---
title: "Synagogue: Book VI"
title_greek: "Συναγωγή, Ϛʹ"
author: Pappus of Alexandria
eul_wid: txs-abe
eul_aid: txs
canonical: "https://eulogikon.org/works/pappus-alexandria-synagogue-book-6-txs-abe"
lang: grc
period: Late Antique
dialect: Koine
content_hash: "sha256:aa14518763801bf85ed85d47fd2fb55815f868eaff5a164c556db95fd925ea46"
content_modified_at: "2026-10-23"
license: "https://creativecommons.org/publicdomain/mark/1.0/"
---
# Synagogue: Book VI
*Συναγωγή, Ϛʹ*
**Author:** Pappus of Alexandria
**eul_wid:** `txs-abe` · [HTML page](https://eulogikon.org/works/pappus-alexandria-synagogue-book-6-txs-abe)
## Text
Part of [Synagogue](/works/pappus-alexandria-synagogue-txs-ab)
`6.474`
ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ ϛ.
Περιέχει δὲ ἀποριῶν λύσεις τῶν ἐν τῷ μικρῷ ἀστρονομουμένῳ.
Πολλοὶ τῶν τὸν ἀστρονομούμενον τόπον διδασκόντων ἀμελέστερον τῶν προτάσεων ἀκούοντες τὰ μὲν προστιθέασιν ὡς ἀναγκαῖα, τὰ δὲ παραλείπουσιν ὡς οὐκ ἀναγκαῖα. λέγουσιν γὰρ ἐπὶ τοῦ ἕκτου θεωρήματος τοῦ τρίτου τῶν Θεοδοσίου σφαιρικῶν, ὅτι δεῖ τῶν δύο μεγίστων κύκλων ἑκάτερον ὑπὸ τοῦ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας τέμνεσθαι πρὸς ὀρθάς· τοῦτο δὲ οὐ πάντως. ὁμοίως δὲ παραλείπουσιν ἐν τῷ βʹ θεωρήματι τῶν φαινομένων Εὐκλείδου, ποσάκις ὁ ζῳδιακὸς ἔσται ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα. κἀν τῷ δʹ θεωρήματι τοῦ περὶ ἡμερῶν καὶ νυκτῶν ψευδογραφοῦσι τὸν Θεοδόσιον, καὶ ἄλλα δέ τινα τῶν ἑξῆς ὡς οὐκ ἀναγκαῖα παραλείπουσιν, ὧν ἕκαστον ἐπιδείξομεν ἡμεῖς.
αʹ. Ἐὰν ἐπὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας τρεῖς περιφέρειαι μεγίστων κύκλων τέμνωσιν ἀλλήλας, ὧν ἑκάστη ἐλάττων ἐστὶν ἡμικυκλίου, δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν πάντη μεταλαμβανόμεναι.
`6.476`
Τεμνέτωσαν γὰρ ἀλλήλας μεγίστων κύκλων περιφέρειαι κατὰ τὰ Α Β Γ σημεῖα· λέγω ὅτι αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονέςεἰσιν πάντη μεταλαμβανόμεναι.
Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας, τὸ δʼ αὐτὸ καὶ τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΑ περιφερειῶν, καὶ ἔστω τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΑ ΔΒ ΔΓ. ἐπεὶ οὖν στερεὰ γωνία ἡ πρὸς τῷ Δ ὑπὸ γʹ γωνιῶν ἐπιπέδων τῶν ὑπὸ ΑΔΒ ΒΔΓ ΓΔΑ περιέχεται, δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν πάντη μεταλαμβανόμεναι. καὶ βεβήκασιν αἱ ὑπὸ ΑΔΒ ΒΔΓ ΓΔΑ γωνίαι ἐπὶ τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΑ περιφερειῶν· αἱ δύο ἄρα τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν πάντη μεταλαμβανόμεναι.
Καλεῖ δὲ τὸ τοιοῦτο σχῆμα Μενέλαος ἐν τοῖς σφαιρικοῖς τρίπλευρον.
βʹ. Ἐὰν τριπλεύρου ἐπὶ μιᾶς πλευρᾶς δύο κύκλων μεγίστων περιφέρειαι συσταθῶσιν ἐντός, αἱ συσταθεῖσαι τῶν λοιπῶν τοῦ τριπλεύρου δύο πλευρῶν ἐλάττονες ἔσονται.
Τριπλεύρου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ μιᾶς πλευρᾶς τῆς ΒΓ δύο μεγίστων κύκλων περιφέρειαι συνεστάτωσαν ἐντὸς αἱ ΒΔΓ· λέγω ὅτι αἱ ΒΔΓ τῶν ΒΑΓ ἐλάττονές εἰσιν.
Ἐπεὶ παντὸς τριπλεύρου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν, αἱ ἄρα ΓΕ ΕΔ τῆς ΓΔ μείζονές εἰσιν. κοινὴ προσκείσθω ἡ ΔΒ· αἱ ἄρα ΓΕΒ τῶν ΓΔΒ μείζονές εἰσιν. πάλιν ἐπεὶ παντὸς τριπλεύρου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν, αἱ ἄρα ΒΑΕ τῆς ΕΒ μείζονές εἰσιν. κοινὴ προσκείσθω ἡ ΕΓ· αἱ ἄρα ΒΑΓ τῶν ΒΕΓ μείζονές εἰσιν. ἀλλʼ αἱ ΒΕΓ τῶν ΒΔΓ μείζονές εἰσιν· πολλῷ ἄρα αἱ ΒΑΓ τῶν ΒΔΓ μείζονές εἰσιν.
`6.478`
γʹ. Τριῶν κύκλων μεγίστων περιφέρειαι αἱ ΑΒ ΑΓ ΑΔ μεγίστου κύκλου περιφέρειαν τὴν ΒΔ τεμνέτωσαν, καὶ ἔστω ἑκάστη μὲν τῶν ΑΒ ΑΓ ΑΔ ἐλάσσων τεταρτημορίου, ἴση δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ· δεῖξαι ὅτι συναμφότερος ἡ ΒΑΔ τῆς ΑΓ μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ. Κείσθω τῇ ΑΓ ἴση ἡ ΓΕ. ἐπεὶ ἐλάσσων τεταρτημορίου ἡ ΑΓ, ἐλάσσων ἄρα τεταρτημορίου καὶ ἡ ΓΕ· ἐλάσσων ἄρα ἡμικυκλίου ἡ ΑΕ· οὐκ ἄρα ὁ ΑΔ κύκλος προσαναπληρούμενος ἥξει διὰ τοῦ Ε. γεγράφθω οὖν διὰ τῶν Ε Δ μέγιστος κύκλος ὁ ΕΔΖ, καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΓ τῇ ΓΒ, ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΓΕ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Ε τῇ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΑ περιφέρεια τῇ ΔΕ περιφερείᾳ. ἐπεὶ δὲ παντὸς τριπλεύρου αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν, ἴση δὲ ἡ μὲν ΔΕ τῇ ΑΒ, ἡ δὲ ΕΓ τῇ ΓΑ, συναμφότερος ἄρα ἡ ΒΑΔ τῆς ΑΓ μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ.
δʹ. Τεσσάρων κύκλων μεγίστων περιφέρειαι αἱ ΑΒ ΑΓ ΑΔ ΑΕ μεγίστου κύκλου περιφέρειαν τὴν ΒΕ τεμνέτωσαν, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΒΓ ἴση τῇ ΔΕ, ἑκάστη δὲ τῶν ΑΒ ΑΓ ΑΔ ΑΕ ἐλάσσων τεταρτημορίου· δεῖξαι ὅτι συναμφότερος ἡ ΒΑΕ συναμφοτέρου τῆς ΓΑΔ ἐστὶ μείζων.
`6.480`
Τετμήσθω ἡ ΓΔ δίχα τῷ Ζ, καὶ γεγράφθω διὰ τῶν Α Ζ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΖΗ, καὶ κείσθω τῇ ΑΖ ἴση ἡ ΖΗ, καὶ γεγράφθω διὰ μὲν τῶν Η Ε μέγιστος κύκλος ὁ ΗΕΚ, διὰ δὲ τῶν Η Δ μέγιστος κύκλος ὁ ΗΔΘ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΗΖ τῇ ΖΑ, ἡ δὲ ΔΖ τῇ ΖΓ, ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΔΗ τῇ ΓΑ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΕΗ τῇ ΒΑ ἐστὶν ἴση. ἐπεὶ δὲ τριπλεύρου τοῦ ΗΕΑ ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν τῆς ΗΑ δύο συνεστᾶσιν ἐντὸς αἱ ΑΔ ΔΗ, αἱ ΑΔΗ ἄρα τῶν ΑΕΗ ἐλάσσονές εἰσιν, ὥστε αἱ ΑΕΗ τῶν ΑΔΗ μείζονές εἰσιν. ἴση δὲ ἡ μὲν ΕΗ τῇ ΑΒ, ἡ δὲ ΗΔ τῇ ΑΓ· συναμφότερος ἄρα ἡ ΒΑΕ συναμφοτέρου τῆς ΓΑΔ μείζων ἐστίν, ὅπερ· ⁓
εʹ. Τούτων προδεδειγμένων ἔστω τὸ εʹ θεώρημα τοῦ γʹ τῶν Θεοδοσίου σφαιρικῶν ἄλλως δεῖξαι. Ἐπὶ γὰρ μεγίστου κύκλου περιφερείας τοῦ ΑΒΓ ὁ πόλος ἔστω τῶν παραλλήλων ὁ Α, καὶ τοῦτον τεμνέτωσαν δύο μέγιστοι κύκλοι πρὸς ὀρθάς, ὧν ὁ μὲν ΒΓ τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ΕΖ λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους, καὶ ἀπειλήφθωσαν ἀπὸ τοῦ ΕΖ ἴσαι περιφέρειαι ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη αἱ ΗΘΚ, καὶ γεγράφθωσαν κύκλοι διὰ τῶν Η Θ Κ σημείων παράλληλοι τῷ ΒΓ οἱ ΜΝ ΞΟ ΠΡ· δεῖξαι ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΠΞ τῆς ΜΞ.
`6.482`
Γεγράφθωσαν γὰρ διὰ τοῦ Α καὶ ἑκάστου τῶν Κ Η Θ μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΚ ΑΘ ΑΗ· φανερὸν δὴ ὅτι ἑκάστη τῶν ΑΚ ΑΘ ΑΗ περιφερειῶν ἐλάσσων ἐστὶν τεταρτημορίου — ἐπειδὴ τεταρτημορίου ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἕως τοῦ ΒΓ μεγίστου κύκλου. ἐπεὶ οὖν τριῶν μεγίστων κύκλων περιφέρειαι αἱ ΑΚ ΑΘ ΑΗ μεγίστου κύκλου τοῦ ΕΖ περιφέρειαν τέμνουσιν, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΚΘ τῇ ΘΗ, ἑκάστη δὲ τῶν ΑΚ ΑΘ ΑΗ ἐλάσσων ἐστὶν τεταρτημορίου, διὰ ἄρα τὸ προδεδειγμένον συναμφότερος ἡ ΚΑΗ τῆς ΑΘ μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ, ὧν συναμφότερος ἡ ΚΑΤ τῆς ΑΣ ἐστὶν διπλῆ — αἱ γὰρ τρεῖς αἱ ΑΣ ΑΚ ΑΤ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν διὰ τοῦ πόλου· λοιπὴ ἄρα ἡ ΤΗ τῆς ΣΘ μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ. ἴση δὲ ἡ ΣΘ τῇ ΤΥ· ἡ ΗΥ ἄρα τῆς ΤΥ μείζων ἐστίν. ἴση δὲ ἡ μὲν ΗΥ τῇ ΠΞ, ἡ δὲ ΥΤ τῇ ΞΜ· μείζων ἄρα ἡ ΠΞ τῆς ΞΜ, ὅπερ· ⁓
ϛʹ. Ἔστω δὴ δεῖξαι μὴ οὐσῶν συνεχῶν τῶν ἴσων περιφερειῶν — τοῦτο γὰρ οὐκ ἔδειξεν Θεοδόσιος —, καὶ ἔστω τὸ αὐτὸ σχῆμα, αἱ δὲ ἴσαι περιφέρειαι ἔστωσαν αἱ ΗΘ ΚΛ, καὶ ἔστωσαν οἱ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΜΝ ΞΟ ΠΡ ΣΤ, καὶ γεγράφθωσαν διὰ τοῦ Α καὶ ἑκάστου τῶν Η Θ Κ Λ μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΗ ΑΘ ΑΚ ΑΛ· ἔσονται δὴ ἐλάσσονες τεταρτημορίου. καὶ ἔσται διὰ τὸ ἐπάνω δʹ θεώρημα συναμφότερος ἡ ΛΑΗ συναμφοτέρου τῆς ΚΑΘ μείζων, συναμφότερος δὲ ἡ ΛΑΧ συναμφοτέρῳ τῇ ΥΑΦ ἴση ἐστίν — ἐκ πόλου γάρ εἰσιν τοῦ ΜΝ κύκλου· λοιπὴ ἄρα ἡ ΧΗ συναμφοτέρου τῆς ΦΘ ΥΚ μείζων ἐστίν. ἴση δὲ ἡ ΦΘ τῇ ΧΨ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΨΗ τῆς ΥΚ μείζων ἐστίν. ἴση δὲ ἡ μὲν ΨΗ τῇ ΣΠ, ἡ δὲ ΥΚ τῇ ΜΞ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΣΠ τῆς ΜΞ, ὅπερ· ⁓
ζʹ. Ἔστω νῦν ἄλλως τὸ αὐτὸ δεῖξαι. ἐπὶ γὰρ μεγίστου κύκλου περιφερείας τοῦ ΑΒΓ ὁ πόλος ἔστω τῶν παραλλήλων, καὶ τοῦτον τεμνέτωσαν δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΔΕ ΒΓ πρὸς ὀρθάς, ὧν ὁ μὲν ΒΓ ἔστω τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ΔΕ λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους, καὶ ἀπὸ τοῦ ΔΕ ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΖΗ ΘΚ, καὶ γεγράφθωσαν παράλληλοι κύκλοι οἱ ΛΜ ΝΞ ΟΠ ΡΣ· λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΟΡ τῆς ΝΛ.
`6.484`
Ἡ γὰρ ΖΗ τῇ ΗΘ ἤτοι σύμμετρός ἐστιν ἢ οὔ. ἔστω πρότερον σύμμετρος. ἴση δὲ ἡ ΗΖ τῇ ΘΚ· καὶ ἡ ΘΚ τῇ ΘΗ ἄρα σύμμετρός ἐστιν· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΖΗ ΗΘ ΘΚ σύμμετροι ἀλλήλαις εἰσίν. διῃρήσθωσαν οὖν εἰς τὰ μέτρα τοῖς Τ Υ Φ Χ Ψ, καὶ γεγράφθωσαν διὰ τῶν Τ Υ Φ Χ Ψ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΩΤ ͵ΑΥ Φ͵Β Χ͵Γ Ψ͵Δ. καὶ ἐπεὶ αἱ ΖΤ ΤΥ ΥΗ ΗΦ ΦΘ ΘΧ ΧΨ ΨΚ περιφέρειαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, αἱ ἄρα ΡΩ Ω͵Α ͵ΑΟ Ο͵Β ͵ΒΝ Ν͵Γ ͵Γ͵Δ ͵ΔΛ ἄνισοι εἰσὶν ἐξ ἀρχῆς ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΡΩ. καὶ ἔστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΡΩ Ω͵Α ͵ΑΟ τῷ πλήθει τῶν Ν͵Γ ͵Γ͵Δ ͵ΔΛ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΡΟ τῆς ΝΛ.
ηʹ. Ἀλλὰ δὴ τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων μὴ ἔστω σύμμετρος ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ· λέγω ὅτι καὶ οὕτως μείζων ἐστὶν η ΡΟ τῆς ΛΝ.
`6.486`
Εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴση ἐστὶν ἢ ἐλάσσων. ἔστω πρότερον ἐλάσσων, καὶ κείσθω τῇ ΡΟ ἴση ἡ Ν͵Γ, καὶ τριῶν γραμμῶν ὁμογενῶν τῶν ΛΝ Ν͵Γ ΝΟ εἰλήφθω τῇ μὲν ΝΟ σύμμετρος, τῆς δὲ Ν͵Γ μείζων, τῆς δὲ ΝΛ ἐλάσσων, καὶ ἔστω ἡ Ν͵Δ, καὶ ἔστωσαν οἱ παράλληλοι κύκλοι οἱ Χ͵Γ Ψ͵Δ, καὶ κείσθω τῇ ΨΘ ἴση ἡ ΗΤ, καὶ ἔστω ὁ παράλληλος κύκλος ὁ ΤΩ. ἐπεὶ οὖν σύμμετρός ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΨΘ ΗΤ τῇ ΗΘ, μείζων ἐστὶν καὶ ἡ ΩΟ τῆς Ν͵Δ· πολλῷ ἄρα ἡ ΡΟ τῆς Ν͵Δ μείζων ἐστίν. ἀλλὰ ἡ ΡΟ ἴση ἐστὶν τῇ Ν͵Γ· ἡ Ν͵Γ ἄρα τῆς Ν͵Δ μείζων ἐστὶν ἡ ἐλάσσων τῆς μείζονος, ὅπερ ἀδύνατον· οὐκ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΡΟ τῆς ΝΛ.
θʹ. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων λέγω ὅτι οὐδὲ ἴση. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω, καὶ τετμήσθωσαν αἱ ΗΖ ΘΚ δίχα τοῖς Τ Ψ, καὶ ἔστωσαν οἱ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΤΩ Ψ͵Δ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΤΖ ΤΗ ἴσαι εἰσίν, ἄνισοι ἄρα εἰσὶν αἱ ΡΩ ΩΟ ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΡΩ. πάλιν ἐπεὶ αἱ ΘΨΚ ἴσαι εἰσίν, ἄνισοι ἄρα εἰσὶν αἱ Ν͵Δ ͵ΔΛ ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς Ν͵Δ. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ μὲν ΡΩ τῆς ΩΟ, ἡ δὲ Ν͵Δ τῆς ͵ΔΛ, μείζων ἄρα ἢ διπλῆ ἡ ΡΟ τῆς Ν͵Δ, ὅπερ ἀδύνατον προδέδεικται … οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ΡΟ τῇ ΝΛ. ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΡΟ τῆς ΝΛ.
ιʹ. Πάλιν ἐπὶ μεγίστου κύκλου περιφερείας ὁ πόλος ἔστω τῶν παραλλήλων, καὶ αὐτὸν τεμνέτωσαν πρὸς ὀρθὰς οἱ ΒΓ ΔΕ, καὶ ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι οἱ ΚΛ ΜΝ ΞΟ, καὶ ἔστω ἴση ἡ ΞΜ τῇ ΜΚ· λέγω ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΖΗ τῆς ΗΘ.
`6.488`
Εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴση ἐστὶν ἢ μείζων. ἴση μὲν οὖν οὐκ ἐστιν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ· μείζων γὰρ ἂν ἦν ἡ ΞΜ τῆς ΜΚ, οὐκ ἔστιν δέ· οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ. λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ μείζων. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω, καὶ κείσθω τῇ ΘΗ ἴση ἡ ΗΠ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ΗΠ τῇ ΗΘ, μείζων ἄρα ἡ ΡΜ τῆς ΜΚ· πολλῷ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ΞΜ τῆς ΜΚ, ὅπερ ἀδύνατον· ὑπόκειται γὰρ ἴση· οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ΖΗ τῆς ΗΘ. ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ἴση· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῆς ΗΘ, ὅπερ· ⁓
ιαʹ. Δέδεικται μὲν οὖν ὅτι ἐὰν ᾖ κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ τέμνωσιν αὐτὸν δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΒΓ ΔΕ πρὸς ὀρθὰς καὶ ἀποληφθῶσιν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΖΗ ΗΘ, καὶ γραφῶσιν παράλληλοι κύκλοι οἱ ΚΛ ΜΝ ΞΟ, γίνεται μείζων ἡ ΞΜ τῆς ΜΚ. ἔστω δὲ μείζων ἡ ΖΗ τῆς ΗΘ· λέγω ὅτι πολλῷ μείζων ἐστὶν ἡ ΞΜ τῆς ΜΚ.
Ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ ΖΗ τῆς ΗΘ, κείσθω τῇ ΗΘ ἴση ἡ ΗΠ, καὶ γεγράφθω παράλληλος κύκλος ὁ ΠΡ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΗΠ τῇ ΗΘ, μείζων ἐστὶν ἡ ΡΜ τῆς ΜΚ· πολλῷ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ΞΜ τῆς ΜΚ, ὥστε, ἐὰν μείζων ἡ ΖΗ τῆς ΘΗ, γίνεται καὶ ἡ ΞΜ τῆς ΜΚ μείζων, ὅπερ· ⁓
Περὶ τῆς εἰς τὸ ϛʹ θεώρημα ἐνστάσεως τοῦ γʹ λήμματα.
ιβʹ. Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ δύο διήχθωσαν αἱ ΔΑ ΑΕ ἐν ἴσαις γωνίαις ταῖς ὑπὸ ΒΑΔ ΕΑΓ· ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ ΔΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΔ περιεχόμενον ὀρθογώνιον, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ.
`6.490`
Περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΔΕ τρίγωνον κύκλος, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν τῇ ΒΓ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΖΔ περιφέρειαν τῇ ΕΗ περιφερείᾳ· ἔστιν ἄρα ὡς ΑΓ πρὸς ΓΗ, ἡ ΑΒ πρὸς ΒΖ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒΖ. ἴσον δὲ τὸ μὲν ὑπὸ ΑΓΗ τῷ ὑπὸ ΔΓΕ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒΖ τῷ ὑπὸ ΕΒΔ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΔ· καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ, τὸ ὑπὸ ΔΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΔ.
`6.492`
ιγʹ. Ἐχέτω δὲ τὸ ὑπὸ ΔΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΔ μείζονα λόγον, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΑΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒΖ, ἤπερ τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ· ὅτι μείζων ἡ ὑπὸ ΕΑΓ τῆς ὑπὸ ΒΑΔ. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΑΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ, ἐναλλὰξ τὸ ὑπὸ ΑΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ὑπὸ ΑΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ. ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ὑπὸ ΑΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, οὕτως ἡ ΗΓ πρὸς ΑΓ, ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΑΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς ΑΒ· καὶ ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς ΓΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΖ. ἐὰν ἄρα ποιῶμεν ὡς τὴν ΑΓ πρὸς ΓΗ, οὕτως τὴν ΑΒ πρὸς ἄλλην τινά, ἔσται πρὸς μείζονα τῆς ΒΖ. ἔστω πρὸς τὴν ΒΚ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΗΚ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Θ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΗΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ περιφέρεια τῇ ΔΘ περιφερείᾳ· μείζων ἄρα ἡ ΕΗ τῆς ΔΖ, ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΑΕ τῆς ὑπὸ ΒΑΔ, ὅπερ· ⁓
ιδʹ. Τεμνέτωσαν ἀλλήλους δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ ΒΕΓ, καὶ ἔστω τοῦ ΑΒΓ κύκλου πόλος ὁ Δ, καὶ γεγράφθωσαν μέγιστοι κύκλοι οἱ ΔΖ ΔΘ, καὶ ἔστω ἴση ἡ ΒΕ περιφέρεια τῇ ΓΗ περιφερείᾳ· δεῖξαι ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Ε τῇ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Η. Τετμήσθω ἡ ΕΗ δίχα τῷ Κ, καὶ γεγράφθω διὰ τῶν Δ Κ μέγιστος κύκλος ὁ ΔΚΛ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΒΕ τῇ ΗΓ, ἡ δὲ ΕΚ τῇ ΚΗ, ὅλη ἄρα ἡ ΒΚ τῇ ΓΚ ἴση ἐστίν. ἐπεὶ οὖν διὰ τῆς τοῦ ΒΓ διχοτομίας καὶ τῶν τοῦ ΑΒΓ πόλων γέγραπται μέγιστος κύκλος ὁ ΔΚΛ, ὁ ΔΚΛ ἄρα ἥξει διὰ τῶν τοῦ ΒΕΗ πόλων καὶ ὀρθὸς ἔσται πρὸς αὐτόν. ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΚΒΓ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ἀπὸ τοῦ Κ ὀρθὸν τμῆμα κύκλου ἐφέστηκεν τὸ ΚΔ, καὶ διῄρηται ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια κατὰ τὸ Δ, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΕΚ τῇ ΚΗ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Ε τῇ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Η, ὅπερ· ⁓
`6.494`
ιεʹ. Ἔστωσαν μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ ΒΕΗΓ, καὶ ἔστω τοῦ ΑΒΓ πόλος τὸ Δ, καὶ γεγράφθωσαν μέγιστοι κύκλοι οἱ ΔΕΖ ΔΚΛ ΔΗΘ διχοτομίας οὔσης τοῦ Κ τῆς ΗΚΕ περιφερείας· λέγω ὅτι, εἰ μὲν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΗΓ, ἴση ἐστὶν καὶ ἡ ΖΛ τῇ ΛΘ, εἰ δὲ μείζων ἐστὶν ἡ ΒΕ τῆς ΗΓ, μείζων ἐστὶν καὶ ἡ ΖΛ τῆς ΛΘ, εἰ δὲ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΒΕ τῆς ΗΓ, ἐλάσσων ἐστὶν καὶ ἡ ΖΛ τῆς ΛΘ.
