ἀριθμῶν μή τινι τῶν ῥηθέντων χρήσασθαι τρόπων· ἐπειδὴ δὲ τελείαν καὶ ἀπαράλειπτον αὐτὴν τέθεικα καὶ οὐδένα ἐνδέχεται ἄλλον ἐπινοῆσαι παρὰ τοὺς ῥηθέντας τρόπον, εὐλόγως τοῦτο συμβέβηκε, λέγω δὴ τὸ κατά τινα τῶν εἰρημένων τρόπων αὐτοὺς περὶ τῶν ἀριθμῶν ἀποφήνασθαι.» Οἱ μὲν οὖν ἀμφοτέρους φασὶν εἶναι τοὺς ἀριθμούς, τὸν μὲν ἔχοντα τὸ πρότερον καὶ τὸ ὕστερον τὰς ἰδέας.
Θεὶς τοὺς τρόπους καθʼ οὓς ἐνεδέχετο τοὺς ἀριθμοὺς εἶναι νῦν ἐκτίθεται τῶν περὶ ἀριθμῶν εἰπόντων τίνες τίνι τῶν εἰρημένων τρόπων ἐχρήσαντο, καί φησιν ὅτι οἱ μὲν γὰρ αὐτῶν, ὥσπερ ὁ Πλάτων, ἀμφοτέρους φασὶν εἶναι τοὺς ἀριθμοὺς καὶ τὸν εἰδητικὸν καὶ τὸν μαθηματικόν. τὸν μὲν γὰρ ἔχοντα τὸ πρότερον καὶ ὕστερον ἔλεγεν εἶναι τὰς ἰδέας καὶ τὸν εἰδητικὸν ἀριθμόν, τὸν δὲ μὴ τὸ πρότερον καὶ ὕστερον ἔχοντα μηδὲ κατʼ εἶδος διαφέροντα τὸν μαθηματικὸν εἶναι ἐτίθετο, πρεσβύτερον μὲν αὐτὸν λέγων τοῦ φυσικοῦ καὶ διʼ οὗ ἀριθμοῦμεν ἀριθμοῦ, καταδεέστερον δὲ τοῦ εἰδητικοῦ. καὶ χωριστοὺς ἀμφοτέρους καὶ τὸν εἰδητικὸν καὶ τὸν μαθηματικὸν τῶν αἰσθητῶν εἶναι βούλεται. διὰ μὲν οὖν τοῦ οἱ μὲν οὖν ἀμφοτέρους εἶναι τοὺς ἀριθμοὺς ᾐνίξατο τὸν Πλάτωνα, διὰ δὲ τοῦ οἱ δὲ τὸν μαθηματικὸν μόνον ἀριθμὸν εἶναι τὸν πρῶτον τῶν ὄντων τοὺς περὶ Ξενοκράτην· οὗτοι γὰρ καὶ χωρίζουσι τὸν μαθηματικὸν τῶν αἰσθητῶν καὶ μόνον αὐτὸν εἶναί φασι καὶ πρῶτον πάντων, τοῦ εἰδητικοῦ κατορχούμενοι. καὶ οἱ περὶ Ξενοκράτην οὖν ἕνα μόνον ἀριθμὸν νομίζουσι καὶ οἱ Πυθαγόρειοι· διὸ καὶ ὑποστικτέον εἰς τὸ ἕνα, εἶτα ἐπακτέον τὸ τὸν μαθηματικόν, ἵνʼ ᾖ τὸ τῆς λέξεως τοιοῦτον· καὶ οἱ Πυθαγόρειοι δὲ ἕνα ἀριθμὸν εἶναι νομίζουσι· καὶ τίνα τοῦτον; τὸν μαθηματικόν, πλὴν οὐ κεχωρισμένον τῶν αἰσθητῶν, ὡς οἱ περὶ Ξενοκράτην, οὐδὲ μοναδικόν, τουτέστιν ἀμερῆ καὶ ἀσώματον — μοναδικὸν γὰρ τὸ ἀμερὲς καὶ ἀσώματον ἐνταῦθα δηλοῖ —, ἀλλὰ τὰς μονάδας καὶ δηλονότι καὶ τοὺς ἀριθμοὺς ὑπολαμβάνοντες οἱ Πυθαγόρειοι μέγεθος ἔχειν ἐκ τούτων τὰς αἰσθητὰς οὐσίας καὶ τὸν ἅπαντα οὐρανὸν εἶναι λέγουσιν. ἔχειν δὲ τὰς μονάδας μέγεθος κατεσκεύαζον οἱ Πυθαγόρειοι διὰ τοιούτου τινὸς λόγου. ἔλεγον οὖν ὅτι ἐπειδὴ ἐκ τοῦ πρώτου ἑνὸς αὗται συνέστησαν, τὸ δὲ πρῶτον ἓν μέγεθος ἔχει, ἀνάγκη καὶ αὐτὰς μεμεγεθυσμένας εἶναι· τὸ γὰρ ἐκ μεμεγεθυσμένου γεγονὸς καὶ αὐτὸ μέγεθος ἔχειν ἐπάναγκες. ἐρωτώμενοι δὲ καὶ τί τὸ συστῆσαν τὸ πρῶτον ἓν καὶ διὰ τί, καὶ πῶς τὸ μέγεθος ἔσχε καὶ πῶς ἐξ αὐτοῦ αἱ μονάδες γεννῶνται, οὐδὲν ἔλεγον σπουδαῖον. ἄλλος δὲ πάλιν, φησί, Πυθαγόρειος τὸν μαθηματικὸν ἀριθμὸν οὐ προσίετο, ἀλλʼ ἕνα καὶ πρῶτον ἀριθμὸν τὸν τῶν εἰδῶν εἶναι ἔλεγεν. ἔνιοι δὲ καὶ τὸν μαθηματικὸν τὸν αὐτὸν τοῦτον, τουτέστι τινὲς δὲ τῶν Πυθαγορείων τὸν μὲν συνεγνωσμένον μαθηματικὸν ἀνῄρουν, ἕνα δὲ ποιοῦντες ἀριθμόν, τὸν εἰδητικόν, τὸν αὐτὸν τοῦτον ἐκάλουν καὶ μαθηματικόν. Ὁμοίως δὴ καὶ περὶ τὰ μήκη καὶ τὰ ἐπίπεδα καὶ περὶ τὰ στερεά· οἱ μὲν γὰρ ἕτερα τὰ μαθηματικὰ καὶ τὰ μετὰ τὰς ἰδέας.
Καὶ περὶ τῶν ἐπιπέδων, φησί, καὶ τῶν στερεῶν ὁμοίως τοῖς ἀριθμοῖς ἀπεφήναντο. οἱ μὲν γὰρ αὐτῶν ἕτερα λέγουσι τὰ μαθηματικὰ ἐπίπεδα καὶ τὰ στερεὰ καὶ ἕτερα τὰ εἰδητικά· ἄλλο γὰρ ἔλεγον εἶναι τὸ μαθηματικὸν ἐπίπεδον, περὶ ὃ ὁ γεωμέτρης πραγματεύεται, καὶ ἄλλο τὸ αὐτοεπίπεδον. τῶν δὲ ἄλλως λεγόντων, φησίν, ἤτοι τῶν εἰδητικοὺς ἀριθμοὺς καὶ εἰδητικὰ ἐπίπεδα καὶ στερεὰ μὴ λεγόντων· ἢ εἰπὼν τῶν δὲ ἄλλως λεγόντων ἐξηγητικὸν οἶμαι ἐπήγαγε τὸ ὅσοι μὴ ποιοῦσι τὰς ἰδέας ἀριθμούς, ὡς εἰ ἔλεγε «τῶν δὲ ἄλλως λεγόντων, τίνας δὲ ἄλλως λέγειν φημί; τοὺς ὅσοι δηλονότι μὴ ποιοῦσι τὰς ἰδέας ἀριθμούς, μηδὲ ὅλως εἶναι εἰδητικοὺς ἀριθμοὺς νομίζοντας»· οὗτοι τὰ μαθηματικὰ στερεά τε καὶ ἐπίπεδα καὶ μαθηματικῶς λέγουσι, τουτέστι πᾶν μέγεθος εἰς μεγέθη λέγουσιν εἶναι διαιρετόν· τοῦτο δὲ ταὐτόν ἐστι τῷ μὴ συγκεῖσθαι τὴν γραμμὴν ἐκ στιγμῶν ἢ τὸ ἐπίπεδον ἐκ γραμμῶν. πᾶν οὖν μέγεθος εἰς μεγέθη εἶναι διαιρετὸν οὗτοί φασιν καὶ ὁποιασοῦν μονάδας συντεθειμένας ποιεῖν δυάδα ἀποδέχονται. οἱ δὲ λέγουσι μὲν τὰ μαθηματικὰ ἐπίπεδα, οἱ καὶ εἰδητικοὺς ἀριθμοὺς εἶναι λέγοντες, οὐ μαθηματικῶς δέ. οὐ γὰρ τέμνεσθαι πᾶν μέγεθος εἰς μεγέθη, οὐδὲ τὰς τυχούσας μονάδας δυάδα ποιεῖν, ἀλλά φασιν ὅτι αἱ πρώτως γεγονυῖαι δύο μονάδες ὡς ἐξ ὕλης μὲν τῆς ἀορίστου δυάδος, εἴδους δὲ τοῦ ἀρχικοῦ ἑνός, τοῦ αὐτοενὸς δηλονότι, αὗται πεποιήκασι τὴν πρώτην δυάδα ἤτοι τὴν εἰδητικὴν δυάδα ἤτοι τὴν αὐτοδυάδα· αἱ δὲ πάλιν δευτέρως γεγονυῖαι τρεῖς μονάδες ὡς ἐξ ὕλης μὲν καὶ αὗται τῆς ἀορίστου δυάδος, εἴδους δὲ τοῦ αὐτοενὸς πεποιήκασι τὴν αὐτοτριάδα. ὁμοίως καὶ ἐπὶ τῆς αὐτοτετράδος καὶ τῶν λοιπῶν ἀποφαίνονται, καὶ οὔ φασιν ὅτι ὁμοειδεῖς εἰσιν αἱ ἐν τῇ αὐτοδυάδι μονάδες ταῖς ἐν τῇ αὐτοτριάδι καὶ αὗται ταῖς ἐν τῇ αὐτοτετράδι — ἦ γὰρ ἂν καὶ συντιθέμεναι αἱ ἐν τῇ αὐτοδυάδι ταῖς ἐν τῇ αὐτοτριάδι ἀπεγέννων ἄν τινα ἀριθμόν —, ἀλλʼ ἀνομοειδεῖς τὰς ἐν τῇ αὐτοδυάδι καὶ ἄλλας τῶν ἐν τῇ αὐτοτριάδι οὐσῶν ἔλεγον. ταῦτα εἰπὼν λέγει πάντες μὲν τοὺς ἀριθμοὺς μοναδικοὺς καὶ ἀμεγέθεις καὶ ἀμερεῖς εἶναι λέγουσι, πλὴν τῶν Πυθαγορείων τῶν τὸ ἓν ἀρχὴν καὶ στοιχεῖον τῶν ὄντων καὶ μέγεθος ἔχειν λεγόντων. οὗτοι γὰρ μεμεγεθυσμένας τὰς μονάδας καὶ δηλονότι καὶ τοὺς ἀριθμοὺς ἀπεφαίνοντο, ὡς πρὸ ὀλίγου εἴρηται. καὶ συμπεραίνεται λέγων ὁσαχῶς μὲν οὖν ἐνδέχεται ὑπολαβεῖν εἶναι τοὺς ἀριθμοὺς καὶ ὅτι οἱ εἰρημένοι ὑφʼ ἡμῶν τρόποι ἅπαντές εἰσι, καὶ οὔτε πλείονας οὔτε ἐλάττονας αὐτοὺς εἶναι δυνατόν ἐστι, φανερὸν ἐκ τούτων. εἰσὶ δέ, φησί, πάντα τὰ περὶ τῶν ἀριθμῶν ἀδύνατα, ἀλλὰ τὰ μὲν αὐτῶν εὐφορητότερά ἐστι καὶ ἥττονα ἔχει τὰ ἀδύνατα τὰ δὲ μείζονα. Πρῶτον μὲν οὖν σκεπτέον εἰ συμβληταὶ αἱ μονάδες ἢ ἀσύμβλητοι.
Ἐπεξέρχεται πάντα τὰ τῆς διαιρέσεως τμήματα ἐπιμελῶς καὶ δείκνυσιν ὅτι κατʼ οὐδένα τρόπον δύνανται οἱ εἰδητικοὶ εἶναι ἀριθμοί, καὶ εἴπερ ἀναγκαῖόν ἐστιν, εἴ εἰσιν οἱ εἰδητικοὶ ἀριθμοί, καθʼ ἕνα τῶν τῆς διαιρέσεως εἶναι αὐτοὺς τρόπων, εἰ δειχθείη ὅτι κατʼ οὐδένα δύνανται εἶναι, ὅλως οὔκ εἰσι. πρῶτον δέ, φησί, τοῦτο σκεπτέον, πότερον συμβληταί εἰσι πᾶσαι αἱ μονάδες ἢ ἀσύμβλητοι, καὶ εἰ ἀσύμβλητοι, κατὰ ποῖον τῶν ῥηθέντων τρόπων. ἐλέγετο γὰρ ἀνωτέρω πότερον πᾶσαι αἱ μονάδες ἀσύμβλητοί εἰσιν, ἢ αἱ ἐν τῇ δυάδι μονάδες πρὸς ἑαυτὰς μέν εἰσι συμβληταὶ πρὸς δὲ τὰς ἐν τῇ τριάδι ἀσύμβλητοι, ὁμοίως καὶ αἱ ἐν τῇ τριάδι πρὸς ἑαυτὰς μὲν συμβληταὶ πρὸς δὲ τὰς ἐν τῇ δυάδι ἀσύμβλητοι. τούτου γάρ ἐστι δηλωτικὸν καὶ νῦν τὸ ἔστι μὲν γὰρ ὁποιανοῦν εἶναι ὁποιᾳοῦν μονάδι ἀσύμβλητον, ἔστι δὲ τὰς ἐν αὐτῇ τῇ δυάδι πρὸς τὰς ἐν αὐτῇ τῇ τριάδι. λέγοι δʼ ἂν αὐτὴν τὴν δυάδα καὶ αὐτὴν τὴν τριάδα τὴν αὐτοδυάδα καὶ αὐτοτριάδα. ἔστι μὲν γάρ, φησίν, τουτέστι δυνατὸν γὰρ λέγειν ὁποιανοῦν μονάδα ἤτοι πᾶσαν μονάδα πρὸς πᾶσαν μονάδα ἀσύμβλητον, δυνατὸν δὲ μὴ πᾶσαν πρὸς πᾶσαν λέγειν, ἀλλὰ τὰς ἐν τῇ αὐτοδυάδι πρὸς τὰς ἐν τῇ αὐτοτριάδι καὶ οὕτω πάσας τὰς ἐν ἑκάστῳ εἰδητικῷ ἀριθμῷ πρὸς ἀλλήλας ἀσυμβλήτους. περὶ δὴ τούτων πάλιν ἡμᾶς ὑπομνήσας λέγει εἰ μὲν γὰρ πᾶσαι αἱ μονάδες συμβληταί εἰσι καὶ ὁμοειδεῖς καὶ ἀδιάφοροι, ὁ μαθηματικὸς γίνεται ἀριθμὸς καὶ εἷς μόνος αὐτός, καὶ τοὺς εἰδητικοὺς εἶναι ἀριθμοὺς οὐκ ἐνδέχεται. τοῦτο γὰρ ἐδήλωσε διὰ τοῦ καὶ τὰς ἰδέας οὐκ ἐνδέχεται εἶναι τοὺς ἀριθμούς. ποῖος γὰρ ἔσται ἀριθμὸς ὁ αὐτοάνθρωπος ἢ τὸ αὐτοζῷον ἢ ὁ αὐτοΐππος ἢ ἄλλο ὁτιοῦν τῶν εἰδῶν; ἑκάστου μὲν γὰρ κατὰ τοὺς τιθεμένους τὰς ἰδέας ἡ ἰδέα μία· εἷς γὰρ ὁ αὐτοάνθρωπος καὶ ἓν τὸ αὐτοζῷον· εἰ δὲ ἀδιαφόρων οὐσῶν τῶν μονάδων εἶναί τις λέγοι τὸν αὐτοάνθρωπον τὴν τριάδα, ἐπειδὴ ἐν τῇ ἐννεάδι πρώτη καὶ μέση καὶ τελευταία ἐστὶ τριάς, ἔσονται τρεῖς αὐτοάνθρωποι. διὰ τί γάρ, εἰ τύχοι, ἡ πρώτη τριὰς ἔσται αὐτοάνθρωπος καὶ οὐχ ἡ δευτέρα ἢ ἡ τελευταία; ἢ οὖν οὐδεμία τῶν τριάδων ἐστὶν ἰδέα, ἢ πᾶσαι. εἰ δὲ ἀδύνατον πάσας — οὕτω γὰρ συμβήσεται, ἐπειδὴ ἄπειροί εἰσι τριάδες, ἀπείρους εἶναι καὶ αὐτοανθρώπους —, οὐδεμία αὐτῶν ἐστιν ἰδέα. οὐκ ἄρα μοναδικὸς ἀριθμὸς ἡ ἰδέα, εἴπερ ἀδιάφοροί εἰσιν αἱ μονάδες. ἀλλὰ μὴν εἰ μή εἰσιν αἱ ἰδέαι ἀριθμοί, ἀδύνατον αὐτὰς εἶναι. καὶ κατασκευάζει τοῦτο, λέγω δὴ τὸ μὴ οἷόν τε ἰδέας εἶναι, εἰ μὴ καὶ ἀριθμοί εἰσι, διὰ τοῦ ἐκ τίνων γὰρ ἔσονται ἀρχῶν αἱ ἰδέαι; ὃ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀδύνατον γὰρ ἐξ ἄλλων τινῶν ἀρχῶν εἶναι τὰς ἰδέας, ἢ ἐξ ὧν οἱ ταύτας θέμενοι κατασκευάζουσι. συλλογίζεται οὖν δυνάμει οὕτως. αἱ ἰδέαι ἐκ τοῦ ἑνὸς καὶ τῆς ἀορίστου δυάδος παρʼ αὐτοῖς ὑφίστανται· τὰ ἐκ τοῦ ἑνὸς καὶ τῆς ἀορίστου δυάδος ὑφιστάμενα ἀριθμοί εἰσιν· αἱ ἰδέαι ἄρα ἀριθμοί εἰσιν. αὐτὸς δὲ τὴν μείζονα πρότασιν μόνον, τὴν τὰ ἐκ τοῦ ἑνὸς καὶ τῆς ἀορίστου δυάδος ὑφιστάμενα ἀριθμοί εἰσι, τέθεικε διὰ τοῦ ὁ γὰρ ἀριθμός ἐστιν ἐκ τοῦ ἑνὸς καὶ τῆς δυάδος τῆς ἀορίστου, τὴν ἐλάττω παρείς. τὸ δὲ καὶ αἱ ἀρχαὶ καὶ τὰ στοιχεῖα λέγονται τοῦ ἀριθμοῦ εἶναι ἀντὶ τοῦ καὶ αἱ ἀρχαὶ καὶ τὰ στοιχεῖα τῶν ἀριθμῶν παρʼ αὐτοῖς ταῦτα εἶναι λέγονται, τό τε ἓν καὶ ἡ ἀόριστος δυάς. τὸ δὲ τάξαι τε οὔτε προτέρας ἐνδέχεται τῶν ἀριθμῶν αὐτὰς οὔτε ὑστέρας εὐλόγως εἴρηται· εἰ γάρ ἐστιν οἷον φέρε ἡ αὐτοτριὰς ὁ αὐτοάνθρωπος, πῶς οἷόν τε ἢ πρότερον ἢ ὕστερον αὐτὸν λέγειν τῆς αὐτοτριάδος; εἰ δὴ οὐσῶν τῶν ἰδεῶν ἀνάγκη αὐτὰς ἀριθμοὺς εἶναι, εἰ μή εἰσιν ἀριθμοὶ αἱ ἰδέαι, ὡς δέδεικται, ὅλως οὔκ εἰσιν. Εἰ δὲ ἀσύμβλητοι αἱ μονάδες, καὶ οὕτως ἀσύμβλητοι ὥστε ἡτισοῦν ᾑτινιοῦν.
Ὑποθέμενος πρῶτον πάσας συμβλητὰς καὶ δείξας ὅτι ἀδύνατον τὰς ἰδέας ἀριθμοὺς εἶναι, ᾧ συναπεδείχθη καὶ τὸ μὴ εἶναι αὐτὰς ὅλως, νῦν ὑποτίθεται πάσας ἀσυμβλήτους· τοῦτο γὰρ ἐδήλωσε διὰ τοῦ ὥστε ἡτισοῦν ᾑτινιοῦν. εἰ οὖν πᾶσαι αἱ μονάδες ἀσύμβλητοί εἰσι καὶ διάφοροι, οὔτε τὸν μαθηματικὸν ἐνδέχεται εἶναι τοῦτον τὸν ἀριθμόν — ὁ γὰρ μαθηματικὸς ἐκ συμβλητῶν καὶ ἀδιαφόρων καὶ αἱ διαιρέσεις καὶ αἱ συνθέσεις καὶ οἱ πολλαπλασιασμοὶ καὶ πάντα ἁπλῶς τὰ δεικνύμενα κατὰ τοῦ μαθηματικοῦ ὡς ἐπὶ ἀδιαφόρων δείκνυται —, οὔτε δὴ τὸν μαθηματικὸν εἶναι τοῦτον δυνατὸν οὔτε τὸν τῶν εἰδῶν. καὶ ὅτι μὲν ὁ μαθηματικὸς ἀριθμὸς οὐκ ἔστιν ἀσύμβλητος οὐδὲ διάφορος, πάντες φασίν. ὅτι δὲ οὐδὲ πάσας τὰς εἰδητικὰς μονάδας διαφόρους εἶναι καὶ ἀσυμβλήτους δυνατόν ἐστι, προτίθεται δεῖξαι. εἰ δὴ τοῦτό τε δειχθείη καὶ πρὸς τούτῳ ὅτι οὐδὲ αἱ ἐν τῇ δυάδι ἀσύμβλητοί εἰσι πρὸς τὰς ἐν τῇ τριάδι, ἀδύνατον ὅλως ἰδέας εἶναι. εἰ γὰρ οὐσῶν τῶν εἰδητικῶν μονάδων ἀνάγκη ἢ πάσας εἶναι συμβλητὰς ἢ πάσας εἶναι ἀσυμβλήτους ἢ τὰς ἐν τῇ δυάδι πρὸς τὰς ἐν τῇ τριάδι καὶ ταύτας πρὸς τὰς ἐν τῇ τετράδι καὶ ἐφεξῆς, κατʼ οὐδένα δὲ τούτων τῶν τρόπων εἶναι δύνανται, πάντῃ πάντως μὴ ὄντα εἰσίν. εἴπερ οὖν, φησίν, ἐστὶν ὁ εἰδητικὸς ἀριθμὸς ἐξ ἀσυμβλήτων μονάδων, οὐκ ἔσται ἡ δυὰς πρώτη γεγονυῖα ἐκ τοῦ ἑνὸς καὶ τῆς ἀορίστου δυάδος κατʼ αὐτούς, ἔπειτα ἡ τριὰς καὶ τρίτον ἡ τετρὰς καὶ ἑξῆς οἱ λοιποὶ ἀριθμοί, ἀλλʼ ἅμα πᾶσαι ἔσονται. εἰ γὰρ τὸ πρότερον καὶ τὸ δεύτερον κατʼ οὐσιώδη καὶ συστατικὴν διαφορὰν καὶ ὅλως εἰδοποιὸν γίνεται — διὰ τοῦτο γάρ φαμεν τὸν ἄνθρωπον πρότερον τοῦ ἵππου. ὅτι ἡ τοῦ λογικοῦ διαφορὰ προτέρα τῆς τοῦ ἀλόγου τῷ ἀξιώματι καὶ τῷ ἀρίστῳ —, εἰ δειχθῶσιν αἱ μονάδες πᾶσαι ἀδιάφοροι καὶ ὁμοειδεῖς, οὐκ ἂν εἴη ἡ δυὰς πρότερον, εἶτα ἡ τριάς, ὥς φασιν. ὥστε ἐὰν οὐσῶν τῶν εἰδητικῶν μονάδων ἢ ἀριθμῶν ἀνάγκη καὶ τὴν δυάδα προτέραν εἶναι τῆς τριάδος καὶ τὴν τριάδα τῆς τετράδος καὶ ἐφεξῆς, τούτων δὲ τῶν μὲν οὐσῶν πρώτων τῶν δὲ δευτέρων καὶ τρίτων ἀνάγκη ἀσυμβλήτους ἢ πάσας εἶναι τὰς μονάδας ἢ τὰς ἐν τῇ δυάδι ταῖς ἐν τῇ τριάδι καὶ οὕτως ἐπὶ τῶν λοιπῶν· εἰ δειχθείη ὅτι πᾶσαι συμβληταί εἰσιν, οὐκ ἔσται ἡ δυὰς προτέρα τῆς τριάδος καὶ αὕτη τῆς τετράδος, τούτων δὲ τὸ πρότερον καὶ δεύτερον μὴ ἐχουσῶν ἀδύνατον εἶναι τὰς εἰδητικὰς μονάδας. τὸ δὲ ἅμα γὰρ αἱ ἐν τῇ δυάδι τῇ πρώτῃ μονάδες γεννῶνται οὐκ ἔστι κατασκευαστικόν, ὡς ἄν τῳ δόξειε διὰ τὸν γάρ σύνδεσμον, τοῦ ὅτι οὐκ ἔσται ἡ δυὰς πρώτη ἐκ τοῦ ἑνὸς καὶ τῆς ἀορίστου δυάδος, εἶτα ἡ τριάς, ἀλλὰ πρῶτόν ἐστιν ἐπιχείρημα τῶν δεικνύντων μὴ εἶναι πάσας τὰς ἐν τοῖς εἰδητικοῖς ἀριθμοῖς μονάδας ἀσυμβλήτους. ἐκ διαιρέσεως δὲ δείκνυσι τοιαύτης ὅτι οὔκ εἰσιν αἱ πᾶσαι μονάδες ἀσύμβλητοι· εἰ γάρ εἰσιν ἀσύμβλητοι, ἢ ἅμα γίγνονται ἐκ τοῦ ἑνὸς καὶ τῆς ἀορίστου δυάδος αἱ ἐν τῇ αὐτοδυάδι μονάδες καὶ αἱ ἐν τῇ αὐτοτριάδι καὶ αἱ τῶν ἄλλων ἀριθμῶν ὁμοίως, ἢ πρῶτον μὲν γίνεται ἡ μία μονάς, εἶτα ἡ ἑτέρα, καὶ τότε συντίθενται καὶ ἀποτελοῦσι τὴν αὐτοδυάδα. ἀλλʼ ἐὰν ἅμα γεννῶνται αἱ ἐν τῇ δυάδι τῇ πρώτῃ ἤτοι τῇ αὐτοδυάδι μονάδες καὶ αἱ ἐν τῇ αὐτοτριάδι καὶ αἱ ἐν τοῖς ἄλλοις ἀριθμοῖς, οὐκ ἔσονται ἀσύμβλητοι ἀλλὰ συμβληταὶ καὶ ἀδιάφοροι· τὰ γὰρ ἅμα ἐκ τῶν ἀρχῶν γεννώμενα, ὡς καὶ αὐτοί φασιν, ἀδιάφορά ἐστιν. ψεῦδος ἄρα τὸ πάσας λέγειν ἀσυμβλήτους· εἰ γὰρ καὶ τὰς ἐν τῇ δυάδι λέγοι τις μονάδας ἀσυμβλήτους εἶναι πρὸς τὰς ἐν τῇ τριάδι, ὅπερ καὶ αὐτὸ ἀδύνατον δείξει, ἀλλὰ πρὸς ἑαυτὰς αἱ ἐν τῇ δυάδι οὐκ ἔσονται ἀσύμβλητοι· ὁμοίως οὐδὲ αἱ ἐν τῇ αὐτοτριάδι. ὥστε δεῖ πρὸ τῆς λέξεως τῆς ἅμα γὰρ αἱ ἐν τῇ δυάδι τῇ πρώτῃ μονάδες γεννῶνται ἔξωθεν προσυπακούειν τοῦ ἀδύνατον δὲ πάσας εἶναι τὰς μονάδας ἀσυμβλήτους· εἶτα ὡς προσκατασκευαστικὸν τοῦ ἀδύνατον πάσας εἶναι τὰς μονάδας ἀσυμβλήτους ἐπάγειν τὸ ἅμα γὰρ αἱ ἐν τῇ δυάδι τῇ πρώτῃ μονάδες γεννῶνται. ἀλλὰ κἀν ταύτῃ τῇ λέξει ἐλλείπει ὁ ἤ σύνδεσμος· ἔδει γὰρ οὕτως εἶναι γεγραμμένον ἢ γὰρ ἅμα αἱ ἐν τῇ δυάδι τῇ πρώτῃ μονάδες γεννῶνται· ἐρεῖ γὰρ προϊὼν «ἢ οὐχ ἅμα.» ὥστε σαφεστάτη ἂν ἦν ἡ λέξις, εἰ οὕτω πως εἶχεν «ἀδύνατον δὲ πάσας εἶναι τὰς μονάδας ἀσυμβλήτους· ἢ γὰρ αἱ ἐν τῇ δυάδι τῇ πρώτῃ μονάδες γεννῶνται ἅμα ἢ οὐχ ἅμα.» ἀλλὰ τὰ μὲν τῆς λέξεως οὕτως ἐχρῆν ἔχειν οἶμαι τοιαῦτα· αὐτὸς δὲ μέμνηται καὶ ῥημάτων τοῦ Πλάτωνος λέγων εἴτε ὥσπερ ὁ πρῶτος εἰπών· ἐξ ἀνίσων γὰρ ἰσασθέντων ἐγένοντο, δεικνὺς ὅτι κατʼ ἐκεῖνον ἕκαστος τῶν ἀριθμῶν ἅμα πᾶς γεννᾶται ὑπὸ τῶν ἀρχῶν, καὶ οὐχὶ πρῶτον μὲν ἡ μία μονὰς ὕστερον δὲ ἡ ἄλλη· αὐτὸς δὲ διὰ τὸ πλῆρες τῆς διαιρέσεως ἐπισκέπτεται καὶ τὸ λοιπὸν τὸ λέγον «ἢ οὐχ ἅμα.» τὸ δὲ ἐξ ἀνίσων ἰσασθέντων τοιοῦτόν ἐστιν. δοκεῖ ὁ Πλάτων λέγειν ὅτι ἐπειδὴ ἐκ τῆς ἀορίστου δυάδος, ἥτις καθὸ ἀόριστος ἄνισός ἐστιν, οἱ ἀριθμοὶ γίνονται, ἄνισοί εἰσιν, ἰσάζονται δὲ ὑπὸ τοῦ ἀρχικοῦ ἑνός· ὥστε ἐπειδὴ ἅμα γεννῶνται, δῆλον ὡς ἀδιάφοροί εἰσιν. εἰ δὲ ἀσυμβλήτων οὐσῶν τῶν ἐν τῇ δυάδι μονάδων ἐστὶν αὐτῶν ἡ μὲν προτέρα ἡ δὲ δευτέρα — οὐ γὰρ δὴ ἅμα διάφοροι καὶ ἀσύμβλητοι οὖσαι ἀπὸ τῶν ἀρχῶν προΐασι —, καὶ ἡ αὐτοδυὰς προτέρα μὲν ἔσται τῆς νεωτέρας μονάδος, νεωτέρα δὲ τῆς προτέρας· μῖξις γάρ ἐστι τῶν δύο μονάδων. ὥσπερ γὰρ τὸ οἰνόμελι τοῦ μὲν οἴνου γλυκύτερον τοῦ δὲ μέλιτος ἀγλευκέστερόν ἐστιν, οὕτω καὶ ἡ δυὰς ὑστέρα μὲν τοῦ προτέρου μέρους ἑαυτῆς πρεσβυτέρα δὲ τοῦ δευτέρου. εἰ δὲ τοῦτο, συμβαίνει τῆς πρώτης δυάδος εἶναι τὴν προγεγονυῖαν αὐτῆς μονάδα πρεσβυτέραν αὐτῆς. ἀλλʼ οὐδὲν κατʼ αὐτοὺς πρότερον τῆς αὐτοδυάδος, εἰ μὴ τὸ ἀρχικὸν ἓν καὶ ἡ ἀόριστος δυάς.
Ἔτι ἐπειδή ἐστι πρῶτον μὲν αὐτὸ τὸ ἕν, ἔπειτα τῶν ἄλλων ἐστί τι πρῶτον ἕν, δεύτερον δὲ μετʼ ἐκεῖνο.
