eul_wid: ave-aa
Σχόλια εἰς τὴν Νικομάχου Γερασηνοῦ ἈριθμητικὴνCommentary-Nicomachus of Gerasa's Introduction to Arithmetic
Asclepius the Physician Commentary Nicomachus of Gerasa's Introduction to Arithmetic PDF
| 1 t | ΑΣΚΛΗΠΙΟΥ ΦΙΛΟΣΟΦΟΥ ΤΡΑΛΛΙΑΝΟΥ ΕΙ Σ ΤΟ ΠΡΩΤΟΝ ΒΙΒΛΙΟΝ ΤΗΣ ΝΙΚΟΜΑΧΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΣΧΟΛΙΑ Οἱ παλαιοὶ καὶ πρῶτοι. |
| 1 1 [55] | Πλατωνικὸς ὢν ὁ πατὴρ τοῦ βιβλίου τούτου κατὰ τὸν Πλατωνικὸν σκοπὸν ζητεῖ τό τε τέλος τῆς ὄντως φιλοσοφίας καὶ τὴν ὁδὸν τὴν ἄγουσαν ἐπὶ ταύτην. ὅτι μὲν οὖν, ὡς καὶ Νικόμαχος ὁρίζεται, φιλοσοφία ἐστὶ φιλία σοφίας παντὶ προῦπτόν ἐστιν. ἆρα δὲ τί ἐστι σοφία; φαμὲν ὅτι σαφία τις οὖσα ὡς σαφηνίζουσα τὰ πάντα. ἆρα δὲ πόθεν αὐτὸ τοῦτο σαφία ἐλέχθη; λέγομεν ὅτι παρὰ τὸ φῶς ὅθεν καὶ Ἀριστοτέλης τά θ’ ὅσα φανότατα ταῦτα πεφωτισμένα καὶ καθαρὰ καλεῖ. ἐπεὶ οὖν τὸ σαφὲς εἴωθε τὰ κεκρυμμένα ὡς ἐν σκότῳ τῇ ἀγνοίᾳ εἰς φῶς καὶ γνῶσιν ἐπιφέρειν, διὰ τοῦτο ἐκλήθη οὕτως. ἐπεὶ δὲ ὅλως καὶ σοφίαν καὶ σοφὸν ὀνομάζομεν, ἆρα τί ἐστι τὸ σοφὸν τοῦτο; ἰστέον τοίνυν ὅτι ὁμώνυμόν ἐστι τὸ σοφόν· εἴληπται γὰρ κατὰ πέντε τρόπους οὓς μέλλω λέγειν ὥς φησιν Ἀριστοκλῆς ἐν τοῖς Περὶ Φιλοσοφίας δέκα βιβλίοις. χρὴ εἰδέναι ὅτι φθείρονται οἱ ἄνθρωποι διαφόρως· καὶ γὰρ ὑπὸ λοιμῶν καὶ νόσων ποικίλων καὶ ὑφ’ ἑτέρων θνήσκουσι, μάλιστα δὲ ὑπὸ κατακλυσμῶν ὥσπερ καὶ ἐπὶ τῶν Δευκαλίωνος χρόνων· πάντων δὲ οὐ κατεκράτησε, ἀλλ’ οἱ μὲν ἐν τοῖς ὄρεσι διασώζονται, τὰ δὲ πεδία κατακλύζονται καὶ ἀφανίζονται. ἐπεὶ δὲ περὶ τὰ ὄρη διαμένουσί τινες ἀκατάκλυστοι διὰ τοῦτο εἰσὶν ἐκεῖ χωρία καὶ οἰκήσεις. καὶ οἱ περιλειφθέντες λοιπὸν ἐργάζονται, ὡς δηλοῖ καὶ ὁ ποιητής· “κτίσε δὲ Δαρδανίην· ἐπεὶ οὔπω Ἴλιος ἱρή ἐν πεδίῳ πεπόλιστο, πόλις μερόπων ἀνθρώπων”. οὗτοι οὖν οἱ περιλειπόμενοι μὴ ἔχοντες ὅθεν τραφῶσιν ἐπινοοῦσι τὰ πρὸς τὴν χρείαν ἐπὶ τῷ ἀλήθειν μύλοις σῖτον ἢ ἐπὶ τῷ σπείρειν ἤ τι τοιοῦτον· καὶ λέγεται ἡ τοιαύτη ἐπίνοια σοφία κατὰ τὸ ἀναγκαῖον λαμβανομένη. πάλιν δὲ ἐπινοοῦσι τέχνας, ὥς φησιν ὁ ποιητής “ὑποθημοσύνῃσιν Ἀθήνης” καὶ πάλιν “ἐπεὶ σοφὸς ἤραρε τέκτων”· ἢ οὖν τεκτονικὴν ἢ οἰκοδομικὴν ἤ τινα τέχνην ἑτέραν ἐπινοοῦσι καὶ λέγεται σοφία περὶ τέχνας. πάλιν ἀπέβλεψαν περὶ τὰ πολιτικὰ πράγματα καὶ ἐποίησαν νόμους καὶ πάντα τὰ σώζοντα τὰς πόλεις καὶ λέγεται αὕτη ἡ ἐπίνοια σοφία περὶ τὰ πολιτικὰ εὑρημένη. μετὰ ταῦτα καὶ ἐπὶ αὐτὰ τὰ σώματα ἐχώρησαν καὶ φύσιν εὗρον τούτων μελετήσαντες τὴν φυσικὴν θεωρίαν. πέμπτον ἐπ’ αὐτὰ τὰ θεῖα καὶ ἀίδια ἀνέδραμον, ἐπ’ αὐτὰ τὰ ἀεὶ καὶ ὡσαύτως ἔχοντα. γινώσκειν οὖν χρὴ ὅτι οἱ πρὸ Πυθαγόρου πάντες συγκεχυμένως κατὰ τῶν πέντε τούτων τὸ τῆς σοφίας ὄνομα ἔφερον, οἱ δὲ μετὰ Πυθαγόραν συνέστειλαν τὸ ὄνομα καὶ ἐπὶ τοῦ πέμπτου τρόπου τῆς σοφίας μόνου ἤγαγον αὐτό, φιλοσοφίαν καλοῦντες τὴν τῶν ἀεὶ καὶ ὡσαύτως ἐχόντων γνῶσιν. τοῦτο οὖν τὸ τέλος. τίνα δὲ ἄρα τὰ ἄγοντα ἐπὶ ταύτην; ἰστέον ὅτι, ὥς φησι καὶ Πλωτῖνος καὶ Πλάτων, τὰ μαθήματα· ἐπεὶ γὰρ ἐν φθορᾷ καὶ ὕλῃ ἐσμὲν ἥτις νόθῳ λογισμῷ ληπτή ἐστιν, ὥς φησι Πλάτων, οὐ δυνάμεθα ἀμέσως ἐπὶ τὰ ἄϋλα χωρεῖν, ἐπειδὴ μέλλομεν πάσχειν ἃ πάσχουσιν οἱ ἐκ σκοτεινοῦ οἴκου ἀμέσως ἐπὶ φωτεινὸν ἐρχόμενοι· ἔδει γὰρ κατὰ βραχὺ προϊέναι πρότερον ἐπὶ σύμμετρον καὶ οὕτως ἐπὶ τὸν φωτεινότερον οὕτω κἀνταῦθα, ἐπειδὴ τὰ μαθήματα μέσα ἐστί· καὶ γὰρ χωριστά εἰσι καὶ ἀχώριστα καὶ ὑποβάθρας χώραν παρέχουσι. |
| 1 1 (50) [60] | δεῖ διὰ τούτων ἀνελθεῖν ἡμᾶς ἐπὶ τὰ ἀεὶ καὶ ὡσαύτως ἔχοντα, μάλιστα δὲ ἐρχόμεθα διὰ τῆς ἀριθμητικῆς. εἴρηται ἄρα τίς τε ἡ ὁδὸς καὶ τί τὸ τέλος. οὗτος τοίνυν ὁ σκοπὸς τοῦ συγγράμματος. φέρε δὲ λοιπὸν τὴν λέξιν ἐξηγησώμεθα. ἢ δημιουργίας. |
| 1 2 [5] | καλῶς ἐπήγαγε τὸ δημιουργίας, ἐπεὶ οὐ πᾶσα τέχνη καὶ δημιουργική ἐστιν· ἰδοὺ γὰρ ἡ τῶν ἡνιόχων μελέτη τέχνη μέν ἐστιν, οὐδὲν δὲ δημιουργεῖ· ὅτι δὲ τέχνη ἐστί, σημαίνει καὶ ὁ ποιητὴς λέγων· “μήτι τοι ἡνίοχος περιγίνεται ἡνιόχοιο.” ἐπὶ τὴν τοῦ ὄντος ἐπιστήμην. |
| 1 3 [45] | ὄντα καλοῦμεν τὰ ὄντως ὄντα, τὰ ἀεὶ καὶ ὡσαύτως ἔχοντα καὶ ἀίδια, τὰ ἀμετάβλητα, τὰ ἄτρεπτα, ἐξ ὧν παράγονται τὰ ἐνταῦθα ἅτινα κυρίως ὄντα οὐκ εἰσίν, ἐπειδὴ τοῖς 〈μὴ〉 οὖσι παράκεινται. ἰστέον οὖν ὅτι τὰ ἐνταῦθα ἀλλοιωτὰ καὶ μεταβλητά εἰσι, κἂν νομίζωνται ἀμετάβλητα· οὕτω γοῦν Σωκράτης καὶ οἱ κατὰ μέρος ἄνθρωποι, εἰ καὶ ἀμετάβλητοι δοκοῦμεν εἶναι, ὅμως ἐφ’ ἑκάστης ἡμέρας ἀλλοιούμεθα. ἀμέλει μετὰ χρόνον πολλάκις τόνδε τινὰ ἑωρακότες, φαμὲν ὅτι “ἆρα οὗτος ἐστὶν ὅδε;” ὡς ἀμειφθέντος αὐτοῦ καὶ διὰ τοῦτο ἡμῶν ἐπ’ αὐτῷ ξενιζομένων. οὐκ εἰσὶ τοίνυν τὰ ἐνταῦθα κυρίως ὄντα ἀλλά πῃ ὄντα, ἐπειδὴ τῷ μὴ ὄντι πλησιάζουσι· τὰ δὲ πρὸς τοῖς μὴ οὖσι σχεδὸν καὶ αὐτὰ οὐκ ὄντα εἰσί. πῶς δὲ τοῖς μὴ οὖσι γειτνιάζουσι; πρῶτον μέν, ἐπειδὴ ἐνταῦθα τὸ παρελθὸν καὶ τὸ μέλλον· ταῦτα δὲ μὴ ὄντα· τὸ μὲν γὰρ ἠφάνισται, τὸ δὲ οὔπω ἔστι. δεύτερον δὲ ὅτι τῆς ὕλης ἐστίν, ἥτις οὐδέν ἐστιν· εἶδος γὰρ οὐκ ἔστιν ἀλλ’ ἀνείδεος· εἰ γὰρ εἶχεν ὡρισμένον τι εἶδος, οὐδενὸς δεκτικὴ ἐγίνετο. ἐκεῖνα τοίνυν τὰ νοητὰ ἀίδιά εἰσι καὶ ἀμετάβλητα εἴδη καθαρὰ καὶ ἐξ ἐκείνων παράγονται τὰ ἐνταῦθα εἴδη· ἐκεῖνα γὰρ καθαρὰ καὶ θεῖα τὰ εἴδη· οὔτε γὰρ ἐκ τῆς ὕλης γίνονται τὰ 〈ἐνταῦθα εἴδη, οὔτε〉 ἐξ ἑαυτῶν· ἐκ μὲν τῆς ὕλης οὐ γίνονται, ἐπειδὴ οὐ δυνατὸν τὰ κρείττονα ἀπὸ τῶν χειρόνων παράγεσθαι· ἀλλ’ οὐδ’ ἑαυτὰ τὰ εἴδη παράγουσι· τὸ γὰρ εἶδος χρῄζει τῆς ὕλης εἰς τὸ ὑποστῆναι. οὐκοῦν καὶ ἡ οὐσία αὐτοῦ ἐν αὑτῷ ἐστιν· ὅπου δὲ ἡ οὐσία ἐκεῖ καὶ ἡ ἐνέργεια, ὡς δέδεικται παρὰ Ἀριστοτέλους· τὸ δὲ ἐν ἄλλῳ ἔχον οὐσίαν καὶ ἐνέργειαν ἐν ἄλλῳ, σῶμά ἐστι καὶ παράγειν ἑαυτὸ οὐ δύναται· ἐκεῖθεν οὖν ἐκ τῶν ἀτρέπτων τὰ ἐνταῦθα παράγονται· ἐκεῖνα δὲ ἄτρεπτά εἰσι, τὰ ἄχρονα· ὅθεν οὐδ’ ἔστι χρόνος ἐκεῖ· οὐδὲ γὰρ μὴ ὂν ἐκεῖ, ἀλλὰ πάντα ἀεὶ ὄντα· οὐκ ἔστιν οὖν παρεληλυθὸς καὶ μέλλον· οὐ ῥᾴδιον οὖν ἐκεῖνα νοῆσαι, ὅθεν καὶ ὁ Ἀριστοτέλης εἶπε περὶ αὐτῶν ἐν τῷ Μετὰ τὰ Φυσικὰ ἐλάττονι ἄλφα στοιχείῳ ὅτι τῇ μὲν καθαρὰ καὶ φωτιστικά, τῇ δὲ χαλεπά εἰσι· φωτιστικὰ μὲν καὶ καθαρὰ πρὸς τὴν οἰκείαν φύσιν, ἐπειδὴ ἀεὶ ἐλλάμπουσι τὰ ἐνταῦθα· χαλεπὰ δὲ ὅτι ἀσκαρδαμυκτὶ οὐ δυνάμεθα γνῶναι διὰ τὴν ἡμετέραν ἀσθένειαν, ὥσπερ οὐδὲ ἀκτῖνας ἡλίου δυνάμεθα ἰδεῖν διὰ τὸ τῶν ὀμμάτων ἀσθενές· ὃ γὰρ πάσχει ἡ νυκτερὶς διὰ τὸ τῶν ὀμμάτων ἀσθενὲς ἐν τῇ ἡμέρᾳ, τοῦτο ἡμεῖς ἐπὶ τούτων. ἄλλως τε καὶ ὡς εἴρηται ἐν τῷ Φαίδωνι· δύσκολον ἡμᾶς θεωρῆσαι τὰ νοητά, πρῶτον μὲν διὰ τὸ ἐμποδίζειν τὸ σῶμα νόσοις καὶ συμφοραῖς μυρίαις ὀχλούμενον καὶ διὰ ταῦτα σκοτίζον τὸν νοῦν, δεύτερον δὲ ὅτι εἰ καὶ τοῦ σώματος καταφρονήσομεν ἡ φαντασία προτρέχουσα οὐκ ἐᾷ ἀκίβδηλόν τι θεωρῆσαι, ἀλλ’ εὐθέως ὄγκους παρέχει καὶ ἄλλα τοιαῦτα πρὸς ἐμποδισμὸν τῶν ἀσωμάτων. |
| 1 3 (50) [75] | οὐκοῦν διὰ πάντων δέδεικται ὅτι ἐκεῖνα μὲν ἄϋλα ἄτρεπτα θεῖα ἀεὶ καὶ ὡσαύτως ὄντα, ταῦτα δὲ τρεπτά· τὰ μέντοι οὐράνια, ὡς μεταξὺ ὄντα, ἐκείνοις μὲν κατὰ τὴν οὐσίαν κοινωνεῖ (καὶ γὰρ αὐτὰ ἀίδια καὶ θεῖα), ἡμῖν δὲ κατ’ ἐνέργειαν (μεταβλητὰ γάρ, ἀλλ’ οὐχ οὕτως ἡμεῖς)· ἀλλὰ τὴν τοπικὴν μόνην μεταβολὴν ὑπομένουσι· καθὸ ἀπὸ ἀνατολῶν ἐπὶ δυσμὰς κινοῦνται καὶ ἀπὸ δυσμῶν ἐπὶ ἀνατολάς. τὸ πλέον οὖν ἐκείνοις κοινωνεῖ, ὡς πλησιάζοντα τοῖς ἀεὶ καὶ ὡσαύτως οὖσιν· ὅτι γὰρ ἐκείνοις κοινωνεῖ ὁ οὐρανὸς καὶ πρὸς τῷ θείῳ ἐστὶ καὶ καθαρὸς τυγχάνει, δῆλον ἐκ τοῦ νομίζειν ἡμᾶς καὶ τὸν θεὸν ἐκεῖ εἶναι, ὥσπερ γὰρ τὸν ἐγκέφαλον μᾶλλον ἀπολαύειν λέγομεν τῶν τῆς ψυχῆς ἐνεργειῶν, οὕτω καὶ αὐτόν· ὅθεν καὶ τὰς χεῖρας πάντες οἱ ἄνθρωποι εὐχόμενοι εἰς οὐρανὸν ἐντείνομεν ὡς ἂν ἐκεῖ τοῦ θείου κατοικοῦντος. ἐκ τοίνυν τούτων ἔστιν ἐπιλύσασθαι καὶ τὸ παρὰ Πλάτωνος ἐν Τιμαίῳ εἰρημένον· τί τὸ ὂν μὲν ἀεί, γένεσιν δὲ οὐκ ἔχον; καὶ τί τὸ γινόμενον μέν, ὂν δὲ οὐδέποτε; δῆλον γὰρ ὅτι ὂν μὲν ἀεί, γένεσιν δὲ οὐκ ἔχον τὸ νοητὸν πᾶν καὶ ἀίδιον καλεῖ· τί δὲ τὸ γινόμενον μέν, ὂν οὐδέποτε τὰ τῇδε. καὶ προῦπτόν ἐστιν ὅτι οὐχ, ὥς τινες νομίζουσι, τὸ γενητὸν ἐνταῦθα αὐτὸν βούλεται, τοῦτο δέ ἐστι γενητὸς ὁ κόσμος· ἀεὶ γὰρ γίνεσθαι αὐτὸν λέγει, ἀλλὰ γενητὸν καλεῖ τὸ μεταβλητὸν καὶ τρεπτὸν ὡς εἰρήκαμεν· ὅθεν καὶ ὄν (ἀντὶ τοῦ κυρίως ὄντος) οὐδέποτέ ἐστι· πῶς γὰρ δύναται; ἄπταιστον καὶ ἀμετακίνητον. |
| 1 4 [5] | οὕτω γὰρ καὶ Ἀριστοτέλης ἐν τοῖς ἀποδεικτικοῖς λέγει ἐπιστήμην εἶναι τὴν ἀεὶ καὶ ὡσαύτως ἔχουσαν καὶ τὴν αὐτήν. ἀεὶ διατελοῦντα ἐν τῷ κόσμῳ. οὐχ ὅτι ἐν τῷ κόσμῳ ὑπάρχουσι διὰ παντός, ἀλλ’ ὅτι ἀεὶ τὰ ἐν τῷ κόσμῳ κοσμοῦσιν, ἐπιλάμποντα 〈τούτοισ〉 τὸ ἑαυτῶν ἀγαθόν. τῶν ὁμωνύμως ὄντων καὶ καλουμένων. |
| 1 5 | ὥσπερ γὰρ ὁμωνύμως τὸ ὄντως ζῷον καὶ τὸ γεγραμμένον καλοῦμεν, οὕτω καὶ τὰ τῇδε· οὐ γὰρ ὡς ὁμοίως ἔχοντα ἐκείνοις. μιμούμενα τὴν τῆς ἐξ ἀρχῆς ἀϊδίου ὕλης φύσιν. |
| 1 6 [5] | 〈ἀντὶ τοῦ〉 τῆς ἀρχούσης ὕλης. λέγει οὖν διὰ τὰ σώματα ταῦτα ὅτι μιμοῦνται τὴν ὕλην. ὁ μέντοι φιλόσοφος Ἀμμώνιος, ὁ ἡμέτερος διδάσκαλος, ἔφη ὅτι οὐ καλῶς τὸ μιμεῖσθαι· οὐδενὸς γὰρ παράδειγμά ἐστιν ἡ ὕλη· τίς γὰρ θέλει ὕλη γενέσθαι; ὅλη γὰρ δι’ ὅλης ἦν τρεπτὴ καὶ ἀλλοιωτή. |
| 1 7 [15] | κακῶς εἶπε καὶ τοῦτο, ὥς φησιν ὁ θεῖος διδάσκαλος. ἔδει γὰρ εἰπεῖν “τρεπτικὴ καὶ ἀλλοιωτική.” περὶ αὐτὴν γὰρ αἱ τροπαὶ καὶ ἀλλοιώσεις γίνονται, οὐ δήπου γὰρ αὐτὴ τρέπεται ἢ ἀλλοιοῦται. εἰ γὰρ αὐτὴ ἐτρέπετο, ἐδέετο ἑτέρας ὕλης ἐν ᾗ ἔμελλεν ἀλλοιοῦσθαι καὶ τρέπεσθαι. ὥστε αὐτὴ μὲν ἄτρεπτος καὶ ἀναλλοίωτος, τὰ δὲ περὶ αὐτὴν εἴδη ἀλλοιοῦνται, λέγω δὴ ποιότητες καὶ ποσότητες καὶ διαθέσεις καὶ ἐνέργειαι καὶ ἰσότητες καὶ πάντα τὰ τοιαῦτα. ταῦτα δὲ πάντα ἀσώματά εἰσιν· οὐ γὰρ δήπου σώματα. εἰ γὰρ ἦσαν σώματα, ἔμελλον σὺν τοῖς σώμασι μειουμένοις ἀπολλύειν τὸν ὅρον, οἷον εἰ ἦν σῶμα ὁ κύκλος, ὁ μέγας κύκλος γενόμενος μικρὸς καὶ ἀπολλύων τὸ εἶδος, ἄλλον ὅρον εἶχε δέχεσθαι ὡσαύτως καὶ ὁ ἐκ μικροῦ μέγας γινόμενος. νῦν δὲ ὁ αὐτὸς ὅρος φυλάττεται καὶ τοῦ μικροῦ καὶ τοῦ μεγάλου καὶ πάντων, ἐπειδὴ ἀσώματα ὑπάρχουσι. συμβεβηκότως δὲ μετέχει. |
| 1 8 | ἀντὶ τοῦ κατὰ δεύτερον λόγον. τῶν δὲ τοιούτων ἐξαιρέτως. |
| 1 9 | ἀντὶ τῶν θείων καὶ ἀμεταβλήτων. ἀλλ’ ἐκεῖνα μὲν ἄυλα. |
| 1 10 [10] | ἄτρεπτα γάρ εἰσι καὶ ἀπερίγραπτα τόπῳ· διὸ καὶ λέγεται τὸ θεῖον καὶ πανταχοῦ εἶναι καὶ οὐδαμοῦ. πανταχοῦ μὲν τῇ δυνάμει καὶ τῇ εἰς ἡμᾶς ἐλλάμψει, οὐδαμοῦ δὲ τῇ ὑποστάσει· οὐκ ἔχει γὰρ τὸ ποῦ· πᾶν γὰρ τὸ ποῦ πέρας ἔχει· οὐκοῦν καὶ περιέχεται. τὸ δὲ τοιοῦτον σωμάτων ἐστίν, ἀσώματος δὲ ὁ θεός. ἀλλ’ ἀεὶ μεταρρεῖ. διὰ παντὸς γὰρ ῥεῖ καὶ τρέπεται, ὡς καὶ Πλάτων φησὶν ἐν Τιμαίῳ, ὅτι ἐκεῖνα μὲν γένεσιν οὐκ ἔχει, ἀλλ’ ἀεὶ ὄντα εἰσί, τὰ δὲ τῇδε γίνονται, ὅ ἐστιν ἀλλοιοῦνται, καὶ οὐκ εἰσὶν οὐδέποτε κυρίως ὄντα. καὶ ἐκεῖνα μὲν νῷ λαμβάνονται ἀεὶ κατὰ ταὐτὰ ἔχοντα, ταῦτα δὲ δόξῃ, ὅ ἐστι φαντασίᾳ, καὶ αἰσθήσει, μηδέποτε ὄντα κυρίως, ἀλλὰ πρὸς τὰ μὴ ὄντα μᾶλλον ῥέποντα. εὔλογον ἄρα καὶ ἀναγκαιότατον. |
| 1 11 [45] | ἤδη εἰρήκαμεν τὸν σκοπὸν τοῦ βιβλίου τούτου. ἔφημεν δὲ καὶ ὅτι φιλοσοφία ἐστὶ φιλία σοφίας, ὡς δηλοῖ τοὔνομα, καὶ ὅτι τὸ σοφόν, ὡς Ἀριστοκλῆς ἐν τοῖς Περὶ Φιλοσοφίας δέκα βιβλίοις φησί, πενταχῶς λέγεται, καὶ ὅτι κυρίως φιλοσοφία ἐστὶν ἡ φιλοσοφοῦσα τὰ ἀεὶ καὶ ὡσαύτως ὄντα. ὁ τοίνυν Νικόμαχος ἐντέχνως πάνυ τὸ τέλος πρότερον ζητεῖ, καὶ οὕτως ἐπὶ τὴν ὁδὸν τὴν ἄγουσαν ἐπὶ τοῦτο φέρεται. ὥσπερ γὰρ ὁ θέλων οἶκον ποιῆσαι ἐκ τοῦ τέλους θεωρεῖ καὶ οὕτως ἄρχεται· πρότερον γὰρ ὀροφὴν ἐπινοεῖ, κώλυμα φθοροποιοῦ κρύους καὶ θάλπους, εἶτα ἵνα αὕτη ἐπί τινος βεβήκῃ, τοίχους μηχανᾶται, 〈καὶ〉 διὰ τούτους θεμέλιον, καὶ διὰ τοῦτον ὀρύττει γῆν καὶ ἐντεῦθεν λοιπὸν ἄρχεται, οὕτω καὶ ὁ Νικόμαχος πρότερον ζητεῖ τὸ τέλος τῆς φιλοσοφίας καὶ λέγει ὅτι τὸ τέλος ἐστὶν ἡ ἔφεσις τοῦ ἀγαθοῦ, ἀγαθοῦ δὲ οὐ τοῦ τυχόντος, ἀλλὰ τοῦ εὐζωΐαν χαριζομένου. ἰστέον γὰρ ὅτι οὐ τοῦ τυχόντος ἀγαθοῦ· ἔστι γὰρ ἐν παντὶ μερικὸν ἀγαθόν, καὶ ἐν λίθῳ γάρ ἐστιν ἀγαθόν, οἷον τὸ φέρεσθαι αὐτὸν ἐπὶ τὴν οἰκείαν χώραν· οὐ τοιοῦτον οὖν ἐστι τὸ ἀγαθὸν οὗ ἐφίεται ἡ φιλοσοφία. εἰ μὲν γὰρ μόνως σώματα ἦμεν, ἀγαθὸν ἂν ἦν ἡμῖν ἡ ὑγεία μόνη, ὡσαύτως καὶ εἰ ζῷα μόνον, ἀγαθὸν ἂν ἦν ἡ εὐαισθησία· ἐπειδὴ δὲ οὐχ ἁπλῶς ἐσμεν ζῷα, ἀλλὰ λογικὰ ζῷα, ἰσχὺν ἔχοντες λογικήν (ἡ δὲ ψυχὴ ζωή τίς ἐστι 〈λογική〉), εὐζωΐαν ἐπιτηδεύομεν. ἆρα δὲ αὐτὴν καθ’ αὑτὴν δεῖ ἀσκεῖν τὴν εὐζωΐαν ἢ μετά τινος γνώσεως; ἰστέον ὅτι δεῖ καὶ γνῶσιν ἔχειν, ἐπεὶ ἄνευ γνώσεως εὐζωΐα ἔοικε τυφλῷ κατὰ τύχην ὀρθῶς περιπατοῦντι. αὕτη τοίνυν ἐστὶ τὸ τέλος. τίνα δὲ φέρει ἐπὶ ταύτην; φαμὲν ὅτι τὰ μαθήματα, οὐ δυνάμεθα ἀμέσως χωρῆσαι, ἀλλὰ δεῖ ἀπὸ τούτων τῶν φαινομένων εἰς ἐκεῖνα ἀνελθεῖν. ταῦτα δὲ τὰ φαινόμενα ἢ συνεχῆ ἐστιν ἢ διῃρημένα. ἐπειδὴ ἐκεῖθεν προῆλθον, εἰσὶ δὲ κἀκεῖ συνέχεια καὶ διαίρεσις, ἀλλ’ οὐ σώματα τοιαῦτα ἐκεῖ συνεχῆ καὶ διῃρημένα, ἀλλὰ λόγοι δημιουργικοὶ τούτων ὥσπερ τῶν ἀνθρώπων καὶ πάντων. καὶ ἰστέον δὲ ὅτι ἐκεῖ μὲν μᾶλλον ἡ ἕνωσις, ἧττον δὲ ἡ διάκρισις· κἀκεῖ δὲ διάκρισις ψυχῶν, ἀγγέλων, καὶ τῶν ἄλλων δυνάμεων. ἐνταῦθα μέντοι τὸ ἀνάπαλιν μᾶλλον ἡ διάκρισις καὶ ἧττον ἡ ἕνωσις. ἔστιν οὖν τὸ συνεχὲς καὶ τὸ διωρισμένον καὶ ἐναντίαν ὁδὸν βαδίζουσι· τὸ μὲν γὰρ διωρισμένον τὴν μὲν αὔξησιν ἐπ’ ἄπειρον ἔχει, τὴν δὲ μείωσιν πεπερασμένην· ὁ γὰρ ἀριθμὸς ἐπ’ ἄπειρον μὲν αὔξεται, πεπέρασται δὲ ἡ μονάς. τὸ δὲ συνεχὲς τὸ ἐναντίον, τὴν μὲν αὔξησιν πεπερασμένην, εἴ γε πεπερασμένος ὁ κόσμος, τὴν δὲ μείωσιν οὐκέτι, ἐπειδὴ πᾶν μέγεθος ἐπ’ ἄπειρον διαιρετόν. ἐπεὶ οὖν ταῦτα ἄπειρά εἰσιν, αἱ δ’ ἐπιστῆμαι πεπερασμένων εἰσὶ πραγμάτων καὶ οὐδέποτε ἀπείρων, ἀνάγομεν τὸ μὲν πλῆθος τοῦ διωρισμένου ἐπὶ τὸ ποσόν, τὸ δὲ συνεχὲς ἐπὶ τὸ πηλίκον. |
| 1 11 (50) [80] | καὶ φαμέν, ἐπειδὴ τοῦ ποσοῦ τὸ μὲν ὁρᾶται αὐτὸ καθ’ αὑτό, τὸ δὲ πρὸς ἄλλο, εἰ μὲν αὐτὸ καθ’ αὑτὸ λάβωμεν, ποιεῖ τὴν ἀριθμητικήν· γίνονται γὰρ ἀριθμοὶ ἢ τετράγωνοι ἢ τέλειοι ἢ περιττοὶ ἤ τινες ἄλλοι. εἰ δὲ πρὸς ἕτερον σχέσιν ἔχον ποιεῖ τὴν μουσικήν· γίνονται γὰρ ἡμιόλιοι καὶ ἐπίτριτοι (καὶ λοιπὸν αἱ ἄκραι χορδαὶ ἢ διὰ τεσσάρων εἰσὶν ἢ διὰ πέντε, ἐὰν ἔχωσιν ἡμιόλιον ἢ ἐπίτριτον λόγον πρὸς ἀλλήλας). τοῦ δὲ πηλίκου πάλιν τὸ μὲν ἀκίνητόν ἐστι, τὸ δὲ κινούμενον· ἀλλὰ περὶ μὲν τὸ κινούμενον καταγίνεται 〈ἡ〉 ἀστρονομία, περὶ δὲ τὸ ἀκίνητον ἡ γεωμετρία. διὰ τούτων τοίνυν ἀναγόμεθα ἐπὶ τὰ ἀεὶ καὶ ὡσαύτως ἔχοντα· δεῖ γὰρ προκαθαρθῆναι διὰ τούτων καὶ μὴ ἀνίπτοις χερσὶν ἐφάπτεσθαι τῶν θείων. ὁ Πλάτων οὖν κελεύει διὰ τούτων ἀναβῆναι ἐπὶ τὰ θεῖα· ἀμέλει καὶ ἐν ταῖς Πολιτείαις τοὺς νομοφύλακας βούλεται διὰ τούτων ἐπὶ θεολογίαν ἀνάγεσθαι, ἵνα τὰ ἐκεῖ θεωροῦντες κάλλη μιμῶνται καὶ φροντίζωσι τῆς πόλεως. τί οὖν οὐκ ἀδικεῖ αὐτοὺς φέρων αὐτοὺς καὶ καταβιβάζων ἀπὸ τῶν θεολογικῶν ἐπὶ τὴν πόλιν; φαμὲν ὅτι οὐ τροφεῖά γε ὀφείλουσι τῇ πόλει; δεῖ οὖν τὸ κάλλος, τὸ ὄντως κάλλος, διώκειν καὶ μὴ τὸ φαινόμενον τοῦτο· εἰ γὰρ ἀκριβῶς τις πρόσσχῃ, εὑρήσει τὸ ἐν ἡμῖν κάλλος πάσης αἰσχρότητος γέμον. ὃ γὰρ ἔφη Πρόκλος· εἰ οὖν δυνατὸν τοὺς Λυγκέως ὀφθαλμοὺς ἔχοντά τινα βλέψαι διὰ βάθους τοῦ σώματος καὶ ἰδεῖν κόπρον καὶ πᾶσαν ἀκαθαρσίαν, ἐπείσθῃ ἂν πόσον ἐν ἡμῖν τὸ ἀκαλλὲς καὶ αἰσχρόν. ταῦτά ἐστιν ἃ βούλεται διὰ τούτων διδάξαι. τὰ τοῖς οὖσι συμβεβηκότα. |
| 1 12 | ἀντὶ 〈τοῦ〉 τὸ συνεχὲς καὶ τὸ διωρισμένον· ταῦτα γὰρ αὐτοῖς συμβέβηκεν. ὅπερ ἐστὶ νοητῶν τε καὶ αἰσθητῶν. |
| 1 13 [5] | νοητῶν ἀντὶ τοῦ διανοητῶν· οὐ γὰρ τῶν ὄντως νοητῶν. ἰστέον γὰρ ὅτι ὁ Πλάτων ὁλοσχερέστερον μὲν τὰ ὄντα διαιρεῖ εἰς νοητὰ καὶ αἰσθητά. λοιπὸν δὲ τὰ μὲν νοητὰ διαιρεῖ εἰς διανοητά, ἃ ἐν τῇ ψυχῇ θεωροῦνται, καὶ εἰς νοητά, ἃ τοὺς λόγους ἔχει τοὺς δημιουργικούς. καὶ πάλιν διαιρεῖται τὰ αἰσθητὰ εἰς τὰ αἰσθητὰ καὶ εἰς τὰ εἰκαστά. εἰκαστὰ δὲ καλεῖ σκιὰς καὶ τὰ ἐν τοῖς ἐνόπτροις θεωρούμενα. νοητὰ οὖν ἐνταῦθα τὰ διανοητὰ καλεῖ. καὶ ἀλληλουχούμενα. |
| 1 14 | ἀντὶ τοῦ συνεχῆ καὶ ἀλλεπάλληλα. τῶν ἄρα δύο εἰδῶν τούτων. |
| 1 15 | τοῦ τε συνεχοῦς καὶ τοῦ διωρισμένου. ἀπὸ ὡρισμένης ῥίζης. |
| 1 16 | ἀντὶ τοῦ ἀπὸ τῆς μονάδος. οὐδαμοῦ δύναται παύειν. |
| 1 17 | ἐπ’ ἄπειρον γὰρ διαιρετόν. ἀπ’ ἀμφοῖν ἀφωρισμένον. |
| 1 18 [10] | ἀπὸ ἀμφοτέρων οὖν ὡρισμένον δεῖ λαβεῖν, τοῦ μὲν συνεχοῦς τὸ πηλίκον, τοῦ δὲ πλήθους τὸ ποσόν, οἷον τετράγωνον. τί ἐστιν ἕκαστον τούτων μαθησόμεθα προϊόντες. ἵνα δὲ μὴ ἀνόητοι ὦμεν, τετράγωνός ἐστιν ὁ ἐξ ἀριθμοῦ ἑαυτὸν πολλαπλασιάζοντος γενόμενος· οἷον ὁ δ τετράγωνος, ἐπειδὴ ὁ β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας ἐποίησεν αὐτόν· δὶς γὰρ β δ. ὡσαύτως καὶ ὁ ἐννέα (τρὶς γὰρ τρεῖς θ), καὶ ὁ ιϛ (τετράκις γὰρ δ ιϛ). οἱ δὲ ἐν μέσῳ οὐκ εἰσὶ τετράγωνοι. καὶ περὶ τῶν ἄλλων τε μαθησόμεθα. ὅπερ γὰρ ζωγραφίη. |
| 1 19 [5] | Ἀνδροκύδους ἡ ῥῆσις ὅτι ὥσπερ πᾶσα βάναυσος τέχνη ἔχει πρὸς σκιαγραφίαν πρὸς ἣν ποιεῖ τὸ ἔργον, οὕτω δεῖ καὶ ἡμᾶς τὰς τέσσαρας ταύτας ἐπιστήμας ἔχειν πρὸς κατάληψιν τῶν ἀεὶ ὄντων. ὃ οὖν ἐστιν ἐκείνοις τοῖς βάναυσον τέχνην ἐπιτηδεύουσιν ἡ ζωγραφία, τοῦτο ἡμῖν αἱ τέσσαρες ἐπιστῆμαι· καὶ γὰρ οἰκοδόμος μηχανικοῦ σκάριφον λαμβάνει καὶ πρὸς αὐτὸ ποιεῖ ἢ οἶκον ἤ τι ἕτερον, καὶ τέκτων καὶ οἱ λοιποί. καλῶς μοι δοκοῦντι. |
| 1 20 [5] | ταῦτα ὁ Ἀρχύτας λέγει. δωρίζει δὲ οὗτος, τῷ δοκοῦντι οὖν δωρικῶς ἀντὶ τοῦ δοκοῦσι. τοὶ περὶ τὰ μαθήματα διαγνώμεναι ἀντὶ τοῦ οἱ περὶ τὰ μαθήματα διαγνῶναι· διαγνώμεναι γὰρ ἀντὶ τοῦ διαγνῶναι, τοὶ δὲ ἀντὶ τοῦ οἱ. τὰ γὰρ ἄρθρα τῶν πληθυντικῶν εὐθειῶν μετὰ τοῦ τ στοιχείου προφέρονται. ἐντί, περὶ ἑκάστου. |
| 1 21 [5] | ἀντὶ τοῦ ἐστί· τὸ γὰρ ἐστὶν ἐντί φασιν. “οἷά ἐντι” ἀντὶ τοῦ ὁποῖά εἰσιν. “εἶμεν ἀδελφεά” ἀντὶ τοῦ εἶναι συγγενῆ, ἐπειδὴ αἱ δ περὶ τὸ ποσὸν καὶ πηλίκον καταγίνονται· ἀριθμητικὴ μὲν καὶ μουσικὴ περὶ ποσόν, γεωμετρία δὲ καὶ ἀστρονομία περὶ πηλίκον. περὶ γὰρ ἀδελφεά. |
| 1 22 [5] | συγγενεῖς εἰσιν αἱ ἐπιστῆμαι αἱ τέσσαρες, ἐπειδὴ περὶ συγγενῆ β, τό τε ποσὸν καὶ τὸ πηλίκον, καταγίνονται. καὶ ἁπλῶς ὃ λέγει τοιοῦτόν ἐστιν· ὅτι καλῶς μοι δοκοῦσι ποιεῖν οἱ διαγινώσκοντες τὰ μαθήματα, οἱ γὰρ τὴν τοῦ ὅλου φύσιν εὑρηκότες ἔμελλον ἂν καὶ κατὰ μέρος εἰδέναι. διέγνωσαν οὖν ἀστρονομίαν καὶ γεωμετρίαν καὶ ἀριθμητικὴν καὶ μουσικήν, ἐπειδὴ ἐκ τούτων ἡμῖν προσγίνεται τὸ τέλος. οὐχ ἥκιστα δέ. |
| 1 23 | ἀντὶ τοῦ μάλιστα δέ. καὶ Πλάτων τε ἐπὶ τῷ τέλει. |
| 1 24 [10] | ἤδη εἴρηται ὅτι οὐκ ἄλλως δυνάμεθα ἐπὶ τὰ ἀεὶ καὶ ὡσαύτως ἔχοντα ἐλθεῖν, εἰ μὴ διὰ τῶν μαθημάτων ὁδεύσομεν. ἔτι οὖν πιστοῦται ὁ Νικόμαχος τοῦτο ἐκ τῶν Πλατωνικῶν ῥήσεων, καί φησιν ὅτι ἐν τῷ τρισκαιδεκάτῳ τῶν νόμων τῷ καλουμένῳ φιλοσόφῳ, ἐπειδὴ διδάσκει ποῖον δεῖ εἶναι τὸν φιλόσοφον, παρακελεύεται ὁ Πλάτων διὰ τούτων ἡμᾶς ἄγεσθαι ἐπὶ τὴν τῶν ἀεὶ καὶ ὡσαύτως ἐχόντων γνῶσιν. ταῦτα οὖν ἐστιν ἃ προῄρηται διὰ τούτων εἰπεῖν. ἅπαν διάγραμμα. |
| 1 25 [10] | ἀντὶ τοῦ γεωμετρία. “ἀριθμοῦ τε σύστημα” τὴν ἀριθμητικήν φησι. “καὶ ἁρμονίας σύστασιν” τὴν μουσικήν. “τῆς τε τῶν ἄστρων φορᾶς” τῆς τε ἀστρονομίας. “τὴν ὁμολογίαν μίαν ἀναφανῆναι” ὥστε, φησίν, τὰ δ ταῦτα μαθήματα μίαν ὁμολογίαν ποιῆσαι, ὅ ἐστιν εἰς ἓν τέλος ἡμᾶς ἄγουσιν, ἢ ὅτι δεῖ αὐτὰς ταύτας τὰς δ ἐπιστήμας δοκούσας διαφέρειν εἰς συμφωνίαν ἀγαγεῖν καὶ δεῖξαι δι’ ἃ κοινωνοῦσιν· ἴδιον γὰρ φιλοσοφίας τό τε τὰ πολλὴν δοκοῦντα ἔχειν διαφορὰν δεῖξαι κοινωνοῦντα, καὶ τὸ τὰ πολλὴν δοκοῦντα κοινωνίαν ἔχειν δεῖξαι διαφέροντα· οὐ γὰρ δυσχερὲς τὸ δεῖξαι φάττης καὶ περιστερᾶς κοινωνίαν· τοῦτο παντὶ γὰρ προῦπτον, ἀλλὰ τὸ διαφορὰν εἰπεῖν. εἴ τις εἰς ἓν βλέπων. |
| 1 26 | ἀντὶ τοῦ εἴ τις εἰς ἓν τέλος καὶ ἕνα σκοπὸν βλέπων, ταῦτα πάντα μανθάνει. δεσμὸς γὰρ ἁπάντων τούτων. |
| 1 27 | τῶν γὰρ δ τούτων εἷς δεσμός ἐστι καὶ μία ἕνωσις, τὸ τὰ ἀεὶ καὶ ὡσαύτως ἔχοντα θηρᾶσαι. τύχην δεῖ καλεῖν συνεργόν. |
| 1 28 | ἤδη γὰρ προειρήκαμεν ὅτι ὁ μὴ διὰ τούτων ἐρχόμενος ἔοικε τυφλῷ κατὰ τύχην ὀρθῶς βαδίζοντι· δεῖ οὖν τύχην καλεῖν βοηθήσουσαν τὸν μὴ διὰ τούτων ἐρχόμενον. εἴτε χαλεπὰ εἴτε ῥᾴδια. |
| 1 29 [15] | ἐπειδή τινές φασιν ὅτι δυσχερῆ εἰσι καὶ οὐ δυνάμεθα, διὰ τοῦτο λέγει ὅτι εἴτε χαλεπά εἰσιν εἴτε σαφῆ ἄνευ τούτων οὐ δυνατὸν ἐπὶ τὰ νοητὰ ὁδεῦσαι. εἰ δὲ κατὰ τάξιν δι’ αὐτῶν βαδίσομεν, εὐφρανθείημεν ἄν, ὡς μηδὲ κόρον ἔχειν, ἀλλὰ χαίρειν ἐπ’ αὐτοῖς καὶ λέγειν τὸ τοῦ Ἡσιόδου “ἢν δ’ ἐς ἄκρον ἵκηται, ῥηιδίη δἤπειτα πέλει χαλεπή περ ἐοῦσα”. ὅτι δὲ χαίρουσιν αἱ ψυχαὶ ἐπὶ τῇ εὑρέσει τῶν δογμάτων, δῆλον ἐκ τοῦ ἥδεσθαι ἡμᾶς εὑρίσκοντάς τι, καὶ οὕτως ἥδεσθαι ὡς καὶ δάκρυον προχεῖσθαι. ἀμέλει καὶ ὁ φιλόσοφος Ἀμμώνιος ἔλεγεν ὅτι “ἔπραττόν τινι ἀνδρὶ γραμμάς, καὶ ἥδετο πάνυ λέγοντός μου τὸ θεώρημα. ὅθεν παυσαμένου μου ἔφη ‘λυποῦμαι ὅτι νῦν ἐπλήρωσας, ἤθελον γὰρ ἀκούειν τῆς ἀποδείξεωσ‘.” παίζων καὶ σπουδάζων. |
| 1 30 | ἀντὶ τοῦ παντὶ τρόπῳ. κλίμαξί τισιν. |
| 1 31 [20] | ἐπιβάθρα γάρ εἰσι τὰ μαθήματα καὶ θριγγίῳ ἐοίκασι περιφρουροῦντα πάντα. δεῖ οὖν διὰ τούτων ἐπὶ τὴν διαλεκτικὴν ἐλθεῖν, οὐ τὴν παρὰ Ἀριστοτέλει διαλεκτικήν, ἀλλὰ τὴν τὰ θεῖα εὑρίσκουσαν, καὶ οὕτω δι’ αὐτῆς ἐπὶ τὰ ἀεὶ καὶ ὡσαύτως ἔχοντα βαδίσαι. αὐτὰ καθ’ αὑτά εἰσι θεῖα τὰ μαθήματα καὶ οὐ μετὰ τῶν ἐνύλων. ὅρα ὅτι ἡ γεωμετρία καταξιώσασα ἐλθεῖν εἰς τὴν ὕλην τὴν μηχανικὴν ἐποίησεν, ὥστε δεῖ ἀύλως αὐτὰ σκοπεῖν. τότε γὰρ τὸ ὄμμα, οὐ τὸ σωματικὸν λέγω ἀλλὰ τὸ ψυχικόν, καθαίρεται καὶ ἀποβάλλει τὰς λήμας τὰς τῆς ἀγνοίας. ὥσπερ γὰρ τῶν τοῦ σώματος ὀμμάτων τῷ σπόγγῳ τὰς λήμας ὁ ἰατρὸς λαμβάνει, οὕτω τοῦ ψυχικοῦ ὄμματος ἀποκαθαίρουσι δίκην σπόγγου 〈τὰσ〉 λήμας αἱ δ ἐπιστῆμαι καὶ ποιοῦσι καθαρῶς ὁρᾶν. ἐνταῦθα οὖν δεῖ λέγειν τὸ τῆς Ἀθηνᾶς τὸ λέγον· “ἀχλὺν αὖ τοι ἀπ’ ὀφθαλμῶν ἕλον ἣ πρὶν ἐπῆεν, ὄφρ’ εὖ γινώσκεις ἠμὲν θεὸν ἠδὲ καὶ ἄνδρα.” δεῖ οὖν τὸ ὄμμα τῆς ψυχῆς τὸ μυρίων σωματικῶν κρεῖττον ἔχειν καθαρόν. μόνῳ γὰρ αὐτῷ. |
| 1 32 | μόνον γὰρ τὸ τῆς ψυχῆς ὄμμα τὴν ἀλήθειαν θηρᾷ. τίνα οὖν ἀναγκαῖον πρωτίστην τῶν δ τούτων μεθόδων ἐκμαθεῖν καὶ τὰ ἑξῆς. |
| 1 33 [45] | ὅτι μὲν πρὸς τὸ τέλος τῆς ὄντως φιλοσοφίας οὐ δυνατὸν ἄλλως ἐλθεῖν, εἰ μὴ βαδίσομεν διὰ τῶν δ τούτων ἐπιστημῶν, ἤδη ἐπιστώσατο ὁ Νικόμαχος. ὅτι δὲ προτέρα τῶν λοιπῶν ἐστιν ἡ ἀριθμητική, διὰ τούτων κατασκευάζει. καί φησιν ὅτι ἡ ἀριθμητικὴ πολιτεύεται παρὰ τῷ δημιουργῷ, εἴ γε ἐκεῖ εἰσιν οἱ λόγοι τῶν εἰδῶν πάντων. ἀμέλει ὁ Πλάτων τὰ εἴδη ἀριθμοὺς προσαγορεύει, ἐπειδὴ ὥσπερ ὁ ἀριθμὸς μετρητικός ἐστι καὶ περιοριστικὸς ἐκείνου οὗ ἂν ᾖ ἀριθμὸς οὕτω καὶ τὰ εἴδη πάντων ὁριστικά εἰσι καὶ μετρητικά· ἐπεὶ οὖν λόγοι τῶν εἰδῶν ἐκεῖ τοὺς ἀριθμοὺς μιμουμένων, διὰ τοῦτο ἀριθμητική ἐστι πρώτη ἐκεῖ. οἱ οὖν λόγοι πάντων ἐκεῖ εἰσιν, οὐ γὰρ αὐτὰ τὰ εἴδη, καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἡ ποίησις λέγει, Ἀθηνᾶν μὲν τεκταίνεσθαι, Ἥφαιστον δὲ χαλκεύειν· οὐχ ὅτι τῷ ὄντι ἐργάζονται, μυθῶδες γὰρ τοῦτο, ἀλλ’ ὅτι ἔχουσι τοὺς λόγους πάντων, ὥσπερ ὁ ἰατρὸς πάντων τῶν νοσερῶν ἔχει τοὺς λόγους, μὴ ὢν αὐτὸς νοσερός. κατὰ τοῦτο τοίνυν πρώτη ἡ ἀριθμητική. καὶ κατὰ τοὺς ἄλλους δὲ τοὺς πολυθρυλλήτους κανόνας προτέρα ἐστίν· ἰστέον γὰρ ὅτι τῇ φύσει πρῶτον λέγομεν τὸ συναναιροῦν μέν, μὴ συναναιρούμενον δέ, καὶ τὸ συνεισφερόμενον μέν, μὴ συνεισφέρον δέ· οὕτω γοῦν φαμεν ζῷον φύσει πρῶτον ἀνθρώπου, ἐπειδὴ ἀναιρεθέντος μὲν ζῴου καὶ ὁ ἄνθρωπος ἀνῄρηται, ἀνθρώπου δὲ ἀναιρεθέντος τὸ ζῷον οὐκ ἀνῄρηται. καὶ πάλιν ἀνθρώπου μὲν εἰσφερομένου, συνεισφέρεται πάντως καὶ τὸ ζῷον, οὐκέτι δὲ τῷ ζῴῳ συνεισφέρεται ὁ ἄνθρωπος. κατὰ τὸν αὐτὸν τοίνυν τρόπον κἀνταῦθα ἀναιρουμένης ἀριθμητικῆς ἀναιρεῖται καὶ γεωμετρία· μὴ γὰρ ὄντος ἀριθμοῦ, οὐκ ἔστι τὸ μοναχὲς καὶ διχὲς καὶ τριχές· μὴ ὄντων δὲ τούτων, οὐδὲ γραμμὴ οὐδὲ ἐπιφάνεια οὐδὲ μέγεθος. καὶ πάλιν συνεισφέρεται τῇ γεωμετρίᾳ 〈ἡ ἀριθμητική〉. πῶς γὰρ ἂν λεχθείη ὀκτάεδρον καὶ τετράγωνον καὶ διπλάσιον καὶ τριπλάσιον, μὴ ὑπαρχούσης ἀριθμητικῆς; εἰ μὴ γὰρ ὦσι δ, οὐκ ἔσται τετράγωνον, οὐδὲ τρίγωνον μὴ ὄντων τριῶν, οὐδὲ ὀκτάεδρον μὴ ὑπαρχόντων ὀκτώ· ἀλλ’ οὐδὲ διπλάσιον ἢ τριπλάσιον, εἴ γε ἀριθμητικῆς ταῦτα. περὶ γὰρ τοιούτων λόγων ἐν τῷ ε βιβλίῳ ὁ γεωμέτρης διαλέγεται. προτέρα οὖν ἀριθμητικὴ γεωμετρίας, ἀλλὰ καὶ μουσικῆς, εἴ γε προγενέστερον τὸ αὐτὸ καθ’ αὑτὸ τοῦ πρὸς ἕτερον. ὥστε εἰ ἡ μὲν ἀριθμητικὴ αὐτὴ καθ’ αὑτὴν ἡ δὲ μουσικὴ ἐν τῇ πρὸς ἕτερον σχέσει, προτέρα ἡ ἀριθμητικὴ τῆς μουσικῆς. ἄλλως τε οἱ μουσικοὶ λόγοι, ὅ ἐστιν ὁ διὰ δ ἢ ὁ διὰ ε ἢ ὁ διὰ πασῶν ἢ ὁ δὶς διὰ πασῶν, πῶς ἂν γένοιντο μὴ ὄντος ἀριθμοῦ; ἡ μὲν γὰρ [τῶν] διὰ ε τὸν ἡμιόλιον λόγον ἔχει, ἡ δὲ διὰ δ τὸν ἐπίτριτον, ἡ δὲ διὰ πασῶν τὸν διπλάσιον, ἡ δὲ διὰ πασῶν ἅμα καὶ διὰ ε τὸν τριπλάσιον, ἡ δὲ δὶς διὰ πασῶν, ἥτις καὶ τελειοτάτη ἐστί, τὸν τετραπλάσιον. |
| 1 33 (50) [80] | ταῦτα δὲ πάντα ἀριθμοῖς ὑποβάλλονται. ἡμιόλιος μὲν γὰρ ὁ γ τῶν β, ὅτι ἔχει ὁ γ τὸν β καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ. ἐπίτριτος δὲ ὁ δ τοῦ γ, ὅτι ἔχει ὁ δ τὸν γ καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ. [ὁ δὲ δ τοῦ β τὸ διπλάσιον.] διπλάσιος δ’ αὖ τοῦ β ὁ δ καὶ τετραπλάσιος ὁ ὀκτώ. καὶ ὅρα πῶς καλῶς εἶπεν ὁ Νικόμαχος δι’ ὃ ἡ τελειοτάτη ἐστὶν ἡ δὶς διὰ πασῶν· ἔμελλε γάρ τις λέγειν ὅτι “ἆρα ὥσπερ οἱ ἀριθμοὶ αὔξονται οὕτω καὶ αἱ χορδαί;” λέγει οὖν ὅτι οὔ, ἐπειδὴ ἡ πολλὴ ἐπίτασις ῥῆξιν ἐργάζεται· ἄχρι οὖν τετραπλασίου λόγου αὔξεται. πάλιν οὐδὲ ἄχρι πολλοῦ μειοῦται· ἡ γὰρ πολλὴ ἄνεσις τὸ σιγᾶν τῇ χορδῇ χαρίζεται, ὥστε πάλιν ἡ ἐσχάτη μείωσις ἄχρι τοῦ ἐπιτρίτου λόγου γίγνεται. τοσαῦτα περὶ μουσικῆς καὶ ἀριθμητικῆς, ἀλλὰ καὶ τῆς σφαιρικῆς πρώτη ἐστίν. εἰ μὲν γὰρ λάβῃς τὴν ἀκίνητον σφαῖραν, ἐπειδὴ τὸ ἀκίνητον πρότερον τοῦ κινουμένου, ἐδείχθη δὲ περὶ μὲν τὸ ἀκίνητον ἔχουσα ἡ γεωμετρία, περὶ δὲ τὸ κινούμενον ἡ ἀστρονομία. εἰ προτέρα δέ ἐστιν ἡ γεωμετρία τῆς ἀστρονομίας, ἡ δὲ ἀριθμητικὴ καὶ τῆς γεωμετρίας, πολλῷ ἄρα καὶ τῆς ἀστρονομίας. ἄλλως τε πῶς δυνάμεθα τὰ διαστήματα τὰ πρὸς ἄλληλα τῶν ἀστέρων εὑρεῖν, εἰ μὴ ἀριθμῷ; καὶ τί λέγω τὰ πρὸς ἄλληλα; ὅπου γε οὐδὲ αὐτὰ καθ’ αὑτά· τοὺς οὖν ἀναποδισμοὺς καὶ προποδισμοὺς καὶ τὰς ἀνατολὰς καὶ δύσεις καὶ τὰ τοιαῦτα ἐξ ἀριθμῶν γνωρίζομεν· ἀριθμὸς γὰρ θηρᾷ δι’ ὃ νῦν οὖσα ἑσπερία ἡ Ἀφροδίτη μετ’ ὀλίγον χρόνον ἔσται ἑῴα, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως. δέδεικται γὰρ ἄρα διὰ πάντων, ὡς προὔχει τῶν ἄλλων ἡ ἀριθμητική. ταῦτα οὖν βούλεται ἡμῖν ἡ παροῦσα θεωρία διηγήσασθαι. ἐν τῇ τοῦ τεχνίτου θεοῦ. |