Ἔστω γὰρ πρότερον ἡ ΒΕ τῇ ΗΓ ἴση· λέγω ὅτι καὶ ἡ ΖΛ τῇ ΛΘ ἴση ἐστίν.
Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΗΓ, ἴση ἐστὶν καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Ε τῇ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Η· ὁ ἄρα πόλῳ τῷ Δ καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν ΔΕ ΔΗ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ λοιποῦ σημείου. γεγράφθω, καὶ ἔστω ὁ ΗΜΕ· ἔσται δὴ παράλληλος τῷ ΑΒΓ. ἐπεὶ οὖν δύο κύκλοι οἱ ΗΜΕ ΕΚΗ τέμνουσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ τῶν τοῦ ἑνὸς πόλων καὶ τῆς διχοτομίας τῆς Κ γέγραπται μέγιστος κύκλος ὁ ΔΚΛ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΜ περιφέρεια τῇ ΜΗ περιφερείᾳ. ἀλλʼ ἡ μὲν ΕΜ τῇ ΖΛ ἐστὶν ὁμοία, ἡ δὲ ΜΗ τῇ ΛΘ· καὶ ἡ ΖΛ ἄρα τῇ ΛΘ ἐστὶν ὁμοία. καὶ εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΔ τῇ ΛΘ, ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
ιϛʹ. Ὑποκείσθω δὴ τὸ αὐτὸ σχῆμα, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΒΕ τῆς ΞΓ, ἴση δὲ ἡ ΕΚ τῇ ΚΞ· λέγω ὅτι ἡ ΖΛ τῆς ΛΘ μείζων.
`6.496–6.500`
Κείσθω τῇ ΒΕ ἴση ἡ ΓΜ, καὶ γεγράφθω μέγιστος κύκλος ὁ ΔΜΝ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΜΓ, ἴση ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Ε τῇ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Μ· ὁ ἄρα πόλῳ τῷ Δ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΔΕ ΔΜ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ λοιποῦ σημείου. ἐρχέσθω, καὶ ἔστω ὁ ΣΕΜ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Ο, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΔ· ἔσται δὴ κάθετος ἐπὶ τὸ τοῦ ΣΜΕ κύκλου ἐπίπεδον — πόλος γάρ ἐστιν τὸ Δ τοῦ κύκλου —, καὶ ἔσται τὸ κέντρον τοῦ ΜΣΕ ἐπὶ τῆς ΔΟ. ἔστω τὸ Π, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΜ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Τ, καὶ ἡ ΟΞ ἐπὶ τὸ Τ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΟ ΟΡΚ ΠΡ ΡΣ ΠΗ ΗΤ.καὶ ἐπεὶ τὸ Π σημεῖον ἐν τῷ τοῦ ΜΣΕ ἐστὶν κύκλου ἐπιπέδῳ, ἔστιν δὲ καὶ ἑκάτερον τῶν Ρ Σ ἐν τῷ τοῦ ΜΣΕ κύκλου ἐπιπέδῳ, τὰ τρία ἄρα σημεῖα ἐν τῷ κύκλῳ ἐστίν. πάλιν ἐπεὶ ὁ ΟΔ ἐν τῷ τοῦ ΔΚΛ ἐπιπέδῳ ἐστίν, καὶ τὸ Π ἄρα ἐν τῷ τοῦ ΔΚΛ ἐπιπέδῳ ἐστίν. καὶ ἡ ΟΡΚ εὐθεῖα· καὶ τὸ Ρ ἄρα ἐν τῷ τοῦ ΔΚΛ κύκλου ἐστὶν ἐπιπέδῳ. ἔστιν δʼ ἐν αὐτῷ καὶ τὸ Σ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ΠΡΣ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΠΗΤ εὐθεῖά ἐστιν — τὰ γὰρ Π Τ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶν τοῦ ΕΣΜ κύκλου· ἀλλὰ καὶ ἐν τῷ τοῦ ΔΗΞΘ κύκλου ἐπιπέδῳ, καὶ τὸ Η δὲ κατʼ αὐτήν ἐστιν τὴν τομὴν τῶν ἐπιπέδων τοῦ ΕΣΜ καὶ τοῦ ΔΞΘ κύκλου· εὐθεῖα ἄρα ἡ ΠΗΤ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΚ περιφέρεια τῇ ΚΞ περιφερείᾳ, ἴση ἐστὶν καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΟΚ τῇ ὑπὸ ΚΟΞ· ὁ ἄρα τῆς ΕΟ πρὸς ΟΤ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΕΡ πρὸς ΡΤ. ἐπεὶ δὲ ζητῶ τίς ἡ ΖΛ περιφέρεια τῇ ΛΘ, τουτέστιν ἡ ΕΣ τῇ ΣΗ, ζητήσω ἄρα τίς γωνία ἡ ὑπὸ ΕΠΡ τῇ ὑπὸ ΡΠΤ. τίς ἄρα ὁ τῆς ΕΠ πρὸς ΠΤ τῷ τῆς ΕΡ πρὸς ΡΤ; ἀλλʼ ὁ τῆς ΕΡ πρὸς ΡΤ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΕΟ πρὸς ΟΤ· ζητήσω ἄρα τίς ὁ τῆς ΕΟ πρὸς ΟΤ λόγος τῷ τῆς ΕΠ πρὸς ΠΤ λόγῳ· ζητήσω ἄρα τίς ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΟ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΤ λόγος τῷ τοῦ ἀπὸ ΕΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΤ λόγῳ, καὶ ἐναλλὰξ τίς ὁ τοῦ ἀπὸ ΟΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΠ τῷ τοῦ ἀπὸ ΟΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΠ, καὶ διελόντι τίς ὁ τοῦ ἀπὸ ΟΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΕ τῷ τοῦ ἀπὸ ΟΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΠ. τίς ἄρα τὸ ἀπὸ ΤΠ τῷ ἀπὸ ΠΕ; τίς ἄρα ἡ ΤΠ τῇ ΠΕ; ἀλλʼ ἡ ΠΕ τῇ ΠΗἴση· ἔχει δὴ σύγκρισιν· ἔστιν γὰρ μείζων. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ΤΠ τῆς ΠΗ, τουτέστιν τῆς ΠΕ, ἡ ΠΟ ἄρα πρὸς ΠΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΟΠ πρὸς ΠΤ· καὶ τὸ ἀπὸ ΟΠ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΟΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΤ. καὶ ἔστιν τὸ μὲν ἀπὸ ΕΟ ἴσον τοῖς ἀπὸ ΕΠ ΠΟ — ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΠΟ γωνία —, τὸ δὲ ἀπὸ ΤΟ τοῖς ἀπὸ ΤΠ ΠΟ — ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΤΠΟ· καὶ τὸ ἀπὸ ΟΕ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΠ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΟΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΠ. καὶ ἐναλλὰξ τὸ ἀπὸ ΕΟ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΤ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΕΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΠ. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ ΟΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΤ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΕΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΠ, καὶ ἡ ΕΟ ἄρα πρὸς ΟΤ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΠ πρὸς ΠΤ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΕΟ πρὸς ΟΤ, οὕτως ἡ ΕΡ πρὸς ΡΤ· ἡ ΕΡ ἄρα πρὸς ΡΤ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΠ πρὸς ΠΤ. διὰ δὴ τοῦτο μείζων γωνία ἡ ὑπὸ ΕΠΣ τῆς ὑπὸ ΣΠΤ· μείζων ἄρα ἡ ΕΣ περιφέρεια τῆς ΣΗ περιφερείας. ἀλλʼ ἡ μὲν ΕΣ τῇ ΖΛ ἐστὶν ὁμοία, ἡ δὲ ΣΗ τῇ ΛΘ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΛ τῆς ΛΘ, ὅπερ· ⁓
ιζʹ. Ἀλλʼ ἔστω ἡ ΖΛ ἴση τῇ ΛΘ· λέγω ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΕΚ τῆς ΚΞ.
Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΛ τῇ ΛΘ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΠΣ τῇ ὑπὸ ΣΠΤ· ὁ ἄρα τῆς ΕΠ πρὸς ΠΤ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΕΡ πρὸς ΡΤ. ἐπεὶ δὲ ζητῶ τίς περιφέρεια ἡ ΕΚ τῇ ΚΞ, ζητήσω ἄρα τίς γωνία ἡ ὑπὸ ΕΟΚ τῇ ὑπὸ ΚΟΤ· ζητήσω ἄρα τίς ὁ τῆς ΕΟ πρὸς ΟΤ λόγος τῷ τῆς ΕΡ πρὸς ΡΤ λόγῳ. ἀλλʼ ὁ τῆς ΕΡ πρὸς ΡΤ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΕΠ πρὸς ΠΤ· ζητήσω ἄρα τίς ὁ τῆς ΕΠ πρὸς ΠΤ τῷ τῆς ΕΟ πρὸς ΟΤ· ἔχει δὲ σύγκρισιν. ἐπεὶ οὖν ἡ ΕΟ πρὸς ΟΤ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΠ πρὸς ΠΤ — τοῦτο γὰρ προδέδεικται —, ἀλλʼ ὡς ἡ ΕΠ πρὸς ΠΤ, οὕτως ἡ ΕΡ πρὸς ΡΤ, ἡ ΕΡ ἄρα πρὸς ΡΤ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΟ πρὸς ΟΤ. διὰ δὴ τοῦτο ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΟΚ τῆς ὑπὸ ΚΟΤ· ἐλάσσων ἄρα περιφέρεια ἡ ΕΚ τῆς ΚΞ, ὅπερ· ⁓
`6.502`
ιηʹ. Τεμνέτωσαν ἀλλήλους δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ ΒΡΓ, καὶ ἔστω ὁ πόλος τοῦ ΑΒΓ κύκλου ὁ Δ, καὶ γεγράφθωσαν μέγιστοι κύκλοι οἱ ΔΖ ΔΘ ΔΛ ΔΝ, καὶ ἔστω ἴση ἡ ΕΞ τῇ ΠΜ· λέγω ὅτι, εἰ μὲν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΜΓ, ἴση ἐστὶν καὶ ἡ ΖΘ τῇ ΛΝ, εἰ δὲ μείζων ἐστὶν ἡ ΒΕ τῆς ΜΓ, μείζων ἐστὶν ἡ ΖΘ τῆς ΛΝ, εἰ δὲ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΒΕ τῆς ΜΓ, ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΖΘ τῆς ΛΝ. Ὑποκείσθω ἴση ἡ ΒΕ τῇ ΜΓ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Μ τῇ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Ε· ὁ ἄρα πόλῳ τῷ Δ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΔΕ ΔΜ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ λοιποῦ σημείου. γεγράφθω, καὶ ἔστω ὁ ΕΤΜ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΞΠ τῷ Ρ, καὶ γεγράφθω διὰ τῶν Δ Ρ μέγιστος κύκλος ὁ ΔΡΣ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΞ τῇ ΠΜ, ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΕ τῇ ΜΓ ἴση ἐστίν, ὅλη ἄρα ἡ ΒΞ τῇ ΓΠ ἴση ἐστίν· ἴση ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Ξ τῇ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Π. πόλῳ οὖν τῷ Δ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΔΞ ΔΠ κύκλος γεγράφθω ὁ ΞΟΠ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΞΟ τῇ ΟΠ, ἀλλʼ ἡ μὲν ΞΟ τῇ ΘΣ ἐστὶν ὁμοία, ἡ δὲ ΟΠ τῇ ΣΛ ἐστὶν ὁμοία, καὶ ἡ ΘΣ ἄρα τῇ ΣΛ ἐστὶν ὁμοία. καὶ εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΣ τῇ ΣΛ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΒ τῇ ΓΜ, ἴση ἐστὶν καὶ ἡ ΖΣ τῇ ΣΝ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΘ λοιπῇ τῇ ΝΛ ἐστὶν ἴση, ὅπερ· ⁓
Ἀλλὰ δὴ ὑποκείσθω τὸ αὐτὸ σχῆμα, ἔστω δὲ μείζων ἡ ΒΕ τῆς ΓΞ, ἴση δὲ ἡ ΕΥ τῇ ΞΨ, καὶ γεγράφθω διὰ τῶν Δ Ψ κύκλος μέγιστος ὁ ΔΨΚΛ· λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΖΘ τῆς ΛΟ.
`6.504`
Κατεσκευάσθω γὰρ τὸ σχῆμα ὁμοίως τοῖς ἐπάνω, καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΠΤ γωνία τῇ ὑπὸ ΧΠΡ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΡΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΤΡΧ πρὸς τὸ ὑπὸ ΧΕΤ. καὶ ἐπεὶ ζητῶ τίς ἡ ΖΘ περιφέρεια τῇ ΛΟ, τουτέστιν ἡ ΕΗ τῇ ΚΦ, ζητήσω ἄρα τίς γωνία ἡ ὑπὸ ΕΣΤ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΧΣΡ· ζητήσω ἄρα τίς ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΡ λόγος τῷ τοῦ ὑπὸ ΧΕΤ πρὸς τὸ ὑπὸ ΤΡΧ, τουτέστι τῷ ἀπὸ ΕΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΡ. ἔχει δὲ σύγκρισιν. καὶ ἔστιν ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΡ μείζων τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ ΕΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΡ. ὁμοίως γὰρ τῷ ἐπάνω δείξομεν. ἀλλʼ ὡς τὸ ἀπὸ ΕΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΡ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΧΕΤ πρὸς τὸ ὑπὸ ΤΡΧ. τὸ ἄρα ὑπὸ ΧΕΤ πρὸς τὸ ὑπὸ ΤΡΧ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΕΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΡ. διὰ δὴ τοῦτο μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΣΤ τῆς ὑπὸ ΧΣΡ. μείζων ἄρα ἡ ΖΘ περιφέρεια τῆς ΛΟ περιφερείας.
Ἔστω δὴ ἴση ἡ ΛΟ τῇ ΖΘ· λέγω ὅτι ἐλάττων ἐστὶν ἡ ΕΥ τῆς ΨΞ.
`6.506`
Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν περιφέρεια ἡ ΖΘ τῇ ΛΟ, ἴση ἄρα ἔσται καὶ ἡ ΕΗ περιφέρεια τῇ ΚΦ — ὁμοία γὰρ ἡ μὲν ΖΘ τῇ ΕΗ, ἡ δὲ ΛΟ τῇ ΚΦ —, ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΣΤ τῇ ὑπὸ ΧΣΡ ἐστὶν ἴση· ὁ ἄρα τοῦ ἀπὸ ΣΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΡ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ ὑπὸ ΧΕΤ πρὸς τὸ ὑπὸ ΤΡΧ. ἐπεὶ δὲ ζητῶ τίς ἡ ΕΥ τῇ ΨΞ, ζητήσω ἄρα τίς ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΡ λόγος τῷ τοῦ ὑπὸ ΧΕΤ πρὸς τὸ ὑπὸ ΤΡΧ, τουτέστιν τῷ τοῦ ἀπὸ ΕΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΡ. ἔχει δὲ σύγκρισιν. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ ΕΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΡ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΕΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΡ, τουτέστιν ἤπερ τὸ ὑπὸ ΧΕΤ πρὸς τὸ ὑπὸ ΤΡΧ, καὶ τὸ ὑπὸ ΧΕΤ ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ ΤΡΧ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΕΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΡ. διὰ δὴ τοῦτο ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΠΤ τῆς ὑπὸ ΧΠΡ· ἐλάσσων ἄρα ἡ ΕΥ τῆς ΞΨ, ὅπερ· ⁓
ιθʹ. Δεδειγμένων δὴ τούτων ἑξῆς ἀποδείξομεν εἰς ὃ ταῦτα ἐλήφθη. «ἐὰν ἐπὶ μεγίστου κύκλου περιφερείας ὁ πόλος ᾖ τῶν παραλλήλων καὶ τοῦτον τέμνωσιν δύο μέγιστοι κύκλοι, ὧν ὁ μὲν εἷς τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ἕτερος λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους, ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφθῶσιν ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων, διὰ δὲ τῶν γενομένων σημείων καὶ τοῦ πόλου μέγιστοι κύκλοι γραφῶσιν, ἀνίσους ἀπολήψονται περιφερείας τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων, καὶ μείζονα ἀεὶ τὴν ἔγγιον τοῦ μεγίστου κύκλου τοῦ ἐξ ἀρχῆς τῆς ἀπώτερον».
Ἐνθάδε οἴονταί τινες προσκεῖσθαι τὸ πρὸς ὀρθάς, ἐπειδὴ καὶ εἰς τὸ πρὸ αὐτοῦ ἀποδείκνυται ἐν τοῖς εἰς τὰ σφαιρικὰ λαμβανομένοις ὅτι δεῖ προσκεῖσθαι τὸ πρὸς ὀρθάς.
`6.508–6.510`
Ἐὰν γὰρ ἐκθώμεθα τὸν διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας τὸν ΑΒΓΔ καὶ τοὺς τέμνοντας αὐτὸν δύο μεγίστους κύκλους τοὺς ΒΕΔ ΑΕΓ, ὧν τὸν μὲν ΒΕΔ τῶν παραλλήλων, τὸν δὲ ΑΕΓ λοξὸν πρὸς τοὺς παραλλήλους, καὶ ἀπολάβωμεν ἀπὸ τοῦ ΑΕΓ ἴσας τὰς ΖΗ ΗΘ, καὶ γράψωμεν διὰ τῶν Ζ Η Θ παραλλήλους τῷ ΒΕΔ, οὐ πάντως τέμνουσιν τὴν ΑΒ περιφέρειαν — ἐὰν δὴ ᾖ ἡ ΑΕ μὴ μείζων τετραγώνου. εἶτα ἀποδείκνυται ἐν τοῖς εἰς τὰ σφαιρικὰ ὅτι τὸ πρὸς ὀρθὰς κεῖται, ἵνα ᾖ τετραγώνου. εἶτα τὸ αὐτὸοἴονται προσκεῖσθαι τῷ ϛʹ θεωρήματι, διότι διὰ τοῦ πρὸ αὐτοῦ, φασιν, δείκνυται. ἔστιν δὲ τοῦτο σφόδρα εὔηθες· ἐρεῖ γάρ τις «οὐχὶ διὰ τοῦ πρὸ αὐτοῦ, ὅπου χρήσιμον ἦν αὐτοὺς προσθεῖναι, τοῦτο δεικνύεις· πάντως οὖν καὶ ἑτέρα δεῖξις ἡ μὴ προσχρησαμένη τῷ πρὸ αὐτοῦ δείξει τὸ προκείμενον». ἔνιοι δὲ οἴονται διὰ τοῦτο προσκεῖσθαι· γράψαντες γὰρ παραλλήλους κύκλους καὶ θέντες τῇ ΚΗ ἴσην τὴν ΗΛ καὶ διὰ τοῦ Λ γράψαντες παράλληλον κύκλον τὸν ΛΞ λέγουσιν «ἐπεὶ οἱ ΑΕΓ ΔΕΒ τὸν ΑΒΓΔ πρὸς ὀρθὰς τέμνουσιν, τετραγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΒ· ἐλάσσων ἄρα τετραγώνου ἡ ΛΞ τοῦ ἰδίου κύκλου», ἵνα εἴπωσιν «ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΞΘ ἐπὶ εὐθείας τῆς ἀπὸ Ξ ὀρθὸν τμῆμα ἐφέστηκε τὸ ΞΛ καὶ τὸ συνεχὲς αὐτῷ, καὶ διῄρηται ἡ τοῦ ἐφεστῶτος περιφέρεια εἰς ἄνισα κατὰ τὸ Λ, καὶ ἔστιν ἐλάσσων ἢ ἡμίσεια ἡ ΛΞ, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ξ ἐπὶ τὸ Λ ἐλαχίστη ἐστὶ πασῶν». εἰς τοῦτʼ οἴονται χρήσιμον εἶναι τὸ πρὸς ὀρθάς, ἵνα ἡ ΞΛ ἐλάσσων ᾖ ἢ ἡμίσεια τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος. ἔστιν δὲ τοῦτο εἰκαῖον. ἐάν τε γὰρ μείζων ᾖ ἢ ἡμίσεια ἐάν τε ἐλάττων ἢ ἡμίσεια, γίνεται τὸ προκείμενον. ἐὰν γὰρ εἰς κύκλον, ὡς τὸν ΠΘ, διαχθῇ τις εὐθεῖα παράλληλος τῇ διαμέτρῳ τῇ ἀπὸ τοῦ Θ, ὥσπερ ἡ ἀπὸ τοῦ Ξ, κοινὴ τομὴ τῶν ΠΞ ΛΞ, καὶ ἐπʼ αὐτῆς τμῆμα ἐπισταθῇ, ὡς τὸ ΞΛ, καὶ ἐπʼ αὐτοῦ τυχὸν σημεῖον ληφθῇ, ὡς τὸ Λ, ἡ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Ξ ἐλάσσων ἐστὶν πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Λ πρὸς τὴν μεταξὺ τῆς τε διαμέτρου καὶ τῆς παραλλήλου αὐτῇ προσπιπτουσῶν εὐθειῶν, ὡς ἑξῆς δείξομεν· ὥστε οὐδὲ διὰ τοῦτο προσετέθη ἂν τὸ πρὸς ὀρθάς.
κʹ. Ἔστω δὲ νῦν δεῖξαι τὸ λημμάτιον τὸ λαμβανόμενον εἰς αὐτό.
`6.512`
Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, διάμετρος δὲ ἡ ΒΓ, καὶ ταύτῃ παράλληλος ἡ ΔΕ, καὶ ἐπὶ τῆς ΔΕ εὐθεῖας τμῆμα ἐφεστάτω τὸ ΔΖΕ ὀρθὸν πρὸς τὸν ΑΒΓ, καὶ εἰλήφθω ἐπʼ αὐτῆς τυχὸν σημεῖον τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΔ· λέγω ὅτι ἡ ΖΔ οὐ μόνον ἐλαχίστη ἐστὶν τῶν πρὸς τὴν ΔΒ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν, ἀλλὰ καί, ἐὰν διάμετροι ἀχθῶσιν αἱ ΕΘΚ ΔΘΛ, τῶν πρὸς τὴν ΔΚ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν. Διήχθω γάρ τις ἡ ΖΝ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον· πεσεῖται ἐπὶ τὴν κοινὴν αὐτῶν τομήν. πιπτέτω ἡ ΖΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΜΝ. καὶ ἐπεὶ ζητῶ εἰ μείζων ἐστὶν ἡ ΖΝ τῆς ΖΔ, ζητήσω ἄρα εἰ τὸ ἀπὸ ΝΖ τοῦ ἀπὸ ΖΔ μεῖζόν ἐστιν. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ ΝΖ ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ ΝΜΖ, τῷ δὲ ἀπὸ ΔΖ τὰ ἀπὸ ΔΜΖ· ὅτι ἄρα ἡ ΝΜ τῆς ΔΜ ἐστὶν μείζων. ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΜΘ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ Ξ Α· ἔσται δὴ διάμετρος ἡ ΑΞ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἔσται ἡ μὲν ΜΞ μεγίστη, ἡ δὲ ΜΑ ἐλαχίστη, ἡ δὲ ἔγγιον τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΝ τῆς ΜΔ, ὅπερ· ⁓
καʹ. Τούτων δὴ προδεδειγμένων ἔστω δεῖξαι τὸ θεώρημα, ὅπου διὰ τοῦ πόλου καὶ τῶν ἀποτεμνομένων ἀπὸ τοῦ λοξοῦ κύκλου ἴσων περιφερειῶν οἱ κύκλοι γράφονται.
Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστον κύκλον τὸν ΑΒΓ δύο κύκλοι μέγιστοι τεμνέτωσαν πρὸς ὀρθὰς οἱ ΒΓ ΔΕ, ὧν ὁ μὲν ΒΓ τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ΔΕ λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους, καὶ ἀπειλήφθωσαν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΖΗΘ, πόλος δὲ ἔστω τῶν παραλλήλων ὁ Α, καὶ γεγράφθωσαν μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΜ ΑΝ ΑΞ· δεῖξαι ὅτι μείζων ἡ ΜΝ τῆς ΝΞ.
