eul_wid: liq-ab
On the Moving SphereΠερὶ τῆς κινούμενης σφαίρας
Autolycus of Pitane On the Moving Sphere PDF
_On the Moving Sphere_ by Autolycus of Pitane, written around 310 BCE, is the earliest surviving Greek mathematical treatise on astronomy. This foundational work of spherical geometry consists of sixteen propositions that systematically describe the behavior of circles on a uniformly rotating sphere, thereby modeling the daily rotation of the heavens. Employing a rigorous, deductive style, it establishes essential theorems for observational astronomy. The treatise focuses purely on the geometry of a sphere with a fixed axis, exploring the properties of great and small circles, how these circles rise and set relative to a horizon, and the conditions under which a point on the sphere is always visible, always invisible, or alternately rises and sets. The complete Greek text survives, having been transmitted as part of the medieval "Little Astronomy" collection. Its translation into Arabic and later into Latin secured its enduring place in the scientific tradition. For centuries, _On the Moving Sphere_ served as a standard and influential textbook. Its methodology of applying pure geometry to celestial motion set a vital precedent for the Hellenistic astronomical tradition and remained a part of the scientific curriculum well into the early modern period.
| t [5] | ΑΥΤΟΛΥΚΟΥ ΠΕΡΙ ΚΙΝΟΥΜΕΝΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ Ὁμαλῶς λέγεται φέρεσθαι σημεῖα ὅταν ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἴσα τε ἢ καὶ ὅμοια μεγέθη διεξέρχηται· ἐὰν δὲ ἐπί τινος γραμμῆς φερόμενόν τι σημεῖον ὁμαλῶς δύο γραμμὰς διεξέλθῃ, τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ὅ τε χρόνος πρὸς τὸν χρόνον ἐν ᾧ τὸ σημεῖον ἑκατέραν τῶν γραμμῶν διεξῆλθεν καὶ ἡ γραμμὴ πρὸς τὴν γραμμήν. |
| p [5] | [Ἄξων σφαίρας ἐστὶν ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας περὶ ἣν μένουσαν ἡ σφαῖρα στρέφεται· πόλοι δὲ τῆς σφαίρας εἰσὶ τὰ πέρατα τοῦ ἄξονος]. Ἐὰν σφαῖρα στρέφηται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα, [Omitted graphic marker] πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος κύκλους γράψει παραλλήλους τοὺς αὐτοὺς πόλους ἔχοντας τῇ σφαίρᾳ, καὶ ἔτι ὀρθοὺς πρὸς τὸν ἄξονα. |
| 1 [35] | Ἔστω σφαῖρα ἧς ἄξων ἔστω ἡ αβʹ εὐθεῖα, πόλοι δὲ αὐτῆς τὰ αʹ βʹ σημεῖα, καὶ στρεφέσθω ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα τὸν αβʹ· λέγω ὅτι πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος κύκλους γράψει παραλλήλους τοὺς αὐτοὺς πόλους ἔχοντας τῇ σφαίρᾳ, καὶ ἔτι ὀρθοὺς πρὸς τὸν ἄξονα. Εἰλήφθω γάρ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, τὸ γʹ· καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ γʹ ἐπὶ τὴν αβʹ εὐθεῖαν κάθετος ἡ γδʹ, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν πόλων τῶν αʹ βʹ καὶ τῆς γδʹ ἐπίπεδον· ποιήσει δὴ τομὴν κύκλον. Ἔστω αὐτοῦ ἡμικύκλιον τὸ αγβʹ· ἐὰν δὴ μενούσης τῆς αβʹ εὐθείας περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, συμπεριενεχθήσεται αὐτῷ καὶ ἡ γδʹ εὐθεῖα κατὰ πᾶσαν μετακίνησιν τοῦ αγβʹ ἡμικυκλίου διαμένουσα τῇ αβʹ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθάς, καὶ γράψει κύκλον ἐν τῇ σφαίρᾳ οὗ κέντρον ἔσται τὸ δʹ σημεῖον, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ γδʹ πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῷ αβʹ ἄξονι. Καὶ φανερὸν ὅτι τὰ αʹ βʹ σημεῖα πόλοι ἔσονται τοῦ γραφέντος κύκλου, ἐπειδήπερ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας κάθετος ἦκται καὶ ἐκβέβληται ἡ αβʹ ἕως τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας. Ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα, ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος, κύκλους γράψει πρὸς ὀρθὰς τῷ αβʹ ἄξονι τοὺς αὐτοὺς πόλους ἔχοντας τῇ σφαίρᾳ· οἱ δὲ περὶ τοὺς αὐτοὺς πόλους ὄντες ἐν σφαίρᾳ κύκλοι παράλληλοί εἰσι· πάντα ἄρα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα, ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος, κύκλους γράψει παραλλήλους τοὺς αὐτοὺς πόλους ἔχοντας τῇ σφαίρᾳ καὶ ἔτι ὀρθοὺς πρὸς τὸν ἄξονα. Ἐὰν σφαῖρα στρέφηται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα. |