| 1 34 | οὐχ ὅτι αὐτὸς τεχνίτης, ἀλλ’ ὅτι πάντων τῶν τεχνιτῶν τοὺς λόγους αὐτὸς ἔχει. ὡς πρὸς προκέντημά τι. |
| 1 35 [5] | προκέντημά ἐστιν 〈οἷον〉 ὁ σκάριφος καὶ ἡ σκιαγραφία. ὥσπερ οὖν ἡμεῖς πρὸς ταῦτα βλέποντες τὰ σκιαγραφήματα ποιοῦμεν τόδε τι, οὕτω καὶ ὁ δημιουργὸς πρὸς ἐκεῖνον ἀποβλέπων κοσμεῖ τὰ τῇδε· ἀλλ’ ἰστέον ὅτι τὰ μὲν τῇδε σκιαγραφήματα ἀτελῆ εἰσιν, ἐκεῖνος δὲ ὁ λόγος ἀρχέτυπος. τὰ ἐκ τῆς ὕλης ἀποτελέσματα. |
| 1 36 | πρὸς ἐκεῖνον ἀποτελέσματα, ὥστε ἐκεῖθεν παρήχθη καὶ ἡ ὕλη. εἰ γὰρ μὴ ἦν ἐκεῖθεν, οὐκ ἂν οὐδὲ ἐκοσμεῖτο· μὴ γὰρ οὖσαν αὐτὴν ἐκεῖθεν διὰ τί εἶχε κοσμεῖν; καὶ ἐκ τοῦ ἐναντίου δέ. |
| 1 37 | κἂν μὴ λάβῃς δὲ πρότερον τὸ πρεσβύτερον, ἀλλὰ τὸ ἐναντίον τὸ νεώτερον, εὑρήσεις ὅτι συνεισφέρεται αὐτῷ τὸ πρεσβύτερον, τῷ δὲ πρεσβυτέρῳ οὐκέτι τὸ νεώτερον συνεισφέρεται. καθάπερ τὸ μέγα τοῦ μείζονος. |
| 1 38 [5] | οὐχ ὅτι τὸ μέγα πρότερόν ἐστι τοῦ μείζονος, ἀλλ’ ὅτι μέλλον μεῖζον λέγεσθαι σῶμα προϋποκεῖσθαι θέλει 〈τὸ μέγα〉, ἵνα οὕτω μεῖζον μέλλῃ εἶναι· ὡσαύτως καὶ ὁ μέλλων πλουσιώτερος εἶναι, προϋπόκειται καὶ οὕτω πλούσιος, καὶ τὰ λοιπὰ ὁμοίως. ἡ γὰρ κίνησις φύσει μετὰ τὴν μονήν. |
| 1 39 [5] | τὸ γὰρ ἀκίνητον τοῦ κινουμένου πρότερον· ἀλλὰ τὸ μὲν ἀκίνητον ἡ γεωμετρία ζητεῖ, τὸ δὲ κινούμενον ἡ ἀστρονομία. εἰ πρώτη οὖν ἡ γεωμετρία τῆς ἀστρονομίας, ἡ δὲ ἀριθμητικὴ τῆς γεωμετρίας προὔχει, πολλῷ ἄρα ἡ ἀριθμητικὴ προτέρα τῆς ἀστρονομίας. οὐδ’ ὅτι δι’ ἁρμονίας. |
| 1 40 [5] | οὐδὲ πάλιν διὰ τοῦτο μόνον προτέρα ἐστὶν ἡ ἀριθμητικὴ τῆς ἀστρονομίας, διὰ τὸ ἁρμονίαν τινὰ ἐμμελῆ ἔχειν πρὸς τὰ κινήματα τῶν ἄστρων, ζητοῦμεν γὰρ τὸν τῶν διαστημάτων αὐτῶν λόγον, ἀλλ’ ὅτι καὶ αἱ ἀνατολαὶ καὶ δύσεις καὶ τὰ λοιπὰ πάντα ταῖς τῶν ἀριθμῶν περιόδοις καὶ ταῖς ποσότησιν εὖ διαρθροῦνται. καλῶς οὖν, εἰδότες αὐτὴν προτέραν οὖσαν καὶ μητέρα καὶ τροφὸν τῶν ἄλλων, διδάσκομεν ταύτην πρὸ τῶν λοιπῶν. πάντα τὰ κατὰ τεχνικὴν διέξοδον. |
| 1 41 [40] | εἰρηκὼς ὅτι διὰ τῶν δ μαθημάτων φερόμεθα ἐπὶ τὸ τέλος τῆς φιλοσοφίας, δείξας δὲ καὶ ὅτι ἡ ἀριθμητικὴ φύσει προτέρα τῶν ἄλλων, νῦν ἐπ’ αὐτὸ τὸ προκείμενον ἔρχεται, ἐπὶ τὸν ἀριθμόν φημι, ὃν βουλόμεθα κατορθῶσαι. λέγει τοίνυν ὅτι ἐξ ἀρχῆς παρὰ τῷ δημιουργῷ ἔστιν ὁ ἀριθμός, εἴ γε τὰ εἴδη εἰσὶν ἐκεῖ ἀναλογοῦντα τῷ ἀριθμῷ, ὡς ἀριθμητικὰ καὶ περιοριστικὰ πάντων· καὶ ὁ κόσμος οὖν κατὰ ἀριθμὸν γέγονε· περιοριστικὸς γὰρ καὶ μετρητικὸς πάντων. ἐξ ἐκείνου τοίνυν τοῦ νοητοῦ γέγονεν ὁ διανοητὸς ἀριθμὸς ἐν τῇ ἡμετέρᾳ ψυχῇ. ἐπεὶ τοίνυν σύνθετός ἐστιν οὗτος (οὐ γὰρ ἁπλοῦς τυγχάνει), σύγκειται ἄρα ἐξ ὄντων καὶ ὁμογενῶν καὶ ἐναντίων· πᾶν γὰρ τὸ συντιθέμενον ἐξ ὄντων σύγκειται καὶ ὁμογενῶν καὶ ἐναντίων· ἐκ μὲν γὰρ μὴ ὄντων οὐδὲν σύγκειται· ἀλλ’ οὐδὲ ἐξ ὁμογενῶν μέν, μὴ διαφόρων δέ, οὕτω γοῦν ἐκ δύο βαρέων χορδῶν ἁρμονία οὐ γίνεται. οὐδὲ ἐκ δύο ὑδατινῶν στοιχείων· ἀλλ’ οὐδὲ ἐκ διαφόρων μὴ ὄντων ἐναντίων, οὕτως οὖν ἐκ λευκοῦ καὶ θερμοῦ ἢ ἐκ λευκοῦ καὶ γλυκέος οὐδὲν γίνεται· ἀλλ’ ἐξ ἐναντίων καὶ ὁμογενῶν πάντων, οἷον ἐκ λευκοῦ καὶ μέλανος τὸ φαιόν, καὶ ἐκ θερμοῦ καὶ ψυχροῦ τὸ σύμμετρον, εἰ τύχοι. ὅτι δὲ ἡ ἁρμονία ἐξ ἐναντίων σύγκειται, οἱ Πυθαγόρειοι δηλοῦσι· φασὶ γὰρ ὅτι ἁρμονία ἐστὶ πολυμιγέων καὶ δίχα φρονεόντων ἕνωσις. κἀνταῦθα τοίνυν ὁ ἀριθμὸς ἐξ ὁμογενῶν καὶ ἐναντίων συναρμόζεται, ἐξ ἀρτίου λέγω καὶ περιττοῦ· ταῦτα τοίνυν αὐτοῦ τὰ πρῶτα εἴδη. αὐτῶν δὲ τούτων εἰσὶν ἄλλα εἴδη· τοῦ μὲν ἀρτίου τὸ ἀρτιάκις ἄρτιον καὶ τὸ ἀρτιοπέριττον καὶ τὸ περισσάρτιον, τοῦ δὲ περιττοῦ τὸ πρῶτον καὶ ἀσύνθετον, καὶ τὸ δεύτερον καὶ σύνθετον, καὶ τὸ ἐν μέσῳ τούτων· τί δέ ἐστιν ἕκαστον τούτων, μαθησόμεθα. ζητεῖ δὲ αὐτῶν καὶ τὴν οὐσίαν καὶ τί αὐτοῖς παρακολουθεῖ, καὶ τὸν τρόπον τῆς γενέσεως· πρόσεπι τούτοις δὲ δεῖξαι γραμμικαῖς ἀνάγκαις ὅτι φύσει προτέρα ἐστὶν ἡ μονὰς καὶ ἀρχὴ τῶν ἀριθμῶν. παραδώσει δὲ καὶ τοὺς ὁρισμοὺς τοῦ τε ἀρτίου καὶ τοῦ περιττοῦ, πρῶτον μὲν τοὺς δημώδεις καὶ τοὺς πολυθρυλλήτους, εἶτα δὲ καὶ τοὺς κατὰ Πυθαγόραν. ταῦτα διὰ τῆς παρούσης θεωρίας μαθησόμεθα. βεβαιουμένου. |
| 1 42 [5] | ἀντὶ τοῦ κρατυνομένου τοῦ διανοητοῦ ἀριθμοῦ ὑπὸ [τὸν] τοῦ παραδείγματος λόγον καὶ προχαράγματος ἐπέχοντος νοητοῦ ἀριθμοῦ· ὁ γὰρ νοητὸς ἀριθμὸς παράδειγμά ἐστι, προϋποστὰς ἐν τῇ τοῦ θεοῦ διανοίᾳ, οὗτος δὲ εἰκὼν ἐκείνου τυγχάνει. οὐσίαν μέντοι τὴν ὄντως. |
| 1 43 | ἐκεῖνος γὰρ μόνος ἀεὶ καὶ ὡσαύτως ἔχει. τῷ δὲ εἰπεῖν νοητὸν αὐτὸν μόνον οὐδὲν ἄλλο σημαίνει ἢ αὐτόχρημα νοητὸν καὶ ἄϋλον τυγχάνοντα. ἐξελιγμοί. |
| 1 44 [5] | ἀντὶ τοῦ περίοδοι· ταῦτα γὰρ πάντα καὶ ὁ οὐρανὸς καὶ ὁ χρόνος καὶ ἄστρα ἐξ ἐκείνων τῶν λόγων προῆλθον. Ἀμέλιος δέ, οὐκ οἶδα πόθεν ὁρμηθείς, καὶ τῶν κακῶν οἴεται λόγους εἶναι παρὰ τῷ δημιουργῷ. καὶ αὐτὸν 〈τὸν〉 ἐπιστημονικόν. |
| 1 45 | ἀντὶ τοῦ τὸν διανοητόν. ἄλογα δὲ πρὸς ἄλληλα. |
| 1 46 | λόγον ἐναντιότητος πρὸς ἄλληλα μὴ ἔχοντα. οὐσίαν τε ἔχοντα τὴν τῆς ποσότητος. |
| 1 47 | καὶ γὰρ τὸ περιττὸν ποσὸν καὶ τὸ ἄρτιον. καὶ ἐναλλὰξ ὑπὸ θαυμαστῆς. |
| 1 48 [5] | τοσαύτην τάξιν, φησίν, ἔχουσιν ὅτι θείως ἥνωνται ἐναλλάξ. ὅτι εἷς παρ’ ἕνα ἀριθμὸς ἄρτιος καὶ περιττός ἐστιν, ἑνώσεως καὶ συνεχείας φυλαττομένης, οἷον ὁ β ἄρτιος, ὁ γ περιττός, ὁ δ ἄρτιος, ὁ ε περιττός, ὁ ϛ ἄρτιος, ὁ ζ περιττός, ὁ η ἄρτιος, ὁ θ περιττός, ὁ ι ἄρτιος, καὶ ἑξῆς ὁμοίως. ἁπλῶς γὰρ ἀριθμός ἐστιν. |
| 1 49 | ὁρίζεται τὸν ἀριθμὸν καὶ λέγει ὅτι ἀριθμός ἐστι σύστημα καὶ πλῆθος μονάδων καὶ χύμα ποσότητος ἐκ μονάδων συγκείμενον. ἔστι δὲ ἄρτιον μέν. |
| 1 50 [15] | τέως τοὺς δημώδεις λέγει καί φησιν ὅτι ἄρτιός ἐστιν ὁ εἰς δύο ἴσα διαιρούμενος, ἑτέρας μονάδος ἐν τῷ μέσῳ μὴ παρεμπιπτούσης, περιττὸς δέ ἐστιν ὁ μὴ εἰς δύο ἴσα διαιρούμενος διὰ τὴν ἐν μέσῳ, ὡς εἴρηται, μονάδα. ὁρισάμενος οὕτω λέγει λοιπὸν β μὲν Πυθαγορείους ἑνὸς [ἐστὶ τοῦ ἀρτίου καὶ περιττοῦ] ἑκάστου ὅρους, ἕνα δὲ ἐκ τῆς πρὸς ἄλληλα αὐτῶν σχέσεως. ἄρτιος τοίνυν ἐστὶν ὁ τὴν εἰς τὰ μέγιστα καὶ εἰς τὰ ἐλάχιστα κατὰ ταὐτὸ τομὴν ἐπιδεχόμενος, μέγιστα μὲν πηλικότητι, ἐλάχιστα δὲ ποσότητι. οἷον ὁ η διαιρεῖται εἰς δύο μέρη, δ καὶ δ· ἰδοὺ κατὰ ταὐτό, κατὰ τὰ δ λέγω, καὶ μεγίστην καὶ ἐλαχίστην τομὴν ἀνεδέξατο· τὰ μὲν γὰρ δ μεγίστη ἐστὶ τομή, εἰς ἄλλην γὰρ μείζονα τομὴν ὁ η δίχα διαιρεθῆναι οὐ δύναται. ἐλαχίστη δὲ τομή ἐστιν ὁ β ἀριθμός· εἰς δύο γὰρ μέρη διῃρέθη, ἃ δύο ἐλάχιστά εἰσι· μετὰ γὰρ τὰ β οὐκ ἔστιν ἄλλος ἀριθμός. κατὰ τὴν φυσικὴν τῶν δύο τούτων γενῶν ἀντιπεπόνθησιν. |
| 1 51 [5] | τὰ γὰρ δύο ταῦτα, τό τε πηλίκον καὶ τὸ ποσόν, ἀντιπεπονθότως ἔχουσι· τὸ μὲν γὰρ πηλίκον, ὅ ἐστι τὸ μέγεθος, ἐπὶ τὸ ἐλάχιστον αὔξεται· ἐπ’ ἄπειρον γὰρ διαιρετὸν τὸ μέγεθος. τὸ δὲ ποσόν (ἀντὶ τοῦ ὁ ἀριθμός) ἐπὶ τὸ μεῖζον αὔξεται· ὁ γὰρ ἀριθμὸς ἀεὶ πρόσθεσιν λαμβάνει. περισσὸς δὲ ὁ μὴ δυνάμενος τοῦτο παθεῖν. |
| 1 52 | ἐξ ἀποφάσεως ὁρίζεται τὸν περιττόν· περιττὸς γάρ ἐστιν ὁ μὴ πάσχων ὅπερ ὁ ἄρτιος· εἰς ἄνισα γὰρ τέμνεται β. ἑτέρῳ δὲ τρόπῳ κατὰ τὸν παλαιόν. |
| 1 53 [20] | ἄλλος τρόπος ὅρου· παλαιὸν δὲ ὅρον λέγει τὸν Πυθαγόρειον. ἄρτιος οὖν ἐστιν ὁ καὶ εἰς ἴσα δύο καὶ εἰς ἄνισα δύο τμηθῆναι δυνάμενος, οἷον ὁ η καὶ εἰς δύο ἴσα διαιρεῖται, εἰς δ καὶ δ, καὶ εἰς δύο ἄνισα, οἷον ϛ καὶ β, καὶ ε καὶ γ, καὶ ζ καὶ α. πᾶς οὖν ἄρτιος οὕτω διαιρεῖται, χωρὶς τῆς ἀρχοειδοῦς δυάδος· ἡ γὰρ δυὰς καὶ ἀρτία οὖσα μόνον εἰς ἴσα διαιρεῖται, εἰς δύο μονάδας· ἀρχοειδῆ δὲ ταύτην εἶπεν ὡς ἀρχὴν ἀριθμῶν. ὁ δὲ περιττὸς ἀεὶ εἰς ἄνισα διαιρεῖται, οἷον ὁ ε εἰς ἴσα οὐ δύναται διαιρεθῆναι, ἀλλ’ εἰς ἄνισα, εἰς δ καὶ α, εἰς γ καὶ β. ἰστέον τοίνυν ὅτι κατὰ τοῦτο κοινωνοῦσιν ὅ τε ἄρτιος καὶ 〈ὁ〉 περιττός· καὶ γὰρ ὁ ἄρτιος, καὶ εἰς ἄνισα, ὡς εἴρηται, διαιρεῖται. τί οὖν, κατὰ τοῦτο οἱ αὐτοί εἰσιν; οὔ φαμεν, διὸ καὶ κατὰ τοῦτο ἔστι διαφορά· ὁ μὲν γὰρ ἄρτιος εἰς ἄνισα διαιρούμενος ὁμοειδεῖς τοὺς ἀνίσους ποιεῖται, 〈οἷον ὁ η〉 εἰς ε καὶ γ· ἰδού, ἀμφότεροι περιττοί· ὡσαύτως καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων πάντων. ὁ μέντοι περιττὸς οὐδέποτε ὁμοειδεῖς τοὺς ἀνίσους ποιεῖ, οἷον ὁ θ διαιρεῖται εἰς ϛ καὶ γ· ἰδοὺ ἀνομοειδεῖς· ὁ μὲν γὰρ ἄρτιος, ὁ δὲ περιττός. ὡσαύτως καὶ εἰς ζ καὶ [εἰς] β, καὶ η καὶ α, καὶ ἐπὶ πάντων ὡσαύτως. θάτερον δὲ διχοτόμημα. |
| 1 54 [5] | δέχεται τὸ ἴσον, οὐκέτι τὸ ἄνισον. καὶ ἐν ᾗτινι οὖν τομῇ. καὶ ἐν τῇ τομῇ τὸ εἰς ἴσα μόνον τμῆμα παρεμφαίνει· εἰς μονάδα γὰρ μόνον διαιρεῖται ἡ δυάς, ἀμέτοχος οὖσα τοῦ λοιποῦ τμήματος, ὅ ἐστι τοῦ ἀνίσου. ἀμφότερα ἅμα ἐμφαίνων. |
| 1 55 [5] | τό τε ἄρτιον καὶ τὸ περιττόν, ἀντὶ τοῦ ἀνομοειδῆ ποιῶν τὰ οὐδέποτε ὁμοειδῆ· τοῦτο γάρ ἐστι τὸ οὐδέποτε ἄκρατα ἀλλήλων, οὐδὲ γὰρ ἄρτια μόνα ποιεῖ τὰ ἄκρατα οὐδὲ περιττά, ἀλλὰ ἅμα τὸ μὲν ἄρτιον τὸ δὲ περιττόν. ἐν δὲ τῷ δι’ ἀλλήλων ὅρῳ περισσός ἐστιν. |
| 1 56 [10] | ἰδοὺ ὁ ἐκ τῆς σχέσεως ὅρος. περισσός ἐστιν ὁ μονάδι ἐφ’ ἑκάτερα διαφέρων ἀρτίου, ὅ ἐστιν ἐπὶ τὸ μεῖζον καὶ τὸ ἔλαττον τοῦ ἀρτίου, οἷον ὁ ζ ἐφ’ ἑκάτερα μονάδι διαφέρει τοῦ ἀρτίου, ἐπὶ μὲν τὸ ἕτερον μέρος, τὸ μεῖζον, τῇ ὀκτάδι· μετὰ γὰρ τὸν ζ ὁ η ἔστιν, ὅς ἐστιν ἄρτιος. ἐπὶ δὲ τὸ ἕτερον, τὸ ἔλαττον, τῇ ἑξάδι· πρὸ γὰρ τοῦ ζ ὁ ϛ, ὃς ἄρτιος· μονάδι οὖν διαφέρει τοῦ ἀρτίου. ὡσαύτως καὶ ὁ ἄρτιος ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη μονάδι διαφέρει τοῦ περιττοῦ, οἷον ϛ ἐπὶ μὲν τὸ μεῖζον τῇ ἑπτάδι, ἐπὶ δὲ τὸ ἔλαττον τῇ πεντάδι. ἄρτιος ϛ ἐλάττων, περιττὸς ζ [ἐλάττων], ἄρτιος η μείζων, περιττὸς ε ἐλάττων, ἄρτιος ϛ, περιττὸς ζ μείζων. πᾶς ἀριθμός. |
| 1 57 [25] | ἐντεῦθεν ἀναγκαστικῶς πάνυ καὶ θείως βούλεται δεῖξαι ὅτι φύσει ἀρχή ἐστιν ἡ μονὰς τῶν ἀριθμῶν· λέγει γὰρ οὕτω· πᾶς ἀριθμὸς τῶν παρ’ ἑκάτερα ἅμα συντεθέντων ἥμισύς ἐστιν· οἷον εἰλήφθω ὁ ι παραδείγματος χάριν· τούτου παρ’ ἑκάτερα ἔστιν ὅ τε θ καὶ ὁ ια, ἃ σύνθες, τὸν θ καὶ τὸν ια, καὶ γίνονται κ· ἥμισυς ἄρα τῶν κ ὁ ι. ὁμοίως καὶ ἐπὶ πάντων· οἷον τοῦ η παρ’ ἑκάτερα ζ καὶ θ· σύνθες τοὺς δύο, καὶ γίνονται ιϛ· τούτων ἥμισυς ὁ η. οὐ μόνον δὲ τῶν παρ’ ἑκάτερα συντιθεμένων ἥμισυς εὑρίσκεται, ἀλλὰ καὶ τῶν ὑπὲρ ἕνα ἑκατέρωθεν· οἷον 〈ὁ ι〉 οὐ μόνον τοῦ θ καὶ τοῦ ια, ἀλλὰ καὶ τῶν ἑκατέρωθεν τούτων, οἷον τοῦ η καὶ τοῦ ιβ· σύνθες γὰρ τούτους, καὶ γίνονται πάλιν κ, καὶ ἥμισυ τούτων ι. ὡσαύτως καὶ τῶν ἑκατέρωθεν τούτων, ζ καὶ ιγ, καὶ ἔτι ϛ καὶ ιδ, καὶ ε καὶ ιε, καὶ δ καὶ ιϛ, καὶ γ καὶ ιζ, καὶ β καὶ ιη, καὶ α καὶ ιθ. ἐπὶ μέντοι τῆς μονάδος οὐκέτι τοῦτο, ἀλλὰ τοῦ μὲν μετ’ αὐτὴν ἀριθμοῦ, ὅ ἐστι τοῦ β, ἥμισυ γίνεται· οὐδένα δὲ ἔχει πρὸ αὐτῆς, ἵνα ἐκ τῆς ἑκατέρων συνθέσεως γένηται ἡμίσεια· ὥστε δέδεικται ὡς οὐδένα ἀριθμὸν ἔχει πρὸ αὐτῆς, ἀλλὰ φύσει ἀρχή ἐστιν ἡ μονὰς καὶ ἀδιαίρετος. γίνωσκε οὖν ὅτι οὐδέποτε 〈διαιρεῖται〉 μονάς, ᾗ μονάς ἐστιν· ἀλλ’ ὅταν λέγωμεν αὐτὴν διαιρεῖσθαι, τὸ μέγεθός ἐστι τὸ διαιρούμενον, ὅθεν πάλιν ἡ διαίρεσις δύο ἀδιαιρέτους μονάδας ἐργάζεται. καθ’ ὑποδιαίρεσιν δὲ τοῦ ἀρτίου. |
| 1 58 [45] | εἰρήκαμεν, ὅτι προῄρηται εἰπεῖν, ὅτι τε φύσει ἐστὶ πρώτη ἡ μονάς, καὶ τὴν οὐσίαν τοῦ ἀρτίου καὶ τοῦ περιττοῦ καὶ τὸν τρόπον τῆς γενέσεως αὐτῶν καὶ τὰ παρακολουθήματα. εἰρηκὼς τοίνυν περὶ τῆς μονάδος καὶ περὶ τοῦ ἀρτίου καὶ τοῦ περιττοῦ νῦν ὑποδιαιρεῖ τούτους εἰς ἕτερα εἴδη καὶ λέγει ὅτι τοῦ μὲν ἀρτίου γ εἰσὶν εἴδη, τὸ ἀρτιάκις ἄρτιον καὶ τὸ περισσάρτιον καὶ τὸ ἀρτιοπέριττον· τοῦ δὲ περιττοῦ καὶ αὐτοῦ γ, τὸ μὲν πρῶτον καὶ ἀσύνθετον, τὸ δὲ δεύτερον καὶ σύνθετον, τὸ δὲ τρίτον πρὸς μὲν ἑαυτὸ σύνθετον καὶ δεύτερον πρὸς δὲ ἄλλο πρῶτον καὶ ἀσύνθετον. εἰ δοκεῖ τοίνυν ἐξηγησόμεθα αὐτά. ὁ ἀρτιάκις ἄρτιος ἀριθμός ἐστιν ὁ ἄχρι μονάδος τὴν εἰς δίχα διαίρεσιν δεχόμενος, οἷον ὁ ξδ· ἥμισυ γὰρ τούτων λβ, καὶ ἥμισυ τούτων ιϛ, καὶ τούτων η, καὶ τῶν η δ, καὶ τῶν δ β, καὶ τῶν β α· ἡ δὲ μονὰς λοιπὸν ἀδιαίρετος. ἀρτιάκις μὲν ἄρτιός ἐστιν 〈οὗτοσ〉. ἀρτιοπέριττος δὲ ὁ ἀντικείμενος τούτῳ ὁ μίαν μόνην διαίρεσιν δεχόμενος καὶ λοιπὸν ἀδιαίρετος μένων ὡς περιττὸν ποιῶν· οἷον ὁ ιδ· ἥμισυ γὰρ τούτων ζ· ἰδού, ἐδέξατο μίαν διαίρεσιν, οὐκέτι δὲ ὁ ζ ἐπιδέχεται ἑτέραν, ἐπειδὴ περιττός· ἐναντίος οὖν τῷ ἀρτιάκις ἀρτίῳ διότι ἐκεῖνος μὲν ἄχρι μονάδος διαιρεῖται, οὗτος δὲ μίαν μόνην διχοτομίαν καὶ οὐκέτι ἄλλην τομὴν δέχεται. ἀρτιοπέριττος δὲ καλεῖται ὡς ἔχων πολὺ τὸ περιττὸν καὶ πλεονάζων τῷ περιττῷ. περισσάρτιος δέ ἐστιν ὁ ἐν μέσῳ τῶν δύο τούτων· οὐδὲ γὰρ ἄχρι μονάδος διαιρεῖται, οὐδὲ μίαν μόνην τομὴν ἐπιδέχεται, ἀλλὰ δύο ἢ καὶ πλείους, οἷον ὁ κδ· ἥμισυ γὰρ ιβ, καὶ τούτων ϛ, καὶ τῶν ϛ γ· τούτων δὲ οὐκέτι. περισσάρτιος δὲ καλεῖται ὡς ἔχων πλεονάζον τὸ ἄρτιον· ταῦτα περὶ τούτων. ἔλθωμεν λοιπὸν ἐπὶ τὰ τοῦ περιττοῦ εἴδη· πρῶτον εἶδος ὅ ἐστι πρῶτόν τε καὶ ἀσύνθετον· πρῶτον δὲ καὶ ἀσύνθετόν ἐστι τὸ μονάδι μόνον μετρούμενον κοινῷ μέτρῳ· οἷον ὁ ε ἀριθμὸς πρῶτος καὶ ἀσύνθετος· οὐ συντίθησι γὰρ αὐτὸν ἕτερος, εἰ μὴ ἡ μονάς· πεντάκι γὰρ μία ε· ὡσαύτως καὶ ὁ γ καὶ ὁ ιζ καὶ ὁ ιθ καὶ οἱ τοιοῦτοι. δεύτερος δὲ καὶ σύνθετός ἐστιν ὁ θ· οὗτος γὰρ μετρεῖται μὲν καὶ ὑπὸ τῆς μονάδος· ἅπαξ γὰρ θ, θ· ἀλλὰ καὶ ὑπὸ ἄλλων συντίθεται· γ γὰρ τρεῖς θ· καὶ ὁ κε· ἅπαξ γὰρ κε, ἀλλὰ καὶ πεντάκις ε κε. ἔτι δὲ καθ’ ἑαυτὸν μὲν σύνθετος, πρὸς ἄλλον δὲ ἀσύνθετος, ὁ θ καὶ κε· οὗτοι γὰρ καθ’ ἑαυτοὺς μὲν σύνθετοι (τρὶς μὲν γὰρ τρεῖς θ, ἀλλὰ καὶ πεντάκις ε κε), πρὸς δὲ ἀλλήλους ἀσύνθετοι (ὁ γὰρ θ τρὶς τρεῖς ἐστι καὶ οὐκ ἔχει ἐν ἑαυτῷ τὸν ε· ὁ δὲ κε πεντάκις ε ἐστὶ καὶ τὸν γ οὐδαμοῦ ἔχει)· οὐδεὶς οὖν ἔχει τοῦ ἑτέρου μέρος. ταῦτά ἐστιν ἃ βούλεται διὰ τούτων διδάξαι. |
| 1 59 [20] | κατὰ τὴν τοῦ γένους φύσιν. κατὰ τὴν τοῦ ἀρτίου· καὶ γὰρ ὁ ἄρτιος διαιρεῖται δίχα, ἀλλ’ οὐκ ἄχρι μονάδος, ὡς ἀρτιάκις ἄρτιος. παρακολουθεῖ δὲ αὐτῷ. βούλεται εἰπεῖν, τί παρακολουθεῖ τῷ ἀρτιάκις ἀρτίῳ· ἀλλὰ πρότερον ἐξηγησώμεθα τὰς ἀσαφεῖς λέξεις, ἵνα σαφὲς ἡμῖν γένηται τὸ λεγόμενον. ἀρτιώνυμον καλεῖ τὸ μέρος, δύναμιν δὲ τοὺς ἀριθμούς. οἷον τί λέγω; τὸ τέταρτον παρώνυμόν ἐστιν· ἀπὸ γὰρ τοῦ δ ἀριθμοῦ γέγονε τὸ τέταρτον· καὶ ἀπὸ τοῦ η ὄγδοον· καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν ὁμοίως. αὐτὸς δὲ ὁ δ ἀριθμὸς καὶ ὁ η καὶ οἱ λοιποὶ δυνάμεις καλοῦνται τούτων οὕτως εἰρημένων. ἰστέον ὅτι ἐπὶ τῶν ἀρτιάκις ἀρτίων παρακολουθεῖ τὸ καὶ τὰ μέρη καὶ τὰς δυνάμεις ἀρτιάκις ἄρτια εἶναι· οἷον ὁ ξδ ὑποκείσθω ἀριθμός· τούτου φημὶ τὸ τέταρτον ιϛ· ἰδοὺ τὸ μὲν τέταρτον μέρος ὁ ιϛ δύναμις, ἀλλὰ καὶ τὸ μέρος, ὅ ἐστι τὸ δ, ἀρτιάκις ἄρτιος· ἄχρι γὰρ μονάδος διαιρεῖται· καὶ ὁ ιϛ δέ, ἀρτιάκις ἄρτιος· καὶ γὰρ αὐτὸς ἕως μονάδος. ἰστέον δέ, ὅτι εἴπωμεν, ὅτι ἑκκαιδέκατον τῶν ξδ δ εἰσί· τὸ μὲν ιϛ μέρος ποιοῦμεν, τὸν δὲ δ ἀριθμὸν δύναμιν. μηδέποτε δὲ ἑτέρῳ γένει κοινωνεῖν. |
| 1 60 | οὐδέποτε γὰρ ἢ τὸ μέρος ἢ ἡ δύναμις ὑπὸ ἕτερον γένος ἀνάγεται· ἀντὶ τοῦ ὑπὸ περιττόν· οὐ γὰρ περιττός ποτε εὑρεθήσεται, ἀλλὰ πάντως ἀρτιάκις ἄρτιος. μήτι δὲ ἄρα καὶ παρὰ τοῦτο. |
| 1 61 [15] | Πυθαγορικῶς φησιν ὅτι μὴ ἄρα καὶ διὰ τοῦτο ἀρτιάκις ἄρτιός ἐστιν, ὅτι καὶ κατὰ μέρος αὐτοῦ ἀρτιάκις ἄρτια, καὶ τῶν μερῶν τὰ μέρη ἄχρι μονάδος. ἐντεῦθεν τοίνυν ἐλέγχεται ὁ Εὐκλείδης κακῶς ὁρισάμενος ἐν τῷ ἑβδόμῳ βιβλίῳ τὸν ἀρτιάκις ἄρτιον ἀριθμόν· φησὶ γὰρ ὅτι ὁ ἀρτιάκις ἄρτιος ἀριθμός ἐστιν ὁ ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρούμενος κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν. τούτῳ γὰρ τῷ λόγῳ καὶ οἱ ἄρτιοι μόνως καὶ μὴ ὄντες ἀρτιάκις ἄρτιοι, ἀρτιάκις ἄρτιοι εὑρεθήσονται· οἷον ὁ κδ οὐκ ἔστιν ἀρτιάκις ἄρτιος, ἐπειδὴ ἄχρι μονάδος οὐ διαιρεῖται, κατ’ Εὐκλείδην δὲ εὑρεθήσεται ἀρτιάκις ἄρτιος· ἰδοὺ γὰρ μετρεῖται ὑπὸ τοῦ δ, ἀρτίου [τοῦ] ὄντος, κατὰ ἄρτιον ἀριθμὸν τὸν ϛ· τετράκις γὰρ ϛ κδ· ὥστε κακῶς ὡρίσατο. ὀνόματί τε καὶ δυνάμει. |
| 1 62 | ἀντὶ τοῦ μέρει τε καὶ ἀριθμῷ· οἷον τοῦ λβ μέρος μέν, εἰ τύχοι, τὸ τέταρτον, δύναμις δὲ ὁ η ἀριθμός. καὶ ἑτέρως πᾶν μέρος. |
| 1 63 | ἢ ἕτερον ὅρον λέγει ἢ ἐπεξηγεῖται τὸν πρότερον· ἀρτιάκις ἄρτιός ἐστιν οὗ πᾶν μέρος, ὃ ἂν ἔχῃ μέρος, ἔσται ἀρτιάκις ἄρτιον. κατὰ τὸ ὄνομα. |
| 1 64 [5] | ἀντὶ τοῦ [οὐ] κατὰ τὴν παρωνυμίαν, ὅ ἐστι τό τε μέρος ἀρτιάκις ἄρτιόν ἐστι· τὸ δὲ αὐτὸ καὶ κατὰ τὴν δύναμιν ἀρτιάκις ἄρτιον· οἷον τί λέγω; τοῦ λβ ἐὰν εἴπω ὅτι τὸ τέταρτόν ἐστιν η· τὸ μὲν δ μέρος ἐστίν, ὁ δὲ η δύναμις, ἑκάτερον δὲ αὐτῶν ἀρτιάκις ἄρτιον· ἀλλὰ πάλιν ἐὰν εἴπω ὅτι τῶν λβ τὸ η ον δ, τὸ μὲν ὄγδοον μέρος εὑρίσκεται, ὁ δὲ δ δύναμις, καί εἰσι πάλιν ἀρτιάκις ἄρτιοι. γένεσις δὲ τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου. |
| 1 65 [15] | περὶ τῆς γενέσεως τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου λέγει καὶ ἐκτίθεται μέθοδον καθ’ ἣν ἐπ’ ἄπειρον προϊόντες δυνάμεθα εὑρίσκειν ποῖοί εἰσιν οἱ ἀρτιάκις ἄρτιοι. θαυμάσαι οὖν πάρεστι τὸ τῆς ἐπιστήμης μέγεθος ὅτι ποιεῖ ἡμᾶς ἀποφαίνεσθαι καὶ περὶ τῶν μηδέπω εὑρεθέντων ἐνεργείᾳ ἀριθμῶν ὅτι πάντως ἀδύνατον ἐκφυγεῖν ἡμᾶς ἕνα ἀρτιάκις ἄρτιον ἀριθμὸν ἔχοντας προϊσταμένην τὴν μέθοδον, ἀλλὰ πάντως λίνοις ἀφύκτοις θηραθήσεται. ἔστι δὲ ἡ μέθοδος αὕτη· ἀπὸ μονάδος προέρχου κατὰ τὸν διπλάσιον λόγον καὶ σχήσεις ἐπ’ ἄπειρον τοὺς ἀρτιάκις ἀρτίους, οἷον διπλασίασον τὴν μονάδα, γίνονται β· ὁ β τοίνυν ἀριθμὸς ἀρτιάκις ἄρτιος· καὶ οὗτος 〈ποιεῖ〉 τὸν δ, καὶ ὁ δ τὸν η· ὡσαύτως καὶ ὁ η ποιεῖ τὸν ιϛ καὶ οὗτος τὸν λβ καὶ οὗτος τὸν ξδ καὶ πάλιν οὗτος τὸν ρκη καὶ οὗτος τὸν σνϛ· καὶ ἐφεξῆς διπλασιάζων πάντως ἀρτιάκις ἀρτίους ποιήσεις. καὶ πᾶν μέρος, ὃ ἂν εὑρεθῇ. |
| 1 66 [30] | ἄλλο παρακολούθημα τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου, ὃ δὲ λέγει, τοῦτό ἐστιν· ἐκθοῦ σύστημα μονάδων ἢ ἄρτιον ἢ περιττὸν ὡς ὑποτέτακται· α, β, δ, η, ιϛ, λβ, ξδ· ἰδοὺ περιττὸν ἀριθμὸν ἐλάβομεν· ἑπτὰ γὰρ πλήθη ἐλάβομεν. ἰστέον τοίνυν ὅτι μέσος τούτων ἀριθμός ἐστιν ὁ η· οὗτος τοίνυν ὁ η ἐφ’ ἑαυτὸν πολλαπλασιαζόμενος ποιεῖ τὸν τελευταῖον, ὅ ἐστι τὸν ξδ· οὐκοῦν τοσοῦτος ἔσται ὁ ἐκ τούτου ἀριθμός, ὅσος καὶ ἐκ τῶν παρ’ ἑκάτερα· ὀκτάκις γὰρ η ξδ, ἀλλὰ καὶ ἅπαξ ξδ ξδ, καὶ δὶς λβ ξδ, καὶ δ ιϛ ξδ· ἀλλὰ καὶ κατὰ ἀντιπερίστασιν, ὡς λέγει, καὶ ἀμοιβὴν πάλιν τὸ αὐτὸ γενήσεται· οἷον λαβὲ τὸν μέσον η· η η ξδ· μηκέτι ποιήσῃς ἅπαξ ξδ ξδ, ἀλλὰ εἰπὲ ὅτι τὰ ξδ ὅλον τί ἐστιν, ὥσπερ γὰρ ἡ μονὰς ὅλον τί ἐστιν οὕτω καὶ ὁ ξδ, ἐπειδὴ ξδ μονάδας ἔχει. ὡσαύτως μηκέτι εἴπῃς δὶς λβ ξδ, ἀλλὰ κατὰ ἀντιπερίστασιν κἀνταῦθα τὰς λβ ἐπὶ τὰς β, καὶ γίνονται ξδ· καὶ πάλιν τὰς ιϛ ἐπὶ τὰς δ. εἰ μὲν οὖν περιττὸν ᾖ τὸ σύστημα, εἷς μέσος εὑρεθήσεται, ὡς νῦν ὁ η, καὶ ἐφ’ ἑαυτὸν πολλαπλασιαζόμενος ποιήσει τὸν τελευταῖον· καὶ ἔσονται οἱ παρ’ ἑκάτερα ὁμοίως τὸν τελευταῖον ποιοῦντες. εἰ δὲ ἄρτιον ᾖ τὸ σύστημα, β ἔσονται μέσοι, καὶ πρὸς ἀλλήλους πολλαπλασιαζόμενοι ποιήσουσι τὸν τελευταῖον. ἔστω οὖν ὡς ὑποτέτακται· α, β, δ, η, ιϛ, λβ, ξδ, ρκη· ἐνταῦθα τοίνυν, ἐπειδὴ ὁ η καὶ ὁ ιϛ μέσοι εἰσί (παρ’ ἑκάτερα γὰρ αὐτῶν, ἀνὰ τρεῖς εἰσι πρὸς ἀλλήλους) οἱ μέσοι πολλαπλασιαζόμενοι, ποιοῦσι τὸν τελευταῖον· ὀκτάκις γὰρ ιϛ ρκη. ὁμοίως καὶ οἱ παρ’ ἑκάτερα ποιήσουσι τὸν ρκη· ἅπαξ γὰρ ρκη ρκη, ἀλλὰ καὶ δὶς ξδ ρκη, καὶ τετράκις λβ ρκη. ὡσαύτως καὶ κατὰ ἀντιπερίστασιν· αἱ γὰρ ρκη μονάδες εἰσὶν ρκη· ὅλος γάρ τις ὁ ρκη· καὶ πάλιν ξδ ἐπὶ β ποιοῦσιν ρκη, καὶ λβ ἐπὶ δ ρκη ποιοῦσι. ταῦτά ἐστιν ἃ βούλεται διὰ τούτων εἰπεῖν. μερῶν πρὸς δυνάμεις. |
| 1 67 [5] | λέγεις γὰρ καὶ δὶς λβ, καὶ λαμβάνεις τὸ μὲν δὶς μέρος τὸν δὲ λβ δύναμιν· καὶ ἀμφότεροι ἀρτιάκις ἄρτιοι· καὶ πάλιν τὸν λβ ἐπὶ τὸν β πολλαπλασιάζεις, δύναμιν πρὸς μέρος, καὶ πάλιν ἀρτιάκις ἄρτιοι. ὥστε τὸ ὅλον. |
| 1 68 [5] | ἰδοὺ τὸν τελευταῖον ὅλον ἐκάλεσεν, ἐπειδὴ τῇ μονάδι ἀντιπαρωνυμεῖται· ὥσπερ γὰρ λέγομεν ἅπαξ ξδ, οὕτως ἐροῦμεν καὶ τὰ ξδ ἔχειν ξδ μονάδας. καὶ μίαν μεσότητα οὐχ ἕξουσιν, ἀλλὰ δύο, ἐπειδὴ ἄρτιοι αἱ ἐκθέσεις· δύο οὖν αἱ μεσότητες· ὅ τε γὰρ η ἔσται μέσος καὶ ὁ ιϛ. ἀνταποκρινοῦνται. |
| 1 69 | πῶς τὸ ἀνταποκρινοῦνται; ἐπειδὴ καὶ δὶς λβ, ξδ· καὶ λβ πάλιν ἐπὶ β, ξδ ποιοῦσι. συμβέβηκε δὲ πάσαις. |
| 1 70 [20] | ἄλλο παρακολούθημα τῶν ἀρτιάκις ἀρτίων ὅτι συντιθεμένων τῶν ἐκθέσεων παρὰ μονάδα ὁ ζητούμενος γίνεται· οἷον ἐκτίθημι τοὺς ἀρτιάκις ἀρτίους κατὰ τάξιν οὕτως· α, β, δ, η, ιϛ, λβ, ξδ, ρκη· ἐκτεθέντων τοίνυν τούτων, παρὰ μονάδα πάντως ὁ ζητούμενος γίνεται, ὥστε πάντως περιττὸς πίπτει ἀριθμός. οἷον ζητοῦμεν τὸν δ ἀρτιάκις ἄρτιον, σύνθες α, β, γίνεται γ. ἰδοὺ παρὰ μονάδα ὁ δ καὶ ὁ γ περιττός· πάλιν ἐπὶ τοῦ η· σύνθες α, β, δ, γίνονται ζ· ἰδοὺ παρὰ μονάδα ὁ η καὶ ὁ ζ περιττός· ὡσαύτως ζητοῦμεν τὸν ιϛ· σύνθες α, β, δ, η, γίνονται ιε· ἰδοὺ παρὰ μονάδα ὁ ιϛ καὶ ὁ ιε περιττός. κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον καὶ ἐπὶ τοῦ λβ· σύνθες α, β, δ, η, ιϛ, ὁμοῦ λα· παρὰ μονάδα ἄρα ὁ λβ καὶ περιττὸς ὁ λα· καὶ ἐπὶ τοῦ ξδ ὁμοίως· σύνθες α, β, δ, η, ιϛ, λβ, γίνονται ξγ. ἰδοὺ παρὰ μονάδα ὁ ξδ καὶ περιττὸς ὁ ξγ. κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον συντιθεὶς τοὺς ἀρτιάκις ἀρτίους ἄχρι τοῦ ζητουμένου ἀρτιάκις ἀρτίου, τοῦτο εὑρήσεις θαυμαστὸν ὂν παρακολούθημα. τοῦτο δὲ λέγει τὸ παρακολούθημα νῦν, ἐπειδὴ ὡς μαθησόμεθα χρησιμεύσει αὐτῷ πρὸς τὴν κατάληψιν τῶν τελείων· ἐρεῖ γὰρ ἄφυκτον μέθοδον δι’ ἧς οὐδεὶς τῶν τελείων ἐκφυγεῖν δυνήσεται ἡμᾶς. κἀκεῖνο δὲ μεμνῆσθαι ἀναγκαιότατον. |
| 1 71 [20] | ἐλέγομεν ἄνω ὅτι ἐὰν ἐκθώμεθα ἀρτίους διπλασιασμούς, δύο μέσοι ἀριθμοὶ γίνονται, εἰ δὲ περιττούς, εἷς γίνεται, καὶ ὅτι, ὥσπερ οἱ μέσοι πολλαπλασιαζόμενοι μὲν πρὸς ἀλλήλους ἐπὶ τῶν ἀρτίων ποιοῦσι τὸν τελευταῖον, οὕτω καὶ οἱ παρ’ ἑκάτερα· ἐπὶ δὲ τῶν περιττῶν, ὥσπερ ὁ μέσος ἐφ’ ἑαυτὸν πολλαπλασιασθεὶς ποιεῖ τὸν τελευταῖον, οὕτω καὶ οἱ παρ’ ἑκάτερα. ἐνταῦθα τοίνυν καὶ ὑπὸ ἀναλογίαν αὐτοὺς φέρει καὶ λέγει ὅτι ἐπὶ τῶν ἀρτίων οἱ μέσοι πολλαπλασιαζόμενοι ποιοῦσι τὸν τελευταῖον, ὡσαύτως δὲ καὶ οἱ παρ’ ἑκάτερα· ἰστέον δὲ ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων γινόμενον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων· ἐπειδὴ καὶ ἔχομεν ὅτι ἐὰν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν μέσων· ἐπὶ δὲ τῶν περιττῶν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου· εἷς γὰρ ὁ μέσος· ἔχομεν γὰρ καὶ τοῦτο γραμμικῶς δεδειγμένον ὅτι ἐὰν τρία μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου. ταῦτά ἐστιν ἃ βούλεται διὰ τούτων ἡμῖν παραδοῦναι. ἀρτιοπέριττος δέ ἐστιν ἀριθμός. |
| 1 72 [45] | εἰρηκὼς περὶ τοῦ πρώτου εἴδους τοῦ ἀρτίου, λέγω δὴ τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου, νῦν περὶ τῶν λοιπῶν δύο βούλεται εἰπεῖν, τοῦ τε ἀρτιοπερίττου καὶ τοῦ περισσαρτίου, καὶ πρότερον λέγει περὶ τοῦ ἀρτιοπερίττου. φησὶν οὖν ὅτι ἀρτιοπέριττός ἐστιν ὁ μίαν μόνην διαίρεσιν διχῇ ἐπιδεχόμενος καὶ μηκέτι 〈ἄλλην〉, ἀλλ’ εὐθέως ἀδιαίρετον καὶ περιττὸν ποιῶν. οἷον ὁ ϛ ἀρτιοπέριττός ἐστι· τὸ γὰρ ἥμισυ τῶν ϛ γ, τὰ δὲ γ οὐκέτι διαιρεῖται· ὡσαύτως καὶ ὁ ι καὶ ὁ ιδ ἀρτιοπέριττοί εἰσιν. ὁ δὲ ἀρτιοπέριττος ἐναντίος ἐστὶ τῷ ἀρτιάκις ἀρτίῳ, ὅτι ὁ μὲν ἀρτιάκις ἄρτιος ἄχρι μονάδος δίχα διαιρεῖται καὶ τὸ ἐλάχιστον αὐτοῦ, ὅ ἐστιν ἡ μονάς, ἀδιαίρετός ἐστιν, ὁ δὲ ἀρτιοπέριττος μίαν μόνην διαίρεσιν ἐπιδέχεται καὶ τὸ μέγιστον αὐτοῦ ἐστι τὸ ἀδιαίρετον. ταῦτα μὲν περὶ τοῦ ἀρτιοπερίττου. λοιπὸν εἴπωμεν τὴν γένεσιν αὐτοῦ. ἐκτίθει τοὺς ἀπὸ μονάδος περιττοὺς καὶ τούτους διπλασίαζε, καὶ οἱ διπλασιαζόμενοι ἀρτιοπέριττοί εἰσιν. ἐκτιθέσθωσαν οὖν οἱ περιττοὶ πάντες, ἐάσθω δὲ ἡ μονὰς ὡς ἀρχὴ καὶ μὴ οὖσα ἀριθμός, οὐκοῦν ἀπὸ τριάδος εἰλήφθωσαν· γ, ε, ζ, θ, ια, ιγ, ιε, ιζ, ιθ, κα· διπλασίασον τούτους, καὶ γίνονται οἱ ἀρτιοπέριττοι, ὡς ὑποτέτακται· ϛ, ι, ιδ, ιη, κβ, κϛ, λ, λδ, λη, μβ. οὕτω μὲν οὖν γίνονται οἱ ἀρτιοπέριττοι· εὑρίσκονται δὲ ἐν τῷ χύματι πέμπτοι μὲν ἀπ’ ἀλλήλων ἀεί· ἀπὸ γὰρ τοῦ ϛ ἕως τοῦ ι, ε ἀριθμοὶ εὑρίσκονται, ϛ γὰρ καὶ ζ καὶ η καὶ θ καὶ ι, καὶ γίνονται ε· καὶ πάλιν ἀπὸ τοῦ ι ἕως τοῦ ιδ ε εὑρίσκονται, καὶ ἀπὸ τούτου ἕως τοῦ ιη. ὑπερέχουσι δὲ καὶ τετράδι· ὁ γὰρ ι τοῦ ϛ τετράδι ὑπερέχει, καὶ ὁ ιδ τοῦ ι, καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. τρεῖς δὲ ἐν τῷ μέσῳ αὐτῶν εἰσιν, οὓς ὑπερβαίνουσιν, οἷον μεταξὺ τοῦ ϛ καὶ τοῦ ι γ εἰσὶν ἀριθμοὶ ὁ ζ καὶ ὁ η καὶ ὁ θ, καὶ μεταξὺ τοῦ ι καὶ τοῦ ιδ τρεῖς, ὁ ια καὶ ὁ ιβ καὶ ὁ ιγ. ἓν μὲν τοῦτο παρακολούθημα, ἔστι δὲ καὶ ἄλλο· ἰστέον ὅτι ἐπὶ μὲν τῶν ἀρτιάκις ἀρτίων καὶ τὸ μέρος καὶ ἡ δύναμις ἄρτια ἦσαν· οἷον τοῦ λβ μέρος ἦν τὸ δ, δύναμις δὲ ὁ η ἀριθμός, δ κις γὰρ η· ἀλλὰ καὶ τὸ τέταρτον ἄρτιον, ἀπὸ γὰρ τοῦ δ τὸ δ ον παρήχθη, καὶ ὁ η δὲ ἄρτιος, καὶ ἐπὶ πάντων τῶν μερῶν ὁμοίως εὑρήσεις τοῦτο. ἐπὶ μέντοι τοῦ ἀρτιοπερίττου οὐκέτι, ἀλλ’ ἀντιπεπονθότως πάντως ἔχουσι· καὶ ἐὰν τὸ μέρος ᾖ ἄρτιον, ἡ δύναμίς ἐστι περιττὴ καὶ τὸ ἀνάπαλιν δηλονότι. οἷον ὁ ιδ ἔχει μέρος τὸ ἥμισυ καὶ τὸν ζ 〈δύναμιν〉, ἀλλὰ τὸ μὲν ἥμισυ ἄρτιον (ἀπὸ γὰρ τοῦ β τὸ ἥμισυ γέγονεν), ὁ δὲ ζ ἀριθμὸς περιττός. καὶ καθόλου ἔστιν εὑρεῖν τοῦτο, ὅθεν, ὥς φησι, διὰ τοῦτο τάχα ἐκλήθη ἀρτιοπέριττος, ὅτι μετὰ τὴν πρώτην διαίρεσιν ἄτμητος μένει καὶ τὸ ἐκ τοῦ ἡμίσεος αὐτοῦ μέρος οὐκέτι ἐπιδέχεται διαίρεσιν. |
