---
title: "Synagogue: Book III"
title_greek: "Συναγωγή, Γʹ"
author: Pappus of Alexandria
eul_wid: txs-abb
eul_aid: txs
canonical: "https://eulogikon.org/works/pappus-alexandria-synagogue-book-3-txs-abb"
lang: grc
period: Late Antique
dialect: Koine
content_hash: "sha256:bf18c939189ff5c83c45c6907f4f1282dcae712236a6096b092015f86013d124"
content_modified_at: "2026-10-23"
license: "https://creativecommons.org/publicdomain/mark/1.0/"
---

# Synagogue: Book III

*Συναγωγή, Γʹ*

**Author:** Pappus of Alexandria

**eul_wid:** `txs-abb` · [HTML page](https://eulogikon.org/works/pappus-alexandria-synagogue-book-3-txs-abb)

## Text

Part of [Synagogue](/works/pappus-alexandria-synagogue-txs-ab)

`3.30`

ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Γ.

Περιέχει δὲ προβλήματα γεωμετρικὰ ἐπίπεδά τε καὶ στερεά.

`3.32`

Οἱ τὰ ἐν γεωμετρίᾳ ζητούμενα βουλόμενοι τεχνικώτερον διακρίνειν, ὦ κράτιστε Πανδροσίον, πρόβλημα μὲν ἀξιοῦσι καλεῖν ἐφʼ οὗ προβάλλεταί τι ποιῆσαι καὶ κατασκευάσαι, θεώρημα δὲ ἐν ᾧ τινῶν ὑποκειμένων τὸ ἑπόμενον αὐτοῖς καὶ πάντως ἐπισυμβαῖνον θεωρεῖται, τῶν παλαιῶν τῶν μὲν προβλήματα πάντα, τῶν δὲ θεωρήματα εἶναι φασκόντων. ὁ μὲν οὖν τὸ θεώρημα προτείνων συνιδὼν ὁντινοῦν τρόπον τὸ ἀκόλουθον τούτῳ ἀξιοῖ ζητεῖν καὶ οὐκ ἂν ἄλλως ὑγιῶς προτείνοι, ὁ δὲ τὸ πρόβλημα προτείνων, κἂν ἀδύνατόν πως κατασκευασθῆναι προστάξῃ, σύγγνωστός ἐστιν καὶ ἀνυπεύθυνος. τοῦ γὰρ ζητοῦντος ἔργον καὶ τοῦτο διορίσαι, τό τε δυνατὸν καὶ τὸ ἀδύνατον, κἂν ᾖ δυνατόν, πότε καὶ πῶς καὶ ποσαχῶς δυνατόν. ἐὰν δὲ προσποιούμενος ᾖ τὰ μαθήματά πως ἀπείρως προβάλλων, οὐκ ἔστιν αἰτίας ἔξω. πρῴην γοῦν τινες τῶν τὰ μαθήματα προσποιουμένων εἰδέναι διὰ σοῦ τὰς τῶν προβλημάτων προτάσεις ἀμαθῶς ἡμῖν ὥρισαν. περὶ ὧν ἔδει καὶ τῶν παραπλησίων αὐτοῖς ἀποδείξεις τινὰς ἡμᾶς εἰπεῖν εἰς ὠφέλειαν σήν τε καὶ τῶν φιλομαθούντων ἐν τῷ τρίτῳ τούτῳ τῆς συναγωγῆς βιβλίῳ. τὸ μὲν οὖν πρῶτον τῶν προβλημάτων μέγας τις γεωμέτρης εἶναι δοκῶν ὥρισεν ἀμαθῶς· τὸ γὰρ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ λαβεῖν ἔφασκεν εἰδέναι διʼ ἐπιπέδου θεωρίας, ἠξίου δὲ καὶ ἡμᾶς ὁ ἀνὴρ ἐπισκεψαμένους ἀποκρίνασθαι περὶ τῆς ὑπʼ αὐτοῦ γενηθείσης κατασκευῆς, ἥτις ἔχει τὸν τρόπον τοῦτον.

αʹ. Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ ΒΔ, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ, καὶ συμπιπτέτω τῇ ΒΑ κατὰ τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ ΕΘ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΔ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΒΕ παράλληλος ἡ ΔΗ, καὶ κείσθωσαν τῇ ΒΔ ἴσαι αἱ ΔΝ ΝΛ ΛΞ ΞΚ, καὶ διὰ τῶν Ν Λ Ξ Κ σημείων τῇ ΒΕ παράλληλοι αἱ ΝΟ ΛΜ ΞΠ ΚΘ, καὶ κείσθω τῇ ΒΑ ἴση ἡ ΚΡ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΚΡ κατὰ τὸ Σ, καὶ ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ, οὕτως ἡ ΣΘ πρὸς ΘΤ, ὡς δὲ ἡ ΣΘ πρὸς ΘΤ, οὕτως ἡ ΘΤ πρὸς ΘΦ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΞΠ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΧΞ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΧΚ καὶ ἡ ΧΦ, καὶ ἀπὸ τοῦ Σ τῇ ΧΦ παράλληλος ἡ ΣΨ, ἀπὸ δὲ τοῦ Ψ τῇ ΚΞ παράλληλος ἡ ΨΩ, καὶ ἔστω ὡς ΛΜ πρὸς ΜΩ, οὕτως ἡ ΩΜ πρὸς ΜΑ͵. ὡς δὲ ἡ ΩΜ πρὸς ΜΑ͵, οὕτως ἡ Α͵Μ πρὸς ΜΒ͵, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΟΝ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΝΓ͵, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Γ͵Λ καὶ ἡ Γ͵Β͵, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ω τῇ Β͵Γ͵ παράλληλος ἡ ΩΔ͵, ἀπὸ δὲ τοῦ Δ͵ τῇ ΛΝ παράλληλος ἡ Δ͵Ε͵, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΔΗ πρὸς ΗΕ͵, οὕτως ΗΕ͵ πρὸς ΗΖ͵, ὡς δὲ ἡ Ε͵Η πρὸς ΗΖ͵, οὕτως ἡ Ζ͵Η πρὸς ΗΘ͵, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Θ͵Γ, καὶ ἤχθωσαν τῇ Θ͵Γ παράλληλοι αἱ Ζ͵Κ͵ Ε͵Λ͵, ι ἀπὸ τῶν Κ͵ Λ͵ ταῖς ΑΓ ΒΔ παράλληλοι αἱ Κ͵Μ͵ Λ͵Ν͵· δεῖξαι ὅτι τῶν ΑΓ ΒΔ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ Μ͵Κ͵ Ν͵Λ͵.

`3.34`

Ταῦτα μὲν οὖν ἐκεῖνος γράψας ἐξέδωκεν ἡμῖν μὴ περιέχοντα καὶ τὴν ἀπόδειξιν τοῦ προκειμένου προβλήματος. ἐπειδὴ δὲ καὶ Ἱέριος ὁ φιλόσοφος καὶ ἄλλοι πολλοὶ τῶν αὐτοῦ μὲν ἑταίρων ἐμοὶ δὲ γνωρίμων ἠξίωσαν ἀποκρίνασθαί με τέως περὶ τῆς προκειμένης κατασκευῆς, ἐκείνου τὴν ἀπόδειξιν ἐπαγγειλαμένου ποιήσασθαι, τοσοῦτον ἔχω τὸ νῦν εἰπεῖν, ὡς οὐ δεόντως, ἀλλʼ ἀπείρως ἐχρήσατο τῇ κατασκευῇ. διχοτομήσας γὰρ τὴν ΡΚ εὐθεῖαν τῷ Σ καὶ ποιήσας ὡς μὲν τὴν ΚΘ εὐθεῖαν πρὸς τὴν ΘΣ, οὕτως τὴν ΘΣ πρὸς τὴν ΘΤ, ἐποίησεν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ καὶ τὴν ΤΘ πρὸς τὴν ΘΦ. πᾶσα δὲ ἀνάγκη μήτʼ ἐκεῖνον εὑρίσκειν τὸ σημεῖον τῆς τομῆς τοῦ τρίτου λόγου, ὡς τὸ Φ, μήθʼ ἡμᾶς. τῆς δὲ τοιαύτης ἀπορίας παρὰ τὴν αὐτοῦ αἰτίαν ἐπακολουθούσης ἐνεφάνισεν ἑαυτὸν μηδὲ τοῦτο συνιδόντα τὸ ἀκόλουθον. ἀδυνάτου γὰρ ὄντος ὁρισθῆναι τὸ τῆς τομῆς σημεῖον, ὡς τὸ Φ τοῦ τρίτου λόγου, μὴ πρότερον ὑποτεθέντος τοῦ λόγου ὃν ἔχει ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ, τουτέστιν τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὐ μόνον αὐτὸς πειρᾶται ζητεῖν τὸ ἀδύνατον, ἀλλὰ καὶ ἡμᾶς ἀξιοῖ. ὑποτεθέντος μέντοι τοῦ λόγου τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ, τουτέστιν ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, καὶ δοθείσης τῆς ΚΘ, δέδοται ἡ ἐλάσσων εὐθεῖα τοῦ τρίτου λόγου. καὶ δοθέν ἐστιν τὸ Θ σημεῖον· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἕτερον πέρας τῆς ἐλαχίστης. καὶ ὅτι ἤτοι μεταξὺ πίπτει τῶν Θ Ρ ἢ μεταξὺ τῶν Ρ Τ δῆλόν ἐστιν.

Ὑποκείσθω γὰρ ὁ δοθεὶς λόγος πρότερον διπλάσιος· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ ὃν ἔχει τὰ βʹ πρὸς τὸ αʹ, τουτέστιν ὃν δʹ πρὸς βʹ· καὶ τῆς ΚΘ ἄρα πρὸς ΘΣ λόγος ἐστὶν ὃν δʹ πρὸς γʹ· καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ, τουτέστιν ὡς δʹ πρὸς γʹ, οὕτως ἡ ΘΣ πρὸς ΘΤ, τουτέστιν ὡς γʹ πρὸς βʹ καὶ δʹʹ. ὡς δὲ καὶ τὰ γʹ πρὸς τὰ βʹ καὶ δʹʹ, οὕτως αὐτὰ τὰ βʹ δʹʹ πρὸς ἄλλην ἐλάσσονα τῶν δύο μονάδων τῆς ΘΡ, ὥστε τὴν ἐλάσσονα εὐθεῖαν τοῦ τρίτου λόγου ἐλάσσονα εἶναι τῆς ΘΡ, καὶ τὸ τῆς τομῆς σημεῖον, ὡς τὸ Φ, μεταξὺ πίπτειν τῶν Θ Ρ.

Ἀλλὰ δὴ ὁ δοθεὶς λόγος ἔστω τετραπλάσιος· λόγος ἄρα τῆς ΚΘ πρὸς ΘΡ ὃν ἔχει τὰ ηʹ πρὸς βʹ· καὶ τῆς ΘΚ ἄρα πρὸς ΘΣ λόγος ὃν ἔχει τὰ ηʹ πρὸς τὰ εʹ. καὶ ἔστιν ὡς τὰ ηʹ πρὸς τὰ εʹ, οὕτως τὰ εʹ πρὸς τὰ γʹ καὶ ηʹʹ· ὡς δὲ τὰ εʹ πρὸς τὰ γʹ καὶ τὸ ηʹʹ, οὕτως τὰ γʹ καὶ τὸ ηʹʹ πρὸς ἐλάσσονα τῶν δύο, ὥστε πάλιν ἡ τομὴ τοῦ τρίτου λόγου μεταξὺ πίπτει τῶν Θ Ρ.

`3.38`

Πάλιν ὑποκείσθω λόγος τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ πενταπλάσιος· λόγος ἄρα τῆς ΚΘ πρὸς ΘΡ ὃν δέκα πρὸς δύο· καὶ τῆς ΚΘ ἄρα πρὸς τὴν ΘΣ λόγος ἐστὶν ὃν τὰ ιʹ πρὸς τὰ ϛʹ. καὶ ἔστιν ὡς μὲν τὰ ιʹ πρὸς τὰ ϛʹ, οὕτως αὐτὰ τὰ ϛʹ πρὸς τὰ γʹ 𐅶 ιʹʹ· ὡς δὲ τὰ ϛʹ πρὸς τὰ γʹ 𐅶 ιʹʹ, οὕτως αὐτὰ τὰ γʹ 𐅶 ιʹʹ πρὸς μείζονά τινα τῶν δύο. καὶ ἔστιν ἡ ΘΡ αὐτῶν τῶν δύο· μεταξὺ ἄρα τῶν Ρ Τ τὸ σημεῖον πίπτει τῆς τομῆς τοῦ τρίτου λόγου.

Καὶ δῆλον ὡς πάντες μὲν οἱ ἐλάσσονες τοῦ τετραπλασίου λόγου ποιοῦσιν τὴν τοιαύτην τομὴν μεταξὺ τῶν Ρ Θ, πάντες δὲ οἱ μείζους τοῦ πενταπλασίου ποιοῦσι τὸ σημεῖον τῆς τομῆς μεταξὺ τῶν Ρ Τ, ὡς καὶ λῆμμα περὶ τῆς τοιαύτης ἀναλογίας χρήσιμον ὑπέταξα.

`3.40`

Ἐπεὶ οὖν ἐδείξαμεν τὸ τῆς τομῆς σημεῖον, ὡς τὸ Φ, ποτὲ μὲν μεταξὺ πῖπτον τῶν Θ Ρ ποτὲ δὲ μεταξὺ τῶν Ρ Τ, τοῦ τοιούτου μηδαμῶς ὑπʼ αὐτοῦ θεωρηθέντος διʼ ἣν εἴπομεν αἰτίαν, ἐκεῖνο χρὴ πρὸ πάντων σκοπεῖν ὅτι, ὅπου ἂν λάβῃ τὸ Φ, ἤτοι κάτω τοῦ Ρ ἢ ἄνω, οὐκ ἔσται ὡς ἡ ΣΘ πρὸς ΘΤ, τουτέστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ, οὕτως καὶ ἡ ΤΘ πρὸς ΘΡ. ἐὰν οὖν λέγῃ «γεγενήσθω ὡς μὲν ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΣ, οὕτως ἡ ΘΣ πρὸς τὴν ΘΤ, καὶ ἡ ΤΘ πρὸς τὴν ΘΡ,» αὐτόθεν ἐλέγχεται τὸ ζητούμενον ὁμολογούμενον λαβών. ἐκβληθείσης γὰρ τῆς ΞΚ καὶ ἴσης τεθείσης τῇ ΞΚ τῆς ΚΜα, καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΜαΘ καὶ παραλλήλων ἀχθεισῶν τῇ ΚΜα διὰ τῶν Σ καὶ Τ καὶ Ρ σημείων, γεγονὸς ἔσται τὸ ζητούμενον καὶ δῆλόν πως. ἔσται γὰρ καὶ ὡς ἡ ΚΜα πρὸς ΣΜβ, οὕτως ἡ ΣΜβ πρὸς ΤΜΓ καὶ ἡ ΤΜΓπρὸς τὴν ΡΜδ. καὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΚΜα τῇ ΒΔ, ἡ δὲ ΚΡ τῇ ΑΒ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΚΘ, ὥστε καὶ τὴν ΑΓ ἴσην εἶναι τῇ ΡΜδ καὶ ηὑρῆσθαι δύο τῶν ΑΓ ΒΔ, τουτέστιν δύο τῶν ΚΜα ΡΜδ, δύο μέσας ἀνάλογον τὰς ΣΜβ ΤΜΓ, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. εὐθείας γὰρ οὔσης τῆς ΘΚ καὶ σημείου ἐπʼ αὐτῆς τοῦ Ρ, ἀδύνατόν ἐστι διʼ ἐπιπέδου θεωρίας λαβεῖν μεταξὺ τῶν Ρ Κ δύο σημεῖα ὡς τὰ Τ Σ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΚΘ πρὸς τὴν ΘΣ, οὕτως τὴν ΘΣ πρὸς τὴν ΘΤ, καὶ τὴν ΤΘ πρὸς τὴν ΘΡ. ὥστε, κἂν τὸ Ζ λάβῃ ἀντὶ τοῦ Σ, καὶ οὕτως ἀδύνατον ἔσται τὸ πρόβλημα· στερεὸν γάρ ἐστιν τῇ φύσει. διὰ τοῦτο δέ, οἶμαι, καὶ αὐτὸς εἰδὼς ὅτι τὸ ζητούμενον ὁμολογούμενον λαμβάνεται, οὐκ ἐτόλμησεν εἰπεῖν «τὸ ἕτερον πέρας τῆς ἐλαχίστης εὐθείας ἔστω τὸ Ρ,» ἀνωτέρω δέ, τουτέστι μεταξὺ τῶν Ρ Θ, λαβὼν αὐτὸ κατὰ τὸ Φ, ἀποπληροῖ τὰ λοιπὰ τῆς κατασκευῆς ὡς βούλεται καὶ οὐδὲν ἧττον εἰς τὸ ἐξ ἀρχῆς ἄπορον ἐμπίπτει λανθανόμενος. οὐ γὰρ ἑκὼν ψευδογραφεῖ διὰ πλειόνων εἰς ἀπάτην τῶν ἐντυγχανόντων, ἀλλʼ ἑαυτὸν παραλογιζόμενος, ὡς δείξω πρότερον κατὰ τὸν ὑγιῆ τρόπον ἐφοδεύσας τὸ προκείμενον.