Τὸ λεγόμενον τοιοῦτόν ἐστιν. ἐὰν αἱ τῆς αὐτοδυάδος μονάδες καὶ τῆς αὐτοτριάδος καὶ τῶν λοιπῶν οὐχ ἅμα γεννῶνται ἀλλʼ ἡ μὲν πρότερον ἡ δʼ ὕστερον γεννᾶται ἐκ τοῦ ἑνὸς καὶ τῆς ἀορίστου δυάδος, θετέον ὅτι ἡ μὲν μία μονὰς τῆς μελλούσης γενέσθαι αὐτοδυάδος γέγονεν, ἡ δὲ λοιπὴ οὔπω. ἀλλʼ εἰ τοῦτο, συμβαίνει μονάδας μὲν εἶναι δύο, τό τε ἀρχικὸν ἓν καὶ αὐτὴν τὴν ἤδη γεγονυῖαν μονάδα καὶ μέρος γενέσθαι μέλλουσαν τῆς γενησομένης αὐτοδυάδος, δυάδα δὲ μὴ εἶναι. οὔπω γάρ, ὡς ἡ ὑπόθεσις, γέγονεν ἐκ τοῦ ἑνὸς καὶ τῆς ἀορίστου δυάδος καὶ ἡ ἑτέρα μονάς, ἵνα συντεθεῖσα μετὰ τῆς προγεγονυίας ἀποτελέσωσι τὴν αὐτοδυάδα. ἀλλὰ κἂν τῆς λοιπῆς γεγονυίας μονάδος καὶ τῆς αὐτοδυάδος ἀπαρτισθείσης εἶναι μὲν τρεῖς μονάδας ἀναγκαῖον, τό τε πρῶτον ἓν καὶ τὰς λοιπὰς δύο, αἳ μέρος εἰσὶ τῆς αὐτοδυάδος, αὐτοτριάδα δὲ μὴ εἶναι· οὔπω γὰρ κἀνταῦθα ἐκ τοῦ πρώτου ἑνὸς καὶ τῆς ἀορίστου δυάδος ἕτεραι τρεῖς μονάδες γεγόνασιν, ἀσύμβλητοι μὲν οὖσαι διὰ τὴν ὑπόθεσιν πρὸς τὰς τῆς αὐτοδυάδος μονάδας, γεννητικαὶ δὲ τῆς αὐτοτριάδος. ἀλλʼ ἄτοπον καὶ ἀδύνατον τὸ τρία μὲν εἶναι λέγειν, τριάδα δὲ μὴ εἶναι. τὰ αὐτὰ δὲ συμβήσεται καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν ἀριθμῶν. ἀλλʼ ἡ μὲν τῶν λεγομένων διάνοια τοιαύτη τίς ἐστι· τὰ δὲ κατὰ τὴν λέξιν ὧδε ἂν ἔχοι. ἐπειδή ἐστι πρῶτον μὲν αὐτὸ τὸ ἕν — λέγει δὲ αὐτὸ τὸ ἓν τὸ ἀρχικὸν ἕν, μεθʼ οὗ καὶ τῆς ἀορίστου δυάδος γεννᾶται κατʼ αὐτοὺς ἡ αὐτοδυὰς καὶ οἱ λοιποὶ ἀριθμοί —, μετὰ τὸ ἕν, ὃ πρῶτον καλεῖ, ἔσται καὶ δεύτερον ἕν, ὃ δεύτερον τοῦ πρώτου καὶ ἀρχικοῦ ἑνὸς λέγει, τὴν τῆς αὐτοδυάδος, ὡς ἡ ὑπόθεσις, προγεγονυῖαν μονάδα· αὕτη γὰρ τοῦ μὲν ἀρχικοῦ καὶ πρώτου ἑνός ἐστι δευτέρα, τῆς δὲ μελλούσης γενέσθαι μονάδος, μεθʼ ἧς ἂν καὶ ἀπαρτίσοι τὴν αὐτοδυάδα, πρώτη· τρίτον δὲ ἓν τὸ δεύτερον μὲν μετὰ τὸ δεύτερον, τρίτον δὲ μετὰ τὸ πρῶτον, λέγει τὴν μήπω γεγονυῖαν τῆς γενησομένης αὐτοδυάδος μονάδα. ταύτης γὰρ τῆς αὐτοδυάδος τὸ μὲν προγεγονὸς ἕν ἐστι δεύτερον τοῦ ἀρχικοῦ ἑνός, τὸ δὲ δεύτερον αὐτῆς ἓν τοῦ μὲν προγεγονότος τῆς αὐτοδυάδος ἑνός ἐστι δεύτερον, τοῦ δὲ πρώτου καὶ ἀρχικοῦ ἑνὸς τρίτον. ὥστε ἔσονται τρεῖς μονάδες, τρία δὲ οὐκ ἔσται ἐξ ὧν ἡ τριὰς συμπλέκεται καὶ συνίσταται· ὅπου γὰρ τρία, εὐθὺς κατὰ τὸ ἀληθὲς καὶ τριάς. ἀλλὰ κἂν πάλιν τῶν τῆς αὐτοδυάδος δύο μονάδων καὶ τοῦ πρώτου ἑνὸς οὐσῶν ὑπονοήσωμεν ὅτι ἐκ τοῦ πρώτου ἑνὸς καὶ τῆς ἀορίστου δυάδος γέγονε καὶ ἕτερον, μεθʼ οὗ καὶ τῶν ὑπονοουμένων λοιπῶν τριῶν μονάδων ἡ αὐτοτριὰς γενέσθαι ὀφείλει, ἔσονται μὲν τέτταρες μονάδες, τό τε πρῶτον καὶ ἀρχικὸν ἓν καὶ αἱ δύο τῆς αὐτοδυάδος καὶ ἡ ἤδη γεγονυῖα, ἥτις μέρος ὀφείλει γενέσθαι τῆς γενησομένης αὐτοτετράδος· εἰ δὴ τοῦτο ὑπονοήσομεν, τέτταρα μὲν ἔσται, τετρὰς δὲ οὐδαμῶς· οὔπω γὰρ γεγόνασι καὶ αἱ λοιπαὶ τρεῖς μονάδες τῆς γενέσθαι μελλούσης αὐτοτετράδος. καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν ὁμοίως. ταῦτα εἰπὼν ἐπάγει οὐδεὶς τῶν περὶ ἀριθμοὺς εἰρηκότων ἀσυμβλήτους τὰς μονάδας εἴρηκεν· ὅμως δὲ κατὰ μὲν τὰς ἐκείνων ὑποθέσεις εὔλογον ἀσυμβλήτους εἶναι τὰς μονάδας, κατὰ δὲ τὴν ἀλήθειαν ἀδύνατον. τίς γὰρ διαφορὰ μονάος πρὸς μονάδα; καὶ δείκνυσιν ὅπως εὔλογόν ἐστι κατὰ τὰς ἐκείνων ὑποθέσεις ἀσυμβλήτους εἶναι τὰς μονάδας τοῦτον τὸν τρόπον· εἰ γὰρ ἔστιν ἓν πρῶτον κατʼ αὐτοὺς καὶ πρώτη μονάς, ἐξ ἧς μονάδος καὶ ἄλλης, ὡς εἴρηται, γίνεται ἡ αὐτοδυάς, ἔστι δὲ κατʼ αὐτοὺς καὶ πρώτη δυάς, πᾶσα ἀνάγκη καὶ δεύτερον ἓν εἶναι καὶ δευτέραν μονάδα καὶ δευτέραν δυάδα· εἰ γὰρ πρώτη, ἀνάγκη καὶ δευτέραν· τὰ γὰρ πρῶτα δευτέρων ἐστὶ πρῶτα, καὶ ταῦτα τρίτων. ἀλλὰ μὴν εἰ ταῦθʼ οὕτως ἔχει, ἀνάγκη καὶ τὰς μονάδας διαφόρους εἶναι καὶ ἀσυμβλήτους· ἄλλη γὰρ ἡ τρίτη καὶ ἄλλη ἡ δευτέρα καὶ αἱ λοιπαὶ ὁμοίως. εἰ γάρ εἰσιν ἀδιάφοροι καὶ συμβληταί, τί μᾶλλον αὕτη πρώτη ἐστὶν ἀλλʼ οὐχ αὕτη τοῦ πρωτείου τετύχηκε, καὶ διὰ τί αὕτη μὲν ἀτυχής ἐστι τοῦ πρώτου ἐκείνη δὲ τούτου τετύχηκε; τὸ δὲ ἅμα δὲ ἀμφότερα λέγειν, μονάδα τε μετὰ τὸ ἓν πρώτην εἶναι καὶ τὰ ἑξῆς διὰ μέσου παρέρριπται σκωπτικὸν ὂν ὡς καὶ τῶν περὶ τὰς ἀρχὰς ἀνακολούθως ἑαυτοῖς γινομένων. εἰ γάρ ἐστιν ἡ μονὰς πρώτη, πῶς ἔσται καὶ ἡ δυὰς πρώτη κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον; εἰ γὰρ τὴν πρώτην τάξιν καὶ τὸ κυρίως πρῶτον ἡ μονὰς ἐκληρώσατο, πῶς καὶ ἡ δυὰς τοῦ αὐτοῦ ἂν μετάσχοι πρώτου; ἢ γὰρ τοῦ κυρίως πρώτου τὸ ἓν εὐμοίρηκε καὶ ἐστέρηται τούτου ἡ δυὰς καὶ οἱ λοιποὶ ἀριθμοί, ἢ ἡ δυὰς τούτου τέτευχε καὶ τὸ ἓν οὐκ ἔσται πρῶτον. τὸ δὲ οἱ δὲ ποιοῦσι μονάδα μὲν καὶ ἓν πρῶτον, δεύτερον δὲ καὶ τρίτον οὐκέτι συνεχές ἐστι τῷ ἐστὶ δὲ κατὰ μὲν τὰς ἐκείνων ἀρχὰς εὔλογον καὶ οὕτω, καὶ εἴη ἂν λέγων ὅτι κατὰ μὲν τὰς ἐκείνων ἀρχὰς εὔλογον δεύτερόν τι εἶναι καὶ τρίτον, οἱ δὲ μονάδα μὲν καὶ ἓν πρῶτον ποιοῦσι, δεύτερον δὲ καὶ τρίτον οὐκέτι, καὶ δυάδα πρώτην, δευτέραν δὲ καὶ τρίτην οὐκέτι. Φανερὸν δὲ ὅτι οὐκ ἐνδέχεται, εἰ ἀσύμβλητοι πᾶσαι αἱ μονάδες, δυάδα εἶναι αὐτὴν καὶ τριάδα.
Οὐ δύναται, φησίν, εἶναι ὁ εἰδητικὸς ἀριθμός, τουτέστιν ἡ αὐτοδυὰς καὶ ἡ αὐτοτριάς, ἀσυμβλήτων ὑποτεθεισῶν τῶν μονάδων· ᾧ ἕπεται τὸ μὴ εἶναι τὸν εἰδητικὸν ἀριθμόν. ἀλλὰ τοῦτο μὲν ἀφῆκεν, ἐπήνεγκε δὲ ὅτι κἄν τε συμβληταὶ ὦσι κἄντε ἀσύμβλητοι αἱ μονάδες, δεῖ μὴ εἶναι τὴν αὐτοτριάδα, τῷ πάντα μὲν ἀριθμὸν κατὰ πρόσθεσιν ἀριθμεῖσθαι καὶ ἀποτελεῖσθαι, οἷον τὴν δυάδα προσλαβοῦσαν μονάδα τριάδα γενέσθαι· τούτων δὲ ὄντων ἀδύνατον τὴν τῶν ἀριθμῶν γένεσιν εἶναι, ὥς φασιν, ἐκ τῆς ἀορίστου δυάδος καὶ τοῦ ἑνός, ἀλλὰ κατὰ πρόσθεσιν· ὥστε ἀναγκαῖον πολλάς τε διὰ τοῦτο εἶναι δυάδας ἔν τε τῇ ἑξάδι καὶ ὀκτάδι καὶ δωδεκάδι, μόριόν τε εἶναι τὴν δυάδα, τριάδος μὲν τὸ δίμοιρον, τετράδος δὲ τὸ ἥμισυ· τοῦ δὲ εἰδητικοῦ ἀριθμοῦ μηδὲν εἶναι τοιοῦτον· γεννᾶται γὰρ κατʼ αὐτοὺς ἐκ τῆς μονάδος καὶ τῆς ἀορίστου δυάδος, καὶ ἕκαστος αὐτῶν εἷς ἐστι καὶ οὐδεὶς αὐτῶν κατʼ αὐτοὺς ἄλλου μόριον γίνεται, οὔτε ἡ αὐτοδυὰς τῆς αὐτοτριάδος, οὔτε ἄλλη ὁποιαοῦν ἄλλης ὁποιασοῦν. ταῦτα εἰπὼν ἔνστασίν τινα πρὸς ἑαυτὸν ἐπάγει διὰ τοῦ ἀλλʼ ἐκ τῆς δυάδος τῆς πρώτης καὶ τῆς ἀορίστου δυάδος ἐγίνετο ἡ τετράς. ὃ δέ φησι τοιοῦτόν ἐστιν. ἀλλʼ ἐκεῖνοι ἐκ τῆς αὐτοδυάδος — ταύτην γὰρ καλεῖ πρώτην δυάδα — καὶ τῆς ἀρχικῆς δυάδος, ἣν ἀόριστον καλεῖ δυάδα, ἀπετέλουν τὴν τετράδα, οὐ συντιθέντες αὐτὰς οὐδὲ κατὰ πρόσθεσιν αὔξοντες, ἀλλὰ τῆς ἀορίστου δυάδος διπλασιασάσης τὴν αὐτοδυάδα καὶ οὕτως ἀποτεκούσης τὴν τετράδα, ὥστε οὐκ ἂν τὸν ἐκεῖ ἀριθμὸν κατὰ πρόσθεσιν ἀποτελοῖεν. ταῦτα ἑαυτῷ ὥσπερ ἔνστασιν κομίσας λύει τὴν ἔνστασιν γοργῶς καὶ ἀσαφῶς διὰ τοῦ δύο δυάδες παρʼ αὐτὴν τὴν δυάδα. λέγει δʼ αὐτὴν τὴν δυάδα τὴν αὐτοδυάδα. δύο οὖν, φησίν, εὑρίσκονται ἐν τῇ αὐτοτετράδι δυάδες παρʼ αὐτὴν τὴν δυάδα, τουτέστι παρὰ τὴν αὐτοδυάδα. ἀλλὰ τὸ μὲν τῆς λέξεως τοιοῦτον· ὃ δὲ λέγει τοιοῦτόν ἐστιν. ἀλλὰ χρὴ προσυπακούειν τοῦ ἀλλʼ εἰ καὶ μὴ κατὰ πρόσθεσιν αἱροῦνται τὸν ἀριθμὸν ἀποτελεῖν, ἀλλʼ οὖν ἐν τῇ αὐτοτετράδι δύο δυάδας ὁμολογήσουσιν εἶναι παρὰ τὴν αὐτοδυάδα· ὥστε ἔσονται τρεῖς εἰδητικαὶ δυάδες καὶ οὐ μία· μία μὲν ἡ αὐτοδυὰς καὶ αἱ ἕτεραι δύο αἱ ἐν τῇ αὐτοτετράδι. εἰ δὲ μή, μόριον ἔσται αὕτη ἡ δυάς, τουτέστιν εἰ δὲ τοῦτο φεύγοιεν καὶ οὐχ ὁμολογοῖεν ἄλλας εἶναι τὰς ἐν τῇ αὐτοτετράδι δυάδας παρὰ τὴν αὐτοδυάδα, ἐπειδὴ ὅλως δυάδες εὑρίσκονται ἐν τῇ αὐτοτετράδι, ἔσται μόριον ἡ αὐτοδυὰς τῆς αὐτοτετράδος, καὶ κατὰ πρόσθεσιν ἔσται ὁ ἀριθμὸς ἑτέρας δυάδος τῇ αὐτοδυάδι προστεθείσης καὶ οὕτως ἀποτελεσάσης τὴν αὐτοτετράδα. εἰ δὲ ἡ αὐτοτετράς ἐστιν ἐκ τῆς αὐτοδυάδος καὶ ἄλλης δυάδος, κατὰ τὴν αὐτὴν ἀναλογίαν καὶ ἡ αὐτοδυὰς ὑποστήσεται ἐκ τοῦ ἀρχικοῦ ἑνὸς καὶ ἄλλου ἑνός· τούτου γάρ ἐστι δηλωτικὸν τὸ καὶ ἡ δυὰς ἔσται ἐκ τοῦ ἑνὸς αὐτοῦ καὶ ἄλλου ἑνός. εἰ δὲ τοῦτο, οὐχ οἷόν τε τὴν ἑτέραν ἀρχὴν ἀόριστον εἶναι δυάδα· τὸ γὰρ γεννώμενον ὑπὸ τῆς ἀορίστου δυάδος δυὰς ὤφειλεν εἶναι· νῦν δὲ οὐ δυὰς γεννᾶται ἀλλὰ μονάς, ἥτις σὺν τῷ ἑνὶ τὴν ὡρισμένην ἀποτελεῖ δυάδα, τουτέστι τὴν αὐτοδυάδα. εἰ οὖν μὴ δέξονται ἐν τῇ αὐτοτετράδι δύο εἶναι δυάδας παρὰ τὴν αὐτοδυάδα, ἕπεται αὐτοῖς κατὰ πρόσθεσιν εἶναι τὸν ἀριθμὸν καὶ ἀνῃρῆσθαι τὴν ἑτέραν τῶν ἀρχῶν. ἐν δὲ τῇ λέξει τῇ μονάδα γὰρ μίαν γεννᾷ ἀλλʼ οὐ δυάδα ὡρισμένην ὑπερβατῶς ἀναγνωστέον οὕτως· «μονάδα γὰρ ὡρισμένην γεννᾷ ἀλλʼ οὐ δυάδα».
Ταῦτα εἰπὼν λέγει ἔτι παρὰ τὴν αὐτοτριάδα καὶ τὴν αὐτοδυάδα πῶς ἔσονται ἄλλαι τριάδες καὶ δυάδες; εἴτε οὖν εἰσιν ἄλλαι τριάδες αἱ ἐν τῇ ἑξάδι παρὰ τὴν αὐτοτριάδα, οὐκ ἔσται μία ἡ εἰδητικὴ τριὰς ἀλλὰ πλείους, εἴτε οὖν αἱ αὐταί εἰσί πως καὶ ὁμοειδεῖς ταῖς ἐν τῇ αὐτοτριάδι, κατὰ πρόσθεσιν ἔσονται οἱ ἀριθμοὶ καὶ ἀναιρεῖται ἡ ἀόριστος δυάς. ἀλλὰ καὶ τίνα τρόπον δυνατὸν ἐκ προτέρων μονάδων καὶ ὑστέρων συγκεῖσθαι τοὺς ἀριθμούς; τὸ γὰρ πρότερον καὶ ὕστερον κατὰ εἰδοποιούς, ὡς πολλάκις εἴρηται, ὁρᾶται διαφοράς· μονὰς δὲ μονάδος τίνι ἂν διαφέροι; ἴσως αὐτοὶ ἂν ἴδοιεν, ἡμεῖς γὰρ οὐχ ὁρῶμεν. ὥστε εἰ πάντα ταῦτα ἀδύνατα καὶ πλασματώδη, ἀδύνατον εἶναι πρώτην τὴν αὐτοδυάδα, εἶτα τὴν αὐτοτριάδα. ἀλλὰ κατὰ μὲν τὴν ἀλήθειαν ἀδύνατον τοῦτο· ἀναγκαῖον δὲ πάλιν πρώτην εἶναι τὴν αὐτοδυάδα, καὶ εἶτα τὴν τριάδα καὶ ἐφεξῆς, εἴπερ εἰσὶν ἀρχαὶ καὶ στοιχεῖα τὸ ἓν καὶ ἡ ἀόριστος δυάς. ἐπεὶ δὲ πάλιν ἀδύνατα πολλὰ συμβαίνει τούτων ὑποκειμένων ὡς ἀρχῶν καὶ στοιχείων, ἀδύνατον ἀρχὰς εἶναι αὐτάς. καὶ συμπεραίνεται λέγων εἰ μὲν οὖν διάφοροι αἱ μονάδες ὁποιαισοῦν, τοιαῦθʼ ἕτερα συμβαίνει ἐξ ἀνάγκης. Εἰ δὲ αἱ μὲν ἐν ἄλλῳ διάφοροι, αἱ δʼ ἐν τῷ αὐτῷ ἀριθμῷ ἀδιάφοροι ἀλλήλαις μόναι, καὶ οὕτως οὐθὲν ἐλάττω συμβαίνει τὰ δυσχερῆ.
Δείξας ὅτι οὔτε πᾶσαι αἱ ἐν τοῖς εἰδητικοῖς ἀριθμοῖς μονάδες ἀσύμβλητοί εἰσιν οὔτε πάλιν πᾶσαι συμβληταί, ἐνίσταται πρὸς τὸ λοιπὸν καὶ τρίτον τῆς διαιρέσεως τμῆμα, τὸ λέγον ὡς αἱ μὲν ἐν τῇ αὐτοτριάδι μονάδες ἔσονται συμβληταὶ πρὸς ἑαυτάς, ὁμοίως καὶ αἱ ἐν τῇ αὐτοδυάδι καὶ αὐτοτετράδι καὶ ἐν τοῖς λοιποῖς ἀριθμοῖς, αἱ δὲ ἐν τῇ αὐτοδυάδι πρὸς τὰς ἐν τῇ αὐτοτριάδι καὶ αὗται πρὸς τὰς ἐν τῇ αὐτοτετράδι καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως ἀσύμβλητοι καὶ ἀνομοειδεῖς. εἰ δὴ οὖν, φησίν, αἱ μονάδες αἱ ἐν ἄλλῳ ἀριθμῷ, οἷον φέρε εἰπεῖν τῇ αὐτοτριάδι, ἀσύμβλητοί εἰσι καὶ ἀνομοειδεῖς πρὸς τὰς ἐν ἄλλῳ — τούτου γὰρ ὑπακουστέον — ἀριθμῷ μονάδας, οἷον τὰς ἐν τῇ αὐτοτετράδι, αἱ δὲ ἐν τῷ αὐτῷ καὶ ἑνὶ ἀριθμῷ οὖσαι μονάδες τῇ αὐτοτετράδι ὁμοειδεῖς καὶ ἀδιάφοροι, πολλὰ ἕψεται ταύτῃ τῇ ὑποθέσει ἀδύνατα καὶ δυσχερῆ. εἰ γὰρ δυνατὸν τὰς ἐν ἑκάστῳ ἀριθμῷ συγκατατεταγμένας εἶναι ὁμοειδεῖς, τὰς δʼ ἐν ἄλλῳ πρὸς τὰς ἐν ἄλλῳ ἀνομοειδεῖς, ἐπειδὴ ἐν τῇ αὐτοδεκάδι — ταύτην γὰρ εἶπεν αὐτὴν δεκάδα — ἔνεισι δέκα μονάδες, καὶ σύγκειται καὶ ἡ αὐτοδεκὰς ἐκ τῶν δέκα μονάδων, ἀλλὰ καὶ ἐκ δυοῖν πεντάδοιν — δὶς γὰρ τὰ πέντε δέκα —, καὶ οὐχ ὁ τυχὼν ἀριθμὸς οὐδʼ αἱ τυχοῦσαι κατʼ αὐτοὺς μονάδες ποιοῦσι τὴν αὐτοδεκάδα, ἀλλʼ αἱ ἐκ τῆς ἀορίστου δυάδος καὶ τοῦ ἑνὸς γινόμεναι· εἰ δὴ οὖν ταῦθʼ οὕτως ἔχει, συμβήσεται τὰς ἐν τῇ αὐτοδεκάδι δέκα μονάδας καὶ συμβλητὰς εἶναι καὶ ἀσυμβλήτους. εἰ δὲ τοῦτο ἀδύνατον, ἀδύνατον καὶ ᾧ τοῦτο ἠκολούθηκε. πῶς δὲ τὸ καὶ συμβλητὰς εἶναι καὶ ἀσυμβλήτους συμβαίνει, ὧδε ἔσται δῆλον. ἐπειδὴ γὰρ ὑπόκειται ὅτι αἱ ἐν τῷ αὐτῷ καὶ ἑνὶ ἀριθμῷ οὖσαι μονάδες ἀδιάφοροί εἰσι καὶ ὁμοειδεῖς, πρὸς δὲ τὰς ἐν ἄλλῳ ἀνομοειδεῖς, καὶ οὐ μόνον ὑπόκειται ἀλλὰ καὶ ὡμολόγηται τοῖς τὰς ἰδέας τιθεμένοις, κατὰ δὴ τοῦτο ἔσονται ὁμοειδεῖς αἱ ἐν τῇ αὐτοδεκάδι μονάδες. ἐπειδὴ δὲ πάλιν ἐν αὐτῇ εἰσι καὶ δύο πεντάδες, ἔτι δὲ καὶ δυάς ἐστι καὶ τριάς ἐστι καὶ ἑξὰς καὶ ἑπτὰς καὶ ὀκτὰς καὶ ἐννάς, ὑπόκειται δὲ ὅτι αἱ ἐν τῇ ὀκτάδι διάφοροί εἰσι πρὸς τὰς ἐν τῇ ἐννάδι καὶ αὗται πρὸς τὰς ἐν τῇ ἑπτάδι καὶ αἱ ἄλλαι ὁμοίως, κατὰ δὴ τοῦτο πάλιν ἔσονται ἀνομοειδεῖς καὶ ἀσύμβλητοι αἱ ἐν τῇ αὐτοδεκάδι μονάδες. ὥστε ὡς μὲν εἷς ἀριθμὸς ἡ δεκὰς ἕξει πάσας ὁμοειδεῖς, ὡς δὲ ἄλλης μὲν τῆς ἐν αὐτῇ πρώτης πεντάδος καὶ ἄλλης τῆς δευτέρας, ὁμοίως καὶ ἄλλης τῆς ἑξάδος καὶ ἄλλης τῆς ἐννάδος καὶ τῶν λοιπῶν, ἔσονται ἀνομοειδεῖς. τὸ δὲ τὰς αὐτὰς καὶ ὁμοειδεῖς εἶναι καὶ ὁμοφυεῖς, καὶ πάλιν ἀνομοειδεῖς, ἀδύνατον. καὶ ᾗ ἄρα τοῦτο ὑποθέσει ἠκολουθήκει ἀδύνατός ἐστιν. ἀλλʼ ἡ μὲν τῶν λεγομένων διάνοια οἶμαι αὕτη ἐστὶν, τὰ δὲ κατὰ τὴν λέξιν τοιαῦτα. ἀνάγκη, φησί, τὰς ἐν τῇ αὐτοδεκάδι μονάδας διαφέρειν, καὶ προσυπακουστέον τοῦ τοῦτο δὲ ἀδύνατον δειχθήσεται. καὶ εἰπὼν ὅτι ἀνάγκη διαφέρειν, τὴν αἰτίαν τῆς ἀνάγκης ἐπάγει λέγων εἰ γὰρ μὴ διαφέρουσιν, οὐδʼ αἱ δύο πεντάδες διοίσουσιν, ἐξ ὧν ἡ αὐτοδεκάς. τῶν γὰρ ἐν αὐταῖς μονάδων ἀδιαφόρων οὐσῶν πῶς ἂν αὗται διαφέροιεν; ἀλλʼ εἰ μὴ αἱ τῶν πεντάδων, ἐξ ὧν ἡ δεκάς, μονάδες διαφέροιεν, οὐδὲ αἱ ἐν τῇ ἑξάδι καὶ τετράδι καὶ τριάδι καὶ ἑπτάδι, ἐξ ὧν ἡ δεκάς. ὡς γὰρ ἐκ τοῦ δὶς πέντε δέκα, οὕτω καὶ ἐκ τοῦ τρία καὶ ἑπτὰ καὶ ἓξ καὶ τέτταρα. ἀλλὰ μὴν τὸ τὰς ἐν τοῖς ἄλλοις ἀριθμοῖς μονάδας πρὸς τὰς ἐν τοῖς ἄλλοις διαφέρειν, μᾶλλον παντὸς ἄλλου ἥγηνται. ἀνάγκη μὲν οὖν διαφέρειν τὰς πεντάδας· εἰ δὲ τοῦτο, καὶ τὰς μονάδας. ἀλλὰ μὴν ὑπόκειται μὴ διαφέρειν. αὐτὸς δὲ πρὸς τοῦτο καὶ ἄλλο τι ἐρωτᾷ λέγων εἰ δὲ διαφέρουσιν αἱ πεντάδες — ἀνάγκη γάρ, ὡς δέδεικται, διαφέρειν —, πότερον οὐκ ἔσονται καὶ ἄλλαι πεντάδες, εἰ μὴ αὗται μόναι αἱ δύο ἐξ ὧν ἡ αὐτοδεκάς, ἢ ἔσονται καὶ ἄλλαι; εἴτε δὴ μὴ ἔσονται, ἀδύνατον· δῆλον γὰρ ὅτι καὶ ἐν τῇ αὐτοεξάδι καὶ αὐτοεννάδι καὶ αὐτοοκτάδι εἰσὶ πεντάδες, εἴτε δὲ ἔσονται πολλαὶ πεντάδες ἕτεραι τῶν ἐν τῇ αὐτοδεκάδι, ὥσπερ καὶ εἰσί, καὶ διάφοροι καὶ ἀνομοειδεῖς, πρῶτον ἔσονται πολλαὶ δεκάδες καὶ οὐ μία ὡς αὐτοὶ βούλονται· οὗτοι γὰρ μίαν φασὶν εἶναι δεκάδα. ἔπειτα ἐρωτητέον ποία δεκὰς ἐκ τῶν πεντάδων τῶν τε ἐν τῇ αὐτοεξάδι καὶ αὐτοεπτάδι καὶ αὐτοεννάδι καὶ τῶν λοιπῶν εὑρισκομένων ἔσται· εἰ γὰρ δύο πεντάδες, ἀνάγκη καὶ δεκάδα εὑρίσκεσθαί τε καὶ λέγεσθαι· τῆς μὲν γὰρ αὐτοδεκάδος οὐκ ἔστιν ἄλλη τις ἐντὸς δεκάς. ἑξὰς μὲν γὰρ καὶ τετρὰς καὶ ἑπτὰς καὶ οἱ λοιποὶ ἀριθμοί εἰσι, δεκὰς δὲ οὐκ ἔστιν, ὥστε δύνασθαι λέγειν ὅτι ἡ ἐντὸς τῆς αὐτοδεκάδος δεκάς ἐστιν ἐκ τῶν ἐν τῇ αὐτοεξάδι καὶ αὐτοεπτάδι εὑρισκομένων πεντάδων. ἀλλὰ μὴν οὐδὲ βούλονται ἄλλην δεκάδα εἶναι πλὴν αὐτὴν τὴν αὐτοδεκάδα. ὥστε ἢ ἔσονται δύο πεντάδες αἱ ἐν τῇ αὐτοεξάδι καὶ αὐτοεπτάδι καὶ ἄλλαι δύο αἱ ἐν τῇ αὐτοοκτάδι καὶ αὐτοεννάδι, καὶ δεκὰς ἄλλη οὐκ ἔσται πλὴν τῆς αὐτοδεκάδος, ἢ εἴπερ πεντάδων οὐσῶν ἀνάγκη εἶναι καὶ δεκάδας, οὐκ ἔσται μία ἡ εἰδητικὴ δεκάς, ὡς αὐτοί φασιν, ἀλλὰ πλείους. τὸ δὲ ἐν τῇ λέξει τῇ οὐ γάρ ἐστιν ἑτέρα δεκὰς ἐν τῇ δεκάδι παρʼ αὐτὴν τοιοῦτόν ἐστιν· οὐκ ἔστιν ἐντὸς τῆς αὐτοδεκάδος ἑτέρα δεκὰς παρʼ αὐτὴν τὴν αὐτοδεκάδα, ἵνα αὕτη εἴη ἐκ τῶν ἐν τῇ αὐτοεξάδι καὶ αὐτοεπτάδι καὶ ταῖς λοιπαῖς εὑρισκομένων ἀριθμῶν. ἐπειδὴ δὲ ἐκ τοῦ ἑνὸς καὶ τῆς ἀορίστου δυάδος πρῶτον ἔλεγον γίνεσθαι τὴν αὐτοδυάδα, εἶτα πάλιν τὴν ἀόριστον δυάδα παραλαβοῦσαν τὴν αὐτοδυάδα ποιεῖν ἄλλας δύο δυάδας εὐθύς, ἐξ ὧν τὴν αὐτοτετράδα εἶναι λέγουσιν, ὁμοίως πάλιν τὴν ἀόριστον δυάδα παραλαβοῦσαν τὴν αὐτοτετράδα ποιεῖν ἄλλας δύο τετράδας ἐξ ὧν ἡ αὐτοοκτάς — τοῦ γὰρ ληφθέντος παντὸς ταύτην εἶναι δυοποιόν, τουτέστι διπλασιαστικὴν ἔλεγον εἶναι τὴν ἀόριστον δυάδα· ὃ γὰρ ἄν, φασίν, ἡ ἀόριστος δυὰς λάβοι, διπλασιάζει —, ἐπεὶ οὖν ταῦτʼ εἴωθε παρʼ αὐτοῖς λέγεσθαι, λέγει ὁ Ἀριστοτέλης ὅτι ἡ αὐτοτετρὰς οὐκ ἐκ τῶν τυχουσῶν δυάδων συγκείσεται, ἀλλʼ ἐκ τῶν ἃς ἡ ἀόριστος δυὰς παραλαβοῦσα τὴν αὐτοδυάδα καὶ διπλασιάσασα πεποίηκε. τοῦτο εἰπὼν τὰ συμβαίνοντα ἐναντιώματα τῇ δόξῃ αὐτῶν οὐκ ἐπήγαγεν. ἐστὶ δʼ ἓν μὲν τὸ πολλὰς εἶναι εἰδητικὰς δυάδας, ἄλλο δὲ ὅτι οὐκ ἔσται, ὡς οὗτοι βούλονται, πρώτη ἡ αὐτοδυὰς καὶ δευτέρα ἡ αὐτοτριὰς καὶ τρίτη ἡ αὐτοτετρὰς καὶ ἐφεξῆς, ἀλλὰ πρῶτον ἡ αὐτοδυάς, εἶτα ἡ αὐτοτετρὰς καὶ οὕτως ἡ αὐτοτριάς. ἐπειδὴ γάρ, ὥς φασιν, ἡ ἀόριστος δυὰς μετὰ τῆς αὐτοδυάδος ἅτε δυοποιὸς οὖσα τοὺς εἰς δύο ἴσα διαιρουμένους ἀριθμοὺς πρῶτον ποιεῖ καὶ οὕτω τὸ ἓν προστιθέμενον αὐτοῖς ποιεῖ τοὺς περιττούς, ἔσονται κατὰ τὴν τοιαύτην αὐτῶν ἀπόφασιν πρῶτοι οἱ ἄρτιοι, καὶ οὕτως οἱ περιττοί, ὥστε καὶ ἡ αὐτοτετρὰς προτέρα τῆς αὐτοτριάδος. καθὸ δὲ πάλιν πρώτην λέγουσι τὴν αὐτοδυάδα, δευτέραν τὴν αὐτοτριάδα, τρίτην τὴν αὐτοτετράδα καὶ ἐφεξῆς, ἔσται ἡ αὐτοτριὰς πρώτη τῆς αὐτοτετράδος.
