--- title: "Scholia-Euclid's Elements" title_greek: Σχόλια εἰς Εὐκλείδου Στοιχεῖα author: Thucydides Scholia eul_wid: tii-ad eul_aid: tii canonical: "https://eulogikon.org/grc/thucydides-scholia/euclid-elements" canonical_json: "https://eulogikon.org/data/works/grc/thucydides-scholia-euclid-elements-tii-ad.json" sha256: "33283d02af7839838c1f5b89fd2d5fe53156437f34ca9d824a22f43706dee000" period: Late Antique dialect: Byzantine Technical domain: Grammar format: Verse license: CC0-1.0 --- # Scholia-Euclid's Elements *Σχόλια εἰς Εὐκλείδου Στοιχεῖα* **Author:** Thucydides Scholia **eul_wid:** `tii-ad` · [HTML page](https://eulogikon.org/grc/thucydides-scholia/euclid-elements) · [Canonical JSON](https://eulogikon.org/data/works/grc/thucydides-scholia-euclid-elements-tii-ad.json) ## Text ### book 1.1 [Τὴν γεωμετρίαν διαιροῦσ]ιν εἴς τε τὴν ἐπίπεδον καὶ ### book 1.2 τὴν στερεομετρίαν, καὶ ὑπὸ ταύτας ἀνάγουσι πάσας τὰς ### book 1.3 ὕλῃ χρωμένας, οἷον ἀστρονομίαν, γεωδεσίαν καὶ τὰς ἄλλας, ### book 1.4 ὅσαι ὑπὸ μηχανικὴν τελοῦσι. ὑπὸ δὲ ἀριθμητικὴν ἄγουσι ### book 1.5.1 μουσικήν, λογιστικήν. ἐπεὶ οὖν περὶ τὸ συνεχὲς ἔχει γεω‐ ### book 1.5.2 μετρία, δῆλον, ὅτι γνῶσιν αὐτὴν δεῖ λέγειν. γνώσεων δὲ ### book 1.5.3 οὐσῶν αἰσθήσεως, φαντασίας, πείρας, ἐμπειρίας, τέχνης, ### book 1.5.4 ἐπιστήμης, καὶ τῆς μὲν αἰσθήσεως τὰ ἐκτὸς ὁρώσης αἰσθη‐ ### book 1.5.5 τά, φαντασίας δὲ τὰ ἐντός, αἰσθητὰ μέντοι, λοιπὸν δὲ τῆς ### book 1.10.1 πείρας ἐπὶ τῶν πρακτῶν γινωσκούσης τὸ πρᾶγμα, οἷον ### book 1.10.2 ἐπὶ ἰατρικῆς ὅταν προσαγαγὼν τόδε τὸ φάρμακον γνῷ, ὅτι ### book 1.10.3 ὠφελήσει τόδε τὸ πάθος καὶ πάλιν τόδε τὸ κολλύριον, ### book 1.10.4 ἕκαστον μέντοι κατὰ μίαν χρῆσιν, εἶτα ἐκ πολλῶν πειρῶν ### book 1.10.5 λαμβάνει λόγον τινὰ καθ’ ὅλου, ὅτι, ἐπειδὴ καὶ τόδε τὸ ### book 1.15.1 πάθος ὠφέλησεν τόδε τὸ φάρμακον, ἔοικεν καθ’ ὅλου ### book 1.15.2 πρὸς τόδε τὸ πάθος ἐπιτήδειον εἶναι, καὶ οὕτως καθ’ ὅλου ### book 1.15.3 γινώσκει καὶ ἔχειν λέγεται ἐμπειρίαν, ἀλλ’ ὁρᾷς, ὅτι αἰτίαν ### book 1.15.4 οὐκ ἔχει, δι’ ἣν προσαγόμενον τῷδε τῷ πάθει ὠφελεῖ. ἐὰν ### book 1.15.5 δὲ ζητήσας εὕρῃ, ὅτι τόδε μὲν τὸ πάθος, εἰ τύχοι, ἐστὶν ### book 1.20.1 ὑγρόν, τόδε δὲ τὸ φάρμακον ξηρόν, τὰ δὲ ἐναντία τῶν ἐναν‐ ### book 1.20.2 τίων ἰάματα, ἔχει καὶ τὴν αἰτίαν, καί ἐστι τὸ τοιοῦτον ### book 1.1 τέχνη καὶ διαφέρει τῆς ἐμπειρίας τῷ λόγον καὶ αἰτίαν λα‐ ### book 1.2 βεῖν. ἐπειδὴ δὲ τῶν γνώσεων τούτων τῶν ἐχουσῶν λόγον ### book 1.3 αἱ μὲν οὕτως ἔχουσιν, ὡς καὶ τὴν ὑποκειμένην ὕλην φθαρ‐ ### book 1.25.1 τὴν ἔχειν, αἱ δὲ ὡς ἀείδιον, τὴν μὲν περὶ ἀείδιον ὕλην ### book 1.25.2 ἔχουσαν ἐπιστήμην ὀνομάζουσιν, τὴν δὲ περὶ φθαρτὴν ### book 1.25.3 τέχνην. τὰ δὴ μαθήματα οὔτε αἴσθησις γιγνώσκει· μερι‐ ### book 1.25.4 κῶν γὰρ γνωστική· οὔτε φαντασία· καὶ γὰρ αὕτη μερικῶν ### book 1.25.5 ἐστι γνωστική, εἰ καὶ ἐντὸς ὁρᾷ· ἀλλ’ οὔτε πεῖρα· λόγον ### book 1.30.1 γὰρ καὶ αἰτίαν οὐκ ἔχει πρὸς τῷ μηδὲ τὸ καθ’ ὅλου γινώ‐ ### book 1.30.2 σκειν· οὔτε ἐμπειρία δὲ οὔτε τέχνη· ὕλη γὰρ τῶν μαθη‐ ### book 1.30.3 μάτων ἀείδιος καὶ ἑστῶσα. λείπεται ἄρα ἐπιστημονικὴν ### book 1.30.4 εἶναι τὴν γνῶσιν αὐτῶν. ὥστε γεωμετρία ἐστὶ ἡ γνῶσις. ### book 1.30.5 καὶ ἐπειδὴ οὔτε ἔξωθέν ἐστι γνωστική, οὔτε μερικῶν πραγ‐ ### book 1.35.1 μάτων οὔτε ὁλικῶν μέν, ἄνευ δὲ αἰτίας, ἢ ὁλικῶν μὲν καὶ ### book 1.35.2 μετ’ αἰτίας, περὶ φθαρτὰ δέ, ποιεῖται τὴν γνῶσιν (περὶ ### book 1.35.3 γὰρ ἀείδια), εἰκότως γνῶσιν αὐτὴν δεῖ λέγειν ἐπιστημονι‐ ### book 1.35.4 κήν, ἵνα χωρίσωμεν αἰσθήσεως, φαντασίας, πείρας, ἐμ‐ ### book 1.35.5 πειρίας, τέχνης, περὶ σχήματα ἔχουσαν. ἐπειδὴ δὲ οὐ μό‐ ### book 1.40.1 νον περὶ σχήματα ἔχει, ἀλλὰ καὶ περὶ διαιρέσεις αὐτῶν καὶ ### book 1.40.2 συνθέσεις, εἰκότως λεκτέον περὶ σχήματα καὶ τὰ τούτων ### book 1.40.3 πάθη, λόγους τε καὶ συνθέσεις καὶ διαιρέσεις. καὶ οὗτος ### book 1.40.4 μὲν ὅρος τῆς γεωμετρίας, τὴν δὲ γενομένην αὐτῆς ἐπίδοσιν ### book 1.40.5 ἰστέον, ὡς ἔφαμεν, ἐν τῇ καθ’ ἡμᾶς περιόδῳ γεγενῆσθαι, ### book 1.45.1 μάλιστα δὲ ἐν τοῖς κατὰ Πλάτωνα χρόνοις· ὁ δὲ Εὐκλείδης ### book 1.45.2 γέγονεν μὲν κατὰ τὸν πρῶτον Πτολεμαῖον, τὰ δὲ σποράδην ### book 1.45.3 ὑπὸ τῶν παλαιοτέρων θεωρηθέντα συνήγαγεν αὐτὸς εἰς ### book 1.45.4 στοιχείωσιν, τάξιν αὐτοῖς καὶ ἀποδείξεις ἀκριβεστέρας ### book 1.45.5 ἐπιθεὶς ὡς πρὸς στοιχείωσιν. οὐ γὰρ ὅσον λέγειν δυνατόν, ### book 1.1 γράφει ταῦτα, ἀλλ’ ὅσα στοιχειοῦν πέφυκεν, καὶ δι’ ὧν καὶ ### book 1.2 τὰ μὴ γραφόμενα ἔστιν εὑρίσκειν· εὑρήσεις δὲ τοὺς συλ‐ ### book 1.3 λογισμοὺς καὶ ἀπὸ αἰτιῶν καὶ ἀπὸ τεκμηρίων, πάντας δὲ ### book 1.4 ἀνελέγκτους καὶ ἐπιστημονικούς· πάσας τε ὁρᾶν ἔξεστι ### book 1.5 τὰς τῆς διαλεκτικῆς μεθόδους διαιρετικήν, ὁριστικήν, ἀπο‐ ### book 1.55.1 δεικτικήν, ἀναλυτικήν. ὁ δὲ σκοπὸς τῆς πραγματείας ἐστὶν ### book 1.55.2 διπλοῦς κατά τε τὴν τῶν πραγμάτων φύσιν καὶ πρὸς τὴν ### book 1.55.3 τῶν ἐντυγχανόντων ὠφέλειαν. πρὸς μὲν γὰρ αὐτὰ τὰ πράγ‐ ### book 1.55.4 ματα βλέποντές φαμεν περὶ τῶν κοσμικῶν σχημάτων ### book 1.55.5 εἶναι τὴν πρόθεσιν· πέρας γὰρ ἡ τῶν πέντε σχημάτων ### book 1.60.1 διδασκαλία, ἃ καὶ Πλάτων εἰς τὴν τῶν στοιχείων σύστα‐ ### book 1.60.2 σιν παραλαμβάνει. πρὸς δὲ τὴν τῶν ἐντυγχανόντων ὠφέ‐ ### book 1.60.3 λειάν φαμεν στοιχείωσιν γράφειν· ἀπὸ γὰρ τούτων ὁρμώ‐ ### book 1.60.4 μενοι καὶ τὰ ἄλλα δυνησόμεθα γινώσκειν, χωρὶς δὲ τούτων ### book 1.60.5 οὐδέν· διὸ καὶ στοιχείωσις ὀνομάζεται. τῶν δὲ θεωρημά‐ ### book 1.65.1 των καλουμένων τῶν μὲν στοιχείων, τῶν δὲ στοιχειωδῶν, ### book 1.65.2 τῶν μὲν στοιχείων ὀνομαζομένων ἡ θεωρία διικνεῖται πρὸς ### book 1.65.3 τὴν τῶν ἄλλων ἐπιστήμην, καὶ ἀφ’ ὧν ἐν τοῖς λοιποῖς ἀπό‐ ### book 1.65.4 ροις παραγίνεται λύσις, στοιχειωδῶν δὲ ὅσα διατείνει μὲν ### book 1.65.5 ἐπὶ πλέον, οὐ μέντοι ἐπὶ πάντα, οἷον τὸ ἐν τοῖς τριγώνοις ### book 1.70.1 τὰς ἀπὸ τῶν γωνιῶν καθέτους ἐπὶ τὰς πλευρὰς κα[θ’ ἓν ### book 1.70.2 ση]μεῖον συμπίπτειν. πάλιν τῶν στοιχείων δίχα λεγομέ‐ ### book 1.70.3 νων (καὶ γὰρ τὸ κατασκευάζον τοῦ κατασκευαζομένου, ὡς ### book 1.70.4 τὸ πρῶτον θεώρημα τοῦ δευτέρου, καὶ τὸ εἰς ἁπλούστερον ### book 1.70.5 διαιρεῖται τὸ σύνθετον, ὡς τὰ αἰτήματα στοιχεῖα τῶν θεω‐ ### book 1.75.1 ρημάτων), κατὰ δὴ τὸ σημαινόμενον τοῦτο καὶ τὰ παρ’ ### book 1.75.2 Εὐκλείδῃ λέγεται στοιχεῖα, τὰ μὲν περὶ τὰ ἐπίπεδα, τὰ δὲ ### book 1.75.3 περὶ τὰ στερεὰ τὴν πραγματείαν ἔχοντα. ἐπεὶ οὖν ἡ γεω‐ ### book 1.75.4 μετρία ἐπιστήμη, διττὴ δὲ αὕτη, ἡ μὲν ἐξ ὑποθέσεως, ἡ δὲ ### book 1.75.5 ἀνυπόθετος, αὕτη [δὲ] ἐξ ὑποθέσεως, ἀνάγκη τὸν τὴν γεωμε‐ ### book 1.80.1 τρίαν συντάττοντα χωρὶς μὲν παραδοῦναι τὰς ἀρχάς, χωρὶς ### book 1.80.2 δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ἀρχῶν, καὶ τῶν μὲν ἀρχῶν, εἰ καὶ τῷ τε‐ ### book 1.80.3 λείῳ φιλοσόφῳ εἰσὶν ἀποδεικταί, μὴ διδόναι λόγον, τῶν ### book 1.80.4 δὲ μετὰ τὰς ἀρχάς, ὃ καὶ Εὐκλείδης καθ’ ἕκαστον ὡς εἰ‐ ### book 1.80.5 πεῖν ποιεῖται βιβλίον. τὰς δὴ κοινὰς ταύτας ἀρχὰς διαιρεῖ ### book 1.85.1 εἴς τε τὰς ὑποθέσεις καὶ τὰ αἰτήματα καὶ ἀξιώματα· δια‐ ### book 1.85.2 φέρει γὰρ ταῦτα ἀλλήλων. ὅταν μὲν γὰρ γνώριμον ᾖ καὶ ### book 1.85.3 καθ’ αὑτὸ πιστὸν τὸ παραλαμβανόμενον, ἀξίωμα λέγεται, ### book 1.1 ὅταν δὲ μὴ ἔχῃ μὲν ἔννοιαν ὁ ἀκούων αὐτόπιστον, τίθεται ### book 1.2 δὲ ὅμως καὶ συγχωρεῖ τὸ λαμβανόμενον, ὑπόθεσίς ἐστιν· ### book 1.90.1 οἷον τὸ τὸν κύκλον εἶναι σχῆμα τοιόνδε τὸ τρίγωνον, ὃ αὐ‐ ### book 1.90.2 τόθεν μὲν οὐκ ἔχει, συγχωρούμενον δὲ ὅμως· ὅταν δὲ καὶ ### book 1.90.3 ἄγνωστον ᾖ τὸ λεγόμενον καὶ μὴ συγχωροῦντος τοῦ μαν‐ ### book 1.90.4 θάνοντος ὅμως λαμβάνηται, αἴτημα τοῦτο καλοῦμεν, ὡς ### book 1.90.5 τὸ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας εἶναι. καὶ οὕτως μὲν ### book 1.95.1 Ἀριστοτέλης ταῦτα διορίζεται· τινὲς δὲ πάντα ὑποθέσεις ### book 1.95.2 προσεῖπον, ἄλλοι δὲ ἀξιώματα. πάλιν δὲ αὖ τὰ ἀπὸ τῶν ### book 1.95.3 ἀρχῶν εἰς προβλήματα διαιρεῖται καὶ θεωρήματα, τὰ μὲν ### book 1.95.4 τὰς γενέσεις περιέχοντα τῶν σχημάτων, τὰ δὲ τὰ καθ’ ### book 1.95.5 αὑτὰ συμβεβηκότα ἑκάστοις δεικνύοντα. καί φασιν πᾶν ### book 1.1 πρόβλημα ἐπιδέχεσθαι τῶν κατηγορουμένων τῆς ἐν αὐτῷ ### book 1.2 ὕλης αὐτό τε ἕκαστον καὶ τὸ ἀντικείμενον. λέγω δὲ ὕλην ### book 1.3 μὲν αὐτὸ τὸ γένος, περὶ οὗ ἡ ζήτησις, οἷον τρίγωνον ἢ ### book 1.4 τετράγωνον, σύμπτωμα δὲ τὸ καθ’ αὑτὸ συμβεβηκός, ### book 1.5 ἴσον ἄνισον τομὴν θέσιν ἢ ἄλλο τι τοιοῦτον. ὅταν μὲν οὖν ### book 1.105.1 προτείνῃ τις ποιῆσαι, πρόβλημα λέγεται· ὅταν δὲ τὸ ὂν ### book 1.105.2 θεωρῆσαι, θεώρημα· καὶ ὅλως τὰ μὲν θεωρήματα καθ‐ ### book 1.105.3 όλου ἐστί, τὰ δὲ προβλήματα οὐκ ἔστι. ### book 1.105.4 Τοσαῦτα καὶ περὶ τούτων. τοῦ δὲ πρώτου βιβλίου ὁ ### book 1.105.5 σκοπός ἐστι τὰς ἀρχὰς παραδοῦναι τῆς τῶν εὐθυγράμμων ### book 1.110.1 θεωρίας. εἰ γὰρ καὶ φύσει τελειότερος ὁ κύκλος, ἀλλ’ ### book 1.110.2 ἡμῖν τοῖς ἀτελεστέροις μᾶλλον ἡ περὶ τούτων ἁρμόσει ### book 1.110.3 θεωρία· τοῖς αἰσθητοῖς οἰκεῖα τὰ εὐθύγραμμα, τοῖς δὲ ### book 1.110.4 νοητοῖς ὁ κύκλος, καὶ ἀπὸ τῶν εὐθυγράμμων ἡ γένεσις ### book 1.110.5 κατὰ Πλάτωνα τοῖς τέτρασι στοιχείοις. διαιρεῖται δὲ τὸ ### book 1.115.1 βιβλίον τριχῆ· τὸ μὲν γὰρ πρῶτον τὴν τῶν τριγώνων ### book 1.115.2 ἰδιότητα ἐμφανίζει, τὸ δεύτερον τῶν παραλληλογράμμων, ### book 1.115.3 τὸ τρίτον τὴν κοινωνίαν αὐτῶν. ### book 1.115.4 Σημεῖόν ἐστι οὗ μέρος οὐθέν. ### book 1.115.5 Ἀπὸ τῶν συνθέτων ἐπὶ τὸ ἁπλούστερον ἀναδεδράμηκεν, ### book 1.120.1 ἀπὸ μὲν τοῦ τριχῆ διαστατοῦ ἐπὶ τὸ διχῆ, ἀπὸ δὲ τούτου ### book 1.120.2 ἐπὶ τὸ ἐφ’ ἕν, ἀφ’ οὗ εἰς τὸ πάσης διαιρέσεως καθαρεῦον ### book 1.120.3 ἀναδραμὼν τὴν ἀρχὴν ποιεῖται· ἐπειδὴ δὲ τὰ πέρατα ταῦτα ### book 1.120.4 πολλαχοῦ διὰ τὴν ἁπλότητα τῆς τῶν συνθέτων ὑποστά‐ ### book 1.120.5 σεως δοκεῖ τιμιώτερα εἶναι, πολλαχοῦ δὲ συμβεβηκόσιν ### book 1.125.1 ἔ[οι]κεν, λέγω μὲν, ὅτι τὰ ἄυλα καὶ ἐν χωριστοῖς ὑφεστῶτα ### book 1.125.2 λόγοις ἀεὶ τὴν ἀρχικωτέραν ὑπόστασιν ἐκληρώσατο τῶν ### book 1.125.3 συνθέτων, οἷον ἐν νῷ καὶ ψυχαῖς· ἐκεῖ γὰρ τὰ ἁπλούστερα ### book 1.125.4 τῶν συνθέτων ἐστὶν ὑποστατικά. τὰ δὲ ὕλης δεόμενα καὶ ### book 1.125.5 ἐν ἄλλοις ἑδραζόμενα κατὰ τὸ σύνθετον μᾶλλον ἔχει τὴν ### book 1.130.1 ὑπόστασιν, καί εἰσιν οὐσιώδεις μᾶλλον οἱ τοιοῦτοι λόγοι. ### book 1.130.2 διὰ τοῦτο ἐν φαντασίᾳ καὶ τοῖς αἰσθητοῖς προηγουμένως ### book 1.130.3 μᾶλλόν εἰσιν οἱ τῶν περατουμένων λόγοι, ἑπόμενοι δὲ οἱ ### book 1.130.4 τῶν περατούντων. ἵνα γὰρ τὸ σῶμα μὴ εἰς ἀπειρίαν ἐκ‐ ### book 1.130.5 πέσῃ, ἡ τῆς ἐπιφανείας γέγονεν φύσις, καὶ ἵνα μὴ αὕτη, ### book 1.135.1 ἡ τῆς γραμμῆς, καὶ τὸ σημεῖον ἕνεκα τῆς γραμμῆς. τρα‐ ### book 1.135.2 νέστερον γὰρ ἡ ὕλη τοὺς συνθετωτέρους ἤπερ τοὺς ἁπλου‐ ### book 1.135.3 στέρους ὑπεδέξατο. πῶς οὖν ἐν νῷ καὶ ψυχῇ πάντων ὄντων ### book 1.135.4 ἀμερῶν ἐν ὕλῃ τὰ μὲν προηγουμένως ἐμερίσθη, τὰ δ’ ἔμει‐ ### book 1.135.5 νεν ἀμερῆ; ἢ καὶ ἐν τούτοις τάξις ἐστίν; τὰ μὲν γὰρ ἑνο‐ ### book 1.140.1 ειδέστερα τῶν εἰδῶν ἐστι, τὰ δὲ συνθετώτερα, καὶ τὰ μὲν ### book 1.140.2 πέρατι σύστοιχα, τὰ δὲ ἀπειρίᾳ. καὶ τὸ σημεῖον ἀμερὲς ὃν ### book 1.140.3 ἐκεῖ πάντη κατὰ τὸ πέρας ὑφέστηκεν, ἔχει δὲ τὴν ἄπειρον ### book 1.140.4 δύναμιν κρυφίως, καθ’ ἣν ἀπογεννᾷ πάντα. ὁ δὲ τοῦ σώμα‐ ### book 1.140.5 τος λόγος τῆς τοῦ ἀπείρου μετέχει μᾶλλον δυνάμεως· διὸ ### book 1.145.1 καὶ ἐπ’ ἄπειρον τέμνεται. τὰ δὲ μεταξὺ τούτων τὰ μὲν πρὸς ### book 1.145.2 τῷ πέρατι, τὰ δὲ πρὸς τῷ ἀπείρῳ ἐστί. πέρας οὖν καὶ τὸ ### book 1.145.3 σημεῖον ὑπάρχον ἐν τῇ μεθέξει τὴν οἰκείαν φυλάττει δύνα‐ ### book 1.145.4 μιν, ἔχον δὲ τὴν ἀπειρίαν κρυφίως ἀπειραχῶς ἐμφαίνεται ### book 1.145.5 ἐν τοῖς ὑπ’ αὐτοῦ περατουμένοις. καὶ ἐπεὶ δύναμις ἦν ἐκεῖ ### book 1.1 πάντα τίκτουσα, δυνάμει καὶ τοῦτο προῆλθεν φυλάττον ### book 1.2 μὲν τὴν ἀμερίαν, δεύτερον δὲ κατ’ οὐσίαν ὑπάρχον τῶν ### book 1.3 συνθέτων· μᾶλλον γὰρ ἡ ὕλη μετέσχεν τῶν σωμάτων ἢ τῆς ### book 1.4 ἐπιφανείας καὶ ταύτης μᾶλλον ἢ τῆς γραμμῆς καὶ ταύτης ### book 1 ἢ τοῦ σημείου· ὁ γὰρ τοῦ σημείου λόγος πάσης ἐξηγεῖται ### book 1.155.1 τῆς σειρᾶς. διὸ καὶ ἄλλα μὲν ἄλλων πέρατα, τὸ δὲ σημεῖον ### book 1.155.2 πάντων. ὅτι δὲ οὐ κατ’ ἐπίνοιάν ἐστι μόνον, ὡς οἱ ἀπὸ τῆς ### book 1.155.3 στοᾶς φασιν, ἀποβλέψασιν εἰς τὰς περιφορὰς καὶ τὰ κέντρα ### book 1.155.4 τούτων καὶ τοὺς πόλους γίνεται δῆλον· τά τε γὰρ κέντρα ### book 1.155.5 κατ’ οὐσίαν ὑφέστηκεν συνεκτικὰ τῶν σφαιρῶν ὄντα καὶ ### book 1.160.1 οἱ ἄξονες καὶ οἱ πόλοι. οὕτως καὶ ἐπὶ τοῖς κέντροις καὶ ### book 1.160.2 τοῖς πόλοις οἱ Πυθαγόρειοι τάττουσιν δύναμιν, Ῥέας μὲν ### book 1.160.3 σφραγίδα τοὺς πόλους ὀνομάζοντες, Ζανὸς δὲ πύργον τὸ ### book 1.160.4 τοῦ παντὸς κέντρον, ἰυγγικὰς δὲ καὶ φρουρητικὰς αὐτοῖς ### book 1.160.5 δυνάμεις ἀποδιδόασιν οἱ βάρβαροι. ἆρ’ οὖν τὸ σημεῖον μό‐ ### book 1.165.1 νον ἀμερὲς ἢ καὶ τὸ νῦν ἐν χρόνῳ καὶ ἡ μονὰς ἐν ἀριθμῷ ### book 1.165.2 καὶ τὸ κίνημα ἐν κινήσει; περὶ πάντων μὲν οὖν ὁ πρῶτος ### book 1.165.3 διαλέξεται φιλόσοφος, περὶ δὲ τῶν καθ’ ἕκαστα ὁ κατὰ ### book 1.165.4 τὴν οἰκείαν ἐπιστήμην· μόνον γὰρ οὐχὶ λέγει σαφῶς ὁ γεω‐ ### book 1.165.5 μέτρης, ὅτι τὸ κατ’ ἐμὲ ἀμερὲς σημεῖόν ἐστιν. ἐπειδὴ δὲ οἱ ### book 1.170.1 ἀποφατικοὶ λόγοι, ὥς φησιν ὁ Παρμενίδης, προσήκουσιν ### book 1.170.2 ταῖς ἀρχαῖς καὶ τοῖς πέρασι (πᾶσα γὰρ ἀρχὴ τῶν ἀπ’ ### book 1.170.3 αὐτῆς προϊόντων καθ’ ἑτέραν οὐσίαν ὑφέστηκεν, καὶ αἱ τού‐ ### book 1.170.4 των ἀποφάσεις τὴν ἐκείνων δηλοῦσιν ἡμῖν ὑπόστασιν), διὰ ### book 1.170.5 τοῦτο καὶ Εὐκλείδης τοῖς ἀποφατικοῖς ἐχρήσατο λόγοις ### book 1.175.1 ἐπὶ τῆς κατ’ αὐτὸν ἀρχῆς. οἱ δὲ Πυθαγόρειοι τὸ σημεῖον ### book 1.175.2 ὁρίζονται μονάδα θέσιν ἔχουσαν· οἱ γὰρ ἀριθμοὶ καὶ σχη‐ ### book 1.175.3 μάτων καὶ φαντασίας καθαρεύουσιν. τὸ δὲ σημεῖον ἐν φαν‐ ### book 1.175.4 τασίᾳ προτείνεται. πῶς οὖν οὐ μορφωτικῶς ὁρᾶται; ὅτι ### book 1.175.5 τῆς φανταστικῆς κινήσεως τὸ εἶδος οὔτε μεριστόν ἐστιν ### book 1.180.1 μόνως οὔτε ἀμερές· οὔτε γὰρ ἂν τοὺς πολλοὺς τύπους ### book 1.180.2 ὑπεδέχετο τοὺς δευτέρους τῶν πρώτων ἀμυδρῶν ὄντων. ### book 1.180.3 διττὴν οὖν ἔχουσα δύναμιν τὸ σημεῖον ἐν τῷ ἀμερεῖ αὐτῆς ### book 1.180.4 ὑποδέχεται. ### book 1.180.5 Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές. ### book 1.185.1 Δευτέραν ἔχει τάξιν ἡ γραμμή, καθ’ ὅσον τὸ πρῶτον ### book 1.185.2 ἔχει διάστημα καὶ ἁπλούστατον, ὅπερ ὁ γεωμέτρης μῆκος ### book 1.185.3 ἐκάλεσεν προσθεὶς τὸ ἀπλατές, ἐπειδὴ καὶ γραμμὴ πρὸς ### book 1.1 τὴν ἐπιφάνειαν ἀρχῆς ἐπέχει λόγον· διὸ τὸ μὲν σημεῖον ### book 1.2 ἀποφατικῶς μόνως ἐδίδαξεν, τὴν δὲ γραμμὴν καὶ ἀποφα‐ ### book 1.190.1 τικῶς καὶ καταφατικῶς. ἀπλατὴς δὲ ὡς τῶν ἄλλων καθα‐ ### book 1.190.2 ρεύουσα διαστημάτων· πᾶν γὰρ τὸ ἀπλατὲς καὶ ἀβαθές ### book 1.190.3 ἐστιν· διόπερ οὐ προσέθηκεν, ὅτι καὶ ἀβαθές. ἀλλ’ οὗτος ### book 1.190.4 μὲν ὁ ὅρος τέλειος, ὁ δὲ ῥύσιν εἰπὼν σημείου τὴν γραμμὴν ### book 1.190.5 ἔοικεν ἀπὸ τῆς γενικῆς αἰτίας αὐτὴν παράγειν καὶ οὐ πᾶ‐ ### book 1.195.1 σαν γραμμήν, ἀλλὰ τὴν ἄυλον· ταύτην γὰρ ὑφίστησι τὸ ### book 1.195.2 σημεῖον ἀμερὲς ὄν. ἀλλὰ ταῦτα μὲν οὕτως, οἱ δὲ Πυθαγό‐ ### book 1.195.3 ρειοι τὸ μὲν σημεῖον ἀνάλογον ἐλάμβανον μονάδι, δυάδι δὲ ### book 1.195.4 τὴν γραμμὴν καὶ τριάδι τὸ ἐπίπεδον, τετράδι δὲ τὸ σῶμα. ### book 1.195.5 καίτοι Ἀριστοτέλης τριαδικῶς προσεληλυθέναι φησὶ τὸ ### book 1.1 σῶμα ὡς διάστημα πρῶτον λαμβάνων τὴν γραμμήν. ### book 1.2 Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα. ### book 1.3 Πᾶν τὸ σύνθετον ἀπὸ τοῦ ἁπλοῦ, καὶ πᾶν τὸ μεριστὸν ### book 1.4 ἀπὸ τοῦ ἀμερίστου καταδέχεται τὸν ὅρον, καὶ τούτων ### book 1.5 εἰκόνες ταῖς ἀρχαῖς προτείνονται τῶν μαθημάτων. ὅταν ### book 1.205.1 γὰρ τὴν γραμμὴν ὑπὸ τῶν σημείων περατοῦσθαι λέγει, ### book 1.205.2 δῆλός ἐστιν αὐτὴν καθ’ αὑτὴν ἄπειρον ποιῶν. ὥσπερ οὖν ### book 1.205.3 ἡ δυὰς ὑπὸ τῆς μονάδος ὁρίζεται, οὕτως καὶ ἡ γραμμὴ ὑπὸ ### book 1.205.4 σημείου. ἀλλ’ ἐν μὲν φαντασίᾳ καὶ τοῖς αἰσθητοῖς αὐτὰ τὰ ### book 1.205.5 σημεῖα περατοῖ, ἐν δὲ τοῖς ἄλλοις εἴδεσι προϋφέστηκεν ὁ ### book 1.210.1 ἀμέριστος τοῦ σημείου λόγος, προιὼν δ’ ἐκεῖθεν οὗτος ὁ ### book 1.210.2 πρῶτος ἐπ’ ἄπειρον ἑαυτὸν διαστήσας καὶ κινούμενος ἐπ’ ### book 1.210.3 ἄπειρον καὶ ῥέων κρατεῖται μὲν ὑπὸ τῆς οἰκείας ἀρχῆς, ### book 1.210.4 ἑνίζεται δὲ ὑπ’ αὐτῆς καὶ περιλαμβάνεται. ἐκεῖ μὲν οὖν, ### book 1.210.5 ὅπερ ἔφην, τὸ πέρας ἐξῄρηται, ἐνταῦθα δὲ τὸ ἐν αὐτῷ ### book 1.215.1 ὑφεστός, καὶ τοῦτο φέροι ἂν ἔνδειξιν θαυμαστὴν τοῦ τὰ ### book 1.215.2 εἴδη μένοντα μὲν ἐφ’ ἑαυτῶν κατ’ αἰτίαν προηγεῖσθαι τῶν ### book 1.215.3 μετεχόντων, ἐπιδόντα δὲ ἐκείνοις ἑαυτὰ κατὰ τὴν ἐκείνων ### book 1.215.4 ἰδιότητα τὴν ὑπόστασιν λαμβάνειν συμπληθυνόμενα τοῖς ### book 1.215.5 ὑποκειμένοις καὶ ἀποπίπτοντα τῆς οἰκείας φύσεως. καὶ ### book 1.220.1 μὴν καὶ τοῦτο χρὴ εἰδέναι, ὅτι τριχῶς τῇ γραμμῇ κέχρηται ### book 1.220.2 ὁ γεωμέτρης· καὶ γὰρ ὡς ἐφ’ ἑκάτερα πεπερασμένῃ, ὡς ### book 1.1 ἐπὶ τοῦ πρώτου θεωρήματος, καὶ ἐφ’ ἑκάτερα ἀπείρᾳ, ὡς ### book 1.2 ὅταν λέγῃ ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον, καὶ ὡς πε‐ ### book 1.3 περασμένῃ μὲν κατὰ τὸ ἕτερον, ἀπείρῳ δὲ κατὰ τὸ ἕτερον, ### book 1.225.1 ὡς ἐπ’ ἐκείνου τοῦ προβλήματος· ἐκ τριῶν εὐθειῶν, αἵ ### book 1.225.2 εἰσιν ἴσαι ταῖς δοθείσαις εὐθείαις, τρίγωνον συστήσασθαι. ### book 1.225.3 πρὸς δὲ τούτοις κἀκείνῳ ἐπιστήσωμεν, ὅτι γραμμῆς πέ‐ ### book 1.225.4 ρατά φησι σημεῖα οὔτε τῆς ἀπείρου οὔτε πάσης τῆς πεπε‐ ### book 1.225.5 ρασμένης· ἔστι γάρ τις γραμμὴ καὶ πεπερασμένη καὶ οὐκ ### book 1.230.1 ἔχουσα πέρατα σημεῖα, οἵα ἡ κυκλικὴ καὶ εἴ τις τοιαύτη. ### book 1.230.2 μήποτε οὖν γραμμὴν ὁρᾶν δεῖ, καθ’ ὅσον ἐστὶ γραμμή. ### book 1.230.3 Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ’ ἑαυτῆς ση‐ ### book 1.230.4 μείοις κεῖται. ### book 1.230.5 Πλάτων μὲν δύο τὰ ἁπλούστατα γραμμῆς εἴδη θέμενος ### book 1.235.1 εὐθεῖαν καὶ περιφερῆ τἄλλα πάντα ἐκ τούτων ὑφίστησι ### book 1.235.2 κατὰ μίξιν, ὅσα τε ἑλικοειδῆ καὶ ὅσα κατὰ τὰς τομὰς ### book 1.235.3 ὑφίσταται εἴδη καμπύλων γραμμῶν. καὶ ἔοικεν τὸ μὲν ση‐ ### book 1.235.4 μεῖον εἰκόνα φέρειν τοῦ ἑνός· ἀμερὲς γὰρ καὶ τοῦτο. καὶ ### book 1.235.5 ἐπειδὴ μετὰ τὸ ἓν ὑπέστη τὸ πέρας, τὸ ἄπειρον, τὸ μικτόν, ### book 1.240.1 καὶ αἱ τῶν γραμμῶν ἰδιότητες ἀπεικονίζονται τὰ τρία ### book 1.240.2 ἐκεῖνα, καὶ τῷ μὲν πέρατι ἀνάλογον ἡ περιφέρεια, τῷ δ’ ### book 1.240.3 ἀπείρῳ τὸ εὐθύ· ἐπ’ ἄπειρον γὰρ ἐκβαλλόμενον οὐ παύεται· ### book 1.240.4 τῷ δὲ μικτῷ τὸ ἐκ τούτων μικτόν. καὶ μέντοι καὶ Ἀριστο‐ ### book 1.240.5 τέλης περὶ τῶν γραμμῶν τὴν αὐτὴν ἔχει τῷ Πλάτωνι ### book 1.245.1 διάνοιαν. ἀμφισβητοῦσι δέ τινες πρὸς τὴν διαίρεσιν ταύτην ### book 1.245.2 καί φασιν μὴ δύο μόνας εἶναι τὰς ἁπλᾶς, ἀλλὰ καὶ τρίτην ### book 1.245.3 ἄλλην τὴν περὶ κύλινδρον ἕλικα γραφομένην· καὶ αὕτη ### book 1.245.4 γάρ, φασίν, ὁμοιομερὴς ὥσπερ αἱ ἄλλαι αἱ ἁπλαῖ ἥ τε περι‐ ### book 1.245.5 φερής· ἐφαρμόζει γὰρ καὶ ταύτης τὰ μόρια ἑαυτοῖς, τῶν ### book 1.1 ἄλλων μικτῶν οὐκ ἐχουσῶν τοῦτο τὸ ἰδίωμα. οὔτε γὰρ ἡ ### book 1.2 περὶ κῶνον οὔτ’ ἡ περὶ σφαῖραν οὔτ’ ἡ περὶ ἄλλο σχῆμα ### book 1.3 ὁμοιομερής. μήποτε οὖν, φασί, τρεῖς αἱ ἁπλούσταται γραμ‐ ### book 1.4 μαί; λέξομεν δὴ πρὸς αὐτούς, ὅτι ὁμοιομερὴς μὲν ἡ τοιαύτη ### book 1.5 γραμμή, καὶ δέδειχεν Ἀπολλώνιος τοῦτο ἐν τῷ περὶ ἑλίκων, ### book 1.255.1 ἁπλῆ δὲ οὐδαμῶς ἐστιν· οὐ γὰρ ταὐτὸν ὁμοιομερὲς καὶ ### book 1.255.2 ἁπλοῦν· ὁμοιομερὴς μὲν γὰρ καὶ χρυσὸς καὶ ἄργυρος, ἀλλ’ ### book 1.255.3 οὐχ ἁπλοῦν. οὐδὲ ἡ τῆς κυλινδρικῆς ἕλικος γένεσις ἁπλῆ· ### book 1.255.4 γεννᾶται γὰρ τῆς μὲν εὐθείας κύκλῳ κινουμένης περὶ τὸν ### book 1.255.5 ἄξονα, τοῦ δὲ σημείου ἐπὶ τῆς εὐθείας. δύο τοίνυν αἱ κινή‐ ### book 1.260.1 σεις αἱ ἀπογεννῶσαι καὶ τὴν τοιαύτην ἕλικα· οὐκ ἄρα τὸ ### book 1.260.2 ἁπλοῦν ἀποδώσομεν αὐτῇ, καὶ ὀρθῶς ὁ Γεμῖνος ἐκ πλειόνων ### book 1.260.3 μὲν κινήσεων ὑφίστασθαι καί τινα τῶν ἁπλῶν γραμμῶν· οὐ ### book 1.260.4 μέντοι πᾶσαν εἶναι τὴν τοιαύτην μικτήν, ἀλλὰ τὴν ἐξ ἀν‐ ### book 1.260.5 ομοίων. καὶ γὰρ εἰ τετράγωνον νοήσειας καὶ δύο κινήσεις ### book 1.265.1 ἰσοταχεῖς τὴν μὲν κατὰ τὸ μῆκος, τὴν δὲ κατὰ τὸ πλάτος, ### book 1.265.2 ὑποστήσεται ἡ διαγώνιος εὐθεῖα οὖσα καὶ οὐ διὰ τοῦτο ### book 1.265.3 μικτή. δόξειε δ’ ἂν ἀμφοτέρων οὐσῶν ἁπλῶν προηγεῖσθαι ### book 1.265.4 τῆς περιφεροῦς γραμμῆς ἡ εὐθεῖα· ἐπὶ ταύτης μὲν γὰρ ### book 1.265.5 οὐδὲ κατ’ ἐπίνοιάν ἐστιν ἀνομοιότης, ἐπὶ δὲ τοῦ περιφε‐ ### book 1.270.1 ροῦς τὸ κοῖλον ὁρᾶται καὶ κυρτὸν διαφέροντα, καὶ ἡ εὐθεῖα ### book 1.270.2 οὐ συνεισάγει τὴν περιφέρειαν, συνεισάγεται δέ· καὶ γὰρ ### book 1.270.3 εἰ μὴ κατὰ γένεσιν, κατά γε τὴν πρὸς τὸ κέντρον σχέσιν. ### book 1.270.4 τί οὖν, εἰ λέγοι τις καὶ τὴν περιφέρειαν δεῖσθαι τῆς εὐθείας ### book 1.270.5 κατὰ τὴν γένεσιν; ὁ γὰρ κύκλος μενούσης τῆς εὐθείας κατὰ ### book 1.275.1 τὸ ἓν πέρας, κατὰ δὲ τὸ ἕτερον κινουμένης γίνεται. ἢ τὸ ### book 1.275.2 γράφον τὸν κύκλον τὸ σημεῖόν ἐστιν περὶ τὸν κύκλον ### book 1.275.3 φερόμενον; τὴν γὰρ ἀπόστασιν μόνον αὕτη ἀφορίζει. ἀλλὰ ### book 1.275.4 ταῦτα μὲν οὕτως, καὶ ἁπλαῖ μόνον αἱ δύο, καὶ διὰ ταύτην ### book 1.275.5 τὴν αἰτίαν καὶ ἡ ψυχὴ ἐκ τῶν δύο, περιφεροῦς καὶ εὐθείας, ### book 1.280.1 ὑπέστη ἐκ πέρατος καὶ ἀπείρου, ἵνα τὰ ἄλλα πάντα κατευ‐ ### book 1.280.2 θύνῃ, διὰ μὲν τοῦ πέρατος τὴν τοῦ πέρατος συστοιχίαν, διὰ ### book 1.280.3 δὲ τοῦ ἀπείρου τὴν ἑτέραν· τῷ μὲν εὐθεῖ τὴν πρόοδον ### book 1.280.4 ὑφίσταται, τῷ δὲ περιφερεῖ τὴν ἐπιστροφήν. καὶ μὴν καὶ ὁ τῇ ### book 1.280.5 ψυχῇ ταύτας τὰς δυνάμεις παραδοὺς ἀμφοτέρων ἔχει τὰς ### book 1.285.1 πρωτουργοὺς αἰτίας· καὶ γὰρ πρὸς ἑαυτὸν ἐπέστραπται ### book 1.285.2 μένων, ὥς φησιν Πλάτων, ἐν τῷ ἑαυτοῦ κατὰ τρόπον ἤθει, ### book 1.285.3 καὶ ἐπὶ πάντα πρόεισιν ταῖς δημιουργικαῖς προνοίαις. ### book 1.1 Καὶ τοσαῦτα μὲν ἄν τις λέγοι καὶ περὶ τῆς πρὸς τὰ ὄντα ### book 1.2 τῶν εἰδῶν ὁμοιότητος· τὸν δὲ ὅρον τῆς εὐθείας τοῦτον ### book 1.290.1 ἀποδέδωκεν τὸν τρόπον καὶ δηλοῖ διὰ τούτων τὸ μόνην ### book 1.290.2 τὴν εὐθεῖαν ἴσον κατέχειν διάστημα τῷ μεταξὺ τῶν ἐπ’ ### book 1.290.3 αὐτῆς σημείων· ὅσον γὰρ ἀπέχει θάτερον ἀπὸ θατέρου ### book 1.290.4 σημεῖον, τοσοῦτον ἔχει καὶ ἡ μεταξὺ τούτων εὐθεῖα τὸ ### book 1.290.5 διάστημα, ὅπερ οὔτ’ ἐπὶ τῆς περιφεροῦς οὔτ’ ἐπὶ ἄλλης ### book 1.295.1 γραμμῆς σημαίνει. διὸ καὶ κατὰ κοινὴν ἔννοιαν τοὺς μὲν ### book 1.295.2 ἐπ’ εὐθείας βαδίζοντας τὴν ἀναγκαίαν μόνην ποιεῖσθαι ### book 1.295.3 πορείαν φασίν, τοὺς δὲ μὴ ἐπ’ εὐθείας οὐκέτι. ὁ δέ γε Πλά‐ ### book 1.295.4 των ἀφορίζεται τὴν εὐθεῖαν γραμμήν, ἧς τὰ μέσα τοῖς ### book 1.295.5 ἄκροις ἐπιπροσθεῖ. καὶ γὰρ τοῦτο τὰ μὲν ἐπ’ εὐθείας κεί‐ ### book 1.1 μενα πάσχειν ἀναγκαῖον, τὰ δ’ ἐπὶ ἑτέρας οἱασοῦν γραμμῆς ### book 1.2 οὐκέτι ἀναγκαῖον, ὅθεν καὶ τὸν ἥλιον ἐκλείπειν τότε φασίν, ### book 1.3 ὅτε ἐπὶ μιᾶς εὐθείας γένηται αὐτός τε καὶ ἡ σελήνη καὶ ### book 1.4 τὸ ἡμέτερον ὄμμα. ἴσως δ’ ἂν ἔνδειξιν φέροι τὸ πάθος τοῦτο ### book 1.5 τῆς εὐθείας τοῦ καὶ ἐν τοῖς οὖσι κατὰ τὰς προόδους τὰς ἀπὸ ### book 1.305.1 τῶν αἰτιῶν τὰ μέσα διαιρετικὰ γίνεσθαι τῆς τῶν ἄκρων ### book 1.305.2 ὑποστάσεως. ὁ δ’ αὖ Ἀρχιμήδης τὴν εὐθεῖαν γραμμὴν ### book 1.305.3 ἐλαχίστην τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν· καὶ μὴν καὶ οἱ ### book 1.305.4 ἄλλοι πάντες ὁρισμοὶ εἰς τὰς αὐτὰς ἐννοίας ἐμπίπτουσιν. ### book 1.305.5 διαιρεῖται δὲ ἡ γραμμὴ διαφόρως μὲν κατὰ Γεμῖνον καὶ ### book 1.310.1 ἄλλους τινὰς τῶν καὶ τὰς μικτὰς λαμβανόντων γραμμὰς ### book 1.310.2 εἰς τὴν διαίρεσιν. ὁ δὲ γεωμέτρης τὰς ἀρχοειδεστάτας ### book 1.310.3 παραδιδοὺς ἐνταῦθα μὲν τὸν τῆς εὐθείας ἀποδέδωκεν λό‐ ### book 1.310.4 γον, ἐν δὲ τῷ περὶ τοῦ κύκλου τῆς περιφεροῦς, μικτῆς δὲ ### book 1.310.5 οὐδαμοῦ μέμνηται· καίτοι γωνίας οἶδεν μικτὰς τὴν τῶν ### book 1.315.1 ἡμικυκλίων, τὴν κερατοειδῆ, καὶ σχήματα ἐπίπεδα μικτὰ ### book 1.315.2 τοὺς τομέας καὶ στερεὰ τοὺς κώνους καὶ κυλίνδρους, τῶν δὲ ### book 1.315.3 γραμμῶν διαλεγόμενος τούτων μόνον ἐμνημόνευσεν ἡγού‐ ### book 1.315.4 μενος δεῖν τοῖς περὶ τῶν ἁπλῶν τὰ ἁπλᾶ παραλαμβάνειν. ### book 1.315.5 Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει. ### book 1.320 Ἡ ἐπιφάνεια διχῆ διαστᾶσα καὶ ταύτῃ ὑποβᾶσα τήν τε ### book 1.1 γραμμὴν καὶ τὸ σημεῖον ἀβαθὴς μείνασα τοῦ τριχῆ δια‐ ### book 1.2 στάντος ἁπλουστέραν ἔλαχεν φύσιν· διὸ καὶ ὁ γεωμέτρης ### book 1.3 τὸ μόνον προσέθηκεν ἐπὶ τοῖς δύο διαστήμασιν, ἵνα κἀν‐ ### book 1.4 ταῦθα τὴν μὲν ὑπεροχὴν τῆς ἐπιφανείας τὴν κατὰ τὴν ### book 1.325.1 ἁπλότητα τὴν πρὸς τὸ στερεὸν σημαίνῃ διὰ τῆς ἀποφάσεως ### book 1.325.2 ἢ τῆς ἰσοδυναμούσης τῇ ἀποφάσει προσθήκης, τὴν δὲ ὕφ‐ ### book 1.325.3 εσιν τὴν πρὸς τὰ πρὸ αὐτῆς διὰ τῶν καταφάσεων. ἄλλοι δὲ ### book 1.325.4 πέρας αὐτὴν ὡρίσαντο σώματος· τὸ γὰρ περατοῦν τοῦ ### book 1.325.5 περατουμένου μιᾷ λείπεται διαστάσει, ὡς ἐπιφάνεια σώμα‐ ### book 1.330.1 τος, ἐπιφανείας δὲ γραμμή, γραμμῆς δὲ σημεῖον. ### book 1.330.2 Ἐπιφανείας δὲ πέρατα γραμμαί. ### book 1.330.3 Καὶ ἀπὸ τούτων ὡς εἰκόνων ληπτέον, ὅτι πᾶν τὸ προσ‐ ### book 1.330.4 εχῶς ἑκάστου τῶν ὄντων ἁπλούστερον τὸν ὅρον ἐπάγει καὶ ### book 1.330.5 τὸ πέρας. καὶ γὰρ ἡ ψυχῆς τὴν φύσιν μετρεῖ καὶ τὰς ἐνερ‐ ### book 1.335.1 γείας αὐτῆς καὶ νοῦς τὰς ψυχῆς περιόδους καὶ αὐτοῦ τοῦ ### book 1.335.2 νοῦ τὴν ζωὴν τὸ ἕν· πάντων γὰρ ἐκεῖνο μέτρον, ὥσπερ καὶ ### book 1.335.3 σημεῖον γραμμῆς καὶ ἐπιφανείας καὶ σώματος. εἰ δέ τις ### book 1.335.4 ἐπιζητοίη, πῶς πάσης ἐπιφανείας πέρατα γραμμαί (μὴ ### book 1.335.5 γὰρ τῆς πεπερασμένης πάσης· οὐδὲ γὰρ τῆς σφαίρας ἐπι‐ ### book 1.340.1 φάνεια ὑπὸ τῶν γραμμῶν περιέχεται), ἐροῦμεν, ὅτι τὴν ### book 1.340.2 ἐπιφάνειαν, καθ’ ὅσον ἐστὶ διχῆ διαστατή, λαμβάνομεν ### book 1.340.3 κατά τε μῆκος καὶ πλάτος. εἰ δὲ τὴν σφαιρικὴν θεωροῖμεν, ### book 1.340.4 ἐσχηματισμένην αὐτὴν καὶ προσλαβοῦσαν ἄλλην ποιότητα ### book 1.340.5 λαμβάνομεν καὶ πέρας ἀρχῇ συνάψασαν καὶ ἐκ τῶν δύο ### book 1.345.1 περάτων ἓν ποιήσασαν, καὶ τοῦτο δυνάμει μόνον καὶ οὐ ### book 1.345.2 κατ’ ἐνέργειαν. ### book 1.345.3 Ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφ’ ἑαυτῆς ### book 1.345.4 εὐθείαις κεῖται. ### book 1.345.5 Τοῖς μὲν παλαιοτέροις τῶν φιλοσόφων οὐκ ἐδόκει τῆς ### book 1.1 ἐπιφανείας εἶδος τίθεσθαι τὸ ἐπίπεδον, ἀλλ’ ὡς ταὐτὸν ### book 1.2 ἑκάτερον παραλαμβάνειν εἰς παράστασιν τοῦ διχῆ διαστάν‐ ### book 1.3 τος· οὕτω γὰρ καὶ ὁ θεῖος Πλάτων τὴν γεωμετρίαν τῶν ### book 1.1 ἐπιπέδων ἔφατο θεωρητικήν, πρὸς τὴν στερεομετρίαν ταύ‐ ### book 1.2 την ἀντιδιαιρῶν ὡς ἂν τῆς αὐτῆς οὔσης τῷ ἐπιπέδῳ τῆς ### book 1.355.1 ἐπιφανείας. ὁ δ’ Εὐκλείδης γένος μὲν ποιεῖ τὴν ἐπιφάνειαν, ### book 1.355.2 εἶδος δὲ τὸ ἐπίπεδον, ὡς τῆς γραμμῆς τὴν εὐθεῖαν. διὸ καὶ ### book 1.355.3 τὸ ἐπίπεδον χωρὶς ἀφορίζεται τῆς ἐπιφανείας κατὰ τὸ ἀνά‐ ### book 1.355.4 λογον τῇ εὐθείᾳ· πάντας γὰρ τοὺς τῆς εὐθείας ὅρους εἰς ### book 1.355.5 τὸ ἐπίπεδον μετάγουσι τὸ γένος μόνον μεταλλάττοντες, ### book 1.360.1 καὶ ὁ γεωμέτρης ταύτην ὡρίσατο καὶ ἐπὶ ταύτης ὑπο‐ ### book 1.360.2 κειμένης θεωρεῖ τά τε σχήματα καὶ πάθη. εὐπορώτερος ### book 1.360.3 γὰρ ὁ λόγος ἐπὶ ταύτης ἢ ἐπ’ ἄλλης ἐπιφανείας. καὶ γὰρ ### book 1.360.4 εὐθεῖαν καὶ κύκλον καὶ πάντα σχήματα καὶ τὰ τούτων ### book 1.360.5 πάθη δυνατὸν θεωρῆσαι· ἐπὶ γὰρ τῶν ἄλλων, οἷον σφαιρι‐ ### book 1.365.1 κῆς, πῶς ἂν εὐθεῖαν λάβοις; ### book 1.365.2 Ἐπίπεδος δὲ γωνία ἐστὶν ἡ ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμῶν ### book 1.365.3 ἁπτομένων ἀλλήλων καὶ μὴ ἐπ’ εὐθείας κειμένων ἡ πρὸς ### book 1.365.4 ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις. ### book 1.365.5 Τὴν γωνίαν οἱ μὲν τῶν παλαιῶν ἐν τῇ τοῦ πρός τι τάτ‐ ### book 1.370.1 τουσι κατηγορίᾳ καὶ λέγουσιν κλίσιν αὐτὴν εἶναι γραμμῶν ἢ ### book 1.370.2 ἐπιπέδων πρὸς ἄλληλα κεκλιμένων· οἱ δέ τινες ποιότητά ### book 1.370.3 φασιν, ὡς τὸ εὐθὺ καὶ καμπύλον πάθος τοιόνδε λέγουσιν ### book 1.370.4 ἐπιφανείας ἢ στερεοῦ· οἱ δὲ εἰς ποσότητα ἀναφέροντες ### book 1.370.5 ἐπιφάνειαν ἢ στερεὸν αὐτὴν εἶναι συγχωροῦσι· διαιρεῖται ### book 1.375.1 γάρ, φασίν, ἡ μὲν ἐν ταῖς ἐπιφανείαις ὑπὸ γραμμῆς, ἡ δ’ ### book 1.375.2 ἐν τοῖς στερεοῖς ὑπὸ ἐπιπέδου, τὰ δὲ ὑπὸ τούτων διαιρού‐ ### book 1.375.3 μενα οὐκ ἄλλο τί ἐστιν ἢ μέγεθος, καὶ τοῦτο οὐ γραμμή· ### book 1.375.4 αὕτη γὰρ ὑπὸ σημείου διαιρεῖται· λείπεται οὖν αὐτὴν ἐπι‐ ### book 1.375.5 φάνειαν ἢ στερεὸν εἶναι. καὶ οὕτως ἕκαστος, εἰς ὃ βούλεται, ### book 1.380.1 τὴν γωνίαν ἕλκων ἄγει ὑπὸ κατηγορίαν οἱ μὲν ὑπὸ τὸ πρός ### book 1.380.2 τι, οἱ δὲ ὑπὸ ποιότητα, οἱ δὲ ὑπὸ ποσότητα. καὶ ἀντιπί‐ ### book 1.380.3 πτουσι πρῶτον μὲν πρὸς τοὺς μέγεθος λέγοντας τὴν γωνίαν ### book 1.380.4 λόγοι τοιοῦτοι· εἰ μέγεθος ἡ γωνία, τὰ δὲ ὁμογενῆ μεγέθη ### book 1.380.5 πεπερασμένα ὄντα λόγον ἔχει πρὸς ἄλληλα, καὶ αἱ γωνίαι ### book 1.385.1 αἱ ὁμογενεῖς, οἷον αἱ ἐν ἐπιφανείᾳ, λόγον ἕξουσι πρὸς ἄλλη‐ ### book 1.385.2 λα· ὥστε καὶ ἡ κερατοειδὴς πρὸς τὴν εὐθύγραμμον λόγον ### book 1.1 ἕξει. τὰ δὲ λόγον ἔχοντα πρὸς ἄλληλα δύναται πολλαπλα‐ ### book 1.2 σιαζόμενα ὑπερέχειν ἀλλήλων· καὶ κερατοειδὴς ἄρα πολλα‐ ### book 1.3 πλασιαζομένη ὑπερέξει ποτὲ τῆς εὐθυγράμμου ἡ πάσης ### book 1.390.1 ὀξείας εὐθυγράμμου ἐλάττων δειχθεῖσα. οὐκ ἄρα μέγεθος ### book 1.390.2 ἡ γωνία. καὶ μὴν καὶ εἰ ποιότης μόνον ἐστίν, ὡς ἡ θερμό‐ ### book 1.390.3 της καὶ ψυχρότης, πῶς εἰς ἴσα διαιρετή ἐστιν; τῆς γὰρ ### book 1.390.4 ποιότητος τὸ ἴσον καὶ ἄνισον οὐκ ἔστιν, ἀλλὰ τὸ μᾶλλον ### book 1.390.5 καὶ ἧττον, ὥσπερ τῆς ποσότητος τὸ ἴσον καὶ ἄνισον. οὐ ### book 1.395.1 λεκτέον τοίνυν ἴσον καὶ ἄνισον, ἀλλὰ μᾶλλον γωνίαν καὶ ### book 1.395.2 ἧττον γωνίαν· καίτοι γωνίας γωνία οὐ διαφέρει· τὸν γὰρ ### book 1.395.3 αὐτὸν ἐπιδέχεται πᾶσα γωνία λόγον. τὸ δὴ τρίτον, εἰ κλίσις ### book 1.395.4 ἐστὶν ἡ γωνία καὶ ὅλως τῶν πρός τι, συμβήσεται μιᾶς ### book 1.395.5 οὔσης κλίσεως μίαν εἶναι καὶ γωνίαν, ἀλλ’ οὐ πλείους· εἰ ### book 1.1 γὰρ μηδέν ἐστιν ἄλλο παρὰ τὴν σχέσιν γωνία, τίς μηχανὴ ### book 1.2 μίαν μὲν εἶναι σχέσιν, πλείους δὲ τὰς γωνίας; εἰ τοίνυν ### book 1.3 νοήσειας κῶνον τῷ διὰ τῆς κορυφῆς ἄχρι τῆς βάσεως τεμ‐ ### book 1.4 νόμενον τριγώνῳ, μίαν μὲν θεωρήσεις κλίσιν τῶν γραμ‐ ### book 1.5 μῶν τῶν πλευρῶν τοῦ τριγώνου, δύο δὲ γωνίας, τήν τε τοῦ ### book 1.405.1 τριγώνου τὴν περιεχομένην ὑπὸ τῶν πλευρῶν, ἑτέραν δὲ ### book 1.405.2 τὴν ἐπὶ τῆς μικτῆς ἐπιφανείας τοῦ κώνου, περιεχομένην ### book 1.405.3 δ’ ἑκατέραν ὑπὸ τῶν δυεῖν γραμμῶν. οὐκ ἄρα ἡ τούτων ### book 1.405.4 σχέσις ἐποίει τὴν γωνίαν. ἀλλὰ μὴν ἀναγκαῖον ποιότητα ### book 1.405.5 λέγειν αὐτὴν ἢ ποσὸν ἢ πρός τι· πάντα γὰρ τὰ τῆς γεωμετρίας ### book 1.410.1 ὑποκείμενα ὑπὸ μίαν τούτων ἀνάγεται· τὰ μὲν γὰρ μεγέθη ### book 1.410.2 ποσότητός ἐστι, τὰ δὲ σχήματα ποιότητος, οἱ δὲ λόγοι πρὸς ### book 1.410.3 ἄλληλα τούτων τῶν πρός τι. ὥστε καὶ τὴν γωνίαν ὑφ’ ἓν ### book 1.410.4 τούτων ἀνάξομεν. τοιούτων δὲ τῶν ἀπόρων ὄντων τὴν γω‐ ### book 1.410.5 νίαν αὐτὴν μὲν καθ’ ἑαυτὴν μηδὲν εἶναι τῶν εἰρημένων, διὰ ### book 1.415.1 δὲ τῆς πάντων τούτων συνδρομῆς ἔχειν τὴν ὑπόστασιν. ἔστι ### book 1.415.2 δὲ οὐχ ἡ γωνία μόνον τοιοῦτον, ἀλλὰ καὶ τὸ τρίγωνον, καὶ ### book 1.415.3 ἴσον λέγεται τρίγωνον καὶ ἄνισον, ὡς ποσόν, ἀλλὰ μὴν ### book 1.415.4 ἔχει καὶ τὴν κατὰ τὸ σχῆμα ποιότητα, ἔχει δὲ καὶ τὴν τῶν ### book 1.415.5 γραμμῶν πρὸς ἄλληλα κλίσιν. καὶ ἡ γωνία τοίνυν δεῖται ### book 1.420.1 καὶ ποιότητος, καθ’ ἣν οἷον μορφὴν οἰκείαν ἔχει καὶ χαρακ‐ ### book 1.420.2 τῆρα τῆς ὑπάρξεως· δεῖται καὶ τῆς σχέσεως τῶν ἀφορι‐ ### book 1.420.3 ζουσῶν αὐτὴν γραμμῶν, καὶ διαιρετὴ μέντοι ἐστὶν καὶ ### book 1.420.4 ἰσότητος καὶ ἀνισότητος δεκτική, οὐκ ἀναγκάζεται δὲ τὸν ### book 1.420.5 λόγον ἐπιδέχεσθαι τῶν ὁμογενῶν μεγεθῶν διὰ τὸ καὶ ποι‐ ### book 1.425.1 ότητα ἰδιάζουσαν ἔχειν, καθ’ ἣν ἀσύμβλητοί εἰσιν πολλάκις ### book 1.425.2 γωνίαι ἄλλαι ἄλλαις. εἰ δὴ πρὸς τούτους ἀποβλέποιμεν ### book 1.425.3 τοὺς προσδιορισμούς, καὶ τὰ ἄπορα διαλύσομεν καὶ τὴν ### book 1.425.4 ἰδιότητα τῆς γωνίας εὑρήσομεν. ἀλλὰ ταῦτα μὲν οὕτως· ### book 1.425.5 τῶν δὲ γωνιῶν τὰς μὲν ἐν ἐπιφανείᾳ συνίστασθαι λεκτέον, ### book 1.430.1 τὰς δ’ ἐν στερεοῖς, καὶ τῶν ἐν ἐπιφανείαις τὰς μὲν ἐν ### book 1.430.2 ἁπλαῖς, τὰς δ’ ἐν μικταῖς· καὶ γὰρ ἐν τῇ κυλινδρικῇ ἐπι‐ ### book 1.430.3 φανείᾳ γένοιτ’ ἂν καὶ ἐν τῇ κωνικῇ· τῶν δ’ ἐν ταῖς ἁπλαῖς ### book 1.430.4 αἱ μὲν ἐν ταῖς σφαίραις, αἱ δὲ ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἔχουσι τὴν ### book 1.430.5 σύστασιν. τῶν δ’ ἐν τοῖς ἐπιπέδοις αἱ μὲν ὑπὸ ἁπλῶν περι‐ ### book 1.435.1 έχονται γραμμῶν, αἱ δὲ ὑπὸ μικτῶν, αἱ δὲ ὑπ’ ἀμφοτέρων· ### book 1.435.2 ἐν γὰρ τῷ θυρεῷ περιέχεται γωνία τις ὑπὸ τοῦ ἄξονος καὶ ### book 1.435.3 τῆς τοῦ θυρεοῦ γραμμῆς, καὶ τούτων ἡ μέν ἐστιν ἁπλῆ, ἡ ### book 1.435.4 δὲ μικτή, καὶ ὅλως πολλαὶ τοιαῦται διαφοραὶ τοῖς φιλο‐ ### book 1.435.5 μαθοῦσιν ὀφθήσονται. ταύτας τοίνυν ἁπάσας τὰς ἐν ἐπι‐ ### book 1.440.1 πέδοις συνισταμένας ὁ γεωμέτρης ἐν τούτοις ἀφορίζεται, ### book 1.440.2 κοινὸν ὄνομα θέμενος αὐταῖς τὸ τῆς ἐπιπέδου γωνίας, τὸ ### book 1.440.3 μὲν γένος αὐτῶν κλίσιν εἰπών, τὸν δὲ τόπον ἐπίπεδον. καὶ ### book 1.440.4 γὰρ δύο περιφέρειαι ἐφαπτόμεναι ἢ τέμνουσαι ἀλλήλας ποι‐ ### book 1.440.5 οῦσι γωνίας, καὶ αὖ τρεῖς· ἢ γὰρ ἀμφικύρτους, ὅταν ἐκτὸς ### book 1.445.1 ᾖ τὰ κυρτά, ἢ ἀμφικοίλους, ὅταν ἀμφότερα τὰ κοῖλα ἐκτὸς ### book 1.445.2 ὑπάρχῃ, ἃς καλοῦσι ξυστροειδεῖς, ἢ μικτὰς ἀπὸ κυρτῆς ### book 1.445.3 καὶ κοίλης, ὡς τὰς τῶν μηνίσκων, ἢ ἐξ εὐθείας καὶ περι‐ ### book 1.445.4 φερείας, ὡς τὰς τῶν ἡμικυκλίων καὶ τὰς κερατοειδεῖς· ### book 1.445.5 πᾶσαι γὰρ αἱ τοιαῦται ὑπὸ τοῦτον ἐνεχθήσονται τὸν ὅρον. ### book 1.1 ἀλλὰ τὸ μὲν γένος αὐτῶν οὕτως ἀφωρίσατο, τὴν δὲ γένε‐ ### book 1.2 σιν, ὅτι δύο εἶναι χρὴ γραμμὰς καὶ οὐ τρεῖς τοὐλάχιστον, ### book 1.1 ὥσπερ ἐπὶ τῆς στερεᾶς γωνίας, καὶ ταύτας ὁμιλεῖν ἀλλή‐ ### book 1.2 λαις καὶ ὁμιλούσας μὴ κεῖσθαι ἐπ’ εὐθείας· ἔκτασις γὰρ ### book 1.3 οὕτως, ἀλλ’ οὐ κλάσις καὶ περιοχὴ γίνεται τῶν γραμμῶν, ### book 1.455.1 ἀλλὰ μὴ ἔκτασις μόνον καθ’ ἓν διάστημα. δοκεῖ δὲ ὁ λόγος ### book 1.455.2 οὗτος πρῶτον μὲν ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς οὐ συγχωρεῖν ἀπο‐ ### book 1.455.3 τελεῖσθαι γωνίαν· καίτοι γε ἡ κισσοειδὴς καὶ ἱπποπέδη ### book 1.455.4 ποιεῖ μία οὖσα ἑκατέρα. ἔπειτα κλίσιν ἀφοριζόμενος τὴν ### book 1.455.5 γωνίαν πλὴν τρίτον παρέλκει τὸ ἐπί τινων γωνιῶν τὸ καὶ ### book 1.460.1 μὴ ἐπ’ εὐθείας κεῖσθαι· ἐπὶ γὰρ τῶν περιφερογράμμων ### book 1.460.2 καὶ ἄνευ τούτου τέλειος ὁ ὁρισμός· οὐδὲ γὰρ ἐπ’ εὐθείας ### book 1.460.3 κεῖσθαι τὰς περιφερείας δυνατόν. Ἀπολλώνιος δὲ καθ’ ### book 1.460.4 ὅλου γωνίαν ὁριζόμενός φησι συναγωγὴν ἐπιφανείας ἢ ### book 1.460.5 στερεοῦ πρὸς ἑνὶ σημείῳ ὑπὸ κεκλασμένῃ γραμμῇ ἢ ἐπι‐ ### book 1.465.1 φανείᾳ· περιλαμβάνει γὰρ οὗτος καὶ τὴν τοῦ κώνου. κυριώ‐ ### book 1.465.2 τερον δ’ ἂν ἀποδοίη τις συναγωγὴν μεγέθους ἢ μεγεθῶν ### book 1.465.3 πρὸς ἑνὶ σημείῳ. ### book 1.465.4 Ὅταν δὲ αἱ τὴν γωνίαν περιέχουσαι γραμμαὶ εὐθεῖαι ### book 1.465.5 ὦσιν, εὐθύγραμμος ἡ γωνία καλεῖται. ### book 1.470.1 Τὴν γωνίαν σύμβολον εἶναί φαμεν καὶ εἰκόνα τῆς συν‐ ### book 1.470.2 οχῆς τῆς ἐν τοῖς θείοις γένεσιν καὶ τῆς συναγωγοῦ τάξεως ### book 1.470.3 τῶν διῃρημένων εἰς ἕν· δεσμὸς γὰρ γίνεται καὶ αὕτη τῶν ### book 1.470.4 πολλῶν γραμμῶν καὶ ἐπιπέδων καὶ συναγωγὸς τοῦ μεγέ‐ ### book 1.470.5 θους εἰς τὸ ἀμερὲς σημεῖον. διὸ καὶ τὸ λόγιον συνοχηίδας ### book 1.475.1 ἀποκαλεῖ τὰς γωνίας, ὡς εἰκόνα φερούσας τῶν συνοχικῶν ### book 1.475.2 ἑνώσεων. αἱ μὲν οὖν ἐν ταῖς ἐπιφανείαις γωνίαι τὰς ἀυλοτέ‐ ### book 1.475.3 ρας καὶ ἁπλουστέρας καὶ τελειοτέρας ἀποτυποῦνται, αἱ δὲ ### book 1.475.4 ἐν τοῖς στερεοῖς τὰς προϊούσας μέχρι τῶν ἐσχάτων καὶ ### book 1.475.5 τοῖς πάντη μεριστοῖς ὁμοφυῆ σύνταξιν. τῶν δὲ ἐν ταῖς ### book 1.480.1 ἐπιφανείαις αἱ μὲν τὰς πρώτας καὶ ἀμίκτους, αἱ δὲ τὰς τῆς ### book 1.480.2 ἀπειρίας συνεκτικὰς τῶν ἐν αὐτοῖς προόδων ἀπεικονίζον‐ ### book 1.1 ται· καὶ αἱ μὲν τὰς τῶν νοερῶν εἰδῶν ἑνοποιοῦσιν, αἱ δὲ ### book 1.2 τὰς τῶν αἰσθητῶν λόγων, αἱ δὲ τὰς τῶν μεταξὺ τούτων. ### book 1.3 αἱ μὲν οὖν περιφερόγραμμοι τὰς συνελισσούσας αἰτίας ### book 1.485.1 ἀπομιμοῦνται, αἱ δὲ εὐθύγραμμοι τὰς τῶν αἰσθητῶν, αἱ ### book 1.485.2 δὲ μικταὶ τὰς τὴν κοινωνίαν τῶν νοερῶν εἰδῶν καὶ αἰσθη‐ ### book 1.485.3 τῶν κατὰ μίαν ἕνωσιν ἀσάλευτον φυλαττούσας. ### book 1.485.4 Ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ’ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ### book 1.485.5 ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστι, ### book 1.490.1 καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα γραμμὴ κάθετος καλεῖται, ἐφ’ ἣν ἐφέστη‐ ### book 1.490.2 κεν· ἀμβλεῖα δὲ ἡ μείζων ὀρθῆς, ὀξεῖα δὲ ἡ ἐλάσσων ὀρθῆς. ### book 1.490.3 Δι’ ἣν αἰτίαν τὸ τριπλοῦν τῶν γωνιῶν εἶδος ὑπέστη, γεω‐ ### book 1.490.4 μέτραι μὲν οὐκ ἂν φαῖεν, οἱ δὲ Πυθαγόρειοι καὶ τούτων ### book 1.490.5 ἐπὶ τὰς ἀρχὰς ἀναφέροντες τὰς αἰτίας οὐκ ἀποροῦσι περὶ ### book 1.495.1 τῆς ὑποστάσεως αὐτῶν. ἐπειδὴ γὰρ τῶν ἀρχῶν ἡ μὲν κατὰ ### book 1.495.2 τὸ πέρας ὑφέστηκεν, ἡ δὲ κατὰ τὸ ἄπειρον, καί ἐστιν ἡ μὲν ### book 1.495.3 ὅρου καὶ ἰσότητος τοῖς ἀποτελέσμασιν αἰτία, ἡ δὲ προόδου ### book 1.495.4 καὶ αὐξήσεως καὶ μειώσεως καὶ παντοίας ἑτερότητος, καὶ ### book 1.495.5 τῶν εὐθυγράμμων γωνιῶν κατ’ ἐκείνας ἱσταμένων, τὴν ### book 1.1 μὲν ὀρθὴν ὁ ἀπὸ τοῦ πέρατος ἥκων λόγος ἀπετέλεσεν ἰσό‐ ### book 1.2 τητι κρατουμένην καὶ ὁμοιότητι καὶ ὡρισμένην αἰεὶ καὶ ### book 1.3 τὴν αὐτὴν ἑστῶσαν, ὁ δὲ ἀπὸ τῆς ἀπειρίας δεύτερος ὢν ### book 1.4 καὶ δυαδικὸς καὶ γωνίας ἀνέφηνεν δυαδικὰς ἀνισότητι ### book 1.5 διῃρημένας κατὰ τὸ μεῖζον καὶ ἔλαττον καὶ ὅμοιον καὶ ### book 1.505.1 ἀνόμοιον. διὰ ταῦτα καὶ τὰς μὲν ὀρθὰς εἰς τοὺς ἀχράντους ### book 1.505.2 ἀναπέμπουσι καὶ ἀκλίτους διακόσμους, τὰς δὲ ὀξείας καὶ ### book 1.505.3 ἀμβλείας τοῖς τῆς προόδου καὶ κινήσεως καὶ ποικιλίας τῶν ### book 1.505.4 γινομένων δυνάμεων χορηγοῖς. τὸ γὰρ ἀμβλὺ τῆς ἐπὶ πᾶν ### book 1.505.5 ἁπλουμένης τῶν εἰδῶν ἐκτάσεως εἰκών, καὶ τὸ ὀξὺ τῆς ### book 1.510.1 διαιρετικῆς καὶ κινητικῆς τῶν ὅλων αἰτίας ἀφομοίωσιν ### book 1.510.2 ἔλαχεν. διὸ καὶ τῇ ψυχῇ ὀρθῶς παραινοῦσιν εἰς γένεσιν ἰούσῃ ### book 1.510.3 κατὰ τὸ ἀκλινὲς καὶ ἀρρεπὲς χωρεῖν καὶ ὅλως τὸ τῆς ὀρθῆς ### book 1.510.4 εἶδος. σύμβολον γὰρ καὶ ἡ κάθετός ἐστιν ἀρρεψίας καὶ ἀχράν‐ ### book 1.510.5 του καθαρότητος καὶ μέτρου θείου καὶ νοεροῦ. καὶ γὰρ ἐν τοῖς ### book 1.515.1 φαινομένοις τὰ ὑψηλότατα διὰ ταύτης ὁρῶμεν τῆς εὐθείας ### book 1.515.2 καὶ τῇ πρὸς τὴν ὀρθὴν ἀναφορᾷ τὰς ἄλλας εὐθυγράμμους ### book 1.515.3 γωνίας ὁρίζομεν αὐτὰς οὔσας ἀφ’ ἑαυτῶν ἀορίστους· ἐν ### book 1.515.4 ὑπερβολῇ γὰρ καὶ ἐλλείψει θεωροῦμεν αὐτάς. τοσαῦτα καὶ ### book 1.515.5 περὶ τούτων· δεῖ δὲ τοῖς ὁρισμοῖς τῆς τε ἀμβλείας καὶ ### book 1.520.1 ὀξείας προστιθέναι τὸ γένος εὐθύγραμμος γωνία, ἀλλ’ ### book 1.520.2 οὐχ ἁπλῶς γωνία· καὶ γὰρ ἡ κερατοειδὴς πάσης ὀρθῆς ### book 1.520.3 ἐστιν ἐλάσσων, ὅπου καὶ ὀξείας πάσης, καὶ ἡ τοῦ ἡμι‐ ### book 1.520.4 κυκλίου πάσης ὀρθῆς ἐλάσσων, ἀλλ’ οὐκ ὀξείας. τὸ δ’ ### book 1.520.5 αἴτιον, ὅτι μικταί εἰσιν καὶ οὐκ εὐθύγραμμοι. τοῦτό τε οὖν ### book 1.525.1 ἐπισημαντέον, καὶ ὅτι τὴν μὲν ὀρθὴν ἀπὸ τῶν ἐφεξῆς ἴσων ### book 1.525.2 οὐσῶν ὡρίσατο, τὴν δὲ ἀμβλεῖαν καὶ ὀξεῖαν οὐκέτι, ὅτι ### book 1.525.3 ἄπειροι αἱ ἐγκλίσεις ἐπὶ τὸ μεῖζον καὶ ἔλαττον, καὶ οὐκ ### book 1.525.4 ἐνῆν ἀπὸ τῆς κλίσεως ὁρίσαι τῆς εὐθείας. ὀρθῶς ἄρα πρὸς ### book 1.525.5 τὴν ὀρθὴν ἀναφέρων τὸν λόγον ἀποδέδωκεν τῶν λοιπῶν ### book 1.530.1 γωνιῶν. ### book 1.530.2 Ὅρος ἐστίν, ὅ τινός ἐστι πέρας. ### book 1.530.3 Τὸν ὅρον οὐ πρὸς ἅπαντα ἀναφέρειν δεῖ τὰ μεγέθη (καὶ ### book 1.530.4 γὰρ γραμμῆς ὅρος ἐστὶ καὶ πέρας), ἀλλὰ πρὸς τὰ χωρία τὰ ### book 1.530.5 ἐν ἐπιφανείαις καὶ τὰ στερεά. νῦν γὰρ ὅρον καλεῖ τὴν ### book 1.535.1 περιοχὴν τὴν ἀφορίζουσαν ἕκαστον χωρίον καὶ πέρας ἀφ‐ ### book 1.535.2 ορίζεται τοῦτον τὸν ὅρον, οὐχ ὡς τὸ σημεῖον λέγεται πέρας ### book 1.535.3 γραμμῆς, ἀλλ’ ὡς τὸ περικλεῖον καὶ περιεῖργον ἀπὸ τῶν ### book 1.535.4 περικειμένων. ὥστε πᾶς μὲν ὅρος καὶ πέρας, οὐ μὴν εἴ τι ### book 1.535.5 πέρας, καὶ ὅρος. ### book 1.540.1 Σχῆμά ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον. ### book 1.540.2 Τοῦ σχήματος πολλαί τινές εἰσι διαφοραί, καὶ δεῖ ταύτας ### book 1.540.3 ἐπελθόντα καὶ τὸ προκείμενον ἡμῖν θεωρῆσαι, ὑπὸ ποίαν ### book 1.540.4 τῶν διαφορῶν ἀνάγεται. ἔστι μὲν οὖν σχῆμα καὶ κατὰ τρο‐ ### book 1.540.5 πὴν ὑφιστάμενον καὶ ἀπὸ πάθους πληττομένων ἢ διαιρου‐ ### book 1.545.1 μένων ἢ ἀφαιρουμένων ἢ προστιθεμένων τινῶν. σχῆμά ### book 1.545.2 ἐστιν καὶ τὸ κατὰ τέχνην γινόμενον καὶ τὸν ἐν αὐτῇ λόγον, ### book 1.545.3 τῆς χαλκευτικῆς, εἰ τύχοι, ἢ ἑτέρας τινός. ἔτι δὲ σεμνότε‐ ### book 1.1 ρον τούτων ἐστὶ τὰ ὑπὸ τῆς φύσεως γενόμενα· ὧν τὰ μὲν ### book 1.2 ὑπὸ σελήνην ἔχει τὸν πολυειδῆ σχηματισμόν, τὰ δ’ ἐν ### book 1.1 οὐρανῷ· διαφοραὶ γὰρ καὶ ἐν τοῖς θείοις εἰσὶ σώμασι, καθ’ ### book 1.2 ἃς εὐρύθμως κινούμενα τὴν νοερὰν καὶ ἄχραντον ἀπομιμοῦν‐ ### book 1.3 ται γνῶσιν, ταῖς περιφοραῖς καὶ τοῖς τοιοῖσδε σχηματισ‐ ### book 1.4 μοῖς καταγράφοντες τὴν ἀσώματον τῶν θεῶν βούλησιν. ### book 1.5 ἔστι δὲ αὖ καὶ τούτων ἐπέκεινα κάλλει καὶ καθαριότητι ### book 1.555.1 προὔχοντα τῶν ψυχῶν σχήματα αὐτοκίνητα πρὸς τῶν ἑτερο‐ ### book 1.555.2 κινήτων καὶ ἀδιάστατα πρὸ τῶν διαστατῶν ὑφεστῶτα, ### book 1.555.3 ζωῆς πλήρη καὶ γνώσεως ὑπάρχοντα. περὶ τούτου καὶ ὁ ### book 1.555.4 Τίμαιος ἡμᾶς ἀνεδίδαξεν· πρὸ δὲ τούτων ἐστὶ τὰ νοερὰ ### book 1.555.5 πάντη μὲν ὑπερέχοντα τῶν αἰσθητῶν, γόνιμα δὲ καὶ τε‐ ### book 1.560.1 λεσιουργὰ καὶ δραστήρια καὶ πᾶσιν ἐξ ἴσου παρόντα καὶ ### book 1.560.2 τοῖς μὲν ψυχικοῖς τὴν ἕνωσιν ἐπάγοντα, τὴν δ’ ἐν τοῖς σώμα‐ ### book 1.560.3 σιν παράλλαξιν ἀνακαλούμενα ἐπὶ τὸν οἰκεῖον ὅρον. ἔστι δὲ ### book 1.560.4 ἄρα καὶ τὰ τούτων ἐξῃρημένα, καὶ πολὺ θειότερα τὰ ἐν ### book 1.560.5 αὐτοῖς ὑφεστῶτα τοῖς θεοῖς, ἐποχούμενα μὲν τοῖς νοεροῖς ### book 1.565.1 σχήμασιν, πέρας δὲ καὶ ὅρον πᾶσιν ἐπάγοντα κατὰ ταὐτά, ### book 1.565.2 καὶ ἡ θεουργία τὰς ἰδιότητας ἀποτυπουμένη τῶν θεῶν ### book 1.565.3 ἀγάλμασιν ἄλλα ἄλλοις περιβάλλει σχήματα καὶ χαρακτῆρ‐ ### book 1.565.4 σιν αὐτὰ τοιῶσδε μορφοῦσα ἑστῶτα ἢ καθήμενα ἢ ἄλλως ### book 1.565.5 πως ἀπεικονιζόμενα, τὰ δὲ ἐν αὐτοῖς προϋπάρχοντα τοῖς ### book 1.570.1 θεοῖς. ἄνωθεν ἄρα τὸ σχῆμα διατείνει μέχρι τῶν ἐσχάτων· ### book 1.570.2 δεῖ γὰρ πρὸ τῶν ἀτελῶν ὑφεστάναι τὰ τέλεια καὶ τῶν ἐν ### book 1.570.3 ἄλλοις ὄντων τὰ ἐφ’ ἑαυτῶν καὶ τὰ ἡνωμένα τῶν διῃρημέ‐ ### book 1.570.4 νων. τὰ μὲν οὖν ὑπὸ τὴν σελήνην ἀναπέπλησται τῆς ὑλικῆς ### book 1.570.5 ἀσχημοσύνης, τὰ δὲ οὐράνια μεριστά ἐστι καὶ ἐν ἄλλοις ### book 1.575.1 ὑφέστηκεν. τὰ δὲ ψυχικὰ διαιρέσεως καὶ ποικιλίας μετ‐ ### book 1.575.2 είληφεν, τὰ δὲ νοερὰ μετὰ τῆς ἑνώσεως καὶ πλῆθος ἔχει, ### book 1.575.3 αὐτὰ δὲ τὰ τῶν θεῶν ἑνοειδῆ καὶ ἁπλᾶ πρὸ τῶν ἄλλων ### book 1.575.4 ὑφέστηκεν τὴν τελειότητα πᾶσιν ἀφ’ ἑαυτῶν προτείνοντα· ### book 1.575.5 τελεσιουργὸν γὰρ καὶ ἀρχηγικὴν ἔχουσι τὴν αἰτίαν. οὐκ ### book 1.580 ἄρα τὰ μὲν ἔνυλα σχήματα ὑφέστηκεν, τὰ δὲ ἄυλα καὶ ### book 1.1 καθαρώτερον ἔχοντα τὴν οὐσίαν οὐχ ὑφέστηκεν. ἀλλὰ ### book 1.2 ταῦτα μὲν κατὰ τὸ Πυθαγόρειον ἀρέσκον· ὁ δὲ γεωμέτρης ### book 1.3 τὸ ἐν τῇ φαντασίᾳ σχῆμα θεωρῶν καὶ τοῦτο πρώτως οὕτως ### book 1.4 ὁριζόμενος, εἰ καὶ τοῖς αἰσθητοῖς λόγοις ἐφαρμόττει, δευ‐ ### book 1.585.1 τέρως τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενόν φησιν εἶναι ### book 1.585.2 τὸ σχῆμα· σὺν ὕλῃ γὰρ ἤδη λαβὼν αὐτὸ καὶ ὡς διαστατὸν ### book 1.585.3 φανταζόμενος εἰκότως τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχό‐ ### book 1.585.4 μενόν φησιν εἶναι τὸ σχῆμα. πᾶν γὰρ τὸ ὕλην ἔχον νοητὴν ### book 1.585.5 ἢ αἰσθητὴν ἀλλαχόθεν ἔχει τὸν ὅρον, καὶ οὐκ αὐτὸ πέρας ### book 1.590.1 ἐστίν, ἀλλὰ πεπερασμένον ἐστίν, οὐδ’ αὐτὸ ὅρος, ἀλλ’ ### book 1.590.2 ἄλλο μὲν ἐν αὐτῷ τὸ ὁρίζον, ἄλλο δὲ τὸ ὁριζόμενον, οὐδ’ ### book 1.590.3 ἐν αὑτῷ ἐστιν, ἀλλ’ ὑπ’ ἄλλου περιέχεται. τῷ γὰρ ποσῷ ### book 1.590.4 συμφύεται καὶ μετ’ ἐκείνου συνυφίσταται, καὶ γίνεται αὐτῷ ### book 1.590.5 ὑποκείμενον τὸ ποσόν. εἰ δέ τις ἐπιτιμῴη τῷ ὅρῳ ὡς ἀπὸ ### book 1.595.1 τῶν εἰδῶν τὸ γένος ἀφοριζόμενον (τὸ γὰρ ὑφ’ ἑνὸς ὅρου ### book 1.595.2 περιεχόμενον καὶ τὸ ὑπὸ πλειόνων εἴδη τοῦ σχήματος), ### book 1.595.3 γιγνωσκέτω, ὅτι καὶ τὰ γένη τὰς δυνάμεις προείληφεν τῶν ### book 1.595.4 εἰδῶν ἐν ἑαυτοῖς, καὶ ὅταν ἀπὸ τῶν δυνάμεων τῶν ἐν τοῖς ### book 1.595.5 γένεσιν ἐθέλωσιν αὐτὰ σαφῆ ποιεῖν οἱ παλαιοί, δοκοῦσι ### book 1.1 μὲν ἀπὸ τῶν εἰδῶν ἐπιχειρεῖν, τῷ δ’ ἀληθεῖ αὐτὰ ἀφ’ ### book 1.2 ἑαυτῶν ἅμα διδάσκουσι καὶ τῶν ἐν αὐτοῖς δυνάμεων. ἀλλὰ ### book 1.3 πόθεν πρόεισιν ὁ τοῦ σχήματος λόγος; ἀπὸ τοῦ πέρατος ### book 1.4 καὶ ἀπείρου καὶ μικτοῦ. τὰ μὲν γὰρ περιφερῆ αὐτῶν ἀπὸ ### book 1.5 τοῦ πέρατος ἧκεν, τὰ δ’ εὐθύγραμμα ἀπὸ τοῦ ἀπείρου, τὰ ### book 1.605.1 δὲ μικτὰ ἀπὸ τοῦ μικτοῦ. ### book 1.605.2 Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περι‐ ### book 1.605.3 εχόμενον, πρὸς ἣν ἀφ’ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχή‐ ### book 1.605.4 ματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι ἀλ‐ ### book 1.605.5 λήλαις εἰσίν. κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται. ### book 1.610.1 Τὸ πρῶτον καὶ ἁπλούστατον τῶν σχημάτων καὶ τελειό‐ ### book 1.610.2 τατος ὁ κύκλος ἐστί· τῶν μὲν γὰρ στερεῶν ὑπερφέρει τῷ ### book 1.610.3 ἐν ἁπλουστέρᾳ τάξει κεῖσθαι, τῶν δ’ ἐπιπέδων τῇ ὁμοιό‐ ### book 1.1 τητι καὶ ταυτότητι. καί ἐστιν ἀνάλογον τῇ ἀμείνονι συ‐ ### book 1.2 στοιχίᾳ· εἰ μὲν γὰρ εἰς οὐρανὸν καὶ γένεσιν διαιροῖς τὸ ### book 1.615.1 πᾶν, τῷ μὲν οὐρανῷ τὸ κυκλικὸν εἶδος ἀποδώσεις, τῇ δὲ ### book 1.615.2 γενέσει τὸ εὐθύ· καὶ γὰρ ὅσον ἐν τοῖς γενητοῖς ἐστι κυκλι‐ ### book 1.615.3 κόν, ἄνωθεν ἀπὸ τῶν οὐρανίων ἐφήκει· διὰ γὰρ τὴν ἐκεί‐ ### book 1.615.4 νων κυκλοφορίαν ἡ γένεσις ἀνακυκλεῖται πρὸς ἑαυτήν. εἴς ### book 1.615.5 γε μὴν ψυχὴν καὶ νοῦν διαιρῶν τὰ ἀσώματα τῷ μὲν νῷ ### book 1.620.1 τὸ κυκλικὸν ἀποδώσεις, τὸ δὲ εὐθὺ τῇ ψυχῇ. καὶ γὰρ τὴν ### book 1.620.2 ψυχὴν κατὰ κύκλον ἐπιστρέφειν πρὸς νοῦν φαμεν. καὶ ### book 1.620.3 ὅλως, ὅπερ ἡ γένεσις πρὸς οὐρανόν, τοῦτο ψυχὴ πρὸς νοῦν. ### book 1.620.4 καὶ γὰρ εἰκὼν νοῦ μὲν οὐρανός, γένεσις δὲ ψυχῆς. ὥστε ### book 1.620.5 πάντων τῶν θειοτέρων εἰκὼν ὁ κύκλος· θεοῖς μὲν γὰρ ἐπι‐ ### book 1.625.1 στροφὴν καὶ ἕνωσιν καὶ μονὴν παρέχεται, τὰς μὲν ἄκρας ### book 1.625.2 αὐτῶν δυνάμεις καὶ ἐφετὰς σταθερῶς ὡς κέντρῳ καθ‐ ### book 1.625.3 ιδρύων, τὰ δὲ πλήθη τῶν δυνάμεων τὸ περὶ αὐτὰς ἐνεργεῖν ### book 1.625.4 παρέχων, ταῖς δὲ νοεραῖς οὐσίαις τὸ διαιωνίως ἐνεργεῖν καὶ ### book 1.625.5 πρὸς ἑαυτὰς ἐπιστρέφειν καὶ παρ’ ἑαυτῶν πληροῦσθαι τῆς ### book 1.630.1 γνώσεως. ταῖς δὲ ψυχαῖς ἐπιλάμπει τὸ αὐτόζωον, τὸ ### book 1.630.2 αὐτοκίνητον, τὸ πρὸς νοῦν ἐπιστρέφεσθαι, τὸ τὰς οἰκείας ### book 1.630.3 περιόδους ἀνελίσσειν, τοῖς δὲ οὐρανίοις σώμασι τὴν πρὸς ### book 1.630.4 τὸν νοῦν ἀφομοίωσιν, τοῖς δ’ ὑπὸ σελήνην τὴν ἐν ταῖς ### book 1.630.5 μεταβολαῖς πρόοδον καὶ τὸ ἐν τοῖς γενητοῖς ἀγέννητον καὶ ### book 1.635.1 τὴν ἀείδιον παλιγγενεσίαν καὶ τὴν πρὸς τὸν οὐρανὸν ἀφ‐ ### book 1.635.2 ομοίωσιν, τοῖς δέ γε παρὰ φύσιν λεγομένοις ὅρον καὶ τάξιν ### book 1.635.3 ἐπιτίθησι. οὐ γὰρ εὐφορίαι μόνον, ἀλλὰ καὶ ἀφορίαι κατὰ ### book 1.635.4 περιτροπὰς συνίστανται, ὥς φησιν ὁ ἐν Πολιτείᾳ τῶν μου‐ ### book 1.635.5 σῶν λόγος. καὶ πάντα δὲ τὰ κακά, εἰ καὶ ἀπέρριπται πόρρω ### book 1.640.1 που ἀπὸ θεῶν εἰς τὸν θνητὸν καὶ ἀεὶ μεταβαλλόμενον τό‐ ### book 1.640.2 πον, ἀλλ’ οὖν περιπολεῖ, φησὶν ὁ Σωκράτης. οὐδὲν ἄμοιρον ### book 1.640.3 ἄρα λέλειπται τῆς κυκλικῆς ὁμοιότητος· διὸ καὶ τὰ μέσα ### book 1.640.4 κέντρα συνέχει τῆς προόδου τῶν ἀριθμῶν τῆς ἀπὸ μονάδος ### book 1.640.5 ἄχρι δεκάδος· ἡ γὰρ πεμπὰς καὶ ἑξὰς ἐκ πάντων τὴν ### book 1.645.1 κυκλικὴν ἐπιδείκνυται δύναμιν· πολλαπλασιαζόμενοι γὰρ ### book 1.645.2 εἰς ἑαυτοὺς καταλήγουσιν. προόδου μὲν οὖν ὁ πολλαπλα‐ ### book 1.645.3 σιασμὸς αἴτιος, ἡ δὲ εἰς αὑτὸν κατάληξις ἐπιστροφῆς, τὸ ### book 1.645.4 δὲ συναμφότερον ἡ κυκλικὴ παρέχεται δύναμις. ἀλλὰ ταῦτα ### book 1.645.5 μὲν ὧδε· θεωρήσωμεν δέ, ὅπως εἰς πᾶσαν ἀκρίβειαν ὁ τοῦ ### book 1.1 κύκλου ὅρος ἀποδέδοται. σχῆμα μὲν γὰρ εἴρηται ὡς πέρας ### book 1.2 ἔχον καὶ περιεχόμενον ὑφ’ ἑνὸς ὅρου, ἐπίπεδον δέ, καθ’ ### book 1.3 ὅσον τῶν ἐπιπέδων ἐστί, πρὸς δὲ τὴν γραμμὴν ἴσας ἔχοντα ### book 1.4 τὰς ἀφ’ ἑνὸς τῶν ἐντὸς σημείων. καὶ γὰρ εἰ ἔλλειψις ὑπὸ ### book 1.5 μιᾶς περιέχεται γραμμῆς, ἀλλ’ οὐκ εἰσὶν αἱ ἀφ’ ἑνὸς τῶν ### book 1.655.1 ἐντὸς ἴσαι πᾶσαι· δύο γὰρ μόναι ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως ἴσαι ### book 1.655.2 γίνονται εὐθεῖαι. καὶ μὴν καὶ αἱ ἀπὸ τοῦ πόλου πρὸς τὴν ### book 1.655.3 τοῦ κύκλου περιφέρειαν προσπίπτουσαι εὐθεῖαι πᾶσαί ### book 1.655.4 εἰσιν ἴσαι, ἀλλ’ οὐκ ἐντός ἐστι τὸ σημεῖον, ἀλλ’ ἐκτός. ### book 1.655.5 διώρισται οὖν ἐνταῦθα, τί μὲν ὁ κύκλος, τί δὲ τὸ κέντρον, ### book 1.660.1 καὶ ἐν τῷ κύκλῳ τί μὲν ἡ περιφέρεια, τί δὲ τὸ ὅλον σχῆμα. ### book 1.660.2 λάβοις δ’ ἂν ἐκ τούτων ἀναδραμὼν ἐπὶ τὰ παραδείγματα ### book 1.660.3 τὸ μὲν κέντρον ἑκασταχοῦ τὴν ἑνιαίαν καὶ ἀμέριστον καὶ ### book 1.660.4 μόνιμον ὑπεροχήν, τὰς δ’ ἀπὸ τοῦ κέντρου διαστάσεις τὰς ### book 1.660.5 ἀπὸ τοῦ ἑνὸς προόδους εἰς πλῆθος ἄπειρον, τὴν δὲ περι‐ ### book 1.665.1 φέρειαν κατὰ τὴν ἐπιστροφὴν τῶν προελθόντων θεωρήσεις· ### book 1.665.2 ὥσπερ δὲ ἐν τῷ κύκλῳ ὁμοῦ πάντα, τὸ κέντρον, αἱ δια‐ ### book 1.665.3 στάσεις, ἡ περιφέρεια, οὕτω καὶ ἐν ἐκείνοις, πλὴν ὅτι ### book 1.665.4 ἀλλαχοῦ μὲν τὸ κέντρον ἐνταῦθα, ἀλλαχοῦ δὲ ἡ διάστασις ### book 1.665.5 καὶ ἡ περιφέρεια ὁμοίως ἀλλαχοῦ, ἐκεῖ δὲ ἐν ἑνὶ πάντα, ### book 1.670.1 κἂν τὸ κέντρον λάβοις, ἐνταῦθα πάντα, κἂν τὴν διάστασιν, ### book 1.670.2 ἐπὶ ταύτης τὸ κέντρον καὶ τὴν περιφέρειαν ὁμοίως. ### book 1.670.3 Διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέν‐ ### book 1.670.4 τρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ ### book 1.670.5 τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν ### book 1.675.1 κύκλον. ### book 1.675.2 Ἔστι καὶ τετραγώνων διάμετρος καὶ ὅλως παραλληλο‐ ### book 1.1 γράμμων, ἔστι καὶ ἐπὶ στερεῶν σωμάτων, ὡς τῆς σφαίρας, ### book 1.2 ἀλλ’ ἐπὶ μὲν τῶν γεγωνιωμένων καὶ διαγώνιος ἡ αὐτὴ ### book 1.3 προσαγορεύεται, ἐπὶ δὲ τῆς σφαίρας καὶ ἄξων, ὥσπερ δὴ ### book 1.680.1 καὶ ἐπὶ ἐλλείψεως, ἐπὶ δὲ κύκλου διάμετρος ἰδίως. ἀπείρων ### book 1.680.2 δὲ ἀγομένων εὐθειῶν ἐντὸς τοῦ κύκλου μόνη ἡ διὰ τοῦ ### book 1.680.3 κέντρου ἐστὶν ἡ διάμετρος, ἥτις καὶ περατοῦται ὑπὸ τῆς ### book 1.680.4 περιφερείας. ἀλλὰ ταῦτα μὲν γένεσιν ἐμφαίνει τῆς δια‐ ### book 1.680.5 μέτρου, τὸ δ’ ἑξῆς τὸ δίχα τέμνειν τὸν κύκλον τὴν ἰδίαν ### book 1.685.1 αὐτῆς ἐνέργειαν. αἴτιον δὲ τῆς ἰσότητος ἡ διὰ τοῦ κέντρου ### book 1.685.2 ἀπαρέγκλιτος φορὰ τῆς διαμέτρου. καὶ μαθηματικῶς δ’ ### book 1.685.3 ἀποδείξεις λέγων οὕτως· ἠγμένης τῆς διαμέτρου νόησον ### book 1.685.4 τὸ ἕτερον ἡμικύκλιον ἐπὶ τὸ ἕτερον ἐφαρμοζόμενον. λέγω, ### book 1.685.5 ὅτι ἴσον ἐστίν. εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἐντὸς πεσεῖται τὸ ἕτερον ### book 1.690.1 ἢ ἐκτός· ὅπως δ’ ἂν ἡ πτῶσις ᾖ, συμβήσεται ἄτοπον· ἡ ### book 1.690.2 γὰρ μείζων εὐθεῖα τῇ ἐλάσσονι ἴση εὑρεθήσεται· πᾶσαι ### book 1.690.3 γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου πρὸς τὴν περιφέρειαν ἴσαι εἰσίν. ### book 1.690.4 ἀλλὰ εἰ μιᾶς οὔσης διαμέτρου δύο ἡμικύκλια γίνεται, ἄπει‐ ### book 1.690.5 ροι δὲ αἱ διάμετροι, συμβήσεται τῶν ἀπείρων διπλάσιον ### book 1.695.1 εὑρεθῆναι κατ’ ἀριθμόν· ταυτὶ γὰρ ἀποροῦσί τινες. ἡμεῖς ### book 1.695.2 δὲ λέγομεν, ὅτι τέμνεται μὲν ἐπ’ ἄπειρον, οὐκ εἰς ἄπειρα δέ. ### book 1.695.3 τοῦτο μὲν γὰρ ἐνεργείᾳ ποιεῖ τὸ ἄπειρον, ἐκεῖνο δὲ δυνά‐ ### book 1.695.4 μει, καὶ τὸ μὲν οὐσίαν τῷ ἀπείρῳ δίδωσιν, τὸ δὲ γένεσιν ### book 1.695.5 μόνον. καὶ αἱ διάμετροι οὖν ἄπειροι μὲν οὐ ληφθήσονται, ### book 1.1 ἐπ’ ἄπειρον δέ. ### book 1.2 Ἡμικύκλιον δέ ἐστι σχῆμα τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τῆς ### book 1.3 διαμέτρου καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπ’ αὐτῆς περιφε‐ ### book 1.4 ρείας, κέντρον δὲ τοῦ ἡμικυκλίου τὸ αὐτό, ὃ καὶ τοῦ ### book 1.5 κύκλου ἐστίν. ### book 1.705.1 Ἀπὸ μὲν τοῦ ὁρισμοῦ τοῦ κύκλου τὴν τοῦ κέντρου φύσιν ### book 1.705.2 ἀνηυρίσκομεν, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τὴν διάμετρον· ἀπὸ δὲ ### book 1.705.3 τῆς διαμέτρου τὸ ἡμικύκλιον, ὅ τι ποτέ ἐστιν, ἀναδιδάσκει, ### book 1.705.4 ὅτι ὑπὸ δύο περιέχεται ὅρων, εὐθείας, καὶ ταύτης οὐ τῆς ### book 1 τυχούσης, ἀλλὰ τῆς διαμέτρου, καὶ περιφερείας τῆς ἀπο‐ ### book 1.710.1 λαμβανομένης ὑπὸ τῆς εὐθείας, καὶ μὲν δὴ καὶ ὅτι τὸ ### book 1.710.2 αὐτὸ τοῦ ἡμικυκλίου κέντρον καὶ τοῦ κύκλου. καὶ ἐπιση‐ ### book 1.710.3 μαντέον, ὅτι μόνον τοῦτο τῶν ἐπιπέδων σχημάτων ἐπὶ τῆς ### book 1.710.4 περιμέτρου τὸ κέντρον ἔχει· τριχῆ γὰρ τὸ κέντρον θεω‐ ### book 1.710.5 ρήσομεν, ἢ ἐντός, ὡς ἐπὶ τοῦ κύκλου, ἢ ἐκτός, ὡς ἐπὶ τῶν ### book 1.715.1 κωνικῶν γραμμῶν, ἢ ἐπὶ τῆς περιμέτρου, ὡς ἐπὶ τοῦ ### book 1.715.2 ἡμικυκλίου. ### book 1.715.3 Εὐθύγραμμα σχήματά ἐστιν τὰ ὑπὸ εὐθειῶν γραμμῶν ### book 1.715.4 περιεχόμενα, τρίπλευρα μὲν τὰ ὑπὸ τριῶν, τετράπλευρα ### book 1.715.5 δὲ τὰ ὑπὸ τεσσάρων, πολύπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ πλειόνων ἢ ### book 1.720.1 τεσσάρων πλευρῶν περιεχόμενα. ### book 1.720.2 Μετὰ τὸ μοναδικὸν σχῆμα καὶ τὸ δυοειδὲς τὸ ἡμικύκλιον ### book 1.720.3 ἡ τῶν ἀριθμῶν ἐπ’ ἄπειρον πρόοδος παραδίδοται τῶν ### book 1.720.4 εὐθυγράμμων σχημάτων. διὰ γὰρ τοῦτο καὶ ἡ τοῦ ἡμι‐ ### book 1.720.5 κυκλίου γέγονεν μνήμη, ὅτι κατὰ τοὺς ὅρους πὴ μὲν τῷ ### book 1.725.1 κύκλῳ γειτνιάζει, πὴ δὲ τοῖς εὐθυγράμμοις· πρόεισι δὲ τὰ ### book 1.725.2 εὐθύγραμμα εὐτάκτως κατὰ τὸν ἀπὸ τριάδος ἀριθμόν. ### book 1.725.3 τριπλεύρων δὲ καὶ τετραπλεύρων ἐποιήσατο μνήμην, ἐπει‐ ### book 1.725.4 δὴ προσεχῶς περὶ τούτων ἐν τῷ πρώτῳ διαλεχθήσεται. ὅτι ### book 1.725.5 δὲ τὸ εὐθὺ προόδου σύμβολόν ἐστι καὶ κινήσεως καὶ ἀπει‐ ### book 1.730.1 ρίας, καὶ ὅτι ταῖς γεννητικαῖς τάξεσιν ᾠκείωται τῶν θεῶν, ### book 1.730.2 εἴρηται πρότερον. ### book 1.730.3 Τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ### book 1.730.4 ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ δύο ### book 1.730.5 μόνον ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ### book 1.735.1 ἔχον πλευράς. ἔτι δὲ τῶν τριπλεύρων σχημάτων ὀρθογώ‐ ### book 1.735.2 νιον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ μίαν ἔχον ὀρθὴν γωνίαν, ἀμ‐ ### book 1.735.3 βλυγώνιον δὲ τὸ μίαν ἔχον ἀμβλεῖαν, ὀξυγώνιον δὲ τὸ τὰς ### book 1.735.4 τρεῖς ὀξείας ἔχον γωνίας. ### book 1.735.5 Ἡ τῶν τριγώνων διαίρεσις τοτὲ μὲν ἀπὸ τῶν πλευρῶν ἔχει ### book 1.740 τὴν διαίρεσιν, τοτὲ δὲ ἀπὸ τῶν γωνιῶν, ἡγεῖται δὲ ἡ ἀπὸ ### book 1.1 τῶν πλευρῶν, ὡς γνώριμος, ἕπεται δὲ ἡ ἀπὸ τῶν γωνιῶν, ὡς ### book 1.2 ἰδιάζουσα, ἐπειδὴ καὶ αἱ τρεῖς αὗται γωνίαι τοῖς εὐθυ‐ ### book 1.3 γράμμοις μόνοις προσήκουσι σχήμασι, ἰσότης δὲ καὶ ἀν‐ ### book 1.4 ισότης τῶν πλευρῶν ἔστι δήπου καὶ ἐν τοῖς μὴ εὐθυγράμ‐ ### book 1.745.1 μοις. δοκεῖ δέ μοι καὶ πρὸς ἐκεῖνο ἀπιδὼν ὁ στοιχειωτὴς χω‐ ### book 1.745.2 ρὶς ἀπὸ τῶν γωνιῶν ποιήσασθαι τὴν διαίρεσιν, χωρὶς δὲ ### book 1.745.3 ἀπὸ τῶν πλευρῶν, ὅτι μὴ πᾶν τρίγωνον καὶ τρίπλευρον. ### book 1.745.4 ἔστι γὰρ τρίγωνα τὰ καλούμενα παρ’ αὐτοῖς ἀκιδοειδῆ, ἃ ### book 1.745.5 τετράπλευρά ἐστιν, οἷον εἴ τις ἐπὶ μιᾶς τοῦ τριγώνου ### book 1.1 πλευρᾶς ἀπὸ τῶν περάτων ἐντὸς συστήσηται δύο πλευ‐ ### book 1.2 ρὰς ἐντός· τὰ τοιαῦτα γὰρ τετράπλευρα μέν ἐστι, τρίγωνα ### book 1.3 δέ· οὕτω δ’ ἂν εὕροις καὶ τετράγωνα πλείονας ἔχοντα ### book 1.4 πλευράς. ἀλλὰ ταῦτα μὲν οὕτως· οἱ δὲ Πυθαγόρειοι τὸ ### book 1.5 μὲν τρίγωνον ἁπλῶς ἀρχὴν εἶναι γενέσεώς φασι· καὶ γὰρ ### book 1.755.1 τριχῆ διίστανται καὶ συναγωγοὶ τῶν πάντη μεριστῶν εἰσιν· ### book 1.755.2 καὶ ὁ Φιλόλαος τὴν τοῦ τριγώνου γωνίαν τέτταρσιν ἀνῆκεν ### book 1.755.3 θεοῖς, Κρόνῳ, Ἄρει, Ἅιδῃ, Διονύσῳ, τὴν ἄνωθεν ἀπὸ τοῦ ### book 1.755.4 οὐρανοῦ καθήκουσαν εἴτ’ ἀπὸ τῶν κέντρων εἴτ’ ἀπὸ τῶν ### book 1.755.5 τεττάρων τοῦ ζωδιακοῦ τμημάτων ἐν τούτοις περιλαβών· ### book 1.760.1 ὁ μὲν γὰρ Κρόνος πᾶσαν ὑφίστησι τὴν ὑγρὰν καὶ ψυχρὰν ### book 1.760.2 οὐσίαν, ὁ δὲ Ἄρης πᾶσαν τὴν ἔμπυρον φύσιν, ὁ δὲ Ἅιδης ### book 1.760.3 τὴν χθονίαν ὅλην συνέχει ζωήν, ὁ δὲ Διόνυσος τὴν θερμὴν ### book 1.760.4 ἅμα καὶ ὑγράν, ὅθεν καὶ ὁ οἶνος ταύτην ἔχων τὴν φύσιν ἀνεῖ‐ ### book 1.760.5 ται τῷ τὴν γένεσιν ἐπιτροπεύοντι θεῷ. πάντες δὲ οὗτοι κατὰ ### book 1.765.1 μὲν τὰς εἰς τὰ δεύτερα ποιήσεις διεστήκασιν, ἥνωνται δὲ ### book 1.765.2 ἀλλήλοις, διὸ καὶ κατὰ μίαν αὐτῶν γωνίαν συνάγει τὴν ### book 1.765.3 ἕνωσιν ὁ Φιλόλαος. εἰ δὲ καὶ τῶν τριγώνων διαφοραὶ συνερ‐ ### book 1.765.4 γοῦσι πρὸς τὴν γένεσιν, εἰκότως ἂν ὁμολογοῖτο τὸ τρίγωνον ### book 1.765.5 ἀρχηγὸν εἶναι τῆς τῶν ὑπὸ σελήνην συστάσεως· ἡ μὲν γὰρ ### book 1.770.1 ὀρθὴ γωνία τὴν οὐσίαν αὐτοῖς παρέχεται καὶ τὸ μέτρον ### book 1.770.2 ἀφορίζει τοῦ εἶναι, καὶ ὁ τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου λόγος ### book 1.770.3 οὐσιοποιός ἐστι τῶν γενητῶν στοιχείων, ἡ δὲ ἀμβλεῖα τὴν ### book 1.770.4 ἐπὶ πᾶν διάστασιν αὐτοῖς ἐνδίδωσι, καὶ ὁ τοῦ ἀμβλυγω‐ ### book 1 νίου λόγος εἰς μέγεθος αὔξει καὶ παντοίαν ἔκτασιν τὰ εἴδη ### book 1.775.1 τὰ ἔνυλα, ἡ δὲ ὀξεῖα γωνία διαιρετὴν αὐτὴν ἀποτελεῖ τὴν ### book 1.775.2 φύσιν, καὶ ὁ τοῦ ὀξυγωνίου λόγος ἐπ’ ἄπειρον αὐτοῖς τὰς ### book 1.775.3 διαιρέσεις παρασκευάζει γενέσθαι· ἁπλῶς δὲ ὁ τριγωνικὸς ### book 1.775.4 λόγος οὐσίαν διαστατὴν καὶ πάντη μεριστὴν ὑφίστησι τὴν ### book 1.775.5 τῶν ἐνύλων σωμάτων. τοσαῦτα μὲν περὶ τριγώνων εἴχομεν ### book 1.780.1 θεωρεῖν, ἐκ δὲ τούτων λάβοις ἂν τῶν διαιρέσεων, καὶ ὅτι ### book 1.780.2 τὰ εἴδη πάντα τῶν τριγώνων ἑπτά ἐστι καὶ οὔτε πλείω ### book 1.780.3 οὔτε ἐλάττω. τὸ μὲν ἰσόπλευρον ἕν ἐστι μόνον ὀξυγώνιον ### book 1.780.4 ὑπάρχον, τῶν δὲ λοιπῶν ἑκάτερον τριπλοῦν· καὶ γὰρ ἰσο‐ ### book 1.780.5 σκελὲς ἢ ὀρθογώνιόν ἐστιν ἢ ἀμβλυγώνιον ἢ ὀξυγώνιον, ### book 1.785.1 καὶ τὸ σκαληνὸν ὡσαύτως τὴν τρισσὴν ἔχει ταύτην διαφο‐ ### book 1.785.2 ράν. εἰ οὖν ταῦτα μὲν τριχῶς, τὰ δὲ ἰσόπλευρα μοναχῶς, ### book 1.785.3 ἑπτὰ τὰ πάντα τῶν τριγώνων εἴδη λεγέσθω. λάβοις δ’ ### book 1.785.4 ἂν καὶ κατὰ τὴν τῶν πλευρῶν διαίρεσιν τὴν τῶν τριγώνων ### book 1.785.5 πρὸς τὰ ὄντα ἀναλογίαν· τὸ μὲν γὰρ ἰσόπλευρον κατὰ πάντα ### book 1.790.1 ἰσότητι καὶ ἁπλότητι κρατούμενον συγγενές ἐστι ταῖς ### book 1.790.2 θείαις ψυχαῖς (μέτρον γάρ ἐστι καὶ τῶν ἀνίσων ἡ ἰσότης, ### book 1.790.3 ὥσπερ καὶ τὸ θεῖον πάντων τῶν δευτέρων), τὸ δὲ ἰσοσκελὲς ### book 1.790.4 τοῖς κρείττοσι γένεσι τοῖς κατευθύνουσι τὴν ἔνυλον φύσιν, ### book 1.790.5 ὧν τὸ μὲν πλέον κεκράτηται τῷ μέτρῳ, τὰ δὲ τελευταῖα ### book 1.795.1 τῆς ἀνισότητος ἐφάπτεται καὶ τῆς ἀμετρίας τῆς ὑλικῆς ### book 1.795.2 (καὶ γὰρ τῶν ἰσοσκελῶν αἱ μὲν δύο ἴσαι, ἡ δὲ βάσις ἄνισος), ### book 1.795.3 τὸ δὲ σκαληνὸν ταῖς μερισταῖς ζωαῖς, αἳ πανταχόθεν χω‐ ### book 1.795.4 λεύουσιν καὶ σκάζουσιν, εἰς τὴν γένεσιν φερόμεναι καὶ ### book 1.795.5 ἀναπιμπλάμεναι τῆς ὕλης. ### book 1.1 Τῶν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων τετράγωνον μέν ἐστιν, ### book 1.2 ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ὀρθογώνιον, ἑτερόμηκες δέ, ὃ ### book 1.3 ὀρθογώνιον μέν, οὐκ ἰσόπλευρον δέ, ῥόμβος δὲ τὸ ἰσόπλευ‐ ### book 1.4 ρον μέν, οὐκ ὀρθογώνιον δέ, ῥομβοειδὲς δὲ τὸ τὰς ἀπεναν‐ ### book 1.5 τίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχον, οὔτε δὲ ### book 1.805.1 ἰσόπλευρον οὔτε ὀρθογώνιον, τὰ δὲ παρὰ ταῦτα τετράπλευ‐ ### book 1.805.2 ρα τραπέζια καλείσθω. ### book 1.1 Τὴν τῶν τετραπλεύρων διαίρεσιν εἰς δύο ποιεῖσθαι χρὴ ### book 1.2 τὴν πρώτην καὶ τὰ μὲν αὐτῶν παραλληλόγραμμα λέγειν, ### book 1.3 τὰ δ’ οὐ παραλληλόγραμμα, τῶν δὲ παραλληλογράμμων ### book 1.810.1 τὰ μὲν καὶ ὀρθογώνια καὶ ἰσόπλευρα, ὡς τὰ τετράγωνα, τὰ ### book 1.810.2 δὲ οὐδέτερα τούτων, ὡς τὰ ῥομβοειδῆ, τὰ δὲ ὀρθογώνια ### book 1.810.3 μέν, οὐκ ἰσόπλευρα δέ, ὡς τὰ ἑτερομήκη, τὰ δὲ ἔμπαλιν ### book 1.810.4 ἰσόπλευρα μέν, οὐκ ὀρθογώνια δέ, ὡς τοὺς ῥόμβους. ἢ γὰρ ### book 1.810.5 ἀμφότερα ἔχειν ἀναγκαῖον, τὴν ἰσότητα τῶν πλευρῶν καὶ ### book 1.815.1 τὴν ὀρθότητα τῶν γωνιῶν, ἢ οὐδέτερον ἢ τὸ ἕτερον, καὶ ### book 1.815.2 τοῦτο διχῶς, ὡς τετραχῶς ὑφίσταται τὸ παραλληλόγραμ‐ ### book 1.815.3 μον. τῶν δὲ μὴ παραλληλογράμμων τὰ μὲν δύο μόνον ἔχει ### book 1.815.4 παραλλήλους, οὐκέτι δὲ καὶ τὰς λοιπάς, τὰ δ’ οὐδ’ ὅλως ### book 1.815.5 ἔχει τῶν πλευρῶν τινας παραλλήλους· καὶ τὰ μὲν καλεῖται ### book 1.820.1 τραπέζια, τὰ δὲ τραπεζοειδῆ. τῶν δὲ τραπεζίων τὰ μὲν ### book 1.820.2 ἴσας ἔχει τὰς συναπτούσας παραλλήλους ταύτας, τὰ δὲ ### book 1.820.3 ἀνίσους, καὶ καλεῖται τὰ μὲν ἰσοσκελῆ τραπέζια, τὰ δὲ ### book 1.820.4 σκαληνὰ τραπέζια. τὸ ἄρα τετράπλευρον ἑπταχῶς ἡμῖν ### book 1.820.5 ὑποστήσεται· τὸ μὲν γάρ ἐστι τετράγωνον, τὸ δὲ ἑτερόμη‐ ### book 1.825.1 κες, τὸ δὲ ῥόμβος, τὸ δὲ ῥομβοειδές, τὸ δὲ τραπέζιον ἰσο‐ ### book 1.825.2 σκελές, τὸ δὲ σκαληνὸν τραπέζιον, τὸ δὲ τραπεζοειδές. ### book 1.825.3 ἀλλ’ ὁ μὲν Ποσειδώνιος τελείαν εἰς ταῦτα πεποίηται τὴν ### book 1.825.4 τῶν τετραπλεύρων εὐθυγράμμων τομὴν ἑπτὰ καὶ τούτων ### book 1.825.5 τὰ εἴδη θέμενος, ὥσπερ δὴ καὶ τῶν τριγώνων. ὁ δὲ Εὐκλεί‐ ### book 1.830.1 δης εἰς μὲν παραλληλόγραμμα καὶ μὴ παραλληλόγραμμα ### book 1.830.2 διαιρεῖν οὐκ ἠδύνατο μήτε περὶ τῶν παραλλήλων εἰπὼν ### book 1.830.3 μήτε περὶ αὐτοῦ τοῦ παραλληλογράμμου διδάξας ἡμᾶς. τὰ ### book 1.830.4 δὲ τραπέζια πάντα καὶ τὰ τραπεζοειδῆ κοινῷ προσείρηκεν ### book 1.830.5 ὀνόματι τραπέζια περιγράφων αὐτὰ τῶν τεττάρων ἐκείνων, ### book 1.835.1 οἷς ἐπαληθεύει τὸ τῶν παραλληλογράμμων ἴδιον. τοῦτο ### book 1.835.2 δ’ ἐστὶ τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ### book 1.835.3 ἔχειν· καὶ γὰρ τὸ τετράγωνον καὶ τὸ ἑτερόμηκες καὶ ὁ ### book 1.835.4 ῥόμβος ἔχει τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας. ### book 1.835.5 αὐτὸς δὲ ἐπὶ τοῦ ῥομβοειδοῦς μόνον τοῦτο προσέθηκεν, ### book 1.840.1 ἵνα μὴ διὰ ψιλῶν αὐτὸ παραστήσῃ τῶν ἀποφάσεων οὔτε ### book 1.840.2 ἰσόπλευρον οὔτε ὀρθογώνιον εἰπών. ἐφ’ ὧν γὰρ ἰδιαζόντων ### book 1.840.3 ἀποροῦμεν λόγων, χρήσασθαι τοῖς κοινοῖς ἀναγκαῖον· ὅτι ### book 1.840.4 δὲ πάντων ἐστὶ τοῦτο κοινὸν τῶν παραλληλογράμμων, ### book 1.840.5 αὐτοῦ δεικνύντος ἀκουσόμεθα. ἔοικεν δὲ καὶ ὁ ῥόμβος ### book 1.845.1 σαλευθὲν εἶναι τετράγωνον καὶ τὸ ῥομβοειδὲς κεκινημένον ### book 1.845.2 ἑτερόμηκες· διὸ κατὰ τὰς πλευρὰς οὐ διέστηκεν ταῦτα ἐκεί‐ ### book 1.845.3 νων, κατὰ δὲ τὰς τῶν γωνιῶν ἀμβλύτητας καὶ ὀξύτητας ### book 1.845.4 ἐκείνων ὀρθογωνίων ὄντων. ἐὰν γὰρ νοήσῃς τὸ τετράγωνον ### book 1.845.5 ἢ τὸ ἑτερόμηκες κατὰ τὰς ἀπεναντίας γωνίας διελκόμενον, ### book 1.1 εὑρήσεις ταύτας μὲν συναγομένας καὶ ὀξείας γινομένας, ### book 1.2 τὰς δὲ λοιπὰς διισταμένας καὶ ἀμβλείας ἀναφαινομένας. ### book 1.3 καὶ ἔοικεν καὶ τὸ ὄνομα τῷ ῥόμβῳ κεῖσθαι ἀπὸ τῆς κινή‐ ### book 1.4 σεως· καὶ γὰρ τὸ τετράγωνον εἰ νοήσειας ῥομβούμενον, ### book 1.5 φανεῖταί σοι κατὰ τὰς γωνίας παρενηνεγμένον, ὥσπερ δὴ ### book 1.855.1 καὶ ὁ κύκλος ῥομβούμενος ἔλλειψις φαίνεται. περὶ δὲ αὐτοῦ ### book 1.855.2 τοῦ τετραγώνου ζητήσειας ἄν, διὰ τί ταύτην ἔσχεν τὴν ### book 1.855.3 προσηγορίαν, καὶ οὐχ ὥσπερ τὸ τρίγωνον κοινόν ἐστι πᾶσι ### book 1.855.4 καὶ τοῖς μὴ ἰσογωνίοις μηδὲ ἰσοπλεύροις καὶ τὸ πεντάγω‐ ### book 1.855.5 νον ὡσαύτως, οὕτω καὶ τὸ τετράγωνον λέγεσθαι δύναται ### book 1.860.1 καὶ κατὰ τῶν ἄλλων τετραπλεύρων. αὐτὸς γοῦν ὁ γεω‐ ### book 1.860.2 μέτρης ἐπ’ ἐκείνων προστίθησι τρίγωνον ἰσόπλευρον ἢ ### book 1.860.3 πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον, ὡς δυνα‐ ### book 1.860.4 μένων τούτων καὶ μὴ τοιούτων εἶναι. τὸ δὲ τετράγωνον ### book 1.860.5 ῥηθὲν εὐθὺς τὸ ἰσόπλευρον αὐτῷ δηλοῖ καὶ ὀρθογώνιον. ### book 1.865.1 λόγος δὲ τούτου ὅδε· μόνον τὸ τετράγωνον χωρίον καὶ κατὰ ### book 1.865.2 τὰς πλευρὰς ἔχει τὸ ἄριστον καὶ κατὰ τὰς γωνίας· ἑκάστη ### book 1.865.3 γὰρ αὐτῶν ὀρθή ἐστιν τὸ μέτρον ἀπολαβοῦσα τῶν γωνιῶν ### book 1.865.4 τὸ μήτε ἐπίτασιν μήτε ἄνεσιν ἐπιδεχόμενον. κατ’ ἀμφό‐ ### book 1.865.5 τερα οὖν πλεονεκτούσης εἰκότως ἔσχεν τὴν κοινὴν ἐπ‐ ### book 1.870.1 ωνυμίαν. τὸ δὲ τρίγωνον κἂν ἴσας ἔχῃ τὰς γωνίας, ἀλλὰ ### book 1.870.2 ὀξείας πάσας, καὶ τὸ πεντάγωνον ἀμβλείας πάσας. εἰκότως ### book 1.1 ἄρα τὸ τετράγωνον ἰσότητι πλευρῶν καὶ ὀρθότητι γωνιῶν ### book 1.2 συμπεπληρωμένον μόνον ἐκ πάντων τετραπλεύρων ταύτης ### book 1.3 τῆς προσηγορίας ἔτυχεν· τοῖς γὰρ ὑπερέχουσι τῶν εἰδῶν ### book 1.875.1 τὸ τοῦ ὅλου πολλάκις ἐπιφημίζομεν ὄνομα. δοκεῖ δὲ καὶ ### book 1.875.2 τοῖς Πυθαγορείοις τοῦτο διαφερόντως τῶν τετραπλεύρων ### book 1.875.3 εἰκόνα φέρειν τῆς θείας οὐσίας· τήν τε γὰρ ἄχραντον τάξιν ### book 1.875.4 διὰ τούτου μάλιστα σημαίνουσιν· ἥ τε γὰρ ὀρθότης τὸ ἄκλι‐ ### book 1.875.5 τον καὶ ἡ ἰσότης τὴν μόνιμον δύναμιν ἀπομιμεῖται· κίνησις ### book 1.880.1 γὰρ ἀνισότητος ἔκγονος, στάσις δὲ ἰσότητος. οἱ τοίνυν τῆς ### book 1.880.2 σταθερᾶς ἱδρύσεως αἴτιοι τοῖς ὅλοις καὶ τῆς ἀχράντου καὶ ### book 1.880.3 ἀκλίτου δυνάμεως εἰκότως διὰ τοῦ τετραγωνικοῦ σχήμα‐ ### book 1.880.4 τος ὡς ἀπ’ εἰκόνος ἐμφαίνονται. καὶ πρὸς τούτοις ὁ Φιλό‐ ### book 1.880.5 λαος κατ’ ἄλλην ἐπιβολὴν τὴν τοῦ τετραγώνου γωνίαν ### book 1.885.1 Ῥέας καὶ Δήμητρος καὶ Ἑστίας ἀποκαλεῖ. διότι γὰρ τὴν ### book 1.885.2 γῆν τὸ τετράγωνον ὑφίστησιν, καὶ στοιχεῖόν ἐστιν αὐτῆς ### book 1.885.3 προσεχές, ὡς παρὰ τοῦ Τιμαίου μεμαθήκαμεν, ἀπὸ δὲ ### book 1.885.4 πασῶν τούτων τῶν θεαινῶν ἀπορροίας ἡ γῆ δέχεται καὶ ### book 1.885.5 γονίμους δυνάμεις, εἰκότως τὴν τοῦ τετραγώνου γωνίαν ### book 1.890.1 ἀνῆκεν ταύταις ταῖς ζωογόνοις θεαῖς. καὶ γὰρ Ἑστίαν ### book 1.890.2 καλοῦσι τὴν γῆν καὶ Δήμητρά τινες καὶ τῆς ὅλης Ῥέας ### book 1.890.3 αὐτὴν μετέχειν φασίν, καὶ πάντα ἐστὶν ἐν αὐτῇ τὰ γεννη‐ ### book 1.890.4 τικὰ αἴτια χθονίως. τὴν τοίνυν μίαν ἕνωσιν τῶν θείων τού‐ ### book 1.890.5 των γενῶν τὴν τετραγωνικήν φησι γωνίαν περιέχειν. ἀπεικά‐ ### book 1.895.1 ζουσι δὲ καὶ πρὸς τὴν σύμπασαν ἀρετὴν τὸ τετράγωνον ### book 1.895.2 ὡς ἔχον τέτταρας ὀρθὰς τελείαν ἑκάστην, ᾗπερ δὴ καὶ τὰς ### book 1.895.3 ἀρετὰς λέγομεν ἑκάστην τελείαν καὶ αὐτάρκη καὶ ἄμετρον ### book 1.895.4 καὶ ὅρον τῆς ζωῆς καὶ πάσας μεσότητας ἀμβλείας καὶ ### book 1.895.5 ὀξείας. δεῖ δὲ μὴ λανθάνειν, ὅπως τὴν μὲν τριγωνικὴν γω‐ ### book 1.1 νίαν ὁ Φιλόλαος τέτταρσιν ἀνῆκεν θεοῖς, τὴν δὲ τετραγω‐ ### book 1.2 νικὴν τρισίν, ἐνδεικνύμενος αὐτῶν τὴν δι’ ἀλλήλων χώ‐ ### book 1.3 ρησιν καὶ τὴν ἐν πᾶσιν πάντων κοινωνίαν τῶν τε περισσῶν ### book 1.4 ἐν τοῖς ἀρτίοις καὶ τῶν ἀρτίων ἐν τοῖς περισσοῖς. τριὰς οὖν ### book 1 τετραδικὴ καὶ τετρὰς τριαδικὴ τῶν τε γονίμων μετέχουσαι ### book 1.905.1 καὶ ποιητικῶν ἀγαθῶν τὴν ὅλην συνέχουσι τῶν γενητῶν ### book 1.905.2 διακόσμησιν· ἀφ’ ὧν ἡ δυωδεκὰς εἰς μίαν μονάδα τὴν τοῦ ### book 1.905.3 Διὸς ἀρχὴν ἀνατείνεται· τὴν γὰρ τοῦ δωδεκαγώνου γωνίαν ### book 1.905.4 Διὸς εἶναί φησιν ὁ Φιλόλαος, ὡς κατὰ μίαν ἕνωσιν τοῦ ### book 1.905.5 Διὸς ὅλον συνέχοντος τὸν τῆς δυωδεκάδος ἀριθμόν· ἡγεῖ‐ ### book 1.910.1 ται γὰρ καὶ παρὰ τῷ Πλάτωνι δυωδεκάδος ὁ Ζεὺς καὶ ### book 1.910.2 ἀπολύτως ἐπιτροπεύει τὸ πᾶν. τοσαῦτα καὶ περὶ τῶν τετρα‐ ### book 1.910.3 πλεύρων εἴχομεν λέγειν τήν τε τοῦ στοιχειωτοῦ διάνοιαν ### book 1.910.4 ἐμφανίζοντες καὶ πρὸς τὰς θεωρητικωτέρας ἐπιβολὰς ### book 1.910.5 ἀφορμὰς διδόντες τοῖς τῶν νοητῶν καὶ ἀφανῶν οὐσιῶν ### book 1.915.1 τῆς γνώσεως ἐφιεμένοις. ### book 1.915.2 Παράλληλοι εὐθεῖαί εἰσιν, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ### book 1.915.3 οὖσαι καὶ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη ### book 1.915.4 ἐπὶ μηδέτερα συμπίπτουσιν ἀλλήλαις. ### book 1.915.5 Τίνα μὲν στοιχεῖα τῶν παραλλήλων καὶ τίσι γνωρίζονται ### book 1.920.1 συμπτώμασιν, ἐν τοῖς μετὰ ταῦτα μαθησόμεθα, τίνες δέ ### book 1.920.2 εἰσιν αἱ παράλληλοι εὐθεῖαι, διὰ τούτων ἀφορίζεται τῶν ### book 1.920.3 ῥημάτων. δεῖ τοίνυν αὐτάς, φησίν, ἔν τε ἑνὶ ἐπιπέδῳ εἶναι ### book 1.920.4 καὶ ἐκβαλλομένας ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη μὴ συμπίπτειν ### book 1.920.5 ἀλλήλαις. ἐκβάλλεσθαι εἰς ἄπειρον· καὶ γὰρ αἱ μὴ παράλ‐ ### book 1.925.1 ληλοι μέχρι τινὸς ἐκβαλλόμεναι μείναιεν ἂν ἀσύμπτωτοι, ### book 1.925.2 τὸ δ’ εἰς ἄπειρον ἐκβαλλομένας μὴ συμπίπτειν χαρακτηρί‐ ### book 1.925.3 ζει τὰς παραλλήλους, καὶ οὐδὲ τοῦτο ἁπλῶς, ἀλλὰ τὸ ἐφ’ ### book 1.925.4 ἑκάτερα ἐκβάλλεσθαι ἐπ’ ἄπειρον καὶ μὴ συμπίπτειν. καὶ ### book 1.925.5 τῶν μὴ παραλλήλων δυνατὸν κατὰ θάτερα μὲν τὴν ἐκβολὴν ### book 1.930.1 ἐπ’ ἄπειρον γενέσθαι, κατὰ τὰ λοιπὰ δὲ οὔ. συννεύουσαι ### book 1.930.2 γὰρ ἐπὶ τάδε τὰ μέρη πλέον ἀφίστανται ἀλλήλων κατὰ τὰ ### book 1.930.3 ἕτερα. τὸ δὲ αἴτιον, ὅτι δύο εὐθεῖαι περιέχειν οὐ δύνανταί ### book 1.930.4 τι χωρίον· εἰ δὲ κατὰ ἀμφότερα συννεύσαιεν, τοῦτο συμ‐ ### book 1.930.5 βήσεται. καὶ μέντοι καὶ τὸ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ εἶναι τὰς ### book 1.935.1 εὐθείας ὀρθῶς προσείληπται· εἰ γὰρ ἡ μὲν εἴη ἐν τῷ ### book 1.935.2 ὑποκειμένῳ, ἡ δὲ ἐν μετεώρῳ, κατὰ πᾶσαν θέσιν ἀσύμ‐ ### book 1.935.3 πτωτοί εἰσιν ἀλλήλαις καὶ οὐ διὰ τοῦτο παράλληλοί εἰσιν. ### book 1.935.4 ἓν οὖν ἔστω τὸ ἐπίπεδον, καὶ ἐκβαλλέσθωσαν ἐπ’ ἄπειρον ### book 1.935.5 κατὰ ἀμφότερα καὶ συμπιπτέτωσαν ἀλλήλαις κατὰ μη‐ ### book 1.940.1 δέτερα· τούτων γὰρ ὑπαρχόντων ἔσονται παράλληλοι ### book 1.940.2 εὐθεῖαι. καὶ ὁ μὲν Εὐκλείδης τοῦτον ὁρίζεται τὸν τρόπον ### book 1.940.3 τὰς παραλλήλους εὐθείας, ὁ δὲ Ποσειδώνιος· παράλληλοι, ### book 1.940.4 φησίν, εἰσιν αἱ μήτε συννεύουσαι μήτε ἀπονεύουσαι ἐν ἑνὶ ### book 1.940.5 ἐπιπέδῳ, ἀλλ’ ἴσας ἔχουσαι πάσας τὰς καθέτους τὰς ἀγο‐ ### book 1.945.1 μένας ἀπὸ τῶν τῆς ἑτέρας σημείων ἐπὶ τὴν λοιπήν· ὅσαι ### book 1.945.2 δ’ ἂν ἐλάττους ἀεὶ ποιῶσι τὰς καθέτους, συννεύουσιν ### book 1.945.3 ἀλλήλαις· ἡ γὰρ κάθετος τά τε ὕψη τῶν χωρίων καὶ τὰ ### book 1.945.4 διαστήματα τῶν γραμμῶν ὁρίζειν δύναται. διόπερ ἴσων ### book 1.945.5 μὲν τῶν καθέτων οὐσῶν ἴσα τὰ διαστήματα τῶν εὐθειῶν, ### book 1.1 μειζόνων καὶ ἐλαττόνων γιγνομένων καὶ ἡ ἀπόστασις ### book 1.2 ἐλασσοῦται, καὶ συννεύουσιν ἀλλήλαις, ἐφ’ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ ### book 1.3 κάθετοι ἐλάσσονες. δεῖ δὲ εἰδέναι, ὅτι τὸ ἀσύμπτωτον οὐ ### book 1.4 πάντως παραλλήλους ποιεῖ τὰς γραμμάς· καὶ γὰρ τῶν ### book 1.5 ὁμοκέντρων κύκλων αἱ περιφέρειαι οὐ συμπίπτουσιν· ### book 1.955.1 ἀλλὰ δεῖ καὶ ἐπ’ ἄπειρον αὐτὰς ἐκβάλλεσθαι. τοῦτο δὲ οὐ ### book 1.955.2 μόναις ὑπάρχει ταῖς εὐθείαις, ἀλλὰ καὶ ἄλλαις γραμμαῖς· ### book 1.955.3 δυνατὸν γὰρ νοῆσαι τεταγμένας ἕλικας περὶ εὐθείας γρα‐ ### book 1.955.4 φομένας, αἵτινες συνεκβαλλόμεναι ταῖς εὐθείαις εἰς ἄπει‐ ### book 1.955.5 ρον οὐδὲ τότε συμπίπτουσιν. ταῦτα μὲν οὖν παρὰ τούτων ### book 1.960.1 ὀρθῶς Γεμῖνος διεῖλεν ἐξ ἀρχῆς, ὅτι τῶν γραμμῶν αἱ μέν ### book 1.960.2 εἰσιν ὡρισμέναι καὶ σχῆμα περιέχουσιν, ὡς ὁ κύκλος καὶ ### book 1.960.3 ἡ τῆς ἐλλείψεως γραμμὴ καὶ ἡ κισσοειδὴς καὶ ἄλλαι παμ‐ ### book 1.960.4 πληθεῖς, αἱ δὲ ἀόριστοι καὶ εἰς ἄπειρον ἐκβαλλόμεναι, ὡς ### book 1.960.5 ἡ εὐθεῖα καὶ ἡ τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομὴ καὶ ἡ τοῦ ἀμ‐ ### book 1.965.1 βλυγωνίου καὶ ἡ κογχοειδής. πάλιν δὲ αὐτῶν εἰς ἄπειρον ### book 1.965.2 ἐκβαλλομένων αἱ μὲν οὐδὲν σχῆμα περιλαμβάνουσιν, ὡς ἡ ### book 1.1 εὐθεῖα καὶ αἱ κωνικαὶ τομαὶ αἱ εἰρημέναι, αἱ δὲ συν‐ ### book 1.2 ελθοῦσαί τε καὶ ποιήσασαι σχῆμα ἐπ’ ἄπειρον τὸ λοιπὸν ### book 1.3 ἐκφέρονται· τούτων δὲ αἱ μέν εἰσιν ἀσύμπτωτοι, αἱ, ὅπως ### book 1.970.1 ποτ’ ἂν ἐκβληθῶσιν, μὴ συμπίπτουσαι, συμπτωταὶ δὲ αἵ ### book 1.970.2 ποτε συμπεσούμεναι. τῶν δὲ ἀσυμπτώτων αἱ μὲν ἐν ἑνί ### book 1.970.3 εἰσιν ἀλλήλαις ἐπιπέδῳ, αἱ δὲ οὔ. τῶν δὲ ἀσυμπτώτων καὶ ### book 1.970.4 ἐν ἑνὶ οὐσῶν ἐπιπέδῳ αἱ μὲν ἴσον αἰεὶ διάστημα ἀφεστήκα‐ ### book 1.970.5 σιν ἀλλήλων, αἱ δὲ μειοῦσιν ἀεὶ τὸ διάστημα, ὡς ἡ ὑπερ‐ ### book 1.975.1 βολὴ πρὸς τὴν εὐθεῖαν καὶ ἡ κογχοειδὴς πρὸς τὴν εὐθεῖαν· ### book 1.975.2 αὗται γὰρ ἀεὶ ἐλασσουμένου τοῦ διαστήματος ἀεὶ ἀσύμ‐ ### book 1.975.3 πτωτοί εἰσι καὶ συννεύουσι μὲν ἀλλήλαις, οὐδέποτε δὲ ### book 1.975.4 συννεύουσιν παντελῶς, ὃ καὶ παραδοξότατόν ἐστιν ἐν γεω‐ ### book 1.975.5 μετρίᾳ θεώρημα δεικνῦον σύννευσίν τινων γραμμῶν ἀσύν‐ ### book 1.980.1 νευστον. τῶν δὲ ἴσον ἀεὶ ἀπεχουσῶν διάστημα αἵ εἰσιν ### book 1.980.2 εὐθεῖαι μηδέποτε ἔλασσον ποιοῦσαι τὸ μεταξὺ αὐτῶν ἐν ### book 1.980.3 ἑνὶ ἐπιπέδῳ, παράλληλοί εἰσιν. τοσαῦτα καὶ ἀπὸ τῆς ### book 1.980.4 Γεμίνου φιλοκαλίας εἰς τὴν τῶν προκειμένων ἐξήγησιν ### book 1.980.5 ἀνελεξάμεθα. ### book 2.1 Ἔν τισιν ἀντιγράφοις πρόσκειται ἐν τῇ ἐπιγραφῇ τὸ ### book 2.2 ἐκ τῆς Θέωνος ἐκδόσεως. ### book 3.1 • σημεῖόν ἐστιν, ὅ τινες καλοῦσι στιγμήν. — εὐθεῖα ### book 3.2 γραμμή. ~ γραμμὴ οὐκ εὐθεῖα. Δ ἐπίπεδος ἐπιφάνεια ἡ ### book 3.3 ὑπ’ εὐθειῶν περιεχομένη. Ο ἐπίπεδος ἐπιφάνεια ἡ ὑπὸ ### book 3.4 γραμμῆς περιεχομένη. 𐅵 ἐπίπεδος γωνία ἡ ὑπὸ εὐθειῶν ### book 3.5.1 περιεχομένη. ⟀ στερεὰ γωνία ἡ ὑπὸ τριῶν εὐθειῶν περι‐ ### book 3.5.2 εχομένη. ⟘ ὀρθή ἐστι γωνία διχοτόμημα εὐθείας ἐπ’ εὐ‐ ### book 3.5.3 θεῖαν ἑστώσης οὐ κατὰ παρέγκλισιν τῆς ἐφεστώσης. ἡ μὲν ### book 3.5.4 μείζων ἀπο....... ἀμβλεῖα κληθήσεται, ἡ δὲ ἐλάσσων ### book 3 ὀξεῖα. ### book 4.1 Διὰ τί μὴ καὶ τὸ τρίπλευρον καὶ τετράπλευρον πολύ‐ ### book 4.2 πλευρα ὠνόμασε; πολλὰ γὰρ τὰ τρία καὶ τέτταρα. ἔστιν ### book 4.3 οὖν εἰπεῖν, ὅτι ὥσπερ ἐπὶ τοῦ ἀριθμοῦ τὸ μὲν ἓν ἓν ὀνο‐ ### book 4.4 μάζομεν, τὰ δὲ β δύο, τὰ δὲ γ καὶ δ καὶ ἑξῆς πολλὰ καλεῖν ### book 4.5.1 καὶ πληθυντικῶς ἐκφέρειν εἰώθαμεν, οὕτω καὶ ἐπὶ τῶν ### book 4.5.2 εὐθυγράμμων σχημάτων τὸ μὲν ἔχον τρεῖς πλευρὰς τρί‐ ### book 4.5.3 πλευρον λέγομεν, τὸ δὲ δ τετράπλευρον, τὸ δὲ πλείους ### book 4.5.4 πολύπλευρον. ὃ γάρ ἐστιν ἐν ἀριθμῷ ἡ μονάς, τοῦτο ἐν ### book 4.5.5 εὐθυγράμμοις τὸ τρίπλευρον, καὶ τῇ δυάδι πάλιν ἀναλογεῖ ### book 4.10.1 τὸ τετράπλευρον· πρῶτον γὰρ τῶν εὐθυγράμμων τὸ τρί‐ ### book 4.10.2 πλευρον καὶ δεύτερον τὸ τετράπλευρον. εἰκότως ἄρα καὶ ### book 4.10.3 ταῦτα προσηγορίαις ἰδιαιτάταις προσηγορεύθησαν, τὰ δὲ ### book 4.10.4 μετὰ ταῦτα πολύπλευρα κατωνόμασται. ### book 5.1 Τρεῖς εἰσι διαφοραὶ τῶν σχημάτων· τὰ μὲν γὰρ ὑπὸ ### book 5.2 γραμμῶν οἷον ὁ κύκλος, τὰ δὲ ὑπ’ εὐθειῶν καὶ γραμμῶν ### book 5.3 οἷον τὸ ἡμικύκλιον, τομεὺς καὶ τὰ ἄλλα, ἕτερα δὲ ὑπὸ ### book 5.4 εὐθειῶν, οἷον τρίγωνον καὶ τετράγωνον. ### book 5.5.1 Τῶν μὲν ὑπὸ γραμμῶν καὶ σχημάτων περιεχομένων ### book 5.5.2 προηγεῖται ὁ κύκλος, εἶτα τὸ ἡμικύκλιον, τῶν δὲ ὑπὸ ### book 5.5.3 [Start of a diagram][Start of a diagram section]ἰσόπλευρον ### book 5.5.4 τοῦτο ἕν ἐστι μόνον ὀξυγώνιον ὑπάρχον. ### book 5.5.5 τῶν λοιπῶν ἑκάτερον τριχῶς[End of a diagram section] ### book 5.10.1 [Start of a diagram section]ἰσοσκελές ### book 5.10.2 ἢ ὀρθογώνιον ### book 5.10.3 ἢ ἀμβλυγώνιον ### book 5.10.4 ἢ ὀξυγώνιον[End of a diagram section] ### book 5.10.5 [Start of a diagram section]σκαληνόν ### book 5.15.1 ἢ ὀρθογώνιον ### book 5.15.2 ἢ ἀμβλυγώνιον ### book 5.1 ἢ ὀξυγώνιον[End of a diagram section][End of a diagram] ### book 5.2 εὐθειῶν τὸ τρίγωνον, εἶτα τετράγωνον. τὸ δὲ ὑπό τινος ἤ ### book 5.3 τινων ὅρων ἐστὶ περιεχόμενον ...... ### book 6.1 Ἀρχιμήδης οὕτως ὁρίζει τὴν εὐθεῖαν γραμμήν· εὐθεῖα ### book 6.2 γραμμή ἐστιν ἡ ἐλαχίστη τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν ### book 6.3 γραμμῶν. ### book 7.1 Ὅτι ἑπτὰ εἴδη τῶν τριγώνων εἰσὶ καὶ οὔτε πλείω οὔτε ### book 7.2 ἐλάττω (sequitur divisio, v. p. 70). ### book 8.1 Εἰ νοήσειας τὸ ἰσόπλευρον ῥομβούμενον, φαίνεται ### book 8.2 κατὰ τὰς γωνίας παρενηνεγμένον, ὥσπερ καὶ ὁ κύκλος ### book 8.3 ῥομβούμενος ἔλλειψις φαίνεται. ### book 9.1 Κοινόν ἐστιν αἰτήμασι καὶ ἀξιώμασι τὸ μὴ προσδεῖ‐ ### book 9.2 σθαί τινος ἀποδείξεως μηδὲ γεωμετρικῶν πίστεων, ἀλλ’ ### book 9.3 ὡς γνώριμα λαμβάνεσθαι καὶ ἀρχὰς ταῦτα γίνεσθαι τῶν ### book 9.4 ἐφεξῆς, διέστηκε δὲ ἀλλήλων, ᾗ καὶ τὰ θεωρήματα τῶν ### book 9.5.1 προβλημάτων διώρισται. ὥσπερ γὰρ ἐν τοῖς θεωρήμασιν ### book 9.5.2 τὸ ἀκόλουθον ἰδεῖν καὶ γνῶναι τοῖς ὑποκειμένοις προτι‐ ### book 9.5.3 θέμεθα, ἐν δὲ τοῖς προβλήμασι πορίσασθαι καὶ ποιῆσαί τι ### book 9.5.4 προσταττόμεθα, οὕτω δὴ καὶ ἐν μὲν τοῖς ἀξιώμασι ταῦτα ### book 9.5.5 λαμβάνεται, ὅσα καὶ αὐτόθεν εἰς γνῶσίν ἐστι καταφανῆ ### book 9.10.1 καὶ πρόχειρα ταῖς ἀδιδάκτοις ἡμῶν διανοίαις, ἐν δὲ τοῖς ### book 9.10.2 αἰτήμασι ταῦτα λαβεῖν ζητοῦμεν, ὅσα ἐστὶν εὐπόριστα καὶ ### book 9.10.3 εὐμήχανα, τῆς διανοίας οὐ καμνούσης περὶ τὴν λῆψιν ### book 9.10.4 αὐτῶν, οὐδὲ ποικιλίας δεόμενα. γνῶσις ἄρα ἐναργὴς καὶ ### book 9.10.5 ἀναπόδεικτος καὶ λῆψις ἀκατάσκευος διορίζουσι τὰ αἰτή‐ ### book 9.15.1 ματα καὶ τὰ ἀξιώματα, ὥσπερ καὶ γνῶσις ἀποδεικτικὴ καὶ ### book 9.15.2 λῆψις τῶν ζητουμένων μετὰ παρασκευῆς τὰ θεωρήματα ### book 9.15.3 τῶν προβλημάτων διέκρινεν. ἄμφω μὲν οὖν τὸ ἀξίωμα καὶ ### book 9.15.4 τὸ αἴτημα τὸ ἁπλοῦν ἔχειν δεῖ καὶ εὔληπτον καὶ ἀναπόδει‐ ### book 9 κτον, ἀλλὰ τὸ μὲν αἴτημα ὡς εὐπόριστον λαμβάνεται καὶ ### book 9.20.1 δίδωσιν ἡμῖν μηχανήσασθαι καὶ πορίσασθαί τινα ὕλην ### book 9.20.2 εἰς συμπτώματος ἀπόδοσιν ἁπλῆν ἔχουσαν καὶ εὐπετῆ τὴν ### book 9.20.3 λῆψιν, τὸ δὲ ἀξίωμα ὡς εὔγνωστον ὡμολόγηται καὶ οὐκέτι ### book 9.20.4 περὶ τὴν ὕλην, ὥσπερ τὰ αἰτήματα, ἀλλὰ περὶ τὰ συμ‐ ### book 9.20.5 βεβηκότα ἀναστρέφεται καὶ αὐτό ἐστι γνώριμον τοῖς ### book 9.25 ἀκούουσι. ### book 10.1 Αἱ γεωμετρικαὶ ἀρχαὶ τριχῆ διαιροῦνται εἴς τε ### book 10.2 ὑποθέσεις καὶ αἰτήματα καὶ ἀξιώματα. διαφέρουσι δὲ τὰ ### book 10.3 αἰτήματα τῶν ἀξιωμάτων, ὅτι τὰ μὲν ἀξιώματα αὐτόπιστα ### book 10.4 καὶ οὐδεμιᾶς δεόμενα ἀποδείξεως κατὰ τὰς ἀδιδάκτους ### book 10.5.1 ἡμῶν ἐννοίας, τὰ δὲ αἰτήματα καὶ αὐτὰ μὲν ὡς ἀληθῆ λαμ‐ ### book 10.5.2 βάνονται, δέονται δὲ ἀποδείξεως, ὅθεν καὶ αἰτήματα κα‐ ### book 10.5.3 λοῦνται ὡς αἰτούμενα καὶ χρῄζοντα ἀποδείξεως. ### book 11.1 Τὰ αὐτὰ ἀξιώματα καλοῦνται καὶ κοιναὶ ἔννοιαι, ### book 11.2 κοιναὶ μὲν ἔννοιαι, καθὸ κοινὰ ἅπαντες, ὡς ἔχουσι πρὸς ### book 11.3 τὰ πράγματα οἱ τοιοῦτοι λόγοι, οὕτως καὶ αὐτοὶ περὶ ### book 11.4 αὐτῶν διανοοῦνται, ἀξιώματα δέ, καθότι ἀναποδείκτως ### book 11.5.1 λαμβανόμενα ὑπὸ πάντων οὕτως ἔχειν ἀξιοῦνται, καὶ δι‐ ### book 11.5.2 αμφισβητεῖ πρὸς ταῦτα οὐδείς. ### book 12.1 Τὸ πρῶτον τῶν αἰτημάτων ἑπόμενόν ἐστι τῷ ῥύσιν ### book 12.2 εἶναι τοῦ σημείου τὴν γραμμὴν καὶ τὴν εὐθεῖαν καὶ ἀπαρ‐ ### book 12.3 έγκλιτον ῥύσιν. νοήσαντες οὖν τὸ σημεῖον κινούμενον τὴν ### book 12.4 ὁμαλὴν καὶ ἐλαχίστην κίνησιν ἐπὶ θάτερον σημεῖον κατ‐ ### book 12.5.1 αντήσομεν, καὶ τὸ πρῶτον αἴτημα γέγονεν οὐδὲν ποικίλον ### book 12.5.2 ἡμῶν ἐπινενοηκότων. εἰ δὲ δεῖ τῆς εὐθείας σημείῳ περα‐ ### book 12.5.3 τουμένης, ὡσαύτως νοήσαιμεν τὸ πέρας αὐτῆς κινούμενον ### book 12.5.4 τὴν ἐλαχίστην καὶ ὁμαλὴν κίνησιν. ἔσται τὸ δεύτερον αἴτη‐ ### book 12.5.5 μα πορισθὲν ἀπὸ εὐμηχάνου καὶ ἁπλῆς ἐπιβολῆς. εἰ δ’ ### book 12.10.1 αὖ μένουσαν μὲν τὴν πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ θάτερον, ### book 12.10.2 κινουμένην δὲ περὶ τὸ μένον, κατὰ τὸ λοιπὸν τὸ τρίτον ἂν ### book 12.1 εἴη γεγονός· κέντρον μὲν γὰρ ἔσται τὸ μένον σημεῖον, ### book 12.2 διάστημα δὲ ἡ εὐθεῖα. ὅση γὰρ ἂν αὕτη τυγχάνῃ, τοσοῦτον ### book 12.3 ἔσται τὸ ἀπόστημα τοῦ κέντρου πρὸς πάντα τὰ μέρη τῆς ### book 12.15 περιφερείας. ### book 13.1 Πᾶσαι μὲν αἱ ὀρθαὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, οὐ ### book 13.2 μὴν ἡ τῇ ὀρθῇ ἴση πάντως καὶ αὐτὴ ὀρθή ἐστιν, ἀλλ’ εἰ ### book 13.3 μὲν εὐθύγραμμος εἴη, πάντως ὀρθὴ ἔσται, δύνασθαι δέ φη‐ ### book 13.4 σιν ὁ Πάππος καὶ περιφερόγραμμον γωνίαν ἴσην ὀρθῇ ### book 13.5.1 δειχθῆναι, καὶ δῆλον, ὡς οὐκέτι τὴν τοιαύτην ὀρθὴν εἶναι ### book 13.5.2 δύνασθαι προσαγορεύσομεν. ### book 14.1 Τοῦτο ὁ Πρόκλος θεώρημα εἶναι τίθεται μᾶλλον ### book 14.2 πολλῶν παραμυθιῶν δεόμενον. ### book 15.1 Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας καὶ τὰ ἑξῆς· ὁ Πρόκλος οὐ ### book 15.2 φησὶν τοῦτο αἴτημα εἶναι, ἀλλὰ θεώρημα πολλὰς ἀπορίας ### book 15.3 ἐπιδεχόμενον καὶ πολλῶν εἰς ἀπόδειξιν δεόμενον καὶ ὅρων ### book 15.4 καὶ θεωρημάτων, καὶ τό γε ἀντιστρέφον, φησίν, ὡς θεώ‐ ### book 15.5.1 ρημα δείκνυσιν ὁ Εὐκλείδης. τὸ γὰρ ἠλαττωμένων τῶν ### book 15.5.2 ὀρθῶν συννεύειν τὰς εὐθείας ἀληθὲς καὶ ἀναγκαῖον, τὸ δὲ ### book 15.5.3 συννευούσας ἐπὶ πλέον ἐν τῷ ἐκβάλλεσθαι συμπεσεῖσθαί ### book 15.5.4 ποτε πιθανόν, ἀλλ’ οὐκ ἀναγκαῖον. ### book 15.5.5 Ταῦτά ἐστι τὰ κατὰ πάντας ἀναπόδεικτα καλούμενα ### book 15.10.1 ἀξιώματα, καθ’ ὅσον ὑπὸ πάντων οὕτως ἔχειν ἀξιοῦται, ### book 15.10.2 καὶ διαμφισβητεῖ πρὸς ταῦτα οὐδείς. πολλάκις μὲν γὰρ ### book 15.10.3 καὶ τὰς προτάσεις ἁπλῶς ἀξιώματα καλοῦσιν, ὁποῖαί ποτ’ ### book 15.10.4 ἂν ὦσιν εἴτε ἄμεσοι κυρίως εἴτε καὶ δεόμεναί τινος ὑπο‐ ### book 15.10.5 μνήσεως. τινὲς δὲ ἀπὸ τῶν ἄλλων προτάσεων διακρίνοντες ### book 15.15.1 τὸ ἀξίωμα τὴν ἄμεσον καὶ αὐτόπιστον δι’ ἐνέργειαν πρό‐ ### book 15.15.2 τασιν οὕτως ὀνομάζουσιν, ὥσπερ καὶ ὁ Ἀριστοτέλης καὶ ### book 15.1 οἱ γεωμέτραι λέγουσιν· ταὐτὸν γάρ ἐστι κατὰ τούτους ### book 15.2 ἀξίωμα καὶ ἔννοια κοινή. ὁ γοῦν Ἀπολλώνιος καὶ τῶν ### book 15.3 ἀξιωμάτων ἀποδείξεις γέγραφεν ἀπεναντίως Εὐκλείδῃ ### book 15.20.1 φερόμενος. ὁ μὲν γὰρ καὶ τὸ ἀποδεικτὸν ἐν τοῖς αἰτήμασιν ### book 15.20.2 κατηρίθμησεν, ὁ δὲ καὶ τῶν ἀναποδείκτων ἐπεχείρησεν ### book 15.20.3 ἀποδείξεις εὑρίσκειν. ### book 16.1 Πρόβλημά ἐστι μέρος λόγου εἰς ἑτέρου ἀπόδειξιν ### book 16.2 προβαλλόμενον, ὡς ὅταν λέγωμέν τινι· δεῖξον, εἰ ἡ ψυχὴ ### book 16.3 ἀθάνατός ἐστιν, καὶ τοῦτο πρόβλημά ἐστιν. ### book 17.1 Πεπερασμένης εἶπεν οὐχ ὡς ἀπείρου οὔσης τῆς γραμ‐ ### book 17.2 μῆς, ἀλλ’ ὡς λαμβανομένης καὶ διὰ τοῦτο πεπερασμένης. ### book 18.1 Ἰστέον, ὅτι τὸ μὲν ὅπερ ἔδει ποιῆσαι λαμβάνει ὁ ### book 18.2 Εὐκλείδης ἐν πράγματι τῷ τότε δημιουργηθέντι, τὸ δὲ ### book 18.3 ὅπερ ἔδει δεῖξαι, οὗ τὰ ἐπιδημιουργημένα εἴη ἡ ἀπόδειξις, ### book 18.4 οἷον ὅτι τὸ τρίγωνον τρία σημεῖα ἔχει. ### book 19.1 Πρῶτον πρότασις, β ἔκθεσις, γ προδιορισμός, δ ### book 19.2 κατασκευή. ### book 20.1 Τί ἐστι δεδομένον καὶ τί ζητούμενον; τὸ δεδομένον ### book 20.2 ἐστὶν ἐπὶ δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης, ζητεῖ δὲ τὸ ### book 20.3 τρίγωνον. ### book 21.1 Ἰστέον, οὐ ταὐτὸν εἶναι πρόβλημα καὶ θεώρημα. ὅ ### book 21.2 τι μὲν κινεῖται εἰς ζήτησιν, πρόβλημα, ὅ τι δὲ σημαίνει ### book 21.3 τόδε ὧδε εἶναι, θεώρημα. ζητεῖται δὲ ἐπὶ παντὶ προβλήματι ### book 21.4 πέντε ταῦτα· λῆμμα, πτῶσις, πόρισμα, ἔνστασις καὶ ἀπ‐ ### book 21.5.1 αγωγή· καὶ λῆμμα μέν ἐστιν, ὅταν ζητῶμεν, εἰ ἔστι τι τὸ ### book 21.5.2 κατασκευάζον τὸ πρόβλημα, ὅπερ ὁ διδάσκαλος εἰς κατα‐ ### book 21.5.3 σκευὴν δίδωσι, πτῶσις δὲ αὐτὴ ἡ τῆς κατασκευῆς ἀφορμή· ### book 21.1 ἔστι δὲ ὅτε καὶ προβλήματα εὑρίσκονται ἄπτωτα, δηλον‐ ### book 21.2 ότι μὴ ἀφορμῆς εἰς κατασκευὴν δεόμενα. πόρισμα, ὅταν ### book 21.10.1 ζητῶμεν, εἴπερ ἐπὶ τοῦ προφανῶς ἐν τῷ προβλήματι φαινο‐ ### book 21.10.2 μένου ἔστι καὶ ἕτερόν τι ἀνακύψαι. ἔνστασις, ὅτε ζητῶμεν, ### book 21.10.3 εἴπερ ἐστὶ δεκτικὸν ἀνατροπῆς τοῦτο, καὶ ἀπαγωγή, ὅτε ### book 21.10.4 ζητῶμεν, εἰ ἔστιν ἀπαγαγεῖν τὸ τοιοῦτον πρόβλημα εἰς ### book 21.10.5 κατασκευὴν ἄλλου προβλήματος. ### book 22.1 Πρόβλημα καὶ θεώρημα διαφέρει, ὅτι τὸ μὲν πρό‐ ### book 22.2 βλημα καὶ ποιεῖ καὶ προστάσσει καὶ τὴν δεῖξιν ἐπάγει τοῦ ### book 22.3 ποιηθέντος· τὸ δὲ θεώρημα τὰ παρὰ τὸ ὑποκείμενον ### book 22.4 σχῆμα συμπτώματα ἀποδείκνυσιν. ### book 23.1 Πᾶσα πρότασις γεωμετρικὴ ἤτοι πρόβλημα ἢ θεώ‐ ### book 23.2 ρημά ἐστιν, καὶ πρόβλημά ἐστιν, ὅταν προβληθῇ τὰ μὴ ### book 23.3 ὄντα πω πορίσασθαι καὶ εἰς ἐμφανὲς παραγαγεῖν καὶ ### book 23.4 προσμηχανήσασθαι, θεώρημα δέ, ἐν οἷς τὸ ὑπάρχον ἢ μὴ ### book 23.5.1 ὑπάρχον ἰδεῖν καὶ γνῶναι καὶ ἀποδεῖξαι προαιρεῖται. πᾶν ### book 23.5.2 δὲ πρόβλημα καὶ πᾶν θεώρημα βούλεται ταῦτα πάντα ### book 23.5.3 ἔχειν ἐν ἑαυτῷ· πρότασιν, ἔκθεσιν, διορισμόν, κατασκευήν, ### book 23.5.4 ἀπόδειξιν, συμπέρασμα. τούτων δὲ ἡ μὲν πρότασις λέγει, ### book 23.5.5 τίνος δεδομένου τί τὸ ζητούμενόν ἐστιν· ἡ γὰρ τελεία πρό‐ ### book 23.10.1 τασις ἐξ ἀμφοτέρων ἐστίν. ἡ δὲ ἔκθεσις αὐτὸ καθ’ αὑτὸ τὸ ### book 23.10.2 δεδομένον ἀποδιαλαβοῦσα προευτρεπίζει τῇ ζητήσει. ὁ δὲ ### book 23.10.3 διορισμὸς χωρὶς τὸ ζητούμενον, ὅ τι ποτέ ἐστιν, διασαφεῖ. ### book 23.10.4 ἡ δὲ κατασκευὴ τὰ ἐλλείποντα τῷ δεδομένῳ πρὸς τὴν τοῦ ### book 23.10.5 ζητουμένου θήραν προστίθησιν. ἡ δὲ ἀπόδειξις ἐπιστη‐ ### book 23.15.1 μονικῶς ἀπὸ τῶν ὁμολογηθέντων συνάγει τὸ προκείμενον. ### book 23.15.2 τὸ δὲ συμπέρασμα πάλιν ἐπὶ τὴν πρότασιν ἀναστρέφει ### book 23.15.3 βεβαιοῦν τὸ δεδειγμένον. καὶ τὰ μὲν σύμπαντα μέρη τῶν τε ### book 23.15.4 προβλημάτων καὶ τῶν θεωρημάτων ἐστὶ τοσαῦτα· τὰ δὲ ### book 23.15.5 ἀναγκαιότατα καὶ ἐν πᾶσιν ὑπάρχοντα πρότασις καὶ ἀπό‐ ### book 23.20.1 δειξις καὶ συμπέρασμα, τὰ δὲ λοιπὰ πολλαχοῦ μὲν παρα‐ ### book 23.20.2 λαμβάνεται, πολλαχοῦ δὲ καὶ ὡς οὐδεμίαν παρέχοντα χρεί‐ ### book 23.1 αν παραλείπεται. ὅταν μὲν οὖν ἡ πρότασις ἀμφότερα σχῇ ### book 23.2 τό τε δεδομένον καὶ τὸ ζητούμενον ὡς ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν ### book 23.3 εὐθεῖαν πεπερασμένην τρίγωνον συστήσασθαι, τότε καὶ ὁ ### book 23.25.1 διορισμὸς εὑρίσκεται καὶ ἔκθεσις, ὅταν δὲ ἐκλείπῃ τὸ δεδο‐ ### book 23.25.2 μένον, ἐκλιμπάνει καὶ ταῦτα· ἡ γὰρ ἔκθεσις τοῦ δεδομένου ### book 23.25.3 ἐστὶ καὶ ὁ διορισμός. ἔσται γὰρ ὁ αὐτὸς τῇ προτάσει. τί ### book 23.25.4 γὰρ ἄλλο ἂν εἴποι ὁ διοριζόμενος ἐπὶ τοῦ προρηθέντος ### book 23.25.5 προβλήματος, εἰ μὴ τὸ ὅμοιον τῇ προτάσει, ἐὰν μὴ ᾖ τὸ ### book 23.30.1 δεδομένον. ### book 23.30.2 Ἐπὶ τούτου τοῦ πρώτου θεωρήματος, ὅτι μὲν πρόβλημά ### book 23.30.3 ἐστιν, δῆλον, ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τρί‐ ### book 23.30.4 γωνον ἰσόπλευρον συστήσασθαι. τοῦ γὰρ τριγώνου τὴν γέ‐ ### book 23.30.5 νεσιν ζητῶν ἐπιτάττει τό τε δεδομένον καὶ τὸ ζητούμενον. ### book 23.35.1 δέδοται γὰρ εὐθεῖα, ζητεῖται δέ, πῶς ἂν ἐπ’ αὐτῆς συσταίη ### book 23.35.2 τὸ ἰσόπλευρον τρίγωνον, καὶ ἡγεῖται τὸ δεδομένον, ἕπεται ### book 23.35.3 δὲ τὸ ζητούμενον· οὔτε μὲν γὰρ εὐθείας δίχα συσταθήσε‐ ### book 23.35.4 ται σχῆμα, οὔτε δὲ ἄνευ πεπερασμένης· οὐ γὰρ δυνατόν. ### book 23.35.5 μετὰ δὲ τὴν πρότασιν εὐθὺς ἡ ἔκθεσις καὶ ἀπὸ ταύτης ὁ ### book 23.40.1 διορισμός· προσεχείας γὰρ αἴτιος ὁ διορισμός. μετὰ δὲ τὸν ### book 23.40.2 διορισμὸν ἡ κατασκευή, καὶ ὁρᾷς, ὅτι ἐπὶ τῆς κατασκευῆς ### book 23.40.3 χρῶμαι τοῖς αἰτήμασιν τῷ ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν ### book 23.40.4 σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν καὶ τῷ κέντρῳ καὶ δια‐ ### book 23.40.5 στήματι κύκλον γράψαι· τὰ μὲν γὰρ αἰτήματα ἁρμόζει ### book 23.45.1 ταῖς κατασκευαῖς, τὰ δὲ ἀξιώματα ταῖς ἀποδείξεσιν. ### book 23.45.2 ἐφεξῆς οὖν ἡ ἀπόδειξις, καί φησι· τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλή‐ ### book 23.45.3 λοις ἐστὶν ἴσα, ὡς ὅτι ἐκ τοῦ κέντρου πᾶσαι αἱ εὐθεῖαι ἴσαι. ### book 23.45.4 τὸ δὲ συμπέρασμα ἀκολουθεῖ τῇ προτάσει καὶ ἐπάγει τὸ ### book 23.45.5 ὅπερ ἔδει δεῖξαι ἢ ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. ### book 23.1 Τί δὲ λῆμμα καὶ τί πτῶσις, τί δὲ πόρισμα καὶ τί ἔνστασις ### book 23.2 καὶ τί ἀπαγωγή; τὸ μὲν οὖν λῆμμα κατὰ πάσης προτάσεως ### book 23.3 μὴ λαμβάνεσθαι, κατὰ δέ τινων τὴν ἀπόδειξιν σαφεστέραν ### book 23.4 ποιεῖν, ἡ δὲ πτῶσις διαφόρους τῆς κατασκευῆς τρόπους ### book 23.5 ἐπαγγέλλεται καὶ θέσεων ἐξαλλαγάς· ἐπὶ γὰρ τῆς κατα‐ ### book 23.55.1 γραφῆς ἡ ποικίλη θεωρία αὐτῆς ἐστιν, διὸ καὶ πτῶσις ### book 23.55.2 καλεῖται μετάθεσις οὖσα τῆς κατασκευῆς. τὸ δὲ πόρισμα ### book 23.55.3 λέγεται μὲν καὶ ἐπὶ προβλημάτων, οἷον τὰ ἐν Εὐκλείδῃ ### book 23.55.4 γεγραμμένα πορίσματα, λέγεται δὲ καὶ ἰδίως, ὅταν ἐκ τῶν ### book 23.55.5 ἀποδεδειγμένων ἄλλο τι συναναφανῇ θεώρημα μὴ προ‐ ### book 23.60.1 θεμένων ἡμῶν. ἡ δὲ ἔνστασις κωλύει τὴν ὅλην ἀταρπὸν ### book 23.60.2 τοῦ λόγου ἢ πρὸς τὴν κατασκευὴν ἢ πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ### book 23.60.3 ἀπαντῶσα. ἡ δὲ ἀπαγωγὴ μετάβασίς ἐστιν ἀπ’ ἄλλου προ‐ ### book 23.60.4 βλήματος ἢ θεωρήματος ἐπ’ ἄλλο οὐ γνωσθέντος ἢ πο‐ ### book 23.60.5 ρισθέντος, οἷον καὶ τὸν διπλασιασμὸν τοῦ κύβου εἰς τὰς ### book 23.65 τῶν εὐθειῶν ἀναλογίας μετέθεσαν. ### book 24.1 Τῶν προβλημάτων τὰ μὲν ἄπτωτά ἐστιν, τὰ δὲ ### book 24.2 πολύπτωτα. ἔστιν οὖν τὸ βʹ πρόβλημα πολύπτωτον. δέδο‐ ### book 24.3 ται ἐν αὐτῷ τὸ μὲν σημεῖον τῇ θέσει, καὶ δίδοται ἡ εὐθεῖα, ### book 24.4 ζητεῖται δὲ ταύτῃ τῇ εὐθείᾳ ἴσην θέσθαι πρὸς τῷ σημείῳ, ### book 24.5.1 ὅπου ποτ’ ἂν ᾖ τοῦτο κείμενον. πρόδηλον δέ, ὅτι πάντως ### book 24.5.2 ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ τὸ σημεῖόν ἐστιν, ἐν ᾧ καὶ ἡ ### book 24.5.3 εὐθεῖα, καὶ οὐκ ἐν μετεωροτέρῳ· πᾶσιν γὰρ τοῖς τῆς ### book 24.5.4 ἐπιπέδου προβλήμασι καὶ θεωρήμασιν εἰς ἐπίπεδον ὑπο‐ ### book 24.5.5 κεῖσθαι χρὴ νομίζειν. εἰ δέ τις ἀποροίη, πῶς τῇ δοθείσῃ ### book 24.10.1 εὐθείᾳ ἴσην παρακελεύεται· τί γάρ, εἰ ἄπειρος δέδοται; τὸ ### book 24.10.2 γὰρ δοθὲν τοῦτο καὶ ἐπὶ τὴν πεπερασμένην φέρει καὶ ἐπὶ ### book 24.10.3 τὴν ἄπειρον· σημαίνει γὰρ τὸ ἐκκείμενον πᾶν καὶ ὑπο‐ ### book 24.10.4 βεβλημένον ἡμῖν εἰς τὴν ζήτησιν. δηλοῖ δὲ καὶ αὐτὸς ὁτὲ ### book 24.10.5 μὲν λέγων ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης συστή‐ ### book 24.15.1 σασθαι τρίγωνον ἰσόπλευρον, ὁτὲ δὲ ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν ### book 24.15.2 εὐθεῖαν ἄπειρον κάθετον ἀγαγεῖν· εἴ τις οὖν τοιαῦτα ἀπο‐ ### book 24.15.3 ροίη, λεκτέον, ὅτι ἴσην τῇ δοθείσῃ πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ ### book 24.15.4 θέσθαι. πάντως γὰρ ὅτι ἡ πρὸς τῷ σημείῳ τεθησομένη ### book 24.15.5 πεπέρασται κατ’ αὐτὸ τὸ σημεῖον. ὥστε πολλῷ πρότερον ### book 24.20.1 ἐκείνη πεπέρασται, ἥ ἐστιν ἴση τῇ τιθεμένῃ· ἅμα τε οὖν ### book 24.20.2 εἶπεν πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ καὶ ἀμφοτέρας περατοῖ ### book 24.20.3 τὰς εὐθείας καὶ τὴν δοθεῖσαν, καὶ ἣν ἐκείνῃ τίθησιν ἴσην. ### book 24.20.4 ὅτι δὲ αἱ πτώσεις τούτου τοῦ προβλήματος γίνονται παρὰ ### book 24.20.5 τὴν τοῦ σημείου διάφορον θέσιν, δῆλον· ἢ γὰρ ἔξω κεῖται ### book 24.25.1 τὸ δοθὲν σημεῖον τῆς δοθείσης εὐθείας ἢ ἐπ’ αὐτῆς, καὶ ### book 24.25.2 εἰ ἐπ’ αὐτῆς, ἢ τῶν περάτων αὐτῆς ἔσται θάτερον ἢ ἐν τῷ ### book 24.25.3 μεταξὺ κείσεται τῶν ἄκρων, καὶ εἰ ἔξω αὐτῆς, ἢ ἐκ πλα‐ ### book 24.25.4 γίου, ὥστε τὴν ἀπ’ αὐτοῦ πρὸς τὸ πέρας τῆς εὐθείας ἐπι‐ ### book 24.25.5 ζευγνυμένην γωνίαν ποιεῖν, ἢ ἐπ’ εὐθείας τῇ δεδομένῃ, ### book 24.30 ὥστε ἐκβαλλομένην αὐτὴν ἐπὶ τὸ σημεῖον πίπτειν. ### book 25.1 Πῶς δὲ γίνεται πρὸς τῷ Α σημείῳ εὐθεῖα ἴση τῇ ### book 25.2 Γ εὐθείᾳ, ἐμάθομεν ἐν τῷ δευτέρῳ σχήματι. ### book 26.1 Τρίτον πρόβλημα τοῦτο δεδομένας μὲν ἔχον δύο ### book 26.2 εὐθείας κατὰ τὸ μέγεθος ἀνίσους, προστάττον δὲ ἀφελεῖν ### book 26.3 ἀπὸ τῆς μείζονος ἴσην τῇ ἐλάσσονι. ἔστι δὲ καὶ τοῦτο πολύ‐ ### book 26.4 πτωτον· αἱ γὰρ δοθεῖσαι ἄνισοι εὐθεῖαι ἢ διεστᾶσιν ἀπ’ ### book 26.5.1 ἀλλήλων ὡς παρὰ τῷ στοιχειωτῇ ἢ καθ’ ἓν πέρας συνάπ‐ ### book 26.5.2 τονται ἢ τέμνουσιν ἀλλήλας ἢ ἡ ἑτέρα κατὰ τὸ πέρας ἑαυ‐ ### book 26.5.3 τῆς τέμνει τὴν ἑτέραν καὶ τοῦτο διχῶς· ἢ γὰρ ἡ μείζων ### book 26.5.4 τὴν ἐλάσσω ἢ ἡ ἐλάσσων τὴν μείζονα. ἀλλ’ εἰ μὲν καθ’ ### book 26.5.5 ἓν συνάπτοιντο πέρας, δήλη ἡ ἀπόδειξις· τῷ γὰρ κοινῷ ### book 26.10.1 πέρατι κέντρῳ χρησάμενος, διαστήματι δὲ τῇ ἐλάσσονι ### book 26.10.2 τῶν εὐθειῶν γράψεις κύκλον καὶ τὴν μείζονα τεμεῖς καὶ ### book 26.10.3 ἀφαιρήσεις ἴσην τῇ ἐλάσσονι. ὅσον γὰρ τῆς μείζονος ὁ ### book 26.10.4 κύκλος ἐντὸς ἀποτέμνεται, τοσοῦτον ἴσον ἔσται τῇ ἐλάσ‐ ### book 26.10.5 σονι. εἰ δὲ ἡ ἑτέρα τέμνοι τὴν ἑτέραν κατὰ τὸ ἑαυτῆς πέρας, ### book 26.15 ἤτοι ἡ μείζων τὴν ἐλάσσονα τεμεῖ ἢ ἀνάπαλιν, καὶ εἰ ### book 26.1 ἀλλήλας τέμνοιεν, ἢ εἰς ἴσα τέμνονται ὑπ’ ἀλλήλων ἢ εἰς ### book 26.2 ἄνισα ἢ ἡ μὲν εἰς ἴσα, ἡ δὲ εἰς ἄνισα, καὶ τοῦτο διχῶς. ### book 26.3 ταῦτα γὰρ πάντα ποικιλίαν ἡμῖν καὶ θαυμαστὴν παρέχεται ### book 26.4 γυμνασίαν. ### book 27.1 Ἐνταῦθα δύο μέν εἰσι τὰ δεδομένα, τρία δὲ τὰ ζητού‐ ### book 27.2 μενα. δέδοται μὲν δύο πλευρῶν ἰσότης καὶ γωνίας πρὸς ### book 27.3 γωνίαν ἰσότης, ζητεῖται δὲ ἡ τῆς βάσεως πρὸς τὴν βάσιν ### book 27.4 ἰσότης, ἡ τοῦ τριγώνου πρὸς τὸ τρίγωνον, ἡ τῶν λοιπῶν ### book 27.5 γωνιῶν πρὸς τὰς λοιπάς. ### book 28.1 Ὅτι πρότερόν ἐστι τὸ τῶν προβλημάτων γένος τοῦ ### book 28.2 τῶν θεωρημάτων, διότι διὰ τῶν προβλημάτων ἀνευρίσκον‐ ### book 28.3 ται τὰ ζητούμενα περὶ τὰ συμπτώματα ὑποκείμενα, καὶ ### book 28.4 ἄλλως ὅτι τοῦ μὲν προβλήματος ἡ πρότασις ἁπλῆ ἐστι καὶ ### book 28.5.1 πάσης ἐντέχνου συνέσεως ἀπροσδεής, τοῦ δὲ θεωρήματος ### book 28.5.2 ἐργώδης καὶ πολλῆς δεομένη ἀκριβείας. ### book 29.1 Ὃ λέγει, τοιοῦτόν ἐστιν· εἰ γὰρ τὰ πέρατα ἐφαρμόσει ### book 29.2 τῶν βάσεων ἀλλήλοις, ἐφαρμόσουσι καὶ αἱ βάσεις, εἰ δὲ ### book 29.3 μή, δύο εὐθεῖαι χωρίον περιέξουσιν· ὅπερ ἀδύνατον. ### book 30.1 Τοῦτο πρῶτον θεώρημα παρειλήφαμεν, τὰ δὲ πρὸ ### book 30.2 τούτου προβληματικὰ ἦν, τὸ μὲν πρῶτον περὶ τὴν τῶν ### book 30.3 τριγώνων γένεσιν πραγματευόμενον, τὸ δὲ δεύτερον καὶ ### book 30.4 τρίτον ἴσην εὐθεῖαν ἄλλην ἄλλῃ πορίσασθαι προτιθέμενα. ### book 30.5.1 ἐπὶ τούτου δὲ ἀνέλαβεν πλευρὰς ἴσας πλευραῖς καὶ εὐθείας ### book 30.5.2 ἴσας εὐθείαις καὶ τοῦτο διαπραγματευσάμενος δείκνυσιν ἴσα ### book 30.5.3 τὰ τρίγωνα καὶ τὰς γωνίας καὶ τὰ ἐμβαδὰ καὶ τὰ περίμετρα. ### book 30.5.4 συμβαίνει δὲ τῶν ἐμβαδῶν ἴσων ὄντων τὰ περίμετρα ἄνισα ### book 30.5.5 καὶ τῶν περιμέτρων ἴσων οὐσῶν ἄνισα τὰ ἐμβαδά. δύο ### book 30.10.1 γὰρ ἰσοσκελῶν τριγώνων ἑκάτερον ἔχει τὰς ἴσας πλευρὰς ### book 30.10.2 ἀπὸ πέντε μονάδων, τῶν δὲ βάσεων τὸ μὲν ὀκτώ, τὸ δὲ ### book 30.10.3 ἕξ. ὁ μὲν ἄπειρος γεωμετρίας εἴποι ἂν μεῖζον εἶναι τὸ ἔχον ### book 30.1 ὀκτωκαίδεκα, ὁ δ’ αὖ γεωμέτρης εἴποι ἄν, ὅτι ἑκατέρων ### book 30.2 τὸ ἐμβαδόν ἐστι δώδεκα, καὶ ταῦτα ἀποδείξει κάθετον ### book 30.15.1 ἀγαγὼν ἑκατέρων τῶν