`3.42–3.48`

Ἐπεὶ τοίνυν δοθείς ἐστιν ὁ τῆς ΚΘ πρὸς ΘΡ λόγος καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΘΚ — τοῦτο γὰρ ὑποκεῖσθαι δεῖ —, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΘΡ καὶ λοιπὴ ἡ ΡΚ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΣΡ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΡΚ· ἦν δὲ καὶ ἡ ΡΘ δοθεῖσα· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΘΣ δοθεῖσά ἐστιν, ὥστε καὶ ὁ λόγος τῆς ΚΘ πρὸς ΘΣ δοθείς ἐστιν. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΣ, ἡ ΘΣ πρὸς τὴν ΘΤ, καὶ δοθεῖσα δέδεικται ἡ ΘΣ, δοθεῖσα ἄρα ἔσται καὶ ἡ ΤΘ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΦ δοθεῖσα ἔσται, ὥστε καὶ ἡ διαφορὰ τῶν ΘΡ ΘΦ εὐθειῶν δοθεῖσά ἐστιν. εὑρήσθω οὖν τὸ Φ μεταξὺ τῶν Θ Ρ, ὡς καὶ διὰ τῶν ἀριθμῶν ἐδείχθη. καὶ ἐπεὶ δέδοται ἡ ΦΡ διαφορὰ καὶ ἡ τὰ Ρ Χ ἐπιζευγνύουσα εὐθεῖα ἴση οὖσα τῇ ΞΚ, δοθὲν ἄρα τὸ ΦΧΡ τρίγωνον ὀρθογώνιον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει. δοθεῖσα ἄρα ἡ ὑπὸ ΡΦΧ γωνία, καὶ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΚΣΨ ἐκτὸς γωνίᾳ· ἐκβληθείσης ἄρα καὶ τῆς ΩΨ ἐπὶ τὸ Ζ, δοθὲν ἔσται τὸ ΣΖΨ τρίγωνον ὀρθογώνιον τῷ εἴδει. ἀλλὰ καὶ τῷ μεγέθει. δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΨΖ, παράλληλος οὖσα τῇ ΞΚ καὶ ἐπʼ εὐθείας τῇ ΨΩ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΩΛ ἴση οὖσα τῇ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΜΛ, ἐλάσσων δὲ ἡ ΩΛ τῆς ΣΚ — ἴση γὰρ ἡ ΩΛ τῇ ΚΖ —, καὶ ἔστιν ὡς μὲν ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ, οὕτως ἡ ΣΘ πρὸς τὴν ΘΤ καὶ ἡ ΤΘ πρὸς τὴν ΘΦ, ὡς δὲ ἡ ΛΜ πρὸς ΜΩ, ἡ ΜΩ πρὸς τὴν ΜΑ͵ καὶ ἡ Α͵Μ πρὸς τὴν ΜΒ͵, ἔσται ἄρα μείζων ἡ ΜΒ͵ τῆς ΘΦ — καὶ τοῦτο γὰρ ἑξῆς δειχθήσεται· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ Β͵Λ τῆς ΦΚ ἐλάσσων. ἐπεὶ οὖν πάλιν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΩΛ, δοθεῖσα δὲ καὶ ἡ ΛΜ — ὅτι καὶ ἡ ΚΘ —, καὶ λόγος ἄρα τῆς ΛΜ πρὸς ΜΩ δοθείς. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΛΜ πρὸς τὴν ΜΩ, καὶ ἡ ΩΜ πρὸς τὴν ΜΑ͵, καὶ δοθεῖσα ἡ ΩΜ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΜΑ͵. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΜΒ͵ δοθεῖσά ἐστιν, ὥστε καὶ τὸ Β͵ σημεῖον δοθέν ἐστιν, ὅπερ ἔστω ὑποκείμενον, ὅπου βούλεται, ἤτοι μεταξὺ τῶν ϛ Μ, ὡς νῦν ἐστιν, ἢ μεταξὺ τῶν ϛ Α͵, τῆς ϛΛ ἴσης ὑποκειμένης ἑκατέρᾳ τῶν ΚΡ ΑΒ  <span class="gap">…</span> εἰ γὰρ λέγει τὸ Β͵ πίπτειν κατὰ τὸ ϛ, τὸ ζητούμενον οὐδὲν ἧττον ὡς ὁμολογούμενον λαμβάνει. φαίνεται γὰρ πάλιν ἐπὶ θέσει δεδομένης εὐθείας τῆς ΜΛ, καὶ σημείου τινὸς ἐν αὐτῇ δοθέντος τοῦ ϛ, λαβὼν μεταξὺ δύο σημεῖα τὰ Ω Α͵ καὶ ποιήσας ὡς τὴν ΛΜ πρὸς ΜΩ, τὴν ΩΜ πρὸς τὴν ΜΑ͵ καὶ τὴν ΜΑ͵ πρὸς τὴν Μϛ, ὅπερ οὐδεὶς αὐτῷ συγχωρεῖ. τοῦτο γὰρ καὶ οἱ παλαιοὶ ζητοῦντες ἠπόρησαν διὰ τῶν ἐπιπέδων εὑρεῖν, ὡς καὶ αὐτὸς δείξω παραθέμενος τὰς ἐκείνων φωνάς. καὶ αὐτὸς δὲ οὐδὲν ἔχει λέγειν ἀνασκευαστικόν, ἐὰν λέγωμεν αὐτῷ «εἰ τὸ ϛ ἐξ ἀνάγκης τὸ τῆς τομῆς σημεῖον τοῦ τρίτου λόγου, δεῖξον ὅτι οὔτε μεταξὺ τῶν ϛ Α͵ δύναται πίπτειν οὔτε μεταξὺ τῶν Μ ϛ.» ἡμεῖς γὰρ ἀπεδείξαμεν ἐν ἀρχῇ καὶ ἄνω τοῦ Ρ καὶ κάτω τὸ σημεῖον. ὁμοίως οὖν τῆς ἀναλύσεως προχωρούσης ἐκ τοῦ δεδόσθαι τὸ ϛΒ͵Γ͵ τρίγωνον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει, κἂν τὸ Β͵ τῆς τομῆς σημεῖον μεταξὺ ᾖ τῶν ϛ Α͵, δεδομένου δὲ καὶ τοῦ Δ͵ΩΛ τριγώνου, ὁμοίως δὲ τοῖς πρότερον καὶ τῆς ΔΕ͵ δεδομένης, ἔσται δοθεὶς καὶ ὁ τῆς ΔΗ πρὸς τὴν ΗΕ͵ λόγος, τουτέστιν ὁ τῆς Ε͵Η πρὸς τὴν ΗΖ͵, τουτέστιν ὁ τῆς Ζ͵Η πρὸς τὴν ΗΘ͵. καὶ οὐδαμῶς πάλιν ὁ τῆς ΔΗ πρὸς τὴν Ηϡ, ἴσης ὑποκειμένης καὶ νῦν τῇ ΚΡ, τουτέστιν τῇ ΑΒ, τῆς Δϡ, κἂν τὸ Θ͵ μεταξὺ βούληται πίπτειν τῶν Ζ͵ ϡ. οὐδὲν γὰρ ἕξει καὶ ὧδε λέγειν ἀνασκευαστικόν, ἀκούων παρʼ ἡμῶν «δεῖξον ὅτι μήτε μεταξὺ τῶν ϡ Η μήτε μεταξὺ τῶν ϡ Ζ͵ πίπτει.» εἰ δὲ κατὰ συγχώρησιν ἁπλῶς τὸ τῆς τοιαύτης τομῆς σημεῖον εἶναι κατὰ τὸ ϡ βούλεται, τὸ ζητούμενον καὶ νῦν ὡς ὁμολογούμενον ἔλαβεν. μὴ διδομένου δʼ αὐτῷ τὴν τομὴν εἶναι κατὰ τὸ ϡ σημεῖον — ἐπεὶ μηδὲ κατὰ τὸ Ρ συνεχωροῦμεν ἐπὶ τῆς ΚΘ ποιούμενοι τὴν δεῖξιν —, εἰ καὶ ἄλλο τι μεταξὺ τῶν Ε͵ Η λαβεῖν ἐβούλετο, ὡς τὸ Ζ͵, αὐτὸς οὐκ οἶδά πως ἀπατηθεὶς τὸ Θ͵ ἔλαβεν. ὡς βούλεται δέ, κείσθω χωρὶς τοῦ εἶναι κατὰ τὸ ϡ. καὶ ἐπιζεύξας τὴν Θ͵Γ, καὶ παραλλήλους ἀγαγὼν τῇ μὲν ΓΘ͵ τὰς Ζ͵Κ͵ Ε͵Λ͵, διὰ δὲ τῶν Κ͵ Γ͵ παραλλήλους τῇ ΑΓ τὰς Κ͵Μ͵ Λ͵Ν͵, δῆλον ποιεῖ μὴ νενοηκέναι τὸ πρόβλημα. παραλλήλου γὰρ μὴ γενομένης τῇ ΕΗ τῆς Θ͵Γ ἡ ὑπὸ ΓΘ͵Η γωνία ἀμβλεῖα μέν ἐστι τοῦ Θ͵ μεταξὺ τῶν Η ϡ πίπτοντος, ὀξεῖα δὲ τοῦ Θ͵ μεταξὺ τῶν ϡ Ζ͵ ὄντος· ἡ γὰρ πρὸς τῷ ϡ γωνία ὀρθή ἐστι, καθʼ ἣν μόνως γίνεται τὸ πρόβλημα, ἐάν τις συγχωρήσῃ, καθὰ πολλάκις εἴπομεν, ἐπὶ θέσει δεδομένης εὐθείας τῆς ΔΗ, καὶ σημείου δοθέντος τοῦ ϡ, λαβεῖν δύο σημεῖα ὡς Ε͵ Ζ͵, ὥστε εἶναι ὡς μὲν τὴν ΔΗ πρὸς τὴν ΗΕ͵, οὕτως τὴν ΗΕ͵ πρὸς ΗΖ͵, καὶ τὴν ΗΖ͵ πρὸς τὴν Ηϡ. μὴ διδομένου δὲ τούτου ἀδύνατον ἔσται τὸ προταθὲν ὑπʼ αὐτοῦ διὰ τῶν ἐπιπέδων εὑρεθῆναι, ὡς καὶ διὰ τῶν ἀριθμῶν αὐτῶν ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει τοῖς βουλομένοις ἐξέσται πεισθῆναι, χρωμένοις τῷ Πτολεμαίου κανόνι περὶ τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν. ἀλλὰ τοῦτον μὲν ἀπορεῖν ὁμοίως τοῖς ἄλλοις βέλτιον ἦν ἤπερ οὕτως εὑρίσκειν, ἡμεῖς δὲ τὰ ὑπερτεθέντα νῦν δείξομεν.

βʹ. Ἔστω τις εὐθεῖα ἡ ΑΗ τετμημένη εἰς ἴσα κατὰ τὰ Β Γ Δ Ε Ζ· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, ἡ ΒΓ πρὸς τὸ ἥμισυ τῆς ΒΓ, ὡς δὲ ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ καὶ τὸ τρίτον τῆς ΓΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ καὶ τὸ τέταρτον τῆς ΓΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΓ καὶ τὸ πέμπτον τῆς ΓΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΓ καὶ τὸ ἕκτον τῆς ΓΒ.

Ἔστι δὲ φανερὸν τῶν ἀριθμῶν παραληφθέντων  <span class="gap">…</span> καὶ ἀεὶ οὕτως, ὅτι ὡς ὁ δοθεὶς τῶν ἴσων εὐθειῶν ἀριθμὸς ἀπὸ τοῦ Α πρὸς τὸν μονάδι ἐλάσσονα, οὕτως ὁ μονάδι ἐλάσσων πρὸς τὸν μονάδι αὐτοῦ ἐλάσσονα καὶ τῆς ΓΒ μόριον ὁμώνυμον τῷ δοθέντι πλήθει τῶν ἴσων εὐθειῶν.

`3.50`

γʹ. Ἕστωσαν ἴσαι εὐθεῖαι αἱ Α Β, μείζων δὲ ἡ ΓΔ τῆς Ν, καὶ πεποιήσθω ὡς μὲν ἡ Α πρὸς τὴν ΓΔ, ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ, καὶ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, ὡς δὲ ἡ Β πρὸς τὴν Ν, ἡ Ν πρὸς τὴν Π καὶ ἡ Π πρὸς τὴν Ρ· λέγω ὅτι ἡ Ρ ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ΗΘ.

Ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ ΓΔ τῆς Ν, κείσθω τῇ Ν ἴση ἡ ΓΚ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΓΚ, ἡ Β πρὸς τὴν Ν. καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΓΔ, ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ, γεγενήσθω ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΓΚ, οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς ΕΛ. ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ Β πρὸς Ν, ἡ Ν πρὸς Π, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Α τῇ Β, ἡ δὲ ΓΚ τῇ Ν· διʼ ἴσου ἄρα καὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΕΛ, ἡ Β πρὸς τὴν Π· ἴση ἄρα ἡ ΕΛ τῇ Π. διὰ τὰ αὐτὰ δή, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΗΘ, ἔσται ἄρα καὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΓΚ, ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΕΛ, καὶ ἡ ΕΛ πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΗΘ. ἔστω πρὸς τὴν ΗΜ· ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς μὲν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΕΛ, ἡ. ΕΛ πρὸς τὴν ΗΜ, ὡς δὲ ἡ Ν πρὸς τὴν Π, οὕτως ἡ Π πρὸς τὴν Ρ, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ Ν, ἡ δὲ ΕΛ τῇ Π, ἴση ἄρα καὶ ἡ Ρ τῇ ΗΜ· ἐλάσσων ἄρα ἡ Ρ τῆς ΗΘ.

Ἄλλως τὸ αὐτό.

δʹ. Ἔστω ἴση ἡ Α τῇ Ε, μείζων δὲ ἡ Β τῆς Ζ, καὶ πεποιήσθω ὡς μὲν ἡ Α πρὸς Β, οὕτως ἡ Β πρὸς Γ καὶ ἡ Γ πρὸς Δ, ὡς δὲ ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ, ἡ Ζ πρὸς τὴν Η, καὶ ἡ Η πρὸς τὴν Θ· ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ Δ τῆς Θ.

`3.52`

Ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ Β τῆς Ζ, ἴση δὲ ἡ Α τῇ Ε, ἡ Β ἄρα πρὸς τὴν Α μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ζ πρὸς τὴν Ε. ἀνάπαλιν ἡ Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ε πρὸς Ζ. ὡς δὲ ἡ Α πρὸς Β, οὕτως ἡ Β πρὸς Γ· καὶ ἡ Β ἄρα πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ε πρὸς Ζ. ὡς δὲ ἡ Ε πρὸς Ζ, οὕτως ἡ Ζ πρὸς Η· καὶ ἡ Β ἄρα πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ζ πρὸς Η. ὡς δὲ ἡ Β πρὸς Γ, οὕτως ἡ Γ πρὸς Δ· καὶ ἡ Γ ἄρα πρὸς Δ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ζ πρὸς Η. ὡς δὲ ἡ Ζ πρὸς Η, οὕτως ἡ Η πρὸς Θ· καὶ ἡ Γ ἄρα πρὸς Δ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Η πρὸς Θ. ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ε πρὸς Ζ, ἡ δὲ Β πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ζ πρὸς Η, ἡ δὲ Γ πρὸς Δ ἐλάσσονα ἤπερ ἡ Η πρὸς Θ, διʼ ἴσου ἄρα ἡ Α πρὸς Δ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ε πρὸς Θ διὰ τὸ ἑξῆς. καὶ ἔστιν ἴση ἡ Α τῇ Ε· μείζων ἄρα ἡ Δ τῆς Θ, ὅπερ· ⁓

εʹ. Ἡ Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ Γ πρὸς Δ· ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἡ Α πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Β πρὸς τὴν Δ.

Πεποιήσθω ὡς ἡ Α πρὸς Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς Ε· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ Ε τῆς Δ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς Ε, ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς Γ, οὕτως ἡ Β πρὸς Ε. ἡ δὲ Β πρὸς Ε ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Β πρὸς Δ· καὶ ἡ Α ἄρα πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Β πρὸς Δ.

ϛʹ. Τούτου δειχθέντος ἡ Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ Δ πρὸς Ε, ἐχέτω δὲ καὶ ἡ Β πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἤπερ ἡ Ε πρὸς Ζ· ὅτι καὶ διʼ ἴσου ἡ Α πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Δ πρὸς Ζ.

Ἐπεὶ γὰρ ἡ Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Δ πρὸς Ε, ἐναλλὰξ ἡ Α πρὸς Δ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Β πρὸς Ε. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ Β πρὸς Ε ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Γ πρὸς Ζ. ἐπεὶ οὖν ἡ Α πρὸς Δ πολλῷ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Γ πρὸς Ζ, ἐναλλὰξ ἡ Α πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Δ πρὸς Ζ, ὅπερ· ⁓

`3.54`

ζʹ. Ἃ μὲν οὖν ἔδει με προειπεῖν ἐστιν ταῦτα, παρεὶς δὲ κρίνειν σοί τε καὶ τοῖς ἐν γεωμετρίᾳ γεγυμνασμένοις τὰ ὑπʼ ἐκείνου προγραφέντα περὶ τῆς κατασκευῆς καὶ τὰ ὑφʼ ἡμῶν ἐπενεχθέντα, καλῶς ἔχειν ἡγοῦμαι καὶ τὰ δόξαντα τοῖς ἀρχαίοις περὶ τοῦ προειρημένου προβλήματος ἐκθέσθαι καὶ πρῶτον εἰπεῖν ὀλίγα περὶ τῶν ἐν γεωμετρίᾳ προβλημάτων, ἀρχὴν λαβὼν ἐντεῦθεν.

`3.56`

Τῶν ἐν γεωμετρίᾳ προβλημάτων οἱ παλαιοὶ τρία γένη φασὶν εἶναι, καὶ τὰ μὲν αὐτῶν ἐπίπεδα καλεῖσθαι, τὰ δὲ στερεά, τὰ δὲ γραμμικά. τὰ μὲν οὖν διʼ εὐθείας καὶ κύκλου περιφερείας δυνάμενα λύεσθαι λέγοιτο ἂν εἰκότως ἐπίπεδα· καὶ γὰρ αἱ γραμμαὶ διʼ ὧν λύεται τὰ τοιαῦτα προβλήματα τὴν γένεσιν ἔχουσιν ἐν ἐπιπέδῳ. ὅσα δὲ προβλήματα λύεται παραλαμβανομένης εἰς τὴν εὕρεσιν μιᾶς τῶν τοῦ κώνου τομῶν ἢ πλειόνων, ταῦτα στερεὰ κέκληται· πρὸς γὰρ τὴν κατασκευὴν ἀναγκαῖόν ἐστι χρήσασθαι στερεῶν σχημάτων ἐπιφανείαις, λέγω δὲ ταῖς κωνικαῖς. τρίτον δʼ ἔτι καταλείπεται γένος ὃ καλεῖται γραμμικόν· γραμμαὶ γὰρ ἕτεραι παρὰ τὰς εἰρημένας εἰς τὴν κατασκευὴν λαμβάνονται ποικιλωτέραν καὶ βεβιασμένην ἔχουσαι τὴν γένεσιν, ὁποῖαι τυγχάνουσιν αἱ ἕλικες καὶ τετραγωνίζουσαι καὶ κοχλοειδεῖς καὶ κισσοειδεῖς, πολλὰ καὶ παράδοξα περὶ αὑτὰς ἔχουσαι συμπτώματα. τοιαύτης δὴ τῆς διαφορᾶς τῶν προβλημάτων οὔσης οἱ παλαιοὶ γεωμέτραι τὸ προειρημένον ἐπὶ τῶν δύο εὐθειῶν πρόβλημα τῇ φύσει στερεὸν ὑπάρχον οὐχ οἷοί τʼ ἦσαν κατασκευάζειν τῷ γεωμετρικῷ λόγῳ κατακολουθοῦντες, ἐπεὶ μηδὲ τὰς τοῦ κώνου τομὰς ῥᾴδιον ἐν ἐπιπέδῳ γράφειν ἦν, τοῖς δὲ ὀργάνοις μεταλαβόντες αὐτὸ θαυμασίως εἰς χειρουργίαν καὶ κατασκευὴν ἐπιτήδειον ἤγαγον, ὡς ἔστιν ἰδεῖν ἐν τῷ Ἐρατοσθένους μεσολάβῳ καὶ τοῖς Φίλωνος καὶ Ἥρωνος μηχανικοῖς. οὗτοι γὰρ ὁμολογοῦντες στερεὸν εἶναι τὸ πρόβλημα τὴν κατασκευὴν αὐτοῦ μόνον ὀργανικῶς πεποίηνται, Νικομήδης δὲ λέλυκε διὰ κοχλοειδοῦς γραμμῆς, διʼ ἧς καὶ τὴν γωνίαν ἐτριχοτόμησεν. ἐκθησόμεθα οὖν τέσσαρας αὐτοῦ κατασκευὰς μετά τινος ἐμῆς ἐπεξεργασίας, ὧν πρώτην μὲν τὴν Ἐρατοσθένειον, δευτέραν δὲ τὴν τῶν περὶ Νικομήδη, τρίτην δὲ τὴν τῶν περὶ Ἥρωνα μάλιστα πρὸς τὰς χειρουργίας ἁρμόζουσαν τοῖς ἀρχιτεκτονεῖν βουλομένοις, καὶ τελευταίαν τὴν ὑφʼ ἡμῶν ἀνευρημένην.

`3.58`

Ἔστω οὖν πλινθίον πεπηγὸς τὸ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ τρίγωνα ὀρθογώνια ἴσα τὰ ΑΕΘ ΜΖΚ ΝΗΛ, ὀρθὰς ἔχοντα τὰς πρὸς τοῖς Ε Ζ Η γωνίας, καὶ τὸ μὲν ΑΕΘ προσπεπηγὸς μενέτω, τὸ δὲ ΜΖΚ τὴν κίνησιν ἐχέτω ἐπὶ τῶν ΑΒ ΓΔ κανόνων οὕτως ὥστε τὴν μὲν ΜΖ ἐπὶ τοῦ ΑΒ κανόνος φέρεσθαι ἔχοντος σωλῆνα διʼ ὅλου, τὴν δὲ κορυφὴν τὴν Κ διὰ τοῦ ΓΔ κανόνος καὶ αὐτοῦ διʼ ὅλου τοῦ μήκους σεσωληνισμένου, παραπλησίως δὲ καὶ τὸ ΝΗΛ τρίγωνον ἐχέτω τὴν κίνησιν ἐπὶ τῶν ΑΒ ΓΔ κανόνων κατὰ τοὺς προειρημένους ὀχετούς. τούτων δὴ οὕτως ὑποκειμένων, ὅτε βούλοιτό τις κύβον κύβου διπλασίονα ποιῆσαι, διπλασίαν ἀπολαμβάνων τὴν ΑΓ τῆς ΛΞ καὶ διιστὰς τὰ ΜΖΚ ΝΗΛ τρίγωνα, μέχρις ἂν κατʼ εὐθεῖαν γένηται τὰ Α Ξ σημεῖα ταῖς τῶν τριγώνων τομαῖς ταῖς Π Ο, ἐπιζεύξει τὴν ΑΠΟΞ συμπίπτουσαν τῇ ΓΔ κατὰ τὸ Ρ — τοῦτο γὰρ κατʼ ἀνάγκην ὀφείλει ἐπακολουθεῖν —, καὶ οὕτως τὸ προκείμενον αὐτῷ συμβαίνει.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΠΘ, οὕτως ἡ ΑΡ πρὸς ΠΡ, καὶ ἡ ΑΘ πρὸς ΠΚ, καὶ ἡ ΘΡ πρὸς ΡΚ, καὶ ἡ ΠΘ πρὸς ΟΚ, καὶ ἡ ΠΡ πρὸς ΡΟ, καὶ ἡ ΠΚ πρὸς ΟΛ, καὶ ἡ ΚΡ πρὸς ΡΛ, καὶ ἡ ΟΚ πρὸς ΛΞ, τῶν ΑΓ ΛΞ ἄρα δύο μέσαι εἰσὶν αἱ ΠΘ ΟΚ κατὰ συνεχῆ ἀναλογίαν. καὶ ἔστι διπλασία ἡ ΑΓ τῆς ΛΞ· διπλάσιος ἄρα καὶ ὁ ἀπὸ τῆς ΑΓ κύβος τοῦ ἀπὸ τῆς ΠΘ κύβου. εἰ δʼ ἄλλον τινὰ λόγον ἔχει ὁ κύβος πρὸς τὸν κύβον, ἐκεῖνον τὸν λόγον ἔδει ἔχειν καὶ τὴν ΑΓ πρὸς ΛΞ, καὶ τὰ λοιπὰ ὁμοίως κατασκευάζειν.

ηʹ. Κατὰ δὲ Νικομήδη δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΓΔ ΔΑ δύο μέσαι κατὰ τὸ συνεχὲς λαμβάνονται τρόπῳ τοιῷδε.

`3.60`

Συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον, καὶ τετμήσθω δίχα ἑκατέρα τῶν ΑΒ ΒΓ τοῖς Λ Ε σημείοις, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΛΔ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΓΒ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Η, καὶ τῇ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ ἴση οὖσα τῇ ΑΛ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΗ, καὶ αὐτῇ παράλληλος ἡ ΓΘ, καὶ γωνίας οὔσης τῆς ὑπὸ τῶν ΚΓΘ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Ζ διήχθω ἡ ΖΘΚ ποιοῦσα ἴσην τὴν ΘΚ τῇ ΑΛ ἢ τῇ ΓΖ — τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν ἐδείχθη διὰ τῆς κοχλοειδοῦς γραμμῆς —, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΔ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΒΑ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Μ· λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΔΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ΓΚ πρὸς ΜΑ καὶ ἡ ΜΑ πρὸς τὴν ΑΔ.

`3.62`

Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΓ τέτμηται δίχα τῷ Ε καὶ πρόσκειται αὐτῇ ἡ ΓΚ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΚ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΕΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΕΖ, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΓΖ, ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ ΚΕΖ, τουτέστιν τῷ ἀπὸ ΚΖ. καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ, ἡ ΜΔ πρὸς ΔΚ, ὡς δὲ ἡ ΜΔ. πρὸς ΔΚ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ, οὔτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ. καὶ ἔστιν τῆς μὲν ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΑΛ, τῆς δὲ ΒΓ διπλῆ ἡ ΓΗ· ἔσται ἄρα καὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς τὴν ΑΛ, οὕτως ἡ ΗΓ πρὸς ΓΚ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΓΗ πρὸς ΓΚ, οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΘΚ διὰ τὰς παραλλήλους τὰς ΗΖ ΓΘ· καὶ συνθέντι ἄρα ὡς ἡ ΜΛ πρὸς ΛΑ, ἡ ΖΚ πρὸς ΚΘ. ἴση δὲ ὑπόκειται καὶ ἡ ΑΛ τῇ ΘΚ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΜΛ τῇ ΖΚ. ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΜΛ τῷ ἀπὸ ΖΚ. καὶ ἔστι τῷ μὲν ἀπὸ ΜΛ ἴσον τὸ ὑπὸ ΒΜΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΛΑ, τῷ δὲ ἀπὸ ΖΚ ἴσον ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ, ὧν τὸ ἀπὸ ΑΛ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΖ — ἴση γὰρ ὑπόκειται ἡ ΑΛ τῇ ΓΖ· ἴσον ἄρα καὶ λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΒΜΑ λοιπῷ τῷ ὑπὸ ΒΚΓ· ὡς ἄρα ἡ ΜΒ πρὸς ΒΚ, οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς ΜΑ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΜΒ πρὸς ΒΚ, ἡ ΔΓ πρὸς ΓΚ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΔΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ΓΚ πρὸς ΑΜ. ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ ΜΒ πρὸς ΒΚ, ἡ ΜΑ πρὸς ΑΔ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΔΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ΚΓ πρὸς ΑΜ καὶ ἡ ΜΑ πρὸς ΑΔ.