| 2 [45] | πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ τὰς ὁμοίας περιφερείας διεξέρχεται τῶν παραλλήλων κύκλων καθ’ ὧν φέρεται. Σφαῖρα γὰρ στρεφέσθω ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα [Omitted graphic marker] τὸν αβʹ, πόλοι δὲ τῆς σφαίρας ἔστωσαν τὰ αʹ βʹ σημεῖα, καὶ εἰλήφθω τινὰ σημεῖα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὰ γʹ δʹ· λέγω ὅτι τὰ γʹ δʹ σημεῖα ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ τὰς ὁμοίας περιφερείας διεξέρχεται τῶν παραλλήλων κύκλων καθ’ ὧν φέρεται. Ἔστωσαν γὰρ παράλληλοι κύκλοι καθ’ ὧν φέρεται τὰ γʹ δʹ σημεῖα οἱ γεʹ δζʹ, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῆς αβʹ καὶ τοῦ γʹ ἐπίπεδον· ποιήσει δὴ τομὴν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλον. Ἔστω δὲ αὐτοῦ ἡμικύκλιον τὸ αγβʹ· ἤτοι δὴ ἐλεύσεται καὶ διὰ τοῦ δʹ ἢ οὔ. Ἐρχέσθω πρότερον καὶ ἔστω τὸ αγδβʹ, καὶ ἐν τῇ περιφορᾷ τῆς σφαίρας μετακεκινήσθω τὸ αγδβʹ ἡμικύκλιον καὶ ἐχέτω θέσιν ὡς τὴν αεζβʹ· ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι εἰσὶν οἱ γεʹ δζʹ καὶ διὰ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστοι κύκλοι γεγραμμένοι εἰσὶν οἱ αγδβʹ αεζβʹ, ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ γεʹ περιφέρεια τῇ δζʹ περιφερείᾳ· λέγω οὖν ὅτι ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ γʹ σημεῖον ἐπὶ τὸ εʹ παραγίγνεται καὶ τὸ δʹ ἐπὶ τὸ ζʹ. Μὴ γάρ, ἀλλ’ εἰ δυνατόν, ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ μὲν γʹ σημεῖον ἐπὶ τὸ εʹ σημεῖον παραγιγνέσθω, τὸ δὲ δʹ ἐπὶ τὸ ηʹ· στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας, ὅταν τὸ γʹ ἐπὶ τὸ εʹ παραγένηται καὶ τὸ δʹ ἐπὶ τὸ ηʹ, καὶ τὸ αγδβʹ ἡμικύκλιον θέσιν ἕξει ὡς τὴν αεηβʹ· καὶ ἐπεὶ μέγιστός ἐστιν ἑκάτερος τῶν αεζβʹ αεηβʹ κύκλων, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ αʹ ἐπὶ τὸ εʹ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα διάμετρός ἐστι τῆς σφαίρας· ἀλλὰ καὶ ἡ αβʹ, ὅπερ ἄτοπον· οὐκ ἄρα ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ γʹ σημεῖον ἐπὶ τὸ εʹ παραγίγνεται καὶ τὸ δʹ ἐπὶ τὸ ηʹ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ ἐπ’ ἄλλο τι πλὴν ἐπὶ τὸ ζʹ σημεῖον. Μὴ ἐρχέσθω δὴ τὸ ἡμικύκλιον τὸ διὰ τῶν αʹ γʹ βʹ διὰ τοῦ [Omitted graphic marker] δʹ, ἀλλὰ διὰ τοῦ θʹ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, καὶ ἔστω παράλληλος κύκλος καθ’ οὗ φέρεται τὸ δʹ σημεῖον ὁ δθζʹ, καὶ κείσθω τῇ γεʹ ὁμοία ἡ δηʹ· ἀλλ’ ἡ γεʹ περιφέρεια τῇ θζʹ περιφερείᾳ ἐστὶν ὁμοία· καὶ ἡ δηʹ ἄρα τῇ θζʹ ἐστὶν ὁμοία· καὶ εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ δηʹ περιφέρεια τῇ θζʹ περιφερείᾳ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ δʹ ἐπὶ τὸ ηʹ παραγίγνεται καὶ τὸ θʹ ἐπὶ τὸ ζʹ· ἐν ἴσῳ δὲ χρόνῳ τὸ θʹ ἐπὶ τὸ ζʹ παραγίγνεται καὶ τὸ γʹ ἐπὶ τὸ εʹ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ γʹ ἐπὶ τὸ εʹ παραγίγνεται καὶ τὸ δʹ ἐπὶ τὸ ηʹ. |
| 2 (50) [95] | [Ἄλλως. Σφαῖρα γὰρ στρεφέσθω ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα τὸν αβʹ, πόλοι δὲ τῆς σφαίρας ἔστωσαν τὰ αʹ βʹ σημεῖα, [Omitted graphic marker] καὶ εἰλήφθω τινὰ σημεῖα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὰ γʹ δʹ, καὶ ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι καθ’ ὧν φέρεται τὰ γʹ δʹ σημεῖα οἱ γεζʹ δηθʹ, καὶ κείσθω ἴση τῇ δηʹ περιφερείᾳ ἡ γεʹ περιφέρεια· λέγω ὅτι τὰ γʹ δʹ σημεῖα ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ τὰς γεʹ δηʹ περιφερείας διεξέρχεται. Διὰ γὰρ τῶν αʹ γʹ σημείων μέγιστος κύκλος γεγράφθω· ἐλεύσεται δὴ διὰ τοῦ βʹ· ἤτοι δὴ καὶ διὰ τοῦ δʹ ἢ οὔ. Ἐρχέσθω πρότερον καὶ ἔστω τὸ αγδβʹ· ὁ δὲ κύκλος διὰ τῶν αʹ εʹ γεγραμμένος καὶ διὰ τοῦ ηʹ ἐλεύσεται· καὶ ἔστω τὸ αεηβʹ· λέγω οὖν ὅτι ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ γʹ σημεῖον