--- title: "Synagogue: Book VII" title_greek: "Συναγωγή, Ζʹ" author: Pappus of Alexandria eul_wid: txs-abf eul_aid: txs canonical: "https://eulogikon.org/works/pappus-alexandria-synagogue-book-7-txs-abf" lang: grc period: Late Antique dialect: Koine content_hash: "sha256:93fbf656b2870ceadbce285540551cff34d8bb022c2b0473f5eb1f58b2627ecf" content_modified_at: "2026-10-23" license: "https://creativecommons.org/publicdomain/mark/1.0/" --- # Synagogue: Book VII *Συναγωγή, Ζʹ* **Author:** Pappus of Alexandria **eul_wid:** `txs-abf` · [HTML page](https://eulogikon.org/works/pappus-alexandria-synagogue-book-7-txs-abf) ## Text Part of [Synagogue](/works/pappus-alexandria-synagogue-txs-ab) `7.634` ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Ζ. Περιέχει δὲ λήμματα τοῦ ἀναλυομένου. Ὁ καλούμενος ἀναλυόμενος, Ἑρμόδωρε τέκνον, κατὰ σύλληψιν ἰδία τίς ἐστιν ὕλη παρεσκευασμένη μετὰ τὴν τῶν κοινῶν στοιχείων ποίησιν τοῖς βουλομένοις ἀναλαμβάνειν ἐν γραμμαῖς δύναμιν εὑρετικὴν τῶν προτεινομένων αὐτοῖς προβλημάτων, καὶ εἰς τοῦτο μόνον χρησίμη καθεστῶσα. γέγραπται δὲ ὑπὸ τριῶν ἀνδρῶν, Εὐκλείδου τε τοῦ στοιχειωτοῦ καὶ Ἀπολλωνίου τοῦ Περγαίου καὶ Ἀρισταίου τοῦ πρεσβυτέρου, κατὰ ἀνάλυσιν καὶ σύνθεσιν ἔχουσα τὴν ἔφοδον. ἀνάλυσις τοίνυν ἐστὶν ὁδὸς ἀπὸ τοῦ ζητουμένου ὡς ὁμολογουμένου διὰ τῶν ἑξῆς ἀκολούθων ἐπί τι ὁμολογούμενον συνθέσει· ἐν μὲν γὰρ τῇ ἀναλύσει τὸ ζητούμενον ὡς γεγονὸς ὑποθέμενοι τὸ ἐξ οὗ τοῦτο συμβαίνει σκοπούμεθα καὶ πάλιν ἐκείνου τὸ προηγούμενον, ἕως ἂν οὕτως ἀναποδίζοντες καταντήσωμεν εἴς τι τῶν ἤδη γνωριζομένων ἢ τάξιν ἀρχῆς ἐχόντων· καὶ τὴν τοιαύτην ἔφοδον ἀνάλυσιν καλοῦμεν, οἷον ἀνάπαλιν λύσιν. ἐν δὲ τῇ συνθέσει ἐξ ὑποστροφῆς τὸ ἐν τῇ ἀναλύσει καταληφθὲν ὕστατον ὑποστησάμενοι γεγονὸς ἤδη, καὶ ἑπόμενα τὰ ἐκεῖ προηγούμενα κατὰ φύσιν τάξαντες καὶ ἀλλήλοις ἐπισυνθέντες, εἰς τέλος ἀφικνούμεθα τῆς τοῦ ζητουμένου κατασκευῆς· καὶ τοῦτο καλοῦμεν σύνθεσιν. `7.636` Διττὸν δʼ ἐστὶν ἀναλύσεως γένος, τὸ μὲν ζητητικὸν τἀληθοῦς, ὃ καλεῖται θεωρητικόν, τὸ δὲ ποριστικὸν τοῦ προταθέντος, ὃ καλεῖται προβληματικόν. ἐπὶ μὲν οὖν τοῦ θεωρητικοῦ γένους τὸ ζητούμενον ὡς ὂν ὑποθέμενοι καὶ ὡς ἀληθές, εἶτα διὰ τῶν ἑξῆς ἀκολούθων ὡς ἀληθῶν καὶ ὡς ἔστιν καθʼ ὑπόθεσιν προελθόντες ἐπί τι ὁμολογούμενον, ἐὰν μὲν ἀληθὲς ᾖ ἐκεῖνο τὸ ὁμολογούμενον, ἀληθὲς ἔσται καὶ τὸ ζητούμενον, καὶ ἡ ἀπόδειξις ἀντίστροφος τῇ ἀναλύσει, ἐὰν δὲ ψεύδει ὁμολογουμένῳ ἐντύχωμεν, ψεῦδος ἔσται καὶ τὸ ζητούμενον. ἐπὶ δὲ τοῦ προβληματικοῦ γένους τὸ προταθὲν ὡς γνωσθὲν ὑποθέμενοι, εἶτα διὰ τῶν ἑξῆς ἀκολούθων ὡς ἀληθῶν προελθόντες ἐπί τι ὁμολογούμενον, ἐὰν μὲν τὸ ὁμολογούμενον δυνατὸν ᾖ καὶ ποριστόν, ὃ καλοῦσιν οἱ ἀπὸ τῶν μαθημάτων δοθέν, δυνατὸν ἔσται καὶ τὸ προταθέν, καὶ πάλιν ἡ ἀπόδειξις ἀντίστροφος τῇ ἀναλύσει, ἐὰν δὲ ἀδυνάτῳ ὁμολογουμένῳ ἐντύχωμεν, ἀδύνατον ἔσται καὶ τὸ πρόβλημα. Τοσαῦτα μὲν οὖν περὶ ἀναλύσεως καὶ συνθέσεως. Τῶν δὲ προειρημένων τοῦ ἀναλυομένου βιβλίων ἡ τάξις ἐστὶν τοιαύτη· Εὐκλείδου δεδομένων βιβλίον αʹ, Ἀπολλωνίου λόγου ἀποτομῆς βʹ, χωρίου ἀποτομῆς βʹ, διωρισμένης τομῆς δύο, ἐπαφῶν δύο, Εὐκλείδου πορισμάτων τρία, Ἀπολλωνίου νεύσεων δύο, τοῦ αὐτοῦ τόπων ἐπιπέδων δύο, κωνικῶν ηʹ, Ἀρισταίου τόπων στερεῶν πέντε, Εὐκλείδου τόπων τῶν πρὸς ἐπιφανείᾳ δύο, Ἐρατοσθένους περὶ μεσοτήτων δύο. γίνεται βιβλία λγʹ, ὧν τὰς περιοχὰς μέχρι τῶν Ἀπολλωνίου κωνικῶν ἐξεθέμην σοι πρὸς ἐπίσκεψιν, καὶ τὸ πλῆθος τῶν τόπων καὶ τῶν διορισμῶν καὶ τῶν πτώσεων καθʼ ἕκαστον βιβλίον, ἀλλὰ καὶ τὰ λήμματα τὰ ζητούμενα, καὶ οὐδεμίαν ἐν τῇ πραγματείᾳ τῶν βιβλίων καταλέλοιπα ζήτησιν, ὡς ἐνόμιζον. `7.638–7.640` Περιέχει δὲ τὸ πρῶτον βιβλίον, ὅπερ ἐστὶν τῶν δεδομένων, ἅπαντα θεωρήματα ἐνενήκοντα· ὧν πρῶτα μὲν καθόλου ἐπὶ μεγεθῶν κγʹ, τὸ δὲ δʹ καὶ κʹ ἐν εὐθείαις ἐστὶν ἀνάλογον ἄνευ θέσεως. τὰ δὲ ἑξῆς τούτοις ιδʹ ἐν εὐθείαις ἐστὶν θέσει δεδομέναις. τὰ δὲ τούτοις ἑξῆς ιʹ ἐπὶ τριγώνων ἐστὶν τῷ εἴδει δεδομένων ἄνευ θέσεως. τὰ δὲ ἑξῆς τούτοις ζʹ ἐπὶ τυχόντων ἐστὶν εὐθυγράμμων χωρίων εἴδει δεδομένων ἄνευ θέσεως. τὰ δὲ ἑξῆς τούτοις ϛʹ ἐν παραλληλογράμμοις ἐστὶ καὶ παραβολαῖς εἴδει δεδομένων χωρίων. τῶν δὲ ἐχομένων εʹ τὸ μὲν πρῶτον γραφόμενόν ἐστιν, τὰ δὲ δʹ ἐπὶ τριγώνων χωρίων, ὅτι αἱ διαφοραὶ τῶν δυνάμεων τῶν πλευρῶν πρὸς ταῦτα τὰ τρίγωνα χωρία λόγον ἔχουσιν δεδομένον. τὰ δὲ ἑξῆς ζʹ ἕως τοῦ οʹ καὶ γʹ ἐν δυσὶ παραλληλογράμμοις, ὅτι διὰ τὰς ἐν ταῖς γωνίαις ὑποθέσεις ἐν δεδομένοις ἐστὶν λόγοις πρὸς ἄλληλα· ἔνια δὲ τούτων ἐπιλόγους ἔχει ὁμοίους ἐν δυσὶ τριγώνοις. ἐν δὲ τοῖς ἐφεξῆς ϛʹ διαγράμμασιν ἕως τοῦ οʹ καὶ θʹ δύο μέν ἐστιν ἐπὶ τριγώνων, δʹ δὲ ἐπὶ πλειόνων εὐθειῶν ἀνάλογον οὐσῶν. τὰ δὲ ἑξῆς γʹ ἐπὶ δύο εὐθειῶν δοθέν τι περιεχουσῶν χωρίον. τὰ δὲ ἐπὶ πᾶσιν ηʹ ἕως τοῦ ϙʹ ἐν κύκλοις δείκνυται τοῖς μὲν μεγέθει μόνον δεδομένοις, τοῖς δὲ καὶ θέσει. Τῆς δʼ ἀποτομῆς τοῦ λόγου βιβλίων ὄντων βʹ πρότασίς ἐστιν μία ὑποδιῃρημένη· διὸ καὶ μίαν πρότασιν οὕτως γράφω· διὰ τοῦ δοθέντος σημείου εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν τέμνουσαν ἀπὸ τῶν τῇ θέσει δοθεισῶν δύο εὐθειῶν πρὸς τοῖς ἐπʼ αὐτῶν δοθεῖσι σημείοις λόγον ἐχούσας τὸν αὐτὸν τῷ δοθέντι. τὰς δὲ γραφὰς διαφόρους γενέσθαι καὶ πλῆθος λαβεῖν συμβέβηκεν, ὑποδιαιρέσεως γενομένης, ἕνεκα τῆς τε πρὸς ἀλλήλας θέσεως τῶν δεδομένων εὐθειῶν καὶ τῶν διαφόρων πτώσεων τοῦ δεδομένου σημείου καὶ διὰ τὰς ἀναλύσεις καὶ συνθέσεις αὐτῶν τε καὶ τῶν διορισμῶν. ἔχει γὰρ τὸ μὲν πρῶτον βιβλίον τῶν λόγου ἀποτομῆς τόπους ζʹ, πτώσεις κδʹ, διορισμοὺς δὲ εʹ, ὧν τρεῖς μέν εἰσιν μέγιστοι, δύο δὲ ἐλάχιστοι· καὶ ἔστι μέγιστος μὲν κατὰ τὴν τρίτην πτῶσιν τοῦ εʹ τόπου, ἐλάχιστος δὲ κατὰ τὴν δευτέραν τοῦ ϛʹ τόπου καὶ κατὰ τὴν αὐτὴν τοῦ ζʹ τόπου, μέγιστοι δὲ οἱ κατὰ τὰς τετάρτας τοῦ ϛʹ καὶ τοῦ ζʹ τόπου. τὸ δὲ δεύτερον βιβλίον λόγου ἀποτομῆς ἔχει τόπους ιδʹ, πτώσεις δὲ ξγʹ, διορισμοὺς δὲ τοὺς ἐκ τοῦ πρώτου· ἀπάγεται γὰρ ὅλον εἰς τὸ πρῶτον. Λήμματα δὲ ἔχει τὰ λόγου ἀποτομῆς κʹ, αὐτὰ δὲ τὰ δύο βιβλία τῶν λόγου ἀποτομῆς θεωρημάτων ἐστὶν ρπαʹ, κατὰ δὲ Περικλέα πλειόνων ἢ τοσούτων. `7.642` Τῆς δʼ ἀποτομῆς τοῦ χωρίου βιβλία μέν ἐστιν δύο, πρόβλημα δὲ κἀν τούτοις ἕν, ὑποδιαιρούμενον δίς· καὶ τούτων μία πρότασίς ἐστιν τὰ μὲν ἄλλα ὁμοίως ἔχουσα τῇ προτέρᾳ, μόνῳ δὲ τούτῳ διαφέρουσα τῷ δεῖν τὰς ἀποτεμνομένας δύο εὐθείας ἐν ἐκείνῃ μὲν λόγον ἐχούσας δοθέντα ποιεῖν, ἐν δὲ ταύτῃ χωρίον περιεχούσας δοθέν. ῥηθήσεται γὰρ οὕτως· διὰ τοῦ δοθέντος σημείου εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν τέμνουσαν ἀπὸ τῶν δοθεισῶν θέσει δύο εὐθειῶν πρὸς τοῖς ἐπʼ αὐτῶν δοθεῖσι σημείοις χωρίον περιεχούσας ἴσον τῷ δοθέντι. καὶ αὕτη δὲ διὰ τὰς αὐτὰς αἰτίας τὸ πλῆθος ἔσχηκε τῶν γραφομένων. ἔχει δὲ τὸ μὲν αʹ βιβλίον χωρίου ἀποτομῆς τόπους ζʹ, πτώσεις κδʹ, διορισμοὺς ζʹ, ὧν δʹ μὲν μέγιστοι, τρεῖς δὲ ἐλάχιστοι· καὶ ἔστι μέγιστος μὲν κατὰ τὴν δευτέραν πτῶσιν τοῦ πρώτου τόπου, καὶ ὁ κατὰ τὴν πρώτην πτῶσιν τοῦ βʹ τόπου, καὶ ὁ κατὰ τὴν βʹ τοῦ δʹ, καὶ ὁ κατὰ τὴν τρίτην τοῦ ϛʹ τόπου, ἐλάχιστος δὲ ὁ κατὰ τὴν τρίτην πτῶσιν τοῦ τρίτου τόπου, καὶ ὁ κατὰ τὴν δʹ τοῦ δʹ τόπου, καὶ ὁ κατὰ τὴν πρώτην τοῦ ἕκτου τόπου. τὸ δὲ δεύτερον βιβλίον τῶν χωρίου ἀποτομῆς ἔχει τόπους ιγʹ, πτώσεις δὲ ξʹ, διορισμοὺς δὲ τοὺς ἐκ τοῦ πρώτου· ἀπάγεται γὰρ εἰς αὐτό. Θεωρήματα δὲ ἔχει τὸ μὲν πρῶτον βιβλίον μηʹ, τὸ δὲ δεύτερον οϛʹ. `7.644` Ἑξῆς δὲ τούτοις ἀναδέδοται τῆς διωρισμένης τομῆς βιβλία βʹ, ὧν ὁμοίως τοῖς πρότερον μίαν πρότασιν πάρεστιν λέγειν, διεζευγμένην δὲ ταύτην· τὴν δοθεῖσαν ἄπειρον εὐθεῖαν ἑνὶ σημείῳ τεμεῖν, ὥστε τῶν ἀπολαμβανομένων εὐθειῶν πρὸς τοῖς ἐπʼ αὐτῆς δοθεῖσι σημείοις ἤτοι τὸ ἀπὸ μιᾶς τετράγωνον ἢ τὸ ὑπὸ δύο ἀπολαμβανομένων περιεχόμενον ὀρθογώνιον δοθέντα λόγον ἔχειν ἤτοι πρὸς τὸ ἀπὸ μιᾶς τετράγωνον ἢ πρὸς τὸ ὑπὸ μιᾶς ἀπολαμβανομένης καὶ τῆς ἔξω δοθείσης ἢ πρὸς τὸ ὑπὸ δύο ἀπολαμβανομένων περιεχόμενον ὀρθογώνιον, ἐφʼ ὁπότερʼ ἂν χρῇ τῶν δοθέντων σημείων. καὶ ταύτης ἅτε δὶς διεζευγμένης καὶ περισκελεῖς διορισμοὺς ἐχούσης διὰ πλειόνων ἡ δεῖξις γέγονεν ἐξ ἀνάγκης. ἔχει δὲ τὸ μὲν πρῶτον βιβλίον προβλήματα ϛʹ, ἐπιτάγματα ιϛʹ, διορισμοὺς εʹ, ὧν μεγίστους μὲν δʹ, ἐλάχιστον δὲ ἕνα· καὶ εἰσὶν μέγιστοι μὲν ὅ τε κατὰ τὸ δεύτερον ἐπίταγμα τοῦ δευτέρου προβλήματος καὶ ὁ κατὰ τὸ γʹ τοῦ δʹ προβλήματος καὶ ὁ κατὰ τὸ τρίτον τοῦ εʹ καὶ ὁ κατὰ τὸ τρίτον τοῦ ἕκτου, ἐλάχιστος δὲ ὁ κατὰ τὸ τρίτον ἐπίταγμα τοῦ τρίτου προβλήματος. τὸ δὲ δεύτερον διωρισμένης τομῆς ἔχει προβλήματα τρία, ἐπιτάγματα θʹ, διορισμοὺς γʹ· ὧν εἰσιν ἐλάχιστοι μὲν ὅ τε κατὰ τὸ τρίτον τοῦ πρώτου καὶ ὁ κατὰ τὸ τρίτον τοῦ δευτέρου, μέγιστος δὲ ὁ κατὰ τὸ τρίτον τοῦ τρίτου προβλήματος. Λήμματα δὲ ἔχει τὸ μὲν πρῶτον βιβλίον κζʹ, τὸ δὲ δεύτερον κδʹ. θεωρημάτων δέ ἐστιν τὰ δύο βιβλία διωρισμένης τομῆς πγʹ. `7.646` Ἑξῆς δὲ τούτοις τῶν ἐπαφῶν ἐστιν βιβλία δύο. προτάσεις δὲ ἐν αὐτοῖς δοκοῦσιν εἶναι πλείονες. ἀλλὰ καὶ τούτων μίαν τίθεμεν οὕτως ἔχουσαν· ἑξῆς σημείων καὶ εὐθειῶν καὶ κύκλων τριῶν ὁποιωνοῦν θέσει δοθέντων κύκλον ἀγαγεῖν διʼ ἑκάστου τῶν δοθέντων σημείων — εἰ δοθείη — ἐφαπτόμενον ἑκάστης τῶν δοθεισῶν γραμμῶν. ταύτης διὰ πλήθη τῶν ἐν ταῖς ὑποθέσεσι δεδομένων ὁμοίων ἢ ἀνομοίων κατὰ μέρος διαφόρους προτάσεις ἀναγκαῖον γίνεσθαι δέκα· ἐκ τῶν τριῶν γὰρ ἀνομοίων γενῶν τριάδες διάφοροι ἄτακτοι γίνονται ιʹ. ἤτοι γὰρ δεδομένα τρία σημεῖα ἢ τρεῖς εὐθεῖαι ἢ δύο σημεῖα καὶ εὐθεῖα ἢ δύο εὐθεῖαι καὶ σημεῖον ἢ δύο σημεῖα καὶ κύκλος ἢ δύο κύκλοι καὶ σημεῖον ἢ δύο εὐθεῖαι καὶ κύκλος ἢ δύο κύκλοι καὶ εὐθεῖα ἢ σημεῖον καὶ εὐθεῖα καὶ κύκλος ἢ τρεῖς κύκλοι. τούτων δύο μὲν τὰ πρῶτα δέδεικται ἐν τῷ δʹ βιβλίῳ τῶν πρώτων στοιχείων· ὃ παρεῖμεν γράφειν· τὸ μὲν γὰρ τριῶν δοθέντων σημείων μὴ ἐπʼ εὐθείας ὄντων τὸ αὐτό ἐστιν τῷ περὶ τὸ δοθὲν τρίγωνον κύκλον περιγράψαι, τὸ δὲ γʹ δοθεισῶν εὐθειῶν μὴ παραλλήλων οὐσῶν — ἀλλὰ τῶν τριῶν συμπιπτουσῶν — τὸ αὐτό ἐστιν τῷ εἰς τὸ δοθὲν τρίγωνον κύκλον ἐγγράψαι· τὸ γὰρ δύο παραλλήλων οὐσῶν καὶ μιᾶς ἐμπιπτούσης ὡς μέρος ὂν τῆς τοῦ βʹ ὑποδιαιρέσεως προγράφεται ἐν τούτοις πάντων. καὶ τὰ ἑξῆς ϛʹ ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ, τὰ δὲ λειπόμενα δύο, τὸ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν καὶ κύκλου, ἢ τριῶν δοθέντων κύκλων, μόνον ἐν τῷ δευτέρῳ βιβλίῳ διὰ τὰς πρὸς ἀλλήλους θέσεις τῶν κύκλων τε καὶ εὐθειῶν πλείονας οὔσας καὶ πλειόνων διορισμῶν δεομένας. `7.648` Ταῖς προειρημέναις ἐπαφαῖς ὁμογενὲς πλῆθός ἐστιν προβλημάτων παραλειπόμενον ὑπὸ τῶν ἀναδιδόντων, καὶ προσανέδωκα ἐν τοῖς πρότερον τῶν εἰρημένων δύο βιβλίων· εὐσυνοπτόν τε γὰρ καὶ εἰσαγωγικὸν μᾶλλον ἦν ἐντελὲς δὲ καὶ συμπληρωτικὸν τοῦ γένους τῶν ἐπαφῶν. πάλιν μιᾷ περιλάβωμεν ἅπαντα προτάσει, ἥτις τῆς προειρημένης λείπουσα μὲν ὑποθέσει περιττεύουσα δὲ ἐπιτάγματι οὕτως ἔχει· ἐκ σημείων καὶ εὐθειῶν καὶ κύκλων ὁποιωνοῦν δύο δοθέντων κύκλον γράψαι τῷ μεγέθει δοθέντα διὰ τοῦ δοθέντος σημείου ἢ τῶν δοθέντων παραγινόμενον εἰ δοθείη ἐφαπτόμενον δὲ ἑκάστης τῶν δεδομένων γραμμῶν. αὕτη περιέχει προβλημάτων ἤδη τὸ πλῆθος ἕξ· ἐκ τριῶν γὰρ διαφόρων τινῶν δυάδες ἄτακτοι διάφοροι γίνονται τὸ πλῆθος ϛʹ· ἤτοι γὰρ δύο δοθέντων σημείων ἢ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἢ δύο δοθέντων κύκλων ἢ σημείου καὶ εὐθείας ἢ σημείου καὶ κύκλου ἢ εὐθείας καὶ κύκλου τὸν δεδομένον τῷ μεγέθει κύκλον ἀγαγεῖν δεῖ, ὡς εἴρηται, ταῦτα δὲ ἀναλῦσαι καὶ συνθεῖναι καὶ διορίσασθαι κατὰ πτῶσιν. Ἔχει δὲ τὸ πρῶτον τῶν ἐπαφῶν προβλήματα ζʹ, τὸ δὲ δεύτερον προβλήματα δʹ. Λήμματα δὲ ἔχει τὰ δύο βιβλία καʹ, αὐτὰ δὲ θεωρημάτων ἐστὶν ξʹ. `7.654` Μετὰ δὲ τὰς ἐπαφὰς ἐν τρισὶ βιβλίοις πορίσματά ἐστιν Εὐκλείδου ἄθροισμα φιλοτεχνότατον εἰς τὴν ἀνάλυσιν τῶν ἐμβριθεστέρων προβλημάτων, τῶν γενῶν ἀπερίληπτον τῆς φύσεως παρεχομένης πλῆθος. ἅπαντα δὲ αὐτῶν τὰ εἴδη οὔτε θεωρημάτων ἐστὶν οὔτε προβλημάτων ἀλλὰ μέσον πως τούτων ἐχούσης ἰδέας, παρʼ ὃ καὶ συμβέβηκε τῶν πολλῶν γεωμετρῶν τοὺς μὲν ὑπολαμβάνειν αὐτὰ εἶναι τῷ γένει θεωρήματα τοὺς δὲ προβλήματα, ἀποβλέποντας εἰς τὸ σχῆμα μόνον τῆς προτάσεως. τὴν δὲ διαφορὰν τῶν τριῶν τούτων ὅτι βέλτιον ᾔδεσαν οἱ ἀρχαῖοι, δῆλον ἐκ τῶν ὅρων· ἔφασαν γὰρ θεώρημα μὲν εἶναι τὸ προτεινόμενον εἰς ἀπόδειξιν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου, πρόβλημα δὲ τὸ προβαλλόμενον εἰς κατασκευὴν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου, πόρισμα δὲ τὸ προτεινόμενον εἰς πορισμὸν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου. συμβέβηκε δὲ καὶ τοῦτο τοῖς πορίσμασιν, τὰς προτάσεις ἔχειν ἐπιτετμημένας διὰ τὴν σκολιότητα πολλῶν συνήθως συνυπακουομένων, ὥστε πολλοὺς τῶν γεωμετρῶν ἐπὶ μὲν μέρους ἐκδέχεσθαι, τὰ δὲ ἀναγκαιότερα ἀγνοεῖν τῶν σημαινομένων. διὸ καὶ περιλαβεῖν ταύτας μιᾷ προτάσει ἐνδεχόμενον εὑρόντες οὕτως ἐγράψαμεν· ἐὰν ὑπτίου ἢ παρυπτίου τρία τὰ ἐπὶ μιᾶς σημεῖα δεδομένα ᾖ, τὰ δὲ λοιπὰ πλὴν ἑνὸς ἅπτηται θέσει δεδομένης εὐθείας, καὶ τοῦθʼ ἅψεται θέσει δεδομένης εὐθείας. τοῦτʼ ἐπὶ τεσσάρων μὲν εὐθειῶν εἴρηται μόνων, ὧν οὐ πλείονες ἢ δύο διὰ τοῦ αὐτοῦ σημείου εἰσίν, ἀγνοεῖται δὲ ἐπὶ παντὸς τοῦ προτεινομένου πλήθους ἀληθὲς ὑπάρχον οὕτως λεγόμενον· ἐὰν ὁποσαιοῦν εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, μὴ πλείονες ἢ δύο διὰ τοῦ αὐτοῦ σημείου, πάντα δὲ ἐπὶ μιᾶς αὐτῶν δεδομένα ᾖ, καὶ τῶν ἐπὶ ἑτέρας ἕκαστον ἅπτηται θέσει δεδομένης εὐθείας, ἢ καθολικώτερον οὕτως· ἐὰν ὁποσαιοῦν εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, μὴ πλείονες ἢ δύο διὰ τοῦ αὐτοῦ σημείου, πάντα δὲ τὰ ἐπὶ μιᾶς αὐτῶν σημεῖα δεδομένα ᾖ, τῶν δὲ λοιπῶν τὸ πλῆθος ἐχόντων τρίγωνον ἀριθμὸν ἡ πλευρὰ τούτου ἕκαστον ἔχῃ σημεῖον ἁπτόμενον εὐθείας θέσει δεδομένης, τῶν τριῶν μὴ πρὸς γωνίαις ὑπαρχόντων τριγώνου χωρίου, ἕκαστον λοιπὸν σημεῖον ἅψεται θέσει δεδομένης εὐθείας. τὸν δὲ στοιχειωτὴν οὐκ εἰκὸς ἀγνοῆσαι τοῦτο, τὴν δʼ ἀρχὴν μόνην τάξαι· καὶ ἐπὶ πάντων δὲ τῶν πορισμάτων φαίνεται ἀρχὰς καὶ σπέρματα μόνα καταβεβλημένος, ὧν τὰ γένη οὐ κατὰ τὰς τῶν ὑποθέσεων διαφορὰς διαστέλλειν δεῖ, ἀλλὰ κατὰ τὰς τῶν συμβεβηκότων καὶ ζητουμένων. Ποιητέον οὖν ἐν μὲν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ ταῦτα τὰ γένη τῶν ἐν ταῖς προτάσεσι ζητουμένων· `7.656` ἐὰν ἀπὸ δύο δεδομένων σημείων πρὸς θέσει δεδομένην εὐθεῖαι κλασθῶσιν, ἀποτέμνῃ δὲ μία ἀπὸ θέσει δεδομένης εὐθείας πρὸς τῷ ἐπʼ αὐτῆς δεδομένῳ σημείῳ, ἀποτεμεῖ καὶ ἡ ἑτέρα ἀπὸ ἑτέρας λόγον ἔχουσαν δοθέντα· ἐν δὲ τοῖς ἑξῆς· ὅτι τόδε τὸ σημεῖον ἅπτεται θέσει δεδομένης εὐθείας· ὅτι λόγος τῆσδε πρὸς τήνδε δοθείς· ὅτι λόγος τῆσδε πρὸς ἀποτομήν· ὅτι ἥδε θέσει δεδομένη ἐστίν· ὅτι ἥδε ἐπὶ δοθὲν νεύει· ὅτι λόγος τῆσδε πρός τινα ἀπὸ τοῦδε ἕως δοθέντος· ὅτι λόγος τῆσδε πρός τινα ἀπὸ τοῦδε κατηγμένην· ὅτι λόγος τοῦδε τοῦ χωρίου πρὸς τὸ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆσδε· ὅτι τοῦδε τοῦ χωρίου ὃ μέν τι δοθέν ἐστιν, ὃ δὲ λόγον ἔχει πρὸς ἀποτομήν· ὅτι τόδε τὸ χωρίον ἢ τόδε μετά τινος χωρίου δοθέντος ἐστίν, ἐκεῖνο δὲ λόγον ἔχει πρὸς ἀποτομήν· ὅτι μεθʼ ἧς πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δοθέντα, λόγον ἔχει πρός τινα ἀπὸ τοῦδε ἕως δοθέντος· ὅτι τὸ ὑπὸ δοθέντος καὶ τῆσδε ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ δοθέντος καὶ τῆς ἀπὸ τοῦδε ἕως δοθέντος· `7.658` ὅτι λόγος τῆσδε καὶ τῆσδε πρός τινα ἀπὸ τοῦδε ἕως δοθέντος· ὅτι ἥδε ἀποτέμνει ἀπὸ θέσει δεδομένων δοθὲν περιεχούσας. Ἐν δὲ τῷ δευτέρῳ βιβλίῳ ὑποθέσεις μὲν ἕτεραι, τῶν δὲ ζητουμένων τὰ μὲν πλείονα τὰ αὐτὰ τοῖς ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ, περισσὰ δὲ ταῦτα· ὅτι τόδε τὸ χωρίον ἢ τόδε μετὰ δοθέντος λόγον ἔχει πρὸς ἀποτομήν· ὅτι λόγος τοῦ ὑπὸ τῶνδε πρὸς ἀποτομήν· ὅτι λόγος τοῦ ὑπὸ συναμφοτέρων τῶνδε καὶ συναμφοτέρων τῶνδε πρὸς ἀποτομήν· ὅτι τὸ ὑπὸ τῆσδε καὶ συναμφοτέρου τῆσδέ τε καὶ τῆς πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δοθέντα καὶ τὸ ὑπὸ τῆσδε καὶ τῆς πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δοθέντα λόγον ἔχει πρὸς ἀποτομήν· ὅτι λόγος συναμφοτέρου πρός τινα ἀπὸ τοῦδε ἕως δοθέντος· ὅτι δοθὲν τὸ ὑπὸ τῶνδε. Ἐν δὲ τῷ τρίτῳ βιβλίῳ αἱ μὲν πλείονες ὑποθέσεις ἐπὶ ἡμικυκλίων εἰσίν, ὀλίγαι δὲ ἐπὶ κύκλου καὶ τμημάτων· τῶν δὲ. ζητουμένων τὰ μὲν πολλὰ παραπλησίως τοῖς ἔμπροσθεν, περισσὰ δὲ ταῦτα· `7.660` ὅτι λόγος τοῦ ὑπὸ τῶνδε πρὸς τὸ ὑπὸ τῶνδε· ὅτι λόγος τοῦ ἀπὸ τῆσδε πρὸς ἀποτομήν· ὅτι τὸ ὑπὸ τῶνδε τῷ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς ἀπὸ τοῦδε ἕως δοθέντος· ὅτι τὸ ἀπὸ τῆσδε τῷ ὑπὸ δοθείσης καὶ ἀπολαμβανομένης ὑπὸ καθέτου ἕως δοθέντος· ὅτι συναμφότερος ἥδε καὶ πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δοθέντα λόγον ἔχει πρὸς ἀποτομήν· ὅτι ἔστιν τι δοθὲν σημεῖον ἀφʼ οὗ αἱ ἐπιζευγνύμεναι ἐπὶ τούσδε δοθὲν περιέξουσι τῷ εἴδει τρίγωνον· ὅτι ἔστιν τι δοθὲν σημεῖον ἀφʼ οὗ αἱ ἐπιζευγνύμεναι ἐπὶ τόνδε ἴσας ἀπολαμβάνουσι περιφερείας· ὅτι ἥδε ἤτοι ἐν παραθέσει ἐστὶν ἢ μετά τινος εὐθείας ἐπὶ δοθὲν νευούσης δοθεῖσαν περιέχει γωνίαν. Ἔχει δὲ τὰ τρία βιβλία τῶν πορισμάτων λήμματα ληʹ, αὐτὰ δὲ θεωρημάτων ἐστὶν ροαʹ. Τόπων ἐπιπέδων δύο. `7.662` Τῶν τόπων καθόλου οἱ μέν εἰσιν ἐφεκτικοί, ὡς καὶ Ἀπολλώνιος πρὸ τῶν ἰδίων στοιχείων λέγει σημείου μὲν τόπον σημεῖον, γραμμῆς δὲ τόπον γραμμήν, ἐπιφανείας δὲ ἐπιφάνειαν, στερεοῦ δὲ στερεόν, οἱ δὲ διεξοδικοί, ὡς σημείου μὲν γραμμήν, γραμμῆς δʼ ἐπιφάνειαν, ἐπιφανείας δὲ στερεόν, οἱ δὲ ἀναστροφικοί, ὡς σημείου μὲν ἐπιφάνειαν, γραμμῆς δὲ στερεόν. Οἱ μὲν οὖν ἀρχαῖοι εἰς τὴν τῶν ἐπιπέδων τόπων τάξιν ἀποβλέποντες ἐστοιχείωσαν· ἧς ἀμελήσαντες οἱ μετʼ αὐτοὺς προσέθηκαν ἑτέρους, ὡς οὐκ ἀπείρων τὸ πλῆθος ὄντων, εἰ θέλοι τις προσγράφειν τὰ τῆς τάξεως ἐκείνης ἐχόμενα. θήσω οὖν τὰ μὲν προσκείμενα ὕστερα, τὰ δʼ ἐκ τῆς τάξεως πρότερα, μιᾷ περιλαβὼν προτάσει ταύτῃ· `7.664` ἐὰν δύο εὐθεῖαι ἀχθῶσιν ἤτοι ἀπὸ ἑνὸς δεδομένου σημείου ἢ ἀπὸ δύο, καὶ ἤτοι ἐπʼ εὐθείας ἢ παράλληλοι ἢ δεδομένην περιέχουσαι γωνίαν, καὶ ἤτοι λόγον ἔχουσαι πρὸς ἀλλήλας ἢ χωρίον περιέχουσαι δεδομένον, ἅπτηται δὲ τὸ τῆς μιᾶς πέρας ἐπιπέδου τόπου θέσει δεδομένου, ἅψεται καὶ τὸ τῆς ἑτέρας πέρας ἐπιπέδου τόπου θέσει δεδομένου ὁτὲ μὲν τοῦ ὁμογενοῦς, ὁτὲ δὲ τοῦ ἑτέρου, καὶ ὁτὲ μὲν ὁμοίως κειμένου πρὸς τὴν εὐθεῖαν, ὁτὲ δὲ ἐναντίως. ταῦτα δὲ γίνεται παρὰ τὰς διαφορὰς τῶν ὑποκειμένων. Τὰ δὲ προσκείμενα ἐν ἀρχῇ μὲν ὑπὸ Χαρμάνδρου γʹ συμφωνεῖ ταῦτα· ἐὰν εὐθείας τῷ μεγέθει δεδομένης τὸ ἓν πέρας ᾖ δεδομένον, τὸ ἕτερον ἅψεται θέσει δεδομένης περιφερείας κοίλης· ἐὰν ἀπὸ δύο δεδομένων σημείων κλασθῶσιν εὐθεῖαι δεδομένην περιέχουσαι γωνίαν, τὸ κοινὸν αὐτῶν σημεῖον ἅψεται θέσει δεδομένης περιφερείας κοίλης· ἐὰν τριγώνου χωρίου μεγέθει δεδομένου ἡ βάσις θέσει καὶ μεγέθει δεδομένη ᾖ, ἡ κορυφὴ αὐτοῦ ἅψεται θέσει δεδομένης εὐθείας· ἕτερα δὲ τοιαῦτα· ἐὰν εὐθείας τῷ μεγέθει δεδομένης καὶ παρά τινα θέσει δεδομένην εὐθεῖαν ἠγμένης τὸ ἓν πέρας ἅπτηται θέσει δεδομένης εὐθείας, ἅψεται καὶ τὸ ἕτερον εὐθείας θέσει δεδομένης· ἐὰν ἀπό τινος σημείου ἐπὶ θέσει δεδομένας δύο εὐθείας παραλλήλους ἢ συμπιπτούσας καταχθῶσιν ἐν δεδομέναις γωνίαις ἤτοι λόγον ἔχουσαι πρὸς ἀλλήλας δεδομένον ἢ ὧν ἡ μία μεθʼ ἧς πρὸς ἣν ἡ ἑτέρα λόγον ἔχει δοθέντα δεδομένη ἐστίν, ἅψεται τὸ σημεῖον θέσει δεδομένης εὐθείας· `7.666` καὶ ἐὰν ὦσιν ὁποσαιοῦν εὐθεῖαι θέσει δεδομέναι, καὶ ἐπʼ αὐτὰς ἀπό τινος σημείου καταχθῶσιν εὐθεῖαι ἐν δεδομέναις γωνίαις, ᾖ δὲ τὸ ὑπὸ δοθείσης καὶ κατηγμένης μετὰ τοῦ ὑπὸ δοθείσης καὶ ἑτέρας κατηγμένης ἴσον τῷ ὑπὸ δοθείσης καὶ ἄλλης κατηγμένης καὶ τῶν λοιπῶν ὁμοίως, τὸ σημεῖον ἅψεται θέσει δεδομένης εὐθείας· ἐὰν ἀπό τινος σημείου ἐπὶ θέσει δεδομένας παραλλήλους καταχθῶσιν εὐθεῖαι ἐν δεδομέναις γωνίαις ἤτοι ἀποτεμνοῦσαι πρὸς τοῖς ἐπʼ αὐτῶν δοθεῖσι σημείοις εὐθείας λόγον ἐχούσας ἢ χωρίον περιέχουσαι δεδομένον ἢ ὥστε τὰ ἐπʼ αὐτῶν τῶν κατηγμένων δεδομένα εἴδη ἢ τὴν ὑπεροχὴν τῶν εἰδῶν ἴσην εἶναι δεδομένῳ χωρίῳ, τὸ σημεῖον ἅψεται θέσει δεδομένης εὐθείας. Τὸ δὲ δεύτερον βιβλίον περιέχει τάδε· ἐὰν ἀπὸ δύο δεδομένων σημείων εὐθεῖαι κλασθῶσιν, καὶ ᾖ τὰ ἀπʼ αὐτῶν δοθέντι χωρίῳ διαφέροντα, τὸ σημεῖον ἅψεται θέσει δεδομένης εὐθείας· ἐὰν δὲ ὦσιν ἐν λόγῳ δοθέντι, ἤτοι εὐθείας ἢ περιφερείας· ἐὰν ᾖ θέσει δεδομένη εὐθεῖα καὶ ἐπʼ αὐτῆς δοθὲν σημεῖον καὶ ἀπὸ τούτου διαχθεῖσά τις πεπερασμένη, ἀπὸ δὲ τοῦ πέρατος ἀχθῇ πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τὴν θέσει δεδομένην, καὶ ᾖ τὸ ἀπὸ τῆς διαχθείσης ἴσον τῷ ὑπὸ δοθείσης καὶ ἧς ἀπολαμβάνει ἤτοι πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ ἢ πρὸς ἑτέρῳ δοθέντι σημείῳ ἐπὶ τῆς θέσει δεδομένης, τὸ πέρας τῆσδε ἅψεται θέσει δεδομένης περιφερείας· `7.668` ἐὰν ἀπὸ δύο δοθέντων σημείων εὐθεῖαι κλασθῶσιν, καὶ ἦ τὸ ἀπὸ τῆς μιᾶς τοῦ ἀπὸ τῆς ἑτέρας δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ, τὸ σημεῖον ἅψεται θέσει δεδομένης περιφερείας· ἐὰν ἀπὸ ὁσωνοῦν δεδομένων σημείων κλασθῶσιν εὐθεῖαι πρὸς ἑνὶ σημείῳ, καὶ ᾖ τὰ ἀπὸ πασῶν εἴδη ἴσα δοθέντι χωρίῳ, τὸ σημεῖον ἅψεται θέσει δεδομένης περιφερείας· ἐὰν ἀπὸ δύο δοθέντων σημείων κλασθῶσιν εὐθεῖαι, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου παρὰ θέσει ἀχθεῖσα εὐθεῖα ἀπολαμβάνῃ ἀπὸ θέσει δεδομένης εὐθείας πρὸς δοθέντι σημείῳ, καὶ ᾖ τὰ ἀπὸ τῶν κεκλασμένων εἴδη ἴσα τῷ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης, τὸ πρὸς τῇ κλάσει σημεῖον ἅψεται θέσει δεδομένης περιφερείας· ἐὰν ἐν κύκλῳ θέσει δεδομένῳ δοθέν τι σημεῖον ᾖ καὶ διʼ αὐτοῦ ἀχθῇ τις εὐθεῖα καὶ ἐπʼ αὐτῆς ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, καὶ ᾖ τὸ ἀπὸ τῆς ἄχρι τοῦ δοθέντος ἐντὸς σημείου ἴσον τῷ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμβανομένης ἤτοι μόνον ἢ τοῦτό τε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἐντὸς δύο τμημάτων, τὸ ἐκτὸς σημεῖον ἅψεται θέσει δεδομένης εὐθείας· καὶ ἐὰν τοῦτο μὲν τὸ σημεῖον ἅπτηται θέσει δεδομένης εὐθείας, ὁ δὲ κύκλος μὴ ὑπόκειται, τὰ ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ δεδομένου σημεῖα ἅψεται θέσει δεδομένης περιφερείας τῆς αὐτῆς. `7.670` Ἔχει δὲ τὰ τόπων ἐπιπέδων δύο βιβλία θεωρήματα ἤτοι διαγράμματα ρμζʹ, λήμματα δὲ ηʹ. Νεύσεων δύο. Νεύειν λέγεται γραμμὴ ἐπὶ σημεῖον, ἐὰν ἐπεκβαλλομένη ἐπʼ αὐτὸ παραγίνηται. προβλήματος δὲ ὄντος καθολικοῦ τούτου δύο δοθεισῶν γραμμῶν θέσει, θεῖναι μεταξὺ τούτων εὐθεῖαν τῷ μεγέθει δεδομένην νεύουσαν ἐπὶ δοθὲν σημεῖον, ἐπὶ ταύτης τῶν ἐπὶ μέρους διάφορα τὰ ὑποκείμενα ἐχόντων ἃ μὲν ἐπίπεδα, ἃ δὲ στερεά, ἃ δὲ γραμμικά, τῶν ἐπιπέδων ἀποκληρώσαντες τὰ πρὸς πολλὰ χρησιμώτερα ἔδειξαν τὰ προβλήματα ταῦτα· θέσει δεδομένων ἡμικυκλίου τε καὶ εὐθείας πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει, ἢ δύο ἡμικυκλίων ἐπʼ εὐθείας ἐχόντων τὰς βάσεις, θεῖναι δοθεῖσαν τῷ μεγέθει εὐθεῖαν μεταξὺ τῶν δύο γραμμῶν, νεύουσαν ἐπὶ γωνίαν ἡμικυκλίου· καὶ ῥόμβου δοθέντος καὶ ἐπεκβεβλημένης μιᾶς πλευρᾶς, ἁρμόσαι ὑπὸ τὴν ἐκτὸς γωνίαν δεδομένην τῷ μεγέθει εὐθεῖαν νεύουσαν ἐπὶ τὴν ἀντικρὺς γωνίαν· καὶ θέσει δοθέντος κύκλου, ἐναρμόσαι εὐθεῖαν μεγέθει δεδομένην νεύουσαν ἐπὶ δοθέν. `7.672` τούτων δὲ ἐν μὲν τῷ πρώτῳ τεύχει δέδεικται τὸ ἐπὶ τοῦ ἑνὸς ἡμικυκλίου καὶ εὐθείας, ἔχον πτώσεις δʹ, καὶ τὸ ἐπὶ τοῦ κύκλου ἔχον πτώσεις δύο, καὶ τὸ ἐπὶ τοῦ ῥόμβου πτώσεις ἔχον βʹ, ἐν δὲ τῷ δευτέρῳ τεύχει τὸ ἐπὶ τῶν δύο ἡμικυκλίων, τῆς ὑποθέσεως πτώσεις ἐχούσης ιʹ· ἐν δὲ ταύταις ὑποδιαιρέσεις πλείονες διοριστικαὶ ἕνεκα τοῦ δεδομένου μεγέθους τῆς εὐθείας. Ἔχει δὲ τὰ τῶν νεύσεων βιβλία δύο θεωρήματα μὲν ἤτοι διαγράμματα ρκεʹ, λήμματα δὲ ληʹ. Κωνικῶν ηʹ. `7.674` Τὰ Εὐκλείδου βιβλία δʹ κωνικῶν Ἀπολλώνιος ἀναπληρώσας καὶ προσθεὶς ἕτερα δʹ παρέδωκεν ηʹ κωνικῶν τεύχη. Ἀρισταῖος δέ, ὃς γέγραφε τὰ μέχρι τοῦ νῦν ἀναδιδόμενα στερεῶν τόπων τεύχη εʹ συνεχῆ τοῖς κωνικοῖς, ἐκάλει τῶν τριῶν κωνικῶν γραμμῶν τὴν μὲν ὀξυγωνίου, τὴν δὲ ὀρθογωνίου, τὴν δὲ ἀμβλυγωνίου κώνου τομήν. ἐπεὶ δʼ ἐν ἑκάστῳ τῶν τριῶν τούτων κώνων διαφόρως τεμνομένων αἱ γʹ γίνονται γραμμαί, διαπορήσας, ὡς φαίνεται, Ἀπολλώνιος τί δήποτε ἀποκληρώσαντες οἱ πρὸ αὐτοῦ ἣν μὲν ἐκάλουν ὀξυγωνίου κώνου τομὴν δυναμένην καὶ ὀρθογωνίου καὶ ἀμβλυγωνίου εἶναι, ἣν δὲ ὀρθογωνίου εἶναι δυναμένην ὀξυγωνίου τε καὶ ἀμβλυγωνίου, ἣν δὲ ἀμβλυγωνίου δυναμένην εἶναι ὀξυγωνίου τε καὶ ὀρθογωνίου, μεταθεὶς τὰ ὀνόματα καλεῖ τὴν μὲν ὀξυγωνίου καλουμένην ἔλλειψιν, τὴν δὲ ὀρθογωνίου παραβολήν, τὴν δὲ ἀμβλυγωνίου ὑπερβολήν, ἑκάστην ἀπό τινος ἰδίου συμβεβηκότος. χωρίον γάρ τι παρά τινα γραμμὴν παραβαλλόμενον ἐν μὲν τῇ ὀξυγωνίου κώνου τομῇ ἐλλεῖπον γίνεται τετραγώνῳ, ἐν δὲ τῇ ἀμβλυγωνίου ὑπερβάλλον τετραγώνῳ, ἐν δὲ τῇ ὀρθογωνίου οὔτε ἐλλεῖπον οὔθʼ ὑπερβάλλον. `7.676` Ὁ δʼ οὖν Ἀπολλώνιος οἷα περιέχει τὰ ὑπʼ αὐτοῦ γραφέντα κωνικῶν ηʹ βιβλία λέγει κεφαλαιώδη θεὶς προδήλωσιν ἐν τῷ προοιμίῳ τοῦ πρώτου ταύτην· «περιέχει δὲ τὸ μὲν πρῶτον τὰς γενέσεις τῶν τριῶν τομῶν καὶ τῶν ἀντικειμένων καὶ τὰ ἐν αὐταῖς ἀρχικὰ συμπτώματα ἐπὶ πλεῖον καὶ καθόλου μᾶλλον ἐξητασμένα παρὰ τὰ ὑπὸ τῶν ἄλλων γεγραμμένα. τὸ δὲ δεύτερον τὰ περὶ τὰς διαμέτρους καὶ τοὺς ἄξονας τῶν τομῶν συμβαίνοντα καὶ τὰς ἀσυμπτώτους, καὶ ἄλλα γενικὴν καὶ ἀναγκαίαν χρείαν παρεχόμενα πρὸς τοὺς διορισμούς· τίνας δὲ διαμέτρους ἢ τίνας ἄξονας καλῶ εἰδήσεις ἐκ τούτου τοῦ βιβλίου. τὸ δὲ τρίτον πολλὰ καὶ παντοῖα χρήσιμα πρός τε τὰς συνθέσεις τῶν στερεῶν τόπων καὶ τοὺς διορισμούς, ὧν τὰ πλείονα καὶ καλὰ καὶ ξένα κατανοήσαντες εὕρομεν μὴ συντιθέμενον ὑπὸ Εὐκλείδου τὸν ἐπὶ τρεῖς καὶ δʹ γραμμὰς τόπον, ἀλλὰ μόριόν τι αὐτοῦ καὶ τοῦτο οὐκ εὐτυχῶς· οὐ γὰρ δυνατὸν ἄνευ τῶν προειρημένων τελειωθῆναι τὴν σύνθεσιν. τὸ δὲ δʹ, ποσαχῶς αἱ τῶν κώνων τομαὶ ἀλλήλαις τε καὶ τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ συμπίπτουσιν, καὶ ἐκ περισσοῦ, ὧν οὐδέτερον ὑπὸ τῶν πρὸ ἡμῶν γέγραπται, κώνου τομὴ κύκλου περιφερείᾳ καὶ ἀντικείμεναι ἀντικειμέναις κατὰ πόσα σημεῖα συμβάλλουσιν. τὰ δὲ λοιπὰ δʹ περιουσιαστικώτερα· ἔστι γὰρ τὸ μὲν περὶ ἐλαχίστων καὶ μεγίστων ἐπὶ πλεῖον, τὸ δὲ περὶ ἴσων καὶ ὁμοίων τομῶν, τὸ δὲ διοριστικῶν θεωρημάτων, τὸ δὲ κωνικῶν προβλημάτων διωρισμένων». `7.680` Ἀπολλώνιος μὲν ταῦτα. ὃν δέ φησιν ἐν τῷ τρίτῳ τόπον ἐπὶ γʹ καὶ δʹ γραμμὰς μὴ τετελειῶσθαι ὑπὸ Εὐκλείδου, οὐδʼ ἂν αὐτὸς ἠδυνήθη οὐδʼ ἄλλος οὐδεὶς διά γε μόνων τῶν προδεδειγμένων ἤδη κωνικῶν ἄχρι τῶν κατʼ Εὐκλείδην, ὡς καὶ αὐτὸς μαρτυρεῖ λέγων ἀδύνατον εἶναι τελειωθῆναι χωρὶς ὧν αὐτὸς προγράφειν ἠναγκάσθη. ἐὰν γάρ, θέσει δεδομένων τριῶν εὐθειῶν, ἀπό τινος σημείου καταχθῶσιν ἐπὶ τὰς τρεῖς ἐν δεδομέναις γωνίαις εὐθεῖαι, καὶ λόγος ᾖ δοθεὶς τοῦ ὑπὸ δύο κατηγμένων περιεχομένου ὀρθογωνίου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς λοιπῆς τετράγωνον, τὸ σημεῖον ἅψεται θέσει δεδομένου στερεοῦ τόπου, τουτέστιν μιᾶς τῶν τριῶν κωνικῶν γραμμῶν. καὶ ἐὰν ἐπὶ δʹ εὐθείας θέσει δεδομένας καταχθῶσιν εὐθεῖαι ἐν δεδομέναις γωνίαις, καὶ λόγος ᾖ δοθεὶς τοῦ ὑπὸ δύο κατηγμένων πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν λοιπῶν δύο κατηγμένων, ὁμοίως τὸ σημεῖον ἅψεται θέσει δεδομένης κώνου τομῆς. ἐὰν δὲ ἐπὶ πλείονας τεσσάρων, ἅψεται τὸ σημεῖον τόπων οὐκέτι γνωρίμων, ἀλλὰ γραμμῶν μόνον λεγομένων, ὧν μίαν οὐδέ τινα συμφανεστάτην εἶναι δοκοῦσαν συντεθείκασιν ἀναδείξαντες χρησίμην οὖσαν. αἱ δὲ προτάσεις αὐτῶν εἰσιν· ἐὰν ἀπό τινος σημείου ἐπὶ θέσει δεδομένας εὐθείας πέντε καταχθῶσιν εὐθεῖαι ἐν δεδομέναις γωνίαις, καὶ λόγος ᾖ δεδομένος τοῦ ὑπὸ τριῶν κατηγμένων περιεχομένου στερεοῦ παραλληλεπιπέδου ὀρθογωνίου πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν λοιπῶν δύο κατηγμένων καὶ δοθείσης τινὸς περιεχόμενον παραλληλεπίπεδον ὀρθογώνιον, ἅψεται τὸ σημεῖον θέσει δεδομένης γραμμῆς. ἐάν τε ἐπὶ ϛʹ, καὶ λόγος ᾖ δοθεὶς τοῦ ὑπὸ τῶν τριῶν περιεχομένου προειρημένου στερεοῦ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν λοιπῶν τριῶν, πάλιν τὸ σημεῖον ἅψεται θέσει δεδομένης. ἐὰν δὲ ἐπὶ πλείονας τῶν ϛʹ, οὐκέτι μὲν ἔχουσι λέγειν, ἐὰν λόγος ᾖ δοθεὶς τοῦ ὑπὸ τῶν δʹ περιεχομένου τινὸς πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν λοιπῶν, ἐπεὶ οὐκ ἔστι τι περιεχόμενον ὑπὸ πλειόνων ἢ τριῶν διαστάσεων. συγκεχωρήκασι δὲ ἑαυτοῖς οἱ βραχὺ πρὸ ἡμῶν ἑρμηνεύειν τὰ τοιαῦτα, μηδὲ ἓν μηδαμῶς διάληπτον σημαίνοντες, τὸ ὑπὸ τῶνδε περιεχόμενον λέγοντες ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆσδε τετράγωνον ἢ ἐπὶ τὸ ὑπὸ τῶνδε. παρῆν δὲ διὰ τῶν συνημμένων λόγων ταῦτα καὶ λέγειν καὶ δεικνύναι καθόλου καὶ ἐπὶ τῶν προειρημένων προτάσεων καὶ ἐπὶ τούτων τὸν τρόπον τοῦτον· ἐὰν ἀπό τινος σημείου ἐπὶ θέσει δεδομένας εὐθείας καταχθῶσιν εὐθεῖαι ἐν δεδομέναις γωνίαις, καὶ δεδομένος ᾖ λόγος ὁ συνημμένος ἐξ οὗ ἔχει μία κατηγμένη πρὸς μίαν καὶ ἑτέρα πρὸς ἑτέραν, καὶ ἄλλη πρὸς ἄλλην, καὶ ἡ λοιπὴ πρὸς δοθεῖσαν, ἐὰν ὦσιν ζʹ, ἐὰν δὲ ηʹ, καὶ ἡ λοιπὴ πρὸς λοιπήν, τὸ σημεῖον ἅψεται θέσει δεδομένης γραμμῆς· καὶ ὁμοίως ὅσαι ἂν ὦσιν περισσαὶ ἢ ἄρτιαι τὸ πλῆθος. τούτων, ὡς ἔφην, ἑπομένων τῷ ἐπὶ τέσσαρας τόπῳ οὐδὲ ἓν συντεθείκασιν ὥστε τὴν γραμμὴν εἰδέναι. Ἔχει δὲ τὰ ηʹ βιβλία τῶν Ἀπολλωνίου κωνικῶν θεωρήματα ἤτοι διαγράμματα υπζʹ, λήμματα δὲ οʹ. `7.684` αʹ. Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν εἰς τὸν δοθέντα λόγον τεμεῖν. Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος ὁ Γ πρὸς Δ, καὶ δέον ἔστω τεμεῖν τὴν ΑΒ εἰς τὸν τῆς Γ πρὸς τὴν Δ λόγον. ἔκλινα πρὸς τὴν ΑΒ εὐθεῖαν ἐν γωνίᾳ τυχούσῃ εὐθεῖαν τὴν ΑΕ, καὶ τῇ μὲν Γ ἴσην ἀφεῖλον τὴν ΑΖ, τῇ δὲ Δ τὴν ΖΗ, καὶ ἐπιζεύξας τὴν ΒΗ ταύτῃ παράλληλον ἤγαγον τὴν ΖΘ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΘ πρὸς ΘΒ, οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς ΖΗ, ἴση δέ ἐστιν ἡ μὲν ΑΖ τῇ Γ, ἡ δὲ ΖΗ τῇ Δ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΘ πρὸς ΘΒ, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ· διῄρηται ἄρα κατὰ τὸ Θ σημεῖον, ὅπερ· ⁓ βʹ. Τριῶν δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ ΒΓ Δ, εὑρεῖν ὡς τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἄλλην τινὰ πρὸς τὴν Δ. Πάλιν ἔκλινά τινα εὐθεῖαν τὴν ΓΕ ἐν τυχούσῃ γωνίᾳ, καὶ τῇ Δ ἴσην ἀπεθέμην τὴν ΓΖ. ἐπέζευξα τὴν ΒΖ καὶ ταύτῃ παράλληλον ἤγαγον τὴν ΗΑ. γίνεται οὖν πάλιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΓΖ, τουτέστιν πρὸς τὴν Δ· εὕρηται ἄρα ἡ ΖΗ. Ὁμοίως κἂν ἡ τρίτη δοθῇ, τὴν τετάρτην εὑρήσομεν. γʹ. Ἐχέτω τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ μείζονα λόγον ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΕΖ· ὅτι καὶ κατὰ σύνθεσιν τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΖΕ. `7.686` Πεποιήσθω γὰρ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ, οὕτως ἄλλο τι τὸ Η πρὸς τὸ ΕΖ· καὶ τὸ Η ἄρα πρὸς τὸ ΕΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΕΖ· μεῖζον ἄρα ἐστὶν τὸ Η τοῦ ΔΕ. κείσθω αὐτῷ ἴσον τὸ ΘΕ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ, οὕτως τὸ ΘΕ πρὸς τὸ ΕΖ, συνθέντι ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΒΓ, οὕτως τὸ ΖΘ πρὸς τὸ ΖΕ. τὸ δὲ ΘΖ πρὸς τὸ ΖΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΖΕ· καὶ τὸ ΑΓ ἄρα πρὸς τὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΖΕ. δʹ. Πάλιν δὴ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΕΖ· ὅτι καὶ τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΕΖ. Πάλιν γὰρ ἐπεὶ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΕΖ, ἐὰν ποιῶ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ, οὕτως ἄλλο τι πρὸς τὸ ΕΖ, ἔσται ἔλασσον τοῦ ΔΕ. ἔστω τὸ ΕΘ· γίνεται ἄρα καὶ ὡς τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΒ, οὕτως τὸ ΘΖ πρὸς τὸ ΖΕ. τὸ δὲ ΘΖ πρὸς τὸ ΖΕ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΖΕ· τὸ ΑΓ ἄρα πρὸς τὸ ΓΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΖΕ. εʹ. Ἐχέτω δὴ πάλιν τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ μείζονα λόγον ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΕΖ· ὅτι καὶ ἐναλλὰξ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΕΖ. Πεποιήσθω γὰρ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ, οὕτως ἄλλο τι πρὸς τὸ ΕΖ· φανερὸν δὴ ὅτι μεῖζον ἔσται τοῦ ΔΕ. ἔστω τὸ ΗΕ· ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΕΗ, οὕτως τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΕΖ. ἀλλὰ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΕΗ, τουτέστιν ἤπερ τὸ ΒΓ πρὸς ΕΖ· καὶ τὸ ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ ΔΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΕΖ. Τὰ δʼ αὐτά, κἂν ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ, ὅτι καὶ ἐναλλάξ. ἔσται γὰρ καὶ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ, οὕτως ἄλλο τι πρὸς τὸ ΕΖ· ὅτι ἔλασσον τοῦ ΔΕ. τὰ λοιπὰ τὰ αὐτά. ϛʹ. Τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΖΕ· ὅτι ἀναστρέψαντι τὸ ΓΑ πρὸς τὸ ΑΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΖΔ πρὸς τὸ ΔΕ. `7.688` Πεποιήσθω γὰρ ὡς τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΒ, οὕτως τὸ ΔΖ πρὸς ἄλλο τι· ἔσται δὴ πρὸς ἔλασσον τοῦ ΖΕ. ἔστω πρὸς τὸ ΖΗ· ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΓΑ πρὸς τὸ ΑΒ, οὕτως τὸ ΖΔ πρὸς τὸ ΔΗ. τὸ δὲ ΖΔ πρὸς τὸ ΔΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΖΔ πρὸς τὸ ΔΕ· καὶ τὸ ΓΑ ἄρα πρὸς τὸ ΑΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΖΔ πρὸς τὸ ΔΕ. Ὁμοίως δὴ καὶ τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΒ ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω ἤπερ τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΖΕ· ἀναστρέψαντι ἄρα τὸ ΓΑ πρὸς τὸ ΑΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΔΕ. ἔσται γὰρ ὡς τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΒ, οὕτως τὸ ΔΖ πρὸς μεῖζόν τι μέγεθος τοῦ ΖΕ. καὶ τὰ λοιπὰ φανερά. ζʹ. Ἐχέτω δὴ πάλιν τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ μείζονα λόγον ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΕΖ· ὅτι ἀνάπαλιν τὸ ΓΒ πρὸς τὸ ΒΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΖΕ πρὸς τὸ ΕΔ. Πεποιήσθω γὰρ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ, οὕτως τὸ ΔΕ πρός τι· ἔσται δὴ πρὸς ἔλασσον τοῦ ΕΖ. ἔστω πρὸς τὸ ΕΗ· ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΓΒ πρὸς τὸ ΒΑ, οὕτως τὸ ΗΕ πρὸς τὸ ΕΔ. τὸ δὲ ΗΕ πρὸς τὸ ΕΔ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΖΕ πρὸς τὸ ΕΔ· καὶ τὸ ΓΒ ἄρα πρὸς τὸ ΒΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΖΕ πρὸς τὸ ΕΔ. Ὁμοίως δὴ κἂν τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΕΖ, ἀνάπαλιν τὸ ΓΒ πρὸς τὸ ΒΑ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΖΕ πρὸς τὸ ΕΔ. ἔσται γὰρ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΒ, οὕτως τὸ ΔΕ πρὸς μεῖζόν τι τοῦ ΕΖ· τὰ δὲ λοιπὰ φανερά. Καὶ φανερὸν ἐκ τούτων ὅτι, ἐὰν τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ μείζονα λόγον ἔχῃ ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΕΖ, καὶ τὸ ΖΕ πρὸς τὸ ΕΔ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΓΒ πρὸς τὸ ΒΑ· ἐὰν δὲ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΕΖ, καὶ τὸ ΖΕ πρὸς τὸ ΕΔ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΓΒ πρὸς τὸ ΒΑ. ηʹ. Ἐχέτω τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ μείζονα λόγον ἤπερ τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΕΖ· ὅτι καὶ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΔΖ. `7.690` Πεποιήσθω γὰρ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ, οὕτως τὸ ΒΓ πρός τι· ἔσται δὴ πρὸς ἔλασσον τοῦ ΕΖ. ἔστω πρὸς τὸ ΗΕ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς ὅλην τὴν ΔΗ, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΕ· ἡ δὲ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΗ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΔΖ· καὶ ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς τὴν ΔΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΖ. Καὶ φανερὸν ὅτι ὅλη ἡ ΑΓ πρὸς ὅλην τὴν ΔΖ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ. Κἂν ἐλάσσων τοῦ μέρους, μείζων ὅλης. θʹ. Ἐχέτω δὴ πάλιν ὅλη ἡ ΑΓ πρὸς ὅλην τὴν ΔΖ μείζονα λόγον ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΕ· ὅτι καὶ λοιπὴ ἡ ΒΓ πρὸς λοιπὴν τὴν ΕΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΖ. Πεποιήσθω γὰρ ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΗ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς λοιπὴν τὴν ΗΖ ἐστὶν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΖ. ἡ δὲ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΖΗ· καὶ ἡ ΒΓ ἄρα πρὸς τὴν ΕΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΖ. Ἐὰν δὲ ὅλη πρὸς τὴν ὅλην ἐλάσσονα, ἡ λοιπὴ ἐλάσσονα. ιʹ. Ἔστω μεῖζον μὲν τὸ ΑΒ τοῦ Γ, ἴσον δὲ τὸ Δ τῷ Ε· ὅτι τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Δ πρὸς τὸ Ε. Κείσθω γὰρ τῷ Γ ἴσον τὸ ΒΖ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΒΖ πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε. ἀλλὰ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΒΖ πρὸς τὸ Γ· καὶ τὸ ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Δ πρὸς τὸ Ε. `7.692` Καὶ φανερὸν ὅτι, ἂν ἔλασσον τὸ ΑΒ τοῦ Γ, τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, διὰ τὸ ἀνάπαλιν. ιαʹ. Ἀλλὰ ἔστω μεῖζον μὲν τὸ ΑΒ τοῦ Γ, ἔλασσον δὲ τὸ ΔΕ τοῦ Ζ· ὅτι τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ Ζ. Φανερὸν μὲν οὖν καὶ ἄνευ ἀποδείξεως· εἰ γὰρ ὄντος ἴσου τοῦ ΔΕ τῷ Ζ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ Ζ, ἐλάσσονος ὄντος πολλῷ μείζονα λόγον ἕξει. διὰ ἀποδείξεως δὲ οὕτως· ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστιν τὸ ΑΒ τοῦ Γ, ἐὰν ποιῶ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ, οὕτως ἄλλο τι πρὸς τὸ Ζ, ἔσται μεῖζον τοῦ Ζ, ὥστε καὶ τοῦ ΔΕ. ἔστω οὖν τὸ ΗΕ· τὸ ΗΕ ἄρα πρὸς τὸ Ζ. μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ Ζ. ἀλλʼ ὡς τὸ ΗΕ πρὸς τὸ Ζ, οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ· καὶ τὸ ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς τὸ Ζ. Καὶ φανερὸν ὅτι, ὅπου τὸ ἔλασσον, ἀεὶ ἐλάσσονα. Καὶ ὅτι μεῖζον γίνεται τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ Ζ τοῦ ὑπὸ τῶν Γ ΔΕ· ἴσον γὰρ αὐτῷ ἐστιν τὸ ὑπὸ τῶν Γ ΕΗ, ὅ ἐστιν μεῖζον τοῦ ὑπὸ τῶν Γ ΔΕ. ιβʹ. Εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ· ὅτι πάντα μὲν τὰ μεταξὺ τῶν Α Γ σημείων εἰς ἐλάσσονας λόγους διαιρεῖ τὴν ΑΒ τοῦ τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, πάντα δὲ τὰ μεταξὺ τῶν Γ Β εἰς μείζονας. `7.694` Εἰλήφθω γὰρ σημεῖα ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ Γ τὰ Δ Ε. ἐπεὶ οὖν ἐλάσσων μὲν ἡ ΔΑ τῆς ΑΓ, μείζων δὲ ἡ ΔΒ τῆς ΒΓ, ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ· ἐναλλὰξ ἄρα ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ ἐπὶ πάντων τῶν μεταξὺ τῶν Α Γ σημείων. Πάλιν ἐπεὶ μείζων μέν ἐστιν ἡ ΕΑ τῆς ΑΓ, ἐλάσσων δὲ ἡ ΕΒ τῆς ΒΓ, ἡ ΕΑ ἄρα πρὸς τὴν ΑΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ· ἐναλλὰξ ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ. ὁμοίως καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν μεταξὺ τῶν Γ Β λαμβανομένων σημείων. ιγʹ. Ἐὰν εὐθεῖα ᾖ ΑΒ καὶ τμηθῇ δίχα κατὰ τὸ Γ, πάντων τῶν λαμβανομένων σημείων μέγιστον ἀποτέμνει τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ τὸ Γ σημεῖον. Ἐὰν γὰρ ληφθῇ σημεῖον τὸ Δ, γίνεται τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΑΓ, τουτέστιν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ· ὥστε μεῖζόν ἐστιν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ. τὰ δὲ αὐτὰ καὶ ἐπὶ τὰ ἕτερα. Λέγω δʼ ὅτι καὶ αἰεὶ τὸ ἔγγιον τοῦ Γ τοῦ ἀπώτερον μεῖζον χωρίον ποιεῖ. Εἰλήφθω γὰρ καὶ ἕτερον σημεῖον τὸ Ε μεταξὺ τῶν Α Δ· δεικτέον ὅτι μεῖζόν ἐστιν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ. ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ, ἔστιν δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΕ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνῳ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ ἄρα μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΕ. ὧν τὸ ἀπὸ ΔΓ ἔλασσόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΓΕ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ. ιδʹ. Εἰ γὰρ εἴη τὸ Α μετὰ τοῦ Β ἴσον τῷ Γ μετὰ τοῦ ΔΕ, καὶ ἔλασσον τὸ Β τοῦ ΔΕ, μεῖζον ἂν γένοιτο τὸ Α τοῦ Γ. `7.696` Κείσθω γὰρ τῷ Β ἴσον τὸ ΔΖ· τὸ Α ἄρα μετὰ τοῦ ΔΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ΔΕ μετὰ τοῦ Γ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΔΖ· λοιπὸν ἄρα τὸ Α ἴσον ἐστὶν τοῖς Γ ΖΕ, ὥστε μεῖζόν ἐστιν τὸ Α τοῦ Γ. ιεʹ. Ἡ Α πρὸς τὴν Β μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ Γ πρὸς τὴν Δ· ὅτι μεῖζόν ἐστιν τὸ ὑπὸ τῶν Α Δ τοῦ ὑπὸ τῶν Β Γ. Πεποιήσθω γὰρ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Ε· καὶ ἡ Γ ἄρα πρὸς τὴν Ε μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν Δ, ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ἡ Ε τῆς Δ. καὶ κοινὸν ὕψος ἡ Α· ἔλασσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν Ε Α τοῦ ὑπὸ τῶν Α Δ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν Α Ε ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν Β Γ. ἔλασσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν Β Γ τοῦ ὑπὸ τῶν Α Δ, ὥστε μεῖζόν ἐστιν τὸ ὑπὸ τῶν Α Δ τοῦ ὑπὸ τῶν Β Γ. Ὁμοίως καὶ ἐὰν ἐλάσσων γίνηται, ἔλασσον καὶ τὸ χωρίον τοῦ χωρίου. Ἀλλὰ δὴ ἔστω πάλιν μεῖζον τὸ ὑπὸ τῶν Α Δ τοῦ ὑπὸ τῶν Β Γ· ὅτι ἡ Α πρὸς τὴν Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Γ πρὸς τὴν Δ. Κείσθω γὰρ τῷ ὑπὸ τῶν Α Δ ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Β Ε· γίνεται ἄρα μεῖζον μὲν τὸ ὑπὸ τῶν Β Ε τοῦ ὑπὸ τῶν Β Γ, ὥστε καὶ ἡ Ε τῆς Γ μείζων. ὡς δὲ ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Ε πρὸς τὴν Δ. ἡ δὲ Ε πρὸς τὴν Δ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Γ πρὸς τὴν Δ· καὶ ἡ Α ἄρα πρὸς τὴν Β. Ὁμοίως καὶ ἀναστρέψαντι. ιϛʹ. Δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΒΓ, καὶ τῶν ΑΒ ΒΓ μέση ἀνάλογον ἔστω ἡ ΒΔ, καὶ τῇ ΑΔ ἴση κείσθω ἡ ΔΕ· ὅτι ἡ ΓΕ ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει συναμφότερος ἡ ΑΒΓ τῆς δυναμένης τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ. `7.698` Ἐπεὶ γὰρ συναμφότερος ἡ ΑΒΓ συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ ὑπερέχει τῇ ΓΕ, ἡ ΓΕ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχεισυναμφότερος ἡ ΑΒΓ συναμφοτέρου· τῆς ΑΒΕ· συναμφότερος δὲ ἡ ΑΒΕ δύο εἰσὶν αἱ ΒΔ, δύο δὲ αἱ ΒΔ δύνανται τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ· ἡ ΓΕ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει συναμφότερος ἡ ΑΒΓ τῆς δυναμένης τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ. ιζʹ. Ἔστω δὴ πάλιν ἡ τῶν ΑΒ ΒΓ μέση ἡ ΒΔ, καὶ κείσθω τῇ ΑΔ ἴση ἡ ΔΕ· ὅτι ἡ ΓΕ σύγκειται ἔκ τε συναμφοτέρου τῆς ΑΒ ΒΓ καὶ τῆς δυναμένης τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ. Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΓΕ ἐστὶν ἡ συγκειμένη ἐκ τῶν ΓΔ ΔΕ, ἴση δέ ἐστιν ἡ ΑΔ τῇ ΔΕ, ἡ ΓΕ ἄρα ἐστὶν ἡ συγκειμένη ἐκ τῶν ΑΔ ΔΓ, τουτέστιν ἐκ συναμφοτέρου τῆς ΑΒ ΒΓ καὶ δύο τῶν ΒΔ. δύο δὲ αἱ ΒΔ δύνανται τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ· ἡ ΓΕ ἄρα ἐστὶν ἡ συγκειμένη ἔκ τε συναμφοτέρου τῆς ΑΒ ΒΓ καὶ τῆς δυναμένης τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ. ιηʹ. Πάλιν τῶν ΑΒ ΒΓ μέση ἀνάλογον ἡ ΒΔ, καὶ τῇ ΓΔ ἴση κείσθω ἡ ΔΕ· ὅτι ἡ ΑΕ ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει συναμφότερος ἡ ΑΒΓ τῆς δυναμένης τὸ τετράκις ὑπὸ ΑΒΓ. Ἐπεὶ γὰρ συναμφότερος ἡ ΑΒΓ συναμφοτέρου τῆς ΕΒΓ ὑπερέχει τῇ ΑΕ, συναμφότερος δὲ ἡ ΕΒΓ δύο εἰσὶν αἱ ΒΔ, τουτέστιν ἡ δυναμένη τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, ἡ ΑΕ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει συναμφότερος ἡ ΑΒΓ τῆς δυναμένης τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ. `7.700` ιθʹ. Πάλιν τῶν ΑΒ ΒΓ μέση ἀνάλογον ἔστω ἡ ΒΔ, καὶ τῇ ΓΔ ἴση κείσθω ἡ ΔΕ· ὅτι ἡ ΑΕ ἐστὶν ἡ συγκειμένη ἔκ τε συναμφοτέρου τῆς ΑΒΓ καὶ τῆς δυναμένης τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ. Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΕ σύγκειται ἐκ τῶν ΑΔ ΔΕ, ἴση δέ ἐστιν ἡ ΔΕ τῇ ΔΓ, ἡ ΑΕ ἄρα σύγκειται ἐκ τῶν ΑΔ ΔΓ, τουτέστιν συναμφοτέρου τῆς ΑΒΓ καὶ δύο τῶν ΒΔ. δύο δὲ αἱ ΒΔ δύνανται τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ· ἡ ΑΕ ἄρα ἐστὶν ἡ συγκειμένη ἔκ τε συναμφοτέρου τῆς ΑΒΓ καὶ τῆς δυναμένης τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ. Πρόβλημα εἰς τὸ δεύτερον λόγου ἀποτομῆς, χρήσιμον εἰς τὴν τοῦ ιγʹ τόπου ἀνακεφαλαίωσιν. Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ ΒΓ, λαβεῖν ἐπεκβάλοντα τὴν ΑΔ δοθὲν τὸ Δ ποιοῦν τὸν τῆς ΒΔ πρὸς ΔΑ λόγον τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΓΔ πρὸς τὴν ὑπεροχὴν ᾗ ὑπερέχει συναμφότερος ἡ ΑΒΓ τῆς δυναμένης τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ. Ἔστω γεγονός, καὶ ἡ ὑπεροχὴ ἔστω ἡ ΑΕ — ἐν γὰρ τοῖς ἐπάνω εὕρομεν αὐτήν· ἔστιν οὖν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΑΕ· καὶ ἐναλλὰξ καὶ διελόντι καὶ χωρίον χωρίῳ τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΓ ΕΑ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔΕ. δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ ΕΑ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔΕ. καὶ παρὰ δοθεῖσαν τὴν ΓΕ παράκειται ὑπερβάλλον τετραγώνῳ· δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ Δ. `7.702` Συντεθήσεται δὲ οὕτως· ἔστω ἡ ὑπεροχὴ ἡ ΕΑ, καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓ ΕΑ ἴσον πάλιν τῇ ΓΕ παραβεβλήσθω ὑπερβάλλον τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ ΓΔΕ· λέγω ὅτι τὸ ζητούμενον σημεῖόν ἐστιν τὸ Δ. ἐπεὶ γὰρ ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ ΕΑ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔΕ, ἀνάλογον καὶ συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς ΕΑ, ἥτις ἐστὶν ἡ ὑπεροχή. τὰ δʼ αὐτά, κἂν ζητῶμεν λαβεῖν σημεῖον ποιοῦν ὡς τὴν ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως τὴν ΓΔ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε συναμφοτέρου τῆς ΑΒΓ καὶ τῆς δυναμένης τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, ὅπερ· ⁓ Διωρισμένης τομῆς πρῶτον. Λῆμμα χρήσιμον εἰς τὸ πρῶτον ἐπίταγμα τοῦ πέμπτου προβλήματος. αʹ. Ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ ἐπʼ αὐτῆς τρία σημεῖα τὰ Γ Δ Ε, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ· ὅτι γίνεται ὡς ἡ ΒΔ πρὸς ΔΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΔΕ, ἀνάλογον ἄρα ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ὅλην τὴν ΒΓ ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς ΔΓ· καὶ ἀνάπαλιν. πάλιν ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ, καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ὅλην τὴν ΓΕ ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ. ἦν δὲ καὶ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΕ, ὥστε καὶ ὁ συνημμένος λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς ΓΕ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΒΓ πρὸς ΑΕ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ καὶ ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΔ. ἀλλʼ ὁ μὲν συνημμένος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς ΓΕ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΒΓ πρὸς ΑΕ ὁ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ ἐστίν, ὁ δὲ συνημμένος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ καὶ ἐξ οὗ ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ ὁ τῆς ΒΔ πρὸς ΔΕ ἐστίν· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς ΔΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ, ὅπερ· ⁓ Ἄλλως τὸ αὐτό. `7.706` βʹ. Ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΑΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ, ἀνάλογον καὶ ὅλη πρὸς ὅλην ἐστὶν ἄρα ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΒΓ, οὔτως ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ. συνθέντι ἐστὶν ὡς συναμφότερος ἡ ΑΕ ΓΒ πρὸς ΓΒ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς ΒΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΕ ΓΒ καὶ τῆς ΒΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ. πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ, καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ὅλην τὴν ΓΒ ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς ΔΓ· ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΕ ΓΒ καὶ τῆς ΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΕ ΓΒ καὶ τῆς ΒΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ· ἐναλλὰξ ἄρα γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΕ ΓΒ καὶ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΕ ΓΒ καὶ τῆς ΔΕ, τουτέστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ. Ἄλλως εἰς τὸ πρῶτον ἐπίταγμα τοῦ πέμπτου προβλήματος, πρότερον προθεωρηθέντων τῶν ἑξῆς δύο. γʹ. Ἔστω ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ ἐπὶ τῆς ΓΔ τυχὸν τὸ Ε· ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΔ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΕΔ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΕΓ. Τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ζ σημεῖον· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΓΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. διὰ ταὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ τετραγώνου ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ· καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΔ ἄρα μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕΔ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετραγώνῳ, τουτέστιν τῷ τε ὑπὸ τῶν ΒΕΓ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΖ τετραγώνῳ. καὶ κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ τετράγωνον· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕΔ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΕΓ. δʹ. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἔστω τὸ Ε σημεῖον ἐκτὸς τῆς ΑΔ· ὅτι πάλιν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΕΓ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕΔ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΓ. `7.708` Τετμήσθω πάλιν ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ζ· τὸ μὲν ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΖΕ, ὥστε τὸ ὑπὸ ΒΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΕΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΖ, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ ΒΔΓ καὶ τοῦ ἀπὸ ΓΖ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΓΖ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕΔ καὶ τῷ ὑπὸ ΒΔΓ. εʹ. Τούτων προτεθεωρημένων δεῖξαι ὅτι, ἐὰν τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον τῷ ὑπὸ ΔΒΕ, γίνεται ὡς ἡ ΔΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΔΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΓ. Κείσθω γὰρ τῇ ΓΕ ἴση ἡ ΖΑ. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΔΒΕ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ ΖΒΕ· ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ ΔΖ ΒΕ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ τῶν ΖΒΕ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ. ἀλλὰ ταῦτα διὰ τὸ προγεγραμμένον ἴσα ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΖΓΕ, τουτέστιν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ· καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΔ ΒΕ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ. ἔξωθεν τὸ ὑπὸ τῶν ΖΔΕ· ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΖΔΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΔ ΒΕ, τουτέστιν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς ΕΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΖΔΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ. συνθέντι ἐστὶν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΖΔΕ μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΔΕ μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ διὰ τὸ προγεγραμμένον ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΓ. ϛʹ. Ἐὰν ᾖ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ καὶ δύο διαχθῶσιν ὡς ΑΔ ΑΕ, ὥστε τὰς ὑπὸ ΒΑΓ ΔΑΕ γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας εἶναι, γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΕΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΕ. `7.710` Ἐὰν γὰρ περιγράψωμεν κύκλον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ, καὶ ἐκβληθῶσιν αἱ ΕΑ ΓΑ ἐπὶ τὰ Ζ Η, μεταβαίνει τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΒΓΔ εἰς τὸ ὑπὸ τῶν ΗΓΑ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΒΕΔ εἰς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕΑ, καὶ δεήσει ἐναλλὰξ ζητῆσαι, εἰ ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΗΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΖΕΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ. τοῦτο δὲ ταὐτόν ἐστιν τῷ ζητεῖν, εἰ ἔστιν ὡς ἡ ΗΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΑ. εἰ ἄρα ἔστιν, ἡ ΗΖ παράλληλός ἐστιν τῇ ΒΓ. ἔστιν δέ· ἐπεὶ γὰρ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ ΔΑΕ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΑΗ γωνίᾳ. ἀλλὰ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΑΕ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΖΒΔ ἐκτὸς τετραπλεύρου, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΗ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΒΖΗ· καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΔ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΒΖΗ γωνίᾳ. καὶ εἰσὶν ἐναλλάξ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΖ τῇ ΒΓ. τοῦτο δὲ ἐζητοῦμεν. εἰ ἄρα· ⁓ Ἄλλως τὸ αὐτό. ζʹ. Ἔστωσαν ἐν τριγώνῳ τῷ ΑΒΓ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ ΔΑΕ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΕ. `7.712` Ἤχθω διὰ τοῦ Ε τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ ΕΖ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΖΕ γωνίᾳ· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕΗ τῷ ἀπὸ ΑΕ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς μὲν ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ, ὡς δὲ ἡ ΓΑ πρὸς ΗΕ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ, ὁ ἄρα συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΑ πρὸς ΖΕ καὶ ἐκ τοῦ τῆς ΓΑ πρὸς ΗΕ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΒ πρὸς ΒΕ καὶ τοῦ τῆς ΓΔ πρὸς ΔΕ. ἀλλʼ ὁ μὲν συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΑ πρὸς ΖΕ καὶ τοῦ τῆς ΓΑ πρὸς ΗΕ ὁ τοῦ ἀπὸ ΓΑ ἐστὶν πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΕ ΗΕ, τουτέστιν πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΕ, ὁ δὲ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΒ πρὸς ΒΕ καὶ τοῦ τῆς ΓΔ πρὸς ΔΕ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ ὑπὸ ΒΓ ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕ ΔΕ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΕ. ηʹ. Ἔστω πάλιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΒΑΕ ΓΑΔ γωνία ὀρθή· ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ. Ἤχθω διὰ τοῦ Δ τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ ΖΗ, καὶ καθʼ ὃ συμπίπτει τῇ ΑΕ, ἔστω τὸ Η σημεῖον· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΔΖ. ὀρθὴ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΗ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΔΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΔΑ τετραγώνῳ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΔΗ. ἀλλὰ ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΔΗ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΓΑ πρὸς ΔΗ, τουτέστιν ἡ ΓΕ πρὸς ΕΔ, καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΓΑ πρὸς ΖΔ, τουτέστιν ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ, ὁ δὲ συνημμένος λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΓΕ πρὸς ΕΔ καὶ ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ ὑπὸ ΒΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔΕ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΑ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ τετράγωνον. θʹ. Τούτου ὄντος ἄλλως τὸ προγεγραμμένον λῆμμα· ὅτι γίνεται ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ. `7.714` Ἀνήχθω ἀπὸ τοῦ Δ τυχοῦσά τις εὐθεῖα ἡ ΔΖ, καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ ἴσον ὑποκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ ΓΖ ΕΖ ΒΖ. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖ, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΓΖΔ ἴση ἐστὶν τῇ Α γωνίᾳ. πάλιν ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖ, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΔΖΕ γωνίᾳ τῇ Β ἴση ἐστίν. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΖΔ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ Α· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΓΖΕ ἴση ἐστὶν ταῖς Α Β γωνίαις. ἀλλὰ αἱ Α Β μετὰ τῆς ὑπὸ ΑΖΒ γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· καὶ αἱ ὑπὸ ΑΖΒ ΓΖΕ ἄρα γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. γίνεται δὴ διὰ τὸ προγεγραμμένον λῆμμα ὡς τὸ ἀπὸ ΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΓ. ἀλλʼ ὡς τὸ ἀπὸ ΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΒΔ πρὸς ΔΕ — ἴσον γάρ ἐστιν τὸ ὑπὸ ΒΔΕ τῷ ἀπὸ ΔΖ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς ΔΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ. Λῆμμα χρήσιμον εἰς τὸ βʹ ἐπίταγμα τοῦ αὐτοῦ προβλήματος. ιʹ. Πάλιν ὄντος ἴσου τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΔΕ τῷ ὑπὸ ΒΔΓ, δεῖξαι ὅτι γίνεται ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓΑ. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς ΔΓ, καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς ὅλην τὴν ΓΕ ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ. πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς λοιπὴν τὴν ΑΓ ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ. ἦν δὲ καὶ ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΕ· καὶ ὁ συγκείμενος ἄρα λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ, ὅς ἐστιν ὁ τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΓΕ καὶ τοῦ τῆς ΕΒ πρὸς τὴν ΑΓ, ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓΑ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓΑ, ὅπερ· ⁓ `7.716` Ἄλλως τὸ αὐτό. ιαʹ. Ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΕ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς λοιπὴν τὴν ΕΒ ἐστὶν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ. καὶ συνθέντι ἐστὶν ὡς συναμφότερος ἡ ΑΓ ΕΒ πρὸς τὴν ΕΒ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΓ ΕΒ καὶ τῆς ΒΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ. πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς λοιπὴν τὴν ΓΑ ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ. καὶ συνθέντι ἐστὶν ὡς συναμφότερος ἡ ΕΒ ΑΓ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΕΒ ΑΓ καὶ τῆς ΓΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΓΑ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΓ ΕΒ καὶ τῆς ΒΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΓ ΕΒ καὶ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΓ ΕΒ καὶ τῆς ΓΔ, τουτέστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓΑ, ὅπερ· ⁓ Ἄλλως τὸ αὐτὸ προθεωρηθέντος τοῦδε. ιβʹ. Οὔσης ἴσης τῆς ΑΒ τῇ ΓΔ, ἐὰν ληφθῇ τι σημεῖον τὸ Ε, δεῖξαι ὅτι ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΔ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓΔ καὶ τῷ ὑπὸ ΒΕΓ. Τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ζ σημεῖον· τὸ μὲν ἄρα ὑπὸ ΑΕΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΕΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΔΖ, τὸ δʼ ὑπὸ ΑΓΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΔΖ· ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ ΑΕΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΕΖ τετραγώνου ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ ΒΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΕΖ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΕΖ τετράγωνον· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΓΔ καὶ τῷ ὑπὸ ΒΕΓ. ιγʹ. Τούτου προτεθεωρημένου ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΔΒΕ· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ. `7.718` Κείσθω τῇ ΓΔ ἴση ἡ ΑΖ· διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον γίνεται τὸ ὑπὸ τῶν ΖΒΔ ἴσον τῷ τε ὑπὸ ΖΓΔ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΒΓ. ἐπεὶ δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΔΒΕ, ὁπότερα ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ὑπὸ τῶν ΖΒΔ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΖΓΔ, ὅ ἐστιν τὸ ὑπὸ ΑΓΔ, ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΔΒ ΖΕ. πάλιν ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΔΒΕ, ἀνάλογον καὶ διελόντι ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς ΓΒ ἐστίν, τουτέστιν ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΒΓ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΖΕ πρὸς ὅλην τὴν ΕΓ ἐστὶν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΖΕΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΓΕΑ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ ΒΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ· ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ ΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕΒ, τουτέστιν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ. ιδʹ. Προθεωρηθέντος καὶ τοῦδε ἄλλως τὸ αὐτὸ δειχθήσεται. Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ καὶ διήχθωσαν ἐντὸς αἱ ΑΔ ΑΕ ποιοῦσαι ἑκατέραν τῶν ὑπὸ ΒΑΕ ΓΑΔ γωνίαν ὀρθήν· ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΑ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ τετράγωνον. `7.720` Περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον κύκλος ὁ ΑΒΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΗ. ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΕ ΓΑΔ γωνία, διάμετρός ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΒΕ ΖΗ τοῦ κύκλου, ὥστε κέντρον ἐστὶν τὸ Θ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΖΘ τῇ ΘΗ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΖ, καὶ ἀνάπαλιν. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΒΓΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΑ. ὡς δὲ ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΖΔΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΑ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΒΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΑ. ἐναλλὰξ ἄρα γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΑ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ τετράγωνον, ὅπερ· ⁓ ιεʹ. Τούτου ὄντος ἄλλως τὸ προγεγραμμένον· ὅτι γίνεται ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓΕ. Ἀνήχθω ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΑΒ ὀρθὴ ἡ ΔΖ, καὶ ὁποτέρῳ τῶν ὑπὸ ΑΔΕ ΒΔΓ ἴσον κείσθω τὸ ἀπὸ ΔΖ τετράγωνον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ ΖΓ ΖΕ ΖΒ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΑΖΕ ΓΖΒ γωνία· διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΓ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΓ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓΕ. Εἰς τὸ πρῶτον ἐπίταγμα τοῦ ϛʹ προβλήματος. ιϛʹ. Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἐπʼ αὐτῆς τρία σημεῖα τὰ Γ Δ Ε, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ· ὅτι γίνεται ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΕΔ. `7.722` Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ, ἀνάλογον καὶ λοιπὸν πρὸς λοιπὸν καὶ ἀναστρέψαντι ἔστιν ἄρα ὡς ἡ τῶν ΑΓ ΕΔ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν ΑΓ ΕΔ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΔΑΓ. πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς λοιπὴν τὴν ΔΕ ἐστὶν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ. διελόντι ἐστὶν ὡς ἡ τῶν ΑΓ ΕΔ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν ΑΓ ΔΕ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΕΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΓΕΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΓ ΕΔ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΑΒ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΔΑΓ· ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΓ ΔΕ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΓ ΔΕ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΕ, τουτέστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΔ. Ἄλλως τὸ αὐτὸ διὰ τοῦ συνημμένου. ιζʹ. Ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΔ πρὸς λοιπὴν τὴν ΓΕ ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ. πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς λοιπὴν τὴν ΔΕ ἐστὶν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ· ὥστε ὁ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΓ καὶ τοῦ τῆς ΓΒ πρὸς ΒΕ, ὅς ἐστιν ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΕ, ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΑΔ πρὸς ΓΕ καὶ τοῦ τῆς ΑΓ πρὸς ΔΕ, ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ τοῦ ὑπὸ ΔΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΔ. Ἄλλως. `7.724` ιηʹ. Γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΕ ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΕ, καὶ ἤχθω ἐφαπτομένη ἡ ΒΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ ΓΖ ΔΖ ΕΖ. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται μὲν ἡ ΒΖ, τέμνει δὲ ἡ ΒΑ, τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΒΖ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΑΒΕ τῷ ὑπὸ ΓΒΔ ἴσον ὑπόκειται· καὶ τὸ ὑπὸ ΓΒΔ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΒΖ τετραγώνῳ· ὥστε ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΖΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΖ γωνίᾳ. ὧν ἡ ὑπὸ ΒΖΕ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΖΑΓ γωνίᾳ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΖΕ γωνία λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΖΓ γωνίᾳ ἴση ἐστίν· ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΔΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΕΔ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ· ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΔΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΔ. Λῆμμα εἰς τὸ τρίτον ἐπίταγμα τοῦ ἕκτου προβλήματος. ιθʹ. Ὄντος πάλιν ἴσου τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ δεῖξαι ὅτι γίνεται ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΕ. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς λοιπὴν τὴν ΔΕ ἐστὶν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ λοιπὴ ἡ ΑΔ πρὸς λοιπὴν τὴν ΓΕ ἐστὶν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ. καὶ ἀνάπαλιν· ὥστε ὁ συνημμένος λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΔ, ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ, ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΕ καὶ ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΑΔ, ὅς ἐστιν τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΔΕ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΕ. Ἄλλως τὸ αὐτό. `7.726` κʹ. Ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ, λοιπὴ ἡ ΑΓ πρὸς λοιπὴν τὴν ΔΕ ἐστὶν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ. ἀναστρέψαντί ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν τῶν ΑΓ ΔΕ ὑπεροχήν, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΓΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΓ ΔΕ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΓ. πάλιν ἐπεὶ λοιπὴ ἡ ΑΓ πρὸς λοιπὴν τὴν ΔΕ γίνεται ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, διελόντι ὡς ἡ τῶν ΑΓ ΔΕ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΔΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΓ ΔΕ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΔΒ· ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΓ ΔΕ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΓ ΔΕ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΔΒ, τουτέστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΔΕ, ὅπερ· ⁓ Ἄλλως τὸ αὐτό. καʹ. Γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΓΔ ἡμικύκλιον τὸ ΓΖΔ, ἐφαπτομένη ἤχθω ἡ ΒΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ ΓΖ ΔΖ ΕΖ. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΑΒΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΓΒΔ, ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΓΒΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης τῆς ΒΖ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΖΕ γωνίᾳ τῇ Α ἴση ἐστίν. ἀλλὰ καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ ΒΖΔ τῇ ὑπὸ ΖΓΒ ἴση ἐστίν· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΖΔ γωνία λοιπῇ τῇ ὑπὸ τῶν ΑΖΓ ἴση ἐστίν· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΔΕ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ· ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΔΕ. κβʹ. Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἐπʼ αὐτῆς δύο σημεῖα τὰ Γ Δ, ἔστω δὲ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ· ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ. `7.728` Κείσθω τῇ ΓΔ ἴση ἡ ΔΕ· διελόντι ἄρα γίνεται ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ, τουτέστιν πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΔΓ. ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἐστὶν κοινοῦ ὕψους παραληφθείσης τῆς ΑΕ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ ΓΒ· ἐστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ ΓΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΓΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΔΓ· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ ΓΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΕΔΓ. ἀνάλογον καὶ συνθέντι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΕ, τουτέστιν πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ὅλην τὴν ΒΔ ἐστὶν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ, ὅπερ· ⁓ κγʹ. Ἔστω δὴ πάλιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ· ὅτι γίνεται ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΒΓ τῷ ἀπὸ ΒΔ τετραγώνῳ. Κείσθω τῇ ΓΔ ἴση ἡ ΔΕ· κατὰ διαίρεσιν ἄρα γίνεται ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΑ ΒΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔΕ· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ ΒΓ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΔΕ. ἀνάλογον καὶ διελόντι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΕ, τουτέστιν πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΓΒ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς λοιπὴν τὴν ΔΒ ἐστὶν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΓΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΒΔ τετραγώνῳ. κδʹ. Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἐπʼ αὐτῆς τρία σημεῖα τὰ Γ Δ Ε, ἔστω δὲ ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ· ὅτι γίνεται καὶ ὡς τὸ ὑπὸ ΑΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ. `7.730` Εἰλήφθω γὰρ ἰσότητος σημεῖον τὸ Ζ, ὥστε ἴσον εἶναι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΔ τῷ ὑπὸ ΒΖΕ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔΕ — λῆμμα γὰρ ἐν δωρισμένῃ. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΒΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΖΔ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΒΖΕ, ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΖΓ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ. ὡς δέ ἐστιν ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΔ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΔ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ. Ἄλλως τὸ αὐτό. `7.732` κεʹ. Γεγράφθω ἐπὶ τῶν ΑΕ ΔΒ εὐθειῶν ἡμικύκλια τὰ ΑΖΕ ΔΖΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ ΖΓ ΖΔ ΖΕ ΖΒ. ἐπεὶ οὖν αἱ ὑπὸ ΑΖΒ ΔΖΕ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΒΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔΕ, οὕτως ἦν τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ, ὥστε καὶ ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΔ· δίχα ἄρα τέτμηται ἡ ὑπὸ ΑΖΔ γωνία τῇ ΖΓ εὐθείᾳ. ἀλλὰ καὶ ἐκβληθείσης τῆς ΒΖ ἐπὶ τὸ Η, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΖΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΑ γωνίᾳ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΕΖΓ ὅλῃ τῇ ὑπὸ τῶν ΓΖΗ γωνίᾳ ἴση ἐστίν· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΕ, καὶ ὡς τὸ ἀπὸ πρὸς τὸ ἀπό. ἀλλʼ ὡς τὸ ἀπὸ ΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΔ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ, ὅπερ·⁓ κϛʹ. Ἔστω πάλιν ὡς τὸ ὑπὸ ΑΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ· ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΒΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ. Εἰλήφθω πάλιν ἰσότητος σημεῖον τὸ Ζ, ὥστε ἴσον εἶναι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΒ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖΕ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΖΕ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΑΖΒ, τῷ ἀπὸ ΖΔ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΔΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ. ὡς δὲ ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΒΕ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΒΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ, ὅπερ·⁓ Ἄλλως τὸ αὐτό. `7.734` κζʹ. Γεγράφθω περὶ τὰς ΑΕ ΓΒ ἡμικύκλια τὰ ΑΖΕ ΓΖΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ ΓΖ ΔΖ ΕΖ ΒΖ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΖΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΖΒ γωνίᾳ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΑΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΑΓΒ, πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΒ, οὕτως ἦν τὸ ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ· καὶ ὥς ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ, ὥστε καὶ ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΖΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΕ γωνίᾳ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΖΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΖΕ γωνίᾳ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΔ γωνία ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΒΖΔ γωνίᾳ ἴση ἐστίν· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΒ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΒΕ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΒΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ, ὅπερ· ⁓ Λήμματα χρήσιμα εἰς τὸ δεύτερον διωρισμένης τομῆς. αʹ. Ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ τρία σημεῖα τὰ Γ Δ Ε, ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ ἴσον εἶναι τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ, καὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΑΕ ΓΒ ἴση κείσθω ἡ Ζ· ὅτι γίνεται τὸ μὲν ὑπὸ τῶν Ζ ΑΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν Ζ ΓΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓΕ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν Ζ ΒΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν Ζ ΔΕ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ, ἀνάλογον καὶ ὅλη πρὸς ὅλην καὶ συνθέντι ὡς συναμφότερος ἡ ΒΓ ΑΕ, τουτέστιν ἡ Ζ, πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Ζ ΑΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ. πάλιν ἐπεὶ ὅλη ἡ ΑΕ πρὸς ὅλην τὴν ΓΒ ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ, συνθέντι ἐστὶν ὡς συναμφότερος ἡ ΑΕ ΓΒ πρὸς τὴν ΓΒ, τουτέστιν ὡς ἡ Ζ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΓΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Ζ ΓΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓΕ. τὰ αὐτὰ καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν· γίνεται ἄρα τέσσαρα. `7.736` βʹ. Ἔστω νῦν πάλιν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ, καὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΑΕ ΓΒ ἴση κείσθω ἡ Ζ· ὅτι πάλιν γίνεται τέσσαρα, τὸ μὲν ὑπὸ τῶν Ζ ΑΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν Ζ ΓΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓΕ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν Ζ ΒΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν Ζ ΔΕ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ, ἀνάλογον καὶ ἀνάπαλιν καὶ λοιπὴ πρὸς λοιπὴν καὶ συνθέντι ἔστιν ἄρα ὡς συναμφότερος ἡ ΑΕ ΓΒ πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ. συναμφότερος δὲ ἡ ΑΕ ΓΒ ἴση ἐστὶν τῇ Ζ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ζ πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Ζ ΑΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ. πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς λοιπὴν τὴν ΓΒ ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ. συνθέντι ὡς συναμφότερος ἡ ΑΕ ΓΒ, τουτέστιν ὡς ἡ Ζ, πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Ζ ΓΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓΕ. τὰ δʼ αὐτὰ καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν δύο δείξομεν· γίνεται ἄρα τέσσαρα. γʹ. Ἔστω δὲ ἐκτὸς τῆς ὅλης τὸ σημεῖον, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ· ὅτι πάλιν, ἐὰν τῇ τῶν ΑΕ ΓΒ ὑπεροχῇ ἴση τεθῇ ἡ Ζ, γίνεται τέσσαρα, τὸ μὲν ὑπὸ τῶν Ζ ΑΔ ἴσον τῶ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ, τὸ δὲ ὑπὸ Ζ ΓΔ τῷ ὑπὸ ΒΓΕ, τὸ δὲ ὑπὸ Ζ ΒΔ τῷ ὑπὸ ΑΒΓ, τὸ δὲ ὑπὸ Ζ ΔΕ τῷ ὑπὸ ΑΕΓ. `7.738` Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ, ἀνάλογον καὶ λοιπὴ πρὸς λοιπὴν καὶ ἀναστρέψαντι ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν τῶν ΑΕ ΓΒ ὑπεροχήν, οὕτως ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΒ. ἡ δὲ τῶν ΑΕ ΓΒ ὑπεροχή ἐστιν ἡ Ζ· τὸ ἄρα ὑπὸ Ζ ΑΔ ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΑΕ. πάλιν ἐπεὶ λοιπὴ ἡ ΑΕ πρὸς λοιπὴν τὴν ΒΓ ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ, διελόντι ἐστὶν ὡς ἡ τῶν ΑΕ ΒΓ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ τὴς τῶν ΑΕ ΒΓ ὑπεροχῆς, τουτέστιν τῆς Ζ καὶ τῆς ΓΔ, ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓΕ. τὰ δὲ αὐτὰ καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν δύο δείξομεν· γίνεται ἄρα τέσσαρα. δʹ. Τούτου δʼ ἂν δειχθέντος ῥᾳδίως εὑρεθείη τὰ εἰς τὸ πρῶτον διωρισμένης· τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ὅτι γίνεται ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ. Ἐπεὶ γὰρ δέδεικται τὸ μὲν ὑπὸ τῶν Ζ ΒΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν Ζ ΔΕ τῷ ὑπὸ ΑΕΓ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ Ζ ΔΒ πρὸς τὸ ὑπὸ Ζ ΔΕ, τουτέστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ. Εἰς τὸ πρῶτον ἐπίταγμα τοῦ πρώτου προβλήματος. εʹ. Ἔστω πάλιν ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ, καὶ τυχὸν σημεῖον ἔστω τὸ Ζ· ὅτι, ἐὰν συναμφοτέρῳ τῇ ΑΕ ΓΒ ἴση τεθῇ ἡ Η, τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΖΕ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ τῶν Η ΔΖ. Ἐπεὶ γὰρ προδέδεικται τὸ ὑπὸ τῶν Η ΔΕ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ, κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ὑπὸ τῶν Η ΖΕ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν Η ΔΖ ἡ ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ τοῦ ὑπὸ τῶν Η ΕΖ. ᾧ δὲ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ τοῦ ὑπὸ τῶν Η ΕΖ, κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΕΖ, τούτῳ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ ΓΖ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΓ ΖΕ· ᾧ δὲ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ ΓΖ τοῦ ὑπὸ τῶν ΓΒ ΖΕ, κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ὑπὸ τῶν ΓΖΕ, τούτῳ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΖΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΖΕ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ τῶν Η ΔΖ, ὅπερ· ⁓ `7.740` Ἄλλο εἰς τὸ τρίτον τοῦ δευτέρου. ϛʹ. Ἔστω τὸ σημεῖον μεταξὺ τῶν Ε Β τὸ Ζ· ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν Η ΔΖ. Ἐπεὶ γὰρ προαποδέδεικται τὸ ὑπὸ τῶν Η ΔΕ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ Η ΕΖ· ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν Η ΔΖ ἴσον τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΕΓ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕΖ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓ ΕΖ. ἀλλὰ καὶ τὸ ὑπὸ ΑΕΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΕΖ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕ ΓΖ· γέγονεν οὖν τὸ ὑπὸ Η ΔΖ ἴσον τῷ τε ὑπὸ ΑΕ ΓΖ καὶ τῷ ὑπὸ ΓΒ ΕΖ. ἀλλὰ πάλιν τὸ ὑπὸ ΓΒ ΕΖ ἴσον τῷ τε ὑπὸ ΓΖΕ καὶ τῷ ὑπὸ ΕΖΒ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΕ ΓΖ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΓΖΕ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΖΓ, εἴχομεν δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ΕΖΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Η ΔΖ ἴσον τῷ τε ὑπὸ ΑΖΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΕΖΒ. Εἰς τὸ πρῶτον ἐπίταγμα τοῦ τρίτου προβλήματος. ζʹ. Ἔστω πάλιν τὸ σημεῖον ἐκτὸς τῆς ΑΒ τὸ Ζ· δεῖξαι ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ Η ΔΖ. `7.742` Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν Η ΔΒ ἴσον τῷ ὑπὸ ΑΒΓ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ τῶν Η ΒΖ· ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν Η ΔΖ ἴσον τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΒΓ καὶ τῷ ὑπὸ Η ΒΖ, τουτέστιν τῷ τε ὑπὸ ΑΕ ΒΖ καὶ τῷ ὑπὸ ΓΒΖ. τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΓΒΖ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΖ ΓΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ Η ΔΖ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΖ ΓΒ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΕ ΒΖ. τὸ δὲ ὑπὸ ΑΖ ΓΒ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΕ ΒΖ ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ τῶν ΕΖΒ· καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Η ΔΖ ἄρα ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ τῶν ΕΖΒ. Εἰς τὸ δεύτερον ἐπίταγμα τοῦ πρώτου προβλήματος. ηʹ. Ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΕΔΒ, σημεῖον ἔστω τὸ Ζ μεταξὺ τῶν Δ Γ, καὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΑΕ ΓΒ ἴση κείσθω ἡ Η· ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖΒ τοῦ ὑπὸ ΑΖΓ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ τῶν Η ΔΖ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν Η ΔΓ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓΕ, κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ὑπὸ τῶν Η ΖΓ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ Η ΔΖ ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓΒ τοῦ ὑπὸ τῶν Η ΓΖ. ᾧ δὲ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓΒ τοῦ ὑπὸ τῶν Η ΖΓ, κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ὑπὸ ΒΓΖ, τούτῳ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖ ΓΒ τοῦ ὑπὸ ΑΕ ΖΓ· ᾧ δὲ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΕΖ ΓΒ τοῦ ὑπὸ ΑΕ ΖΓ, κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ὑπὸ ΕΖΓ, τούτῳ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΕΖΒ τοῦ ὑπὸ ΑΖΓ· καὶ τὸ ὑπὸ ΕΖΒ ἄρα τοῦ ὑπὸ ΑΖΓ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ Η ΔΖ. Εἰς τὸ δεύτερον ἐπίταγμα τοῦ δευτέρου προβλήματος. θʹ. Ἀλλὰ ἔστω τὸ σημεῖον μεταξὺ τῶν Γ Β τὸ Ζ· ὅτι γίνεται τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΖΕ ἴσον τῷ ὑπὸ Η ΔΖ. `7.744` Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν Η ΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓΕ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ Η ΓΖ· ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν Η ΔΖ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΒΓΕ καὶ τῷ ὑπὸ Η ΓΖ, ὅ ἐστιν τῷ τε ὑπὸ ΑΕ ΓΖ καὶ τῷ ὑπὸ ΒΓΖ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΕΓΒ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΓΖ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΕΖ ΓΒ· γέγονεν οὖν τὸ ὑπὸ ΕΖ ΓΒ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΕ ΓΖ ἴσον τῷ ὑπὸ Η ΔΖ. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΕΖ ΓΒ ἴσον τῷ τε ὑπὸ ΕΖΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΒΖΕ, τὸ δὲ ὑπὸ ΕΓΖ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΕ ΓΖ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΖΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΖΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΖΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ Η ΔΖ. Εἰς τὸ δεύτερον ἐπίταγμα τοῦ τρίτου προβλήματος. ιʹ. Ἔστω δὴ τὸ σημεῖον ἐκτὸς τῆς ΑΒ τὸ Ζ· ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ τῶν ΕΖΒ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ τῶν Η ΔΖ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν Η ΔΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ τῶν Η ΒΖ· ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΗΔΖ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΒΓ καὶ τῷ ὑπὸ Η ΒΖ, ὅ ἐστιν τῷ τε ὑπὸ ΑΕ ΖΒ καὶ τῷ ὑπὸ ΓΒΖ. τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΓΒΖ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΖ ΓΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΖ ΓΒ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΕ ΖΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΗΔΖ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΑΖ ΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΕ ΖΒ ὑπεροχή ἐστιν, ᾗ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ· καὶ τὸ ὑπὸ ΑΖΓ ἄρα τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ Η ΔΖ, ὅπερ· ⁓ Εἰς τὸ τρίτον ἐπίταγμα τοῦ πρώτου προβλήματος. ιαʹ. Ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ ΔΓ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔ ΔΕ, καὶ τῇ τῶν ΑΕ ΒΓ ὑπεροχῇ ἴση κείσθω ἡ Η, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον τὸ Ζ μεταξὺ τῶν Ε Β· ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ τῆς Η καὶ τῆς ΖΔ. `7.746` Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν Η ΒΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΒΓ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ Η ΒΖ· ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ Η ΖΔ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΒΓ καὶ τῷ ὑπὸ Η ΒΖ, ὅ ἐστιν τῷ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΕ ΒΓ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΖ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΑΒΓ τὸ ὑπὸ ΑΖ ΒΓ ἐστὶν καὶ τὸ ὑπὸ ΖΒ ΒΓ· γέγονεν οὖν τὸ ὑπὸ Η ΖΔ ἴσον τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΖ ΒΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΓΒ ΒΖ καὶ τῷ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΕ ΓΒ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΖ. τὸ δὲ ὑπὸ ΓΒ ΒΖ μετὰ τοῦ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΕ ΓΒ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΖ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕ ΖΒ τὸ οὖν ὑπὸ Η ΖΔ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΖ ΓΒ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΕ ΖΒ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΑΖ ΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΕ ΖΒ ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ Η ΖΔ, ὅπερ· ⁓ Εἰς τὸ πρῶτον ἐπίταγμα τοῦ δευτέρου προβλήματος. ιβʹ. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἔστω τὸ Ζ σημεῖον μεταξὺ τῶν Β Γ· ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΖΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῆς Η καὶ τῆς ΖΔ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ Η ΓΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΕΓΒ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ Η ΖΓ· ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ Η ΖΔ τῷ ὑπὸ ΕΓΒ καὶ τῷ ὑπὸ Η ΖΓ ἐστὶν ἴσον. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ Η ΖΓ τὸ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΕ ΒΓ ἐστὶν ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΖΓ, τὸ δὲ ὑπὸ ΕΓΒ τὸ ὑπὸ ΒΓΖ ἐστὶν καὶ τὸ ὑπὸ ΕΖ ΒΓ· γέγονεν οὖν τὸ ὑπὸ Η ΖΔ ἴσον τῷ ὑπὸ ΕΖ ΒΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΒΓΖ καὶ τῷ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΕ ΒΓ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΓΖ. τὸ δὲ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΕ ΒΓ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΓΖ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΓΖ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕ ΓΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ Η ΖΔ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΕ ΓΖ καὶ τῷ ὑπὸ ΕΖ ΓΒ. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΕΖ ΒΓ τό τε ὑπὸ ΕΖ ΖΓ ἐστὶν καὶ τὸ ὑπὸ ΕΖ ΖΒ, τὸ δὲ ὑπὸ ΕΖΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΕ ΖΓ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΖΓ. εἴχομεν δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ΕΖΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΖΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ Η ΖΔ, ὅπερ· ⁓ `7.748` Εἰς τὸ τρίτον ἐπίταγμα τοῦ τρίτου προβλήματος. ιγʹ. Ἔστω πάλιν τὸ σημεῖον μεταξὺ τῶν Γ Δ· ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ ἐλλείπει τῷ ὑπὸ Η ΖΔ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ Η ΓΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΕΓΒ, κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ὑπὸ Η ΓΖ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ Η ΖΔ ὑπεροχή ἐστιν, ᾗ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΕΓΒ τοῦ ὑπὸ Η ΓΖ, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΕ ΓΒ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΓΖ. ᾧ δὲ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΕΓΒ τοῦ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΕ ΓΒ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΓΖ, κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ὑπὸ ΖΓΒ, τούτῳ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΕΖ ΒΓ τοῦ ὑπὸ ΑΕ ΓΖ. ᾧ δὲ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΕΖ ΒΓ τοῦ ὑπὸ ΑΕ ΓΖ, κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ὑπὸ ΕΖΓ, τούτῳ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΕΖΒ τοῦ ὑπὸ ΑΖΓ· ὥστε τὸ ὑπὸ ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ ἐλλείπει τῷ ὑπὸ τῆς Η καὶ τῆς ΖΔ. Εἰς τὸ τρίτον ἐπίταγμα τοῦ τρίτου προβλήματος. ιδʹ. Ἀλλὰ ἔστω ἐκτὸς τὸ Ζ σημεῖον· ὅτι πάλιν τὸ ὑπὸ ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ Η ΔΖ. `7.750` Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΗΓΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΕΓΒ, ἀμφότερα ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ὑπὸ Η ΓΖ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΗΔΖ ἡ ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ Η ΓΖ τοῦ ὑπὸ ΕΓΒ. ᾧ δὲ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ Η ΓΖ τοῦ ὑπὸ ΕΓΒ, κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ὑπὸ ΒΓΖ, τούτῳ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΑΕ ΓΖ τοῦ ὑπὸ ΕΖ ΒΓ· ἡ γὰρ τῶν ΑΕ ΒΓ ὑπεροχὴ μετὰ τῆς ΒΓ ἡ ΑΕ ἐστίν. ᾧ δὲ πάλιν ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΑΕ ΓΖ τοῦ ὑπὸ ΕΖ ΒΓ, κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ὑπὸ ΕΖΓ, τούτῳ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ Η ΔΖ. Εἰς τὸ τρίτον ἐπίταγμα τοῦ τρίτου προβλήματος. ιεʹ. Πάλιν ἔστω τὸ Ζ σημεῖον μεταξὺ τῶν Α Ε· ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΖΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ Η ΖΔ. Ἐπεὶ τὸ ὑπὸ Η ΒΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΒΓ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ Η ΒΖ· ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ Η ΖΔ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΒΓ καὶ τῷ ὑπὸ Η ΖΒ. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΖ ΒΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΖΒΓ, τὸ δὲ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΕ ΒΓ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΖΒ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΓΒΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΕ ΒΖ· τὸ ὑπὸ ΑΕ ΒΖ ἄρα ἐστὶν τό τε ὑπὸ ΒΖΕ καὶ τὸ ὑπὸ ΑΖΒ, ὃ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΖ ΒΓ ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΖΓ· τὸ οὖν ὑπὸ ΑΖΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΖΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ Η ΖΔ, ὅπερ· ⁓ Εἰς τὸ τρίτον ἐπίταγμα τοῦ τρίτου προβλήματος. ιϛʹ. Ἔστω δὴ πάλιν ἐκτὸς τὸ Ζ σημεῖον· ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ ΕΖΒ ἐλλείπει τῷ ὑπὸ Η ΖΔ. `7.752` Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν Η ΑΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΑΕ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ Η ΑΖ· ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ Η ΔΖ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΒΑΕ καὶ τῷ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΕ ΓΒ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΑΖ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΒΑΕ μετὰ τοῦ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΕ ΓΒ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΑΖ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΖΒ ΑΕ λεῖπον τῷ ὑπὸ ΖΑ ΒΓ, ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ Η ΖΔ ἡ ὑπεροχή ἐστιν, ᾗ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΒΖ ΑΕ τοῦ ὑπὸ ΖΑ ΒΓ. ἀλλὰ ᾧ τὸ ὑπὸ ΖΒ ΑΕ τοῦ ὑπὸ ΖΑ ΒΓ ὑπερέχει, κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ὑπὸ ΒΖΑ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ ὑπὸ ΒΖΕ τοῦ ὑπὸ ΓΖΑ· τὸ οὖν ὑπὸ ΒΖΕ τοῦ ὑπὸ ΓΖΑ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ Η ΖΔ, ὥστε τὸ ὑπὸ ΓΖΑ τοῦ ὑπὸ ΒΖΕ ἐλλείπει τῷ ὑπὸ Η ΖΔ, ὅπερ· ⁓ Εἰς τὸ τρίτον ἐπίταγμα τοῦ πρώτου προβλήματος. ιζʹ. Ἔστω ἡ ΑΒ ἴση τῇ ΓΔ, καὶ τυχὸν σημεῖον τὸ Ε μεταξὺ τῶν Β Γ σημείων· ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΕ ΕΔ τοῦ ὑπὸ ΒΕ ΕΓ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ ΑΓΔ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΑΕ ΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΕ ΕΓ, τουτέστιν τῷ τε ὑπὸ ΒΕ ΕΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΒ ΕΓ, καὶ ἔτι τῷ ὑπὸ ΑΕ ΓΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕ ΕΔ τοῦ ὑπὸ ΒΕ ΕΓ ὑπερέχει τῷ τε ὑπὸ ΕΓ ΑΒ, τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΕΓ ΓΔ — ἴσαι γάρ εἰσιν αἱ ΑΒ ΓΔ —, καὶ τῷ ὑπὸ ΑΕ ΓΔ. ἀλλὰ τό τε ὑπὸ ΕΓ ΓΔ καὶ τὸ ὑπὸ ΑΕ ΓΔ γίνεται ὅλον τὸ ὑπὸ ΑΓ ΓΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕ ΕΔ τοῦ ὑπὸ ΒΕ ΕΓ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ ΑΓ ΓΔ. Εἰς τὸ πρῶτον ἐπίταγμα τοῦ δευτέρου προβλήματος. ιηʹ. Ἔστω ἡ ΑΒ ἴση τῇ ΓΔ, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον μεταξὺ τῶν Γ Δ τὸ Ε· ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΕ ΕΔ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΕ ΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓΔ. `7.754` Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ ΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΓ ΕΔ καὶ τῷ ὑπὸ ΓΕ ΕΔ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ ΒΕ ΕΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕΔ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΓ ΕΔ καὶ τῷ ὑπὸ ΓΕ ΕΔ καὶ ἔτι τῷ ὑπὸ ΒΕ ΕΓ. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΓΕ ΕΔ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΕ ΕΓ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΔ ΓΕ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΑΓΕ — ἴσαι γάρ εἰσιν καὶ ὅλαι αἱ ΑΓ ΒΔ —, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΕΔ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΓΕ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΓ ΓΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕ ΕΔ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΕ ΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓΔ. Λῆμμα χρήσιμον εἰς τοὺς μοναχοὺς τοῦ τε πρώτου καὶ δευτέρου καὶ τοῦ τρίτου ἐπιτάγματος. `7.756` ιθʹ. Ἡμικυκλίου ὄντος τοῦ ΑΕΒ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΒΑ, καὶ ὀρθῶν τῶν ΓΕ ΔΖ, καὶ ἀχθείσης εὐθείας τῆς ΕΖΗ, καὶ ἐπʼ αὐτῆς καθέτου τῆς ΒΗ, γίνεται τρία· τὸ μὲν ὑπὸ ΓΒ ΒΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΒΗ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΓ ΔΒ τῷ ἀπὸ ΖΗ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΔ ΓΒ τῷ ἀπὸ ΕΗ. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΗΓ ΗΔ ΑΖ ΖΒ. ἐπεὶ οὖν ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ Ζ, καὶ κάθετος ἡ ΖΔ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΖΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΑΖ γωνίᾳ. ἀλλὰ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΖΒ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΔΗΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΖ, ἐὰν ἐπιζευχθῇ ἡ ΕΒ, τῇ ὑπὸ ΒΕΖ, τουτέστιν τῇ ὑπὸ ΒΓΗ· καὶ ἡ ὑπὸ ΔΗΒ ἄρα ἴση τῇ ΒΓΗ· ὥστε τὸ ὑπὸ ΓΒΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΒΗ. ἔστιν δὲ καὶ ὅλον τὸ ὑπὸ ΑΒΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΒΖ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΓ ΔΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΖΗ. πάλιν ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΒΕ τετραγώνῳ, ὧν τὸ ὑπὸ ΓΒΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΒΗ, λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΔ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΗ τετραγώνῳ· γίνεται ἄρα τρία. Εἰς τὸν μοναχὸν τοῦ τρίτου ἐπιτάγματος τοῦ δευτέρου προβλήματος. κʹ. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ διήχθωσαν αἱ ΑΔ ΒΖ ΓΕ, ἔστω δὲ ἡ μὲν ΑΔ ἐπὶ τῆς ΒΓ κάθετος, ἐν κύκλῳ δὲ τὰ Α Ζ Ε Η σημεῖα· ὅτι ὀρθαί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς Ζ Ε γωνίαι. Ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΔ, καὶ τῇ ΗΔ ἴση κείσθω ἡ ΔΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΘ ΘΓ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Θ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΗΓ, τουτέστιν τῇ ὑπὸ ΖΗΕ. ἀλλʼ ἦν ἡ ὑπὸ ΖΗΕ μετὰ τῆς Α δυσὶν ὀρθαῖς ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΘΓ ἄρα μετὰ τῆς Α δυσὶν ὀρθαῖς ἴση ἐστίν· ἐν κύκλῳ ἄρα ἔστιν τὰ Α Β Θ Γ σημεῖα· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΘ, τουτέστιν τῇ ὑπὸ ΗΓΔ. εἰσὶν δὲ καὶ αἱ πρὸς τῷ Η κατὰ κορυφὴν ἴσαι ἀλλήλαις· λοιπὴ ἄρα ἡ Δ ἴση τῇ πρὸς τῷ Ε. ὀρθὴ δέ ἐστιν ἡ Δ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ πρὸς τῷ Ε σημείῳ. διὰ ταὐτὰ δὴ καὶ ἡ πρὸς τῷ Ζ γωνία ὀρθή ἐστιν· ὀρθαὶ ἄρα εἰσὶν αἱ πρὸς τοῖς Ζ Ε σημείοις, ὅπερ· ⁓ Ὁ μοναχὸς πρώτου προβλήματος τοῦ τρίτου ἐπιτάγματος. `7.758` καʹ. Τριῶν δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΔ, ἐὰν γένηται ὡς τὸ ὑπὸ ΑΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, μοναχὸς λόγος καὶ ἐλάχιστός ἐστιν ὁ τοῦ ὑπὸ ΑΕΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕΓ· λέγω δὴ ὅτι ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὑπερέχει ἡ δυναμένη τὸ ὑπὸ ΑΙ ΒΔ τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ ΑΒ ΓΔ. Γεγράφθω περὶ τὴν ΑΔ κύκλος, καὶ ἤχθωσαν ὀρθαὶ αἱ ΒΖ ΓΗ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΑΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓΔ, τουτέστιν ὡς τὸ ἀπὸ ΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, καὶ μήκει ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Ζ Ε Η. ἔστω ἡ ΖΕΗ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ μὲν ΗΓ ἐπὶ τὸ Θ, ἐπιζευχθεῖσα δὲ ἡ ΖΘ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Κ, καὶ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ ΔΚ. καὶ διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον λῆμμα γίνεται τὸ μὲν ὑπὸ ΑΓ ΒΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΖΚ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒ ΓΔ τῷ ἀπὸ ΘΚ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΘ ἐστὶν ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει ἡ δυναμένη τὸ ὑπὸ ΑΓ ΒΔ τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ ΑΒ ΓΔ. ἤχθω οὖν διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΖΛ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΛ. ἐπεὶ οὖν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΖΘΛ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΕΓΗ ἐστὶν ἴση, ἔστιν δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Λ τῇ πρὸς τῷ Η γωνίᾳ ἴση, ἰσογώνια ἄρα τὰ τρίγωνα· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΛΖ πρὸς τὴν ΘΖ, τουτέστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΖΘ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΕΓ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, καὶ τὸ ὑπὸ ΗΕ ΕΖ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΑΕ ΕΔ, πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕ ΕΓ. καὶ ἔστιν ὁ μὲν τοῦ ὑπὸ ΑΕ ΕΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕ ΕΓ μοναχὸς καὶ ἐλάσσων λόγος, ἡ δὲ ΖΘ ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει ἡ δυναμένη τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΒΔ τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ ΑΒ ΓΔ, ὥστε ὁ μοναχὸς καὶ ἐλάσσων λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὑπερέχει ἡ δυναμένη τὸ ὑπὸ ΑΓ ΒΔ τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ ΑΒ ΓΔ, ὅπερ· ⁓ Ὁ μοναχὸς τοῦ τρίτου ἐπιτάγματος τοῦ δευτέρου προβλήματος. `7.762–7.766` κβʹ. Πάλιν τριῶν δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΔ, ἐὰν γένηται ὡς τὸ ὑπὸ ΑΔΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, μοναχὸς καὶ ἐλάσσων λόγος ἐστὶν ὁ τοῦ ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΔ. λέγω δὴ ὅτι ὁ αὐτός ἐστιν τῷ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΒΔ καὶ τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ. Ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ε τῇ ΑΔ ὀρθὴ ἡ ΕΖ καὶ ἐκβεβλήσθω, καὶ τῷ ὑπὸ ΑΔΒ ἴσον τὸ ἀπὸ ΖΔ, καὶ τῇ ΖΔ εὐθείᾳ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΓ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΑΔΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΔΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΗ, καὶ ἔστιν ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ τῷ ἀπὸ ΖΔ, καὶ τὸ ὑπὸ ΑΓΒ ἄρα ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΗ. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ ΖΒ ΑΗ ΗΒ. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΑΔΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΔΖ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΖΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΑΒ γωνίᾳ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΓ ἴση τῇ ὑπὸ ΒΑΗ. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΖΔ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΒΘΗ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΘΗ ΒΗΘ γωνίαι, τουτέστιν — ἐὰν ἐκβληθῇ ἡ ΒΚ — ἡ ὑπὸ ΚΒΖ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΛΑΚ γωνίᾳ· ὥστε ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὰ Α Λ Β Κ σημεῖα· διὰ ἄρα τὸ προγεγραμμένον γίνονται ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Κ Λ σημείοις γωνίαι. ἤχθω δὴ κάθετος ἐπὶ τὴν ΖΔ ἡ ΒΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΝ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ξ· κάθετος ἄρα ἐστὶν ἐπὶ τῆς ΖΛ καὶ παράλληλος τῇ ΗΛ. πάλιν δὲ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΗΓ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ο· κάθετος ἄρα ἐστὶν ἐπὶ τῆς ΒΝ — καὶ γὰρ ἡ ΖΔ ἐπὶ τῆς ΜΒ. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΑΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΓΗ, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνίᾳ τῇ ΗΑΓ ἴση ἐστίν. ἀλλὰ ἡ μὲν ὑπὸ ΒΗΓ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΓΝΒ ἐν κύκλῳ, ἡ δὲ ὑπὸ ΗΑΒ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΒΔΝ ἐν παραλλήλῳ· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΝΓ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΒΔΝ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΔΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΒΝ τετραγώνῳ. ἐπεὶ δὲ ἐν τριγώνῳ τῷ ΒΔΖ κάθετος ἦκται ἡ ΔΝΞ, καὶ κεκλασμέναι πρὸς αὐτῇ εἰσιν αἱ ΖΝ ΝΒ, ἡ ἄρα τῶν ἀπὸ ΖΔ ΔΒ ὑπεροχὴ ἴση τῇ τῶν ἀπὸ ΖΝ ΝΒ ὑπεροχῇ. ἀλλὰ ἡ τῶν ἀπὸ ΖΔ ΔΒ ὑπεροχή ἐστιν τὸ ὑπὸ ΑΒΔ· καὶ ἡ τῶν ἀπὸ τῶν ΖΝ ΝΒ ἄρα ὑπεροχή ἐστιν τὸ ὑπὸ ΑΒΔ. ἔστιν δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ΔΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ ΒΝ· ἡ ΝΖ ἄρα ἐστὶν ἡ δυναμένη τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΒΔ. πάλιν ἐπεὶ ἡ τῶν ἀπὸ τῶν ΗΝ ΝΒ ὑπεροχὴ ἴση ἐστὶν τῇ τῶν ἀπὸ τῶν ΗΓ ΓΒ ὑπεροχῇ, ἀλλὰ ἡ τῶν ἀπὸ τῶν ΗΓ ΓΒ ὑπεροχή ἐστιν τὸ ὑπὸ ΑΒ ΒΓ, καὶ ἡ τῶν ἀπὸ τῶν ΗΝ ΝΒ ἄρα ὑπεροχή ἐστιν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ. ἔστιν δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ΔΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ ΒΝ· ἡ ΝΗ ἄρα ἐστὶν ἡ δυναμένη ὅλον τὸ ὑπὸ ΑΔ ΒΓ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΖΝ ἐστὶν ἡ δυναμένη τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΒΔ· ὅλη ἄρα ἡ ΖΗ ἴση ἐστὶν τῇ τε δυναμένῃ τὸ ὑπὸ ΑΔ ΒΓ καὶ τῇ δυναμένῃ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΒΔ. ἐπειδὴ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΖΚΗ γωνία, καὶ κάθετος ἡ ΑΕ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΖΕΗ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΖΕΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΔ. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΖΕΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ. καὶ ἔστιν ὁ μὲν τοῦ ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΔ λόγος μοναχὸς καὶ ἐλάσσων, ἡ δὲ ΖΗ ἡ συγκειμένη ἔκ τε τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ ΑΓ ΒΔ καὶ τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ ΑΔ ΒΓ· ὁ ἄρα μοναχὸς καὶ ἐλάσσων λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ ΑΓ ΒΔ καὶ τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ ΑΔ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ. Εἰς τὸ τρίτον ἐπίταγμα τοῦ τρίτου προβλήματος. κγʹ. Ἔστω ἴση ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΓΔ, μεῖζον δὲ ὑπὸ ΒΕΓ τοῦ ὑπὸ ΑΒΔ· ὅτι τὸ ὑπὸ ΒΕΓ τοῦ ὑπὸ ΑΕΔ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ ΒΔΓ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΒΕΓ ἴσον τῷ τε ὑπὸ ΒΓΕ καὶ τῷ ἀπὸ ΕΓ, τουτέστιν καὶ τῷ ὑπὸ ΓΕΔ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΕΓΔ, ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΒΓΕ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΕΓΔ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΔ ΓΕ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΑΓ ΓΕ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΓΕ καὶ τῷ ὑπὸ ΓΕΔ. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΑΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΓ ΕΔ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΓ ΓΔ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΓ ΕΔ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΓΕΔ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕΔ· γέγονεν οὖν τὸ ὑπὸ ΒΕΓ ἴσον τῷ τε ὑπὸ ΑΕΔ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΓΔ, ὅ ἐστιν τὸ ὑπὸ ΒΔ ΔΓ, ὥστε τὸ ὑπὸ ΒΕΓ τοῦ ὑπὸ ΑΕΔ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ ΒΔΓ, ὅπερ· ⁓ `7.768` Μοναχὸς τοῦ τρίτου ἐπιτάγματος τοῦ τρίτου προβλήματος. κδʹ. Τριῶν δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΔ, καὶ προστιθεμένης τινὸς ΔΕ, ἐὰν γένηται ὡς τὸ ὑπὸ ΑΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, μοναχὸς καὶ μέγιστος λόγος ἐστὶν ὁ τοῦ ὑπὸ ΑΕΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕΓ· λέγω δὴ ὅτι ὁ αὐτός ἐστιν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΒΔ καὶ τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ ΑΒ ΓΔ. `7.770` Γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΔ ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΗΔ, καὶ τῇ ΑΔ ὀρθαὶ ἤχθωσαν αἱ ΒΖ ΓΗ. ἐπεὶ οὖν γεγένηται ὡς τὸ ὑπὸ ΑΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΑΒΔ ἴσον ἐστὶν ἐν ἡμικυκλίῳ τῷ ἀπὸ ΒΖ, τῷ δὲ ὑπὸ ΑΓΔ ἴσον τὸ ἀπὸ ΓΗ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ. καὶ μήκει· καὶ εἰσὶν παράλληλοι αἱ ΒΖ ΓΗ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Ζ Η Ε. ἔστω ἡ ΖΗΕ καὶ ἐκβεβλήσθω, καὶ ἐπʼ αὐτὴν κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΑΘ ΔΚ. ἐπεὶ οὖν μοναχὸς καὶ μέγιστος λόγος ἐστὶν ὁ τοῦ ὑπὸ ΑΕΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕΓ, ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΖΕΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΕΔ, ὁ ἄρα μοναχὸς καὶ μέγιστος λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ ὑπὸ ΖΕΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕΓ. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΖΕΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕΓ, οὕτως ἐστὶν ἐν παραλλήλῳ τὸ ἀπὸ ΗΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΘ — ἐν κύκλῳ γὰρ τὰ Θ Α Γ Η σημεῖα, ἐπειδήπερ ὀρθαί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς Θ Γ σημείοις γωνίαι. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΕΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΘ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ ἐν παραλλήλῳ· ὁ ἄρα μοναχὸς καὶ μέγιστος λόγος ἐστὶν ὁ τοῦ ἀπὸ ΔΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ. ἡ δὲ ΘΚ ἐστὶν ἡ δυναμένη· τε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΒΔ καὶ ἡ τὸ ὑπὸ ΑΒ ΓΔ, ὥστε ὁ μοναχὸς καὶ μέγιστος λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΒΔ καὶ τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ ΓΔ. Τὸ πρῶτον διωρισμένης τομῆς ἔχει προβλήματα ϛʹ, ἐπιτάγματα ιϛʹ, διορισμοὺς δὲ εʹ, ὧν μέγιστοι μὲν δʹ, ἐλάχιστος δὲ αʹ. καὶ εἰσὶν μέγιστοι μὲν ὅ τε κατὰ τὸ βʹ ἐπίταγμα τοῦ βʹ προβλήματος καὶ ὁ κατὰ τὸ τρίτον τοῦ τετάρτου προβλήματος καὶ ὁ κατὰ τὸ τρίτον τοῦ πέμπτου καὶ ὁ κατὰ τὸ τρίτον τοῦ ἕκτου, ἐλάχιστος δὲ ὁ κατὰ τὸ τρίτον ἐπίταγμα τοῦ τρίτου προβλήματος. τὸ δὲ δεύτερον διωρισμένης ἔχει προβλήματα τρία, ἐπιτάγματα θʹ, διορισμοὺς γʹ, ὧν ἐλάχιστοι μὲν δύο, μέγιστος δὲ αʹ. καὶ εἰσὶν ἐλάχιστοι μὲν ὅ τε κατὰ τὸ τρίτον τοῦ πρώτου καὶ ὁ κατὰ τὸ τρίτον τοῦ δευτέρου, μέγιστος δὲ ὁ κατὰ τὸ γʹ τοῦ γʹ προβλήματος. Νεύσεων πρῶτον. Λῆμμα χρήσιμον εἰς τὸ πρῶτον πρόβλημα. αʹ. Ἔστω μείζων ἡ ΑΒ τῆς ΓΔ, καὶ ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΕΒ τῷ ὑπὸ ΓΖΔ· ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΑΕ τῆς ΓΖ. `7.772` Καὶ τετμήσθω ἑκατέρα τῶν ΑΒ ΓΔ δίχα καθʼ ἑκάτερα τῶν Η Θ σημείων· φανερὸν δὴ ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΗΒ τῆς ΘΔ. ἐπεὶ οὖν ἴσον μέν ἐστιν τὸ ὑπὸ ΑΕΒ τῷ ὑπὸ ΓΖΔ, μεῖζον δὲ τὸ ἀπὸ ΗΒ τοῦ ἀπὸ ΘΔ, μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΑΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΒ, τοῦ ὑπὸ ΓΖΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΘΔ. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΑΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΕ, τὸ δὲ ὑπὸ ΓΖΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΘΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΖΘ· μεῖζον ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ ἀπὸ ΗΕ τοῦ ἀπὸ ΘΖ, ὥστε μείζων ἐστὶν ἡ ΗΕ τῆς ΘΖ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΑΗ τῆς ΓΘ μείζων· ὅλη ἄρα ἡ ΑΕ ὅλης τῆς ΓΖ ἐστὶν μείζων. Ὁμοίως δὲ καί, ἐὰν ἐλάσσων ᾖ ἡ ΑΒ τῆς ΓΔ, καὶ ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΕΒ τῷ ὑπὸ ΓΖΔ, ἐλάσσων ἔσται ὅλη ἡ ΑΕ ὅλης τῆς ΓΖ. βʹ. Ἔστω μείζων ἡ ΑΒ τῆς ΓΔ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΓΔ κατὰ τὸ Ε· φανερὸν μὲν οὖν ὅτι δυνατόν ἐστιν τῷ ὑπὸ τῶν ΓΕ ΕΔ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλεῖν. τὸ μὲν γὰρ ὑπὸ ΓΕΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΕ, τὸ δὲ ἀπὸ ΓΕ ἔλασσόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ. παραβεβλήσθω, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΒ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΑΖ τῆς ΖΒ· πάλιν δὴ φανερὸν ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΑΖ τῆς ΓΕ, ἐλάσσων δὲ ἡ ΒΖ τῆς ΕΔ. Ἡ μὲν γὰρ ΑΖ τῆς μείζονος μείζων ἐστὶν ἢ ἡμίσεια, ἡ δὲ ΓΕ τῆς ἐλάσσονός ἐστιν ἡμίσεια· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῆς ΓΕ, ὅπερ· ⁓ γʹ. Ἔστω δὴ πάλιν ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΖΒ τῷ ὑπὸ ΓΕΔ, καὶ ἐλάσσων ἡ ΑΒ τῆς ΓΔ, καὶ ἔτι ἐλάσσων μὲν ἡ ΔΕ τῆς ΕΓ, ἡ δὲ ΒΖ τῆς ΖΑ· ὅτι καὶ ἡ ΑΖ τῆς ΓΕ ἐλάσσων ἐστίν. `7.774` Τετμήσθωσαν δὲ δίχα αἱ ΓΔ ΑΒ κατὰ τὰ Η Θ σημεῖα· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΑΘ τῆς ΓΗ, ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ ΑΘ τοῦ ἀπὸ ΓΗ ἐστὶν ἔλασσον. ἀλλὰ τὸ μὲν ἀπὸ ΑΘ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΖΒ καὶ τῷ ἀπὸ ΖΘ, τὸ δὲ ἀπὸ ΓΗ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΓΕΔ καὶ τῷ ἀπὸ ΗΕ· καὶ τὸ ὑπὸ ΑΖΒ ἄρα μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΘ ἔλασσόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΓΕΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΕ. ὧν τὸ ὑπὸ ΑΖΒ ἴσον ὑπόκειται τῷ ὑπὸ ΓΕΔ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΘΖ ἔλασσόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΗΕ· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΖ τῆς ΗΕ. ἦν δὲ καὶ ἡ ΑΘ τῆς ΓΗ ἐλάσσων· ὅλη ἄρα ἡ ΑΖ ὅλης τῆς ΓΕ ἐστὶν ἐλάσσων. ἡ δὲ λοιπὴ τῆς λοιπῆς μείζων. δʹ. Ἔστω δὴ πάλιν μείζων ἡ ΑΒ τῆς ΓΔ, καὶ τετμήσθω ἡ ΓΔ κατὰ τὸ Ε, ὥστε τὴν ΔΕ τῆς ΕΓ μὴ εἶναι ἐλάσσονα· φανερὸν μὲν οὖν ὅτι δυνατόν ἐστιν τῷ ὑπὸ τῶν ΓΕΔ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλεῖν ἐλλεῖπον τετραγώνῳ. Ἐπεὶ γὰρ μὴ ἔστιν ἐλάσσων ἡ ΔΕ τῆς ΕΓ, ἤτοι ἴση ἐστὶν αὐτῇ ἢ μείζων. καὶ εἰ μὲν ἴση, ἴσον τὸ ὑπὸ ΓΕΔ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΓΔ, ὥστε ἔλασσον τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ, εἰ δὲ μείζων, πολλῷ ἔλασσόν ἐστιν τὸ ὑπὸ ΓΕΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ — καὶ γὰρ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΓΔ ἐστὶν ἔλασσον. δυνατὸν ἄρα ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΓΕΔ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλεῖν ἐλλεῖπον τετραγώνῳ. Παραβεβλήσθω, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖΒ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα ἔστω ἡ ΑΖ· ὅτι δὴ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΖΒ τῆς ΓΕ. `7.776` Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΔΕ τῆς ΕΓ οὐκ ἔστιν ἐλάσσων, ἤτοι ἄρα ἴση ἐστὶν ἢ μείζων. ἔστω πρότερον ἴση ἡ ΔΕ τῇ ΕΓ. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΓΔ, καὶ ἔστι τῆς μὲν ΑΒ μείζων ἢ ἡμίσεια ἡ ΑΖ, τῆς δὲ ΓΔ ἡμίσεια ἡ ΔΕ, μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῆς ΔΕ. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΖΒ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΓΕ τῆς ΖΒ, ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΖΒ τῆς ΓΕ. Ἔστω δὲ μείζων ἡ ΔΕ τῆς ΕΓ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΓΔ κατὰ τὸ Η σημεῖον, ἡ δὲ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Θ σημεῖον. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΓΔ, καὶ ἔστι τῆς μὲν ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΘΒ, τῆς δὲ ΓΔ ἡμίσεια ἡ ΓΗ, μείζων ἄρα ἡ ΘΒ τῆς ΓΗ, ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ ΘΒ τοῦ ἀπὸ ΓΗ μεῖζόν ἐστιν. ἀλλὰ τὸ μὲν ἀπὸ ΘΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΖΒ καὶ τῷ ἀπὸ ΖΘ, τὸ δὲ ἀπὸ ΓΗ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ τῶν ΓΕΔ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ· μεῖζον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΖΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΘ τοῦ ὑπὸ ΓΕΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΕΗ. ὧν τὸ ὑπὸ ΑΖΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΓΕΔ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΘΖ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΕΗ, ὥστε μείζων ἐστὶν ἡ ΘΖ τῆς ΕΗ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΑΘ τῆς ΔΗ μείζων· ὅλη ἄρα ἡ ΑΖ ὅλης τῆς ΔΕ μείζων ἐστίν. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΖΒ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΓΕ τῆς ΖΒ, ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΖΒ τῆς ΓΕ, ὅπερ· ⁓ Εἰς τὸ ϛʹ πρόβλημα. εʹ. Ἔστω ἐλάσσων μὲν ἡ ΑΒ τῆς ΓΔ, ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ τῷ ὑπὸ ΓΖΔ· ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΑΕ τῆς ΓΖ. `7.778` Τετμήσθωσαν δίχα αἱ ΑΒ ΓΔ κατὰ τὰ Θ Η σημεῖα· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΒ τῆς ΗΔ. ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ὑπὸ ΓΖΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΕΒ, τὸ δὲ ἀπὸ ΘΒ ἔλασσόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΗΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΘΒ, ὅ ἐστιν τὸ ἀπὸ ΘΕ, ἔλασσόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΓΖΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΔ, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΗΖ· ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΕΘ τῆς ΗΖ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΑΘ τῆς ΓΗ ἐλάσσων· ὅλη ἄρα ἡ ΑΕ ὅλης τῆς ΓΖ ἐστὶν ἐλάσσων. Ὁμοίως κἂν μείζων ᾖ, ἡ ὅλη τῆς ὅλης. Παραθεωρούμενον ἐν τῷ ηʹ προβλήματι. `7.780` ϛʹ. Ῥόμβου ὄντος τοῦ ΑΔ, οὗ διάμετρος ἡ ΒΓΕ, ἐὰν τῶν ΒΕ ΕΓ μέση ἀνάλογον ληφθῇ ἡ ΕΖ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ε διαστήματι δὲ τῷ ΕΖ κύκλος γραφῇ ὁ ΖΗΘ, καὶ ἐκβληθῇ ἡ ΛΓΗ, ἔσται εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν Η Κ Β. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΛΕ ΕΚ ΒΚ ΚΗ ΗΕ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΛΓΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΓΚ γωνίᾳ καὶ ἐφʼ ἑκάτερα τῆς τοῦ κύκλου διαμέτρου εἰσίν, αἱ ΛΓ ΓΚ ἴσαι εἰσίν λῆμμα γάρ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΛΕ τῇ ΕΚ ἴση ἐστίν· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΛΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΚΕ ἴση ἐστίν. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΓΛΕ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΓΗΕ· καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗΕ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΓΚΕ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΚΕ τῇ ὑπὸ ΓΒΚ· καὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΚ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΓΗΕ. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΗΓΕ τῇ ὑπὸ ΒΓΚ ἴση ἐστίν· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΕΗ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΓΚΒ ἴση ἐστίν. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΓΕΗ μετὰ τῆς ὑπὸ ΓΚΗ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· καὶ ἡ ὑπὸ ΓΚΒ ἄρα μετὰ τῆς ὑπὸ ΓΚΗ γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ὥστε εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Β Κ Η σημείων. `7.782` ζʹ. Ἔστω τετράγωνον τὸ ΑΔ, καὶ ἤχθω ἡ ΒΗΕ, καὶ αὐτῇ ὀρθὴ ἤχθω ἡ ΕΖ· ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΓΔ ΗΕ τετράγωνα ἴσα ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖ τετραγώνῳ. Ἤχθω διὰ τοῦ Ε τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΕΘ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΕΘ γωνία. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΗ γωνία ὀρθή· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΗ γωνία, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΔΒΗ γωνία, τῇ ὑπὸ ΖΕΘ γωνίᾳ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΘΕ γωνία ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΒΔΗ ἴση, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΕΘ τῇ ΒΔ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΕΖ τῇ ΗΒ. ἐπεὶ δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΕ ΕΖ τετραγώνοις, ὧν τὸ ὑπὸ ΖΒΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΕΒΗ — ἐν κύκλῳ γάρ ἐστιν τὰ Δ Ζ Ε Η σημεῖα —, λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΖΔ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΒΕΗ καὶ τῷ ἀπὸ ΕΖ τετραγώνῳ, τουτέστιν καὶ τῷ ἀπὸ ΒΗ τετραγώνῳ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΒΕΗ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΒΗ τετραγώνου τὸ ὑπὸ ΕΒΗ ἐστὶν μετὰ τοῦ ἀπὸ ΕΗ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΖΔ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΕΒΗ, τουτέστιν ὑπὸ ΖΒΔ, καὶ τῷ ἀπὸ ΗΕ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ὑπὸ ΒΔΖ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΖΔ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΔ ΗΕ, τουτέστιν τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΔ ΗΕ τετραγώνοις. Πρόβλημα ὡς Ἡράκλειτος. ηʹ. Τετραγώνου ὄντος θέσει τοῦ ΑΔ ποιεῖν δοθεῖσαν τὴν ΕΖ νεύουσαν ἐπὶ τὸ Β. Γεγονέτω, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου τῇ ΒΕ ὀρθογώνιος ἤχθω ἡ ΕΗ. ἐπεὶ οὖν τὰ ἀπὸ τῶν ΓΔ ΖΕ τετράγωνα ἴσα ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΔΗ τετραγώνῳ, δοθέντα δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΔ ΖΕ — δοθέντα γὰρ ἑκάτερα τῷ μεγέθει —, δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΔΗ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗ τῷ μεγέθει· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΒΗ δέδοται τῷ μεγέθει. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει· δέδοται ἄρα τῇ θέσει τὸ ἐπὶ τῆς ΒΗ ἡμικύκλιον. καὶ ἔρχεται διὰ τοῦ Ε· τὸ Ε ἄρα θέσει περιφερείας ἅπτεται. ἀλλὰ καὶ θέσει εὐθείας τῆς ΑΕ· δοθὲν ἄρα ἐστίν. ἀλλὰ καὶ τὸ Β ἐστὶν δοθέν· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ. `7.784` Συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως· ἔστω τὸ μὲν τετράγωνον τὸ ΑΔ, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ Θ, καὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΔ Θ ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς ΔΗ τετράγωνον· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΔ τῆς ΔΓ, ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ ΗΔ ΔΒ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΔΓ· τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ΒΗ ἡμικύκλιον γραφόμενον ὑπερπεσεῖται τὸ Γ σημεῖον. γεγράφθω, καὶ ἔστω τὸ ΒΚΕΗ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΓ ἐπὶ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ ΕΗ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΔ ΕΖ τετράγωνα ἴσα ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΔ τετραγώνῳ. τῷ δὲ ἀπὸ ΔΗ ἴσα ἐτέθη τὰ ἀπὸ τῶν ΓΔ Θ τετράγωνα· ἴσα ἄρα ἐστὶν τὰ ἀπὸ τῶν ΓΔ Θ τετράγωνα τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΔ ΕΖ, ὥστε ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ Θ τῷ ἀπὸ ΕΖ τετραγώνῳ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Θ τῇ ΕΖ. καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ ΕΖ· ἡ ΕΖ ἄρα ποιεῖ τὸ πρόβλημα. Λέγω δὴ ὅτι καὶ μόνη. διήχθω γάρ τις καὶ ἑτέρα ἡ ΒΛ. εἰ δὴ καὶ ἡ ΒΛ ποιεῖ τὸ πρόβλημα, ἔσται ἴση ἡ ΝΛ τῇ ΕΖ. μείζων δὲ ἡ ΖΒ τῆς ΝΒ· ὅλη ἄρα ἡ ΒΛ ἐλάσσων ἔσται τῆς ΒΕ, ὅπερ ἄτοπον· ἔστιν γὰρ μείζων· οὐκ ἄρα ἡ ΒΛ ποιεῖ τὸ πρόβλημα· ἡ ΒΕ ἄρα μόνη. Ἵνα δὲ καὶ ἐπιγνῶμεν, ποτέρα αὐτῶν μείζων, δείξομεν οὕτως· ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ μὲν ΛΒ τῆς ΒΕ, ἡ δὲ ΒΖ τῆς ΒΝ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΝΛ τῆς ΖΕ μείζων ἐστίν. καὶ φανερὸν ὅτι αἰεὶ ἡ ἔγγιστα τοῦ Γ σημείου τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων. Λῆμμα χρήσιμον εἰς τὸν τοῦ θʹ προβλήματος διορισμόν, ὡς ἐν τοῖς ἀρχαίοις. θʹ. Ἔστω ἴση ἡ ΒΑ τῇ ΑΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Δ σημεῖον· ὅτι ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ ΒΓ πασῶν τῶν διὰ τοῦ Δ σημείου διαγομένων εὐθειῶν. `7.786` Διήχθω γάρ τις καὶ ἑτέρα ἡ ΕΖ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΒ ἐπὶ τὸ Ζ· ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΕΖ τῆς ΓΒ. ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία, τουτέστιν ἡ Γ, τῆς ὑπὸ ΒΖΕ, δυνατόν ἐστιν τῇ ὑπὸ ΒΖΕ ἴσην ἀπὸ τῆς Γ ἀφελεῖν. ἔστω αὐτῇ ἴση ἡ ὑπὸ ΔΓΗ γωνία· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΔΒ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΗ. μείζων δὲ ἡ ΖΔ τῆς ΔΒ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΓΔ τῆς ΔΗ. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ΖΔ τῆς ΔΒ, τουτέστιν τῆς ΔΓ, ἀλλὰ ἡ ΔΓ τῆς ΔΗ μείζων ἐστίν, μεγίστη ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΔ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΔΗ. ἐπεὶ οὖν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΖΔ ΔΒ ΔΓ ΔΗ, καὶ ἔστιν μεγίστη μὲν ἡ ΖΔ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΔΗ, μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῆς ΒΓ, ὥστε ἡ ΒΓ, ἐλάσσων οὖσα τῆς ΖΗ, πολλῷ ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ΕΖ. ὁμοίως δείξομεν ὅτι καὶ πασῶν τῶν διὰ τοῦ Δ διαγομένων εὐθειῶν ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΒΓ. Ἡ ΒΓ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν πασῶν τῶν διὰ τοῦ Δ διαγομένων εὐθειῶν· λέγω δὴ ὅτι καὶ ἡ ἔγγιστα αὐτῆς τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων ἐστίν. διήχθω γάρ τις καὶ ἑτέρα ἡ ΘΚ, καὶ τῇ Κ γωνίᾳ ἴση συνεστάτω ἡ ὑπὸ ΔΕΛ δυνατὸν γάρ. πάλιν δὴ μείζων ἡ μὲν ΚΔ τῆς ΖΔ, ἡ δὲ ΕΔ τῆς ΔΛ, ὥστε ὅλη ἡ ΚΛ μείζων ἐστὶν τῆς ΕΖ· πολλῷ ἄρα μείζων ἡ ΘΚ τῆς ΕΖ, ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΕΖ τῆς ΘΚ. ἐλάσσων μὲν ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ πασῶν τῶν διὰ τοῦ Δ διαγομένων εὐθειῶν, ἡ δὲ ἔγγιστα αὐτῆς τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων. `7.788` ιʹ. Τούτου ὄντος, φανερὸς ὁ διορισμός. ἐὰν γὰρ ἐκθώμεθα τὸν ῥόμβον τὸν ΑΒΓΔ, καὶ ἐπιζεύξας τὴν ΑΔ ἀγάγω αὐτῇ ὀρθὴν τὴν ΕΖ συμπίπτουσαν ταῖς ΑΓ ΑΒ κατὰ τὰ Ε Ζ, δεῖ με διορίζεσθαι πότερον μεγίστη ἐστὶν ἢ ἐλάσσων πασῶν τῶν διὰ τοῦ Δ διαγομένων εὐθειῶν. καὶ ἐπεὶ διαγώνιός ἐστιν ἡ ΑΔ, καὶ τῇ ΑΔ ὀρθὴ ἡ ΕΖ, γέγονέ μοι ἰσοσκελὲς τρίγωνον τὸ ΕΑΖ ἴσην ἔχον τὴν ΕΑ τῇ ΑΖ. διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον λῆμμα γίνεται ἡ ΕΖ ἐλάσσων πασῶν τῶν διὰ τοῦ Δ διαγομένων εὐθειῶν, καὶ αἰεὶ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων. Νεύσεων δεύτερον. αʹ. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ, διήχθω τυχοῦσα ἡ ΔΕ, καὶ ἐπʼ αὐτὴν κάθετοι αἱ ΑΔ ΒΕ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΔΖ τῇ ΗΕ. Εἰλήφθω τὸ τοῦ ἡμικυκλίου κέντρον τὸ Θ, καὶ ἐπὶ τὴν ΔΕ κάθετος ἤχθω ἡ ΘΚ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ταῖς ΑΔ ΒΕ, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΚ τῇ ΚΗ. ἐπεὶ δὲ τρεῖς εἰσιν παράλληλοι αἱ ΑΔ ΘΚ ΒΕ, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΑΘ τῇ ΘΒ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΔΚ τῇ ΚΕ. ὧν ἡ ΖΚ τῇ ΚΗ ἐστὶν ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΖ λοιπῇ τῇ ΗΕ ἐστὶν ἴση. Καὶ φανερὸν ὅτι καὶ ἡ ΔΗ τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν. βʹ. Ἔστω πάλιν ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ, καὶ ἐφαπτομένη ἤχθω ἡ ΓΔ καὶ ἐκβεβλήσθω, καὶ κάθετοι ἐπʼ αὐτὴν αἱ ΑΕ ΒΖ· ὅτι πάλιν ἴση ἡ ΕΔ τῇ ΔΖ. Ἔστω τὸ κέντρον τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ταῖς ΑΕ ΒΖ — γίνονται γὰρ ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Δ γωνίαι. ἐπεὶ οὖν τρεῖς παράλληλοι αἱ ΑΕ ΗΔ ΒΖ, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΒ, ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΕΔ τῇ ΔΖ, ὅπερ· ⁓ Εἰς τὸ εʹ πρόβλημα. γʹ. Ἔστω δύο ἡμικύκλια ἐπὶ τῆς ΑΓ τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, καὶ ἔστω ἴση ἡ ΑΔ τῇ ΓΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ διήχθω ἡ ΒΓ· ὅτι ἴση ἐστὶν καὶ ἡ ΒΕ τῇ ΗΓ. `7.790` Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΓΖ, περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ἐστὶν τὰ ἡμικύκλια. εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τῶν ἡμικυκλίων τὸ Θ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὴν ΕΗ κάθετος ἤχθω ἡ ΘΚ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΚ τῇ ΚΗ. ἐπεζεύχθω οὖν ἡ ΑΒ. καὶ ἐπεὶ παράλληλοί εἰσιν αἱ ΑΒ ΘΚ, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΑΘ τῇ ΘΓ, ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΒΚ τῇ ΚΓ. ὧν ἡ ΕΚ τῇ ΚΗ ἴση ἐστίν· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ λοιπῇ τῇ ΗΓ ἐστὶν ἴση, ὅπερ· ⁓ Φανερὸν δὴ ὅτι καὶ ἡ ΒΗ τῇ ΕΓ ἐστὶν ἴση. δʹ. Ἔστω δὴ πάλιν τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ ἡμικύκλια, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ ἤχθω ἐφαπτομένη τοῦ ΔΕΖ ἡ ΓΕ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Β· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΓ, ἴσης οὔσης τῆς ΑΔ τῇ ΖΓ. Φανερὸν ὅτι περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον εἰσὶν τὰ ἡμικύκλια. εἰλήφθω πάλιν τὸ κέντρον τῶν ἡμικυκλίων τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΕ ΑΒ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Ε γωνία. ἀλλὰ καὶ ἡ πρὸς τῷ Β· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΕΗ. καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΓΗ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΒΕ τῇ ΕΓ, ὅπερ· ⁓ Εἰς τὸ ἕβδομον. εʹ. Ἔστω πάλιν τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ ἡμικύκλια, καὶ ἔστω ἴση ἡ ΑΔ τῇ ΖΓ, καὶ προσαναγεγράφθω ὁ μείζων κύκλος, καὶ διὰ τοῦ Ζ ἤχθω τις ἡ ΒΗ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΖΗ. `7.792` Ἔστω τὸ κέντρον τὸ Θ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὴν ΒΗ κάθετος ἤχθω ἡ ΘΚ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῇ ΚΗ. ἐπεζεύχθω δὴ ἡ ΕΔ. ἐπεὶ οὖν παράλληλοί εἰσιν αἱ ΔΕ ΘΚ, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΔΘ τῇ ΘΖ, ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΕΚ τῇ ΚΖ. ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ ΒΚ ὅλῃ τῇ ΚΗ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ λοιπῇ τῇ ΖΗ ἴση ἐστίν, ὅπερ· ⁓ Φανερὸν ὅτι καὶ ἡ ΒΖ τῇ ΕΗ ἴση ἐστίν. Εἰς τὸ θʹ. ϛʹ. Ἔστω δύο ἡμικύκλια τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, καὶ τῇ ΑΔ ἴση κείσθω ἡ ΖΗ, καὶ διαχθείσης τῆς ΒΓ ἀπὸ τοῦ Η ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ ΗΘ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΚΘ. Εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΔΕΖ ἡμικυκλίου τὸ Λ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΚΕ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΜ τῇ ΜΚ. ἐπεὶ δὲ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΔ τῇ ΖΗ, ἡ δὲ ΔΛ τῇ ΛΖ, ὅλη ἄρα ἡ ΑΛ ὅλῃ τῇ ΛΗ ἴση ἐστίν. καὶ εἰσὶν τρεῖς παράλληλοι αἱ ΑΒ ΜΛ ΘΗ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΒΜ τῇ ΜΘ. ὧν ἡ ΕΜ τῇ ΜΚ ἴση ἐστίν· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ λοιπῇ τῇ ΚΘ ἴση ἐστίν. Φανερὸν δὴ ὅτι καὶ ἡ ΒΚ τῇ ΕΘ ἴση ἐστίν. ζʹ. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἐφαπτέσθω ἡ ΒΓ τοῦ ΔΕΖ ἡμικυκλίου· ὅτι πάλιν ἡ ΒΕ τῇ ΕΘ ἴση ἐστίν. Πάλιν εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΔΕΖ ἡμικυκλίου τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΕ· κάθετος ἄρα ἐστὶν ἐπὶ τὴν ΒΓ. καὶ γεγόνασιν τρεῖς παράλληλοι αἱ ΑΒ ΕΛ ΗΘ, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΑΛ τῇ ΛΗ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΒΕ τῇ ΕΘ, ὅπερ· ⁓ Εἰς τὸ ηʹ. `7.794` ηʹ. Ἔστω δύο ἡμικύκλια τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, καὶ ἔστω ἐλάσσων ἡ ΑΔ τῆς ΓΖ, καὶ τῇ ΑΔ ἴση κείσθω ἡ ΓΗ, καὶ προσαναπεπληρώσθω ὁ ΒΑΚΓ κύκλος, καὶ διήχθω τυχοῦσα ἡ ΒΚ, καὶ ἀπὸ τοῦ Η ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἡ ΗΘ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΘΚ. Εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ Λ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΕΖ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΜ τῇ ΜΚ. ἐπεὶ δὲ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΛ τῇ ΛΓ, ἡ δὲ ΑΔ τῇ ΗΓ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΛ λοιπῇ τῇ ΛΗ ἐστὶν ἴση. καὶ εἰσὶ τρεῖς παράλληλοι αἱ ΔΕ ΛΜ ΗΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΕΜ τῇ ΜΘ· ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ ΒΜ ὅλῃ τῇ ΜΚ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ λοιπῇ τῇ ΘΚ ἐστὶν ἴση. Φανερὸν δὲ ὅτι καὶ ἡ ΘΒ τῇ ΕΚ ἴση ἐστίν. Εἰς τὸ ιζʹ. θʹ. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἔστω μείζων ἡ ΑΔ τῆς ΖΓ, καὶ αὐτῇ ἴση κείσθω ἡ ΖΗ, καὶ διαχθείσης τῆς ΒΓΘ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ ΗΘ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΚΘ. Εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΔΕΖ ἡμικυκλίου τὸ Λ, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ ἐπὶ τὴν ΕΚ κάθετος ἡ ΛΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΜ τῇ ΜΚ. ἐπεὶ δὲ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΔ τῇ ΖΗ, ἡ δὲ ΔΛ τῇ ΛΖ, ὅλη ἄρα ἡ ΑΛ ὅλῃ τῇ ΛΗ ἐστὶν ἴση. καὶ εἰσὶν πάλιν τρεῖς παράλληλοι αἱ ΒΑ ΜΛ ΗΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΒΜ τῇ ΜΘ. ὧν ἡ ΕΜ τῇ ΜΚ ἐστὶν ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ λοιπὴ τῇ ΚΘ ἐστὶν ἴση, ὅπερ· ⁓ Φανερὸν δὲ ὅτι καὶ ἡ ΒΚ τῇ ΕΘ ἐστὶν ἴση. `7.796` ιʹ. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἐφαπτέσθω ἡ ΒΓ τοῦ ΔΕΖ ἡμικυκλίου· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΘ. Εἰλήφθω πάλιν τὸ κέντρον τοῦ ΔΕΖ ἡμικυκλίου τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΕ· κάθετος ἄρα ἐστὶν ἐπὶ τὴν ΒΘ· ὥστε τρεῖς εἰσιν παράλληλοι αἱ ΑΒ ΛΕ ΗΘ, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΑΛ τῇ ΛΗ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΒΕ τῇ ΕΘ. Πρόβλημα χρήσιμον εἰς τὴν σύνθεσιν τοῦ ιζʹ. ιαʹ. Θέσει ἡμικυκλίου ὄντος τοῦ ΑΒΓ, καὶ δοθέντος τοῦ Δ, γράψαι διὰ τοῦ Δ ἡμικύκλιον ὡς τὸ ΔΕΖ, ἵνα, ἐὰν ἐφαπτομένη ἀχθῇ ἡ ΒΓ, ἴση γένηται ἡ ΑΔ τῇ ΒΕ. `7.798` Γεγονέτω· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΕΓ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ. ἀλλʼ ὡς τὸ ἀπὸ ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, οὕτως ἐστίν, ἐὰν κέντρον τοῦ ΔΕΖ ἡμικυκλίου ληφθῇ τὸ Η, καὶ ἐπιζευχθῇ ἡ ΗΕ, τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ. ἀλλὰ τὸ ἀπὸ ΕΓ ἡ τῶν ἀπὸ ΕΗ ΗΓ ἐστὶν ὑπεροχή· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὴν τῶν ἀπὸ ΔΗ ΗΓ ὑπεροχήν, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ. κείσθω τῇ ΔΑ ἴση ἡ ΑΘ, καὶ τετμήσθω ἡ ΔΓ δίχα κατὰ τὸ Κ σημεῖον. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὴν τῶν ἀπὸ ΔΗ ΗΓ ὑπεροχήν, λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΔΗΘ πρὸς λοιπὸν τὸ ἀπὸ ΗΔ, τουτέστιν ἡ ΘΗ πρὸς ΗΔ, ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὴν τῶν ἀπὸ ΔΗ ΗΓ ὑπεροχήν, τουτέστιν πρὸς τὸ δὶς ὑπὸ ΔΓ ΗΚ. κείσθω οὖν τῷ ἀπὸ ΑΔ τετραγώνῳ ἴσον τὸ δὶς ὑπὸ ΔΓ Λ, δοθὲν δὲ τὸ ἀπὸ ΑΔ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ δὶς ὑπὸ ΔΓ Λ, ὥστε καὶ τὸ ἅπαξ. καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ ΓΔ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ Λ. ἐπεὶ δέ ἐστιν ὡς ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΗΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ, τουτέστιν τὸ δὶς ὑπὸ Λ ΔΓ, πρὸς τὸ δὶς ὑπὸ ΔΓ ΗΚ, τουτέστιν ἡ Λ πρὸς ΗΚ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΘΗΚ ἴσον τῷ ὑπὸ Λ ΗΔ. καὶ εἰσὶν αἱ τρεῖς αἱ ΘΔ ΔΚ Λ δοθεῖσαι· ἀπῆκται ἄρα εἰς διωρισμένης αʹ· δεδομένων τριῶν εὐθειῶν τῶν ΘΔ ΔΚ Λ τεμεῖν τὴν ΔΚ κατὰ τὸ Η, καὶ ποιεῖν λόγον τοῦ ὑπὸ ΘΗΚ πρὸς τὸ ὑπὸ Λ ΗΔ ἴσου πρὸς ἴσον. τοῦτο δὲ φανερόν, καὶ ἔστιν ἀδιόριστον. δοθὲν ἄρα τὸ Η, καὶ κέντρον τοῦ ΔΕΖ ἡμικυκλίου· θέσει ἄρα τὸ ἡμικύκλιον. καὶ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Γ ἦκται ἐφαπτομένη ἡ ΒΓ· θέσει ἄρα ἡ ΒΓ, ὅπερ· ⁓ `7.800` ιβʹ. Συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως· ἔστω τὸμὲν ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, τὸ δὲ δοθὲν τὸ Δ· καὶ δέον ἔστω ποιεῖν τὸ πρόβλημα. κείσθω τῷ ἀπὸ ΑΔ τετραγώνῳ ἴσον τὸ δὶς ὑπὸ ΔΓ Λ, καὶ τῇ μὲν ΔΑ ἴση κείσθω ἡ ΑΘ, ἡ δὲ ΔΓ δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Κ σημεῖον, καὶ τριῶν δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΘΔ ΔΚ Λ, τετμήσθω ἡ ΔΚ κατὰ τὸ Η καὶ ποιείτω λόγον τοῦ ὑπὸ Λ ΗΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗΚ ἴσου πρὸς ἴσον, καὶ περὶ κέντρον τὸ Η ἡμικύκλιον γεγράφθω τὸ ΔΕΖ· λέγω ὅτι τὸ ΔΕΖ ποιεῖ τὸ πρόβλημα. `7.802` Ἤχθω γὰρ ἐφαπτομένη τοῦ ἡμικυκλίου ἡ ΒΓ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΒΕ. ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΘΗΚ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ Λ ΗΔ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΔ, οὕτως ἡ Λ πρὸς τὴν ΗΚ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΔ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΘΗΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΔ, τουτέστιν ἡ τῶν ἀπὸ ΗΑ ΑΔ ὑπεροχὴ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΔ, ὡς δὲ ἡ Λ πρὸς τὴν ΗΚ, οὕτως ἐστὶν τὸ δὶς ὑπὸ Λ ΔΓ πρὸς τὸ δὶς ὑπὸ ΔΓ ΗΚ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὴν τῶν ἀπὸ ΔΗ ΗΓ ὑπεροχήν· καὶ ὡς ἄρα ἡ τῶν ἀπὸ ΗΑ ΑΔ ὑπεροχὴ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΔ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὴν τῶν ἀπὸ ΔΗ ΗΓ ὑπεροχήν· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὴν τῶν ἀπὸ ΔΗ ΗΓ ὑπεροχήν, τουτέστιν πρὸς τὴν τῶν ἀπὸ ΓΗ ΗΕ ὑπεροχήν, τουτέστιν πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΑΔ τῷ ἀπὸ ΒΕ, ὥστε ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΒΕ. καὶ φανερὸν ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΒΕ τῆς ΕΓ. ἔχομεν γὰρ ὡς τὴν ΘΗ πρὸς τὴν ΗΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ· μείζων δὲ ἡ ΘΗ τῆς ΗΔ· μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΔ τοῦ ἀπὸ ΕΓ, ὥστε μείζων ἐστὶν ἡ ΑΔ τῆς ΕΓ· πολλῷ ἄρα τῆς ΖΓ μείζων ἐστίν· τὸ ΔΕΖ ἄρα ἡμικύκλιον ποιεῖ τὸ πρόβλημα. Λέγω δὲ ὅτι καὶ μόνον. γεγράφθω γάρ τι καὶ ἕτερον ΔΜΝ, καὶ ἤχθω ἐφαπτομένη ἡ ΓΜΞ. εἰ δὴ καὶ τὸ ΔΜΝποιεῖ τὸ πρόβλημα, ἔσται ἴση ἡ ΑΔ τῇ ΜΞ. καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΔΜΝ ἡμικυκλίου τὸ Ο, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΜ. ἔσται ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει τὸ ὑπὸ τῶν ΘΟΚ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν Λ ΔΟ, ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον — ἐν γὰρ τῇ διωρισμένῃ δέδεικται μεῖζον· οὐκ ἄρα τὸ ΔΜΝ ἡμικύκλιον ποιεῖ τὸ πρόβλημα. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ ἄλλο τι πλὴν τοῦ ΔΕΖ· τὸ ΔΕΖ ἄρα μόνον ποιεῖ τὸ πρόβλημα. `7.804` Ἵνα δὲ καὶ ἐπιγνῶμεν πότερον αὐτῶν μεῖζον ἀποτέμνει, δείξομεν οὕτως. ἐπεὶ ἐν τῇ διωρισμένῃ δέδεικται ἔλασσον τὸ ὑπὸ τῶν Λ ΔΟ τοῦ ὑπὸ τῶν ΘΟΚ, ἀνάλογον ἡ Λ πρὸς ΟΚ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΟ πρὸς ΟΔ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ Λ πρὸς ΚΟ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὴν τῶν ἀπὸ ΔΟ ΟΓ ὑπεροχήν — δέδεικται γάρ —, ὡς δὲ ἡ ΘΟ πρὸς ΟΔ, οὕτως ἐστὶν ἡ τῶν ἀπὸ ΟΑ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΔ· καὶ τὸ ἀπὸ ΑΔ ἄρα πρὸς τὴν τῶν ἀπὸ ΔΟ ΟΓ ὑπεροχὴν ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ τῶν ἀπὸ ΟΑ ΑΔ ὑπεροχὴ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΔ. καὶ πάντα πρὸς πάντα, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΑΟ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΓ, μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὴν τῶν ἀπὸ ΓΟ ΟΔ ὑπεροχήν, τουτέστιν πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΜ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΜ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΑΟ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΓ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΞΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΓ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΞΜ τῆς ΑΔ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ πᾶσαι αἱ μεταξὺ τῶν Α Β σημείων γινόμεναι εὐθεῖαι μείζονές εἰσιν τῆς ΑΔ, αἱ δὲ μεταξὺ τῶν Β Γ ἐλάσσονες. ἐὰν γὰρ πάλιν γράψωμεν ἡμικύκλιον τὸ ΔΠΡ, καὶ ἐφαπτομένη ἀχθῇ ἡ ΣΠΓ, καὶτὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον κατασκευασθῇ, τὸ μὲν κέντρον ἔσται τοῦ ΔΠΡ ἡμικυκλίου τὸ Τ ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τοῦ Η· ἐν δὲ τῇ διωρισμένῃ μεῖζον ἔσται τὸ ὑπὸ ΘΗΚ τοῦ ὑπὸ ΘΤΚ, καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ μείζων ἔσται πάλιν ἡ ΑΔ τῆς ΣΠ, ὥστε τὰ μὲν ἔγγιστα τοῦ Α τὰς ἐφαπτομένας ἔχοντα μείζω ποιεῖ τῆς ΑΔ, τὰ δὲ ἀπώτερον ἐλάσσω. Δυνατὸν ἄρα ἐστὶν γράψαι διὰ τοῦ Δ ἡμικύκλια, ἵνα ἡ ἐφαπτομένη ἑκάστου αὐτῶν προσεκβαλλομένη ἐπὶ τὴν τοῦ μείζονος ἡμικυκλίου περιφέρειαν τὴν μεταξὺ τῆς ἁφῆς καὶ τῆς τοῦ μείζονος ἡμικυκλίου περιφερείας ἴσην ποιῇ τῇ ΑΔ, καὶ πάλιν μείζω καὶ ἐλάσσω. `7.806` Εἰς τὸ ιθʹ. ιγʹ. Ἔστω πάλιν τὰ ἡμικύκλια, μείζων δʼ ἡ ΑΔ τῆς ΓΖ, καὶ τῇ ΑΔ ἴση κείσθω ἡ ΓΗ, καὶ διαχθείσης τῆς ΒΕΖ ἀπὸ τοῦ Η ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ ΗΘ, καὶ προσαναπεπληρώσθω ὁ ΑΒΓ κύκλος, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΖ ἐπὶ τὸ Κ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΘ τῇ ΕΚ. Εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ Λ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΒΚ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΒ τῇ ΜΚ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΛ τῇ ΛΓ, ἡ δὲ ΑΔ τῇ ΗΓ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΛ λοιπῇ τῇ ΛΗ ἐστὶν ἴση. καὶ εἰσὶν τρεῖς παράλληλοι αἱ ΔΕ ΛΜ ΗΘ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΕΜ τῇ ΜΘ. ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ ΒΜ ὅλῃ τῇ ΜΚ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ λοιπῇ τῇ ΘΚ ἐστὶν ἴση. φανερὸν οὖν ὅτι καὶ ἡ ΒΘ τῇ ΕΚ, ὅπερ· ⁓ Πρόβλημα εἰς τὸ αὐτό. ιδʹ. Ἡμικυκλίου ὄντος τοῦ ΑΒΓ, καὶ σημείου τοῦ Δ, γράψαι ἐπὶ τῆς ΑΓ διὰ τοῦ Δ ἡμικύκλιον, ἵνα, ἐὰν ἐφαπτομένη ἀχθῇ ἡ ΖΒ, ἴση ᾖ ἡ ΑΔ τῇ ΖΒ. `7.808` Γεγονέτω. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΖΒ, ἴσον καὶ τὸ ἀπὸ ΑΔ τῷ ἀπὸ ΖΒ, τουτέστι τῷ ὑπὸ ΑΖΓ. ἐὰν ἄρα τῷ ἀπὸ ΑΔ ἴσον παρὰ τὴν ΑΓ παραβάλωμεν ἐλλεῖπον τετραγώνῳ, ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖΓ, καὶ ἀγάγω ὀρθὴν τὴν ΖΒ, καὶ ἐπὶ τῆς ΔΖ ἡμικύκλιον γράψω τὸ ΔΕΖ, ἐφάπτεται ἡ ΒΖ τοῦ ἡμικυκλίου, καὶ ἔσται ἴση τῇ ΑΔ. τοῦτο δὲ γίνεται, ὁπόταν ἡ ΑΔ ἐλάσσων ᾖ ἢ ἡμίσεια τῆς ΑΓ. Εὑρημένου δὴ τούτου, ἐὰν διὰ τοῦ Δ ἕτερα ἡμικύκλια γράψω, ὡς τὰ ΔΗΘ ΔΚΛ, καὶ ἐφαπτόμεναι ἀχθῶσιν αἱ ΘΜ ΛΝ, ἔσται ἡ μὲν ΘΜ μείζων τῆς ΑΔ, ἡ δὲ ΛΝ ἐλάσσων. καὶ καθόλου προσιόντων μὲν τῶν ἡμικυκλίων τῷ Γ σημείῳ ἡ ἐφαπτομένη ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ΑΔ, ἀποχωρούντων δὲ ἀεὶ μείζων· δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἐπὶ τῆς ΑΓ, μένοντος τοῦ Δ, ἡμικύκλια γράψαι, ἵνα ὁτὲ μὲν αἱ ἐφαπτόμεναι αὐτῶν ἴσαι ὦσιν τῇ ΑΔ, ὁτὲ δὲ μείζονες, ὁτὲ δὲ ἐλάσσονες. `7.810` Εἰς τὸ καʹ. ιεʹ. Ἔστω ἡμικύκλια τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, τῇ ΓΔ ἴση κείσθω ἡ ΑΗ, καὶ διαχθείσης τῆς ΖΒ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ ΗΘ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΘΒ τῇ ΚΕ. Εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ ἡμικυκλίου τὸ Λ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΒΖ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΜ τῇ ΜΚ. ἐπεὶ δὲ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΗΑ τῇ ΓΔ, ἡ δὲ ΑΛ τῇ ΛΓ, ὅλη ἄρα ἡ ΗΛ ὅλῃ τῇ ΛΔ ἴση ἐστίν. καὶ εἰσὶν τρεῖς παράλληλοι αἱ ΗΘ ΛΜ ΔΕ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΘΜ τῇ ΜΕ. ὧν ἡ ΒΜ τῇ ΜΚ ἐστὶν ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΘΒ τῇ ΚΕ ἴση ἐστίν, ὅπερ· ⁓ Φανερὸν δὲ ὅτι καὶ ἡ ΘΚ τῇ ΒΕ ἴση ἐστίν. ιϛʹ. Τῶν αὐτῶν ὄντων ἐφαπτέσθω ἡ ΒΖ κατὰ τὸ Β· ὅτι πάλιν ἴση ἐστὶν ἡ ΘΒ τῇ ΒΕ. Εἰλήφθω γὰρ πάλιν τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ ἡμικυκλίου τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Β ἐπεζεύχθω ἡ ΚΒ· κάθετος ἄρα ἐστὶν ἐπὶ τὴν ΒΖ. ἐπεὶ οὖν ἐν τρισὶν παραλλήλοις ταῖς ΗΘ ΒΚ ΔΕ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΚ τῇ ΚΔ, ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΘΒ τῇ ΒΕ, ὅπερ· ⁓ Εἰς τὸ κγʹ. ιζʹ. Ἔστω τὰ ἡμικύκλια τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, καὶ τῇ ΓΔ ἴση κείσθω ἡ ΑΗ, καὶ διαχθείσης τῆς ΕΘ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ ΗΘ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΘΒ τῇ ΚΔ. `7.812` Εἰλήφθω τὸ τοῦ ΑΒΓ ἡμικυκλίου κέντρον τὸ Λ, καὶ κάθετος ἡ ΛΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΜ τῇ ΜΚ. ἐπεὶ ἴσηἐστὶν ἡ μὲν ΗΑ τῇ ΓΔ, ἡ δὲ ΑΛ τῇ ΛΓ, ὅλη ἄρα ἡ ΗΛ ὅλῃ τῇ ΛΔ ἐστὶν ἴση. καὶ εἰσὶν τρεῖς παράλληλοι αἱ ΗΘ ΛΜ ΕΖ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΘΜ τῇ ΜΔ· ὧν ἡ ΒΜ τῇ ΜΚ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΘΒ λοιπῇ τῇ ΚΔ ἐστὶν ἴση, ὅπερ· ⁓ Εἰς τὸ κδʹ. ιηʹ. Ἔστω δύο ἡμικύκλια ὡς τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, καὶ ἔστω ἴση ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ, καὶ διήχθω ἡ ΖΒ· ὅτι γίνεται ἴση καὶ ἡ ΒΕ τῇ ΕΗ. Ἔστιν δὲ φανερόν· ἐὰν γὰρ ἐπιζευχθῇ ἡ ΔΕ, γίνεται ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΔΕΖ γωνία διὰ τὸ ἐν ἡμικυκλίῳ εἶναι. καὶ ἔστιν ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐν ἡμικυκλίῳ τῷ ΑΒΓ ἡ ΔΕ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΗ, ὅπερ· ⁓ Εἰς τὸ κεʹ. ιθʹ. Τῶν αὐτῶν ὄντων ἔστω μείζων ἡ ΑΔ τῆς ΔΓ, καὶ τῇ ΔΓ ἴση κείσθω ἡ ΑΗ, καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΖ ἡ ΗΘ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΘ τῇ ΕΚ. `7.814` Ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΑΔ τῆς ΔΓ, τὸ ἄρα κέντρον τοῦ ΑΒΓ ἡμικυκλίου ἐστὶ μεταξὺ τῶν Α Δ. ἔστω τὸ Λ, καὶ πάλιν κάθετος ἡ ΛΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΜ τῇ ΜΚ. ἐπεὶδὲ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΗ τῇ ΔΓ, ἡ δὲ ΑΛ τῇ ΛΓ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΛ λοιπῇ τῇ ΛΔ ἴση ἐστίν. καὶ εἰσὶν τρεῖς παράλληλοι αἱ ΗΘ ΛΜ ΔΕ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΘΜ τῇ ΜΕ. ἦν δὲ καὶ ὅλη ἡ ΒΜ ὅλῃ τῇ ΜΚ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΘ λοιπῇ τῇ ΕΚ ἐστὶν ἴση, ὅπερ· ⁓ Εἰς τὸ κϛʹ. κʹ. Ἔστω ἡ ΑΔ ἐλάσσων τῆς ΔΓ, καὶ τῇ ΑΔ ἴση κείσθω ἡ ΓΗ, καὶ κάθετος ἡ ΗΘ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΚΘ. Ἐπεὶ γὰρ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΑΔ τῆς ΔΓ, τοῦ ΑΒΓ ἡμικυκλίου τὸ κέντρον ἐστὶ μεταξὺ τῶν Δ Η. ἔστω τὸ Λ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΖΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΜ τῇ ΜΚ. ἐπεὶ δὲ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΓΗ, ἡ δὲ ΑΛ τῇ ΛΓ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΛ λοιπῇ τῇ ΛΗ ἴση ἐστίν. καὶ εἰσὶν τρεῖς παράλληλοι αἱ ΔΕ ΛΜ ΗΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΕΜ τῇ ΜΘ. ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ ΒΜ ὅλῃ τῇ ΜΚ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ λοιπῇ τῇ ΚΘ ἐστὶν ἴση, ὅπερ· ⁓ Εἰς τὸ κθʹ. `7.816` καʹ. Ὄντων δύο ἡμικυκλίων τῶν ΑΒΓ ΔΕΖ, καὶ μείζονος οὔσης τῆς ΑΔ τῆς ΔΓ, ἐὰν τῇ ΔΓ ἴση τεθῇ ἡ ΑΗ, καὶ διαχθείσης τῆς ΖΒ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἀχθῇ ἡ ΗΘ, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΘΒ τῇ ΚΕ. Εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ ἡμικυκλίου τὸ Λ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΒΖ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΜ τῇ ΜΚ. ἐπεὶ δὲ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΛ τῇ ΛΓ, ἡ δὲ ΑΗ τῇ ΔΓ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΛ λοιπῇ τῇ ΛΔ ἐστὶν ἴση. καὶ εἰσὶν τρεῖς παράλληλοι αἱ ΗΘ ΛΜ ΔΕ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΜ τῇ ΜΕ. ὧν ἡ ΒΜ τῇ ΜΚ ἐστὶν ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΘΒ λοιπῇ τῇ ΚΕ ἐστὶν ἴση, ὅπερ· ⁓ Φανερὸν ὡς καὶ ἡ ΘΚ τῇ ΒΕ ἐστὶν ἴση. Εἰς τὸ λαʹ. κβʹ. Ἔστω τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ ἡμικύκλια, καὶ πάλιν ἔστω ἐλάσσων ἡ ΑΔ τῆς ΔΓ, καὶ διήχθω ἡ ΖΕΒ, καὶ τῇ ΑΔ ἴση κείσθω ἡ ΓΗ, καὶ ἐπὶ τὴν ΖΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΗΘ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΕΒ τῇ ΚΘ. `7.818` Φανερὸν γὰρ ὅτι ἡ ΗΘ οὔτε ἐπὶ τὸ Κ πίπτει οὔτε μεταξὺ τῶν Ζ Κ. ἐὰν τὸ κέντρον ληφθῇ τὸ Λ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΒΖ κάθετος ἀχθῇ ἡ ΛΜ, ἔσται ἴση ἡ ΒΜ τῇ ΜΚ. ἀλλὰ καὶ διὰ τὸ τρεῖς εἶναι παραλλήλους τὰς ΔΕ ΛΜ ΗΘ ἴση γίνεται ἡ ΕΜ τῇ ΜΚ — ἴση γὰρ ἡ ΔΛ τῇ ΛΗ. εἴη ἂν καὶ ἡ ΒΜ τῇ ΜΕ ἴση, ἡ μείζων τῇ ἐλάσσονι, ὅπερ ἀδύνατον· οὐκ ἄρα ἐπὶ τὸ Κ πίπτει. πολλῷ δὲ μᾶλλον ὅτι οὐδὲ μεταξὺ τῶν Ζ Κ· ἐκτὸς ἄρα. ἐπεὶ δὲ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΛ τῇ ΛΓ, ἡ δὲ ΑΔ τῇ ΗΓ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΛ λοιπῇ τῇ ΛΗ ἴση ἐστίν. καὶ εἰσὶν τρεῖς παράλληλοι αἱ ΔΕ ΛΜ ΗΘ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΕΜ τῇ ΜΘ. ὧν ἡ ΒΜ τῇ ΜΚ ἐστὶν ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΒ λοιπῇ τῇ ΚΘ ἐστὶν ἴση, ὅπερ· ⁓ Φανερὸν δὲ καὶ ὡς ἡ ΕΚ τῇ ΒΘ ἐστὶν ἴση. Εἰς τὸ λδʹ. κγʹ. Ἔστω τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ ἡμικύκλια, μείζων ἔστω ἡ ΔΓ τῆς ΓΖ, καὶ τῇ ΑΔ ἴση κείσθω ἡ ΖΗ, καὶ προσαναπεπληρώσθω ὁ ΔΕΖΚ κύκλος, διήχθω ἡ ΒΓΘ, καὶ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν ΒΘ κάθετος ἤχθω ἡ ΗΘ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΘΚ. Ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΔΓ τῆς ΓΖ, τὸ τοῦ ΔΕΖ ἡμικυκλίου κέντρον μεταξύ ἐστιν τῶν Δ Γ. ἔστω τὸ Λ, καὶ κάθετος ἡ ΛΜ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΔ τῇ ΖΗ, ἡ δὲ ΔΛ τῇ ΛΖ, ὅλη ἄρα ἡ ΑΛ ὅλῃ τῇ ΛΗ ἐστὶν ἴση. καὶ εἰσὶν τρεῖς παράλληλοι αἱ ΑΒ ΛΜ ΗΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΒΜ τῇ ΜΘ. ὧν ἡ ΕΜ τῇ ΜΚ ἐστὶν ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ λοιπῇ τῇ ΚΘ ἐστὶν ἴση, ὅπερ· ⁓ Φανερὸν ὡς καὶ ἡ ΒΚ τῇ ΕΘ ἐστὶν ἴση. `7.820` κδʹ. Ἔστω πάλιν τὰ ἡμικύκλια τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, καὶ μείζων ἡ ΔΓ τῆς ΓΖ, καὶ τῇ ΑΔ ἴση κείσθω ἡ ΖΗ, καὶ προσαναπεπληρώσθω ὁ ΔΕΖΚ κύκλος, καὶ διήχθω ἡ ΕΒΚ, καὶ ἀπὸ τοῦ Η ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ ΗΘ· δεῖξαι ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΕΒ τῇ ΘΚ. Ἔστω τὸ κέντρον τὸ Λ, καὶ πάλιν κάθετος ἡ ΛΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΜ τῇ ΜΚ. ἐπεὶ δὲ ἐν τρισὶ παραλλήλοις ταῖς ΑΒ ΛΜ ΗΘ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΛ τῇ ΛΗ, ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΒΜ τῇ ΜΘ. ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ ΕΜ ὅλῃ τῇ ΜΚ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΒ λοιπῇ τῇ ΚΘ ἐστὶν ἴση, ὅπερ· ⁓ Τὸ πρῶτον τῶν νεύσεων ἔχει προβλήματα θʹ, διορισμοὺς τρεῖς· καὶ εἰσὶν οἱ τρεῖς ἐλάσσονες ὅ τε κατὰ τὸ πέμπτον καὶ ὁ κατὰ τὸ ζʹ πρόβλημα καὶ ὁ κατὰ τὸ θʹ. τὸ δεύτερον νεύσεων ἔχει προβλήματα μεʹ, διορισμοὺς τρεῖς, τόν τε κατὰ τὸ ιζʹ πρόβλημα καὶ τὸν κατὰ τὸ ιθʹ καὶ τὸν κατὰ τὸ κγʹ· καὶ εἰσὶν οἱ τρεῖς ἐλάσσονες. Ἐπαφῶν πρῶτον. Εἰς τὸ εʹ πρόβλημα. αʹ. Δύο παράλληλοι αἱ ΑΒ ΓΔ, καὶ κύκλος ἐφαπτέσθω ὁ ΕΖ κατὰ τὰ Ε Ζ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΖ· ὅτι διάμετρός ἐστιν τοῦ ΕΖ κύκλου. `7.822` Εἰλήφθω σημεῖα ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας τὰ Η Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΗ ΗΖ ΕΘ ΘΖ. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται μὲν ἡ ΑΕ τέμνει δὲ ἡ ΕΖ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΖ γωνία τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τμήματι γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΘΖ. διὰ ταὐτὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΖΕ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΕΗΖ ἐναλλάξ· καὶ ἡ ὑπὸ ΕΘΖ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΕΗΖ γωνίᾳ. καὶ εἰσὶν δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα αὐτῶν, ὥστε ἡμικύκλιόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΕΘΖ ΕΗΖ· διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τοῦ ΕΖ κύκλου, ὅπερ· ⁓ βʹ. Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΔ, καὶ ἐφαπτέσθωσαν αὐτοῦ αἱ ΒΓ ΓΑ, καὶ τετμήσθω ἡ Γ γωνία δίχα τῇ ΓΔ εὐθείᾳ· ὅτι ἐπὶ τῆς ΓΔ τὸ κέντρον ἐστὶν τοῦ ΑΒΔ κύκλου. Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΑ ΑΕ ΔΒ ΒΕ. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται μὲν ἡ ΑΓ τέμνει δὲ ἡ ΓΔ, τὸ ὑπὸ ΔΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΓΑ· ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΕΓ γωνίᾳ. διὰ ταὐτὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΒΕΓ γωνίᾳ. ἀλλὰ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓΔ γωνία· καὶ ἡ ὑπὸ ΔΑΕ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΔΒΕ γωνίᾳ, ὥστε ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα αὐτῶν· διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ τοῦ ΑΒΔ κύκλου· ἐπὶ τῆς ΓΔ ἄρα τὸ κέντρον ἐστὶν τοῦ ΑΒΔ κύκλου. Εἰς τὸ ιβʹ. γʹ. Ἔστωσαν δύο κύκλοι ἐφαπτόμενοι ἀλλήλων οἱ ΑΒ ΒΓ κατὰ τὸ Β σημεῖον, καὶ διήχθω ἡ ΑΒΓ, ἔστω δὲ ἐπʼ αὐτῆς τὸ τοῦ ΑΒ κύκλου κέντρον· ὅτι καὶ τὸ τοῦ ΒΓ κύκλου κέντρον ἐστὶν ἐπὶ τῆς ΑΒΓ. `7.824` Ἤχθω γὰρ ἀμφοτέρων τῶν κύκλων ἐφαπτομένη ἡ ΔΒΕ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία· καὶ ἡ ἐφεξῆς ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΓ ἐστὶν ὀρθή. καὶ ἐφάπτεται ἡ ΔΕ τοῦ ΒΓ κύκλου· τὸ ἄρα κέντρον τοῦ ΒΓ κύκλου ἐστὶν ἐπὶ τῆς ΑΒΓ ὁμοίως ὡς καὶ τοῦ ΑΒ. Ἄλλως. δʹ. Ἔστωσαν πάλιν αἱ ΑΒ ΒΓ κύκλων διάμετροι· ὅτι οἱ ΑΒ ΒΓ κύκλοι ἐφάπτονται ἀλλήλων. Ἤχθω πάλιν ἐφαπτομένη τοῦ ΑΒ κύκλου ἡ ΔΕ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία, καὶ ἐφεξῆς ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία ὀρθή ἐστιν. καὶ ἔστιν τοῦ ΒΓ κύκλου κέντρον ἐπὶ τῆς ΒΓ· ἡ ΔΕ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΒΓ κύκλου· ἀλλὰ καὶ τοῦ ΑΒ κατʼ αὐτὸ τὸ Β· καὶ ὁ ΑΒ ἄρα τοῦ ΒΓ κύκλου ἐφάπτεται κατὰ τὸ Β σημεῖον. εʹ. Δύο κύκλοι ἐφαπτόμενοι ἀλλήλων οἱ ΑΒ ΒΓ κατὰ τὸ Β σημεῖον, καὶ διήχθω ἡ ΑΓΒ, ἔστω δὲ ἐπʼ αὐτῆς τὸ κέντρον τοῦ ΑΒ κύκλου· ὅτι καὶ τοῦ ΒΓ τὸ κέντρον ἐστὶν ἐπὶ τῆς ΒΓ. Ἤχθω ἐφαπτομένη τῶν κύκλων ἡ ΔΕ. ἐπεὶ οὖν ἐφαπτομένη ἡ ΔΕ τοῦ ΑΒ κύκλου, καὶ διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΑΒ, ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΔΒΑ γωνία. καὶ ἦκται ἀπὸ τῆς ἁφῆς ἡ ΒΓ· ἐπὶ τῆς ΒΓ ἄρα τὸ κέντρον ἐστὶν τοῦ ΒΓ κύκλου. `7.826` Φανερὸν δὲ καὶ οὕτως· εἰ γὰρ διαχθείη ἡ ΒΖΗ, καὶ ἐπιζευχθείησαν αἱ ΓΖ ΑΗ, γένοιτο ἂν ἴση ἡ ὑπὸ ΕΒΓ γωνία ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ τῶν ΒΖΓ ΑΗΒ γωνίᾳ. καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΗΒ γωνία· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΒΖΓ γωνία, ὥστε ἐπὶ τῆς ΒΓ τὸ κέντρον ἐστὶν τοῦ ΒΓ. καὶ ὁμοίως, κἂν τοῦ ΒΓ δοθῇ ἐπὶ τῆς ΑΒ, δείξομεν ὅτι καὶ τοῦ ΑΒ. ϛʹ. Ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστωσαν διάμετροι αἱ ΑΒ ΒΓ· ὅτι οἱ κύκλοι ἐφάπτονται ἀλλήλων. Ἤχθω τοῦ ΑΒ κύκλου ἐφαπτομένη εὐθεῖα ἡ ΔΒΕ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία. καὶ ἔστιν διάμετρος ἡ ΒΓ· ἡ ΔΕ ἄρα ἐφαπτομένη τοῦ ΒΓ κύκλου κατὰ τὸ Β σημεῖον. ἀλλὰ γὰρ καὶ τοῦ ΑΒ κύκλου ἐφάπτεται κατὰ τὸ Β· καὶ ὁ ΑΒ ἄρα κύκλος τοῦ ΒΓ κύκλου ἐφάπτεται κατὰ τὸ Β. Εἰς τὸ ιϛʹ. ζʹ. Ἔστωσαν δύο κύκλοι ἐφαπτόμενοι ἀλλήλων οἱ ΑΒΓ ΔΕΒ κατὰ τὸ Β σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ Β διήχθωσαν αἱ ΓΒΔ ΑΒΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ ΔΕ· ὅτι παράλληλοι αἱ ΑΓ ΔΕ. Ἤχθω γὰρ τῶν κύκλων ἐφαπτομένη εὐθεῖα ἡ ΖΗ κατὰ τὸ Β σημεῖον. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται μὲν ἡ ΒΖ τέμνει δὲ ἡ ΒΑ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΓΒ. διὰ ταὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΗΒΕ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΒΔΕ γωνίᾳ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΕΒΗ γωνίᾳ· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΕΔΒ γωνίᾳ. καὶ εἰσὶν ἐναλλάξ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΔΕ, ὅπερ· ⁓ `7.828` ηʹ. Κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΒΓ ΓΑ, καὶ διὰ τοῦ Α διήχθω τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν Β γωνίαν τῇ ὑπὸ ΕΑΓ γωνίᾳ· ὅτι ἐφάπτεται ἡ ΔΕ τοῦ ΑΒΓ κύκλου κατὰ τὸ Α σημεῖον. Εἰ μὲν οὖν ἡ ΑΓ διὰ τοῦ κέντρου ἐστίν, φανερὸν ἔσται· γίνεται γὰρ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία διὰ τὸ καὶ τὴν Β γωνίαν εἶναι ὀρθήν· τοῦτο δὲ προδέδεικται. εἰ δὲ μή, ἔστω τὸ κέντρον τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΗ. ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΗ γωνία. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΕΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, ἡ δὲ ὑπὸ ΗΑΓ γωνία ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι τῇ ὑπὸ ΗΒΓ, ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΑΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΗ γωνίᾳ ἴση ἐστίν. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΗ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΗ. καὶ ἔστιν ἐκ τοῦ κέντρου ἡ ΖΑ· ἐφαπτομένη ἄρα ἡ ΔΕ τοῦ ΑΒΓ κύκλου· τοῦτο γὰρ προγέγραπται. θʹ. Τούτου ὄντος ἀνάστροφον τοῦ πρὸ αὐτοῦ. παραλλήλουοὔσης ΑΓ τῇ ΔΕ, δεῖξαι ὅτι ἐφαπτόμενοι οἱ ΑΒΓ ΔΕΒ ἀλλήλων κατὰ τὸ Β σημεῖον. `7.830` Ἤχθω πάλιν τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφαπτομένη εὐθεῖα ἡ ΖΗ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία τῇ Γ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΕΒΗ, ἡ δὲ Γ τῇ Δ ἐναλλὰξ ἴση ἐστίν, ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΗΒΕ γωνία τῇ Δ. διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον ἐφάπτεται ἡ ΖΗ τοῦ ΔΒΕ κύκλου. ἀλλὰ καὶ τοῦ ΑΒΓ κατὰ τὸ Β· καὶ ὁ ΑΒΓ ἄρα κύκλος τοῦ ΒΔΕ κύκλου ἐφάπτεται κατὰ τὸ Β σημεῖον. Πρόβλημα εἰς τὸ αὐτό. ιʹ. Θέσει δοθέντος κύκλου τοῦ ΑΒΓ, καὶ δύο δοθέντων τῶν Δ Ε, ἀπὸ τῶν Δ Ε ἂν κλασθῇ ἡ ΔΒΕ καὶ ἐκβληθῇ, ποιεῖν παράλληλον τὴν ΑΓ τῇ ΔΕ. Γεγονέτω· καὶ ἤχθω ἐφαπτομένη ἡ ΖΑ. ἐπεὶ οὖν παράλληλος ἡ ΑΓ τῇ ΔΕ, ἴση ἐστὶν ἡ Γ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΕ γωνίᾳ. ἀλλὰ ἡ Γ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΖΑΕ — ἐφάπτεται γὰρ καὶ τέμνει· καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΕ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΓΔΕ· ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶν τὰ Α Β Δ Ζ σημεῖα· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕΒ τῷ ὑπὸ ΖΕΔ. δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ ΑΕΒ — ἴσον γάρ ἐστιν τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕΖ. καὶ δοθεῖσα ἡ ΔΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΕΖ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει. καὶ ἔστιν δοθὲν τὸ Ε· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ζ. ἀπὸ δὴ δεδομένου σημείου τοῦ Ζ θέσει δεδομένου κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτομένη εὐθεῖα ἦκται ἡ ΖΑ· δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΖΑ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει. καὶ ἔστιν δοθὲν τὸ Ζ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Α. ἀλλὰ καὶ τὸ Ε δοθέν· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ. θέσει δὲ καὶ ὁ κύκλος· δοθὲν ἄρα τὸ Β σημεῖον. ἔστιν δὲ καὶ ἑκάτερον τῶν Δ Ε δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΔΒ ΒΕ τῇ θέσει. `7.832` Συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως. ἔστω ὁ μὲν κύκλος ὁ ΑΒΓ, τὰ δὲ δοθέντα δύο σημεῖα τὰ Δ Ε. κείσθω τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης ἴσον τὸ ὑπὸ τῆς ΔΕ καὶ ἄλλης τινὸς τῆς ΕΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφαπτομένη εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΖΑ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΔΒ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Γ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ· λέγω ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΔΕ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΖΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης, ἀλλὰ καὶ τὸ ὑπὸ ΑΕΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης, ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕΒ τῷ ὑπὸ ΖΕΔ· ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶν τὰ Α Β Δ Ζ σημεῖα· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΔΕ γωνίᾳ. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΕ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τμήματι τῇ ὑπὸ ΑΓΒ· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΒΔΕ γωνίᾳ. καὶ εἰσὶν ἐναλλάξ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΔΕ. Εἰς τὸ ιζʹ. ιαʹ. Ἔστωσαν δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ ΑΔΕ ἐφαπτόμενοι ἀλλήλων κατὰ τὸ Α σημεῖον, καὶ διήχθωσαν ἀπὸ τοῦ Α εὐθεῖαι αἱ ΑΔΒ ΑΕΓ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΕ ΒΓ· ὅτι παράλληλοί εἰσιν αἱ ΔΕ ΒΓ. Ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐφαπτομένη εὐθεῖα ἡ ΖΗ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ἀπὸ ΖΑΒ γωνία ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΑΓΒ ΑΕΔ, ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΑΕΔ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΒΓ. Ἀλλὰ παράλληλος ἔστω ἡ ΔΕ τῇ ΒΓ· ὅτι ἐφάπτονται οἱ ΑΒΓ ΑΔΕ κύκλοι ἀλλήλων. `7.834` Ἤχθω γὰρ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφαπτομένη ἡ ΖΗ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΑΔ γωνία τῇ Γ γωνίᾳ. ἀλλὰ ἡ Γ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ Ε· καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΔ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶ τῇ Ε γωνίᾳ, ὥστε ἐφαπτομένη ἡ ΖΗ τοῦ ΑΔΕ κύκλου — τοῦτο γὰρ προδέδεικται· οἱ ΑΒΓ ΑΔΕ ἄρα κύκλοι ἐφάπτονται ἀλλήλων κατὰ τὸ Α σημεῖον. Πρόβλημα εἰς τὸ αὐτό. `7.836` ιβʹ. Θέσει ὄντος κύκλου τοῦ ΑΒΓ, καὶ δύο δοθέντων τῶν Δ Ε, κλᾶν τὴν ΔΑΕ καὶ ποιεῖν παράλληλον τὴν ΒΓ τῇ ΔΕ. Γεγονέτω· καὶ ἀπὸ τοῦ Β ἐφαπτομένη ἤχθω ἡ ΒΖ. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται μὲν ἡ ΒΖ τέμνει δὲ ἡ ΒΓ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΒΓ γωνία, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΔΖΒ, τῇ Α· ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶ τὰ Α Β Ζ Ε σημεῖα· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΔΒ τῷ ὑπὸ ΕΔΖ. δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ ΑΔΒ — ἴσον γὰρ τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΕΔΖ· καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ ΔΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΔΖ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει. καὶ ἔστιν δοθὲν τὸ Δ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ζ. ἀπὸ δὴ δοθέντος σημείου τοῦ Ζ θέσει δοθέντος κύκλου ἐφαπτομένη ἦκται ἡ ΖΒ· δέδοται ἄρα ἡ ΖΒ τῇ θέσει. ἀλλὰ καὶ ὁ ΑΒΓ κύκλος θέσει· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Β σημεῖον. ἔστιν δὲ καὶ τὸ Δ δοθέν· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΔ. θέσει δὲ καὶ ὁ κύκλος· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Α. ἔστιν δὲ καὶ τὸ Ε δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΔΑ ΑΕ τῇ θέσει. Συντεθήσεται δὲ τὸ πρόβλημα οὕτως. ἔστω ὁ μὲν κύκλος ὁ ΑΒΓ, τὰ δὲ δοθέντα σημεῖα τὰ Δ Ε, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης ἴσον κείσθω τὸ ὑπὸ ΕΔΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφαπτομένη εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΖΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Α, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ ΒΓ· λέγω ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΔΕ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΕΔΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης, τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΑΔΒ, ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶν τὰ Α Β Ζ Ε σημεῖα· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Α γωνία, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΓΒΖ — ἐφάπτεται γὰρ ἡ ΒΖ τέμνει δὲ ἡ ΒΓ —, τῇ ὑπὸ ΒΖΔ. καὶ εἰσὶν ἐναλλάξ, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΔΕ. Πρόβλημα εἰς τὸ ιηʹ. ιγʹ. Θέσει δοθέντος κύκλου τοῦ ΑΒΓ, καὶ δύο δοθέντων σημείων τῶν Δ Ε, ἀπὸ τῶν Δ Ε κλᾶν τὴν ΔΑΕ καὶ ποιεῖν τῇ ΔΕ παράλληλον τὴν ΒΓ. `7.838` Γεγονέτω· καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφαπτομένη εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΒΖ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΒΑ γωνία τῇ Γ, τουτέστιν τῇ Ε· ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶν τὰ Β Ζ Α Ε σημεῖα· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΔΑ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΖΔΕ. δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ ΒΔΑ — ἀπὸ γὰρ δοθέντος τοῦ Δ εἰς θέσει δεδομένον κύκλον διῆκται ἡ ΑΔΒ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΖΔΕ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΔΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΖΔ. καὶ ἔστιν δοθὲν τὸ Δ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ζ. ἀπὸ δὴ δεδομένου σημείου τοῦ Ζ θέσει δεδομένου κύκλου ἐφαπτομένη ἦκται ἡ ΖΒ· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΒ. θέσει δὲ καὶ ὁ κύκλος· δοθὲν ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ Β σημεῖον. ἀλλὰ καὶ τὸ Δ δοθέν· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΔ. θέσει δὲ καὶ ὁ κύκλος· δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ Α σημεῖον. ἔστιν δὲ καὶ ἑκάτερον τῶν Δ Ε δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΔΑ ΑΕ τῇ θέσει. Συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως. ἔστω ὁ μὲν τῇ θέσει δεδομένος κύκλος ὁ ΑΒΓ, τὰ δὲ δοθέντα δύο σημεῖα τὰ Δ Ε, καὶ διήχθω τυχοῦσα ἡ ΑΔΒ, καὶ τῷ ὑπὸ ΑΔΒ ἴσον κείσθω τὸ ὑπὸ ΕΔΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφαπτομένη ἤχθω ἡ ΒΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΕΑ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΒΑ γωνία τῇ πρὸς τῷ Ε — ἐν κύκλῳ γάρ ἐστιν τὰ Α Ζ Β Ε σημεῖα —, ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΑ ἴση ἐστὶν τῇ Γ — ἐφάπτεται γὰρ καὶ τέμνει —, καὶ ἡ Γ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ Ε· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΔΕ, ὅπερ· ⁓ `7.840` Πρόβλημα εἰς τὸ ιθʹ. ιδʹ. Θέσει ὄντος τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ δύο δοθέντων τῶν Δ Ε, κλᾶν ἀπʼ αὐτῶν τὴν ΔΑΕ, ὥστε παράλληλον εἶναι τὴν ΒΓ τῇ ΔΕ. Γεγονέτω· καὶ ἤχθω ἐφαπτομένη ἡ ΒΖ. γίνεται οὖν πάλιν ἐν κύκλῳ τὰ Α Ζ Β Ε σημεῖα, καὶ ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΔΒ τῷ ὑπὸ ΕΔΖ. δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ ΑΔΒ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΕΔΖ. καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ ΔΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΔΖ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει. καὶ ἔστιν δοθὲν τὸ Δ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ζ, ὥστε θέσει ἡ ΒΖ. ἀλλὰ καὶ ὁ κύκλος· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Β. ἀλλὰ καὶ τὰ Δ Ε· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΔΑ ΑΕ. ὁμοίως γὰρ τοῖς πρότερον δείξομεν, καὶ ὁμοίως ἡ σύνθεσις τῷ πρὸ αὐτοῦ. Εἰς τὸ κδʹ. ιεʹ. Ἁπτέσθωσαν δύο κύκλοι ἀλλήλων οἱ ΑΒ ΒΓ κατὰ τὸ Β σημεῖον, καὶ εἰλήφθω τὰ κέντρα αὐτῶν τὰ Δ Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ ΔΒ ΓΕ ΕΒ, ἔστω δὲ παράλληλος ἡ ΑΔ τῇ ΓΕ· ὅτι εὐθεῖαί εἰσιν αἱ διὰ τῶν Δ Β Ε, Α Β Γ. `7.842` Ἤχθω γὰρ τῶν ΑΒ ΒΓ κύκλων ἐφαπτομένη εὐθεῖα ἡ ΖΗ. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται μὲν ἡ ΖΗ, ἐκ δὲ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΔΒ, ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΔΒΖ γωνία. διὰ ταὐτὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΕ γωνία ἐστὶν ὀρθή· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Δ Β Ε. ἐπεὶ δὲ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΔ τῇ ΔΒ, ἡ δὲ ΕΓ τῇ ΕΒ, ἔστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ, οὕτως ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΕΒ. καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς Δ Ε αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΔΒΑ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒΕ. καὶ ἔστιν εὐθεῖα ἡ ΔΒΕ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ διὰ τῶν Α Β Γ, ὅπερ· ⁓ Εἰς τὸ κεʹ. ιϛʹ. Ἴσης οὔσης τῆς μὲν ΑΒ τῇ ΒΓ, τῆς δὲ ΑΔ τῇ ΔΕ, καὶ παραλλήλου οὔσης τῆς ΔΕ τῇ ΒΓ, δεῖξαι ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α Ε Γ σημείων. Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ ΕΓ, καὶ τῇ ΑΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΖ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΔ ἐπὶ τὸ Ζ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΖ τῇ ΔΒ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΔΕ ἴση· ὅλη ἄρα ἡ ΑΒ ὅλῃ τῇ ΖΕ ἐστὶν ἴση. ἀλλὰ ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ ἴση ἐστίν· καὶ ἡ ΒΓ ἄρα τῇ ΖΕ ἐστὶν ἴση. ἀλλὰ καὶ παράλληλος· καὶ ἡ ΓΕ ἄρα τῇ ΒΖ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΒΖ παράλληλός ἐστιν· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕΓ· τοῦτο γὰρ φανερόν. Ἐπαφῶν δεύτερον. Εἰς τὸ λαʹ. ιζʹ. Ἐὰν ᾖ κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ δύο προβληθῶσιν αἱ ΒΔ ΔΓ ἴσαι οὖσαι, ἡ δὲ ΒΔ ἐφάπτηται, ὅτι καὶ ἡ ΔΓ ἐφάπτεται. `7.844` Τοῦτο δὲ φανερόν· ἂν γὰρ διαχθῇ ἡ ΔΑ, τὸ ὑπὸ ΑΔΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΔΒ. ἀλλὰ τὸ ἀπὸ ΔΒ τῷ ἀπὸ ΔΓ ἴσον ἐστίν· καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΕ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΔΓ· ἐφάπτεται ἄρα ἡ ΔΓ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. ιηʹ. Δύο κύκλοι οἱ ΑΒ ΒΓ, καὶ διὰ τοῦ Β διήχθω τις ἡ ΑΒΓ, καὶ δύο παράλληλοι αἱ ΑΔ ΕΓ νεύουσαι ἐπὶ τὰ κέντρα τῶν κύκλων· ὅτι οἱ ΑΒ ΒΓ κύκλοι ἐφάπτονται ἀλλήλων κατὰ τὸ Β σημεῖον. Εἰλήφθω τὰ κέντρα τῶν κύκλων τὰ Δ Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΒ ΒΕ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Δ Β Ε· παράλληλος γάρ ἐστιν ἡ ΑΔ τῇ ΓΕ. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς ΕΒ, καὶ γίνεται δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα τὴν Α τῇ Γ, περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς Δ Ε τὰς πλευρὰς ἀνάλογον· ἰσογώνια ἄρα ἐστὶν τὰ τρίγωνα· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒΕ. καὶ ἔστιν εὐθεῖα ἡ ΑΒΓ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΔΒΕ. ἐπεὶ δὲ εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν κέντρων καὶ τῆς ἁφῆς, ἐφάπτονται ἄρα οἱ ΑΒ ΒΓ κύκλοι ἀλλήλων κατὰ τὸ Β σημεῖον. Εἰς τὸ νβʹ. ιθʹ. Ἔστω ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΓΔ παράλληλος, ἴση δὲ ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ, οὔσης ἀμβλείας μὲν τῆς ὑπὸ τῶν ΑΓΔ, ὀξείας δὲ τῆς ὑπὸ ΒΔΓ· ὅτι παραλληλόγραμμόν ἐστιν τὸ ΑΔ. `7.846` Ἐπεὶ γὰρ ἀμβλεῖα μέν ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΓΔ, ὀξεῖα δὲ ἡ ὑπὸ ΒΔΓ, αἱ ἀπὸ τῶν Α Β ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθετοι ἀγόμεναι ἡ μὲν ἀπὸ τοῦ Α ἐκτὸς τοῦ Γ, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Β ἐντὸς τοῦ Δ πίπτουσιν· καὶ ἔστωσαν αἱ ΑΕ ΒΖ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΒΖ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ παράλληλος, καὶ εἰσὶν ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Ε Ζ σημείοις γωνίαι· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΖΔ τῇ ΕΓ, ὥστε καὶ ὅλη ἡ ΕΖ τῇ ΓΔ ἐστὶν ἴση· καὶ ἡ ΑΒ ἄρα τῇ ΓΔ ἐστὶν ἴση. κʹ. Δύο ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒ ΓΔ, καὶ διὰ τῶν κέντρων ἡ ΑΔ, καὶ τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΕΖ· λέγω ὅτι ἐκβληθεῖσα τέμνει καὶ τὸν ΑΒ κύκλον. Εἰλήφθω τὰ κέντρα τῶν κύκλων τὰ Η Θ, καὶ ἀπὸ τῶν Η Θ σημείων τῇ ΑΔ ὀρθαὶ ἤχθωσαν αἱ ΗΚ ΘΛ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΛ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΚ τῇ ΘΛ. ἀλλὰ καὶ παράλληλος· καὶ ἡ ΚΛ ἄρα τῇ ΗΘ ἴση ἐστὶν καὶ παράλληλος, ὥστε ὀρθαί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς Κ Λ γωνίαι. καὶ εἰσὶν ἐκ τῶν κέντρων αἱ ΗΚ ΘΛ· ἡ ΚΛ ἄρα ἐφάπτεται τῶν κύκλων. φανερὸν οὖν ὅτι ἡ τοῦ ΓΔ ἐφαπτομένη καὶ τοῦ ΑΒ ἐφάπτεται· ἡ ἄρα τὸν ΓΔ τέμνουσα ἡ ΕΖ καὶ τὸν ΑΒ τέμνει ἐκβληθεῖσα — ἐπεὶ καὶ μεταξὺ τῶν Β Λ ἔσται, ὡς ἡ ΕΖ τῶν Γ Κ ἐστὶν μεταξύ. καʹ. Ἔστω ἴση ἡ μὲν ΔΑ τῇ ΑΕ, μείζων δὲ ἡ ΒΔ τῆς ΓΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ· ὅτι ἐκβληθεῖσα ἡ ΔΕ συμπίπτει τῇ ΒΓ. `7.848` Κείσθω τῇ ΓΕ ἴση ἡ ΔΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν τῇ ΔΕ, καὶ συμπίπτει τῇ ΒΓ· καὶ ἡ ΔΕ ἄρα συμπίπτει τῇ ΒΓ. Πρόβλημα εἰς τὸ αὐτό. κβʹ. Θέσει ὄντος κύκλου τοῦ ΑΒΓ, καὶ τριῶν δοθέντων σημείων τῶν Δ Ε Ζ ἐπʼ εὐθείας, κλᾶν τὴν ΔΑΕ καὶ ποιεῖν ἐπʼ εὐθείας τὴν ΒΓ τῇ ΓΖ. Γεγονέτω· καὶ διὰ τοῦ Β τῇ ΔΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΓ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Θ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία, τουτέστιν ἡ Α, τῇ ὑπὸ ΓΘΖ γωνίᾳ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΔΕΘ. δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ ΑΕΓ — ἴσον γὰρ τῷ ἀπὸ τῆς ἀπὸ τοῦ Ε ἐφαπτομένης· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕΘ. καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ ΔΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΕΘ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει· καὶ ἔστιν δοθὲν τὸ Ε· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Θ. ἔστιν δὲ καὶ τὸ Ζ δοθέν· γέγονεν δή μοι ἀπὸ δύο δοθέντων τῶν Θ Ζ κλᾶν τὴν ΘΓΖ καὶ ποιεῖν παράλληλον τὴν ΒΗ τῇ ΘΕΖ· τοῦτο δὲ προγέγραπται. δοθὲν ἄρα τὸ Γ. ἀλλὰ καὶ τὸ Ε δοθέν· θέσει ἄρα ἡ ΓΕ. ἀλλὰ καὶ ὁ κύκλος δοθείς· δοθὲν ἄρα τὸ Α. ἔστιν δὲ καὶ τὸ Δ δοθέν· θέσει ἄρα καὶ ἡ ΔΑ, ὅπερ· ⁓ `7.850` Συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως. ἔστω ὁ μὲν κύκλος ὁ ΑΒΓ, τὰ δὲ δοθέντα ἐπʼ εὐθείας τρία σημεῖα τὰ Δ Ε Ζ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης ἴσον κείσθω τὸ ὑπὸ ΔΕΘ, καὶ δύο δοθέντων σημείων τῶν Θ Ζ, εἰς τὸν κύκλον ἀπὸ τῶν Θ Ζ κεκλάσθω ἡ ΘΓΖ, ὥστε παράλληλον εἶναι τὴν ΒΗ τῇ ΘΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Α· λέγω ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α Β Δ. Ἐπεὶ γὰρ ἑκάτερον τῶν ὑπὸ ΑΕΓ ΔΕΘ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ἀπὸ τοῦ Ε ἐφαπτομένης, ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕΓ τῷ ὑπὸ ΔΕΘ· ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶν τὰ Δ Θ Γ Α σημεῖα. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΘΖ, ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΒΗΓ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἐν κύκλῳ, ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΓΘΖ γωνίᾳ. καὶ ἔστιν ἐν κύκλῳ τὰ Α Γ Θ Δ σημεῖα· ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, ὅπερ· ⁓ Μένει δʼ αὐτοῦ καὶ τὰ πτωτικά· ἀπάγεται γὰρ εἰς τὰ πτωτικὰ τοῦ ἑπτακαιδεκάτου. κγʹ. Ἔστωσαν δύο κύκλοι οἱ ΑΒ ΓΔ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΔ, καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΗΖ, οὕτως ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒ κύκλου πρὸς τὴν ἐκ κέντρου τοῦ ΓΔ κύκλου· ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Η διαγομένη τέμνουσα τὸν ΓΔ κύκλον ἐκβληθεῖσα καὶ τὸν ΑΒ τέμνει. `7.852` Εἰλήφθω γὰρ τὰ κέντρα τῶν κύκλων τὰ Ε Ζ σημεῖα, καὶ ἀπὸ τοῦ Η τοῦ ΓΔ κύκλου ἐφαπτομένη ἤχθω ἡ ΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΘ, καὶ τῇ ΖΘ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΚ. ἐπεὶ οὖν ἐστὶν ὡς ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΗΖ, οὕτως ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΖΘ, εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Η Θ Κ. καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ Θ γωνία· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ Κ γωνία, ὥστε, εἰ τοῦ ΓΔ ἐφάπτεται ἡ ἀπὸ τοῦ Η, ἐκβληθεῖσα καὶ τοῦ ΑΒ ἐφάψεται. ἀλλὰ αἱ τέμνουσαι τὸν ΓΔ μεταξὺ τῶν Δ Θ εἰσίν· ἐκβαλλόμεναι ἄρα μεταξὺ τῶν Κ Β ἔσονται. καὶ ἔστιν ἐφαπτομένη ἡ ΗΚ· τέμνει ἄρα ἡ μεταξὺ τῶν Β Κ, Δ Θ. ἀλλὰ ἡ αὐτὴ καὶ τὸν ΓΔ τέμνει· ἡ ἄρα τὸν ΓΔ τέμνουσα καὶ τὸν ΑΒ τέμνει ἀγομένη ἀπὸ τοῦ Η σημείου. Τὸ πρῶτον τῶν ἐπαφῶν ἔχει προβλήματα ἑπτά, τὸ δεύτερον προβλήματα δʹ. Ἐπιπέδων τόπων αʹ βʹ. Εἰς τὸν τοῦ δευτέρου πρῶτον τόπον. αʹ. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ διήχθω ἡ ΑΔ, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ· ὅτι γίνεται ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΓ τῷ ἀπὸ ΑΔ. `7.854` Ἤχθω διὰ τοῦ Γ τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΓΕ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΕ, καὶ τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒ ΓΕ. ὡς δὲ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἦν τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΑ ΓΕ τῷ ἀπὸ ΓΑ· ἀνάλογον ἄρα αἱ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ἐναλλάξ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΑΔ τῇ Β, ὥστε ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΔΓ τῷ ἀπὸ ΔΑ. Τὸ δὲ ἀναστρεφόμενον φανερόν. Εἰς τὸν δεύτερον τόπον. βʹ. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ κάθετος ἡ ΔΑ· ὅτι μὲν ἡ τῶν ἀπὸ ΒΑ ΑΓ ὑπεροχὴ ἴση ἐστὶ τῇ τῶν ἀπὸ ΒΔ ΔΓ ὑπεροχῇ· ἐὰν δὲ ἡ ΒΓ δίχα τμηθῇ κατὰ τὸ Ε, ἡ τῶν ἀπὸ ΒΔ ΔΓ ὑπεροχή ἐστιν τὸ δὶς ὑπὸ ΒΓ ΕΔ. Ὅτι μὲν οὖν ἡ τῶν ἀπὸ ΒΑ ΑΓ ὑπεροχὴ ἴση ἐστὶν τῇ τῶν ἀπὸ ΔΒ ΔΓ ὑπεροχῇ, φανερόν· ἔστιν γὰρ τὸ μὲν ἀπὸ ΑΒ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΔ ΑΔ, τὸ δὲ ἀπὸ ΑΓ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ ΔΓ· ᾧ ἄρα ὑπερέχει τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ ΑΓ, τούτῳ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ ΑΔ ΔΒ τῶν ἀπὸ ΑΔ ΔΓ. κἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΑΔ, λοιπὸν ἄρα ᾧ ὑπερέχει τὸ ἀπὸ ΒΔ τοῦ ἀπὸ ΔΓ, τούτῳ ὑπερέχει τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ ΑΓ. ὅτι καὶ ἡ τῶν ἀπὸ ΒΔ ΔΓ ὑπεροχή ἐστιν τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΓ ΔΕ, οὕτως· ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΓ, ἡ ΒΔ ἄρα ἴση ἐστὶν συναμφοτέρῳ τῇ ΓΕΔ· καὶ τὸ ἀπὸ ΒΔ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΕΔ. ἀλλὰ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΕΔ τοῦ ἀπὸ ΓΔ ὑπερέχει τῷ τετράκις ὑπὸ ΓΕΔ, τουτέστιν τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΓ ΔΕ· ἡ ἄρα τῶν ἀπὸ ΒΔ ΔΓ ὑπεροχή ἐστιν τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΓ ΔΕ. `7.856` Εἰς τὸν αὐτόν, ἐὰν μὴ ὁ λόγος ἴσου πρὸς ἴσον. γʹ. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ τὸ ἀπὸ ΒΑ τοῦ ἀπὸ ΑΓ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ, δοθέντι μὲν τῷ Ε, ἐν λόγῳ δὲ τῷ τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ· ὅτι μεῖζόν ἐστιν τὸ ὑπὸ ΔΒΓ τοῦ Ε χωρίου. Ἀφῃρήσθω γὰρ τὸ δοθὲν χωρίον τὸ ὑπὸ ΑΒΗ· λοιποῦ ἄρα τοῦ ὑπὸ ΒΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ λόγος ἐστὶν δοθεὶς ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ. κείσθω τῷ ὑπὸ ΒΑΗ ἴσον τὸ ὑπὸ ΖΑΓ· λοιποῦ ἄρα τοῦ ὑπὸ ΖΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, τουτέστιν τῆς ΖΑ πρὸς τὴν ΑΓ, ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΖΒ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Ζ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΑΔ γωνίᾳ. ἀλλὰ ἡ Ζ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΑΗΓ γωνίᾳ· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΓ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΓΑΔ γωνίᾳ. μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΔΘ τῆς ὑπὸ ΓΑΔ· καὶ τῆς ὑπὸ ΓΗΑ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΔΘ γωνία· ὥστε μεῖζόν ἐστιν τὸ ὑπὸ ΔΒΓ τοῦ ὑπὸ ΑΒΗ, τουτέστιν τοῦ Ε χωρίου. Εἰς τὸν τρίτον τόπον. δʹ. Ἐὰν ᾖ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ διαχθῇ τις ἡ ΑΔ δίχα τέμνουσα τὴν ΒΓ, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ τετράγωνα διπλάσιά ἐστιν τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ ΔΓ τετραγώνων. `7.858` Ἤχθω κάθετος ἡ ΑΕ. τὰ δὲ ἀπὸ τῶν ΒΕ ΕΓ τετράγωνα διπλάσιά ἐστιν τῶν ἀπὸ τῶν ΒΔ ΕΔ τετραγώνων· ἔστιν δὲ καὶ τὸ δὶς ἀπὸ ΑΕ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΔΕ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ ΑΔ, τὰ δὲ ἀπὸ τῶν ΒΕ ΕΓ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΑΕ ἴσα ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ· τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΑ ΑΓ διπλάσιά ἐστιν τῶν ἀπὸ ΒΔ ΔΑ τετραγώνων, τουτέστιν τῶν ἀπὸ ΓΔ ΔΑ τετραγώνων. `7.860` εʹ. Λόγου ὄντος τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, καὶ χωρίου τοῦ ὑπὸ τῶν ΓΑ ΑΔ, ἐὰν τῶν ΔΒ ΒΓ μέση ἀνάλογον ληφθῇ ἡ ΒΕ, δεῖξαι ὅτι τὸ ἀπὸ ΑΕ τοῦ ἀπὸ ΕΓ μεῖζόν ἐστιν τῷ ὑπὸ ΓΑ ΑΔ ἢ ἐν λόγῳ τῷ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ. Πεποιήσθω γὰρ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἄλλη τις ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΓ· διελόντι ἄρα ἐστὶν καὶ ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς τὴν ΓΕ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΖ πρὸς ὅλην τὴν ΒΕ ἐστὶν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ· ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ. ὡς δὲ ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΓ ἐκ τοῦ εἶναι μέσην ἀνάλογον· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΓΕ. χωρίον χωρίῳ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΖ ΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓ ΔΕ. τὸ δὲ ὑπὸ ΑΖ ΓΕ τοῦ ὑπὸ ΑΕΓ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ ΖΕΓ. ᾧ δὲ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΑΖ ΕΓ τοῦ ὑπὸ ΑΕΓ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ ὑπὸ ΑΓ ΔΕ τοῦ ὑπὸ ΑΕΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΓ ΔΕ τοῦ ὑπὸ ΑΕΓ μεῖζόν ἐστιν τῷ ὑπὸ ΖΕΓ. ᾧ δὲ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΑΓ ΔΕ τοῦ ὑπὸ ΑΕΓ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ ἀπὸ ΑΕ τοῦ ὑπὸ ΓΑΔ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΕ τετράγωνον τοῦ ὑπὸ ΓΑΔ μεῖζόν ἐστιν τῷ ὑπὸ ΖΕΓ. τὸ δὲ ὑπὸ ΖΕΓ λόγον ἔχει πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, ὥστε τὸ ἀπὸ ΑΕ τοῦ ἀπὸ ΕΓ μεῖζόν ἐστιν τῷ ὑπὸ ΓΑΔ ἢ ἐν λόγῳ τῷ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ. ϛʹ. Λόγος τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, χωρίον τὸ ὑπὸ ΓΑΔ. ἐὰν τῶν ΔΒ ΒΓ μέση ἀνάλογον ληφθῇ ἡ ΒΕ, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ μεῖζόν ἐστιν τῷ ὑπὸ ΓΑΔ ἢ ἐν λόγῳ τῷ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ. Πεποιήσθω γὰρ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἄλλη τις ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΓΕ. διελόντι ἄρα καὶ λοιπὴ πρὸς λοιπήν ἐστιν ὡς ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ. ἐναλλάξ ἐστιν ὡς ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ. ὡς δὲ ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΓ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΓΕ. χωρίον χωρίῳ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΖΑ ΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΕΔ ΑΓ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ ΑΕΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΓΑΔ· ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΕ ἴσον ἐστὶν ὅλῳ τῷ τε ὑπὸ ΖΕΓ καὶ ἔτι τῷ ὑπὸ ΓΑΔ· ὥστε τὸ ἀπὸ ΑΕ τοῦ ἀπὸ ΕΓ μεῖζον τῷ ὑπὸ ΓΑΔ ἢ ἐν λόγῳ τῷ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ· τὸ γὰρ ὑπὸ ΖΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ τοῦτον ἔχει τὸν λόγον. `7.862–7.864` ζʹ. Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ δύο σημεῖα τὰ Γ Δ· ὅτι, ἐὰν τὸ ἀπὸ ΑΔ καὶ τὸ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ συντεθῇ, γίνεται τό τε ἀπὸ ΑΓ καὶ τὸ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ καὶ ἔτι τὸ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ. Τῷ γὰρ τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ λόγῳ ὁ αὐτὸς γεγονέτω ὁ τῆς ΖΔ πρὸς τὴν ΔΒ· καὶ συνθέντι ἄρα καὶ τὰ λοιπὰ ἡ ΑΖ πρὸς λοιπὴν τὴν ΓΔ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΑΖ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ, ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ· ὥστε τὸ μὲν λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΖΔΒ, τὸ δὲ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΓΒ, τὸ δὲ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΖ ΔΓ. ὅτι οὖν τὸ ἀπὸ ΑΔ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΔΖ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΒΑΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΖ ΓΔ. καὶ κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ὑπὸ ΔΑΓ· ὅτι λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΑΔΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΖΔΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΓ ΔΒ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΖ ΓΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ὑπὸ ΑΖ ΓΔ· ὅτι ἄρα τὸ ὑπὸ ΖΔΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΖΔΒ, τουτέστιν ὅλον τὸ ὑπὸ ΖΔ ΓΒ, ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓ ΔΒ. ἔστιν δέ· ἀνάλογον γὰρ αἱ ΑΓ ΓΒ, ΖΔ ΔΒ εἰσὶν εὐθεῖαι. ηʹ. Θέσει καὶ μεγέθει εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ τυχὸν τὸ Γ· ὅτι ἐστὶν δοθὲν ἐπὶ τῆς ΑΒ, ὥστε τὸ ἀπὸ ΑΓ καὶ τὸ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ δοθέντα ἴσον ἐστὶν δοθέντι καὶ τῷ λόγον ἔχοντι πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τοῦ τε δοθέντος καὶ τοῦ Γ δοθέντα. Πεποιήσθω γὰρ ὡς ὁ δοθεὶς λόγος, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ δοθείς· ὥστε δοθέν ἐστιν τὸ Δ σημεῖον. ἐπεὶ δὲ εὐθεῖά ἐστιν ἡ ΑΒ, καὶ δύο σημεῖα τὰ Δ Γ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΓ καὶ τὸ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ ΑΔ καὶ τῷ λόγον ἔχοντι πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ καὶ ἔτι τῷ λόγον ἔχοντι πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ. καὶ τὸ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΒΔ τὸ ὑπὸ ΑΔΒ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΓ καὶ τὸ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ, τουτέστιν δοθέντα, ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΒΑΔ, τουτέστιν δοθέντι, καὶ τῷ λόγον ἔχοντι πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, τουτέστιν δοθέντα. Ὁμοίως καί, ἐὰν τὸ Γ ἐκτὸς ᾖ τῆς ΑΒ εὐθείας, τῇ αὐτῇ ἀκολουθίᾳ δείξομεν. `7.866` Πορισμάτων αʹ βʹ γʹ. Τοῦ πρώτου εἰς τὸ πρῶτον πόρισμα. αʹ. Ἔστω καταγραφὴ ἡ ΑΒΓΔΕΖΗ, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΚ· ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΘΚ τῇ ΑΓ.Ἤχθω διὰ τοῦ Ζ τῇ ΒΔ παράλληλος ἡ ΖΛ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν ὡς ἡ Δ Α πρὸς τὴν ΑΖ, τουτέστιν ἐν παραλλήλῳ ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΛ, οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΗ τῇ ΒΓ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΛ, οὕτως ἐν παραλλήλῳ ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ, καὶ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΑΓ. `7.868` Διὰ δὲ τοῦ συνημμένου οὕτως. ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, ἀνάπαλίν ἐστιν ὡς ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΑ. συνθέντι καὶ ἐναλλὰξ καὶ ἀναστρέψαντί ἐστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΗ. ἀλλʼ ὁ μὲν τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΔΖ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ καὶ τοῦ τῆς ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ· ὁ ἄρα συνημμένος λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ καὶ ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ καὶ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ. καὶ κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ λόγος· λοιπὸν ἄρα ὁ τῆς ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΑΓ. Εἰς τὸ δεύτερον πόρισμα. βʹ. Καταγραφὴ ἡ ΑΒΓΔΕΖΗΘ, ἔστω δὲ παράλληλος ἡ ΑΖ τῇ ΔΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΖ· ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Θ Κ Ζ. `7.870` Ἤχθω διὰ τοῦ Η παρὰ τὴν ΔΕ ἡ ΗΛ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΘΚ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΖ, ἐναλλάξ ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ. ὡς δὲ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΗ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΗΛ — διὰ τὸ εἶναι δύο παρὰ δύο, καὶ ἐναλλάξ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΗΛ. καὶ ἔστι παράλληλος ἡ ΕΘ τῇ ΗΛ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Θ Λ Ζ, τουτέστιν ἡ διὰ τῶν Θ Κ Ζ, ὅπερ· ⁓ `7.872` γʹ. Εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΑΒ ΓΑ ΔΑ διήχθωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΘΕ ΘΔ· ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ ΘΕ ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ ΖΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ ΔΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΔ ΒΓ. Ἤχθω διὰ μὲν τοῦ Θ τῇ ΖΓΑ παράλληλος ἡ ΚΛ, καὶ αἱ ΔΑ ΑΒ συμπιπτέτωσαν αὐτῇ κατὰ τὰ Κ Λ σημεῖα, διὰ δὲ τοῦ Λ τῇ ΔΑ παράλληλος ἡ ΛΜ καὶ συμπιπτέτω τῇ ΕΘ ἐπὶ τὸ Μ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς μὲν ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΛ, ὡς δὲ ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΜ — καὶ γὰρ ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΘΗ ἐν παραλλήλῳ —, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΜ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΘΕ ΗΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΖ ΘΜ. ἄλλο δέ τι τυχὸν τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖ ΘΗ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘ ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖ ΗΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΖ ΘΜ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ ΗΘ, τουτέστιν ἡ ΘΜ πρὸς ΘΗ, τουτέστιν ἡ ΛΘ πρὸς τὴν ΘΚ. κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὡς ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΛ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΔ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΒ ΓΔ· ἀνάπαλιν ἄρα γίνεται ὡς ἡ ΛΘ πρὸς τὴν ΘΚ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΔ ΒΓ. ὡς δὲ ἡ ΛΘ πρὸς τὴν ΘΚ, οὕτως ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΕΘ ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ ΗΘ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΕΘ ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ ΗΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΔ ΒΓ. Διὰ δὲ τοῦ συνημμένου οὕτως. ἐπεὶ τοῦ ὑπὸ ΘΕ ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ ΖΕ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΘ, καὶ ἔστιν ὡς μὲν ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΖΑ, ὡς δὲ ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΘ, οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΘΚ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΘΕ ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ ΕΖ συνῆπται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΖΑ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΘΚ. ὁ δὲ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΘΛ πρὸς τὴν ΖΑ καὶ τοῦ τῆς ΖΑ πρὸς τὴν ΘΚ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΘΕ ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ ΖΕ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ. διὰ ταὐτὰ καὶ ὡς τὸ ὑπὸ ΘΔ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΒ ΓΔ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΘΛ. καὶ ἀνάπαλίν ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΘΒ ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΔ ΒΓ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ. ἦν δὲ καὶ ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΘΕ ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ ΖΕ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΘΕ ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ ΖΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΔ ΒΓ. δʹ. Καταγραφὴ ἡ ΑΒΓΔΕΖΗΘΚΛ, ἔστω δὲ ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒ ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΖ ΔΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΔ ΕΖ· ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Θ Η Ζ σημείων. `7.874` Ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒ ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΖ ΔΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΔ ΕΖ, ἐναλλάξ ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΖ ΔΕ, τουτέστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΒ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΔ ΕΖ. ἀλλʼ ὁ μὲν τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΔΕ συνῆπται λόγος, ἐὰν διὰ τοῦ Κ τῇ ΑΖ παράλληλος ἀχθῇ ἡ ΚΜ, ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΓ πρὸς ΚΝ καὶ τῆς ΚΝ πρὸς ΚΜ καὶ ἔτι τοῦ τῆς ΚΜ πρὸς ΔΕ, ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ ΑΒ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΔ ΕΖ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΑ πρὸς ΑΔ καὶ τοῦ τῆς ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ. κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς ΒΑ πρὸς ΑΔ ὁ αὐτὸς ὢν τῷ τῆς ΝΚ πρὸς ΚΜ· λοιπὸν ἄρα ὁ τῆς ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΚΝ, τουτέστιν τοῦ τῆς ΘΓ πρὸς τὴν ΚΘ, καὶ τοῦ τῆς ΚΜ πρὸς τὴν ΔΕ, τουτέστιν τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς τὴν ΗΕ· εὐθεῖα ἄρα ἡ διὰ τῶν Θ Η Ζ. Ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ ΘΓ παράλληλον ἀγάγω τὴν ΕΞ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΘΗ ἐκβληθῇ ἐπὶ τὸ Ξ, ὁ μὲν τῆς ΚΗ πρὸς τὴν ΗΕ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΕΞ, ὁ δὲ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΘ πρὸς τὴν ΘΚ καὶ τοῦ τῆς ΘΚ πρὸς τὴν ΕΞ μεταβάλλεται εἰς τὸν τῆς ΘΓ πρὸς ΕΞ λόγον, καὶ ὁ τῆς ΓΖ πρὸς ΖΕ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΓΘ πρὸς τὴν ΕΞ· παραλλήλου οὔσης τῆς ΓΘ τῇ ΕΞ εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Θ Ξ Ζ — τοῦτο γὰρ φανερόν —, ὥστε καὶ ἡ διὰ τῶν Θ Η Ζ εὐθεῖά ἐστιν. εʹ. Ἐὰν ᾖ καταγραφὴ ἡ ΑΒΓΔΕΖΗΘ, γίνεται ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ. ἔστω οὖν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ· ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α Η Θ. `7.876` Ἤχθω διὰ τοῦ Η τῇ ΑΔ παράλληλος ἡ ΚΛ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΗ, ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΜ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΗ, οὕτως ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΜ, καὶ λοιπὴ ἡ ΗΛ πρὸς λοιπὴν τὴν ΛΜ ἐστὶν ὡς ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΗ, τουτέστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ. ἐναλλάξ ἐστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΗΛ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΛΜ, τουτέστιν ἡ ΔΘ πρὸς ΘΛ. καὶ ἔστι παράλληλος ἡ ΗΛ τῇ ΑΔ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Α Η Θ σημείων· τοῦτο γὰρ φανερόν. ϛʹ. Πάλιν ἐὰν ᾖ καταγραφή, καὶ παράλληλος ἡ ΔΖ τῇ ΒΓ, γίνεται ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ. ἔστω οὖν ἴση· ὅτι παράλληλος. Ἔστιν δέ· ἐὰν γὰρ ἐπὶ τῆς ΕΒ θῶ τῇ ΗΒ ἴσην τὴν ΒΘ, καὶ ἐπιζεύξω τὰς ΑΘ ΘΓ, γίνεται παραλληλόγραμμον τὸ ΑΘΓΗ, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ — ἑκατέρων γὰρ τῶν εἰρημένων ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΘΗ πρὸς τὴν ΗΕ λόγος —, ὥστε παράλληλός ἐστιν ἡ ΔΖ τῇ ΑΓ. ζʹ. Ἔστω καταγραφή, καὶ τῶν ΔΒ ΒΓ μέση ἀνάλογον ἔστω ἡ ΒΑ· ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΖΗ τῇ ΑΓ. `7.878` Ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΒ, καὶ διὰ τοῦ Α τῇ ΔΖ εὐθείᾳ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΚ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΚ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΚΒ πρὸς τὴν ΒΘ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΚΒ πρὸς τὴν ΒΘ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ τῇ ΚΓ. ἔστιν οὖν πάλιν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΕ — ἑκατέρων γὰρ τῶν εἰρημένων λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΘΕ —, ὥστε παράλληλός ἐστιν ἡ ΖΗ τῇ ΑΓ. ηʹ. Ἔστω βωμίσκος ὁ ΑΒΓΔΕΖΗ, καὶ ἔστω παράλληλος ἡ μὲν ΔΕ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΕΗ τῇ ΒΖ· ὅτι καὶ ἡ ΔΖ τῇ ΓΗ παράλληλός ἐστιν. Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ ΔΓ ΖΗ· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ΔΒΕ τρίγωνον τῷ ΔΓΕ τριγώνῳ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΔΑΕ τρίγωνον· ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΕ τρίγωνον ὅλῳ τῷ ΓΔΑ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν. πάλιν ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΖ τῇ ΕΗ, ἴσον ἐστὶν τὸ ΒΖΕ τρίγωνον τῷ ΒΖΗ τριγώνῳ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΑΒΖ τρίγωνον· λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒΕ τρίγωνον λοιπῷ τῷ ΑΗΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν. ἀλλὰ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΓΔ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον· καὶ τὸ ΑΓΔ ἄρα τρίγωνον τῷ ΑΖΗ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΑΓΗ τρίγωνον· ὅλον ἄρα τὸ ΓΔΗ τρίγωνον ὅλῳ τῷ ΓΖΗ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν. καὶ ἔστιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΓΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΗ τῇ ΔΖ. θʹ. Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἐν αὐτῷ διήχθωσαν αἱ ΑΔ ΑΕ, καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΗ, καὶ κεκλάσθω ἡ ΖΘΗ, ἔστω δὲ ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΓ, οὕτως ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΘΕ· ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΚΛ τῇ ΒΓ. `7.880` Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΓ, οὕτως ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΘΕ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς λοιπὴν τὴν ΓΕ ἐστὶν ὡς ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΘΕ. ὡς δὲ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΖΜ πρὸς ΝΗ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΜ πρὸς ΝΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΘΕ. ἐναλλάξ ἐστιν ὡς ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ΔΘ, οὕτως ἡ ΝΗ πρὸς τὴν ΘΕ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ΔΘ, οὕτως ἐστὶν ἐν παραλλήλῳ ἡ ΖΚ πρὸς τὴν ΚΘ, ὡς δὲ ἡ ΗΝ πρὸς τὴν ΘΕ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΗΛ πρὸς τὴν ΛΘ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΚ πρὸς τὴν ΚΘ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΗΛ πρὸς τὴν ΛΘ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΛ τῇ ΗΖ, ὥστε καὶ τῇ ΓΒ. ιʹ. Εἰς δύο εὐθείας τὰς ΒΑΕ ΔΑΗ ἀπὸ τοῦ Θ σημείου δύο διήχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΔΘ ΘΕ, ἔστω δὲ ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΔΘ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΓ ΒΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΗ ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕ ΖΗ· ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Γ Α Ζ. `7.882` Ἤχθω διὰ τοῦ Θ τῇ ΓΑ παράλληλος ἡ ΚΛ καὶ συμπιπτέτω ταῖς ΑΒ ΑΔ κατὰ τὰ Κ Λ σημεῖα, καὶ διὰ τοῦ Λ τῇ ΑΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΜ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΘ ἐπὶ τὸ Μ, διὰ δὲ τοῦ Κ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΝ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΘ ἐπὶ τὸ Ν. ἐπεὶ οὖν διὰ τὰς παραλλήλους γίνεται ὡς ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΘΝ, οὕτως ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΔΘ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΔΓ ΘΝ. ἄλλο δέ τι τυχὸν τὸ ὑπὸ ΔΓ ΒΘ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΔΘ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΓ ΒΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΔ ΘΝ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΓ ΒΘ, τουτέστιν ἡ ΘΝ πρὸς ΘΒ. ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ὑπὸ ΘΔ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΓ ΒΘ, ὑπόκειται τὸ ὑπὸ ΘΗ ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕ ΖΗ, ὡς δὲ ἡ ΘΝ πρὸς ΘΒ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς ΘΛ, τουτέστιν ἐν παραλλήλῳ ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΘΜ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΘΗ ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΜ ΖΕ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΘΗ ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕ ΖΗ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΘΗ ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΜ ΖΕ· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΘΕ ΖΗ τῷ ὑπὸ ΘΜ ΖΕ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΜ πρὸς τὴν ΘΕ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΕ. συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν ὡς ἡ ΜΕ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΜΕ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΛΕ πρὸς τὴν ΕΑ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΛΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΚΛ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΓΑ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑΖ, ὅπερ· ⁓ Τὰ δὲ πτωτικὰ αὐτοῦ ὁμοίως τοῖς προγεγραμμένοις, ὧν ἐστιν ἀναστρόφιον. `7.884` ιαʹ. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ΑΔ, καὶ διαχθεῖσα ἡ ΔΕ τῇ ΒΓ συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ε σημεῖον· ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ ΔΕ ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ ΗΔ, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ. Ἤχθω διὰ τοῦ Γ τῇ ΔΕ παράλληλος ἡ ΓΘ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΒ ἐπὶ τὸ Θ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἡ ΓΘ πρὸς τὴν ΖΗ, ὡς δὲ ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΗ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΘΓ πρὸς τὴν ΖΗ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΘ ΔΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΔ ΖΗ. ἄλλο δέ τι τυχὸν τὸ ὑπὸ ΕΖ ΗΔ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΔΕ ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΗ ΕΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΘ ΔΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΗ ΕΖ, τουτέστιν ἡ ΓΘ πρὸς ΕΖ, τουτέστιν ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ. ἔστιν οὖν ὡς τὸ ὑπὸ ΔΕ ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ ΗΔ, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ. τὰ δʼ αὐτὰ κἂν ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη ἀχθῇ ἡ ΑΔ παράλληλος, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἐκτὸς τοῦ Γ ἀχθῇ ἡ ΔΕ. ιβʹ. Ἀποδεδειγμένων νῦν τούτων ἔσται δεῖξαι ὅτι, ἐὰν παράλληλοι ὦσιν αἱ ΑΒ ΓΔ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπίπτωσιν εὐθεῖαί τινες αἱ ΑΔ ΑΖ ΒΓ ΒΖ, καὶ ἐπιζευχθῶσιν αἱ ΕΔ ΕΓ, γίνεται εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν Η Μ Κ. Ἐπεὶ γὰρ τρίγωνον τὸ ΔΑΖ, καὶ τῇ ΔΖ παράλληλος ἡ ΑΕ, καὶ διῆκται ἡ ΕΓ συμπίπτουσα τῇ ΔΖ κατὰ τὸ Γ, διὰ τὸ προγεγραμμένον γίνεται ὡς ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΖΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΕ ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ ΘΕ. πάλιν ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστιν τὸ ΓΒΖ, καὶ τῇ ΓΔ παράλληλος ἦκται ἡ ΒΕ, καὶ διῆκται ἡ ΔΕ συμπίπτουσα τῇ ΓΖΔ κατὰ τὸ Δ, γίνεται ὡς ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΕ ΛΚ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΚ ΛΕ· ἀνάπαλιν ἄρα γίνεται ὡς ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΖΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΚ ΛΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ ΛΚ. ἦν δὲ καὶ ὡς ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΖΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΕ ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ ΘΕ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ ΘΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΔΚ ΛΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ ΚΛ. ἐπεὶ οὖν εἰς δύο εὐθείας τὰς ΓΜΛ ΔΜΘ δύο εὐθεῖαι διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΓ ΕΔ, καὶ ἔστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΓΕ ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ ΘΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΚ ΕΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ ΛΚ, εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Η Μ Κ· τοῦτο γὰρ προδέδεικται. `7.886` ιγʹ. Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστωσαν αἱ ΑΒ ΓΔ παράλληλοι, ἀλλὰ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Ν· ὅτι πάλιν εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Η Μ Κ. Ἐπεὶ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΑΝ ΑΖ ΑΔ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Γ δύο διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΓΕ ΓΔ, γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΓΕ ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ ΘΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΓΝ ΖΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΝΔ ΓΖ. πάλιν ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Δ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΒΝ ΒΓ ΒΖ δύο εἰσὶν διηγμέναι αἱ ΔΕ ΔΝ, ἔστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΝΓ ΖΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΔ ΖΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΚ ΕΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ ΚΛ. ἀλλʼ ὡς τὸ ὑπὸ ΝΓ ΖΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΔ ΓΖ, οὕτως ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΓΕ ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ ΘΕ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ ΘΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ ΘΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΔΚ ΕΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ ΚΛ. διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Η Μ Κ. ιδʹ. Ἔστω παράλληλος ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ διήχθωσαν αἱ ΑΕ ΓΒ, καὶ σημεῖον ἐπὶ τῆς ΒΗ τὸ Ζ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΔΕ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΒ ΓΗ· ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α Ζ Δ. `7.888` Ἤχθω διὰ μὲν τοῦ Δ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ΔΘ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΕ ἐπὶ τὸ Θ, διὰ δὲ τοῦ Θ τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΘΚ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Κ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΒ ΓΗ, ὡς δὲ ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως ἐστὶν ἥ τε ΔΘ πρὸς τὴν ΓΗ καὶ τὸ ὑπὸ ΔΘ ΒΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΗ ΒΖ, ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ ΖΗ τῷ ὑπὸ ΔΘ ΒΖ· ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΖ, οὕτως ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΗΖ, τουτέστιν ὡς ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΗΖ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΚΒ πρὸς ὅλην τὴν ΒΗ ἐστὶν ὡς ἡ ΚΓ πρὸς ΖΗ, τουτέστιν ὡς ἡ ΔΘ πρὸς ΖΗ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΚΒ πρὸς ΒΗ ἐν παραλλήλῳ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΘΑ πρὸς ΑΗ καὶ ἡ ΔΘ πρὸς ΖΗ. καὶ εἰσὶν παράλληλοι αἱ ΔΘ ΖΗ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Α Ζ Δ σημείων. ιεʹ. Τούτου προτεθεωρημένου ἔστω παράλληλος ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπιπτέτωσαν εὐθεῖαι αἱ ΑΖ ΖΒ ΓΕ ΕΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ ΗΚ· ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α Μ Δ. `7.890` Ἐπεζεύχθω ἡ ΔΜ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Θ. ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΒΓΖ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ Β σημείου τῇ ΓΔ παράλληλος ἦκται ἡ ΒΕ, καὶ διῆκται ἡ ΔΕ, γίνεται ὡς ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΕ ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΛ ΚΔ. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΔΕ ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΚ ΛΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΗ ΘΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕ ΗΘ — εἰς τρεῖς γὰρ εὐθείας τὰς ΓΛ ΔΘ ΗΚ δύο εἰσὶν διηγμέναι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Ε αἱ ΕΓ ΕΔ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΔΖ πρὸς ΖΓ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΕ ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ ΘΕ. καὶ ἔστιν εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν Θ Μ Δ· διὰ τὸ προγεγραμμένον ἄρα καὶ ἡ διὰ τῶν Α Μ Δ ἐστὶν εὐθεῖα. ιϛʹ. Εἰς δύο εὐθείας τὰς ΑΒ ΑΓ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Δ δύο διήχθωσαν αἱ ΔΒ ΔΕ, καὶ ἐπʼ αὐτῶν εἰλήφθω σημεῖα τὰ Η Θ, ἔστω δὲ ὡς τὸ ὑπὸ ΕΗ ΖΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ ΗΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΘ ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔ ΓΘ· ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α Η Θ. `7.892` Ἤχθω διὰ τοῦ Η τῇ ΒΔ παράλληλος ἡ ΚΛ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΕΗ ΖΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ ΖΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΘ ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔ ΓΘ, ἀλλὰ ὁ τοῦ ὑπὸ ΕΗ ΖΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ ΗΖ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΗΕ πρὸς ΕΔ, τουτέστιν ἡ ΚΗ πρὸς ΒΔ, καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΔΖ πρὸς ΖΗ, τουτέστιν ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΗΛ, ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ ΒΘ ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔ ΓΘ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΘΒ πρὸς ΒΔ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΔΓ πρὸς ΓΘ, καὶ ὁ ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ ἄρα πρὸς ΒΔ καὶ τοῦ τῆς ΔΓ πρὸς ΗΛ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς ΒΔ καὶ τοῦ τῆς ΔΓ πρὸς ΓΘ. ὁ δὲ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΔ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς ΒΔ· ὁ ἄρα συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς ΒΔ καὶ ἔτι τοῦ τῆς ΔΓ πρὸς ΗΛ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς ΒΔ καὶ τοῦ τῆς ΔΓ πρὸς ΓΘ. κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς ΒΘ πρὸς ΒΔ λόγος· λοιπὸς ἄρα ὁ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ΔΓ πρὸς ΗΛ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΔΓ πρὸς τὴν ΓΘ, τουτέστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΔΓ πρὸς τὴν ΗΛ καὶ τοῦ τῆς ΗΛ πρὸς τὴν ΘΓ. καὶ πάλιν κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς ΔΓ πρὸς τὴν ΗΛ λόγος· λοιπὸς ἄρα ὁ τῆς ΚΗ πρὸς τὴν ΒΘ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΗΛ πρὸς τὴν ΘΓ. καὶ ἐναλλάξ ἐστιν ὡς ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΛ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΓ, καὶ εἰσὶν αἱ ΚΛ ΒΓ παράλληλοι· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Α Η Θ σημείων. ιζʹ. Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω παράλληλος ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, ἀλλὰ συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ν. Ἐπεὶ οὖν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Δ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΒΝ ΒΓ ΒΖ δύο εὐθεῖαι διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΔΕ ΔΝ, ἔστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΝΔ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΓ ΔΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΕ ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΛ ΚΔ. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΕΔ ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΛ ΚΔ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΕΘ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓ ΘΗ — πάλιν γὰρ εἰς τρεῖς τὰς ΓΛ ΔΘ ΗΚ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Ε δύο ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΓ ΕΔ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΕΘ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓ ΘΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΝΔ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΓ ΖΔ· διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α Θ Δ· καὶ ἡ διὰ τῶν Α Μ Δ ἄρα εὐθεῖά ἐστιν. ιηʹ. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΔ, καὶ διήχθωσαν αἱ ΔΕ ΖΗ, ἔστω δὲ ὡς τὸ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓΒ, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΓ· ὅτι, ἐὰν ἐπιζευχθῇ ἡ ΒΔ, γίνεται εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν Θ Κ Γ. `7.894` Ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓΒ, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ, κοινὸς προσκείσθω ὁ τῆς ΓΕ πρὸς ΕΒ λόγος ὁ αὐτὸς ὢν τῷ τοῦ ὑπὸ ΕΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΓ· διʼ ἴσου ἄρα ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΓ λόγος, τουτέστιν ὁ τῆς ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ, ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΗ πρὸς ΗΓ καὶ τοῦ τοῦ ὑπὸ ΕΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΓ, ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΕΓ πρὸς ΕΒ· ὥστε ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΓ συνῆπται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΕΓ πρὸς ΕΒ, ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ τοῦ ὑπὸ ΕΓ ΒΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒ ΓΗ. ὡς δὲ ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἐστὶν διὰ τὸ προγεγραμμένον λῆμμα τὸ ὑπὸ ΔΖ ΘΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ ΖΘ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ ΒΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ ΕΒ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΔΖ ΘΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ ΖΘ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Θ Κ Γ· τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς πτωτικοῖς τῶν ἀναστροφίων. ιθʹ. Εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΑΒ ΑΓ ΑΔ ἀπό τινος σημείου τοῦ Ε δύο διήχθωσαν αἱ ΕΖ ΕΒ, ἔστω δὲ ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΘΗ· ὅτι γίνεται καὶ ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ. Ἤχθω διὰ τοῦ Η τῇ ΒΕ παράλληλος ἡ ΛΚ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ, ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΗΚ, ὡς δὲ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΗΛ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΗΚ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΗΛ. ἐναλλάξ ἐστιν ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΛ. ὡς δὲ ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΔ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΔ. ἐναλλάξ ἐστιν ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΓ. Τὰ δὲ πτωτικὰ ὁμοίως. κʹ. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς Α Δ γωνίας· ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΔΖ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον. `7.896` Ἤχθωσαν κάθετοι αἱ ΒΗ ΕΘ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Α γωνία τῇ Δ, ἡ δὲ Η τῇ Θ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒπρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΘ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΗ ΑΓ, ὡς δὲ ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΘ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΕΔΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΘ ΔΖ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΗ ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΔΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΘ ΔΖ. καὶ ἐναλλάξ. ἀλλʼ ὡς τὸ ὑπὸ ΒΗ ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΘ ΔΖ, οὕτως ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον — ἑκατέρα γὰρ τῶν ΒΗ ΕΘ κάθετός ἐστιν ἑκατέρου τῶν εἰρημένων τριγώνων· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΔΖ, οὕτως ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον. καʹ. Ἔστωσαν δὴ αἱ Α Δ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· ὅτι πάλιν γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΔΖ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον. Ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΑ, καὶ κείσθω τῇ ΒΑ ἴση ἡ ΑΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΗ. ἐπεὶ οὖν αἱ Α Δ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ἀλλὰ καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ ΓΑΗ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΑΗ γωνία τῇ Δ. ἔστιν οὖν ὡς τὸ ὑπὸ ΗΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΔΖ, οὕτως τὸ ΑΗΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον. ἴση δέ ἐστιν ἡ μὲν ΗΑ τῇ ΑΒ, τὸ δὲ ΗΑΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΔΖ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον. κβʹ. Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἐπʼ αὐτῆς δύο σημεῖα τὰ Γ Δ, ἔστω δὲ τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒ ΓΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΒ· ὅτι καὶ τὸ ἀπὸ ΑΔ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΓ ΔΒ τετραγώνοις. `7.898` Ἐπεὶ γὰρ τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒ ΓΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΓΒ, κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ δὶς ὑπὸ ΒΔΓ· λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ ΑΔΓ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΔ ΔΒ τετραγώνοις. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΓΔ τετράγωνον· λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ ΑΓΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΔΒ τετραγώνῳ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΑΓ τετράγωνον· ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΔ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΓ ΔΒ τετραγώνοις. κγʹ. Ἔστω τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ ΒΔ τετραγώνῳ· ὅτι γίνεται τρία, τὸ μὲν ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΔΓ καὶ τῆς ΒΔ ἴσον τῷ ὑπὸ ΑΔ ΔΓ, τὸ δὲ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΔΓ καὶ τῆς ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΓ τετραγώνῳ, τὸ δὲ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΔΓ καὶ τῆς ΒΑ ἴσον τῷ ἀπὸ ΑΔ τετραγώνῳ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΒΔ, ἀνάλογον καὶ ὅλη πρὸς ὅλην καὶ ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι ἐστὶν ἄρα ὡς συναμφότερος ἡ ΓΔ ΔΑ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΔ ΔΓ καὶ τῆς ΒΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ. πάλιν ἐπεὶ ὅλη ἡ ΑΔ πρὸς ὅλην τὴν ΔΓ ἐστὶν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ, συνθέντι ἐστὶν ὡς συναμφότερος ἡ ΑΔΓ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΔΓ καὶ τῆς ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΔΓ. πάλιν ἐπεὶ ὅλη ἡ ΑΔ πρὸς ὅλην τὴν ΔΓ ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι ἐστὶν ὡς συναμφότερος ἡ ΓΔΑ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΒ, τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΔΓ καὶ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΑΔ τετραγώνῳ. `7.900` κδʹ. Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ δύο σημεῖα τὰ Γ Δ, καὶ ἔστω τὸ ἀπὸ ΓΔ τετράγωνον ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ ΑΓ ΔΒ· ὅτι καὶ τὸ ἀπὸ ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ ΓΒ τετραγώνοις. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ ΓΔ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΓ ΔΒ, τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ ΑΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ τῆς ΓΔ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓΔ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΑΓ· τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ ΑΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΑΔ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΒΓ· ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΔ ΓΒ τετραγώνοις. κεʹ. Ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ· ὅτι γίνεται τρία, τὸ μὲν ὑπὸ τῆς τῶν ΑΔ ΔΓ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΔ ἴσον τῷ ὑπὸ ΑΔΓ, τὸ δὲ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΔ ΔΓ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΔΓ τετραγώνῳ, τὸ δὲ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΔ ΔΓ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΑ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ τετραγώνῳ. `7.902` Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΒΓ, λοιπὴ πρὸς λοιπὴν καὶ διελόντι ἐστὶν ἄρα ὡς ἡ τῶν ΑΔ ΔΓ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν ΑΔ ΔΓ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΔΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ ΔΓ. πάλιν ἐπεὶ λοιπὴ ἡ ΑΔ πρὸς λοιπὴν τὴν ΔΓ ἐστὶν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ, διελόντι ἐστὶν ὡς ἡ τῶν ΑΔ ΔΓ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν ΑΔ ΔΓ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΓ τετραγώνῳ. πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, ἀνάπαλιν καὶ διελόντι ἐστὶν ὡς ἡ τῶν ΑΔ ΔΓ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ΔΑ, οὕτως ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν ΑΔ ΔΓ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ τετραγώνῳ. κϛʹ. Ἔστω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ· ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετραγώνῳ. Κείσθω τῇ ΓΔ ἴση ἡ ΔΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΑΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΔ, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ ΓΔΕ, ἴσον τῷ ἀπὸ ΑΔ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ, διελόντι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΑ ΒΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΔΕ· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕ ΒΓ τῷ ὑπὸ ΓΔΕ. ἀνάλογον καὶ διελόντι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΕ, τουτέστιν πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς λοιπὴν τὴν ΒΔ ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΒΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετραγώνῳ. κζʹ. Ἔστω δὲ πάλιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ τετράγωνον· ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετραγώνῳ. Κείσθω γὰρ ὁμοίως τῇ ΓΔ ἴση ἡ ΔΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΑΕ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΔ, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ ΕΔΓ, ἴσον τῷ ἀπὸ ΑΔ. καὶ γίνεται κατὰ διαίρεσιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΑ ΓΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΔΓ· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕ ΓΒ τῷ ὑπὸ ΕΔΓ. ἀνάλογον καὶ συνθέντι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΕ, τουτέστιν πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ὅλην τὴν ΒΔ ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΒΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετραγώνῳ. `7.904` κηʹ. Κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτέσθωσαν αἱ ΑΔ ΔΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ, καὶ διήχθω τυχοῦσα ἡ ΔΒ· ὅτι γίνεται ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΕ. Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΖΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΔΑ. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΑΖΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΖΕ, τὸ δὲ ἀπὸ ΔΑ ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΔΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΖΕ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΔΕ. ἐὰν δὲ ᾖ τοῦτο, γίνεται ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΕ. κθʹ. Τμήματος δοθέντος τοῦ ἐπὶ τῆς ΑΒ, κλάσαι εὐθεῖαν τὴν ΑΓΒ ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι. Γεγονέτω, καὶ διήχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐφαπτομένη ἡ ΓΔ· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ. λόγος δὲ τοῦ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ δοθείς, ὥστε καὶ ὁ τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΒΔ δοθείς. καὶ ἔστιν δοθέντα τὰ Α Β· δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ Δ, ὥστε καὶ τὸ Γ δοθέν. `7.906` Συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως. ἔστω τὸ μὲν τμῆμα τὸ ΑΒΓ, ὁ δὲ λόγος ὁ τῆς Ε πρὸς τὴν Ζ, καὶ πεποιήσθω ὡς τὸ ἀπὸ Ε πρὸς τὸ ἀπὸ Ζ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ, καὶ ἤχθω ἐφαπτομένη ἡ ΔΓ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ ΓΒ· λέγω ὅτι αἱ ΑΓ ΓΒ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ Ε πρὸς τὸ ἀπὸ Ζ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ — διὰ τὸ ἐφάπτεσθαι τὴν ΓΔ —, καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ Ε πρὸς τὸ ἀπὸ Ζ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ· ὥστε καὶ ὡς ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ· ἡ ΑΓΒ ἄρα ποιεῖ τὸ πρόβλημα. λʹ. Κύκλος οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ ἀπὸ τυχόντος ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἡ ΔΕ, διήχθω ἡ ΔΖ, ἐπεζεύχθω ἡ ΕΖ καὶ ἐκβεβλήσθω, καὶ καθʼ ὃ συμπίπτει τῇ διαμέτρῳ ἔστω τὸ Η· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΒ. Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΑ ΑΕ ΑΖ. ἐπεὶ οὖν ἐπὶ διαμέτρου κάθετος ἡ ΔΕ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΑΒ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ. ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΔΑΒ τῇ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΘΖΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση ἐστὶν τῇ ἐκτὸς τετραπλεύρου τῇ ὑπὸ ΒΖΗ· καὶ τῇ ὑπὸ ΘΖΒ ἄρα γωνίᾳ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΖΗ· καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΖΒ γωνία· διὰ δὴ τὸ λῆμμα γίνεται ὡς ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΒ. `7.908` λαʹ. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ, καὶ ἀπὸ τῶν Α Β σημείων τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαι γραμμαὶ ἤχθωσαν αἱ ΒΔ ΑΕ, καὶ ἤχθω τυχοῦσα ἡ ΔΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ τῇ ΔΕ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΖΗ συμπιπτέτω τῇ ΑΒ κατὰ τὸ Η· ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ ΒΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗΒ. Ὅτι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΔ. περὶ ἴσας γωνίας ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί. ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΗΕ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΒΔΗ γωνίᾳ. ἀλλὰ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΗΕ ἴση ἐστὶν ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι τῇ ὑπὸ ΑΖΕ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΔΗ πάλιν ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι τῇ ὑπὸ ΒΖΗ· ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΖΗ γωνίᾳ. ἔστιν δέ· ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΖΒ ΕΖΗ γωνιῶν. λβʹ. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ τῇ ΑΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΒ ἐπὶ τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ διήχθω ἡ ΔΕ ποιοῦσα ἴσον τὸ ΒΔΕ τρίγωνον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ· ὅτι, ἐὰν δίχα τμηθῇ μία τῶν ἴσων πλευρῶν ἡ πρὸς τῷ ἴσῳ τριγώνῳ τῇ ΒΖ, γίνεται ὡς συναμφότερος ἡ ΖΒ ΒΗ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΖ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ τετράγωνον. `7.910` Ἤχθω διὰ τοῦ Β τῇ ΔΕ παράλληλος ἡ ΒΚ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΓ ἐπὶ τὸ Κ. ὅτι ἄρα ἐστὶν ὡς συναμφότερος ἡ ΖΚ ΚΘ πρὸς τὴν ΖΘ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΖΚ ΚΘ καὶ τῆς ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΖ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ τετράγωνον· τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΖΚ ΚΘ καὶ τῆς ΖΘ, τουτέστιν ἡ τῶν ἀπὸ ΖΚ ΚΘ ὑπεροχή, ἴση ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΑΖ· ἡ ἄρα τῶν ἀπὸ ΚΖ ΖΑ ὑπεροχή ἐστιν τὸ ἀπὸ ΚΘ. ἀλλὰ ἡ τῶν ἀπὸ ΚΖ ΖΑ ὑπεροχή ἐστιν τὸ ὑπὸ ΓΚΑ· ὅτι ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΚΑ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΘΚ· ὅτι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΘ, τουτέστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΚΑ, τουτέστιν ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΑ. ἔστιν δέ· παράλληλος γάρ ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΔΓ, ἐπειδὴ τὸ ΔΒΕ τρίγωνον ἴσον ἐστὶν τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ, κοινοῦ δʼ ἀφαιρουμένου τοῦ ΑΒΕ λοιπὸν τὸ ΔΑΕ λοιπῷ τῷ ΑΓΕ ἐστὶν ἴσον, καὶ ἔστιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως. λγʹ. Κύκλος περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΒ, καὶ ἔστω ἐπὶ τυχοῦσαν τὴν ΔΕ κάθετος, καὶ τῷ ὑπὸ ΑΖΒ ἴσον κείσθω τὸ ἀπὸ ΖΗ τετράγωνον· ὅτι, οἷον ἐὰν ληφθῇ σημεῖον ὡς τὸ Ε, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευχθεῖσαἐκβληθῇ ἐπὶ τὸ Θ, γίνεται καὶ τὸ ὑπὸ ΘΕΚ ἴσον τῷ ἀπὸ ΕΗ τετραγώνῳ. `7.912` Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ ΒΛ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ Λ γωνία. ἔστιν δὲ καὶ ἡ Ζ ὀρθή· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕΛ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΖΒ καὶ τῷ ἀπὸ ΖΕ τετραγώνῳ. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΑΕΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΘΕΚ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΖΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΖΗ τετραγώνῳ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΘΕΚ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΖ ΖΗ τετραγώνοις, τουτέστιν τῷ ἀπὸ ΕΗ τετραγώνῳ. λδʹ. Ἔστω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον· ὅτι γίνεται τρία, τὸ μὲν ὑπὸ ΒΕΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΕΓ τετραγώνῳ, τὸ δὲ ὑπὸ ΒΔΕ τῷ ὑπὸ ΑΔΓ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒΓ τῷ ὑπὸ ΕΒΔ. Ἐπεὶ γὰρ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, συνθέντι καὶ τὰ ἡμίση τῶν ἡγουμένων καὶ ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΕΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΓ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΔΕ τετράγωνον· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΔΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΔΓ. πάλιν τὸ ὑπὸ ΒΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΓ τετραγώνῳ. ἀμφότερα ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ τετραγώνου· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΒΔ. Ἀλλὰ ἔστω νῦν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΓΑ κατὰ τὸ Ε· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΔΕ τετράγωνον· ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΕΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΕ τετραγώνῳ. ἀνάλογον καὶ ἀναστρέψαντι καὶ δὶς τὰ ἡγούμενα καὶ διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ. `7.914` λεʹ. Τούτων ὄντων ἔστω κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΒ, ἔστω δὲ ἐπὶ τυχοῦσαν τὴν ΔΕ κάθετος, καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ· ὅτι πάλιν, οἷον ἐὰν ἐπὶ τῆς ΕΔ σημεῖον ληφθῇ ὡς τὸ Ε, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΗ ἐκβληθῇ ἐπὶ τὸ Θ, γίνεται ὡς ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΚ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΚ. Εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Λ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΕΘ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΜ τῇ ΜΘ. ἐπεὶ δὲ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν Μ Ζ γωνιῶν, ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὰ Ε Ζ Λ Μ σημεῖα· τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΗΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΗΜ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΗΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗΒ — διὰ τὸ εἶναι ὡς τὴν ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως τὴν ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, καὶ τέτμηται ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Λ· καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΕΗΜ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗΒ, τουτέστιν — ἐν κύκλῳ γάρ — τῷ ὑπὸ τῶν ΘΗΚ. καὶ τέτμηται δίχα ἡ ΘΚ κατὰ τὸ Μ· διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον γίνεται ὡς ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΚ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΚ. `7.916` λϛʹ. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ, καὶ παράλληλος τῇ ΑΒ ἡ ΓΔ, καὶ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΓΕ ΔΗ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΗΒ. Εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΖ ΖΔ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ τῇ ΖΔ, ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ τετραγώνῳ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ ΓΖ τετραγώνῳ ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ τῶν ΓΕ ΕΖ τετράγωνα, τῷ δὲ ἀπὸ ΔΖ τετραγώνῳ ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ τῶν ΔΗ ΗΖ τετράγωνα· καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΕ ΕΖ ἄρα τετράγωνα ἴσα ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΗ ΗΔ τετραγώνοις. ὧν τὸ ἀπὸ ΓΕ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΗ τετραγώνῳ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον λοιπῷ τῷ ἀπὸ ΖΗ τετραγώνῳ ἐστὶν ἴσον· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ. ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ ΑΖ ὅλῃ τῇ ΖΒ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΕ λοιπῇ τῇ ΗΒ ἐστὶν ἴση, ὅπερ· ⁓ λζʹ. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ, καὶ ἀπὸ τυχόντος τοῦ Γ διήχθω ἡ ΓΔ, καὶ κάθετος ἤχθω ἡ ΔΕ· ὅτι τὸ ἀπὸ ΑΓ τοῦ ἀπὸ ΓΔ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΓ ΓΒ καὶ τῆς ΑΕ. Ὅτι ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ ΔΓ, τουτέστιν τοῖς ἀπὸ ΔΕ ΕΓ, καὶ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΓ ΓΒ καὶ τῆς ΑΕ· ὅτι ἄρα κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ὑπὸ ΓΑΕ λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΑΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ ΔΕ, τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΑΕΒ, καὶ τῷ ἀπὸ ΓΕ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΕ ΓΒ. κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ἀπὸ ΓΕ ὅτι λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΑΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΕΒ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΕ ΒΓ. ἔστιν δέ. Εἰς τὸ πόρισμα τοῦ αʹ βιβλίου. ληʹ. Θέσει ὄντος παραλληλογράμμου τοῦ ΑΔ, ἀπὸ δοθέντος τοῦ Ε διαγαγεῖν τὴν ΕΖ καὶ ποιεῖν ἴσον τὸ ΖΓΗ τρίγωνον τῷ ΑΔ παραλληλογράμμῳ. `7.918` Γεγονέτω. ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶν τὸ ΖΓΗ τρίγωνον τῷ ΑΔ παραλληλογράμμῳ, τὸ δὲ ΑΔ παραλληλόγραμμον διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ΑΓΔ τριγώνου, καὶ τὸ ΖΓΗ ἄρα τρίγωνον διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ΑΓΔ τριγώνου. ὡς δὲ τὸ τρίγωνον πρὸς τὸ τρίγωνον, διὰ τὸ εἶναι περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν Γ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΖΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓΔ. δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ ΑΓΔ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΖΓΗ. καὶ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Ε εἰς θέσει τὰς ΑΓ ΓΔ διῆκται ἡ ΕΖ εἰς χωρίου ἀποτομήν· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ. Συντεθήσεται δὲ οὕτως· ἔστω τὸ μὲν τῇ θέσει παραλληλόγραμμον τὸ ΑΔ, τὸ δὲ δοθὲν τὸ Ε. διήχθω ἀπὸ τοῦ Ε εἰς θέσει τὰς ΖΓ ΓΔ εὐθεῖα ἡ ΕΖ ἀποτέμνουσα χωρίον τὸ ὑπὸ ΖΓΗ ἴσον δοθέντι χωρίῳ τῷ διπλασίονι τοῦ ὑπὸ ΑΓΔ, καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ τῇ ἀναλύσει δείξομεν ἴσον τὸ ΖΓΗ τρίγωνον τῷ ΑΔ παραλληλογράμμῳ· ἡ ΕΖ ἄρα ποιεῖ τὸ πρόβλημα. φανερὸν οὖν ὅτι μόνη, ἐπεὶ κἀκείνη μόνη. `7.920` αʹ. Ἔστω κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΑΒ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον. εἰ μὲν οὖν ἰσοσκελής ἐστιν ὁ κῶνος, φανερὸν ὅτι πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Γ πρὸς τὸν ΑΒ κύκλον προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, εἰ δὲ σκαληνός, ἔστω εὑρεῖν τίς μεγίστη καὶ τίς ἐλαχίστη. Ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒ κύκλου ἐπίπεδον κάθετος, καὶ πιπτέτω πρότερον ἐντὸς τοῦ ΑΒ κύκλου, καὶ ἔστω ἡ ΓΔ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ε, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΔΕ ἐκβεβλήσθω ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ τὰ Α Β σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ ΓΒ· λέγω ὅτι μεγίστη μέν ἐστιν ἡ ΒΓ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΑΓ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Γ πρὸς τὸν ΑΒ προσπιπτουσῶν. Προσβεβλήσθω γάρ τις καὶ ἑτέρα ἡ ΓΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΖ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΔ τῆς ΔΖ. κοινὴ δὲ ἡ ΓΔ, καὶ εἰσὶν αἱ πρὸς τῷ Δ γωνίαι ὀρθαί· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῆς ΓΖ. κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΓΑ μείζων ἐστίν· ὥστε μεγίστη μέν ἐστιν ἡ ΓΒ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΓΑ. βʹ. Ἀλλὰ δὴ πάλιν ἡ ἀπὸ τοῦ Γ κάθετος ἀγομένη πιπτέτω ἐπὶ τῆς περιφερείας τοῦ ΑΒ κύκλου, καὶ ἔστω ἡ ΓΑ, καὶ πάλιν ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Δ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Β, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ· λέγω ὅτι μεγίστη μέν ἐστιν ἡ ΒΓ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΑΓ. Ὅτι μὲν οὖν μείζων ἡ ΓΒ τῆς ΓΑ φανερόν, διήχθω δέ τις καὶ ἑτέρα ἡ ΓΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ. ἐπεὶ διάμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ, μείζων ἐστὶν τῆς ΑΕ. καὶ αὐταῖς πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΓ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΒ τῆς ΓΕ. ὁμοίως καὶ πασῶν. καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ μείζων δειχθήσεται ἡ ΕΓ τῆς ΓΑ· ὥστε μεγίστη μὲν ἡ ΒΓ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΓΑ τῶν ἀπὸ τοῦ Γ σημείου πρὸς τὸν ΑΒ κύκλον προσπιπτουσῶν εὐθειῶν. `7.922` γʹ. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων πιπτέτω ἡ κάθετος ἐκτὸς τοῦ κύκλου, καὶ ἔστω ἡ ΓΔ, καὶ ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ε ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΔΕ ἐκβεβλήσθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ ΒΓ· λέγω δὴ ὅτι μεγίστη μέν ἐστιν ἡ ΒΓ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΑΓ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Γ πρὸς τὸν ΑΒ κύκλον προσπιπτουσῶν εὐθειῶν. Ὅτι μὲν οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ΒΓ τῆς ΓΑ φανερόν, λέγω δὲ ὅτι καὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Γ πρὸς τὴν τοῦ ΑΒ κύκλου περιφέρειαν προσπιπτουσῶν. προσπιπτέτω γάρ τις καὶ ἑτέρα ἡ ΓΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΖ. ἐπεὶ οὖν διὰ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΒΔ, μείζων ἐστὶν ἡ ΔΒ τῆς ΔΖ. καὶ ἔστιν αὐταῖς ὀρθὴ ἡ ΔΓ, ἐπεὶ καὶ τῷ ἐπιπέδῳ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῆς ΓΖ. ὁμοίως καὶ πασῶν. μεγίστη μὲν ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΒ, ὅτι δὲ καὶ ἡ ΑΓ ἐλαχίστη. ἐπεὶ γὰρ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΑΔ τῆς ΔΖ, καὶ ἔστιν αὐταῖς ὀρθὴ ἡ ΔΓ, ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆς ΓΖ. ὁμοίως καὶ πασῶν. ἐλαχίστη ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ, μεγίστη δὲ ἡ ΒΓ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Γ πρὸς τὴν τοῦ ΑΒ κύκλου περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν. Εἰς τοὺς κωνικοὺς ὅρους. `7.924` «Ἐὰν ἀπό τινος σημείου πρὸς κύκλου περιφέρειαν» εἰκότως ὁ Ἀπολλώνιος προστίθησιν «ἐφʼ ἑκάτερα προσεκβληθῇ», ἐπειδήπερ τοῦ τυχόντος κώνου γένεσιν δηλοῖ. εἰ μὲν γὰρ ἰσοσκελὴς ὁ κῶνος, περισσὸν ἦν προσεκβάλλειν διὰ τὸ τὴν φερομένην εὐθεῖαν αἰεί ποτε ψαύειν τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἐπειδήπερ πάντοτε τὸ σημεῖον ἴσον ἀφέξειν ἔμελλεν τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας. ἐπεὶ δὲ δύναται καὶ σκαληνὸς εἶναι ὁ κῶνος, ἔστιν δέ, ὡς προγέγραπται, ἐν κώνῳ σκαληνῷ μεγίστη τις καὶ ἐλαχίστη πλευρά, ἀναγκαίως προστίθησιν τὸ «προσεκβληθῇ», ἵνα αἰεὶ προσεκβληθεῖσα ἡ ἐλαχίστη αὔξηται, ἕως ἴση γένηται τῇ μεγίστῃ καὶ ψαύσῃ κατʼ ἐκεῖνο τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας. δʹ. Ἔστω γραμμὴ ἡ ΑΒΓ, καὶ θέσει ἡ ΑΓ, πᾶσαι δὲ αἱ ἀπὸ τῆς γραμμῆς ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετοι οὕτως ἀγέσθωσαν, ὥστε τὸ ἀπὸ ἑκάστης αὐτῶν τετράγωνον ἴσον εἶναι τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῶν τῆς βάσεως τμημάτων ἀφʼ ἑκάστης αὐτῶν τμηθέντων· λέγω ὅτι κύκλου περιφέρειά ἐστιν ἡ ΑΒΓ, διάμετρος δὲ αὐτῆς ἐστιν ἡ ΑΓ. Ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ σημείων τῶν Δ Β Ε κάθετοι αἱ ΔΖ ΒΗ ΕΘ· τὸ μὲν ἄρα ἀπὸ ΔΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΖΓ, τὸ δὲ ἀπὸ ΒΗ τῷ ὑπὸ ΑΗΓ, τὸ δὲ ἀπὸ ΕΘ τῷ ὑπὸ ΑΘΓ. τετμήσθω δὴ δίχα ἡ ΑΓ κατὰ τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΚ ΚΒ ΚΕ ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΑΖΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΚ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΑΚ, ἀλλὰ τῷ ὑπὸ ΑΖΓ ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΔΖ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΔΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΚ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΔΚ, ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΑΚ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΚ τῇ ΚΔ. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΒΚ ΕΚ ἴση ἐστὶν τῇ ΑΚ ἢ τῇ ΚΓ· κύκλου ἄρα περιφέρειά ἐστιν ἡ ΑΒΓ τοῦ περὶ κέντρον τὸ Κ, τουτέστιν τοῦ περὶ διάμετρον τὴν ΑΓ. `7.926` εʹ. Τρεῖς παράλληλοι αἱ ΑΒ ΓΔ ΕΖ, καὶ διήχθωσαν εἰς αὐτὰς δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΗΖΓ ΒΗΕΔ· ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΑΒ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ τετράγωνον. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΖΕ, τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΑΒ ΖΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΖ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΑΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΖ, ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΒ ΖΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΖ. ἀλλὰ καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΖΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ ΑΒ ΖΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ τετράγωνον, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ τετράγωνον. ϛʹ. Ἔστω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον· ὅτι γίνεται τὸ μὲν ὑπὸ ΒΕΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΕΓ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΔΓ τῷ ὑπὸ ΒΔΕ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒΓ τῷ ὑπὸ ΕΒΔ. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΓ, συνθέντι καὶ τὰ ἡμίση τῶν ἡγουμένων καὶ ἀναστρέψαντί ἐστιν ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΓΕ τετραγώνῳ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΕΔ τετράγωνον· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΔΕ. ἐπεὶ δὲ τὸ ὑπὸ ΒΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΓ, ἑκάτερον ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ τετραγώνου· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΕΒΔ. γίνεται ἄρα τὰ τρία. ζʹ. Τὸ Α πρὸς τὸ Β τὸν συνημμένον λόγον ἐχέτω ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει τὸ Γ πρὸς τὸ Δ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ· ὅτι καὶ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ τὸν συνημμένον λόγον ἔχει ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει τὸ Α πρὸς τὸ Β καὶ τὸ Ζ πρὸς τὸ Ε. `7.928` Τῷ γὰρ τοῦ Ε πρὸς τὸ Ζ λόγῳ ὁ αὐτὸς πεποιήσθω ὁ τοῦ Δ πρὸς τὸ Η. ἐπεὶ οὖν ὁ τοῦ Α πρὸς τὸ Β συνῆπται ἔκ τε τοῦ τοῦ Γ πρὸς τὸ Δ καὶ τοῦ τοῦ Ε πρὸς τὸ Ζ, τουτέστιν τοῦ Δ πρὸς τὸ Η, ἀλλὰ ὁ συνημμένος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει τὸ Γ πρὸς τὸ Δ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὸ Δ πρὸς τὸ Η ἐστὶν ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸ Η, ὡς ἄρα τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Η. ἐπεὶ δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ τὸν συνημμένον λόγον ἔχει ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει τὸ Γ πρὸς τὸ Η καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὸ Η πρὸς τὸ Δ, ἀλλʼ ὁ μὲν τοῦ Γ πρὸς τὸ Η ὁ αὐτὸς ἐδείχθη τῷ τοῦ Α πρὸς τὸ Β, ὁ δὲ τοῦ Η πρὸς τὸ Δ ἐκ τοῦ ἀνάπαλιν ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ Ζ πρὸς τὸ Ε, καὶ τὸ Γ ἄρα πρὸς τὸ Δ τὸν συνημμένον λόγον ἔχει ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει τὸ Α πρὸς τὸ Β καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὸ Ζ πρὸς τὸ Ε. ηʹ. Ἔστω δύο παραλληλόγραμμα τὰ ΑΓ ΔΖ ἰσογώνια, ἴσην ἔχοντα τὴν Β γωνίαν τῇ Ε γωνίᾳ· ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕΖ, οὕτως τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΔΖ παραλληλόγραμμον. Εἰ μὲν οὖν ὀρθαί εἰσιν αἱ Β Ε γωνίαι, φανερόν· εἰ δὲ μή, ἤχθωσαν κάθετοι αἱ ΑΗ ΔΘ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Β γωνία τῇ Ε, ἡ δὲ Η ὀρθὴ τῇ Θ, ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΘ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΘ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΗ ΒΓ, ὡς δὲ ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΘ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΔΕΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΘ ΕΖ· ἔστιν ἄρα ἐναλλὰξ ὡς τὸ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΗ ΒΓ, τουτέστιν τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον, πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΘ ΕΖ, τουτέστιν πρὸς τὸ ΔΖ παραλληλόγραμμον. θʹ. Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, ἔστω δὲ παράλληλος ἡ ΒΓ τῇ ΔΕ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΑ ἴσον κείσθω τὸ ὑπὸ ΖΑΕ· ὅτι, ἐὰν ἐπιζευχθῶσιν αἱ ΔΓ ΒΖ, γίνεται παράλληλος ἡ ΒΖ τῇ ΔΓ. Τοῦτο δέ ἐστιν φανερόν. ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΕ, ὡς δὲ ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἐστὶν ἐν παραλλήλῳ ἡ ΒΑ πρὸς ΑΔ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς ΑΔ· παράλληλοι ἄρα εἰσὶν αἱ ΔΓ ΒΖ. `7.930` ιʹ. Ἔστω τρίγωνον μὲν τὸ ΑΒΓ τραπέζιον δὲ τὸ ΔΕΖΗ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ· ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΔΗ ΕΖ καὶ τῆς ΔΕ, οὕτως τὸ ΑΒΓ πρὸς τὸ ΔΕΖΗ. Ἤχθωσαν κάθετοι αἱ ΑΘ ΔΚ. ἐπεὶ δὲ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ, ἡ δὲ Θ ὀρθὴ τῇ Κ ὀρθῇ ἴση, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΘ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς ΔΚ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΒΑ πρὸς ΑΘ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΘ ΒΓ, ὡς δὲ ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΚ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΔΗ ΕΖ καὶ τῆς ΔΕ πρὸς τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΔΗ ΕΖ καὶ τῆς ΔΚ. καὶ ἔστιν τοῦ μὲν ὑπὸ ΑΘ ΒΓ ἥμισυ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, τοῦ δὲ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΔΗ ΕΖ καὶ τῆς ΔΚ ἥμισυ τὸ ΔΕΖΗ τραπέζιον· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΔΗ ΕΖ καὶ τῆς ΔΕ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖΗ τραπέζιον. Καὶ ἐὰν ᾖ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ καὶ παραλληλόγραμμον τὸ ΔΖ, γίνεται ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖΗ παραλληλόγραμμον, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸ δὶς ὑπὸ ΔΕΖ, κατὰ τὰ αὐτά. καὶ φανερὸν ἐκ τούτων ὅτι τὸ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ, ἐὰν ᾖ παραλληλόγραμμον τὸ ΔΖ καὶ ἴσον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ, ἴσον γίνεται τῷ δὶς ὑπὸ ΔΕΖ, ἐπὶ δὲ τοῦ τραπεζίου ἴσον γίνεται τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΔΗ ΕΖ καὶ τῆς ΔΕ, ὅπερ· ⁓ ιαʹ. Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἐκβληθείσης τῆς ΓΑ διήχθω τις τυχοῦσα ἡ ΔΕ, καὶ αὐτῇ μὲν παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΗ, τῇ δὲ ΒΓ ἡ ΑΖ· ὅτι γίνεται ὡς τὸ ἀπὸ ΑΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΗΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΑ τετράγωνον. `7.932` Κείσθω τῷ μὲν ὑπὸ ΒΗΓ ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΗΚ, τῷ δὲ ὑπὸ ΔΖΘ ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΖΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΚ ΘΛ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ Γ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΚΗ, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΑΛ ἐν κύκλῳ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΖΘΛ, καὶ ἡ ὑπὸ ΗΚΒ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΖΘΛ γωνίᾳ. ἀλλὰ καὶ ἡ πρὸς τῷ Η γωνία ἴση ἐστὶν τῇ πρὸς τῷ Ζ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΚ, οὕτως ἡ ΛΖ πρὸς τὴν ΖΘ. ἐπεὶ δέ ἐστιν ὡς ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΒ, ὡς δὲ ἡ ΘΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἐστὶν ἐν παραλλήλῳ ἡ ΖΘ πρὸς ΖΑ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς ΖΑ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς μὲν ἡ ΑΗ πρὸς ΗΒ, οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς ΖΑ, ὡς δὲ ἡ ΒΗ πρὸς ΗΚ, οὕτως ἄλλη τις ἡ ΛΖ πρὸς τὴν ἡγουμένην τὴν ΖΘ, διʼ ἴσου ἄρα ἐν τεταραγμένῃ ἀναλογίᾳ ὡς ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΚ, οὕτως ἡ ΛΖ πρὸς τὴν ΖΑ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΗ πρὸς ΗΚ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΗΚ, τουτέστιν πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΗΓ, ὡς δὲ ἡ ΛΖ πρὸς ΖΑ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΛΖΑ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΔΖΘ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΑ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΗΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΑ. Διὰ δὲ τοῦ συνημμένου. ἐπεὶ ὁ μὲν τῆς ΑΗ πρὸς ΗΒ λόγος ἐστὶν ὁ τῆς ΘΕ πρὸς ΕΒ, τουτέστιν ὁ τῆς ΘΖ πρὸς ΖΑ, ὁ δὲ τῆς ΑΗ πρὸς τὴν ΗΓ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΔΕ πρὸς ΕΓ, τουτέστιν τῷ τῆς ΔΖ πρὸς ΖΑ, ὁ ἄρα συνημμένος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΑΗ πρὸς ΗΒ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ, ὅς ἐστιν ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΗΓ, ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΘΖ πρὸς ΖΑ καὶ τοῦ τῆς ΔΖ πρὸς ΖΑ, ὅς ἐστιν ὁ τοῦ ὑπὸ ΔΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΑ τετράγωνον. Τοῦ βʹ. αʹ. Δύο δοθεισῶν τῶν ΑΒ ΒΓ, καὶ εὐθείας τῆς ΔΕ, εἰς τὰς ΑΒ ΒΓ ἐναρμόσαι εὐθεῖαν ἴσην τῇ ΔΕ καὶ παράλληλον αὐτῇ. `7.934` Τοῦτο δὲ φανερόν. ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ ΑΒ παράλληλον ἀγάγωμεν τὴν ΕΓ, διὰ δὲ τοῦ Γ τῇ ΔΕ παράλληλος ἀχθῇ ἡ ΓΑ, ἔσται, διὰ τὸ παραλληλόγραμμον εἶναι τὸ ΑΓΕΔ, ἡ ΑΓ ἴση τῇ ΔΕ καὶ παράλληλος, καὶ ἐνήρμοσται εἰς τὰς δοθείσας εὐθείας τὰς ΑΒ ΒΓ. βʹ. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς ΕΖ, καὶ παράλληλος ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΒΓ τῇ ΕΖ· ὅτι καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΔΖ ἐστὶν παράλληλος. Ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ καὶ συμπιπτέτω ταῖς ΔΕ ΔΖ κατὰ τὰ Η Θ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς ΕΖ, καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ Β Ε γωνίαι, διὰ τὸ εἶναι δύο παρὰ δύο, ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ Γ τῇ Ζ, τουτέστιν τῇ Θ, διὰ τὸ παραλλήλους εἶναι τὰς ΕΖ ΗΘ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΔΘ. γʹ. Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἔστωσαν ἴσαι αἱ ΑΓ ΔΒ, καὶ μεταξὺ τῶν Γ Δ εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον τὸ Ε· ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΔΒ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΓΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΕΒ. Τετμήσθω ἡ ΓΔ δίχα κατὰ τὸ Ζ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΑΔΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΖΒ, ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ ΖΔ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΕΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΕ, τῷ δὲ ἀπὸ ΖΒ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΕ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΔΒ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΓΕΔ καὶ τοῦ ἀπὸ ΖΕ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΕΒ καὶ τῷ ἀπὸ ΖΕ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΖΕ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΔΒ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΓΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΕΒ. `7.936` δʹ. Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἔστωσαν ἴσαι αἱ ΑΓ ΔΒ, καὶ μεταξὺ τῶν Γ Δ εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον τὸ Ε· ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ τῶν ΓΕΔ καὶ τῷ ὑπὸ ΔΑΓ. Τετμήσθω γὰρ ἡ ΓΔ δίχα κατὰ τὸ Ζ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ ἴση ἐστίν· τὸ μὲν ἄρα ὑπὸ ΑΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΕΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΑΖ, τὸ δὲ ὑπὸ ΔΑΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΑΖ, ὥστε τὸ ὑπὸ ΑΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΕΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΔΑΓ καὶ τῷ ἀπὸ ΓΖ. ἀλλὰ τὸ ἀπὸ ΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΓΕΔ καὶ τῷ ἀπὸ ΕΖ, καὶ κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΕΖ τετράγωνον· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΕΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΓΕΔ καὶ τῷ ὑπὸ ΔΑΓ. εʹ. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, καὶ ἔστω ἴση ἡ μὲν Γ τῇ Ζ, μείζων δὲ ἡ Β τῆς Ε· ὅτι ἡ ΒΓ πρὸς ΓΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς ΖΔ. Συνεστάτω τῇ Ε γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΓΒΗ, ἔστιν δὲ καὶ ἡ Γ τῇ Ζ ἴση· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΖΔ. ἀλλὰ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς ΓΗ· καὶ ἡ ΒΓ ἄρα πρὸς ΓΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς ΖΔ. ϛʹ. Ἐχέτω δὴ πάλιν ἡ ΒΓ πρὸς ΓΑ μείζονα λόγον ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς ΖΔ, ἴση δὲ ἔστω ἡ Γ γωνία τῇ Ζ· ὅτι πάλιν γίνεται ἐλάσσων ἡ Β γωνία τῆς Ε γωνίας. `7.938` Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΓ πρὸς ΓΑ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς ΖΔ, ἐὰν ἄρα ποιῶ ὡς τὴν ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως τὴν ΕΖ πρός τινα, ἔσται πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΖΔ. ἔστω πρὸς τὴν ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΗ, καὶ περὶ ἴσας γωνίας ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Β γωνία τῇ ὑπὸ ΖΕΗ, ἐλάσσονι οὔσῃ τῆς Ε. ζʹ. Ἔστω ὅμοια τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, καὶ διήχθωσαν αἱ ΑΗ ΔΘ οὕτως, ὥστε εἶναι ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΑ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ· ὅτι γίνεται ὅμοιον καὶ τὸ ΑΗΓ τρίγωνον τῷ ΔΘΖ τριγώνῳ. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΑ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ, ἀλλʼ ὁ μὲν τοῦ ὑπὸ ΒΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΑ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΒΓ πρὸς ΓΑ καὶ τοῦ τῆς ΗΓ πρὸς ΓΑ, ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ ΕΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΕΖ πρὸς ΖΔ καὶ τοῦ τῆς ΘΖ πρὸς ΖΔ, ὧν ὁ τῆς ΒΓ πρὸς ΓΑ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΕΖ πρὸς ΖΔ, διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων λοιπὸς ἄρα ὁ τῆς ΗΓ πρὸς ΓΑ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΘΖ πρὸς ΖΔ. καὶ περὶ ἴσας γωνίας· ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΓΗ τρίγωνον τῷ ΔΖΘ τριγώνῳ. ηʹ. Διὰ μὲν οὖν τοῦ συνημμένου λόγου, ὡς προγέγραπται, ἔστω δὲ νῦν ἀποδεῖξαι μὴ προσχρησάμενον τῷ συνημμένῳ λόγῳ. `7.940` Κείσθω τῷ μὲν ὑπὸ ΒΓΗ ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΓΚ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΚ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΗ. τῷ δὲ ὑπὸ ΕΖΘ ἴσον κείσθω τὸ ὑπὸ ΔΖΛ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΖ πρὸς ΖΛ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς ΖΘ. ὑπόκειται δὲ ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΑΓΚ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, τουτέστιν ὡς ἡ ΚΓ πρὸς ΓΑ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΖΘ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΔΖΛ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΖ, τουτέστιν ἡ ΛΖ πρὸς ΖΔ. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΑ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΖΔ διὰ τὴν ὁμοιότητα· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΖΛ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, οὕτως ἐδείχθη ἡ ΑΓ πρὸς ΓΗ, ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς ΖΛ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς ΖΘ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς ΓΗ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς ΖΘ. καὶ περὶ ἴσας γωνίας· ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΓΗ τρίγωνον τῷ ΔΖΘ τριγώνῳ. Ὁμοίως καὶ τὸ ΑΗΒ τῷ ΔΘΕ, ὅτι καὶ τὸ ΑΒΓ τῷ ΔΕΖ. θʹ. Ἔστω ὅμοιον τὸ μὲν ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ, τὸ δὲ ΑΗΒ τῷ ΔΕΘ· ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΑ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ. Ἐπεὶ γὰρ διὰ τὴν ὁμοιότητα ἴση ἐστὶν ὅλη μὲν ἡ Α ὅλῃ τῇ Δ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΗ τῇ ὑπὸ ΕΔΘ, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΑΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΘΔΖ ἐστὶν ἴση. ἀλλὰ καὶ ἡ Γ τῇ Ζ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΗΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς ΖΔ. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἦν ἡ ΕΖ πρὸς ΖΔ· καὶ ὁ συνημμένος ἄρα τῷ συνημμένῳ ἐστὶν ὁ αὐτός· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΑ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ. ιʹ. Ἄλλως μὴ διὰ τοῦ συνημμένου. κείσθω τῷ μὲν ὑπὸ ΒΓΗ ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΓΚ, τῷ δὲ ὑπὸ ΕΖΘ ἴσον τὸ ὑπὸ ΔΖΛ. ἔσται πάλιν ὡς μὲν ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΗ, ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς ΖΛ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς ΖΘ. καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ τῷ ἐπάνω δείξομεν ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΗ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς ΖΘ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΖΛ. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΑ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΖΔ διὰ τὴν ὁμοιότητα· διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΚΓ πρὸς ΓΑ, τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΚΓΑ, ὅ ἐστιν τὸ ὑπὸ ΒΓΗ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, οὕτως ἡ ΛΖ πρὸς ΖΔ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΛΖΔ, ὅ ἐστιν τὸ ὑπὸ ΕΖΘ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ, ὅπερ· ⁓ `7.942` Ὁμοίως δὴ δείξομεν, καὶ ἐὰν ᾖ ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ, καὶ ὅμοιον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ, ὅτι καὶ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΘ τριγώνῳ ὅμοιον. ιαʹ. Ἔστω δύο ὅμοια τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, καὶ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΑΗ ΔΘ· ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ ΒΗΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΔ. Τοῦτο δὲ φανερόν, ὅτι ὅμοιον γίνεται τοῖς πρὸ αὐτοῦ. ιβʹ. Ἔστω ἴση ἡ μὲν Β γωνία τῇ Ε, ἐλάσσων δὲ ἡ Α τῆς Δ· ὅτι ἡ ΓΒ πρὸς ΒΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΕ πρὸς ΕΔ. Ἐπεὶ γὰρ ἐλάσσων ἡ Α γωνία τῆς Δ, συνεστάτω αὐτῇ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΔΗ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΑ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς ΕΔ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΗ πρὸς ΕΔ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΕ πρὸς ΕΔ· καὶ ἡ ΓΒ ἄρα πρὸς τὴν ΒΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΔ. καὶ πάντα δὲ τὰ τοιαῦτα τῇ αὐτῇ ἀγωγῇ δείξομεν. ιγʹ. Ἔστω ὡς τὸ ὑπὸ ΒΗΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΘ, καὶ ἡ μὲν ΒΗ τῇ ΗΓ ἔστω ἴση, ἡ δὲ ΓΗ πρὸς ΗΑ ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς ΘΔ· ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΖΘ τῆς ΘΕ. `7.944` Ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΔ, ἀλλὰ τὸ ἀπὸ ΓΗ· ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΗΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΗΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΔ. ἀλλʼ ὡς τὸ ὑπὸ ΒΗΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ, οὕτως ὑπόκειται τὸ ὑπὸ ΕΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΔ, καὶ τὸ ὑπὸ ΕΘΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΔ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΔ· μεῖζον ἄρα ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΖΘ τοῦ ὑπὸ ΕΘΖ· ὥστε μείζων ἐστὶν ἡ ΖΘ τῆς ΘΕ. Τοῦ γʹ. αʹ. Καταγραφὴ ἡ ΑΒΓΔΕΖΗ, ἔστω δὲ ἴση ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ· ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΒΓ. Ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ΘΚ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΒΖ ΓΕ ἐπὶ τὰ Κ Θ σημεῖα. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΓ, ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΘΑ τῇ ΑΚ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΘΑ, τουτέστιν ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΚΑ, τουτέστιν ἡ ΓΖ πρὸς ΖΑ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΒΓ. βʹ. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, ἴσας ἔχοντα τὰς Α Δ γωνίας, ἴσον δὲ ἔστω τὸ ὑπὸ ΒΑΓ τῷ ὑπὸ ΕΔΖ· ὅτι καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον. Ἤχθωσαν κάθετοι αἱ ΒΗ ΕΘ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΕΔ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΗ ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΑ ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΘ ΔΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΔΖ. ἴσον δέ ἐστιν τὸ ὑπὸ ΒΑΓ τῷ ὑπὸ ΕΔΖ· ἴσον ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ ὑπὸ ΒΗ ΑΓ τῷ ὑπὸ ΕΘ ΔΖ. ἀλλὰ τοῦ μὲν ὑπὸ ΒΗ ΑΓ ἥμισύ ἐστιν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, τοῦ δὲ ὑπὸ ΕΘ ΔΖ ἥμισύ ἐστιν τὸ ΔΕΖ τρίγωνον· καὶ τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν. Φανερὸν δὴ ὅτι καὶ τὰ διπλᾶ αὐτῶν παραλληλόγραμμα ἴσα ἐστίν. `7.946` γʹ. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ παράλληλος ἡ ΔΕ τῇ ΒΓ· ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον. Ἐπεὶ γὰρ ὅμοιόν ἐστιν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΔΕ τριγώνῳ, τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΑ πρὸς ΑΔ. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον. δʹ. Ἴσαι αἱ ΑΒ ΓΔ, καὶ τυχὸν σημεῖον τὸ Ε· ὅτι τὸ ὑπὸ ΓΕΒ τοῦ ὑπὸ ΓΑΒ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ ΔΕΑ. Τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα τῷ Ζ· τὸ Ζ ἄρα διχοτομία ἐστὶν καὶ τῆς ΑΔ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΓΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΒΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΖ, ἀλλὰ καὶ τὸ ὑπὸ ΔΕΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΖ, καὶ ἔστιν τὸ ἀπὸ ΑΖ ἴσον τῷ ὑπὸ ΓΑΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΒΖ, κοινὸν ἐκκεκρούσθω τὸ ἀπὸ ΒΖ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΓΑΒ καὶ τῷ ὑπὸ ΔΕΑ, ὥστε τὸ ὑπὸ ΓΕΒ τοῦ ὑπὸ ΓΑΒ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ ΔΕΑ, ὅπερ· ⁓ εʹ. Ἐὰν δὲ τὸ σημεῖον ᾖ μεταξὺ τῶν Α Β σημείων, τὸ ὑπὸ ΓΕΒ τοῦ ὑπὸ ΓΑΒ ἔλασσον ἔσται τῷ αὐτῷ χωρίῳ, οὗπέρ ἐστιν κατὰ τὰ αὐτὰ ἡ ἀπόδειξις. Ἐὰν δὲ τὸ σημεῖον ᾖ μεταξὺ τῶν Β Γ, τὸ ὑπὸ ΓΕΒ τοῦ ὑπὸ ΑΕΔ ἔλασσον ἔσται τῷ ὑπὸ ΑΒΔ, τῇ αὐτῇ ἀγωγῇ. ϛʹ. Ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ, καὶ δύο σημεῖα τὰ Δ Ε· ὅτι τὸ τετράκις ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΔΓ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ ΑΕΓ καὶ δὶς τῶν ἀπὸ ΒΔ ΒΕ τετραγώνων. `7.948` Τοῦτο δὲ φανερόν· τὸ μὲν γὰρ δὶς ἀπὸ ΑΒ, διὰ τῶν διχοτομιῶν, ἴσον ἐστὶν τῷ τε δὶς ὑπὸ ΑΔΓ καὶ τῷ δὶς ἀπὸ ΔΒ, τὸ δὲ δὶς ἀπὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τε δὶς ὑπὸ ΑΕΓ καὶ τῷ δὶς ἀπὸ ΕΒ τετραγώνῳ. ζʹ. Ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ σημεῖον τὸ Ε· ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ ΕΔ τετράγωνα ἴσα τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΕ ΕΓ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓΔ. Τετμήσθω δίχα ἡ ΒΓ κατὰ τὸ Ζ. ἐπεὶ οὖν τὸ δὶς ἀπὸ τῆς ΔΖ ἴσον ἐστὶν τῷ τε δὶς ὑπὸ ΑΓΔ καὶ δὶς ἀπὸ ΓΖ, κοινοῦ προστεθέντος τοῦ δὶς ἀπὸ ΕΖ ἴσον ἐστὶν τό τε δὶς ὑπὸ ΑΓΔ καὶ τὰ δὶς ἀπὸ τῶν ΓΖ ΖΕ τοῖς δὶς ἀπὸ τῶν ΔΖ ΖΕ τετραγώνοις. ἀλλὰ τοῖς μὲν δὶς ἀπὸ τῶν ΔΖ ΖΕ ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ ΕΔ τετράγωνα, τοῖς δὲ δὶς ἀπὸ τῶν ΓΖ ΖΕ ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ τῶν ΒΕ ΕΓ τετράγωνα· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΕ ΕΔ τετράγωνα ἴσα ἐστὶν τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΒΕ ΕΓ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓΔ. ηʹ. Ἔστω τὸ ὑπὸ ΒΑΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΑ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΓΔ τῇ ΔΒ. Κοινὸν γὰρ ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΓΔ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΑΓ ἴσον ἐστὶν τῇ τῶν ἀπὸ ΑΔ ΔΓ ὑπεροχῇ, τουτέστιν τοῖς ὑπὸ τῶν ΔΑΓ ΑΓΔ. ἐπεὶ δὲ τὸ ὑπὸ ΒΑΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΔΑΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΒΔ ΑΓ, κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ὑπὸ ΔΑΓ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΓ ΔΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΔΓΑ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ ΔΒ, ὅπερ· ⁓ θʹ. Ἔστω τὸ ὑπὸ ΑΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΒ τετραγώνῳ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ. `7.950` Κείσθω τῇ ΓΔ ἴση ἡ ΔΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΒΕ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΕ, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΓΔ, ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΒ, τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΑΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΔ, ὥστε τὸ ὑπὸ ΓΒΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓΒ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΕΒ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΓΔ τῇ ΔΕ· ὅλη ἄρα ἡ ΑΔ ὅλῃ τῇ ΔΒ ἴση ἐστίν. ιʹ. Ἔστω πάλιν τὸ ὑπὸ ΒΑΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΒ ἴσον τῷ ἀπὸ ΑΔ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΓΔ τῇ ΔΒ. Κείσθω τῇ ΔΒ ἴση ἡ ΑΕ. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΒΑΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΒ, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΕΑ, ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΑΔ τετραγώνῳ, κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ὑπὸ ΔΑΓ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΔ ΑΓ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΕΑΓ, μετὰ τοῦ ἀπὸ ΕΑ, ὅ ἐστιν τὸ ὑπὸ ΓΕΑ, ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΔΓ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΑ, τουτέστιν ἡ ΒΔ, τῇ ΔΓ. ιαʹ. Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, ἐφʼ ἧς γʹ σημεῖα τὰ Γ Δ Ε οὕτως, ὥστε ἴσην μὲν εἶναι τὴν ΒΕ τῇ ΕΓ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΕΔ τῷ ἀπὸ ΕΓ· ὅτι γίνεται ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΑΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΓ, ἀνάλογον καὶ ἀναστρέψαντι καὶ δὶς τὰ ἡγούμενα καὶ διελόντι ἐστὶν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ. ιβʹ. Ἔστω πάλιν τὸ ὑπὸ ΒΓΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΕ, ἴση δὲ ἡ ΑΓ τῇ ΓΕ· ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΒΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΓΒΔ. `7.952` Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΒΓΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΓΕ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΕ, τουτέστιν πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΓΕ, τουτέστιν ἡ ΑΓ, πρὸς τὴν ΓΔ· καὶ ὅλη πρὸς ὅλην καὶ ἀναστρέψαντι καὶ χωρίον χωρίῳ τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΓΒΔ. Φανερὸν δὲ ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ ΑΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΒΔΓ· ἐὰν γὰρ ἀφαιρεθῇ τὸ ἀπὸ ΓΔ κοινὸν ἀπὸ τῆς τοῦ ἀπὸ ΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΓΔ ἰσότητος, γίνεται· ⁓ ιγʹ. Εἰς δύο παραλλήλους τὰς ΑΒ ΓΔ διά τε τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Ε τρεῖς διήχθωσαν αἱ ΑΕΔ ΒΕΓ ΖΕΗ· ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΖΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΕΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗΔ. Διὰ τοῦ συνημμένου φανερόν· ὡς μὲν γὰρ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΗΔ, ὡς δὲ ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΗΓ, καὶ σύγκειται ἐκ τούτων τὰ χωρία· γίνεται ἄρα· ⁓ Ἔστιν δὲ καὶ οὕτως μὴ προσχρησάμενον τῷ συνημμένῳ. ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΕΓ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ. ἀλλὰ καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΗ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΗ. ἀλλὰ καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΖΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΖΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗΔ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΖΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΕΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗΔ. Τοῦ εʹ. αʹ. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ κάθετος ἤχθω ἡ ΑΔ· λέγω ὅτι, εἰ μὲν ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΔΓ τῷ ἀπὸ ΑΔ τετραγώνῳ, γίνεται ὀρθὴ ἡ Α γωνία, εἰ δὲ μεῖζον, ἀμβλεῖα, εἰ δὲ ἔλασσον, ὀξεῖα. `7.954` Ἔστω πρότερον ἴσον· ἀνάλογον ἄρα καὶ περὶ ἴσας γωνίας· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Α γωνία τῇ πρὸς τῷ Δ, ὥστε ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία. ἀλλὰ ἔστω μεῖζον, καὶ αὐτῷ ἴσον κείσθω τὸ ἀπὸ ΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ ΕΓ· ἔσται ἄρα ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΕΓ γωνία. καὶ αὐτῆς μείζων ἡ Α γωνία· ἀμβλεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ Α γωνία. ἀλλὰ ἔστω πάλιν ἔλασσον, καὶ αὐτῷ ἴσον κείσθω τὸ ἀπὸ ΔΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΖ ΖΓ· ἔσται δὴ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΖΓ γωνία. καὶ αὐτῆς ἐλάσσων ἡ πρὸς τῷ Α γωνία· ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ Α γωνία. βʹ. Θέσει οὐσῶν δύο εὐθειῶν τῶν ΑΒ ΒΓ, καὶ σημείου δοθέντος τοῦ Δ, γράψαι διὰ τοῦ Δ ὑπερβολὴν περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΑΒ ΒΓ. `7.956` Γεγονέτω· κέντρον ἄρα αὐτῆς ἐστιν τὸ Β. ἐπεζεύχθω οὖν ἡ ΔΒ καὶ ἐκβεβλήσθω, διάμετρος ἄρα ἐστίν. κείσθω τῇ ΔΒ ἴση ἡ ΒΕ· δοθεῖσα ἄρα ἐστίν, ὥστε δοθέν ἐστιν τὸ Ε καὶ πέρας τῆς διαμέτρου. ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΔΖ· δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ Ζ. καὶ κείσθω τῇ ΒΖ ἴση ἡ ΖΓ· δοθὲν ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ Γ. καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΔ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Α· θέσει ἄρα ἐστίν. θέσει δὲ καὶ ἡ ΑΒ· δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ Α. ἔστιν δὲ καὶ τὸ Γ δοθέν· δέδοται ἄρα ἡ ΑΓ τῷ μεγέθει. καὶ ἔσται ἴση ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ, διὰ τὸ καὶ τὴν ΒΖ τῇ ΖΓ ἴσην εἶναι.ἔστω δὴ ὀρθία τοῦ πρὸς τῇ ΕΔ εἴδους ἡ ΔΗ· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΔ ΔΓ δυνάμει ἐστὶν δʹ τοῦ ὑπὸ ΕΔΗ. ἀλλὰ καὶ τοῦ ἀπὸ ΑΓ· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΕΔΗ τῷ ἀπὸ ΑΓ τετραγώνῳ. δοθὲν δὲ τὸ ἀπὸ ΑΓ τετράγωνον· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΕΔΗ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΕΔ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΗΔ, ὥστε δοθὲν τὸ Η. ἐπεὶ οὖν θέσει δεδομένων δύο εὐθειῶν ἐν ἐπιπέδῳ τῶν ΕΔ ΔΗ ὀρθῶν ἀλλήλαις κειμένων, καὶ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Δ ὑπὸ τῆς ΑΔΒ γωνίας γίνεται ὑπερβολή, ἧς διάμετρος μὲν ἡ ΕΔ κορυφὴ δὲ τὸ Δ, αἱ δὲ καταγόμεναι κατάγονται ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΔΒ, δυνάμεναι τὰ παρὰ τὴν ΔΗ παρακείμενα, πλάτη ἔχοντα ἃ αὐταὶ ἀφαιροῦσιν ἀπὸ τῆς ἐπʼ εὐθείας τῇ διαμέτρῳ πρὸς τῷ Δ, ὑπερβάλλοντα εἴδει ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ ΕΔΗ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ τομή. `7.958` Συντεθήσεται δὲ τὸ πρόβλημα οὕτως· ἔστωσαν αἱ τῇ θέσει δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΒΓ, τὸ δὲ δοθὲν τὸ Δ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΔΒ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ αὐτῇ ἴση κείσθω ἡ ΒΕ, καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΔΖ, καὶ τῇ ΒΖ ἴση κείσθω ἡ ΖΓ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΔ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Α, καὶ τῇ ΔΕ προσανήχθω ἡ ΔΗ, καὶ τῷ ἀπὸ ΑΓ ἴσον κείσθω τὸ ὑπὸ ΕΔΗ, καὶ γεγράφθω, ὡς ἐν τῇ ἀναλύσει ἐλέγομεν, περὶ διάμετρον ΔΕ ὑπερβολή· λέγω ὅτι ποιεῖ τὸ πρόβλημα. Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΖ τῇ ΖΓ, ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ· ἑκάτερον ἄρα τῶν ἀπὸ ΑΔ ΔΓ δʹ ἐστιν τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνου, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ ΕΔΗ, τουτέστιν τοῦ πρὸς τῇ ΕΔ διαμέτρῳ εἴδους. ἐὰν δὲ ᾖ τοῦτο, δέδεικται ἐν τῷ δευτέρῳ, ὅτι ἀσύμπτωτοί εἰσιν αἱ ΑΒ ΒΓ τῆς ὑπερβολῆς. γʹ. Θέσει εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ δοθὲν τὸ Γ. διήχθω ἡ ΒΓ, κείσθω δοθεῖσα ἡ ΒΔ, ὀρθὴ ἀνήχθω ἡ ΔΕ· ὅτι τὸ Ε ἅπτεται ὑπερβολῆς ἐρχομένης διὰ τοῦ Γ. `7.960` Ἤχθω κάθετος ἡ ΓΖ, καὶ τῇ ΒΔ ἴση κείσθω ἡ ΖΑ· δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ Α. ἀνήχθω ὀρθὴ ἡ ΑΗ· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ· καὶ θέσει δοθεισῶν τῶν ΒΑ ΑΗ καὶ σημείου δοθέντος τοῦ Γ ὑπερβολὴ περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΗΑ ΑΒ ἐλεύσεται ἄρα καὶ διὰ τοῦ Ε, διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΒΓ τῇ ΕΗ — ἐπεὶ καὶ ὅλη ἡ ΒΕ τῇ ΗΓ. καὶ ἔσται διὰ τὸ προγεγραμμένον. Συντεθήσεται δὲ οὕτως· ἔστω ἡ μὲν τῇ θέσει δεδομένη εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν τὸ Γ, ἡ δὲ διηγμένη ἡ ΒΓ, ἡ δὲ δοθεῖσα ἡ Θ, καὶ αὐτῇ ἴση ἔστω, καθέτου ἀχθείσης τῆς ΓΖ, ἡ ΖΑ, καὶ ὀρθὴ ἀνήχθω ἡ ΑΗ καὶ συμπιπτέτω τῇ ΒΓ κατὰ τὸ Η, καὶ περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΗΑ ΑΒ διὰ δοθέντος τοῦ Γ γεγράφθω ὑπερβολή· λέγω ὅτι ποιεῖ τὸ πρόβλημα, τουτέστιν ὅτι, ἂν κάθετος ἀχθῇ ἡ ΕΔ, ἴση γίνεται ἡ ΒΔ τῇ Θ. τοῦτο δὲ φανερὸν διὰ τὰς ἀσυμπτώτους· ἴση γὰρ ἡ ΕΗ τῇ ΓΒ, ὥστε καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΖΒ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΖ, τουτέστιν ἡ Θ, ἴση ἐστὶν τῇ ΒΔ. δʹ. Ἔστω ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ· ὅτι τῶν ΒΑ ΑΓ μέση ἀνάλογόν ἐστιν ἡ ΑΔ. Κείσθω τῇ ΓΔ ἴση ἡ ΔΕ· κατὰ διαίρεσιν ἄρα γίνεται ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ, τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΓΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓ ΕΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΔ· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΓ ΕΒ τῷ ἀπὸ ΔΕ, τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΓΔΕ. ἀνάλογον καὶ συνθέντι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ, τουτέστιν πρὸς τὴν ΔΓ, οὕτως ἡ ΔΑ πρὸς ΑΓ· ὅλη ἄρα πρὸς ὅλην ἐστὶν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΑΓ, ὥστε τῶν ΒΑ ΑΓ μέση ἀνάλογόν ἐστιν ἡ ΑΔ. εʹ. Ἔστω τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον τῷ δὶς ἀπὸ ΑΓ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ. Κείσθω τῇ ΑΓ ἴση ἡ ΑΔ· ἔσται ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΔΑ ἴσον τῷ ὑπὸ ΑΒΓ. καὶ παρὰ τὴν αὐτήν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΑ, τουτέστιν ἡ ΑΓ, τῇ ΓΒ. `7.962` ϛʹ. Περὶ τὰς αὐτὰς ἀσυμπτώτους τὰς ΑΒ ΒΓ ὑπερβολαὶ γεγράφθωσαν αἱ ΔΖ ΗΕ· λέγω ὅτι οὐ συμβάλλουσιν ἀλλήλαις. Εἰ γὰρ δυνατόν, συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ διήχθω εἰς τομὰς εὐθεῖα ἡ ΑΔΕΖΓ· ἔσται δὴ διὰ μὲν τῆς ΔΖ τομῆς ἴση ἡ ΑΔ τῇ ΖΓ, διὰ δὲ τῆς ΔΕ τομῆς ἴση ἡ ΑΔ τῇ ΕΓ, ὥστε ἡ ΓΖ τῇ ΓΕ ἴση ἐστίν, ὅπερ ἀδύνατον· οὐκ ἄρα συμβάλλουσιν αἱ τομαὶ ἀλλήλαις. Λέγω δὴ ὅτι καὶ εἰς ἄπειρον αὐξόμεναι ἔγγιον προσάγουσιν ἑαυταῖς καὶ αἰεὶ εἰς ἔλαττον ἀφικνοῦνται διάστημα. Ἤχθω γάρ τις καὶ ἑτέρα ἡ ΘΚ, καὶ ἔστω ἡ διάμετρος ... ἧς πέρας ἔστω τὸ Μ ..... ἔσται ἄρα ὡς μὲν τὸ ὑπὸ ΜΛΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΞ, οὕτως ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν, ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΗΟΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΡ, οὕτως ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν· ὥστε ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ ΜΛΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΞ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΗΟΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΡ, καὶ ἐναλλάξ. μεῖζον δέ ἐστιν τὸ ὑπὸ ΜΛΝ τοῦ ὑπὸ ΗΟΠ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΞΖ τῆς ΘΣ. καὶ ἔστιν διὰ τὰς τομὰς ἴσον τὸ ὑπὸ ΖΞΔ τῷ ὑπὸ ΣΘΡ· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΞΔ τῆς ΘΡ, ὥστε αἰεὶ εἰς ἔλαττον ἀφικνοῦνται διάστημα. `7.964` ζʹ. Ἔστω ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ, ὡς δὲ ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΘ· ὅτι γίνεται ὡς τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ ΑΓ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν ΑΒ, πρὸς τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ ΔΖ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν ΔΕ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς ΑΗ κύβος μετὰ τοῦ λόγον ἔχοντος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΗΒ κύβον ὃν τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΘ κύβον μετὰ τοῦ λόγον ἔχοντος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΘΕ κύβον ὃν τὸ ἀπὸ ΔΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ. `7.966` Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΒ, οὕτως ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΔΕ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΖΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ. ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ — κοινὸν ὕψος ἡ ΑΒ —, οὕτως τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ ΑΓ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν ΑΒ, πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΑΒ κύβον, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΖΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ — κοινὸν ὕψος ἡ ΔΕ —, οὕτως τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ ΔΖ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν ΔΕ, πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΕ κύβον· καὶ ταῦτα ἄρα ἀνάλογον καὶ ἐναλλάξ ἐστιν. ἔστιν δὲ καὶ ὡς ὁ ἀπὸ τῆς ΑΒ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΕ κύβον, οὕτως ὅ τε ἀπὸ τῆς ΑΗ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΘ κύβον, καὶ ὁ ἀπὸ τῆς ΗΒ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΘΕ κύβον. ἀλλʼ ὡς ὁ ἀπὸ τῆς ΗΒ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΘΕ κύβον, οὕτως τὸ λόγον ἔχον πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΗΒ κύβον ὃν τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ λόγον ἔχον πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΘΕ κύβον ὃν τὸ ἀπὸ ΔΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ· καὶ ὡς ἄρα ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα πρὸς ἅπαντα· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν ΑΒ, πρὸς τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν ΔΕ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς ΑΗ κύβος μετὰ τοῦ λόγον ἔχοντος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΗΒ κύβον ὃν τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΘ κύβον μετὰ τοῦ λόγον ἔχοντος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΘΕ κύβον ὃν τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ. ηʹ. Ἔστω τὸ Α μετὰ τοῦ Β ἴσον τῷ Γ μετὰ τοῦ Δ· ὅτι ᾧ ὑπερέχει τὸ Α τοῦ Γ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ Δ τοῦ Β. Ἔστω γὰρ ᾧ ὑπερέχει τὸ Α τοῦ Γ τὸ Ε· τὸ Α ἄρα ἴσον ἐστὶν τοῖς Γ Ε. κοινὸν προσκείσθω τὸ Β· τὰ Α Β ἄρα ἴσα ἐστὶν τοῖς Γ Ε Β. ἀλλὰ τὰ Α Β τοῖς Γ Δ ἴσα ὑπόκειται· καὶ τὰ Γ Δ ἄρα τοῖς Γ Ε Β ἴσα. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ Γ· λοιπὸν ἄρα τὸ Δ ἴσον τοῖς Β Ε, ὥστε τὸ Δ τοῦ Β ὑπερέχει τῷ Ε· ᾧ ἄρα ὑπερέχει τὸ Α τοῦ Γ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ Δ τοῦ Β. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ἐάν, ᾧ ὑπερέχει τὸ Α τοῦ Γ, τούτῳ ὑπερέχῃ καὶ τὸ Δ τοῦ Β, ὅτι τὰ Α Β ἴσα ἐστὶν τοῖς Γ Δ. θʹ. Ἔστω δύο μεγέθη τὰ ΑΒ ΒΓ· ὅτι ὑπερέχει τὸ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ΑΒ τοῦ λόγον ἔχοντος πρὸς τὸ ΑΓ τὸν αὐτὸν τῷ λόγον ἔχοντι πρὸς τὸ ΓΒ τὸν αὐτόν. Ἔστω γὰρ τὸ μὲν πρὸς τὸ ΑΒ λόγον τινὰ ἔχον τὸ ΔΕ, τὸ δὲ πρὸς τὸ ΑΓ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχον τὸ ΔΖ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΖ πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχει τὸν αὐτόν. καὶ ἔστιν τὸ ΕΖ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει τὸ ΔΕ τοῦ ΔΖ, τουτέστιν τὸ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ΑΒ τοῦ λόγον ἔχοντος πρὸς τὸ ΑΓ τὸν αὐτόν. `7.968` ιʹ. Τὸ Α τοῦ Γ ἐλάσσονι ὑπερεχέτω ἤπερ τὸ Δ τοῦ Β· ὅτι τὰ Α Β ἐλάσσονά ἐστιν τῶν Γ Δ. Ἔστω γὰρ ᾧ ὑπερέχει τὸ Α τοῦ Γ τὸ Ε, τὰ Α Β ἄρα ἴσα ἐστὶν τοῖς Γ Ε Β. ἐπεὶ δὲ τὸ Α τοῦ Γ ἐλάσσονι ὑπερέχει ἤπερ τὸ Δ τοῦ Β, τὸ δὲ Α τοῦ Γ ὑπερέχει τῷ Ε, τὸ Ε ἄρα ἔλασσόν ἐστιν τῆς τῶν Δ Β ὑπεροχῆς, ὥστε τὰ Ε Β ἐλάσσονά ἐστιν τοῦ Δ. κοινὸν προσκείσθω τὸ Γ· τὰ Γ Ε Β ἄρα ἐλάσσονά ἐστιν τῶν Γ Δ. ἀλλὰ τὰ Γ Ε Β ἴσα ἐδείχθη τοῖς Α Β· τὰ Α Β ἄρα ἐλάσσονά ἐστιν τῶν Γ Δ. Ὁμοίως καὶ τὸ ἀναστρόφιον. καὶ τὰ ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως ὁμοίως. Τοῦ ϛʹ. αʹ. Ἔστω δύο τρίγωνα ἀμβλυγώνια τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, ἀμβλείας ἔχοντα τὰς Γ Ζ γωνίας, καὶ ἴσας τὰς Α Δ ὀξείας, ὀρθαὶ ταῖς ΒΓ ΕΖ ἤχθωσαν αἱ ΓΗ ΖΘ, ἔστω δὲ ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΕΔΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ· ὅτι ὅμοιόν ἐστιν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. `7.970` Γεγράφθω γὰρ ἐπὶ τῶν ΗΒ ΕΘ ἡμικύκλια· ἐλεύσεται δὴ καὶ διὰ τῶν Γ Ζ· ἤτοι δὴ ἐφάπτονται αἱ ΑΓ ΔΖ τῶν ἡμικυκλίων ἢ οὔ. εἰ μὲν οὖν ἐφάπτονται, φανερὸν ὅτι γίνεται ὅμοια τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ τρίγωνα. ἐὰν γὰρ λάβω τὰ κέντρα τὰ Μ Ν, καὶ ἐπιζεύξω τὰς ΜΓ ΝΖ, ἔσονται ὀρθαὶ αἱ ὑπὸ ΜΓΑ ΝΖΔ γωνίαι· καὶ εἰσὶν αἱ Α Δ γωνίαι ἴσαι· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΜΓ ἄρα τῇ ὑπὸ ΔΝΖ γωνίᾳ. καὶ τὰ ἡμίση· καὶ ἡ Β ἄρα γωνία τῇ Ε ἐστὶν ἴση. ἀλλὰ καὶ ἡ Α τῇ Δ· ὅμοια ἄρα ἐστὶν τὰ τρίγωνα. Ἀλλὰ δὴ μὴ ἐφαπτέσθωσαν, ἀλλὰ τεμνέτωσαν τὰ ἡμικύκλια κατά τινα σημεῖα τὰ Κ Λ, καὶ ἤχθωσαν κάθετοι αἱ ΜΞ ΝΟ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΚΞ τῇ ΞΓ, ἡ δὲ ΛΟ τῇ ΟΖ. ὅμοιον δὲ τὸ ΑΜΞ τῷ ΔΝΟ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΞΑ πρὸς ΑΜ, οὕτως ἡ ΟΔ πρὸς ΔΝ. ἐπεὶ δέ ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΔΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΖ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΚΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, τουτέστιν ὡς ἡ ΚΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΛΔΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΖ, τουτέστιν ἡ ΛΔ πρὸς ΔΖ· ὥστε καὶ ὡς ἡ ΞΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΟΔ πρὸς ΔΖ. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΞΑ πρὸς ΑΜ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΟΔ πρὸς ΔΝ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΜ, οὕτως ἡ ΖΔ πρὸς ΔΝ. καὶ παρὰ ἴσας γωνίας τὰς Α Δ ἀνάλογόν εἰσιν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΜΓ τῇ ὑπὸ τῶν ΔΝΖ γωνίᾳ. καὶ τὰ ἡμίση· καὶ ἡ Β ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ Ε. ἀλλὰ καὶ ἡ Α τῇ Δ καθʼ ὑπόθεσιν· ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. `7.972` Συμφανὲς δὲ τὸ ἀντίστροφον αὐτῷ· ὄντος ὁμοίου τοῦ ΑΒΓ τῷ ΔΕΖ, καὶ ὀρθῶν τῶν ὑπὸ ΒΓΗ ΕΖΘ, δεῖξαι ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΔΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΖ· ἔστιν γὰρ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων ὡς μὲν ἡ ΒΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς ΔΖ, ὡς δὲ ἡ ΗΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΘΔ πρὸς ΔΖ· καὶ ὁ συνημμένος. βʹ. Ἔστω δύο ὅμοια τμήματα μείζονα ἡμικυκλίου τὰ ἐπὶ τῶν ΑΒ ΓΔ, καὶ ἤχθωσαν κάθετοι αἱ ΕΖΗ ΘΚΛ, ἔστω δὲ ὡς ἡ ΕΗ πρὸς ΗΖ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς ΛΚ· δεικτέον ὅτι ὁμοία ἐστὶν ἡ ΒΖ περιφέρεια τῇ ΔΚ περιφερείᾳ. Εἰλήφθω τὰ κέντρα τὰ Μ Ν, καὶ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΜΞ ΜΟ ΝΠ ΝΡ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΒ ΝΔ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΟΜΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΡΝΔ γωνίᾳ — ἴσαι γάρ εἰσιν αἱ ἐν τοῖς τμήμασιν, ὥστε καὶ ἡμίσειαι. καί εἰσιν ὀρθαὶ αἱ Ο Ρ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΜΒΟ γωνία τῇ ὑπὸ ΝΔΡ γωνίᾳ. ἤχθωσαν ταῖς ΑΒ ΓΔ παράλληλοι αἱ ΖΣ ΚΤ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΖ ΝΚ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΜΣΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΝΤΚ γωνίᾳ. ἐπεὶ δέ ἐστιν ὡς ἡ ΕΗ πρὸς ΗΖ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς ΛΚ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΞΗ πρὸς ΗΖ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΠΛ πρὸς ΛΚ, ὥστε καὶ ὡς ἡ ΗΞ πρὸς ΞΖ, τουτέστιν ἡ ΜΒ πρὸς ΜΣ, τουτέστιν ἡ ΖΜ πρὸς ΜΣ, οὕτως ἡ ΛΠ πρὸς ΚΠ, τουτέστιν ἡ ΔΝ πρὸς ΝΤ, τουτέστιν ἡ ΚΝ πρὸς ΝΤ. καὶ εἰσὶν αἱ μὲν ὑπὸ ΜΣΖ ΝΤΚ ἴσαι, αἱ δὲ ὑπὸ ΜΖΣ ΝΚΤ ὀξεῖαι· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΣΜΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΤΝΚ· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΖ περιφέρεια τῇ ΔΚ περιφερείᾳ. `7.974` γʹ. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, ὀρθὰς ἔχοντα τὰς Γ Ζ γωνίας, καὶ διήχθωσαν αἱ ΑΗ ΔΘ ἐν ἴσαις γωνίαις ταῖς ὑπὸ ΒΑΗ ΕΔΘ, ἔστω τε ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ· ὅτι ὅμοιόν ἐστιν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. Γεγράφθω γὰρ περὶ τὰ ΑΒΗ ΔΕΘ τρίγωνα τμήματα κύκλων τὰ ΒΗΑ ΕΘΔ· ἤτοι δὴ ἐφάπτονται αἱ ΑΓ ΔΖ τῶν τμημάτων ἢ οὔ. ἐφαπτέσθωσαν πρότερον· ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ μὲν ὑπὸ ΒΓΗ τῷ ἀπὸ ΑΓ, τουτέστιν, ἐὰν πρὸς ὀρθὰς ἀγάγω τῇ ΑΗ τὴν ΑΚ, τῷ ὑπὸ τῶν ΗΓΚ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΕΖΘ τῷ ἀπὸ ΔΖ, τουτέστιν, ἐὰν ὀρθὴν ἀγάγω τὴν ΔΛ τῇ ΔΘ, τῷ ὑπὸ ΘΖΛ· ὥστε ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΒΓ τῇ ΓΚ, ἡ δὲ ΕΖ τῇ ΖΛ. καὶ ὀρθαὶ αἱ ΑΓ ΔΖ· διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΒΑΚ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΑΓ γωνίας, ἡ δὲ ὑπὸ ΕΔΛ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΖ. καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ ὑπὸ ΒΑΚ ΕΔΛ — ἴση γάρ ἐστιν ἡ μὲν ὑπὸ ΒΑΗ τῇ ὑπὸ ΕΔΘ, ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΗΑΚ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΘΔΛ· καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ ΕΔΖ ἄρα ἴσαι εἰσίν. ἀλλὰ καὶ ὀρθαὶ αἱ Γ Ζ· ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ, ὅπερ· ⁓ `7.976` Ἀλλὰ δὴ μὴ ἐφαπτέσθωσαν αἱ ΑΓ ΔΖ, ἀλλὰ τεμνέτωσαν κατὰ τὰ Μ Ν σημεῖα. ἔστιν οὖν ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, τουτέστιν ὡς ἡ ΜΓ πρὸς ΓΑ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΔΖΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΖ, τουτέστιν ἡ ΝΖ πρὸς ΖΔ. καὶ ἔστιν ὅμοια μείζονα τμήματα τὰ ΒΑΗ ΕΔΘ· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ περιφέρεια τῇ ΔΘ περιφερείᾳ· ὥστε ἴση ἐστὶν ἡ Β γωνία τῇ Ε· ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. Ἄλλως τὸ αὐτό. δʹ. Ἔστω δύο τρίγωνα ὀρθὰς ἔχοντα τὰς Γ Ζ γωνίας, καὶ διήχθωσαν αἱ ΑΗ ΔΘ ἐν ἴσαις γωνίαις ταῖς ὑπὸ ΒΑΗ ΕΔΘ, ἔστω τε ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΖ· ὅτι ὅμοιον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. Ἤχθωσαν ταῖς ΑΗ ΔΘ ὀρθαὶ αἱ ΑΚ ΔΛ· ἴσον ἄρα τὸ μὲν ἀπὸ ΑΓ τῷ ὑπὸ ΗΓΚ, τὸ δὲ ἀπὸ ΔΖ τῷ ὑπὸ ΘΖΛ· ἔστιν οὖν ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΓΚ, τουτέστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΚ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΖΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΖΛ, τουτέστιν ἡ ΕΖ πρὸς ΖΛ. ἤχθωσαν ταῖς ΑΚ ΔΛ παράλληλοι αἱ ΓΜ ΖΝ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΜ πρὸς ΜΑ, οὕτως ἡ ΕΝ πρὸς ΝΔ. καὶ εἰσὶν ὀρθαὶ μὲν αἱ πρὸς τοῖς Γ Ζ σημείοις, ἴσαι δὲ αἱ πρὸς τοῖς Μ Ν γωνίαι ταῖς ὑπὸ ΒΑΚ ΕΔΛ· διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. εʹ. Ἔστω δύο τρίγωνα ὀρθὰς ἔχοντα τὰς πρὸς τοῖς Β Ε σημείοις γωνίας, καὶ διήχθωσαν αἱ ΒΗ ΕΘ ἐν ἴσαις γωνίαις ταῖς ὑπὸ ΑΗΒ ΔΘΕ, ἔστω τε ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΔΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΕ· δεικτέον ὅτι ὅμοιόν ἐστιν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. `7.978–7.980` Περιγεγράφθωσαν κύκλοι, καὶ εἰλήφθω αὐτῶν τὰ κέντρα τὰ Κ Λ· φανερὸν δὴ ὅτι ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῶν Η Θ σημείων εἰσίν. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τὸ μὲν Κ μεταξὺ τῶν Γ Η σημείων, τὸ δὲ Λ μεταξὺ τῶν Δ Θ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΒΗ ΕΘ ἐπὶ τὰ Μ Ν σημεῖα, καὶ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶτὴν ΜΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΚΞ· πεσεῖται ἄρα μεταξὺ τῶν Η Β, ἀμβλεῖά τε γίνεται ἡ ὑπὸ ΑΗΒ γωνία καὶ ἔστιν ἴση τῇ ὑπὸ ΔΘΕ· ἀμβλεῖα ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΔΘΕ γωνία· ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΘΝ, ὥστε ἡ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΕΝ κάθετος ἀγομένη πίπτει μεταξὺ τῶν Θ Ν. πιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΛΟ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΟ τῇ ΟΕ, ὥστε μείζων ἐστὶν ἡ ΝΟ τῆς ΘΕ· πολλῷ ἄρα ἡ ΝΘ τῆς ΘΕ ἐστὶν μείζων, καὶ τὸ ὑπὸ ΝΘΕ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΔΘΖ, μεῖζόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΕΘ τετραγώνου. καὶ ἔστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΔΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΗΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΒ, ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον· ἔστιν γὰρ καὶ ἔλασσον, ἐπειδήπερ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΜΗ τῆς ΗΒ καὶ τὸ ὑπὸ ΜΗΒ τοῦ ἀπὸ ΗΒ· οὐκ ἄρα τοῦ Κ κέντρου ὄντος μεταξὺ τῶν Η Γ, τὸ Λ ἔσται μεταξὺ τῶν Δ Θ. ἔστω οὖν μεταξὺ τῶν Θ Ζ, καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ ἤχθω ἡ ΛΟ κάθετος. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΑΗΓ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΜΗΒ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΒ, τουτέστιν ὡς ἡ ΜΗ πρὸς ΗΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΘΖ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΝΘΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΕ, τουτέστιν ἡ ΝΘ πρὸς ΘΕ, καὶ τέτμηνται αἱ ΒΜ ΝΕ δίχα τοῖς Ξ Ο, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΞ πρὸς ΞΗ, οὕτως ἡ ΕΟ πρὸς ΟΘ. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΗΞ πρὸς ΞΚ, οὕτως ἡ ΘΟ πρὸς τὴν ΟΛ — ὀρθαὶ μὲν γὰρ αἱ Ξ Ο, ἴσαι δὲ αἱ πρὸς τοῖς Η Θ σημείοις γωνίαι· διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΞ πρὸς ΞΚ, οὕτως ἡ ΕΟ πρὸς ΟΛ.καὶ περὶ ἴσας γωνίας· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΚΞ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΕΛΟ γωνίᾳ, ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΞΚΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΟΛΘ ἴση· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΚΗ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΕΛΘ ἐστὶν ἴση. καὶ τὰ ἡμίση· καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῶν ΔΖΕ. καὶ εἰσὶν ὀρθαὶ αἱ Β Ε γωνίαι· ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. Φανερὸν δὲ καὶ τὸ τούτῳ ἀναστρόφιον, ἐὰν ᾖ ὅμοιον τὸ μὲν ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ, τὸ δὲ ΗΒΓ τῷ ΘΕΖ, ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΑΗΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΕ. ϛʹ. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, ἴσας ἔχοντα τὰς Α Λ γωνίας μὴ ὀρθὰς δέ, καὶ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΑΗ ΔΘ, ἔστω τε τὸ ὑπὸ τῶν ΒΗΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΘ, καὶ ἔστω τῶν ΒΓ ΕΖ εὐθειῶν μείζονα τμήματα τὴ ΒΗ ΕΘ· λέγω ὅτι ὅμοιόν ἐστιν τὸ μὲν ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΘ, τὸ δὲ λοιπὸν τῷ λοιπῷ. `7.982` Περιγεγράφθωσαν κύκλοι, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΑΗ ΔΘ ἐπὶ τὰ Κ Λ σημεῖα, καὶ εἰλήφθω τὰ κέντρα τῶν κύκλων τὰ Μ Ν, καὶ ἀπὸ αὐτῶν ἐπὶ τὰς ΑΚ ΒΓ ΔΛ ΕΖ κάθετοι αἱ ΜΞ ΜΟ ΝΠ ΝΡ. ἔστιν δὴ κατὰ τὰ αὐτὰ τοῖς προγεγραμμένοις ὡς ἡ ΚΗ πρὸς ΗΑ, οὕτως ἡ ΛΘ πρὸς ΘΔ, ὥστε καὶ ὡς ἡ ΑΞ πρὸς ΞΗ, οὕτως ἡ ΔΠ πρὸς ΠΘ. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΜ ΔΝ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΞ πρὸς ΞΗ, οὕτως ἡ ΑΜ πρὸς ΜΣ, ὡς δὲ ἡ ΔΠ πρὸς ΠΘ, οὕτως ἡ ΔΝ πρὸς ΝΤ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΜ πρὸς ΜΣ, οὕτως ἡ ΔΝ πρὸς ΝΤ. ἐπεζεύχθωσαν δὴ αἱ ΒΜ ΕΝ. ἐπεὶ οὖν ὅμοιόν ἐστι τὸ ΒΑΓ τμῆμα τῷ ΕΔΖ τμήματι, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΚΓ τμῆμα λοιπῷ τῷ ΕΛΖ τμήματι ὅμοιόν ἐστιν· αἱ ἄρα ἐν αὐτοῖς γωνίαι ἴσαι εἰσίν, καὶ εἰσὶν αὐτῶν καὶ ἡμίσειαι ἴσαι· αἱ ὑπὸ τῶν ΒΜΟ ΕΝΡ ἄρα γωνίαι ἴσαι εἰσίν. γίνεται οὖν ὡς ἡ ΒΜ πρὸς ΜΟ, τουτέστιν ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΟ, οὕτως ἡ ΕΝ πρὸς ΝΡ, τουτέστιν ἡ ΔΝ πρὸς ΝΡ. ἔστιν δὲ καὶ ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΣ, οὕτως ἡ ΔΝ πρὸς ΝΤ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΜΟ πρὸς ΜΣ, οὕτως ἡ ΡΝ πρὸς ΝΤ. καὶ εἰσὶν ὀρθαὶ μὲν αἱ Ο Ρ γωνίαι, ὀξεῖα δὲ ἑκατέρα τῶν Σ Τ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΟΜΣ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΡΝΤ γωνίᾳ. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΜΟ τῇ ὑπὸ ΕΝΡ ἐστὶν ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΜΣ ἄρα τῇ ὑπὸ τῶν ΕΝΤ ἐστὶν ἴση, ὥστε καὶ ἡ Γ γωνία τῇ Ζ ἐστὶν ἴση· ὅμοια ἄρα ἐστὶν πάντα πᾶσιν. `7.984–7.986` ζʹ. Δυνατὸν δὲ καί, τῆς μιᾶς πτώσεως προγεγραμμένης τῆς δείξεως, τὸ λοιπὸν ἀποδοῦναι οὕτως. ὑποκείσθω γὰρ ἀποδεδεῖχθαι οὐσῶν ἴσων ἀμβλειῶν τῶν γωνιῶν τὸ πρότερον κατὰ τὸν προγεγραμμένον τρόπον, καὶ ἔστω, δυεῖν ὀξειῶν οὐσῶν ἴσων τῶν ὑπὸ ΒΑΓ ΕΔΖ, δεῖξαι ὅτι ὅμοια τὰ τρίγωνα. καὶ πάλιν περιγεγράφθωσαν οἱ κύκλοι καὶ ἐκβεβλημένων τῶν ΑΗ ΔΘ ἐπὶ τὰ Κ Λ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΚ ΚΓ ΕΛ ΛΖ· ἴσαι ἄρα εἰσὶν καὶ αἱ ὑπὸ ΒΚΓ ΕΛΖ γωνίαι ἀμβλεῖαι. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΒΗΓ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΑΗΚ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ, τουτέστιν ἡ ΚΗ πρὸς ΗΑ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΘΖ,τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΔΘΛ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΘ, τουτέστιν ἡ ΛΘ πρὸς ΘΔ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΚ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΔΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΛ. ἔστιν δὲ καὶ ὡς τὸ ὑπὸ ΒΗΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΘ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ ΒΗΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΚ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΛ. καὶ εἰσὶν ἴσαι ἀμβλεῖαι αἱ ὑπὸ τῶν ΒΚΓ ΕΛΖ γωνίαι, καὶ κάθετοι αἱ ΚΗ ΛΘ· διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον, ὅμοιόν ἐστι τὸ μὲν ΒΚΗ τρίγωνον τῷ ΕΛΘ τριγώνῳ, τὸ δὲ ΓΚΗ τῷ ΖΛΘ, ὥστε καὶ τὸ μὲν ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΘ τριγώνῳ ἐστὶν ὅμοιον, τὸ δὲ ΑΗΓ τῷ ΔΘΖ, ὥστε καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓ ὅλῳ τῷ ΔΕΖ ἐστὶν ὅμοιον. ηʹ. Θέσει δεδομένων τῶν ΑΒ ΑΓ, ἀγαγεῖν παρὰ θέσει τὴν ΔΕ καὶ ποιεῖν δοθεῖσαν τὴν ΔΕ. Γεγονέτω, καὶ διὰ τοῦ Α τῇ ΔΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΖ· παρὰ θέσει ἄρα ἐστίν. καὶ ἔστιν δοθὲν τὸ Α· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ. διὰ δὲ τοῦ Ε τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΔΕ. καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΔΕ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΑΖ. ἀλλὰ καὶ θέσει· καὶ δοθέν ἐστιν τὸ Α· δοθὲν ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ Ζ. διὰ δὴ δεδομένου τοῦ Ζ παρὰ θέσει τῇ ΑΒ ἦκται ἡ ΖΕ· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΕ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΑΓ· δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ Ε. καὶ διὰ αὐτοῦ παρὰ θέσει ἦκται ἡ ΔΕ· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ. Συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως. ἔστωσαν αἱ μὲν τῇ θέσει δεδομέναι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΑΓ, ἡ δὲ δοθεῖσα τῷ μεγέθει ἔστω ἡ Η, παρʼ ἣν δὲ ἄγεται ἔστω ἡ ΑΖ, καὶ τῇ Η ἴση κείσθω ἡ ΑΖ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Ζ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΕ, διὰ δὲ τοῦ Ε τῇ ΑΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΔ· λέγω ὅτι ἡ ΔΕ ποιεῖ τὸ πρόβλημα. Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΑΖ, ἀλλὰ ἡ ΑΖ τῇ Η ἐστὶν ἴση, τουτέστιν τῇ δοθείσῃ, καὶ ἡ ΔΕ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ Η τῇ δοθείσῃ· ἡ ΔΕ ἄρα ποιεῖ τὸ πρόβλημα. καὶ φανερὸν ὅτι μόνη· αἰεὶ γὰρ ἡ ἔγγιον τοῦ Α τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάσσων. `7.988` θʹ. Ἔστω δύο ἐπίπεδα τὰ ΑΒΓ ΕΒΖ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΒΓ ἐφεστῶτα, τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τῷ ὑποκειμένῳ ὀρθά· λέγω ὅτι ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ εἰσὶν αἱ ΑΒ ΒΕ ΒΓ εὐθεῖαι. Ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΒΓ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὀρθὴ ἡ ΗΒ· καὶ τῷ ΕΒΖ ἄρα ἐπιπέδῳ ἔσται ὀρθὴ ἡ ΗΒ, ὥστε καὶ τῇ ΒΕ ἐστὶν ὀρθή. κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ τῇ ΑΒ. ἔστι δὲ καὶ τῇ ΒΓ εὐθείᾳ ἡ ΒΗ ὀρθή· ἡ ΒΗ ἄρα τρισὶν εὐθείαις ταῖς ΑΒ ΒΕ ΒΓ ὀρθὴ ἐπὶ τῆς ἁφῆς τῆς Β ἐφέστηκεν· διὰ ἄρα τὸ ιαʹ στοιχείων ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ αἱ ΑΒ ΒΕ ΒΓ εὐθεῖαι. ιʹ. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, ὀρθὰς ἔχοντα τὰς Α Δ γωνίας, καὶ διήχθωσαν αἱ ΑΗ ΔΘ ἐν ἴσαις γωνίαις ταῖς ὑπὸ ΑΗΒ ΔΘΕ, ἔστω δὲ ὡς ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΓ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΖ· ὅτι ὅμοιόν ἐστιν τὸ μὲν ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΘ τριγώνῳ, τὸ δὲ ΑΗΓ τῷ ΔΘΖ. `7.990` Ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΗ, καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΔΘ πρὸς ΘΕ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΚ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΚ ΚΓ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΕΘ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΚΗ γωνίᾳ. ἐπεὶ δέ ἐστιν ὡς μὲν ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς ΘΖ, ὡς δὲ ἡ ΓΗ πρὸς ΗΚ, οὕτως ἡ ΔΘ πρὸς ΘΕ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ἐν τεταραγμένῃ ἀναλογίᾳ ὡς ἡ ΒΗ πρὸς ΗΚ, οὕτως ἡ ΔΘ πρὸς ΘΖ, καὶ περὶ ἴσας γωνίας· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΚΗ γωνία τῇ Ζ γωνίᾳ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΚΗ γωνία ἴση τῇ Ε, καὶ εἰσὶν αἱ Ε Ζ ὀρθῇ ἴσαι· ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ γωνία ἐστὶν ὀρθή. ἀλλὰ καθʼ ὑπόθεσιν καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία ὀρθή· ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶν τὰ Α Β Γ Κ σημεῖα· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΑΚΓ, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΔΕΘ, τῇ ὑπὸ ΑΒΓ. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΒ γωνία καθʼ ὑπόθεσιν ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΔΘΕ γωνίᾳ· ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΘ τριγώνῳ. κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ τὸ ΑΗΓ τρίγωνον τῷ ΔΘΖ ἐστὶν ὅμοιον. Ἄλλως ἄμεινον. ιαʹ. Τετμήσθωσαν δίχα τοῖς Κ Λ σημείοις αἱ ΒΓ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ ΔΛ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς ΘΖ, συνθέντι καὶ τὰ ἡμίση τῶν ἡγουμένων καὶ ἀναστρέψαντι γίνεται ὡς ἡ ΓΚ, τουτέστιν ἡ ΑΚ, πρὸς ΚΗ, οὕτως ἡ ΛΖ, τουτέστιν ἡ ΔΛ, πρὸς ΛΘ. καὶ εἰσὶν ἴσαι μὲν αἱ πρὸς τοῖς Η Θ σημείοις γωνίαι, αἱ δὲ ὑπὸ ΚΑΗ ΛΔΘ ἑκατέρα ἅμα ὀξεῖα· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΑΚΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΛΘ γωνίᾳ. καὶ τὰ ἡμίση· καὶ ἡ Β ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ Ε. ἀλλὰ καὶ ἡ Η γωνία τῇ Θ ἴση ἐστίν· ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΘ τριγώνῳ. κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ τὸ ΑΗΓ τρίγωνον τῷ ΔΘΖ τριγώνῳ ἐστὶν ὅμοιον. Τοῦ ζʹ ηʹ. αʹ. Παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον τὸ ΑΓ, καὶ διήχθω ἡ ΕΖΑ· ὅτι τὸ ὑπὸ ΕΑΖ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΖΒΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΕΔΓ. `7.992` Ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΓ ΓΖ, ὧν τὰ ἀπὸ τῶν ΕΑ ΑΖ τετράγωνα ἴσα ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΔ ΔΑ, τουτέστιν τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΔ ΓΒ, καὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΖ, τουτέστιν τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΔ ΒΖ τετραγώνοις, λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΕΑΖ ἴσον ἐστὶν τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν ΕΔ ΔΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΖΒ ΒΓ· καὶ τὸ ἅπαξ ἄρα ὑπὸ τῶν ΕΑΖ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΕΔΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΖΒΓ, ὅπερ· ⁓ βʹ. Παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον τὸ ΑΓ, καὶ διήχθω ἡ ΕΑΖ· ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΕΔ ΔΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΓΒΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΕΑΖ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΓ ΓΖ, ἔστιν δὲ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΑ ΑΖ τετράγωνα ἴσα τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΔ ΔΓ ΓΒ ΒΖ, καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΕΑΖ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΕΔΓ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒΖ, ὥστε καὶ τὸ ἅπαξ τῷ ἅπαξ. γʹ. Ἔστω μείζων ἡ ΑΒ τῆς ΓΔ, καὶ ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΕΒ τῷ ὑπὸ ΓΖΔ, καὶ ἔστω μείζω τμήματα τὰ ΑΕ ΓΖ· ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΑΕ τῆς ΓΖ. `7.994` Τετμήσθωσαν ὅλαι αἱ ΑΒ ΓΔ δίχα τοῖς Η Θ σημείοις· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΒ τῆς ΔΘ, ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ ΗΒ μεῖζον τοῦ ἀπὸ ΔΘ τετραγώνου. ἔστιν δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ΑΕΒ ἴσον τῷ ὑπὸ ΓΖΔ· καὶ τὸ ἀπὸ ΗΕ ἄρα μεῖζόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΘΖ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΕ τῆς ΘΖ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΗ μείζων τῆς ΓΘ· ὅλη ἄρα ἡ ΑΕ ὅλης τῆς ΓΖ μείζων ἐστίν. δʹ. Ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΕΒ τῷ ὑπὸ ΓΖΔ, ἴσων οὐσῶν τῶν ΑΒ ΓΔ· ὅτι τὰ μείζονα τμήματα τὰ ΑΕ ΓΖ ἴσα ἐστίν. — τὸ δʼ ἐφεξῆς· τετμήσθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ ΓΔ δίχα τοῖς Η Θ· ⁓ — εʹ. Ἔστω μὲν μείζων ἡ ΑΒ τῆς ΓΔ, ἐλάσσων δὲ ἡ ΒΕ τῆς ΔΖ, οὔσης μείζονος τῆς μὲν ΑΒ τῆς ΒΕ, τῆς δὲ ΓΔ τῆς ΔΖ· ὅτι ἡ τῶν ΑΒ ΒΕ ὑπεροχὴ μείζων ἐστὶν τῆς τῶν ΓΔ ΔΖ ὑπεροχῆς. Ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΓΔ, καὶ ἡ τῶν ΑΒ ΒΕ ὑπεροχὴ ἄρα μείζων ἐστίν. τῆς τῶν ΓΔ ΕΒ ὑπεροχῆς. ἀλλὰ ἡ τῶν ΓΔ ΕΒ μείζων ἐστὶν τῆς τῶν ΓΔ ΔΖ ὑπεροχῆς — ἐλάσσων γάρ ἐστιν ἡ ΕΒ τῆς ΔΖ —, ὥστε ἡ τῶν ΑΒ ΒΕ ὑπεροχὴ πολλῷ μείζων ἐστὶν τῆς τῶν ΓΔ ΔΖ ὑπεροχῆς. ϛʹ. Ἔστω ἴση ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΔΕ τῇ ΕΖ· ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΓ ΔΖ τετραπλάσιόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΑΒ ΔΕ. Ἐπεὶ γὰρ διπλῆ ἐστιν ἡ ΓΑ τῆς ΑΒ, κοινὸν ὕψος ἡ ΔΕ τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΑ ΔΕ διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΑΒ ΔΕ. πάλιν ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΔΖ τῆς ΔΕ, κοινὸν ὕψος ἡ ΑΓ τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΓ ΔΖ διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΑΓ ΔΕ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΑΓ ΔΕ τοῦ ὑπὸ ΑΒ ΔΕ διπλάσιόν ἐστιν· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΓ ΔΖ τετραπλάσιόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΑΒ ΔΕ. ζʹ. Ἔστω ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ, ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΘ· ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΗ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕΘ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΔΘΖ. `7.996` Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΘ, ἀναστρέψαντί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΘ· ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΘ. ἀλλὰ καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕΘ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΔΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕΘ. ἐπεὶ δὲ ὑπόκειται ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ, ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι ὡς ἄρα ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ, οὕτως ἡ ΖΔ πρὸς ΔΕ. ἔστιν δὲ καὶ ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΘ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΗ, οὕτως ἡ ΖΔ πρὸς ΔΘ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΗ πρὸς ΗΑ, οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΔΘ, καὶ ὡς τὸ ὑπὸ πρὸς τὸ ἀπό, οὕτως τὸ ὑπὸ πρὸς τὸ ἀπό. ἀλλὰ καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΔΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕΘ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΒΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΗΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΕΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΘΖ. ηʹ. Ἔστω δοθέντα συναμφότερα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ, καὶ δοθεῖσα ἡ τῶν ἀπὸ ΑΒ ΒΓ ὑπεροχή· ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΑΒ ΒΓ. `7.998` Κείσθω γὰρ τῇ ΓΒ ἴση ἡ ΒΔ· δοθὲν ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΑΔ — ὑπεροχὴ γάρ ἐστιν τῶν ἀπὸ ΑΒ ΒΓ τετραγώνων. ἀλλὰ καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑΔ δοθέν ἐστιν — ἐπεὶ καὶ τὸ ὑπὸ ΓΑΔ δοθέν ἐστιν· δοθὲν ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΑ ΑΔ, ὥστε δοθεῖσά ἐστι συναμφότερος ἡ ΓΑ ΑΔ. καὶ ἔστιν αὐτῆς ἡμίσεια ἡ ΒΑ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΑ, ὥστε καὶ ἡ ΒΓ δοθεῖσά ἐστιν. θʹ. Ἔστω ἴση ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΔΕ τῇ ΕΖ, ἔτι δὲ ἔστω ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ΕΘ· ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΑΗΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΘΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖΘ. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΑ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ΕΔ, ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ΕΘ, ἔσται ἄρα καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΗΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΔΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΘΕ. ἀλλὰ καὶ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΔΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΖ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖΘ· ἔσται ἄρα διʼ ἴσου ὡς τὸ ὑπὸ ΑΗΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΘΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖΘ. ιʹ. Ἔστω ἴση ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΒΓ, ἐλάσσων δὲ ἡ ΒΔ τῆς ΒΕ· ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ. Ἐπεὶ γὰρ ἴση μέν ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ, ἐλάσσων δὲ ἡ ΒΔ τῇ ΒΕ, ἡ ΓΔ ἄρα μείζων ἐστὶν τῆς ΑΕ, ὥστε καὶ ἡ ΓΕ μείζων ἐστὶν τῆς ΑΔ. ἔλασσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΑΔΒ τοῦ ὑπὸ ΓΕΒ, μεῖζον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ τοῦ ὑπὸ ΒΑΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΔΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΓΔ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ὑπὸ ΓΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΑΕ. `7.1000` ιαʹ. Ἔστω δὲ νῦν τὸ τοῖς προηγουμένοις ἀναστρόφιον δεῖξαι. οὔσης ἴσης τῆς μὲν ΑΒ τῇ ΒΓ, τῆς δὲ ΔΕ τῇ ΕΖ, ἔστω ὡς τὸ ὑπὸ ΑΗΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΘΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖΘ· δεῖξαι ὅτι γίνεται ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ΕΘ. `7.1002` Κείσθω τῷ μὲν ὑπὸ ΑΗΒ ἴσον τὸ ὑπὸ ΓΗ ΑΚ, τῷ δὲ ὑπὸ ΔΘΕ ἴσον τὸ ὑπὸ ΖΘ ΔΛ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΑΚ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ, τουτέστιν ἡ ΑΚ πρὸς ΒΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΛ ΖΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖΘ, τουτέστιν ἡ ΔΛ πρὸς ΕΖ. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΑ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΖΕ πρὸς ΕΔ· αἱ ΑΚ ΒΓ ΒΚ ἄρα ταῖς ΔΛ ΕΖ ΕΛ ὁμοταγεῖς εἰσιν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ. ἐπεὶ δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΚ ΓΗ, ἀμφότερον ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΚ ΗΒ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΗΚ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΚ ΒΓ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΚ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΒΗΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ. διὰ ταὐτὰ δὴ καὶ ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΔΛ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΛ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘΛ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΛ. καὶ ἔστιν ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΚ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΔΛ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΛ διὰ τὴν ἀναλογίαν τῶν ὁμοταγῶν τμημάτων· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΗΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΘΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΛ. καὶ ἔστιν τὰ αὐτὰ τμήματα τὰ ΒΗ ΕΘ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΚΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ ΛΕ πρὸς ΕΘ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΖΕ πρὸς ΕΘ. ιβʹ. Ἔστω ἴση ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΔΕ τῇ ΕΖ, ἔτι δὲ ἡ ΒΓ πρὸς ΓΗ μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΘ· ὅτι ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως καὶ ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΒΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΕΖ, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ἐλάσσω. Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΓ πρὸς ΓΗ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς ΖΘ, ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἡ ΓΒ πρὸς ΒΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΕ πρὸς ΕΘ, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζω· ὥστε καὶ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΔΕ πρὸς ΕΘ, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζω· καὶ ἡ ΗΑ ἄρα πρὸς τὴν ΑΒ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΔ πρὸς ΔΕ, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ἐλάσσω. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς ΕΖ· διʼ ἴσου ἄρα ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΒΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΕΖ, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ἐλάσσω. ιγʹ. Ἔστω πάλιν ἴση ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΔΕ τῇ ΕΖ, ἔτι δὲ ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΘΕ· ὅτι καὶ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΗ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΘ. `7.1004` Ἐπεὶ γὰρ κατὰ ἀναστροφὴν καὶ διαίρεσιν ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΑ, τουτέστιν τὴν ΒΓ, ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΔ, τουτέστιν πρὸς τὴν ΕΖ, ἀναστρέψαντι καὶ διελόντι ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΗ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΘ. ιδʹ. Ἴση ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΔΕ τῇ ΕΖ, καὶ ἔτι ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΘΕ· ὅτι ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΖ. Ἐπεὶ γὰρ κατὰ διαίρεσιν ἡ ΑΒ, τουτέστιν ἡ ΒΓ, πρὸς τὴν ΒΗ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΔΕ, τουτέστιν ἡ ΕΖ, πρὸς τὴν ΕΘ, ἀναστρέψαντι καὶ κατὰ διαίρεσιν ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΖ. Εἰς τοὺς πρὸς ἐπιφανείᾳ. αʹ. Ἐὰν ᾖ εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ παρὰ θέσει ἡ ΓΔ, καὶ ᾖ λόγος τοῦ ὑπὸ ΑΔΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ, τὸ Γ ἅπτεται κωνικῆς γραμμῆς. ἐὰν οὖν ἡ μὲν ΑΒ στερηθῇ τῆς θέσεως, καὶ τὰ Α Β στερηθῇ τοῦ δοθέντος εἶναι, γένηται δὲ πρὸς θέσει εὐθεῖα ταῖς ΑΕ ΕΒ, τὸ Γ μετεωρισθὲν γίνεται πρὸς θέσει ἐπιφανείας. τοῦτο δὲ ἐδείχθη. `7.1006` βʹ. Ἐὰν ᾖ θέσει εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ δοθὲν τὸ Γ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, καὶ διαχθῇ ἡ ΔΓ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἀχθῇ ἡ ΔΕ, λόγος δὲ ᾖ τῆς ΓΔ πρὸς ΔΕ, τὸ Δ ἅπτεται θέσει κωνικῆς τομῆς. δείκνυται δὲ ὅτι γραμμῆς μέρος ποιεῖ τὸν τόπον. δειχθήσεται δὲ οὕτως, προγραφέντος τόπου τοῦδε. γʹ. Δύο δοθέντων τῶν Α Β, καὶ ὀρθῆς τῆς ΓΔ, λόγος ἔστω τοῦ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὰ ἀπὸ ΓΔ ΔΒ· λέγω ὅτι τὸ Γ ἅπτεται κώνου τομῆς, ἐάν τε ᾖ ὁ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον ἢ μείζων πρὸς ἐλάσσονα ἢ ἐλάσσων πρὸς μείζονα. Ἔστω γὰρ πρότερον ὁ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον· καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΑΔ τοῖς ἀπὸ ΓΔ ΔΒ, κείσθω τῇ ΒΔ ἴση ἡ ΔΕ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΒΑΕ τῷ ἀπὸ ΔΓ. τετμήσθω δίχα ἡ ΑΒ τῷ Ζ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ. καὶ ἔστιν διπλῆ ἡ ΑΕ τῆς ΖΔ, ὥστε τὸ ὑπὸ ΒΑΕ τὸ δίς ἐστιν ὑπὸ τῶν ΑΒ ΖΔ. καὶ ἔστιν ἡ διπλῆ τῆς ΑΒ δοθεῖσα· τὸ ἄρα ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς ΖΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΓ· τὸ Γ ἄρα ἅπτεται θέσει παραβολῆς ἐρχομένης διὰ τοῦ Ζ. `7.1008` δʹ. Συντεθήσεται δὴ ὁ τόπος οὕτως. ἔστω τὰ δοθέντα Α Β, ὁ δὲ λόγος ἔστω ἴσος πρὸς ἴσον, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα τῷ Ζ, τῆς δὲ ΑΒ διπλῆ ἔστω ἡ Ρ, καὶ θέσει οὔσης εὐθείας τῆς ΖΒ πεπερασμένης κατὰ τὸ Ζ, τῆς δὲ Ρ δεδομένης τῷ μεγέθει, γεγράφθω περὶ ἄξονα τὸν ΖΒ παραβολὴ ἡ ΗΖ, ὥστε, οἷον ἐὰν ἐπʼ αὐτῆς σημεῖον ληφθῇ ὡς τὸ Γ, κάθετος δὲ ἀχθῇ ἡ ΓΔ, ἴσον εἶναι τὸ ὑπὸ Ρ ΖΔ τῷ ἀπὸ ΔΓ, καὶ ἤχθω ὀρθὴ ἡ ΒΗ· λέγω ὅτι τὸ ΓΗ μέρος τῆς παραβολῆς ἐστιν. Ἤχθω γὰρ κάθετος ἡ ΓΔ, καὶ τῇ ΒΔ ἴση κείσθω ἡ ΔΕ. ἐπεὶ οὖν διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΒΖ, ἡ δὲ ΕΒ τῆς ΒΔ, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΖΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΑΕ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ ΖΔ, τουτέστιν τῷ ἀπὸ ΔΓ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΕΔ ἴσον ὂν τῷ ἀπὸ ΔΒ· ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΔ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΔ ΔΒ· ἡ ΖΓΗ ἄρα γραμμὴ ποιεῖ τὸν τόπον. `7.1010` εʹ. Ἔστω δὴ πάλιν τὰ δύο δοθέντα σημεῖα τὰ Α Β, καὶ κατήχθω ὀρθὴ ἡ ΔΓ, λόγος δὲ ἔστω τοῦ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὰ ἀπὸ ΒΔ ΔΓ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως μείζων πρὸς ἐλάσσονα, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ἐλάσσων πρὸς μείζονα· λέγω ὅτι τὸ Γ ἅπτεται κώνου τομῆς, ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλλείψεως, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολῆς. Ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὰ ἀπὸ ΒΔ ΔΓ, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ· ἐπὶ μὲν οὖν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΒΔ τῆς ΔΕ, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων ἐστὶν ἡ ΒΔ τῆς ΔΕ. κείσθω τῇ ΕΔ ἴση ἡ ΔΖ. ἐπεὶ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὰ ἀπὸ ΓΔ ΔΒ, καὶ ἔστιν αὐτῷ ὁ αὐτὸς ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ, καὶ λοιπὸς ἄρα τοῦ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ λόγος ἐστὶν δοθείς. ἐπεὶ δὲ λόγος ἐστὶν τῆς ΕΔ πρὸς ΔΒ καὶ τῆς ΖΒ πρὸς ΒΔ, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΗ· καὶ ὅλης ἄρα τῆς ΑΖ πρὸς ΔΗ λόγος ἐστὶν δοθείς. πάλιν ἐπεὶ λόγος ἐστὶν τῆς ΕΔ πρὸς ΔΒ δοθείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς ΑΘ πρὸς ΒΘ· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΘ ἐστὶν δοθείς· καὶ λοιπὸς ἄρα τῆς ΑΕ πρὸς ΘΔ λόγος ἐστὶν δοθείς· καὶ τοῦ ὑπὸ ΖΑΕ ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΔΗ λόγος ἐστὶ δοθείς. τοῦ δὲ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ λόγος ἐστὶν δοθείς· καὶ τοῦ ὑπὸ ΗΔΘ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ λόγος ἐστὶν δοθείς. καὶ ἔστιν δύο δοθέντα τὰ Θ Η· ἐπὶ μὲν ἄρα τῆς πρώτης πτώσεως τὸ Γ ἅπτεται ἐλλείψεως, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολῆς. ϛʹ. Συντεθήσεται δὲ ὁ τόπος οὕτως. ἔστω τὰ μὲν δύο δοθέντα σημεῖα τὰ Α Β, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος ὁ τοῦ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ, ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως μείζων πρὸς ἐλάσσονα, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ἐλάσσων πρὸς μείζονα, καὶ τῇ ΡΤ ἴση κείσθω ἡ ΤΥ, καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΥΣ πρὸς τὴν ΣΤ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, πεποιήσθω δὲ καὶ ὡς ἡ ΡΤ πρὸς τὴν ΤΣ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΒ, καὶ γεγράφθω περὶ ἄξονα τὸν ΘΗ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἔλλειψις, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολή, ὥστε, οἷον ἐὰν ἐπʼ αὐτῆς ληφθῇ σημεῖον ὡς τὸ Γ, καὶ κάθετος ἀχθῇ ἡ ΓΔ, λόγον εἶναι τοῦ ὑπὸ τῶν ΘΔΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ τὸν συνημμένον ἐκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΥ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ὁ δοθεὶς λόγος ὅς ἐστιν ὁ τοῦ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ, κατήχθω ὀρθὴ ἡ ΒΚ· λέγω ὅτι ἡ ΘΚ ποιεῖ τὸ ἐπίταγμα. `7.1012` Ἤχθω γὰρ κάθετος ἡ ΓΔ, καὶ πεποιήσθω ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΔ, ὡς δὲ ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΒ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΒ, ὥστε ἔσται ὁ μὲν τῆς ΔΗ πρὸς τὴν ΑΖ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΗΒ πρὸς τὴν ΒΑ, τουτέστιν τῷ τῆς ΤΣ πρὸς ΣΥ, ὁ δὲ τῆς ΘΔ πρὸς ΑΕ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΤΣ πρὸς ΣΡ — τὸ αὐτὸ γὰρ ἐν τῇ ἀναλύσει ἀπεδείχθη —, ὥστε τοῦ ὑπὸ ΘΔΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΕ λόγος συνῆπται ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΥ καὶ ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ· ἀλλʼ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΘΔΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ τὸν συνημμένον ἔχει λόγον ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΥ καὶ ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ὁ δοθεὶς λόγος, καὶ ἔστιν ὁ δοθεὶς λόγος ὁ τοῦ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ, καὶ τὸ ὑπὸ ΘΔΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ συνῆπται ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὸ ὑπὸ ΘΔΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΕ καὶ τὸ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ, καὶ ἔστιν ὁ τοῦ ὑπὸ τῶν ΘΔΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΕ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ συνημμένῳ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΥ καὶ ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ, λοιπὸς ἄρα τοῦ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ, τουτέστι τῷ τοῦ ἀπὸ ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ. καὶ πάντα πρὸς πάντα· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὰ ἀπὸ ΓΔ ΔΒ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ, τουτέστιν ὁ δοθεὶς λόγος, ὥστε τὸ ΘΚ μέρος τῆς τομῆς ποιεῖ τὸν τόπον. `7.1014` ζʹ. Τούτων οὕτως ἐχόντων ἐλευσόμεθα ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς. ἔστω θέσει εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ δοθὲν τὸ Γ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, καὶ διήχθω ἡ ΔΓ, κάθετος ἡ ΔΕ, λόγος δὲ ἔστω τῆς ΓΔ πρὸς ΔΕ· λέγω ὅτι τὸ Δ ἅπτεται κώνου τομῆς, καὶ ἐὰν μὲν ὁ λόγος ᾖ ἴσος πρὸς ἴσον, παραβολῆς, ἐὰν δὲ ἐλάσσων πρὸς μείζονα, ἐλλείψεως, ἐὰν δὲ μείζων πρὸς ἐλάσσονα, ὑπερβολῆς. Ἔστω γὰρ πρότερον ὁ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον, τουτέστιν ἔστω πρότερον ἴση ἡ ΓΔ τῇ ΔΕ· δεῖξαι ὅτι τὸ Δ ἅπτεται παραβολῆς. Ἤχθω κάθετος ἡ ΓΖ — θέσει ἄρα ἐστί —, τῇ δὲ ΑΒ παράλληλος ἡ ΔΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΕΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΓ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΕΔ τῇ ΖΗ, τὸ δὲ ἀπὸ ΔΓ ἴσον τοῖς ἀπὸ ΔΗ ΗΓ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΖΗ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΔΗ ΗΓ. καὶ ἔστιν θέσει ἡ ΖΓ, καὶ δύο δοθέντα τὰ Ζ Γ· τὸ Δ ἄρα ἅπτεται παραβολῆς· τοῦτο γὰρ προδέδεικται. ηʹ. Συντεθήσεται δὴ οὕτως. ἔστω ἡ τῇ θέσει ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν τὸ Γ, καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΓΖ, καὶ θέσει οὔσης τῆς ΓΖ καὶ δύο δοθέντων τῶν Ζ Γ, εὑρήσθω παραβολὴ ἡ ΔΘ, ὥστε, οἷον ἐὰν ληφθῇ σημεῖον ὡς τὸ Δ, ἀχθῇ δὲ κάθετος ἡ ΔΗ, ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΖΗ τοῖς ἀπὸ ΔΗ ΗΓ· λέγω ὅτι ἡ ΔΘ γραμμὴ ποιεῖ τὸν τόπον, τουτέστιν, οἵα τις ἂν διαχθῇ ὡς ἡ ΓΔ καὶ κάθετος ἡ ΔΕ, ἴση ἐστὶν ἡ ΓΔ τῇ ΔΕ. Ἤχθω κάθετος ἡ ΔΗ· διὰ ἄρα τῆς παραβολῆς ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΖΗ τοῖς ἀπὸ ΔΗ ΗΓ. καὶ ἔστιν τῇ μὲν ΖΗ ἴση ἡ ΕΔ, τοῖς δὲ ἀπὸ ΔΗ ΗΓ ἴσον τὸ ἀπὸ ΔΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΔΕ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ τῇ ΔΕ· ἡ ἄρα ΔΘ γραμμὴ ποιεῖ τὸν τόπον. `7.1016` Λῆμμα τοῦ ἀναλυομένου. Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ, ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως. ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ καὶ ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕΗ ΓΕΖ ΒΕΔ· ὅτι ἡ ΒΔ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΑΓ. Ἐπεὶ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ, καὶ ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ, ὡς ἄρα ἡ ΑΖ πρὸς ΒΖ, ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ. συνθέντι καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, ἡ ΖΒ πρὸς ΗΓ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ· ὡς ἄρα ἡ ΖΒ πρὸς ΗΓ, ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ· ἴση ἄρα ἡ ΖΒ τῇ ΒΗ. Ἔστω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ καὶ ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΖΒ τῇ ΒΗ. Ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ, ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ, συνθέντι καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, τουτέστιν ὡς ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ, ἡ ΖΒ πρὸς ΗΓ· ἴση ἄρα ἡ ΖΒ τῇ ΒΗ. Τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ, ὀρθὴ ἡ Β, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ καὶ ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΕΖ ΑΕΗ ΒΕΔ· ὅτι ἡ ΒΔ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΑΓ. `7.1020` Γεγονέτω· ὅμοια ἄρα τὰ ΑΒΔ ΒΔΓ τρίγωνα τῷ ὅλῳ ΑΒΓ καὶ ἀλλήλοις· ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, τουτέστιν ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΔΒ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΖΔ, ἡμίσεια ἄρα ὀρθῆς ἐστιν ἡ ὑπὸ ΖΔΒ. διὰ ταὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΓ δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΔΗ· ἡμίσεια ἄρα ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΒΔΗ· ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΔΗ. ὀρθὴ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΗ· ἐν κύκλῳ ἄρα τὸ ΒΖΔΗ τετράπλευρον. καὶ ἔστιν ἡ ὑπὸ ΖΔΒ τῇ ὑπὸ ΒΔΗ ἴση· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΖΒ τῇ ΒΗ. ## License and provenance Eulogikon publishes public-domain Greek texts in cleaned, structured, readable form and makes no copyright claim over that preparation (Public Domain Mark 1.0, https://creativecommons.org/publicdomain/mark/1.0/). Cite as `eul_wid: txs-abf`.