θʹ. Κατὰ δὲ τοὺς περὶ τὸν Ἥρωνα, πῶς ἐστιν δυνατὸν δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον λαβεῖν ὀργανικῶς, δείξομεν, ἐπειδήπερ ἐστὶν τὸ πρόβλημα τοῦτο, καθά φησιν καὶ ὁ Ἥρων, στερεόν. «ἐκθησόμεθα δέ» φησιν «τῶν δείξεων τὴν μάλιστα πρὸς τὴν χειρουργίαν εὔθετον.»

Ἔστωσαν γὰρ αἱ δοθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις κείμεναι, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν.

`3.64`

Συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΔΓ ΔΑ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΒ ΓΑ, καὶ παρακείσθω κανόνιον πρὸς τῷ Β σημείῳ καὶ κινείσθω τέμνον τὰς ΓΕ ΑΖ, ἄχρις οὗ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἀχθεῖσα ἐπὶ τὴν τῆς ΓΕ τομὴν ἴση γένηται τῇ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν τῆς ΑΖ τομήν. γεγονέτω, καὶ ἔστω ἡ μὲν τοῦ κανονίου θέσις ἡ ΕΒΖ, ἴσαι δὲ αἱ ΕΗ ΗΖ· λέγω οὖν ὅτι αἱ ΑΖ ΓΕ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν τῶν ΑΒ ΒΓ.

Ἐπεὶ γὰρ ὀρθογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον, αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι αἱ ΔΗ ΗΑ ΗΒ ΗΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ΔΗ τῇ ΑΗ, καὶ διῆκται ἡ ΗΖ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΔΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΖ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ ΔΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΕ. καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ ΗΕ ΗΖ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΔΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΗ τῷ ὑπὸ ΔΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΗ. ὦν τὸ ἀπὸ ΓΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΑ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΔΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΔΖΑ· ὡς ἄρα ἡ ΕΔ πρὸς ΔΖ, ἡ ΖΑ πρὸς ΓΕ. ὡς δὲ ἡ ΕΔ πρὸς ΔΖ, ἥ τε ΒΑ πρὸς ΑΖ καὶ ἡ ΕΓ πρὸς ΓΒ, ὥστε ἔσται καὶ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΑΖ, ἥ τε ΖΑ πρὸς ΓΕ καὶ ἡ ΓΕ πρὸς ΓΒ· τῶν ἄρα ΑΒ ΒΓ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΑΖ ΓΕ.

ιʹ. Κύβος δὲ κύβου διπλάσιος οὐ μόνον εὑρίσκεται διὰ τοῦ ὑποκειμένου ὀργάνου καὶ καθʼ ἡμᾶς, ἀλλὰ καὶ καθόλου λόγον ἔχων τὸν ἐπιταχθέντα.

`3.66`

Κατεσκευάσθω γὰρ ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ κέντρου πρὸς ὀρθὰς ἀνήχθω ἡ ΔΒ, καὶ κινείσθω κανόνιόν τι περὶ τὸ Α σημεῖον οὕτως ὥστε τὸ μὲν ἓν πέρας αὐτοῦ περικεῖσθαι τυλίῳ τινὶ κατὰ τὸ Α σημεῖον ἑστῶτι, τὸ δὲ λοιπὸν μέρος ὡς περὶ κέντρον τὸ τυλάριον κινεῖσθαι μεταξὺ τῶν Β Γ. τούτων δὴ κατεσκευασμένων ἐπιτετάχθω δύο κύβους εὑρεῖν λόγον ἔχοντας πρὸς ἀλλήλους δοθέντα. καὶ τῷ λόγῳ ὁ αὐτὸς πεποιήσθω ὁ τῆς ΒΔ πρὸς ΔΕ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ. παραγέσθω δὴ τὸ κανόνιον μεταξὺ τῶν Β Γ, ἕως οὗ τὸ ἀπολαμβανόμενον αὐτοῦ μέρος μεταξὺ τῶν ΖΕ ΕΒ εὐθειῶν ἴσον γένηται τῷ μεταξὺ τῆς ΒΕ εὐθείας καὶ τῆς ΒΚΓ περιφερείας· τοῦτο γὰρ πειράζοντες αἰεὶ καὶ μετάγοντες τὸ κανόνιον ῥᾳδίως ποιήσομεν. γεγονέτω δή, καὶ ἐχέτω θέσιν τὴν ΑΗΘΚ, ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ΗΘ ΘΚ. λέγω ὅτι ὁ ἀπὸ τῆς ΒΔ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΘ κύβον λόγον ἔχει τὸν ἐπιταχθέντα, τουτέστιν τὸν τῆς ΔΒ πρὸς ΔΕ.

`3.68`

Νοείσθω γὰρ ὁ κύκλος προσαναπεπληρωμένος καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΔ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν τῇ ΒΔ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΚΘ τῇ ΘΗ, τὴν δὲ ΚΔ τῇ ΔΛ. ἐπεζεύχθωσαν δὴ καὶ ἥ τε ΑΛ καὶ ἡ ΛΓ. ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΗΑΛ ἐν ἡμικυκλίῳ καὶ κάθετος ἡ ΑΜ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΑ, τουτέστιν ὡς ἡ ΓΜ πρὸς ΜΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ — καὶ γὰρ ὡς ἡ ΛΜ πρὸς τὴν ΜΑ, οὕτως ἡ ΜΑ πρὸς τὴν ΜΗ, ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ, καὶ ἡ ΓΜ πρὸς ΜΑ. κοινὸς προσκείσθω λόγος ὁ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ. ὁ ἄρα συγκείμενος ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΜ πρὸς ΜΑ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ, τουτέστιν ὁ τῆς ΓΜ πρὸς ΜΗ, λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συγκειμένῳ ἔκ τε τοῦ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΜΗ καὶ ἐκ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ. ὁ δὲ συγκείμενος ἔκ τε τοῦ τοῦ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ λόγῳ ὃν ἔχει ὁ ἀπὸ τῆς ΑΜ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ κύβον· καὶ ὁ τῆς ΓΜ ἄρα πρὸς τὴν ΜΗ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ λόγῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΜ κύβου πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ κύβον. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΓΜ πρὸς ΜΗ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ, τουτέστιν ἧ ΒΔ πρὸς ΔΕ, ὡς δὲ ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς ΔΘ, τουτέστιν ἡ ΔΒ πρὸς ΔΘ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς ΔΕ, τουτέστιν ὡς ὁ δοθεὶς λόγος, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς ΒΔ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΘ κύβον. ἐὰν οὖν ποιήσωμεν καὶ ὡς τὴν ΒΔ πρὸς τὴν ΔΘ, οὕτως τὴν ΔΘ πρὸς ἄλλην τινά, οἷον τὴν ΔΝ, ἔσονται τῶν ΒΔ ΔΕ δύο μέσαι ἀνάλογον αἱ ΔΘ ΔΝ.

ιαʹ. Τὸ δὲ δεύτερον τῶν προβλημάτων ἦν τόδε.

Ἐν ἡμικυκλίῳ τὰς τρεῖς μεσότητας λαβεῖν ἄλλος τις ἔφασκεν, καὶ ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ ἐκθέμενος, οὗ κέντρον τὸ Ε, καὶ τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆς ΑΓ λαβὼν τὸ Δ, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ πρὸς ὀρθὰς ἀγαγὼν τῇ ΕΓ τὴν ΔΒ, καὶ ἐπιζεύξας τὴν ΕΒ, καὶ αὐτῇ κάθετον ἀγαγὼν ἀπὸ τοῦ Δ τὴν ΔΖ, τὰς τρεῖς μεσότητας ἔλεγεν ἁπλῶς ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ ἐκτεθεῖσθαι, τὴν μὲν ΕΓ μέσην ἀριθμητικήν, τὴν δὲ ΔΒ μέσην γεωμετρικήν, τὴν δὲ ΒΖ ἁρμονικήν.

`3.70`

Ὅτι μὲν οὖν ἡ ΒΔ μέση ἐστὶ τῶν ΑΔ ΔΓ ἐν τῇ γεωμετρικῇ ἀναλογίᾳ, ἡ δὲ ΕΓ τῶν ΑΔ ΔΓ ἐν τῇ ἀριθμητικῇ μεσότητι, φανερόν. ἔστι γὰρ ὡς μὲν ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ, ἡ ΔΒ πρὸς ΔΓ, ὡς δὲ ἡ ΑΔ πρὸς ἑαυτήν, οὕτως ἡ τῶν ΑΔ ΑΕ ὑπεροχή, τουτέστιν ἡ τῶν ΑΔ ΕΓ, πρὸς τὴν τῶν ΕΓ ΓΔ. πῶς δὲ καὶ ἡ ΖΒ μέση ἐστὶν τῆς ἁρμονικῆς μεσότητος, ἢ ποίων εὐθειῶν, οὐκ εἶπεν, μόνον δὲ ὅτι τρίτη ἀνάλογόν ἐστιν τῶν ΕΒ ΒΔ, ἀγνοῶν ὅτι ἀπὸ τῶν ΕΒ ΒΔ ΒΖ ἐν τῇ γεωμετρικῇ ἀναλογίᾳ οὐσῶν πλάσσεται ἡ ἁρμονικὴ μεσότης. δειχθήσεται γὰρ ὑφʼ ἡμῶν ὕστερον ὅτι δύο αἱ ΕΒ καὶ τρεῖς αἱ ΔΒ καὶ μία ἡ ΒΖ ὡς μία συντεθεῖσαι ποιοῦσι τὴν μείζονα ἄκραν τῆς ἁρμονικῆς μεσότητος, δύο δὲ αἱ ΒΔ καὶ μία ἡ ΒΖ τὴν μέσην, μία δὲ ἡ ΒΔ καὶ μία ἡ ΒΖ τὴν ἐλαχίστην.

Πρότερον δὲ διαληπτέον περὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων, εἶτα περὶ τῶν ἀντικειμένων αὐταῖς ἄλλων τριῶν κατὰ τοὺς παλαιούς, καὶ ὕστερον περὶ τῶν παρὰ τοῖς νεωτέροις τεσσάρων ἀκολούθως ταῖς γνώμαις αὐτῶν, καὶ ὡς δυνατόν ἐστιν ἑκάστην τῶν δέκα μεσοτήτων διὰ τῆς γεωμετρικῆς ἀναλογίας εὑρίσκειν, ἵνα καὶ τὸν προκείμενον ἔλεγχον διὰ πλειόνων συστησώμεθα.

Περὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων.

ιβʹ. Διαφέρει τοίνυν μεσότης ἀναλογίας τῷδε ὅτι εἰ μὲν τί ἐστιν ἀναλογία, τοῦτο καὶ μεσότης, οὐ μὴν καὶ ἀνάπαλιν. μεσότητες γάρ εἰσι τρεῖς, ὧν ἡ μὲν ἀριθμητική, ἡ δὲ γεωμετρική, ἡ δὲ ἁρμονική.

Ἀριθμητικὴ μὲν οὖν λέγεται μεσότης, ὅταν τριῶν ὄντων ὅρων ὁ μέσος τῷ ἴσῳ ἑνὸς μὲν τῶν ἄκρων ὑπερέχῃ, ὑπερέχηται δὲ ὑπὸ τοῦ λοιποῦ — ὡς ἔχει ὁ ϛʹ πρὸς τὸν θʹ καὶ τὸν γʹ ἀριθμόν —, ἢ ὅταν ᾖ ὡς ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς αὑτὸν, ἡ πρώτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν.

Γεωμετρικὴ δὲ λέγεται μεσότης, τουτέστιν ἀναλογία κυρίως, ὅταν ᾖ ὡς ὁ μέσος ὅρος πρὸς ἕνα τῶν ἄκρων, οὕτως ὁ λοιπὸς πρὸς τὸν μέσον — ὡς ἔχει ὁ ϛʹ ἀριθμὸς πρός τε τὸν ιβʹ καὶ τὸν γʹ —, καὶ ἄλλως· ὅταν ᾖ ὡς ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς τὸν δεύτερον, ἡ πρώτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν.

`3.72`

Ἁρμονικὴ δέ ἐστι μεσότης, ὅταν ὁ μέσος ὅρος τῷ αὐτῷ μέρει ὑπερέχῃ μὲν ἑνὸς τῶν ἄκρων, ὑπερέχηται δὲ ὑπὸ τοῦ λοιποῦ — ὡς ἔχει ὁ γʹ ἀριθμὸς πρός τε τὸν βʹ καὶ τὸν ϛʹ —, ἢ ὅταν ᾖ ὡς ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς τὸν τρίτον, ἡ πρώτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν.

Τούτων ὑποκειμένων εὑρήσομεν ὁμοῦ τὰς τρεῖς μεσότητας ἐν ἐλαχίσταις εὐθείαις πέντε τὸν ἀριθμὸν προγραφέντων τῶνδε.

Ἔστω δὴ πρῶτον δοθεισῶν τῶν ΑΒ ΒΓ μέσην εὑρεῖν κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν. Ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΔ, καὶ δίχα τετμήσθω ἡ ΑΒ τῷ Ε, καὶ περὶ κέντρον τὸ Ε διὰ τοῦ Β περιφέρεια γραφεῖσα τεμνέτω τὴν πρὸς ὀρθὰς κατὰ τὸ Δ, καὶ τῇ τὰ Β Δ ἐπιζευγνυούσῃ ἴση ἀφῃρήσθω ἡ ΒΖ, καὶ γίνεται ἡ ζητουμένη μέση ἡ ΒΖ. ἐπιζευχθεῖσα γὰρ ἡ ΔΑ ὀρθὴν περιέχει γωνίαν μετὰ τῆς ΒΔ διὰ τὸ ἴσην εἶναι ἑκατέραν τῶν ΒΕ ΕΑ τῇ ἐπιζευγνυούσῃ τὰ Δ Ε. ἔστιν δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Γ ὀρθή. καὶ ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ, καὶ διὰ τοῦτο αἱ περὶ τὴν κοινὴν αὐτῶν γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Β πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν· ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΔΒ, ἡ ΒΔ πρὸς ΒΓ, καὶ μέση τῶν ΑΒ ΒΓ ἡ ΒΔ ἴση τῇ ΒΖ.

`3.74`

ιγʹ. Ἔστω δὲ δοθεισῶν τῶν ΑΒ ΒΖ τὴν ἐλάσσονα ἄκραν λαβεῖν. Τετμήσθω δίχα ἡ ΑΒ τῷ Ε, καὶ περὶ κέντρον τὸ Ε διὰ τοῦ Β περιφέρεια γεγράφθω, καὶ αὕτη τετμήσθω ὑπὸ τῆς διὰ τοῦ Ζ περὶ κέντρον τὸ Β γραφομένης περιφερείας κατὰ τὸ Δ, καὶ κάθετος ἤχθω ἡ ΔΓ, καὶ γίνεται τῶν ΑΒ ΒΖ τρίτη ἀνάλογον ἡ ΒΓ. δείκνυται γὰρ ὁμοίως τοῖς προειρημένοις ἐπὶ τῆς μέσης.

Ἔστω δὲ νῦν δοθεισῶν τῶν ΖΒ ΒΓ τὴν μείζονα ἄκραν εὑρεῖν. Ἤχθω δὴ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΘ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Β διὰ τοῦ Ζ γραφομένη περιφέρεια τεμνέτω αὐτὴν κατὰ τὸ Θ, καὶ τῇ ΒΘ ἐπιζευχθείσῃ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΑΘ· γίνεται δὴ ἡ ΑΒ τρίτη ἀνάλογον τῶν ΓΒ ΒΖ. καὶ γὰρ τοῦτο φανερὸν ἐκ τῶν προδεδειγμένων.

ιδʹ. Πάλιν ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΒΓ, καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ ἡ ΔΑΕ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΑΔ τῇ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΔ ΕΓΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος ἐπὶ τὴν ΓΒ ἡ ΖΗ· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ τῶν ΑΒ ΒΓ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ΓΒ ΒΗ ὑπεροχήν.

`3.76`

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ, ἡ ΔΑ πρὸς ΖΗ, τουτέστιν ἡ ΑΕ πρὸς ΖΗ — ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΑΔ —, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΖΗ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΗ διὰ τὸ ἰσογώνια εἶναι τὰ τρίγωνα ΑΓΕ ΓΖΗ· ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ΑΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΗ. καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΑΓ ὑπεροχὴ τῶν ΑΒ ΒΓ, ἡ δὲ ΓΗ ὑπεροχὴ τῶν ΓΒ ΒΗ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ τῶν ΑΒ ΒΓ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ΓΒ ΒΗ ὑπεροχήν.

Ἐὰν δὲ αἱ ΑΒ ΒΗ δοθῶσιν ἄκραι, ζητῶμεν δὲ τὴν μέσην, ἐπιζεύξαντες τὴν ΒΔ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἄξαντες ἀπὸ τοῦ Η τὴν ΖΗ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Ε ἐπιζεύξαντες τὴν ΖΓΕ, ἕξομεν τὴν ΓΒ μέσην τῶν ΑΒ ΒΗ. καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.

ιεʹ. Δοθεισῶν δὲ τῶν ΕΒ ΒΓ τὴν μείζονα ἄκραν εὑρήσομεν ἀπὸ τοῦ Ε πρὸς ὀρθὰς ἄξαντες τὴν ΔΕΖ καὶ ἴσας θέντες τὰς ΔΕ ΕΖ, καὶ τὰς ΒΖ ΔΓ ἐπιζεύξαντες καὶ ἐκβαλόντες ἐπὶ τὸ Η. ἡ γὰρ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν ΒΓ ἐκβληθεῖσαν κάθετος ἀγομένη ΗΘ ἴσην ἀποτέμνει τῇ ζητουμένῃ τὴν ΘΒ.

ιϛʹ. Δύο πάλιν δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ Γ, ὧν μείζων ἡ ΑΒ, μέσην ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ εὑρήσομεν οὕτως. κείσθω τῇ Γ ἴση ἡ ΔΒ, καὶ ἡ ΔΑ δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Ε, καὶ τῇ ΕΒ ἴση κείσθω ἡ Ζ. καὶ φανερὸν ὅτι ἡ Ζ ἐστὶν ἡ ζητουμένη εὐθεῖα.

`3.78`

Ὁμοίως δὲ κἂν αἱ Ζ Γ δοθῶσιν, τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν προσθέντες τῇ Ζ τὴν γενομένην ἕξομεν ἴσην τῇ ΑΒ.

Ἤ πάλιν ἐὰν αἱ ΑΒ Ζ δοθῶσιν, ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν ἀπὸ τῆς Ζ ἀφαιρεθεῖσα ποιεῖ τὴν Γ τρίτην.

Ἔστω οὖν ἡ Ζ μέση τῶν ΑΒ Γ ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ· καὶ ἔσται ἀριθμητικὴ μεσότης τῶν ΑΒ Ζ Γ εὐθειῶν. γεγενήσθω δὲ καὶ ὡς ἡ Ζ πρὸς τὴν Γ, ἡ Γ πρὸς Η· καὶ ἔσται τῶν Ζ Γ Η εὐθειῶν γεωμετρικὴ μεσότης, τουτέστιν ἀναλογία κυρίως. κἂν διὰ τὸ προδειχθὲν δύο εὐθειῶν τῶν Γ Η, ὧν μείζων ἡ Γ, τὴν Θ ποιησώμεθα, ὥστʼ εἶναι ὡς τὴν Γ πρὸς τὴν Θ, οὕτως τὴν τῶν Γ Η ὑπεροχὴν πρὸς τὴν τῶν Η Θ ὑπεροχήν, ἔσται ἄρα καὶ τῶν Γ Η Θ εὐθειῶν ἁρμονικὴ μεσότης. ὁ αὐτὸς δὲ λόγος τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Γ, καὶ τῆς Γ πρὸς τὴν Θ, τῶν ἄκρων ὅρων ἐπί τε τῆς ἀριθμητικῆς μεσότητος καὶ τῆς ἁρμονικῆς· ἔσονται οὖν πέντε τὸν ἀριθμὸν ἐλάχισται εὐθεῖαι περιέχουσαι τὰς τρεῖς μεσότητας.

