τοῦτο αἰνιττόμενος ὁ θεῖος Ἰάμβλιχος εἶπεν ὅτι τοῦ ἡνωμένου ἐπʼ ἄπειρόν ἐστιν ἡ τομή, τοῦ ποσοῦ, τουτέστι τοῦ διωρισμένου, ἐπὶ ὡρισμένον, ὅτι τοῦ ἡνωμένου ἐπʼ ἄπειρον αὔξεται ἡ τομή, τουτέστιν ἡ ἐπʼ ἐλάχιστον αὔξησις· εἰ γὰρ τὸν ἐν Ξηρολόφῳ κίονα θέλοι τις εἰς τοσαῦτα τεμεῖν μέχρις ἂν εἰς ἀλεύρου ψήγματα διαλύσαι, τὰ τοιαῦτα ψήγματα εἰ ἀριθμοῖς ὑποβάλλειν ἐπιχειρήσοι, ἀνηνύτοις ἐπιχειρῶν πάντως ὑπονοηθείη. ἡ δὲ αὔξησις ἐπὶ ὡρισμένον· εἰ γὰρ αὐξάνεται ἡ στιγμὴ μέχρι ἂν τῷ οὐρανίῳ μεγέθει παρισωθείη, πεπερασμένην τὴν αὔξησιν σχοίη, ὅπου γε καὶ αὐτὸν οὐρανὸν πεπερασμένον εὑρίσκομεν, εἰς δύο τε διαιρούμενον ἡμισφαίρια καὶ δʹ τεταρτημόρια καὶ ιβʹ τόπους, ἐν οἷς καὶ τὰ ἀποτελούμενα ἐφευρίσκεται, μοίρας τε τξʹ, καὶ ταῦτα πάλιν εἰς ἑξηκοστὰ πόλους τε καὶ νότια καὶ βόρεια κλίματα ὑποδιαιρούμενα καὶ κλωστοὺς παρʼ αὐτῶν τῶν τὰ τοιαῦτα δεινῶν παραλλήλους ἐπικληθέντων. πάντως οὖν πεπερασμένα ταυτί. τοῦ δὲ πλήθους ἐπʼ ἄπειρον μὲν τὴν αὔξησιν διωρίσατο εἶναι, καθὸ τὸ ἓν πολλαπλασιάζειν ἐπινοήσας ἀποκάμοις πρότερον ἤπερ τὴν στάσιν εὕροις τῶν ἀριθμῶν ἢ τὸ πέρας, ἐπεὶ καὶ πάντα τὰ ὄντα εἶπε νοητὰ εἴτε καὶ αἰσθητὰ κατὰ ἀριθμὸν ὑπὸ τοῦ δημιουργοῦ νοῦ καὶ τῆς ἀρρήτου τούτου σοφίας καὶ τοῦ παναγίου καὶ ζῳοποιοῦ αὐτοῦ πνεύματος ἐκτίσθησαν καὶ εἰδοποιηθέντα ἀπετελέσθησαν, ὥστε καὶ τὸν ἀριθμὸν πρῶτον τούτων τίθενται οἱ φιλόσοφοι δημιούργημα. καὶ ἄκουσον αὐτῆς τῆς θείας ἐπιμαρτυρούσης φωνῆς καὶ διαρρήδην βοώσης «ἐν ἀρχῇ ἐποίησεν ὁ θεὸς τὸν οὐρανὸν καὶ τὴν γῆν», τουτέστιν οὐρανὸν ἕνα καὶ γῆν μίαν, καὶ πολλαχοῦ ἂν εὕροις χιλίας χιλιάδας ἀγγέλων καὶ μυρίας μυριάδας. καὶ ταῦτα μὲν οὕτως. τὸ δὲ ἔμπαλιν ἡ τομὴ ἐπὶ ὡρισμένον τοῦτο δηλοῖ· τεμνόμενον γὰρ διχάζεται καὶ εἰς ἥμισυ καὶ ἥμισυ συμπεραίνεται, τὸ δὲ ἥμισυ τὸν δύο δηλοῖ ἀριθμόν, καὶ τί ἂν εἴη τούτων ἐλαττότερον;
οὕτως ὁ Διόφαντος ἐν τοῖς Μοριαστικοῖς· μόρια γὰρ τὴν εἰς ἔλαττον τῶν μονάδων πρόοδον εἰς τὸ ἄπειρον.