`6.514`
Προσαναπεπληρώσθωσαν οἱ ΒΓ ΔΕ κατὰ τὸ Λ, καὶ ἐπεὶ τετραγώνου ἡ ΔΚ, ἀλλὰ καὶ ἡ ΔΛ, μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΘ τῆς ΖΚ. ἐπεὶ οὖν δύο κύκλοι τέμνουσιν ἀλλήλους οἱ ΒΓΛ ΕΔΛ, καὶ ἔστιν ὁ τοῦ ΒΓΛ πόλος τὸ Α, καὶ γεγραμμένοι εἰσὶν μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΜ ΑΝ ΑΞ, καὶ ἔστιν μείζων ἡ ΛΘ τῆς ΖΚ, ἴση δὲ ἡ ΘΗ τῇ ΗΖ, μείζων ἄρα καὶ ἡ ΜΝ τῆς ΝΞ διὰ τὰ προδεδειγμένα, ὅπερ· ⁓
κβʹ. Λέγω δὴ ὅτι, ἐὰν μὴ πρόσκειται τὸ πρὸς ὀρθάς, οὐ πάντοτε γίνεται τὰ κατὰ τὴν πρότασιν.
Ὑποκείσθω δὴ τὰ αὐτὰ, καὶ ἔστω ἐλάσσων τετραγώνου ἡ ΚΔ· λέγω ὅτι καὶ οὕτως γίνεται τὸ πρόβλημα.
Ἀπειλήφθωσαν γὰρ ἴσαι αἱ ΖΗΘ, καὶ γεγράφθωσαν οἱ κύκλοι οἱ ΑΜ ΑΝ ΑΞ. καὶ ἐπεὶ ἐλάσσων ἐστὶν τετραγώνου ἡ ΚΔ, ἡμικυκλίου δὲ ἡ ΚΛ, μείζων ἄρα τετραγώνου ἡ ΛΔ· μείζων ἄρα ἡ ΛΘ τῆς ΚΖ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΜΝ τῆς ΝΞ, ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
κγʹ. Ἀλλὰ δὴ ὑποκείσθω τὸ αὐτὸ σχῆμα, καὶ ἔστω μείζων τετραγώνου ἡ ΚΔ, καὶ ἀπειλήφθω τετραγώνου ἡ ΚΖ· ἔσονται δὴ αἱ ἀπολαμβανόμεναι ἴσαι ἤτοι ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ Ζ ἡ ἐπὶ τὰ Ζ Δ μέρη ἢ ἐπὶ τὰ Ζ Κ μέρη.
`6.516`
Ἀπειλήφθω ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ Ζ, καὶ ἔστωσαν αἱ ΖΗ ΘΖ, καὶ γεγράφθωσαν οἱ μέγιστοι κύκλοι. καὶ ἐπεὶ ἡμικυκλίου ἐστὶν ἡ ΚΛ, ἧς ἡ ΚΖ τεταρτημορίου ἐστίν, λοιπὴ ἡ ΛΖ τεταρτημορίου ἐστίν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΖ τῇ ΖΚ. ὧν ἡ ΗΖ τῇ ΘΖ ἴση ἐστίν· λοιπὴ ἄρα ἡ ΛΗ τῇ ΘΚ ἴση ἐστίν· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΝΞ τῇ ΞΜ· ὥστε, ἐὰν μείζων ᾖ τετραγώνου ἡ ΚΔ, καὶ ἀποληφθῇ τετραγώνου ἡ ΚΖ, ἔτι δὲ ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ Ζ ἀποληφθῶσιν ἴσαι, οὐ γίνεται τὸ πρόβλημα. κδʹ. Ἀλλὰ δὴ ὑποκείσθω τὸ αὐτὸ σχῆμα, καὶ ἔστω τετραγώνου ἡ ΚΖ, καὶ ἴσαι ἀπειλήφθωσαν ἐπὶ τὰ Ζ Δ μέρη αἱ ΖΗ ΗΘ, καὶ γεγράφθωσαν οἱ μέγιστοι κύκλοι. ἐπειδὴ τετραγώνου ἡ ΚΖ, μείζων ἄρα ἡ ΚΖ τῆς ΘΛ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΞΜ τῆς ΝΞ, ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
κεʹ. Ἀλλὰ δὴ ὑποκείσθω τὸ αὐτὸ σχῆμα, καὶ ἀπειλήφθωσαν ἴσαι ἐπὶ τὰ Ζ Κ μέρη αἱ ΖΗ ΗΘ, καὶ γεγράφθωσαν οἱ μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΘΜ ΑΖΝ ΑΗΞ. καὶ ἐπεὶ τετραγώνου ἐστὶν ἡ ΚΖ, ἀλλὰ καὶ ἡμικυκλίου ἡ ΚΛ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΛ τετραγώνου ἐστίν· ἡ ΖΛ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ ΖΚ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΘ τῆς ΖΛ ἐστὶν ἐλάσσων· ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ΜΞ τῆς ΝΞ, ὅπερ· ⁓
`6.518`
κϛʹ. Ὥστε ἀποδέδεικται ὅτι, ἐὰν μὲν ὀρθοὶ τέμνωσι, πάντοτε γίνεται τὸ κατὰ τὴν πρότασιν, ἐὰν δὲ μὴ ὀρθοὶ τέμνωσιν, ἐὰν μὲν ἡ ΚΔ ἐλάσσων ᾖ τετραγώνου, πάντοτε πάλιν γίνεται τὸ κατὰ τὴν πρότασιν, ἐὰν δὲ ἡ ΚΔ μείζων ᾖ τετραγώνου, οὐ πάντοτε γίνεται. ἀλλὰ ἐὰν ἀπολάβω τὴν ΚΖ τετραγώνου, ἐὰν μὲν αἱ ἀπολαμβανόμεναι περιφέρειαι ἴσον ἀπέχωσιν τοῦ Ζ, οἱ γραφόμενοι κύκλοι μέγιστοι ἴσας ἀπολήψονται τὰς μεταξὺ αὑτῶν, ἐὰν δὲ αἱ ἀπολαμβανόμεναι ἴσαι ἐπὶ τῆς ΖΔ ἀπολαμβάνωνται, οἱ γραφόμενοι κύκλοι διὰ τῶν πόλων ἐλάσσονα ἀπολήψονται τὴν ἔγγιον τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου τῆς ἀπώτερον, ἐὰν δὲ αἱ περιφέρειαι ἐπὶ τῆς ΖΚ ἀπολαμβάνωνται, συμβαίνει τὸ κατὰ τὴν πρότασιν, τουτέστιν οἱ διὰ τῶν πόλων γραφόμενοι ἀπολήψονται μείζονα τὴν ἔγγιον τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου τῆς ἀπώτερον· ὥστε, ἐὰν μὴ ὀρθοὶ τέμνωσιν, γίνεται μὲν τὸ κατὰ τὴν πρότασιν, οὐ πάντοτε δέ — ἐὰν μὴ αἱ ἀπολαμβανόμεναι ἐπὶ τῆς ΖΚ ἀπολαμβάνωνται.
κζʹ. Ἐπειδὴ τρεῖς μόναι διαφοραὶ τῆς θέσεως τῶν μεγίστων κύκλων θεωροῦνται ἐν τῇ σφαίρᾳ — ἢ γὰρ ὀρθοὺς εἶναι δεῖ αὐτοὺς πρὸς τὸν ἄξονα ἢ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας ἢ κεκλιμένους πρὸς τὸν ἄξονα —, ἐπὶ τῶν τριῶν τὰς ἀποδείξεις ποιεῖται ὁ Αὐτόλυκος.
`6.520`
Καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν αʹ καὶ βʹ καὶ γʹ θεώρημα ἐπὶ τῶν προειρημένων τριῶν θέσεων τῶν κύκλων θεωρεῖται, διὰ τοῦτο καθολικῶς καὶ περιληπτικῶς ἐπʼ αὐτῶν τὴν ὅλην σφαῖραν παραλαμβάνει. ἐάν τε γὰρ τὸν μέγιστον κύκλον ὀρθὸν πρὸς τὸν ἄξονα ὑποθώμεθα, πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα στρεφομένης τῆς σφαίρας κύκλους γράψει παραλλήλους τοὺς αὐτοὺς πόλους ἔχοντας τῇ σφαίρᾳ, καὶ πάλιν ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὰς ὁμοίας περιφερείας τῶν παραλλήλων τὰ σημεῖα διεξέρχεται, καὶ ἃς διεξέρχεται ἐν ἴσῳ χρόνῳ ὅμοιαί εἰσιν αἱ περιφέρειαι, ἐάν τε αὐτὸν διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας ἢ λοξὸν πρὸς τὸν ἄξονα ὑποθώμεθα, ταὐτὰ συμβήσεται. ἕνεκα οὖν τούτου ἐπὶ τῆς ὅλης σφαίρας ἐποιήσατο τὰς ἀποδείξεις ἐπὶ τούτων τῶν θεωρημάτων.
Τὸ δὲ δʹ θεώρημα ἐπὶ μόνης τῆς μιᾶς θέσεως ἁρμόζει, ὅταν ὁ μέγιστος κύκλος ὀρθὸς ᾖ πρὸς τὸν ἄξονα, ὥστε πάντα τὰ λαμβανόμενα σημεῖα ἐπὶ τῆς σφαίρας μήτε ἀνατέλλειν μήτε δύνειν, ὃ καὶ χαρακτηριστικὸν καὶ ἴδιόν ἐστιν ταύτης τῆς θέσεως.
Τὸ δὲ εʹ καὶ αὐτὸ χαρακτηριστικόν ἐστιν καὶ ἴδιον τῆς διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας· ἐπʼ οὐδεμιᾶς γὰρ ἄλλης τῶν δυεῖν θέσεων πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα καὶ δύνει καὶ ἀνατέλλει, ἀλλʼ ἐπὶ μόνης ταύτης.
Τὸ δὲ ϛʹ θεώρημα χαρακτηριστικόν ἐστιν καὶ αὐτὸ τῆς λοιπῆς θέσεως τῆς λοξῆς πρὸς τὸν ἄξονα· οὐδεμία γὰρ τῶν ἄλλων θέσεων ἔχει τὸν μέγιστον κύκλον ἐφαπτόμενον δύο κύκλων ἴσων τε καὶ παραλλήλων, καὶ τούτων τὸν μὲν ὄντα ἐν τῷ φανερῷ ἡμισφαιρίῳ διὰ παντὸς ὄντα φανερόν, τὸν δὲ ἐν τῷ ἀφανεῖ διὰ παντὸς ἀφανῆ· ἐφάψεται μὲν γὰρ πᾶς μέγιστος ἐν σφαίρᾳ κύκλος δύο κύκλων ἴσων τε καὶ παραλλήλων, ἀλλʼ οὐκ ἀεὶ φανερῶν οὐδὲ ἀεὶ ἀφανῶν.
Πάνυ οὖν καλῶς καὶ κατὰ λόγον πρότερον τὰ καθολικὰ θεωρήματα προειπὼν μετὰ ταῦτα τὰ ἴδια καὶ χαρακτηριστικὰ τῶν εἰρημένων θέσεων ἐκτίθεται ἃ συμβαίνει γίνεσθαι ἐφʼ ἑκάστης θέσεως, καὶ τὰ λοιπὰ ἅπερ ἐπὶ κοινῷ πάντα ἐστὶν θεωρήματα καὶ σωζόμενα ἐπὶ μιᾶς μόνης θέσεως — ἀλλὰ καὶ ἐπὶ δευτέρας — ἑξῆς τῇ τάξει τίθησιν.
`6.522`
Εὐθέως γοῦν τὸ ζʹ αὐτῷ θεώρημα σώζεται ἐπί τε ὀρθῆς τῆς διὰ τῶν πόλων θέσεως καὶ ἐπὶ τῆς λοξῆς πρὸς τὸν ἄξονα· ἐδείξαμεν γὰρ ἡμεῖς πῶς δύναται σώζεσθαι ἐπὶ τῆς διὰ τῶν πόλων θέσεως τὸ θεώρημα. ἐπὶ μέντοι τῆς λοιπῆς θέσεως οὐ δύναται σώζεσθαι· οὔτε γὰρ ἀνατέλλει τι ἐκεῖ οὔτε δύνει.
Τὸ δὲ ηʹ λέγεται θεώρημα ἐπὶ μόνης τῆς λοξῆς πρὸς τὸν ἄξονα θέσεως· ἐπὶ γὰρ τῆς θέσεως τῆς διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας τὰ ἅμα ἀνατέλλοντα σημεῖα ἅμα καὶ δύνει, καὶ τὰ ἅμα δύνοντα ἅμα καὶ ἀνατέλλει· πάντες γὰρ ἐκεῖ οἱ κύκλοι οἱ τέμνοντες τὸν ὁρίζοντα δίχα τέμνονται ὑπʼ αὐτοῦ, καὶ ἡμικύκλια ὑπέρ τε τὸν ὁρίζοντα ἔχουσιν καὶ ὑπὸ τὸν ὁρίζοντα, καὶ διὰ ταύτην τὴν αἰτίαν τὰ ἅμα ἀνατέλλοντα ἅμα καὶ δύνει, καὶ τὸ ἀνάπαλιν.
Ὁμοίως δὲ καὶ τὸ θʹ αὐτῷ ἐπὶ τῆς αὐτῆς θέσεως μόνης παραλαμβάνεται· βούλεται γὰρ τοὺς τοῦ αὐτοῦ ἐφαπτομένους μὴ ἄλλου τινὸς ἐφάπτεσθαι ἢ μόνου τοῦ ἀεὶ φανεροῦ.
Τὸ δὲ ιʹ ἐπί τε τῆς διὰ τῶν πόλων θέσεως σώζεται καὶ ἐπὶ τῆς λοξῆς πρὸς τὸν ἄξονα, μόνης δὲ αὐτὸς τῆς ἐπὶ τῆς λοξῆς θέσεως ἀποδείξεως ἐμνήσθη. ἡμεῖς δὲ προσαπεδείξαμεν σωζόμενον τοῦτο καὶ ἐπʼ ἐκείνης τῆς θέσεως· ἐπὶ μέντοι τῆς ὀρθῆς πρὸς τὸν ἄξονα ἔφαμεν πῶς δὶς μὲν οὐκ ἔσται ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα ὁ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας, ἀεὶ δέ.
Ἐπὶ δὲ τοῦ ιαʹ θεωρήματος τὴν χαλεπωτέραν εἴληφε θέσιν τὴν λοξὴν πρὸς τὸν ἄξονα ἐν τῷ λέγειν «λοξὸς ὢν πρὸς τὸν ἄξονα» καὶ «μειζόνων ἐφάπτεται ἢ ὧν ὁ ἐξ ἀρχῆς ἐφήπτετο», ἐπιστάμενος τῆς διὰ τῶν πόλων θέσεως ὑπολειπομένης ῥᾳδίαν εἶναι τὴν ἀπόδειξιν· ἐδείξαμεν γὰρ ἡμεῖς πῶς καὶ ἐπʼ ἐκείνης τῆς θέσεως κατὰ πάντα τόπον τοῦ ὁρίζοντος τοῦ μεταξὺ τῶν παραλλήλων ὧν ἐφάπτεται τάς τε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιεῖται.
`6.524`
Ἐπὶ δὲ τοῦ ιβʹ θεωρήματος φανερὸν ὅτι ἐπὶ μόνης τῆς λοξῆς θέσεως συμβαίνει τε καὶ ἁρμόζει.
`6.526–6.528`
κηʹ. Ταῦτα μὲν οὖν εἴρηται λόγῳ περιοχῆς, ζητεῖται δʼ ἐν τῷ βιβλίῳ, ὅπερ ἀναγκαῖον παραμυθήσασθαι, πῶς τὰ μὴ ἔσω τοῦ ἄξονος ὄντα σημεῖα, ἀλλʼ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, κύκλους γράφει συμπεριαγόμενα τῇ σφαίρᾳ. εἰ μὲν γὰρ τὰ σημεῖα εἱστήκει καὶ μὴ συμπεριήγετο τῇ σφαίρᾳ, πιθανὸν ἦν τὸ λέγειν ὅτι ἡ γραμμὴ ἡ γινομένη ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας ὑπό τινος σημείου κύκλου ἐστὶν περιφέρεια, εἰ δʼ αὖ πάλιν ἥ τε σφαῖρα ἐστρέφετο καὶ τὸ σημεῖον ὁμαλῶς ἐφέρετο κατʼ αὐτῆς συμπεριαγόμενον αὐτῇ, ὑπολειπόμενον μέντοι ἢ ὑπεκτρέχον κατὰ τὰ αὐτὰ τῆς σφαίρας, καὶ οὕτως ἂν εἶχέ τινα λόγον. ὑπολειπόμενόν τε γὰρ τῆς σφαίρας ἐξ ἀνάγκης τόπους μεταμεῖβον κατὰ συνέχειαν ἂν γραμμήν τινα ἐγέννα ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας, ὑπεκτρέχον δὲ τῷ αὐτῷ λόγῳ, μήτε δὲ ὑπολειπόμενον μήτε ὑπεκτρέχον, ἀεὶ δὲ τὸν αὐτὸν τόπον ἐπέχον ἐν τῇ σφαίρᾳ στρεφομένης αὐτῆς, θαυμαστὸν ἴσως ἂν δόξειεν πῶς κύκλον γράψειεν· ὀφείλει γὰρ τὸ γράφον περί τι γράφειν ἑστός, εἰ δὲ περὶ ὃ γράφει οὐχ ἕστηκεν, πῶς γράψει τὸ γράφον; πάντα μὲν οὖν τὰ ἐν τῇ σφαίρᾳ στρεφομένης αὐτῆς οὐχ ἕστηκεν, μόνος δὲ ὁ ἄξων ἕστηκεν, καὶ ἐπὶ τὸν ἑστῶτα ἀπὸ τοῦ φερομένου αἰεὶ σημείου κάθετος ἄγεται καὶ συμβάλλει τῷ ἄξονι δῆλον ὅτι κατά τι σημεῖον· δεῖ ἄρα τὸ σημεῖον καθʼ ὃ συμβάλλουσιν ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι ἑστηκέναι, ἐπεὶ καὶ ὁ ἄξων ἕστηκεν. καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν σημεῖον ἐν τῷ ἄξονί ἐστιν, ἡ δὲ ἀχθεῖσα κάθετος ἐν τῇ σφαίρᾳ, στρεφομένης τῆς σφαίρας συμπεριάγεται μὲν ἡ εὐθεῖα μετὰ τοῦ ἑτέρου πέρατος τοῦ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ἕστηκεν δὲ τὸ ἐπὶ τοῦ ἄξονος. ἀνάγκη οὖν συμπεριφερομένην ταύτην τὴν εὐθεῖαν σὺν τῇ σφαίρᾳ, καθʼ ὃ μὲν φέρεται ἡ σφαῖρα κινουμένης αὐτῆς, καθʼ ὃ δὲ πεπεράτωται ἑστώσης, καὶ μὴ μεταμειβούσης τὰ πέρατα, κατʼ ἐπιπέδου φέρεσθαι. ἕστηκεν δʼ ἐκεῖνο τὸ ἐπίπεδον, καθʼ οὗ φέρεται. ἐπεὶ οὖν ἐπίπεδον ἑστὸς ὑπόκειται, καθʼ οὗ φέρεται ἡ εἰρημένη εὐθεῖα, καὶ ἔστιν εἰλημμένα ἐπʼ αὐτοῦ δύο τυχόντα σημεῖα, δυνατὸν δέ ἐστιν ἐν ἐπιπέδῳ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφειν, δῆλον ὅτι ὁ κέντρῳ μὲν τῷ ἐπὶ τοῦ ἄξονος σημείῳ διαστήματι δὲ τῷ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημείῳ κύκλος γραφόμενος ἐν τῷ ἐπιπέδῳ γραφήσεται, ἐφʼ οὗ ἡ εἰρημένη εὐθεῖα ἐφέρετο· τὸ ἄρα σημεῖον τὸ ἐπὶ τοῦ ἄξονος ἑστὸς αἴτιον ἐγένετο τοῦ κύκλον γραφῆναι ὑπὸ τοῦ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημείου· οὐκ ἄρα δυνατὸν ἦν τὸ πρόβλημα γενέσθαι, εἰ μὴ κάθετος ἦν ἀχθεῖσα ἐπὶ τὸν ἑστῶτα ἄξονα.
κθʹ. Ὅτι δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ τυχόντος σημείου τῶν ἐπὶ τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸν ἄξονα κάθετος ἀγομένη ἐντὸς τῆς σφαίρας αὐτῷ συμπίπτει οὕτως δειχθήσεται.
Ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς ἄξων ὁ ΑΒ, πόλοι δὲ αὐτῆς τὰ Α Β σημεῖα, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τυχὸν σημεῖον τὸ Γ, καὶ ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΒ· λέγω ὅτι ἐντὸς τῆς σφαίρας τῇ ΑΒ συμπίπτει.
`6.530`
Μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, συμπιπτέτω αὐτῇ ἐκτὸς κατὰ τὸ Δ σημεῖον, καὶ ἔστω ἡ ΓΔ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ. ἐπεὶ οὖν τὸ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶν τῆς σφαίρας, ἴση ἐστὶν ἡ ΕΓ τῇ ΕΑ· μείζων ἄρα ἡ ΕΔ τῆς ΕΓ. καὶ ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστιν τὸ ΕΓΔ καὶ μείζων ἡ ΕΔ τῆς ΕΓ, καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΓΔ γωνίας τῆς ὑπὸ ΕΔΓ μείζων ἐστίν. ὀρθὴ δʼ ἡ ὑπὸ ΕΔΓ· μείζων ἄρα ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΕΓΔ· τριγώνου ἄρα τοῦ ΕΓΔ αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν μείζους εἰσίν, ὅπερ ἀδύνατον· οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἀγομένη ἐκτὸς τῆς σφαίρας αὐτῇ συμπίπτει. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ κατὰ τὰ πέρατα τοῦ ἄξονος τὰ Α Β· ἐντὸς ἄρα· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἀγομένη ἐντὸς πίπτει τῆς σφαίρας, ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
`6.532`
λʹ. Ἐν τῷ δʹ θεωρήματι ὁ Θεοδόσιος ψευδογραφεῖται. ἀποδείξας γὰρ τὴν ΝΘ ἡμέραν μείζονα τῆς ΜΠ ἡμέρας ὑπενοήθη ὡσαύτως ἀποδείξειν ὅτι καὶ ἡ προγεγενημένη νὺξ τῆς ΝΘ ἡμέρας τῆς ἐπιγινομένης νυκτὸς τῇ ΜΠ ἡμέρᾳ ἐλάσσων ἐστίν. Ἔστω γὰρ ἡ πρὸ τῆς Ν ἀνατολῆς δύσις ἡ Ρ, καὶ κείσθω τῇ ΡΝ ἴση ἡ ΠΣ. εἰ μὲν οὖν ἐλάσσων ἦν ἡ ΝΘ τῆς ΜΠ, ἐγένετο ἂν αὐτῷ καὶ ὅλη ἡ. ΝΔ ὅλης τῆς ΔΠ ἐλάσσων, καὶ αἱ παραλλαγαὶ τῶν ἴσων περιφερειῶν αἱ ΝΡ ΠΣ ὡσαύτως ἐπεραίνοντο. νυνὶ δέ, ἐπεὶ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΘΔ τῆς ΔΜ μείζων δὲ ἡ ΘΝ τῆς ΜΠ, οὐκ ἔστιν φανερὸν ὅτι καὶ ὅλη ἡ ΔΝ ὅλης τῆς ΔΠ ἐλάσσων ἐστίν· δυνατὸν γάρ ἐστιν καὶ ἴσην γίνεσθαι καὶ μείζονα. μὴ οὔσης δὲ ἐλάσσονος τῆς ΔΝ οὐκέτι δυνησόμεθα λέγειν διότι ἡ ΝΡ περιφέρεια ἐν ἐλάσσονι χρόνῳ παραλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἤπερ ἡ ΠΣ. ἔδει οὖν προδείξαντα τὸν Θεοδόσιον ὅτι αἰεὶ αἱ συντιθέμεναι περιφέρειαι τῶν νυκτῶν καὶ τῶν ἡμερῶν ἐπὶ τοῦ ΔΓ μέρους τῶν συντιθεμένων περιφερειῶν ἐπὶ τοῦ ΔΕ μέρους ἐλάσσονές εἰσιν, οὕτως ἐπιλέγειν ὅτι καὶ τὰ λοιπὰ δειχθήσεται ὁμοίως.
λαʹ. Ἡμεῖς δὲ τὸ παραλελειμμένον ὑπὸ τοῦ Θεοδοσίου ἀπεδείξαμεν ἀστρονομικώτατα τοῦτον τὸν τρόπον.
Ἀνατελλέτω γὰρ ὁ ἥλιος πρὸς τῷ Ζ, δυνέτω δὲ πρὸς τῷ Η, καὶ ἔστω ἐλάσσων ἡ ΔΖ τῆς ΔΗ, καὶ πάλιν ἔστω ἡ μὲν προγεγενημένη δύσις τῆς Ζ ἀνατολῆς ἡ Θ, ἡ δὲ προγεγενημένη ἀνατολὴ τῆς Θ δύσεως ἡ Ν, ἔτι δὲ ἔστω ἡ μὲν μετὰ τὴν Η δύσιν ἀνατολὴ ἡ Κ, ἡ δὲ μετὰ τὴν Κ ἀνατολὴν δύσις ἡ Λ, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΖΘ νὺξ ἐλάσσων τῆς ΗΚ νυκτός, ἡ δὲ ΘΝ ἡμέρα μείζων τῆς ΚΛ ἡμέρας· λέγω ὅτι ὅλη ἡ ΔΝ ὅλης τῆς ΔΛ ἐλάσσων ἐστίν.