`3.80`

Ἅμα καὶ διʼ ἀριθμῶν ἐλαχίστων πέντε συνίστασθαι κατά τε τοὺς πολλαπλασίους λεγομένους λόγους καὶ ἐπιμορίους καὶ τοὺς λοιπούς, ἀδιαιρέτου γοῦν τῆς μονάδος ὑποκειμένης. ἐπὶ μὲν γὰρ τοῦ διπλασίου λόγου τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Γ ὑποδείγματος ἕνεκεν ἔσονται τὸ προκείμενον ποιοῦντες ἀριθμοὶ ἐλάχιστοι ὅ τε ιβʹ καὶ ὁ θʹ καὶ ὁ ϛʹ καὶ ὁ δʹ καὶ ὁ γʹ, ἐπὶ δὲ τῆς τριπλασίονος ἀναλογίας ἀριθμοὶ ἐλάχιστοι γίνονται ὅ τε ιηʹ καὶ ὁ ιβʹ καὶ ὁ ϛʹ καὶ ὁ γʹ καὶ ὁ βʹ. καὶ δῆλον ὡς δεῖ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων λόγων τοὺς ἐλαχίστους ἀριθμοὺς ἀνευρίσκειν τῶν τριῶν μεσοτήτων. κἂν χωρὶς ἑκάστην τις ἐθέλῃ ἐκτίθεσθαι, διὰ τῶν προγεγραμμένων εὔδηλον, τῶν τριῶν ὅρων ἐπὶ μὲν τῆς ἀριθμητικῆς μεσότητος ὄντων ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς γʹ βʹ αʹ, ἐπὶ δὲ τῆς γεωμετρικῆς δʹ βʹ αʹ, καὶ τῶν κατὰ τὸν διδόμενον λόγον πυθμένων εἰς τοὺς ἰσάκις πολλαπλασίους καὶ τοὺς ἐπιμορίους μεταλαμβανομένων καὶ τοὺς λοιπούς. οἷον ἐπὶ τοῦ διπλασίου λόγου, τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Γ λόγον ἐχούσης ὃν ἔχει τὰ βʹ πρὸς τὸ αʹ, τάξομεν ἀντὶ μὲν τῶν βʹ τὰ δʹ, ἀντὶ δὲ τοῦ αʹ τὰ βʹ. καὶ ἐπεὶ δεῖ τὸν μέσον αὐτῶν τῷ ἴσῳ ὑπερέχειν καὶ ὑπερέχεσθαι, γίνεται ἡ Ζ εὐθεῖα μονάδων τριῶν. καὶ ὁ τῆς Ζ πρὸς τὴν Γ λόγος ἡμιόλιος, ὡς γʹ πρὸς βʹ. ὁ αὐτὸς δὲ τούτῳ καὶ ὁ τῆς Γ πρὸς τὴν Η γενόμενος οὐ ποιεῖ τὸ πρόβλημα τῆς μονάδος ἀδιαιρέτου μενούσης. πάντα ἄρα τρίς· καὶ γίνεται ἀντὶ μὲν τοῦ δʹ ὁ ιβʹ, ἀντὶ δὲ τοῦ γʹ ὁ θʹ ἀριθμός, καὶ ἀντὶ τοῦ βʹ ὁ ϛʹ. καὶ γίνεται ἡ Η εὐθεῖα μονάδων δʹ καὶ ἡ Θ δηλονότι μονάδων τριῶν καὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων ἀριθμοὶ ιβʹ θʹ ϛʹ δʹ γʹ.

`3.82`

ιζʹ. Ταῦτα μὲν οὖν περὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων κατὰ τοὺς παλαιούς, ὅτι δὲ καὶ ἐν ἡμικυκλίῳ δυνατόν ἐστιν αὐτὰς συστήσασθαι ἐν ἐλαχίσταις ϛʹ εὐθείαις τὸν ἀριθμόν, δῆλον ἐντεῦθεν.

Ἐκκείσθω γὰρ τὸ ἡμικύκλιον ἔχον τὴν ΒΔ κάθετον καὶ τὴν ΕΒ ἐκ κέντρου, καὶ τὴν ΔΖ κάθετον, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Β ἐφαπτομένη τοῦ κύκλου ἡ ΘΗ καὶ ἐκβληθείσης τῆς ΕΓΗ κείσθω τῇ ΒΗ ἴση ἡ ΒΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΚΘ· λέγω ὅτι ἐν τῇ ἁρμονικῇ μεσότητι ἡ ΕΚ μέση ἐστὶν τῶν ΒΕ ΕΖ, μεγίστης οὔσης τῆς ΒΕ καὶ ἐλαχίστης τῆς ΕΖ.

Ἐπεὶ γὰρ ὀρθαί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς Β Ζ γωνίαι, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΕ πρὸς ΕΖ, ἡ ΗΒ πρὸς ΖΔ. ἴση δὲ ἡ ΒΗ τῇ ΒΘ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς ΕΖ, ἡ ΒΘ πρὸς ΔΖ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΔΖ, ἡ ΒΚ πρὸς ΚΖ, καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΒΚ ὑπεροχὴ τῶν ΒΕ ΕΚ εὐθειῶν, ἡ δὲ ΚΖ ὑπεροχὴ τῶν ΚΕ ΕΖ εὐθειῶν· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ τῶν ΒΕ ΕΚ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ΚΕ ΕΖ ὑπεροχήν· ἁρμονικὴν ἄρα μεσότητα περιέχουσιν αἱ ΒΕ ΕΚ ΕΖ εὐθεῖαι, μέσης οὔσης τῆς ΕΚ καὶ μεγίστης τῆς ΒΕ καὶ ἐλαχίστης τῆς ΕΖ. ἐδείχθησαν δὲ καὶ αἱ μὲν ΑΔ ΕΓ ΓΔ τὴν ἀριθμητικήν, αἱ δὲ ΑΔ ΒΔ ΔΓ τὴν γεωμετρικήν· αἱ τρεῖς ἄρα μεσότητες ἐντεταγμέναι εἰσὶν καὶ ἐν ἡμικυκλίῳ.

`3.84`

ιηʹ. Ἐπεὶ δὲ καὶ Νικόμαχος ὁ Πυθαγορικὸς καὶ ἄλλοι τινὲς οὐ μόνον περὶ τῶν πρώτων τριῶν μεσοτήτων εἰρήκασιν, αἳ χρήσιμοι τυγχάνουσιν μάλιστα πρὸς τὰς τῶν παλαιῶν ἀναγνώσεις, ἀλλὰ καὶ περὶ ἄλλων τριῶν κατὰ τοὺς παλαιούς, καὶ ἔτι ταῖς ἓξ ταύταις ἄλλαι ὑπὸ τῶν νεωτέρων προσεύρηνται τέσσαρες, πειρασόμεθα καὶ περὶ τούτων εἰπεῖν ἐπιτονώτερον, ἀκολουθήσαντες μέντοι γε τοῖς πρότερον, οἵτινες ἀπὸ μὲν τοῦ μείζονος ὅρου ποιούμενοι τὴν μετάβασιν τρεῖς ἐξέθεντο τὰς προειρημένας  <span class="gap">…</span>

Ὅταν μὲν γὰρ ᾖ ὡς ὁ τρίτος ὅρος πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως ἡ τοῦ πρώτου ὅρου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου, τὴν μεσότητα ὑπεναντίαν τῇ ἁρμονικῇ καλοῦσιν.

Ὅταν δʼ ᾖ ὡς ὁ τρίτος ὅρος πρὸς τὸν δεύτερον, ἡ τοῦ πρώτου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου, ἡ μεσότης καλεῖται πέμπτη καὶ ὑπεναντία τῇ γεωμετρικῇ — τινὲς γὰρ αὐτὴν οὕτως ὀνομάζουσιν.

Ὅταν δὲ ὡς ὁ δεύτερος ὅρος ᾖ πρὸς τὸν πρῶτον, ἡ τοῦ πρώτου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου, καλεῖται ἡ μεσότης ἕκτη, λέγεται δὲ καὶ αὐτὴ ὑπεναντία τῇ γεωμετρικῇ διὰ τὴν αὐτὴν τῶν λόγων ἀντακολουθίαν· ὡς εἶναι κατʼ αὐτοὺς μεσότητας ἕξ.

`3.86`

Ὑπὸ δὲ τῶν νεωτέρων, ὡς εἴπομεν, ἄλλαι τέσσαρες τὸν ἀριθμὸν εὑρέθησαν πῆ μὲν συμφερόμεναι, κέχρηνται δὲ καὶ ὅροις ἰδίοις οἱ ταύτας εὑρόντες· καλοῦσι γὰρ τὴν μὲν τοῦ πρώτου ὅρου παρὰ τὸν δεύτερον ὑπεροχὴν πρώτην, τὴν δὲ τοῦ δευτέρου παρὰ τὸν τρίτον ὑπεροχὴν δευτέραν, τὴν δὲ τοῦ πρώτου παρὰ τὸν τρίτον ὑπεροχὴν τρίτην, νοουμένου καὶ λεγομένου δηλονότι, καθὰ καὶ ἐν ἀρχῇ διεστειλάμεθα, τοῦ μὲν μεγίστου ὅρου πρώτου, τοῦ δὲ μέσου δευτέρου, τοῦ δὲ ἐλαχίστου τρίτου.

Καὶ ὅταν ᾖ ὡς ἡ τρίτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν πρώτην, ὁ δεύτερος ὅρος πρὸς τὸν τρίτον, τὴν μεσότητα ἑβδόμην ἐκάλεσαν.

Μένοντος δὲ τοῦ αὐτοῦ λόγου τῶν ὑπεροχῶν, ὅταν γίνηται οὕτως ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς τὸν δεύτερον, τὴν μεσότητα ὀγδόην ὀνομάζουσιν.

Ὅταν δὲ ᾖ ὡς ἡ τρίτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν πρώτην, ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς τὸν τρίτον, τὴν μεσότητα ἐνάτην,

Ὅταν δὲ ᾖ ὡς ἡ τρίτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν, ὁ δεύτερος ὅρος πρὸς τὸν τρίτον, τὴν μεσότητα δεκάτην ὠνόμασαν.

Τούτων δὴ τῶν ὅρων ὑποκειμένων τὰς γενέσεις τῶν δέκα μεσοτήτων ἐκθησόμεθα καὶ διὰ τῆς γεωμετρικῆς ἀναλογίας, ὡς εἴπομεν.

`3.88`

Ἡ τοίνυν γεωμετρικὴ μεσότης ἐκ τῆς ἰσότητος τὴν πρώτην λαβοῦσα γένεσιν αὐτή τε αὑτὴν καὶ τὰς ἄλλας συστήσει μεσότητας, ἐνδεικνυμένη, καθά φησιν ὁ θειότατος Πλάτων, τὴν τῆς ἀναλογίας φύσιν αἰτίαν τῆς ἁρμονίας πᾶσι καὶ τῆς εὐλόγου καὶ τεταγμένης γενέσεως· λέγει γὰρ ἕνα δεσμὸν εἶναι τῶν μαθημάτων ἁπάντων, αἰτία δὲ γενέσεως καὶ δεσμὸς πᾶσι τοῖς γενομένοις ἡ τῆς ἀναλογίας θεία φύσις. δειχθήσεται δὲ ἡ σύστασις τῶν δέκα μεσοτήτων διὰ τῆς γεωμετρικῆς ἀναλογίας προθεωρηθέντος τοῦδε.

Τρεῖς ἀνάλογον ἔστωσαν ὅροι οἱ Α Β Γ καὶ συναμφοτέρῳ μὲν τῷ Α Γ μετὰ βʹ τῶν Β ἴσος ἐκκείσθω ὁ Δ, συναμφοτέρῳ δὲ τῷ Β Γ ὁ Ε, τῷ δὲ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι καὶ οἱ Δ Ε Ζ ὅροι ἀνάλογόν εἰσιν.

Ἐπεὶ γὰρ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ἔσται καὶ συνθέντι ὡς συναμφότερος ὁ ΑΒ πρὸς τὸν Β, οὕτως συναμφότερος ὁ ΒΓ πρὸς τὸν Γ· καὶ πάντες ἄρα οἱ ἡγούμενοι πρὸς πάντας τοὺς ἑπομένους εἰσὶν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὡς συναμφότερος ὁ Α Β μετὰ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ πρὸς συναμφότερον τὸν Β Γ, οὕτως συναμφότερος ὁ Β Γ πρὸς τὸν Γ. καὶ ἔστιν συναμφοτέρῳ μὲν τῷ Α Β μετὰ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ ἴσος ὁ Δ, συναμφοτέρῳ δὲ τῷ Β Γ ἴσος ὁ Ε, καὶ τῷ Γ ὁ Ζ· καὶ οἱ Δ Ε Ζ ἄρα ἀνάλογόν εἰσιν.

`3.90`

Διόπερ ἴσων μὲν ὑποκειμένων τῶν Α Β Γ οἱ Δ Ε Ζ ἐν τῇ διπλασίᾳ γένοιντʼ ἂν ἀναλογίᾳ· συναμφότερος γὰρ ὁ Α Γ μετὰ δύο τῶν Β διπλάσιος συναμφοτέρου τοῦ Β Γ, συναμφότερος δὲ ὁ Β Γ τοῦ Γ διπλάσιος· τῶν δὲ Α Β Γ ἐν τῇ διπλασίᾳ ἀναλογίᾳ ὑποκειμένων, μεγίστου μὲν ὄντος ἐν αὐτοῖς τοῦ Α οἱ Δ Ε Ζ ἔσονται ἐν τῇ τριπλασίᾳ, ἐλαχίστου δὲ ἐν τῇ ἡμιολίᾳ· καὶ γὰρ συναμφότερος ὁ Α Β τοῦ Β τριπλάσιος μέν ἐστιν, εἰ διπλάσιος εἴη ὁ Α τοῦ Β, ἡμιόλιος δέ, εἰ ὁ Α τοῦ Β ἥμισυς εἴη. καὶ οὕτως ἀπὸ τῶν ἑξῆς λόγων οἱ ἀκόλουθοι πολλαπλάσιοί τε καὶ ἐπιμόριοι εὑρίσκονται. καὶ πάλιν, εἰ μονάδες εἶεν οἱ Α Β Γ, ἡ κατὰ τοὺς Δ Ε Ζ γεωμετρικὴ μεσότης ἐν ἐλαχίστοις λέγοιτʼ ἂν ἀριθμοῖς τοῖς δʹ βʹ αʹ. ιθʹ. Ἡ ἁρμονικὴ μεσότης διὰ ἀναλογίας οὕτως συνίσταται. ὑποκείσθωσαν ὅροι τρεῖς ἀνάλογον οἱ Α Β Γ, καὶ δύο μὲν τοῖς Α καὶ τρισὶ τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ἴσος ἔστω ὁ Δ, δύο δὲ τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ε, ἑνὶ δὲ τῷ Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι οἱ Δ Ε Ζ τὴν ἁρμονικὴν ποιοῦσι μεσότητα.

`3.92`

Ἐπεὶ γὰρ ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α Β Γ, ἔσονται καὶ ὡς δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β, οὕτως δύο οἱ Β μετὰ τοῦ Γ πρὸς τὸν Γ, καὶ πάντες πρὸς πάντας δύο οἱ Α μετὰ τριῶν τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ πρὸς τοὺς Β Γ, τουτέστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β. καὶ εἰσὶν δύο μὲν οἱ Α μετὰ τοῦ Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχουσι δύο οἱ Α καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Δ Ε ὑπεροχή, εἷς δὲ ὁ Β ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχουσιν δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Ε Ζ ὑπεροχή. ὅταν δὲ ᾖ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, ἡ τῶν Δ Ε ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν, ἡ μεσότης ἐστὶν ἁρμονική. καὶ δῆλον ὅτι λέγοιτʼ ἂν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς, μονάδων ὑποτεθεισῶν ὁμοίως τῶν Α Β Γ, τοῖς ϛʹ γʹ βʹ.

κʹ. Ἡ τῇ ἁρμονικῇ ὑπεναντία μεσότης ἐκ τῆς ἀναλογίας οὕτως συνίσταται. ὅρων ἀνάλογον ὑποκειμένων τῶν Α Β Γ δύο μὲν τοῖς Α καὶ τρισὶ τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ἴσος ἔστω ὁ Δ, δύο δὲ τοῖς Α καὶ δύο τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ε, ἑνὶ δὲ τῷ Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι οἱ Δ Ε Ζ τὴν εἰρημένην ποιοῦσι μεσότητα.

Πάλιν γὰρ ὁμοίως τοῖς προδεδειγμένοις ἔσται ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β. καὶ εἰσὶν δύο μὲν οἱ Α μετὰ τοῦ Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχουσιν δύο οἱ Α καὶ δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Ε Ζ ὑπεροχή, εἷς δὲ ὁ Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχουσι δύο οἱ Α καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ δύο τῶν Α καὶ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Δ Ε ὑπεροχή· ὡς ἄρα ὁ Ζ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ἡ τῶν Δ Ε ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν, ὅπερ ἐστὶ κατὰ τὴν μεσότητα τὴν τῇ ἁρμονικῇ ὑπεναντίαν. δῆλον δʼ ὅτι καί, μονάδων ὑποτεθεισῶν τῶν Α Β Γ, εἴη ἂν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς ἡ μεσότης τοῖς ϛʹ εʹ βʹ.

`3.94`

Ἡ πέμπτη μεσότης ἐκ τῆς ἀναλογίας οὕτως συνίσταται. ἐκκείσθωσαν ἀνάλογον ὅροι τρεῖς οἱ Α Β Γ, καὶ ἑνὶ μὲν τῷ Α καὶ τρισὶ τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ἴσος ἔστω ὁ Δ, ἑνὶ δὲ τῷ Α καὶ δύο τοῖς Β. καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ε, ἑνὶ δὲ τῷ Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι οἱ Δ Ε Ζ κατὰ τὴν πέμπτην εἰσὶ μεσότητα.

Ἐπεὶ γὰρ διὰ τὴν ἀναλογίαν ἐστὶν ὡς ὁ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β μετὰ τοῦ Γ πρὸς τὸν Γ, ἔσται καὶ συναμφότερος ὁ ἡγούμενος ὁ Α Β μετὰ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ πρὸς τὸν ἑπόμενον συναμφότερον τὸν Β Γ, τουτέστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως συναμφότερος ὁ Α Β πρὸς τὸν Β. καὶ ἔστι συναμφότερος μὲν ὁ Α Β ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει εἷς ὁ Α καὶ δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Ε Ζ ὑπεροχή, ὁ δὲ Β ᾗ ὑπερέχει εἷς ὁ Α καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Α καὶ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Δ Ε ὑπεροχή· ὡς ἄρα ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ἡ τῶν Δ Ε ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν, ὅπερ τῇ πέμπτῃ συμβέβηκεν μεσότητι. καὶ λέγοιτʼ ἂν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς τοῖς εʹ δʹ βʹ, μονάδων ὑποτεθεισῶν τῶν Α Β Γ.

Ἡ ἕκτη μεσότης ἐκ τῆς ἀναλογίας οὕτως συνίσταται. ἐκκείσθω ἡ αὐτὴ τῶν Α Β Γ ὅρων ἀναλογία, καὶ ἑνὶ μὲν τῷ Α καὶ τρισὶ τοῖς Β καὶ δύο τοῖς Γ ἴσος ὁ Δ, ἑνὶ δὲ τῷ Α καὶ δύο τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ε, ὁ δὲ Ζ ἔστω ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει συναμφότερος ὁ ΑΒ τοῦ Γ· λέγω ὅτι οἱ Δ Ε Ζ τὴν προκειμένην ποιοῦσι μεσότητα.

`3.96`

Ἐπεὶ γὰρ διὰ τὴν ἀναλογίαν ἐστὶν ὡς ὁ Α μετὰ δύο τῶν Β πρὸς συναμφότερον τὸν Α Β, οὕτως ὁ Β μετὰ δύο τῶν Γ πρὸς συναμφότερον τὸν Β Γ, καὶ πάντες οἱ ἡγούμενοι πρὸς πάντας τοὺς ἑπομένους ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὡς ὁ Α καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ δύο οἱ Γ πρὸς συναμφότερον τὸν Α Β μετὰ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ, τουτέστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Β μετὰ δύο τῶν Γ πρὸς συναμφότερον τὸν Β Γ, καὶ ἔστιν ὁ μὲν Β μετὰ δύο τῶν Γ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει ὁ Α μετὰ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὑπερέχει συναμφότερος ὁ Α Β τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Ε Ζ ὑπεροχή, συναμφότερος δὲ ὁ Β Γ ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει ὁ Α μετὰ τριῶν τῶν Β καὶ δύο τῶν Γ ἑνὸς τοῦ Α καὶ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Δ Ε ὑπεροχή, ὡς ἄρα Ε πρὸς Δ, οὕτως ἡ τῶν Δ Ε ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν, ὥστε οἱ Δ Ε Ζ τὴν ἕκτην ποιοῦσι μεσότητα. καὶ συνίσταται ὁμοίως ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς τοῖς ϛʹ δʹ αʹ, μονάδων ὑποτεθεισῶν τῶν Α Β Γ.

καʹ. Ἡ δὲ ὀγδόη μεσότης ἐκ τῆς ἀναλογίας οὕτως συνίσταται. ἐκκείσθωσαν τρεῖς ἀνάλογον ὅροι οἱ Α Β Γ, καὶ δύο μὲν τοῖς Α καὶ τρισὶ τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ἴσος ὁ Δ, ἑνὶ δὲ τῷ Α καὶ δύο τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ε, δύο δὲ τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι οἱ Δ Ε Ζ κατὰ τὴν ὀγδόην εἰσὶ μεσότητα.

`3.98`

Ἐπεὶ γὰρ διὰ τὴν ἀναλογίαν ὡς δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς συναμφότερον τὸν Α Β, οὕτως δύο οἱ Β μετὰ τοῦ Γ πρὸς συναμφότερον τὸν Β Γ, καὶ πάντες πρὸς πάντας, ὡς δύο οἱ Α καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ πρὸς ἕνα τὸν Α καὶ δύο τοὺς Β καὶ ἕνα τὸν Γ, τουτέστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, οὕτως δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς συναμφότερον τὸν Α Β, καὶ εἰσὶν δύο μὲν οἱ Α μετὰ τοῦ Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχουσιν δύο οἱ Α καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Δ Ζ ὑπεροχή, συναμφότερος δὲ ὁ Α Β ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχουσιν δύο οἱ Α καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Α καὶ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Δ Ε ὑπεροχή, καὶ ὡς ἄρα ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ἡ τῶν Δ Ζ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν Δ Ε ὑπεροχήν, ὅπερ τὴν ὀγδόην συνίστησι μεσότητα. καὶ λέγοιτʼ ἂν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς τοῖς ϛʹ δʹ γʹ, μονάδων νοουμένων τῶν Α Β Γ.

κβʹ. Ἡ ἐνάτη μεσότης διʼ ἀναλογίας οὕτως συνίσταται. τῶν Α Β Γ ἀνάλογον ὑποκειμένων ἑνὶ μὲν τῷ Α καὶ δύο τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ἴσος ἔστω ὁ Δ, ἑνὶ δὲ τῷ Α καὶ ἑνὶ τῷ Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ε, ἑνὶ δὲ τῷ Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι οἱ Δ Ε Ζ τὴν ἐνάτην περιέχουσιν μεσότητα.