τριγώνων, καὶ τούτου γινομένου ### book 30.15.2 ἰσάζει καὶ τὰ περίμετρα καὶ τὰ ἐμβαδὰ αὐτῶν. ὑποτείνουσα ### book 30.15.3 δὲ πλευρὰ τῇ γωνίᾳ λέγεται ἡ καταντικρὺ κειμένη· πᾶσα ### book 30.15.4 γὰρ τριγωνικὴ γωνία περιέχεται μὲν ὑπὸ δύο εὐθειῶν, ### book 30.15.5 ὑποτείνεται δὲ ὑπὸ τῆς λοιπῆς. διὸ τὰς γωνίας ἴσας εἶναι, ### book 30.20.1 ὑφ’ ἃς ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν. δύο δὲ εὐθεῖαι χωρίον οὐ ### book 30.20.2 περιέχουσιν· τοῦτο ὡς ὁμολογούμενον ὁ γεωμέτρης ἔλα‐ ### book 30.20.3 βεν. εἰ γὰρ τὰ πέρατα, φησίν, ἐφαρμόσει τῶν βάσεων ἀλ‐ ### book 30.20.4 λήλοις, ἐφαρμόσουσι καὶ αἱ βάσεις, εἰ δὲ μή, δύο εὐθεῖαι ### book 30.20.5 χωρίον περιέξουσιν. δύο γάρ ἐστι ταῦτα ἀξιώματα συν‐ ### book 30.25.1 εκτικὰ τῆς ὅλης μεθόδου τοῦ προκειμένου θεωρήματος, ### book 30.25.2 ἓν μέν, ὅτι τὰ ἐφαρμόζοντα ἴσα ἀλλήλοις· τοῦτο ἁπλῶς ### book 30.25.3 ἀληθὲς καὶ οὐδενὸς προσδιορισμοῦ δεόμενον, ᾧ χρῆται ὁ ### book 30.25.4 στοιχειωτὴς ἐπί τε τῆς βάσεως καὶ τοῦ ἐμβαδοῦ καὶ τῶν ### book 30.25.5 λοιπῶν γωνιῶν· ταῦτα γάρ, φησίν, διότι ἐφαρμόζει, ἴσα ### book 30.30.1 ἐστίν. ἕτερον δέ, ὅτι τὰ ἴσα ἐφαρμόζει ἀλλήλοις· τοῦτο δὲ ### book 30.30.2 οὐκ ἐπὶ πάντων ἀληθές, ἀλλ’ ἐπὶ τῶν ὁμοειδῶν. ὁμοειδῆ ### book 30.30.3 δὲ λέγω οἷον εὐθεῖαν εὐθείᾳ καὶ περιφέρειαν περιφερείᾳ ### book 30.30.4 τοῦ αὐτοῦ κύκλου καὶ γωνίαν γωνίᾳ ὑπὸ ὁμοίων ὁμοίως ### book 30.30.5 κειμένων περιεχομένῃ. τούτων δέ, ὅτι τὰ δεδομένα ἴσα ### book 30.35.1 ἀλλήλοις ἐφαρμόζει ὥστε εἶναι συνελόντι φάναι τὴν πᾶσαν ### book 30.35.2 ἀπόδειξιν ἐν τῷ θεωρήματι. καί, φησίν, τῶν θεωρημάτων ### book 30.35.3 τὰ ὑποκείμενα περὶ τὰ συμπτώματα ζητεῖται διὰ τῶν προ‐ ### book 30.35.4 βλημάτων εὑρίσκεσθαι. καὶ τοῦ μὲν προβλήματος τὴν ### book 30.35.5 πρότασιν ἁπλῆν εἶναι καὶ πάσης ἐντέχνου συνέσεως ἀπροσ‐ ### book 30.40.1 δεῆ, τοῦ δὲ θεωρήματος ἐργώδη καὶ πολλῆς δεομένην ### book 30.40.2 ἀκριβείας καὶ ἐπιστημονικῆς κρίσεως, ἵνα μήτε πλεονά‐ ### book 30.40.3 ζουσα εἴη μήτε ἐλλείπουσα τῆς ἀληθείας, οἷον δὴ καὶ τοῦτο ### book 30.40.4 πρώτιστον ὂν τῶν θεωρημάτων. ἐπὶ τούτου τοῦ θεωρήμα‐ ### book 30.40.5 τος καὶ ταῖς κοιναῖς ἐννοίαις ἐχρήσατο καὶ τρόπον τινὰ τὸ ### book 30.45 αὐτὸ τρίγωνον ἐν διαφόροις λαμβάνει τόποις κείμενον. καὶ ### book 30.1 γὰρ ἡ ἐφαρμογὴ καὶ ἡ ἀπὸ ταύτης ἰσότης δεικνυμένη ### book 30.2 παντάπασιν ἔχεται τῆς αἰσθητῆς καὶ ἐναργοῦς ὑπολήψεως. ### book 30.3 ἀλλ’ ὅμως καὶ τοιαύτης οὔσης τῆς τοῦ πρώτου θεωρήματος ### book 30.4 ἀποδείξεως εἰκότως προηγήσατο τὰ προβλήματα, διότι ### book 30.1 καθόλου τὴν προηγουμένην ἐκεῖνα τάξιν ἔλαχεν. καὶ ἴσως ### book 30.2 τῇ μὲν τάξει τὰ προβλήματα πρὸ τῶν θεωρημάτων ἐστὶ ### book 30.3 καὶ μάλιστα τοῖς ἀπὸ τῶν περὶ τὰ αἰσθητὰ στρεφομένων ### book 30.4 τεχνῶν ἀνάγουσιν ἐπὶ θεωρίαν, τῇ δὲ ἀξίᾳ τὰ θεωρήματα ### book 30.5 προυπάρχει τῶν προβλημάτων. καὶ ἔοικεν ἡ ὅλη γεω‐ ### book 30.55.1 μετρία, καθ’ ὃ μὲν συνάπτει ταῖς πολλαῖς τέχναις, ἐνερ‐ ### book 30.55.2 γεῖν προβληματικῶς, καθ’ ὃ δὲ τῇ πρώτῃ ἐπιστήμῃ γειτνιᾷ, ### book 30.55.3 θεωρηματικῶς ἀνάγεσθαι ἀπὸ τῶν προβλημάτων ἐπὶ τὰ ### book 30.55.4 θεωρήματα ὡς ἀπὸ δευτέρων ἐπὶ πρῶτα. πρῶτον δέ ἐστιν ### book 30.55.5 ἐν τοῖς προβλήμασιν τὸ ἰσόπλευρον τρίγωνον, ἐν οἷς τῶν ### book 30.60.1 τριγώνων τὰς γενέσεις καὶ τῆς ἰσότητος τὴν εὕρεσιν ἐμά‐ ### book 30.60.2 θομεν. προκείσθω δὲ νῦν καί, ὅτι ὡς μὲν ἐν θεωρήμασιν ### book 30.60.3 ἁπλούστατόν ἐστι τοῦτο καὶ ἀρχοειδέστατον· ἀπ’ αὐτῶν ### book 30.60.4 γὰρ ὡς εἰπεῖν μόνων αὐτοφυῶς δείκνυται τῶν πρώτων ### book 30.60.5 ἐννοιῶν· σύμπτωμα δέ τι περὶ τὰ τρίγωνα φαινόμενον ### book 30.65.1 ἔχοντα τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δύο πλευραῖς ἴσας καὶ τὰς ὑπ’ ### book 30.65.2 αὐτῶν περιεχομένας γωνίας ἀποδεικνῦον εἰκότως μετὰ ### book 30.65.3 τὰ προβλήματα τέτακται, δι’ ὧν τὰ ὑποκείμενα τῷ συμ‐ ### book 30.65.4 πτώματι τούτῳ καὶ ὅλως τὰ δεδομένα κατεσκεύαζεν. ### book 31.1 ὑποτείνουσιν p. 10, 16] οὐ μάτην αἱ δύο ὑπόκεινται, ### book 31.2 ἀλλ’ ἐμφαίνεται τῷ στοιχειωτῇ διὰ τούτων, ὡς αἱ ὑποτείνου‐ ### book 31.3 σαι πλευραὶ τὰς ἴσας γωνίας ὑπὸ πλευρὰς πάλιν ἑτέρας εἰσίν. ### book 32.1 τὴν ὑπὸ ΒΑΓ p. 10, 21] τὴν πρὸς τῷ Α γωνίαν ### book 32.2 δηλον[ότι]· ἔθος γὰρ τῷ στοιχειωτῇ, [ἡ]νίκα ΑΒΓ ἢ ### book 32.3 ΒΑΓ [λέγει γω]νίαν, τὴν πρὸς τῷ μέσῳ στοιχείῳ οὖσαν ### book 32.4 γωνίαν σημ[αίνειν]. ### book 33.1 Ἰστέον, ὅτι, ὁπηνίκα ΒΑΓ λέγει γωνίαν ἢ ΒΓΑ, ὃ ### book 33.2 στοιχεῖον παραλαμβάνει μέσον, ἐκείνου τὴν γωνίαν ση‐ ### book 33 μαίνει. ### book 34.1 εἰ γάρ p. 11, 13] ἐντεῦθεν διὰ τῆς εἰς ἀδύνατον ### book 34.2 ἀπαγωγῆς δεικνύειν ἄρχεται τὸ θεώρημα. ### book 35.1 δύο εὐθεῖαι χωρίον περιέξουσιν p. 11, 15] δηλονότι ### book 35.2 τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι· τοῦτο γὰρ προσυπακουστέον, ὡς ### book 35.3 καὶ ἐν τοῖς ὅροις. ### book 36.1 ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓΖ p. 13, 1] τὰς ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίας ### book 36.2 λέγει τοῦ ἐξ ἀρχῆς τεθέντος τριγώνου τοῦ ΑΒΓ, ἃς καὶ ### book 36.3 ἴσας βούλεται δεῖξαι· τοῦτο γὰρ ἐξ ἀρχῆς προὔθηκεν. ### book 37.1 Τῶν θεωρημάτων τὰ μέν ἐστιν ἁπλᾶ, τὰ δὲ σύν‐ ### book 37.2 θετα. λέγω δὲ ἁπλᾶ, ὅσα καὶ κατὰ τὰς ὑποθέσεις καὶ κατὰ ### book 37.3 τὰ συμπεράσματα ἀδιαίρετά ἐστιν ἓν ἔχοντα τὸ δεδομένον ### book 37.4 καὶ τὸ ζητούμενον, οἷον εἰ οὕτως ἔλεγεν ὁ στοιχειωτής· ### book 37.5.1 πᾶν τρίγωνον ἰσοσκελὲς ἴσας ἔχει τὰς πρὸς τῇ βάσει γω‐ ### book 37.5.2 νίας. τούτων τὰ μέν ἐστι συμπεπλεγμένα, τὰ δὲ ἀσύμ‐ ### book 37.5.3 πλεκτα. ἔστι δὲ ἀσύμπλεκτα μέν, ὅσα σύνθετα ὄντα μὴ ### book 37.5.4 δυνάμενα διαιρεῖσθαι εἰς ἁπλᾶ θεωρήματα, συμπεπλεγ‐ ### book 37.5.5 μένα δέ, ὅσα διαιρεῖται εἰς ἁπλᾶ, οἷον ἐκεῖνο τὸ θεώρημα· τὰ ### book 37.10.1 τρίγωνα καὶ τὰ παραλληλόγραμμα ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα ### book 37.10.2 καὶ ἑξῆς· ὁμοίως δὲ πάντων τῶν συνθέτων τὰ μὲν κατὰ τὸ ### book 37.10.3 συμπέρασμα συντίθεται ἀπὸ τῆς αὐτῆς ὑποθέσεως ὁρμη‐ ### book 37.10.4 θέντα, τὰ δὲ κατὰ τὰς ὑποθέσεις ἔχει τὴν σύνθεσιν καὶ τὸ ### book 37.10.5 αὐτὸ πάσαις ἐπάγει συμπέρασμα, τὰ δὲ κατὰ τὸ συμπέρα‐ ### book 37.15.1 σμα καὶ τὰς ὑποθέσεις σύνθετά ἐστι. κατὰ μὲν οὖν τὸ ### book 37.15.2 συμπέρασμα σύνθεσίς ἐστιν γὰρ ἐπὶ τούτου τοῦ θεω‐ ### book 37.15.3 ρήματος τρία τὰ συναγόμενα, ὅτι αἱ βάσεις ἴσαι, ὅτι τὰ ### book 37.15.4 τρίγωνα ἴσα, ὅτι αἱ λοιπαὶ γωνίαι ἴσαι, ὑφ’ ἃς αἱ ἴσαι ### book 37.15.5 πλευραὶ ὑποτείνουσιν. κατὰ δὲ τὰς ὑποθέσεις ἐπὶ τοῦ κοι‐ ### book 37.20.1 νοῦ τῶν τριγώνων καὶ παραλληλογράμμων θεωρήματος ### book 37.20.2 τῶν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντων. κατ’ ἀμφότερα δὲ ὡς ἐπ’ ### book 37.1 ἐκείνου· αἱ διάμετροι τῶν κύκλων καὶ τῶν ἐλλείψεων τά τε ### book 37.2 χωρία δίχα διαιροῦσι καὶ τὰς περιεχούσας τὰ χωρία γραμ‐ ### book 37.3 μάς. τῶν δὲ συμπεπλεγμένων τὰ μέν ἐστι καθολικά, τὰ δὲ ### book 37.25.1 ἐκ τῶν ἐπὶ μέρους συνάγει τὸ καθόλου. τούτων δὴ προτε‐ ### book 37.25.2 θεωρημένων τὸ πέμπτον θεώρημα σύνθετον πάντως ῥητέον ### book 37.25.3 καὶ κατ’ ἀμφότερα σύνθετον κατά τε τὸ δεδομένον καὶ ### book 37.25.4 κατὰ τὸ ζητούμενον. ἐπὶ δὲ τοῦ ἑβδόμου καὶ τοῦ ἐνάτου ### book 37.25.5 θεωρήματος τὰς φερομένας ἐνστάσεις ἀπὸ τούτου διαλύ‐ ### book 37.30.1 σομεν. ἐκ δὴ τούτου φανερόν, καὶ δι’ ἣν αἰτίαν οὐκ ἀντέ‐ ### book 37.30.2 στρεψεν καὶ ἀπὸ τούτου τὸ ἕκτον ὡς οὐδὲ τούτου προηγου‐ ### book 37.30.3 μένην ἔχοντος χρείαν, ἀλλὰ κατὰ συμβεβηκὸς ἡμῖν πρὸς ### book 37.30.4 τὴν ὅλην ἐπιστήμην συντελοῦντος. εὕρεμα δέ ἐστι τὸ θεώ‐ ### book 37.30.5 ρημα τοῦτο Θαλοῦ. ### book 38.1 Τὸ κατηγορούμενον ἐν τῷ ε θεωρήματι, ἐν τῷ ϛ ### book 38.2 ὑποκείμενον γέγονεν, καὶ τὸ ὑποκείμενον ἐν τῷ ε ἐν τῷ ### book 38.3 ϛ κατηγορούμενον γέγονεν. ### book 39.1 Ἐν τούτῳ τῷ ϛʹ θεωρήματι δύο ταῦτα ἐπεδείξατο, ### book 39.2 τήν τε ἀντιστροφὴν τοῦ πρὸ αὐτοῦ θεωρήματος καὶ διά ### book 39.3 τε τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς δείξεως· δεῖ δὲ περὶ ἀμ‐ ### book 39.4 φοτέρων εἰπεῖν, ὅσα πρὸς τὴν παροῦσάν ἐστι πραγματείαν ### book 39.5.1 οἰκεῖα. λέγεται τοίνυν ἀντιστροφὴ παρὰ γεωμέτραις προ‐ ### book 39.5.2 ηγουμένως καὶ κυρίως, ὅταν τὰ συμπεράσματα καὶ τὰς ### book 39.5.3 ὑποθέσεις ἀλλήλων ἀντιμεταλαμβάνει τὰ θεωρήματα, καὶ ### book 39.5.4 τὸ μὲν τοῦ προτέρου συμπέρασμα ὑπόθεσις ἐν τῷ δευτέρῳ ### book 39.5.5 γίνεται, ἡ δὲ ὑπόθεσις ὡς συμπέρασμα ἐπάγεται, συμ‐ ### book 39.10.1 πέρασμα δὲ τὴν ἰσότητα τῶν πλευρῶν τῶν ὑποτεινουσῶν ### book 39.10.2 τὰς ἴσας ἐκείνας γωνίας. δύναται δὲ καὶ τῷ δʹ θεωρήματι ### book 39.10.3 τὸ ὄγδοον ἀντιστρέψαι. δεῖ δὲ εἰδέναι, ὅτι πολλαὶ ἀντι‐ ### book 39.10.4 στροφαὶ γίνονται ψευδεῖς καὶ οὐκ εἰσὶ κυρίως ἀντιστρο‐ ### book 39.10.5 φαί· οἷον πᾶς ἑξάγωνος ἀριθμὸς τρίγωνός ἐστιν, ἀλλ’ ### book 39.15.1 οὐκέτι ἐπαληθές, ὅτι πᾶς τρίγωνος ἑξάγωνός ἐστιν. τὸ ### book 39.15.2 μὲν γὰρ αὐτῶν κοινότερον, τὸ δὲ μερικώτερον. τὰ μὲν ### book 39.15.3 αὐτῶν καλοῦσι προηγούμενα, τὰ δὲ ἀντίστροφα· αἱ δὲ ### book 39.15.4 εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγαὶ εἰς ἀδύνατον τελευτῶσιν ἐναργές, ### book 39.15.5 καὶ οὗ τὸ ἀντικείμενον ὡμολόγηται, συμβαίνει δὲ αὐτὸ ἐπὶ ### book 39.20.1 τὰ μαχόμενα ταῖς κοιναῖς ἐννοίαις ἤτοι αἰτήμασιν ἢ ταῖς ### book 39.20.2 ὑποθέσεσι τελευτᾶν. καὶ ἐν τῷ θεωρήματι τούτῳ τὸ συμ‐ ### book 39.20.3 βαῖνον ἀδύνατον δείκνυσιν διὰ τὸ κοινὴν ἔννοιαν ἀνατρέπειν ### book 39.20.4 τὴν τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζον λέγουσαν, τὸ δὲ ὄγδοον οὐ ### book 39.20.5 κοινῆς ἐννοίας ἀνατρεπτικόν, ἀλλὰ τοῦ δεδειγμένου διὰ τοῦ ### book 39.25.1 ἑβδόμου θεωρήματος· ὃ γὰρ ἀπέφησεν τὸ ἕβδομον, τοῦτο ### book 39.25.2 ἐκεῖνο δείκνυσι καταφασκόμενον τοῖς μὴ συγχωροῦσι τὸ ### book 39.25.3 ζητούμενον. ### book 40.1 Τῶν γεωμετρικῶν καὶ ἀριθμητικῶν θεωρημάτων ### book 40.2 τὰς προτάσεις καταφατικὰς ἐχόντων τὸ ζʹ θεώρημα ### book 40.3 ἀποφατικῶς τῇ προτάσει κέχρηται. φησὶ δὲ καὶ ὁ Ἀριστο‐ ### book 40.4 τέλης, ὅτι τὸ καθόλου τὸ καταφατικὸν ταῖς ἐπιστήμαις ### book 40.5.1 ἐστὶ μάλιστα προσῆκον ὡς αὐταρκέστατον καὶ μηδὲν τῆς ### book 40.5.2 ἀποφάσεως δεόμενον· τὸ γὰρ ἀποφατικὸν δεῖται καὶ τῆς ### book 40.5.3 καταφάσεως, εἰ μέλλει δείκνυσθαι. ἄνευ γὰρ καταφάσεως ### book 40.5.4 οὔτε ἀπόδειξίς ἐστιν οὔτε συλλογισμὸς οὐδείς, καὶ διὰ ### book 40.5.5 τοῦτο αἱ ἀποδεικτικαὶ τῶν ἐπιστημῶν τὰ πλεῖστα κατα‐ ### book 40.10.1 φατικοῖς συμπεραίνουσιν. ἔλαβε δὲ τὸ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας, ### book 40.10.2 ἵνα μὴ ἐπὶ ἄλλης καὶ ἄλλης εὐθείας δύο δυσὶν ἴσας δείκνυ‐ ### book 40.10.3 μεν καὶ παραλογιζόμεθα τοὺς τῇ προτάσει χρωμένους. ### book 40.10.4 οὐχ ἁπλῶς δὲ οὐ φησὶν συσταθήσεσθαι δύο δυσὶν ἴσας ἐπὶ ### book 40.10.5 τῆς αὐτῆς εὐθείας, ἀλλ’ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ ἀδύνατον. οὐδὲν ### book 40.15 γὰρ θαυμαστὸν ἀμφοτέρας ἀμφοτέραις ἴσας λαβεῖν τῶν ### book 40.1 ἐπισυνισταμένων τὴν μὲν ἐκτείναντα, τὴν δὲ συστείλαντα. ### book 40.2 τρίτον προστίθησι τὸ πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ· δυνα‐ ### book 40.3 τὸν γὰρ προυφεστώσαις δύο εὐθείαις ἐπάνω αὐτῶν ποιῆσαι ### book 40.4 ἄλλας δύο ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ σημείου καὶ ἐφαρμόσαι ἑκατέραν ### book 40.20.1 ἑκατέρᾳ. τέταρτον ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη φησίν, ἵνα μὴ τὴν ### book 40.20.2 μίαν εὐθεῖαν κοινὴν βάσιν ποιήσωμεν τριγώνων δυεῖν τὰς ### book 40.20.3 κορυφὰς ἀντικειμένας ἐχόντων, τὴν μὲν ἐπὶ τὸ ἕτερον μέρος ### book 40.20.4 ἐχόντων, τὴν δὲ ἐπὶ τὸ ἕτερον. πέμπτον τὸ τὰ αὐτὰ πέρατα ### book 40.20.5 ἔχουσαι ταῖς ἐξ ἀρχῆς εὐθείαις· δυνατὸν γὰρ δύο δυσὶν ### book 40.25.1 ἴσας συστήσασθαι οὐ τὰ αὐτὰ πέρατα, ἀλλ’ ἕτερα ἐχούσαις, ### book 40.25.2 οἷον ἐπὶ τοῦ τετραγώνου, εἰ ποιήσομεν δύο διαμέτρους, ### book 40.25.3 ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν ἔσονται δύο δυσὶν ἴσαι, πλευρὰ καὶ ### book 40.25.4 διάμετρος τῇ παραλλήλῳ πλευρᾷ καὶ τῇ ἑτέρᾳ διαμέτρῳ, ### book 40.25.5 ἀλλ’ οὐχὶ καὶ τὰ αὐτὰ πέρατα ἕξουσιν· οὔτε γὰρ αἱ παράλ‐ ### book 40.30.1 ληλοι οὔτε αἱ διάμετροι τὰ αὐτὰ πέρατα ἕξουσιν ἀλλήλαις. ### book 40.30.2 τούτων οὖν πάντων τῶν διορισμῶν φυλαττομένων ἥ τε ### book 40.30.3 πρότασις ἀληθής, καὶ ὁ συλλογισμὸς ἀναμφισβήτητος ### book 40.30.4 δείκνυται. δέδεικται δὲ τὸ θεώρημα τοῦτο παρὰ τῷ στοι‐ ### book 40.30.5 χειωτῇ διὰ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς, μάχεται δὲ τὸ ### book 40.35.1 ἀδύνατον πρὸς κοινὴν ἔννοιαν τὴν λέγουσαν τὸ ὅλον τοῦ ### book 40.35.2 μέρους μεῖζον, καὶ τὸ αὐτὸ μεῖζον καὶ ἴσον εἶναι ἀδύνατον. ### book 40.35.3 ἔοικε δὲ εἶναι τοῦτο τὸ θεώρημα λῆμμα προλαμβανόμενον ### book 40.35.4 τοῦ ὀγδόου θεωρήματος· εἰς γὰρ τὴν ἀπόδειξιν ἐκείνου συν‐ ### book 40.35.5 τελεῖ καὶ οὔτε στοιχεῖόν ἐστιν ἁπλῶς οὔτε στοιχειῶδες· οὐ ### book 40.40 γὰρ ἐπὶ πολλὰ διατείνει τὴν ἑαυτοῦ χρείαν. ### book 41.1 Χρήσιμον τὸ θεώρημα τοῦ ἑβδόμου ἐστὶν εἰς ἀστρο‐ ### book 41.2 νομίαν καὶ εἰς τὴν δεινότητα τῶν ἐκλείψεων τόπον. τούτῳ ### book 41.3 γάρ φασι χρώμενοι δεικνύναι, ὅτι τρεῖς ἐφεξῆς ἐκλείψεις ### book 41.4 ἴσον ἀπέχουσαι ἀλλήλων οὐκ ἂν γένοιντο, λέγω δέ, ὥστε ### book 41.5.1 τοσούτῳ χρόνῳ τὴν δευτέραν διεστάναι τῆς πρώτης, ὅσον ### book 41.5.2 τὴν τρίτην τῆς δευτέρας, οἷον εἰ μετὰ τὴν αʹ ἡ δευτέρα γέ‐ ### book 41.1 γονεν ἓξ μηνῶν παρελθόντων καὶ κ ἡμερῶν, οὐκ ἂν γενέ‐ ### book 41.2 σθαι τὴν τρίτην ὕστερον τοσούτῳ χρόνῳ τῆς δευτέρας, ### book 41.3 ἀλλ’ ἤτοι πλέον ἢ ἔλασσον· τοῦτο οὕτως ἔχον ἀποδείκνυ‐ ### book 41.10.1 σθαι διὰ τοῦ ζʹ θεωρήματος. ἔστι μὲν τοῦτο τὸ θεώρημά τι ### book 41.10.2 πεπονθὸς σπάνιον καὶ οὐ πάνυ ταῖς ἐπιστημονικαῖς προτά‐ ### book 41.10.3 σεσιν εἰωθός. τὸ γὰρ ἀποφατικῶς σχηματίζεσθαι καὶ μὴ ### book 41.10.4 καταφατικῶς οὐ σφόδρα αὐταῖς οἰκεῖον. μᾶλλον μὲν οὖν ### book 41.10.5 πολλαὶ καταφάσεις εἰσὶ ἐν ταῖς προτάσεσι τῶν γεωμετρι‐ ### book 41.15.1 κῶν καὶ τῶν ἀριθμητικῶν θεωρημάτων. αἴτιον δέ, ὥς φησιν ### book 41.15.2 Ἀριστοτέλης, ὅτι τὸ καθόλου καταφατικὸν ταῖς ἐπιστή‐ ### book 41.15.3 μαις ἐστί. ἄνευ γὰρ καταφάσεως οὔτε ἀπόδειξίς ἐστιν οὔτε ### book 41.15.4 συλλογισμός, καὶ διὰ τοῦτο αἱ ἀποδεικτικαὶ τῶν ἐπιστη‐ ### book 41.15.5 μῶν τὰ μὲν πλεῖστα καταφατικὰ δεικνύουσι, σπανίως δὲ ### book 41.20.1 χρῶνται καὶ τοῖς ἀποφατικοῖς συμπεράσμασι. θαυμαστῆς ### book 41.20.2 δὲ ἀκριβείας ἐστὶν ἡ πρότασις τοῦ θεωρήματος πλήρης καὶ ### book 41.20.3 πάσαις ἠσφάλισται ταῖς προσθήκαις, δι’ ὧν ἀνέλεγκτος ### book 41.20.4 ἀποτελεῖται καὶ ἀναμφισβήτητος τοῖς συκοφαντεῖν ἐπι‐ ### book 41.20.5 χειροῦσι. ἔοικε δὲ εἶναι τοῦτο τὸ θεώρημα λῆμμα προλαμ‐ ### book 41.25.1 βανόμενον τοῦ ὀγδόου θεωρήματος· εἰς γὰρ τὴν ἀπόδειξιν ### book 41.25.2 ἐκείνου συντελεῖ καὶ οὔτε στοιχεῖόν ἐστιν ἁπλῶς οὔτε ### book 41.25.3 στοιχειῶδες· οὐ γὰρ ἐπὶ πολλὰ διατείνει τὴν ἑαυτοῦ χρείαν. ### book 42.1 Ὅρα, πῶς ἀποδεικνύει τὸ ἀδύνατον. εἰ γὰρ ἡ ΑΓ ### book 42.2 πλευρὰ τῇ ΑΔ ἴσῃ ἴση καὶ ἡ ΑΓΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΔΓ· ### book 42.3 τοῦτο γὰρ ἐν τῷ εʹ σχήματι ἀποδέδεικται. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ### book 42.4 ΑΓΔ γωνία ἀμβλεῖα οὖσα μέσην εὐθεῖαν ἔχει τὴν ΓΒ ### book 42.5.1 τέμνουσαν ἑαυτὴν εἰς γωνίας β τήν τε ὑπὸ ΑΓΒ καὶ τὴν ### book 42.5.2 ὑπὸ ΔΓΒ, μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΔΓ τῆς ὑπὸ ΔΓΒ ἴση ### book 42.5.3 ἀποδειχθεῖσα τῇ ΑΓΔ, ἧς ἡμίσειά ἐστιν ἡ ΔΓΒ. πάλιν ### book 42.5.4 ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΔΒ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΒ γω‐ ### book 42.5.5 νία τῇ ὑπὸ ΔΓΒ. ταύτης δὲ ἐδείχθη ἡμίσεια γωνία τις ἡ ### book 42.10.1 ὑπὸ ΓΔΑ διπλασίων· τῇ γὰρ ὑπὸ ΑΓΔ ἴση ἐδείχθη, ἧς ### book 42.10.2 ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΑΓΒ. πολλῷ ἄρα μείζων ἡ ΓΔΒ τῆς ὑπὸ ### book 42 ΒΓΔ. τετραπλασίων γάρ. ### book 43.1 Ὅπερ ἔχει κατηγορούμενον τὸ δʹ θεώρημα, ἔχει τὸ ### book 43.2 ηʹ ὑποκείμενον, καὶ ὅπερ τὸ δʹ ὑποκείμενον, τὸ ηʹ κατη‐ ### book 43.3 γορούμενον. ### book 44.1 Τὸ ὄγδοον θεώρημα ἀντίστροφον μέν ἐστι τοῦ ### book 44.2 τετάρτου, οὐ κατὰ τὴν προηγουμένην ἀντιστροφὴν ληφθέν· ### book 44.3 οὐ γὰρ ὅλην τὴν ὑπόθεσιν ἐκείνου ποιεῖται συμπέρασμα καὶ ### book 44.4 ὅλον τὸ συμπέρασμα ὑπόθεσιν· ἀλλὰ τὸ μὲν τῆς ὑποθέ‐ ### book 44.5.1 σεως τοῦ τετάρτου, τὸ δὲ τῶν ἐκείνῳ ζητουμένων συμπλέ‐ ### book 44.5.2 κον δείκνυσιν ἕν τι τῶν ἐκεῖ δεδομένων. τὸ μὲν γὰρ τὰς ### book 44.5.3 δύο πλευρὰς ἴσας εἶναι ταῖς δύο πλευραῖς ὑπόθεσίς ἐστιν ### book 44.5.4 ἐν ἀμφοτέραις, τὸ δὲ τὴν βάσιν ἴσην τῇ βάσει ἐν ἐκείνῳ ### book 44.5.5 μὲν τῶν ζητουμένων ἦν, ἐν δὲ τούτῳ δέδοται. τὸ δὲ τὴν ### book 44.10.1 γωνίαν ἴσην τῇ γωνίᾳ δεδομένον μὲν ἐν ἐκείνῳ, ζητούμε‐ ### book 44.10.2 νον δὲ ἐν τούτῳ. μόνον δὲ ἡ ἐναλλαγὴ τῶν δεδομένων καὶ ### book 44.10.3 ζητουμένων ποιεῖ τὴν ἀντιστροφήν. δι’ ἣν δὲ αἰτίαν ὄγδοον ### book 44.10.4 τέτακται καὶ οὐ μετὰ τὸ τέταρτον εὐθὺς ὡς ἀντίστροφον, ### book 44.10.5 καθάπερ δὴ μετὰ τὸ πέμπτον τὸ ἕκτον ἀντίστροφον ὂν τοῦ ### book 44.15.1 πέμπτου (καὶ γὰρ τὰ πλεῖστα τῶν ἀντιστρεφόντων ἕπεται ### book 44.15.2 τοῖς προηγουμένοις καὶ ἐπ’ αὐτοῖς ἀμέσως δείκνυται), ### book 44.15.3 λεκτέον, ὅτι τοῦ μὲν ἑβδόμου τὸ ὄγδοον ἐδεῖτο· δείκνυται ### book 44.15.4 γὰρ διὰ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς· τοῦτο δ’ αὖ πάλιν εἰς ### book 44.15.5 τὴν ἀπόδειξιν ἐδεῖτο τοῦ πέμπτου. προείληπται τοίνυν ### book 44.20.1 ἀναγκαίως καὶ τὸ εʹ καὶ τὸ ϛʹ καὶ τὸ ζʹ τοῦ δεικνυμένου ### book 44.20.2 νυνὶ θεωρήματος. περὶ δὲ τὰ τρίγωνα ἔστι καὶ ἄλλα ### book 44.20.3 θεωρῆσαι· τῆς μὲν γὰρ βάσεως ἐλαττουμένης ἐλαττοῦται ### book 44.20.4 ἡ γωνία, ἣν ὑποτείνει, αὐξομένης δὲ αὔξεται καὶ ἡ γωνία. ### book 44.20.5 τῶν δὲ πλευρῶν ἐλαττουμένων αὔξει ἡ γωνία, αὐξανομέ‐ ### book 44.25 νων δὲ τῶν πλευρῶν μειοῦται. ### book 45.1 Ἰστέον, ὅτι τὸ ηʹ θεώρημα τοιοῦτον ἔχει σκοπόν, ### book 45.2 ἵνα β τρίγωνα τεθειμένα ἐπ’ ἄλληλα ἴσας ἔχῃ τὰς ἐν ταῖς ### book 45.3 κορυφαῖς γωνίας. ἔοικε δὲ τοῦτο ποιεῖν ἥ τε τῶν περιεχου‐ ### book 45.4 σῶν πλευρῶν τὰς γωνίας καὶ ἡ τῶν βάσεων ἰσότης. τῶν ### book 45.5.1 τε γὰρ βάσεων ἀνίσων οὐσῶν τῆς μὲν ἐλαττουμένης ### book 45.5.2 συνελαττοῦται καὶ ἡ γωνία, τῆς δὲ αὐξανομένης συναύξε‐ ### book 45.5.3 ται, οὔτε δὲ τῶν βάσεων τῶν αὐτῶν μενουσῶν, τῶν δὲ ### book 45.5.4 πλευρῶν ἀνισαζομένων ἴσαι εὑρεθήσονται αἱ γωνίαι, ἀλλὰ ### book 45.5.5 τῶν μὲν ἐλασσουμένων πλευρῶν αὔξεται ἡ γωνία, τῶν δὲ ### book 45.10.1 αὐξομένων ἐλαττοῦται. ἀσφαλὲς οὖν τὸ λεγόμενον τὴν ### book 45.10.2 βάσιν καὶ τὰς πλευρὰς ἴσας ὑπαρχούσας τὴν ἰσότητα τῆς ### book 45.10.3 γωνίας ἀφορίζειν. τοῦτο δὲ τὸ θεώρημα ἀντίστροφόν ἐστι ### book 45.10.4 τῷ δʹ. τὸ μὲν γὰρ τὰς β πλευρὰς ἴσας εἶναι ταῖς β πλευραῖς ### book 45.10.5 ὑπόθεσίς ἐστιν ἐν ἀμφοτέροις, τὸ δὲ τὴν βάσιν ἴσην τῇ ### book 45.15.1 βάσει ἐν ἐκείνῳ μὲν τῶν ζητουμένων ἦν, ἐν δὲ τούτῳ δέ‐ ### book 45.15.2 δοται, τὸ δὲ τὴν γωνίαν ἴσην τῇ γωνίᾳ δεδομένον μὲν ἦν ### book 45.15.3 ἐν ἐκείνῳ, ζητούμενον δὲ ἐν τούτῳ. μόνη τοίνυν ἡ ἐναλλαγὴ ### book 45.15.4 τῶν δεδομένων καὶ τῶν ζητουμένων ποιεῖ τὴν ἀντιστροφήν. ### book 45.15.5 δεῖται δὲ τοῦ ζʹ πρὸς τὴν ἀπόδειξιν· κἀκεῖνο γὰρ καὶ ### book 45.20.1 τοῦτο διὰ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς δείκνυνται, ἀλλὰ τὸ ### book 45.20.2 μὲν ζʹ ἀπὸ τῶν κοινῶν ἐννοιῶν ἐλέγχει τὸ ἀδύνατον, τὸ δὲ ### book 45.20.3 ηʹ ἀπὸ τοῦ ζʹ. τὸ δὲ ζʹ πάλιν ἐδεῖτο τοῦ εʹ θεωρήματος· ### book 45.20.4 διὸ καὶ προετάγησαν εὐλόγως ἀμφότερα τοῦ ηʹ. ἰστέον ### book 45.20.5 δέ, ὅτι τῶν ἐν ταῖς κορυφαῖς γωνιῶν τῶν τριγώνων οὐσῶν ### book 45.25.1 ἴσων ἕπεται καὶ τὰς λοιπὰς γωνίας ἴσας εἶναι. διὰ τοῦτο ### book 45.25.2 οὐ προσέθηκεν ὥσπερ ἐπὶ τοῦ δʹ τὸ καὶ τὰς λοιπὰς γω‐ ### book 45.25.3 νίας. ### book 46 Τὸ θʹ τοῦτο πρόβλημά ἐστιν. ἀναμίγνυσι γὰρ ὁ ### book 46.1 στοιχειωτὴς τοῖς προβλήμασι τὰ θεωρήματα καὶ τοῖς θεω‐ ### book 46.2 ρήμασι συμπλέκει τὰ προβλήματα καὶ δι’ ἀμφοτέρων τὴν ### book 46.3 ὅλην συμπεραίνει στοιχείωσιν τοτὲ μὲν τὰ ὑποκείμενα ### book 46.5.1 ποριζόμενος, τοτὲ δὲ τὰ περὶ αὐτὰ συμπτώματα θεωρῶν. ### book 46.5.2 δείξας τοίνυν διὰ τῶν πρόσθεν καὶ περὶ ἓν τρίγωνον τῇ ### book 46.5.3 ἰσότητι τῶν πλευρῶν ἑπομένην τὴν ἰσότητα τῶν γωνιῶν ### book 46.5.4 καὶ ἀνάπαλιν καὶ περὶ δύο τρίγωνα ὡσαύτως, πλὴν ὅτι τῆς ### book 46.5.5 ἀντιστροφῆς ὁ τρόπος διαφέρων ἦν ἐπί τε τοῦ ἑνὸς τριγώ‐ ### book 46.10.1 νου καὶ τοῖν δυοῖν, μέτεισιν ἐπὶ τὰ προβλήματα καὶ ἐπι‐ ### book 46.10.2 τάττει ἐν τούτῳ τῷ προβλήματι τὴν δοθεῖσαν γωνίαν ### book 46.10.3 εὐθύγραμμον δίχα τεμεῖν. ἐπεὶ δὲ ἡ γωνία δύναται δίδο‐ ### book 46.10.4 σθαι πολλαχῶς· καὶ γὰρ καὶ θέσει δίδοται, ὡς ὅταν λέγω‐ ### book 46.10.5 μεν πρὸς τῇδε τῇ εὐθείᾳ καὶ τῷδε τῷ σημείῳ κεῖσθαι τὴν ### book 46.15.1 γωνίαν καὶ εἶναι διδομένην αὐτὴν οὕτως· δίδοται καὶ εἴδει, ### book 46.15.2 οἷον ὅταν ὀρθὴν λέγωμεν ἢ ὀξεῖαν ἢ ἀμβλεῖαν ἢ ὅλως εὐθύ‐ ### book 46.15.3 γραμμον ἢ μικτήν· δίδοται καὶ λόγῳ ἤγουν ἀναλόγως, ### book 46.15.4 ὅταν διπλασίαν τῆσδε λέγωμεν καὶ τριπλασίαν ἢ ὅλως ### book 46.15.5 μείζονα καὶ ἐλάττονα· δίδοται καὶ μεγέθει, ὡς ὅταν τρίτον ### book 46.20.1 ὀρθῆς λέγωμεν. ἡ δὲ νῦν δοθεῖσα κατὰ εἶδος δέδοται μό‐ ### book 46.20.2 νον. ### book 46.20.3 Χρῆται δὲ ἐν τῷ προβλήματι τούτῳ πρὸς μὲν τὴν κατα‐ ### book 46.20.4 σκευὴν αὐτοῦ αἰτήματι ἑνὶ καὶ τῷ πρώτῳ καὶ τῷ γʹ προ‐ ### book 46.20.5 βλήματι, πρὸς δὲ τὴν ἀπόδειξιν τῷ ηʹ μόνῳ θεωρήματι· ### book 46.25.1 δεῖται γὰρ πάντως ἀποδείξεως καὶ τὰ προβλήματα, ὥσπερ ### book 46.25.2 καὶ τὰ θεωρήματα, ἐπειδὴ καὶ τὸ ἐπιστημονικὸν ἀπὸ τῆς ### book 46.25.3 ἀποδείξεως ἔχει. ### book 47.1 Τὰ προβλήματα τοῖς θεωρήμασιν συμπλέκει καὶ τὰ ### book 47.2 θεωρήματα τοῖς προβλήμασι. τοῦτο δὲ τὸ θεώρημα προ‐ ### book 47.3 βληματικόν ἐστιν καί ἐστιν εὑρεῖν εὐθύγραμμον γωνίαν ### book 47.4 ὀρθὴν καὶ τρίχα τεμεῖν ἀδυνατήσει ἄν τις κερατοειδῆ γω‐ ### book 47.5.1 νίαν τεμεῖν. τὸ δὲ νῦν πρόβλημά ἐστι τὴν δοθεῖσαν εὐθύ‐ ### book 47.5.2 γραμμον γωνίαν δίχα τεμεῖν. χρῆται γὰρ ἐν τούτῳ πρὸς μὲν ### book 47.1 τῇ κατασκευῇ ἓν αἴτημα καὶ πρῶτον καὶ τὸ τρίτον θεώ‐ ### book 47.2 ρημα, πρὸς δὲ τὴν ἀπόδειξιν τὸ ὄγδοον μόνον θεώρημα. ### book 47.3 τετραχῶς δὲ δύναται δίδοσθαι ἡ γωνία· καὶ γὰρ θέσει, ὡς ### book 47.10.1 ὅταν λέγωμεν πρὸς τῇδε τῇ εὐθείᾳ καὶ τῷ σημείῳ ### book 47.10.2 κεῖσθαι τὴν γωνίαν καὶ εἶναι δεδομένην αὐτὴν οὕτως· καὶ ### book 47.10.3 εἴδει, οἷον ὅταν ὀρθὴν λέγωμεν ἢ ὀξεῖαν ἢ ἀμβλεῖαν ἢ ὅλως ### book 47.10.4 εὐθύγραμμον ἢ μικτήν· καὶ λόγῳ, ὅταν διπλασίαν λέγω‐ ### book 47.10.5 μεν τῆσδε καὶ τριπλασίαν ἢ ὅλως μείζονα καὶ ἐλάσσονα· ### book 47.15.1 καὶ μεγέθει, ὥσπερ ὅταν τρίτου ὀρθῆς λέγωμεν. ἡ δὲ νῦν ### book 47.15.2 κατὰ τὸ εἶδος δίδοται μόνον. ### book 48.1 Προβληματικὸν καὶ τοῦτο τὸ θεώρημα πεπερα‐ ### book 48.2 σμένην μὲν εὐθεῖαν ὑποτιθέμενον, ἐπειδὴ κατ’ ἄμφω ἄπει‐ ### book 48.3 ρον οὐδαμῶς ἔστιν ὁρίσαι, τῆς δὲ ἀπείρου ἐφ’ ἑκάτερα ### book 48.4 μέρη ὑπονοήσειας σημεῖα εἰς ἄνισα ἡ τομὴ γίνεται ἡ ἐφ’ ### book 48.5.1 ἃ ἄπειρος τῆς λοιπῆς πεπερασμένης. λείπεται οὖν ἐπ’ ἄμ‐ ### book 48.5.2 φω πεπερασμένην λαμβάνειν τὴν δίχα τέμνεσθαι μέλλου‐ ### book 48.5.3 σαν. ἴσως δ’ ἄν τις ἐκ τούτου κινούμενος τοῦ προβλήματος ### book 48.5.4 ὑπονοήσειεν, ὅτι προείληπται παρὰ τοῖς γεωμέτραις τὸ μὴ ### book 48.5.5 εἶναι τὴν γραμμὴν ἐξ ἀμερῶν ἢ ἐκ περιττῶν. ἀλλ’ εἰ καὶ ### book 48.10.1 ἐκ περιττῶν ἐστιν, ἔοικε καὶ τὸ ἀμερὲς τέμνεσθαι δίχα τῆς ### book 48.10.2 εὐθείας τεμνομένης ἐπὶ θάτερον μέρος δίχα. κατὰ γάρ τι‐ ### book 48.10.3 νας εἰς ἄπειρον διαιρεῖται τὸ πηλίκον καὶ ὡς ἀδύνατον παρ’ ### book 48.10.4 ἐκείνοις τὸ περιττὸν δίχα τμηθῆναι. κατά γε τὸν Γεμῖνον, ### book 48.10.5 ὅτι τὸ μὲν διαιρετὸν ἐπὶ τὸ συνεχὲς κατὰ κοινὴν ἔννοιαν ### book 48.15.1 καὶ τοῦτο θεώρημα εἶναι συνεχὲς τὸ ἐκ μερῶν συνημμένον ### book 48.15.2 ὑφεστός, πάντως δὲ τὸ καὶ διαιρεῖσθαι δυνατόν. ὅτι δὲ καὶ ### book 48.15.3 ἐπ’ ἄπειρον διαιρεῖται, ἀποδεικνύουσιν τὸ ἀσύμμετρον ἐν ### book 48.15.4 τοῖς μεγέθεσι καὶ οὐ πάντα σύμμετρα ἀλλήλοις, τί ἄλλο ### book 48 δεικνύουσιν, ἢ ὅτι πᾶν μέγεθος ἀεὶ διαιρεῖται καὶ οὐδέ‐ ### book 48.20.1 ποτε λήξει εἴς τι ἀμερές, ὅ ἐστι κοινὸν μέτρον. τοῦτο ### book 48.20.2 ἀποδεικτόν· ἐκεῖνο ἀξίωμα, ὅτι πᾶν συνεχὲς διαιρετόν. ### book 48.20.3 τέμνων δὲ ὁ στοιχειωτὴς τὴν εὐθεῖαν εἰς μὲν τὴν κατα‐ ### book 48.20.4 σκευὴν τῷ πρώτῳ καὶ τῷ ἐνάτῳ χρώμενος, εἰς δὲ τὴν ἀπό‐ ### book 48.20.5 δειξιν τῷ τετάρτῳ μόνῳ· διὰ γὰρ τὴν γωνίαν δείκνυσιν ### book 48.25 ἴσας τὰς βάσεις. ### book 49.1 Καὶ τὸ δέκατον πρόβλημά ἐστι πεπερασμένην μὲν ### book 49.2 εὐθεῖαν ὑποτιθέμενον μέσον τέμνεσθαι, ἐπειδὴ κατ’ ἀμφό‐ ### book 49.3 τερα τὰ μέρη ἄπειρον εὐθεῖαν οὐδαμῶς ἔστιν ὁρίσασθαι, ### book 49.4 ἀλλὰ καὶ τῆς κατὰ ἕτερον μέρος μόνον ἀπείρου, ὅπουπερ ### book 49.5.1 ἂν ληφθῇ σημεῖον, εἰς ἄνισα ἡ τομὴ γίνεται· μείζων γὰρ ### book 49.5.2 ἡ ἐπ’ ἄπειρον μέρος ἐξ ἀνάγκης τῆς λοιπῆς οὔσης πεπε‐ ### book 49.5.3 ρασμένης. λείπεται οὖν ἐπ’ ἀμφότερα τὰ μέρη πεπερα‐ ### book 49.5.4 σμένην εὐθεῖαν λαμβάνειν τὴν μέλλουσαν δίχα τέμνεσθαι. ### book 49.5.5 τέμνων δὲ δίχα τὴν πεπερασμένην εὐθεῖαν ὁ γεωμέτρης ### book 49.10.1 εἰς μὲν τὴν κατασκευὴν χρῆται τῷ πρώτῳ καὶ ἐννάτῳ, εἰς ### book 49.10.2 δὲ τὴν ἀπόδειξιν τῷ δʹ μόνῳ· διὰ γὰρ τῶν γωνιῶν δείκνυ‐ ### book 49.10.3 σιν ἴσας τὰς βάσεις. ### book 50.1 Δείκνυται ἐκ τούτου, ὅτι ἄτομοι γραμμαὶ οὐκ εἰσίν, ### book 50.2 εἴπερ πλευρὰν τὴν ἐκκειμένην δυνατὸν διχοτομεῖν. ### book 51.1 Καὶ τὸ ἑνδέκατον πρόβλημά ἐστιν· ποιεῖ γὰρ ἐφεξῆς ### book 51.2 ὀρθὰς γωνίας ἐν αὐτῷ ὁ γεωμέτρης εὐθεῖαν ἐπ’ εὐθεῖαν ### book 51.3 στήσας. εἴτε δὲ πεπερασμένην κατ’ ἀμφοτέρας τὰς ἄκρας ### book 51.4 τὴν εὐθεῖαν λάβωμεν εἴτε κατ’ ἄμφω ἄπειρον εἴτε ὡδὶ μὲν ### book 51.5.1 ἄπειρον, ὡδὶ δὲ πεπερασμένην καὶ τὸ σημεῖον ἐπ’ αὐτῆς, ### book 51.5.2 συσταθήσεται τοῦ προκειμένου προβλήματος ἡ κατασκευή. ### book 51.5.3 κἂν γὰρ ἐπ’ ἄκρας τῆς εὐθείας ᾖ τὸ δοθὲν σημεῖον, προσ‐ ### book 51.5.4 εκβάλλοντες τὴν εὐθεῖαν τὰ αὐτὰ ποιήσομεν. δῆλον δέ, ### book 51 ὅτι τὸ μὲν σημεῖον ἐνταῦθα τῇ θέσει δέδοται ἐπὶ τῆς εὐθείας ### book 51.10.1 κείμενον μοναχῶς κατὰ τὴν θέσιν, ἡ δὲ εὐθεῖα κατὰ τὸ ### book 51.10.2 εἶδος δέδοται· μέγεθος γὰρ αὐτῆς ἢ λόγος ἢ θέσις οὐκ ### book 51.10.3 ἀφώρισται. δείκνυσι δὲ ὁ στοιχειωτὴς τὸ προκείμενον ### book 51.10.4 χρησάμενος τῷ πρώτῳ προβλήματι καὶ τῷ γʹ καὶ ἑνὶ τῶν ### book 51.10.5 αἰτημάτων καὶ πρὸς τούτοις τῷ ηʹ θεωρήματι καὶ τῷ ὅρῳ ### book 51.15.1 τῆς πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθείας. εἰ δὲ καὶ θεωρίαν δοίημεν ### book 51.15.2 τῷ προβλήματι τούτῳ, ἔοικεν ἡ μὲν ὀρθὴ γωνία σύμβολον ### book 51.15.3 εἶναι ζωῆς κατ’ ἀρετὴν ἀνιούσης καὶ εἰς ὕψος αἰρομένης ### book 51.15.4 καὶ μενούσης ἀκλίτου πρὸς τὰ χείρονα· καὶ γὰρ ἡ ὀρθὴ ### book 51.15.5 γωνία ἀκλινής ἐστι καὶ τῇ ἰσότητι καὶ τῷ ὅρῳ καὶ τῷ πέ‐ ### book 51.20.1 ρατι συνεχομένη, ἡ δὲ κάθετος εἰκών ἐστι ζωῆς ἐπὶ τὰ ### book 51.20.2 κάτω κατιούσης καὶ τῆς κατὰ γένεσιν ἀοριστίας οὐκ ἀνα‐ ### book 51.20.3 πιμπλαμένης. ### book 52.1 Ἰστέον, ὅτι, ἐὰν δοθῇ τὸ σημεῖον ἐπὶ τοῦ πέρατος ### book 52.2 τῆς εὐθείας, ἐκβαλοῦμεν τὸ σημεῖον καὶ τὰ ἑξῆς ποιήσο‐ ### book 52.3 μεν, μᾶλλον δὲ τῇ εὐθείᾳ προσεκβαλεῖν καὶ τὰ ἑξῆς ποιῆσαι. ### book 53.1 Ἄπειρον εὐθεῖαν εἶπεν, ἵνα μὴ πεπερασμένης οὔσης ### book 53.2 δοθῇ τὸ σημεῖον ἐν ἄλλῳ τόπῳ καὶ ἢ ἀμβλεῖα ἐξ ἀνάγκης ### book 53.3 γένηται ἡ γωνία, ἢ ἐπ’ εὐθείας πέσῃ ἡ ἀγομένη τῇ ἐξ ### book 53.4 ἀρχῆς, ἢ ἕτερόν τι συμβῇ. εἰ δ’ ὑποθώμεθα αὐτὴν ἄπειρον, ### book 53.5 οὐδὲν τοιοῦτον συμβήσεται. ### book 54.1 Τοῦτο τὸ πρόβλημα Οἰνοπίδης ἐζήτησεν χρήσιμον ### book 54.2 αὐτὸ πρὸς ἀστρολογίαν οἰόμενος, ὀνομάζει δὲ τὴν κάθετον ### book 54.3 ἀρχαϊκῶς γνώμονα, διότι καὶ ὁ γνώμων πρὸς ὀρθάς ἐστι ### book 54.4 τῷ ὁρίζοντι. τῇ δὲ πρὸς ὀρθὰς ἡ κάθετός ἐστιν αὑτὴ δια‐ ### book 54.5.1 φέρουσα τῇ σχέσει μόνον κατὰ τὸ ὑποκείμενον ἀδιάφορος ### book 54.5.2 οὖσα, ὥσπερ φασὶ καὶ ἡ κάθοδος. διττὴ δ’ αὖ κάθετος· ἡ ### book 54.1 μὲν γὰρ ἐπίπεδος, ἡ δὲ στερεά. καὶ ὅταν μὲν ἐν τῷ αὐτῷ ### book 54.2 ἐπιπέδῳ ᾖ τὸ σημεῖον, ἀφ’ οὗ ἡ κάθετος, καὶ εὐθεῖα, ### book 54.3 ἐπίπεδος λέγεται κάθετος, ὅταν μετέωρον τὸ σημεῖον καὶ ### book 54.10.1 ἔξω τοῦ ὑποκειμένου ἐπιπέδου, στερεά. καὶ ἡ μὲν ἐπίπεδος ### book 54.10.2 πρὸς εὐθεῖαν ἄγεται, ἡ δὲ στερεὰ πρὸς ἐπίπεδον. διὸ καὶ ### book 54.10.3 ἀναγκαῖον ἐκείνην οὐ πρὸς μίαν εὐθεῖαν ποιεῖν ὀρθάς, ἀλλὰ ### book 54.10.4 πρὸς πάσας τὰς ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ. εἰς δὲ τὴν δοθεῖσαν ### book 54.10.5 εὐθεῖαν ἄπειρον ἐχρήσατο ἐπ’ ἀμφότερα τὰ μέρη σημείοις ### book 54.15.1 κατὰ τὸ δοθὲν σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ κύκλου σαφηνίσας ### book 54.15.2 ἀπέδειξεν ἡμῖν οὐκ ἐπὶ τοῦ ἀπείρου, ἀλλ’ ἐπὶ τοῦ πεπερα‐ ### book 54.15.3 σμένου. ### book 55.1 Ἐν τῷ ιβʹ προβλήματι ὀρθὴν εὐθεῖαν ἐπ’ εὐθείας ### book 55.2 βουλόμενος στῆσαι ὁ στοιχειωτὴς κάθετον ὀνομάζει τὴν ### book 55.3 ὀρθὴν ἀρχαϊκῶς κατὰ γνώμονα, διότι καὶ ὁ γνώμων πρὸς ### book 55.4 ὀρθάς ἐστι τῷ ὁρίζοντι· τῆς γὰρ ὀρθῆς ἡ κάθετος τῇ σχέσει ### book 55.5.1 μόνον διαφέρει κατὰ τὸ ὑποκείμενον ἀδιάφορος οὖσα ### book 55.5.2 ὥσπερ καὶ ἡ κάθετος. διττὴ δὲ ἡ κάθετός ἐστιν, ἡ μὲν ### book 55.5.3 ἐπίπεδος, ἡ δὲ στερεά, καὶ ἡ μὲν ἐπίπεδος πρὸς εὐθεῖαν ### book 55.5.4 ἄγεται, ἡ δὲ στερεὰ πρὸς ἐπίπεδον· διὸ καὶ ἀναγκαῖον ### book 55.5.5 ἐκείνην οὐ πρὸς μίαν εὐθεῖαν ποιεῖν γωνίας ὀρθάς, ἀλλὰ ### book 55.10.1 πρὸς ἐπίπεδον ἡμμένη ἡ κάθετος πρὸς πάντα τὰ ἐν τῷ ### book 55.10.2 αὐτῷ ἐπιπέδῳ μέρη τὰς γωνίας ποιεῖ. ἐν δὲ τῷ προβλή‐ ### book 55.10.3 ματι τούτῳ κάθετον ἐπίπεδον προτίθεται ἀγαγεῖν ὁ στοι‐ ### book 55.10.4 χειωτής· πρός τε γὰρ εὐθεῖάν ἐστιν ἡ ἀγωγή, ἣν προτίθε‐ ### book 55.10.5 ται ἀγαγεῖν, καὶ ὡς ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ πάντων ὑποκειμένων ### book 55.15.1 ὁ λόγος πρόεισιν. ἐπὶ μὲν οὖν τοῦ ιαʹ προβλήματος ἐπὶ τῆς ### book 55.15.2 εὐθείας τῆς πρὸς ὀρθὰς γωνίας, ἐπειδὴ τὸ σημεῖον ἐπ’ ### book 55.15.3 αὐτῆς εἴληπτο τῆς εὐθείας, οὐδὲν ἐδεήθη τῆς ἀπειρίας, ### book 55.15.4 ἐνταῦθα δὲ ἐπὶ τῆς καθέτου τὴν δοθεῖσαν ἄπειρον ὑπο‐ ### book 55.15.5 τίθεται, ἐπειδὴ τὸ σημεῖον, ἀφ’ οὗ ἡ κάθετος ἀχθήσεται, ### book 55.20 ἔξω που κεῖται τῆς εὐθείας. καὶ εἰ μὴ ἦν ἄπειρος, ἐξῆν ### book 55.1 οὕτως τὸ σημεῖον λαβεῖν, ὥστε ἔξω μὲν εἶναι τῆς δοθείσης ### book 55.2 εὐθείας, ἐπ’ εὐθείας δὲ ταύτῃ κεῖσθαι, ὥστε ἐκβαλλο‐ ### book 55.3 μένην τὴν εὐθεῖαν ἐπ’ αὐτὸ πίπτειν, καὶ οὐ προεχώρει τὸ ### book 55.4 πρόβλημα. διὰ τοῦτο ἄπειρον ἔθετο τὴν εὐθεῖαν. ἐπειδὴ ### book 55.25.1 δὲ εὐθείας ἀπείρου οὔσης ἀνάγκη καὶ ἐπίπεδον ἄπειρον ### book 55.25.2 εἶναι, ἐφ’ οὗ ἡ εὐθεῖα ἀχθήσεται, ἐν δὲ τοῖς αἰσθητοῖς ### book 55.25.3 οὐδέν ἐστι μέγεθος ἄπειρον κατ’ οὐδεμίαν διάστασιν, ### book 55.25.4 ὥσπερ ὁ δαιμόνιος Ἀριστοτέλης καὶ οἱ ἀπ’ αὐτοῦ τὴν ### book 55.25.5 φιλοσοφίαν δεξάμενοι δεικνύουσιν· οὔτε γὰρ τὸ κύκλῳ ### book 55.30.1 κινούμενον ἄπειρον εἶναι ἐνδέχεται οὔτε τῶν ἄλλων σωμά‐ ### book 55.30.2 των τῶν ἁπλῶν οὐδέν· ἔστι γὰρ ἑκατέρου τόπος ὡρισμέ‐ ### book 55.30.3 νος· λείπεται οὖν ἐν τῇ φαντασίᾳ τὸ ἄπειρον ὑφίστασθαι ### book 55.30.4 οὐ νοούσης αὐτό· ἅμα γὰρ τῷ νοῆσαι καὶ μορφὴν ἐπάγει ### book 55.30.5 τῷ νοουμένῳ καὶ πέρας καὶ τῇ νοήσει τὴν τοῦ φαντάσματος ### book 55.35.1 ἵστησι διέξοδον καὶ διέξεισιν αὐτὸ καὶ περιλαμβάνει, ὁ νοῦς ### book 55.35.2 δέ ἐστι τὸ ἄπειρον, μὴ νοούσης τοίνυν τῆς φαντασίας τὸ ### book 55.35.3 νοούμενον, ἀλλὰ ἀορισταινούσης μᾶλλον καί, ὅσον ἀκατα‐ ### book 55.35.4 μέτρητον καὶ ἀπερίληπτον νοήσει, τοῦτο ἄπειρον λεγού‐ ### book 55.35.5 σης· ὥσπερ γὰρ τὸ σκότος τῷ μὴ ὁρᾶν ἡ ὄψις γινώσκει, ### book 55.40.1 οὕτως ἡ φαντασία τῷ μὴ νοεῖν τὸ ἄπειρον ὁρίζει. ὃ γὰρ ὡς ### book 55.40.2 ἀδιεξίτητον ἀφῆκε, τοῦτο ἄπειρον λέγει· διὸ τὴν δοθεῖσαν ### book 55.40.3 ἄπειρον γραμμὴν ἐν τῇ φαντασίᾳ θέμενοι, ὥσπερ καὶ τὰ ### book 55.40.4 ἄλλα εἴδη τῆς γεωμετρίας, τὰ τρίγωνα, τοὺς κύκλους, τὰς ### book 55.40.5 γωνίας, τὰς γραμμάς, οὐ θαυμασόμεθα, πῶς κατ’ ἐνέρ‐ ### book 55.45 γειαν ἔστιν ἄπειρος γραμμή. ### book 56.1 Θεωρία δὲ τοῦ προβλήματος τούτου· ἔστω ὁ μὲν ### book 56.2 κύκλος ἡ θεία οὐσία διὰ τῆς καθέτου ἀπὸ τοῦ ... ἤγουν ### book 56.3 τῆς οἰκείας ἀρχῆς καὶ δυνάμεως ἀρρεπῆ πρόοδον παρέχουσα ### book 56.4 τῇ ἡμετέρᾳ ζωῇ· ὥσπερ γὰρ ἡ ἄπειρος γραμμή, οὕτως καὶ ### book 56.5.1 ἡ καθ’ ἡμᾶς ζωὴ καθ’ ἑαυτὴν μὲν οὖσα ἅτε κίνησις ὑπάρ‐ ### book 56.5.2 χουσα ἀόριστός ἐστιν, ὁρίζεται δὲ ὑπὸ τῆς ἀύλου καὶ θείας ### book 56.5.3 οὐσίας κυκλικῶς τὰ πάντα περιεχούσης ἐκεῖθέν τε πλη‐ ### book 56.5.4 ροῦται νοῦ καὶ δυνάμεως. ### book 57.1 Τὸ ιγʹ θεώρημά ἐστιν· οὐ γὰρ κατασκευάζει, πῶς ### book 57.2 δεῖ ποιεῖν ὀρθὰς γωνίας ἢ ἀμβλείας ἢ ὀξείας, ὅπερ ἴδιον ### book 57.3 προβλήματος, ἀλλὰ λαβὼν ἐν τούτῳ ὁ γεωμέτρης δύο ### book 57.4 γωνίας ὀξεῖαν καὶ ἀμβλεῖαν δείκνυσιν αὐτὰς δύο ὀρθαῖς ### book 57.5.1 ἴσας· ἑπόμενος γὰρ τοῖς διὰ τῶν προβλημάτων δεδειγμέ‐ ### book 57.5.2 νοις μεταβέβηκεν ἐπὶ τὰ θεωρήματα. ἐπεὶ γὰρ ἦκται ### book 57.5.3 κάθετος ἐπὶ εὐθεῖαν καὶ πρὸς ὀρθάς, ἑπόμενον ἦν ζητῆσαι, ### book 57.5.4 εἰ μὴ κάθετος εἴη, τίνας ποιήσει γωνίας καὶ πῶς ἐχούσας ### book 57.5.5 πρὸς τῇ εὐθείᾳ ἡ ἐπ’ αὐτῆς σταθεῖσα. δείκνυσιν οὖν τοῦτο ### book 57.10.1 καθόλου, ὅτι πᾶσα εὐθεῖα ἐπ’ εὐθείας σταθεῖσα καὶ ### book 57.10.2 ποιοῦσα γωνίας, ἐὰν ἀπαρέγκλιτος αὐτῆς ἡ στάσις ᾖ καὶ ### book 57.10.3 ἀρρεπὴς ἐφ’ ἑκάτερα, δύο ὀρθὰς ποιεῖ, εἰ δὲ τῇ μὲν ἐπι‐ ### book 57.10.4 κλίνοιτο, τῇ δὲ πλέον ἀφεστήκοι τῆς ὑποκειμένης εὐθείας, ### book 57.10.5 δύο ὀρθαῖς ἴσας. ὅσον γὰρ ἀφαιρεῖ τῆς μιᾶς ὀρθῆς κατὰ ### book 57.15.1 τὴν ἐπὶ θάτερα κλίσιν, τοσοῦτον προστίθησι τῇ λοιπῇ κατὰ ### book 57.15.2 τὴν ἀπόστασιν. ### book 57.15.3 Οὐκ εἶπε δὲ ἁπλῶς δύο ὀρθὰς ποιεῖ ἢ δύο ὀρθαῖς ἴσας, ### book 57.15.4 ἀλλ’ ἐὰν γωνίας ποιῇ· ἡ γὰρ ἐπ’ ἄκρας σταθεῖσα τῆς ### book 57.15.5 εὐθείας μίαν ποιεῖ γωνίαν, καὶ ἀδύνατον ταύτην δύο ὀρθαῖς ### book 57.20.1 ἴσην εἶναι· πᾶσα γὰρ εὐθύγραμμος γωνία δύο ὀρθῶν ἐλάσ‐ ### book 57.20.2 σων ἐστί, ὥσπερ πᾶσα στερεὰ τεττάρων ἐστὶν ἐλάσσων. ### book 57.20.3 ἐὰν τὴν ἀμβλυτάτην γὰρ δοκοῦσαν εἶναι λάβῃς, αὐξήσεις ### book 57.20.4 καὶ ταύτην ὡς οὔπω τὸ μέτρον ἀπολαβοῦσαν τῶν δύο ### book 57.20.5 ὀρθῶν. δεῖ τοίνυν οὕτως ἐφεστάναι τὴν εὐθεῖαν, ὥστε ### book 57.25.1 γωνίας ποιεῖν. ### book 57.25.2 Ἰστέον, ὅτι ἑκατέρα ἥ τε ἀμβλεῖα καὶ ἡ ὀξεῖα ἰδίᾳ καὶ ### book 57.1 χωρὶς ἀφίστανται τῆς πρὸς τὴν ὀρθὴν ὁμοιότητος, ἀμφότεραι ### book 57.2 δὲ κατὰ μίαν ἕνωσιν γινόμεναι ἐπανάγονται πρὸς τὸν ὅρον ### book 57.3 τὸν ἐκείνης. ἐπειδὴ δὲ πρὸς τὴν ἁπλότητα τῆς ὀρθῆς ἀδυνα‐ ### book 57.30.1 τοῦσιν ἐξισοῦσθαι, διπλασιαζομένης αὐτῆς τὴν ἰσότητα ### book 57.30.2 δέχονται. φέρει δὲ εἰκόνα προθεωρίαν τὸ θεώρημα τοῦτο ### book 57.30.3 τῶν πρωτουργῶν αἰτίων καθ’ ἕνα ὅρον ἑστώτων ἀεὶ καὶ ### book 57.30.4 ὡσαύτως περὶ τὴν ἀπειρίαν τῆς γενέσεως καὶ προόδου. ### book 58.1 Πάλιν ἐπὶ τὰ θεωρήματα μετέβη ἑπόμενος τοῖς διὰ ### book 58.2 τῶν προβλημάτων δεδειγμένοις. ἐπεὶ γὰρ ἦκται κάθετος ### book 58.3 ἐπ’ εὐθεῖαν καὶ πρὸς ὀρθάς, ἑπόμενον ἦν ζητῆσαι, εἴ ἐστι ### book 58.4 κάθετος. εὐθεῖα δὲ ἐπ’ εὐθεῖαν σταθεῖσα γωνίας ποιεῖ ### book 58.5.1 ἐπήγαγεν, ἵνα μὴ εἴη ἐπ’ ἄκρας εὐθείας σταθεῖσα, καὶ ### book 58.5.2 γίνεται μία γωνία, καὶ ἀδύνατον τὴν μίαν γωνίαν εἶναι δύο ### book 58.5.3 ὀρθαῖς ἴσην· πᾶσα γὰρ εὐθύγραμμος γωνία δύο ὀρθῶν ### book 58.5.4 ἐλάσσων ἐστίν, ὥσπερ πᾶσα στερεὰ τεττάρων ὀρθῶν ἐλάσ‐ ### book 58.5.5 σων. ### book 59.1 Τὸ ιδʹ θεώρημα τοῦ ιγʹ ἐστὶν ἀντίστροφον· ἕπεται ### book 59.2 γὰρ ἀεὶ τὰ ἀντίστροφα τοῖς προηγουμένοις θεωρήμασιν. ### book 59.3 ἐκείνου γὰρ συστήσαντος εὐθεῖαν ἐπ’ εὐθείας καὶ δείξαν‐ ### book 59.4 τος, ὅτι τὰς ἐφεξῆς ἢ δύο ὀρθὰς ποιεῖ ἢ δύο ὀρθαῖς ἴσας, ### book 59.5.1 τοῦτο λαμβάνει μὲν πρὸς εὐθείᾳ τινὶ δύο γινομένας ὀρθάς, ### book 59.5.2 δείκνυσι δέ, ὅτι μία ἐστὶν εὐθεῖα ἡ ταῦτα ποιοῦσα πρὸς τῇ ### book 59.5.3 εἰρημένῃ εὐθείᾳ. τὸ τοίνυν ἐν ἐκείνῳ δεδομένον ἐν τούτῳ ### book 59.5.4 ζητεῖται, καὶ δείκνυται διὰ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς· ### book 59.5.5 διὰ ταύτης γὰρ φιλεῖ δείκνυσθαι τὰ ἀντίστροφα τῶν ### book 59.10.1 θεωρημάτων καὶ οὕτω φέρεσθαι. ἐν δέ γε τοῖς προβλή‐ ### book 59.10.2 μασι καὶ προηγουμένας δέχεται κατασκευάς. ἄξιον δὲ ### book 59.10.3 θαυμάσαι τὴν ἐπιστημονικὴν ἀκρίβειαν· εἰπὼν γὰρ ἐὰν ### book 59.10.4 πρός τινι εὐθείᾳ προσέθηκε τὸ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ, ### book 59.10.5 ἵνα ἐφ’ ἑνὸς σημείου ὦσιν αἱ εὐθεῖαι. εἰ γὰρ ἐκ τῶν δύο ### book 59.15.1 περάτων τῆς δεδομένης εὐθείας ἀχθῶσιν, οὐκ ἐπ’ εὐθείας ### book 59.15.2 ἔσονται ἀλλήλαις. εἶτα προσέθηκε τὸ ἐφεξῆς, ὧν μηδέν ### book 59.15.3 ἐστιν ὅμοιον μεταξύ· καὶ κίονας λέγομεν ἐφεξῆς ἐκείνας, ### book 59.15.4 ὧν μή ἐστιν ἄλλη κίων μέσον, καίτοι γε ἀήρ ἐστι πάντως ### book 59.15.5 μέσος, ἀλλ’ οὐδὲν ὁμογενὲς μεταξύ. εἶτα προστίθησι τὸ ### book 59.20.1 μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη, ἀποφατικῶς διδοὺς ἡμῖν ἐννοεῖν, ὅτι ### book 59.20.2 ἐφ’ ἑκάτερα ληπτέον τὰς ἐφεξῆς τῇ θέσει· αὗται γὰρ ### book 59.20.3 δυνήσονται καὶ τὰς ἐφεξῆς γωνίας δύο ὀρθαῖς ἴσας ποιεῖν ### book 59.20.4 καὶ ἐπ’ εὐθείας ἀλλήλαις δείκνυσθαι. εἰ γὰρ ἐπὶ τὰ αὐτὰ ### book 59.20.5 μέρη κείσονται, τὸ ἐπ’ εὐθείας οὐκ ἔχουσιν, εἰ καὶ δύο ### book 59.25.1 ποιοῦσιν ὀρθαῖς ἴσας. τοσαῦτα περὶ τῆς προτάσεως· ἐν δὲ ### book 59.25.2 τῇ κατασκευῇ χρῆται ἑνὶ αἰτήματι τῷ δευτέρῳ τῷ πᾶσαν ### book 59.25.3 εὐθεῖαν πεπερασμένην ἐπ’ εὐθείας ἐκβάλλειν αἰτουμένῳ, ### book 59.25.4 καθάπερ ἐν τῇ ἀποδείξει τοῦ πρὸ τούτου θεωρήματος, καὶ ### book 59.25.5 δυσὶν ἀξιώμασι τῷ βʹ ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ### book 59.30.1 ἐστὶν ἴσα, καὶ τῷ γʹ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ λοιπά ### book 59.30.2 ἐστιν ἴσα, πρὸς δὲ τὴν τοῦ ἀδυνάτου συναγωγὴν τῷ θʹ, ### book 59.30.3 ὅτι τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζόν ἐστιν· ἦν δὲ καὶ ἴσον· ὅπερ ### book 59.30.4 ἀδύνατον. δεῖ τοίνυν ἐφ’ ἑκάτερα τῆς εὐθείας κεῖσθαι μέρη ### book 59.30.5 τὰς ποιούσας πρὸς αὐτὴν εὐθείας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας γωνίας ### book 59.35.1 ἀφ’ ἑνὸς ὡρμημένας σημείου δηλονότι, φερομένας δὲ τὴν ### book 59.35.2 μὲν ἐπὶ τάδε, τὴν δὲ ἐπ’ ἐκεῖνα τῆς εὐθείας τὰ μέρη. ### book 60.1 Τοῦτο τὸ θεώρημα τοῦ πρὸ αὐτοῦ ἀποδειχθέντος ### book 60.2 ἐστὶν ἀντιστρόφιον· ἕπεται γὰρ ἀεὶ τὰ ἀντιστρόφια τοῖς ### book 60.3 προηγουμένοις θεωρήμασιν. ἐκείνου τοίνυν συστήσαντος ### book 60.4 εὐθεῖαν ἐπ’ εὐθείας καὶ δείξαντος, ὅτι τὰς ἐφεξῆς ἢ δύο ### book 60.5.1 ὀρθὰς ποιεῖ ἢ δύο ὀρθαῖς ἴσας, τοῦτο λαμβάνει πρὸς εὐ‐ ### book 60.5.2 θεῖάν τινα δύο γιγνομένας, δείκνυσι δέ, ὅτι μία ἐστὶν εὐθεῖα ### book 60.5.3 ἡ ταῦτα ποιοῦσα πρὸς τῇ εἰρημένῃ εὐθείᾳ. τὸ τοίνυν ἐν ### book 60.5.4 ἐκείνῳ δεδομένον ἐν τούτῳ ζητοῦμεν, καὶ δείκνυται διὰ τῆς ### book 60.5.5 εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς. οὕτω γὰρ φιλεῖ τὰ ἀντίστροφα ### book 60.10 δείκνυσθαι τῶν θεωρημάτων. τοσαῦτα περὶ τῆς προτάσεως. ### book 60.1 χρῆται δὲ ἐν τῇ κατασκευῇ ἑνὶ αἰτήματι τῷ δευτέρῳ τῷ ### book 60.2 πᾶσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην ἐπ’ εὐθεῖαν ἐκβαλεῖν αἰτου‐ ### book 60.3 μένῳ, καθάπερ ἐν τῇ ἀποδείξει τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι, ### book 60.4 καὶ δυσὶν ἀξιώμασι τῷ τε τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα ἀλλήλοις ἴσα καὶ ### book 60.15.1 τῷ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ λοιπὰ εἶναι ἴσα, πρὸς ### book 60.15.2 δὲ τὴν τοῦ ἀδυνάτου συναγωγήν, ὅτι τὸ ὅλον τοῦ μέρους ### book 60.15.3 μεῖζόν ἐστιν· ἦν δὲ καὶ ἴσον μιᾶς τῆς κοινῆς γωνίας κινή‐ ### book 60.15.4 σεως γωνίας ἀφῃρημένης· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. ### book 61.1 Ἰστέον, ὅτι τὸ ιεʹ θεώρημα δείκνυσιν, ὅτι δύο εὐ‐ ### book 61.2 θειῶν ἀλλήλας τεμνουσῶν αἱ κατὰ κορυφὴν γωνίαι ἴσαι ### book 61.3 εἰσί, διαφέρουσι δὲ αἱ κατὰ κορυφὴν γωνίαι τῶν ἐφεξῆς ### book 61.4 γωνιῶν, ὅτι τῶν μὲν ἐφεξῆς ἡ γένεσις περὶ μίαν εὐθεῖαν ### book 61.5.1 ἐγίνετο διαιρουμένην ὑφ’ ἑτέρας μόνον, τῶν δὲ κατὰ κορυ‐ ### book 61.5.2 φὴν κατὰ τὴν τομὴν γίνεται τῶν δύο εὐθειῶν. ἐὰν μὲν γὰρ ### book 61.5.3 ᾖ εὐθεῖα ἄτμητος, τέμνῃ δὲ τῷ ἑαυτῆς πέρατι ἑτέραν ### book 61.5.4 εὐθεῖαν, κατὰ δὲ τὴν τομὴν ἐκείνην δύο ποιῇ γωνίας, ταύ‐ ### book 61.5.5 τας καλοῦμεν ἐφεξῆς, ἐὰν δὲ ὑπ’ ἀλλήλων τμηθῶσι δύο ### book 61.10.1 εὐθεῖαι, αἱ κατὰ τὰς τομὰς ἀποτελούμεναι γωνίαι κατὰ ### book 61.10.2 κορυφὴν λέγονται, καλοῦνται δὲ οὕτως, ὅτι τὰς κορυφὰς ### book 61.10.3 εἰς τὸ αὐτὸ συμβαλλούσας ἔχουσι σημεῖον. κορυφαὶ γὰρ ### book 61.10.4 αὐτῶν τὸ σημεῖον, καθ’ ὃ συναγόμεναι ἐν ἐπιπέδῳ τὰς ### book 61.10.5 γωνίας ποιοῦσιν. ### book 61.15.1 Οὐκ ἔχει πάντα τὰ κεφάλαια τὸ θεώρημα τοῦτο· ἡ μὲν ### book 61.15.2 γὰρ κατασκευὴ λείπει, ἡ δὲ ἀπόδειξις ἤρτηται τοῦ ιγʹ ### book 61.15.3 θεωρήματος, χρῆται δὲ ἀξιώμασι δυσὶ τῷ δʹ τὰ τῷ αὐτῷ ### book 61.15.4 ἴσα καὶ τῷ γʹ ἐὰν δὲ ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ. τὸ δὲ ἐπὶ ### book 61.15.5 τέλει τοῦ θεωρήματος ἐκ δὴ τούτου φανερὸν πόρισμά ### book 61.20 ἐστιν. τὸ δὲ πόρισμα ἕν τι τῶν γεωμετρικῶν ὀνομάτων ### book 61.1 ἐστίν, σημαίνει δὲ διάφορα· καλοῦσι γὰρ πορίσματα καὶ ### book 61.2 ὅσα θεωρήματα συγκατασκευάζονται πρὸς ἄλλων ἀπό‐ ### book 61.3 δειξιν, οἷον ἕρμαια καὶ κέρδη τῶν ζητούντων ὑπάρχοντα, ### book 61.4 καὶ ὅσα ζητεῖται μέν, εὑρέσεως δὲ χρῄζει καὶ οὔτε γενέ‐ ### book 61.25.1 σεως μόνης οὔτε θεωρίας ἁπλῆς. ἐπὶ μὲν γὰρ τῶν θεωρη‐ ### book 61.25.2 μάτων ὑπαρχόντων ἤδη τῶν πραγμάτων θεωρῆσαι μό‐ ### book 61.25.3 νον δεῖ, ἐπὶ δὲ τῶν προβλημάτων ποίησιν ἀπαιτεῖ τὸ προ‐ ### book 61.25.4 κείμενον ἢ τὴν γωνίαν δίχα τεμεῖν ἢ τρίγωνον συστήσασθαι ### book 61.25.5 ἢ ἀφελεῖν ἢ θέσθαι, τοῦ δὲ δοθέντος κύκλου τὸ κέντρον ### book 61.30.1 εὑρεῖν ἢ δύο δοθέντων συμμέτρων μεγεθῶν τὸ μέγιστον ### book 61.30.2 καὶ κοινὸν μέτρον εὑρεῖν καὶ ὅσα τοιαῦτα μεταξύ πώς ἐστι ### book 61.30.3 προβλημάτων καὶ θεωρημάτων· οὔτε γὰρ γενέσεις εἰσὶν ### book 61.30.4 ἐν τούτοις τῶν ζητουμένων, ἀλλ’ εὑρέσεις, οὔτε θεωρία ### book 61.30.5 ψιλή. ἀλλὰ περὶ μὲν τῶν τοιούτων πορισμάτων ἴδια συν‐ ### book 61.35.1 έγραψεν ὁ Εὐκλείδης βιβλία. τὰ δὲ ἐν τῇ στοιχειώσει ### book 61.35.2 πορίσματα συναναφαίνονται μὲν ταῖς ἄλλων ἀποδείξεσιν, ### book 61.35.3 αὐτὰ δὲ προηγουμένης οὐ τυγχάνει ζητήσεως, οἷον δὴ καὶ ### book 61.35.4 τὸ νῦν προκείμενον· ἐζητεῖτο μὲν γάρ, εἰ δύο εὐθειῶν τεμ‐ ### book 61.35.5 νουσῶν ἀλλήλας αἱ κατὰ κορυφὴν γωνίαι ἴσαι εἰσί· τούτου ### book 61.40.1 δὲ δεικνυμένου συναποδείκνυται τὸ καὶ τὰς τέσσαρας γω‐ ### book 61.40.2 νίας εἶναι τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας. ἔστιν οὖν τὸ πόρισμα θεώ‐ ### book 61.40.3 ρημα διὰ τῆς ἄλλου προβλήματος ἢ θεωρήματος ἀπο‐ ### book 61.40.4 δείξεως ἀπραγματεύτως ἀναφαινόμενον. οἷον γὰρ κατὰ ### book 61.40.5 τύχην περιπίπτειν ἐοίκαμεν τοῖς πορίσμασιν· οὐ γὰρ ### book 61.45.1 προθεμένοις οὐδὲ ζητήσασιν ἀπαντᾷ, ἀλλ’ ὁ ἐν ἡμῖν πόρος ### book 61.45.2 αὐτὰ ἀπογεννᾷ, καὶ ἡ γόνιμος δύναμις τῆς ἐπιστήμης ### book 61.45.3 προσβάλλει ταῖς προηγουμέναις ζητήσεσιν εὐπορίας ἀφθό‐ ### book 61.45.4 νους θεωρημάτων ἀναφαίνουσα, ἃ καὶ ἀληθῆ τοῦ θεοῦ ### book 61.45.5 δῶρα, καὶ οὐχ οἷα τὰ χαμερπῆ καὶ περὶ ἃ οἱ πολλοὶ ἐπτό‐ ### book 61.1 ηνται κέρδη, ὅθεν αὐτὰ καὶ τοῖς ἑρμαίοις εἰκάσαμεν. διαι‐ ### book 61.2 ροῦνται δὲ τὰ πορίσματα κατὰ τὰς ἐπιστήμας· τὰ μὲν γὰρ ### book 61.3 αὐτῶν εἰσι γεωργικά, τὰ δὲ ἀριθμητικά, τὰ δὲ γεωμετρικά. ### book 61.1 τὸ μὲν γὰρ προκείμενον γεωμετρικόν ἐστιν, τὸ δὲ ἐπὶ τέλει ### book 61.2 τοῦ βʹ θεωρήματος τοῦ ζʹ βιβλίου τῶν ἀριθμητικῶν ἐστιν. ### book 61.55.1 ἕπονται δὲ τὰ πορίσματα καὶ θεωρήμασιν, ὥσπερ τοῦτο, ### book 61.55.2 καὶ προβλήμασιν, ὥσπερ τὸ ἐν τῷ βʹ βιβλίῳ κείμενον· ### book 61.55.3 ἔτι συγκατασκευάζονται ταῖς κατ’ εὐθεῖαν δεικτικαῖς ### book 61.55.4 ἐφόδοις, ὥσπερ τὸ νῦν προκείμενον τῇ ἐπ’ εὐθείας δείξει ### book 61.55.5 ἐστί, τὰ δὲ ταῖς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγαῖς, ὥσπερ τὸ ἐν ### book 61.60.1 τῷ τρίτῳ τοῦ γʹ βιβλίου συναποδεδειγμένον τῇ εἰς ἀδύ‐ ### book 61.60.2 νατον ἀπαγωγῇ συνανεφάνη. τὸ δὲ νῦν προκείμενον πόρι‐ ### book 61.60.3 σμα διδάσκει ἡμᾶς, ὅτι περὶ ἓν σημεῖον τόπος εἰς τέτρασιν ### book 61.60.4 ὀρθαῖς ἴσας γωνίας διανέμεται. ### book 62.1 Τὰς ἐφεξῆς γωνίας τῶν κατὰ κορυφὴν διαφέρειν ### book 62.2 φαμέν· τῶν μὲν γὰρ ἡ γένεσις κατὰ τὴν τομὴν γίνεται τῶν ### book 62.3 δύο εὐθειῶν, τῶν δὲ τῆς ἑτέρας μόνον περὶ τὴν ἑτέραν ### book 62.4 διαιρουμένης. ἐὰν γὰρ ᾖ εὐθεῖα αὐτὴ μὲν ἄτμητος, τέμ‐ ### book 62.5.1 νουσα δὲ τῷ ἑαυτῆς πέρατι ἐκείνην, δύο ποιεῖ γωνίας, ἃς ### book 62.5.2 καλοῦμεν ἐφεξῆς, ἐὰν δὲ ὑπ’ ἀλλήλων τμηθῶσι δύο εὐθεῖαι, ### book 62.5.3 κατὰ κορυφὴν ἀποτελοῦνται γωνίαι· καλοῦνται δὲ οὕτως, ### book 62.5.4 ὅτι τὰς κορυφὰς εἰς ταὐτὸ συμβαλούσας ἔχουσι σημεῖον· ### book 62.5.5 κορυφαὶ δὲ αὐτῶν τὰ σημεῖα, πρὸς ἃ συναγόμενα τὰ ἐπί‐ ### book 62.10.1 πεδα τὰς γωνίας ποιεῖ. τοῦτο τὸ θεώρημα δείκνυσιν, ὅτι ### book 62.10.2 δύο εὐθειῶν ἀλλήλας τεμνουσῶν αἱ κατὰ κορυφὴν γωνίαι ### book 62.10.3 ἴσαι εἰσίν, ηὑρημένον μέν, ὥς φησιν Εὔδημος, ὑπὸ Θαλοῦ ### book 62.10.4 πρώτου, τῆς δὲ ἐπιστημονικῆς ἀποδείξεως. ἀντιστρέφει ### book 62.10.5 δὲ τῷ ιεʹ θεωρήματι ἄλλο τοιοῦτον· ἐὰν πρός τινι εὐθείᾳ ### book 62.15.1 μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ληφθεῖσαι ποιῶσι τὰς κατὰ κορυφὴν ### book 62.15.2 γωνίας ἴσας, ἐπ’ εὐθείας ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι. ### book 62.15.3 Ἕν τι τῶν γεωμετρικῶν ἐστιν ὀνομάτων τὸ πόρισμα. ### book 62.15.4 καλοῦσι δὲ πορίσματα καὶ ὅσα συγκατασκευάζεται θεω‐ ### book 62.15.5 ρήματα ταῖς ἄλλων ἀποδείξεσιν, οἷον ἕρμαια καὶ κέρδη ### book 62.20 τῶν ζητούντων ὑπάρχοντα, καὶ ὅσα ζητεῖται ἐπὶ εὑρέσεως ### book 62.1 καὶ οὔτε ἐπὶ γενέσεως μόνης οὔτε ἐπὶ θεωρίας ἁπλῆς. ### book 62.2 γέγραφεν ὁ στοιχειωτὴς περὶ πορισμάτων βιβλία, ἀλλ’ ### book 62.3 ἐκεῖνα παρείσθω λέγειν, τὰ δὲ νῦν πορίσματα συναναφαί‐ ### book 62.4 νεται μὲν ταῖς ἄλλων ἀποδείξεσιν, αὐτὰ δὲ προηγουμένης ### book 62.25.1 οὐ τυγχάνει ζητήσεως, οἷον καὶ τὸ νῦν προκείμενον. ἐζη‐ ### book 62.25.2 τεῖτο μὲν γάρ, εἰ δύο εὐθειῶν τεμνουσῶν ἀλλήλας αἱ κατὰ ### book 62.25.3 κορυφὴν γωνίαι ἴσαι εἰσί, τούτῳ δὲ δεικνυμένῳ συναποδέ‐ ### book 62.25.4 δεικται τὸ καὶ τὰς τέτταρας γωνίας εἶναι τέτρασιν ὀρθαῖς ### book 62.25.5 ἴσας. ἔστιν οὖν τὸ πόρισμα θεώρημα διὰ ἄλλου προβλή‐ ### book 62.30.1 ματος ἢ θεωρήματος ἀποδείξεως ἀπραγματεύτως ἀνα‐ ### book 62.30.2 φαινόμενον. τῶν δὲ πορισμάτων τὰ μέν ἐστι γεωμετρικά, ### book 62.30.3 τὰ δὲ ἀριθμητικά. τὸ μὲν γὰρ προκείμενον θεώρημα γεω‐ ### book 62.30.4 μετρικόν ἐστι, τὸ δὲ ἐπὶ τέλει τοῦ δευτέρου θεωρήματος ### book 62.30.5 τοῦ ζʹ βιβλίου τῶν ἀριθμητικῶν. ἔπειτα δὲ κατὰ τὰ ### book 62.35.1 προηγούμενα ζητήματα· τὰ μὲν γὰρ προβλήμασιν ἕπεται, ### book 62.35.2 τὰ δὲ θεωρήμασι. τοῦτο δὲ θεωρήματός ἐστι, τὸ δὲ ἐν τῷ ### book 62.35.3 δευτέρῳ βιβλίῳ κείμενον προβλήματος. τρίτον δ’ αὖ τὰς ### book 62.35.4 δείξεις· τὰ μὲν γὰρ ταῖς δεικτικαῖς ἐφόδοις, τὰ δὲ ταῖς εἰς ### book 62.35.5 ἀδύνατον ἀπαγωγαῖς συγκατασκευάζεται, τὸ μὲν προκεί‐ ### book 62.40.1 μενον τῇ ἐπ’ εὐθείᾳ δείξει, τὸ δὲ τῷ πρώτῳ τοῦ τρίτου ### book 62.40.2 βιβλίου συναποδεδειγμένον τῇ εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῇ συν‐ ### book 62.40.3 ανεφάνη. πολλαχῶς δὲ καὶ ἄλλως τὰ πορίσματα διαιρεῖν ### book 62.40.4 δυνατόν· ἀλλ’ ἡμῖν γε ἀρκέσει καὶ ταῦτα πρὸς τὸ παρόν. ### book 62.40.5 ἐν τούτῳ δὲ τῷ πορίσματι κἂν πληθυνθῶσιν ἐν τῷ ἑνὶ ### book 62.45.1 σημείῳ αἱ εὐθεῖαι τῶν δυεῖν καὶ δι’ ἑνὸς σημείου τέμνωσιν ### book 62.45.2 ἀλλήλας ἢ τρεῖς ἢ τέτταρες ἢ ὁποσαιοῦν, αἱ γενόμεναι ### book 62.45.3 γωνίαι πᾶσαι τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσαι δείκνυνται. μερίζεται ### book 62.45.4 γὰρ τὸ τῶν τεσσάρων γωνιῶν εἰς τὰ εἴδη τῶν σχημάτων, ### book 62.45.5 καὶ δύο μὲν εὐθειῶν τεμνουσῶν ἀλλήλας ἔσονται αἱ γωνίαι ### book 62.1 τέτρασιν, τουτέστι τετραγώνου, τριῶν δὲ εὐθειῶν τεμνου‐ ### book 62.2 σῶν ἔσονται αἱ γωνίαι ἕξ, τεσσάρων δὲ ὀκτώ, καὶ ἐπ’ ### book 62.3 ἄπειρον ὁμοίως. ἀεὶ γὰρ διπλασιάζεται τὸ πλῆθος τῶν ### book 62.1 εὐθειῶν, αἱ δὲ γωνίαι κατὰ μὲν τὸ πλῆθος αὔξονται, κατὰ ### book 62.2 δὲ τὸ μέγεθος ἐλασσοῦνται, διότι τὸ διαιρούμενον ἀεὶ ### book 62.55.1 ταὐτόν ἐστιν αἱ δ ὀρθαί. καί ἐστι τὸ θεώρημα τοῦτο Πυθα‐ ### book 62.55.2 γόρειον. ### book 63.1 Πόρισμά ἐστι τὸ ἐκ τῶν ἀποδεδειγμένων ἕτερον ### book 63.2 μὴ ζητηθὲν συναναφανὲν θεώρημα. ### book 64.1 Τί ἐστι πόρισμα; πόρισμά ἐστι κατὰ συμβεβηκὸς ### book 64.2 ἑτέρου δεικνυμένου, ὅτε καὶ ἕτερόν τι συναποδείκνυται. τί ### book 64.3 ἐστιν ἔνστασις; ἔνστασίς ἐστι ζήτησις ἐν τῷ δεικνυμένῳ, ### book 64.4 ἧς ἄνευ προβῆναι οὐχ οἷόν τε μὴ λυθείσης τῆς ἀντιλογίας. ### book 65.1 Τὸ ιϛʹ θεώρημα προτείνεται ἡμῖν, ὅτι παντὸς τριγώ‐ ### book 65.2 νου ἐὰν μίαν τινὰ τῶν πλευρῶν προσεκβάλλῃς, τὴν ἐκτὸς ### book 65.3 αὐτοῦ συνισταμένην γωνίαν εὑρήσεις μείζονα τῶν ἐντὸς καὶ ### book 65.4 ἀπεναντίον ἑκατέρας. ἀναγκαίως δὲ πρὸς τὰς ἀπεναντίον ### book 65.5.1 αὐτὴν συνέκρινε καὶ οὐ πρὸς τὴν ἐφεξῆς, ἥτις ἐστὶν ἡ πλη‐ ### book 65.5.2 σίον αὐτῆς ἐντὸς κειμένη· αὕτη μὲν γὰρ καὶ ἴση δύναται ### book 65.5.3 εἶναι καὶ ἐλάττων τῆς ἐκτός. ἡ δὲ ἐκτὸς ἑκατέρας μείζων ### book 65.5.4 ἐκ παντὸς τῶν ἀπεναντίον αὐτῇ κειμένων. ἐὰν γὰρ ὀρθο‐ ### book 65.5.5 γώνιον ᾖ τὸ τρίγωνον, καὶ προσεκβάλωμεν μίαν τῶν περὶ ### book 65.10.1 τὴν ὀρθήν, ἡ ἐκτὸς ἴση ἔσται τῇ ἐφεξῆς, ἐὰν δὲ ἀμβλυγώνιον ### book 65.10.2 ᾖ, ἔσται δυνατὸν τὴν ἐντὸς μείζονα τῆς ἐκτός. καλῶς οὖν ### book 65.10.3 εἶπε πρὸς τὰς ἀπεναντίον· τῶν γὰρ ἐντὸς τοῦ τριγώνου ### book 65.10.4 μία μέν ἐστιν ἡ ἐφεξῆς τῆς ἐκτός, δύο δὲ αἱ ἀπεναντίον. ### book 65.10.5 τούτων οὖν ἑκατέρας ἀνάγκη μείζονα εἶναι τὴν ἐκτός, ἀλλ’ ### book 65.15.1 οὐ τῆς ἐφεξῆς αὐτῇ κειμένης. ### book 65.15.2 Τινὲς δὲ συνάπτοντες τοῦτο τὸ θεώρημα καὶ τὸ ἑξῆς ### book 65.15.3 μετὰ τοῦτο ἀποδεικνύμενον οὕτω προφέρονται τὴν πρότα‐ ### book 65.15.4 σιν· παντὸς τριγώνου πλευρᾶς μιᾶς προσεκβληθείσης ἡ ### book 65 ἐκτὸς τοῦ τριγώνου γωνία ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναν‐ ### book 65.20.1 τίον μείζων ἐστίν, καὶ δύο ὁποιαιοῦν τῶν ἐντὸς γωνιῶν δύο ### book 65.20.2 ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν. ἔχουσι δὲ ἀφορμὴν τῆς συμπλοκῆς ### book 65.20.3 τῶν θεωρημάτων, ἐπειδὴ καὶ αὐτὸς ὁ γεωμέτρης ἑξῆς ἐπὶ ### book 65.20.4 τῶν ἴσων οὕτως ἐποίησε· παντὸς τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία ### book 65.20.5 δύο ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση, καὶ αἱ τρεῖς τοῦ τριγώ‐ ### book 65.25.1 νου γωνίαι δύο ὀρθαῖς ἴσαι. ἔχομεν οὖν ἐκ τούτων μέθοδον ### book 65.25.2 συλλογίζεσθαι, πῶς αἱ γενέσεις τῶν πραγμάτων ἐπ’ ὄψιν ### book 65.25.3 ἡμῖν τὰς ἀληθινὰς ἄγουσι τῶν ζητουμένων αἰτίας. ### book 66.1 Τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον εἶπεν πρὸς ἀντιδιαστολὴν ### book 66.2 τῆς ἐντὸς καὶ ἐφεξῆς κειμένης, ἧς οὐ πάντως μείζων ἐστὶν ### book 66.3 ἡ ἐκτός· ποτὲ γὰρ καὶ ἐλάττων, ποτὲ δὲ καὶ ἴση, ποτὲ δὲ ### book 66.4 καὶ μείζων. ### book 67.1 Φησὶν ἡ πρότασις, ὅτι παντὸς τριγώνου εἰ μίαν τινὰ ### book 67.2 τῶν πλευρῶν προσεκβάλοις, τὴν ἐκτὸς αὐτοῦ συνισταμέ‐ ### book 67.3 νην γωνίαν εὑρήσεις μείζονα τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ### book 67.4 ἑκατέρας· ἀμφοτέραις μὲν γὰρ ἴση δειχθήσεται μικρὸν ### book 67.5.1 ὕστερον, ἑκατέρας δὲ μείζων ἐκ τούτου δείκνυται. καὶ ### book 67.5.2 ἀναγκαίως πρὸς τὰς ἀπεναντίον αὐτὴν συνέκρινεν, ἀλλ’ ### book 67.5.3 οὐ πρὸς τὴν ἐφεξῆς· αὕτη μὲν γὰρ καὶ ἴση δύναται εἶναι καὶ ### book 67.5.4 ἐλάσσων καὶ μείζων, ἐκείνων δὲ ἑκατέρας αὐτὴ μείζων. ### book 67.5.5 ἐὰν οὖν ὀρθογώνιον ᾖ τὸ τρίγωνον, καὶ ἐκβληθῇ πρὸς τὴν ### book 67.10.1 ὀρθήν, ἡ ἐκτὸς τῇ ἐντὸς ἔσται ἴση, εἰ δὲ ἀμβλυγώνιον, καὶ ### book 67.10.2 προσεκβληθῇ πρὸς τὴν ἀμβλεῖαν, ἔσται μείζων ἡ ἐντὸς ### book 67.10.3 τῆς ἐκτός. ἀλλὰ πρὸς τὰς ἀπεναντίον τοῦτο γίνεται τὸ ### book 67.10.4 εἶναι τὴν ἐκτὸς ἴσην. ἤδη δέ τινες συνάπτουσιν τὰ δύο θεω‐ ### book 67.10.5 ρήματα τοῦτό τε καὶ τὸ ἑξῆς ἀποδεικνύμενον ἓν οὕτω προ‐ ### book 67.15.1 φέρονται τὴν πρότασιν· παντὸς τριγώνου μιᾶς πλευρᾶς ### book 67.15.2 προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς τοῦ τριγώνου γωνία ἑκατέρας ### book 67.15.3 τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον μείζων ἐστί, καὶ δύο ὁποιαιοῦν ### book 67.15.4 τῶν ἐντὸς γωνιῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν. διὰ δὲ τού‐ ### book 67 του τοῦ ιϛʹ θεωρήματος κἀκεῖνο ἀποδείξομεν, ὅτι, ἐὰν εἰς ### book 67.20.1 δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὴν ἐκτὸς γωνίαν ἴσην ### book 67.20.2 ποιῇ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον, οὐ ποιήσουσι τρίγωνον αἱ ### book 67.20.3 εὐθεῖαι οὐδὲ συμπεσοῦνται, ἐπεὶ ἔσται αὑτὴ καὶ ἴση καὶ ### book 67.20.4 μείζων· ὅπερ ἀδύνατον. λάβοιμεν δ’ ἂν ἀπὸ τοῦ προκειμένου ### book 67.20.5 θεωρήματος τοῦτο, ὅτι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τρεῖς εὐθεῖαι ### book 67.25 ἴσαι ἐπὶ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν προσπίπτειν ἀδύνατον. ### book 68.1 Σαφεστέρα ἡ παροῦσα πρότασις ἐν τῷ Σαρακηνικῷ ### book 68.2 ἀντιγράφῳ· ἔχει γὰρ οὕτως· παντὸς τριγώνου μιᾶς τῶν ### book 68.3 πλευρῶν προεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς γωνία μείζων ἐστὶ ἑκα‐ ### book 68.4 τέρας τῶν ἐντός, τουτέστι τῶν ἐπὶ τῆς πλευρᾶς τῆς ### book 68.5 ὑποτεινούσης τὴν γωνίαν τὴν ἐφεξῆς τῇ αὐτῇ ἐκτὸς γωνίᾳ. ### book 69.1 μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΔ τῆς ὑπὸ ΒΑΕ p. 25, ### book 69.2 19—20] ἡ γὰρ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση ἐδείχθη τῇ ὑπὸ ΕΓΖ, ἧς ### book 69.3 μείζων ἡ ὑπὸ ΕΓΔ ἀποδέδεικται. ### book 70.1 Ἐν τῷ ιζʹ θεωρήματι ἀορίστως δείκνυνται ὁποιαιοῦν ### book 70.2 δύο γωνίαι τοῦ τριγώνου δύο ὀρθῶν ἐλάττονες, ἐν δὲ τοῖς ### book 70.3 ἐφεξῆς καὶ ἀφορισθήσεται, πόσῳ ἐλάττους, ὅτι τῇ λοιπῇ ### book 70.4 τοῦ τριγώνου γωνίᾳ· αἱ γὰρ τρεῖς δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ### book 70.5.1 ὥστε αἱ δύο τῇ λοιπῇ ἐλαττοῦνται τῶν δύο ὀρθῶν. φανε‐ ### book 70.5.2 ρὸν δέ, ὅτι χρῆται ὁ στοιχειωτὴς τῷ πρὸς τούτου θεωρήματι ### book 70.5.3 πρὸς τὴν τοῦ προκειμένου δεῖξιν. σκοπήσωμεν δὲ καὶ ### book 70.5.4 ἡμεῖς τὴν τοῦ τριγώνου γένεσιν, καὶ τὴν αἰτίαν εὐχερῶς ### book 70.5.5 εὑρήσομεν τοῦ συμπτώματος, πῶς ἐλαττοῦνται δύο ὀρθῶν. ### book 70.10.1 ἔστωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ ἐπὶ βάσιν ἱστάμεναι ### book 70.10.2 τὴν ΒΔ πρὸς ὀρθὰς γωνίας. εἰ οὖν μέλλει γενέσθαι τρί‐ ### book 70.10.3 γωνον, δεῖ συννεῦσαι πρὸς ἀλλήλας τὰς ΑΒ, ΓΔ, ἡ δὲ σύν‐ ### book 70.10.4 νευσις ἐλαττοῖ τὰς ἐντὸς γωνίας· ὥστε τὰς πρὸ τῆς συν‐ ### book 70.10.5 νεύσεως ὀρθὰς ἀνάγκη μετὰ τὴν σύννευσιν ἐλάττους γίνε‐ ### book 70.15 σθαι δύο ὀρθῶν. τοῦτο οὖν τὸ αἴτιον, καὶ οὐχὶ τὸ μείζονα ### book 70.1 εἶναι τὴν ἐκτὸς ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον γω‐ ### book 70.2 νιῶν. ἐκβεβλῆσθαι μὲν γὰρ τὴν πλευρὰν οὐκ ἀνάγκη οὐδὲ ### book 70.3 ἔξω τινὰ συνεστάναι γωνίαν, τῶν δὲ ἐντὸς γωνιῶν δύο ### book 70.4 ὁποιασοῦν εἶναι ἐλάττους δύο ὀρθῶν ἀναγκαῖον, τὸ δὲ ### book 70.20 μὴ ἀναγκαῖον πῶς ἂν εἴη αἴτιον τοῦ ἀναγκαίου; ### book 71.1 Διὰ τούτου δὲ τοῦ θεωρήματος δυνατὸν κἀκεῖνο ### book 71.2 δεικνύναι, ὅτι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου ἐπὶ μίαν εὐθεῖαν δύο ### book 71.3 κάθετοι οὐκ ἀχθήσονται. ἔστωσαν γὰρ ἀπὸ τοῦ Α σημείου [Omitted graphic marker] ### book 71.4 ἐπὶ τὴν ΒΓ δύο κάθετοι αἱ ΑΒ, ### book 71.5.1 ΑΓ. ὀρθαὶ ἄρα εἰσὶν αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ### book 71.5.2 ΑΓΒ γωνίαι. ἀλλ’ ἐπεὶ τρίγωνόν ### book 71.5.3 ἐστι τὸ ΑΒΓ, δύο ὁποιαιοῦν γωνίαι ### book 71.5.4 δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν. αἱ ἄρα ### book 71.5.5 ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ καὶ γωνίαι δύο δύο ### book 71.10.1 ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν. ἀλλὰ καὶ ἴσαι ### book 71.10.2 δυσὶν ὀρθαῖς διὰ τὰς καθέτους· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ### book 71.10.3 ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου δύο κάθετοι ἀχθήσονται ἐπὶ τὴν ### book 71.10.4 αὐτὴν εὐθεῖαν. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 72.1 Τὴν αἰτίαν τοῦ προκειμένου θεωρήματος δυνατὸν ### book 72.2 ἰδεῖν, εἴπερ εἰς τὴν γένεσιν ἀπίδοιμεν τῶν τριγώνων. εἰ ### book 72.3 γὰρ εὐθείᾳ τινὶ δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρθὰς ἀνασταθῶσιν, εἰ ### book 72.4 δεῖ γενέσθαι τρίγωνον, δεῖ συννεῦσαι τὰς εὐθείας, εἰ δὲ ### book 72.5.1 συννεύσωσι, πάντως ἐλαττώσουσι τὰς δύο ὀρθάς. ### book 72.5.2 Διὰ τούτου τοῦ θεωρήματος δείκνυται, ὅτι ἀπὸ τοῦ ### book 72.5.3 αὐτοῦ σημείου τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ δύο κάθετοι ἀχθῆναι οὐ ### book 72.5.4 δύνανται. ### book 73.1 Διὰ μὲν οὖν τοῦ εʹ καὶ τοῦ ϛʹ θεωρήματος μεμαθή‐ ### book 73.2 καμεν, ὡς ἡ τῶν πλευρῶν ἰσότης ἐφ’ ἑκάστου τῶν τριγώ‐ ### book 73.3 νων ἴσας ἀποτελεῖ τὰς ὑπὸ τούτων ὑποτεινομένας γωνίας, ### book 73.4 καὶ ἡ τῶν γωνιῶν ἰσότης ὡσαύτως τὰς ὑποτεινούσας ### book 73.5.1 αὐτὰς πλευρὰς ἴσας ἀποφαίνει. ὅτι δὲ καὶ ταῖς ἀνισότησι ### book 73.5.2 τῶν πλευρῶν ἡ τῶν ὑποτεινομένων γωνιῶν ἀνισότης ἀκο‐ ### book 73.5.3 λουθεῖ καὶ ἀνάπαλιν, διὰ τοῦ ιηʹ καὶ ιθʹ θεωρήματος διδα‐ ### book 73.5.4 σκόμεθα. τοῦτο μὲν γὰρ δείκνυσι τὴν μείζονα πλευρὰν ὑπὸ ### book 73.5.5 τὴν μείζονα γωνίαν, τὸ δὲ ιθʹ ὑπὸ τὴν μείζονα γωνίαν τὴν ### book 73.10.1 μείζονα πλευράν, ἀντιστρόφως μὲν ἀλλήλοις, ἐπὶ δὲ τῶν ### book 73.10.2 ἐναντίων πραγμάτων τὰ αὐτὰ θεωροῦντα συμπτώματα τῷ ### book 73.10.3 τε εʹ καὶ τῷ ϛʹ θεωρήματι. ἰστέον δέ, ὅτι τὰ μὲν τῆς ἰσότη‐ ### book 73.10.4 τος τῶν γωνιῶν ἢ πλευρῶν δεικτικὰ τοῖς ἰσοπλεύροις καὶ ### book 73.10.5 ἰσοσκελέσιν ἐφήρμοσται, τὰ δὲ τῆς ἀνισότητος τοῖς σκαλη‐ ### book 73.15.1 νοῖς καὶ ἰσοσκελέσιν. ἀλλ’ ἐπὶ μὲν τῶν σκαληνῶν διαιροῦ‐ ### book 73.15.2 μεν τὴν μεγίστην πλευρὰν καὶ μέσην καὶ ἐλαχίστην καὶ ### book 73.15.3 τὰς γωνίας ὡσαύτως, ἐπὶ δὲ τῶν ἰσοσκελῶν ἀρκεῖ τὸ ### book 73.15.4 μεῖζον ἁπλῶς καὶ ἔλαττον· τὰ μὲν γὰρ τῶν τριγώνων ἰσό‐ ### book 73.15.5 τητός ἐστι μόνης ἔκγονα, τὰ δὲ ἀνισότητος μόνης, τὰ δὲ ### book 73.20.1 ἀμφοτέρων, ὡδὶ μὲν διὰ τῆς ἰσότητος, ὡδὶ δὲ διὰ τῆς ### book 73.20.2 ἀνισότητος ἐφιστάμενα. ### book 74.1 Ὅτι μὲν ἡ τῶν πλευρῶν ἰσότης ἐφ’ ἑκάστου τῶν ### book 74.2 τριγώνων ἴσας ἀποτελεῖ τὰς ὑπὸ τούτων ὑποτεινομένας ### book 74.3 γωνίας, ἡ δὲ τῶν γωνιῶν ἰσότης ὡσαύτως τὰς ὑποτεινού‐ ### book 74.4 σας αὐτὰς πλευρὰς ἴσας ἀποφαίνει, μεμαθήκαμεν διά τε ### book 74.5.1 τοῦ θʹ καὶ ϛʹ θεωρήματος, ὅτι δὲ καὶ ταῖς ἀνισότησιν τῶν ### book 74.5.2 πλευρῶν ἡ τῶν ὑποτεινομένων γωνιῶν ἀνισότης ἀκολουθεῖ ### book 74.5.3 καὶ ἀνάπαλιν, διὰ τούτων διδασκόμεθα τῶν θεωρημάτων, ### book 74.5.4 τοῦ τε ὀκτωκαιδεκάτου λέγω καὶ τοῦ ιθʹ. τὸ μὲν γὰρ ### book 74.5.5 δείκνυσι τὴν μείζονα πλευρὰν ὑπὸ τὴν μείζονα γωνίαν, τὸ ### book 74.10.1 δὲ ὑπὸ μείζονα γωνίαν τὴν μείζονα πλευράν, ἀντιστρέφοντα ### book 74.10.2 μὲν ἀλλήλοις, ἐπὶ δὲ τῶν ἐναντίων πραγμάτων τὸ αὐτὸ ### book 74.10.3 θεωροῦντα συμπτώματα τῷ εʹ καὶ ϛʹ θεωρήματι. φανερὸν ### book 74.10.4 δέ, ὅτι τὴν μείζονα καὶ τὴν ἐλάσσονα πλευρὰν ἀνάλογον ### book 74.10.5 ληψόμεθα καὶ διαιρήσομεν τὴν μεγίστην καὶ μέσην καὶ ### book 74.15.1 ἐλαχίστην καὶ τὰς γωνίας ὡσαύτως ἐπὶ τῶν σκαληνῶν ### book 74.15.2 τριγώνων, ἐπὶ δὲ τῶν ἰσοπλεύρων ἀρκέσει τὸ μεῖζον καὶ ### book 74.15.3 τὸ ἔλασσον· μία γάρ ἐστι ταῖς δυσὶν ἄνισος. ἢ τὸ μεῖζον ἢ ### book 74.15.4 τὸ ἔλαττον ὡς ἐπὶ τῶν ἰσοπλεύρων. ### book 75.1 πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΑΓΒ ### book 75.2 p. 27, 9—10] [ἐπεὶ] γὰρ ἡ ὑπὸ ΑΔΒ μείζων ἐδείχθη τῆς ### book 75.3 ὑπὸ ΒΓΔ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΔ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΑΔΒ, τῆς δὲ ### book 75.4 ὑπὸ ΑΒΔ μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ, πολλῷ ἄρα μείζων ### book 75.5 ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τῆς ὑπὸ ΒΓΑ. ### book 76.1 Τὸ ιθʹ θεώρημα ἀντίστροφόν ἐστι τῷ ιηʹ θεωρήματι. ### book 76.2 ἔστι γὰρ ἁπλοῦν ἐν ἑκατέρῳ καὶ τὸ διδόμενον καὶ τὸ ### book 76.3 ζητούμενον, καὶ τὸ μὲν ἐκεῖ συμπέρασμα ὑπόθεσίς ἐστιν ### book 76.4 ἐνταῦθα, ἡ δὲ ἐκεῖ ὑπόθεσις τούτου ἐστὶ συμπέρασμα. προ‐ ### book 76.5.1 τέτακται δὲ ἐκεῖνο, διότι δεδομένην ἔχει τὴν ἀνισότητα ### book 76.5.2 τῶν πλευρῶν, ἕπεται δὲ τοῦτο τὰς γωνίας ἀνίσους ὑπο‐ ### book 76.5.3 θέμενον· δοκοῦσι γὰρ αἱ μὲν πλευραὶ τὰ εὐθύγραμμα περι‐ ### book 76.5.4 έχειν, αἱ δὲ γωνίαι περιέχεσθαι, καὶ ὁ τρόπος δὲ τῆς ἀπο‐ ### book 76.5.5 δείξεως ἐπ’ ἐκείνου μὲν δεικτικός, ἐπὶ δὲ τούτου διὰ τῆς ### book 76.10.1 εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς. ἐκ διαιρέσεως δὲ τὸ ἀδύνατον ### book 76.10.2 συλλογίζεται ὁ γεωμέτρης· τῶν μὲν γὰρ γωνιῶν οὐσῶν ### book 76.10.3 ἀνίσων λέγω, φησίν, ὅτι καὶ αἱ ὑποτείνουσαι πλευραὶ ἄν‐ ### book 76.10.4 ισοι, καὶ ἡ μείζων ὑποτείνει τὴν δεδομένην μείζονα γω‐ ### book 76.10.5 νίαν. εἰ γὰρ μή ἐστιν ἡ τὴν μείζονα γωνίαν μείζων, ἴση ### book 76.15.1 ἐστὶν ἢ ἐλάττων. ἀλλ’ εἰ μὲν ἴση, καὶ αἱ γωνίαι, ἃς ὑπο‐ ### book 76.15.2 τείνουσιν, ἴσαι διὰ τὸ εʹ. εἰ δὲ ἐλάσσων, καὶ ἡ γωνία, ἣν ### book 76.15.3 ὑποτείνει, ἐλάσσων διὰ τὸ πρὸ τούτου· δέδεικται γὰρ ὑπὸ ### book 76.15.4 τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνουσα καὶ ὑπὸ ### book 76.15.5 τὴν ἐλάσσω ἡ ἐλάσσων. ἔχουσι δὲ ἀνάπαλιν αἱ γωνίαι· ### book 76.20 μείζων ἄρα ἡ πλευρὰ τῆς πλευρᾶς. ἐχρήσατο δὲ τῇ ἐκ ### book 76.1 διαιρέσεως εἰς τὸ ἀδύνατον ἀγούσῃ δείξει βουλόμενος τὸ ### book 76.2 ἀντίστροφον ποιῆσαι τῷ προηγουμένῳ μηδενὸς μεταξὺ ### book 76.3 παρεμπίπτοντος, ἐπεὶ καὶ τὸ ηʹ ἀντιστρέφον πρὸς τὸ δʹ ### book 76.4 πολλὴν ἐνεποίησε ταραχὴν δυσεπίγνωστον ποιῆσαν τὴν ### book 76.25.1 ἀντιστροφήν· διὸ δὴ τὰ ἀντίστροφα πάντα δι’ ἀδυνάτου ### book 76.25.2 δείκνυσι σχεδὸν μετὰ τοῦ τὴν συνέχειαν φυλάττειν. ### book 77.1 Τοῦτό ἐστι τὸ ἀντίστροφον τῷ εἰρημένῳ θεωρήματι, ### book 77.2 καί ἐστιν ἁπλοῦν ἐν ἑκατέρῳ τὸ δεδομένον καὶ τὸ ζητούμε‐ ### book 77.3 νον, καὶ τὸ μὲν ἐκεῖ συμπέρασμα ὑπόθεσίς ἐστιν ἐνταῦθα, ### book 77.4 ἡ δὲ ἐκεῖ ὑπόθεσις τούτου συμπέρασμα. προτέτακται δὲ ### book 77.5.1 ἐκεῖνο, διότι δεδομένην ἔχει τὴν ἀνισότητα τῶν πλευρῶν, ### book 77.5.2 ἕπεται δὲ τοῦτο, ὅτι τὰς γωνίας ἀνίσους ὑποτίθεται· δο‐ ### book 77.5.3 κοῦσι γὰρ αἱ μὲν πλευραὶ τὰ εὐθύγραμμα περιέχειν, αἱ δὲ ### book 77.5.4 γωνίαι περιέχεσθαι. καὶ ὁ τρόπος δὲ τῆς ἀποδείξεως ἐπ’ ### book 77.5.5 ἐκείνου μὲν δεικτικῶς, ἐπὶ δὲ τούτου διὰ τῆς εἰς ἀδύνατον ### book 77.10 ἀπαγωγῆς. ### book 78.1 Τὸ κʹ θεώρημα διασύρειν εἰώθασιν οἱ Ἐπικούρειοι ### book 78.2 καὶ ὄνῳ λέγοντες αὐτὸ δῆλον εἶναι καὶ μηδεμιᾶς δεῖσθαι ### book 78.3 κατασκευῆς. κατασκευάζουσι δὲ τὸ καὶ ὄνῳ γνώριμον ### book 78.4 εἶναι ἐκ τοῦ, τεθέντος χόρτου κατὰ τὸ ἕτερον πέρας τῶν ### book 78.5.1 πλευρῶν, τὸν ὄνον τὴν μίαν ὁδεύειν πλευράν, ἀλλὰ μὴ τὰς ### book 78.5.2 δύο, τροφῆς ὀρεγόμενον. λέγομεν οὖν, ὅτι σαφὲς μὲν κατὰ ### book 78.5.3 τὴν αἴσθησιν ἔστω τὸ θεώρημα, οὔπω δὲ σαφὲς κατὰ τὸν ### book 78.5.4 ἐπιστημονικὸν λόγον· οἷον τὸ πῦρ θερμαίνει, καὶ τοῦτο τῇ ### book 78.5.5 αἰσθήσει καταφανές· ἀλλὰ πῶς θερμαίνει, ἀσωμάτῳ δυνά‐ ### book 78.10.1 μει ἢ σωματικαῖς τομαῖς, σφαιρικοῖς μορίοις ἢ πυραμοει‐ ### book 78.10.2 δέσι, τῆς ἐπιστήμης μόνης ἔργον ἐστὶ παραστῆσαι. ἔστω ### book 78.10.3 τοίνυν καὶ τοῦ τριγώνου τὸ εἶναι τὰς βʹ μείζους τῆς μιᾶς ### book 78.10.4 τῇ αἰσθήσει δῆλον, ἀλλὰ πῶς τοῦτο γίνεται, ἡ ἐπιστήμη ### book 78 ὑποδείκνυσιν. ### book 79.1 Τοῦτο τὸ θεώρημα διασύρειν εἰώθασιν οἱ Ἐπικού‐ ### book 79.2 ρειοι ὄνον αὐτὸ καλέσαντες διὰ τὸ μηδεμιᾶς δεῖσθαι ### book 79.3 κατασκευῆς. ὅτι μὲν τὸ προκείμενον θεώρημα σαφὲς μὲν ### book 79.4 κατὰ τὴν αἴσθησιν, οὔπω δὲ σαφὲς κατὰ τὸ ἐπιστημονι‐ ### book 79.5.1 κόν· πάντως μὲν γὰρ αἱ δύο μείζους τῆς λοιπῆς. τριῶν γὰρ ### book 79.5.2 ἴσων δύο ὁποιαοῦν διπλάσια τοῦ ἑνός. εἰ δὲ ἰσοσκελὲς ἢ τὸ ### book 79.5.3 ἔλασσον ἔχει τῶν ἴσων ἑκατέρᾳ τὴν βάσιν καὶ γίνεται μεί‐ ### book 79.5.4 ζων. ### book 80.1 Αἱ γὰρ ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ αἱ τρεῖς ἤτοι ἴσαι ἀλλήλαις ### book 80.2 εἰσὶν ἢ οὐ. εἰ μὲν ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί, φανερόν, ὅτι δύο ### book 80.3 ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανό‐ ### book 80.4 μεναι. εἰ δὲ οὐ, ἔστι τις ἐν αὐταῖς μεγίστη. ἔστω ἡ ΒΓ. ### book 80.5.1 ὅτι μὲν οὖν αἱ ΑΒ, ΒΓ τῆς ΑΓ μείζονές εἰσι, φανερόν· ### book 80.5.2 καὶ πάλιν ὅτι αἱ ΑΓ, ΓΒ τῆς ΑΒ, καὶ τοῦτο δῆλον. ### book 80.5.3 δεικτέον δή, ὅτι καὶ αἱ ΒΑ, ΑΓ τῆς ΒΓ μείζονές εἰσιν. ### book 80.5.4 ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΒΑ ἐπὶ τὸ Δ σημεῖον. ### book 81.1 Τὸ καʹ θεώρημα δύο θεωρημάτων εἴρηται τοῦ τε κʹ ### book 81.2 καὶ τοῦ ιϛʹ. πρὸς μὲν γὰρ τὸ δεῖξαι τὰς συσταθείσας ἐντὸς ### book 81.3 πλευρὰς ἐλάσσονας τῶν ἐκτὸς ἐκείνου δεῖται τοῦ θεωρήμα‐ ### book 81.4 τος· παντὸς τριγώνου αἱ δύο μείζονές εἰσι τῆς λοιπῆς· ### book 81.5.1 πρὸς δὲ τὸ τὴν ὑπ’ αὐτῶν περιεχομένην γωνίαν ἀποφῆναι ### book 81.5.2 μείζονα τῆς ὑπὸ τῶν ἐκτὸς περιεχομένης πλευρῶν ἐκεῖνο ### book 81.5.3 συντελεῖ τὸ παντὸς τριγώνου τὴν ἐκτὸς γωνίαν μείζονα ### book 81.5.4 εἶναι τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον. ἀναγκαίως δὲ ὁ στοιχειω‐ ### book 81.5.5 τὴς προσέθηκε τὸ ἀπὸ τῶν περάτων ἄρχεσθαι δεῖν τῆς ### book 81.10 κοινῆς βάσεως τὰς ἐντὸς συνισταμένας πλευρὰς καὶ τὸ ἐπὶ ### book 81.1 μιᾶς ὅλης συνίστασθαι, ἀλλ’ οὐκ ἐκ μέρους τῆς ὅλης· αἱ ### book 81.2 γὰρ ἐπὶ μέρους τῆς βάσεως συνιστάμεναι καὶ μείζους ### book 81.3 δείκνυνταί ποτε τῶν ἐκτὸς καὶ ἐλάττονα γωνίαν περι‐ ### book 81.4 έχουσαι. ἀπὸ δὲ τῶν περάτων αὐτῆς συνισταμένων ἀνα‐ ### book 81.15.1 φαίνεται καὶ τὸ εἶδος τὸ καλούμενον ἀκιδοειδῶν τριγώνων, ### book 81.15.2 ἓν ὂν καὶ τοῦτο τῶν ἐν γεωμετρίᾳ παραδόξων, τρίγωνον ### book 81.15.3 τετράπλευρον, οἷόν ἐστι καὶ τὸ προκείμενον σχῆμα· περι‐ ### book 81.15.4 έχεται μὲν γὰρ ὑπὸ δ πλευρῶν τῆς ΑΒ, ΒΔ, ΔΓ, ΓΑ, ### book 81.15.5 τρεῖς δὲ γωνίας ἔχει τὴν πρὸς τῷ Α καὶ τῷ Β καὶ τῷ Γ. ### book 82.1 Ἐκ δύο θεωρημάτων δέδεικται τοῦ τε πρὸ τούτου ### book 82.2 δειχθέντος καὶ τοῦ ἑκκαιδεκάτου. πρὸς μὲν γὰρ τὸ δεῖξαι ### book 82.3 τὰς συσταθείσας ἐντὸς ἐλάσσονας τῶν ἐκτὸς ἐκείνου δεῖται ### book 82.4 τοῦ θεωρήματος· παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς ### book 82.5.1 μείζους εἰσίν· πρὸς δὲ τὸ τὴν ὑπ’ αὐτῶν περιεχομένην γω‐ ### book 82.5.2 νίαν ἀποφῆναι μείζονα τῆς ὑπὸ τῶν ἐκτὸς περιεχομένης ### book 82.5.3 ἐκεῖνο αὐτῷ συντελεῖ τὸ παντὸς τριγώνου τὴν ἐκτὸς γωνίαν ### book 82.5.4 μείζονα εἶναι τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον. λάβοις δ’ ἂν ἅμα ### book 82.5.5 τῆς γεωμετρικῆς ἀκριβείας πίστιν καὶ τῶν ἐν τοῖς μαθή‐ ### book 82.10.1 μασι παραδόξων ὑπόμνησιν, εἰ δείξαιμεν, ὅτι δυνατὸν ἐντὸς ### book 82.10.2 τριγώνου τινὸς ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν οὐχ ὅλης, ἀλλὰ μέ‐ ### book 82.10.3 ρους αὐτῆς συστῆναι δύο εὐθείας μείζους τῶν ἐκτὸς καὶ ### book 82.10.4 πάλιν ἄλλας μείζονα γωνίαν περιεχούσας τῆς ὑπὸ τῶν ἐκ‐ ### book 82.10.5 τὸς περιεχομένης. τούτου γὰρ δειχθέντος ἅμα μὲν δῆλον, ### book 82.15.1 ὅτι ἀναγκαίως ὁ στοιχειωτὴς προσέθηκεν τὸ ἀπὸ τῶν ### book 82.15.2 περάτων ἄρχεσθαι δεῖν τῆς κοινῆς βάσεως τὰς ἐντὸς ### book 82.15.3 συνισταμένας καὶ τὸ ἐπὶ μιᾶς ὅλης συνίστασθαι, ἀλλὰ οὐκ ### book 82.15.4 ἐπὶ μέρους τῆς ὅλης. ἅμα δὲ καί, ὅπερ εἴπομεν, ἕν τι τῶν ### book 82.15.5 ἐν γεωμετρίᾳ παραδόξων ἀναφανήσεται. πῶς γὰρ οὐ παρά‐ ### book 82.20.1 δοξον, εἰ αἱ μὲν ἐπὶ τῆς ὅλης συνιστάμεναι τῶν ἐκτὸς ἐλάσ‐ ### book 82.20.2 σους εἰσίν, αἱ δὲ ἐπὶ μέρους μείζονες; ἀναγκαῖον δὲ τὰς συνισ‐ ### book 82.20.3 ταμένας εὐθείας ἀπὸ τῶν περάτων ἄρχεσθαι τῆς βάσεως· αἱ ### book 82.20.4 γὰρ ἐπὶ μέρους αὐτῆς συνιστάμεναι καὶ μείζους δείκνυνταί ### book 82 ποτε τῶν ἐκτὸς καὶ ἐλάσσονα περιέχουσαι γωνίαν. οὕτω ### book 82.25.1 δὲ καὶ συνισταμένων ἀπὸ τῶν περάτων ἀναφαίνεται καὶ τὸ ### book 82.25.2 εἶδος τῶν καλουμένων ἀκιδοειδῶν τριγώνων, ἓν καὶ τοῦτο ### book 82.25.3 τῶν ἐν γεωμετρίᾳ παραδόξων. ### book 83.1 Καὶ ἐκ τούτου τοῦ θεωρήματος δείκνυται, ὅτι ἐλά‐ ### book 83.2 χιστον μέγεθος οὐκ ἔστιν, εἴπερ παντὸς τριγώνου δυνατὸν ### book 83.3 ἔλασσον λαβεῖν, ὅπερ ἐνταῦθα διδάσκει. ### book 84.1 Ἀπὸ τῶν περάτων φησίν, ἐπειδὴ ἐὰν μὴ ὦσιν ἀμφό‐ ### book 84.2 τεραι ἀπὸ τῶν περάτων .... δύνανται αἱ ἐντὸς [πλευραὶ [Omitted graphic marker] ### book 84.3 τῶν] ἐκτὸς μείζονες εἶναι, ὡς δείξο‐ ### book 84.4 μεν. ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ### book 84.5.1 ἔχον τὴν Γ γωνίαν. εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ### book 84.5.2 ΒΓ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἐπ‐ ### book 84.5.3 εζεύχθω ἡ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ τριγώνου [τοῦ ### book 84.5.4 ΑΓΔ] ὀρθή ἐστιν ἡ Γ γωνία, μείζων ### book 84.5.5 ἡ ΑΔ τῆς [ΑΓ. ἀφῃ]ρήσθω ἀπὸ τῆς ### book 84.10.1 ΑΔ τῇ ΑΓ ἴση ἡ ΔΕ, [καὶ τετμή]‐ ### book 84.10.2 σθω ἡ ΕΑ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπ‐ ### book 84.10.3 εζεύχθω ἡ ΖΒ. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ### book 84.10.4 Ζ[ΑΒ δύο αἱ] ΑΖ, ΒΖ τῆς ΑΒ μεί‐ ### book 84.10.5 ζονές [εἰσιν, ἴση δὲ ὑπέκειτο] ἡ [ΑΖ τῇ ΖΕ, ἡ δὲ ΔΕ τῇ ### book 84.15.1 ΓΑ, αἱ ΔΖ, ΖΒ] τῶν ΑΒ, ΑΓ μ[είζονές εἰσιν]· ὅπερ ### book 84.15.2 ἔδει ποιῆσαι. [ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν] ἀμβλυγωνίων .... ### book 85.1 Τοῦτο τὸ κβʹ πρόβλημά ἐστιν· πάλιν γὰρ ἀπὸ τῶν ### book 85.2 θεωρημάτων ἐπὶ τὰ προβλήματα μετεληλύθαμεν· καὶ ### book 85.3 παρακελεύεται ἐκ τριῶν εὐθειῶν τρίγωνον συστήσασθαι. ### book 85.4 πρῶτον δὲ δίδωσι τρεῖς εὐθείας καὶ οὐκ ἐξ αὐτῶν συνιστᾷ ### book 85.5.1 τὸ τρίγωνον, ἀλλ’ ἐξ ἑτέρων ἴσων αὐταῖς ταῖς δεδομέναις. ### book 85.5.2 δεῖ δέ, φησί, τὰς εὐθείας τὰς συμπληροῦν μελλούσας τὸ ### book 85.5.3 τρίγωνον τὰς δύο τῆς λοιπῆς μείζους εἶναι πάντῃ μεταλαμ‐ ### book 85.5.4 βανομένας. παντὸς γὰρ τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ μείζους ### book 85 εἰσὶ τῆς λοιπῆς, ὡς δέδεικται, κατὰ πᾶσαν μετάληψιν, καὶ ### book 85.10.1 διὰ τοῦτο καὶ αὐτῷ τοῦτο προσέθηκεν· εἰ γὰρ μή εἰσιν αἱ ### book 85.10.2 δύο τῆς λοιπῆς μείζους, οὐκ ἔσται τρίγωνον ἐκ τῶν ἴσων ### book 85.10.3 αὐταῖς εὐθειῶν. ἔστι δὲ τὸ πρόβλημα τοῦτο τῶν διωρι‐ ### book 85.10.4 σμένων, ἀλλ’ οὐ τῶν ἀδιορίστων. ὥσπερ γὰρ τῶν θεωρη‐ ### book 85.10.5 μάτων τὰ μέν ἐστι διωρισμένα, τὰ δὲ ἀδιόριστα, οὕτω καὶ ### book 85.15.1 ἐπὶ τῶν προβλημάτων. ἐὰν μὲν γὰρ εἴπωμεν ἁπλῶς οὕτως· ### book 85.15.2 ἐκ τριῶν εὐθειῶν ἴσων ταῖς δοθείσαις εὐθείαις συστήσα‐ ### book 85.15.3 σθαι τρίγωνον, ἀδιόριστον καὶ ἀδύνατόν ἐστιν· ἐὰν δὲ ### book 85.15.4 προσθῶμεν· ὧν αἱ δύο μείζους εἰσὶ τῆς λοιπῆς πάντῃ μετα‐ ### book 85.15.5 λαμβανόμεναι, διωρισμένον τε καὶ δυνατὸν γίνεται· καὶ ### book 85.20.1 πρὸς τὴν κατασκευὴν δὲ τοῦ προβλήματος τούτου τὰς ### book 85.20.2 φερομένας ἐνστάσεις διαλύει ἡ προσθήκη αὕτη τὸ τὰς δύο ### book 85.20.3 μείζους εἶναι τῆς λοιπῆς πάντῃ μεταλαμβανομένας, ἤγουν ### book 85.20.4 ὁποίας ἂν λάβῃς ἐκ τῶν τριῶν δύο, τῆς λοιπῆς μείζονές ### book 85.20.5 εἰσιν· τοῦτο γὰρ δηλοῖ ἡ πανταχόθεν μετάληψις. εἰ γὰρ μή ### book 85.25.1 εἰσι μείζονες, ἢ ἴσαι εἰσὶν ἐξ ἀνάγκης ἢ ἐλάττονες. καὶ εἰ ### book 85.25.2 μὲν ἴσαι εἰσί, τρίγωνον οὐ συνιστῶσιν· τηνικαῦτα γὰρ οἱ ### book 85.25.3 κύκλοι οὐ τέμνουσιν ἀλλήλους, ἀλλὰ μόνον ἐφάπτονται, ### book 85.25.4 ὥσπερ ἐπὶ τῶν ἐκτεθειμένων κύκλων ἡ μὲν ΔΖ ἴση ἐστὶ ### book 85.25.5 τῇ ΖΕ, ἡ δὲ ΗΘ ἴση τῇ ΗΕ. ὥστε δύο αἱ ΔΖ, ΗΘ μιᾷ τῇ ### book 85.30.1 ΖΗ ἴσαι εἰσί· διὰ δὲ τὸ μὴ τέμνειν ἀλλήλους τοὺς κύκλους ### book 85.30.2 οὐδὲ τρίγωνον συνέστη. πάλιν ἐὰν ὦσιν αἱ δύο εὐθεῖαι ### book 85.30.3 ἐλάσσονες τῆς μιᾶς, διίστανται ἀπ’ ἀλλήλων οἱ κύκλοι, καὶ ### book 85.30.4 οὐδ’ οὕτως συνίσταται τὸ τρίγωνον, οἷον ἐπὶ τῶν ὑπο‐ ### book 85.30.5 κειμένων κύκλων ἡ μὲν ΔΖ εὐθεῖα ἴση ἐστὶν τῇ ΖΕ, ἡ δὲ ### book 85.35.1 ΗΘ ἴση τῇ ΗΚ. ὥστε μείζων ἡ ΖΗ τῶν ΖΕ, ΗΘ τῇ ### book 85.35.2 ΕΚ. λοιπὸν ἄρα κατὰ τὴν ἔκθεσιν τοῦ στοιχειωτοῦ ἔστω‐ ### book 85.35.3 σαν αἱ δύο μείζονες τῆς λοιπῆς, ἵνα ἐξ ἀνάγκης καὶ οἱ κύ‐ ### book 85.35.4 κλοι τέμνωσιν ἀλλήλους καὶ τὸ τρίγωνον συσταθῇ. μεῖζον ### book 85.35.5 δὲ ὀφείλει γράφεσθαι τὸ ΖΗ διάστημα τοῦ ΔΖ, τὸ δὲ ### book 85.40 ΗΘ τοῦ ΖΗ καὶ ὁ ΚΛΘ κύκλος μείζων τοῦ ΚΛΔ. ### book 86.1 Ἐπὶ τὰ προβλήματα πάλιν μετελήλυθεν ὁ στοιχειω‐ ### book 86.2 τής, ἔστι δὲ τὸ πρόβλημα τῶν διωρισμένων, ἀλλ’ οὐ τῶν ### book 86.3 ἀδιορίστων. καὶ γὰρ καὶ ἐπὶ τούτων τὰ μέν ἐστι διωρι‐ ### book 86.4 σμένα, τὰ δὲ ἀδιόριστα. ### book 87.1 Ἐὰν γὰρ μὴ ὦσιν αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονες ### book 87.2 πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, ἄστατον ἔσται· οὐ γὰρ συστα‐ ### book 87.3 θήσεται τὸ τρίγωνον ἐξ εὐθειῶν διδομένων πέντε καὶ ### book 87.4 πέντε καὶ δέκα πήχεων. ### book 88.1 Ἐὰν τῇ πρὸ ταύτης χρησώμεθα κατασκευῇ ἀπαρα‐ ### book 88.2 φυλάκτως, εὑρεθήσεται μὲν ἴση γωνία, οὐ πρὸς τῷ ### book 88.3 δοθέντι δὲ σημείῳ, ἀλλ’ ἤτοι πρὸς τῷ ἑτέρῳ πέρατι ἢ ### book 88.4 πρὸς τῇ κοινῇ τῶν κύκλων τομῇ. ἵν’ οὖν μὴ τοῦτο πάθω‐ ### book 88.5.1 μεν, αἰεὶ τὴν ἐκκειμένην εὐθεῖαν μίαν τῶν περιεχουσῶν ### book 88.5.2 ποιητέον, τὴν δ’ ἑτέραν τῶν περιεχουσῶν, πρὸς οἷς μέρεσι ### book 88.5.3 κεῖται τὸ δοθὲν σημεῖον. ὁ Εὔδημος δὲ καὶ τοῦτο ἱστορεῖ ### book 88.5.4 εὕρημα εἶναι Οἰνοπίδου, τὸ δὲ κϛʹ Θαλοῦ εὕρημα ὁ αὐτὸς ### book 88.5.5 ἱστορεῖ. ### book 89.1 Διὰ τί δὴ οὖν οὐχ, ὥσπερ ἐπὶ τοῦ δʹ θεωρήματος ### book 89.2 προσαπέδειξεν, ὅτι καὶ τὰ ἐμβαδὰ τῶν τριγώνων ἴσα ἐστίν, ### book 89.3 οὕτω καὶ ἐν τούτῳ προσέθηκεν, ὅτι πρὸς τῇ ἀνισότητι τῶν ### book 89.4 βάσεων καὶ τὰ ἐμβαδά; πρὸς δὲ ταύτην τὴν ἀπορίαν λεγέ‐ ### book 89.5.1 σθω, ὅτι οὐχὶ ὁ αὐτὸς λόγος ἐπί τε τῶν ἴσων γωνιῶν καὶ ### book 89.5.2 βάσεων καὶ τῶν ἀνίσων· ἴσαις μὲν γὰρ οὔσαις ταῖς γω‐ ### book 89.5.3 νίαις καὶ ταῖς βάσεσιν ἕπεται ἡ τῶν τριγώνων ἰσότης, ### book 89.5.4 ἀνίσοις δὲ ἄρα οὔσαις οὐκ ἀνάγκη τὴν ἀνισότητα τῶν ἐμ‐ ### book 89.5.5 βαδῶν ἀκολουθεῖν, ἀλλὰ γὰρ δύναται καὶ ἴσα εἶναι τὰ τρί‐ ### book 89.10 γωνα καὶ ἄνισα καὶ μεῖζον τὸ ἔχον τὴν μείζονα γωνίαν ### book 89.1 καὶ αὖ ἔλασσον. διὰ τοῦτο οὖν ὁ στοιχειωτὴς παρέλειπεν ### book 89.2 τὴν τῶν τριγώνων σύγκρισιν, ἅμα δὲ καί, ὅτι ἡ περὶ τού‐ ### book 89.3 των θεωρία τῆς τῶν παραλλήλων δεῖται πραγματείας. ### book 90.1 Οἰνοπίδου. ### book 90.2 Καὶ τὸ κγʹ πρόβλημά ἐστι σύστασιν ἀπαιτοῦν γωνίας ### book 90.3 ἴσης ἄλλῃ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ πρὸς τῇ δοθείσῃ ### book 90.4 εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ δοθέντι σημείῳ. ### book 90.5.1 Ἔστω ὁ συλλογισμὸς τοῦ κγʹ προβλήματος ἐν τῷ δʹ ### book 90.5.2 τρόπῳ τῶν ὑποθετικῶν ὁ τῇ θέσει τοῦ ἡγουμένου δεικνὺς ### book 90.5.3 τὸ ἑπόμενον, οἷον εἰ αἱ ΔΓ, ΓΕ πλευραὶ ἴσαι εἰσί, καὶ αἱ ### book 90.5.4 γωνίαι ἄρα ἴσαι εἰσίν. ### book 91.1 Τὸ κδʹ θεώρημά ἐστιν· μεταβέβηκε γὰρ πάλιν ἐπὶ ### book 91.2 τὰ θεωρήματα ὁ στοιχειωτής, καὶ δείκνυσιν ἀνισότητας ### book 91.3 τριγώνων, ὥσπερ καὶ ἐπὶ τῆς ἰσότητος ἐποίει. δύο γὰρ ### book 91.4 ὑποθέμενος τρίγωνα δύο πλευρὰς ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ### book 91.5.1 ἑκατέρᾳ τὴν πρὸς τῇ κορυφῇ γωνίαν ὁτὲ μὲν ἴσην ἐν ἀμ‐ ### book 91.5.2 φοτέροις τίθεται, ὁτὲ δὲ ἄνισον, καὶ τῇ μὲν ἰσότητι ταύτης ### book 91.5.3 ἑπομένην ἔδειξε τὴν ἰσότητα τῶν βάσεων. ὡσαύτως καὶ ### book 91.5.4 τῇ τῶν βάσεων ἰσότητι δείκνυσιν ἀκολουθοῦσαν τὴν τῶν ### book 91.5.5 ἐν ταῖς κορυφαῖς γωνιῶν ἰσότητα καὶ τῇ ἀνισότητι τὴν ### book 91.10.1 ἀνισότητα. τοῦτο δὲ τὸ θεώρημα ἀντίστροφόν ἐστι τοῦ ### book 91.10.2 δʹ· ἐκεῖνο μὲν γὰρ ἴσας ὑπέθετο τὰς πρὸς ταῖς κορυφαῖς ### book 91.10.3 τῶν τριγώνων γωνίας, τοῦτο δὲ ἀνίσους, κἀκεῖνο μὲν ἴσας ### book 91.10.4 ἀπεδείκνυ τὰς βάσεις, τοῦτο δὲ ὁμοίως ταῖς γωνίαις ἀν‐ ### book 91.10.5 ίσους. προηγεῖται δὲ τοῦ ἐφεξῆς θεωρήματος. ἐκεῖνο μὲν ### book 91.15.1 γὰρ ἀπὸ τῶν βάσεων ἐπὶ τὰς γωνίας, καθ’ ἃς ὑποτείνου‐ ### book 91.15.2 σιν αἱ βάσεις, μετάγει τὸν τῆς ἀνισότητος λόγον, τοῦτο ### book 91.15.3 δὲ ἀνάπαλιν ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὰς βάσεις τὰς ὑπ’ αὐτάς, ### book 91.15.4 ὥσπερ αὖ τὸ ἐφεξῆς ἀντίστροφον μέν ἐστι πρὸς τοῦτο ### book 91.15.5 κατὰ τὸν εἰρημένον τρόπον, ἀντικείμενον δὲ τῷ ηʹ θεω‐ ### book 91.20.1 ρήματι. τὸ μὲν γὰρ ἀπὸ τῆς ἰσότητος τῶν βάσεων ἴσας ### book 91.20.2 ἀποδείκνυσι τὰς πρὸς ταῖς κορυφαῖς γωνίας, τὸ δὲ ἀπὸ ### book 91.20.3 τῆς ἀνισότητος τῶν βάσεων καὶ τὰς κορυφὰς ἀνίσους ἀπο‐ ### book 91.20.4 φαίνει. κοινὸν δὲ τοῖς τέσσαρσιν, ὅτι τούτων τὰ μὲν δύο ### book 91.20.5 περὶ τὸ ἴσον στρέφονται, τὸ τέταρτον καὶ τὸ ηʹ, τὰ δὲ δύο ### book 91.25.1 περὶ τὸ ἄνισον, τοῦτό τε καὶ τὸ κεʹ, καὶ δύο μὲν ἀπὸ τῶν ### book 91.25.2 γωνιῶν ἄρχονται, τὸ τέταρτον καὶ τὸ νῦν προκείμενον, δύο ### book 91.25.3 δὲ ἀπὸ τῶν βάσεων, τό τε ηʹ καὶ τὸ κεʹ. δεῖ οὖν τούτοις ### book 91.25.4 τοῖς τέσσαρσι τῷ δʹ καὶ ηʹ καὶ κδʹ καὶ κεʹ πᾶσι τὸ τὰς ### book 91.25.5 δύο πλευρὰς ἴσας ἔχειν ταῖς δύο πλευραῖς ἑκατέραν ἑκα‐ ### book 91.30.1 τέρᾳ· τούτων γὰρ ἀνίσων οὐσῶν περιττὴ πᾶσα ζήτησις καὶ ### book 91.30.2 ἀπάτης οὐκ ἀπηλλαγμένη. ### book 92.1 Τοῦτο θεώρημά ἐστι καὶ ἀντικείμενον τῷ δʹ. ἐκεῖνο ### book 92.2 μὲν γὰρ ἴσας ὑπέθετο τὰς πρὸς ταῖς κορυφαῖς τῶν τριγώ‐ ### book 92.3 νων γωνίας, τοῦτο δὲ ἀνίσους, κἀκεῖνο μὲν ἴσας αὐτῶν ### book 92.4 ἀπεδείκνυ τὰς βάσεις, τοῦτο δὲ ὡσαύτως ταῖς γωνίαις ### book 92.5.1 ἀνίσους. προηγεῖται δὲ τοῦ ἐφεξῆς θεωρήματος· ἐκεῖνο ### book 92.5.2 μὲν γὰρ ἀπὸ τῶν βάσεων ἐπὶ τὰς γωνίας, ἃς ὑποτείνουσιν ### book 92.5.3 αἱ βάσεις, μετάγει τὸν τῆς ἀνισότητος λόγον, τοῦτο δὲ ### book 92.5.4 ἀνάπαλιν ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὰς βάσεις τὰς ὑπ’ αὐτάς, ### book 92.5.5 ὥσπερ αὖ τὸ ἐφεξῆς ἀντιστρόφιον μέν ἐστι πρὸς τοῦτο ### book 92.10.1 κατὰ τὸν εἰρημένον τρόπον, ἀντικείμενον δὲ τῷ ὀγδόῳ ### book 92.10.2 θεωρήματι. τὸ μὲν γὰρ ἀπὸ τῆς ἰσότητος τῶν βάσεων ἴσας ### book 92.10.3 ἀποδείκνυσι τὰς πρὸς ταῖς κορυφαῖς γωνίας, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ### book 92.10.4 ἀνισότητος τῶν βάσεων κἀκείνας ἀνίσας ἀποφαίνει. κοινὸν ### book 92.10.5 δὲ τοῖς τέτρασιν, ὧν δύο μὲν περὶ τὸ ἴσον στρέφεται, τὸ δʹ ### book 92.15.1 καὶ τὸ ηʹ, δύο δὲ περὶ τὸ ἄνισον, τοῦτό τε καὶ τὸ ἑξῆς, καὶ δύο ### book 92.15.2 μὲν ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἄρχεται, τὸ τέταρτον καὶ τὸ νυνί, δύο ### book 92.15.3 δὲ ἀπὸ τῶν βάσεων, τό τε ὄγδοον καὶ τὸ ἐφεξῆς τεταγμέ‐ ### book 92.15.4 νον· δεῖ οὖν τούτοις ἅπασι τὸ τὰς δύο πλευρὰς ἴσας ἔχειν ### book 92.15.5 ταῖς δύο πλευραῖς ἑκατέραν ἑκατέρᾳ. τούτων γὰρ ἀνίσων ### book 92.20.1 οὐσῶν περιττὴ πᾶσα ζήτησις καὶ ἀπάτης οὐκ ἀπ‐ ### book 92.20.2 ηλλαγμένη. τοσαῦτα καθόλου περὶ τῶν προκειμένων ### book 92 εἰρήσθω. ### book 93.1 Μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΖΗ τῆς ὑπὸ ΕΗΖ διὰ τὸ ### book 93.2 μέσον τῆς γωνίας τῆς ὑπὸ ΔΗΖ τῆς οὔσης ἴσης τῇ ὑπὸ ### book 93.3 ΔΖΗ διῆχθαι τὴν ΕΗ εὐθεῖαν, ὑφ’ ἧς ἡ ὑπὸ ΕΗΖ γω‐ ### book 93.4 νία γίνεται. πολλῷ δὲ μείζων ἡ ὑπὸ ΕΖΗ τῆς ὑπὸ ΕΗΖ ### book 93.5.1 διὰ τὸ τῆς ὅλης ὑπὸ ΕΖΗ γωνίας ἡμίσειαν εἶναι τὴν ὑπὸ ### book 93.5.2 ΔΖΗ, ἥτις μείζων ἐδείχθη τῆς ὑπὸ ΕΗΖ. καὶ ἐπεὶ ὑπὸ ### book 93.5.3 τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει, εἰσὶ δὲ τοῦ ### book 93.5.4 ΕΗΖ τριγώνου πλευραὶ ἡ ΕΖ καὶ ἡ ΕΗ, πάνυ ἀληθῶς καὶ ### book 93.5.5 ἀναντιρρήτως ἀποδέδεικται μείζων οὖσα ἡ ΕΗ τῆς ΕΖ. ### book 94.1 Ὅτι τὰ τρίγωνα πῆ μὲν ἴσα ἐστί, πῆ δὲ ἄνισα, ῥᾳδίως ### book 94.2 ἐκ τῶν μετὰ ταῦτα δείκνυται. κείσθω γὰρ τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ### book 94.3 τρίγωνα καὶ κείσθω ὥστε ἐπ’ εὐθείας εἶναι τὴν ΑΒ τῇ [Omitted graphic marker] ### book 94.4 ΔΕ, καὶ διὰ τοῦ Ζ τῇ ΑΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ἐπὶ τὸ Ζ, ### book 94.5.1 Η. καὶ εἰ μὲν ἐπὶ τὸ Ζ ἥξει καὶ διὰ τοῦ Γ σημείου, ἔστιν ### book 94.5.2 ἴσα τὰ ΕΒΖ, ΒΑΓ τρίγωνα διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΒΑ ### book 94.5.3 τῇ ΒΕ· εἰ δὲ μὴ ἥξει διὰ τοῦ Γ σημείου, ἐντὸς αὐτοῦ ### book 94.5.4 πεσεῖται ἢ ἐκτός. πιπτέτω πρότερον ἐντός, ὡς ἡ ΖΘ, καὶ ### book 94.5.5 ἐπεζεύχθω ἡ ΘΒ. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΘΒ τρίγωνον τῷ ### book 94.10.1 ΒΕΖ τριγώνῳ. μεῖζον δὲ τὸ ΓΑΒ τρίγωνον τοῦ ΘΑΒ ### book 94.10.2 τριγώνου· μεῖζον ἄρα ἐστὶ καὶ τοῦ ΖΒΕ. εἰ δὲ ἐκτὸς πί‐ ### book 94.10.3 πτει ἡ παράλληλος ὡς ἡ ΖΚ, προσεκβαλλομένης τῆς ΒΓ ### book 94.10.4 ἐπὶ τὸ Κ καὶ ἐπιζευγνυμένης τῆς ΚΑ δειχθήσεται ὁμοίως ### book 94.10.5 τοῖς εἰρημένοις ἔλαττον τὸ ΓΑΒ τρίγωνον τοῦ ΖΕΓ τρι‐ ### book 94.15 γώνου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 95.1 Τὸ κεʹ θεώρημα ἀντίστροφόν ἐστι τῷ κδʹ θεωρήματι, ### book 95.2 ἀντίκειται δὲ τῷ ηʹ· κατὰ συζυγίαν γὰρ ὁ στοιχειωτὴς ### book 95.3 προήγαγεν τά τε ἐπὶ τῆς ἰσότητος τῶν γωνιῶν καὶ τῶν ### book 95.4 βάσεων καὶ τὰ ἐπὶ τῆς ἀνισότητος θεωρήματα, καθ’ ἑκα‐ ### book 95.5.1 τέραν τῶν συζυγιῶν τὰ μὲν προηγούμενα, τὰ δὲ ἀντίστρο‐ ### book 95.5.2 φα λαμβάνων καὶ ἐπὶ μὲν τῶν προηγουμένων ταῖς ἐπ’ ### book 95.5.3 εὐθείας δείξεσι χρώμενος, ἐπὶ δὲ τῶν ἀντιστρόφων ταῖς ### book 95.5.4 εἰς ἀδύνατον ἀγωγαῖς. οὕτω δὲ καὶ ἐφ’ ἑνὸς ἑκάστου τρι‐ ### book 95.5.5 γώνου πεποίηκε· τοτὲ μὲν τῇ ἰσότητι τῶν ἐν αὐτῷ πλευ‐ ### book 95.10.1 ρῶν δείκνυσι τὴν ἰσότητα τῶν ὑποτεινομένων γωνιῶν ### book 95.10.2 ἀκολουθοῦσαν, τοτὲ δὲ τῇ ἀνισότητι, καὶ αὖ πάλιν ἀντι‐ ### book 95.10.3 στρόφως τῇ μὲν ἰσότητι τῶν γωνιῶν τὴν ἰσότητα τῶν ### book 95.10.4 ὑποτεινουσῶν πλευρῶν, τῇ δὲ ἀνισότητι τὴν ἀνισότητα ### book 95.10.5 ἀποφαίνων ἑπομένην. ### book 95.15.1 Βουλόμενος δεῖξαι ὁ γεωμέτρης, ὅτι ἡ γωνία τοῦ ἑνὸς ### book 95.15.2 τριγώνου μείζων ἐστὶ τῆς τοῦ ἑτέρου γωνίας, κέχρηται ### book 95.15.3 τῷ δι’ ἀδυνάτου συλλογισμῷ οὕτως· ἡ ΒΑΓ γωνία, φησί, ### book 95.15.4 τῇ ΕΔΖ ἢ ἴση ἐστὶν ἢ ἐλάσσων. ἀλλὰ μὴν οὔτε ἴση ἐστὶν ### book 95.15.5 οὔτε ἐλάσσων· μείζων ἄρα. ἔστι δὲ εʹ τρόπος οὗτος τῶν ### book 95.20.1 ὑποθετικῶν. πόθεν οὖν δῆλον, ὅτι οὔτε ἴση ἐστὶν οὔτε ### book 95.20.2 ἐλάσσων; κατασκευάζει τοῦτο διὰ τοῦ βʹ τρόπου τῶν ὑπο‐ ### book 95.20.3 θετικῶν, ὅτι, εἴ ἐστιν ἡ ΒΑΓ γωνία ἴση ἢ ἐλάσσων τῇ ### book 95.20.4 ΕΔΖ, ἴση ἂν ἦν καὶ βάσις ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΔ ἢ ἐλάσσων. ### book 95.20.5 οὐκ ἔστι δέ. οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶν ἢ ἐλάσσων ἡ ΒΑΓ γωνία ### book 95.25 τῇ ΕΔΖ. μείζων ἄρα. ### book 96.1 Θαλοῦ εὕρεμα. ### book 96.2 Τὸ κϛʹ θεώρημα τέλος ἐστὶ τοῦ πρώτου τμήματος, ὅ ### book 96.3 ἐστι περὶ γενέσεως καὶ ἰσότητος καὶ ἀνισότητος τῶν τριγώ‐ ### book 96.4 νων. λαμβάνει δὲ ὁ στοιχειωτὴς ἐν τούτῳ τῷ θεωρήματι ### book 96.5.1 δύο τρίγωνα ἴσας ἔχοντα τὰς γωνίας ταῖς γωνίαις καὶ τὰς ### book 96.5.2 πλευρὰς ταῖς πλευραῖς καὶ ἀποδείκνυσι πάντα ἴσα διὰ τῆς ### book 96.5.3 εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς, ὧν καὶ τοὺς συλλογισμοὺς ἐν ### book 96.5.4 πρώτῳ σχήματι καὶ τῇ εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῇ ἡμεῖς ἐξε‐ ### book 96.5.5 θέμεθα. μέχρις οὖν τούτου ὁ στοιχειωτὴς τάς τε συστάσεις ### book 96.10.1 τῶν τριγώνων καὶ τὰς συγκρίσεις ἐξέθετο κατὰ τὸ ἴσον ### book 96.10.2 καὶ ἄνισον, καὶ διὰ μὲν τῆς συστάσεως τὴν οὐσίαν αὐτῶν ### book 96.10.3 παραδέδωκε, διὰ δὲ τῆς ἰσότητος τὴν ἑτερότητα· δύο γὰρ ### book 96.10.4 ταῦτα περὶ τὴν ὕπαρξιν τὸ ταὐτὸν καὶ τὸ ἕτερον καὶ ἐν ### book 96.10.5 ποσοῖς καὶ ἐν ποιοῖς κατὰ τὴν ἰδιότητα τῶν ὑποκειμένων. ### book 96.15.1 δείκνυται οὖν ἐκ τούτων ὡς εἰκόνων πάντα, ὅτι καὶ ἕκα‐ ### book 96.15.2 στον ἑαυτῷ ταὐτόν ἐστι καὶ ἑαυτοῦ ἕτερον διὰ τὸ ἐν αὐτῷ ### book 96.15.3 πλῆθος, καὶ πάντα ταὐτὰ ἀλλήλοις καὶ ἕτερα ἀλλήλων· ### book 96.15.4 καὶ γὰρ ἐφ’ ἑνὸς ἑκάστου τῶν τριγώνων εὕρηται τὸ ἴσον ### book 96.15.5 καὶ ἄνισον καὶ ἐπὶ πλειόνων ἑνός. ### book 97.1 Τοῦτο Θαλοῦ εὕρημα, ὥς φησιν Εὔδημος. ### book 97.2 Τὸν τὰ τρίγωνα κατὰ τὰς πλευρὰς καὶ τὰς γωνίας καὶ τὰ ### book 97.3 ἐμβαδὰ συγκρίνειν βουλόμενον ἀναγκαῖον ἢ μόνας τὰς ### book 97.4 πλευρὰς λαβόντα ἴσας ζητεῖν τὴν ἰσότητα τῶν γωνιῶν ἢ ### book 97.5.1 μόνας τὰς γωνίας ἴσας ζητεῖν τὴν ἰσότητα τῶν πλευρῶν ### book 97.5.2 ἢ μίξαντα γωνίας καὶ πλευράς. μόνας μὲν οὖν γωνίας ### book 97.5.3 ἴσας λαβὼν οὐκ ἠδύνατο δεικνύναι καὶ τὰς πλευρὰς τῶν ### book 97.5.4 τριγώνων ἴσας. ἔστιν γὰρ ἰσογώνια τρίγωνα καὶ τὰ σμι‐ ### book 97.5.5 κρότατα τοῖς μεγίστοις καὶ ταῖς πλευραῖς καὶ τοῖς περιεχο‐ ### book 97.10 μένοις χωρίοις λειπόμενα τῶν ἑτέρων, τὰς δὲ γωνίας ἴσας ### book 97.1 ἔχοντα ἐκείνοις κατὰ μίαν. μόνας δὲ τὰς πλευρὰς ἴσας ### book 97.2 ὑποθέμενος πάντα ἔδειξεν ἴσα κατὰ τὸ ὄγδοον θεώρημα, ### book 97.3 ἐν ᾧ δύο τρίγωνά ἐστιν ἔχοντα δύο πλευρὰς ἴσας δυσὶν ### book 97.4 ἑκατέρας καὶ τὴν βάσιν ἴσην τῇ βάσει. καὶ δείκνυται ἰσο‐ ### book 97.15.1 γώνια ταῦτα καὶ ἴσων περιληπτικὰ χωρίων. καὶ ὁ στοι‐ ### book 97.15.2 χειωτὴς τὴν προσθήκην ταύτην ἀφεῖλεν ὡς ἑπομένην ἐξ ### book 97.15.3 ἀνάγκης καὶ ἀποδείξεως οὐ δεομένην, καθάπερ διὰ τὸ ### book 97.15.4 τέταρτον. πλευρὰς δὲ καὶ γωνίας λαμβάνων ἢ μίαν πλευρὰν ### book 97.15.5 ὤφειλεν λαβεῖν μιᾷ ἴσην καὶ μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἢ μίαν ### book 97.20.1 πλευρὰν καὶ τὰς δύο γωνίας τῶν τριγώνων ἴσας ἢ ἀνάπαλιν ### book 97.20.2 μίαν γωνίαν καὶ δύο πλευρὰς ἢ μίαν γωνίαν καὶ τρεῖς πλευ‐ ### book 97.20.3 ρὰς ἢ μίαν πλευρὰν καὶ τὰς τρεῖς γωνίας ἢ καὶ πλείους ### book 97.20.4 μιᾶς πλευρᾶς λαμβάνειν καὶ πλείους μιᾶς γωνίας. ἀλλὰ μίαν ### book 97.20.5 γωνίαν καὶ μίαν πλευρὰν λαβὼν οὐκ ἐδείκνυ τὸ προκείμε‐ ### book 97.25.1 νον τῶν ἄλλων τὴν ἰσότητα. δυνατὸν γοῦν δύο τρίγωνα ### book 97.25.2 κατὰ μίαν μόνην πλευρὰν ἴσα ὄντα καὶ μίαν γωνίαν πᾶσιν ### book 97.25.3 ἄνισα τοῖς λοιποῖς ὑπάρχειν. ἔστω γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΒ ### book 97.25.4 ἑστῶσα ὀρθὴ ἐπὶ τὴν ΓΔ εὐθεῖαν, μείζων δὲ τῆς ΒΓ ἡ ### book 97.25.5 ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΑΔ. οὐκοῦν τοῖς τριγώνοις ### book 97.30.1 τούτοις μία μὲν κοινὴ πλευρὰ καὶ μία γωνία μιᾷ ἴσῃ, τὰ ### book 97.30.2 δὲ ἄλλα ἄνισα. μίαν δὲ πλευρὰν καὶ δύο γωνίας λαβεῖν ### book 97.30.3 ἐξῆν καὶ δεῖξαι τὰ λοιπὰ ἴσα, καὶ τοῦτο ποιεῖ διὰ τοῦδε τοῦ ### book 97.30.4 θεωρήματος. μίαν δὲ πλευρὰν καὶ τρεῖς γωνίας ἴσας ἔτι ### book 97.30.5 ὑποτίθεσθαι περιττόν, εἴπερ καὶ δύο μόνων ἴσων οὐσῶν ### book 97.35.1 δέδεικται ἡ τῶν λοιπῶν ἰσότης. πάλιν μίαν γωνίαν καὶ δύο ### book 97.35.2 πλευρὰς λαβὼν ἔδειξεν τἄλλα ἴσα ἐν τῷ τετάρτῳ θεωρή‐ ### book 97.35.3 ματι. μίαν δὲ γωνίαν καὶ τρεῖς πλευρὰς ἴσας λαβεῖν περί‐ ### book 97.35.4 εργον ἦν· καὶ γὰρ αἱ δύο μόνον ἴσαι ληφθεῖσαι συνῆγον ### book 97.35.5 τὴν ἰσότητα τῶν ἄλλων. καὶ μὴν καὶ τὸ δύο πλευρὰς καὶ ### book 97.40.1 δύο γωνίας ἴσας λαμβάνειν ἢ δύο πλευρὰς καὶ τρεῖς γωνίας ### book 97.40.2 ἴσας ἢ δύο γωνίας καὶ τρεῖς πλευρὰς πάντα ταῦτα περιττά. ### book 97.40.3 τὰ γὰρ ταῖς ἐλάττοσιν ὑποθέσεσιν ἑπόμενα πάντως ἀκο‐ ### book 97.40.4 λουθεῖ καὶ ταῖς πλείοσι, μόνον μετὰ τῶν δεόντων προσ‐ ### book 97.40.5 διορισμὸν λαμβανομένων τῶν ὑποθέσεων. τρεῖς οὖν ἡμῖν ### book 97.45.1 ἀνεφάνησαν ὑποθέσεις ἀποδείξεως δεόμεναι, ἥ τε μόνας ### book 97.45.2 λαμβάνουσα τὰς τρεῖς πλευρὰς καὶ τὴν μίαν γωνίαν καὶ ### book 97.45.3 ἡ ἀντίθετος πρὸς ταύτην ἡ τὴν μίαν πλευρὰν καὶ τὰς δύο ### book 97.45.4 γωνίας, ἣν νῦν ὁ γεωμέτρης προστίθησιν. καὶ διὰ τοῦτο ### book 97.45.5 ταῦτα τρία μόνα θεωρήματα περὶ τῆς ἰσότητος τῶν τριγώ‐ ### book 97.1 νων ἔχομεν τῆς ἐν ταῖς πλευραῖς καὶ ταῖς γωνίαις, τῶν ### book 97.2 ἄλλων πασῶν ὑποθέσεων ἢ ἀδυνάτων οὐσῶν δεῖξαι τὸ ### book 97.3 ζητούμενον ἢ δυνατῶν μὲν ἀλλὰ περιττῶν τῷ δι’ ἐλαττό‐ ### book 97.4 νων ὑποθέσεων τὰ αὐτὰ πέφηνεν. ὥσπερ οὖν, ὅτε δύο πλευ‐ ### book 97.5 ρὰς ἐλάμβανεν ἴσας δυσὶν καὶ γωνίᾳ μιᾷ μίαν ἴσην, οὐ τὴν ### book 97.55.1 τυχοῦσαν ἐλάμβανεν γωνίαν, ἀλλ’, ὡς αὐτοῦ προσετίθει, ### book 97.55.2 τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην, οὕτω καὶ δύο ### book 97.55.3 γωνίας δυσὶ λαμβάνων ἴσας καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ οὐ τὴν ### book 97.55.4 τυχοῦσαν λαμβάνει, ἀλλ’ ἤτοι τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις ### book 97.55.5 ἢ τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν. οὔτε γὰρ ### book 97.60.1 γωνίαν ἐπὶ τοῦ τετάρτου ληφθεῖσαν ἴσην τὴν τυχοῦσαν ### book 97.60.2 οὔτε πλευρὰν ἐπὶ τοῦδε τοῦ θεωρήματος οἵαν ποτὲ δει‐ ### book 97.60.3 κνύναι τὰ λοιπὰ ἴσα δυνατόν. ### book 97.60.4 Τέλος τοῦ αʹ τμήματος. ### book 98.1 Μέχρι τούτου τοῦ θεωρήματος ἱκανῶς διδάξας ὁ ### book 98.2 Εὐκλείδης περὶ τῆς γενέσεως τῶν τριγώνων σχημάτων καὶ ### book 98.3 περὶ τῆς ἰσότητος αὐτῶν καὶ ἀνισότητος, ὅσα δυνατὸν ἐν ### book 98.4 στοιχειώσει λέγειν, ἐντεῦθεν περὶ τῶν τετραπλεύρων δι‐ ### book 98.5.1 δάσκει, προηγουμένως μὲν περὶ τῶν παραλληλογράμμων, ### book 98.5.2 τῇ δὲ τούτων θεωρίᾳ συνεισφέρει καὶ τὴν περὶ τῶν τραπε‐ ### book 98.5.3 ζίων διδασκαλίαν· διῄρηται γὰρ τὸ τετράπλευρον εἴς τε τὸ ### book 98.5.4 παραλληλόγραμμον καὶ εἰς τὸ τραπέζιον, καὶ ταῦτα ἑκά‐ ### book 98.5.5 τερα εἰς ἕτερα εἴδη. διὰ δὲ τὴν τῆς ἰσότητος μετουσίαν, ἣν ### book 98.10.1 ἔχει ἀεὶ τὸ παραλληλόγραμμον, εἰκότως τέτακται προ‐ ### book 98.10.2 ηγουμένως, τὸ δὲ τραπέζιον ἀνισότητι περιπίπτον ἐκ τῆς ### book 98.10.3 τῶν παραλληλογράμμων τομῆς τὴν γένεσιν ἕξει, ὡς ἔσται ### book 98.10.4 προιοῦσιν ἡμῖν δῆλον. ἐπεὶ δὲ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ### book 98.10.5 ὑπὸ παραλλήλων γραμμῶν εὐθειῶν ἀπεναντίον κειμένων ### book 98.15 ἀλλήλαις περιγραφόμενον σχῆμα, ἀναγκαίως ἀπὸ τῶν παρ‐ ### book 98.1 αλλήλων ποιεῖται τὴν ἀρχὴν τῆς διδασκαλίας, καὶ κατὰ ### book 98.2 βραχὺ προιὼν ἐκ τούτων εἰς τὴν τῶν παραλληλογράμμων ### book 98.3 εἰσβάλλει θεωρίαν ἑνὶ μέσῳ χρησάμενος θεωρήματι τῆς ### book 98.4 τε τούτων καὶ τῆς ἐκείνων στοιχειώσεως, ὃ δοκεῖ μὲν σύμ‐ ### book 98.20.1 πτωμά τι θεωρεῖν ταῖς παραλλήλοις ὑπάρχον, παραδίδωσι ### book 98.20.2 δὲ γένεσιν πρώτην παραλληλογράμμων. τοιοῦτον γάρ ἐστι ### book 98.20.3 τὸ λέγον· αἱ τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ### book 98.20.4 ἐπιζευγνύουσαι καὶ αὐταὶ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν. ### book 98.20.5 ἐν γὰρ τούτῳ θεωρεῖται μέν τι ταῖς ἴσαις καὶ παραλλήλοις ### book 98.25.1 συμβεβηκός, ἐκ δὲ τῆς ἐπιζεύξεως ἀναφαίνεται τὸ παραλ‐ ### book 98.25.2 ληλόγραμμον τὸ ἴσας ἔχον καὶ παραλλήλους τὰς ἀπεναν‐ ### book 98.25.3 τίον κειμένας πλευράς. τρία δέ εἰσι χαρακτηριστικὰ τῶν ### book 98.25.4 παραλλήλων καὶ ἀντιστρέφοντα πρὸς αὐτάς, οὐ μόνον τὰ ### book 98.25.5 γ ἅμα, ἀλλὰ καὶ ἕκαστον ἀποληφθὲν τῶν λοιπῶν, ὧν τὸ ### book 98.30.1 μέν ἐστιν εὐθείας τεμνούσης τὰς παραλλήλους ἴσας εἶναι ### book 98.30.2 τὰς ἐναλλάξ, τὸ δὲ ἕτερον εὐθείας τεμνούσης τὰς παραλ‐ ### book 98.30.3 λήλους ἴσας εἶναι τὰς ἐντὸς δύο ὀρθαῖς, τὸ δὲ λοιπὸν εὐθείας ### book 98.30.4 τεμνούσης τὰς παραλλήλους ἴσην εἶναι τὴν ἐκτὸς τῇ ἐντὸς ### book 98.30.5 καὶ ἀπεναντίον· ἕκαστον γὰρ τῶν συμπτωμάτων τούτων ### book 98.35.1 ἱκανὸν ἀποδειχθὲν παραλλήλους ἀποφῆναι τὰς εὐθείας. ### book 98.35.2 δεῖ δὲ πάντα τὰ σχήματα καταγραφόμενα καὶ νοούμενα ### book 98.35.3 ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ εἶναι· εἰ γὰρ μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πάντα ### book 98.35.4 νοοῦμεν, οὐδὲν κωλύει ἄλλο κατασκευάζοντας ἄλλο εὑρέ‐ ### book 98.35.5 σθαι ἀποδεικνύμενον. ### book 98.40.1 Τέλος τοῦ πρώτου τμήματος, ὅ ἐστι περὶ γενέσεως καὶ ### book 98.40.2 ἰσότητος καὶ ἀνισότητος τῶν τριγώνων. ἀρχὴ τοῦ βʹ τμή‐ ### book 98.40.3 ματος, ὅτι ἐστι περὶ τετραγώνων σχημάτων. ### book 99.1 Ἰστέον, ὅτι τὸ πρῶτον τμῆμα τοῦ βιβλίου ἐνταῦθά ### book 99.2 ἐστιν. ### book 100 Ἐντεῦθεν ἄρχεται περὶ τῶν παραλλήλων διδάσκειν. ### book 101 Ἐπειδὴ διὰ τῶν παραλλήλων γραμμῶν συνίστανται ### book 101.1 τετράγωνα, πρῶτον περὶ αὐτῶν τῶν παραλλήλων γραμ‐ ### book 101.2 μῶν διδάσκει ἐν τῷ κζʹ θεωρήματι, καὶ ὅπως, δῆλον. ### book 101.3 αὐτὸ δὲ τὸ ἐναλλὰξ ἰστέον ὅτι διχῶς ὁ γεωμέτρης παραλαμ‐ ### book 101.5.1 βάνει, ποτὲ μὲν κατὰ τὴν τοιάνδε θέσιν, ποτὲ δὲ κατὰ τὴν ### book 101.5.2 τοιάνδε τῶν λόγων ἀκολουθίαν. κατὰ μὲν τοῦτο τὸ ση‐ ### book 101.5.3 μαινόμενον ἐν τῷ εʹ καὶ ἐν τοῖς ἀριθμητικοῖς χρῆται τῷ ### book 101.5.4 ἐναλλάξ, κατὰ δὲ τὸ ἕτερον ἔν τε τούτῳ καὶ ἐν τοῖς ἄλλοις ### book 101.5.5 πᾶσι βιβλίοις ἐπὶ τῶν παραλλήλων εὐθειῶν καὶ τῆς εἰς ### book 101.10.1 ταύτας ἐμπιπτούσης· τὰς γὰρ γωνίας τὰς μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ γι‐ ### book 101.10.2 νομένας, ἀλλὰ διειργομένας μὲν ἀπὸ τῆς ἐμπιπτούσης, ἐντὸς ### book 101.10.3 δὲ ἄμφω τῶν παραλλήλων, διαφερούσας μὲν τῷ τὴν μὲν ### book 101.10.4 ἄνω κεῖσθαι, τὴν δὲ κάτω, καὶ τῆς μὲν ἐντὸς τῆς ἐμπιπτού‐ ### book 101.10.5 σης εὐθείας εἰς τὰς παραλλήλους οὔσης, τῆς δὲ ἐκτός, ### book 101.15.1 ἀμφοτέρας δὲ ἐντὸς τῶν παραλλήλων, ταύτας ἐναλλὰξ γω‐ ### book 101.15.2 νίας καλεῖ· οἷον εὐθειῶν οὐσῶν τῶν ΑΒ, ΓΔ, ἐμπιπτούσης ### book 101.15.3 δὲ εἰς αὐτὰς τῆς ΕΖ εὐθείας ἐναλλὰξ εἶναί φησι τὰς ὑπὸ ### book 101.15.4 ΑΕΖ καὶ ΔΖΕ καὶ πάλιν τὰς ὑπὸ ΓΖΕ καὶ ΒΕΖ. οὕτως ### book 101.15.5 δὲ καλεῖ αὐτὰς ὡς ἐνηλλαγμένως ἐχούσας κατὰ τὴν θέσιν, ### book 101.20.1 τὴν μὲν ἄνω, τὴν δὲ κάτω καὶ τὴν μὲν ἐπὶ τὸ ἕτερον μέρος ### book 101.20.2 τῆς ἐμπιπτούσης εὐθείας, τὴν δὲ ἐπὶ τὸ ἕτερον· εἰ γὰρ ἡ ### book 101.20.3 ἄνω ἐντός, ἡ κάτω ἐκτὸς καὶ ἀνάπαλιν. τοιαύτης δὲ οὔσης ### book 101.20.4 τῆς θέσεως τῶν εὐθειῶν ἐκ διαιρέσεως ἓξ τὰ πάντα συμ‐ ### book 101.20.5 πτώματα, ὧν τρία μόνα ὁ γεωμέτρης ἔλαβε, τρία δὲ ### book 101.25 παρῆκεν. ### book 102.1 Μετὰ τὸ περὶ τῶν τριγώνων ὡς ἐν στοιχειώσει ### book 102.2 διαλεχθῆναι μεταβαίνει πάλιν ἐπὶ τὴν τῶν παραλληλο‐ ### book 102.3 γράμμων ἐπίσκεψιν. καὶ ἐπείπερ ἀδύνατον ἦν εἰπεῖν τι περὶ ### book 102.4 αὐτῶν χωρὶς τῶν παραλλήλων, διὰ τοῦτο τὰ συμβαίνοντα ### book 102.5.1 πρότερον περὶ τὰς τοιαύτας εὐθείας θεωρεῖ. ἰστέον δέ, ### book 102.5.2 ὅτι τὰς εὐθείας ὡς ἐν ἑνὶ λαμβάνει ἐπιπέδῳ, ἐπεὶ καὶ πάντα ### book 102.5.3 τὰ θεωρήματα, ἓξ δὲ συμπτωμάτων γινομένων τῶν πάν‐ ### book 102.1 των περὶ τὰς παραλλήλους τὰς τρεῖς μόνας ἐκτίθεται ὡς ### book 102.2 ἂν ἐκ τούτων καὶ τῶν λοιπῶν τριῶν εὐσυνόπτων οὐσῶν. ### book 102.10.1 ληψόμεθα δὲ ἢ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰς γωνίας ἢ οὐκ ἐπὶ τὰ ### book 102.10.2 αὐτά, καὶ εἰ ἐπὶ τὰ αὐτά, ἢ ἀμφοτέρας ἐντὸς τῶν εὐθειῶν, ### book 102.10.3 ἃς ἀποδείκνυσιν ὁ λόγος παραλλήλους, ἢ ἄμφω ἐκτὸς ἢ ### book 102.10.4 τὴν μὲν ἐντός, τὴν δὲ ἐκτός, καὶ εἰ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτά, πάλιν ### book 102.10.5 ὡσαύτως. ἑξαχῶς οὖν λαμβανομένων τῶν συμπτωμάτων ### book 102.15.1 τρία ἐπελέξατο, ἓν μὲν ἐκ τῶν μὴ ἐπὶ τὰ αὐτά, δύο δὲ ἐκ ### book 102.15.2 τῶν ἐπὶ τὰ αὐτά, ἐκ μὲν τῶν μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν ### book 102.15.3 ἐντὸς ληφθεισῶν μόνον, ἃς ἐκάλεσεν ἐναλλάξ, ἐκ δὲ τῶν ### book 102.15.4 ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν τε ἐντὸς ἀμφοτέρων, ἃς εἶναι δυσὶν ### book 102.15.5 ὀρθαῖς ἴσας καὶ τὴν ἐκτὸς τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴσην ### book 102.20.1 ὀφείλουσαν εἶναι. ἡμεῖς οὖν φαμεν, ὅτι καὶ ταῖς ὑπολειφ‐ ### book 102.20.2 θείσαις τρισὶν ὑποθέσεσι τὰ αὐτὰ ἕπεται. ἔστωσαν γὰρ [Omitted graphic marker] ### book 102.20.3 ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἄμφω ἐκτὸς ἡ ### book 102.20.4 ΘΕΒ, ΔΖΚ. λέγω, ὅτι αὗται δύο ### book 102.20.5 ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. εἰ γὰρ ἡ ὑπὸ ΔΖΚ ### book 102.25.1 ἴση τῇ ὑπὸ ΖΕΒ, αἱ δὲ ὑπὸ ΖΕΒ, ### book 102.25.2 ΘΕΒ δύο ὀρθαῖς ἴσαι, καὶ αἱ ὑπὸ ### book 102.25.3 ΔΖΚ, ΘΕΒ δύο ὀρθαῖς ἴσαι. ὁμοίως ### book 102.25.4 δὲ δείξομεν, καὶ ἐὰν μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ὦσιν, καί ἐστιν ### book 102.25.5 ἡ μὲν ἐντός, ἡ δὲ ἐκτός, ὅτι δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, καὶ ### book 102.30.1 ἔτι δείξομεν τὴν τρίτην ὑπόθεσιν, ἐὰν καὶ ἄμφω ἐκτὸς καὶ ### book 102.30.2 μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη, ὅτι ἴσαι εἰσίν. καὶ γὰρ αὗται ταῖς κατὰ ### book 102.30.3 κορυφὴν αὐτῶν ἴσαι εἰσὶν διὰ τὸ ιεʹ, αἱ δὲ κατὰ κορυφὴν ### book 102 αὐτῶν εἰσιν ἐναλλάξ· ὀρθαὶ ἄρα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 103.1 Ἡ γὰρ ὑπὸ ΑΕΘ ἴση τῇ ὑπὸ ΒΕΖ, αἱ δὲ ὑπὸ ΒΕΖ, ### book 103.2 ΕΖΔ δύο ὀρθαῖς ἴσαι. καὶ αἱ ὑπὸ ΑΕΘ, ΕΖΔ δύο ὀρθαῖς ### book 103.3 ἴσαι. πάλιν ἔστωσαν μὴ ἐπὶ τὰ αὐτά, ἄμφω δὲ ἐκτὸς τῶν ### book 103.4 εὐθειῶν. λέγω, ὅτι αὗται ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, ἐπεὶ καὶ αἱ ### book 103.5.1 κατὰ κορυφὴν αὐτῶν εἰσιν ἐναλλάξ. ἕπεται ἄρα ταῖς ὑπο‐ ### book 103.5.2 θέσεσιν ἐκείναις καὶ τὰ λειπόμενα. τοῦτο δὲ προσεθέμεθα, ### book 103.5.3 ὅτι τὰ ἐναλλάξ, ἐὰν μὴ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, κωλύον‐ ### book 103.5.4 ται τοῦ μὴ εἶναι παραλλήλους οἷον χιαστὶ τῶν εὐθειῶν ### book 103.5.5 κειμένων τῆς μὲν ἐν ἄλλῳ, τῆς δὲ ἐν ἄλλῳ ἐπιπέδῳ, ### book 103.10.1 τὰς δὲ εἰς αὐτὰς ἐμπιπτούσας εὐθείας ποιεῖ γωνίας ἐν‐ ### book 103.10.2 αλλὰξ ἴσας, ἀλλ’ οὐ παράλληλοι αἱ οὕτως κείμεναι. προ‐ ### book 103.10.3 είληπται οὖν, ὅτι πάντα, ὅσα καταγράφομεν ἐν τῇ ἐπι‐ ### book 103.10.4 πέδῳ πραγματείᾳ, περὶ ἓν καὶ τὸ αὐτὸ ἐπίπεδον φαντα‐ ### book 103.10.5 ζόμεθα. ### book 104.1 [Start of a diagram]συμπίπτουσιν ### book 104.2 ἐν τῷ αὐτῷ οὖσαι ### book 104.3 ἐπιπέδῳ οὐ παράλληλοι ### book 104.4 αἱ αβ βγ[End of a diagram] ### book 104.5.1 Ἰστέον ἐν ταῖς τῶν συλλογισμῶν τουτωνὶ ἀναλύσεσιν ### book 104.5.2 ἐπὶ μὲν τοῦ ἐσχάτου ὅρου ἐκτίθεται τὰ ὑποκείμενα, περὶ ### book 104.5.3 ὧν ὁ λόγος, ταῦτα δὲ ἢ ἁπλᾶ ἢ συμπεπλεγμένα, ἁπλᾶ μέν, ### book 104.5.4 ὅταν ᾖ δι’ ἓν ἁπλοῦν συναχθῆναι συμπέρασμα, συμπεπλεγ‐ ### book 104.5.5 μένα δέ, ὅταν συγκριτικόν· ἐκτίθενται γὰρ τότε ἐπὶ τοῦ ### book 104.10.1 ἐσχάτου ὅρου ἄμφω τὰ συγκρινόμενα ἢ κατὰ τὸ ἴσον ἢ ### book 104.10.2 κατὰ τὸ μεῖζον καὶ ἔλαττον. ἐπὶ δὲ τοῦ πρώτου ὅρου ἐκ‐ ### book 104.10.3 τίθεται τὸ δεικνύμενον, ὃ τοῖς ὑποκειμένοις δείκνυται ἐξ ### book 104.10.4 ἀνάγκης ἑπόμενον, ἐπὶ δὲ τοῦ μέσου ἡ αἰτία, δι’ ἣν καθ’ ### book 104.10.5 αὑτὸ καὶ οὐ κατὰ συμβεβηκὸς τὸ πρῶτον τῷ ἐσχάτῳ ἕπε‐ ### book 104.15 σθαι δείκνυται. ### book 105.1 Τὸ μὲν κζʹ θεώρημα τὰς μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη λαμ‐ ### book 105.2 βάνον γωνίας, ἐντὸς δὲ τῶν εὐθειῶν κειμένας ἴσας ἀλλή‐ ### book 105.3 λαις ἐδείκνυ παραλλήλους οὔσας τὰς εὐθείας· τὸ δὲ κηʹ ### book 105.4 θεώρημα τὰς λοιπὰς β ὑποθέσεις προστίθησιν, ὧν ἡ μὲν ### book 105.5.1 τὰς γωνίας μερίζει κατὰ τὸ ἐντὸς καὶ ἐκτός, ἡ δὲ ἀμφο‐ ### book 105.5.2 τέρας ἐντὸς ὑποτίθεται καὶ δείκνυσι τὸ αὐτὸ συμπέρασμα. ### book 105.5.3 καὶ ὅπως μὲν ἐν τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι ὁ γεωμέτρης ### book 105.5.4 τὰς ἐναλλὰξ ἴσας ὑπέθετο τὰς μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη παρα‐ ### book 105.5.5 λαμβάνων (τοιαῦται γὰρ αἱ ἐναλλάξ), ὅπως δὲ ἐν τούτῳ ### book 105.10.1 τὴν ἐντὸς καὶ τὴν ἐκτὸς ἴσην λαμβάνων καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ### book 105.10.2 ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δύο ὀρθαῖς ἴσας δείκνυσιν, ὅτι δύο ὀρθαῖς ### book 105.10.3 ἴσων οὐσῶν τῶν ἐντὸς γωνιῶν αἱ εὐθεῖαι παράλληλοί εἰσι, ### book 105.10.4 δῆλον ἀπὸ τῶν καταγραφῶν. ### book 106.1 Τὸ μὲν πρὸ τούτου θεώρημα τὰς μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ ### book 106.2 μέρη γωνίας λαμβάνον, ἐντὸς δὲ τῶν εὐθειῶν κειμένας ### book 106.3 ἴσας ἀλλήλαις ἐδείκνυ παραλλήλους οὔσας τὰς εὐθείας, ### book 106.4 τοῦτο δὲ τὰς λοιπὰς δύο ὑποθέσεις προστίθησιν, ὧν ἡ μὲν ### book 106.5.1 τὰς γωνίας μερίζει κατὰ τὸ ἐντὸς καὶ ἐκτός, ἡ δὲ ἀμφο‐ ### book 106.5.2 τέρας ἐντὸς ὑποτίθεται καὶ δείκνυσι τὸ αὐτὸ συμπέρασμα. ### book 106.5.3 δόξειεν δ’ ἂν πάλιν νυνὶ ἐν ἑνὶ θεωρήματι τὰς ἐναλλὰξ ἴσας ### book 106.5.4 ὑποτίθεσθαι, ἐν ἑνὶ μὲν τῇ ἐκτὸς καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ ### book 106.5.5 αὐτὰ μέρη δύο ὀρθὰς ἴσας. ### book 107.1 Τὸ κθʹ θεώρημα ἀμφοτέροις ἀντιστρέφει τοῖς πρὸ ### book 107.2 αὐτοῦ τῷ κηʹ καὶ τῷ κζʹ· τὸ γὰρ ἐν ἑκατέρῳ ζητούμενον ### book 107.3 ὑπόθεσιν ποιεῖται, τὰ ἐν ἐκείνοις δεδομένα δείκνυται. ### book 107.4 ἐλέγομεν δὲ καὶ πρότερον, ὅτι διαφέρουσι τὰ ἀντιστρέφοντα ### book 107.5.1 τῷ ἓν ἑνὶ μάχεσθαι ὥσπερ τὸ εʹ καὶ τὸ ϛʹ ἢ τῷ πλείοσιν ἓν ### book 107.5.2 ὡς τὸ νυνὶ προκείμενον τοῖς πρὸ αὐτοῦ. ἰστέον δέ, ὅτι ἐν ### book 107.5.3 τούτῳ τῷ θεωρήματι πρῶτον ἐχρήσατο ὁ στοιχειωτὴς τῷ ### book 107.5.4 αἰτήματι τούτῳ τῷ· ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ### book 107.5.5 τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσο‐ ### book 107.10.1 νας ποιῇ, συμπίπτειν εὐθείας ἐκβαλλομένας, ἐφ’ ἃ μέρη ### book 107.10.2 εἰσὶν αἱ τῶν β ὀρθῶν ἐλάσσονες. ### book 108.1 Ἡ εἰς τὰς παραλλήλους εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ### book 108.2 τὰς ἐναλλὰξ ἴσας ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναν‐ ### book 108.3 τίον ἴσην καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δύο ὀρθαῖς ### book 108.4 ἴσας. τοῦτο τὸ θεώρημα ἀμφοτέροις ἀντιστρέφει τοῖς ### book 108.5.1 προειρημένοις θεωρήμασι· τὸ γὰρ ἐν ἑκατέρῳ ζητούμενον ### book 108.5.2 ὑπόθεσιν ποιεῖται, τὰ ἐν ἐκείνοις δεδομένα δεικνύναι προ‐ ### book 108.5.3 τίθεται. καὶ δεῖ μεμνῆσθαι καὶ τῆς τοιαύτης τῶν ἀντι‐ ### book 108.5.4 στροφῶν διαφορᾶς, ὅτι πᾶν τὸ ἀντίστροφον ἢ ἓν ἑνὶ ἀντι‐ ### book 108.5.5 στρέφει, ὡς τῷ πέμπτῳ τὸ ἕκτον, ἢ πλείοσιν ἕν, ὡς τὸ ### book 108.10.1 νυνὶ προκείμενον τοῖς πρὸ αὐτοῦ. ἐν δὲ τούτῳ τῷ θεω‐ ### book 108.10.2 ρήματι πρῶτον ὁ στοιχειωτὴς ἐχρήσατο τῷ τῶν αἰτη‐ ### book 108.10.3 μάτων τῷ· ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ### book 108.10.4 ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ### book 108.10.5 ποιῇ, συμπίπτειν τὰς εὐθείας ἐκβαλλομένας, ἐφ’ ἃ μέρη ### book 108.15.1 εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες· ὥσπερ ἐξηγούμενοι τὰ ### book 108.15.2 πρὸ τῶν θεωρημάτων ἐλέγομεν, οὐ παρὰ πάντων τοῦτο ### book 108.15.3 συγκεχώρηται εἶναι ἀναποδείκτως ὁμολογούμενον. καὶ ### book 108.15.4 πῶς γὰρ ἂν εἴη τοιοῦτον; τὸ ἀντίστροφον ὡς ἀποδεικτὸν ### book 108.15.5 ἐν τοῖς θεωρήμασιν ἀναγέγραπται. λέγω δή, ὅτι, ἐὰν εἰς ### book 108.20.1 δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ ### book 108.20.2 μέρη δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, συμπεσοῦνται αἱ εὐθεῖαι ### book 108.20.3 ἐκβαλλόμεναι, ἐφ’ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσο‐ ### book 108.20.4 νες. πολλῷ δὲ μᾶλλον ἀσύμπτωτοι ἐπὶ τὸ ἕτερον μέρος, ### book 108.20.5 ἐφ’ ἃ μέρη αἱ γωνίαι δύο ὀρθῶν μείζονες. ὥστε ἐφ’ ἑκάτε‐ ### book 108.25.1 ρα ἐάν εἰσιν ἀσύμπτωτοι, παράλληλοι ἔσονται. ### book 108.25.2 Ἀντιστρέφει μέρος πρὸς ὅλον ἕκαστον τῶν πρὸ αὐτοῦ ### book 108.25.3 τριῶν. ### book 108.25.4 Τῷ τῶν παραλλήλων καὶ ὁ Ἀριστοτέλης ἐχρήσατο κατα‐ ### book 108.25.5 σκευάζων πεπερασμένον εἶναι τὸν κόσμον. ἀφ’ ἑνὸς ση‐ ### book 108.30.1 μείου δύο ἐκβάλωνται εὐθεῖαι γωνίαν ποιοῦσαι ἐπ’ ἄπει‐ ### book 108.30.2 ρον· πᾶν πεπερασμένον μέγεθος ὑπερβάλλει ἡ διάστασις ### book 108.30.3 αὐτῶν εἰς ἄπειρον ἐκβαλλομένων. ἔδειξεν γοῦν ἐκεῖνος, ὅτι ### book 108.30.4 ἀπείρων οὐσῶν ἐν τῷ ἀπὸ τοῦ κέντρου πρὸς τὴν περιφέ‐ ### book 108.30.5 ρειαν ἐκβεβλημένων ἄπειρον τὸ μεταξύ. πεπερασμένου γὰρ ### book 108.35.1 ὄντος αὐξῆσαι τὴν διάστασιν ἀδύνατον, ὥστε οὐκ ἄπειροι ### book 108.35.2 αἱ εὐθεῖαι. παντὸς οὖν τοῦ ληφθέντος πεπερασμένου με‐ ### book 108.35.3 γέθους μεῖζον ἀλλήλων διαστήσονται ἐκβαλλόμεναι ἐπ’ ### book 108.35.4 ἄπειρον αἱ εὐθεῖαι. τούτου δὴ προυποτεθέντος λέγω, ὅτι, ### book 108.35.5 ἐὰν παραλλήλων εὐθειῶν τὴν ἑτέραν τέμῃ τις εὐθεῖα, τέμ‐ ### book 108.40 νει καὶ τὴν λοιπήν. ### book 109.1 Εἴωθεν ὁ γεωμέτρης ἐν τοῖς τῶν σχέσεων λόγοις ### book 109.2 δεικνύναι τὴν ταυτότητα διήκουσαν ἐν ἅπασι τοῖς πρὸς τὸ ### book 109.3 αὐτὸ τὴν αὐτὴν ἔχουσι σχέσιν· οὕτω γὰρ καὶ ἐν τοῖς ἀξιώ‐ ### book 109.4 μασιν ἔλεγεν· τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα, καὶ ### book 109.5.1 ἐν τοῖς ἑξῆς ἐρεῖ· τὰ τῷ αὐτῷ ὅμοια καὶ ἀλλήλοις ὅμοιά ### book 109.5.2 ἐστιν, καὶ οἱ τῷ αὐτῷ λόγῳ οἱ αὐτοὶ καὶ ἀλλήλοις εἰσὶν ### book 109.5.3 οἱ αὐτοί. κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον καὶ τὸ λʹ ἀποδείκνυσι ### book 109.5.4 θεώρημα, ὅτι αἱ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ ἀλλήλαις ### book 109.5.5 εἰσὶ παράλληλοι. συμβέβηκε δὲ οὐκ ἐπὶ πασῶν τῶν σχέ‐ ### book 109.10 σεων εἶναι τοῦτο ἀληθές· οὐ γὰρ τὰ τοῦ αὐτοῦ διπλάσια ### book 109.1 καὶ ἀλλήλων διπλάσιά ἐστιν, οὐδὲ τὰ τοῦ αὐτοῦ ἡμιόλια καὶ ### book 109.2 ἀλλήλων ἐστὶν ἡμιόλια· ἀλλ’ ἔοικεν ἐπ’ ἐκείνοις μόνον ### book 109.3 χώραν ἔχειν, ὅσα ἀντιστρέφουσι συνωνύμως, ἐπὶ τῆς ### book 109.4 ἰσότητος, ἐπὶ τῆς ὁμοιότητος, ἐπὶ τῆς ταυτότητος, ἐπὶ τῆς ### book 109.15.1 παραλλήλου θέσεως· ἡ γὰρ παράλληλος παραλλήλῳ ἐστὶ ### book 109.15.2 παράλληλος, ὡς τὸ ἴσον ἴσῳ ἐστὶν ἴσον καὶ τὸ ὅμοιον ὁμοίῳ ### book 109.15.3 ὅμοιον. καὶ γὰρ ἔστιν ὁμοιότης θέσεως ἡ παραλληλότης, εἰ ### book 109.15.4 δυνατὸν εἰπεῖν. λέγει οὖν καὶ δείκνυσιν ἐν τούτῳ τῷ θεω‐ ### book 109.15.5 ρήματι, ὅτι αἱ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι πάντως οὕτως ### book 109.20.1 ἔχουσιν, ὥστε καὶ ἀλλήλαις εἶναι παράλληλοι. λαμβάνει ### book 109.20.2 γὰρ δύο μὲν εὐθείας ἐν ταῖς ἄκραις κειμένας, μέσην δὲ ### book 109.20.3 μίαν, πρὸς ἣν αἱ ἑκατέρωθεν κείμεναι τὴν ὁμοίαν ἔχουσι ### book 109.20.4 σχέσιν. ### book 110.1 Ἐν μὲν τοῖς προλαβοῦσι θεωρήμασι τὰ καθ’ αὑτὰ ### book 110.2 ὑπάρχοντα ταῖς παραλλήλοις εὐθείαις ἐδίδαξεν ἡμᾶς ὁ ### book 110.3 στοιχειωτής, ἐν δὲ τῷ λαʹ προβλήματι ὄντι αὐτὴν τὴν γέ‐ ### book 110.4 νεσιν τῶν παραλλήλων διδάσκει διὰ τῶν γεωμετρικῶν ### book 110.5.1 μεθόδων καὶ δείκνυσι, πῶς γίνεται ἄλλη εὐθεῖα παράλλη‐ ### book 110.5.2 λος ἄλλῃ. τοῦτο δὲ ποιεῖ, ἐπειδὴ πολλαχοῦ αἱ γενέσεις ### book 110.5.3 τρανεστέραν ἡμῖν ποιοῦσι τῶν ὑποκειμένων τὴν οὐσίαν. ### book 110.5.4 σημεῖον γὰρ λαβὼν καὶ εὐθεῖαν ἄγει διὰ τοῦ σημείου τῇ ### book 110.5.5 εὐθείᾳ παράλληλον. δεῖ δὲ προειληφέναι ἡμᾶς, ὅτι τὸ ση‐ ### book 110.10.1 μεῖον ἐκτὸς πάντως κεῖσθαι τῆς εὐθείας ἀναγκαῖον. οὐ ### book 110.10.2 γὰρ ἐπειδὴ εἴρηται διὰ δοθέντος σημείου, καὶ ἐπ’ αὐτῆς ### book 110.10.3 αὐτίκα τῆς εὐθείας δώσομεν· οὐ γὰρ ἔσται τις ἄλλη παρὰ ### book 110.10.4 τὴν εὐθεῖαν ἡ δι’ αὐτοῦ φερομένη παράλληλος. μερίσας ### book 110.10.5 οὖν τὴν εὐθεῖαν καὶ τὸ σημεῖον ἐδήλωσεν, ὅτι τὸ σημεῖον ### book 110.15.1 ἐκτὸς λαμβάνειν χρὴ τῆς εὐθείας, ὅπερ καὶ ἐπὶ τῆς καθέτου ### book 110.15.2 διὰ τῆς προσθήκης σαφὲς ἐποίησε λέγων· ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν ### book 110.15.3 εὐθεῖαν ἄπειρον ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου, ὃ μή ἐστιν ἐπ’ ### book 110.15.4 αὐτῆς, κάθετον ἀγαγεῖν. τοῦτο μὲν οὖν κοινὸν ἀμφοτέροις ### book 110.15.5 τούτοις τοῖς προβλήμασιν, ἕτερον δέ, ὅτι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ### book 110.20.1 σημείου δύο κάθετοι οὐκ ἄγονται ἐπὶ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν, ### book 110.20.2 καὶ διὰ τοῦ αὐτοῦ σημείου δύο παράλληλοι οὐκ ἄγονται τῇ ### book 110.20.3 αὐτῇ. διὸ καὶ ὁ στοιχειωτὴς ἑνικῶς εἶπεν εὐθεῖαν γραμμὴν ### book 110.20.4 ἀγαγεῖν ἐκεῖ μὲν κάθετον, ἐνταῦθα δὲ παράλληλον, ἀλλ’ ### book 110.20.5 ἐκεῖνο μὲν δέδεικται, τοῦτο δὲ φανερὸν ἐκ τοῦ προαπο‐ ### book 110.25.1 δειχθέντος. εἰ γὰρ διὰ τοῦ αὐτοῦ σημείου τῇ αὐτῇ δύο ### book 110.25.2 παράλληλοι ἀχθεῖεν, καὶ ἀλλήλαις ἔσονται παράλληλοι, ### book 110.25.3 συμπίπτουσαι κατὰ τὸ δοθὲν σημεῖον· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνα‐ ### book 110.25.4 τον. διαφέρουσι δὲ καὶ αἱ προτάσεις αὐτῶν τῇ ἀπὸ καὶ τῇ ### book 110.25.5 διὰ προθέσει. ὅπου μὲν γὰρ τὸ σημεῖον ἀρχή ἐστι τῆς ### book 110.30.1 ἀγομένης εὐθείας, ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου γέγραπται, ### book 110.30.2 καὶ διὰ τοῦτο ἀπ’ αὐτοῦ ἡ ἀγωγή, ὅπου δὲ ἐπ’ αὐτῆς ἐστι ### book 110.30.3 τῆς ἀγομένης εὐθείας, διὰ τοῦ δοθέντος σημείου γέγρα‐ ### book 110.30.4 πται, καὶ διὰ τοῦτο ἡ ἀγωγὴ δι’ αὐτοῦ· οὐ γὰρ ὡς τεμνού‐ ### book 110.30.5 σης εὐθείας τὸ δοθὲν σημεῖον εἴρηται τὸ δι’ αὐτοῦ, ἀλλ’ ### book 110.35.1 ὡς συμπιπτούσης αὐτῷ καὶ ὁριζούσης τὸ ἑαυτῆς ἀπόστη‐ ### book 110.35.2 μα. τοσοῦτον καὶ ἡ παράλληλος ἔχει τὸ μεταξὺ ἑαυτῆς τε ### book 110.35.3 καὶ ἐκείνης. ### book 111.1 Ἔοικε τὸ θεώρημα τοῦτο γένεσιν τῶν παραλλήλων ### book 111.2 παραδιδόναι. προσεκτέον δὲ τῇ διαφορᾷ τῶν προθέσεων· ### book 111.3 ἡ μὲν γὰρ κάθετον ἀπὸ τοῦ σημείου, ἡ δὲ διὰ τοῦ δοθέντος ### book 111.4 παράλληλον. καὶ ὥσπερ οὐκ ἐξῆν δύο καθέτους ἀπὸ τοῦ ### book 111.5.1 αὐτοῦ σημείου, οὕτως οὐδὲ δύο παραλλήλους. δειχθήσεται ### book 111.5.2 δὲ διὰ τοῦ πρὸ αὐτοῦ· ἔσονται γὰρ παράλληλοι συμπίπτου‐ ### book 111 σαι ἀλλήλαις· ὅπερ ἄτοπον. ### book 112.1 Εἴωθεν ἡ γνῶσις ἡ ἡμετέρα ἐκ τοῦ ἀτελοῦς μετα‐ ### book 112.2 βαίνειν ἐπὶ τὸ τέλειον. διὸ καὶ ἡ ἐπιστήμη ὁμοίως προ‐ ### book 112.3 ιοῦσα ἐκ τῶν ἀορίστων ἐπιβολῶν ἐπὶ τοὺς ὁριζομένους ### book 112.4 καὶ ἀνελέγκτους λόγους μεταβαίνει. ὅσα γὰρ ἐνέλιπεν ἐν τῷ ### book 112.5.1 ιϛʹ καὶ ιζʹ θεωρήματι, τοσοῦτον προστίθησιν ἐν τούτῳ· ### book 112.5.2 οὐ γὰρ μόνον, ὅτι ἡ ἐκτὸς τούτου τοῦ τριγώνου ἑκατέρας ### book 112.5.3 τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον μείζων, διὰ τούτου μανθάνομεν, ### book 112.5.4 ἀλλὰ καὶ ὅσῳ μείζων. ἴση γὰρ ἀμφοτέραις οὖσα μείζων ### book 112.5.5 ἐστὶν ἑκατέρας τῇ λοιπῇ. οὐδὲ ὅτι δύο τοῦ τριγώνου ὁποι‐ ### book 112.10.1 αιοῦν ἐλάττονές εἰσι δυοῖν ὀρθαῖν, ἐκ τούτου γινώσκομεν, ### book 112.10.2 ἀλλὰ καὶ πόσῳ ἐλάττους· τῇ γὰρ λοιπῇ τῶν τριῶν. ἐκεῖνα ### book 112.10.3 μὲν οὖν ἀοριστότερά πως ἦν τὰ θεωρήματα, τοῦτο δὲ ### book 112.10.4 τὸν τῆς ἐπιστήμης ὅρον ἀμφοτέροις ἐπήγαγε, καὶ διὰ τοῦτο ### book 112.10.5 οὐ περιττὰ ἂν εἴποιμεν ἐκεῖνα. ἔστι δὲ διπλοῦν τὸ θεώρημα ### book 112.15.1 τοῦτο κατά τε τὸ ζητούμενον καὶ τὸ δεδομένον. ἕτερον μὲν ### book 112.15.2 γάρ ἐστι τὸ τὴν ἐκτὸς ἴσην εἶναι τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον· ### book 112.15.3 δείκνυσι γὰρ τοῦτο ἐκβεβλημένην πλευρὰν ἐπ’ εὐθείας μιᾷ ### book 112.15.4 τῶν τοῦ τριγώνου πλευρῶν. ἕτερον δέ ἐστι τὸ τὰς ἐντὸς τοῦ ### book 112.15.5 τριγώνου δύο ὀρθαῖς ἴσας εἶναι· δείκνυσι γάρ, ὅτι τὸ σχῆμα ### book 112.20.1 τρίγωνόν ἐστιν. ἐπεὶ δὲ ἔχομεν, ὅτι παντὸς τριγώνου αἱ ### book 112.20.2 τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, οἷον τετραγώνου καὶ ### book 112.20.3 τῶν ἑξῆς ἁπάντων πολυπλεύρων, χρὴ εἰδέναι, ὅτι πᾶν ### book 112.20.4 σχῆμα εὐθύγραμμον εἰς τρίγωνον ἀναλύεται. ἔοικε δὲ καὶ ### book 112.20.5 κατὰ τὰς κοινὰς ἐννοίας προσπίπτειν ἡμῖν ἡ τοῦ θεωρήμα‐ ### book 112.25.1 τος ἀλήθεια ἀποδεικνύουσιν τὴν τοῦ τριγώνου γένεσιν. ἐὰν ### book 112.25.2 γὰρ νοήσωμεν εὐθεῖαν καὶ ἐπὶ τῶν περάτων αὐτῆς ἑστώ‐ ### book 112.25.3 σας πρὸς ὀρθάς, εἶτα συννευούσας εἰς τριγώνου γένεσιν, ### book 112.25.4 ὁρῶμεν, ὅτι, καθ’ ὅσον συννεύουσι, κατὰ τοσοῦτον ἐλαττοῦ‐ ### book 112 σι τὰς ὀρθάς, ἃς ἐποίουν κατ’ ἀρχὴν σταθεῖσαι, ὥστε ὅσον ### book 112.30.1 ἐκείνων ἀφαιροῦσι, τοσοῦτον πρὸς τῇ κορυφῇ συνεισφέ‐ ### book 112.30.2 ρουσαι τὴν τρίτην γωνίαν ἀποτελοῦσι τῇ συννεύσει καὶ ἐξ ### book 112.30.3 ἀνάγκης ποιοῦσι τὰς ἐντὸς τρεῖς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ### book 112.30.4 ταῖς πρώην. ### book 113.1 Τῷ ιϛʹ καὶ ιζʹ τοσοῦτον προστίθησιν ἐνταῦθα· οὐ ### book 113.2 γὰρ μόνον, ὅτι ἡ ἐκτὸς τοῦ τριγώνου ἑκατέρας τῶν ἐντὸς ### book 113.3 μείζων, ἀλλὰ τίνι μείζων, ὅτι τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀπεναντίον· ### book 113.4 καὶ οὐ μόνον δύο ὀρθῶν ἐλάττονες δύο ὁποιαιοῦν, ἀλλ’ ### book 113.5.1 ὅτι τῇ λειπομένῃ τῶν ἐντός· αἱ γὰρ τρεῖς δύο ὀρθαῖς ἴσαι. ### book 113.5.2 δυνατὸν δὲ τὴν παράλληλον διὰ τοῦ Γ οὕτως ἀγαγεῖν, ὡς ### book 113.5.3 τέμνειν τὴν ΒΔ, καὶ δεῖξαι πᾶσαν τὴν πρότασιν. ### book 114.1 Ἐπειδὴ ἔχομεν, ὅτι παντὸς τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι ### book 114.2 δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, δεῖ μέθοδον λαβεῖν, καθ’ ἣν καὶ τῶν ### book 114.3 ἄλλων πάντων πολυγώνων εὐθυγράμμων τὰς γωνίας εὑρή‐ ### book 114.4 σομεν, ὁπόσαις ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, οἷον τετραγώνου, πεν‐ ### book 114.5.1 ταγώνου καὶ τῶν ἑξῆς ἁπάντων πολυπλεύρων. χρὴ τοίνυν ### book 114.5.2 εἰδέναι πρῶτον, ὅτι πᾶν σχῆμα εὐθύγραμμον εἰς τρίγωνα ### book 114.5.3 ἀναλύεται· πάντων γὰρ ἀρχὴ τῆς συστάσεως τρίγωνον, ὃ ### book 114.5.4 καὶ ὁ Πλάτων ἔφη διδάσκων, ὅτι ἡ ὀρθὴ τῆς ἐπιπέδου ### book 114.5.5 βάσεως ἐκ τριγώνων συνέστηκεν. ἕκαστον δὲ ἀναλύεται ### book 114.10.1 εἰς δυάδι ἐλάσσονα τρίγωνα τῶν οἰκείων πλευρῶν, εἰ ### book 114.10.2 τετράπλευρόν ἐστιν, εἰς δύο, εἰ πεντάπλευρον, εἰς τρία, εἰ ### book 114.10.3 ἑξάπλευρον, εἰς τέσσαρα. δύο γὰρ τρίγωνα συντεθέντα ### book 114.10.4 τετράπλευρον ἐποίησε εὐθύς, ᾧ δὲ τῶν συνθέτων τριγώ‐ ### book 114.10.5 νων ἀριθμῷ τὸ πρῶτον συστὰν διήνεγκεν τῶν ἑαυτοῦ ### book 114.15.1 πλευρῶν, τούτῳ καὶ τὰ ἑξῆς πάντα διαφέρει. δυάδι ἄρα ### book 114.15.2 πᾶν πολύπλευρον πλείους ἔχει πλευρὰς τῶν τριγώνων, εἰς ### book 114.15.3 ἃ διαλύεται. ἀλλά γε μὴν ἅπαν τρίγωνον δέδεικται δυσὶν ### book 114.15.4 ὀρθαῖς ἴσας ἔχον τὰς γωνίας. διπλάσιος ἄρα ὁ τῶν γωνιῶν ### book 114.15.5 ἀριθμὸς αὐτῶν τῶν συντεθέντων τριγώνων γενόμενος ### book 114.20 παρέξεται τὸ πλῆθος τῶν ὀρθῶν, ὅσαις ἕκαστον πολύγω‐ ### book 114.1 νον ἴσας ἔχει γωνίας. διὸ πᾶν μὲν τετράπλευρον τέτρασιν ### book 114.2 ὀρθαῖς ἴσας ἔχει γωνίας (ἐκ δυεῖν γὰρ συνέκειτο τριγώνων), ### book 114.3 πᾶν δὲ πεντάπλευρον ἓξ καὶ τοῦτο ἑξῆς ὁμοίως. ἓν μὲν οὖν ### book 114.4 τοῦτο ληπτέον ἐκ τοῦ θεωρήματος τούτου περὶ πάντων ### book 114.25.1 τῶν πολυγώνων ἅμα καὶ εὐθυγράμμων, ἕτερον δὲ ἑπόμε‐ ### book 114.25.2 νον τούτῳ συνέλωμεν, ὅτι πᾶν σχῆμα εὐθύγραμμον ἑκά‐ ### book 114.25.3 στης τῶν πλευρῶν ἅπαξ ἐκβληθείσης τὰς ἐκτὸς συνιστα‐ ### book 114.25.4 μένας γωνίας ἴσας ἔχει τέτρασιν ὀρθαῖς. διπλασίας μὲν ### book 114.25.5 γὰρ εἶναι δεῖ τὰς ἐφ’ ἑκάτερα γωνίας ὀρθὰς τοῦ πλήθους ### book 114.30.1 τῶν πλευρῶν, ἐπειδὴ πρὸς ἑκάστῃ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι συν‐ ### book 114.30.2 ίστανται. ἀφαιρουμένων δὲ τῶν ἴσων ταῖς ἐντὸς ὀρθῶν αἱ ### book 114.30.3 λοιπαὶ γίνονται αἱ ἐκτὸς τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσαι. οἷον εἰ τὸ ### book 114.30.4 σχῆμα τρίγωνον, ἑκάστης αὐτοῦ πλευρᾶς ἅπαξ ἐκβαλλο‐ ### book 114.30.5 μένης ἓξ ὀρθαῖς ἴσαι συνίστανται γωνίαι αἵ τε ἐντὸς καὶ ### book 114.35.1 ἐκτός, ὧν αἱ ἐντὸς ἴσαι δυσίν· αἱ λοιπαὶ ἄρα αἱ ἐκτὸς ### book 114.35.2 τέτρασιν. εἰ δὲ τετράπλευρον, ὀκτὼ αἱ πᾶσαι· διπλάσιαι ### book 114.35.3 γὰρ τῶν πλευρῶν. ὧν ἐντὸς τέτρασιν· καὶ ἐκτὸς ἄρα ἄλλαις ### book 114.35.4 τοσαύταις ἴσαι. εἰ δὲ πεντάπλευρον, δέκα μὲν αἱ πᾶσαι, ### book 114.35.5 ἓξ δὲ αἱ ἐντός, τέτρασι δὲ αἱ λοιπαὶ ἐκτός. καὶ ἐπ’ ἄπειρον ### book 114.40.1 ὁμοίως ἡ αὐτὴ μέθοδος. ἐπὶ δὴ τούτοις κἀκεῖνα συνάγω‐ ### book 114.40.2 μεν, ὅτι διὰ τοῦτο τὸ θεώρημα τὸ μὲν ἰσόπλευρον τρίγω‐ ### book 114.40.3 νον ἑκάστην ἔχει γωνίαν διμοίρου ὀρθῆς· εἰ γὰρ αἱ τρεῖς ### book 114.40.4 δυεῖν ὀρθαῖς ἴσαι καὶ ἀλλήλαις ὑπάρχουσιν ἴσαι, ἐπειδὴ ὑπὸ ### book 114.40.5 τὰς ἴσας πλευρὰς ἴσαι γωνίαι συνεστᾶσιν. τὸ δὲ ἰσοσκελές, ### book 114.45.1 ὅταν ἔχῃ τὴν πρὸς τὴν κορυφὴν ὀρθήν, τὰς λοιπὰς ἡμισείας ### book 114.45.2 ὀρθῆς ἔχει, οἷον τὸ ἡμιτετράγωνον· τὸ δὲ σκαληνὸν τὸ ### book 114.45.3 ἡμιτρίγωνον, ὃ γίνεται ἐν ἰσοπλεύρῳ τριγώνῳ καθέτου ### book 114.45.4 ἀχθείσης ἀφ’ οἵας τινὸς γωνίας ὑπὸ τὴν ὑποτείνουσαν ### book 114.45.5 αὐτὴν πλευράν, τὴν μὲν ἔχει ὀρθήν, τὴν δὲ διμοίρου, ἥτις ### book 114.1 ἦν καὶ τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου, τὴν δὲ λοιπὴν ἄρα τρίτου. ### book 114.2 δεῖ γὰρ εἶναι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας τὰς τρεῖς. ταῦτα οὐ παρ‐ ### book 114.3 έργως ἐπισημαίνομαι, ἀλλ’ ὡς προπαρασκευάζοντα ἡμᾶς ### book 114 πρὸς τοῦ Τιμαίου διδασκαλίαν. ### book 115.1 Τὸ λγʹ θεώρημα σύμπτωμα λέγον τῶν δεδομένων ### book 115.2 παραλλήλων εὐθειῶν γένεσιν παραλληλογράμμου σχή‐ ### book 115.3 ματος λεληθυῖαν παραδίδωσι· γίνεται γὰρ παραλληλόγραμ‐ ### book 115.4 μον ἔκ τε τῶν ἐξ ἀρχῆς ἴσων καὶ ἐκ τῶν ταύτας ἐπιζευ‐ ### book 115.5.1 γνυουσῶν καὶ δεικνυμένων ὡσαύτως ἴσων τε καὶ παραλ‐ ### book 115.5.2 λήλων. διὸ καὶ τὸ μετὰ τοῦτο εὐθὺς ὡς ἂν ὑποστάντος ἤδη ### book 115.5.3 τοῦ παραλληλογράμμου τὰ καθ’ αὑτὰ ὑπάρχοντα τοῖς ### book 115.5.4 τοιούτοις θεωρεῖ. οὐκ ἠρκέσθη δὲ ὁ στοιχειωτὴς εἰπὼν ἐν ### book 115.5.5 τῇ προτάσει ἴσας εἶναι τὰς ἐπιζευγνυμένας, ἀλλὰ καὶ ### book 115.10.1 παραλλήλους, διότι οὐ πάντως αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰς ἴσας [Omitted graphic marker] ### book 115.10.2 ἴσαι εἰσίν, ὥσπερ ἐπὶ τοῦ τριγώνου οὐκ ἔστιν ### book 115.10.3 ἴση τῇ βάσει ἡ ἐπιζεύξασα μέσον. δεῖ οὖν ### book 115.10.4 καὶ παραλλήλους εἶναι τὰς δεδομένας, ἵνα καὶ ### book 115.10.5 αἱ ἐπιζευγνύουσαι ὁμοίως ἴσαι τε καὶ παράλ‐ ### book 115.15.1 ληλοι ἔσονται. δεῖ γὰρ πρὸς μὲν τὴν ἰσότητα ### book 115.15.2 τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τῆς τῶν ἐπιζευγνυμένων παραλλήλου ### book 115.15.3 θέσεως, πρὸς δὲ τὴν τῶν παραλλήλων θέσιν τῆς ἐκείνων ### book 115.15.4 ἰσότητος. διὰ τοῦτο καὶ ὁ στοιχειωτὴς ἄμφω παρέλαβεν ### book 115.15.5 ἐπὶ τῶν ἐπιζευγνυμένων τό τε ἴσας εἶναι καὶ παραλλήλους, ### book 115.20.1 ἵνα δείξῃ, ὅτι ἄμφω δεῖ εἶναι καὶ περὶ τὰς ἐπιζευγνυούσας ### book 115.20.2 εὐθείας. εἰ γὰρ μὴ ἀμφότερα αἱ δεδομέναι εὐθεῖαι ἕξουσιν, ### book 115.20.3 οὐδὲ αἱ ζευγνύουσαι αὐτάς. εἰκότως δὲ ἀξιοῖ ὁ στοιχειω‐ ### book 115.20.4 τής, τὰς ἐπιζευγνυούσας τὰς ἴσας καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ ### book 115.20.5 αὐτὰ μέρη ποιεῖσθαι τὴν ἐπίζευξιν, ἵνα τῶν ἴσων καὶ παρ‐ ### book 115.25.1 αλλήλων ἐπιζευγνυμένων καὶ αὐταὶ ἴσαι καὶ παράλληλοι ### book 115.25.2 ὦσιν. εἰ γὰρ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη, οὔτε ἴσαι γίνονται οὔτε ### book 115.25.3 παράλληλοι. ### book 116 Τοῦτο τὸ θεώρημα γένεσιν παραλληλογράμμων ### book 116.1 λεληθότως παραδίδωσιν· γίνεται γὰρ παραλληλόγραμμα ### book 116.2 ἔκ τε τῶν παραλλήλων καὶ ἐκ τῶν ταύτας ἐπιζευγνυουσῶν. ### book 116.3 προσεκτέον δὲ τῷ ἀκριβεῖ τῆς προτάσεως. ### book 117.1 Μέρη φησὶ τῶν παραλλήλων τὰ δύο ἄκρα καὶ τὸ ### book 117.2 μέσον. λέγει οὖν ὁ στοιχειωτὴς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη εἶναι τὰς ### book 117.3 ἐπιζευγνυούσας, εἴπερ ἔσονται ἴσαι καὶ παράλληλοι. εἰ γὰρ ### book 117.4 ἡ μὲν ἐπιζεύξαι τὰς δεδομένας παραλλήλους κατὰ τὸ ### book 117.5.1 μέσον, ἡ δὲ κατὰ τὸ ἄκρον, οὔτε ἴσαι οὔτε παράλληλοι ### book 117.5.2 ἔσονται. ### book 118.1 Τὸ λδʹ θεώρημα ὥσπερ ὑπόστασιν ἤδη λαβὸν τοῦ ### book 118.2 παραλληλογράμμου ἐκ τοῦ προειρημένου θεωρήματος τὰ ### book 118.3 χαρακτηριστικὰ τῆς ἰδίας συστάσεως τοῦ παραλληλογράμ‐ ### book 118.4 μου θεωρεῖ, ἅ ἐστι ταῦτα, τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευρὰς ἴσας ### book 118.5.1 εἶναι καὶ τὰς γωνίας τὰς ἀπεναντίον ἴσας καὶ τὸ δίχα τέ‐ ### book 118.5.2 μνεσθαι ὑπὸ τῆς διαμέτρου τὰ χωρία. περὶ γὰρ τούτων ### book 118.5.3 εἴρηται τὸ καὶ ἡ διάμετρος αὐτὰ δίχα τέμνει, ὡς εἶναι τὸ ### book 118.5.4 ἐμβαδὸν τὸ διχοτομούμενον ὅλον, ἀλλὰ μὴ τὰς γωνίας, δι’ ### book 118.5.5 ὧν ἡ διάμετρος ἔρχεται. δ δὲ ὄντων παραλληλογράμμων, ### book 118.10.1 ἃ καὶ ἐν ταῖς ὑποθέσεσιν ὡρίσατο, τοῦ τετραγώνου, τοῦ ### book 118.10.2 ἑτερομήκους, τοῦ ῥόμβου, τοῦ ῥομβοειδοῦς, εἰ μὲν κατὰ ### book 118.10.3 τὰ ὀρθογώνια γίνεται ἡ διαίρεσις, ἐξ ἀνάγκης καὶ τὰ χωρία ### book 118.10.4 διχοτομοῦσιν αἱ διάμετροι καὶ αὐταὶ ἴσαι εἰσίν, ἐπὶ δὲ ### book 118.10.5 τῶν μὴ τοιούτων ἄνισοι. πάλιν ἐπὶ τῶν ἰσοπλεύρων καὶ τὰ ### book 118.15.1 χωρία δίχα τέμνουσιν αἱ διάμετροι καὶ τὰς γωνίας, δι’ ὧν ### book 118.15.2 αὗται φέρονται, οἷον ἐπὶ τοῦ τετραγώνου καὶ τοῦ ῥόμβου, ### book 118.15.3 ἐπὶ δὲ τοῦ ἑτερομήκους καὶ τοῦ ῥομβοειδοῦς τὰ χωρία μό‐ ### book 118.15.4 νον. καὶ ὅλως ἔνθα μὲν ἰσότης πλευρῶν, ἐκεῖ καὶ αἱ διά‐ ### book 118.15.5 μετροι ἴσαι, καὶ αἱ γωνίαι δίχα τέμνονται, καὶ τὸ ἐμβαδὸν ### book 118.20 εἰς ἴσα διαιρεῖται διὰ τὴν ἰσότητα τῶν πλευρῶν καὶ τὴν ### book 118.1 ὀρθότητα τῶν γωνιῶν. ἐπὶ δὲ τοῦ ἑτερομήκους αἱ μὲν ### book 118.2 διάμετροι ἴσαι καὶ τὰ ἐμβαδά, αἱ δὲ γωνίαι οὐ τέμνονται ### book 118.3 εἰς ἴσα ὑπὸ τῶν διαμέτρων, ἐπὶ δὲ τοῦ ῥόμβου ἄνισοι μὲν ### book 118.4 αἱ διάμετροι, διχοτομοῦνται δὲ ὑπ’ αὐτῶν τά τε χωρία καὶ ### book 118.25.1 αἱ γωνίαι, ἐπὶ δὲ τοῦ ῥομβοειδοῦς καὶ αἱ διάμετροι ἄνισοι, ### book 118.25.2 καὶ αἱ γωνίαι εἰς ἄνισα τέμνονται ὑπὸ τούτων. ἐπεὶ δὲ τὰ ### book 118.25.3 μὲν καθόλου ἐστὶ τῶν θεωρημάτων, οἷον πᾶν τρίγωνον τὰς ### book 118.25.4 τρεῖς γωνίας δύο ὀρθαῖς ἴσας ἔχει (πάντα γὰρ περιέλαβε), ### book 118.25.5 τὰ δὲ οὐ καθόλου, τοῦτο τὸ θεώρημά φαμεν τὸ μὲν τῶν ### book 118.30.1 ζητουμένων ἔχειν καθόλου, τὸ δὲ οὔ. τὸ μὲν γὰρ τὰς ἀπ‐ ### book 118.30.2 εναντίον πλευρὰς ἢ γωνίας ἴσας ἔχον καθολικόν ἐστι· μόνον ### book 118.30.3 γὰρ ὑπάρχει τοῖς παραλληλογράμμοις. τὸ δὲ τὴν διάμετρον ### book 118.30.4 δίχα τὸ χωρίον τεμεῖν οὐ καθόλου, διότι μὴ πάντα περιείλη‐ ### book 118.30.5 φεν, ἐφ’ ὅσων θεωρεῖται τὸ σύμπτωμα. ἔοικε δὲ καὶ αὐτὸ ### book 118.35.1 τὸ ὄνομα τῶν παραλληλογράμμων ὁ στοιχειωτὴς συν‐ ### book 118.35.2 θεῖναι τὴν ἀφορμὴν λαβὼν ἀπὸ τοῦ προειρημένου θεωρή‐ ### book 118.35.3 ματος. ἐπειδὴ γὰρ ἔδειξεν, ὅτι αἱ τὰς ἴσας τε καὶ παραλ‐ ### book 118.35.4 λήλους ἐπιζευγνύουσαι εὐθεῖαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ αὐταὶ ### book 118.35.5 ἴσαι καὶ παράλληλοί εἰσιν, δῆλον, ὅτι τὰς ἀπεναντίον ἀπ‐ ### book 118.40.1 έφηνε παραλλήλους καὶ τὰς ἐπιζευγνυούσας καὶ τὰς ἐπι‐ ### book 118.40.2 ζευγνυμένας. τὸ δὲ ὑπὸ παραλλήλων περιεχόμενον γραμ‐ ### book 118.40.3 μῶν εἰκότως παραλληλόγραμμον ἐκάλεσεν, ὡς καὶ τὸ ὑπὸ ### book 118.40.4 εὐθειῶν γραμμῶν περιεχόμενον εὐθύγραμμον προσείρηκεν. ### book 118.40.5 δῆλον δέ, ὅτι τὸ παραλληλόγραμμον τοῦτο ὁ στοιχειωτὴς ### book 118.45.1 ἐν τετραπλεύροις ἐξέθετο· ταῦτα γὰρ μόνα τὰ τετράπλευρα ### book 118.45.2 τὴν ἀκρίβειαν τῶν παραλλήλων τῆς θέσεως δεικνύουσιν, ### book 118.45.3 ὡς ὁ ἐπιστημονικὸς ἀπαιτεῖ λόγος κατὰ πάντα, τὰ δὲ λοιπὰ ### book 118.45.4 οὐ πάντα ἔχουσιν, ὡς εἴρηται. ### book 119.1 Ἰστέον καὶ τοῦτο ἐπὶ τῶν τετραπλεύρων, ὅτι ἐπὶ ### book 119.2 μὲν τοῦ τετραγώνου καὶ αἱ διάμετροι ἴσαι διὰ τὴν ὀρθό‐ ### book 119.1 τητα τῶν γωνιῶν, καὶ αἱ γωνίαι δίχα τέμνονται ὑπὸ τῶν ### book 119.2 διαμέτρων διὰ τὴν ἰσότητα τῶν πλευρῶν, καὶ τὸ ἐμβαδὸν ### book 119.5.1 εἰς ἴσα διαιρεῖται κατὰ τὴν διαγώνιον διὰ τὴν κοινὴν ### book 119.5.2 ἰδιότητα τῶν παραλληλογράμμων. ἐπὶ δὲ τοῦ ἑτερομήκους ### book 119.5.3 αἱ μὲν διάμετροι ἴσαι, αἱ δὲ γωνίαι οὐ τέμνονται δίχα ὑπὸ ### book 119.5.4 τῶν διαμέτρων, ἡ δὲ τῶν χωρίων εἰς ἴσα διαίρεσις ὑπάρχει ### book 119.5.5 καὶ τούτῳ, καθόσον ἐστὶ παραλληλόγραμμον. ἐπὶ δὲ τοῦ ### book 119.10.1 ῥόμβου ἄνισοι μὲν αἱ διάμετροι, διχοτομοῦνται δὲ ὑπὸ ### book 119.10.2 τούτων οὐ μόνον τὰ χωρία, διότι παραλληλόγραμμον, ἀλλὰ ### book 119.10.3 καὶ αἱ γωνίαι, διότι ἰσόπλευρον. ἐπὶ δὲ τοῦ ῥομβοειδοῦς καὶ ### book 119.10.4 αἱ διάμετροι ἄνισοι ὡς μὴ ὀρθογωνίου, καὶ αἱ γωνίαι εἰς ### book 119.10.5 ἄνισα τέμνονται ὑπὸ τούτων ὡς μὴ ἰσοπλεύρου, μόνα δὲ τὰ ### book 119.15.1 χωρία ἴσα γίνεται τὰ ἐφ’ ἑκάτερα τῶν διαγωνίων ὡς παραλ‐ ### book 119.15.2 ληλογράμμου. ταῦτα μὲν οὖν εἴρηται τὴν ἐν ταῖς διαιρέ‐ ### book 119.15.3 σεσι τῶν παραλληλογράμμων τεττάρων ὄντων ὑποδεικνύ‐ ### book 119.15.4 ονται διαφοραὶ θεωριῶν. κἀκείνας ἄξιον μὴ παρελθεῖν, ### book 119.15.5 ὅτι τῶν αὐτῶν θεωρημάτων τὰ μέν ἐστι καθόλου, τὰ δὲ ### book 119.20.1 οὐ καθόλου. ὁ στοιχειωτὴς ἐδήλωσεν τὸ παραλληλόγραμ‐ ### book 119.20.2 μον ἐν τετραπλεύροις τιθέμενος. ἐπιστῆσαι δὲ ἄξιον, μήπο‐ ### book 119.20.3 τε καὶ πᾶν εὐθύγραμμον ἀρτιόπλευρον, ὅταν ἰσόπλευρόν ### book 119.20.4 τε καὶ ἰσογώνιον ὑπάρχῃ, παραλληλόγραμμον ῥητέον. ### book 119.20.5 ἔχει γὰρ καὶ τοῦτο τὰς ἀπεναντίον πλευρὰς ἴσας τε καὶ παρ‐ ### book 119.25.1 αλλήλους καὶ τὰς ἀπεναντίον γωνίας, οἷον τὸ ἑξάγωνον ### book 119.25.2 καὶ τὸ ὀκτάγωνον καὶ τὸ δεκάγωνον. ### book 120.1 Ἀντιστρόφια· καὶ ὧν τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον ### book 120.2 πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, ἢ πάλιν ὧν τετραπλεύρων αἱ ### book 120.3 ἀπεναντίον γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, ἐκεῖνα τὰ τετρά‐ ### book 120.4 πλευρα παραλληλόγραμμά ἐστιν, καὶ ἔτι ὧν τετραπλεύρων ### book 120.5 αἱ ἐπιζευγνύμεναι διαγώνιοι ἀμφότεραι δίχα τέμνουσιν τὰ ### book 120 τετράπλευρα, ἐκεῖνα παραλληλόγραμμά ἐστιν. ### book 121.1 Ὥσπερ εἰσὶ τῶν θεωρημάτων τὰ μὲν ἁπλᾶ, τὰ δὲ ### book 121.2 σύνθετα, καὶ τὰ μὲν καθολικά, τὰ δὲ ἐπὶ μέρους, οὕτως καὶ ### book 121.3 τὰ μέν εἰσι τοπικά, τὰ δὲ οὔ. τοπικὰ δὲ λέγονται, ὅσοις ### book 121.4 ταὐτὸν σύμπτωμα πρὸς ὅλῳ τινὶ τόπῳ συμβέβηκε, τόπος ### book 121.5.1 δὲ γραμμῆς ἢ ἐπιφανείας θέσις τίς ἐστι ποιοῦσα ἓν καὶ ### book 121.5.2 ταὐτὸν σύμπτωμα. τῶν δὲ τοπικῶν τὰ μὲν πρὸς γραμμαῖς ### book 121.5.3 συνίστανται, τὰ δὲ πρὸς ἐπιφανείαις, τούτων δὲ αἱ μέν ### book 121.5.4 εἰσιν ἐπίπεδοι, ὧν ἐν ἐπιπέδῳ ἁπλῆ ἡ νόησις, αἱ δὲ στε‐ ### book 121.5.5 ρεαί, ὧν ἡ γένεσις ἔκ τινος τομῆς ἀναφαίνεται στερεοῦ ### book 121.10.1 σχήματος, ὡς τῆς κυλινδρικῆς ἕλικος καὶ τῶν κωνικῶν ### book 121.10.2 γραμμῶν. λέγομεν, ὅτι καὶ τῶν πρὸς γραμμαῖς τοπικῶν ### book 121.10.3 τὰ μὲν ἐπίπεδον ἔχει τόπον, τὰ δὲ στερεόν. τὸ τοίνυν λεʹ ### book 121.10.4 θεώρημα τοπικόν ἐστιν καὶ τῶν πρὸς γραμμαῖς τοπικῶν ### book 121.10.5 καὶ ἐπίπεδον. τὸ γὰρ μεταξὺ πᾶν τῶν παραλλήλων τόπος ### book 121.15.1 ἐστὶ τῶν συνισταμένων ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως παραλληλο‐ ### book 121.15.2 γράμμων, ἃ δὴ δείκνυσιν ὁ στοιχειωτὴς ἴσα ἀλλήλοις. ἔστω ### book 121.15.3 δὲ παράδειγμα τῶν στερεῶν λεγομένων τοπικῶν θεωρη‐ ### book 121.15.4 μάτων τὸ τοιοῦτον· τὰ εἰς τὰς ἀσυμπτώτους καὶ τὴν ὑπερ‐ ### book 121.15.5 βολὴν ἐγγραφόμενα παραλληλόγραμμα ἴσα ἐστίν. ἡ γὰρ ### book 121.20.1 ὑπερβολὴ στερεὰ γραμμή ἐστιν· κώνου γάρ ἐστι γραμμή. ### book 121.20.2 τοπικὸν οὖν πρῶτον θεώρημα ὁ στοιχειωτὴς ἀνέγραψε τὸ ### book 121.20.3 προκείμενον. ἔστι δὲ τοῦτο καὶ τὸ περὶ τῶν τριγώνων ### book 121.20.4 ἑξῆς τῶν παραδόξων ἐν τοῖς μαθήμασι καλουμένων θεω‐ ### book 121.20.5 ρημάτων· καταπλήττει γὰρ τοὺς πολλοὺς εὐθύς, εἰ τὸ ### book 121.25.1 μῆκος πολλαπλασιαζόμενον οὐκ ἀναιρεῖ τὴν ἰσότητα τῶν ### book 121.25.2 χωρίων τῆς αὐτῆς βάσεως οὔσης. ἰστέον γάρ, ὅτι, ὅσῳ ἀν‐ ### book 121.25.3 ίσους ποιοῦμεν τὰς γωνίας, τοσούτῳ μᾶλλον ἐλαττοῦμεν τὰ ### book 121.25.4 χωρία. ἐνταῦθα μὲν οὖν ἐπειδὴ περὶ εὐθυγράμμων ὁ λόγος, ### book 121.25.5 τοπικὰ παραδίδωσιν ἐπίπεδα πρὸς εὐθείαις. ἐν δὲ τῷ γʹ ### book 121.30.1 βιβλίῳ τὰ περὶ κύκλων καὶ τῶν ἐν τούτοις συμπτωμάτων ### book 121.30.2 πραγματευόμενος τὰ πρὸς περιφερείαις ἡμᾶς ἀναδιδάξει ### book 121.30.3 τοπικά. τοιοῦτον γὰρ ἐν ἐκείνοις τό· αἱ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι ### book 121.30.4 γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις, καὶ τό· αἱ ἐν ἡμικυκλίῳ ὀρθαί. ἀπεί‐ ### book 121.30.5 ρων γὰρ συνισταμένων πρὸς τῇ περιφερείᾳ γωνιῶν τῆς ### book 121.35.1 αὐτῆς βάσεως οὔσης πᾶσαι δείκνυνται ἴσαι, καί εἰσιν ### book 121.35.2 ἀνάλογα ἐκεῖνα τοῖς τριγώνοις καὶ παραλληλογράμμοις ### book 121.35.3 τοῖς ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως. ἰστέον, ὅτι ἡ τῶν γωνιῶν ### book 121.35.4 ὀρθότης καὶ ἡ τῶν πλευρῶν ἰσότης τὸ πᾶν δύναται πρὸς ### book 121.35.5 τὴν τῶν χωρίων αὔξησιν· ὀρθογωνίων γὰρ ὄντων τῶν παρ‐ ### book 121.40.1 αλληλογράμμων τὸ τετράγωνον μεῖζον τοῦ ἑτερομήκους ### book 121.40.2 χωρίον περιέχει, ἰσοπλεύρων δὲ ὄντων ἀμφοτέρων τὸ ὀρθο‐ ### book 121.40.3 γώνιον δείκνυται τοῦ μὴ ὀρθογωνίου μεῖζον· διὸ καὶ τὸ ### book 121.40.4 τετράγωνον πάντων ἀναφαίνεται μεῖζον χωρίον περιέχον, ### book 121.40.5 τὸ δὲ ῥομβοειδὲς πάντων ἔλαττον. πρῶτον δὲ ἐνταῦθα τῶν ### book 121.45.1 τραπεζίων ἐμνημόνευσε. περὶ τούτων δὲ ἐν ταῖς ὑποθέσε‐ ### book 121.45.2 σιν ἐδίδαξεν, ὅτι τετράπλευρα μέν εἰσι τῷ γένει, οὐ παραλ‐ ### book 121.45.3 ληλόγραμμα δέ. τὸ γὰρ μὴ τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ ### book 121.45.4 γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχον ἐκβέβηκε καὶ τῆς τάξεως τῶν ### book 121.45.5 παραλληλογράμμων. δύο δὲ εἰδῶν ὄντων τῶν τραπεζίων ### book 121.1 (τῶν μὲν γὰρ οὐδετέρα ἐστὶ πλευρὰ παράλληλος ἑτέρᾳ, ### book 121.2 τῶν δὲ μίαν ἐχόντων ἴσην μιᾷ) ἐπὶ τῆς παρούσης κατα‐ ### book 121.3 γραφῆς τὸ ἕτερον εἶδός ἐστιν· ἡ γὰρ ΓΕ ἴση ἐστὶ τῇ ΔΒ. ### book 121.4 τέμνουσαν ἔλαβεν ὁ στοιχειωτὴς τὴν ΓΔ τὴν ΒΕ, καὶ τὸ ### book 121.5 διάγραμμα τετράγωνον. ### book 122.1 Ἐν τούτῳ τῷ λεʹ παραδόξῳ θεωρήματι δείκνυται ### book 122.2 τὸ ποσὸν τῶν παραλληλογράμμων. ὀρθογωνίων μὲν συν‐ ### book 122.3 αμφοτέρων ὄντων τῶν παραλληλογράμμων δείκνυται τὸ ### book 122.4 τετράγωνον τοῦ ἑτερομήκους μεῖζον, ἰσοπλεύρων δὲ ἀμφο‐ ### book 122.5.1 τέρων ὄντων τὸ ὀρθογώνιον δείκνυται τοῦ μὴ ὀρθογωνίου ### book 122.5.2 μεῖζον· καὶ γὰρ ἡ τῶν γωνιῶν ὀρθότης καὶ ἡ τῶν πλευρῶν ### book 122.1 ἰσότης τὸ πᾶν δύναται πρὸς τὴν τῶν χωρίων αὔξησιν. ### book 122.2 ὅθεν δὴ τὸ μὲν τετράγωνον ἀναφαίνεται τῶν ἴσων περι‐ ### book 122.3 μέτρων μεῖζον, τὸ δὲ ῥομβοειδὲς ἁπάντων ἔλασσον. καὶ ### book 122.10.1 ἰστέον, ὅτι παραλληλόγραμμα λέγων ἴσα τὰ χωρία λέγει ### book 122.10.2 καὶ οὐ τὰς πλευράς (τούτων γὰρ νῦν ὁ λόγος καὶ τῶν ἐμ‐ ### book 122.10.3 βαδῶν), καὶ ὅτι ἐν τῇ δείξει ταύτῃ μνήμην ποιεῖται τῶν ### book 122.10.4 τραπεζίων. ### book 123.1 Τῶν παραδόξων λεγομένων ἐστὶ καὶ τοῦτο τὸ ### book 123.2 θεώρημα· καταπλήττει γοῦν τοὺς πολλούς, εἰ τὸ μῆκος ### book 123.3 πολλαπλασιαζόμενον οὐκ ἀναιρεῖ τὴν ἰσότητα τῆς αὐτῆς ### book 123.4 οὔσης βάσεως. ἐφ’ ὅσον γὰρ αἱ παράλληλοι ἐκβάλλονται, ### book 123.5.1 ἐπὶ τοσοῦτον αὔξεται τὸ ἕτερον τῶν παραλληλογράμμων. ### book 123.5.2 ὅμως ἰστέον, ὅτι μέγιστον ἡ τῶν γωνιῶν ἰσότης δύναται ### book 123.5.3 καὶ ἀνισότης. ὅσῳ γὰρ ἀνίσους ποιῶμεν τὰς γωνίας, το‐ ### book 123.5.4 σούτῳ μᾶλλον ἐλασσοῦμεν τὸ χωρίον, εἰ μένοι τὸ αὐτὸ ### book 123.5.5 πλάτος. ### book 124.1 Τὸ μὲν πρὸ τούτου θεώρημα τὰς βάσεις τὰς αὐτὰς ### book 124.2 ἐλάμβανε, τοῦτο δὲ τὸ λϛʹ ἴσας μέν, διαφερούσας δὲ ἀλλή‐ ### book 124.3 λων. κοινὸν δὲ ἀμφοτέροις τὸ ἐν ταῖς αὐταῖς ὑποτίθεσθαι ### book 124.4 παραλλήλοις τὰ παραλληλόγραμμα. δεῖ δὴ οὖν αὐτὰ μήτε ### book 124.5.1 ἐνδοτέρω πίπτειν τῶν ὑποκειμένων παραλλήλων εὐθειῶν ### book 124.5.2 μήτε ἐξωτέρω. παραλληλόγραμμα γὰρ ἐν ταῖς αὐταῖς ### book 124.5.3 εἶναι λέγεται παραλλήλοις, ὅταν αἵ τε βάσεις αὐτῶν καὶ ### book 124.5.4 αἱ ταύταις ἀπεναντίον κείμεναι ταῖς αὐταῖς ἐφαρμόζωνται ### book 124.5.5 παραλλήλοις. ἔδειξε δὲ ὁ στοιχειωτὴς τὸ θεώρημα τὰς ### book 124.10 βάσεις πάντῃ κεχωρισμένας λαβών. ### book 125.1 Εἴτε διεστήκασιν αἱ βάσεις εἴτε κοινωνοῦσι κατὰ ### book 125.2 μέρος εἴτε συνάπτουσιν ὡς τὴν μίαν πλευρὰν κοινὴν εἶναι ### book 125.3 τῶν δύο, δείκνυται τὸ αὐτό. ἰστέον δέ, ὅτι ἐπὶ τῶν πολυγώ‐ ### book 125 νων παραλληλογράμμων οὐ συμβαίνει τὸ τοιοῦτον, διότι οὐ ### book 125.5.1 πάντως ἰσόπλευρά ἐστιν. εἰ δὲ ἰσόπλευρα, πάντως ἀκο‐ ### book 125.5.2 λουθήσει τὸ τὰ ἐπὶ τῶν ἴσων βάσεων ὄντα συγκρίνεσθαι, ### book 125.5.3 καὶ εἰ μὲν αἱ ἡμίσεις τοῦ ἑτέρου πλευραὶ ταῖς ὁμολόγοις ### book 125.5.4 τοῦ ἑτέρου παραλληλογράμμου ἴσαι, ἴσα ἔσονται, ἄνισα δέ, ### book 125.5.5 εἰ μὴ οὕτως. ### book 126.1 Καὶ τὸ λζʹ θεώρημα τοπικόν ἐστιν ἀνάλογον τοῖς ### book 126.2 παραλληλογράμμοις καὶ τὴν τῶν τριγώνων θέσιν ἐπὶ τῶν ### book 126.3 βάσεων ὑποτιθέμενον. δοκεῖ δέ μοι τῶν τεσσάρων θεωρη‐ ### book 126.4 μάτων, ὧν δύο μέν ἐστιν ἐπὶ τῶν παραλληλογράμμων δε‐ ### book 126.5.1 δειγμένα, δύο δὲ ἐπὶ τῶν τριγώνων, καὶ τὸ μὲν τῆς αὐτῆς ### book 126.5.2 οὔσης βάσεως, τὸ δὲ ἴσων ὑπαρχουσῶν τῶν βάσεων, μίαν ### book 126.5.3 ἀπόδειξιν παρέχεσθαι τὸν στοιχειωτὴν ἐν τῷ ϛʹ βιβλίῳ ### book 126.5.4 ἐν τῷ αʹ θεωρήματι. ὅταν γὰρ τοῦτο δεικνύῃ τὰ τρίγωνα ### book 126.5.5 καὶ τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἔχοντα ### book 126.10.1 πρὸς ἄλληλα τὸν λόγον, ὃν ἔχουσιν αἱ βάσεις, οὐδὲν ἄλλο ### book 126.10.2 ἢ ταῦτα πάντα καθολικώτερον ἀποδείκνυσιν ἐκ τῆς ἀνα‐ ### book 126.10.3 λογίας. τὸ γὰρ αὐτὸ ὕψος οὐδὲν διαφέρει ἢ ἐν ταῖς αὐταῖς ### book 126.10.4 εἶναι παραλλήλοις. πάντα γὰρ τὰ ἐν ταῖς αὐταῖς ὄντα παρ‐ ### book 126.10.5 αλλήλοις ὑπὸ τὸ αὐτό ἐστιν ὕψος καὶ ἀνάπαλιν. ὕψος γάρ ### book 126.15.1 ἐστιν ἡ ἀπὸ τῆς ἑτέρας παραλλήλου κάθετος ἐπὶ τὴν λοι‐ ### book 126.15.2 πήν. ἐκεῖ μὲν οὖν δι’ ἀναλογίας δέδεικται, ὅτι οὕτως ἔχει ### book 126.15.3 τὰ τρίγωνα καὶ τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ### book 126.15.4 τουτέστιν τὰ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις κείμενα, ὡς αἱ ### book 126.15.5 βάσεις, καὶ ἴσων τῶν βάσεων οὐσῶν ἴσα τὰ χωρία, καὶ ### book 126.20.1 διπλασίων οὐσῶν καὶ ἄλλον λόγον ἐχουσῶν τὸν αὐτὸν ### book 126.20.2 ἕξει λόγον καὶ τὰ χωρία πρὸς ἄλληλα· ἐνταῦθα δέ (οὐ ### book 126.20.3 γὰρ ἦν ἀναλογίᾳ χρῆσθαι μηδέπω διδάξαντα περὶ αὐτῆς) ### book 126.1 ἀρκεῖται τῇ ἰσότητι μόνῃ καὶ ἐκ τῆς ἰσότητος τὴν ταυτότη‐ ### book 126.2 τα τῶν βάσεων συλλογίζεται. ἐν ἑνὶ οὖν ἐκείνῳ τὰ δ ταῦτα ### book 126.25.1 περιέχεται θεωρήματα, οὐ μόνον ὅτι διὰ μιᾶς ἀποδείξεως ### book 126.25.2 δείκνυσιν, ὅσα ἐν τοῖς τέσσαρσι περιέχεται τούτοις, ἀλλ’ ### book 126.25.3 ὅτι καὶ πλέον τι προστίθησιν τὴν ταυτότητα τῶν λόγων, ### book 126.25.4 κἂν ἄνισοι αἱ βάσεις ὦσιν. ὅτι δὲ καὶ τοῦτο πολύπτωτόν ### book 126.25.5 ἐστι τὸ θεώρημα καὶ δυνατὸν τὰς βάσεις τὰς τῶν τριγώνων ### book 126.30.1 ἢ ταὐτὸν μέρος ἐχούσας λαμβάνειν ὡς ἐπὶ τῶν παραλληλο‐ ### book 126.30.2 γράμμων ἢ μηδενὶ μὲν κοινῷ μέρει χρωμένας, καθ’ ἓν δὲ ### book 126.30.3 σημεῖον ἀλλήλαις συναπτούσας ἢ καὶ πάντη κεχωρισμένας, ### book 126.30.4 ὥστε μεταξὺ γραμμὴν εἶναι, δῆλόν ἐστι τοῖς καὶ μικρὰ ### book 126.30.5 συνεῖναι δυναμένοις, καὶ ὅτι κατὰ πάσας τὰς πτώσεις, ### book 126.35.1 ὅπως ἂν ἔχῃ τὰς βάσεις κειμένας ἢ τὰς κορυφάς, ἡ αὐτὴ ### book 126.35.2 μέθοδος, ἄγειν παραλλήλους ταῖς πλευραῖς καὶ ποιεῖν ἑκά‐ ### book 126.35.3 τερον τῶν τριγώνων, ἰσότητα κατασκευάζει. ### book 127.1 Τοπικὸν καὶ τοῦτο τὸ θεώρημα, καὶ ὁρᾷς, ὅτι οὐ ### book 127.2 παραλληλογράμμοις μόνον ὑπάρχει, ἀλλὰ καὶ τριγώνοις, ### book 127.3 καὶ κύκλοις δὲ ἐφαρμόσει καὶ κώνοις καὶ κυλίνδροις καὶ ### book 127.4 ὁμοίοις στερεοῖς, ὅσα ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα ἴσας ἔχει τὰς ### book 127.5.1 βάσεις. καθολικώτερον δὲ τὸ πρῶτον τοῦ ϛʹ βιβλίου. ἀντι‐ ### book 127.5.2 στρέφει δὲ δύο πρὸς τὸ προκείμενον, μετ’ αὐτὸ μὲν προσ‐ ### book 127.5.3 εχῶς τὸ τὰ ἴσα τρίγωνα καὶ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα, ### book 127.5.4 μετ’ ἐκεῖνο δὲ τὸ τὰ ἴσα καὶ ἐν παραλλήλοις ὄντα ἤτοι ### book 127.5.5 ἐπὶ τῆς αὐτῆς ἢ ἐπὶ ἴσων βάσεων εἶναι. ### book 128.1 Πολύπτωτον δὲ καὶ τοῦτο τὸ θεώρημα, καὶ δυνα‐ ### book 128.2 τὸν τὰς βάσεις τὰς τῶν τριγώνων ἢ ταὐτὸν μέρος ἐχούσας ### book 128.3 λαμβάνειν ὡς ἐπὶ τῶν παραλληλογράμμων ἢ μηδενὶ μὲν ### book 128.4 κοινῷ μέρει χρωμένας, καθ’ ἓν δὲ σημεῖον ἀλλήλαις συν‐ ### book 128.5.1 απτούσας ἢ καὶ πάντη κεχωρισμένας, ὥστε εἶναι μεταξὺ ### book 128.5.2 γραμμήν. δῆλόν ἐστι τοῖς καὶ μικρὰ συνεῖναι δυναμένοις, ### book 128.1 καὶ ὅτι κατὰ πάσας τὰς πτώσεις, ὅπως ἂν ἔχῃ τὰς βάσεις ### book 128.2 κειμένας ἢ τὰς κορυφάς, ἡ αὐτὴ μέθοδος, ἄγειν παραλλή‐ ### book 128.3 λους ταῖς πλευραῖς καὶ ποιεῖν ἑκάτερον τῶν τριγώνων, ### book 128.10 ἰσότητα κατασκευάζει. ### book 129.1 Εὑρεῖν αὐτὸ τὸ ἐμβαδόν. τὴν πλευρὰν ἐφ’ ἑαυτήν· ### book 129.2 γίνεται ρ. τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως ἐφ’ ἑαυτήν· γίνεται λϛ. [Omitted graphic marker] ### book 129.3 ἄφελε· λοιπὸν ξδ, ὧν πλευρὰ τετρά‐ ### book 129.4 γωνος η. ἔσται ἡ κάθετος. πολλα‐ ### book 129.5.1 πλασίασον τὴν βάσιν ἐπὶ τὴν κάθ‐ ### book 129.5.2 ετον· γίνεται ϙϛ. τούτων τὸ ἥμισυ ### book 129.5.3 μη. ἔστιν ἄρα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἰσο‐ ### book 129.5.4 σκελοῦς τριγώνου μονάδων μη. ### book 129.5.5 Ἔστωσαν δύο τρίγωνα ἡ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ἑκάστη δὲ πλευρὰ ### book 129.10.1 μονάδων κε. καί εἰσιν αἱ δύο πλευραὶ ταῖς δυσὶν ἴσαι, ἡ δὲ ### book 129.10.2 ΒΓ τῇ ΕΖ βάσει ἔστω μείζων. ἔστω ἡ μὲν ΒΓ μονάδων ### book 129.10.3 μη, ἡ δὲ ΕΖ μονάδων ιδ. [Omitted graphic marker] ### book 130.1 Εἰκότως ὁ στοιχειωτὴς προσέθηκε τὸ καὶ ἐπὶ τὰ ### book 130.2 αὐτὰ μέρη. δυνατὸν γὰρ λαβεῖν μιᾶς βάσεως ἴσα τρίγωνα ### book 130.3 τὸ μὲν ἐπὶ τάδε τὰ μέρη, τὸ δὲ ἐπὶ θάτερα, ἀλλ’ οὐ πάντως ### book 130.4 ἐν ταῖς αὐταῖς ἐστι ταῦτα παραλλήλοις· οὐδὲ γὰρ ὑπὸ τὸ ### book 130.5.1 αὐτὸ ὕψος εἰσὶν ἄμφω. ἰστέον δέ, ὅτι τριττῆς οὔσης τῆς ### book 130.5.2 τῶν θεωρημάτων ἀντιστροφῆς· ἢ γὰρ ὅλον ἀντιστρέφει ### book 130.1 πρὸς ὅλον, ὡς τὸ ιηʹ καὶ ιθʹ εἴπομεν, ἢ ὅλον πρὸς μέρος ὡς τὸ ### book 130.2 ϛʹ καὶ τὸ πέμπτον, ἢ μέρος πρὸς μέρος ὡς τὸ ηʹ καὶ τὸ δʹ· ### book 130.3 οὐ γὰρ ὅλον τὸ δεδειγμένον ἐν θατέρῳ ζητούμενόν ἐστιν ### book 130.10.1 ἐν θατέρῳ, οὐδὲ τὸ ζητούμενον δεδομένον, ἀλλὰ μέρος. ### book 130.10.2 ἔοικε δὲ καὶ ταῦτα τὰ θεωρήματα τοιαῦτα εἶναι ἐπὶ τῶν ### book 130.10.3 τριγώνων. ἦν γὰρ τὸ ζητούμενον ἐν τοῖς πρὸ τούτων τὸ ### book 130.10.4 εἶναι ἴσα τὰ τρίγωνα, τοῦτο δὲ οὐκ ἔστι μόνον δεδομένον ### book 130.10.5 ἐν τούτοις, ἀλλὰ μέρος προσλαβὸν τῆς ἐν ἐκείνοις ὑπο‐ ### book 130.15.1 θέσεως. τὸ γὰρ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εἶναι βάσεως ἢ ἐπὶ ἴσων καὶ ### book 130.15.2 ἐπὶ τούτων δέδοται καὶ ἐπ’ ἐκείνων, πλὴν ὅτι προσέθηκεν ### book 130.15.3 ἐν ταῖς ὑποθέσεσι ταύταις, ὃ ἐν ἐκείνοις μήτε ζητούμενόν ### book 130.15.4 ἐστιν μήτε δεδομένον· τὸ γὰρ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἔξωθεν ### book 130.15.5 προσείληπται. ### book 131.1 Ὅτε μὲν τὴν ἰσότητα δεικνύναι πρόκειται, τότε ### book 131.2 τέτταρα θεωρήματα τὸν ἀριθμὸν ἐποιοῦμεν, δύο μὲν ἐπὶ ### book 131.3 τῶν παραλληλογράμμων, δύο δὲ ἐπὶ τῶν τριγώνων λαμ‐ ### book 131.4 βάνοντες ἢ ἐπὶ τῶν αὐτῶν ἢ ἐπὶ ἴσων κείμενα βάσεων. νυνὶ ### book 131.5.1 δὲ ἀντιστρέφοντες τὰ μὲν ἐπὶ τῶν παραλληλογράμμων ### book 131.5.2 ἀντιστρέφοντα παρήκαμεν, τὰ δὲ ἐπὶ τῶν τριγώνων μνή‐ ### book 131.5.3 μης ἠξιώσαμεν. αἴτιον δέ, ὅτι τρόπος μὲν τῆς ἀποδείξεως ### book 131.5.4 ὁ αὐτὸς καὶ ἐπ’ ἐκείνων ἀπαραλλάκτως διὰ τῆς εἰς ἀδύνα‐ ### book 131.5.5 τον ἀπαγωγῆς καὶ τῆς ὁμοίας κατασκευῆς, ἀρκούμεθα δὲ ### book 131.10.1 ἐπὶ τῶν ἁπλουστέρων, λέγω δὴ τῶν τριγώνων, ὑποδείξαν‐ ### book 131.10.2 τες τὴν μέθοδον καταλείπειν τοῖς ἀγχινουστέροις καὶ ἐπὶ ### book 131.10.3 τῶν ὑπολοίπων τὰ αὐτὰ συλλογίζεσθαι, ἐπεί, ὅτι γε ἡ ### book 131.10.4 αὐτὴ καὶ ἐπὶ τούτων μέθοδος, ῥᾴδιον συνιδεῖν. λαβόντες ### book 131.10.5 γὰρ παραλληλόγραμμα ἴσα ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ἢ καὶ ### book 131.15.1 ἐπὶ τῶν ἴσων ἐροῦμεν, ὅτι καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ### book 131.15.2 ἐστίν. εἰ γὰρ μή, ἐντὸς πεσεῖται θάτερον τῶν ἐν τῷ ἑτέρῳ ### book 131.15.3 παραλλήλων ἐκβαλλομένων ἢ ἐκτός. ὅπως δὲ ἂν πίπτῃ, ### book 131.15.4 λαβόντες ἐκεῖνο καὶ τὰς ἐν αὐτῷ παραλλήλους δείξομεν, ἃ ### book 131 καὶ ἐπὶ τῶν τριγώνων, ὅτι τὸ ὅλον ἴσον ἔσται τῷ ἑαυτοῦ ### book 131.20.1 μέρει. τοῦτο δὲ ἀδύνατον. ὅτι δὲ εἰκότως ὁ στοιχειωτὴς ### book 131.20.2 προσέθηκεν τὸ καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη, δῆλον· ἐπὶ μιᾶς ### book 131.20.3 γὰρ βάσεως ἴσα τρίγωνα λαβεῖν δυνατὸν τὸ μὲν ἐπὶ τάδε ### book 131.20.4 τὰ μέρη, τὸ δὲ ἐπὶ θάτερα, ἀλλὰ πάντως ἐν ταῖς αὐταῖς ### book 131.20.5 ἐστι παραλλήλοις· οὐδὲ γὰρ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἐστί. τοῦτο ### book 131.25.1 μὲν οὖν διὰ τοῦτο προσέθηκεν. ἄξιον καὶ τὸ μὲν ἐπιση‐ ### book 131.25.2 μάνασθαι, ὅτι τριῶν οὐσῶν τῆς τῶν θεωρημάτων ἀντιστρο‐ ### book 131.25.3 φῆς· ἢ γὰρ ὅλον ἀντιστρέφει πρὸς ὅλον, ὡς τὸ ὀκτωκαι‐ ### book 131.25.4 δέκατον καὶ ἐννεακαιδέκατον εἴπομεν, ἢ ὅλον πρὸς μέ‐ ### book 131.25.5 ρος ὡς τὸ ἕκτον καὶ πέμπτον, ἢ μέρος πρὸς ὅλον ὡς ### book 131.30.1 τὸ ὄγδοον καὶ τέταρτον. τοιαῦτα γὰρ καὶ ταῦτα τὰ θεω‐ ### book 131.30.2 ρήματα. ### book 132.1 Καὶ ἐπὶ τούτου τοῦ μʹ θεωρήματος ὁ αὐτὸς τρόπος ### book 132.2 τῆς ἀντιστροφῆς, καὶ ἡ ἀπόδειξις ἀπαράλλακτος, ὥσπερ ### book 132.3 καὶ ἐπὶ τοῦ λθʹ ἐλέγομεν, καὶ τὸ παραλελειμμένον τῷ ### book 132.4 στοιχειωτῇ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς ὡσαύτως ἀπο‐ ### book 132.5.1 δείκνυται καὶ οὐδὲν δεῖ τὰ αὐτὰ ἀνακυκλεῖν. ### book 132.5.2 Ἰστέον δέ, ὅτι τριῶν ὄντων τούτων ἐν ταῖς εἰρημέναις ### book 132.5.3 προτάσεσι, τοῦ ἐπὶ ἴσων εἶναι βάσεων, τοῦ ἐπὶ τῶν αὐτῶν ### book 132.5.4 εἶναι βάσεων καὶ τοῦ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις, δύο συμ‐ ### book 132.5.5 πλέκοντες ἀεί, τὸ δὲ ἓν καταλιπόντες ποικίλως ἀντιστρέ‐ ### book 132.10.1 φομεν. ἢ γὰρ τὰς βάσεις ὑποθησόμεθα τὰς αὐτὰς ἢ ἴσας ### book 132.10.2 καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις τὰ τρίγωνα καὶ τὰ παρ‐ ### book 132.10.3 αλληλόγραμμα καὶ ποιήσομεν τέσσαρα θεωρήματα, ἢ ### book 132.10.4 ἴσα ληψόμεθα αὐτὰ καὶ τὰς βάσεις τὰς αὐτὰς καὶ ποιή‐ ### book 132.10.5 σομεν ἄλλα δ, ὧν τὰ μὲν δύο παρῆκεν ὁ στοιχειωτὴς τὰ ### book 132.15 ἐπὶ τῶν παραλληλογράμμων, τὰ δὲ δύο ἔδειξε τὰ ἐπὶ τῶν ### book 132 τριγώνων. ### book 133.1 Καὶ τὸ μαʹ θεώρημα τοπικόν ἐστιν. δείξας δὲ ὁ ### book 133.2 στοιχειωτὴς χωρὶς μὲν τὰ παραλληλόγραμμα, χωρὶς δὲ ### book 133.3 τὰ τρίγωνα ἐνταῦθα μίγνυσι τῶν τριγώνων καὶ παραλλη‐ ### book 133.4 λογράμμων συστάσεις ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος κειμένων. λαβὼν ### book 133.5.1 γὰρ ἅμα ἀμφότερα μίγνυσι καὶ θεωρεῖ, ὅπως ἔχουσι πρὸς ### book 133.5.2 ἄλληλα. ἀλλὰ χωρὶς μὲν ὄντων τῶν παραλληλογράμμων ### book 133.5.3 καὶ χωρὶς τῶν τριγώνων ὁ τῆς ἰσότητος ἀνεφαίνετο λόγος· ### book 133.5.4 πάντα γὰρ ἴσα ἀλλήλοις τὰ ἐπὶ τῶν αὐτῶν βάσεων καὶ ἐν ### book 133.5.5 ταῖς αὐταῖς ὄντα παραλλήλοις εἴτε τρίγωνα εἴτε παραλλη‐ ### book 133.10.1 λόγραμμα. ἐνταῦθα δὲ ὁ πρῶτος τρόπος ἐστὶ τῶν ἀνίσων ### book 133.10.2 ὁ διπλάσιος· τὸ γὰρ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου ### book 133.10.3 διπλάσιον ἀποδείκνυσι τῆς αὐτῆς οὔσης βάσεως καὶ ὕψους ### book 133.10.4 τοῦ αὐτοῦ. ἰστέον, ὅτι δύο πτώσεων οὐσῶν ἐν τῷ θεωρή‐ ### book 133.10.5 ματι, οἷον τῆς αὐτῆς βάσεως οὔσης ἀμφοῖν τῷ τε παραλ‐ ### book 133.15.1 ληλογράμμῳ καὶ τῷ τριγώνῳ ἀνάγκη τὴν κορυφὴν ἔχειν ### book 133.15.2 τὸ τρίγωνον ἢ ἐντὸς τοῦ παραλληλογράμμου ἢ ἐκτός, ὁ ### book 133.15.3 στοιχειωτὴς τῇ ἑτέρᾳ πτώσει ἐχρήσατο· τὴν γὰρ τοῦ ### book 133.15.4 τριγώνου κορυφὴν ἐκτὸς ὑποθέμενος τοῦ παραλληλογράμ‐ ### book 133.15.5 μου τὸ προκείμενον ἔδειξε. δύο δὲ οὐσῶν παραλλήλων ### book 133.20.1 εὐθειῶν ἀνάγκη τὴν μὲν μείζονα εἶναι, τὴν δὲ ἐλάττονα, ### book 133.20.2 ἵνα ἐπιζευγνυμένων συσταίη καὶ τρίγωνον, ἐπεὶ ἴσων οὐ‐ ### book 133.20.3 σῶν τῶν παραλλήλων καὶ αἱ ἐπιζευγνύουσαι αὐτὰς παράλ‐ ### book 133.20.4 ληλοι ἔσονται. ### book 134.1 Ἔστι μὲν δὴ καὶ τὸ θεώρημα τοῦτο τοπικόν, μίγνυ‐ ### book 134.2 σι δὲ τριγώνων καὶ παραλληλογράμμων συστάσεις ὑπὸ τὸ ### book 134.3 αὐτὸ ὕψος κειμένων. ὥσπερ οὖν τὰ παραλληλόγραμμα ### book 134.4 χωρὶς ἐθεασάμεθα καὶ αὖ πάλιν τὰ τρίγωνα, οὕτω καὶ ἅμα ### book 134.5.1 ἀμφότερα λαβόντες ταὐτὸν ἐκείνοις πεπονθότα τὸν λόγον, ### book 134.5.2 ὃν ἔχει πρὸς ἄλληλα, θεωρήσωμεν. ἐπ’ ἐκείνων μὲν οὖν ### book 134.5.3 ὁ τῆς ἰσότητος ἀναφαίνεται λόγος· πάντα γὰρ ἦν ἴσα ἀλλή‐ ### book 134.1 λοις τὰ ἐπὶ τῶν αὐτῶν βάσεων εἴτε τρίγωνα εἴτε παραλλη‐ ### book 134.2 λόγραμμα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς ὄντα παραλλήλοις. ἐπὶ δὲ ### book 134.10.1 τούτων ὁ πρώτιστος δείκνυται τῶν ἀνίσων ὁ διπλάσιος. ### book 134.10.2 τὸ γὰρ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου διπλάσιον ἀπο‐ ### book 134.10.3 δείκνυσι τῆς αὐτῆς οὔσης βάσεως καὶ ὕψους τοῦ αὐτοῦ. ### book 134.10.4 ἀλλ’ ὁ μὲν στοιχειωτὴς τὴν τοῦ τριγώνου κορυφὴν ἐκτὸς ### book 134.10.5 ὑποθέμενος τοῦ παραλληλογράμμου τὸ προκείμενον ἔδει‐ ### book 134.15.1 ξεν, ἡμεῖς δὲ ἐπὶ τῆς ἑτέρας αὐτὴν λαβόντες τοῦ παραλλη‐ ### book 134.15.2 λογράμμου πλευρᾶς τῆς παραλλήλου τῇ κοινῇ αὐτῶν βάσει ### book 134.15.3 τὸ αὐτὸ ἀποδείξομεν. δύο γὰρ αὗται τοῦ θεωρήματός εἰσι ### book 134.15.4 πτώσεις σκοπός, ἐπειδὴ τῆς αὐτῆς βάσεως οὔσης ἀμφοῖν ### book 134.15.5 ἢ ἐντὸς τοῦ παραλληλογράμμου κορυφὴν ἔχειν ἀνάγκη τὸ ### book 134.20 τρίγωνον ἢ ἐκτός. ### book 135.1 Νῦν πρῶτον ἐμνήσθη τοῦ παραπληρώματος ἐν τῷ ### book 135.2 μγʹ θεωρήματι, τὸ δὲ ὄνομα τῶν παραπληρωμάτων ἀπ’ ### book 135.3 αὐτοῦ τοῦ πράγματος ἔλαβεν ὁ στοιχειωτὴς ὡς καὶ τούτων ### book 135.4 μετὰ τῶν δύο παραλληλογράμμων συμπληρούντων ὅλον τὸ ### book 135.5.1 περιέχον ἀμφότερα παραλληλόγραμμον. ἃ μὲν γὰρ ἡ διά‐ ### book 135.5.2 μετρος διαιρεῖ, παραλληλόγραμμά εἰσι, τὰ δὲ ἔξω τῆς δια‐ ### book 135.5.3 μέτρου παραπληρώματα, ὥστε τὸ περιέχον ἀμφότερα ### book 135.5.4 παραλληλόγραμμον ὑπὸ τῶν δύο παραλληλογράμμων τῶν ### book 135.5.5 ἐντὸς καὶ τῶν δύο παραπληρωμάτων συνέστηκε, διόπερ ### book 135.10.1 αὐτὸ καθ’ αὑτὸ μνήμης ἐν τοῖς ὅροις οὐκ ἠξίωται. ποικι‐ ### book 135.10.2 λίας γὰρ ἔδει πρὸς τὴν σαφήνειαν, ἵνα γνῶμεν, τί παραλ‐ ### book 135.10.3 ληλόγραμμον καὶ τίνα τὰ περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρον παραλ‐ ### book 135.10.4 ληλόγραμμα ἐντὸς τοῦ ὅλου. τούτων γὰρ σαφηνισθέντων ### book 135.10.5 ἐγένετο ἂν καὶ τὸ παραπλήρωμα γνώριμον. διὸ ταμιευ‐ ### book 135.15.1 σάμενος αὐτὰ νῦν, ὅτε ἐδεῖτο παραπληρωμάτων πρὸς τὸ ### book 135.15.2 συστῆσαι τὸ παραλληλόγραμμον τὸ περιέχον αὐτά, καὶ τὸν ### book 135.15.3 περὶ τούτων λόγον ἐμφαίνει. ### book 136.1 Ἔφαμεν, ὅτι τὰ παραλληλόγραμμα τρεῖς πτώσεις ### book 136.2 ἔχουσιν μόνας καὶ οὔτε πλείους οὔτε ἐλάσσους· τὰ γὰρ ### book 136.3 αὐτὰ παραλληλόγραμμα τὰ περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρον ἢ ### book 136.4 τεμεῖ ἄλληλα ἢ κατὰ σημεῖον ἅψεται ἀλλήλων ἢ διεστῶτα ### book 136.5.1 ἔσται μέρει τινὶ τῆς διαμέτρου. τὸ δὲ ὄνομα τῶν παραπλη‐ ### book 136.5.2 ρωμάτων ἀπ’ αὐτοῦ τοῦ πράγματος ἔλαβεν ὁ στοιχειωτὴς ### book 136.5.3 ὡς καὶ τούτων παρὰ τὰ δύο παραλληλόγραμμα συμπλη‐ ### book 136.5.4 ρούντων τὸ ὅλον. διόπερ αὐτὸ καθ’ αὑτὸ μνήμης ἐν τοῖς ### book 136.5.5 ὅροις οὐκ ἠξίωται. ποικιλίας γὰρ ἔδει πρὸς τὴν σαφήνειαν, ### book 136.10.1 ἵνα γνῶμεν παραλληλόγραμμον καὶ τίνα τὰ περὶ τὴν αὐτὴν ### book 136.10.2 διάμετρον τῷ ὅλῳ. τούτων σαφηνισθέντων καὶ τὸ παρα‐ ### book 136.10.3 πλήρωμα μόνον ὡς ἂν ἐγένετο γνώριμον. ἔστιν δὲ ἐκεῖνα ### book 136.10.4 τῶν παραλληλογράμμων περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρον, ὅσα ### book 136.10.5 μέρος τῆς ὅλης διαμέτρου καὶ αὑτῶν ἔχει διάμετρον, ὅσα ### book 136.15.1 δὲ μή, οὔ. ὅταν γὰρ ἡ τοῦ ὅλου διάμετρος τῶν πλευρῶν ### book 136.15.2 τινα τέμνῃ τοῦ ἐντὸς παραλληλογράμμου, τότε οὐκ ἔστιν ### book 136.15.3 τῷ ὅλῳ τοῦτο τὸ παραλληλόγραμμον περὶ διάμετρον τὴν [Omitted graphic marker] ### book 136.15.4 αὐτήν. οἷον ὡς ἐν τῷ ΑΒ ### book 136.15.5 παραλληλογράμμῳ ἡ ΓΔ ### book 136.20.1 τέμνει τοῦ ΓΕ παραλλη‐ ### book 136.20.2 λογράμμου τὴν ΕΘ πλευ‐ ### book 136.20.3 ράν. τὸ οὖν ΕΓ τῷ ΓΔ περὶ ### book 136.20.4 τὴν αὐτὴν οὐκ ἔστιν διά‐ ### book 136.20.5 μετρον. ### book 137.1 Εἴτε τὰ παραλληλόγραμμα ἐφάπτεται μόνον, ὡς ### book 137.2 ἔδειξεν ὁ στοιχειωτής, εἴτε καὶ διέστηκεν ἀπ’ ἀλλήλων, ### book 137.3 εἴτε καὶ τέμνει ἄλληλα, τὸ αὐτὸ δείκνυται. τὸ δὲ ὄνομα τῶν ### book 137.4 παραπληρωμάτων ἀπ’ αὐτοῦ τοῦ πράγματος ἔλαβεν ὁ ### book 137.5 στοιχειωτὴς ὡς καὶ τούτων παρὰ τὰ δύο παραλληλόγραμ‐ ### book 137 μα συμπληρούντων τὸ ὅλον. ### book 138.1 Ὑπὸ τῶν παλαιῶν εὑρόντες οἱ νεώτεροι τὴν παρα‐ ### book 138.2 βολὴν καὶ τὴν ἔλλειψιν ἐκτεθειμένας ἀπὸ τούτων τὰ ὀνό‐ ### book 138.3 ματα μετήγαγον ἐπὶ τὰς κωνικὰς λεγομένας γραμμὰς καὶ ### book 138.4 τὴν μὲν παραβολήν, τὴν δὲ ὑπερβολήν, τὴν δὲ ἔλλειψιν ### book 138.5.1 ἐκάλεσαν. ὅταν γὰρ εὐθείας ἐκκειμένης τὸ δοθὲν χωρίον ### book 138.5.2 πάσῃ τῇ εὐθείᾳ συμπαρατείνηται, τότε παραβάλλειν ἐκεῖνο ### book 138.5.3 τὸ χωρίον φαμέν, ὅτε δὲ μεῖζον γίνηται τοῦ χωρίου τὸ ### book 138.5.4 μῆκος αὐτῆς τῆς εὐθείας, τότε ὑπερβάλλειν, ὅτε δὲ ἔλασ‐ ### book 138.5.5 σόν ἐστι τὸ γραφὲν χωρίον αὐτῆς τῆς εὐθείας, ὡς εἶναι τὸ ### book 138.10.1 μὲν χωρίον ἐντός, τὴν δὲ εὐθεῖαν περιττεύειν ἐκτός, ἐλ‐ ### book 138.10.2 λείπειν. τῶν μὲν οὖν λοιπῶν δύο ὁ Εὐκλείδης ἐν τῷ ϛʹ ### book 138.10.3 βιβλίῳ μνημονεύει, ἐνταῦθα δὲ τῆς παραβολῆς ἐδεήθη τῷ ### book 138.10.4 δοθέντι τριγώνῳ ἴσον ἐθέλων παραβαλεῖν παρὰ τὴν δοθεῖ‐ ### book 138.10.5 σαν εὐθεῖαν. ἔστι δὲ τοιοῦτον τὸ παραβάλλειν, οἷον τρι‐ ### book 138.15.1 γώνου δοθέντος τὸ ἐμβαδὸν ἔχοντος ιβ ποδῶν, εὐθείας ### book 138.15.2 δὲ ἐκκειμένης, ἧς τὸ μῆκος τεττάρων ἐστὶ ποδῶν, τὸ ἴσον ### book 138.15.3 τῷ τριγώνῳ παρὰ τὴν εὐθεῖαν παραβάλλειν, εἰ λαβόντες ### book 138.15.4 τὸ μῆκος ὅλον τῶν δ ποδῶν διὰ τοῦ μήκους εὕρομεν καὶ ### book 138.15.5 τὸ πλάτος, ὅσων εἶναι δεῖ ποδῶν, ἵνα τῷ τριγώνῳ τὸ παρ‐ ### book 138.20.1 αλληλόγραμμον ἴσον γένηται· οἷον εἰ τύχοι ὂν τὸ πλάτος ### book 138.20.2 γ ποδῶν, ποιήσομεν τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος, ὀρθῆς δὲ ### book 138.20.3 γενομένης τῆς γωνίας ἕξομεν τὸ χωρίον. τρία δὲ τὰ δεδο‐ ### book 138.20.4 μένα ἐν τῷ προβλήματι τούτῳ ἐστίν, εὐθεῖα, παρ’ ἣν δεῖ ### book 138.20.5 παραβαλεῖν ὡς ὅλην αὐτοῦ τοῦ χωρίου γίνεσθαι πλευράν, ### book 138.25.1 καὶ τρίγωνον, ᾧ ἴσον εἶναι δεῖ τὸ παραβαλλόμενον, καὶ γω‐ ### book 138.25.2 νία, ᾗ ἴσην εἶναι δεῖ τὴν τοῦ χωρίου γωνίαν. δῆλον δέ, ὅτι ### book 138.25.3 ὀρθῆς μὲν οὔσης τῆς γωνίας τὸ παραβαλλόμενον ἢ τετρά‐ ### book 138.25.4 γωνον ἢ ἑτερόμηκες ἔσται, ὀξείας δὲ ἢ ἀμβλείας τὸ χωρίον ### book 138.25.5 ἢ ῥόμβος ἔσται ἢ ῥομβοειδές. εἰπὼν δέ, ὅτι παρὰ τὴν ### book 138.30.1 δοθεῖσαν εὐθεῖαν παραβαλεῖν, ἔδειξεν, ὅτι ἀνάγκη τὴν ### book 138.30.2 εὐθεῖαν πεπερασμένην εἶναι. ἔλαβε δὲ εἰς τὴν κατασκευὴν ### book 138.30.3 τοῦ προβλήματος τούτου τὴν σύστασιν τοῦ παραλληλο‐ ### book 138.30.4 γράμμου τοῦ ἴσου τῷ δοθέντι τριγώνῳ, διαφέρει δὲ ἡ σύ‐ ### book 138.30.5 στασις τῆς παραβολῆς, ὅτι ἡ μὲν παραβάλλει μόνον, ἡ δὲ ### book 138.35.1 σύστασις ὅλον ὑφίστησι τὸ χωρίον καὶ τὰς πλευρὰς αὐτοῦ· ### book 138.35.2 μιᾷ γὰρ πλευρᾷ χρωμένη τῇ δεδομένῃ εὐθείᾳ περιεχούσῃ ### book 138.35.3 τὸ ἐμβαδὸν τὰς λοιπὰς εἰσάγουσα πλευρὰς οὔτε ἐλλειπού‐ ### book 138.35.4 σας κατὰ τὴν ἔκτασιν οὔτε περιττευούσας τὸ χωρίον ### book 138.35.5 ὑφίστησιν. ἰστέον δέ, ὅτι, ὅτε μὲν τρίγωνα τριγώνοις ### book 138.40.1 ἐδείκνυεν ἴσα, θεωρήμασιν ἐχρῆτο, ἐπειδὴ ὁμοειδῶν ὄντων ### book 138.40.2 τῶν τριγώνων αὐτοφυὴς ἦν καὶ ἡ ἰσότης ἐν αὐτοῖς καὶ ### book 138.40.3 μόνης ἐπιβλέψεως ἔδει, ὅπερ ἔργον τοῦ θεωρήματος, ἐν‐ ### book 138.40.4 ταῦθα δέ, ἐπειδὴ τρίγωνα καὶ παραλληλόγραμμα τὰ ### book 138.40.5 δεικνύμενα, καί ἐστιν εἰδῶν ἐξαλλαγή, ἡ ἰσότης γενέσεως ### book 138.45.1 δεῖται καὶ μηχανῆς ὡς καθ’ ἑαυτὴν οὖσα δυσεύρετος· ### book 138.45.2 ἔργον δὲ προβλήματι τὸ τὰς γενέσεις τῶν πραγμάτων ### book 138.45.3 ποιεῖν. ### book 139.1 Ἐνταῦθα δὲ τῆς παραβολῆς ἐδεήθη τῷ δοθέντι τρι‐ ### book 139.2 γώνῳ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἴσον θέλων παραβαλεῖν, ### book 139.3 ἵνα μὴ μόνον σύστασιν ἔχωμεν παραλληλογράμμου τῷ δο‐ ### book 139.4 θέντι τριγώνῳ ἴσου, ἀλλὰ καὶ παρ’ εὐθεῖαν ὡρισμένην ### book 139.5.1 παραβολήν. οἷον τριγώνου δοθέντος τὸ ἐμβαδὸν ἔχοντος ### book 139.5.2 δώδεκα ποδῶν, εὐθείας δὲ ἐκκειμένης, ἧς τὸ μῆκός ἐστι ### book 139.5.3 τεσσάρων ποδῶν, τὸ ἴσον τριγώνῳ παρὰ τὴν εὐθεῖαν παρα‐ ### book 139.5.4 βάλλομεν, εἰ λαβόντες τὸ μῆκος τῶν τεττάρων ποδῶν ### book 139.5.5 εὕρομεν, πόσων εἶναι δεῖ ποδῶν τὸ πλάτος, ἵνα τῷ τρι‐ ### book 139.10.1 γώνῳ παραλληλόγραμμον ἴσον γένηται. εὑρόντες οὖν, εἰ ### book 139.10.2 τύχοι, πλάτος τριῶν ποδῶν καὶ ποιήσαντες τὸ μῆκος ἐπὶ ### book 139.10.3 τὸ πλάτος, τοῦτο δὲ ὀρθῆς οὔσης τῆς ἐκκειμένης γωνίας, ### book 139.10.4 ἕξομεν τὸ χωρίον. τοιοῦτον μὲν δή τι τὸ παραβαλεῖν ἐστιν ### book 139.10.5 ὑπὸ τῶν Πυθαγορείων παραδεδομένον. τρία δέ ἐστι τῷ ### book 139.15.1 προβλήματι τούτῳ τὰ δεδομένα· εὐθεῖα, παρ’ ἣν δεῖ παρα‐ ### book 139.15.2 βαλεῖν ὡς ὅλην αὐτοῦ τοῦ χωρίου γενέσθαι πλευράν, καὶ ### book 139.15.3 τρίγωνον, ᾧ ἴσον εἶναι δεῖ τὸ παραβαλλόμενον, καὶ ### book 139.15.4 γωνία, ᾗ ἴσην εἶναι τὴν τοῦ χωρίου γωνίαν. καὶ δῆλον πά‐ ### book 139.15.5 λιν, ὡς ὀρθῆς μὲν οὔσης τῆς γωνίας τὸ παραβαλλόμενον ### book 139.20.1 ἢ τετράγωνον ἢ ἑτερόμηκες ἔσται, ὀξείας δὲ ἢ ἀμβλείας ἢ ### book 139.20.2 ῥόμβος τὸ χωρίον ἢ ῥομβοειδές. ὅτι γε μὴν καὶ τὴν εὐθεῖαν ### book 139.20.3 εἶναι δεῖ πεπερασμένην, φανερόν· οὐ γὰρ δύναται παρὰ ### book 139.20.4 τὴν ἄπειρον. ἅμα οὖν τῷ φάναι παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ### book 139.20.5 παραβαλεῖν ἐδήλωσεν, ὅτι καὶ πεπεράνθαι ἀνάγκη τὴν ### book 139.25.1 εὐθεῖαν. χρῆται δὲ εἰς τὴν κατασκευὴν τοῦ προβλήματος ### book 139.25.2 τούτου τῇ συστάσει τοῦ παραλληλογράμμου τοῦ ἴσου τῷ ### book 139.25.3 δοθέντι τριγώνῳ· οὐ γὰρ ταὐτὸν παραβολὴ καὶ σύστασις, ### book 139.25.4 καὶ ὅτι ὅλον ὑφίστησι τὸ χωρίον καὶ τοῦτο καὶ τὰς πλευρὰς ### book 139.25.5 ἁπάσας δὲ μίαν ἔχουσα πλευρὰν δεδομένην παρὰ ταύτην ### book 139.30.1 ὑφίστησι τὸ χωρίον οὔτε ἐλλείπουσα κατὰ τὴν ἔκτασιν ### book 139.30.2 οὔτε ὑπερβάλλουσα, ἀλλὰ μιᾷ πλευρᾷ ταύτῃ χρωμένη ### book 139.30.3 περιεχούσῃ τὸ ἐμβαδόν. διὰ τί οὖν, φαίης ἄν, ὅτε μὲν τρί‐ ### book 139.30.4 γωνα τριγώνοις ἴσα ἐδείκνυ, θεωρήμασιν ἐχρῆτο, ὅτε δὲ ### book 139.30.5 τρίγωνα παραλληλογράμμοις, προβλήμασιν; ὅτι, φήσο‐ ### book 139.35.1 μεν, ἡ ἰσότης ὁμοειδῶν ὄντων αὐτοφυής ἐστι καὶ ἐπι‐ ### book 139.35.2 βλέψεως δεομένη μόνης, τῶν δὲ διὰ τὴν κατ’ εἶδος ἐξαλ‐ ### book 139.35.3 λαγὴν ἡ ἰσότης γενέσεως δεῖται καὶ μηχανῆς ὡς καθ’ ### book 139.35.4 ἑαυτὴν οὖσα δυσεύρετος. ### book 140.1 Ὅταν μὲν εὐθείας ἐκκειμένης τὸ δοθὲν χωρίον ### book 140.2 πάσῃ τῇ εὐθείᾳ συμπαρατείνῃς, τότε παραβάλλειν ἐκεῖνο ### book 140.3 τὸ χωρίον φασίν, ὅταν δὲ μεῖζον ποιήσῃς τὸ μῆκος τοῦ ### book 140.4 χωρίου τῆς εὐθείας, ὑπερβάλλειν, ὅταν δὲ ἔλαττον, ἐλλεί‐ ### book 140.5.1 πειν, καὶ τῶν τελευταίων τούτων ἐν τῷ ϛʹ μνημονεύει βι‐ ### book 140.5.2 βλίῳ, ὑπερβολῆς καὶ ἐλλείψεως. Πυθαγορείων δὲ ταῦτα ### book 140 ἐφευρήματα. ### book 141.1 Τὸ μεʹ πρόβλημα καθολικώτερόν ἐστι τῶν δύο ### book 141.2 προβλημάτων, ἐν οἷς εὑρίσκομεν τὴν σύστασιν καὶ τὴν ### book 141.3 παραβολὴν τῶν ἴσων τῷ δοθέντι τριγώνῳ παραλληλο‐ ### book 141.4 γράμμων. εἴτε γὰρ τρίγωνον εἴτε τετράγωνον ἢ ὅλως ### book 141.5.1 τετράπλευρον εἴτε ἄλλο τι πολύπλευρον εἴη δεδομένον, διὰ ### book 141.5.2 τούτου τοῦ προβλήματος ἴσον αὐτῷ παραλληλόγραμμον ### book 141.5.3 συστήσομεν. πᾶν γὰρ εὐθύγραμμον καθ’ αὑτὸ εἰς τρίγωνα ### book 141.5.4 διαλύεται. ἀναλύσαντες οὖν τὸ δοθὲν εὐθύγραμμον εἰς τρί‐ ### book 141.5.5 γωνα καὶ ἑνὶ μὲν αὐτῶν ἴσον παραλληλόγραμμον συστή‐ ### book 141.10.1 σαντες, τοῖς δὲ λοιποῖς παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἴσα ### book 141.10.2 παραλληλόγραμμα λαμβάνοντες, παρ’ ἣν καὶ τὴν παρα‐ ### book 141.10.3 βολὴν ἐποιήσαμεν, ἕξομεν τὸ ἐκ τούτων παραλληλόγραμ‐ ### book 141.10.4 μον ἴσον τῷ ἐξ ἐκείνων τῶν τριγώνων τῶν εὐθυγράμμων. ### book 141.10.5 κἂν δεκάπλευρον ᾖ τὸ εὐθύγραμμον, εἰς ὀκτὼ τρίγωνα ### book 141.15.1 αὐτὸ ἀναλύσομεν, ἑνὶ δὲ τούτων ἴσον συστήσομεν παραλλη‐ ### book 141.15.2 λόγραμμον, καὶ ἑπτὰ παραβάλλοντες ἴσα τοῖς λοιποῖς ἕξο‐ ### book 141.15.3 μεν τὸ ζητούμενον. ἔοικε δὲ ἐκ τοῦ προβλήματος τούτου ### book 141.15.4 κινηθέντας τοὺς παλαιοὺς καὶ τοῦ κύκλου τετραγωνισμὸν ### book 141.15.5 ζητῆσαι. εἰ δὲ παραλληλόγραμμον ἴσον εὑρίσκεται παντὶ ### book 141.20.1 εὐθυγράμμῳ, ζητήσεως ἄξιον, μὴ καὶ τὰ εὐθύγραμμα ἴσα ### book 141.20.2 δεικνύναι δυνατὸν τοῖς περιφερογράμμοις, ὡς καὶ ὁ Ἀρχι‐ ### book 141.20.3 μήδης ἔδειξεν, ὅτι πᾶς κύκλος ἴσος ἐστὶ τριγώνῳ ὀρθογω‐ ### book 141.20.4 νίῳ, οὗ ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ μιᾷ τῶν περὶ τὴν ὀρ‐ ### book 141.20.5 θήν, ἡ δὲ περίμετρος τῇ βάσει. ἀλλὰ ταῦτα ἐν ἄλλοις ζητή‐ ### book 141.25 σομεν. ### book 142.1 Ἐάν τε γὰρ τετράγωνον ἢ ὅλως τετράπλευρον εἴτε ### book 142.2 ἄλλο τι πολύπλευρον εἴη δεδομένον, διὰ τούτου τοῦ προ‐ ### book 142.3 βλήματος ἴσον αὐτῷ παραλληλόγραμμον συστήσομεν. πᾶν ### book 142.4 γὰρ εὐθύγραμμον, ὡς καὶ πρότερον εἴπαμεν, εἰς τρίγωνα ### book 142.5.1 ἀναλύεται· ἑνὶ δὲ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον συστή‐ ### book 142.5.2 σαντες, τοῖς δὲ λοιποῖς παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἴσα ### book 142.5.3 παραλληλόγραμμα λαμβάνοντες ἐκείνην, παρ’ ἣν ἐποιήσα‐ ### book 142.5.4 μεν τὴν πρώτην, κἂν δεκάπλευρον ᾖ τὸ εὐθύγραμμον, εἰς ### book 142.5.5 ὀκτὼ τρίγωνα διαλύσομεν, ἑνὶ δὲ ἴσον συστήσομεν παραλ‐ ### book 142.10.1 ληλόγραμμον καὶ ἑπτάκις παραβάλλοντες ἴσα τοῖς λοιποῖς ### book 142.10.2 ἕξομεν τὸ ζητούμενον. ἐκ τούτου δέ, οἶμαι, τοῦ προβλή‐ ### book 142.10.3 ματος οἱ παλαιοὶ καὶ τὸν τετραγωνισμὸν τοῦ κύκλου ἐζή‐ ### book 142.10.4 τησαν. εἰ γὰρ παραλληλόγραμμον ἴσον εὑρίσκεται παντὶ ### book 142.10.5 εὐθυγράμμῳ, ζητήσεως ἄξιον, μὴ καὶ τὰ εὐθύγραμμα ### book 142.15.1 τοῖς περιφερογράμμοις ἴσα δεικνύναι δυνατόν. καὶ ὁ Ἀρχι‐ ### book 142.15.2 μήδης ἔδειξεν, ὅτι πᾶς κύκλος ἴσος ἐστὶ τριγώνῳ ὀρθογω‐ ### book 142.15.3 νίῳ, οὗ ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶν μιᾷ τῶν περὶ τὴν ### book 142.15.4 ὀρθήν, ἡ δὲ περίμετρος τῇ βάσει. ἀλλὰ ταῦτα μὲν ἐν ἄλλοις. ### book 143.1 Τοῦτο καθολικώτερον τῶν πρὸ αὐτοῦ· διὸ καὶ ὡς ### book 143.2 λήμμασιν ἐκείνοις χρῆται. παντὶ γὰρ πολυγώνῳ ἴσον ### book 143.3 ὑπισχνεῖται πλάττειν παραλληλόγραμμον. διαλύει δὲ τὰ ### book 143.4 πολύγωνα εἰς τρίγωνα καὶ τοῖς τριγώνοις ἴσα συνίστησιν ### book 143.5.1 ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ ἀεὶ παρὰ τὴν τοῦ συσταθέντος πλευ‐ ### book 143.5.2 ρὰν τοῖς τριγώνοις ἴσα παραβάλλων παραλληλόγραμμα. ### book 143.5.3 ἐκ τούτου δέ φασι καὶ εἰς ζήτησιν τοῦ τὸν κύκλον τετρα‐ ### book 143.5.4 γωνίζεσθαι προελθεῖν. ὑπέλαβον γάρ, ὡς εἴη καὶ τοῖς ### book 143.5.5 μὴ εὐθυγράμμοις ἴσα παραλληλόγραμμα· ὅθεν ὁ Ἀρχιμή‐ ### book 143.10 δης σχεδὸν ἀπέδειξεν τοῦτο, ἀλλ’ ὅμως γε παρελογίσατο. ### book 144.1 Δεῖ μὲν ἡμῖν τοῦ μϛʹ προβλήματος εἰς τὴν κατα‐ ### book 144.2 σκευὴν τοῦ μζʹ. ἰστέον δέ, ὅτι τῶν ἀρίστων εὐθυγράμμων ### book 144.3 δύο τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου καὶ ἰσοπλεύρου τετραγώνου ### book 144.4 γενέσεις παραδέδωκεν ὁ στοιχειωτὴς ἐν τοῖς πρὸ τούτων ### book 144.5 καὶ ἐν τούτοις, διότι καὶ πρὸς τὴν σύστασιν τῶν κοσμικῶν ### book 144.1 σχημάτων τῶν δ καὶ τούτων μάλιστα χρεία τῶν εὐθυγράμ‐ ### book 144.2 μων· τὸ μὲν γὰρ εἰκοσάεδρον καὶ τὸ ὀκτάεδρον καὶ ἡ ### book 144.3 πυραμὶς ἐκ τῶν ἰσοπλεύρων σύγκειται τριγώνων, ὁ δὲ ### book 144.4 κύβος ἐκ τῶν τετραγώνων. πρεπόντως δὲ καὶ τὸ μὲν συστή‐ ### book 144.10.1 σασθαι λέγει (ὡς γὰρ ἐκ πολλῶν συγκροτούμενον συστά‐ ### book 144.10.2 σεως δεῖται), τὸ δὲ ἀναγράψαι ἔφη ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀρχῆς ἀπο‐ ### book 144.10.3 γεννώμενον καὶ ἀναγραφῆς δεόμενον μόνης. ### book 145.1 Δεῖται μὲν τοῦ προβλήματος τούτου διαφερόντως ### book 145.2 εἰς τὴν τοῦ ἐφεξῆς θεωρήματος κατασκευήν, ἔοικεν δὲ τῶν ### book 145.3 δύο γενέσεις ἐθελῆσαι παραδοῦναι τῶν ἐν εὐθυγράμμῳ ### book 145.4 ἀρίστων ἰσοπλεύρου τριγώνου καὶ τετραγώνου, διότι δὴ ### book 145.5.1 καὶ πρὸς τὴν σύστασιν τῶν κοσμικῶν σχημάτων καὶ μά‐ ### book 145.5.2 λιστα τῶν τεττάρων, ὧν καὶ γένεσίς ἐστι καὶ ἀνάλυσις, ### book 145.5.3 τούτων χρεία τῶν εὐθυγράμμων. τὸ μὲν γὰρ εἰκοσάεδρον ### book 145.5.4 καὶ τὸ ὀκτάεδρον καὶ ἡ πυραμὶς ἐκ τῶν ἰσοπλεύρων σύγκει‐ ### book 145.5.5 ται τριγώνων, ὁ δὲ κύβος ἐκ τῶν τετραγώνων. διό μοι δοκεῖ ### book 145.10.1 προηγουμένως τὸ μὲν συστήσασθαι, τὸ δὲ ἀναγράψαι· ### book 145.10.2 πρέποντα γὰρ δὴ ταῦτα τὰ ὀνόματα ἀνεῦρεν τοῖσδε τοῖς ### book 145.10.3 σχήμασι. τὸ μὲν γὰρ ὡς ἐκ πολλῶν συγκροτούμενον συστά‐ ### book 145.10.4 σεως δεῖται, τὸ δὲ ὡς ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς ἀπογεννώμενον ### book 145.10.5 ἀναγραφῆς. οὐ γάρ, ὥσπερ τὸ τετράγωνον ἔχομεν πολ‐ ### book 145.15.1 λαπλασιάσαντες τὸν τῆς δοθείσης εὐθείας ἀριθμὸν ἐφ’ ### book 145.15.2 ἑαυτόν, οὑτωσὶ καὶ τὸ τρίγωνον, ἀλλαχόθεν ἐπιζεύξαντες ### book 145.15.3 ἐπὶ τὰ πέρατα τῆς εὐθείας συγκροτοῦμεν ἐκ τούτων ἓν ### book 145.15.4 ἰσόπλευρον τρίγωνον, καὶ ἡ τῶν κύκλων καταγραφὴ συν‐ ### book 145.15.5 τελεῖ πρὸς τὸ ἀνευρεῖν ἐκεῖνο τὸ σημεῖον, ἀφ’ οὗ δεῖ τὰς ### book 145.20.1 εὐθείας εἰς τὰ πέρατα τῆς ἐκκειμένης εὐθείας ἐπιζεῦξαι. ### book 145.20.2 ταῦτα μὲν οὖν δῆλα· δεικτέον ἀντὶ τῶν εὐθειῶν ἴσων, ἀφ’ ### book 145.20.3 ὧν ἀναγράφεται τὰ τετράγωνα, καὶ αὐτὰ ἴσα ἐστίν. ### book 146.1 Ὁμοίως καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων εὐθειῶν τετράγωνα ### book 146.2 ἀναγραφῶσιν, ἴσα ἔσονται. ἔστωσαν γὰρ ἴσαι αἱ ΑΒ, ΓΔ, ### book 146.1 καὶ ἀπὸ μὲν τῆς ΑΒ ἀναγεγράφθω τὸ ΑΕ, ἀπὸ δὲ τῆς ### book 146.2 ΓΔ τὸ ΓΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΒ, ΘΔ. ἐπεὶ οὖν αἱ ### book 146.5.1 ΑΒ, ΓΔ ἴσαι καὶ αἱ ΑΗ, ΓΘ, καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσι, ### book 146.5.2 καὶ ἡ ΗΒ τῇ ΘΔ ἴση καὶ τὸ ΗΑΒ τρίγωνον τῷ ΘΓΔ ### book 146.5.3 τριγώνῳ. καὶ τὰ διπλάσια αὐτῶν· τὸ ἄρα ΑΕ τῷ ΓΖ ἴσον. ### book 146.5.4 ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ ἀντίστροφον ἀληθές. εἰ γὰρ τὰ τετράγωνα ### book 146.5.5 ἴσα, καὶ αἱ εὐθεῖαι αἱ ἀφ’ ὧν ἀναγέγραπται ἴσαι ἔσονται. ### book 146.10.1 ἔστω γὰρ τετράγωνα ἴσα τὰ ΑΖ, ΗΓ, καὶ κείσθω ὥστε [Omitted graphic marker] ### book 146.10.2 ἐπ’ εὐθείας εἶναι τὴν ΑΒ τῇ ### book 146.10.3 ΒΓ. ὀρθῶν ἄρα οὐσῶν τῶν ### book 146.10.4 γωνιῶν ἐπ’ εὐθείας καὶ ἡ ΖΒ ### book 146.10.5 τῇ ΒΗ ἔσται. ἐπεζεύχθωσαν ### book 146.15.1 αἱ ΖΓ, ΑΗ. ἐπεὶ οὖν ἴσον τὸ ### book 146.15.2 ΑΖ τετράγωνον τῷ ΓΗ, καὶ τὸ ### book 146.15.3 ΑΖΒ τρίγωνον ἴσον τῷ ΓΒΗ ### book 146.15.4 τριγώνῳ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ### book 146.15.5 ΒΓΖ. ὅλον ἄρα τὸ ΑΓΖ ἴσον ### book 146.20.1 τῷ ΓΖΗ. παράλληλος ἄρα ἡ ### book 146.20.2 ΑΗ τῇ ΓΖ διὰ τὸ λθʹ. πάλιν ἐπεὶ ἡμίσεια ὀρθῆς ἥ ### book 146.20.3 τε ὑπὸ ΑΖΒ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗΒ, παράλληλος ἡ ΑΖ τῇ ### book 146.20.4 ΓΗ· ἐναλλὰξ γάρ εἰσιν. οὐκοῦν ἴση ἡ ΑΖ τῇ ΓΗ· παρ‐ ### book 146.20.5 αλληλογράμμου γάρ εἰσιν ἀπεναντίον. ἐπεὶ δὴ δύο τρίγωνά ### book 146.25.1 ἐστι τὰ ΑΒΖ, ΒΓΗ τὰς ἐναλλὰξ ἔχοντα γωνίας ἴσας καὶ ### book 146.25.2 μίαν πλευρὰν τὴν ΑΖ τῇ ΓΗ, ἴση ἔσται καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ ### book 146.25.3 καὶ ἡ ΖΒ τῇ ΒΗ, ἐξ ὧν ἀνεγράφθη τὰ τετράγωνα. ### book 147.1 ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ p. 62, 17] διότι ἴση ἐστὶ τῇ ### book 147.2 ΑΔΕ καὶ οὔτε μείζων οὔτε ἐλάσσων, ὅπερ ὤφειλεν ἔχειν, ### book 147.3 εἰ κυρίως δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ἦσαν ἀμφότεραι. ### book 148.1 Ἐν τῷ σχήματι τοῦ μζʹ θεωρήματος μέσον μέν ### book 148.2 ἐστι τρίγωνον, ὑπὸ τὴν βάσιν δὲ τοῦ τριγώνου ἐστὶ τετρά‐ ### book 148.1 γωνον, ἐπάνω δὲ τοῦ τριγώνου ἐφ’ ἑκατέρας πλευρᾶς τε‐ ### book 148.2 τράγωνα, ὡς εἶναι τὸ ὅλον σχῆμα ἐκ τριγώνου ἑνὸς καὶ ### book 148.5.1 τριῶν τετραγώνων. φησὶν οὖν ὁ στοιχειωτὴς ἐν τῇ προ‐ ### book 148.5.2 τάσει τοῦ προκειμένου θεωρήματος, ὅτι τὸ ὑποκάτω τοῦ ### book 148.5.3 τριγώνου τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς δυσὶ τετραγώνοις τοῖς ### book 148.5.4 ἐπάνω τοῦ τριγώνου. ὑποτείνουσαν γὰρ πλευρὰν τὸ τρίγω‐ ### book 148.5.5 νον τὴν βάσιν λέγει, περιεχούσας δὲ πλευρὰς τὰς ἐπὶ τῆς ### book 148.10.1 βάσεως ἱσταμένας ἑκατέρωθεν. ἡμεῖς δὲ τὰς ἐν μέσῳ τοῦ ### book 148.10.2 διαγράμματος εὐθείας κατελίπομεν, πρὸς μόνην τὴν πρό‐ ### book 148.10.3 τασιν τοῦτο διαγράψαντες. οὐκ ἐπὶ πάντων δὲ τῶν τριγώ‐ ### book 148.10.4 νων τοῦτο δύναται γίνεσθαι· οὔτε γὰρ ἐπὶ τῶν ὀξυγωνίων ### book 148.10.5 οὔτε ἐπὶ τῶν ἀμβλυγωνίων, ἀλλ’ ἐπὶ μόνων τῶν ὀρθο‐ ### book 148.15.1 γωνίων. ἐπεὶ δὲ τὰ ὀρθογώνια ἢ ἰσοσκελῆ εἰσιν ἢ σκαληνά, ### book 148.15.2 ἀδύνατον τοῦτο γίνεσθαι ἐπὶ τῶν ἰσοσκελῶν διὰ τὸ τὴν ### book 148.15.3 βάσιν ἐλάττονα ἔχειν τῶν πλευρῶν, τοῦτο δὲ τὸ ἀνάπαλιν ### book 148.15.4 ζητεῖν τὴν βάσιν μείζονα εἶναι ἑκατέρου τῶν σκελῶν. ἀνάγ‐ ### book 148.15.5 κη οὖν τὸ τοιοῦτον σχῆμα ἐπὶ μόνων τῶν σκαληνῶν συν‐ ### book 148.20.1 ίστασθαι. καθολικώτερον δὲ περὶ τούτου τοῦ σχήματος ### book 148.20.2 ἐν τῷ ϛʹ βιβλίῳ διαλαμβάνει, ὡς ἐκεῖσε γενόμενοι εἰσό‐ ### book 148.20.3 μεθα. ### book 149.1 Οἱ ἀρχαῖοι τὸ θεώρημα τοῦτο εἰς Πυθαγόραν ### book 149.2 ἀναπέμπουσιν, καὶ θαυμαστή ἐστιν ἡ θεωρία τοῦ θεωρή‐ ### book 149.3 ματος τούτου. ὁ δὲ στοιχειωτὴς ἐν τούτῳ ἀπὸ τῆς τῶν ### book 149.4 παραλληλογράμμων κοινῆς θεωρίας τὸ ζητούμενον δεί‐ ### book 149.5.1 κνυσιν. διττῶν δὲ ὄντων τῶν ὀρθογωνίων τριγώνων, τῶν ### book 149.5.2 μὲν ἰσοσκελῶν, τῶν δὲ σκαληνῶν, ἐν μὲν τοῖς ἰσοσκελέσιν ### book 149.5.3 οὐκ ἄν ποτε εὕροιμεν ἀριθμοὺς ἐφαρμόσαι ταῖς πλευραῖς· ### book 149.5.4 οὐ γάρ ἐστι τετράγωνος ἀριθμὸς τετραγώνου διπλάσιος, ### book 149.5.5 εἰ μὴ λέγοι τις τὸν σύνεγγυς. ὁ γὰρ ἀπὸ τοῦ ζ τοῦ ἀπὸ τοῦ ### book 149.10.1 ε διπλάσιός ἐστιν α δέοντος. ἐν δὲ τοῖς σκαληνοῖς δυνατὸν ### book 149.10.2 λαβεῖν ἐναργῶς ἡμῖν δείκνυται τὸ ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης ### book 149.10.3 τὴν ὀρθὴν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθήν. τοιοῦτον ### book 149.1 γάρ ἐστι τὸ ἐν Πολιτείᾳ τρίγωνον, οὗ τὴν ὀρθὴν περιέχου‐ ### book 149.2 σιν ὅ τε τρία καὶ ὁ τέσσαρα, ὑποτείνει δὲ αὐτὴν ὁ ε. τὸ γοῦν ### book 149.15.1 ἀπὸ τοῦ ε τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπ’ ἐκείνων. τοῦτο ### book 149.15.2 μὲν γάρ ἐστιν εἴκοσι πέντε, τὰ ἀπ’ ἐκείνων δὲ τὸ μὲν ἀπὸ ### book 149.15.3 τοῦ γ θ, τὸ δὲ ἀπὸ τοῦ δ ἑκκαίδεκα. σαφὲς οὖν τὸ λεγό‐ ### book 149.15.4 μενον ἐπὶ τῶν ἀριθμῶν, παραδέδονται δὲ καὶ μέθοδοί τινες ### book 149.15.5 τῆς εὑρέσεως τῶν τοιούτων τριγώνων. τὴν μὲν εἰς Πλάτω‐ ### book 149.20.1 να ἀναπέμπουσι, τὴν δὲ εἰς Πυθαγόραν· ἀπὸ τῶν περιττῶν ### book 149.20.2 ἐστιν ἀριθμῶν. τίθησι γὰρ τὸν δοθέντα περιττὸν ὡς ἐλάσ‐ ### book 149.20.3 σονα τῶν περὶ τὴν ὀρθήν, καὶ λαβοῦσα τὸν ἀπ’ αὐτοῦ τετρά‐ ### book 149.20.4 γωνον καὶ τούτου μονάδα ἀφελοῦσα τοῦ λοιποῦ τὸ ἥμισυ ### book 149.20.5 τίθησι τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν τὸν μείζονα. προσθεῖσα δὲ καὶ ### book 149.25.1 τούτῳ μονάδα τὴν λοιπὴν ποιεῖ τὴν ὑποτείνουσαν. οἷον τὸν ### book 149.25.2 τρία λαβοῦσα καὶ τετραγωνίσασα καὶ ἀφελοῦσα τοῦ ἐννέα ### book 149.25.3 μονάδα τοῦ η λαμβάνει τὸ ἥμισυ τὸν δ καὶ τούτῳ προστί‐ ### book 149.25.4 θησι πάλιν μονάδα καὶ ποιεῖ τὸν ε· καὶ ηὕρηται τρίγωνον ### book 149.25.5 ὀρθογώνιον ἔχον τὴν μὲν τριῶν, τὴν δὲ τεσσάρων, τὴν δὲ ### book 149.30.1 πέντε. ἡ δὲ Πλατωνικὴ ἀπὸ τῶν ἀρτίων ἐπιχειρεῖ· λαβοῦσα ### book 149.30.2 γὰρ τὸν δοθέντα ἄρτιον τίθησιν αὐτὸν ὡς μίαν πλευρὰν τῶν ### book 149.30.3 περὶ τὴν ὀρθὴν καὶ τοῦτον διελοῦσα δίχα καὶ τετραγωνίσας ### book 149.30.4 τὸ ἥμισυ μονάδα μὲν τῷ τετραγώνῳ προσθεῖσα ποιεῖ τὴν ### book 149.30.5 ὑποτείνουσαν, μονάδα δὲ ἀφελὼν τοῦ τετραγώνου ποιεῖ ### book 149.35.1 τὴν ἑτέραν τῶν περὶ τὴν ὀρθήν. οἷον τὸν τέσσαρα λαβοῦσα ### book 149.35.2 καὶ τούτου τὸ ἥμισυ β τετραγωνίσας καὶ ποιήσας αὐτὸν δ, ### book 149.35.3 ἀφελοῦσα μὲν μονάδα ποιεῖ τὸν γ, προσθεῖσα δὲ ποιεῖ τὸν ### book 149.35.4 ε· καὶ ἔχει τὸ αὐτὸ γενόμενον τρίγωνον, ὃ καὶ ἐκ τῆς ἑτέρας ### book 149.35.5 ἀπετελεῖτο μεθόδου· τὸ γὰρ ἀπὸ τούτου ἴσον τῷ ἀπὸ τοῦ ### book 149.40.1 γ καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ δ συντεθεῖσιν. ταῦτα μὲν οὖν ἔξωθεν ### book 149.40.2 προσιστορήσθω· τῆς δὲ τοῦ στοιχειωτοῦ ἀποδείξεως οὔσης ### book 149.40.3 φανερᾶς οὐδὲν ἡγοῦμαι δεῖν προσθεῖναι περιττόν, ἀλλὰ ### book 149.40.4 ἀρκεῖσθαι τοῖς γεγραμμένοις, ἐπεὶ καὶ ὅσοι προσέθεσάν ### book 149 τι πλέον, ὡς οἱ περὶ Ἥρωνα καὶ Πάππον, ἠναγκάσθησαν ### book 149.45.1 προσλαβεῖν τι τῶν ἐν τῷ ἕκτῳ δεδειγμένων οὐδενὸς ἕνεκα ### book 149.45.2 πραγματειώδους. ### book 150.1 Ἔστω ἡ βάσις τοῦ τριγώνου ε, τῶν δύο πλευρῶν ἡ ### book 150.2 μὲν γ, ἡ δ’ ἑτέρα δ, τὸ ἀπὸ τῶν ε τετράγωνον κε, τὸ ἀπὸ ### book 150.3 τῆς γ θ, τὸ ἀπὸ τῆς δ ιϛ, ιϛ δὲ καὶ θ κε, ἅπερ ὅλον ἐστὶ τὸ ### book 150.4 ἀπὸ τῆς ε τετράγωνον. ### book 151.1 Ἔστω ἡ ΒΓ ἡ ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν γωνίαν τὴν ### book 151.2 ὑπὸ ΒΑΓ μονάδων ε, τὸ δὲ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον μονά‐ ### book 151.3 δων κε. πάλιν ἔστω ἡ ΒΑ εὐθεῖα μονάδων δ καὶ τὸ ἀπ’ ### book 151.4 αὐτῆς τετράγωνον μονάδων ιϛ, ἡ δὲ ΓΑ μονάδων γ καὶ ### book 151.5.1 τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον μονάδων θ. τὸ οὖν θ τὸ ἀπὸ τῆς ### book 151.5.2 ΓΑ τετράγωνον καὶ τὰ ιϛ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσα εἰσὶ τοῖς ### book 151.5.3 κε τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνῳ· θ γὰρ καὶ ιϛ κε. ### book 152.1 Ἐπὶ τῇ εὑρέσει τούτου τοῦ θεωρήματος βουθυτῆ‐ ### book 152.2 σαι λέγεται ὁ Πυθαγόρας, ὥς φησι Πρόκλος ἐξηγούμενος ### book 152.3 αὐτό. ### book 153.1 Ἰστέον, ὅτι, ὅταν ᾖ σκαληνὸν τὸ ὀρθογώνιον, ### book 153.2 δυνάμεθα ἀεὶ δι’ ἀριθμῶν ἀποδιδόναι τὸ ἀπὸ τῆς ὑποτει‐ ### book 153.3 νούσης τετράγωνον ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν πλευρῶν τετραγώ‐ ### book 153.4 νοις. εἰ γάρ ἐστιν ἡ κάθετος περισσὸς ἀριθμὸς ἀπὸ τοῦ ### book 153.5.1 τρία πάντως ἀρχόμενος, πολυπλασιάζω τὸν τοιοῦτον ἀριθ‐ ### book 153.5.2 μὸν καθ’ ἑαυτόν· εἶτα ἀφαιρῶ μονάδα καὶ τὸ ἥμισυ τοῦ ### book 153.5.3 μείναντος ἀριθμοῦ ποιῶ βάσιν· εἶτα προστίθημι μονάδα ### book 153.5.4 καὶ ποιῶ τὴν ὑποτείνουσαν. οἷον ἐπὶ ὑποδείγματος ἔστω ### book 153.5.5 ἡ κάθετος ε. πολλαπλασιάζω ταῦτα. γίνονται κε. ἀφαιρῶ ### book 153.10.1 μονάδα. μένουσιν κδ. τὰ ἡμίση τούτων ἤγουν τὰ ιβ ποιῶ ### book 153.10.2 βάσιν. προστίθημι μονάδα καὶ ποιῶ τὴν ὑποτείνουσαν. τῶν ### book 153.10.3 γὰρ ιγ ἡ δύναμις, ὅ ἐστι τὸ ἀπὸ τούτων τετράγωνον, ἔστι ### book 153.10.4 ρξθ, ἀλλὰ καὶ τὰ συναμφότερα τετράγωνα τό τε ἀπὸ τῆς ### book 153.10.5 καθέτου ἤτοι τὰ κε καὶ τὸ ἀπὸ τῆς βάσεως ἤτοι τὰ ρμδ ### book 153.15.1 τὸν ρξθ συμπληροῦσιν ἀριθμόν· καί ἐστιν ἡ μέθοδος αὕτη ### book 153.15.2 Πυθαγόρου, ὥς φησιν Ἥρων καὶ Πρόκλος ὁ Πλατωνικὸς ### book 153.15.3 διάδοχος. ἐὰν δὲ ᾖ ἡ κάθετος ἄρτιος ἀριθμός, ἡ μὲν μέθ‐ ### book 153.15.4 οδός ἐστι Πλατωνικὴ κατὰ τοὺς εἰρημένους Ἥρωνά τε καὶ ### book 153.15.5 Πρόκλον, πρόεισι δὲ οὕτως· λαμβάνω τὸ ἥμισυ τῆς καθ‐ ### book 153.20.1 έτου· πολυπλασιάζω αὐτό. ἀφαιρῶ τοῦ πολυπλασιασμοῦ ### book 153.20.2 μονάδα· τὸ μεῖναν ποιῶ βάσιν· προστίθημι τῇ βάσει δυάδα ### book 153.20.3 καὶ ποιῶ τὴν ὑποτείνουσαν. οἷον ἐπὶ ὑποδείγματος ### book 153.20.4 ἔστω ἡ κάθετος η. τὰ ἡμίση τούτων πολυπλασιάζω· γί‐ ### book 153.20.5 νονται ιϛ· ἀφαιρῶ μονάδα, καὶ γίνεται ἡ βάσις ιε. προστί‐ ### book 153.25.1 θημι δυάδα καὶ ποιῶ τὴν ὑποτείνουσαν ιζ. ἔστιν οὖν τὸ ### book 153.25.2 ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης τετράγωνον σπθ. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ### book 153.25.3 καθέτου μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς βάσεως τὸν αὐτὸν συμπληροῦ‐ ### book 153.25.4 σιν ἀριθμόν. τῶν γὰρ η τὸ τετράγωνον ξδ καὶ τῶν ιε σκε· ### book 153.25.5 ὁμοῦ σπθ. ### book 154.1 Ἡ μὲν ὑπὸ ΒΑΓ γωνία προαπεδόθη ὀρθή, ἡ δὲ ### book 154.2 ὑπὸ ΒΑΗ διὰ τὸ μϛʹ. τῇ γὰρ εὐθείᾳ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ ### book 154.3 σημείου πρὸς ὀρθὰς ἤχθη ἡ ἑτέρα εὐθεῖα, καὶ ἀπεδεί‐ ### book 154.4 χθησαν πᾶσαι αἱ γωνίαι τοῦ τετραγώνου ὀρθαί. καὶ ἐνταῦθα ### book 154.5.1 τοίνυν ἀπὸ τῆς Β[Α] πλευρᾶς τὸ ΗΒ συνέστη τετράγω‐ ### book 154.5.2 νον, καὶ ὀθραί εἰσιν αἱ πᾶσαι γωνίαι. ### book 155.1 Ἰστέον, ὅτι τότε δυνάμεθα εὑρίσκειν μήκει ῥητὴν ### book 155.2 τὴν ὑποτείνουσαν εὐθεῖαν τὴν ὀρθὴν γωνίαν τὴν τοῦ ὀρθο‐ ### book 155.3 γωνίου τριγώνου, ὅτε καὶ σκαληνὸν εἴη καὶ τὰς τὴν ὀρθὴν ### book 155.4 γωνίαν περιεχούσας πλευρὰς ῥητὰς ἔχῃ, ὅτε δὲ μὴ τοιοῦτόν ### book 155.5.1 ἐστιν, ἀλλ’ ἰσοσκελές, μήκει μὲν οὐδαμῶς, δυνάμει δέ, ### book 155.5.2 καθὼς καὶ τὸ εἰς τὴν προκειμένην καταγραφὴν τετράγωνον ### book 155.5.3 ἔχει. τούτου γὰρ ἡ ὑποτείνουσα πλευρὰ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ### book 155.5.4 διὰ τὸ μὴ σκαληνὸν ὑποκεῖσθαι οὐκ ἔστι μήκει ῥητή, ἀλλὰ ### book 155.5.5 δυνάμει· καὶ γὰρ αὕτη μονάδων ἐστὶ ζ δʹ ιεʹʹ νʹʹʹ λʹʹʹʹ καὶ ### book 155.10 μήκει οὐκ ἔστι ῥητή, ἀλλὰ δυνάμει. ### book 156.1 Δείκνυται τοῦτο τὸ τῆς νύμφης θεώρημα καὶ ἀριθ‐ ### book 156.2 μητικῶς οὕτως· Πλάτων τῶν ἀνισοσκελῶν ὡς δῆλον μό‐ ### book 156.3 νον ταῦτα καὶ ῥητὴν ἔχουσι τὴν πλευράν, καί ἐστιν ἐπὶ τῶν ### book 156.4 ἀρτίων ἀριθμῶν δεικνύμενον οὕτως· λαμβάνει τὸ ἥμισυ ### book 156.5.1 τοῦ προκειμένου αὐτῷ ἀριθμοῦ καὶ πολυπλασιάζει πρῶτον ### book 156.5.2 ἐφ’ ἑαυτό· εἶτα ἀφαιρεῖται τούτου τὸ ἓν καὶ τὸν λοιπὸν ### book 156.5.3 ἀριθμὸν τὴν ἑτέραν εἶναι λέγει πλευράν. εἶτα πάλιν προσ‐ ### book 156.5.4 τίθησι τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνῳ μονάδα καὶ ταύ‐ ### book 156.5.5 την εἶναι τὴν ὑποτείνουσαν. ἔστω γὰρ ὡς ἐν ὑποδείγματι ### book 156.10.1 τρίγωνον ἰσοσκελὲς ὀρθογώνιον τὴν μίαν ἔχον πλευρὰν δ [Omitted graphic marker] ### book 156.10.2 εἴτε σπιθαμῶν εἴτε ποδῶν, ### book 156.10.3 εἴτε ὁπωσδήποτέ τις αὐτὴν ### book 156.10.4 ὑποθῆται. ζητεῖται οὖν ἡ λοιπὴ ### book 156.10.5 πλευρὰ καὶ ἡ ὑποτείνουσα, καὶ ### book 156.15.1 λέγομεν οὕτως· δὶς δύο τέσσα‐ ### book 156.15.2 ρες· τοῦτο γὰρ ἦν τὸ ἥμισυ ### book 156.15.3 τοῦ προκειμένου ἡμῖν ἀριθμοῦ. ### book 156.15.4 εἶτα ἀφαιροῦμεν τούτου τὸ ἕν, ### book 156.15.5 καὶ τοῦτό ἐστιν ἡ πλευρὰ ἤγουν ### book 156.20.1 ὁ τρία. προστίθεμεν δὲ καὶ εἰς ### book 156.20.2 τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετράγωνον μονάδα, ὅπερ ἦν ὁ δ, ### book 156.20.3 καί ἐστιν ἡ ὑποτείνουσα ε. δείκνυται οὖν τὸ θεώρημα ### book 156.20.4 οὕτως ὡς ἐν τῷ διαγράμματι. Πυθαγόρας ἀπὸ τῶν πε‐ ### book 156.20.5 ρισσῶν οὕτως πολυπλασιάζει πρῶτον ὅλον τὸν προκεί‐ ### book 156.25.1 μενον ἀριθμόν, καὶ ἀφαιρεῖται τούτου μονάδα, καὶ τὸ ### book 156.25.2 τοῦ ἀριθμοῦ τούτου ἥμισύ ἐστιν ἡ ἑτέρα πλευρά. εἶτα ### book 156.25.3 προστίθησι τῷ ἡμίσει μονάδα, καί ἐστιν ἡ ὑποτείνουσα. ### book 156.25.4 ἔστω γὰρ τρίγωνον ἀνισοσκελὲς ἔχον τὴν μίαν τῶν πλευ‐ ### book 156.25.5 ρῶν γ. ζητεῖται οὖν ἡ ἑτέρα πλευρὰ καὶ ἡ ὑποτείνουσα, καὶ ### book 156.30.1 εὑρίσκει αὐτὴν οὕτως· πολυπλασιάζει τὸν ἀριθμὸν ὅλον ### book 156.30.2 ἐφ’ ἑαυτὸν οὕτως· τρὶς τὰ τρία θ. εἶτα ἀφαιρεθείσης μο‐ ### book 156.1 νάδος ἐναπελείφθη ὁ ὀκτὼ ἀριθμός, καὶ τούτου τὸ ἥμισύ ### book 156.2 ἐστιν ἡ ἑτέρα πλευρά. προστίθησι δὲ καὶ τῷ ἡμίσει τούτῳ ### book 156.3 μονάδα, καὶ τοῦτό ἐστιν ἡ ὑποτείνουσα ἤτοι ε. δείκνυται τὸ ### book 156.35 θεώρημα οὕτως ὡς ἐν τῷ διαγράμματι. ### book 157.1 Τὸ μηʹ θεώρημα ἀντιστρέφει τῷ πρὸ αὐτοῦ ὅλον ### book 157.2 πρὸς ὅλον. εἰ γὰρ ὀρθογώνιόν ἐστι τὸ τρίγωνον, τὸ ἀπὸ ### book 157.3 τῆς ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον γινόμενον ἴσον ### book 157.4 ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν πλευρῶν γινομένοις τετραγώνοις ### book 157.5.1 τοῖς δυσὶ τὸ ἕν, καὶ εἰ τὸ ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης πλευρᾶς ### book 157.5.2 γινόμενον τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν δύο ### book 157.5.3 πλευρῶν γινομένοις δυσὶ τετραγώνοις, ὀρθογώνιόν ἐστι τὸ ### book 157.5.4 τρίγωνον ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ τῶν λοιπῶν περιεχομένην. ### book 157.5.5 ἄχρι δὲ τούτου τὸ πρῶτον βιβλίον ὁ στοιχειωτὴς συνεπλή‐ ### book 157.10.1 ρωσε πολλὰ εἴδη ἀντιστροφῶν παραδοὺς ἡμῖν (ἀντέστρεψε ### book 157.10.2 γὰρ καὶ ὅλα πρὸς ὅλα καὶ ὅλα πρὸς μέρη καὶ μέρη πρὸς ### book 157.10.3 μέρη θεωρημάτων) πολλήν τε ποικιλίαν προβλημάτων ἐπι‐ ### book 157.10.4 νοήσας (καὶ γὰρ εὐθειῶν τομὰς καὶ γωνιῶν καὶ θέσεις καὶ ### book 157.10.5 στάσεις καὶ παραβολὰς παραδέδωκε), ἐφαψάμενος καὶ τοῦ ### book 157.15.1 παραδόξου τόπου τῶν θεωρημάτων καὶ τῶν τοπικῶν ### book 157.15.2 αὐτῶν θεωρημάτων ἱκανῶς ἡμᾶς ἀναμνήσας, τῶν τε καθ‐ ### book 157.15.3 ολικῶν καὶ τῶν ἐπὶ μέρους τὴν στοιχείωσιν ἐκφῆναι δυνα‐ ### book 157.15.4 μένων καὶ τῶν ἀδιορίστων καὶ διωρισμένων προβλημά‐ ### book 157.15.5 των τὴν διαφορὰν ἐνδειξάμενος ὅλον τὸ αʹ βιβλίον εἰς ἕνα ### book 157.20.1 σκοπὸν ἀνήνεγκε τὴν στοιχείωσιν τῆς περὶ τῶν ἁπλουστά‐ ### book 157.20.2 των εὐθυγράμμων θεωρίας, τάς τε συστάσεις αὐτῶν ἐξευ‐ ### book 157.20.3 ρὼν καὶ τὰ καθ’ αὑτὰ ὑπάρχοντα αὐτοῖς ἀνασκεψάμενος. ### book 158.1 ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΔΑΓ p. 66, 5. 6] ἀπὸ γὰρ ### book 158.2 τοῦ Α σημείου τῇ ΑΓ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθη ἡ ΑΔ. ### book 159.1 Ἀντιστρέφει μὲν τοῦτο τῷ πρὸ αὐτοῦ θεωρήματι ### book 159.2 καὶ ὅλον πρὸς ὅλον ἀντιστρέφει. εἰ γὰρ ὀρθογώνιον, τὸ ἀπὸ ### book 159.1 τῆς ὑποτεινούσης ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν, καὶ εἰ τὸ ἀπὸ ### book 159.2 ταύτης ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν, ὀρθογώνιόν ἐστι τὸ τρί‐ ### book 159.5.1 γωνον ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ τῶν λοιπῶν περιεχομένην. καὶ ### book 159.5.2 ἡ μὲν ἀπόδειξις τοῦ στοιχειωτοῦ φανερά. ### book 159.5.3 Τὸ μὲν οὖν πρῶτον βιβλίον ἄχρι τούτων ὁ στοιχειωτὴς ### book 159.5.4 συνεπλήρωσεν πολλὰ μὲν ἀντιστροφῶν εἴδη παραδούς (καὶ ### book 159.5.5 γὰρ ὅλα πολλάκις ἀντέστρεψεν πρὸς ὅλα καὶ ὅλα πρὸς ### book 159.10.1 μέρη καὶ μέρη πρὸς μέρη θεωρημάτων), πολλὴν δὲ ποικι‐ ### book 159.10.2 λίαν προβλημάτων ἐπινοήσας (καὶ γὰρ εὐθειῶν τομὰς καὶ ### book 159.10.3 γωνιῶν καὶ θέσεις καὶ συστάσεις καὶ παραβολὰς παρα‐ ### book 159.10.4 δέδωκεν), ἐφαψάμενος δὲ καὶ τοῦ παραδόξου λεγομένου ### book 159.10.5 τόπου τῶν μαθημάτων καὶ τῶν τοπικῶν αὐτῶν θεωρημά‐ ### book 159.15.1 των ἱκανῶς ἡμᾶς ἀναμνήσας τῶν τε καθολικῶν καὶ τῶν ### book 159.15.2 ἐπὶ μέρους τὴν στοιχείωσιν ἐκφήνας καὶ τῶν ἀδιορίστων ### book 159.15.3 καὶ διωρισμένων προβλημάτων τὴν διαφορὰν ἐνδειξάμενος, ### book 159.15.4 ἃ δὴ πάντα καὶ ἡμεῖς αὐτῷ συνεπόμενοι διηρθρώσαμεν, ### book 159.15.5 ὅλον δὲ τὸ βιβλίον εἰς ἕνα σκοπὸν ἀνενεγκὼν τὴν στοιχείω‐ ### book 159.20.1 σιν τῆς περὶ τῶν ἁπλουστάτων εὐθυγράμμων θεωρίας καὶ ### book 159.20.2 τάς τε συστάσεις αὐτῶν ἐξευρὼν καὶ τὰ καθ’ αὑτὰ ὑπάρ‐ ### book 159.20.3 χοντα αὐτοῖς ἀνασκεψάμενος. ἡμεῖς δέ, εἰ μὲν δυνηθείημεν ### book 159.20.4 καὶ τοῖς λοιποῖς τὸν αὐτὸν τρόπον ἐξελθεῖν, τοῖς θεοῖς ἂν ### book 159.20.5 χάριν ὁμολογήσαιμεν, εἰ δὲ ἄλλαι φροντίδες ἡμᾶς περι‐ ### book 159.25.1 σπάσαιεν, τοὺς φιλοθεάμονας τῆς θεωρίας ταύτης ἀξιοῦμεν ### book 159.25.2 κατὰ τὴν αὐτὴν μέθοδον καὶ τῶν ἑξῆς ποιήσασθαι βιβλίων ### book 159.25.3 τὴν ἐξήγησιν, τὸ πραγματειῶδες πανταχοῦ καὶ εὐδιαίρετον ### book 159.25.4 μεταδιώκοντας, ὡς τά γε φερόμενα νῦν ὑπομνήματα πολ‐ ### book 159.25.5 λὴν καὶ παντοδαπὴν ἔχει τὴν σύγχυσιν αἰτίας ἀπόδοσιν ### book 159.30 οὐδεμίαν συνεισφέροντα οὐδὲ κρίσιν διαλεκτικὴν οὐδὲ θεω‐ ### book 159 ρίαν φιλόσοφον. ### book 1.1 Τὸ βιβλίον τοῦτο χρήσιμον εἰς πολλά. καὶ γὰρ πρὸς ### book 1.2 στερεωμετρίαν καὶ τὴν τῶν ἐπιπέδων συμβάλλεται θεω‐ ### book 1.3 ρίαν, λύεται δὲ πολλὰ δι’ αὐτοῦ τῶν προβλημάτων, εἴς τε ### book 1.4 μὴν ἀστρονομίαν οὐκ ὀλίγα συμβάλλεται· σκοπὸν δὲ ἔχει ### book 1.5.1 εὐθειῶν ἀναγραφὰς καὶ τῶν μερῶν παραδοῦναι, ἀφ’ ὧν ### book 1.5.2 ἄλογοι τομαὶ φανήσονται εὐθειῶν. εὑρίσκει δὲ καὶ τὰς δύο ### book 1.5.3 μεσότητας ἀριθμητικὴν καὶ γεωμετρικήν· οὐ δεῖται δὲ ### book 1.5.4 λήμματος οὐδὲ ἔχει πρὸς δεῖξιν ἔνστασιν. ### book 2.1 Ἀπορήσειέ τις, διὰ τί πᾶν παραλληλόγραμμον ὀρθογώ‐ ### book 2.2 νιον περιέχεσθαι λέγεται ὑπὸ δύο τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν ### book 2.3 περιεχουσῶν εὐθειῶν καὶ οὐχὶ πᾶν παραλληλόγραμμον ### book 2.4 ἁπλῶς, ἐπείπερ ἔδοξε λέγεσθαι περιέχειν τὰς δύο πλευρὰς ### book 2.5.1 τοιόνδε τι παραλληλόγραμμον. λέγομεν οὖν πρὸς τὸν οὕτω ### book 2.5.2 ἀπορήσαντα αἰτίαν εἶναι τούτου τὴν τῆς γωνίας ὀρθότητα. ### book 2.5.3 τρόπον γάρ τινα οἶδα, ἐὰν ἡ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ### book 2.5.4 δύο εὐθειῶν ἐστιν ὀρθή, καὶ ποῦ τεθήσονται αἱ μετὰ τῶν ### book 2.5.5 τοιούτων δύο πλευρῶν τὸ ὀρθογώνιον σχῆμα περιέχουσαι ### book 2.10 ἕτεραι πλευραὶ δύο. περιεχέτωσαν γὰρ σαφηνείας χάριν ### book 2.1 τὴν ὀρθὴν γωνίαν αἱ ΒΑ, ΑΓ. ἐὰν διὰ τοῦ Β σημείου, ### book 2.2 καθ’ ὃ περατοῦται ἡ μία τῶν γραμμῶν, παράλληλον τῇ ### book 2.3 ΑΓ ἀγάγωμεν τὴν ΒΔ, ἔσονται αἱ πρὸς τοῖς Α, Β δύο γω‐ ### book 2.4 νίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι. ἔστι δὲ ἡ πρὸς τῷ Α ὀρθή· ὀρθὴ ### book 2.15.1 ἄρα ἔσται καὶ ἡ πρὸς τῷ Β. ὀρθῆς οὖν ἀναγκαίως ὀφειλού‐ ### book 2.15.2 σης εἶναι τῆς πρὸς τῷ Β, εἰ παραλληλόγραμμον μέλλει [Omitted graphic marker] ### book 2.15.3 γενέσθαι, οἶδα τρόπον τινὰ καὶ πρὸ τοῦ διαθεῖναι τὴν ΒΔ ### book 2.15.4 τὴν θέσιν αὐτῆς. ἐπεὶ γὰρ μία ἐστὶν ἡ θέσις τῆς εὐθείας ### book 2.15.5 τῆς μεθ’ ἑτέρας πλευρᾶς ὀρθὴν ποιούσης γωνίαν καὶ οὐχὶ ### book 2.20.1 πλέονες ὡς τῆς μεθ’ ἑτέρας εὐθείας γραμμῆς ὀξεῖαν ἢ ### book 2.20.2 ἀμβλεῖαν γωνίαν ποιούσης διὰ τὸ εἰ ὀξεῖαν ὀξείας μείζονα ### book 2.20.3 καὶ ἀμβλεῖαν ἀμβλείας οἶσθα πως ..... διὰ τὰ αὐτὰ ### book 2.20.4 δὲ οἶδα καὶ τὴν τῆς ἑτέρας πλευρᾶς θέσιν παντελῶς. ### book 2.20.5 λοιπὸν ἄρα καὶ ἀσφαλῶς τὸ παραλληλόγραμμον περιάγε‐ ### book 2.25.1 σθαι μετὰ τῶν ὑπὸ δύο τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχου‐ ### book 2.25.2 σῶν εὐθειῶν. ### book 3.1 Πᾶν παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον περιέχεσθαι λέ‐ ### book 3.2 γεται ὑπὸ δύο τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν εὐθειῶν] ### book 3.3 διὰ τί τεσσάρων οὐσῶν εὐθειῶν τῶν περιεχουσῶν τὸ παρ‐ ### book 3.4 αλληλόγραμμον δύο μόνας ὠνόμασεν; αἱ γὰρ τὴν ὀρθὴν ### book 3.5.1 γωνίαν περιέχουσαι δύο μόναι εἰσίν· ἔδει οὖν ἢ ὑπὸ τῶν ### book 3.5.2 τὰς ὀρθὰς εἰπεῖν καὶ ἐδήλου πάσας, ἢ φανερῶς εἰπεῖν ὑπὸ ### book 3.5.3 τεσσάρων εὐθειῶν. καλῶς καὶ στοιχειωδῶς εἴρηται· τὸ ### book 3.5.4 γὰρ μέλλον λέγεσθαι ἐν τοῖς θεωρήμασι προδιδάσκει ### book 3.5.5 ἡμᾶς, ὡς εἴωθεν ἐν τοῖς ὅροις ἀεὶ ποιεῖν, ἵνα μὴ ἐν τοῖς τό‐ ### book 3.10 ποις ταραττώμεθα παρ’ ὑπόληψιν ἀκούοντές τινα ῥήματα. ### book 3.1 λέγεται γὰρ ἐν τῷ στοιχείῳ τούτῳ πρῶτον καὶ οὐδέπω ### book 3.2 ῥηθέν· ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχε, τὸ ἀπὸ τῆς ### book 3.3 ὅλης τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑκατέ‐ ### book 3.4 ρου τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ [II 2]· καὶ ### book 3.15.1 τί μέν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τετράγωνον, ### book 3.15.2 ἤδη ἔγνωμεν πρὸς τῷ τέλει τοῦ αʹ στοιχείου [I 46], καὶ ### book 3.15.3 νῦν δὲ δῆλον· ἀεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ τετραγώνου ἀναγραφὴν δη‐ ### book 3.15.4 λοῖ. τὸ μέντοι ὑπὸ οὐδέπω οὐδαμοῦ ἐγνώσθη τοιοῦτόν τι ### book 3.15.5 ὄν· ἀεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῆσδε καὶ τῆσδε περιεχόμενον παραλ‐ ### book 3.20.1 ληλόγραμμον δηλοῖ. κἂν μὲν ἴσαι ὦσιν αἱ δύο εὐθεῖαι, ### book 3.20.2 συμβαίνει τὸ παραλληλόγραμμον καὶ τετράγωνον εἶναι, ἂν ### book 3.20.3 δὲ ἄνισοι, παραλληλόγραμμον ἑτερόμηκες. πλὴν ἀλλὰ κἂν ### book 3.20.4 τετράγωνον αὐτὸ συμβῇ γενέσθαι, οὐχ ὡς τετράγωνον ### book 3.20.5 διδάσκεται οὕτως, ἀλλ’ ὡς παραλληλόγραμμον. εὐθέως ### book 3.25.1 γοῦν τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑκατέρου τῶν τμημάτων οὐδέ‐ ### book 3.25.2 ποτ’ ἂν γένοιτο τετράγωνον ἀνίσων τούτων ὄντων. ### book 4.1 Οὐχ ὡς ὑπὸ τῶν δύο εὐθειῶν περιεχομένου τοῦ ὀρ‐ ### book 4.2 θογωνίου· ὑπὸ δ γὰρ περιέχεται· ἀλλ’ ὡς προειλημμένου ### book 4.3 ὑπὸ τοῦ ὅρου τοῦ αʹ τοῦ δευτέρου τῶν στοιχείων. ἐν τῷ ### book 4.4 αʹ γὰρ τοῖς ὅροις εἶπεν, ὅτι δύο εὐθεῖαι χωρίον οὐ περιέχου‐ ### book 4.5.1 σιν· καὶ μηδ’ ἐνταῦθα γοῦν ὑπολάβῃς, ὅτι τοῦτο τὸ ὀρθο‐ ### book 4.5.2 γώνιον δύο εὐθεῖαι περιέχουσιν. εἶπε δὲ δύο διὰ τὸ καὶ τὰς ### book 4.5.3 λοιπὰς δύο ἴσας εἶναι ταύταις ἑκατέραν τῇ αὑτῇ ἀπεναν‐ ### book 4.5.4 τίον. ### book 5.1 Τὸ ὀρθογώνιον προσέθηκεν, ἵνα διορίσηται τὰ μὴ ### book 5.2 ὀρθογώνια παραλληλόγραμμα, ὡς δηλοῖ τὸ μαʹ θεώρημα ### book 5.3 τοῦ αʹ βιβλίου καὶ τὸ ληʹ. περιεχουσῶν δὲ εἶπε καὶ οὐχ ### book 5.4 ὑποτιθεισῶν, ἵνα μὴ λάβῃς τὰς ἀπεναντίας. ### book 6 Τὸ ὀρθογώνιον προσέθηκεν, ἵνα διορίσῃ τὰ παραλλη‐ ### book 6.1 λόγραμμα μέν, μὴ ὀρθογώνια δέ, οἷά εἰσι τὰ ἐπὶ τῆς ### book 6.2 αὐτῆς βάσεως ἀλλήλοις συναναγραφόμενα καὶ τά, ἐφ’ ὧν ### book 6.3 παραλλήλους εὐθείας ἄγοντες ταῖς τῶν τριγώνων πλευραῖς ### book 6.5.1 παραλληλόγραμμον ἐποιοῦμεν· ἐπὶ τούτων γὰρ οὐ λέγεται ### book 6.5.2 τὸ ὑπὸ τῶνδε. ### book 7.1 Τὸ μὲν ὀρθογώνιον προσέθηκεν, ἵνα διορίσῃ τὰ παρ‐ ### book 7.2 αλληλόγραμμα μέν, μὴ ὀρθογώνια δέ· ἐπὶ γὰρ τῶν τοιού‐ ### book 7.3 των οὐ λέγεται τὸ ὑπὸ τῶνδε. τίνα δέ ἐστι τὰ παραλληλό‐ ### book 7.4 γραμμα τὰ μὴ ὀρθογώνια, ἔγνωμεν ἤδη ἐν τῷ πρὸ τούτου ### book 7.5.1 στοιχείῳ ..... τε τοῖς προαναγεγραμμένοις παραλληλο‐ ### book 7.5.2 γράμμοις τε καὶ ὀρθογωνίοις ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως συν‐ ### book 7.5.3 αναγραφομένοις .... ὧν ... εὐθείας ἄγοντες ταῖς τῶν ### book 7.5.4 τριγώνων πλευραῖς παραλληλόγραμμον ἐποιοῦμεν, ὡς δῆ‐ ### book 7.5.5 λον ἐν πολλοῖς μὲν καὶ ἄλλοις, φανερώτερον δὲ ἐν μαʹ ### book 7.10 θεωρήματι ..... ### book 8.1 Τῶν τὴν ὀρθὴν περιεχουσῶν εἶπεν· οὐ γὰρ δὴ ὑπὸ ### book 8.2 τῶν τυχουσῶν δύο εὐθειῶν, ἀλλ’ ὑπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γω‐ ### book 8.3 νίαν περιεχουσῶν εὐθειῶν, ἵνα μὴ λάβῃς .....εναντίας. ### book 8.4 αὗται .....