`6.534`
Εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἴση ἐστὶν ἢ μείζων. ἔστω πρότερον ἴση. ἐπεὶ οὖν ἐλάσσων ἐστὶν ἡ μὲν ΔΖ τῆς ΔΗ ἡ δὲ ΖΘ τῆς ΗΚ, ὅλη ἄρα ἡ ΔΘ ὅλης τῆς ΔΚ ἐλάσσων ἐστίν. ἔστω οὖν αὐτῇ ἴση ἡ ΔΜ. ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ ΝΔ ὅλῃ τῇ ΔΛ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΘΝ λοιπῇ τῇ ΜΛ ἴση ἐστίν. ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος ἀνατείλας μὲν πρὸς τῷ Ν ἔδυνε πρὸς τῷ Θ, ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΘΝ διαπορεύεται, ἡ ΘΝ παραλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. ἐν ἴσῳ δὲ χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΝΘ διαπορεύεται καὶ τὴν ἴσην τὴν ΜΛ· ἐν ἴσῳ ἄρα ὁ ἥλιος τὴν ΜΛ διαπορεύεται καὶ ἡ ΘΝ παραλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. ἐν ἴσῳ δὲ ἡ ΘΝ παραλλάσσει τὸ φανερὸν καὶ ἡ ΛΜ — ἴσαι γὰρ οὖσαι ἴσον ἀπέχουσιν τῆς θερινῆς συναφῆς· ἐν ἴσῳ ἄρα ὁ ἥλιος τὴν ΜΛ διαπορεύεται καὶ ἡ ΜΛ παραλλάσσει τὸ φανερόν. ἀλλʼ ὁ μὲν ἥλιος τὴν ΜΛ διαπορεύεται ἐν τούτῳ τῷ χρόνῳ ἐν ᾧ ἑκατέραν τῶν ΜΚ ΚΛ διαπορεύεται, ἡ δὲ ΜΛ παραλλάσσει τὸ φανερὸν ἐν ᾧ ἡ μὲν ΜΚ ἀνατέλλει ἡ δὲ ΚΛ παραλλάσσει τὸ φανερόν· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος ἑκατέραν τῶν ΜΚ ΚΛ διαπορεύεται καὶ ἡ μὲν ΜΚ ἀνατέλλει ἡ δὲ ΚΛ παραλλάσσει τὸ φανερόν. ὧν ἴσος ὁ χρόνος ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΚΛ διαπορεύεται καὶ ἡ ΚΛ παραλλάσσει τὸ φανερόν· καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ χρόνος ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΜΚ διαπορεύεται ἴσος ἐστὶν τῷ χρόνῳ ἐν ᾧ ἡ ΜΚ ἀνατέλλει. τοῦτο δέ ἐστιν ἀδύνατον· πᾶσαν γὰρ περιφέρειαν ὁ ἥλιος ἐν πλείονι χρόνῳ διαπορεύεται ἤπερ αὐτὴ ἡ περιφέρεια ἀνατέλλει ἢ πάλιν δύνει — τοῦτο γὰρ δείξομεν ἐχομένως· οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ΝΔ τῇ ΔΛ.
`6.536`
Ἔστω δὴ πάλιν μείζων ἡ ΝΔ τῆς ΔΛ, καὶ κείσθω τῇ ΔΝ ἴση ἡ ΔΞ, ἐτέθη δὲ καὶ ἡ ΔΘ ἴση τῇ ΔΜ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΘΝ λοιπῇ τῇ ΜΞ ἴση ἐστίν, καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΘΝ διαπορεύεται καὶ ἡ ΘΝ παραλλάσσει τὸ φανερόν. ἐν ᾧ δὲ ὁ ἥλιος τὴν ΘΝ ἐν τούτῳ καὶ τὴν ΜΞ, καὶ ἐν ᾧ ἡ ΘΝ παραλλάσσει τὸ φανερόν, ἐν τούτῳ καὶ ἡ ΜΞ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΜΞ διαπορεύεται καὶ ἡ ΜΞ παραλλάσσει τὸ φανερόν. ἀλλʼ ὁ μὲν ἥλιος διαπορεύεται τὴν ΜΞ περιφέρειαν ἐν τούτῳ τῷ χρόνῳ ἐν ᾧ ἑκάστην τῶν ΜΚ ΚΛ ΛΞ διαπορεύεται, ἡ δὲ ΜΞ παραλλάσσει τὸ φανερὸν ἐν τούτῳ τῷ χρόνῳ ἐν ᾧ ἡ μὲν ΜΚ ἀνατέλλει ἡ δὲ ΚΛ παραλλάσσει ἡ δὲ ΛΞ δύνει. ἀλλʼ ὁ χρόνος ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΚΛ διαπορεύεται ἴσος ἐστὶν τῷ χρόνῳ ἐν ᾧ ἡ ΚΛ παραλλάσσει τὸ φανερόν· καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ χρόνος ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΜΚ διαπορεύεται ἴσος ἐστὶν τῷ χρόνῳ ἐν ᾧ ἡ ΜΚ ἀνατέλλει, καὶ ὁ χρόνος ἐν ᾧ καὶ ὁ ἥλιος τὴν ΛΞ διαπορεύεται ἴσος τῷ χρόνῳ ἐν ᾧ ἡ ΛΞ δύνει. τοῦτο δέ ἐστιν ἀδύνατον — πᾶσαν γὰρ περιφέρειαν ὁ ἥλιος ἐν πλείονι χρόνῳ διαπορεύεται ἤπερ αὐτὴ ἀνατέλλει ἢ πάλιν δύνει —, ὥστε οὐκ ἂν εἴη μείζων ἡ ΝΔ τῆς ΔΛ. ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ἴση· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΔ τῆς ΔΛ. ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς δειχθήσεται. τούτων οὖν προδεδειγμένων προβήσεται καὶ ἡ τοῦ Θεοδοσίου ἀπόδειξις κατὰ τὸν εἰρημένον τρόπον.
`6.538`
λβʹ. Ὅτι δὲ πᾶσαν περιφέρειαν ὁ ἥλιος ἐν πλείονι χρόνῳ διαπορεύεται ἤπερ ἐκείνη ἡ περιφέρεια ἀνατέλλει ἢ πάλιν δύνει, νῦν δείξομεν. δόξει δέ τισι φανερὸν εἶναι τοῦτο καὶ μὴ προσδεόμενον ἀποδείξεως· «ἐπεὶ γὰρ ὁ μὲν ἥλιος ἐνιαυτῷ τὸν κύκλον διαπορεύεται, αὐτὸς δὲ ὁ κύκλος ἐν νυκτὶ καὶ ἡμέρᾳ ἀνατέλλει, γίνεται ὁ χρόνος ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὸν κύκλον διαπορεύεται πολλαπλάσιος τοῦ χρόνου ἐν ᾧ ὁ κύκλος ἀνατέλλει. ἐπεὶ οὖν ἐν μείζονι χρόνῳ ὁ ἥλιος τὸν ὅλον κύκλον διαπορεύεται ἤπερ αὐτὸς ὁ κύκλος ἀνατέλλει, καὶ τὰς κατὰ μέρος τοῦ κύκλου περιφερείας ἐν μείζονι χρόνῳ ὁ ἥλιος διελεύσεται ἤπερ ἐκεῖναι αἱ περιφέρειαι ἀνατελοῦσιν ἢ δύσονται. ὥστε φανερὸν τὸ προκείμενον καὶ οὐ προσδεόμενον πλείονος ἐπισκέψεως». πρὸς οὓς ῥητέον διότι, εἰ μὲν αἱ κατὰ μέρος ἴσαι περιφέρειαι τοῦ ζῳδιακοῦ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλουσιν ἢ πάλιν δύνουσιν, συμφανὲς ἂν ἡμῖν ὑπῆρχεν τὸ λεγόμενον· αὐτός τε γὰρ ὁ κύκλος ὁμαλῶς ἂν ἀνέτελλεν καὶ οὕτως οἱ χρόνοι πρὸς ἀλλήλους συνεκρίνοντο, ἐπειδὴ καὶ ὁ ἥλιος ὁμαλῶς κινούμενος ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὰς ἴσας περιφερείας διέρχεται. νυνὶ δὲ τοῦ μὲν ἡλίου ὁμαλῶς διαπορευομένου τὸν κύκλον, αὐτοῦ δὲ τοῦ κύκλου ἀνωμάλως τὰς ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιουμένου οὐκ ἐξέσται ἡμῖν λέγειν ὅτι, πλείονος ὄντος τοῦ χρόνου ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὸν κύκλον διαπορεύεται ἤπερ αὐτὸς ὁ κύκλος ἀνατέλλει, πλείων ἔσται ὁ κατὰ μέρος χρόνος ἐν ᾧ ὁ ἥλιός τινα περιφέρειαν διαπορεύεται ἐκείνου τοῦ χρόνου ἐν ᾧ ἐκείνη ἡ περιφέρεια ἀνατέλλει τε καὶ δύνει. τούτων δὴ τοιούτων ὑπαρχόντων οὐκέτι πρόδηλον καθέστηκεν διότι πᾶσαν περιφέρειαν ὁ ἥλιος ἐν πλείονι χρόνῳ διαπορεύεται ἤπερ ἡ περιφέρεια ἀνατέλλει ἢ πάλιν δύνει. πόθεν δὲ ὅτι οὐχὶ τὸν μὲν ὅλον κύκλον ἐν πλείονι χρόνῳ διέρχεται ἤπερ αὐτὸς ὁ κύκλος ἀνατέλλει, οἱ δὲ κατὰ μέρος χρόνοι ἐν οἷς ὁ ἥλιος ἑκάστην περιφέρειαν τοῦ κύκλου διέρχεται, ἐλάττονές εἰσιν τῶν κατὰ μέρος χρόνων, ἐν οἷς ἑκάστη τῶν τοῦ κύκλου περιφερειῶν ἀνατέλλει; ὅτι γὰρ δυνατόν ἐστιν ἐπί τινων κινήσεων γίνεσθαι τοῦτο, φανερὸν ἐκ τούτου.
`6.540`
Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΔ ὀρθὴν ἔχον τὴν Β γωνίαν, καὶ ἑκατονταπλασία συναμφότερος ἡ ΔΑ ΑΒ τῆς ΑΒ, καὶ γεγράφθω περὶ κέντρον τὸ Α κύκλος, καὶ ἐκκείσθωτις εὐθεῖα ἡ ΝΘ ἴση τῇ ΒΔ, καὶ διαπορευέσθω τὸ μὲν Ν σημεῖον ὁμαλῶς φερόμενον τὴν ΝΘ ἐν ὥραις δέκα, ἡ δὲ Β συμβολή, καθʼ ὃ συμβάλλει ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, διαπορευέσθω τὴν ΒΔ ἐν ὥρᾳ μιᾷ, καὶ τετμήσθω ἡ ΕΗ περιφέρεια δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΖΓ. ἐπεὶ οὖν ἐν ᾧ χρόνῳ τὸ Ε σημεῖον τὴν ΕΗ διαπορεύεται ἐν τούτῳ τῷ χρόνῳ τὸ Β τὴν ΒΔ διαπορεύεται, ἐν ᾧ δὲ τὸ Ε τὴν ΕΖ ἐν τούτῳ τὸ Β τὴν ΒΓ, καὶ ἔστιν ὁ χρόνος ἐν ᾧ τὸ Ε τὴν ΕΗ διαπορεύεται τοῦ χρόνου ἐν ᾧ τὸ Ε τὴν ΕΖ διαπορεύεται διπλάσιος, καὶ ὁ χρόνος ἄρα ἐν ᾧ τὸ Β τὴν ΒΔ διαπορεύεται τοῦ χρόνου ἐν ᾧ τὸ Β τὴν ΒΓ διαπορεύεται διπλάσιος. ἀλλὰ τὸ Β τὴν ΒΔ διέρχεται ἐν ὥρᾳ μιᾷ· τὸ Β ἄρα τὴν ΒΓ διελεύσεται ἐν ἡμιωρίῳ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΖ περιφέρεια τῇ ΖΗ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΑΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΑΗ· ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΔΑ ΑΒ πρὸς τὴν ΑΒ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ. ἑκατονταπλασία δὲ συναμφότερος ἡ ΔΑ ΑΒ τῆς ΑΒ· ἑκατονταπλασία ἄρα καὶ ἡ ΔΒ τῆς ΒΓ. ἐὰν ἄρα ποιήσωμεν ὡς τὴν ΔΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως τὴν ΘΝ πρὸς ΝΞ, ἔσται οὖν καὶ ἡ ΝΘ τῆς ΝΞ ἑκατονταπλασία. καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΒΔ τῇ ΝΘ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΝΞ. ἐπεὶ οὖν τὸ Ν ὁμαλῶς κινούμενον διαπορεύεται τὴν ΝΘ ἐν ὥραις δέκα, τὸ ἄρα ἑκατοστὸν αὐτῆς μέρος ἐν ὥρας δεκάτῳ διελεύσεται, τὸ δὲ Β ἀνωμάλως κινούμενον διέρχεται τὴν ΒΓ ἐν ὥρας ἡμίσει. δύο οὖν ὑπαρχουσῶν κινήσεων καὶ τῆς μὲν ἀνωμάλου τῆς δὲ ὁμαλῆς, ὁ μὲν ὅλος χρόνος ἐν ᾧ τὸ Ν τὴν ΝΘ διέρχεται ὁμαλῶς τοῦ ὅλου χρόνου τοῦ ἐν ᾧ τὸ Β τὴν ΒΔ διέρχεται ἀνωμάλως πλείων ἐστίν, ὁ δὲ κατὰ μέρος χρόνος ἐν ᾧ τὸ Ν τὴν ΝΞ διέρχεται τοῦ κατὰ μέρος χρόνου ἐν ᾧ τὸ Β τὴν ΒΓ διέρχεται ἐλάσσων ἐστίν. ὥστε οὐθὲν ἀπέχει καὶ ἐπὶ τῆς τοῦ ἡλίου κινήσεως καὶ τῆς τοῦ κύκλου ἀνατολῆς τὸ αὐτὸ γίνεσθαι, τὸν μὲν ἥλιον ἐν μείζονι χρόνῳ διαπορεύεσθαι τὸν κύκλον, αὐτὸν δὲ τὸν κύκλον ἐν ἐλάσσονι ἀνατέλλειν, πάλιν δὲ ἐκ τῶν ἐναντίων τινὰς μὲν περιφερείας τοῦ κύκλου ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλειν, τὸν δὲ ἥλιον αὐτὰς ἐν ἐλάσσονι χρόνῳ διέρχεσθαι· μειουμένου γὰρ τοῦ τάχους τῆς ἀνατολῆς τοῦ κύκλου, πόθεν ὅτι οὐχὶ μειοῦται ἐπὶ τοσοῦτον ὥστε τινὰ περιφέρειαν αὐτοῦ ἐν μείζονι χρόνῳ ἀνατέλλειν ἤπερ ὁ ἥλιος ἐκείνην τὴν περιφέρειαν διέρχεται;
λγʹ. Δεῖ οὖν ἡμᾶς ἐπισκέψασθαι πότερόν ποτε τοῦ ζῳδιακοῦ τὸ τάχος τῶν ἐπʼ ἄπειρον αὐξομένων καὶ ἐπʼ ἄπειρον μειουμένων ἐστίν, ἢ τῶν ἐπʼ ἄπειρον μὲν αὐξομένων οὐκ ἐπʼ ἄπειρον δὲ μειουμένων, ἢ τῶν ἐπʼ ἄπειρον μὲν μειουμένων οὐκ ἐπʼ ἄπειρον δὲ αὐξομένων, ἢ οὔτε τῶν ἐπʼ ἄπειρον μειουμένων οὔτε τῶν ἐπʼ ἄπειρον αὐξομένων. ὅτι γὰρ περί τινα μεγέθη ταῦτα γίνεσθαι συμβαίνει, φανερὸν ἐκ τούτων.
`6.542`
Παντὸς γὰρ τοῦ προτεθέντος μεγέθους μείζονα γίνεται καὶ πάλιν ἐλάττονα πάντα τὰ ἐπὶ τῶν ἀδιορίστων προβλημάτων γινόμενα.
Δυνατὸν γάρ ἐστιν περὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν παντὸς τοῦ παραβεβλημένου ἤδη χωρίου ὑπερβάλλοντος τετραγώνῳ μεῖζον χωρίον παραβάλλειν ὑπερβάλλον τετραγώνῳ καὶ πάλιν ἔλασσον, καὶ τοῦτο γίνεται ἐπʼ ἄπειρον.
Τῶν δὲ ἐπʼ ἄπειρον αὐξομένων οὐκ ἐπʼ ἄπειρον δὲ μειουμένων ἐστὶν τὸ ἐπὶ τοῦ προγεγραμμένου τριγώνου γινόμενον.
Ἐὰν γὰρ ᾖ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ τμηθῇ δίχα ἡ ΑΓ κατὰ τὸ Ε, καὶ διαχθῇ ἀπὸ τοῦ Ε εὐθεῖα ἡ ΖΕΗ, ἔστι μεῖζον τὸ ΖΗΒ τρίγωνον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. καὶ πάλιν ἐὰν διαχθῇ ἡ ΘΕΚ, μεῖζόν ἐστι τὸ ΒΘΚ τοῦ ΖΒΗ τριγώνου. καὶ αἰεὶ διαγομένων ἐπʼ ἄπειρον τῶν εὐθειῶν αὐξηθήσεται τὸ τρίγωνον. οὐδέποτε δὲ ἡ διαχθεῖσα εὐθεῖα ποιήσει τρίγωνον ἔλασσον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου.
`6.544`
λδʹ. Τῶν δὲ ἐπʼ ἄπειρον μὲν μὴ αὐξομένων ἐπʼ ἄπειρον δὲ μειουμένων ἐστὶ τὸ ἐπὶ τῆς εὐθείας τῆς ἐναρμοζομένης εἰς τὸν κύκλον. οὐ γὰρ πάσης τῆς προτεθείσης δυνατόν ἐστιν μείζονα εἰς τὸν κύκλον ἐναρμόσαι. ἐπειδὴ γάρ ἐστιν ὡρισμένον μέγεθος τὸ τῆς διαμέτρου, ταύτης μείζονα εὐθεῖαν οὐ δυνατὸν ἐναρμόσαι· ἐπὶ μέντοι γε τὸ ἔλασσον δυνατόν ἐστιν γίνεσθαι ἐπʼ ἄπειρον.
Φανερὸν δὲ γίνεται τὸ λεγόμενον καὶ ἐκ τοῦ μὴ πᾶν τὸ δοθὲν παρὰ τὴν δοθεῖσαν παραβάλλεσθαι ἐλλεῖπον τετραγώνῳ· τὸ γὰρ παραβαλλόμενον χωρίον οὐκ ἐπʼ ἄπειρον δυνησόμεθα αὔξοντες παραβάλλειν, ἐπειδή ἐστίν τι χωρίον, οὗ μεῖζον οὐκέτι δυνατόν ἐστιν παραβάλλειν· μειοῦντες μέντοι γε δυνησόμεθα παντὸς τοῦ προτεθέντος ἔλασσον παραβάλλειν.
Τῶν δὲ μήτε ἐπʼ ἄπειρον δυναμένων αὔξεσθαι μήτε ἐπʼ ἄπειρον μειουμένων ἐστὶν τὸ ὑπογεγραμμένον.
Ἐὰν γὰρ ὦσι δύο κύκλοι ἐφαπτόμενοι ἀλλήλων κατὰ τὸ Α, ἄλλος δέ τις κύκλος τοῦ μὲν ἑνὸς ἐφάπτηται κατὰ τὸ Β, τὸν δὲ ἕτερον τέμνῃ κατὰ τὰ Γ Δ, καὶ ἀπὸ τῶν Γ Δ πρὸς τὰς ἁφὰς τῶν κύκλων κλασθῶσιν εὐθεῖαι αἱ ΑΔ ΓΑ ΒΓ ΒΔ, ἔστιν πασῶν τῶν κλωμένων γωνιῶν πρὸς τὴν περιφέρειαν τοῦ ΒΕΑΖ κύκλου μεγίστη μὲν ἡ ὑπὸ ΓΑΔ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ὑπὸ ΓΒΔ.
λεʹ. Τούτων οὖν προειρημένων ἀποδείξομεν νῦν ὅτι τοῦ ζῳδιακοῦ τὸ τάχος μειούμενον οὐδέποτε ἔλασσόν ἐστιν τοῦ τάχους τοῦ ἡλίου, ἀλλʼ ἀεὶ τὴν τυχοῦσαν περιφέρειαν τοῦ ζῳδιακοῦ ὁ ἥλιος ἐν μείζονι χρόνῳ διέρχεται ἤπερ ἐκείνη ἀνατέλλει ἢ πάλιν δύνει. Ἔστω γὰρ ὁρίζων μὲν ὁ ΑΒ, θερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΒΕΔ, ζῳδιακὸς δὲ ὁ ΔΘΛ, μέγιστος δὲ τῶν παραλλήλων ὁ ΚΝΜ, καὶ ἔστω ἡ ἀρχὴ τοῦ καρκίνου ἐπὶ τῆς δύσεως, καὶ ἀπειλήφθω τυχοῦσά τις περιφέρεια τοῦ ζῳδιακοῦ ἡ ΔΘ· λέγω ὅτι ἐν μείζονι χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΔΘ περιφέρειαν διέρχεται ἤπερ ἡ ΔΘ δύνει.