| 1 72 (50) [95] | κἀκεῖνο δὲ παρέπεται τοῖς ἀρτιοπερίττοις· δεῖ εἰδέναι ὅτι τετράδι μείζους εἰσὶ τῶν πρὸ αὐτῶν, οἷόν ἐστιν ὁ ϛ ἀρτιοπέριττος, μετ’ αὐτὸν ὁ ι· οὗτος τοίνυν ὁ ι τετράδι μείζων αὐτοῦ· ὡσαύτως καὶ ὁ ιδ τοῦ ι. προστίθεμεν δὲ τὸν πρὸ αὐτοῦ καὶ ἐγγύς· ἐπειδὴ μείζων μὲν ὁ ιδ τοῦ ϛ, ἀλλ’ ἴσως οὐχ ὑπερέχει αὐτοῦ δ, ἐπειδὴ οὐ πλησίον ὁ ιδ τοῦ ϛ· ἔστι γὰρ ἐν μέσῳ ὁ ι. ὁ ι οὖν μείζων ἐγγὺς τοῦ ϛ, καὶ διὰ τοῦτο καὶ δ ὑπερέχει. καὶ ὁ ιδ μείζων ἐγγὺς τοῦ ι, ὅθεν καὶ δ ὑπερέχει. διὰ τί δὲ τετράδι ὑπερέχουσιν ἀλλήλων; ἢ διότι οἱ περιττοὶ δυάδι ὑπερέχουσιν ἀλλήλων, οἷον ὁ ε τοῦ γ δυάδι ὑπερέχει καὶ ὁ ζ τοῦ ε καὶ ὁ θ τοῦ ζ καὶ ὁ ια τοῦ θ καὶ τοῦτο ἐφεξῆς; εἰ οὖν οἱ περιττοὶ δυάδι ἀλλήλων ὑπερέχουσι, διπλασιαζόμενοι δὲ οἱ περιττοὶ ποιοῦσι τοὺς ἀρτιοπερίττους· διπλασιασθήσεται δὲ ἄρα ἡ δυάς, διπλασιαζομένη δὲ ποιεῖ τὸν δ ἀριθμόν· καλῶς ἄρα τετράδι ὑπερέχουσιν ἀλλήλων. ὑπάρχει δὲ καὶ ἄλλο παρακολούθημα· ἰστέον ὅτι ὡς εἴρηται ἐπὶ τῶν ἀρτιάκις ἀρτίων, εἰ μὲν περιττὸν σύστημα λάβωμεν ἀρτίων, εἷς μέσος εὑρίσκεται καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν μέσων τυγχάνει· ἐνταῦθα τοίνυν εἰ μὲν περιττὸν χύμα λάβωμεν τῶν ἀρτιοπερίττων, ὁ μέσος τῶν ἄκρων ἥμισυς ἔσται· οὐ γὰρ ἴσος αὐτοῖς. οἷον ἐπὶ παραδείγματος ἐκκείσθωσαν κατὰ περιττὸν χύμα ἀρτιοπέριττοι ὡς ὑποτέτακται· ϛ, ι, ιδ, ιη, κβ· ἐνταῦθα τοίνυν ὁ μέσος ἐστὶν ὁ ιδ· σύνθες οὖν τοὺς ἄκρους, ὅ ἐστι τὸν ϛ καὶ τὸν κβ, καὶ γίνονται κη· ἥμισυς οὖν τούτων 〈ὁ〉 μέσος εὑρίσκεται· ἥμισυ γὰρ τῶν κη ιδ. ὁμοίως καὶ ἐπὶ τῶν παρ’ ἑκάτερα ἄκρων, οἷον τοῦ ι καὶ τοῦ ιη· ι γὰρ καὶ ιη κη, ἥμισυ τούτων ιδ. ταῦτα μὲν οὖν συμβαίνει εἰ περισσαί εἰσιν αἱ ἐκθέσεις, εἰ δὲ ἄρτιαι, δύο μέσοι εὑρεθήσονται καὶ οὐκέτι οἱ μέσοι τῶν ἄκρων ἡμίσεις ἔσονται, ἀλλὰ ἴσοι. οἷον ὑποδείγματος χάριν πάλιν ἐκκείσθωσαν ἀρτιοπέριττοι κατὰ ἄρτιον χύμα· ϛ, ι, ιδ, ιη, κβ, κϛ· ἐνταῦθά εἰσι δύο μέσοι, ὁ ιδ καὶ ὁ ιη· οὐκοῦν οὗτοι τοῖς ἄκροις συντιθεμένοις ἴσοι ἔσονται· σύνθες γὰρ τοὺς ἄκρους τὸν ϛ καὶ τὸν κϛ, γίνονται λβ· σύνθες δὲ καὶ τοὺς μέσους, καὶ γίνονται λβ· ιδ γὰρ καὶ ιη ποιοῦσι λβ. ὡσαύτως καὶ ἐπὶ τῶν παρ’ ἑκάτερα ἄκρων· ι γὰρ καὶ κβ λβ, ἀλλὰ καὶ ιδ καὶ ιη λβ, ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν μέσων, ὥστε ἐπὶ τῶν ἀρτίων ἐκθέσεων κοινωνία τίς ἐστι τῶν τε ἀρτιοπερίττων καὶ τῶν ἀρτιάκις ἀρτίων, ὅτι κἀκεῖ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν μέσων καὶ ἐνταῦθα δέ· ἀλλὰ διαφέρουσιν ὅτι ἐκεῖ μὲν πολλαπλασιάζοντες τοῦτο ἐποιοῦμεν, οἷον ὀκτάκις ιϛ καὶ δὶς ξδ, ἐνταῦθα δὲ συντίθεμεν· οὐ γὰρ ποιοῦμεν ἑξάκις κϛ, ἀλλὰ τὰς ϛ προστίθεμεν ταῖς κϛ. ταῦτά ἐστιν ἃ βούλεται εἰπεῖν περὶ τοῦ ἀρτιοπερίττου. θᾶττον οὖν ἀναγνῶμεν τὴν λέξιν, πάντα γὰρ τὰ μέλλοντα λέγεσθαι σαφῶς τεθεώρηται. |
| 1 73 | ὁ τῷ γένει καὶ αὐτὸς ἄρτιος. κοινῶς γὰρ τὰ τρία εἴδη ἄρτια καλοῦνται, καὶ γὰρ ὁ ἀρτιάκις ἄρτιος, ὁ ἀρτιοπέριττος καὶ ὁ περισσάρτιος. συμβέβηκε δὲ αὐτῷ. |
| 1 74 [5] | ἰδοὺ παρακολούθημα ὅτι καὶ ἐναντίως ἔχει τὸ μέρος τῇ δυνάμει, καὶ εἰ μὲν τὸ μέρος ἄρτιόν ἐστιν, ἡ δύναμις περιττή ἐστιν, εἰ δὲ ἡ δύναμις ἀρτία, τὸ μέρος περιττόν, οἷον ἐπὶ τοῦ ιη· τὸ μὲν ἥμισυ μέρος ἄρτιον, ὁ δὲ θ περιττός· καὶ πάλιν τὸ μὲν τρίτον μέρος περιττόν, ὁ δὲ ϛ ἄρτιος. γεννᾶται δὲ καὶ οὗτος. |
| 1 75 | ἐντεῦθεν τὴν γένεσιν αὐτοῦ παραδίδωσιν. οἱ μείζονες ἀεὶ τῶν ἐγγύς. ὁρᾷς ἀντὶ τοῦ ὁ ι τετράδι τοῦ πλησίον αὐτοῦ, τοῦ ϛ, ὑπερέχει· καὶ ὁ ιδ τοῦ ι, καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν ὁμοίως. γνώμονες αὐτῶν. |
| 1 76 [5] | γνώμονας καλοῦμεν τοὺς μετροῦντας ἀριθμούς· ἀμέλει ἕως τῆς νῦν πᾶν τὸ μετροῦν γνώμονα προσαγορεύομεν. ἐναντιοπαθεῖς δὲ λέγονται ὅτι, φησίν, ἐναντίος ὁ ἀρτιοπέριττος τῷ ἀρτιάκις ἀρτίῳ. ὑποδιπλάσιον τὸ μέσον. |
| 1 77 | ἀντὶ τοῦ ἥμισυ τὸ μέσον τῶν ἄκρων ἐπὶ τῶν περιττῶν ἐκθέσεων· ἐπὶ δὲ τῶν ἀρτίων ἐφ’ ὧν καὶ δύο οἱ μέσοι, ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων τῷ ὑπὸ τῶν μέσων. περισσάρτιος δέ ἐστιν ἀριθμός. |
| 1 78 [35] | διαλεχθεὶς περὶ τοῦ ἀρτιοπερίττου, νῦν περὶ τοῦ περισσαρτίου διαλέγεται καί φησιν ὅτι ὁ περισσάρτιος ἀμφοτέροις κοινωνεῖ καὶ ἀμφοτέρων διαφέρει· τῷ μὲν γὰρ ἀρτιάκις ἀρτίῳ κοινωνεῖ, καθὸ καὶ οὗτος πλείους διαιρέσεις ἐπιδέχεται, εἰ καὶ μὴ ἄχρι μονάδος, τῷ δὲ ἀρτιοπερίττῳ ὅτι κἂν πλείους ὑποδέχηται διαιρέσεις, τελευτᾷ πρὸ μονάδος εἰς ἀδιαίρετον. γίνεται δὲ οὕτως· ἐκθοῦ τὸ χύμα τῶν περιττῶν πάντων καὶ τῶν ἀρτιάκις ἀρτίων καὶ πολλαπλασίασον περιττοὺς πρὸς ἀρτιάκις ἀρτίους ἢ ἀρτιάκις ἀρτίους πρὸς περιττούς, ταὐτὸν γάρ ἐστι, 〈καὶ〉 σχήσεις περισσαρτίους· οἷον ὑποδείγματος χάριν ἐκκείσθωσαν περιττοὶ γ, ε, ζ, θ, ια, ιγ, ιε, ἐκκείσθωσαν δὲ καὶ ἀρτιάκις ἄρτιοι κατὰ τάξιν δ, η, ιϛ, λβ, ξδ, ρκη, σνϛ· πολλαπλασίασον τοίνυν περιττὸν ἐπὶ ἀρτιάκις ἀρτίους καὶ ποιήσεις περισσαρτίους. οἷον τὸν γ ἐπὶ τὸν δ πολλαπλασίασον, γίνονται ιβ· ὁ ιβ τοίνυν περισσάρτιός ἐστι, δέχεται γὰρ πλείους διαιρέσεις· ἥμισυ γὰρ τούτων ϛ, καὶ τούτων ἥμισυ γ, τὰ δὲ γ ἀδιαίρετα. ὡσαύτως καὶ ἐπὶ τὸν ἐφεξῆς ἀρτιάκις ἄρτιον πολλαπλασίασον, τὸν η, καὶ ποιήσεις περισσάρτιον, τρὶς γὰρ η κδ· ὁ κδ τοίνυν περισσάρτιος, ὃς πλείους διαιρέσεις ἐπιδέχεται ἄχρι τριάδος. ὡσαύτως καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν· ποιεῖς γὰρ τρὶς ιϛ, μη γίνονται, καὶ ἔστιν οὗτος περισσάρτιος, καὶ τρὶς λβ γίνονται ϙϛ, καὶ τρὶς ξδ γίνονται ρϙβ, καὶ ἐπὶ πάντων ὁμοίως. αὕτη μὲν ἡ γένεσις τοῦ περισσαρτίου. παρακολουθεῖ δὲ αὐτῷ τὸ καὶ ἔχειν μέρη καὶ δυνάμεις ἐναντιογενεῖς καὶ ὁμοιογενεῖς· οἷον ὁ κδ ἐστὶ περισσάρτιος· τούτου οὖν εἰ μὲν λάβωμεν τὸ τρίτον καὶ τὸν η ἀνομογενῆ ἔσονται· τὸ μὲν γὰρ τρίτον περιττόν, ὁ δὲ η ἄρτιος· εἰ δὲ λάβωμεν τὸ δ 〈καὶ τὸν ϛ〉 ὁμογενὲς τὸ μέρος τῇ δυνάμει, καὶ γὰρ καὶ ὁ ϛ ἄρτιος καὶ τὸ δ ἄρτιον. ἐπὶ δὲ τοῦ ἀρτιοπερίττου ἀεὶ τὸ μέρος ἐναντίον τῇ δυνάμει. εἰ δὲ καὶ ἄλλο παρακολουθεῖ αὐτῷ, ἀναγνῶμεν τὴν λέξιν καὶ εὑρήσομεν. τὸ τρίτον εἶδος τοῦ ἀρτίου. |
| 1 79 | τρία γὰρ εἴδη τοῦ ἀρτίου, ὧν τὸ τρίτον ὁ περισσάρτιος ἦν. ἔστι δὲ ὅταν ἀριθμός. |
| 1 80 [10] | λείπει περισσάρτιος. ἀντὶ τοῦ περισσάρτιος δὲ τότ’ ἐστὶν ὅταν ἄρτιός τις ἀριθμὸς εἰς δύο ἴσα διαιρεθεὶς ἔχῃ πάλιν τὰ διαιρούμενα δυνάμενα διαιρεθῆναι, εἰ καὶ μὴ ἄχρι μονάδος. καὶ ἐπὶ πλεῖον τὸν διχασμὸν ἐπιδεχόμενος. ὅτι, φησίν, οὐ μόνον δύο διαιρέσεις ἐπιδέχονται, ἀλλὰ καὶ πλείους, εἰ καὶ μὴ ἄχρι μονάδος· οἷον ὁ ϙϛ πολλὰς διαιρέσεις ἐπιδέχεται· ἥμισυ γὰρ μη, καὶ τούτων κδ, καὶ τούτων ιβ, καὶ τούτων ϛ, καὶ τούτων γ· ἰδοὺ ε διαιρέσεις ἀνεδέξατο. συμβέβηκε δὲ αὐτῷ μόνῳ ὑφ’ ἕν. |
| 1 81 [45] | παρακολούθημα γλαφυρὸν λέγει, ἀλλὰ δεῖ αὐτῷ παρακολουθῆσαι. φησὶν ὅτι ἐπὶ τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου, ἐπὶ μὲν τῶν περιττῶν ἐκθέσεων τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ἦν τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου, ἐπὶ δὲ τῶν ἀρτίων τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν μέσων· ταῦτα ἐπὶ τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου. ἐπὶ δὲ τοῦ ἀρτιοπερίττου, ἐπὶ μὲν τῶν περιττῶν ἐκθέσεων ὁ μέσος τῶν ἄκρων ὑποδιπλάσιος ἦν, ἐπὶ δὲ τῶν ἀρτίων ἴσοι οἱ μέσοι συντιθέμενοι τοῖς ἄκροις συντιθεμένοις. ταῦτα μὲν ἐπ’ ἐκείνων. τῷ δὲ περισσαρτίῳ ὑφ’ ἓν τὰ ἐκείνων ἀντὶ τοῦ τὰ εἴδη συμβέβηκε· καὶ γὰρ καὶ τὰ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσα τῷ ὑπὸ τῶν μέσων καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου, εἰ περιτταὶ αἱ ἐκθέσεις ὥσπερ ἐπὶ τῶν ἀρτιάκις ἀρτίων· καὶ ὁ μέσος δὲ ἥμισυς τῶν ἄκρων ὡς ἐπὶ τοῦ ἀρτιοπερίττου, ἀλλὰ κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο. ἔσται δὲ σαφὲς ὃ λέγω, εἰ ἀναμνησθῶμεν τῆς γενέσεως τοῦ περισσαρτίου. εἰρήκαμεν ὅτι ἐκκείσθωσαν οἱ περιττοὶ ἐξ ἀρχῆς καὶ οἱ ἀρτιάκις ἄρτιοι καὶ πρὸς ἀλλήλους πολλαπλασιαζόμενοι ποιήσουσι τοὺς περισσαρτίους. οὐκοῦν οἱ μὲν κατὰ μῆκος στίχοι κοινωνοῦσι τῷ ἀρτιάκις ἀρτίῳ, ἡ δὲ ἀκροστιχὶς τῶν κατὰ πλάτος ἀριθμῶν τῷ ἀρτιοπερίττῳ κοινωνεῖ. ἵνα δὲ σαφὲς ᾖ τὸ λεγόμενον, ἐκθώμεθα τούς τε περιττοὺς καὶ τοὺς ἀρτιάκις ἀρτίους καὶ ποιήσομεν στίχους περισσαρτίων καὶ εὑρίσκομεν τὸ ζητούμενον· γ, ε, ζ, θ, ια, ιγ, ιε· δ, η, ιϛ, λβ, ξδ, ρκη, σνϛ· ἰδοὺ οἵ τε ἀρτιάκις ἄρτιοι καὶ οἱ περιττοί· πολλαπλασιαζέσθω οὖν ὁ γ ἐπὶ πάντας τοὺς ἀρτιάκις ἀρτίους καὶ ποιείτω τέως ἕνα στίχον περισσαρτίων· ιβ, κδ, μη, ϙϛ, ρϙβ, τπδ, ψξη. πάλιν ἐφεξῆς πέντε πρὸς τοὺς ἀρτιάκις ἀρτίους πολλαπλασιαζέσθω καὶ ποιείτω ἄλλον στίχον περισσαρτίων· κ, μ, π, ρξ, τκ, χμ, ͵ ασπ. ὁμοίως πάλιν ὁ ἐφεξῆς ζ πολλαπλασιαζέσθω πρὸς τοὺς ἀρτιάκις ἀρτίους καὶ ποιείτω ἄλλον στίχον περισσαρτίων· κη, ννϛ, ριβ, σκδ, υμη, ωϙς, ͵ αψϙβ. πάλιν ὁ ἐφεξῆς θ πρὸς τοὺς ἀρτιάκις ἀρτίους πολλαπλασιαζόμενος ποιείτω ἕτερον στίχον περισσαρτίων· λϛ, οβ, ρμδ, σπη, φοϛ, ͵ αρνβ, ͵ βτδ. ὡσαύτως καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν, ἀλλὰ ἀρκέσει ἕνεκεν παραδείγματος· εἰ δοκεῖ μέν, ἅμα τοὺς στίχους τῶν περισσαρτίων ἐκθώμεθα· εὑρήσεις τοίνυν ἐπὶ τῶν στίχων κοινωνίαν πρὸς τὸν ἀρτιάκις ἄρτιον, ἐπὶ δὲ τῆς ἀκροστιχίδος πρὸς τὸν ἀρτιοπέριττον· οἷον ἴδωμεν ἐπὶ τῶν στίχων τὴν κοινωνίαν· ἐπὶ τοῦ πρώτου στίχου ἄκροι εἰσὶν ὁ ιβ καὶ ὁ ψξη· πολλαπλασίασον τοίνυν αὐτούς, ὥσπερ καὶ ἐπὶ τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου ἐποιοῦμεν (καὶ γὰρ ἐκεῖ ἐπολλαπλασιάζομεν)· γίνεται τοίνυν δωδεκάκις ψξη, ͵ θσιϛ· οὗτος τοίνυν ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἐστί, μέσος δὲ εἷς ἔστιν ὁ ϙϛ, ἐπειδὴ περιττὴ ἡ ἔκθεσις· ὁ τοίνυν ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσος τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου, τοῦ ϙϛ· ὥσπερ γὰρ αἱ ιβ ἐπὶ τὰς ψξη πολλαπλασιασθεῖσαι ποιοῦσι ͵ θσιϛ, οὕτω καὶ ὁ ϙϛ ἐφ’ ἑαυτὸν πολλαπλασιασθεὶς ποιεῖ 〈 ͵ θσιϛ〉. |
| 1 81 (50) [85] | ὡσαύτως καὶ ἐπὶ τῶν παρ’ ἑκάτερα· πάλιν γὰρ ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων, τοῦ τε κδ καὶ τοῦ τπδ, ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου, τοῦ ϙϛ· πολλαπλασιαζόμεναι γὰρ αἱ κδ ἐπὶ τὰς τπδ ποιοῦσι ͵ θσιϛ, ἀλλὰ καὶ ὁ ϙϛ ἐφ’ ἑαυτὸν πολλαπλασιασθεὶς ποιεῖ ͵ θσιϛ. εἰ δὲ ἀρτίας ἐκθέσεις λάβῃς, πάλιν εὑρήσεις ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν μέσων. ἰδοὺ τοίνυν ὅτι ἐκοινώνησε κατὰ τοῦτο τῷ ἀρτιάκις ἀρτίῳ. κατὰ τὸν αὐτὸν δὲ τρόπον καὶ ἐπὶ τοῦ δευτέρου στίχου εὑρήσεις τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων, τῶν κ καὶ τῶν ͵ ασπ, ἴσον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου, τοῦ ρξ· αἱ γὰρ κ ἐπὶ τὰς ͵ ασπ πολλαπλασιαζόμεναι ποιοῦσι μυριάδας β, ͵ εχ, ἀλλὰ καὶ αἱ ρξ ἐφ’ ἑαυτὰς πολλαπλασιαζόμεναι ποιοῦσι τὰς αὐτὰς β μυριάδας ͵ εχ. ὡσαύτως καὶ τῶν παρ’ ἑκάτερα ἄκρων τὸ ὑπὸ τῶν μ καὶ τῶν χμ ἴσον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου, τοῦ ρξ· πάλιν γὰρ γίνονται μυριάδες β, ͵ εχ· ὁμοίως καὶ τὸ ὑπὸ τῶν π καὶ τῶν τκ ἴσον τῷ ἀπὸ τῶν ρξ. κατὰ τὸν αὐτὸν δὲ τρόπον εὑρήσεις καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν στίχων, ὥστε τέως ἐδείχθη ἡ πρὸς τὸν ἀρτιάκις ἄρτιον κοινωνία. ἐὰν δὲ καὶ ἀρτίας ποιήσῃς τὰς ἐκθέσεις, εὑρήσεις τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν μέσων. ἔλθωμεν λοιπὸν ἐπὶ τὴν ἀκροστιχίδα καὶ πάντως εὑρήσομεν τὴν πρὸς τὸν περισσάρτιον κοινωνίαν ἐπὶ τοῦ ἀρτιοπερίττου, ὁ μέσος ἥμισυς ἦν τῶν ἄκρων, εἰ περιτταὶ αἱ ἐκθέσεις, εἰ δὲ ἄρτιαι, οἱ μέσοι τοῖς ἄκροις ἴσοι· εὑρήσεις οὖν τοῦτο· ἐνταῦθα γὰρ ἐπὶ τοῦ προκειμένου παραδείγματος ἄκροι εἰσὶν ἐπὶ τῆς ἀκροστιχίδος ὁ ιβ καὶ ὁ λϛ· σύνθες τούτους (ἐπὶ τοῦ ἀρτιοπερίττου σύνθεσις ἐλαμβάνετο ὡς ἐδείξαμεν καὶ οὐ πολλαπλασιασμός), γίνονται μη· σύνθες καὶ τοὺς μέσους τόν τε κ καὶ τὸν κη, γίνονται μη· ὁρᾷς ὅτι ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσος τῷ ὑπὸ τῶν μέσων. εἰ δὲ περιττὰς ἐκθέσεις λάβῃς, πάντως ὁ μέσος ἥμισυς εὑρεθήσεται τῶν ἄκρων. καὶ ἐπὶ τῶν παρ’ ἑκάτερα τὰ αὐτὰ παρακολουθήσει. δέδεικται ἄρα πῶς ἐν τῷ περισσαρτίῳ καὶ τὰ τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου συμβαίνοντα καὶ τὰ τοῦ ἀρτιοπερίττου. καὶ πάλιν ὃ μηδετέρῳ. |
| 1 82 [10] | τὰ μὲν γὰρ τῶν ἄκρων καὶ τῶν μέσων συμβέβηκεν αὐτῷ, ὥσπερ καὶ ἐπ’ ἐκείνων· πάλιν δὲ οὐδετέρῳ αὐτῶν κοινωνεῖ· τῷ μὲν ἀρτιάκις ἀρτίῳ οὕτως· ὅτι ἐκεῖνος μὲν ἄχρι μονάδος διαιρεῖται, οὗτος δὲ οὔ· τῷ δὲ ἀρτιοπερίττῳ οὕτως· ὅτι ἐκεῖνος μὲν μίαν τομὴν ἐπεδέχετο, οὗτος δὲ οὔ, ἀλλὰ καὶ πλείους. γεννᾶται δὲ καὶ οὗτος. τὴν γένεσιν λέγει· ἤδη δὲ σαφῶς πάντα εἰρήκαμεν καὶ οὐδεμιᾶς χρῄζομεν ἄχρι τοῦ τέλους τοῦ περισσαρτίου ἐξηγήσεως, ἀλλ’ ἐκεῖνο μόνον εἴπωμεν ἔξωθεν ὅτι οἱ τῆς ἀκροστιχίδος ἀλλήλων ὀγδοάδι ὑπερέχουσιν, ἐπειδὴ πάντες οἱ τῆς ἀκροστιχίδος γίνονται τῶν περιττῶν ἐπὶ δ πολλαπλασιαζομένων· δὶς δὲ δ γίνονται η· διὰ τοῦτο ἄρα ὀγδοάδι ὑπερέχουσιν ἀλλήλων. περὶ τοῦ περισσοῦ. |
| 1 83 [40] | εἰρηκὼς τὰ τρία εἴδη τοῦ ἀρτίου νῦν μέτεισιν ἐπὶ τὰ τοῦ περιττοῦ, καὶ λέγει ὅτι τρία ἐστὶ καὶ αὐτά· ἓν μὲν τὸ πρῶτον καὶ ἀσύνθετον, ἕτερον δὲ τὸ δεύτερον καὶ σύνθετον, καὶ τρίτον, ὃ πρὸς μὲν ἑαυτὸ σύνθετόν ἐστι πρὸς δὲ ἄλλο ἀσύνθετον. οἷον τί λέγω; πρῶτον καὶ ἀσύνθετόν ἐστι τὸ ὑπὸ μονάδος μόνης μετρούμενον κοινῷ μέτρῳ, οἷον ὁ γ πρῶτος καὶ ἀσύνθετος, ἀλλὰ καὶ ὁ ε καὶ ὁ ζ καὶ ὁ ια καὶ ὁ ιγ καὶ ὁ ιζ καὶ ἁπλῶς πάντες οἱ ὑπὸ μόνης μονάδος μετρούμενοι πρῶτοι καὶ ἀσύνθετοί εἰσιν. ὅσοι δὲ καὶ ὑπὸ τῆς μονάδος μετροῦνται καὶ ὑπὸ ἄλλου δὲ δεύτεροί εἰσι καὶ σύνθετοι, ὥσπερ ὁ θ καὶ ὁ ιε καὶ ὁ κα καὶ οἱ τοιοῦτοι· ὁ γὰρ θ μετρούμενος καὶ ὑπὸ μονάδος καὶ ὑπὸ ἄλλου μετρεῖται, καὶ γὰρ καὶ ὑπὸ τοῦ γ· τρὶς γὰρ τρεῖς θ· ὡσαύτως καὶ ὁ ιε καὶ οἱ λοιποί. λέγονται οὕτως ἐκεῖνοι μὲν πρῶτοι καὶ ἀσύνθετοι, ἐπειδὴ ὑπὸ μόνης τῆν μονάδος μετροῦνται, ἐπεὶ οὐκ ἔχουσιν ἄλλο τι τὸ συντιθὲν αὐτοὺς ἢ μετροῦν· οὗτοι δὲ δεύτεροι καὶ σύνθετοι λέγονται, ἐπειδὴ οἱ πρῶτοι καὶ ἀσύνθετοι αὐτοὺς συντιθέασι καὶ μετροῦσιν, οἷον ὁ θ ὑπὸ τοῦ γ μετρεῖται, ὁ γ πρῶτος καὶ ἀσύνθετος· ὡσαύτως καὶ ὁ ιε ὑπὸ τοῦ γ καὶ ε μετρεῖται, ἀλλὰ καὶ ὁ γ πρῶτος καὶ ἀσύνθετος καὶ ὁ ε, ὥστε εἰς τοὺς πρώτους καὶ ἀσυνθέτους ἀναλύονται· εἰς ὃ δέ τι ἀναλύεται, ἐκεῖνο πρῶτον καὶ ἀρχοειδέστερόν ἐστι· τὸ γὰρ διαλυτὸν εἴς τι πρῶτον ἀναλύεται. ταῦτα καὶ περὶ τοῦ δευτέρου εἴδους. τρίτον δέ ἐστιν ὃ αὐτὸ μὲν πρὸς ἑαυτὸ σύνθετόν ἐστι, πρὸς δὲ ἄλλο ἀσύνθετον· οἷον ὁ θ πρὸς ἑαυτὸν δεύτερος καὶ σύνθετός ἐστι· τρὶς γὰρ γ θ· πρὸς δὲ τὸν κε ἀσύνθετος· ἐξ ὧν γὰρ ὁ θ μετρεῖται οὐκέτι ὁ κε, καὶ πάλιν ἐξ ὧν ὁ κε οὐκέτι ὁ θ· ὁ μὲν γὰρ θ ὑπὸ τοῦ γ μετρεῖται· τρὶς γὰρ τρεῖς θ· ὁ δὲ κε ὑπὸ τοῦ ε· πεντάκις γὰρ ε κε, ἀλλ’ οὐδὲ ἐν τῷ θ ἔστι ε οὐδὲ ἐν τῷ κε γ. ταῦτά ἐστιν ἃ βούλεται διὰ τούτων εἰπεῖν. ἀναγνῶμεν οὖν τὴν λέξιν καὶ κατὰ ταύτην ἐκθώμεθα τὴν γένεσιν τούτων τῶν ἀριθμῶν πῶς οἷόν τέ ἐστιν ἐπιστημονικῶς θηρᾶν αὐτοὺς πάντας. καθ’ ὑποδιαίρεσιν διακεκριμένου. καὶ γὰρ καὶ κατὰ τὴν διαίρεσιν διαφέρει ὁ περιττὸς τοῦ ἀρτίου, εἴ γε τοῦ ἀριθμοῦ τὸ μὲν ἄρτιον τὸ δὲ περιττόν, καὶ καθ’ ὑποδιαίρεσιν, εἴ γε καὶ τὰ εἴδη τῶν εἰδῶν διαφέρει· οὐδὲν γὰρ εἶδος τοῦ περιττοῦ εἴδει τινὶ τοῦ ἀρτίου κοινωνεῖ. ἔτι καὶ ἑτερώνυμον ἢ ἑτερώνυμα. |
| 1 84 [5] | ἑτερώνυμον μὲν ἔχουσιν οἱ γινόμενοι τῆς πλευρᾶς ἐφ’ ἑαυτῆς πολλαπλασιαζομένης, οἷον ὁ θ· ἓν γάρ ἐστιν ἑτερώνυμον· τρὶς γὰρ γ θ· ὁ γ οὖν ἐφ’ ἑαυτὸν πολλαπλασιαζόμενος ποιεῖ τὸν θ. ἑτερώνυμα δὲ οἱ ἔχοντες τὸν πολλαπλασιασμόν· οἷον ὁ ιε· ὁ γὰρ γ ἐπὶ τὸν ε πολλαπλασιασθεὶς ἐποίησε τὸν ιε· ἑτερώνυμα οὖν ἔχει οὗτος. ἀλλὰ πάντως ἐκεῖνον ἢ ἐκείνους. |
| 1 85 [5] | ἐκεῖνον μὲν ὡς τὸν γ ἐπὶ τοῦ θ· εἷς γάρ ἐστιν ὁ γ καὶ ἐφ’ ἑαυτὸν πολλαπλασιασθεὶς ἐποίησε τὸν θ· ἐκείνους δὲ ὡς ὁ γ καὶ ὁ ε ἐπὶ τοῦ ιε· τρὶς γὰρ ε ιε. ἐξηλλαγμένως καὶ οἰκειότερον. ἐπειδὴ μετὰ τὸ καὶ τούτους τῷ κοινῷ τῆς μονάδος μέτρῳ μετρεῖσθαι, μετροῦνται καὶ ὑπὸ ἀλλήλων. ἡ δὲ τούτων γένεσις καλεῖται ὑπὸ Ἐρατοσθένους κόσκινον. |
| 1 86 [45] | ἐντεῦθεν λοιπὸν τὴν γένεσιν ἐκτίθεται τῶν τριῶν διὰ μιᾶς μεθόδου, ἐπεὶ οὖν ὥσπερ καρπὸν καὶ ἄχυρον διακρίνει ἀπ’ ἀλλήλων καὶ ψάμμον τὸ κόσκινον, οὕτω κἀνταῦθα ὑπὸ μίαν μέθοδον ἀνάγονται τὰ τρία καὶ διακρίνομεν αὐτὰ ὡς μέλλομεν λέγειν· διὰ τοῦτο κόσκινον φαμὲν τὴν γένεσιν. ἔστιν οὖν ἡ γένεσις αὐτῶν τοιαύτη. ἐκτίθει τοὺς ἀπὸ τριάδος περιττοὺς ἐν στίχῳ καὶ ἔκτεινον ἐπὶ πολύ, ἵνα τῷ πλήθει θηράσῃς τὰ γ εἴδη· καὶ ὁ μὲν γ εὐθὺς ἐφ’ ἑαυτὸν πολλαπλασιαζέσθω καὶ ποιείτω τὸν θ. εἶτα ἐπὶ τὸν ἐφεξῆς τὸν ε καὶ μετρείτω τὸν ιε, εἶτα ἐπὶ τὸν ζ καὶ μετρείτω τὸν κα. καὶ οὕτως ἕως οὗ βούλει τὸν στίχον εἶναι· εἶτα μετὰ τὸ πληρῶσαι, πάλιν τὸν ε τὸν ἐφεξῆς τοῦ γ ἄρξαι μετρικῶς λαμβάνειν, εἶτα πάλιν πληρώσας τὸν στίχον, τὸν ζ. καὶ πάλιν πληρώσας, τὸν θ· καὶ τοῦτο ἐφεξῆς. καὶ εὑρήσεις πάντως τὰ τρία εἴδη· ἢ γὰρ μετρηθήσεταί τις ὑπὸ δύο ἢ οὐ μετρηθήσεται ὑπὸ δύο, ἀλλὰ ὑπὸ ἑνός, ἢ οὐδὲ ὅλως τις μετρηθήσεται. καὶ οἱ μὲν μετρούμενοι ὑπὸ πλειόνων πάντως δεύτεροι καὶ σύνθετοί εἰσιν, οἱ δὲ μὴ μετρούμενοι ὅλως πρῶτοι καὶ ἀσύνθετοι, οἱ δὲ ἅπαξ μετρούμενοι πρὸς μὲν ἑαυτοὺς σύνθετοι, πρὸς δὲ ἀλλήλους ἀσύνθετοι. καὶ ἵνα σαφής σοι γένηται ἡ εὕρεσις αὐτῶν τοῖς μετρουμένοις τοὺς ὑφ’ ὧν μετροῦνται ἐπάνω προστίθει, καὶ ἐκ τούτου ὅσοι εὑρεθῶσι μηδὲ ὅλως δεξάμενοι προσθήκην δῆλοι ἔσονται ὡς πρῶτοι ὄντες καὶ ἀσύνθετοι, οἱ δὲ δύο ἔχοντες προσθήκας δεύτεροι καὶ σύνθετοι εὑρεθήσονται, οἱ δὲ μίαν πρὸς μὲν ἑαυτοὺς σύνθετοι, πρὸς δὲ ἀλλήλους ἀσύνθετοι. τάξει δέ τινι προέρχεται ἡ γένεσις αὐτῶν· ὁ γὰρ γ ἑαυτὸν πολλαπλασιάζων ποιεῖ τὸν θ, δύο ἔχων ἐν μέσῳ ἀριθμούς, τὸν ε καὶ τὸν ζ· ὡσαύτως δὲ τὸν ιε μετρεῖ· τρὶς γὰρ ε ιε· δύο ἔχων ἐν τῷ μέσῳ ἀριθμούς, τὸν ια καὶ τὸν ιγ· καὶ πάλιν τὸν κα μετρεῖ κατὰ τὸν ζ, δύο ἔχων ἐν μέσῳ, τὸν ιζ καὶ ιθ· καὶ τοῦτο ἐφεξῆς εὑρήσεις, ὅτι ὁ ε μὲν κατὰ τὸν γ τὸν ιε μετρεῖ, τέσσαρας ἐν τῷ μέσῳ ἔχων ἀριθμούς, τὸν ζ καὶ τὸν θ καὶ τὸν ια καὶ τὸν ιγ· πάλιν δὲ τὸν κε μετρεῖ ἐφ’ ἑαυτὸν πολλαπλασιαζόμενος, τέσσαρας ἐν τῷ μέσῳ ἔχων, τὸν ιζ, τὸν ιθ, τὸν κα, τὸν κγ· καὶ ἐφεξῆς οὕτως. ὁ δὲ ζ πάλιν τῇ αὐτῇ τάξει μετρήσει, ϛ ἔχων ἐν τῷ μέσῳ, ὁ δὲ θ η, καὶ ἁπλῶς ἡ μέθοδος τῆς τάξεώς ἐστι τοιαύτη. κατὰ τὴν τάξιν τῶν ἀρτίων πάντως ὁ ἀριθμὸς τῶν μέσων εὑρίσκεται, οἷον πρῶτος ἄρτιος ὁ β· διὰ τοῦτο οὖν ὁ γ πρῶτος ὢν τῶν περιττῶν, δύο ἔχει τοὺς μέσους· πάλιν ὁ δ δεύτερος ἄρτιος· διὰ τοῦτο οὖν ὁ ε δεύτερος ὢν περιττός, τέσσαρας ἔχει τοὺς μέσους· ὡσαύτως τρίτος ἄρτιος ὁ ϛ· διὰ τοῦτο ὁ ζ τρίτος ὢν περιττός, ϛ ἔχει τοὺς μέσους. |
| 1 86 (50) [105] | καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν πάντων ἡ αὐτὴ τάξις εὑρεθήσεται. ἔστι δὲ καὶ ἄλλως εὑρεῖν τὴν τάξιν· τὰς χώρας γὰρ διπλασιάζουσι καὶ ὅσος ὁ διπλασιασμός, τοσοῦτοι οἱ μέσοι, οἷον ὁ γ τὴν πρώτην χώραν ἔχει· οὐκοῦν δὶς μία, τί ἐστι; δύο· διὰ τοῦτο οὖν ὁ γ δύο μέσους ἔχει· εἶτα ὁ ε τὴν β ἔχει χώραν, οὐκοῦν δὶς δύο γίνεται δ, διὰ τοῦτο τέσσαρας ἔχει μέσους· ὁ ζ τρίτην ἔχει χώραν, δὶς οὖν γ ϛ· οὐκοῦν διὰ τοῦτο οὗτος ἔχει ϛ· καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων εὑρήσεις ταύτην τὴν τάξιν. ἐπεὶ τοίνυν τὰ τῆς μεθόδου παραδέδοται, ἐκθώμεθα καὶ παραδείγματα, ἀλλὰ ἐπὶ μῆκος τῆς τετράδος ἵνα μείζων ὁ στίχος γένηται· γ, ε, ζ, γ/θ, ια, ιγ, γ, ε/ιε, ιζ, ιθ, γ, ζ/ιε, ιζ, ιθ, γ, ζ/κα, κγ, ε/κε, γ/κζ, κθ λα, γ/λγ, ε, ζ/λε, λζ, γ/λθ, μα, μγ, γ/με, μζ, ζ/μθ, γ/να. ἰδοὺ τοίνυν οἱ μὲν μὴ ἔχοντες ἄνω τὰ μέτρα πρῶτοι καὶ ἀσύνθετοί εἰσιν, οἱ δὲ β ἔχοντες ἐπάνω δεύτεροι καὶ σύνθετοι, οἱ δ’ ἓν πρὸς ἀλλήλους μὲν ἀσύνθετοι πρὸς δὲ ἑαυτοὺς σύνθετοι. ἀλλ’ οὖν ἰστέον ὅτι, ἐπειδὴ μὴ ἔστι χάρτης ὁ ὀφείλων ἐπ’ ἄπειρον στίχον ἀριθμῶν διέχεσθαι, δοκεῖ ψεύδεσθαι τὸ λέγον, ὅτι ὁ ἓν μέτρον ἔχων ἀριθμὸς πρὸς μὲν ἑαυτὸν σύνθετός ἐστι πρὸς δὲ ἄλλον ἀσύνθετος· ἰδοὺ γὰρ ἐν τῷ ἐκτεθέντι ὑφ’ ἡμῶν παραδείγματι ὁ κζ ἓν μέτρον ἔχει τὸ τοῦ γ· ὡσαύτως καὶ ὁ λθ καὶ ὅμως οὐκ εἰσὶ πρὸς ἀλλήλους ἀσύνθετοι, πρὸς δὲ ἑαυτοὺς σύνθετοι· ἀμφότεροι γὰρ ὑπὸ τοῦ γ μετροῦνται. χρὴ οὖν εἰδέναι ὅτι εἰ ἦν δυνατὸν μείζονα στίχον ποιῆσαι, εἶχε καὶ ὁ κζ δέξασθαι ἄλλο μέτρον τὸ τοῦ θ, ὅτε τὸν θ ἐμέλλομεν ποιεῖν· ἐννάκις γὰρ τρεῖς κζ. καὶ ὁ λθ δὲ ὡσαύτως ἄλλο μέτρον δέξαιτο ἂν τὸ τοῦ ιγ, εἴ γε ἦμεν λαβόντες τὸν ιγ· τρισκαιδεκάκις γὰρ τρεῖς λθ. ἐπεὶ οὖν διὰ τοῦτο οὐ δυνάμεθα ὅσον ἐκ τούτου ἀποφήνασθαι καὶ εἰπεῖν ἔστι καθόλου ἐπὶ τῆς ἐκθέσεως τῶν περιττῶν· οἱ μὲν ἑαυτοὺς πολλαπλασιάζοντες, ποιοῦσι πρὸς μὲν ἑαυτοὺς συνθέτους πρὸς δὲ ἀλλήλους ἀσυνθέτους, οἷον ὁ θ καὶ ὁ κε· πρὸς μὲν ἀλλήλους ἀσύνθετοι, πρὸς δὲ ἑαυτοὺς σύνθετοι, ἐπειδὴ τὸν μὲν θ ὁ γ πολλαπλασιασθεὶς ἐποίησε, τὸν δὲ κε ὁ ε· ὡσαύτως καὶ ὁ κε καὶ ὁ μθ, ἐπειδὴ τὸν μὲν κε ὁ ε ἐποίησεν ἐφ’ ἑαυτὸν πολλαπλασιασθείς, τὸν δὲ μθ ὁ ζ. οἱ δὲ γενόμενοι ἐκ τῶν ἑαυτοὺς πολλαπλασιαζόντων οὗτοι δεύτεροι καὶ σύνθετοί εἰσι· ταῦτα μὲν περὶ τῆς μεθόδου ταύτης. ἰστέον δὲ ὅτι ἔστι μέθοδος ὥστε εὑρίσκειν σε τοὺς πρὸς μὲν ἑαυτοὺς συνθέτους πρὸς δὲ ἀλλήλους ἀσυνθέτους, οἷον τέως ὡς ἐπὶ μὲν τῶν τετραγώνων περιττῶν δηλονότι γυμνάσωμεν· λαβὲ πρώτους καὶ ἀσυνθέτους ἀριθμούς, οἷον τὸν γ καὶ τὸν ε, πολλαπλασίασον τούτους ἐφ’ ἑαυτούς, καὶ γίνονται θ (τρὶς τρία) καὶ κε (πεντάκις ε). ἰδοὺ οὗτοι οἱ γενόμενοι τετράγωνοι πρὸς ἀλλήλους μὲν ἀσύνθετοί εἰσι πρὸς δὲ ἑαυτοὺς σύνθετοι, ὡσαύτως ἐπ’ ἄπειρον· τὸν μὲν ἐκ τοῦ θ προϊόντα ἐπὶ τὸν γ πολλαπλασίαζε, τὸν δὲ ἐκ τοῦ κε ἐπὶ τὸν ε, καὶ πάντας ποιήσεις πρὸς μὲν ἑαυτοὺς συνθέτους πρὸς δὲ ἀλλήλους ἀσυνθέτους, οἷον πάλιν ποίησον τρὶς θ κζ, ἀλλὰ καὶ πεντάκις κε ρκε· ὁ ἄρα κζ καὶ ὁ ρκε πρὸς μὲν ἀλλήλους εἰσὶν ἀσύνθετοι, πρὸς δὲ ἑαυτοὺς σύνθετοι· καὶ πάλιν ποίησον τρὶς κζ, γίνονται πα, καὶ πεντάκις ρκε γίνονται χκε· οἱ ἄρα πα καὶ χκε πρὸς ἀλλήλους μὲν ἀσύνθετοι πρὸς δὲ ἑαυτοὺς σύνθετοι. |
| 1 86 (100) [120] | καὶ ἐφεξῆς τοῦτο ποιῶν εὑρήσεις τοὺς γινομένους πάντας τοιούτους. οὐ μόνον δὲ ἐπὶ τῶν τετραγώνων ἐστὶ τοῦτο, ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τῶν ἑτερομηκῶν (καὶ αὐτὸς μὲν ἔχει προϊὼν εἰπεῖν ὅτι ἑτερομήκεις καὶ προμήκεις διαφέρουσιν· ἑτερομήκεις μὲν γάρ εἰσιν οἱ μονάδι μόνοι διαφέροντες, οἷον ὁ δ καὶ ὁ γ, ὁ ε καὶ ὁ ϛ, καὶ οἱ τοιοῦτοι· προμήκεις δὲ οἱ δυάδι ἢ καὶ τριάδι καὶ τετράδι καὶ πλείονι ἀριθμῷ, οἷον ὁ γ καὶ ὁ ε ἢ ὁ γ καὶ ὁ ϛ). ἐὰν τοίνυν λάβῃς ἀριθμοὺς τέσσαρας πρὸς ἀλλήλους πρώτους καὶ ἀσυνθέτους καὶ πολλαπλασιάσῃς τοὺς δύο καὶ πάλιν τοὺς δύο καὶ ἀπὸ τῶν μειζόνων ἄχρι τοσούτου ἀφαιρήσῃς ἄχρις οὗ μηκέτι ἔστι τοῦ μείζονος ἀφελεῖν, καταντήσεις εἰς 〈μονάδα〉 τὸ κοινὸν αὐτῶν μέτρον. τοσαῦτα καὶ περὶ τούτου. ἀναγινωσκέσθω λοιπὸν ἡ λέξις, καὶ εἴ που τί ἐστιν ἐν αὐτῇ ἀσαφές, ἐξηγήσεως ἀξιούσθω. ἀρξάμενος ἀπὸ τοῦ πρωτίστου. |
| 1 87 [5] | τουτέστιν ἀπὸ τοῦ γ, τοὺς δύο μέσους διαλείποντας, τόν τε ε καὶ τὸν ζ, ὅταν ἐφ’ ἑαυτὸν πολλαπλασιαζόμενος τὸν θ μετρεῖ· εἰ δὲ τὸν ιε ἐπὶ τὸν ε πολλαπλασιάζομεν, τὸν ια καὶ τὸν ιγ μέσους ἔχει· καὶ ἐφεξῆς ὡς εἴρηται ἐν τῇ μεθόδῳ ἄχρις οὗ μετρεῖ δύο μέσους εὑρίσκεται ἔχων. ἀλλὰ τὸν μὲν πρῶτον. |
| 1 88 [5] | ἀντὶ τοῦ τὸν πρώτως ὑπὸ τοῦ γ μετρούμενον, ὅ ἐστι τὸν θ. μὴ οὖν εἰκῆ μετρείτωσαν, ἀλλὰ τὸν θ οὕτω κείμενον ὡς δύο μέσους ὑπερβαίνειν, τόν τε ε καὶ τὸν ζ· μετρήσει ὁ κατὰ τὴν τοῦ πρωτίστου ἐν τῷ στίχῳ κείμενος ποσότητα, ὅ ἐστιν ὁ γ. κατὰ τὴν ἑαυτοῦ. |
| 1 89 | ἀντὶ τοῦ ἐφ’ ἑαυτὴν πολλαπλασιαζόμενος. τρὶς γάρ. |
| 1 90 | ἀντὶ τοῦ τρὶς γὰρ τρεῖς θ γίνεται. τὸν δὲ ἀπ’ ἐκείνου. |
| 1 91 [5] | ἀντὶ τοῦ τὸν ιε τὸν ὄντα μετὰ τὸν θ διαλείποντα 〈β〉· διαλείπουσι γὰρ μέσοι πάλιν δύο, ὁ ια καὶ ὁ ιγ· μετρήσει ὁ γ κατὰ τὴν ποσότητα τοῦ β ου τεταγμένου ἀντὶ τοῦ κατὰ τὸν ε· οὗτος γὰρ δεύτερος· ὁ γὰρ γ τὸν ιε κατὰ τὸν ε μετρεῖ· πεντάκις γὰρ τρεῖς ιε. τὸν δὲ πάλιν ἀπ’ ἐκείνου. τὸν δὲ κα τὸν μετὰ τὸν ιε διαλείποντα τοὺς β, τόν τε ιζ καὶ τὸν ιθ, μετρήσει ὁ γ. κατὰ τὴν τοῦ γ ου ἀριθμοῦ ποσότητα. |
| 1 92 | ἀντὶ τοῦ ζ· τρίτος γὰρ ὁ ζ. ὁ οὖν γ κατὰ τὸν ζ μετρεῖ τὸν κα· ἑπτάκις γὰρ τρεῖς κα. τὸν δὲ ἔτι περαιτέρω κείμενον. |
| 1 93 | ἀντὶ τοῦ τὸν δὲ κζ τὸν μετὰ τὸν κα διαλείποντα β τόν τε κγ καὶ τὸν κε μετρήσει 〈ὁ γ〉. κατὰ τὴν τοῦ τετάρτου ποσότητα. |
| 1 94 | ὅ ἐστι κατὰ τὸν θ μετρεῖ· ἐννάκις γὰρ τρεῖς κζ. ἔπειτα μετὰ τοῦτο ἀπ’ ἄλλης ἀρχῆς. |
| 1 95 | μετὰ δὲ τὸ πληρῶσαί σε ἕως οὗ θέλεις τὸν γ μέτελθε ἐπὶ τὸν ε καὶ πάλιν ὡς ἀπ’ ἄλλης ἀρχῆς αὐτῷ μέτρει διαλιμπάνων δ. ἀλλὰ τὸν μὲν α ον . |
| 1 96 | ἀλλὰ τὸν μὲν ιε· πρῶτον γὰρ τοῦτον ὁ ε μετρεῖ. κατὰ τὴν τοῦ πρώτου ποσότητα. |
| 1 97 | ἀντὶ τοῦ κατὰ τὸν γ· τρὶς γὰρ ε ιε. τὸν δὲ δεύτερον. |
| 1 98 | ἀντὶ τοῦ τὸν κε· τοῦτον γὰρ μετρεῖ μετὰ τὸν ιε ἐφ’ ἑαυτὸν πολλαπλασιαζόμενος· πεντάκις γὰρ ε κε. τὸν δὲ τρίτον. |
| 1 99 | τὸν δὲ λε· τοῦτον γὰρ τρίτον μετὰ τὸν κε μετρεῖ κατὰ τὸν γ ἀριθμὸν τῇ τάξει, ὅ ἐστι τὸν ζ· ἑπτάκις γὰρ ε λε. πάλιν δὲ ἄνωθεν. |
| 1 100 | πληρώσας δὲ τοῦτον ἕως οὗ θέλεις πάλιν ἄρξαι τοῦ τρίτου, ὅ ἐστι τοῦ ζ, καὶ ϛ ὑπολιμπάνων μέτρει ὁμοίως ὡς προείρηται. ὥστε τὸ μὲν μετρεῖν διαδέξονται. |
| 1 101 [5] | τὸ μὲν μέτρον κατὰ τὴν τάξιν τῶν ἐν τῷ στίχῳ ἀριθμῶν γίνεται, οἷον πρῶτος μετρεῖ ὁ πρῶτος ἐν τῷ στίχῳ ὅ ἐστιν ὁ γ, δεύτερος δὲ ὁ ε, ἐπειδὴ δευτέραν τάξιν ἔχει, τρίτος δὲ ὁ ζ, καὶ τέταρτος ὁ θ, καὶ πέμπτος ὁ ια, καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. ἡ δὲ τάξις τῶν διαλειπόντων, ὡς εἴρηται, κατὰ δύο τρόπους γίνεται ἢ κατὰ τὴν εὔτακτον τῶν ἀρτίων ἐπ’ ἄπειρον προκοπὴν ἢ κατὰ τὸν διπλασιασμὸν τῆς χώρας, καὶ ἤδη ἐν τῇ μεθόδῳ εἰρήκαμεν πῶς. ἐὰν οὖν σημείοις τισίν. |
| 1 102 [5] | αὐτὸς μὲν λέγει ὅτι σημεῖόν τι ἐπάνω τῶν μετρουμένων ποίει καὶ γνωρίσεις, ποῖοι μὲν πρῶτοι καὶ ἀσύνθετοι ὅτι οἱ μηδὲ ὅλως μετρούμενοι, ποῖοι δὲ οἱ δεύτεροι καὶ σύνθετοι οἱ ὑπὸ β ἀριθμῶν μετρούμενοι, ποῖοι δὲ οἱ πρὸς ἑαυτοὺς μὲν σύνθετοι πρὸς ἀλλήλους δὲ ἀσύνθετοι οἱ ἅπαξ. σὺ δὲ αὐτὰ τὰ μέτρα ἐπάνω ἀποτίθεσο πρὸς πλείονα διάγνωσιν. ἓν μόνον μόριον. |
| 1 103 | ἀντὶ τοῦ πρὸς ἑαυτοὺς μὲν σύνθετοι πρὸς δὲ ἀλλήλους ἀσύνθετοί εἰσι· μετὰ γὰρ τὸ κοινὸν μέτρον τῆς μονάδος καὶ ἄλλο ἓν μόνον ἑτερώνυμον ἕξουσιν, οἷον ὁ μὲν θ τὸ γ ον , ὁ δὲ κε τὸ ε ον . καὶ μὴ τῇ ἑαυτοῦ. |
| 1 104 [5] | ὁρᾷς ὅπως οὐκ ἀποφαίνεται ἐκ τοῦ ὑπὸ δύο μετρεῖσθαι ὡς εἰδὼς ὅτι οὐ πάντως χωρεῖ ὁ χάρτης τὸν στίχον ἐπὶ πλεῖον, ἀλλὰ ἐκ τοῦ αὐτὸν καθ’ αὑτὸν μὴ πολλαπλασιάζεσθαι, ἀλλ’ ὑπὸ ἑνὸς καὶ ἑτέρου, οἷον ὁ ιε ὑπὸ ἑνὸς τοῦ γ καὶ ἄλλου τοῦ ε πολλαπλασιαζόμενος γίνεται, ὥστε δεύτερος καὶ σύνθετός ἐστιν, ἐπειδὴ οὐκ ἐποίησεν αὐτὸν ἀριθμὸς ἐφ’ ἑαυτὸν πολλαπλασιασθείς, ἀλλ’ ἐπὶ ἕτερον. πῶς δὲ ἂν καὶ μέθοδον ἔχοιμεν. |
| 1 105 [35] | ἵνα μὴ ὡς οἱ ἰδιῶται λέγωμεν ὅτι “ἆρα οὗτός ἐστιν ὁ πρῶτος καὶ ἀσύνθετος ἀριθμὸς ἢ ἄλλος,” μέθοδον παραδίδωσι δι’ ἧς ὀφείλομεν εὑρίσκειν ἀφύκτοις λίνοις τούς τε πρώτους καὶ ἀσυνθέτους καὶ τοὺς δευτέρους τε καὶ συνθέτους. καὶ λέγει ὅτι λάμβανε τοὺς ἀναδοθέντας ἀριθμούς· δῆλον οὖν ὅτι ἄνισοί εἰσι· πῶς γὰρ ἴσοι; οἱ γὰρ ἴσοι οὐδὲ διαφορὰν ἔχουσιν. εἰ οὖν ἄνισοί εἰσιν, ὁ μὲν μείζων ἐστὶν ὁ δὲ ἐλάττων· ἀφαίρει τοίνυν ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸν ἐλάττονα καὶ τοῦτο ποίει ἄχρις οὗ μηδέν ἐστι μηκέτι ἀφαιρήσειν· καὶ εἰ μὲν εἰς μονάδα καταντήσομεν, πάντως οἱ ἀναδοθέντες πρῶτοι καὶ ἀσύνθετοί εἰσιν, εἰ δὲ εἰς ἄλλον ἀριθμόν, πάντως δεύτεροι καὶ σύνθετοι. οἷον ὑποκείσθωσαν ἀριθμοὶ ὅ τε νγ καὶ ὁ λα· λαβὲ τοῦ νγ λα, λοιπαὶ κβ· πάλιν τὰς κβ ἀφαίρησον ἀπὸ τοῦ λα, λοιπαὶ θ· τὰς θ πάλιν λαβὲ ἀπὸ τῶν κβ, λοιπαὶ ιγ· πάλιν ἀπὸ τῶν ιγ λαβὲ θ, λοιπαὶ δ· τούτων γ, λοιπὴ μονάς. οὐκοῦν ὁ νγ καὶ ὁ λα πρῶτοι καὶ ἀσύνθετοι καὶ τῷ ὄντι εἰσὶν οὗτοι. ὑποκείσθωσαν δὲ ἕτεροι ἀριθμοί, ὁ κγ καὶ ὁ με· ἀφαιροῦμεν τῶν με κγ, λοιπαὶ κβ· τῶν κγ ἀφαιροῦμεν κβ, λοιπὴ α· ταύτην πάλιν ἀφαιρῶ τὴν μονάδα ἀπὸ τῶν κβ, ἅπαξ κα· λοιπὸν μένει μονὰς ὥστε ὁ κγ καὶ ὁ με πρῶτοι καὶ ἀσύνθετοί εἰσι πρὸς ἀλλήλους. εἰ δὲ ἐκθώμεθα τὸν κα, εἰ τύχῃ, καὶ τὸν μθ, λαμβάνομεν ἀπὸ τοῦ μθ κα, λοιπαὶ κη· ἀπὸ τῶν κη λαβὲ κα, λοιπαὶ ζ· πάλιν ἀπὸ τοῦ κα λαβὲ ζ, λοιπαὶ ιδ· ἀπὸ τῶν ιδ ἄφελε ζ, λοιπαὶ ζ· μένει ἄρα ζ, ὃς μέτρον ἐστὶ κοινὸν τοῦ κα καὶ τοῦ μθ. δεύτεροι ἄρα καὶ σύνθετοί εἰσιν· ὑπὸ γὰρ τοῦ ζ μετροῦνται ἀμφότεροι καὶ ὁ κα καὶ ὁ μθ. εὑρίσκεις τοίνυν ἐκ τῆς μεθόδου ταύτης τὸ κοινὸν μέτρον καὶ οὐχ ἁπλῶς τοῦτο, ἀλλὰ τὸ μέγιστον· οὐ γὰρ τὸ ἐλάχιστον. ταῦτά ἐστιν ἃ βούλεται διὰ τούτων εἰπεῖν. σαφῆ δὲ τυγχάνει πάντα ἄχρι τοῦ τέλους αὐτῶν μηδεμιᾶς ἐξηγήσεως δεόμενα. περὶ τῶν τοῦ ἀρτίου εἰδῶν κατὰ δευτέραν διαίρεσιν καὶ ἁπλῶς περὶ τελείων καὶ τῶν συγγενῶν. |
| 1 106 [45] | πάλιν δὲ ἄνωθεν. ἑτέραν διαίρεσιν τοῦ ἀρτίου θέλει παραδοῦναι. λέγει τοίνυν ὅτι τῶν ἀρτίων οἱ μέν εἰσιν ὑπερτελεῖς, οἱ δὲ ἐλλιπεῖς, οἱ δὲ τέλειοι. καὶ ἐλλιπεῖς μέν εἰσιν ὧν τὰ μέρη ἐλάττονα αὐτῶν εἰσιν· οἷον ὁ δ ἐλλιπής ἐστιν· ἔχει γὰρ μέρη ἥμισυ καὶ δ ον . ἥμισυ μὲν β, δ ον δὲ μία· β δὲ καὶ α γ· αἱ δὲ γ τῶν δ ἐλάττους. ὡσαύτως καὶ ὁ η ἐλλιπής· ἔχει γὰρ μέρη ἥμισυ, δ ον , ὄγδοον· ἥμισυ μὲν δ, δ ον δὲ β, ὄγδοον δὲ α· δ δὲ καὶ β καὶ ἓν γίνονται ζ, αἱ δὲ ζ ἐλάττους τῶν η. ὡσαύτως δὲ καὶ ὁ ι καὶ ἁπλῶς οἱ τοιοῦτοι ἐλλιπεῖς εἰσιν. ὑπερτελεῖς δέ, ὧν τὰ μέρη πλείονας ἑαυτῶν ποιοῦσιν ἀριθμούς· οἷον ὁ ιβ ὑπερτελής ἐστι· τὰ γὰρ μέρη αὐτοῦ τὸν ιϛ ποιεῖ, ὃς πλείων ἐστὶ τοῦ ιβ· ἔχει γὰρ ὁ ιβ ἥμισυ ϛ, γ ον δ, δ ον γ, ϛ ον β, δωδέκατον α. ϛ δὲ καὶ δ, γ, β, καὶ α γίνονται ιϛ. ὡσαύτως καὶ ὁ κδ καὶ οἱ τοιοῦτοι πάντες ὑπερτελεῖς εἰσι. τέλειος δέ ἐστιν ὁ τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσιν ἴσος ὤν, οἷον ὁ ϛ τέλειός ἐστιν· ἔχει γὰρ μέρη ἥμισυ γ, τρίτον β, ἕκτον α· γ δὲ καὶ β καὶ μία ϛ γίνονται. ὡσαύτως καὶ ὁ κη καὶ οἱ τοιοῦτοι. ἰστέον δὲ ὅτι οἱ μὲν ὑπερτέλειοι τοῖς ἑξαδακτύλοις καὶ τοῖς ὑπὲρ τὸ δέον ἔχουσιν ἄτακτον αὔξησιν ἐοίκασιν, οἱ δὲ ἐλλιπεῖς τοῖς τετραδακτύλοις καὶ τοῖς τέρασιν, οἱ δὲ τέλειοι τὸ σύμμετρον διώκουσι· πᾶσα γὰρ κακία διττή ἐστιν, ἡ μὲν καθ’ ὑπερβολήν, ἡ δὲ κατ’ ἔλλειψιν. οὕτω γοῦν καὶ ἐπὶ τῶν ἀρετῶν, δικαιοσύνης μὲν κατὰ τὸ πλεονάζον κακία ἡ πλεονεξία, κατὰ τὸ ἐλλεῖπον δὲ μειονεξία· ἀνδρείας δὲ κατὰ τὸ πλεονάζον θρασύτης, καὶ δειλία κατὰ τὸ ἐλλεῖπον. ὡσαύτως καὶ ἐπὶ σωφροσύνης ἀκολασία καὶ ἠλιθιότης καὶ ἐπὶ φρονήσεως πανουργία καὶ ἁπλότης. ὁ γοῦν τέλειος πέφευγε ταῦτα καὶ σύμμετρός ἐστιν· εἰσὶ δὲ οἱ μὲν ὑπερτελεῖς καὶ ἐλλιπεῖς πάμπολλοι, οἱ δὲ τέλειοι ὀλίγοι· καὶ οἱ μὲν ὑπερτελεῖς καὶ ἐλλιπεῖς πάμπολλοί εἰσιν ὡς χείριστοι· τοὺς πλείους γὰρ κακίους ὁ Βίας εἶπεν. οἱ δὲ τέλειοι ὡς κάλλιστοι ὀλίγοι· τὰ γὰρ καλὰ σπάνια. τοσοῦτον δὲ σπάνιοί εἰσιν ὅτι ἄχρι μὲν δεκάδος ἀπὸ μονάδος εἷς ἐστιν, ὁ ϛ, ἀπὸ δὲ δεκάδος ἄχρι ἑκατοντάδος ἄλλος εἷς, ὁ κη μόνος, ἀπὸ δὲ ἑκατοντάδος ἄχρι χιλιάδος εἷς ὁ υϙϛ, καὶ ἀπὸ χιλιάδος ἕως μυριάδος εἷς ὁ ͵ ηρκη· καὶ ὁ μὲν πρῶτος τέλειος ὅ ἐστιν ὁ ϛ αὐτὸ τοῦτο ἔχει τὸ ἕξ, ὁ δὲ δεύτερος ὅ ἐστιν ὁ κη εἰς η λήγει, ὁ δὲ τρίτος πάλιν ὁ υϙϛ εἰς ϛ, ὁ δὲ τέταρτος ὁ ͵ ηρκη εἰς η. εὑρήσεις δὲ τοῦτο ἐφεξῆς φυλαττόμενον ἕνα παρ’ ἕνα λαμβάνων. ἐπεὶ τοίνυν περὶ τούτων διελέχθημεν, ἔλθωμεν λοιπὸν ἐπὶ τὴν μέθοδον τὴν εὑρίσκουσαν ἀναγκαστικοῖς λίνοις τοὺς τελείους πάντας. ἔστι τοίνυν ἡ μέθοδος γλαφυρά τις οὖσα τοιαύτη· ἐκθοῦ ἀπὸ μονάδος τοὺς ἀρτιάκις ἀρτίους ἕως οὗ βούλει καὶ συντίθει τούτους ἕως οἵου βούλει ἀρτιάκις ἀρτίου. |
| 1 106 (50) [95] | καὶ εἰ μὲν ὁ ἀνελθὼν περιττὸς πρῶτος ᾖ καὶ ἀσύνθετος, γίνωσκε ὅτι πάντως γενήσεται ὁ ἐξ αὐτοῦ τέλειος πολυπλασιασθέντος ἐφ’ ὃν ἐλήξαμεν ἀρτιάκις ἄρτιον. εἰ δὲ μὴ ᾖ πρῶτος καὶ ἀσύνθετος, ἀλλὰ δεύτερος καὶ σύνθετος, παρέρχου· ἀδύνατον γὰρ ἐξ αὐτοῦ γενέσθαι τέλειον. ἵνα δὲ σαφὲς ᾖ τὸ λεγόμενον, ἐκκείσθω τὸ χύμα τῶν ἀρτιάκις ἀρτίων ἀπὸ μονάδος ἕως οὗ βουλόμεθα· α, β, δ, η, ιϛ, λβ, ξδ, ρκη, σνϛ, φιβ. ἔλθωμεν τοίνυν ἄχρι τοῦ β συντιθέντες καὶ ἴδωμεν εἰ γίνεται τέλειος. λάβωμεν οὖν α καὶ β, γίνονται γ· ὁ γ τοίνυν πρῶτος καὶ ἀσύνθετός ἐστι, ποιήσει ἄρα τέλειον· πολλαπλασίασον γὰρ αὐτὸν ἐφ’ ὃν ἔληξας τῶν ἀρτιάκις ἀρτίων· ἔληξας δὲ ἐπὶ τὸν β, τρὶς β ϛ, ὁ ϛ ἄρα τέλειός ἐστιν. εἶτα ἔλθωμεν ἐπὶ τὸν δ· α, β, δ, γίνονται ζ· ὁ ζ πρῶτος καὶ ἀσύνθετός ἐστιν· οὐκοῦν ποιήσει πολλαπλασιασθεὶς πάλιν ἐφ’ ὃν ἔληξας ὅ ἐστιν ἐπὶ τὸν δ (εἰς ἐκεῖνον γὰρ ἔληξας), ἑπτάκις οὖν δ κη· ὁ κη ἄρα τέλειός ἐστιν. ὁμοίως καὶ ἐπὶ τῶν ἐφεξῆς· οἷον ἔλθωμεν ἐπὶ τὸν 〈η〉· α, β, δ, η, γίνεται ιε· ὁ ιε δὲ οὐκ ἔστι πρῶτος καὶ ἀσύνθετος· μετρεῖ γὰρ αὐτὸν ὁ γ καὶ ὁ ε· οὐκ ἄρα ποιήσει τέλειον· πολλαπλασιασθεὶς γὰρ ἐφ’ ὃν ἔληξας ὅ ἐστιν ἐπὶ τὸν η ποιεῖ τὸν ρκ· ὁ δὲ ρκ οὐκ ἔστι τέλειος, ἀλλ’ ὑπερτέλειος. πάλιν λάβωμεν τὸν ιϛ· α, β, δ, η, ιϛ γίνονται λα· οὗτος πρῶτος καὶ ἀσύνθετος· οὐκοῦν πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν ιϛ ποιήσει τέλειον· τριακοντάκις γὰρ ιϛ καὶ ἅπαξ ιϛ γίνονται υϙϛ· ὁ δὲ υϙϛ τέλειός ἐστι. καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν τῇ αὐτῇ μεθόδῳ προϊὼν θηράσεις πάντας τοὺς τελείους καὶ οὐκ ἔστιν ὃς διαφεύξεταί σε, εἰ μέμνησαι ὃ εἶπεν ἄνω, ὅτι ἀεὶ ὁ παρὰ μονάδα ἴσος ἀρτίῳ περιττός ἐστι, καὶ ἔφη ὅτι τοῦτο χρησιμεύει ἡμῖν εἰς τὴν τῶν τελείων κατάληψιν. εἴπωμεν οὖν πῶς συμβάλλεται, ἵνα μὴ ἀπὸ μονάδος συντιθεὶς τοὺς ἀρτιάκις ἀρτίους κάμνῃς, μάλιστα εἰ ἄχρι πολλῶν ἀριθμῶν ἀρτιάκις ἀρτίων θέλεις γυμνάσαι τοῦτο· λάμβανε τοῦ ἀναδοθέντος σοι καθόλου ἀρτιάκις ἀρτίου μονάδα 〈καὶ〉 τήρει, εἰ ὁ καταληφθεὶς πρῶτος καὶ ἀσύνθετός ἐστι, καὶ εἰ ἔστι πρῶτος καὶ ἀσύνθετος, πολλαπλασίαζε αὐτὸν ἐπὶ τὸν πρὸ τοῦ ἀναδοθέντος σοι ἀρτιάκις 〈ἀρτίου〉 ἀριθμοῦ ἀρτιάκις ἄρτιον ἀριθμὸν καὶ ποιήσεις τέλειον· οἷον ἀνεδόθη σοι ὁ λβ, λαβὲ μονάδα, γίνεται λα· οὗτος πρῶτος καὶ ἀσύνθετός ἐστι· πολλαπλασίασον αὐτὸν ἐπὶ τὸν πρὸ τοῦ λβ ἀρτιάκις ἄρτιον, ὅ ἐστιν ἐπὶ τὸν ιϛ, γίνεται υϙϛ· ὁ ἄρα υϙϛ τέλειός ἐστιν. εἰ δὲ μὴ ἔστιν ὁ μετὰ τὴν μονάδα πρῶτος καὶ ἀσύνθετος, οὐ ποιήσει τέλειον· οἷον εἰ ἀναδοθῇ σοι ὁ ιϛ, λαμβάνεις τὴν μονάδα, γίνεται ιε· οὗτος δεύτερος καὶ σύνθετός ἐστι. θαρρῶν οὖν τοῖς νεύροις τῆς ἀποδείξεως προαναφαίνῃ καὶ προλέγεις ὅτι οὐ ποιήσει τέλειον· πολλαπλασιασθεὶς γὰρ ἐπὶ τὸν πρὸ τοῦ ιϛ ἀρτιάκις ἄρτιον, τὸν η, ποιεῖ ρκ· ὁ δὲ ρκ οὐκ ἔστι τέλειος, ἀλλ’ ὑπερτέλειος. |
| 1 106 (100) [105] | ταῦτά ἐστιν ἃ βούλεται διὰ τούτων εἰπεῖν· παρέλθωμεν οὖν θᾶττον τὴν λέξιν, σαφὴς γὰρ πᾶσα τυγχάνει. οὔτε διαφοροῦσα. |
| 1 107 [5] | ἀντὶ τοῦ οὔτε παρασύρουσα ἕτερον ἀριθμὸν μὴ ὄντα τέλειον ὡς τέλειον, ἀλλὰ καὶ τοὺς μὴ ὄντας τελείους οἶδε καὶ οὐκ ἀπατᾶται περὶ ἀριθμούς, καὶ τοὺς τελείους ὡς τελείους παραλαμβάνει. καὶ τοῦτον ἀποφαινόμεθα ἐνεργείᾳ πρῶτον εἶναι. |
| 1 108 [5] | καλῶς τὸ ἐνεργείᾳ, ἐπειδὴ πρώτως ἡ μονὰς πᾶς ἀριθμός ἐστι καὶ τέλειος καὶ τετράγωνος καὶ κύβος, εἴ γε ἐξ αὐτῆς πάντες γίνονται· ἀλλ’ οὐκ ἐνεργείᾳ ἔστι, ἀλλὰ δυνάμει. ἴση γὰρ τοῖς ἰδίοις μέρεσι κατὰ δύναμιν. |
| 1 109 | ἰδοὺ τὸ κατὰ δύναμιν· ἅπαξ γὰρ ἓν μονὰς γίνεται. οἱ δὲ ἄλλοι πάντες τέλειοι κατ’ ἐνέργειαν. προτετεχνολογημένου δὲ ἡμῖν ἐν τοῖς ἄνω. |
| 1 110 [5] | ἐν τῇ ἀρχῇ εἰρήκαμεν ὅτι τοῦ ποσοῦ τὸ μὲν καθ’ αὑτό ἐστι τὸ δὲ πρὸς ἕτερον· διδάξας τοίνυν περὶ τοῦ καθ’ αὑτὸ ποσοῦ νῦν βούλεται περὶ τοῦ πρός τι ποσοῦ τοῦ πρὸς ἕτερον ἔχοντος τὴν σχέσιν διαλεχθῆναι. τοῦ πρός τι ποσοῦ. |
| 1 111 [45] | ἐπειδὴ τοῦ ποσοῦ τὸ μὲν αὐτὸ καθ’ αὑτὸ λαμβάνεται τὸ δὲ ἐν σχέσει διαλαβὼν περὶ τοῦ αὐτὸ καθ’ αὑτὸ λοιπὸν περὶ τοῦ ἐν σχέσει διαλέγεται. διαιρεῖ τοίνυν τὸ ἐν σχέσει οὕτως· [Omitted graphic marker] αὕτη ἡ τοῦ πρός 〈τι κατὰ〉 τὴν σχέσιν ποσοῦ διαίρεσις. ἡ μὲν οὖν ἰσότης ἀδιαίρετος μένει, οὐκ ἔστι γὰρ διαφορὰ τῶν ἴσων· οὐ γὰρ ὁ ι τῶν ι διαφέρει οὐδὲ ὁ η τῶν η ἢ ὁ ρ τῶν ρ. τῶν δὲ ἀνίσων ἡ διαφορὰ τυγχάνει· τὸ μὲν γὰρ μεῖζον τὸ δὲ ἔλαττον, ἀλλὰ τὸ μεῖζον ἢ πολλαπλάσιον τοῦ ἐλάττονος ὡς τὸ διπλάσιον ἢ τριπλάσιον ἢ τετραπλάσιον καὶ ἐφεξῆς· οὕτω φαμὲν τὸν η τοῦ δ μείζονα ὡς πολλαπλάσιον, διπλάσιος γάρ ἐστιν αὐτοῦ (δὶς γὰρ δ η)· ὡσαύτως καὶ τὸν ϛ τοῦ γ, διπλάσιος γὰρ αὐτοῦ· ἀλλὰ καὶ τὸν ιε τοῦ ε ὡς τριπλάσιον καὶ τὸν ιϛ τοῦ δ ὡς τετραπλάσιον καὶ τὸν ιε τοῦ γ ὡς πενταπλάσιον καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. ἢ οὖν πολλαπλάσιός ἐστιν αὐτοῦ ἢ ἐπιμόριος. ἐπιμόριος δέ ἐστιν ὅταν ἔχῃ αὐτὸν καὶ μόριον αὐτοῦ ἕν· οἷον ὁ γ τοῦ β ἐπιμόριός ἐστιν· ἔχει γὰρ αὐτὸν καὶ μόριον αὐτοῦ ἕν· ὁ γὰρ γ ἔχει τὸν β καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ, ὅ ἐστι τὴν α· δύο γὰρ καὶ μία γίνονται γ· καὶ ἔστιν ἡμιόλιος οὗτος ὁ λόγος. ὡσαύτως δὲ καὶ ὁ ἐπίτριτος τοῦ ἐπιμορίου ἐστίν, οἷον ὁ δ τοῦ γ ἐπίτριτος· ἔχει γὰρ τὸν γ καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ. ὡσαύτως ἐστὶ καὶ ἐπιτέταρτος καὶ ἐπίπεμπτος, καὶ ἐπ’ ἄπειρον οὕτως. ἐπιμερὴς δέ ἐστιν ὁ ἔχων τινὰ ἀριθμὸν καὶ μέρη αὐτοῦ· οὐ γὰρ μέρος· οἷον ὁ ε τοῦ γ· ἔχει γὰρ τὸν γ καὶ β αὐτοῦ μέρη. πολλαπλασιεπιμόριος δέ ἐστιν ὁ ἐκ τούτων συγκείμενος, οἷον ὁ ιϛ τοῦ ε· τριπλασίων γὰρ αὐτοῦ ἐστι μετὰ τοῦ καὶ ἓν μέρος ἔχειν· γ γὰρ ε ιε καὶ α γίνονται ιϛ. πολλαπλασιεπιμερὴς δὲ ὁ πολλαπλασιάζων τινὰ μετὰ τοῦ καὶ μέρη ἔχειν, οἷον ὁ ιε τοῦ δ· τριπλασιάζει γὰρ αὐτὸν καὶ ἔχει τρία αὐτοῦ μέρη· τρὶς γὰρ δ ιβ καὶ τρεῖς ιε. οἱ δὲ ἐναντίοι τούτοις τοῦ ἐλάττονος τοῖς αὐτοῖς ὀνόμασι καλοῦνται τῆς ὑπὸ μόνης προθέσεως προστιθεμένης, ἐπειδὴ ἐλάττους ὄντες ὑπὸ τούτοις εἰσίν· οἷον ὁ ϛ τοῦ β πολλαπλάσιός ἐστι, τριπλάσιος γάρ, οὐκοῦν ὁ β ὑποπολλαπλάσιος καλεῖται. πάλιν ὁ γ τοῦ β ἐπιμόριος γενικῶς, ἰδικῶς δὲ ἡμιόλιος· ὡσαύτως ὁ δ τοῦ γ ἐπιμόριος κοινῶς, ἰδικῶς δὲ 〈ἐπίτριτός ἐστιν· οὐκοῦν καὶ ὁ β τοῦ γ κοινῶς μὲν ὑποεπιμόριος, ἰδικῶς δὲ ὑφημιόλιός ἐστιν, ὡσαύτως δὲ ὁ γ τοῦ δ κοινῶς μὲν ὑποεπιμόριος, ἰδικῶς δὲ〉 ὑποεπίτριτός ἐστι. πάλιν ὁ ε τοῦ γ ἐπιμερής ἐστιν· ἔχει γὰρ τὸν γ καὶ β αὐτοῦ· οὐκοῦν ὁ γ τοῦ ε ὑποεπιμερής ἐστι. |
| 1 111 (50) [60] | πάλιν ὁ ιϛ τοῦ ε πολλαπλασιεπιμόριός ἐστιν· οὐκοῦν ὁ ε τοῦ ιϛ ὑποπολλαπλασιεπιμόριός ἐστι. πάλιν ὁ ιε τοῦ δ πολλαπλασιεπιμερής· οὐκοῦν ὁ δ τοῦ ιε ὑποπολλαπλασιεπιμερής. τοσαῦτα περὶ τῆς διαιρέσεως. γλαφυρῶς δὲ καὶ 〈διὰ〉 διαγράμματος καὶ διὰ προστάγματος δείξει ὅτι οὐκ ἂν ἐξ ἄλλου γένοιτο ἡ ἀνισότης, εἰ μὴ ἐκ τῆς ἰσότητος· ὥσπερ γὰρ τῇ ὕλῃ τὸ εἶδος χαρίζεται τὸν κόσμον οὕτω καὶ τῇ ἀνισότητι ἐκ τῆς ἰσότητός ἐστιν ἡ πρόοδος. καὶ πρῶτος μὲν ὁ πολλαπλάσιός ἐστιν, εἶτα ὁ ἐπιμόριος, καὶ τοῦ ἐπιμορίου πρότερος ὁ ἡμιόλιος, εἶτα καὶ ὁ ἐπίτριτος, καὶ οὕτως οἱ ἐφεξῆς. πῶς δὲ δείκνυσιν, ἑτέρᾳ ἡμᾶς θεωρίᾳ διδάξει. ἢ μνᾶ πρὸς μνᾶν. |
| 1 112 [5] | τοῦτο τῆς ῥοπῆς ἐστιν· οὐ μόνον γὰρ εἰς συνεχὲς καὶ διωρισμένον τὸ ποσὸν διαιρεῖται, ἀλλὰ καὶ εἰς ῥοπήν· οὕτω γοῦν φαμὲν λίτραν λίτρᾳ ἴσην καὶ μείζονα καὶ μνᾶν μνᾶς καὶ τάλαντον ταλάντου. ἀμέλει καὶ τὸ ἀνθυπακοῦον τῷ ἴσῳ οὐχ ἑτερωνυμεῖ. |
| 1 113 [10] | οὐ γάρ, ὥσπερ φαμέν, ὅτι τὸ μεῖζον ἐλάττονός ἐστι μεῖζον καὶ ἑτερωνυμοῦσιν, ἄλλο γὰρ τὸ μεῖζον καὶ ἄλλο τὸ ἔλαττον, οὕτω καὶ ἐπὶ τοῦ ἴσου· τὸ γὰρ ἴσον ἴσῳ ἴσον. ἰδοὺ οὖν ὅτι ταὐτά εἰσι τὰ ὀνόματα καὶ οὐχ ἑτερώνυμα. τὸ δὲ πρός τι ἢ κατὰ τόπον λέγεται, ὡς τὸ δεξιὸν καὶ τὸ ἀριστερόν, ἢ κατὰ φύσιν, ὡς πατὴρ καὶ ὑός, ἢ κατὰ σχέσιν τινά, ὡς τὸ μεῖζον καὶ τὸ ἔλαττον, ἢ κατὰ τύχην, ὡς δοῦλος καὶ δεσπότης, ἢ κατὰ προαίρεσιν, ὡς τὸ φίλος· οὐδὲ γὰρ ταῦτα ἑτερωνυμεῖ, ἀλλὰ ταὐτά ἐστι· φίλος γὰρ φίλῳ φίλος, καὶ γείτων πρὸς γείτονα λέγεται, καὶ συστρατιώτης πρὸς συστρατιώτην. ὡς ὅλον ὅλῳ. |
| 1 114 [10] | ὥσπερ τὸ μεῖζον τῷ ἐλάττονι ἀντίκειται οὕτω καὶ τὰ μέρη τοῦ μείζονος τοῖς μέρεσι τοῦ ἐλάττονος. ὡς εὐθὺς εἰσόμεθα. μετ’ ὀλίγον γάρ, ὡς εἴρηται, λέγει ὅτι πρῶτον πάντων τῶν μερῶν ἐστι τὸ πολλαπλάσιον. πλεονάκις ἢ ἅπαξ. ὅταν πολλαπλασιάζῃ τινὰ καὶ μὴ ἅπαξ αὐτὸν μετρεῖ, οἷον πάντες οἱ μετὰ τὴν μονάδα εὐτάκτως πολλαπλάσιοί εἰσιν· ὁ μὲν β διπλάσιος, δὶς γὰρ α β· ὁ γ τριπλάσιος, τρὶς γὰρ α γ· ὁ δ τετραπλάσιος, τετράκι γὰρ μία δ· καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. πληρούντως πλεονάκις. |
| 1 115 [5] | ἀντὶ τοῦ ἀρτίως καὶ ὁλοκλήρως, οἷον ὁ β πρὸς τὸν ϛ· τριπλάσιος γὰρ ὁ ϛ τοῦ β. ὡσαύτως καὶ ὁ ϛ πρὸς τὸν ιη. τοῦτο οὖν ἐστι τὸ τελείως· οὐ γὰρ δύνασαι εἰπεῖν τὸν γ τοῦ η ὑποπολλαπλάσιον· οὐδὲ γὰρ ἔχει λόγον πρὸς αὐτόν· τρὶς γὰρ β ϛ καὶ λοιπαὶ μένουσι β· καὶ μετρήσει τὸν β ὁ γ ὅπερ ἄτοπον· τὸ ἔλαττον γὰρ τὸ μεῖζον μετρεῖ, οὐχ ὁ μείζων ἀριθμὸς τὸν ἐλάττονα. γενικῶς δὲ ἀπείρου. |
| 1 116 [5] | ὥσπερ ἐπ’ ἄπειρον λαμβάνεται τὸ πολλαπλάσιον καὶ τὸ ὑποπολλαπλάσιον, οὕτω καὶ τὰ μέρη αὐτῶν· ἐπ’ ἄπειρον γὰρ τὸ τριπλάσιον καὶ τὸ ὑποτριπλάσιον καὶ τὸ διπλάσιον καὶ τὸ ὑποδιπλάσιον καὶ τὸ τετραπλάσιον καὶ τὸ ὑποτετραπλάσιον καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. τὸ γὰρ διπλάσιον ἀρχόμενον ἀπὸ τοῦ δευτέρου. |
| 1 117 [20] | τὴν μέθοδον τῶν διπλασίων λέγει, καί φησιν ὅτι διὰ πάντων τῶν ἀρτίων πρόεισιν ἀντὶ τοῦ ὁ πᾶς διπλάσιος ἄρτιός ἐστιν· εἰ γὰρ τὸ διπλάσιον ἀπὸ τοῦ δευτέρου παρῆκται, τὰ δὲ β ἄρτια, πάντως ἄρτιοί εἰσιν οἱ διπλάσιοι. οἱ μὲν οὖν διπλάσιοι πάντες ἄρτιοί εἰσιν· ὧν δέ εἰσι διπλάσιοι ἐκεῖνοι καὶ ἄρτιοι καὶ περιττοί, οἷον ὁ β τῆς μονάδος διπλάσιος, ὁ δ τῆς δυάδος, ἡ δὲ δυὰς ἀρτία, ὁ ϛ τῶν γ διπλάσιος, ὁ δὲ γ περιττός. καὶ ἁπλῶς ἕνα παρ’ ἕνα παραλιμπάνων περιττὸν εὑρήσεις τὸν διπλάσιον· οἷον ὁ δ τῶν β διπλάσιος παραλιπὼν τὸν γ, ὁ ϛ τὸν γ παραλιπὼν τὸν ε, ὁ η τοῦ δ ἔχων τὸν ζ, ὁ ι τοῦ ε τὸν θ ἔχων πρὸ αὐτοῦ· καὶ οὕτως ἐφεξῆς. καὶ ὁ μὲν πρῶτος ἄρτιος πρὸς τὸν πρῶτον περιττὸν πολλαπλασιασθείς, ποιεῖ πρῶτον διπλάσιον, οἷον ὁ β πρὸς τὴν α· δὶς γὰρ μία β. καὶ πάλιν πρὸς ἄρτιον τὸν μετὰ τὴν μονάδα ποιεῖ διπλάσιον· δὶς γὰρ β δ. καὶ πάλιν πρὸς περιττὸν τὸν γ· δὶς γὰρ γ ϛ. καὶ πάλιν πρὸς ἄρτιον τὸν δ· δὶς γὰρ δ η. καὶ ἐφεξῆς οὕτω παρ’ ἕνα ποτὲ ἄρτιόν ποτε περιττὸν πολλαπλασιάζων, ποιήσεις τοὺς διπλασίους. τριπλάσιοι δὲ πάντες εἰσίν. |
| 1 118 [20] | ἀπ’ ἀρχῆς δύο παραλειπομένων τριπλάσιοί εἰσιν, οἷον ϛ τῶν β τριπλάσιος, δύο παραλιπὼν τὸν δ καὶ τὸν ε, καὶ ὁ θ τριπλάσιος, δύο παραλιπὼν τὸν ζ καὶ τὸν η, καὶ ὁ ιβ τριπλάσιος, τὸν ι καὶ τὸν ια παραλιπών, καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. ἰστέον δὲ ὅτι οἱ μὲν διπλάσιοι πάντες ἄρτιοι ἦσαν, τοῖς δὲ τριπλασίοις συμβέβηκε τὸ ἕνα παρ’ ἕνα περιττοὺς καὶ ἀρτίους εἶναι· οἷον ὁ γ τριπλάσιος ὢν τῆς μονάδος περιττός ἐστιν, ὁ μετ’ αὐτὸν ϛ τῆς δυάδος ἄρτιος, πάλιν ὁ μετ’ αὐτὸν θ περιττός, ὁ δὲ ιβ ἄρτιος καὶ ὁ ιε περιττός, καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. οἱ δὲ τετραπλάσιοι ἀεὶ ἄρτιοί εἰσιν, ἐπειδὴ παρήχθησαν ἀπὸ τετράδος, ἥτις ἀρτία· ποιοῦσι δὲ καὶ οὗτοι τρεῖς παραλιμπάνεσθαι, οἷον ὁ δ τετραπλάσιος τρεῖς παραλιπών, α, β, γ, ὁ η τοῦ β τετραπλάσιος τρεῖς παραλιπών, ε, ϛ, ζ, ὁ ιβ τοῦ γ τρεῖς παραλιπών, θ, ι, ια, καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. ὁ δὲ πενταπλάσιος καὶ αὐτὸς μίαν παρὰ μίαν ὡς ὁ τριπλάσιος γίνεται καὶ ἄρτιος καὶ περιττός· οὗτος δὲ δ παραλιμπάνει, ὁ δὲ ἑξαπλάσιος ε, ὁ δὲ ἑπταπλάσιος ϛ, καὶ ἐπὶ πάντων ὁ αὐτὸς τρόπος. καὶ οἱ τριπλάσιοι καὶ οἱ ἑξῆς ὥσπερ καὶ οἱ διπλάσιοι εὐτάκτως κατὰ τὸ χύμα τῶν ἀριθμῶν προέρχονται· τρὶς γὰρ μία καὶ τρὶς β καὶ τρὶς τρεῖς καὶ τρὶς δ καὶ τρὶς πέντε καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. συμβέβηκε δὲ καὶ τούτοις πᾶσιν. |
| 1 119 [10] | ἀντὶ τοῦ καὶ τοῖς τετραπλασίοις συμβέβηκεν ἀρτίοις εἶναι· ἕνα γὰρ παρ’ ἕνα ἐστὶν ἄρτιος. οἷον τί λέγω; τετράκις α δ· ἰδοὺ παρῆκεν ἕνα ἄρτιον τὸν β· πάλιν τετράκις β η· ἰδοὺ παρέλειψε τὸν ϛ. καὶ πάλιν τετράκις γ ιβ· ἰδοὺ τὸν ι παρέλειψε, καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. ὥστε οἱ μὲν ἄρτιοι πάντες διπλάσιοί εἰσιν, οἱ δὲ τετραπλάσιοι ἕνα παρ’ ἕνα· οὐ γὰρ πᾶς ἄρτιος τετραπλάσιος, ἀλλ’ εἷς παρ’ ἕνα. ὡσαύτως καὶ ἑξαπλάσιοι οὐ πάντες οἱ ἄρτιοι, ἀλλ’ εἷς παρὰ δύο· οἷον ὁ ϛ ἑξαπλάσιος· ὑπέρβα δὲ τὸν η ἄρτιον καὶ τὸν ι καὶ ὁ ιβ ἑξαπλάσιος· πάλιν ὑπέρβα τὸν ιδ καὶ τὸν ιϛ καὶ ὁ ιη ἑξαπλάσιος. καὶ ἐπὶ πάντων κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον. πενταπλάσιοι δὲ ὀφθήσονται. |
| 1 120 | πενταπλάσιοί εἰσιν ὡς εἰρήκαμεν οἱ τέσσαρας παραλιμπάνοντες. καίτοι ἀπείρου τινὸς γένους εἴδη ὄντα. |
| 1 121 [10] | ἰστέον ὅτι τὰ εἴδη ἐπ’ ἔλαττόν ἐστι τῶν γενῶν· οὐκοῦν εἰ τὰ γένη ἄπειρα, τὰ εἴδη ὡς ἐπ’ ἔλαττον πεπερασμένα εἰσίν. ἐπεὶ οὖν ἐνταῦθα καὶ τὰ γένη ἄπειρά εἰσι καὶ τὰ εἴδη, διὰ τοῦτο ὡς παράδοξον αὐτὸ λέγει καί φησιν ὅτι τὰ κατὰ μέρος εἴδη τοῦ ἀριθμοῦ ἄπειρά εἰσι, καίτοι καὶ τοῦ γένους ἀπείρου ὄντος· οὐ γὰρ ἔδει, εἴ γε τὰ εἴδη ἐπ’ ἔλαττον. διὰ τί οὖν τοῦτο γίνεται; ἐπειδὴ ἐνεργείᾳ οὐχ ὑφίστανται· ἐφ’ ὧν δὲ ἐνεργείᾳ τὰ εἴδη καὶ τὰ γένη, ἐπὶ τούτων ἐπ’ ἔλαττον τὰ εἴδη· νῦν δέ, ἐπειδὴ ἐπ’ ἄπειρον αὔξεται ὁ ἀριθμός, δυνάμει ἄπειρα καὶ τὰ εἴδη. συμβαίνει τοὺς μὲν ὑπολόγους. |
| 1 122 [10] | ὑπολόγους μὲν καλεῖ τοὺς ἐλάττονας, προλόγους δὲ τοὺς μείζονας. καὶ ὑπόλογοι μὲν γίνονται πάντες οἱ εὐτάκτως ἀπὸ μονάδος ἄρτιοι, πρόλογοι δὲ οἱ εὐτάκτως τριπλασιαζόμενοι· οἷον ὁ β ἄρτιος· οὐκοῦν ὑπόλογος καὶ ὁ δ καὶ ὁ ϛ καὶ ὁ η καὶ ὁ ι καὶ πάντες οἱ εὐτάκτως ἄρτιοι. πρόλογος δὲ τοῦ μὲν β ὁ γ, ἐπειδὴ τρὶς μία τρεῖς, τοῦ δὲ δ ὁ ϛ, τρὶς γὰρ β ϛ, τοῦ δὲ ϛ ὁ θ, τρὶς γὰρ τρεῖς θ· καὶ ἐφεξῆς οὕτω τριπλασιάζων τὸ ἐφεξῆς χύμα εὐτάκτως ἀρτίων τε καὶ περιττῶν ποιήσεις τοὺς προλόγους. δεῖ δὲ συζεῦξαι αὐτοὺς εὐτάκτους τὸν πρῶτον ὑπόλογον τῷ πρώτῳ προλόγῳ· καὶ τὸν δ δεύτερον ὑπόλογον τῷ ϛ δευτέρῳ 〈προλόγῳ〉, καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. οἱ ἀπὸ τετράδος συνεχεῖς. |
| 1 123 [10] | ἐπιτρίτους, φησίν, εὑρίσκεις, ἐὰν τετραπλασιάσῃς μὲν τοὺς ἀπὸ μονάδος, τριπλασιάσῃς δὲ τοὺς ἀπὸ μονάδος, οἷον τετράκι μία δ, τρὶς μία γ, ὁ δ ἄρα τοῦ γ ἐπίτριτος· πάλιν τετράκι β η, τρὶς β ϛ, ὁ η τοῦ ϛ ἐπίτριτος· ὡσαύτως τετράκις γ ιβ, τρὶς γ θ, ὁ ιβ ἄρα τῶν θ ἐπίτριτος. καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν ὁμοίως εὑρήσεις, τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ τετραπλασιάζων καὶ τριπλασιάζων· καὶ ὁ μὲν ὑπὸ τοῦ τετραπλασιασμοῦ γενόμενος ἐπίτριτός ἐστιν, ὁ δὲ ὑπὸ τοῦ τριπλασιασμοῦ ὑποεπίτριτος. ὅτι οἱ μὲν πρῶτοι καὶ πυθμένες. |
| 1 124 [15] | πρώτους καὶ πυθμένας καλεῖ τοὺς ἐσχάτους μεθ’ οὓς οὐκέτι ἔστι λαβεῖν μόριον ἢ ἡμιόλιον ἢ ἐπίτριτον· οἷον ἐπὶ μὲν ἡμιολίων ὁ γ καὶ ὁ β ἔσχατοι, ἐπὶ δὲ ἐπιτρίτων ὁ δ καὶ ὁ γ. ἰστέον οὖν ὅτι οἱ μὲν ἔσχατοι οὗτοι οὐδὲν ἔχουσιν ἐν μέσῳ διεῖργον αὐτούς· οἷον τοῦ β καὶ τοῦ γ οὐδεὶς ἀριθμὸς ἐν μέσῳ· τοῦ μέντοι δευτέρου ἡμιολίου, ὅ ἐστι τοῦ ϛ καὶ τοῦ δ, ἔστιν εἷς μέσος ὁ ε· τοῦ δὲ γ (τοῦ θ καὶ τοῦ ϛ) β, ὁ ζ καὶ ὁ η· τοῦ δὲ τετάρτου τρεῖς εὑρεθήσονται μέσοι, τοῦ δὲ πέμπτου δ, καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. ὡσαύτως καὶ ἐπὶ τῶν ἐπιτρίτων· τῶν μὲν ἐσχάτων τοῦ δ καὶ τοῦ γ οὐδεὶς ἐν μέσῳ· τοῦ δὲ β (τοῦ η καὶ τοῦ ϛ) εἷς, ὁ ζ· τοῦ δὲ γ (τοῦ ιβ καὶ τοῦ θ) δύο, ὁ ι καὶ ὁ ια· καὶ τοῦ δ ὁμοίως γ ἐν τῷ μέσῳ, καὶ τοῦ ε τέσσαρα, καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. ὅτι δὲ φυσικῶς καὶ οὐχ ἡμῶν θεμένων. |
| 1 125 [45] | ἤδη εἰρήκαμεν ὅτι ια εἰσὶν αἱ πᾶσαι σχέσεις, α μὲν ἡ τῆς ἰσότητος, τῆς δὲ ἀνισότητος ι· τὸ γὰρ ἄνισον ἢ μεῖζον ἢ ἔλαττον· καὶ τὸ μεῖζον εἶχε ε· τὸ γὰρ μεῖζον ἢ πολλαπλάσιον ἢ ἐπιμόριον ἢ ἐπιμερὲς 〈ἢ πολλαπλασιεπιμόριον ἢ πολλαπλασιεπιμερέσ〉· ὡσαύτως καὶ τὸ ἔλαττον μετὰ τῆς ὑπὸ προθέσεως. ἐνταῦθα οὖν θέλει εἰπεῖν ὅτι οὐ θέσει καὶ νόμῳ, ἀλλὰ φύσει τὸ πολλαπλάσιον τῶν ἄλλων πρῶτόν ἐστιν, εἶτα τὸ ἡμιόλιον· καὶ οὕτω τὰ λοιπά, ἐπίτριτον λέγω καὶ ἐπιτέταρτον καὶ ἐπίπεμπτον καὶ ἐφεξῆς. καὶ ἐνταῦθα μὲν περὶ τοῦ πολλαπλασίου λέγει διὰ διαγράμματος, ὕστερον δὲ γλαφυρώτατα δείξει ὅτι καὶ ἡ ἰσότης προτέρα τῆς ἀνισότητος. δείκνυσιν οὖν ὅτι τὸ πολλαπλάσιον πρῶτόν ἐστι τῶν ἄλλων, καὶ τοῦ πολλαπλασίου τὸ διπλάσιον, εἶτα τὸ τριπλάσιον. πρόεισιν οὖν ἡ δεῖξις οὕτως· ἐκτίθεται πρῶτον στίχον ἔχοντα τοὺς ἀπὸ μονάδος κατὰ τάξιν ἕως δεκάδος ἀριθμούς· α, β, γ, δ, ε, ϛ, ζ, η, θ, ι· τοὺς αὐτοὺς δὲ καὶ ἐπὶ τὰ κάτω ἐκτίθεται· εὑρεθήσεται τοίνυν τὸ διπλάσιον πρῶτον· ὁ γὰρ β ἐπὶ τὴν μονάδα πολλαπλασιαζόμενος ποιεῖ τὸν β, ἐπὶ δὲ τὴν δυάδα ποιεῖ τὸν δ, ἐπὶ δὲ τὸν γ τὸν ϛ, ἐπὶ δὲ τὸν δ τὸν η, καὶ ἐπὶ τὸν ε τὸν ι, καὶ ἐπὶ τὸν ϛ τὸν ιβ, καὶ ἐπὶ τὸν ζ τὸν ιδ, καὶ ἐπὶ τὸν η τὸν ιϛ, καὶ τὸν ιη ἐπὶ τὸν θ, καὶ τὸν κ ἐπὶ τὸν ι. ἐκθοῦ οὖν ἐν τῷ δευτέρῳ στίχῳ τοὺς διπλασίους· β, δ, ϛ, η, ι, ιβ, ιδ, ιϛ, ιη, κ. πάλιν ὁ γ ἐπὶ τοὺς ἀπὸ μονάδος πολλαπλασιαζόμενος, τουτέστιν ὁ τοῦ γ στίχου, ποιεῖ τοὺς τριπλασίους, γ, ϛ, θ, ιβ, ιε, 〈ιη〉, κα, κδ, κζ, λ· καὶ τούτους οὖν ἀπόθου ἐν τῷ γ στίχῳ. ὁ δὲ δ πάλιν ἐπὶ τοὺς ἀπὸ μονάδος πολλαπλασιαζόμενος ποιεῖ τοὺς τετραπλασίους, δ, η, ιβ, ιϛ, κ, κδ, κη, λβ, λϛ, μ· θὲς καὶ τούτους ἐν τῷ τετάρτῳ στίχῳ. καὶ ἐφεξῆς πάλιν ὁ μὲν ε πενταπλασίους ποιήσει, καὶ θὲς ἐν τῷ ε στίχῳ. ὁ δὲ ϛ ἑξαπλασίους, καὶ θὲς ἐν τῷ ϛ στίχῳ. καὶ ὁμοίως ἄχρι δεκάδος. ἰδοὺ τοίνυν ὅτι οἱ μὲν τοῦ β στίχου ἀριθμοὶ πρὸς τοὺς ἐν τῷ πρώτῳ πολλαπλασιαζόμενοι τοὺς διπλασίους ποιοῦσιν, οἱ δὲ τοῦ γ πρὸς τοὺς τοῦ α ου τριπλασίους, οἱ δὲ τοῦ δ ου τοὺς τετραπλασίους, καὶ ἐφεξῆς ἄχρι δεκάδος. ἰδοὺ οὖν πρῶτον ἀνεφάνη τὸ πολλαπλάσιον· μετὰ τὸ πολλαπλάσιον τοίνυν εὑρίσκεται τὸ ἐπιμόριον, καὶ τούτου τὸ ἡμιόλιον. οἱ γὰρ τοῦ γ στίχου πάντες τῶν πρὸ αὐτῶν τῶν τοῦ δευτέρου ἡμιόλιοί εἰσιν· ὁ μὲν γ τοῦ β, ὁ δὲ ϛ τοῦ δ, ὁ δὲ θ τοῦ ϛ, καὶ ὁ ιβ τοῦ η, καὶ ὁ ιε τοῦ ι, καὶ ὁ ιη τοῦ ιβ, καὶ ἐφεξῆς τοῦτο εὑρήσεις. εἶτα μετὰ τοὺς ἡμιολίους εἰσὶν οἱ ἐπίτριτοι· οἱ γὰρ τοῦ τετάρτου στίχου πάλιν τῶν τοῦ τρίτου κατὰ τάξιν πάλιν ἐπίτριτοί εἰσιν· ὁ μὲν δ τοῦ γ, ὁ δὲ η τοῦ ϛ, ὁ δὲ ιβ τοῦ θ, ὁ δὲ ιϛ τοῦ ιβ, ὁ δὲ κ τοῦ ιε, καὶ ἐφεξῆς ὡσαύτως. |
| 1 125 (50) [90] | πάλιν μετ’ αὐτοὺς οἱ ἐπιτέταρτοι· οἱ γὰρ ἐν τῷ πέμπτῳ στίχῳ τῶν ἐν τῷ τετάρτῳ ἐπιτέταρτοί εἰσιν· ὁ μὲν ε τοῦ δ, ὁ δὲ ι τοῦ η, ὁ δὲ ιε τοῦ ιβ, ὁ δὲ κ τοῦ ιϛ, ὁ δὲ κε τοῦ κ. καὶ ἐφεξῆς κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον. καὶ οἱ τοῦ ϛ στίχου τῶν ἐν τῷ πέμπτῳ ἐπίπεμπτοι, καὶ οἱ τοῦ ζ τῶν ἐν τῷ ϛ ἐπίεκτοι, καὶ ἐφεξῆς εὑρήσεις τοῦτο. πάλιν ὁ πολλαπλασιεπιμόριος πρῶτός ἐστι τοῦ πολλαπλασιεπιμεροῦς· πολλαπλασιεπιμόριος μὲν γάρ ἐστιν ὁ ε τοῦ β· διπλάσιος γὰρ ὢν αὐτοῦ ἔχει αὐτοῦ 〈καὶ ἓν μέρος. πολλαπλασιεπιμερὴς δέ ἐστιν ὁ η τοῦ γ· διπλάσιος γὰρ ὢν αὐτοῦ ἔχει αὐτοῦ〉 καὶ δύο μέρη. δέδεικται ἄρα ἡ τάξις τῶν σχέσεων τούτων θαυμαστή τις οὖσα, κἀκεῖνο δὲ δεῖ εἰδέναι ὅτι ὑπὸ τῶν κανονίων γάμμα πολλὰ γίνονται· δέκα γὰρ τὰ ὅλα. πρῶτον μὲν τὸ ὑπὸ τοῦ πρώτου στίχου τοῦ κατὰ μῆκος καὶ τοῦ κατὰ πλάτος περιεχόμενον, δεύτερον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν δύο τῶν δευτέρων στίχων, καὶ τρίτον τὸ ὑπὸ τῶν τρίτων, καὶ τέταρτον τὸ ὑπὸ τῶν τετάρτων· ἀλλὰ τὸ μὲν α γάμμα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ια στοιχείων, τὸ δὲ δεύτερον τὸ ὑπὸ τῶν κδ στοιχείων, τὸ δὲ τρίτον τὸ ὑπὸ τῶν λθ στοιχείων· καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως ἓν παρ’ ἓν ἀμείβων κανόνιον. ἰστέον δὲ ὅτι τῶν γάμμα τούτων χιαζομένων ἐφ’ ἑκάτερα γίνεται ὁ πολλαπλασιασμός. κἀκεῖνο δὲ γίνωσκε ὅτι οἱ διαγώνιοι ἀριθμοὶ πάντες τετράγωνοί εἰσιν, ὁ δ, ὁ θ, ὁ ιϛ, ὁ κε, ὁ λϛ, ὁ μθ, ὁ ξδ, ὁ πα, ὁ ρ. κἀκεῖνο δὲ γίνωσκε ὅτι καὶ οἱ ὑπερέχοντες κατὰ τάξιν ὑπερέχουσιν· ὅσῳ γὰρ ὑπερέχει ὅδε ὁ ἀριθμὸς τοῦδε, τοσούτῳ ὁ ὑπερεχόμενος ἔλαττόν ἐστιν· οἷον ὁ τοῦ γ στίχου τρίτος ἀριθμὸς τῆς τοῦ πρώτου στίχου μονάδος ὑπερέχει δυάδι· καὶ ἔστιν ἐν τῷ δευτέρῳ στίχῳ μεταξὺ τῶν γ καὶ τῆς μονάδος ὁ β. πάλιν ὁ ϛ τοῦ β τετράδι ὑπερέχει καὶ ἔστιν ἐν τῷ μέσῳ ὁ δ· ὡσαύτως καὶ ἐπὶ τῶ λοιπῶν. πάλιν ὁ ἐν τῷ τετάρτῳ στίχῳ δ ἀριθμὸς τῆς τοῦ πρώτου στίχου μονάδος τριάδι ὑπερέχει καὶ ἔστιν ὁ γ ἐπάνω τοῦ δ. ὡσαύτως ὁ η τοῦ β ἑξάδι ὑπερέχει καὶ ἔστιν ὁ ϛ ἐπάνω τῶν η. καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων πάντων τὴν αὐτὴν τάξιν εὑρήσεις. ταῦτά ἐστιν ἃ βούλεται διὰ τούτων εἰπεῖν. ἐκκείσθω δὲ τὸ διάγραμμα, ἵνα σαφῆ γένωνται πάντα τὰ λεχθέντα. καὶ ἐπὶ τῶν ἀκολούθων. |
| 1 126 | καὶ ἐπὶ πάντων φησὶν ἀνάλογον· ἐκ τοῦ διαγράμματος οὖν ἐσαφηνίσθη τὸ λεγόμενον. πρὸς δὲ τὸν 〈ἐφ’〉 ἑκάτερα δεύτερον στίχον. |