`3.100`

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς συναμφότερος ὁ Α Β πρὸς τὸν Β, οὕτως συναμφότερος ὁ Β Γ πρὸς τὸν Γ, καὶ πάντες πρὸς πάντας, ὡς ὁ Α μετὰ δύο τῶν Β καὶ τοῦ Γ πρὸς συναμφότερον τὸν Β Γ, τουτέστιν ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως συναμφότερος ὁ Α Β πρὸς τὸν Β, ἀλλὰ συναμφότερος μὲν ὁ Α Β ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει εἷς ὁ Α καὶ δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Δ Ζ ὑπεροχή, ὁ δὲ Β ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει εἷς ὁ Α καὶ δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Α καὶ ἑνὸς τοῦ Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Δ Ε ὑπεροχή, καὶ ὡς ἄρα ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, ἡ τῶν Δ Ζ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν Δ Ε ὑπεροχήν, ὅπερ τῆς ἐνάτης μεσότητος ἴδιόν ἐστιν. καὶ περιέχουσιν αὐτὴν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ οἱ δʹ γʹ βʹ, μονάδων ὑποκειμένων ὁμοίως τῶν Α Β Γ.

κγʹ. Ἡ δεκάτη μεσότης ἐκ τῆς ἀναλογίας οὕτως συνίσταται. πάλιν τριῶν ἀνάλογον ὄντων τῶν Α Β Γ τοῖς μὲν Α Β Γ ἴσος ἔστω ὁ Δ, τοῖς δὲ Β Γ ὁ Ε, τῷ δὲ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι οἱ Δ Ε Ζ κατὰ τὴν δεκάτην εἰσὶ μεσότητα.

Ἐπεὶ γὰρ ὡς συναμφότερος ὁ Β Γ πρὸς τὸν Γ, τουτέστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως συναμφότερος ὁ Α Β πρὸς τὸν Β, καὶ ἔστιν συναμφότερος ὁ Α Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχουσιν οἱ Α Β Γ τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Δ Ζ ὑπεροχή, ὁ δὲ Β, ᾗ ὑπερέχουσιν οἱ Β Γ τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Ε Ζ ὑπεροχή, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ἡ τῶν Δ Ζ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν, ὃ τῇ δεκάτῃ συμβέβηκεν μεσότητι. καὶ ποιοῦσιν αὐτὴν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ οἱ γʹ βʹ αʹ, μονάδων ὑποτεθεισῶν τῶν Α Β Γ.

`3.102–3.104`

Ἔκκεινται δὲ τοῦ προχείρου χάριν καὶ οἱ ἀριθμοὶ ἑξῆς, καθʼ οὓς ἕκαστος ὅρος τῆς ἀναλογίας πολλαπλασιαζόμενος ποιεῖ μεσότητα ἑκάστην, καὶ παράκεινται οἱ ἐλάχιστοι περιέχοντες αὐτάς. οἷον ἐπὶ τοῦ τῆς ἕκτης μεσότητος πλινθίου ὁ μὲν πρῶτος στίχος ὁ αʹ γʹ βʹ σημαίνει τοῦθʼ ὅτι ὁ πρῶτος ὅρος τῆς ἀναλογίας ἅπαξ καὶ ὁ δεύτερος τρὶς καὶ ὁ τρίτος δὶς συντεθέντες τὸν πρῶτον τῆς μεσότητος ὅρον ἀποπληροῦσιν. ὁ δὲ δεύτερος τοῦ πλινθίου στίχος ὁ αʹ βʹ αʹ σημαίνει ὅτι ὁ πρῶτος τῆς ἀναλογίας ὅρος ἅπαξ καὶ ὁ δεύτερος δὶς καὶ ὁ τρίτος ἅπαξ τὸν δεύτερον ὅρον ἀποπληροῦσι τῆς μεσότητος. ὁ δὲ τρίτος τοῦ πλινθίου στίχος ἐπὶ μὲν τῶν ἄλλων μεσοτήτων ἁπλῶς, ὡς γέγραπται, συντίθεται, ἰδίως δʼ ἐπὶ ταύτης ὁ αʹ αʹ αʹ, καθὸ προείρηται, σημαίνει γίνεσθαι τὸν τρίτον τῆς μεσότητος ὅρον ἐκ τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὁ πρῶτος τῆς ἀναλογίας ὅρος ἅπαξ καὶ ὁ δεύτερος ἅπαξ συντεθέντες ὑπερέχουσιν ἅπαξ ληφθέντος τοῦ τρίτου. οἱ δʼ ἐκ τῆς τρίτης τοῦ πλινθίου ἀριθμοὶ οἱ ϛʹ δʹ αʹ τὴν μεσότητα περιέχουσιν αὐτήν. τὰ δʼ ὅμοια καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων πλινθίων νοείσθω.

κδʹ. Τὸ δὲ τρίτον τῶν προβλημάτων ἦν τόδε.

Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν Β γωνίαν, καὶ διήχθω τις ἡ ΑΔ, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΔΕ, καὶ δίχα τμηθείσης τῆς ΕΑ κατὰ τὸ Ζ καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΖΓ δεῖξαι συναμφοτέρας τὰς ΔΖΓ δύο πλευρὰς ἐντὸς τοῦ τριγώνου μείζονας τῶν ἐκτὸς συναμφοτέρων τῶν ΒΑΓ πλευρῶν.

Καὶ ἔστι δῆλον. ἐπεὶ γὰρ αἱ ΓΖΑ, τουτέστιν αἱ ΓΖΕ, τῆς ΓΑ μείζονές εἰσιν, ἴση δὲ ἡ ΔΕ τῇ ΑΒ, αἱ ΓΖΔ ἄρα δύο τῶν ΓΑΒ μείζονές εἰσιν.

`3.106`

Ἦν δὲ τὸ προκείμενον ὑγιέστερον προτεῖναι καὶ οὕτως. ὀρθογωνίου τυχόντος ὑποκειμένου τοῦ ΑΒΓ λαβεῖν τι σημεῖον ἐντὸς τοῦ τριγώνου, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ δύο εὐθείας ἀγαγεῖν, μίαν μὲν τέμνουσαν τὴν ΒΓ, τὴν δὲ λοιπὴν ἐπὶ τὸ Γ ἐρχομένην, ὥστε συναμφοτέρας μείζονας εἶναι τῶν ἐκτός, ἵνα δηλονότι διάξας τυχοῦσαν τὴν ΑΔ καὶ θεὶς τῇ ΑΒ ἴσην τὴν ΔΕ καὶ τεμὼν δίχα τὴν ΕΑ κατὰ τὸ Ζ ἀποδείξῃ τὸ Ζ σημεῖον ποιοῦν τὸ πρόβλημα. ἐπιζευχθείσης γὰρ τῆς ΓΖ δύο αἱ ΓΖΔ δύο τῶν ἐκτὸς ΓΑΒ μείζονές εἰσιν. ἀλλʼ ὅτι τοῦτο μέν, ὅπως ἄν τις ἐθέλοι προτείνειν, ἀπειραχῶς δείκνυται δῆλον, οὐκ ἄκαιρον δὲ καθολικώτερον περὶ τῶν τοιούτων προβλημάτων διαλαβεῖν ἀπὸ τῶν φερομένων παραδόξων Ἐρυκίνου προτείνοντας οὕτως.

κεʹ. Ἐν παντὶ τριγώνῳ, πλὴν τοῦ ἰσοπλεύρου καὶ ἰσοσκελοῦς τοῦ τὴν βάσιν ἐλάσσονα τῆς πλευρᾶς ἔχοντος, δυνατόν ἐστι συσταθῆναί τινας ἐπὶ τῆς βάσεως ἐντὸς δύο εὐθείας ἴσας ταῖς ἐκτὸς ὁμοῦ λαμβανομέναις.

`3.108`

Ἔστω πρότερον ἀνισοσκελὲς τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μείζονα ἔχον τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ, καὶ τετμήσθω συναμφότερος ἡ ΑΒΓ δίχα κατὰ τὸ Δ, καὶ εἰλήφθω μεταξὺ τῶν Δ Β τυχὸν σημεῖον τὸ Ε, καὶ τῇ ΑΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ, καὶ ἐπʼ αὐτῆς τυχὸν τὸ Η, καὶ τῇ ΕΑ παράλληλος ἡ ΗΘ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΗΓ ἐκβεβλήσθω. ἐπεὶ μείζονες αἱ μὲν ΕΒΖ τῆς ΕΖ αἱ δὲ ΓΖΗ τῆς ΓΗ, συναμφότερος ἄρα ἡ ΕΒΓ μετὰ τῆς ΗΖ μείζονές εἰσι συναμφοτέρων τῶν ΕΖ ΗΓ. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΖΗ· μείζων ἄρα καὶ συναμφότερος ἡ ΕΒΓ συναμφοτέρου τῆς ΕΗΓ, καὶ μᾶλλον τῆς ΗΓ. ἔστω συναμφοτέρῳ τῇ ΕΒΓ ἴση ἡ ΗΛ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Η διὰ τοῦ Λ γεγράφθω κύκλου περιφέρεια ἡ ΛΚΟ· τέμνει δὴ ἑκατέραν τῶν ΓΘ ΘΗ, ἐπεὶ ἡ ΑΕ, τουτέστιν ἡ ΘΗ, μείζων ἐστι συναμφοτέρου τῆς ΕΒΓ, τουτέστιν τῆς ΗΛ. ἐπεζεύχθω ἡ ΚΗ· λέγω δὴ ὅτι συναμφότερος ἡ ΘΗΚ ἴση ἐστὶν συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒΓ.

Ἔστιν δὲ φανερόν· ἡ μὲν γὰρ ΗΘ τῇ ΑΕ, ἡ δὲ ΚΗ τῇ ΗΛ, τουτέστιν συναμφοτέρῳ τῇ ΕΒΓ ἴση, καὶ γίνεται ἀπειραχῶς.

`3.110`

κϛʹ. Ἔστω δὴ νῦν ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τὴν μὲν ΑΒ ἴσην ἔχον τῇ ΒΓ, τὴν δὲ ΑΓ μείζονα ἑκατέρας αὐτῶν,καὶ περὶ κέντρον τὸ Α διὰ τοῦ Β γεγράφθω κύκλου περιφέρεια ἡ ΒΕΔ, καὶ διήχθω τις ἡ ΑΕΖ τέμνουσα τὴν ΒΓ ἐκτὸς τῆς περιφερείας, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΕΖ τυχὸν σημεῖον τὸ Η, καὶ τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ ΗΘ, καὶ ἐπʼ αὐτῆς τυχὸν τὸ Κ, καὶ τῇ ΑΖ παράλληλος ἡ ΚΛ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΓ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Μ, καὶ τῇ ΕΗ ἴση ἀφῃρήσθω ἡ ΒΝ· ἔσται οὖν ἡ ΑΗ, τουτέστιν ἡ ΚΛ, ἴση συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒΝ, καὶ λοιπὴ ἡ ΝΓ ἐλάσσων τῆς ΚΛ. καὶ ἐπεὶ αἱ μὲν ΘΖΗ τῆς ΘΗ μείζονές εἰσιν, αἱ δὲ ΓΘΚ τῆς ΓΚ, συναμφότεροι ἄρα αἱ ΓΖΗ μετὰ τῆς ΘΚ μείζονές εἰσιν συναμφοτέρων τῶν ΓΚ ΗΘ. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΘΚ· λοιπὴ ἄρα συναμφότερος ἡ ΓΖΗ μείζων συναμφοτέρων τῶν ΓΚΗ. κοινὴ προσκείσθω ἡ ΑΗ· συναμφότεροι ἄρα αἱ ΑΖΓ συναμφοτέρων τῶν ΑΗ ΗΚ ΚΓ μείζονές εἰσιν. τῶν δὲ ΑΖΓ μείζονές εἰσιν αἱ ΑΒΓ· καὶ αἱ ΑΒ ΒΓ ἄρα τῶν ΑΗ ΗΚ ΚΓ μείζονες. ὧν συναμφότερος ἡ ΑΒΝ τῇ ΑΗ ἐστὶν ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΝΓ μείζων τῶν ΗΚΓ συναμφοτέρων καὶ μᾶλλον τῆς ΚΓ. κείσθω οὖν τῇ ΝΓ ἴση ἡ ΚΜ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Κ διὰ τοῦ Μ γραφεῖσα κύκλου περιφέρεια τεμνέτω τὴν ΓΛ κατὰ τὸ Ξ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΞ· λέγω δὴ ὅτι συναμφότερος ἡ ΛΚΞ ἴση ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒΓ.

Ἔστι δὲ φανερόν. ἡ μὲν γὰρ ΚΛ ἴση ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒΝ, ἡ δὲ ΚΞ τῇ ΚΜ, τουτέστιν τῇ ΝΓ, καὶ γίνεται ἀπειραχῶς.

κζʹ. λέγω δʼ ὅτι, ἐὰν ᾖ ἰσόπλευρον τὸ τρίγωνον ἢ ἰσοσκελὲς τὴν βάσιν ἐλάσσονα τῆς πλευρᾶς ἔχον, ἀδύνατον ἔσται συσταθῆναι τὰς ἐντὸς ἴσας ταῖς ἐκτός, ἀλλʼ αἱ ἐντὸς ἐλάσσονες ἔσονται.

Ἔστω γὰρ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἰσόπλευρον ἢ ἰσοσκελὲς ἔχον τὴν ΑΓ βάσιν ἐλάσσονα ἑκατέρας τῶν ΑΒ ΒΓ, καὶ συνεστάτωσάν τινες ἐντὸς αἱ ΔΕ ΕΗ· λέγω ὅτι ἐλάσσονές εἰσιν τῶν ΑΒ ΒΓ.

`3.112`

Ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΕ ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΑ, μείζων ἡ ὑπὸ ΒΓΑ τῆς ὑπὸ ΖΑΓ. τῆς δʼ ὑπὸ ΒΓΑ μείζων ἡ ὑπὸ ΖΔΑ· πολλῷ ἄρα μείζων ἡ ὑπὸ ΖΔΑ τῆς ὑπὸ ΖΑΔ, ὥστε καὶ ἡ ΑΖ μείζων τῆς ΖΔ. ἐπεὶ μείζων μὲν ἡ ὑπὸ ΑΖΒ τῆς ὑπὸ ΒΓΑ, ἡ δʼ ὑπὸ ΒΓΑ διὰ τὴν ὑπόθεσιν οὐκ ἐλάσσων τῆς ὑπὸ ΑΒΓ, ἔσται μείζων ἡ ὑπὸ ΑΖΒ τῆς ὑπὸ ΑΒΖ, ὥστε καὶ ἡ ΑΒ μείζων τῆς ΑΖ. ἡ δὲ ΑΖ τῆς ΖΔ ἐδείχθη μείζων· καὶ ἡ ΑΒ ἄρα τῆς ΔΖ καὶ πολλῷ μᾶλλον τῆς ΔΕ μείζων. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται καὶ ἡ ΒΓ μείζων τῆς ΕΗ· ἐλάσσονες ἄρα εἰσὶν αἱ ΗΕΔ τῶν ΑΒΓ.

κηʹ. Ἐφʼ ὧν μέντοι τριγώνων αἱ ἐντὸς ἴσαι συνίστανται ταῖς ἐκτός, ἐπʼ ἐκείνων καὶ μείζους τῶν ἐκτὸς ἐντός τινες εἶναι δύνανται συναμφότεραι λαμβανόμεναι. Ἔστωσαν γὰρ ἐν τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ αἱ ΔΕΖ ἴσαι ταῖς ΑΒΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω μία τῶν ἐντὸς ἡ ΔΕ ἐπὶ τὸ Η, καὶ μεταξὺ τῶν Ε Η εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΖ· ἔσονται δὴ αἱ ΔΚΖ μείζονες τῶν ΔΕΖ, ὥστε καὶ τῶν ΑΒΓ. δῆλον δʼ ὅτι, κἂν ἐντὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ Κ σημεῖον οὕτως ληφθῇ ὥστε τὰς ΔΕΖ περιέχεσθαι ὑπὸ τῶν ἀπʼ αὐτοῦ ἐπὶ τὰ Δ Ζ ἐπιζευγνυμένων, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, καὶ οὕτως ἔσται τὸ αὐτό, καὶ ἑκατέρως ἀπειραχῶς ἔσται τὸ προκείμενον.

κθʹ. Καὶ τούτου παραδόξου δοκοῦντος εἶναι τοῖς ἀγεωμετρήτοις ἔτι παραδοξότερον φανεῖται τὸ μὴ μόνον συναμφότερον συναμφοτέρῳ, ἀλλὰ καὶ ἑκατέραν τῶν συνισταμένων ἐντὸς ἑκατέρᾳ τῶν ἐκτὸς καὶ ἴσην εἶναι δύνασθαι καὶ μείζονα κατὰ μίαν. δείκνυται δʼ οὕτως.

`3.114`

Ὑποκείσθω τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ μὴ ἐλάσσονα ἔχον, τὴν δὲ ΑΓ ἑκατέρας αὐτῶν μείζονα, καὶ περὶ κέντρον τὸ Α διὰ τοῦ Β κύκλου περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΒΕΖ, καὶ εἰλήφθω μεταξὺ αὐτῆς καὶ τῆς ΒΓ εὐθείας τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ ΔΓ. ἐπεὶ ἡ μὲν ΑΔ μείζων τῆς ΑΒ καὶ διὰ τὴν ὑπόθεσιν τῆς ΒΓ, ἡ δὲ ΔΓ ἐλάσσων τῆς ΒΓ, ἐὰν ἐκβαλόντες τὴν ΔΓ τῇ ΒΓ ἴσην θῶμεν ἑκατέραν τῶν ΔΘ ΔΚ, ὁ περὶ κέντρον τὸ Δ διὰ τῶν Θ Κ γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὴν ΑΖ. τεμνέτω κατὰ τὸ Η, καὶ μεταξὺ τῶν Α Η εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον τὸ Λ· δῆλον δὴ ὅτι ἐπιζευχθείσης τῆς ΔΛ ἑκατέρα τῶν ΑΔ ΔΛ ἑκατέρας τῶν ΑΒ ΒΓ ἔσται μείζων.

λʹ. Ἂν δὲ θέλωμεν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ ἴσην εἶναι, δεήσει τὴν μὲν ΑΓ τῆς ΑΒ μείζονα ὑποθέσθαι, τὴν δὲ ΒΓ τῆς ΒΑ ἐλάσσονα.

`3.116`

Ἐχέτω γὰρ οὕτως, καὶ ὁμοίως ἡ ΒΕΖ περιφέρεια γεγράφθω, καὶ τὸ Δ σημεῖον εἰλήφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΑ ΔΓ, καὶ τῆς ΔΓ ἐκβληθείσης τῇ ΒΓ ἴση κείσθω ἡ ΔΚ, καὶ ἡ ΚΗΘ περιφέρεια κατὰ τὸ αὐτὸ γραφεῖσα τεμνέτω τὴν ΑΔ κατὰ τὸ Θ, τὴν δὲ ΑΖ κατὰ τὸ Η. ἐπεὶ δὲ μείζων ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ, ἔσται καὶ τῆς ΔΘ μείζων. κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ΔΛ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Δ διὰ τοῦ Λ περιφέρεια γραφεῖσα τεμνέτω τὴν ΑΗ κατὰ τὸ Μ. φανερὸν δὴ ὅτι ἐπιζευχθεῖσα ἑκατέρα τῶν ΔΜ ΔΗ ἴση ἔσται ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ ΒΓ.

λαʹ. Μᾶλλον δʼ ἂν ἐπιταθείη τὸ παράδοξον, εἰ μὴ μόνον ἴσαι ἢ μείζους ἁπλῶς εἶεν αἱ ἐπὶ τῆς βάσεως ἐντὸς τοῦ τριγώνου συνιστάμεναι τῶν περιεχουσῶν δύο πλευρῶν, ἀλλὰ καὶ λόγον ἔχοιεν πρὸς αὐτὰς τὸν ἐπιταχθέντα.

Κατεσκευάσθωσαν γὰρ αἱ ΕΖΚ ἴσαι ταῖς ΑΒΓ — τοῦτο γὰρ ὡς δυνατόν ἐστι γενέσθαι εἴρηται ἐν ἀρχῇ —, καὶ τὸ μὲν Π δίχα τεμνέτω συναμφότερον τὴν ΑΒΓ, ἡ δὲ ΘΖΗ παράλληλος ἤχθω τῇ ΑΓ, καὶ τῷ δοθέντι λόγῳ ὁ αὐτὸς ἔστω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΑΛ, καὶ τῇ ΑΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΜΝ, καὶ ἐπὶ τῆς ΛΜΝ σημεῖον εἰλήφθω τὸ Μ, ὥστε τὰς διʼ αὐτοῦ ταῖς ΒΑ ΒΓ παραλλήλους ἀγομένας τὰς ΜΟ ΜΔ περιλαμβάνειν τὸ Ζ. ἔσται δὴ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΑΒΓ, τουτέστι συναμφοτέρου τῆς ΕΖΚ, πρὸς συναμφότερον τὴν ΑΛ ΝΓ, τουτέστι πρὸς συναμφότερον τὴν ΟΜΔ, δοθεὶς λόγος· ἐν ἄρα τῷ ΟΜΔ τριγώνῳ ἐντὸς οὖσαι αἱ ΕΖΚ πρὸς τὰς ΟΜΔ περιεχούσας λόγον ἔχουσι τὸν ἐπιταχθέντα.

`3.118`

Ἐπεὶ δὲ δεῖ τὴν ΛΜΝ ἀνώτερον πίπτειν τῆς ΗΘ, δεῖ τὴν ΒΑ τῆς ΑΛ ἐλάσσονα εἶναι ἢ διπλασίαν ἐπεὶ καὶτῆς ΑΠ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλασία, ὥστε καὶ τὸν δοθέντα λόγον δεήσει ἐλάσσονα εἶναι τοῦ διπλασίου. δῆλον δʼ ὅτι, ὅσῳ ἂν ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΒΓ πολλαπλασία γίνηται, ἡ δὲ Β γωνία ἀμβλύνηται, μᾶλλον αἱ ΕΖΚ τῷ διπλασίῳ συνεγγιοῦσι λόγῳ, καὶ μᾶλλον, εἰ μὴ ἴσαι εἶεν αἱ ΕΖΚ ταῖς ΑΒΓ ἀλλὰ μείζους αὐτῶν, καὶ φανερόν, εἰ καθέτου ἀχθείσης τῆς ΜΞ πρὸς τὰς ΟΜΞ συγκρίνονται. δυνατὸν δὲ καὶ καθʼ ἑτέρας ἐφόδους τὸ αὐτό, ἀλλὰ πρὸς ἔνδειξιν ἱκανὸς ὁ τρόπος οὗτος.