`6.548–6.550`
Γεγράφθω γὰρ διὰ τοῦ Θ μέγιστος κύκλος ἐφαπτόμενος τοῦ ἀρκτικοῦ ὁ ΘΞ, καὶ ἐπεὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ θερινοῦ κύκλου διάμετρον λόγον ἔχει δυνάμει ὃν τὰ χκθʹ πρὸς τὰ φκθʹ — ἐπείπερ ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ τροπικοῦ λόγον ἔχει μήκει πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ τροπικοῦ ὃν τὰ ιʹ πρὸς τὰ κγʹ —, ἐλάσσων ἄρα ἢ διπλασία ἐστὶν ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος τῆς τοῦ τροπικοῦ διαμέτρου· ἡ ἄρα διπλασία τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας ἐλάσσων ἐστὶν ἢ τετραπλασία τῆς τοῦ τροπικοῦ διαμέτρου. ἡ δὲ διπλασία τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν τοῦ ΒΕΔ κύκλου διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΜΝ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΘ περιφέρειαν, ὡς ἔστι τῶν σφαιρικῶν τοῦ γʹ βιβλίου θεωρήματι ιβʹ· πολλῷ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ἢ τετραπλασία ἡ ΜΝ περιφέρεια τῆς ΔΘ περιφερείας. καὶ ἐπεὶ τὸ τοῦ κόσμου τάχος τοῦ τοῦ ἡλίου τάχους μεῖζόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον, καὶ ὁ μὲν κόσμος διὰ τοῦ ΚΝΜ κύκλου φέρεται ὁ δὲ ἥλιος διὰ τοῦ ΔΘΛ, ἐν ᾧ ἄρα ὁ ἥλιος τὴν ΘΔ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἐν τούτῳ τὸ Ν μείζονα τῆς ΝΜ περιφέρειαν διέρχεται — ἐπειδὴ τὸ Ν ἰσοταχῶς φέρεται τῷ κόσμῳ· ἐν μείζονι ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΔΘ περιφέρειαν διαπορεύεται ἤπερ τὸ Ν ἐπὶ τὸ Μ παραγίνεται. γεγράφθω δὴ διὰ τοῦ Θ παράλληλος κύκλος ὁ ΗΘΖ. ἐν ἴσῳ δὲ χρόνῳ τὸ Ν ἐπὶ τὸ Μ παραγίνεται καὶ τὸ Θ ἐπὶ τὸ Η — ὅμοιαι γάρ εἰσιν αἱ ΝΜ ΘΗ περιφέρειαι· ἐν μείζονι ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΔΘ περιφέρειαν διαπορεύεται ἤπερ τὸ Θ ἐπὶ τὸ Η παραγίνεται. ἐν ᾧ δὲ τὸ Θ ἐπὶ τὸ Η παραγίνεται, ἡ ΔΘ δύνει· ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΔΘ περιφέρειαν διαπορεύεται ἤπερ ἡ ΔΘ δύνει. ἐν ἴσῳ δὲ χρόνῳ ἡ ΔΘ δύνει καὶ ἴση καὶ ἀπεναντίον ἡ μετὰ τὸν αἰγόκερω ἀνατέλλει. καὶ ἴσας οὔσας αὐτὰς ὁ ἥλιος ἐν ἴσῳ χρόνῳ διαπορεύεται· ὥστε καὶ ἐν πλείονι χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν μετὰ τὸν αἰγόκερω περιφέρειαν δίεισιν ἤπερ ἐκείνη ἀνατέλλει. πεποίημαι δὲ τὸν λόγον ἐπὶ τούτων τῶν ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ περιφερειῶν, ἐπειδὴ ἡ μὲν δοκεῖ ἐν πλείστῳ χρόνῳ δύνειν, ἡ δὲ ἐν πλείστῳ ἀνατέλλειν. ἐπεὶ δʼ ἡ ἀπὸ τῆς συναφῆς τοῦ καρκίνου ἐν πλείστῳ χρόνῳ δύνουσα πασῶν τῶν λοιπῶν περιφερειῶν τοῦ ζῳδιακοῦ κύκλου δέδεικται, αὕτη δὲ δέδεικται ἐν ἐλάσσονι χρόνῳ δύνουσα ἤπερ ὁ ἥλιος αὐτὴν δίεισιν, πολὺ μᾶλλον οὖν αἱ λοιπαὶ ἐν ἐλάσσονι χρόνῳ δύσονται ἤπερ ὁ ἥλιος αὐτὰς δίεισιν. πάλιν ἐπεὶ ἡ ἀπὸ τῆς συναφῆς τοῦ αἰγόκερω περιφέρεια ἐν πλείστῳ χρόνῳ ἀνατέλλει πασῶν τῶν λοιπῶν περιφερειῶν τοῦ ζῳδιακοῦ, δέδεικται δὲ ἐν ἐλάσσονι χρόνῳ ἀνατέλλουσα ἤπερ ὁ ἥλιος αὐτὴν διέρχεται, πολὺ μᾶλλον ἄρα αἱ λοιπαὶ τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρειαι ἐν ἐλάσσονι χρόνῳ ἀνατελοῦσιν ἤπερ ὁ ἥλιος αὐτὰς διέρχεται, ὅπερ· ⁓
`6.552`
λϛʹ. Ἐὰν δὲ τὸ μὲν Ζ ᾖ δύσις, ᾖ δὲ τὸ Η ἀνατολή, ἔσται ὁ τῆς ΖΗ περιφερείας χρόνος, ἐν ᾧ αὐτὴν ὁ ἥλιος διέρχεται, νυκτός. ὅτι δὲ ἀνίσων οὐσῶν τῶν ΖΔ ΔΗ οὐ γίνεται μέσης νυκτὸς ἡ τροπή, δῆλον. ὅτι δὲ καὶ μεγίστη ἐστὶν ἡ ΖΔΗ νὺξ πασῶν τῶν ἐν τῷ ἐνιαυτῷ οὗ ἀρχὴ ἡ θερινὴ τροπή, δῆλον, ἐπεὶ ἐν πλείστῳ ἡ ΖΔΗ παραλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον. ἔστω δὴ δεῖξαι καὶ τὰ ἐφʼ ἑκάτερα, καὶ ἔστω πρῶτον μείζων ἡ ΖΔ τῆς ΔΗ, καὶ ἔστω ἀνατολὴ ἡ πρὸ τῆς Ζ δύσεως τὸ Θ, καὶ τῇ ΖΘ ἴση ἡ ΚΗ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὰς ΖΘ ΚΗ διαπορεύεται. ἀλλʼ ἐν ᾧ τὴν ΖΘ διαπορεύεται, ἡ ΖΘ παραλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἐν ἐλάσσονι δὲ χρόνῳ ἡ ΖΘ παραλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον τῆς ΚΗ· ἐν ἐλάσσονι ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΚΗ δίεισιν ἤπερ ἡ ΚΗ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον· ἐν ᾧ ἄρα ἡ ΚΗ παραλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ὁ ἥλιος μείζονα τῆς ΚΗ περιφερείας περιφέρειαν διελεύσεται. διεληλυθέτω τὴν ΗΛ· τοῦ ἄρα Κ σημείου ὄντος ἐπὶ δυσμὰς ὁ ἥλιος πρὸς τῷ Λ ὤν ἐστιν ὑπὲρ γῆν. ἵνʼ οὖν ἐπὶ τῆς δύσεως γένηται, προσδιελεύσεταί τινα περιφέρειαν. προσδιερχέσθω τὴν ΛΜ· ἐν ᾧ ἄρα ἡ ΗΜ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἐν τούτῳ καὶ ὁ ἥλιος τὴν ΗΜ διέρχεται. καὶ ἔστι μείζων ἡ ΜΗ τῆς ΖΘ, ὥστε μείζονές εἰσιν αἱ ἡμέραι αἱ ἐν τῷ ΔΕ ἡμικυκλίῳ τῶν ἐν τῷ ΓΔ ἡμικυκλίῳ. δεῖ οὖν ἡμᾶς τῇ προγεγραμμένῃ ἀποδείξει χρῆσθαι ἵνα καὶ αἱ νύκτες συγκριθῶσιν.
`6.554`
Ἔστω οὖν ἡ πρὸ τῆς Θ ἀνατολῆς δύσις τὸ Π, καὶ κείσθω τῇ μὲν ΖΔ ἴση ἡ ΔΚ, τῇ δὲ ΠΖ ἴση ἡ ΚΞ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΠΖ τῇ ΚΞ, ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος ἑκάστην αὐτῶν δίεισιν. ἐν ᾧ δὲ τὴν ΖΠ, κόσμου περιστροφή ἐστιν καὶ τῆς ΖΠ δύσις. ὁ δὲ χρόνος ἐν ᾧ ἡ ΚΞ ἀνατέλλει ἴσος τῷ χρόνῳ ἐν ᾧ ἡ ΠΖ δύνει· ὁ ἄρα χρόνος ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΚΞ δίεισιν, ὅς ἐστιν κόσμου περιστροφή, καὶ τῆς ΚΞ περιφερείας ἀνατολή. μείζων δὲ ὁ χρόνος ἐν ᾧ τὴν ΚΗ διέρχεται ὁ ἥλιος τοῦ χρόνου τῆς ἀνατολῆς τῆς ΚΗ· ὁ ἄρα χρόνος ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΗΞ διέρχεται μείζων ἐστὶν κόσμου περιστροφῆς καὶ τῆς ἀνατολῆς τῆς ΞΗ· ἐν ἄρα κόσμου περιστροφῇ καὶ τῆς ΗΞ ἀνατολῇ ὁ ἥλιος ἐλάσσονα τῆς ΞΗ περιφέρειαν διελεύσεται. διεληλυθέτω τὴν ΗΟ· τοῦ Ξ ἄρα ὄντος ἐπʼ ἀνατολῆς ὁ ἥλιος κατὰ τὸ Ο ὢν προανατεταλκὼς ἔσται, ὥστε ἐν ᾧ ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς γίνεται ἐλάσσονα τῆς ΗΟ διελεύσεται. ἔστω ἡ ΗΝ· ὥστε τὸ Ν ἀνατολικὸν ἔσται σημεῖον τὸ μετὰ τὴν Η ἀνατολήν, ὥστε ἡ νὺξ ἧς ἀνατολή ἐστιν τὸ Ν σημεῖον ἐλάσσων ἐστὶ τῆς νυκτὸς ἧς δύσις τὸ Π. ὁμοίως δὲ καὶ τὰ λοιπὰ δειχθήσεται.
λζʹ. Ἐν τῷ περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων ὁ Ἀρίσταρχος ἓξ ταῦτα ὑποτίθεται· πρῶτον τὴν σελήνην παρὰ τοῦ ἡλίου φῶς λαμβάνειν, δεύτερον τὴν γῆν σημείου τε καὶ κέντρου λόγον ἔχειν πρὸς τὴν τῆς σελήνης σφαῖραν, τρίτον, ὅταν ἡ σελήνη διχότομος ἡμῖν φαίνηται, νεύειν εἰς τὴν ἡμετέραν ὄψιν τὸν διορίζοντα τὸ σκιερὸν καὶ τὸ λαμπρὸν τῆς σελήνης μέγιστον κύκλον, τέταρτον, ὅταν ἡ σελήνη διχότομος ἡμῖν φαίνηται, τότε αὐτὴν ἀπέχειν τοῦ ἡλίου ἔλασσον τεταρτημορίου τῷ τοῦ τεταρτημορίου τριακοστημορίῳ. πέμπτον δὲ ὑποτίθεται τὸ τῆς σκιᾶς πλάτος σεληνῶν εἶναι δύο, ἕκτον δὲ τὴν σελήνην ὑποτείνειν ὑπὸ ιεʹ μέρος ζῳδίου.
`6.556`
Τούτων δὴ τῶν ὑποθέσεων ἡ μὲν πρώτη καὶ τρίτη καὶ τετάρτη σχεδὸν συμφωνοῦσιν ταῖς Ἱππάρχου καὶ Πτολεμαίου. φωτίζεται μὲν γὰρ ἡ σελήνη ὑπὸ τοῦ ἡλίου παντὶ χρόνῳ χωρὶς ἐκλείψεως, καθʼ ἣν ἀφώτιστος γίνεται ἐμπίπτουσα εἰς τὴν σκιάν, ἣν ἐπιπροσθούμενος ὁ ἥλιος ὑπὸ τῆς γῆς ποιεῖ κωνικὸν ἔχουσαν τὸ σχῆμα, καὶ ὁ διορίζων δὲ τὸ γαλακτῶδες, ὅ ἐστιν ἐκ τῆς προσλάμψεως ἡλίου, καὶ τὸ τεφρῶδες, ὅ ἐστιν ἴδιον χρῶμα τῆς σελήνης, ἀδιαφορῶν τοῦ μεγίστου κύκλου ἐν ταῖς διχοτόμοις πρὸς τὸν ἥλιον στάσεσιν, τεταρτημορίου ἔγγιστα ἐπὶ τοῦ ζῳδιακοῦ θεωρουμένου νεύει πρὸς τὴν ἡμετέραν ὄψιν· τοῦτο γὰρ τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον ἐκβαλλόμενον ἥξει καὶ διὰ τῆς ἡμετέρας ὄψεως, ὁποίαν πότʼ ἂν ἔχῃ θέσιν ἡ σελήνη τῆς πρώτης ἢ δευτέρας διχοτόμου φάσεως. ἀσυμφώνους δὲ τὰς λοιπὰς ὑποθέσεις κατειλήφασιν οἱ προειρημένοι μαθηματικοὶ διὰ τὸ μήτε τὴν γῆν σημείου καὶ κέντρου λόγον ἔχειν πρὸς τὴν τῆς σελήνης σφαῖραν κατʼ αὐτούς, ἀλλὰ πρὸς τὴν τῶν ἀπλανῶν, μήτε τὸ τῆς σκιᾶς πλάτος σεληνῶν εἶναι δύο, μήτε· τὴν διάμετρον αὐτῆς ὑποτείνειν ιεʹ μέρος ζῳδίου, τουτέστιν μοίρας βʹ. κατὰ μὲν γὰρ Ἵππαρχον ἑξακοσιάκις καὶ πεντηκοντάκις καταμετρεῖται ὁ κύκλος οὗτος ὑπὸ τῆς διαμέτρου τῆς σελήνης, δὶς δὲ καὶ ἡμισάκις ὁ τῆς σκιᾶς κατὰ τὸ ἐν ταῖς συζυγίαις μέσον ἀπόστημα, κατὰ δὲ Πτολεμαῖον ἡ διάμετρος αὐτῆς ὑποτείνει περιφέρειαν κατὰ μὲν τὸ μέγιστον ἀπόστημα 𐆊 λαʹ κʹʹ, κατὰ δὲ τὸ ἐλάχιστον 𐆊 λεʹ κʹʹ, ἡ δὲ διάμετρος τοῦ κύκλου τῆς σκιᾶς κατὰ μὲν τὸ μέγιστον ἀπόστημα τῆς σελήνης ἑξηκοστὰ μʹ μʹʹ, κατὰ δὲ τὸ ἐλάχιστον ἀπόστημα ἑξηκοστὰ μϛʹ. ἐντεῦθεν αὐτοῖς οἱ λόγοι διάφοροι καὶ τῶν ἀποστημάτων καὶ τῶν μεγεθῶν ἡλίου καὶ σελήνης ἐπιλελογισμένοι εἰσίν.
`6.558`
Ὁ μὲν γὰρ Ἀρίσταρχος ἐπάγει ταῖς εἰρημέναις ὑποθέσεσιν λέγων κατὰ λέξιν οὕτως· «ἐπιλογίζεται δὴ τὸ τοῦ ἡλίου ἀπόστημα τοῦ τῆς σελήνης ἀποστήματος πρὸς τὴν γῆν μεῖζον μὲν ἢ ὀκτωκαιδεκαπλάσιον, ἔλασσον δὲ ἢ εἰκοσαπλάσιον, τὸν αὐτὸν δὲ λόγον ἔχει καὶ ἡ τοῦ ἡλίου διάμετρος πρὸς τὴν τῆς σελήνης διάμετρον, τοῦτο δὲ διὰ τῆς περὶ τὴν διχότομον ὑποθέσεως. τὴν δὲ τοῦ ἡλίου διάμετρον πρὸς τὴν τῆς γῆς διάμετρον ἐν μείζονι λόγῳ ἢ ὃν ιθʹ πρὸς γʹ, ἐν ἐλάσσονι δὲ λόγῳ ἢ ὃν τὰ μγʹ πρὸς ϛʹ, διὰ τοῦ εὑρεθέντος περὶ τὰ ἀποστήματα λόγου καὶ τῆς περὶ τὴν σκιὰν ὑποθέσεως καὶ τοῦ τὴν σελήνην ὑποτείνειν ὑπὸ ιεʹ μέρος ζῳδίου». «ἐπιλογίζεται δέ» εἶπεν «τὰ ἀποστήματα» καὶ τὰ ἑξῆς ὡς αὐτὰ μέλλων ἀποδείξειν προγράψας ὅσα συντείνει πρὸς τὰς ἀποδείξεις αὐτῶν λήμματα. συνάγει δʼ ἐκ πάντων ὅτι ὁ μὲν ἥλιος πρὸς τὴν γῆν μείζονα λόγον ἔχει ἢ ὃν τὰ ͵ϛωνθʹ πρὸς κζʹ, ἐλάσσονα δὲ λόγον ἢ ὃν τὰ μ. ζʹ ͵θφζʹ πρὸς σιϛʹ, ἡ δὲ διάμετρος τῆς γῆς πρὸς τὴν διάμετρον τῆς σελήνης ἐν μείζονι μὲν λόγῳ ἢ ὃν τὰ ρηʹ πρὸς τὰ μγʹ, ἐν ἐλάσσονι δὲ ἢ ὃν τὰ ξʹ πρὸς τὰ ιθʹ, ἡ δὲ γῆ πρὸς τὴν σελήνην ἐν μείζονι λόγῳ ἢ ὃν τὰ μ. ρκεʹ ͵θψιβʹ πρὸς μ. ζʹ ͵θφζʹ, ἐν ἐλάσσονι δὲ ἢ ὃν μ. καʹ ͵ϛ πρὸς ͵ϛωνθʹ.
`6.560`
Πτολεμαῖος δὲ πέμπτῳ βιβλίῳ συντάξεως ἀπέδειξεν ὅτι, οἵου ἐστὶν ἑνὸς ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς γῆς, τοιούτων τὸ μὲν τῆς σελήνης ἐν ταῖς συζυγίαις μέγιστον ἀπόστημα ξδ ιʹ, τὸ δὲ τοῦ ἡλίου ͵ασι, ἡ δʼ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης 𐆊 ιζʹ λγʹʹ, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἡλίου ε λʹ, ὥστε καί, οἵου ἐστὶν ἑνὸς ἡ διάμετρος τῆς σελήνης, τοιούτων ἡ μὲν τῆς γῆς ἄρα διάμετρος γʹ καὶ βʹ εʹʹ, ἡ δὲ τοῦ ἡλίου ιηʹ καὶ δʹ εʹʹ, καὶ ἡ μὲν τῆς γῆς ἄρα διάμετρος τῆς σεληνιακῆς τριπλασία ἐστὶν καὶ τοῖς βʹ εʹʹ μείζων, ἡ δὲ τοῦ ἡλίου τῆς μὲν τῆς σελήνης ὀκτωκαιδεκαπλασία καὶ ἔτι τοῖς δʹ εʹʹ μείζων, τῆς δὲ τῆς γῆς πενταπλασία καὶ ἔτι τῷ 𐅶 μείζων· ἀφʼ ὧν καὶ οἱ τῶν στερεῶν σωμάτων λόγοι δῆλοι, ἐπεὶ καὶ ὁ τοῦ αʹ κύβος τοῦ αὐτοῦ ἐστιν αʹ, ὁ δʼ ἀπὸ τῶν γʹ καὶ βʹ εʹʹ τῶν αὐτῶν ἔγγιστα λθʹ δʹʹ, ὁ δʼ ἀπὸ τῶν ιηʹ καὶ δʹ εʹʹ ὁμοίως ͵ϛχμδʹ 𐅶 ἔγγιστα, ὡς συνάγεσθαι ὅτι, οἵου ἐστὶν ἑνὸς τὸ τῆς σελήνης στερεὸν μέγεθος, τοιούτων ἐστὶ τὸ μὲν τῆς γῆς λθʹ δʹʹ, τὸ δὲ τοῦ ἡλίου ͵ϛχμδʹ 𐅶· ἑκατοντακαιεβδομηκονταπλάσιον ἄρα ἔγγιστα τὸ τοῦ ἡλίου τοῦ τῆς γῆς.
Καὶ ταῦτα μὲν ἐπὶ τοσοῦτον εἰρήσθω συγκρίσεως ἕνεκεν τῶν εἰρημένων μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων, ἓν δέ τι λῆμμα γράψομεν ἐκ τῶν φερομένων εἰς τὸ δʹ θεώρημα τοῦ βιβλίου τῆς ζητήσεως ἄξιον.
Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἐκβληθεῖσα ἡ ΑΓΔ, κέντρον δὲ τὸ Ε, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ε τῇ ΑΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΕΖ, ἀπὸ δὲ τοῦ Δ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφαπτομένη ἡ ΔΘ, καὶ κείσθω τῆς ΖΘ ἡμίσεια ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ Γ ἡ ΚΓ ΓΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΔ ΔΛ ΖΔ· λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΔΛ τῆς ὑπὸ τῶν ΖΔΘ. προγράφεται δὲ τάδε.
ληʹ. Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ διάμετρος ἐκβληθεῖσα ἡ ΑΓΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἤχθω τις εὐθεῖα ἡ ΔΕΖ· λέγω ὅτι ἡ ΑΖ περιφέρεια μείζων ἐστὶν τῆς ΓΕ περιφερείας.
`6.562`
Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Η σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΖ ΗΕ· καὶ γωνία ἄρα ἡ πρὸς τῳ Ζ γωνίᾳ τῇ πρὸς τῷ Ε ἴση ἐστίν. καὶ ἐπεὶ τρίγωνον τὸ ΗΖΔ καὶ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΑΗΖ μείζων ἐστὶν τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῆς πρὸς τῷ Ζ, τουτέστι τῆς πρὸς τῷ Ε, ἀλλὰ ἡ πρὸς τῷ Ε μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΔΗΕ διὰ τὸ ἐκτὸς εἶναι τοῦ τριγώνου, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΖ ἄρα μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΕΗΔ. καὶ εἰσὶν πρὸς τῷ κέντρῳ· μείζων ἄρα καὶ περιφέρεια ἡ ΑΖ τῆς ΓΕ, ὅπερ· ⁓
λθʹ. Κύκλος ὁ ΑΒ, οὗ κέντρον τὸ Δ, καὶ ἐκτὸς τοῦ κύκλου σημεῖον τὸ Γ, καὶ διήχθω ἡ ΓΛΔΚ, καὶ ἐφαπτομένη τοῦ κύκλου ἡ ΓΖ καὶ διὰ τοῦ Δ κέντρου πρὸς ὀρθὰς τῇ ΚΛ διαμέτρῳ ἡ ΔΑ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΖ περιφέρεια δίχα τῷ Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΒΑ ΓΗΕ· λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΕ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΓΖ.
Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΒ ΖΗ. ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΕΒ τῆς ΖΗ, ἐλάσσων δὲ ἡ ΒΓ τῆς ΓΗ, ἡ ΕΒ πρὸς ΒΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΗ πρὸς ΓΗ. γεγονέτω οὖν ὡς ἡ ΕΒ πρὸς ΒΓ, ἡ ΗΘ πρὸς ΗΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΓ. ἐπεὶ οὖν αἱ ὑπὸ ΑΒΕ ΕΗΖ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν — ἐπεὶ καὶ περιφέρεια ἡ ΑΕ περιφερείᾳ τῇ ΕΖ —, καὶ αἱ λοιπαὶ ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις αἱ ὑπὸ ΕΒΓ ΖΗΓ. καὶ περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν· ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΕΒΓ τρίγωνον τῷ ΗΘΓ τριγώνῳ· ἴσαι ἄρα εἰσὶν αἱ ὑπὸ ΑΓΕ ΗΓΘ γωνίαι· μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τῆς ὑπὸ ΕΓΖ.
`6.564`
μʹ. Ἔστω λοιπὸν ἡ αὐτὴ καταγραφὴ τῇ πρότερον, καὶ τὰ αὐτὰ δεδομένα· λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΔΛ γωνία τῆς ὑπὸ ΖΔΘ.
`6.566–6.568`
Τετμήσθω δίχα ἡ ΖΘ περιφέρεια κατὰ τὸ Μ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΜΔ. φανερὸν δὴ ἐκ τοῦ νῦν δειχθέντος ὅτι ἡ ὑπὸ ΖΔΜ γωνία μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΜΔΘ. ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΖΕΒ ΔΛ ἐπὶ τὰ Ν Ξ σημεῖα, καὶ κείσθω τῇ ΑΔ εὐθείᾳ ἴση ἡ ΝΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΜ ΝΔ ΖΜ. καὶ ἐπεὶ κύκλος ἐστὶν ὁ ΑΒΓ, καὶ διάμετρος ἐκβληθεῖσα ἡ ΑΓΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ διῆκται πρὸς τὴν κοίλην περιφέρειαν ἡ ΔΛΞ, περιφέρεια ἄρα ἡ ΑΞ περιφερείας τῆς ΓΛ μείζων ἐστίν. ἀλλʼ ἡ ΓΛ ἴση ἐστὶν τῇ ΖΜ περιφερείᾳ — ἡμίσεια γὰρ ἑκατέρα αὐτῶν τῆς ΖΘ· καὶ ἡ ΑΞ ἄρα περιφέρεια μείζων ἐστὶν τῆς ΖΜ. κείσθω οὖν τῇ ΖΜ ἴση ἡ ΑΟ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΟ ΟΔ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΘΓ περιφέρεια τοῦ ἡμικυκλίου ἴση ἐστὶν τῇ ΖΓΒ περιφερείᾳ τοῦ ἡμικυκλίου, ὧν ἡ ΑΟ περιφέρεια ἴση ἐστὶν τῇ ΜΖ περιφερείᾳ, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΟΓ περιφέρεια ἴση ἐστὶν τῇ ΜΒ περιφερείᾳ. καὶ βέβηκεν ἐπὶ μὲν τῆς ΟΓ περιφερείας γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΟ, ἐπὶ δὲ τῆς ΜΒ γωνία ἡ ὑπὸ ΝΖΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΔΑΟ γωνία τῇ ὑπὸ ΝΖΜ — καὶ ἔστιν ἑκατέρα αὐτῶν ἐλάσσων ὀρθῆς. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΔ τῇ ΖΝ, ἡ δὲ ΑΟ τῇ ΖΜ, δύο δὴ αἱ ΔΑΟ δυσὶ ταῖς ΝΖΜ ἴσαι εἰσίν. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΟ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΝΖΜ ἴση ἐστίν· βάσις ἄρα ἡ ΟΔ βάσει τῇ ΝΜ ἴση ἐστίν. καὶ αἱ γωνίαι ἴσαι εἰσίν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΔΟ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΝΜ γωνίᾳ. πάλιν ἐπεὶ ἡμικυκλίου ἐστὶν ἡ ΖΑΒ, μείζων ἄρα ἡμικυκλίου ἐστὶν ἡ ΖΑΒΗ. καὶ βέβηκεν ἐπʼ αὐτῆς ἡ ὑπὸ ΖΜΗ γωνία· ἡ ὑπὸ ΖΜΗ γωνία ἄρα μείζων ἐστὶν ὀρθῆς. καὶ ὑποτείνει αὐτὴν εὐθεῖα ἡ ΖΡ, τὴν δὲ ὑπὸ ΡΖΜ ὀξεῖαν ἡ ΡΜ· ἡ ΖΡ ἄρα μείζων ἐστὶν τῆς ΡΜ. ἐκβεβλήσθω οὖν ἡ ΡΜ ἐπὶ τὸ Σ, καὶ κείσθω τῇ ΖΡ ἴση ἡ ΡΣ. καὶ ἐπεὶ ὅλη ἡ ΑΓΔ ὅλῃ τῇ ΖΒΝ ἴση ἐστίν, ὧν ἡ ΑΕ ἴση ἐστὶν τῇ ΖΕ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΔλοιπῇ τῇ ΕΝ ἐστὶν ἴση· καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΔΝ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΝΔ ἴση ἐστίν· μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΔΝ τῆς ὑπὸ ΔΝΡ· καὶ πλευρὰ ἄρα ἡ ΝΡ πλευρᾶς τῆς ΡΔ μείζων ἐστίν. ἐκβεβλήσθω ἡ ΡΔ ἐπὶ τὸ Υ, καὶ κείσθω τῇ ΡΝ ἴση ἡ ΡΥ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΥΣ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΖΡ τῇ ΡΣ, ἡ δὲ ΡΝ τῇ ΡΥ, δύο αἱ ΖΡΝ δυσὶ ταῖς ΣΡΥ ἴσαι εἰσίν. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΡΝ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΣΡΥ ἴση ἐστίν — κατὰ κορυφὴν γάρ· βάσις ἄρα ἡ. ΝΖ βάσει τῇ ΣΥ ἐστὶν ἴση. καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι εἰσίν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΡΖΝ τῇ ὑπὸ ΡΣΥ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΡΜΔ μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΡΣΥ — ἐκτὸς γάρ ἐστιν τοῦ τριγώνου· καὶ ἡ ὑπὸ ΡΜΔ ἄρα μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΡΖΝ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΡΝ ἴση τῇ ὑπὸ ΜΡΔ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΝΡ μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΡΔΜ. ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΖΝΡ ἴση ἐδείχθη τῇ ὑπὸ ΑΔΟ· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΔΟ ἄρα μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΡΔΜ· πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΞ μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΡΔΜ. ἀλλὰ τῆς μὲν ΑΔΞ διπλασίων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΔΛ, τῆς δὲ ὑπὸ ΡΔΜ ἐλάττων ἢ διπλασίων ἐδείχθη ἡ ὑπὸ ΖΔΘ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΚΔΛ μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΖΔΘ.