ὅτι ἑτερομήκη τὸν ἄρτιον ἐκάλουν οἱ Πυθαγόρειοι, ἀμφιμήκη δὲ τὸν περισσόν.
μονάς α πηλίκον β γ δ ε ϛ ζ η θ ι ποσόν βʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ ζʹ ηʹ θʹ ιʹ ιʹ
ἵνα γένηται κύβος καὶ κύβου τὸ μόριον.
δεῖ λαμβάνειν ἑκάστου ἀριθμοῦ τοὺς παρʼ ἑκάτερα καὶ συντιθέντας ποιεῖν τοὺς ἐφεξῆς ἀρτίους· παντὸς γὰρ ἀριθμοῦ οἱ παρʼ ἑκάτερα ἐγγὺς ἑτερογενεῖς εἰσι κατὰ τὸ ἄρτιον καὶ τὸ περιττόν.
ἀμφοτέρων· ἀρτίου καὶ περιττοῦ.
κατὰ τὸ προδιδαχθὲν ἀνωτέρω λάβδωμα.
ἐν τῇ συνεισφορᾷ τῶν μεʹ.
πλάστιγξ αʹ βʹ γʹ δʹ ἀρτηρία ϛʹ ζʹ ηʹ θʹ πῆχυς ζυγοῦ
ὁ νοῦς τῶν λεγομένων τοιοῦτος· ἀπὸ τῆς μονάδος ἕως τῆς θʹ οἱ ἐφεξῆς ἀριθμοὶ συντεθέντες ἀπογεννῶσι τὸν μεʹ ἀπὸ ἀριθμῶν τινων ἐννέα συσταθέντα αʹ βʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ ζʹ ηʹ θʹ. ἐὰν οὖν τοῦτον τὸν μεʹ ἀριθμὸν εἰς ἴσα διέλωμεν θʹ, ἔσονται πᾶσαι δηλονότι πεντάδες, καὶ ἔσται ὁ μεʹ ἐξ ἀνίσων μὲν συγκείμενος ἀριθμῶν τῶν ἀπὸ μονάδος ἕως ἐννεάδος, εἰς δὲ ἴσα διαιρεθεὶς θʹ μόνην τὴν πεντάδα ἕξει, τοσοῦτον λαβοῦσαν ἐν τῷ μερισμῷ τῆς ἰσότητος, ὅσον καὶ εἰσήνεγκεν. οἱ δὲ πρὸ αὐτῆς ἀριθμοὶ τέσσαρες ἔλασσον εἰσενεγκόντες πλεῖον λήψονται, οἱ δὲ μετʼ αὐτὴν πλεῖον τῶν εʹ εἰσενεγκόντες, ἔλαττον λήψονται οὗ εἰσήνεγκον. ἡ ἄρα πεντὰς δικαιοσύνην μιμεῖται.
ἰστέον ὅτι οὐκ εὐλόγως ἐπιρραπίζεται νῦν ὁ Εὐκλείδου λόγος· ἔφη γὰρ αὐτὸς ἐν τῷ θʹ τοὺς τοιούτους ἀριθμοὺς ἀρτιάκις τε ἀρτίους καὶ ἀρτιάκις περισσοὺς τοὺς αὐτούς.
τούτων τὸ διάγραμμα καὶ τὰς αἰτίας ἐδίδαξεν Εὐκλείδης ἐν τοῖς προηγουμένοις θεωρήμασι τοῦ ηʹ βιβλίου τῆς στοιχειώσεως.
περισσωνυμούντων τοῦ ἀρτιοπερίσσου τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου.
προστρέχει τῷ ἀρτιάκις ἀρτίῳ, ἀφίσταται τοῦ ἀρτιοπερίσσου.
