α α α α α α α α α α α β γ δ ε ϛ ζ η θ ι α γ ϛ ι ιε κα κη λϛ με δυαδικαὶ συζυγίαι α δ ι κ λε νϛ πδ ρκ τριαδικαὶ συζυγίαι α ε ιε λε ο ρκϛ σι α ϛ κα νϛ ρκϛ σνβ α ζ κη πδ σι α η λϛ ρκ α θ με α ι α Ὅρων δοθέντων ὁποσαοῦν εὑρεῖν δυαδικὰς συζυγίας. εὑρίσκομεν δὲ αὐτὰς οὕτως· λαμβάνομεν τῶν δοθέντων ὅρων ι ἀριθμὸν μονάδι ἐλάττονα καὶ πολυπλασιάζομεν αὐτὸν εἰς τὸν ἐγγὺς αὐτοῦ μονάδι μείζονα καὶ ἐκ τοῦ γενομένου ποσοῦ λαμβάνομεν τὸ ἥμισυ· καὶ ἔχομεν αὐτὴν εὕρεσιν τῶν δοθέντων ὅρων δυαδικὰς συζυγίας. τὰς δὲ τριαδικὰς οὕτως· λαμβάνομεν τὸν δυάδι· ἐλάσσονα ἀριθμὸν τοῦ ποσοῦ τῶν ἐξ ἀρχῆς δοθέντων ὅρων καὶ πολλαπλασιάζομεν ἐπὶ τὸ ποσὸν τὸ γεγονὸς ἐκ τῶν δυαδικῶν συζυγιῶν ἐκ τοῦ ποσοῦ τῶν δοθέντων ἐξ ἀρχῆς ὅρων καὶ τοῦ γεγονότος πολλαπλασιασμοῦ λαμβάνομεν τὸ τρίτον μέρος· καὶ ἔχομεν τριαδικὰς συζυγίας. καὶ ἑξῆς ὁμοίως. Μέθοδος εἰς τοὺς τριγωνικοὺς ἀριθμούς. δοθείσης πλευρᾶς εὑρεῖν τὸ πλῆθος τῶν μονάδων τοῦ ἐμβαδοῦ. ἔστω ἡ πλευρὰ μοιρῶν ζ· ταύτης τὸ ἥμισυ γίνεται γ ἥμισυ. πρόσθες καθόλου τὸ ἥμισυ· γίνεται δ. τετράκις τὸ ζ γίνεται κη. πάλιν ἔστω ἡ πλευρὰ μοιρῶν η· ὧν τὸ ἥμισυ δ. πρόσθες ἥμισυ· γίνεται δ𐅵. ἐπὶ τὸ η γίνεται λϛ· ὁμοίως ἐπὶ πάντων. μέθοδος ἄλλη χρησιμωτέρα. πᾶς ἀριθμὸς διαιρεθεὶς εἰς δύο ἀριθμούς, ὥστε μονάδι ἀλλήλων διαφέρειν τὰ τμήματα, ἐὰν πολλαπλασιασθῇ ἐφʼ ὁποιονοῦν, ὁ ὅλος τριγωνικὸς ἔσται· πλευρὰ δὲ ἔσται τοῦ μὲν μείζονος τριγώνου ὁ ἐξ ἀρχῆς ἀριθμός, τοῦ δὲ ἐλάττονος ὁ μονάδι ἐλάσσων αὐτοῦ· οἷον ὁ θ διαιρεῖται εἰς δ καὶ ε· γίνεται οὖν λϛ, με· πλευρὰ δὲ τοῦ μὲν ὁ η, τοῦ δὲ ὁ θ. πάλιν ὁ ιβ εἰς ε ἥμισυ καὶ ϛ ἥμισυ· γίνεται ξϛ, οη· πλευρὰ δὲ τοῦ μὲν ὁ ια, τοῦ δὲ ὁ ιβ. Δῆλον τοῦτό ἐστι μάλιστα ἀπὸ τῶν ἡλιακῶν ἀκτίνων. ἐὰν γὰρ ἐν σταθερᾷ μεσημβρίᾳ τοῦ ἡλίου φλογῶδες ἐλλάμποντος ὕδωρ τις ἐν πινακίσκῳ βαλὼν ἔγγιον αὐτὸ θῇ τοίχου τινός, κατʼ ἐκεῖνο δηλονότι τὸ μέρος, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὰς ἀκτῖνας ἀφίησιν, αὐτίκα γενήσονται παλμοί τινες ἐπὶ τὸν τοῖχον ἀπὸ τοῦ ὕδατος, ὡς ὁρᾶσθαι τὰς ἀκτῖνας παλλομένας τοῦ ἡλίου ἐπὶ τὸν τοῖχον καὶ οἷον ὑποτρεμούσας, ὅπερ ἐστὶν ἡ λεγομένη ἀντανάκλασις. καὶ εἴγε ἦν αἰσθητικώτερον ἰδεῖν τὴν ἀκτῖνα, καθάπερ ξύλον ἢ λίθον ἢ ἄλλο τι σῶμα τοιοῦτον, εἶδες ἂν τὴν ἀπὸ ταύτης ἐπὶ τὴν ἀνακλωμένην εὐθεῖαν ἐπιζευγνυμένην γραμμὴν πρὸς ἴσας γωνίας οὖσαν ἑκατέραις καὶ διάνδιχα ταύτας μερίζουσαν. ἐπεὶ τοίνυν, ὅπερ ἐστὶν ἥλιος ἐν κόσμῳ, τοῦτο ἐν σώματι ὀφθαλμός, τὸ αὐτὸ καὶ ἐπὶ τούτου γενήσεται, ὅπερ καὶ ἐπὶ τοῦ ἡλίου, ὅταν θεωρῇ διά τινος σώματος καθαρωτάτου καὶ διαφανοῦς, οἷον τὸ τῆς ὑέλλου. ὑποστήσεται γάρ τινα παλμὸν ἡ ἀπὸ τοῦ ὀφθαλμοῦ ἐπὶ τὴν ὕελλον ἀποχεομένη ἀκτὶς καὶ γωνίαν τὴν αὐτὴν ποιήσει πρὸς τῷ ἐνόπτρῳ, οἵαν ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς αὐτό. δῆλον, ὅτι, εἰ μὲν πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἐστὶν αὐτὴ ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος, αὐτὴ διʼ ἑαυτῆς ἀνακλασθήσεται, εἰ δὲ πρὸς ἀμβλείας, ἔσται ἀναλόγως καὶ ἡ ἀντανακλωμένη αὐτὴ ἰσογώνιος αὐτῇ, τουτέστιν ἴσην ἔχουσα τὴν πρὸς τῇ κατὰ τὸ ἔνοπτρον συναφῇ γωνίαν τῇ ἀπὸ τῆς τοῦ ὄμματος ἀκτῖνος πρὸς τῷ αὐτῷ σημείῳ, καὶ τοῦτό ἐστιν, ὅπερ φησὶν Εὐκλείδης, ὅτι ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων ἐνόπτρων καὶ κυρτῶν καὶ κοίλων αἱ ὄψεις ἐν ἴσαις γωνίαις ἀνακλῶνται.
Scholia on Euclid's Data and Catoptrics is a short set of anonymous notes filed under two of Euclid's lesser works, the Data and the Catoptrics. It is the smallest of the seven sets of Euclid scholia, and its notes are miscellaneous rather than a running commentary.
The set opens with a table of numbers and rules for counting the pairs and the triples that can be formed from a given number of terms, followed by two methods for finding triangular numbers, each worked through with examples. A separate note on reflection then explains, from sunlight thrown by a dish of water onto a wall, that a reflected ray makes equal angles, and closes with Euclid's statement that from plane, convex and concave mirrors the visual rays are reflected at equal angles. The arithmetical notes do not name the passage they accompany; the optical note refers explicitly to the Catoptrics, a work transmitted under Euclid's name whose Euclidean authorship is doubted.
The notes come down in the Greek manuscript tradition of Euclid's minor works and were edited with the other Euclid scholia in the Heiberg–Menge edition. Their date is uncertain. They show the mixture of arithmetic and optics that gathered in the margins of Euclid's lesser works in late-antique and Byzantine teaching.
Scholia on Euclid Scholia on Euclid's Data and Catoptrics in Greek in PDF
Scholia on Euclid Scholia on Euclid's Data and Catoptrics in Greek in MD