| 1 127 | περὶ τῶν αὐτῶν βούλεται διαλεχθῆναι περὶ ὧν ἤδη ἡμεῖς προφθάσαντες ἐθεωρήσαμεν. ἀναγινωσκέσθω οὖν ἡ λέξις, καὶ εἴ τι ἀσαφὲς ἔχει, ἀξιούσθω ἐξηγήσεως. διαφορὰν δὲ καὶ οὗτοι ἔχουσι τοὺς ἀπὸ μονάδος. |
| 1 128 [10] | ἀντὶ τοῦ ὑπερέχουσι καὶ οὗτοι τοῖς ἐν τῷ πρώτῳ στίχῳ ἀπὸ μονάδος, οἷον ὁ γ τοῦ β ἡμιόλιός ἐστιν ὑπερέχων αὐτοῦ τῇ ἐν τῷ πρώτῳ στίχῳ μονάδι· ὁ ϛ πάλιν τοῦ δ ἡμιόλιος ὑπερέχων τῷ ἐπάνω αὐτοῦ κατὰ τὸν πρῶτον στίχον β· καὶ ὁ θ τοῦ ϛ ἡμιόλιος ὑπερέχων τῇ ἐπάνω αὐτοῦ τριάδι, καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. ὥσπερ οὖν ἡ ἐπὶ τῶν πολλαπλασίων ὑπεροχή, οὕτω καὶ ἐπὶ τῶν ἐπιμορίων· ἀλλ’ ἐπὶ μὲν τῶν πολλαπλασίων ὑπεροχὴ μέση ἦν, οἷον ὁ γ τῆς μονάδος τριπλάσιος μέσην ἔχων τὴν ὑπεροχήν, τὸν β λέγω, καὶ ὁ ϛ τοῦ β τριπλάσιος μέσην ἔχων τὸν δ, καὶ ἐφεξῆς ὡσαύτως. ἐνταῦθα δὲ οὐ τὸ μέσην, ἀλλὰ τὸ ἐπάνω. κἀκεῖνο δὲ οὐκ ἐλαχίστης. |
| 1 129 [30] | παρακολούθημα λέγει ὅτι οἱ μὲν διαγώνιοι τοῦ διαγράμματος μονάδες εἰσίν· ἐν μὲν γὰρ τῇ ἀρχῇ ἁπλῆ ἐστιν ἡ μονάς, ἐν δὲ τῷ τέλει ἑκατοντάς, ἐν δὲ τῇ διαγωνίῳ δύο δεκάδες. μονάδες τοίνυν εἰσὶ πᾶσαι καὶ ἡ μονὰς καὶ ἡ δεκὰς καὶ ἡ ἑκατοντάς, ἀλλ’ ἡ μονὰς τῷ ὄντι μονάς ἐστιν ἁπλῆ, ἡ δὲ δεκὰς μονὰς καλεῖται, ἀλλὰ δευτερωδουμένη. μονὰς μὲν ὅτι ὅσα δύναται ἡ μονὰς ἄρχι δεκάδος, τοσαῦτα καὶ ἡ δεκὰς ἄχρι ἑκατοντάδος, δευτερωδουμένη δὲ ὅτι δευτέρα τῇ τάξει τῆς μονάδος. ὡσαύτως καὶ ἡ ἑκατοντὰς μονὰς καλεῖται ὅτι καὶ αὕτη τοσαῦτα δύναται ἕως χιλιάδος, ὅσα καὶ ἡ μονάς, τριωδουμένη δὲ ὅτι τρίτην ἔχει τάξιν. ὡσαύτως καὶ ἡ χιλιὰς μονὰς καλεῖται, ἐπειδὴ ἕως μυριάδος τοσαῦτα δύναται, ὅσα μονάς, τετρωδουμένη δὲ ὅτι τετάρτη ἀπὸ μονάδος. ὥστε ἀποτελεῖν τὸ ὑπὸ ἴσον τῷ ἀπό. ἔστι γὰρ ἐν τῇ ἀρχῇ μονάς, εἶτα ἐν τῷ τέλει τοῦ πρώτου στίχου δεκάς· καὶ πάλιν κάτω ἐν μὲν τῇ ἀρχῇ δεκὰς ἐν δὲ τῷ τέλει ἑκατοντάς. καὶ ἡ μὲν μονὰς καὶ ἡ ἑκατοντὰς τετράγωνοί εἰσιν· ἅπαξ γὰρ α μία, καὶ δεκάκις ι ἑκατόν. αἱ δὲ δύο δεκάδες τετράγωνοι μὲν οὐκ εἰσί, πλευραὶ δὲ τετραγώνου ναί· δεκάκις γὰρ ι ρ, ὥστ’ ἐπεὶ καὶ ἅπαξ ρ γίνονται ρ, καὶ δεκάκις ι ρ, τὸ ὑπὸ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπό. καὶ πάλιν ὁ μὲν πρῶτος στίχος ἀπὸ μονάδος ἄχρι δεκάδος ἐστίν, ὁ δὲ ἐπὶ τὰ κάτω καὶ αὐτὸς ἀπὸ μονάδος ἄχρι δεκάδος. ὡσαύτως δὲ ὁ μὲν τελευταῖος στίχος ὁ ἐπὶ τὰ κάτω ι ι ὑπερβαίνει ἄχρι ἑκατοντάδος, ὁ δὲ τελευταῖος ὁ ἐπὶ μῆκος καὶ αὐτὸς δέκα δέκα ὑπερβαίνει ἄχρι ἑκατοντάδος· ἔχουσι δὲ ἀμφότεροι, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, π, ϙ, ρ. καὶ οἱ μὲν διαγώνιοι. |
| 1 130 [20] | ὅτι πάντες τετράγωνοί εἰσιν οἱ διαγώνιοι· δ, θ, ιϛ, κε, λϛ, μθ, ξδ, πα, ρ. οἱ δὲ παρ’ ἑκάτερα τῶν τετραγώνων, οὓς παρασπίζοντας καλεῖ διὰ τὸ ἐξ ἑκατέρωθεν ἵστασθαι καὶ οἱονεὶ ὑπερασπίζειν αὐτῶν, οὗτοι οὖν συντιθέμενοι μετὰ τῶν τετραγώνων πάντως τετραγώνους ποιοῦσιν· οἷον μεταξὺ τοῦ θ καὶ τοῦ δ εἰσὶν ἑτερομήκεις ὑπερασπίζοντες ϛ καὶ ϛ· ϛ οὖν καὶ ϛ γίνονται ιβ· πάλιν θ καὶ δ γίνονται ιγ· ιγ δὲ καὶ ιβ γίνονται κε· ὁ κε δὲ τετράγωνός ἐστιν. ὡσαύτως μεταξὺ τοῦ θ καὶ τοῦ ιϛ εἰσὶ ιβ καὶ ιβ· ιβ δὲ καὶ ιβ γίνονται κδ· θ δὲ καὶ ιϛ κε· κε οὖν καὶ κδ γίνονται μθ· ὁ δὲ μθ τετράγωνός ἐστιν. ὡσαύτως καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων. καὶ πάλιν ἔστιν ἄλλο παρακολούθημα. οἱ δὲ τετράγωνοι πολλαπλασιασθέντες ποιοῦσιν ἀριθμὸν τὸν αὐτὸν δὲ καὶ οἱ ἑτερομήκεις· οἷον τετράκις θ λϛ, ἀλλὰ καὶ ἑξάκις ϛ λϛ· καὶ πάλιν ἐννάκις ιϛ ρμδ, ἀλλὰ καὶ δωδεκάκις ιβ ρμδ. ὡσαύτως καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων εὑρήσεις τοῦτο. γίνεται δὲ τοῦτο ἐπειδὴ ἀναλογία τίς ἐστιν· οἷον ὁ ϛ τοῦ δ ἡμιόλιος, ὁ δὲ θ τοῦ ϛ ἡμιόλιος· οὐκοῦν ὡς ἔχει ὁ δ πρὸς τὸν ϛ, οὕτω καὶ ὁ ἄλλος ϛ πρὸς τὸν θ. ἐὰν δὲ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσι τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν μέσων, ὁ ἄρα ὑπὸ τῶν δ καὶ τῶν θ ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ϛ καὶ τῶν ϛ. οὐδέπω γὰρ τὴν ἐπίγνωσιν αὐτῶν. |
| 1 131 | ἔτι γὰρ εἰσαγωγικῶς ἐκτιθέμεθα, τελείαν ἐπίγνωσιν τῶν ἀριθμῶν οὐκ ἔχομεν. μετὰ γὰρ τὰς δύο γενικὰς ταύτας σχέσεις. |
| 1 132 [5] | [τετράκις θ λϛ καὶ ἑξάκις ϛ λϛ.] εἰρηκὼς περὶ τοῦ πολλαπλασίου καὶ τοῦ ἐπιμορίου, βούλεται λοιπὸν καὶ περὶ τῶν λοιπῶν εἰπεῖν, τοῦ τε ἐπιμεροῦς καὶ τοῦ πολλαπλασιεπιμορίου καὶ τοῦ πολλαπλασιεπιμεροῦς καὶ τῶν τούτοις ἀντικειμένων. τὸ δὲ πλείονα ἑνὸς πάλιν ἄρχεται ἀπὸ τῶν δύο. |
| 1 133 [35] | ἐπειδὴ εἶπεν ἐπιμερῆ τὸν ἔχοντα πλείονα μέρη, λοιπὸν λέγει ὅτι τὰ μέρη ἀπὸ τῶν β ἄρχεται· ἐλάχιστα γὰρ τὰ β, μετὰ γὰρ τὴν μονάδα ταῦτα. ἰστέον οὖν ὅτι ἐάν τι τέμνηται εἰς δύο, κατὰ μὲν τὸ ποσὸν ἐλάχιστόν ἐστι, κατὰ δὲ τὸ ποιὸν μέγιστον. κατὰ μὲν τὸ ποσὸν ἐλάχιστον, ὅτι τῶν β οὐκ ἔστιν ἐλαχιστότερον, κατὰ δὲ τὸ ποιὸν μέγιστον, ἐπειδὴ ἡ μεγίστη τομὴ εἰς δύο ἐστὶ κατὰ τὸ ποιόν· οἷον εἰ τέμῃς κίονα εἰς δύο, μέγιστα τὰ τμήματα· εἰ γὰρ εἰς γ ἢ εἰς δ ἢ εἰς ε, μικρότερα εὑρίσκονται. οὐκοῦν ἀπὸ τῶν δύο μερῶν δεῖ ἄρχεσθαι· οἷον ὁ ε τοῦ γ ἐπιμερής· ἔχει γὰρ αὐτὸν καὶ δύο αὐτοῦ μέρη· πρῶτος οὖν οὗτος ἐπιμερής. ἰστέον τοίνυν ὅτι ἐκεῖνοι λέγονται ἐπιμερεῖς οἱ ἔχοντες ἀριθμὸν καὶ τὸ μέρος αὐτοῦ μὴ ἀπαρτίζον εἰς τέλειόν τι ἕν· εἰ γὰρ ἔχοι, οὐκέτι λέγεται· οἷον ὁ ζ ἔχει τὸν δ καὶ γ αὐτοῦ τέταρτα· τὰ τρία οὖν τέταρτα εἰς τέλειον ἓν οὐ λήγει, ἀλλ’ εἰς δύο, ἥμισυ τε καὶ τέταρτον· ὥστε οὐ δύνασαι εἰπεῖν ὅτι ἔχει αὐτὸν καὶ δύο αὐτοῦ τέταρτα, ἐπειδὴ τὰ δύο αὐτοῦ τέταρτα ἕν τι ποιεῖ τὸ ἥμισυ, ἀλλ’ οὐδὲ δύο ἕκτα· ἓν γὰρ τρίτον ποιεῖ· καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. οἷον οὐ δύνασαι εἰπεῖν ὅτι ὁ ϛ τοῦ δ ἐπιμερής ἐστιν· ἔχει γὰρ αὐτὸν καὶ β αὐτοῦ τέταρτα· λέγων γὰρ δύο τέταρτα ἥμισυ ποιεῖς καὶ οὐδὲν ἄλλο λέγεις ἢ ἡμιόλιον, ἀλλ’ οὐδὲ δύνασαι εἰπεῖν ὅτι ὁ δ τοῦ β ἐπιμερής ἐστιν· ἔχει γὰρ αὐτὸν καὶ β ἡμίση αὐτοῦ· τὰ γὰρ β ἡμίση οὐδὲν ἄλλο ἔστιν ἢ πάλιν αὐτὰ τὰ δύο καὶ εὑρίσκει οὐδὲν ἄλλο ἢ διπλάσιον λέγων ὥστε ζήτει τοῦτο. λέγε οὖν ὅτι ὁ ε τοῦ γ ἐπιμερής ἐστιν, ἐπειδὴ ἔχει αὐτὸν καὶ δύο αὐτοῦ μέρη. ποίου δὲ ὀνόματος ἔτυχε; χρὴ γινώσκειν ὅτι ἐπιδίτριτος καλεῖται· ἔχει γὰρ αὐτὸν καὶ β αὐτοῦ τρίτα. ὁ δὲ ζ τοῦ δ ἐπιμερὴς ὢν ἐπιτριτέταρτος αὐτοῦ ἐστιν· ἔχει γὰρ αὐτὸν καὶ γ τέταρτα. ὁμοίως καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν. πάλιν ὁ ι τοῦ ϛ ἐπιμερὴς ὤν, ἔστιν ἐπιτετράεκτος· ἔχει γὰρ αὐτὸν καὶ δ αὐτοῦ ϛ. καὶ ἐφεξῆς ὁποσάκις αὐτὸν ἔχει ἐκείνῳ τῷ ὀνόματι ὀνόμαζε. ὥστε τοῦ ἐπιμεροῦς πυθμήν ἐστι. |
| 1 134 [5] | πυθμένας, ὡς ἤδη εἰρήκαμεν, καλεῖ τοὺς ἐσχάτους ἀριθμούς, οἷον ἡμιολίου μὲν τὸν γ καὶ τὸν β, ἐπιτρίτου δὲ τὸν δ καὶ τὸν γ, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως τοὺς ἐσχάτους. ἐπεὶ οὖν τοῦ ἐπιμεροῦς ἐκεῖνοί εἰσι πυθμένες οἱ ἔχοντες β μέρη (ὑποκάτω γὰρ τῶν β οὐκ ἔστιν), ἐλάχιστα γὰρ ταῦτα· ὥστε ἐπιμερὴς ἔσχατός ἐστιν ὁ ε τοῦ γ· ἔχει γὰρ αὐτὸν καὶ οὐ πλείονα, ἀλλὰ δύο μέρη. τὰ δὲ μέρη ῥίζαν ἔχει καὶ ἀρχήν. |
| 1 135 [5] | ὅτι δεῖ ἀπὸ τοῦ γ ἄρχεσθαι· εἰ γὰρ εἴπωμεν ἥμισυ, λήσομεν ἑαυτοὺς [τὸ] αὐτὸ λέγοντες (οἷον εἴπωμεν ὅτι ὁ δ τοῦ β ἐπιμερής ἐστιν· ἔχει γὰρ αὐτὸν καὶ β αὐτοῦ ἡμίση), παγκάκως φαμέν· οὐδὲν γὰρ ἄλλο ἔστι τὰ β ἡμίση ἢ αὐταὶ πάλιν αἱ β, ὥστε οὐδὲν ἄλλο λέγομεν ἢ ὅτι ὁ δ τοῦ β διπλάσιός ἐστιν. εἶτα ἀπὸ δύο πέμπτων. |
| 1 136 [5] | οὐ γὰρ δύνασαι εἰπεῖν δύο τετάρτων· πάλιν γὰρ ἥμισυ εὑρίσκεται. οὐδὲ δύο ἕκτων· τρίτον γὰρ εὑρίσκεται. τριῶν δὲ τετάρτων καὶ τριῶν πέμπτων καὶ τεττάρων πέμπτων καὶ τεττάρων ἕκτων καὶ πέντε ἕκτων δυνατὸν εἰπεῖν. οὐδὲ γὰρ τριῶν ἕκτων· ἥμισυ γὰρ πάλιν πίπτει. τάξις δὲ ἀπ’ ἀμφοτέρων καὶ ἀκόλουθος γένεσις. |
| 1 137 [35] | λοιπὸν τὴν γένεσιν θέλει εἰπεῖν τῶν ἐπιμερῶν καὶ λέγει ὅτι τοὺς ἀπὸ τριάδος ἀριθμοὺς πάντας ἐφεξῆς ἐκθοῦ καὶ ἀρτίους καὶ περιττούς, οἷον γ, δ, ε, ϛ, ζ, η, θ, ι, ια, ιβ, ιγ καὶ ἐφεξῆς, ἐκθοῦ δὲ καὶ τοὺς ἀπὸ πεντάδος περιττοὺς μόνους, οἷον ε, ζ, θ, ια, ιγ, ιε, ιζ καὶ ἐφεξῆς τοὺς περιττούς, καὶ εὑρήσεις τὸν πρῶτον τῶν περιττῶν πρὸς τὸν πρῶτον τὸν ἀπὸ τριάδος ἐπιμερῆ, καὶ τὸν β ον πρὸς τὸν β καὶ τὸν γ πρὸς τὸν γ καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως· οἷον ὁ ε πρὸς τὸν γ ἐπιμερής ἐστιν, ἐπιδίτριτος γάρ ἐστιν· ὁ ζ πρὸς τὸν δ ἐπιμερής ἐστιν, ἐπιτριτέταρτος γάρ ἐστιν· ὁ θ πρὸς τὸν ε ἐπιμερής ἐστιν, ἐπιτετράπεμπτος γάρ ἐστι, καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. ἰστέον δὲ ὅτι οὗτοι πάντες οἱ ἐκ τῆς τοιαύτης ἐκθέσεως γινόμενοι πυθμένες εἰσίν· ἐν μὲν γὰρ τοῖς ἐπιδιτρίτοις ἔσχατός ἐστιν ὁ ε πρὸς τὸν γ, ἐν δὲ τοῖς ἐπιτριτετάρτοις ὁ ζ πρὸς τὸν δ· μετὰ γὰρ τοῦτον ἄλλος οὐκ ἔστιν· ἐν δὲ τοῖς ἐπιτετραπέμπτοις ὁ θ πρὸς τὸν ε· ὑποκάτω γὰρ τούτων οὐκ ἔστι. καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων τὸ αὐτὸ εὑρήσεις. ἐὰν δὲ τούτους πάντας τοὺς γινομένους ἢ διπλασιάζῃς ἢ τριπλασιάζῃς ἢ τετραπλασιάζῃς καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως, ποιήσεις ἄλλους ἐπιμερεῖς, ἀλλ’ οὐ πυθμένας· οἷον ὁ ε πρὸς τὸν γ ἐπιμερής ἐστιν, ἐπιδίτριτος γάρ, καὶ πυθμένες· διπλασίασον τὸν ε, γίνονται ι, καὶ τὸν γ, γίνονται ϛ· ὁ ι πάλιν πρὸς τὸν ϛ ἐπιμερής ἐστι καὶ ἐπιδίτριτος· ἔχει γὰρ αὐτὸν καὶ δύο αὐτοῦ τρίτα. καὶ πάλιν αὐτοὺς τούτους ἐὰν διπλασιάσῃς, ἐπιμερεῖς καὶ ἐπιδιτρίτους ποιεῖς· ὁ ι διπλασιαζόμενος ποιεῖ κ, καὶ ὁ ϛ ιβ· ὁ κ τοῦ ιβ ἐπιδίτριτός ἐστιν· ὁμοίως ἐπ’ ἄπειρον προκόπτων εὑρήσεις τοῦτο. καὶ ἐπὶ τοῦ ἐπιτριτετάρτου δὲ εὑρήσεις τοῦτο. οἷον ὁ ζ τοῦ δ ἐπιτριτέταρτός ἐστι· διπλασίασον αὐτούς, γίνονται ιδ καὶ η· ὁ ιδ τοῦ η γίνεται ἐπιτριτέταρτος, κἂν τούτους διπλασιάσῃς, ποιήσεις ἐπιτριτετάρτους. καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων δὲ ἐπιμερῶν τὸ αὐτὸ εὑρήσεις, κἂν δὲ τριπλασιάσῃς ἢ τετραπλασιάσῃς ἢ ὁπωσοῦν πολλαπλασιάσῃς, πάντως ἐπιμερεῖς ποιήσεις. προσεκτέον δὲ ὅτι ἐκ τῶν δύο μερῶν ἐστι. |
| 1 138 [10] | περὶ αὐτῆς τῆς ὀνομασίας αὐτῶν θέλει εἰπεῖν καί φησιν ὅτι ἐπὶ τῶν ἐπιμερῶν δύο μερῶν λεγομένων· φαμὲν γὰρ ἐπιδίτριτον· ἰδοὺ γὰρ δύο μέρη εἶπον, τὸ δ καὶ τὸ γ. καὶ πάλιν ἐπιτριτέταρτος, τρίτον καὶ τέταρτον· καὶ ἐφεξῆς. λέγει οὖν ὅτι ἐπὶ μὲν τῶν ἐπιμερῶν τῶν ἐχόντων β μέρη τὸ γ ον προσυπακούεται ὡς μεῖζον ὄν· φαμὲν γὰρ ἐπιδίτριτον· [τὸ δὲ τρίτον τοῦ τετάρτου μεῖζον] τὰ γὰρ γ τῶν β μείζονα. οὐκοῦν καθόλου τὸ μεῖζον προσυπακούεται. πάλιν γὰρ ἐπὶ τῶν γ μερῶν τὸ μεῖζον, ὅ ἐστι τὸ τέταρτον, προσυπακούεται, ἐπιτριτέταρτος γάρ φαμεν· ἐπὶ δὲ τῶν δ ων τὰ ε προσυπακούεται, ἐπιτετράπεμπτος γάρ φαμεν· καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν ὁμοίως. ἁπλαῖ καὶ ἀσύνθετοι σχέσεις. |
| 1 139 | ὅ ἐστιν ἥ τε τοῦ πολλαπλασίου καὶ τοῦ ἐπιμορίου καὶ τοῦ ἐπιμεροῦς καὶ τῶν ἀντικειμένων τούτοις. ἐκ δυοῖν εἰς μίαν. |
| 1 140 [5] | ἐκ γὰρ τοῦ πολλαπλασίου καὶ τοῦ ἐπιμορίου γίνεται πολλαπλασιεπιμόριος, καὶ πάλιν ἐκ τοῦ πολλαπλασίου καὶ τοῦ ἐπιμεροῦς γίνεται πολλαπλασιεπιμερής. ἰστέον δὲ κἀκεῖνο ὅτι τῶν ἐπιμερῶν τε καὶ τῶν ἐπιμορίων πάντων οἱ πυθμένες πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσί· κοινῷ γὰρ μέτρῳ τῇ μονάδι μετροῦνται, οἷον ὁ ε καὶ ὁ γ πρὸς ἀλλήλους πρῶτοί εἰσι, καὶ ὁ γ καὶ ὁ β, καὶ ὁ δ καὶ ὁ γ, καὶ πάντες οἱ ἐφεξῆς ἀριθμοί. αἱ εἰδικαὶ ταῖς εἰδικαῖς. |
| 1 141 | ἀντὶ τοῦ πολλαπλασιεπιδίτριτος ἢ πολλαπλασιεπιτέταρτος καὶ ἐφεξῆς ἐπὶ πάντων. πολλαπλασιεπιμερὴς οὖν ἐστιν. |
| 1 142 [5] | εἰρηκὼς περὶ τῶν ἁπλῶν εἰδῶν, λέγω δὴ τοῦ τε πολλαπλασίου καὶ τοῦ ἐπιμορίου καὶ τοῦ ἐπιμεροῦς, νῦν περὶ τῶν συνθέτων λέγει, φημὶ τοῦ τε πολλαπλασιεπιμορίου καὶ τοῦ πολλαπλασιεπιμεροῦς. περὶ τούτων οὖν βούλεται ἐν τούτοις διαλαβεῖν. διπλῶς δὲ ὡς ἂν δὴ σύνθετος. |
| 1 143 [10] | διπλῆ γὰρ ἡ σύνθεσις αὐτοῦ· ἢ γὰρ τοῦ πολλαπλασίου αὐξομένου τοῦ δὲ ἐπιμορίου μένοντος γίνεται ἡ σύνθεσις, ἢ τὸ ἀνάπαλιν τοῦ ἐπιμορίου μὲν αὐξομένου τοῦ δὲ πολλαπλασίου μένοντος· οἷον ἐὰν εἴπω διπλασιεπίτριτος, τριπλασιεπίτριτος, τετραπλασιεπίτριτος, πενταπλασιεπίτριτος καὶ ἐφεξῆς, τὸ μὲν πολλαπλάσιον αὔξων, λέγω γὰρ δίς, τρίς, τετράκις, πεντάκις καὶ ἐφεξῆς, τὸ μέντοι ἐπιμόριον μένει, πανταχοῦ γὰρ τὸ ἐπίτριτον· εἰ δὲ εἴπω διπλασιεπίτριτος, διπλασιεπιτέταρτος, διπλασιεπίπεμπτος καὶ ἐφεξῆς, τὸ ἐπιμόριον αὔξεται, τὸ δὲ πολλαπλάσιον πανταχοῦ τὸ αὐτό· τὸ διπλάσιον γὰρ μένει. παρὰ τὴν ποσότητα παρονομασθήσεται. |
| 1 144 | εἰ β διπλάσιος, εἰ γ τριπλάσιος, εἰ δ τετραπλάσιος, καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. τοῖς ἀπὸ δυάδος ἐφεξῆς ἀρτίοις καὶ περιττοῖς. |
| 1 145 [5] | εὑρήσεις κατὰ τάξιν τοὺς πολλαπλασιεπιμορίους, ἐὰν ἐκθῇς τοὺς ἀπὸ δυάδος ἀρτίους καὶ περιττοὺς καὶ τοὺς ἀπὸ πεντάδος περιττοὺς μόνους καὶ παραβάλῃς πρῶτον πρώτῳ καὶ δεύτερον δευτέρῳ καὶ ἐφεξῆς· οἷον ὁ ε τοῦ β διπλασιεφημιόλιος, ὁ ζ τοῦ γ διπλασιεπίτριτος, ὁ θ τοῦ δ διπλασιεπιτέταρτος, ὁ ια τοῦ ε διπλασιεπίπεμπτος, καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. ἀπὸ δὲ δυάδος τῶν ἐφεξῆς πάντων ἀρτίων. |
| 1 146 [20] | εἰ δὲ θέλεις εὑρεῖν πάντας τοὺς διπλασιεφημιολίους, ἐκτίθει πάντας τοὺς ἀπὸ δυάδος ἀρτίους, εἶτα τοὺς ἀπὸ πεντάδος 〈κατὰ〉 πεντάδα, εἴ ποτε ἐκτιθείς, ποιήσεις πάντως τοὺς διπλασιεφημιολίους, οἷον ὁ ε τῶν β διπλασιεφημιόλιος, καὶ ὁ ι τῶν δ, καὶ ὁ ιε τῶν ϛ, καὶ ὁ κ τῶν η, καὶ ὁ κε τῶν ι, καὶ ἐφεξῆς. ἀπὸ δὲ τοῦ γ. ἐπειδὴ δὲ ὁ ζ τοῦ γ πρῶτος διπλασιεπίτριτος ἦν, λάμβανε πάντας τοὺς ἀπὸ τριάδος τριάδι διαφέροντας καὶ τοὺς ἀπὸ ἑπτάδος ἑπτάδι, καὶ ποιήσεις τοὺς διπλασιεπιτρίτους, οἷον ὁ ζ τοῦ γ διπλασιεπίτριτος· πρόσθες ταῖς τρισὶ τρία καὶ τοῖς ζ ζ· οὐκοῦν ὁ ιδ τοῦ ϛ διπλασιεπίτριτος καὶ ὁ κα τοῦ θ καὶ ὁ κη τοῦ ιβ καὶ ὁ λε τοῦ ιε καὶ ὁ μβ τοῦ ιη καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. εἶτα πάλιν ἀπ’ ἄλλης ἀρχῆς. ὁ θ τοῦ δ πρῶτος διπλασιεπιτέταρτος ἦν· οὐκοῦν ἐὰν τοῖς μὲν δ δ προσθῇς ἀεὶ τοῖς δὲ θ θ, ποιήσεις τοὺς διπλασιεπιτετάρτους, οἷον ὁ θ τοῦ δ διπλασιεπιτέταρτός ἐστι, καὶ ὁ ιη τοῦ η καὶ ὁ κζ τοῦ ιβ καὶ ὁ λϛ τοῦ ιϛ καὶ ὁ με τοῦ κ καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων δὲ πολλαπλασιεπιμορίων τῇ αὐτῇ μεθόδῳ κεχρημένος εὑρήσεις πάντα τὰ κατὰ μέρος εὔτακτα εἴδη. πρὸς μὲν γὰρ τὸν πρῶτον στίχον. |
| 1 147 [5] | πάντες γὰρ οἱ ἐφεξῆς πρὸς τὸν πρῶτον στίχον παραβαλλόμενοι πάντα τὰ εἴδη τοῦ πολλαπλασίου ὁμοταγῶς ποιήσουσιν, οἷον ὁ β πρὸς τὴν μονάδα διπλάσιος, ὁ γ τριπλάσιος, ὁ δ τετραπλάσιος, ὁ ε πενταπλάσιος, καὶ ἐφεξῆς ὡσαύτως. καὶ ὁ δ τῶν β διπλάσιος, ὁ δὲ ϛ τριπλάσιος, ὁ δὲ η τετραπλάσιος, ὁ δὲ ι πενταπλάσιος, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων εὑρήσεις τὸ αὐτό. πρὸς τὸν γείτονα. |
| 1 148 [5] | πρὸς μὲν γὰρ τὸν πρῶτον στίχον τοὺς πολλαπλασίους ποιοῦσι, πρὸς δὲ τοὺς γείτονας τοὺς ἐπιμορίους, οἷον ὁ γ πρὸς τὸν β τὸν ἡμιόλιον, ὁ δ πρὸς τὸν γ τὸν ἐπίτριτον, καὶ ὁ ε πρὸς τὸν δ τὸν ἐπιτέταρτον, καὶ ἐφεξῆς ὡσαύτως. ἀπὸ δὲ τοῦ τρίτου στίχου. |
| 1 149 [5] | ἐὰν δὲ ἀπὸ τοῦ τρίτου στίχου ἄρξῃ καὶ λάβῃς τοὺς ἀπὸ πεντάδος συνεχεῖς περισσοὺς καὶ παραβάλῃς πρὸς αὐτὸν γ καὶ τοὺς ἐφεξῆς αὐτῷ περιττούς, τοὺς ἐπιμερεῖς ποιήσεις· οἷον ὁ ε τοῦ γ ἐπιμερής, ὁ ζ τοῦ ε, ὁ θ τοῦ ζ, ὁ ια τοῦ θ, ὁ ιγ τοῦ ια, καὶ ἐπὶ πάντων ὁμοίως. ταῦτα δὲ οὐκ ἔστι μὲν ἡμίση διὰ τὰ προλεχθέντα. |
| 1 150 [5] | ἐπεὶ ὡς εἴρηται εὑρεθήσεται τὸ αὐτό· τὰ γὰρ δύο ἡμίση ἓν ποιοῦσι καὶ τὰ δύο ἕκτα τρίτον, ὥστε δεῖ τηρεῖν· πλατικώτερον δὲ τοῦτο εἴρηται ἐν τοῖς προλαβοῦσιν. ὡς ἐν πρώτῃ λαμβάνουσιν εἰσαγωγῇ. |
| 1 151 | ἀντὶ τοῦ ὡς ἐπιπολαιότερον εἰπεῖν· λέξει γὰρ καὶ γλαφυρώτερον καὶ βαθύτερον. ἔστι δέ τις γλαφυρωτέρα ἔφοδος. |
| 1 152 [30] | δείξας ἐκ τοῦ διαγράμματος πῶς προὔχει τὸ πολλαπλάσιον τῶν ἄλλων, ὅτι πρῶτον μέν ἐστι τὸ πολλαπλάσιον καὶ τούτου τὸ διπλάσιον, εἶτα τὸ ἡμιόλιον καὶ τὸ ἐπίτριτον καὶ τὸ πολλαπλασιεπιμόριον καὶ τὸ πολλαπλασιεπιμερές, νῦν ἐξ ἑτέρου θαυμαστοῦ προστάγματος δείκνυσι τὴν τάξιν, ἀναφαίνονται οὖν εὐτάκτως τὰ εἴδη. ἐκ τούτου οὖν τοῦ προστάγματος εὑρίσκονται ὅτι πρώτη μὲν τῷ ὄντι ἡ ἰσότης, εἶτα αἱ ἀνισότητες ἐξ αὐτῆς προέρχονται· καὶ κατὰ τὸ ἀληθὲς εἴδει ἐοίκασιν οἱ ἀριθμοὶ περιγράφοντες πάντα. πῶς οὖν εὑρίσκομεν πρῶτον τὸν διπλάσιον λόγον; ἐκθοῦ ἐφεξῆς τρεῖς μονάδας ὡς ὑποτέτακται α α α· εἶτα λαβὲ τὴν πρώτην αὐτὴν καθ’ αὑτήν· δεῖ γὰρ τὸν πρῶτον ἑαυτῷ ἴσον εἶναι, τὸν δὲ δεύτερον ἀριθμὸν τῷ πρώτῳ ἅμα καὶ δευτέρῳ, τὸν δὲ τρίτον τῷ πρώτῳ ἅμα καὶ δυσὶ τοῖς δευτέροις ἅμα καὶ τρίτῳ καὶ γενήσεται ὁ διπλάσιος· οἷόν εἰσι μονάδες ἐφεξῆς γ· λαβὲ τὴν πρώτην, γίνεται α, λαβὲ τὴν δευτέραν μετὰ τῆς πρώτης, γίνονται β, λαβὲ καὶ τὴν τρίτην μετὰ τῆς πρώτης καὶ δὶς τῆς δευτέρας, γίνονται δ· ἔχομεν οὖν α β δ· ἰδοὺ ὁ διπλάσιος λόγος. ἐὰν δὲ ἀντιστρόφως αὐτὰ ταῦτα κατὰ τὴν αὐτὴν μέθοδον ποιήσῃς, σχήσεις τὸν ἡμιόλιον λόγον· οἷόν ἐστι α β δ. ἄρξαι ἀπὸ τῶν δ· ἰδοὺ δ ἔχομεν· λαβὲ τὸν δ μετὰ τῶν β, γίνονται ϛ· λαβὲ τὸν γ, ὅ ἐστι τὴν μονάδα, μετὰ τοῦ πρώτου, ὅ ἐστι τοῦ δ, καὶ δὶς τοῦ δευτέρου, ὅ ἐστι τῶν δύο, γίνονται θ· εἰσὶν οὖν δ ϛ θ· οὗτοι τοίνυν ἡμιόλιοί εἰσιν· ὁ μὲν γὰρ θ τοῦ ϛ, ὁ δὲ ϛ τοῦ δ. ὁμοίως καὶ ἐπὶ πάντων τῶν λοιπῶν εἰδῶν εὐτάκτως δείξει ὁ Νικόμαχος αὐτός. ἐκ δὲ διπλασίου εὐθὺς τὸ τριπλάσιον. |
| 1 153 [10] | ἐξ ἀλλήλων γὰρ κατὰ τάξιν τίκτονται, ἀλλ’ οὐκ ἀντεστραμμένως, ἀλλὰ κατὰ τὴν ἐξ ἀρχῆς θέσιν· οἷον ἐδείχθη ὁ δύο τῆς μονάδος διπλάσιος καὶ ὁ δ τῶν β. εἰσὶν οὖν α, β, δ· ἔστι τοίνυν πρώτη μὲν ἡ μονάς, δεύτερος δὲ ὁ β, καὶ τρίτος ὁ δ· οὐκοῦν ποίησον τὸν πρῶτον τῷ πρώτῳ ἴσον, γίνεται ἕν· εἶτα τὸν δεύτερον τῷ πρώτῳ, γίνονται γ· τὸν γ τῷ πρώτῳ καὶ δὶς τῷ δευτέρῳ ἅμα καὶ τρίτῳ, γίνονται θ. εἰσὶν οὖν ἐφεξῆς α γ θ· ἰδοὺ τὸ τριπλάσιον εἶδος ἀνεφάνη. ὁμοίως ἐκ τούτου τὸ τετραπλάσιον γενήσεται· ἔστι γὰρ α· εἶτα α καὶ γ δ· καὶ θ καὶ α καὶ δὶς γ ιϛ. εἰσὶν οὖν α δ ιϛ, καὶ ἔστι τὸ τετραπλάσιον. καὶ ἐπὶ πάντων ὁμοίως προχωρῶν εὑρήσεις εὔτακτα τὰ εἴδη τῶν πολλαπλασίων. ἐκ δὲ αὐτῶν τούτων τῶν εὐτάκτως πολλαπλασίων ἀναστραφέντων. |
| 1 154 [15] | ἐκ τούτων πάλιν κατὰ ἀναστροφὴν γίνονται τὰ εἴδη τῶν ἐπιμορίων· οἷόν ἐστι πρῶτον εἶδος τῶν πολλαπλασίων τὸ διπλάσιον, θεωρούμενον κατὰ τὴν α καὶ τὰ β καὶ τὰ δ. ἀντίστρεψον καὶ τῇ αὐτῇ μεθόδῳ ἀπὸ τῶν δ χρησάμενος, εὑρήσεις τὸ ἡμιόλιον εἶδος· εἰσὶ γὰρ δ, εἶτα δ καὶ β, γίνονται ϛ· α δὲ καὶ δ καὶ δὶς β, γίνονται θ· ὑπάρχουσιν οὖν δ ϛ θ· ἰδοὺ ἡμιόλιον εἶδος. πάλιν τριπλάσιος ἦσαν α γ θ· ἄρξαι ἀπὸ τῶν θ καὶ ποίησον θ· καὶ πάλιν θ καὶ γ, γίνονται ιβ· εἶτα α καὶ θ καὶ δὶς γ, γίνονται ιϛ· εἰσὶν οὖν θ, ιβ, ιϛ· ἰδοὺ οἱ ἐπίτριτοι· ὁ γὰρ ιϛ τοῦ ιβ ἐπίτριτός ἐστιν, ἀλλὰ καὶ ὁ ιβ τοῦ θ. ὅρα τοίνυν θαυμαστὴν τάξιν ὁμοίως καὶ τοὺς τετραπλασίους λαβὼν καὶ ἀντεστραμμένως συνθεὶς εὑρήσεις τοὺς ἐπιτετάρτους, καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. ἀπὸ δὲ ἄλλης ἀρχῆς αὐτῶν τῶν ἐπιμορίων. |
| 1 155 [20] | πάλιν ἄλλην ὅρα τάξιν· ἐκ μὲν γὰρ τῶν ἡμιολίων ἀντιστρεφομένων γίνονται ἐπιμερεῖς, οὐχ οἱ τυχόντες, ἀλλ’ οἱ ἐπιδιμερεῖς, ἐκ δὲ τῶν ἐπιτρίτων οἱ ἐπιτριμερεῖς, ἐκ δὲ τῶν ἐπιτετάρτων οἱ ἐπιτετραμερεῖς, καὶ ἐφεξῆς. οἷόν εἰσιν ἡμιόλιοι δ, ϛ, θ. λαβὲ ἀπὸ τῶν θ τῇ αὐτῇ μεθόδῳ, γίνονται θ· εἶτα θ καὶ ϛ, γίνονται ιε, καὶ πάλιν δ καὶ θ καὶ δὶς ϛ, γίνονται κε. ἰδοὺ γεγόνασιν ἐπιδιμερεῖς· ὁ γὰρ κε τοῦ ιε ἐπιδιμερής· ἔχει γὰρ αὐτὸν καὶ δύο αὐτοῦ μέρη· δύο γὰρ τρίτα αὐτοῦ ἔχει. ὡσαύτως καὶ ὁ ιε τοῦ θ ἐπιδιμερής· ἔχει γὰρ αὐτὸν καὶ β αὐτοῦ μέρη· δύο γὰρ τρίτα. ὡσαύτως δὲ λαβὼν τοὺς ἐπιτρίτους καὶ ἀντιστρόφως τῇ μεθόδῳ χρησάμενος, ποιήσεις τοὺς ἐπιμερεῖς· οἷόν εἰσιν ἐπίτριτοι θ, ιβ, ιϛ· ἄρξαι ἀπὸ τῶν ιϛ, γίνονται οὖν ιϛ καὶ κη (ιϛ γὰρ καὶ ιβ κη) καὶ μθ (θ γὰρ καὶ ιϛ καὶ δὶς ιβ μθ)· ὁ ιϛ οὖν καὶ κη καὶ μθ εἰσὶν ἐπιτριμερεῖς· ὁ μὲν γὰρ μθ τοῦ κη ἐστὶν ἐπιτριμερής· ἔχει γὰρ αὐτὸν καὶ τρία αὐτοῦ μέρη· τρία γὰρ αὐτοῦ τέταρτα ἔχει· ὁ δὲ κη τοῦ ιϛ ἐπιτριμερὴς καὶ αὐτός· ἔχει γὰρ αὐτὸν καὶ γ αὐτοῦ τέταρτα. πάλιν τοὺς ἐπιτετραμερεῖς εὑρήσεις λαμβάνων τοὺς ἐπιτετάρτους καὶ ἀντιστρόφως κεχρημένος τῇ μεθόδῳ· κατὰ τὸν αὐτὸν δὲ τρόπον καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων. μὴ ἀντεστραμμένων δέ. |
| 1 156 [15] | ἐὰν δὲ χρήσῃ τῇ μεθόδῳ ἐπὶ τῶν ἐπιμορίων μὴ ἀντιστρέφων, πάλιν εὐτάκτως τοὺς πολλαπλασιεπιμορίους ποιήσεις. ἐκ μὲν τοῦ ἡμιολίου τὸν πολλαπλασιεφήμισυν, ἐκ δὲ τοῦ ἐπιτρίτου τὸν πολλαπλασιεπίτριτον, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως. οἷόν εἰσιν ἡμιόλιοι δ, ϛ, θ. μὴ ἀντιστρέψῃς, ἀλλὰ ποίησον δ· καὶ δ καὶ ϛ [καὶ] ι· καὶ θ καὶ δ καὶ δὶς ϛ κε· γίνονται οὖν δ ι κε· ἰδοὺ οὗτοι πολλαπλασιεφημιόλιοι· ὁ γὰρ κε ἔχει τὸν ι δὶς καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ· ὡσαύτως καὶ ὁ ι ἔχει τὸν δ δὶς καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ. ἵνα δὲ μὴ τὰ αὐτὰ πολλάκις λέγωμεν, τῇ αὐτῇ μεθόδῳ μὴ ἀντιστρέφων ἀπὸ τῶν ἐπιτρίτων, ποιήσεις τοὺς πολλαπλασιεπιτρίτους, καὶ ἀπὸ τῶν ἐπιτετάρτων τοὺς πολλαπλασιεπιτετάρτους, καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως ἐπὶ πάντων. πάντως δὲ οἱ ἄκροι τετράγωνοι. |
| 1 157 [20] | οἱ γὰρ ἄκροι πάντως τετράγωνοι εὑρεθήσονται, ὡς ἐπὶ μὲν τῶν ἡμιολίων τοῦ δ καὶ τοῦ ϛ καὶ τοῦ θ, ὁ δ καὶ ὁ θ· ἐπὶ δὲ τῶν ἐπιτρίτων τοῦ θ καὶ τοῦ ιβ καὶ τοῦ ιϛ, ὁ θ καὶ ὁ ιϛ· καὶ ἐπὶ πάντων τῶν εἰδῶν τετράγωνοί εἰσιν οἱ ἄκροι, καὶ τοῦτο εὐλόγως, ἐπειδὴ δέδεικται γραμμικῶς ὅτι ἐὰν τρεῖς ἀριθμοὶ ἐλάχιστοι ὦσι πρὸς ἀλλήλους τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντες, οἱ ἄκροι αὐτῶν τετράγωνοί εἰσιν. ἐπεὶ οὖν καὶ ἐπὶ τῶν ἡμιολίων ὁ δ καὶ ὁ ϛ καὶ ὁ θ ἐλάχιστοί εἰσι, διὰ τοῦτο οἱ ἄκροι τετράγωνοί εἰσιν. ἀλλ’ ἴσως εἴποι τις ὅτι “οὐκ εἰσὶν ἐλάχιστοι, οὐδὲ γὰρ πυθμένες εἰσὶ τῶν ἡμιολίων· ἰδοὺ γὰρ ὁ γ τοῦ β ἡμιόλιος.” φαμὲν ὅτι δύο μὲν ἀριθμοὶ ἡμιόλιοι ἐλάχιστοι εὑρίσκονται, ὡς ὁ β καὶ ὁ γ, τρεῖς δὲ οὐκέτι· οὐκ ἂν γὰρ ὑποκάτω τοῦ δ καὶ τοῦ ϛ καὶ τοῦ θ τρεῖς ἡμιολίους εὕρῃς. ὡσαύτως δὲ καὶ δύο μὲν ἐπιτρίτους εὑρίσκεις, τὸν γ καὶ τὸν δ· τρεῖς δὲ ὑποκάτω τοῦ θ καὶ τοῦ ιβ καὶ τοῦ ιϛ οὐκ ἂν εὕροις. καὶ ἐπὶ πάντων τῶν ἄλλων ὁμοίως ὥστε εἰκότως τοὺς ἄκρους τετραγώνους ἔχουσιν. ΤΟΥ ΑΥΤΟΥ ΣΧΟΛΙΑ ΕΙΣ ΤΟ ΔΕΥΤΕΡΟΝ ΒΙΒΛΙΟΝ ἐπειδὴ στοιχεῖον λέγεται. |
| 2 1 [30] | εἴρηται ἡμῖν ὅτι τοῦ ποσοῦ τὸ πρός τι τὸ μέν ἐστιν ἴσον τὸ δὲ ἄνισον, καὶ ὅτι τοῦ ἀνίσου πολλαὶ αἱ σχέσεις. ἐν μὲν οὖν τῷ τέλει τοῦ πρὸ τούτου γράμματος διά τινος θείου προστάγματος ἔδειξεν ὅτι ἐκ τῆς ἰσότητος προέρχεται ἡ ἀνισότης· ἐπειδὴ δὲ τὸ ἔκ τινος προερχόμενον καὶ εἰς αὐτὸ ἀναλύεται, στοιχεῖον γάρ ἐστι, νῦν πάλιν διὰ τοῦ αὐτοῦ προστάγματος θέλει δεῖξαι τὴν ἀνάλυσιν. λαμβάνει οὖν τὸ αὐτὸ πρόσταγμα καὶ τὴν αὐτὴν μέθοδον, ἀφαιρῶν μέντοι καὶ οὐ προστιθείς, οἷον ἦν πρῶτον τὸ διπλάσιον, εἶτα τὸ ἐπιμόριον καὶ τὸ ἐπιμερὲς καὶ τὰ λοιπά. καὶ ἐγίνετο ἐκ μὲν τοῦ διπλασίου ὁ ἡμιόλιος, ἐκ δὲ τοῦ ἡμιολίου ὁ ἐπιμερής, καὶ ἐφεξῆς. λαβὲ τοίνυν ἐπιμερεῖς, καὶ πάντως ἀναλύσεις αὐτοὺς εἰς ἡμιολίους καὶ τούτους εἰς διπλασίους καὶ τούτους εἰς τὰς τρεῖς ἴσας μονάδας. θαυμαστὸν οὖν τὸ ἐπιχείρημα, οἷόν εἰσιν ἐπιμερεῖς θ, ιε, κε· λαβὲ τοίνυν τὰς θ· ἀπὸ τῶν θ γίνονται θ, ἐπειδὴ δεῖ τὸν πρῶτον ληφθῆναι· εἶτα ἀφαίρησον τὰς θ ἀπὸ τοῦ δευτέρου, ὅ ἐστι τοῦ ιε, καὶ γίνονται ϛ· εἶτα τὰς θ καὶ δὶς τὸν ϛ ἀφαίρησον ἀπὸ τοῦ κε, γίνονται δ. ἐκθοῦ οὖν θ, ϛ, δ· ἰδοὺ εἰς τὸ ἡμιόλιον ἀνελύθη ὁ ἐπιμερής. πάλιν λαβὲ τὰς δ, εἶτα ἀπὸ τῶν ϛ λαβὲ τὰ δ, γίνονται δύο. λοιπὸν τὰ δ καὶ δὶς τὰ β ἀφαίρησον ἀπὸ τῶν θ, γίνεται α. ἐκθοῦ οὖν α, β, δ· ἰδοὺ τὸν ἡμιόλιον εἰς τὸν διπλάσιον ἀνέλυσας, ἐξ οὗ καὶ ἐγένετο. καὶ πάλιν λαβὲ α, εἶτα τὴν μίαν ἄφελε ἀπὸ τῶν β, γίνεται μία· πάλιν τὴν α καὶ δὶς τὴν μίαν ἄφελε ἀπὸ τῶν δ. γίνονται α, α, α· ἰδοὺ ἀνελύσαμεν 〈εἰσ〉 τὰς μονάδας, ὅ ἐστιν εἰς τὴν ἰσότητα τὴν ἐξ ἀρχῆς, ἐξ ἧς καὶ προῆλθον αἱ ἀνισότητες. καὶ πάντα τὰ λοιπὰ εἴδη ἀναλύσεις εἰς τὰ ἐξ ὧν συνετέθησαν τῇ αὐτῇ μεθόδῳ χρώμενος. ἵνα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ. |
| 2 2 [5] | ἀντὶ τοῦ ἵνα οἱ τρεῖς τὸν αὐτὸν ἔχωσι λόγον, ὅ ἐστιν ἢ ἡμιόλιον ἢ ἐπίτριτον ἤ τι ἕτερον, καὶ ἵνα μὴ τῶν λαμβανομένων τριῶν ὅρων ὁ μὲν ἡμιόλιος ᾖ τοῦ ἄλλου, ὁ δὲ ἐπίτριτος ἤ τις ἕτερος. σχέσει προγενεστέρᾳ. |
| 2 3 | ἀντὶ τοῦ ἐν ἐκείνῃ ἐξ ἧς ἐγένοντο, οἷον τῶν ἡμιολίων σχέσις προγενεστέρα ἐστὶν ἡ διπλασία· ἐκ ταύτης γὰρ γεγόνασι. τῶν δὲ ἐπιμερῶν ἡ ἡμιολία, καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν ὁμοίως. εἰς 〈. |
| 2 4 | ..〉 τὴν ἰσότητα στοιχεῖον τοῦ πρός τι ποσοῦ. εἰς γὰρ τὴν ἰσότητα τελευτήσαντες· οὐκέτι δυνάμεθα ἐπί τι ἄλλο προχωρῆσαι, ἀλλ’ ὡς εἰς στοιχεῖον ἐκεῖ καταντῶμεν. παρέπεται δὲ τῇ τοιαύτῃ θεωρίᾳ. |