Ἔτι, φησί, τὸ λέγειν ὅτι ἡ αὐτοδυὰς καὶ ἡ αὐτοτριὰς φύσις τίς ἐστιν ἑτέρα, ἡ μὲν παρὰ τὰς δύο μονάδας ἡ δὲ τριὰς παρὰ τὰς τρεῖς, ἄτοπον. ἢ γὰρ ὡς ὁ λευκὸς ἄνθρωπος ἐξ οὐσίας μὲν τοῦ ἀνθρώπου καὶ συμβεβηκότος τοῦ λευκοῦ ὢν ἕτερός ἐστι τοῦ ἀνθρώπου τῷ λόγῳ, ἀλλʼ οὐ τῷ ὑποκειμένῳ, οὕτως ἔσται καὶ ἡ δυὰς ἑτέρα οὖσα τῶν δύο μονάδων, ὡς εἶναι οὐσίαν καὶ ὑποκείμενον τὰς μονάδας, συμβεβηκὸς δὲ τὴν δυάδα, ἢ ἔμπαλιν ὑποκείμενον μὲν τὴν δυάδα συμβεβηκότα δὲ τὰς μονάδας· ἢ οὖν οὕτως, ἢ ὅτι ὡς ὁ ἄνθρωπος ἐκ ζῴου καὶ δίποδος, τοῦ μὲν ὡς ἐκ γένους, τοῦ δὲ δίποδος ὡς ἐκ διαφορᾶς, ὢν ἀμφοτέρων ἕτερος καὶ τοῦ ζῴου καὶ τοῦ δίποδος, οὕτως ἀνάγκη λέγειν ὅτι καὶ ἡ δυὰς ἑτέρα ἐστὶ τῶν μονάδων, τῆς μὲν οὔσης γένους τῆς δὲ διαφορᾶς· ὅπερ ἐστὶ καταγέλαστον. οὔτε γὰρ ἡ δυὰς συμβέβηκε ταῖς μονάσιν — ἠδύνατο γὰρ ἂν καὶ μὴ οὐσῶν δύο μονάδων εἶναι — οὔτε αὗται τῇ δυάδι, οὔτε τὸ μὲν γένος εἶναι τὴν δὲ διαφοράν· ἀδιάφοροι γὰρ ὑπόκεινται αἱ ἐν τῇ αὐτοδυάδι μονάδες, τὸ δὲ γένος τῆς διαφορᾶς κατὰ πολλὰ διαφέρει. ἔτι, φησίν, ἐπειδὴ ἡ δυὰς καθὸ δυὰς ἕν τί ἐστιν, εἴ τι δὲ ἕν, ἢ τῇ ἁφῇ ἐστιν ἓν ὡς ἡ δέσμη τῶν ξύλων, ἢ τῇ μίξει ὡς τὸ οἰνόμελι — μῖξιν δὲ εἶπε νῦν τὴν κρᾶσιν —, ἢ τῇ θέσει ὡς οἱ λίθοι ἐξ ὧν ἡ οἰκία· ὧν τριῶν τρόπων κατʼ οὐδένα ἐνδέχεται τὴν δυάδα ἓν εἶναι ἢ τὴν τριάδα. οὔτε γὰρ ἅπτεσθαι δύνανται αἱ εἰδητικαὶ μονάδες ἀσώματοι οὖσαι κατʼ αὐτοὺς καὶ ἀμερεῖς, τὰ δὲ ἁπτόμενα πάντα σώματα — ὅτι δὲ τὰ ἀμερῆ οὐχ ἅπτεται δέδεικται ἐν τῇ Φυσικῇ· ἀλλὰ μὴν οὐδὲ μίγνυσθαι δύνανται αἱ μονάδες καὶ κεράννυσθαι — τῆς ὑγρᾶς γὰρ τοῦτο φύσεως — οὔτε παρακεῖσθαι· οὐδὲ γὰρ αὐτοὶ βούλονται κατὰ παράθεσιν καὶ σωρηδὸν κειμένων τῶν μονάδων εἶναι τὴν αὐτοδυάδα καὶ τοὺς λοιποὺς εἰδητικοὺς ἀριθμούς· ἀλλʼ ὥσπερ, φησίν, ἐκ τῶν δύο ἀνθρώπων, τῶν μονάσιν ἀναλογούντων, οὐ γίνεται εἷς τις ἄνθρωπος, ἕτερος ὢν αὐτῶν καὶ δυάδος λόγον ἐπέχων πρὸς αὐτούς — καὶ γὰρ ἡ δυὰς ᾗ δυὰς ἕν ἐστιν, ὡς εἴρηται —, ἀλλʼ ἡ δυὰς αὐτοὶ οἱ δύο ἄνθρωποί εἰσιν, οὕτως ἀνάγκη καὶ τὴν δυάδα αὐτὰς εἶναι τὰς μονάδας καὶ οὐκ ἄλλην τινὰ παρʼ αὐτὰς φύσιν. εἰ δέ τις λέγοι ὅτι παρὰ μὲν τοὺς δύο ἀνθρώπους οὐ δύναται ἄλλη τις εἶναι φύσις δυάδος πρὸς αὐτοὺς ἐπέχουσα λόγον, διότι διαιρετοί εἰσι, παρὰ δὲ τὰς δυάδας δύναται — ἀμερεῖς γάρ εἰσι καὶ ἀσώματοι —, εἴ τις τοῦτο λέγει, ψεῦδος ἐρεῖ· οὐ γὰρ διότι ἀδιαίρετοί εἰσιν αἱ μονάδες τῆς δυάδος, καὶ αὕτη τῶν μονάδων· οὕτω γὰρ ἂν καὶ ἡ τῶν στιγμῶν δυὰς ἑτέρα ἂν ἦν τῶν στιγμῶν· ἀμερεῖς γὰρ καὶ αὗται· ἀλλʼ ὅμως οὐκ ἔστιν ἡ τῶν στιγμῶν δυὰς ἑτέρα παρʼ αὐτάς, ὡς καὶ αὐτοὶ λέγουσιν, ἀλλʼ ἡ τῶν στιγμῶν δυὰς αὐταὶ αἱ στιγμαί εἰσιν.
Ἀλλὰ μὴν οὐδὲ τοῦτο λανθάνειν δεῖ ὅτι συμβαίνει προτέρας καὶ ὑστέρας εἶναι δυάδας.
Ἐλλιπῶς εἴρηται διὰ βραχυλογίαν, ἐστὶ δὲ τὸ τέλειον τοῦ λόγου τοιοῦτον. ἀλλὰ μὴν οὐδὲ τοῦτο δεῖ λανθάνειν ὅτι συμβαίνει κατὰ ταύτην τὴν ὑπόθεσιν δυάδας δυάδων προτέρας εἶναι — τούτου γάρ ἐστι δηλωτικὸν τὸ προτέρας καὶ ὑστέρας εἶναι δυάδας —, καὶ ἄλλους πάλιν ἀριθμοὺς ἄλλων, οἷον τριάδας τριάδων προτέρας φαίνεσθαι, ὅπερ οὗτοι οὐ βούλονται· μίαν γὰρ δυάδα φασὶ καὶ μίαν τριάδα καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων οὕτως. εἰπὼν δὲ ὅτι συμβαίνει δυάδας δυάδων εἶναι προτέρας δείκνυσιν αὐτὸ διὰ τοῦ αἱ μὲν γὰρ ἐν τῇ τετράδι δυάδες ἔστωσαν ἀλλήλαις ἅμα. τὸ δὲ λεγόμενον τοιοῦτον. ἐπειδὴ γὰρ ἡ ἀόριστος δυὰς δυοποιὸς οὖσα καὶ παραλαβοῦσα τὴν αὐτοδυάδα καὶ διπλασιάσασα αὐτὴν πεποίηκε τὰς ἐν τῇ αὐτοτετράδι δυάδας, αἱ τῆς αὐτοτετράδος ἔστωσαν ἅμα. ἀλλὰ τῶν ἐν τῇ αὐτοοκτάδι εὑρισκομένων δυάδων πάντως πρότεραί εἰσιν· ὡς γὰρ ἡ δυὰς ταύτας, ἤτοι ὥσπερ γὰρ ἡ ἀόριστος δυὰς μετὰ τῆς αὐτοδυάδος ταύτας τὰς ἐν τῇ αὐτοτετράδι ἐγέννησε δυάδας, οὕτως αὕτη ἡ ἀόριστος δυὰς διπλασιάσασα τὰς ἐν τῇ αὐτοτετράδι δυάδας πεποίηκε τὰς ἐν τῇ ὀκτάδι τετράδας καὶ τὰς συστατικὰς τῶν τοιούτων τετράδων δυάδας· ὥστε καὶ ἡ αὐτοτετρὰς προτέρα ἔσται τῶν τῆς ὀκτάδος τετράδων, ὁμοίως δὲ καὶ αἱ δυάδες αὐτῆς τῶν ἐν τῇ ὀκτάδι δυάδων. καὶ πρὸς τούτοις ἐπειδὴ τὰ ἀπὸ τῶν ἀρχῶν γενόμενα, ὡς αὐτοί φασιν, ἰδέαι εἰσί, πεποίηκε δὲ τὰς τετράδας ταύτας καὶ τὰς δυάδας ἡ ἑτέρα τῶν ἀρχῶν, ἡ ἀόριστος δυάς, ἔσονται καὶ αἱ τῆς αὐτοτετράδος δυάδες ἰδέαι καὶ αἱ τῆς αὐτοοκτάδος τετράδες, καὶ συγκείσεται ἡ ἰδέα ἐξ ἰδεῶν. διὰ τί γὰρ ἡ πρώτη δυὰς ἤτοι ἡ αὐτοδυὰς ἐκ τῆς ἀρχῆς τῆς ἀορίστου γεγονυῖα δυάδος ἰδέα ἐστίν, αἱ δὲ ἄλλαι οὐκ ἔσονται; ὁ δʼ αὐτὸς λόγος καὶ ἐπὶ τῶν μονάδων. ἐπειδὴ γὰρ αἱ ἐν τῇ πρώτῃ δυάδι μονάδες μετὰ τῆς ἀορίστου δυάδος ἐγέννησαν τὰς ἐν τῇ αὐτοτετράδι μονάδας καὶ αὗται πάλιν μετὰ τῆς ἀρχῆς τῆς εἰρημένης τὰς ἐν τῇ αὐτοοκτάδι, ἔσονται πᾶσαι αἱ μονάδες ἰδέαι καὶ συγκείσεται ἡ ἰδέα ἐξ ἰδεῶν, ὥστε εἰ ἔσται ἡ αὐτοδυὰς αὐτοάνθρωπος, ἡ δὲ αὐτοτριὰς ὁ αὐτοΐππος, ἡ δὲ αὐτοτετρὰς αὐτοβοῦς, ἔσται ἡ αὐτοοκτὰς συγκειμένη ἐξ ἀνθρώπου καὶ ἵππου καὶ βοός. καὶ ἐπεὶ αἱ ἰδέαι παραδείγματά ἐστι τῶν ἐνταῦθα ζῴων, ἔσται κἀνταῦθα ζῷον ἐξ ἀνθρώπου καὶ ἵππου καὶ βοὸς συγκείμενον· τούτου γάρ ἐστι δηλωτικὸν τὸ ὥστε δῆλον ὅτι κακεῖνα, ὧν ἰδέαι αὗται τυγχάνουσιν οὖσαι, συγκείμενα ἔσται, οἷον εἰ τὰ ζῷα φαίη τις συγκεῖσθαι ἐκ ζῴων. ἀλλʼ ἐπειδὴ ἔχει τινὰ ἀσάφειαν ἡ λέξις, σαφηνιστέον καὶ ἔτι αὐτήν. οἶμαι δὴ χρῆναι ὑποστίζειν εἰς τὸ τὰ ζῷα, εἶτα ἐπάγειν τὸ φαίη τις συγκεῖσθαι ἐκ ζῴων. καὶ εἴη ἂν τὸ λεγόμενον τοιοῦτον· ὥστε εἰ ἰδέαι ἐξ ἰδεῶν σύγκεινται, καὶ τὰ ἐνταῦθα πράγματα, ὧν φασιν εἶναι τὰς ἰδέας, συγκείμενα ἔσται. οἷον εἰ τῶν ζῴων εἰσὶν αἱ ἰδέαι, ἐστὶ δὲ σύνθετος ἡ ἰδέα, ὁ τοῦτο ἀκούσας φαίη ἂν ὅτι καὶ ἐνταῦθα ζῷον ἔσται σύνθετον ἐκ ζῴων. διὰ τί γὰρ ἰδέας οὔσης συνθέτου καὶ συνωνύμου τοῖς ὧν ἐστιν ἰδέα, οὐκ ἔσται καὶ ζῷον ἐνταῦθα σύνθετον; εἰ γὰρ ὁ αὐτοΐππος σύγκειται ἐκ τῆς τοῦ ἀνθρώπου καὶ κυνὸς ἰδέας, ἔσται καὶ ὁ ἐνταῦθα ἵππος ἐκ τῶν τῇδε ἀνομοίων φύσεων τοῦ ἀνθρώπου καὶ κυνὸς συγκείμενος. Ὅλως δέ, φησί, τὸ ποιεῖν τὰς μονάδας διαφόρους ὁπωσοῦν, εἴτε τῷ ποιῷ εἴτε τῷ ποσῷ, πλασματῶδες.
Καὶ ὁρίζεται τὸ πλασματῶδες τί ποτέ ἐστι λέγων πλασματῶδές ἐστι τὸ πρὸς ὑπόθεσιν βεβιασμένον. εἰ γάρ τις λέγοι ὅτι ὁ ἄνθρωπος ᾠοτοκεῖ ἐπεὶ ἵπταται, συμβήσεται τὸ τὸν ἄνθρωπον ᾠοτοκεῖν, ἐὰν ἵπταται· ἀλλʼ ἡ ὑπόθεσις, ἐξ ἧς συμβαίνει τὸ ᾠοτοκεῖν τὸν ἄνθρωπον — ἐστὶ δὲ τὸ ἵπτασθαι αὐτόν — βεβιασμένη, ἤτοι ἀδύνατος καὶ ψευδής ἐστιν. ὡς οὖν ἐπὶ τούτου, οὕτω καὶ ἐπὶ τῶν ἀριθμῶν, ἂν δοίη τις ἐκ τῆς ἀορίστου δυάδος καὶ τοῦ ἑνὸς γίνεσθαι τοὺς ἀριθμούς, καὶ ἄλλην μὲν εἶναι τὴν αὐτοδυάδα, ἄλλην δὲ τὴν αὐτοτριάδα, διὰ τὸ μὴ κατὰ πρόσθεσιν γίνεσθαι τοὺς ἀριθμοὺς ἀλλʼ ἐκ τῶν ἀρχῶν τοῦ ἑνὸς καὶ τῆς ἀορίστου δυάδος, εἴ τις δὴ ταῦτα θήσει, συμβήσεται τὰ ὑπʼ αὐτῶν λεγόμενα καὶ ἔσονται ἀριθμοὶ εἰδητικοί· ἀλλʼ ἡ τοιαύτη ὑπόθεσις πλασματώδης καὶ βεβιασμένη καὶ ἀδύνατός ἐστι. τίς γὰρ ἂν ὑπονοήσειεν ὡς διαφέρει μονὰς μονάδος, ἐξ οὗ καὶ τῶν προρρηθέντων ὑποθέσεων ἃ λέγουσι συνάγουσιν. εἰ γὰρ διαφέρει μονὰς μονάδος, ἢ τῷ ποσῷ ἢ τῷ ποιῷ διαφέροι ἄν· κατʼ οὐδένα δὲ τρόπον ἐνδέχεται τοῦτο· ἄποσοι γάρ εἰσι καὶ ἀσώματοι καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἄποιοι. εἰπὼν δὲ ὅτι πῶς οἷόν τε διαφόρους τὰς μονάδας λέγειν, δείκνυσιν ὅτι ἀδιάφοροί εἰσι καὶ συμβληταί, καίτοι ἀνωτέρω γενναίως ἐκ διαιρέσεως τοῦτο δείξας. δείκνυσιν οὖν τοῦτο λέγων· ἀνάγκη γάρ, φησίν, ἢ ἴσον εἶναι ἢ ἄνισον πάντα ἀριθμὸν καὶ μάλιστα τὸν μοναδικὸν καὶ ἀσώματον· τὸν γὰρ φυσικὸν οὐκ ἀνάγκη, οἷον εἰ εἶεν τρία καὶ τρία ξύλα, οὐκ ἀνάγκη ἴσα εἶναι. ὡς μὲν οὖν τρία καὶ ὅλως ἀριθμητὰ ἴσα εἰσὶν ἐξ ἀνάγκης, ὡς δὲ ποσὰ οὐκ ἀνάγκη. ἐνδέχεται γὰρ τῶν ἐν τῇ ἑτέρᾳ τριάδι διπήχεων ὄντων τὰ ἐν τῇ ἑτέρᾳ εἶναι τριπήχη. ἀνάγκη δὴ ἴσον εἶναι τὸν μοναδικὸν ἀριθμὸν ἢ ἄνισον. εἰ μὲν γὰρ μήτε πλείων μήτε ἐλάττων ἐστὶ θάτερος θατέρου, ὡς ὁ τέσσαρα καὶ τέσσαρα, οὗτοι ἐξ ἀνάγκης εἰσὶν ἴσοι· εἰ δὲ θάτερος θατέρου πλείων ἐστὶν ἢ ἐλάττων, οὗτοι τοὐναντίον ἄνισοί εἰσιν. ἀλλὰ μὴν τὰ ἴσα καὶ ἀδιάφορα τὰ αὐτὰ καὶ συμβλητὰ καὶ μηδεμίαν ἐν αὐτοῖς διαφορὰν εἶναι ὑπολαμβάνομεν ἐν τοῖς ἀριθμοῖς· ὥστε εἰ ὁ τέσσαρα ἀριθμὸς ὁ μοναδικὸς τοῦ τοιούτου τέσσαρα οὔτε πλείων ἐστὶν οὔτε ἐλάττων, δῆλον ὅτι ἴσος αὐτῷ ἐστιν. ἀλλʼ εἰ ἴσος, καὶ ὁ αὐτὸς καὶ ἀδιάφορος. εἰ δʼ οὗτοι ἀδιάφοροι, καὶ αἱ ἐν αὐτοῖς μονάδες, ὥστε δῆλον ὅτι καὶ τῶν ἄλλων ἁπάντων. δύο γὰρ ἀριθμῶν, τοῦ τέσσαρα καὶ τέσσαρα, ἑτέρων ὄντων τῷ ἀριθμῷ, τῷ δὲ εἴδει τῶν αὐτῶν, συμβλητὰς ἐχόντων τὰς μονάδας, καὶ οἱ ἄλλοι πάντες οὕτως αὐτὰς ἕξουσιν. εἰ δέ, φησί, λέγοι τις ὅτι τὰ ἴσα καὶ διάφορα καὶ ἕτερά ἐστιν ἀλλʼ οὐ τὰ αὐτά, οὐδὲ αἱ ἐν τῇ δεκάδι δυάδες ἴσαι οὖσαι ἀδιάφοροι ἔσονται, ἀλλὰ διάφοροι καὶ ἀνομοειδεῖς, ὅπερ οὐ βούλονται οἱ τὰς ἰδέας τιθέμενοι· τὸ γὰρ σύνταγμα τῶν ἐν τῷ ἑνὶ ἀριθμῷ μονάδων ἀδιάφορόν φασι. τίνα γάρ, φησίν, αἰτίαν ἕξει λέγειν ὁ φάσκων ἀδιαφόρους εἶναι, τουτέστιν ἂν οἱ ἴσοι ἀριθμοὶ οὔκ εἰσιν οἱ αὐτοὶ καὶ ἀδιάφοροι, ὡς ἡμεῖς φαμεν, ἀλλὰ διάφοροι καὶ ἕτεροι, ἔσονται καὶ αἱ ἐν τῇ δεκάδι δυάδες ἴσαι οὖσαι διάφοροι. εἰ δέ τις εἴποι ὅτι αἱ ἐν τῇ αὐτοδεκάδι δυάδες εἰσὶ μὲν ἴσαι καὶ ἀδιάφοροι, αἱ δὲ ἄλλαι, οἷον αἱ ἐν τῇ τριάδι καὶ πεντάδι — ἔνεισι γὰρ καὶ ταύταις δυάδες — ἴσαι μέν, διάφοροι δὲ καὶ ἀσύμβλητοι, ὁ τοῦτο λέγων τίνα αἰτίαν ἕξει λέγειν διʼ ἣν αἱ μὲν ἐν τῇ δεκάδι δυάδες ἴσαι οὖσαι ἀδιάφοροί εἰσιν, αἱ δὲ ἄλλαι ἴσαι μὲν διάφοροι δέ. ὥστε τὸ τίνα γὰρ αἰτίαν ἕξει λέγειν ὁ φάσκων ἀδιαφόρους εἶναι περὶ τῶν ἐν τῇ δεκάδι δυάδων εἴρηται, ἐλλιπῶς δέ, καὶ εἴη ἂν τὸ πλῆρες τοιοῦτον «τίνα γὰρ αἰτίαν ἕξει λέγειν ὁ φάσκων ἀδιαφόρους εἶναι τὰς ἐν τῇ αὐτοδεκάδι δυάδας ἴσας οὔσας ἀλλήλαις»; καὶ τότε προσυπακουστέον τοῦ «τὰς δὲ ἐν τοῖς ἄλλοις ἀριθμοῖς ἴσας μὲν διαφόρους δέ». Ἔτι εἰ ἅπασα μονὰς καὶ μονὰς ἄλλη δύο.
Ὃ λέγει τοιοῦτόν ἐστιν. ἐπειδὴ πᾶσα μονὰς μετὰ τῆς ἄλλης μονάδος δυάδα ποιεῖ, ἂν ἐκ τῆς δυάδος αὐτῆς καὶ τῆς τριάδος αὐτῆς, τουτέστιν ἂν ἐκ τῆς αὐτοδυάδος καὶ τῆς αὐτοτριάδος ἀφέλῃ τις ἀνὰ μίαν μονάδα καὶ συνθεὶς ποιήσει δυάδα, πρῶτον μὲν ποιήσει δυάδα ἐκ διαφερουσῶν μονάδων· αἱ γὰρ τῆς αὐτοδυάδος μονάδες πρὸς τὰς ἐν τῇ αὐτοτριάδι διάφοροι κατʼ αὐτούς· πρῶτον μὲν οὖν ἔσται δυὰς ἐκ διαφερουσῶν μονάδων, ὅπερ οὐ βούλονται. ὅτι δὲ δύο οὐσῶν μονάδων ἀνάγκη δυάδα εἶναι, οὐ χρὴ καὶ λέγειν. ἔπειτα οὐ μόνον τοῦτο ἔσται, ἀλλὰ καὶ ἕτερον ἕψεται, ὅπερ διὰ τοῦ τέ συνδέσμου ᾐνίξατο. καὶ τί τὸ ἑπόμενον ἐπάγει λέγων καὶ πότερον προτέρα τῆς τριάδος ἢ ὑστέρα; ἤτοι ἡ ἐκ τῶν τῆς αὐτοτριάδος καὶ αὐτοδυάδος μονάδων γεγονυῖα δυὰς πότερον προτέρα ἐστὶ τῆς αὐτοτριάδος ἢ ὑστέρα; ᾗ μὲν γὰρ φύσει προτέρα ἡ δυὰς τῆς τριάδος, ταύτῃ προτέρα· ᾗ δὲ πάλιν ἐκ τῶν μονάδων τῶν ἅμα τῇ αὐτοτριάδι καὶ τῇ αὐτοδυάδι συνόντων γέγονε, ταύτῃ δὴ πάλιν ὑστέρα ἔσται τῆς αὐτοτριάδος· ἐκ γὰρ τοῦ μέρους αὐτῆς ἐγεγόνει. καὶ ἡμεῖς μέν, φησίν, ἂν λάβωμεν οἷον φέρε ξύλον ἓν καὶ ἕν, εἴτε ἴσα εἴτε ἄνισα ὄντα, δυάδα εἶναί φαμεν — αὐτὸς δὲ τὸ ἀγαθὸν καὶ κακὸν καὶ ἄνθρωπον καὶ ἵππον ἔλαβεν εἰς ὑπόδειγμα· καὶ ἡμεῖς μὲν οὕτως· οὗτοι δʼ οὐδὲ τὰς μονάδας τὰς ἀμερεῖς φασι δυάδα ποιεῖν, ἀλλὰ μόνας ἃς ἡ ἀόριστος δυὰς καὶ τὸ ἀρχικὸν ἓν γεγεννήκασι.
Τοῦτο εἰπὼν πάλιν ἐρωτᾷ πότερον ὁ τῆς αὐτοτριάδος ἀριθμὸς πλείων ἐστὶ τῆς αὐτοδυάδος ἢ οὐκ ἔστι πλείων. εἴτε γὰρ μή ἐστι πλείων ἡ τριὰς τῆς δυάδος, θαυμαστὸν καὶ παντελῶς ἄλογον· εἴτε ἐστὶ πλείων, δῆλον ὅτι ἐστὶν ἐν αὐτῇ καὶ ἴσον· ἀπὸ γὰρ τοῦ πλείονος δυνάμεθα τῷ ἐλάττονι ἴσον ἀφελεῖν· ὥστε ἴση ἔσται ἡ αὐτοδυὰς τῇ ἐν τῇ αὐτοτριάδι δυάδι. τὰ δὲ ἴσα δέδεικται ἀδιάφορα· ἀδιάφορος ἄρα καὶ ἡ αὐτοδυὰς πρὸς τὴν ἐν τῇ αὐτοτριάδι δυάδα· ὥστε κατὰ τοῦτο ἀνάγκη ἀδιαφόρους αὐτὰς εἶναι καὶ συμβλητάς. πάλιν δὲ οὐκ ἐνδέχεται τοιαύτας εἶναι αὐτάς, ἀλλὰ διαφόρους καὶ ἀσυμβλήτους, εἴπερ ἐστίν, ὡς αὐτοὶ βούλονται, πρῶτός τις ἀριθμὸς καὶ δεύτερος. οὐδὲ ἔσται, φησίν, ἰδέα, εἰ ἀδιάφοροι οἱ ἀριθμοί· τὴν γὰρ τῶν ἰδεῶν ὕπαρξιν κατὰ τὰς διαφορὰς τῶν ἀριθμῶν συνιστῶσι. καὶ τοῦτο μὲν ὀρθῶς καὶ ἀκολούθως ἑαυτοῖς φασιν οἱ τὸν ἀριθμὸν τῶν ἰδεῶν ἐκ διαφερουσῶν μονάδων συνεστάναι λέγοντες, ἵνα μὴ ἐκ διαφόρων ἰδεῶν τὴν ἰδέαν ποιεῖν ἀναγκασθῶσιν. ἕκαστον γὰρ εἶδος ἕν ἐστι κατʼ αὐτοὺς καὶ ἁπλοῦν· εἰ δʼ ἦσαν αἱ μονάδες ἀδιάφοροι, τῆς αὐτῆς ἐννοίας καὶ ἀκολουθίας καὶ τοῦ αὐτοῦ λόγου εἶναι καὶ τὰς δυάδας καὶ τὰς τριάδας ἀδιαφόρους· ὥστε εἰ ἦν ὁ αὐτοάνθρωπος ἡ αὐτοτετράς, ὁ δὲ αὐτοΐππος ἡ αὐτοδυάς, καὶ ἀδιάφορος ἡ τοῦ ἵππου δυὰς πρὸς τὴν τοῦ ἀνθρώπου, συνέβαινεν εἶναι τὸν αὐτοάνθρωπον ἐξ ἵππου καὶ ἀνθρώπου· καὶ πάντα τὰ ἐντὸς τῆς αὐτοδεκάδος εἴδη, ἥ τε αὐτοδυὰς καὶ ἡ αὐτοτριὰς καὶ τὰ λοιπά, ὑπάρχειν μέρη τῆς αὐτοδεκάδος· ὥστε εἰ ἦν ἡ αὐτοδεκὰς ὁ αὐτοελέφας, ἦν ἂν ὁ αὐτοελέφας ἐξ ἵππου καὶ ἀνθρώπου καὶ τῶν λοιπῶν. τοσοῦτον δὲ ἑτεροιοῦσι τὰς μονάδας καὶ διαφόρους ποιοῦσιν, ὥστε οὐδὲ προστιθέντες τῇ δυάδι μονάδα τὴν τριάδα ποιοῦσιν καὶ ταύτῃ ἄλλην μονάδα τὴν τετράδα· τοῦτο γὰρ ἄν, φασίν, ἐγίνετο, εἰ ἀδιάφοροι ἦσαν αἱ μονάδες καὶ συμβληταί. οὐ κατὰ πρόσθεσιν οὖν τὸ μέτρον ποιοῦνται, ἀλλὰ χωρίζουσιν ἕκαστον τῶν ἀριθμῶν καὶ μετὰ τὸ ἓν ὡς ἀπʼ ἄλλης ἀρχῆς μεταβαίνουσιν ἐπὶ τὰ δύο μὴ προστιθέντες τῷ προτέρῳ ἑνὶ ἄλλο ἕν. οὐ γὰρ ἡ γένεσις τῶν ἀριθμῶν ἐκ τῆς ἀορίστου δυάδος ἦν, εἰ τῷ ἑνὶ προστεθὲν ἄλλο ἓν ὁ δύο ἐγένετο καὶ τούτῳ ἄλλο ἓν ὁ τρία καὶ ἐφεξῆς. ἀλλὰ μὴν οὐδὲ ἰδέαν ἐνδέχεται εἶναι· ἐνυπάρξει γὰρ ἡ ἑτέρα ἰδέα οἷον ἡ αὐτοδυὰς ἐν τῇ ἑτέρᾳ ἰδέᾳ τῇ αὐτοτριάδι, εἴπερ οἱ ἀριθμοὶ ἀδιάφοροι ὄντες κατὰ πρόσθεσιν μετρούμενοι εἰδητικοί εἰσιν. εἰ οὖν οἱ ἀριθμοὶ ἰδέαι, αἱ δὲ ἰδέαι οὐ περιέχονται ὑπʼ ἄλλων ἰδεῶν ὥστε μέρος εἶναι τῶν περιεχουσῶν, οὐδʼ ἂν οἱ ἀριθμοὶ μέρη εἶεν ἄλλων ἀριθμῶν. ὑπάρξει δὲ αὐτοῖς τὸ μὴ μέρη εἶναι ἄλλων ἀριθμῶν, εἰ διάφοροί εἰσιν αἱ ἐν αὐτοῖς μονάδες. ταῦτα οὖν, φησίν, εἰ καὶ σώζει τὴν αὐτῶν ὑπόθεσιν, ἀλλʼ ἀνατρέπει πολλὰ τῶν ἀριθμητικῶν θεωρημάτων· οὔτε γὰρ σωρεία ἔσται κατὰ τοῦτο τῶν τυχουσῶν μονάδων ὁ ἀριθμός, οὔτε οὖν διαιρεθήσεται εἰς τὰς τυχούσας, οὔτε πρὸς ἀλλήλας λόγον ἕξουσι τὸν ἡμιόλιον τὸν ἐπίτριτον ἢ ἄλλον τινά. ἀλλὰ πρὸς μὲν τὴν ἑαυτῶν ὑπόθεσιν ὀρθῶς λέγουσιν, ἁπλῶς δὲ οὐκ ὀρθῶς. τὸ δὲ διὸ καὶ τὸ ἀριθμεῖσθαι οὕτως ὑπερβατῶς ἀναγνωστέον ὧδε· διὸ καὶ τὸ ἀριθμεῖσθαι ἀναγκαῖον αὐτοῖς οὕτω λέγειν ἓν δύο, μὴ προσλαμβανομένου πρὸς τῷ ὑπάρχοντι ἑνὶ ἢ ἀριθμῷ ἄλλου ἑνός· καὶ γὰρ καὶ τοῦτο δεῖ προσυπακούειν. Ἐπεὶ τοῦτό γʼ αὐτὸ ἔχειν τινὰ φήσουσιν ἀπορίαν.
Τοῦτο ἴσον ἐστὶ τῷ εἰώθασιν ἀπορεῖν πρὸς ἑαυτοὺς οἱ διαφόρους τὰς μονάδας λέγοντες· τὸ δʼ ἀπορούμενον τοιοῦτον, πότερον ἀπὸ τοῦ δύο ἐπὶ τὸν τρία δεῖ μεταβαίνειν καὶ τέσσαρα καὶ πέντε καὶ ὅλως κατὰ σύνθεσιν ἀριθμεῖν, ἢ κατὰ μερίδας, τουτέστι κατὰ διαίρεσιν ἀπὸ τῆς δεκάδος λαμβάνειν καὶ λέγειν ὅτι τόδε μὲν τὸ μέρος αὐτῆς ἐστι δύο, τόδε δὲ τρία, καὶ οὕτως ἐπὶ τῶν ἄλλων. οὐδέτερον δὲ τούτων αὐτοῖς ἤρεσκεν, ἀλλʼ εἴτε κατὰ πρόσθεσιν, φασίν, ἀριθμεῖν φήσομεν, ἔσονται αἱ μονάδες ἀδιάφοροι καὶ συμβληταί, εἴτε κατὰ διαίρεσιν, ἔσται ἡ δεκὰς ἐκ τῆς αὐτοδυάδος, αὐτοτριάδος καὶ τῶν λοιπῶν. εἰ δὴ δεῖ, φασίν, ἀμφότερα φυγεῖν τὰ ἄτοπα, θετέον οὐσιώδεις τοὺς τοιούτους ἀριθμοὺς καὶ εἰδητικούς· ἓν γὰρ ὢν ἕκαστος αὐτῶν καὶ ἄλλο οὔτε προστεθήσονται ἀλλήλοις οὔτε διαίρεσιν ὑποστήσονται· ταῦτα γὰρ τῷ μαθηματικῷ ἁρμόζει. ἀλλʼ ἐκεῖνοι μὲν οὕτως· ἡμεῖς δέ, φησίν, ἀμφοτέρως ποιοῦμεν· ὡρισμένου γὰρ ὄντος τοῦ ἀριθμοῦ, οἷον τοῦ ὀκτὼ ἢ τοῦ ἓξ ἢ ἄλλου οὑτινοσοῦν, διαιροῦμεν αὐτοὺς εἰς τὰ οἰκεῖα μέρη· ἀορίστου δὲ προστίθεμεν ταῖς μονάσι μονάδας, ἕως ἂν καταντήσωμεν εἰς τὸν ἀριθμόν, ὃν ὁρίσαι καὶ περατῶσαι βουλόμεθα. ἀλλὰ πῶς ἀόριστον εἶπε τὸν ἀριθμόν; ἢ ἐπειδὴ καὶ ὁ δύο καὶ ὁ τρία καὶ οἱ λοιποὶ ὕλη εἰσὶ τοῦ εἴκοσιν, εἰ εἰς τοῦτον βουλόμεθα καταντῆσαι, πρὸς τὸ τοῦ εἴκοσιν εἶδος ἀόριστοι οἱ ἐντὸς ἅπαντές εἰσι καὶ ὗλαι. διό, φησί, γελοῖον ταύτην εἰς τηλικαύτην τῆς οὐσίας ἀνάγειν διαφοράν, τουτέστι γελοῖόν ἐστιν ἐκ τῆς οὕτως ἐπιπολαίου αὐτῶν ἀπορίας ἕκαστον τῶν ἀριθμῶν ποιεῖν ἰδέαν καὶ οὐσίαν καθʼ αὑτήν.