λβʹ. Οὐ μόνον δʼ ἐπὶ τοῦ τριγώνου τῆς βάσεως αἱ εὐθεῖαι συνίστανται συναμφότεραι μείζους τῶν ἐκτὸς αἱ ἐντός, ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τετραπλεύρου δύο τῶν τριῶν καὶ τρεῖς τῶν τριῶν, καὶ ἐπὶ τῶν ἔτι πολυπλευροτέρων ὁμοίως ὁσαιδὴ αἱ ἐντὸς ὁσωνοῦν τῶν ἐκτὸς μείζους εἶναι δύνανται.

`3.120`

Ἂν γὰρ ᾖ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἐν ᾧ συνίστανται αἱ ΔΕΖ μείζονες τῶν ΑΒΓ καὶ διαχθῇ ἡ ΠΘ τυχοῦσα ὑπὲρ τὸ Ε, μείζονες ἔσονται αἱ ΔΕΖ τῶν ΑΠ ΠΘ ΘΓ ἐν τῷ ΑΠΘΓτετραπλεύρῳ. κἂν τυχοῦσα κλασθῇ ἡ ΔΚΕ, αἱ τρεῖς ὁμοῦ αἱ ΔΚ ΚΕ ΕΖ τῶν τριῶν τῶν ΑΠ ΠΘ ΘΓ μείζους ἔσονται. κἂν πάλιν κλασθῇ ἡ ΠΗΘ, μείζους ἔσονται αἱ ΔΕΖ καὶ ἔτι αἱ ΔΚ ΚΕ ΕΖ τῶν τεττάρων τῶν ΑΠ ΠΗ ΗΘ ΘΓ ἐν πενταπλεύρῳ. κἂν ἔτι κλασθῇ ἡ ΕΛΖ, μείζους ἔσονται τέτταρες αἱ ΔΚ ΚΕ ΕΛ ΛΖ τῶν τεττάρων τῶν ΑΠ ΠΗ ΗΘ ΘΓ. κἂν ἡ ΠΗΨΘ κλασθῇ, κἂν ἔτι πρὸς πλείω σημεῖα τῶν Η Ψ καὶ τῶν Κ Λ ἡ κλάσις γίνηται, τὸ αὐτὸ συμβήσεται. καὶ ἐπὶ τὸ ἄπειρον, ὅσας ἄν τις ἐπιτάξῃ τὰς ἐντὸς ὁσωνδὴ τῶν ἐκτὸς εἶναι μείζους, τῷ αὐτῷ τρόπῳ κατασκευασθήσεται.

λγʹ. Δυνατὸν δὲ καὶ τὰς ἐντὸς ὁσαισδὴ ταῖς ἐκτὸς περιλαμβανούσαις πάσαις ὁμοῦ πάσας ἴσας εἶναι.

`3.122`

Κατασκευασθεισῶν γάρ, ὡς προδέδεικται, τῶν ΗΘ ΘΚ ΚΛ ΛΜ μειζόνων ὁσωνδὴ τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΔΕ ΕΖ, ἂν κλασθῇ ἡ ΒΝΞΕ τῷ ἴσῳ μείζων τῆς ΒΓΔΕ, γεγονὸς ἔσται τὸ προκείμενον.

λδʹ. Ῥᾴδιον δὲ ἀπὸ δύο σημείων τῶν Β Ε κλάσαι τὴν ΒΝΞΕ καθόλου τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην τῶν κλασμάτων τὸ πλῆθος δοθὲν ἔχουσαν. Ἔστω γὰρ τὰ μὲν δοθέντα σημεῖα τὰ Α Β, ἡ δὲ δοθεῖσα τῷ μεγέθει εὐθεῖα ΑΓ μείζων τῆς ΑΒ, καὶ διῃρήσθω ἡ ΒΓ εἰς τυχούσας εὐθείας τὰς ΒΔ ΔΕ ΕΓ μιᾷ ἐλάσσονας τοῦ τῶν κλασμάτων πλήθους, καὶ ἡ μὲν ΑΘΒ κεκλάσθω τῆς ΑΒ ὑπερέχουσα τῇ ΒΔ — ῥᾴδιον γὰρ ποιῆσαι —, ἡ δὲ ΑΗΘ κεκλάσθω τῆς ΑΘ ὑπερέχουσα τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ΑΖΗ κεκλάσθω τῆς ΑΗ ὑπερέχουσα τῇ ΕΓ· ἔσται δὴ τὸ πλῆθος τῶν ΑΖ ΖΗ ΗΘ ΘΒ ἴσον τῷ δοθέντι, καὶ ἡ ἐκ πασῶν συγκειμένη εὐθεῖα ἴση τῇ ΑΓ. εὔκολον γὰρ ἐκ τῆς κατασκευῆς τοῦτο συνιδεῖν καὶ ὅτι ἀπειραχῶς γίνεται.

λεʹ. Δυνατὸν δὲ καὶ παραλληλόγραμμον εὑρεῖν, οὗ ἐπὶ τῆς βάσεως ἐντὸς εὐθεῖαι δύο συνίστανται ταῖς περιεχούσαις τρισὶν ἴσαι καὶ μείζους αὐτῶν προδιδαχθέντος τοῦδε.

`3.124`

Ἔστω ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ δοθείσῃ μείζων ἢ ἐν λόγῳ· ἀγαγεῖν παράλληλον τῇ ΑΓ τὴν ΔΕ καὶ ποιεῖν ἐν τῷ λόγῳ τὴν ΑΔ πρὸς συναμφότερον τὴν ΔΕ ΒΓ.

Γεγονέτω. ἐπεὶ ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ δοθείσῃ μείζων ἐστὶν ἢ ἐν λόγῳ, ἔστω λόγος τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ μετὰ δοθείσης· ἔστω τῆς Ζ. ὁ δʼ αὐτός ἐστιν καὶ τῆς ΑΔ πρὸς τὰς ΔΕ ΒΓ· καὶ λοιπῆς ἄρα τῆς ΒΔ λόγος πρὸς τὴν τῶν Ζ ΔΕ ὑπεροχὴν ὁ αὐτός ἐστίν. καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ Ζ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΔΕ  <span class="gap">…</span> θέσει ἄρα  <span class="gap">…</span> ὥστε καί, ἂν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ μείζων ᾖ ἢ διπλῆ, δυνατὸν ἔσται ἀγαγεῖν παράλληλον τὴν ΔΕ καὶ ποιεῖν τὴν ΑΔ διπλῆν συναμφοτέρου τῆς ΔΕ ΒΓ.

`3.126`

λϛʹ. Ἐκκείσθω δὴ τοιοῦτον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, ὥστε τὴν μὲν ΑΒ τῆς ΒΓ μείζονα εἶναι ἢ διπλασίαν, τὴν δὲ ΑΓ τῆς ΓΒ διπλασίαν, καὶ ἤχθω παράλληλος ἡ ΔΕ ποιοῦσα τὴν ΑΔ διπλασίαν συναμφοτέρου τῆς ΔΕ ΒΓ, καὶ τῆς ΔΕ διπλασία κείσθω ἐπʼ εὐθείας ἡ ΑΖ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΓΗ παραλληλόγραμμον  <span class="gap">…</span>

Ἐπεὶ γὰρ ἡ μὲν ΖΑ διπλασία ἐστὶν τῆς ΔΕ, ἡ δὲ ΑΓ τῆς ΓΒ, ἔσται ὅλη ἡ ΖΓ, τουτέστιν ἡ ΗΒ, διπλασίασυναμφοτέρου τῆς ΔΕ ΒΓ· ἴση ἄρα ἐστὶν τῇ ΑΔ. ἐπειδὴ ἡ ΑΔ τῆς ΒΓ μείζων ἢ διπλασία, κατήχθω ἡ ΔΘ διπλασία τῆς ΒΓ· ἴση ἄρα ἡ ΔΘ ταῖς ΗΖ ΒΓ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΗΒ ἴση· αἱ ΑΔΘ ἄρα ἴσαι ταῖς ΖΗ ΗΒ ΒΓ, καὶ ἔστιν παραλληλόγραμμον τὸ ΖΗΒΓ.

Δῆλον δʼ ὅτι καὶ μείζους αἱ ΑΔΘ τῶν ΖΗ ΗΒ ΒΓ δύνανται εἶναι.

Καὶ ληφθέντος σημείου τινὸς τοῦ Κ μᾶλλον αἱ ΑΚ ΚΔ ΔΘ μείζους τῶν ἐκτός.

Καὶ εἰ, ὅσῳ μείζους εἰσίν, κλασθείη ἡ ΗΛΒ τῷ αὐτῷ μείζων τῆς ΗΒ, ἔσονται καὶ αἱ ΑΚ ΚΔ ΔΘ ἴσαι ταῖς ΖΗ ΗΛ ΛΒ ΒΓ ἐν πενταπλεύρῳ. καὶ ἐπὶ τῶν πολυπλευροτέρων ὁ αὐτὸς τρόπος, ὥσπερ καὶ ἐπὶ τῶν ἀπὸ τυχόντος τετραπλεύρου συνισταμένων προδέδεικται.

λζʹ. Ἕπεται τοῖς προειρημένοις καὶ τὰ τοιαῦτα. δοθέντος παραλληλογράμμου χωρίου δυνατόν ἐστιν εὑρεῖν ἕτερον παραλληλόγραμμον, ὥστε αὐτὸ μὲν τὸ ἐπιταχθὲν μέρος εἶναι τοῦ δοθέντος, ἑκάστην δὲ πλευρὰν ἑκάστης πολλαπλασίαν κατὰ τὸν δοθέντα ἀριθμόν.

`3.128`

Ἔστω γὰρ παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓ, καὶ εἰλήφθω ἑκατέρα τῶν ΕΔ ΔΖ πολλαπλασία ἑκατέρας τῶν ΑΒ ΒΓ κατὰ τοὺς δοθέντας ἀριθμούς, καὶ ἤχθω τῇ ΔΕ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΚ, καὶ ἀπειλήφθω τὸ ὑπὸ ΔΕΚ τὸ ἐπιταχθὲνμέρος τοῦ ΑΓ παραλληλογράμμου, καὶ διὰ τοῦ Κ τῇ ΔΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΘΚΛ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Δ περιφέρεια γραφεῖσα ἡ ΖΗΘ τεμνέτω τὴν ΘΚΛ κατὰ τὸ Θ καὶ ἐπιζευχθείσῃ τῇ ΔΘ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΛ. δῆλον δʼ ἐκ τῆς κατασκευῆς ὅτι αὐτὸ μὲν τὸ ΔΛ παραλληλόγραμμον τὸ δοθὲν μέρος ἐστὶν τοῦ ΑΓ ὀρθογωνίου, ἑκάστη δὲ αὐτοῦ πλευρὰ ἑκάστης πολλαπλασία κατὰ τοὺς προτεθέντας ἀριθμούς.

ληʹ. Πάλιν τριγώνου δοθέντος ἔλασσον εὑρίσκεται τρίγωνον ἑκάστην ἔχον πλευρὰν ἑκάστης μείζονα.

`3.130`

Ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ βάσις ἐφʼ ἑκάτερα μέρη, καὶ κείσθω τῇ μὲν ΑΒ ἴση ἡ ΒΔ, τῇ δὲ ΑΓ ἴση ἡ ΓΕ, καὶ περὶ τὴν ΔΕ εὐθεῖαν τῷ ΑΒΓ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβεβλήσθω τὸ ΔΗ, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΒΓ τυχὸν τὸ Θ. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΖ ΘΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΘ τῆς ΒΑ. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ ἡ ΕΘ τῆς ΑΓ μείζων. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΖΗ τῆς ΒΓ μείζων· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΘΖ ΖΗ ΗΘ κατὰ μίαν μείζονές εἰσιν τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΑ. ἐπεὶ δὲ τὸ ΔΗ παραλληλόγραμμον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΖΗΘ τριγώνου, ἀλλὰ τὸ ΔΗ παραλληλόγραμμον ἴσον ἐστὶν τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ, μεῖζον ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τὸ τὰς ἐλάσσονας ἔχον πλευρὰς τοῦ ΖΗΘ.

λθʹ. Τοῦτο μὲν ἐν τοῖς παραδόξοις φέρεται, γένοιτο δʼ ἂν παραδοξότερον, εἰ τὸ μὲν τρίγωνον αὐτὸ εὑρεθείη μέρος τοῦ δοθέντος τριγώνου, ἑκάστη δὲ πλευρὰ ἑκάστης πολλαπλασία κατὰ τοὺς δοθέντας ἀριθμοὺς ἢ καὶ μείζων ἢ πολλαπλασία.

Ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ συνεστάτω τρίγωνον τὸ ΕΖΗ ἑκάστην πλευρὰν ἔχον ἑκάστης τῶν τοῦ ΑΒΓ πλευρῶν πολλαπλασίαν κατὰ τοὺς δοθέντας ἀριθμοὺς, καὶ περὶ κέντρον τὸ Η διὰ μὲν τοῦ Ε περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΕΘΚ, διὰ δὲ τοῦ Ζ περιφέρεια ἡ ΖΛΜ, καὶ διὰ τοῦ Η τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΗΜ, καὶ κάθετος ἤχθω ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν ΕΖ ἡ ΗΝ, καὶ ἔστω τὸ ἐπιταχθὲν μέρος τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ὑπὸ ΚΜ ΗΠ, καὶ τῇ ΚΜ παράλληλος ἤχθω ἡ ΘΠΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΘ ΗΛ. φανερὸν οὖν ἐκ τῆς κατασκευῆς ὅτι τὸ ΘΗΛ τρίγωνον ἔλασσόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ληφθέντος μέρους τοῦ ΑΒΓ — ἐλάσσων γὰρ ἡ ΘΛ τῆς ΚΜ —, ἑκάστη δὲ αὐτοῦ πλευρὰ ἑκάστης τῶν τοῦ ΑΒΓ ἢ πολλαπλασία ἢ καὶ μείζων ἢ πολλαπλασία κατὰ τοὺς δοθέντας ἀριθμούς — μείζων γὰρ ἡ ΘΛ τῆς ΕΖ.

`3.132`

μʹ. Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν ἐγγράψαι τὰ πέντε πολύεδρα, προγράφεται δὲ τάδε.

Ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ, οὗ διάμετρος ἡ ΑΓ καὶ κέντρον τὸ Δ, καὶ προκείσθω εἰς τὸν κύκλον ἐμβαλεῖν εὐθεῖαν παράλληλον μὲν τῇ ΑΓ διαμέτρῳ, ἴσην δὲ τῇ δοθείσῃ μὴ μείζονι οὔσῃ τῆς ΑΓ διαμέτρου.

Κείσθω τῇ ἡμισείᾳ τῆς δοθείσης ἴση ἡ ΕΔ, καὶ τῇ ΑΓ διαμέτρῳ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΒ, τῇ δὲ ΑΓ παράλληλος ἡ ΒΖ, ἥτις ἴση ἔσται τῇ δοθείσῃ· διπλῆ γάρ ἐστιν τῆς ΕΔ — ἐπεὶ καὶ ἴσῃ τῇ ΕΗ, παραλλήλου ἀχθείσης τῆς ΖΗ τῇ ΒΕ.

μαʹ. Ἔστωσαν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΚΔ ΒΕΖΓ, ἡ δὲ διὰ τῶν Β Γ ἀγομένη εὐθεῖα διάμετρος ἔστω τοῦ κύκλου, καὶ προκείσθω ἀγαγεῖν διάμετρον τοῦ ΑΚΔ κύκλου παράλληλον τῇ ἐπὶ τὰ Β Γ διαμέτρῳ.

`3.134`

Ἐκβεβλήσθω διὰ τῶν Β Γ σημείων ἐπίπεδον ὀρθὸν πρὸς τὸν κύκλον, καὶ ποιήσει τομὴν ΑΒΓΔ μέγιστον κύκλον· ὁ ΑΒΓΔ ἄρα ἥξει καὶ διὰ τῶν πόλων αὐτῶν καὶ δίχα τεμεῖ καὶ τὸν ΑΚΔ. ἡ ἄρα ἐπὶ τὰ Α Δ ἐπιζευγνυμένη διάμετρος παράλληλός ἐστι τῇ ἐπὶ τὰ Β Γ. ἔστι δὲ φανερόν· τετμήσθω γὰρ ἡ ΒΓ περιφέρεια δίχα τῷ Θ σημείῳ· ἐπεὶ οὖν ἡ ΘΑ τῇ ΘΔ ἴση ἐστὶν — ἐκ πόλου γάρ —, ὧν ἡ ΘΒ τῇ ΘΓ, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΒ λοιπῇ τῇ ΓΔ ἐστὶν ἴση· παράλληλος ἄρα ἡ ἐπὶ τὰ Α Δ διάμετρος τῇ ἐπὶ τὰ Β Γ διαμέτρῳ.

Ἔστω δὲ ἡ ἐπὶ τὰ Ε Ζ μὴ διάμετρος καὶ προκείσθω διάμετρον ἀγαγεῖν τοῦ ΑΚΔ κύκλου παράλληλον τῇ ἐπὶ τὰ Ε Ζ.

Κείσθω τῇ ἡμισείᾳ τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὑπερέχει ἡμικύκλιον τῆς ΕΖ περιφερείας ἑκατέρα τῶν ΕΒ ΖΓ ἴση, καὶ διὰ τῶν Β Γ γεγράφθω ὁμοίως μέγιστος ὁ ΑΒΓΔ· ἔσται ἄρα ἡ ἐπὶ τὰ Α Δ διάμετρος τοῦ ΑΚΔ κύκλου παράλληλος τῇ ἐπὶ τὰ Ε Ζ, ὅτι καὶ αὐτὴ παράλληλος τῇ ἐπὶ τὰ Β Γ.

μβʹ. Ἔστωσαν ἐν παραλλήλοις ἐπιπέδοις παράλληλοι εὐθεῖαι αἱ ΑΕ ΓΖ, καὶ ἐν τοῖς αὐτοῖς ἐπιπέδοις διήχθωσαν αἱ ΑΒ ΓΔ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ διὰ τῶν ΑΕ ΓΖ ἐκβαλλομένου ἐπιπέδου ἴσας γωνίας ποιοῦσαι τὰς ὑπὸ ΒΑΕ ΔΓΖ· ὅτι καὶ αἱ ΑΒ ΓΔ παράλληλοί εἰσι, τουτέστιν ὅτι ἐκβληθὲν τὸ διὰ τῶν Β Α Γ σημείων ἐπίπεδον ποιεῖ ἐν τῷ διὰ τῶν Δ Γ Ζ ἐπιπέδῳ τὴν ΓΔ.

Εἰ γὰρ ἑτέραν ποιήσει ἐκεῖ, περιέξει μετὰ τῆς ΓΖ γωνίαν ἴσην τῇ ὑπὸ ΒΑΕ, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· ἴση γὰρ ὑπόκειται ἡ ὑπὸ ΒΑΕ τῇ ὑπὸ ΔΓΖ.

μγʹ. Ἐκ τούτου φανερὸν ὅτι, ἐὰν ἐν παραλλήλοις ἐπιπέδοις κύκλοι ὦσιν, καὶ ἐν αὐτοῖς παράλληλοι εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΓΔ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῶν Ε Ζ κέντρων ὅμοια τμήματα κύκλων ἀπολαμβάνουσαι, παράλληλος ἔσται ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΔΖ.

`3.136`

Ἴσαι γὰρ γίνονται διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν τμημάτων αἵ τε Α Γ καὶ αἱ Β Δ γωνίαι, καὶ παράλληλοι αἱ ΑΒ ΓΔ ἐν παραλλήλοις ἐπιπέδοις.

μδʹ. Ἂν δὲ αἱ τὰ ὅμοια τῶν τμημάτων κύκλων ἀπολαμβάνουσαι παράλληλοι μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων ὦσιν, αἱ ἀπὸ τῶν κέντρων ἐπὶ τὰ μὴ ὁμοίως κείμενα πέρατα τῶν παραλλήλων ἐπιζευγνύμεναι παράλληλοι ἔσονται.

Δείκνυται γὰρ καὶ ὁμοίως ὡς ἐπὶ τῆς προκειμένης καταγραφῆς.

μεʹ. Ἔστωσαν ἐν σφαίρᾳ ἴσοι καὶ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒ ΓΔ, καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων ἴσαι καὶ παράλληλοι αἱ ΑΒ ΓΔ· ὅτι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰ πέρατα αὐτῶν τὰ Α Γ, Β Δ ἴσαι τέ εἰσιν καὶ παράλληλοι καὶ ὀρθαὶ πρὸς τὰ τῶν κύκλων ἐπίπεδα. Ἔστι δὲ φανερὸν ἐκ τῶν προδεδειγμένων· ἐπιζευχθεῖσαι γὰρ αἱ ΑΕ ΓΖ παράλληλοι ἔσονται. καὶ εἰσὶν ἴσαι ἀλλήλαις· ὥστε καὶ αἱ ΑΓ ΕΖ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν. ὁμοίως καὶ αἱ ΕΖ ΒΔ. καὶ ἔστιν ἡ ΕΖ ὀρθὴ πρὸς τὰ τῶν κύκλων ἐπίπεδα — περὶ γὰρ τοὺς αὐτοὺς πόλους εἰσίν, καὶ ἡ διὰ τῶν πόλων αὐτῶν ἀγομένη ὀρθή ἐστιν πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν καὶ διὰ τῶν κέντρων αὐτῶν τε καὶ τῆς σφαίρας ἐλεύσεται, ὡς ἔστιν ἐν σφαιρικοῖς· καὶ αἱ ΑΓ ΒΔ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοι καὶ ὀρθαί εἰσι πρὸς τοὺς κύκλους.

`3.138`

μϛʹ. Μὴ ἔστωσαν δὲ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων αἱ ἴσαι καὶ παράλληλοι αἱ ΑΒ ΓΔ· ὅτι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰ πέρατα αὐτῶν τὰ Α Δ, Β Γ ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις τε καὶ τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας.