| 2 5 [60] | εἰρηκὼς πῶς ἀναλύονται οἱ ἐπιμόριοι εἰς ἐκείνους ἐξ ὧν συνετέθησαν, παραδίδωσι νῦν πάνυ χαριέστατον θεώρημα, πολλαχοῦ συμβαλλόμενον ἡμῖν καὶ ἐν τῇ ψυχογονίᾳ Πλάτωνος. σύμβολα γὰρ ἐπωφελῆ Πλάτων λέγει πῶς τίκτεται ψυχή. καὶ λέγει ὅτι κίρνανται κρατῆρες, καὶ ὡς ἐπὶ † πηλῶ † κανών τις ἐπιμήκης διαξαίνεται καὶ ὑφαίνεται καὶ τοιαῦτά τινα ἐν τῷ Τιμαίῳ παραδίδωσιν, εἰς ἃ λέγει ὅτι πῶς ὀφείλομεν δύο ἐπογδόους εὑρίσκειν. τοῦτο οὖν τὸ νῦν παραδιδόμενον συμβάλλεται ἡμῖν ἐκεῖ· ἐνταῦθα γὰρ λέγει πῶς μεθόδῳ τινὶ γ ἢ δ ἅμα ἡμιολίους ἢ ἐπιτρίτους ἢ ἐπιτετάρτους ἢ ἐπιπέμπτους ἢ ἐπογδόους ἤ τινας τοιούτους εὕρωμεν· τὸ μὲν γὰρ διπλασίους γ ἢ δ ἢ ε ἢ ὁπωσοῦν δήποτε εὑρεῖν ἄνευ τέχνης ῥᾴδιον· ὡσαύτως καὶ ἄλλους πολλαπλασίους· τὸ δὲ ἐπιμορίους δύο ἢ πλείονας οὐ ῥᾴδιον. παραδίδωσιν οὖν μέθοδον δι’ ἧς οὐκ ἂν ἡμᾶς ποτε ἐκφεύξεται ἐπιμόριος ἀριθμός, ἀλλὰ πάντως εὑρεθήσεται εὐτάκτως. λέγει γοῦν οὕτως ὅτι ἅπας πολλαπλάσιος τοσούτων ἐπιμορίων ἡγήσεται λόγων ἀντιπαρωνυμούντων αὐτῷ, ὁπόστος ἂν αὐτὸς ὢν τυγχάνει ἀπὸ μονάδος, οὔτε δὲ πλειόνων οὔτε ἐλαττόνων. τί δέ ἐστιν ἀντιπαρωνυμούντων; ἀντὶ τοῦ εἰ θέλεις ἡμιολίους εὑρεῖν, τοὺς διπλασίους ζήτει, εἰ ἐπιτρίτους, τοὺς τριπλασίους, καὶ τοῦτο ἐφεξῆς. οἷον τί λέγω; λέγει τις ὅτι “εὗρέ μοι δ ἡμιολίους.” λαμβάνω τοίνυν τέσσαρας διπλασίους· ἔστι δὲ β, δ, η, ιϛ. οὐκοῦν ἐπειδὴ πρῶτος διπλάσιός ἐστιν ὁ β μετὰ τὴν μονάδα, ἕνα ποιήσει ἡμιόλιον τὸν γ· ἥμισυ γὰρ τῶν β α· ὁ οὖν γ τοῦ β ἡμιόλιος· εἷς οὖν γίνεται ἐξ αὐτοῦ, οὐκέτι γὰρ τοῦ γ ἔστιν ἄλλο ἡμιόλιος· ἥμισυ γὰρ οὐκ ἔχει. ἔλθωμεν ἐπὶ τὸν β διπλάσιον, ὅ ἐστι τὸν δ· οὗτος δύο ἡμιολίους ποιεῖ· ἥμισυ γὰρ τῶν δ β γίνονται. ἰδοὺ οὖν ὁ ϛ τοῦ δ ἡμιόλιος, ἀλλὰ καὶ τοῦ ϛ ὁ θ ἐστὶν ἡμιόλιος· τῶν δὲ θ οὐκέτι. ἰδοὺ οὖν δύο οὗτος ἐποίησεν. ὁ δὲ η, ὃς τρίτος ἐστὶ διπλάσιος, τρεῖς ποιήσει, καὶ οὐδὲ πλείους οὐδὲ ἐλάττους· ἥμισυ γὰρ τῶν η δ, 〈ἐξ ὧν〉 γίνεται ὁ ιβ· ἰδοὺ εἷς ἡμιόλιος. πάλιν τῶν ιβ τὸ ἥμισυ ϛ, 〈ἐξ ὧν〉 γίνονται ιη· ἰδοὺ καὶ ἄλλος ἡμιόλιος. πάλιν τῶν ιη τὸ ἥμισυ θ, 〈ἐξ ὧν〉 γίνονται κζ· εἰσὶν οὖν τρεῖς ἡμιόλιοι· ιβ, ιη, κζ· ὁ δὲ κζ οὐκέτι ἡμιόλιον ἔχει, ἐπειδὴ οὐ διαιρεῖται εἰς ἥμισυ. οὕτως οὖν ἐφεξῆς προκόπτων εὑρήσεις πάντας τοὺς ἡμιολίους εὐτάκτως. οὐκοῦν εἰ ε θελήσεις εὑρεῖν, λάμβανε τὸν ε διπλάσιον καὶ πάντως πίπτουσι ε 〈ἡμιόλιοι〉 καὶ οὐδὲ πλείους οὐδὲ ἐλάττους. ὁμοίως καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν ἡμιολίων, κατὰ τὸν αὐτὸν δὲ τρόπον καὶ ἐπὶ τῶν ἐπιτρίτων. πάλιν γὰρ εἰ εἴπῃ σοί τις ὅτι “εὗρέ μοι τρεῖς ἐπιτρίτους,” λαβὲ τὸν γ τριπλάσιον, καὶ εὑρήσεις τοὺς τρεῖς· τίς γάρ ἐστιν ὁ τρίτος τριπλάσιος; ὁ κζ· ἰστέον γὰρ ὅτι ὥσπερ ἐπὶ αὐτῶν ὧν λαμβάνεις, ὀφείλεις τὸ πολλαπλάσιον ποιεῖν (οἷον ὁ β τῆς μιᾶς διπλάσιος πρῶτος, οὐκοῦν ὁ δεύτερος τῆς δυάδος καὶ ὁ τρίτος οὐκέτι τῆς τριάδος, ἀλλὰ τῆς τετράδος, καὶ ἐφεξῆς οὕτως), ὡσαύτως οὖν καὶ ἐνταῦθα ὁ γ πρῶτος τριπλάσιος· οὐκέτι δὲ τὸν ϛ λαμβάνεις, ἐπειδὴ τρὶς δύο ϛ, ἀλλὰ τὸν θ, ἐπειδὴ τοῦ πρώτου τοῦ γ τριπλάσιος ὁ θ· πάλιν οὖν γ ὁ κζ· τρὶς γὰρ θ κζ· ἀπὸ τοῦ κζ γοῦν εὑρήσεις τοὺς τρεῖς ἐπιτρίτους, τούτου μὲν τὸν λϛ, τοῦ δὲ λϛ τὸν μη, τοῦ δὲ μη τὸν ξδ. |
| 2 5 (50) [95] | ἰδοὺ τρεῖς ἐπίτριτοι· οὐκέτι δὲ ὁ ξδ ἔχει ἐπίτριτον, οὐκ ἐπιδέχεται γὰρ τρίτον. καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν δὲ πάντων ὡσαύτως. οὕτω γοῦν καὶ τοὺς ἐπογδόους ἐν τῇ ψυχογονίᾳ εὑρήσομεν. εἰ γὰρ θέλομεν δύο ἐπογδόους εὑρεῖν, λαμβάνομεν τὸν δεύτερον ὀκταπλάσιον· τίς δὲ ὁ δεύτερος; ὁ ξδ. εὑρίσκονται οὖν δύο μόνοι· τοῦ μὲν γὰρ ξδ ἐπόγδοός ἐστιν ὁ οβ, τοῦ δὲ οβ ὁ πα· τούτου δὲ οὐκέτι ἔστιν ἄλλος ἐπόγδοος· οὐ γὰρ ἔχει ὄγδοον ὁ πα. θαυμαστὴ οὖν ἡ περὶ τούτων μέθοδος. οἱ μὲν γὰρ ἐπὶ πλάτος στίχοι, ἐὰν ὦσι διπλάσιοι. ἐὰν γὰρ ὦσι διπλάσιοι οἱ τοῦ πρώτου στίχου κατὰ πλάτος πάντως, καὶ οἱ ὑποκάτω διπλάσιοί εἰσι κατὰ πλάτος. οἱ δὲ ὑποκάτω τῶν ἐπάνω ὁμοταγεῖς ἡμιόλιοι, οἱ δὲ ὑποτείνοντες, ὅ ἐστιν οἱ διαγώνιοι, πάντως τριπλάσιοι· ταῦτα συμβαίνει, ἐὰν ὦσιν οἱ ἄνω διπλάσιοι. εἰ δὲ τριπλάσιοι, καὶ οἱ ὑπ’ αὐτοὺς πάντες κατὰ πλάτος τριπλάσιοι, οἱ δὲ ὑποκάτω τῶν ἐπάνω ὁμοταγῶν ἐπίτριτοι, ὁμοταγεῖς ὁμοταγῶν· ἐκ γὰρ τῶν τριπλασίων οἱ ἐπίτριτοι. καὶ οἱ διαγώνιοι τετραπλάσιοι εὑρίσκονται. ἐὰν δὲ ὦσι τετραπλάσιοι, οἱ πρῶτοι κατὰ πλάτος καὶ οἱ ὑπ’ αὐτοὺς τετραπλάσιοι πάντες εἰσίν, οἱ δὲ ὑποκάτω τῶν ἐπάνω ἐπιτέταρτοι, οἱ δὲ διαγώνιοι πενταπλάσιοι, καὶ ἐπὶ πάντων δὲ τῇ αὐτῇ μεθόδῳ κέχρησο. ὑπόδειγμα δέ σοι παρατίθημι ἐπὶ διπλασίων καὶ τριπλασίων. ὅρα τοίνυν πῶς πάντα τὰ εἰρημένα ἐπὶ τῶν παραδειγμάτων εὐτάκτως εὑρίσκεται· ἐπὶ μὲν γὰρ τῶν διπλασίων, πάντες μὲν οἱ κατὰ πλάτος διπλάσιοι, οἱ δὲ διαγώνιοι τριπλάσιοι, οἱ δὲ ὑποκάτω τῶν ἐπάνω ἡμιόλιοι· ἐπὶ δὲ τῶν τριπλασίων, πάντες μὲν οἱ κατὰ πλάτος τριπλάσιοι, οἱ δὲ διαγώνιοι τετραπλάσιοι, οἱ δὲ ὑποκάτω τῶν ἐπάνω ἐπίτριτοι. τῇ αὐτῇ μεθόδῳ κεχρημένος ἐπ’ ἄπειρον εὑρήσεις ἀσφαλῶς προερχομένην τὴν τῶν ἀριθμῶν τούτων θεωρίαν. λοιπὸν προσαφηνίσαντες. |
| 2 6 [45] | εἰρηκὼς πῶς δεῖ εὑρίσκειν πλείους ἢ ἡμιολίους ἢ ἐπιτρίτους ἢ ἐπιτετάρτους ἢ ἐπογδόους καὶ ἐπ’ ἄπειρον, νῦν θέλει λοιπὸν εἰπεῖν ἕτερόν τι. καί φησιν ὅτι τὰ πρῶτα εἴδη τοῦ ἐπιμορίου συλληφθέντα πάντως τὸν διπλάσιον ποιεῖ. πρῶτα δὲ εἴδη ἐπιμορίου τὸ ἡμιόλιον καὶ τὸ ἐπίτριτον. οἷον τί λέγω; ὁ δ τοῦ γ ἐπίτριτός ἐστιν, ὁ δὲ γ τοῦ β ἡμιόλιος. οὐκοῦν ἄρα ὁ δ τοῦ β διπλάσιος. ὡσαύτως καὶ ἐφεξῆς λαμβάνων ἐπίτριτον καὶ ἡμιόλιον εὑρήσεις τοῦτο. οἷον ὁ ιβ τοῦ θ ἐπίτριτος, ὁ θ τοῦ ϛ ἡμιόλιος· ὁ ιβ ἄρα τοῦ ϛ διπλάσιος· καὶ τοῦτο ἐπ’ ἄπειρον εὑρήσεις. καλῶς οὖν ἐλέγομεν ὅτι ὁ διπλάσιος εἰς ἡμιόλιον καὶ ἐπίτριτον ἀναλύεται· συντιθέμενον γὰρ αὐτὸν ἐξ ἡμιολίου καὶ ἐπιτρίτου γίνεσθαι. πάλιν δὲ τὸ γεννηθὲν πρῶτον εἶδος τοῦ πολλαπλασίου, ὅ ἐστι τὸ διπλάσιον, μετὰ τοῦ ἡμιολίου πάντως τριπλάσιον ποιεῖ· οἷον ὁ ιη τοῦ ιβ ἡμιόλιος, ὁ ιβ τοῦ ϛ διπλάσιος· ὁ ἄρα ιη τοῦ ϛ τριπλάσιος. καὶ ἐπ’ ἄπειρον τοῦτο εὑρήσεις· οἷον ὁ κζ τοῦ ιη ἡμιόλιος, ὁ ιη τοῦ θ διπλάσιος· ὁ ἄρα κζ τοῦ θ τριπλάσιος· τοῦτο οὖν ἐπ’ ἄπειρον εὑρήσεις. ἐὰν δὲ καὶ ὁ τριπλάσιος δεύτερος ὢν τοῦ πολλαπλασίου τῷ δευτέρῳ εἴδει τοῦ ἐπιμορίου, ὅ ἐστι τῷ ἐπιτρίτῳ, συντεθῇ, τετραπλάσιον ποιήσει· οἷον ὁ ιβ τοῦ θ ἐπίτριτος, ὁ δὲ θ τοῦ γ τριπλάσιος, ὁ ἄρα ιβ τοῦ γ τετραπλάσιος, καὶ ἵνα μὴ μακρηγορῶμεν, καὶ ἐπὶ τῶν ἐφεξῆς. ὁ μὲν τετραπλάσιος μετὰ τοῦ ἐπιτετάρτου πενταπλάσιον ποιεῖ, ὁ δὲ πενταπλάσιος μετὰ τοῦ ἐπιπέμπτου ἑξαπλάσιον, καὶ τοῦτο μέχρις ἀπείρων. ἐπειδὴ δὲ τοιούτων λόγων ἐμνήσθη ὁ Νικόμαχος, εἴπωμεν τοῦ στοιχειωτοῦ καθολικὸν λόγον, ᾧ κεχρημένοι εὑρήσομεν πάντας. φησὶν ὁ Εὐκλείδης ὅτι λόγος ἐκ λόγου συγκεῖσθαι λέγεται, ὅταν αἱ πηλικότητες αὐτοῦ ἐφ’ ἑαυτὰς πολλαπλασιασθεῖσαι ποιῶσί τινα. ὁ τοίνυν τῶν δύο ὅρων μέσος, εἴτε ἐλάττων εἴη εἴτε μείζων, ποιήσει τὸ ζητούμενον. πηλικότητες δὲ λέγονται αἱ ἀφ’ ὧν παρωνύμως καλοῦνται ἀριθμοί· οἷον τοῦ διπλασίου αἱ β μονάδες, τοῦ τριπλασίου αἱ τρεῖς, καὶ ἐφεξῆς. ἴδωμεν οὖν τί ἐστι τὸ λεγόμενον· ἔστωσαν ἄκροι ὅροι η καὶ β, μέσον δὲ αὐτῶν εἰλήφθω ἐλάττων τοῦ ἑνός, εἰ τύχοι ὁ ϛ· ὁ τοίνυν η τοῦ ϛ ἐπίτριτός ἐστιν, ὁ δὲ ϛ τοῦ β τριπλάσιος. οὐκοῦν ἐπειδή ἐστι α γ ον μέρος καὶ τρία διὰ τὸ τριπλάσιον, πολλαπλασίασον τὰ τρία ἐπὶ τὸ ἓν τρίτον, γίνονται δ· ἰδοὺ οὖν τετραπλάσιον λόγον ἔχει ὁ η πρὸς τὸν β. πάλιν ἔστω ὁ μέσος μείζων· ἔστωσαν οὖν ἄκροι ὁ κζ, εἰ τύχοι, καὶ ὁ ιη, μέσος δὲ μείζων αὐτῶν ὑπόθου ὁ λϛ· ὁ τοίνυν κζ τοῦ λϛ ἐστὶν ὑφημιόλιος· ὁ οὖν κζ ἔχει τὸ ἥμισυ καὶ τὸ τέταρτον τοῦ λϛ. πάλιν ὁ λϛ τοῦ ιη διπλάσιός ἐστιν· οὐκοῦν ποιήσωμεν δὶς τὸ ἥμισυ 〈καὶ〉 τέταρτον, γίνονται ἓν ἓν ἥμισυ· τὸ ἓν ἓν ἥμισυ ἡμιόλιόν ἐστιν· ὁ οὖν κζ τοῦ ιη ἡμιόλιός ἐστι. |
| 2 6 (50) [95] | κατὰ τὸν αὐτὸν δὲ τρόπον λαβὲ ἀμφοτέρων ἐλάττονα τὸν μέσον, οἷον ἔστωσαν οἱ ἄκροι κδ καὶ ιβ, τούτων μέσος ὁ ϛ ἀμφοτέρων ὢν ἐλάττων· τοῦ ϛ τοίνυν ὁ κδ τετραπλάσιος, ὁ δὲ ιβ διπλάσιος· οὐκοῦν ἥμισυ ἐπὶ τέτταρα γίνονται β, διπλάσιος τοίνυν ὁ κδ τοῦ ιβ. αὕτη τοίνυν ἡ μέθοδος πάντα σοι τὰ εἴδη παραδίδωσιν. ἐπεὶ δὲ ποικίλον ἐστὶ τὸ πρός τι ποσόν, πάλιν ἐπαγγέλλεται διδάσκειν περὶ τοῦ ἀσχέτου, ἵνα ἐκ τῶν διδασκομένων περὶ αὐτοῦ σαφῆ ἡμῖν τὰ προτιθέμενα γένηται. καὶ ἐκτίθεται κατὰ γεωμετρίαν ἀριθμούς, ἐπειδὴ δι’ ἀλλήλων τὰ μαθήματα γνωρίζονται. διαλέξεται οὖν περὶ κύβου ἀριθμοῦ καὶ τριγώνου καὶ τετραγώνου καὶ δοκίδος καὶ πυραμίδος καὶ τῶν τοιούτων. τούτων οὕτως εἰρημένων σαφὴς ἡ λέξις πᾶσα τυγχάνει. ἃ δὲ χρὴ προεπισκοπῆσαι. διαλεχθεὶς περὶ τοῦ ἀσχέτου ποσοῦ τοῦ παντὸς καὶ ἐλθὼν εἰς τὸ ἐν σχέσει καὶ εἰρηκὼς μέρος αὐτοῦ καὶ εὑρηκὼς ὅτι εἰς τὰ λοιπὰ αὐτοῦ ποικιλώτερα ὄντα χρεία τινῶν τοῦ ἀσχέτου, προστίθησι κἀκεῖνα, οἷον περὶ τῶν τετραγώνων ἀριθμῶν καὶ κύβων καὶ σφηνίσκων καὶ δοκίδων καὶ τῶν τοιούτων. ταῦτα δὲ ἁρμόζει μὲν γεωμετρίᾳ, πλὴν ἐπειδὴ ἀρχικωτέρα ἐστὶν ἡ ἀριθμητική, ζητεῖ αὐτὰ καὶ αὕτη. ταῦτα τοίνυν τὰ σχήματα, τετράγωνα λέγω καὶ τὰ λοιπά, μεγέθη μέν εἰσι. τῶν δὲ μεγεθῶν γραμμὴ μὲν ἐφ’ ἕν ἐστι διαστατή· θεωρεῖται δὲ αὕτη ἐν ὁδῷ κατὰ μῆκος μόνον λαμβανομένη τοῦ πλάτους μὴ ἐπινοουμένου παρ’ ἡμῶν. ἐπιφάνεια δὲ ἐπὶ δύο ἐστὶ διαστατή· ἐν χωρίοις δὲ αὕτη ὁρᾶται· ταῦτα γὰρ καὶ μῆκος ἔχει καὶ πλάτος. τὸ δὲ στερεὸν σῶμα ἐπὶ τρία ἐστὶ διαστατόν· θεωρεῖται δὲ τοῦτο ἐν φρέασι, τὸ γὰρ φρέαρ πρὸς τῷ μήκει καὶ πλάτει καὶ βάθος ἔχει. ἐπεὶ δὲ πάντων τῶν σχημάτων συντομωτέρα ἐστὶν ἡ εὐθεῖα (ἀμέλει καὶ τοῖς μὴ κατ’ εὐθὺ βαδίζουσί φαμεν· τί μὴ διώκεις τὴν εὐθεῖαν, ἀλλὰ πλανᾷ;), ὑπὸ ταύτης οὖν μετροῦνται τὰ μεγέθη. οὐκοῦν μία μὲν εὐθεῖα κατὰ μῆκος, ὡς ἥδε, ποιεῖ τὴν γραμμήν, ἑτέρα δὲ πρὸς ὀρθὰς τὴν ἐπιφάνειαν, ὡς ἥδε. εἰ δὲ καὶ κατὰ βάθος ἄλλην πρὸς ὀρθὰς ἀγάγῃς, ποιεῖς τὸ στερεόν· ἐπεὶ τοίνυν καὶ ἄλλη παρὰ ταύτας ὀρθὴ κατὰ τὸ αὐτὸ σημεῖον οὐ συνίσταται, διὰ τοῦτο τρία μόνα εἰσὶ διαστήματα καὶ οὐ πλείονα. ἰστέον δὲ ὅτι ὀρθὰς φέρομεν, ἐπειδὴ εἰ λοξὰς ἐποιοῦμεν τὰς εὐθείας, ἄπειρα διαστήματα ἐν μέσῳ συνίσταντο ἄν. γινώσκειν τοίνυν δεῖ ὅτι αὐτὸ μὲν τὸ χύμα τῶν μονάδων ἓν διάστημα ποιεῖ καὶ μιμεῖται γραμμήν, εἰ δὲ καὶ κατὰ πλάτος ἀποθῇ 〈τισ〉 μονάδας, ποιεῖ δύο διαστήματα, ὅ ἐστιν ἐπιφάνειαν, εἰ δὲ καὶ κατὰ βάθος, τὸ στερεὸν ἀποτελεῖται. ὅτι ἕκαστον γράμμα ᾧ σημειούμεθα. |
| 2 6 (100) [105] | τὰ γὰρ γράμματα οἷον τὸ α καὶ τὸ ω καὶ τὸ β καὶ τὰ τοιαῦτα θέσει εἰσί, καὶ οὐ φύσει. ἀμέλει ἄλλα ἄλλοι γράφουσι· οἷς οὖν σημειούμεθα γράμμασι, ταῦτα οὐ φύσει εἰσί· σημειούμεθα δὲ τὸν μὲν ὀκτακόσια ἀριθμὸν διὰ τοῦ ω, τὸν δὲ τέσσαρα διὰ τοῦ δ· φυσικὴ δὲ μέθοδος σημειώσεως καὶ οὐ κατὰ θέσιν γινομένη ἡ διὰ τῶν στιγμῶν πᾶσι κοινή· οἷον εἰ θέλεις τρεῖς ἀριθμοὺς σημειώσασθαι, ποίησον τρεῖς στιγμάς, καὶ εἰ πέντε πέντε, καὶ εἰ δέκα δέκα. παράλληλος ἔκθεσις. |
| 2 7 [5] | παράλληλον ἔκθεσιν καλεῖ οὐ τὴν γραμμικήν, τὸ παράλληλον εὐθεῖαν κεῖσθαι, ἀλλὰ τὸ πλησίον ἀλλήλων κατὰ πλάτος κεῖσθαι, ὡς ὑποτέτακται, ααα. ὥσπερ εἴ τις τὸ οὐθὲν οὐθενί. τὸ γὰρ οὐδὲν μετὰ τοῦ οὐδενὸς πάλιν οὐδὲν ποιήσει. οὐ μὴν διάστημα γεννᾶταί τι. |
| 2 8 [10] | τὸ αὐτὸ γὰρ ἔσται καὶ οὐδὲν σχήσει διάστημα. εἰ γὰρ λάβοις δύο μονάδας, ἐπειδὴ ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις, μονάδες γάρ, καὶ πολλαπλασιάσῃς, διάστημα οὐ ποιήσεις, ἀλλὰ τὸ αὐτὸ γενήσεται· ἅπαξ γὰρ μία μία. καὶ πάλιν ἐὰν λάβῃς δύο καὶ δύο καὶ πολλαπλασιάσῃς, ἄλλος μὲν γίνεται ἀριθμός, ἡ δὲ ἀναλογία ἡ αὐτή· δὶς γὰρ δύο τέσσαρες· νῦν δὲ οὐ περὶ ἀριθμῶν ζητοῦμεν, ἀλλὰ περὶ ἀναλογίας, ὥστε ἐν τῇ ἰσότητι ἡ αὐτὴ ἀναλογία φυλάττεται καὶ οὐ τίκτεται ἄλλο τι. ἓξ περιστάσεις ὁρίζονται. |
| 2 9 | εἰ γὰρ ἔστι μῆκος καὶ πλάτος καὶ βάθος, τὸ μὲν μῆκος καὶ εἰς τὸ ἄνω καὶ κάτω, τὸ δὲ πλάτος τὰ δεξιὰ καὶ ἀριστερά, τὸ δὲ βάθος τὸ πρόσω καὶ ὀπίσω. ἅπαντες γὰρ οἱ ἀπὸ δυάδος ἀρχόμενοι. |
| 2 10 [40] | ὅσοι γὰρ ἀπὸ δυάδος ἄρχονται μονάδα προσλαμβάνοντες γραμμὴν μιμοῦνται· μίαν γὰρ διάστασιν ἔχουσιν. ἐπίπεδοι δὲ οἱ ἀπὸ τριάδος ἀρχόμενοι καὶ ἐφεξῆς. καὶ λοιπὸν τὴν ἐπωνυμίαν κέκτηνται, οἱ μὲν οὖν ἀπὸ τριάδος ἀρχόμενοι τρίγωνοί εἰσιν, οἱ δὲ ἀπὸ τετράδος τετράγωνοι, οἱ δὲ ἀπὸ πεντάδος πεντάγωνοι. πρῶτος οὖν ἀριθμὸς ἐπίπεδος ὁ τρίγωνος· οὕτω δὲ ὅτι πρῶτός ἐστιν, ὅτι πάντες εἰς τοῦτον ἀναλύονται· οἷον ἐὰν τοῖς ἐπιπέδοις τοῖς ἄλλοις σχήμασιν ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὰ μέσα εὐθεῖαι ἀχθῶσι, πάντως ἕκαστον εὐθύγραμμον εἰς τοσαῦτα ἀναλυθήσεται τρίγωνα, ὅσαι αἱ πλευραὶ αὐτοῦ εἰσιν. οἷον ἐπὶ παραδείγματος λάβωμεν τετράγωνον, καὶ ἐπὶ τὰ μέσα αὐτοῦ ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἤχθωσαν εὐθεῖαι, εὑρεθήσονται ἄρα πάντα τρίγωνα. ἔστω οὖν τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ, μέσον δὲ αὐτοῦ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΕ, ΒΕ, ΑΕ, ΓΕ· ἐπεὶ τοίνυν τετράγωνον ὑπεθέμεθα, τοσαῦτα τρίγωνα γίνεται, ὅσαι πλευραί· τέσσαρες δὲ ἦσαν πλευραί, τέσσαρα ἄρα καὶ τὰ τρίγωνα, τὸ ΑΕΓ, τὸ ΑΒΕ, τὸ ΒΕΔ, τὸ ΔΕΓ. ὁμοίως καὶ ἐπὶ πενταγώνου ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐὰν ἐπὶ τὸ μέσον ἀνάγωμεν εὐθείας, πάντως πέντε τρίγωνα γενήσονται, ἐπειδὴ δὲ πέντε πλευρὰς ἔχει τὸ πεντάγωνον· καὶ ἐπὶ πάντων ὁμοίως. τοῦτο οὖν ἐστι τὸ εἰς τοσαῦτα τρίγωνα λύεται ἕκαστον εὐθύγραμμον, ὅσαι καὶ πλευραί, ὅτι τὸ μὲν τετράγωνον εἰς τέσσαρα τρίγωνα, τὸ δὲ πεντάγωνον εἰς ε καὶ τὸ ἑξάγωνον εἰς ἕξ. ἰδοὺ οὖν εἰς τρίγωνα ἀναλύονται πάντα, ὥστε πρωτεύει τὸ σχῆμα τὸ τρίγωνον. εἰ δὲ ἐπὶ τοῦ τριγώνου ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὸ μέσον ἀγάγῃς εὐθείας, οὐ ποιήσεις ἄλλο σχῆμα, ἀλλὰ τρίγωνα πάλιν γ, ἐπειδὴ καὶ τρεῖς αἱ πλευραὶ τοῦ τριγώνου. πῶς τοίνυν δεῖ σημειοῦσθαι τοὺς τριγώσους; ἄρξαι ἀπὸ μονάδος καὶ πρόταξον τὴν μονάδα, εἶτα παραλλήλους δύο μονάδας, καὶ γίνεται ὁ γ ἀριθμὸς τρίγωνος, ὡς ὑποτέτακται, [Omitted graphic marker] , ἔχων ἴσας τὰς τρεῖς πλευράς· ἑκάστη γὰρ πλευρὰ μονάδος ἐστί. πάλιν ποίησον τρεῖς μονάδας ὑποκάτω τούτων, καὶ εὑρεθήσεται ὁ ϛ τρίγωνος, καὶ πάλιν δ, καὶ ἐφεξῆς ἕως οὗ βούλει. παράδειγμα δὲ ἐν διαγράμματι τοῦ ϛ τριγώνου ἔστω τόδε· τοῦ δὲ δέκα τὸ ὑποτεταγμένον, καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως κέχρησο μέχρις ἀπείρων. τρίγωνος μὲν οὖν ἀριθμός ἐστι. |
| 2 11 [45] | λοιπὸν τὴν γένεσιν αὐτῶν παραδίδωσι καί φησιν ὅτι τρίγωνοι μὲν ἀριθμοὶ γίνονται παντὸς τοῦ χύματος τῶν μονάδων παραλλήλως λαμβανομένων καὶ ἁπλῶς καθ’ ὑπεροχὴν μονάδος εὑρήσεις τοὺς τριγώνους· οἷον ἡ μονὰς τρίγωνός ἐστι δυνάμει· ἀπὸ ταύτης γὰρ δεῖ ἄρχεσθαι ἐπὶ πάντων, ἐπειδὴ δυνάμει πᾶς ἀριθμός ἐστι. σκοπῶ τοίνυν τίς ὑπερέχει αὐτῆς μονάδι, εὑρίσκω ὅτι ὁ β· συντίθημι τὸν β καὶ τὴν α καὶ γίνεται τρεῖς· ὁ γ ἄρα τρίγωνός ἐστι. πάλιν, ἐπειδὴ ὁ β ἦν ὁ συντεθείς, ζητῶ τίς μονάδι αὐτοῦ ὑπερέχει, εὑρίσκω ὅτι ὁ γ· συντίθημι οὖν τὸν γ καὶ τὰ γ, τὸν ἤδη τρίγωνον ὄντα, γίνονται ϛ· ὁ ϛ ἄρα τρίγωνος. πάλιν ζητῶ τοῦ γ τίς ὑπερέχει μονάδι, εὑρίσκω ὅτι ὁ δ. 〈...〉 συντίθημι τὸν ε καὶ τὸν ι, γίνονται ιε· ὁ ιε ἄρα τρίγωνος· καὶ ἐπὶ πάντων τῶν λοιπῶν ὁμοίως. καὶ τὰ σχήματα δὲ αὐτοῖς τὰ γραμμικὰ ἔξωθεν περίγραφε τοὺς ἀριθμοὺς ἐκτιθέμενος, ὥστε μέσους μὲν εἶναι τοὺς ἀριθμούς, ἔξωθεν δὲ τὸ τρίγωνον σχῆμα. οὕτω μὲν οὖν ἡ τῶν τριγώνων γένεσις. ἐπὶ δὲ τῶν τετραγώνων τὸν δυάδι ὑπερέχοντα τοῦ συντιθεμένου ζητῶν, ποιήσεις τοὺς τετραγώνους· οἷον ἡ μονὰς δυνάμει τετράγωνος. ζητῶ τίς αὐτῆς ὑπερέχει δυάδι, εὑρίσκω ὅτι ὁ γ· οὗτος γὰρ δυάδι μὲν αὐτῆς ὑπερέχει, μονάδι δὲ ἐλλείπει, ἐν μέσῳ γὰρ εἷς μόνος ὁ β ἔστι, καθ’ ὃν ἐλλείπει· ποιῶ τοίνυν γ καὶ μία, γίνονται δ· ὁ δ τοίνυν τετράγωνος. πάλιν ζητῶ τίς τριάδος δυάδι ὑπερέχει, εὑρίσκω ὅτι ὁ ε· οὗτος γὰρ δυάδι μὲν ὑπερέχει, μονάδι δὲ ἐλλείπει, μέσος γὰρ τῶν γ καὶ τῶν ε εἷς ἀριθμὸς ὁ δ· ὁ τοίνυν ε μετὰ τοῦ δ συντιθέμενος ποιεῖ τὸν θ, ὅς ἐστι τετράγωνος. καὶ ἁπλῶς πάντες οἱ κατὰ τάξιν περιττοὶ συντιθέμενοι τοῖς γινομένοις τετραγώνοις ἄλλον τετράγωνον ποιοῦσιν. ἐπὶ τῶν τετραγώνων οὖν ὁ δυάδι μὲν ὑπερέχων τοῦ συντιθεμένου, μονάδι δὲ ἐλλείπων, συντιθέμενος μετὰ τοῦ ἤδη γενομένου τετραγώνου ποιεῖ τετράγωνον, καὶ τοῦτο μέχρις ἀεί. ἔστι δὲ καὶ ἄλλη μέθοδος τετραγώνων, ἥτις ὀνομάζεται δίαυλος, εἴρηται δὲ καὶ ἐν ταῖς Φυσικαῖς· ἄρξαι ἀπὸ μονάδος καὶ λῆξαι ὅπου θέλεις, καὶ εἰς οἷον λήξεις ἐκεῖνος γενήσεται πάντως τοῦ μέλλοντος γίνεσθαι τετραγώνου πλευρά. μετὰ δὲ τὸ λῆξαι πάλιν ὑπόστρεψον ἄχρι μονάδος καὶ γενήσεται ὁ τετράγωνος. οἷον ἄρχομαι ἀπὸ μονάδος, λήγω εἰς δυάδα· ποιῶ οὖν α β, γίνονται γ. πάλιν ὑποστρέφω εἰς μονάδα, γίνονται δ· ἰδοὺ ὁ δ τετράγωνος. εἰ δὲ λήξω εἰς δυάδα, αὕτη ἄρα πλευρὰ τοῦ δ· δὶς γὰρ β δ. ὡσαύτως προκόπτω ἄχρι τριάδος· καὶ ποιῶ α β γ, γίνονται ϛ· ὑποστρέφων πάλιν, λέγω δύο μία, γίνονται θ· ὁ θ ἄρα τετράγωνος· καὶ ἐπειδὴ ἔληξα εἰς τριάδα, ὁ γ πλευρὰ αὐτοῦ γίνεται. |
| 2 11 (50) [70] | τὸ αὐτὸ ἐπ’ ἄπειρον εὑρήσεις. τοῦτο μὲν ἔξωθεν τοῦ κειμένου. ὥσπερ δὲ οἱ τετράγωνοι ἐγίνοντο, λαμβανόντων ἡμῶν τὴν δυάδι ὑπεροχὴν τοῦ συντιθεμένου, οὕτως οἱ πεντάγωνοι λαμβανόντων ἡμῶν τὴν τριάδι μὲν ὑπεροχήν, δυάδι δὲ ἔλλειψιν· οἷον ἡ μονὰς δυνάμει πεντάγωνός τις, ὑπερέχει ταύτης τριάδι ὁ δ, ἐλλείπει δὲ δυάδι· δύο γάρ εἰσι μέσοι ἀριθμοὶ ὁ β καὶ ὁ γ. ποιῶ οὖν δ καὶ α, γίνεται ε· ὁ ε ἄρα πεντάγωνός ἐστι. πάλιν τίς ὑπερέχει τοῦ δ τριάδι, ἐλλείπει δὲ δυάδι; 〈ὁ ζ〉, μέσοι γὰρ ὁ ε καὶ ὁ ϛ· ἑπτὰ οὖν καὶ πέντε γίνονται δώδεκα· ὁ ιβ ἄρα πεντάγωνος. καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. πάλιν ἐπὶ τῶν ἑξαγώνων λάμβανε τοὺς τετράδι μὲν ὑπερέχοντας, τριάδι δὲ ἐλλείποντας, ἐπὶ δὲ τῶν ἑπταγώνων τοὺς πεντάδι μὲν ὑπερέχοντας, τετράδι δὲ ἐλλείποντας, καὶ ἐπὶ πάντων ὁμοίως αὔξων, ποιήσεις πάντας. ὅπως δὲ ἐθέλεις, ἐκτίθου αὐτούς, εἴτε ἀριθμοὺς ποιῶν καὶ ἔξωθεν τὸ σχῆμα γράφων, εἴτε γνώμονας ποιῶν καὶ προστιθεὶς τοὺς ἀριθμούς. τούτων οὕτω προθεωρηθέντων οὐδέν ἐστιν ἀσαφὲς κατὰ τὸ κείμενον, εἰ μὴ ἓν ὃ ἀξιώσεται ἐξηγήσεως. ἢ κατὰ τὴν ἐν τῷ ὀνόματι ποσότητα. |
| 2 12 [45] | ὃ λέγει τοῦτό ἐστιν ὅτι ἐπειδὴ ἀπὸ τῶν ὑπεροχῶν συντιθεμένων, ὡς εἴρηται, γίνονται οἱ ἀριθμοί· ἐὰν πολλάκις ἀναδοθῇ ἡμῖν πολὺς ἀριθμός, ὅ ἐστιν ἑκατοντάγωνος ἤ τις ἕτερος, τί ποιοῦμεν; λέγει ὅτι ζήτει τὸν ἀφ’ οὗ ὠνομάσθη ὁ ἀναδοθείς σοι καὶ λάμβανε ἐξ ἐκείνου δύο καθόλου ἐπὶ πάντων καὶ τὸν καταλειφθέντα ὑπεροχὴν λέγε. οἷον ἀνεδόθη μοι ἑκατοντάγωνον εὑρεῖν, λαμβάνω τὸν ρ· ἀπὸ τούτου γὰρ παρωνομάσθη· ἐπαίρω β, μένουσιν ϙη· λέγω ϙη ἐστὶν ὑπεροχὴ αὐτοῦ, καὶ λοιπὸν συνθεὶς ποιῶ τὸν ἑκατοντάγωνον. ὁμοίως καὶ ἐπὶ πάντων. ὅτι δὲ ἀληθές ἐστιν ἐκ τῶν ἤδη εἰρημένων πιστοῦμαι. ὁ τρίγωνος ἐξ ὑπεροχῆς μονάδος ἐγίνετο· ὅτι οὖν οὕτως ἔστιν, ἔπαρον τῶν γ β, γίνεται α· ἰδοὺ ὑπεροχή. πάλιν ὁ τετράγωνος ἐξ ὑπεροχῆς δυάδος· ἔπαρον οὖν τῶν δ β, ἰδοὺ καταλείπονται β. πάλιν ὁ πεντάγωνος ἐξ ὑπεροχῆς τριάδος· ἀφαίρησον β τῶν ε, γίνεται γ. καὶ ἐπὶ πάντων εὑρήσεις τοῦτο δυάδα ἀφαιρῶν. κἀκεῖνο δὲ γίνωσκε ὅτι κατ’ εὔτακτον μονάδα τὰ σχήματα γίνεται· τὸ μὲν τρίγωνον ἀπὸ τριάδος, τὸ δὲ τετράγωνον ἀπὸ δ, τὸ δὲ πεντάγωνον ἀπὸ ε, καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως· ὁ μὲν γὰρ γ τρίγωνός ἐστιν, ὁ δὲ δ τετράγωνος, ὁ δὲ ε πεντάγωνος, ὁ δὲ ϛ ἑξάγωνος, ὁ δὲ ζ ἑπτάγωνος, ὁ δὲ η ὀκτάγωνος, καὶ τοῦτο μέχρις ἀπείρου. ὅτι δὲ συμφωνοτάτη ἡ ἀπ’ αὐτῶν διδασκαλία. ἤδη εἰρήκαμεν ὅτι βούλεται σχήματα ἀριθμητικὰ παραδοῦναι συμφωνοῦντα τῇ γεωμετρίᾳ· παραδέδωκεν οὖν. πάλιν δὲ δείκνυσιν ὅτι ὥσπερ τὸ τετράγωνον διαιρεῖται εἰς δύο τρίγωνα, οὕτω καὶ ὁ τετράγωνος ἀριθμὸς εἰς δύο τρίγωνα, οἷον ὁ θ εἰς τὸν γ τρίγωνον καὶ τὸν ϛ. εἰ δέ τις εἴποι “ἀλλὰ τὸ τετράγωνον εἰς ἴσα δύο τρίγωνα ἐτέμνετο, νῦν δὲ ἐπὶ τῶν ἀριθμῶν εἰς ἄνισα, οὐ ταὐτὸν γὰρ εἰπεῖν γ καὶ ϛ,” εἰπὲ πρὸς αὐτὸν ὅτι ἐὰν μοναδικῶς ἐκθῇ σχῆμα τετράγωνον καὶ ἀγάγῃς διαγώνιον, διαιρεθήσεται εἰς ἰσόπλευρα τρίγωνα. παραδείγματος δὲ χάριν ἐκθώμεθα τὸν δ ἀριθμόν, ὡς ὑποτέτακται. ἰδοὺ ὅτι δύο τρίγωνα γίνεται ἀπὸ δύο μονάδων ἔχοντα τὰς πλευράς. ἐκθοῦ δὲ καὶ ἐπὶ θ, καὶ εὑρήσεις τὸ αὐτό· ἰδοὺ γὰρ δύο τρίγωνα ἔχοντα ἑκάστην πλευρὰν ἀπὸ τριῶν μονάδων. καὶ ἐπὶ πάντων δὲ τοῦτο γενήσεται, ὥστε ἰστέον ὅτι ἐὰν ἐκθῇ πολυγώνων ἀριθμῶν πλῆθος παραλλήλως, ἐκ μὲν τῶν τριγώνων συντιθεμένων ὁμοταγῶς γίνονται οἱ τετράγωνοι, ἐκ δὲ τῶν τετραγώνων καὶ τῶν τριγώνων οἱ πεντάγωνοι, ἐκ δὲ τῶν πενταγώνων καὶ τῶν τριγώνων οἱ ἑξάγωνοι, ἐκ δὲ τῶν ἑξαγώνων καὶ τῶν τριγώνων οἱ ἑπτάγωνοι, ἐκ δὲ τῶν ἑπταγώνων καὶ τῶν τριγώνων οἱ ὀκτάγωνοι, καὶ τοῦτο ἐπ’ ἄπειρον. ὑποδείγματος δὲ χάριν ὑποκείσθω τὸ διάγραμμα. |
| 2 12 (50) [60] | ἰδοὺ τοίνυν οἱ μὲν τρίγωνοι ἐφεξῆς συντιθέμενοι τοὺς τετραγώνους ποιοῦσιν· ὁ μὲν γ τρίγωνος ἐνεργείᾳ τῇ μονάδι τριγώνῳ οὔσῃ δυνάμει συντιθέμενος, ποιεῖ τὸν δ, ὃς ὑποτέτακται τετράγωνος ὤν. πάλιν ὁ ϛ τῷ γ συντεθείς, ποιεῖ τὸν θ, καὶ ἐφεξῆς ὡσαύτως. καὶ τετράγωνος ὁ δ ἐνεργείᾳ δυνάμει 〈τριγώνῳ〉 τῇ μονάδι συντεθείς, ποιεῖ πεντάγωνον τὸν ε· ὁ δὲ θ τῷ γ ποιεῖ πεντάγωνον τὸν ιβ· καὶ ἐπ’ ἄπειρον ὡσαύτως. καὶ ὁ ε πεντάγωνος ἐνεργείᾳ τῇ μονάδι δυνάμει τριγώνῳ συντεθείς, ποιεῖ τὸν ϛ ἑξάγωνον, καὶ ὁ ιβ τῷ γ τὸν ιε, καὶ ἐπὶ πάντων ὁμοίως προχωρήσει. σαφὴς οὖν αὕτη πᾶσα ἡ θεωρία ἐστὶν ἐκ τῶν εἰρημένων· πάντα γὰρ παραδίδωσιν ἀκριβῶς ὁ Νικόμαχος. καὶ γὰρ καὶ κατὰ τὸ βάθος καὶ κατὰ τὸ πλάτος ἐν τῷ διαγράμματι. |
| 2 13 [45] | λέγει ὅτι ἡ γένεσις τῶν προειρημένων καὶ κατὰ τὸ πλάτος καὶ κατὰ τὸ βάθος ἐστί. τῶν μὲν γὰρ τετραγώνων κατὰ πλάτος· ὁ γὰρ γ τῇ μονάδι ἐποίησε τὸν δ, ὁ ϛ τῷ γ τὸν θ, καὶ ὁ ι τῷ ϛ τὸν ιϛ, καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. ἰδοὺ κατὰ πλάτος τῶν τριγώνων ληφθέντων οἱ τετράγωνοι γεγόνασιν· οἱ μὲν ἄλλοι πάντες κατὰ βάθος γίνονται· ὁ γὰρ δ τῇ μονάδι συντεθεὶς ποιεῖ τὸν πεντάγωνον· κατὰ βάθος δὲ κεῖνται ὁ δ καὶ ἡ μονάς. κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἐπὶ πάντων. τοῦτο οὖν ἐστι τὸ κατὰ βάθος καὶ κατὰ πλάτος. πληρώσας δὲ τὸν περὶ τῶν ἐπιπέδων ἀριθμῶν λόγον μετέρχεται ἐπὶ τοὺς στερεοὺς καὶ ἄρχεται ἀπὸ τῆς πυραμίδος, ἐπειδὴ καὶ τὰ τρίγωνα τῶν ἄλλων σχημάτων πρότερά εἰσιν, ἡ δὲ πυραμὶς τὴν κορυφὴν ἀπομιμουμένην ἔχει τριγώνῳ, ὡς τρίγωνα γὰρ τὰ πλευρά. δεῖ δὲ εἰδέναι ὅτι ἔστιν ἡ πυραμὶς κατὰ πάντα τὰ πολύγωνα· καὶ γὰρ ὥσπερ ἐπὶ τῶν γραμμικῶν σχημάτων ἀνιστῶν τὰς κατὰ γωνίαν εὐθείας ἐπὶ ἕν τι σημεῖον δίκην καλύβης ποιεῖ τὴν πυραμίδα, οὕτω καὶ ἐνταῦθα. καὶ εὑρίσκεται τὸ μὲν πολύγωνον βάσις αὐτῆς, ὅθεν καὶ ὁ πολὺς ἀριθμὸς κάτω ἐστίν, ἡ δὲ μονὰς κορυφή· ἡ γὰρ πυραμὶς βάσιν μὲν ἔχει εὐρεῖαν, κορυφὴν δὲ ὀξεῖαν. ἔστιν οὖν καὶ τρίγωνος αὐτῆς βάσις, καὶ τετράγωνα, καὶ πεντάγωνα, καὶ ἐφεξῆς. καὶ ἡ μὲν πυραμὶς ἡ ἐκ τριγώνων συγκειμένη κατὰ τὴν εὔτακτον πρόβασιν τῶν τριγώνων γίνεται· συντιθεμένων ἀεὶ τῷ γινομένῳ, οἷον ὁ γ τρίγωνος ἀλλὰ καὶ ἡ μονάς· τρεῖς καὶ μία τέσσαρες, ὁ δ ἄρα πυραμίς. πάλιν μετὰ τὸν γ ἔστιν ὁ ϛ τρίγωνος· ϛ καὶ δ ι· ὁ ι ἄρα πυραμίς. πάλιν μετὰ τὸν ϛ ἔστι τρίγωνος ὁ ι· ι δὲ καὶ ε ιε· ὁ ιε ἄρα πυραμίς. πάλιν μετὰ τὸν ι ἔστιν ὁ ιε τρίγωνος· ὁ ιε καὶ ϛ κα· ὁ κα ἄρα πυραμίς. αἱ δὲ πυραμίδες αἱ ἔχουσαι τετράγωνον βάσιν ἀπὸ τῶν τετραγώνων γίνονται· οἷον ὁ δ τῇ μονάδι συντιθέμενος ποιεῖ τὸν ε· ὁ ε ἄρα πυραμίς ἐστι τετράγωνον ἔχων βάσιν. πάλιν ὁ θ συντιθέμενος τῷ ε ποιεῖ τὸν ιδ· ὁ ιδ ἄρα ἐστὶ πυραμὶς τετράγωνον ἔχων βάσιν. καὶ ἐπὶ πάντων ὁμοίως. καὶ πάλιν τὰς πυραμίδας τὰς ἐχούσας πεντάγωνον βάσιν ἀπὸ τῶν πενταγώνων ποιεῖ, καὶ τὰς ἑξάγωνον ἐχούσας βάσιν ἀπὸ τῶν ἑξαγώνων, καὶ ἐπὶ πάντων ὁμοίως τῇ αὐτῇ μεθόδῳ κέχρησο. ταῦτά ἐστιν ἃ βούλεται διὰ τῆς παρούσης θεωρίας διδάξαι· ἡ δὲ λέξις τούτων τεθεωρημένων οὐδὲν ἀσαφὲς ἔχει. ἵνα δὲ μὴ ἀνήκοοι ὦμεν καὶ κολούρων καὶ δικολούρων. |
| 2 14 [10] | εἰρηκὼς περὶ πυραμίδος καὶ εὑρηκὼς πάθη αὐτῆς, λέγει καὶ περὶ αὐτῶν· ἰστέον γὰρ ὅτι, ὡς εἴρηται, ἔχει κορυφὴν εἰς μονάδα λήγουσαν. αὕτη τοίνυν ἐὰν ἀφαιρεθῇ, κολοβὸς γίνεται ἡ πυραμίς· ἀλλ’ εἰ μὲν ἡ μία μονὰς ἀφαιρεθῇ, κόλουρος γίνεται, εἰ δὲ δύο δικόλουρος, εἰ δὲ τρεῖς τρικόλουρος λέγεται, καὶ εἰ τέσσαρες τετρακόλουρος· καὶ τοῦτο μέχρις ἀπείρου. ἐν συγγράμμασι μάλιστα τοῖς θεωρηματικοῖς, ἐν θεολογικοῖς γὰρ βιβλίοις, εὑρήσεις τὰ τοιαῦτα ὀνόματα· τῶν γὰρ συγγραμμάτων τὰ μέν εἰσιν ἠθικά, τὰ δὲ θεωρηματικά. ἑτέρα δέ τις στερεῶν ἑτερογενῶν. |
| 2 15 [15] | πληρώσας τὸν περὶ τῶν πυραμίδων λόγον νῦν ἐπὶ τὰ ἕτερα στερεὰ μεταβαίνει, κύβον καὶ δοκίδα καὶ πλινθίδα καὶ σφηνίσκον καὶ σφαῖραν καὶ τὰ τοιαῦτα. ἰστέον τοίνυν ὅτι τετραγώνου ληφθέντος καὶ ἀναστάσης εὐθείας κατὰ βάθος, αὕτη ἡ ἀναστᾶσα ἢ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ ἢ ἄνισος· καὶ εἰ ἄνισος ἢ μείζων ἢ ἐλάττων. εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστί, ποιεῖ τὸν κύβον, εἰ δὲ ἐλάττων, ποιεῖ τὴν πλινθίδα. καὶ γὰρ αἱ πλίνθοι, τὰ μὲν κάτω μείζονα ἔχουσι, τὰ δὲ ἄνω ἐλάττονα. εἰ δὲ μείζων, ποιεῖ τὰς δοκίδας· οὕτω γὰρ καὶ αἱ δοκοὶ τὰ μὲν κάτω ἐλάττονα ἔχουσι, τὰ δὲ ἄνω μείζονα. γίνεται δὲ ὁ κύβος ἀριθμοῦ ἐφ’ ἑαυτὸν πολλαπλασιαζομένου, καὶ πάλιν ἐκείνου ἐπὶ τὸν γενόμενον· οἷον ὁ η κύβος ἐστίν, ἐπειδὴ δὶς δύο δ καὶ δὶς δ η· καὶ πάλιν ὁ κζ, ἐπειδὴ τρὶς τρεῖς θ, καὶ τρὶς θ κζ· καὶ πάλιν ὁ ξδ κύβος, τετράκις γὰρ δ ιϛ, καὶ τετράκις ιϛ ξδ· καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. παρὰ τοῦτο δὲ εἰκὸς καὶ τὸ σφήκωμα ὠνομάσθαι. |
| 2 16 | βούλεται τὴν ἰδιωτικὴν φωνὴν ἐτυμολογῆσαι, ἐπειδὴ ὅπου ἂν ἀποσφίγξῃ τις, ἐκεῖνο τὸ μέρος μιμεῖται τὴν τοῦ σφηκὸς τομήν. μέσοι εἰσὶ στερεοὶ ἀριθμοὶ 〈οἱ〉 λεγόμενοι παραλληλεπίπεδοι. |
| 2 17 [20] | οὐ μόνον οἱ μέσοι, ἀλλὰ καὶ ἅπας κύβος παραλληλεπίπεδός ἐστι καὶ πάντες οἱ ἔχοντες παράλληλα τὰ ἐπίπεδα· ἀλλὰ τὸν κύβον οὐ συνηρίθμησεν, ὡς διὰ τὸ ἴσον τετευχότα ὀνόματος ἰδίου καὶ αὐτῶν τούτων κύβου ὀνομαζομένου. ἰστέον δὲ ὅτι δεῖ προσέχειν τῷ ὕψει. πολλαπλασιαζόμενον γὰρ τὸ μῆκος καὶ τὸ πλάτος ἐπ’ αὐτῶν, ἄλλο τι ποιεῖ. ἀμέλει καὶ ὁ Ἀπόλλων ἐχρησμώδησε Δηλίοις λοιμώττουσιν ὅτι “εἰ θέλετε τοῦ λοιμοῦ παύσασθαι, ποιήσατε διπλασίονα τὸν βωμόν.” ἐκεῖνοι δὲ διπλασιάσαντες, τετραπλασίονα ἐποίησαν. καὶ ἐπιμείναντος τοῦ λοιμοῦ ἠναγκάσθησαν τὸν Πλάτωνα ἐρωτᾶν· κἀκεῖνος ἔφη αὐτοῖς, ὡς ἔοικεν “ὁ Δήλιος ὀνειδίζει ὑμῖν, ὅτι γεωμετρίας καταφρονεῖτε,” καὶ τότε προέβαλε τοῖς ἑταίροις αὐτοῦ, ὅτι οὐκ ἂν εὕροιμεν τοῦτο, εἰ μὴ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσοι ἀνάλογον εὑρεθῶσιν· ἐὰν γὰρ εὕροιμεν τοῦτο, ἔσται τὸ ἀπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ἀπὸ τῶν μέσων· καὶ λοιπὸν τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης καὶ τρίτης ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς δευτέρας καὶ τετάρτης. καὶ οἱ μὲν γραμμικῶς εὗρον, ἄλλοι δὲ κωνικῶς. καὶ ἁπλῶς ἕκαστος ὡς ἐπέβαλλεν εὗρε· δυσχερὲς γὰρ πάνυ τὸ πρόβλημα. πάλιν οὖν ἄνωθεν ἑτερομήκης ἀριθμὸς λέγεται. |