περιεχ... γωνίαν ου... παραλληλό‐ ### book 8.5.1 γραμμον ὀρθογώνιον περιέχειν δύνανται. κἂν μὴν ἐκεῖναι ### book 8.5.2 ληφθῶσιν ............... ### book 9.1 Εἰδέναι δὲ δεῖ, ὅτι τὸ παραλληλόγραμμον εἶδος μέν ### book 9.2 ἐστι τοῦ εὐθυγράμμου, γένος δὲ τῶν παραλληλογράμμων. ### book 9.3 εἴδη δὲ αὐτῶν τέσσαρα· τετράγωνον, ἑτερόμηκες, ῥόμβος, ### book 9.4 ῥομβοειδές. ### book 10.1 Τῶν τετραπλεύρων σχημάτων τὰ μὲν παραλληλό‐ ### book 10.2 γραμμα, τὰ δὲ τραπέζια· τῶν δὲ τριπλεύρων καὶ τετρα‐ ### book 10.3 πλεύρων καὶ πολυπλεύρων γένος ἐστὶ τὸ εὐθύγραμμον, ### book 10.4 ὥστε προσεχὲς γένος τῶν παραλληλογράμμων οὐ τὸ εὐθύ‐ ### book 10.5 γραμμον, ἀλλὰ τὸ τετράπλευρον. ### book 11.1 Τὸν γνώμονα ἰστέον συντομίας ἕνεκεν ηὑρῆσθαι τοῖς ### book 11.2 γεωμέτραις, τὸ δὲ ὄνομα ἐκ τοῦ συμβεβηκότος· ἀπ’ αὐτοῦ ### book 11.3 γὰρ τὸ ὅλον γνωρίζεται ἢ τοῦ ὅλου χωρίου ἢ τοῦ λοιποῦ, ### book 11.4 ὅταν ἢ περιτίθηται ἢ ἀφαιρῆται. καὶ ἐν τοῖς ὡροσκοπίοις ### book 11.5.1 δὲ ἔργον ἔχει τοῦτο μόνον τὸ τὰς ἐνεστώσας ὥρας ποιεῖν ### book 11.5.2 γνωρίμους. ### book 12.1 Παραπληρώματα δὲ λέγεται οὐχ ὡς μὴ ὄντα καὶ ### book 12.2 αὐτὰ παραλληλόγραμμα, ἀλλ’ ὡς μὴ ὅμοια τῷ ὅλῳ, παρα‐ ### book 12.3 πληροῦντα δὲ τὴν τοῦ ὅλου πρὸς αὐτὰ ὁμοιότητα. ### book 13.1 Ἰστέον, ὅτι γνώμονες κυρίως λέγονται οἱ περιττοὶ ### book 13.2 ἀριθμοί, διότι τετραγώνοις ἀριθμοῖς περιτιθέμενοι τετρά‐ ### book 13.3 γωνον πάλιν ἀποτελοῦσιν· οἷον πρῶτος ἀριθμός ἐστι ### book 13.4 τετράγωνος ἡ μονάς. ταύτῃ γοῦν ὁ πρῶτος περιττὸς ὁ ### book 13.5.1 τρία περιτιθέμενος τὸν τέτταρα τετράγωνον ἀποτελεῖ, καὶ ### book 13.5.2 τούτῳ τῷ τέσσαρα τετραγώνῳ πάλιν ὁ πέντε περιττὸς ### book 13.5.3 περιτιθέμενος τὸν ἐννέα τετράγωνον ποιεῖ καὶ τῷ ἐννέα ### book 13.5.4 ὁ ἑπτὰ τετραγώνῳ περιττὸς περιτιθέμενος τὸν δεκαὲξ ### book 13.5.5 τετράγωνον ἐκτελεῖ, καὶ ἐφεξῆς οὕτω προβαίνων εὑρήσεις ### book 13.10.1 τοὺς περιττοὺς οἷόν τινας κανόνας τὸ τῶν τετραγώνων ### book 13.10.2 σχῆμα ἀπεριθραύστως διαφυλάττοντας. ταῦτ’ ἄρα καὶ ### book 13.10.3 γνώμονες κέκληνται ὡς ὄντες οἷόν τινες κανόνες τε καὶ ### book 13.10.4 εὐθύτητες. οὐ μὴν τοῦτο κἀπὶ τῶν ἀρτίων οὕτως ἴδοις γι‐ ### book 13.10.5 νόμενον. τῷ γὰρ πρώτῳ τετραγώνῳ τῇ μονάδι ὁ δύο πρῶ‐ ### book 13.15.1 τος ἄρτιος προστεθεὶς τὸν τρία ποιεῖ περιττὸν ὄντα καὶ οὐ ### book 13.15.2 τετράγωνον, καὶ τῷ τέσσαρα πάλιν τετραγώνῳ ὁ τέσσαρα ### book 13.15.3 ἄρτιος περιτεθεὶς τὸν ὀκτὼ ἄρτιον ὄντα καὶ οὐ τετράγωνον ### book 13.1 ἐκτελεῖ, καὶ ἐφεξῆς προβαίνων τις ἀνίσους εὑρήσει τοὺς ἐκ ### book 13.2 τῆς συμπλοκῆς τῶν τε ἀρτίων καὶ τῶν τετραγώνων ἀπο‐ ### book 13.20.1 τελουμένους ἀριθμούς. ἀλλ’ οἱ μὲν περιττοί, δι’ ἣν ἀνωτέ‐ ### book 13.20.2 ρω ἔφαμεν αἰτίαν, καλοῦνται γνώμονες, ἀπὸ μεταφορᾶς ### book 13.20.3 δὲ τούτων καὶ ὁ γεωμετρικὸς λέγεται γνώμων, διότι καὶ ### book 13.20.4 αὐτὸς τῷ τετραγώνῳ περιτιθέμενος αὔξει καὶ οὐκ ἀλλοιοῖ ### book 13.20.5 τὸ τετράγωνον. τετράγωνος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ ἐξ ἑτέρου ### book 13.25.1 τινὸς ἀριθμοῦ εἰς ἑαυτὸν πολυπλασιασθέντος ἀποτελε‐ ### book 13.25.2 σθείς, ὡς ὁ τέσσαρα· ἐκ γὰρ τοῦ δὶς δύο· καὶ ὁ ἐννέα ἐκ ### book 13.25.3 τοῦ τρὶς τρεῖς καὶ ὁ δεκαὲξ ἐκ τοῦ τετράκις τέσσαρα καὶ ### book 13.25.4 ὁ κε ἐκ τοῦ πεντάκις πέντε καὶ ὁ λϛ ἐκ τοῦ ἑξάκις ἓξ καὶ ### book 13.25.5 ὁ μθ ἐκ τοῦ ἑπτάκις ἑπτὰ καὶ ἑξῆς. ### book 14.1 Ἀλλ’ ἰστέον καὶ τοῦτο, ὅτι παντὶ τετραγώνῳ γνώ‐ ### book 14.2 μων προστεθεὶς αὔξει μὲν τὸ σχῆμα, τὸ δὲ εἶδος οὐκ ἀλ‐ ### book 14.3 λοιοῖ. ### book 15.1 Ἡ ὅλη ΒΓ μονάδων ι, ἡ ΒΗ ἤτοι ἡ Α μονάδων γ, ### book 15.2 ἡ ΒΔ μονάδων δ, ἡ ΔΕ μονάδων γ καὶ ἡ ΕΓ μονάδων γ. [Omitted graphic marker] ### book 16.1 Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἄτμητος ἡ Α μονάδων ζ, ### book 16.2 ἡ δὲ τμηθεῖσα ἐννέα, ἀφ’ ὧν τὸ ὅλον ὀρθογώνιον ἕξει ξγ. ### book 16.3 τῆς τμηθείσης τὸ μεῖζον τμῆμα μονάδων δ, τὸ μέσον μο‐ ### book 16.4 νάδων γ, τὸ ἔλαττον μονάδων β· ἀφ’ ὧν καὶ τῆς ἀτμήτου ### book 16.5.1 ἕξουσι τὰ ἐμπεριεχόμενα ὀρθογώνια κη κα ιδ μονάδας· ### book 16.5.2 ὁμοῦ ξγ. ἴσον δὴ καὶ διὰ τῆς τῶν ἀριθμῶν ἀποδείξεως τὸ ### book 16.5.3 ὑπὸ τῶν Α, ΒΓ τοῖς ὑπὸ τῶν Α, ΒΔ καὶ Α, ΔΕ καὶ Α, ### book 16 ΕΓ περιεχομένοις ὀρθογωνίοις. ### book 17.1 Ἔστω ἡ μὲν ἄτμητος εὐθεῖα ἡ Α μονάδων ε, ἡ δὲ ΒΓ ### book 17.2 μονάδων ι. τετμήσθω ἡ ΒΓ εἰς μονάδας δ καὶ β καὶ δ ὡς ### book 17.3 εἶναι τὴν ΒΔ δ, τὴν ΔΕ β, τὴν ΕΓ δ. καὶ γίνονται τὰ ε ### book 17.4 πρὸς τὰ ι ἤτοι ἡ Α πρὸς τὴν ΒΓ χωρίον τὸ ΒΘ μονάδων ### book 17.5.1 ν. ἡ δὲ Α πρὸς τὴν ΒΔ τὰ ε πρὸς τὰ δ χωρίον ποιεῖ μονά‐ ### book 17.5.2 δων κ τὸ ΒΚ· ἡ δὲ Α πρὸς τὴν ΔΕ ε καὶ δύο ποιεῖ χωρίον ### book 17.5.3 τὸ ΔΛ μονάδων ι, ἡ δὲ Α πρὸς τὴν ΕΓ τὰ δ ποιεῖ χωρίον ### book 17.5.4 τὸ ΕΘ κ. τὰ δὲ κ καὶ ι καὶ κ εἰσι μονάδες ν. ### book 18.1 Ἔστω ἡ μὲν ἄτμητος εὐθεῖα ἡ Α μονάδων ε, ἡ δὲ ΒΓ ### book 18.2 μονάδων ι. τετμήσθω ἡ ΒΓ εἰς μονάδας τε δ καὶ β καὶ δ. ### book 18.3 πολυπλασιάζω τὰ ε ἐπὶ τὰ ι· γίνονται ν. καὶ πάλιν τὰ αὐ‐ ### book 18.4 τὰ ε ἐπὶ τὰ δ· γίνονται κ. καὶ αὖθις τὰ αὐτὰ ε ἐπὶ τὰ β. ### book 18.5.1 γίνονται ι. καὶ τὰ αὐτὰ ε ἐπὶ δ· γίνονται κ. ὁμοῦ ν. καί ἐστιν ### book 18.5.2 ἴσον τὸ ὑπὸ τῆς Α καὶ τῆς ΒΓ τοῖς ὑπό τε τῆς Α καὶ τῆς ### book 18.5.3 ΒΔ καὶ τῆς ΔΕ καὶ τῆς ΕΓ ὀρθογωνίοις. ### book 19.1 Ἔστω ἡ ὅλη εὐθεῖα μονάδων ι· τετμήσθω, ὡς ἔτυχεν, ### book 19.2 εἰς ϛ καὶ δ. τὸ οὖν ὑπὸ τῆς ὅλης ἤγουν τῶν ι καὶ τοῦ ἑνὸς ### book 19.3 τῶν τμημάτων τῶν ϛ πολυπλασιαζόμενον γίνονται ξ, καὶ τὸ ### book 19.4 ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑτέρου τμήματος ἤγουν τῶν δ μ· ### book 19.5 ὁμοῦ ρ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης τετράγωνον ρ· τὰ ### book 19 γὰρ ι πολυπλασιαζόμενα ἐφ’ ἑαυτὰ ποιοῦσι τὸν ρ. ### book 20.1 πρότερον εἰς ἴσα δύο ὡς ἑκάτερον τῶν τμημά‐ ### book 20.2 των ἀνὰ μονάδων η· οὐκοῦν τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τμή‐ ### book 20.3 ματος γίνεται ρκη. ὁ ..... γενόμενος ἐπὶ τὸν η τουτ..... ### book 20.4 καὶ τοῦ ἑτέρου τμήματος ἄλλων ὁμοίως ρκη, ὥστε γενέ‐ ### book 20.5.1 σθαι πάντα τὸν ἐκ τῶν β ὀρθογωνίων ἀριθμὸν σνβ. τοσοῦ‐ ### book 20.5.2 τον δὲ φεν..... καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης τετράγωνον· ἑκ‐ ### book 20.5.3 καί.... ἀλλὰ δὴ καὶ εἰς ἄνισα τετμήσθω ὡς εἶναι τὴν ### book 20.5.4 μὲν ϛ, τὴν δὲ ι. πάλιν τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τῆς τὸν ἐλάσσονα ### book 20.5.5 ἐχούσης ἀριθμὸν γίνεται ϙϛ· καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ### book 20.10 τ....... σνϛ· ### book 21.1 Ἔστω ἡ ὅλη ἡ ΑΒ μονάδων ι· τετμήσθω εἰς ϛ τὴν ### book 21.2 ΑΓ καὶ δ τὴν ΓΒ. τὸ γοῦν ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑνὸς τῶν ### book 21.3 τμημάτων τοῦ ϛ πολυπλασιαζόμενον γίνεται τὸ ΑΖ χω‐ ### book 21.4 ρίον ξ, καὶ τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων ### book 21.5.1 ἤγουν τοῦ δ γίνεται τὸ ΓΕ χωρίον μ· ὁμοῦ τὸ ΑΖ χωρίον ### book 21.5.2 καὶ τὸ ΓΕ ρ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης εὐθείας χωρίον ρ. ### book 22.1 Ἡ ὅλη μονάδων ϛ καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον λϛ· ### book 22.2 τὸ μεῖζον τμῆμα δ καὶ τὸ ὑπ’ αὐτοῦ καὶ τῆς ὅλης κδ· τὸ ### book 22.3 ἔλασσον τμῆμα β καὶ τὸ ὑπ’ αὐτοῦ καὶ τῆς ὅλης ιβ· κδ καὶ ### book 22.4 ιβ λϛ· καί ἐστι καὶ διὰ τῶν ἀριθμῶν τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης τετρά‐ ### book 22.5.1 γωνον ἴσον τοῖς ὑπό τε τῆς ὅλης καὶ τοῦ μείζονος τμήματος ### book 22.5.2 καὶ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἐλάττονος τμήματος περιεχομένοις ### book 22.5.3 ὀρθογωνίοις. ### book 23 Ἔστω ἡ ΑΒ μονάδων ιβ. τετμήσθω εἰς δ τὴν ΑΓ ### book 23.1 καὶ η τὴν ΓΒ. πεπολυπλασιάσθω ἡ ὅλη ἤγουν τὰ ιβ εἰς τὰ ### book 23.2 η· καὶ γίνονται ϙϛ. πεπολυπλασιάσθω καὶ τὸ ἕτερον τμῆμα ### book 23.3 εἰς τὸ ἕτερον τμῆμα τουτέστι τὰ η εἰς τὰ δ· καὶ γίνονται ### book 23.5.1 λβ. καὶ τὸ ἀπὸ τῶν η τετράγωνον γίνεται ξδ. ὁμοῦ τὰ ξδ ### book 23.5.2 καὶ τὰ λβ ϙϛ. ### book 24.1 Καὶ τοῦτο δείξομεν διὰ τοῦ αʹ θεωρήματος οὕτως ### book 24.2 χωρὶς ἀναγραφῆς. ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω, ὡς ### book 24.3 ἔτυχεν, κατὰ τὸ Γ. δεῖ δὴ δεῖξαι, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ### book 24.4 περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΓ, ### book 24.5.1 [ΓΒ] καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ· κείσθω τῇ ΓΒ ἴση ### book 24.5.2 ἡ ΔΕ· ἄτμητος μὲν ἡ ΔΕ, τετμημένη δὲ ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Γ. ### book 24.5.3 τὸ ἄρα περιεχόμενον ὀρθογώνιον ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΑΒ εὐθει‐ ### book 24.5.4 ῶν, ὅ ἐστι τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων ..... ### book 24.5.5 ὑπὸ τῆς ΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῆς ἀτμήτου τῆς ΔΕ καὶ ### book 24.10.1 ἑκατέρου τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ μετὰ ### book 24.10.2 τοῦ ἀπὸ τῆς ἀτμήτου τετραγώνου [II 1]. συντεθήσεται δὲ ### book 24.10.3 οὕτως· ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ [τῶν ### book 24.10.4 ΔΕ, ΑΓ καὶ] τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΒΓ, ἴση δὲ ἡ ΔΕ τῇ ΒΓ, ### book 24.10.5 τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ### book 24.15.1 καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΔΕ. τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΔΕ ἴσον ### book 24.15.2 ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ ### book 24.15.3 τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ [καὶ τῷ] ἀπὸ τῆς ΓΒ. ἔστω ὁ ### book 24.15.4 μὲν ὅλος μονάδων κ καὶ διῃρήσθω εἰς ἀνίσους εἴς τε τὸν ### book 24.15.5 ιγ καὶ τὸν ζ. λέγω, ὅτι ὁ ὑπὸ τοῦ κ καὶ τοῦ ζ περιεχόμενος ### book 24.20.1 ἴσος ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν ιγ καὶ τῶν ζ περιεχομένῳ ὀρθο‐ ### book 24.20.2 γωνίῳ [καὶ] ἔτι τῷ ἀπὸ τοῦ ζ τετραγώνῳ. πεπολλαπλα‐ ### book 24.20.3 σιάσθω ὁ κ ἐπὶ τὸν ζ. γίνονται ρμ μονάδες. ἔτι πεπολλαπλα‐ ### book 24.20.4 σιάσθω ὁ ζ ἐφ’ ἑαυτόν· γίνονται μονάδες μθ. συγκείσθω‐ ### book 24 σαν ὅ τε ὑπὸ τῶν ιγ καὶ ζ περιεχόμεν[ος ἤγουν] ὁ ϙ[α] καὶ ὁ ### book 24.25.1 ἀπὸ τοῦ ζ, ὅς ἐστι μθ· γίνονται ὁμοῦ ρμ. ἦν δὲ καὶ ὁ ὑπὸ ### book 24.25.2 τοῦ κ καὶ τοῦ ζ περιεχόμενος ἴσος τῷ ὑπὸ τῶν ιγ καὶ ζ ### book 24.25.3 καὶ ἔτι τῷ ἀπὸ τοῦ ζ τετραγώνῳ. ### book 25.1 Τοῦτο λέγει ἡ πρότασις, ὅτι τμηθείσης τινὸς εὐθείας, ### book 25.2 ὡς ἔτυχεν, εἰς δύο τμήματα τὰ ταύτης τμήματα ποιήσου‐ ### book 25.3 σιν ἢ τετράγωνα ἢ ὀρθογώνια, τετράγωνα μὲν ἑκάτερον ### book 25.4 ἰδίᾳ αὐξόμενον, ὀρθογώνια δὲ συμπλεκόμενα ἀλλήλοις. ### book 25.5.1 συμπλεκέσθω γοῦν καὶ ποιείτωσαν τὰ δύο τμήματα ὀρθο‐ ### book 25.5.2 γώνιον ἕν, καὶ ληπτέον πάλιν αὐτῶν θάτερον καὶ ποιείτω ### book 25.5.3 τετράγωνον. ληφθήτω καὶ ὅλη ἡ εὐθεῖα καὶ ἓν τμῆμα τὸ ### book 25.5.4 ποιῆσαν τὸ τετράγωνον, καὶ ποιείτωσαν ὀρθογώνιον. ἔσται ### book 25.5.5 γοῦν, φησί, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ τμήματος γεγονὸς ### book 25.10.1 ὀρθογώνιον ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν δύο τμημάτων γεγονότι ### book 25.10.2 ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ τετραγώνῳ τῷ ἀπὸ τοῦ ληφθέντος γε‐ ### book 25.10.3 γονότι τμήματος μετὰ τῆς ὅλης. ### book 26.1 Ἔστω ἡ εὐθεῖα μονάδων ιβ. τετμήσθω εἰς η καὶ δ. ### book 26.2 πεπολυπλασιάσθω ἡ ὅλη ἤγουν τὰ ιβ ἐπὶ τὸ ἓν μέρος ἤγουν ### book 26.3 τὰ δ. γίνονται μη. πεπολυπλασιάσθω καὶ τὸ ἓν τμῆμα ἐπὶ ### book 26.4 τὸ ἕτερον τμῆμα, τουτέστι τὰ η ἐπὶ τὰ δ· γίνονται λβ. καὶ ### book 26.5 τὸ ἀπὸ τοῦ δ τετράγωνον ιϛ· ὁμοῦ μη. ### book 27.1 Ἡ ὅλη ὀκτώ, τὸ μεῖζον τμῆμα ϛ καὶ τὸ ἔλαττον β. ### book 27.2 οἱ ἀπὸ τούτων πολυπλασιασμοὶ οὗτοι· ὁ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ### book 27.3 τοῦ μείζονος τμήματος μη, ὁ ἀπὸ τοῦ μείζονος τμήματος ### book 27.4 λϛ, ὁ ὑπὸ τοῦ ἐλάσσονος καὶ τοῦ μείζονος ιβ· ὁμοῦ μη. ### book 28.1 Ἔστω γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΒ μονάδων κ καὶ τετμήσθω εἰς ### book 28.2 ιε καὶ ε. τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης τετράγωνον ἤγουν τοῦ κ γίνεται ### book 28.1 μονάδων υ. τὸ δὲ ἀπὸ τῶν ιε τετράγωνον σκε· τὸ δὲ ἀπὸ ### book 28.2 τῶν ε κε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ιε καὶ τῶν ε οε καὶ πάλιν τὸ ὑπὸ ### book 28.5 τῶν ιε καὶ ε οε· ὁμοῦ υ. ### book 29.1 Διὰ τούτου δειχθήσεται τοῦ θεωρήματος τὸ εἶναι ### book 29.2 τὰ μήκει διπλάσια δυνάμει τετραπλάσια. ἐὰν γὰρ τμηθῇ ### book 29.3 δίχα ἡ εὐθεῖα, ὅλη μὲν διπλασία ἐστὶ τῆς ἡμισείας, τὸ δὲ ### book 29.4 ἀπὸ τῆς ὅλης τετράγωνον τετραπλάσιον ἔσται τοῦ ἀπὸ τῆς ### book 29.5 ἡμισείας. ### book 30.1 Ἔστω ἡ ΑΒ μονάδων ζ. τετμήσθω εἰς δ καὶ γ. τὸ ### book 30.2 ἀπὸ τῆς ὅλης τετράγωνον ἤγουν τῶν ζ γίνεται μονάδων μθ. ### book 30.3 τὸ δὲ ἀπὸ τῶν δ γίνεται ιϛ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν δ καὶ γ γίνεται ιβ, ### book 30.4 καὶ πάλιν θ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν δ καὶ γ ιβ· ὁμοῦ μθ. ### book 31.1 Ἐτμήθη ἡ εὐθεῖα γραμμή, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Γ. ### book 31.2 ἔστι δὲ ἡ ὅλη μονάδων η, τὰ δὲ τμήματα, ἐπεὶ ἄνισά εἰσι, ### book 31.3 μονάδων πέντε καὶ τριῶν. ἡ ὅλη οὖν ἐστιν ὀκτάκις ὀκτὼ ### book 31.4 ξδ, ἥτις ἰσάζει τοῖς ἀπὸ τῶν τμημάτων τετραγώνοις καὶ ### book 31.5.1 τῷ δίς, οἷον πεντάκις πέντε εἰκοσιπέντε καὶ τρισσάκις ### book 31.5.2 τρεῖς θ· ὁμοῦ λδ. καὶ αὖθις σὺν τούτοις σύναψον τὸ δὶς ### book 31.5.3 ὑπὸ τῶν τμημάτων, οἷον πεντάκις τρεῖς ιε καὶ πεντάκις ### book 31.5.4 τρεῖς ιε· ὁμοῦ λ. καὶ λοιπὸν γίνονται ξδ, ὅσας εἶχε καὶ ### book 31.5.5 ἡ ὅλη. ### book 32.1 Ἐτμήθη ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, ὡς ἔτυχε, κατὰ τὸ ### book 32.2 Γ σημεῖον. ἔστι δὲ ἡ ὅλη ἤγουν ἡ ΑΒ μονάδων ιγ, τὰ δὲ ### book 32.3 τμήματα ταύτης, ἐπεὶ ἄνισά ἐστιν· ἐκ περισσοῦ γὰρ καὶ ### book 32.4 ἀρτίου ἤγουν ζ καὶ ϛ, οἳ καὶ εἰς ἑαυτοὺς πολλαπλασιαζό‐ ### book 32.5 μενοι ἑκάτερος τούτων καὶ εἰς ἀλλήλους παραβαλλόμενοι ### book 32.1 καὶ ἕτερος θάτερον πολλαπλασιάζων ποιοῦσι τὸ ὅλον ### book 32.2 ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου ἤγουν τοῦ ΑΔΕΒ μονάδων ρξθ. ### book 32.3 αἱ οὖν ιγ μονάδες εἰς ἑαυτὰς πολλαπλασιαζόμεναι ἤγουν ### book 32.4 τρὶς καὶ δεκάκις ιγ ποιοῦσιν, ὡς εἴρηται, τὸν ρξθ ἀριθμόν, ### book 32.10.1 ὃς ἐξισάζει τοῖς ἀπὸ τῶν τμημάτων τετραγώνοις καὶ τῷ ### book 32.10.2 δὶς οἷον ἑπτάκις ζ μθ καὶ ἑξάκις τὰ ϛ λϛ· ### book 33.1 Ληπτέον δὲ τὴν γωνίαν οὕτως· ἡ μὲν πρὸς τῷ Β τοῦ ### book 33.2 ΓΗΒ τριγώνου ἴση τῇ πρὸς τῷ Η τοῦ ΔΘΗ τριγώνου, ἡ ### book 33.3 δὲ πρὸς τῷ Β τῇ πρὸς τῷ Δ· καὶ ἡ πρὸς τῷ Η ἄρα τῇ πρὸς ### book 33.4 τῷ Δ λαμβανομένων τῶν παραλλήλων τῶν ΓΖ, ΒΕ, ἐὰν ### book 33.5.1 ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη βουλώμεθα δεῖξαι τὴν γωνίαν, ὅπερ ἐστὶ ### book 33.5.2 τὸ αὐτὸ λαμβανομένων τῶν ΑΒ, ΘΚ παραλλήλων. ### book 34.1 Ἔστω ἡ ΑΒ μονάδων ι καὶ τετμήσθω κατὰ μὲν τὸ ### book 34.2 Γ εἰς ἴσα ὡς εἶναι τὴν ΑΓ μονάδων ε, ὁμοίως δὲ καὶ τὴν ### book 34.3 ΓΒ μονάδων ε. κατὰ δὲ τὸ Δ τετμήσθω ἡ ΑΒ εἰς ἄνισα, ### book 34.4 καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΔ μονάδων η, ἡ δὲ ΔΒ μονάδων β. τὸ ἄρα ### book 34.5.1 ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν η καὶ β, ὅπερ ἐστὶ ### book 34.5.2 ιϛ, μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ ἤτοι θ· τριῶν γάρ ἐστι μονάδων ### book 34.5.3 ἡ ΓΔ· τὰ ἄρα ιϛ καὶ θ, ἅπερ ἐστὶν κε, ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ### book 34.5.4 ΓΒ τετραγώνῳ· τὰ γὰρ πεντάκις πέντε εἰκοσιπέντε. ### book 35.1 (Ἑτέρα δι’ ἀριθμῶν ἔκθεσις.) ### book 35.2 Ἔστω ἡ ΑΒ εὐθεῖα μονάδων ι, καὶ τετμήσθω εἰς μὲν ### book 35.3 ἴσα κατὰ τὸ ε καὶ ε, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ ζ καὶ γ. ὁ οὖν ζ ### book 35.4 ἐπὶ τὰ γ πολυπλασιαζόμενος ποιεῖ τὸν κα. τὸ δὲ ἀπὸ τοῦ ### book 35.5.1 ε μέχρι τοῦ ζ ἐστι β, ὅστις πολυπλασιασθεὶς ποιεῖ τὸν δ ### book 35.5.2 τετράγωνον· ὁμοῦ κε, ὅπερ ἐστὶν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ### book 35.5.3 τετραγώνῳ· πεντάκις γὰρ ε κε. ### book 36.1 Ἐκ τούτου δειχθήσεται, ὅτι τὸ τετράγωνον μεῖζόν ### book 36.2 ἐστι τοῦ ἰσοπεριμέτρου ἑτερομήκους ὀρθογωνίου· τὸ γὰρ ### book 36.3 ἀπὸ τῆς ἡμισείας μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης ### book 36.4 τμημάτων ὀρθογωνίου τῷ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν ### book 36.5.1 τετραγώνῳ, εἴπερ ἀμφοτέροις ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ἡμι‐ ### book 36.5.2 σείας· ὅτι δὲ τοῦτο ἰσοπερίμετρόν ἐστι τῷ ὑπὸ τῶν ἀνίσων ### book 36.5.3 τμημάτων ὀρθογωνίῳ. ὀκτάκις ὀκτὼ ἑξήκοντα τέσσαρα ### book 36.5.4 τὸ ὅλον τετράγωνον, ὅπερ ἐστὶν ἴσον τοῖς τρισὶ τοῖς ἔχουσι ### book 36.5.5 τὰ δεκαέξ, τὰ δώδεκα καὶ τὰ λϛ. ### book 37.1 Ἔστω ἡ ὅλη εὐθεῖα τυχὸν ιϛ καὶ τετμήσθω εἰς ἴσα ### book 37.2 μὲν η καὶ η, εἰς ἄνισα δὲ θ καὶ ζ, καὶ ἔστω ἡ μεταξὺ τῶν ### book 37.3 τομῶν α. ἴσον δή ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημά‐ ### book 37.4 των περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ ### book 37.5.1 τῶν τομῶν τετραγώνου τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνῳ. ### book 37.5.2 τὸ γὰρ ὑπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων περιεχόμενον ### book 37.5.3 ὀρθογώνιον ξγ· ἐννάκις γὰρ ζ ξγ. ἔστι δὲ καὶ τὸ τετρά‐ ### book 37.5.4 γωνον τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν α· τὸ γὰρ α ἀπὸ τῶν ### book 37.5.5 ζ λείπει· ὁ δὲ α ἀριθμὸς πολλαπλασιαζόμενος α ἐστιν. ### book 37.10.1 οὗτος οὖν ὁ ξγ καὶ ὁ α ξδ. ξδ οὖν τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης τῶν ### book 37.10.2 τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς με‐ ### book 37.10.3 ταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου, καί ἐστιν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ### book 37.10.4 ἡμισείας τετραγώνῳ· ὀκτάκις γὰρ η ξδ. ### book 38.1 Τὸ ὑπὸ τῶν ἀνίσων ἐστὶ ...... ἐπὶ τὴν ... ἤτοι θ ### book 38.2 ἐπὶ γ, ὅπερ ἐστὶν κζ. τὸ δὲ ..... μεταξὺ τῶν τομῶν τετρά‐ ### book 38.1 γωνον ... ΓΔ ἤτοι γ γ θ. θ οὖν καὶ κζ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ### book 38.2 τῶν ἀνίσων καὶ τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετράγωνον, ### book 38.5 ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνῳ, τουτέστι λϛ. ### book 39.1 Ἡ ὅλη ιβ, τὰ ἴσα τμήματα ϛ ϛ, τὰ ἄνισα θ καὶ γ, ἡ ### book 39.2 μεταξὺ τῶν τομῶν γ· τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ εἰκοσιεπτά, τὸ ### book 39.3 ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν θ· ὁμοῦ λϛ· καὶ πάλιν τὸ ἀπὸ ### book 39.4 τῆς ἡμισείας τετράγωνον λϛ· ἑξάκις γὰρ τὰ ϛ λϛ· καὶ εὑρί‐ ### book 39.5.1 σκεται καὶ δι’ ἀριθμῶν ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετράγωνον ### book 39.5.2 τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ### book 39.5.3 ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τῆς ΓΔ τετραγώνῳ. ### book 40.1 Ἐν τούτῳ δείκνυται ἡ ἀριθμητικὴ ἀναλογία· ᾧ γὰρ ### book 40.2 ὑπερέχει ἡ ΑΔ τῆς ΓΔ· τῇ γὰρ ΓΒ· τούτῳ καὶ ἡ ΓΔ τῆς ### book 40.3 ΒΔ. ### book 41.1 Δι’ ἀριθμῶν δὲ σαφέστερον γνωσθήσεται, ὅτι ὁ ### book 41.2 μέσος ἐν ἴσῳ ἀεὶ ὑπερέχεται καὶ ὑπερέχει. τὸ δὲ θεώρημα, ### book 41.3 ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ### book 41.4 ἀπὸ τοῦ μέσου. ### book 42.1 Ἡ συναγωγὴ δὲ τοῦ θεωρήματος αὕτη· ὅτι ἐν ἀριθμη‐ ### book 42.2 τικῇ ἀναλογίᾳ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ὑπερ‐ ### book 42.3 οχῆς ἴσον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου. ἐν δὲ γεωμετρικῇ ἀναλογίᾳ, ### book 42.4 ἥτις ἐμφαίνεται ἐν τῷ ιαʹ θεωρήματι τούτου τοῦ βιβλίου, ### book 42.5.1 τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων μόνον ἴσον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου. ἄλογα δὲ ### book 42.5.2 ἡ τομὴ ἐνταῦθα ποιεῖ τὰ τμήματα τῆς εὐθείας. ### book 43 Ἔστω ἡ ΑΒ μονάδων η, ἡ δὲ προστεθεῖσα αὐτῇ ΒΔ ### book 43.1 μονάδων β. ἡ ὅλη ἄρα ἡ ΑΔ ἐστι μονάδων ι. τὸ ἄρα ὑπὸ ### book 43.2 τῶν ι καὶ β, ὅπερ ἐστὶ κ, μετὰ τοῦ ἀπὸ τῶν δ ἤτοι μετὰ τοῦ ### book 43.3 ἀπὸ τῆς ΓΒ, ὅπερ ἐστὶν ιϛ; τὰ ἄρα ιϛ καὶ κ ἴσα εἰσὶ τῷ ### book 43.5.1 ἀπὸ τῶν ϛ ἤτοι ἀπὸ τῆς ΓΔ. ἔστω οὖν, ὡς εἴρηται, ἡ μὲν ### book 43.5.2 ΑΓ μονάδων δ, ἀλλὰ καὶ ἡ ΓΒ ὁμοίως δ, ἡ δὲ ΔΒ μονά‐ ### book 43.5.3 δων β· ἡ ἄρα ΓΔ ἐστι μονάδων ϛ. ### book 44.1 Ἔστω ἡ ΑΒ εὐθεῖα μονάδων ι καὶ τετμήσθω εἰς ε ### book 44.2 καὶ ε, καὶ προστεθήτω αὐτῇ ἡ ΒΔ εὐθεῖα μονάδων οὖσα ### book 44.3 δ. τὸ οὖν ὑπὸ τῆς ὅλης ἤγουν τῶν ιδ καὶ τῆς προστεθείσης, ### book 44.4 τουτέστι τῶν δ, γίνονται μονάδων νϛ· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ### book 44.5.1 ἡμισείας τῶν ι ἤγουν τῶν ε τετράγωνον κε· ὁμοῦ πα. τὸ δὲ ### book 44.5.2 ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προστεθείσης ἤγουν τῶν θ ### book 44.5.3 μονάδων τετράγωνον ὡσαύτως μονάδων πα. ### book 45.1 Ἔστω ὅλη ἡ εὐθεῖα ι καὶ τμηθήτω δίχα εἰς ε καὶ ε· ### book 45.2 τοῦτο γάρ ἐστι τὸ δίχα αὐτοῦ εἰς ἴσα· ἔστω δὲ καὶ ἡ προσ‐ ### book 45.3 κειμένη δ. τὸ οὖν ὑπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ ### book 45.4 ὑπὸ τῆς προσκειμένης περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ### book 45.5.1 ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τετραγώνῳ τῷ ### book 45.5.2 ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκει‐ ### book 45.5.3 μένης· τὸ γὰρ ὑπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τῆς ### book 45.5.4 προσκειμένης περιεχόμενον ὀρθογώνιον νϛ ἐστίν· τετράκις ### book 45.5.5 γὰρ ι μ καὶ τετράκις δ ιϛ· ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ ### book 45.10.1 τῶν τομῶν κε· πεντάκις γὰρ ε κε. κε οὖν καὶ νϛ ποιοῦσιν ### book 45.10.2 πα. πα οὖν τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τῆς ### book 45.10.3 προσκειμένης περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ### book 45.10.4 ἡμισείας τετραγώνου· καί ἐστιν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς συγκει‐ ### book 45.10.5 μένης ἔκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης τετραγώ‐ ### book 45.15.1 νῳ. συμμίγνυνται γὰρ τὰ δ καὶ τὰ ε ὁμοῦ· καὶ γίνονται θ. ### book 45.15.2 καὶ καθ’ ἑαυτὸν ὁ θ ἀριθμὸς πολλαπλασιαζόμενος πα ### book 45.15.3 ποιεῖ· ἐννάκις γὰρ θ πα. ### book 46.1 Τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον, ### book 46.2 τουτέστι με, μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνου, τουτέστι ### book 46.3 λϛ· γίνονται πα· ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒΔ τετραγώνῳ. ### book 47.1 Ἡ ὅλη ὀκτώ, ἡ προσκειμένη τέσσαρα, τὸ ἀπὸ τῆς ### book 47.2 ὅλης σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τῆς προσκειμένης μη, τὸ ### book 47.3 ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ὅλης ιϛ· ὁμοῦ ξδ, ἅπερ εἰσὶν ἴσα τῷ ### book 47.4 ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης τετραγώνῳ. ### book 48.1 τὸ ΛΗ, ὅ ἐστιν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνῳ ### book 48.2 p. 76, 9. 10] εἰ γὰρ ἡ ΛΘ ἴση ἐστὶ τῇ ΓΒ, τὸ ΛΗ οὐδὲν ### book 48.3 ἄλλο ἐστὶν ἢ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ. ### book 49.1 Ἡ ΑΒ μονάδων ιβ· ἐτμήθη εἰς η καὶ δ. τῆς ὅλης ### book 49.2 τὸ τετράγωνον ρμδ καὶ τοῦ τμήματος ιϛ· ὁμοῦ ρξ. τὸ δὶς ### book 49.3 ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ τμήματος ιβ ἐπὶ δ γίνονται μη, καὶ δ ### book 49.4 ἐπὶ ιβ γίνονται μη· ὁμοῦ ϙϛ. καὶ τὸ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμή‐ ### book 49.5.1 ματος τετράγωνον, τουτέστι τῶν η, γίνονται ξδ. ὁμοῦ ### book 49.5.2 ρξ· ὅπερ ἐστὶν ἴσον. ### book 50.1 Ἔστω ὅλη ι καὶ τετμήσθω, ὡς ἔτυχεν, εἰς η καὶ β. ### book 50.2 τὸ οὖν ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τὸ ἀφ’ ἑνὸς τῶν τμημάτων τὰ ### book 50.3 συναμφότερα τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῆς ὅλης ### book 50.4 καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ ### book 50.5.1 τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ. τὸ γὰρ ἀπὸ τῆς ### book 50.5.2 ὅλης τετράγωνόν ἐστιν ρ· δεκάκις γὰρ ι ρ. καὶ τὸ ἀφ’ ### book 50.5.3 ἑνὸς τῶν τμημάτων δ· δὶς γὰρ β δ. τὸ οὖν ἀπὸ τῆς ὅλης ### book 50.5.4 καὶ τὸ ἀφ’ ἑνὸς τῶν τμημάτων τὰ συναμφότερα τετράγωνα ### book 50.5.5 ρδ. τούτοις δέ ἐστιν ἴσα τό τε δὶς ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ### book 50.10.1 εἰρημένου τμήματος περιεχόμενον ὀρθογώνιον καὶ τὸ ἀπὸ ### book 50.10.2 τοῦ λοιποῦ τμήματος τετράγωνον. ἔστι γὰρ τὸ δὶς ὑπὸ τῆς ### book 50.10.3 ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος μ· ἅπαξ γὰρ δὶς ι κ ### book 50.10.4 ἐστιν, δὶς δὲ κ μ· τὸ δὲ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος ξδ· ### book 50.10.5 ὀκτάκις γὰρ η ξδ. ὁμοῦ ξδ καὶ μ ρδ. καί εἰσι τῷ ἀπὸ τῆς ### book 50.15.1 ὅλης καὶ τῷ ἀφ’ ἑνὸς τῶν τμημάτων τετραγώνῳ ἴσα. ### book 50.15.2 ὁμοίως δὲ καὶ ἐκ τοῦ ἑτέρου τμήματος δείκνυται. ### book 51.1 Ἐπεὶ γὰρ τὸ ΑΖ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐστιν, ἴση δὲ ### book 51.2 ἡ ΓΒ τῇ ΒΖ (τετραγώνου γάρ εἰσι πλευραὶ τοῦ ΓΖ), δῆλον, ### book 51.3 ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ### book 51.4 ΒΓ. εἰ οὖν, ὡς εἴρηται, τὰ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ καὶ ΑΒ, ΒΖ ### book 51.5.1 ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν, ἔστι δὲ τὸ ΑΖ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, τὸ ### book 51.5.2 ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ καὶ ἔτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΖ διπλά‐ ### book 51.5.3 σιά ἐστι τοῦ ΑΖ. ὥστε καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσα ### book 51.5.4 ὄντα τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ καὶ ΑΒ, ΒΖ διπλάσιά εἰσι τοῦ ### book 51.5.5 ΑΖ. ἔστι δὲ τοῦ ΑΖ διπλάσια καὶ τὰ ΑΖ, ΓΕ μετὰ τοῦ ### book 51.10 ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνου. καὶ τὸ συμπέρασμα δῆλον. ### book 52.1 Ἔστω ἡ ΑΒ μονάδων ι· ἐτμήθη εἰς ϛ καὶ δ. τῆς ὅλης ### book 52.2 τετράγωνον ρ· τοῦ τμήματος ιϛ, καί εἰσιν ριϛ ὁμοῦ. καὶ ### book 52.3 πάλιν ι ἐπὶ δ μ καὶ δ ἐπὶ ι μ· ὁμοῦ π. καὶ τὸ ἀπὸ τοῦ λοι‐ ### book 52.4 ποῦ τμήματος τετράγωνον ἤγουν τῶν ϛ γίνονται λϛ· καὶ ### book 52.5 ὁμοῦ τὰ π καὶ λϛ γίνονται ριϛ· ### book 53 Τοῦτό ἐστι τὸ ζητούμενον, ὅτι εὐθεῖά τις τμηθεῖσα, ### book 53.1 ὡς ἔτυχεν, ἡ μη εἰς πλείους τομὰς ἢ μίαν ἕξει πάντως ### book 53.2 τμήματα δύο. λέγω γοῦν, ὅτι τὰ δύο τμήματα ἐκεῖνα ### book 53.3 ποιήσουσι πάντως βουλομένῳ σοι τετράγωνα δύο ἀναγρα‐ ### book 53.5.1 φέντα ἀφ’ ἑνὸς ἑκάστου τῶν τμημάτων, ποιήσουσι δὲ πάν‐ ### book 53.5.2 τως ὀρθογώνιον ἓν ἔχον τὴν μίαν πλευρὰν τὸ ἓν τμῆμα τῆς ### book 53.5.3 εὐθείας καὶ τὴν ἑτέραν θάτερον. λέγει γοῦν, ὅτι τὰ δύο ### book 53.5.4 τετράγωνα, ἃ ποιήσουσιν ἡ ὅλη εὐθεῖα καὶ τὸ ταύτης ### book 53.5.5 ὁπιονοῦν τμῆμα, ἴσα ἔσονται δυσί τισιν ὀρθογωνίοις ### book 53.10.1 ἀναγραφεῖσιν ἀπὸ τῆς ὅλης εὐθείας καὶ τοῦ ἑνὸς αὐτῆς ### book 53.10.2 τμήματος τοῦ πεποιηκότος τὸ ἓν τετράγωνον καὶ τῷ ### book 53.10.3 τετραγώνῳ τῷ γινομένῳ παρὰ τοῦ λοιποῦ τμήματος τῆς ### book 53.10.4 εὐθείας. ### book 54.1 Ἡ ὅλη ι, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης ρ, τῶν τμημάτων τὸ ### book 54.2 μεῖζον ϛ; τὸ ἔλαττον δ, τὸ ἀπὸ τοῦ μείζονος τμήματος λϛ; ### book 54.3 τὸ ἀπὸ τοῦ ἐλάττονος ιϛ; τὸ δὶς ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἐλάτ‐ ### book 54.4 τονος τμήματος π· ἑκάτερον γὰρ μ. τὸ τοίνυν δὶς ὑπὸ τῆς ### book 54.5.1 ὅλης καὶ τοῦ ἐλάττονος τμήματος μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ ### book 54.5.2 τμήματος ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ ἥττο‐ ### book 54.5.3 νος· ἑκατὸν γὰρ ιϛ ἐν ἑκατέροις τὸ τοῦ ἀριθμοῦ συγκεφα‐ ### book 54.5.4 λαίωμα. ### book 55.1 Ἔστω ἡ ΑΒ μονάδων ιβ. ἐτμήθη εἰς η καὶ δ. τῆς ### book 55.2 ὅλης τὸ τετράγωνον ρμδ καὶ τοῦ τμήματος ιϛ· δωδεκάκις ### book 55.3 γὰρ τὰ ιβ ρμδ καὶ τετράκις τὰ δ ιϛ· καί εἰσιν ὁμοῦ τῆς ### book 55.4 ὅλης καὶ τοῦ τμήματος ρξ. καὶ πάλιν ιβ ἐπὶ δ γίνονται μη, ### book 55.5.1 ἅπερ εἰσὶν ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ τμήματος· καὶ ιβ ἐπὶ δ ### book 55.5.2 μη· ὁμοῦ ϙϛ· καὶ τὸ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετράγω‐ ### book 55.5.3 νον, τουτέστι τοῦ η, γίνονται ξδ· καὶ τὰ ϙϛ ρξ ἴσα τοῖς πρὸ ### book 55 αὐτοῦ. ### book 56.1 Ἡ αὐτὴ πρότασίς ἐστι τοῦ πρὸ αὐτοῦ ἀντεστραμ‐ ### book 56.2 μένη, διπλῆ μέντοι. ὥσπερ γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τὸ ### book 56.3 ἀπὸ ἑνὸς τῶν τμημάτων τὰ δύο τετράγωνα, οὕτως ἐνταῦθα ### book 56.4 τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων ὡς ἀπὸ μιᾶς ### book 56.5.1 τετράγωνον· καὶ ὥσπερ ἐκεῖ ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ### book 56.5.2 τοῦ προειρημένου, οὕτως ἐνταῦθα ἴσον τῷ τετράκις ὑπὸ ### book 56.5.3 τῆς ὅλης καὶ τοῦ προειρημένου καὶ τοῦ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ ### book 56.5.4 τμήματος τετραγώνου. διὸ καὶ τὰ δύο ὅμοια, ὥσπερ καὶ ἡ ### book 56.5.5 πρὸ αὐτῶν δυὰς ὁμοία. ### book 57.1 Ἡ ΑΒ μονάδων ιβ. ἐτμήθη εἰς η καὶ δ. τὸ τετρά‐ ### book 57.2 κις ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων, τουτέστι ιβ, ### book 57.3 ἐπὶ δ γίνονται μη. ταῦτα τετράκις γίνονται ρϙβ. μετὰ τοῦ ### book 57.4 ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνου, τουτέστιν η ἐπὶ η, ### book 57.5.1 γίνονται ξδ· ὁμοῦ σνϛ· ἴσον ἄρα τῷ ἀπὸ τῆς ὅλης, τουτέστι ### book 57.5.2 τοῦ ιβ, καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος, τουτέστι τοῦ δ, ### book 57.5.3 ὁμοῦ ιϛ; ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ, τουτέστι ιϛ ### book 57.5.4 ἐπὶ ιϛ· γίνονται σνϛ· ὅπερ ἐστὶν ἴσον. ### book 58.1 Ἔστω ὅλη ι καὶ τμηθήτω εἰς ϛ καὶ δ. λέγω, ὅτι τὸ ### book 58.2 ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθο‐ ### book 58.3 γώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνου ### book 58.4 ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπό τε τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος ### book 58.5 τετραγώνῳ ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι. ἔστι γὰρ τὸ τετρά‐ ### book 58.1 κις ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ### book 58.2 ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετρα‐ ### book 58.3 γώνου ρϙϛ· τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης γὰρ καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων ρξ· ### book 58.4 ἅπαξ γὰρ δεκάκι δ μ· τετράκις οὖν μ ρξ. τὸ δὲ ἀπὸ τοῦ ### book 58.10.1 λοιποῦ τμήματος τετράγωνον λϛ· ἑξάκις γὰρ ϛ λϛ γίνεται. ### book 58.10.2 λϛ οὖν καὶ ρξ ὁμοῦ γίνεται ρϙϛ· ἴσα δὲ ταῦτά ἐστι τῷ ἀπὸ ### book 58.10.3 τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀνα‐ ### book 58.10.4 γραφέντι τετραγώνῳ· τεσσαρεσκαιδεκάκι γὰρ ιδ ρϙϛ ποι‐ ### book 58.10.5 οῦσι· δεκάκι γὰρ ι ρ καὶ τετράκι ι μ, δεκάκι δὲ δ μ καὶ τε‐ ### book 58.15 τράκι δ ιϛ· ρ δὲ καὶ μ καὶ μ καὶ ιϛ ὁμοῦ γίνονται ρϙϛ. ### book 59.1 Ἔστω εὐθεῖα γραμμὴ ὅλη ἓξ καὶ τετμήσθω εἰς δ καὶ ### book 59.2 β. ἔστιν οὖν τὸ τετράκις ὑπὸ τῆς ὅλης τῆς ϛ καὶ ἑνὸς τῶν ### book 59.3 τμημάτων τοῦ β μη· δὶς γὰρ ἓξ ιβ, καὶ τετράκις τὰ ιβ μη. ### book 59.4 τὸ δὲ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετράγωνον τοῦ δ ἐστι τὰ ### book 59.5.1 ιϛ· ἔστιν οὖν τὰ ἀμφότερα ξδ, ἅτινά εἰσιν ἴσα τῷ ἀναγρα‐ ### book 59.5.2 φέντι τετραγώνῳ ἀπό τε τῆς ὅλης, ἥτις ἦν ϛ, καὶ τοῦ εἰρη‐ ### book 59.5.3 μένου τμήματος τοῦ δύο. ϛ γὰρ καὶ β η, καὶ ὀκτάκις η ξδ. ### book 60.1 Ἡ ὅλη μονάδων ι, τὸ μεῖζον τμῆμα ϛ, τὸ ἔλαττον δ, ### book 60.2 τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἥττονος τμήματος ὀρθογώνιον ### book 60.3 μ, καὶ τετράκις τοῦτο ρξ. τὸ ἀπὸ τοῦ μείζονος τμήματος ### book 60.4 λϛ· ὁμοῦ ρϙϛ, ἅπερ ἐστὶν ἴσα τῷ ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ### book 60.5.1 ἥττονος τμήματος ἀναγραφέντι τετραγώνῳ. τεσσαρεσκαι‐ ### book 60.5.2 δεκάκις γὰρ τὰ ιδ ρϙϛ. ### book 61.1 ἡ μὲν ΒΔ τῇ ΒΚ, τουτέστι τῇ ΓΗ p. 79, 16] ὅτι ### book 61.2 ἐν τοῖς τετραγώνοις χωρίοις τὰ περὶ τὴν διάμετρον χωρία ### book 61 τετράγωνά εἰσιν. ### book 62.1 καὶ καταγεγράφθω διπλοῦν τὸ σχῆμα· ἐπεὶ οὖν ### book 62.2 p. 79, 3—5] διπλοῦν εἶπε τὸ σχῆμα συγκρίνων αὐτὸ πρὸς ### book 62.3 τὴν καταγραφὴν τοῦ ὄπισθεν σχήματος ἤγουν τοῦ ζʹ. ### book 63.1 Εὐθεῖα μονάδων ιβ ἐτμήθη εἰς ἴσα ϛ καὶ ϛ καὶ εἰς ### book 63.2 ἄνισα θ καὶ γ. τὸ ἀπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τετράγωνον, ### book 63.3 τουτέστι θ ἐπὶ θ, γίνονται πα, καὶ γ ἐπὶ γ γίνονται θ· ### book 63.4 ὁμοῦ ϙ διπλάσιά ἐστι τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας, τουτέστιν ### book 63.5.1 ϛ ἐπὶ ϛ, λϛ, καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν γ ἐπὶ γ θ· ### book 63.5.2 ὁμοῦ με· ὅπερ ἐστὶν ἥμισυ. ### book 64.1 Ἡ ὅλη η· τέμνεται εἰς ἴσα τὸν δ καὶ δ, εἰς δὲ ἄνισα ### book 64.2 τὸν ϛ καὶ β. τὰ οὖν ἀπὸ τῶν ἀνίσων τμημάτων τετράγωνά ### book 64.3 εἰσι τὰ λϛ καὶ τὰ δ. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἔσται τὸ ιϛ, τὸ ### book 64.4 δὲ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τὸ δ. ### book 65.1 Ἔστω ἡ εὐθεῖα μονάδων ιβ καὶ τετμήσθω εἰς ἴσα ### book 65.2 μὲν ϛ καὶ ϛ, εἰς ἄνισα δὲ αὖθις τετμήσθω τὰ ϛ, ἤτοι εἰς δ ### book 65.3 καὶ β. καὶ ἰδοὺ ἐτμήθησαν αἱ δέκα μονάδες εἰς ἓξ καὶ ### book 65.4 τέσσαρα καὶ δύο. ποίησον οὖν τὰ ἓξ καὶ τὰ τέσσαρα μίαν ### book 65.5.1 εὐθεῖαν, καὶ γίνονται ι. τετραγώνισον αὐτὴν καὶ γίνεται ### book 65.5.2 ἑκατόν. τετραγώνισον καὶ τὸ μικρὸν τμῆμα τὰ δύο· καὶ ### book 65.5.3 γίνεται τέσσαρα. καὶ λοιπὸν τὰ ἀπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης ### book 65.5.4 τετράγωνά εἰσιν ρδ, ἅτινά εἰσι διπλάσια τοῦ ἀπὸ τῆς ### book 65 ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου. ### book 65.10.1 τὸ γὰρ τετράγωνον τῆς ἡμισείας ἤτοι τῶν ἕξ ἐστι λϛ, καὶ ### book 65.10.2 τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ ἤτοι τῶν τεσσάρων ἐστὶ ιϛ, ἅτινα σὺν ### book 65.10.3 τοῖς λϛ γίνονται νβ, ὅ ἐστιν ἥμισυ τῶν ρδ ### book 66.1 Ἡ ΑΒ εὐθεῖα μονάδων ιβ· ἐτμήθη κατὰ τὸ Γ, ### book 66.2 τουτέστιν ϛ καὶ ϛ. προσκείσθω δέ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπ’ ### book 66.3 εὐθείας ἡ ΒΔ, τουτέστι γ. λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ### book 66.4 τετράγωνα, τουτέστι ιε, γίνονται σκε καὶ τρὶς γ θ, ὁμοῦ ### book 66.5.1 σλδ, διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ, τουτέστιν ϛ ### book 66.5.2 ἐπὶ ϛ· γίνονται λϛ· καὶ θ ἐπὶ θ· γίνονται πα· τοῦ τε ἀπὸ ### book 66.5.3 τῆς ἡμισείας τουτέστι τοῦ ϛ, καὶ γ· γίνονται θ ἔκ τε τῆς ### book 66.5.4 ἡμισείας καὶ τοῦ προσκειμένου ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντα ### book 66.5.5 τετράγωνα β λϛ καὶ πα ὁμοῦ ριζ· ὅπερ ἐστὶν ἥμισυ. ### book 67.1 Ἡ ΑΒ εὐθεῖα μονάδων ιβ· τετμήσθω κατὰ τὸ Γ, ### book 67.2 τουτέστι εἰς ϛ καὶ ϛ. προσκείσθω δὲ αὐτῇ εὐθεῖα ἐπ’ εὐ‐ ### book 67.3 θείας ἡ ΒΔ, τουτέστι γ. λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ### book 67.4 τετράγωνα, τουτέστι τὰ ιε ἐπὶ τὰ ιε ὡς γίνεσθαι σκε καὶ ### book 67.5.1 γ ἐπὶ γ ὡς γίνεσθαι θ καὶ ὁμοῦ τὰ σκε καὶ θ γίνεσθαι σλδ, ### book 67.5.2 διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ, τουτέστι τῶν λϛ, ἃ ### book 67.5.3 γίνονται τῶν ϛ ἐπὶ ϛ πολλαπλασιαζομένων· γίνονται γὰρ ### book 67.5.4 ὁμοῦ τὰ λϛ καὶ τὰ πα ριζ, ἅπερ ἐστὶν ἀπὸ τῆς ἡμισείας ### book 67.5.5 καὶ ἔτι τῆς ἑτέρας ἡμισείας σὺν τῇ προσκειμένῃ ὡς μιᾶς, ### book 67.10 ἅ εἰσιν ἡμίση τῶν σλδ. ### book 68.1 Τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ καὶ ΔΒ τετράγωνα διπλάσιά εἰσι ### book 68.2 τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ καὶ ΓΔ τετραγώνων. ἔστω γὰρ ἡ μὲν ### book 68.3 ΑΔ μονάδων ι. δεκάκις δὲ τὰ ι ἑκατόν. ἡ δὲ ΔΒ δ· δὶς γὰρ ### book 68.4 τὰ β τέσσαρα. γίνονται οὖν τῶν δύο τετραγώνων αἱ μο‐ ### book 68.5.1 νάδες. ρδ ἡ δὲ ΑΓ ιϛ· τετράκις γὰρ δ ιϛ. ἡ δὲ ΓΔ ἕξ. ### book 68.5.2 ἑξάκις δὲ τὰ ϛ λϛ. μιγνύμενα οὖν τὰ ιϛ μετὰ τῶν λϛ γίνον‐ ### book 68.5.3 ται νβ, τὰ δὲ νβ ἡμίση εἰσὶ τῶν ρδ. ### book 69.1 Ἡ ὅλη ΓΖ μονάδων δέκα, αἵτινες δέκα μονάδες ### book 69.2 μερίζονται εἰς τὰ γ τμήματα τῆς αὐτῆς γραμμῆς οὕτως· ### book 69.3 ἡ ΖΑ μονάδων β, τὰ δὲ λοιπὰ τμήματα, ἤγουν τὸ ΑΕ καὶ ### book 69.4 ΕΓ, ἀνὰ μονάδων δ. λοιπὸν οὖν ἡ ΓΖ ὅλη, ἤγουν αἱ δέκα ### book 69.5.1 μονάδες, πολλαπλασιαζόμεναι ὑπὸ τῆς ΖΑ, ἥτις ἐστὶ μο‐ ### book 69.5.2 νάδων β, γίνονται εἴκοσι· δὶς γὰρ δέκα εἴκοσι. τὸ δὲ ἀπὸ ### book 69.5.3 τῆς ΑΕ τετράγωνον γίνεται μονάδων ιϛ· τετράκις γὰρ τὰ ### book 69.5.4 τέσσαρα ιϛ. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον μονάδων ### book 69.5.5 οὔσης ἓξ γίνεται μονάδων λϛ· ἑξάκις γὰρ τὰ ϛ λϛ. ἔστι δὲ ### book 69.10.1 καὶ τὸ εἰρημένον τετράγωνον τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ ἀνα‐ ### book 69.10.2 γραφόμενον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ τετραγώνου μονάδων ### book 69.10.3 λϛ· εἴκοσι γὰρ καὶ ιϛ λϛ. ### book 70.1 Ὅτι γεωμετρική ἐστιν ἀναλογία, ἐντεῦθεν δῆλον· ἐπεὶ ### book 70.2 γὰρ τέτμηται ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Θ, καὶ ηὕρηται τὸ ὑπὸ ΑΒ, ### book 70.3 ΒΘ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΘΑ, τοῦτο δὲ μόνῃ τῇ γεωμετρικῇ ### book 70.4 παρακολουθεῖ μεσότητι, ταύτην δὲ ἐν τοῖς ἑξῆς ἄκρον καὶ ### book 70.5.1 μέσον λέγει τέμνεσθαι, νῦν δὲ διὰ τὸ μὴ εἰδέναι ἡμᾶς τι ### book 70.5.2 περὶ λόγου οὐκ εἶπεν αὐτὴν ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμνε‐ ### book 70 σθαι. οὐκ ἀναλύεται δὲ διὰ τὸ μὴ ὡρίσθαι τὴν τομήν. ### book 71.1 Ὅτι οὐ δυνατὸν δι’ ἀριθμῶν δειχθῆναι τὸ πρόβλημα· ### book 71.2 εἰ γὰρ δυνατόν, ὁ ΑΒ ἀριθμὸς διῃρήσθω εἰς τοὺς ΑΓΒ ### book 71.3 ὥστε τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ ΓΑ. ὁ ἄρα τετράκις ### book 71.4 ὑπὸ ΑΒΓ τετραπλάσιος τοῦ ἀπὸ ΓΑ. ὥστε τὸ τετράκις ### book 71.5.1 ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΑ πενταπλάσιον ἔσται τοῦ ἀπὸ ### book 71.5.2 ΓΑ. ἀλλ’ ὁ τετράκις ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ τετρα‐ ### book 71.5.3 γώνου τετράγωνός ἐστιν, ὡς ἐδείχθη ἐν τῷ ηʹ [II 8]. ### book 71.5.4 τετράγωνος δὲ καὶ ὁ ἀπὸ ΑΓ. δύο ἄρα τετράγωνοι λόγον ### book 71.5.5 ἔχουσιν, ὅνπερ πέντε πρὸς ἕν· ὅπερ ἀδύνατον. ### book 72.1 Ἐν τῷ βʹ βιβλίῳ ιδ ὄντων θεωρημάτων τοῦτο μό‐ ### book 72.2 νον τὸ ιαʹ καὶ τὸ ιδʹ προβλήματά εἰσι καὶ οὐ δείκνυται διὰ ### book 72.3 ψήφων, διὰ τί δὲ ἐν τοῖς ἐπάνω βιβλίοις μαθησόμεθα. ### book 73.1 Τετμήσθω ἡ ὅλη εὐθεῖα ἡ ΑΒ εἰς ὀκτὼ καὶ ὄγδοον. ### book 73.2 λαβὼν οὖν τὸν ὑπὸ τῆς ὅλης ἀριθμὸν τὸν ε καὶ γ καὶ ἑνώ‐ ### book 73.3 σας πολλαπλασίασον αὐτὸν ἐπὶ τὸν τρία. καὶ γίνονται κδ· ### book 73.4 τρὶς γὰρ η κδ. λαβὼν καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων τοῦ ### book 73.5.1 ΒΘ ἤγουν τὸ ὄγδοον τοῦ ὀκτώ, ὅπερ ἐστὶν ἕν, καὶ προσ‐ ### book 73.5.2 τιθεὶς τοῖς κδ, γίνεται τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑνὸς τῶν ### book 73.5.3 τμημάτων κε. πολλαπλασιάσεις ὡσαύτως καὶ τὸν τοῦ ### book 73.5.4 ἑτέρου τμήματος τῆς ΑΘ ἀριθμὸν πρὸς ἑαυτόν, ἤγουν τὸν ### book 73.5.5 ε. ποιεῖ τὸν κε· πεντάκις γὰρ ε κε. ὥστε τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης ### book 73.10.1 τῆς ΑΘ καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων τῆς ΒΘ περιεχό‐ ### book 73.10.2 μενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος ### book 73.10.3 τοῦ ΑΘ ἀναγραφομένῳ τετραγώνῳ. ### book 74.1 Ἀπορ[εῖται], ὅτι πόθεν δῆλον, ὅτι οὐκ ἔρχεται ..... ### book 74.2 τη... ἡ ΕΒ καὶ οὐκ ἔστι ........ εἰ γὰρ δυνατόν, ἐρ‐ ### book 74.1 χέσθω. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΒ τῇ ΕΑ, ἀλλὰ ἡ ΑΒ τῆς ### book 74.2 ΑΕ ἐλάττων, καὶ ἡ ΒΕ ἄρα τῆς .. ἐλάττων. ἔστι δὲ καὶ ### book 74.5.1 μείζων· ὅπερ ἀδύνατον. ὑπερπίπτει ἄρα τὸ Α σημεῖον· ### book 74.5.2 ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 75.1 Πάλιν πόθεν, ὅτι τὸ ἀναγραφόμενον τετράγωνον ### book 75.2 ἀπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας οὐκ ἔρχεται διὰ τοῦ Β; εἰ δυνατόν, ### book 75.3 ἐρχέσθω. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ [ΖΑ] τῇ ΑΒ (τετράγωνον ### book 75.4 γὰρ τὸ ΑΖΗΒ), κοινὴ προσκείσθω ἡ ΑΕ· ὅλη ἄρα ἡ ΖΕ ### book 75.5.1 δυσὶ ταῖς ΕΑ, ΑΒ ἴση ἐστίν. ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΒ τῇ ΕΖ ἴση ### book 75.5.2 ἐστίν. ὥστε καὶ ἡ ΕΒ ταῖς ΕΑ, ΑΒ ἐστιν ἴση, τριγώνου ### book 75.5.3 αἱ δύο πλευραὶ τῇ λοιπῇ ἴσαι. οὐκ ἄρα ἔρχεται διὰ τοῦ Β ### book 75.5.4 σημείου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 76.1 Πόθεν, ὅτι οὐ τέμνει δίχα ἡ ΕΒ τὴν ΘΚ; καὶ λέγο‐ ### book 76.2 μεν, ὅτι, εἰ δυνατόν, τεμνέτω δίχα. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ### book 76.3 ἐστιν ἡ ΑΘ τῇ ΕΚʹ [I 33], καὶ εἰς αὐτὰς εὐθεῖα ἐμπέπτω‐ ### book 76.4 κεν [ἡ ΗΚ], ἡ ὑπὸ ΕΚʹΚ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον καὶ ### book 76.5.1 ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΘΚ [ἴση ἐστίν· ἡ δὲ ### book 76.5.2 ὑπὸ ΑΘΚ] ὀρθή ἐστιν. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΕΚʹΚ ὀρθή ἐστιν. ### book 76.5.3 ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΕΚʹ[Κ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ] ΘΚʹΒ· κατὰ κορυ‐ ### book 76.5.4 φὴν γάρ. ὥστε καὶ ἡ ΘΚʹΒ ὀρθή. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΘΒ ### book 76.5.5 ὀρθή· τριγώνου ἄρα αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθαῖς ἴσαι· ὅπερ ### book 76.10 ἀδύνατον. οὐκ ἄρα δίχα τεμεῖ αὐτήν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 77.1 Ἴσθι, ὡς ὁ στοιχειωτής φησιν ἐν τοῖς ὅροις τοῦ ἕκ‐ ### book 77.2 του τῶν στοιχείων, ὡς ἄκρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα τε‐ ### book 77.3 τμῆσθαι λέγεται, ὅταν ᾖ ὡς ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα, οὕ‐ ### book 77.4 τω τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἔλαττον. παραδίδωσιν οὖν ἐνταῦθα ### book 77.5.1 τὸ πῶς δεῖ τέμνειν αὐτήν· ὅταν γὰρ τμηθῇ εὐθεῖα οὕτως, ### book 77.5.2 ὡς εἶναι τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑνὸς τῶν τμημάτων ### book 77.5.3 περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμή‐ ### book 77.1 ματος τετραγώνῳ, τότε τὸ μεῖζον τμῆμα πρὸς τὸ ἔλαττον ### book 77.2 τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ἡ ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον. ἴσθι καὶ ### book 77.10.1 τοῦτο, ὡς δι’ ἀριθμῶν οὐ δείκνυται· ἄλογος γάρ ἐστιν ἡ ### book 77.10.2 τοιαύτη εὐθεῖα καὶ ἀριθμοῖς οὐχ ὑποπίπτει. ### book 78.1 Πόθεν, ὅτι ἡ ΒΔ κάθετος οὐ πίπτει ἐντὸς τοῦ ### book 78.2 ΑΒΓ τριγώνου; καὶ λέγομεν, ὅτι οὐ δυνατόν. εἰ γὰρ δυ‐ ### book 78.3 νατόν, ἐρχέσθω ὡς ἡ ΒΕ. καὶ ἐπεὶ [Omitted graphic marker] ### book 78.4 ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΕΑ γωνία, καὶ ### book 78.5.1 ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ἀμβλεῖά ἐστι, τριγώνου ### book 78.5.2 αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν μείζονες· ### book 78.5.3 ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἐντός· ### book 78.5.4 ἐκτὸς ἄρα πίπτει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 79.1 Ἡ ΒΓ ιε· τὸ ἀπὸ ταύτης σκε. ἡ ΒΑ ιγ· τὸ ἀπὸ ### book 79.2 ταύτης ρξθ. ἡ ΑΓ δ· τὸ ἀπὸ ταύτης ιϛ. ἡ ΔΑ ε· τὸ δὶς ### book 79.3 ὑπὸ τῶν ΔΑ, ΑΓ μ. ἡ ΒΔ ιβ· τὸ ἀπὸ ταύτης ρμδ. ### book 80.1 Ποιοῦσι δὲ τὰ αὐτὰ πάντες οἱ ἰσάκις αὐτῶν πολλα‐ ### book 80.2 πλάσιοι. ### book 81.1 Ἔστω ἡ ΒΓ μονάδων ιε καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγω‐ ### book 81.2 νον μονάδων σκε· πεντεκαιδεκάκις γὰρ τὰ ιε σκε. ἡ δὲ ΒΑ ### book 81.3 μονάδων ιγ καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον μονάδων ρξθ. ἡ ### book 81.4 δὲ ΑΓ μονάδων δ καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον ιϛ. τὰ ### book 81.5.1 οὖν συναμφότερα τετράγωνα τὰ ἀπὸ τῆς ΒΑ καὶ ΑΓ ἤτοι ### book 81.5.2 τὰ ρξθ καὶ ιϛ γίνονται ρπε. ἔστω δὲ ἡ ΑΔ μονάδων ε· ### book 81.1 ὥστε τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ γίνεται μ· τετράκις γὰρ ### book 81.2 πέντε καὶ αὖθις τετράκις ε μ. ὑπερέχει οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ ### book 81.3 τετράγωνον ὂν μονάδων σκε τῶν ἀπὸ τῶν ΓΑ, ΑΒ τετρα‐ ### book 81.10.1 γώνων ὄντων ρπε μονάσι μ. εἰ γὰρ προσθήσεις μ τοῖς ρπε, ### book 81.10.2 γίνονται σκε. καὶ ταῦτα μὲν τὰ τοῦ ἀμβλυγωνίου. ### book 82.1 Τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τῆς ὑποτεινούσης τὴν ἀμβλεῖαν γω‐ ### book 82.2 νίαν ἀναγραφόμενον τετράγωνον μονάδων σκε· ιε γὰρ ἡ ### book 82.3 πλευρὰ ἦν μονάδων· πεντεκαιδεκάκις γὰρ τὰ ιε σκε. τὸ δὲ ### book 82.4 ἀπὸ τῆς ΓΑ δ μονάδων οὐσῶν ἀναγραφόμενον τετράγωνον ### book 82.5.1 μονάδων ιϛ· τετράκις γὰρ τὰ δ ιϛ. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΑ ἀνα‐ ### book 82.5.2 γραφόμενον τετράγωνον μονάδων οὐσῶν ιγ μονάδων ρξθ· ### book 82.5.3 τρισκαιδεκάκις γὰρ τὰ ιγ ρξθ. μιγνύμεναι οὖν αἱ ιϛ μο‐ ### book 82.5.4 νάδες καὶ ρξθ τῶν β πλευρῶν τῶν περιεχουσῶν τὴν ἀμ‐ ### book 82.5.5 βλεῖαν γωνίαν ἀναβιβάζονται εἰς μονάδας ρπε. εἰ γοῦν ### book 82.10.1 προσθήσεις ταύτας τὰς μονάδας πρὸς τὰς γινομένας ὑπὸ ### book 82.10.2 τοῦ δὶς λαμβανομένου ὀρθογωνίου ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ, γί‐ ### book 82.10.3 νονται σκε. ὥστε μὴ προστιθεμένων τούτων τῶν μονάδων ### book 82.10.4 μεῖζόν ἐστι τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ### book 82.10.5 ΓΑ καὶ ΑΒ τετραγώνων τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ ἤγουν ### book 82.15 ταῖς μ μονάσιν. ### book 83.1 Διότι τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΓΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ### book 83.2 ΓΔ, ΔΒ, ἀλλὰ τὰ ΓΔ, ΔΒ ἴσα ἦσαν τοῖς ΒΔ, ΓΑ, ΑΔ ### book 83.3 καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ, ἀντὶ γοῦν τοῦ λέγειν τὸ ΓΒ ### book 83.4 ἴσον τοῖς ΓΔ, ΔΒ λέγε, οἷς ἐστιν ἴσα τὰ ΓΔ, ΔΒ. καὶ ### book 83.5.1 ποῖα ταῦτα; τὰ ΓΑ, ΑΔ, ΔΒ καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ### book 83.5.2 ΑΔ. ἀλλὰ πάλιν ἀντὶ τοῦ λέγειν ΑΔ, ΔΒ εἰπὲ τὴν ἴσον ### book 83.5.3 δυναμένην τὴν ΑΒ. τοῦτο δὲ πάντως ποιήσεις, ἵνα ἐν τῷ ### book 83 ἀμβλυγωνίῳ διὰ τῆς μεταμείψεως ἡ δεῖξις προβῇ. ### book 84.1 Ἐπειδὴ ἐν τοῖς ὅροις ὀξυγώνιόν φησι τὸ τὰς τρεῖς ### book 84.2 ὀξείας ἔχον γωνίας, ἰστέον, ὅτι οὐχ οὕτως καὶ ἐνταῦθα ### book 84.3 λέγει, ἀλλὰ πάντα ὀνομάζει τὰ τρίγωνα ὀξυγώνια διὰ τὸ ### book 84.4 πάντα ἔχειν ὀξεῖαν γωνίαν, εἰ καὶ μὴ πάσας, μίαν γοῦν. ἡ ### book 84.5.1 οὖν πρότασις τοιαύτη ἐστί· παντὸς τριγώνου ἡ τὴν ὀξεῖαν ### book 84.5.2 γωνίαν ὑποτείνουσα πλευρὰ ἔλασσον δύναται τῶν τὴν ### book 84.5.3 ὀξεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τῷ περιεχομένῳ καὶ [Omitted graphic marker] ### book 84.5.4 τὰ ἑξῆς. ἐὰν μὲν οὖν ὀρθογώνιον ᾖ, ### book 84.5.5 λαμβάνεις τῶν περὶ τὴν ὀξεῖαν δύο τὴν ### book 84.10.1 ὑποτείνουσαν τὴν ὀρθήν, ἵνα ἐπ’ αὐτῆς ### book 84.10.2 ἡ κάθετος πέσῃ· ὁμοίως καὶ ἐὰν ᾖ ### book 84.10.3 ἀμβλυγώνιον. τὸ δὲ ἀντιστρόφιον τοῦ ### book 84.10.4 θεωρήματός ἐστι τοῦτο· ἔστω τὸ ἀπὸ ### book 84.10.5 ΑΒ τῶν ἀπὸ ΒΓ, ΓΑ ἔλαττον τῷ δὶς ὑπὸ καὶ τὰ ἑξῆς, καὶ ### book 84.15.1 ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΓΑ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΔ καὶ ἴση τῇ ΓΒ. τὰ ### book 84.15.2 ἀπὸ ΓΒ, ΓΑ ἄρα ἴσα τοῖς ἀπὸ ΔΓ, ΓΑ. ἀλλὰ τῶν ἀπὸ ### book 84.15.3 ΒΓ, ΓΑ ἔλαττον τὸ ἀπὸ ΑΒ· καὶ τῶν ἀπὸ ΔΓ, ΓΑ ἄρα ### book 84.15.4 ἔλαττον. ἴσον δὲ τοῖς ἀπὸ ΔΓ, ΓΑ τὸ ἀπὸ ΔΑ. τὸ ἄρα ### book 84.15.5 ἀπὸ ΔΑ τοῦ ἀπὸ ΑΒ μεῖζον· ὥστε καὶ ἡ ΔΑ τῆς ΑΒ. ### book 84.20.1 ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΔΓ, ΓΑ δύο ταῖς ΒΓ, ΓΑ ἴσαι εἰσίν, ἀλλὰ ### book 84.20.2 καὶ βάσις ἡ ΔΑ βάσεως τῆς ΑΒ μείζων, γωνία ἄρα ἡ ### book 84.20.3 ὑπὸ ΔΓΑ τῆς ὑπὸ ΑΓΒ μείζων. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΓΑ. ### book 84.20.4 ὀξεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 85 Ἔστω ἡ ΑΓ ιε· τὸ ἀπὸ ταύτης σκε· ἡ δὲ ΓΒ ιδ· τὸ ### book 85.1 ἀπὸ ταύτης ρϙϛ· ἡ δὲ ΒΑ ιγ καὶ τὸ ἀπὸ ταύτης ρξθ· ἡ δὲ ### book 85.2 ΑΔ ιβ· τὸ ἀπὸ ταύτης ρμδ· ἡ ΒΔ ε καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς κε· ### book 85.3 ἡ ΔΓ θ· τὸ ἀπ’ αὐτῆς πα. ### book 86.1 Τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ καὶ ΒΓ υκα· τὸ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ### book 86.2 ΓΒ, ΒΔ ρκϛ καὶ τὸ δὶς σνβ· ὅπερ ἐστὶν ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπὸ ### book 86.3 τῶν ΑΒ, ΒΓ τετραγώνων πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον. ### book 87.1 Τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῆς ὑποτεινούσης τὴν ὀξεῖαν γωνίαν ### book 87.2 τὴν πρὸς τῷ Β ρξθ. τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῆς μιᾶς τῶν περι‐ ### book 87.3 εχουσῶν τὴν ὀξεῖαν γωνίαν σκε, καὶ τὸ ἀπὸ τῆς λοιπῆς ### book 87.4 τῶν περιεχουσῶν τὴν ὀξεῖαν γωνίαν, ἥτις ἐστὶν ἡ ΒΓ, ### book 87.5.1 ρϙϛ. καὶ τὸ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ ρκϛ, τὸ δὲ δὶς σνβ. ### book 87.5.2 ἐλλεῖπον οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον, ὅπερ ἐστὶν ὁ ### book 87.5.3 ρξθ ἀριθμός, τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ καὶ ΒΓ τετραγώνων, ### book 87.5.4 ἅτινά εἰσιν ὁμοῦ υκα, τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ ἤγουν τῷ σνβ. ### book 88.1 Τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον μονάδων σκε· ιε τὰ ιε ### book 88.2 σκε. τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ ἑτερόμηκες ο· πεντάκις γὰρ τὰ ### book 88.3 ιδ ο. ἀπ’ αὐτῆς δὲ ὡς πλευρᾶς τετραγώνου τετράγωνον ### book 88.4 μονάδων ρϙϛ· τεσσαρεσκαιδεκάκις γὰρ τὰ ιδ ρϙϛ. ἐπεὶ δὲ ### book 88.5.1 ἡ αὐτὴν γραμμὴ τέμνεται εἰς β κατὰ τὸ Δ, τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ ### book 88.5.2 τετράγωνον μονάδων πα· θ γὰρ τὰ θ πα. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ### book 88.5.3 ΔΒ τετράγωνον μονάδων κε· ε γὰρ τὰ ε κε. τὸ ἀπὸ τῆς ### book 88.5.4 ΑΔ τετράγωνον μονάδων ρμδ· καὶ γὰρ ιβκις τὰ ιβ ρμδ. τὸ ### book 88.5.5 δὲ ἀπὸ τῆς ΑΒ μονάδων ρξθ· ιγκις γὰρ τὰ ιγ ρξθ. ### book 89.1 Ἔστω τοῦ ὀξυγωνίου τριγώνου ἡ ὑποτείνουσα τὴν ### book 89.2 πρὸς τῷ Β ὀξεῖαν γωνίαν ἡ ΑΓ μονάδων ιε καὶ τὸ ἀπὸ τῶν ### book 89.3 δέκα καὶ πέντε μονάδων τετράγωνον μονάδων σκε, ἡ δὲ ### book 89.4 ΓΒ μονάδων ιδ καὶ τὸ ἀπὸ ταύτης τετράγωνον ρϙϛ, ἡ δὲ ### book 89.5.1 ΒΑ μονάδων ιγ καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον ρξθ, ἡ δὲ ### book 89.5.2 ΑΔ μονάδων ιβ καὶ τὸ τετράγωνον αὐτῆς ρμδ. καὶ ἐπεὶ ### book 89.5.3 ἡ ΒΓ μονάδων ἦν ιδ, ἐτμήθη δὲ κατὰ τὸ Δ, ἔστω ἡ μὲν ### book 89.5.4 ΒΔ μονάδων ε, ἡ δὲ ΔΓ θ· ὥστε τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ ### book 89.5.5 ὀρθογώνιόν ἐστιν ρμ· πεντάκις γὰρ ιδ ο, καὶ πάλιν πεν‐ ### book 89.10.1 τάκις ιδ ο, δὶς δὲ ο ρμ. πάλιν ἐπεὶ ἡ ΒΔ μονάδων ἐστὶ ε, τὸ ### book 89.10.2 ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνόν ἐστιν κε. τούτων οὖν οὕτως ἐχόντων ### book 89.10.3 ἐπεί ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ ρϙϛ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΑ ρξθ, τὰ ### book 89.10.4 συναμφότερα γίνονται τξε. ὥστε τὸ σκε τετράγωνον τὸ ### book 89.10.5 ἀπὸ τῆς ΑΓ τῆς ὑποτεινούσης τὴν ὀξεῖαν γωνίαν ἔλαττόν ### book 89.15.1 ἐστι τῶν δύο τετραγώνων τῶν τξε τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ### book 89.15.2 ΒΔ, ὅπερ ἐστὶν ρμ. εἰ γὰρ τοῖς σκε προσθήσεις ρμ, γενή‐ ### book 89.15.3 σονται τξε. ἐπεὶ οὖν τοῖς δυσὶ τετραγώνοις τοῖς ἀναγραφο‐ ### book 89.15.4 μένοις ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΑ τῶν περιεχουσῶν τὴν πρὸς τῷ ### book 89.15.5 Β ὀξεῖαν γωνίαν ἴσον ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ περι‐ ### book 89.20.1 εχόμενον ὀρθογώνιον καὶ τὰ β τετράγωνα τὰ ἀπὸ τῶν ### book 89.20.2 ΓΔ, ΔΑ, ἐπεὶ οὖν, ὡς εἴρηται, τὰ ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΑ ἴσα ### book 89.20.3 ἐστὶ τῷ ὀρθογωνίῳ τῷ ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ καὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ### book 89.20.4 ΓΔ, ΔΑ τετραγώνοις, ἔστι δὲ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΔ, ΔΑ τε‐ ### book 89.20.5 τραγώνοις ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΓΑ ἔλατ‐ ### book 89.25.1 τόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΑ τῶν περιεχόντων τὴν ὀξεῖαν ### book 89.25.2 τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ. ἐπεὶ γὰρ ### book 89.25.3 τὰ β τετράγωνα τὰ ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΑ ἴσα ἐστὶ τῷ δὶς ### book 89.25.4 ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ ὀρθογωνίῳ καὶ τοῖς δυσὶ τετραγώνοις ### book 89.25.5 τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΔ, ΔΑ, οἷς ἀπὸ τῶν ΓΔ, ΔΑ ἴσον τὸ ἀπὸ ### book 89.30.1 τῆς ΓΑ, λείπεται ἤτοι ἐλαττοῦται τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ τῶν ### book 89.30.2 ἀπὸ τῶν ΓΒ, ΒΑ τῷ ὀρθογωνίῳ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ. ### book 90 Ποιοῦσι δὲ τὰ αὐτὰ καὶ οἱ ἰσάκις αὐτῶν πολλαπλάσιοι. ### book 91.1 Τὸ γὰρ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ### book 91.2 ΒΑ ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ ὑπὸ τῆς ### book 91.3 ΓΒ καὶ τῆς ΔΒ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνῳ καὶ τῷ ### book 91.4 ἀπὸ τῆς ΔΑ τετραγώνῳ. ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον ### book 91.5.1 ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ· καὶ περιτ‐ ### book 91.5.2 τεύει τὸ ὀρθογώνιον τὸ ὑπὸ τῆς ΓΒ καὶ τῆς ΔΒ δὶς ### book 91.5.3 περιεχόμενον. ### book 92.1 τῶν ΘΕ, ΗΕ τετράγωνα p. 92, 9] ὑποτείνει γὰρ ### book 92.2 ἡ ΘΗ τοῦ ΘΕΗ τριγώνου. ### book 93.1 Πόθεν, ὅτι ὁ γραφόμενος κύκλος οὐκ ἔρχεται διὰ ### book 93.2 τοῦ Δ σημείου; καὶ λέγομεν, ὅτι, εἰ δυνατόν, ἐρχέσθω, καὶ ### book 93.3 ἐπεζεύχθω ἡ Η[Δ]. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΘΗ τῇ ΔΗ, ἀλλ’ ### book 93.4 ἡ ΘΗ τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ΔΗ ἄρα τῇ ΖΗ ἐστιν ἴση. ### book 93.5.1 ἀλλὰ ἡ ΔΕ τῇ [ΕΖ] ἐστιν ἴση· κοινὴ προσκείσθω ἡ ΗΕ. ### book 93.5.2 ὅλη ἄρα ἡ ΗΖ δυσὶ ταῖς ΕΗ, ΕΔ ἐστιν ἴση. ἀλλὰ ἡ ΗΔ ### book 93.5.3 τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση· καὶ αἱ ΗΕ, ΕΔ ἄρα τῇ ΗΔ εἰσιν ἴσαι, ### book 93.5.4 τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῇ λοιπῇ ἴσαι· ὅπερ ἀδύνατον. ### book 93.5.5 οὐκ ἄρα διὰ τοῦ Δ σημείου ἔρχεται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 94.1 Πάλιν πόθεν, ὅτι οὐκ ἔρχεται διὰ τοῦ Γ σημείου; ### book 94.2 καὶ λέγομεν, ὅτι καὶ οὕτως ἀδύνατόν ἐστιν. εἰ γὰρ δυνα‐ ### book 94.3 τόν, ἐρχέσθω καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΓ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ### book 94.4 ΗΓ τῇ [ΒΗ], καὶ ἡ [ὑπὸ] ΗΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ [Β]ΓΗ ### book 94.5.1 ἐστιν ἴση. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΓΒΗ γωνία ὀρθή ἐστιν. καὶ ἡ ὑπὸ ### book 94.5.2 ΒΓΗ γωνία ὀρθή ἐστιν, καί εἰσι τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ### book 94.5.3 δύο ὀρθαῖς ἴσαι· ὅπερ ἀδύνατον. [οὐκ ἄρα] ἔρχεται διὰ τοῦ ### book 94.5.4 Γ σημείου. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἐντός, ἐπεὶ πολὺ ### book 94 τὸ ἀτοπώτερον· ἐκτὸς ἄρα ἔρχεται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 1.1 Σκοπός ἐστι περὶ τῶν πρὸς εὐθείας καὶ γωνίας κυκλι‐ ### book 1.2 κῶν συμπτωμάτων διαλαβεῖν. ### book 2.1 Διαφέρει τὸ ἅπτεσθαι τοῦ ἐφάπτεσθαι· τὸ μὲν γὰρ ### book 2.2 ἐφάπτεσθαι εἴρηται τῷ γεωμέτρῃ ὡς δεῖ ἐκδέχεσθαι, τὸ [Omitted graphic marker] ### book 2.3 δὲ ἅπτεσθαι, ἵνα προσπεσοῦσα ### book 2.4 ἡ εὐθεῖα τῷ κύκλῳ, εἰ μὲν οὐκ ### book 2.5.1 ἐξεβάλλετο, τὸν τοῦ ἅπτεσθαι ### book 2.5.2 ὅρον ἐπιδέχεται, ἐκβληθεῖσα ### book 2.5.3 δὲ τὸν τοῦ τέμνειν, οἷον τοῦ ### book 2.5.4 ΑΓ κύκλου ἡ μὲν ΔΕ ἐφάπτε‐ ### book 2.5.5 ται, ἡ δὲ ΖΗ ἅπτεται, ἡ δὲ ### book 2.10 ΘΚ τέμνει τὸν κύκλον. ### book 3.1 (τμῆμα) Ὃ καὶ μηνίσκος λέγεται, διότι ἔοικε τῇ ### book 3.2 σελήνῃ διχοτόμῳ οὔσῃ. ### book 4.1 Πλὴν τούτῳ διοίσει, ὅτι, εἰ μὲν ἐν ἡμικυκλίῳ γένηται ### book 4.2 ἡ γωνία, ὀρθὴ ἔσται, εἰ δὲ ἐν μείζονι, ὀξεῖα, εἰ δὲ ἐν ἐλάτ‐ ### book 4 τονι, ἀμέλει οὔ. ### book 5 (τομεύς) Ἐκ μεταφορᾶς τοῦ σκυτοτομικοῦ τομέως. ### book 6.1 Δύο διαφοραί εἰσι τῶν τομέων· οἱ μὲν γὰρ πρὸς τοῖς ### book 6.2 κέντροις τὰς κορυφὰς ἔχουσι τῶν γωνιῶν, οἱ δὲ πρὸς ταῖς ### book 6.3 περιφερείαις· οἱ δὲ μήτε πρὸς ταῖς περιφερείαις μήτε πρὸς ### book 6.4 τοῖς κέντροις, ἀλλὰ πρὸς ἄλλοις τισὶν σημείοις, διὰ τόδε ### book 6.5 οὐ τομεῖς, ἀλλὰ τομοειδῆ σχήματα λέγονται. ### book 7.1 Τὰς ἐν τμήματι δηλονότι, οὐ τὰς τοῦ τμήματος. καὶ ### book 7.2 ζήτει κεφάλαιον κγʹ τούτου τοῦ βιβλίου καὶ εἰκοστὸν ἕκτον ### book 7.3 καὶ εἰκοστὸν ἕβδομον, ἐξ ὧν κεφαλαίων παρίσταται καὶ ### book 7.4 τὸ ἴσον ὁποῖόν ἐστιν· οὐ μόνον γὰρ τὸ κατ’ εἶδος ἴσον φησί, ### book 7.5.1 οἷον τὸ καθὸ ἀμβλεῖαι ἢ ὀξεῖαι, ἀλλὰ καὶ τὸ κατὰ τὸ πρὸς ### book 7.5.2 ἀλλήλας μέγεθος, ὡς μὴ εἶναι ἑτέραν ἑτέρας ἀμβλυτέραν ### book 7.5.3 ἢ ὀξυτέραν. ταῦτα κατὰ τὸ ἐμοὶ παριστάμενον. ### book 8.1 γωνίας ἴσας p. 94, 11. 12] ἤτοι τὰς ἐν τοῖς τμή‐ ### book 8.2 μασι. ### book 8.3 ἐν οἷς αἱ γωνίαι p. 94, 12] ἤγουν αἱ τῶν τμημάτων. ### book 8.4 ἰστέον δέ, ὡς, ἐὰν ἔν τισι τμήμασιν αἱ γωνίαι ἴσαι ὦσι, καὶ ### book 8.5 αἱ τῶν αὐτῶν τμημάτων γωνίαι ἴσαι ἔσονται. ### book 9.1 Ὥσπερ ἐν τῷ αʹ τῶν στοιχειωδῶν σχημάτων, τῶν ### book 9.2 τριγώνων λέγω, στοιχειωδέστατον τὸ ἰσόπλευρον εἰς ποίη‐ ### book 9.3 σιν ἐν ἀρχῇ προετείνετο διὰ τὰς τῶν ἑξῆς ἀποδείξεων ### book 9.4 κατασκευάς, οὕτως καὶ ἐνταῦθα τὸ κέντρον εὑρεῖν προβάλλε‐ ### book 9.5 ται· τοῦτο γὰρ τῆς κυκλικῆς γενέσεως αἴτιον. ### book 10 Πᾶς μὲν κύκλος ἔχει τὸ οἰκεῖον κέντρον ὡρισμένον ### book 10.1 τῇ αὑτοῦ φύσει, πρὸς ἡμᾶς δὲ οὐ πᾶς, ἀλλ’ οὗ τὴν γένεσιν ### book 10.2 ὁρῶμεν. ἐπὶ μὲν οὖν τῶν προτέρων θεωρημάτων ἅτε γινο‐ ### book 10.3 μένων τῶν κύκλων καὶ τὰ κέντρα φανερά. ἐπὶ τούτων δὲ ### book 10.5.1 τῆς οὐσίας ζητουμένης καὶ τὸ κέντρον ζητεῖται· συμπλη‐ ### book 10.5.2 ρωτικὸν γὰρ τῆς ὑπάρξεως τοῦ κύκλου. τοῦτο δὲ πρῶτόν ### book 10.5.3 φησι μέσον προβλημάτων καὶ θεωρημάτων· καθὸ μὲν ### book 10.5.4 γὰρ ζητῆσαι προτείνει, ποιῆσαί πως προβάλλει, καθὸ δὲ ### book 10.5.5 οὐκ εἰς ποίησιν, ἀλλ’ εἰς εὕρεσιν, κατὰ τοῦτο θεωρῆσαι ### book 10.10.1 προτείνει. δοκεῖ δέ μοι ἐσχηματισμένην ἔχον τὴν πρότασιν ### book 10.10.2 θεώρημα εἶναι, ὡς ἂν εἰ καὶ περὶ τοῦ τετάρτου τις εἶπεν· ### book 10.10.3 δύο τριγώνων, ὧν δύο πλευραὶ ἴσαι καὶ γωνίαι, εὑρεῖν, εἰ ### book 10.10.4 αἱ βάσεις ἴσαι· ὥσπερ γὰρ ἐκεῖ ἤδη τῇ φύσει τῶν τριγώνων ### book 10.10.5 ἐμπεριεχόμενον ζητεῖ σύμπτωμα, οὕτω καὶ ἐνταῦθα τῇ ### book 10.15.1 τοῦ κύκλου, ἄλλως τε καὶ εἰ τοῦ προβλήματος ἴδιον καὶ ### book 10.15.2 τοὐναντίον τῆς προτάσεως ἐπιδέχεσθαι, πολλῷ μειζόνως ### book 10.15.3 τὸ προκείμενον ἐκφεύξεται τὴν τοῦ προβλήματος ἐπωνυ‐ ### book 10.15.4 μίαν. ### book 11.1 Μέσον ἐστὶ τοῦτο τῶν προβλημάτων καὶ τῶν θεω‐ ### book 11.2 ρημάτων· καθὸ μὲν γὰρ ζητῆσαι προβάλλεται, ποιῆσαί ### book 11.3 πως προτείνει, καθὸ δὲ οὐκ εἰς ποίησιν, ἀλλ’ εἰς εὕρεσιν, ### book 11.4 κατὰ τοῦτο θεώρημα προτείνει. ### book 12.1 Εἰ λάβοιμεν τὴν ΑΔ τῇ ΔΒ ἐπ’ εὐθείας, ἐπεὶ ἐκ τοῦ ### book 12.2 κέντρου, διάμετρος ἔσται τοῦ κύκλου. εἰ δὲ καὶ τὴν ΔΖ ### book 12.3 λάβοιμεν πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ, ἴσον τμῆμα ἔσται τοῦ κύκλου ### book 12.4 καὶ ὅμοιον τὸ ΑΖ τῷ ΖΒ· ἐν δὲ τοῖς ὁμοίοις τμήμασι τοῦ ### book 12.5.1 κύκλου αἱ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· εἰ γὰρ ὅμοια τμή‐ ### book 12.5.2 ματα κύκλου εἰσὶ τὰ δεχόμενα γωνίας ἴσας, καὶ ἀντιστρό‐ ### book 12.1 φως γωνίας ἴσας δέχονται τὰ τῶν κύκλων ὅμοια τμήματα. ### book 12.2 εἰ δὲ μὴ λάβοιμεν ἐπ’ εὐθείας τὴν ΑΔ τῇ ΔΒ, τρίγωνον ### book 12.3 ἔσται τὸ ΔΑΕΒ ἰσοσκελές· ἡ μὲν γὰρ ΔΑ καὶ ἡ ΔΒ ἴσαι ### book 12.10.1 ἀλλήλαις· ἐκ τοῦ κέντρου γάρ. ἡ δὲ ΑΕΒ ὡς εὐθεῖα ὑπό‐ ### book 12.10.2 κειται καί ἐστι βάσις τοῦ ὅλου ΔΑΕΒ τριγώνου· αἱ πρὸς ### book 12.10.3 τῇ βάσει ἄρα γωνίαι, ἤγουν ἡ πρὸς τῷ Α καὶ ἡ πρὸς τῷ Β, ### book 12.10.4 ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ### book 13.1 Ἐκ τούτου τοῦ θεωρήματος δείκνυται τὸ ἀντιστρό‐ ### book 13.2 φιον τοῦ ὅρου τοῦ κύκλου. ἐὰν γὰρ σχήματος τῇ περι‐ ### book 13.3 μέτρῳ προσπίπτωσιν ἀπό τινος σημείου τῶν ἐντὸς κειμέ‐ ### book 13.4 νων πᾶσαι ἴσαι, κύκλος ἐστίν. μὴ γάρ, ἀλλ’ ἔστω εὐθύ‐ ### book 13.5.1 γραμμον, καί τις αὐτοῦ πλευρά, ἐφ’ ἣν δύο προσέπεσον ### book 13.5.2 ἀφορίζουσαι αὐτήν. ἰσοσκελὲς ἄρα τὸ τρίγωνον, καὶ δίχα ### book 13.5.3 τετμημένης τῆς βάσεως ἡ ἐπιζευχθεῖσα ὀρθὰς ποιήσει ### book 13.5.4 γωνίας καὶ ἐλάσσων ἔσται ἑκατέρου σκέλους· ὅπερ ἄτοπον. ### book 13.5.5 ὑπόκεινται γὰρ πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι ἴσαι. ### book 14.1 Μετὰ τοῦ ἀντιστρόφου· ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ κέντρου, ### book 14.2 οὐ πάντως πρὸς ὀρθὰς τέμνει. ### book 15.1 Διὰ τοῦ κέντρου οὐσῶν οὐκ ἦν ζητήσεως ἄξιον, εἰ ### book 15.2 δίχα τέμνουσιν ἀλλήλας· τὸ γὰρ κέντρον αὐτῶν ἡ διχοτο‐ ### book 15.3 μία. ὁμοίως καὶ εἰ τῆς ἑτέρας διὰ τοῦ κέντρου οὔσης ἡ ### book 15.4 ἑτέρα μὴ διὰ τοῦ κέντρου εἴη, ὅτι οὐ δίχα τέμνεται ἡ διὰ ### book 15.5 τοῦ κέντρου. ### book 16.1 Τινὲς προστιθέασι τὸ ἐντός, ὡς τοῦτο φαντάζον. ### book 16.2 ἐὰν γὰρ ἐκτὸς ἐφάπτωνται, τὸν ὅρον ἐκφεύγει τοῦ κύκλου, ### book 16.3 εἴ τις τῶν δύο τὸ αὐτὸ κέντρον λήψεται· ἐκτὸς γὰρ πάντως ### book 16.4 τῆς περιφερείας τοῦ ἑνὸς εὑρεθήσεται. ### book 17.1 Ἀντιστρόφιον· ἐὰν κύκλου ληφθῇ σημεῖον ἐντός, ### book 17.2 ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπέσωσιν ὁσαι‐ ### book 17.3 δήποτε εὐθεῖαι, ὧν μία μὲν μεγίστη, μία δὲ ἐλαχίστη, τῶν ### book 17.4 δὲ λοιπῶν αἱ μὲν ἴσαι, αἱ δὲ ἄνισοι, ἡ μὲν μεγίστη διὰ τοῦ ### book 17.5.1 κέντρου ἔσται, ἡ δὲ ἐλαχίστη λοιπὴ τῆς διαμέτρου, τῶν ### book 17.5.2 δὲ ἄλλων αἱ μὲν μείζους ἔγγιόν εἰσι τοῦ κέντρου, αἱ δὲ ### book 17.5.3 ἴσαι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπ’ αὐτοῦ. διὰ γὰρ τοῦ Ε, ὅ ἐστιν ἐν‐ ### book 17.5.4 τὸς τοῦ κύκλου, μεγίστη μὲν [Omitted graphic marker] ### book 17.5.5 ἔστω ἡ ΕΓ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΕΔ, ### book 17.10.1 ἡ δὲ ΖΕ τῆς ΕΒ μείζων. λέγω, ### book 17.10.2 ὅτι ἡ μὲν ΓΕ διὰ τοῦ κέντρου ### book 17.10.3 ἐστίν, ἡ δὲ ΔΕ ἐπ’ εὐθείας ### book 17.10.4 αὐτῇ, ἡ δὲ ΕΖ ἔγγιον τοῦ κέν‐ ### book 17.10.5 τρου ἤπερ ἡ ΕΒ. εἰ γὰρ μή ### book 17.15.1 ἐστιν ἡ ΓΕ διὰ τοῦ κέντρου, ### book 17.15.2 ἀλλά τις ἄλλη ἀπὸ τοῦ Ε προσ‐ ### book 17.15.3 πεσοῦσα, ἐκείνη ἔσται μεγίστη διὰ τὸ ζʹ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ### book 17.15.4 ΕΓ· ὅπερ ἀδύνατον. διάμετρος ἄρα ἡ ΓΕ καὶ ἐπ’ εὐθείας ### book 17 αὐτῇ ἡ ΕΔ. λέγω, ὅτι καὶ ἡ ΕΖ ἔγγιον τοῦ Θ ἤπερ ἡ ΕΒ. ### book 17.20.1 ἤτοι γὰρ ἀπώτερον ἢ ἴσον ἀφέστηκεν. εἰ μὲν οὖν ἀπώτερον, ### book 17.20.2 μείζων ἡ ΒΕ τῆς ΕΖ· ὅπερ ἀδύνατον· οὐχ ὑπόκειται. εἰ ### book 17.20.3 δὲ ἴσον ἀφεστήκασιν, ἴσαι εἰσὶν διὰ τὸ ζʹ. οὐδὲ τοῦτο δὲ ### book 17.20.4 ὑπόκειται. ἔγγιον ἄρα ἡ ΖΕ τοῦ Θ ἤπερ ἡ ΕΒ. ἡ δὲ ΗΕ ### book 17.20.5 τῇ ΕΒ ἴση ἔστω. ἴσον ἄρα ἀφεστᾶσι τοῦ Θ· ἴσον γὰρ μὴ ### book 17.25 ἀφεστῶσαι ἄνισοί εἰσι διὰ τὸ ζʹ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 18.1 κυρτὴν p. 103, 18] Κυρτὴ περιφέρεια λέγεται τὸ ### book 18.2 ἐκτὸς τοῦ κύκλου. ### book 19.1 Ἢ καὶ οὕτως· μεγίστη μέν ἐστι ἡ διὰ τοῦ κέντρου, ### book 19.2 τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπω‐ ### book 19.3 τέρω μείζων ἐστί, τῶν δὲ πρὸς τὴν κυρτὴν περιφέρειαν ### book 19.4 προσπιπτουσῶν εὐθειῶν ἐλαχίστη μέν ἐστι ἡ μεταξὺ τοῦ ### book 19.5.1 τε σημείου καὶ τῆς διαμέτρου, ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον τῆς ἐλαχί‐ ### book 19.5.2 στης τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάττων, δύο δὲ μόναι καὶ ἐφ‐ ### book 19.5.3 εξῆς· καὶ κρείττων αὕτη ἡ γραφή. ### book 20.1 Εἰ γὰρ μὴ εἰς τὸ Δ σημεῖον, ὅπερ ἐστὶ κοινὸς τόπος ### book 20.2 τῆς ΗΚ καὶ ΘΛ, ἐστι τὸ κέντρον, δύο κέντρα ἔσονται τοῦ ### book 20.3 ἑνὸς κύκλου· εἴρηται γάρ, ὅτι καὶ ἐν τῇ ΗΚ καὶ ἐν τῇ ### book 20.4 ΘΛ ἐστι τὸ κέντρον. εἰ γὰρ μὴ ἐν τῷ Δ σημείῳ, ἀλλ’ ἐν ### book 20.5.1 ἄλλῳ τόπῳ τῆς ΗΚ, δηλαδὴ καὶ ἐν ἄλλῳ τῆς ΘΛ, καὶ ### book 20.5.2 ἔσονται δύο κέντρα· ὅπερ ἀδύνατον. ### book 21.1 Κύκλος κύκλον οὐ τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ### book 21.2 δύο. εἰ γὰρ δυνατόν, δύο κύκλοι οἱ ὑποκείμενοι τεμνέτωσαν ### book 21.1 ἀλλήλους κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο τὰ Α, Β, Γ, καὶ ### book 21.2 ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΑΓ .... δὲ δίχα τομῶν (?) πρὸς ### book 21.5.1 ὀρθὰς αὐτ..... λέγει τις, ὅτι ἔστω ὡς ἡ Δ· καὶ .... ### book 21.5.2 αὐτόθεν ἀδύνατον τὴν τῶν πρὸς ὀρθὰς πτῶσιν. ἐπεὶ δὲ [Omitted graphic marker] ### book 21.5.3 οὐδὲ τριγώνου αἱ πρὸς ### book 21.5.4 τοῖς Δ, Ε γωνίαι δυσὶν ### book 21.5.5 ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· καὶ γὰρ ### book 21.10.1 ἀδύνατον. οὐχ οὕτως ἄρα ### book 21.10.2 πρὸς ὀρθὰς ἥξουσιν. εἰ ### book 21.10.3 δὲ λέγοι τις τὰς πρὸς ὀρ‐ ### book 21.10.4 θὰς πίπτειν ὡς ὑπογέ‐ ### book 21.10.5 γραπται διὰ ... μὲν οὕ‐ ### book 21.15.1 τως τὴν πτῶσιν τῶν εὐ‐ ### book 21.15.2 θειῶν. ἐπεὶ γὰρ τῷ ἐφ’ ἑκάτερα κύκλῳ εὐθεῖά τις ἡ ΖΗ ### book 21.15.3 τὴν ΑΔ δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, ἐπὶ τῆς ΖΗ τὸ ### book 21.15.4 κέντρον ἄρα ἐστὶν ἑκατέρων τῶν κύκλων. ὁμοίως καὶ ἐπὶ ### book 21.15.5 τῆς ΗΘ τὸ κέντρον ἐστὶν ἑκατέρων τῶν κύκλων· ὅπερ ### book 21.20 ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα πεσοῦνται πρὸς ὀρθάς. ### book 22.1 πλείονα σημεῖα p. 112, 5] διὰ μὲν τῶν προλαβόν‐ ### book 22.2 των δύο θεωρημάτων ὡς ὁμολογούμενον λαμβάνων ὁ ### book 22.3 στοιχειωτὴς τὸ καθ’ ἓν σημεῖον ἐφάπτεσθαι τοὺς κύκλους ### book 22.4 ἀλλήλων διὰ μὲν τὸ ἐὰν ἐντός, ἰδίᾳ δὲ τὸ ἐὰν ἐκτός, ἄλλο τι ### book 22.5.1 τούτοις ἐφεπόμενον ἐθεώρει· νῦν δὲ κατὰ ταὐτὰ μίξας ### book 22.5.2 ἅμα δείκνυσιν ἑνὶ καὶ τῷ αὐτῷ προβλήματι. ### book 23.1 ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου p. 117, 3] ἤγουν τῆς ### book 23.2 κυρτῆς περιφερείας, οὐ τῆς κοίλης. in mg. τῆς μὲν ἐκτὸς ### book 23.3 περιφερείας οὔσης καὶ λεγομένης κυρτῆς, τῆς δὲ ἐντὸς ### book 23 κοίλης. ### book 24.1 Ἀντιστρόφιον· ἐὰν κύκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα, ### book 24.2 ἀπὸ δὲ τῆς ἁφῆς τῇ ἐφαπτομένῃ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα ### book 24.3 γραμμὴ ἐκτὸς ἀχθῇ τοῦ κύκλου, ἐκβαλλομένη, ἐφ’ ἃ μέρη ### book 24.4 ἐστὶν ὁ κύκλος, ἐπὶ τὸ κέντρον πεσεῖται τοῦ κύκλου. ### book 25.1 ὁμοίως δὴ δείξομεν p. 123, 14. 15] σκόπει, μή σε ### book 25.2 παρέλθῃ τὸ νόημα. ### book 26.1 Ἅμα γὰρ ἐφ’ ἑκάτερα μέρη δύνανται συσταθῆναι, ### book 26.2 τὸ μὲν ἓν ἐπὶ τοῦ ἑνὸς μέρους, τὸ δὲ ἕτερον ἐπὶ τοῦ ἑτέρου. ### book 27.1 Ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο τμήματα κύκλων ὅμοια ### book 27.2 καὶ ἄνισα συσταθήσονται ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη· ὅπερ ἀδύνα‐ ### book 27.3 τον. ἢ καὶ ἄλλως· εἰ γὰρ ἡ ΑΒ εὐθεῖα ἐπὶ τὴν ΓΔ ἐφαρ‐ ### book 27.4 μόσει καὶ τὰ λοιπά, κύκλος κύκλον κατὰ πλείονα ἢ δύο ### book 27.5 σημεῖα τεμεῖ· οὐ τέμνει δέ. ### book 28.1 Τὸ Δ κέντρον ἔσται τοῦ προσαναπεπληρωμένου κύ‐ ### book 28.2 κλου διὰ τὸ θʹ θεώρημα τῆς γʹ βίβλου τὸ λέγον, ὅτι, ἐὰν ### book 28.3 κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐντός, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς ### book 28.4 τὸν κύκλον προσπίπτωσι πλείους ἢ δύο ἴσαι εὐθεῖαι, τὸ ### book 28.5.1 ληφθὲν σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ κύκλου. ἀπὸ γὰρ τοῦ Δ ### book 28.5.2 σημείου πλείους ἢ δύο ἴσαι εὐθεῖαι προσέπεσον πρὸς τοῦ ### book 28.5.3 ἀναγεγραμμένου κύκλου τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν αἱ ΔΑ, ### book 28.5.4 ΔΒ, ΔΓ. τὸ δὲ ΑΒΓ ἡμικύκλιόν ἐστι διὰ τὸ τὴν ΑΓ εὐ‐ ### book 28.5.5 θεῖαν διὰ τοῦ κέντρου ἦχθαι καὶ διάμετρον οὖσαν τὸν ### book 28.10 προσαναγεγραμμένον κύκλον δίχα τέμνειν. ### book 29.1 Ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι p. 129, 14] ἴσοι φανήσονται ### book 29.2 ἀπὸ τοῦ ἴσα τμήματα ἀλλήλοις διὰ τὸ κδʹ γενέσθαι καὶ ### book 29.3 ὁλοκλήρως προσαναγραφῆναι τοὺς κύκλους διὰ τοῦ ἐφ‐ ### book 29.4 εξῆς κεʹ. ### book 30.1 Τοῦτο καὶ τὸ ἑξῆς καὶ τὸ τρίτον ἀντιστρέφουσιν· ### book 30.2 ἐὰν ἴσαι εὐθεῖαι ἴσας καὶ ὁμοίας περιφερείας ὑποτείνωσιν, ### book 30.3 ἴσοι εἰσὶν οἱ κύκλοι, ὧν αἱ περιφέρειαι. εἰ γὰρ ἄνισοι, ἐπὶ ### book 30.4 τοῦ ἐλάσσονος τῷ μείζονι ἴσου γραφέντος περὶ τὸ αὐτὸ ### book 30.5.1 κέντρον καὶ γωνιῶν ἐπὶ τῶν ἴσων περιφερειῶν συσταθει‐ ### book 30.5.2 σῶν ἡ μὲν ἔσται τῶν γωνιῶν ἐλάσσων, ἡ δὲ μείζων. ἐὰν ### book 30.5.3 οὖν ἀπὸ τῆς μείζονος γωνίας τῇ ἐλάσσονι ἴσην ἀφέλῃς, ### book 30.5.4 ἔσονται οὐκέτι αἱ ἐξ ἀρχῆς περιφέρειαι ὅμοιαι. ὑπέκειντο ### book 30.5.5 δέ· οὐκ ἄρα ἄνισοι οἱ κύκλοι, ὧν αἱ ὅμοιαι περιφέρειαι. ### book 30.10.1 ἕπεται δὲ τοῖς τρισὶ τούτοις ἄλλα τρία τό τε ἐν τοῖς ἀνίσοις ### book 30.10.2 κύκλοις τὰς ἴσας εὐθείας ἀνίσους καὶ ἀνομοίας ὑποτείνειν ### book 30.10.3 περιφερείας καὶ τὰ δύο ἀντίστροφα. καὶ τὸ μὲν πρῶτον ### book 30.10.4 οὕτω πως· ὅτι μὲν ἀνόμοιαι αἱ περιφέρειαι, φανερόν, εἰ ### book 30.10.5 περὶ τὸ αὐτὸ τεθεῖεν κέντρον ἴσων οὐσῶν τῶν εὐθειῶν. ### book 30.15.1 ἄνισοι γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ μέσου τῶν εὐθειῶν ἀποστάσεις· ### book 30.15.2 ὥστε καὶ αἱ γωνίαι· ὥστε καὶ αἱ περιφέρειαι. λέγω, ὅτι ### book 30.15.3 καὶ οἱ κύκλοι διὰ τὸ τρίτον τῶν πρὸ αὐτοῦ ἀντιστρόφιον. ### book 30.15.4 τὸ δὲ δεύτερον· ἐν τοῖς ἀνίσοις κύκλοις ὑπὸ τὰς ὁμοίας ### book 30.15.5 περιφερείας ἄνισοι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν. εἰ γὰρ ἴσαι, ἴσαι ### book 30.20.1 δὲ καὶ αἱ γωνίαι, καὶ τὰ τρίγωνα ἴσα ἂν εἴη, καὶ αἱ πλευραὶ ### book 30.20.2 καὶ αἱ ἐκ τῶν κέντρων καὶ οἱ κύκλοι. τὸ τρίτον· ἐὰν ὅμοιαι ### book 30.20.3 καὶ ἄνισοι ὦσιν αἱ περιφέρειαι· δῆλον γάρ, ὅτι ὑπὸ ἀνίσων ### book 30.20.4 εὐθειῶν ὑποτείνονται· ὅτι ἄνισοι οἱ κύκλοι. εἰ γὰρ ἴσοι, ### book 30.20.5 ἄνισοι δὲ αἱ εὐθεῖαι, ἀνόμοιαι ἄρα αἱ περιφέρειαι. ### book 31.1 Εἰ τὰ ἡμικύκλια πάντα διὰ τὴν ὁμοιότητα ἴσας ### book 31.2 δέχεται γωνίας (ὀρθὰς γάρ), τὰ δὲ μείζονα τμήματα ἐλάτ‐ ### book 31.3 τους ὀρθῶν, δῆλον, ὅτι καὶ αὐτά, εἰ ὅμοια εἴη, ἴσας δέχεται ### book 31.4 γωνίας· ὅσῳ γὰρ μείζονά ἐστιν ἡμικυκλίων, τοσούτῳ τὴν ### book 31.5.1 ὀρθὴν ἐλαττοῖ. ὁμοίως καὶ τὰ ἐλάττω τῶν ἡμικυκλίων τὴν ### book 31.5.2 ὀρθὴν ἀνάλογον αὔξει. ὥστε τὰ ὅμοια τμήματα ἴσας δέχε‐ ### book 31.5.3 ται γωνίας. αἱ δὲ τῶν τμημάτων γωνίαι ἑτερογενεῖς οὖσαι ### book 31.5.4 παρὰ τὰς εὐθυγράμμους (μικταὶ γάρ) οὐ παραβέβληνται ### book 31.5.5 ἐκείναις ὡρισμένῳ μεγέθει, εἰ μὴ μόνον μειζονότητι καὶ ### book 31.10.1 ἐλαττονότητι. διὰ δὴ τοῦτο συμβαίνει τοῦ μείζονος τμή‐ ### book 31.10.2 ματος ἐπὶ ἔλαττον προιόντος διὰ μέσου τοῦ ἡμικυκλίου τὴν ### book 31.10.3 γωνίαν αὐτοῦ μείζονα οὖσαν ἁπλῶς ὀρθῆς ἐπὶ ἐλάττονα ### book 31.10.4 προιέναι μὴ διὰ τῆς ὀρθῆς· αὕτη γὰρ ὡρισμένον ποσόν. ### book 31.10.5 δόξει δὲ παράδοξον εἶναι· τὰ γὰρ εἰς τοὐναντίον μετα‐ ### book 31.15.1 βάλλοντα διὰ τῶν μέσων χωρεῖν πέφυκεν. ἔστι δὲ καὶ ἐν ### book 31.15.2 ἄλλοις ἄμεσα εὑρεῖν τὰ οὕτως ἀντικείμενα. καὶ γὰρ ἡ τὸν ### book 31.15.3 κύκλον περιέχουσα γραμμή, κυρτὴ ἄρα καὶ κοίλη οὖσα, ### book 31.15.4 οὐκ ἔστι καὶ εὐθεῖα. ### book 32.1 Ἡ μὲν τοῦ ἡμικυκλίου γωνία ἐστὶν ἡ περιεχομένη ### book 32.2 ὑπό τε τῆς περιφερείας καὶ τῆς διαμέτρου, ἡ δὲ ἐν ἡμικυ‐ ### book 32.3 κλίῳ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ δύο εὐθειῶν τῶν ἐξ ἄκρων ### book 32 τῆς διαμέτρου ἀγομένων πρὸς τὴν περιφέρειαν. ### book 33.1 Ἐναλλὰξ γωνίαι ἐν τμήμασι κύκλου λέγονται οὐ ### book 33.2 πρὸς τὰς εὐθείας, ἀλλὰ πρὸς τὰ τμήματα τοῦ κύκλου, τὸ ### book 33.3 μεῖζον λέγω καὶ τὸ ἔλαττον, θεωρούμεναι. ### book 34.1 Σημείωσαι, ὡς, εἰ ὀρθογώνιόν ἐστι τὸ τρίγωνον, ἡ ### book 34.2 τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτείνουσα πλευρὰ ἴση ἐστὶ ταῖς ἑτέραις ### book 34.3 δύο πλευραῖς τῶν β ἀνὰ ἡμίσειαν ὀρθῆς ὑποτεινουσῶν, ὡς ### book 34.4 εἶναι τὰς ὑπὸ τῶν β πλευρῶν ὑποτεινομένας β γωνίας ### book 34.5.1 ἡμισείας ὀρθὰς μίαν ὀρθήν. εἰ δὲ ἀμβλυγώνιόν ἐστι τὸ τρί‐ ### book 34.5.2 γωνον, ἡ μία πλευρὰ ἡ τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν ὑποτείνουσα ### book 34.5.3 μείζων ἐστὶ τῶν β πλευρῶν, εἰ δὲ ὀξυγώνιόν ἐστι τὸ τρίγω‐ ### book 34.5.4 νον, ἡ ὑποτείνουσα τὴν ὀξεῖαν γωνίαν ἐλάττων ἐστὶ τῶν δύο. ### book 35.1 τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ cet., p. 145, 23] τῷ αὐτῷ ### book 35.2 γὰρ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ καὶ ἄμφω ἴσα ἐδείχθη διὰ τὸν ὅρον· ### book 35.3 τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα. ποῖα ταῦτα; τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ μετὰ τοῦ ### book 35.4 ἀπὸ τῆς ΖΕ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕ, ΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΕ. ### book 36.1 Τὸ ἀντιστρόφιον κεῖται παρ’ αὐτῷ [III 37]. πτῶσις ### book 36.2 δὲ μία θεωρεῖται. ἐνδέχεται γὰρ τὴν τέμνουσαν διὰ τοῦ ### book 36.3 κέντρου φέρεσθαι, ἀκατασκευοτέρα δὲ οὕτως ἡ δεῖξις. ### book 36.4 ἔστω γὰρ ἡ ΓΖΘ. φανερόν, ὅτι τὸ ὑπὸ ΓΚΘ ἴσον τῷ ἀπὸ ### book 36.5.1 ΑΓ· τέτμηται γὰρ ἡ ΘΚ τῷ Ζ δίχα, πρόσκειται δὲ αὐτῇ ### book 36.5.2 ἡ ΚΓ. κοινοῦ ἀφαιρουμένου τοῦ ἀπὸ ΖΑ δῆλον τὸ συμ‐ ### book 36 πέρασμα. ### book 1.1 Ποικιλωτέραν οὖσαν τὴν τῶν περιγραφῶν καὶ ἐγγρα‐ ### book 1.2 φῶν θεωρίαν οὐκ ἄχρι πολλοῦ προάγει, ἐλθὼν δὲ ἄχρι τοῦ ### book 1.3 ἑξαγώνου καὶ ἐπὶ τέλει παραδοὺς τὰ περὶ τοῦ πεντεκαιδε‐ ### book 1.4 καγώνου εἰς ἀστρονομικὴν θεωρίαν συμβαλλόμενα παύεται. ### book 1.5.1 τὸ δὲ πρῶτον θεώρημα λῆμμά ἐστι λήμματος τῆς τοῦ ### book 1.5.2 πενταγώνου συστάσεως, καὶ ὅσα γε ἐπὶ τῇ τοιαύτῃ τάξει ### book 1.5.3 ἔδει ἐκείνῳ συντετάχθαι· ἀλλ’ ἐπεὶ ἁπλουστέραν ἔχει ### book 1.5.4 κατασκευὴν τῆς τοῦ τριπλεύρου συστάσεως, προτέτακται ### book 1.5.5 τῶν ἄλλων θεωρημάτων. ἰστέον δέ, ὅτι, εἰ μὲν ἴση ᾖ τῇ ### book 1.10.1 διαμέτρῳ ἡ δοθεῖσα, μοναχῶς ἢ ἀπειραχῶς γένοιτο ἂν τὸ ### book 1.10.2 πρόβλημα, εἰ δὲ ἐλάσσων, διχῶς· ἀπὸ γὰρ τοῦ αὐτοῦ ### book 1.10.3 σημείου, οἷον τοῦ Ζ, αἱ ἐπὶ τὰ Β, Γ ἐπιζευγνύμεναι ἴσαι ### book 1.10.4 εἰσίν. ### book 2.1 Ἐν τούτῳ τῷ βιβλίῳ δείκνυται, ὅτι οὐκ ἔστιν ἡ περί‐ ### book 2.2 μετρος τοῦ κύκλου τῆς διαμέτρου αὐτοῦ τριπλασίων, ὡς ### book 2.3 πολλοὶ νομίζουσιν, ἀλλὰ μείζων τῆς τριπλασίονος, ὡσαύ‐ ### book 2.4 τως δὲ ὡς οὐδὲ ὁ κύκλος τοῦ περὶ αὐτὸν περιγραφομένου ### book 2.5.1 τριγώνου τρία τέταρτα. εὕρημα δὲ τοῦτο τὸ βιβλίον τῶν ### book 2.5.2 Πυθαγορείων. ### book 3 Ἰστέον, ὅτι τὸ τέταρτον βιβλίον ὅλον προβληματικόν ### book 3 ἐστιν. ### book 4.1 Ἐν τῷ τρίτῳ βιβλίῳ διαλαβὼν ὁ στοιχειωτὴς περὶ ### book 4.2 τῶν ἐν κύκλοις ἢ περὶ κύκλους γραφομένων εὐθειῶν, τίνων ### book 4.3 εἰσὶν ἀποτελεστικαί τε καὶ ἀποδοτικαί, ἐν τῷ παρόντι ### book 4.4 στοιχείῳ δʹ ὄντι περὶ σχημάτων αὖθις τῶν ἐγγραφομένων ### book 4.5.1 ἢ περιγραφομένων κύκλοις καὶ ἀνάπαλιν διδάσκει ἀπὸ τῶν ### book 4.5.2 ἀτελεστέρων προβαίνων ἑξῆς· πᾶν γὰρ σχῆμα ἐξ εὐθειῶν. ### book 4.5.3 τὰ ὅλα δὲ θεωρήματα τοῦ προκειμένου βιβλίου ιζ ὄντα ### book 4.5.4 Πυθαγορείων εὑρήματα. ἐξέδοτο δὲ ταῦτα ὡς καὶ τὴν ὅλην ### book 4.5.5 γεωμετρίαν χρόνῳ παραρρυεῖσαν ὁ Θέων, ὅθεν καὶ γρά‐ ### book 4.10.1 φεται ἐπ’ ἐνίων· Εὐκλείδου στοιχ. αʹ ἢ βʹ φέρε εἰπεῖν ἐκ τῆς ### book 4.10.2 Θέωνος ἐκδόσεως. ἑπτὰ δέ εἰσιν οἱ ὅλοι ὅροι τοῦ προκει‐ ### book 4.10.3 μένου βιβλίου, οἱ μὲν δύο οἱ πρῶτοι, τί ἐστι τὸ σχῆμα ἐν ### book 4.10.4 σχήματι εὐθύγραμμον εὐθυγράμμῳ ἐγγράφεσθαι ἢ περι‐ ### book 4.10.5 γράφεσθαι, διεξιόντες, οἱ δ’ ἐφεξῆς δύο, τί τὸ εὐθύγραμ‐ ### book 4.15.1 μον ἐγγράφεσθαι ἢ περιγράφεσθαι κύκλῳ, οἱ δὲ μετὰ τού‐ ### book 4.15.2 τους δύο, τί τὸ κύκλον εὐθυγράμμῳ ἐγγράφεσθαι ἢ περι‐ ### book 4.15.3 γράφεσθαι, ὁ δ’ ἕβδομος καὶ τελευταῖος, τί τὸ εὐθεῖαν ### book 4.15.4 ἐναρμόζεσθαι κύκλῳ. ἠπόρηται δέ, ὅτι, εἰ ἐφ’ ἑκάστου ### book 4.15.5 τῶν στοιχείων καὶ τῶν ὅρων ἕκαστος χρήσιμός ἐστί τινι ### book 4.20.1 τῶν ἐν τῷ βιβλίῳ θεωρημάτων, ἐν δὲ τῷ παρόντι στοιχείῳ ### book 4.20.2 ἐγγραφῆς ἢ περιγραφῆς εὐθυγράμμου εἰς εὐθύγραμμον ### book 4.20.3 ἐπί τινι τῶν ἐν αὐτῷ θεωρημάτων ὅλως οὐ μνημονεύει, ### book 4.20.4 τίνος ἕνεκα τοὺς δύο πρώτους ὅρους ὅλως ἐπῆξε; καί φα‐ ### book 4.20.5 μεν, ὡς οὐκ ἀεὶ οἱ πάντες ὅροι τοῦ προκειμένου βιβλίου ### book 4.25.1 μόνου χάριν παραλαμβάνονται, ἀλλ’ ἔνιοί εἰσι καὶ καθ‐ ### book 4.25.2 όλου, ὡς οἱ ἐν τῷ αʹ στοιχείῳ· καὶ ἐν ἄλλοις γὰρ πολλοῖς ### book 4.25.3 τῶν ἐν τοῖς πρόσω στοιχείοις θεωρημάτων παραλαμβά‐ ### book 4.25.4 νονται, ὥσπερ καὶ οἱ ῥηθέντες· ἢ ὅλως διὰ τὸ καθόλου καὶ ### book 4.25.5 πλῆρες τῆς διαιρέσεως ἐπήγαγε τούτους· ἐγγραφὴν γὰρ ### book 4.30 καὶ περιγραφὴν διδάξαι προθέμενος ἁπλῶς ἐπάναγκες ### book 4 εἶχε τούτων πρότερον μνημονεύειν. ### book 5.1 Τὰ μὲν ἔσωθεν λέγονται ἐγγράφεσθαι, τὰ δὲ ἔξωθεν ### book 5.2 περιγράφεσθαι. ### book 6.1 Ἐπεὶ πᾶν εὐθύγραμμον ἀτελέστερον καὶ πρότερον ### book 6.2 κύκλου, διὰ τοῦτο πρότερον ἐγγραφῆς καὶ περιγραφῆς ### book 6.3 εὐθυγράμμων μνημονεύει. ἄ[λλο δέ ἐστι] τὸ εἶναι ἁπλῶς ### book 6.4 σχῆμα ἐν σχήματι καὶ ἄλλο τὸ ἐγγράφεσθαι· τὸ μὲν γὰρ ### book 6.5.1 λέγεται ἐπὶ τῶν μὴ ἐφαπτομένων ἀλλήλων ὡς ἐπὶ τοῦδε ### book 6.5.2 ⟁· τὸ δὲ ὅταν τῶν τοῦ ἐκτὸς πλευρῶν ἢ περιφερειῶν ὡς ### book 6.5.3 ἐπὶ τοῦ κύκλου αἱ τοῦ ἐντὸς γωνίαι ἐφάπτωνται. περι‐ ### book 6.5.4 γραφὴ δέ ἐστιν, ὅταν τῶν τοῦ δοθέν[τος] σχήματος γω‐ ### book 6.5.5 νιῶν ἢ περιφερειῶν, δηλαδὴ τοῦ ἐντός, ἐφάπτωνται τοῦ ### book 6.10 ἐκτὸς αἱ π[λευραί]. ### book 7.1 ἐναρμόζεσθαι] ὅταν ἄμφω τὰ πέρατα ἐφάπτηται τῆς ### book 7.2 περιφερείας. ### book 8.1 Ἐπεὶ παντὸς σχήματος ἁπλουστέρα ἐστὶν ἡ γραμμὴ ### book 8.2 διὰ τὸ ἐξ αὐτῆς ἢ αὐτῶν πᾶν εἶναι σχῆμα, διὰ τοῦτο πρό‐ ### book 8.3 τερον περὶ τοῦ πῶς ἐναρμοσθήσεται εὐθεῖα ἐν κύκλῳ ### book 8.4 διαλαμβάνει ἐν τῷ προτέρῳ προβλήματι. διὰ τοῦτο γὰρ καὶ ### book 8.5.1 τὸν εἰς τοῦτο συμβαλλόμενον ὅρον τελευταῖον τετήρηκεν. ### book 8.5.2 εἶθ’ οὕτω προβαίνων ὁδῷ καὶ περὶ τοῦ πῶς σχῆμα εὐθύ‐ ### book 8.5.3 γραμμον ἐγγραφήσεται ἢ περιγραφήσεται κύκλῳ ἢ ἔμ‐ ### book 8.5.4 παλιν κύκλος εὐθυγράμμῳ διδάξει, πρῶτον μὲν περὶ ### book 8.5.5 τοῦ πῶς τρίγωνον, εἶτα τετράγωνον καὶ ἐφεξῆς πεντά‐ ### book 8.10 γωνον καὶ μετὰ ταῦτα ἑξάγωνον. ### book 9.1 Ἐδείχθη ἐν ἑνὶ θεωρήματι τοῦ αʹ στοιχείου [I 13], ### book 9.2 ὅτι, ἐὰν εὐθεῖα ἐπ’ εὐθεῖαν σταθεῖσα εἴτε μίαν εἴτε πλείους ### book 9.3 ἐφεξῆς ποιῇ γωνίας, δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας αὐτὰς ποιοῦσιν, ### book 9.4 ἔστι δ’ ἀποδεδειγμένον, καὶ ὅτι παντὸς τριγώνου αἱ τρεῖς ### book 9.5.1 γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσί. τῶν οὖν δύο ἐνταῦθα ταῖς ### book 9.5.2 δυσὶν ἴσων γιγνομένων τῆς μὲν ὑπὸ ΘΑΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, ### book 9.5.3 τῆς δὲ ὑπὸ ΗΑΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ λείπεται εἶναι καὶ τὰς δύο ### book 9.5.4 γωνίας τὰς λειπούσας εἰς τὰς τῶν δύο ὀρθῶν συζυγίας ### book 9.5.5 ἴσας ἀλλήλαις, λέγω δὴ τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ. ### book 9.10.1 ἐὰν γὰρ ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφέλῃς, τὰ καταλειπόμενα ἴσα ἀλλή‐ ### book 9.10.2 λοις εἰσίν. κατὰ μὲν τοίνυν τὸν αὐτὸν λόγον ἕπεται εἶναι ### book 9.10.3 ἐξ ἀνάγκης καὶ ὅλον τὸ ἐν τῷ κύκλῳ γεγονὸς τρίγωνον ### book 9.10.4 ἰσογώνιον ὅλῳ τῷ δοθέντι τριγώνῳ τῷ ΔΕΖ. ### book 10.1 Εἰ γὰρ παντὸς τριγώνου αἱ γ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ### book 10.2 ἴσαι εἰσίν, ὡς ἐν τῷ λβʹ θεωρήματι τοῦ αʹ βιβλίου εἴρηκεν, ### book 10.3 ἐμάθομεν δὲ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι, ### book 10.4 ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς β γωνίας ταῖς δυσὶ γωνίαις ἴσας ### book 10.5.1 ἔχῃ, ἀνάγκη καὶ τὴν ἄλλην γωνίαν τῇ ἑτέρᾳ γωνίᾳ ἴσην ### book 10.5.2 εἶναι, ἵν’ ἐπ’ ἀμφοτέρων τῶν τριγώνων συστῇ τὸ τὰς γ ### book 10.5.3 γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας εἶναι. ### book 11.1 Δυνατὸν δὲ καὶ εἰς τὸ δοθὲν τμῆμα κύκλου ἰσόπλευ‐ ### book 11.2 ρον μέντοι ἐντεῖναι, οὐκέτι δὲ τετράγωνον ἢ ἄλλο τι τῶν ### book 11.3 πολυγώνων. ἔστω γὰρ τὸ ΑΒΓ καὶ ἐπὶ τῆς ΑΒ ἐκτὸς τοῦ ### book 11.4 τμήματος ἰσόπλευρον συνεστάτω τὸ ΑΒΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ### book 11.5.1 κάθετος ἀχθεῖσα ἡ ΔΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Γ. ἡ ΓΕ ἄρα ### book 11.5.2 διάμετρός ἐστι τοῦ κύκλου· δίχα γὰρ καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει ### book 11.5.3 τὴν ΑΒ. ἤχθω διὰ τοῦ Ε παρὰ μὲν τὴν ΔΑ ἡ ΕΖ, παρὰ δὲ [Omitted graphic marker] ### book 11.5.4 τὴν ΔΒ ἡ ΕΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ### book 11.5.5 ἡ ΖΗ. ὅτι τὸ ΕΖΗ ἰσόπλευρόν ### book 11.10.1 ἐστιν. ἡ μὲν γὰρ ὑπὸ ΖΕΗ τῇ ### book 11.10.2 ὑπὸ ΑΔΒ ἴση· διμοίρου γάρ ### book 11.10.3 εἰσιν· παράλληλοι γὰρ αἱ εὐ‐ ### book 11.10.4 θεῖαι. ἴση δὲ ἡ ΖΕ τῇ ΕΗ· ### book 11.10.5 ἰσοσκελὲς ἄρα τὸ τρίγωνον, καὶ ### book 11.15.1 αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι. ### book 11.15.2 διμοίρου δὲ ἡ πρὸς τῷ Ε· δι‐ ### book 11.15.3 μοίρου ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ### book 11.15.4 πρὸς τοῖς Ζ, Η· ὅπερ ἔδει ### book 11.15.5 δεῖξαι. ### book 11.20.1 Περιγράψομεν δὲ περὶ τὸ ### book 11.20.2 τμῆμα τὸ τρίγωνον ἐντὸς συστησάμενοι τὸ τρίγωνον, ὡς ### book 11.20.3 τὸ ΑΘΒ, καὶ ἐκβάλλομεν τὰς ΑΘΚ, ΑΘΛ, καὶ ἐκ τῶν ### book 11.20.4 διχοτομιῶν αὐτῶν πρὸς ὀρθὰς ἀναστῶμεν τὰς ΜΞ, ΚΟ ### book 11.20.5 καὶ διὰ τῶν Ξ, Ο παραλλήλους ἀγαγόντες τὰς ΑΘΒ, ### book 11.25 ΡΠΣ. δῆλον δέ, ὅτι τὸ ΡΠΣ ἰσόπλευρόν ἐστι καὶ περὶ τὸ ### book 11 αὐτὸ τμῆμα γέγραπται. [Omitted graphic marker] ### book 12.1 Ἰστέον, ὡς τὸ θεώρημα τοῦτο ἐπὶ μὲν τῶν ἰσοσκε‐ ### book 12.2 λῶν καὶ ἰσοπλεύρων τριγώνων σῴζει τὸ οἰκεῖον, ἐπὶ δὲ ### book 12.3 τῶν λοιπῶν οὔ. καὶ δῆλον ἀπὸ τοῦ προκειμένου ὀρθογω‐ ### book 12.4 νίου. ### book 13.1 ἐπειδήπερ καὶ εἰς δύο τρίγωνα διαιρεῖται p. 154, 23] ### book 13.2 ἑνὸς δὲ ἑκάστου τῶν δύο τριγώνων αἱ τρεῖς γωνίαι ἴσαι ### book 13.3 δυσὶν ὀρθαῖς εἰσι διὰ τὸν λβʹ τοῦ αʹ, τῶν δύο ἄρα, εἰς ἃ ### book 13.4 διαιρεῖται τὸ τετράπλευρον, τέτρασιν. ### book 14.1 ὧν ἡ ὑπὸ ΑΚΒ p. 155, 5] ὑπόκειται γὰρ καὶ συν‐ ### book 14.2 εστάθη διὰ τὸν κγʹ τοῦ αʹ. ### book 15.1 Ἐν τοῖς ἀνωτέρω δυσὶ προβληματικοῖς θεωρήμασι ### book 15.2 τὸν κύκλον ἐδίδου, ἐζήτει δὲ τὴν ἐν αὐτῷ ἐγγραφὴν καὶ ### book 15.3 περιγραφὴν τοῦ τριγώνου. ἐνταῦθα δὲ καὶ εἰς τὸ μετὰ ### book 15.4 τοῦτο τὸ τρίγωνον ἔμπαλιν δίδοται, ζητεῖται δὲ ἡ εἰς αὐτὸ ### book 15.5 ἐγγραφὴ καὶ περιγραφὴ τοῦ κύκλου. ### book 16 Ἐνταῦθα συμπληροῖ τὸ λαʹ τοῦ γʹ βιβλίου. ### book 17.1 Οὐ ταὐτόν ἐστιν εἰς τὸ τετράγωνον κύκλον ἐγγράψαι ### book 17.2 καὶ περὶ τὸν κύκλον τετράγωνον περιγράψαι· ὅπου μὲν ### book 17.3 γὰρ κύκλου γένεσιν, ὅπου δὲ τετραγώνου προτείνεται. δῆλα ### book 17 δὲ ταῦτα. ### book 18.1 Τοῦτο τὸ θεώρημα οἷόν τις πρόληψίς ἐστιν εἰς ### book 18.2 ἐγγραφὴν καὶ περιγραφὴν πενταγώνων καὶ ἐν πενταγώνοις ### book 18.3 τῷ στοιχειωτῇ συμβαλλόμενον. ### book 19.1 ἐδείχθη τῆς μὲν ὑπὸ ΖΚΓ διπλῆ p. 171, 9] καὶ ### book 19.2 μὴν οὐκ ἐδείχθη τοῦτο· ἀλλ’ ὅτε ἔλεγε τὴν ὑπὸ ΒΚΓ δι‐ ### book 19.3 πλῆν εἶναι τῆς ὑπὸ ΖΚΓ, τοῦτο ἔλεγεν· ἀδιάφορον γὰρ ### book 19.4 τοῖς προσέχουσι, κἂν ὑπὸ ΒΚΓ εἴπῃς κἂν ὑπὸ ΘΚΛ. ἡ ### book 19.5.1 γὰρ γωνία ἡ πρὸς τῷ Κ ἡ αὐτὴ φυλάττεται ἀδίσχαστος ### book 19.5.2 καὶ ἀδιάτμητος τῶν ἄκρων μόνων ἀλλαττομένων, ἐξ ὧν ### book 19 οὐδεμία τῶν γωνιῶν διαφορά. ### book 1.1 Σκοπὸς τῷ πέμπτῳ βιβλίῳ περὶ ἀναλογιῶν διαλαβεῖν· ### book 1.2 κοινὸν γὰρ τοῦτο τὸ βιβλίον γεωμετρίας τε καὶ ἀριθμητι‐ ### book 1.3 κῆς καὶ μουσικῆς καὶ πάσης ἁπλῶς τῆς μαθηματικῆς ### book 1.4 ἐπιστήμης. τὰ γὰρ ἐν αὐτῷ ἀποδεικνύμενα οὐ μόνον γεω‐ ### book 1.5.1 μετρικοῖς ἁρμόζει θεωρήμασιν, ἀλλὰ καὶ πᾶσι τοῖς ὑπὸ ### book 1.5.2 μαθηματικὴν τεταγμένοις, ὡς προείρηται, ἐπιστήμην. ὁ ### book 1.5.3 μὲν οὖν σκοπὸς οὗτος, τὸ δὲ βιβλίον Εὐδόξου τινὲς εὕρεσιν ### book 1.5.4 εἶναι λέγουσι τοῦ Πλάτωνος διδασκάλου. ἐπεὶ οὖν ὁ σκο‐ ### book 1.5.5 πὸς περὶ ἀναλογιῶν, ἡ δὲ ἀναλογία λόγων τινῶν σχέσις, ### book 1.10.1 ἀναγκαῖον γνῶναι πρότερον, τίνες οἱ τοιοῦτοι λόγοι. δεῖ ### book 1.10.2 γὰρ τὰ ἁπλᾶ πρότερον γνῶναι τῶν συνθέτων. ἐὰν τοίνυν ### book 1.10.3 τινὰ συγκρίνηται πρὸς ἄλληλα, φέρε εἰπεῖν δύο μεγέθη, ### book 1.10.4 αὐτὰ μὲν ὅροι καλοῦνται, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ ἑτέρου ἐπὶ τὸ ἕτε‐ ### book 1.10.5 ρον μετάστασις διάστημα, ἡ δὲ τοῦ ἑτέρου πρὸς τὸ ἕτερον ### book 1.15.1 σύγκρισις σχέσις, ἣν ἐκάλεσαν οἱ παλαιοὶ λόγον, τὴν δὲ ### book 1.15.2 τούτου τοῦ λόγου πρὸς ἄλλον λόγον καθ’ ὁμοιότητα σύγ‐ ### book 1.15.3 κρισιν ἤτοι σχέσιν ἀναλογίαν προσηγόρευσαν, ἵνα μὴ ὡς ### book 1.15.4 τόδε τὸ μέγεθος συγκρίνηται, ἀλλ’ ὡς ὅδε ὁ λόγος πρὸς ### book 1.15.5 τόνδε τὸν λόγον. αὕτη δὲ ἡ σύγκρισις λόγος λέγεται λόγου, ### book 1.20 οἷον ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι, ὧν ἡ ἑτέρα πρὸς τὴν λοιπὴν δι‐ ### book 1.1 πλασίονα λόγον ἔχει, τὸ ἀπὸ τῆς τὸν διπλασίονα λόγον ### book 1.2 ἐχούσης τετράγωνον τετραπλασίονα λόγον ἕξει πρὸς τὸ ### book 1.3 ἀπὸ τῆς λοιπῆς τετράγωνον ἤπερ ἡ μείζων εὐθεῖα πρὸς ### book 1.4 τὴν εὐθεῖαν· τὰ γὰρ μήκει διπλάσια δυνάμει τετραπλάσια. ### book 1.25.1 ὁ τοίνυν λόγος τῶν τετραγώνων τετραπλάσιος ὢν διπλα‐ ### book 1.25.2 σίου ὄντος τοῦ λόγου τῶν εὐθειῶν διπλάσιός ἐστιν. κα‐ ### book 1.25.3 λεῖται δὲ οὗτος λόγου λόγος. ἀλλ’ εἴη ἂν οὗτος ὑπὸ τὸ πο‐ ### book 1.25.4 σόν· διττὸς γὰρ ὁ λόγος ὁ μὲν ἐν ἀξίᾳ, ὁ δὲ ἐν ποσῷ. καὶ ### book 1.25.5 τοῦ μὲν ἐν ἀξίᾳ οὐδέν ἐστιν εἶδος πρὸς τὴν παροῦσαν χρείαν. ### book 1.30.1 τοῦ δὲ κατὰ τὸ ποσὸν εἴδη ἐστὶ πέντε· ὁ μὲν γάρ ἐστι πολ‐ ### book 1.30.2 λαπλάσιος, ὡς τοῦ τρία ὁ ἕξ, ὁ δὲ ἐπιμόριος, ὡς τοῦ τρία ὁ ### book 1.30.3 τέσσαρα, ὁ δὲ ἐπιμερής, ὡς τοῦ τρία ὁ πέντε. καὶ οὗτοι μὲν ### book 1.30.4 ἁπλοῖ, τούτων δὲ ἔτι ἁπλούστερος ὁ πολλαπλάσιος. ἕτεροι ### book 1.30.5 δὲ ἐκ τῆς τούτων συνθέσεως γίνονται δύο ὅ τε πολλαπλα‐ ### book 1.35.1 σιεπιμόριος, ὡς τοῦ τρία ὁ ἑπτά, καὶ ὁ πολλαπλασιεπιμε‐ ### book 1.35.2 ρής, ὡς τοῦ τρία ὁ ὀκτώ. ὑπόλογοι δέ εἰσιν οἱ ἐλάσσονες ### book 1.35.3 τῶν μειζόνων, ὑποπολλαπλάσιος, ὑπεπιμόριος καὶ ἑξῆς ### book 1.35.4 ὁμοίως. ἰστέον δέ, ὡς τὸ βιβλίον διχῇ διῄρηται καὶ περιέχει ### book 1.35.5 τὰ μὲν πρῶτα τὴν τῶν ἁπλουστέρων διδασκαλίαν, τουτ‐ ### book 1.40.1 έστι τὴν τῶν πολλαπλασίων, τὰ δὲ δεύτερα καθολικώτερον ### book 1.40.2 περὶ πάντων τῶν λόγων. δεῖ γὰρ ἐπὶ παντός, ὡς εἴρηται, ### book 1.40.3 πράγματος τὴν τῶν ἁπλῶν ἡγεῖσθαι διδασκαλίαν. τῷ δὲ ### book 1.40.4 τῆς τοῦ βιβλίου διαιρέσεως τρόπῳ καὶ ἡ τῶν ὅρων γεγένη‐ ### book 1.40.5 ται διαίρεσις· οἱ μὲν γὰρ πρότεροι περὶ μερῶν καὶ πολ‐ ### book 1.45.1 λαπλασίων, οἱ δὲ ἑξῆς καθολικώτεροι περὶ πάντων τῶν ### book 1.45.2 λόγων. ### book 2 Ἰστέον, ὅτι τὸ εʹ βιβλίον ὅλον θεωρηματικόν ἐστιν. ### book 3.1 Τοῦτο τὸ βιβλίον Εὐδόξου τοῦ Κνιδίου τοῦ μαθημα‐ ### book 3.2 τικοῦ τοῦ κατὰ τοὺς Πλάτωνος χρόνους γεγονότος εἶναι ### book 3.3 λέγεται, ἐπιγέγραπται δὲ ὅμως Εὐκλείδου, ἀλλ’ οὐ κατά ### book 3.4 τινα ψευδῆ ἐπιγραφήν· εὑρέσεως μὲν γὰρ ἕνεκα ἄλλου ### book 3.5.1 τινὸς οὐδὲν κωλύει εἶναι, τῆς μέντοι κατὰ στοιχεῖον αὐτῶν ### book 3.5.2 συντάξεως χάριν καὶ τῆς πρὸς ἄλλα τῶν οὕτω ταχθέντων ### book 3.5.3 ἀκολουθίας ὡμολόγηται παρὰ πᾶσιν Εὐκλείδου εἶναι. σκο‐ ### book 3.5.4 πὸς δὲ τούτου τοῦ βιβλίου περὶ τῶν καθόλου μεγεθῶν ἐστι, ### book 3.5.5 ἐν ἄλλοις διδάσκοντος περί τινος μεγέθους τοῦ Εὐκλείδου. ### book 3.10.1 ἐπεὶ γὰρ τοῦ μεγέθους τρία εἴδη εἰσίν, γραμμή, ἐπιφάνεια, ### book 3.10.2 στερεόν· καὶ περὶ ἀναλογιῶν· κοινὸν γάρ ἐστι τοῦτο γεω‐ ### book 3.10.3 μετρίας καὶ ἀριθμητικῆς καὶ ἁπλῶς πάσης μαθηματικῆς. ### book 4.1 Μέγεθός ἐστι τὸ αὐξανόμενον καὶ τεμνόμενον εἰς ### book 4.2 ἄπειρον, εἴδη δὲ αὐτῶν τρία, γραμμή, ἐπιφάνεια, στερεόν. ### book 5.1 Ἰστέον, ὡς τὰ μεγέθη τριχῶς· ἢ γὰρ ἐν γραμμῇ ἢ ἐν ### book 5.2 ἐπιφανείᾳ ἢ ἐν σώματι. ἐν γοῦν τῷ πέμπτῳ τὰ μεγέθη ἐν ### book 5.3 γραμμαῖς θεωρεῖ, ἐν δὲ τῷ ἕκτῳ ἐν ἐπιφανείαις, ἐν δὲ τῷ ### book 5.4 ιαʹ καὶ τοῖς ἑξῆς ἐν σώμασιν. ### book 6.1 Μέρος ἐστὶ μέγεθος μεγέθους τὸ ἔλαττον τοῦ μείζο‐ ### book 6.2 νος, ὅταν καταμετρῇ τὸ μεῖζον] κατὰ μὲν τοὺς πολλοὺς ### book 6.3 μέρος ἐστὶ τὸ τοῦ ὁμοειδοῦς ἔλαττον, οἷον ὁ γ τοῦ ε, κατὰ ### book 6.4 δὲ τὸν γεωμέτρην τὸ μετρητικὸν τοῦ μείζονος, ὅταν τὸ ### book 6.5 καταλειπόμενον ἴσον ᾖ τῷ μετροῦντι, ὅταν δὲ μὴ ᾖ ἴσον, ### book 6.1 οὐκ ἔστι μέρος, οἷον ὁ γ ἀριθμὸς τῶν ε καταλιμπάνει δύο, ### book 6.2 ἅπερ οὐκ ἔστιν ἴσα τοῖς τρισίν· διὸ τὰ γ οὐκ ἔστι μέρος τοῦ ### book 6.3 ε, ἀλλὰ μέρη· τρία γὰρ πέμπτα. ### book 7.1 καταμετρῇ] ἀπαρτιζόντως δηλαδή, ὡς εἰ τὸ μὲν εἴη ### book 7.2 τῶν μεγεθῶν τριῶν φέρε πηχῶν, τὸ δὲ θ· τοῦ γὰρ ι οὐκ ### book 7.3 ἂν εἴη μέρος ὁ γ, ἀλλ’ εἰ ἄρα, μέρη· τρία γὰρ δέκατα. ### book 8.1 ὅταν καταμετρῇ τὸ μεῖζον] ὅταν ἀπαρτίζῃ μετρῶν, ### book 8.2 ὡς ὁ γ τὸν ιε· ἐπὶ μεγεθῶν ὁμοιογενῶν καταμετρούντων ### book 8.3 ἀεὶ τὰ ὅλα, ὡς εἴπομεν, ὅταν ἀπαρτιζόντως μεμετρήκασί ### book 8.4 τινα, ὡς ὁ γ τὸ ιε ἢ ἡ μονὰς τὴν τριάδα ἤ τινα ἄλλον, τότε ### book 8.5.1 μέρος ἐστί, εἰ δὲ πρὸς τούτοις καὶ ἔτι μέρος προσῇ, τὸ ### book 8.5.2 τοιοῦτον οὐκ ἔστι μέρος τούτου μὴ ἀπαρτιζόντως τῆς ### book 8.5.3 μετρήσεως γινομένης. τὸ δὲ μέρος τῶν πρός τί ἐστιν. ### book 9.1 Ἰστέον, ὅτι διαφέρει τὸ μετρεῖν τοῦ καταμετρεῖν, ᾗ ### book 9.2 διαφέρει τὸ γένος τοῦ εἴδους· εἴ τι μὲν γὰρ καταμετρεῖται, ### book 9.3 τοῦτο μετρεῖ, εἰ δέ τι μετρεῖ, οὐ πάντως καὶ καταμετρεῖ· ### book 9.4 τὸ γὰρ μετροῦν οὐ πάντως ἀπαρτίζει. τοῦ ἄρα μετροῦντος ### book 9.5 εἴδη δύο τό τε μετροῦν καὶ τὸ καταμετροῦν. ### book 10.1 Καλῶς πρόσκειται τό· ὅταν καταμετρῇ τὸ μεῖζον· ### book 10.2 οὐ γὰρ ἀεὶ τὸ ἔλαττον τοῦ μείζονος μέρος. εἰ γὰρ τυχόν ### book 10.3 ἐστι τὸ μεῖζον ε, τὸ δὲ ἔλαττον τρία, οὐκ ἔστιν ὁ γ τοῦ ε ### book 10.4 μέρος· οὔτε γὰρ δὶς οὔτε τρὶς οὐδ’ ἄλλως οὐδοπωσοῦν ### book 10.5.1 μετρήσει ὁ γ τὸν ε· ἀλλ’ ὅταν ὁ ἐλάττων ἢ δὶς ἢ τρὶς ἢ καὶ ### book 10.5.2 ἐπέκεινα πολλαπλασιασθεὶς δύνηται τὸν μείζονα, τουτέστι ### book 10.5.3 συμπληρῶται τὴν ποσότητα, ἣν ἔχει ὁ μείζων. ### book 11.1 Πάλιν καλῶς προσέθηκεν τό· ὅταν καταμετρῆται ### book 11.2 ὑπὸ τοῦ ἐλάττονος· οὐ γὰρ ἀεὶ τὸ μεῖζον πολλαπλάσιον ### book 11.3 τοῦ ἐλάττονος· οὐδὲ γὰρ ὁ ε τοῦ γ πολλαπλάσιος· ἀλλ’ ### book 11.4 ὅταν τὸ μεῖζον ὑπὸ τοῦ ἐλάττονος ἢ δὶς ἢ τρὶς κατα‐ ### book 11.5 μετρῆται, οἷον ὁ ϛ πολλαπλάσιος τοῦ γ· καταμετρεῖται ### book 11 γὰρ ὑπ’ αὐτοῦ δίς. ### book 12.1 Δύο μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων καταμετρεῖν λέ‐ ### book 12.2 γεται ἓν ὁποιονοῦν τὸ ἕτερον, ὅταν ἓν τῶν ἐκκειμένων ἐξ ### book 12.3 ἴσων τῷ ἑτέρῳ ἢ τοῖς ἐξ ἑνὸς καὶ πλείοσιν ὧν σύγκειται. ### book 12.4 ὅταν οὖν δύο μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων τὸ ἔλασσον μέ‐ ### book 12.5.1 γεθος τὸ μεῖζον καταμετρῇ, τὸ μὲν ἔλαττον τοῦ μείζονος ### book 12.5.2 μέρος καλεῖται, τὸ δὲ μεῖζον τοῦ ἐλάττονος πολλαπλάσιον. ### book 13.1 Λόγος ἐστὶ δύο μεγεθῶν ὁμογενῶν ἡ κατὰ πηλικό‐ ### book 13.2 τητα ποιὰ σχέσις] τὸ μὲν λόγος, ἵνα σημάνῃ τὴν σχέσιν, ### book 13.3 τὸ δὲ δύο μεγεθῶν, ἵνα χωρίσῃ τῶν ἄλλων εἰδῶν τοῦ πο‐ ### book 13.4 σοῦ, τὸ δὲ ὁμογενῶν, ἵνα μὴ γραμμὴν πρὸς ἐπιφάνειαν ### book 13.5.1 συγκρίνῃ τις· ταῦτα γὰρ ἄλογα πρὸς ἄλληλα. τὸ δὲ κατὰ ### book 13.5.2 πηλικότητα, ἵνα χωρίσῃ τῶν ἀπείρων μεγεθῶν· πηλικό‐ ### book 13.5.3 της γὰρ πέρας τοῦ ἀπείρου συνεχοῦς καὶ ποσότης τοῦ ### book 13.5.4 διωρισμένου· ἀλλὰ τὸ διωρισμένον οὐ μέγεθος· πλῆθος ### book 13.5.5 γάρ. τὸ δὲ ποιὰ σχέσις, ὅτι πέντε τῶν σχέσεων, ὡς προ‐ ### book 13.10 είρηται, τὰ εἴδη. ### book 14.1 Ἐπὶ μὲν τῶν ἀριθμῶν πᾶς λόγος ῥητὴν ἔχει ποσό‐ ### book 14.2 τητα, ἐπὶ δὲ τῶν μεγεθῶν ἐστί τις λόγος, ὃς οὐ δύναται ### book 14.3 ῥηθῆναι ἀριθμῷ. ἔστι γάρ τινα, ὧν μόνη μὲν γιγνώσκεται ### book 14.4 ἡ πρὸς τὸ ἕτερον ὑπεροχή, ἡ δὲ ποσότης τῆς ὑπεροχῆς ### book 14.5.1 ἄγνωστός ἐστιν. ταῦτα τοίνυν λόγον ἔχειν λέγεται τὸν τῆς ### book 14.5.2 ὑπεροχῆς, οὐκέτι δὲ ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, τουτέστι ### book 14.5.3 ῥητόν. καὶ διὰ τοῦτο προσέθηκεν ἐν τῷ ὁρισμῷ τοῦ λό‐ ### book 14.1 γου τῶν μεγεθῶν τὸ κατὰ πηλικότητα. ὁ μὲν γὰρ ῥητὸς καὶ ### book 14.2 κατὰ πηλικότητά ἐστι καὶ κατὰ ποσότητα, οὐ πάντως δὲ ### book 14.10.1 ὁ κατὰ πηλικότητα καὶ ῥητός. καθολικώτερον οὖν ὁριζό‐ ### book 14.10.2 μενος τὰ τῶν λόγων, τίνα ἐστίν, ἐπήγαγεν· ἃ δύναται πολ‐ ### book 14.10.3 λαπλασιαζόμενα ἀλλήλων ὑπερέχειν· ἐφαρμόζει γὰρ καὶ ### book 14.10.4 τοῖς ῥητοῖς καὶ τοῖς μὴ ῥητοῖς, οἷον ἡ τοῦ τετραγώνου ### book 14.10.5 διαγώνιος ὡς μὲν ἐν ῥητοῖς λόγοις πρὸς τὴν πλευρὰν ἄλο‐ ### book 14.15.1 γος, ὡς δὲ ἐν ὑπεροχῇ λόγον ἔχει, ὃν μεῖζον πρὸς τὸ ἔλατ‐ ### book 14.15.2 τον, καὶ δύναται ἡ πλευρὰ πολλαπλασιαζομένη ποτὲ τῆς ### book 14.15.3 διαγωνίου ὑπερέχειν. ### book 15.1 Ὁμογενῆ εἶπεν, ὅτι τὰ μὴ ὁμογενῆ οὐ δύναται ἔχειν ### book 15.2 πρὸς ἄλληλα. οὔτε γὰρ γραμμὴ πρὸς ἐπιφάνειαν οὔτε ### book 15.3 ἐπίπεδα πρὸς στερεόν, ἀλλὰ πρὸς γραμμὴν γραμμὴ καὶ ### book 15.4 πρὸς ἐπιφάνειαν ἐπιφάνεια καὶ ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον. ### book 15.5.1 τὸ δὲ μεγεθῶν πρόσκειται ἐκ διορίσεως τῶν σχέσιν ἐχόν‐ ### book 15.5.2 των πρὸς ἄλληλα, οὐ μὴν τὴν κατὰ μεγέθη σχέσιν, οἷον ### book 15.5.3 πατρὸς καὶ υἱοῦ καὶ δεξιοῦ καὶ ἀριστεροῦ. καὶ ἄλλη σχέσις ### book 15.5.4 λέγεται κατὰ τὸ περιέχειν καὶ ἐλλείπειν. ### book 16.1 Τουτέστι μὴ ἐπὶ μεγεθῶν καὶ ἀριθμῶν· ταῦτα γὰρ ### book 16.2 ἑτερογενῆ· ἀλλ’ ἤτοι ἐπὶ μεγεθῶν μόνον ἢ ἀριθμῶν μόνον. ### book 17.1 Προβαίνει ἤδη πρὸς τελεώτερα· ἐκ μεγεθῶν μὲν ### book 17.2 γὰρ καὶ ὅρων οἱ λόγοι, ἐκ δὲ λόγων αἱ ἀναλογίαι. τὸ δὲ ### book 17.3 ὁμογενῶν εἶπε δηλῶν, ὡς οὐδεμία σύγκρισις ἑτερογενῶν, ### book 17.4 οἷον ἀριθμοῦ καὶ μεγέθους. τὸ δὲ ποιὰ ἀντὶ τοῦ διπλασίων ### book 17.5 ἢ τριπλασίων ἢ ἡμιόλιος. ### book 18.1 Οὐ γὰρ τὰ ὁμοειδῆ μόνα πρὸς ἄλληλα παραβάλλε‐ ### book 18.2 ται, οἷον κύλινδρος πρὸς κύλινδρον καὶ σφαῖρα πρὸς ### book 18.3 σφαῖραν, ἀλλὰ καὶ κύλινδρος πρὸς σφαῖραν καὶ κύβον. ### book 19.1 Τινὲς τὸ ὁμογενῶν ἀντὶ τοῦ ὁμοειδῶν λέγουσιν, ἐπεὶ ### book 19.2 τὸ πεπερασμένον καὶ τὸ ἄπειρον ὁμογενῆ μέν (μεγέθη ### book 19.3 γάρ), ἀλλ’ οὐκ ἔχουσιν οὐδεμίαν σχέσιν. ἐμοὶ δὲ δοκεῖ τὸ ### book 19.4 μὲν ὁμογενῶν ἀντὶ τοῦ ὁμοειδῶν εἰλῆφθαι. καὶ γὰρ ὁ Ἀρι‐ ### book 19.5.1 στοτέλης ἐν ταῖς κατηγορίαις ἕτερα γένη φησὶ ποιότητος ### book 19.5.2 ἀντὶ εἴδη, ὅταν λέγῃ· ἕτερον δὲ γένος ποιότητος σχῆμα ### book 19.5.3 καὶ μορφή· γένος γὰρ ἐκεῖ τὸ ὑπάλληλον εἶδός φησιν. ### book 19.5.4 οὐκέτι δὲ διὰ τὸ πεπερασμένον καὶ ἄπειρον πρόσκειται τὸ ### book 19.5.5 ὁμογενῶν, ἀλλὰ μᾶλλον διὰ τὸ εὐθὺ καὶ κεκλασμένον· ### book 19.10.1 ἕτερον γὰρ εἶδος τὸ εὐθὺ καὶ ἕτερον τὸ κεκλασμένον, εἴτ’ ### book 19.10.2 οὖν περιφερὲς ἢ τοιουτότροπον ᾖ· καὶ γὰρ δύο μεγέθη, ὧν ### book 19.10.3 τὸ μέν ἐστι εὐθύ, τὸ δὲ περιφερές, οὐδένα λόγον πρὸς ἄλλη‐ ### book 19.10.4 λα ἔχουσιν, ἀλλὰ δεῖ εἶναι καὶ ἄμφω ἢ εὐθέα ἢ περιφερῆ, ### book 19.10.5 ἢ ἵνα καὶ ἄμφω τυχὸν ὦσι γραμμαὶ ἢ ἄμφω ἐπιφάνειαι ἢ ### book 19.15 ἄμφω στερεά. ### book 20.1 Ὡς ὁ β φέρε πρὸς τὸν η· πενταπλασιασθεὶς γὰρ ### book 20.2 ὑπερέξοι ἂν τοῦ η. γραμμὴ δὲ πρὸς ἐπιφάνειαν ἢ ἐπιφά‐ ### book 20.3 νεια πρὸς σῶμα οὐδένα λόγον ἔχει· μυριάκις γὰρ ἡ γραμμὴ ### book 20.4 πολλαπλασιασθεῖσα γραμμὴ πάλιν μένει καὶ οὐδέποτε ### book 20.5.1 ποιήσει ἐπιφάνειαν. πολλῷ δὲ μᾶλλον οὐδ’ ὑπερέξει. καὶ ### book 20.5.2 ἐπὶ ἐπιφανείας καὶ σώματος ὡσαύτως. ### book 21.1 Οὔτε γὰρ ἀπείρου πρὸς ἄπειρον λόγος τίς ἐστι οὔτε ### book 21.2 πεπερασμένου πρὸς ἄπειρον, δύναται δὲ πάντα τὰ πεπε‐ ### book 21.3 ρασμένα πολλαπλασιαζόμενα ἀλλήλων ὑπερέχειν. ### book 21.4 Δύναται γὰρ καὶ ὁ ὑπόλογος μείζων γενέσθαι τοῦ προ‐ ### book 21.5 λόγου πολλαπλασιασθείς. ### book 22.1 Τοῦτό φησιν, ἵνα περὶ τῶν ἀσυμμέτρων μεγεθῶν ### book 22.2 διαλάβῃ· ὁ πρῶτος γὰρ τοῦ λόγου ὁρισμὸς περὶ τῶν συμ‐ ### book 22.3 μέτρων διελάμβανεν· ἐπεὶ δὲ εὑρίσκονται καὶ ἀσύμμετρα ### book 22.4 μεγέθη, καθότι τὸ μέγεθος ἐπ’ ἄπειρόν ἐστι διαιρετόν, ὡς ### book 22.5.1 ἡ διάμετρος τῇ πλευρᾷ ἀσύμμετρός ἐστι, φησίν, ὅτι καὶ ### book 22.5.2 ταῦτα τὰ ἀσύμμετρα λόγον ἔχουσι πρὸς ἄλληλα, εἰ καὶ ### book 22.5.3 ἄρρητον, διότι αἱ δυνάμεις αὐτῶν λόγον ἔχουσι ῥητόν. ### book 22.5.4 οὗτος δὲ ὁ ὁρισμὸς συλληπτικός ἐστι καὶ τῶν συμμέτρων ### book 22.5.5 καὶ τῶν ἀσυμμέτρων. ### book 23.1 ἃ δύναται πολλαπλασιαζόμενα] οἷον τὰ ὁμογενῆ καὶ ### book 23.2 ὁμοειδῆ, οἷον εὐθεῖα μὲν πρὸς εὐθεῖαν, ἐπίπεδον ἐπιφά‐ ### book 23.3 νεια πρὸς ἐπιφάνειαν καὶ σφαῖρα πρὸς σφαῖραν. ### book 24.1 Ὅταν ὦσι τὰ μεγέθη καὶ μήκει καὶ δυνάμει σύμ‐ ### book 24.2 μετρα, ἔστι τό· λόγος ἐστὶ δύο μεγεθῶν, ὅταν δὲ μήκει ### book 24.3 μὲν οὐκ ὦσι σύμμετροι, δυνάμει δέ, ὡς ἡ διάμετρος τῇ ### book 24.4 πλευρᾷ, τότε τό· λόγον ἔχειν πρὸς ἄλληλα ἁρμόδιον. ### book 25.1 Ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ μεγέθη λέγεται εἶναι] ὑπὲρ τοῦ ### book 25.2 σαφηνίσασθαι τὸν ὅρον ἐκκείσθω πρότερον ἑξῆς τέσσαρα ### book 25.3 μεγέθη, καὶ παρ’ ἑκάτερον μέρος αὐτοῖς παρατιθέσθω τὰ ### book 25.4 ἰσάκις πολλαπλάσια αὐτῶν καταλλήλως, καὶ ἔστω πρῶτον ### book 25.5.1 μὲν τὸ α μέγεθος, δεύτερον δὲ τὸ β, τρίτον δὲ τὸ γ, τέταρ‐ ### book 25.5.2 τον δὲ τὸ δ. καὶ τὸ μὲν πρῶτον καὶ τρίτον κείσθωσαν ### book 25.5.3 ἀριθμῶν ἀνὰ η, τὸ δὲ δεύτερον καὶ τέταρτον ἀνὰ ϛ, καὶ ### book 25.5.4 εἰλήφθω τοῦ μὲν πρώτου καὶ τρίτου ἰσάκις πολλαπλάσια ### book 25.5.5 ἄλλα ἔξωθεν μεγέθη τό τε ε ἀριθμῶν ὂν ιϛ καὶ τὸ ζ ὁμοίως ### book 25.10 καὶ αὐτὸ ἀριθμῶν ὂν ιϛ· καὶ πάλιν τοῦ β καὶ τοῦ τετάρτου ### book 25.1 ἔξωθεν ἄλλα εἰλήφθω μεγέθη ἰσάκις πολλαπλάσια τό τε η ### book 25.2 καὶ τὸ θ, ὥστε εἶναι καταλλήλως τὸ μὲν ε μέγεθος τοῦ α ### book 25.3 πολλαπλάσιον, τὸ δὲ ζ τοῦ γ, καὶ τὸ μὲν η τοῦ β, τὸ δὲ θ ### book 25.4 τοῦ δ. καὶ ἐν τούτῳ μὲν τῷ ὑποδείγματί ἐστι τοῦ πρώτου ### book 25.15.1 καὶ τρίτου ἰσάκις πολλαπλάσια ὑπερέχοντα ἅμα τῶν τοῦ ### book 25.15.2 βʹ καὶ τετάρτου ἰσάκις πολλαπλασίων, ὡς ὑπόκειται, ἐν ### book 25.15.3 δὲ τοῖς ἑξῆς τύποις τά τε ἅμα ἐλλείποντα καὶ τὰ ἅμα ἴσα ### book 25.15.4 ὄντα. ### book 26.1 Ἰστέον, ὅτι οὐ δεῖ καὶ τὰ δ μεγέθη ἐξ ἀνάγκης ### book 26.2 ἰσάκις πολυπλασιάζεσθαι· τοῦτο γὰρ ἐνέφηνεν εἰπὼν καθ’ ### book 26.3 ὁποιονοῦν πολλαπλασιασμόν· ἀλλὰ μόνον τὸ πρῶτον καὶ ### book 26.4 τρίτον ἰσάκις καὶ πάλιν τὸ βʹ καὶ τὸ δʹ ἰσάκις· ὥστε εἰ τὸ ### book 26.5.1 μὲν αʹ καὶ γʹ φέρε εἰπεῖν διπλασιασθῶσι, τὸ δὲ βʹ καὶ δʹ ### book 26.5.2 τριπλασιασθῶσιν, οὐδὲν γίνεται ἄτοπον· ἐκ γὰρ τοῦ δια‐ ### book 26.5.3 φόρως ἔχειν, ἃ δεῖ ἅμα πολυπλασιάζειν, τό τε αʹ ὁμοῦ καὶ ### book 26.5.4 τὸ γʹ καὶ τὸ βʹ καὶ δʹ, συμβαίνει καὶ τὸ ἅμα τοὺς πολλα‐ ### book 26.5.5 πλασιασμοὺς τοῦ αʹ καὶ γʹ πρὸς τοὺς πολλαπλασιασμοὺς ἅμα ### book 26.10.1 τοῦ βʹ καὶ δʹ ἢ ὑπεροχὴν ἔχειν ἢ ἰσότητα ἢ ἔλλειψιν. τοῦτο ### book 26.10.2 δὲ δῆλον καὶ ἀπὸ τοῦ μετὰ τοῦτον ὅρου τοῦ λέγοντος· ### book 26.10.3 ὅταν δὲ τῶν ἰσάκις πολλαπλασίων. ### book 27.1 τὰ τοῦ πρώτου καὶ τρίτου ἰσάκις πολλαπλάσια] τοὺς ### book 27.2 πολλαπλασιασμοὺς τῶν τεσσάρων μὴ νόμισον ἰσάκις λέ‐ ### book 27.3 γειν τὸν στοιχειωτὴν πολλαπλασιασθῆναι, ἀλλὰ τὰ τοῦ ### book 27.4 πρώτου καὶ τρίτου ἰσάκις καθ’ ὁποιονοῦν πολλαπλασιασ‐ ### book 27.5.1 μὸν καὶ τὰ τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου πάλιν ἰσάκις καθ’ ### book 27.5.2 ὁποιονοῦν πολλαπλασιασμόν. ### book 28.1 Εἰ βούλει μαθεῖν, πότε τὰ τοῦ πρώτου καὶ τρίτου ### book 28.2 πολλαπλάσια ὑπερέχουσι τῶν πολλαπλασίων τοῦ βʹ καὶ ### book 28.3 τετάρτου, καὶ πότε ἐλάσσονα, τὸ παρὸν ἀνάγνωθι σχόλιον· ### book 28.4 ἰστέον, ὅτι, ὅταν τὰ τέσσαρα μεγέθη ἐν τῷ τῆς ἰσότητος ### book 28.5.1 θεωρεῖται λόγῳ, τότε τὰ τοῦ πρώτου καὶ τρίτου ἰσάκις ### book 28.5.2 πολλαπλάσια τῶν τοῦ βʹ καὶ τετάρτου ἰσάκις πολλαπλα‐ ### book 28.5.3 σίων ἅμα ἴσα ἐστίν. ὅταν δὲ ἐν πολλαπλασίονι, εἰ μὲν προ‐ ### book 28.5.4 τάττονται οἱ πρόλογοι, ὑπερέχουσι τὰ τοῦ πρώτου καὶ ### book 28.5.5 τρίτου ἰσάκις πολλαπλάσια τῶν τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου, ### book 28.10.1 εἰ δὲ οἱ ὑπόλογοι προτάττονται, ὑπερέχουσι τὰ τοῦ δευ‐ ### book 28.10.2 τέρου καὶ τετάρτου ἰσάκις πολλαπλάσια τῶν τοῦ αʹ καὶ γʹ ### book 28.10.3 ἰσάκις πολλαπλασίων. ### book 29.1 Ὅταν τρία μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ### book 29.2 τρίτον διπλασίονα λόγον ἔχειν λέγεται ἤπερ πρὸς τὸ δεύ‐ ### book 29.3 τερον] οὐ λέγει, ὅτι οἱ δύο λόγοι τοῦ ἑνὸς διπλασίους εἰσίν ### book 29.4 (καὶ τοῦτο μὲν γάρ), ἀλλ’ ὅτι ὁ λόγος ὁ ἐκ τῶν δύο διπλάσιός ### book 29.5.1 ἐστιν, ὡς η δ β καὶ πάλιν θ γ α. ὁ μὲν οὖν λόγος διπλάσιος, ### book 29.5.2 τὸ δὲ μέγεθος ἐπὶ μὲν διπλασίων τοῦ μεγέθους τετραπλά‐ ### book 29.5.3 σιον, ἐπὶ δὲ τριπλασίων ἐνναπλάσιον, ἐπὶ δὲ τετραπλασίων ### book 29.5.4 ἑξκαιδεκαπλάσιον· δείκνυται γὰρ ἐν τοῖς ἑξῆς, ὅτι τὰ ### book 29.5.5 μήκει διπλάσια δυνάμει τετραπλάσια καὶ τὰ τριπλάσια ### book 29.10.1 μήκει ἐνναπλάσια δυνάμει. ὁ οὖν λόγος τῶν τετραγώνων ### book 29.10.2 τετραπλάσιος ὢν τοῦ ἀπὸ τῶν πλευρῶν διπλασίου ὄντος ### book 29.10.3 διπλάσιός ἐστιν· τοῦ γὰρ διπλασίου ὁ τετραπλάσιος δι‐ ### book 29.10.4 πλάσιος. ### book 30.1 Ἐὰν ἀριθμὸς δὶς ληφθεὶς γεννᾷ τινα, ὁ γεννηθεὶς ### book 30.2 διπλάσιός ἐστι τοῦ γεννήσαντος, οἷον ὁ δ δὶς ληφθεὶς γεν‐ ### book 30.3 νήσει τὸν η, ὅς ἐστι τούτου διπλάσιος. ἐὰν οὖν ὦσι τρία ### book 30.4 μεγέθη ἀνάλογον, καὶ ὁ λόγος, ὃν ἔχει ὁ πρῶτος πρὸς τὸν ### book 30.5 δεύτερον, δὶς ληφθῇ, τουτέστιν αὐτὸς μεθ’ ἑαυτοῦ, ἀπο‐ ### book 30.1 γεννᾷ τὸν λόγον, ὃν ἔχει ὁ πρῶτος πρὸς τὸν ἄκρον, καὶ ### book 30.2 λέγεται ὁ τῶν ἄκρων λόγος πρὸς τὸν τοῦ αʹ καὶ μέσου ### book 30.3 λόγον διπλάσιος. οἷον ἐπὶ ὑποδείγματος ἔστωσαν τρία ### book 30.4 μεγέθη ἀνάλογον τὰ θ γ α ἐν τριπλασίονι λόγῳ. ὁ λόγος, ### book 30.10.1 ὃν ἔχει ὁ ἐννέα πρὸς τὸν τρία, δὶς ληφθεὶς ἤγουν πρὸς ### book 30.10.2 ἑαυτὸν πολυπλασιασθείς (τοῦτο γὰρ καλοῦμεν διακατα‐ ### book 30.10.3 χρηστικώτερον) ἀπογεννήσει τὸν τῶν ἄκρων λόγον. ὁ γὰρ ### book 30.10.4 τριπλάσιος τριπλασιόνως ἐννεαπλάσιος, καὶ οὕτως λέγεται ### book 30.10.5 ὁ ἐννεαπλάσιος τοῦ τριπλασίου διπλάσιος, ὅτι τὸ τρὶς τρεῖς ### book 30.15.1 δίς ἐστιν, ἀφ’ οὗ ὁ διπλάσιος, ὥσπερ τὸ τρὶς τρία τρὶς τρίς ### book 30.15.2 ἐστιν, ἀφ’ οὗ ὁ τριπλάσιος. καλῶς δὲ εἶπεν, ὅτι λέγεται· ### book 30.15.3 εἰ γὰρ κατὰ ἀλήθειαν, τὰ θ τῶν γ οὐ διπλάσιος, ἀλλὰ ### book 30.15.4 τριπλάσιος· ἀλλ’ ὅμως τῇ εἰρημένῃ ἐφόδῳ ὁ ἐννεαπλάσιος ### book 30.15.5 διπλάσιος τοῦ τριπλασίου· τὸ γὰρ τρὶς τρεῖς γεννᾷ μὲν τὸν ### book 30.20.1 θ, δὶς δὲ εἴρηται, ἀφ’ οὗ ὁ διπλάσιος. ἔστω δὲ καὶ ἐπὶ δι‐ ### book 30.20.2 πλασίων ὑπόδειγμα. ἔστωσαν γὰρ μεγέθη γ ὁ η ὁ δ ὁ β. ### book 30.20.3 ὁ γοῦν λόγος τοῦ η πρὸς τὸν δ, ὅς ἐστι διπλάσιος, διαληφ‐ ### book 30.20.4 θεὶς ἤτοι μεθ’ ἑαυτοῦ τὸν τῶν ἄκρων ἀπογεννήσει λόγον ### book 30.20.5 τὸν τετραπλασίονα, καὶ ἔσται ὁ τῶν ἄκρων λόγος διπλά‐ ### book 30.25 σιος πρὸς τὸν τοῦ αʹ πρὸς τὸν μέσον. ### book 31.1 Ἔστω ὁ ιϛ ὁ η καὶ δ, ἤγουν ιϛ τὸν η δὶς περιέχει, τὸν ### book 31.2 δὲ δ τετράκις. δὶς οὖν διπλασίων ὁ ιϛ τοῦ δ ἤπερ τοῦ η· ### book 31.3 ἅπαξ γὰρ τοῦ η· ἔχει γὰρ ὁ ιϛ τὰ δ δὶς καὶ πάλιν δίς. ### book 32.1 Οἷον ὁ ιϛ οὐχὶ τριπλασίων ἐστὶ πρὸς τὸν δύο· ὀκτα‐ ### book 32.2 πλασίων γάρ· ἀλλ’ ἔχει πρὸς αὐτὸν τρισάκις τὸν διπλα‐ ### book 32.3 σίονα λόγον διὰ μέσου τοῦ ὀκτὼ καὶ τοῦ τέσσαρα. δὶς γὰρ ### book 32.4 δύο τέσσαρα· ἰδοὺ ὁ δὶς λόγος. ἅπαξ δὶς τέσσαρα ὀκτώ· ### book 32.5 ἰδοὺ ὁ δὶς λόγος δίς. δὶς ὀκτὼ ιϛ· ἰδοὺ ὁ δὶς λόγος τρισάκις ### book 32 καὶ ἑξῆς. ### book 33.1 Οἷον ἐὰν ἔχῃ τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον διπλα‐ ### book 33.2 σίονα λόγον, τὸ πρῶτον πρὸς τὸ τέταρτον ἕξει τρὶς τὸν ### book 33.3 αὐτὸν λόγον τοῦ ὃν ἔχει τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον, ### book 33.4 οἷον δὶς δύο δίς· τρὶς γὰρ ἔχει τὸν λόγον τοῦ πρώτου πρὸς ### book 33.5.1 τὸ δεύτερον. ἐὰν δὲ ἔχῃ τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον τρι‐ ### book 33.5.2 πλασίονα λόγον, τὸ πρῶτον πρὸς τὸ τέταρτον τρὶς τὸν ### book 33.5.3 αὐτὸν ἔχει τοῦ ὃν ἔχει τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον, οἷον ### book 33.5.4 τρὶς τρεῖς τρίς· τρὶς γὰρ ἔχει τὸν λόγον τοῦ ὃν ἔχει τὸ ### book 33.5.5 πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον. οἷον ἐπὶ ἀριθμῶν ὡς ὁ ιϛ πρὸς ### book 33.10.1 τὸν η, ὁ η πρὸς τὸν δ, ὁ δ πρὸς τὸν β ἐν τῇ διπλασίονι ### book 33.10.2 ἀναλογίᾳ [ἰδοὺ γὰρ ὁ ιϛ πρὸς μὲν τὸν η ἐστι διπλάσιος, ### book 33.10.3 πρὸς δὲ τὸν β ὀκταπλάσιος, δὶς δὲ β δὶς η ἐν τῇ διπλασίονι ### book 33.10.4 ἀναλογίᾳ], ἐν δὲ τῇ τριπλασίονι ἀναλογίᾳ ὡς ὁ πα πρὸς ### book 33.10.5 τὸν κζ, ὁ κζ πρὸς τὸν θ, ὁ θ πρὸς τὸν γ [καὶ ὁ γ πρὸς τὸν α· ### book 33.15.1 ἔστι δὲ ὁ κζ πρὸς μὲν τὸν θ τριπλάσιος, πρὸς δὲ τὸν α ### book 33.15.2 εἰκοσιεπταπλάσιος· τρὶς γὰρ τρεῖς τρὶς κζ]. ### book 34.1 Οὐ τοῦτό φησιν, ὅτι, ὅταν ὁ ἡγούμενος πρὸς τὸν ### book 34.2 ἡγούμενον καὶ ὁ ἑπόμενος πρὸς τὸν ἑπόμενον συγκρίνη‐ ### book 34.3 ται, ὁμόλογα τηνικαῦτά εἰσι τὰ μεγέθη· καὶ γὰρ οὐχ ὁμό‐ ### book 34 λογα τότε, ἀλλ’ ἐναλλάξ. ἀλλὰ τοῦτο νοεῖ τὸ λεγόμενον, ### book 34.5.1 ὅταν ἀμφότεροι οἱ ἡγούμενοι προτάττωνται ἀμφοτέρων ### book 34.5.2 τῶν ἑπομένων· πολλάκις γάρ, ὡς ἐν τῇ ἀνάπαλιν ἀναλογίᾳ, ### book 34.5.3 προτάττονται οἱ ἑπόμενοι. ἰστέον δέ, ὅτι ἡγούμενοι μὲν ### book 34.5.4 λέγονται οἱ μείζονες ὅροι, ἑπόμενοι δὲ οἱ ἐλάττονες, οἷον ### book 34.5.5 ὡς ἔχει ὁ ιβ πρὸς τὸν δ, ἔχει καὶ ὁ θ πρὸς τὸν γ· ἡγούμενοι ### book 34.10.1 μέν εἰσιν ὁ ιβ καὶ ὁ θ, ἑπόμενοι δὲ ὁ δ καὶ ὁ γ. τότε οὖν ### book 34.10.2 ὁμόλογά εἰσι τὰ μεγέθη, ὅτε, ὡς ἔχει ἐν τοῖς πρώτοις ### book 34.10.3 μεγέθεσιν ἡγούμενος πρὸς ἑπόμενον, οὕτως ἐν τοῖς δευτέ‐ ### book 34.10.4 ροις ἡγούμενος πρὸς ἑπόμενον. εἶπε δὲ οὕτως· οἱ ἡγού‐ ### book 34.10.5 μενοι τοῖς ἡγουμένοις καὶ οἱ ἑπόμενοι τοῖς ἑπομένοις, ### book 34.15.1 τουτέστιν ἵνα προτάττωνται οἱ ἡγούμενοι καὶ ἕπωνται οἱ ### book 34.15.2 ἑπόμενοι καὶ ἐν ἀμφοτέροις. ### book 35.1 Ἡγούμενα γίνωσκε ἐν τῇ γεωμετρίᾳ καὶ ἐν ἄλλοις ### book 35.2 εἶναι τὰ μείζονα, τὰ δὲ ἐλάττω ἑπόμενα. λέγει γοῦν ὁμό‐ ### book 35.3 λογα τὰ ἡγούμενα τοῖς ἡγουμένοις, ὡς ἐπὶ τῆς ὑποτει‐ ### book 35.4 νούσης καὶ τῆς τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου ἰσοσκελοῦς ἔστι ### book 35.5.1 τοῦτο καταμαθεῖν. ὅταν γὰρ ὦσι δύο τρίγωνα ὅμοια ### book 35.5.2 ὀρθογώνια, ὡς ἔχει τοῦ ἑνὸς ἡ ὑποτείνουσα πρὸς τοῦ ἄλλου ### book 35.5.3 τὴν ὑποτείνουσαν (ἴσα γάρ), καὶ τοῦ ἑτέρου ἡ ἑτέρα πλευρὰ ### book 35.5.4 πρὸς τὴν τοῦ ἑτέρου πλευράν· τὸν ἴσον γὰρ καὶ ἐκεῖναι ### book 35.5.5 πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχουσι. κἂν δὲ καὶ μὴ ἴσα ὦσι πάλιν ### book 35.10 εἴησαν αἱ πλευραὶ ἀνα..... ### book 36.1 Σύνθεσις λόγου ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου μετὰ τοῦ ### book 36.2 ἑπομένου ὡς ἑνὸς πρὸς αὐτὸ τὸ ἑπόμενον] οἱ νεώτεροι τοῦ‐ ### book 36.3 τον προσέθεσαν τὸν ὅρον· οὐδὲ γὰρ σύνθεσις μεγεθῶν ### book 36.4 ταὐτόν ἐστι τῇ τοῦ λόγου συνθέσει. ἐνταῦθα δὲ τὸ ἡγού‐ ### book 36.5.1 μενον μετὰ τοῦ ἑπομένου συντιθέμενον μέγεθος μεγέθει ### book 36.5.2 τὸ ὅλον μέγεθος ποιεῖ συγκείμενον ἐκ μεγεθῶν, ἥ ἐστι ### book 36.1 σύνθεσις μεγέθους· ἡ γὰρ τῶν λόγων σύνθεσις ἄλλον ### book 36.2 ποιεῖ λόγον, ὡς αὐτὸς ἐν τοῖς ἑξῆς ἐρεῖ· λόγος γάρ, φησίν, ### book 36.3 ἐκ λόγων συγκεῖσθαι λέγεται καὶ τὰ ἑξῆς. αὐτὸς δέ, ὡς ### book 36.10.1 ἐν παλαιοτέροις εὑρήσεις βιβλίοις, τὴν σύνθεσιν ταύτην ### book 36.10.2 συνθέντι λέγει· καὶ γὰρ ἐν τοῖς ῥητοῖς οὐκ ἄλλως λέγει ἢ ### book 36.10.3 συνθέντι. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ διαίρεσις· εἰς γὰρ λόγους διαι‐ ### book 36.10.4 ρεῖται, ἡ δὲ ἐνταῦθα διαίρεσις μεγεθῶν ἐστιν· ἡ γὰρ ### book 36.10.5 ὑπεροχὴ τῶν ἡγουμένων μερίζεται. ἀπὸ τοῦ ἡγουμένου ### book 36.15.1 δὲ εἶπον· καὶ ἐπὶ τούτου λέγει διελόντι, καὶ ἀναστρέψαντι ### book 36.15.2 δὲ ὡσαύτως· ἀναστρέφει γὰρ ἐπὶ τῶν ἑπομένων. ### book 37.1 Ἰστέον, ὡς τὸ δι’ ἴσου ἐπὶ συνεχῶν καὶ μόνον ### book 37.2 ἀναλογιῶν ἐστιν. ### book 38.1 Ἔστωσαν δύο μεγέθη δύο μεγεθῶν ἰσάκις πολλα‐ ### book 38.2 πλάσια, ἤγουν ὀκτὼ καὶ ἓξ πρὸς τέσσαρα καὶ τρία· λέγω, ### book 38.3 ὅτι, ὁσαπλάσιόν ἐστι τὰ ὀκτὼ πρὸς τὰ τέσσαρα ἢ τὰ ἓξ ### book 38.4 πρὸς τὰ τρία (εἰσὶ δὲ διπλάσια), τοσαυταπλάσιά ἐστι καὶ ### book 38.5.1 τὰ συναμφότερα συναμφοτέρων. η γὰρ καὶ ϛ ιδ, δ καὶ τρία ### book 38.5.2 ζ· διπλάσια· ὅσα γάρ εἰσι μεγέθη ἐν τῷ η ἴσα τῷ τέσσαρα· ### book 38.5.3 εἰσὶ δὲ δύο· τοσαῦτά εἰσι μεγέθη καὶ ἐν τῷ ϛ ἴσα τῷ τρία. ### book 39.1 Διὰ τὴν κοινὴν ἔννοιαν· ἐὰν ἴσα ἴσοις. τὸ γὰρ ΑΗ ### book 39.2 ἴσον ὂν τῷ Ε προσετέθη τῷ ΓΘ ἴσῳ ὄντι τῷ Ζ, καί ἐστι ### book 39.3 τὰ ὅλα ἴσα. ὁμοῦ ἄρα τὸ ΑΗ, ΓΘ ὁμοῦ τοῖς Ε, Ζ ἴσα ### book 39.4 εἰσίν. ὡσαύτως καὶ τὰ ΗΒ, ΘΔ ἴσα τοῖς Ε, Ζ. ὅσα ἄρα ### book 39.5.1 ἐστὶν ἐν μόνῳ τῷ ΑΒ ἴσα τῷ Ε, τοσαῦτα καὶ ἐν ἀμφοτέροις ### book 39.5.2 τοῖς ΑΒ, ΓΔ ἴσα τοῖς Ε, Ζ. ὁσαπλάσιον οὖν τὸ ἓν τοῦ ### book 39.5.3 ἑνός, καὶ πάντα πάντων. δῆλον δὲ καὶ ἐκ τῆς ἐναργείας ### book 39 αὐτῆς. ### book 40.1 Ἔστω πρῶτον τὰ ἓξ καὶ δεύτερον τὰ β, τρίτον τὰ θ ### book 40.2 καὶ τέταρτον τὰ γ. τὸ οὖν πρῶτον καὶ τὸ τρίτον ἰσάκις ### book 40.3 πολλαπλάσιά εἰσι τοῦ βʹ καὶ τοῦ τετάρτου· τριπλάσια ### book 40.4 γὰρ ἀμφότερα ἀμφοτέρων. ἔστω καὶ πέμπτον τὰ ιβ ἑξα‐ ### book 40.5.1 πλάσια τοῦ δευτέρου, ἤγουν τῶν β, καὶ ἕκτον τὰ ιη ὁμοίως ### book 40.5.2 ἑξαπλάσια τοῦ τετάρτου, τουτέστι τῶν γ. καὶ μιγέντα ἄρα ### book 40.5.3 τὸ μὲν πέμπτον τῷ πρώτῳ, τὸ δὲ ἕκτον τῷ τρίτῳ ἰσάκις ### book 40.5.4 εἰσὶ πολλαπλάσια τοῦ τε δευτέρου καὶ τοῦ τετάρτου· ϛ ### book 40.5.5 γὰρ καὶ ιβ ιη καὶ θ καὶ ιη κζ. καί εἰσι καὶ τὰ ιη ὡς πρὸς ### book 40.10.1 τὰ β ἐννεαπλάσια καὶ τὰ κζ ὡς πρὸς τὰ τρία ὁμοίως ἐννεα‐ ### book 40.10.2 πλάσια. ### book 41.1 Διὰ τοῦ πρὸ αὐτοῦ θεωρήματος· μεγέθη γὰρ τὰ ### book 41.2 ΑΒ, ΒΗ μεγεθῶν τῶν Γ καὶ Γ· τὸ γὰρ ἓν Γ δὶς λαμβάνε‐ ### book 41.3 ται πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΒΗ συγκρινόμενον· ἰσάκις ### book 41.4 εἰσὶ πολλαπλάσια. ὡσαύτως καὶ μεγέθη τὰ ΔΕ, ΕΘ μεγέ‐ ### book 41.5.1 θους τοῦ Ζ δὶς καὶ τούτου λαμβανομένου ἰσάκις εἰσὶ πολ‐ ### book 41.5.2 λαπλάσια ἕκαστον ἑκάστου, ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ καὶ τὸ ### book 41.5.3 ΔΕ πρὸς τὸ Ζ, οὕτως καὶ τὰ ΑΗ, ΔΘ πρὸς τὰ Γ, Ζ· ὅπερ ### book 41.5.4 ἔδει δεῖξαι. ### book 42.1 Ἔστω γὰρ πρῶτον τὰ ϛ καὶ δεύτερον τὰ γ, τρίτον ### book 42.2 τὰ ὀκτὼ καὶ δʹ τὰ δ. διπλάσιά εἰσι τὸ αʹ καὶ τὸ γʹ τοῦ βʹ ### book 42.3 καὶ τοῦ δʹ. ἐὰν οὖν ληφθῇ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ πρώτου ### book 42.4 καὶ τρίτου ἤγουν ιη καὶ κδ (τριπλάσιον γὰρ τὸ μὲν τοῦ αʹ, ### book 42.5.1 τὸ δὲ τοῦ γʹ), καὶ δι’ ἴσου τῶν ληφθέντων ἑκάτερον ἑκα‐ ### book 42.5.2 τέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον τὸ μὲν τοῦ δευτέρου, τὸ ### book 42.5.3 δὲ τοῦ δʹ. ἑξαπλάσια γὰρ ὁμοίως καὶ τὰ ιη τῶν γ καὶ τὰ ### book 42 κδ τῶν δ. ### book 43.1 Τοῦτο τὸ θεώρημα τῆς τοῦ ὅρου ἐστὶν ἀποδείξεως ### book 43.2 τῶν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ μεγεθῶν, ὅς ἐστιν· ὅταν τὰ ἰσάκις ### book 43.3 πολλαπλάσια τοῦ τε πρώτου καὶ τρίτου, τουτέστι τῶν ### book 43.4 ἡγουμένων, τῶν ἰσάκις πολλαπλασίων τῶν ἑπομένων ἢ ### book 43.5.1 ἅμα ὑπερέχῃ ἢ ἅμα ἐλλείπῃ ἢ ἅμα ἴσα ᾖ. ὅτι καὶ αὐτὰ τὸν ### book 43.5.2 αὐτὸν αὐτοῖς ἔχουσι λόγον, ἐντεῦθεν δείκνυται, ἀπεσιώ‐ ### book 43.5.3 πησεν δὲ τοῦτο ἐν τῇ ἀρχῇ· οὐ γὰρ ἠδύνατο λέγειν ἐκεῖνα εἶ‐ ### book 43.5.4 ναι ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ὧν τὰ πολλαπλάσια ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ### book 43.5.5 ἐστίν, αὐτὸ τοῦτο ἡμῶν ζητούντων, τί ποτέ ἐστιν ἐν τῷ ### book 43.10.1 αὐτῷ λόγῳ. εἰπὼν οὖν αὐτὰ ἐν τῇ ἀρχῇ ἅμα ὑπερέχοντα ### book 43.10.2 ἢ ἰσάζοντα ἢ ἐλλείποντα δείκνυσιν ἐνταῦθα, ὅτι καὶ ἐν ### book 43.10.3 τῷ αὐτῷ λόγῳ πρὸς ἄλληλά εἰσιν· ὥστε ἀναφαίνεσθαι ### book 43.10.4 τὸν ὅρον τὸν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ τοιοῦτον· ὅταν τὰ τοῦ ### book 43.10.5 πρώτου καὶ τρίτου ἰσάκις πολλαπλάσια πρὸς τὰ τοῦ δευ‐ ### book 43.15.1 τέρου καὶ τετάρτου ἰσάκις πολλαπλάσια τὸν αὐτὸν ἔχῃ ### book 43.15.2 λόγον. δείκνυσι δὲ αὐτὰ ἐν τῷ λόγῳ διὰ τούτου καὶ τῆς ### book 43.15.3 ἀντιστροφῆς αὐτοῦ. ### book 44.1 Ἔστω γὰρ πρῶτον τὰ θ καὶ δεύτερον τὰ ϛ, γʹ τὰ ιε ### book 44.2 καὶ δʹ τὰ ι. τὸν αὐτὸν οὖν λόγον ἔχουσι τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ### book 44.3 δεύτερον καὶ τὸ τρίτον πρὸς τὸ τέταρτον· ἡμιόλιοι γὰρ ### book 44.4 ἀμφότεροι ἀμφοτέρων. καὶ τὰ ἰσάκις τοίνυν πολλαπλάσια ### book 44.5.1 τοῦ τε πρώτου καὶ τρίτου πρὸς τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ ### book 44.5.2 δευτέρου καὶ τετάρτου καθ’ ὁποιονοῦν τινα πολλαπλασιασ‐ ### book 44.5.3 μὸν τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ληφθέντα κατάλληλα. ἔστω γὰρ ### book 44.1 τοῦ θ τὰ ιη καὶ τοῦ ιε τὰ λ ἰσάκις πολλαπλάσια· ἀμφότερα ### book 44.2 γὰρ διπλάσια ἀμφοτέρων. τῶν δὲ ϛ ἔστωσαν τὰ κδ καὶ τῶν ### book 44.10.1 ι τὰ μ ἰσάκις πολλαπλάσια· τετραπλάσια γὰρ ἀμφότερα ### book 44.10.2 ἀμφοτέρων. τὸν αὐτὸν οὖν λόγον ἕξουσι τὰ ιη πρὸς τὰ κδ ### book 44.10.3 καὶ τὰ λ πρὸς τὰ μ· ὑπεπίτριτος γὰρ καὶ ὁ ιη τοῦ κδ καὶ ### book 44.10.4 ὁ λ τοῦ μ. ### book 45.1 Διὰ τὸ ἀντίστροφον τοῦ λέγοντος ὅρου· ἐν τῷ αὐτῷ ### book 45.2 λόγῳ μεγέθη λέγεται εἶναι καὶ τὰ ἑξῆς. ἐπεὶ ἐν μὲν τῷ ### book 45.3 ὅρῳ ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς ἢ ἰσότητος ἢ ἐλλείψεως τῶν ἰσάκις ### book 45.4 πολλαπλασίων ἐδείκνυε τὰ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον, ἐν‐ ### book 45.5.1 ταῦθα δὲ ἀνάπαλιν· φησὶ γάρ· εἰσὶν ὁμόλογα τὰ Α, Β καὶ ### book 45.5.2 Γ, Δ, καὶ ἐδείχθη τούτων ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, ### book 45.5.3 Μ, Ν· εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Κ τοῦ Μ, ὑπερέχει καὶ τὸ Λ ### book 45.5.4 τοῦ Ν. εἶτα ἀνακάμπτει καὶ εἰς τὸν ὅρον αὐτὸν καί φησιν, ### book 45.5.5 ὡς, ἐπεὶ πάλιν ὑπόκειται τὰ Κ, Λ τῶν Ε, Ζ ἰσάκις πολλα‐ ### book 45.10.1 πλάσια καὶ τὰ Μ, Ν τῶν Η, Θ, καὶ ἔχουσι ταῦτα τὰ ἰσάκις ### book 45.10.2 πολλαπλάσια, τουτέστι τὰ Κ, Λ, Μ, Ν, ἢ ὑπεροχὴν ἢ ### book 45.10.3 ἰσότητα ἢ ἔλλειψιν, ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἄρα ἔσονται τὸ Ε ### book 45.10.4 πρὸς τὸ Η καὶ τὸ Ζ πρὸς τὸ Θ. τοῦτο δ’ ἦν τὸ ζητούμενον. ### book 46.1 Διὰ τὸν προειρημένον ὅρον, ἀλλ’ οὐκ ἀντιστρόφως· ### book 46.2 ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ μεγέθη λέγεται εἶναι πρῶτον πρὸς δεύ‐ ### book 46.3 τερον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον. ### book 47.1 Τοῦτο τὸ θεώρημα ἕτερον τοῦ ἀντιστρόφου τοῦ ### book 47.2 ὅρου τοῦ λέγοντος· ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ μεγέθη λέγονται ### book 47.3 εἶναι πρῶτον πρὸς δεύτερον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, ### book 47.4 ὅταν τόδε καὶ τόδε. ἐν ἐκείνῳ γάρ ἐστιν, ὅτι, ἐὰν τὸ πρῶ‐ ### book 47.5 τον πρὸς τὸ δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς ### book 47.1 τέταρτον, καὶ τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ πρώτου καὶ ### book 47.2 τρίτου τῶν ἰσάκις πολλαπλασίων τοῦ δευτέρου καὶ τε‐ ### book 47.3 τάρτου ἢ ἅμα ὑπερέχουσιν ἢ ἅμα ἐλλείπουσιν ἢ ἅμα ἴσα ### book 47.4 εἰσίν. οὐκ ἤδη δέ, ἐὰν τὰ τοῦ πρώτου καὶ τρίτου πολλα‐ ### book 47.10.1 πλάσια τῶν πολλαπλασίων τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου ἅμα ### book 47.10.2 ὑπερέχουσιν ἢ ἅμα τόδε καὶ τόδε, εἰσὶν καὶ ἐν τῷ αὐτῷ ### book 47.10.3 λόγῳ τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον καὶ τὸ τρίτον πρὸς τὸ ### book 47.10.4 τέταρτον, ὅπερ φησὶν ἐνταῦθα. ### book 48.1 Ἰστέον, ὅτι, ὅταν ἀριθμός τις ὑποπολλαπλάσιος ὢν ### book 48.2 ἤγουν ὑπόλογος ἀριθμοῦ τινος μετὰ τῆς ἑαυτοῦ δυνάμεως, ### book 48.3 ἀφ’ ἧς παρωνόμασται, τὸν αὑτοῦ πολλαπλάσιον ἀποτελεῖ, ### book 48.4 ὁσάκις ἂν ληφθῇ πρὸς τὸ ἐκεῖνον ἀποτελέσαι, τοσαυτάκις ### book 48.5.1 πολλαπλάσιος λέγεται. οἷον ἐπὶ ὑποδείγματος ὁ δύο τοῦ ιϛ ### book 48.5.2 ὑποοκταπλάσιος ὢν ὑποοκταπλάσιος λέγεται μόνον ἢ ### book 48.5.3 ὀκταπλάσιος, διότι δὶς μετὰ τῆς οἰκείας δυνάμεως συμ‐ ### book 48.5.4 παραληφθεὶς ἤγουν τῶν η, ἀφ’ ἧς ὑποοκταπλάσιος ὠνομά‐ ### book 48.5.5 σθη, τὸν ιϛ ἀπετέλεσε. ὡσαύτως καὶ ὁ ιϛ μᾶλλον διπλάσιος ### book 48.10.1 λέγεται τοῦ β ἢ τοῦ η, διότι δὶς τὸν δύο μετὰ τῆς ἑαυτοῦ ### book 48.10.2 δυνάμεως συμπεριλαμβάνει ἤγουν μετὰ τοῦ η. ### book 49.1 Καί ἐστιν ὡς τὸ Ζ πρὸς τὸ Ε, οὕτως τὸ Θ πρὸς τὸ Ζ, ### book 49.2 πρῶτον τὸ Η καὶ δεύτερον τὸ Ε καὶ τρίτον τὸ Θ πρὸς τέ‐ ### book 49.3 ταρτον τὸ Ζ. ### book 50.1 Ὁ λβ πρὸς τὸν ιϛ διπλάσιος. ἐὰν οὖν ἀφέλῃς ἀφ’ ### book 50.2 ἑκατέρου τὰ τέταρτα ἤγουν ὀκτὼ μὲν τοῦ λβ, τέσσαρα δὲ ### book 50.3 τοῦ δεκαέξ, καταλιμπάνονται κδ καὶ ιβ, καὶ σῴζεται αὖθις ### book 50.4 ὁ τοῦ διπλασίου λόγος κατὰ τὸ πρότερον. ### book 51 Τοῦτο λέγει ἡ πρότασις, ὅτι, ἐάν τι μέγεθος ἰσάκις ### book 51.1 ᾖ πολλαπλάσιον μεγέθους τινός, καὶ ἀφαιρεθὲν ἀφαιρε‐ ### book 51.2 θέντος ἰσάκις πολλαπλάσιον· τὸ γὰρ ἰσάκις πολλαπλάσιον ### book 51.3 οὐκ εἰς τὰ δύο μεγέθη μόνα φανεῖται, ἀλλὰ καὶ εἰς ἄλλα ### book 51.5.1 δύο τὰ ἀφαιρεθέντα ἐκ τῶν πρώτων μεγεθῶν· τὰ γὰρ δύο ### book 51.5.2 μεγέθη ἕνα λόγον ἔχουσι, τὸ δὲ ἰσάκις, ἐπεὶ πρός τι, οὐκ ### book 51.5.3 ἐν ἑνὶ λόγῳ, ἀλλὰ τὸ ἐλάχιστον ἐν δυσίν. ### book 52.1 Ἔστω γὰρ μέγεθος τὰ ιβ μεγέθους τῶν ϛ διπλάσιον ### book 52.2 καὶ ἀφῃρήσθω ἐξ ἀμφοτέρων τῶν μεγεθῶν τοῦ μὲν ιβ δ, ### book 52.3 τοῦ δὲ ϛ β· ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσια τὰ ιβ τῶν ϛ καὶ ### book 52.4 τὰ δ τῶν β· ἄμφω γὰρ ἀμφοτέρων διπλάσια. λέγω, ὅτι ### book 52.5.1 καὶ τὸ καταλειφθὲν τῶν ιβ τοῦ καταλειφθέντος τῶν ϛ, ### book 52.5.2 ἤγουν τὰ η τῶν δ, ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ### book 52.5.3 ἐστι τὰ ιβ τῶν ϛ· ἄμφω γὰρ ἀμφοτέρων διπλάσια. ### book 53.1 ἴσον ἄρα τὸ ΗΖ τῷ ΓΔ p. 10, 1. 2] ἐπεὶ ἰσάκις ### book 53.2 ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ ἑκατέρου τῶν ΗΖ, ΓΔ, οἷον ### book 53.3 μέρος ἐστὶ τὸ ΗΖ τοῦ ΑΒ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ τὸ ΓΔ ### book 53.4 τοῦ ΑΒ. ἴσον ἄρα τὸ ΗΖ τῷ ΓΔ διὰ τὴν κοινὴν ἔννοιαν· ### book 53.5.1 τὰ γὰρ τοῦ αὐτοῦ ἡμίση καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ τρίτα καὶ ἐφεξῆς ### book 53.5.2 καὶ ἀλλήλοις ἴσα ἐστίν. ### book 54.1 Οὐ πρόκειται δεῖξαι, ὅτι, ἐὰν ἀπὸ πολλαπλασίου ### book 54.2 πολλαπλάσιον, τὸ λοιπὸν ἤτοι ἴσον ἐστὶν ἢ πολλαπλάσιον ### book 54.3 (τοῦτο γὰρ δῆλον), ἀλλ’ ὅτι δύο μεγεθῶν πρὸς δύο μεγέθη ### book 54.4 οὕτως ἐχόντων, ὡς εἴρηται, εἰ τὸ λοιπὸν τοῦ προτέρου ### book 54.5.1 πολλαπλάσιον, καὶ τὸ τοῦ ἑτέρου πολλαπλάσιον ἔσται, εἰ ### book 54.5.2 δὲ ἴσον, καὶ τὸ λοιπόν· οἷον τετραπλασίου ὄντος εἰ τριπλά‐ ### book 54.5.3 σιον ἀφαιρεθῇ, τὸ λοιπὸν ἴσον ἔσται, καὶ ἐπὶ τοῦ ἑτέρου ### book 54 ὡσαύτως. ### book 55.1 Δύο γὰρ μεγέθη τὰ ιβ καὶ τὰ θ δύο μεγεθῶν τῶν ### book 55.2 δ καὶ τῶν γ ἰσάκις πολλαπλάσια· τριπλάσια γὰρ ἄμφω ### book 55.3 ἀμφοτέρων. ἐὰν ἄρα ἀφαιρεθέντα τινὰ τῶν ιβ καὶ τῶν θ ### book 55.4 ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια τῶν δ καὶ τῶν γ, καὶ τὰ καταλει‐ ### book 55.5.1 φθέντα τῶν αὐτῶν ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσια ἢ ἴσα. ἀφ‐ ### book 55.5.2 ῃρήσθωσαν τῶν μὲν ιβ η, τῶν δὲ θ ϛ, ἅπερ εἰσὶν ἰσάκις πολ‐ ### book 55.5.3 λαπλάσια τῶν δ καὶ τῶν γ· διπλάσια γὰρ ἄμφω ἀμφοτέ‐ ### book 55.5.4 ρων· καὶ τὰ καταλειφθέντα τῶν ιβ καὶ τῶν θ, ἤγουν τὰ ### book 55.5.5 δ καὶ τὰ γ, ἴσα εἰσὶ τοῖς δ καὶ τοῖς γ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ### book 55.10.1 ὅτι ἐν ἄλλοις μεγέθεσιν ἰσάκις εἰσὶ πολλαπλάσια τῶν ἐξ ### book 55.10.2 ἀρχῆς ὑποκειμένων μεγεθῶν. ### book 56.1 Θὲς τὸν ξδ καὶ τὸν λβ τὸν μὲν πρὸς τὸν λβ, τὸν δὲ ### book 56.2 πρὸς τὸν ιϛ διπλασίονα λόγον ἔχοντα. ἐὰν οὖν ἀφέλῃς ἀπὸ ### book 56.3 μὲν τοῦ ξδ ἥμισυ, οἷον τὸν λβ, ἀπὸ δὲ τοῦ λβ ἥμισυ, οἷον ### book 56.4 τὸν ιϛ, ὡσαύτως τὸν πολλαπλάσιον λόγον εὑρήσεις ἔχοντα ### book 56.5.1 τὸν λβ πρὸς τὸν ιϛ, ὃν καὶ ὁ ξδ πρὸς τὸν λβ. ἐπὶ τῆς τομῆς ### book 56.5.2 οὖν ταύτης καὶ τὰ λοιπὰ λβ πρὸς τὰ λοιπὰ ιϛ τὸν αὐτὸν ### book 56.5.3 ἔχει λόγον. εἰ δὲ τέμῃς τοῦ ξδ τὸ δʹ, καταλιμπάνεται ὁ μη· ### book 56.5.4 καὶ τοῦ λβ τὸ δʹ, καταλιμπάνεται ὁ κδ. τότε οὖν οὐ τὸν ### book 56.5.5 ἴσον λόγον ἔχει ὁ μη πρὸς τὸν λβ καὶ ὁ κδ πρὸς τὸν ιϛ, ἀλλὰ ### book 56.10 τὸν ἐλάττονα, πλὴν τὸν αὐτόν. ### book 57.1 Ἰστέον, ὅτι ἐν ταύτῃ τῇ προτάσει ἔνεστι μικρά τις ### book 57.2 ἀσάφεια διὰ τὸ ἀπὸ κοινοῦ λαμβάνειν τὸν ἐὰν σύνδεσμον. ### book 57.3 σὺ οὖν, εἰ θέλεις σαφῆ σοι γενέσθαι ταύτην, ἀναγινώσκων ### book 57.4 ὑπόστιξον εἰς τὸ καὶ ἀφαιρεθέντα τινά, καὶ ὑποθετικῶς ### book 57.5.1 τὸ λοιπὸν ῥητὸν τῆς προτάσεως ἀνάγνωθι ἐκτὸς ὡς ἀπὸ ### book 57.5.2 κοινοῦ τὸν ἐὰν δεξάμενος σύνδεσμον, καὶ οὕτως πάνυ σοι ### book 57 ἔσται σαφής. ### book 58.1 Σχόλιον τοῦ ϛʹ θεωρήματος. ἰστέον, ὅτι οὐκ οἶδε, τί ### book 58.2 λέγει ἐνταῦθα ὁ σχολιαστής, ἀλλὰ τοιοῦτόν τι λέγει ὁ ### book 58.3 Εὐκλείδης, ὅτι, ἐὰν δύο μεγέθη, ὑπόθου σπιθαμὰς ἑκά‐ ### book 58.4 τερον κ, δύο μεγεθῶν, ὑπόθου σπιθαμῶν ὄντων ε ἑκατέ‐ ### book 58.5.1 ρου, ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια· τετραπλάσιον γὰρ ἑκάτερον ### book 58.5.2 ἑκατέρου· καὶ ἀφαιρεθέντα τινὰ ἀπ’ αὐτῶν, δηλονότι τῶν ### book 58.5.3 πολλαπλασίων, ὦσι πάλιν ἰσάκις τῶν προυποτεθειμένων ### book 58.5.4 μεγεθῶν πολλαπλάσια, οἷον ἀφαιρεθέντα τὰ δέκα ἐξ ἑκα‐ ### book 58.5.5 τέρου τῶν πολλαπλασίων ἰσάκις ὄντα πολλαπλάσια τῶν ε ### book 58.10.1 σπιθαμῶν ὄντων μεγεθῶν ἢ ἀφαιρεθέντα τὰ ιε, τὰ λοιπά, ### book 58.10.2 ἅπερ εἰσὶν ἢ τὰ δέκα ἢ τὰ πέντε, τῶν αὐτῶν, ἤγουν τῶν ### book 58.10.3 ε, ἢ ἴσα εἰσίν, ἂν ἀφῃρέθησαν ιε, ἢ ἰσάκις αὐτῶν πολλα‐ ### book 58.10.4 πλάσια, ἂν ἀφῃρέθησαν δέκα. ### book 59.1 ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε καὶ τὸ ### book 59.2 ΚΘ τοῦ Ζ p. 11, 3. 4] εἰ μὲν καὶ δι’ ἄλλο, οὐκ οἶδα, ἴσως ### book 59.3 δ’ οὖν καὶ διὰ τὸ βʹ τοῦ παρόντος βιβλίου. ἂν γὰρ οὕτως ### book 59.4 εἴπωμεν, ὅτι, ἐὰν πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον ### book 59.5.1 καὶ τρίτον τετάρτου, ᾖ δὲ καὶ πέμπτον δευτέρῳ ἴσον καὶ ### book 59.5.2 ἕκτον τετάρτῳ, καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον δευτέ‐ ### book 59.5.3 ρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τετάρ‐ ### book 59.5.4 του, προβήσεται ἡ δεῖξις, ὡς ὅτε καὶ τὸ πέμπτον δευτέρου ### book 59.5.5 ἰσάκις ἦν πολλαπλάσιον καὶ τὸ ἕκτον τετάρτου. ### book 60.1 Δεῖ γινώσκειν, ὅτι ἐν μὲν τῇ ἀποδείξει ἑνοῦν δεῖ τὸ ### book 60.2 Γ καὶ Ζ, ἐν δὲ τῇ κατασκευῇ διαιρεῖν εἰς δύο. ### book 61.1 Τὸ μὲν ΑΒ ἔστω ἀριθμῶν δ, τὸ δὲ Γ τριῶν, ἄλλο ### book 61.2 δὲ ὃ ἔτυχε τὸ Δ ἔστω ἀριθμῶν β. τὸ οὖν ΑΒ πρὸς τὸ Δ ### book 61.1 μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ· τὰ γὰρ δ τῶν β ### book 61.2 διπλάσιον, τὰ δὲ τρία τῶν β ἡμιόλιον. καὶ τὸ Δ πρὸς τὸ Γ ### book 61.5.1 μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ ΑΒ· τοῦ μὲν γὰρ ὑφ‐ ### book 61.5.2 ημιόλιον, τοῦ δὲ ὑποδιπλάσιον. ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ ### book 61.5.3 τοῦ Γ, κείσθω τῷ Γ ἴσον τὸ ΒΕ, ἤγουν τὰ δ γενέσθωσαν ### book 61.5.4 εἰς γ καὶ εἰς α, καὶ ἔστω τὰ γ ΒΕ, τὸ δὲ ἓν ΑΕ. τὸ δὴ ### book 61.5.5 ἔλασσον τῶν ΑΕ, ΕΒ πολλαπλασιαζόμενον ἔσται ποτὲ ### book 61.10.1 τοῦ Δ μεῖζον. πεπολλαπλασιάσθω τὸ ΑΕ ἤγουν τὸ ἕν, ### book 61.10.2 ἕως οὗ τὸ γενόμενον μεῖζον γένηται τοῦ Δ, τουτέστι τῶν ### book 61.10.3 β, καὶ ἔστω τοῦ ΑΕ τριπλάσιον τὸ ΖΗ ἀριθμῶν τυγχά‐ ### book 61.10.4 νον τριῶν μεῖζον ὂν τοῦ Δ, καὶ ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΖΗ τοῦ ### book 61.10.5 ΑΕ (ἔστι δὲ τριπλάσιον), τοσαυταπλάσιον γεγονέτω καὶ ### book 61.15.1 τὸ μὲν ΗΘ ἀριθμῶν τυγχάνον θ τοῦ ΕΒ δηλαδὴ τῶν τριῶν, ### book 61.15.2 τὸ δὲ Κ ὁμοίως ἀριθμῶν τυγχάνον θ τοῦ Γ τριῶν ὄντος ### book 61.15.3 ἀριθμῶν, καὶ εἰλήφθω τοῦ Δ ἤτοι τῶν β διπλάσιον τὸ Λ ### book 61.15.4 ἀριθμῶν ὂν δ, τριπλάσιον δὲ τὸ Μ ἀριθμῶν ὂν ϛ, τετραπλά‐ ### book 61.15.5 σιον δὲ τὸ Ν ἀριθμῶν ὂν η, πενταπλάσιον δὲ τὸ Ξ ἀριθμῶν ### book 61.20.1 ὂν δέκα· καὶ ἰδοὺ τὸ Ξ πολλαπλάσιον μὲν ἐγένετο τοῦ Δ, ### book 61.20.2 πρώτως δὲ μεῖζον τοῦ Κ ἤτοι τῶν θ. ἐπεὶ οὖν τὸ Κ τοῦ Ξ ### book 61.20.3 πρώτως ἐστὶν ἔλαττον, τὸ Κ ἄρα τοῦ Ν οὐκ ἔστιν ἔλαττον· ### book 61.20.4 τὰ γὰρ θ τῶν η πλείω. καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον ### book 61.20.5 τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ (ἄμφω γὰρ ἀμφοτέρων ### book 61.25.1 τριπλάσια), ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ ### book 61.25.2 καὶ τὸ ΖΘ τοῦ ΑΒ. τὸ μὲν γὰρ ΑΕ ἀριθμοῦ ἐστιν ἑνός, ### book 61.25.3 τὸ δὲ ΖΗ τριῶν, τὸ δὲ ΑΒ ἀριθμῶν ἐστι δ, τὸ δὲ ΖΘ ιβ. ### book 61.25.4 ἰσάκις δέ ἐστι πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ ΑΕ καὶ τὸ Κ τοῦ ### book 61.25.5 Γ, ἤτοι τὰ γ τοῦ ἑνὸς καὶ τὰ θ τῶν γ· ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολ‐ ### book 61.30.1 λαπλάσιον τὸ ΖΘ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ Κ τοῦ Γ, τουτέστι τὰ ### book 61.30.2 ιβ τῶν δ καὶ τὰ θ τῶν τριῶν. τὰ ΖΘ, Κ ἄρα τῶν ΑΒ, Γ ### book 61.1 ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια. πάλιν ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλα‐ ### book 61.2 πλάσιον τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ καὶ τὸ Κ τοῦ Γ, ἴσον δὲ τὸ ΕΒ τῷ ### book 61.3 Γ, ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΗΘ τῷ Κ· θ γὰρ ἀριθμῶν τὸ ### book 61.35.1 ΗΘ καὶ θ τὸ Κ. τὸ δὲ Κ διὰ τὴν κοινὴν ἔννοιαν τοῦ Ν οὐκ ### book 61.35.2 ἔστιν ἔλαττον. οὐδ’ ἄρα τὸ ΗΘ τοῦ Ν ἔλαττόν ἐστιν. ### book 61.35.3 μεῖζον δὲ τὸ ΗΘ τοῦ Δ· τὸ μὲν γὰρ ἀριθμῶν θ, τὸ δὲ β. ### book 61.35.4 ὅλον ἄρα τὸ ΖΘ ἤτοι τὰ ιβ συναμφοτέρων τῶν Δ, Ν ἤγουν ### book 61.35.5 τῶν β καὶ τῶν η μεῖζόν ἐστιν. ἀλλὰ συναμφότερα τὰ Δ, ### book 61.40.1 Ν τῷ Ξ ἐστιν ἴσα· δέκα γὰρ ὑπόκειται ἀριθμῶν, ἐπειδὴ ### book 61.40.2 τὸ Ν τοῦ Δ τετραπλάσιόν ἐστιν, συναμφότερα δὲ τὰ Ν, Δ ### book 61.40.3 τοῦ Δ ἐστι πενταπλάσια, ἔστι δὲ καὶ τὸ Ξ τοῦ Δ πενταπλά‐ ### book 61.40.4 σιον. συναμφότερα ἄρα τὰ Ν, Δ τῷ Ξ ἐστιν ἴσα. ἀλλὰ τὸ ### book 61.40.5 ΖΘ τῶν Ν, Δ μεῖζόν ἐστιν, τὰ ιβ τῶν ι. τὸ ΖΘ ἄρα τοῦ ### book 61.45.1 Ξ ὑπερέχει. τὸ δὲ Κ τοῦ Ξ οὐχ ὑπερέχει. καί ἐστι τὰ μὲν ### book 61.45.2 ΖΘ, Κ ἤγουν τὰ ιβ καὶ τὰ θ τῶν ΑΒ, Γ, τουτέστι τῶν δ ### book 61.45.3 καὶ τῶν γ, ἰσάκις πολλαπλάσια, τὸ δὲ Ξ τοῦ Δ ἄλλο, ὃ ### book 61.45.4 ἔτυχεν, πολλαπλάσιον. τὸ ΑΒ ἄρα ἤτοι τὰ δ πρὸς τὸ Δ ### book 61.45.5 μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ [V def. 7]. λέγω ### book 61.1 δή, ὅτι καὶ τὸ Δ πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Δ ### book 61.2 πρὸς τὸ ΑΒ. ### book 62.1 Θὲς τὸν ιβ καὶ τὸν η ἢ ἄλλους, οὕστινας βούλεται ### book 62.2 ἀνίσους ἀριθμούς, ὑπόθες δὲ ἔξωθεν τὸν ϛ ἀριθμόν. ἐπεὶ ### book 62.3 οὖν μείζων ὁ ιβ τοῦ η, καὶ μείζονα λόγον ἔχει πρὸς τὸν ϛ, ### book 62.4 ἢ ὃν ἔχει ὁ ὀκτὼ πρὸς αὐτόν· ὁ μὲν γὰρ ιβ τοῦ ἓξ διπλά‐ ### book 62.5.1 σιος, ὁ δὲ η ἐπίτριτος· ἔχει γὰρ τὸν ἓξ καὶ τρίτον αὐτοῦ· ### book 62.5.2 μείζων δὲ ὁ διπλάσιος λόγος τοῦ ἐπιτρίτου. καὶ ὁ ϛ πρὸς ### book 62.5.3 τὸν αὐτὸν η μείζονα λόγον ἔχει ἢ πρὸς τὸν ιβ· τοῦ μὲν ### book 62.5.4 γὰρ η ὁ ϛ ἐστιν ὑπεπίτριτος, τοῦ δὲ δώδεκα ὑποδιπλάσιος, ### book 62.5.5 μείζων δὲ ὁ ὑπεπίτριτος λόγος τοῦ ἡμίσεως. ### book 63.1 τὸ ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ### book 63.2 Γ πρὸς τὸ Δ p. 14, 20. 21] τέσσαρά εἰσι μεγέθη, πρῶτον ### book 63.3 μὲν τὸ ΑΒ, δεύτερον δὲ τὸ Δ, τρίτον δὲ τὸ Γ καὶ τέταρτον ### book 63.4 τὸ Δ· δὶς γὰρ λαμβάνεται τὸ Δ καὶ ὡς δεύτερον καὶ ὡς ### book 63.5.1 τέταρτον. καί ἐστι τοῦ μὲν πρώτου τοῦ ΑΒ πολλαπλάσιον ### book 63.5.2 τὸ ΖΘ, τοῦ δὲ δευτέρου τοῦ Δ πολλαπλάσιον τὸ Ν, τοῦ ### book 63.5.3 δὲ τρίτου τοῦ Γ τὸ Κ. καί ἐστι τὸ ΖΘ τὸ πολλαπλάσιον ### book 63.5.4 τοῦ πρώτου τοῦ ΑΒ. ἔστιν οὖν τὸ ΖΘ μεῖζον τοῦ Ν, ὅπερ ### book 63.5.5 Ν πολλαπλάσιόν ἐστι τοῦ δευτέρου τοῦ Δ, τὸ δὲ Κ τὸ πολ‐ ### book 63.10.1 λαπλάσιον τοῦ τρίτου τοῦ Γ ἔλαττόν ἐστι τοῦ Ν, ὅπερ Ν ### book 63.10.2 πολλαπλάσιόν ἐστι τοῦ τετάρτου τοῦ Δ. ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ### book 63.10.3 τοῦ πρώτου πολλαπλάσιον μεῖζόν ἐστι τοῦ πολλαπλασίου ### book 63.10.4 τοῦ δευτέρου, τὸ δὲ τοῦ τρίτου οὐκ ἔστι μεῖζον τοῦ πολ‐ ### book 63.10.5 λαπλασίου τοῦ τετάρτου, μείζονα ἄρα λόγον ἔχει τὸ ΑΒ ### book 63.15.1 πρὸς τὸ Δ ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ διὰ τὸν ὅρον τὸν λέγοντα· ### book 63.15.2 ὅταν δὲ τῶν ἰσάκις πολλαπλασίων τὸ μὲν τοῦ πρώτου πολ‐ ### book 63.15.3 λαπλάσιον ὑπερέχῃ τοῦ τοῦ δευτέρου πολλαπλασίου, τὸ ### book 63.15.4 δὲ τοῦ τρίτου πολλαπλάσιον μὴ ὑπερέχῃ τοῦ τοῦ τετάρτου ### book 63.15.5 πολλαπλασίου, τότε τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον μείζονα ### book 63.20 λόγον ἔχειν λέγεται ἤπερ τὸ τρίτον πρὸς τὸ τέταρτον. ### book 64.1 Ποικίλον τοῦτο τὸ θεώρημα, ὡς ἐξ αὐτῆς τῆς προ‐ ### book 64.2 τάσεως δῆλον, ἔχει δέ τινα καὶ κατὰ τὴν λέξιν ἀπορίαν. ### book 65.1 καὶ εἰλήφθω p. 13, 19—τοῦ Κ p. 13, 24] ἰστέον, ### book 65.2 ὅτι τὸ παρὸν κομμάτιον ὀβελίζεται παρὰ τοῖς ἀκριβέσιν· ### book 65.3 εἰ γὰρ κεῖται, οὐκ ἐᾷ τὸν γεωμετρικὸν ὅρον διήκειν εἰς ἅπαν‐ ### book 65.4 τας ἀριθμούς, οὓς ἂν βούλοιτό τις θεῖναι, εἰ δὲ λείπει, δο‐ ### book 65.5 κεῖ ὑγιαίνειν ὁ ὅρος πανταχοῦ, πλὴν εἰ μὴ ἀριθμητικῶς τις ### book 65 βούλοιτο σκοπεῖν, ἀλλὰ μόνον γραμμικῶς. ### book 66.1 Τοῦτο διὰ τὸ ηʹ τοῦ εʹ δείκνυσιν, οὗ πρῶτον, ὅτι τῶν ### book 66.2 ἀνίσων μεγεθῶν τὸ μεῖζον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ### book 66.3 ἔλαττον· ταῦτα γὰρ δῆλα, ὅτι τὰ Α, Β, εἰ μὴ ἴσα ᾖ, ἕτερον ### book 66.4 ἑτέρου πάντως μεῖζόν ἐστιν· καὶ τὸ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ ### book 66.5.1 μείζονα λόγον ἕξει ἤπερ τὸ ἔλαττον· ἀλλὰ καὶ ἴσον ἔχουσι ### book 66.5.2 ταῦτα πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον· οὐκ ἄρα ἄνισα. ### book 67.1 Τοῦτο τὸ θεώρημα ἀντίστροφόν ἐστι τῷ ζʹ· ἐκεῖνο ### book 67.2 γὰρ τὰ ἴσα μεγέθη πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον, ### book 67.3 τοῦτο δὲ τὰ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον ἴσα παρίστησιν. ### book 68.1 Ἐν ὀγδόῳ μεγεθῶν δεδομένων ὁ λόγος ἐζητεῖτο ### book 68.2 ὁ μείζων, ἐνταῦθα δὲ τοὐναντίον τῶν λόγων δεδομένων, ### book 68.3 μᾶλλον δὲ τοῦ μείζονος λόγου, ζητεῖται τὸ μεῖζον μέγεθος. ### book 69.1 Τοῦτο τὸ θεώρημα ὁμοιότητα ἔχει πρὸς τὸ πρῶτον· ### book 69.2 ὡς γὰρ ἐνταῦθα τὴν αὐτὴν σχέσιν ἐπιδείκνυσιν ἑνὸς τοῦ ### book 69.3 ἡγουμένου πρὸς ἓν ἑπόμενον καὶ πάντων πρὸς πάντα, οὕτω ### book 69.4 καὶ ἐπὶ τοῦ πρώτου. ### book 70.1 Δι’ ἀντίστροφον τοῦ ὅρου· ὅταν δὲ τῶν ἰσάκις πολλα‐ ### book 70.2 πλασίων. ### book 71.1 Δοκεῖ μοι μὴ εἶναι καθαρῶς διὰ τὸ ιαʹ, ἀλλὰ διὰ ### book 71.2 τὸ ἀντίστροφον αὐτοῦ, ὃ οὐκ εἴρηται τῷ Εὐκλείδῃ. οὐδὲν ### book 71.3 δὲ καινόν· καὶ γὰρ τὰ ἀντίστροφα τῶν ὅρων οὐκ εἴληπται ### book 71.4 ἐν τοῖς ὅροις, ἀλλὰ δι’ αὐτῶν τῶν ἀντιστρόφων, λέγω, πολ‐ ### book 71.5.1 λὰ κατεσκευάσθησαν θεωρήματα. ἕξει δὲ τὸ ἀντίστροφον ### book 71.5.2 τῷ ιαω οὕτω πως· οἱ πρὸς ἀλλήλους οἱ αὐτοὶ λόγοι καὶ ### book 71.5.3 τῷ αὐτῷ οἱ αὐτοί, οἷον ὁ Α, Β καὶ Γ, Δ πρὸς ἀλλήλους οἱ ### book 71.5.4 αὐτοί. ἆρ’ οὖν καὶ πρὸς ἄλλο τι ὡσαύτως ἕξουσιν; ἔχει δὲ ### book 71.5.5 τὸ Α πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β. ἆρα ### book 71.10.1 καὶ τὸ Γ πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἕξει ἤπερ αὐτὸ τὸ Γ πρὸς ### book 71.10.2 τὸ Β. ὑπόθες γάρ, ὅτι διπλασίονές εἰσιν οἱ λόγοι ὅ τε τοῦ ### book 71.10.3 Α πρὸς τὸ Β καὶ ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸ Δ, ὁ δὲ τοῦ Γ πρὸς τὸ Β ### book 71.10.4 ἡμιόλιος. οἱ γοῦν δύο λόγοι, ἐπεὶ οἱ αὐτοί, εἷς λόγος λογισ‐ ### book 71.10.5 θήτωσαν, ὥσπερ ὁ Α, Β. ὁ γοῦν Α πρὸς τὸ Β διὰ τοῦ ηʹ ### book 71.15.1 μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β. ὡσαύτως ἐπεὶ ### book 71.15.2 εἷς ἐστιν ὁ λόγος τοῦ Α, Β καὶ τοῦ Γ, Δ ἄρα καὶ τὸ Γ ### book 71.15.3 πρὸς τὸ Δ, ὥσπερ ἐὰν ἦν τὸ Α πρὸς τὸ Β, μείζονα λόγον ### book 71.15.4 ἕξει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β. δοκεῖ δὲ καὶ διὰ τὸ ζʹ εἶναι ### book 71.15.5 τοῦτο, ἐὰν τὰς τῶν λόγων πηλικότητας ὡς ἴσα μεγέθη δόξῃ, ### book 71.20.1 ἤτοι ἐκ τοῦ δεδομένου κατασκευασθήσεται τοῦ εἶναι τοὺς ### book 71.20.2 λόγους τοὺς αὐτούς, τουτέστιν ἀπὸ τῆς ἐναργείας αὐτῆς. ### book 72 Ἐπὶ μόνων ὁμογενῶν. ### book 73.1 Οἷον ὁ η πρὸς τὸν δ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ὁ ϛ ### book 73.2 πρὸς τὸν γ· ἀμφότεροι διπλάσιον ἔχουσι λόγον· μέρη δὲ ### book 73.3 ὁ δ καὶ ὁ γ, ὁ μὲν τοῦ η, ὁ δὲ τοῦ ϛ, καὶ ὃν λόγον ἔχουσι τὰ ### book 73.4 ὅλα, οἷον ὁ ὀκτὼ πρὸς τὸν ϛ, τὸν αὐτὸν καὶ τὰ δ πρὸς τὰ γ· ### book 73.5 ἐπίτριτα γὰρ ἄμφω. ### book 74.1 Μέρη τὰ ΑΗ καὶ ΔΚ· ἔστιν οὖν λόγος τοῦ ΑΗ ### book 74.2 πρὸς τὸ ΔΚ, ὃν ἔχει τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΔΕ, τουτέστι τοῦ ### book 74.3 μέρους πρὸς τὸ μέρος, ὁ αὐτός ἐστι καὶ τοῦ ὅλου πρὸς τὸ ### book 74.4 ὅλον. οὐκοῦν καὶ τὰ ὅλα τοῖς μέρεσι τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. ### book 75 Δοκεῖ ἡ ἔκθεσις τοῦ παρόντος ιεʹ θεωρήματος μὴ ### book 75.1 συμφωνεῖν τῇ προτάσει· ἡ μὲν γὰρ πρότασίς φησιν, ὅτι ### book 75.2 ἔχουσι λόγον τὰ μέρη τῶν ὡσαύτως πολλαπλασίων τὸν ### book 75.3 αὐτὸν ἀλλήλοις ληφθέντα κατάλληλα, τουτέστιν ὁποῖα ### book 75.5.1 μέρη ὁποίου πολλαπλασίου τεθῶσιν ἡγούμενα λαμβάνε‐ ### book 75.5.2 σθαι ἀεὶ ἡγούμενα, τὰ δὲ τοῦ ἑτέρου ἀεὶ ἑπόμενα. ἡ δὲ ### book 75.5.3 ἔκθεσίς φησιν, ὅτι λέγω ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ζ, οὕτως τὸ ΑΒ ### book 75.5.4 πρὸς τὸ ΔΕ, δοκοῦσα δηλοῦν ὡς ἑπόμενον πρὸς ἑπόμε‐ ### book 75.5.5 νον, οὕτως ἡγούμενον πρὸς ἡγούμενον. ὥστε πῶς οὐκ ἂν ### book 75.10.1 δοκοῖ τῇ προτάσει ἀσύμφωνος ἡ ἔκθεσις; ἀλλ’ ἀσύμφωνος ### book 75.10.2 μέν ἐστιν νοουμένη, ὡς εἴρηται, συμφωνεῖ δὲ νοουμένη, ὡς ### book 75.10.3 ῥηθήσεται. εἰ γὰρ ἡ πρότασις μὲν λέγει ἔχειν τὰ μέρη τῶν ### book 75.10.4 ὡσαύτως πολλαπλασίων τὸν αὐτὸν λόγον ληφθέντα κατάλ‐ ### book 75.10.5 ληλα, τὰ δὲ ὡσαύτως πολλαπλάσιά εἰσι τό τε ΑΒ μέγεθος ### book 75.15.1 καὶ τὸ ΔΕ, μέρη δὲ ἑκατέρου αὐτῶν μὴ μόνον ἐκεῖνα, εἰς ### book 75.15.2 ἃ ἑκάτερον τέμνεται, ἀλλὰ καὶ τοῦ μὲν ΑΒ τὸ Γ, τοῦ δὲ ΔΕ ### book 75.15.3 τὸ Ζ, πρὸς ἃ δὴ ἑκάτερον καὶ τὸν πολλαπλασιασμὸν πρὸς ### book 75.15.4 ἑκάτερον ἔχει, ἡ δὲ ἔκθεσίς φησιν, ὡς ἔχει τὸ Γ πρὸς τὸ Ζ. ### book 76.1 Ἐντεῦθεν ἄρχεται τὰ διελόντι καὶ συνθέντι καὶ ### book 76.2 ἀναστρέψαντι καὶ ἀνάπαλιν καὶ δι’ ἴσου ἐν τεταγμένῃ καὶ ### book 76.3 τεταραγμένῃ ἀναλογίᾳ. ἔστι δὲ τοῦτο λῆμμα τοῦ ἐναλλά‐ ### book 76.4 ξαντι, ὡς τὸ κʹ τοῦ δι’ ἴσου ἐπὶ τεταγμένῃ ἀναλογίᾳ καὶ τὸ ### book 76.5 κβʹ τοῦ κγʹ ἐπὶ τεταραγμένῃ. ### book 77.1 Ἐάν, φησί, πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλά‐ ### book 77.2 σιον καὶ τρίτον τετάρτου, ἔσται καὶ ὡς τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ### book 77.3 δεύτερον, οὕτως τὸ τρίτον πρὸς τὸ τέταρτον· οὐ μὴν ἐὰν ### book 77.4 ὡς τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον καὶ τὸ τρίτον πρὸς τὸ τέ‐ ### book 77.5.1 ταρτον, ἀνάγκη καὶ ἰσάκις εἶναι πολλαπλάσιον τὸ πρῶτον ### book 77.5.2 τοῦ δευτέρου καὶ τὸ τρίτον τοῦ δʹ, ἀλλ’ εἰ μὲν ἰσάκις εἰσὶ ### book 77.5.3 πολλαπλάσια, ἔσται καὶ ὡς τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον, ### book 77.5.4 οὕτως καὶ τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ λοιπόν, οὐ μὴν εἰ τὸ πρῶτον ### book 77.5.5 τοῦ δευτέρου ἡμιόλιόν ἐστιν, εἰ τύχοι, καὶ τὸ γʹ τοῦ δʹ ### book 77.10 ἀνάγκη καὶ ἰσάκις εἶναι πολλαπλάσιον. ### book 78.1 Ἐναλλαγή ἐστι λόγου λῆψις τοῦ ἡγουμένου πρὸς ### book 78.2 τὸ ἡγούμενον καὶ τοῦ ἑπομένου πρὸς τὸ ἑπόμενον. καὶ ### book 78.3 ἐνθάδε οὕτως ἐναλλάττονται τὰ μεγέθη, ἐπεὶ τὰ μέρη ### book 78.4 τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. ### book 79.1 Διὰ τὸν προσυλλογισμόν, τουτέστι διὰ τὸ προυπο‐ ### book 79.2 δεδεῖχθαι. ### book 80.1 Λόγισαι τὸ μὲν ΑΒ μέγεθος ιβ καὶ δίελε τὸ μὲν ### book 80.2 ΑΕ εἰς η, τὸ δὲ ΕΒ εἰς δ, τὸ δὲ ΓΔ λόγισαι θ εἶναι καὶ ### book 80.3 δίελε τὸ μὲν ΓΖ εἰς ἕξ, τὸ δὲ ΖΔ εἰς γ. ὅλον οὖν τὸ ΑΒ ### book 80.4 ἤτοι ὁ ιβ πρὸς τὸν δ τριπλάσιος, καὶ ὁ ΓΔ ἤτοι ὁ θ πρὸς ### book 80.5.1 τὸν ΖΔ ἤτοι τὸν γ τριπλάσιος. διπλάσιος δὲ καὶ ὁ ΑΕ ### book 80.5.2 ἤτοι ὁ ὀκτὼ πρὸς τὸν ΕΒ τὸν δ, ὥσπερ καὶ ὁ ΓΖ ἤτοι ὁ ### book 80.5.3 ϛ πρὸς τὸν ΖΔ τὸν γ. ### book 81.1 Τοῦτο διὰ τὸ ιαʹ τοῦ εʹ τὸ λέγον· οἱ τῷ αὐτῷ λόγῳ ### book 81.2 οἱ αὐτοὶ καὶ ἀλλήλοις εἰσὶν οἱ αὐτοί· ἰσάκις γὰρ ἐδείχθη ### book 81.3 πολλαπλάσιον τὸ ΗΚ τοῦ ΑΒ καὶ τὸ ΗΘ τοῦ ΑΕ· ἀλλὰ ### book 81.4 μὴν καὶ τὸ ΛΜ τοῦ ΓΖ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τὸ ### book 81.5.1 ΗΘ τοῦ ΑΕ. ὥστε τρεῖς εἰσι λόγοι, ὧν οἱ δύο τῷ αὐτῷ ### book 81.5.2 οἱ αὐτοί· ὡς γὰρ τὸ ΗΚ πρὸς τὸ ΑΒ, τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ### book 81.5.3 ΑΕ, ὡς δὲ τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΑΕ, τὸ ΛΜ πρὸς τὸ ΓΖ. καὶ ### book 81.5.4 ὡς ἄρα τὸ ΗΚ πρὸς τὸ ΑΒ, τὸ ΛΜ πρὸς τὸ ΓΖ. ### book 82.1 Οὐκ ἄρα ἀνάγκη ἀεὶ ἐν πολλαπλασίῳ λόγῳ διὰ τὸ ### book 82.2 εὑρίσκεσθαι τὴν ἀναστροφὴν καὶ ἐν ἐπιμορίοις καὶ ἐν ἐπι‐ ### book 82 μερέσιν ἀναλογίαις. ### book 83.1 Ἐάν, φησί, πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον ### book 83.2 καὶ τρίτον τετάρτου, ἔσται καὶ ὡς τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ### book 83.3 δεύτερον, οὕτως τὸ τρίτον πρὸς τὸ τέταρτον, ἐὰν δὲ ὡς τὸ ### book 83.4 πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον, καὶ τὸ τρίτον πρὸς τὸ τέταρτον, ### book 83.5.1 οὐκ ἀνάγκη καὶ ἰσάκις εἶναι πολλαπλάσιον τὸ πρῶτον τοῦ ### book 83.5.2 βʹ καὶ τὸ τρίτον τοῦ δʹ. ἀλλ’ εἰ μὲν ἰσάκις εἰσὶ πολλαπλά‐ ### book 83.5.3 σια, ἔσται καὶ ὡς τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον, οὕτως καὶ ### book 83.5.4 τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ λοιπόν· οὐ μὴν εἰ τὸ πρῶτον τοῦ βʹ ### book 83.5.5 ἡμιόλιον, εἰ τύχῃ, καὶ τὸ γʹ τοῦ δʹ ἀνάγκη καὶ ἰσάκις εἶναι ### book 83.10.1 πολλαπλάσιον. οἷον τὰ γ τῶν β καὶ τὰ ϛ τῶν δ ἐν τῷ αὐτῷ ### book 83.10.2 μὲν λόγῳ εἰσίν, ἰσάκις δὲ πολλαπλάσια οὐκ εἰσίν· οὐδὲ ### book 83.10.3 γάρ ἐστιν ὁ γ τοῦ β πολλαπλάσιος οὐδὲ ὁ ϛ τοῦ δ, ἀλλ’ ### book 83.10.4 ἡμιόλιον ἑκατέρου ἑκάτερος. ὁ δὴ ἡμιόλιος λόγος ἕτερός ### book 83.10.5 ἐστι τοῦ ἰσάκις πολλαπλασίου· οἱ μὲν γὰρ λόγοι καὶ αἱ ### book 83.15.1 ἀναλογίαι τῶν μεγεθῶν, ὡσαύτως δὲ καὶ τῶν ἀριθμῶν ### book 83.15.2 ἐπὶ πέντε τούτων εἰδῶν θεωροῦνται· ἐπιμορίου, ἐπιμεροῦς, ### book 83.15.3 πολλαπλασίου, πολλαπλασιεπιμορίου, πολλαπλασιοεπι‐ ### book 83.15.4 μεροῦς, ὧν ἕκαστον λόγον ἔχειν λέγεται πρὸς ἕκαστον, ### book 83.15.5 ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμὸν καὶ μέγεθος πρὸς μέγεθος, τὸ δὲ ### book 83.20.1 ἰσάκις πολλαπλάσιον ἐπὶ μόνου λέγεται τοῦ πολλαπλασίου ### book 83.20.2 λόγου, ὡς ἔστιν εἰπεῖν, ὅτι πᾶν πολλαπλάσιον λόγον ἔχει, ### book 83.20.3 πρὸς ἃ πολλαπλάσιον λέγεται, οὐ μὴν δὲ πᾶν τὸ λόγον ### book 83.20.4 ἔχον καὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον. ### book 84.1 Ταῦτα ἔχουσιν ἀναλογίαν, εἰσὶ δὲ καὶ πολλαπλάσια ### book 84.2 ιϛ η δ β. ### book 84.3 ταῦτα ἀναλογίαν μὲν ἔχουσιν, οὐκ εἰσὶ δὲ πολλαπλάσια ### book 84 κζ ιη ιβ η. ### book 84.5.1 τῶν τε πολλαπλασίων καὶ τῶν ἐπιμορίων καὶ τῶν ἐπιμερῶν ### book 84.5.2 γενικώτερον γὰρ ἡ ἀναλογία, διότι περιέχει τά τε πολλα‐ ### book 84.5.3 πλάσια καὶ τὰ ἐπιμόρια καὶ τὰ ἐπιμερῆ· τὰ δὲ πολλαπλάσια ### book 84.5.4 οὐχ ἥκουσιν εἰς ἐπιμόρια καὶ ἐπιμερῆ. ### book 85.1 Σχόλιον νέον εἰς τὰ μετὰ τὸ ιθον θεώρημα τοῦ εου ### book 85.2 στοιχείου μέχρι τοῦ κου εἰρημένα τῷ Εὐκλείδῃ. ### book 85.3 Ἀποδείξας ὁ γεωμετρικὸς ἐν τῷ παρόντι ιθʹ θεωρήματι, ### book 85.4 ὅτι, ἐὰν ᾖ ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ, οὕτως ἀφαι‐ ### book 85.5.1 ρεθὲν τὸ ΑΕ πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ ΓΖ, ἔστι καὶ λοιπὸν τὸ ### book 85.5.2 ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ, ### book 85.5.3 ἔπειτα λαμβάνων αὐτὸ τοῦτο τὸ ἀποδειχθὲν οὕτως, ὡς ### book 85.5.4 ἀπεδείχθη, καὶ ἐναλλάξ, ἤτοι ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, ### book 85.5.5 οὕτω τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΖ· εἰσὶ γὰρ καὶ ταῦτα ἀνάλογον, ### book 85.10.1 ὡς ἀπέδειξε τοῦτο ἐν τῷ ιϛω, ὅτι, ἐὰν δ μεγέθη ἀνάλογον ### book 85.10.2 ᾖ, καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογόν ἐστιν· εἰσὶ δὲ καὶ ἐνταῦθα δ ### book 85.10.3 μεγέθη ἀνάλογον τό τε ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ καὶ ΕΒ πρὸς τὸ ### book 85.10.4 ΖΔ· καὶ φανερόν, ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογόν εἰσιν. εὑρίσκει ### book 85.10.5 δὲ καὶ αὐτὸ τὸ ἐναλλὰξ ἐνταῦθα συμπίπτον ἑτέρῳ λόγῳ, ### book 85.15.1 ὃν ὀνομάζει αὐτὸς συγκείμενα μεγέθη· εἴπερ γὰρ καὶ κατὰ ### book 85.15.2 σύνθεσιν ταῦτα τὰ μεγέθη συγκρίνομεν, οὕτως ἂν συγκρί‐ ### book 85.15.3 νοιμεν αὐτά, ὥσπερ νῦν διὰ τοῦ ἐναλλὰξ τὴν σύγκρισιν ### book 85.15.4 αὐτῶν ποιοῦμεν· λέγομεν γάρ, ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ, ### book 85.15.5 ἅπερ ἐν μὲν τῷ ἐναλλάξ ἐστιν ἡγούμενον πρὸς ἡγούμενον, ### book 85.20.1 ἐν δὲ τῇ συνθέσει ἐστὶν ἡγούμενον ἅμα καὶ ἑπόμενον πρὸς ### book 85.20.2 ἑπόμενον· τὰ αὐτὰ δὲ ταῦτα καὶ ἐν τοῖς λοιποῖς δυσὶ μεγέ‐ ### book 85.20.3 θεσιν γίνονται τῷ τε ΓΔ καὶ τῷ ΔΖ· ταῦτα οὕτως εὑρὼν ### book 85.20.4 συμπίπτοντα, ὡς εἴρηται, τῷ λόγῳ, ὃν ὀνομάζει αὐτὸς ### book 85.20.5 συγκείμενα μεγέθη, συμπεραίνει τὰ ἐναλλὰξ ὡς συγκείμενα ### book 85.25.1 καί φησι· συγκείμενα ἄρα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν. εἶτα ### book 85.25.2 προιών φησιν· ἐδείχθη δὲ ὡς τὸ ΒΑ πρὸς τὸ ΑΕ, οὕτως ### book 85.25.3 τὸ ΔΓ πρὸς τὸ ΓΖ· ἔδειξε δὲ τοῦτό που ἐν τῇ ἀρχῇ πάν‐ ### book 85.1 τως τῆς ἀποδείξεως τοῦ παρόντος ιθʹ θεωρήματος, ἔνθα ### book 85.2 φησίν· ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ, ### book 85.30.1 οὕτως τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΓΖ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ΒΑ πρὸς τὸ ### book 85.30.2 ΑΕ, οὕτως τὸ ΔΓ πρὸς τὸ ΓΖ. καί φησιν· ἔστι σοι τοῦτο, ### book 85.30.3 ὃ νῦν εἶπον, ἀναστρέψαντι ἀντὶ τοῦ διὰ τοῦ λόγου τῆς ἀνα‐ ### book 85.30.4 στροφῆς. λέγει γὰρ ἐν τοῖς ὅροις· ἀναστροφὴ λόγου ἐστὶ ### book 85.30.5 λῆψις τοῦ ἡγουμένου πρὸς τὴν ὑπεροχήν, ᾗ ὑπερέχει τὸ ### book 85.35.1 ἡγούμενον τοῦ ἑπομένου. ἔστι γὰρ καὶ ἐνταῦθα τὸ ΒΑ ### book 85.35.2 ἡγούμενον, ὃ λαμβάνοντες ὁρῶμεν πρὸς τὸ ΑΕ, ὅπερ ἐστὶν ### book 85.35.3 ὑπεροχὴ ὁμολογούμενον, ἐν ᾗ ὑπερέχει αὐτὸ τὸ ἡγούμενον ### book 85.35.4 τὸ ΒΑ τοῦ ἑπομένου, τουτέστι τοῦ ΕΒ. ταῦτα οὕτως εὑρὼν ### book 85.35.5 καὶ ἐκ τῶν συγκειμένων εἰς ἀναστροφὴν αὐτομάτως ἐμ‐ ### book 85.40.1 πίπτων πορίζεται τὸ ἐπαγόμενον καί φησιν· ἐκ δὴ τ[ού‐ ### book 85.40.2 του φ]ανερόν, ὅτι, ἐὰν συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ ### book 85.40.3 ἀναστρέψαντι ἀνάλογον ἔσται. εἶτα ἐπάγει· γεγόνασι ### book 85.40.4 δὲ οἱ λόγοι καὶ ἐπὶ τῶν ἰσάκις πολλαπλασίων καὶ ἐπὶ τῶν ### book 85.40.5 ἀναλογιῶν. τίνες λόγοι; οὐχὶ τοῦ σύνεγγυς πορίσματος ### book 85.45.1 πάντως, ἀλλ’ οἱ τοῦ θεωρήματος δηλαδὴ τούτου τοῦ ιθʹ. ### book 85.45.2 γεγόνασι, φησίν, καὶ ἐπὶ τῶν ἰσάκις πολλαπλασίων, ### book 85.45.3 ὡς ἐν τῷ εω θεωρήματι τοῦ αὐτοῦ εOU στοιχείου φησίν· ### book 85.45.4 ἐὰν μέγεθος μεγέθους ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον, ὅπερ ἀφαι‐ ### book 85.45.5 ρεθὲν ἀφαιρεθέντος, καὶ τὸ λοιπὸν τοῦ λοιποῦ ἰσάκις ἐστὶ ### book 85.1 πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ὅλον τοῦ ὅλου. καὶ γε‐ ### book 85.2 γόνασιν οἱ λόγοι καὶ ἐπὶ τῶν ἀναλογιῶν, ὡς ἐν τῷ παρόντι ### book 85.3 θεωρήματι δέδεικται, ἀναλογίας λέγων ἐνταῦθα πάσας ### book 85.4 τὰς σχέσεις, καθ’ ἃς ἔχει μέγεθος πρὸς μέγεθος λόγον ### book 85.5 ὁποιονδήτινα ἢ ἐπιμόριον ἢ ἐπιμερῆ ἢ ἴσον καὶ ἁπλῶς ### book 85.55.1 εἰπεῖν ἢ ῥητὸν ἢ ἄρρητον, ὥσπερ καὶ αὐτὸς κατιὼν δηλοῖ ### book 85.55.2 λέγων· καθάπερ ἐπὶ τῶν ἡμιολίων ἢ ἐπιτρίτων λόγων ἢ ### book 85.55.3 τῶν τοιούτων. προσκολλητέον γὰρ τῷ ἄνω κώλῳ τὸ κάτω ### book 85.55.4 κῶλον καὶ ἀναγνωστέον οὕτως· γεγόνασιν δὲ οἱ λόγοι καὶ ### book 85.55.5 ἐπὶ τῶν ἰσάκις πολλαπλασίων καὶ ἐπὶ [τῶν ἀναλογιῶν καὶ] ### book 85.60.1 ἐπὶ τῶν ἡμιολίων ἢ ἐπιτρίτων λόγων ἢ τοῦ τοιούτου. μέ‐ ### book 85.60.2 σον δὲ τούτων προσεπεμβάλλει καὶ τὴν αἰτίαν, δι’ ἣν ### book 85.1 [κ]αὶ ἐν τοῖς πολλαπλασίοις καὶ μερικοῖς γεγόνασιν οἱ λό‐ ### book 85.2 γοι, οἵτινες εὑρίσκονται, καὶ ἐν ταῖς καθόλοις σχέσεσι, καί ### book 85.3 φησιν· ὅταν εἴπωμεν· ἐὰν πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολ‐ ### book 85.65.1 λαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, δυνάμεθα εἰπεῖν ἐν αὐτοῖς ### book 85.65.2 τούτοις καὶ τὸ ὅτι ὡς τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον, οὕτως ### book 85.65.3 τὸ τρίτον πρὸς τὸ δʹ. ἔπειτά φη[σιν]· οὐκέτι δὲ καὶ ἀντι‐ ### book 85.65.4 στρέφει. οὐδὲ γὰρ εἰπόντες, ὅτι ὡς τὸ αʹ πρὸς τὸ βʹ, ### book 85.65.5 οὕτως τὸ γʹ πρὸς τὸ δʹ, δυνάμεθα ἀντιστρέ[ψαι] καὶ εἰπεῖν, ### book 85.70.1 ὅτι καὶ τὸ μὲν αʹ τοῦ βʹ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον, καὶ τὸ ### book 85.70.2 γʹ τοῦ δʹ· ἀδύνατον γὰρ τοῦτο. μὴ προδιορισάμενοι μὲν ### book 85.70.3 γὰρ μηδὲ προειπόντες τι ὡρισμένον τῶν πρός τι πολλα‐ ### book 85.70.4 πλασίων τυχὸν ἢ ἄλλο τι, ἀλλ’ οὐ τεθέντες τὸ ὡς καὶ τὸ ### book 85.70.5 οὕτως καὶ εἰπόντες ὡς τόδε τυχὸν τὸ μέγεθος πρὸς τόδε, ### book 85.75.1 οὕτως καὶ τόδε πρὸς τόδε, ἐκλαμβάνομεν τὸ ὡς καὶ τὸ ### book 85.75.2 οὕτως καθόλου ἐπὶ παντὸς λόγου ὡς ἀδήλως καὶ ἀορίστως ### book 85.75.3 κείμενα. προδιορισάμενοι δὲ καὶ προειπόντες, ὅτι ἔστω ### book 85.75.4 τόδε τοῦδε πολλαπλάσιον τυχὸν ἰσάκις καὶ τόδε τοῦδε, ### book 85.75.5 εἶτα ἐπαγαγόντες, ὅτι καὶ ὡς ἔχει λοιπὸν τόδε πρὸς τόδε, ### book 85.80.1 οὕτω καὶ τόδε πρὸς τόδε, τὸ ὡς καὶ τὸ οὕτως ἐνταῦθα οὐ ### book 85.80.2 καθόλου ἐπὶ παντὸς λόγου, ἀλλ’ ἐπὶ τοῦ προυποτεθειμέ‐ ### book 85.80.3 νου καὶ προδιωρισμένου μόνου λόγου δεχόμεθα ταῦτα. ### book 85.80.4 ὥστε ἐνταῦθα μὲν μερικὸν τὸ ὡς καὶ τὸ οὕτως, ἐκεῖ δὲ ### book 85.80.5 εἰς τὸ πρόσθεν καθόλου λαμβάνεται, ὥσπερ καὶ ὡς ὅταν ### book 85.85.1 λέγωμεν· πᾶς ἄνθρωπος ζῶον, οὐ τὸ καθόλου ζῶον ### book 85.85.2 νοοῦμεν, ἀλλὰ μόνον τὸ ἐν τῷ ἀνθρώπῳ, καὶ διὰ τοῦτο ### book 85.85.3 οὐδὲ ἐκεῖ δυνάμεθα ἀντιστρέψαντες εἰπεῖν, ὅτι καὶ πᾶν ### book 85.85.4 ζῶον ἄνθρωπος. ὅρα δέ, μὴ συναρπασθήσῃ τῇ ὁμοφωνίᾳ ### book 85.85.5 τῶν λέξεων τῆς ἀναστρέψαντι καὶ τῆς ἀντιστρέφει καὶ ### book 85.90.1 νοήσεις ἓν σημαίνειν ταύτας, ὥς τινες ἠπατήθησαν, ὥστε ### book 85.90.2 καὶ σχολιογραφεῖν ἐπὶ τοῦτο· ἀλλ’ ἔστιν ἀναστροφὴ μὲν ### book 85.90.3 λόγου, ὡς αὐτὸς παραδέδωκε τοῦτο ἐν τοῖς ὅροις, ἀντι‐ ### book 85.90.4 στροφὴ δὲ καὶ ἀντιστρέφον τὸ ἁπλῶς οὕτως τἀναντία τῶν ### book 85 προτεθέντων λέγον. ### book 86.1 πρὸς τὸ Ζ μείζονα λόγον ἔχει p. 32, 3] σημείωσαι τὸ ### book 86.2 λεγόμενον διανοίας οὕτως ἔχον· ἐπεὶ γάρ, φησί, τὸ Α πρὸς ### book 86.3 τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β, ὃν δὲ λόγον ### book 86.4 ἔχει τὸ Α πρὸς τὸ Β, τὸν αὐτὸν ἔχει τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, τὸ ### book 86.5.1 Ε πάντως πρὸς τὸ Ζ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς ### book 86.5.2 τὸ Β· ὃν δὲ λόγον εἶχε τὸ Γ πρὸς τὸ Β, ἐλάττονα δὲ δη‐ ### book 86.5.3 λονότι ἤπερ τὸ Α πρὸς τὸ Β καὶ τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, τὸν αὐτὸν ### book 86.5.4 ἔχει τὸ Ε πρὸς τὸ Δ. λείπεται ἄρα τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ μείζονα ### book 86.5.5 λόγον ἔχειν ἤπερ τὸ Ε πρὸς τὸ Δ. ### book 87 Ἐπὶ τῶν ὁμογενῶν. ### book 88.1 τὰ ἄρα ΑΗ, Ζ ἴσα ἐστί p. 37, 20] φασί τινες, ὅτι ### book 88.2 διὰ τὸν ὅρον τὸν λέγοντα, ὅτι ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεθῇ, ### book 88.3 τοῦτο ἀποδείκνυται, οὐκ εἰδότες, ὃ λέγουσιν· οὔτε γὰρ τὸ ### book 88.4 ΑΗ τῷ Ζ ἴσον οὔτε τὸ ΓΘ τῷ Ε ἴσον. ἀλλ’ ἐπεὶ τὸ μὲν ### book 88.5.1 ΑΗ ἴσον ἐδόθη τῷ Ε, τὸ δὲ ΓΘ ἴσον ἐδόθη τῷ Ζ, ὅταν ### book 88.5.2 λέγῃ, ὅτι τὸ ΑΗ, Ζ τῷ ΓΘ, Ε ἴσον ἐστίν, οὐκ ἄλλο λέγει ### book 88.5.3 ἢ ὅτι τὸ Ε, Ζ τῷ Ζ, Ε ἴσον ἐστίν, τουτέστιν αὐτὸ ἑαυτῷ ### book 88.5.4 ἴσον ἐστίν· ὥστε αὐτόθεν ἐναργέστατον τὸ λεγόμενον καὶ ### book 88.5.5 οὐ διὰ τόν, ὅν φασί τινες, ὅρον. πλὴν ταύτην μόνην τὴν ἐν‐ ### book 88.10.1 αλλαγὴν ἔχει ὁ λόγος, ὅτι οὐ λέγει· ἴσον ἐστὶ τὸ Ε, Ζ τῷ ### book 88.10.2 Ε, Ζ πάλιν, ἀλλὰ ἴσον ἐστὶ τὸ Ε, Ζ τῷ Ζ, Ε, παρόμοιον ### book 88.10.3 ὥσπερ ὅταν ἀστειευόμενός τις ἐναργέστατα λέγων εἴπῃ, ### book 88.10.4 ὅτι τοσοῦτον ἔνι τὸ ἐκεῖθεν ἐνθάδε διάστημα τῆς ὁδοῦ, ### book 88 ὅσον ἔνι καὶ τὸ ἐντεῦθεν ἐκεῖσε. ### book 1.1 Εἴτε ἀμβλυγώνια εἴτε ὀξυγώνια εἴτε ὀρθογώνια· τὸ ### book 1.2 δὲ εὐθύγραμμα εἴρηκε πρὸς ἀντιδιαστολὴν τῶν περιγραμ‐ ### book 1.3 μῶν. ### book 2.1 Ἔστω τὸ Α τοῦ Β διπλάσιον, τὸ δὲ Β τοῦ Γ τριπλά‐ ### book 2.2 σιον. τὸ ἄρα Α πρὸς τὸ Γ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ ### book 2.3 τοῦ διπλασίου καὶ τριπλασίου, τουτέστιν ἑξαπλάσιον. πά‐ ### book 2.4 λιν τὸ Α τοῦ Β β, τὸ Β τοῦ Γ ὑπόγ· τὸ ἄρα Α τοῦ Γ [Omitted graphic marker] ### book 2.5.1 ὑφημιόλιον. τὰ γὰρ δύο ἐπὶ τὸ γʹ γενόμενα ποιοῦσι δύο ### book 2.5.2 τρίτα. ὥστε τὸ Α τοῦ Γ ἔσται δύο γʹ γʹ· τὸ Γ ἄρα τοῦ ### book 2.5.3 Α ἔσται ἡμιόλιον. πάλιν τὸ Α τοῦ Β ἡμιόλιον, τὸ Β τοῦ ### book 2.1 Γ ἐπίτριτον. τὸ Α ἄρα τοῦ Γ διπλάσιον· τὸ γὰρ α 𐅵ʹ ἐπὶ ### book 2.2 τὸ α γʹ γενόμενον δύο ποιεῖ. πάλιν τὸ Α τοῦ Β ἡμιόλιον, ### book 2.10.1 τὸ Β τοῦ Γ ὑπεπίτριτον· τὸ Α ἄρα τοῦ Γ ἐπόγδοον· τὸ γὰρ [Omitted graphic marker] ### book 2.10.2 α 𐅵ʹ ἐπὶ τὸ 𐅵ʹ δʹ ποιεῖ α ηʹ. πάλιν τὸ Α τοῦ Β ὑπόβ, τὸ ### book 2.10.3 Β τοῦ Γ ὑπόγ· τὸ Α ἄρα τοῦ Γ ὑπόϛ. τὸ γὰρ 𐅵ʹ καὶ τὸ ### book 2.10.4 γʹ ϛʹ ποιοῦσιν. τοῦτο μέντοι καὶ ἀνάπαλιν γινόμενον τοῖς ### book 2.10.5 πολλαπλασίοις συνεμπίπτει, χρὴ μέντοι τὸν βουλόμενον ### book 2.15.1 ταῦτα ἀκριβοῦν ἁμῶς γέ πως τοῖς Διοφάντου θεωρήμασιν ### book 2.15.2 ἀριθμητικοῖς τεταλαιπωρῆσθαι, ἐπεὶ ἀμήχανον ἄνευ ἐκεί‐ ### book 2.15.3 νων. ἀπορήσαις δ’ ἂν εἰκότως ἐπὶ τῶν ἀλόγων μεγεθῶν· ### book 2.15.4 τὰς γὰρ πηλικότητας αὐτῶν οὐκ ἔχοντες ἐν ῥητοῖς ἀριθμοῖς ### book 2.15.5 πῶς ἄρα πολλαπλασιάσομεν τοὺς λόγους; ἢ τὸ πολλαπλά‐ ### book 2.20.1 σιον τοῦτο, κἂν μὴ ἐν λόγοις ῥητοῖς ᾖ, ὅμως τῇ ἑαυτοῦ ### book 2.20.2 φύσει ἔχει τὸν λόγον; ἡ γὰρ διάμετρος πρὸς τὴν πλευράν, ### book 2.20.3 εἰ καὶ μὴ ἔχῃ λόγον ῥητόν, ἀλλ’ οὖν τῆς πηλικότητος ἔχει, ### book 2.20.4 καθ’ ὃν λέγομεν αὐτὴν εἶναι διπλασίαν δυνάμει. ### book 3.1 Λόγος ἐκ λόγων συγκεῖσθαι λέγεται· ὅταν, φησίν, ### book 3.2 πηλικότητές τινων λόγων πολλαπλασιαζόμεναι ποιῶσι ### book 3.3 λόγον, ἐκεῖνος ὁ λόγος συγκεῖσθαι ἐκ τῶν λόγων ἐκείνων ### book 3.4 λέγεται, ὧν αἱ πηλικότητες ποιοῦσιν αὐτόν. πηλικότητας ### book 3.5.1 δὲ λέγει, ἀφ’ ὧν ὀνομάζονται, ὡς ἀπὸ τῶν δύο ὁ διπλάσιος. ### book 3.5.2 ἔστω λόγος τοῦ ὀκτὼ πρὸς τὸν δ διπλασίων, καὶ αὖ τοῦ δ ### book 3.5.3 πρὸς τὸν β διπλασίων καὶ αὐτός· ὁ τετραπλάσιος οὖν λόγος ### book 3.1 τοῦ η πρὸς τὸν β συγκεῖσθαι λέγεται ἐκ τῶν δύο λόγων, ### book 3.2 τοῦ τε η πρὸς τὸν δ καὶ τοῦ δ πρὸς τὸν β, ὅτι αἱ πηλικό‐ ### book 3.10.1 τητες αὐτῶν ποιοῦσιν αὐτὸν οὕτως. ἐπεὶ ὡς εἴρηται πηλι‐ ### book 3.10.2 κότητες οἱ ἀριθμοὶ λέγονται, ἀφ’ ὧν αἱ σχέσεις ὀνομάζον‐ ### book 3.10.3 ται, οἷον ἀπὸ τοῦ β καὶ τρία καὶ τέσσαρα ὁ διπλάσιος καὶ ### book 3.10.4 τριπλάσιος καὶ τετραπλάσιος λόγος, ὀνομάζεται δὲ καὶ τὸ ### book 3.10.5 ἥμισυ ἀπὸ τοῦ ἑνός, ἔστι δὲ ὁ δύο τοῦ τέσσαρα ἥμισυς, ### book 3.15.1 λαμβάνω τὸ ἥμισυ τῆς μονάδος, ἀφ’ ἧς ὁ δύο τῶν τεσσά‐ ### book 3.15.2 ρων ἥμισυς λέγεται, ὂν λεπτῶν πρώτων λ· ὁμοίως λαμ‐ ### book 3.15.3 βάνω καὶ ἕτερον ἥμισυ μονάδος, ἀφ’ ἧς πάλιν ὁ δ ἥμισυς ### book 3.15.4 λέγεται τοῦ η, καὶ πολλαπλασιάζω τὰ λ πρῶτα λεπτὰ ἐπὶ ### book 3.15.5 τὰ λ πρῶτα καὶ αὐτὰ λεπτά· καὶ γίνονται δεύτερα λεπτὰ ### book 3.20.1 ἐννακόσια. ταῦτα ἀναβιβάζω ἤτοι μοιράζω· γίνονται δέκα ### book 3.20.2 καὶ πέντε πρῶτα λεπτά, ἅτινα δεκαπέντε πρῶτα λεπτὰ ### book 3.20.3 τέταρτόν εἰσι μονάδος· τετράκις γὰρ ιε ξ. ἀλλὰ δὴ ἔστω ὁ ### book 3.20.4 μέσος τοῦ β καὶ η ὁ μ· καὶ ἐπεὶ τὰ δύο τοῦ μ εἰκοστόν ### book 3.20.5 ἐστιν, λαμβάνω τὸ εἰκοστὸν τῆς μονάδος ὂν λεπτῶν τριῶν. ### book 3.25.1 ἐπεὶ πάλιν ὁ μ πενταπλάσιός ἐστι τοῦ η, πολλαπλασιάζω ### book 3.25.2 τὸν τρία τὸ εἰκοστὸν τοῦ ξ παρὰ τὸν ε, ἀφ’ οὗ πέμπτον ### book 3.25.3 μέρος ὁ η τοῦ μ λέγεται, καὶ γίνονται ιε λεπτά, ἅπερ ἐστὶ ### book 3.25.4 τέταρτον μονάδος. καὶ οὕτως πάλιν ὁ β τοῦ η τέταρτόν ### book 3.25.5 ἐστιν. ἔστω πάλιν μεταξὺ τῶν δ καὶ ιβ ὁ η. ἐπεὶ ὁ δ ἥμισυς ### book 3.30 ἐστὶ τοῦ η, ὁ δὲ η ὑφημιόλιος τοῦ ιβ, λαμβάνω τὰ λ λεπτὰ ### book 3.1 τὸ ἥμισυ τῆς μονάδος καὶ τὰ μ λεπτὰ τὸ ὑφημιόλιον τῆς ### book 3.2 μονάδος, καὶ ποιῶ τὰ λ παρὰ μ, καὶ γίνονται ͵ας δεύτερα ### book 3.3 λεπτά. ἀναβιβάζω ταῦτα· γίνονται πρῶτα λεπτὰ κ. τὰ κ ### book 3.4 τρίτον εἰσὶ μονάδος, καὶ ὁ δ οὖν τρίτον ἐστὶ τοῦ ιβ. πάλιν ### book 3.35.1 ἔστω μεταξὺ τοῦ β καὶ ιβ ὁ δ. καὶ ἐπεὶ ὁ β τοῦ δ ἥμισύ ### book 3.35.2 ἔστιν, ὁ δὲ δ τοῦ ιβ ὑποτριπλάσιος, λαμβάνω τὰ λ λεπτὰ ### book 3.35.3 τὸ τῆς μονάδος ἥμισυ καὶ τὰ κ τὸ τρίτον αὐτῆς· ἀπὸ γὰρ ### book 3.35.4 τοῦ τρία ὁ ὑποτριπλάσιος παρωνόμασται. καὶ ποιῶ τὰ λ ### book 3.35.5 ἐπὶ τὰ κ· γίνονται ἑξακόσια δεύτερα λεπτά· ταῦτα ἀνα‐ ### book 3.40.1 βιβάζω, καὶ γίνονται δέκα πρῶτα. τὰ δέκα ἕκτον μονάδος, ### book 3.40.2 καὶ ὁ β ἕκτον τοῦ ιβ. πάλιν ἔστω μεταξὺ τοῦ δ καὶ ε ὁ κ. ### book 3.40.3 καὶ ἐπεὶ ὁ δ ὑποπενταπλάσιός ἐστι τοῦ κ, ὁ δὲ κ τετρα‐ ### book 3.40.4 πλάσιος τοῦ ε, λαμβάνω τὸ τῆς μονάδος πέμπτον τὰ ιβ καὶ ### book 3.40.5 τὸν δ, ἀφ’ οὗ ὁ ε τέταρτον λέγεται τοῦ κ, καὶ ποιῶ τὸν δ ### book 3.45.1 παρὰ τὸν ιβ· γίνονται μη· ἔστι δὲ ὁ μη ὑποεπιτέταρτος τῆς ### book 3.45.2 μονάδος, καὶ ὁ δ τοῦ ε ὑποεπιτέταρτός ἐστιν. ἔστω πάλιν ### book 3.45.3 μεταξὺ τοῦ β καὶ δ ὁ γ. καὶ ἐπεὶ ὁ δ τοῦ γ ἐπίτριτός ἐστι ### book 3.45.4 καὶ ἔχει αὐτὸν καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ, ὅ ἐστι μονάς, λαμβάνω ### book 3.45.5 τὴν μονάδα, ἥτις ἐστὶ λεπτῶν ξ, ἀφ’ ἧς μονάδος τρίτου ### book 3.1 οὔσης τοῦ τρία ὁ δ ἐπίτριτος αὐτοῦ λέγεται. λαμβάνω καὶ ### book 3.2 τὸν λ τὸ τῆς μονάδος ἥμισυ, διὰ τὸ τὸν τρία ἡμιόλιον εἶναι ### book 3.3 τοῦ β, ὀνομάζεσθαι δὲ τὸ ἡμιόλιον ἀπὸ τοῦ ἡμίσεως. καὶ ### book 3.4 ποιῶ τὸν λ παρὰ τὴν μονάδα, ἤτοι τὰ ξ λεπτά, καὶ γίνονται ### book 3.5 ͵αω δεύτερα λεπτά. ταῦτα ἀναβιβάζω· καὶ γίνονται λ πρῶ‐ ### book 3.55 τα λεπτά· ταῦτα ἥμισυ μονάδος, καὶ ὁ β τοῦ δ ἥμισύς ### book 3 ἐστιν. ### book 4.1 Λόγος ἐκ δύο λόγων ἢ καὶ πλειόνων συγκεῖσθαι λέ‐ ### book 4.2 γεται, ὅταν αἱ τῶν λόγων πηλικότητες πολλαπλασιασθεῖ‐ ### book 4.3 σαι ποιῶσί τινα πηλικότητα λόγου. ἐχέτω γὰρ τὸ αβ πρὸς ### book 4.4 τὸ γδ λόγον δεδομένον, οἷον διπλάσιον ἢ τριπλάσιον ἤ τινα ### book 4.5.1 ἄλλον, καὶ τὸ γδ πρὸς τὸ εζ καὶ αὐτὸ δεδομένον. λέγω, ὅτι ### book 4.5.2 ὁ τοῦ αβ πρὸς τὸ εζ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ αβ πρὸς τὸ ### book 4.5.3 γδ καὶ τοῦ γδ πρὸς τὸ εζ, ἤτοι ὅτι, ἐὰν ἡ τοῦ αβ πρὸς τὸ ### book 4.5.4 γδ λόγου πηλικότης πολλαπλασιασθῇ ἐπὶ τὴν τοῦ γδ πρὸς ### book 4.5.5 τὸ εζ λόγου πηλικότητα, ποιεῖ τὴν τοῦ αβ πρὸς εζ. ἔστω ### book 4.10.1 γὰρ πρότερον τὸ μὲν αβ τοῦ γδ μεῖζον καὶ τὸ γδ τοῦ εζ. ### book 4.10.2 καὶ ἔστω τὸ μὲν αβ τοῦ γδ διπλάσιον, τὸ δὲ γδ τοῦ εζ τρι‐ ### book 4.10.3 πλάσιον. ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν γδ τοῦ εζ τριπλάσιόν ἐστι, τοῦ ### book 4.10.4 δὲ γδ διπλάσιον τὸ αβ, τὸ ἄρα αβ τοῦ εζ ἐστιν ἑξαπλάσιον, ### book 4.10.5 ἐπειδὴ ἐὰν τὸ τριπλάσιόν τινος διπλασιάσωμεν, γίνεται ### book 4.15.1 αὐτοῦ ἑξαπλάσιον. τοῦτο γάρ ἐστι κυρίως σύνθεσις. ἢ ### book 4.15.2 οὕτως· ἐπεὶ τὸ αβ τοῦ γδ ἐστι διπλάσιον, διῃρήσθω τὸ αβ ### book 4.15.3 εἰς τὰ τῷ γδ ἴσα, καὶ ἔστω ταῦτα τὰ αη ηβ· καὶ ἐπεὶ τὸ γδ ### book 4.15.4 τοῦ εζ ἐστι τριπλάσιον, ἴσον δὲ τὸ αη τῷ γδ, καὶ τὸ αη ἄρα ### book 4.15.5 τοῦ εζ ἐστι τριπλάσιον. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ηβ τοῦ εζ ### book 4.20.1 ἐστι τριπλάσιον· ὅλον ἄρα τὸ αβ τοῦ εζ ἐστιν ἑξαπλάσιον. ### book 4.20.2 ὁ ἄρα τοῦ αβ πρὸς τὸ εζ λόγος συνῆκται διὰ τοῦ γδ μέσου ### book 4.20.3 ὅρου συγκείμενος ἔκ τε τοῦ αβ πρὸς γδ καὶ τοῦ γδ πρὸς ### book 4.1 εζ λόγου. ὁμοίως δὲ κἂν ἔλαττον ᾖ τὸ γδ ἑκατέρου τῶν αβ εζ, ### book 4.2 τὸ αὐτὸ συναχθήσεται. ἔστω γὰρ πάλιν τὸ μὲν αβ τοῦ ### book 4.25.1 γδ τριπλάσιον, τὸ δὲ γδ ἥμισυ τοῦ εζ. καὶ ἐπεὶ τὸ γδ ἥμισύ ### book 4.25.2 ἐστι τοῦ εζ, τοῦ δὲ γδ τριπλάσιον τὸ αβ, τὸ αβ ἄρα ἡμιό‐ ### book 4.25.3 λιόν ἐστι τοῦ εζ. ἐὰν γὰρ τὸ ἥμισύ τινος τριπλασιάσωμεν, ### book 4.25.4 ἕξει αὐτὸ ἅπαξ καὶ ἡμισάκις. καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν αβ τοῦ γδ ἐστι ### book 4.25.5 τριπλάσιον, τὸ δὲ γδ τοῦ εζ ἐστιν ἥμισυ, οἵων ἐστὶ τὸ αβ ἴσων ### book 4.30.1 τῷ γδ τριῶν, τοιούτων ἐστὶ τὸ εζ δύο, ὥστε ἡμιόλιόν ἐστι τὸ ### book 4.30.2 αβ τοῦ εζ. ὁ ἄρα τοῦ αβ πρὸς τὸ εζ λόγος συνῆκται διὰ τοῦ ### book 4.30.3 γδ μέσου ὅρου συγκείμενος ἔκ τε τοῦ αβ πρὸς γδ καὶ τοῦ γδ ### book 4.30.4 πρὸς εζ λόγου. ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστω τὸ γδ ἑκατέρου τῶν αβ ### book 4.30.5 εζ μεῖζον. καὶ ἔστω τὸ μὲν αβ τοῦ γδ ἥμισυ μέρος, τὸ δὲ ### book 4.35.1 γδ τοῦ εζ ἐπίτριτον. ἐπεὶ οὖν, οἵων ἐστὶ τὸ αβ δύο, τοιούτων ### book 4.35.2 ἐστὶ τὸ γδ τεσσάρων, οἵων δὲ τὸ γδ τεσσάρων, τοιούτων ### book 4.35.3 τὸ εζ τριῶν, καὶ οἵων ἄρα τὸ αβ δύο, τοιούτων τὸ εζ τριῶν, ### book 4.35.4 συνῆκται ἄρα πάλιν ὁ τοῦ αβ πρὸς εζ λόγος διὰ τοῦ γδ ### book 4.35.5 μέσου ὅρου ὁ τῶν δύο πρὸς τρία. ὁμοίως δὴ καὶ ἐπὶ πλειό‐ ### book 4.40.1 νων καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν πτώσεων. καὶ δῆλον, ὅτι, ἐὰν ἀπὸ ### book 4.40.2 τοῦ συγκειμένου λόγου εἷς ὁποιοσοῦν τῶν συντεθέντων ### book 4.40.3 ἀφαιρεθῇ, ἑνὸς τῶν ἄκρων ἀφανισθέντος ὁ λοιπὸς τῶν ### book 4.40.4 συντιθέντων καταλειφθήσεται. ### book 5.1 Σχόλιον εἰς τὸ λόγος ἐκ λόγων. οἷον ἐξ ἐπιτρίτου καὶ ### book 5.2 ἡμιολίου, ὡς οἶδας, ὁ διπλάσιος ἀπαρτίζεται λόγος. οἱ γὰρ ### book 5.3 ἄκροι τούτων τὸν διπλάσιον ἀπαρτίζουσιν, ὡς ἔχει καὶ τὸ ### book 5.4 ὑπόδειγμα, οἷον φέρε εἰπεῖν ἐπὶ τοῦ β καὶ γ καὶ δ ὁ β πρὸς ### book 5.5 τὸν γ ὑφημιόλιος καὶ πρὸς τὸν δ ὑπεπίτριτος ὁ γ, ὁ δὲ β ### book 5.1 πρὸς τὸν δ διπλάσιος. θὲς οὖν τὰς πηλικότητας κατὰ τὴν ### book 5.2 παροῦσαν καταγραφὴν ὥστε ποιῆσαι ἐξ ἡμιολίου καὶ ἐπι‐ ### book 5.3 τρίτου λόγον τινά, καὶ ποίησον οὕτως τὴν ἔκθεσιν· ἓν 𐅵ʹ ### book 5.4 καὶ ἓν γʹ. ἄρξαι οὖν λέγειν ἔχων ὡρισμένως τὴν μονάδα ὡς ### book 5.10.1 ἑξήκοντα οὖσαν λεπτῶν· ἅπαξ ἅπαξ μία· ἰδοὺ λεπτὰ ἑξή‐ ### book 5.10.2 κοντα. καὶ πάλιν εἰπέ· ἅπαξ ἥμισυ· ἰδοὺ ἐνενήκοντα· ἑξήκον‐ ### book 5.10.3 τα γὰρ καὶ τριάκοντα, ὅ ἐστι τὸ ἥμισυ μονάδος, ἐνενήκοντα. ### book 5.10.4 καὶ πάλιν πολυπλασίασον τὸ /𐅵ʹ πρὸς τὸ γʹ καὶ εἰπὲ ### book 5.10.5 οὕτως· ἅπαξ τὸ γʹ γʹ· τρίτον δὲ μονάδος τὰ κ. γίνεται οὖν ### book 5.15.1 μετὰ τῶν ἐνενήκοντα ρι. καὶ πάλιν εἰπὲ πολυπλασιάζων ### book 5.15.2 καὶ τὸ ἥμισυ πρὸς τὸ γʹ, ὥσπερ ἐπολυπλασίασας καὶ τὸ ### book 5.15.3 ἅπαξ, καὶ εἰπὲ οὕτως· ἡμισάκις τὸ γʹ εἰς τὸν α ἐστι ι. καὶ ### book 5.15.4 πρόσθες ταῦτα τοῖς ρι καὶ γίνεται ρκ· ὥσπερ γὰρ τρίτον ### book 5.15.5 τῶν ξ τὰ κ, οὕτως τρίτου ἥμισυ ἤτοι ἕκτον τὰ ι. καὶ γίνε‐ ### book 5.20.1 ται ρκ, ἅ ἐστι διπλάσια τοῦ ξ. εἰ δὲ ἀναβιβάσεις τὰ ρκ, ### book 5.20.2 καὶ δύο ταῦτα ποιήσεις, δι’ οὗ ὁ διπλάσιος λόγος ἐμφαίνε‐ ### book 5.20.3 ται. ### book 6.1 Τοῦ σοφωτάτου Μαξίμου τοῦ Πλανούδη εἰς τὸν ὅρον ### book 6.2 τοῦ ϛʹ τὸν λόγος ἐκ λόγων. τουτέστιν ὅτι πᾶς λόγος καὶ ### book 6.3 ὑπὸ δύο καὶ τριῶν καὶ πλειόνων λόγων συντεθῆναι δύναται, ### book 6.4 οἷον ὁ διπλάσιος ὁ ιβ τοῦ ϛ σύγκειται ἐκ δύο λόγων ἐξ ἐπι‐ ### book 6.5.1 τρίτου καὶ ἡμιολίου τοῦ τε η πρὸς τὸν ϛ καὶ τοῦ ιβ πρὸς η, ### book 6.5.2 σύγκειται δὲ καὶ ἐκ τριῶν ἐξ ἐπιτρίτου τοῦ η πρὸς τὸν ### book 6.5.3 ϛ καὶ ἐπιτετάρτου τοῦ ι πρὸς τὸν η καὶ ἐπιπέμπτου τοῦ ### book 6.5.4 ιβ πρὸς τὸν ι. ὡσαύτως δὲ καὶ ἐκ πλειόνων. λαμβανομέ‐ ### book 6 νων οὖν τῶν παρωνύμων τοῖς συντιθεμένοις λόγοις καὶ ### book 6.10.1 πολλαπλασιαζομένων πρὸς ἀλλήλους γίνεται ἀριθμὸς παρ‐ ### book 6.10.2 ώνυμος τῷ συγκειμένῳ λόγῳ· οἷον ἐπεί, ὡς εἴρηται, σύγ‐ ### book 6.10.3 κειται ὁ διπλάσιος ἐξ ἐπιτρίτου καὶ ἡμιολίου, ἔχει δὲ ὁ ### book 6.10.4 ἐπίτριτος ἅπαξ ὅλον καὶ τὸ τρίτον τοῦ ὑπ’ αὐτόν, λαμβάνω ### book 6.10.5 ἀντὶ μὲν τοῦ ἅπαξ μονάδα μίαν, ἀντὶ δὲ τοῦ τρίτου γʹ. ### book 6.15.1 πάλιν ἐπεὶ ὁ ἡμιόλιος ἔχει ἅπαξ ὅλον καὶ τὸ ἥμισυ τοῦ ### book 6.15.2 ὑπ’ αὐτόν, λαμβάνω ἀντὶ μὲν τοῦ ἅπαξ ὡσαύτως μονάδα ### book 6.15.3 μίαν, ἀντὶ δὲ τοῦ 𐅵ʹ 𐅵ʹ. πολλαπλασιάζω οὖν τούτους τοὺς ### book 6.15.4 ἀριθμούς, τὴν μίαν δηλαδὴ μονάδα καὶ τὸ τρίτον, ἐπὶ τὴν ### book 6.15.5 ἑτέραν μίαν μονάδα καὶ τὸ ἥμισυ, καὶ γίνονται μονάδες δύο, ### book 6.20.1 αἵ εἰσι παρώνυμοι τῷ διπλασίῳ. πολλαπλασιάζεται δὲ ### book 6.20.2 οὕτως· ἅπαξ τὸ ἓν ἕν· ἰδοὺ μονὰς μία. ἅπαξ τὸ ἥμισυ ### book 6.20.3 ἥμισυ. καὶ αὖθις τριτάκις ἡ μονάς, τουτέστι τὸ τρίτον τῆς ### book 6.20.4 μονάδος, τρίτον, καὶ τριτάκις τὸ ἥμισυ ἤτοι τὸ τρίτον ### book 6.20.5 τοῦ ἡμίσεος ἕκτον. ἥμισυ δὲ καὶ τρίτον καὶ ἕκτον μονὰς ### book 6.25.1 μία, ἣ συντιθεμένη τῇ πρὸ αὐτῆς γίνονται δύο. ### book 6.25.2 Οὕτω καὶ ἐκ διπλασίου καὶ τριπλασίου γίνεται ἑξαπλά‐ ### book 6.25.3 σιος· λαμβάνω γὰρ ἀντὶ διπλασίου μονάδας δύο, ἀντὶ δὲ ### book 6.25.4 τοῦ τριπλασίου τρεῖς, καὶ πολλαπλασιάζω ταύτας ἐπ’ ### book 6.25.5 ἀλλήλας, καὶ γίνονται ἕξ. ### book 6.30.1 Ἐὰν δὲ ἐκ τριῶν ᾖ συγκείμενος ὁ διπλάσιος, ὡς προδέ‐ ### book 6.30.2 δεικται, ἐξ ἐπιτρίτου καὶ ἐπιτετάρτου καὶ ἐπιπέμπτου, ### book 6.30.3 λαμβάνω πάλιν ἀντὶ μὲν ἐπιτρίτου μονάδα μίαν καὶ τρίτον, ### book 6.30.4 ἀντὶ δὲ ἐπιτετάρτου μονάδα καὶ τέταρτον, ἀντὶ δὲ ἐπι‐ ### book 6.30.5 πέμπτου μονάδα καὶ πέμπτον, καὶ πολλαπλασιάζω ταῦτα ### book 6.35.1 ἐπ’ ἄλληλα, καὶ γίνονται δύο μονάδες. πολλαπλασιάζεται ### book 6.35.2 δὲ οὕτως· πρότερον ἡ μονὰς καὶ τὸ γʹ ἐπὶ τὴν μονάδα καὶ ### book 6.35.3 τὸ δʹ· ἅπαξ δὲ τὸ ἓν ἕν, ἅπαξ τὸ δʹ δʹ, τριτάκις τὸ ἓν ἤτοι ### book 6.35.4 τὸ τρίτον τοῦ ἑνὸς τρίτον, τριτάκις τὸ δʹ ἤτοι τὸ γʹ τοῦ ### book 6.35.5 δʹ ιβʹ, καὶ ἰδοὺ μονὰς καὶ δʹ καὶ γʹ καὶ ιβʹ. εἶτα πολλα‐ ### book 6.40.1 πλασιάζω τὴν μονάδα καὶ τὸ εʹ ἐπὶ τὴν μονάδα δʹ γʹ ιβʹ, ### book 6.40.2 καὶ λέγω· ἅπαξ τὸ ἓν ἕν, ἅπαξ τὸ τέταρτον τέταρτον, ### book 6.40.3 ἅπαξ τὸ τρίτον τρίτον, ἅπαξ τὸ δωδέκατον δωδέκατον. ### book 6.40.4 πάλιν πεμπτάκις τὸ ἓν ἤτοι τὸ πέμπτον τῆς μονάδος ### book 6.40.5 πέμπτον, τὸ πέμπτον τοῦ τετάρτου εἰκοστόν, τὸ πέμπτον ### book 6.45.1 τοῦ τρίτου ιεʹ, τὸ πέμπτον τοῦ δωδεκάτου ἑξηκοστόν. ### book 6.45.2 ταῦτα πάντα τὰ μέρη γίνεται μονὰς μία, ἥτις συναφθεῖσα ### book 6.45.3 τῇ πρὸ αὐτῆς γίνεται δύο. ὅτι δὲ τὰ μέρη ταῦτα μονὰς γί‐ ### book 6.45.4 νεται, γνώσῃ οὕτως· εὑρεῖν χρὴ τὸν ἔχοντα πρώτως ἀπὸ ### book 6.45.5 μονάδος τὰ μέρη ταῦτα ἀριθμόν, ὃς λαμβανέσθω ὡς μία ### book 6.1 μονάς, ἔστι δὲ ὁ ἑξήκοντα. τούτου τοίνυν τέταρτον τὰ δε‐ ### book 6.2 καπέντε, τρίτον τὰ εἴκοσιν, δωδέκατον τὰ πέντε, πέμ‐ ### book 6.3 πτον τὰ δώδεκα, εἰκοστὸν τὰ τρία, πεντεκαιδέκατον τὰ ### book 6.4 τέσσαρα, ἑξηκοστὸν τὸ ἕν· δεκαπέντε δὲ καὶ εἴκοσιν καὶ ### book 6.5 πέντε καὶ δώδεκα καὶ τρία καὶ τέσσαρα καὶ ἓν ἑξήκοντα. ### book 6.55.1 οὕτω δὲ καὶ ἐκ διπλασίου καὶ τριπλασίου καὶ τετραπλα‐ ### book 6.55.2 σίου γίνεται ὁ τετρακαιεικοσαπλάσιος, οἷον β δ ιβ μη. ### book 6.55.3 λαμβάνω ἀντὶ μὲν τοῦ διπλασίου δύο, ἀντὶ δὲ τοῦ τριπλα‐ ### book 6.55.4 σίου τρία, ἀντὶ δὲ τοῦ τετραπλασίου τέσσαρα, καὶ πολλα‐ ### book 6.55.5 πλασιάζω τὰ δύο ἐπὶ τὰ τρία, καὶ γίνεται ἕξ· εἶτα τὰ τέσ‐ ### book 6.60.1 σαρα ἐπὶ τὰ ἕξ, καὶ γίνονται εἰκοσιτέσσαρα, ὅς ἐστι παρώ‐ ### book 6.60.2 νυμος τοῦ τεσσαρακαιεικοσαπλασίου. ### book 7.1 Ἐκ δὲ πολλαπλασίων πολυπλάσιος συγκείμενος εὑρί‐ ### book 7.2 σκεται οὕτως· οἷον ὁ ιβ τοῦ ϛ διπλάσιος, ὁ δὲ ϛ τοῦ β τρι‐ ### book 7.3 πλάσιος· αἱ γοῦν πηλικότητες αὐτῶν ὁ διπλάσιος καὶ ὁ ### book 7.4 τριπλάσιος ὡς ἀριθμοὶ πολυπλασιασθέντες γίνονται ἑξα‐ ### book 7.5.1 πλάσιοι. δὶς γὰρ τὰ γ ἕξ, ὅθεν ὁ ἑξαπλάσιος παρονομάζε‐ ### book 7.5.2 ται. οἱ δὲ καὶ ὡς ἐπιμόριοι πολυπλασιασθέντες πάλιν ### book 7.5.3 οὕτως συντίθενται· δωδεκάκις γὰρ τὰ ἓξ ἑβδομήκοντα δύο ### book 7.5.4 καὶ ἑξάκις τὰ δύο δώδεκα, ὧν ἑξαπλάσια τὰ οβ, ἃ συνέθετο ### book 7.5.5 ὅ τε διπλάσιος ιβ πρὸς ἓξ καὶ ὁ τριπλάσιος ϛ πρὸς β. ### book 8.1 Σύγκειται ὁ τριπλάσιος λόγος ἐκ διπλασιεπιτετάρτου ### book 8.2 καὶ ἐπιτρίτου, οἷον ὁ δεκαοκτὼ καὶ ὁ ἓξ διὰ μέσου τῶν ### book 8.3 ὀκτώ· ἔχει τοίνυν ὁ δεκαοκτὼ πρὸς τὸν ὀκτὼ δύο καὶ ### book 8.4 τέταρτον, ὁ ὀκτὼ δὲ πρὸς τὸν ἓξ ἓν καὶ τρίτον. ἡ κατα‐ ### book 8.5 γραφὴ αὕτη ͜ιη βδʹ η͜ ͜βγʹ δ͜. ### book 9.1 Σημείωσαι τὸ λόγος ἐκ λόγων· ἐν τῷ πέμπτῳ τοῦ ### book 9.2 ὀγδόου ἡ σύνθεσις εὕρηται καὶ ἡ διαίρεσις ἐν τῇ ἀρχῇ ### book 9.3 τοῦ θʹ. ### book 10.1 Πηλικότητες λέγονται, ἀφ’ οὗ παρωνόμασται ὁ ### book 10.2 λόγος, οἷον ὁ ϛ τοῦ δ ἡμιόλιος, ἡ δὲ πηλικότης αὐτοῦ ἐστι, ### book 10.3 τουτέστιν ἀφ’ οὗ παρωνόμασται, ὁ εἷς ἥμισυ, ἐπειδὴ ἔχει ### book 10.4 ὁ ϛ τὸν δ καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ. ### book 11.1 Ἤτοι πρὸς ἀλλήλας ἤτοι μοῖρα πρὸς μοῖραν καὶ ### book 11.2 μοῖρα πρὸς λεπτὸν καὶ ἕτερον λεπτὸν πρὸς μοῖραν ἑτέραν ### book 11.3 καὶ λεπτὸν πρὸς λεπτόν. καὶ οἱ μὲν ἐπιμόριοι οἷον ὁ ἡμι‐ ### book 11.4 όλιος ἓν ὢν καὶ ἥμισυ καὶ ὁ ἐπίτριτος ἓν ὢν καὶ τρίτον ### book 11.5.1 πολυπλασιάζονται οὕτως· ἅπαξ τὸ ἓν ἓν οἷον τυχὸν ἑξάς, καὶ ### book 11.5.2 ἅπαξ τὸ τρίτον τρίτον οἷον τὰ δύο τῆς ἑξάδος, καὶ ἅπαξ ### book 11.5.3 τὸ ἥμισυ ἥμισυ οἷον τὰ τρία τῆς ἑξάδος· ἰδοὺ ε· καὶ ἡμι‐ ### book 11.5.4 σάκις τὸ γʹ ἕκτον, ὃ τοῖς ε προστεθὲν ἀνεπλήρωσε τὴν ### book 11.5.5 ἑξάδα, καὶ ἰδοὺ δύο ἑξάδες διπλάσιαι τῆς μιᾶς. ὁ γοῦν ### book 11.10.1 ἡμιόλιος καὶ ἐπίτριτος ποιοῦσι τὸν διπλάσιον· τοῦ γὰρ ### book 11.10.2 τέσσαρα πρὸς τὸν γ ἐπιτρίτου ὄντος καὶ τοῦ γ πρὸς τὸν ### book 11.10.3 β ἡμιολίου ἐκ τῶν ἄκρων, τουτέστι τοῦ τέσσαρα καὶ τοῦ ### book 11.10.4 β, συνάγεται ὁ διπλάσιος, ὃς εὑρίσκεται καὶ ἀριθμητικῶς· ### book 11.10.5 οἷον τοῦ ἐπιτρίτου ὁ δ πρόλογος πολυπλασιασθεὶς μετὰ ### book 11.15.1 τοῦ γ ὑπολόγου γίνεται ιβ, καὶ αὖθις ὁ τοῦ ἡμιολίου πρό‐ ### book 11.15.2 λογος τρία πολυπλασιασθεὶς μετὰ τοῦ δύο ὑπολόγου γί‐ ### book 11.15.3 νεται ἕξ, ὧν διπλάσιός ἐστιν ὁ ιβ πρῶτος πολυπλασιασ‐ ### book 11.15.4 μός. ### book 12.1 ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετον p. 43, 11. 12] οὐ λέγει τὴν ### book 12.2 ΕΔ, ἀλλὰ ἄλλην τινὰ τὴν δυναμένην οὕτως ἐπὶ τὴν ΑΒ ### book 12 πεσεῖν. ### book 13.1 διαχθεῖσα ἡ ΒΑ συμπιπτέτω αὐτῇ p. 45, 5] πόθεν ### book 13.2 δῆλον, ὅτι ἡ ΒΑ ἐκβαλλομένη συμπίπτει τῇ ΓΕ εὐθείᾳ; ### book 13.3 καὶ λέγομεν οὕτως· ὅτι, ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΔ τῇ ### book 13.4 ΓΕ, καὶ εἰς μὲν τὴν ΑΔ εὐθεῖαν ἐμπέπτωκεν ἡ ΑΓ, καὶ ### book 13.5.1 εἰς τὴν ΓΕ, εἰς δὲ τὴν ΓΕ ἡ ΒΕ, καὶ εἰς τὴν ΑΔ ἐμπίπτει· ### book 13.5.2 εἰ γὰρ δυνατόν, μὴ συμπιπτέτω, ἀλλ’ ἔστω αὐτῇ παράλ‐ ### book 13.5.3 ληλος. καὶ ἐπεὶ τῇ ΓΕ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΔ καὶ ἡ ΒΑ, ### book 13.5.4 αἱ δὲ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλ‐ ### book 13.5.5 ληλοι· ὥστε καὶ ἡ ΒΕ τῇ ΑΔ ἐστι παράλληλος. συνέπεσε ### book 13.10.1 δέ· οὐκ ἄρα παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΕ τῇ ΓΕ. ἐκβαλλομένη ### book 13.10.2 ἄρα συμπιπτέτω. ### book 14.1 Αἱ ὑπὸ ΕΑΓ, ΑΓΕ δύο ὀρθῶν ἐλάττους· εὐθεῖα ### book 14.2 γὰρ ἡ ΓΑ ἐπὶ τὴν ΕΒ ἐφεστάτω. αἱ οὖν ὑπὸ ΕΑΓ, ΓΑΒ ### book 14.3 δύο ὀρθαί, ἐλάττους δὲ δύο ὀρθῶν αἱ ὑπὸ ΕΑΓ καὶ ὑπὸ ### book 14.4 ΓΑΔ, ὧν ἡ ὑπὸ ΓΑΔ ἴση τῇ ὑπὸ ΑΓΕ διὰ τὸ ἐμπεσεῖν ### book 14.5 εἰς παραλλήλους τὰς ΑΔ, ΕΓ τὴν ΑΓ. ### book 15.1 ἴση ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΑΕ p. 46, 6] τὰ γὰρ πρὸς τὸ αὐτὸ ### book 15.2 τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ἐπεὶ οὖν ἑκα‐ ### book 15.3 τέρα τῶν ΑΓ, ΑΕ εὐθειῶν πρὸς τὴν ΒΑ τὸν αὐτὸν ἔχει ### book 15.4 λόγον, εἰκότως ἴσαι εἰσίν. ### book 16.1 Ἔστω συμπεπλεγμένα τρίγωνα ὡς τὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ### book 16.2 καὶ τὰ αὐτὰ ἐροῦμεν. καὶ φανερόν ἐστιν, ὅτι τὸ ΗΘΑ, ### book 16.3 ΘΑΔ παραλληλόγραμμόν ἐστιν. ἴση ἄρα ἡ μὲν ΑΗ τῇ ### book 16 ΘΔ, ἡ δὲ ΗΔ τῇ ΑΘ. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΗΒΖ παρὰ ### book 16.5.1 μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΗΖ ἦκται εὐθεῖα ἡ ΑΓ, ἔστιν ἄρα ### book 16.5.2 ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΕΖ. ἴση δέ ἐστιν ἡ ### book 16.5.3 ΑΒ τῇ ΔΕ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως [Omitted graphic marker] ### book 16.5.4 ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ### book 16.5.5 ΒΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς ΕΖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ### book 16.10.1 ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΑ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΖΔ. —ἔστω δὴ ### book 16.10.2 πάλιν ἰσογώνια τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ κατεσκευά‐ ### book 16.10.3 σθω τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΒΓ ### book 16.10.4 παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΑΓ ἦκται ἡ ΗΖ, ἔστιν ἄρα ὡς ### book 16.10.5 ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΗΑ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΓ. ἔστι δὲ ### book 16.15.1 ἴση ἡ ΑΗ τῇ ΔΘ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΗ πρὸς ΔΘ, οὕτως ἡ ### book 16.15.2 ΒΖ πρὸς ΖΓ. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΗΒ πρὸς ΒΖ, οὕτως ### book 16.15.3 ἡ ΘΔ πρὸς ΖΓ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΗΒ πρὸς ΖΒ, οὕτως ἡ ΑΒ ### book 16.15.4 πρὸς ΒΓ, ὡς δὲ ἡ ΔΘ πρὸς ΖΓ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς ΕΖ. ### book 16.15.5 ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ### book 16.20.1 ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΖΕ. δι’ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΓ, ### book 16.20.2 οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΔΖ. ### book 17.1 Δύο ζητήματα τῆς προτάσεως τοῦ παρόντος τε‐ ### book 17.2 τάρτου ζητήματος προβαλλομένης, πρῶτον μὲν τὸ ἀνάλο‐ ### book 17.1 γον εἶναι τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς τῶν ἰσογωνίων ### book 17.2 τριγώνων, δεύτερον δὲ τὸ ὁμολόγους εἶναι τὰς ὑπὸ τὰς ### book 17.5.1 ἴσας γωνίας ὑποτεινούσας, τὸ μὲν πρῶτον ζήτημα ἰδίᾳ καὶ ### book 17.5.2 καθ’ αὑτὸ ἀπεδείχθη, τὸ δὲ δεύτερον οὐκ ἰδίᾳ, ἀλλὰ τῷ ### book 17.5.3 πρώτῳ συναπεδείχθη. προσσχὼν γὰρ ταῖς ὑποτεινούσαις ### book 17.5.4 τὰς ἀλλήλαις ἴσας γωνίας εὑρήσεις αὐτὰς ἢ ἡγουμένας ### book 17.5.5 ἄμφω ἢ ἑπομένας· εἴρηται γὰρ ἐν τοῖς ὅροις τοῦ εʹ στοιχείου, ### book 17.10.1 ὅτι ὁμόλογα μεγέθη λέγεται τὰ μὲν ἡγούμενα τοῖς ἡγου‐ ### book 17.10.2 μένοις, τὰ δὲ ἑπόμενα τοῖς ἑπομένοις. ### book 18.1 λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Α p. 49, 9. 10] ἐπεὶ γὰρ ### book 18.2 παντὸς τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ### book 18.3 ὡς διὰ τοῦ λβʹ τοῦ αʹ ἀποδέδεικται, αἱ τρεῖς ὁμοῦ γωνίαι ### book 18.4 τοῦ ἑνὸς τριγώνου ταῖς τρισὶν ὁμοῦ τοῦ ἑτέρου τριγώνου ### book 18.5.1 ἴσαι εἰσί· τὰ γὰρ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἴσα ἐστίν. ### book 18.5.2 ἀφῃρέθησαν δὲ τοῦ ἑνὸς αἱ δύο γωνίαι καὶ τοῦ ἑτέρου αἱ ### book 18.5.3 δύο ἴσαι οὖσαι ἄμφω ἀμφοῖν. καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα γωνία τοῦ ### book 18.5.4 ἑνὸς τριγώνου τῇ λοιπῇ τοῦ ἑτέρου ἴση ἐστὶν ὁμολογου‐ ### book 18.5.5 μένως· ἐὰν γὰρ ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ καταλειπόμενα ### book 18.10 ἴσα ἐστίν. ### book 19.1 ἑκατέραν ἅμα p. 52, 11] ὅρα, μὴ συνάψῃς μήτε ### book 19.2 κατὰ τὴν ἔννοιαν μήτε κατὰ τὴν ἀνάγνωσιν τὸ ἑκατέραν ### book 19.3 μετὰ τοῦ ἅμα ἐν τῷ ὅρῳ τοῦ παρόντος ζʹ στοιχείου· ἀλλ’ ### book 19.4 εἰπὼν τῶν λοιπῶν ἑκατέραν καὶ ὑποστίξας ἐντεῦθεν ἔπαγε ### book 19.5.1 ἅμα ἤτοι ἐλάσσονα ἢ μὴ ἐλάσσονα ὀρθῆς. οὔτε γὰρ κατὰ ### book 19.5.2 γραμματικοὺς κοινωνίαν ἔχει τὸ ἑκάτερον μετὰ τοῦ ἅμα, ### book 19.5.3 ἀλλ’ εἰ ἑκάτερον, οὐχ ἅμα, καὶ εἰ ἅμα, οὐχ ἑκάτερον, οὔτε ### book 19.1 κατὰ τὸν τοῦ θεωρήματος σκοπόν· τοῦτο γὰρ βούλεται ### book 19.2 δηλοῦν, ὅτι, ὅταν ἡ μία τῶν λοιπῶν δύο γωνιῶν ταχθῇ ### book 19.10.1 ἐλάσσων ὀρθῆς, τότε καὶ ἡ ἑτέρα τοιαύτη ταττέσθω, ὅταν ### book 19.10.2 δὲ ἡ μία οὐκ ἐλάσσων ὀρθῆς, τότε καὶ ἡ ἑτέρα τοιαύτη ### book 19.10.3 ταττέσθω. ### book 20.1 Εἰς τὸ ὄγδοον θεώρημα. τὸ ὀρθογώνιον τρίγωνον ### book 20.2 ἢ ἰσοσκελές ἐστιν ἤγουν ἡμιτετράγωνον ἢ σκαληνὸν ἤτοι ### book 20.3 ἥμισυ ἑτερομήκους. εἰ μὲν οὖν ἰσοσκελές ἐστιν ἤτοι ἡμι‐ ### book 20.4 τετράγωνον, ἐὰν αἱ περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ῥηταὶ μήκει, ἡ ### book 20.5.1 ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν γωνίαν μήκει ἀσύμμετρος τῇ πλευ‐ ### book 20.5.2 ρᾷ· τετραγώνου γὰρ διάμετρός ἐστιν. ἀλλὰ καὶ ἡ κάθετος· ### book 20.5.3 ἡμίσεια γὰρ διαμέτρου ἐν τετραγώνῳ ἐστίν. ὡσαύτως καὶ ### book 20.5.4 τὰ τῆς βάσεως τμήματα ἀσύμμετρα μήκει ταῖς πλευραῖς. ### book 20.5.5 εἰ δὲ ἥμισυ ἑτερομήκους ἤτοι σκαληνόν, ποτὲ μὲν ἡ ὑπο‐ ### book 20.10.1 τείνουσα τὴν ὀρθὴν γωνίαν, ἥτις ἐστὶ διάμετρος τοῦ ἑτε‐ ### book 20.10.2 ρομήκους, μήκει σύμμετρος ἔσται ταῖς πλευραῖς, ποτὲ ### book 20.10.3 δ’ οὔ. ἐὰν γὰρ ἡ μία πλευρὰ ᾖ ἑνός, ἡ δὲ ἑτέρα δύο, ἡ ### book 20.10.4 ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν γωνίαν, ἥτις ἐστὶ διάμετρος τοῦ ### book 20.10.5 ἑτερομήκους τοῦ περιεχομένου ὑπό τε τῆς οὔσης μονάδος ### book 20.15.1 μιᾶς καὶ τῆς οὔσης μονάδων β, πλευρὰ ἔσται μονάδων ### book 20.15.2 πέντε· τότε οὔτε τὰ τμήματα μήκει σύμμετρα ἔσται οὔτε ### book 20.15.3 ἡ κάθετος. εἰ δὲ ἡ ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν γωνίαν μήκει ### book 20.15.4 σύμμετρος ταῖς πλευραῖς, τότε καὶ τὰ τμήματα σύμ‐ ### book 20.15.5 μετρα καὶ ἡ κάθετος. οἷον ὡς ἐπὶ παραδείγματος ἔστω ### book 20.20 τρίγωνον σκαληνὸν ἤτοι ἥμισυ ἑτερομήκους ἔχον τῶν περὶ ### book 20.1 τὴν ὀρθὴν γωνίαν πλευρῶν τὴν μίαν τριῶν, τὴν δὲ ἑτέραν ### book 20.2 δ· ἔσται ἡ ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν γωνίαν πέντε. ἐπεὶ γὰρ ### book 20.3 ὀρθογώνιον τὸ τρίγωνον, τὸ ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης ἴσον ### book 20.4 τοῖς ἀπὸ τῶν περιεχουσῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν πλευρῶν ### book 20.25.1 τετραγώνοις. ἐὰν γοῦν κάθετος ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ ### book 20.25.2 τὴν βάσιν ἀχθῇ, τεμεῖ τὴν βάσιν εἴς τε ἓν ὁλόκληρον καὶ δʹ ### book 20.25.3 πέμπτα καὶ εἰς τρία ὁλόκληρα καὶ ἓν πέμπτον, καὶ ἡ κάθ‐ ### book 20.25.4 ετος ἔσται πέμπτων δώδεκα· οὕτω γὰρ κατὰ τὸ πόρισμα ### book 20.25.5 εὑρεθήσεται μὲν ἡ πρὸς τῷ τμήματι πλευρὰ μέση ἀνάλο‐ ### book 20.30.1 γον καὶ ἡ κάθετος μέση ἀνάλογον τῶν δύο τμημάτων. ἐὰν ### book 20.30.2 γὰρ ἀναλύσῃς τὴν ὑποτείνουσαν τὴν ὀρθὴν γωνίαν ἤτοι τὰ ### book 20.30.3 ε εἰς πέμπτα, γίνεται κε πέμπτα. ὡσαύτως καὶ τὰς περὶ ### book 20.30.4 τὴν ὀρθὴν γωνίαν πλευράς· γίνεται ἡ μὲν ιε πέμπτων, ἡ δὲ ### book 20.30.5 εἴκοσι πέμπτων. ἔσται οὖν ἡ μὲν ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν ### book 20.35.1 γωνίαν εἰκοσιπέντε πέμπτων οὖσα πρὸς μὲν τὴν ἑτέραν ### book 20.35.2 τῶν πλευρῶν ιε πέμπτων οὖσαν ἐπιδίτριτος, καὶ αὕτη πρὸς ### book 20.35.3 τὸ τμῆμα τὸ πρὸς αὐτῇ πέμπτων θ ὂν ὡσαύτως ἐπιδίτρι‐ ### book 20.35.4 τος, πρὸς μέντοι τὴν ἑτέραν πλευρὰν εἴκοσι πέμπτων ### book 20.35.5 οὖσαν ἡ ὑποτείνουσα ἔσται ἐπιτέταρτος, καὶ αὕτη πρὸς τὸ ### book 20.40.1 πρὸς αὐτῇ τμῆμα ιϛ πέμπτων ὂν τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον. ### book 20.40.2 ἔσται δὲ οὕτως καὶ ἡ κάθετος ιβ πέμπτων οὖσα μέσῃ ἀνά‐ ### book 20.40.3 λογον τῶν δύο τμημάτων· ὃν γὰρ λόγον ἔχει τὰ ιϛ πρὸς ### book 20.40.4 τὰ ιβ, τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει καὶ τὰ ιβ πρὸς τὰ θ. ὡσαύτως ### book 20.40.5 δὲ καὶ ἂν διπλασιασθήσονται τοῦ εἰρημένου ὀρθογωνίου ### book 20.45.1 τριγώνου αἱ πλευραί, εὑρεθήσονται καὶ τὰ τμήματα δι‐ ### book 20.45.2 πλάσια τῶν προειρημένων, ὡσαύτως δὲ καὶ ἡ κάθετος· ### book 20.45.3 ἔσται γὰρ τὸ μὲν ἓν τῶν τμημάτων θ πέμπτων ὂν ιη πέμ‐ ### book 20.45.4 πτων, τὸ δὲ ἕτερον ιϛ ὂν πέμπτων λβ, ἡ δὲ κάθετος ιβ ### book 20.45.5 πέμπτων οὖσα κδ, καὶ γενήσεται πάλιν κατὰ τὸ πόρισμα. ### book 20.1 ὡσαύτως δὲ καί, ἐὰν τριπλασιασθήσονται αἱ πλευραὶ τοῦ ### book 20.2 τοιούτου τριγώνου, τριπλασιασθήσεται καὶ τὰ τμήματα ### book 20.1 καὶ ἡ κάθετος, καὶ ἐὰν τετραπλασιασθήσονται αἱ πλευραί, ### book 20.2 τετραπλασιασθήσονται καὶ τὰ τμήματα καὶ ἡ κάθετος, ### book 20.3 καὶ φυλαχθήσεται ὁ αὐτὸς λόγος καὶ ἐφεξῆς ὡσαύτως. ### book 20.55.1 ὡσαύτως δὲ καὶ ἂν ὑποδιπλασιασθῶσιν ἢ ὑποτριπλασια‐ ### book 20.55.2 σθῶσιν ἢ ὑποτετραπλασιασθῶσιν αἱ πλευραὶ τοῦ ῥηθέντος ### book 20.55.3 τριγώνου, τρίγωνα πάλιν ἀποτελέσουσιν ὀρθογώνια, οἷον ### book 20.55.4 ὡς ἐπὶ παραδείγματος, ἐὰν τριγώνου ἔχοντος τὴν μὲν ### book 20.55.5 μίαν πλευρὰν γ, τὴν δὲ ἑτέραν δ καὶ τὴν ὑποτείνουσαν ε ### book 20.60.1 ἡμισευθῶσιν αἱ πλευραί, ἔσονται πάλιν ὀρθογώνιον τρίγω‐ ### book 20.60.2 νον ἔχον τὴν μὲν μίαν τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν α 𐅵ʹ, τὴν ### book 20.60.3 δὲ λοιπὴν β καὶ τὴν ὑποτείνουσαν β 𐅵ʹ, καὶ ἡ ἀπὸ τῆς ### book 20.60.4 ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος τεμεῖ ταύτην εἰς θ ### book 20.60.5 δέκατα καὶ ιϛ δέκατα, ἔσται δὲ καὶ ἡ κάθετος δώδεκα δε‐ ### book 20.65 κάτων, καὶ φυλαχθήσεται τὰ τοῦ πορίσματος. ### book 21.1 Ὅσας μὲν τῶν ἀποριῶν ἡμεῖς ἠδυνήθημεν, ἐπελυσά‐ ### book 21.2 μεθα, ταύτην δὲ καὶ ἑτέρας, ἃς προιὼν εὑρήσεις δεδηλω‐ ### book 21.3 μένας, μὴ δυνηθέντες τοῖς ἐντυγχάνουσι κατελίπομεν ### book 21.4 ἀξιοῦντες τὸ ἐλλεῖπον ἡμῖν αὐτοὺς ἀναπληρῶσαι ὡς χάριν ### book 21.5.1 καὶ παρ’ ἡμῶν οὐ τὴν τυχοῦσαν ἕξοντας. πῶς γὰρ οὐκ ### book 21.5.2 ἄπορον τοῦτο, ὅτι καὶ ἐν τοῖς πρὸ τούτου ηʹ θεωρήματος ### book 21.5.3 καὶ ἐν τοῖς μετὰ τοῦτο τριγώνοις ποιῶν ἀναλογίαν ὁ Εὐ‐ ### book 21.5.4 κλείδης συγκρίνει ἑκατέρου τριγώνου πλευρὰν μετὰ τῆς ### book 21.5.5 ἑτέρας τοῦ αὐτοῦ τριγώνου, ἐνταῦθα δὲ οὐχ οὕτως ποιεῖ, ### book 21.10.1 ἀλλὰ συγκρίνει τὴν τοῦ ἑνὸς πλευρὰν πρὸς τὴν τοῦ ἑτέρου, ### book 21.10.2 ὅπερ εἰς τὰ ἀντιπεπονθότα σχήματα, ἀλλ’ οὐκ εἰς τὰς ### book 21.10.3 ἀναλογίας πλὴν ἐν ταύτῃ τῇ καταγραφῇ ποιεῖ. ### book 22.1 Ἄλλως τὸ θʹ θεώρημα. ### book 22.2 Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ. δεῖ δὴ τῆς ΑΒ τὸ ### book 22.1 προσταχθὲν μέρος ἀφελεῖν. προστετάχθω τὸ γʹ. καὶ ### book 22.2 ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Α, Β σημείων τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρ‐ ### book 22.5.1 θὰς γωνίας εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΒΔ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΓ ### book 22.5.2 τυχὸν σημεῖον τὸ Ε, καὶ κείσθω τῆς ΑΕ διπλῆ ἡ ΒΔ, καὶ [Omitted graphic marker] ### book 22.5.3 ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΖΕ τρίγωνον ### book 22.5.4 τῷ ΖΒΔ τριγώνῳ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΖ, ### book 22.5.5 οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΖ. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΔΒ ### book 22.10.1 πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΖΑ. διπλῆ δέ ἐστιν ### book 22.10.2 ἡ ΔΒ τῆς ΕΑ· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΖΒ τῆς ΖΑ. ὥστε τριπλῆ ### book 22.10.3 ἡ ΒΑ τῆς ΑΖ. ἀφῄρηται ἄρα ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τὸ ### book 22.10.4 προσταχθὲν μέρος· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. ### book 23.1 Ἔστω τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον ἀριθμῶν μη, ἤγουν ### book 23.2 ἡ μία πλευρὰ ἀριθμῶν η, ἡ δὲ ἑτέρα ϛ. τὸ γοῦν ὑπὸ τῶν ϛ ### book 23.3 καὶ η μη γίνεται. ἔστω τὸ ΒΓ ἀριθμῶν τοσούτων, ἤγουν ### book 23 μη καὶ αὐτό. ἀντιπεπόνθασιν οὖν αἱ τῶν ἀμφοτέρων ### book 23.5.1 πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἤγουν ὡς μία πλευρὰ τοῦ ### book 23.5.2 ΑΒ πρὸς μίαν πλευρὰν τοῦ ΒΓ, οὕτως ἡ ἑτέρα πλευρὰ ### book 23.5.3 τοῦ ΒΓ πρὸς ἑτέραν πλευρὰν τοῦ ΑΒ. ἔστω γὰρ ἡ μία ### book 23.5.4 πλευρὰ τοῦ ΒΓ ἀριθμῶν ιβ, ἡ δὲ ἑτέρα δ· τετράκις γοῦν ### book 23.5.5 τὰ ιβ μη. ἦν δὲ καὶ τοῦ ΑΒ ἡ μία μὲν πλευρὰ η, ἡ δὲ ἑτέρα ### book 23.10.1 ϛ. ὡς γοῦν τὰ ϛ πρὸς τὰ δ, οὕτως τὰ ιβ πρὸς τὰ η· ἡμιόλιον ### book 23.10.2 γὰρ ἄμφω. καὶ ἄλλως ὡς τὰ η πρὸς τὰ δ, οὕτως τὰ ιβ πρὸς ### book 23.10.3 τὰ ϛ· διπλάσιον γὰρ ἄμφω. ### book 24.1 Ὧν μὲν ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί, πάντως ἀντι‐ ### book 24.2 πεπόνθασιν, οὐκ ἔμπαλιν δέ. ἀνάλογον δέ εἰσι τῶν ἴσων τε ### book 24.3 καὶ ἰσογωνίων αἱ πλευραί· διὸ καὶ ἀντιπεπόνθασιν. ### book 25.1 Τοῖς μὲν ἰσογωνίοις μόνοις τριγώνοις συμβέβηκεν ### book 25.2 τὸ ἀνάλογον ἔχειν τὰς πλευράς, οὐ μὴν καὶ ἀντιπεπονθέναι ### book 25.3 τῷ λόγῳ, τοῖς δὲ ἴσοις ἅμα καὶ ἰσογωνίοις καὶ τὸ ἀντιπε‐ ### book 25.4 πονθέναι· ἴσαι γάρ εἰσι καὶ αἱ πλευραί. ὁ δὲ τῆς ἰσότητος ### book 25.5.1 λόγος ἀναστρέφει πρὸς ἑαυτόν, τουτέστιν ἔκ τε τοῦ ἡγου‐ ### book 25.5.2 μένου λαμβανομένου καὶ τοῦ ἑπομένου ὁ αὐτός ἐστι καὶ ### book 25.5.3 ἀδιάφορος. τοῖς δὲ ἴσοις μὲν καὶ μίαν γωνίαν ἴσην ἔχουσιν, ### book 25.5.4 μὴ ἴσοις δὲ τὸ ἀντιπεπονθέναι μόνον τὰς πλευρὰς καὶ οὐ ### book 25.5.5 πάσας, ἀλλὰ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας. ὥστε τὰ μὲν μόνως ### book 25.10.1 ἀνάλογον ἔχει τὰς πλευράς, τὰ δὲ μόνως ἀντιπεπονθυίας, ### book 25.10.2 τὰ δὲ ἀνάλογον καὶ ἀντιπεπονθυίας, καί ἐστι τὰ μὲν πρῶ‐ ### book 25.1 τα ἰσογώνια μέν, οὐκ ἴσα δέ, τὰ δὲ δεύτερα ἴσα μὲν καὶ ### book 25.2 μίαν γωνίαν ἴσην ἔχοντα, οὐκ ἰσογώνια δέ, τὰ δὲ λοιπὰ καὶ ### book 25.3 ἴσα καὶ ἰσογώνια. ὅτι δὲ ἔστιν ἴσα καὶ μίαν γωνίαν ἔχοντα, ### book 25.15.1 οὐ μέντοι καὶ ἰσογώνια, δῆλον ἐντεῦθεν· ἔστω ἰσογώνια ### book 25.15.2 καὶ ἴσα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ ὁμολόγους ἔχοντα τὰς γωνίας τὰς ### book 25.15.3 Α, Δ, καὶ ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ### book 25.15.4 ἡ ΓΗ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΓ. ### book 26.1 Ἔστω ἡ μὲν ΑΒ ἀριθμῶν ιβ, ἡ δὲ ΓΔ η, καὶ πάλιν ### book 26.2 ἡ μὲν Ε ἀριθμῶν ϛ, ἡ δὲ Ζ ἀριθμῶν δ, ὡς τὰ ιβ πρὸς τὰ η, ### book 26.3 οὕτως τὰ ϛ πρὸς τὰ δ. καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ιβ καὶ δ περιεχόμε‐ ### book 26.4 νον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν η καὶ ϛ περιεχομέ‐ ### book 26.5 νῳ ὀρθογωνίῳ. ### book 27.1 Οἷον ἔστωσαν ἐπὶ ἀριθμοῦ ὡς ὁ θ πρὸς τὸν γ, οὕτως ### book 27.2 ὁ γ πρὸς τὴν μονάδα. πολυπλασίασον τὸν θ πρὸς τὴν μο‐ ### book 27.3 νάδα καὶ τὸν γ πρὸς τὸν γ, καὶ εὑρήσεις τὸν ἀριθμὸν ἴσον· ### book 27.4 ἅπαξ γὰρ ἐννέα θ καὶ γ γ θ. καὶ ἄλλως ὡς ὁ ϛ πρὸς τὸν δ, ### book 27.5.1 οὕτως ὁ γ πρὸς τὸν β. πολυπλασίασον τὸν ϛ πρὸς τὸν β καὶ ### book 27.5.2 τὸν δ πρὸς τὸν γ, καὶ εὑρήσεις καὶ οὕτως τὸν ἀριθμὸν ### book 27.5.3 ἴσον. δεῖ δὲ γινώσκειν καὶ τοῦτο, ὡς πάντοτε ἐπὶ τῶν ### book 27.5.4 ὀρθογωνίων πλευρὰ πρὸς πλευρὰν πολυπλασιάζεται, ἐπὶ ### book 27.5.5 δὲ τῶν μὴ ὀρθογωνίων οὐχ οὕτως. ### book 28.1 γωνίας. ὧν δὲ ἰσογωνίων p. 66, 11] διὰ τὸ ιδʹ τοῦ ### book 28.2 αὐτοῦ στοιχείου· οὐ φησὶ δὲ ἐν ἐκείνῳ τῶν ἰσογωνίων ### book 28.3 παραλληλογράμμων, ὡς ἐνταῦθα, ἀλλὰ τῶν μίαν μιᾷ ἴσην ### book 28.4 ἐχόντων· ἰσογώνια δὲ λέγονται, ὅταν ἔχωσι πάσας πάσαις ### book 28.5.1 ἴσας. εἰ δὲ τῶν μίαν μιᾷ ἐχόντων ἴσην ἀντιπεπόνθασιν αἱ ### book 28.5.2 πλευραὶ αἱ περὶ ἐκείνας, πάντως δῆλον, ὅτι καὶ τῶν πά‐ ### book 28.5.3 σας πάσαις ἴσας ἐχόντων ἀντιπεπόνθασιν αἱ περὶ τὰς ἴσας. ### book 28.5.4 πῶς δὲ ἰσογώνια τὰ ὀρθογώνια; διότι ὁρίζεται οὗτος τὸ ἐν ### book 28.5.5 τετραπλεύροις ὀρθογώνιον λέγων τὸ τὰς γωνίας ἔχον ὀρθὰς ### book 28.10.1 δηλονότι καὶ τὰς τέσσαρας, ὡς ἀληθῶς καὶ ὀρθογώνιον ### book 28.10.2 ὀφείλει λέγεσθαι τὸ ἔχον τὰς ἐν αὐτῷ πάσας γωνίας ὀρθάς. ### book 28.10.3 λέγει μὲν γὰρ καὶ ἐν τριπλεύροις ὀρθογώνιον, ἀλλὰ τὸ ἔχον ### book 28.10.4 μίαν ὀρθήν, διότι οὐ δυνατὸν καὶ δευτέραν ὀρθὴν δέξασθαι ### book 28.10.5 τὸ τρίγωνον. πῶς γὰρ τὰς τρεῖς ἔχον δύο ὀρθαῖς ἴσας, ὡς ### book 28.15.1 ἀποδέδεικται τῷ τεχνικῴ; ὥστε ὀρθογώνιον κυρίως μὲν ### book 28.15.2 λέγοιτ’ ἂν τὸ πάσας δυνάμενον ὀρθὰς ἔχειν, καταχρηστι‐ ### book 28.15.3 κῶς δὲ καὶ τὸ ἐξ ἀνάγκης ἐλάττους, ὡς τὸ ἐν τριπλεύροις ### book 28.15.4 ὀρθογώνιον τρίγωνον. ἐπεὶ οὖν ὀρθογώνια ἐν τετραπλεύ‐ ### book 28.15.5 ροις τὰ καὶ τὰς δ ὀρθὰς ἕκαστον ἔχοντά φαμεν, ὁσαδηποτ‐ ### book 28.20.1 οῦν ἄρα εὑρεθῶσιν ὀρθογώνια τετράπλευρα, ἐξ ἀνάγκης ### book 28.20.2 καὶ ἰσογώνιά εἰσιν. ### book 29.1 Οὕτως λεγόμενος ὁ λόγος ὀρθότερος· τῶν γὰρ αὐ‐ ### book 29.2 τῶν κατασκευασθέντων ἐπεί εἰσι τὰ ΒΗ, ΔΘ ἴσα καὶ ### book 29.3 ἰσογώνια, τῶν δὲ ἴσων καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ### book 29.4 ἀντιπεπόνθασι καὶ τὰ ἑξῆς. ### book 30.1 Ἔστω ἡ μὲν Α ἀριθμῶν θ, ἡ δὲ Β ἀριθμῶν ϛ, ### book 30.2 ἡ δὲ Γ ἀριθμῶν δ, ὡς τὰ θ πρὸς τὰ ϛ, οὕτως τὰ ϛ πρὸς τὰ δ. ### book 30.3 τὸ γοῦν ὑπὸ τῶν θ καὶ δ ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῶν ### book 30 ϛ τετραγώνῳ· τετράκις γὰρ θ λϛ, καὶ ἑξάκις ἓξ λϛ. ### book 31.1 Οὕτω δὴ τοῦτο σαφῶς κατελάβομεν· ὅμοια τρίγωνά ### book 31.2 εἰσιν, ὅσα τάς τε γωνίας ἴσας ἔχει κατὰ μίαν καὶ τὰς περὶ ### book 31.3 τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον. ἔστω ὅμοια τρίγωνα ### book 31.4 τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ. ἔστω ἡ ΑΒ πλευρὰ ἀριθμῶν ιβ, ἡ δὲ ### book 31.5.1 ΒΓ η. ἡμιόλιον ἄρα λόγον ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ. ἔστω ### book 31.5.2 καὶ ἡ ΔΕ τοῦ ἄλλου τριγώνου πλευρὰ ἀριθμῶν ϛ, ἡ δὲ ### book 31.5.3 ΕΖ ἀριθμῶν δ. ἀνάλογον ἔχουσι τὰ β τρίγωνα τὰς πλευ‐ ### book 31.5.4 ράς, αἱ δὲ ὁμόλογοι πλευραὶ αἱ ΑΒ καὶ ΔΕ καὶ αἱ ΒΓ καὶ ### book 31.5.5 ΕΖ. ὃν οὖν λόγον ἔχει ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμό‐ ### book 31.10.1 λογον, διπλασίονα λόγον ἔχει τὸ τρίγωνον πρὸς τὸ τρίγω‐ ### book 31.10.2 νον, ἤγουν ἐπεὶ ἡ ΒΓ τῆς ΕΖ διπλασίων· τὰ η γὰρ τῶν ### book 31.10.3 δ διπλάσια· τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τοῦ ΔΕΖ τριγώνου τετρα‐ ### book 31.10.4 πλάσιον. πῶς δὲ τοῦτο ἔσται φανερόν; ἐπεὶ γὰρ τὰ ὅμοια ### book 31.10.5 καὶ ἰσογώνιά εἰσι, ἔστωσαν αἱ πρὸς τῷ Β καὶ Δ γωνίαι ### book 31.15.1 ὀρθαί, καὶ ἀναγεγράφθω τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον. καὶ ### book 31.15.2 ἐπεὶ ἡ μὲν ΑΒ ὑπόκειται ἀριθμῶν ιβ, ἡ δὲ ΒΓ ἀριθμῶν η, ### book 31.15.3 ὀκτάκις ιβ ϙϛ. ἐὰν δὲ παραλληλόγραμμον τριγώνῳ βάσιν ### book 31.15.4 τε ἔχῃ τὴν αὐτὴν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις, διπλά‐ ### book 31.15.5 σιον ἔσται τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου διὰ τὸ μαʹ ### book 31.20.1 τοῦ πρώτου στοιχείου. τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον μη ἔσται ### book 31.20.2 ἀριθμῶν. πάλιν ἐπεὶ ἡ ΔΕ ὑπόκειται ἀριθμῶν ϛ, ἡ δὲ ΕΖ ### book 31.20.3 δ, παραλληλογράμμου γινομένου καὶ κδ εὑρισκομένου ἀριθ‐ ### book 31.20.4 μῶν (τετράκις γὰρ ϛ κδ) τὸ ΔΕΖ τρίγωνον ιβ ἔσται ### book 31.20.5 ἀριθμῶν. εἰσὶ δὲ τὰ μη τῶν ιβ τετραπλάσια. ### book 32.1 Οὕτω γνωστέον τὸν ὅρον τοῦ παρόντος ιθʹ θεωρή‐ ### book 32.2 ματος δι’ ἐπαγωγῆς· ἔστω ἡ μὲν ΑΒ πλευρὰ ἀριθμῶν ιβ ### book 32.3 τυχόν, ἡ δὲ ΒΓ ἀριθμῶν η, τοῦ δὲ ἑτέρου τριγώνου ἡ μὲν ### book 32.4 ΔΕ ἔστω ἀριθμῶν ϛ, ἡ δὲ ΕΖ ἀριθμῶν δ. ἀνάλογον οὖν ### book 32.5 ἔχουσιν αἱ πλευραὶ αὗται καθ’ ἡμιόλιον λόγον, ἡ δὲ ΑΒ ### book 32.1 καὶ ἡ ΔΕ εἰσιν ὁμόλογοι. ὡσαύτως δὲ ὁμόλογοι καὶ ἥ ### book 32.2 τε ΒΓ καὶ ἡ ΕΖ, καὶ ἔχουσι καὶ αὗται πρὸς ἀλλήλας ### book 32.3 διπλασίονα λόγον· τὰ γὰρ ιβ τῶν ϛ διπλάσια, καὶ τὰ η ### book 32.4 τῶν δ διπλάσια. λέγει οὖν, ὅτι ἐστὶν τὰ ὅμοια τρίγωνα ἐν ### book 32.10.1 διπλασίονι λόγῳ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν· ἤγουν εἰ αἱ ὁμό‐ ### book 32.10.2 λογοι πλευραὶ ὑπάρχουσιν ἐν διπλασίονι λόγῳ, τὰ τρίγωνα ### book 32.10.3 εὑρεθήσονται ἐν τετραπλασίονι, εἰ δὲ ἐκεῖναι ἐν τριπλα‐ ### book 32.10.4 σίονι, ταῦτα ἐν ἑξαπλασίονι καὶ καθεξῆς ὁμοίως. ### book 33.1 Ἀντιστρέφει γὰρ ὁ ὅρος· ὅσα εὐθύγραμμα σχήματα ### book 33.2 τάς τε γωνίας ἴσας ἔχει κατὰ μίαν καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας ### book 33.3 γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον, ὅμοια λέγεται, καὶ ὅσα ὅμοια ### book 33.4 σχήματά ἐστι, τάς τε γωνίας ἴσας ἔχει καὶ τὰς περὶ τὰς ### book 33.5 ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον. ### book 34.1 Ἐπεὶ γὰρ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν πολυγώνων ἡ πρὸς ### book 34.2 τῷ Γ τῇ πρὸς τῷ Θ ἴση καὶ αἱ περὶ αὐτὰς πλευραὶ ἀνάλο‐ ### book 34.3 γον, ὅμοια τρίγωνά εἰσι τὸ ΒΓΔ καὶ τὸ ΗΘΚ. ἀλλὰ δὴ ### book 34.4 καὶ τὸ ΒΓΞ καὶ τὸ ΗΘΟ ὅμοια· ἰσογώνια γάρ, τῶν δὲ ### book 34.5.1 ἰσογωνίων τριγώνων ἀνάλογον αἱ πλευραί· ὥστε διὰ τὴν ### book 34.5.2 ἀντιστροφὴν τοῦ ὅρου καὶ ὅμοια. ἰσογώνια δὲ οὕτως· ἡ ### book 34.5.3 πρὸς τῷ Β ἴση τῇ πρὸς τῷ Η καὶ ἡ πρὸς τῷ Γ ἴση τῇ πρὸς ### book 34.5.4 τῷ Θ· προεδείχθη γὰρ τὸ ΕΒΓ τρίγωνον ὅμοιον τῷ ### book 34.5.5 ΛΗΘ. ὥστε ἡ λοιπὴ ἡ πρὸς τῷ Ξ ἴση τῇ πρὸς τῷ Ο. ἀλλὰ ### book 34.10.1 δὴ καὶ τὸ ΓΞΔ ὅμοιον τῷ ΘΟΚ· ἰσογώνια γὰρ διὰ τὸ ### book 34.10.2 τὴν πρὸς τῷ Δ ἴσην δειχθῆναι τῇ πρὸς τῷ Κ, προδειχθῆναι ### book 34.10.3 δὲ καὶ τὴν πρὸς τῷ Γ ἴσην τῇ πρὸς τῷ Θ, ὅτε τὸ ΕΓΔ ### book 34.10.4 ἐδείκνυτο ὅμοιον τῷ ΛΘΚ. ὡς ἄρα ἡ ΒΞ πρὸς ΞΓ, ### book 34 οὕτως ἡ ΗΟ πρὸς ΟΘ, καὶ ὡς ΓΞ πρὸς ΞΔ, οὕτως ἡ ΘΟ ### book 34.15.1 πρὸς ΟΚ. δι’ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΒΞ πρὸς ΞΔ, οὕτως ἡ ΗΟ ### book 34.15.2 πρὸς ΟΚ. ὡς δὲ αἱ βάσεις, οὕτω καὶ τὰ τρίγωνα τὰ ὑπὸ τὸ ### book 34.15.3 αὐτὸ ὕψος καὶ τἄλλα τοῖς προδειχθεῖσιν ἀκόλουθα. ### book 35.1 Τὸ ϛ τοῦ δ ἅπαξ ἡμιόλιον, τὰ δὲ ιη τοῦ η δίς· τὰ ιη ### book 35.2 γὰρ τῶν ιβ ἡμιόλια, τὰ δὲ ιβ πρὸς η τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. ### book 35.3 τὰ ιη ἄρα τοῦ η δὶς ἡμιόλια. ### book 36.1 Τουτέστι τὰ μήκει διπλάσια δυνάμει τετραπλάσιά ### book 36.2 εἰσιν. ἐὰν γὰρ ἔχωσιν αἱ πλευραὶ διπλασίονα λόγον πρὸς ### book 36.3 ἀλλήλας τῶν οἵων δή τινων εὐθυγράμμων, ἕπεται ἐξ ἀνάγ‐ ### book 36.4 κης ἔχειν τὰ ἀπ’ αὐτῶν γινόμενα εὐθύγραμμα σχήματα ### book 36.5.1 δὶς διπλασίονα λόγον πρὸς ἄλληλα, τουτέστι τετραπλάσιον. ### book 36.5.2 καὶ ἑξῆς ὁμοίως κἀπὶ τῶν ἄλλων λόγων, τουτέστι τὰ μή‐ ### book 36.5.3 κει τριπλάσια δυνάμει ἐννεαπλάσιά εἰσιν· ἔχουσι γὰρ τρὶς ### book 36.5.4 τριπλάσιον λόγον αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας τῶν ἐξ ἐκείνων ### book 36.5.5 εὐθυγράμμων. ὁμοίως καὶ τὰ μήκει τετραπλάσια δυνάμει ### book 36.10.1 ἑκκαιδεκαπλάσιά εἰσιν· ἔχουσι γὰρ τετράκις τὸν τετρα‐ ### book 36.10.2 πλάσιον λόγον. ### book 37.1 ΕΜΓ· πρὸς ἄλληλα γάρ p. 75, 11] ἑτέραν ζητητέον ### book 37.2 ἐνταῦθα αἰτίαν· ταύτην γὰρ οὐκ οἶμαι ἁρμόζειν. οὐδὲ γὰρ ### book 37.3 ἐπὶ τὸ αὐτό ἐστιν ὕψος, ἃ λέγει· οὐδὲ γὰρ κάθετός ἐστιν ἡ ### book 37.4 ΑΜ ἢ ἡ ΕΜ τῇ ΓΑ. ἔνθα δὲ κάθετος, ἐκεῖ ὕψος τὸ αὐτό, ### book 37.5.1 ἔνθα δὲ ὕψος τὸ αὐτό, ἐκεῖ πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις. ### book 37.5.2 ἐνταῦθα δὲ μὴ ὄντων αὐτῶν οὐδὲ πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ ### book 37.5.3 βάσεις. ἐκ τούτου δὲ πάντως φανερόν, ὅτι ἀλλοτρία ἐστὶν ### book 37.5.4 αὕτη ἡ προσθήκη καὶ οὐ τοῦ τεχνικοῦ. ### book 38.1 Τὸ ΚΑΒ τρίγωνον οβ· τὸ γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετρά‐ ### book 38.2 γωνον, ιβ οὔσης τῆς ΑΒ, ἔστιν ρμδ, οὗ ἥμισυ τὸ ἐμβαδὸν ### book 38.3 τοῦ τριγώνου οβ ὄν· καὶ ἐπεὶ ὀρθογώνιον ὑπετέθη τὸ τρί‐ ### book 38 γωνον, καὶ ἡ ΑΒ ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν γωνίαν, τῷ ἀπὸ ### book 38.5.1 τῆς ΑΒ τετραγώνῳ τῷ ἑκατὸν τεσσαράκοντα τέσσαρα ἴσα ### book 38.5.2 ἐξ ἀνάγκης εἰσὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΚΑ, ΚΒ τετράγωνα. καί ἐστι ### book 38.5.3 τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΚΒ τετράγωνον πα καὶ ἡ πλευρὰ αὐτοῦ ### book 38.5.4 θ, τὸ δὲ ΚΑ ξγ καὶ ἡ πλευρὰ αὐτοῦ ζ μοῖραι καὶ νϛ πρῶτα ### book 38.5.5 λεπτὰ καὶ ιδ δεύτερα. ### book 39.1 Ἡ ΑΒ ιβ ἡ ΑΕ δ ἡ ΕΒ η ἡ ΒΘ β ἡ ΘΓ δ ἡ ΒΓ ϛ ### book 39.2 ἡ ΔΓ ιβ ἡ ΔΚ δ ἡ ΚΓ η ἡ ΔΑ ϛ ἡ ΑΗ β ἡ ΗΔ δ ἡ ΕΖ β ### book 39.3 καὶ ἡ ΖΚ δ. ### book 40.1 Ζητῶ καὶ ἐνταῦθα καταλληλίαν· ἀκατάλληλος γάρ ### book 40.2 μοι δοκεῖ ὁ τοῦ ἐναντίου λόγος πρὸς τὸ ζήτημα. εἰ μὲν ### book 40.3 γὰρ ἔλεγεν ὁ τεχνικός, ὅτι ἐστὶ τῶν δύο παραλληλογράμ‐ ### book 40.4 μων διάμετρος ἡ ΑΖΓ καὶ οὐκ ἄλλη, εἶχεν ἂν λέγειν ὁ ### book 40.5.1 ἀντίθετος· οὐχ αὕτη, ἀλλ’ ἑτέρα ἡ ΑΘΓ. ἐπεὶ δὲ λέγει, ### book 40.5.2 ὅτι περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρόν εἰσι, ταῦτα ὤφειλεν εἰπεῖν ### book 40.5.3 ὁ ἀντίθετος καταλλήλως, ὅτι· μὴ γάρ, ἀλλ’ εἰ δυνατόν, ### book 40.5.4 ἔστω τοῦ μὲν ἑνὸς διάμετρος ἡ ΑΖΓ, τοῦ δὲ ἑτέρου ἡ ### book 40.5.5 ΑΘΓ. οὕτως γὰρ ἂν οὐκ ἦν τῶν δύο ἡ αὐτή, ἀλλὰ ἄλλη καὶ ### book 40.10 ἄλλη· ὅπερ ἐστὶν ἐναντίον ὡς ἀληθῶς καὶ καταλλήλως. ### book 41.1 Πάντων τῶν παρὰ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν παραβαλλο‐ ### book 41.2 μένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι παραλ‐ ### book 41.3 ληλογράμμοις οὐκ ἔστιν ἐξ ἀνάγκης μέγιστον τὸ ἀπὸ τῆς ### book 41 ἡμισείας παραβαλλόμενον, ἀλλ’ ἢ ἴσον ἢ μεῖζον ἢ ἔλαττον. ### book 41.5.1 πάντων δὲ τῶν παρὰ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν παραβαλλομένων ### book 41.5.2 παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι παραλληλο‐ ### book 41.5.3 γράμμοις ὁμοίοις τε ἀλλήλοις καὶ ὁμοίως κειμένοις τῷ ### book 41.5.4 ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἀναγραφομένῳ μέγιστόν ἐστιν ἐξ ἀνάγ‐ ### book 41.5.5 κης τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας παραβαλλόμενον ὅμοιον ὂν τῷ ### book 41.10 ἐλλείμματι ἐξ ἀνάγκης. ### book 42.1 Παραβολὴ παρὰ τοῖς μαθηματικοῖς λέγεται ὁ με‐ ### book 42.2 ρισμός· παραβαλεῖν γὰρ ἀριθμὸν παρὰ ἀριθμόν ἐστι τὸ ### book 42.3 μερίσαι τὸν μείζονα εἰς τὸν ἐλάττονα ἤτοι δεῖξαι, ποσάκις ### book 42.4 ὁ ἐλάττων περιέχεται ὑπὸ τοῦ μείζονος. ### book 43.1 Δι’ ἀριθμῶν ἔκθεσις καὶ ἀπόδειξις τοῦ θεωρήμα‐ ### book 43.2 τος· παρὰ γὰρ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν πηχῶν τυχὸν οὖσαν η καὶ ### book 43.3 δίχα τμηθεῖσαν εἰς δ καὶ δ παραβεβλήσθωσαν πλείω ### book 43.4 παραλληλόγραμμα καὶ πρῶτον τὸ ΑΔ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ### book 43.5.1 ὂν τῆς ΑΓ τεσσάρων οὔσης πηχῶν ὡς εἶναι αὐτὸ ιϛ. ### book 43.5.2 ἐλλειπέτω δὲ εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΔΒ ὁμοίῳ ἢ ### book 43.5.3 μᾶλλον τῷ αὐτῷ ὄντι τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ εὐθείας ### book 43.5.4 ἤτοι τῆς ΓΒ τεσσάρων οὔσης καὶ αὐτῆς πηχῶν ὡς εἶναι ### book 43.5.5 καὶ τὸ ἔλλειμμα ιϛ· ἐὰν γὰρ τετράγωνον τὸν ιϛ παρὰ τὸν η ### book 43.10.1 παραβάλλω, ἵν’ ᾖ τὸ αὐτὸ πλάτος τοῦ τε ἐλλείμματος ### book 43.10.2 καὶ τοῦ παραβαλλομένου, ἐπεὶ τὰ η τετράκις γίνονται λβ, ### book 43.10.3 φανερόν, ὅτι ἐλλείπει ὁ ιϛ πρὸς τὴν παραβολὴν τῷ ιϛ τῷ ### book 43.10.4 ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἀναγραφομένῳ. τὸν δὴ ιϛ πρόκειται δεῖ‐ ### book 43.10.5 ξαι μείζονα πάντων τῶν παρὰ τὸν η παραβαλλομένων καὶ ### book 43.15.1 ἐλλειπόντων εἴδεσι τετραγώνοις, ἵν’ ᾖ καὶ ὅμοιος τῷ ἀπὸ ### book 43.15.2 τῆς ἡμισείας. πάλιν οὖν παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΒ, ### book 43.15.3 ἥτις ἦν πηχῶν η, τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον, καὶ ἐλλει‐ ### book 43.15.4 πέτω τὸ ΑΖ πρὸς τὴν παραβολὴν εἴδει ὁμοίῳ τῷ ἀπὸ τῆς ### book 43.15.5 ἡμισείας ἤτοι τετραγώνῳ. τὸ δὴ τοιοῦτον εἶδος ἢ μεῖζον ### book 43.20 ἔσται τοῦ ιϛ ἢ ἔλαττον. οὐ γὰρ ἴσον, ἵνα μὴ λάθωμεν πάλιν ### book 43.1 τὸν ιϛ παραβάλλοντες. ἔστω ἔλαττον· προσεχῶς δὴ τοῦ ιϛ ### book 43.2 ἐλάττων τετράγωνος ἀριθμός ἐστιν ὁ θ. ἔστω οὖν τὸ ἔλλειμ‐ ### book 43.3 μα θ· τούτου δὴ τῆς πλευρᾶς τοῦ γ ὄντος καὶ τοσαυτάκις ### book 43.4 τοῦ ΑΖ παραβαλλομένου παρὰ τὸν η, ἵνα τὸ αὐτὸ πλάτος ### book 43.25.1 ᾖ τοῦ τε παραβαλλομένου καὶ τοῦ ἐλλείμματος, πόστος ἂν ### book 43.25.2 ἄλλος ἀριθμὸς ἁρμόσῃ τῷ ΑΖ ἢ ὁ ιε; οὗτος γὰρ τρὶς παρὰ ### book 43.25.3 τὸν η παραβαλλόμενος ἐλλείπει πρὸς τὴν παραβολὴν τῷ ### book 43.25.4 θ· τρὶς γὰρ τὰ η κδ γίνονται. ἀλλ’ ἔστω τὸ ἔλλειμμα μεῖζον, ### book 43.25.5 ὡς ἐπὶ τῆς ἑτέρας καταγραφῆς, ὅπερ ὁ γεωμέτρης διὰ ### book 43.30.1 συντομὴν παρέλειπεν. πάλιν οὖν τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων, ### book 43.30.2 ἐπεὶ προσεχῶς μείζων τοῦ ιϛ τετράγωνος ἀριθμὸς ὁ κε ### book 43.30.3 ἐστι, ἔστω τὸ ἔλλειμμα κε. τούτου δὴ πλευρᾶς τοῦ ε ὄντος ### book 43.30.4 πεντάκις παρὰ τὸν η τὸ ΑΖ παραβαλλέσθω, ὅπερ ἐλλεί‐ ### book 43.30.5 πειν ὀφείλει πρὸς τὴν παραβολὴν τῷ κε, ἐπεὶ πεντάκις τὰ η ### book 43.35.1 τεσσαράκοντα γίνεται. ὥστε καὶ οὕτως ἔσται ἔλαττον δη‐ ### book 43.35.2 λονότι τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἀναγραφομένου. εἰ δὲ μὴ τοὺς ### book 43.35.3 προσεχεῖς τετραγώνους ἀριθμοὺς τῷ ιϛ ἐπὶ τοῦ ἐλλείμμα‐ ### book 43.35.4 τος λάβωμεν, ἔτι μᾶλλον ἔλαττον ἔσται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμι‐ ### book 43.35.5 σείας τὸ οὕτως παραβαλλόμενον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 44.1 Ἡ ΑΒ ὅλη ιβ ἡ ΑΚ θ ἡ ΚΒ γ ἡ ΓΚ γ ἡ ΑΓ ἓξ τὸ ### book 44.2 ΑΔ παραλληλόγραμμον λϛ καὶ τὸ ΓΕ παραλληλόγραμ‐ ### book 44.3 μον λϛ τὸ ΓΖ θ. ### book 45.1 τῷ ΔΒ p. 88, 21] ΔΒ ὅλον λέγει τὸ ΔΕΒΓ, ὥσπερ ### book 45.2 ΑΔ τὸ ΑΓΔ. ### book 46.1 Ἰστέον, ὅτι οὐ καλῶς ἔχει τοῦ παρόντος θεωρήμα‐ ### book 46.2 τος οὔτε ἡ πρότασις οὔτε ἡ ἀπόδειξις· καὶ ἀμφότεραι γὰρ ### book 46.3 νοσοῦσι μηδὲν ὅλως ὑγιὲς φέρουσαι. καὶ τῷ μὲν στοιχειωτῇ ### book 46.4 οὐ περιάπτω τὸ ἁμάρτημα, τῷ γραφεῖ δέ· ἐν γὰρ τῷ σαρα‐ ### book 46.5 κηνικῷ ἀντιγράφῳ οὕτως εὕρηται καὶ ἡ πρότασις καὶ ἡ ### book 46.1 ἀπόδειξις. εὐθείας δοθείσης ἐὰν παραβληθῇ παρὰ τὴν ### book 46.2 ἡμίσειαν αὐτῆς χωρίον παραλληλόγραμμον, παραβληθῶσι ### book 46.3 δὲ παρ’ ὅλην καὶ ἕτερα χωρία παραλληλόγραμμα ἐλλείπον‐ ### book 46.4 τα πρὸς συμπλήρωσιν αὐτῆς εἴδει ὁμοίῳ τῷ παραλληλο‐ ### book 46.10.1 γράμμῳ τῷ παραβληθέντι παρὰ τὴν ἑτέραν ἡμίσειαν τῆς ### book 46.10.2 δοθείσης εὐθείας, ᾖ δὲ τὸ ἔλλειμμα περὶ τὴν διάμετρον ### book 46.10.3 τοῦ παραβληθέντος παραλληλογράμμου παρὰ τὴν αὐτὴν ### book 46.10.4 ἑτέραν ἡμίσειαν τῆς δοθείσης εὐθείας, μέγιστον ἔσται τῶν ### book 46.10.5 ἄλλων παραλληλογράμμων τὸ παραβληθὲν παρὰ τὴν πρό‐ ### book 46.15.1 τερον ἡμίσειαν τῆς δοθείσης εὐθείας. ἔστω γὰρ εὐθεῖα ἡ ### book 46.15.2 ΑΒ, καὶ συνεστάτω ἐπ’ αὐτῆς χωρίον ὀρθογώνιον παρ‐ ### book 46.15.3 αλληλόγραμμον τὸ ΑΖ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ εἰς ἴσα κατὰ ### book 46.15.4 τὸ Γ, καὶ ἤχθω παράλληλος τῇ ΒΖ ἡ ΓΗ. καὶ ἐπεὶ τὰ ### book 46.15.5 ΑΗ, ΗΒ παραλληλόγραμμα ἐπὶ βάσεων τῶν αὐτῶν εἰσι ### book 46.20.1 καὶ ἐν δυσὶ παραλλήλοις, ἴσα ἄρα εἰσὶν ἀλλήλοις. ἤχθω δὲ ### book 46.20.2 διάμετρος ἡ ΗΒ, καὶ εἰλήφθω σημεῖον τὸ Λ, ὡς ἔτυχε, ### book 46.20.3 καὶ ἤχθω παράλληλος τῇ ΒΖ ἡ ΛΕ, καὶ διὰ τοῦ Κ σημείου ### book 46.20.4 παράλληλος ἡ ΝΧ τῇ ΑΒ. ἔστι δὲ τὸ ΚΒ παραλληλόγραμ‐ ### book 46.20.5 μον περὶ τὴν διάμετρον τοῦ ΓΖ ὀρθογωνίου χωρίου καὶ ### book 46.25.1 ὁμοιοῦται τούτῳ. καὶ τὸ ΑΗ χωρίον παραλληλόγραμμον ### book 46.25.2 παρὰ τὴν ἡμίσειαν τῆς ΑΒ εὐθείας παραβέβληται, τὸ δὲ ### book 46.25.3 ΑΚ παρ’ ὅλην τὴν ΑΒ ἐλλεῖπον πρὸς συμπλήρωσιν αὐτῆς ### book 46.25.4 εἴδει τῷ ΚΒ ὁμοίῳ ὄντι τῷ ΒΗ παραλληλογράμμῳ. λέγω, ### book 46.25.5 ὅτι τὸ ΑΗ ὀρθογώνιον μέγιστόν ἐστι τοῦ ΑΚ ὀρθογω‐ ### book 46.30.1 νίου. ἡ γὰρ ΑΓ ἴση ἐστὶ τῇ ΓΒ, ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΕΒ· ἀπεναν‐ ### book 46.30.2 τίον γάρ ἐστι· ἡ δὲ ΓΒ τῇ ΗΖ. ἡ ΕΒ ἄρα καὶ ἡ ΗΖ ἴσαι ### book 46.30.3 ἀλλήλαις εἰσίν. τὰ ἄρα ΕΤ, ΤΖ ὀρθογώνια ἴσα ἀλλήλοις ### book 46.30.4 ἐστίν. ἀλλὰ τὸ ΕΤ μεῖζόν ἐστι τοῦ ΚΖ, καὶ τὸ ΚΖ παρα‐ ### book 46.30.5 πλήρωμα ἴσον ἐστὶ τῷ ΚΓ παραπληρώματι. τὸ ΕΤ ἄρα ### book 46.35.1 μεῖζόν ἐστι τοῦ ΚΓ. ἔστω δὲ κοινὸν τὸ ΑΤ. τὸ ΑΗ ἄρα ### book 46.35.2 μεῖζόν ἐστι τοῦ ΑΓ. ἐντεῦθεν οὖν δείκνυται, ὅτι τὸ ΑΗ τὸ ### book 46.35.3 παραβληθὲν παρὰ τὴν ἡμίσειαν τῆς δοθείσης εὐθείας ### book 46.1 μεῖζόν ἐστι παντὸς ὀρθογωνίου χωρίου παραβαλλομένου ### book 46.2 παρὰ τὴν ὅλην τὴν ΑΒ ἐλλείποντος πρὸς συμπλήρωσιν ### book 46.40.1 αὐτῆς εἴδει ὁμοίῳ τῷ ΒΗ τῷ παραβληθέντι παρὰ τὴν ἑτέ‐ ### book 46.40.2 ραν ἡμίσειαν τῆς ΑΒ, καὶ ἑξῆς τὸ θεώρημα. ### book 47.1 τὸ Γ μὴ μεῖζον p. 90, 11. 12] εἶπε γάρ, ὅτι δεῖ δή, ### book 47.2 ᾧ δεῖ ἴσον παραβαλεῖν, μὴ μεῖζον εἶναι τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας· ### book 47.3 ἐπεὶ οὖν τὸ ΑΗ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἐστίν, οὐκ ἔσται αὐτοῦ ### book 47.4 μεῖζον τὸ Γ, ἀλλ’ ἤτοι ἴσον ἢ ἔλαττον. ὥστε τὸ ΑΗ τοῦ Γ ### book 47.5 ἤτοι ἴσον ἐστὶν ἢ μεῖζον. ### book 48.1 ταύτῃ τῇ ὑπεροχῇ ἴσον, τῷ δὲ Δ ὅμοιον p. 91, 15. ### book 48.2 16] ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΘΕ τοῦ Γ, ἀνάγκη ὑπεροχῇ τινι ### book 48.3 μεῖζον εἶναι· οἷον λόγου χάριν ἔστω τὸ ΘΕ μονάδων ιη, ### book 48.4 τὸ δὲ Γ ἔστω μονάδων ι. ἔστιν οὖν ἡ τοῦ ιη πρὸς τὸν ι ### book 48.5.1 ὑπεροχὴ μονάδων η. συνεστάτω οὖν τὸ ΚΛΜΝ ἴσον ὂν ### book 48.5.2 τῷ η τῇ ὑπεροχῇ τοῦ ιη, τουτέστι τοῦ ΗΒ, πρὸς τὸν ι ### book 48.5.3 ἤτοι τὸ Γ. δεῖ δὲ οὕτως ἀναγινώσκειν τὴν λέξιν ἀκατάλλη‐ ### book 48.5.4 λόν τι ἔχουσαν· ταύτῃ τῇ ὑπεροχῇ, ἐν ᾗ μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΒ ### book 48.5.5 τοῦ Γ, συνεστάτω ἴσον τὸ ΚΛΜΝ, ὅμοιον δὲ τῷ Δ, ἵνα ᾖ ### book 48.10.1 τὸ ΚΛΜΝ ἴσον μὲν τῇ ὑπεροχῇ τοῦ ΗΒ πρὸς τὸ Γ, ὅμοιον ### book 48.10.2 δὲ τῷ Δ. ### book 49.1 Οἱ ἐντεῦθεν καθεξῆς ἐπικείμενοι τοῖς σχήμασιν ### book 49.2 ἀριθμοὶ ἐτέθησαν ὑπ’ ἐμοῦ Θεοδώρου τοῦ Ἀντιοχείτου. ### book 50.1 Ἡ ΑΒ ὅλη ιβ ἡ ΑΓ ϛ ἡ ΓΒ ϛ ἡ ΑΔ γ ἡ ΔΒ θ ἡ ### book 50.2 ΑΘ θ ἡ ΑΚ ϛ ἡ ΚΘ γ ἡ ΘΕ γ τὸ ΑΛ λϛ τὸ ΛΒ λϛ τὸ ### book 50.3 ΔΘ κζ τὸ ΕΒ πα τὸ ΑΕ κζ ἡ ΗΖ ϛ ἡ ΗΛ γ τὸ ΛΖ ιη. ### book 51 Τὸ ΘΕ λϛ τὸ ΗΒ λϛ τὸ ΗΠ δ ὁ ΥΦΧ γνώμων λβ. ### book 52.1 Ἔστω ἡ ΑΒ εὐθεῖα, ὡς τὸ σχόλιον ἔχει, μονάδων ιη. ### book 52.2 ἐπεὶ οὖν δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Ε, ἔστιν ἄρα ἡ ΑΕ μονά‐ ### book 52.3 δων θ, ὁμοίως καὶ ἡ ΕΒ θ. ἔστιν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ ### book 52.4 ἤτοι τὸ ΕΛ δυνάμεων πα· ἐννάκις γὰρ τὰ θ πα. ἐπεὶ δὲ ### book 52.5.1 πάλιν ὑπόκειται τὸ Γ δυνάμεων ρμδ, τὸ δὲ ΗΘ δυνάμεων ### book 52.5.2 σκε, ἔστι δὲ καὶ τὸ ΖΒ δυνάμεων πα, συναμφότερα τὰ ΖΒ, ### book 52.5.3 Γ ἴσα εἰσὶ τῷ ΗΘ· τὰ γὰρ ρμδ, ἅπερ εἰσὶ τὸ Γ εὐθύγραμ‐ ### book 52.5.4 μον, μετὰ τῶν πα, ἅπερ εἰσὶ τὸ ΖΒ, τὰ οὖν ρμδ μετὰ τῶν ### book 52.5.5 πα γίνεται σκε. ἐπεὶ δὲ τοῦ ΗΘ ἡ πλευρὰ ἡ ΚΗ μονάδων ### book 52.10.1 ἐστὶ ιε, ἴση δὲ ἡ ΖΝ τῇ ΚΗ, καὶ ἡ ΖΝ ἄρα μονάδων ἐστὶ ### book 52.10.2 ιε. ἐπεὶ δὲ τὸ ΕΛ τετράγωνόν ἐστι, καί ἐστιν ἡ ΖΕ μονά‐ ### book 52.10.3 δων θ· ἴση γὰρ τῇ ΕΒ· ἡ ΕΝ ἄρα μονάδων ἐστὶν ϛ. ὁμοίως ### book 52.10.4 καὶ ἡ ΒΠ μονάδων ϛ· τῶν γὰρ παραλληλογράμμων χω‐ ### book 52.10.5 ρίων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι τε καὶ πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις ### book 52.15.1 εἰσίν. ὥστε τὸ ΑΝ χωρίον δυνάμεών ἐστι νδ· περιέχεται ### book 52.15.2 γὰρ ὑπὸ τῆς ΑΕ οὔσης μονάδων θ καὶ τῆς ΕΝ οὔσης μο‐ ### book 52.15.3 νάδων ϛ, ἑξάκις δὲ θ νδ. ὁμοίως δὲ καὶ τὸ ΕΠ δυνάμεων ### book 52.15.4 νδ· περιέχεται γὰρ ὑπὸ τῶν ΕΒ, ΒΠ οὔσης τῆς ΕΒ θ, ### book 52.15.5 τῆς δὲ ΒΠ ϛ· ὥστε τὸ ΑΠ χωρίον ἐστὶ δυνάμεων ρη. ἐπεὶ ### book 52.20.1 δὲ τὸ Γ δυνάμεών ἐστιν ρμδ, ἴσον δὲ τὸ Γ τῷ ΑΞ, καὶ τὸ ### book 52.20.2 ΑΞ ἐστι δυνάμεων ρμδ. ἦν δὲ τὸ ΑΠ δυνάμεων ρη. λείπε‐ ### book 52.1 ται τὸ ΒΞ δυνάμεων εἶναι λϛ· τὰ γὰρ ρη μετὰ τῶν λϛ ἐστι ### book 52.2 ρμδ. καὶ δεῖ γινώσκειν, ὅτι τὰ ὅμοια εὐθύγραμμα οὐκ ἀνάγ‐ ### book 52.3 κη καὶ ἴσα εἶναι· τὸ γὰρ ΖΒ ὅμοιον ὂν τῷ ΠΟ οὐκ ἴσον ### book 52.25.1 αὐτῷ ἐστιν, εἴπερ τὸ μέν ἐστιν πα δυνάμεων, τὸ δὲ λϛ, ### book 52.25.2 ἀλλ’ ἐνδέχεται καὶ ἴσα εἶναι τὰ ὅμοια καὶ ἄνισα. ### book 53.1 Ἐρωτᾷ τις· οὐκ οἶδ’ ὅθεν, ὅτι ὁμόλογος· καὶ εἴποιμι, ### book 53.2 ὅτι ἐπεὶ τὸ ΗΘ τῷ Δ ὅμοιον συνέσταται, τῷ αὐτῷ δὲ καὶ ### book 53.3 τὸ ΒΖ ἦν ὅμοιον. ὥστε ἑκάτερον τῶν ΗΘ, ΖΒ τῷ Δ ### book 53.4 ἐστιν ὅμοιον. καὶ ἀλλήλοις ἄρα. εἰ δὲ ὅμοια, ἀνάγκη καὶ ### book 53.5.1 τὰς πλευρὰς ἀνάλογον ἔχειν καὶ τῶν ἀντιστρόφων τῶν ### book 53.5.2 περὶ τῶν ὁμοίων σχημάτων. ### book 54.1 Τὸ ΑΠ ἐστι τὸ παραβληθὲν παρὰ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν, ### book 54.2 τὸ δὲ ΑΞ ἐστι μέν, ὡς δέδεικται, ἴσον τῷ Γ, ὑπερβάλλει δὲ ### book 54.3 τοῦ ΑΠ τῷ ΒΞ, ὥστε παρεβλήθη παρὰ τὴν ΑΒ τὸ ΑΞ ### book 54.4 ὑπερβάλλον τοῦ ΑΠ τῷ ΒΞ. ### book 55.1 Ἔστω ἡ ΑΒ εὐθεῖα μονάδων ιη, τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ ### book 55.2 δυνάμεων πα, τὸ δὲ Γ εὐθύγραμμον δυνάμεων ρμδ, τὸ δὲ ### book 55.3 συναμφότερον ΖΒ, Γ, τουτέστι τὸ ΗΘ, δυνάμεων σκε. ἡ ### book 55.4 πλευρὰ ἡ ΚΗ μήκει μονάδων ιε. ὥστε καὶ ἡ ΕΝ πλευρὰ ### book 55.5.1 μήκει μονάδων ϛ, τὸ ΝΒ χωρίον δυνάμεων νδ, τὸ δὲ ΒΞ ### book 55.5.2 δυνάμεων λϛ. ### book 56.1 τὸ ΓΔ ὑπερβάλλον p. 95, 16] οὐχ ὑπερβάλλειν λέ‐ ### book 56.2 γει τὸ ΒΓ τετράγωνον τοῦ ΓΔ παραλληλογράμμου. ἴσα ### book 56.3 γὰρ ὄντα τό τε ΒΓ τετράγωνον καὶ τὸ ΓΔ παραλληλό‐ ### book 56 γραμμον πῶς δύναται ὑπερβάλλειν; ἀλλ’ ὑπερβάλλειν ### book 56.5.1 λέγει τοῦ ΓΕ· ἔστι γὰρ τὸ λεγόμενον, ὅτι· παραβεβλή‐ ### book 56.5.2 σθω παρὰ τὴν ΑΓ τῷ ΒΓ τετραγώνῳ ἴσον παραλληλό‐ ### book 56.5.3 γραμμον τὸ ΓΔ ὑπερβάλλον τὸ ΒΓ τετράγωνον τοῦ παραλ‐ ### book 56.5.4 ληλογράμμου, οὐχὶ τοῦ ΓΔ, ἀλλὰ τοῦ παραλληλογράμμου ### book 56.5.5 τοῦ ἀναγραφομένου ἀπὸ τῆς ΑΓ, ὅπερ ἀναγραφόμενον ### book 56.10.1 παραλληλόγραμμον ἀπὸ τῆς ΑΓ ἐστι τὸ ΓΕ. ὑπερβάλλει ### book 56.10.2 γάρ, ὡς δειχθήσεται, τὸ ΓΒ τετράγωνον τοῦ ΓΕ παραλ‐ ### book 56.10.3 ληλογράμμου τῷ ΑΔ. ἐλλιπὴς οὖν οὖσα ἡ τοῦ προβλήμα‐ ### book 56.10.4 τος ἔκθεσις ἀσάφειαν πεποίηκεν. ### book 57.1 Ἐν τῷ ιαʹ θεωρήματι τοῦ βʹ στοιχείου οὐκ ἔδειξεν ### book 57.2 ἄκρον καὶ μέσον λόγον τὴν εὐθεῖαν τμηθεῖσαν, ἐνταῦθα ### book 57.3 δὲ θέλων δεῖξαι, τί ἐστιν ἄκρον καὶ μέσον εὐθεῖαν τμηθῆ‐ ### book 57.4 ναι, τούτου χάριν ἔδειξε καὶ οὐ μάτην. ### book 58.1 Τινὲς ἀποροῦσι λέγοντες, ὅτι ἐν τῷ ιαʹ θεωρήματι ### book 58.2 τοῦ βʹ βιβλίου ἔδειξε τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄκρον καὶ μέ‐ ### book 58.3 σον λόγον τμηθῆναι δυναμένην καὶ ἐνταῦθα πάλιν τὸ ### book 58.4 αὐτὸ δεικνύει. καὶ λέγομεν, ὅτι ἐκεῖ οὐκ ἔδειξεν ἄκρον καὶ ### book 58.5.1 μέσον λόγον τμηθεῖσαν τὴν εὐθεῖαν, ἐνταῦθα δὲ θέλων ### book 58.5.2 δεῖξαι, τί ἐστιν ἄκρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖαν τμηθῆναι, ### book 58.5.3 τούτου χάριν ἔδειξεν αὐτό. οὐ μάτην οὖν τοῦτο πεποίηκεν. ### book 59.1 Τετμήσθω γὰρ p. 232, 1] οὕτως ἔδει εἰπεῖν, εἴπερ ### book 59.2 ἐβούλετο δηλῶσαι φανερῶς τάς τε ἄκρας εὐθείας καὶ τὴν ### book 59.3 μέσην, ὅτι· τετμήσθω ἡ ΑΒ εἴς τε τὴν ΑΓ καὶ εἰς τὴν ΓΒ. ### book 60.1 ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ κτλ. p. 232, 3. 4] τοῦτο διὰ τὸ ### book 60.2 ιζʹ τὸ λέγον, ὅτι καὶ ἐὰν τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενον ### book 60.3 ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης τετραγώνῳ, αἱ τρεῖς ### book 60 εὐθεῖαι ἀνάλογον. ### book 61.1 Ἐπεὶ δὲ διὰ τὸ πόρισμα τοῦ δʹ τοῦ εʹ βιβλίου, ἐὰν ### book 61.2 δύο μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἀνάπαλιν ἀνάλογον ἔσται, καὶ ### book 61.3 ὡς ἡ ΒΔ πρὸς ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ### book 61.4 ΒΓ· διὰ δὲ τὸ αὐτὸ πόρισμα καὶ ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΓΒ, ### book 61.5.1 οὕτω καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ. ἔστω οὖν ### book 61.5.2 πρῶτον μὲν μέγεθος ἡ ΒΔ, δεύτερον ἡ ΓΒ, τρίτον τὸ ἀπὸ ### book 61.5.3 τῆς ΑΒ, τέταρτον τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ, πέμπτον ἡ ΓΔ, ἕκτον ### book 61.5.4 τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, καὶ διὰ τὸ κδʹ τοῦ εʹ βιβλίου συντεθὲν ### book 61.5.5 πρῶτον ἡ ΒΔ καὶ πέμπτον ἡ ΓΔ πρὸς δεύτερον τὴν ΒΓ ### book 61.10.1 τὸν αὐτὸν λόγον ἕξει καὶ τρίτον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ καὶ ἕκτον ### book 61.10.2 τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τέταρτον τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ. ### book 62.1 Διὰ τὸ ἀνάπαλιν καὶ διὰ τὸ καʹ τοῦ εʹ γίνεται ὡς ἡ ### book 62.2 ΒΔ πρὸς ΒΓ, τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ, ### book 62.3 καὶ ὡς ἡ ΔΓ πρὸς ΒΓ, τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ### book 62.4 ΒΓ. καὶ διὰ τὸ κδʹ τοῦ εʹ καὶ ἀνάπαλιν καὶ συντεθὲν καὶ ### book 62.5 διὰ τὸ θʹ τοῦ εʹ. ### book 63.1 Ἀπορῶ καὶ ἐνταῦθα, τίνι τρόπῳ λέγεται σύνθετα τὰ ### book 63.2 οὕτω καταγραφέντα τρίγωνα. οὔτε γὰρ ὡρίσατο ὁ τεχνι‐ ### book 63.3 κὸς τοιαύτην σύνθεσιν τριγώνων, μᾶλλον δ’ οὐδ’ ὁποίαν ### book 63.4 δή τινα σχημάτων ὅλως, οὔτε συντεθειμένα λέγειν ἔχω τὰ ### book 63.5.1 ἐνθάδε τρίγωνα, ἀλλὰ μᾶλλον ἁπτόμενα ἀλλήλων. μὴ γάρ ### book 63.5.2 μοί τις ἀναγινώσκων συναπτέτω τὸ συντεθῇ μετὰ τοῦ ### book 63.5.3 κατὰ μίαν, ἀλλ’ εἰπών· ἐὰν δύο τρίγωνα συντεθῇ, καὶ ### book 63.5.4 ὑποστείλας τὴν φωνὴν μικρὸν διὰ τὴν μετὰ ταῦτα τελείαν ### book 63 ἀπόδοσιν ἐπαγαγέτω κατὰ μίαν γωνίαν καὶ τὰ ἑξῆς συν‐ ### book 63.10.1 απτῶς. τοῦτο δ’ ὅτι οὕτως ἀναγινώσκεσθαι χρή, τὰ ἐπαγό‐ ### book 63.10.2 μενα μαρτυρεῖ. ### book 64.1 Ἐάν ἐστιν ἡ ΒΓ περιφέρεια ὑπὸ τριγώνου ἰσοπλεύ‐ ### book 64.2 ρου τοῦ εἰς τὸν κύκλον ἐγγεγραμμένου πλευρᾶς ὑποτει‐ ### book 64.3 νομένη, καὶ ληφθῇ τῆς ΒΓ περιφερείας ἰσάκις πολλαπλά‐ ### book 64.4 σια καὶ τῆς ὑπὸ ΒΗΓ γωνίας ἐν τριπλασίονι λόγῳ, γενή‐ ### book 64.5.1 σεται ὅλος ὁ κύκλος τῆς ΒΓ περιφερείας ἰσάκις πολλα‐ ### book 64.5.2 πλάσιος καὶ ἡ πρὸς τὸ ὅλον κέντρον τοῦ κύκλου συνιστα‐ ### book 64.5.3 μένη γωνία ἤγουν ἡ ὑποτεινομένη ὑπὸ ὅλου τοῦ κύκλου γω‐ ### book 64.5.4 νία τῆς ὑπὸ ΒΗΓ γωνίας. ἐὰν δὲ ἐν ἑξαπλασίονι λόγῳ ### book 64.5.5 ληφθῇ ὁ ἰσάκις πολλαπλασιασμὸς τῆς τε ΒΓ περιφε‐ ### book 64.10.1 ρείας καὶ τῆς ὑπὸ ΒΗΓ γωνίας, πάλιν δὶς ὁ κύκλος καὶ ### book 64.10.2 ἡ πρὸς ὅλον τὸ κέντρον δὶς ὑποτεινομένη ὑπὸ ὅλου τοῦ ### book 64.10.3 κύκλου γωνία ἰσάκις ἔσονται πολλαπλάσια τῆς τε ΒΓ ### book 64.10.4 περιφερείας καὶ τῆς ὑπὸ ΒΗΓ γωνίας. ὁμοίως καὶ ἐπὶ ### book 64.10.5 ἑπταπλασίου καὶ ὀκταπλασίου, καὶ εἰς ἄπειρον οὕτως δεῖ ### book 64.15.1 νοεῖν ἐπὶ τοῦ κύκλου τοὺς ἰσάκις πολλαπλασιασμοὺς καὶ ### book 64.15.2 ἐπὶ τῶν γωνιῶν αὐτοῦ τῶν ἐν τῷ κέντρῳ τοῦ κύκλου ### book 64.15.3 συνισταμένων. ### book 65.1 Ἀπορήσειεν ἄν τις οὐκ ἀφυῶς, διὰ τί μέλλων ὁ γεω‐ ### book 65.2 μέτρης δεῖξαι, ὡς ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ γωνίαι τὸν αὐτὸν ### book 65.3 λόγον ἔχουσι ταῖς περιφερείαις, ἐφ’ ὧν βεβήκασιν, ἐχρή‐ ### book 65.4 σατο εἰς τὴν τούτου δεῖξιν, ὅτι αἱ ἐπὶ μειζόνων περιφε‐ ### book 65.5 ρειῶν ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις μείζους εἰσίν, αἱ δὲ ἐπ’ ἐλασσό‐ ### book 65.1 νων ἐλάσσους καὶ αἱ ἐπὶ ἴσων ἴσαι, ὃ ταὐτόν ἐστι τῷ ἐὰν ἡ ### book 65.2 περιφέρεια πρὸς τὴν περιφέρειαν ἔχῃ τὸν τοῦ μείζονος λό‐ ### book 65.3 γον, καὶ ἡ γωνία ἡ ἐπὶ τῆς μείζονος περιφερείας βεβηκυῖα ### book 65.4 τῆς ἐπ’ ἐλάσσονος περιφερείας βεβηκυίας τὸν τοῦ μείζο‐ ### book 65.10.1 νος λόγον ἕξει, καὶ ἐὰν ἡ περιφέρεια πρὸς τὴν περιφέρειαν ### book 65.10.2 τὸν τοῦ ἐλάττονος λόγον ἔχῃ, καὶ ἡ γωνία ἡ ἐπὶ τῆς ἐλάτ‐ ### book 65.10.3 τονος περιφερείας βεβηκυῖα πρὸς τὴν ἐπὶ τῆς μείζονος τὸν ### book 65.10.4 τοῦ ἐλάττονος λόγον ἕξει, καὶ ἐὰν ἴσαι αἱ περιφέρειαι, αἱ ### book 65.10.5 γωνίαι τὸν τῆς ἰσότητος, ὅπερ ἦν τὸ ἐν τῇ προτάσει τοῦ ### book 65.15.1 παρόντος ζητούμενον θεωρήματος, ὅμοιον ὁ γεωμέτρης ### book 65.15.2 ποιῶν τῷ ἀπολογησαμένῳ ἐρωτηθέντι, διὰ τί ὁ ἄνθρωπος ### book 65.15.3 ζῷον, ὅτι ἄνθρωπος ζῷον, ὅπερ οὐ μόνον ἐπὶ τῆς ἀπο‐ ### book 65.15.4 δείξεως γελοῖόν ἐστι, ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τῆς διαλεκτικῆς, εἴ τις ### book 65.15.5 τοιουτοτρόπως ἀποφαίνηται, καταγέλαστος δόξειε. φαμὲν ### book 65.20.1 οὖν, ὡς οὐκ ἤδη, ἐὰν ἡ περιφέρεια πρὸς τὴν περιφέρειαν ### book 65.20.2 ἔχῃ τὸν τοῦ μείζονος λόγον, καὶ ἡ γωνία ἡ ἐπὶ τῆς μείζονος ### book 65.20.3 περιφερείας πρὸς τὴν γωνίαν τὴν ἐπὶ τῆς ἐλάσσονος βεβη‐ ### book 65.20.4 κυῖαν ἔχῃ τὸν τοῦ μείζονος λόγον, ἤδη καὶ ὃν λόγον ἔχει ἡ ### book 65.20.5 περιφέρεια πρὸς τὴν περιφέρειαν, ἔχει καὶ ἡ γωνία πρὸς ### book 65.25.1 τὴν γωνίαν. εἰκὸς γὰρ τὸν μὲν τοῦ μείζονος ἔχειν λόγον τὴν ### book 65.25.2 περιφέρειαν πρὸς τὴν περιφέρειαν καὶ τὴν γωνίαν πρὸς τὴν ### book 65.25.3 γωνίαν, ἕτερον δὲ καὶ ἕτερον. ### book 66.1 Ἀπορήσειεν ἄν τις, πόθεν δῆλον, ὡς, ἐὰν ἡ περιφέ‐ ### book 66.2 ρεια τῇ περιφερείᾳ ἴση, καὶ ὁ τομεὺς τῷ τομεῖ, καὶ εἰ ### book 66.3 μείζων, μείζων, καὶ εἰ ἐλάττων, ἐλάττων. ὅτι μέν, ἐὰν ἡ ### book 66.4 περιφέρεια ἴση τῇ περιφερείᾳ, καὶ ὁ τομεὺς τῷ τομεῖ ἴσος, ### book 66.5.1 δέδεικται οὕτω· κείσθω τῇ ΒΛ περιφερείᾳ ἴση ἡ ΕΝ, καὶ ### book 66.5.2 ἤχθω εὐθεῖα ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Λ καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Ν. ### book 66.5.3 καὶ ἐπεὶ οἱ κύκλοι ἴσοι, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ΒΗ, ΗΛ ταῖς ΕΘ, ### book 66.5.4 ΘΝ. ἀλλὰ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΘΝ ἴση ### book 66 διὰ τὸ κζʹ τοῦ γʹ· καὶ ἡ βάσις ἄρα τῇ βάσει ἴση, ἤγουν ἡ ### book 66.10.1 ΒΛ τῇ ΕΝ, καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ἴσον. δυνατὸν δὲ ### book 66.10.2 καὶ ἀπὸ τῆς ἰσότητος τῶν βάσεων δεῖξαι καὶ τὰς γωνίας ### book 66.10.3 ἴσας. ἐπεὶ γὰρ ἴσαι αἱ περιφέρειαι, καὶ αἱ ὑποτείνουσαι ### book 66.10.4 ταύτας ἴσαι διὰ τὸ κθʹ τοῦ γʹ. ἀλλὰ μὴν καὶ τὰ τμήματα ### book 66.10.5 τῶν κύκλων τὰ ΒΓΛ, ΕΖΝ ὅμοια· αἱ γὰρ ἐν αὐτοῖς γω‐ ### book 66.15.1 νίαι ἴσαι· ἐπὶ ἴσων γὰρ περιφερειῶν βεβήκασιν. ἀλλὰ δὴ ### book 66.15.2 καὶ ἴσα διὰ τὸ κδʹ τοῦ γʹ. ἐὰν δὲ τοῖς ἴσοις ἴσα προστεθῇ, ### book 66.15.3 τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα. δέδεικται ἄρα, ὡς, ἐὰν ἡ περιφέρεια τῇ ### book 66.15.4 περιφερείᾳ ἴση, καὶ ὁ τομεὺς τῷ τομεῖ ἴσος. λέγω δή, ### book 66.15.5 ὅτι καί, ἐὰν μείζων ἡ περιφέρεια τῆς περιφερείας, καὶ ὁ ### book 66.20.1 τομεὺς τοῦ τομέως μείζων ἔσται. εἰ γὰρ μή, ἔσται ἢ ἴσος ἢ ### book 66.20.2 ἐλάττων. ἔστω πρῶτον ἴσος. καὶ ἐπεὶ ὑπόκειται ἡ ΒΛ ### book 66.20.3 περιφέρεια μείζων τῆς ΕΝ, ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς μείζονος ### book 66.20.4 περιφερείας τῇ ἐλάττονι ἴση (δυνατὸν γάρ) ἡ ΒΚ. καὶ ἐπεὶ ### book 66.20.5 ἐδείχθη, ὡς, ἐὰν αἱ περιφέρειαι ἴσαι ὦσι, καὶ οἱ τομεῖς ἴσοι ### book 66.25.1 ἔσονται, ἴσος ἄρα ὁ ΒΗΚ τομεὺς τῷ ΕΘΝ τομεῖ. ἀλλὰ ὁ ### book 66.25.2 ΕΘΝ ἴσος ὑπετέθη τῷ ΒΗΛ τομεῖ. ὥστε καὶ ὁ ΒΗΛ ### book 66.25.3 τομεὺς ἴσος τῷ ΒΗΚ, ὁ μείζων τῷ ἐλάττονι. ὡσαύτως δὲ ### book 66 δειχθήσεται, ὅτι οὐδὲ ἐλάττων· μείζων ἄρα. ### book 1 [Start of a diagram]πᾶς ἀριθμός ### book 1col 1-3 [Start of a diagram section]ἄρτιος ### book 1col 1.1 ἀρτιάκις ἄρ‐ ### book 1col 1.2 τιος ὁ μέχρι ### book 1col 1.3 μονάδος εἰς ### book 1col 1.4 ἴσα διαιρού‐ ### book 1col 1.5.1 μενος ὡς ὁ ### book 1col 1.5.2 ξδ· μέχρι ### book 1col 1.5.3 γὰρ μονάδος ### book 1col 1 διαιρεῖται. ### book 1col 2.1 ἀρτιάκις πε‐ ### book 1col 2.2 ριττὸς ὁ μίαν ### book 1col 2.3 τομὴν εἰς ### book 1col 2.4 ἴσα δεχόμε‐ ### book 1col 2.5.1 νος, οὐκέτι ### book 1col 2.5.2 δὲ ἄλλην ### book 1col 2.5.3 ἰσάκις διαί‐ ### book 1col 2.5.4 ρεσιν δυνά‐ ### book 1col 2.5.5 μενος ὡς ὁ ### book 1col 2.10 τριάκοντα. ### book 1col 3.1 περισσάκις ### book 1col 3.2 ἄρτιος ὁ πολ‐ ### book 1col 3.3 λάκις μὲν ### book 1col 3.4 ἰσάκις διαι‐ ### book 1col 3.5.1 ρούμενος μὴ ### book 1col 3.5.2 μέντοι καὶ ### book 1col 3.5.3 μέχρι μονά‐ ### book 1col 3.5.4 δος ὥσπερ ὁ ### book 1col 3 κδ ἀριθμός.[End of a diagram section] ### book 1col 4-6 [Start of a diagram section]ἔτι ὁ ἄρτιος ### book 1col 4.1 τέλειος ὡς ὁ ### book 1col 4.2 ϛ, ὃς ἐκ τῶν ### book 1col 4.3 ἑαυτοῦ με‐ ### book 1col 4.4 ρῶν συνάγε‐ ### book 1col 4.5.1 ται· τούτου ### book 1col 4.5.2 γὰρ τὸ μὲν ### book 1col 4.5.3 ἥμισυ γ, τὸ ### book 1col 4 γʹ β, τὸ ϛʹ α. ### book 1col 5.1 ὑπερτελὴς ὡς ### book 1col 5.2 ὁ ιβ, ὃς ἐκ ### book 1col 5.3 τῶν ἑαυτοῦ ### book 1col 5.4 μερῶν πλείω ### book 1col 5.5.1 ἑαυτοῦ συν‐ ### book 1col 5.5.2 άγει· τούτου ### book 1col 5.5.3 γὰρ τὸ μὲν 𐅵ʹ ### book 1col 5.5.4 ϛ, τὸ γʹ δ, τὸ ### book 1col 5.5.5 δʹ γ, τὸ ϛʹ β, ### book 1col 5.10.1 τὸ ιβʹ μία, ### book 1col 5.10.2 ἀφ’ ὧν ιϛ συν‐ ### book 1col 5 άγεται. ### book 1col 6.1 ἀτελὴς ὡς ### book 1col 6.2 ὁ η· οὗτος ### book 1col 6.3 γὰρ ἐλάττω ### book 1col 6.4 ἑαυτοῦ ἐκ ### book 1col 6.5.1 τῶν ἑαυτοῦ ### book 1col 6.5.2 συνάγει με‐ ### book 1col 6.5.3 ρῶν· τούτου ### book 1col 6.5.4 γὰρ τὸ μὲν ### book 1col 6.5.5 𐅵ʹ δ, τὸ δὲ ### book 1col 6.10.1 δʹ β, τὸ δὲ ### book 1col 6.10.2 ηʹ α, ἀφ’ ὧν ### book 1col 6 ζ συνάγεται.[End of a diagram section] ### book 1col 7-8 [Start of a diagram section]περιττός ### book 1col 7.1 σύνθετος ὁ ### book 1col 7.2 δεύτερος λε‐ ### book 1col 7.3 γόμενος, ### book 1col 7.4 οἷον ὁ θ· οὐ ### book 1col 7.5.1 γὰρ μόνον ### book 1col 7.5.2 ἅπαξ θ θ, ### book 1col 7.5.3 ἀλλὰ καὶ συν‐ ### book 1col 7.5.4 θέτως λέγε‐ ### book 1col 7.5.5 ται· τρὶς γὰρ ### book 1col 7.10 γ θ. ### book 1col 8.1 ἀσύνθετος ὁ ### book 1col 8.2 πρῶτος λεγό‐ ### book 1col 8.3 μενος, οἷον ### book 1col 8.4 ὁ ε, ὁ γ, ὁ ζ· ### book 1col 8.5.1 οὗτοι γὰρ ### book 1col 8.5.2 ἐξ οὐδενὸς ### book 1col 8.5.3 ἀριθμοῦ πο‐ ### book 1col 8.5.4 λυπλασιαζο‐ ### book 1col 8.5.5 μένου γίνον‐ ### book 1col 8.10.1 ται· ἡ γὰρ ### book 1col 8.10.2 μονὰς οὐκ ### book 1col 8 ἀριθμός.[End of a diagram section][End of a diagram] ### book 2.1 Ἡ δυὰς κατά τι μὲν ἀριθμός, κατά τι δὲ οὔ· καθὸ μὲν ### book 2.2 γὰρ τῶν ἐφ’ ἑκάτερα αὐτῆς συντιθεμένων ἀριθμῶν τὸ ### book 2.3 ἥμισυ ἔχει, ἀριθμός ἐστιν, καθὸ δὲ καὶ συντιθεμένη καὶ ### book 2.4 πολυπλασιαζομένη τὸ αὐτὸ πλῆθος ἀπογεννᾷ, οὐκ ἔστιν ### book 2.5.1 ἀριθμός, τῶν ἀριθμῶν πεφυκότων πολλαπλασιαζομένων ### book 2.5.2 πλέον συνάγειν ἢ συντιθεμένων· τρὶς μὲν γὰρ τρεῖς θ, τρεῖς ### book 2.5.3 δὲ καὶ τρεῖς ϛ; δὶς δὲ δύο δ καὶ β καὶ β δ. ### book 3.1 Μονὰς λέγεται καὶ ἐν τοῖς θεοῖς, λέγεται καὶ ἐν τοῖς ### book 3.2 φυσικοῖς, λέγεται καὶ ἐν τοῖς μαθηματικοῖς. καὶ ἐπὶ μὲν ### book 3.3 τῶν θεῶν μονάδα λέγομεν τὸν ἑκάστης σειρᾶς ἄρχοντα, ### book 3.4 οὐχ ὅτι ἔστι μονάς, ἀλλ’ ὅτι ὃν τρόπον ἡ μαθηματικὴ ἀρχὴ ### book 3.5.1 τοῦ ἀριθμοῦ ἐστιν, τὸν αὐτὸν τρόπον καὶ αὐτὸς ἐξάρχει τῆς ### book 3.5.2 σειρᾶς. ἡ δὲ φυσικὴ μονάς ἐστιν ἡ μετέχουσα τῆς μαθημα‐ ### book 3.5.3 τικῆς μονάδος, οἷον ὁ εἷς ἵππος μονάς ἐστι φυσική, ὅτι τῆς ### book 3.5.4 μαθηματικῆς μετασχὼν μονάδος ἓν λέγεται. μονὰς οὖν ### book 3.5.5 λέγεται, καθ’ ἣν μετέχοντα τὰ φυσικὰ λέγεται ἕν. τῆς μο‐ ### book 3.10.1 νάδος τῆς μαθηματικῆς νῦν μέμνηται· ταύτης γὰρ καὶ μετ‐ ### book 3.10.2 έχοντα τὰ φυσικὰ λέγεται ἕν, καὶ ἀριθμὸς δὲ ὁμοίως ἐστὶ ### book 3.10.3 μαθηματικὸς ὁ μετεχόμενος καὶ αὐτός. ### book 4.1 Μέρος ἐστὶν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ· ὁ ἀπαρτιζόντως ἀριθ‐ ### book 4.2 μὸς μετρῶν ἀριθμόν τινα εἴτε εἰς ἑαυτὸν γενόμενος εἴτε ### book 4.1 ἄλλον πολλαπλασιάσας μέρος ἐστὶ τοῦ γεγονότος, οἷον ὁ γ ### book 4.2 μέρος ἐστὶ καὶ τοῦ θ καὶ τοῦ ιβ, ἀλλὰ τοῦ μὲν θ ὡς εἰς ἑαυ‐ ### book 4.5.1 τὸν γεγονώς· τρὶς γὰρ τρεῖς θ· τοῦ δὲ ιβ ὡς τὸν δ πολλα‐ ### book 4.5.2 πλασιάσας. οὕτω καὶ ὁ δ τοῦ ιβ μέρος ἐστίν, λέγω δὴ ὡς ### book 4.5.3 τὸν γ πολλαπλασιάσας. ### book 5.1 Ὁ β τοῦ ε μέρη ἐστὶν ἤτοι δύο πέμπτα, καὶ ὁ ε τοῦ ### book 5.2 ια μέρη· πέντε γὰρ ἑνδέκατα· καὶ ὁ θ τοῦ ιγ μέρη· ἐννέα ### book 5.3 γὰρ τρισκαιδέκατα. ὁ δὲ θ τοῦ ιη μέρος· ἥμισυ γάρ· μετρεῖ ### book 5.4 γὰρ ὁ θ τὸν ιη ἀπαρτιζόντως ἐπὶ τὸν δύο γενόμενος. καὶ ὁ ### book 5.5 β τοῦ ιη μέρος· ἔνατον γάρ. ### book 6.1 Μέρος λέγεται ἀριθμὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάττων τοῦ ### book 6.2 μείζονος, ὅταν καταμετρῇ αὐτὸν ἀπαρτιζόντως, οἷον ὁ ### book 6.3 γ τοῦ θ· τρὶς γὰρ τρεῖς θ. εἰ δὲ μὴ καταμετρῇ αὐτὸν ### book 6.4 ἀπαρτιζόντως, οὐ λέγεται μέρος ἐκεῖνο, ἀλλὰ μέρη, οἷον ### book 6.5.1 ὁ γ τοῦ ι οὐ λέγεται μέρος, ἀλλὰ μέρη. ὁμοίως ὁ γ τοῦ ### book 6.5.2 ϛ μέρος λέγεται· δὶς γὰρ συντεθεὶς ἀπαρτιζόντως μετρεῖ ### book 6.5.3 τὸν ϛ· ὁ δὲ δύο τοῦ ε ἢ ὁ γ τοῦ ε ἢ τοῦ ζ οὐ λέγονται ### book 6.5.4 ἕκαστος ἑκάστου μέρος. ὡσαύτως καὶ ὁ δύο τοῦ ϛ μέρος ### book 6.5.5 λέγεται· τρὶς γὰρ ὁ δύο συντεθεὶς ἀπαρτιζόντως μετρεῖ ### book 6.10.1 τὸν ϛ. ὁ δὲ δύο τοῦ ε ἢ ὁ γ τοῦ ε ἢ τοῦ ζ οὐ λέγεται ### book 6.10.2 ἕκαστος ἑκάστου μέρος, ἀλλὰ μέρη. καὶ ὁ μὲν β τοῦ ϛ ### book 6.10.3 λέγεται μέρος καὶ καταμετρῶν αὐτόν, ὁ δὲ ϛ τοῦ δύο ### book 6.10.4 πολλαπλάσιος· ἔστι γὰρ αὐτοῦ τριπλάσιος ὡς καταμε‐ ### book 6 τρούμενος ὑπὸ τοῦ δύο. ### book 7.1 Οἱ Πυθαγόρειοι τὸν ἀριθμὸν διῄρουν εἴς τε ἄρτιον καὶ ### book 7.2 περισσὸν καὶ τὸν ἄρτιον εἴς τε ἀρτιάκις ἄρτιον καὶ εἰς ### book 7.3 ἀρτιοπερισσὸν καὶ εἰς περισσάρτιον, καὶ τὸν μὲν ἀρτιάκις ### book 7.4 ἄρτιον ἔλεγον τὸν ἄχρι μονάδος δίχα διαιρούμενον, τὸν δὲ ### book 7.5.1 ἀρτιοπερισσὸν τὸν εὐθέως μετὰ τὴν πρώτην διχοτομίαν ### book 7.5.2 ἀδιαίρετον ὄντα, οἷον τὸν δέκα εἰς ε καὶ ε. περισσάρτιον δὲ ### book 7.5.3 τὸν πλείους τομὰς ἐπιδεχόμενον ὡς τὸν ιβ. πάλιν τοῦ πε‐ ### book 7.5.4 ριττοῦ τὸν μὲν πρῶτον τὸν ὑπὸ μονάδος μόνον μετρούμενον ### book 7.5.5 ὡς τὸν τρία, τὸν ζ, τὸν δὲ σύνθετον ὡς τὸν θ, τὸν ιε. ἔλεγον ### book 7.10.1 οὖν τοῖς μὲν ἄρρεσι θεοῖς τοὺς περιττοὺς ἀνακεῖσθαι ἀριθ‐ ### book 7.10.2 μοὺς διὰ τὸ ἀδιαίρετον καὶ τὴν εἰς ἑαυτοὺς στροφὴν καὶ ### book 7.10.3 μονὴν καὶ τοῦ περιττοῦ τοὺς πρώτους ἀριθμοὺς τοῖς μο‐ ### book 7.10.4 ναδικωτέροις καὶ εἰς ἑαυτοὺς στρεφομένοις, τοὺς δὲ συν‐ ### book 7.10.5 θέτους τοῖς γονιμωτέροις καὶ ἀφεστῶσι τοῦ αʹ μᾶλλον καὶ ### book 7.15.1 προοδικωτέροις. πάλιν τὸν ἄρτιον ἀριθμὸν ταῖς θηλείαις ### book 7.15.2 τῶν θεῶν διὰ τὴν διαίρεσιν καὶ τὴν πρόοδον, τούτου δὲ τὸν ### book 7.15.3 μὲν ἀρτιοπερισσὸν ταῖς ἀρρενοποιοῖς θεαῖς, ὡς, εἰ τύχοι, ### book 7.15.4 τῇ δεσποίνῃ τῇ Ἀθηνᾷ ἢ τῇ δεσποίνῃ Ἑκάτῃ ἢ Ἀρτέμιδι· ### book 7.15.5 παρθένοι γὰρ αὗται καὶ οὐκ ἐπὶ πολὺ τὴν πρόοδον ἔχουσαι. ### book 7.20.1 τὸν δὲ περισσάρτιον ταῖς πλέον γονιμωτέραις, μὴ μέντοι ### book 7.20.2 ἐπὶ πολὺ τὴν πρόοδον ἐχούσαις, ἀλλὰ ἐπ’ ἴσης τό τε ἀρρενω‐ ### book 7.20.3 πὸν καὶ τὸ θῆλυ σωζούσαις καὶ μεταξὺ οὔσαις τῶν τε ἀρ‐ ### book 7.20.4 ρενωπῶν θεαινῶν καὶ τῶν τεθηλυσμένων, οἵαν θεὸν ἐτί‐ ### book 7.20.5 μων Ἀθηναῖοι τὴν Ἀνησιδώραν· θηλυπρεπὲς μὲν γὰρ τὸ ### book 7.25.1 ὅλον ἄγαλμα, γένειον δὲ προσετίθεσαν αἰνιττόμενοι τό τε ### book 7.25.2 θῆλυ καὶ τὸ ἄρρεν. πάλιν τὸν ἀρτιάκις ἄρτιον ταῖς διὰ παν‐ ### book 7.25.3 τὸς προιούσαις θεαῖς, οἷον ταῖς ζωογόνοις Δήμητρι καὶ ### book 7.1 Ῥέᾳ· αὗται ἐπὶ πολὺ προίασιν καὶ ἐπὶ πάντα. ### book 7.2 Διαιρεῖται τὰ ἀριθμητικὰ εἴς τε πρώτους καὶ συνθέτους ### book 7.30.1 καὶ τὸ βʹ εἰς τοὺς ἐπιδεκτικοὺς καὶ τὸ γʹ εἰς τοὺς στερεούς, ### book 7.30.2 οὗ τὸ τελευταῖον θεώρημα λήγει εἰς τέλειον ἀριθμόν. ### book 8.1 Ἀρτιάκις ἄρτιος ἀριθμός ἐστιν ὁ ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ ### book 8.2 μετρούμενος κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν· ἐὰν τούτῳ τῷ ὅρῳ ### book 8.3 προσθῶμεν τὸ μόνως ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρεῖσθαι κατὰ ### book 8.4 ἄρτιον ἀριθμόν, ποιοῦμεν τὸν τῶν Πυθαγορείων ἀρτιάκις ### book 8.5.1 ἄρτιον τὸν ἄχρι μονάδος δίχα διαιρούμενον, οἷον ὁ η ὑπὸ ### book 8.5.2 ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρεῖται κατὰ ἄρτιον μόνως, ὁ δὲ ιβ κατὰ ### book 8.5.3 τοῦτο ἀρτιάκις ἄρτιος, καθὸ μετρεῖται μὲν καὶ ὑπὸ ἀρτίου ### book 8.5.4 κατ’ ἄρτιον· δὶς ϛ γάρ· ἀλλὰ καὶ ὑπὸ περιττοῦ κατὰ ἄρτιον· ### book 8.5.5 τρὶς γὰρ δ. ἀρτιάκις δὲ περισσὸν λέγει τὸν ὑπὸ ἀρτίου κατὰ ### book 8.10.1 περισσὸν μετρούμενον ὡς τὸν ι ὑπὸ τοῦ β κατὰ τὸν ε. ### book 8.10.2 περισσάρτιος δὲ ὁ ιβ· ὑπὸ γὰρ τοῦ γ μετρεῖται κατὰ τὸν δ. ### book 8.10.3 καὶ ἁπλῶς ὃ τέλειόν ἐστιν ὄνομα ἐν τῇ συνθέσει, κατ’ ### book 8.10.4 ἐκεῖνο λέγομεν μετρεῖσθαι τὸν ἀριθμόν. ἰστέον δέ, ὅτι τὸν ### book 8.10.5 περισσάρτιον τὸν ὑπὸ τῶν Πυθαγορείων οὕτως καλούμε‐ ### book 8.15.1 νον τὸν πλείονας διαιρέσεις δεχόμενον τῆς εἰς δίχα, μὴ ### book 8.15.2 μέντοι ἄχρι τῆς μονάδος προιόντα κατὰ τὴν διαίρεσιν, ### book 8.15.3 οἶδεν καὶ αὐτὸς καὶ μέμνηται αὐτοῦ ἐν τῷ θʹ βιβλίῳ καλῶν ### book 8.15.4 αὐτὸν μήτε ἀρτιάκις ἄρτιον μήτε ἀρτιοπερισσόν, τῇ ἀπο‐ ### book 8.15.5 φάσει τῶν δύο ἄκρων αὐτὸν σημαίνων, ὥσπερ ἐπὶ τῶν ### book 8.20.1 ἐμμέσων ἐναντίων, οἷς μὴ κεῖται ὄνομα, τὴν σημασίαν ### book 8.20.2 εὑρίσκομεν τῇ ἀποφάσει λέγοντες τῶν ἄκρων. ἐν ᾧ δὲ ### book 8 τούτου μέμνηται, ἔστι τὸ λδʹ. ### book 9.1 Ὁ μὲν ἀρτιάκις ἄρτιος ἀεὶ ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ με‐ ### book 9.2 τρεῖται κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν, οἷον ὁ ξδ· δὶς γὰρ λβ ξδ, ### book 9.3 τετράκις ιϛ ξδ, ὀκτάκις η ξδ. κατὰ μὲν οὖν τὴν πρώτην ### book 9.4 τομὴν ἡ μὲν δύναμις πολλή, τὰ δὲ μέρη β, καὶ κατὰ τὴν ### book 9.5.1 δευτέραν τομὴν τὰ μὲν μέρη ὀλίγα· δ γάρ· ἡ δὲ δύναμις ### book 9.5.2 πολλή· ιϛ γάρ· κατὰ δὲ τὴν τρίτην ἄμφω ἴσα, κατὰ τὴν ### book 9.5.3 τετάρτην ἀντέστραπται, καὶ οὐ δεῖ ζητεῖν ἐν τῷ ἀρτιάκις ### book 9.5.4 ἀρτίῳ, εἴτε ἡ δύναμις πολλὴ εἴτε τὰ μέρη ὀλίγα, ἀλλ’ ἓν ### book 9.5.5 μόνον ἐξ ἀνάγκης δεῖ ζητεῖν τὸ εἶναι τάς τε δυνάμεις καὶ ### book 9.10.1 τὰ μέρη κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν. ὁ δὲ ἀρτιοπερισσὸς ἀεὶ ὑπὸ ### book 9.10.2 ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρεῖται κατὰ περισσὸν ἀριθμόν, πλὴν ### book 9.10.3 ἀεὶ ὁ μὲν ἄρτιος ἐλάττων, ὁ δὲ περισσὸς μείζων. εὐθὺς ὁ ### book 9.10.4 πρῶτος ὁ ἓξ οὕτω μετρεῖται· δὶς γὰρ τρεῖς λέγομεν. ὁμοίως ### book 9.10.5 καὶ ὁ δεύτερος ὁ ι· δὶς γὰρ ε ι· καὶ ὁ τρίτος ὡσαύτως· δὶς ### book 9.15.1 γὰρ ζ ιδ· καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ἡ αὐτὴ ἀκολουθία. ὁ δὲ πε‐ ### book 9.15.2 ρισσάρτιος ἀεὶ μὲν ὑπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ μετρεῖται κατὰ ### book 9.15.3 ἄρτιον ἀριθμόν, οὐκ ἀεὶ δὲ ὁ μὲν περισσὸς ἐλάττων, ὁ δὲ ### book 9.15.4 ἄρτιος μείζων, ἀλλ’ ὡς ἐπὶ τὸ πλεῖστον μὲν ὁ περισσὸς ### book 9.15.5 ἐλάττων, ὁ δὲ ἄρτιος μείζων, οἷον τρὶς η κδ καὶ τρὶς ιϛ μη, ### book 9.20.1 σπανίως δὲ ὁ μὲν περισσὸς μείζων, ὁ δὲ ἄρτιος ἐλάττων, ### book 9.20.2 οἷον ὁ κ· πεντάκις γὰρ δ κ· καὶ τοῦτο εἰκός ἐστι· μῖγμα ### book 9.20.3 γὰρ ὢν ἀμφοτέρων κατά τι μὲν ἔοικε, κατά τι δὲ διαφέρει. ### book 10 Λέγομεν γὰρ ἅπαξ γ γ, ἅπαξ ε ε, ἅπαξ ζ ζ. ### book 11.1 Οἷον ὁ γ ὁ ε ὁ ζ· κοινὸν γὰρ μέτρον ἔχουσι τὴν μο‐ ### book 11.2 νάδα· φαμὲν γὰρ ἅπαξ τρεῖς τρεῖς, ἅπαξ ε ε, καὶ ἄλλως οὐ ### book 11.3 μετροῦνται οἱ λεγόμενοι πρῶτοι, οἵτινές εἰσιν ἀσύνθετοι. ### book 12.1 Ὁ δεύτερος λεγόμενος ὁ θ· οὐ μόνον γὰρ τῷ ἅπαξ θ ### book 12.2 μετρεῖται, ἀλλὰ καὶ συνθέτως λέγεται· τρὶς γὰρ τρεῖς θ· ### book 12.3 καὶ ἰδοὺ ὁ αὐτὸς θ καὶ σύνθετός ἐστι καὶ ἀσύνθετος. ### book 13.1 Ἀριθμὸς ἀριθμὸν πολλαπλασιάζειν λέγεται· οἷον ὁ ### book 13.2 θ καὶ ὁ γ· ὅσαι γάρ εἰσι μονάδες ἐν τῷ γ, τοσαῦται τριάδες ### book 13.3 ἐν τῷ θ. ### book 14.1 Οἷον ὁ δ καὶ ὁ γ. συντεθήτω ὁ γ εἰς τὸν δ καὶ πεπολ‐ ### book 14.2 λαπλασιάσθω ὁ δ· γίνεται ιβ. τρὶς γὰρ δ ιβ. καὶ ὁμοίως ### book 14.3 πάλιν ὁ δ εἰς τὸν γ, καὶ πεπολλαπλασιάσθω· τετράκις ### book 14 τρεῖς ιβ. ### book 15.1 Οἷον τρεῖς ϛ ιβ. πολλαπλασίασον τάδε οὕτως· τρὶς ### book 15.2 ἓξ ιη· ὀκτωκαιδεκάκις τὰ ιβ σιϛ· γίνωσκε, ὅτι, ἐὰν τρεῖς ### book 15.3 ἀριθμοὶ ἴσοι πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, οἱ ### book 15.4 ἀριθμοὶ ἐκεῖνοι ἢ ἴσοι ἔσονται ἢ ἄνισοι πρὸς ἀλλήλους, καὶ ### book 15.5 εἰ μὲν ἴσοι, ποιοῦσι κύβον, εἰ δὲ ἄνισοι, ἁπλῶς στερεόν. ### book 16.1 Ἐνταῦθα περὶ πρώτων πρὸς ἀλλήλους διαλέγεται ### book 16.2 ἀριθμῶν. ### book 17.1 Ἔστω ὁ κε καὶ ὁ ι. δεῖ δὴ τῶνδε τὸ μέγιστον κοινὸν ### book 17.2 μέτρον εὑρεῖν. ἀφῃρήσθω τοῦ κε ὁ ι δίς. λοιπὸν ὁ ε ἀπὸ τοῦ ### book 17.3 ι· λείπεται ὁ ε. οὗτος δὴ μετρεῖ τὸν πρὸ αὐτοῦ, καὶ μείζων ### book 17.4 τούτου τὸν ι καὶ κε ἄλλος οὐ μετρήσει. ### book 18.1 Ἔστω ὁ ΑΒ μονάδων κε, ὁ δὲ ΓΔ ι. ἀφῃρήσθω τοῦ ### book 18.2 κε ὁ ι δίς. λείπεται ὁ ΑΕ μονάδων ε. οὗτος μετρεῖ τὸν πρὸ ### book 18.3 αὐτοῦ τὸν ι, καὶ μείζων τούτου τὸν κε καὶ ι ἄλλος οὐ μετρή‐ ### book 18.4 σει. ### book 19.1 Ἐὰν γὰρ ἀριθμὸς ἀριθμοῦ τὸ μέρος μετρῇ, μετρήσει ### book 19.2 καὶ τὸν ὅλον, καὶ ἐὰν τὸν ὅλον, καὶ τὸ μέρος. ### book 20.1 Ὥσπερ γὰρ ὁ ε δὶς εἰς ἑαυτὸν γενόμενος μετρεῖ τὸν ι, ### book 20.2 οὕτως ὁ αὐτὸς οὗτος ε ἅπαξ εἰς ἑαυτὸν μετρήσει ἑαυτόν· ### book 20 ἅπαξ γὰρ ε ε. ### book 21.1 Ἔστωσαν τρεῖς ὁ ι καὶ ὁ κ καὶ ὁ λε, καὶ εἰλήφθω ### book 21.2 τοῦ ι καὶ κ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ ε. οὗτος δὴ μετρεῖ τὸν ### book 21.3 λε καί ἐστι μέγιστον μέτρον τῶν γ ἀριθμῶν. εἰ δὲ μὴ ### book 21.4 ἐμέτρει ὁ ε τὸν λε, ἐλάμβανον κοινὸν μέγιστον μέτρον τοῦ ### book 21.5.1 τε ληφθέντος κοινοῦ μέτρου τῶν δύο τῶν πρώτων καὶ τοῦ ### book 21.5.2 λε καὶ εἶχον τῶν γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον. ### book 22.1 Καθολικὴ μέθοδος, ὅτι τριῶν ἀριθμῶν ἐκκειμένων ### book 22.2 τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν. ἐκκείσθωσαν οἱ ### book 22.3 δοθέντες ἀριθμοὶ οἱ ὑποκείμενοι. δεῖ δὴ τῶν ὑποκειμένων ### book 22.4 τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν. ἔστωσαν οἱ ὑποκείμενοι ### book 22.5.1 ἀριθμοὶ ὁ λϛ, ὁ μη καὶ ὁ νδ, καὶ εἰλήφθω διὰ τὸ πρὸ αὐτοῦ ### book 22.5.2 θεώρημα τῶν λϛ καὶ μη κοινὸν μέγιστον μέτρον ὁ ιβ ἀριθ‐ ### book 22.5.3 μός. καὶ πάλιν εἰλήφθω τῶν ιβ καὶ νδ κοινὸν μέτρον ὁ ϛ ### book 22.5.4 ἀριθμός. ὁ ϛ ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶ τῶν λϛ, μη, ### book 22.5.5 νδ ἀριθμῶν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 23.1 Εἰ μὲν οὖν καταμετρεῖ ὁ ΒΓ τὸν Α, μέρος ἐστὶν ὁ ### book 23.2 ΒΓ τοῦ Α, καὶ οὐκ εἰσὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους· ἔχουσι γὰρ ### book 23.3 κοινὸν μέτρον τὸν ἀριθμὸν ἐκεῖνον, μεθ’ οὗ καταμετρεῖ ### book 23.4 ὁ ΒΓ τὸν Α, οἷον, εἰ εἴη ὁ Α ι, ὁ δὲ ΒΓ ε, καταμετρεῖ ὁ ε ### book 23.5.1 τὸν ι μετὰ τοῦ β· πεντάκις γὰρ δύο ι· καί ἐστιν αὐτῶν ### book 23.5.2 κοινὸν μέτρον ὁ β· ὥστε οὐκ εἰσὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους. ### book 23.5.3 εἰ δὲ οὐ καταμετρεῖ ὁ ΒΓ τὸν Α, μέρη ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α, ### book 23.5.4 καὶ ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, ὡς ὁ ζ καὶ ια, ἢ οὔ, ### book 23.5.5 ὡς ὁ ιβ καὶ θ. καὶ εἰ μέν εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, ἑκάστη ### book 23.10.1 μονὰς τοῦ ἐλάσσονος μέρος ἐστὶ τοῦ μείζονος, καὶ τὸ μὲν ### book 23.10.2 πλῆθος λαμβάνομεν ἐκ τοῦ ἐλάττονος ἀριθμοῦ, τὸ δὲ ### book 23.10.3 εἶδος ἐκ τοῦ μείζονος, οἷον ἐπὶ τοῦ ζ καὶ ια αἱ μὲν ζ μονά‐ ### book 23.10.4 δες πλῆθος οὖσαι τὸ ζ λέγεσθαι λαμβάνουσιν ἀπὸ τοῦ ### book 23.10.5 ζ, τὸ δὲ εἶδος ἀπὸ τοῦ ια, οἷον ἑπτὰ ἑνδέκατα, τὸ μὲν ἑπτὰ ### book 23.15.1 πλῆθος, τὸ δὲ ια εἶδος. εἰ δὲ οὐκ εἰσὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλή‐ ### book 23.15.2 λους καὶ οὐ καταμετρεῖ ὁ ἐλάττων τὸν μείζονα ὡς ἐπὶ τοῦ ### book 23.15.3 ιη καὶ ιβ, τὸ μὲν πλῆθος τῶν μερῶν λαμβάνομεν ἐκ τοῦ ### book 23.15.4 μερισμοῦ τοῦ ἐλάττονος ἀριθμοῦ καὶ ἐκ τοῦ μεγίστου κοι‐ ### book 23.15.5 νοῦ μέτρου, ὅσους σώζει ὁ ἐλάττων ἴσους τῷ κοινῷ με‐ ### book 23.20.1 γίστῳ μέτρῳ· οἷον, ἐπεὶ ὁ ϛ κοινὸν μέγιστόν ἐστι μέτρον ### book 23.20.2 τοῦ ιη καὶ ιβ, ζητῶ, τί μέρος ἐστὶν ὁ ϛ τοῦ ιη, καὶ ἐπεὶ ὁ ιβ ### book 23.20.3 εἰς β διαιρεῖται ἑξάδας, εὑρίσκω τὸ μὲν πλῆθος ἤτοι τὸ δύο ### book 23.20.4 ἀπὸ τοῦ μερισμοῦ τοῦ ιβ λεγόμενον, τὸ δὲ εἶδος, οἷον τὸ ϛʹ, ### book 23 ἀπὸ τοῦ μεγίστου κοινοῦ μέτρου τοῦ ϛ· τὸ γὰρ ϛʹ ἀπὸ τοῦ ϛ, ### book 23.25.1 ὅστις ἐστὶ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον τοῦ ιη καὶ ϛ. ὥστε, ### book 23.25.2 ὡς εἴρηται, εἰ μέν εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, τὸ μὲν πλῆ‐ ### book 23.25.3 θος λαμβάνεται ἀπ’ αὐτοῦ τοῦ ἐλάττονος, τὸ δὲ εἶδος ἀπὸ ### book 23.25.4 τοῦ μείζονος. εἰ δὲ οὐκ εἰσὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οὐδὲ ### book 23.25.5 καταμετρεῖ ὁ ἐλάττων τὸν μείζονα, τὸ μὲν πλῆθος λαμ‐ ### book 23.30.1 βάνεται οὐκ ἀπὸ τοῦ ἐλάττονος, ἀλλ’ ἀπὸ τοῦ μερισμοῦ ### book 23.30.2 τοῦ ἐλάττονος ἀριθμοῦ, τὸ δὲ εἶδος ἀπὸ τοῦ κοινοῦ μεγί‐ ### book 23.30.3 στου τῶν δύο ἀριθμῶν τοῦ τε ἐλάττονος καὶ τοῦ μείζονος. ### book 24.1 ὥστε μέρη ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α. p. 110, 13] οἷον εἴ ### book 24.2 ἐστιν ὁ Α μονάδων ια, ὁ δὲ ΒΓ ζ, ὁ ζ τοῦ ια ἑπτά ἐστι ### book 24.3 ἑνδέκατα. ὥστε μέρη ἐστὶν ὁ ζ τοῦ ια, ἀλλ’ οὐ μέρος. καὶ ### book 24.4 ἁπλῶς τῶν πρώτων ἀριθμῶν οἱ ἐλάσσονες μέρη εἰσὶ τῶν ### book 24.5 μειζόνων, ἀλλ’ οὐ μέρος. ### book 25.1 ὥστε μέρη ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α. p. 111, 4] τρία δηλον‐ ### book 25.2 ότι πέμπτα. ἔστω γὰρ ὁ Α κε, ὁ δὲ ΒΓ ιε, κοινὸν δὲ μέ‐ ### book 25.3 γιστον αὐτῶν μέτρον ὁ ε. ### book 26.1 ἔστω ὁ Α γ, ὁ δὲ ΒΓ θ, ὁ δὲ Δ ϛ, ὁ δὲ ΕΖ ιη. τὰ ### book 26.2 δὴ γ τοῦ θ γʹ εἰσὶ μέρος καὶ τὰ ϛ τοῦ ιη, καὶ συναμφότερα ### book 26.3 ὁ ϛ καὶ γ ἤτοι ὁ θ συναμφοτέρων τοῦ ιη καὶ θ ἤτοι τοῦ κζ ### book 26.4 γʹ εἰσίν. ### book 27.1 ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος p. 111, 21. 22] διότι ἰσάκις ### book 27.2 εἰσὶν οἱ ΒΓ, ΕΖ τῶν Α, Β πολλαπλάσιοι. ### book 28.1 Ἔστω ὁ ΑΒ μονάδων δ, ὁ δὲ Γ ϛ. ὁ δ ἄρα τοῦ ϛ ### book 28.2 μέρη ἐστί, δύο τρίτα. οὐ γὰρ καταμετρεῖ ὁ δ τὸν ϛ οὔτε ### book 28.3 μεθ’ ἑαυτοῦ ἤτοι εἰς ἑαυτὸν γενόμενος, ὥσπερ ὁ β τὸν δ καὶ ### book 28 ὁ γ τὸν θ, οὔτε μετ’ ἄλλου τινὸς πολλαπλασιασθείς. ### book 29.1 Μέρη λέγω τοὺς ὑπολόγους, ὑποεπιτρίτους, ὑποεπι‐ ### book 29.2 τετάρτους. ### book 30.1 Σημειωτέον, ὅτι, ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρη ᾖ καὶ ### book 30.2 ἕτερος ἑτέρου τὰ αὐτὰ ἤτοι τοιαῦτα, καὶ ὅσα μέρη ἐστὶν ### book 30.3 ὁ πρῶτος τοῦ δευτέρου, τοσαῦτα καὶ ὁ τρίτος τοῦ τετάρ‐ ### book 30.4 του τὰ αὐτά. ### book 31.1 ὃ ἄρα μέρος ἐστίν p. 114, 4] δυνατὸν καὶ τοῦτο διὰ ### book 31.2 τὸ θʹ τοῦ εʹ τὴν πίστιν λαβεῖν. εἰσὶ γὰρ οἱ ἐν τούτῳ λόγοι ### book 31.3 καθολικοί τε καὶ πᾶσιν ἁρμόζοντες, οὐ μόνον μεγέθεσιν, ### book 31.4 ἀλλὰ καὶ ἀριθμοῖς. ### book 32.1 Ἔστω ὁ ΑΒ μονάδων η, ὁ δὲ ΓΔ ιβ. ἔστιν ἄρα ὁ η ### book 32.2 τοῦ ιβ δύο τρίτα μέρη. οὐ γὰρ καταμετρεῖ οὐδ’ ὅλως ὁ η ### book 32.3 τὸν ιβ. εἰ δὲ βούλει, ἔστω ὁ ΑΒ ιβ, ὁ δὲ ΓΔ ιη. ἔστιν οὖν ### book 32.4 ὁ ιβ τοῦ ιη δύο τρίτα. καὶ διαιρεθήτω ὁ ΓΔ εἰς ιβ καὶ ϛ, ὁ ### book 32.5.1 δὲ ΑΒ εἰς η καὶ δ. ἔστιν ἄρα ὁ ΑΕ ὁ η τοῦ ΓΖ τοῦ ιβ δύο ### book 32.5.2 τρίτα, ὥσπερ καὶ ὁ ὅλος ὁ ΑΒ ὁ ιβ ὅλου τοῦ ΓΔ τοῦ ιη ### book 32.5.3 δύο τρίτα. καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΕΒ ὁ δ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τοῦ ### book 32.5.4 ϛ ἐστι δύο τρίτα. ### book 33 εἰς τὰ τοῦ ΓΔ μέρη p. 114, 19. 20] τουτέστιν εἰς ### book 33.1 μέρη ὡς εἶναι τὸ μὲν ΗΚ μέρος τοῦ ΓΖ, τὸ δὲ ΚΘ τοῦ ### book 33.2 ΖΔ. ὃ ἄρα ἐστὶν ὁ ΗΚ ὁ η τοῦ ΓΖ τοῦ ιβ, τοῦτό ἐστι καὶ ### book 33.3 ὁ ΚΘ ὁ δ τοῦ ΖΔ τοῦ ϛ· δύο γὰρ τρίτα καὶ ὁ η τοῦ ιβ καὶ ### book 33.5.1 ὁ δ τοῦ ϛ· ὡσαύτως, φησί, καὶ ὁ ΑΕ διῃρήσθω εἰς μέρη ### book 33.5.2 δυνάμενα εἶναι τῶν μερῶν τοῦ ΓΖ. ### book 34.1 καὶ συναμφότερος ἄρα ὁ ΜΚ, ΝΘ p. 115, 13] διὰ ### book 34.2 τὸ κδʹ τοῦ εʹ. ἐὰν γὰρ πρῶτος ληφθῇ ὁ ΜΚ, δεύτερος ὁ ### book 34.3 ΖΔ, τρίτος ὁ ΗΚ, τέταρτος ὁ ΓΔ, πέμπτος ὁ ΝΘ, ἕκτος ### book 34.4 ὁ ΚΘ, καὶ συντεθῇ πρῶτος ὁ ΜΚ καὶ πέμπτος ὁ ΝΘ, πρὸς ### book 34.5.1 δεύτερον τὸν ΖΔ τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται καὶ τρίτος ὁ ΗΚ καὶ ### book 34.5.2 ἕκτος ὁ ΚΘ τετάρτου τοῦ ΓΔ. ἴσος δὲ συναμφότερος ὁ ### book 34.5.3 ΜΚ, ΝΘ τῷ ΒΕ. ἐπεὶ γὰρ ὁ ΗΘ ἴσος ὑπετέθη τῷ ΑΒ, οἱ ### book 34.5.4 δὲ ΗΜ, ΚΝ ἴσοι ἐδείχθησαν τοῖς ΑΛ, ΛΕ, καὶ λοιποὶ ### book 34.5.5 ἄρα οἱ ΜΚ, ΝΘ λοιπῷ τῷ ΕΒ ἴσοι εἰσίν. ἐὰν γὰρ ἀπὸ τῶν ### book 34.10.1 ἴσων ἴσα ἀφέλῃς, τὰ καταλειπόμενα ἴσα ἀλλήλοις εἰσί. καὶ ### book 34.10.2 τὰ λοιπὰ δῆλα. ### book 35.1 ὥστε καὶ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΒΗ τοῦ ΕΘ ἢ μέρη ### book 35.2 p. 116, 20. 21] ὅτι δὲ ὁ ΒΗ ἐλάττων ἐστὶ τοῦ ΕΘ, δῆλον ### book 35.3 ἐκ τοῦ ιδʹ τοῦ εʹ· ἐὰν γὰρ τὸν Α πρῶτον θήσομεν, δεύτερον ### book 35.4 τὸν ΒΗ, τρίτον τὸν Δ, τέταρτον τὸν ΕΘ, ἐπεὶ ἐν τῷ αὐτῷ ### book 35.5.1 λόγῳ εἰσίν, ἔστι δὲ ὁ πρῶτος τοῦ τρίτου ἐλάσσων· ὑπ‐ ### book 35.5.2 ετέθη γάρ· καὶ ὁ δεύτερος ὁ ΒΗ δηλαδὴ τετάρτου τοῦ ΕΘ ### book 35.5.3 ἐλάσσων ἔσται. πᾶς δὲ ἀριθμὸς παντὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάττων ### book 35 τοῦ μείζονος ἢ μέρος ἐστὶν ἢ μέρη διὰ τὸ δʹ τοῦ ζʹ. ### book 36.1 Νοοῦμεν τὰ αὐτὰ μέρη τὸ μὲν πλῆθος τοῦ ποσοῦ τῶν ### book 36.2 μερῶν ἴσον, τὴν δὲ ποιότητα τῶν μερῶν ἀφ’ ἑκατέρου ### book 36.3 μέρους τῶν ἐλασσόνων ἀριθμῶν ἑνὸς μέρους πρὸς ἓν ἐξ ### book 36.4 ἀνάγκης τὴν αὐτὴν εἶναι, ἐνδέχεται δὲ ἐν πλείοσι μέρεσι ### book 36.5.1 τῶν ἐλασσόνων ἀριθμῶν τὴν ποιότητα καὶ τὴν αὐτὴν εἶναι ### book 36.5.2 καὶ οὐ τὴν αὐτήν, ὅτε εἰσὶ μέρη οἱ ἐλάσσονες ἀριθμοὶ τῶν ### book 36.5.3 μειζόνων. ### book 37.1 Ὀρθῶς πρόσκειται τὸ μέρος ἢ μέρη· δυνατὸν γὰρ ### book 37.2 τὸν μὲν πρῶτον τοῦ δευτέρου μέρη εἶναι καὶ τὸν τρίτον τοῦ ### book 37.3 τετάρτου, μὴ μέντοι τὸν πρῶτον τοῦ τρίτου μέρη, ἀλλὰ ### book 37.4 μέρος, ὡσαύτως δὲ τούτῳ καὶ τὸν δεύτερον τοῦ τετάρτου, ### book 37.5.1 οἷον ὡς ὁ β καὶ ϛ καὶ ὁ γ καὶ θ καὶ πάλιν ὁ γ τοῦ ε καὶ ὁ ### book 37.5.2 ϛ τοῦ ι. ### book 38.1 Τοῦτο τοῦ ζʹ καθολικώτερον. λέγω, ὅτι καὶ τῶν ### book 38.2 ἔμπροσθεν θεωρημάτων θεμέλιον· περὶ γὰρ ἀναλογιῶν ### book 38.3 ἐπὶ τούτοις διαλέξεται, ἐν δὲ τοῖς προλαβοῦσι περὶ λόγων ### book 38.4 ἁπλῶς. ### book 39.1 Τούτῳ τῷ θεωρήματι ἐμπεριέχεται τό τε ἕβδομον ### book 39.2 καὶ ὄγδοον· καθολικώτερον γάρ. ### book 40.1 Τοῦτο τοῦ εʹ καὶ ϛʹ καθολικώτερον· ἃ γὰρ ἐκεῖ ### book 40.2 διῃρημένως ἐπὶ μέρους ἢ μερῶν ἐδείκνυτο, ταῦτα ἐν τού‐ ### book 40 τῳ συνῃρημένως. ### book 41 Καθολικώτερον δὲ τοῦτο τοῦ θʹ καὶ ιʹ θεωρήματος. ### book 42.1 Τῶν ἀναλογιῶν ἡ μέν ἐστι συνεχής, ἡ δὲ διεχής, καὶ ### book 42.2 συνεχὴς μέν, ὡς ὅταν ἐστὶν ὡς ὁ α πρὸς τὸν β, οὕτως ὁ β ### book 42.3 πρὸς τὸν γ καὶ ὁ γ πρὸς τὸν δ καὶ ἑξῆς ὁμοίως, διεχὴς δέ, ### book 42.4 ὡς ὅταν ὡς ὁ α πρὸς τὸν β, οὕτως ὁ γ πρὸς τὸν δ καὶ ὁ ε ### book 42.5.1 πρὸς τὸν ϛ καὶ ἐφεξῆς. ἰστέον οὖν, ὅτι ὁ δι’ ἴσου λόγος ἐν ### book 42.5.2 τῇ συνεχεῖ μόνῃ ἀναλογίᾳ θεωρεῖται, οὐ μέντοι καὶ ἐν τῇ ### book 42.5.3 διεχεῖ, οἷον ἔστωσαν ἀριθμοὶ τρεῖς, ὁ α, ὁ β καὶ ὁ δ, καὶ ### book 42.5.4 ἄλλοι αὐτοῖς ἴσοι τὸ πλῆθος, ὁ γ, ὁ ϛ καὶ ὁ ιβ. οὗτοι τὴν ### book 42.5.5 συνεχῆ φυλάττουσιν ἀναλογίαν, καὶ λαμβανόντων ἡμῶν ### book 42.10.1 τὰ ἄκρα ὁ αὐτὸς ἐν ἀμφοτέροις ἐστὶ λόγος· ὡς γὰρ ἔχει ἡ ### book 42.10.2 μονὰς πρὸς τὸν δ, οὕτως ὁ γ πρὸς τὸν ιβ, καὶ τὸ δι’ ἴσου ### book 42.10.3 τετήρηται. ἐν δὲ τῇ διεχεῖ ἀναλογίᾳ ἥκιστα τὸ τοιοῦτόν ἐστι ### book 42.10.4 γινόμενον. οἷον ἐν διεχεῖ ἀναλογίᾳ ἔστωσαν ἀριθμοὶ δ ὁ ### book 42.10.5 α ὁ β ὁ γ ὁ ϛ καὶ ἄλλοι αὐτοῖς ἴσοι τὸ πλῆθος σύνδυο λαμ‐ ### book 42.15.1 βανόμενοι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὁ δ ὁ η ὁ ε ὁ ι. ἐν τούτοις ### book 42.15.2 εἰ καὶ δι’ ἴσου εἰπόντες τὰ ἄκρα λάβοιμεν, οὐδὲν εὑρήσο‐ ### book 42.15.3 μεν ὅμοιον· ἡ γὰρ μονὰς τοῦ ϛ μέρος ἐστὶ καί ἐστιν αὐτοῦ ### book 42.15.4 ἕκτον α· ὁ δὲ δ τοῦ ι μέρη ἐστί· δέκατα γὰρ αὐτοῦ ἔχει δ. ### book 42.15.5 ὥστε ὁ μὲν ϛ τῆς μονάδος ἑξαπλάσιος ὢν πολλαπλάσιός ### book 42.20 ἐστιν ἁπλῶς, ὁ δὲ ι τοῦ δ διπλασιεφήμισυς ὢν ἐπιδιμερής ### book 42.1 ἐστιν αὐτοῦ, τὸ δὲ ἐπιδιμερὲς τοῦ ἐπιμεροῦς εἶδός ἐστιν, ### book 42.2 ἐπὶ πολλαπλασίου δὲ λόγου καὶ εἴδους ἐπιμεροῦς οὐδὲν ### book 42.3 ἂν διαμάρτοι ὁ τὸ Ὁμήρειον ἐκεῖνο λέγων ἔπος τὸ ### book 42.4 ἦ μάλα πολλὰ μεταξὺ ### book 42.25 οὔρεά τε σκιόεντα θάλασσά τε ἠχήεσσα. ### book 43.1 Ἡ τοῦ ιδʹ θεωρήματος δεῖξις διὰ τοῦ πρὸ αὐτοῦ ### book 43.2 ἐστιν. κατὰ τὸ κβʹ τοῦ εʹ. ### book 44 Τοῦτο τῷ θʹ ἐμπεριέχεται. ### book 45.1 Διὰ τὸ ιβʹ τοῦ αὐτοῦ. σημειωτέον δέ, ὡς ὁ στοιχειω‐ ### book 45.2 τὴς καὶ τὴν μονάδα ἀριθμὸν ὀνομάζει. ### book 46.1 Διὰ τὸν ὅρον τὸν λέγοντα· ἀριθμὸς ἀριθμὸν πολλα‐ ### book 46.2 πλασιάζειν λέγεται, ὅταν, ὅσαι εἰσὶν ἐν αὐτῷ μονάδες, ### book 46.3 τοσαυτάκις συντεθῇ ὁ πολλαπλασιαζόμενος καὶ γένηταί ### book 46.4 τις. ### book 47.1 ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ Ζ μονάς p. 124, 5] εἰ γὰρ ἰσάκις ἡ Ζ ### book 47.2 μονὰς καὶ ὁ Β ἀριθμὸς τοὺς Α, Δ μετροῦσι, ὃ μέρος ἐστὶν ### book 47.3 ἡ Ζ μονὰς τοῦ Α ἀριθμοῦ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ Β τοῦ Δ. ### book 48.1 Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ ὁ μὲν Α δ, ὁ δὲ Β β, ὁ δὲ Γ γ, ### book 48.2 καὶ πολλαπλασιάσαντες ὁ δ καὶ ὁ β τὸν γ ποιείτωσαν τὸν ιβ ### book 48 καὶ ϛ. ### book 49.1 Τὸ ιηʹ θεώρημα τῷ πρὸ αὐτοῦ ἀντιστρέφει· εἷς μὲν ### book 49.2 γὰρ δύο πολλαπλασιάζει ἐκεῖ, δύο δὲ ἕνα ἐνταῦθα. ### book 50.1 ὡς δὲ ὁ Η πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β ### book 50.2 p. 126, 12] εἴ τις ἀποροίη λέγων· πόθεν δῆλον, ὅτι ὡς ὁ Η ### book 50.3 πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β; φήσομεν, ὅτι ἀναγκαίως ### book 50.4 τοῦτο ἔχει. ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β τὸν Γ πολλαπλασιάσαντες ### book 50.5.1 τοὺς Η, Ζ πεποιήκασιν, ἐδείχθη δέ, ὅτι, εἰ δύο ἀριθμοὶ ### book 50.5.2 ἕνα πολλαπλασιάσαντες ποιήσουσί τινας, οἱ γενόμενοι τὸν ### book 50.5.3 αὐτὸν αὐτοῖς λόγον ἕξουσιν, εἰκότως ὡς ὁ Η πρὸς τὸν Ζ, ### book 50.5.4 οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β, καὶ τὰς λαβὰς διεφύγομεν. ### book 51.1 Ἐλάχιστοι κατὰ ὄγκον, κατὰ δὲ ἀριθμὸν ἴσοι, ὡς ὁ ### book 51.2 κ πρὸς τὸν λ, οὕτως ὁ β πρὸς τὸν γ, ἀριθμοὶ ἴσοι δύο καὶ ### book 51.3 δύο, πλῆθος ἐλάχιστον β καὶ γ, μεῖζον κ καὶ λ. ### book 52.1 Διὰ τὸν ἐναλλὰξ λόγον καὶ τὸν ὅρον τοῦ ζʹ ὡς ὁ Α ### book 52.2 πρὸς τὸν ΓΔ, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν ΕΖ· καὶ ἐπεὶ ἀνάλογόν ### book 52.3 εἰσιν, ἢ τὸ αὐτὸ μέρος ἢ τὰ αὐτὰ μέρη εἰσὶν ὁ βʹ καὶ ὁ δʹ. ### book 53.1 Ἐπεὶ γὰρ ὡς ὁ Α πρὸς Β, οὕτως ὁ ΓΔ πρὸς ΕΖ, ### book 53.2 ἐναλλὰξ ὡς ὁ Α πρὸς ΓΔ, οὕτως ὁ Β πρὸς ΕΖ. ἐὰν ἄρα ### book 53.3 μέρη ᾖ ὁ ΓΔ τοῦ Α, καὶ ὁ ΕΖ μέρη ἔσται τοῦ Β, καὶ τόσα, ### book 53.4 ὅσα καὶ ὁ ΓΔ τοῦ Α καὶ οἷα· οἷον εἰ δύο τρίτα, κἀκεῖνα δύο ### book 53.5 τρίτα, καὶ εἰ δύο 𐅵ʹʹ ὡσαύτως, καὶ ἐφεξῆς. ### book 54.1 Καὶ ἐπεί ἐστιν ὁ ΓΗ μέρος τοῦ Α καὶ ὁ ΕΘ μέρος ### book 54.2 τοῦ Β, τὸ αὐτὸ μέρος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάττων ### book 54.3 τοῦ μείζονος, ὅταν καταμετρῇ τὸν μείζονα, ὁσαπλάσιός ### book 54.4 ἐστιν ὁ Α τοῦ ΓΗ, τοσαυταπλάσιος καὶ ὁ Β τοῦ ΕΘ, ### book 54.5 ὡσαύτως δὲ καὶ τοῦ ΗΔ ὁ Α καὶ ὁ Β τοῦ ΘΖ. ### book 55.1 ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον p. 127, 21] ἀδύνατον πόθεν; ### book 55.2 ἐπειδὴ ἐλαχίστων δοθέντων τῶν ΓΔ, ΕΖ ἐλάττονες αὐτῶν ### book 55.3 εὑρέθησαν οἱ ΓΗ, ΕΘ· ὅπερ ἀδύνατον τῶν ἐλαχίστων ### book 55.4 ἐλαχιστοτέρους εἶναι. ### book 56 Τοῦτο ἀντιστρέφει τῷ πρὸ αὐτοῦ. ### book 57.1 ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον p. 130, 5] ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β ### book 57.2 ἐλάχιστοι ὑπετέθησαν τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, ### book 57.3 μετροῦσι δὲ αὐτοὺς οἱ Δ, Ε, πάντως ἐλάσσονες αὐτῶν εἰσιν· ### book 57.4 εὑρέθησαν δὲ καὶ τὸν αὐτὸν αὐτοῖς λόγον ἔχοντες, τοῦτο δὲ ### book 57.5 ἀδύνατον ὡς ἐναντίον τῆς ὑποθέσεως. ### book 58.1 οἱ δὲ Α, Ε πρῶτοι p. 131, 21] πρῶτοί εἰσιν οἱ Α, Ε ### book 58.2 διὰ τὸ κεʹ τοῦ ζʹ. ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Γ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ### book 58.3 εἰσί, τὸν δὲ ἕνα αὐτῶν τὸν Γ μετρεῖ ὁ Ε, καλῶς ἄρα πρὸς ### book 58.4 τὸν λοιπὸν αὐτῶν τὸν Α πρῶτός ἐστιν. ### book 59 Οἷον ὁ ζ καὶ ε πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους. οἷον βούλει, ### book 59.1 πολυπλασίασον, καὶ ἔσται ὁ γενόμενος πρὸς τὸν λοιπὸν ### book 59.2 ὡσαύτως πρῶτος. εἰ δὲ καὶ ἀμφοτέρους πολυπλασιάσεις, ### book 59.3 οἱ ἐξ ἀμφοτέρων γενόμενοι πάλιν πρὸς ἀλλήλους πρῶτοί ### book 59.5 εἰσιν. ### book 60.1 Ἐάν, φησίν, οἱ Α, Β ἀμφότεροι πρὸς τὸν Γ πρῶτοι ### book 60.2 ὦσιν, ὁμοίως πάλιν οἱ αὐτοὶ Α, Β καὶ πρὸς τὸν Δ πρῶτοι ### book 60.3 ὦσιν, ἔστιν, ὃ λέγει· οὐ γὰρ λέγει, ὅτι, ἂν ὁ Α πρὸς τὸν Γ ### book 60.4 ᾖ πρῶτος καὶ ὁ Β πάλιν πρὸς τὸν Δ, ἀλλὰ ἂν οἱ Α, Β πρὸς ### book 60.5.1 τὸν Γ ὦσι πρῶτοι καὶ πάλιν οἱ αὐτοὶ Α, Β πρὸς τὸν Δ ὦσι ### book 60.5.2 πρῶτοι. ### book 61.1 ἑκάτερος ἄρα τῶν Γ, Δ πρὸς τὸν Ε p. 133, 10. 11] διὰ ### book 61.2 τὸ δοθῆναι τοὺς Α, Β πρὸς ἑκάτερον τῶν Γ, Δ πρώτους ### book 61.3 εἶναι, δείκνυται δὲ διὰ τοῦ θεωρήματος τοῦ κδʹ, ὅτι, ἐὰν ### book 61.4 δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β πρός τινα τὸν Δ πρῶτοι ὦσιν, καὶ ὁ ### book 61.5.1 ἐξ αὐτῶν γενόμενος ὁ Ε πρὸς τὸν Δ πρῶτός ἐστιν. ὁμοίως ### book 61.5.2 διὰ τοῦ αὐτοῦ θεωρήματος ἐδείχθη καὶ ὁ Γ πρὸς τὸν Ε ### book 61.5.3 πρῶτος· ἑκάτερος ἄρα τῶν Γ, Δ πρὸς τὸν Ε πρῶτός ἐστιν. ### book 62.1 Καλῶς εἴρηται τὸ ὃν μὴ μετρεῖ· οὐδὲ γὰρ πρὸς ὃν ### book 62.2 μετρεῖ πρῶτός ἐστιν. οἷον ὁ γ πρῶτος ὢν καὶ τὸν ιε ### book 62.3 μετρῶν οὐκ ἔστι πρῶτος πρὸς αὐτόν· μετρεῖ γὰρ ὁ γ καὶ ### book 62 ἑαυτόν, ὥστε κοινὸν μέτρον ὁ γ ἑαυτοῦ τε καὶ τοῦ ιε ἐστιν. ### book 63.1 Τὸν γὰρ Α μὴ μετρείτω p. 137, 10] δέδοται ἕνα ### book 63.2 μετρεῖν, ὡς ὑποκάτω ἐμφαίνει εἰς τό· ὁμοίως δὴ δείξομεν, ### book 63.3 ὅτι καὶ ἐὰν τὸν Β μὴ μετρῇ. ### book 64 ἐπισκέψεως p. 138, 14] ἀντὶ κατανοήσεως. ### book 65.1 ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον ἐν ἀριθμοῖς p. 138, 17] ἐν ### book 65.2 ἀριθμοῖς γὰρ ἀπειρία κατὰ τὸ ἔλαττον οὐκ ἔστι· πεπεράτων‐ ### book 65.3 ται γὰρ οἱ ἀριθμοὶ κατὰ τὴν μονάδα, ἥτις ἐστὶ κοινὸν πάν‐ ### book 65.4 των μέτρον καὶ πρῶτον. ### book 66.1 Ὁ ρκη καὶ ὁ ξδ καὶ ὁ λβ τὸν διπλασίονα λόγον ἔχουσι. ### book 66.2 κοινὸν μέγιστον μέτρον αὐτοῖς ὁ ιϛ· ὀκτάκις γὰρ ιϛ καὶ ### book 66.3 τετράκις ιϛ καὶ δὶς δεκαὲξ ἀπογεννῶσιν ἐκείνους. καὶ αὐτοὶ ### book 66.4 οὖν ὁ ὀκτὼ ὁ δ καὶ ὁ β τὸν αὐτὸν ἐκείνοις ἔχουσι λόγον. ### book 67.1 οἱ Ε, Ζ, Η ἄρα τοῖς Α, Β, Γ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν ### book 67.2 p. 140, 6] διὰ ιηʹ τοῦ ζʹ, ὅτι, ἐὰν δύο ἀριθμοὶ ἀριθμόν ### book 67.3 τινα πολλαπλασιάσαντες ποιῶσί τινας καὶ τὸ λοιπόν, ὡς ### book 67.4 οὐκ ἐπὶ δύο πάντως μόνον ἀριθμῶν ἁρμόζοντος, ἀλλὰ καὶ ### book 67.5 ἐπὶ πλειόνων τοῦ αὐτοῦ προχωροῦντος. ### book 68.1 καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Α πολλαπλασιάσας p. 141, 10. 11] ### book 68.2 διὰ τὸν ὅρον τὸν λέγοντα· ἀριθμὸς ἀριθμὸν πολλαπλασιά‐ ### book 68.1 ζειν λέγεται, ὅταν, ὅσαι εἰσὶν ἐν αὐτῷ μονάδες. ἤδη δὲ ### book 68.2 μετρεῖ διὰ ιϛʹ καὶ ὁ Α τὸν Γ κατὰ τὰς ἐν τῷ Β μονάδας· ### book 68.5 ὁμοίως καὶ ὁ Β τὸν Γ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας. ### book 69.1 λέγω δή, ὅτι καὶ ἐλάχιστον p. 141, 12] ἐλάχιστον ### book 69.2 λέγει, οὗ ἐλάττονα οὐχ οἷόν τε ὑπὸ τῶν δοθέντων δύο ### book 69.3 ἀριθμῶν μετρηθῆναι, οἷός ἐστιν ὁ ιε· τούτου γὰρ ἐλάττονα ### book 69.4 ὑπὸ τοῦ γ καὶ ε οὐχ οἷόν τε μετρηθῆναι. ### book 70.1 ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα p. 142, 7] ὑπετέθη γὰρ ἐξ ### book 70.2 ἀρχῆς ἐλάττων ὁ Δ. ### book 71.1 καὶ εἰλήφθωσαν p. 142, 10. 11] διὰ τὸ λεʹ τοῦ ζʹ· ### book 71.2 οὗτοι γὰρ οὐκ εἰσὶν ἐλάχιστοι· εἰ γὰρ ἐλάχιστοι, καὶ πρῶτοι ### book 71.3 πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, ὅπερ οὐχ ὑπόκειται. ### book 72.1 Οἷον τὸ γʹ καὶ δʹ καὶ εʹ καὶ ἑξῆς ὁσαδηποτοῦν, εἰ ### book 72.2 λάβοις ταῦτα, ὁμώνυμα λέγεται τῶν ἀριθμῶν ἐκείνων, ### book 72.3 ὧν ὁμώνυμά ἐστι τὰ διδόμενα, οἷον τοῦ γ ἀριθμοῦ ὁμώνυ‐ ### book 72.4 μον μέρος ἐστὶ τὸ γʹ καὶ τοῦ δ τὸ δʹ καὶ τοῦ ε ἀριθμοῦ ### book 72.5.1 ὁμώνυμον μέρος ἐστὶ τὸ εʹ, καὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως, ὧν ἂν ### book 72.5.2 δῷ τις ἀριθμῶν, ἕξει τὰ ὁμώνυμα μέρη. ### book 73.1 Τὰ πάντα τῷ ἀριθμῷ, καθ’ ὃν καὶ ταυτίζονται, ### book 73.2 ὁμώνυμά ἐστιν, οἷον γʹ κατὰ τὸν τρία καὶ δʹ κατὰ τὸν ### book 73 τέσσαρα. ### book 74.1 Ἔστω ὁ Α μονάδων η, ὁ δὲ Β δ καὶ ὁ Γ β. ὁ β τέταρ‐ ### book 74.2 τόν ἐστι τοῦ η, ὁμώνυμος δὲ τῷ δ· ἀπὸ γὰρ τοῦ δ ὠνόμα‐ ### book 74.3 σται ὁ β τέταρτον τοῦ η. ἔστιν οὖν τὸ τρίτον καὶ τέταρτον ### book 74.4 καὶ πέμπτον ὁμώνυμον τῷ τρία ἀριθμῷ καὶ τῷ δ καὶ τῷ ε. ### book 75.1 Τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ὁμώνυμα ταὐτά εἰσι τῷ μέρει ἢ πέμ‐ ### book 75.2 πτα ἢ ἕκτα ἢ ἕβδομα ἢ ὄγδοα, τὰ δὲ τῷ αὐτῷ μέρει οὐκ ἐξ ### book 75.3 ἀνάγκης ταὐτὰ τῷ πλήθει, τουτέστι τοῖς μονάσιν. ### book 76.1 Ἔστω τὰ δοθέντα μέρη δέκα, καὶ δέον ἔστω εὑρεῖν ### book 76.2 τοιοῦτον ἀριθμὸν ἐλάχιστον, ὃς ἔχει τὰ δέκα μέρη. ἔστι δὲ ### book 76.3 ὁ ξ· τούτου γὰρ οὐκ ἂν εὕροις ἐλάττονα, ὃς ἕξει ταῦτα τὰ ### book 76.4 μέρη τό τε ἥμισυ καὶ τρίτον καὶ τέταρτον καὶ πέμπτον καὶ ### book 76.5.1 ἕκτον καὶ δέκατον καὶ δωδέκατον καὶ πεντεκαιδέκατον καὶ ### book 76.5.2 εἰκοστὸν καὶ τριακοστὸν [καὶ ἑξηκοστόν]. ἔστι δὲ τὸ μὲν ### book 76.5.3 ἥμισυ τῶν ξ ὁ λ ἀριθμός, τὸ δὲ γʹ ὁ κ, τὸ δὲ δʹ ὁ ιε, τὸ δὲ ### book 76.5.4 πέμπτον ὁ ιβ, τὸ δὲ ϛʹ ὁ ι, τὸ δὲ ιβʹ ὁ ε, τὸ δέκατον ὁ ϛ, τὸ ### book 76.5.5 δὲ πεντεκαιδέκατον ὁ δ, τὸ δὲ κʹ ὁ γ, τὸ δὲ τριακοστὸν ὁ ### book 76.10 β, καὶ τὸ ἑξηκοστὸν δέ ἐστιν ἡ μονάς. ### book 77.1 Ὁ ͵βφκ ἐλάχιστος ὢν ἀριθμὸς ἔχει 𐅵ʹʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ ### book 77.2 ἕβδομον, ὄγδοον, θʹ, ιʹ, καὶ ὁ διπλασίων αὐτοῦ ὁ ͵εμ ἔχει ### book 77 𐅵ʹʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ ζʹ ηʹ θʹ ιʹ. ### book 78.1 Ὁ ͵βφκ ἐλάσσων ἀριθμὸς ὢν ἔχει καὶ ὁ βπλασίων ### book 78.2 αὐτοῦ ͵εμ ἔχει 𐅵ʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ ζʹ ηʹ θʹ ιʹ. ὁμώνυμοι δὲ τῶν ### book 78.3 μορίων τούτων ἀριθμοί εἰσι τοῦ μὲν 𐅵ʹ ὁ β, τοῦ δὲ τρίτου ### book 78.4 ὁ γ, τοῦ δὲ δʹ ὁ τέσσαρα καὶ ἑξῆς. ### book 79.1 Τοῦτο καθολικώτερον τοῦ δύο ἀριθμῶν δοθέντων ### book 79.2 καὶ τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦ‐ ### book 79.3 σιν. τὰ μέντοι δύο περὶ τῶν ὁμωνύμων θεωρήματα ἔοικε ### book 79.4 τῆς κατὰ τοῦτο τὸ θεώρημα χρείας ἕνεκα παρειλῆφθαι καὶ ### book 79.5 διὰ μέσου τεθεῖσθαι. ### book 80.1 Πολλῶν ἀριθμῶν ὄντων καὶ ἐχόντων τὰ αὐτὰ μέρη, ### book 80.2 οἷον εἰ τύχοι δίδοσθαι 𐅵ʹ γʹ δʹ εʹ, εὑρεῖν τὸν ἐλάχιστον ### book 80.3 ἀριθμὸν πάντων τῶν τὰ αὐτὰ μέρη ἐχόντων αὐτοῖς. ### book 81 ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον p. 148, 19] κατεσκευάσθη γὰρ ### book 81 ὁ Η ὑπὸ τῶν Δ, Ε, Ζ ἐλάχιστος μετρούμενος ἀριθμός. ### book 1.1 Ἰστέον, ὅτι, ὁπηνίκα λέγομεν ἀριθμοὺς εὑρεῖν φέρε ### book 1.2 εἰπεῖν δ ἑξῆς ἀνάλογον ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ, τὸ λεγόμενον ### book 1.3 διὰ τῆς προτάσεως τοιοῦτόν ἐστι· τίνες εἰσὶν οἱ τέσσαρες ### book 1.4 ἀριθμοί, οἵτινες κατὰ συνέχειαν τὴν αὐτὴν πρὸς ἀλλήλους ### book 1.5.1 δύνανται σώζειν συνέχειαν, οἵτινες καὶ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν ### book 1.5.2 τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, ἐλάχιστοι δέ, οὐχ ὅτι οὐ ### book 1.5.3 δύνανται ἐλαχιστότεροι αὐτῶν εὑρεθῆναι τὸν αὐτὸν λόγον ### book 1.5.4 ἔχοντες αὐτοῖς (τοῦτο γὰρ ψεῦδός ἐστιν), ἀλλ’ ὅτι ἑξῆς τέσ‐ ### book 1.5.5 σαρες ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἐλαχιστότεροι οὐ δύνανται ἄλλοι ### book 1.10.1 εὑρεθῆναι. οἷον τέσσαρες ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ὁ ὀκτὼ καὶ ### book 1.10.2 ὁ ιβ καὶ ὁ ιη καὶ ὁ κζ ἐν ἡμιολίῳ λόγῳ, καὶ τούτων εἰσὶν ### book 1.10.3 ἄλλοι ἐλαχιστότεροι ἐν ἡμιολίῳ λόγῳ, τέσσαρες δὲ οὐδα‐ ### book 1.10.4 μῶς, ἀλλ’ οἱ εὐθὺς μετ’ αὐτοὺς ἐλάχιστοι κατὰ συνέχειαν ### book 1.10.5 ἡμιόλιοι τρεῖς εἰσιν οἷον ὁ δ ὁ ϛ ὁ θ, πάλιν οἱ τῶν δ ϛ θ ### book 1.15.1 ἐλαχιστότεροι δύο εἰσί, τρεῖς δὲ οὐδαμῶς, οἷον ὁ γ καὶ ὁ β. ### book 1.15.2 ἔστιν οὖν τὸ λεγόμενον τὸ ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον ### book 1.15.3 ἐλαχίστους δυνάμει τοιοῦτον· δεῖ εὑρεῖν τέσσαρας ἀνάλο‐ ### book 1.15.4 γον ἀριθμούς, οἵτινες ἔσονται ἐλάχιστοι, τουτέστιν ὧν ### book 1.15.5 ἐλαχιστότεροι κατὰ συνέχειαν τέσσαρες οὐ δύνανται εὑρε‐ ### book 1.20 θῆναι. κἂν οὖν ἑπτὰ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίστους κἂν ι εὑρί‐ ### book 1.1 σκειν κἂν ἄλλους ὅσους δή τινας παρακελευώμεθα, τοιοῦ‐ ### book 1.2 τόν τι προσταττόμεθα. εὑρεῖν οὖν δεῖ τέσσαρας ἐλαχίστους, ### book 1.3 ὧν τεσσάρων ἄλλοι τέσσαρες ἑξῆς ἐλαχιστότεροι οὐ δύναν‐ ### book 1.4 ται εἶναι, ἢ εὑρεῖν δέκα ἑξῆς ἐλαχίστους, ὧν δέκα ἕτεροι ### book 1.25 δέκα ἑξῆς ἐλαχιστότεροι οὐ δύνανται εἶναι. ### book 2.1 Ἴσμεν, ὅτι, ἐὰν ἀριθμός τις ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας ### book 2.2 ποιῇ τινα, ὁ γεγονὼς ἐκ τοῦ ἑαυτοῦ πολλαπλασιασμοῦ ### book 2.3 τετράγωνός ἐστιν, εἰ δὲ τοῦτο, ὁ δὲ Α ἑαυτὸν πολλαπλα‐ ### book 2.4 σιάσας τὸν Γ πεποίηκεν, ὁ Γ τετράγωνός ἐστι. πάλιν ἐπεὶ ### book 2.5.1 ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, ὁ Ε τετρά‐ ### book 2.5.2 γωνός ἐστι. καὶ ἐπεὶ πάλιν ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας ### book 2.5.3 τὸν Γ πεποίηκεν, τὸν δὲ Γ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ πε‐ ### book 2.5.4 ποίηκεν, ὁ Ζ κύβος ἐστί. πάλιν ἐπεὶ ὁ Β ἑαυτὸν πολλαπλα‐ ### book 2.5.5 σιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Κ ### book 2.10 πεποίηκεν, ὁ Κ ἄρα κύβος ἐστίν. ### book 3 Πυθμενικὸς δὲ πυθμὴν πειράζεται διὰ ληʹ τοῦ ζʹ. ### book 4.1 Τὸ πρῶτον καὶ τὸ τρίτον προαποδέδεικται, εἴπερ ### book 4.2 ἴσμεν, ὅτι οἱ ἐλάχιστοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν καὶ ### book 4.3 ἔμπαλιν. οὐ μὴν ἀλλὰ ταῦτα καθολικώτερά ἐστιν. λαβὼν ### book 4.4 γὰρ τοὺς ἄκρους πρώτους οὐκ αὐτοὺς μόνους ἀποδεῖξαι ### book 4.5.1 ἐλαχίστους βούλεται, ἀλλὰ καὶ τοὺς μέσους αὐτῶν ἀνάλο‐ ### book 4.5.2 γον ἐλαχίστους. καὶ ἐν τῷ τρίτῳ δὲ λαβὼν τοὺς ἄκρους ### book 4.5.3 ἐλαχίστους οὐ μόνον, ὅτι πρῶτοι, ἀποδείκνυσιν, ἀλλὰ καὶ ### book 4.5.4 ὅτι οἱ μέσοι αὐτῶν ἀνάλογον ἐλάχιστοι. ὥστε διὰ μὲν τῶν ### book 4.5.5 εἰλημμένων ἐλαχίστων καὶ τοὺς μὴ εἰλημμένους ἐλαχίστους ### book 4.10.1 δείκνυσι πρώτους, διὰ δὲ τῶν εἰλημμένων πρώτων καὶ τοὺς ### book 4.10.2 μέσους εἰλημμένους πρώτους δείκνυσιν ἐλαχίστους. εἰκό‐ ### book 4 τως ἄρα οὐκ ἠρκέσθη ἐκείνοις μόνοις. ### book 5.1 Ὁποσωνοῦν δηλοῖ τὸ διάφορον ἡμιολίου, εἰ τύχοι, καὶ ### book 5.2 ἐπιτρίτου καὶ ἐπιτετάρτου καὶ ἐπιέκτου καὶ ὁσωνδήποτε. ### book 5.3 οὗτοι οὖν οἱ λόγοι κεχωρισμένοι. τούτους τοὺς λόγους δια‐ ### book 5.4 φόρους τε ὄντας καὶ κεχωρισμένους βούλεται συνεχεῖς καὶ ### book 5.5.1 ἀχωρίστους δεῖξαι ἔχοντας τὸν αὐτὸν λόγον τοῖς δοθεῖσι ### book 5.5.2 κεχωρισμένως. οἷον ἐν ἡμιολίῳ μὲν ὁ γ πρὸς τὸν β, ἐν ἐπι‐ ### book 5.5.3 τρίτῳ ὁ δ πρὸς τὸν γ, ἐν ἐπιτετάρτῳ ὁ ε πρὸς τὸν δ. τού‐ ### book 5.5.4 των οὖν οὕτως ἐχόντων δείκνυσι τοὺς λόγους τούτους συν‐ ### book 5.5.5 ημμένους καὶ ἀχωρίστους ὄντας, ὡς ὑπόκεινται, ὁ ξ ὁ μ ὁ λ ### book 5.10 ὁ κδ. ### book 6.1 ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Θ πρὸς τὸν Η ### book 6.2 p. 154, 19. 20] ἢ διὰ τὸν ὅρον καὶ ἐναλλὰξ ἢ διὰ τὸν ὅρον ### book 6.3 καὶ ἀνάπαλιν ἢ διὰ τὸ ιζʹ τοῦ ζʹ, ὁσάκις οἱ Α, Β μετροῦσι ### book 6.4 τοὺς Η, Θ, τοσαῦται μονάδες εἰσὶν ἐν τῷ Γ. ### book 7.1 διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Γ τὸν Ξ μετρεῖ p. 155, 11. 12] ### book 7.2 πῶς διὰ τὰ αὐτά; ἢ ἐπεί ἐστι κατὰ τὴν ὑπόθεσιν ὡς ὁ Γ ### book 7.3 πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ξ πρὸς τὸν Μ. καὶ ἐναλλὰξ ἄρα καὶ ὡς ### book 7.4 ὁ Γ πρὸς τὸν Ξ, ὁ Δ πρὸς τὸν Μ. ἀλλὰ μὴν οἱ Γ, Δ ἐλά‐ ### book 7.5 χιστοι. μετρεῖ ἄρα ὁ Γ τὸν Ξ. ### book 8.1 καὶ ὁ Κ ἄρα τὸν Σ μετρεῖ p. 157, 13] ἐπεί ἐστιν ὡς ### book 8.2 ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Ρ πρὸς τὸν Σ, ὡς δὲ ὁ Γ πρὸς τὸν ### book 8.3 Δ, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Κ, καὶ ὡς ἄρα ὁ Η πρὸς τὸν Κ, ### book 8.4 οὕτως ὁ Ρ πρὸς τὸν Σ. καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ὁ Η πρὸς τὸν ### book 8.5 Ρ, οὕτως ὁ Κ πρὸς τὸν Σ. μετρεῖ δὲ ὁ Η τὸν Ρ· καὶ ὁ Κ ἄρα ### book 8 τὸν Σ μετρήσει. ### book 9.1 Οἱ ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσι ### book 9.2 τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν· οἷον ἔχουσιν αἱ πλευραὶ ### book 9.3 τὸν διπλάσιον καὶ τὸν ἡμιόλιον, ἐξ αὐτῶν δὲ ὁ τριπλάσιος ### book 9.4 σύγκειται. οἱ ἐπίπεδοι ἄρα ἔχουσι λόγον τὸν συγκείμενον ### book 9.5 ἐκ τῶν πλευρῶν. ### book 10.1 Μέθοδος, πῶς δεῖ εὑρίσκειν, ὅτι ἐκ διπλασίου καὶ ### book 10.2 ἡμιολίου σύγκειται ὁ τριπλάσιος λόγος. ### book 10.3 Αἱ τῶν λόγων πηλικότητες ἀπὸ τῶν πρωτοτύπων ἀριθ‐ ### book 10.4 μῶν παρονομάζονται, οἷον ὡς ἐνταῦθα ἀπὸ τοῦ δύο ὁ δι‐ ### book 10.5.1 πλάσιος καὶ ἀπὸ τοῦ ἓν καὶ ἥμισυ ὁ ἡμιόλιος. πολυπλα‐ ### book 10.5.2 σίασον οὖν τὸν ἓν καὶ ἥμισυ ἐπὶ τὰ β καὶ εἰπὲ οὕτως· ἅπαξ ### book 10.5.3 τὰ β β καὶ ἡμισάκις τὰ β α· ὁμοῦ γ. ὥστε τριπλάσιος λόγος ### book 10.5.4 ἀποτελεῖται ἐκ τῶν δύο λόγων τοῦ τε διπλασίου καὶ τοῦ ### book 10.5.5 ἡμιολίου. ### book 11.1 Οἱ δύο ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ ὅ τε μη καὶ ὁ ιβ συγκείμενοι ### book 11.2 ὁ μὲν μη ὑπὸ δύο πλευρῶν τοῦ τε ιβ καὶ τοῦ δ, ὁ δὲ ιβ ὑπὸ ### book 11.3 τοῦ β καὶ τοῦ ϛ· ὃν οὖν λόγον ἔχει ὁ μη πρὸς τὸν ιβ, τὸν ### book 11.4 αὐτὸν δὶς ὁ δ πρὸς τὸν β, τουτέστι τετραπλάσιον. ὡσαύτως ### book 11.5 καὶ ὁ ιβ πρὸς τὸν ϛ· ### book 12.1 Ἔστωσαν ἡμιόλιοι καὶ ἔστω ὁ Α μονάδων λβ, ὁ δὲ Β ### book 12.2 μονάδων μη καὶ ὁ Γ οβ καὶ ὁ Δ ρη καὶ ὁ Ε ρξβ. δῆλον οὖν, ### book 12.3 ὅτι ὁ Α τοῦ Β ὑφημιόλιός ἐστι καὶ οὐ μετρεῖ αὐτόν. ὁμοίως ### book 12.4 καὶ οἱ λοιποὶ οἱ ἐλάσσονες ὑφημιόλιοί εἰσι τῶν μειζόνων, ### book 12.5 καὶ οὐ μετρεῖ οὐδεὶς οὐδένα. ### book 13 ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ p. 160, 4] καὶ ὁ Θ τοῦ Ζ δὶς ### book 13 ἐπιτέταρτός ἐστι καὶ ὁ Γ τοῦ Α. ### book 14.1 Ἔστω ὁ Α μονάδων κδ, ὁ δὲ Β γ, ὁ δὲ Η ιϛ καὶ ὁ Λ β, ### book 14.2 ὁ δὲ Ε μη καὶ ὁ Ζ ϛ· δῆλον δή, ὅτι καὶ Α τοῦ Β ὀκταπλά‐ ### book 14.3 σιός ἐστι καὶ ὁ Η τοῦ Λ καὶ ὁ Ε τοῦ Ζ. ### book 15.1 Οἷον μεταξὺ τοῦ δύο καὶ νδ δύο μόνοι ἀνάλογον ### book 15.2 κατὰ συνεχῆ ἀναλογίαν ἐμπίπτουσιν ἀριθμοὶ ὅ τε ἓξ καὶ ### book 15.3 ὁ ιη ἐν λόγῳ τριπλασίονι. ἔστι δὲ καὶ ὁ νδ τοῦ δύο ἑπτα‐ ### book 15.4 καιεικοσαπλάσιος. εἰ οὖν ἄλλους ἀριθμοὺς ἐκθώμεθα τὸν ### book 15.5.1 αὐτὸν τοῖς δύο καὶ νδ λόγον ἔχοντας, δύο μόνους μεταξὺ ### book 15.5.2 κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτοντας εὑρήσομεν. οἷον ### book 15.5.3 ἐν λόγῳ ἑπταπλασίονι ἐκκείσθω τὰ τρία καὶ πα. λέγω, ὅτι ### book 15.5.4 καὶ τούτων μεταξὺ δύο μόνοι ἀνάλογον ἐμπεσοῦνται· καὶ ### book 15.5.5 γὰρ ὁ θ καὶ ὁ κζ μόνοι ἐμπεσοῦνται καὶ οὐ πλείονες. ### book 16.1 ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ p. 161, 17] πυθμενικῶς διὰ τὸ ### book 16.2 βʹ τοῦ ηʹ, ὃ ἐδείχθη ἐν τῷ βʹ. ### book 17.1 οἱ Η, Λ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν p. 161, 19] ### book 17.2 οὐθεὶς γὰρ ἀριθμὸς τὸν β καὶ ιϛ μετρεῖ, εἰ μὴ μόνη ἡ μο‐ ### book 17.3 νάς. ### book 18.1 οἱ Η, Θ, Κ, Λ ἄρα τοῖς Ε, Μ, Ν, Ζ ἐν τῷ αὐτῷ λό‐ ### book 18.2 γῳ εἰσίν· p. 162, 6. 7] διὰ τὸ ιηʹ τοῦ ζʹ τὸ λέγον· ἐὰν δύο ### book 18.3 ἀριθμοὶ ἀριθμόν τινα πολλαπλασιάσαντες ποιῶσί τινας καὶ ### book 18.4 τὰ ἑξῆς, ὡς οὐκ ἐπὶ β μόνον ἁρμόζοντος τούτου, ἀλλὰ καὶ ### book 18.5.1 ἐπὶ τριῶν καὶ πλειόνων προχωροῦντος. ὅτι δὲ οἱ Η, Θ, Κ, ### book 18.5.2 Λ ἕνα τινὰ ἀριθμὸν πολλαπλασιάσαντες τοὺς Ε, Μ, Ν, Ζ ### book 18.5.3 πεποιήκασι, φανερόν· ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις αὐτοὺς μετροῦσι, ### book 18.5.4 πάντως ἕνα ἀριθμὸν πολλαπλασιάσαντες πεποιήκασιν αὐ‐ ### book 18 τούς, εἰ δὲ τοῦτο, εἰκότως ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶν αὐτοῖς. ### book 19.1 Ἔστωσαν πρῶτοι ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, ὁ μὲν Α μονάδων ### book 19.2 κζ, ὁ δὲ Β μονάδων η. καὶ μεταξὺ ἐμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ ### book 19.3 συνεχὲς ἀνάλογον ὁ ιβ καὶ ὁ ιη. τοσοῦτοι καὶ μεταξὺ τῆς ### book 19.4 μονάδος καὶ τοῦ κζ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπεσοῦν‐ ### book 19.5.1 ται, δύο δηλονότι. ὡσαύτως καὶ μεταξὺ τῆς μονάδος καὶ ### book 19.5.2 τοῦ η β. καί εἰσι μεταξὺ τῆς μονάδος καὶ τοῦ κζ ὁ γ καὶ ὁ ### book 19.5.3 θ, μεταξὺ δὲ τῆς μονάδος καὶ τοῦ η ὁ β καὶ ὁ δ. ### book 20.1 Τριγωνικοὶ ἀριθμοί, καὶ οἶμαι ἐξ αὐτῶν εὑρίσκεται ### book 20.2 ἡ σύνθεσις τῶν λόγων ἐκ τοῦ λόγου τοῦ ὄντος μεταξὺ τῶν ### book 20.3 δύο πρὸς ἀλλήλους δοθέντων πρώτων ἀριθμῶν καὶ τοῦ ### book 20.4 μεταξὺ τοῦ ἐλάττονος τῶν πρώτων πρὸς ἀλλήλους δοθέν‐ ### book 20.5.1 των καὶ τῆς μονάδος· εὑρίσκεται ἡ σύνθεσις τῶν λόγων ### book 20.5.2 τούτων ἐν τῷ μεταξὺ τῆς μονάδος καὶ τοῦ μεγίστου τῶν ### book 20.5.3 πρώτων πρὸς ἀλλήλους δοθέντων. ### book 21 Τοῦτο ἀντίστροφόν ἐστι τῷ πρὸ αὐτοῦ. ### book 22.1 Ἐὰν ὅσοι, φησίν, ἀριθμοὶ μεταξὺ μονάδος καὶ τοῦ Α ### book 22.2 ἀριθμοῦ ἐμπίπτωσι, τοσοῦτοι καὶ μεταξὺ τοῦ Β καὶ πάλιν ### book 22.3 αὐτῆς τῆς μονάδος ἐμπίπτωσι, τοσοῦτοι, φησίν, κατὰ τὸ ### book 22.4 συνεχὲς ἑξῆς ἀνάλογον καὶ μεταξὺ τοῦ Α καὶ Β ἐμπεσοῦν‐ ### book 22.5.1 ται. ἔστω ὁ Α ἀριθμὸς μονάδων κζ καὶ μονὰς ἡ Γ, καὶ με‐ ### book 22.5.2 ταξὺ τῆς Γ μονάδος καὶ τοῦ Α ἀριθμοῦ ἔστωσαν ὁ γ καὶ ### book 22.5.3 ὁ θ. πάλιν ἔστω ὁ Β ἀριθμὸς μονάδων η καὶ ἡ Γ μονάς, καὶ ### book 22.5.4 ἔστωσαν μεταξὺ τῆς μονάδος καὶ τοῦ η ὁ β καὶ ὁ δ. ### book 23.1 Ἡ δὲ ἀφαίρεσις τῶν λόγων ἐκ τοῦ ιʹ. λαβόντες τὸν ### book 23.2 μεταξὺ λόγον τῆς τε μονάδος καὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀριθμοῦ ### book 23.1 τῶν δοθέντων δύο ἀριθμῶν καὶ ἀφελόντες ἀπὸ τούτου τοῦ ### book 23.2 λόγου τὸν μεταξὺ τῆς μονάδος καὶ τοῦ μείζονος ἀριθμοῦ ### book 23.5.1 τῶν δοθέντων δύο ἀριθμῶν ὁ καταλειφθεὶς ἐκ τῆς ἀφαι‐ ### book 23.5.2 ρέσεως λόγος εὑρίσκεται ἐν τῷ μεταξὺ τῶν δοθέντων ### book 23.5.3 ἀριθμῶν δηλονότι κατὰ τὸ ἐφεξῆς ἀνάλογον, ὡς οἶμαι. ### book 24.1 Μεταξὺ γὰρ τοῦ θ καὶ τοῦ δ ὁ ϛ, ὃς πρὸς ἀμφοτέρους ### book 24.2 τὸν ἡμιόλιον σώζει λόγον, καὶ μεταξὺ διέχειαν τοῦ ιϛ καὶ ### book 24.3 τοῦ δ ἐστιν ὁ η, πλευρὰ δὲ τοῦ μὲν ιϛ δ, τοῦ δὲ δ β, καὶ ὁ ### book 24.4 μὲν δ τοῦ δύο διπλάσιος, ὁ δὲ δεκαὲξ τοῦ δ τετραπλάσιος. ### book 25.1 Τὸ διπλασίονα λόγον ἔχει, ὡς πολλάκις πρόσθεν ### book 25.2 εἴρηται, ἴσον ἐστὶ τῷ ἐκ δύο λόγων σύγκειται, ἤτοι δύο ### book 25.3 λόγοι εἰσὶ τοῦ τε Α πρὸς τὸν Ε καὶ τοῦ Ε πρὸς τὸν Β. ### book 26.1 Διὰ τὸν ὅρον τοῦ εʹ τὸν λέγοντα· ὅταν δὲ τρία με‐ ### book 26.2 γέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ πρῶτον πρὸς τὸ τρίτον διπλασίονα ### book 26.3 λόγον ἔχειν λέγεται ἤπερ πρὸς τὸ βʹ. ### book 27.1 Διπλασίονα λόγον μᾶλλον ἔχειν ὁ θ πρὸς τὸν δ ἢ ὁ γ ### book 27.2 πρὸς τὸν β οὐ κατὰ τὴν παραδοθεῖσαν τῶν πηλικοτήτων ### book 27.3 ἀπαρίθμησιν, ἀλλ’ ὅτι δύο λόγους ἡμιολίους ἔχει ὁ θ πρὸς ### book 27.4 τὸν δ, οἷον αὐτὸς μὲν ὁ θ πρὸς τὸν ϛ, ὁ δὲ ϛ πρὸς τὸν δ· ὁ ### book 27.5.1 δὲ γ πρὸς τὸν β ἕνα λόγον ἔχει τὸν ἡμιόλιον. εἰκότως οὖν ### book 27.5.2 διπλασίονα λόγον ἔχειν λέγεται ὁ θ πρὸς τὸν δ, παρ’ ὃ ὁ γ ### book 27.5.3 πρὸς τὸν β· οἱ γὰρ δύο λόγοι διπλάσιοι τοῦ ἑνός. ### book 29.1 Τὸ τριπλασίονα πάλιν ἀντὶ τοῦ· ὁ τοῦ Α πρὸς τὸν Β ### book 29.2 ἐκ τριῶν λόγων σύγκειται λόγος τοῦ τε Α πρὸς τὸν Θ καὶ ### book 29 τοῦ Θ πρὸς τὸν Κ καὶ τοῦ Κ πρὸς τὸν Β. ### book 30.1 Διὰ τὸν ὅρον τοῦ εʹ τὸν λέγοντα· ἐὰν τέσσαρα μεγέ‐ ### book 30.2 θη ἀνάλογον ᾖ, τὸ αʹ πρὸς τὸ δʹ τριπλασίονα λόγον ἔχειν ### book 30.3 λέγεται ἤπερ πρὸς τὸ βʹ. τουτέστιν ὁ ξδ πρὸς τὸν κζ τρι‐ ### book 30.4 πλασίονα λόγον ἔχειν λέγεται ἤπερ πρὸς τὸν μη· τοῦ γὰρ ### book 30.5.1 κζ τὸ γʹ ἐστὶν θ. πρόσθες τῷ κζ· γίνεται λϛ· γίνεται εἷς λό‐ ### book 30.5.2 γος. πάλιν τοῦ λϛ τὸ γʹ ἐστὶ ιβ. πρόσθες αὐτὸ τῷ λϛ· γίνεται ### book 30.5.3 μη· γίνονται δύο λόγοι. πάλιν τοῦ μη τὸ γʹ ιϛ ἐστι. πρόσ‐ ### book 30.5.4 θες αὐτὸ τῷ μη· γίνεται ὁ αὐτὸς ξδ· γίνονται λόγοι τρεῖς. ### book 30.1 Ἡ ἀπόδειξις τοῦ θεωρήματος τούτου πᾶσα διὰ τοῦ ### book 30.2 ιζʹ καὶ ιηʹ καὶ ιδʹ τοῦ ζʹ στοιχείου πρόεισι, πλὴν τὴν μὲν ### book 30.3 διὰ τοῦ ιζʹ καὶ ιηʹ ἀπόδειξιν ὡς σαφῆ καὶ πολλάκις ἐν πολ‐ ### book 30.4 λοῖς θεωρήμασιν αὐτῇ χρησάμενος παρέλειψε, τὴν δὲ διὰ ### book 30.5.1 τοῦ ιδʹ ὡς εἰς τὸ συμπέρασμα χρησιμεύουσαν οὐ παρέ‐ ### book 30.5.2 λειψεν. ### book 31.1 καὶ ἐπεὶ ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν οἱ ἀνάλογον ἔχοντες ### book 31.2 τὰς πλευράς p. 175, 13. 14] οὕτως γράφεται ὁ ὅρος ἐν τῷ ζʹ. ### book 32.1 Ἐπίπεδος ἀριθμός ἐστιν ὁ γεγονὼς ὑπὸ δύο ἀριθμῶν ### book 32.2 πολλαπλασιασάντων ἀλλήλους, ὅμοιοι δέ, ὧν αἱ πλευραὶ ### book 32.1 ἀνάλογον. εἰ δὲ τοῦτο, πολλαπλασιασθήτω ὁ γ ἐπὶ τὸν ϛ καὶ ### book 32.2 ποιησάτω τὸν ιη· ὁ ιη ἄρα ἐπίπεδός ἐστι. πάλιν ὁ β ἐπὶ τὸν ### book 32.5.1 δ ποιησάτω τὸν η· ὁ η ἄρα ἐπίπεδός ἐστιν. εἰσὶν οὖν ὁ ιη καὶ ### book 32.5.2 ὁ η ἐπίπεδοι, ἀλλὰ καὶ ὅμοιοι. ὡς γὰρ ὁ ϛ ἡ πλευρὰ τοῦ ιη ### book 32.5.3 πρὸς τὸν γ τὴν λοιπὴν αὐτοῦ τοῦ ιη πλευράν, οὕτως καὶ ὁ ### book 32.5.4 δ ἡ τοῦ η πλευρὰ πρὸς τὸν δύο αὐτὴν τὴν τοῦ η λοιπὴν πλευ‐ ### book 32.5.5 ράν. ### book 33.1 Διὰ τὸν ὅρον τὸν λέγοντα· ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοί ### book 33.2 εἰσιν οἱ ἀνάλογον ἔχοντες τὰς πλευράς. ### book 33.3 Σχόλιον. ὁμόλογα μεγέθη λέγεται τὰ μὲν ἡγούμενα τοῖς ### book 33.4 ἡγουμένοις, τὰ δὲ ἑπόμενα τοῖς ἑπομένοις. ### book 34.1 Ὑπόθες δύο στερεοὺς ὁμοίους ἀριθμοὺς τὸν ιβ καὶ ### book 34.2 τὸν ϙϛ. θὲς γὰρ ἐπὶ μὲν τοῦ ιβ τὸ πλάτος καὶ τὸ μῆκος ### book 34.3 ἀνὰ δύο, τὸ δὲ βάθος ἢ ὕψος τρία· τετράκις οὖν τρία ιβ. ### book 34.4 τοῦ δὲ ϙϛ ἀνὰ δ μὲν τὸ μῆκος καὶ τὸ πλάτος, τὸ δὲ ὕψος ### book 34.5.1 ἀναλόγως ἕξ· ἑξκαιδεκάκις οὖν ἓξ ϙϛ. καὶ μεταξὺ αὐτῶν ### book 34.5.2 δύο ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοὶ ὁ κδ καὶ ὁ μη. καὶ ὁ μὲν ### book 34.5.3 δ τοῦ β διπλάσιος, ὁ δὲ ϙϛ τοῦ ιβ ὀκταπλάσιος, ὃ ταὐτὸν ### book 34.5.4 δύναται τῷ τριπλασίονι. ### book 35.1 Διὰ τὸν ὅρον τοῦ εʹ τὸν λέγοντα· ἐὰν τέσσαρα μεγέθη ### book 35.2 ἀνάλογον ᾖ, τὸ αʹ πρὸς τὸ δʹ τριπλασίονα λόγον ἔχειν λέ‐ ### book 35.3 γεται ἤπερ πρὸς τὸ βʹ, τουτέστι τὰ ͵ερπδ, ͵βφϙβ, ͵ασϙϛ, ### book 35.4 χμη· τρὶς γὰρ ἔχει τὸν λόγον ὁ ͵ερπδ πρὸς τὸ δʹ χμη ἤπερ ### book 35.5 πρὸς τὸ ͵βφϙβ. ### book 36.1 Ὁ Δ ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ζ μονάδας, ### book 36.2 καὶ ὁ Ε τὸν Γ κατὰ τὰς ἐν τῷ Ζ μονάδας ἰσάκις. ἐπεὶ γὰρ ### book 36.3 μετρεῖ ὁ Δ τὸν Α, καὶ ὁ Ε τὸν Γ. ### book 37.1 καὶ ἐναλλὰξ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν ### book 37.2 Η. p. 181, 10] διὰ ιγʹ τοῦ ζʹ ἐναλλὰξ ὡς ὁ Δ πρὸς τὸν Ζ, ### book 37.3 οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Η. ### book 38.1 Ἔστω ὁ Γ μονάδων θ, ὁ δὲ Δ δ, ὁ δὲ Α λϛ, ὁ δὲ Β ιϛ. ### book 38.2 ὅ τε οὖν Γ τοῦ Δ διπλασιεπιτέταρτός ἐστι καὶ ὁ Α τοῦ Β. ### book 38.3 ἔχει οὖν ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὃν τετράγωνος ὁ Γ λόγον πρὸς ### book 38.4 τετράγωνον τὸν Δ. ἰστέον δέ, ὅτι τετράγωνος ἀριθμὸς ### book 38.5.1 πρὸς τετράγωνον οὐδέποτε διπλασίονα λόγον ἔχει, ἀλλ’ ### book 38.5.2 ἁπλῶς ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν. ### book 39.1 Ἔστω ὁ Γ ὁ κύβος μονάδων κζ, ὁ δὲ Δ η. ἔχει οὖν ὁ ### book 39.2 κζ τὸν η τρὶς καὶ μονάδας τρεῖς, αἳ τρεῖς μονάδες τρία ### book 39.3 τέταρτά εἰσι τοῦ η. τριπλασιεπιτριτέταρτος ἄρα ἐστὶν ὁ κζ ### book 39.4 τοῦ η. ὁ δὲ Α ἔστω μονάδων σιϛ, ὁ δὲ Β ξδ. ἔστιν οὖν ὁ σιϛ ### book 39.5.1 τοῦ ξδ τριπλασιεπιτριτέταρτος· ἔχει γὰρ ὁ σιϛ τρὶς τὸν ### book 39.5.2 ξδ καὶ τὸν κδ, ὃς κδ ἐστι τρίτον τοῦ ξδ. ἔχουσιν ἄρα πρὸς ### book 39.5.3 ἀλλήλους οἱ Α, Β λόγον, ὃν ὁ κύβος ὁ Γ πρὸς κύβον τὸν Δ. ### book 39.5.4 ἔστι δὲ ὁ σιϛ κύβος, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ ὁ ϛ καὶ ὁ λϛ· ἑξάκις ### book 39 γὰρ ϛ λϛ καὶ ἑξάκις λϛ σιϛ· ### book 40.1 Τοῦτο λέγει, ὅτι, ὅταν ὦσιν οἱ ἐπίπεδοι πρὸς ἀλλή‐ ### book 40.2 λους ὥσπερ οἱ τετράγωνοι, καὶ ὅμοιοι ἀλλήλοις εἰσίν. οἷον ### book 40.3 ὃν λόγον ἔχει ὁ ιϛ πρὸς τὸν δ, τὸν αὐτὸν ὁ κδ πρὸς τὸν ϛ· ### book 40.4 ἄμφω γὰρ τετραπλάσιοι· καὶ αὐτοὶ καὶ οἱ ἐπίπεδοι ἀπὸ ### book 40.5 ἡμιολίων πλευρῶν σύγκεινται· τρὶς γὰρ δύο καὶ τετράκις ϛ. ### book 1.1 Ἔστω ὁ Α μονάδων ιη, ὁ δὲ Β ὀκτώ, πολλαπλασιάσαν‐ ### book 1.2 τες δὲ ἀλλήλους ποιείτωσαν τὸν ρμδ. ὁ μὲν ρμδ τετράγω‐ ### book 1.3 νός ἐστιν, πλευρὰ δὲ αὐτοῦ ὁ ιβ· δωδεκάκις γὰρ δώδεκα ### book 1.4 ρμδ. ὅτι καὶ ὁ ιη καὶ η ὅμοιοί εἰσι, δῆλον· εἰσὶ γὰρ πλευραὶ ### book 1.5.1 τοῦ μὲν ιη ὁ ϛ καὶ ὁ γ, τοῦ δὲ η ὁ δ καὶ ὁ β. καί ἐστιν ὡς ὁ ### book 1.5.2 ϛ πρὸς τὸν γ, ὁ δ πρὸς τὸν β. ### book 2.1 Ἄλλως τὸ αʹ. ### book 2.2 Ἐπειδὴ οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοί εἰσιν, τούτων εἷς ### book 2.3 μέσος ἀνάλογος ἐμπεσεῖται ἀριθμὸς ὁ Γ. καὶ ἐπεὶ ὁ ὑπὸ ### book 2.4 τῶν ἄκρων ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου, ὁ ὑπὸ τῶν Α, Β ### book 2.5.1 ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Γ. ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ Γ τετράγωνος· ### book 2.5.2 καὶ ὁ ὑπὸ τῶν Α, Β ἄρα τετράγωνος· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 3.1 Ἔστω ὁ Α μονάδων ἕξ, ὁ δὲ Β κδ ἀλλήλους πολλα‐ ### book 3.2 πλασιάσαντες· γινέσθω ὁ Γ ὢν μονάδων ρμδ καὶ τετρά‐ ### book 3.3 γωνος ἀπὸ πλευρᾶς τῆς ιβ. ὁ δὲ Α ὁ ϛ ἑαυτὸν πολλαπλα‐ ### book 3.4 σιάσας ποιείτω τὸν Δ ὄντα μονάδων λϛ· ὁ λϛ τετράγωνος. ### book 4.1 Ἄλλως τὸ βʹ. ### book 4.2 Ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους [τετρά‐ ### book 4.3 γωνον τὸν Γ πεποιήκασι, πλευρὰ τοῦ Γ ἔστω] ὁ Δ, καὶ ### book 4.4 κείσθω μέσον τῶν Α, Β. λέγω δή, ὅτι οἱ Α, Δ, Β ἑξῆς ### book 4.5.1 ἀνάλογόν εἰσι. ἐπεὶ γὰρ ὁ Δ πολλαπλασιάσας ἑαυτὸν τὸν ### book 4.5.2 Γ πεποίηκεν, ἔστι δὲ ὁ αὐτὸς οὗτος καὶ ὁ ὑπὸ τῶν Α, Β ### book 4.5.3 γινόμενος, ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἄρα ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ μέ‐ ### book 4.5.4 σου. ὥστε οἱ τρεῖς ἀριθμοὶ ἀνάλογον ἔσονται. τῶν Α, Β ### book 4.5.5 ἄρα εἷς μέσος ἀνάλογον ἐμπέπτωκεν ὁ Δ. οἱ Α, Β ἄρα ὅμοιοι ### book 4.10 ἐπίπεδοί εἰσιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 5 Ἀντιστρέφει τῷ αʹ. ### book 6.1 Ἔστω ὁ Α η, ὁ Β κζ, κύβοι δὲ ἀμφότεροι. καὶ ὁ ἐξ αὐ‐ ### book 6.2 τῶν ὁ Γ σιϛ· ὁ σιϛ κύβος, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ ὁ ϛ καὶ ὁ λϛ· ὁ ### book 6.3 γὰρ ϛ εἰς ἑαυτὸν γενόμενος πεποίηκε τὸν λϛ; τὸν δὲ λϛ ### book 6.4 πολλαπλασιάσας πεποίηκε τὸν σιϛ. ### book 7 Ἀντιστρέφει τῷ δʹ. ### book 8 Ἀντιστρέφει τῷ γʹ. ### book 9.1 καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Β πρὸς τὸν Γ p. 193, ### book 9.2 5. 6] διὰ τὸ ιζʹ τοῦ ἑβδόμου τὸ ἐὰν ἀριθμὸς β ἀριθμοὺς πολ‐ ### book 9.3 λαπλασιάσας ποιῇ τινας, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν τὸν αὐτὸν ### book 9.4 λόγον ἔχουσι τοῖς πολλαπλασιάσασιν. ὁ γὰρ Α ἀριθμὸς ### book 9.5.1 ἑαυτόν τε καὶ τὸν Β δύο ἀριθμοὺς πολλαπλασιάσας ποιεῖ ### book 9.5.2 τόν τε Β αὖ καὶ τὸν Γ. ὥστε οἱ Β, Γ τὸν αὐτὸν λόγον ### book 9.5.3 ἕξουσι τοῖς πολλαπλασιάσασι τοῖς Α, Β δηλαδή· ὅπερ ### book 9 ἔδει δεῖξαι. ### book 10.1 Ἡ ἀπόδειξις τούτου τοῦ θεωρήματος ἐκ τῶν ἀρχῶν ### book 10.2 καὶ μόνων ἐστὶν ἤτοι ἐκ τῶν ὅρων τῶν ἀριθμητικῶν. ### book 11.1 Δῆλον ἐκ τῶνδε, διὰ τί ἐν τῇ Ἰνδικῇ ψήφῳ ἐν ταῖς ### book 11.2 τῶν πλευρῶν τῶν τετραγώνων λήψεσιν ἀνὰ μείζονα τὸ ### book 11.3 γίνεται, οὐ γίνεται, γίνεται, οὐ γίνεται λέγομεν, διότι ἥ ### book 11.4 τε μονὰς τετράγωνός ἐστι καὶ ὁ τρίτος ἀπ’ αὐτῆς καὶ ὁ πά‐ ### book 11.5.1 λιν τρίτος μετ’ αὐτὸν καὶ ἑξῆς. ὥστε ὅταν λέγωμεν, ὅτι ### book 11.5.2 γίνεται, οὐ γίνεται, γίνεται δυνάμει λέγομεν, ὅτι ἐν τῇ ### book 11.5.3 πρώτῃ χώρᾳ γίνεται ἢ καὶ ἔστι τετράγωνος, ἐν δὲ τῇ δευ‐ ### book 11.5.4 τέρᾳ τετράγωνος οὐ γίνεται, ἐν δὲ τῇ τρίτῃ γίνεται, καὶ ### book 11.5.5 ἑξῆς ἐπὶ τῶν ἄλλων. ἐν δὲ ταῖς τῶν κύβων πλευραῖς ἅπαξ ### book 11.10.1 μὲν λέγομεν τὸ γίνεται, δὶς δὲ τὸ οὐ γίνεται, οἷον γίνεται, ### book 11.10.2 οὐ γίνεται, οὐ γίνεται, γίνεται, οὐ γίνεται, οὐ γίνεται, διότι ### book 11.10.3 ἥ τε μονὰς κύβος ἐστί· πᾶς γὰρ ἀριθμὸς ἡ μονάς ἐστι δυ‐ ### book 11.10.4 νάμει· καὶ ὁ δʹ ἀπ’ αὐτῆς κύβος καὶ ὁ μετ’ αὐτὸν πάλιν ### book 11.10.5 τέταρτος. δῆλον δὴ καί, διότι εἰς τὸν κύβον ἅπαξ τὸ γίνεται ### book 11.15 λέγομεν, δὶς δὲ τὸ οὐ γίνεται. ### book 12.1 Σχόλιον. δεῖ γινώσκειν, ὅτι τό· καὶ οἱ ἕνα διαλείπον‐ ### book 12.2 τες πάντες οὕτως ἐστίν· ὅτι ἀριθμῶν ἐκτεθέντων ἀπὸ μο‐ ### book 12.3 νάδος κατὰ ἀναλογίαν οἷον διπλάσιος ὡς ἡ μονὰς καὶ ὁ β ### book 12.4 καὶ ὁ δ καὶ ὁ η καὶ ὁ ιϛ καὶ ὁ λβ καὶ ὁ ξδ καὶ ὁ ρκη ὁ μὲν ### book 12.5.1 γʹ ἀπὸ τῆς μονάδος ἤγουν ὁ δ ἀριθμὸς τετράγωνός ἐστι καὶ ### book 12.5.2 οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες, τουτέστιν ὁ ιϛ· διαλείπει γὰρ ### book 12.5.3 ὁ ιϛ μεταξὺ αὑτοῦ καὶ τοῦ δ κατὰ τὸν διπλάσιον λόγον ἕνα ### book 12.5.4 καὶ τὸν η. καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν οὕτως δεῖ νοεῖν ἤγουν τό· ### book 12 καὶ οἱ δύο διαλείποντες καὶ οἱ πέντε διαλείποντες. ### book 13.1 διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Ζ τετράγωνός ἐστιν. p. 195, ### book 13.2 5. 6] ἐπειδὴ οἱ Δ, Ε, Ζ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, ἔστι δὲ ὁ Δ ### book 13.3 τετράγωνος, καὶ ὁ Ζ ἄρα τετράγωνός ἐστιν. ### book 14.1 οἱ Α, Β ἄρα πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν τετρά‐ ### book 14.2 γωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· p. 198, 8—10] ### book 14.3 ἐπεὶ γὰρ τετράγωνοί εἰσιν οἱ Α, Β, ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν, ### book 14.4 οἱ δὲ ὅμοιοι ἐπίπεδοι πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσιν, ὃν ### book 14.5 τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. ### book 15.1 ὥστε οἱ Α, Β ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν. p. 198, 10] διὰ ### book 15.2 τὸ βʹ τοῦ θʹ τὸ λέγον· ἐὰν β ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ### book 15.3 ἀλλήλους ποιῶσι τετράγωνον ἀριθμόν, ὅμοιοι ἐπίπεδοί ### book 15.4 εἰσιν. ὅτι δὲ οἱ Α, Β πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους τὸν Γ ### book 15.5.1 πεποιήκασιν, φανερόν. ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς ### book 15.5.2 τὸν Α, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ἡ δὲ μονὰς τὸν Α μετρεῖ ### book 15.5.3 κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας, καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Γ μετρεῖ ### book 15.5.4 κατὰ τὰς ἐν τῷ Α μονάδας. ὁ Α ἄρα τὸν Β πολλαπλασιάσας ### book 15.5.5 τὸν Γ πεποίηκεν. ### book 16.1 Πρόσεχε, τί φησιν· ὅτι ἐὰν ἐκθήσῃς ἀναλόγους ἀριθ‐ ### book 16.2 μοὺς ἀπὸ μονάδος τετραπλασίους φησὶν ἢ ἑξαπλασίους, ### book 16.3 σκόπει τὸν ἔσχατον, ὑπὸ πόσων πρώτων ἀριθμῶν μετρεῖ‐ ### book 16.4 ται, καὶ εὑρήσεις, ὅτι ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ ὁ παρὰ τὴν μο‐ ### book 16.5.1 νάδα μετρηθήσεται. οἷον ὡς ἔχει ἐπὶ τῶν τετραπλασίων ### book 16.5.2 α δ ιϛ σνϛ· μετρεῖται γὰρ ὁ σνϛ καὶ ὑπὸ ἑτέρων ἀριθμῶν, ### book 16.5.3 οὐ μὴν ὑπὸ πρώτων, ὑπὸ πρώτου δὲ μόνου τοῦ β, ὁ δὲ αὐτὸς ### book 16.1 μετρεῖ καὶ τὸν δ τὸν παρὰ τὴν μονάδα· δὶς γὰρ δύο δ. ὁμοίως ### book 16.2 καὶ ἐπὶ ἑξαπλασίων· ὁ γὰρ σιϛ μετρεῖται μὲν καὶ ὑπ’ ### book 16.10.1 ἄλλων, ἀλλ’ οὐ πρώτων, πρώτου δὲ τοῦ β καὶ τοῦ γ· δὶς ### book 16.10.2 γὰρ ρη καὶ τρὶς οβ. οἱ δὲ αὐτοί, ὁ β φημὶ καὶ ὁ τρεῖς, με‐ ### book 16.10.3 τροῦσι καὶ τὸν ἕξ· δὶς γὰρ τρεῖς ϛ. ### book 17.1 Ἔστω ὁ Α μονάδων ιε, ὁ δὲ Β σνϛ, ὁ δὲ Γ ͵γτοε, ὁ δὲ ### book 17.2 Δ πέντε μυριάδων χκε, ὁ δὲ Θ ἔστω μονάδων με, ὁ δὲ Η ### book 17.3 χοε, ὁ δὲ Ζ μυρίων ρκε, ὁ δὲ Ε μονάδων ε. μετρείτω δὴ ὁ Ε ### book 17.4 ὁ πέντε τὸν Δ τὸν πεντάκις μύρια χκε κατὰ τὸν Ζ τὸν μύρια ### book 17.5 ἑκατὸν κε, καὶ ἑξῆς οἱ λοιποί, ὥς φησιν ὁ γεωμέτρης. ### book 18.1 ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν· ### book 18.2 p. 201, 11. 12] ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, ### book 18.3 οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β, ἰσάκις ἡ μονὰς τὸν Α μετρεῖ καὶ ### book 18.4 ὁ Α τὸν Β· ἡ δὲ μονὰς τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ ### book 18.5.1 μονάδας· καὶ ὁ Α ἄρα τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μο‐ ### book 18.5.2 νάδας. ὥστε ὁ Α ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν. ### book 18.5.3 ἄλλως τε δὲ ἐπεὶ ἑξῆς ἐστιν ἀνάλογον, καὶ ὁ Β τρίτος ἐστὶν ### book 18.5.4 ἀπὸ τῆς μονάδος, τετράγωνος ὀφείλει εἶναι ὡς ἐν τῷ ηʹ ### book 18.5.5 τοῦ θʹ. ### book 19.1 Διότι ἀνάλογόν ἐστιν, ἰσάκις ἡ μονὰς τὸν Α μετρεῖ ### book 19.2 καὶ ὁ Α τὸν Β. μετρεῖ δὲ ἡ μονὰς τὸν Α κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ ### book 19.3 μονάδας καὶ ὁ Α τὸν Β κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας ἑαυτὸν ### book 19.4 πολλαπλασιάσας τὸν Β πεποίηκεν. ### book 20.1 Ἔστω ὁ Α λ μονάδων, ὁ Β δύο, ὁ Γ τριῶν, ὁ Δ πέντε. ### book 20.2 δῆλον δή, ὅτι τὸν τριάκοντα πάντες μετροῦσι, ὁ μὲν δύο ### book 20.3 μετὰ τοῦ ιε, ὁ δὲ γ μετὰ τοῦ δέκα, ὁ δὲ πέντε μετὰ τοῦ ϛ. ### book 21.1 Τὸν ρε ἤγουν τὸν Α ἕκαστος τῶν Β, Γ, Δ μετρεῖ ### book 21.2 οὕτως· ὁ μὲν Δ ἤγουν ὁ ἑπτὰ μετὰ τοῦ ιε· ἑπτάκις γὰρ ιε ### book 21.3 ρε· ὁ δὲ Γ ἤγουν ὁ πέντε μετὰ κα· πεντάκις γὰρ ὁ εἴκοσι ### book 21 εἷς ρε· ὁ δὲ Β ἤγουν ὁ γ μετὰ τοῦ λε. ### book 22.1 Συντεθεὶς γὰρ ὁ μὲν δ μετὰ τοῦ ϛ γεννᾶ τὸν ι, ὅς ### book 22.2 ἐστι πρὸς τὸν λοιπὸν ἤγουν τὸν θ πρῶτος. ὁ δὲ ϛ καὶ ὁ θ ### book 22.3 συντεθεὶς γεννᾷ τὸν ιε, ὅς ἐστι πρὸς τὸν δ πρῶτος, ὁ δὲ δ ### book 22.4 καὶ θ γεννᾷ τὸν ιγ, ὅς ἐστι πρῶτος πρὸς τὸν ϛ. ### book 23.1 Ὁ ἐκ τῶν ΔΖ, ΔΕ ὁ ιε ἐστιν. ἐπειδὴ γὰρ ὁ ΔΕ μονά‐ ### book 23.2 δων κεῖται τριῶν, ὁ δὲ ΕΖ δύο, ὁμοῦ ὁ ΔΕ καὶ ΕΖ συν‐ ### book 23.3 τεθέντες μονάδων εἰσὶ πέντε. καὶ ἐπεὶ ὁ ΔΖ μονάδων ἐστὶ ### book 23.4 πέντε, ὁ δὲ ΔΕ τριῶν, ὁ ἐκ τῶν ΔΖ, ΔΕ ἄρα μονάδων ### book 23.5.1 ἐστὶ ιε· καί ἐστιν ὁ ιε ἤγουν οἱ ΔΖ, ΔΕ πρὸς τὸν ΕΖ τὸν ### book 23.5.2 δύο πρῶτοι. ### book 24.1 φανερὸν δή, ὅτι p. 206, 2. 