τέως ὁ ἀρτιοπέρισσος, ἐναντίος ὁ ἀρτιάκις ἄρτιος.
ἀριθμητική γεωμετρική
εἰ γὰρ ἡ ποσότης τῆς ἐκθέσεως ᾖ περισσή, τότε τῷ ὑπὸ ἴσον τὸ ἀπὸ τοῦ μέσου. εἰ δὲ ἀρτία, τότε τῷ ὑπὸ ἴσον τὸ ἀπὸ τῶν μέσων.
προσυπακουστέον μετρούμενος.
εἴ τις γὰρ καθʼ αὑτὸν πρῶτος ἀριθμός, οὗτος εὐθὺς καὶ πρὸς ἄλλον πρῶτος, ἀλλʼ οὐκ ἔμπαλιν.
τοῦ παρωνύμου τουτέστι τῆς μονάδος.
ταῦτα διεξοδικῶς καὶ ἀποδεικτικῶς παρʼ Εὐκλείδῃ ἐν τῷ αῳʹ στοιχείῳ τῆς Ἀριθμητικῆς.
ὅτι κατʼ εἰκόνα τῆς ταυτότητος καὶ ἑτερότητος οἱ τετράγωνοι καὶ ἑτερομήκεις ὑφίστανται, οἵτινες ὡς ἀπὸ πυθμένων τῆς μονάδος καὶ δυάδος ἀπαριθμοῦνται.
αὐτοὺς τοὺς Πυθαγορείους.
ὅτι ἡ μὲν διάστασις πάντως σχέσις, ἡ σχέσις δʼ οὐ πάντως διάστασις.
ἀνάλογον ἐνταῦθα κατὰ ἀριθμητικὴν ἀναλογίαν ἐκληπτέον.
ἀνάλογον ὧδε κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν λέγει.
τὸ γραμμικὸν σχόλιον ἄνω … παράκειται.
ἰστέον ὅτι ἑτερόμηκες νῦν καλεῖ κοινότερον καὶ τοὺς προμήκεις κατὰ τὸν καθόλου γεωμετρικὸν κανόνα τὸν νῦν ἡμῖν δεδειγμένον γραμμικῶς.
ἐὰν δύο συνεχεῖς ἑτερομήκεις λάβωμεν πάντως ἄρτιοι ἔσονται, διὰ τὸ τὴν ἑτέραν πλευρὰν ἔχειν αὐτοὺς ἀρτίαν.
διέμ. ἡ περισσότης τῶν τετραγώνων δηλονότι.
γαμμοειδῶς κατὰ γεωμετρικὴν ἀναλογίαν.
πρόλογοι οἱ μείζονες, οἷον τριπλάσιος, ὑπόλογοι οἱ ἐλάσσονες, οἷον τριτημόριος.
παρʼ οὐδὲν ἀντὶ τοῦ ἐφεξῆς.
ἐλάχιστοι γάρ εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς. ταῦτα δὲ Εὐκλείδης γενναιότατα δέδειχεν.
ταῦτα Εὐκλείδης αἰτιολογικώτατα ἐν τοῖς στοιχείοις.
ταῦτα αἰτιωδῶς Εὐκλείδης ἐν τῷ ὀγδόῳ τῶν στοιχείων.
διαφορὰ ἡ ὑπεροχή· διαφορὰν γὰρ τὴν ὑπεροχὴν δεῖ νοεῖν.
οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις, ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα
ταῦτα παρʼ Εὐκλείδῃ καὶ σαφέστερα καὶ συντομώτερα καὶ ἀποδεικτικώτερα ἔκκεινται.
ἐν ἄλλ. τ. σχ. μικτῇ οἷον πολλαπλασιεπιμορίῳ.
ἐπίσημον λέγει τὸν νϛʹ.
ἐπιπ. σχήματος ἀντὶ τοῦ ἐπιφανείας.
ὁμοειδοῦς ἀντὶ τριγώνου.
ἐκείνου τριγώνου δηλονότι.
πάλιν γὰρ αὕτη ἡ δυάς.