Τεμνέτωσαν γὰρ ἀλλήλας κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἐπὶ τὰ κέντρα αἵ τε ΑΕ ΕΗ καὶ αἱ ΔΖ ΖΗ. ἐπεὶ ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς αἱ ΑΔ ΒΓ, αἱ δʹ ἄρα αἱ ΑΗ ΗΔ ΒΗ ΗΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· τοῦτο γὰρ φανερόν ἐστιν· ὥστε καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΒΓ ἴση ἐστίν. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΔΖ ἐστὶν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ἴση μὲν ἡ ὑπὸ ΕΑΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΔΖ ἐναλλάξ, ἡ δὲ ΑΗ βάσις τῇ ΗΔ· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΕ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΔΗΖ. κοινῆς προστεθείσης τῆς ὑπὸ ΕΗΔ γίνονται αἱ ὑπὸ ΑΗΕ ΕΗΔ, δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι οὖσαι, ταῖς ὑπὸ ΕΗΔ ΔΗΖ ἴσαι· ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ. καὶ ἴση ἐδείχθη ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ· κέντρον ἄρα ἐστὶν τὸ Η τῆς σφαίρας διὰ τὸ ἴσους ὑποκεῖσθαι τοὺς κύκλους· διάμετροι ἄρα τῆς σφαίρας αἱ ΑΔ ΒΓ, καὶ ἴσαι ἀλλήλαις.

Ἂν δʼ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευχθῶσιν αἱ ΑΓ ΒΔ, ἴσαι ἔσονται ἀλλήλαις τε καὶ ὀρθὰς μετὰ τῶν ΑΒ ΓΔ περιέξουσιν γωνίας.

Τῇ γὰρ ΓΔ ἴσης καὶ παραλλήλου ἐφαρμοσθείσης τῆς ΘΗ, ἔσται ἡ ΘΗ ὀρθὴ πρὸς ἑκατέραν τῶν ΘΓ ΑΘ, καὶ πρὸς τὸ αὐτῶν ἐπίπεδον, ὥστε καὶ ἡ ΓΔ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΔ. ὁμοίως καὶ αἱ λοιπαί.

`3.140`

μζʹ. Ἐὰν ὦσιν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι εὐθεῖαι, αἱ τὰ ὁμοταγῆ πέρατα αὐτῶν ἐπιζευγνύουσαι ἴσαι ἔσονται ἀλλήλαις· ἂν δὲ καὶ ἴσαι ὦσιν αἱ παράλληλοι, καὶ αὐταὶ παράλληλοι ἔσονται καὶ ὀρθαὶ πρὸς τὰς ὑποκειμένας παραλλήλους.

Ἔστιν δὲ φανερόν· ἐκβληθέντος γὰρ τοῦ διὰ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδου γίνεται κύκλος ἐν ᾧ εἰσιν αἱ παράλληλοι, καὶ αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰς ἐξ ἀρχῆς παραλλήλους ἀνιούσας τραπέζιον ποιήσουσιν· ἂν δὲ καὶ ἴσαι ὦσιν αἱ παράλληλοι, αἱ ἐπιζευγνύουσαι αὐτὰς οὐκέτι τραπέζιον ἀλλὰ τετράγωνον ἢ ἑτερόμηκες περιέξουσιν.

Ἔστωσαν ἐν ὑποκειμένω ἐπιπέδῳ αἱ ΑΒ ΒΓ εὐθεῖαι ἴσας περιέχουσαι γωνίας μετὰ τῆς ΔΒΕ ἐν τῷ αὐτῷ κειμένης ἐπιπέδῳ, καὶ ἐφεστάτω ἡ ΒΖ μεθʼ ἑκατέρας τῶν ΑΒ ΒΓ ἴσας περιέχουσα γωνίας· ὅτι ὀρθή ἐστιν τῇ ΔΕ.

Ἤχθω ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΖΗ, καὶ ἐπὶ τὰς ΑΒ ΒΓ αἱ ΗΓ ΗΑ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ ΖΓ ΗΒ· αἱ ΑΖ ΖΓ ἄρα ὀρθαὶ ἔσονται ἐπὶ τὰς ΑΒ ΒΓ. καὶ διὰ τὸ ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ τῶν ΑΒΖ ΓΒΖ γωνίας ἴσαι ἔσονται καὶ αἱ ΑΒ ΒΓ, καὶ ΖΑ ΖΓ, καὶ ΗΑ ΗΓ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΗ τῇ ὑπὸ ΓΒΗ. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΑ τῇ ὑπὸ ΕΒΓ ὑπόκειται ἴση· καὶ ὅλη ἄρα ὅλῃ· κάθετος ἄρα ἡ ΗΒ ἐπὶ τὴν ΔΕ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΖΗ ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον· καὶ ἡ ΖΒ ἄρα κάθετος ἐπὶ τὴν ΔΕ.

`3.142`

μηʹ. Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν πυραμίδα ἐγγράψαι.

`3.144`

Ἐγγεγράφθω καὶ ἔστω σημεῖα τῶν γωνιῶν αὐτῆς ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὰ Α Β Γ Δ. ἤχθω δὴ διὰ τοῦ Α τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΕΖ· ἴσας δὴ περιέξει μετὰ τῶν ΑΓ ΑΔ γωνίας. καὶ ἐφέστηκεν ἡ ΑΒ ἴσας ποιοῦσα μετὰ τῶν ΑΓ ΑΔ γωνίας· διὰ τὰ προδειχθέντα ἄρα ὀρθή ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ, καὶ ἐφάψεται τῆς σφαίρας. ἐὰν γὰρ ἐκβληθῇ τὸ διὰ τῶν ΔΑ ΑΓ ἐπίπεδον, ποιήσει κύκλον, ἐν ᾧ ἰσόπλευρον ἐγγεγράψεται τρίγωνον τὸ ΑΔΓ, καὶ τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΕΖ· ἐφάψεται ἄρα ἡ ΕΖ τοῦ κύκλου, ὥστε καὶ τῆς σφαίρας. ἐκβληθὲν οὖν τὸ διὰ τῶν ΕΖ ΑΒ ἐπίπεδον τομὴν ποιήσει τῆς σφαίρας κύκλον, οὗ διάμετρος ἔσται ἡ ΑΒ διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τῇ ΕΖ ἐφαπτομένῃ ὁμοίως. κἂν διὰ τοῦ Δ τῇ ΑΒ παράλληλος ἀχθῇ ἡ ΗΘ, ἐφάψεται τῆς σφαίρας, καὶ ὀρθὴ αὐτῇ ἔσται ἡ ΓΔ. κἂν ἐκβληθῇ τὸ διὰ τῶν ΗΘ ΓΔ ἐπίπεδον, κύκλον ποιήσει διάμετρον ἔχοντα τὴν ΓΔ ἴσον καὶ παράλληλον τῷ διάμετρον ἔχοντι τὴν ΑΒ· παράλληλοι γὰρ αἱ ΕΖ ΓΔ καὶ αἱ ΑΒ ΗΘ. ἤχθω διὰ τοῦ Κ κέντρου τῇ ΓΔ ὀρθὴ ἡ ΛΜ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν τῇ ΑΒ. κἂν ἐπιζευχθῶσιν αἱ ΒΛ ΒΜ, ἡ μὲν ΒΜ ὀρθὴ ἔσται ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ ΛΜ καὶ τοῖς τῶν κύκλων ἐπιπέδοις, ἡ δὲ ΒΛ διάμετρος τῆς σφαίρας — προδέδεικται γάρ. καὶ ἐπεὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΜΓ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΜ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΜΓ, ἔσται καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ ΓΜ. καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΜΓ· ἴση ἄρα ἡ ΒΜ τῇ ΜΓ, ὥστε διπλάσιον τὸ ἀπὸ ΛΜ τοῦ ἀπὸ ΜΒ· ἡμιόλιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΛ τοῦ ἀπὸ ΛΜ. καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ ΒΛ διάμετρος τῆς σφαίρας· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΛΜ τοῦ κύκλου διάμετρος. καὶ οἱ κύκλοι θέσει, καὶ δοθέντα τὰ Α Β Γ Δ σημεῖα.

Καὶ ἡ σύνθεσις φανερά· δεήσει γὰρ ἐν τῇ σφαίρᾳ γράψαι δύο κύκλους ἴσους καὶ παραλλήλους, ὥστε τὴν διάμετρον τῆς σφαίρας ἡμιολίαν εἶναι δυνάμει τῆς ἑκατέρου διαμέτρου, καὶ ἀγαγεῖν δύο διαμέτρους παραλλήλους τὰς ΑΒ ΛΜ, ὡς προεμάθομεν, καὶ τῇ ΛΜ διὰ τοῦ κέντρου ὀρθὴν τὴν ΓΔ, καὶ ἔχειν τὰ σημεῖα τῶν γωνιῶν τῆς πυραμίδος τὰ Α Β Γ Δ. καὶ ἡ ἀπόδειξις ἀντίστροφος τῇ ἀναλύσει καὶ συναποδέδεικται ὅτι ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ἡμιολία ἐστὶ δυνάμει τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος.

μθʹ. Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαίραν κύβον ἐγγράψαι.

`3.146`

Ἐγγεγράφθω καὶ ἔστω ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὰ σημεῖα τῶν γωνιῶν αὐτοῦ τὰ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ, καὶ ἐκβεβλήσθω διʼ αὐτῶν ἐπίπεδα· ποιήσει δὴ τομὰς κύκλους ἴσους καὶ παραλλήλους· καὶ γὰρ τὰ ἐν αὐτοῖς τετράγωνα ἴσα τε καὶ παράλληλά ἐστιν. καὶ ἔσται ἐπεζευγμένη ἡ ΓΕ διάμετρος τῆς σφαίρας. ἐπεζεύχθω καὶ ἡ ΕΗ. ἐπεὶ διπλάσιον τὸ ἀπὸ ΕΗ τοῦ ἀπὸ ΕΘ, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΗΓ, καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΓΗΕ γωνία, ἔσται τὸ ἀπὸ ΓΕ τοῦ ἀπὸ ΕΗ ἡμιόλιον. δοθὲν δὲ τὸ ἀπὸ ΓΕ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΕΗ. καὶ ἔστιν διάμετρος τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου· δοθεὶς ἄρα ὁ κύκλος, ὥστε καὶ ὁ ΑΒΓΔ καὶ τὰ ἐν αὐτοῖς τετράγωνα καὶ τὰ τῶν γωνιῶν σημεῖα τοῦ κύβου.

`3.148`

Καὶ ἡ σύνθεσις φανερά· δεῖ γὰρ κύκλους ἐν τῇ σφαίρᾳ γράψαι δύο παραλλήλους, καὶ ἴσων οὐσῶν τῶν διαμέτρων ἡμιολία ἔστω δυνάμει ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος, καὶ ἐγγράψαι εἰς τὸν ἕτερον αὐτῶν τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ, καὶ τῇ ΒΓ ἀγαγεῖν ἐν τῷ ἑτέρῳ κύκλῳ παράλληλον τὴν ΖΗ ἴσην τῇ ΒΓ, ὡς προεδείξαμεν, καὶ ἀπʼ αὐτῆς τετράγωνον συμπληρῶσαι τὸ ΕΖΗΘ, καὶ ἔχειν τὸν κύβον ἐγγεγραμμένον. δειχθήσεται γὰρ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει τετράγωνον τὸ ΒΖΗΓ καὶ τὰ λοιπά, καὶ συναποδέδεικται ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασίων τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς, καὶ ὅτι οἱ αὐτοὶ κύκλοι τὰς τῆς πυραμίδος καὶ τὰς τοῦ κύβου περιέχουσι γωνίας· καὶ γὰρ ἐπʼ ἐκείνης ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ἡμιολία ἦν δυνάμει τῆς διαμέτρου τῶν κύκλων ἑκατέρου.

νʹ. Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν ὀκτάεδρον ἐγγράψαι.

Ἐγγεγράφθω καὶ ἔστω σημεῖα τῶν γωνιῶν αὐτοῦ ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὰ Α Β Γ Δ Ε Ζ, καὶ ἐκβληθέντα τὰ διʼ αὐτῶν ἐπίπεδα ποιείτω κύκλους τοὺς ΑΒΓ ΔΕΖ. ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἴσαι πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν προσπεπτώκασιν αἱ ΔΑ ΔΒ ΔΕ ΔΖ, ἔσται τὰ Α Ε Ζ Β ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ. καὶ εἰσὶν ἴσαι ἀλλήλαις αἱ ΑΒ ΒΖ ΖΕ, καὶ εἰσὶν ἐν κύκλῳ· τετράγωνον ἄρα τὸ ΑΕΖΒ, καὶ παράλληλος ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ. ὁμοίως καὶ ἡ μὲν ΔΕ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΔΖ τῇ ΑΓ· παράλληλοι ἄρα καὶ οἱ κύκλοι· καὶ ἴσοι ἀλλήλοις, ἐπεὶ καὶ τὰ ἐν αὐτοῖς ἰσόπλευρα τρίγωνα ἴσα ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ ἴσοι καὶ παράλληλοι κύκλοι εἰσίν, καὶ ἐν αὐτοῖς ἴσαι εὐθεῖαι καὶ παράλληλοι αἱ ΑΒ ΕΖ, καὶ εἰσὶν οὐκ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων, ἔσται ἐπιζευγνυμένη ἡ ΑΖ διάμετρος τῆς σφαίρας. καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ ΑΕ ΕΖ· διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΖ τοῦ ἀπὸ ΖΕ. τὸ δʼ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ ΔΕΖ κύκλου ἐπίτριτον τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ· ἡμιόλιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τοῦ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ ΔΕΖ κύκλου· δοθεῖσα ἄρα ἡ διάμετρος, καὶ ὁ κύκλος, ὥστε καὶ ὁ ΑΒΓ καὶ τὰ ἐπʼ αὐτῶν σημεῖα.

`3.150`

Καὶ ἡ σύνθεσις ἀκολούθως· δεῖ γὰρ ὁμοίως ἐγγράψαι τῇ σφαίρᾳ δύο κύκλους ἴσους καὶ παραλλήλους, ὧν ἑκατέρου τῆς διαμέτρου ἡμιολία δυνάμει ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος, καὶ ἐγγράψαι εἰς τὸν ἕτερον αὐτῶν ἰσόπλευρον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἐν τῷ ἑτέρῳ κύκλῳ παράλληλον ἀγαγεῖν τὴν ΕΖ ἴσην τῇ ΑΒ, καὶ ἀπʼ αὐτῆς ἐγγράψαι τὸ ΔΕΖ τρίγωνον, καὶ ἔχειν συνεσταμένον τὸ ὀκτάεδρον. καὶ συναποδέδεικται ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας διπλασίων δυνάμει τῆς πλευρᾶς τοῦ ὀκταέδρου. συνεώραται δʼ ὅτι εἴς γε τὴν τῆς πυραμίδος ἐγγραφὴν καὶ εἰς τὴν τοῦ κύβου καὶ τοῦ ὀκταέδρου οἱ αὐτοὶ παραλαμβάνονται κύκλοι, καὶ ὅτι ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τὸ τετράγωνον τοῦ κύβου καὶ τὸ τρίγωνον τοῦ ὀκταέδρου.

ναʹ. Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν εἰκοσάεδρον ἐγγράψαι.

`3.152–3.154`

Ἐγγεγράφθω, καὶ ἔστω ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ σημεῖα τῶν γωνιῶν αὐτοῦ τὰ Α Β Γ, Δ Ε Ζ, Η Θ Κ, Λ Μ Ν. ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ Β σημείου πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν προσπεπτώκασιν αἱ ΑΒ ΒΓ ΒΖ ΒΗ ΒΕ ἴσαι ἀλλήλαις, ἐν ἑνὶ ἔσται ἐπιπέδῳ τὰ Α Γ Ζ Η Ε σημεῖα. καὶ ἴσαι ἀλλήλαις αἱ ΑΓ ΓΖ ΖΗ ΗΕ ΕΑ, καὶ εἰσὶν ἐν κύκλῳ· ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΑΕΗΖΓ πεντάγωνον· ὁμοίως καὶ ἑκάτερον τῶν ΚΕΒΓΔ ΔΘΖΒΑ καὶ τὰ ΑΚΛΗΒ ΑΚΝΘΓ ΓΘΜΗΒ ἰσόπλευρα καὶ ἰσογώνια. καὶ ἔσται παράλληλος ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΕΖ ἐπιζευχθείσῃ, ἡ δὲ ΕΖ τῇ ΚΘ, ἡ δὲ ΚΘ τῇ ΛΜ· καὶ γὰρ τὸ ΛΚΔΘΜ πεντάγωνόν ἐστιν. ὁμοίως δειχθήσονται καὶ αἱ μὲν ἐπιζευγνύουσαι τὰ Β Γ, Ε Δ, Η Θ, Λ Ν παράλληλοι, αἱ δὲ ἐπιζευγνύουσαι τὰ Β Α, Ζ Δ, Η Κ, Μ Ν παράλληλοι. καὶ ὁμοίως ὁ περὶ τὰ Α Β Γ κύκλος ἴσος καὶ παράλληλος τῷ περὶ τὰ Λ Μ Ν· ἴσα γὰρ καὶ ὅμοια τὰ ἐν αὐτοῖς τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΛΜΝ. οἱ δὲ περὶ τὰ Δ Ε Ζ, Κ Η Θ σημεῖα κύκλοι ἴσοι καὶ παράλληλοι· καὶ γὰρ τὰ ἐν αὐτοῖς τρίγωνα ἴσα καὶ ἰσόπλευρα· ἑκάστη γὰρ πλευρὰ πενταγώνου γωνίαν ὑποτείνει. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ οἱ περὶ τὰ Δ Ε Ζ, Κ Η Θ κύκλοι ἴσοι εἰσὶν καὶ ἐν αὐτοῖς ἰσοπλεύρων τριγώνων πλευραὶ παράλληλοι αἱ ΕΖ ΚΘ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων, ἔσται ἡ ἐπιζευγνύουσα τὰ Ζ Κ διάμετρος τῆς σφαίρας καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΖΕΚ γωνία· προδέδεικται γάρ. καὶ ἐπεὶ πεντάγωνόν ἐστι τὸ ΗΕΑΓΖ, τῆς ΕΖ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης, μεῖζον ἔσται τμῆμα ἡ ΑΓ· ἡ ἄρα ΕΖ πρὸς τὴν ΑΓ λόγον ἔχει ὃν ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου. καὶ δύναται ἀμφοτέρας ἡ ΖΚ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΕΚ τῇ ΑΓ· ἕξει ἄρα ἡ ΖΚ διάμετρος τῆς σφαίρας πρὸς μὲν τὴν ΕΖ λόγον, ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πρὸς τὴν τοῦ ἑξαγώνου, πρὸς δὲ ΑΓ, ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου. καὶ δοθεῖσα ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΖ ΑΓ, ὥστε καὶ αἱ ἐκ τῶν κέντρων τῶν κύκλων τρίτον μέρος οὖσαι δυνάμει τῶν ΕΖ ΑΓ· καὶ αὐτοὶ ἄρα οἱ κύκλοι δοθέντες, καὶ οἱ ἴσοι αὐτοῖς καὶ παράλληλοι, καὶ τὰ ἐν αὐτοῖς σημεῖα τῶν τοῦ πολυέδρου γωνιῶν.

`3.156`

Καὶ ἡ σύνθεσις φανερά· δεήσει γὰρ ἐκθέσθαι δύο εὐθείας, πρὸς ἃς λόγον ἔχει ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ ἑξαγώνου καὶ πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου, καὶ ἐν τῇ σφαίρᾳ γράψαι δύο κύκλους, ὧν αἱ ἐκ τῶν κέντρων τρίτον μέρος δυνάμει τῶν ἐκτεθεισῶν εὐθειῶν ἑκατέρα ἑκατέρας, ὡς τοὺς ΔΕΖ ΑΒΓ, καὶ ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἴσους αὐτοῖς γράψαι παραλλήλους τοὺς ΚΗΘ ΛΜΝ, καὶ ἐναρμόσαι ἐν ἑκάστῳ ἰσοπλεύρων τριγώνων πλευρὰς παραλλήλους τὰς ΑΓ ΕΖ ΚΘ ΛΜ ἐνηλλαγμένως πρὸς τὰ κέντρα κειμένας, καὶ ἐγγράψαι τὰ τρίγωνα ὅλα τὰ ποιοῦντα τὰς τοῦ πολυέδρου γωνίας. καὶ ἡ ἀπόδειξις ἐκ τῆς ἀναλύσεως εὐχερής. συνορᾶται δʼ ὅτι καὶ ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας τριπλασία ἐστὶν δυνάμει τῆς τοῦ πενταγώνου πλευρᾶς τοῦ εἰς τὸν ΔΕΖ κύκλον ἐγγραφομένου· ἡ μὲν γὰρ ΚΖ πρὸς τὴν ΖΕ λόγον ἔχει ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ ἑξαγώνου, ἡ δὲ ΕΖ πρὸς τὴν τοῦ ἑξαγώνου τοῦ ἐν τῷ αὐτῷ κύκλῳ, ὃν ἡ τοῦ τριγώνου πρὸς τὴν τοῦ ἑξαγώνου, καὶ ἔστιν τριπλασία δυνάμει ἡ τοῦ τριγώνου τῆς τοῦ ἑξαγώνου· τριπλασία ἄρα δυνάμει ἐστὶν καὶ ἡ ΚΖ διάμετρος τῆς σφαίρας τῆς τοῦ ἐν τῷ ΔΕΖ κύκλῳ πενταγώνου πλευρᾶς.

νβʹ. Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν δωδεκάεδρον ἐγγράψαι.