| 2 18 [45] | περὶ παραλληλεπιπέδων ἦν αὐτῷ ὁ λόγος. ἰστέον ὅτι καὶ ὁ κύβος παραλληλεπίπεδός ἐστιν, ἀλλ’ ἐξ ἴσων σύγκειται πλευρῶν· νῦν δὲ βούλεται εἰπεῖν περὶ παραλληλεπιπέδων ἐξ ἀνίσων πλευρῶν ὄντων. καί φησιν ὅτι τῶν παραλληλεπιπέδων τούτων οἱ μέν εἰσιν ἑτερομήκεις, οἱ δὲ προμήκεις. καὶ ἑτερομήκεις μέν εἰσιν οἱ ἔχοντες μονάδι ἀνίσους μόνῃ τὰς πλευράς· οἷον ὁ ϛ ἑτερομήκης, τρὶς γὰρ β ϛ, ὁ δὲ γ τῆς δυάδος μονάδι μόνῃ μείζων ἐστί· καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. προμήκεις δέ εἰσιν οἱ πλείοσι μονάσιν ἔχοντες τὸ ἄνισον. οἷον ὁ ιε προμήκης, τρὶς γὰρ ε ιε, ὁ δὲ ε τοῦ γ δυάδι μείζων, καὶ ἐπὶ πάντων ὁμοίως. ταῦτα μὲν οὖν περὶ τούτων. ἰστέον δὲ ὅτι πλινθίδες μέν εἰσιν ὧν ἡ βάσις μὲν ἰσάκις ἴση ἐστίν, ὅ ἐστι τετράγωνος, ἡ δὲ κορυφὴ ἐλάττων· δοκὶς δὲ τὸ ἀνάπαλιν ἧς ἡ κορυφὴ μείζων. κἀκεῖνο δὲ δεῖ εἰδέναι ὅτι εἰκότως οἱ Πυθαγόρειοι τὴν μὲν μονάδα ταὐτοῦ καὶ ταυτότητος αἰτίαν ἔλεγον εἶναι, τὴν δὲ δυάδα ἑτέρου καὶ ἑτερότητος· ἡ μὲν γὰρ μονὰς τοὺς περιττοὺς ἔχουσα κατὰ τάξιν, γεννᾷ πάντας τοὺς τετραγώνους ἐξ αὐτῆς εὐτάκτως· οἱ δὲ ἀπὸ δυάδος πάντες ἄρτιοι τοὺς ἑτερομήκεις ποιοῦσι. τὸ ἕτερον οὖν ἐν δυάδι τυγχάνει· διὰ τοῦτο καὶ τὸ ἕτερον ἐπὶ δύο λέγει, τὸ δὲ ἄλλο ἐπὶ τριῶν. ἰστέον δὲ ὅτι εὐτάκτως κατὰ τὰς πλευρὰς γίνονται οἱ ἑτερομήκεις· ἰδοὺ γὰρ πρώτη μὲν ἡ δυὰς ἑτερομήκης ἐστί· μονάδι γὰρ μόνῃ ἡ ἀνισότης· δὶς γὰρ ἓν δύο· ὅρα οὖν ὅτι δύο καὶ ἓν εἰσὶν αἱ πλευραί· πρόσθες ταῖς δύο δ, ὃ γίνεται ϛ. ὅρα ἄλλον ἑτερομήκη· τρὶς δύο ϛ, καὶ σκόπει πῶς εὐτάκτως ἡ προκοπή· ὁ μὲν γὰρ β εἶχε β καὶ μίαν πλευράν· ὁ δὲ ϛ γ καὶ β. πάλιν ταῖς ϛ πρόσθες ϛ, γίνονται ιβ· ἰδοὺ ἑτερομήκης τὸν δ καὶ τὸν γ ἔχων πλευράς. καὶ ἐπὶ πάντων ὁμοίως προστιθεὶς τοὺς κατὰ τάξιν ἀρτίους εὑρήσεις τοῦτο. ἔστω δὲ ἐπὶ διαγράμματος σαφὲς τὸ λεγόμενον· α, γ, ε, ζ, θ, ια, ιγ, ιε, ιζ, ιθ, κα· β, δ, ϛ, η, ι, ιβ, ιδ, ιϛ, ιη, κ, κβ. ἐπεὶ τοίνυν καλῶς εἴρηται περὶ τούτων, ἔλθωμεν ἐπὶ τοὺς κυκλικοὺς καὶ τοὺς σφαιρικούς. ἰστέον τοίνυν ὅτι ἐκ τῶν κύκλων γίνονται· συμβολικῶς δὲ λέγονται κυκλικοὶ καὶ σφαιρικοί, ἐπεὶ κατὰ ἀλήθειαν, πῶς δυνατὸν ποιῆσαι κύκλον ἢ σφαῖραν ἀριθμητικῶς; ἐπεὶ τοίνυν εἴρηνται ἐκ κύκλων γίνεσθαι, ἴδωμεν τί ἐστι κύκλος· καὶ οὕτως εὑρίσκομεν τὸν τρόπον· κύκλος ἐστὶν ὁ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἐπὶ τὸ αὐτὸ λήγων· οὐκοῦν ἀριθμὸς ὁ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἐπὶ τὸ αὐτὸ λήγων κύκλος ἐστίν, οἷον ὁ κε· οὗτος γάρ ἐστι πεντάκις πέντε· ἰδοὺ οὖν ὅτι αἱ πλευραὶ αὐτοῦ ἐκ πέντε εἰσίν· ἀπὸ ε οὖν ἀρχόμεθα λέγοντες πεντάκις ε, ἀλλὰ καὶ λήγομεν εἰς ε· κε γάρ· ὁμοίως καὶ ὁ λϛ κύκλος ἐστίν· ἀπὸ γὰρ ϛ ἀρχόμεθα καὶ εἰς ϛ λήγομεν· φαμὲν γὰρ ὅτι ἑξάκις ϛ· ἰδοὺ ἀπὸ ϛ ἠρξάμεθα καὶ εἰς ϛ δὲ λήγομεν· αἱ γὰρ λϛ εἰς ϛ λήγουσιν. |
| 2 18 (50) [60] | οὗτοι οὖν κύκλοι εἰσίν, ἐπειδὴ β διαστάσεις εἰσίν· ἐὰν μέντοι τρεῖς διαστάσεις λάβωμεν, ποιοῦμεν σφαῖραν· οἷον ὁ κε ἀπὸ ε πλευρῶν ἐστιν· ἐὰν ποιήσωμεν πάλιν πεντάκις κε, γίνονται ρκε. οὗτος τοίνυν σφαῖρά ἐστι· καὶ πάλιν ὁ λϛ ἀπὸ ϛ πλευρῶν ἐστιν· ἐὰν ποιήσωμεν ἑξάκις λϛ, γίνονται σιϛ· οὗτός ἐστι σφαῖρα. ταῦτά ἐστιν ἃ βούλεται διὰ τούτων εἰπεῖν. ἐπεὶ οὖν εὖ τεθεώρηται οὐδὲν κατὰ τὴν λέξιν ἐστὶν ἄπορον, ὅθεν οὐδὲ ἐξηγήσεως χρεία τυγχάνει. ἐπεὶ δὲ ἀρχὰς τῶν ὅλων. |
| 2 19 [45] | τὰ μὲν μέλλοντα λέγεσθαι ἤδη εἴρηται, γλαφυρώτερον δὲ αὐτὰ διδάσκει. ἰστέον γὰρ ὅτι φησὶν ὡς ἐκ ταυτότητος καὶ ἑτερότητος οἱ ἀριθμοί εἰσι. καὶ οἱ μὲν ἀπὸ μονάδος περιττοὶ ταυτότητός εἰσιν· οἱ γὰρ περιττοὶ ἀδιαίρετοί εἰσιν, ὅπερ ἴδιον ταυτότητος· ποιοῦσι δὲ οἱ περιττοὶ τοὺς τετραγώνους ἰσοπλεύρους ὄντας, ὃ καὶ αὐτὸ ἴδιον τῆς ταυτότητος. οἱ δὲ ἀπὸ δυάδος τῆς ἑτερότητος, γίνονται γὰρ οἱ ἄρτιοι, διαιρέσεως καὶ ἑτερότητος ὄντες δεκτικοί· ποιοῦσι δὲ καὶ τοὺς ἑτερομήκεις καὶ προμήκεις, οἵτινες ἀνισόπλευροί εἰσι. δείκνυσιν οὖν λοιπὸν ὅτι κατὰ τὸν κόσμον προέρχονται οἱ ἀριθμοί, ὥσπερ γὰρ ἐν τῷ κόσμῳ ἔστι καὶ ταυτότης καθὸ ἐξ ἑνὸς προῆλθεν, ἔστι καὶ ἑτερότης διὰ τὸ πλῆθος (εἰ μὴ γὰρ ἦν ἑτερότης, οὐκ ἂν πλῆθος ἐγένετο. ἔδει γὰρ ἐξ ἑνὸς προελθεῖν καὶ οὕτω πληθυνθῆναι), οὕτω καὶ οἱ ἀριθμοὶ ἔχουσι καὶ ταυτότητα καὶ ἑτερότητα. καὶ λοιπὸν παραφέρει τὴν Πλατωνικὴν χρῆσιν, ὅτι ἐστὶν ἀμερὴς ὁ κόσμος καὶ τὰ ἐν αὐτῷ μεριστά· οὐ γὰρ εἶπεν ὅτι αὐτὰ καθ’ αὑτά εἰσι μεριστά, ἀλλὰ διὰ τὸ σῶμα· οἷον ἡ λευκότης αὐτὴ καθ’ αὑτὴν μεριστὴ οὐκ ἔστιν, ἀλλὰ διὰ τὸ σῶμα, μεριστὸν ὄν, λέγεται μεριστή. λέγει τοίνυν ἁρμονίαν ἑπομένην τοῖς ἀριθμοῖς θαυμαστήν· ἐκθοῦ γάρ, φησί, δύο στίχους κατὰ μῆκος· τὸν μὲν πρῶτον ἔχοντα τοὺς τετραγώνους μόνους ἀπὸ μονάδος, τὸν δὲ δεύτερον τοὺς ἑτερομήκεις ὡς ὑποτέτακται· α, δ, θ, ιϛ, κε, λϛ, μθ, ξδ· β, ϛ, ιβ, κ, λ, μβ, νϛ, οβ· παράβαλε τοίνυν πρῶτον τετράγωνον πρώτῳ ἑτερομήκει, καὶ δεύτερον δευτέρῳ, καὶ τρίτον τρίτῳ, καὶ εὑρήσεις πρῶτον μὲν τὸν διπλάσιον, εἶτα κατὰ τάξιν τοὺς ἐπιμορίους, ἡμιόλιον καὶ ἐπίτριτον καὶ ἐφεξῆς· λαβὲ γὰρ τὸν β καὶ τὴν α, ἰδοὺ τὸ διπλάσιον εἶδος· εἶτα τὸν ϛ καὶ τὸν δ, ἰδοὺ τὸ ἡμιόλιον· πάλιν τὸν ιβ καὶ τὸν θ, ὅρα τὸν ἐπίτριτον, καὶ ἐφεξῆς ὡσαύτως. μία τοίνυν αὕτη διαφορά, δευτέρα δὲ ἐκείνη. λαβὲ πρῶτον ἑτερομήκη καὶ δεύτερον τετράγωνον καὶ τρίτον τετράγωνον καὶ δεύτερον ἑτερομήκη καὶ τέταρτον τετράγωνον καὶ τρίτον ἑτερομήκη καὶ πέμπτον τετράγωνον καὶ τέταρτον καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. καὶ εὑρήσεις πάλιν τὴν αὐτὴν ἀναλογίαν, οἷον λαβὲ τὸν β καὶ τὸν δ· ἰδοὺ ὁ διπλάσιος λόγος· τὸν θ καὶ τὸν ϛ· ἰδοὺ ὁ ἡμιόλιος· τὸν ιϛ καὶ τὸν ιβ· ὅρα τὸν ἐπίτριτον· καὶ ἐπὶ πάντων ὡσαύτως. ὅρα δὲ καὶ ἑτέραν ἁρμονίαν· λαβὲ τὰς ὑπεροχὰς τῆς πρώτης διαφορᾶς καὶ τῆς δευτέρας, καὶ πάλιν ἡ αὐτὴ ἀναφανήσεται ἀναλογία· οἷον τί λέγω; ἐν τῇ πρώτῃ διαφορᾷ, ὁ β πρὸς τὴν μονάδα παρεβάλλετο· τίνι τοίνυν ὑπερέχει; μονάδι· ἐκθοῦ α. πάλιν ἐν τῇ δευτέρᾳ διαφορᾷ, ὁ δ πρὸς τὸν β παρεβάλλετο· ὑπερέχει δὲ ὁ δ τοῦ β δυάδι, ἐν δὲ τῇ πρώτῃ διαφορᾷ ὁ β τῆς μονάδος μονάδι· ὑπεροχαὶ ἄρα μονὰς καὶ δυάς. |
| 2 19 (50) [55] | ἰδοὺ τοίνυν ὅτι ἡ μονὰς τῆς δυάδος διπλασία. πάλιν ὁ ϛ τοῦ δ ὑπερέχει κατὰ τὴν πρώτην διαφορὰν δυάδι· ὁ δὲ θ τοῦ ϛ κατὰ τὴν δευτέραν διαφορὰν τριάδι· διὰ τοῦτο ὁ γ τοῦ β ἡμιόλιος. ὁμοίως καὶ ἐπὶ πάντων εὑρήσεις εὔτακτον τὴν πρόοδον. ταῦτά ἐστιν ἃ βούλεται διὰ τούτων εἰπεῖν· ἰστέον δὲ ὅτι οὐδὲν ἀσαφὲς ἔχει ἡ λέξις. ἂν δὲ καὶ πρῶτον ἑτερομήκη μέσον ἀμφοτέρων. |
| 2 20 [60] | πάλιν περὶ ταυτότητος καὶ ἑτερότητος διαλέγεται, καί φησιν ὅτι οἱ μὲν ἁπὸ μονάδος περιττοὶ πρὸς τῆς ταυτότητός εἰσιν, ἐπειδὴ καὶ ἡ μονὰς καὶ οἱ περιττοὶ ἀδιαίρετοι, οἱ δὲ ἀπὸ δυάδος ἄρτιοι πρὸς τῆς ἑτερότητος, ἐπειδὴ καὶ ἡ δυὰς καὶ οἱ ἄρτιοι διαιρετοί. λέγει τοίνυν γλαφυρά τινα παρακολουθοῦντα αὐτοῖς. φησὶ γὰρ ὅτι ἐὰν μὲν λάβῃς ἑτερομήκεις καὶ μεταξὺ αὐτῶν ἀποθῇ τετράγωνον, ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν ἔσται ἡ αὐτή, οὐκέτι δὲ ἡ ἀναλογία ἡ αὐτή· ἐὰν δὲ λάβῃς τετραγώνους καὶ μεταξὺ αὐτῶν ἑτερομήκη, ἡ μὲν ὑπεροχὴ ἐνταῦθα οὐκ ἔσται ἡ αὐτή, ἡ ἀναλογία δὲ ναί. οἷον ἔστω ἑτερομηκῶν τῶν β καὶ τῶν ϛ μέσος τετράγωνος ὁ δ· ὡς εἶναι οὕτως, β δ ϛ· ἰδοὺ ἀναλογία μὲν οὐ σώζεται ἡ αὐτή· ὁ γὰρ ϛ τοῦ δ ἡμιόλιός ἐστιν, ὁ δὲ δ τοῦ β οὐκέτι, ἀλλὰ διπλάσιος· ἡ μέντοι ὑπεροχὴ ἡ αὐτή· ὁ γὰρ δ τοῦ β δυάδι ὑπερέχει, ἀλλὰ καὶ ὁ ϛ τοῦ δ δυάδι. καὶ ἐφεξῆς εὑρήσεις τοῦτο. καὶ ἡ ὑπεροχὴ δὲ εὔτακτός ἐστι κατὰ μονάδα αὐξανομένη. πάλιν γὰρ μεταξὺ τοῦ ϛ καὶ τοῦ ιβ ἑτερομηκῶν ὄντων ἀπόθου τὸν θ τετράγωνον· καὶ ἡ ὑπεροχὴ τριάς ἐστιν· εἶτα τετρὰς καὶ πεντὰς καὶ ἐφεξῆς. σαφηνείας δὲ χάριν τέλειος ἐκκείσθω στίχος· β, δ, ϛ, ιβ, ιϛ κ, κε, λ, λϛ, μ, μβ, μθ, νϛ· ἐπὶ δὲ τῶν τετραγώνων, ἐὰν ἑτερομήκης ληφθῇ ἐν τῷ μέσῳ, ἀναλογία μόνη φυλαχθήσεται· οἷον ἔστω ὁ δ καὶ ὁ θ, τούτων ἐν τῷ μέσῳ ὁ ϛ, ὡς ὑποτέτακται δ, ϛ, θ· ἰδοὺ ὑπεροχὴ μὲν οὐκ ἔστιν ἡ αὐτή, ἀναλογία δὲ ναί, ὅ τε γὰρ θ τοῦ ϛ ἡμιόλιος καὶ ὁ ϛ τοῦ δ· πάλιν δὲ κἀνταῦθα ἡ ἀναλογία κατὰ τάξιν. πάλιν γὰρ οἱ ἐφεξῆς ἐπίτριτοι ἔσονται καὶ ἐπιτέταρτοι καὶ ἐφεξῆς· λαβὲ γὰρ θ καὶ ιϛ καὶ ἐν τῷ μέσῳ τὸν ιβ ἑτερομήκη· ἰδοὺ ὅ τε ιϛ τοῦ ιβ ἐπίτριτός ἐστι καὶ ὁ ιβ τοῦ θ· καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. ἔστω δὲ καὶ τούτων στίχος διὰ τὸ σαφές· δ, ϛ, θ, 〈ιβ, ιϛ,〉 κ, κε, λ, λϛ, μβ, μθ· ἐπεὶ τοίνυν καὶ τοῦτο εἴρηται, ἰστέον κἀκεῖνο· ὅτι τοσοῦτον ὡς ἀπὸ περιττῶν γίνονται οἱ τετράγωνοι, ὅτι καὶ ἐπὶ πάντων τῶν εἰδῶν, οἷον ἢ διπλασίων ἢ τριπλασίων ἢ τετραπλασίων, πάντες οἱ ἐν περιτταῖς χώραις κείμενοι τετράγωνοί εἰσι καὶ οὐδεὶς ἐν ἀρτίᾳ χώρᾳ κεῖται· οἷον ἐκκείσθωσαν οἱ διπλάσιοι ἐν ἑνὶ στίχῳ· α, β, δ, η, ιϛ, λβ, ξδ, ρκη, σνϛ· ἰδοὺ τοίνυν ὁ δ τετράγωνος ὢν ἐν περιττῇ χώρᾳ κεῖται· ἀπὸ γὰρ μονάδος ἐκεῖ χώρα τρίτη ἐστί, τὰ δὲ γ περιττά· ὡσαύτως καὶ ὁ ιϛ τετράγωνος ὢν ἐν περιττῇ χώρᾳ ἐστί· πέμπτη γὰρ ἡ χώρα ἀπὸ τῆς μονάδος· καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. ὡσαύτως καὶ ἐπὶ τῶν τριπλασίων· α, γ, θ, κζ, πα, σμγ, ψκθ· ἰδοὺ καὶ ἐνταῦθα οἱ τετράγωνοι ἐν περιτταῖς χώραις κεῖνται· τὸν αὐτὸν τρόπον καὶ ἐπὶ πάντων εὑρήσεις. ἔστι δὲ κἀκεῖνο θαυμαστὸν ὅτι οἱ κύβοι κατὰ τάξιν τῶν περιττῶν γίνονται· οἷον ἡ μονὰς πρῶτος κύβος ἐστί· λοιπὸν μετ’ αὐτὴν ὁ η· πόθεν δῆλον; ἐπειδὴ μετὰ τὴν μονάδα εἰσὶ δύο περιττοὶ ὁ γ καὶ ὁ ε· συντιθέμενοι δὲ οὗτοι ποιοῦσι τὸν η· καὶ λοιπὸν κατὰ πρόσβασιν μονάδος οὕτω γίνονται πάντες· τὸν γὰρ ἐφεξῆς τρίτον περιττοὶ ποιήσουσιν ὁ ζ, ὁ θ, ὁ ια· γίνονται γὰρ κζ· οὗτος δὲ κύβος· τὸν δὲ ἄλλον δ· ὁ ιγ, ὁ ιε, ὁ ιζ, ὁ ιθ· γίνονται ξδ· οὗτος κύβος· τὸν δὲ ἄλλον ε, καὶ τὸν μετ’ αὐτὸν ϛ, καὶ τὸν μετ’ ἐκεῖνον οἱ κατὰ τάξιν ἑπτὰ περιττοί, καὶ τοῦτο ἐπ’ ἄπειρον, ὥστε ἡ ταυτότης πρὸς τῆς μονάδος καὶ τῶν περιττῶν. |
| 2 20 (50) [70] | ἰστέον δὲ ὅτι, ὅταν μεταξὺ τετραγώνων ἀποθῇ ἑτερομήκη, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον γίνεται τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου· οἷον μεταξὺ τοῦ δ καὶ τοῦ θ κείσθω ὁ ϛ· τετράκις θ, ποίησον λϛ· ἰδοὺ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων. ποίησον καὶ ἑξάκις ϛ, τὸ ἀπὸ τοῦ μέσου, γίνεται λϛ· ἰδοὺ ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου. πάλιν τοῦ θ καὶ τοῦ ιϛ τετραγώνων ὄντων μέσος ἐστὶν ἑτερομήκης ὁ ιβ· ἰδοὺ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου· ἐννάκις γὰρ ιϛ ρμδ, ἀλλὰ καὶ δωδεκάκις ιβ ρμδ. καὶ ἐπὶ πάντων τοῦτο εὑρήσεις. τούτων τοίνυν οὕτω προτεθεωρημένων, πᾶσα ἡ λέξις σαφὴς τυγχάνει καὶ οὐδεμιᾶς χρῄζει ἐξηγήσεως. ἐπὶ τούτοις καιρὸς ἂν εἴη. |
| 2 21 [45] | πληρώσας τὸν περὶ τῶν ἀριθμῶν λόγον, λοιπὸν θέλει περὶ μεσοτήτων διαλεχθῆναι, θεωρουμένων ἔν τε ἀριθμητικῇ καὶ γεωμετρίᾳ καὶ ἁρμονίᾳ καὶ ἰστέον ὅτι γλαφυρὰ θεωρήματα τὰ τῶν ἀναλογιῶν τούτων συμβαλλόμενα πανταχοῦ. καὶ γὰρ φυσικοὶ χρῄζουσιν αὐτῶν καὶ μαθηματικοί, καὶ ἁπλῶς πάντες· ἀμέλει καὶ ὁ Τίμαιος ἐν τῇ ψυχογονίᾳ κέχρηται ἀναλογίαις τισίν· ἐὰν οὖν μὴ εἰδείημεν αὐτάς, οὐ μόνον τὰ αἰνιγματωδῶς ἐκεῖσε λεγόμενα οὐ νοοῦμεν, ἀλλ’ οὐδὲ τὰ κατὰ τὸ φαινόμενον παραδιδόμενα. ἰστέον τοίνυν ὅτι ἐν μὲν τῇ ἀριθμητικῇ ἀναλογία θεωρεῖται κατὰ τὴν ὑπεροχὴν μόνην· ἀδύνατον γὰρ ἐν τῇ αὐτῇ ὑπεροχῇ ἀναλογίαν λόγων φυλαχθῆναι· οἷον ἐκθοῦ τὸ φυσικὸν χύμα τῶν ἀριθμῶν ἀπὸ μονάδος. οὐκοῦν ἡ μὲν δυὰς τῆς μονάδος ὑπερέχει μονάδι, ἡ δὲ τριὰς τῆς δυάδος μονάδι, καὶ ἡ τετρὰς τῆς τριάδος μονάδι, καὶ τοῦτο ἐπ’ ἄπειρον. ἰδοὺ τοίνυν ἀναλογία μὲν καθ’ ὑπεροχήν ἐστιν, οὐκέτι δὲ κατὰ λόγον· οὐ γὰρ ὃν λόγον ἔχει ἡ δυὰς πρὸς τὴν μονάδα, τοῦτον τὸν λόγον ἔχει ἡ τριὰς πρὸς τὴν δυάδα ἢ τὴν αὐτὴν ἡ τετρὰς πρὸς τὴν τριάδα· ἡ μὲν γὰρ δυὰς διπλάσιον ἔχει λόγον πρὸς τὴν μονάδα, ἡ δὲ τριὰς πρὸς τὴν δυάδα τὸν ἡμιόλιον, ἡ δὲ τετρὰς πρὸς τὴν τριάδα τὸν ἐπίτριτον, καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. ἐν μέντοι τῇ γεωμετρικῇ ἀναλογίᾳ ἀνάπαλιν· ὁ μὲν λόγος ὁ αὐτός, ἡ δὲ ὑπεροχὴ οὐχ ἡ αὐτή· οὗτος δὲ ὁ λόγος ἢ συνεχής ἐστιν ἢ διῃρημένος· συνεχὴς μὲν ὅταν ὁ μέσος ὅρος δὶς παραλαμβάνηται· οἷον ὡς ὁ ρ πρὸς τὸν ν, οὕτως ὁ ν πρὸς τὸν κε· διῃρημένος δὲ ὡς ὁ ρ πρὸς τὸν ν, οὕτως ὁ ιϛ πρὸς τὸν η· καὶ ἰδοὺ λόγος μὲν ὁ αὐτός, ὑπεροχὴ δὲ οὐκέτι. τοῦτο δὲ συμβαίνει, ἐπειδὴ ἐπὶ μὲν τοῦ ἀριθμοῦ τὸ ἐλάχιστον ὥρισται (μονὰς γάρ) καὶ δυνάμεθα καταντῆσαι εἰς ἐλάχιστον, οὗ οὐκ ἔστι μεσότης· οἷον τῶν γ καὶ τῶν β· τούτων γὰρ οὐδεὶς μέσος, τοῦ μὲν γ ὅτι οὐ διαιρεῖται δίχα ἵνα ποιήσῃ ἡμιόλιον λόγον, τοῦ δὲ β ὅτι ἄλλος αὐτοῦ οὐκ ἔστιν ἡμιόλιος, εἰ μὴ ὁ γ. ἐπὶ μέντοι τῶν μεγεθῶν, ἐπειδὴ εἰς ἄπειρα διαιρετά εἰσι, δυνατὸν λαμβάνειν μέσα. ἰστέον δὲ ὅτι τινὰ μὲν τῶν μέσων εἰσὶ μέν, οὐ λέγονται δέ, τινὰ δὲ ὅλως οὐδέποτέ εἰσιν, ἀλλὰ ἄλογα τυγχάνουσι καὶ ἀνονόμαστα. ἵνα δὲ γνῶμεν τοῦτο, δεῖ προσλαβεῖν ἐκεῖνο. ἰστέον ὅτι πᾶσα μονὰς μετὰ μορίου τετραγωνιζομένη εἰς μόριον λήγει· οἷον τὰς β ἥμισυ τετραγώνισον, γίνεται ϛ δ ον . δὶς γὰρ β ἥμισυ καὶ τὸ ἥμισυ τῶν δύο ἥμισυ ποιοῦσιν ϛ δ ον . ἰδοὺ εἰς μόριον τὸ δ ον ἔληξεν· ἰδοὺ τοίνυν αὕτη ἡ μεσότης ἐστίν, εἰ καὶ μὴ παραλαμβάνεται διὰ τὸ μόριον· εἰσὶ μέντοι τινὰ μηδὲ ὅλως ὀνομαζόμενα, καὶ δεῖ εἰδέναι ὅτι, ἐὰν λάβωμεν τετράγωνον οὗ τὸ μῆκός ἐστι πέντε πηχῶν, τὸ ὅλον γίνεται κε, ἐπειδὴ καὶ τὸ πλάτος ε, καὶ γίνονται πεντάκις ε κε. |
| 2 21 (50) [95] | ἐὰν τοίνυν διάμετρον ἀγάγωμεν ἐν τῷ τετραγώνῳ, ὅ ἐστι διαγώνιον, τὸ ἀπ’ αὐτῆς ἀναγραφόμενον τετράγωνον ἴσον ἔσται τοῖς ἀπὸ τῶν δύο πλευρῶν τετραγώνοις, ἐπειδὴ ἐν τοῖς ὀρθογώνοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις. τὰ δὲ ἀπὸ τῶν δύο πλευρῶν γίνονται ν πηχῶν κε καὶ κε· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς διαγώνου ἄρα ἔσται ν· τούτου τοίνυν τὸ μέσον, ἐὰν μείνῃς τρισχιλία ἔτη, οὐ δύνασαι εὑρεῖν· διὰ τί; ἐπειδὴ πλέον μέν ἐστιν ἢ κατὰ ἕβδομον, ἔλαττον δὲ ἢ κατὰ ὄγδοον· εἰ μὲν γὰρ ἦν τελείως ἕβδομον, ἔδει εἶναι μθ· ἑπτάκις γὰρ ζ μθ· νῦν δὲ ν ἐστίν. εἰ δὲ πάλιν ἦν η, ἔδει ξδ· ὀκτάκις γὰρ η ξδ· ὥστε τὸ μέσον ἀνονόμαστόν ἐστι καὶ οὐ δυνατὸν εὑρεῖν. ταῦτα μὲν οὖν καὶ περὶ τούτου. εἴπωμεν λοιπὸν περὶ τῆς μουσικῆς ὅ ἐστι περὶ τῆς ἁρμονικῆς ἀναλογίας. ἰστέον ὅτι ἐν τῇ γεωμετρικῇ ἡ ὑπεροχὴ πρὸς τὰ μέρη λαμβάνεται τοῦ τε μέσου καὶ τοῦ ἐλαχίστου· οἷόν ἐστιν, θ, ϛ, δ· ἐνταῦθα τοίνυν τὰ θ τῶν ϛ τριάδι ὑπερέχει, ἐπειδὴ ἥμισυ τῶν ϛ γ· ἰδοὺ μέρος τοῦ μέσου, ὅ ἐστι τοῦ ϛ, ὑπεροχὴ γίνεται· πάλιν τὰ ϛ τῶν δ ὑπερέχει δυάδι, ἐπειδὴ ἥμισυ τῶν δ β ἐστίν. ἰδοὺ τὸ μέρος τοῦ ἐλαχίστου, ὅ ἐστι τοῦ δ, ὑπερέχει. ἐπὶ μέντοι τῆς ἁρμονικῆς οὐχ οὕτως, ἀλλ’ ἡ ὑπεροχὴ κατὰ τὰ μέρη τῶν ἄκρων τοῦ τε μεγίστου καὶ τοῦ ἐλαχίστου· οἷόν ἐστι ιβ, η, ϛ· ἐνταῦθα ὁ ιβ τοῦ η ὑπερέχει τετράδι, ἐπειδὴ τρίτον τῶν ιβ δ· ἰδοὺ τοίνυν ὅτι τοῦ ἄκρου τὸ μέρος ὑπεροχὴ γίνεται· ἀλλὰ καὶ ὁ η τοῦ ϛ ὑπερέχει δυάδι, ἐπειδὴ τρίτον τοῦ ϛ, ὅ ἐστι τοῦ ἄκρου τοῦ ἐλαχίστου, ἐστὶ δύο. ἡ οὖν ὑπεροχὴ τῶν ἄκρων ἐστὶ τὰ μέρη. καὶ ἰδοὺ ὅτι ὁ μὲν ιβ τοῦ η ἡμιόλιός ἐστιν, ὁ δὲ η τοῦ ϛ ἐπίτριτος· ἰστέον γὰρ ὅτι ἁρμονία ἐκ τούτων γίνεται. ἐκ μὲν τοῦ ἡμιολίου ἡ διὰ ε, ἐκ δὲ τοῦ ἐπιτρίτου ἡ διὰ δ, ἐκ δὲ τοῦ διπλασίου ἡ διὰ πασῶν, ἥτις καλλίστη ἐστὶ καὶ συμφθέγγεται. ἀμέλει ἐὰν οὕτω κατασκευασθῇ ἡ χορδή, ἐπιτιθεὶς εἰς τὴν σύμφωνον αὐτῇ κάρφος καὶ κρούῃς ταύτην, καὶ ἐκ τῆς ἑτέρας ἀποπάλλεται τὸ κάρφος· οὕτω συμφθέγγονται· κεράννυνται οἱ φθόγγοι, ἐπειδὴ συμμετρία φυλάττεται. ἔστω γὰρ ἐπίτριτος λόγος, οἷον ὁ δ καὶ ὁ γ· ἰδοὺ μονάδι ὁ δ τοῦ γ ὑπερέχει· μετρεῖ τοίνυν ἡ μονὰς τὸν γ τρισσάκις, τὸν δὲ δ τετράκις· καὶ πάλιν ἔστω ἡμιόλιος ὁ θ καὶ ϛ· ὑπερέχει ὁ θ τριάδι· ὁ γ τοίνυν τὴν μὲν ἑξάδα δὶς μετρεῖ, τὸν δὲ θ τρισσάκις· διὰ τοῦτο οὖν ἡ συμμετρία φυλάττεται. περὶ τούτων τοίνυν τῶν ἀναλογιῶν διαλέγεται. πάντα τοίνυν σαφῆ ἐστι, μηδεμιᾶς ἐξηγήσεως δεόμενα. ἔστιν οὖν ἀριθμητικὴ μεσότης, ὅταν τριῶν ὅρων. |
| 2 22 [5] | ἤδη φθάσαντες εἰρήκαμεν τὰς μεσότητας· ἄρχεται τοίνυν ἀπὸ τῆς ἀριθμητικῆς καὶ λέγει τὴν εὔτακτον αὐτῶν ὑπεροχὴν τὴν κατὰ τὸ χύμα τὸ φυσικὸν τῶν μονάδων. κειμένων ἢ ἐπινοουμένων. |
| 2 23 [5] | κειμένων μέν, ὡς ἐπὶ ἐκθέσεως· ἐπινοουμένων δὲ ὅταν χωρὶς ἐκθέσεως διαλεγώμεθα περὶ τῆς μεσότητος. ἐπιστάμεθα δὲ ὡς ἐν τῇ τοιαύτῃ ἐκθέσει. εἰ μὲν γὰρ ὁ μέσος αὐτὸς λαμβάνεται, ὡς τοῦ μὲν εἶναι πρόλογον, τοῦ δὲ ὑπόλογον, συνεχὴς ἡ ἔκθεσις· εἰ δὲ ἄλλος καὶ ἄλλος διῃρημένη. ἐὰν μὲν οὖν ἐκ τῆς ἐκθέσεως ταύτης. |
| 2 24 [10] | ὃ θέλει εἰπεῖν τοῦτό ἐστιν· ὅτι ἐὰν ἐκ τῆς φυσικῆς ἐκθέσεως τρεῖς λάβῃς παραλλήλους, ὅ ἐστι μηδένα παραλιμπάνων ἀλλὰ συνεχεῖς, οἷον α, β, γ (τοῦτο γὰρ δηλοῖ τὸ κατὰ τὴν συνημμένην), μονάδα εὑρήσεις τὴν ὑπεροχήν· ὁ γὰρ β τῆς μονάδος μονάδι ὑπερέχει, καὶ ὁ γ τῆς δυάδος μονάδι. εἰ δὲ καὶ δ καὶ πλείους λάβῃς, ὡς διεζευγμένην ποιῆσαι ἔκθεσιν, καὶ οὕτω μονάδι ἔσται ἡ ὑπεροχὴ γινομένη· ὡσαύτως γὰρ ἡ τετρὰς τῆς τριάδος μονάδι ὑπερέχει, καὶ ὁ ε τοῦ δ, καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως. ἐὰν δὲ μὴ παραλλήλους, ἀλλὰ διεχεῖς. |
| 2 25 [20] | ἐὰν δέ, φησί, μὴ κατὰ τάξιν ἐκθῇς, ἀλλὰ διαζευγνύων. εἰ μὲν ἴση ἐστὶν ἡ παράλειψις καὶ ὦσι τρεῖς ἀριθμοὶ οἱ ἐκτεθέντες ἢ καὶ πλείονες, εἰ μὲν εἷς ἐστιν ὁ παραληφθείς, δυὰς ἔσται ἡ ὑπεροχή, καὶ εἰ μὲν τρεῖς ὦσιν οἱ ἐκτεθέντες, συνημμένη λέγεται ἡ ἔκθεσις, ὅτι εἷς ἐστιν ὁ μέσος ὅρος, εἰ δὲ δ διεζευγνυμένη· οἷον ἔστωσαν μὴ παράλληλοι, ἀντὶ τοῦ μὴ συνεχεῖς, τρεῖς ἀριθμοὶ ἑνὸς παραλειπομένου. α, γ, ε· ἰδοὺ τοίνυν δυὰς ἡ ὑπεροχή· αὕτη δὲ ἡ ἔκθεσις συνημμένη ἐστίν, ἐπειδὴ ὁ αὐτὸς μέσος ὅρος· διῃρημένη δὲ α, γ, ε, ζ· ἰδοὺ τοίνυν κἀνταῦθα δυὰς ἡ ὑπεροχή, ἐπειδὴ εἷς ὁ παραλειπόμενος· εἰ δὲ δύο ὦσιν οἱ παραλειπόμενοι, εἴτε κατὰ συνέχειαν, εἴτε κατὰ διέχειαν, τριὰς πάντως ἡ ὑπεροχή· οἷον κατὰ μὲν συνέχειαν, ὅταν τρεῖς ὦσιν οἱ ἐκτεθέντες, οἷον α, δ, ζ· ἰδοὺ γὰρ συνεχὴς μέν, ὅτι ὁ αὐτὸς μέσος ὅρος, τριὰς δὲ ἡ ὑπεροχή, ὅτι δύο διαλιμπάνουσι. κατὰ διέχειαν δὲ καὶ οὕτω πάλιν τριάς, οἷον α, δ, ζ, ι· εἰ δὲ τριάδα παραλείποιεν, τετρὰς ἡ ὑπεροχή· καὶ εἰ τετράδα, πεντάς, καὶ ἐφεξῆς εὑρήσεις τοῦτο. μετέχει ἄρα αὕτη ποσοῦ μὲν ἴσου. ἡ ἄρα ἀριθμητικὴ ποσοῦ μὲν ἀντὶ τοῦ τῆς αὐτῆς ὑπεροχῆς μετέχει. οὐκέτι δὲ ποιοῦ ἀντὶ τοῦ λόγου τοῦ αὐτοῦ. ἴδιον δὲ ὑπάρχει ταύτης τῆς μεσότητος. |
| 2 26 [10] | ἀντὶ τοῦ τῆς ἀριθμητικῆς, τὸ τοῖς ἄκροις συντιθεμένοις ἴσον γίνεσθαι τὸ μέσον καὶ κατὰ συνέχειαν καὶ κατὰ διέχειαν. ἀλλ’ εἰ μὲν κατὰ συνέχειαν, ἑαυτῷ συντίθεται ὁ μέσος, εἰ δὲ κατὰ διαίρεσιν, τῷ ἄλλῳ· οἷον ἔστω κατὰ συνέχειαν α, β, γ· ἰδοὺ γ καὶ α δ, ἀλλὰ καὶ δὶς β δ. ἀλλὰ καὶ κατὰ διαίρεσιν· α, β, γ, δ· δ καὶ α ε, ἀλλὰ καὶ β καὶ γ ε. κἄν τε ἐναλλάξ. κἄν τε, φησίν, ἀντιστρέψῃς, καὶ ἀπὸ τοῦ τέλους ἄρξῃ καὶ ποιήσῃς γ, β, α, καὶ οὕτω τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου. ἔτι δὲ καὶ ἄλλο ἔχει ἴδιον. |
| 2 27 [5] | οἷον γάρ, φησίν, ἔχει λόγον ἕκαστος ὅρος πρὸς ἑαυτόν, τοῦτον καὶ αἱ ὑπεροχαί, οὐχ ὅτι ὁ αὐτὸς λόγος φυλάττεται, ἀλλ’ ὅτι κἀκεῖ ἡ ἰσότης μένει, οἷον α, β, γ· ἰδοὺ ὁ γ πρὸς ἑαυτὸν λόγον ἔχει τὸν τοῦ γ, καὶ ὁ β τὸν τοῦ β, οὕτω καὶ ἡ ὑπεροχὴ πανταχοῦ μονὰς ἴση τις οὖσα. ἔτι τὸ γλαφυρώτατον καὶ τοὺς πολλοὺς λεληθός. |
| 2 28 [15] | ἄλλο παρακολούθημα ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἔλαττόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τοῦ μέσου ἐκείνῳ ᾧ ἐστιν ἡ διαφορά, οἷον α, β, γ· ἅπαξ γ γίνεται γ· δὶς δὲ β γίνεται δ· ἰδοὺ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἔλαττόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τοῦ μέσου, ἀλλὰ τοσούτῳ ἔλαττον, ὅσῳ τὸ ὑπὸ τῶν ὑπεροχῶν ἐστιν· ἦν δὲ ἡ ὑπεροχὴ μονάς· ἅπαξ μία γίνεται α· ἰδοὺ μονάδι τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἔλαττόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τοῦ μέσου. καὶ πάλιν ἔστω α, γ, ε· πεντάκις μία ε· τρὶς δὲ γ θ· ἰδοὺ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἔλαττόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τοῦ μέσου τετράδι. διὰ τί τετράδι; ἐπειδὴ καὶ ἡ ὑπεροχὴ οὕτως ἔστι· τὰ γὰρ γ τῆς μονάδος δυάδι ὑπερέχει καὶ τὰ ε τῶν γ δυάδι ὑπερέχει· δὶς οὖν β γίνονται δ· ὅρα ὅτι καλῶς τετράδι ἔλαττον τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων τοῦ ἀπὸ τοῦ μέσου. τέταρτον δέ, ὃ καὶ οἱ πρόσθεν ἐσημειώσαντο. |
| 2 29 [20] | ἄλλο παρακολούθημα. ἰστέον ὅτι οἱ λόγοι τῶν ἐλαττόνων ὅρων μείζους εἰσὶ τῶν μειζόνων· οἷον τί λέγω; ἔστιν α, β, γ· ἐνταῦθα, ὡς δέδεικται, τὸ ὑπὸ τῶν α γ ἔλαττόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τοῦ β· ὁ λόγος τοίνυν ἐκ τῶν α γ μείζων ἐστὶ τοῦ ἀπὸ τοῦ β· τρὶς γὰρ μία γ, δὶς δὲ β δ· ὅρα τοίνυν ὅτι ὁ μὲν γ τῆς μονάδος τριπλάσιος, ὁ δὲ δ τῆς δυάδος διπλάσιος· μεῖζον δὲ τὸ τριπλάσιον τοῦ διπλασίου. ὡσαύτως καὶ ἐπὶ πλειόνων, οἷον ἀπὸ β, γ, δ· δὶς δ η, τρὶς δὲ γ θ· ἰδοὺ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἔλαττον τοῦ ἀπὸ τοῦ μέσου· ἀλλ’ ὁ μὲν η τῆς δυάδος τετραπλασίων, ὁ δὲ θ τῶν τριῶν τριπλασίων. καὶ ἐπὶ πάντων εὑρήσεις τοῦτο. ἐπὶ μέντοι τῆς ἁρμονικῆς ἐναντίως δειχθήσεται, οἱ γὰρ ἐν τοῖς μείζοσιν ὅροις λόγοι μείζους ἔσονται, οἱ δὲ ἐν τοῖς ἐλάττοσιν ἐλάττους· ἐν μέντοι τῇ γεωμετρικῇ οἵ τε ἐν τοῖς μείζοσιν ὅροις λόγοι καὶ οἱ ἐν τοῖς ἐλάττοσιν οἱ αὐτοί εἰσιν· οἷόν ἐστιν α, β, δ· καὶ πάλιν ἔστω [α], β, δ, η· ὥσπερ τοίνυν δὶς η ιϛ, οὕτω καὶ τετράκις δ ιϛ, ὥστε ἐν μεταιχμίῳ ἐστὶν ἡ γεωμετρική, τὸ δὲ ἴσον ἐν μεσότητι τυγχάνει. τοσαῦτα εἰρήσθω περὶ τῆς ἀριθμητικῆς μεσότητος. ἡ δὲ ἐπὶ ταύτῃ συνεχὴς γεωμετρικὴ μεσότης. |
| 2 30 [25] | πληρώσας τὸν περὶ τῆς ἀριθμητικῆς μεσότητος λόγον, νῦν τὸν περὶ τῆς γεωμετρικῆς λέγει. καὶ ἤδη εἴρηται ὅτι ἡ μὲν ἀριθμητικὴ κατὰ τὴν ὑπεροχὴν θεωρεῖται, ἡ δὲ γεωμετρικὴ κατὰ τὴν ἀναλογίαν. καὶ τοῦτο, ὡς ἔφαμεν, εἰκότως, ὅτι τὸ μὲν ἐλάχιστον τοῦ ἀριθμοῦ ὥρισται, καὶ διὰ τοῦτο δύο ἀριθμῶν οὐκ ἔστιν ἀεὶ μέσον λαβεῖν· τῶν γὰρ γ καὶ τῶν δ τίς μέσος; τῶν δὲ μεγεθῶν ἀεὶ δυνατόν. λέγει τοίνυν ὅτι ἐκκείσθωσαν οἱ ἀπὸ μονάδος κατὰ διπλάσιον λόγον ἀριθμοί (ἢ οἱ διπλάσιοι), ἢ οἱ τετραπλάσιοι καὶ ἐπ’ ἄπειρον. πάντως τοίνυν ἡ αὐτὴ ἀναλογία εὑρεθήσεται, οἷον ἔστω η, δ, β, α· ἰδοὺ ὡς ἔχει ὁ η πρὸς τὸν δ, οὕτως ὁ β πρὸς τὴν α. καὶ ἐναλλὰξ δέ, τοῦτο εὑρήσεις καὶ ἀπὸ τοῦ μέσου, οἷον ὡς ἔχει ὁ δ πρὸς τὸν η, οὕτως ἡ α πρὸς τὸν β. καὶ ἐπὶ τῶν τριπλασίων δὲ καὶ τῶν ἄλλων εὑρήσεις τοῦτο. ἔχει δὲ ἴδιόν τι ἡ γεωμετρικὴ μεσότης, ὃ μηδεμία ἄλλη ἔχει, τὸ τὰς διαφορὰς τῶν λόγων, ὅ ἐστι τὰς ὑπεροχάς, ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἶναι· οἷόν ἐστι λόγος ὁ αὐτὸς τῶν η πρὸς τὸν δ καὶ τῶν δ πρὸς β· διπλάσιος γὰρ οὗτος. ὑπεροχὴ δὲ τοῦ μὲν η πρὸς τὸν δ ὁ δ, τοῦ δὲ δ πρὸς τὸν β ὁ β· ὁ δ τοίνυν πρὸς τὸν β διπλάσιον λόγον ἔχει. καὶ πάλιν ὁ θ καὶ ὁ ϛ καὶ ὁ δ· ἰδοὺ ὁ ἡμιόλιος λόγος· καὶ ἔστιν ὑπεροχὴ μὲν τοῦ θ πρὸς τὸν ϛ ὁ γ, τοῦ δὲ ϛ πρὸς τὸν δ ὁ β· ὁ τοίνυν γ πρὸς τὸν β τὸν ἡμιόλιον λόγον ἔχει, ὥστε καὶ αἱ ὑπεροχαὶ τὸν αὐτὸν λόγον φυλάττουσιν ὃν ἔχουσιν ἐκεῖνοι οἱ ἀριθμοὶ ὧν εἰσὶν αἱ ὑπεροχαί. καὶ τὸ ἀνάπαλιν δέ. |
| 2 31 [45] | ἀντὶ τοῦ κἂν ἀπὸ τοῦ ἐλάττονος ἄρξῃ· ἔτι δὲ καὶ ἄλλο ἰδίωμά ἐστι τὸ τοὺς μείζονας ὅρους τῶν ἐλαττόνων αὐτῷ τῷ ἐλάττονι διαφέρειν ἐπὶ διπλασίων λόγων· οἷόν ἐστιν ὁ ιϛ, ὁ η, ὁ δ· ὁ τοίνυν ιϛ τοῦ η ὑπερέχει αὐτῷ τῷ η καὶ ὁ η τοῦ δ αὐτῷ τῷ δ, καὶ αὗται αἱ διαφοραὶ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχουσιν. ἐπὶ διπλασίων δέ ἐστι μόνων τοῦτο. ἐπὶ δὲ τῶν τριπλασίων ὁ μείζων ἐστὶ δὶς τοῦ ἐλάττονος· οἷόν ἐστιν ὁ ιη, ὁ ϛ, καὶ ὁ β· ὁ τοίνυν ιη ὑπερέχει τοῦ ϛ δίς, ιβ γὰρ ὑπερέχει, ὁ δὲ ιβ γίνεται διπλασιασθέντος τοῦ ϛ· καὶ πάλιν ὁ ϛ τοῦ β ὑπερέχει δ, ὁ δὲ δ γίνεται διπλασιασθέντος τοῦ β. ἐπὶ δὲ τῶν τετραπλασίων τρίς, καὶ ἐπὶ τῶν πενταπλασίων τετράκις, καὶ τοῦτο ἐφεξῆς. οὐ μόνον δὲ ἐπὶ τῶν πολλαπλασίων φυλάττεται ἡ ἀναλογία, ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τῶν ἐπιμορίων καὶ τῶν ἐπιμερῶν καὶ τῶν μικτῶν ἀντὶ τοῦ τῶν τε πολλαπλασιεπιμερῶν καὶ τῶν πολλαπλασιεπιμορίων. ἔστι δὲ καὶ ἄλλο ἰδίωμα ἐπὶ τῆς γεωμετρικῆς μεσότητος, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου, ἐὰν συνεχὴς ᾖ ἡ ἀναλογία. οἷον θ, ϛ, δ· ἔστι γὰρ ἐννάκις δ λϛ, ἀλλὰ καὶ ἑξάκις ϛ λϛ. εἰ δὲ διεζευγμένη ὑπάρχει, ἀρτιοταγεῖς δὲ ὦσιν οἱ ἀριθμοί, ἀντὶ τοῦ ἐν διπλασίονι λόγῳ, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῶν μέσων. οἷον ἔστω α, β, δ, η, ιϛ, λβ, ξδ· τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων, ὅ ἐστι τῆς τε μονάδος καὶ τῶν ξδ, ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν πλησιαζόντων μέσων, οἷον τῶν τε β καὶ τῶν λβ· ἅπαξ γὰρ ξδ γίνεται ξδ, ἀλλὰ καὶ δὶς λβ γίνεται ξδ. καὶ πάλιν τὸ ὑπὸ τῶν β καὶ τῶν ξδ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν δ καὶ λβ· δὶς γὰρ ξδ ρκη, ἀλλὰ καὶ τετράκις λβ ρκη. καὶ τοῦτο ἀεὶ εὑρήσεις οὐ μόνον ἐπὶ τούτων, ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων, ὅ ἐστι καὶ ἐπὶ τριπλασίων καὶ τετραπλασίων καὶ ἐπιμορίων καὶ ἐπιμερῶν καὶ πολλαπλασιεπιμορίων καὶ πολλαπλασιεπιμερῶν. καὶ ὅτι ἐν πάσαις ταύταις ταῖς σχέσεσιν ἡ ἀναλογία σώζεται, παράδειγμα ἐκεῖνο ἱκανὸν ἔστω τὸ διὰ τῶν τριῶν προσταγμάτων ἀποδεδειγμένον ἤδη. ἐδείξαμεν γὰρ ὅτι ἡ ἰσότης προϋπάρχει τῆς ἀνισότητος· ἔτι δέ, κἂν μεταξὺ μὲν τετραγώνων ἑτερομήκη ἐκθώμεθα, ἡ αὐτὴ ἀναλογία φυλάττεται, εἰ δὲ μεταξὺ ἑτερομηκῶν τετράγωνον, οὐκέτι ἡ αὐτὴ ἀναλογία, ἀλλὰ ἡ αὐτὴ ὑπεροχή, τριῶν ἀεὶ ἀποτεμνομένων, ὅ ἐστι λαμβανομένων, ἀριθμῶν. καὶ ἐὰν τὸν ὕστερον τετράγωνον πρῶτον ποιήσωμεν, εὑρήσομεν τὰ εἴδη πάντα. οἷον ἔστω α, β, δ· ἰδοὺ τὸ διπλάσιον εἶδος, τελευταῖος δέ ἐστιν ὁ δ· λάβωμεν αὐτὸν πρῶτον καὶ ποιήσωμεν δ, ϛ, θ· ἰδοὺ πάλιν ὁ μὲν ϛ ἑτερομήκης ὢν μέσος ἐστίν, ὁ δὲ θ τετράγωνος τελευταῖος, καὶ ἔστι τὸ ἡμιόλιον εἶδος. πάλιν λάβωμεν τὸν θ πρῶτον καὶ ποιήσωμεν θ, ιβ, ιϛ· ἰδοὺ τὸ ἐπίτριτον· καὶ οὕτω κατὰ τάξιν προκόπτων πάντα ποιήσεις τὰ εἴδη. |