Τοῦτο εἰπὼν ἐπάγει «πρὸ πάντων δὲ τῶν ῥηθησομένων καλῶς ἔχει διαπορῆσαι καὶ ζητῆσαι, εἰ αἱ μονάδες διάφοροί εἰσι κατʼ αὐτοὺς τῶν εἰδητικῶν ἀριθμῶν, πότερον τῷ ποσῷ διαφέρουσιν ὥστε τὴν μὲν τούτων εἶναι μείζονα τὴν δὲ ἐλάττονα, ἢ τῷ ποιῷ» καὶ δείκνυσιν ὅτι κατʼ οὐδέτερον τούτων ἐνδεχόμενόν ἐστι λέγειν τὰς μονάδας διαφέρειν· οὐδέτερον γάρ, φησί, τούτων ἐνδεχόμενον ὑπάρχειν φαίνεται ταῖς μονάσιν ἢ τοῖς ἀριθμοῖς. ἀλλʼ ὁ μὲν ἀριθμὸς καθὸ ἀριθμὸς τοιοσδί, οἷον μείζων ἢ ἐλάττων, διαφέρει κατὰ τὸ ποσόν· εἰ δὲ καὶ αἱ μονάδες κατὰ τὸ ποσὸν διαφέρουσι, καὶ ἀριθμὸς ἀριθμοῦ διαφέροι ἂν ὁ ἴσος τοῦ ἴσου τῷ πλήθει, τουτέστι τῷ μεγέθει τῶν μονάδων. ἀντὶ γὰρ τοῦ εἰπεῖν τῷ μεγέθει εἶπε τῷ πλήθει· εἰ γὰρ κατὰ τὸ πλῆθος διέφερον, πῶς ἂν ἴσοι ἦσαν; ὥστε τῷ πλήθει ἀντὶ τοῦ μεγέθους ἐχρήσατο. ἀλλʼ εἰ τοῦτο, ἔστωσαν δύο τετράδες· πότερον αἱ τῆς πρώτης τετράδος πρῶται δύο μονάδες εἰσὶ μείζους καὶ αἱ δεύτεραι ἐλάττους καὶ τῆς δευτέρας τετράδος ὁμοίως, ἢ ἀνάπαλιν, ἢ ἄλλως πως; καὶ πότερον ἅμα τῷ γενέσθαι σμικρόταταί εἰσιν, ὕστερον δὲ αὔξονται καὶ εἰς μείζονα ὄγκον καὶ μέγεθος ἐπιδιδόασιν, ὥσπερ τὰ ζῷα καὶ τὰ φυτὰ καὶ πᾶν τὸ αὐξόμενον, ἢ τοὐναντίον πρότερον μέν εἰσι μεγάλαι ὕστερον δὲ μειοῦνται καὶ σμικρύνονται; ταῦτα δὴ πάντα ἄλογα καὶ ἀδύνατά ἐστι· τὰ γὰρ αὐξανόμενα τρέφεται, αἱ δὲ μονάδες εἰ τρέφεσθαι λέγονται, τίς οὐκ ἂν γελάσοι; οὕτω μὲν οὖν δείξας τὸ ἀδύνατον τῆς κατὰ τὸ ποσὸν διαφέρειν τὰς μονάδας λεγούσης ὑποθέσεως εὐθύνει καὶ τὴν τῇ ποιότητι τὸ διάφορον αὐταῖς ἀπορρίπτουσαν. οὐδὲν γάρ, φησίν, οἷόν τε ταῖς μονάσιν ὑπάρχειν πάθος ἀμερέσιν οὔσαις, ὅπερ, φημὶ δὴ τὸ τὰ ἀμερῆ μὴ ἔχειν πάθος, κάλλιστα ἐν τῷ τρίτῳ τῆς Περὶ οὐρανοῦ δέδεικται πραγματείας· ἐν γὰρ ταῖς μονάσι ποιότητα οὐχ οἷόν τε εἶναι, ἐν δὲ τοῖς ἀριθμοῖς ὑπάρχει μὲν ποιόν, ἀλλʼ ὕστερον τοῦ ποσοῦ. πρότερον γὰρ ἡ τοσήδε τῶν μονάδων συντίθεται ποσότης, καὶ οὕτως ἐπιγίνεται τὸ ποιόν, ἤτοι αὐτὸ τὸ τοῦ ἀριθμοῦ εἶδος· ὥστε ἀριθμὸς ἀριθμοῦ τῷ εἴδει καὶ τῷ ποιῷ διαφέρει, μονὰς δὲ μονάδος οὐδαμῶς. ἔτι, φησίν, οὔτε ἀπὸ τοῦ ἀρχικοῦ ἑνὸς οὔτε ἀπὸ τῆς ἀρχικῆς δυάδος — αὕτη δέ ἐστιν ἡ ἀόριστος — ταῖς μονάσι τὸ κατὰ ποιότητα διαφέρειν γένοιτο· τὸ μὲν γὰρ ἓν ἄποιον, ἡ δὲ ἅμα ποσοῦ καὶ ποιοῦ αἰτία. ἐπειδὴ γὰρ ὃ ἂν λάβοι διπλασιάζει, δῆλον ὡς καὶ ποσὸν καὶ ποιὸν περιτίθησι τῷ ἐκ τῆς διπλασιάσεως ἀποτελεσθέντι· αἱ δὲ μονάδες ἄποσοι. ὥστε εἰ ἡ μονὰς ἄποσος, ἡ δὲ ἀόριστος δυὰς τῷ ἐξ αὐτῆς ἅμα τῷ ποιῷ καὶ τὸ ποσὸν περιτίθησιν, οὐκ ἂν σχοῖεν ἐκ τῆς ἀρχικῆς δυάδος τὸ ποιόν· εἴρηται δὲ ὅτι οὐδὲ ἐκ τοῦ ἑνός. ἄποιον ἄρα ὅλως αἱ μονάδες. ὅτι δὲ ἡ δυὰς τῷ διπλασιασθέντι σὺν τῷ ποσῷ καὶ ποιὸν περιτίθησι καὶ ἔμπαλιν σὺν τῷ ποιῷ καὶ ποσόν, δῆλον. διπλασιάσασα γὰρ τὴν αὐτοδυάδα πεποίηκε τὴν αὐτοτετράδα, ἡ δὲ τετρὰς καὶ ποσότης τις καὶ ποιότης καὶ εἶδος ἕτερον τῆς δυάδος· τὴν δὲ τετράδα διπλασιάσασα πεποίηκε τὴν ὀκτάδα, ποσὸν ἅμα καὶ ποιὸν ἕτερον ὂν τοῦ τῆς τετράδος ποιοῦ καὶ ποσοῦ· ὥστε τοῖς μὲν ἀριθμοῖς τὸ ποιὸν καὶ τὸ τοιονδὶ εἶδος ἡ ἀόριστος ἐπιτίθησι δυάς, ταῖς δὲ μονάσιν οὐδαμῶς. εἰ γάρ, φησί, μὴ σὺν τῷ ποσῷ καὶ ποιότητα καὶ εἶδος ἐπετίθει, οὐκ ἂν ἦσαν πολλὰ τὰ ὄντα. τὰ γὰρ πράγματα κατὰ τὸ εἶδος ἔχει τὴν διαφορὰν ἀλλʼ οὐ κατὰ τὴν ὕλην· ὥστε εἰ μὴ τὸ τῆς τετράδος εἶδος καὶ ἡ τοιαδὶ ποιότης ἑτέρα ἦν τοῦ τῆς πεντάδος εἴδους καὶ ποιότητος καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως, ἡ αὐτὴ ἂν ἦν ἡ τετρὰς τῇ πεντάδι καὶ αἱ ἄλλαι ὁμοίως καὶ οὐκ ἂν εἶεν πολλὰ τὰ ὄντα. ὄντα δὲ εἶπε τὰς ἰδέας· ὄντα γὰρ κυρίως τὰς ἰδέας εἶναι ἔλεγον οἱ τῶν ἰδεῶν προστάται· τὰ γὰρ ἐνταῦθα ὁμωνύμως ὄντα καὶ κατὰ συμβεβηκὸς ὄντα καλέσειεν ἄν τις, φασίν. ταῦτα εἰπὼν ἐπιφέρει εἰ δὲ ἄλλως πως ἔχει τὰ περὶ τὰς μονάδας καὶ μὴ ὡς ἡμεῖς φαμεν — λέγομεν δʼ αὐτὰς ἀδιαφόρους —, λεκτέον ἐν ἀρχῇ καὶ πρώτως καὶ μάλιστα τοῦτο. καὶ σαφηνίζων τί ποτέ ἐστιν ὅπερ εἰπεῖν αὐτοὺς ἀπαιτεῖ, ἐπάγει καὶ διοριστέον περὶ τῆς τῶν μονάδων διαφορᾶς τίς ἐστιν αὕτη· εἰ γὰρ ἡμεῖς ἀδιαφόρους λέγοντες αὐτὰς ἄλλως ἔχειν αὐτὰς λέγει τις, δῆλον ὡς διαφόρους ἐρεῖ. ῥητέον οὖν αὐτῷ τίς ἡ τῶν μονάδων διαφορὰ καὶ οὐχ ἁπλῶς οὕτως καὶ ἀναιτίως βοάτω ὡς διαφέρουσιν, ἀλλὰ καὶ τὴν αἰτίαν, διʼ ἣν αὐτὰς ἀνάγκη διαφέρειν, λεγέτω· εἰ δὲ μὴ τὴν αἰτίαν τῆς διαφορᾶς εἰπεῖν δύνανται, ἁπλῶς καὶ ἀναιτίως εἰπάτωσαν τίνα λέγουσιν εἶναι τὴν τῶν μονάδων διαφοράν. καὶ συμπεραίνεται λέγων ὅτι μὲν οὖν, εἴπερ εἰσὶν ἀριθμοὶ αἱ ἰδέαι οὔτε συμβλητὰς πάσας ἐνδέχεται τὰς μονάδας εἶναι, οὔτε πάσας ἀσυμβλήτους, οὔτε τὰς μὲν συμβλητὰς τὰς δʼ ἀσυμβλήτους, φανερόν. Ἀλλὰ μὴν οὐδʼ ὡς ἕτεροι λέγουσι περὶ τῶν ἀριθμῶν λέγεται καλῶς.
Ἐλέγξας τοὺς τὰς ἰδέας ἀριθμοὺς λέγοντας μέτεισι καὶ ἐπὶ τοὺς μήτε τὰς ἰδέας ἀριθμοὺς λέγοντας μήτε ὅλως ἰδέας εἶναι βουλομένους, ἀλλὰ μόνον τὸν μαθηματικὸν ἀριθμόν, ὃν καὶ οὗτοι χωριστόν φασι καὶ πρῶτον πάντων τῶν ὄντων. λέγουσι δὲ καὶ οὗτοι τοῦ μαθηματικοῦ καὶ χωριστοῦ κατʼ αὐτοὺς ἀρχὴν τὸ ἕν, οὐχὶ τὸ ἀρχικὸν ὅπερ οἱ τὰς ἰδέας εἶναι βουλόμενοι λέγουσιν, ἀλλʼ ἄλλο τι. ἡμεῖς γὰρ τὸ τυχὸν ἓν ἀρχήν φαμεν, καὶ δεύτερον τὸ ἐφεξῆς· ἐπὶ γὰρ τῆς τριάδος οὐδὲν διαφέρει τὴν πρώτην αὐτῆς μονάδα ἀρχὴν ποιῆσαι ἢ τὴν ἐσχάτην ἢ τὴν μέσην· ἐκεῖνοι δὲ οὐχ οὕτως, ἀλλά τι ὑπετίθεντο ἀρχικὸν ἓν καὶ τοῦτο ἀρχὴν καὶ πρώτην τῶν ἄλλων ἔλεγον μονάδων. ὥστε καθὸ μὲν καὶ οὗτοι ἀρχικὸν ἓν λέγουσι, συνῳδὰ φθέγγονται τοῖς τὰς ἰδέας τιθεμένοις, καθὸ δὲ οὐ τὸ αὐτὸ ὅπερ ἐκεῖνοι ἀλλʼ ἕτερον, διαφέρουσι· καὶ οὐ μόνον κατὰ τοῦτο, ἀλλʼ ὅτι καὶ οἱ τὰς ἰδέας λέγοντες καὶ πρώτην δυάδα καὶ πρώτην τριάδα καὶ τετράδα καὶ ἑξῆς ἐδόξαζον, οὗτοι δὲ πρώτην δυάδα καὶ πρώτην τριάδα ἢ ἄλλον τινὰ ἀριθμὸν οὔ φασιν, ἀλλʼ ἓν πρῶτον καὶ μίαν ἀρχὴν τὸ πρῶτον παρʼ αὐτοῖς ἓν εἶναι ἀποφαίνονται. διὸ καὶ ἐγκαλεῖ αὐτοῖς λέγων ἄτοπον γὰρ τὸ ἓν μὲν εἶναι πρῶτον τῶν ἑνῶν, τουτέστι τῶν μονάδων — τὸ γὰρ ἑνῶν ἐκ τοῦ ἕν, ἑνός, ἡ εὐθεῖα τῶν πληθυντικῶν τὰ ἕνα καὶ ἡ γενικὴ τῶν πληθυντικῶν τῶν ἑνῶν εἴληπται —, ἄτοπον μὲν οὖν, φησίν, ἓν μὲν εἶναι πρῶτον τῶν ἑνῶν, δυάδα δὲ πρώτην τῶν δυάδων καὶ τριάδα τῶν τριάδων μὴ εἶναι. τίς γὰρ ἡ αἰτία τοῦ ἓν μὲν εἶναι πρῶτον, δυάδα δὲ καὶ τριάδα καὶ ἑξῆς πρώτας μὴ εἶναι; εἰ μὲν γὰρ ὡς οὗτοι λέγουσι, φησίν, ἔχοι τὰ περὶ τοὺς ἀριθμούς, ὡς μόνον τὸν μαθηματικὸν εἶναι, οὐκ ἔσται τὸ ἓν ἀρχή. εἰ γάρ ἐστιν ἀρχή, ἀνάγκη διαφέρειν τῶν ἄλλων μονάδων· πᾶσα γὰρ ἀρχὴ διαφέρει τῶν μετὰ τὴν ἀρχήν· εἰ δὲ ἔστιν ἕν, ἀνάγκη καὶ δυάδα εἶναι πρώτην καὶ τριάδα καὶ τοὺς ἄλλους ἀριθμούς· ὥστε εἰ ἔσται τὸ ἓν ἀρχή, καὶ ἕτερον τῶν μονάδων ἀνάγκη, καὶ μᾶλλον ἀνάγκη ὥσπερ ὁ Πλάτων ἔλεγεν ἔχειν τὰ περὶ τοὺς ἀριθμούς, καὶ εἶναι πρώτην δυάδα καὶ τριάδα καὶ ἀσυμβλήτους τὰς ἐν αὐτοῖς μονάδας πρὸς ἀλλήλας. διὰ τί γὰρ ὄντος πρώτου ἑνὸς οὐκ ἔσται καὶ πρώτη δυὰς καὶ ὅλως πᾶς ὁ εἰδητικὸς ἀριθμός; εἰ δὲ πάλιν θείη τις καὶ ὁμολογήσει ὡς ἀληθῆ τὰ ὑπὸ τῶν τὰς ἰδέας τιθεμένων λεγόμενα, εἴρηται καὶ δέδεικται ὅτι πολλὰ τούτοις συμβαίνει ἀδύνατα, ὥστε εἰ, εἴπερ ἔστιν ἀριθμὸς χωριστός, ἀνάγκη ἢ ὡς Πλάτων λέγει ἔχειν, ἢ ὡς οἱ τὸν μαθηματικὸν μόνον, κατʼ οὐδέτερον δὲ τρόπον εἶναι δύναται, οὐκ ἔστιν οὖν ὅλως χωριστὸς ἀριθμός. καὶ ἔστιν ἡ συναγωγὴ τοῦ λόγου τοιαύτη· εἰ ὁ μαθηματικὸς μόνος ἐστὶν ἀριθμός, οὐκ ἂν εἴη τὸ ἓν ἀρχὴ πάντων· εἰ δέ ἐστι τὸ ἓν ἀρχή, κρατεῖ ὁ Πλάτων καὶ ἔστιν ὁ εἰδητικὸς ἀριθμός, καὶ διαφέρει ἕτερος ἑτέρου τῇ οὐσίᾳ· ἀλλὰ μὴν δέδεικται καὶ τοῦτο ἀδύνατον· οὐκ ἄρα ἔστιν ἀριθμὸς χωριστός.
Φανερὸν δʼ ἐκ τούτων καὶ ὅτι χείριστα λέγεται ὁ τρίτος τρόπος τὸ εἶναι τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν τὸν τῶν εἰδῶν καὶ τὸν μαθηματικόν.
Τῶν περὶ ἀριθμοὺς εἰπόντων οἱ μὲν δύο ἐποίουν αὐτοὺς καὶ διέκρινον, ὥσπερ ὁ Πλάτων — σαφῶς γὰρ οὗτος τὸν μαθηματικὸν ἕτερον εἶναι λέγει τοῦ εἰδητικοῦ —, οἱ δὲ ἕνα τὸν μαθηματικόν, ὥσπερ τινὲς τῶν Πυθαγορείων· οἱ δὲ ἐγίνωσκον μὲν ἀμφοτέρους καὶ τὸν εἰδητικὸν καὶ τὸν μαθηματικόν, ἕνα δὲ ἐποίουν, ὥσπερ Σπεύσιππος καὶ Ξενοκράτης. τούτων οὕτως περὶ τοῦ ἀριθμοῦ λεγόντων χείριστόν φησιν εἶναι τὸν τρίτον τρόπον τὸν τὸν μαθηματικὸν καὶ εἰδητικὸν ἀριθμὸν συναιροῦντα καὶ ἕνα ἀποφαινόμενον τοῦ δόγματος τοῦ Πλατωνικοῦ καὶ τῆς τῶν Πυθαγορείων δόξης· καὶ τὴν αἰτίαν ἐπάγει λέγων ἀνάγκη γὰρ εἰς μίαν δόξαν δύο συμβαίνειν ἁμαρτίας. ὅσα γὰρ ἰδίως ἑκατέρᾳ δόξῃ, τῇ τε τοῦ Πλάτωνος καὶ τῇ τῶν Πυθαγορείων, ταῦτα πάντα τῇ τοῦ Ξενοκράτους καὶ Σπευσίππου ἕπεται δόξῃ· ὥστε διπλασίονά ἐστι τὰ συμβαίνοντα ἄτοπα ταύτῃ τῇ δόξῃ· ᾗ δὲ πλείονα ἐπακολουθεῖ τὰ ἄτοπα, ἐκείνη χειρίστη ἐστὶ τῆς ᾗ τὰ ἐλάττονα ἕπεται. οὔτε γὰρ μαθηματικὸν ἀριθμὸν ἐνδέχεται εἶναι τὸν τρόπον τοῦτον, καθʼ ὃν Ξενοκράτης καὶ Σπεύσιππος λέγουσιν — εἴρηται δὲ ὅτε καὶ οὗτος τοὺς τρόπους, καθʼ οὓς δυνατὸν εἶναι τὸν ἀριθμόν, ἱστόρει ἐν τῷ παρόντι βιβλίῳ, ὅπως τὰ περὶ τοὺς ἀριθμοὺς τώδε τὼ ἄνδρε ἐλεγέτην —, οὔτε οὖν τὸν μαθηματικὸν ἐνδέχεται εἶναι, ἀλλʼ ἰδίας ὑποθέσεις πλασματώδεις ὑποθέμενοι μηκύνουσι τὰ περὶ τοὺς ἀριθμούς, καὶ ὅσα τοῖς ὡς εἴδη τοὺς ἀριθμοὺς λέγουσιν ἕπεται, ἀνάγκη λέγειν ὡς καὶ αὐτοῖς ἕπεται.
Ὁ δὲ τῶν Πυθαγορείων, φησί, τρόπος τῇ μὲν ἐλάττους ἔχει τὰς δυσχερείας, τῇ δὲ ἰδίας. ᾗ μὲν γὰρ τοὺς ἀριθμοὺς οὐ χωρίζουσιν, ἀλλʼ ἐν τοῖς αἰσθητοῖς εἶναι λέγουσι, ταύτῃ ἥττονα τὰ ἑπόμενα αὐτοῖς δυσχερῆ· καθὸ δέ φασι συγκεῖσθαι καὶ δημιουργεῖσθαι τὰ σώματα ἐξ ἀριθμῶν μαθηματικῶν, ταύτῃ πολλὰ τὰ ἑπόμενα αὐτοῖς ἀδύνατα. ἢ γὰρ ἀδιαίρετα μεγέθη εἰσὶν αἱ μονάδες, ἐξ ὧν φασι τὰ σώματα συγκεῖσθαι καὶ δημιουργεῖσθαι, ἢ αὐτὸ τοῦτο μονάδες. ἀλλὰ τὸ λέγειν ἄτομα μεγέθη ψεῦδος· πολλὰς γὰρ εὐθύνας δέδωκεν ἡ τὰ ἄτομα μεγέθη εἰσάγουσα δόξα. ἀλλὰ καὶ ἡ Ξενοκράτους ἀπόφασις ἡ τὰς ἀτόμους εἰσάγουσα γραμμὰς αὐτάρκως καὶ αὕτη τῷ Ἀριστοτέλει ἤλεγκται. κἂν δῶμεν, φησίν, εἶναι ἄτομα μεγέθη — τοῦτο γὰρ ἐδήλωσε διὰ τοῦ εἴ τε ὅτι μάλιστα τοῦτον ἔχει τὸν τρόπον —, ἀλλʼ οὐχ αἵ γε μονάδες μέγεθος ἕξουσι· τουτέστι καὶ εἰ σωμάτιά τινα μέγεθος μὲν ἕξει ἄτομα δὲ ἔσται, ἀλλʼ οὐχ αἵ γε μονάδες ἕξουσι μέγεθος, οὐδὲ δυνατὸν ὅλως αὐτὰς μονάδας μεμεγεθυσμένας λέγειν. εἰ οὖν ἀδύνατον τὸ μονάδας μέγεθος ἔχειν — ἀδιαίρετοι γὰρ καὶ ἀμεγέθεις εἰσίν —, οὐχ οἷόν τε ἐξ ἀδιαιρέτων καὶ ἀμεγεθῶν μέγεθος εἶναι. ὅτι δὲ ὁ μαθηματικὸς ἀριθμὸς μοναδικὸς καὶ ἀσώματος καὶ ἀμεγέθης ἐστί, δέδεικται. τούτου γάρ ἐστι μηνυτικὸν τὸ ἀλλὰ μὴν ὅ γε ἀριθμητικὸς ἀριθμὸς μοναδικός ἐστι, καὶ προσυπακουστέον ἐν τῷ ἀλλὰ μὴν τοῦ δέδεικται· τὸ δὲ ἀριθμητικὸς ἀντὶ τοῦ μαθηματικός. εἰπὼν δὲ ἀνωτέρω ὅτι τὸν ἀριθμὸν αἴτιον τῶν αἰσθητῶν φασι, πάλιν μνείαν τούτου ποιεῖται καὶ δείκνυσι τοῦτο λέγων ἐκεῖνοι δὲ τὸν ἀριθμὸν τὰ ὄντα λέγουσι. πίστις δὲ τούτου· τὰ γὰρ θεωρήματα καὶ τὰ συμβαίνοντα τοῖς ἀριθμοῖς προσάπτουσι τοῖς σώμασιν, ὡς ἐκ τῶν ἀριθμῶν ὄντων τῶν σωμάτων· ὑπολαμβάνοντες γὰρ ὅτι ἐκ τῶν ἀριθμῶν εἰσιν — ἐκ γὰρ τοῦ βωμίσκου τοῦ διακόσια δέκα τὸ ἁπλῶς σῶμα εἶναι ἔλεγον, ἐκ δὲ τοῦ ἕνδεκα τὸ πῦρ, ἐκ δὲ τοῦ τρισκαίδεκα τὸν ἀέρα καὶ ἐκ τοῦ ἐννέα τὸ ὕδωρ —, ὑπολαμβάνοντες δὴ τοῦτο οὐδὲν ἔφασκον διαφέρειν τὰ τῷ βωμίσκῳ καθʼ αὑτὸ ὑπάρχοντα ἐπʼ αὐτοῦ θεωρεῖν ἢ ἐπὶ τοῦ ἐξ αὐτοῦ σώματος· ὁμοίως καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων. εἰ γάρ, φασί, συνέβη τῷ ἐννέα ἀριθμὸν εἶναι τετράγωνον πρῶτον μέσον ἔχοντα — τὸ δὲ μέσον ἔχοντα πρόσκειται διὰ τὴν τῆς μονάδος μεσιτείαν τὴν ἐν παντὶ περισσῷ εὑρισκομένην —, εἰ δὴ ὁ ἐννέα τετράγωνός ἐστι πρῶτος ἔχων μέσον, καὶ τὸ ὕδωρ τοιοῦτόν ἐστι, καὶ μᾶλλον ἐπὶ τοῦ ὕδατος τοῦτο χρὴ θεωρεῖν ἢ ἐπὶ τοῦ ἐννέα· ὥστε δέδεικται ὅτι ἐξ ἀριθμῶν τὰ αἰσθητὰ ἐποίουν. δείξας οὖν τοῦτο, λέγω δὴ ὅτι ἐξ ἀριθμῶν τὰ αἰσθητὰ ἐποίουν, λέγει, εἰ ὄντος ἀριθμοῦ χωριστοῦ ἀνάγκη τινὰ τούτων τῶν εἰρημένων εἶναι τρόπων, κατʼ οὐδένα δὲ τούτων εἶναι δύναται, φανερὸν ὅτι οὐκ ἔστι τις φύσις ἀριθμοῦ οἵαν κατασκευάζουσιν οἱ τιθέντες αὐτὸν χωριστόν· οὔτε γὰρ ὡς εἰδητικὸς οὔτε ὡς μαθηματικὸς εἶναι δύναται. Ἔτι πότερον ἑκάστη μονὰς ἐκ τοῦ μεγάλου καὶ μικροῦ ἰσασθέντων ἐστὶ καὶ τὰ ἑξῆς.
Τὴν ἀρχικὴν δυάδα ποτὲ μὲν ἀόριστον δυάδα λέγοντες ποτὲ δὲ μέγα καὶ μικρόν — ἐν αὐτῇ γὰρ εἶναι τὸ μέγα καὶ μικρὸν ἀνευφήμουν —, ἀπορεῖ λέγων «ἐπειδὴ ἐκ τοῦ ἑνὸς καὶ τῆς ἀορίστου δυάδος ἤτοι τοῦ μεγάλου καὶ μικροῦ αἱ μονάδες γίνονται, πότερον ἑκάστη μονὰς τῶν ἐν τῇ αὐτοτριάδι — ἐρωτάσθω γὰρ ἐπʼ αὐτῆς — ἐξ ἀμφοῖν ἐγένετο τῶν ἐν τῇ ἀορίστῳ δυάδι, λέγω δὴ τοῦ μεγάλου καὶ μικροῦ, ἢ αἱ μὲν ἐκ τοῦ μεγάλου αἱ δὲ ἐκ τοῦ μικροῦ.» εἰ μὲν γὰρ δὴ οὕτω, τουτέστιν εἰ μὲν γὰρ αἱ μὲν ἐκ τοῦ μεγάλου αἱ δὲ ἐκ τοῦ μικροῦ, οὐκ ἀπὸ πάντων ἑκάστη τῶν στοιχείων ἐστίν, ἀλλʼ ἡ μὲν ἐκ τοῦ μεγάλου ἡ δὲ ἐκ τοῦ μικροῦ· ὥστε οὔτε ἴσαι ἔσονται οὔτε συμβληταί, ἀλλὰ πρὸς τῷ διάφοροι εἶναι καὶ ἐναντιώσεις ἕξουσι πρὸς ἀλλήλας, εἴ γε αἱ μὲν μεγάλαι ἔσονται διὰ τὸ ἐκ τοῦ μεγάλου εἶναι, αἱ δὲ μικραὶ διὰ τὸ ἐκ μικροῦ. τούτου γάρ ἐστι δηλωτικὸν τὸ οὔτε ἀδιάφοροι αἱ μονάδες· ἐν τῇ μὲν γὰρ τὸ μέγα ἐν τῇ δὲ τὸ μικρὸν ὑπάρχει, ἐναντίον τῇ φύσει ὄν. ἀλλὰ καὶ ἐν τῇ τριάδι αὐτῇ, φησί, πῶς; μία γάρ ἐστι περιττή. ἐστὶ δὲ οἶμαι τὸ λεγόμενον τοιοῦτον. ἥ τε τριὰς ἐὰν τὴν πρώτην τυχὸν ἔχῃ μονάδα ἐκ τοῦ μεγάλου, τὴν δὲ δευτέραν ἐκ τοῦ μικροῦ, τὴν τρίτην — ταύτην γὰρ εἶπε περιττήν — πόθεν ἕξει; ἀπὸ τοῦ μεγάλου ἢ ἀπὸ τοῦ μικροῦ; τοῦτο ἐρωτήσας ὑπεραπολογεῖται τούτων λέγων· ἀλλʼ ὡς ἔοικε, φησί, συνεωρακότες ταύτην τὴν ἀπορίαν τὸ ἓν μέσον ποιοῦσι τοῦ τρία καὶ ἁπλῶς παντὸς ἀριθμοῦ, ἵνα ἴσαι ὦσιν αἵ τε ἐκ τοῦ μεγάλου γινόμεναι καὶ μικροῦ μονάδες· τὸ γὰρ ἕν, φασί, μέσον κείμενον τὴν ὑπερβολὴν τῆς μιᾶς μονάδος, ἣν ἔχει πρὸς τὴν λοιπήν, ἀφαιρεῖται καὶ ἐν τῇ δεούσῃ προστεθὲν ἰσάζει αὐτάς. ταῦτα δὲ ὅτι πλασματώδη καὶ ψευδῆ δῆλον. ἀλλʼ εἰ μέν, ὡς εἴρηται, αἱ μέν εἰσιν ἐκ τοῦ μεγάλου αἱ δὲ ἐκ τοῦ μικροῦ, ταῦτα· εἰ δʼ ἑκατέρα τῶν μονάδων ἐξ ἀμφοτέρων ἐστὶν ἰσασθέντων, τουτέστιν εἰ δὲ ἑκάστη μονὰς ἐκ τοῦ μεγάλου καὶ μικροῦ ἐστιν ἴσων ἀλλήλοις γινομένων ἐν τῇ κράσει — κραθῆναι γὰρ ἀνάγκη τὸ μέγα καὶ τὸ μικρόν, εἰ ἐξ ἀμφοτέρων αὐτῶν εἰσιν αἱ μονάδες —, πρῶτον μὲν ἡ αὐτοδυὰς πῶς ἔσται μία καὶ ἁπλῆ φύσις ἐκ δυοῖν οὖσα τοῦ μεγάλου καὶ μικροῦ; δῆλον γὰρ ὅτι εἰ καὶ ἡνώθη τὸ μέγα καὶ τὸ μικρὸν ὕστερον ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ἰσασθέντα, ἀλλὰ πρὸ τῆς ἑνώσεως δύο ἦν, ὥσπερ καὶ τὰ ἐν ἡμῖν στοιχεῖα πρὸ τῆς ἑνώσεως τέτταρα. ἔπειτα τί διοίσει ἡ δυὰς τῆς μονάδος; ἐπεὶ γὰρ καὶ ἐν ἑκάστῃ μονάδι δυάς ἐστιν ἰσασθεῖσα, καὶ ἡ δυὰς αὐτὸ τοῦτο δυὰς εἶναι λέγεται, τί διοίσουσιν ἀλλήλων; ἀλλὰ καὶ ὅτι, φησίν, ἡ μονὰς προτέρα τῆς δυάδος δῆλον· ἀναιρουμένης γὰρ τῆς μονάδος ἀναιρεῖται καὶ ἡ δυάς· τὸ δὲ συναναιροῦν πρότερον τοῦ συναναιρουμένου. ὥστε ἐὰν ἡ μονὰς προτέρα τῆς αὐτοδυάδος, ἡ δὲ αὐτοδυὰς ἰδέα, καὶ ἡ πρεσβυτέρα αὐτῆς, ἡ μονάς, ἰδέα ἐστίν. καὶ γὰρ καὶ οὗτοι τὴν αὐτοτριάδα ἰδέαν λέγοντες τὴν πρεσβυτέραν αὐτῆς, τὴν αὐτοδυάδα, ἰδέαν εἶναι οὐκ ἀποδοκιμάζουσιν, ἀλλὰ καὶ μᾶλλον οὕτως ἔχειν αὐτὴν προσκυνοῦσιν· ἐστὶν οὖν καὶ ἡ μονὰς ἰδέα. ἀλλʼ εἰ τοῦτο, ἐκ τίνος προῆλθεν; οὐ γὰρ δὴ ἐκ τῆς ἀορίστου δυάδος· ἐκείνη γὰρ δυοποιὸς οὖσα καὶ τὰ ἁπλᾶ διπλασιάζει. Ἔτι ἀνάγκη ἤτοι ἄπειρον τὸν ἀριθμὸν εἶναι ἢ πεπερασμένον.