ἐπὶ τὸ εʹ παραγίγνεται καὶ τὸ δʹ ἐπὶ τὸ ηʹ. Μὴ γάρ, ἀλλ’ εἰ δυνατόν, ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ μὲν γʹ σημεῖον ἐπὶ τὸ εʹ σημεῖον παραγιγνέσθω, τὸ δὲ δʹ σημεῖον ἐπὶ τὸ κʹ σημεῖον. Στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας μετακεκινήσθω τὸ αγδβʹ ἡμικύκλιον καὶ ἐχέτω θέσιν ὡς τὴν αεκβʹ· δύο ἄρα κύκλοι 〈αεηβʹ αεκβʹ〉 τεμοῦσιν ἀλλήλους κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο, ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ γʹ σημεῖον ἐπὶ τὸ εʹ παραγίγνεται καὶ τὸ δʹ ἐπὶ τὸ ηʹ. Μὴ ἐρχέσθω δὴ τὸ ἡμικύκλιον τὸ διὰ τῶν αʹ γʹ διὰ τοῦ [Omitted graphic marker] δʹ, ἀλλὰ διὰ τοῦ κʹ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς· ὁ ἄρα κύκλος διὰ τῶν αʹ εʹ διὰ τοῦ λʹ ἐλεύσεται· καὶ ἔστωσαν αγκβʹ αελβʹ· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ γεʹ περιφέρεια τῇ κλʹ περιφερείᾳ· ἀλλ’ ἡ γεʹ περιφέρεια τῇ δηʹ περιφερείᾳ ἐστὶν ὁμοία· καὶ ἡ κλʹ ἄρα περιφέρεια τῇ δηʹ ἐστὶν ὁμοία· καὶ εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ δηʹ περιφέρεια τῇ κλʹ περιφερείᾳ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ δʹ ἐπὶ τὸ ηʹ παραγίγνεται καὶ τὸ κʹ ἐπὶ τὸ λʹ· ἐν ἴσῳ δὲ χρόνῳ τὸ κʹ ἐπὶ τὸ λʹ παραγίγνεται καὶ τὸ γʹ ἐπὶ τὸ εʹ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ γʹ ἐπὶ τὸ εʹ παραγίγνεται καὶ τὸ δʹ ἐπὶ τὸ ηʹ]. Ἐὰν σφαῖρα στρέφηται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα, ἃς ἐν ἴσῳ χρόνῳ περιφερείας διεξέρχεται σημεῖά τινα τῶν παραλλήλων κύκλων καθ’ ὧν φέρεται, αὗται ὅμοιαί εἰσιν. |
| 3 [5] | Ἔστω σφαῖρα ἧς ἄξων ὁ αβʹ, πόλοι δὲ τὰ αʹ βʹ σημεῖα, [Omitted graphic marker] καὶ εἰλήφθω τινὰ σημεῖα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὰ γʹ δʹ, καὶ ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι καθ’ ὧν φέρεται τὰ γʹ δʹ σημεῖα οἱ γεʹ δζʹ, καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ γʹ σημεῖον τὴν γεʹ περιφέρειαν διαπορευέσθω καὶ τὸ δʹ σημεῖον τὴν δζʹ περιφέρειαν· λέγω ὅτι ὁμοία ἐστὶν ἡ γεʹ περιφέρεια τῇ δζʹ περιφερείᾳ. Εἰ γὰρ μὴ ἔστιν ὁμοία ἡ γεʹ περιφέρεια τῇ δζʹ, ἔστω ὁμοία ἡ γεʹ τῇ δηʹ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ γʹ σημεῖον τὴν γεʹ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὸ δʹ τὴν δηʹ· ἀλλὰ καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ γʹ τὴν γεʹ διαπορεύεται καὶ τὸ δʹ τὴν δζʹ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ δʹ τὴν δζʹ διαπορεύεται καὶ τὸ δʹ τὴν δηʹ· καὶ εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ δηʹ τῇ δζʹ, ἡ ἐλάσσων τῇ μείζονι, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα ὁμοία ἐστὶν ἡ γεʹ τῇ δηʹ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ ἄλλῃ τινὶ πλὴν τῇ δζʹ· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ γεʹ περιφέρεια τῇ δζʹ περιφερείᾳ. Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μένων μέγιστος κύκλος πρὸς ὀρθὰς ὢν τῷ ἄξονι ὁρίζῃ τό τε ἀφανὲς καὶ τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον τῆς σφαίρας, στρεφομένης τῆς σφαίρας περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα οὐδὲν τῶν ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημείων οὔτε δύσεται οὔτε ἀνατελεῖ, ἀλλὰ τὰ μὲν ἐν τῷ φανερῷ ἡμισφαιρίῳ ἀεί ἐστι φανερά, τὰ δὲ ἐν τῷ ἀφανεῖ ἀεί ἐστιν ἀφανῆ. |
| 4 [5] | Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μένων μέγιστος κύκλος ὁ αβʹ πρὸς ὀρθὰς ὢν τῷ ἄξονι ὁριζέτω τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές· λέγω ὅτι στρεφομένης τῆς σφαίρας περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα οὐδὲν τῶν ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημείων οὔτε δύσεται οὔτε ἀνατελεῖ. Εἰλήφθω γάρ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας [Omitted graphic marker] τὸ γʹ, καὶ ἔστω παράλληλος κύκλος καθ’ οὗ φέρεται τὸ γʹ σημεῖον ὁ γδʹ· ὁ γδʹ ἄρα κύκλος πρὸς ὀρθάς ἐστιν τῷ ἄξονι· ἀλλὰ καὶ ὁ αβʹ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ὁ γδʹ κύκλος τῷ αβʹ κύκλῳ. Εἰ ἄρα τὸ γʹ σημεῖον δύσεται ἢ ἀνατελεῖ, συμβαλεῖ ὁ γδʹ κύκλος τῷ αβʹ ὁρίζοντι, ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον· ἔστιν γὰρ αὐτῷ παράλληλος· οὐκ ἄρα τὸ γʹ σημεῖον δύσεται ἢ ἀνατελεῖ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα οὔτε δύσεται οὔτε ἀνατελεῖ, ἀλλὰ τὰ μὲν ἐν τῷ φανερῷ διὰ παντός ἐστιν ἐν τῷ φανερῷ, τὰ δὲ ἐν τῷ ἀφανεῖ διὰ παντός ἐστιν ἐν τῷ ἀφανεῖ. Ἐὰν διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος μένων ὁρίζῃ τό τε φανερὸν καὶ τὸ ἀφανές, πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα στρεφομένης αὐτῆς καὶ δύσεται καὶ ἀνατελεῖ, καὶ τὸν ἴσον χρόνον ὑπέρ τε τὸν ὁρίζοντα ἐνεχθήσεται καὶ ὑπὸ τὸν ὁρίζοντα. |
| 5 [5] | Διὰ γὰρ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος μένων ὁ αβγʹ ὁριζέτω τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές· λέγω ὅτι στρεφομένης τῆς σφαίρας ἐν τῇ περιφορᾷ πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα καὶ δύνει καὶ ἀνατέλλει. Ἔστω γάρ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας [Omitted graphic marker] τὸ δʹ καὶ ἔστω παράλληλος κύκλος καθ’ οὗ φέρεται τὸ δʹ σημεῖον ὁ βδγεʹ· ἐν τῇ ἄρα περιφορᾷ τῆς σφαίρας τὸ δʹ σημεῖον, ὅταν μὲν κατὰ τὸ γʹ γένηται ἀνατέλλει, ὅταν δὲ κατὰ τὸ βʹ δύνει. Καὶ ἐπεὶ ὁ αβγʹ κύκλος τὸν βδγεʹ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ· ἡμικύκλιον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν βεγʹ βδγʹ· τὸ δʹ ἄρα σημεῖον αἰεὶ κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα τοῦ αβγʹ κύκλου καὶ δύσεται καὶ ἀνατελεῖ, καὶ τὸν ἴσον χρόνον ὑπὲρ τὸν ὁρίζοντα ἐνεχθήσεται καὶ ὑπὸ τὸν ὁρίζοντα. Ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα καὶ δύσεται καὶ ἀνατελεῖ, καὶ τὸν ἴσον χρόνον ὑπέρ τε τὸν ὁρίζοντα ἐνεχθήσεται καὶ ὑπὸ τὸν ὁρίζοντα. Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος μένων ὁρίζῃ τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανὲς λοξὸς ὢν πρὸς τὸν ἄξονα, ἐφάψεται δύο κύκλων ἴσων τε καὶ παραλλήλων ἀλλήλοις, καὶ τούτων ὁ μὲν πρὸς τῷ φανερῷ πόλῳ αἰεὶ ἔσται φανερός, ὁ δὲ πρὸς τῷ ἀφανεῖ αἰεὶ ἀφανής. |
| 6 [5] | Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μένων μέγιστος κύκλος ὁ αβγʹ λοξὸς ὢν πρὸς τὸν ἄξονα ὁριζέτω τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές· λέγω ὅτι ὁ αβγʹ κύκλος ἐφάψεται δύο κύκλων ἴσων τε καὶ παραλλήλων ἀλλήλοις, καὶ τούτων ὁ μὲν πρὸς τῷ φανερῷ πόλῳ αἰεὶ ἔσται φανερός, ὁ δὲ πρὸς τῷ ἀφανεῖ αἰεὶ ἔσται ἀφανής. Ἔστω γὰρ ὁ πόλος τῆς σφαίρας ὁ φανερὸς ὁ δʹ, καὶ διὰ [Omitted graphic marker] τοῦ δʹ καὶ τῶν τοῦ αβγʹ κύκλου πόλων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ αδεʹ, καὶ κείσθω τῇ αδʹ περιφερείᾳ ἴση ἡ γεʹ καὶ πόλῳ τῷ δʹ διαστήματι δὲ τῷ αδʹ κύκλος γεγράφθω ὁ αζηʹ, πόλῳ δὲ τῷ εʹ διαστήματι δὲ τῷ εγʹ κύκλος γεγράφθω ὁ γθκʹ· φανερὸν δὴ ὅτι ὁ αζηʹ κύκλος τῷ γθκʹ κύκλῳ ἴσος τε καὶ παράλληλός ἐστιν καὶ ἔτι ὁ αβγʹ κύκλος τῶν αζηʹ γθκʹ κύκλων ἐφάπτεται· λέγω δὴ ὅτι καὶ ὁ μὲν αζηʹ κύκλος αἰεί ἐστι φανερός, ὁ δὲ γθκʹ αἰεί ἐστιν ἀφανής. Εἰ γὰρ μὴ ἔστιν ὁ αζηʹ κύκλος αἰεὶ φανερός, ἐν τῇ περιφορᾷ τῆς σφαίρας ὁ αζηʹ κύκλος συμβαλεῖ τῷ αβγʹ ὁρίζοντι. Συμβαλλέτω κατὰ τὸ λʹ σημεῖον καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ αδʹ δλʹ αγʹ. Ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ αδγʹ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν αβγʹ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ αγʹ τοῦ αβγʹ κύκλου καὶ ὁ αδγʹ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν αβγʹ κύκλον· κύκλου δή τινος τοῦ αβγʹ ἐπὶ διαμέτρου τῆς αγʹ τμῆμα κύκλου ὀρθὸν ἐφέστηκεν τὸ αδγʹ, καὶ ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια εἰς ἄνισα τέμνεται κατὰ τὸ δʹ, καὶ ἔστιν ἐλάσσων ἡ αδʹ, τοῦτο γὰρ φανερόν· ἡ ἄρα αδʹ εὐθεῖα ἐλαχίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ δʹ πρὸς τὸν αβγʹ κύκλον προσπιπτουσῶν εὐθειῶν· ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ἡ αδʹ εὐθεῖα τῆς δλʹ εὐθείας· ἀλλὰ καὶ ἴση, πόλος γάρ ἐστιν τὸ δʹ σημεῖον τοῦ αζηʹ κύκλου, ὅπερ ἄτοπον· ἐν ἄρα τῇ περιφορᾷ τῆς σφαίρας ὁ αζηʹ κύκλος οὐ δύσεται. Ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ ὁ γθκʹ ἀνατελεῖ· ὁ μὲν αζηʹ ἄρα κύκλος αἰεί ἐστιν φανερός, ὁ δὲ γθκʹ αἰεί ἐστιν ἀφανής. Ἐὰν ὁ ὁρίζων ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλος τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανὲς λοξὸς ᾖ πρὸς τὸν ἄξονα, οἱ τῷ ἄξονι πρὸς ὀρθὰς ὄντες κύκλοι καὶ τέμνοντες τὸν ὁρίζοντα κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα αἰεὶ τοῦ ὁρίζοντος τάς τε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιοῦνται, ἔτι δὲ καὶ ὁμοίως ἔσονται κεκλιμένοι πρὸς τὸν ὁρίζοντα. |
| 7 [55] | Ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁρίζων τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανὲς ὁ αηβδγʹ λοξὸς ὢν πρὸς τὸν ἄξονα, οἱ δὲ τῷ ἄξονι πρὸς ὀρθὰς ὄντες κύκλοι καὶ τέμνοντες τὸν ὁρίζοντα ἔστωσαν οἱ αβʹ γδʹ· λέγω ὅτι οἱ αβʹ γδʹ κύκλοι κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα αἰεὶ τοῦ ὁρίζοντος τάς τε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιοῦνται, καὶ διὰ μὲν τῶν δʹ βʹ σημείων τὰς ἀνατολὰς ποιοῦνται, διὰ δὲ τῶν αʹ γʹ τὰς δύσεις. Μὴ γάρ, ἀλλ’ εἰ δυνατόν, ποιείσθω ὁ αβʹ κύκλος δι’ ἄλλου τινὸς σημείου τὴν ἀνατολὴν τοῦ εʹ, διὰ δὲ τοῦ αʹ τὴν δύσιν, καὶ ἔστω ὁ πόλος τῶν παραλλήλων κύκλων τὸ ζʹ σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ ζʹ καὶ τῶν τοῦ αβγδʹ κύκλου πόλων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ηζθʹ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ηθʹ ηζʹ ζεʹ ζβʹ. Ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ηζθʹ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν αβγδʹ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ [Omitted graphic marker] ηθʹ τοῦ αβγδʹ κύκλου καὶ ὁ ηζθʹ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν αβγδʹ κύκλον· κύκλου δή τινος τοῦ αβγδʹ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ηθʹ τμῆμα κύκλου ὀρθὸν ἐφέστηκεν τὸ ηζθʹ, καὶ ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος τοῦ ηζθʹ περιφέρεια εἰς ἄνισα τέτμηται κατὰ τὸ ζʹ σημεῖον, καὶ ἔστιν ἐλάσσων ἡ ζηʹ περιφέρεια ἢ ἡμίσεια· ἡ ζηʹ ἄρα εὐθεῖα ἐλαχίστη ἐστὶν πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ ζʹ σημείου πρὸς τὸν αβγδʹ κύκλον προσπιπτουσῶν εὐθειῶν· καὶ ἡ ἔγγιον ἄρα τῆς ζηʹ τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων ἐστίν· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ζεʹ τῆς ζβʹ· ἀλλὰ καὶ ἴση, ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον· οὐκ ἄρα ὁ αβʹ κύκλος δι’ ἄλλου τινὸς σημείου ἢ διὰ τοῦ βʹ τὴν ἀνατολὴν ποιήσεται, διὰ δὲ τοῦ αʹ τὴν δύσιν. Ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ ὁ γδʹ κύκλος διὰ μὲν τοῦ δʹ τὴν ἀνατολὴν ποιήσεται, διὰ δὲ τοῦ γʹ τὴν δύσιν. Ὥστε οἱ αβʹ γδʹ κύκλοι αἰεὶ κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα τοῦ ὁρίζοντος τάς τε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιοῦνται. Λέγω δὴ ὅτι καὶ ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι οἱ αβʹ γδʹ κύκλοι πρὸς τὸν αβγδʹ ὁρίζοντα. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ αβʹ γδʹ κμʹ λνʹ· ἐπεὶ ὁ ηζθʹ κύκλος τοὺς αβʹ γδʹ αβδγʹ κύκλους διὰ τῶν πόλων τέμνει, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτοὺς τεμεῖ· ὁ ηζθʹ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς ἕκαστον τῶν αβʹ γδʹ αβδγʹ κύκλων· ὥστε καὶ ἑκάτερος τῶν αβʹ αβδγʹ κύκλων ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ηζθʹ· καὶ ἡ κοινὴ ἄρα τομὴ ἡ τῶν αβʹ γδβαʹ ἡ αβʹ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ηζθʹ κύκλον· καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς ἐν τῷ ηζκθʹ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν ἡ αβʹ· ἅπτεται δὲ τῆς αβʹ ἑκατέρα τῶν ηθʹ κμʹ οὖσα ἐν τῷ τοῦ ηζθʹ κύκλου ἐπιπέδῳ· ἡ αβʹ ἄρα πρὸς ἑκατέραν τῶν ηθʹ κμʹ ὀρθή ἐστιν· ὥστε ἡ ὑπὸ τῶν κμθʹ γωνία ἡ κλίσις ἐστὶν ἐν ᾗ κέκλιται ὁ αβʹ κύκλος πρὸς τὸν αβγδʹ κύκλον. |