| 2 31 (50) | τούτων οὕτω τεθεωρημένων πᾶσα ἡ λέξις σαφὴς τυγχάνει, μηδεμιᾶς δεομένη ἐξηγήσεως. εὐκαιρότατον δ’ ἂν εἴη ἐνταῦθα γενομένους. |
| 2 32 [45] | παραδίδωσιν ἐνταῦθα θεώρημα τοιοῦτον· λέγει ὅτι μεταξὺ δύο συνεχῶν τετραγώνων πάντως ἀνάλογος εἷς μέσος μόνος εὑρίσκεται. οἷόν ἐστιν ὁ δ καὶ ὁ θ τετράγωνοι· μεταξὺ τούτων ὁ ϛ μόνος ἐστὶ μέσος ἀνάλογος, καὶ οὗτος ὁ μέσος πάντως ἑτερομήκης ἐστί, καὶ ἐκ τῶν πλευρῶν τῶν τετραγώνων γινόμενος· ἰδοὺ γὰρ ὁ ϛ μεταξὺ ὢν τοῦ τε δ καὶ τοῦ θ, ἐκ τῶν αὐτῶν πλευρῶν ἐστι· τοῦ μὲν γὰρ θ πλευρὰ ὁ γ, τοῦ δὲ δ ὁ β, τρὶς οὖν β γίνεται ϛ. καὶ πάλιν μεταξὺ τοῦ θ καὶ τοῦ ιϛ ἐστὶν ὁ ιβ· ἀλλὰ τοῦ μὲν ιϛ πλευρὰ ὁ δ, τοῦ δὲ θ ὁ γ, ποίησον οὖν τετράκις γ, γίνονται ιβ. οὕτω μὲν οὖν, εἰ ὦσι συνεχεῖς οἱ τετράγωνοι, εἰ δὲ πόῤῥω ἀλλήλων εἰκὸς ὁ μεταξὺ καὶ τετράγωνός ἐστι καὶ ἑτερομήκης κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο. οἷον λαβὲ τὸν δ καὶ τὸν ξδ τετραγώνους, πλευραὶ τοῦ μὲν δ ὁ β, τοῦ δὲ ξδ ὁ η, 〈δὶς η〉 γίνονται ιϛ· ὁ ιϛ οὗτος μέσος ἀνάλογός ἐστιν· οὗτος δέ ἐστι τετράγωνος, ἀλλὰ καὶ ἑτερομήκης λέγεται, ὡς ἂν ἐξ ἀνίσων πλευρῶν συντεθεὶς ἔκ τε τοῦ η καὶ τοῦ β. τοσαῦτα μὲν περὶ τῶν τετραγώνων. ἐπὶ δὲ τῶν κύβων ἰστέον ὅτι μεταξὺ τῶν β κύβων τῶν συνεχῶν πάντως δύο μέσοι ἀνάλογοι εὑρεθήσονται· ἀλλ’ ἐνταῦθα δεῖ τὸν μὲν ἕνα τετράγωνον τὸν ποιοῦντα τὸν κύβον τὸν ἕνα πολλαπλασιάζεσθαι ἐπὶ β πλευρὰς τοῦ ἑνὸς κύβου, καὶ ἐπὶ μίαν τοῦ ἄλλου κύβου· τὸν δὲ ἕτερον πάλιν ὡσαύτως. οἷον τί λέγω; ἐκ τοῦ δ γίνεται κύβος ὁ η, ἐκ τοῦ θ ὁ κζ. οὐκοῦν ἐκ μὲν τοῦ η γίνεται μέσος ὁ ιβ· ποιῶ γὰρ δὶς β· ἰδοὺ δύο πλευρὰς ἔλαβον τοῦ κύβου γίνεται δ· λαμβάνω μίαν πλευρὰν τοῦ κζ τὴν τριάδα καὶ ποιῶ τρὶς δ, γίνονται ιβ· ἰδοὺ ὁ ιβ μέσος ἀνάλογος. πάλιν ἔρχομαι ἐπὶ τὸν κζ. λαμβάνω αὐτοῦ δύο πλευρὰς καὶ ποιῶ τρὶς γ, γίνονται θ· λαμβάνω μίαν τοῦ η κύβου πλευρὰν τὴν δυάδα καὶ ποιῶ δὶς θ, γίνονται ιη· ἔστιν ἄρα καὶ ὁ ιη μέσος· ὥστε εὑρέθησαν μέσοι ἀνάλογοι ὁ ιβ καὶ ὁ ιη καὶ ἔχουσι τὸν αὐτὸν λόγον. ἐκθοῦ κζ, ιη, ιβ, η· καὶ βλέπε ὅτι ὁ ἡμιόλιος ἐπὶ πάντων φυλάττεται λόγος· καὶ οἱ μὲν μέσοι διαστήματα δύο ἔχουσιν· ἓν γὰρ διάστημα ἀπὸ τοῦ ιη ἐπὶ τὸν ιβ καὶ ἄλλο ἓν ἀπὸ τούτου ἐπὶ τὸν η· πάντες δὲ ἅμα τρία διαστήματα, ἓν μὲν τὸ ἀπὸ τοῦ κζ ἐπὶ τὸν ιη καὶ ἄλλο τὸ ἀπὸ τοῦ ιη ἐπὶ τὸν ιβ 〈καὶ ἄλλο τὸ ἀπὸ τοῦ ιβ ἐπὶ τὸν η〉· καὶ διὰ τοῦτο τὰ στερεὰ τριχῇ διαστατά φαμεν εἶναι. ἰστέον δὲ καὶ ὅτι αἱ ὑπεροχαὶ τὸν αὐτὸν λόγον φυλάττουσιν· οἷόν ἐστιν κζ, ιη, ιβ, η· ἰδοὺ ὁ ἡμιόλιος λόγος, ἀλλὰ τοῦ μὲν ιη ὁ κζ ὑπερέχει τῷ θ, τοῦ ιβ δὲ ὁ ιη ὑπερέχει τῷ ϛ, τοῦ δὲ η ὁ ιβ τῷ δ· εἰσὶν οὖν θ, ϛ, δ· καὶ οὗτοι τοίνυν τὸν ἡμιόλιον ἔχουσι λόγον. καὶ ἁπλῶς ἰστέον καθόλου ὅτι ἐὰν τετράγωνος ἢ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσῃ ἢ ἄλλον τετράγωνον, πάντως τετράγωνον ἀριθμὸν ποιεῖ· ἐὰν δὲ τετράγωνος ἑτερομήκη ἢ ἑτερομήκης τετράγωνον, οὐδέποτε τετράγωνος γίνεται. |
| 2 32 (50) [95] | ὡσαύτως κἂν κύβος κύβον πολλαπλασιάσῃ, κύβον ποιεῖ· ἐὰν δὲ κύβος ἑτερομήκη πολλαπλασιάσῃ, πάντως ἄρτιον ποιεῖ, κἂν ἄρτιος περιττὸν ἢ περιττὸς ἄρτιον, καὶ τότε ἄρτιος γίνεται. ἰστέον τοίνυν ὅτι ταῦτα συμβάλλεται πρῶτον μὲν εἰς τὸν Τίμαιον· λέγει γὰρ ἐκεῖ ὅτι μεταξὺ τῶν δύο στοιχείων πυρὸς καὶ γῆς ἔστι δύο μέσα ὅ τε ἀὴρ καὶ τὸ ὕδωρ· καὶ ζητεῖ διὰ τί δύο μέσα καὶ μὴ ἕν· καὶ λέγει ὅτι ἐπειδὴ στερεά εἰσι ταῦτα τὰ στοιχεῖα, μεταξὺ δὲ δύο στερεῶν δύο μέσοι ἀνάλογοι γίνονται. ἐν δὲ ταῖς Πολιτείαις ζητεῖ εἰ δύναται διαλυθῆναί ποτε εὐνομουμένη πόλις· καὶ αὐτὸς μὲν οὐκ ἀποκρίνεται, ποιεῖ δὲ τὰς Μούσας ἀποκρινομένας καὶ λεγούσας ὅτι ὡς μὲν εὐνομουμένη οὐδὲν χαλεπὸν ὑπομένει, ἐπειδὴ δὲ γέγονεν οὕτω δεῖ πάντως καὶ ἀπογενέσθαι· ἀπογίνεται δὲ τοῦ γάμου καὶ τῆς παιδοποιίας οὐ κατὰ καιρὸν ἀπολαμβανομένης, ἀλλ’ ἐπιλειπούσης. συμβολικῶς οὖν λέγει διὰ πόσων περιόδων καὶ φορῶν δεῖ τὰς παιδοποιίας παραλαμβάνειν, καὶ πόσους καιροὺς ἐν τῷ μέσῳ δεῖ παραλαμβάνειν· συμβάλλονται οὖν κἀκεῖσε τὰ τοιαῦτα πάνυ. πληρώσας τοίνυν τὸν λόγον τὸν περὶ τῆς γεωμετρικῆς μεσότητος καὶ τὸν περὶ τῆς ἀριθμητικῆς, μεταβαίνει ἐπὶ τὸν τῆς ἁρμονικῆς καὶ λέγει ὅτι ἁρμονικὴ μεσότης ἐστὶ καθ’ ἣν μήτε ἀναλογία ἡ αὐτὴ φυλάττεται ὥσπερ ἐπὶ τῆς γεωμετρικῆς, μήτε ἡ αὐτὴ ὑπεροχὴ ὡς ἐπὶ τῆς ἀριθμητικῆς, ἀλλ’ ὅταν ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ἐλάχιστον ἔχῃ, οὕτω καὶ ἡ τοῦ μεγίστου πρὸς τὸν μέσον διαφορὰ πρὸς τὴν διαφορὰν τοῦ μέσου πρὸς τὸν ἐλάττονα· οἷον ἔστω ἁρμονικὴ μεσότης αὕτη· ϛ, δ, γ· ἰδοὺ γὰρ οὐδὲ ὑπεροχὴ ἡ αὐτή ἐστιν οὐδὲ ὁ λόγος, ἀλλ’ ὡς ἔχει ὁ μείζων πρὸς τὸν ἐλάττονα (πῶς δὲ ἔχει; διπλασία) οὕτως ἡ διαφορὰ τοῦ μείζονος πρὸς τὸν μέσον πρὸς τὴν διαφορὰν τοῦ μέσου πρὸς τὸν ἐλάττονα· τίνι δὲ διαφέρει ὁ μείζων τοῦ μέσου; δυάδι· τίνι δὲ ὁ μέσος τοῦ ἐλάττονος; μονάδι· καὶ ἡ δυὰς ἄρα τῆς μονάδος διπλασία. πάλιν ἔστω ἁρμονικὴ μεσότης ϛ, γ, β, κατὰ τὸν τριπλάσιον τῶν ἄκρων λόγον· ὁ γὰρ ϛ τοῦ β τριπλάσιος· ὑπερέχει δὲ ὁ μὲν ϛ τοῦ γ τριάδι, ὁ δὲ γ τοῦ β μονάδι· καὶ ὁ γ ἄρα τῆς μονάδος τριπλάσιος· πάλιν ὁ μὲν ϛ τοῦ δ τῷ αὑτοῦ τρίτῳ ὑπερέχει· δυάδι γὰρ ὑπερέχει, τρίτον δὲ τῶν ϛ β· ὅ τε γ πάλιν τοῦ δ λείπεται τῷ ἑαυτοῦ τρίτῳ, μονάδι γὰρ λείπεται, τρίτον δὲ τῶν γ μονάς. ἐπὶ μὲν γὰρ τοῦ προτέρου ὑποδείγματος. τοῦ ἁρμονικοῦ τοῦ κατὰ τὸν διπλάσιον λόγον ἐν τοῖς ἄκροις λαμβανομένου, ἐν γὰρ τούτῳ αἱ διαφοραὶ καὶ αὐταὶ διπλάσιαι· ἐν δὲ τῷ β τῷ κατὰ τὸ τριπλάσιον τῶν ἄκρων καὶ αἱ διαφοραὶ τριπλάσιαι. |
| 2 33 [10] | ἰδίωμα δὲ ἔχει. ἐπὶ μὲν τῆς ἀριθμητικῆς οἱ ἐλάττονες λόγοι ἐν τοῖς μείζοσιν ὅροις ἦσαν, οἱ δὲ μείζους ἐν τοῖς ἐλάττοσιν. οἷον τί λέγω; ἀριθμητικὴ μεσότης ἐστὶν ὁ η, ϛ, δ· μείζων τοίνυν ἐστὶν ὅρος ὁ η· οὗτος τοίνυν τὸν ἐπίτριτον λόγον ἔχει· τὸν γὰρ ϛ ἔχει καὶ τρίτον αὐτοῦ· ἐλάττων δέ ἐστιν ὁ ϛ· οὗτος τὸν ἡμιόλιον ἔχει· τὸν γὰρ δ ἔχει καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ· ὁ δὲ ἡμιόλιος τοῦ ἐπιτρίτου μείζων. ἐνταῦθα μέντοι ἐν τοῖς μείζοσίν ἐστιν ὁ μείζων, καὶ ἐν τοῖς ἐλάττοσιν ὁ ἐλάττων. τοῦτο δὲ γέγονεν, ἵνα ὡς ἐν μεταιχμίῳ φθάσῃ ἡ ἀρμονικὴ τῆς τε ἀριθμητικῆς καὶ τῆς γεωμετρικῆς, τῇ μὲν κατὰ τὴν ὑπεροχὴν κοινωνοῦσα, τῇ δὲ κατὰ τὸν λόγον. ἔτι ἐν μὲν τῇ ἀριθμητικῇ. |
| 2 34 [20] | ἄλλο ἰδίωμα ὅτι ἐν μὲν τῇ ἀριθμητικῇ ὁ μέσος ὅρος ἑαυτοῦ μὲν μέρει τῷ αὐτῷ μείζων τε καὶ ἐλάττων ἐστὶ τῶν ἑκατέρωθεν ἄκρων, αὐτῶν δὲ ἐκείνων ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ· οἷον τί λέγω; ἔστιν η, ϛ, δ· ὁ ϛ τῷ αὐτῷ μείζων ἐστὶ καὶ ἐλάττων. τῇ γὰρ αὐτῇ δυάδι καὶ ἐλάττων ἐστὶ τοῦ η καὶ μείζων τοῦ δ· ἀλλ’ εἰ καὶ δυάδι καὶ μείζων ἐστὶ καὶ ἐλάττων, ἀλλὰ ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ ἐκείνων τῶν ἄκρων μέρει· ἡ γὰρ δυὰς τοῦ μὲν η τέταρτον γίνεται, τοῦ δὲ δ ἥμισυ· ὥστε τοῦ μὲν η ἐλάττων ἐστὶν ὁ ϛ τετάρτῳ μέρει, τοῦ δὲ δ μείζων ἡμίσει. ἐπὶ δὲ τῆς ἁρμονικῆς ὑπεναντίως ἔχει· ἐνταῦθα γὰρ τὸ ἀνάπαλιν ὁ μέσος ἑαυτοῦ μὲν μέρει ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ ἐστὶ μείζων καὶ ἐλάττων, αὐτῶν δὲ ἐκείνων τῷ αὐτῷ· οἷον ἔστω ἁρμονικὴ μεσότης ϛ, δ, γ· ὁ δ τοίνυν ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ μέρει τοῦ μέν ἐστιν ἐλάττων, τοῦ δὲ μείζων· τοῦ μὲν γὰρ ϛ ἐλάττων ἐστὶ δυάδι, τοῦ δὲ γ οὐκέτι τῇ αὐτῇ δυάδι ἀλλὰ μονάδι· αὐτῶν δὲ τῶν ἄκρων τῷ αὐτῷ μέρει, ὥσπερ γὰρ αἱ δύο αἷστισιν ὑπερέχει ὁ ϛ τοῦ δ, τρίτον ἐστὶ μέρος τοῦ ϛ, οὕτω καὶ ἡ μονὰς ᾗτινι ὑπερέχει ὁ δ τοῦ γ, τρίτον μέρος ἐστὶ τῆς τριάδος. ἔτι ἔχει ἴδιον συμβεβηκός. |
| 2 35 [5] | ἄλλο παρακολούθημα τῆς ἁρμονικῆς, τὸ τοὺς ἄκρους συνθεῖναι καὶ τὴν σύνθεσιν πολλαπλασιάσαι ἐπὶ τὸν μέσον καὶ αὐτοὺς τοὺς ἄκρους ἐφ’ ἑαυτούς, καὶ τούτου γινομένου διπλάσιος γίνεται· οἷόν ἐστιν ϛ, δ, γ· σύνθες ϛ καὶ γ, γίνονται θ· 〈...〉 πολλαπλασίασον τοὺς μέσους, ἑξάκις γ, γίνονται ιη· ὁ λϛ ἄρα τοῦ ιη διπλάσιός ἐστιν. ἐκλήθη δὲ ἁρμονική. |
| 2 36 [45] | εἰρήκαμεν τὴν ἁρμονικὴν τῶν πρός τι εἶναι. λέγει τοίνυν διὰ τί ἁρμονικὴ κέκληται, καί φησιν ὅτι ἡ μὲν ἀριθμητικὴ τὸ ποσόν, ὅ ἐστι τὴν ὑπεροχήν, εἶχε κατὰ ἀναλογίαν, ἡ δὲ γεωμετρικὴ τὸ ποιόν, ὅ ἐστι τοὺς ὅρους πρὸς ἀλλήλους, ἡ μέντοι ἁρμονικὴ ἀμφότερα· οὔτε γὰρ ἐν ὅροις μόνον οὔτε ἐν διαφοραῖς, ἀλλ’ ἐκ μέρους μὲν ὅροις τῷ ὡς ἔχειν τοὺς ἄκρους οὕτως ἔχειν τὰς διαφοράς, ἐκ μέρους δὲ διαφοραῖς τῷ τὰς ὑπεροχὰς τὸ αὐτὸ μέρος εἶναι τῶν ἄκρων. διὰ τοῦτο τοίνυν ἁρμονικὴ κέκληται ὡς ἔχουσα σχέσιν ἀμφοτέραν. τὸ δὲ πρός τι ἐπέγνωμεν. εἴρηται ὅτι ἡ μὲν ἀριθμητικὴ περὶ τὸ ποσόν, ὅ ἐστι τὴν διαφοράν, ἔχει τὴν ἀναλογίαν, ἡ δὲ γεωμετρικὴ περὶ τὸ ποιὸν ἀντὶ τοῦ περὶ τοὺς ὅρους. ἡ μέντοι ἁρμονική, ὡς περὶ ἑκάτερον ἔχουσα, διὰ τοῦτο τῶν πρός τι ὀνομάζεται. λέγει τοίνυν ὅτι τὸ πρός τι, ὅ τί ποτέ ἐστιν ἐδιδάξαμεν ἀνωτέρω, τὰ πάντα διαιροῦντες· διὰ τοῦτο οὖν, φησίν, ἁρμονικὴ καλεῖται. ἄλλως τε καὶ ὅτι μάλιστα ταύτῃ οἱ μουσικοὶ τῇ μεσότητι κέχρηνται. καὶ πρῶτος μέν ἐστι λόγος ὁ διὰ τεσσάρων ὁ ἐν ἐπιτρίτῳ θεωρούμενος, εἶτα ὁ διὰ ε ὁ ἐν ἡμιολίῳ, εἶτα ὁ διὰ πασῶν ὁ διὰ τοῦ διπλασίου, μεθ’ ὃν ὁ διὰ πασῶν καὶ διὰ ε ὁ διὰ τοῦ διπλασίου καὶ τοῦ ἡμιολίου, καὶ λοιπὸν ὁ δὶς διὰ πασῶν ὁ ἐκ τοῦ τετραπλασίου. πᾶσαι τοίνυν αὗται αἱ διαφοραὶ ἐν τοῖς ὑποδείγμασι τοῖς β τῆς ἁρμονικῆς μεσότητος τῷ τε κατὰ τὸ διπλάσιον καὶ τῷ κατὰ τὸ τριπλάσιον θεωροῦνται. ἴδωμεν οὖν τοῦτο, εἰ δοκεῖ, πρότερον ἐπὶ τοῦ διπλασίου· ἔστω ϛ, δ, γ· ἰδοὺ τὸ μὲν ἐπίτριτον, ὅ ἐστι τὸ διὰ δ, ἐν τοῖς ἐλάττοσιν ὅροις· ὁ γὰρ δ τοῦ γ ἐπίτριτος· τὸ δὲ ἡμιόλιον, ὅ ἐστι τὸ διὰ ε, ἐν τοῖς μείζοσιν· ὁ γὰρ ϛ τοῦ δ ἡμιόλιος· τὸ δὲ διπλάσιον, ὅ ἐστι τὸ διὰ πασῶν, ἐν τοῖς ἄκροις· ὁ γὰρ ϛ τοῦ γ διπλάσιος· τὸ δὲ διπλάσιον ἅμα καὶ ἡμιόλιον, ὅ ἐστι τὸ διὰ πασῶν ἅμα καὶ διὰ ε· ὁ μὲν γὰρ ϛ τοῦ γ διπλάσιος, ὁ δὲ ϛ τοῦ δ ἡμιόλιος. τὸ δὲ δὶς διὰ πασῶν τὸ τετραπλάσιον οὕτω· λαβὲ αὐτὸν τὸν μέσον· ἔστιν ὁ δ· καὶ λαβὲ τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μέσου πρὸς τὸν ἐλάττονα, γίνεται μονάς· ὁ δ ἄρα τῆς μονάδος τετραπλάσιός ἐστιν. ἐδείξαμεν τοίνυν πάσας τὰς διαφορὰς ἐπὶ τούτου τοῦ ὑποδείγματος. ἔλθωμεν ἐπὶ τὸ τριπλάσιον· ϛ, γ, β· τὸ μὲν ἐπίτριτον ἔστιν οὕτω· λαβὲ τῶν ἄκρων τὴν ὑπεροχήν, γίνεται δ· ὁ δ ἄρα τοῦ γ τοῦ μέσου ἐπίτριτός ἐστι, τὸ δὲ ἡμιόλιόν ἐστιν ἐν τοῖς ἐλάττοσιν· ὁ γὰρ γ τοῦ β ἡμιόλιος, τὸ δὲ διπλάσιόν ἐστιν ἐν τῷ μείζονι καὶ τῷ μέσῳ. ὁ γὰρ ϛ τοῦ γ διπλάσιος· τὸ δὲ διπλάσιον ἅμα καὶ ἡμιόλιον ὅτι ὁ μὲν ϛ τοῦ γ διπλάσιος, ὁ δὲ γ τοῦ β ἡμιόλιος· τὸ δὲ τετραπλάσιον κατὰ τὰς διαφοράς· λαβὲ γὰρ τὴν διαφορὰν τῶν ϛ πρὸς τὰ β, γίνεται δ, καὶ πάλιν τῶν γ, ὅ ἐστι τοῦ μέσου, πρὸς τὰ δύο, γίνεται μονάς· ὁ ἄρα δ τῆς μονάδος τετραπλάσιός ἐστιν. |
| 2 37 [15] | ἐν δὲ τῷ κατὰ τὸν διπλάσιον. θέλει εἰπεῖν, πῶς ἐν τῷ διπλασίονι ὑποδείγματι ὁ διὰ πασῶν καὶ διὰ ε εὑρίσκεται, ὅ ἐστι τριπλάσιος, ὁ γινόμενος ἐκ τοῦ διπλασίου καὶ τοῦ ἡμιολίου, καὶ λέγει ὅτι γίνονται ἢ ἐξ αὐτοῦ τοῦ μείζονος καὶ τῆς διαφορᾶς αὐτοῦ πρὸς τὸν μέσον ἢ ἐκ τῆς διαφορᾶς τῶν τε ἄκρων καὶ τῶν ἐλαττόνων. ἐκ μὲν αὐτοῦ τοῦ μείζονος καὶ τῆς διαφορᾶς τῆς πρὸς τὸν μέσον οὕτω· λαβὲ αὐτὸν τὸν μείζονα, ὅ ἐστι τὸν ϛ, καὶ τὴν διαφορὰν αὐτοῦ τὴν πρὸς τὸν μέσον, γίνεται ὁ β· ὁ ϛ ἄρα τοῦ β τριπλάσιος. ἐκ δὲ τῆς διαφορᾶς τῶν ἄκρων καὶ τῶν ἐλαττόνων οὕτως· ὁ ϛ τοῦ γ διαφέρει τριάδι, ὁ δ τοῦ γ μονάδι· ὁ γ ἄρα τῆς μονάδος τριπλάσιος. τελευταῖον δὲ καὶ μέγιστόν ἐστι τὸ δὶς διὰ πασῶν· μετὰ γὰρ τοῦτο οὐκ ἔστιν ἄλλο, ἐπεὶ οὐδὲ ἡ φωνὴ αὐταρκεῖ πρὸς τὸ μέλος, ἐπεὶ ῥήγνυνται τὰ φωνητικὰ ὄργανα, οὐδὲ αἱ χορδαί, ἐπεὶ καὶ αὗται ῥήγνυνται. ἔφαμεν δὲ πῶς γίνεται ἐπί τε τοῦ διπλασίου ὑποδείγματος καὶ τοῦ τριπλασίου. τινὲς δὲ αὐτὴν ἁρμονικὴν καλεῖσθαι νομίζουσι. |
| 2 38 [20] | θέλει εἰπεῖν ὅτι Φιλολάῳ ἀκολουθοῦντές τινες ὑπενόησαν ἁρμονικὴν ταύτην τὴν μεσότητα καλεῖσθαι, ἐπειδὴ παρέπεται πάσῃ γεωμετρικῇ ἁρμονίᾳ. γεωμετρικὴ δὲ ἁρμονία ἐστίν, ὡς καὶ Ἀριστοτέλης λέγει ἐν τῇ Περὶ Ψυχῆς πραγματείᾳ τοὺς κύβους· διὰ τί ὁ κύβος; πλευρὰς μὲν ἔχει ιβ, γωνίας δὲ στερεὰς η, ἐπίπεδα δὲ ϛ· ἐκθοῦ οὖν ιβ, η, ϛ, καὶ εὑρήσεις πάντα ἁρμόζοντα ὅσα εἰρήκαμεν ἐπὶ τῆς ἁρμονικῆς· ἰδοὺ γὰρ ὁ μὲν ιβ τοῦ η ἡμιόλιός ἐστιν, ὁ δὲ η τοῦ ϛ ἐπίτριτος, ὥσπερ ἐπὶ τῆς ἁρμονικῆς ἦν. καὶ πάλιν ὥσπερ ἐκεῖ ὡς οἱ ἄκροι πρὸς ἀλλήλους ἦσαν, οὕτω καὶ ἡ διαφορὰ τοῦ μεγίστου πρὸς τὸν μέσον πρὸς τὴν διαφορὰν τοῦ μέσου πρὸς ἐλάττονα, οὕτω κἀνταῦθα· ὡς γὰρ ὁ ιβ πρὸς τὸν ϛ, οὕτως ἡ διαφορὰ τοῦ ιβ πρὸς τὸν η, ἀντὶ τοῦ ὡς ὁ δ, πρὸς τὴν διαφορὰν τοῦ μέσου πρὸς τὸν ἐλάττονα, ἀντὶ τοῦ πρὸς τὸν β. καὶ πάντα ἁπλῶς τὰ αὐτὰ σχήσει· καὶ τὸν ἐπίτριτον λόγον, ὅ ἐστι τὴν διὰ δ ἁρμονίαν, καὶ τὴν διὰ ε, ὅ ἐστι τὴν ἡμιόλιον, καὶ τὴν διὰ πασῶν ἅμα καὶ ἐπίτριτον, καὶ τὴν δὶς διὰ πασῶν, αὐτὸς δὲ καὶ ταῦτα σαφῶς ἀπαριθμεῖται. ὥσπερ δὲ ἐν τῇ τοῦ μουσικοῦ κανόνος. |
| 2 39 [25] | ἐπειδὴ εἶπε περὶ ἀριθμητικῆς μεσότητος καὶ γεωμετρικῆς καὶ ἁρμονικῆς, νῦν θέλει εἰπεῖν ὅτι δυνατὸν δύο ἄκρων ὅρων εἴτε ἀρτίων εἴτε περιττῶν λαμβανομένων μέσον ἀποθέσθαι καὶ ποιῆσαι ἄλλοτε ἄλλως τὰς γ μεσότητας. ὥσπερ οὖν, φησίν, ἐπὶ τῆς χορδῆς ἐὰν λάβωμεν τὸν κόλλοπα καὶ τὸ βατράχιον, ὅ ἐστι ξυλάριον, καὶ ἀπολάβωμεν τὴν χορδήν, οὐ πᾶσα ἠχεῖ· ἀλλ’ εἰ μὲν τὸ τρίτον ἀπολάβωμεν, γίνεται τὸ ἡμιόλιον, εἰ δὲ τὸ τέταρτον ἐπίτριτον, εἰ δὲ τὸ ἥμισυ διπλάσιον, καὶ ἐπὶ τοῦ αὐλοῦ ὁμοίως τοῦ διαστήματος τῶν ὀπῶν λαμβανομένων· ὥσπερ οὖν ἐπὶ τούτων τῶν ὀργάνων ἐν τοῖς μέσοις διαστήμασιν ἀπήχησίς τις γίνεται, οὕτω καὶ ἐπὶ τῶν ἄκρων τούτων λαμβανομένων μέσων γίνονται αἱ τρεῖς μεσότητες· οἷον ἔστωσαν ἄκροι ὅ τε μ καὶ ὁ ι. ἐὰν μὲν μέσον λάβῃς τὸν κε, γίνεται ἡ ἀριθμητικὴ μεσότης· αἱ ὑπεροχαὶ γὰρ αἱ αὐταί. εἰ δὲ τὸν κ ἡ γεωμετρική· ἡ αὐτὴ γὰρ ἀναλογία, διπλασία γάρ. εἰ δὲ τὸν ιϛ, γίνεται ἡ ἁρμονική· ὡς γὰρ ἔχει ὁ μ πρὸς τὸν ι, οὕτως ἡ ὑπεροχὴ τοῦ μείζονος πρὸς τὸν μέσον πρὸς τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μέσου πρὸς τὸν ἐλάττονα. καὶ ἁπλῶς τὰ εἰρημένα πάντα ἰδιώματα μιᾶς ἑκάστης τῶν γ μεσοτήτων πάντως εὑρήσεις. καὶ πλείονος ἕνεκεν σαφηνείας πάλιν ἐκτίθεται τὰ ἰδιώματα ἃ περιττὸν ἐξηγεῖσθαι σαφῆ γε τυγχάνοντα. ἔφοδος δέ, ὡς ἂν ἐντέχνως. |
| 2 40 [45] | τὸ προκείμενόν ἐστιν εἰπεῖν αὐτῷ μέθοδον πῶς οἷόν τέ ἐστι δύο ὅρων λαμβανομένων τὰς γ ταύτας μεσότητας εὑρεῖν, ἵνα εἰδείημεν εἰ δυνατὸν γενέσθαι ἢ μή. ἐπὶ μὲν οὖν ἀριθμητικῆς ποίει οὕτω· συνθεὶς τὰ ἄκρα, τὸ ἥμισυ ὅρον μέσον τάξον, καὶ ἕξεις τὴν ἀριθμητικὴν μεσότητα· οἷον λαβὲ μ καὶ ι, σύνθες τούτους, γίνονται ν· τὸ ἥμισυ τούτων τί ἐστιν; κε. ἐκθοῦ οὖν μ, κε, ι, καὶ ἔστιν αὕτη ἀριθμητικὴ μεσότης. ἐὰν τοίνυν οἱ ἄκροι συντεθέντες δυνηθῶσι δίχα τμηθῆναι, οἶσθα ὅτι ἔστι μεσότης· οἷον εἰ λάβῃς μ καὶ ια (οὐ γὰρ δύναται ὁ ἐξ αὐτῶν συντεθεὶς διαιρεθῆναι). ἢ οὖν οὕτω ποίει ἢ τὴν τοῦ μείζονος ὑπεροχὴν πρὸς τὸν ἐλάττονα δίχα τέμνων καὶ προσθεὶς αὐτῷ τῷ ἐλάττονι, μέσον τάξεις. οἷον τί λέγω; ἔστιν ὁ μ καὶ ὁ ι· ὁ μ τοῦ ι, ὅ ἐστιν ὁ μείζων τοῦ ἐλάττονος, τίνι ὑπερέχει; τῷ λ. τέμε τοίνυν τοῦτο δίχα, γίνονται ιε· πρόσθες αὐτῷ τὸν ἐλάττονα, ὅ ἐστι τὸν ι, γίνεται κε· γίνεται ἄρα μ, κε, ι, καὶ ἔστιν ἀριθμητικὴ μεσότης. γεωμετρικὴ δὲ γίνεται οὕτω· τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων προμήκους τὴν τετραγωνικὴν πλευρὰν εὑρών, μέσον ποίησον ὅρον· οἷόν ἐστιν μ, ι· ποίησον τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων, ἀντὶ τοῦ τεσσαρακοντάκις ι, γίνεται υ· οὗτος ὁ τετρακόσια προμήκης ἐστίν, ἐπειδὴ ἐξ ἀνίσων πλευρῶν γέγονε τοῦ τε μ καὶ τοῦ ι. ζήτησον εἰ ἔχει τετραγωνικὴν πλευρὰν κἀκείνη ἐστὶ μέση· ἔχει τοίνυν ὁ υ πλευρὰν τὴν κ· εἰκοσάκι γὰρ κ, υ· ἐκθοῦ τοίνυν μ, κ, ι, καὶ ἔστι γεωμετρικὴ μεσότης. ὥστε, εἰ ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων μὴ ἔχοι τετραγωνικὴν πλευράν, γίνωσκε ὅτι οὐ γίνεται γεωμετρικὴ μεσότης· οἷον εἰ λάβῃς λ καὶ ι, οὐκ ἔστι γεωμετρικὴ μεσότης· ποιεῖς γὰρ τριακοντάκις ι, γίνεται τ· οὗτος δὲ οὐ τετράγωνός ἐστιν. ἢ οὖν οὕτως ἢ ὃν ἔχουσι λόγον οἱ ὅροι πρὸς ἀλλήλους· ἰδὼν τὸν δίχα τούτου τμητικὸν λόγον, μέσον ποίησον· οἷον ἔστω μ καὶ ι· ποῖον ἔχουσι πρὸς ἀλλήλους λόγον; τὸν τετραπλάσιον, ὃν δίχα τέμε, τὸν δ, γίνονται β· διπλάσιος ἄρα ἐν τετραπλασίοις ὁ μέσος ἐστί· ζητεῖς γὰρ τὸν διπλάσιον, μ γὰρ καὶ ι ὄντων, μέσος εὑρίσκηται ὁ κ. ἁρμονικὴν δὲ μεσότητα ποιεῖς οὕτω· τῶν ἄκρων τὴν διαφορὰν ποίησον ἐπὶ τὸν ἐλάττονα, καὶ τὸν γενόμενον παράβαλε πρὸς τὸν σύνθετον τὸν ἐκ τῶν ἄκρων, εἶτα τὸ πλάτος τῆς παραβολῆς πρόσθες τῷ ἐλάττονι, καὶ ἔσται ὁ γενόμενος ἁρμονικὴ μεσότης· οἷον τί λέγω; ἔστω μ καὶ ι· διαφέρουσι τοίνυν τῷ λ· τοῦτον τοίνυν πολλαπλασίασον ἐπὶ τὸν ἐλάττονα, γίνεται τ. σύνθες τοὺς ἄκρους, γίνονται ν· παράβαλε τὸν τ πρὸς τὸν συντεθέντα, γίνεται ϛ (πεντηκοντάκις γὰρ ϛ, τ)· πρόσθες τὰ ϛ τῷ ἐλάττονι, γίνονται ιϛ· ἐκθοῦ οὖν μ, ιϛ, ι, καὶ ἔστιν ἁρμονικὴ μεσότης. τοσαῦτα μὲν περὶ τούτων τῶν μεσοτήτων εἰρήσθω, ἃς ἐπλατύναμεν διὰ τὸ πολυθρυλλήτους αὐτὰς εἶναι· ταύταις γὰρ κέχρηνται οἱ ἀπὸ Πυθαγόρου, καὶ γὰρ Πλάτων καὶ Ἀριστοτέλης ταύταις κέχρηται. |
| 2 40 (50) [95] | ἄλλαι δέ εἰσιν ἑπτὰ ἀναλογίαι περὶ ὧν μέλλει λέγειν. δέκα γὰρ τὰς πάσας μεσότητας ἀπαριθμεῖται, θέλων κἀν τούτῳ τὸν ι ἀριθμὸν τέλειον ὡς πρὸς τὴν συμπλήρωσιν τῶν μονάδων ἀποδεῖξαι. λέγει τοίνυν τὴν πρώτην μὲν καὶ τετάρτην, πρώτην μὲν ἔξωθεν τῶν τριῶν τούτων τῶν εἰρημένων λαμβανομένων, τετάρτην δὲ κατὰ τὸ συνεχὲς ἡμῶν λαμβανόντων τοιαύτην τινὰ οὖσαν. ἰστέον δὲ ὅτι καθ’ ὑπεναντίωσίν εἰσιν αἱ λεγόμεναι τῶν προφρασθεισῶν εἴ γε καὶ ἐξ αὐτῶν ἐκείνων ἀναπλάττονται. ἡ μὲν οὖν τετάρτη μετὰ τὰς ἤδη εἰρημένας ἀντιπέπονθε τῇ ἁρμονικῇ· ἐπὶ γὰρ τῆς ἁρμονικῆς ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ἐλάττονα, οὕτως ἡ διαφορὰ τῶν μειζόνων πρὸς τὴν διαφορὰν τῶν ἐλαττόνων ὑπῆρχεν. ἐκθώμεθα τοίνυν καὶ ἴδωμεν, οἷον ϛ, ε, γ· ὁ τοίνυν μείζων πρὸς τὸν ἐλάττονα τὸν διπλάσιον λόγον ἔχει, διαφέρει δὲ ὁ μὲν γ τοῦ ε δυάδι, ὁ δὲ ε τοῦ ϛ μονάδι, ὁ β ἄρα τῆς μονάδος διπλάσιος. ἰδοὺ ἀπὸ τῶν ἐλαττόνων τῆς διαφορᾶς ἠρξάμεθα ἐπὶ δὲ τῆς ἁρμονικῆς ἀπὸ τῶν μειζόνων, διὰ τοῦτο οὖν ἀντιπέπονθεν αὐτῇ. ἴδιον δὲ ἐπὶ ταύτης τῆς μεσότητος τὸ διπλάσιον ἀποτελεῖσθαι τὸ ὑπὸ τοῦ ἄκρου καὶ μέσου, τοῦ ὑπὸ τοῦ μέσου καὶ τοῦ ἐλάττονος· ἑξάκις γὰρ ε, λ, πεντάκις δὲ τρεῖς, δεκαπέντε· τὰ δὲ λ τῶν ιε διπλάσια. αἱ δὲ λοιπαὶ δύο μεσότητες ἥ τε ε καὶ ϛ πρὸς τὴν γεωμετρικὴν μεσότητα ἀντιπεπονθότως ἔχουσι, διαφέρουσι δὲ ἀλλήλων οὕτως· ἡ μὲν ε ἐστὶν ὅταν ἐν τρισὶν ὅροις ὡς ὁ μέσος πρὸς τὸν ἐλάχιστον, οὕτω καὶ ἡ αὐτῶν τούτων διαφορὰ πρὸς τὴν τοῦ μεγίστου πρὸς τὸν μέσον, οἷον ε, δ, β· ἔστι γὰρ ὡς ὁ μέσος, ὅ ἐστιν ὁ δ, πρὸς τὸν ἐλάχιστον τὸν δύο, οὕτως ἡ τούτων διαφορά, ὅ ἐστιν 〈ὁ β〉, πρὸς τὴν τοῦ μεγίστου πρὸς τὸν μέσον, ὅ ἐστι τὴν μονάδα· ὡς γὰρ ὁ δ τοῦ β διπλάσιος, οὕτω καὶ τὰ δύο τῆς μονάδος. ὑπεναντία δέ ἐστιν αὕτη τῇ γεωμετρικῇ, ὅτι ἐπὶ μὲν τῆς γεωμετρικῆς ὡς ὁ μείζων πρὸς τὸν ἐλάττονα, οὕτω καὶ ἡ τοῦ μείζονος ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ ἐλάττονος, ἐπὶ δὲ ταύτης ἀνάπαλιν ἡ τοῦ ἐλάττονος πρὸς τὴν τοῦ μείζονος. ἴδιον δὲ καὶ ταύτης τὸ ὑπὸ τοῦ μεγίστου καὶ τοῦ μέσου διπλάσιον εἶναι τοῦ ὑπὸ μεγίστου καὶ ἐλαχίστου· ἔστι γὰρ ε, δ, β· τὸ οὖν ὑπὸ τῶν ε καὶ δ, ὅ ἐστι τὰ εἴκοσι, διπλάσιόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τοῦ ε καὶ τοῦ β, ὅ ἐστι τοῦ ι. ἡ δὲ ἕκτη γίνεται ὅταν ἐν τρισὶν ὅροις ᾖ, ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν μέσον, οὕτως ἡ τοῦ μέσου παρὰ τὸν ἐλάχιστον ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ μεγίστου παρὰ τὸν μέσον. ὡς γὰρ ὁ ϛ τοῦ δ ἡμιόλιος, οὕτω καὶ ὁ γ τοῦ δύο ἡμιόλιος. ἔοικε δὲ καὶ αὕτη τῇ γεωμετρικῇ ἐναντιότητι· ἐπιστρέφει γὰρ ἡ τῶν λόγων μεσότης ὡς ἐπὶ τῆς πέμπτης. |
| 2 40 (100) [105] | αὗται τοίνυν εἰσὶν ἓξ ἀναλογίαι. αἱ μὲν πρῶται τρεῖς τοῖς ἀπὸ Πυθαγόρου, Πλάτωνι καὶ Ἀριστοτέλει ἐγνωσμέναι, αἱ δὲ λοιπαὶ τρεῖς, τοῖς ὑπομνηματογράφοις καὶ αἱρεσιάρχαις γνώριμοί εἰσι. τέσσαρας δέ τινας ἑτέρας μετακινοῦντες. |
| 2 41 [30] | περὶ τῶν λοιπῶν δ λέγει μεσοτήτων ἐφ’ ὧν μετατίθενται οἱ ὅροι καὶ οὐκέτι ἡ αὐτὴ τάξις φυλάττεται. αὗται τοίνυν αἱ μεσότητες οὐ πάνυ ἐμφανίζονται ἐν τοῖς τῶν παλαιοτέρων συγγράμμασι. πρώτη τοίνυν ἐστὶ μεσότης ὅταν ᾖ ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ἐλάχιστον, οὕτως ἡ αὐτῶν τούτων τῶν ἄκρων διαφορὰ πρὸς τὴν τῶν ἐλαττόνων διαφοράν, οἷον θ, μ, ϛ· ἔστιν ὡς ὁ θ πρὸς τὸν ϛ, οὕτως ἡ διαφορὰ τοῦ θ πρὸς τὸν ϛ, ὅ ἐστιν ὁ γ, πρὸς τὴν διαφορὰν τοῦ η πρὸς τὸν ϛ, ὅ ἐστι πρὸς τὸν β· ὡς γὰρ ὁ θ τοῦ ϛ ἡμιόλιος, οὕτως ὁ γ τοῦ β. δευτέρα δὲ μεσότης ὅταν ᾖ ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ἐλάχιστον, οὕτως ἡ τούτων διαφορὰ πρὸς τὴν τῶν μειζόνων διαφοράν, οἷον θ, ζ, ϛ· ὡς γὰρ ὁ θ πρὸς τὸν ϛ, οὕτως ἡ διαφορὰ τούτων, ὅ ἐστιν ὁ γ, πρὸς τὴν διαφορὰν τοῦ θ πρὸς τὸν ζ, ὅ ἐστι πρὸς τὸν β. τρίτη δὲ μεσότης ὅταν ὃν ἔχῃ λόγον ὁ μέσος πρὸς τὸν ἐλάχιστον τοῦτον καὶ ἡ τῶν ἄκρων ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ἐλαττόνων, οἷον ζ, ϛ, δ· ὡς γὰρ ὁ ϛ πρὸς τὸν δ, οὕτως ἡ ὑπεροχὴ τῶν ζ δ, ὅ ἐστιν ὁ γ, πρὸς τὴν ὑπεροχὴν τῶν ϛ δ, ὅ ἐστι τῶν β. τετάρτη δέ ἐστι μεσότης ὅταν ᾖ ὡς ὁ μέσος πρὸς τὸν ἐλάττονα, οὕτω καὶ ἡ διαφορὰ τῶν ἄκρων πρὸς τὴν διαφορὰν τῶν μειζόνων, οἷον η, ε, γ· ὃν γὰρ λόγον ἔχει ὁ ε πρὸς τὸν γ, ὅ ἐστι τὸν ἐπιδιμερῆ, τοῦτον τὸν λόγον ἔχει ἡ διαφορὰ τῶν ἄκρων, ὅ ἐστι ὁ ε, πρὸς τὴν διαφορὰν τῶν μειζόνων, ὅ ἐστι πρὸς τὸν γ. ἰστέον τοίνυν ὅτι μετὰ τὸ πληρῶσαι καὶ ταύτας τὰς μεσότητας ὡς ἐν κεφαλαίῳ πασῶν τὰ ὑποδείγματα ἐκτίθενται, καὶ μετὰ τοῦτο διδάσκει περὶ ἑτέρας τινὸς μεσότητος ἁρμονικῆς τελειότητος. 〈τελειοτάτησ〉. |
| 2 42 [45] | ἁρμονικὴν δὲ αὐτὴν καλεῖ, ἐπειδὴ ἐκ τριῶν διαστάσεων γίνεται, τεσσάρων ὅρων γινομένων ὥσπερ ἐν τετραχορδίᾳ καὶ οὐκέτι ἐπὶ τριῶν ὅρων. θέλουσι δὲ οἱ ἄκροι πάντως στερεοὶ εἶναι, οἷον ἢ ἰσάκις ἴσοι ἰσάκις (ἀντὶ τοῦ ἢ κύβοι), ἢ δοκίδες ἢ σφηνίσκοι ἢ σκαληνοί. καὶ τοῦτο λέγω ὅτι πάντες οἱ αὐτοί εἰσιν. ἐνδέχεται γὰρ τὸν μὲν μείζονα κύβον εἶναι, τὸν δὲ ἐλάττονα σφηνίσκον ἢ τὸ ἀνάπαλιν, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως· στερεοὶ δὲ πάντες ὀφείλουσιν εἶναι. καὶ λοιπὸν εὑρίσκεται ἡ γεωμετρικὴ ἀναλογία οὐ κατὰ τάξιν τῶν ὅρων λαμβανομένων, ὡς δείξομεν, ἀλλ’ ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν γ ἀπ’ αὐτοῦ, οὕτως ὁ β μετὰ τὸν μέγιστον πρὸς τὸν δ· τὸ γὰρ τοιοῦτον τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ποιεῖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων· οἷον ἔστωσαν ἄκροι ὁ ιβ καὶ ὁ ϛ, μέσοι δὲ ὅ τε θ καὶ ὁ η· οὐκοῦν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων, ὡς γὰρ δωδεκάκις ϛ οβ, οὕτω καὶ ἐννάκις η οβ· καὶ πάλιν ἐὰν ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ὑπ’ αὐτὸν ἐν τοσαύτῃ δειχθῇ διαφορᾷ ἐν ὅσῃ καὶ αὐτὸς οὗτος ὁ ὑπ’ αὐτὸν πρὸς τὸν ἐλάχιστον, ἀριθμητικὴ ἡ τοιαύτη μεσότης γίνεται, καὶ ἡ τῶν ἄκρων σύνθεσις διπλασία τοῦ μέσου· ιβ γὰρ καὶ ϛ καὶ θ καὶ ιη· ὁ δὲ ιη διπλάσιος τοῦ θ τοῦ μέσου. ἐὰν δὲ ὁ γ ἀπὸ τοῦ μεγίστου τῷ αὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων αὐτῶν ὑπερέχηται, ἁρμονικὴ γίνεται, καὶ τὸ ὑπὸ τοῦ μέσου τε καὶ τῆς τῶν ἄκρων συνθέσεως, διπλάσιον τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων· σύνθες γὰρ τοὺς ἄκρους, γίνονται ιη. ποίησον τὸν μέσον, ὅ ἐστι τὸν η, ἐπὶ τὸν ιη, γίνονται ρμδ· ποίησον τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων, γίνονται οβ. ἰστέον τοίνυν ὅτι ὁ μὲν ϛ σκαληνός ἐστιν· ἄνισοι γὰρ αὐτοῦ αἱ πλευραί· ἀπὸ γὰρ τοῦ ἅπαξ β καὶ τρὶς γέγονεν· ἅπαξ γὰρ δύο γίνονται δύο, τρὶς δύο γίνονται ϛ. ὁ δὲ ιβ ἀπὸ τοῦ δὶς δύο γέγονε τρίς· δὶς γὰρ δύο γίνονται δ, τρὶς δ γίνονται ιβ. τῶν δὲ μέσων ὁ μὲν ἐλάττων, ὅ ἐστιν ὁ η, ἀπὸ [γὰρ] τοῦ ἅπαξ β, τετράκις γέγονεν· ἅπαξ γὰρ β γίνονται β, τετράκις β γίνονται η· ὁ δὲ μείζων, ὅ ἐστιν ὁ θ, ἀπὸ τοῦ ἅπαξ τρεῖς, τρὶς γέγονεν· ἅπαξ γὰρ τρεῖς γίνονται τρεῖς, τρὶς τρεῖς γίνονται θ. στερεοί τε οὖν εἰσιν οἱ ἄκροι καὶ τρία ἔχουσι διαστήματα, καὶ ὁμογενεῖς εἰσιν αὐτοῖς αἱ μεσότητες, ἀντὶ τοῦ καὶ αὗται στερεαί. ἔστιν οὖν γεωμετρικὴ μὲν ἐμπλέγδην, ἀντὶ τοῦ ἀναπεπλεγμένη καὶ οὐ κατὰ τάξιν αὕτη· ὡς ὁ ιβ πρὸς τὸν η, οὕτως ὁ θ πρὸς τὸν ϛ· διεζευγμένη γὰρ ἐνταῦθα λαμβάνεται. ἔστι δὲ καὶ ἐναλλὰξ ὡς ὁ ιβ πρὸς τὸν θ, οὕτως ὁ η πρὸς τὸν ϛ, ἀριθμητικὴ δὲ γίνεται, ἐπειδὴ ὅσῳ ὁ ιβ τοῦ θ ὑπερέχει, τοσούτῳ ὁ θ τοῦ ϛ. ἁρμονικὴ δὲ οὕτως· ᾧ μέρει ὁ η τοῦ ϛ ὑπερέχει τούτῳ ὑπὸ τοῦ ιβ ὑπερέχεται, ἐν αὐτῷ τῷ ιβ θεωρουμένῳ, ὥσπερ γὰρ ὁ η τοῦ ϛ ὑπερέχει δυάδι, ἡ δὲ δυὰς τέταρτον μέρος ἐστὶ τοῦ η, οὕτως ὁ ιβ τοῦ η τετράδι ὑπερέχει. |
| 2 42 (50) [65] | ἀλλὰ μὴν ἔστιν εὑρεῖν καὶ τῆς ἁρκονικῆς ἐν αὐτοῖς τὰ ὀνόματα· ὁ μὲν γὰρ η πρὸς τὸν ϛ ἢ ὁ ιβ πρὸς τὸν θ τὸν διὰ τεσσάρων λόγον ποιεῖ, ἐν ἐπιτρίτῳ γάρ εἰσιν, ὁ δὲ θ πρὸς τὸν ϛ ἢ ὁ ιβ πρὸς τὸν η τὸν διὰ πέντε, ἐν ἡμιολίῳ γάρ εἰσιν, ὁ δὲ ιβ πρὸς τὸν ϛ τὸν διὰ πασῶν, ἐν διπλασίῳ γάρ· ἡ δὲ ὑπεροχὴ τοῦ ιβ πρὸς τὸν η, ὅ ἐστιν ὁ δ, καὶ ἡ ὑπεροχὴ τοῦ θ πρὸς τὸν η, ὅ ἐστιν ἡ μονάς, τὸν δὶς διὰ πασῶν ποιοῦσιν, ἐν τετραπλασίῳ γάρ. ὁ δὲ θ πρὸς τὸν η τὸν τονιαῖον ποιεῖ, ἐν ἐπογδόῳ γὰρ λόγῳ, ὁ δὲ ἐπόγδοος προστιθέμενος ταῖς χορδαῖς, τόνος τις καὶ ἀπήχησις γίνεται· οὗτος γὰρ ὁ λόγος κοινὸν μέτρον γίνεται πάντων τῶν ἐν τῇ μουσικῇ λόγων, ὡς γνωριμώτερον ὄν. δέδεικται τοίνυν ὅτι διαφορά τις τῶν στοιχειωδεστάτων καὶ πρώτων συμφωνιῶν ὑπάρχει. τοσαῦτα τοίνυν ἀρκείτω πρὸς εἰσαγωγικὴν διδασκαλίαν. |