Ἄφυκτος ἡ διαίρεσις· ἀνάγκη γὰρ τὸν εἰδητικὸν ἀριθμὸν ἢ ἄπειρον ἢ πεπερασμένον εἶναι. ἐπειδὴ γὰρ οὐ κατὰ τὴν ἐπʼ ἄπειρον τῆς γενέσεως πρόοδον ὁ ἀριθμὸς ὡς οἱ ἄνθρωποι καὶ τὰ λοιπὰ ζῷα τὰ ἐν γενέσει τὸ εἶναι ἔχει, ἀλλʼ ἅπαξ ἀπὸ τοῦ ἑνὸς καὶ τῆς ἀορίστου δυάδος προελθών, ὡς οὗτοί φασιν, ἐν στάσει καὶ μονῇ καὶ παντελεῖ ἀκινησίᾳ ἵδρυται, ἀναγκαῖον ἢ ἄπειρον ἐνεργείᾳ εἶναι ἢ πεπερασμένον. εἰ τοίνυν δειχθείη ὡς οὐδέτερον τμῆμα τῆς διαιρέσεως ὑγιαίνει, δῆλον ὅτι ἀριθμὸς εἰδητικὸς ὅλως οὐκ ἔστιν. καὶ ὅτι μὲν ἄπειρος εἶναι οὐκ ἐνδέχεται δείκνυσι συλλογιζόμενος ὧδε. πᾶς ἀριθμὸς ἢ ἄρτιός ἐστιν ἢ περιττός, ὥστε καὶ ὁ εἰδητικός, εἴπερ ἀριθμός ἐστιν· οὐδὲν ἄπειρον ἢ ἄρτιόν ἐστιν ἢ περιττόν· οὐδεὶς ἄρα ἀριθμὸς ἄπειρός ἐστιν. ἐν δευτέρῳ σχήματι ὁ συλλογισμός. τούτων τῶν προτάσεων ἡ μὲν μία ἡ λέγουσα ὅτι οὐδὲν ἄπειρον ἢ ἄρτιόν ἐστιν ἢ περιττὸν δήλη· εἰ γὰρ ἄρτιον ἢ περιττόν ἐστι, πεπερασμένον. τὴν δὲ λοιπὴν τὴν λέγουσαν ὅτι πᾶς ἀριθμὸς ἢ ἄρτιός ἐστιν ἢ περιττός, δείκνυσι λέγων, πᾶσα γένεσις ἀριθμοῦ ἢ ἀρτιάκις ἐστὶν ἀρτία, ἢ ἀρτιοπέρισσος ἢ περισσάρτιος, ἢ πρώτη καὶ ἀσύνθετος, ἢ δευτέρα καὶ σύνθετος, ἢ καθʼ ἑαυτὴν μὲν δευτέρα καὶ σύνθετος πρὸς ἄλλον δὲ πρώτη καὶ ἀσύνθετος. πᾶς δὲ τοιοῦτος ἀριθμὸς ἢ ἄρτιος ἢ περισσός. ὁ μὲν γὰρ ἀρτιάκις ἄρτιος καὶ ὁ ἀρτιοπέρισσος καὶ ὁ περισσάρτιος ἄρτιοι· οἱ δὲ λοιποὶ τρεῖς περιττοί. καὶ τὸ συμπέρασμα δῆλον· πᾶς ἄρα ἀριθμὸς ἢ ἄρτιός ἐστιν ἢ περιττός. αὐτὸς δὲ τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου μνησθεὶς καὶ τοῦ ἀρτιοπερίσσου καὶ τοῦ πρώτου καὶ ἀσυνθέτου, τοὺς λοιποὺς διὰ βραχυλογίαν παρείασε. καταλέγει οὖν τὴν γένεσιν τοῦ ἀριθμοῦ καὶ πῶς οἱ προειρημένοι γίνονται λέγων ὡδὶ μὲν τοῦ ἑνὸς εἰς τὸν ἄρτιον πίπτοντος, τουτέστι τοῦ μὲν ἑνὸς ἐμπεσόντος τῇ δυάδι γίνεται ὁ τρία, οὗτος δὲ πρῶτός ἐστι καὶ ἀσύνθετος. ὥστε διὰ τοῦ ὡδὶ μὲν τοῦ ἑνὸς εἰς τὸν ἄρτιον πίπτοντος τὴν τοῦ πρώτου καὶ ἀσυνθέτου γένεσιν ᾐνίξατο· διὰ δὲ τοῦ ὡδὶ δὲ τῆς μὲν δυάδος ἐμπιπτούσης ὁ ἀφʼ ἑνὸς διπλασιαζόμενος τῆς τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου γενέσεως μέμνηται. ἔστι δὲ τὸ λεγόμενον τοιοῦτον. τῆς δυάδος ἐπὶ τὸ ἓν πολλαπλασιασθείσης γίνεται πάλιν ὁ δύο — δὶς γὰρ μία δύο —, τῆς δὲ δυάδος εἰς ἑαυτὴν ὁ τέτταρα· πάλιν δὲ τῆς αὐτῆς δυάδος εἰς τὸν τέτταρα ὁ ὀκτώ, εἰς δὲ τὸν ὀκτὼ ὁ ἑκκαίδεκα· καὶ ὁμοίως ὁδεύουσα τὸν ἀρτιάκις ἄρτιον γεννᾷ· τοῦτον γὰρ εἶπεν ἀφʼ ἑνὸς διπλασιαζόμενον. πάντες γάρ, ἡ δυάς, ἡ τετράς, ὁ ὀκτώ, ὁ ἑκκαίδεκα, ὁ τριάκοντα δύο καὶ οἱ λοιποὶ εἰς ἕνα τὴν δυάδα διπλασιαζόμενοι τοὺς ἐφεξῆς καὶ συνεχεῖς ἀρτιάκις ἀρτίους γεννῶσι. διὰ δὲ τοῦ ὡδὶ δὲ τῶν περιττῶν ὁ ἄλλος ἄρτιος τοῦ ἀρτιοπερίσσου τὴν γένεσιν ὑπεμφαίνει· λέγει δὲ τῷ δὲ τρία καὶ τοῖς ἄλλοις ἀπὸ μονάδος περιττοῖς πολλαπλασιαζομένη ἡ δυὰς τὸν ἀρτιοπέρισσον ἀπογεννᾷ. ὥστε εἰ πᾶσα γένεσις ἀριθμοῦ ἢ ἀρτιοπέρισσος ἢ ἄλλη τις τῶν ἀπηριθμημένων οὖσα ἢ ἀρτία ἢ περισσή ἐστιν, οὗτοι δὲ πεπερασμένοι, γεγόνασι δὲ καὶ οἱ εἰδητικοὶ ἀριθμοί, ἀνάγκη πᾶσα κἀκείνους ἢ ἀρτίους εἶναι ἢ περισσούς, ταὐτὸν δὲ εἰπεῖν πεπερασμένους. ἄλλως τε, φησίν, εἰ οἱ ἀριθμοὶ ἰδέαι, πᾶσα δὲ ἰδέα τινός ἐστιν, εἰ ἔστιν ὁ εἰδητικὸς ἀριθμὸς ἄπειρος, ἔσται καὶ ἄπειρόν τι, ἵνʼ ἐκείνου εἴη τὸ εἰδητικὸν ἄπειρον ἰδέα, καὶ τοῦτο ἢ αἰσθητὸν ἢ ἄλλο τι. καίτοι οὔτε κατὰ λόγον ἐνδέχεται ἄπειρόν τι εἶναι, ὡς πολλαχοῦ δέδεικται, οὔτε κατὰ τὴν αὐτῶν θέσιν τε καὶ δόξαν. μέχρι γὰρ δεκάδος αὐτοῖς ἡ τῶν εἰδῶν πρόοδος· τοῦτο γὰρ ἐμήνυσε διὰ τοῦ τάττουσι δὲ οὕτω τὰς ἰδέας. Εἰ δὲ πεπερασμένος, μέχρι πόσου· τοῦτο γὰρ δεῖ λέγεσθαι.
Δείξας ὅτι ἀδύνατον ἄπειρον εἶναι τὸν εἰδητικὸν ἀριθμόν, δείκνυσιν ὅτι οὐδὲ πεπερασμένον οἷόν τε αὐτὸν εἶναι, ὥστε ὅλως οὐκ ἔστιν. εἰ γάρ ἐστι πεπερασμένος, λεγέτωσαν μὴ μόνον οὕτως ἁπλῶς καὶ χωρὶς αἰτίας ὅτι πεντήκοντα ἢ ἑκατὸν ἢ ἄλλος ὁστισοῦν ἀριθμός, ἀλλὰ καὶ τὴν αἰτίαν προστιθέτωσαν διὰ τί τοσοῦτοι καὶ οὐ πλείονες ἢ ἐλάττονες. εἰ δὲ μέχρι τῆς δεκάδος καὶ ὁ εἰδητικὸς καὶ ὁ μαθηματικός — μέχρι γὰρ αὐτῆς ἀνιόντες, φασί, πάλιν ἀνακάμπτομεν ἐπὶ τὸ ἓν καὶ τὰ δύο, ἕνδεκα λέγοντες καὶ δυοκαίδεκα καὶ ἑξῆς —, εἰ δὴ μέχρι τῆς δεκάδος ὁ ἀριθμός, ἐπιλείψουσι τὰ εἴδη καὶ ἔσονται ζῷα ὧν εἴδη οὐκ ἔσται. εἰ γάρ ἐστιν ἡ αὐτοτριὰς εἶδος τὸ ἀνθρώπου, ὁ αὐτοΐππος ἔσται τις τῶν ἐντὸς τῆς δεκάδος ἀριθμῶν ἢ αὐτοτετρὰς ἢ ἄλλος τις. ἐπεὶ γὰρ αὐτοέκαστος ἀριθμός, τουτέστιν ὁ εἰδητικὸς ἀριθμός, μέχρι δεκάδος, ἔστι δὲ ὁ αὐτοάνθρωπος ἡ αὐτοτριάς, ἀνάγκη δὴ τὸν αὐτοΐππον τινὰ εἶναι τῶν ἐν τούτοις ἀριθμῶν, τουτέστι τινὰ τῶν ἐν τούτοις τοῖς εἰδητικοῖς ἀριθμοῖς συγκατατεταγμένων ἀριθμῶν, οἵτινες ἐντός εἰσι τῆς δεκάδος· ἅπαντες γὰρ οἱ ἐντὸς τῆς δεκάδος οὐσίαι κατʼ αὐτοὺς καὶ ἰδέαι. ὥστε ἐπιλείψουσιν αἱ ἰδέαι καὶ πολλῷ ἐλάττους ἔσονται τῶν ἐνταῦθα ζῴων, ὅσῳ τὰ ἐνταῦθα ζῷα ὑπερεκπίπτει τὴν δεκάδα. ἄλλως τε εἰ ἔστιν ἡ αὐτοτριὰς ὁ αὐτοάνθρωπος καὶ αἱ ἄλλαι τριάδες τῆς αὐτοεξάδος καὶ τῶν λοιπῶν αὐτοάνθρωποι ἔσονται· ὅμοιαι γὰρ αἱ ἐν τῇ αὐτοεξάδι τριάδες ἀλλήλαις. ὥστε ἄπειροι ἔσονται ἄνθρωποι, καὶ εἰ μὲν πᾶσαι αἱ τριάδες ἰδέαι, αὐτοάνθρωποι ἄπειροι, εἰ δὲ ἡ μὲν αὐτοτριὰς ἰδέα, αἱ δὲ ἐν τῇ αὐτοεξάδι καὶ αἱ ἄλλαι οὐκ ἰδέαι, αὐτοάνθρωποι μὲν πολλοὶ οὐκ ἔσονται, ἄνθρωποι δὲ ἕτεροι παρὰ τὸν αὐτοάνθρωπον καὶ τοὺς αἰσθητοὺς ἀνθρώπους. ἀλλὰ κἂν εἰ ἔστιν ὁ ἐλάττων ἀριθμὸς μέρος τοῦ μείζονος ἀριθμοῦ, συμβληταὶ δὲ καὶ αἱ ἐν τῷ αὐτῷ ἀριθμῷ μονάδες, ἐπειδὴ ἐν τῇ αὐτοτετράδι τέσσαρές εἰσι μονάδες καὶ συμβληταὶ ἀλλήλαις, εἰ ἔστιν ἡ αὐτοτετρὰς ὁ αὐτοΐππος ἢ τὸ αὐτολευκόν, ὁ δὲ αὐτοάνθρωπος ἡ αὐτοδυάς, ἐστὶ δὲ ἐν τῇ αὐτοτετράδι τῷ αὐτοΐππῳ δυάς, ἔσται ὁ αὐτοάνθρωπος μέρος τοῦ ἵππου, εἰ δυὰς ὁ ἄνθρωπος.
Ταῦτα εἰπὼν ἐπάγει ἄτοπον δὲ καὶ τὸ τῆς μὲν δεκάδος εἶναι ἰδέαν, ἑνδεκάδος δὲ μή, μηδὲ τῶν ἐχομένων ἀριθμῶν, ὃ ἴσον ἐστὶ τῷ ἄτοπον μὲν αὐτοδεκάδα εἶναι, αὐτοενδεκάδα δὲ καὶ αὐτοδωδεκάδα καὶ ἐφεξῆς μὴ εἶναι. ὅλως δὲ ἐπειδὴ πολλὰ ἔστι καὶ γίνεται ὧν εἴδη οὔκ εἰσιν, ὡς αὐτοί φασιν, γενήσεται καὶ ἄνθρωπος καὶ ἰδέας αὐτοῦ μὴ οὔσης καὶ ἵππος καὶ βοῦς καὶ τἆλλα πάντα, καὶ οὐκ ἔστι τὰ εἴδη αἴτια. Ἔτι ἄτοπον εἰ ὁ ἀριθμὸς μέχρι τῆς δεκάδος μᾶλλόν τι ὂν καὶ εἶδος αὐτῆς τῆς δεκάδος.
Ἐλλιπῶς ἀπήγγελται· ἦν δʼ ἂν τὸ τῆς λέξεως τέλειον, εἰ οὕτω πως ἦν γεγραμμένον «ἔτι ἄτοπον εἰ ὁ ἀριθμὸς μέχρι τῆς δεκάδος, καὶ ταῦτα τὸ ἓν κατʼ αὐτοὺς μᾶλλόν τι ὂν καὶ εἶδος τῆς δεκάδος»· ὥστε λείπει τὸ καὶ ταῦτα ἓν κατʼ αὐτοὺς καὶ ἀγέννητον. τὸ γὰρ ἓν ᾗ ἓν οὗτοί φασιν ἀγέννητον, ἡ δὲ δεκὰς γέγονεν· ὥστε εἰ τὸ ἓν καὶ εἶδος τῆς δεκάδος ἐστὶ καὶ ἀγέννητον, ἡ δὲ δεκὰς γέγονεν, ἔσται καὶ ἑνδεκὰς ὡς ἐξ εἴδους μὲν τοῦ ἑνός, ὕλης δὲ τῆς δεκάδος. εὐλόγως δὲ τὸ ἓν μᾶλλόν τι εἴρηκε· τὸ γὰρ εἶδος μᾶλλον τι καὶ τόδε τί ἐστιν ἤπερ ἡ ὕλη. ἀλλʼ οὗτοι, φησί, μέχρι τῆς δεκάδος πειρῶνται τὴν γένεσιν τοῖς ἀριθμοῖς ποιεῖν, ὡς ὑστάτης τελειότητος οὔσης τῆς δεκάδος, τὰ δʼ ἄλλα ἐντὸς αὐτῆς γεννῶσι καὶ θεωροῦσι καὶ τίθενται, οἷον παράδειγμα κενοῦ, παράδειγμα ἀναλογιῶν, παράδειγμα περιττοῦ. τὴν μὲν γὰρ μεταξὺ τῶν ἀρτίων χώραν τετράδος ἑξάδος καὶ τῶν ὁμοίων, ὁμοίως καὶ τὴν τῶν περιττῶν, εἰκόνα φέρειν ἔλεγον καὶ παράδειγμα τοῦ κενοῦ. εἶναι γὰρ κενὸν ἐτίθεντο ἔξω τοῦ οὐρανοῦ οἱ Πυθαγόρειοι καὶ ἀναπνεόμενον ὑπὸ τοῦ παντὸς ἐπεισιέναι καὶ διακρίνειν ἀπʼ ἀλλήλων τὰ τῇδε, ὡς ἐν τῇ Φυσικῇ εἴρηται ἀκροάσει. ἀλλὰ ῥητέον ὅπως τὰς μεταξὺ τῶν ἀρτίων χώρας κενὰς καὶ μὴ ἀναπεπληρωμένας ὑπὸ τῶν περιττῶν ἔλεγον. ἐπειδὴ γάρ, φασίν, ἡ ἀόριστος δυὰς ὡς δυοποιὸς μετὰ τῆς αὐτοδυάδος τοὺς ἀρτίους γεγέννηκεν, ἀναγκαῖον αὐτοὺς καθʼ αὑτοὺς εἶναι χωρὶς τῶν περιττῶν, καὶ ἀμήχανον ὅλως ἐστὶ διὰ τοῦτο περιττὸν εὑρεθῆναι μεταξὺ δύο ἀρτίων κείμενον. εἰ δὲ τοῦτο, ἀναγκαῖον κενὰς εἶναι τὰς μεταξὺ χώρας αὐτῶν. πάλιν ἐπεὶ τὸ ἀρχικὸν ἓν μετὰ τῆς ἀορίστου δυάδος πεποίηκε τοὺς περιττούς, τὸν τρία τὸν πέντε τὸν ἑπτὰ τοὺς ὁμοίους, ἔσονται καὶ οὗτοι καθʼ αὑτοὺς χωρὶς τῶν ἀρτίων, κενὰς καὶ οὗτοι ἔχοντες τὰς μεταξὺ χώρας αὐτῶν. καὶ ἐπεὶ οὐδὲν ἐν ἐκείνοις μάτην ἐστὶν ὅπου οὐδʼ ἐνταῦθα, ἔνθα ὁ τῆς κακίας ἐστὶ πόντος, οὐκ ἂν εἴη τὸ ἐν ἐκείνοις κενὸν μάτην, ἀλλʼ εἰκὼν ἔσται καὶ παράδειγμα κενοῦ. τὴν μὲν οὖν μεταξὺ τῶν εἰδητικῶν ἀριθμῶν τῶν τε ἀρτίων τῶν τε περιττῶν χώραν οὕτως ἔλεγον καὶ διὰ ταῦτα κενὴν καὶ φέρειν εἰκόνα ἄλλου κενοῦ. τὴν δὲ δυάδα καὶ τετράδα καὶ ὀκτάδα παράδειγμα φέρειν τῆς ἀριθμητικῆς ἀναλογίας, δυάδα δὲ καὶ τριάδα καὶ ἑξάδα καὶ ἐννάδα τῆς γεωμετρικῆς, καὶ αὐτὰς τετράδας καὶ αὐτὰς ἑξάδας ἔλεγον ἀναλογίας. ἀλλὰ τὴν μὲν τετράδα φέρε εἰπεῖν αὐτοΐππον ἔλεγον καὶ τὴν ἑξάδα αὐτοβοῦν, τὸν δὲ λόγον τῆς ἑξάδος πρὸς τὴν τετράδα εἰκόνα καὶ παράδειγμα εἶναι τῆς ἀναλογίας. ταῦτα μὲν οὕτως. τὸ δὲ ἐντὸς τῆς δεκάδος ἓν εἰκόνα φέρειν τοῦ περιττοῦ λέγοντες ἔφασκον, ὅτι τὸ ἕν ἐστι τὸ περιττὸν ἤτοι ἡ εἰκὼν τοῦ περιττοῦ, καὶ τὸ εἰδοποιοῦν αὐτὸ τὸ ἕν ἐστιν. ἀλλὰ ταῦτα μὲν τούτοις, τὰ δʼ ἄλλα πάντα, οἷον κίνησιν στάσιν ἀγαθὸν κακὸν τὰ ὅμοια ταῖς ἀρχαῖς ἀπεδίδοσαν τῇ μονάδι καὶ δυάδι, στάσιν μὲν καὶ τὸ ἀγαθὸν τῇ μονάδι, κίνησιν δὲ καὶ τὸ κακὸν τῇ δυάδι. τὸ δὲ εἰ γὰρ ἐν τῇ τριάδι, πῶς ἡ πεντὰς περιττόν; πάνυ βραχέως καὶ ἐλλιπῶς καὶ διὰ τοῦτο λίαν ἀσαφῶς εἴρηται. ἀναγνωστέον δὲ αὐτὸ ὑπερβατῶς οὕτως «εἰ γὰρ ἐν τῇ τριάδι τὸ περιττόν, πῶς ἡ πεντάς»; καὶ εἴη ἂν τὸ λεγόμενον τοιοῦτον· εἰ γὰρ ἐν τῇ τριάδι τὸ ἓν τὸ περιττόν, ἤτοι εἰ διὰ τὸ ἓν ἡ τριὰς τὸ εἶναι τριὰς ἔχει, καὶ αὐτό ἐστι τὸ εἰδοποιοῦν αὐτήν, εἰ οὖν τῇ τριάδι τὸ εἶναι τριάδι τὸ ἕν ἐστι τὸ διδόν, πῶς οὐχὶ καὶ διὰ τὴν τριάδα ἡ πεντὰς καὶ πᾶς ὁ περιττὸς ἀριθμὸς τὸ εἶναι πεντὰς ἕξει καὶ ἑπτὰς καὶ οἱ λοιποί, ὥσπερ ὁ ἄρτιος πᾶς διὰ τὴν δυάδα; ἀναγκαῖον γὰρ τὴν δυάδα ἀρχὴν οὖσαν τῶν ἀρτίων καὶ τὴν τριάδα εἶναι τῶν περιττῶν. ἔτι τὰ μεγέθη καὶ ὅσα τοιαῦτα μέχρι πόσου. ἔτι, φησί, καὶ ἐκ τῶν μεγεθῶν δεικνύειν ἐπειρῶντο ὅτι μέχρι τῆς δεκάδος — ταύτης γάρ ἐστι δηλωτικὸν τὸ μέχρι πόσου — προάγειν χρὴ τὸν ἀριθμόν· ἔλεγον γὰρ ὅτι ἡ μονὰς ποιεῖ τὸ σημεῖον, ὅπερ οὗτος ἄτομον καλεῖ γραμμήν, ἡ δυὰς τὴν γραμμήν, ἡ τριὰς τὸ ἐπίπεδον, ἡ τετρὰς τὸ σῶμα, καὶ τούτοις ἀρκεῖται τὸ πᾶν· ὥστε εἰ ταῦτα τῆς δεκάδος οὐσία — συντεθέντα γὰρ ἀποτελεῖ τὴν δεκάδα —, τὸ πᾶν ἀρκεῖται τῇ δεκάδι. Ἔτι εἰ ἔστι χωριστὸς ὁ ἀριθμός, ἀπορήσειεν ἄν τις.
Ὃ διὰ τούτων ζητεῖ καὶ λύει τοιοῦτόν τί ἐστιν. εἰ ἔστιν, ὥς φασιν, ὁ ἀριθμὸς χωριστὸς καὶ καθʼ αὑτόν, ἀπορήσειεν ἄν τις πότερον τὸ ἕν ἐστι πρότερον ἢ ἡ τριὰς καὶ ἡ δυάς· καὶ λύει λέγων ὅτι καθὸ μὲν ἐκ μονάδων ἐστὶ πᾶς ἀριθμός, ἡ μονάς ἐστι πρότερον, ὥσπερ καὶ τὰ τέτταρα στοιχεῖα πῦρ ἀὴρ καὶ τὰ ἐφεξῆς τῶν ἐξ αὐτῶν σωμάτων· καθὸ δὲ πάλιν τὸ καθόλου καὶ τὸ εἶδος πρότερόν ἐστι τῶν ὑπὸ τὸ εἶδος, καὶ ἔστιν ὁ ἀριθμὸς εἶδος, ἡ δὲ μονὰς ὕλη, ὑστέρα τοῦ ἀριθμοῦ. καὶ σαφηνίζει ὅπως ἡ μονὰς τῇ μὲν γενέσει προτέρα τῆς τριάδος καὶ ὅλως τοῦ ἀριθμοῦ, τῷ λόγῳ δὲ καὶ τῇ οὐσίᾳ ὑστέρα διʼ ὑποδείγματος. ἡ γὰρ ὀρθή, φησί, προτέρα τῆς ὀξείας ὅτι ὥρισται· τῇ γὰρ ὑπερβολῇ αὐτῆς καὶ τῇ ἐλλείψει ἡ ἀμβλεῖα καὶ ἡ ὀξεῖα κρίνεται· ἐστὶ γὰρ ἡ ἀμβλεῖα γωνία ἡ μείζων ὀρθῆς καὶ ὀξεῖα ἡ ἐλάττων ὀρθῆς, ὥστε ὅρος καὶ κανὼν καὶ μέτρον τῆς τε ἀμβλείας καὶ τῆς ὀξείας. ἄλλως τε δὲ ἐπεὶ ἀμβλεῖαν ἀμβλείας μείζονα καὶ ἐλάττονα δυνάμεθα λαβεῖν καὶ ὀξεῖαν ὀξείας, ὀρθὴν δὲ ἥττονα καὶ ἐλάττονα οὐδαμῶς — ἡ γὰρ ὀρθὴ ᾗ ὀρθὴ ἀνεπίδεκτός ἐστιν ὑπερβολῆς τινος καὶ ἐλλείψεως —, κἂν οὕτως ὥρισται ἡ ὀρθή. οὐ μόνον οὖν ἡ ὀρθὴ τῆς ὀξείας τῷ ὡρισμένῳ ἐστὶ προτέρα, ἀλλὰ καὶ τῷ λόγῳ, φησίν· ἔνεστι γὰρ ἐν τῷ τῆς ὀξείας λόγῳ ἡ ὀρθή· ὀξεῖα γάρ ἐστι γωνία ἡ ἐλάττων ὀρθῆς. οὕτω μὲν οὖν καὶ διὰ ταῦτα προτέρα ἡ ὀρθὴ τῆς ὀξείας, τρόπον δέ τινα ἄλλον ἡ ὀξεῖα τῆς ὀρθῆς, τῇ γενέσει. τὰ γὰρ μέρη τῇ γενέσει πρότερα τῶν ὅλων, ἡ δʼ ὀξεῖα μέρος τῆς ὀρθῆς· διαιρεῖται γὰρ εἰς αὐτήν. ὅτι δὲ τὰ μέρη πρότερα τοῦ ὅλου τῇ γενέσει δῆλον. τούτων γὰρ πρότερον γενομένων ἐπιγίνεται αὐτοῖς τὸ εἶδος, καὶ ἔνεισιν ἐν τῷ ὅλῳ, ὡς δυναμένῳ τῷ ὅλῳ εἰς αὐτὰ διαιρεθῆναι· ὥστε, φησίν, ὡς μὲν ὕλη ἡ ὀξεῖα τῆς ὀρθῆς· τὰ γὰρ μέρη ὕλη τοῦ ὅλου καὶ προγίνονται τοῦ ὅλου, ἐπιγίνεται δʼ αὐτοῖς αὐτό. ἀλλὰ καὶ τὸ στοιχεῖον τοῦ ἐξ αὐτοῦ ὕλη καὶ ἡ μονὰς τοῦ ἀριθμοῦ. ὡς μὲν δὴ ὗλαι προτέρα καὶ ἡ ὀξεῖα τῆς ὀρθῆς καὶ τὸ στοιχεῖον τοῦ ἐξ αὐτοῦ καὶ ἡ μονὰς τοῦ ἀριθμοῦ, τῷ εἴδει δὲ καὶ τῷ λόγῳ καὶ τῇ φύσει προτέρα ἡ ὀρθὴ τῆς ὀξείας· ἡ γὰρ φύσις τοῦ ὅλου στοχαζομένη καὶ τοῦτο οἷον σκοπὸν ἔχουσα πρὸς αὐτὸ πάντα ὅσα ποιεῖ, δημιουργεῖ. ὡς οὖν ἡ ὀρθὴ τῷ εἴδει καὶ τῇ φύσει προτέρα τῆς ὀξείας, οὕτω καὶ ὁ ἀριθμὸς τῆς μονάδος· διὰ γὰρ τὸν ἀριθμὸν καὶ αἱ μονάδες. ἀλλὰ καὶ τὸ ὅλον, φησί, τὸ ἐξ ὕλης καὶ εἴδους πρότερον τῷ λόγῳ τῆς οἰκείας ὕλης. καὶ κατασκευάζει τοῦτο λέγων ἐγγύτερον τοῦ εἴδους καὶ οὗ ὁ λόγος τὸ ἄμφω, τουτέστι μᾶλλον ἐγγίζει καὶ πλησιαίτερόν ἐστι τῷ εἴδει τὸ σύνθετον ἤπερ ἡ ὕλη· μακρότερον γὰρ ἀφίσταται ἡ ὕλη ὡς ἄκοσμος τοῦ εἴδους ἤπερ τὸ σύνθετον, τὸ δὲ μᾶλλον ἐγγίζον καὶ πλησιάζον τῷ προτέρῳ πρότερον. τὸ ἄμφω οὖν, ἤτοι τὸ συναμφότερον τὸ ἐξ ὕλης καὶ εἴδους, ἐγγύτερόν ἐστι τοῦ εἴδους καὶ οὗ ὁ λόγος· τοῦ γὰρ εἴδους ἐστὶν ὁ λόγος καὶ ὁ ὁρισμὸς ἀλλʼ οὐ τῆς ὕλης, οὐδὲ τοῦ συναμφοτέρου. ὡς μὲν δὴ ἐγγύτερον τὸ σύνθετον τῷ εἴδει πρότερον τῆς ὕλης, τῇ δὲ γενέσει ὕστερον. προϋπαρχούσης γὰρ τῆς ὕλης ἐξ αὐτῆς καὶ τοῦ ἐπιγινομένου αὐτῇ εἴδους γίνεται τὸ σύνθετον. δείξας οὖν πῶς ἡ ὀξεῖα καὶ ἡ μονὰς ἡ μὲν τῆς ὀρθῆς προτέρα καὶ ὑστέρα ἡ δὲ μονὰς τοῦ ἀριθμοῦ, ἐρωτᾷ κατὰ ποῖον δὴ τῶν εἰρημένων τρόπων τὸ ἀρχικὸν ἓν ἀρχὴ καὶ πρότερόν ἐστι, καὶ ἐρωτήσας ἀποκρίνεται λέγων διότι οὐ διαιρετόν. ἀλλʼ ἀδιαίρετον καὶ τὸ καθόλου ἕν, ἤτοι τὸ περιληπτικὸν πολλῶν καὶ ὡς εἶδος ὄν, καὶ τὸ συγκατατεταγμένον τοῖς καθʼ ἕκαστα· τοῦτο γὰρ ἐπὶ μέρους ἓν εἶπεν. διότι οὖν ἀδιαίρετόν ἐστιν ἀρχὴν αὐτό φασι· τὸ δὲ ἀλλὰ τρόπον ἄλλον αὐτὸς ἐπήγαγεν, οὐχ ὡς ἐκείνων τοῦτο λεγόντων, ἀλλʼ ἑρμηνεύων ὅπως τὸ καθόλου καὶ τὸ ἐπὶ μέρους ἀδιαίρετον, δυνάμει λέγων ὅτι ἐκεῖνοι μὲν οὐκ εἶπον ὅπως ἀδιαίρετον καὶ τὸ καθόλου καὶ τὸ ἐπὶ μέρους, ἐγὼ δέ φημι ὅτι ἄλλον μὲν τρόπον τὸ καθόλου ἐστὶν ἀδιαίρετον καὶ ἄλλον τὸ ἐπὶ μέρους. τὸ μὲν γὰρ καθόλου κατὰ λόγον ἐστὶν ἀδιαίρετον· οὐ γὰρ διαιρεῖται τὸ ζῷον πεζὸν δίπουν εἰς ἄλλους λόγους καὶ εἴδη, ὡς τὸ ζῷον εἰς ἄνθρωπον καὶ ἵππον· τὸ δὲ ἐπὶ μέρους κατὰ χρόνον ἀδιαίρετον· οὐ γὰρ πρότερον τὸ ἐν ἐμοὶ εἶδος τῷ χρόνῳ ἐμοῦ, ἵνα διαιρῆται ὁ χρόνος εἰς πρότερον μέν, καθʼ ὃν τὸ ἐμὸν εἶδος ἦν μήπω ἐμοῦ ὄντος, καὶ ὕστερον, καθʼ ὃν ἐγώ, ἀλλʼ ἅμα τῷ γενέσθαι τὸ ἐμὸν εἶδος — γέγονε δʼ ἐν ἀτόμῳ νῦν — κἀγὼ ἦν. ὥστε ἐν ἀδιαιρέτῳ τῷ νῦν ἐγώ τε καὶ τὸ ἐμὸν εἶδος· οὐδὲν γὰρ ἄλλο εἰμὶ ἐγὼ ἢ τὸ ἐμὸν εἶδος γέγονα. σαφηνίσας οὖν οὕτως ὅπως τὸ καθόλου ἐστὶν ἀδιαίρετον καὶ τὸ ἐκ μέρους, πάλιν ἐρωτᾷ ποτέρως οὖν τὸ ἓν ἀρχὴ καὶ πρότερον; ἆρα ὡς ἡ ὀξεῖα ἢ ἡ ὀρθή; καὶ ἐρωτήσας πάλιν ὑπομιμνήσκει ἡμᾶς τῶν περὶ τῆς ὀρθῆς καὶ ὀξείας λέγων· ὥσπερ γάρ, φησίν, εἴρηται ὅτι ἡ ὀρθή, ἡ αὐτὴ καὶ μία, καὶ προτέρα καὶ ὑστέρα ἐστὶ τῆς ὀξείας, ὁμοίως καὶ ἡ ὀξεῖα, ἡ αὐτὴ καὶ μία — τούτου γάρ ἐστι δηλωτικὸν τὸ ἑκατέρα μία —, προτέρα καὶ ὑστέρα τῆς ὀρθῆς, τῷ μὲν λόγῳ ὑστέρα τῇ δὲ γενέσει προτέρα — πρότερα γὰρ τὰ μέρη τῇ γενέσει τοῦ ὅλου —, ὥσπερ οὖν ἐπὶ τούτων εἴρηται, καὶ προσυπακουστέον τοῦ ἀνάγκη καὶ ἐπὶ τῶν ἀριθμῶν οὕτως ἔχειν· εἰ δὲ τοῦτο, συμβαίνει αὐτοῖς ἀμφοτέρως τὸ ἓν ἀρχὴν ποιεῖν καὶ πρῶτον, καὶ ὡς ὕλην καὶ ὡς εἶδος. ἐπειδὴ γὰρ αὐτὸ πρότερον πάντων φασὶ καὶ εἰδικὴν ἀρχήν, κατὰ τοῦτο πρότερον ἔσται, ᾗ δὲ εἶδος μὲν ἡ δυὰς ἡ τριὰς καὶ ἁπλῶς πᾶς ἀριθμός, ὕλη δὲ αὐτῶν αἱ ἑνάδες, ταύτῃ ὕστερον τὸ ἓν τοῦ ἀριθμοῦ. ἀλλʼ ἀδύνατον τὸ αὐτὸ ἓν τοῦ αὐτοῦ καὶ ἑνὸς καὶ ὕλην εἶναι καὶ εἶδος. Ἔστι γάρ πως ἓν ἑκάτερον τῇ μὲν ἀληθείᾳ δυνάμει.
Ἀσαφῶς καὶ τὰ προρρηθέντα καὶ τὰ νῦν λεγόμενα ἀπήγγελται· δοκεῖ γὰρ τὸ ἔστι γάρ πως ἓν ἑκάτερον διὰ τὸν γάρ σύνδεσμον ὅτι κατασκευαστικόν ἐστί τινος τῶν πρὸ αὐτοῦ· οὐκ ἔστι δὲ ἀλλὰ μηνυτικὸν τοῦ πῶς ἔχουσιν αἱ μονάδες ἐν τοῖς ἀριθμοῖς τὸ εἶναι. καὶ ἦν ἂν σαφὴς ἡ λέξις εἰ οὕτω πῶς ἦν γεγραμμένη «δεῖ δὲ μὴ λανθάνειν ὅπως ἑκάτερον ἓν καὶ ἑκατέρα μονὰς ἔχουσιν ἐν τῇ δυάδι καὶ ἐν τῇ τριάδι καὶ ἐν τοῖς λοιποῖς ἀριθμοῖς». καὶ τὸ μὲν ἑκάτερον ἓν ἐπὶ τῶν τῆς δυάδος λέγει μονάδων, τὸ δὲ λεγόμενον τοιοῦτον ἂν εἴη· καθʼ ἑαυτὴν ἀποληφθεῖσα τούτων τῶν τῆς δυάδος μονάδων ἑκατέρα δυνάμει μέν ἐστι κατὰ ἀλήθειαν, ἀλλʼ οὐκ ἐνεργείᾳ· εἰ γὰρ μή ἐστι σωρὸς μονάδων ὁ ἀριθμός, ἀλλʼ ἕκαστος ἐξ ὑποκειμένων μέν ἐστι τῶν τοσῶνδε μονάδων, ἐξ ἄλλων μέντοι καὶ ἄλλων — ἀσύμβλητοι γὰρ αἱ τῆς δυάδος πρὸς τὰς τῆς τριάδος κατʼ αὐτοὺς μονάδες μονάδας —, κατὰ τὸ εἶδος δὲ συνέστηκε τὸ ἑαυτοῦ, οὐκ ἂν εἴη ἡ ἐν τῇ δυάδι μονὰς ἐνεργείᾳ, ὡς οὗτοι βούλονται, ἀλλὰ δυνάμει — δυνάμει γὰρ τὰ μόρια —, πρὶν ἂν κοσμηθῇ τῷ εἴδει τῷ οἰκείῳ. αἰνίττεται δὲ διὰ τούτων ὅτι τὸ δυνάμει οὐ γενέσει μόνῃ καὶ χρόνῳ τοῦ ἐνεργείᾳ καὶ εἰδοπεποιημένου προτιθέασιν, ἀλλὰ καὶ λόγῳ καὶ οὐσίᾳ. Αἴτιον δὲ τῆς συμβαινούσης ἁμαρτίας ὅτι ἅμα ἐκ τῶν μαθημάτων ἐθήρευον καὶ τῶν λόγων τῶν καθόλου.