Εἰς τὰ ὀπτικὰ Εὐκλείδου.
μαʹ. Ἐὰν ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος προσπίπτουσα πρὸς τὸ κέντρον τοῦ κύκλου μήτε πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ἐπιπέδῳ μήτε ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, μείζων δὲ ἢ ἐλάσσων, ἄνισοι αἱ διάμετροι τοῦ κύκλου φανοῦνται.
Προγράφεται δὲ τοῦ θεωρήματος τάδε.
Ἔστω δύο τρίγωνα ὀρθογώνια τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ ὀρθὰς ἔχοντα τὰς πρὸς τοῖς Α Δ γωνίας, καὶ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΔ· ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓΑ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΖΔ.
`6.570`
Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΔ, καὶ δυνάμει καὶ διελόντι καὶ μήκει ἡ ἄρα ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ. πεποιήσθω ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ΗΑ πρὸς ΑΓ· δῆλον ἄρα ὅτι ἐλάσσων ἔσται ἡ ΗΑ τῆς ΑΒ, ἐπεζεύχθω ἡ ΗΓ· ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΗΓ· τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΕ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῆς ὑπὸ ΔΖΕ γωνίας.
μβʹ. Ἀπὸ μετεώρου σημείου τοῦ Α ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἤχθω ἡ ΑΒ, καὶ συμβαλλέτω αὐτῷ κατὰ τὸ Β σημεῖον, ἔστω δʼ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ εὐθεῖά τις ἡ ΓΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β σημείου ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθετος ἤχθω ἡ ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ· λέγω ὅτι καὶ ἡ ΑΔ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΓΔ. Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΓΔ τυχὸν σημεῖον τὸ Γ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ ΓΒ. ἐπεὶ οὖν ἡ. ΑΒ κάθετος ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ. τῷ δὲ ἀπὸ ΒΓ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΒΔ ΔΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΔ ΓΔ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΔ ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῶν ΑΔ ΔΓ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΔΓ γωνία· κάθετος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ ἐπὶ τὴν ΓΔ, ὅπερ· ⁓
`6.572`
μγʹ. Ἀπὸ σημείου μετεώρου τοῦ Α ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον εὐθεῖα διήχθω ἡ ΑΒ μὴ οὖσα κάθετος ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον, καὶ κάθετος ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον ἤχθω, καὶ συμβαλλέτω αὐτῷ κατὰ τὸ Γ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΒ· λέγω ὅτι ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία ἐλαχίστη ἐστὶν πασῶν τῶν περιεχομένων ὑπό τε τῆς ΑΒ καὶ ἑκάστης τῶν ἀπὸ τοῦ Β σημείου διαγομένων εὐθειῶν ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, ἔτι δὲ ὅτι ἀεὶ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων ἐστίν, καὶ ὅτι δύο μόνον ἴσαι αὐτῇ ἐφʼ ἑκάτερα συνίστανται. Διήχθω γάρ τις ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ τυχοῦσα ἡ ΒΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ· κάθετος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ ἐπὶ τὴν ΒΔ διὰ τὸ προδεδειγμένον. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΓΔ γωνία, μείζων ἐστὶν ἡ ΔΑ τῆς ΑΓ· ἡ ἄρα ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ. καὶ εἰσὶν ὀρθαὶ αἱ ὑπὸ ΒΓΑ ΒΔΑ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΑΔ διὰ τὸ πρὸ ἑνὸς δεδειγμένον, ὥστε λοιπὴ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΑΒΔ. ὁμοίως δείξομεν ὅτι καὶ πασῶν ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία· ἐλαχίστη ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία.
Λέγω ὅτι καὶ αἰεὶ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάσσων.
`6.574`
Διήχθω γάρ τις ἡ ΒΕ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ ΓΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ· καὶ ἡ ΑΕ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΒΕ. καὶ ἐπεὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΔΓ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΓΕΒ ἴση, ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΓΕ μείζων, ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΔΓ πρὸς ΓΒ· πολλῷ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ΕΓ τῆς ΓΔ. καὶ ἔστιν ἡ ΓΑ πρὸς ὀρθὰς ἑκατέρᾳ τῶν ΓΔ ΓΕ· μείζων ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΕΑ τῆς ΑΔ· ἡ ἄρα ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΑΕ. καὶ εἰσὶν ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Δ Ε σημείοις γωνίαι· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΑΕ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΑΒΕ γωνίας. ὁμοίως δείξομεν ὅτι καὶ αἰεὶ ἡ ἔγγιον τῆς ὑπὸ ΑΒΓ γωνίας τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων ἐστίν.
Λέγω δʼ ὅτι ἴσαι δύο μόνον ἐφʼ ἑκάτερα αὐτῆς συσταθήσονται.
Συνεστάτω πρὸς τῇ ΓΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Β ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ τῇ ὑπὸ ΔΒΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΓΒΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΒΖ κάθετος ἤχθω ἡ ΓΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΒΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒΖ, ἔστιν δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΓΔΒ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΓΖΒ ἴση, καὶ ἔστιν καὶ κοινὴ τῶν τριγώνων ἡ ΓΒ πλευρά, ἴση ἄρα ἡ μὲν ΒΔ τῇ ΒΖ, ἡ δὲ ΓΔ τῇ ΓΖ. καὶ ἔστιν ἡ ΑΓ κάθετος ἐπὶ ἑκατέραν τῶν ΔΓ ΓΖ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΑΖ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΒ τῇ ΒΖ, κοινὴ δὲ ἡ ΒΑ, καὶ ἔστιν βάσις ἡ ΔΑ βάσει τῇ ΑΖ ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΖ ἐστὶν ἴση. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι τῇ ὑπὸ ΑΒΔ ἑτέρα οὐ συνίσταται ἴση.
Ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ ἄρα γωνία ἐλαχίστη ἐστίν, αἰεὶ δὲ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων, ἴσαι δὲ δύο μόνον ἐφʼ ἑκάτερα αὐτῆς συνίστανται.
μδʹ. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς ΒΓ ΕΖ, καὶ τετμήσθωσαν δίχα αἱ ΒΓ ΕΖ τοῖς Η Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ ΔΘ, καὶ ἔστωσαν ἴσαι, καὶ ἡ μὲν ΑΗ κάθετος ἔστω ἐπὶ τὴν ΒΓ, ἡ δὲ ΔΘ μὴ ἔστω κάθετος ἐπὶ τὴν ΕΖ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΑΗ τῆς ΗΒ· ὅτι ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΕΔΖ.
`6.576`
Περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΗ ἐπὶ τὸ Λ. ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΑΗ τῆς ΗΒ, καὶ ἔστιν διάμετρος ἡ ΑΛ, τὸ ἄρα κέντρον τοῦ κύκλου ἐστὶ μεταξὺ τῶν Α Η — τοῦτο γὰρ ἑξῆς· μεγίστη ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ, καὶ αἰεὶ ἡ ἔγγιον αὐτῆς μείζωντῆς ἀπώτερον. συνεστάτω τῇ ὑπὸ ΔΘΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΓΗΜ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ, τουτέστιν ἡ ΔΘ, τῆς ΗΜ. κείσθω τῇ ΔΘ ἴση ἡ ΗΚ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΒ ΚΓ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΕΔΖ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΒΚΓ. μείζων δὲ τῆς ὑπὸ ΒΚΓ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ· καὶ τῆς ὑπὸ ΕΔΖ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ.
Ὑποκειμένων τῶν αὐτῶν ἔστω ἐλάσσων ἡ ΗΑ τῆς ΗΒ· λέγω ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΖ.
Συνεστάτω οὖν τῇ ὑπὸ ΔΘΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΓΗΜ. καὶ ἐπεὶ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΑΗ τῆς ΗΒ, καὶ ἔστιν διάμετρος ἡ ΑΛ, τὸ ἄρα κέντρον τοῦ κύκλου ἐστὶν μεταξὺ τῶν Λ Η· ἐλαχίστη ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΜ τῆς ΗΑ, τουτέστιν τῆς ΔΘ. κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ΗΝ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΒ ΝΓ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΔΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΝΓ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΒΝΓ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ μείζων ἐστίν· μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΔΖ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΑΓ, ὅπερ· ⁓
`6.578`
μεʹ. Κύκλος ὁ ΑΒΓ, οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ ἐπʼ αὐτῆς τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ διήχθω ὡς ἔτυχεν ἡ ΓΔ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΑΔ τῆς ΔΓ· ὅτι καὶ τῆς ΔΒ μείζων ἐστίν. Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ ΓΒ. ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΔ γωνία τῆς ὑπὸ ΓΑΔ, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΓΒ ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΔΒΓ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ τῆς ΔΒ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΑΔ μείζων τῆς ΔΓ· πολλῷ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ΑΔ τῆς ΔΒ.
Ὁμοίως δείξομεν, κἂν ἐλάσσων ᾖ ἡ ΑΔ τῆς ΔΓ, ὅτι καὶ τῆς ΔΒ ἐλάσσων ἐστίν.
μϛʹ. Κύκλος ὁ ΑΒΓ, οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ ἐπʼ αὐτῆς εἰλήφθω σημεῖον τὸ Δ, καὶ διήχθωσαν αἱ ΔΓ ΔΕ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΓΔ τῆς ΔΕ· ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΑΔ τῆς ΔΒ.
Ἐπεζεύχθω ἡ ΓΕ, καὶ κάθετος ἡ ΔΖ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ τῆς ΖΕ. τετμήσθω δίχα ἡ ΓΕ τῷ Η, καὶ διὰ τοῦ Η παράλληλος τῇ ΔΖ ἡ ΗΘ· πρὸς ὀρθὰς ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΗ τῇ ΓΕ. ἀλλὰ καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει· ἐπὶ τῆς ΗΘ ἄρα ἐστὶν τὸ κέντρον. ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τῆς ΑΒ· τὸ ἄρα Θ κέντρον ἐστὶν τοῦ κύκλου· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ τῆς ΔΒ.
μζʹ. Ἔστω πάλιν δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς ΒΓ ΕΖ, καὶ δίχα τετμήσθωσαν αἱ ΒΓ ΕΖ τοῖς Η Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ ΔΘ, καὶ ἔστωσαν ἴσαι, καὶ μηδετέρα τῶν ΑΗ ΔΘ ἔστω κάθετος ἐπὶ τὴν βάσιν, ἔστω δὲ μείζων ἡ ὑπὸ ΑΗΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΔΘΖ· λέγω ὅτι, ἐὰν μὲν ᾖ μείζων ἡ ΑΗ τῆς ΗΓ, μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΖ, εἰ δὲ ἐλάσσων ἡ ΗΑ τῆς ΗΓ, ἐλάσσων καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΖ.
`6.580`
Ἤχθω ἀπὸ τοῦ Η τῇ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΚ· διάμετρος ἄρα ἐστὶν τοῦ κύκλου. ἔστω πρότερον μείζων ἡ ΗΑτῆς ΗΓ· διὰ ἄρα τὸ προδειχθὲν μείζων ἐστὶν ἡ ΗΚ τῆς ΗΑ. συνεστάτω τῇ ὑπὸ ΔΘΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΓΗΜ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΑ, τουτέστιν ἡ ΔΘ, τῆς ΗΜ. κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ΗΝ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΒ ΝΓ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΝΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΔΖ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΖ.
Ὁμοίως δείξομεν ὅτι, ἐὰν ᾖ ἐλάσσων ἡ ΑΗ τῆς ΗΓ, ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΖ, ὅπερ· ⁓
μηʹ. Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, οὗ κέντρον τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε πρὸς ὀρθὰς ἔστω τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ἡ ΕΖ· λέγω ὅτι, ἐὰν ἐπὶ τῆς ΕΖ τὸ ὄμμα τεθῇ, ἴσαι αἱ διάμετροι φαίνονται τοῦ κύκλου.
Τοῦτο δὲ δῆλον· ἅπασαι γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ Ζ πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις καὶ ἴσας γωνίας περιέχουσιν.
Μὴ ἔστω δὲ ἡ ΕΖ πρὸς ὀρθὰς τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ, ἴση δὲ ἔστω τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου· λέγω ὅτι τοῦ ὄμματος ὄντος πρὸς τῷ Ζ σημείῳ καὶ οὕτως αἱ διάμετροι ἴσαι ὁρῶνται.
Ἤχθωσαν γὰρ δύο διάμετροι αἱ ΑΓ ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΑ ΖΒ ΖΓ ΖΔ. ἐπεὶ αἱ τρεῖς αἱ ΕΑ ΕΓ ΕΖ ἴσαι εἰσίν, ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΓ γωνία. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΖΔ ὀρθή ἐστιν· ἴσαι ἄρα φανήσονται αἱ ΑΓ ΒΔ διάμετροι. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ πᾶσαι.
`6.582`
Δῆλον οὖν ὅτι, ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος, ἐπὶ δὲ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας ὁπουδήποτε τὸ ὄμμα μετατεθῇ κατὰ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, αἱ διάμετροι ἴσαι ὀφθήσονται.
μθʹ. Ἐὰν ᾖ κύκλος, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἀνασταθῇ τις εὐθεῖα μήτε πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ μήτε ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἐπὶ δὲ τοῦ πέρατος τῆς ἀνασταθείσης τὸ ὄμμα τεθῇ, ἄνισοι αἱ τοῦ κύκλου διάμετροι ὀφθήσονται.
Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, οὗ κέντρον τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἀνεστάτω τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ μήτε πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ μήτε ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ ὄμμα πρὸς τῷ Ε, ἔστω δὲ πρότερον ἡ ΔΕ μείζων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ ΑΒ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἐπὶ τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΕΖ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΖΗΔ διήχθω ἐπὶ τὸ Γ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΗΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΒ· λέγω ὅτι μεγίστη μὲν ὀφθήσεται ἡ ΑΒ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΗΓ, αἰεὶ δὲ ἡ ἔγγιον τῆς ΗΓ τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων ὀφθήσεται, δύο δὲ μόνον ἴσαι ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ΗΓ θεωρηθήσονται.
`6.584`
Δῆλον δὴ ὅτι ἡ ΕΔ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΑΒ· ἀπὸ γὰρ μετεώρου σημείου τοῦ Ε ἐπὶ τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον κάθετος διῆκται ἡ ΕΖ, καὶ τυχοῦσα διῆκται ἡ ΑΒ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἦκται ἡ ΔΖ, καὶ ἐπέζευκται ἡ ΕΔ. ἔτι δὲ καὶ τοῦτο δῆλον ἐκ τῶν προειρημένων ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΕΔΖ γωνία ἐλαχίστη ἐστίν, αἰεὶ δὲ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάσσων, ἴσαι δὲ δύο μόνον ἐφʼ ἑκάτερα αὐτῆς συνίστανται.
Διήχθω δή τις ἡ ΘΔΚ· ἡ ἄρα ΕΔ οὐκ ἔστιν κάθετος ἐπὶ τὴν ΘΚ. ἐὰν γὰρ ᾖ κάθετος, ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος, ἔσται ἄρα ἡ ΕΔ ἐπὶ τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον, ὅπερ ἀδύνατον· οὐκ ἄρα κάθετός ἐστιν ἡ ΕΔ ἐπὶ τὴν ΘΚ. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΑ ΕΒ ΕΘ ΕΚ ΕΗ ΕΓ. ἐπεὶ δύο τρίγωνά ἐστιν τὰ ΑΕΒ ΕΘΚ ἴσας ἔχοντα τὰς ΑΒ ΘΚ βάσεις, ὧν ἑκατέρα δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Δ, καὶ ἔστιν ἡ ΕΔ ἡ αὐτὴ ἐν ἑκατέρῳ τῶν τριγώνων, ἐπὶ μὲν τὴν ΑΒ κάθετος οὖσα, ἐπὶ δὲ τὴν ΘΚ οὐκέτι, καὶ ἔστιν ἡ ΕΔ μείζων τῆς ΔΑ, μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία τῆς ὑπὸ ΘΕΚ. ὁμοίως δείξομεν ὅτι καὶ πασῶν τῶν ὁμοίως διαγομένων· ἡ ἄρα ΑΒ μεγίστη ὁρᾶται.
Πάλιν ἐπεὶ δύο τρίγωνά ἐστιν τὰ ΕΗΓ ΕΘΚ ἴσας ἔχοντα τὰς βάσεις καὶ κοινὴν τὴν ΕΔ, καὶ ἡ ΕΔ ἐπὶ οὐδετέραν τῶν ΘΚ ΗΓ κάθετός ἐστιν, μείζων δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΕΔΘ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΔΗ — δέδεικται γὰρ ἐλαχίστη ἡ ὑπὸ ΕΔΗ —, καὶ ἔστιν ἡ ΕΔ μείζων τῆς ΔΘ, μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΘΕΚ γωνία τῆς ὑπὸ ΗΕΓ γωνίας — προδέδεικται γὰρ καὶ τοῦτο. ὁμοίως δείξομεν ὅτι ἐλαχίστη ἐστὶ πασῶν ἡ ὑπὸ ΗΕΓ γωνία· ἡ ἄρα ΗΓ ἐλαχίστη ὁρᾶται.
`6.586`
Καὶ φανερὸν ὅτι ἴσαι δύο μόνον ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ΗΓ ὀφθήσονται, ἐπειδήπερ τῆς ὑπὸ ΕΔΖ γωνίας δύο ἴσαι μόνον ἐφʼ ἑκάτερα συνίστανται γωνίαι. Ὁμοίως δείξομεν ὅτι, ἐὰν ᾖ ἐλάσσων ἡ ΕΔ τῆς ΔΑ, μεγίστη μὲν ὀφθήσεται ἡ ΗΓ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΑΒ, καὶ αἰεὶ ἡ ἔγγιον τῆς ΑΒ τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων, ἴσαι δὲ δύο μόνον ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ΗΓ — ἢ τῆς ΑΒ — ὀφθήσονται.
νʹ. Ἐπεὶ οὖν ὁ κύκλος ἔδοξεν ἐλλείψεως παρέχειν φαντασίαν τῇ ὄψει καὶ τὸ κέντρον αὐτοῦ φαινόμενον εἶναι κέντρον τῆς ἐλλείψεως, ἔνστασιν οὐ τὴν τυχοῦσαν ἔχει τὸ θεώρημα· δυνατὸν γάρ ἐστιν ἀποδεῖξαί τι σημεῖον ἕτερον ἐν τῷ κύκλῳ κέντρον ὁρώμενον τῆς κατὰ φαντασίαν γραμμῆς. προγραφήσεται δὲ λημμάτιον τόδε.
`6.588`
Ἔστω ὡς ἡ ΒΚ εὐθεῖα πρὸς ΚΔ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ΔΘ, καὶ ἔστω ἴση ἡ ὑπὸ ΒΖΘ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΖΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΖ· ὅτι ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΘΖΚ· γωνία. Ἤχθω τῇ ΚΖ παράλληλος διὰ τοῦ Θ ἡ ΓΘΗ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΖΔ ἐπὶ τὸ Η. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΚΔ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΔ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΒΘ, οὕτως ἡ ΚΔ πρὸς ΔΘ, ἀλλὰ ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΒΘ, οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς ΓΘ, ὡς ἄρα ἡ ΖΚ πρὸς ΓΘ, οὕτως ἡ ΚΔ πρὸς ΔΘ. ὡς δὲ ἡ ΚΔ πρὸς ΔΘ, οὕτως ἡ ΚΖ πρὸς ΘΗ — ἰσογώνια γὰρ τὰ ΖΔΚ ΔΗΘ τρίγωνα· ἡ ΖΚ ἄρα πρὸς ἑκατέραν τῶν ΓΘ ΘΗ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἴση ἄρα ἡ ΓΘ τῇ ΘΗ. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΓΘ πρὸς ΘΗ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ΖΗ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΓΖ εὐθεῖα τῇ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΘ τῇ ΘΗ, κοινὴ δὲ ἡ ΖΘ, καὶ βάσις ἡ ΗΖ βάσει τῇ ΓΖ ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΘΖ τῇ ὑπὸ ΖΘΗ ἐστὶν ἴση· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα αὐτῶν· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΘΖΚ διὰ τὸ τὰς ΓΗ ΖΚ παραλλήλους εἶναι.
ναʹ. Τούτου προγραφέντος ἔστω ὁ μὲν κύκλος ὁ ΑΒΓΔ περὶ κέντρον τὸ Ε, ὄψις δὲ μὴ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ αὐτοῦ ᾖ πρὸς τῷ Ζ σημείῳ, καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον ἡ ΖΗ μὴ πιπτέτω ἐπὶ τὸ Ε κέντρον, καὶ ἐπιζευχθεῖσα μὲν ἡ ΗΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ Β Κ, ἀπὸ δὲ τοῦ Ζ σημείου ἐπὶ τὰ Β Δ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΔ ΖΒ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ὑπὸ ΒΖΔ τῇ ΖΘ, καὶ ἤχθω τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΘΓ, καὶ ἐφαπτόμεναι τοῦ κύκλου αἱ ΑΚ ΚΓ· λέγω ὅτι τῇ πρὸς τῷ Ζ ὄψει ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἔλλειψις φανήσεται κέντρον μὲν ἔχουσα τὸ Θ σημεῖον — οὐχ, ὥσπερ οἴονταί τινες, τὸ Ε —, ἄξονας δὲ τοὺς ΓΑ ΒΔ συζυγεῖς, καὶ αἱ μὲν ἐπὶ τὴν ΒΔ καταγόμεναι τεταγμένως τῇ ΑΓ ἔσονταί τε καὶ φανοῦνται παράλληλοι, αἱ δʼ ἐπὶ τὴν ΑΓ καταγόμεναι διαχθήσονται μὲν ἀπὸ τοῦ Κ, φανοῦνται δὲ τῇ ΒΔ παράλληλοι, καὶ ταὐτὰ φανεῖται περὶ τὴν ὁρωμένην ἔλλειψιν, ἃ καὶ τῇ τοῦ κώνου τομῇ συμβέβηκεν.