`3.158–3.162`

Ἐγγεγράφθω, καὶ ἔστω σημεῖα τῶν γωνιῶν αὐτοῦ τὰ Α Β Γ Δ Ε, Ζ Η Θ Κ Λ, Μ Ν Ξ Ο Π, Ρ Σ Τ Υ Φ. ἔσται δὴ ἡ μὲν ΕΔ παράλληλος τῇ ἐπὶ τὰ Ζ Λ, ἡ δὲ ΑΕ παράλληλος τῇ ἐπὶ τὰ Ζ Η. κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ αἱ λοιπαί, ὥστε καὶ τὸ διὰ τῶν Α Β Γ Δ Ε ἐπίπεδον παράλληλον τῷ διὰ τῶν Ζ Η Θ Κ Λ. ἐπεὶ δὲ αἱ ἐπὶ τὰ Ο Α, Ξ Γ παράλληλοι — ἑκατέρα γὰρ τῇ ΒΘ — καὶ ἴσαι εἰσίν, καὶ αἱ ἐπὶ τὰ Ο Ξ, Α Γ ἄρα παράλληλοι, ὥστε καὶ αἱ ΣΤ ΕΔ. ὁμοίως καὶ αἱ ΣΡ ΓΔ, καὶ αἱ λοιπαί· καὶ τὰ διʼ αὐτῶν ἐπίπεδα ἄρα παράλληλα. νοείσθωσαν οὖν οἱ περὶ αὐτὰ γραφόμενοι κύκλοι. ἔσται δὴ ὁ μὲν περὶ τὰ Α Β Γ Δ Ε ἴσος τῷ περὶ τὰ Ρ Σ Τ Υ Φ· τὰ γὰρ ἐν αὐτοῖς πεντάγωνα ἴσα ἐστίν. ὁ δὲ περὶ τὰ Ζ Η Θ Κ Λ τῷ περὶ τὰ Μ Ν Ξ Ο Π· καὶ γὰρ τὰ ἐν τούτοις πεντάγωνα ἴσα. καὶ ἔστιν ἡ ἐπὶ τὰ Γ Λ παράλληλος τῇ ἐπὶ τὰ Ξ Υ — ἑκατέρα γὰρ τῇ ΚΝ· ἐν ἑνὶ ἄρα ἐπιπέδῳ ἔσται τὰ Λ Γ Ξ Υ σημεῖα. καὶ αἱ ἐπιζευγνύουσαι αὐτὰ ἴσαι εἰσίν· ἴσων γὰρ πενταγώνων ὑποτείνουσι γωνίας· καὶεἰσὶν ἐν κύκλῳ· τετράγωνον ἄρα τὸ ΛΓΞΥ, ὥστε διπλῆ δυνάμει ἡ ἐπιζευγνύουσα τὰ Ξ Λ τῆς ἐπὶ τὰ Λ Γ, τουτέστιν τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Λ. καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΞΛΖ γωνία· ἐν ἴσοις γὰρ κύκλοις ἴσαι καὶ παράλληλοι εὐθεῖαί εἰσιν αἱ ΟΞ ΖΛ· τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΞΖ τοῦ ἀπὸ ΖΛ. καὶ ἔστιν διὰ τὰ προδεδειγμένα διάμετρος τῆς σφαίρας ἡ ἐπὶ τὰ Ζ Ξ· οὐ γὰρ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων εἰσὶν αἱ ΟΞ ΖΛ. ἕξει οὖν ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος πρὸς τὴν ΖΛ λόγον ὃν τριγώνου πλευρὰ πρὸς ἑξαγώνου τῶν εἰς τὸν ΖΗΘΚΛ κύκλον ἐγγραφομένων. ἔχει δὲ καὶ ἡ ΖΛ πρὸς τὴν τοῦ τριγώνου πλευράν, ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πρὸς τὴν τοῦ τριγώνου· ἕξει ἄρα καὶ διʼ ἴσου ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας πρὸς τὴν τοῦ τριγώνου πλευρὰν λόγον ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πρὸς τὴν τοῦ ἑξαγώνου. ἐπεὶ δὲ καὶ τῆς ΖΛ λόγος πρὸς τὴν ΕΔ, ὃν ἡ τοῦ ἑξαγώνου ἔχει πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου — ἄκρον γὰρ αὐτῆς καὶ μέσον λόγον τεμνομένης μεῖζον τμῆμα ἡ ΕΔ διὰ τὸ πενταγώνου γωνίαν ὑποτείνειν τὴν ΖΛ, οὗ πλευρὰ ἡ ΕΔ —, ὡς δὲ ἡ ΖΛ πρὸς ΕΔ, ἡ τοῦ τριγώνου πλευρὰ τοῦ ἐν τῷ ΖΗΘΚΛ πρὸς τὴν τοῦ τριγώνουπλευρὰν τοῦ ἐν τῷ ΑΒΓΔΕ, ἕξει καὶ ἡ τοῦ τριγώνου πρὸς τὴν τοῦ τριγώνου λόγον ὃν ἡ τοῦ ἑξαγώνου πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου. ἔχει δὲ καὶ ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας πρὸς τὴν τοῦ τριγώνου πλευρὰν τοῦ ἐν τῷ ΖΗΘΚΛ, ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πρὸς τὴν τοῦ ἑξαγώνου· ἕξει ἄρα ἡ διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ τριγώνου πλευρὰν τοῦ ἐν τῷ ΑΒΓΔΕ, ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου· δοθεῖσα ἄρα ἐν ἑκατέρῳ κύκλῳ τοῦ τριγώνου πλευρά, ὥστε καὶ αἱ ἐκ τῶν κέντρων τρίτον μέρος οὖσαι δυνάμει τῶν πλευρῶν· δοθέντες ἄρα καὶ οἱ κύκλοι καὶ οἱ ἴσοι αὐτοῖς καὶ παράλληλοι καὶ τὰ ἐν αὐτοῖς σημεῖα τῶν τοῦ πολυέδρου γωνιῶν, ὅπερ· ⁓

Δεῖ οὖν ἐν τῇ συνθέσει δύο ἐκθέσθαι, πρὸς ἃς λόγον ἔχει ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πρός τε τὴν τοῦ ἑξαγώνου καὶ πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου, ἃς καὶ ἐπὶ τοῦ εἰκοσαέδρου ἐξεθέμεθα, καὶ γράψαι δύο παραλλήλους κύκλους ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ αὐτὸ μέρος τοῦ κέντρου κειμένους, ὡς τοὺς ΖΗΘΚΛ ΑΒΓΔΕ, ὧν αἱ ἐκ τῶν κέντρων τρίτον μέρος εἰσὶ δυνάμει τῶν ἐκκειμένων εὐθειῶν ἑκατέρα ἑκατέρας. καὶ τούτοις ἴσους ἄλλους δύο κύκλους καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ὡς τοὺς ΜΝΞΟΠ ΡΣΤΥΦ, καὶ ἐναρμόσαι τὰς ΕΔ ΖΛ ΟΞ ΣΤ πενταγώνων πλευρὰς παραλλήλους, καὶ ἀπʼ αὐτῶν ἀναγράψαι τὰ πεντάγωνα, διʼ ὧν αἱ τοῦ πολυέδρου συνίστανται γωνίαι. καὶ φανερὸν ἐκ τῆς κατασκευῆς, ὅτι οἱ περιέχοντες κύκλοι τὰς τοῦ δωδεκαέδρου γωνίας οἱ αὐτοί εἰσιν τοῖς περιέχουσιν τὰς τοῦ εἰκοσαέδρου γωνίας, καὶ ὅτι ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ τὸ πεντάγωνον τοῦ δωδεκαέδρου τῶν εἰς τὴν αὐτὴν σφαῖραν ἐγγραφομένων.

`3.164`

Ἄλλως τὸ δέκατον θεώρημα ἐν τῷ τρίτῳ τῆς τοῦ Πάππου συναγωγῆς καὶ τὴν ἀπόδειξιν περιέχον καὶ τὴν ὀργανικὴν κατασκευὴν τοῦ τε διπλασιασμοῦ τοῦ κύβου καὶ τῶν δύο μέσων ἀνάλογον.

Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Δ, διάμετροι δὲ αὐτοῦ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις ἔστωσαν αἱ ΑΔΓ ΒΔΕ, καὶ διήχθωσαν αἱ ΕΜΝ ΒΘΖΗ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΘΖ τῇ ΖΗ· λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς ΔΜ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς ΕΔ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΖ κύβον.

Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΗΔ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΘ καὶ ἡ ΛΕ· παράλληλος ἄρα ἡ ΘΛ τῇ ΑΔΓ καὶ ἡ ΒΗ τῇ ΛΕ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΛΚ ἐν ἡμικυκλίῳ τῷ ΒΛΕ κάθετος ἦκται ἐπὶ τὴν ΒΔΕ, ἡ ΚΛ ἄρα μέση ἀνάλογόν ἐστιν τῶν ΕΚ ΚΒ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ, οὕτως ἡ ΕΚ πρὸς ΚΒ, τουτέστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς ΔΜ. κοινοῦ ἄρα προσληφθέντος λόγου τοῦ τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ΔΖ, ἔσται ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΜ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς ΒΔ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΖ, τουτέστιν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς ΔΜ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς ΕΔ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΖ.

`3.166`

Ὀργανικῶς δὲ κατασκευασθήσεται τὸν τρόπον τοῦτον.

Ἔστω τύμπανον πρὸς κανόνα ἀπωρθωμένον, ἐν ᾧ καταγραφέντος κύκλου κέντρῳ καὶ διαστήματι ἐλάττονι τῆς ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ τυμπάνου, ὡς τοῦ ΑΒΓ, πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις ἤχθωσαν διὰ τοῦ κέντρου αἱ ΒΔΕ ΑΔΓ, καὶ κατὰ τὸ Β σημεῖον τρηματίου γενομένου ἐμβεβλήσθω εἰς αὐτὸ ἀξόνιον κυκλοτερές, καὶ περὶ τὸ ἀξόνιον περιβεβλήσθω κανὼν διατρηθεὶς καὶ αὐτός, ὡς ὁ ΒΘΖΗ, ὥστε εὐλύτως περὶ τὸ Β κέντρον περιάγεσθαι, περόνης ἐμβληθείσης εἰς τὸ ἀξόνιον τῆς κατεχούσης ἐν τῇ περιαγωγῇ τὸν κανόνα. τούτων δὲ οὕτως γενομένων κύβος κύβου πολλαπλάσιος καθʼ ὁποιονοῦν ἀριθμὸν ῥᾳδίως κατασκευασθήσεται. προκείσθω δὴ διπλασίονα κατασκευάσαι· λαβόντες γὰρ τὴν ΔΕ διπλασίονα τῆς ΔΜ ἐπιζεύξομεν τὴν ΕΜΝ, καὶ τὸν κανόνα τὸν ΒΘΖΗ κινήσομεν περὶ τὸ Β κέντρον, ἕως ἂν ἡ μεταξὺ τῶν Θ Η διχοτομηθῇ ὑπὸ τῆς ΑΔ κατὰ τὸ Ζ σημεῖον, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΘΖ τῇ ΖΗ. τοιαύτην γὰρ θέσιν τοῦ κανόνος λαβόντος ἀφορισθήσεται ἡ ΔΖ, ἀφʼ ἧς ὁ ζητούμενος κύβος ἀναγραφήσεται ἀκολούθως τῇ ἀποδείξει.

`3.168`

Ὑπομνηματικώτερον δὲ συνταχθείη ἂν τὸ αὐτὸ πρόβλημα οὕτως.

Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΕ περὶ κέντρον τὸ Δ, πρὸς ὀρθὰς δὲ ἀλλήλαις διηγμέναι αἱ ΑΔΓ ΒΔΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β πρὸς τὴν περιφέρειαν τοῦ κύκλου ἐντὸς προσπίπτουσα ἡ ΒΖΗ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΖ τῆς ΖΗ.

Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΕ διὰ τοῦ κέντρου οὖσα μείζων ἐστὶ τῆς ΒΗ, καὶ ἡ ἡμίσεια ἄρα τῆς ἡμισείας μείζων· μείζων ἄρα ἡ ΒΔ τῆς ἡμισείας τῆς ΒΗ. ἡ δὲ ΒΖ μείζων ἐστὶν τῆς ΒΔ· πολλῷ ἄρα ἡ ΒΖ μείζων ἐστὶ τῆς ἡμισείας τῆς ΒΗ, καὶ πολλῷ ἄρα καὶ τῆς ΖΗ.

Ἐπεὶ ἡ ΒΖ μείζων ἐστὶν τῆς ΖΗ, ἴση τῇ ΖΗ κείσθω ἡ ΘΖ· λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΜ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς ΕΔ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΖ.

Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΗΔ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΘ καὶ ἡ ΛΕ· παράλληλος ἄρα ἡ ΘΛ τῇ ΑΔΓ καὶ ἡ ΒΗ τῇ ΛΕ.

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν η μὲν ΘΖ τῇ ΖΗ διὰ τὴν ὑπόθεσιν, ἡ δὲ ΛΔ τῇ ΔΗ διὰ τὸ ἑκατέραν αὐτῶν ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου εἶναι, ἔστιν ὡς ἡ ΘΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΛΔ πρὸς τὴν ΔΗ. ἐὰν τριγώνου ἀνάλογον τμηθῶσιν αἱ πλευραί, ἡ ἐπὶ τὰς τομὰς ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα παρὰ τὴν λοιπήν ἐστι τοῦ τριγώνου πλευράν· παράλληλος ἄρα ἡ ΘΛ τῇ ΖΔ. καὶ ἐπειδὴ δύο αἱ ΒΔΗ δυσὶ ταῖς ΛΔΕ ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΔΗ τῇ ὑπὸ ΛΔΕ ἐστὶν ἴση, καὶ βάσις ἡ ΒΗ βάσει τῇ ΛΕ ἐστὶν ἴση, καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἴση ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ ΕΛΗ τῇ ὑπὸ ΛΗΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΗΒΕ τῇ ὑπὸ ΒΕΛ. καὶ εἰσὶν ἐναλλάξ· παράλληλος ἄρα ἡ ΒΗ τῇ ΛΕ.

`3.170–3.172`

Καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΚΛ τῇ ΔΓ, αἱ ὑπὸ ΛΚΔ ΚΔΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ὧν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΚΔΓ· καὶ ἡ ὑπὸ ΛΚΔ ἄρα ὀρθή ἐστιν· πρὸς ὀρθὰς ἄρα ἡ ΚΛ τῇ ΒΕ. καὶ ἐπεὶ ἐν ἡμικυκλίῳ τῷ ΒΛΕ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΛΚ, μέση ἀνάλογόν ἐστιν ἡ ΛΚ τῶν ΕΚ ΚΒ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ, οὕτως ἡ ΕΚ πρὸς ΚΒ. καὶ ἐπειδὴ παράλληλός ἐστιν ἡ μὲν ΒΖ τῇ ΛΕ, ἡ δὲ ΘΛ τῇ ΖΞ, ὅμοιόν ἐστι τὸ μὲν ΛΚΕ τρίγωνον τῷ ΒΚΘ, τὸ δὲ ΒΚΘ τῷ ΒΔΖ, καὶ ἔτι τὸ μὲν ΘΚΕ ὅμοιόν ἐστι τῷ ΜΔΕ, τὸ δὲ ΛΚΕ τῷ ΞΔΕ· ἰσογώνιον ἄρα ἕκαστον ἑκάστῳ. ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΘ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ· ὡς ἄρα ἐστὶν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ. ἀλλʼ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ, οὕτως ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ. πάλιν ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ μὲν ΛΚΕ τρίγωνον τῷ ΒΚΘ, τὸ δὲ ΘΚΕ τῷ ΜΔΕ, καὶ τὸ ΛΚΕ τῷ ΞΔΕ τριγώνῳ διὰ τὸ τὰς παραλλήλους ἰσογώνια αὐτὰ ποιεῖν, ἔστιν ὡς μὲν ἡ ΕΚ πρὸς ΚΛ, οὕτως ἡ ΒΚ πρὸς ΚΘ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ, οὕτως ἡ ΛΚ πρὸς τὴν ΚΘ, ὡς δὲ ἡ ΕΚ πρὸς ΚΛ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΞ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΚΕ πρὸς ΕΔ, οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς ΔΞ. ὁμοίως καί, ἐπεὶ ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΘ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς ΔΜ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΚΕ πρὸς ΕΔ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΔΜ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΔΞ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΜΔ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΛΚ πρὸς τὴν ΚΘ, οὕτως ἡ ΞΔ πρὸς ΔΜ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΛΚ πρὸς ΚΘ, οὕτως ἡ ΕΚ πρὸς ΚΒ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ, οὕτως ἡ ΞΔ πρὸς τὴν ΔΜ. ἴση δὲ ἡ ΞΔ τῇ ΔΖ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ, οὕτως ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΔΜ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ, οὕτως ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΔΜ. Ὅτι δὲ ἴση ἐστὶν ἡ ΞΔ τῇ ΔΖ δῆλον. ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΛΞ τῇ ΖΗ, ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΛΞΔ τρίγωνον τῷ ΖΔΗ. καὶ ἐπεὶ δύο τρίγωνά ἐστιν τὰ ΛΞΔ ΖΔΗ τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ ΞΔΛ ΔΛΞ ταῖς ὑπὸ ΖΔΗ ΔΗΖ δυσὶν ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν τὴν ΛΔ μιᾷ πλευρᾷ τῇ ΔΗ ἴσην, καὶ αἱ λοιπαὶ ἄρα πλευραὶ ταῖς λοιπαῖς ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ τῶν ὑποτεινουσῶν τὰς ἴσας γωνίας. ἴση ἄρα ἡ ΔΞ τῇ ΔΖ.

Κοινοῦ ἄρα προσληφθέντος λόγου τοῦ τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ΔΖ, ἔσται ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΜ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς ΒΔ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΖ, τουτέστιν ὡς ΕΔ πρὸς ΜΔ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς ΕΔ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΔΖ.

Καὶ τούτοις ἀκολούθως δύο τῶν ΕΔ ΔΜ δοθεισῶν ληψόμεθα τὰς δύο μέσας ἀνάλογον ἐν τῇ συνεχεῖ ἀναλογίᾳ. ἐκκείσθωσαν γὰρ ταῖς ΕΔ ΔΖ ΔΜ ἴσαι αἱ ΕΔ ΔΖ ΔΜ. καὶ ἐπεὶ δέδεικται ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΔΜ, δῆλον ὡς ἡ ΔΜ οὐκ ἔστι τρίτη ἀνάλογον τῶν ΕΔ ΔΖ.

`3.174`

Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ἡ ΔΜ τρίτη ἀνάλογον τῶν ΕΔ ΔΖ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΔΜ τρίτη ἀνάλογόν ἐστι τῶν ΕΔ ΔΖ, ἔστιν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΔΜ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς ΔΜ. ἀλλʼ ἦν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς ΔΜ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΜ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΔΜ· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΕΔ ΔΖ πρὸς τὴν ΔΜ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ τῇ ΔΖ, ὅπερ ἀδύνατον — μείζων γὰρ ἡ ΕΔ τῆς ΔΖ· οὐκ ἄρα ἡ ΔΜ τρίτη ἀνάλογόν ἐστιν τῶν ΕΔ ΔΖ.

Εἰλήφθω τῶν ΕΔ ΔΖ τρίτη ἀνάλογον ἡ ΟΠ. ἐπεὶ οὖν τῶν ΕΔ ΔΖ τρίτη ἀνάλογόν ἐστιν ἡ ΟΠ, ἔστιν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖʹ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΟΠ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΟΠ. ἀλλʼ ἦν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΔΜ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΟΠ, οὕτως ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΔΜ· καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ΟΠ πρὸς τὴν ΔΜ. ἀλλʼ ἦν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΟΠ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΟΠ, οὕτως ἡ ΟΠ πρὸς τὴν ΔΜ· αἱ ΕΔ ΔΖ ΟΠ ΔΜ ἄρα τέσσαρες οὖσαι ἐν τῇ συνεχεῖ καὶ ἐφεξῆς ἀναλογίᾳ εἰσί· τῶν ΕΔ ΔΜ ἄρα δύο μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΔΖ ΟΠ.

`3.176`

Τῆς δὲ ἀποδείξεως ἐπὶ τῆς προκειμένης καταγραφῆς ἀκολούθως τῇ ὀργανικῇ κατασκευῇ γενομένης δῆλον ὡς ἡ μὲν ὀργανικὴ κατασκευή, δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων καὶ λόγου πρὸς ἀλλήλας τῶν εὐθειῶν δεδομένου, εὑρίσκει τὰς δύο μέσας ἀνάλογον, ἐφʼ ὧν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τετάρτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας, ἡ δὲ ἀπόδειξις, ὑποστησαμένη τινὰ εὐθεῖαν καὶ ἄλλας δύο λαβοῦσα διὰ τῆς τῶν γραμμῶν καταγραφῆς ἐλάττονας μὲν τῆς πρώτης ἐφεξῆς δὲ αὐτῇ κειμένας καὶ ἀλλήλαις ἀνίσους, εὑρίσκει ὡς τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας, οὕτως τὴν δευτέραν πρὸς τὴν ἐλαχίστην. τούτων δὲ τῆς τε πρώτης καὶ τῆς δευτέρας προσλαβοῦσα τρίτην ἀνάλογον ἀποδείκνυσιν τὰς δύο μέσας ἀνάλογον οὕτως θεωρουμένας ὡς ἐπὶ τῆς ὀργανικῆς κατασκευῆς. τούτων γὰρ τὸ μὲν συμπέρασμα τὸ αὐτό, διʼ ὧν δὲ τοῦτο εὑρίσκεται τῶν πρώτων, οὐ τὸ αὐτό. ἐπὶ μὲν γὰρ τῆς ὀργανικῆς κατασκευῆς, λόγου δοθέντος δύο εὐθειῶν ἀνίσων, τὸ συμπέρασμα δείκνυται, ἐπὶ δὲ τῆς ἀποδείξεως, μὴ δοθέντος τοῦ λόγου τῶν εὐθειῶν, διὸ ἔτι τοῦτο μένει ζητούμενον, πῶς ἐν λόγῳ δοθέντι αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι. δεῖ γάρ, λόγου δοθέντος τοῦ ὃν ἔχει ἡ πρώτη εὐθεῖα πρὸς τὴν τετάρτην, ἐν τῷ αὐτῷ λόγω γενέσθαι καὶ τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας.

## License and provenance

Eulogikon publishes public-domain Greek texts in cleaned, structured, readable form and makes no copyright claim over that preparation (Public Domain Mark 1.0, https://creativecommons.org/publicdomain/mark/1.0/). Cite as `eul_wid: txs-abb`.