Τοῦ τὰ τοιαῦτα ἁμαρτάνειν καὶ εἶδος τοῦ αὐτοῦ καὶ ἑνὸς ἀριθμοῦ λέγειν τὴν μονάδα καὶ ὕλην, καὶ προτέραν καὶ ὑστέραν, καὶ τὰ λοιπὰ ὅσα ἁμαρτάνειν αὐτοὺς ἔδειξεν, αἴτιον, φησίν, ἐστὶ τὸ ἐκ τῶν μαθημάτων καὶ τῶν καθόλου λόγων ζητεῖν καὶ θηρεύειν τὰ πράγματα. καθόλου δὲ λόγους εἶπε τὰ μαθήματα, ὅτι οὐ τοῦ μερικοῦ τριγώνου τὰ συμπτώματα ὁ μαθηματικὸς θεωρεῖ, οὐδὲ τοῦ μερικοῦ κύβου ἢ τοῦδε τοῦ ἀριθμοῦ, ἀλλὰ τῶν καθόλου· παντὸς γάρ, φησί, τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, καὶ πᾶς ἄρτιος ἀριθμὸς εἰς δύο ἴσα καὶ εἰς δύο ἄνισα διαιρεῖται, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως. καθόλου μὲν οὖν διὰ τοῦτο εἶπε τὰ μαθήματα. ἀλλὰ καὶ λόγους διʼ αὐτὸ τοῦτο· οὐδὲν γὰρ τῶν καθόλου ἐν ὑπάρξει ἐστὶ καὶ πρᾶγμά τι, ἀλλὰ λόγος. ἐκ τῶν τοιούτων οὖν τὰς τῶν πραγμάτων ἐθήρευον ἀρχάς· διὰ γὰρ τὸ τὴν μονάδα ἀρχὴν εἶναι τῶν μαθηματικῶν ἀριθμῶν, ὅθεν τὸ αὐτοὲν καὶ εἰδητικοὺς ἀριθμοὺς καὶ τἆλλα πάντα ὅσα λέγειν αὐτοῖς συνέβη, ἐκάλουν τὴν ἀρχικὴν οὗτοι μονάδα οἷον στιγμήν· τὴν γὰρ μονάδα μηδενὶ ἄλλῳ διαφέρειν στιγμῆς ἢ τῷ μὴ κεῖσθαί που ἔλεγον. ὥσπερ οὖν, φησίν, οἱ περὶ Δημόκριτον ἐκ τῶν ἐλαχίστων καὶ ἀτόμων σωμάτων τὰ πράγματα συνετίθουν, οὕτως καὶ οὗτοι ἐκ τῆς ἀμεροῦς μονάδος καὶ τῆς ἀορίστου δυάδος ἢ τῆς στιγμῆς καὶ τοῦ πλήθους. ὥστε συμβαίνει αὐτοῖς ἐξ ὧν λέγουσι τὴν μονάδα ὕλην εἶναι τῶν ἀριθμῶν, εἴ γε ἐκ μονάδων ὡς ἐξ ὕλης ὁ ἀριθμός, καὶ προτέραν τῆς δυάδος καὶ πάλιν ὑστέραν. ᾗ μὲν γὰρ ἀρχικὴ καὶ εἰδοποιὸς κατʼ αὐτοὺς ἡ μονάς, ταύτῃ προτέραν αὐτὴν ἀνάγκη τῆς δυάδος εἶναι· ᾗ δὲ πάλιν ὅλον τι καὶ εἶδός ἐστιν ἡ δυάς, ὕλη δὲ αὐτῆς ἡ μονάς, ταύτῃ ὑστέρα τῆς δυάδος. τὸ δὲ διὰ τὸ καθόλου ζητεῖν τὸ κατηγορούμενον ἓν καὶ οὕτως ὡς μέρος ἔλεγον ἴσον ἐστὶ τῷ συμβαίνει αὐτοῖς τὸ ἓν καθόλου τε λέγειν καὶ μέρος· καθὸ μὲν γὰρ τὸ ἓν περιληπτικὸν ἔλεγον πάντων τῶν ἀριθμῶν, ταύτῃ καὶ καθόλου αὐτὸ ἀπεφαίνοντο· ᾗ δὲ πάλιν μέρος ἐστὶ τῆς δυάδος, οὐκ ἔστι καθόλου ἀλλὰ μέρος. ἀλλʼ ἀδύνατον τὴν αὐτὴν καὶ μίαν μονάδα πάντων τε τῶν ἀριθμῶν εἶναι περιληπτικὴν καὶ διὰ τοῦτο καθόλου, καὶ μόριον τῆς δυάδος καὶ τριάδος καὶ ἑκάστου τῶν ἀριθμῶν τὸ ἐλάχιστον. Εἰ δὲ τὸ ἓν αὐτὸ δεῖ μόνον ἄθετον εἶναι· οὐθενὶ γὰρ διαφέρει ἢ ὅτι ἀρχή.
Ἓν αὐτὸ λέγει τὸ ἀρχικὸν ἕν. ὃ δέ φησι τοιοῦτον ἂν εἴη. εἰ δεῖ τὸ ἓν αὐτὸ ἄθετον εἶναι — οὐδενὶ γὰρ τῆς στιγμῆς διαφέρει εἰ μὴ δυσί, τῷ τε ἄθετον εἶναι καὶ τῷ ἀρχήν —, ἀθέτου δὴ ὄντος αὐτοῦ ἐπειδὴ αὐτῷ τῷ ἑνί — ταὐτὸν δὲ εἰπεῖν τῇ ἀρχικῇ μονάδι — ὁμοιοτέρα ἐστὶν ἡ ἐν τῇ δυάδι μονὰς ἤπερ ἡ δυάς — ἡ μὲν γὰρ δυὰς διαιρετή, ἡ δὲ μονὰς ἡ ἐν αὐτῇ ἀδιαίρετος, τὸ δὲ ἀδιαίρετον τῷ ἀδιαιρέτῳ ὁμοιότερον ἤπερ τὸ διαιρετόν —, ἐπεὶ οὖν ὁμοιοτέρα ἡ ἐν τῇ δυάδι μονὰς τῇ ἀρχικῇ μονάδι, τὸ δὲ τῇ ἀρχῇ ὁμοιότερον πρότερον, προτέρα ἂν εἴη ἡ μονὰς ἡ ἐν τῇ δυάδι τῆς δυάδος. οὔ φασι δὲ τοῦτο ἐκεῖνοι, ἀλλʼ εὐθὺς μετὰ τὴν ἀρχικὴν μονάδα τὴν δυάδα τάττουσιν. ἔτι, φησίν, ἐπειδὴ ἡ αὐτοδυὰς ἕν τι ἐστὶν ὥσπερ ὁ Σωκράτης καὶ ἡ αὐτοτριὰς ὁμοίως ἕν τι, ἔσονται ἀμφότεραι δυάς. ὅπου γὰρ δύο ἕνα, δυὰς ἐκεῖσε ἐξ ἀνάγκης. ἐκ τίνος οὖν ἔσται αὕτη ἡ δυάς; οὐ γὰρ δὴ ἐκ τοῦ ἀρχικοῦ ἑνὸς καὶ τῆς ἀορίστου δυάδος· ἐξ αὐτῶν γὰρ ἡ αὐτοδυὰς ἦν καὶ ἡ αὐτοτριάς. Ἀπορήσειε δʼ ἄν τις καὶ ἐπεὶ ἁφὴ μὲν οὐκ ἔστιν ἐν τοῖς ἀριθμοῖς, τὸ δʼ ἐφεξῆς.
Ὅτι μὲν ἐν τοῖς ἀριθμοῖς ἁφὴ οὐκ ἔστιν, οὐδʼ ἅπτεται μονὰς μονάδος οὐδʼ ὅλως ἀμερὲς ἀμεροῦς, μόνον δʼ ἐφεξῆς εἰσι, δέδεικται ἐν τῇ Φυσικῇ ἀκροάσει. ὃ δὲ ἐνταῦθα λέγει τοιοῦτόν ἐστιν. ἐπειδὴ αἱ μονάδες τῆς δυάδος οὐχ ἅπτονται, οὐδὲ ἔστι μεταξὺ τῶν τοιούτων δύο μονάδων οὐδὲν ἀλλʼ ἐφεξῆς εἰσιν, ὁμοίως ἐπὶ τῶν ἐν τῇ αὐτοτριάδι, πότερον, φησίν, ἐφεξῆς τῷ ἑνὶ αὐτῷ ἢ οὔ; ὃ βραχέως μὲν καὶ διὰ τοῦτο ἀσαφῶς εἴρηται, ἔστι δὲ τὸ λεγόμενον τοιοῦτον· πότερον τῷ ἑνὶ τῷ πρώτῳ καὶ ἀρχικῷ τὴν πρώτην τῆς αὐτοδυάδος μονάδα τακτέον ἐφεξῆς ἢ οὔ; εἴτε γὰρ τάξαιμεν, ἔσται ἐκ τοῦ πρώτου ἑνὸς καὶ τῆς ἐφεξῆς αὐτῷ μονάδος δυὰς πρὸ τῆς αὐτοδυάδος, καὶ πρώτη αὐτῆς, ὅπερ οὗτοι οὐ βούλονται· εἴτε μὴ τάξαιμεν, τίς ἂν εἴη τούτου αἰτία; καὶ πότερον ἡ δυὰς προτέρα τῷ ἐφεξῆς; τουτέστι καὶ πότερον τὴν δυάδα φήσομεν αὐτὴν ἐφεξῆς εἶναι τῷ πρώτῳ ἑνί, ἢ τὴν ἐν τῇ δυάδι μονάδα ὡς ὁμοιοτέραν οὖσαν τῷ ἑνί; εἰ μὲν δὴ τὴν δυάδα, ἔσται ἐκ τοῦ ἀρχικοῦ ἑνὸς καὶ τῆς δυάδος αὐτῆς τριὰς πρὸ τῆς αὐτοτριάδος καὶ πρώτη αὐτῆς· εἰ δὲ τὴν μονάδα, ὁ πρότερος ἥξει λόγος· δυὰς γὰρ ἔσται πρὸ δυάδος αὐτῆς. Ὁμοίως δὲ καὶ περὶ τῶν ὑστέρων γενῶν τοῦ ἀριθμοῦ συμβαίνει τὰ δυσχερῆ.
Τίνα ἐστὶ τὰ ὕστερα γένη τοῦ ἀριθμοῦ, αὐτὸς ἐκτίθεται, τὸ μακρὸν λέγων καὶ βραχύ, καὶ πλατὺ καὶ στενόν, καὶ βαθὺ καὶ ταπεινόν. λέγει δὲ ὅτι βουλόμενοι καὶ τὰ μεγέθη παράγειν ἀπὸ τῶν δύο ἀρχῶν, τοῦ τε ἑνὸς καὶ τῆς ἀορίστου δυάδος, ἐκ μὲν τῆς δυάδος φασὶ τήν τε γραμμὴν τὸ μακρὸν καὶ βραχὺ λαβεῖν, τό τε ἐπίπεδον τὸ πλατὺ καὶ στενόν, τό τε στερεὸν τὸ βαθὺ καὶ ταπεινόν· ταῦτα γὰρ τὸ μακρὸν καὶ βραχὺ καὶ τὰ λοιπὰ εἴδη ἐκάλουν τοῦ μεγάλου καὶ μικροῦ τοῦ ἐν τῇ ἀορίστῳ δυάδι. τὴν δὲ κατὰ τὸ ἕν, φησίν, ἀρχὴν οὐχ ὁμοίως εἰσῆγον ἅπαντες, ἀλλʼ οἱ μὲν αὐτοὺς τοὺς ἀριθμοὺς τὰ εἴδη τοῖς μεγέθεσιν ἔλεγον ἐπιφέρειν, οἷον δυάδα μὲν γραμμῇ, τριάδα δὲ ἐπιπέδῳ, τετράδα δὲ στερεῷ — τοιαῦτα γὰρ ἐν τοῖς Περὶ φιλοσοφίας ἱστορεῖ περὶ Πλάτωνος, διʼ ὃ καὶ ἐνταῦθα βραχέως καὶ συντόμως τὴν τούτων ἐξέθετο διάνοιαν —, οἱ δὲ μεθέξει τοῦ ἑνὸς τὸ εἶδος ἀπετέλουν τῶν μεγεθῶν. ἀλλὰ καὶ ἐν τούτοις, φησί, μυρία ἕπεται τὰ ἀδύνατα καὶ πλασματώδη. καὶ ἐπάγει ἐκ τῶν πολλῶν ὀλίγα λέγων, εἰ μὴ σύνεισιν ἀλλήλαις αἱ ἀρχαὶ μηδὲ συνακολουθεῖ ἐν τῷ μακρῷ καὶ βραχεῖ τὸ πλατὺ καὶ στενὸν καὶ βαθὺ καὶ ταπεινόν, καὶ πάλιν τῷ πλατεῖ καὶ στενῷ τὸ βαθὺ καὶ ταπεινὸν καὶ μακρὸν καὶ βραχύ, ὁμοίως καὶ τῷ βαθεῖ καὶ ταπεινῷ ἐκεῖνα· εἰ οὖν μὴ ἀκολουθοῖεν ἀλλήλοις ἀλλὰ κεχωρισμένα ἐστὶν ἀπʼ ἀλλήλων καὶ πάντῃ ἀκοινώνητα, καὶ αἱ ἐξ αὐτῶν γινόμεναι διαστάσεις ἥ τε γραμμὴ καὶ τὸ ἐπίπεδον καὶ τὸ στερεὸν ἀπολελυμέναι καὶ κεχωρισμέναι ἔσονται — τὰ γὰρ ἐκ διαφόρων ἀρχῶν ὑποστάντα οὐκ ἀναγκάζεται ἅμα εἶναι —, ὥστε ἔσται ἐπίπεδον ἄνευ γραμμῆς καὶ στερεὸν χωρὶς ἐπιπέδου, ὅπερ ἐστὶν ἀδυνατώτατον. εἴτε σύνεισιν ἀλλήλοις τὸ μακρὸν καὶ τὸ πλατὺ καὶ τὰ λοιπά, ταὐτὸν ἔσται τῇ γραμμῇ καὶ τῷ στερεῷ τὸ ἐπίπεδον καὶ ταῦτα ἐκείνῳ, ὥστε ἔσται τὸ ἐπίπεδον γραμμὴ καὶ τὸ στερεὸν ἐπίπεδον καὶ γραμμή. ἑπομένων γὰρ τῶν ἀρχῶν καὶ συνουσῶν ἀλλήλαις καὶ μηδὲν διαφερουσῶν καὶ τὰ ἐξ αὐτῶν οὕτως ἕξει. ἀλλʼ ἡ μὲν τῶν λεγομένων διάνοια εἴρηται. κατὰ δὲ τὴν λέξιν ὧδε ἔχει· ἀπολελυμένα τε γὰρ συμβαίνει, εἰ μὴ συνακολουθοῦσι καὶ αἱ ἀρχαί, τουτέστιν εἰ μὴ συνακολουθοῦσιν ἀλλήλαις αἱ ἀρχαὶ οὕτως ὥστε εἶναι τὸ πλατὺ καὶ στενὸν καὶ μακρόν, ἤτοι ὥστε συνεῖναι καὶ ταὐτὸν ὑπάρχειν τὸ στενὸν τῷ μακρῷ καὶ πλατεῖ, ἀπολελυμένα καὶ κεχωρισμένα ἀπʼ ἀλλήλων ἔσται καὶ τὰ μεγέθη, καὶ οὐκ ἔσται ἐν τῷ ἐπιπέδῳ γραμμή. τὸ δὲ εἰ δὲ τοῦτο ἀντὶ τοῦ εἰ δὲ σύνεισιν ἀλλήλαις αἱ ἀρχαί, συμβαίνει τὰ εἰρημένα. ἔτι δέ, φησίν, αἱ γωνίαι καὶ τὰ σχήματα καὶ τὰ τοιαῦτα πῶς ἀποδοθήσεται κατὰ λόγον καὶ πῶς ἐκ τῶν πολυθρυλήτων αὐτῶν ἀρχῶν δυνήσονται ποιεῖν; τί γὰρ ἐν τούτοις τὸ ὑπερέχον καὶ τί τὸ ἐλλεῖπον; τὴν μὲν γὰρ ὀρθὴν γωνίαν ἔλεγον εἶναι κατὰ τὴν μονάδα, ὀξεῖαν δὲ καὶ ἀμβλεῖαν κατὰ τὴν ἀόριστον δυάδα, ἀφʼ ἧς αὐταῖς τό θʼ ὑπερέχειν καὶ ὑπερέχεσθαι. ἀλλὰ καὶ τῶν σχημάτων τὰ μὲν ἐν ἰσότητι καὶ ταυτότητι θεωρούμενα, ὡς τὰ τετράγωνα καὶ τοὺς κύβους, ἐκ τῆς μονάδος ἔλεγον, τὰ δὲ ἀνισότητι καὶ ἑτερότητι κατεχόμενα ἐκ τῆς δυάδος. ταῦτα δὲ πάντα πλασματώδη καὶ ἀδύνατα. ταῦτα εἰπὼν λέγει ὅτι ὥσπερ τὸ περιττὸν καὶ ἄρτιον πάθη εἰσὶν ἀριθμοῦ, ταὐτὸ τοῦτο συμβαίνει καὶ ἐπὶ τούτων, καί εἰσι μήκους μὲν πάθη τὸ περιφερὲς καὶ εὐθύ, πλάτους δὲ τὸ στενὸν καὶ πλατύ, βάθους δὲ τὸ ταπεινὸν καὶ ὑψηλόν· οὐ μὴν ἐκ τούτων, τῆς τε ἀορίστου φημὶ δυάδος καὶ τοῦ ἑνός, ἔστι τὸ μέγεθος, ὥσπερ οὐδὲ ἐξ εὐθέος καὶ καμπύλου τὸ μῆκος καὶ τὰ λοιπὰ ἃ σαφῶς αὐτὸς καταλέγει. Πάντων δὲ κοινὸν τούτων ὅπερ ἐπὶ τῶν εἰδῶν τῶν ὡς γένους συμβαίνει διαπορεῖν καὶ τὰ ἑξῆς.
Πᾶσι τούτοις, φησί, τοῖς χωριστοὺς τιθεμένοις τοὺς ἀριθμοὺς καὶ πρὸς τούτοις καὶ τὰ μεγέθη κοινὸν ἕπεται ἁμάρτημα, ὅπερ ἂν εἵπετο καὶ τοῖς τὸ καθόλου ζῷον χωριστὸν καὶ καθʼ αὑτὸ ὑποτιθεῖσιν, ἀλλὰ μὴ ἐννοηματικὸν καὶ μόνῳ τῷ νοεῖσθαι τὸ εἶναι ἔχον. ὥσπερ γὰρ ἐπὶ τῶν εἰδῶν τῶν ὡς γένους, ἤτοι τῶν ἅμα καὶ γενῶν καὶ εἰδῶν ὄντων πρὸς ἄλλο μέντοι καὶ ἄλλο, συμβαίνει διαπορεῖν εἴ τις αὐτὰ χωριστὰ θείη, τὸ ἆρα τὸ καθόλου καὶ χωριστὸν καὶ καθʼ αὑτὸ ὂν ζῷόν ἐστι τὸ ἐν τοῖς καθʼ ἕκαστα ζῴοις εὑρισκόμενόν τε καὶ συγκατατεταγμένον αὐτοῖς, ἢ ἄλλο μὲν αὐτὸ ἄλλο δὲ τὸ συνὸν τοῖς καθʼ ἕκαστα. τοῦτο γὰρ οὐδεμίαν ποιήσει ἀπορίαν μὴ χωριστοῦ ὄντος τοῦ καθόλου ἀλλὰ ψιλῆς ἐπινοίας ὄντος. εἰ μὲν γὰρ ἦν καθʼ αὑτὸ τὸ ζῷον, ὥσπερ ἐγώ, τότʼ ἂν ἦν ἄλυτος ἡ ἀπορία, εἴτε ταὐτὸν τῷ συνόντι τοῖς καθʼ ἕκαστα εἴτε ἕτερον ἔλεγον. εἰ μὲν γὰρ ταὐτὸν ἔφησαν, εἰκὸς ἦν ζητεῖν, πῶς ἡ μία φύσις εἰς ἄπειρα κατακερματισθεῖσα ἀπαράλειπτός ἐστι καὶ ὅλη καὶ ἐν ἐμοὶ καὶ ἐν Σωκράτει καὶ ἐν ἵππῳ καὶ ἐν τοῖς ἄλλοις ἅπασιν· ὥσπερ γὰρ ὁ Σωκράτης ἐν πλείοσιν οἰκίαις ὅλος ἅμα εἶναι οὐ δύναται, ἀλλʼ εἴπερ ἄρα, ἡ μὲν χεὶρ αὐτοῦ ἐν τῇδε τῇ οἰκίᾳ καὶ ὁ ποὺς αὐτοῦ ἐν ἄλλῃ καὶ τὰ ἄλλα, οὕτως οὐδὲ ἡ τοῦ ζῴου φύσις καὶ οὐσία εἰ καθʼ αὑτὴν ἦν, ἐν ἐμοὶ τελεία καὶ ἀπαράλειπτος εἶναι ἠδύνατο. ἀλλʼ εἰ μὲν ταὐτόν τις τοῦτο τῷ συνόντι τοῖς καθʼ ἕκαστα ἔλεγε, ταῦτα καὶ ἄλλα μυρία· εἰ δὲ ἕτερον, ἐπειδὴ τὸ συνὸν ἡμῖν οὐσία ἐστὶν ἔμψυχος αἰσθητική, τίς ἡ φύσις αὐτοῦ ἐστιν ἠναγκάσθη ἂν λέγειν. ἀχωρίστου δὲ καὶ ψιλῇ ἐπινοίᾳ τὸ εἶναι ἔχοντος — τὰ δὲ ἐν ἐπινοίᾳ τὸ εἶναι ἔχοντα μὴ ὄντα ἐστίν — οὐδεμίαν ἕξει χώραν ἡ ἀπορία. ὕπαρξιν γὰρ μὴ ἔχοντος τοῦ καθόλου καὶ μὴ ὄντος ὑπάρχοντος, πῶς ἂν ζητοῖμεν εἰ ταὐτόν ἐστι τῷ συνόντι τοῖς καθʼ ἕκαστα; ὡς οὖν ἐπὶ τοῦ ζῴου, οὕτω καὶ ἐπὶ τοῦ ἑνὸς καὶ τῶν ἀριθμῶν καὶ τῶν διαστάσεων ἀχωρίστων μὲν ὄντων οὐχ ἕξει ἀπορίαν, χωριστῶν δέ, ὡς οἱ ταῦτα λέγοντες λέγουσιν, οὐ ῥᾴδιον διαλῦσαι τὰς ἐπαχθησομένας αὐτοῖς ἀπορίας, εἰ μὴ ῥᾴδιον δεῖ λέγειν τὸ ἀδύνατον, τουτέστιν εἰ δεῖ οὐ ῥᾴδιον λέγειν ἀλλὰ μὴ ἀδύνατον, τουτέστι κρεῖττόν ἐστι λέγειν ὅτι ἀδύνατόν ἐστι λῦσαι αὐτὰς ἤπερ λέγειν μὴ ῥᾴδιον. τὸ γὰρ μὴ ῥᾴδιον κἂν γενήσεται, τὸ δʼ ἀδύνατον οὐδαμῶς. τοῦτʼ εἰπὼν πάλιν ἐρωτᾷ λέγων ὅταν γὰρ ἐννοῇ τις ἐν τῇ αὐτοδυάδι καὶ ὅλως ἐν ἀριθμοῖς τὸ ἕν, πότερον αὐτὸ νοεῖ τι, τουτέστι τὸ ἀρχικὸν ἓν ἐν αὐτῇ νοεῖ, ἢ ἄλλο τι; εἰ μὲν γὰρ τὸ ἀρχικόν, ἔσται μέρος, ὡς πρὸ ὀλίγου εἴρηται, ὡς ἐν αὐτῇ ὄν, ἀλλὰ καὶ καθόλου, ὡς πολλῶν περιληπτικόν· εἰ δὲ ἕτερον, πότερον αὐτὸ θήσομεν ἐφεξῆς τῷ ἀρχικῷ ἑνί, ἢ τὴν δυάδα ἐν ᾗ ἐστι καὶ πάλιν ἥξουσιν οἱ προρρηθέντες λόγοι.
Ταῦτα εἰπὼν ἐπάγει οἱ μὲν οὖν αὐτῶν τὰ μεγέθη γεννῶντες ἦσαν, ὥσπερ εἴρηται, ἐκ τοιαύτης ὕλης, ἤτοι τῆς ἀορίστου δυάδος, τὸ μακρὸν καὶ βραχύ, καὶ πλατὺ καὶ στενόν, καὶ ταπεινὸν καὶ ὑψηλόν, ἐκ δὲ τούτων γραμμήν, ἐπίπεδον, στερεόν· ἕτεροι δὲ οὐ τὰς ἀριθμητικὰς ἀρχὰς καὶ τῶν μεγεθῶν ἀρχὰς ἔλεγον, ἀλλʼ ἀνάλογον ταῖς ἀριθμητικαῖς ἀρχαῖς ἵστασαν τὰς γεωμετρικάς, στιγμὴν ἀντὶ τοῦ ἑνὸς παραλαμβάνοντες, οὐκ οὖσαν μὲν ὅπερ τὸ ἓν ἀλλʼ ἀνάλογον τῷ ἑνὶ ταττομένην, καὶ ἄλλο τι οὐκ ὂν μὲν ὅπερ ἡ δυάς, ἀνάλογον δὲ τῇ ἀρχῇ ταύτῃ παραλαμβανόμενον ὑπʼ αὐτῶν, ὅπερ οἷον πλῆθος ἐκάλουν. ἡ δὲ λέξις ἡ καὶ ἄλλης ὕλης οἵας τὸ πλῆθος, ἀλλʼ οὐ πλήθους σαφεστέρα ἂν ἦν, εἰ οὕτως εἶχεν «καὶ ἄλλης ὕλης οἷον τὸ πλῆθος, ἀλλʼ οὐ πλῆθος», ἵνʼ ἦν ἀντὶ μὲν τοῦ οἵας τὸ οἷον, ἀντὶ δὲ τοῦ πλήθους, ὅπερ ἐστὶ γενικὴ τῶν ἑνικῶν, πλῆθος εὐθεῖα τῶν ἑνικῶν. ἐκ μὲν οὖν τῆς στιγμῆς καὶ τοῦ οἷον πλήθους οὗτοι ταῦτα γεννῶντες οὐδὲν ἧττον τοῖς ἐκ τῆς δυάδος καὶ τοῦ ἑνὸς γεννῶσιν εἰσῆγον αὐτοὶ δυσχερῆ ὅτι μὴ καὶ μᾶλλον. καὶ τίνα τὰ δυσχερῆ, λέγει· εἰ μὲν γὰρ μία, φησίν, ὕλη ἐστὶ τῆς γραμμῆς καὶ ἐπιπέδου καὶ στερεοῦ καὶ ἀδιάφορος, ἐπειδὴ καὶ τὸ εἰδητικὸν ἡ στιγμὴ ἓν καὶ τὸ αὐτό, ἔσται καὶ ἡ γραμμὴ ἡ αὐτὴ τῷ ἐπιπέδῳ, καὶ ἔσται τὸ ἐπίπεδον γραμμὴ καὶ ἡ γραμμὴ ἐπίπεδον· τὰ δὲ αὐτὰ καὶ ἐπὶ τοῦ στερεοῦ λέγειν ἀνάγκη. εἰ δὲ πλείους αἱ ὗλαι καὶ ἑτέρα μὲν ἡ τῆς γραμμῆς ἑτέρα δὲ ἡ τοῦ ἐπιπέδου καὶ ἑτέρα ἡ τοῦ στερεοῦ, ἤτοι ἀκολουθοῦσι καὶ σύνεισιν ἀλλήλαις ἢ οὔ. εἰ μὲν οὖν σύνεισι, ταὐτὸν ἔσται τὸ ἐπίπεδον τῇ γραμμῇ καὶ τῷ στερεῷ, εἰ δὲ μὴ σύνεισιν, οὐχ ἕξει τὸ ἐπίπεδον γραμμήν.
Ἔτι, φησί, πῶς δυνατὸν ἐκ τοῦ πλήθους καὶ τοῦ ἑνὸς εἶναι τὸν ἀριθμόν; οἱ δὲ ἐκ τοῦ πλήθους καὶ τοῦ ἑνὸς κἂν δὴ ἐπιχειρήσωσι, φησίν, εἰπεῖν ὁπωσοῦν, τὰ αὐτὰ αὐτοῖς ἕψεται δυσχερῆ, ἅπερ καὶ τοῖς ἐκ τοῦ ἑνὸς καὶ τῆς ἀορίστου δυάδος εἶναι λέγουσιν εἵπετο. καὶ ἄλλος μέν τις, φησί, τῶν Πυθαγορείων ἐκ τοῦ κατηγορουμένου καθόλου ἤτοι τοῦ καθόλου πλήθους, ἀλλʼ οὐ τινὸς πλήθους, καὶ τοῦ ἑνὸς γεννᾷ τὸν ἀριθμόν, ὁ δὲ Πλάτων ἐκ τοῦ τινὸς πλήθους τοῦ πρώτου δὲ καὶ τοῦ ἑνός. λέγει δὲ τὶ πλῆθος καὶ πρῶτον τὴν ἀόριστον δυάδα· πρώτη γὰρ τοῦ ἐν τρισὶ καὶ τέτρασι καὶ τοῖς ἐφεξῆς θεωρουμένου πλήθους αὕτη. ὥστε, φησίν, οὐδὲν διαφέρει, ἀλλʼ αἱ ἐκείνοις ἑπόμεναι ἀπορίαι καὶ τούτοις ἕψονται. καὶ ἐπάγει ἀπορίαν λέγων μῖξις ἢ κρᾶσις ἢ θέσις ἢ γένεσις, τουτέστι μίξει ἢ κράσει ἢ γενέσει τὴν συνέχειαν οἱ ἀριθμοὶ ἔχουσι. κατʼ οὐδένα γὰρ τούτων τῶν τρόπων, ὡς πολλάκις εἴρηται, ἐνδέχεται συνεχῆ εἶναι τὸν ἀριθμόν. Μάλιστα δʼ ἄν τις ἐπιζητήσειεν, εἰ μία ἑκάστη μονάς, ἐκ τίνος ἐστίν.
Ὃ ζητεῖ τοιοῦτόν ἐστιν. ἐπειδὴ ἑκάστη μονὰς τῆς αὐτοδυάδος καὶ αὐτοτριάδος καὶ τῶν λοιπῶν μία καὶ ἀμερὴς καὶ ἀδιαίρετός ἐστιν, ἐκ τίνος γέγονεν; οὐ γὰρ δὴ ἡ ὑλικὴ μονὰς ἡ ἐν τῇ δυάδι ἡ ἀρχικὴ μονάς ἐστι κατʼ αὐτούς, ἵνα φῶσιν ὡς οὐκ ἔκ τινος γέγονεν. ἀντὶ δὲ τοῦ εἰπεῖν ἀρχικὴν μονάδα εἶπεν αὐτὸ τὸ ἕν. ἐπειδὴ οὖν ἡ ὑλικὴ μονὰς οὐκ ἔστιν ἡ ἀρχική, ἐκ τίνος αὕτη γέγονεν; ἢ ἂν ἐκ τοῦ καθόλου πλήθους καὶ τοῦ ἑνός, ἢ μορίου τοῦ πλήθους ἤτοι τῆς ἀορίστου δυάδος καὶ τοῦ ἑνός. ἀλλὰ τὸ μὲν πλῆθός τι εἶναι τὴν ὑλικὴν μονάδα καὶ ὅλως ἐκ τῆς ἀορίστου δυάδος αὐτὴν γεννᾶν ἄτοπον· ἡ μὲν γὰρ ὑλικὴ μονάς, ὡς καὶ αὐτοί φασιν, ἀδιαίρετος, ἡ δὲ ἀόριστος δυὰς δυοποιός — καὶ τοῦτο γὰρ προσκυνοῦσι — καὶ δυναμένων διαιρεῖσθαι γεννητική. οὔτε οὖν ἐκ τῆς ἀορίστου δυάδος δυνατὸν αὐτὴν εἶναι, οὔτε ἐκ μορίου τῆς ἀορίστου δυάδος· τὸ γὰρ ἐκ μορίου τῆς ἀορίστου δυάδος τὴν τῆς αὐτοδυάδος λέγειν μονάδα ἄλλας πάλιν ἔχει δυσχερείας. καὶ ἐπάγει αὐτὰς λέγων «ἕκαστον γὰρ τῶν μορίων τοῦ ἀριθμοῦ, τοῦτο δʼ ἐστὶν ἡ μονάς, ἀνάγκη ἀδιαίρετον εἶναι ἢ πλῆθος, τουτέστι διαιρετόν.» ἐπειδὴ γὰρ πᾶν πλῆθος διαιρετόν ἐστιν ἀντὶ τοῦ εἰπεῖν διαιρετὸν εἶπε πλῆθος, καὶ σαφηνίζων ἐπήγαγε καὶ τὴν μονάδα διαιρετήν. καὶ εἴη ἂν τὸ τῆς λέξεως καὶ πᾶν καὶ σαφὲς τοιοῦτον· ἕκαστον γὰρ τῶν μορίων τοῦ ἀριθμοῦ ἢ ἀδιαίρετον ἀναγκαῖον εἶναι ἢ πλῆθος καὶ διαιρετὴν εἶναι τὴν μονάδα, ἤτοι ἢ πλῆθος εἶναι τὴν μονάδα· τί δὲ τοῦτό ἐστι; διαιρετήν. ἀλλὰ τὸ μὲν διαιρετὴν αὐτὴν εἶναι ἀδύνατον· ἀδιαίρετον δʼ οὖσαν οὐκ ἂν εἴη τὸ στοιχεῖον τῶν μονάδων καὶ ὅλως τῶν ἀριθμῶν, ὡς αὐτοί φασι, τὸ πλῆθος καὶ τὸ ἕν, οὐδὲ ἔσται ἐκ πλήθους καὶ ἑνὸς ἡ μονάς· τὸ γὰρ ἐκ πλήθους καὶ ἑνὸς πλῆθος καὶ διαιρετόν, ἀλλʼ οὐκ ἀμερὲς καὶ ἀδιαίρετον. Ἔτι ζητητέον καὶ περὶ τοὺς οὕτω λέγοντας.