`6.590–6.592`
Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΖ ΖΓ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΘ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΖΓ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΘΖΒ τῇ ὑπὸ ΘΖΔ ἴση· φαίνεται ἄρα ἴση ἡ μὲν ΑΘ τῇ ΘΓ, ἡ δὲ ΒΘ τῇ ΘΔ. λέγω δὴ ὅτι καί, ἥτις ἂν διαχθῇ ὡς ἡ ΛΘΜ, φανεῖται διχοτομουμένη κατὰ τὸ Θ. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἵ τε ΛΚ ΚΜ ΜΞ καὶ αἱ ΜΖ ΖΞ ΖΝ ΖΛ καὶ ἔτι ἡ ΖΚ. ἐπεὶ οὖν διὰ τὰς ἐφαπτομένας ἐστὶν ὡς ἡ ΒΚ πρὸςΚΔ, ἡ ΒΘ πρὸς ΘΔ, καὶ ἔστιν ἡ ὑπὸ ΒΖΘ ἴση τῇ ὑπὸ ΘΖΔ, ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΘΖΚ γωνία — τοῦτο γὰρ προδέδεικται. καὶ ἐπεὶ τὸ διὰ τῶν Β Ζ Κ ἐπίπεδον ὀρθόν ἐστιν πρὸς τὸ διὰ τῶν Α Ζ Γ ἐπίπεδον — καὶ γὰρ ἡ ΑΓ ὀρθή ἐστιν τῷ διὰ τῶν Β Ζ Κ ἐπιπέδῳ, καὶ τῇ κοινῇ τομῇ τῇ ΘΖ ὀρθὴ ἦκται ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων ἡ ΖΚ —, ἡ ἄρα ΖΚ τῷ διὰ τῶν Α Ζ Γ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν· ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΝΖΚ γωνία. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΛΚ πρὸς ΚΞ, ἡ ΛΝ πρὸς ΝΞ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΛΖΝ γωνία τῇ ὑπὸ ΝΖΞ· ἴση ἄρα φαίνεται ἡ ΛΝ τῇ ΝΞ. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΛΖ πρὸς ΖΞ, ἡ ΛΝ πρὸς ΝΞ, ἀλλʼ ἡ μὲν ΖΞ τῇ ΖΜ ἴση ἐστίν — ἐπιζευχθεῖσα γὰρ ἡ ΜΞ γίνεται παράλληλος τῇ ΑΓ —, ὡς δὲ ἡ ΛΝ πρὸς ΝΞ, ἡ ΛΘ πρὸς ΘΜ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΖΘ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΖΜ· ἴση ἄρα φαίνεται ἡ ΘΛ τῇ ΘΜ. ὁμοίως δὲ καί, ἥτις ἂν ἄλλη διὰ τοῦ Θ διαχθῇ, φανήσεται διχοτομουμένη κατὰ τὸ Θ· κέντρον ἄρα φαίνεται τῆς ἐλλείψεως τὸ Θ, καὶ συζυγεῖς ἄξονες οἱ ΑΓ ΒΔ, καὶ αἱ μὲν τῇ ΑΓ παράλληλοι διχοτομηθήσονται ὑπὸ τῆς ΒΔ, αἱ δὲ ἀπὸ τοῦ Κ διαγόμεναι δίχα τεμνόμεναι φανοῦνται ὑπὸ τῆς ΑΓ, ὥσπερ ἡ ΛΞ ἀπεδείχθη. λέγω δὴ ὅτι φαίνονται τῇ ΒΔ παράλληλοι αἱ ἀπὸ τοῦ Κ διαγόμεναι. διήχθω γὰρ λόγου χάριν ἡ ΛΚ, καὶ κάθετος ἡ ΛΟ,καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ρ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΖ ΖΠ ΖΡ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΛΚ πρὸς ΚΞ, τουτέστιν ὡς ἡ ΡΛ πρὸς τὴν ΞΜ, οὕτως ἡ ΛΖ πρὸς τὴν ΞΖ, καὶ ἔστιν ἴση ἡ μὲν ΛΖ τῇ ΖΡ, ἡ δὲ ΞΖ τῇ ΖΜ, ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΖΡ τῇ ὑπὸ ΞΖΜ· καὶ ἡ ὑπὸ ΛΖΟ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΞΖΠ· ἡ ἄρα ΟΛ ἴση φαίνεται τῇ ΠΞ, ὥστε παράλληλοι φανοῦνται αἱ ΛΞ ΒΔ.
νβʹ. Τούτου δεδειγμένου παραδοξότερόν τι πρόβλημα δυνατὸν ἀποδεῖξαι προτείνοντας οὕτως.
Θέσει ὄντος κύκλου καὶ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ αὐτοῦ σημείου δοθέντος ἐντὸς τῆς περιφερείας τόπον εὑρεῖν τῇ ὄψει, ἀφʼ οὗ τὸν κύκλον ἔλλειψιν ὄψεται κέντρον ἔχουσαν τὸ δοθὲν ἐντὸς τῆς περιφερείας σημεῖον.
`6.594`
Ἔστω γὰρ ὁ μὲν δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ περὶ κέντρον τὸ Ε, τὸ δὲ δοθὲν ἐντὸς αὐτοῦ σημεῖον τὸ Ζ, καὶ δέον ἔστω τόπον εὑρεῖν, ἀφʼ οὗ ὁ κύκλος ἔλλειψις ὀφθήσεται κέντρον ἔχουσα τὸ Ζ σημεῖον. ἐπιζευχθεῖσα ἐπὶ τὸ κέντρον ἡ ΖΕ ἐκβεβλήσθω ἐφʼ ἑκάτερα, καὶ ὀρθὴ αὐτῇ ἀπὸ τοῦ Ζ ἤχθω ἡ ΑΓ, καὶ ἀπὸ τῶν Α Γ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ κύκλου ἐφαπτόμεναι ἤχθωσαν αἱ ΑΘ ΘΓ, καὶ ἐπὶ τῆς ΖΘ ἡμικύκλιον γεγράφθω ὀρθὸν πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον τὸ ΖΗΘ· λέγω δὴ ὅτι, ὁποῖον ἂν ληφθῇ σημεῖον ἐφʼ ὅλης τῆς ΖΗΘ περιφερείας, πρὸς αὐτῷ τεθεῖσα ἡ ὄψις ἔλλειψιν ὄψεται τὸν κύκλον κέντρον ἔχουσαν τὸ Ζ.
Εἰλήφθω γὰρ τὸ Η σημεῖον καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΒ ΗΖ ΗΔ ΗΘ. ἐπεὶ οὖν διὰ τὰς ἐφαπτομένας ἐστὶν ὡς ἡ ΒΘ πρὸς ΘΔ, ἡ ΒΖ πρὸς ΖΔ, καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΖΗΘ γωνία, ἴση ἔσται ἡ ὑπὸ ΒΗΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΗΔ· ἴση ἄρα φαίνεται ἡ ΒΖ τῇ ΖΔ. φανερὸν δὴ ὅτι καὶ ἡ ΑΖ τῇ ΖΓ ἴση φαίνεται. καὶ τοῖς προγεγραμμένοις ὁμοίως δειχθήσεται τῆς φαινομένης ἐλλείψεως κέντρον τὸ Ζ σημεῖον καὶ συζυγεῖς ἄξονες οἱ ΑΓ ΒΔ.
Εἰς τὰ φαινόμενα Εὐκλείδου.
`6.596`
νγʹ. Ἐπὶ τοῦ βʹ θεωρήματος τῶν Εὐκλείδου φαινομένων παρεῖται καὶ διὰ τῆς ἀποδείξεως, ἐὰν ὁ πόλος τοῦ. ὁρίζοντος μεταξὺ τῶν τροπικῶν ᾖ ἢ ἐπί τινος αὐτῶν, ποσάκις ὁ ζῳδιακὸς πρὸς ὀρθὰς ἔσται πρὸς τὸν ὁρίζοντα ἐν μιᾷ περιφορᾷ. διὸ ἀποδείξομεν ἡμεῖς ὅτι, ἐὰν μὲν ὁ πόλος τοῦ ὁρίζοντος ἐπί τινος τῶν τροπικῶν ᾖ, ἅπαξ ὁ ζῳδιακός ἐστιν ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα ἐν μιᾷ περιφορᾷ, ἐὰν δὲ μεταξὺ τῶν τροπικῶν, δίς.
Ἔστω γὰρ ὁρίζων μὲν ὁ ΑΒΘ, θερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΓΗ, χειμερινὸς δὲ ὁ ΒΘ, μεσημβρινὸς δὲ ὁ ΑΔΕ, ζῳδιακὸς δὲ ὁ ΒΖΗ, ὁ δὲ τοῦ ΑΒΘ ὁρίζοντος πόλος ἔστω ἐπὶ τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ τὸ Δ· λέγω ὅτι ἐν μιᾷ περιφορᾷ ὁ ΒΖΗ ἅπαξ ἔσται ὀρθὸς πρὸς τὸν ΑΒΘ ὁρίζοντα.
Ἐπεὶ γὰρ ἐν μιᾷ περιφορᾷ τὸ Η τὴν ΗΓ περιφέρειαν διέρχεται καὶ τὴν συνεχῆ αὐτῆς τὴν ὑπὸ γῆν καὶ ἐπὶ τὸ Η παραγίνεται, ἐν δὲ τῇ εἰρημένῃ διεξόδῳ τὸ Η ἅπαξ ἐπὶ τὸν Δ πόλον παραγίνεται καὶ ὁ ζῳδιακὸς θέσιν λαμβάνει τὴν ἐπὶ τοῦ ΚΔΛ, καὶ ἔσται ἅπαξ ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα· διὰ γὰρ τῶν πόλων ἐστὶν αὐτοῦ.
Ὁμοίως δὴ καί, ἐὰν ὁ πόλος τοῦ ὁρίζοντος ἐπὶ τοῦ χειμερινοῦ κύκλου ᾖ, ὡς ὁ Ε, ἅπαξ ἔσται ὁ ζῳδιακὸς ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα.
`6.598`
νδʹ. Ἔστω δὴ ὁ πόλος μεταξὺ τῶν τροπικῶν, ὡς ὁ Θ· λέγω ὅτι ὁ ζῳδιακὸς δὶς γίνεται ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα ἐν μιᾷ περιφορᾷ.
Προσαναγεγράφθω γὰρ ὁ ζῳδιακὸς κύκλος, καὶ ἔστω ὁ ΒΜΗ, ἔστω δὲ καθʼ οὗ φέρεται παραλλήλου κύκλου τὸ Θ σημεῖον ὁ ΜΛΟ. τοῦ δὴ Λ ἐπὶ τὸν Θ πόλον παραγενομένου ὁ ΗΜΒ ζῳδιακὸς θέσιν λαβὼν τὴν ἐπὶ τοῦ ΝΘΞ ὀρθὸς γίνεται τὸ πρῶτον πρὸς τὸν ὁρίζοντα. πάλιν τοῦ Μ τὴν ΜΟΘ περιφέρειαν διελθόντος κατὰ τὴν συστροφὴν καὶ ἐπὶ τὸν Θ πόλον παραγενομένου ὁ ζῳδιακὸς θέσιν λαβὼν τὴν ἐπὶ τοῦ ΚΘΠ ὀρθὸς τὸ δεύτερον ἔσται πρὸς τὸν ὁρίζοντα.
`6.600–6.602`
νεʹ. Ἐπὶ δὲ τοῦ ιβʹ θεωρήματός φησιν ὁ Εὐκλείδης «τοῦ μετὰ τὸν καρκίνον ἡμικυκλίου αἱ ἴσαι περιφέρειαι ἐν ἀνίσοις χρόνοις δύνουσιν, καὶ ἐν μεγίστοις αἱ πρὸς ταῖς συναφαῖς τῶν τροπικῶν, ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἱ πρὸς τῷ ἰσημερινῷ, ἐν ἴσοις δὲ χρόνοις αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ». ζητεῖται δὲ διὰ τί περὶ μὲν τῆς καταδύσεως τούτων τῶν περιφερειῶν λέγει, περὶ δὲ τῆς ἀνατολῆς οὐκέτι. ἐπαναβέβηκε γὰρ ἡ ζήτησις εἰς τοὺς ἀνατολικοὺς διορισμούς, ἔστιν δὲ ὅλη ἡ πραγματεία τοιαύτη· εὑρεῖν οἴκησιν ἐν ᾗ λόγου χάριν ὁ καρκίνος τῷ λέοντι ἐν ἴσοις χρόνοις ἀνατέλλει. Ἵππαρχος δὲ ἐν τῷ περὶ τῆς τῶν ιβʹ ζῳδίων ἀναφορᾶς συναποδείκνυσιν διʼ ἀριθμῶν ὅτι οὐχ ὥσπερ δύνουσιν αἱ ἴσαι περιφέρειαι τοῦ μετὰ τὸν καρκίνον ἡμικυκλίου ἔχουσαί τινα πρὸς ἀλλήλας χρόνου σύγκρισιν, οὕτως καὶ αὗται ἀνατέλλουσιν. εἶναι γάρ τινας οἰκήσεις, ἐν αἷς τῶν ἴσων περιφερειῶν τοῦ μετὰ τὸν καρκίνον ἡμικυκλίου αἰεὶ αἱ ἔγγιον τοῦ ἰσημερινοῦ ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλουσιν τῶν πρὸς ταῖς συναφαῖς τῶν τροπικῶν. διὰ τοῦτο οὖν καὶ αὐτὸς ἐπὶ τῶν ἴσον ἀπεχουσῶν ἀπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ εἴρηκεν ἐν ἴσοις χρόνοις καὶ τὰς ἀνατολὰς γίνεσθαι. τοῦτο δὲ συμφανὲς ἐκ τῶν ἐν τοῖς φαινομένοις δεικνυμένων. ὁμοίως δὲ καὶ «τοῦ μετὰ τὸν αἰγόκερώ» φησιν «ἡμικυκλίου αἱ ἴσαι περιφέρειαι ἐν ἀνίσοις χρόνοις ἀνατέλλουσιν, καὶ ἐν πλείστοις μὲν αἱ πρὸς ταῖς συναφαῖς, ἐν ἐλάττοσι δὲ αἱ ἑξῆς τούτων, ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἱ πρὸς τῷ ἰσημερινῷ, ἐν ἴσοις δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ». περὶ δὲ δύσεως αὐτῶν οὐθὲν λέγει· ὁ γὰρ λόγος τῆς ἀποδείξεως ἐμπίπτει εἰς τοὺς ἀνατολικοὺς διορισμούς, καὶ ἔστιν ἤδη πραγματεία περὶ τούτου γεγραμμένη Μενελάῳ τῷ Ἀλεξανδρεῖ, περὶ ἧς ὕστερον ἐπισκεψόμεθα. ἐὰν μέντοι διὰ τῶν πόλων τῶν παραλλήλων ᾖ ὁ ὁρίζων, οὕτως δειχθήσεται.
`6.604`
Ἔστω ὁρίζων διὰ τῶν πόλων τῶν παραλλήλων ὁ ΑΒΓΔΖΘ, καὶ τοῦ ζῳδιακοῦ τὸ μετὰ τὸν καρκίνον ἡμικύκλιον τὸ ΒΞΗ, καὶ μέγιστος τῶν παραλλήλων ὁ ΘΞΕ, καὶ διῃρήσθω τὸ ΒΝΞ τεταρτημόριον εἰς ἴσα κατὰ τὰ Μ Ν, καὶ διὰ τοῦ Α καὶ ἑκατέρου τῶν Μ Ν μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν· ἥξουσιν δὴ καὶ διὰ τοῦ ἑτέρου πόλου.ἔστωσαν οἱ ΑΜΖ ΑΝΖ, καὶ διὰ τῶν Μ Ν παράλληλοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΔΝΚ ΓΜΛ. καὶ ἐπεὶ ἕκαστον τῶν ΑΜΖ ΑΝΖ ἡμικυκλίων ἐφαρμόζει τῷ ΑΔΖ δυτικῷ ἡμικυκλίῳ — ἅμα γὰρ δύνει ἡ ΜΒ καὶ ἡ ΓΜ περιφέρεια, ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ ἡ ΜΓ δύνει, ἐν τούτῳ τὸ Μ σημεῖον ἔσται διεληλυθὸς τὴν ΜΓ περιφέρειαν —, ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Μ διέρχεται τὴν ΜΓ περιφέρειαν, ἐν τούτῳ δύνει ἡ ΜΒ περιφέρεια. πάλιν δὴ τοῦ ΑΜΖ λαβόντος τὴν τοῦ ὁρίζοντος θέσιν τὰ Μ Π ἅμα ἐστὶν ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος, καὶ τοῦ Ν σημείου γενομένου ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος δεδύκασιν αἱ ΠΝ ΝΜ περιφέρειαι· ἅμα ἄρα δύνει ἡ ΝΠ περιφέρεια καὶ ἡ ΝΜ. ἐν ᾧ δὲ ἡ ΠΝ δύνει, τὸ Ν ἔσται τὴν ΝΠ διεληλυθός· ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Ν τὴν ΝΠ περιφέρειαν διέρχεται, ἐν τούτῳ ἡ ΝΜ περιφέρεια δύνει. ὁμοίως δὲ καὶ ἐν ᾧ τὸ Ξ τὴν ΞΣ περιφέρειαν διέρχεται, ἐν τούτῳ ἡ ΝΞ περιφέρεια δύνει. ἐπεὶ δὲ διὰ τῶν πόλων τῶν παραλλήλων γεγραμμένοι εἰσὶν μέγιστοι κύκλοι, ὁμοίας ἀπολήψονται τῶν παραλλήλων κύκλων περιφερείας τὰς μεταξὺ αὑτῶν· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΜΓ τῇ ΔΠ καὶ ΡΕ περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΝΠ τῇ ΣΡ. ἐπεὶ δὲ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΒΜ ΜΝ ΝΞ, καὶ διὰ τῶν πόλων μέγιστοι κύκλοι γεγραμμένοι εἰσίν, μείζων ἄρα ἡ μὲν ΕΡ τῆς ΣΡ, ἡ δὲ ΡΣ τῆς ΣΞ· ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ Ρ τὴν ΡΕ περιφέρειαν διέρχεται ἤπερ τὸ Σ τὴν ΣΡ, καὶ τὸ Σ τὴν ΣΡ ἢ τὸ Ξ τὴν ΞΣ. ἀλλʼ ἐν ᾧ μὲν τὸ Ρ τὴν ΡΕ περιφέρειαν διέρχεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ Μ τὴν ΜΓ, ἐν ᾧ δὲ τὸ Σ τὴν ΣΡ, ἐν τούτῳ καὶ τὸ Ν τὴν ΝΠ· ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ Μ τὴν ΜΓ περιφέρειαν διέξεισιν ἤπερ τὸ Ν τὴν ΝΠ, τὸ δὲ Ν τὴν ΝΠ ἤπερ τὸ Ξ τὴν ΞΣ. ἀλλʼ ἐν ᾧ μὲν τὸ Μ τὴν ΜΓ διέξεισιν, ἐν τούτῳ ἡ ΜΒ περιφέρεια δύνει, ἐν ᾧ δὲ τὸ Ν τὴν ἴσην τῇ ΝΠ περιφερείᾳ διέξεισιν, ἐν τούτῳ ἡ ΜΝ δύνει, ἐν ᾧ δὲ τὸ Ξ τὴν ΞΣ διέξεισιν, ἐν τούτῳ ἡ ΝΞ περιφέρεια δύνει· ἐν πλείονι μὲν ἄρα χρόνῳ ἡ ΜΒ δύνει, ἐν ἐλάσσονι δὲ ἡ ΜΝ, ἐν ἐλαχίστῳ δὲ ἡ ΝΞ.
νϛʹ. Δέδεικται μὲν ὅτι τοῦ μετὰ τὸν καρκίνον ἡμικυκλίου τῶν ἴσων περιφερειῶν ἡ ἔγγιον τῆς θερινῆς συναφῆς τοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον ἐν πλείονι χρόνῳ δύνει, τοῦ δὲ μετὰ τὸν αἰγόκερω ἡμικυκλίου τῶν ἴσων περιφερειῶν ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλει ἡ ἔγγιον τῆς χειμερινῆς συναφῆς τοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον. εἰ δέ τις ἐπιζητοίη εἰ καὶ τὸ ἀνάπαλιν γίνεται ὥστε ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλειν τὰς ἐν τῷ μετὰ τὸν καρκίνον ἡμικυκλίῳ ἴσας περιφερείας αἰεὶ τὰς ἔγγιον τῆς ἀπώτερον τῆς θερινῆς συναφῆς τοῦ τροπικοῦ, τοῦτο δή, ῥητέον, οὐκ ἐν πάσῃ οἰκήσει συμβαίνειν δυνατόν ἐστιν· δειχθήσεται γὰρ ἐπί τινων ὁριζόντων παρθένος μὲν λέοντος ὀρθοτέρα ἀναφερομένη, ἀνάπαλιν δὲ ὁ λέων παρθένου ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλων, καὶ λέων μὲν καρκίνου ὀρθότερος ἀναφερόμενος καὶ ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλων.
Ὅτι μὲν οὖν ἐν παντὶ κλίματι, ὅπου ἀνατολαὶ καὶ δύσεις εἰσὶν τοῖς ιβʹ ζῳδίοις, ὀρθοτέρα ἀναφέρεται λέοντος παρθένος, δειχθήσεται οὕτως.
`6.610–6.614`
Ἔστω ὁρίζων ὁ ΑΒΓ, θερινὸς δὲ ὁ ΔΗ, καὶ ἐπὶ μὲν τῆς αʹ πτώσεως ἐφαπτέσθω τοῦ ὁρίζοντος, ἐπὶ δὲ τῆς βʹ πτώσεως τεμνέτω τὸν ὁρίζοντα, πόλος δὲ αὐτοῦ ἔστω τὸ Θ, καὶ διὰ τοῦ Θ καὶ τῶν τοῦ ὁρίζοντος πόλων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΗΘΕ· ἔσται ἄρα μεσημβρινὸς καὶ ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα. γεγράφθω δὴ καὶ διὰ τοῦ Δ ζῳδιακὸς κύκλος ὁ ΒΔΓ, καὶ ἔστω ὁ ΒΓ ἰσημερινὸς κύκλος. ἐπεὶ οὖν οἱ ΔΗ ΒΔΓ ἐφάπτονται ἀλλήλων, διὰ δὲ τῆς ἁφῆς τοῦ Δ καὶ τῶν πόλων τοῦ ἑνὸς τοῦ ΔΗ γέγραπται μέγιστος κύκλος ὁ μεσημβρινὸς ὁ ΗΘΔΕ, καὶ διὰ τῶν τοῦ ἑτέρου πόλων τοῦ ΒΔΓ ἥξει καὶ ὀρθὸς ἔσται πρὸς αὐτόν, ὥστε καὶ ὁ ζῳδιακὸς ὀρθὸς ἔσται πρὸς τὸν μεσημβρινόν· καὶ διὰ τῶν πόλων ἄρα. διῃρήσθω ἡ ΔΓ εἰς γʹ ἴσα κατὰ τὰ Ζ Μ, διὰ δὲ τῶν Ζ Μ κύκλοι παράλληλοι γεγράφθωσαν οἱ ΑΖΚ ΛΜΟ· ἔστιν ἄρα καρκίνου μὲν δωδεκατημόριον τὸ ΔΖ, λέοντος δὲ τὸ ΖΜ, παρθένου δὲ τὸ ΜΓ. ὅταν μὲν δὴ ἡ ΜΓ ἀνατέλλῃ, ὁ ζῳδιακὸς ἕξει θέσιν τινά· ἐχέτω τὴν ΠΝΞ. ὅταν δὲ ἡ ΖΜ ἀνατέλλῃ, ὁ ζῳδιακὸς θέσιν ἕξει τινά· ἐχέτω τὴν ΡΚΟ. διὰ δὴ τὸ ἐν τῷ βʹ τῶν σφαιρικῶν Θεοδοσίου καʹ θεώρημα ὀρθότατός ἐστιν, τουτέστιν μετεωρότατος πρὸς τὸν ὁρίζοντα, ὁ ζῳδιακὸς θέσιν ἔχων τὴν ΒΔΓ, αἰεὶ δʼ ὁ ἔγγιον τῆς Δ συναφῆς τῆς θερινῆς τῆς ἀπώτερον ἧσσον κέκλιται· ὀρθότερος ἄρα ἐστὶν ὁ ΠΝΞ τοῦ ΡΚΟ.καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν ΝΞ δωδεκατημόριον ἀνατέλλει, ὅ ἐστιν τῆς παρθένου, τοῦ ζῳδιακοῦ θέσιν ἔχοντος τὴν ΠΝΞ, τὸ δὲ ΚΟ ἀνατέλλει, ὅπερ ἐστὶν τοῦ λέοντος, τοῦ ζῳδιακοῦ θέσιν ἔχοντος τὴν ΡΚΟ, ὀρθοτέρα ἄρα ἡ παρθένος ἀναφέρεται λέοντος ἐπὶ τούτων τῶν οἰκήσεων, ἐφʼ ὧν πάντα τὰ μέρη τοῦ ζῳδιακοῦ ἀνατέλλει τε καὶ δύνει. καὶ φανερὸν ὅτι αἱ θέσεις τοῦ ζῳδιακοῦ κύκλου ὀρθῶς ἔχουσιν τῷ ιβʹ τοῦ βʹ· ὅμοιαι γάρ εἰσιν αἱ περιφέρειαι αἱ ΔΠ ΖΣ ΜΝ ΓΞ, καὶ ἴσαι αἱ ΠΣ ΡΚ ΣΝ ΚΟ, ὥστε στρεφομένης τῆς σφαίρας ἁρμόζειν ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὰ σημεῖα ἐπὶ τὰ σημεῖα, καθʼ ὃ καὶ ἐν τῷ περὶ κινουμένης σφαίρας δείκνυται, καὶ τὰς μεταξὺ περιφερείας ἴσας ἐπὶ τὰς ἴσας. δεῖ δὲ τὴν ἴσην τῇ ΜΓ ἀνατέλλουσαν μεταξὺ πάλιν εἶναι τῶν αὐτῶν παραλλήλων, διότι ἡ τῆς ΜΓ ἀναφορὰ ἡ αὐτὴ λαμβάνεται τῇ ΝΞ οὐ προοδεύεται δὲ τὸ θεώρημα τοῦτο οὐκέτι ἐν μείζονι ἐξάρματι, ὅταν ὁ ὁρίζων μειζόνων ἐφάπτηται ἢ ὧν ὁ ζῳδιακὸς ἐφάπτεται.