ὅτι τὸ τῆς νύσσης ὄνομα οἱ παλαιοὶ τριχῶς ἐκλαμβάνουσιν· ἐπί τε γὰρ τοῦ καμπτῆρος, καὶ ἐπὶ τῆς ἀφετηρίας, τουτέστι τῆς ὕσπληγγος, καὶ ἐπὶ τοῦ πέρατος τῶν ἀγωνιζομένων. παράδειγμα τοῦ μὲν προτέρου Ὅμηρος «ἐν νύσσῃ δέ τοι ἵππος ἀριστερὸς ἐγχριμφθήτω» τοῦ δὲ δευτέρου «τοῖσι δʼ ἀπὸ νύσσης τέτατο δρόμος», τοῦ δὲ τρίτου αὐτὸς Ἰάμβλιχος ὁ συγγραφεύς.
ἐκεῖνοι οἱ τετράγωνοι.
μηκύνει ἀντὶ τοῦ πολλαπλασιάζει.
ἀλλήλοις μιγέντων ἀντὶ τοῦ ἀλλήλους πολλαπλασιασάντων.
οἱ ἐκ τῆς συγκρίσεως τῶν διαφορῶν κατὰ εἰκόνα τοῦ δʹ θεωρήματος τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν στοιχείων.
τῷ διαγράμματι τῷ τῶν τετραγώνων καὶ ἑτερομηκῶν.
κατὰ δεκάδος ὑπεροχήν, ἀλλʼ οὐχὶ κατὰ μονάδος.
διὰ τὸ ὀρθογώνια ἰσοσκελῆ ὑποκεῖσθαι τὰ τοιαῦτα τρίγωνα.
τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ ἀπὸ τῆς πλευρᾶς.
ἐν τῷ μζʹ τοῦ πρώτου τῶν στοιχείων Εὐκλείδου.
τὸ αὐξηθεὶς ἀντὶ τοῦ πολλαπλασιασθεὶς δεῖ ἀκούειν.
τετράγωνος τοῦτο δυναμοδύναμιν ὁ Διόφαντος καλεῖ.
λαβόντος πολλαπλασιάσαντος.
κύβος τοῦτον κυβόκυβον καλεῖ ὁ Διόφαντος.
τοῖς διὰ τῶν Εὐκλείδου στοιχείων ἡγουμένοις περὶ ἀναλογιῶν ἐντεῦθεν ἄρχεται.
συνεκδρομικῶς νῦν ὁ φιλόσοφος λέγει καὶ δεῖ ἀσφαλῶς ἀκοῦσαι τοῦ λόγου· οὐ γὰρ ἁπλῶς τὰ ὁμογενῆ δεῖ συγκρίνειν, οὐδὲ γὰρ γραμμὴν πρὸς ἐπιφάνειαν συγκρίνομεν, ἀλλὰ δεῖ τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ προσεχὲς γένος συγκρίνειν, οἷον ἐπίπεδον ἐπιφάνειαν πρὸς κωνικὴν ἐπιφάνειαν ἢ σφαιρικήν, ὡς καὶ Ἀρχιμήδης ἐποίησε.
ἐπὶ ἀριθμῶν τοῦτο ἀκουστέον μόνον· ἐπὶ γὰρ μεγεθῶν οὐ συμβαίνει.
ἡ γὰρ μονὰς ἀμερής ἐστι.
οὐ γὰρ ὥσπερ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀεὶ δυνατὸν τρίτην ἀνάλογον εὑρίσκειν, οὕτως καὶ δύο δοθέντων ἀριθμῶν δυνατὸν ἀεὶ τρίτον εὑρεῖν.
ἐν τῷ Τιμαίῳ.
τὰ ἴδια τῆς ἁρμονικῆς μεσότητος τελεώτερον μαθησόμεθα ἐν τῷ τελευταίῳ θεωρήματι τοῦ πρώτου βιβλίου τῆς Διοφάντου ἀριθμητικῆς στοιχειώσεως καὶ ἐκεῖθεν δεῖ τὸν φιλόπονον ἀναλέγεσθαι ταῦτα.