Καὶ τοὺς ἐκ τοῦ πλήθους καὶ τοῦ ἑνός, φησί, τοὺς ἀριθμοὺς ποιοῦντας ζητεῖν ἄξιον ὥσπερ καὶ τοὺς ἐκ τοῦ ἑνὸς καὶ τῆς ἀορίστου δυάδος γεννῶντας, πότερον ὁ ἀριθμὸς ἄπειρός ἐστιν ἢ πεπερασμένος. οὐ περὶ τοῦ ἀριθμοῦ δὲ ζητεῖ νῦν εἴτε ἄπειρός ἐστιν εἴτε πεπεράτωται — τοῦτο γὰρ προὔτεινε πρότερον —, ἀλλὰ περὶ τοῦ πλήθους τοῦ ἐν τῇ δυάδι, ὃ καὶ τὶ πλῆθος εἴρηκεν, οὗ τῷ μερισμῷ γεννᾶσθαι τὰς μονάδας ὑπέθετο. καὶ εἴη ἂν τὸ πότερον ἄπειρος ὁ ἀριθμὸς ἢ πεπερασμένος ἴσον τῷ πότερον ἄπειρόν τι πλῆθος τὸ ἐν τῇ δυάδι ἢ πεπερασμένον. καὶ ὅτι μὲν ἄπειρον οὐκ ἂν εἴη πρόδηλον. ἔσται γὰρ καὶ σῶμά τι ἄπειρον, οὗ ἔσται τὸ ἄπειρον πλῆθος ἰδέα. ὅτι δὲ πεπερασμένον, εἴπερ ἔστιν, ἐνδέχεται εἶναι, συνίστησι λέγων ὑπῆρχε γάρ, ὡς ἔοικε, καὶ πεπερασμένον πλῆθος, ὃ ἴσον ἐστὶ τῷ ἐπειδὴ γὰρ ἐκ τοῦ πλήθους καὶ τοῦ ἑνός εἰσιν αἱ μονάδες, πεπερασμένον ἂν εἴη τὸ πλῆθος· καὶ γὰρ καὶ αἱ ἐξ αὐτοῦ μονάδες καὶ τοῦ ἑνὸς πεπερασμέναι ἤτοι ἀμερεῖς εἰσιν, ἐκ τοῦ ἀπείρου δὲ ἀμερὲς γενέσθαι οὐκ ἐνδέχεται. ἀλλὰ μὴν οὐδὲ τοῦτο δυνατὸν τὸ ἐκ πλήθους ὁποιουοῦν γίνεσθαι μονάδα. ἔτι τε, φησίν, ἕτερόν ἐστι τὸ πλῆθος καὶ τὸ ἄπειρον πλῆθος, ὥσπερ καὶ τὸ ζῷον καὶ τὸ ἄλογον ζῷον. ὡς γὰρ τὸ ζῷον διαιρεῖται εἰς λογικὸν ζῷον καὶ ἄλογον ζῷον, οὕτω καὶ τὸ πλῆθος εἰς ἄπειρον καὶ πεπερασμένον πλῆθος. ἐπεὶ οὖν ἕτερον τὸ πλῆθος καὶ τὸ ἄπειρον πλῆθος, ποῖον πλῆθος στοιχεῖόν ἐστι τῶν μονάδων καὶ ποῖον ἕν, τὸ ἀρχικὸν ἢ ἡ στιγμή; οὐδὲν γὰρ ἐκ τούτων στοιχεῖον τῶν μονάδων εἶναι δύναται, ὡς δέδεικται. Ὁμοίως δὲ καὶ περὶ τῆς στιγμῆς ζητήσειεν ἄν τις καὶ τοῦ στοιχείου ἐξ οὗ ποιοῦσι τὰ μεγέθη.
Ἡ στιγμὴ καὶ τὸ στοιχεῖον ἐκ παραλλήλου κεῖται, καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ὁμοίως δὲ καὶ περὶ στιγμῆς, ἣν στοιχεῖον ποιοῦσι τῶν μεγεθῶν, ζητήσειεν ἄν τις πότερον αὕτη μόνη ἐστὶν ἢ καὶ ἄλλαι χωρισταὶ στιγμαί. ἀλλʼ ὅτι μὲν καὶ ἄλλαι εἰσὶ στιγμαὶ παρὰ τὴν πρώτην χωριστὴν στιγμὴν καὶ οὗτοι βοῶσι· λεγέτωσαν οὖν ἐκ τίνος αὗται καὶ πόθεν. οὐ γὰρ δὴ ἀμερεῖς οὖσαι ἐκ τῆς ἀρχικῆς στιγμῆς ἔσονται καὶ διαστήματος ἤτοι πλήθους τινός, ὥσπερ οὐδὲ αἱ μονάδες. ἀλλὰ μὴν οὐδὲ τὰ μόρια τοῦ διαστήματος, ἀφʼ ὧν καὶ τῆς πρώτης στιγμῆς γεγονέναι τις φήσει τὰς στιγμάς, ἀδιαίρετα δυνατὸν λέγειν, ἵνα εἰ ἐξ αὐτῶν καὶ τῆς πρώτης λέγοι τις γενέσθαι τὰς στιγμάς, μηδὲν κωλύῃ διὰ τοῦτο ἀδιαιρέτους εἶναι. οὐ δυνατὸν οὖν τὰ τοῦ διαστήματος μόρια ἀδιαίρετα λέγειν ὥσπερ τὰ τοῦ ἀριθμοῦ. τὰ μὲν γὰρ τοῦ ἀριθμοῦ μόρια ἀδιαίρετα — μονάδες γάρ —, τὰ δὲ τοῦ διαστήματος οὐκ ἀδιαίρετα, ὡς ἐν τῇ Φυσικῇ εἴρηται καὶ δέδεικται ἀκροάσει.
Καὶ συμπεραίνεται λέγων πάντα δὴ τὰ ῥηθέντα καὶ πρὸς τούτοις καὶ ἄλλα τοιαῦτα φανερὸν ποιεῖ καὶ δεικνύει ὡς οὐκ ἔστιν ἀριθμὸς καὶ μεγέθη χωριστά. καὶ πρὸς τούτοις φησὶ τὸ διαφωνεῖν τοὺς «τρόπους» ἢ «πρώτους». καὶ εἰ μὲν εἴη γεγραμμένον τρόπους, λέγοι ἂν τοὺς τῆς διαιρέσεως, οὓς ἐξέθετό τε καὶ ἐγύμνασεν· εἰ δὲ πρώτους, ὃ καὶ μᾶλλον, λέγοι ἂν τοὺς ἐνδοξοτέρους τῶν τὰς ἰδέας δοξασάντων. πρὸς τοῖς ἄλλοις οὖν ἅπασι καὶ τὸ διαφωνεῖν αὐτοὺς περὶ τὴν τῶν ἀριθμῶν θέσιν καὶ μὴ τὰ αὐτὰ πάντας λέγειν ἀλλὰ ἄλλους ἄλλα καὶ ἐναντία καὶ ἀσύμφωνα ἀλλήλοις τεκμήριον ἱκανόν, ὅτι τὰ πράγματα καὶ οἱ ἀριθμοὶ μὴ ὄντα ἀληθῆ τὴν ἀπορίαν αὐτοῖς παρέχει. εἰ μὲν γὰρ ἦσαν ἀληθῆ, οὐκ ἂν ἕκαστος αὐτῶν ἐναντία ἑαυτῷ καὶ ἀνακόλουθα καὶ ἀσύμφωνα τοῖς ἄλλοις ἔλεγεν. ταῦτα εἰπὼν λέγει ὅτι οἱ μὲν τοὺς μαθηματικοὺς ἀριθμοὺς μόνους ποιοῦντες, ὡς οἱ περὶ Ξενοκράτην καὶ Σπεύσιππον, χωριστοὺς δὲ τῶν αἰσθητῶν καὶ ἄλλους παρὰ τὰ αἰσθητά, ἰδόντες τὴν περὶ τὰς ἰδέας δυσχέρειαν καὶ τὴν ἑπομένην ἅπασιν αὐτοῖς ἀτοπίαν καὶ πλάσματα, μόνον διανοίας ἀλλʼ οὐ πράγματα αὐτὰς εἶναι ὑπειληφότες ἀπέστησαν τοῦ λέγειν εἰδητικοὺς ἀριθμοὺς καὶ τὸν μαθηματικὸν μόνον ἐποίησαν. τινὲς δὲ τῶν περὶ Πλάτωνα τιθέμενοι τὰς ἰδέας καὶ πρὸς τῷ ἰδέας εἶναι ὁμολογεῖν καὶ ἀριθμοὺς αὐτὰς λέγοντες, ἐζήτουν ὡς εἴπερ εἰσὶν αἱ ἰδέαι καὶ ἀριθμοὶ καὶ ἀρχαὶ τῶν αἰσθητῶν πάντων, καὶ τοῦτό τις θήσει, λέγω δὴ τὸ καὶ ἀρχὰς καὶ ἀριθμοὺς εἶναι ἢ μᾶλλον τὸ ἀριθμοὺς αὐτὰς εἶναι, πῶς ἔσται ὁ μαθηματικὸς ἀριθμὸς παρὰ τὸν εἰδητικόν, καὶ τίνι ἂν διαφέροιεν οἱ εἰδητικοὶ ἀριθμοὶ τῶν μαθηματικῶν· τοῦτο οὖν ζητοῦντες καὶ διαφοράν τινα πρὸς τὸν εἰδητικὸν τοῦ μαθηματικοῦ συνιδεῖν μὴ δυνηθέντες, τὸν αὐτὸν εἰδητικὸν καὶ μαθηματικὸν ἐποίησαν ἀριθμόν· καὶ ὥσπερ ὁ βροτὸς καὶ ὁ ἄνθρωπος οἱ αὐτοί εἰσιν, οὕτω καὶ ὁ εἰδητικὸς καὶ ὁ μαθηματικὸς ἀριθμός. ἀλλὰ τῷ λόγῳ, φησί, καὶ τῇ ἀποφάσει καὶ ταῖς οἰκείαις ἀρχαῖς, αἷς χρῶνται, συμβαίνει τὸν εἰδητικὸν καὶ τὸν μαθηματικὸν ἀριθμὸν τὸν αὐτὸν εἶναι, ἐπεὶ ἔργῳ καὶ τῇ ἀληθείᾳ ἀνῄρηται ὁ εἰδητικὸς ἀριθμός, καὶ δέδεικται ὅτι οὐδὲν τῶν ὄντων ἐστὶν οὐδὲ μετέχει ὀντότητός τινος. εἰ δή, ὡς δέδεικται, ὁ εἰδητικὸς ἀριθμὸς οὐκ ἔστιν, ὁ δὲ μαθηματικὸς ἔστιν, οὐκ ἂν εἴη ὁ μαθηματικὸς ὁ αὐτὸς τῷ εἰδητικῷ, ὥσπερ οὐδὲ τὸ ὂν τῷ ὅλως μὴ ὄντι. εἰπὼν δὲ ὅτι τὸν μαθηματικὸν τὸν αὐτὸν ἐποίησαν τῷ εἰδητικῷ τῷ λόγῳ καὶ τῇ οἰκείᾳ αὐτῶν ὑποθέσει, τὴν αἰτίαν ἐπήγαγεν ἰδίας γὰρ καὶ οὐ μαθηματικὰς ὑποθέσεις λέγουσιν, ὃ ἴσον ἐστὶ τῷ τῇ οἰκείᾳ αὐτῶν ὑποθέσει συμβαίνει τὸν μαθηματικὸν τὸν αὐτὸν εἶναι τῷ εἰδητικῷ, κατὰ δὲ τὰς μαθηματικὰς ὑποθέσεις οὐδαμῶς. ἀλλὰ τινὲς μέν, ὥσπερ εἴρηται, τῶν Πλατωνικῶν τὸν μαθηματικὸν καὶ τὸν εἰδητικὸν τὸν αὐτὸν λέγουσιν· ὁ δὲ Πλάτων ὁ πρῶτος εἶναι εἴδη θέμενος καὶ ἀριθμοὺς αὐτοὺς λέγων, θέμενος δὲ εἶναι καὶ τὰ μαθηματικά, ἐχώρισεν εὐλόγως, καὶ ἄλλους μὲν ἔλεγε τοὺς εἰδητικοὺς ἀριθμοὺς ἄλλους δὲ τοὺς μαθηματικούς. καὶ πάντες, φησί, κατά τι λέγουσιν ὀρθῶς. οἱ μὲν γὰρ χωρίζοντες τὸν εἰδητικὸν τοῦ μαθηματικοῦ καὶ ἄλλην τὴν ἑκατέρων τούτων φύσιν λέγοντες ὀρθολεκτοῦσι κατʼ αὐτὸ τοῦτο τὸ χωρίζειν· ἀδύνατον γὰρ τὸν μαθηματικόν, ὡς δέδεικται, τὸν αὐτὸν εἶναι τῷ εἰδητικῷ. ἀλλὰ καὶ οἱ τὸν μαθηματικὸν μόνον τιθέμενοι καὶ οὗτοι κατά τι ὀρθῶς λέγουσιν· εἰδητικὸς γὰρ ἀριθμὸς οὐκ ἔστι· πάντως δὲ ἁμαρτάνουσι, καθὸ ὅλως χωρίζειν τολμῶσι τὸν ἀριθμὸν ἀπὸ τῶν αἰσθητῶν. ἀλλὰ καὶ αὐτοί, φησίν, ὁμολογοῦσιν ὡς οὐ καλῶς λέγουσι διὰ τὸ μὴ τὰ αὐτὰ λέγειν, ἀλλʼ ἐναντία ἀλλήλοις, ὥστʼ εἰ καλῶς ἔλεγον, οὐκ ἂν τοσαῦτα ἀλλήλοις τε καὶ ἑαυτοῖς ἠναντιώθησαν. αἴτιον δὲ τοῦ ἐναντιολογεῖν ἑαυτοῖς καὶ ἀλλήλοις τὸ ψευδεῖς ἀρχὰς καὶ ὑποθέσεις λαμβάνειν· χαλεπὸν δʼ ἐκ ψευδῶν καὶ μὴ καλῶς ἐχόντων, κατʼ Ἐπίχαρμον, λέγειν ἀληθῶς καὶ καλῶς. «ἀρτίως τε γὰρ λέλεκται», τουτέστιν ἅμα γὰρ τῷ ῥηθῆναί τι βοήθειαν ἐπάγον ταῖς ἰδέαις εὐθὺς φαίνεται μὴ καλῶς ἔχον· τοσοῦτον γὰρ ἔχει περιφανὲς τὸ ψεῦδος ἡ τῶν ἰδεῶν ὑπόθεσις, ὥστε μηδὲ χρόνου δεῖσθαι τὰς ὑπὲρ αὐτῶν ἐπιφερομένας βοηθείας πρὸς τὸ φωραθῆναι ὅτι ψευδεῖς εἰσιν. Ἀλλὰ περὶ μὲν τῶν ἀριθμῶν ἱκανὰ τὰ διηπορημένα καὶ διωρισμένα· μᾶλλον γὰρ ἐκ πλειόνων πεισθείη τις πεπεισμένος, πρὸς δὲ τὸ πεισθῆναι μὴ πεπεισμένος οὐδὲν μᾶλλον.
Δύο τινῶν προσδιαλεγομένων οἷον φέρε εἰπεῖν περὶ τοῦ ἡλίου, τοῦ μὲν λέγοντος ὅτι μείζων ἐστὶν ὁ ἥλιος τῆς γῆς, τοῦ δὲ ὅτι ἐλάττων, καὶ δυνηθέντος τοῦ προϊσταμένου τοῦ ὅτι ὁ ἥλιος μείζων ἐστὶ τῆς γῆς πανταχόθεν περιφράξαι τε καὶ στενῶσαι τοῖς ἐπιχειρήμασι τὸν προσδιαλεγόμενον ὥστε μηδὲ δύνασθαι φθέγγεσθαι, ἀλλὰ ἄφωνον ὥσπερ ἰχθὺν πάντῃ ἵστασθαι· εἰ μὲν ὁ τοιοῦτος πρὸς τὸ μὴ δύνασθαι ἀντιλέγειν μηδʼ ὅλως φθέγγεσθαι πιστεύσει ὅτι μείζων ἐστὶ τῆς γῆς ὁ ἥλιος, λέγεται πεπεισμένος, ἤτοι ὅτι πεπίστευκεν οὕτως ἔχειν τὸν ἥλιον πρὸς τὴν γῆν ὡς ὁ δεικνύων ἀπέδειξεν. εἰ δὲ ἀντιλέγειν μὲν μὴ δύναται, οὐ πιστεύει δέ — πολλοὶ γὰρ θέσεις φυλάττοντες ὡς οἱ λέγοντες μὴ εἶναι κίνησιν καὶ οἱ τὴν ἀντίφασιν συναληθεύειν λέγοντες ἀντειπεῖν πρὸς τοὺς ἀναιροῦντας αὐτοὺς λόγους οὐ δύνανται, καὶ ὅμως οὐ πιστεύουσιν ὅτι τὸ μὴ συναληθεύειν καὶ εἶναι κίνησιν ἀληθές ἐστιν, ἀλλὰ καταφρονοῦσι τῆς ἀποδείξεως καὶ ἐμμένουσι τῇ ὑφʼ ἧς κεκράτηνται προλήψει —, ὁ οὖν μήτε ἀντιλέγειν δυνάμενος μήτε πιστεύων, πεπεισμένος ἅμα καὶ μὴ πεπεισμένος ἂν λέγοιτο δικαίως, ὡς μὲν μὴ δυνάμενος ἀντιλέγειν πεπεισμένος, ὡς δὲ μὴ πιστεύσας ὅτι μείζων ὁ ἥλιος τῆς γῆς μὴ πεπεισμένος. τούτων οὕτως ἐχόντων λέγει ὁ Ἀριστοτέλης ὅτι τὰ ῥηθέντα καὶ διορισθέντα περὶ τῶν ἀριθμῶν τῶν τε εἰδητικῶν καὶ τῶν ὡς χωριστῶν μαθηματικῶν ἱκανὰ πεῖσαι τὸν πεπεισμένον καὶ πιστεύσαντα τοῖς ἡμῶν λόγοις, καὶ ἔτι ἐκ πλειόνων ἄλλων, ὧν ἐν τῷ ἐφεξῆς μέλλομεν λέγειν βιβλίῳ, πεισθείη ἄν. ὁ δὲ πεπεισμένος μὲν καθὸ μὴ δύναται ἀντιλέγειν, μὴ πεπεισμένος δὲ καθὸ οὐχ ἥλω οὐδὲ πεπίστευκε τοῖς λεγομένοις, πρὸς δὴ τὸ τοῦτον πεισθῆναί τε καὶ πιστεῦσαι καὶ συνθέσθαι τοῖς ὑφʼ ἡμῶν λεγομένοις καὶ τῇ ἀληθείᾳ οὐθὲν μᾶλλον, τουτέστιν οὐδαμῶς τὰ ῥηθέντα καὶ ῥηθησόμενα ἰσχύσαιεν ἂν αὐτὸν πεῖσαι καὶ ἐξελέσθαι τῆς ὑφʼ ἧς κεκράτηται προλήψεως ἐκτετυφλωμένον ὄντα τὰς τῆς διανοίας κόρας. Περὶ δὲ τῶν πρώτων ἀρχῶν καὶ τῶν πρώτων αἰτίων καὶ στοιχείων καὶ τὰ ἑξῆς.
Εἰπὼν ὅτι δεῖ θεωρῆσαι εἴτε εἰσὶν ἀριθμοὶ χωριστοὶ εἴτε καὶ μή, καὶ δείξας τότε ἐκ διαιρέσεως ὅτι οὔκ εἰσι, μηδαμῶς προσλογιζόμενος εἴτε στοιχεῖον τῶν ὄντων εἰσὶν εἴτε καὶ μή, δείκνυσι νῦν ὅτι οὐδὲ ὡς στοιχεῖον τῶν ὄντων εἶναι δύνανται· ὥστε πρότερον μὲν ἐζήτει εἰ ὅλως εἰσί, νῦν δὲ θεωρεῖ, εἰ ἐάν τις καὶ συγχωρήσῃ αὐτοὺς εἶναι, δύνανται στοιχεῖον εἶναι τῶν ὄντων. λέγει οὖν ὅτι περὶ μὲν τῶν πρώτων ἀρχῶν καὶ πρώτων αἰτίων καὶ στοιχείων ὅσα μὲν λέγουσιν οἱ περὶ μόνης τῆς αἰσθητῆς οὐσίας διορίζοντες καὶ τὰς ἀρχὰς αὐτῆς ζητοῦντες τὰ μὲν ἐν τοῖς Περὶ φύσεως εἴρηται. ἐν γὰρ τῇ Φυσικῇ ἀκροάσει εἴρηκε περὶ τῶν πρώτων ἀρχῶν, ὑλικοῦ εἰδικοῦ ποιητικοῦ καὶ τελικοῦ· ἀλλὰ καὶ περὶ στοιχείων ἐν τοῖς Περὶ γενέσεως καὶ φθορᾶς, ὅτι τέσσαρά ἐστι καὶ ὅτι γίνονται ἐξ ἀλλήλων καὶ φθείρονται εἰς ἄλληλα. περὶ μὲν οὖν τούτων ἐν τοῖς Περὶ φύσεως εἴρηται. τὰ δὲ περὶ τῶν ἠθικῶν ἀρχῶν ἢ λογικῶν οὐ τῆς παρούσης ἐστί, φησίν, εἰπεῖν προθέσεως. ὅσα δὲ αἴτια λέγουσι καὶ τίνα — εἴρηται δὲ ὅτι δύο· τὸ γὰρ ἀρχικὸν ἓν καὶ τὴν ἀόριστον δυάδα λέγουσιν —, οἵ φασιν οὐσίας εἶναι χωριστὰς ἑτέρας παρὰ τὰς αἰσθητάς, ἐχόμενόν ἐστι καὶ οἰκειότατον τῶν εἰρημένων εἰπεῖν. ἐπεὶ δὲ τὰς χωριστὰς οὐσίας καὶ ἑτέρας τῶν αἰσθητῶν τὰς ἰδέας εἶναι λέγουσι καὶ τοὺς ἀριθμούς, ἀλλὰ καὶ τὰ τῶν ἰδεῶν καὶ ἀριθμῶν στοιχεῖα καὶ τῶν ὄντων πάντων εἶναι στοιχεῖα προσφιλονεικοῦσι, σκεπτέον, φησί, τί περὶ τούτων λέγουσι καὶ πῶς λέγουσι. καὶ τοὺς μὲν ἀριθμοὺς μόνους ποιοῦντας καὶ τούτους μαθηματικοὺς ὕστερον ἐπισκεπτέον, φησί· περὶ δὲ τῶν τὰς ἰδέας λεγόντων ἅμα τῷ θεάσασθαί τινα τὸν τρόπον καθʼ ὃν αὐτὰς εἶναι λέγουσιν, εὐθὺς ἔστι καὶ τὴν συμβαίνουσαν αὐτοῖς ἀπορίαν εὑρεῖν. καὶ τίθησι τὴν ἑπομένην αὐτοῖς ἀπορίαν, μᾶλλον δὲ εἰπεῖν ἀτοπίαν, διὰ τοῦ ἅμα τε γὰρ καθόλου ὡς οὐσίας ποιοῦσι, τουτέστιν ἅμα γὰρ καθόλου οὐσίας τὰς ἰδέας ποιοῦσι καὶ χωριστὰς ἤτοι μερικάς· καθόλου μὲν διότι καὶ οἱ τὰς ἰδέας τιθέμενοι καθόλου λέγουσι διὰ τὸ περιεκτικὰς εἶναι πλειόνων καὶ ἐν πλείοσιν εὑρίσκεσθαι, τὸν μὲν αὐτοάνθρωπον ἐν τοῖς καθʼ ἕκαστα ἀνθρώποις, τὸν δὲ αὐτοΐππον ἐν τοῖς καθʼ ἕκαστα ἵπποις καὶ τὰς ἄλλας ὁμοίως· μεθέξει γὰρ τοῦ αὐτοανθρώπου οἱ τῇδε ἄνθρωποι καὶ τοῦ αὐτοΐππου οἱ ἵπποι, ὡς οὗτοι λέγουσι. καθόλου μὲν οὖν διὰ τοῦτο· μερικὰς δὲ ὡς χωριστὰς καὶ καθʼ αὑτὰς οὔσας· τοῦτο γὰρ ἴδιον τῶν ἀτόμων. οὐδὲν γὰρ μὴ ἄτομον ὂν καὶ μερικὸν δύναται χωριστὸν καὶ καθʼ αὑτὸ εἶναι, ἀλλʼ ἐν ἄλλῳ τὸ εἶναι ἔχει. ὅτι δὲ τὰ αὐτὰ καὶ καθόλου εἶναι καὶ μερικὰ οὐκ ἐνδέχεται, δέδεικται πρότερον διὰ πλειόνων ἐν τῇ παρούσῃ πραγματείᾳ. αἴτιον δὲ γέγονεν αὐτοῖς τοῦ καθόλου καὶ μερικὰς γίνεσθαι τὰς ἰδέας τὸ μὴ ποιεῖν τὰς τοιαύτας οὐσίας, λέγω δὴ τὰς ἰδέας, τὰς αὐτὰς τοῖς αἰσθητοῖς ἤτοι αἰσθητάς, μηδὲ ἐν τούτοις λέγειν ἔχειν τὸ εἶναι, ὡς ἡμεῖς τὰ καθόλου, ἀλλὰ χωριστὰς καὶ καθʼ αὑτάς. καὶ ταῦτα μὲν οὕτως ἔχειν οἶμαι, ἡ δὲ λέξις ἡ αἴτιον δὲ τοῦ συνάψαι ταῦτα εἰς ταὐτὸν τοῖς λέγουσι τὰς ἰδέας καθόλου καὶ τὰ ἑξῆς οὕτως ἂν ἀναγινώσκοιτο καὶ νοοῖτο· τοῖς λέγουσι τὰς ἰδέας καθόλου οὐσίας αἴτιον γέγονε τοῦ συνάψαι ταῦτα ἤτοι ἅμα καὶ καθόλου καὶ μερικὰ τὰ εἴδη ποιεῖν, τὸ μὴ ποιεῖν τὰς τοιαύτας οὐσίας, λέγω δὴ τὰς εἰδητικάς, τὰς αὐτὰς τοῖς αἰσθητοῖς. Τὰ μὲν οὖν ἐν τοῖς αἰσθητοῖς καθʼ ἕκαστα ῥεῖν ἐνόμιζον.
Τὴν αἰτίαν λέγει ἐξ ἧς ὡρμήθησαν χωρίσαι τὰ εἴδη, καὶ λέγει ὅτι διὰ τὸ νομίζειν τὰ καθʼ ἕκαστα καὶ τὰ αἰσθητά, ὥσπερ Ἡράκλειτος, ποταμὸν εἶναι καὶ ἐν συνεχεῖ ῥοῇ καὶ διὰ τοῦτο μὴ ὄντα, τὰς δὲ ἐπιστήμας ὄντων τε καὶ ἐν ταυτότητι ὑπαρχόντων, τὰ καθόλου παρὰ ταῦτα τὰ αἰσθητὰ καὶ εἶναι καὶ ἕτερα τούτων εἶναι ἐνόμισαν, ὧν καὶ τὰς ἐπιστήμας εἶναί φασιν. ἀλλὰ τὸ μὲν εἶναι καθόλου καὶ ἕτερον τῶν καθʼ ἕκαστα ἐκίνησε μὲν καὶ εἰς φῶς ἤγαγεν ὁ Σωκράτης, ὡς πρότερον εἴρηται, διὰ τὸ ζητεῖν ὁρίζεσθαι, τοὺς ὁρισμοὺς δʼ εἶναι τῶν καθόλου· οὐ μὴν ἐχώρισεν αὐτὸ ἀπὸ τῶν καθʼ ἕκαστα. καὶ τοῦτο ὀρθῶς ἐνόησε μὴ χωρίσας, τουτέστι καὶ τὸ καθόλου μὲν εἰπεῖν καὶ ἕτερον ἑνὸς ἑκάστου τῶν καθʼ ἕκαστα, μὴ χωρίσαι δὲ ἀπὸ τῶν καθʼ ἕκαστα ὀρθῶς ἐνόησε. καὶ ὅτι, φησί, καλῶς ἔλεγε καθόλου λέγων, μὴ χωρίζων δὲ ἀπὸ τῶν καθʼ ἕκαστα, δῆλον ἐξ αὐτοῦ τοῦ ἔργου καὶ τῆς ἀληθείας. ᾗ μὲν γὰρ ἄνευ τῶν καθόλου οὐκ ἔστιν ἐπιστήμη, ταύτῃ καλῶς λέγει ποιήσας τὸ καθόλου· ᾗ δὲ τοῖς χωρίζουσι τὸ καθόλου καὶ ἰδέαν ποιοῦσιν ἕπεται πάμπολλα τὰ δυσχερῆ, καὶ ταύτῃ κάλλιστα λέγει λέγων τὸ καθόλου ἀχώριστον. ὥστε δῆλός ἐστιν ὡς καὶ ἡ ἐπιστήμη ἐστὶ λέγειν καθόλου λέγων καὶ ὅτι τὰ ἑπόμενα τοῖς τὰς ἰδέας λέγουσι δυσχερῆ ἐκφεύγει μὴ χωρίζων, ὡς εἴρηται, τὰ καθόλου ἀπὸ τῶν αἰσθητῶν. οἱ δὲ περὶ Πλάτωνα, φησίν, ὥσπερ ἀναγκαῖον ὂν ὡς, εἴπερ εἰσὶν οὐσίαι τινὲς παρὰ τὰς αἰσθητὰς καὶ ῥεούσας, ἀνάγκη αὐτὰς χωριστὰς εἶναι καὶ καθʼ αὑτάς, ἀλλʼ οὐκ ἐν τοῖς αἰσθητοῖς, ἄλλας μὲν παρὰ τὰς ἃς ὁ Σωκράτης εἶπεν εἰπεῖν οὐκ εἶχον, ταύτας δὲ ἃς ὁ Σωκράτης ἔλεγέ τε καὶ οὐκ ἐχώριζεν ἐξέθεσαν, ἤτοι μερικὰς ἐποίησαν· τοιαύτη γὰρ ἡ ἔκθεσις. εἰ γὰρ πᾶν χωριστὸν καὶ καθʼ αὑτὸ καὶ οὐκ ἐν ἄλλῳ τὸ εἶναι ἔχον μερικόν, τοιαύτας δὲ τὰς ἰδέας εἶναι λέγουσι, φανερὸν ὅτι μερικὰς αὐτὰς ποιοῦσιν· ὥστε συμβαίνει τὰς αὐτὰς φύσεις εἶναι καθόλου τε καὶ μερικάς. καὶ αὕτη μὲν ἡ δυσχέρεια καὶ τοῦτο τὸ ἄτοπον, τὸ τὰ αὐτὰ καθόλου καὶ μερικὰ εἶναι, καθʼ αὑτὴν ἂν εἴη καὶ μόνοις ἑπομένη τοῖς τὰς ἰδέας λέγουσιν. Ὃ δὲ καὶ τοῖς λέγουσι τὰς ἰδέας ἔχει τινὰ ἀπορίαν καὶ τοῖς μὴ λέγουσιν.