νζʹ. Ἔστω δὲ νῦν τοὺς ὁρίζοντας εὑρεῖν τῶν οἰκήσεων, ἐν οἷς τὰ ὀρθότερα ἀναφερόμενα τοῦ ζῳδιακοῦ δωδεκατημόρια ἐν ἐλάσσονι χρόνῳ ἀνενεχθήσεται τῶν πλαγιωτέρων ἀναφερομένων. Ἐκκείσθω μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ ὁρίζων διὰ τῶν πόλων τῶν παραλλήλων, καὶ ἔστωσαν πόλοι τὰ Α Γ, καὶ διʼ αὐτῶν μέγιστος ὁ ΑΘΓ, τουτέστιν μεσημβρινός, καὶ ἔστω θερινὸν μὲν ἡμικύκλιον τὸ ΕΗ, χειμερινὸν δὲ τὸ ΚΖ, ζῳδιακοῦ θέσις ὁτὲ μὲν ἡ ΕΘΖ, ὁτὲ δὲ ἡ ΗΘΚ, ἀνατολικῶν ὄντων μερῶν τῶν πρὸς τοῖς Η Δ Ζ, καὶ διῃρήσθω τὸ ΕΘ τεταρτημόριον εἰς τὰ ζῴδια κατὰ τὰ Λ Μ· λέγω ὅτι ὀρθοτέρα ἡ ΜΘ τῆς ΛΜ ἀναφέρεται.
`6.616–6.618`
Ἐπεὶ γὰρ ὁ ὁρίζων ἐστὶν διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας, τουτέστιν τοῦ ἰσημερινοῦ, ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν αὐτόν, ὥστε καὶ ὁ ἰσημερινὸς ὀρθός ἐστιν τῷ ὁρίζοντι· καὶ διὰ τῶν πόλων ἄρα τοῦ ὁρίζοντός ἐστιν ὁ ἰσημερινός. ἔστιν δὲ καὶ ὁ μεσημβρινὸς διὰ τῶν πόλων τοῦ ὁρίζοντος, ὥστε ἡ κοινὴ τομὴ τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ εἰσιν οἱ πόλοι τοῦ ὁρίζοντος. καὶ ἔστιν ὁ μὲν ἰσημερινὸς φερόμενος ἀεὶ διὰ τῶν πόλων τοῦ ὁρίζοντος, ὁ δὲ ζῳδιακὸς κατὰ δύο σημεῖα μόνα διὰ τῶν κοινῶν τομῶν τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ μεσημβρινοῦ, ὥστε καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ ὁρίζοντος ἐπὶ τὸν πόλον περιφέρεια τεταρτημορίου. καὶ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος τὰ Ε Η Κ Ζ ὄντα τῶν ἁφῶν σημεῖα τῶν τροπικῶν ἐπὶ τὸν μεσημβρινὸν τεταρτημορίου, ὥστε τὸ τεταρτημόριον τὸ ἀπὸ τῶν Ε Η Κ Ζ ἐπὶ τὸ τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ καὶ τοῦ πόλου τοῦ ὁρίζοντος κοινὸν σημεῖον τὸ Θ. καὶ διὰ τῶν Λ Μ Θ παράλληλοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΛΝ ΜΞ ΒΘΔ· ἔσται δὴ ὁ ΒΘΔ ἰσημερινός, ὡς προείρηται. γεγράφθωσαν διὰ τοῦ Α πόλου καὶ ἑκάστου τῶν Λ Μ Ξ Ν μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΟ ΑΠ ΑΡ ΑΣ. καὶ ἐπειδὴ τῷ ιβʹ τοῦ βʹ τῶν σφαιρικῶν ἴσαι εἰσὶν αἱ ΕΛ ΗΝ καὶ ΛΜ ΝΞ, καὶ αἱ ΜΘ ΞΘ, διῄρηνται δὲ ἴσαι, εἰς τὰ ζῴδιά εἰσιν διαιρεθεῖσαι καὶ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ ἔστιν τὸ Ε καρκίνου 𐆊 ἡγούμενον τοῦ ἡμικυκλίου, καὶ τὸ Η καρκίνου 𐆊 ἑπόμενον τῷ ἡμικυκλίῳ, ὥστε τὰ μὲν Λ Μ Θ σημεῖα ἕπεται τῷ Ε, τὰ δὲ Ν Ξ Θ ἡγεῖται τοῦ Η, ὥστε εἶναι τὰ ὁμόζωνα ζῴδια καὶ εἶναι τὸ Θ σημεῖον κριοῦ 𐆊 κατὰ τὸ Η καὶ ζυγοῦ 𐆊 κατὰ τὸ Ε. μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΒΟ τῆς ΟΠ, ἡ δὲ ΟΠ τῆς ΠΘ, ὁμοίως δὲ καὶ ἡ μὲν ΔΣ τῆς ΣΡ, ἡ δὲ ΣΡ τῆς ΡΘ· ἔσται ἄρα ἡ ΟΘΣ τῆς ΠΘΡ μείζων ἢ διπλῆ, τουτέστιν τῇ ὁμοιότητι ἡ ΛΝ τῆς ΜΞ. ἔστω δὴ τῆς ΜΞ διπλῆ τῇ ὁμοιότητι ἡ ΛΦ, διὰ δὲ τῶν Φ Θ μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ϛΦΘϙ. ἔσται δὴ οὗτος ὀρθὸς τῷ ΑΒΓΔ ὁρίζοντι — τὸ γὰρ Θ ἐστὶν πόλος τοῦ ὁρίζοντος.
Λέγω οὖν ὅτι, ἐὰν ὁρίζοντα ὑποστησώμεθα ἤτοι τὸν ϛΦΘϙ ἢ τὸν ΗΘΚ — ὃς ἐφάπτεται τοῦ ΕΗ θερινοῦ τροπικοῦ ἐν τῇ μεταξὺ τῶν ϛ Η πιπτούσῃ οἰκήσει —, δειχθήσεται παρθένος λέοντος ὀρθοτέρα ἀναφερομένη, ἐν πλείονι δὲ χρόνῳ παρθένου λέων ἀνατέλλων.
Ἐπείπερ ὑπεστησάμην ὁρίζοντα τοιοῦτον μὴ μειζόνων ἐφαπτόμενον ἤπερ εἰσὶν οἱ τροπικοὶ κύκλοι, φανερὸν οὖν ὅτι διὰ τὸ προαποδεδειγμένον παρθένος λέοντος ὀρθοτέρα ἀνενεχθήσεται. ὑποκείσθω πρότερον ὁ ΗΘΚ ὁρίζων, καὶ ἔστω αὐτοῦ ἀνατολικώτερον ἡμικύκλιον τὸ ΗΘΚ, τοῦ μεσημβρινοῦ ὄντος τοῦ ΑΒΓΔ ὀρθοῦ τοῖς παραλλήλοις καὶ τῷ ΗΘΚ· ἀρκτικὸς ἄρα τοῦ ΗΘΚ ὁρίζοντος ὁ ΕΗ θερινὸς τροπικός. καὶ ἔσται καρκίνου μὲν δωδεκατημόριον τὸ ΕΛ, λέοντος δὲ τὸ ΛΜ, παρθένου δὲ τὸ ΜΘ· ὀρθοτέρα ἄρα ἡ ΜΘ τῆς ΛΜ ἀναφέρεται.
Λέγω ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλει ἡ ΛΜ τῆς ΜΘ.
`6.620`
Ἐπεὶ γὰρ δέδεικται μείζων ἢ διπλῆ τῇ ὁμοιότητι ἡ ΛΝ τῆς ΜΞ, καὶ ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ τὸ Λ τὴν ΛΝ διεξελήλυθεν, ἀνατέλλει ἡ ΛΘ — τοῦ γὰρ Λ ἀρξαμένου ἀπὸ τοῦ Ν ἀνατολῆς ὁρίζοντος διαπορεύεσθαι τὴν ΝΛ, ἡ ΛΘ ἀνενεχθήσεται· ἔστιν γὰρ τὸ Θ ἐν τῇ ἀνατολῇ τοῦ ὁρίζοντος —, ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ τὸ Μ τὴν ΞΜ διαπορεύεται, ἀνατέλλει ἡ ΜΘ — διὰ τὰ αὐτά —, φανερὸν ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ ἢ διπλασίῳ ἀνατέλλει ἡ ΛΘ τῆς ΜΘ, ὥστε μείζων ἐστὶν ὁ χρόνος τῆς ἀνατολῆς τῆς ΛΜ ἢ τῆς ΜΘ — ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ χρόνου τῆς ΛΘ ἀφαιρεθῇ ὁ χρόνος τῆς ΜΘ ἐλάσσων ἢ τὸ ἥμισυ, ὅτι μείζων ἐστὶν ἢ διπλασίων ὁ τῆς ΛΘ, λοιπὸν γίνεται ὁ χρόνος τῆς ΛΜ μείζων ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ΛΘ μείζων ὢν τοῦ χρόνου τῆς ΜΘ ἐλάσσονος ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ΛΘ.
Πάλιν ἔστω ἕτερος ὁ ϛΦΘϙ ὁρίζων, τοῦ ΑΒΓΔ μεσημβρινοῦ ὀρθοῦ ὄντος τοῖς παραλλήλοις καὶ τῷ ϛΦΘϙ ὁρίζοντι — ὅτι ὁ Θ πόλος ἐστὶν τοῦ μεσημβρινοῦ, ὥστε ὀρθοί εἰσιν πρὸς ἀλλήλους· λέγω ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ ΛΜ τῆς ΜΘ ἀναφέρεται.
`6.622`
Ἐπεὶ γὰρ ἀφῄρηται ἡ ΛΦ διπλῆ τῇ ὁμοιότητι τῆς ΜΞ, φανερὸν ὅτι μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ τῇ ὁμοιότητι ἡ ΛΦ τῆς ΜΨ — φανερὸν γὰρ ὅτι μεταξύ ἐστιν τὸ Ψ τῶν Μ Ξ· ὅτι μὲν γὰρ διὰ τῶν Μ Ξ οὐχ ἥξει ἡ ΘΦϛ, φανερόν· γίνονται γὰρ διάμετροι τῶν μεγίστων κύκλων αἱ ΘΜ ΞΘ ἐλάσσονες ἡμικυκλίων ὅλων τῶν ΕΜΘΖ ΗΞΘΚ, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· ἀλλʼ οὐδʼ ἔξω τῶν Μ Ξ· ἥξει γὰρ καὶ διὰ τοῦ Φ, ὡς ὑπόκειται, ὁ διὰ τῶν Θ Ψ γραφεὶς καὶ τεμεῖ πάλιν τοὺς ΕΛΖ ΗΞΚ μεγίστους κατὰ σημεῖον ἕτερον, καὶ ἔσται ἡ κοινὴ τομὴ ἐλάσσων ἡμικυκλίου ἡ ἀπὸ τοῦ Ε, ὅπερ ἀδύνατον· μεταξὺ ἄρα ἐστὶν τὸ Ψ τῶν Μ Ξ. ἀλλʼ ἐν ᾧ μὲν τὸ Λ τὴν ΦΛ περιφέρειαν κινεῖται ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Φ τῆς ἀνατολῆς τοῦ ὁρίζοντος, ἡ ΛΘ ἀνατέλλει, ἐν ᾧ δὲ τὸ Μ τὴν ΜΨ περιφέρειαν κινεῖται ἀρξάμενονἀπὸ τοῦ Ψ τῆς ἀνατολῆς τοῦ ὁρίζοντος, ἡ ΜΘ ἀνατέλλει· φανερὸν ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλει ἡ ΛΜ τῆς ΜΘ, ὡς προεδείχθη.
Τῷ δὲ αὐτῷ τρόπῳ ἐφωδεύσαμεν ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλει ἡ ΕΛ τῆς ΛΜ, καὶ ὀρθοτέρα ἡ ΛΜ περιφέρεια, ἥτις ἐστὶν τοῦ λέοντος, ἀναφερομένη ἤπερ ἡ ΕΛ, ἥτις ἐστὶν τοῦ καρκίνου.
Δέδεικται οὖν τὰ προτεθέντα, κατὰ δὲ Πτολεμαῖον ἐν ὀρθῇ σφαίρᾳ καὶ πρώτῳ κλίματι καὶ δευτέρῳ συμφώνως ὁ καρκίνος ἐν πλείονι χρόνῳ ἀναφέρεται τοῦ λέοντος, μετὰ δὲ μοίρας ιϛʹ κζʹ ἐξάρματος πόλου τοῦ δευτέρου κλίματος ἕως τοῦ γʹ κλίματος ἐν πλείονι ὁ λέων ἀνατέλλει τοῦ καρκίνου, ὥστε ἀσύμφωνον εἶναι. περὶ δὲ τοῦ ὀρθότερον τὸ τοῦ λέοντος ἤπερ τὸ τοῦ καρκίνου ἀναφέρεσθαι δειχθήσεται πάλιν τῷ καʹ τοῦ δευτέρου τῶν σφαιρικῶν.
`6.624`
νηʹ. Ἔστω διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, πόλοι δὲ τῆς σφαίρας οἱ Α Β, ἕτερος δὲ μέγιστος κύκλος ὁ ΓΔ λοξὸς μὲν πρὸς τοὺς παραλλήλους ὀρθὸς δὲ πρὸς τὸν ΑΒΓΔ, καὶ διῃρήσθω τὸ ΓΧ τεταρτημόριον εἰς τρία ἴσα κατὰ τὰ Σ Τ, καὶ διὰ τῶν Σ Τ Χ γεγράφθωσαν κύκλοι παράλληλοι, καὶ ἔστωσαν κοιναὶ τομαὶ αὐτῶν τε καὶ τοῦ ΑΒΓΔ αἱ ΔΓ ΛΚ καὶ ΗΘ ΕΖ — γίνονται δὴ καὶ διάμετροι —, ἔστω δὲ παράλληλος τῇ ΚΛ ἡ ΓΝ — ὁ ἄρα περὶ τὴν ΓΝ παράλληλος κύκλος ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ΑΒΓΔ … ἡ ΓΝ· ἐφάψεται γὰρ κατὰ τὸ Γ —, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΜΝ· φημὶ δὴ ὅτι τῆς κατὰ τὴν ΠΡ εὐθεῖαν περιφερείας ἐν τῷ ΗΘ κύκλῳ ἡ κατὰ τὴν ΞΟ εὐθεῖαν περιφέρεια — ἥτις ἔχει βάσιν τὴν ἴσην τῇ ΞΟ — μείζων ἐστὶν ἢ διπλασίων τῇ ὁμοιότητι.
`6.626`
Νενοήσθωσαν γὰρ αἱ κοιναὶ τομαὶ πάντων τῶν κύκλων· ἔσονται δὴ αἱ ΣΞ ΠΤ ΧΜ κάθετοι ἐπὶ τὴν ΓΔ καὶ ἐπὶ τὰς ΚΛ καὶ ΗΘ καὶ ΕΖ. γεγράφθωσαν δὴ διὰ τῶν Σ Τ Χ καὶ τοῦ Α μεγίστων κύκλων περιφέρειαι αἱ ΑΥ ΑΦ ΑΧ· δῆλον δὴ ὅτι δίχα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα ἡμικύκλια τῶν παραλλήλων κύκλων ἡ ΑΧ. ἤχθωσαν δὲ καὶ ἀπὸ τῶν Ο Ρ πρὸς ὀρθὰς ταῖς ΚΛ ΗΘ ἐν τοῖς τῶν ἡμικυκλίων ἐπιπέδοις ἥ τε ΟΨ καὶ ἡ Ρ͵Α· ἔσονται δὴ αὗται ἴσαι ταῖς ΣΞ ΠΤ, ὥστε ἔσονται αἱ κατὰ τὰς ΟΞ ΠΡ εὐθείας περιφέρειαι αἱ ΣΨ καὶ Τ͵Α. ὅτι οὖν ἡ ΣΨ περιφέρεια τῆς Τ͵Α περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ ὁμοιότητι· ὅτι ἄρα καὶ ἡμίσεια ἡ ϛΣ περιφέρεια τῆς Τϙ περιφερείας μείζων ἐστὶν ὁμοιότητι ἢ διπλασίων. καὶ ἔστιν ἡ μὲν Σϛ τῇ ΥΧ ὁμοία, ἡ δὲ Τϙ τῇ ΦΧ· ὁμοιότητι ἄρα ἡ ΥΧ περιφέρεια τῆς ΦΧ μείζων ἐστὶν ἢ διπλασίων.ἔστιν δέ, ἐπείπερ ἴση ἐστὶν ἡ ΣΤ τῇ ΤΧ περιφερείᾳ, καὶ διὰ τοῦ πόλου καὶ τῶν Τ Χ σημείων μέγιστοι κύκλοι γεγραμμένοι εἰσίν· τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς σφαιρικοῖς ἀποδέδεικται.
νθʹ. Καὶ τὸ παραλειφθὲν δὲ εἰς τὸ ιβʹ καὶ ιγʹ.
Τῶν ἐν τῷ μετὰ τὸν καρκίνον ἡμικυκλίῳ περιφερειῶν ἡ τυχοῦσα περιφέρεια ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλει ἢ δύνει, τῶν δὲ ἐν τῷ λοιπῷ ἡμικυκλίῳ, ὅ ἐστιν μετὰ τὸν αἰγόκερω, ἡ τυχοῦσα ἐν πλείονι χρόνῳ δύνει ἢ ἀνατέλλει.
`6.628`
Ἔστω γὰρ ἐν σφαίρᾳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ, ζῳδιακοῦ δὲ τὸ μετὰ τὸν καρκίνον ἡμικύκλιον ἐν τῷ φανερῷ ἡμισφαιρίῳ ΑΔΖ — τὸ Α ἄρα καρκίνου 𐆊 ἡγούμενον τοῦ ἡμικυκλίου ἐπὶ τῇ δύσει —, καὶ ἔστω θερινοῦ τροπικοῦ τὸ ὑπὲρ γῆν τμῆμα τὸ ΑΗΓ, καὶ ἀφῃρήσθω τις τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρεια ἡ ΕΔ· λέγω ὅτι ἡ ΔΕ ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλει ἢ δύνει.
Γεγράφθωσαν γὰρ διὰ τῶν Δ Ε παράλληλοι κύκλοι οἱ ΒΔΛ ΝΘΕΚ· προανατέλλει ἄρα τὸ Δ ἡγούμενον τοῦ Ε ἑπομένου, ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Λ, τοῦ Ε ἀρξαμένου ἀπὸ τοῦ Σ, ὥστε μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία ἡ ΔΛ τῆς ΕΣ, ὅτι καὶ ὁ χρόνος ἐστὶν μείζων· ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ὁμοία ἡ ΒΔ τῆς ΕΝ. γεγράφθωσαν δὴ διὰ τῶν Β Λ μέγιστοι κύκλοι ἐφαπτόμενοι τοῦ ΑΗΓ οἱ ΘΒΜ ΚΛΗ· ἡ ἄρα ΔΕ περιφέρεια ἀνατελεῖ μὲν θέσιν ἔχουσα τὴν ΚΛ, ὅταν τὸ Κ τὴν ΚΣ περιφέρειαν διέλθῃ, δύσεται δὲ θέσιν ἔχουσα τὴν ΒΘ, ὅταν τὸ Θ τὴν ΘΝ περιφέρειαν διέλθῃ — καὶ γὰρ αἱ θέσεις εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου τοῦ ζῳδιακοῦ αἱ ΑΔΕ ΜΒΘ ΗΛΚ, μεταξὺ ὁμοίας περιφερείας ἔχουσαι τάς τε ΑΗ ΔΛ ΕΚ καὶ τὰς ΜΑ ΒΔ ΘΕ· ὥστε μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία ἡ μὲν ΔΛ τῆς ΕΣ, ἡ δὲ ΕΝ τῆς ΒΔ, ὡς καὶ ἐδείχθη. ἔτι τε ἴσαι εἰσὶν αἱ ΗΚ ΑΕ ΜΘ — ἑκατέρα γὰρ τῶν ΜΘ ΗΚ ἴση ἐστὶν τῇ ΑΕ —, ὥστε καὶ ἐφαρμόζει καὶ ἅμα τὰ Κ Λ Η ἐπὶ τὰ Ε Δ Α ἥξει. ὁμοίως καὶ τὰ Ε Δ Α ἐπὶ τὰ Θ Β Μ ἥξει. λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΚΣ περιφέρεια τῆς ΝΘ περιφερείας.
Ἐπεὶ γὰρ ὁμοία ἡ μὲν ΔΛ τῇ ΕΚ, ἡ δὲ ΔΒ τῇ ΕΘ, ἔσται καὶ ὅλη ἡ ΛΒ ὅλῃ τῇ ΘΚ ὁμοία. ἡ δὲ ΛΒ τῆς ΣΝ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία· καὶ ἡ ΘΚ ἄρα τῆς ΝΣ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία. καὶ εἰσὶ τοῦ αὐτοῦ κύκλου· μείζων ἄρα ἡ ΚΘ τῆς ΝΣ. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΘΣ· λοιπὴ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ΚΣ τῆς ΘΝ. καὶ ἐπεὶ διὰ τὸ ιαʹ Εὐκλείδου φαινομένων αἱ ἴσαι περιφέρειαι κατὰ διάμετρον οὖσαι ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ἑτέρα ἀνατέλλει ἡ ἑτέρα δύνει, καὶ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ἑτέρα δύνει ἡ ἑτέρα ἀνατέλλει, τῇ ΔΕ ἄρα ἡ ἴση περιφέρεια. κατὰ διάμετρον λαμβάνεται ἐν τῷ ἑτέρῳ ἡμικυκλίῳ τῷ ἀπὸ αἰγόκερω 𐆊, καὶ δειχθήσεται ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ δύνει ἢ ἀνατέλλει.
ξʹ. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἐπὶ τῆς δευτέρας πτώσεως τοῦ θεωρήματος τοῦ μετὰ τὸν αἰγόκερω ἡμικυκλίου ὑπὲρ γῆν τὸ ΑΕΖ, καὶ ἀφῃρήσθω τις τυχοῦσα περιφέρεια ἡ ΔΕ· λέγω ὅτι ἡ ΔΕ ἐν πλείονι χρόνῳ δύνει ἢ ἀνατέλλει.
`6.632`
Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτά. ἐπεὶ οὖν τὸ Α ἀρχή ἐστιν καρκίνου ἑπόμενον τῷ ἡμικυκλίῳ, καὶ τὸ Ζ ἡγούμενον αἰγόκερω ἀρχή, ἔστιν ἄρα τὸ Ζ δυτικὸν καὶ τὸ Α ἀνατολικόν· ἡ ΔΕ ἄρα ἀνατέλλει μὲν θέσιν ἔχουσα τὴν ΒΘ, ὅταν τὸ Θ τὴν ΝΘ διέλθῃ, δύνει δὲ θέσιν ἔχουσα τὴν ΚΛ, ὅταν τὸ Κ τὴν ΚΣ διέλθῃ. καὶ ἐδείχθη πρότερον ἡ ΣΚ τῆς ΝΘ μείζων, ὥστε ὁ χρόνος ὁ δυτικός ἐστιν μείζων ἢ ὁ ἀνατολικὸς τῆς ΕΔ περιφερείας, ὁ τῆς ΣΚ τῆς ΘΝ.
Ἀλλὰ ταῦτα μὲν ἱκανὰ τοῦ συντάγματος Εὐκλείδου τῶν φαινομένων μόνον ἕνεκεν, ὅτι δὲ τὰ περὶ τὰς ἀνατολὰς καὶ δύσεις τῶν τοῦ ζῳδιακοῦ δωδεκατημορίων ἀτελῆ καθέστηκεν, οἶμαι καὶ αὐτόν σε μὴ ἀγνοεῖν. ἕκαστα δὲ τούτων ἀπαραλείπτως ἔνεστί σοι καὶ ῥᾳδίως ἐντυγχάνοντι τοῖς ὑπὸ τοῦ Πτολεμαίου πεπραγματευμένοις περὶ τούτων συντάγμασιν ἐπιγινώσκειν.
## License and provenance
Eulogikon publishes public-domain Greek texts in cleaned, structured, readable form and makes no copyright claim over that preparation (Public Domain Mark 1.0, https://creativecommons.org/publicdomain/mark/1.0/). Cite as `eul_wid: txs-abe`.