| 7 (50) [65] | Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν λνθʹ γωνία ἐστὶν ἡ κλίσις ἐν ᾗ κέκλιται ὁ γδʹ κύκλος πρὸς τὸν αβγδʹ κύκλον. Καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ αβʹ γδʹ ὑπό τινος ἐπιπέδου τοῦ ηζθʹ τέμνεται, αἱ κοιναὶ ἄρα αὐτῶν τομαὶ αἱ κμʹ λνʹ εὐθεῖαι παράλληλοί εἰσιν· ὥστε ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν κμνʹ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν λνθʹ γωνίᾳ· καὶ ἔστιν ἡ μὲν ὑπὸ τῶν κμθʹ γωνία ἡ κλίσις ἣν κέκλιται ὁ αβʹ κύκλος πρὸς τὸν αβγδʹ κύκλον, ἡ δὲ ὑπὸ τῶν λνθʹ γωνία ἡ κλίσις ἣν κέκλιται ὁ γδʹ κύκλος πρὸς τὸν αβγδʹ κύκλον· οἱ αβʹ γδʹ ἄρα κύκλοι ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι πρὸς τὸν αβγδʹ κύκλον. Οἱ τῶν αὐτῶν ἐφαπτόμενοι μέγιστοι κύκλοι ὧν καὶ ὁ ὁρίζων ἅπτεται, στρεφομένης τῆς σφαίρας ἐφαρμόσουσιν ἐπὶ τὸν ὁρίζοντα. |
| 8 [5] | Ἔστω ἐν σφαίρᾳ ὁρίζων ὁ αβγʹ, μέγιστος δὲ τῶν μὲν ἀεὶ ἀφανῶν ἔστω ὁ λεʹ, τῶν δὲ αἰεὶ φανερῶν ἔστω ὁ αδʹ, ὧν ἐφάπτεται ὁ αβγʹ ὁρίζων, καὶ γεγράφθω τις μέγιστος κύκλος ἐφαπτόμενος τῶν αδʹ λεʹ ὁ δβεγʹ· λέγω ὅτι στρεφομένης τῆς σφαίρας ὁ δβεγʹ κύκλος ἐφαρμόσει ἐπὶ τὸν αβγʹ ὁρίζοντα. [Omitted graphic marker] Γεγράφθω γάρ τις τῷ αδʹ παράλληλος κύκλος ὁ ηζθʹ· ἀσύμπτωτον δή ἐστιν τὸ ἀπὸ τοῦ δʹ ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ δʹ ζʹ γʹ εʹ μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ αʹ ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ αʹ ηʹ βʹ λʹ μέρη. Ἐπεὶ οὖν παράλληλοί εἰσιν κύκλοι οἱ αδʹ ζηθʹ, καὶ γεγραμμένοι εἰσὶν κύκλοι μέγιστοι οἱ αβγʹ δβεγʹ ἑνὸς μὲν αὐτῶν ἐφαπτόμενοι τοῦ αδʹ, τὸν δὲ ηζθʹ τέμνοντες, καὶ εἰσὶν μεταξὺ τῶν ἀσυμπτώτων ἡμικυκλίων αἱ δκαʹ ζηʹ λεʹ περιφέρειαι, ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ δκαʹ περιφέρεια τῇ ζηʹ καὶ τῇ λεʹ περιφερείᾳ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ δʹ τὴν δκαʹ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ αʹ παραγίγνεται, καὶ τὸ ζʹ τὴν ζηʹ διελθὸν ἐπὶ τὸ ηʹ παραγίγνεται, καὶ ἔτι τὸ εʹ τὴν λεʹ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ λʹ παραγίγνεται· ὥστε ἐν τῇ περιφορᾷ τῆς σφαίρας, ὅταν τὸ δʹ ἐπὶ τὸ αʹ παραγένηται, τότε καὶ τὸ ζʹ ἐπὶ τὸ ηʹ παρέσται καὶ τὸ εʹ ἐπὶ τὸ λʹ, καὶ ἐφαρμόσει ἡ δζεʹ περιφέρεια ἐπὶ τὴν αηλʹ· ὥστε καὶ ὅλος ὁ δβεγʹ κύκλος ἐφ’ ὅλον τὸν αβγʹ κύκλον ἐφαρμόσει· εἰ γὰρ οὐκ ἐφαρμόσει, δύο κύκλοι τεμοῦσιν ἀλλήλους κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο, ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον· στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας ἐφαρμόσει ὁ δβεʹ κύκλος ἐπὶ τὸν αβγʹ κύκλον. Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος λοξὸς ὢν πρὸς τὸν ἄξονα ὁρίζῃ τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές, τῶν ἅμα ἀνατελλόντων σημείων τὰ πρὸς τῷ φανερῷ πόλῳ ὕστερον δύνει, τῶν δὲ ἅμα δυνόντων τὰ πρὸς τῷ φανερῷ πόλῳ πρότερον ἀνατέλλει. |
| 9 [5] | Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ αβγʹ λοξὸς ὢν πρὸς τὸν ἄξονα ὁριζέτω τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές, καὶ εἰλήφθω δύο σημεῖα τὰ γʹ εʹ ὁμόσε ἀνατέλλοντα, καὶ ἔστω ἔγγιον τοῦ φανεροῦ πόλου τὸ γʹ ἤπερ τὸ εʹ· λέγω ὅτι τὰ γʹ εʹ σημεῖα οὐχ ὁμόσε δύσεται, ἀλλ’ ὕστερον δύσεται τὸ γʹ τοῦ εʹ. Ἔστωσαν γὰρ παράλληλοι κύκλοι καθ’ ὧν φέρεται τὰ γʹ [Omitted graphic marker] εʹ σημεῖα οἱ γζθʹ εηκʹ. Ἐπεὶ ὁ αβγʹ ὁρίζων λοξός ἐστιν πρὸς τὸν ἄξονα, καὶ πρὸς τοὺς παραλλήλους λοξός ἐστιν· ἡ γζʹ ἄρα περιφέρεια τῆς εηʹ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία. Ἔστω τῇ εηʹ ὁμοία ἡ γλʹ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ γʹ ἐπὶ τὸ λʹ παραγίγνεται καὶ τὸ εʹ ἐπὶ τὸ ηʹ· ἀλλ’ ὅταν μὲν τὸ εʹ ἐπὶ τὸ ηʹ παραγένηται, δύνει τὸ εʹ, ὅταν δὲ τὸ γʹ ἐπὶ τὸ λʹ παραγένηται, οὐδέπω δύνει τὸ γʹ, ἀλλ’ ἔτι ὑπὲρ γῆν ἐστιν· πρότερον ἄρα δύνει τὸ εʹ τοῦ γʹ· ὥστε ὕστερον δύνει τὸ γʹ τοῦ εʹ. Πάλιν δὲ δυνέτω τὰ ζʹ ηʹ ἄστρα ὁμόσε· λέγω ὅτι οὐχ ἅμα ἀνατέλλει, ἀλλὰ πρότερον τὸ ζʹ τοῦ ηʹ. Ἐπεὶ γὰρ ἡ γζʹ περιφέρεια τῆς εηʹ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία, λοιπὴ ἄρα ἡ ζθγʹ λοιπῆς τῆς ηκεʹ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ὁμοία. Ἔστω ἡ ζθγʹ ὁμοία τῇ ηκʹ· ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν ἡ ζθγʹ περιφέρεια τῇ ηκʹ περιφερείᾳ, στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας ἅμα τὸ ζʹ ἐπὶ τὸ γʹ παραγίγνεται καὶ τὸ ηʹ ἐπὶ τὸ κʹ· πρότερον δὲ τὸ ηʹ ἐπὶ τὸ κʹ παραγίγνεται ἤπερ ἐπὶ τὸ εʹ· πρότερον ἄρα καὶ τὸ ζʹ ἐπὶ τὸ γʹ παραγίγνεται ἤπερ τὸ ηʹ ἐπὶ τὸ εʹ· ἀλλ’ ὅταν μὲν τὸ ζʹ ἐπὶ τὸ γʹ παραγένηται, ἀνατέλλει τὸ ζʹ, ὅταν δὲ τὸ ηʹ ἐπὶ τὸ εʹ παραγένηται, ἀνατέλλει τὸ ηʹ· πρότερον ἄρα ἀνατέλλει τὸ ζʹ τοῦ ηʹ. Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος λοξὸς ὢν πρὸς τὸν ἄξονα [Omitted graphic marker] ὁρίζῃ τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές, ὁ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος ἐν μιᾷ περιφορᾷ τῆς σφαίρας δὶς ἔσται ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα. |
| 10 [5] | Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ αβγʹ ὁριζέτω τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανὲς λοξὸς ὢν πρὸς τὸν ἄξονα, καὶ ἔστω μέγιστος τῶν αἰεὶ φανερῶν ὁ αζεʹ κύκλος, ὁ δὲ φανερὸς πόλος τῆς σφαίρας ἔστω ὁ δʹ, ὁ δὲ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος ἔστω ὁ βδγʹ· λέγω ὅτι ἐν μιᾷ περιφορᾷ τῆς σφαίρας ὁ βδγʹ κύκλος δὶς ἔσται ὀρθὸς πρὸς τὸν αβγʹ ὁρίζοντα. Γεγράφθω γὰρ διὰ τῶν αʹ δʹ σημείων μέγιστος κύκλος ὁ αδθʹ· ἥξει δὴ καὶ διὰ τῶν τοῦ αβγʹ πόλων καὶ ἔσται ὀρθὸς πρὸς αὐτόν· καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ζδηʹ αδεʹ τὸν αζηʹ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ζαʹ περιφέρεια τῇ εηʹ περιφερείᾳ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ ζʹ σημεῖον τὴν ζαʹ περιφέρειαν διελεύσεται καὶ τὸ ηʹ τὴν ηεʹ· στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας ὅταν τὸ ζʹ τὴν ζαʹ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ αʹ παραγένηται καὶ τὸ ηʹ τὴν ηεʹ διελθὸν ἐπὶ τὸ εʹ παραγένηται, ἡ ζδηʹ περιφέρεια ἐφαρμόσει ἐπὶ τὴν αδεʹ περιφέρειαν· ὥστε καὶ ὅλος ὁ βδγʹ κύκλος ἐφ’ ὅλον τὸν αδθʹ κύκλον ἐφαρμόσει· ἀλλ’ ὁ αδθʹ κύκλος ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν αβγʹ κύκλον· καὶ ὁ βδγʹ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν αβγʹ κύκλον. Πάλιν δὴ στρεφομένης τῆς σφαίρας ὅταν τὸ ηʹ σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ εʹ σημείου τὴν εζαʹ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ αʹ παραγένηται, τότε καὶ τὸ ζʹ σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ αʹ σημείου τὴν αηεʹ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ εʹ παρέσται, καὶ ἐφαρμόσει ἡ ζδηʹ περιφέρεια ἐπὶ τὴν αδεʹ περιφέρειαν· ὥστε καὶ ὅλος ὁ βδγʹ κύκλος ἐφ’ ὅλον τὸν αδθʹ κύκλον ἐφαρμόσει· ὁ δὲ αδθʹ κύκλος ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν αβγʹ κύκλον· καὶ ὁ βδγʹ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν αβγʹ κύκλον. [Πάλιν δὴ ὅταν τὸ ηʹ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ αʹ τὴν αηʹ διελθὸν ἐπὶ τὸ ηʹ παραγένηται, καὶ τὸ ζʹ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ εʹ ἐπὶ τὸ ζʹ παρέσται, καὶ ὁ βδγʹ κύκλος θέσιν ἕξει ἣν εἶχεν ἐξ ἀρχῆς· ὥστε οὐκ ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα πλέον ἢ δὶς ἔσται]. Ἐν μιᾷ ἄρα περιφορᾷ τῆς σφαίρας ὁ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος δὶς ἔσται ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα. Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος λοξὸς ὢν πρὸς τὸν ἄξονα ὁρίζῃ τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανὲς ἄλλος δέ τις λοξὸς μέγιστος κύκλος μειζόνων ἅπτηται ἢ ὧν ὁ ὁρίζων ἅπτεται, κατὰ πᾶσαν τὴν τοῦ ὁρίζοντος περιφέρειαν τὴν μεταξὺ τῶν παραλλήλων κύκλων ὧν ἐφάπτεται τάς τε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιεῖται. |