Ἡ μὲν ῥηθεῖσα δυσχέρεια καθʼ αὑτὴν ἂν εἴη, φησί, καὶ μόνοις ἑπομένη τοῖς τὰ εἴδη τιθεμένοις· ὃ δὲ καὶ τοῖς τὰς ἰδέας λέγουσι καὶ ἡμῖν τοῖς μὴ τιθεμένοις αὐτὰς ἀπορήσειεν ἄν τις καὶ νῦν λέγωμεν, καίτοι περὶ τούτου εἰπόντες καὶ ἐν τοῖς ἀπορήμασιν. αἰνίττεται δὲ τὸ Β ταύτης τῆς πραγματείας· διαπορητικὸν γὰρ ἐκεῖνο ἅπαν τὸ βιβλίον. καὶ τίθησιν ὃ ἄν τις ἀπορήσειε λέγων εἰ μὲν γὰρ μὴ θήσει τις τὰς οὐσίας εἶναι κεχωρισμένας, καὶ σαφηνίζων ὅπως ἄν τις αὐτὰς χωριστὰς θήσει ἐπάγει καὶ τοῦτον τὸν τρόπον ὡς λέγεται τὰ καθʼ ἕκαστα· τουτέστιν εἰ μή τις τὰς εἰδητικὰς οὐσίας χωριστὰς θήσει ὥσπερ καὶ τὰ καθʼ ἕκαστα καὶ ἄτομα — χωριστὰ δὲ καὶ καθʼ αὑτὰ τὰ καθʼ ἕκαστά φαμεν, διότι οὐκ ἐν ἄλλοις ἔχει τὸ εἶναι ὡς τὰ καθόλου καὶ κοινά —, εἰ δὴ τὰς εἰδητικὰς οὐσίας μὴ θῇ τις κεχωρισμένας ὡς τὰ ἄτομα, ἀλλʼ ἐν ἄλλοις φήσει, ὡς τὰ καθόλου καὶ κοινά, ἀναιρήσει τὴν οὐσίαν τῶν ὄντων, καὶ οὐδὲν ἔσται οὐσία ἀλλὰ πάντα συμβεβηκότα. εἰ γὰρ τὰ καθόλου, ὡς ἐν τῷ Ζ τῆς παρούσης δέδεικται πραγματείας, ὁμοιώματά εἰσι τῶν καθʼ ἕκαστα καὶ οὐκ οὐσίαι, εἰ καὶ αἱ ἰδέαι καθόλου, ἔσονται μὴ οὐσίαι καὶ συμβεβηκότα· ὥστε εἰ αὗται συμβεβηκότα, καὶ τὰ τῇδε, ὧν αὗταί εἰσιν ἰδέαι, συμβεβηκότα ἔσονται. εἰ γὰρ τῇ τοῦ αὐτοανθρώπου μεθέξει οἱ καθʼ ἕκαστα καὶ αἰσθητοὶ ἄνθρωποι τὸ εἶναι ἄνθρωποι ἔχουσιν, εἰ μὴ εἴη ὁ αὐτοάνθρωπος οὐσία, οὐδὲ τὰ κατὰ μέθεξιν ὄντα εἶεν ἂν οὐσίαι· ὥστε ἀναιρεῖται τῶν ὄντων ἡ οὐσία, ὅπερ οὐ βουλόμεθα. εἰ μὲν οὖν μὴ θῇ τις τὰς εἰδητικὰς οὐσίας χωριστάς, ταὐτὸν δὲ εἰπεῖν μερικάς, ἀλλὰ καθόλου, ταῦτα συμβαίνει. ἂν δέ τις πάλιν θῇ τοιαύτας οὐσίας χωριστάς, πῶς θήσει τὰ στοιχεῖα καὶ τὰς ἀρχὰς αὐτῶν, τό τε ἀρχικὸν ἓν καὶ τὴν ἀόριστον δυάδα; πότερον χωριστόν ἐστι τὸ ἀρχικὸν ἓν καὶ ἡ ἀόριστος δυὰς ἢ καθόλου τινὲς φύσεις; εἰ μὲν οὖν καθʼ ἕκαστον καὶ μὴ καθόλου, πᾶν δὲ καθʼ ἕκαστον ἐν πλείοσιν εἶναι οὐ δύναται οὐδὲ ἐνταῦθά τε καὶ ἄλλοθι — Σωκράτης γὰρ ἐν Λυκείῳ ὢν ἐν στοᾷ οὐκ ἔστι —, συμβαίνει ὅσα ἂν εἴη τὰ στοιχεῖα, τοσαῦτα εἶναι καὶ τὰ ὄντα, δύο δηλονότι. καὶ πρὸς τούτοις οὐδὲ ἐπιστητὰ ἔσται τὰ στοιχεῖα· τῶν γὰρ καθʼ ἕκαστα οὐκ ἔστιν ἐπιστήμη. πῶς δὲ μερικῶν ὄντων τῶν στοιχείων συμβαίνει τὰ ὄντα τοσαῦτα εἶναι, ὅσα καὶ τὰ στοιχεῖα, σαφηνίζει ἐπὶ τῶν στοιχείων τῆς φωνῆς. ἔστω γάρ, φησίν, ὑποθέσεως χάριν αἱ ἐν τῇ φωνῇ συλλαβαὶ οὐσίαι καὶ ἰδέαι, τὰ δὲ τῶν συλλαβῶν στοιχεῖα τό τε ἄλφα καὶ βῆτα καὶ τὰ λοιπὰ στοιχεῖα ἀναλογοῦντα τοῖς τῶν ἰδεῶν στοιχείοις τῷ αὐτοενὶ καὶ τῇ ἀορίστῳ δυάδι, καὶ ἔστω τὸ ἄλφα μὴ καθόλου τις φύσις ἐν πλείοσι θεωρουμένη ἄλφα, ἀλλὰ μερικὴ καὶ ἄτομος. εἰ οὖν τὸ α μετὰ τοῦ β συντεθὲν ποιήσει τὴν βα συλλαβήν, μία μόνη ἔσται βα συλλαβὴ καὶ οὐ πολλαί. ὥσπερ γὰρ εἰ ἦσαν ἐν τῷ παντὶ κόσμῳ μόνοι δύο ἄνθρωποι καὶ οὐ πλείους, οἷον ὅ τε Σωκράτης καὶ ὁ Πλάτων, μία ἂν ἦν ἀνθρώπειος δυὰς ἡ ἐκ τοῦ Σωκράτους καὶ Πλάτωνος, οὕτω καὶ ἐπὶ τῆς βα συλλαβῆς συνέπεσεν ἂν εἰ ἦν ἓν βῆτα καὶ ἓν ἄλφα. αὐτὸς μέντοι οὐκ ἀπὸ τῶν στοιχείων κατασκευάζει τὰς συλλαβάς, ἀλλʼ ἔμπαλιν ἀπὸ τῶν συλλαβῶν καὶ τὰ περὶ τῶν στοιχείων σαφηνίζει λέγων «ἀνάγκη τὴν βα συλλαβὴν καὶ ἑκάστην τῶν ἄλλων μίαν εἶναι, εἴπερ μὴ καθόλου ἐστὶν ἥ τε βα καὶ ἡ δε συλλαβή, ἀλλὰ χωριστὴ καὶ καθʼ αὑτὴν καὶ τόδε τι», ἤτοι αἰσθητὴ καὶ εἰς δεῖξιν πίπτουσα· τὰ γὰρ καθόλου οὐκ αἰσθητὰ οὐδὲ ἔστι δεῖξαι αὐτὰ τῷ δακτύλῳ. τὸ δὲ ὁμώνυμον ἀντὶ τοῦ συνωνύμως κατηγορούμενον. ὃ γὰρ μήτε συνωνύμως μήτε μὴν ὁμωνύμως κατὰ πολλῶν λέγεται, μερικὸν καὶ ἄτομον. τὸ δὲ εἴπερ μὴ καθόλου καὶ τῷ εἴδει αἱ αὐταὶ ἴσον ἐστὶ τῷ εἴπερ μὴ καθόλου αἱ συλλαβαί, ὥστε τὰς ὑπʼ αὐτὰς ἀπείρους εἶναι τῷ ἀριθμῷ, τῷ δὲ εἴδει τὰς αὐτάς. ἀλλὰ καὶ τὸ ἔτι δʼ αὐτὸ ὅ ἐστιν ἓν ἕκαστον τιθέασιν οὕτως ἐπῆκται ὡς εἰ ἔλεγεν «οὐκ ἐγὼ τοῦτο ὑποτίθεμαι ὡς ἡ βα συλλαβή, εἴπερ ἀναλογεῖ τινι τῶν ἰδεῶν, μία ἔσται τῷ ἀριθμῷ, ἀλλὰ ταῖς ἐκείνων ἕπεται τοῦτο ὑποθέσεσι· χωριστὸν γὰρ καὶ καθʼ αὑτὸ λέγοντες αὐτὸ ὅ ἐστι, τουτέστι τὸν αὐτοάνθρωπον καὶ αὐτοΐππον, ἐξ ἀνάγκης καὶ ἕνα τῷ ἀριθμῷ λέγουσι». πᾶν γάρ, ὡς ἀπειράκις εἴρηται, τὸ καθʼ αὑτὸ ὂν ἄτομον καὶ μερικόν. ὥστε καὶ ἡ βα συλλαβή, εἰ ἦν ἰδέα, ἄτομος ἂν ἦν καὶ μία τῷ ἀριθμῷ. τὴν δὲ λέξιν ὑπερβατῶς ἀναγνωστέον ὧδε· ἕκαστον αὐτὸ ὅ ἐστιν ἓν τιθέασι τῷ ἀριθμῷ. δείξας δὲ ὅτι ἀνάγκη ἑκάστην τῶν συλλαβῶν μίαν εἶναι καὶ ἄτομον ἐπάγει εἰ δὲ αἱ συλλαβαὶ οὕτω, τουτέστιν εἰ δὲ αἱ συλλαβαὶ ἄτομοι καὶ μία ἑκάστη τῷ ἀριθμῷ, ἀνάγκη καὶ τὸ ἄλφα καὶ βῆτα καὶ τὰ λοιπὰ στοιχεῖα, ἐξ ὧν αἱ συλλαβαί, ἄτομα εἶναι καὶ ἓν τῷ ἀριθμῷ· ὥστε οὐκ ἔσονται πολλὰ ἄλφα ἀλλʼ ἓν μόνον, ὁμοίως οὐδὲ πολλὰ βῆτα οὐδὲ ἄλλο οὐδὲ ἓν τῶν λοιπῶν στοιχείων κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον, ὥσπερ οὐδὲ τῶν συλλαβῶν ἡ αὐτὴ καὶ μία, οἷον ἡ βα, ἄλλη καὶ ἄλλη ἤτοι πολλαὶ δύνανται εἶναι. ἀλλʼ εἰ τοῦτο, φησίν, οὐκ ἔσται παρὰ τὰ στοιχεῖα ἄλλα τινά, ἀλλʼ αὐτὰ μόνον τὰ κδʹ στοιχεῖα. ἡμεῖς μὲν γὰρ τέσσαρα λέγοντες τὰ στοιχεῖα κρᾶσίν τε αὐτῶν καὶ ἀλλοίωσιν δυνάμεθα λέγειν, ὡς ἐκ τῆς κράσεως αὐτῶν καὶ ἀλλοιώσεως δύνασθαι γίνεσθαι ἄλλα τινὰ παρὰ ταῦτα. ἐπὶ δὲ τῶν στοιχείων τῶν συλλαβῶν ἀσωμάτων ὄντων καὶ μήτε μίγνυσθαι δυναμένων μήτε πολλῷ μᾶλλον ἀλλοιοῦσθαι, οὐκ ἔσται τι παρʼ αὐτὰ ἄλλο οὐδέν. τὸ γὰρ β ἓν ὂν τῷ ἀριθμῷ, ὡς ἡ ὑπόθεσις, συντεθὲν μετὰ τοῦ ἄλφα οὐκ ἠλλοίωται — ἀσώματον γάρ —, ἀλλὰ καὶ τὸ βῆτα, ὥσπερ πρὸ τῆς συνθέσεως ἦν βῆτα, οὕτω καὶ μετὰ τὴν σύνθεσιν, καὶ τὸ ἄλφα ὁμοίως. ἓν οὖν ὂν τὸ βῆτα τῷ ἀριθμῷ καὶ συνὸν τῷ ἄλφα οὐκ ἂν καὶ μετὰ τοῦ ἰῶτα συντεθείη. εἰ γὰρ μέλλει συντεθῆναι τὸ βῆτα τῷ ἰῶτα ἄτομον ὄν, πᾶσα ἀνάγκη ἀποστῆναι τοῦ α· ὥστε ἡ γένεσις τῆς βι συλλαβῆς ἔσται φθορὰ τῆς βα, καὶ οὔσης τῆς βα οὐκ ἔσται ἡ βι συλλαβή, ταύτης δὲ οὔσης οὐκ ἔσται ἡ βα. ὥστε εἰ τὸ βῆτα μετὰ τοῦ α πεποίηκε τὴν βα συλλαβήν, τὸ γάμμα μετὰ τοῦ ε ποιείτω τὴν γε καὶ τὸ δέλτα μετὰ τοῦ η ποιείτω τὴν δη, καὶ τὸ ζ μετὰ τοῦ ἰῶτα τὴν ζι καὶ τὸ θῆτα μετὰ τοῦ ο τὴν θο, τὸ κάππα μετὰ τοῦ ω τὴν κω, τὸ λάβδα μετὰ τοῦ υ τὴν λυ, καὶ οὐκ ἔσται ἄλλη τις συλλαβὴ πλὴν τῆς βα καὶ γε καὶ δη καὶ ζι καὶ θο καὶ κω καὶ λυ. ἡ δὲ δε συλλαβὴ ἢ πε ἢ ἄλλη τις οὐκ ἔσται· τοῦ γὰρ ε ἑνὸς ὄντος τῷ ἀριθμῷ καὶ συνόντος τῷ γάμμα καὶ πεποιηκότος τὴν γε συλλαβὴν οὐκ ἂν καὶ μετὰ τοῦ π συνέλθοι. εἰ δὴ ταῦτα ἀληθῆ, συμβαίνει μηδὲν εἶναι παρὰ τὰ στοιχεῖα ἕτερον τῶν στοιχείων ὄν. νενοήσθω γὰρ ὅτι ἐν ὅλῳ τῷ κόσμῳ κδʹ ἄνδρες εἰσὶ μόνοι, καὶ ἐν μὲν τῇ στοᾷ ἔστωσαν δύο ἀναλογοῦντες τῇ βα συλλαβῇ, καὶ ἐν Ἀκαδημίᾳ δύο εἰκόνα φέροντες τῆς γε συλλαβῆς, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως, τί οὖν ἕτερον παρὰ τοὺς κδʹ ἄνδρας νοεῖν δυνάμεθα γενέσθαι; πάντως οὐδέν, ἀλλὰ πάλιν αὐτοὺς τοὺς κδʹ ἄνδρας. ὡς οὖν ἐπὶ τούτων, οὕτω καὶ ἐπὶ τῶν τῆς φωνῆς στοιχείων συμβαίνει, ἑνὸς τῷ ἀριθμῷ ὄντος τοῦ ἄλφα καὶ τοῦ βῆτα καὶ τῶν λοιπῶν, καὶ οὐδὲν ἕτερον ἔσται παρὰ αὐτά, εἴτε συντεθειμένα σωρηδόν τις αὐτὰ νοεῖ, εἴτε δύο δύο, εἴτε καὶ ἀπολελυμένα ἀπʼ ἀλλήλων. καὶ πάλιν ὡς ἐπὶ τούτων, οὕτω καὶ ἐπὶ τῶν στοιχείων τῶν ἰδεῶν ἔχειν ἀνάγκη· καὶ ἢ οὐδὲν ἔσται παρὰ τὸ ἀρχικὸν ἓν καὶ τὴν ἀόριστον δυάδα, οὐκ αὐτοάνθρωπος οὐκ αὐτοΐππος οὐκ ἄλλο οὐδέν, ἢ εἴ γε συγχωρήσει τις εἶναι αὐτοάνθρωπον, οὗτος μὲν ἔσται, ἄνθρωποι δὲ πολλοὶ οὐκ ἔσονται, ὥσπερ οὐδὲ πολλαὶ βα συλλαβαί. καὶ πρὸς τούτοις, φησίν, εἴπερ εἰσὶ τὰ στοιχεῖα τό τε ἀρχικὸν ἓν καὶ ἡ ἀόριστος δυὰς ἓν τῷ ἀριθμῷ, οὐκ ἔσονται ἐπιστητά, ὅτι ἡ μὲν ἐπιστήμη τῶν καθόλου, ταῦτα δὲ οὐ καθόλου. ὅτι δὲ αἱ ἐπιστῆμαι τῶν καθόλου δῆλον, φησίν, ἔκ τε τῶν ἀποδείξεων καὶ τῶν ὁρισμῶν. καὶ οἱ ὁρισμοὶ γὰρ τῶν καθόλου, ὡς ἐν τῷ Ζ τῆς παρούσης δείκνυται πραγματείας, καὶ αἱ ἀποδείξεις ὁμοίως, ὡς ἐν τοῖς Ὑστέροις ἐμάθομεν ἀναλυτικοῖς. οὐ γὰρ γίνεται ὁ ὁρισμὸς ἢ ὁ συλλογισμὸς καὶ ἡ ἀπόδειξις περὶ τοῦδε τοῦ μερικοῦ τριγώνου, ὅτι τόδε τὰς τρεῖς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ἔχει, ἀλλὰ παντὸς τριγώνου, οὐδʼ ὅτι ὅδε ὁ μερικὸς ἄνθρωπος ζῷόν ἐστιν, ἀλλὰ πᾶς ἄνθρωπος. Ἀλλὰ μὴν εἴ γε καθόλου αἱ ἀρχαὶ ἢ καὶ ἐκ τούτων οὐσίαι καθόλου.
Ὑποθέμενος μερικὰς τὰς ἰδέας καὶ τὰς τούτων ἀρχὰς τό τε αὐτοὲν καὶ τὴν ἀόριστον δυάδα καὶ δείξας ἀπὸ τῶν συμβαινόντων ταῖς συλλαβαῖς καὶ τοῖς στοιχείοις αὐτῶν ὅτι ἀδύνατον μερικὰς εἶναι τὰς ἰδέας καὶ τὰ στοιχεῖα αὐτῶν, ὑποτίθεται αὐτὰ καθόλου λέγων ἀλλὰ μὴν εἴ γε καθόλου αἱ ἀρχαὶ τό τε αὐτοὲν καὶ ἡ ἀόριστος δυάς, ὁμοίως δὲ καὶ αἱ ἐκ τούτων οὐσίαι καθόλου, ἤτοι αἱ ἰδέαι, ἔσται ἡ μὴ οὐσία προτέρα τῆς οὐσίας, ὅπερ ἀδύνατον. ἐπειδὴ γὰρ τὰ καθόλου οὐκ οὐσίαι ἀλλʼ ὁμοιώματα τῶν καθʼ ἕκαστα, εἰ ἔστι καὶ τὸ αὐτοὲν καὶ ἡ ἀόριστος δυὰς καθόλου, ὁμοιώματα καὶ συμβεβηκότα ἔσονται καὶ πρότερα τῶν ἰδεῶν, ἤτοι κατʼ αὐτοὺς τῶν οὐσιῶν. εἰ γὰρ πρότερα τὰ στοιχεῖα τῶν ὧν εἰσι στοιχεῖα, τὸ δὲ ἀρχικὸν ἓν καὶ ἡ δυὰς στοιχεῖα τῶν ἰδεῶν, πρότερα ἂν εἶεν τῶν ἰδεῶν. ταῦτα δέ, τό τε πρότερα γίνεσθαι τὰ συμβεβηκότα τῶν οὐσιῶν καὶ τὰ λοιπά, εὐλόγως συμβαίνει τοῖς ποιοῦσι τὰς ἰδέας ἐκ στοιχείων καὶ πρὸς τούτῳ ἀξιοῦσιν ἕν τι εἶναι ἕτερον τῶν καθʼ ἕκαστα καὶ αἰσθητῶν ἀνθρώπων καὶ ἵππων καὶ τῶν ἄλλων. ὥστε εἰ μηδὲν κωλύει, ὡς ἐπὶ τῶν τῆς φωνῆς στοιχείων, ἀλλὰ καὶ πᾶσα ἀνάγκη πολλὰ εἶναι τὰ ἄλφα καὶ τὰ βῆτα, καὶ πρὸς τούτοις εἰ μηδέν ἐστιν αὐτοάλφα καὶ αὐτοβῆτα παρὰ τὰ καθʼ ἕκαστα καὶ πολλὰ α καὶ πολλὰ β, ἀνάγκη καὶ πολλοὺς εἶναι ἵππους καὶ ἀνθρώπους μὴ ὄντος αὐτοανθρώπου καὶ αὐτοΐππου. τοῦτο γὰρ ἦν ἀκόλουθον ἐπαγαγεῖν, ἐπεὶ καὶ διὰ τὰς ἰδέας τὰ τῆς φωνῆς παρείληπται στοιχεῖα. ὁ δὲ τοῦτο μὲν οὐκ ἐπήγαγεν ἀλλὰ τὸ ἔσονται ἕνεκά γε τούτου ἄπειροι συλλαβαί. καὶ προσυπακουστέον τοῦ εἰ δὲ ἄπειροι βα συλλαβαὶ εἶναι δύνανται μὴ οὔσης αὐτοβα συλλαβῆς, καὶ ἄνθρωποι ἄρα μὴ ὄντος αὐτοανθρώπου. ὥστε ἐπειδὴ τὰ στοιχεῖα ἀνάγκη ἢ καθόλου εἶναι ἢ μερικά, αἱ δὲ ἰδέαι καὶ τὰ στοιχεῖα αὐτῶν δέδεικται ὅτι οὔτε καθόλου εἶναι δύνανται οὔτε μερικαί, δῆλον ὅτι οὐδὲ ὡς στοιχεῖα δύνανται εἶναι οἱ εἰδητικοὶ ἀριθμοί. ἀλλʼ ἡ μὲν τῶν λεγομένων οἶμαι διάνοια τοιαύτη, κατὰ δὲ τὴν λέξιν τὴν καὶ παρὰ τὰς τὸ αὐτοεῖδος ἐχούσας οὐσίας ἕν τι ἀξιοῦσιν εἶναι κεχωρισμένον ἢ τοῦτο λέγοι ἄν, ὃ καὶ πρότερον εἴπομεν, ὅτι εὐλόγως συμβαίνει τὰ εἰρημένα ἄτοπα τοῖς ἀξιοῦσι παρὰ τὰς καθʼ ἕκαστα οὐσίας τὰς ἐχούσας κατʼ αὐτοὺς ἐν ἑαυταῖς τὰς ἰδέας — μεθέξει γὰρ τῶν ἰδεῶν τὰ τῇδε εἶναι βούλονται —, τοῖς δὴ ἀξιοῦσι παρὰ τὰ καθʼ ἕκαστα ἕν τι εἶναι αὐτοεῖδος κεχωρισμένον ταῦτα συμβαίνει. καὶ δεῖ τὴν λέξιν οὕτως ἀναγινώσκειν «καὶ ἀξιοῦσιν ἕν τι εἶναι κεχωρισμένον αὐτοεῖδος ἕτερον παρὰ τὰς οὐσίας τὰς αἰσθητὰς καὶ ἐχούσας ἐν ἑαυταῖς τὰς ἰδέας». μεθέξει γὰρ τῶν ἰδεῶν ὄντων ἡμῶν, πῶς οὐκ ἂν εἶεν ἐν ἡμῖν; ἢ τὸ καὶ παρὰ τὰς τὸ αὐτοεῖδος ἐχούσας οὐσίας καὶ ἰδέας ἕν τι ἀξιοῦσιν εἶναι κεχωρισμένον εἴρηται ἀντὶ τοῦ εὐλόγως συμβαίνει αὐτοῖς ταῦτα, ὅταν ἀξιῶσιν ἕν τι αὐτοεῖδος εἶναι κεχωρισμένον — λέγων αὐτοεῖδος τὸ ἀρχικὸν ἕν — παρὰ τὰς οὐσίας, αὐτὰς δὴ τὰς ἰδέας καὶ ἐχούσας τὸ ἀρχικὸν ἓν ἤτοι τὸ αὐτοεῖδος· εἶδος γὰρ ὂν τὸ ἀρχικὸν ἓν κατʼ αὐτοὺς τῶν ἰδεῶν. εὔδηλον δʼ ὡς ἔχουσιν αὐτὸ αἱ ἰδέαι· ὥστε εἰ λέγοι αὐτοεῖδος τὸ ἀρχικὸν ἕν, καὶ οὐσίας ἐχούσας τὸ αὐτοεῖδος μὴ τὰς τῇδε καὶ αἰσθητάς, ἀλλὰ τὰς ἰδέας, δεῖ κατὰ ταύτην τὴν ἐπιβολὴν οὑτωσὶ τῆς λέξεως ἀκούειν «ὅταν ἀξιῶσιν εἶναι ἕν τι αὐτοεῖδος, τουτέστιν ἀρχικὸν ἕν, ἕτερον παρὰ τὰς εἰδητικὰς οὐσίας τὰς ἐχούσας κατʼ αὐτοὺς τὸ ἀρχικὸν ἕν, ταῦτα συμβαίνει». Τὸ δὲ τὴν ἐπιστήμην εἶναι καθόλου πᾶσαν, ὥστε ἀναγκαῖον εἶναι καὶ τὰς τῶν ὄντων ἀρχὰς καθόλου εἶναι.
Δείξας ὅτι τὰ καθόλου οὔκ εἰσι κεχωρισμένα καὶ καθʼ αὑτά, ἔχων δὲ καὶ ὅτι αἱ ἐπιστῆμαι τῶν καθόλου εἰσίν, ἐπειδὴ παντὸς ἦν ζητεῖν ὡς εἴπερ αἱ ἐπιστῆμαι τῶν καθόλου, τὰ δὲ καθόλου μὴ ὄντα, αἱ ἐπιστῆμαι ἄρα τῶν μὴ ὄντων εἰσί, λέγει οὖν ὅτι τὸ λέγειν ὡς πᾶσα μὲν ἐπιστήμη τῶν καθόλου ἐστὶ καὶ διὰ τοῦτο ἀνάγκη καὶ τὰς τῶν ὄντων ἀρχὰς καθόλου εἶναι καὶ οὔσας, πᾶν δὲ ὂν κεχωρισμένον καὶ καθʼ αὑτό, καὶ αἱ τῶν ὄντων ἀρχαὶ ἄρα; ὧν εἶναι καὶ τὰς ἐπιστήμας φαμέν, καὶ καθόλου καὶ κεχωρισμέναι, ἢ εἰ μὴ τοῦτο, συμβαίνει τὰς ἐπιστήμας εἶναι μὴ ὄντων, τὸ δὴ τοῦτο λέγειν, φησίν, ἔχει μὲν μάλιστα πάντων τῶν ῥηθέντων ἀπορίαν — αὕτη δὲ ἦν ἡ τὰς ἐπιστήμας μὴ ὄντων εἶναι λέγουσα· τοῦτο δέ, φησί, τὸ τὴν ἐπιστήμην εἶναι μὴ ὄντων τρόπον μέν τινα ἀληθές ἐστι, τρόπον δέ τινα οὐκ ἀληθές· ἔστι γὰρ ἡ ἐπιστήμη καὶ ὄντος καὶ μὴ ὄντος. καὶ πῶς ἐπάγει· ἡ γὰρ ἐπιστήμη, ὥσπερ καὶ τὸ ἐπίστασθαι διττόν. ὡς γὰρ ἐπίστασθαι λέγομεν τὸν ἔχοντα μὲν τὴν ἐπιστήμην, μὴ ἐνεργοῦντα δὲ κατʼ αὐτὴν δυνάμενον δʼ ἐνεργῆσαι, καὶ τὸν ἔχοντα ἤδη καὶ ἐνεργοῦντα, ὡς οὖν τὸ ἐπίστασθαι τὸ μὲν λέγεται κατὰ δύναμιν τὸ δὲ κατʼ ἐνέργειαν, οὕτω καὶ ἡ ἐπιστήμη δυνάμει καὶ ἐνεργείᾳ, δυνάμει μὲν ἡ ἐν ἡμῖν ἕξις καθʼ ἣν δυνάμεθα πᾶν ὃ ἂν ἡμῖν προτεθῇ τρίγωνον, εἴτε ξύλινον εἴτε χαλκοῦν ἢ ἄλλο ὁτιοῦν, δεικνύναι ὅτι τὰς τρεῖς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ἔχει, ἥτις ἕξις καθόλου ἐπιστήμη λέγεται· ἐνεργείᾳ δὲ ἐπιστήμη λέγεται ἡ τοιάδε ἐν ἡμῖν γινομένη κίνησις, ὅταν δείκνυμεν ὅτι τοῦδε τοῦ τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ἥτις καὶ μερική — περὶ γὰρ τόδε τὸ μερικὸν τρίγωνόν ἐστι — λέγεται. καὶ ἔοικεν ἡ μὲν καθόλου ἐπιστήμη τῇ ὀπτικῇ ἡμῶν δυνάμει, ἣν καὶ ὑπνώττοντες καὶ ἐγρηγορότες ἔχομεν, ἡ δὲ μερικὴ ἐπιστήμη τῇ ὁράσει, ἥτις ὅρασις γίνεται, ὅταν ἡ ὄψις ἐνεργῇ περὶ τὰ χρώματα καὶ ὁρᾷ αὐτά. καὶ τούτῳ διαφέρει ἡ ἐνεργείᾳ καὶ μερικὴ ἐπιστήμη τῆς καθόλου καὶ ὡς ἕξεως λεγομένης, ὅτι ἡ μὲν μερικὴ τοῦδέ ἐστι τοῦ τριγώνου ὃ νῦν δείκνυσιν, ἡ δὲ καθόλου καὶ ὡς ἕξις καὶ ἄλλων ἀπείρων. τὸ δὲ καθόλου τρίγωνον διαφέρει τοῦ μερικοῦ, ὅτι τὸ μὲν καθόλου ἀόριστον — οὐ γὰρ ἐν χαλκοῖς τριγώνοις ὁρίζεται ἡ φύσις αὐτοῦ ἢ ἐν ξυλίνοις ἢ γηίνοις, ἀλλʼ ἐν ἅπασιν αὐτὸ εἶναί τε καὶ εὑρίσκεσθαι δύναται, ὥστε καὶ ὡς ἀόριστον καὶ ἐννοηματικὸν μὴ ὂν αὐτό φαμεν· τὸ γὰρ ἀόριστον καὶ μὴ ἐπερεῖδον ἡμῶν τὴν διάνοιαν κατʼ οὐδὲν ἀπέοικε τοῦ μὴ ὄντος —, τὸ δὲ μερικὸν τρίγωνον ἐπειδὴ αἰσθητόν ἐστι καὶ κείμενόν που, ὡρισμένον καὶ ὄν ἐστι. τούτων οὕτως ἐχόντων ὅταν λέγωμεν ὅτι ἡ ἐπιστήμη τῶν καθόλου ἐστὶ καὶ ὄντων, καθόλου μὲν λέγομεν τὴν καθόλου καὶ ὡς ἕξιν οὖσαν, ὄντων δὲ τὴν μερικὴν καὶ ἐνεργείᾳ καὶ περὶ μερικὰ οὖσαν. ἔστιν οὖν ἡ ἐπιστήμη καὶ τῶν καθόλου καὶ τῶν κατὰ μέρος καὶ ὄντων καὶ μὴ ὄντων, ἡ μὲν καθόλου καὶ ὡς ἕξις τῶν καθόλου τε καὶ μὴ ὄντων — ἐν ἐπινοίᾳ γὰρ μόνῃ αὐτοῖς τὸ εἶναι —, ἡ δὲ μερικὴ καὶ ἐνεργείᾳ ὄντος. καὶ κυρίως μὲν καὶ προηγουμένως διὰ τὴν μερικὴν καὶ τὴν καθόλου διώκομεν· διὰ γὰρ τὸ δύνασθαί με δεικνύναι πᾶν ὃ ἄν μοι δοθῇ τρίγωνον ὅτι τὰς τρεῖς γωνίας δύο ὀρθαῖς ἴσας ἔχει καὶ τὴν καθόλου ζητῶ τε καὶ ἀσπάζομαι, ἐπεὶ αὐτὴν καθʼ αὑτὴν οὐδεὶς ἂν ἔχειν ἐθελήσειεν. ἡ μὲν οὖν δύναμις, φησί, λέγων δύναμιν τὸν ἐν ἡμῖν νοῦν· οὗτος γὰρ δυνάμει τὰ καθόλου· γραμματείῳ γὰρ ἀγράφῳ ἐν τῇ Περὶ ψυχῆς αὐτὸν ἀπείκασεν. οὗτος οὖν ὁ νοῦς ὕλη ἐστὶ τῶν καθόλου, ταῦτα δὲ εἴδη· καὶ ἐπεὶ ὡς ὕλη ἐστί, καὶ ἀόριστός ἐστι· πᾶσα γὰρ ὕλη ὑπὸ εἴδους ὁρίζεταί τε καὶ κοσμεῖται. ἔστιν οὖν ὁ νοῦς ὁ δυνάμει ὕλη ἀόριστος εἴδους ἀορίστου· τοῦ γὰρ καθόλου· ταῦτα γάρ, ὡς εἴρηται, ἀόριστα. ἡ δὲ ἐνεργείᾳ δύναμις, τουτέστιν ὁ κατʼ ἐνέργειαν νοῦς, ἡ μερικὴ ἐπιστήμη ἐστίν, ὡρισμένη καὶ ὡρισμένου τινός — τοῦ γὰρ αἰσθητοῦ τριγώνου — τόδε τι καὶ μερικὴ οὖσα τοῦδέ τινος καὶ μερικοῦ ἐστι. δύναται διὰ τοῦ ἡ μὲν οὖν δύναμις ὡς ὕλη τοῦ καθόλου οὖσα καὶ τῶν ἑξῆς δύναμιν λέγειν τὴν ἐν ἡμῖν ἕξιν, ἣν καὶ καθόλου φαμὲν ἐπιστήμην. καὶ εἴη ἂν λέγων ὅτι ἡ μὲν δύναμις ἤτοι ἡ ἐν ἡμῖν ἕξις ἤτοι ἡ καθόλου ἐπιστήμη, τοῦ καθόλου οὖσα, ὕλη ἐστὶ τῆς μερικῆς ἐπιστήμης· εἰδοποιεῖται γὰρ ὑπʼ αὐτῆς. καὶ οὐ μόνον ὕλη ἐστὶν αὐτῆς, ἀλλὰ καὶ ἀόριστός ἐστι τοῦ καθόλου καὶ ἀορίστου οὖσα. εἰ γὰρ ἡ καθόλου ἐπιστήμη οὐδὲν ἄλλο ἐστὶν ἢ τὸ καθόλου εἶδος, τοῦτο δὲ ἀόριστον, ἀόριστος ἄρα καὶ αὕτη. πάλιν ἐπεὶ ἡ μερικὴ καὶ ἐνεργείᾳ ἐπιστήμη ἡ αὐτή ἐστι τῷ μερικῷ τριγώνῳ, ὡρισμένον δὲ τοῦτο, ὡρισμένη ἄρα καὶ αὕτη καὶ ὡρισμένου τινός. ὅτι δὲ ἡ καθόλου ἐπιστήμη διὰ τὴν μερικήν ἐστι καὶ ταύτης χάριν καὶ τὴν καθόλου ἀσπαζόμεθα, δείκνυσι τῇ παραθέσει τῆς αἰσθήσεως. ὡς γὰρ ἡ ὄψις προηγουμένως μὲν τοῦδέ τινος τοῦ ἀτόμου χρώματός ἐστι, κατὰ συμβεβηκὸς δὲ καὶ τοῦ ἐν τῷ ἀτόμῳ κοινοῦ — τὸ γὰρ καθʼ ἕκαστον ὁρῶν τις τρόπον τινὰ καὶ τὸ ἐν αὐτῷ καθόλου ὁρᾷ —, ὁμοίως καὶ ὥσπερ τις προηγουμένως μὲν τόδε τὸ ἄλφα θεωρεῖ εἰ χρὴ δασύνεσθαι ἢ ψιλοῦσθαι, ἐκτείνεσθαί τε ἢ βραχύνεσθαι, κατὰ συμβεβηκὸς δὲ καὶ τὸ ἐν αὐτῷ κοινόν, οὕτω καὶ ἡ ἐπιστήμη προηγουμένως μὲν μερική ἐστιν, ἡ τὰ ἐπιστητὰ δεικνύουσα — πᾶν γὰρ ὃ ἂν εἰς δεῖξιν ληφθείη μερικόν —, κατὰ συμβεβηκὸς δὲ ἐν αὐτῷ θεωρεῖ τὸ καθόλου καὶ δείκνυσιν. εἰ οὖν ταῦτʼ ἀληθῆ, οὐκ ἔσται χωριστὸν οὐδὲν οὐδʼ οὐσία καθόλου καθʼ αὑτήν, ἵνʼ ᾖ ταύτης ἡ ἐπιστήμη· ἀλλὰ δῆλον ὅτι τρόπον μέν τινά ἐστιν ἡ ἐπιστήμη τοῦ καθόλου καὶ μὴ ὄντος, ἡ καθόλου δηλονότι καὶ δυνάμει, τρόπον δέ τινα οὐκ ἔστι τοῦ καθόλου, ἀλλὰ τοῦ μερικοῦ, ἡ ἐνεργείᾳ δηλονότι. τὸ δὲ ἐπεὶ εἰ ἀνάγκη τὰς ἀρχὰς καθόλου εἶναι, ἀνάγκη καὶ τὰ ἐκ τούτων καθόλου συνεχές ἐστι τοῖς ἐπάνω, ἐν οἷς ἐδείκνυεν ὅτι ἀδύνατόν ἐστι τὸ ἀρχικὸν ἓν καὶ τὴν ἀόριστον δυάδα καθόλου εἶναι. ἔστι δὲ τὸ λεγόμενον ὡς εἴπερ αἱ ἀρχαί, τὸ αὐτοὲν δηλονότι καὶ ἡ ἀόριστος δυάς, καθόλου εἰσίν, ἀνάγκη καὶ τὰς ἐξ αὐτῶν ἰδέας καθόλου εἶναι, ταὐτὸ δὲ εἰπεῖν συμβεβηκότα, ὥσπερ ἐπὶ τῶν ἀποδείξεων· καὶ γὰρ ἐπὶ τούτων ὅταν ὦσιν αἱ προτάσεις καθόλου, καὶ τὰ ἐξ αὐτῶν συμπεράσματα καθόλου ἐστίν.
Ὧδε μὲν οὖν πεπεράτωται τὸ Μ τῆς Μετὰ τὰ φυσικὰ πραγματείας.