| 11 [30] | Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ αβγʹ λοξὸς ὢν πρὸς τὸν ἄξονα ὁριζέτω τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές, καὶ ἐφαπτέσθω τινὸς κύκλου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ αδʹ, ἄλλος δέ τις λοξὸς μέγιστος κύκλος ὁ γζʹ μειζόνων ἁπτέσθω τῶν ζβʹ γηʹ ἢ ὧν ὁ αβγʹ κύκλος ἐφάπτεται, καὶ ἔστω ἀνατολικὰ μὲν μέρη τὰ ζηʹ δυτικὰ δὲ τὰ βγʹ· λέγω ὅτι ὁ ζγʹ κύκλος αἰεὶ διὰ μὲν τῆς ζηʹ περιφερείας ἀνατέλλει, διὰ δὲ τῆς βγʹ δύσεται. Εἰλήφθω γάρ τινα σημεῖα ἐπὶ τῆς ζγʹ περιφερείας τυχόντα [Omitted graphic marker] τὰ θʹ κʹ, καὶ ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι καθ’ ὧν φέρεται τὰ θʹ κʹ σημεῖα οἱ λθμʹ νκξʹ. Ἐπεὶ τὸ ζʹ σημεῖον αἰεὶ διὰ μὲν τοῦ ζʹ ἀνατέλλει διὰ δὲ τοῦ βʹ δύνει, τὸ δὲ θʹ αἰεὶ διὰ μὲν τοῦ μʹ ἀνατέλλει διὰ δὲ τοῦ λʹ δύνει, ἡ ζθʹ ἄρα περιφέρεια αἰεὶ διὰ μὲν τῆς ζμʹ ἀνατέλλει διὰ δὲ τῆς βλʹ δύνει. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ θκʹ περιφέρεια διὰ μὲν τῆς μξʹ ἀνατέλλει διὰ δὲ τῆς λνʹ δύνει, ἡ δὲ κγʹ διὰ μὲν τῆς ξηʹ ἀνατέλλει διὰ δὲ τῆς νγʹ δύνει· ὅλον ἄρα τὸ ζγʹ ἡμικύκλιον αἰεὶ διὰ μὲν τῆς ζηʹ περιφερείας ἀνατέλλει διὰ δὲ τῆς βγʹ δύνει. Ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ τὸ ἕτερον ἡμικύκλιον· ὥστε ὅλος ὁ ζγʹ κύκλος αἰεὶ κατὰ πᾶσαν τὴν τοῦ ὁρίζοντος περιφέρειαν τὴν μεταξὺ τῶν παραλλήλων κύκλων τάς τε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιεῖται. Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μένων κύκλος φερόμενόν τινα κύκλον τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ αἰεὶ δίχα τέμνῃ μηδέτερος δὲ αὐτῶν μήτε πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ἄξονι μήτε διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας, ἑκάτερος αὐτῶν μέγιστος ἔσται. |
| 12 [40] | Ἔστω ἐν σφαίρᾳ μένων κύκλος ὁ αβγʹ, φερόμενον δέ [Omitted graphic marker] τινα τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων τὸν γδβʹ αἰεὶ δίχα τεμνέτω, μηδέτερος δὲ αὐτῶν μήτε πρὸς ὀρθὰς ἔστω τῷ ἄξονι μήτε διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας· λέγω ὅτι ἑκάτερος τῶν αγβʹ γδβʹ κύκλων μέγιστός ἐστιν. Ἔστω γὰρ αὐτῶν κοινὴ τομὴ ἡ βγʹ· ἡ βγʹ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ γδβʹ κύκλου. Τετμήσθω ἡ βγʹ δίχα κατὰ τὸ εʹ σημεῖον· τὸ εʹ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ γδβʹ κύκλου· καὶ φανερὸν ὅτι τὸ εʹ σημεῖον αἰεί ἐστιν ἐν τῷ τοῦ αβγʹ κύκλου ἐπιπέδῳ καὶ κατὰ πᾶσαν περιφορὰν τῆς σφαίρας· λέγω δὴ ὅτι τὸ εʹ σημεῖον ἐπὶ τοῦ ἄξονός ἐστιν. Εἰ γὰρ μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος, στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας τὸ εʹ σημεῖον γράψει κύκλον πρὸς ὀρθὰς τῷ ἄξονι. Γραφέτω τὸν εζηʹ· ἐπεὶ τὸ εʹ σημεῖον αἰεὶ ἐν τῷ τοῦ αβγʹ κύκλου ἐπιπέδῳ ἐστὶν καὶ φέρεται κατὰ κύκλου τοῦ εζηʹ, ὁ εζηʹ ἄρα κύκλος αἰεί ἐστιν ἐν τῷ τοῦ αβγʹ κύκλου ἐπιπέδῳ· καὶ ἔστιν ὁ εζηʹ κύκλος ὀρθὸς πρὸς τὸν ἄξονα· καὶ ὁ αβγʹ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ἄξονα, ὅπερ οὐχ ὑπόκειται· οὐκ ἄρα τὸ εʹ σημεῖον οὐκ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος· ἐπὶ τοῦ ἄξονος ἄρα ἐστίν. Λέγω δὴ ὅτι κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας τὸ εʹ σημεῖον. Μὴ γάρ, ἀλλ’ εἰ δυνατόν, ἔστω κέντρον τῆς σφαίρας τὸ θʹ σημεῖον καὶ ἐπεζεύχθω ἡ θεʹ· ἄξων ἄρα ἐστὶ τῆς σφαίρας ἡ θεʹ εὐθεῖα, ἑκάτερον γὰρ τῶν θʹ εʹ σημείων ἐπὶ τοῦ ἄξονός ἐστιν. Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ γδβʹ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τοῦ θʹ ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ γδβʹ κύκλου ἐπέζευκται εὐθεῖα ἡ θεʹ, ἡ θεʹ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν γδβʹ κύκλον· ὥστε καὶ ὁ γδβʹ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὴν θεʹ· καὶ ἔστιν ἡ θεʹ ἄξων· ὁ γδβʹ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ἄξονα, ὅπερ οὐχ ὑπόκειται· οὐκ ἄρα τὸ θʹ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας. Ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ ἄλλο τι πλὴν τοῦ εʹ· τὸ εʹ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας· καὶ ἔστιν ἐν ἑκατέρῳ τῶν αβγʹ γδβʹ κύκλων· μέγιστος ἄρα ἐστὶν ἑκάτερος τῶν αβγʹ γδβʹ κύκλων. |