3] τοῦτο ἐν τῷ βʹ τοῦ ### book 24.2 ηʹ ἐδείχθη, ἄλλως τε δὲ καὶ διὰ τὸ πόρισμα τοῦ αὐτοῦ. ### book 25.1 ἐὰν δὲ δύο ἀριθμοί p. 206, 9] δέδεικται ἐν τῷ ### book 25.2 κδʹ τοῦ ζʹ στοιχείου. ### book 26.1 Οἷον ἐδόθησαν ἀριθμοὶ ὁ η καὶ ὁ κζ. σκόπει, ἐὰν ### book 26.2 ὦσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, ὥσπερ καί εἰσι. καὶ ἐπείπερ ### book 26.3 εἰσίν, ἕτερος ἀνάλογον οὐχ εὑρίσκεται. ἀλλὰ μὴν ἐδόθη‐ ### book 26.4 σαν ἀριθμοὶ ὁ η καὶ ὁ ιβ. οὗτοι οὐκ εἰσὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλή‐ ### book 26.5.1 λους· κοινὸν γὰρ αὐτοῖς ἐστι μέτρον ὁ δ. βούλει οὖν μαθεῖν, ### book 26.5.2 εἰ ἕξει ὁ ιβ ἕτερον ἀνάλογον; πολλαπλασίασον τὸν ιβ· καὶ ### book 26.5.3 ἀναβιβάζεται ρμδ. σκόπει οὖν καί, ἐὰν δύνῃ εὑρεῖν πλευρὰν ### book 26.5.4 ἐν αὐτῷ τὸν η. εὑρήσεις καὶ τοῦ ιβ ἀνάλογον. ἔστιν οὖν· ### book 26.5.5 ὀκτάκις γὰρ ιη ρμδ. ### book 27.1 Πάλιν ἐδόθησαν ἀριθμοὶ ὁ ιη καὶ ὁ κζ. ἐὰν θέλῃς ### book 27.2 εὑρεῖν, ὡς ἔχει ἢ οὐκ ἔχει ἕτερον ἀνάλογον, ὁ κζ πολλα‐ ### book 27.3 πλασιαζέτω τὸν κζ· εἰκοσιεπτάκις κζ· καὶ γίνονται ψκθ. ### book 27 καὶ ἐπεὶ ὁ ιη οὐ μετρεῖ τὸν ψκθ, οὐδὲ ὁ κζ ἀνάλογον ἔχει. ### book 28.1 Οὐδαμῶς δυνατὸν τῶν Α, Γ πρώτων ὄντων γενέσθαι ### book 28.2 ὡς ὁ Α πρὸς Γ, τὸν Γ πρὸς ἄλλον τινά· τοῦτο δὲ ποιεῖ ### book 28.3 ὁ λαβὼν ὡς ὁ Β πρὸς Γ, οὕτως ὁ Δ πρὸς ἄλλον τινά. ### book 29.1 Ἐπισκεψάμενος εὗρεν, ὅτι, ἐὰν μὲν οἱ δοθέντες τρεῖς ### book 29.2 ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον ὦσιν, ἐὰν μὲν οἱ ἄκροι αὐτῶν πρῶ‐ ### book 29.3 τοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, ἀδύνατον ἡ τοῦ τετάρτου ἀνάλο‐ ### book 29.4 γον θήρα, ἐὰν δὲ μὴ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, ὁ δὲ ### book 29.5.1 πρῶτος τὸν ἐκ τοῦ δευτέρου καὶ τρίτου μὴ μετρῇ, ἀδύνατος ### book 29.5.2 ἡ τοῦ τετάρτου ἀνάλογον εὕρεσις, εἰ δὲ μετρεῖ, δυνατή. καὶ ### book 29.5.3 ἐὰν οἱ Α, Β, Γ μὴ ὦσιν ἑξῆς ἀνάλογον, καὶ περὶ τούτων ### book 29.5.4 τὰ αὐτὰ ῥητέον. τριῶν οὖν ἀριθμῶν δοθέντων διχῶς μὲν ### book 29.5.5 δυνάμεθα τέταρτον ἀνάλογον προσευρίσκειν, τετραχὰ δὲ ### book 29.10.1 ἀδυνατοῦμεν. καὶ περὶ τετάρτου καὶ πέμπτου καὶ τῶν ἐφ‐ ### book 29.10.2 εξῆς τὰ αὐτὰ ῥητέον. ### book 30 Ταὐτὸν δ’ ἔστιν εἰπεῖν, ὅτι οἱ πρῶτοι ἀριθμοὶ ἄπειροί ### book 30 εἰσιν. ### book 31.1 Ἐν τούτῳ τῷ θεωρήματι δεῖξαι βούλεται, ὅτι ἄπειροί ### book 31.2 εἰσιν οἱ πρῶτοι ἀριθμοί· εἰ γὰρ παντὸς τοῦ προτεθέντος ### book 31.3 ἀριθμοῦ πλείους εἰσὶν οἱ πρῶτοι, δῆλον, ὅτι ἄπειροί εἰσιν ### book 31.4 οἱ πρῶτοι. εἰ δὲ τοῦτο, δοκεῖ ἐναντιοῦσθαι δόγματι φιλο‐ ### book 31.5.1 σόφων· τὰ γὰρ πρῶτα οὗτοι λέγουσιν ὡρισμένα καὶ τῷ ### book 31.5.2 ἀριθμῷ εἶναι ἐλάττονα. τί οὖν λέγομεν; ὅτι οἱ πρῶτοι ### book 31.5.3 ἀριθμοὶ οὐκ εἰσὶν ἀρχὴ τῶν ἀριθμῶν, ἀλλ’ εἰ ἄρα, ἡ μονάς· ### book 31.5.4 αὕτη δὲ συνεσταλμένη καὶ μόνη ἐστὶ μονάς. ὥστε σώζεται ### book 31.5.5 καὶ ἐν τοῖς ἀριθμοῖς τοῦτο τὸ τὴν ἀρχὴν μὴ εἶναι ἄπειρον, ### book 31.10 ἀλλ’ ὡρισμένην. ### book 32.1 Ἔστω ὁ Α μονάδων γ, ὁ Β ε, ὁ Γ ζ, ὁ ΔΕ ρε· μετρεῖ ### book 32.2 δὴ ὁ Α τὸν ρε μετὰ τοῦ λε· τρὶς γὰρ λε ρε, ὁ δ’ αὖ ε μετρεῖ ### book 32.3 τὸν ρε μετὰ τοῦ κα, καὶ ἔτι ὁ ζ μετρεῖ τὸν ρε μετὰ τοῦ ### book 32.4 δέκα καὶ πέντε. ### book 33.1 Οἱ μετροῦντες τὸν ΔΕ τὸν ρε μετὰ τοῦ γ καὶ ε καὶ ζ ### book 33.2 εἰσιν ὁ λε, ὁ κα καὶ ὁ ιε. ### book 34.1 Ἐπεὶ ὁ Α τὸν Β μετρεῖ κατὰ τὸν Γ, καὶ ὁ Γ ἄρα τὸν ### book 34.2 Β μετρεῖ κατὰ τὸν Α. καὶ ἔχει ἑκάτερος τῶν Β, Γ μέρος ### book 34.3 ἥμισυ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Β, οὕτως τὸ ἥμισυ πρὸς ### book 34 τὸ ἥμισυ. μετρεῖ δὲ ὁ Γ τὸν Β κατὰ τὸν Α· ὁ Α ἄρα τὸ ### book 34.5.1 ἥμισυ τοῦ Γ πολλαπλασιάσας τὸ ἥμισυ τοῦ Β πεποίηκεν. ### book 34.5.2 ὁ Α ἄρα τὸ ἥμισυ τοῦ Β κατὰ τὸ ἥμισυ τοῦ Γ. ### book 35.1.1 Ἐπειδὴ γὰρ ὁ Α περισσός ἐστι, μετρεῖ δὲ αὐτόν, ὡς ### book 35.1.2 ἡ ὑπόθεσις, ὁ Δ, μετρεῖ δὲ ὁ Δ καὶ ἑαυτόν, περιττὸς ἄρα ὁ ### book 35.1.3 Δ ἐστιν· οἱ γὰρ περιττοὶ ὑπὸ περιττῶν μετροῦνται. ὥστε ὁ ### book 35.1.4 Δ, ἐπειδὴ περισσὸν τὸν Α μετρεῖ, περισσός ἐστιν ὁ Δ· ὁ ### book 35.5.1 γὰρ περισσὸς ὑπὸ περισσοῦ μετρεῖται, οἷον ὁ θ ὑπὸ τοῦ γ, ### book 35.5.2 ὁ κε ὑπὸ τοῦ ε, ὁ μθ ὑπὸ τοῦ ζ καὶ αἰεὶ οὕτως. ἔστι δὲ ὁ ### book 35.5.3 Γ ἄρτιος, διότι διπλασίων ἐστὶ τοῦ Β, τὸ δέ τινος διπλά‐ ### book 35.5.4 σιον ἄρτιόν ἐστιν. ### book 36.1 Ἄξιον ἐπιστῆσαι ἐνταῦθα, πῶς φησιν ὁ γεωμέτρης, ### book 36.2 ὅτι ἀρτιάκις ἄρτιός ἐστι μόνον ὡς δὴ τοῦ αὐτοῦ ἀριθμοῦ ### book 36.3 ὄντος ἀρτιάκις τε ἀρτίου καὶ μὴ ὄντος. ὡσαύτως δὲ καὶ ### book 36.4 περὶ τοῦ ἀρτιοπερισσοῦ τε καὶ περισσαρτίου σκέψασθαι ### book 36.5.1 ἄξιον. τὰ αὐτὰ γὰρ καὶ περὶ ἐκείνων λέγει ὡς δυναμένου ### book 36.5.2 τινὸς ἀριθμοῦ ἐν τοῖς ἀρτιοπερισσοῖς τε εἶναι καὶ μὴ καὶ ἐν ### book 36.5.3 τοῖς περισσαρτίοις τε καὶ μὴ τοιούτοις. ἔοικε γὰρ ὁ γεω‐ ### book 36.5.4 μέτρης πάντα ἀριθμὸν τὸν ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρούμε‐ ### book 36.5.5 νον κατὰ ἄρτιον ἀριθμὸν ἀρτιάκις ἄρτιον ὀνομάζειν, καὶ ### book 36.10.1 ἡ αἰτία, ὅτι ὑπὸ ἀρτίου κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν. ἤπερ γὰρ ### book 36.10.2 ἄλλος καλοῖτο ὁ ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρούμενος κατὰ ### book 36.10.3 ἄρτιον ὥσπερ τὸν κδ· ὑπὸ γὰρ ἀρτίου κατὰ ἄρτιον ἀριθμὸν ### book 36.10.4 μετρεῖται. διότι δὲ δύναται καὶ ὑπὸ περισσοῦ κατὰ ἄρτιον ### book 36.10.5 μετρεῖσθαι, ἤγουν τοῦ γ κατὰ τὸν η, κἀντεῦθεν καὶ πε‐ ### book 36.15.1 ρισσάκις ἄρτιος ὀνομάζεται, διὰ τοῦτο οὐκ ἀρτιάκις ἄρτιος ### book 36.15.2 μόνον κέκληται· τούτου γὰρ ἔλαχε μόνον τοῦ ὀνόματος ### book 36.15.3 ἀριθμὸς ὁ ὑπὸ ἀρτίου μόνον κατὰ ἄρτιον ἀριθμὸν μετρού‐ ### book 36.15.4 μενος. τὸν αὐτὸν τρόπον καὶ ἀρτιάκις περιττὸν λέγει μόνον ### book 36.15.5 τὸν ἄλλως μὴ δυνάμενον μετρεῖσθαι ἢ ὑπὸ ἀρτίου κατὰ ### book 36.20.1 περισσὸν ἀριθμόν, ὡς τὸν ιδ, καὶ ἔτι περισσάκις ἄρτιον ### book 36.20.2 μόνον τὸν ὑπὸ περισσοῦ μόνον μετρούμενον κατὰ ἄρτιον ### book 36.20.3 ἀριθμόν, οἷον ὁ ιη. καὶ δῆλον, ἐξ ὧν ἀπέδωκεν ὁρισμῶν ἐν ### book 36.20.4 τῷ ἑβδόμῳ βιβλίῳ. τινὲς δὲ μὴ ἁψάμενοι τοῦ σκοποῦ τοῦ ### book 36.20.5 Εὐκλείδου πειρῶνται καὶ τοὺς ὁρισμοὺς ἐπιδιορθοῦν ὡς ### book 36.25.1 κακῶς ἀποδεδομένους, κακῶς εἰδότες καὶ μηδὲ ὑπὸ τῶν ### book 36.25.2 ἐνταῦθα σαφῶς λεγομένων τὴν λύσιν τούτων πορίσασθαι ### book 36.25.3 δυνάμενοι, ἀλλ’ ὅτι μὴ ὁμοίως ἀποδέδονται τοῖς τοῦ ### book 36.25.4 Νικομάχου, μεμφόμενοι. ### book 37.1 Ὁ Α ἄρα ἢ ἀρτιάκις περιττός ἐστιν, ὅσπερ καὶ πε‐ ### book 37.2 ρισσάκις ἄρτιός ἐστιν, ἢ περισσάκις περισσός· τοῦτο δὲ ### book 37.3 οὐκ ἔστιν· ἥμισυ γὰρ οὐκ ἔχει· ἢ ἀρτιάκις ἄρτιος· πᾶς δὲ ### book 37.4 ἀρτιάκις ἄρτιος ἀριθμὸς τὸ ἥμισυ ἔχει ἄρτιον, πάντα δὲ ### book 37.5.1 ἄρτιον ἀριθμὸν ἐνδέχεται ἢ ὑπὸ μόνου ἀρτίου μετρεῖσθαι ### book 37.5.2 ἢ ὑπὸ ἀρτίου καὶ περιττοῦ, τὸν δὲ περιττὸν ἀριθμὸν ἄρτιος ### book 37.5.3 οὐ μετρεῖ. ### book 38.1 Ὅτι μὲν οὖν ὁ Α Ἀρτιάκις ἐστὶν ἄρτιος, p. 222, 8] ### book 38.2 πόθεν δῆλον, ὅτι ὁ Α ἀρτιάκις ἄρτιος; ἐπεὶ ἄρτιός ἐστι, ### book 38.3 μετρεῖται ὑπὸ τῆς δυάδος· πάντας γὰρ τοὺς ἀρτίους ἡ ### book 38.4 δυὰς μετρεῖ. ἐπεὶ δὲ καὶ τὸ ἥμισυ τούτου ἄρτιόν ἐστι, ### book 38.5 πάντας δέ, οὓς μετρεῖ ἡ δυάς, κατὰ τὸ ἥμισυ τούτων αὐτοὺς ### book 38 μετρεῖ, μετρεῖ ἄρα ἡ δυὰς τὸν Α κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν. ### book 39.1 ὃς μετρήσει τὸν Α p. 222, 12] πόθεν δῆλον, ὅτι ### book 39.2 μετρήσει αὐτὸν τὸν Α ἀρτιάκις; εἰ γὰρ μετρήσει αὐτὸν ### book 39.3 περισσάκις, ἔσται ὁ Α περισσάκις περισσός, πᾶς δὲ πε‐ ### book 39.4 ρισσάκις περισσὸς ἥμισυ οὐκ ἔχει. ὁ Α ἄρα ἥμισυ οὐκ ἔχει· ### book 39.5 ὑπόκειται δὲ ἔχειν· ὅπερ ἄτοπον. ### book 40.1 Πόθεν δῆλον, ὅτι περισσὸς ἀριθμὸς μετρήσει τὸν Α; ### book 40.2 λέγομεν, ὅτι, ἐπεὶ ἐκεῖνος τὸν διπλάσιον αὑτοῦ μετρεῖ, ### book 40.3 ἐκεῖνος δὲ τὸν ἐκείνου διπλάσιον, ἐκεῖνός τε τὸν ἐκείνου ### book 40.4 διπλάσιον, καὶ ἀεὶ τοῦτο, καὶ ὁ περισσὸς τὸν Α μετρήσει. ### book 40.5.1 ὅτι δὲ καὶ κατὰ ἄρτιον, δῆλον· οὕτω γὰρ ἀποτελέσει τὸν Α ### book 40.5.2 ἄρτιον ὄντα διὰ τὸ κηʹ τοῦ αὐτοῦ. εἰ μὴ γὰρ κατὰ ἄρτιον, ### book 40.5.3 μετρήσει τοῦτον κατὰ περισσόν· ἐὰν δὲ περισσὸς ἀριθμὸς ### book 40.5.4 ἀριθμὸν πολλαπλασιάσας ποιῇ τινα, ὁ γενόμενος περισσὸς ### book 40.5.5 ἔσται. ὥστε ὁ Α ἔσται καὶ περισσὸς καὶ ἄρτιος. ### book 41.1 καταντήσομεν εἰς δυάδα p. 222, 13] εἰς δυάδα ### book 41.2 πρῶτον καὶ οὕτως εἰς μονάδα, ἀλλὰ πρὸ τῆς δυάδος εἰς ### book 41.3 τετράδα. ### book 42.1 Οὐ λέγει, ὅτι, ὃν λόγον ὁ ΕΖ πρὸς τὸν ΛΖ εἶχε καὶ ### book 42.2 ἔτι ὁ ΛΖ πρὸς τὸν ΖΚ καὶ ὁ ΖΚ πρὸς τὸν ΖΘ, καὶ δι‐ ### book 42.3 ελόντι τὸν αὐτὸν λόγον ἕξουσιν ὁ ΕΛ πρὸς τὸν ΛΖ καὶ ὁ ### book 42.4 ΛΚ πρὸς τὸν ΚΖ καὶ ὁ ΚΘ πρὸς τὸν ΖΘ· τοῦτο γὰρ ψεῦ‐ ### book 42.5.1 δός ἐστιν. ὁ μὲν γὰρ τοῦ ΕΖ πρὸς τὸν ΛΖ λόγος ὁμοίως ### book 42.5.2 καὶ ὁ τοῦ ΛΖ πρὸς τὸν ΚΘ καὶ ὁ τοῦ ΚΘ πρὸς τὸν ΘΖ ### book 42.5.3 τριπλασίονές εἰσιν, τοῦ δὲ ΕΛ πρὸς τὸν ΛΖ καὶ τοῦ ΛΚ ### book 42.5.4 πρὸς τὸν ΚΖ καὶ τοῦ ΚΖ πρὸς τὸν ΘΖ διπλασίονες, ἀλλ’ ### book 42.5.5 οὐχ ὡς ἐκεῖνοι τριπλάσιοί εἰσιν. ἀλλ’ ὃ λέγει, ἐστίν, ὅτι, ### book 42.10 ὥσπερ ἐπ’ ἐκείνων κατὰ τὸ ἑξῆς ἀνάλογον ἦσαν ἀριθμοὶ ### book 42.1 ἡγούμενοι καὶ ἑπόμενοι, καὶ ὡς εἶχεν ὁ ΕΖ πρὸς τὸν ΖΛ, ### book 42.2 οὕτως καὶ οἱ λοιποὶ πρὸς τοὺς λοιπούς, οὕτως κἂν διέλῃς, ### book 42.3 γενήσεται, καὶ ὁποῖον ἂν ἔχῃ λόγον ὁ ΕΛ πρὸς τὸν ΛΖ, ### book 42.4 τὸν αὐτὸν ἕξουσι καὶ ὁ ΛΚ πρὸς τὸν ΖΚ καὶ ὁ ΚΘ πρὸς ### book 42.15 τὸν ΘΖ. ### book 43.1 Ταῦτα ἕως τοῦ λϛʹ εὗρον ἐν ἄλλῳ. ### book 43.2 Ἐὰν ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἐκτεθῶσιν ἐπὶ ### book 43.3 διπλασίονι ἀναλογίᾳ, ἕως οὗ ὁ σύμπας συντεθεὶς πρῶτος ### book 43.4 γένηται, καὶ ὁ σύμπας ἐπὶ τὸν ἔσχατον πολλαπλασιασθεὶς ### book 43.5.1 ποιεῖ τινα, ὁ γενόμενος τέλειος ἔσται. πρὸς γὰρ μονάδος ### book 43.5.2 ἐκκείσθωσαν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἐν τῇ διπλασίονι ἀνα‐ ### book 43.5.3 λογία, ἕως ὁ σύμπας συντεθεὶς πρῶτος γένηται, οἱ Α, Β, ### book 43.5.4 καὶ τὸ σύμπαντι ἴσος ἔσται ὁ Ε. ### book 44.1 Τοῦτο ἐμάθομεν κἀν τῇ τοῦ Νικομάχου ἀριθμητικῇ, ### book 44.2 ἔνθα παραδίδωσιν ἡμῖν τὴν μέθοδον τῆς εὑρέσεως τῶν ### book 44.3 τελείων ἀριθμῶν. ### book 45.1 Ὁ γὰρ Α ὁ μετὰ τὴν μονάδα δῆλον ὅτι πρῶτός ἐστιν· ### book 45.2 δυὰς γάρ ἐστι, δυάδα δὲ μονὰς μόνη μετρεῖ. ### book 46.1 Τέλειοί εἰσιν ἀριθμοὶ κατ’ Εὐκλείδην οἵδε· ἐν μο‐ ### book 46.2 νάσι μὲν ὁ ϛ, ἐν δεκάσι δὲ ὁ κη, ἐν ἑκατοντάσι δὲ ὁ υϙϛ, ἐν ### book 46.3 χιλιάσι δὲ ὁ ͵ηρκη. εὑρίσκονται δὲ ἐν ἁπλαῖς ὅ τε σμθ καὶ ### book 46.4 ͵ϛκρη. ### book 47.1 Τέλειοι ἀριθμοὶ κατὰ Εὐκλείδην· ### book 47.2 ἐν μονάσιν ὁ ϛ ### book 47.3 ἐν δεκάσιν ὁ κη ### book 47.4 ἐν ἑκατοντάσιν ὁ υϙϛ ### book 47.5.1 ἐν χιλιάσιν ὁ ͵ηρκη. ### book 47.5.2 .... ἀριθμοὶ κατὰ Εὐκλείδην ........ ### book 47.1 σκ ### book 47.2 𐅵ʹ ρι δʹ νε εʹ μδ ιʹ κβ ιαʹ κ κβʹ ι κʹ ια μδʹ ε νεʹ δ ριʹ β σκʹ ### book 47.3 α σπδ ### book 47.10.1 𐅵ʹ ρμβ δʹ οα οαʹ δ ρμβʹ β σπδʹ α. ### book 47.10.2 [Start of a diagram]δ ### book 47.10.3 ͵ηρκη σμη ρκδ ξβ λα ### book 47.10.4 𐅵ʹ ͵δξδ μμ̊ β δ η ιϛ ### book 47.10.5 δʹ ͵βλβ ιϛʹ ηʹ δʹ ### book 47.15.1 ηʹ ͵αιϛ λαʹ ξβʹ ρκδʹ σμηʹ υϙϛʹ ### book 47.15.2 ιϛʹ φηυϙϛ ### book 47.15.3 λβʹ σνδ 𐅵ʹ σμη ### book 47.15.4 ξδʹ ρκζ δʹ ρκδ ### book 47.15.5 ρκζʹ ξδ ηʹ ξβ ### book 47.20.1 σνδʹ λβ ιϛʹ λα ### book 47.20.2 φηʹ ιϛ λαʹ ιϛ ### book 47.20.3 ͵αιϛʹ η ξβʹ η ### book 47.20.4 ͵βλβʹ δ ρκδʹ δ ### book 47.20.5 ͵δξδʹ β σμηʹ β ### book 47.25 ͵ηρκηʹ α υϙϛʹ α.[End of a diagram] ### book 1.1 Ὁ σκοπὸς τοῦ ιʹ βιβλίου τῷ Εὐκλείδῃ διδάξαι περὶ ### book 1.2 συμμέτρων καὶ ἀσυμμέτρων καὶ περὶ ῥητῶν καὶ ἀλόγων· ### book 1.3 οὐ γὰρ ταὐτὸν ἀσύμμετρα καὶ ἄλογα, διότι τὰ μὲν φύσει ### book 1.4 ἔστιν, τὰ δὲ ἄλογα καὶ ῥητὰ θέσει. εἰ γὰρ καὶ τὴν τοῦ τε‐ ### book 1.5.1 τραγώνου διάμετρον φύσις ἀσύμμετρον ποιεῖ πρὸς τὴν πλευ‐ ### book 1.5.2 ράν, ἀλλὰ κατὰ τοὺς ἐν ἑαυτῇ ἐκείνου λόγους ποιεῖ καὶ οὐ ### book 1.5.3 κατὰ τὸ ἐπιτυχόν· ὥστε οὐδὲν τῶν ἀσυμμέτρων τῇ φύσει ### book 1.5.4 εἴη ἄλογον, ἀσύμμετρον δέ. καὶ γὰρ ἡ φύσις αὐτὸ ποιεῖ ### book 1.5.5 κατὰ πᾶν μέτρον ἀκοινώνητον τῷδέ τινι. ἐν μὲν οὖν τοῖς ### book 1.10.1 πρώτοις περὶ συμμέτρων καὶ ἀσυμμέτρων διαλαμβάνει ### book 1.10.2 πρὸς τὴν φύσιν αὐτῶν αὐτὰ ἐξετάζων, ἐν δὲ τοῖς ἑξῆς περὶ ### book 1.10.3 ῥητῶν καὶ ἀλόγων οὐ πασῶν (τινὲς γὰρ αὐτῷ ὡς ἐνιστά‐ ### book 1.10.4 μενοι ἐγκαλοῦσιν), ἀλλὰ τῶν ἁπλουστάτων εἰδῶν, ὧν ### book 1.10.5 συντιθεμένων γίνονται ἄπειροι ἄλογοι, ὧν τινας καὶ ὁ ### book 1.15.1 Ἀπολλώνιος ἀναγράφει. ἐπιστήμης δὲ τὰ αἴτια καὶ ἀρχη‐ ### book 1.15.2 γικὰ καὶ ἁπλᾶ ἐπισκέπτεσθαι, οὐ τὰ καθ’ ἕκαστα καὶ ### book 1.15.3 ἄπειρα. ἐκτίθεται δ’ οὖν τῶν ἀλόγων ἁπλᾶ εἴδη ιγ εὑρεθέν‐ ### book 1.15.4 τα κατὰ τρόπους τρεῖς, παρ’ ἃ οὐχ εὑρεθήσεται ἄλλα ἁπλᾶ. ### book 1.15.5 εἰσὶ δὲ οἱ τρόποι ὅ τε κατὰ ἀναλογίαν, δι’ οὗ μίαν εὑρίσκει, ### book 1.20.1 καὶ ὁ κατὰ σύνθεσιν, δι’ οὗ ἕξ, καὶ ὁ κατὰ διαίρεσιν, δι’ οὗ ### book 1.20.2 τὰς λοιπὰς ἕξ. ἦλθον δὲ τὴν ἀρχὴν ἐπὶ τὴν τῆς συμμετρίας ### book 1.1 ζήτησιν οἱ Πυθαγόρειοι πρῶτοι αὐτὴν ἐξευρόντες ἐκ τῆς ### book 1.2 τῶν ἀριθμῶν κατανοήσεως. κοινοῦ γὰρ ἁπάντων ὄντος ### book 1.3 μέτρου τῆς μονάδος καὶ ἐπὶ τῶν μεγεθῶν κοινὸν μέτρον ### book 1.25.1 εὑρεῖν οὐκ ἠδυνήθησαν. αἴτιον δὲ τὸ πάντα μὲν καὶ ὁποιον‐ ### book 1.25.2 οῦν ἀριθμὸν καθ’ ὁποιασοῦν τομὰς διαιρούμενον μόριόν ### book 1.25.3 τι καταλιμπάνειν ἐλάχιστον καὶ τομῆς ἀνεπίδεκτον, πᾶν ### book 1.25.4 δὲ μέγεθος ἐπ’ ἄπειρον διαιρούμενον μὴ καταλιμπάνειν ### book 1.25.5 μόριον, ὃ διὰ τὸ εἶναι ἐλάχιστον τομὴν οὐκ ἐπιδέξεται, ### book 1.30.1 ἀλλὰ καὶ ἐκεῖνο ἐπ’ ἄπειρον τεμνόμενον ποιεῖν ἄπειρα ### book 1.30.2 μόρια, ὧν ἕκαστον ἐπ’ ἄπειρον τμηθήσεται, καὶ ἁπλῶς τὸ ### book 1.30.3 μὲν μέγεθος κατὰ μὲν τὸ μερίζεσθαι μετέχειν τῆς τοῦ ### book 1.30.4 ἀπείρου ἀρχῆς, κατὰ δὲ τὴν ὁλότητα τῆς τοῦ πέρατος, ### book 1.30.5 τὸν δὲ ἀριθμὸν κατὰ μὲν τὸ μερίζεσθαι τῆς τοῦ πέρατος, ### book 1.35.1 κατὰ δὲ τὴν ὁλότητα τῆς τοῦ ἀπείρου. ἐπεὶ οὖν τὰ μέτρα ### book 1.35.2 τῶν μετρουμένων ἐλάττονα εἶναι προσήκει, μετρεῖται δὲ ### book 1.35.3 πᾶς ἀριθμός, ἀνάγκη πάντων ἔλαττόν τι εἶναι τὸ μέτρον. ### book 1.35.4 ὥστε καὶ τῶν μεγεθῶν, εἰ πάντα μετρεῖται κοινῷ μέτρῳ, ### book 1.35.5 ἀνάγκη εἶναί τι ἐλάχιστον. ἀλλ’ ἐπὶ μὲν τῶν ἀριθμῶν ### book 1.40.1 ἔστιν· πεπέρασται γάρ, ὡς προείρηται· ἐπὶ δὲ τῶν μεγε‐ ### book 1.40.2 θῶν οὐκέτι. οὐκ ἄρα κοινὸν πάντων τι μεγεθῶν μέτρον. ### book 1.40.3 τοῦτο οὖν καὶ οἱ Πυθαγόρειοι ἐγνωκότες συμμετρίαν ### book 1.40.4 ὡς ἦν τοῖς μεγέθεσι δυνατόν, ἐξεῦρον. πάντα γὰρ τὰ ὑπὸ ### book 1.40.5 τὸ αὐτὸ μέτρον μεγέθη σύμμετρα ὠνόμασαν, τὰ δὲ οὐχ ### book 1.45.1 ὑποπίπτοντα τῷ αὐτῷ μέτρῳ ἀσύμμετρα, καὶ τούτων ### book 1.45.2 πάλιν, ὅσα μὲν ἄλλῳ τινὶ κοινῷ μετρεῖται μέτρῳ, ἀλλήλοις ### book 1.45.3 σύμμετρα, ὅσα δὲ μή, ἀσύμμετρα, ἐκείνοις. καὶ οὕτω θέσει ### book 1.45.4 λαμβανομένων τῶν μέτρων πάντα εἰς συμμετρίας ἀνήγαγον ### book 1 διαφόρους, εἰ δὲ εἰς διαφόρους, καὶ ὡς πρός τινα οὐ πάντα ### book 1.1 σύμμετρα εἶναι δύναται. ῥητὰ δὲ πάντα καὶ πάντα ἄλογα ### book 1.2 δυνατὸν εἶναι ὡς πρός τι· διὸ τὸ μὲν σύμμετρον φύσει ἂν ### book 1.3 εἴη αὐτοῖς καὶ τὸ ἀσύμμετρον, τὸ δὲ ῥητὸν καὶ ἄλογον ### book 1.4 θέσει. εὑρίσκεται δὲ τὰ σύμμετρα καὶ ἀσύμμετρα τριχῶς ### book 1.5 κατὰ τὰς τρεῖς διαστάσεις· καὶ γὰρ γραμμαὶ καὶ ἐπιφάνειαι ### book 1.55.1 καὶ στερεά, ὡς ὁ Θέων δείκνυσι καί τινες ἄλλοι. ὅτι δὲ ἐπ’ ### book 1.55.2 ἄπειρον τὸ μέγεθος διαιρετόν, τοιούτῳ θεωρήματι κέχρην‐ ### book 1.55.3 ται. ἰσόπλευρον λαβόντες τρίγωνον τέμνουσι τὴν βάσιν ### book 1.55.4 δίχα καὶ ἑνὶ τῶν τμημάτων ἴσον ἀποθέμενοι ἐπὶ μιᾶς τῶν ### book 1.55.5 πλευρῶν ὡς ἐπὶ τὰ πρὸς τῇ βάσει μέρη παράλληλον ἄγουσι ### book 1.60.1 δι’ ἐκείνου, καὶ ἔσται πάλιν ἰσόπλευρον τὸ ἀπολαμβανό‐ ### book 1.60.2 μενον τρίγωνον, οὗ πάλιν τὴν βάσιν κατὰ τὰ αὐτὰ τέ‐ ### book 1.60.3 μνοντες ὡσαύτως ποιοῦσι καὶ οὐ‐ ### book 1.60.4 δέποτε καταλήγουσι πρὸς τῇ τοῦ [Omitted graphic marker] ### book 1.60.5 τριγώνου κορυφῇ. εἰ γὰρ κατα‐ ### book 1.65.1 λήξουσιν, τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως ### book 1.65.2 τοῦ τότε ἰσοπλεύρου τριγώνου ### book 1.65.3 ἑκατέρᾳ τῶν πλευρῶν ἴσον ἔσται. ### book 1.65.4 ὥστε καὶ αἱ δύο τῇ λοιπῇ· ὅπερ ### book 1.65.5 ἄτοπον. ### book 1.70.1 Ὅτι δὲ χρήσιμος ἡ τούτων θεωρία, μὴ καὶ περιττὸν λέ‐ ### book 1.70.2 γειν. τῶν γὰρ Πυθαγορείων λόγος τὸν πρῶτον τὴν περὶ ### book 1.70.3 τούτων θεωρίαν εἰς τοὐμφανὲς ἐξαγαγόντα ναυαγίῳ περι‐ ### book 1.70.4 πεσεῖν, καὶ ἴσως ᾐνίττοντο, ὅτι πᾶν τὸ ἄλογον ἐν τῷ παντὶ ### book 1.70.5 καὶ ἄλογον καὶ ἀνείδεον κρύπτεσθαι φιλεῖ, καὶ εἴ τις ἂν ### book 1.75.1 ψυχὴ ἐπιδράμοι τῷ τοιούτῳ εἴδει τῆς ζωῆς πρόχειρον καὶ ### book 1.75.2 φανερὸν τοῦτο ποιήσηται, εἰς τὸν τῆς γενέσεως ὑποφέρε‐ ### book 1.75.3 ται πόντον καὶ τοῖς ἀστάτοις ταύτης κλύζεται ῥεύμασιν. ### book 1.75.4 τοιοῦτον σέβας καὶ οὗτοι εἶχον οἱ ἄνδρες περὶ τὴν τῶν ἀλό‐ ### book 1.75.5 γων θεωρίαν. ### book 2.1 Τὰ μὲν μαθήματα φανταστικῶς νοοῦμεν, τοὺς δὲ ἀριθ‐ ### book 2.2 μοὺς δοξαστικῶς· διὸ καὶ τὰ μὲν εἰς ἄπειρον διαιρεῖται, οἱ ### book 2.3 δὲ μεριζόμενοι λήγουσιν εἰς πέρας ὡρισμένον τὴν μονάδα· ### book 2.4 πεπέρασται γὰρ μᾶλλον ἡ δόξα καί ἐστι πρὸς τῷ ἑνί, ἡ δὲ ### book 2.5.1 φαντασία πλῆθος ἄπειρον ἔχει· διὸ τὰ φανταστὰ ἄπειρα. ### book 2.5.2 καὶ τὰ μεγέθη οὖν ὡς φανταστὰ ἄπειρα καὶ ἡ τομὴ αὐτῶν. ### book 2.5.3 Εἰ πάντα τὰ μεγέθη τὰ πεπερασμένα δύναται πολλα‐ ### book 2.5.4 πλασιαζόμενα ἀλλήλων ὑπερέχειν (τοῦτο δὲ ἦν τὸ λόγον ### book 2.5.5 ἔχειν, ὡς ἐν τῷ πέμπτῳ μεμαθήκαμεν), τίς μηχανὴ τὴν ### book 2.10.1 τῶν ἀλόγων ἐπεισφέρειν διαφοράν; ἢ ὅτι τὸ μέτρον ἐν μὲν ### book 2.10.2 τοῖς ἀριθμοῖς ἡ φύσις ὑπέστησεν, θέσει δὲ ἐν τοῖς μεγέθεσι ### book 2.10.3 διὰ τὴν ἐπ’ ἄπειρον τομήν; πρὸς γὰρ πῆχυν ἢ σπιθαμὴν ### book 2.10.4 ἤ τι τοιοῦτον γνώριμον μέτρον τὸ ῥητὸν καὶ τὸ ἄρρητον ### book 2.10.5 γνωρίζομεν. καὶ μὴν τὸ λόγον ἔχειν ἄλλως μὲν ἐπὶ τῶν ### book 2.15.1 μεγεθῶν λέγεται τῶν πεπερασμένων καὶ ὁμογενῶν, ἄλλως ### book 2.15.2 ἐπὶ τῶν συμμέτρων, ἄλλως ἐπὶ τῶν ῥητῶν προσαγορευο‐ ### book 2.15.3 μένων. ὅπου μὲν γὰρ ὁ λόγος μόνον καὶ ἡ σχέσις θεωρεῖται ### book 2.15.4 τῶν πεπερασμένων μεγεθῶν κατὰ τὸ μεῖζον καὶ ἔλαττον, ### book 2.15.5 ὅπου δὲ κατά τινα τῶν ἐν ἀριθμοῖς σχέσεων· διὸ καὶ τὰ ### book 2.20.1 σύμμετρα μεγέθη λόγον ἔχειν λέγεται, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ### book 2.20.2 ἀριθμόν. ὅπου δὲ πρὸς τὸ ἐγκείμενον μέτρον τὴν τῶν ῥη‐ ### book 2 τῶν ἡμῖν πρὸς τὰ ἄλογα διαφορὰν παρέσχετο. ### book 3 [Start of a diagram]Τῶν εὐθειῶν ### book 3col 1-2 [Start of a diagram section]ῥηταί ### book 3col 1.1 αἱ μὲν μή‐ ### book 3col 1.2 κει καὶ δυ‐ ### book 3col 1.3 νάμει σύμ‐ ### book 3col 1.4 μετροι. τὸ ### book 3col 1.5.1 ὑπὸ ῥητῶν ### book 3col 1.5.2 μήκει συμ‐ ### book 3col 1.5.3 μέτρων καὶ ### book 3col 1.5.4 δυνάμει ### book 3col 1.5.5 περιεχόμε‐ ### book 3col 1.10.1 νον ὀρθο‐ ### book 3col 1.10.2 γώνιον χω‐ ### book 3col 1.10.3 ρίον ῥητόν ### book 3col 1.10.4 ἐστι. καὶ ### book 3col 1.10.5 ἐὰν ῥητὸν ### book 3col 1.15.1 χωρίον ### book 3col 1.15.2 παρὰ ῥη‐ ### book 3col 1.15.3 τὴν παρα‐ ### book 3col 1.15.4 βληθῇ, πλά‐ ### book 3col 1.15.5 τος ποιεῖ ῥη‐ ### book 3col 1.20.1 τὸν καὶ ### book 3col 1.20.2 σύμμετρον ### book 3col 1.20.3 τῇ παρ’ ἣν ### book 3col 1.20.4 παράκει‐ ### book 3col 1 ται μήκει. ### book 3col 2.1 αἱ δὲ δυνάμει ### book 3col 2.2 μόνον, μήκει δὲ ### book 3col 2.3 ἀσύμμετροι. τὸ ### book 3col 2.4 ὑπὸ ῥητῶν δυ‐ ### book 3col 2.5.1 νάμει μόνον συμ‐ ### book 3col 2.5.2 μέτρων εὐθειῶν ### book 3col 2.5.3 περιεχόμενον ὀρ‐ ### book 3col 2.5.4 θογώνιον χωρίον ### book 3col 2.5.5 ἄλογόν ἐστι, καὶ ### book 3col 2.10.1 ἡ δυναμένη αὐ‐ ### book 3col 2.10.2 τὸ ἄλογος, κα‐ ### book 3col 2.10.3 λεῖται δὲ μέση ### book 3col 2.10.4 διὰ τὸ μέσην ### book 3col 2.10.5 αὐτὴν ἀνάλογον ### book 3col 2.15.1 γίνεσθαι τῶν ### book 3col 2.15.2 δυνάμει μόνον ### book 3col 2.15.3 συμμέτρων εὐ‐ ### book 3col 2.15.4 θειῶν τῶν περι‐ ### book 3col 2.15.5 εχουσῶν τὸ ἄλο‐ ### book 3col 2.20.1 γον χωρίον· ἴσον ### book 3col 2.20.2 γάρ ἐστι τὸ ἀπ’ ### book 3col 2.20.3 αὐτῆς τῷ ὑπ’ ### book 3col 2.20.4 αὐτῶν περιεχο‐ ### book 3col 2.20.5 μένῳ. τὸ ἀπὸ ### book 3col 2.25.1 μέσης παρὰ ῥη‐ ### book 3col 2.25.2 τὴν παραβαλλό‐ ### book 3col 2.25.3 μενον πλάτος ### book 3col 2.25.4 ποιεῖ ῥητὸν καὶ ### book 3col 2.25.5 ἀσύμμετρον τῇ ### book 3col 2.30 παρ’ ἣν παρά‐ ### book 3col 2 κειται μήκει.[End of a diagram section] ### book 3col 3-5 [Start of a diagram section]ἄλογοι ### book 3col 3.1 αἱ μὲν μήκει ### book 3col 3.2 καὶ δυνάμει ### book 3col 3.3 εἰσὶ σύμμε‐ ### book 3col 3.4 τροι καί ### book 3col 3.5.1 εἰσιν αἱ αὐ‐ ### book 3col 3.5.2 ταὶ ἐκείναις, ### book 3col 3.5.3 αἷς εἰσι σύμ‐ ### book 3col 3.5.4 μετροι. ‖ ἢ ### book 3col 3.5.5 τῇ μέσῃ σύμ‐ ### book 3col 3.10.1 μετροι ἢ μή‐ ### book 3col 3.10.2 κει καὶ δυ‐ ### book 3col 3.10.3 νάμει ἢ δυ‐ ### book 3col 3.10.4 νάμει μόνον ### book 3col 3.10.5 οὖσαι σύμ‐ ### book 3col 3.15.1 μετροι. τὸ ### book 3col 3.15.2 ὑπὸ μέσων ### book 3col 3.15.3 μήκει συμ‐ ### book 3col 3.15.4 μέτρων εὐ‐ ### book 3col 3.15.5 θειῶν περι‐ ### book 3col 3.20.1 εχόμενον ὀρ‐ ### book 3col 3.20.2 θογώνιον μέ‐ ### book 3col 3.20.3 σον ἐστίν. τὸ ### book 3col 3.20.4 ὑπὸ μέσων ### book 3col 3.20.5 δυνάμει μό‐ ### book 3col 3.25.1 νον συμμέ‐ ### book 3col 3.25.2 τρων περι‐ ### book 3col 3.25.3 εχόμενον ὀρ‐ ### book 3col 3.25.4 θογώνιον ἤτοι ### book 3col 3.25.5 ῥητὸν ἢ μέσον ### book 3col 3.30.1 ἐστίν. μέσον ### book 3col 3.30.2 μέσου ῥητῷ ### book 3col 3 οὐχ ὑπερέχει. ### book 3col 4.1 αἱ δὲ δυ‐ ### book 3col 4.2 νάμει μό‐ ### book 3col 4.3 νον σύμμε‐ ### book 3col 4.4 τροι, μήκει ### book 3col 4.5.1 δὲ ἀσύμ‐ ### book 3col 4.5.2 μετροι. ### book 3col 4.5.3 ἢ τὸ μὲν ### book 3col 4.5.4 συγκείμενον ### book 3col 4.5.5 ἐκ τῶν ἀπ’ ### book 3col 4.10.1 αὐτῶν τετρα‐ ### book 3col 4.10.2 γώνων ῥητόν, ### book 3col 4.10.3 τὸ δὲ ὑπ’ ### book 3col 4.10.4 αὐτῶν μέ‐ ### book 3col 4.10.5 σον κατὰ ### book 3col 4.15.1 σύνθεσιν ποι‐ ### book 3col 4.15.2 οῦσαι τὴν μεί‐ ### book 3col 4.15.3 ζονα, κατὰ ### book 3col 4.15.4 ἀφαίρεσιν τὴν ### book 3col 4.15.5 ἐλάττονα† κα‐ ### book 3col 4.20.1 τὰ ἀφαίρεσιν ### book 3col 4.20.2 μετὰ ῥητοῦ ### book 3col 4.20.3 μέσον τὸ ### book 3col 4.20.4 ὅλον ποι‐ ### book 3col 4 οῦσαν. ### book 3col 5.1 δυνάμει ### book 3col 5.2 ἀσύμμετροι ### book 3col 5.3 μήκει (?) ποι‐ ### book 3col 5.4 οῦσαι ἢ τὸ ### book 3col 5.5.1 μὲν συγκεί‐ ### book 3col 5.5.2 μενον ἐκ τῶν ### book 3col 5.5.3 ἀπ’ αὐτῶν ### book 3col 5.5.4 τετραγώνων ### book 3col 5.5.5 μέσον καὶ τὸ ### book 3col 5.10.1 ὑπ’ αὐτῶν ### book 3col 5.10.2 μέσον καὶ ἔτι ### book 3col 5.10.3 ἀσύμμετρον ### book 3col 5.10.4 τῷ συγκει‐ ### book 3col 5.10.5 μένῳ ἐκ τῶν ### book 3col 5.15.1 ἀπ’ αὐτῶν ### book 3col 5.15.2 τετραγώνων. ### book 3col 5.15.3 κατὰ σύν‐ ### book 3col 5.15.4 θεσιν τὴν δύο ### book 3col 5.15.5 μέσα δυνα‐ ### book 3col 5.20.1 μένην, κατὰ ### book 3col 5.20.2 ἀφαίρεσιν με‐ ### book 3col 5.20.3 τὰ μέσου μέ‐ ### book 3col 5.20.4 σον τὸ ὅλον ### book 3col 5 ποιοῦσαν.[End of a diagram section][End of a diagram] ### book 4col 1a.1 Γίνονται ### book 4col 1a.2 ἄλογοι εὐθεῖαι ιγ· ### book 4col 1a.3 μέση· ἐκ ταύτης ### book 4col 1a.4 ἄπειροι ἄλογοι γί‐ ### book 4col 1a.5.1 νονται. κατὰ σύν‐ ### book 4col 1a.5.2 θεσιν· ἐκ δύο ### book 4col 1a.5.3 ὀνομάτων αʹ βʹ ### book 4col 1a.5.4 γʹ δʹ εʹ ϛʹ ἐκ δύο ### book 4col 1a.5.5 μέσων βʹ αʹ μείζων ### book 4col 1a.10.1 ῥητὸν καὶ μέσον ### book 4col 1a.10.2 δυναμένη δύο ### book 4col 1a.10.3 μέσα δυναμένη. ### book 4col 1a.10.4 κατὰ ἀφαίρεσιν· ### book 4col 1a.10.5 ἀποτομὴ αʹ βʹ γʹ ### book 4col 1a.15.1 δʹ εʹ ϛʹ μέση ### book 4col 1a.15.2 ἀποτομὴ βʹ αʹ μέση ### book 4col 1a.15.3 ἀποτομὴ ἐλάττων ### book 4col 1a.15.4 μετὰ ῥητοῦ μέσον ### book 4col 1a.15.5 τὸ ὅλον ποιοῦσα ### book 4col 1a.20.1 μετὰ μέσου μέσον ### book 4col 1a.20.2 τὸ ὅλον ποιοῦσα. ### book 4col 1b.1 ἢ μήκει καὶ δυ‐ ### book 4col 1b.2 νάμει εἰσὶ σύμ‐ ### book 4col 1b μετροι. ### book 4col 2a.1 Αἱ κατὰ σύνθεσιν ἄλογοι ### book 4col 2a.2 πᾶσαι καθ’ ἓν μόνον ση‐ ### book 4col 2a.3 μεῖον διαιροῦνται εἰς τὰ ### book 4col 2a.4 ὀνόματα μόνον ... γὰρ τὰ ### book 4col 2a.5.1 κατὰ ἀφαίρεσιν ἄλογα μιᾷ ### book 4col 2a.5.2 μόνῃ προσαρμόζει. ### book 4col 2a.5.3 ※ τὸ χωρίον τὸ ὑπὸ ῥη‐ ### book 4col 2a.5.4 τῆς καὶ τῆς ἐκ δύο ὀνο‐ ### book 4col 2a.5.5 μάτων αʹ βʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ ### book 4col 2a.10.1 δύναται ἡ ἐκ δύο ὀνο‐ ### book 4col 2a.10.2 μάτων βʹ αʹ ἡ ἐκ δύο μέσων ### book 4col 2a.10.3 ἡ μείζων ἡ ῥητὸν καὶ ### book 4col 2a.10.4 μέσον δυναμένη ἡ δύο μέσα ### book 4col 2a.10.5 δυναμένη. ### book 4col 2a.15.1 ※ παρὰ ῥητὴν παραβαλ‐ ### book 4col 2a.15.2 λόμενον πλάτος ποιεῖ τὴν ἐκ ### book 4col 2a.15.3 δύο ὀνομάτων αʹ βʹ γʹ δʹ εʹ ### book 4col 2a.15.4 ϛʹ τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο βʹ αʹ ὀνο‐ ### book 4col 2a.15.5 μάτων ἐκ β μέσων ἐκ δύο ### book 4col 2a.20.1 μέσων τῆς μείζονος τῆς ῥη‐ ### book 4col 2a.20.2 τὸν καὶ μέσον δυναμένης ### book 4col 2a.20.3 τῆς δύο μέσα δυναμένης. ### book 4col 2b αἱ εὐθεῖαι ### book 4col 2b ἢ δυνάμει μόνον ### book 4col 3a.1 ※ τὸ χωρίον τὸ ### book 4col 3a.2 ὑπὸ ῥητῆς καὶ ### book 4col 3a.3 ἀποτομῆς αʹ βʹ γʹ ### book 4col 3a.4 δʹ εʹ ϛʹ δύναται ### book 4col 3a.5.1 ἡ ἀποτομὴ βʹ αʹ μέ‐ ### book 4col 3a.5.2 σης ἀποτομὴ μέ‐ ### book 4col 3a.5.3 σης ἀποτομὴ ἐλάτ‐ ### book 4col 3a.5.4 των μετὰ ῥητοῦ ### book 4col 3a.5.5 μέσον μετὰ μέσου ### book 4col 3a.10.1 μέσον. ### book 4col 3a.10.2 ※ τὸ ἀπὸ ἀπο‐ ### book 4col 3a.10.3 τομῆς παρὰ ῥη‐ ### book 4col 3a.10.4 τὴν παραβαλλό‐ ### book 4col 3a.10.5 μενον πλάτος ### book 4col 3a.15.1 ποιεῖ ἀποτομὴν αʹ ### book 4col 3a.15.2 βʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ ἀπὸ ### book 4col 3a.15.3 μέσης ἀποτομῆς ### book 4col 3a.15.4 βʹ αʹ ἀπὸ μέσης ἀπο‐ ### book 4col 3a.15.5 τομῆς ἀπὸ ἐλάτ‐ ### book 4col 3a.20.1 τονος μετὰ ῥητοῦ ### book 4col 3a.20.2 μέσον τὸ ὅλον ### book 4col 3a.20.3 ποιούσης μετὰ ### book 4col 3a.20.4 μέσου μέσον τὸ ### book 4col 3a.20.5 ὅλον ποιούσης. ### book 4col 3b ἢ καὶ μήκει καὶ δυ‐ ### book 4col 3b νάμει ἀσύμμετροι. ### book 5col 1.1 Ἀπὸ ῥητοῦ μέσου ### book 5col 1.2 ἀφαιρουμένου | ἀπὸ ### book 5col 1.3 μέσου ῥητοῦ ἀφαιρου‐ ### book 5col 1.4 μένου | ἀπὸ μέσου μέ‐ ### book 5col 1.5 σου ἀφαιρουμένου | ### book 5col 1 ἀσυμμέτρου τῷ ὅλῳ ### book 5col 2.1 ἡ τὸ λοιπὸν ### book 5col 2.2 χωρίον δυνα‐ ### book 5col 2 μένη ### book 5col 3.1 ἢ ἀποτομή ἐστιν ἢ ### book 5col 3.2 ἐλάττων ἢ μέσης ἀπο‐ ### book 5col 3.3 τομὴ ἢ μετὰ ῥητοῦ ### book 5col 3.4 μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ### book 5col 3.5.1 ἢ μέσης ἀποτομὴ βʹ ### book 5col 3.5.2 μετὰ μέσου μέσον τὸ ### book 5col 3 ὅλον ποιοῦσα. ### book 6.1 Ἄλογοί εἰσι ιγ· μέση· ἐκ ταύτης ἄπειροι ἄλλοι ### book 6.2 γίνονται ### book 6col 1.1 κατὰ σύνθεσιν. ### book 6col 1.2 [ἡ] σύμμετρος ### book 6col 1.3 οὖσα μιᾷ τού‐ ### book 6col 1.4 των τῶν ἀλό‐ ### book 6col 1.5.1 γων καὶ αὐτὴ ### book 6col 1.5.2 ἄλογός ἐστι ### book 6col 1.5.3 καὶ τοῦ αὐτοῦ ### book 6col 1 ὀνόματος ### book 6col 2.1 ἐκ δύο ὀνομάτων ### book 6col 2.2 αʹ βʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ ### book 6col 2.3 ἐκ δύο μέσων αʹ ### book 6col 2.4 ἐκ δύο μέσων βʹ ### book 6col 2.5.1 μείζων ῥητὸν καὶ ### book 6col 2.5.2 μέσον δυναμένη ### book 6col 2.5.3 δύο μέσα δυνα‐ ### book 6col 2 μένη ### book 6col 3 κατὰ ### book 6col 3 ἀφαίρεσιν ### book 6col 4.1 ἀποτομὴ αʹ βʹ γʹ ### book 6col 4.2 δʹ εʹ ϛʹ μέσης ### book 6col 4.3 ἀποτομὴ αʹ μέσης ### book 6col 4.4 ἀποτομὴ βʹ ἐλάτ‐ ### book 6col 4.5.1 των μετὰ ῥητοῦ ### book 6col 4.5.2 μέσον τὸ ὅλον ### book 6col 4.5.3 ποιοῦσα μετὰ μέ‐ ### book 6col 4.5.4 σου μέσον τὸ ὅλον ### book 6col 4 ποιοῦσα. ### book 7 [Start of a diagram]Τῶν εὐθειῶν ### book 7col 1.1 αἱ μέν εἰσι ῥηταὶ αἱ ### book 7col 1.2 ὁπωσοῦν τῇ ἐκκειμέ‐ ### book 7col 1.3 νῃ ῥητῇ σύμμετροι, ### book 7col 1.4 μήκει σύμμετροι, δυ‐ ### book 7col 1.5.1 νάμει μόνον σύμμε‐ ### book 7col 1.5.2 τροι καὶ τῇ ῥητῇ καὶ ### book 7col 1.5.3 ἀλλήλοις. τὸ ὑπὸ ῥη‐ ### book 7col 1.5.4 τῶν μήκει συμμέ‐ ### book 7col 1.5.5 τρων περιεχόμενον ### book 7col 1.10 ῥητὸν καὶ ἡ δυναμέ‐ ### book 7col 1 νη αὐτὸ ῥητή. ### book 7col 2.1 δυνάμει μό‐ ### book 7col 2.2 νον σύμμετροι ### book 7col 2 τῇ ῥητῇ. ### book 7col 3.1 αἱ δὲ ἄλογοι παντελῶς, ### book 7col 3.2 ὅσαι μήτε μήκει μήτε ### book 7col 3.3 δυνάμει σύμμετροί εἰσι ### book 7col 3.4 τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ ### book 7col 3.5.1 ἀλλήλαις ### book 7col 3.5.2 [Start of a diagram section]σύμμετροι ### book 7col 3.5.3 μήκει. ### book 7col 3.1 δυνάμει.[End of a diagram section] ### book 7col 3.2 [Start of a diagram section]ἀσύμμετροι ### book 7col 3.10.1 τὸ μὲν ἀπὸ ### book 7col 3.10.2 συγκείμενον ### book 7col 3.10.3 ῥητὸν τὸ δὲ ### book 7col 3 ὑπὸ μέσον.[End of a diagram section][End of a diagram] ### book 8.1 Μήκει σύμμετροί εἰσιν εὐθεῖαι, ὅταν μεγέθει κατα‐ ### book 8.2 μετρῶνταί τινι, ἔχωσι δὲ καὶ λόγον, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ### book 8.3 ἀριθμόν· τὰ δὲ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα λόγον ἔχει, ὃν τετρά‐ ### book 8.4 γωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. δυνάμει δὲ ### book 8.5.1 σύμμετροί εἰσιν, ὅταν μεγέθει μὴ καταμετρῶνταί τινι μηδὲ ### book 8.5.2 λόγον ἔχωσιν, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, μηδὲ τὰ ἀπ’ ### book 8.5.3 αὐτῶν τετράγωνα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς ### book 8.5.4 τετράγωνον ἀριθμόν, ἔχει μέντοι τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα, ### book 8.5.5 ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, καθὼς ἥ τε διάμετρος καὶ ἡ ### book 8.10.1 πλευρὰ δυνάμει οὖσαι σύμμετροι, οὐ μέντοι μήκει, οὔτε ### book 8.10.2 καταμετροῦνται μεγέθει τινὶ οὔτε λόγον ἔχουσιν, ὃν ἀριθ‐ ### book 8.10.3 μὸς πρὸς ἀριθμόν, οὔτε τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα λόγον ### book 8.10.4 ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ### book 8.10.5 ἔχει μέντοι τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθ‐ ### book 8.15.1 μόν· διπλάσιον γάρ· οἱ δὲ διπλάσιον λόγον ἔχοντες πρὸς ### book 8.15.2 ἀλλήλους ἀριθμοὶ οὐδέποτ’ ἂν εἶεν τετράγωνοι· οὐδένας ### book 8.15.3 γὰρ τῶν τετραγώνων εὑρήσει λόγον διπλάσιον ἔχοντας, ### book 8.15.4 οἷον ὁ δ ὁ θ ὁ ιϛ ὁ κε ὁ λϛ οἱ ἐφεξῆς ἅπαντες τετράγωνοι. ### book 8.15.5 οὐδεὶς γὰρ τούτων πρὸς ἄλλον ὁντιναοῦν συγκρινόμενος ### book 8.20.1 τετράγωνον εὑρεθήσεται λόγον διπλάσιον ἔχων. τὰ γοῦν ### book 8.20.2 ἀπὸ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς πλευρᾶς τετράγωνα λόγον δι‐ ### book 8.20.3 πλάσιον ἔχοντα, ὃν οὐκ ἂν σχοίη τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς ### book 8.20.4 τετράγωνον ἀριθμόν, ἀλλ’ ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, δεί‐ ### book 8.20.5 κνυσι τὴν διάμετρον πρὸς τὴν πλευρὰν οὐ μήκει σύμμετρον, ### book 8.25.1 ἀλλὰ δυνάμει τυγχάνουσαν. αἱ δὲ πρὸς τῷ μήτε καταμετρεῖ‐ ### book 8.25.2 σθαι μήκει τινὶ μηδὲ λόγον ἔχειν, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθ‐ ### book 8.25.3 μόν, μηδὲ ἐν τοῖς ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνοις, ὃν τετράγωνος ### book 8.25.4 ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἔτι μηδ’ ὃν ἀριθμὸς ### book 8.25.5 πρὸς ἀριθμὸν ἐν τοῖς ἀπ’ αὐτῶν ἔχουσαι τετραγώνοις ### book 8.30.1 πλευραὶ οὔτε μήκει σύμμετροι οὔτε δυνάμει εἰσί, διὸ καὶ ### book 8.30.2 λέγονται ἄλογοι. ### book 8.1 Τὸ λόγον ἔχειν, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, ταὐτόν ἐστι ### book 8.2 τῷ τὸ ἔλασσον τοῦ μείζονος ἢ μέρος εἶναι ἢ μέρη, καὶ ### book 8.3 τοῦτό ἐστι τὸ ἴδιον τῶν συμμέτρων τὸ εἶναι τὸ ἔλασσον τοῦ ### book 8.35 μείζονος ἢ μέρος ἢ μέρη. ### book 9.1 Τῶν εὐθειῶν αἱ μέν εἰσι καὶ μήκει καὶ δυνάμει σύμ‐ ### book 9.2 μετροι, αἱ δὲ δυνάμει σύμμετροι, μήκει δὲ ἀσύμμετροι. ### book 9.3 δυνάμει μὲν οὖν καὶ μήκει σύμμετρος ἡ δωδεκάπους καὶ ### book 9.4 ἑκκαιδεκάπους· τὰ γὰρ ἀπὸ τοῦ ιβ καὶ ιϛ τετράγωνα τὰ ### book 9.5.1 ρμδ καὶ σνϛ τῷ αὐτῷ χωρίῳ τῷ τέσσαρα μετροῦνται, ### book 9.5.2 ὥσπερ καὶ αὐταί. τοῦ γὰρ ιβ καὶ ιϛ κοινὸν μέτρον ὁ δ, ### book 9.5.3 ἀλλὰ καὶ τοῦ ρμδ καὶ σνϛ· ὁ γὰρ δ μετὰ τοῦ λϛ μετρεῖ τὸν ### book 9.5.4 ρμδ, μετὰ δὲ τοῦ ξδ τὸν σνϛ· αὗται μὲν ἄρα καὶ μήκει καὶ ### book 9.5.5 δυνάμει σύμμετροί εἰσιν, ἡ δὲ πεντάπους καὶ πεντεκαιδε‐ ### book 9.10.1 κάπους δυνάμει σύμμετροί εἰσι μόνον, οὐ μὴν καὶ μήκει. ### book 9.10.2 καὶ ὅτι μὲν μήκει οὐκ εἰσὶ σύμμετροι, δῆλον· οὐ γὰρ ### book 9.10.3 ἔχουσι κοινὸν μέτρον· ὅτι δὲ ἡ πεντάπους τῇ πεντεκαιδε‐ ### book 9.10.4 κάποδι δυνάμει σύμμετρός ἐστι, δῆλον· τὰ γὰρ ἀπ’ αὐτῶν ### book 9.10.5 τετράγωνα τὰ κε καὶ σκε τῷ αὐτῷ χωρίῳ μετροῦνται. ἔχει ### book 9.15.1 δὲ καὶ ὁ σκε πρὸς τὸν κε ἐνναπλασίονα λόγον, αὗται δέ, ### book 9.15.2 λέγω δὴ αἱ πρὸς ἀλλήλας σύμμετροι, εἴτε δυνάμει καὶ μή‐ ### book 9.15.3 κει εἰσὶ σύμμετροι εἴτε δυνάμει μόνον, ῥηταὶ λέγονται. ### book 9.15.4 καλείσθω οὖν ἡ προτεθεῖσα εὐθεῖα ῥητή. προ‐ ### book 9.15.5 τεθεῖσαν εὐθεῖαν λέγω τὴν δεδομένην ἡμῖν ὡς ἀρχὴν καὶ ### book 9.20.1 μέτρον καὶ οἱονεὶ κανόνα πρὸς ἐκμέτρησιν μηκῶν. τὴν ### book 9.20.2 οὖν ἐξ ὑποθέσεως καί, ὡς αὐτὸς ὁ Εὐκλείδης λέγει, θέσει ### book 9.20.3 λαμβανομένην ὡς ἀρχὴν καὶ μέτρον εἰς ἐκμέτρησιν μη‐ ### book 9.20.4 κῶν ῥητὴν καλεῖ. οἷον εἴ τις ἐρωτῴη, πόσον ἐστὶ τὸ μεταξὺ ### book 9.20.5 διάστημα τῶν ὑποκειμένων σημείων, οὐδὲν ἂν ἔχοιμεν λέ‐ ### book 9.25.1 γειν, εἰ δὲ ἐρωτῴη, πόσων ἐστὶ πηχῶν ἢ ποδῶν, ἀναγκαῖόν ### book 9.25.2 ἐστιν ἡμᾶς αἰτεῖν πηλικότητα πήχεως καὶ ποδὸς καὶ τῇ ### book 9.1 πηλικότητι τοῦ πήχεως ἢ τοῦ ποδὸς χρωμένους προτεθείσῃ ### book 9.2 ὡς ῥητῇ καὶ εὐθείᾳ τὸ προτεθὲν διάστημα ἐξετάζειν, καὶ ### book 9.3 εἰ μὲν ἀπαρτιζόντως καταμετρεῖ τὸ διάστημα, οἷον τετρά‐ ### book 9.30.1 κις ἢ πεντάκις ἢ ὁσαχῶς ἄλλως, ῥητὸν ἂν εἴη τὸ τοιοῦτον ### book 9.30.2 διάστημα πεντάπουν ἢ πεντάπηχυ, εἰ τύχοι· εἰ δὲ ὑπερ‐ ### book 9.30.3 βαίνει ἢ ἐλλείπει, ἄρρητον ἔσται. σαφηνείας δὲ χάριν τι τὸ ### book 9.30.4 ἀπαρτίζον οὕτως μετρεῖν ἐστιν. ἔστω ὁ ἐννέα καὶ ὁ ι καὶ ὁ ### book 9.30.5 η ἀριθμός. ὁ μὲν οὖν τρία τὸν θ ἀπαρτιζόντως μετρεῖ· τρὶς ### book 9.35.1 γὰρ συντεθεὶς αὐτὸν μεμέτρηκεν. ὑπερβαίνει δὲ τὸν η, ἐλ‐ ### book 9.35.2 λείπει δὲ πρὸς τὸν ι. νενοήσθω δὴ καὶ ὁ γ καὶ ὁ η καὶ ὁ θ ### book 9.35.3 καὶ ὁ ι ὡς γραμμαί, καὶ ἔστω ὁ θ ἡ ΑΒ γραμμή, ὁ δὲ η ἡ ### book 9.35.4 ΓΔ, ὁ δὲ ι ἡ ΕΖ, ὁ δὲ γ ἡ ΗΘ. εἰ οὖν ἔροιτό τις, πόσον ### book 9.35.5 ἐστὶ τὸ μεταξὺ διάστημα τῶν Α, Β σημείων, οὐκ ἂν ἔχοι‐ ### book 9.40.1 μεν λέγειν, εἰ δ’ ἔροιτο, πόσων ἐστὶ πηχῶν, ἀνάγκη αἰτῆ‐ ### book 9.40.2 σαι ἡμᾶς πρὸς τὸν ἐρωτῶντα μέτρον τι ὡρισμένον. ἔστω ### book 9.40.3 δή, ὅτι δέδωκεν ἡμῖν τὸν τρία ἀριθμόν, ὃς ὑπόκειται εἶναι ### book 9.40.4 ἡ ΗΘ γραμμή. ἔστω οὖν, ὅτι δέδωκεν ἡμῖν τὴν ΗΘ γραμ‐ ### book 9.40.5 μὴν ὡς πῆχυν. αὕτη οὖν δηλονότι ῥητή ἐστι· ῥητὴ γάρ ### book 9.45.1 ἐστιν, ὥς τινες ὁρίζονται, ἡ δι’ ἀριθμῶν γνωρίμη. ἐπεὶ δὲ ### book 9.45.2 καὶ ὁ πῆχυς διὰ τῆς μονάδος γνωρίζεται (μονάδι γὰρ ἀνα‐ ### book 9.45.3 λογεῖ πρὸς τὸ πεντάπηχυ καὶ δεκάπηχυ καὶ τοῖς ὁμοίοις· ### book 9.45.4 ὁσάκις γὰρ ἡ μονὰς τὸν πέντε, τοσαυτάκις καὶ ὁ πῆχυς τὸ ### book 9.45.5 πεντάπηχυ μετρεῖ), ἐπεὶ οὖν ῥητή ἐστιν ἡ πηχυαία ἡ ΗΘ, ### book 9.1 ῥητή ἐστι καὶ ἡ ΑΒ ἡ τρίπηχυς καὶ σύμμετρος μήκει τῇ ### book 9.2 προτεθείσῃ πηχυαίᾳ τῇ ΗΘ· ὁ γὰρ πῆχυς καὶ ἑαυτὸν με‐ ### book 9.3 τρεῖ καὶ τὸ τρίπηχυ. ἡ μὲν οὖν ΑΒ, ὡς εἴρηται, καὶ ῥητὴ ### book 9.4 καὶ σύμμετρός ἐστι τῇ ΗΘ, ἡ δὲ ΓΔ, ἥτις εἴληπται ἀντὶ ### book 9.5 τοῦ η ἀριθμοῦ, ἄλογος. καὶ τοῦτο δῆλον ὧδε· ἐπειδὴ γὰρ ### book 9.55.1 ὁ τρία ἀριθμὸς ὡς πῆχυς εἴληπται καὶ διὰ τοῦτο καὶ ὁ θ ### book 9.55.2 ὡς τρίπηχυ μέγεθος, τοῦ μὲν η αἱ ϛ μονάδες ἔσονται ὡς ### book 9.55.3 πήχεις δύο, καταλείπονται δὲ αἱ δύο μονάδες. ὥστε ἐπειδὴ ### book 9.55.4 ῥητή ἐστιν, ὡς εἴρηται, ἡ δι’ ἀριθμῶν γνωρίμη, ἡ δὲ ΓΔ ### book 9 οὔτε δὶς μετρεῖται οὔτε τρίς, ἀλλ’ οὐδ’ ἅπαξ ὑπὸ τοῦ πή‐ ### book 9.60.1 χεως, ὃς πρόκειται ὡς ῥητή τις καὶ κανών, ἄλογός ἐστιν ### book 9.60.2 ἡ ΓΔ. ἀλλὰ τί ἐστιν, ὅπερ εἴρηται, ὅτι ἀναγκαῖόν ἐστιν ### book 9.60.3 ἡμᾶς αἰτῆσαι πηλικότητα πήχεως; καὶ διὰ τί οὐκ εἴρηται ### book 9.60.4 ἀναγκαῖόν ἐστιν αἰτῆσαι πῆχυν, ἀλλὰ πηλικότητα πήχεως; ### book 9.60.5 ἢ ἐπειδὴ τὰ μέτρα θέσει ἐξ ἡμῶν αὐτῶν λαμβάνεται καὶ ### book 9.65.1 οὐ φύσει, καὶ εἰκός ἐστι παρ’ ἡμῖν, εἰ οὕτως ἔτυχε, τὸν ### book 9.65.2 πῆχυν δέκα δακτύλων εἶναι, παρ’ ἄλλοις δὲ οἷον Ἰνδοῖς ### book 9.65.3 ὀκτὼ δακτύλων καὶ παρ’ ἄλλοις ἄλλων, διὰ τοῦτο πρόσκει‐ ### book 9.65.4 ται τὸ δεῖν αἰτῆσαι πηλικότητα πήχεως, ὡς εἰ ἐλέγομεν· ### book 9.65.5 δεῖ λαβεῖν τὴν πηλικότητα τοῦ πήχεως ὡρισμένην, ὥσπερ ### book 9.70.1 κἂν τὸν πῆχυν ἡμᾶς ἔροιτό τις, πόσων ἐστὶ δακτύλων, δεῖ ### book 9.70.2 αἰτῆσαι τὸ πηλίκον αὐτοῦ· οὐδὲ γὰρ ὁ δάκτυλος οὐδ’ ### book 9.70.3 ὁ ποῦς οὐδ’ ὁ μέδιμνος οὐδ’ ἄλλο οὐδὲν παρὰ πᾶσίν ἐστι τὰ ### book 9.70.4 αὐτά, ὡς εἴρηται. οὐ γάρ εἰσι φύσει, ἀλλὰ θέσει, καὶ διὰ ### book 9.70.5 τοῦτο τὸ κατὰ τὸν ἡμέτερον πῆχυν τρίπηχυ κατὰ τὸν παρ’ ### book 9.75.1 ἄλλοις ἔθνεσι πῆχυν οὐκ ἔσται τρίπηχυ, ὥστε ἔσται ἡ παρ’ ### book 9.75.2 ἐκείνοις τριπηχυαία ἢ τριποδιαία γραμμὴ πρὸς τὴν παρ’ ### book 9.75.3 ἡμῖν ἀσύμμετρος, ἀλλὰ καὶ ὁ παρ’ ἡμῖν πῆχυς πρὸς τὸν ### book 9.75.4 παρ’ ἐκείνοις πῆχυν ὁμοίως καὶ ἄλογος καὶ ἀσύμμετρος διὰ ### book 9.75.5 τὸ μὴ ἀπαρτιζόντως τὸν παρ’ ἐκείνοις πῆχυν μετρεῖσθαι ### book 9.80.1 πρὸς τοῦ παρ’ ἡμῖν δακτύλου. ἔσονται δὲ τῇ προτεθείσῃ ### book 9.80.2 ῥητῇ εὐθείᾳ, εἴτε πηχυαία ἐστὶν εἴτε ποδιαία εἴτε παλαι‐ ### book 9.80.3 στιαία ἢ δακτυλιαία, ἄπειροι σύμμετροι μήκει καὶ ῥηταὶ ### book 9.80.4 καὶ ὁμοίως ἀσύμμετροι ἄπειροι. ὅσας μὲν γὰρ ἀπαρτι‐ ### book 9.80.5 ζόντως μετρεῖ, σύμμετροι· μετρεῖ γὰρ καὶ ἑαυτὴν καὶ ### book 9.85.1 ἐκείνας καί ἐστι κοινὸν μέτρον αὐτὴ καὶ ἑαυτῆς κἀκείνων, ### book 9.85.2 ἃς μετρεῖ. ἐνδέχεται δὲ καί, ἢν μὴ μετρεῖ ἡ πηχυαία, σύμμε‐ ### book 9.85.3 τρον εἶναι καὶ ῥητὴν τῇ πηχυαίᾳ, ὅταν μὴ τὸν πῆχυν ἔχω‐ ### book 9.85.4 μεν προκείμενον ἡμῖν ὡς μέτρον καὶ κανόνα, ἀλλ’, εἰ τύχοι, ### book 9.85.5 τὸν δάκτυλον. ἂν γὰρ ὁ δάκτυλος μετρῇ καὶ τὸν πῆχυν καὶ ### book 9.90.1 τὸ μέγεθος, ὅπερ ὁ πῆχυς οὐ μετρεῖ, ἔσονται ἀλλήλοις ### book 9.90.2 σύμμετρα ὅ τε πῆχυς κἀκεῖνο διὰ τὸ κοινῷ μέτρῳ μετρεῖ‐ ### book 9.90.3 σθαι τῷ δακτύλῳ. καὶ ὁρᾶς, ὅτι τὰ ἀσύμμετρα κατὰ τόδε ### book 9.90.4 τὸ μέτρον δύνανται κατ’ ἄλλο σύμμετρα εἶναι καὶ ῥητά. τὸ ### book 9.90.5 δὲ ῥητὰ ἀντὶ τοῦ ἀριθμῷ τινι δηλοῦσθαι, οἷον τῷ πέντε ### book 9.95.1 ἢ τῷ ἑπτὰ πενταπήχη ἢ ἑπταπήχη λεγόμενα, καὶ διὰ τοῦτο ### book 9.95.2 τοῦ δεκαγώνου πλευρὰ οὖσα μοιρῶν λζ, λεπτῶν πρώτων ### book 9.95.3 τεσσάρων, δευτέρων νε ἄλογος λέγεται. εἰ μὲν γὰρ ἦν λζ ### book 9.95.4 μόνων μοιρῶν, ἦν ἂν ῥητή, ὡς οὖσα τῷ τριάκοντα ἀριθμῷ ### book 9.95.5 γνωρίμη, ἐπεὶ δὲ καὶ λεπτῶν ἐστι πρώτων καὶ δευτέρων, ### book 9.1 οὐκ ἔστι ῥητή. ἔστι δὲ ἴδιον τῶν συμμέτρων τὸ τὸ ἔλασσον ### book 9.2 τοῦ μείζονος ἤτοι μέρος εἶναι ἢ μέρη, καὶ ἂν ᾖ μέρος, λόγον ### book 9.3 ἕξει, ὃν μονὰς πρὸς ἀριθμόν, ἐὰν δὲ μέρη, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ### book 9.4 ἀριθμόν, οἷον ὁ πέντε σύμμετρος ὢν τῷ κε μέρος ἐστὶν ### book 9.5 αὐτοῦ καὶ λόγον ἔχει ὁ πέντε πρὸς τὸν εἰκοσικαιπέντε, ### book 9.105.1 ὃν ἡ μονὰς πρὸς τὸν ε· ἰσάκις γὰρ ἡ μονὰς τὸν πέντε μετρεῖ ### book 9.105.2 καὶ ὁ πέντε τὸν κε. εἰ δὲ μέρη ᾖ, λόγον ἕξει, ὃν ἀριθμὸς ### book 9.105.3 πρὸς ἀριθμόν, οἷον ὁ τριάκοντα καὶ ὁ τεσσαράκοντα σύμ‐ ### book 9.105.4 μετροι ὄντες οὐκ ἔστιν ὁ λ μέρος τοῦ μ, ἀλλὰ μέρη, οἷον τρία ### book 9.105.5 τέταρτα· τέταρτον γὰρ ἡ δεκὰς τοῦ μ, ὥστε ὁ λ τρία μέρη ### book 9.110.1 ἤτοι τρία τέταρτά ἐστι τοῦ μ. ὥστε καὶ ἐκ τούτου δῆλον, ### book 9.110.2 ὅτι ὁ ἐλάσσων μέρος ἐστὶ τοῦ μείζονος συμμέτρων ὄντων ### book 9.110.3 τοῦ ἐλάττονος καὶ μείζονος, ὅταν αὐτὸς ὁ ἐλάττων τὸν ### book 9.110.4 μείζονα ἀπαρτιζόντως μετρῇ, ὃ ταῦτόν ἐστι τῷ ὅταν ὁ ### book 9.110.5 μείζων μέτρον γίνηται καὶ ἑαυτοῦ καὶ τοῦ μείζονος, ### book 9.115.1 ἤτοι ὅταν καὶ ἑαυτὸν καὶ τὸν μείζονα μετρῇ. ἰστέον δέ, ὅτι ### book 9.115.2 πᾶς ἀριθμὸς ἑαυτὸν μετρεῖ· εἰ γὰρ τὸ μέτρον ἐξισάζει τῷ ### book 9.115.3 μετρουμένῳ ἢ εὐθὺς ἐκείνῳ προσαρμόζον ἢ διπλούμενον ### book 9.115.4 ἢ τριπλούμενον, πᾶς δὲ ἀριθμὸς ἴσος ἐστὶν ἑαυτῷ, πᾶς ### book 9.115.5 ἄρα ἀριθμὸς ἑαυτὸν μετρεῖ. ὑποδείγματος χάριν ὁ μὲν ### book 9.120.1 τρία τὸν τρία μετρεῖ ἅπαξ ἐφαρμόζων αὐτῷ, ἐφαρμόζοντα ### book 9.120.2 δέ ἐστι τὰ μήθ’ ὑπερέχοντα μήτε ἐλλείποντα. τὸν δὲ ϛ ὁ γ ### book 9.120.3 μετρεῖ δὶς ἐφαρμόζων αὐτῷ. ὁ γ τρία τοίνυν καὶ ὁ θ σύμ‐ ### book 9.120.4 μετροί εἰσι, καὶ μέρος ἐστὶ τοῦ θ ὁ γ. ὁ δὲ λ τοῦ μ, ὡς ### book 9.120.5 εἴρηται, σύμμετρος μὲν καὶ οὐ μέρος, ἀλλὰ μέρη. καὶ ὅταν ### book 9.125.1 μὲν ᾖ μέρος, ὑποπολλαπλάσιον ποιεῖ λόγον, ἐὰν δὲ μέρη, ### book 9.125.2 ἕνα τῶν λοιπῶν ὑπολόγων, οἷον ὑποτριπλασιεπίτριτον, ### book 9.1 ὑφημιόλιον ἢ ἄλλον τοιοῦτόν τινα. καὶ ἐὰν εὐθεῖαι ὦσι, καὶ ### book 9.2 τὰ ἀπ’ αὐτῶν ἐπίπεδα καὶ τὰ στερεὰ λόγον ἕξει, ὃν ἀριθ‐ ### book 9.3 μὸς πρὸς ἀριθμόν, ἐὰν δὲ ἐπίπεδα, καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν στε‐ ### book 9.130.1 ρεά, οὐ μέντοι καὶ αἱ εὐθεῖαι, ἂν μὴ ᾖ λόγος τῶν ἀριθμῶν, ### book 9.130.2 ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον. ### book 9.130.3 Περὶ ῥητῶν καὶ ἀλόγων. ### book 9.130.4 Τὸ ῥητὸν καὶ ἄλογον μέγεθος ἑκάτερον οὐκ ἔστι τῶν ### book 9.130.5 καθ’ αὑτὰ νοουμένων, ἀλλὰ πρὸς ἕτερον συγκρινομένων. ### book 9.135.1 ὅσα γὰρ ἀλλήλοις σύμμετρα εἴτε μήκει καὶ δυνάμει εἴτε ### book 9.135.2 δυνάμει μόνον, ταῦτα καὶ ῥητὰ πρὸς ἄλληλα λέγεται, ὅσα ### book 9.135.3 δὲ ἀλλήλοις ἀσύμμετρα, ταῦτα ἄλογα πρὸς ἄλληλα λέγεται. ### book 9.135.4 οἱ μὲν ἀριθμοὶ σύμμετροι τυγχάνουσιν, ἐπείπερ ἕκαστος ### book 9.135.5 αὐτῶν ὑπό τινος ἐλαχίστου μέτρου μετρεῖται. ὁμοίως δὲ ### book 9.140.1 πῆχυς καὶ παλαιστὴ συμμετρίαν ἔχουσι πρὸς ἄλληλα· ### book 9.140.2 ἑκάτερος γὰρ ὑπὸ ἐλαχίστου μέτρου καταμετρεῖται ὑπὸ ### book 9.140.3 δακτύλου μονάδος θέσιν ἔχοντος. ἀπείρου δὲ τῆς ἐν τοῖς ### book 9.140.4 μεγέθεσιν ὑπαρχούσης τομῆς καὶ μηδενὸς ὑφεστηκότος ### book 9.140.5 ἐλαχίστου μέτρου δῆλον, ὅτι τοῦ ῥητοῦ μεγέθους οὐχ ἕν τι ### book 9.145.1 καὶ ὡρισμένον ὡς ὁ δάκτυλος ἐλάχιστον μέτρον, ἀλλ’ ἐφ’ ### book 9.145.2 ἡμῖν ἐστιν, ὁπηλίκον ἂν ἐθέλωμεν, ἐλάχιστον ὑποθέσθαι ### book 9.145.3 μέτρον γνώριμον ὥσπερ μονάδα. πᾶν γὰρ καθ’ ἑαυτὸ μέ‐ ### book 9.145.4 γεθος, ὡς ἐλέχθη, οὔτε ῥητὸν οὔτε ἄλογον, ὅτι καὶ πᾶσα ### book 9.145.5 εὐθεῖα καθ’ ἑαυτὴν οὔτε ῥητὴ οὔτε ἄλογός ἐστι, συγκρι‐ ### book 9.1 νομένη δὲ πρὸς ὑποτεθεῖσαν θέσει μονάδα ῥητὴ ἢ ἄλογος ### book 9.2 εὑρίσκεται. οὕτως οὖν τῆς τετραγώνου πλευρᾶς ὑποτε‐ ### book 9.3 θείσης ῥητῆς ἡ διάμετρος δυνάμει ῥητὴ εὑρίσκεται· μήκει ### book 9.4 γὰρ ἄλογος εὑρίσκεται· καὶ πάλιν αὖ τῆς διαμέτρου ῥητῆς ### book 9.5 ὑπαρχούσης ἡ πλευρὰ δυνάμει ῥητὴ ἑκατέρας αὐτῶν καθ’ ### book 9.155.1 ἑαυτὴν οὔτε ῥητῆς οὔσης οὔτε ἀρρήτου ἤτοι ἀλόγου ὑπαρ‐ ### book 9.155.2 χούσης. οὕτως οὖν τῶν εὐθειῶν ἐλάχιστόν τι μέτρον ### book 9.155.3 ὑποθέμενοι εὐθεῖαν μονάδα οἱ ἀπὸ τῶν μαθημάτων ῥητὴν ### book 9.155.4 ὠνόμασαν καὶ τὰς αὐτῇ συμμέτρους ῥητάς· ὁμοίως καὶ τὸ ### book 9 ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον ῥητὸν καὶ τὰ τούτῳ σύμμετρα χω‐ ### book 9.160.1 ρία ῥητὰ ἐκάλεσαν καὶ ῥητὸν ὁμοίως τὸν ἀπ’ αὐτῆς κύβον ### book 9.160.2 καὶ τὰ τούτῳ σύμμετρα στερεά. ἄρρητον δ’ ἀκουστέον ἀντὶ ### book 9.160.3 τοῦ ἄλογον στερεὸν μὲν τὸ ἀσύμμετρον τῷ ἀπὸ ῥητῆς κύ‐ ### book 9.160.4 βῳ, ἐπίπεδον δὲ τὸ ἀσύμμετρον τῷ ἀπὸ ῥητῆς τετραγώνῳ, ### book 9.160.5 μήκει δέ, τουτέστιν εὐθεῖαν, τὸ ῥητῇ ἀσύμμετρον. ἐπὶ δὲ ### book 9.165.1 τῶν εὐθειῶν διττῆς νοουμένης τῆς ἀσυμμέτρου, μιᾶς μὲν ### book 9.165.2 ὅταν αὐταὶ αἱ εὐθεῖαι ἀσύμμετροι ὦσι, τὰ δὲ ἀπ’ αὐτῶν ### book 9.165.3 χωρία σύμμετρα ἀλλήλοις, ἑτέρας δὲ ὅταν καὶ [τὰ ἀπ’ ### book 9.165.4 αὐτῶν χωρία σύμμετρα ἀλλήλοις ἑτέρας δὲ ὅταν καὶ] τὰ ### book 9.165.5 ἀπ’ αὐτῶν χωρία ἀσύμμετρα ἀλλήλοις ᾖ, διττὴ καὶ ἡ πρὸς ### book 9.170.1 τὴν ῥητὴν διαφορὰ κατὰ τοὺς παλαιοὺς ὑπῆρχε· αἱ μὲν γὰρ ### book 9.170.2 λέγονται δυνάμει ῥηταὶ καὶ ἄλογοι, αἱ δὲ μήκει. δυνάμει ### book 9.170.3 μὲν οὖν εἰσι ῥηταί, ὡς εἴρηται, ὅσαι εἰσὶν ἀσύμμετροι τῇ ### book 9.170.4 ῥητῇ, τὰ δ’ αὐτῶν τετράγωνα σύμμετρα τῷ ἀπὸ ῥητῆς ### book 9.170.5 τετραγώνῳ, οἷον εἴ ἐστιν ἡ ΑΒ εὐθεῖα ῥητή, ἡ δὲ ΓΔ ἀσύμ‐ ### book 9.175.1 μετρος αὐτῇ τῇ ΑΒ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετράγωνον σύμ‐ ### book 9.175.2 μετρον εἴη τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, ἡ ΑΒ καὶ ΓΔ δυνάμει εἰσὶ ### book 9.175.3 ῥηταί. ἀλλὰ κἂν ἡ ΖΗ καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον οὕτως ### book 9.175.4 ἕξει πρὸς τὴν ΑΒ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον, ὡς ### book 9.175.5 εἶχεν ἡ ΓΔ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετράγωνον πρὸς τὴν ΑΒ ### book 9.180.1 καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον, κἂν οὖν ἡ ΖΗ καὶ τὸ τετρά‐ ### book 9.180.2 γωνον αὐτῆς οὕτως ἕξουσι πρὸς τὴν ΑΒ καὶ τὸ τετράγω‐ ### book 9.180.3 νον αὐτῆς, ἡ ΖΗ καὶ ἡ ΑΒ δυνάμει εἰσὶ ῥηταί. κἂν ἄλλη ### book 9.180.4 τις εὑρεθῇ οὕτως ἔχουσα πρὸς τὴν ΑΒ ὡς αἱ εἰρημέναι, ### book 9.180.5 δυνάμει ἔσονται πρὸς τὴν ΑΒ ῥηταί. δυνάμει μὲν οὖν ῥηταὶ ### book 9.185.1 αὗται, μήκει δὲ ῥηταί, ὅταν τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα ἢ ἐν ### book 9.185.2 τετραγώνοις ἀριθμοῖς ᾖ ἢ τὰς πλευρὰς ἔχει συμμέτρους ### book 9.185.3 τῇ ῥητῇ μήκει. καὶ τάχα τὸ λεγόμενον τοιοῦτόν ἐστιν· ### book 9.185.4 ὅταν συγκρίνωμεν δύο εὐθείας, εἴτε δυνάμει εἰσὶ ῥηταὶ ### book 9.185.5 εἴτε μήκει, δεῖ ὁρᾶν πρὸς τρίτην εὐθεῖαν ῥητὴν οὖσαν, ### book 9.190.1 καὶ εἰ μὲν εὕροιμεν αὐτὰς μήκει συμμέτρους τῇ ἐκκειμένῃ ### book 9.190.2 ῥητῇ, καὶ αὗται ῥηταὶ ἔσονται μήκει· τὰ γὰρ τῷ αὐτῷ μή‐ ### book 9.1 κει σύμμετρα καὶ ῥητὰ καὶ ἀλλήλοις μήκει σύμμετρα καὶ ### book 9.2 ῥητά ἐστι. τοῦτο δὲ δεῖ καὶ ἐπὶ τῶν δυνάμει ῥητῶν ποιεῖν. ### book 9.3 ἰστέον δέ, ὡς ἀντιστρέφει, καὶ εἴτε εὐθεῖαι σύμμετροί εἰσι ### book 9.195.1 καὶ διὰ τοῦτο καὶ ῥηταί, καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα ### book 9.195.2 λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ### book 9.195.3 κἂν τὰ τετράγωνα λόγον ἔχωσιν, ὃν τετράγωνος πρὸς ### book 9.195.4 τετράγωνον, σύμμετροι καὶ ῥηταί εἰσιν αἱ εὐθεῖαι. καθόλου ### book 9.195.5 οὖν ἡ τῇ ῥητῇ σύμμετρος καλεῖται ῥητὴ εἴτε μήκει μέση ### book 9.1 εἴτε δυνάμει μόνον :~ μέση λέγεται εὐθεῖα ἡ δυναμένη ### book 9.2 χωρίον ὀρθογώνιον περιεχόμενον ὑπὸ εὐθειῶν ῥητῶν δυ‐ ### book 9.3 νάμει μόνον συμμέτρων· καὶ ἄλογόν ἐστι. καλεῖ δὲ τὴν ### book 9.4 δυναμένην τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τοιούτων εὐθειῶν μέσην ### book 9.5 διὰ τὸ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον ἴσον εἶναι τῷ περιεχο‐ ### book 9.205.1 μένῳ ὑπὸ τῶν δύο εὐθειῶν καὶ μέσην ἀνάλογον αὐτὴν ### book 9.205.2 γίνεσθαι τῶν δύο εὐθειῶν. :~ ἐκ δύο ὀνομάτων εὐθεῖα ### book 9.205.3 λέγεται, ἥτις καὶ ἄλογός ἐστι, ἡ συγκειμένη ἐκ δύο εὐθειῶν ### book 9.205.4 ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων. καλεῖ δὲ ἐκ δύο ὀνο‐ ### book 9.205.5 μάτων διὰ τὸ ἐκ δύο ῥητῶν συγκεῖσθαι δυνάμει μόνον, ὡς ### book 9.210.1 εἴρηται, συμμέτρων, ἔστι δὲ κύριον ὄνομα τὸ ῥητὸν καθὸ ### book 9.210.2 ῥητόν. ### book 10.1 Οἷον ἐπὶ ὑποδείγματος εἰ εὑρεθῶσι δύο μεγέθη, ### book 10.2 ἵνα τὸ μὲν ἔχῃ σπιθαμὰς ιε, τὸ δὲ κ, σύμμετρα ἔσται τὰ ### book 10.3 μεγέθη· ἀμφότερα γὰρ τῷ ε μέτρῳ μετροῦνται. ### book 11.1 Οἷον ὑποδείγματος χάριν ἐὰν εὑρεθῶσι δύο μεγέ‐ ### book 11.2 θη, καὶ τὸ μὲν εἴη σπιθαμῶν δέκα καὶ πέντε, τὸ δὲ εἴκοσι ### book 11.3 ἤ, εἰ βούλει, εἴκοσι καὶ πέντε, σύμμετρα ἔσονται· μετροῦν‐ ### book 11.4 ται γὰρ τῷ πέντε ὅ τε ιε καὶ ὁ κ· πεντάκις γὰρ τρεῖς δε‐ ### book 11.5 καπέντε καὶ πεντάκις τέσσαρα κ. ### book 12.1 Οὗτος ὁ ὁρισμὸς ἐπὶ τῶν δυνάμει συμμέτρων οὐχ ### book 12.2 ἁρμόζει. ### book 13.1 Ἰστέον δέ, ὅτι τὰ μεγέθη τὰ κοινῷ μέτρῳ μετρού‐ ### book 13.2 μενα οὐ μόνον σύμμετρά εἰσιν, ἀλλὰ καὶ ὁμοειδῆ καὶ λόγον ### book 13.3 ἔχει πρὸς ἄλληλα, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, καθὼς δέδει‐ ### book 13.4 κται ἐν τῷ εʹ θεωρήματι τοῦ ιʹ βιβλίου. ### book 14.1 Ὡς ἐπὶ τῶν ἑτεροειδῶν κατὰ πᾶσαν διάστασιν, οἷον ### book 14.2 κατὰ γραμμήν, ἐπιφάνειαν, σῶμα. τούτων γὰρ ἑτεροειδῶν ### book 14.3 ὄντων οὐδὲν σύμμετρόν τι ἂν γένοιτο· οὐδὲν γάρ ἐστι κοινὸν ### book 14.4 μέτρον ἐν τούτοις. ### book 15.1 Οἷον ἐπὶ ὑποδείγματος ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι ἡ μὲν ### book 15.2 σπιθαμῶν κδ, ἡ δὲ λ, καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα φοϛ ### book 15.3 καὶ ϡ. καὶ μετροῦνται τῷ αὐτῷ χωρίῳ τῷ ϛ· ἑξάκις γὰρ ### book 15.4 ϙϛ γίνονται φοϛ καὶ ἑξάκις ρν γίνονται ϡ. ὥστε αἱ ἐξ ### book 15.5.1 ἀρχῆς εὐθεῖαι αἱ κδ καὶ λ δυνάμει σύμμετροί εἰσι. καὶ γὰρ ### book 15.5.2 τῷ αὐτῷ χωρίῳ τῷ ϛ μετροῦνται. ἀσύμμετροι δέ, ὅταν τοῖς ### book 15.5.3 ἀπ’ αὐτῶν τετραγώνοις μηδὲν ἐνδέχηται χωρίον κοινὸν ### book 15.1 μέτρον γενέσθαι, οἷον ιθ καὶ κθ· τὰ γὰρ ἀπ’ αὐτῶν τετρά‐ ### book 15.2 γωνα τξα καὶ υμα κατ’ οὐδὲν χωρίον κοινῷ μέτρῳ μετροῦν‐ ### book 15.10 ται. ### book 16.1 Αἱ μήκει σύμμετροι εὐθεῖαι πάντως καὶ δυνάμει εἰσὶ ### book 16.2 σύμμετροι, αἱ δὲ δυνάμει σύμμετροι οὐ πάντως καὶ μήκει ### book 16.3 εἰσὶ σύμμετροι, ἐνδέχεται δ’ οὖν καὶ εἶναί ποτε. αἱ μήκει ### book 16.4 ἀσύμμετροι εὐθεῖαι οὐ πάντως καὶ δυνάμει εἰσὶν ἀσύμ‐ ### book 16.5.1 μετροι, ἐνδέχεται δ’ οὖν καὶ εἶναι ἔσθ’ ὅτε. αἱ δυνάμει ### book 16.5.2 ἀσύμμετροι εὐθεῖαι πάντως καὶ μήκει εἰσὶν ἀσύμμετροι. ### book 17.1 Ἐν τῷ ιʹ θεωρήματι τούτου τοῦ βιβλίου. ### book 17.2 Τούτων ὑποκειμένων δείκνυται, ὅτι τῇ προτεθείσῃ εὐ‐ ### book 17.3 θείᾳ, τουτέστιν ἀφ’ ἧς θέσει τὰ μέτρα τό τε πηχυαῖον καὶ ### book 17.4 τὸ παλαιστιαῖον καὶ τὸ δακτυλιαῖον ἢ τὸ ποδιαῖον λαμ‐ ### book 17.5.1 βάνεται, ὑπάρχουσιν εὐθεῖαι πλήθει ἄπειροι σύμμετροί τε ### book 17.5.2 καὶ ἀσύμμετροι, αἱ μὲν μήκει καὶ δυνάμει, αἱ δὲ δυνάμει ### book 17.5.3 μόνον. ### book 18.1 Ὅτι τῇ προτεθείσῃ εὐθείᾳ, ἀφ’ ἧς θέσει τὰ μέτρα, ### book 18.2 τουτέστι τὸ πηχυαῖον καὶ τὸ παλαιστιαῖον, τὸ σπιθα‐ ### book 18.3 μιαῖον ἢ τὸ πηχυαῖον μέτρον ἐστὶ θέσει λαμβανόμενον ἐξ ### book 18.4 ἡμῶν αὐτῶν, ὡς ἐν τῷ ιʹ θεωρήματι δείκνυται. ### book 19.1 Τῷ σπιθαμιαίῳ ἢ πηχυαίῳ λέγει ἤγουν τὸ μέτρον. ### book 19.2 θέσει γὰρ λαμβάνεται ἐξ ἡμῶν, ὡς ἐν τῷ ιʹ θεωρήματι ### book 19.3 δείκνυσι. ### book 20.1 Ὡς πρὸς ἐκείνην, λέγει, τὴν πηχυαίαν φύσει ### book 20.2 πᾶσα εὐθεῖα μετρητή, θέσει δὲ ἐξ ἡμῶν μετρεῖται ### book 20.3 κατὰ συμβεβηκός, ὥσπερ γελαστικὸν φύσει, τὸ δὲ γελᾶν ### book 20 θέσει. ### book 21.1 Προτεθεῖσαν εὐθεῖαν καὶ ῥητὴν ἐνταῦθα λέγει, ἥτις ### book 21.2 ἀρχὴ μέτρων ἐστὶ καὶ οἱονεὶ κανὼν εἰς μέτρησιν ἡμῖν ### book 21.3 κατὰ μῆκος ὡς ἐν ὑποθέσει εἴληπται. οἷον εἴ τις προτεί‐ ### book 21.4 νοιτο, πόσον εἴη τὸ τῆς δοθείσης εὐθείας διάστημα, οὐδὲν ### book 21.5.1 ἂν ἔχοιμεν λέγειν, εἰ δὲ οὕτως ἐπερωτᾷ, πόσων ἐστὶ ποδῶν ### book 21.5.2 ἢ πηχῶν κατὰ πηλικότητα, ἐκτίθεμεν οὖν πόδα ἢ πῆχυν ### book 21.5.3 δίκην μονάδος θέσει ἐξ ἡμῶν λαμβανόμενον, ὅπερ προ‐ ### book 21.5.4 τιθέμενον καλεῖται ῥητόν, καὶ πρὸς αὐτὸ τὸ προτεθὲν τὸ ### book 21.5.5 διάστημα τῆς εὐθείας συγκρίνομεν, εἰ ὅλως ῥητὸν ἤγουν ### book 21.10.1 σύμμετρον εἴτε μήκει καὶ δυνάμει εἴτε δυνάμει μόνον, καὶ ### book 21.10.2 οὕτως τὴν ἀπόφασιν ποιούμεθα. ### book 22.1 Ῥητὰς προιὼν ὁ γεωμέτρης καλέσει τὰς τῇ ἐκκει‐ ### book 22.2 μένῃ ῥητῇ εἴτε μήκει καὶ δυνάμει συμμέτρους οὔσας εἴτε ### book 22.3 καὶ δυνάμει μόνον. καὶ γὰρ καὶ ἡ μήκει σύμμετρος τῇ ### book 22.4 ἐκκειμένῃ ῥητῇ ῥητὴ καλεῖται· ὁμοίως καὶ ἡ δυνάμει σύμ‐ ### book 22.5.1 μετρος τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ καὶ αὐτὴ ῥητὴ λέγεται, ἄλογος ### book 22.5.2 δὲ καὶ ἡ μήκει καὶ δυνάμει ἀσύμμετρος. ### book 23.1 Ἄλογον καλεῖ ὁ γεωμέτρης τὴν μήκει καὶ δυνάμει ### book 23.2 ἀσύμμετρον τῇ ῥητῇ. καθόλου γὰρ πᾶσαι αἱ μήκει καὶ ### book 23.3 δυνάμει ἀσύμμετροι τῇ ῥητῇ ἄλογοι πρὸς αὐτοῦ καλοῦνται. ### book 24.1 Κατὰ τὸ συναμφότερον, τουτέστι δυνάμει καὶ διὰ ### book 24.2 τοῦτο καὶ μήκει. ### book 25.1 Πᾶσα πλευρὰ ἐφ’ ἑαυτὴν πολλαπλασιαζομένη ἢ ἐφ’ ### book 25.2 ἑτέραν δύναμιν ποιεῖ. φησὶ γοῦν τὰς πλευρὰς δυναμένας ### book 25.1 τὰ ἀπ’ αὐτῶν γινόμενα. ### book 25.2 Καί ἐστι σύμμετρος ἡ διάμετρος τῇ πλευρᾷ δυνάμει ### book 25.5.1 ἐπὶ τοῦ τετραγώνου, οἷον ἡ πλευρὰ ε, ἡ δὲ διάμετρος ζ δʹ ### book 25.5.2 ιεʹʹ νʹʹʹ. ### book 26.1 Ὅτι οὐκ ἔστιν ἐλάχιστον μέγεθος, ὡς οἱ Δημοκρί‐ ### book 26.2 τειοί φασιν, καὶ διὰ τούτου τοῦ θεωρήματος δείκνυται, εἴ ### book 26.3 γε παντὸς τοῦ ἐκκειμένου μεγέθους δυνατὸν ἔλαττον λαβεῖν. ### book 27.1 μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ p. 2, 7] μεῖζον ἐνταῦθα νοητέον ### book 27.2 τοῦ ἐξ ἀρχῆς δοθέντος μείζονος μεγέθους τὸ μεῖζον τμῆμα ### book 27.3 ὡς πρὸς τὸ ἥμισυ συγκρινόμενον τοῦ ἑαυτοῦ καὶ οὐχὶ ὡς ### book 27.4 πρὸς τὸ ἔλαττον τὸ ἐξ ἀρχῆς ἐκκείμενον μέγεθος. ὁμοίως ### book 27.5 δὲ καὶ τὸ ἥμισυ νοητέον οὕτως. ### book 28.1 Διὰ τοῦ αʹ τούτου τοῦ θεωρήματος γίνεται δῆλον, ### book 28.2 ὅτι ἐν τοῖς μεγέθεσιν ἔστιν ἀσυμμετρία. εἰ γὰρ τοῦ ἐκκει‐ ### book 28.3 μένου μεγέθους ἔστι λαβεῖν μέγεθός τι ἔλαττον καὶ τούτου ### book 28.4 ἔλαττον καὶ ἀεὶ ἔλαττον, εἰς ἄπειρον τέμνεται τὰ μεγέθη ### book 28.5.1 καὶ οὐκ εἰς ὡρισμένον ἐλάχιστον μέτρον, ὥσπερ ἐπὶ τῶν ### book 28.5.2 ἀριθμῶν ἡ μονάς. εἰ οὖν οὐκ ἔστιν ὡρισμένον μέγεθος ### book 28.5.3 ἐλάχιστον, ἔστι τινὰ μεγέθη ἀσύμμετρα, ἃ οὐχ ὑπό τινος ### book 28.5.4 μεγέθους κοινοῦ μετρεῖται διὰ τὸ ἀόριστον. ### book 29.1 Διὰ τὸν ὅρον τοῦ εʹ τὸν λέγοντα· πολλαπλάσιον δὲ ### book 29.2 τὸ μεῖζον τοῦ ἐλάττονος, ὅταν καταμετρῆται ὑπὸ τοῦ ### book 29.3 ἐλάττονος. τὸ γὰρ μεῖζον καὶ τὸ ἔλαττον ὄνομα λόγος ἐστί, ### book 29.4 τουτέστι σχέσις μόνη τῶν πεπερασμένων μεγεθῶν. ### book 30.1 Ταὐτὸν δ’ ἔστιν εἰπεῖν, ὅτι τὸ μέγεθος εἰς ἄπειρα ### book 30.2 διαιρεῖται. ### book 31.1 καὶ ἀφῄρηται ἀπὸ μὲν τοῦ ΔΕ ἔλασσον τοῦ ἡμίσεως ### book 31.2 p. 3, 6. 7] τὸ γὰρ ΔΕ εἰς γ διῃρέθη, καὶ τὸ γʹ αὐτοῦ ### book 31.3 ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἡμίσεως αὐτοῦ. ### book 32.1 Ἐπειδὴ γὰρ ὅλον τὸ ΔΕ μέγεθος κατεσκευάσθη τοῦ ### book 32.2 ΑΒ μεγέθους μεῖζον, ἀφῄρηται δὲ ἐκ τοῦ ΔΕ μεγέθους ### book 32.3 ἔλασσον τοῦ ἑαυτοῦ ἡμίσεως τὸ ΕΗ, ἐκ δὲ τοῦ ΑΒ ἀφῄρη‐ ### book 32.4 ται τὸ ΒΘ μεῖζον τοῦ ἑαυτοῦ ἡμίσεως, ὥστε τὸ δηλού‐ ### book 32.5 μενόν ἐστι τοῦ ΑΘ. ### book 33.1 Οὐ λέγει, ὅτι ἀφαιρεθῆναι δεῖ ἀπὸ τοῦ ΑΒ μεῖζον ### book 33.2 τοῦ ἡμίσεως τοῦ Γ, ἀλλὰ τὸ μεῖζον τοῦ ἡμίσεως αὐτοῦ ### book 33.3 τοῦ ΑΒ. οἷον εἴ ἐστι τὸ ΑΒ ρ, ἄφελε ἀπὸ τῶν ρ τὰ ξ· ### book 33.4 λοιπά εἰσι μ. πάλιν ἀπὸ τῶν μ ἄφελε τὰ μείζονα τοῦ ἡμί‐ ### book 33.5 σεως οἷον κδ καὶ οὕτως ἐπὶ τοῦ λοιποῦ. ### book 34.1 Ὅτι ἔστι τινὰ μεγέθη μήκει ἀσύμμετρα, διὰ τούτου ### book 34.2 διδασκόμεθα τοῦ θεωρήματος· τὸ γὰρ εἶναι σύμμετρα ### book 34.3 πρόδηλον ἦν. τὸ δὲ τῶν συμμέτρων μεγεθῶν τὸ μέγιστον ### book 34.4 κοινὸν μέτρον εὑρεῖν οὐ παντός, ἀλλὰ τοῦ ἐπιστήμονος. ### book 34.5 τούτου δὲ τοῦ μεγίστου κοινοῦ μέτρου τῶν συμμέτρων ### book 34 μεγεθῶν τὴν εὕρεσιν ἐν τῷ ἐφεξῆς θεωρήματι διδάσκει. ### book 35.1 Τοῦ πρὸ αὐτοῦ θεωρήματος τὴν αἰτίαν λέγοντος τῆς ### book 35.2 ἀσυμμετρίας τοῦτο τὸ τεκμήριον τῶν ἀσυμμέτρων λέγει, ### book 35.3 πότε ἔσται ἀσύμμετρα, ἐν δὲ τῷ ϛʹ θεωρήματι τὸ ἴδιον ### book 35.4 αὐτῶν, ὥστε καὶ τὴν αἰτίαν ἔχειν καὶ τὸ τεκμήριον καὶ τὸ ### book 35.5.1 ἴδιον. ἐπὶ δὲ τῶν συμμέτρων τὴν μὲν αἰτίαν ὡς σαφῆ ### book 35.5.2 παραλιμπάνει, ἐκτίθεται δὲ τὸ τεκμήριον καὶ τὸ ἴδιον. ### book 36.1 Μεγέθη ἁπλῶς λέγει, εἴτε γραμμαί εἰσι τὰ δοθέντα ### book 36.2 δύο εἴτε ἐπίπεδα εἴτε στερεά. ### book 37.1 Ἐκ τῆς εἰς ἄτοπον ἀπαγωγῆς δείκνυται, ὅτι ἀσύμ‐ ### book 37.2 μετρά ἐστι τὰ μεγέθη. ### book 38.1 Τὸ γὰρ ἐς ἀεὶ διαιρούμενον ἐξ ἀνάγκης ἔσται ποτὲ ### book 38.2 ἔλασσον αὐτοῦ. ### book 39.1 Αἱ μήκει σύμμετροι εὐθεῖαι καὶ δυνάμει εἰσὶ σύμ‐ ### book 39.2 μετροι, τουτέστι τὰ τετράγωνα αὐτῶν ἐν λόγῳ εἰσίν, οὐ ### book 39.3 μόνον ὡς ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, ἀλλὰ καὶ ὡς τετράγωνος ### book 39.4 ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον. λόγον δέ, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθ‐ ### book 39.5.1 μόν, ἔχειν λέγονται, ὅταν τὸ ἔλασσον μέγεθος τοῦ μείζονος ### book 39.5.2 μέρος ᾖ ἢ μέρη. τοῦτο δὲ ταὐτόν ἐστι τῷ, ὅταν ἡ τοῦ ### book 39.5.3 μείζονος ὑπεροχὴ πρὸς τὸ ἔλασσον ἐγνωσμένη ᾖ ἤτοι ### book 39.5.4 ῥητὴ ἤτοι καὶ κατὰ πηλικότητα καὶ κατὰ ποσότητα. ἔστι ### book 39.5.5 γάρ τινα μεγέθη, ὧν μόνη γινώσκεται ἡ πρὸς τὸ ἕτερον ### book 39.10.1 ὑπεροχή, οἷον ὅτι ὑπερέχει τόδε τὸ μέγεθος τοῦδε τοῦ ### book 39.10.2 μεγέθους, ἡ δὲ ποσότης τῆς ὑπεροχῆς ἀγνοεῖται, ὡς ### book 39.10.3 ἔχει ἡ πλευρὰ τοῦ κ πρὸς τὴν πλευρὰν τοῦ ζ. ὅτι μὲν γὰρ ### book 39.10.4 ὑπερέχει, ἴσμεν, ἄγνωστος δὲ ἡ ποσότης τῆς ὑπεροχῆς. καὶ ### book 39.10.5 ἐπὶ μὲν τῶν πλευρῶν τοῦ κ καὶ ζ οὕτως· ἐπ’ αὐτοῦ δὲ τοῦ ### book 39.15 κ καὶ ζ ἡ ὑπεροχὴ τοῦ κ πρὸς τὸν ζ οὐκ ἄδηλος, καὶ διὰ ### book 39.1 τοῦτο ἡ τοῦ τετραγώνου διάμετρος πρὸς τὴν πλευρὰν ὡς ### book 39.2 μὲν ἐν ῥητοῖς ἄλογός ἐστι, ὡς δ’ ἐν ὑπεροχῇ λόγον ἔχει· ### book 39.3 ἔστι γὰρ μείζων. ἡ μὲν οὖν δεκάπους πρὸς τὴν ἑπτάποδα ### book 39.4 λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν· ἔστι γὰρ ἡ ὑπεροχὴ ### book 39.20.1 τῆς μείζονος ποδῶν τριῶν· καὶ σύμμετρος μήκει ἡ ἑπτά‐ ### book 39.20.2 πους τῇ δεκάποδι· κοινὸν γὰρ αὐτῶν μέτρον ἡ ποδιαία. ### book 39.20.3 εἰ δὲ μήκει, καὶ δυνάμει· τὰ γὰρ μήκει σύμμετρα καὶ δυ‐ ### book 39.20.4 νάμει, οὐ μὴν καὶ ἔμπαλιν. καὶ ἡ μὲν δεκάπους καὶ ἑπτά‐ ### book 39.20.5 πους σύμμετροι μήκει καὶ λόγον ἔχουσιν, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ### book 39.25.1 ἀριθμόν, ἤτοι ῥητὴν τὴν ὑπεροχήν. αἱ δὲ πλευραὶ αὐτῶν ### book 39.25.2 ἀσύμμετροι· οὐ γάρ ἐστιν ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν ἐγνωσμένη ### book 39.25.3 κατὰ ποσότητα, πόση τίς ἐστι. δεῖ οὖν εἰδέναι, ὅτι ἐπὶ ### book 39.25.4 μὲν τῶν ἀριθμῶν πᾶς λόγος ῥητὴν ἔχει ποσότητα, οἷον ### book 39.25.5 διπλάσιον, τριπλάσιον, ἡμιόλιον, διπλασιεπίτριτον, ἐπί‐ ### book 39.30.1 πεμπτον ἤ τινα ἄλλον τοιοῦτον λόγον. ὥστε τὰ μεγέθη τὰ ### book 39.30.2 πρὸς ἄλληλά τινα τοιοῦτον ἔχοντα λόγον ῥηθήσεται λό‐ ### book 39.30.3 γον ἔχειν, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν. τούτῳ δὲ ἐξ ἀνάγκης ### book 39.30.4 ἕπεται τὸ τὸ ἔλασσον τοῦ μείζονος ἢ μέρος ἢ μέρη εἶναι, ### book 39.30.5 τὰ δὲ μέρη ὁτὲ μὲν μονάδες εἰσίν, οἷον ὁ ζ τοῦ ι ἑπτὰ δέ‐ ### book 39.35.1 κατα, ὁτὲ δὲ ἀριθμοί, οἷον ὁ κ τοῦ λ δύο δέκατα. πᾶσαι ### book 39.35.2 οὖν αἱ σύμμετροι εὐθεῖαι εἴτε μήκει εἴτε καὶ μήκει καὶ ### book 39.35.3 δυνάμει πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχουσιν, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ### book 39.35.4 ἀριθμὸν ὁ τυχὼν πρὸς τὸν τυχόντα. αἱ δὲ μήκει σύμμετροι ### book 39.35.5 οὐ μόνον τοῦτο, ἀλλὰ καὶ ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς ### book 39.40.1 τετράγωνον. μὴ ἔχειν δὲ πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοὶ λέγονται, ### book 39.40.2 ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον, ὅταν μηδεὶς μέ‐ ### book 39.40.3 σος ἀνάλογον ἐμπίπτῃ, οἷον ὁ δέκα πρὸς τὸν δ οὐκ ἔχει, ὃν ### book 39.40.4 τετράγωνος πρὸς τετράγωνον, οὐδὲ ὁ ζ πρὸς τὸν αὐτὸν δ· ### book 39.40.5 ὁ δέ γε θ καὶ ὁ ιϛ πρὸς τὸν δ λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ### book 39.45.1 ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον· μέσος γὰρ τοῦ μὲν δ καὶ θ ἐμ‐ ### book 39.45.2 πίπτει ὁ ϛ ἀνάλογον ὡς ὁ θ πρὸς τὸν ϛ, οὗτος πρὸς τὸν δ, ### book 39.45.3 τοῦ δὲ δ καὶ ιϛ ὁ η. ὡς γὰρ ὁ ιϛ πρὸς τὸν η, ὁ η πρὸς τὸν δ. ### book 39.45.4 καὶ αἱ μὲν μήκει σύμμετροι ἐξ ἀνάγκης καὶ ῥηταί, ὅτι καὶ ### book 39.45.5 δυνάμει σύμμετροι, αἱ δὲ δυνάμει σύμμετροι ῥηταὶ μὲν διὰ ### book 39.1 τὸ τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα σύμμετρα εἶναι, οὐ μὴν καὶ ### book 39.2 μήκει σύμμετροι. καὶ καθόλου αἱ πᾶσαι σύμμετροι εὐθεῖαι, ### book 39.3 εἴτε δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν εἴτε καὶ μήκει καὶ δυ‐ ### book 39.4 νάμει, ῥηταὶ ἐκαλοῦντο πρὸς τῶν παλαιῶν. ἐκ δὲ τούτου ### book 39.5 δῆλον, ὅτι τὰ μεγέθη τὰ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχοντα, ὃν ### book 39.55.1 ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, καὶ ῥητά ἐστιν, οὐ μὴν τὰ ῥητὰ καὶ ### book 39.55.2 λόγον ἔχει πρὸς ἄλληλα, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν. τῆς ### book 39.55.3 γὰρ ὀκτάποδος καὶ ἑξάποδος αἱ πλευραὶ ῥηταὶ μέν εἰσιν ### book 39.55.4 ὡς δυνάμει σύμμετροι, λόγον δὲ οὐκ ἔχουσιν, ὃν ἀριθμὸς ### book 39.55.5 πρὸς ἀριθμόν, ἔστι δὲ τῆς μὲν ὀκτάποδος ἡ πλευρὰ δύο μθ ### book 39.60 μβ, τῆς δὲ ἑξάποδος β κϛ νη. ### book 40.1 Ὡς ἐπὶ τοῦ ιδ καὶ θ· ἄφελε γὰρ τὸν ἐλάττονα ἀπὸ ### book 40.2 τοῦ μείζονος ἤγουν τὸν θ ἀπὸ τοῦ ιδ, καὶ μένουσι ε, οἳ οὔτε ### book 40.3 τὸν θ οὔτε τὸν ιδ μετροῦσι. ἄφελε τὰ ε ἀπὸ τοῦ θ, καὶ μέ‐ ### book 40.4 νει δ, ὃς οὐ μετρεῖ τὸν θ. τὰ δ ἀπὸ τοῦ ε, καὶ μένει μονάς, ### book 40.5.1 ἥτις οὐ μετρεῖ τὸν ε. διὰ ταῦτα καὶ τὰ ιδ καὶ τὰ θ ἀσύμ‐ ### book 40.5.2 μετρα. ### book 41.1 Ἐν τῷ γʹ καὶ δʹ παραδίδωσι, τίνα τρόπον ληπτέον τὰ ### book 41.2 κοινὰ μέτρα τῶν ἁπλῶς ἐν συμμετρίᾳ, ἐν δὲ τῷ θʹ ζητήσει, ### book 41.3 τίνα ἕπεται οὐκέτι τοῖς ἁπλῶς συμμέτροις, ἀλλὰ τοῖς κατ’ ### book 41.4 εἶδος, οἷον τοῖς κατὰ μῆκος συμμέτροις ἢ τοῖς κατὰ δύ‐ ### book 41.5 ναμιν. ### book 42.1 Ὡς ὄντος δήλου, ὅτι ἔστι σύμμετρα μεγέθη, ἐπ‐ ### book 42.2 έξεισι τούτῳ τῷ θεωρήματι καὶ οὐ προδείκνυσι τοῦτο, ### book 42.3 ὥσπερ ἐπὶ τῶν ἀσυμμέτρων. φανερὸν γάρ, ὅτι πάντες οἱ ### book 42.4 πολλαπλάσιοί τινος σύμμετροί εἰσι πρὸς ἐκεῖνον οὗ εἰσι ### book 42.5 πολλαπλάσιοι. ### book 43.1 τὸ δὲ ΑΖ τὸ ΓΕ μετρείτω p. 5, 13. 14] εἰ γὰρ οὐ ### book 43.2 μετρήσει τὸ ΑΖ τὸ ΓΕ, ἀσύμμετρά εἰσι διὰ βʹ τοῦ ιʹ· ### book 43.3 ἐὰν δύο μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων ἀνθυφαιρουμένου ### book 43.4 ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸ καταλειπόμενον ### book 43.5.1 μηδέποτε καταμετρῇ τὸ πρὸ ἑαυτοῦ, ἀσύμμετρα τὰ μεγέ‐ ### book 43.5.2 θη· ἀλλ’ ἐδόθη σύμμετρα. ### book 44 Ἐκ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς. ### book 45.1 Ἐπειδὴ τοῖς ἀσυμμέτροις ἕπεται τὸ λόγον μὴ ἔχειν, ### book 45.2 ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, καὶ τὸ ἀντίστροφον βούλεται ### book 45.3 δεῖξαι, ὅτι τοῖς συμμέτροις ἕπεται τὸ λόγον ἔχειν, ὃν ### book 45.4 ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμὸν καὶ ἀνάπαλιν. δεῖται δὲ εἰς τοῦτο ### book 45.5.1 λημματίου, ὅπως ἂν τῶν συμμέτρων τὸ μέγιστον κοινὸν ### book 45.5.2 μέτρον εὕρῃ δύο ἢ τριῶν. οὕτως δὲ καὶ ἐν τῷ πρώτῳ τῶν ### book 45.5.3 ἀριθμητικῶν ἐποίει μετὰ τὸ δεῖξαι, τίνες οἱ ἀσύμμετροι, ### book 45.5.4 οὓς πρώτους ἐκάλει διὰ τὸ μὴ πάντη ἀσυμμέτρους εἶναι ### book 45.5.5 ὡς τὰ μεγέθη, βουλόμενος δεῖξαι, ὅτι πᾶς ἀριθμὸς πρὸς ### book 45.10.1 ἅπαντα λόγον ἔχει ἢ πολλαπλάσιον ἢ πολλαπλασιοεπιμό‐ ### book 45.10.2 ριον ἢ ἐπιμερῆ ἢ καθ’ ἕνα τῶν λόγων, οὓς αὐτὸς συνελὼν ### book 45.1 ἐκ τοῦ ἐλάσσονος ὠνόμασεν ἢ μέρος ἢ μέρη. τὸ μὲν γὰρ ### book 45.2 μέρος περιέχει τὸν ὑποπολλαπλάσιον ἢ ὑπεπιμόριον, τὰ δὲ ### book 45.3 μέρη τόν τε ἐπιμερῆ καὶ ὑποπολλαπλασιεπιμερῆ. τοῦτο ### book 45.15.1 οὖν βουλόμενος δεῖξαι ἐδεήθη, πῶς ἂν τὸ μέγιστον κοινὸν ### book 45.15.2 εὕροι μέτρον τῶν συμμέτρων· ὃ δὴ καὶ ἐνταῦθα ποιεῖ. μεθ’ ### book 45.15.3 ἃ δειχθήσεται κατὰ τὸ πέμπτον, ὅτι τῶν συμμέτρων μεγε‐ ### book 45.15.4 θῶν, μᾶλλον δὲ πᾶν σύμμετρον μέγεθος παντὸς συμμέ‐ ### book 45.15.5 τρου μεγέθους τὸ ἔλασσον τοῦ μείζονος ἤτοι μέρος ἐστὶν ### book 45.20.1 ἢ μέρη· τοῦτο γάρ ἐστι τὸ λόγον ἔχειν, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ### book 45.20.2 ἀριθμόν. καὶ γὰρ αὐτοὶ λόγον ἔχουσι πολλαπλάσιον, ὃν ### book 45.20.3 μονὰς πρὸς ἀριθμόν, καὶ αὖ, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, οὐ ### book 45.20.4 μέντοι ἀνάπαλιν. ἐπὶ πλέον ἄρα τὸ τοῦ ἀριθμοῦ· διὸ τούτῳ ### book 45.20.5 ἐχρήσατο. ἰστέον δέ, ὅτι καὶ αὐταὶ αἱ δείξεις ἐκ τῶν ἀριθ‐ ### book 45.25 μητικῶν εἰσιν ἀπαράλλακτοι. ### book 46.1 Δείξας, τίνα τὰ ἀσύμμετρα, ἐν τοῖς ἑξῆς δείκνυται, ### book 46.2 τί αὐτοῖς ἕπεται, καὶ ἔτι τοῖς συμμέτροις ἐν ϛʹ καὶ εʹ. καὶ ### book 46.3 ἐπεὶ ἐδεῖτο τοῦ κοινοῦ μέτρου τῶν ἐν συμμετρίᾳ, προλαμ‐ ### book 46.4 βάνει ἐν γʹ καὶ δʹ, τίνα τρόπον τῶν ἐν συμμετρίᾳ ληπτέον ### book 46.5.1 τὰ κοινὰ μέτρα. τὸ δὲ ζʹ ζητήσει, τίνα ἕπεται οὐκέτι τοῖς ### book 46.5.2 συμμέτροις, ἀλλὰ τοῖς κατ’ εἶδος, οἷον τοῖς κατὰ μῆκος ἢ ### book 46.5.3 κατὰ δύναμιν. τὰ γὰρ στερεὰ μεθῆκεν ὡς οὐ χρησιμευούσης ### book 46.5.4 αὐτῷ ἐν τῇ περὶ ἀλόγων γραφῇ ἐπὶ τοῦτο ἢ τὴν γένεσιν ### book 46.5.5 τῶν κατὰ μῆκος καὶ κατὰ δύναμιν συμμετρίαν καὶ ἀσυμ‐ ### book 46.10.1 μετρίαν· δεῖται γὰρ ἐν τῷ θʹ καὶ τοῖς ἑξῆς, ἐν οἷς κατά ### book 46.10.2 τε ἀναλογίαν καὶ κατὰ σύνθεσιν καὶ διαίρεσιν ἥ τε συμ‐ ### book 46.10.3 μετρία καὶ ἡ ἀσυμμετρία ἐξετασθήσεται ἄχρι ιγʹ θεωρή‐ ### book 46.10.4 ματος. ### book 47.1 Τὸ τὰ σύμμετρα μεγέθη ἴσον ἐστὶ τῷ τὰ μεγέθη τὰ ### book 47.2 κοινῷ μέτρῳ μετρούμενα. τὰ ἔχοντα, φησί, κοινὸν μέτρον ### book 47.3 μεγέθη, ἃ καὶ διὰ τὸ ἔχειν κοινὸν μέτρον σύμμετρα λέγε‐ ### book 47.4 ται, ταῦτα τὰ μεγέθη λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, ### book 47.5.1 καί ἐστι ταῦτα καὶ ὁμοειδῆ καὶ ῥητά. τὰ γὰρ σύμμετρα ### book 47.5.2 πάντα εἴτε μήκει καὶ δυνάμει εἴτε δυνάμει μόνον ῥητὰ καλεῖ ### book 47.5.3 ὁ γεωμέτρης. ### book 48.1 ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν p. 8, 17] ἤγουν ῥητόν· ### book 48.2 ἐν γὰρ τοῖς ἀριθμοῖς οὐ τέμνεται ἡ μονάς ..... ἄρρητον ### book 48.3 τὸν συντεθέντα ἀριθμόν. τὰ δὲ μεγέθη τεμνόμενα ἔχουσι ### book 48.4 καὶ τὸ ἄρρητον καὶ τὸ ἄλογον. πᾶς δὲ ἀριθμὸς πρὸς πάντα ### book 48.5.1 ἀριθμὸν ἔχει τινὰ λόγον ῥητὸν ἤγουν ἢ πολλαπλάσιον ἢ ### book 48.5.2 ἐπιμόριον ἢ ἐπιμερῆ ἢ πολλαπλασιεπιμόριον ἢ πολλα‐ ### book 48.5.3 πλασιεπιμερῆ ἢ ἕνα τινὰ τῶν εἰδικωτέρως ὠνομασμένων, ### book 48.5.4 ὡς ἐν τῇ ἀριθμητικῇ τοῦ Νικομάχου ἔκκεινται πάντες ### book 48.5.5 ἡπλωμένοι καὶ διηκριβωμένοι· οἷον ὡς ἐπὶ ὑποδείγματος ### book 48.10.1 ὁ ε ἀριθμὸς πρὸς τὸν δ ἀριθμὸν συγκρινόμενος εὑρίσκεται ### book 48.10.2 ἔχων ὁλοκλήρως τὰς δ μονάδας καὶ ἐπέκεινα τούτων μίαν ### book 48.10.3 μονάδα, ἥ ἐστιν τῶν δ δʹ, καὶ διὰ τοῦτο ὀνομάζεται ἐπιδʹ ### book 48.10.4 λόγον ὁ ε τοῦ δ ἀριθμοῦ. τὸ δὲ πεντάπηχυ πρὸς τὸ τετρά‐ ### book 48.10.5 πηχυ θεωρούμενον ἐπιτέταρτον μὲν ἔχει καὶ αὐτὸ λόγον, ### book 48.15 πλὴν ὡς συνεχῶν ποσῶν τμημάτων νοοῦνται καὶ οὐχ ὡς ### book 48 διῃρημέναι μονάδες. ### book 49.1 Τοῦτο ἴδιον τῶν συμμέτρων· τὸ ἔλασσον τοῦ μείζο‐ ### book 49.2 νος ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη. ἐὰν μὲν οὖν μέρος ᾖ, λόγον ### book 49.3 ἕξει, ὃν μονὰς πρὸς ἀριθμόν, ἐὰν δὲ μέρη ᾖ, ὃν ἀριθμὸς ### book 49.4 πρὸς ἀριθμόν. τὸ μὲν γὰρ πρότερον ὑποπολλαπλάσιον ### book 49.5.1 ποιεῖ λόγον, τὰ δὲ μέρη ἕνα τῶν λοιπῶν ὑπολόγων. ἐὰν ### book 49.5.2 μὲν οὖν εὐθεῖαι ὦσιν, καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν ἐπίπεδα καὶ τὰ ### book 49.5.3 στερεὰ λόγον ἕξει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, ἐὰν δὲ ἐπί‐ ### book 49.5.4 πεδα, καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν στερεά, οὐ μέντοι καὶ αἱ εὐθεῖαι, ### book 49.5.5 εἰ μὴ ὁ λόγος τῶν ἀριθμῶν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον, ### book 49.10.1 ἐὰν δὲ τὰ στερεά, οὐ πάντως τὰ πρὸ αὐτῶν, εἰ μὴ ὁ λόγος ### book 49.10.2 κύβος πρὸς κύβον ᾖ. ἐὰν δὲ τὰ στερεὰ μὴ ἔχῃ λόγον, ὃν ### book 49.10.3 ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, οὐδὲ τὰ ἐπίπεδα οὐδὲ αἱ εὐθεῖαι· ### book 49.10.4 οὐ γάρ εἰσι σύμμετρα. καὶ ἐν μὲν τούτῳ καὶ τῷ ἑξῆς περὶ ### book 49.10.5 τῶν ἁπλῶς διαλέγεται συμμέτρων καὶ ἀσυμμέτρων, ἐν δὲ ### book 49.15.1 τῷ ζʹ περὶ τῶν μήκει συμμέτρων καὶ ἀσυμμέτρων, δυνά‐ ### book 49.15.2 μει δὲ συμμέτρων, ἀφ’ οὗ δῆλον καὶ περὶ δυνάμει ἀσυμ‐ ### book 49.15.3 μέτρων, ἐν δὲ τῷ ηʹ γένεσιν συμμέτρων καὶ ἀσυμμέτρων ### book 49.15.4 μήκει καὶ δυνάμει. ### book 50.1 Τὸ τὰ σύμμετρα μεγέθη λόγον ἔχουσιν, ὃν ἀριθμὸς ### book 50.2 πρὸς ἀριθμόν, ταὐτόν ἐστι τῷ πᾶν σύμμετρον μέγεθος ### book 50.3 παντὸς συμμέτρου μεγέθους τὸ ἔλασσον τοῦ μείζονος ### book 50.4 ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη· τοῦτο γάρ ἐστι τὸ λόγον ἔχειν, ### book 50.5.1 ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν. πᾶς δὲ ἀριθμὸς πρὸς ἅπαντα ### book 50.5.2 λόγον ἔχει ἢ πολλαπλάσιον ἢ πολλαπλασιεπιμόριον ἢ ἐπι‐ ### book 50.5.3 μερῆ ἢ καθ’ ἕνα τινὰ λόγον, οὓς αὐτὸς συνελὼν ἐκ τοῦ ### book 50.5.4 ἐλάσσονος ὠνόμασεν ἢ μέρος ἢ μέρη. τὸ μὲν γὰρ μέρος ### book 50.5.5 ὑπέκειτο ἢ ὑποπολλαπλάσιον ἢ ὑποεπιμόριον, τὰ δὲ μέρη ### book 50.10.1 ἐπιμερῆ καὶ ὑποπολλαπλασιεπιμερῆ. τὸ δὲ ὃν ἀριθμὸς ### book 50.10.2 πρὸς ἀριθμόν, ὡς καὶ πρόσθεν εἴρηται, ταὐτόν ἐστι τῷ ### book 50.10.3 ὧν μειζόνων μεγεθῶν αἱ ὑπεροχαὶ ῥηταί εἰσιν ἤτοι ἀριθ‐ ### book 50.10.4 μῷ δυνάμεναι ῥηθῆναι ὡς τῆς δεκάποδος πρὸς τὴν ἑπτά‐ ### book 50.10.5 ποδα. ἔστι γὰρ ποδῶν ἡ ὑπεροχὴ τριῶν. ### book 51.1 Οὐκοῦν κἂν τετράγωνα ἢ παραλληλόγραμμα ἢ ### book 51.2 οἱαδήποτε χωρία λόγον ἔχῃ, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, ### book 51.3 σύμμετρα ἔσται τὰ μεγέθη, ὅταν δὲ ὃν τετράγωνος πρὸς ### book 51.4 τετράγωνον, καὶ αὐτὰ σύμμετρα καὶ αἱ δυνάμεναι αὐτὰ ### book 51.5.1 μήκει. ἢ ὅταν εὐθεῖαι πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσιν, ὃν ### book 51.5.2 ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, καὶ αὗται σύμμετροί εἰσι μήκει ### book 51.5.3 καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα ἢ τὰ ἴσα τοῖς τετραγώνοις ### book 51.5.4 αὐτῶν χωρία λόγον ἔχειν ἀναγκάζεται, ὃν τετράγωνος ### book 51 ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. ἐπὶ πλέον ἄρα αἱ δυ‐ ### book 51.10.1 νάμει σύμμετροι τῶν μήκει συμμέτρων εἰσὶ καὶ περιεκτι‐ ### book 51.10.2 κώτεραι, ὡς καὶ ἐκ τῶν ἐφεξῆς θεωρημάτων ἔσται δῆλον. ### book 52.1 Μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχειν λέγεται, ὃν τετρά‐ ### book 52.2 γωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ὅταν μέσον ### book 52.3 αὐτῶν δύνηται ἐμπεσεῖν μέγεθος ἀνάλογον, ὅταν δὲ μὴ δύ‐ ### book 52.4 νηται, οὐ λέγεται ἔχειν, ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον, ### book 52.5.1 οἷον ἡ τετράπους καὶ ἡ ἐννεάπους· αὗται γὰρ πρὸς ἀλλήλας ### book 52.5.2 ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον· μεταξὺ ### book 52.5.3 γὰρ αὐτῶν ἐμπίπτειν δύναται ἡ ἑξάπους ἀνάλογος· ὡς γὰρ ### book 52.5.4 ὁ θ πρὸς τὸν ϛ, ὁ ϛ πρὸς τὸν δ. ὁ δὲ ιη πρὸς τὸν ιβ οὐκ ἔχει, ### book 52.5.5 ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον· οὐδεὶς γὰρ μέσος αὐτῶν ### book 52.10.1 ἀνάλογος πίπτει. δεῖ δὲ ἀντὶ τοῦ ιη καὶ ιβ τὴν ὀκτωκαιδε‐ ### book 52.10.2 κάποδα καὶ δωδεκάποδα λαμβάνειν. ### book 53.1 Σημείωσαι, ὅτι τὸ ἐν τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι ### book 53.2 δεδομένον ἐγένετο ἐν τούτῳ ζητούμενον καὶ ἀνάπαλιν. ### book 54.1 ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην κτλ. p. 11, 10] διὰ ### book 54.2 πόρισμα τοῦ κʹ τοῦ ϛʹ τοῦ λέγοντος, ὅτι, ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ### book 54.3 ἀνάλογον ὦσιν, ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ ### book 54.4 τῆς πρώτης τρίγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον ### book 54.5 καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον. ### book 55 Ἐκ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς. ### book 56.1 Οὐκ, ὡς ἄν τις οἰηθείη, παρέλκον ἐστὶ διὰ τὸ δεί‐ ### book 56.2 κνυσθαι καὶ τοῦτο τὸ συνημμένον διὰ τοῦ πρὸ αὐτοῦ. δι’ ### book 56.3 ἐκείνου γὰρ οὐ τοῦτο, ἀλλ’ ὅτι τὰ μὴ λόγον ἔχοντα μεγέθη, ### book 56.4 ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, ἀσύμμετρά ἐστιν, ἐδείκνυτο. οὐκ ### book 56.5.1 ἄρα ἀναιρετικὸν τοῦ κανόνος ἐκείνου τοῦ λέγοντος, ὅτι, εἰ ### book 56.5.2 ἡ κατάφασίς τινος τῇ ἄλλου καταφάσει ἕπεται, οὐ τῇ τοῦ ### book 56.1 ἡγουμένου ἀποφάσει ἕπεται ἡ τοῦ ἑπομένου, ἀλλ’ ἀνάπα‐ ### book 56.2 λιν. τοῦτο γὰρ ἀληθές, ἐφ’ ὧν μόνον τὸ κατηγορούμενον ### book 56.3 ἐπὶ πλέον ἐστίν, ἐφ’ ὧν δὲ ἐπ’ ἴσης ὡς ἐπὶ τούτου ἀδιάφο‐ ### book 56.10.1 ρόν ἐστιν, ὡς ἂν ἐθέλῃ τις ποιεῖν. ἰστέον δέ, ὅτι ἐν τῷ μετὰ ### book 56.10.2 τοῦτο δείξει καὶ τὸ ἄλλο, ὅπερ ἔφαμεν διὰ τοῦ πρὸ αὐτοῦ ### book 56.10.3 δείκνυσθαι, οὐκ ἐπ’ εὐθείας, ἀλλὰ τῇ εἰς ἀδύνατον ἀπ‐ ### book 56.10.4 αγωγῇ. ἔστι γὰρ τοῖς γεωμέτραις σύνηθες κἀκεῖνα δεικνύ‐ ### book 56.10.5 ναι τῇ τοιαύτῃ δείξει. ### book 57.1 Ὅτι μὲν οὖν οὐκ αἱ γραμμαὶ μόναι εἰσὶ μεγέθη, ἀλλὰ ### book 57.2 καὶ τὰ ἐπίπεδα καὶ τὰ στερεά, πάντες ἴσασιν. οὐκ ἔχειν ### book 57.3 οὖν ὅλως δύνανται πρὸς ἄλληλα λόγον, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ### book 57.4 ἀριθμὸν τὰ ἑτεροειδῆ, οἷον γραμμὴ καὶ ἐπιφάνεια ἢ ἐπι‐ ### book 57.5.1 φάνεια καὶ στερεόν· ταῦτα γὰρ ἑτεροειδῆ ὄντα οὐκ ἔχει λό‐ ### book 57.5.2 γον πρὸς ἄλληλα, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν. ### book 58.1 Οἷον τὰ ἑτεροειδῆ, ὥσπερ ἡ γραμμὴ καὶ ἡ ἐπιφάνεια ### book 58.2 καὶ τὸ σῶμα· ταῦτα γὰρ ἑτεροειδῆ ὄντα οὐκ ἔχουσι λόγον ### book 58.3 πρὸς ἄλληλα ἀσύμμετρα ὄντα, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν. ### book 59 Ἐκ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς. ### book 60 Ἐκ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς. ### book 61.1 Ἐνταῦθα δείκνυσιν, ὅτι τὰ μήκει σύμμετρα καὶ δυ‐ ### book 61.2 νάμει ἐστὶν σύμμετρα. ### book 62.1 Τὸ θεώρημα τοῦτο Θεαιτήτειόν ἐστιν εὕρημα, καὶ ### book 62.2 μέμνηται αὐτοῦ ὁ Πλάτων ἐν Θεαιτήτῳ, ἀλλ’ ἐκεῖ μὲν ### book 62.3 μερικώτερον ἔγκειται, ἐνταῦθα δὲ καθόλου· ἐκεῖ γὰρ τὰ ### book 62.4 τετράγωνα τὰ ὑπὸ τετραγώνων ἀριθμῶν μετρούμενα ### book 62.5.1 συμμέτρους ἔχειν καὶ τὰς πλευράς φησιν. μερικὴ δὲ αὕτη ### book 62.5.2 ἡ πρότασις· οὐ γὰρ πάντα τὰ σύμμετρα χωρία, ὧν καὶ αἱ ### book 62.5.3 πλευραί εἰσι σύμμετροι, περιλαμβάνει. τετραγώνων γὰρ ### book 62.5.4 χωρίων συμμέτρων τοῦ ιη καὶ τοῦ η αἱ πλευραί, εἰ καὶ μὴ ### book 62.5.5 κατὰ τὸ μέτρον τῶν ἀριθμῶν εὑρίσκονται, ἀλλ’ οὖν ἄλλως ### book 62.10.1 εἰσὶ σύμμετροι· ὅμως ὑπὸ τετραγώνων ἀριθμῶν τὰ χωρία ### book 62.10.2 οὐ μεμέτρηται, εἰ καὶ μετρεῖσθαι δύναται. εἰκότως οὖν ### book 62.10.3 ἐνταῦθα οὐ τοῦτον τὸν τρόπον ὡρίσατο, ἀλλὰ τὰ λόγον ### book 62.10.4 φησὶν ἔχοντα, ὃν ἀριθμὸς τετράγωνος πρὸς τετράγωνον ### book 62.10.5 ἀριθμόν. καὶ ἐνταῦθα δὲ οὐ μάτην ἡ τοῦ τετραγώνου ### book 62.15.1 ἀριθμοῦ γεγένηται μνήμη· εἰ γὰρ ἦν μόνον ὃν ἀριθμὸς πρὸς ### book 62.15.2 ἀριθμὸν ὁρισάμενος, ἐπλεόναζεν ὁ ὅρος. τὰ γὰρ διπλασίονα ### book 62.15.3 λόγον ἔχοντα τετράγωνα πρὸς ἄλληλα συμμέτρους ἔδει ### book 62.15.4 τὰς πλευρὰς ἔχειν. οὐκ ἔχουσι δέ· καὶ γὰρ ἡ τοῦ μείζονος ### book 62.15.5 τῆς τοῦ παράλλης διαγώνιός ἐστιν. εἰ τοίνυν διὰ μὲν τοῦ ### book 62.20.1 φάναι ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμὸν ἐπλεόναζεν ὁ ὅρος περι‐ ### book 62.20.2 λαμβάνων καὶ τὰ μὴ συμμέτρους ἔχοντα τὰς πλευράς, διὰ ### book 62.20.3 δὲ τοῦ εἰπεῖν ὑπὸ τετραγώνων ἀριθμῶν μετρούμενα ἐλλι‐ ### book 62.20.4 πῶς εἶχεν μὴ περιέχων τὰ συμμέτρους ἔχοντα τὰς πλευ‐ ### book 62.20.5 ρὰς ὑπὸ τετραγώνων μὲν μὴ μετρηθέντα ἀριθμῶν, λό‐ ### book 62.25.1 γον δὲ τῶν ἀριθμῶν ἐχόντων, ὃν τετράγωνος πρὸς τετρά‐ ### book 62.25.2 γωνον ἀριθμόν, εἰκότως πρόσκειται τὸ ὃν τετράγωνος ### book 62.25.3 πρὸς τετράγωνον· περιλήψεται γὰρ πάντα τὰ χωρία, ἅ, εἰ ### book 62.25.4 καὶ μὴ ὑπὸ τετραγώνων μετρεῖται, ἀλλ’ οὖν σύμμετρα ὄντα ### book 62.25.5 συμμέτρους ἔχει καὶ τὰς πλευράς. τοῦ δ’ οὖν ιη καὶ τοῦ ### book 62.30 η συμμέτρων ὄντων διὰ τὸ καὶ ἐκ πλευρῶν συμμέτρων ### book 62.1 ἀναγεγράφθαι εὑρήσεις τὰς πλευράς, διότι λόγον ἔχουσιν, ### book 62.2 ὃν ἀριθμὸς τετράγωνος πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. ὡς γὰρ ### book 62.3 ὁ θ πρὸς τὸν δ, οὕτως ὁ ιη πρὸς τὸν η. λαβὼν δὲ τὰς πλευ‐ ### book 62.4 ρὰς τοῦ θ καὶ δ ἰσάκις τέμνω τῶν ἐκκειμένων τετραγώνων ### book 62.35.1 τὰς πλευρὰς καὶ ἔχω τὴν συμμετρίαν· ὡς γὰρ τὰ τετρά‐ ### book 62.35.2 γωνα πρὸς τὰ τετράγωνα, οὕτως αἱ πλευραὶ πρὸς τὰς πλευ‐ ### book 62.35.3 ράς. ### book 63.1 Τὰ ἀπὸ τῶν μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τετράγωνα ### book 63.2 πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς ### book 63.3 τετράγωνον· οὐ μάτην ἡ τοῦ τετραγώνου ἀριθμοῦ γεγέ‐ ### book 63.4 νηται μνήμη. εἰ γὰρ εἴρηκε μόνως ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθ‐ ### book 63.5.1 μόν, ἐπλεόναζεν ἂν ὁ ὅρος· τὰ γὰρ διπλασίονα λόγον ἔχοντα ### book 63.5.2 τετράγωνα πρὸς ἄλληλα συμμέτρους ἔδει τὰς πλευρὰς ### book 63.5.3 ἔχειν· οὐκ ἔχουσι δέ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς ### book 63.5.4 πλευρᾶς. ### book 64.1 Ἰστέον, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν μήκει συμμέτρων εὐθειῶν ### book 64.2 τετράγωνα λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετρά‐ ### book 64.3 γωνον ἀριθμόν, οὐ μὴν καὶ ἀντιστρέφει, ἵνα, ἐὰν τὰ τετρά‐ ### book 64.4 γωνα λόγον ἔχῃ, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ### book 64.5.1 ἀριθμόν, καὶ τὰς δυναμένας εὐθείας τὰ τετράγωνα μήκει ### book 64.5.2 συμμέτρους εἶναι. ὁ γὰρ ιη πρὸς τὸν η λόγον ἔχει τετραγω‐ ### book 64.5.3 νικὸν διπλασιεπιτέταρτον, ὃν ὁ θ τετράγωνος πρὸς τὸν δ ### book 64.5.4 τετράγωνον, καὶ ὅμως ἡ πλευρὰ τοῦ η οὐκ ἔστι σύμ‐ ### book 64.5.5 μετρος μήκει τῇ τοῦ ιη πλευρᾷ· ἔστι δὲ τοῦ μὲν ἡ πλευρὰ ### book 64.10 β μθ μβ, τοῦ δὲ ιη δ ιδ λγ. ### book 65.1 Οἷον ἐπὶ ὑποδείγματος ἔστωσαν σύμμετροι εὐθεῖαι ### book 65.2 ἔχουσαι σπιθαμὰς ϛ καὶ δ· καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα ### book 65.3 τὰ λϛ καὶ τὰ ιϛ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ### book 65 ἀριθμὸς ὁ θ πρὸς τετράγωνον τὸν δ· ἔχει γὰρ λόγον ὁ θ ### book 65.5.1 ἀριθμὸς πρὸς τὸν δ διπλασιεπιτέταρτον, καθὼς καὶ ὁ λϛ ### book 65.5.2 πρὸς τὸν ιϛ· ### book 66.1 Τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς ἕτερον τετράγωνον ἀριθμὸν ### book 66.2 λόγον ἔχειν λέγεται, ὅταν αἱ πλευραὶ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας ### book 66.3 πολλαπλασιαζόμεναι ποιῶσιν ἕτερον ἀριθμὸν μέσον ἀνά‐ ### book 66.4 λογον, οἷον τοῦ ιϛ καὶ τοῦ λϛ πλευραὶ τετραγωνικαὶ δ καὶ ### book 66.5.1 ϛ, ὧν πρὸς ἀλλήλας πολλαπλασιαζομένων γίνεται κδ μέ‐ ### book 66.5.2 σος ἀνάλογος τοῦ ιϛ καὶ τοῦ λϛ. ὁ γὰρ λϛ πρὸς τὸν κδ ἔχει ### book 66.5.3 λόγον ἡμιόλιον, καὶ ὁ κδ πρὸς ιϛ ἔχει λόγον ἡμιόλιον. αἱ ### book 66.5.4 μὲν οὖν πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας εἶχον λόγον ἡμιόλιον, ὁ δὲ λϛ ### book 66.5.5 καὶ κδ καὶ ιϛ ἔχουσι λόγον β ἡμιόλιον. ### book 67.1 Ἔστω ἡ Α τετράπους, ἡ Β ἑξάπους καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν ### book 67.2 τετράγωνα ἡ ἑκκαιδεκάπους καὶ ἡ λϛ ποδῶν. ὅτι μὲν οὖν ### book 67.3 ἡ τετράπους τῇ ἑξάποδι σύμμετρός ἐστι μήκει, δῆλον· ### book 67.4 ἀλλὰ καὶ τὰ λϛ ὅτι πρὸς τὰ ιϛ λόγον ἔχει, ὃν ὁ θ ὁ τετράγω‐ ### book 67.5.1 νος πρὸς τὸν δ τὸν τετράγωνον, οὐκ ἄδηλον· διπλασιεπι‐ ### book 67.5.2 τέταρτοι γὰρ οἱ λόγοι καὶ οὗτοι κἀκεῖνοι. ### book 68.1 Προσυπακουστέον· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α ἄρα πρὸς τὸ ### book 68.2 ἀπὸ τῆς Β διπλάσιον λόγον ἔχει τοῦ λόγου, ὃν ἔχει ὁ Γ ### book 68.3 πρὸς τὸν Δ· οἱ δὲ τῷ αὐτῷ λόγοι οἱ αὐτοὶ καὶ ἀλλήλοις ### book 68.4 εἰσὶν οἱ αὐτοί. ### book 69.1 Διὰ πόρισμα τοῦ κʹ τοῦ ϛʹ καὶ τὸ ἀπὸ τοῦ Α πρὸς τὸ ### book 69.2 ἀπὸ τοῦ Β διπλάσιον λόγον ἔχει τοῦ λόγου, ὃν ἔχει ὁ Γ ### book 69.3 πρὸς τὸ Δ. ### book 70 ἀλλὰ τοῦ μὲν τῆς Α πρὸς τὴν Β λόγου p. 13, 16. 17] ### book 70.1 ἤγουν τοῦ διπλασίου λόγου, ὃν ἔχει ὁ ιϛ πρὸς τὸν η, διπλά‐ ### book 70.2 σιός ἐστιν ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς Α τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β ### book 70.3 τετράγωνον. ὁ γὰρ σνϛ πρὸς τὸν ξδ τετραπλάσιός ἐστι καὶ ### book 70.5.1 ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν Β ἤτοι ὁ ιϛ πρὸς τὸν ### book 70.5.2 η δίς· δὶς γὰρ τὸ διπλάσιον τετραπλάσιον. ὥστε τοῦ ### book 70.5.3 λόγου, ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν Β ὁ ιϛ πρὸς τὸν η, διπλάσιος ὁ ### book 70.5.4 τοῦ ἀπὸ τῆς Α τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον ### book 70.5.5 ἤτοι διπλάσιος ἤτοι δὶς δίς, ὅπερ ἐδήλωσεν εἰπών· τὰ γὰρ ### book 70.10.1 ὅμοια σχήματα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων ### book 70.10.2 πλευρῶν, ὅπερ ἐδείχθη ἐν τῷ ιαʹ θεωρήματι τοῦ ϛʹ βι‐ ### book 70.10.3 βλίου. ### book 71.1 πρὸς τὴν Β λόγου p. 13, 16. 17] καὶ ὁ ἄρα ἀπὸ τῆς ### book 71.2 Γ λέγω πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ Δ τετράγωνον λόγος διπλασίων ### book 71.3 ἐστὶ τοῦ τῆς Α πρὸς τὴν Β λόγου· τὰ γὰρ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ ### book 71.4 τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· οἱ γὰρ λόγοι καὶ ταὐτὸν καὶ ἴσοι. ### book 72.1 Δύναται τὸ λεγόμενον καὶ τοιοῦτον εἶναι· αἱ δυνάμει ### book 72.2 σύμμετροι, εἰ μὲν ἔχουσι λόγον, ὃν τετράγωνος πρὸς τετρά‐ ### book 72.3 γωνον ἀριθμόν, ἔσονται καὶ μήκει σύμμετροι, εἰ δὲ μὴ ### book 72.4 ἔχουσι, δυνάμει μὲν ἔσονται σύμμετροι, μήκει δὲ οὔ. ### book 73.1 Οἷον ὁ ε καὶ ὁ ζ μήκει ὄντες σύμμετροί εἰσι καὶ δυνά‐ ### book 73.2 μει· τὰ γὰρ κε καὶ μθ οὐ κοινῷ μέτρῳ μετροῦνται. ### book 74.1 Οἷον ὁ ιβ καὶ ὁ ιϛ μήκει σύμμετροί εἰσιν, ἀλλὰ καὶ ### book 74.2 δυνάμει· τὰ γὰρ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα τὰ ρμδ καὶ σνϛ τῷ ### book 74.3 αὐτῷ χωρίῳ τῷ δ μετροῦνται. ### book 75 Οἷον ὁ ε καὶ ὁ ιε δυνάμει σύμμετροί εἰσι· τὰ γὰρ ἀπ’ ### book 75.1 αὐτῶν τετράγωνα τὰ κε καὶ σκε τῷ αὐτῷ χωρίῳ μετρεῖται· ### book 75.2 μήκει δὲ ἀσύμμετροι ὁ ε καὶ ὁ ιε. οὐ γὰρ ἔχουσι λόγον, ὃν ### book 75.3 τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. τὰ γὰρ ### book 75.5.1 ιε τοῦ ε τριπλάσια, καὶ οὐχ εὑρίσκεται τετράγωνος ἀριθμὸς ### book 75.5.2 πρὸς τετράγωνον ἀριθμὸν τὸν αὐτὸν ἔχων λόγον. οἷον ὁ ιϛ ### book 75.5.3 καὶ ὁ λϛ ἀριθμοὶ λόγον ἔχουσιν, ὃν ὁ θ ἀριθμὸς πρὸς τὸν δ ### book 75.5.4 ἀριθμὸν τὸν διπλασιεπιτέταρτον. ### book 76.1 Οἷον ὁ κε καὶ σκε ἀριθμοὶ οὐκ ἔχουσι λόγον, ὃν ### book 76.2 τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἀλλ’ ἁπλῶς ### book 76.3 ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν. σύμμετροι οὖν εἰσι δυνάμει, ### book 76.4 οὐκέτι δὲ καὶ μήκει. αἱ γὰρ πλευραὶ αὐτῶν ὁ ε καὶ ὁ ιε οὐκ ### book 76.5.1 ἔχουσι λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ### book 76.5.2 ἀριθμόν. ### book 77.1 Ἄλλως. οἷον ὁ λ καὶ ὁ ξ. ὁ γὰρ ξ πρὸς τὸν λ λόγον ### book 77.2 οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθ‐ ### book 77.3 μόν, σύμμετροι δέ εἰσιν. αἱ δὲ εὐθεῖαι, ἀφ’ ὧν ἀνεγράφησαν, ### book 77.4 ἀσύμμετροί εἰσιν· τὰ γὰρ τετράγωνα ἄλογά εἰσιν. ὥστε ### book 77.5.1 οὖν αἱ μήκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει, αἱ δὲ δυνά‐ ### book 77.5.2 μει οὐ πάντως καὶ μήκει. ### book 78.1 εἰ μὴ καὶ λόγον ἔχοιεν p. 16, 11. 12] τὸ εἰ μὴ καὶ ### book 78.2 λόγον ἔχοιεν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ### book 78.3 ἀριθμόν, οὐ περὶ τῶν πλευρῶν εἴρηται, ἀλλὰ περὶ τῶν ### book 78.4 τετραγώνων· οὐ γὰρ ἀνάγκη τὰς μήκει συμμέτρους λόγον ### book 78.5.1 ἔχειν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον, ἀλλὰ μό‐ ### book 78.5.2 νον, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν. ἄλλο δὲ τὸ ὃν ἀριθμὸς πρὸς ### book 78.5.3 ἀριθμὸν καὶ ἄλλο τὸ ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετρά‐ ### book 78.5.4 γωνον ἀριθμόν· τὰ μὲν γὰρ ἔχοντα λόγον, ὃν τετράγωνος ### book 78.5.5 ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἐξ ἀνάγκης ἔχει καὶ ### book 78.10.1 ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, τὰ δὲ λόγον ἔχοντα, ὃν ἀριθμὸς ### book 78.10.2 πρὸς ἀριθμόν, οὐκ ἀνάγκη καὶ λόγον ἔχειν, ὃν τετράγωνος ### book 78.10.3 ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. ἐπὶ πλέον γὰρ ὁ ἀριθ‐ ### book 78.10.4 μὸς τοῦ τετραγώνου ἀριθμοῦ. ὥστε ἂν τὰ τετράγωνά τι‐ ### book 78.10.5 νων εὐθειῶν λόγον ἔχῃ, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετρά‐ ### book 78.15.1 γωνον, μήκει ἐξ ἀνάγκης ἔσονται σύμμετροι ἐκεῖναι αἱ ### book 78.15.2 εὐθεῖαι, οὐ μὴν ἀνάγκη καὶ ἐκείνας λόγον ἔχειν, ὃν τετρά‐ ### book 78.15.3 γωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον, ἀλλ’ ἐνδέχεται καὶ ἔχειν ### book 78.15.4 καὶ μὴ ἔχειν. ### book 79.1 Οἷον ε καὶ ζ μήκει οὖσαι ἀσύμμετροι εἰσὶ καὶ δυνά‐ ### book 79.2 μει· τὰ γὰρ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα τὰ κε καὶ μθ οὐ κοινῷ ### book 79.3 χωρίῳ μετροῦνται. ### book 80.1 Ἰστέον, ὅτι, ὅταν αἱ τῶν τετραγώνων πλευραὶ λόγον ### book 80.2 ἔχωσι πρὸς ἀλλήλους, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετρά‐ ### book 80.3 γωνον ἀριθμόν, τουτέστιν τὸν μήκει διπλασίονα, τότε καὶ ### book 80.4 ὁ τετράγωνος πρὸς τὸν τετράγωνον τετραπλάσιός ἐστιν, ### book 80.5.1 ὡς ἐπὶ τοῦ δ καὶ ιϛ καὶ θ καὶ λϛ. πλευρὰ γὰρ τοῦ δ ὁ β, τοῦ ### book 80.5.2 δὲ ιϛ ὁ δ καὶ τοῦ θ ὁ γ, τοῦ λϛ ὁ ϛ. εἰσὶν οὖν αἱ τοιαῦται ### book 80.5.3 πλευραὶ ἐν διπλασίονι λόγῳ, τουτέστιν ἐν τετραγώνου ### book 80.5.4 ἀριθμοῦ πρὸς τετράγωνον ἀριθμὸν λόγῳ, καὶ διὰ τοῦτο τὰ ### book 80.5.5 ἀπ’ αὐτῶν γεγονότα τετράγωνα χωρία ἐν τετραπλασίονι ### book 80.10.1 λόγῳ θεωροῦνται κατὰ τὸ ἀξίωμα τὸ λέγον, ὅτι τὰ μήκει ### book 80.10.2 διπλάσια δυνάμει εἰσὶν τετραπλάσια. ἂν δὲ ἡ πλευρὰ πρὸς ### book 80.10.3 τὴν πλευρὰν ἔχῃ μέν τινα λόγον, ἡμιόλιον τυχὸν ἢ ἐπίτριτον ### book 80.10.4 ἢ ἄλλον τινὰ τῶν ἐπιμορίων ἢ τῶν ἐπιμερῶν, τὰ μὲν ἀπ’ ### book 80.10.5 αὐτῶν γεγονότα τετράγωνα λόγον ἔχουσι πρὸς ἄλληλα, ὃν ### book 80.15.1 τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐ μὴν δὲ ### book 80.15.2 τὸν τετραπλασίονα, ὡς ἐπὶ τοῦ θ καὶ τοῦ δ, ὧν αἱ πλευραὶ ### book 80.15.3 λόγον μὲν ἔχουσιν, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, οὐχ ὃν τετρά‐ ### book 80.1 γωνος πρὸς τετράγωνον· τὰ γὰρ δύο καὶ τρία, ἅπερ εἰσὶ ### book 80.2 πλευραὶ τοῦ δ καὶ τοῦ θ, τὸν ἡμιόλιον ἔχουσι λόγον· διὸ ### book 80.20.1 καὶ οὐ δύναται εἶναι ὁ θ τοῦ δ τετραπλάσιος, ὡς ὁ ιϛ τοῦ ### book 80.20.2 δ καὶ ὁ λϛ τοῦ θ. ### book 81.1 Οἷον ὅμοιοι ἐπίπεδοί εἰσιν ὁ ν καὶ ὁ ω· ἀνάλογον γὰρ ### book 81.2 ἔχουσι τὰς πλευράς. ὡς γὰρ ὁ ι πρὸς τὸν ε, οὕτως ὁ μ πρὸς ### book 81.3 τὸν κ. καὶ ἔχουσι λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς ὁ ξδ πρὸς ### book 81.4 τετράγωνον ἀριθμὸν τὸν δ· ἑκκαιδεκαπλάσιος γάρ ἐστιν ὁ ### book 81.5 ξδ τοῦ δ καὶ ὁ ω τοῦ ν. ### book 82.1 Ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοί εἰσιν οἱ ἀνάλογον ἔχοντες ### book 82.2 τοὺς ἀριθμούς, οἷον ὁ η καὶ ὁ ιη· τοῦ γὰρ η πλευραί εἰσιν ### book 82.3 ὁ β καὶ ὁ δ, τοῦ δὲ ιη ὁ γ καὶ ὁ ϛ. ὁμόλογοι οὖν εἰσιν αὐτῶν ### book 82.4 αἱ πλευραί· ἡμιόλιον γὰρ λόγον ἔχουσιν. οὗτοι γὰρ οἱ ἀριθ‐ ### book 82.5.1 μοὶ ὁ η καὶ ὁ ιη λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς ὁ δ ### book 82.5.2 πρὸς τετράγωνον ἀριθμὸν τὸν θ διπλασιεπιτέταρτον. ### book 83.1 Τοῦτο ἀντίστροφόν ἐστι τοῦ κηʹ τοῦ ηʹ καὶ δείκνυται ### book 83.2 διὰ τοῦ ιηʹ τοῦ ηʹ καὶ διὰ τοῦ ηʹ τοῦ ηʹ. ### book 84.1 Εἴ τις λέγοι, πόθεν δῆλον, ὅτι ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, ### book 84.2 οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β, φήσομεν οὕτως· ### book 84.1 κείσθωσαν αἱ Α, Β εὐθεῖαι ὥστε εἶναι ἐπ’ εὐθείας, καὶ ### book 84.2 ἔστωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΒ τε‐ ### book 84.5.1 τράγωνον τὸ ΑΔ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΖ παραλλη‐ ### book 84.5.2 λόγραμμον. καὶ ἐπεὶ τὸ ΒΖ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐστιν ### book 84.5.3 (ἴση γὰρ ἡ ΒΔ τῇ ΑΒ) καί ἐστι [Omitted graphic marker] ### book 84.5.4 κοινὸν ὕψος τῶν ΑΔ, ΒΖ ἡ ΒΔ, ### book 84.5.5 ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ### book 84.10.1 ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς ### book 84.10.2 τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ὡς καὶ ### book 84.10.3 αὐτὸς διὰ λήμματος ἐν τῷ καʹ ### book 84.10.4 δείξει. ### book 85.1 Διὰ γὰρ τούτου τοῦ θεωρήματος δείκνυται, ὅτι, ἐὰν ### book 85.2 ὦσι δύο εὐθεῖαι, ἔστιν ὡς ἡ ἑτέρα τούτων πρὸς τὴν λοιπήν, ### book 85.3 οὕτω τὸ ἀπ’ ἐκείνης τετράγωνον πρὸς τὸ ὑπὸ ταύτης καὶ ### book 85.4 τῆς λοιπῆς ὀρθογώνιον· ἄμφω γὰρ παραλληλόγραμμα καὶ ### book 85.5.1 ἰσογώνια, καὶ ὁ τῶν πλευρῶν λόγος συντιθέμενος μένει ὁ ### book 85.5.2 αὐτὸς τῷ ἐξ ἀρχῆς λόγῳ διὰ τὸ ἐπί τε τοῦ τετραγώνου ### book 85.5.3 εἰλῆφθαι τὴν αὐτὴν πλευρὰν δὶς καὶ ἐπὶ τῶν ὀρθογωνίων ### book 85.5.4 ἅπαξ τὴν αὐτήν, οἷον ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι ἡ Α πηχῶν δ ### book 85.5.5 καὶ ἡ Β πήχεων β. τὸ ἀπὸ τῆς Α τετράγωνον ἰσογώνιον ὂν ### book 85.10.1 τῷ ὑπὸ τῶν Α, Β παραλληλογράμμῳ λόγον ἔχει πρὸς ### book 85.10.2 ἐκεῖνο τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν. ὁ δὲ συγκείμενος ### book 85.10.3 ἐκ τῶν λόγων τῶν δ πρὸς δ καὶ δ πρὸς β λόγος ἐστὶν ὁ ἐξ ### book 85.10.4 ἀρχῆς τοῦ δ πρὸς β. ### book 85.10.5 Ὅτι τὰ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα λόγον ἔχει τὸν συγ‐ ### book 85.15 κείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν κγʹ τοῦ ϛʹ. ### book 86.1 Ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ὑπὸ ### book 86.2 τῶν Α, Β, οὕτως ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἀλλ’ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, ### book 86.1 οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, καὶ ὡς ἄρα ### book 86.2 τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν Α, ### book 86.5.1 Β πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β. οἱ γὰρ τῷ αὐτῷ λόγοι οἱ αὐτοὶ καὶ ### book 86.5.2 ἀλλήλοις εἰσὶν οἱ αὐτοί. ### book 87.1 Προγραφόμενον εἰς τὸ ιʹ θεώρημα. ### book 87.2 Δύο δοθέντων ἀριθμῶν καὶ εὐθείας ποιῆσαι ὡς τὸν ### book 87.3 ἀριθμὸν πρὸς τὸν ἀριθμόν, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς εὐθείας ### book 87.4 τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπ’ ἄλλης εὐθείας τετράγωνον. ### book 87.5.1 ἔστωσαν οἱ μὲν δοθέντες δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, ἡ δὲ δοθεῖσα ### book 87.5.2 εὐθεῖα ἡ Γ. δεῖ δὴ προσευρεῖν εὐθεῖαν ἑτέραν, ὥστε τὸ ### book 87.5.3 ἀπὸ τῆς Γ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἑτέρας εὐθείας ### book 87.5.4 τετράγωνον λόγον ἔχειν, ὃν ἀριθμὸς ὁ πρῶτος πρὸς ἀριθ‐ ### book 87.5.5 μὸν τὸν δεύτερον. ὅσαι γάρ εἰσιν ἐν τῷ Α μονάδες, εἰς ### book 87.10.1 τοσαύτας ἴσας διῃρήσθω εὐθείας ἡ Γ, καὶ μία αὐτῶν ἔστω ### book 87.10.2 ἡ Δ, ὅσαι δέ εἰσιν ἐν τῷ Β μονάδες, ἐκ τοσούτων ἴσων τῇ ### book 87.10.3 Δ συγκείσθω ἡ Ε. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Α, ἡ Δ ### book 87.10.4 πρὸς τὴν Γ. ἀνάπαλιν ἄρα, ὡς ὁ Α πρὸς τὴν μονάδα, οὕτως ### book 87.10.5 ἡ Γ πρὸς τὴν Δ. ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ μονὰς πρὸς τὸν Β, ἡ Δ ### book 87.15.1 πρὸς τὴν Ε. δι’ ἴσου ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ἡ Γ εὐθεῖα ### book 87.15.2 πρὸς τὴν Ε. εἰλήφθω οὖν τῶν Γ, Ε εὐθειῶν μέση ἀνάλο‐ ### book 87.15.3 γον ἡ Ζ. ἔσται ἄρα ὡς ἡ Γ πρὸς τὴν Ε, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Γ ### book 87.15.4 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ζ. ὡς γὰρ ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, ### book 87 οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας ### book 87.20.1 τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον. ὡς δὲ ἡ Γ πρὸς τὴν ### book 87.20.2 Ε, οὕτως ὁ Α πρὸς Β· καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς Β, οὕτως τὸ ### book 87.20.3 ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ζ. αἱ ἄρα Γ, Ζ εἰσιν αἱ ζητού‐ ### book 87.20.4 μεναι εὐθεῖαι· προσηύρηται γὰρ ἡ Ζ. ### book 88.1 Ἄλλο προγραφόμενον εἰς τὸ αὐτό. ### book 88.2 Εὑρεῖν δύο μὴ ὁμοίους ἀριθμοὺς ἐπιπέδους, τουτέστιν ### book 88.3 ὅπως πρὸς ἀλλήλους λόγον μὴ ἔχωσιν, ὃν τετράγωνος ### book 88.4 ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. ἐκκείσθωσαν τέσσαρες ### book 88.5.1 ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὥστε μὴ εἶναι ὡς τὸν Α πρὸς τὸν Γ, ### book 88.5.2 οὕτως τὸν Β πρὸς τὸν Δ, καὶ γεγονέτω ἐκ μὲν τῶν Α, Β ὁ ### book 88.5.3 Ε, ἐκ δὲ τῶν Γ, Δ ὁ Ζ. φανερὸν δή, ὅτι οἱ Ε, Ζ ἀριθμοὶ ### book 88.5.4 ἐπίπεδοί εἰσιν, ἐπίπεδοι δὲ ἀνόμοιοι, ἐπειδήπερ αἱ πλευραὶ ### book 88.5.5 αὐτῶν οὐκ εἰσὶν ἀνάλογον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 89.1 Τὸ ἀσύμμετρον διχῶς κατὰ θάτερον, κατ’ ἄμφω καὶ ### book 89.2 θάτερον, οὐκ ἀφωρισμένως μήκει μόνον. ἀμήχανον γὰρ τὰς ### book 89.3 δυνάμει ἀσυμμέτρους εὐθείας αὐτάς ποτε φανῆναι συμ‐ ### book 89.4 μέτρους. ### book 90.1 Οἷον ἔστωσαν μὴ ὅμοιοι ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ ὁ ιε καὶ ### book 90.2 ὁ ε, ἡ δὲ προτεθεῖσα εὐθεῖα ἡ ιη. λέγει δὲ τὸ θεώρημα, ὅτι· ### book 90.3 γεγονέτω ὡς ὁ ιε πρὸς τὸν ε, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς προτεθεί‐ ### book 90.4 σης τῆς ιη πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ϛ· ἐμάθομεν γὰρ διὰ τοῦ ### book 90.5.1 πορίσματος τοῦ ϛʹ τοῦ ιʹ. ἐπεὶ ὁ ιε πρὸς τὸν ε τριπλάσιός ### book 90.5.2 ἐστι, καὶ οὕτως θέλομεν ποιῆσαι τὸ ἀπὸ τῆς προτεθείσης ### book 90.5.3 τῆς ιη πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ϛ, εἰλήφθω τρίτος ἀνάλογος ἡ Β. ### book 90.5.4 καί ἐστιν ὁ μὲν ἀπὸ τῆς ιη τκδ, ὁ δὲ ἀπὸ τῆς ϛ λϛ. καὶ λέγω ### book 90 ὡς ὁ ιε πρὸς ε, οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ ιη πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ϛ· τρὶς ### book 90.10.1 γὰρ τὸν αὐτὸν ἤγουν τὸν τρόπον τοῦ ὃν ἔχει ἡ προτεθεῖσα ### book 90.10.2 εὐθεῖα ἡ ιη πρὸς ϛ, τουτέστιν ἐννεαπλασίων. ### book 91.1 Ἔστω ἡ Α μονάδων ϛ, τὸ ἀπὸ ταύτης λϛ. ἔστω ἡ Δ ### book 91.2 μήκει ἡ πλευρὰ τοῦ κζ ἤτοι ε ια καὶ τὰ λοιπά. τὰ οὖν λϛ, ἅπερ ### book 91.3 εἰσὶν ἀπὸ τῆς Α ἤτοι τῶν ϛ, σύμμετρά εἰσι τῷ κζ ἀριθμῷ, ### book 91.4 ἀλλ’ οὐκ ἔχει λόγον ὁ λϛ πρὸς τὸν κζ, ὃν τετράγωνος ἀριθ‐ ### book 91.5.1 μὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ Α ### book 91.5.2 τῇ Δ μήκει. τὰ γὰρ ϛ πρὸς τὰ ε ια καὶ τὰ λοιπὰ ἀσύμ‐ ### book 91.5.3 μετρά ἐστι. μέση ἐστὶν ἡ Ε, πῶς δὲ γίνεται ἡ μέση; τὴν ### book 91.5.4 πλευρὰν τοῦ κζ τὰ ε ια μϛ ν πολλαπλασίασον μετὰ τοῦ ### book 91.5.5 ϛ ἤτοι τοῦ μήκους τῆς Α καὶ ἀναβίβασον τὰ ξ λεπτὰ καὶ ### book 91.10.1 ἀναβίβασον τὸ ἀπὸ τῆς μέσης τετράγωνον ἤτοι λα ι καὶ ### book 91.10.2 τὰ ἑξῆς. ταῦτα ἀνάλυσον καὶ ποίησον λεπτὰ καὶ εἰπὲ γίνε‐ ### book 91.10.3 ται οὐ γίνεται καὶ ἐκβαλοῦ, καὶ τὸ γινόμενον ἔσται ἡ τού‐ ### book 91.10.4 των πλευρὰ ἤτοι ٥ ٣٥ ١ καὶ τὰ ἑξῆς. ### book 92.1 τουτέστι μὴ ὅμοιοι ἐπίπεδοι p. 18, 3] διὰ τὸ λῆμμα ### book 92.2 τοῦ θʹ τοῦ ιʹ. οἱ γὰρ ὅμοιοι ἐπίπεδοι πρὸς ἀλλήλους λόγον ### book 92.3 ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. ### book 93.1 Ὥσπερ αἱ ἓξ μονάδες εἰσὶν ἡ εὐθεῖα ἡ Α, ὁ δὲ λϛ ### book 93.2 τὸ ἀπὸ τῶν ϛ μονάδων ἤ, εἰ βούλει, τὸ ἀπὸ τῆς Α εὐθείας ### book 93.3 ἀναγραφόμενον τετράγωνον, οὕτως τὰ ε ια μϛ ἐστιν ἡ Δ ### book 93.4 εὐθεῖα, ὁ δὲ κζ τὸ ἀπὸ τῆς Δ ἀναγραφόμενον τετράγωνον. ### book 93.5.1 καί ἐστιν ὁ μὲν λϛ τῷ κζ σύμμετρος· κοινὸν γὰρ αὐτῶν ### book 93.5.2 μέτρον ὁ γ· τρὶς γὰρ ιβ λϛ καὶ τρὶς θ κζ. ἡ δὲ Α τῇ Δ ### book 93.5.3 ἀσύμμετρος, ὡς μαθησόμεθα ἐφεξῆς. ὅτι δὲ ὡς ἀπὸ πλευ‐ ### book 93.5.4 ρᾶς τῆς ε ια μϛ γέγονεν ὁ κζ, μάθοις ἂν οὕτως· τετραγώνι‐ ### book 93 σον τὸν κζ, εἶτα λαβὲ τὴν πλευρὰν τοῦ γεγονότος τετραγώ‐ ### book 93.10.1 νου ἀπὸ τοῦ κζ, εἶτα ἀναβίβασον αὐτὴν καὶ εὑρήσεις οὐδένα ### book 93.10.2 ἄλλον ἢ τὸν ε ια μϛ. εἰσὶν οὖν τετράγωνοι ἀριθμοὶ ἢ τετρά‐ ### book 93.10.3 γωνα σχήματα ὅ τε λϛ καὶ ὁ κζ, πλευρὰ δὲ τοῦ μὲν λϛ ὁ ϛ, ### book 93.10.4 τοῦ δὲ κζ τὰ ε ια μϛ. καὶ ἐπεί, ὡς δέδεικται, τῶν συμ‐ ### book 93.10.5 μέτρων μήκει εὐθειῶν ἤ, εἰ βούλει, πλευρῶν τὰ τετράγωνα ### book 93.15.1 λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ### book 93.15.2 ἀριθμόν, ὁ δὲ λϛ πρὸς τὸν κζ οὐκ ἔχει λόγον, ὃν τετράγω‐ ### book 93.15.3 νος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, οὐδὲ ἡ Α ἡ ϛ σύμ‐ ### book 93.15.4 μετρός ἐστι μήκει τῇ Δ εὐθείᾳ τῇ ε ια μϛ. ἀλλὰ πῶς οὐκ ### book 93.15.5 ἔχει ὁ λϛ πρὸς τὸν κζ λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς ### book 93.20.1 τετράγωνον ἀριθμὸν τετραγώνων ἀμφοτέρων ὄντων καὶ ### book 93.20.2 τοῦ λϛ καὶ τοῦ κζ; ἢ οὐ ταὐτόν ἐστι τὸ τὰ τετράγωνα λό‐ ### book 93.20.3 γον ἔχειν πρὸς ἄλληλα, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς ### book 93.20.4 τετράγωνον ἀριθμόν, τῷ τετραγώνους ἀμφοτέρους εἶναι; ### book 93.20.5 ἀλλὰ τότε λέγονται ἔχειν λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς ### book 93.25.1 πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ὅταν ἔχῃ ὁ τετράγωνος πρὸς ### book 93.25.2 τὸν τετράγωνον ἢ λόγον τετραπλάσιον, ὡς ὁ ιϛ πρὸς τὸν δ, ### book 93.25.3 ἢ ἐπιδιπλασιεπιτέταρτον, ὡς ὁ θ πρὸς τὸν δ, ἢ ἑκκαιδεκα‐ ### book 93.25.4 πλάσιον, ὡς ὁ ξδ πρὸς τὸν δ. ὁ δὲ λϛ πρὸς τὸν κζ τὸν ἐπί‐ ### book 93.25.5 τριτον ἔχει λόγον· ἔχει γὰρ ὁ λϛ τὸν κζ καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ ### book 93.30.1 τὸν θ. οὐ πᾶς οὖν ἐν ἀριθμοῖς, οἷον ἐν ἐπιτρίτοις ἢ ἡμιο‐ ### book 93.30.2 λίοις, λόγος τετραγώνων ἂν ἀριθμῶν γένοιτο λόγος· οὔτε ### book 93.30.3 γὰρ ὁ διπλάσιος οὔτε ὁ ἐπίτριτος, ὡς εἴρηται, ἀλλ’ ὁ ### book 93.30.4 τετραπλάσιος καὶ οἱ ἄλλοι οἱ εἰρημένοι. καὶ ἡ μὲν Α καὶ Δ ### book 93.30.5 οὕτως εἰσὶν ἀσύμμετροι μήκει. ἡ δὲ Ε γίνεται μέση ### book 93.35 οὕτως· τὴν πλευρὰν τοῦ κζ τὰ ε ια μϛ ποίησον μετὰ τοῦ ϛ ### book 93.1 ἤτοι τὸ μῆκος τῆς Α. τὰ δὴ οὖν ε ια μϛ πολλαπλασίασον ### book 93.2 μετὰ τοῦ ϛ, καὶ γίνονται μονάδες λ λεπτὰ πρῶτα ξϛ καὶ ### book 93.3 δεύτερα σοϛ. καὶ ὅρα ταῦτα, πῶς κεῖνται ٣٠ ٦٦ ٢٧٦ ταῦτα ### book 93.4 ἀναβίβασον, καὶ γίνονται λα ι λϛ, ἅτινα λα ι λϛ ἐστιν ὁ ἀπὸ ### book 93.40.1 τῆς μέσης τετράγωνος. τούτων τῶν λα ι λϛ ἤτοι τοῦ ἀπὸ ### book 93.40.2 τῆς μέσης τετραγώνου λαβὲ τὴν πλευράν, ἥτις ἐστὶ ε λε ι, ### book 93.40.3 ἅτινα ε λε ι ἐστιν ἡ μέση, καὶ τετράγωνος ὁ ἀπ’ αὐτῆς ἐστι ### book 93.40.4 τὰ εἰρημένα λα ι λϛ. εἰ δὲ βούλει, ἔστω ἡ Α ε ιζ κθ, καὶ ὁ ### book 93.40.5 τετράγωνος ὁ ἀπ’ αὐτῆς ὁ κη. εἰ γὰρ τὸν κη ἀναλύσεις εἰς ### book 93.45.1 λεπτὰ καὶ ἐκβαλεῖς τὴν πλευράν, καθὼς εἴωθεν ἡ ἄλογος ### book 93.45.2 λαμβάνεσθαι πλευρά, οὐδεὶς ἄλλος εὑρεθήσεται, εἰ μὴ ὁ ε ### book 93.45.3 ιζ κθ. ἔστω οὖν ἡ προτεθεῖσα εὐθεῖα ἡ Α, ἥτις καὶ πλευρά ### book 93.45.4 ἐστι τοῦ κη, ἔστω οὖν ἡ Α ε ιζ κθ, ἡ δὲ Β ἔστω μονάδων ### book 93.45.5 γ κζ ν, ὁ δὲ ἀπὸ τῶν γ κζ ν τετράγωνος ὁ ιβ. πάλιν γὰρ εἰ ### book 93.1 λάβωμεν τὴν πλευρὰν τοῦ ιβ, ὡς πεφύκασιν αἱ ἄλογοι ### book 93.2 πλευραὶ λαμβάνεσθαι, ὁ γ κζ ν εὑρεθήσεται. ἔστιν οὖν ἡ Α ### book 93.3 ἡ ε ιζ κθ ἀσύμμετρος μήκει τῇ Β τῇ οὔσῃ γ κζ ν δυνάμει ### book 93.4 οὖσαι σύμμετροι. ἃ γὰρ δύνανται τετράγωνα, ὁ κη καὶ ὁ ιβ, ### book 93.5 σύμμετρά ἐστι. μέση δὲ ἡ Ε ἔστω μονάδων δ ιϛ νε, ὁ δὲ ### book 93.55.1 ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνος μονάδων ιη ιθ μη, ἥτις Ε ἀσύμ‐ ### book 93.55.2 μετρός ἐστι καὶ μήκει καὶ δυνάμει τῇ Α. ἡ δὲ μέθοδός ἐστι ### book 93.55.3 τῆς εὑρέσεως, ἥτις ἦν καὶ ἐπὶ τῶν προειρημένων ἀριθμῶν ### book 93.55.4 τοῦ ϛ, τοῦ ε ια μϛ καὶ τοῦ ε λε ι· τοῦ δὲ λα ι λϛ, ὅστις ἦν ὁ ### book 93.55.5 ἀπὸ τῆς μέσης τετράγωνος, ἡ πλευρὰ εὑρίσκεται ὡς καὶ ### book 93.60.1 αἱ λοιπαὶ ἄλογοι. θετέον γὰρ αὐτὸν ὡδί· ٣١٠. εἶτα ῥητέον· ### book 93.60.2 ἑξάκις γ ἑξάκις α· καὶ γίνονται ταῦτα ١٨٦٠ τούτοις προσ‐ ### book 93.60.3 θετέον τὰ ι, καὶ πάλιν ἕτερον οὐδέν· εἶτα ῥητέον ϛʹ α, ### book 93.60.4 ἑξάκις η, ἑξάκις ζ· καὶ γίνονται ταῦτα ١١٢٢٠٠. τούτοις ### book 93.60.5 προσθετέον τὰ λϛ· καὶ γίνονται ١١٢٢٣٦. τούτων ἐκβλη‐ ### book 93.65.1 τέον τὴν πλευράν. εἶτα ἀναβιβαστέον τὰ λεπτά, καὶ τὰ ### book 93.65.2 εὑρεθέντα ἐκ τοῦ ἀναβιβασμοῦ ἐστιν ἡ μέση ε λε. εἰ δὲ ### book 93.65.3 λείπει τὰ ι, θαυμαστὸν οὐδέν· μοῖραι γὰρ καὶ πρῶτα λεπτὰ ### book 93.65.4 ἀρκοῦσιν. εἰ δὲ ποιήσῃς τοὺς τετραγώνους μὴ εἰς τέταρτα ### book 93.65.5 λεπτά, ἀλλ’ εἰς ἕκτα, καὶ λάβῃς τὴν πλευράν, εἶτα ἀνα‐ ### book 93.70.1 βιβάσῃς τὰ λεπτά, εὑρήσεις καὶ δεύτερα λεπτὰ καὶ τρίτα, ### book 93.70.2 οἷον εἰ ἀναλυθῇ ὁ κζ μὴ τετράκις εἰς λεπτά, ἀλλ’ ἑξάκις ### book 93.70.3 ἢ δεκάκις, εὑρεθήσονται καὶ τέταρτα λεπτά. ### book 94.1 Ἰστέον, ὅτι χωρία ῥητά ἐστι τὰ ἀπὸ ἀριθμῶν τινων ### book 94.2 παρονομαζόμενα εἴτε τετραγώνων εἴτε ἑτερομηκῶν, οἷον ### book 94.3 τὸ τετράπουν καὶ ἐννεάπουν ῥητὰ ἀπὸ τετραγώνων παρωνο‐ ### book 94.4 μασμένα τοῦ δ καὶ θ, τὸ δὲ ὀκτάπουν καὶ ὀκτωκαιδεκάπουν ### book 94.5.1 ῥητὰ ἀπὸ ἑτερομηκῶν τοῦ ι καὶ η καὶ ἀπὸ τοῦ η. ὡσαύτως ### book 94.5.2 καὶ εὐθεῖαι ῥηταὶ αἱ ἀπὸ ἀριθμῶν παρονομασθεῖσαι κα‐ ### book 94.5.3 λοῦνται εἴτε τετραγώνων εἴτε οἱωνδή τινων, οἷον ἡ τρίπους, ### book 94.5.4 ἡ τετράπους, ἡ πεντάπους, ἡ ἑπτάπους ἅπασαι ῥηταί· ἐν ### book 94.5.5 ἀριθμῷ γὰρ ἅπαν ῥητόν. ὅσαι δὲ οὐκ ἀπό τινος ἀριθμοῦ ### book 94.10.1 παρονομάζονται ὡς ἡ πλευρὰ τοῦ ζ, τοῦ η, τοῦ ι ἄρρητοι ### book 94.10.2 καὶ ἄλογοι λέγονται, ὁμοίως καὶ χωρία. ῥητὰ δὲ πρὸς ### book 94.10.3 ἄλληλα καὶ ῥηταὶ πρὸς ἀλλήλας εὐθεῖαι λέγονται, ὅσα ### book 94.10.4 ἢ ὅσαι σύμμετροί εἰσιν. ### book 95 Ἔστιν ἄρα καὶ ἀσυμμέτρων λόγος. ὀρθῶς ἄρα ἐν τῷ ### book 95.1 ιεʹ ἐρρέθη, ὅτι πεντεκαιδεκάκις ὁ λόγος. ἐντεῦθεν δὲ καὶ ### book 95.2 κατ’ ἀναλογίαν συμμετρία καὶ ἀσυμμετρία. —αὐτὸς ### book 95.3 ἐκτίθεμαι τὰ ἀσύμμετρα οὐκ ἐκ τῶν φύσεων λαβών· ἔχω ### book 95.5 γὰρ τὴν γένεσιν αὐτῶν. ### book 96.1 Τοῦτο ἀπὸ τῆς ταυτότητος, οὐκ ἀντιστρέφει μέντοι· ### book 96.2 οὐ γὰρ τὰ ἀλλήλοις σύμμετρα καὶ τῷ αὐτῷ, ὥσπερ οὐδὲ ### book 96.3 τὰ ἀλλήλοις ἴσα, ἀλλ’ ἀνάπαλιν. ἐνδέχεται γὰρ καὶ ἀσύμ‐ ### book 96.4 μετρα εἶναι τῷ αὐτῷ καὶ σύμμετρα, ὃ δείξει τὸ ἑξῆς καὶ τὸ ### book 96.5 ἀντίστροφον αὐτῷ. ### book 97.1 Οἱ Δ, Ε, Ζ, Η ἤτοι ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν ### book 97.2 λόγον ἐχόντων αὐτοῖς ἢ οὔ. καὶ εἰ μὲν ἐλάχιστοί εἰσιν, ### book 97.3 προσκεχρήμεθα τῷ τετάρτῳ θεωρήματι τοῦ ηʹ βιβλίου· ### book 97.4 λέγει γάρ, ὅτι· λόγων δοθέντων ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς ### book 97.5.1 ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἐλαχίστους ἐν τοῖς δοθεῖσι λόγοις. εἰ ### book 97.5.2 δὲ μή εἰσιν ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, ### book 97.5.3 προσκεχρήμεθα τῷ λδʹ θεωρήματι τοῦ ζʹ βιβλίου, ὅτι· ### book 97.5.4 ἀριθμῶν δοθέντων ὁποσωνοῦν εὑρεῖν τοὺς ἐλαχίστους τῶν ### book 97.5.5 τοὺς αὐτοὺς λόγους ἐχόντων αὐτοῖς, καὶ οὕτως προβαίνειν ### book 97.10 τῷ θεωρήματι. ### book 98.1 Ἔστω ἡ Α κδ καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον φοϛ, ἡ Β ### book 98.2 η καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς ξδ, ἡ δὲ Ε ιϛ καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς σνϛ, ἡ δὲ ### book 98.3 Γ ϙ καὶ ἓξ καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς ἐννακισχίλια σιϛ, ἡ δὲ Δ λβ ### book 98.4 καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον ͵ακδ, ἡ δὲ Ζ ξδ καὶ τὸ ἀπ’ ### book 98.5 αὐτῆς τετρακισχίλια ϙϛ. ### book 99.1 Δῆλον, ὅτι ὡς ἓν τὸ Α, Β ἀναγραφέν, οἱονεὶ ὡς ἀπὸ ### book 99.2 μιᾶς τῆς Β, Γ τουτέστι τῆς Β καὶ τῆς Γ ὡς μιᾶς οὔσης καὶ ### book 99.3 ὡς ἀπὸ μιᾶς, ἀλλ’ οὐχ ὡς ἀπὸ δύο ἀναγραφέντα τὰ ἀπὸ ### book 99.4 τῶν Α, Β. εἰ γὰρ τὴν ιϛ καὶ τὴν η ὡς μίαν νοήσομεν, ἔσται ### book 99.5.1 εἴκοσι καὶ δ, τὸ δὲ ἀπὸ ταύτης ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς Α, διότι ### book 99.5.2 καὶ ἡ Α κδ κεῖται οὖσα. ### book 100.1 Ἐπεὶ ὑπόκειται ἡ Α τῆς Β μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ### book 100.2 τῆς Ε, συναμφότερα πάντως τὰ ἀπὸ τῶν Β, Ε ἴσα εἰσὶ τῷ ### book 100.3 ἀπὸ τῆς Α. ### book 101.1 Διὰ τὴν ὑπόθεσιν δῆλον ὅτι ὡς ἓν τὸ Ε, Β ἀναγρα‐ ### book 101.2 φέν. τὰ ἄρα ἀπὸ τῆς Β, Ε καὶ τὰ ἀπὸ τῆς Α ἴσα ὄντα πρὸς ### book 101.3 τὸ αὐτὸ τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον, ὡς ### book 101.4 δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, οὕτως καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ### book 101.5 Β, Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β. ### book 102.1 Ἔστω ἡ Α κ ἡ Β ιβ ἡ Γ ι ἡ Δ ϛ. δύναται ἡ Α τὰ υ, ### book 102.2 ἡ δὲ Β ρμδ, καί ἐστι μείζονα τὰ υ τῶν ρμδ τοῖς σνϛ, ἅτινα ### book 102.3 γίνονται ἀπὸ τῆς ιϛ πλευρᾶς συμμέτρου οὔσης τῇ κ. ὁμοίως ### book 102 ὁ ι δύναται τὰ ρ, ὁ δὲ ϛ τὰ λϛ. δύναται γοῦν τὰ ρ μείζω τῶν ### book 102.5.1 λϛ τῷ ξδ, ὧν πλευρὰ τὰ η σύμμετρα τοῖς ι. ἔστι γοῦν ἡ ### book 102.5.2 Ε ιϛ, ἡ δὲ Ζ η. πάλιν ἔστω ἡ Α η, ἡ δὲ Β ϛ, ἡ δὲ Γ δ, ### book 102.5.3 ἡ δὲ Δ γ. δύναται γοῦν τὸ ἀπὸ τῆς Α μεῖζον τοῦ ἀπὸ τῆς ### book 102.5.4 Β τῷ κη, οὗ πλευρά ἐστιν ε ιζ κθ, ἥτις ἐστὶν ἀσύμμετρος ### book 102.5.5 τῇ Α. πάλιν δύναται τὸ ἀπὸ τῆς Γ μεῖζον τοῦ ἀπὸ τῆς Δ ### book 102.10 τῷ ζ, οὗ πλευρά ἐστι β λη μδ, ἥτις ἀσύμμετρός ἐστι τῇ Γ. ### book 103.1 Ῥᾷον δέ σοι ἔσται καὶ δι’ ἀριθμῶν ῥητῶν, εἰ βούλει, ### book 103.2 ποιήσασθαι τὴν διδασκαλίαν. οἷον ἔστω ἡ ΑΒ μονάδων ιε, ### book 103.3 ἡ ΒΓ μονάδων ι· συντεθειμένα ταῦτα ποιήσουσι τὴν ὅλην ### book 103.4 εὐθεῖαν τὴν ΑΓ κε, μετρήσει δὲ ταύτην τὸ Δ μέγεθος ### book 103.5 ἤτοι τὸ πέντε. ### book 104.1 Οἷον εἰ τύχῃ εὐθεῖα ἡ ΑΒ ἔχουσα σπιθαμὰς ι, καὶ ### book 104.2 παραβληθῇ παρὰ τὴν ζ καὶ τὴν γ παραλληλόγραμμον οἷον ### book 104.3 τὸ κα ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τῷ θ, τὸ παραβληθὲν ### book 104.4 οἷον τὸ κα ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ἐκ τῆς παραβολῆς γε‐ ### book 104.5.1 νομένων τμημάτων τῆς εὐθείας τῆς ζ καὶ γ τουτέστι τῷ ### book 104.5.2 κα. ### book 105.1 Λῆμμα αʹ. ### book 105.2 Αἱ μήκει διπλάσιαι δυνάμει τετραπλάσιαί εἰσιν. ἔστω ἡ ### book 105.1 ΑΒ τῆς ΒΓ μήκει διπλασίων. λέγω, ὅτι δυνάμει τετρα‐ ### book 105.2 πλασίων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΓΒ. ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ### book 105.5.1 ΑΒ τετράγωνον, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. φανερὸν ### book 105.5.2 μὲν οὖν, ὅτι τὰ τέσσαρα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν. τὰ τέσσαρα ### book 105.5.3 ἄρα τοῦ ἑνὸς τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετρα‐ ### book 105.5.4 πλασίονά ἐστιν. καί εἰσι τῷ ἀπὸ τῆς [Omitted graphic marker] ### book 105.5.5 ΑΒ ἴσα. τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἄρα τοῦ ἀπὸ ### book 105.10.1 τῆς ΓΒ τετραπλάσιόν ἐστιν. καί ἐστι ### book 105.10.2 μήκει διπλασίων. αἱ μήκει ἄρα διπλά‐ ### book 105.10.3 σιαι δυνάμει τετραπλάσιαί εἰσιν. ### book 106.1 Λῆμμα βʹ. ### book 106.2 Ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τὸ δὲ τέταρτον τοῦ ἀπὸ τῆς ### book 106.3 ἐλάττονος παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἢ καὶ ἄλλο ἐλλεῖ‐ ### book 106.4 πον εἴδει τετραγώνῳ, τὸ παραβαλλόμενον ἴσον ἐστὶ τῷ ### book 106.5.1 ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς μείζονος. ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι ### book 106.5.2 ἄνισοι αἱ ΑΒ, Γ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΑΒ. τὸ δὲ τέταρτον ### book 106.5.3 τοῦ ἀπὸ τῆς Γ ἢ ἄλλο ὁποιονοῦν παρὰ τὴν ΑΒ παραβεβλή‐ ### book 106.5.4 σθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ. λέγω, ### book 106.5.5 ὅτι τὸ παραβαλλόμενον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ. ἀνα‐ ### book 106.10 γεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΔΒ τετράγωνον τὸ ΒΕ, καὶ κατα‐ ### book 106.1 γεγράφθω τὸ σχῆμα. ἐπεὶ τὸ ΒΕ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ, [Omitted graphic marker] ### book 106.2 λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΕ παραλληλόγραμμον ἴσον ἐστὶ τῷ τετάρ‐ ### book 106.3 τῳ τοῦ ἀπὸ τῆς Γ ἢ ἄλλῳ παραλληλογράμμῳ. καί ἐστι τὸ ### book 106.4 ὑπὸ τῆς ΑΔ, ΔΒ. πάντων ἄρα τῶν παρὰ τὴν ΑΒ παρα‐ ### book 106.15.1 βαλλομένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδει ### book 106.15.2 τετραγώνῳ τὸ γινόμενον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν τμημάτων. ### book 107.1 Λῆμμα γʹ. ### book 107.2 Ἐὰν ὦσιν δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τὸ δὲ τέταρτον τοῦ ἀπὸ ### book 107.3 τῆς ἐλάσσονος παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον ### book 107.4 εἴδει τετραγώνῳ, τὸ παραβαλλόμενον οὐ πεσεῖται ἐπὶ τῆς ### book 107.5.1 διχοτομίας. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ ### book 107.5.2 ΑΒ, Γ, τὸ δὲ τέταρτον τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος τῆς Γ παρὰ ### book 107.5.3 τὴν μείζονα παραβεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τῷ ### book 107.5.4 ἀπὸ τῆς ΔΒ ἡμισείας οὔσης τῆς ΑΒ. διὰ δὴ τὸ πρὸ τούτου ### book 107.5.5 λῆμμα ἴσον ἐστὶ τὸ παραβαλλόμενον τῷ ὑπὸ τῶν τμη‐ ### book 107.10.1 μάτων τῶν ΑΔ, ΔΒ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ· ἡ γὰρ ΑΒ ### book 107.10.2 δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Δ σημεῖον. καὶ τὸ ἄρα τετράκις ### book 107.10.3 ἀπὸ τῆς ΔΒ ἴσον ἐστὶ τῷ τετραπλασίῳ τοῦ παραβαλλο‐ ### book 107.10.4 μένου. καί ἐστι τὸ μὲν τετράκις ἀπὸ τῆς ΔΒ τὸ ἀπὸ τῆς ### book 107.10.5 ΑΒ· αἱ γὰρ μήκει διπλάσιαι δυνάμει τετραπλάσιαι. τὸ δὲ ### book 107.15.1 τετραπλάσιον τοῦ παραβληθέντος τὸ ἀπὸ Γ. καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ### book 107.15.2 ΑΒ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Γ τὸ ἀπὸ τῆς μείζονος τῷ ### book 107.15.3 ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὸ ΔΓ ### book 107.15.4 ἀπὸ τῆς Γ ἐπὶ τῆς διχοτομίας πεσεῖται. ### book 108.1 Λῆμμα δʹ. ### book 108.2 Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων τὸ τέταρτον τοῦ ἀπὸ τῆς ### book 108.3 ἐλάσσονος παρὰ τὴν μείζονα παραβαλεῖν ἐλλεῖπον εἴδει ### book 108.4 τετραγώνῳ. ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ ### book 108.5.1 ΑΒ, ΓΔ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΑΒ, καὶ δέον ἔστω ποιῆσαι ### book 108.5.2 τὸ προκείμενον. τετμήσθω ἡ ΓΔ δίχα κατὰ τὸ Ε· φανε‐ ### book 108.5.3 ρὸν δή, ὅτι τὸ τέταρτον τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ### book 108.5.4 ΓΕ. καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον, καὶ τετμήσθω [Omitted graphic marker] ### book 108.5.5 ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ### book 108.10.1 ἤχθω ἡ ΖΗ. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΓΔ, μείζων ### book 108.10.2 ἄρα καὶ ἡ ἡμίσεια τῆς ΑΒ, τουτέστιν ἡ ΖΒ, τῆς ἡμισείας ### book 108.10.3 τῆς ΓΔ, τουτέστι τῆς ΓΕ. κείσθω οὖν τῇ ΓΕ ἴση ἡ ΖΘ, ### book 108.10.4 καὶ διὰ τοῦ Θ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΘΚ, καὶ ἀπὸ ### book 108 τοῦ Κ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἡ ΚΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ### book 108.15.1 ΑΚ, ΚΒ. ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚΒ τρίγωνον, καὶ ### book 108.15.2 ἀπὸ τῆς ὀρθῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἦκται ἡ ΚΛ. τὸ ἄρα ### book 108.15.3 ὑπὸ τῶν ΑΛ, ΛΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΚΛ. ἐκβεβλήσθω ### book 108.15.4 οὖν ἡ ΚΛ, καὶ κείσθω τῇ ΛΒ ἴση ἡ ΛΜ, καὶ συμπεπλη‐ ### book 108.15.5 ρώσθω τὸ σχῆμα. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΛ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ### book 108.20.1 τῆς ΖΘ, ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΜ παραλληλογράμμῳ. ἀλλὰ τὸ ### book 108.20.2 ἀπὸ τῆς ΖΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΕ, τουτέστι τῷ τετάρ‐ ### book 108.20.3 τῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ. παραβέβληται ἄρα παρὰ τὴν ΑΒ ### book 108.20.4 τὸ τέταρτον τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ τὸ ΑΜ ἐλλεῖπον εἴδει τετρα‐ ### book 108.20.5 γώνῳ τῷ ΜΒ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. ### book 109.1 Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι ἄνισοι ἡ μείζων ιε, ἡ δὲ ἐλάσ‐ ### book 109.2 σων ιβ, καὶ τὸ δʹ μέρος τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος, τουτέστι ### book 109.3 τὸ λϛ· ἔστι γὰρ ὅλον τὸ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ρμδ· τῷ τε‐ ### book 109.4 τάρτῳ οὖν μέρει, τουτέστι τῷ λϛ, παρὰ τὴν μείζονα τὴν [Omitted graphic marker] ### book 109.5.1 ΒΓ ἴσον ἐκβεβλήσθω τὸ ὑπὸ ΒΔΓ ὡς εἶναι τὴν ΒΔ ιβ, ### book 109.5.2 τὴν δὲ ΔΓ γ, ἐλλειπέτω δὲ καὶ εἴδει τετραγώνῳ τῷ ΔΡ θ ### book 109.5.3 ὄντι. διαιρείτω δὲ αὐτὴν καὶ εἰς σύμμετρα. ἔστι γὰρ ἡ ΒΔ ### book 109.1 ιβ, ἡ δὲ ΔΓ γ· καὶ διὰ τοῦτο ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος μεῖ‐ ### book 109.2 ζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει. ἔστι γὰρ τὸ ### book 109.10.1 ἀπὸ ΒΓ σκε, τὸ ἀπὸ τῆς Α ρμδ, ἡ ὑπεροχὴ πα, ὅστις ἀνα‐ ### book 109.10.2 γράφεται ἀπὸ τοῦ θ, ὅς ἐστι σύμμετρος τῷ ιε. ͜ιε πα σκε͜ ### book 109.10.3 ͜ιβ πα ρμδ͜ ͜ὑπεροχ πα͜. ### book 110.1 Ἔστω ἡ Α, ἥτις καὶ ἐλάττων ὑποτίθεται, ὀκτά‐ ### book 110.2 πους. δῆλον δή, ὅτι τὸ ἀπ’ αὐτῆς ἐστι ποδῶν ξ καὶ τεσσάρων, ### book 110.3 τὸ δὲ ἀπὸ τῆς τετράποδος, ἥτις τετράπους ἡμίσειά ἐστι ### book 110.4 τῆς ὀκτάποδος, τὸ οὖν ἀπὸ τῆς τετράποδός ἐστι ποδῶν ιϛ. ### book 110.5.1 τούτων οὕτως ἐχόντων καὶ τοῦ προβλήματος ἀσαφῶς ### book 110.5.2 ῥηθέντος ἔσται τὸ πλῆρες τῆς προτάσεως τοιοῦτον· ἐὰν ### book 110.5.3 ὦσι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, τῷ δὲ τετραγώνῳ τῷ ἀπὸ τῆς ### book 110.5.4 ἡμισείας τῆς ἐλάττονος, ὅπερ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ### book 110.5.5 ἡμισείας ὂν τῆς ἐλάττονος τέταρτον μέρος ἐστὶ τοῦ ἀπὸ ### book 110.10.1 τῆς ὅλης τῆς ἐλάττονος τετραγώνου· τὸ γὰρ ιϛ τὸ ἀπὸ τῆς ### book 110.10.2 ἡμισείας τέταρτόν ἐστι τοῦ ξδ τοῦ ἀπὸ τῆς ὅλης· ἐὰν τῷ ### book 110.10.3 τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ὅλης, γινομένῳ δὲ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ### book 110.10.4 ἴσον παραβληθῇ καὶ τὰ ἑξῆς τῆς προτάσεως, γενήσεται τὸ ### book 110.10.5 λεγόμενον. ### book 111.1 Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι μείζων ἡ ΑΒ ι οὖσα, ἐλάσ‐ ### book 111.2 σων δὲ ἡ Ε η οὖσα, καὶ τῷ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς Ε ἴσον ### book 111.3 ἐκβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΒ τὸ ὑπὸ ΑΓΒ [ὡς εἶναι] τὴν ### book 111.4 [Α]Γ η, τὴν δὲ ΓΒ [β]. ἐλλειπ[έτω] δὲ καὶ εἴδει τετραγώ‐ ### book 111.5.1 νῳ τῷ .. δ ὄν[τι] .... οὖν ἡ μείζων ι οὖσα τὰ ρ δύναται, ### book 111.5.2 [ἡ δὲ ἐλάσσων η οὖσα] τὰ ξδ, ὑπεροχὴ ..... τὸν ξδ ... ### book 111.5.3 λϛ, ὃς ἀναγράφεται [ἀπὸ τοῦ ϛ] .... σύμμετρος καὶ τῷ ### book 111.5.4 ..... καὶ διῄρηται ἡ ΑΒ εἰς σύμμετρα κατὰ τὸ Γ. ### book 111 ͜ι πα ρ͜ ͜η πα ξδ͜ ͜υπεροχ λϛ͜. ### book 112.1 Τέταρτον μέρος τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος λέγει, ἵνα ### book 112.2 πρῶτον τετραγωνίσῃς τὸν ἐλάσσονα καὶ εἶθ’ οὕτως λά‐ ### book 112.3 βῃς τὸ τέταρτον αὐτοῦ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τοῦ ### book 112.4 ἐκκειμένου ἐλάσσονος ἀριθμοῦ ἀναγεγραμμένον, καὶ παρ’ ### book 112.5.1 αὐτὸ παραβάλῃς παρὰ τὴν μείζονα παραλληλόγραμμον ### book 112.5.2 ἴσον τῷ αὐτῷ χωρίῳ. οἷον ἔστωσαν δύο ἄνισοι ἀριθμοὶ ὁ ### book 112.5.3 ι καὶ ὁ η. καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ### book 112.5.4 τῆς η ἤγουν τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς τέσσαρα, ὅπερ ιϛ ### book 112.5.5 ἐστιν, ἴσον παραλληλόγραμμον παραβεβλήσθω λέγων δὶς ### book 112.10.1 ὀκτὼ ιϛ, ὅπερ ἴσον ἐστὶ τῷ δʹ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος κατὰ ### book 112.10.2 μῆκος. καὶ τὰ λοιπὰ τὰ ἐκ τῆς μείζονος δύο ἐλλείπουσιν ### book 112.10.3 εἴδει τετραγώνῳ· δὶς γὰρ τὰ δύο γίνεται τέσσαρα. ### book 113.1 Τετμήσθω γὰρ ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον ### book 113.2 p. 27, 19] οὐ γάρ ἐστιν ἡ διχοτομία κατὰ τὸ Δ διὰ τὸ ### book 113.3 μείζονα εἶναι τὴν ΒΓ εὐθεῖαν. ### book 114.1 καὶ τὰ τετραπλάσια p. 28, 1] τὰ γὰρ ἴσα τετρα‐ ### book 114.2 πλασιαζόμενα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν, ὁμοίως καὶ πενταπλα‐ ### book 114.3 σιαζόμενα καὶ ἐπ’ ἄπειρον. ### book 115.1 τῷ δὲ τετραπλασίῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ p. 28, 5 sq.] ### book 115.2 τὰ γὰρ μήκει διπλάσια δυνάμει τετραπλάσια. ### book 116.1 Δέδεικται γάρ, ὅτι τὰ μήκει διπλάσια τῇ δυνά‐ ### book 116.2 μει τετραπλάσια· οἷον ὡς ἐπὶ παραδείγματος· ἐκκείσθω‐ ### book 116.3 σαν γὰρ δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ ΑΒ, Γ, καὶ ἡ μὲν ΑΒ τῆς Γ ### book 116.4 διπλασία ἔστω, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων δ, ἡ δὲ Γ μο‐ ### book 116.5.1 νάδων β, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον, καὶ [Omitted graphic marker] ### book 116.5.2 ἔστω μονάδων ιϛ, ἀπὸ δὲ τῆς Γ μονάδων δ. φανερὸν ἄρα ### book 116.5.3 ἐστίν, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τετραπλάσιόν ἐστι ### book 116.5.4 τοῦ ἀπὸ τῆς Γ τετραγώνου. ὥστε αἱ τῷ μήκει διπλάσιαι ### book 116.5.5 τῇ δυνάμει τετραπλασίονες. ### book 117.1 Ἴσμεν, ὅτι τὰ μήκει διπλάσια δυνάμει τετραπλά‐ ### book 117.2 σια. ὥστε καὶ ἡ Α ὅλη τῆς ἡμισείας αὐτῆς μήκει οὖσα ### book 117.3 διπλασία δυνάμει τετραπλασία ἐστί. ἡ γὰρ ὀκτάπους τῆς ### book 117.4 τετράποδος μήκει οὖσα διπλασία δυνάμει τετραπλασία ### book 117.5.1 ἐστί. ἔστω οὖν ἡ Α ὀκτάπους. τὸ οὖν ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ### book 117.5.2 τετράποδος, ὅπερ ἐστὶ ιϛ, τέταρτον μέρος ἐστὶ τοῦ ἀπὸ ### book 117.5.3 τῆς ὀκτάποδος, ὅπερ ἐστὶν ξδ. ### book 118.1 σύμμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ p. 28, 14 sq.] ἐπεὶ ### book 118.2 γὰρ ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ σύμμετρος (οὕτω γὰρ προυπετέθη), καὶ ### book 118.3 ἡ ΒΓ τῇ ΔΓ σύμμετρος μήκει. ἐὰν γὰρ δύο μεγέθη σύμ‐ ### book 118.4 μετρα συντεθῇ, καὶ τὸ ὅλον ἑκατέρῳ αὐτῶν σύμμετρον ### book 118.5.1 ἔσται. ἀλλὰ ἡ ΒΔ ταῖς ΓΔ, ΒΖ σύμμετρος· ὥστε καὶ ἡ ### book 118.5.2 ΒΓ ταῖς ΓΔ, ΒΖ σύμμετρος. ὥστε καὶ τῇ λοιπῇ τῇ ΖΔ διὰ ### book 118.5.3 τὸ κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν σύμμετρον ᾖ, δηλαδὴ τῶν ἐξ ὧν ### book 118.5.4 σύγκειται, καὶ ταῦτα σύμμετρα ἀλλήλοις. ἐπεὶ γοῦν ἡ ΒΓ ### book 118.5.5 ὅλη συγκειμένη ὡς ἐκ δύο οἷον τῆς ΖΔ καὶ τῆς ΒΖ, ΔΓ ### book 118.10.1 ὡς μιᾶς σύμμετρος ᾖ τῷ οἷον ἑνὶ ταῖς ΒΖ, ΔΓ, καὶ τὰ ### book 118.10.2 ἐξ ὧν σύγκειται, τὰ ΒΖ, ΔΓ, ΖΔ μέρη σύμμετρα ἀλλή‐ ### book 118.10.3 λοις. ὥστε ἐπεὶ ἡ ΒΓ σύμμετρός ἐστι ταῖς ΒΖ, ΔΓ, ἔστι ### book 118.10.4 δὲ καὶ ἡ ΖΔ ταύτῃ σύμμετρος, καὶ ἀλλήλαις ἡ ΒΓ καὶ ### book 118.10.5 ἡ ΖΔ σύμμετροι διὰ τὸ ιβʹ τοῦ ιʹ· τὰ τῷ αὐτῷ μεγέθει ### book 118.15 σύμμετρα καὶ ἀλλήλοις σύμμετρα. ### book 119.1 ὥστε καὶ λοιπῇ τῇ ΖΔ σύμμετρός ἐστιν p. 28, ### book 119.2 17. 18] ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ σύμμετρος ὑπόκειται. καὶ ἡμίσεια ### book 119.3 ἄρα τῆς ΒΓ ἡ ΕΓ σύμμετρός ἐστι τῇ ΔΓ. σύμμετρος ἄρα ### book 119.4 ἡ ΕΓ τῇ ΔΓ. καὶ διελόντι ἄρα σύμμετρός ἐστιν ἡ ΕΔ τῇ ### book 119.5.1 ΔΓ. καὶ ἡ διπλῆ ἄρα τῆς ΕΔ ἡ ΖΔ τῇ ΔΓ σύμμετρός ἐστιν. ### book 119.5.2 τῇ δὲ ΔΓ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ. καὶ ἡ ΒΓ ἄρα τῇ ΖΔ ### book 119.5.3 σύμμετρός ἐστιν. ταῖς αὐταῖς δὲ ἐφόδοις χρώμενοι δείξο‐ ### book 119.5.4 μεν, ὅτι ἡ ΒΓ τῇ ΖΔ σύμμετρός ἐστιν, δηλονότι εἰς τὸ ιηʹ ### book 119.5.5 θεώρημα. ### book 120.1 Τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον ὑπόκειται τῷ ἀπὸ τοῦ ### book 120.2 τετάρτου μέρους ἀναγραφομένῳ τετραγώνῳ τῆς Α. ὥστε ### book 120.3 τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ### book 120.4 τῆς Α τετραγώνῳ. τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον ### book 120.5.1 ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Α. τοῦτο οὖν εἴρηταί μοι ὡς συντελέσον ### book 120.5.2 πρὸς τὰ μέλλοντα συνάγεσθαι. ### book 121.1 ὁμοίως δείξομεν p. 29, 1] τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ### book 121.2 ΒΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ τετράκις ἀπὸ τῆς ΕΔ ἴσα εἰσὶ τῷ τετρά‐ ### book 121.3 κις ἀπὸ ΕΓ. ἀλλὰ τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ ### book 121.4 τῷ ἀπὸ τῆς Α. ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς Α μετὰ τοῦ τετράκις ἀπὸ ### book 121.5.1 τῆς ΕΔ ἴσον ἐστὶ τῷ τετράκις ἀπὸ τῆς ΕΓ. τῷ δὲ τετρά‐ ### book 121.5.2 κις ἀπὸ τῆς ΕΔ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΔ· διπλασία γάρ ### book 121.5.3 ἐστιν ἡ ΖΔ τῆς ΕΔ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς Α μετὰ τοῦ τετράκις ### book 121.5.4 ἀπὸ τῆς ΕΔ, τουτέστι μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΔ, ἴσον ἔσται ### book 121.5.5 τῷ τετράκις ἀπὸ τῆς ΕΓ. τῷ δὲ τετράκις ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον ### book 121.10.1 τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ### book 121.10.2 Α καὶ ΖΔ τετραγώνοις. τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἄρα μεῖζόν ἐστι ### book 121.10.3 τοῦ ἀπὸ τῆς Α τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. συνακτέον δὴ τὸν λόγον ### book 121.10.4 καὶ οὕτως· τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ τετράκις ἀπὸ τῆς ### book 121.10.5 ΕΓ. τὸ τετράκις ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῆς Α καὶ ### book 121.15.1 ἀπὸ τῆς ΖΔ τετραγώνοις. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ ἴσον ἐστὶ ### book 121.15.2 τοῖς ἀπὸ τῆς Α καὶ ΖΔ. μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ### book 121.15.3 ἀπὸ τῆς Α τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. ### book 122.1 ὥστε καὶ λοιπῇ συναμφοτέρῳ p. 29, 4. 5] ἡ ΒΓ ### book 122.2 σύμμετρος τῇ ΖΔ διὰ τὴν ὑπόθεσιν· ὥστε καὶ συναμφο‐ ### book 122.3 τέρῳ τῇ ΒΖ, ΔΓ διὰ τὸ κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ τῶν, ἐξ ὧν σύγκει‐ ### book 122 ται, σύμμετρον ᾖ μήκει, τὰ μέρη, ἐξ ὧν σύγκειται, σύμ‐ ### book 122.5.1 μετρα ἔσται. μέρη δὲ τῆς ΒΓ ἡ ΖΔ καὶ συναμφότερος ἡ ### book 122.5.2 ΒΖ, ΔΓ. ### book 123.1 Ἐδείχθη γὰρ ἐν τῷ ιεʹ, ὅτι, κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν ### book 123.2 σύμμετρον ᾖ, καὶ τὰ ἐξ ἀρχῆς μεγέθη σύμμετρα ἔσται. ### book 124.1 ὥστε καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ p. 29, 7] τὰ γὰρ τῷ αὐτῷ ### book 124.2 σύμμετρα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶ σύμμετρα. ### book 125.1 Λῆμμα. ### book 125.2 Ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι πρός τινα εὐθεῖαν ἡ μὲν σύμμετρος, ### book 125.3 ἡ δὲ ἀσύμμετρος, καὶ αὐταὶ ἀσύμμετροί εἰσιν. δύο γὰρ ### book 125.4 εὐθεῖαι αἱ Α, Β πρός τινα εὐθεῖαν τὴν Γ ἡ μὲν Α πρὸς τὴν ### book 125.5.1 Γ σύμμετρος ἔστω, ἡ δὲ Β πρὸς τὴν Γ ἀσύμμετρος. λέγω, ### book 125.5.2 ὅτι καὶ αἱ Α, Β ἀσύμμετροί εἰσιν. εἰ γὰρ σύμμετρός ἐστιν ### book 125.5.3 ἡ Α τῇ Β, ἔστι δὲ καὶ τῇ Γ σύμμετρος, καὶ ἡ Β τῇ Γ σύμ‐ ### book 125.5.4 μετρός ἐστιν. ἀλλὰ μὴν καὶ ἀσύμμετρος· ὅπερ ἐστὶν ἀδύ‐ ### book 125.5.5 νατον. οὐκ ἄρα σύμμετρός ἐστιν ἡ Α τῇ Β. ### book 126.1 Ἡ ὅλη ΒΓ μονάδων ι, ἡ ἡμίσεια μονάδων ε, ἡ ΔΓ ### book 126.2 μονάδων μιᾶς καὶ λεπτῶν πρώτων κε, δευτέρων δὲ μϛ. ### book 126.3 τῶν αὐτῶν ἐστιν ἡ ΒΖ. ἡ ΕΔ μονάδων τριῶν καὶ λεπτῶν ### book 126.4 πρώτων λδ δευτέρων ιδ. τῶν αὐτῶν ἐστι καὶ ἡ ΖΕ. τὸ δὲ ### book 126.5.1 ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἐστι μονάδων ιβ καὶ λεπτῶν ιε. ### book 126.5.2 Ἡ ὅλη Α μονάδων ζ καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς μθ, τὸ δὲ τέταρ‐ ### book 126.5.3 τον τοῦ ἀπ’ αὐτῆς μονάδων ιβ καὶ λεπτῶν ιε. ### book 127.1 Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΓ, Α, καὶ ἡ μείζων ἡ ### book 127.2 ΒΓ ιγ, ἡ δὲ ἐλάσσων ἡ Α ιβ καὶ τὸ τέταρτον πάλιν τῆς ### book 127.3 Α λϛ ..... τὸ ἴσον προσεκβεβλήσθω τῷ ἀπὸ ... ὡς εἶναι ### book 127.4 τὴν ΒΔ θ τὴν ΔΓ δ τὸ ἔλλειμμα ιϛ. καί ἐστιν ἀσύμμε‐ ### book 127.5.1 τρος .... τῇ ΔΓ. διὰ τοῦτο καὶ ἡ μείζων ἡ ΒΓ τῆς Α ### book 127.5.2 [μεῖζον] δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυ[τῇ] μήκει. ἔστι ### book 127.5.3 γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ ρξθ, τὸ δὲ [ἀπὸ τῆς Α ρ]μδ, ἡ ὑπεροχὴ ### book 127.5.4 κε, οὗ μῆκος ὁ [ε] ἀσύμμετρος ὢν τῷ ιγ. ### book 128.1 Ὑποκείσθωσαν αἱ εὐθεῖαι ἡ μὲν μείζων ἡ ΒΓ μο‐ ### book 128.2 νάδων ι, ἡ δὲ ἐλάττων ἡ Α μονάδων ζ. καὶ ἐπεὶ προστάττει ### book 128.3 ὁ γεωμέτρης τὸ τέταρτον τοῦ ἀπὸ τῆς Α ἤτοι τὸ ἀπὸ τῆς ### book 128.4 ἡμισείας αὐτῆς τῆς Α· ταὐτὸν γάρ ἐστι· τοῦ μὲν γὰρ τε‐ ### book 128.5.1 τραγώνου τοῦ ἀπὸ τοῦ ἑπτάκις ἑπτὰ γινομένου μθ τὸ ### book 128.5.2 τέταρτόν ἐστι ιβ μονάδες καὶ ιε λεπτά, ἅπερ εἰσὶ τέταρτον ### book 128.5.3 μονάδος, καὶ τὸ ἀπὸ τῶν γ 𐅵ʹ γινόμενον, ἅπερ εἰσὶ τὰ ### book 128.5.4 ἡμίση τοῦ ἑπτά, τουτέστι τῆς Α, γίνονται πάλιν μονάδες ### book 128.5.5 ιβ καὶ λεπτὰ ιε δʹ. ἔστιν εὑρεῖν, ποῦ τέμνεται ἡ ΒΓ κατὰ ### book 128.10.1 τὸ Δ ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον εἶναι τοῖς ιβ καὶ ιε ### book 128.10.2 λεπτοῖς. εὑρίσκεται οὖν οὕτως· ἐπεὶ ἐμάθομεν εἰς τὸ βʹ ### book 128.10.3 βιβλίον θεώρημα εʹ, ὅτι, ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ### book 128.10.4 ἴσα καὶ ἄνισα, τὸ ὑπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων ### book 128.10.5 περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν ### book 128.15.1 τομῶν τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετρα‐ ### book 128.15.2 γώνῳ, ἔχομεν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ παραλληλόγραμ‐ ### book 128.15.3 μον ὁμολογούμενον· ἴσον γὰρ δεῖ εἶναι τοῦτο τῷ ἀπὸ τῆς ### book 128.15.4 ἡμισείας τῆς Α ἤτοι τῷ τετάρτῳ τοῦ ἀπὸ τῆς Α· ἐὰν ἄρα ### book 128.15.5 τοῦτο ἀφέλωμεν μονάδων ὂν ιβ καὶ ιε λεπτῶν, ὡς εἴπομεν, ### book 128.20.1 ἀπὸ τοῦ τετραγώνου τῆς ἡμισείας τῆς ΒΓ, τουτέστι τῶν ### book 128.20.2 κε μονάδων (ἡ γὰρ ΕΓ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΑΓ μονάδων ### book 128.20.3 ἐστὶ ε, καὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπ’ αὐτῆς κε), ἐὰν τοίνυν ### book 128.20.4 ἀφέλωμεν τὰ ιβ καὶ ιε λεπτὰ ἀπὸ τῶν κε, καταλειφθήσον‐ ### book 128.20.5 ται ιβ καὶ με λεπτά, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ τετράγωνον, ### book 128.25.1 μεθ’ οὗ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον ἦν τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας. ### book 128.25.2 αὕτη ἄρα ἡ ΕΔ μήκει ἐστὶ μονάδων τριῶν καὶ πρώτων ### book 128.1 λεπτῶν λδ καὶ δευτέρων ιδ· ταῦτα γάρ ἐστιν ἡ πλευρὰ τῶν ### book 128.2 ιβ καὶ λεπτῶν με. ταύτην οὖν τὴν πλευρὰν ἐὰν ἀφέλωμεν ### book 128.3 ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΕΓ οὔσης μονάδων ε, καταλειφθή‐ ### book 128.30.1 σονται μονὰς μία καὶ λεπτὰ κε μϛ. καὶ ἰδοὺ φανερὸν ἐγέ‐ ### book 128.30.2 νετο, ποῦ μέλλει τεθῆναι τὸ Δ κατὰ τὴν διαίρεσιν. ἐὰν γὰρ ### book 128.30.3 ἀπὸ ὅλης τῆς ΒΓ οὔσης μονάδων ι ἀφέλωμεν μονάδα μίαν ### book 128.30.4 καὶ λεπτὰ κε καὶ δεύτερα μϛ, καταλειφθήσεται ἡ ΒΔ μο‐ ### book 128.30.5 νάδες η καὶ λεπτὰ λδ καὶ ιδ. γίνεται δὲ οὕτως καὶ τὸ ὑπὸ ### book 128.35.1 τῶν ΒΔ, ΔΓ περιεχόμενον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΔ ἴσον τῷ ### book 128.35.2 ἀπὸ τῆς ΕΓ· τὸ μὲν γὰρ ὑπὸ ΒΔ, ΔΓ ἐστι ιβ καὶ λεπτῶν ### book 128.35.3 ιε καὶ δευτέρων δ καὶ τρίτων δ καὶ τετάρτων μδ, ὅσον ἦν ### book 128.35.4 καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἀπὸ τῆς Α, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΔ γίνεται ### book 128.35.5 μονάδων ιβ καὶ λεπτῶν μδ καὶ δευτέρων με καὶ τρίτων νδ ### book 128.40.1 καὶ τετάρτων ιϛ, συντιθέμενα δὲ ὁμοῦ γίνεται μονάδες κδ ### book 128.40.2 καὶ λεπτὰ να νθ νθ, ἅτινα εἰς ἓν λεπτὸν κεφαλαιούμενα ### book 128.40.3 καὶ τῷ κδ προστιθέμενα ποιήσουσι μονάδας κε. ἔστι τοίνυν ### book 128.40.4 ἡ μείζων ἡ ΒΓ μονάδων ι, ὡς εἴπομεν, ὧν ὁ τετράγωνος ### book 128.40.5 μονάδων ρ· δεκάκις γὰρ δέκα ρ. ἡ δὲ ἐλάττων μονάδων ζ, ### book 128.45.1 ὧν ὁ τετράγωνος μθ, ἡ δὲ ὑπεροχὴ τοῦ ρ πρὸς τὰ μθ ἐστι ### book 128.45.2 να. τὰ γοῦν να πρὸς τὰ ι ἀσύμμετρά εἰσι. δύναται οὖν ἡ ### book 128.45.3 μείζων ἤτοι ἡ ΒΓ τῆς ἐλάττονος ἤγουν τῆς Α μεῖζον τῷ ### book 128.45.4 να ἀριθμῷ, ἅπερ να ἀσύμμετρά εἰσι πρὸς τὰ ἐξ ἀρχῆς ι. ### book 129.1 ὥστε καὶ λοιπῇ συναμφοτέρῳ p. 31, 2. 3] ἐπειδὴ ### book 129.2 γὰρ ἡ ΓΔ τῇ ΔΕ ὑπόκειται ἴση, ἡ δὲ ΕΖ τῇ ΖΒ, συναμ‐ ### book 129.3 φότερος ἄρα ἡ ΒΖ, ΔΓ ἴση ἐστὶ τῇ ΖΔ. ἀσύμμετρος δὲ ἡ ### book 129.4 ΒΓ τῇ ΖΔ. ἀσύμμετρος ἄρα καὶ τῇ ἴσῃ τῇ ΖΔ, ἥτις ἴση ### book 129.5.1 τῇ ΖΔ ἐστιν ἡ συναμφότερος ἡ ΒΖ, ΔΓ. καὶ ἐπεὶ συναμ‐ ### book 129.5.2 φότερος ἡ ΒΖ, ΔΓ διπλασία ἐστὶ τῆς ΔΓ, σύμμετρος ### book 129.5.3 ἄρα ἐστὶν ἡ συναμφότερος ἡ ΒΖ, ΔΓ τῇ ΔΓ. ### book 130 Ὅτι ἡ σύμμετρος μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ καὶ ### book 130.1 δυνάμει ἐστὶν αὐτῇ σύμμετρος, καὶ λέγεται καὶ αὐτὴ ### book 130.2 ῥητή, καὶ τὸ ὅλον τοῦτο· ῥητὴ καὶ μήκει καὶ δυνάμει σύμ‐ ### book 130.3 μετρος. ### book 131.1 Τουτέστιν αἱ μήκει ῥηταὶ πάντως καὶ δυνάμει, αἱ ### book 131.2 δὲ δυνάμει οὐ πάντως καὶ μήκει, οὕτως δὲ καὶ αἱ σύμμε‐ ### book 131.3 τροι. αἱ γὰρ μήκει σύμμετροι πάντως καὶ δυνάμει, αἱ δὲ ### book 131.4 δυνάμει οὐ πάντως καὶ μήκει. ποτὲ μὲν γὰρ σύμμετροι ὡς ### book 131.5.1 ἐπὶ τοῦ ιϛʹ καὶ τοῦ ξδʹ· τούτων γὰρ τὰ μήκη σύμμετρα· ### book 131.5.2 ποτὲ δὲ καὶ ἀσύμμετροι ὡς ἐπὶ τοῦ .. καὶ κεʹ. διὸ τὴν ### book 131.5.3 ῥητότητα ἐκ τῆς συμμετρίας κατασκευάζει. ### book 132.1 Ἄχρι τῶν ἐνταῦθα διείλεκται ἡμῖν περὶ συμμέτρων ### book 132.2 καὶ ἀσυμμέτρων, τὸ δὲ ἐντεῦθεν περὶ ῥητῶν καὶ μέσων. ### book 133.1 Δεύτερον κεφάλαιον, ἐν ᾧ περὶ ῥητῶν καὶ μέσων ### book 133.2 δυνάμει τε συμμέτρων οὐσῶν ἑκατέρων καὶ μήκει διδάσκει ### book 133.3 καὶ τῶν χωρίων, ἃ περιέχουσιν, καὶ τὴν τῆς μέσης πρὸς ### book 133.4 τὴν ῥητὴν συγγένειαν καὶ τὴν διαφορὰν ἔλαχε καὶ τὴν ### book 133.5 εὕρεσιν καὶ ὅσα τοιαῦτα. ### book 134.1 Εὑρεῖν δύο ῥητὰς μήκει συμμέτρους. ἐκκείσθω τις ### book 134.2 ῥητὴ ἡ Α καὶ δύο ἀριθμοὶ οἱ Γ, Δ ἤτοι τετράγωνοι ἢ ### book 134.3 ἁπλῶς λόγον ἔχοντες, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετρά‐ ### book 134.4 γωνον ἀριθμόν, καὶ γεγονέτω ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ### book 134.5.1 τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ε. ἔσονται δὴ διὰ τὰ προ‐ ### book 134.5.2 δεδειγμένα αἱ Α, Ε ῥηταὶ μήκει σύμμετροι. ### book 135.1 Θαυμάζειν ἄξιον, ὅπως ἡ τῆς τριάδος κρατητικὴ ### book 135.2 δύναμις καὶ τὴν ἄλογον ἀφορίζει δύναμιν καὶ διήκει μέχρι ### book 135.3 τῶν ἐσχάτων, ἔπειθ’ ὅτι καὶ ἕκαστον τῶν τῆς ἀλογίας εἰ‐ ### book 135.4 δῶν ὑπὸ δή τινος μεσότητος πάντως ἀφορίζεται, τὸ μὲν ### book 135.5.1 ὑπὸ τῆς γεωμετρικῆς, τὸ δὲ ὑπὸ τῆς ἀριθμητικῆς, τὸ δὲ ### book 135.5.2 ὑπὸ τῆς μουσικῆς. καὶ ἔοικεν ἡ τῆς ψυχῆς οὐσία προσεχῶς ### book 135.5.3 ἐπιβατεύουσα τῇ τῶν μεγεθῶν κατὰ τοὺς ἐν αὑτῇ λόγους ### book 135.5.4 καὶ πᾶν τὸ ἐν τοῖς μεγέθεσιν ὁρίζειν ἀόριστον καὶ τὴν τῆς ### book 135.5.5 ἀλογίας ἀπειρίαν τοῖς τριττοῖς τούτοις πιέσαι δεσμοῖς. ### book 135.10.1 Ἐπισημαντέον, ὅτι τὸ κοινὸν ὄνομα τῆς μέσης ἐπὶ μερι‐ ### book 135.10.2 κωτέρας ἔθετο φύσεως, ἐπεὶ καὶ τὸ ὑπὸ ῥητῶν μήκει ### book 135.10.3 συμμέτρων δυναμένη μέση πάντως ἐστὶ τῶν ῥητῶν ἐκεί‐ ### book 135.10.4 νων καὶ ἡ τὸ ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀλόγου περιεχόμενον χωρίον, ### book 135.10.5 ἀλλ’ οὐδετέραν τούτων προσαγορεύει μέσην, ἀλλὰ τὴν τὸ ### book 135.15.1 προειρημένον χωρίον δυναμένην· καὶ ὅτι τὰς δυνάμεις ### book 135.15.2 πανταχοῦ παρωνύμως ἀπὸ τῶν δυναμένων καλεῖ· ῥητὸν ### book 135.15.3 μὲν γὰρ τὸ ἀπὸ ῥητῆς, μέσον δὲ τὸ ἀπὸ μέσης. καὶ ὅτι ### book 135.15.4 τὴν περὶ τὰς μέσας θεωρίαν ἐξομοιοῖ ταῖς ῥηταῖς· καὶ γὰρ ### book 135.15.5 ταύτας ἢ μήκει συμμέτρους εἶναι ἢ δυνάμει μόνον ὥσπερ ### book 135.20.1 ἐκείνας φησὶν καὶ τὸ μὲν ὑπὸ μέσων μήκει συμμέτρων ### book 135.20.2 περιεχόμενον μέσον εἶναι καθάπερ ἐκεῖ τὸ ὑπὸ ῥητῶν ῥητόν, ### book 135.20.3 τὸ δὲ αὖ ὑπὸ μέσων δυνάμει συμμέτρων τότε μὲν γίνεται ### book 135.20.4 ῥητόν, τότε δὲ μέσον. ὥστε τριχῶς μὲν τὸ μέσον, διχῶς ### book 135.20.5 δὲ τὸ ῥητόν· καὶ ἔοικεν ἡ μὲν τῶν μήκει συμμέτρων μέσων ### book 135.25.1 ἀνάλογον μεταξὺ ληφθεῖσα καὶ ἡ τῶν δυνάμει συμμέτρων ### book 135.25.2 ῥητῶν ἐκ παντὸς εἶναι μέση, ἡ δὲ τῶν ῥητῶν μήκει συμ‐ ### book 135.25.3 μέτρων τότε μὲν ῥητή, τότε δὲ μέση. καὶ διὰ τοῦτο καὶ ### book 135.25.4 ἡ ἀσύμμετρος δύναμις τότε μὲν ῥητή, τότε δὲ μέση. δύο ### book 135.25.5 γὰρ εἶναι μέσας δυνάμει συμμέτρους δυνατόν, ὥσπερ καὶ ### book 135.30.1 δύο ῥηταὶ δυνάμει σύμμετροί ποτε γένοιντο ἄν. αἰτιατέον ### book 135.30.2 οὖν τὴν ἀναλογίαν τῆς τῶν περιεχομένων χωρίων διαφο‐ ### book 135.30.3 ρᾶς τὴν μεταξὺ τῶν ἄκρων ἢ δύο ῥητῶν μέσην ἢ δύο μέ‐ ### book 135.30.4 σων ῥητὴν καὶ ὅλου τότε μὲν ἐξομοιοῦσαν τὸν δεσμὸν τοῖς ### book 135.30.5 ἄκροις, τότε δὲ ἀνόμοιον αὐτοῖς παρεμβάλλουσαν. ### book 136.1 κατά τινα τῶν προειρημένων τρόπων p. 32, 2] πρόσ‐ ### book 136.2 κειται τὸ κατά τινα τῶν προειρημένων τρόπων ἀντὶ τοῦ ### book 136.3 ἢ μήκει καὶ δυνάμει ἢ δυνάμει μόνον. οὗτοι γὰρ ἦσαν οἱ ### book 136.4 προειρημένοι τρόποι. καθ’ οὗ δὲ ἥ τε μήκει καὶ δυνάμει ### book 136.5.1 οὖσα ἥ τε δυνάμει μόνον σύμμετρος, ῥητόν ἐστι τὸ ὑπ’ ### book 136.5.2 αὐτῶν περιεχόμενον. ### book 137.1 Εἰ γὰρ ῥητὸν τὸ χωρίον, ῥητὸν δὲ καὶ τὸ μῆκος, ### book 137.2 ἀνάγκη καὶ τὸ πᾶν ῥητὸν εἶναι καὶ σύμμετρον τῷ μήκει· ### book 137.3 ἡ γὰρ ῥητὴ ῥητὸν ἀναγράφει, ῥητὸν δὲ καὶ τὸ περιεχόμε‐ ### book 137.4 νον ὡς διὰ τοῦτο καὶ ἄγεσθαι καὶ τὰ μήκη σύμμετρα εἶναι. ### book 138.1 Ἐὰν ῥητὸν δηλονότι χωρίον τὸ ΑΓ, ὅπερ ἐτέθη μο‐ ### book 138.2 νάδων κδ, παρὰ ῥητὴν δηλονότι εὐθεῖαν τὴν ΑΒ, ἥτις ### book 138.3 ἐτέθη μονάδων δέκα, παραβληθῇ, πλάτος ποιεῖ ῥητὴν καὶ ### book 138.4 σύμμετρον. τὸ γενόμενον πλάτος ἐκ τῆς παραβολῆς τῶν ### book 138.5.1 κδ μονάδων καὶ τῶν δέκα ἐστὶ μοιρῶν β καὶ λεπτῶν κδ, ### book 138.5.2 καί εἰσι ταῦτα τὸ ΒΓ ἤτοι τὸ πλάτος. εἰσὶ δὲ καὶ σύμ‐ ### book 138.5.3 μετρα ταῦτα ταῖς δέκα μονάσιν ἐκβαλλομένων ἀεὶ τῶν ### book 138.5.4 ἐλαττόνων ἀπὸ τῶν μειζόνων. ### book 139.1 Τὸ ΒΓ πλάτος β κδ, ἃ παραβαλλομένων τῶν κδ ### book 139.2 μονάδων τοῦ ΑΓ χωρίου ἐκβάλλονται β μοῖραι καὶ λεπτὰ ### book 139.3 κδ. ### book 140.1 Ἔστω ἡ ΑΒ δωδεκάπους, ἡ δὲ ΒΓ ὀκτάπους σύμ‐ ### book 140.2 μετροι δηλονότι οὖσαι μήκει· κοινὸν γὰρ αὐτῶν μέτρον ἡ ### book 140.3 δίπους· δὶς γὰρ τέσσαρα η καὶ δὶς ϛ ιβ. δῆλον δή, ὅτι τὸ ### book 140.4 ΑΓ ἐστιν ϙϛ· ὀκτάκις γὰρ ιβ ϙϛ· τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῆς ### book 140.5.1 δωδεκάποδος ρμδ· δωδεκάκις γὰρ τὰ ιβ ρμδ. ῥητὰ ἄρα καὶ ### book 140.5.2 τὰ ΑΓ, ΑΔ ἤτοι τὸ ρμδ καὶ τὸ ϙϛ. ῥητὰ οὖν, ὅτι καὶ σύμ‐ ### book 140.5.3 μετρα· μετροῦνται γὰρ τῷ αὐτῷ χωρίῳ τῷ ϛ. ὁ γὰρ ϛ ### book 140.5.4 μετὰ μὲν τοῦ ιϛ μετρεῖ τὸν ϙϛ, μετὰ δὲ τῶν κδ τὸ ρμδ. ### book 141.1 Ῥητόν ἐστιν, ὃ κατά τινα γινώσκομεν ἀριθμὸν ### book 141.2 πρὸς τὸ τῇ θέσει μέτρον, οἷον εἰ ὡς μέτρον ὑποτεθῇ ἡμῖν ### book 141.3 ἡ παλαιστή, τὸ ιϛ παλαιστῶν ῥητόν ἐστιν, εἰ δὲ ὁ δάκτυλος ### book 141.4 ὡς μέτρον κεῖται, τὸ δέκα καὶ ἓξ δακτύλων, εἰ δ’ ὁ πῆχυς ### book 141.5 ἢ ὁ ποῦς, τὸ ιϛ πήχεων ἢ ποδῶν ἐστι ῥητόν. ### book 142.1 Ἔστω τὸ ΑΓ ποδῶν κδ, ἡ δὲ ΑΒ ποδῶν ϛ, καὶ ### book 142.2 παραβληθήτω τὰ κδ ἤτοι μερισθήτω παρὰ τὰ ἕξ. ἔσται ### book 142.3 ἄρα τὸ ἐκ τῆς παραβολῆς πλάτος ποδῶν δ. ἰστέον δέ, ὅτι ### book 142.4 πλάτος λέγεται τὸ ἐπιλαχὸν ἑκάστῳ, οἷς ἐμερίσθη τὸ ### book 142.5.1 μερισθέν, ὡς ἐπὶ τῶν παρόντων· τὰ γὰρ κδ τοῖς ϛ μερι‐ ### book 142.5.2 σθέντα ἀνὰ τεσσάρων εἰλήφασιν. ἔστι δὲ τὸ μὲν ΑΓ κδ ### book 142.5.3 τὸ δὲ ΑΔ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῆς ἑξάποδος λϛ. ### book 142.5.4 δῆλον δή, ὅτι καὶ ῥητὰ καὶ σύμμετρά ἐστι τὰ ΑΔ καὶ ΑΓ. ### book 142.5.5 ὅτι δὲ καὶ ὡς τὸ ΔΑ πρὸς τὸ ΑΓ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ### book 142.10 ΒΓ, δῆλον· ἐν ἡμιολίῳ γάρ εἰσι λόγῳ. ### book 143.1 Ἄλλως εἰς τὸ κʹ θεώρημα. ### book 143.2 Ἔστω τὸ ῥητὸν παραλληλόγραμμον μονάδων μα, καὶ ἡ ### book 143.3 ῥητὴ πλευρά, παρ’ ἣν ὀφείλει παραβληθῆναι, ἔστω μοῖραι ### book 143.4 ε μδ μ, ἅπερ εἰσὶ πλευρὰ τοῦ λγ ἀριθμοῦ, πρὸς ἣν πλευρὰν ### book 143.5.1 παραβαλλόμενα τὰ μα ποιεῖ πλάτος ζ η ιδ, ἅτινά εἰσι ### book 143.5.2 ῥητὰ τῇ πλευρᾷ τῇ οὔσῃ ε μδ μ ἐκβαλλομένων τῶν πλειό‐ ### book 143.5.3 νων ἀπὸ τῶν ἐλαττόνων. ### book 144.1 παρ’ ἣν παράκειται p. 32, 19] τὸ παρ’ ἣν παρά‐ ### book 144.2 κειται ἀντὶ τοῦ μεθ’ ἧς συμπληροῖ τὸ χωρίον. ### book 145.1 ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ p. 33, 6] διὰ τὸν ἀντί‐ ### book 145.2 στροφον τοῦ ὅρου, ὅτι καὶ τὸ τούτῳ ῥητὸν σύμμετρόν ### book 145 ἐστιν. ### book 146.1 Ὅτι ἡ μέση μία οὖσα τῶν ἀλόγων ἐν γεωμετρικῇ ### book 146.2 θεωρεῖται ἀναλογίᾳ, δῆλον ποιεῖ τοῦτο τὸ θεώρημα· μέση ### book 146.3 γὰρ ἀνάλογόν ἐστι κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν τῶν ### book 146.4 δυνάμει μόνον συμμέτρων ῥητῶν ἡ μέση ἐστίν, εἴ γε τὸ ### book 146.5.1 ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων ἄλογόν ἐστι, καὶ ἡ ### book 146.5.2 δυναμένη αὐτό ἐστιν ἡ μέση. εἰ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ### book 146.5.3 ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης, αἱ τρεῖς ἀνάλογόν εἰσιν. ### book 147.1 Εὑρεῖν δύο ῥητὰς δυνάμει μόνον συμμέτρους. ἐκκεί‐ ### book 147.2 σθω ῥητὴ ἡ Α καὶ δύο ἀριθμοὶ οἱ Β, Γ λόγον μὴ ἔχοντες, ### book 147.3 ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον, καὶ γεγονέτω ὡς ὁ Β ### book 147.4 πρὸς τὸν Γ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Δ. ἔσον‐ ### book 147.5.1 ται δὴ διὰ τὰ προαποδεδειγμένα αἱ Α, Δ ῥηταὶ δυνάμει ### book 147.5.2 μόνον σύμμετροι. ### book 148.1 Ἀναπόδισαι εἰς τὸ ιαʹ θεώρημα καὶ τὰς ἐκεῖσε γρα‐ ### book 148.2 φείσας εὐθείας καὶ ἀριθμοὺς τῶν εὐθειῶν ἐν τούτῳ τῷ καʹ ### book 148.3 θεωρήματι μετένεγκε, εἰ βούλει κυρίως εὑρεῖν ἄλογον ### book 148.4 εὐθεῖαν καὶ κυρίως ἄλογον χωρίον. ### book 149.1 Ἰστέον, ὅτι ἡ ἐννεάπους καὶ ἡ τετράπους καὶ ἄλογοί ### book 149.2 εἰσι καὶ ῥηταί· ᾗ μὲν γὰρ μήκει εἰσὶν ἀσύμμετροι, ἄλογοι, ### book 149.3 ᾗ δὲ δυνάμει σύμμετροι, ῥηταί. ### book 150.1 Δεκατριῶν οὐσῶν ἀλόγων μία νῦν παραδίδοται ἡ ### book 150.2 καλουμένη μόνη μέση, ἓξ αἱ κατὰ σύνθεσιν ἐν τῷ δευτέρῳ ### book 150.3 τμήματι καὶ ἓξ αἱ κατὰ ἀφαίρεσιν λόγου ϛ̂ ἐν τῷ γʹ· εἰς ### book 150.4 τρία γὰρ τμήματα διῄρηται τὸ ιʹ βιβλίον. μέση δὲ λέγεται, ### book 150.5.1 διότι ἐξ ἀναλογίας λαμβάνεται· μέση γάρ ἐστιν ἀνάλογον ### book 150.5.2 τῶν δύο εὐθειῶν τῶν περιεχουσῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν, καὶ ### book 150.5.3 ἐὰν ὦσι τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ### book 150.1 ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης. ταύτας δέ φησιν ἀγορεύ[εσθαι] δύο ### book 150.2 εὐθείας δυνάμει μόνον συμμέτρους δηλαδὴ διὰ τὸ κατὰ ### book 150.10.1 μῆκος αὐτὰς ἀσυμμέτρους εἶναι ..... γὰρ καὶ ἔχει ἄλογον ### book 150.10.2 χωρίον ἀναγράφεσθαι ἀπὸ εὐθειῶν ἀσυμμέτρων κατὰ μῆ‐ ### book 150.10.3 κος. ### book 151.1 Ἰστέον, ὅτι καθόλου ἡ τῇ ῥητῇ σύμμετρος ῥητὴ ### book 151.2 καλεῖται εἴτε δυνάμει μόνον εἴτε μήκει. ### book 152.1 Αὗται δυνάμει μόνον σύμμετροι ὡς πλευρᾶς μὲν ### book 152.2 οὔσης τῆς α τετραγώνου τοῦ ἀπὸ μιᾶς τῶν περὶ τὴν ὀρθήν, ### book 152.3 διαμέτρου δὲ τῆς β δυναμένης τὸ ٤١ χωρίον ἴσον ὂν τοῖς ### book 152.4 ἀπὸ τῶν ٥ καὶ ٤. [Omitted graphic marker] ### book 153.1 Τὸ ΑΓ παραλληλόγραμμον ὅλον ἐστὶ μονάδων ### book 153.2 τριῶν καὶ λεπτῶν κζ ν ιβ ιη, ὃ γίνεται καὶ ὑπὸ τῶν πλευρῶν ### book 153.3 τοῦ β καὶ τοῦ ϛ· ἡ δυναμένη οὖν μέση τὸ ΑΓ χωρίον ἐστὶ ### book 153.4 α να μ. τὸ δὲ ὄνομα τοῦτο τῆς μέσης κεῖται καὶ ἐπὶ ῥητῶν, ### book 153.5 νῦν δὲ εἰδικῶς ἐπὶ ταύτης ἐτέθη. ### book 154 Ἡ ΑΒ ἐστιν ἡ πλευρὰ τοῦ ϛ ἤτοι β κϛ νη, τὸ δὲ ΒΓ ### book 154 ἡ πλευρὰ τοῦ β ἤτοι α κδ να. ### book 155.1 Τὸ ἀπὸ τῆς μέσης τὸ ἀπὸ τῶν πλευρῶν τοῦ β καὶ τοῦ ϛ ٣ ٢٧ ٥٠ ٧ ١٨ ### book 155.2 ἡ μέση ἡ δυναμένη τὸ ἀπὸ τῆς μέσης ١ ٥١ ٤٠ ### book 155.3 ἡ πλευρὰ τοῦ γ ١ ٤٣ ٥١ ### book 156.1 Ἔστι δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ε, ϛ κδ ια περιεχόμενον ὀρθο‐ ### book 156.2 γώνιον λβ ο νε, καὶ ἡ δυναμένη αὐτό ἐστιν ἡ ε λθ κγ, ἥτις ### book 156.3 ἄλογος οὖσα μέση καλεῖται. ### book 157.1 Ἐπεὶ τὰς πλευρὰς τὰς περιεχούσας τὸ χωρίον ῥητὰς ### book 157.2 ὑποτίθεται δυνάμει μόνον, μήκει δὲ ἀσυμμέτρους, ὑπο‐ ### book 157.3 τιθέμεθα τὴν μὲν μείζονα εἶναι τὴν τοῦ ϛ πλευρὰν οὖσαν β ### book 157.4 κϛ νη, τὴν δὲ ἐλάττονα τὴν τοῦ δύο οὖσαν μίαν κδ να. καὶ ### book 157.5.1 γὰρ αἱ πλευραὶ τοῦ ϛ καὶ τοῦ β μήκει μέν εἰσιν ἀσύμ‐ ### book 157.5.2 μετροι καὶ ἄλογοι, δυνάμει δὲ καὶ σύμμετροι καὶ ῥηταί. ### book 157.5.3 ἐὰν οὖν πολλαπλασιάσωμεν αὐτὰς πρὸς ἀλλήλας, γενή‐ ### book 157.5.4 σεται χωρίον ὑπάρχον μονάδων τριῶν καὶ λεπτῶν κζ νζ ιη. ### book 157.5.5 τοῦ δὲ χωρίου ἡ τετραγωνικὴ πλευρὰ ἐκβαλλομένη ἔσται ### book 157.10.1 μονάδος α καὶ λεπτῶν να μ, ἣ καὶ μέση. μέση δὲ καλεῖται ### book 157.10.2 εὐθεῖα ἡ δυναμένη τὸ τοιοῦτον χωρίον, διότι καὶ μέση ### book 157.10.3 ἀνάλογον εὑρίσκεται ἑκατέρων τῶν πλευρῶν τοῦ ϛ καὶ ### book 157.10.4 τοῦ β. τὸ γὰρ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον γίνεται τῷ ἀπὸ τῆς ### book 157.10.5 μέσης. ### book 158.1 μέση p. 33, 18] τὸ ὄνομα τοῦτο κοινὸν ὂν ἐτέθη ### book 158.2 ὑπὸ τοῦ γεωμέτρου ἐπὶ μερικωτέρας φύσεως εὐθείας τῆς ### book 158.3 δυναμένης χωρίον περιεχόμενον ὑπὸ δύο εὐθειῶν δυνά‐ ### book 158.4 μει μόνον συμμέτρων. ### book 159.1 ἄλογον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ· p. 34, 8] διὰ τὸ ιαʹ τοῦ ιʹ. ### book 159.2 τῷ γὰρ ῥητῷ ἀσύμμετρον ἄλογον καλεῖται. ### book 160.1 Ἔστω ἡ ΖΕ ποδῶν ϛ, ἡ δὲ ΕΗ δ· ἡμιόλιος ἄρα ὁ ### book 160.2 λόγος. καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ τὸ λϛ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΗ, ### book 160.3 ὅπερ ἐστὶ ποδῶν κδ, ἡμιόλιόν ἐστιν. ### book 161.1 Αἴτιον δ’, ὅτι, ἐὰν μέγεθος δύο μεγέθη πολυπλα‐ ### book 161.2 σιάσαν ποιῇ τινα μεγέθη, τὰ γενόμενα τὸν αὐτὸν ἕξουσι ### book 161.3 λόγον τοῖς πολυπλασιασθεῖσιν. τούτου δὲ αἴτιον τὸ ἐὰν ### book 161.4 ἀριθμὸς δύο ἀριθμοὺς πολυπλασιάσας ποιῇ τινας, οἱ γενό‐ ### book 161.5.1 μενοι τὸν αὐτὸν τοῖς πολυπλασιασθεῖσιν ἕξουσι λόγον. ἡ ### book 161.5.2 οὖν πρώτη εὐθεῖα ἐπὶ δύο εὐθείαις γενομένη ἑαυτήν τε καὶ ### book 161.5.3 τὴν βʹ ἐποίησέ τινα χωρία, ὧν τὸ μὲν ἀφ’ ἑαυτῆς τετρά‐ ### book 161.5.4 γωνον, τὸ δ’ ἄλλο ὡς ἔτυχεν. ἕξουσιν ἄρα τὰ χωρία τὸν ### book 161.5.5 αὐτὸν ταῖς εὐθείαις λόγον. ### book 162.1 Ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι, ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν ### book 162.2 δευτέραν, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν δύο ### book 162.3 εὐθειῶν. ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι, ὧν ἡ μὲν ἐχέτω σπιθαμὰς ### book 162.4 ϛ, ἡ δὲ δ. ἡ πρώτη οὖν πρὸς τὴν δευτέραν ἐστὶν ἡμιόλιος. ### book 162.5.1 τὸ δὲ ἀπὸ τῆς πρώτης ἐστὶ σπιθαμῶν λϛ· ἑξάκις γὰρ ἓξ ### book 162.5.2 λϛ· τὸ δὲ ὑπὸ τῶν δύο τῆς τε πρώτης καὶ τῆς δευτέρας ### book 162.5.3 ἐστὶν κδ· ἑξάκις γὰρ δ κδ. τὰ δὲ λϛ πρὸς τὰ κδ τὸν ἡμιόλιον ### book 162.5.4 ἔχουσι λόγον. ### book 163.1 Ἔστω ἡ Α μέση ἡ εἰς τὸ καʹ θεώρημα τεθεῖσα α να ### book 163.2 μ, τὸ δὲ ἀπὸ ταύτης τὸ γ κζ ν, ᾧ ἴσον παραβεβλήσθω παρὰ ### book 163.3 τὴν ΓΒ. ἔστω δὲ ἡ ΓΒ ἡ πλευρὰ τοῦ γ ἡ α μγ νε. παρὰ τὴν ### book 163.4 πλευρὰν γοῦν τοῦ γ παραβαλλομένου τοῦ ἀπὸ τῆς Α πλάτος ### book 163.5 ποιεῖ τὴν ΓΔ τὸν β, ὅστις β ἀσύμμετρός ἐστι τῇ πλευρᾷ ### book 163.1 τοῦ γ. καί ἐστι ῥητός· ὥστε ἡ πλευρὰ τοῦ γ μετὰ τοῦ β ### book 163.2 ἀριθμοῦ δύναται τὸ ἀπὸ τῆς Α, ἤτοι πολλαπλασιαζομένου ### book 163.3 τοῦ β εἰς τὸ α μγ νε γίνεται τὸ γ κζ ν χωρίον, ὅπερ ἐστὶ τὸ ### book 163.4 ἀπὸ τῆς μέσης. ### book 164.1 Τὸ ἀπὸ μέσης χωρίον τὸ αὐτὸ θὲς εἶναι, ὅπερ ### book 164.2 εἴπομεν καὶ εἰς τὸ καʹ θεώρημα μέσην ἄλογον ἤτοι τὰ γ ### book 164.3 κζ νζ ιη, ὅπερ ὑπ’ ἀμφοτέρων τῶν πλευρῶν ἐγένετο τοῦ ### book 164.4 ϛ καὶ τοῦ β. τοῦτο οὖν ἐὰν παραβληθῇ παρὰ τὴν πλευρὰν ### book 164.5.1 τοῦ τρία, ὅπερ ταὐτόν ἐστι τῷ μερισθῇ, εὑρεθήσεται ἐκ ### book 164.5.2 τοῦ ἐπιμοιρασμοῦ τὸ πλάτος. τοῦ μὲν οὖν γ ἡ πλευρά ἐστι ### book 164.5.3 μία μγ νε, πρὸς ἣν τὰ γ κζ νζ ιη παραβαλλόμενα ἤτοι ### book 164.5.4 μεριζόμενα ποιήσει πλάτος αὐτὸν τὸν β, ὅπερ πλάτος ῥητὸν ### book 164.5.5 μέν ἐστι, ἐπειδὴ αὐτός ἐστιν ὁ ἀριθμὸς ὁ β, ἀσύμμετρον ### book 164.10.1 δὲ μήκει εὑρίσκεται τῇ τοῦ τρία πλευρᾷ, πρὸς ἣν καὶ ### book 164.10.2 παράκειται, τουτέστι μεθ’ ἧς συμπληροῖ τὸ παραλληλό‐ ### book 164.10.3 γραμμον. ### book 165.1 Τὸ ἀπὸ μέσης p. 35, 11] τὸ ἀπὸ μέσης ταὐτόν ### book 165.2 ἐστι τῷ ἐὰν μέσον. ### book 166.1 Διὰ τὴν ὑπόθεσιν ῥητή ἐστιν ἡ ΓΒ καὶ τὸ ἀπ’ ### book 166.2 αὐτῆς, ῥητὸν δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ δυνάμει κατεσκεύασται. ### book 167.1 Ἡ μέση ἀπὸ τοῦ καʹ θεωρήματός ἐστι μονάδος α ### book 167.2 να μ, ἡ Β ἡ τῇ μέσῃ σύμμετρος β μζ λ, ἥτις ἔχει τὸν ἡμι‐ ### book 167.3 όλιον λόγον πρὸς τὴν Α. ἡ γ ἐστι μονάδων τριῶν ῥητή. τὸ ### book 167.4 γοῦν ἀπὸ τῆς Α, ὅπερ ἐστὶ τὰ γ κζ μθ κϛ μ, παραβληθὲν ### book 167.5.1 παρὰ τὴν ΓΔ πλάτος ποιεῖ τὴν ΕΔ. ταὐτὸν δέ ἐστι ΓΔ ### book 167.5.2 καὶ τὴν γ λέγειν. ἔστι δὲ ἡ ΕΔ α θ ιϛ· ἡ γοῦν ΕΔ πολλα‐ ### book 167.5.3 πλασιασθεῖσα τῇ γ ποιεῖ τὸ ΕΓ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α ### book 167.1 μέσης. ῥηταὶ οὖν εἰσιν αἱ ΕΔ, ΔΓ δυνάμει μόνον σύμ‐ ### book 167.2 μετροι. πάλιν τὸ ἀπὸ τῆς Β, ὅπερ ἐστὶ τὸ ζ μζ λϛ ιε οὐδέν, ### book 167.10.1 πλάτος ποιεῖ τὴν ΔΖ τὴν β λε νβ, αἵτινες ῥηταὶ οὖσαι δυ‐ ### book 167.10.2 νάμει σύμμετροι ποιοῦσι τὸ ΖΓ, ὃ δύναται ἡ Β. ### book 168.1 Ὅτι ἡ μέση διχῶς, ἡ δυναμένη τὸ ὑπὸ ῥητῶν δυνά‐ ### book 168.2 μει μόνον συμμέτρων ἢ ἡ τῇ μέσῃ σύμμετρος, μετὰ προσ‐ ### book 168.3 διορισμοῦ δὲ καὶ ἡ τὸ ὑπὸ μέσων δυναμένη. ### book 168.4 Δεῖται τούτου τοῦ θεωρήματος εἰς τὸ ἑξῆς· δεῖ γὰρ πρῶ‐ ### book 168.5.1 τον δεῖξαι, ὅτι εἰσί τινες σύμμετροι μέσαι καὶ οὕτως ζητῆ‐ ### book 168.5.2 σαι, ποῖον τὸ χωρίον τὸ ὑπὸ τούτων περιεχόμενον. ### book 169.1 Μέση καὶ ἐνταῦθα ὑπετέθη ἡ πρὸ μικροῦ εὑρεθεῖσα ### book 169.2 ἡ μία να μ, σύμμετρα δὲ αὐτῇ τὰ β μζ λ ἡμιόλιον πρὸς ### book 169.3 αὐτὴν ἀποσώζοντα λόγον. τὸ δὲ ἀπὸ μέσης τῆς Α ἤγουν ### book 169.4 τὰ γ κζ μθ κϛ μ παρὰ ῥητὴν τὴν οὖσαν τριῶν μονάδων ### book 169.5.1 ἤτοι τὴν ΓΔ παραβληθὲν πλάτος ποιεῖ τὴν ΕΔ ἤτοι μία θ ### book 169.5.2 ιϛ. καὶ ἡ ταύτῃ δὲ σύμμετρος μέση ἤγουν τὰ β μζ λ τετρα‐ ### book 169.5.3 γωνισθὲν ποιεῖ μοίρας ἑπτά, λεπτὰ μζ λϛ ιε οὐδέν, ὅπερ ### book 169.5.4 τετράγωνον, ἐὰν παρὰ τὴν αὐτὴν ῥητὴν τὸν τρία δηλαδὴ ### book 169.5.5 παραβληθῇ, πλάτος ποιεῖ δύο λε μη. ### book 170col 1.1 Τοῦ η ἡ πλευρά ### book 170col 1.2 ٢ ### book 170col 1.3 ٤٩ ### book 170col 1.4 ٤٢ ### book 170col 1.5 ٢٠ ### book 170col 1 ١٥ ### book 170col 2.1 τοῦ ι ἡ πλευρά ### book 170col 2.2 ٣ ### book 170col 2.3 ٩ ### book 170col 2.4 ٤٧ ### book 170col 2.5 ٣٧ ### book 170col 2 ١٨ ### book 171.1 Ἐντεῦθεν δῆλον, ὅτι τὰ ῥητὰ καὶ σύμμετρα, οὐκ ### book 171.2 ἤδη δέ, ἐὰν ὦσί τινα σύμμετρα, ἤδη καὶ ῥητά, εἰ μὴ καὶ ### book 171.3 ῥητὸν τὸ ἓν τούτων ἐστίν. ### book 172.1 Ἡ Α α να μ, ἡ Β β μζ λ, ἡ ΕΔ α θ ιϛ, ἡ ΔΓ γ, ### book 172.2 ἡ ΔΖ β λε νβ, τὸ ἀπὸ τῆς Β ζ μϛ λϛ ιε οὐδέν. ### book 173.1 ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει. p. 37, 5] δυνάμει δὲ δη‐ ### book 173.2 λονότι σύμμετρος, ὡς πρότερον εἴρηται. ### book 174.1 Σημείωσαι, πῶς ἐν τῇ ἀρχῇ τοῦ θεωρήματος ἁπλῶς ### book 174.2 σύμμετροι ἐδόθησαν αἱ Α, Β. ### book 175.1 Διὰ τοῦ ἀνεπιγράφου ἤτοι τοῦ τοῦ ιθʹ καὶ κʹ με‐ ### book 175.2 ταξύ. ### book 176.1 Εἰ εἴποις τὴν ΓΔ β καὶ παραβάλλοις παρ’ αὐτὴν ### book 176.2 τὸ ἀπὸ τῆς Α· οὕτως γὰρ ἡ ΕΔ γενήσεται ῥητὴ δυνάμει ### book 176.3 σύμμετρος τῇ ΔΓ· ἔστι γὰρ πλευρὰ τοῦ γ α μγ νε. πάλιν ### book 176.4 λαβὲ τὴν Β διπλασίαν τῆς Α ὥστε εἶναι σύμμετρον. ἔσται ### book 176.5.1 οὖν γ κζ ν. καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Β ιγ να ιζ μϛ μ. ταῦτα παρά‐ ### book 176.5.2 βαλλε παρὰ τὸν β καὶ ποιήσεις τὴν ΔΖ ϛ νε λη νγ κ, ἃ καὶ ### book 176.5.3 δυνάμει σύμμετροί εἰσι τῇ Β· πλευρὰ γάρ εἰσι τοῦ μη. ### book 177.1 Καλῶς οὐκ ἐτέθη τοῦτο ἐν τῷ βιβλίῳ τοῦ Ἐφεσίου· ### book 177.2 οὐ γὰρ αἱ μέσαι, καθ’ ὃ μέσαι, σύμμετροι, κἂν ἡ τῇ μέσῃ ### book 177.3 σύμμετρος μέση εἴη, αἱ μέσαι καὶ σύμμετροι, καὶ τὰ ἀπὸ ### book 177.4 τῶν μέσων ἅπαντα σύμμετρα, καὶ εἰ τοῦτο, πῶς ἕξει χώραν ### book 177.5.1 τὸ λεʹ θεώρημα τὸ λέγον· εὑρεῖν δύο εὐθείας δυνάμει ### book 177.5.2 ἀσυμμέτρους ποιούσας τό τε συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ ### book 177.5.3 αὐτῶν τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπ’ αὐτῶν μέσον καὶ ### book 177.5.4 ἔτι ἀσύμμετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν τετρα‐ ### book 177.5.5 γώνων. ἰδοὺ γὰρ καὶ μέσα χωρία καὶ ἀσύμμετρα, εἰ δὲ ### book 177.10 μέσα χωρία ἀσύμμετρα, καὶ αἱ δυνάμεναι αὐτὰ ἀσύμ‐ ### book 177 μετροι. οὐκ ἄρα αἱ μέσαι πᾶσαι ἤδη καὶ σύμμετροι. ### book 178.1 Ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ ῥητῆς ῥητόν, καὶ τὸ ἀπὸ μέσης ### book 178.2 μέσον· ὡς γὰρ τοῖς ἐπὶ τῶν ῥητῶν καὶ ἐπὶ τῶν μέσων ### book 178.3 ἐξακολουθεῖ. ### book 179.1 Ὡσαύτως γὰρ τοῖς ἐπὶ τῶν ῥητῶν εἰρημένοις καὶ ### book 179.2 ἐπὶ τῶν μέσων ἐξακολουθεῖ τὸ ἀπὸ μέσης μέσον. ### book 180.1 μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔ p. 38, 18] ζητητέον, ὅτι ### book 180.2 πόθεν τὸ ΑΔ τετράγωνον [μέσον]; καὶ λέγομεν οὕτως· ### book 180.3 ἐπεὶ γὰρ ἡ μέση [δύναται] χωρίον ὑπὸ εὐθειῶν ῥητῶν δυ‐ ### book 180.4 νάμει μόνον συμμέτρων, ἐδείχθη δὲ .... ὑπὸ ῥητῶν δυ‐ ### book 180.5.1 νάμει μόνον συμμέτρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον, ἡ δὲ ### book 180.5.2 δυναμένη αὐτὸ μέση ἐστίν, μέ[σον ἐστὶ τὸ] ΑΔ· ἀπὸ γὰρ ### book 180.5.3 μέσης ἀνεγράφη. ### book 180.5.4 Ἄλλως. πόθεν, ὅτι τὸ ΑΔ μέσον; οὐδὲ γὰρ ἐπεὶ ἡ ΒΔ ### book 180.5.5 μέση, ἤδη καὶ τὸ ΑΔ μέσον ἐστίν, [ἐπεὶ] δύναται ἡ ἄλογος ### book 180.10.1 καὶ ῥητὸν χωρίον ἀναγράφειν ὥσπερ ἐπὶ τοῦ νʹ. ῥητέον ### book 180.10.2 τοίνυν πρὸς τὴν τοιαύτην ἀπορίαν, ὅτι τὸ μὲν ἀπὸ μέσης ### book 180.10.3 πάντως ἄλογον, οὐκ ἀνάγκη δὲ τὸ ἀπὸ ἄλλης ἀλόγου ἄλο‐ ### book 180.10.4 γον εἶναι, τὸ δὲ ἀπὸ μέσης πάντως ἄλογον, διότι ἡ μέση ### book 180.10.5 δύναται χωρίον ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων, τὸ ### book 180.15.1 δὲ ὑπὸ ῥητῆς δυνάμει μόνον σύμμετρόν ἐστιν, καὶ ἡ δυνα‐ ### book 180.15.2 μένη αὐτὸ ἄλογος, καλείσθω δὲ μέση. ### book 181.1 Ἔστω μέση ἡ ΒΓ ἤτοι τὰ β λζ νε γενόμενα ἀπὸ ### book 181.2 τῶν πλευρῶν τοῦ ϛ καὶ τοῦ η, ταύτῃ δὲ σύμμετρος δυνά‐ ### book 181.3 μει μόνον ἑτέρα μέση ἡ ΑΒ ἤτοι τὰ γ β κ. τῆς μὲν γὰρ ### book 181 μέσης τῆς ἐχούσης β λζ νε ἡ δύναμις ἤτοι τὸ τετράγωνόν ### book 181.5.1 ἐστιν ϛ νε λζ μ κε, τῆς δὲ μέσης τῆς ἑτέρας τῆς ἐχούσης ### book 181.5.2 γ β κ ἐστιν ἡ δύναμις θ ιδ ε κϛ μ, ὧν κοινὸν μέτρον εὑρί‐ ### book 181.5.3 σκεται τὰ β ιη ἀφαιρουμένων ἀπὸ τῶν πλειόνων τῶν ἐλατ‐ ### book 181.5.4 τόνων. τὰ δὲ θ ιδ ε κϛ μ παραβληθέντα παρὰ ῥητὴν τὴν ### book 181.5.5 ΖΗ οὖσαν μονάδων δ ἐποίησε πλάτος τὴν ΖΘ ἤτοι δύο ### book 181.10.1 ιη λα, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν δύο μέσων τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἤτοι τὰ ζ ### book 181.10.2 νθ νγ κη κ, ἅπερ εἰσὶν αὐτὸς ὁ η, παρὰ τὴν ΘΜ τουτέστιν ### book 181.10.3 τὴν ΖΗ παραβληθεὶς πλάτος ποιεῖ τὴν ΘΚ ἤτοι α νθ νη, ### book 181.10.4 ἅπερ εἰσὶν ὁ β ἀριθμός, τὸ δὲ ἀπὸ μέσης τῆς ΒΓ ἤτοι τὰ ### book 181.10.5 ϛ νε λζ μ κε παρὰ τὴν ΚΝ παραβληθεὶς τουτέστι τὴν ΖΗ ### book 181.15.1 πλάτος ἐποίησε τὴν ΚΛ ἤτοι α μγ νδ. καὶ φανερὸν ἐγένετο ### book 181.15.2 ἐκ τῶν ἀριθμῶν, ὅτι τοῦ ὑπὸ τῶν δύο μέσων χωρίου ἤτοι ### book 181.15.3 τῶν ζ νθ νγ κη κ παρὰ τὸν δ ἀριθμὸν παραβαλλόμενον καὶ ### book 181.15.4 πλάτους ἐκβληθέντος αὐτῶν τοῦ β ἀριθμοῦ ῥητὸν γίνεται ### book 181.15.5 τὸ ΘΝ χωρίον, ὃ περιέχεται ὑπὸ δύο ῥητῶν εὐθειῶν μήκει ### book 181.20.1 συμμέτρων τῆς τε ΘΜ οὔσης μονάδων δ καὶ τῆς ΘΚ οὔσης ### book 181.20.2 μονάδων β. εἰ δὲ ἡ ΖΗ οὐχ ὑπετέθη μονάδων τεσσάρων, ### book 181.20.3 τουτέστι μήκει ῥητή, ἀλλά τις πλευρὰ ἀλόγου ἀριθμοῦ, ### book 181.20.4 τουτέστι δυνάμει μόνον ῥητή, ἦν ἂν τὸ χωρίον τὸ ΘΝ μέ‐ ### book 181.20.5 σον διὰ τὸ εἶναι καὶ τὴν ΘΜ ἴσην τῇ ΖΗ καὶ τὴν ΘΚ ἐξ ### book 181.25.1 ἀνάγκης μὴ εὑρίσκεσθαι ῥητὴν μήκει, ἀλλὰ καὶ δυνάμει. ### book 181.25.2 τὸ δὲ ὑπὸ δύο ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων περιεχό‐ ### book 181.25.3 μενον μέσον ἐστίν. μέσον ἄρα ἂν εὑρέθη τὸ ΖΝ χωρίον, εἰ ### book 181.25.4 μὴ ῥητὴ ὑπετέθη ἡ ΘΜ, τουτέστιν ἡ ΖΗ. ### book 182.1 Αἱ μέσαι εἰ μὲν μήκει καὶ μόνον εἰσὶ σύμμετροι, ### book 182.2 μέσον τὸ περιεχόμενον, ὅπερ ἐν τῷ πρὸ αὐτοῦ ἔδειξε θεω‐ ### book 182.3 ρήματι. εἰ δὲ δυνάμει μόνον σύμμετροι, δύναται τὸ ἐξ αὐ‐ ### book 182.4 τῶν περιεχόμενον ἤτοι ῥητὸν ἢ μέσον εἶναι. ὁ δὲ διορισμὸς ### book 182.5 οὗτος· εἰ μὲν γὰρ ἡ ΘΚ ῥητὴ πάντως οὖσα καὶ τὴν δύνα‐ ### book 182.1 μιν σύμμετρος ᾖ τῇ ΘΜ ἤτοι τῇ ΖΗ, ῥητὸν τὸ περιεχόμε‐ ### book 182.2 νον, εἰ δὲ ἀσύμμετρος, μέσον. τὸ γὰρ ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει ### book 182.3 μόνον συμμέτρων εὐθειῶν περιεχόμενον ὀρθογώνιον μέ‐ ### book 182.4 σον ἐστίν, τὸ δὲ ἀπὸ ΘΚ δείκνυσι ῥητὸν ἐκ τοῦ καὶ τὸ ### book 182.10.1 ὑπὸ ΘΖ, ΚΛ ῥητὸν εἶναι, καὶ ἐπειδὴ ῥητόν, φησί, τὸ ἀπὸ ### book 182.10.2 ΘΚ, ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΘΚ, ῥητὴ δὲ δηλονότι τῇ δυνάμει· ### book 182.10.3 εἰ γὰρ τῷ μήκει ῥητὴ ᾖ, ἐπειδὴ καὶ ἡ ΘΜ ῥητὴ τῷ μήκει, ### book 182.10.4 πάντως ῥητόν ἐστι τὸ ὑπὸ ΚΘΜ καὶ οὐκέτι δύναται μέ‐ ### book 182.10.5 σον δειχθῆναι· πᾶν γὰρ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον ### book 182.15.1 περιέχεσθαι λέγεται ὑπὸ δύο τῶν τὴν αὐτὴν γωνίαν περι‐ ### book 182.15.2 εχουσῶν εὐθειῶν, εἰ δὲ αἱ περιέχουσαι τὴν ὀρθὴν γωνίαν ### book 182.15.3 ῥηταί εἰσιν, πάντως καὶ τὸ παραλληλόγραμμον ῥητόν. πῶς ### book 182.15.4 οὖν δύναται ποτὲ μὲν ῥητόν, ποτὲ δὲ μέσον εἶναι; [διὰ ### book 182.15.5 τοῦτο] οὖν ἡ ΘΚ ῥητὴ λέγεται εἶναι τῇ δυνάμει. ### book 183.1 [Start of a diagram][Start of a diagram section]ΞΓ ϛ νε λζ μ κε ### book 183.2 ٦٥٥٣٧ ### book 183.3 ٤٠٢٥ ### book 183.4 ΒΓ β λζ νε ### book 183.5.1 ٢٣٧٥٥[End of a diagram section] ### book 183.5.2 [Start of a diagram section]ΔΑ θ ιδ ε κϛ μ ### book 183.5.3 ٩١٤ ### book 183.5.4 ٥٢٤ ### book 183.5.5 ٤٠ ### book 183.10.1 ΔΒ ٣ ٢ ٢٠[End of a diagram section] ### book 183.10.2 [Start of a diagram section]ΑΓ ζ νθ νγ κη κ ### book 183.10.3 ٧٥٩ ### book 183.10.4 ٥٣٢٨ ### book 183.10.5 ٢٠[End of a diagram section] ### book 183.15 ϛ νε λζ μ κε[End of a diagram] ### book 184col 1.1 Τὸ ὑπὸ τῶν δύο μέσων παραλληλόγραμμον [ἤτοι τῆς ΒΓ καὶ ΒΑ τὸ ΑΓ]. ### book 184col 1.2 ٧ ### book 184col 1.3 ٥٩ ### book 184col 1.4 ٥٣ ### book 184col 1.5 ٢٨ ### book 184col 1 ٢٠ ### book 184col 2.1 τὸ ἀπὸ ταύτης [ἤτοι τῆς ΒΓ] τετράγωνον ### book 184col 2.2 ٦ ### book 184col 2.3 ٥٥ ### book 184col 2.4 ٣٧ ### book 184col 2.5 ٤٠ ### book 184col 2 ٩ ### book 184col 3.1 τὸ ἀπὸ ταύτης [ἤτοι τῆς ΒΑ] τετράγωνον ### book 184col 3.2 ٩ ### book 184col 3.3 ١٤ ### book 184col 3.4 ٥ ### book 184col 3.5 ٢٦ ### book 184col 3 ٤٠ ### book 185.1 Ἰστέον, ὅτι τὸ μὲν ῥητὸν δὶς εὑρεῖν ἔστιν, τριχῶς ### book 185.2 δὲ τὸ ἄλογον· τὸ γὰρ ὑπὸ δύο ῥητῶν εὐθειῶν μήκει συμ‐ ### book 185.3 μέτρων περιεχόμενον ῥητόν ἐστι, καὶ τὸ ὑπὸ δύο μέσων ### book 185.4 δυνάμει μόνον συμμέτρων ἔστι μέν ποτε ἄλογον, ἔστι δὲ ### book 185.5.1 καὶ ῥητόν· ἰδοὺ δὶς τὸ ῥητόν. τὸ ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον ### book 185.5.2 συμμέτρων εὐθειῶν περιεχόμενον ἄλογόν ἐστι, καὶ τὸ ὑπὸ ### book 185.5.3 δύο μέσων μήκει συμμέτρων περιεχόμενον ἄλογον, καί, ὡς ### book 185.5.4 εἴρηται, τὸ ὑπὸ δύο μέσων συμμέτρων δυνάμει μόνον συμ‐ ### book 185.5.5 μέτρων ἔστι μέν ποτε ῥητόν, ἔστι δὲ καὶ ἄλογον. καὶ ἰδοὺ ### book 185.10.1 τὸ ἄλογον τριχῶς εὑρίσκεται, καὶ διήκει οὕτως ἡ τῆς τριά‐ ### book 185.10.2 δος κρατητικὴ δύναμις καὶ ἐπ’ αὐτῆς τῆς ἀορίστου καὶ ἀλό‐ ### book 185.10.3 γου φύσεως συνέχουσα τὸ σκεδαστὸν αὐτῆς καὶ εἰς ὅρον ### book 185.10.4 πως τιθεῖσα. ### book 186.1 Οὐδὲ γὰρ δύναται τὸ ἄλογον τοῦ ἀλόγου ῥητῷ ### book 186.2 ὑπερέχειν. εἰ γὰρ τὸ ὑπερέχον ἄλογον, ἀλλὰ καὶ τὸ ὑπερ‐ ### book 186.3 εχόμενον, ἀνάγκη πᾶσα καὶ τὴν ὑπεροχὴν ἄλογον εἶναι. ### book 186.4 εἰ γὰρ ῥητὴ ἡ ὑπεροχή, καὶ δυνηθείημεν πόσου ὑπερέχει, ### book 186.5.1 ἐσόμεθα διεγνωκότες τὸ ὑπερέχον καὶ τὸ ὑπερεχόμενον· ### book 186.5.2 καὶ πῶς ἄλογοι ἀριθμῷ ὑποπίπτουσι; τὸ δὲ ἄτοπον συν‐ ### book 186.5.3 άγεται καὶ ἐκ τοῦ ῥητὴν συνάγεσθαι τὴν ΕΘ ἄλογον ὑπο‐ ### book 186.5.4 κειμένην· ἀνάγκη γὰρ τὴν μὲν ΕΗ ἀσύμμετρον εἶναι τῇ ### book 186.5.5 ΕΖ, διότι μέσον τὸ παραβληθέν, τὴν δὲ ΗΘ σύμμετρον τῇ ### book 186.10.1 αὐτῇ, διότι ῥητὸν τὸ παραβληθέν, ὡς καὶ διὰ τοῦτο συν‐ ### book 186.10.2 άγεσθαι τὴν ΕΗ τῇ ΗΘ ἀσύμμετρον. ### book 187.1 ῥητὰ γὰρ ἀμφότερα· p. 41, 24. 25] τὸ μὲν ἀπὸ ### book 187.2 τοῦ ΕΗ ῥητόν ἐστιν, ὅτι καὶ ἡ ΕΗ δυνάμει σύμμετρος ### book 187.3 ἐδείχθη τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ, ῥητὸν δὲ καὶ τὸ ἀπὸ ### book 187.4 τῆς ΗΘ, ὅτι καὶ αὕτη μήκει σύμμετρος ἐδείχθη τῇ ἐκκει‐ ### book 187.5 μένῃ ῥητῇ τῇ ΕΖ. ### book 188.1 ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ, p. 42, 4] ἐὰν γὰρ εὐθεῖα ### book 188.2 γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης τετράγωνον ### book 188.3 ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν τμημάτων καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ### book 188.4 τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. ### book 189.1 Τρίτον κεφάλαιον, ἐν ᾧ παρασκευάζεται πρὸς τὴν ### book 189.2 τῶν κατὰ σύνθεσιν ἀλόγων εὕρεσιν. ### book 190 Ἡ Α β μθ μβ, ἡ Β β κϛ νη, ἡ Γ β λζ νε, ἡ Δ β ιϛ με. ### book 191.1 Ἔστω ἡ Α δεκάπους, ἡ δὲ Β ἑξάπους, πλευρὰ δὲ ### book 191.2 τῆς μὲν δεκάποδος γ θ μδ, τῆς δὲ ἑξάποδος β κϛ νδ. ἔστιν ### book 191.3 οὖν ἡ δεκάπους καὶ ἑξάπους τετράγωνα τῆς Α καὶ Β ### book 191.4 πλευρᾶς ἤτοι τῆς γ θ μδ καὶ τῆς β κϛ νδ. εἰ οὖν βούλει ### book 191.5.1 εὑρεῖν μέσην ἀνάλογον τῶν Α καὶ Β ἤτοι τῶν γ θ μδ καὶ ### book 191.5.2 τῶν β ϛ νδ, ποίησον τὸν γ θ μδ ἐπὶ τὸν β ϛ νδ καὶ τοῦ ἐξ ### book 191.5.3 αὐτῶν γεγονότος ἐκβάλλων τὴν πλευρὰν εἶτα ἀναβίβασον, ### book 191.5.4 εἰς ὅσα δύναται ἀναχθῆναι ἡ ἐκβληθεῖσα πλευρά. καὶ τὰ ### book 191.5.5 ἐκ τῆς ἀναγωγῆς εὑρεθέντα ὄντα β μϛ νϛ ἐστι μέση ἀνά‐ ### book 191.10.1 λογον ἡ Γ. εἰ δὲ βούλει τῆς Γ πλευρᾶς τῆς οὔσης μοιρῶν ### book 191.10.2 ἤ, εἰ βούλει, ποδῶν δύο, λεπτῶν πρώτων μϛ καὶ τρίτων νϛ ### book 191.10.3 εὑρεῖν τὸν τετράγωνον, ποίησον τὰ δύο μϛ νϛ ἐφ’ ἑαυτά, ### book 191.10.4 εἶτα τῶν γεγονότων μὴ ἐκβάλῃς πλευράν, διότι πᾶς ἀριθ‐ ### book 191.10.5 μὸς ἑαυτὸν πολυπλασιάσας τετράγωνον ποιεῖ. οὕτως οὖν ### book 191.15.1 καὶ ἐπὶ τούτων χρὴ μόνον πολλαπλασιάσαι τὸν β μϛ νϛ εἰς ### book 191.15.2 ἑαυτὸν καὶ τὸν γεγονότα ἀναβιβάσαι, καὶ ὁ εὑρεθείς ἐστιν ### book 191.15.3 ἀπὸ τῶν δύο μϛ νϛ τετράγωνος. ἔστι δὲ ὁ τοιοῦτος τετρά‐ ### book 191.15.4 γωνος ζ μδ κϛ, καί ἐστιν ὡς ὁ ι πρὸς τὸν ζ μδ νϛ, οὕτως ### book 191.15.5 ὁ ζ μδ νϛ πρὸς τὸν ϛ, καὶ ὡς ἡ Α ἡ οὖσα γ θ μδ πρὸς τὴν Γ ### book 191.20.1 τὴν οὖσαν β μϛ νϛ, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Β οὖσαν β κϛ νδ. ### book 191.20.2 πάλιν πολλαπλασίασαι τὴν Γ ἐπὶ τὴν Β καὶ τὸν γεγονότα ### book 191.20.3 εὐθὺς μὴ ἐκβαλὼν πλευρὰν μέρισον παρὰ τὴν Α καὶ τὰ γε‐ ### book 191.20.4 γονότα ἀναβίβασον, καὶ τὸ εὑρεθὲν ἔσται ἡ Δ οὕτως πρὸς ### book 191.20.5 τὴν Γ, ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Α, καί ἐστιν ἡ Δ λεπτῶν πρώτων κα ### book 191.25.1 καὶ ιδ καὶ τρίτων ιθ. χάριν δὲ σαφηνείας ληπτέον ῥητοὺς ### book 191.25.2 ἀριθμούς· καὶ ἔστω ἡ Α οβ, ἡ δὲ Β ιη, καὶ δέον εὑρεῖν ### book 191.25.3 μέσην ἀνάλογον. ποιητέον τὸν οβ ἐπὶ τὸν ιη, καὶ γίνονται ### book 191.25.4 ͵ασϙϛ. ἐκβλητέον τὴν πλευρὰν τῶν ͵ασϙϛ, καί ἐστι λϛ· ἡ λϛ ### book 191.25.5 μέση ἀνάλογόν ἐστιν. ὡς γὰρ ὁ οβ πρὸς τὸν λϛ, ὁ λϛ πρὸς ### book 191.30.1 τὸν ιη. ἔστω ὁ λϛ ἡ Γ πλευρά· ποιητέον τὴν Β πλευρὰν τὰ ### book 191.30.2 ιη ἐπὶ τὴν Γ τὰ λϛ, καὶ ἔσται τὸ ἐξ αὐτῶν χμη. μέρισον ### book 191.30.3 τὰ χμη ἐπὶ τὰ οβ, καὶ τὸ πλάτος τῆς παραβολῆς, ὅπερ ### book 191.30.4 ἐστὶν ὁ θ, ἔσται πρὸς τὸν λϛ, ὡς ὁ ιη πρὸς τὸν οβ. ### book 192.1 Τὸ κζʹ θεώρημα τῷ κηʹ παράκειται θεωρήματι. ### book 192.2 ἐν μὲν γὰρ τῷ εἰκοστῷ ἑβδόμῳ ἐπιτάττει μέσας εὑρεῖν ### book 192.3 δυνάμει μόνον συμμέτρους ῥητὸν περιεχούσας, ἐν δὲ τῷ ### book 192.4 εἰκοστῷ ὀγδόῳ μέσας μέσον περιεχούσας. ### book 193.1 Εὑρίσκομεν τὰς δύο μέσας τὰς δυνάμει μόνον συμ‐ ### book 193.2 μέτρους, ῥητὸν δὲ περιεχούσας, οὕτως· ἐκθέμενοι δύο ῥη‐ ### book 193.3 τὰς κατὰ τὸν τεχνικὸν δυνάμει μόνον συμμέτρους τήν τε ### book 193.4 τοῦ η πλευρὰν καὶ τὴν τοῦ ϛ· τὰ αὐτὰ γὰρ ἔστωσαν εἰς ### book 193.5.1 παραδείγματα τὰ καὶ ἐν τῷ προλαβόντι κεʹ ληφθέντα θεω‐ ### book 193.5.2 ρήματι· πολλαπλασιάζομεν αὐτὰς πρὸς ἀλλήλας καὶ τοῦ ### book 193.5.3 ὑπ’ αὐτῶν γινομένου χωρίου τὴν τετραγωνικὴν πλευρὰν ### book 193.5.4 ἐκβαλόντες ἔχομεν μέσην τὴν β λζ νε· ἡ γὰρ δυναμένη τὸ ### book 193.5.5 ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων περιεχόμενον μέση ### book 193.10.1 ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἡ τοῦ η πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ ϛ ἀσύμμετρός ### book 193.10.2 ἐστι μήκει, ποιοῦμεν καὶ τὴν εὑρεθεῖσαν μέσην πρὸς ἄλλην ### book 193.10.3 τινὰ τὸν αὐτὸν ἔχουσαν λόγον, ὃν ἡ τοῦ η πλευρὰ πρὸς τὴν ### book 193.10.4 τοῦ ϛ. λαμβάνομεν οὖν πρώτην μὲν τὴν τοῦ η πλευράν, ### book 193 δευτέραν δὲ τὴν τοῦ ϛ καὶ τρίτην τὴν εὑρεθεῖσαν μέσην ### book 193.15.1 καὶ ἐπιζητοῦμεν τὴν λοιπήν, ἥτις ἐστὶ τετάρτη. καὶ ἐπεὶ τὸ ### book 193.15.2 ὑπὸ τῆς πρώτης καὶ τετάρτης ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῆς δευ‐ ### book 193.15.3 τέρας καὶ τρίτης, πολλαπλασιάζομεν τὴν τοῦ ϛ πλευρὰν ### book 193.15.4 μετὰ τῆς εὑρεθείσης μέσης, καὶ τὸ χωρίον τὸ γινόμενον ### book 193.15.5 παραβάλλομεν πρὸς τὴν τοῦ η πλευρὰν καὶ τὸ εὑρισκόμενον ### book 193.20.1 πλάτος ποιοῦμεν τετάρτην, ἥτις ἐστὶν ἡ ζητουμένη μέση ### book 193.20.2 οὖσα β ιϛ με, πρὸς ἣν ἡ εὑρεθεῖσα λόγον τε ἔχει, ὃν ἡ τοῦ ### book 193.20.3 η πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ ϛ, καὶ ἔτι ἀσύμμετρός ἐστι μήκει· ### book 193.20.4 καὶ πρὸς τούτοις καὶ τὸ ὑπ’ αὐτῶν γινόμενον εὑρίσκεται ### book 193.20.5 ὑπάρχον ῥητὸν διὰ τὸ ἴσον εἶναι τὸ ὑπὸ τῶν δύο μέσων τῷ ### book 193.25.1 ἀπὸ τῆς τοῦ ϛ πλευρᾶς γινομένῳ. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς πλευρᾶς ### book 193.25.2 τοῦ ϛ μονάδων ἐστὶν ϛ· καὶ τὸ ὑπὸ τῶν δύο μέσων ἄρα ### book 193.25.3 γινόμενον μονάδων ἐστὶ ϛ. ### book 194.1 Δείξας ἁπλῶς ἐν τῷ κεʹ θεωρήματι τὸ περιεχόμε‐ ### book 194.2 νον ὑπὸ δύο εὐθειῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων ὀρθογώνιον ### book 194.3 ἢ ῥητὸν ἢ μέσον, νῦν προστίθεται εἰπεῖν, πότε ῥητὸν καὶ ### book 194.4 πότε μέσον. ### book 195.1 ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ p. 43, 8. 9] ἐπεὶ ### book 195.2 γὰρ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β, σύμμετρόν ἐστιν αὐτῷ· ῥητὸν ### book 195.3 δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Β, καὶ τὰ σύμμετρα τούτῳ πάντως ῥητά, ὡς ### book 195.4 ὁ ὅρος φησίν. ### book 196.1 Ἀναγεγράφθω γὰρ ὑπὸ τῶν ΔΓ, ΓΕ p. 219, 1. 2] ### book 196.2 ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΓΕ οὐκ ἀριθμῶν, ἀλλὰ μεγεθῶν τόσας ### book 196.3 σπιθαμὰς ἢ πήχεις ἢ ἄλλα τινὰ τῶν μέτρων ἐχόντων, ὅσαι ### book 196.4 αἱ μονάδες τῶν ΓΔ, ΓΕ ἀριθμῶν. εἰ γὰρ ἔσονται οἱ ΔΓ, ### book 196.5.1 ΓΕ ἀριθμοὶ καὶ οὐ μεγέθη, πῶς περιέξουσιν ὀρθογώνιον ### book 196.5.2 χωρίον; πῶς δὲ ἔσται δυνατὸν γενέσθαι, ὡς ἀριθμὸν πρὸς ### book 196.5.3 ἀριθμόν, εὐθεῖαν πρὸς εὐθεῖαν; ἐκ τοῦ πορίσματος τοῦ ### book 196 ἐν τῷ ι ἕκτου. ### book 197.1 Τρία ταῦτα προτίθεται ζητῆσαι, ὅτι δυνάμει μόνον ### book 197.2 συμμέτρους, ὅτι μέσον περιεχούσας, καὶ ὅτι μέσας. ὅτι μὲν ### book 197.3 οὖν μέσας, δείκνυσι κατασκευάζων τὴν Δ μέσην καὶ ταύτῃ ### book 197.4 σύμμετρον τὴν Ε. ὅτι δὲ καὶ μέσον περιεχούσας, δείκνυσιν ### book 197.5.1 ἐκ τοῦ τὰς δ εὐθείας ἀναλόγους ἄγεσθαι τὰς Α, Δ, Ε, Γ, ### book 197.5.2 καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον δείκνυσθαι τῷ ὑπὸ τῶν Δ, Ε, ### book 197.5.3 μέσον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ, διότι ῥηταὶ ὑπόκεινται δυνάμει ### book 197.5.4 μόνον σύμμετροι, καί ἐστι τὸ ὑπ’ αὐτῶν μέσον· τὸ γὰρ ### book 197.5.5 ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων μέσον ἐστίν· μέσον ### book 197.10 ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 198.1 Ἔστω ὁ ΑΒ μονάδων ιϛ, ὁ δὲ ΓΒ μονάδων δ. λοι‐ ### book 198.2 πὸς ἄρα ὁ ΓΑ ἐστι μονάδων ι καὶ β. τμηθέντος δὲ τοῦ ### book 198.3 ΓΑ δίχα τοῦ ιβ κατὰ τὸ Δ ἔσονται οἱ ΓΔ, ΔΑ ἀνὰ μονά‐ ### book 198.4 δων ϛ. ἔστι δὲ ὁ ἐκ τῶν ΑΒ καὶ ΒΓ, τουτέστιν ὁ ἀπὸ τῶν ### book 198.5.1 ιϛ καὶ δ, ξ καὶ δ· τετράκις γὰρ τὰ ιϛ ξδ. ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ ΓΔ ### book 198.5.2 τοῦ ϛ τετράγωνός ἐστι λϛ· ἑξάκις γὰρ τὰ ϛ λϛ. τὰ οὖν ἐκ ### book 198.5.3 τῶν ΑΒ τῶν ιϛ καὶ ΒΓ τῶν δ, ἅπερ ἐστὶν ξδ, μετὰ τοῦ ### book 198.5.4 λϛ, ὅς ἐστιν ὁ ἐκ τῆς ΓΔ τετράγωνος, τὰ οὖν ξδ καὶ λϛ ### book 198.5.5 συντεθέντα ἀποτελοῦσι τὸν ρ ἀριθμόν, ὃς ρ τετράγωνός ### book 198.10.1 ἐστι, πλευρὰ δὲ αὐτοῦ ἐστιν ὁ ι ἀριθμὸς ἤτοι ὁ ΒΔ· ἔστι ### book 198.10.2 γὰρ ὁ ΒΓ μονάδων δ, ὁ δὲ ΓΔ μονάδων ϛ. ὁ ἄρα ἐκ τῶν ### book 198.10.3 ΑΒ, ΒΓ ἤτοι ὁ ξδ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ ἤτοι τοῦ λϛ ### book 198.10.4 ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ ἤτοι τῷ τετραγώνῳ τῷ ἀπὸ τῆς ### book 198.10.5 ΒΔ ὄντι μονάδων ρ. ὅτι δὲ καὶ ὁ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ὅς ἐστιν ### book 198.15 ὁ ξδ, τετράγωνός ἐστι, δῆλον· ἔστι γὰρ αὐτοῦ πλευρὰ τὰ ### book 198 η· ὀκτάκις γὰρ τὰ η ξδ. ### book 199.1 Οὐκ ἀεὶ τετράγωνοι τετραγώνοις συντιθέμενοι ### book 199.2 τετραγώνους ποιοῦσιν, ἀλλὰ δύνανται καὶ μὴ ποιεῖν. ὁ μὲν ### book 199.3 γὰρ θ καὶ ὁ ιϛ συντιθέμενοι τὸν κε ποιοῦσιν τετράγωνον ### book 199.4 ὄντα, ὁ δὲ κε καὶ ὁ θ ποιοῦσι τὸν λδ μὴ ὄντα τετράγωνον. ### book 199.5.1 διὸ ὑποθέμενοι δύο ἀριθμοὺς τοὺς ΑΒΓ ἄμφω ἀρτίους ἢ ### book 199.5.2 περιττοὺς καὶ ὁμοίους ἐπιπέδους ὥστε τὸν ἐξ αὐτῶν συγκεί‐ ### book 199.5.3 μενον πάντως τετράγωνον γίνεσθαι εὑρίσκοντες τὸν ἀπὸ ### book 199.5.4 ΒΔ τετράγωνον συγκείμενον ὑπὸ τοῦ ΑΒΓ καὶ τοῦ ἀπὸ ### book 199.5.5 ΓΔ· καὶ γὰρ ἑκάτεροι τετράγωνοι, ὁ μὲν ΑΒΓ, ἐπειδὴ ### book 199.10.1 ἄμφω ὅμοιοί εἰσι τετράγωνοι, ἐὰν δὲ ὅμοιοι ἐπίπεδοι ### book 199.10.2 ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, ὁ γε‐ ### book 199.10.3 νόμενος τετράγωνος ἔσται. ἀλλὰ καὶ ὁ ἀπὸ ΓΔ τετράγω‐ ### book 199.10.4 νος. ἴσος δὲ ὁ ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ΓΔ τῷ ἀπὸ ΒΔ· εὐθεῖα ### book 199.10.5 γὰρ ἡ ΑΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Δ, καὶ πρόσκειται αὐτῇ ### book 199.15.1 ἐπ’ εὐθείας ἡ ΒΓ, καὶ διὰ τοῦτο τὸ ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ### book 199.15.2 ἀπὸ ΓΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΒΔ. ### book 200.1 Εἴρηται πολλάκις, ὅτι αἱ μήκει μὲν ἀσύμμετροι, ### book 200.2 δυνάμει δὲ σύμμετροι ῥηταὶ καλοῦνται διὰ τὸ τὰ ἀπ’ αὐτῶν ### book 200.3 τετράγωνα σύμμετρα ὑπάρχειν. ἔστωσαν οὖν δύο εὐθεῖαι ### book 200.4 αἱ Α, Β, ἡ μὲν Α ῥητὴ ποδῶν ἢ πήχεων ἢ ὅ τι βούλει η, τὸ ### book 200.5.1 δὲ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον ξδ, ἡ δὲ Β τμημάτων ε ιζ κθ, καὶ ### book 200.5.2 τὸ ἀπ’ αὐτῆς ε ιζ κθ τετράγωνον κη. ἔστιν οὖν μείζων μὲν ### book 200.5.3 εὐθεῖα ἡ ὀκτάπους, ἐλάττων δὲ ἡ ε ιζ κθ, καί ἐστι τὸ μὲν ### book 200.5.4 ἀπὸ τῆς ὀκτάποδος τετράγωνον ξδ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ε ιζ ### book 200.5.5 κθ κη. καί εἰσι τὰ μὲν τετράγωνα τὰ ξδ κη σύμμετρα· ### book 200.10.1 ἔχουσι γὰρ κοινὸν μέτρον τὸν δ. αἱ δὲ εὐθεῖαι ἀσύμμετροι ### book 200.10.2 μήκει, ῥηταὶ δὲ διὰ τὸ τὰ τετράγωνα τὰ ἀπ’ αὐτῶν σύμ‐ ### book 200.10.3 μετρα τυγχάνειν, καὶ δύναται ἡ μείζων ἡ η τῆς ε ιζ κθ τὸ ### book 200.10.4 ἀπὸ τῆς ϛ τετράγωνον τὸ λϛ. καί ἐστιν ὁ ϛ τῷ η σύμμετρος ### book 200 μήκει. ### book 201.1 Ἔστω ὁ ΓΔ λϛ, ὁ δὲ ΔΕ ιϛ. ἔστιν ἄρα ἡ ὑπεροχὴ ### book 201.2 τοῦ ΓΔ πρὸς τὸν ΔΕ μονάδων κ. ὁ οὖν κ οὐκ ἔστι τετρά‐ ### book 201.3 γωνος. ### book 202.1 ὁ ἐκ τῶν p. 45, 20] σημείωσαι, ὅτι τὸ ἐκ καὶ τὸ ὑπὸ ### book 202.2 ἓν ἔχει ὁ τεχνικός. ### book 203 Τοῦτο καὶ τὸ ἑξῆς λημμάτια τῶν μετὰ ταῦτα. ### book 204.1 Ἐντεῦθεν ἡ τῶν λοιπῶν ἀλόγων ἄρχεται εὕρεσις ### book 204.2 καὶ πρῶτον τῶν κατὰ συνθήκην, προλαμβάνει δὲ τὰ θεω‐ ### book 204.3 ρήματα ταῦτα ὡς ἐκ τούτων ἀναφαινομένων τῶν κατὰ ### book 204.4 συνθήκην ἀλόγων. ### book 204.5.1 Αὗται δὲ αἱ δύο ῥηταὶ ἄνισοι γενικώτεραι αἱ δυνάμει ### book 204.5.2 μόνον σύμμετροι προσεχῶς μὲν τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων εἰσὶ ### book 204.5.3 πρόγονοι, καὶ πρό γε ταύτης τῆς μέσης. ### book 205.1 Ἔστω ἡ ΑΒ ὀκτάπους· τὸ ἄρα ἀπ’ αὐτῆς τετρά‐ ### book 205.2 γωνόν ἐστι ποδῶν ξδ. ἔστω δὲ ἡ ΑΖ ε ιζ κθ· τὸ ἄρα ἀπ’ ### book 205.3 αὐτῆς ἐστι ποδῶν κη. εἰσὶν ἄρα σύμμετροι δυνάμει μόνον ### book 205.4 καὶ διὰ τοῦτο καὶ ῥηταὶ ἡ ὀκτάπους καὶ ἡ ε ιζ κθ. ἔστι δὲ ### book 205.5.1 ἡ ὑπεροχὴ τοῦ ξδ πρὸς τὰ κη λϛ, ἅτινα λϛ δύναται ἡ ἑξά‐ ### book 205.5.2 πους σύμμετρος οὖσα μήκει τῇ ὀκτάποδι· τὰ γὰρ ἀπ’ αὐ‐ ### book 205.5.3 τῶν τετράγωνα τὰ ξδ καὶ λϛ λόγον ἔχει πρὸς ἄλληλα, ὃν ### book 205.5.4 τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, τετραγω‐ ### book 205.5.5 νικὸν δὲ λόγον ἔχειν πρὸς ἄλληλα λέγεται, ὧν μεταξὺ ἐμ‐ ### book 205.10.1 πίπτει μέσος ἀνάλογον, ὥσπερ καὶ ἐπὶ τούτων· μεταξὺ γὰρ ### book 205.10.2 τοῦ ξδ καὶ λϛ ἐστιν ὁ μη, καί ἐστιν ὡς ὁ ξδ πρὸς τὸν μη ### book 205.10.3 (ἐπίτριτος γάρ), οὕτως ὁ μη πρὸς τὸν λϛ· ἐπίτριτος γὰρ καὶ ### book 205.10.4 οὗτος. ὅτι δὲ τὸ τετράπουν, ὅπερ καὶ τετράγωνόν ἐστι χω‐ ### book 205.10.5 ρίον, κοινόν ἐστι μέτρον τοῦ ξδ καὶ τοῦ κη, δῆλον· τετρά‐ ### book 205.15 κις γὰρ ιϛ ξδ καὶ τετράκις ζ κη. ### book 206.1 Κατ’ ἄλλην γραφὴν ἀριθμοὶ εἰς τὸ κθʹ θεώρημα. ### book 206.2 Ἔστω ὁ ΓΔ ξδ καὶ ὁ ΔΕ λϛ ὡς εἶναι τὴν ὑπεροχὴν τὴν ### book 206.3 ΓΕ κη, ἡ δὲ ΑΒ εὐθεῖα ἔστω κ. εὑρίσκεται οὖν τὸ ἀπὸ ### book 206.4 τῆς ΖΑ ροε, ἧς ἡ πλευρὰ ιγ ιγ μγ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΖΒ τὰ ### book 206.5.1 λοιπὰ τῶν υ τῶν ἀπὸ τῆς ΑΒ σκε, ἡ δὲ ΒΖ ιε, ἥτις ἐστὶ ### book 206.5.2 σύμμετρος τῷ κ μήκει, ἡ δὲ ΑΖ δυνάμει μόνον ἐστὶ σύμ‐ ### book 206.5.3 μετρος τῇ ΑΒ. ### book 207.1 ἀναστρέψαντι p. 49, 5] ἀναστροφὴ λόγου ἐστίν, ### book 207.2 ὡς ἐμάθομεν ἐν τοῖς ὅροις τοῦ εʹ βιβλίου, λῆψις τοῦ ἡγου‐ ### book 207.3 μένου πρὸς τὴν ὑπεροχήν, ᾗ ὑπερέχει τὸ ἡγούμενον τοῦ ### book 207.4 ἑπομένου. ἦν δὲ ἐνταῦθα ἡγούμενον μὲν ὁ ΔΓ, ἑπόμενον ### book 207.5.1 δὲ ὁ ΓΕ, ὥστε ὑπεροχή, ᾗ ὑπερέχει ὁ ΔΓ τοῦ ΓΕ, ὁ ΔΕ ### book 207.5.2 ἐστιν. ἐπεὶ δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΖ, ### book 207.5.3 ΖΒ, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ὑπερέχει τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΖ τῷ ἀπὸ τῆς ### book 207.5.4 ΖΒ. ὥστε ὅταν λέγωμεν, ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ### book 207.5.5 τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ, τοῦτό φαμεν, ὅτι ὡς ### book 207.10.1 ὁ ἡγούμενος ὁ ΔΓ πρὸς τὴν ὑπεροχὴν τῶν ΔΕ, οὕτως ### book 207.10.2 ὁ ΑΒ ὁ ἡγούμενος πρὸς τὴν ὑπεροχὴν τῶν ΒΖ· ὑπεροχὴ ### book 207.10.3 γάρ ἐστιν, ὡς εἴρηται, καὶ ἡ ΒΖ καὶ ὁ ΔΕ. ### book 208.1 τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ· ### book 208.2 p. 49, 11] διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν ὑπὸ ΑΖΒ γωνίαν· πᾶσαι ### book 208.3 γὰρ αἱ ἐν ἡμικυκλίῳ γωνίαι ὀρθαὶ ἔσονται· καὶ ἐπεὶ δέδει‐ ### book 208.4 κται, ὅτι ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ### book 208.5.1 ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ### book 208.5.2 τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν, καὶ διὰ ### book 208.5.3 τοῦτο τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ· ### book 208 ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 209.1 Ἔστω ῥητὴ ἡ ΑΒ μοιρῶν κ καὶ ὁ ΓΔ τετράγωνος ### book 209.2 μοιρῶν μθ, ὁ δὲ ΔΕ μοιρῶν λϛ, ὥστε τὴν ὑπεροχὴν τὸν ### book 209.3 ΓΕ εἶναι μοιρῶν ιγ. καὶ γεγονέτω ὡς ὁ μθ πρὸς ιγ, οὕ‐ ### book 209.4 τως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἤτοι τὸ ἀπὸ τοῦ κ ἤτοι τὸ υ πρὸς τὴν ### book 209.5.1 ΑΖ. πολυπλασιασθέντος τοῦ ιγ πρὸς τὸν υ καὶ παραβλη‐ ### book 209.5.2 θέντος πρὸς τὸν μθ, καὶ γενήσεται τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ μοιρῶν ### book 209.5.3 ρϛ ζ κ μη νη, ἡ δὲ πλευρὰ τοῦ ρϛ ζ κ μη νη ἤτοι ἡ ΑΖ ### book 209.5.4 ἔσται μοιρῶν ι λεπτῶν ιη ε μ. ἐπεὶ δὲ ἡ ὑπὸ ΑΖΒ ὀρθή ### book 209.5.5 ἐστιν· ἐν ἡμικυκλίῳ· ὑποτείνουσα δέ ἐστιν ἡ ΑΒ, δύναται ### book 209.10.1 ἄρα ἴσον ταῖς ΑΖ, ΖΒ. ἐκβαλλομένου οὖν τοῦ ἀπὸ τῆς ### book 209.10.2 ΑΖ ἀπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἀπολειφθήσεται τὸ ἴσον τῷ ἀπὸ ### book 209.10.3 τῆς ΖΒ, ὅπερ ἐστὶ μοιρῶν σϙϛ λεπτῶν νβ λθ ια β, καὶ ἡ ### book 209.10.4 ΖΒ μοιρῶν ιζ λεπτῶν η λδ ιζ. ### book 210.1 Εἰς τὸ λʹ θεώρημα κατ’ ἄλλην γραφήν. ### book 210.2 Ἔστω ὁ ΓΕ δ ὁ ΕΔ λϛ ὁ ὅλος ΓΔ μδ μὴ τετράγωνος, ### book 210.3 οὗ ἡ πλευρὰ ἡ ΑΒ ι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ρ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ ι ἡ ### book 210.4 ΑΖ ἡ πλευρὰ τοῦ ι τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ ϙ ἡ ΖΒ θ κθ ιβ ι ἡ ### book 210.5 πλευρὰ τοῦ ι Α γ θ μδ. ### book 211.1 Αὗται μητέρες εἰσὶν κοινῶς μὲν τῆς ἐκ δύο ὀνο‐ ### book 211.2 μάτων. ### book 212.1 Αὗται αἱ τοιαῦται μέσαι μητέρες εἰσὶ τῆς ἐκ δύο ### book 212.2 μέσων πρώτης. ζητητέον δέ, διὰ τί οὐ ζητεῖ δύο μέσας ### book 212.1 δυνάμει μόνον συμμέτρους ῥητὸν περιεχούσας ὥστε τὴν ### book 212.2 μείζονα τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ συμ‐ ### book 212.5 μέτρου μήκει. ### book 213.1 Τῷ ὑπὸ τῶν Α, Β κεῖται ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς Γ. ### book 213.2 ὥστε ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν Α, ### book 213.3 Β πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, συνάγεται ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ### book 213.4 τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β οὕτως· ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ### book 213.5.1 Β, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς Γ, πρὸς ### book 213.5.2 τὸ ἀπὸ τῆς Β. καὶ ἐπεὶ πάλιν τὸ ἀπὸ τῆς Β ἴσον κεῖται τῷ ### book 213.5.3 ὑπὸ τῶν Γ, Δ, ῥητέον οὕτως· ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως τὸ ### book 213.5.4 ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β ἤτοι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ· ### book 213.5.5 ἴσον γάρ, ὡς εἴρηται, κεῖται τὸ ἀπὸ τῆς Β πρὸς τὸ ὑπὸ ### book 213.10.1 τῶν Γ, Δ. ὥστε ἀντὶ τοῦ λέγειν οὕτως· τὸ ἀπὸ τῆς Γ ### book 213.10.2 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, ῥητέον οὕτως· τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ### book 213.10.3 ὑπὸ τῶν Γ, Δ. ### book 214.1 Ἡ Α μονάδων κ ἡ Β μοιρῶν ι λεπτῶν ιη ε μ τὸ ### book 214.2 ὑπὸ τῶν Α, Β μοιρῶν σϛ λεπτῶν α νγ κ, ὧν πλευρά ἐστιν ### book 214.3 ἡ Γ οὖσα μοιρῶν ιδ λεπτῶν κα ιγ μ· τὸ γοῦν ἀπὸ Γ ἴσον ### book 214.4 ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Α, Β. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς Β ἐστι μοιρῶν ρϛ ### book 214.5.1 λεπτῶν ζ μδ λβ ϛ μ, ᾧ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν Γ, Δ, ὡς ### book 214.5.2 εἶναι τὸν Δ μοιρῶν ζ λεπτῶν κγ λϛ κ οὐδέν. ### book 215.1 Εἰς τὸ λαʹ θεώρημα ἀριθμοὶ κατ’ ἄλλην γραφήν. ### book 215.2 Ἔστω ἡ Α κ ἡ Β ἡ πλευρὰ τοῦ ροε, ἥτις ἐστὶν ιγ ### book 215.3 ιγ μγ. ### book 215.4 τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β ἤτοι τὸ ἀπὸ τῆς Γ σξδ μοιρῶν μδ λεπτῶν ### book 215.5.1 πρώτων κε δευτέρων, ἡ Γ ιβ μοιρῶν λεπτῶν πρώτων ιε ### book 215.5.2 λεπτῶν δευτέρων νβ, ἡ Δ ι με λβ, τὸ ὑπὸ Γ, Δ ροε. ### book 216 τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου p. 52, 3] εἰς τὸ ἀπὸ ἀσυμ‐ ### book 216.1 μέτρου ἔστω ἡ Α ι ἡ Β ἡ πλευρὰ τοῦ ι, καθὼς κεῖται ἐν ### book 216.2 τῷ λʹ, τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β λα λζ κ ἤτοι τὸ ἀπὸ τῆς Γ. ἡ Γ ε ### book 216.3 λζ κδ, ἡ Δ α μϛ μα, τὸ ἀπὸ τῆς Δ γ θ νδ. ### book 217.1 Τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β ἤτοι τὸ ἀπὸ τῆς Γ μοιρῶν ٢٦٤ ### book 217.2 λεπτῶν πρώτων ٣٤ καὶ δευτέρων ٢, τὸ δὲ Γ, Δ ١٧٥. ### book 218.1 Αἱ τοιαῦται μέσαι μητέρες εἰσὶ τῆς ἐκ δύο μέσων ### book 218.2 δευτέρας. ### book 219.1 Εἰς τὴν εὕρεσιν τῶν δύο μέσων τῶν περιεχουσῶν ### book 219.2 τὸ μέσον ἐκτίθεμεν τρεῖς ῥητὰς δυνάμει μόνον συμμέτρους ### book 219.3 τὰς Α, Β, Γ καὶ τὴν μὲν Α ὑποτίθεμεν τοῦ ι τὴν πλευράν, ### book 219.4 τὴν δὲ Β τοῦ η τὴν πλευράν. ἐπεὶ δὲ τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ### book 219.5.1 ἀπὸ τῆς Γ ὑποτίθεται ὁ τεχνικὸς μεῖζον δύνασθαι τῷ ἀπὸ ### book 219.5.2 συμμέτρου ἑαυτῇ, ἐκτίθεμεν δύο ἀριθμοὺς ἑτέρους τὸν θ ### book 219.5.3 καὶ ε, ὧν ἡ ὑπεροχή ἐστι τετράγωνος ὁ δ, καὶ δύναται ὁ ### book 219.5.4 θ τοῦ ε τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῷ. ποιοῦμεν οὖν ὡς τὸν θ ### book 219.5.5 πρὸς τὸν ε, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α, ὅπερ ἐστὶ μονάδων ι, ### book 219.10.1 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Γ, τουτέστιν ὡς πρῶτον τὸν θ πρὸς δεύ‐ ### book 219.10.2 τερον τὸν ε, οὕτως τρίτον τὰ ι πρὸς τέταρτον τὸ Γ. ἐὰν ### book 219.10.3 ἄρα τὸ ὑπὸ μέσων πολυπλασιάσωμεν, τουτέστι τὸν δέκα ### book 219.10.4 καὶ πέντε, καὶ παραβάλωμεν παρὰ τὸν θ, γενήσεται ἡμῖν ### book 219.10.5 τὸ Γ ε λγ κ, οὗ πλευρὰ ἔσται β κα κε ῥητὴ οὖσα δυνάμει καὶ ### book 219.15.1 σύμμετρος τῇ Α. καὶ ἐπεὶ πάλιν τὰς Α, Β ῥητὰς οὔσας ### book 219.15.2 δυνάμει μόνον ὑποτίθεται, τὸ δὲ ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον ### book 219.15.3 συμμέτρων μέσον ἐστί, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Α, Β γινόμενον ### book 219.15.4 η νζ μγ ν κδ μέσον ἐστὶ καὶ αὐτό, καὶ ἡ δυναμένη αὐτὸ ### book 219 μέση ἐστὶν ἤγουν τὰ β νθ κη. πάλιν ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ ### book 219.20.1 ἴσον ὑποτίθεται τῷ ὑπὸ τῶν Δ, Ε, ἐὰν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ### book 219.20.2 Β, Γ πολυπλασιάσωμεν καὶ παρὰ τὸν δ παραβάλωμεν, ### book 219.20.3 γενήσεται ἡ Ε οὖσα β ιγ μγ· καὶ τὸ ἀπὸ τούτων τετράγω‐ ### book 219.20.4 νον δ νη οὐδὲν η μθ. καὶ ἀποτελοῦνται πάντα τὰ τῆς προ‐ ### book 219.20.5 τάσεως· ἥ τε γὰρ Δ τῇ Ε σύμμετρός ἐστι δυνάμει μόνον, ### book 219.25.1 διότι καὶ ἡ Α τῇ Γ δυνάμει μόνον σύμμετρος, καὶ τὸ ἀπὸ ### book 219.25.2 τῆς Δ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ε μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμ‐ ### book 219.25.3 μέτρου ἑαυτῇ, καὶ πάλιν τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ε περιεχόμενον ### book 219.25.4 μέσον ἐστίν. ### book 220.1 Ἔστω ἡ Α ι ἡ Β ἡ πλευρὰ τοῦ ιβ γ κζ ν ἡ Γ ἡ πλευρὰ ### book 220.2 τοῦ ι, καθὸ ἐλήφθη ἐν τῷ λʹ θεωρήματι, τὸ ὑπὸ Α, Β λδ ### book 220.3 λη κ ἤτοι τὸ ἀπὸ τοῦ Δ, ἡ Δ ε νγ ζ τὸ ὑπὸ Β, Γ ι νζ ιβ νδ ### book 220.4 μ ἡ Ε α ν μγ. ### book 221.1 Εἰς τὸ λβʹ κατ’ ἄλλην γραφήν. ### book 221.2 Ἡ Α κ ἡ Β ἡ πλευρὰ τοῦ ς ἤτοι ιδ η λα ἡ Γ ἡ πλευρὰ τοῦ ### book 221.3 ροε ἤτοι ιγ ιγ μγ, καθὼς κεῖται ἐν τῷ κθʹ, τὸ ὑπὸ Α, Β ### book 221.4 σπβ ν κ ἡ Δ ιϛ μθ δ τὸ ὑπὸ Β, Γ ρπζ δ μα νβ λγ ἡ Ε ια ζ κε. ### book 222.1 τὸ ἀπὸ τῆς Δ p. 52, 19] ἤγουν τῶν Α, Β μέση ### book 222.2 ἀνάλογον εἰλήφθω ἡ Δ διὰ τὸ ιγʹ τοῦ ϛʹ· τὸ γὰρ ὑπὸ ### book 222.3 τῶν ἄκρων ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου διὰ τὸ ιζʹ τοῦ ϛʹ. ### book 223.1 Μαξίμου Πλανούδη ### book 223.2 Λέγω, ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ### book 223.3 τῶν ΓΑ, ΑΔ. ἐπεὶ γὰρ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τῷ ΑΔΓ, ### book 223.4 ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ### book 223.5 ΔΓ. ἐὰν δὲ τέσσαρες εὐθεῖαι καὶ ἑξῆς. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ### book 223.1 ΑΒ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΓ, ΑΔ. ### book 223.2 Καὶ ἔτι ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ### book 223.3 ΑΓ, ΒΔ. ἔστι γὰρ πάλιν ὅμοιον τὸ ΑΒΓ τῷ ΑΒΔ. ### book 223.4 ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ### book 223.10.1 ΔΑ. ἐὰν δὲ τέσσαρες εὐθεῖαι καὶ ἑξῆς. τὸ ἄρα καὶ ὑπὸ τῶν ### book 223.10.2 ΒΑ, ΑΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΒΔ. ### book 224.1 Ἔστω ἡ ΒΓ μονάδων κε, ἡ δὲ ΒΔ θ, ἡ δὲ ΔΓ ιϛ ### book 224.2 καὶ ἔτι ἡ μὲν ΒΑ ιε, ἡ δὲ ΑΓ κ. ἔστιν οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ### book 224.3 ΓΒ, ΒΔ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν κε καὶ θ, ὅπερ ἐστὶ σκε, ### book 224.4 ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΑ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῶν ιε. πάλιν τὸ ### book 224.5.1 ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΓΔ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν κε καὶ ιϛ, ὂν ### book 224.5.2 τετρακοσίων ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἤτοι τῷ ἀπὸ τῶν κ. ### book 224.5.3 πάλιν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἤτοι τὸ ὑπὸ τῶν θ καὶ ιϛ ὂν καὶ ### book 224.5.4 αὐτὸ ρμδ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ ἤτοι τῷ ἀπὸ τῶν ιβ. καὶ ### book 224.5.5 ἔτι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΔ ἤγουν τῶν κε καὶ ιβ ὂν τ ἴσον τῷ ### book 224.10.1 ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ, τουτέστι τῷ ὑπὸ τῶν ιε καὶ κ· τ γὰρ καὶ ### book 224.10.2 αὐτό. ### book 225.1 Ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΑΔ τῇ ΕΒ· τῶν γὰρ παραλληλο‐ ### book 225.2 γράμμων χωρίων αἱ ἀπεναντίον πλευραὶ ἴσαι εἰσὶν ἀλλή‐ ### book 225.3 λαις. ### book 226 Αὗται μητέρες εἰσὶ τῆς μείζονος τετάρτης ἀλόγου. ### book 227.1 Ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι, ἔσται ὡς ἡ μία πρὸς τὴν ### book 227.2 ἑτέραν, οὕτως τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου καὶ μιᾶς αὐτῶν πρὸς ### book 227.3 τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου καὶ ἑτέρας. ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ### book 227.4 ΑΒ, ΒΓ. λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ### book 227.5.1 τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΒ. ἤχθω γὰρ ### book 227.5.2 ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἴση τῇ ΑΓ ἡ ΒΔ, καὶ ### book 227.5.3 συμπεπληρώσθω τὸ ΑΕ παραλληλόγραμμον. ἐπεὶ οὖν ### book 227.5.4 ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ΑΔ πρὸς τὸ ΔΓ, ### book 227.5.5 καί ἐστι τὸ μὲν ΑΔ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΑΒ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ### book 227.10.1 τῶν ΓΑ, ΑΒ· ἴση γὰρ ὑπόκειται ἡ ΒΔ τῇ ΓΑ· τὸ δὲ ΔΓ ### book 227.10.2 ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΓΒ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ### book 227.10.3 καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΓΑ, ### book 227.10.4 ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 228.1 Ὅτι ἐνδέχεται ἐκ μὴ ῥητῶν χωρίων συντιθεμένων ### book 228.2 τὸ ὅλον γίνεσθαι ῥητόν, ἐντεῦθεν ἂν μάθοις. ἐκκείσθω ῥη‐ ### book 228.3 τὴ ἡ ΑΒ καὶ δύο ἀριθμοὶ λόγον μὴ ἔχοντες, ὃν τετράγωνος ### book 228.4 πρὸς τετράγωνον, οἱ Γ, Δ, καὶ γεγονέτω ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν ### book 228.5.1 Δ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ. καὶ ἀνα‐ ### book 228.5.2 γεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον, καὶ παράλληλος [Omitted graphic marker] ### book 228.5.3 ἤχθω διὰ τοῦ Ε. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ### book 228.5.4 ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ### book 228.5.5 τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ### book 228.10.1 τῆς ΒΕ, ὁ δὲ Γ πρὸς τὸν Δ ### book 228.10.2 λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγω‐ ### book 228.10.3 νος πρὸς τετράγωνον, ἀσύμ‐ ### book 228.10.4 μετρος ἄρα μήκει ἡ ΑΒ τῇ ### book 228.10.5 ΒΕ. καὶ λοιπῇ ἄρα τῇ ΑΕ ### book 228.15.1 ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ἑκατέραν ### book 228.15.2 τῶν ΑΕ, ΒΕ, οὕτως τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον πρὸς ### book 228.15.3 ἑκάτερον τῶν παραλληλογράμμων. ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ### book 228.15.4 τετράγωνον τοῖς παραλληλογράμμοις. ῥητὸν δὲ τὸ τετρά‐ ### book 228.15.5 γωνον· ἄλογα ἄρα τὰ παραλληλόγραμμα μέρη ὄντα τοῦ ### book 228.20 ῥητοῦ καὶ συμπληροῦντα τὸ ὅλον. ### book 229.1 Ἡ ΑΒ δ ἡ ΒΓ β ιγ ιζ ἡ ΒΔ α ϛ λγ λ ἡ ΔΓ α ϛ ### book 229.2 λγ λ ἡ ΑΕ γ λθ να ἡ ΕΒ οὐδὲν κ θ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ ἤτοι ### book 229.3 τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ α ιγ ν ο μβ ιε. ἡ ΑΖ γ μθ μβ τὸ ὑπὸ ### book 229.4 τῶν ΒΑ, ΑΕ ιδ λθ κδ, ἡ δὲ δυναμένη αὐτὸ ἡ ΑΖ ἐστι. ### book 229.5.1 τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΕ α κ λϛ ἡ δυναμένη αὐτὸ ἡ ΖΒ α θ λβ. ### book 229.5.2 ἐὰν οὖν λάβης τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον, ὅπερ ἐστὶ τὸ α ### book 229.5.3 ιγ ν οὐδὲν μβ ιε, καὶ παραβάλῃς αὐτὸ πρὸς τὴν ΑΒ καὶ ### book 229.5.4 ἐκβάλῃς ἀπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ ἤτοι τῆς δ, ### book 229.5.5 καταλείπεται τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετράγωνον ### book 229.10 δύο μϛ θ νθ ιζ με οὐδέν, οὗ πλευρὰ α λθ να. ### book 230.1 ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ. p. 56, 5] τὸ ### book 230.2 ἀντίστροφον τοῦ ιηʹ τοῦ ιʹ τοῦ λέγοντος, ὅτι, ἐὰν ἡ μείζων ### book 230.3 τῆς ἐλάσσονος μεῖζον δύνηται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, ### book 230.4 τῷ δὲ δʹ μέρει τοῦ ἐκ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ μείζονα ### book 230.5.1 παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, εἰς ἀσύμμετρον ### book 230.5.2 αὐτὴν διαιρεῖ. ### book 231.1 Ἐὰν γὰρ ἀναγράψῃς τὰ παραλληλόγραμμα, ὑπὸ τὸ ### book 231.2 αὐτὸ ὕψος γίνονται. ### book 232.1 ὥστε καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΖ, ### book 232.2 ΖΒ ῥητόν ἐστιν. p. 56, 11. 12] ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΒ ῥητὴ ἐδόθη, ### book 232.3 καί ἐστι τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον ῥητὸν διὰ τὸν ὅρον, καί ### book 232.4 ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ διὰ μζʹ ### book 232.5.1 τοῦ αʹ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Ζ διὰ λαʹ τοῦ γʹ· ὥστε καὶ τὰ ### book 232.5.2 ἀπὸ τῶν ΑΖΒ ῥητά ἐστιν. ### book 233.1 Ἴσον γὰρ δύναται ἡ ΑΒ ταῖς ΑΖ, ΖΒ διὰ τὸ μζʹ ### book 233.2 τοῦ αʹ· ἡ γὰρ πρὸς τῷ Ζ γωνία ὀρθή ἐστιν. ### book 234.1 καὶ ἐπεὶ πάλιν p. 56, 13] διὰ πόρισμα τοῦ ηʹ τοῦ ### book 234.2 ϛʹ γίγνεται μέση ἀνάλογος ἡ ΖΕ τῆς ΑΕ, ΕΒ, καὶ διὰ ιζʹ ### book 234.3 τοῦ ϛʹ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ ἤτοι τὸ ὑπὸ τῶν ### book 234 ἄκρων καὶ τὸ ἀπὸ τῆς μέσης τῆς ΖΕ ἐκ κατασκευῆς. ### book 235.1 διπλῆ ἄρα ἡ ΒΓ p. 56, 15] διὰ τὸ τὴν ΒΓ διπλα‐ ### book 235.2 σίονα εἶναι τῆς ΒΔ, τὴν δὲ ΒΔ ἴσην εἶναι τῇ ΕΖ. ### book 236.1 ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ p. 56, 16] ὥστε σύμμετρος ἡ ΒΓ ### book 236.2 τῇ ΖΕ. καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ### book 236.3 τῶν ΑΒ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΕ διὰ τὸ αʹ τοῦ ϛʹ· ### book 236.4 ὕφος ἡ ΑΒ· σύμμετρος δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΖΕ. ### book 237.1 Αἱ τοιαῦται εὐθεῖαι μητέρες εἰσὶ τῆς ῥητὸν καὶ μέ‐ ### book 237.2 σον δυναμένης ἀλόγου. ### book 238.1 Ἡ ΑΒ β νη μδ, ἡ ΒΓ α λθ θ, τὸ ἥμισυ τῆς ΒΓ ### book 238.2 οὐδὲν μθ λδ λ, τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΒΓ μ νζ μ ν ιε. τὸ ### book 238.3 ἥμισυ τῆς ΑΒ α κθ κβ, τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ β ιϛ ϛ ### book 238.4 κδ δ, ἡ πλευρὰ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν α ιδ κα, τὸ ἀπὸ τῆς ### book 238.5.1 μεταξὺ τῶν τομῶν α λβ η μγ ιδ. ### book 238.5.2 Ἡ ΑΔ β κε ια, ἡ ΔΒ α μδ λ. ### book 238.5.3 Τὸ ἀπὸ τοῦ ἡμίσεος τῆς ΒΓ τετράγωνον ἐὰν παραβληθῇ ### book 238.5.4 πρὸς τὴν ἡμίσειαν τῆς ΑΒ, μᾶλλον δὲ ἀπὸ τοῦ τετραγώ‐ ### book 238.5.5 νου αὐτῆς τοῦ β ιγ ϛ κδ δ, καταλιμπάνεται τὸ ἀπὸ τῆς ### book 238.10.1 μεταξὺ τῶν τομῶν, ὅπερ ἐστὶν α λβ η μγ ιδ, ἡ πλευρὰ ### book 238.10.2 αὐτοῦ α ιδ κα, ἥπερ τῇ ἡμισείᾳ προστεθεῖσα ποιεῖ τὴν ΑΖ ### book 238.10.3 β μγ μγ, καὶ ἡ ΖΒ καταλιμπάνεται οὐδὲν ιε α. καὶ τὸ ὑπὸ ### book 238.10.4 τῶν ΑΖ, ΖΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΕ. τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ### book 238.10.5 ΑΖ παραλληλόγραμμόν ἐστι μοιρῶν ϙ λεπτῶν ὀκτώ, τὸ ### book 238.15.1 ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΖ οὐδὲν με ιγ. ἡ ΑΔ μοιρῶν β λεπτῶν να, ### book 238.15.2 ἡ ΒΔ οὐδὲν νγ ε, τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐστι μοιρῶν δ ### book 238.15.3 λεπτῶν νε κα κδ λϛ, τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΖΔ μοιρῶν β λεπ‐ ### book 238.15.4 τῶν κζ μβ. ### book 239.1 Κατ’ ἄλλην γραφὴν εἰς τὸ λδʹ ἀριθμοί. ### book 239.2 Ἡ ΑΒ ε λζ κδ, ἡ ΒΓ α δ μϛ; καθὼς καὶ ἐν τῷ τέλει τοῦ ### book 239.3 λαʹ ἀποδέδεικται, ἡ ΒΕ οὐδὲν νγ κ λ, τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ ### book 239.4 οὐδὲν μζ κε κ οὐδὲν ιε οὐδέν, τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ οὐδὲν α ιε μ μ, ### book 239.5 τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ λ α λϛ ιϛ, τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ οὐδὲν μη μ κϛ μ. ### book 240.1 Αἱ τοιαῦται εὐθεῖαι μητέρες εἰσὶ τῆς δύο μέσα ### book 240.2 δυναμένης ἀλόγου. ### book 241.1 Ἡ ΑΒ β κα κε, ἡ ΒΓ β ιγ μγ, τὸ ἥμισυ τῆς ΒΓ α ### book 241.2 ϛ να λ, τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΒΓ α ιδ λ μ ιβ ιε, τὸ ἥμισυ ### book 241.3 τῆς ΑΒ α κθ μδ, τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ β ιδ ιβ δ ιϛ, ### book 241.4 τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν οὐδὲν νθ μβ με, ἡ πλευρὰ ### book 241.5.1 οὐδὲν ζ μγ με. ### book 241.5.2 Ἡ ΑΖ α νζ κζ λ, ἔνθα μέλλει γενέσθαι ἡ τομὴ α β οὐ‐ ### book 241.5.3 δὲν λ𐆊. ### book 241.5.4 Ὁ ΑΔ α β κζ, ἡ ΔΒ α μ ιϛ. ### book 242.1 Κατ’ ἄλλην γραφὴν ἀριθμοὶ εἰς τὸ λεʹ. ### book 242.2 Ἡ ΑΒ ε νγ ζ, ἡ ΒΓ α ν μγ, ἡ ΑΖ ε μδ ιβ λ, ἡ ΒΕ ### book 242.3 οὐδὲν νε κα λ, τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ οὐδὲν να δ λβ μβ ιε οὐδέν, ἡ ### book 242.4 ΑΔ ε μη λζ, ἡ ΔΒ οὐδὲν μϛ δ. ### book 243 Ἑτέρα τοῦ αὐτοῦ καταγραφή. ### book 243col 1.1 ἡ ΑΒ ### book 243col 1.2 ٢ ### book 243col 1.3 ٢١ ### book 243col 1 ٣٥ ### book 243col 2.1 ἡ ΑΔ ### book 243col 2.2 ١ ### book 243col 2.3 ٤٠ ### book 243col 2 ٢٧ ### book 243col 3.1 τὸ ἀπὸ τῆς ### book 243col 3.2 ΑΒ ### book 243col 3.3 ٥ ### book 243col 3.4 ٣٣ ### book 243col 3.5.1 ١٨ ### book 243col 3.5.2 ٤٠ ### book 243col 3 ٢٥ ### book 243col 4.1 τὸ ἀπὸ τῆς ### book 243col 4.2 ΒΕ ### book 243col 4.3 ١ ### book 243col 4.4 ١٤ ### book 243col 4.5.1 ٣ ### book 243col 4.5.2 ٢ ### book 243col 4.5.3 ١٢ ### book 243col 4 ١٥ ### book 243col 5.1 τὸ ὑπὸ τῶν ### book 243col 5.2 ΑΒ, ΒΖ ### book 243col 5.3 ٢ ### book 243col 5.4 ٤٧ ### book 243col 5.5.1 ٣٤ ### book 243col 5.5.2 ٤٣ ### book 243col 5 ٣ ### book 243col 6.1 ἡ ΔΒ ### book 243col 6.2 ١ ### book 243col 6.3 ٤ ### book 243col 6 ١٦ ### book 243col 7.1 ἡ ΒΕ ### book 243col 7.2 ١ ### book 243col 7.3 ٦ ### book 243col 7.4 ٥١ ### book 243col 7.5 ٣ ### book 243col 8.1 ἡ ΒΓ ### book 243col 8.2 ٢ ### book 243col 8.3 ١٣ ### book 243col 8 ٤٣ ### book 243col 9.1 ἡ ΖΒ ### book 243col 9.2 ١ ### book 243col 9.3 ١٠ ### book 243col 9 ٢١ ### book 243col 10.1 ἡ ΑΖ ### book 243col 10.2 ١ ### book 243col 10.3 ١١ ### book 243col 10 ١٦ ### book 243col 11.1 τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΖ ### book 243col 11.2 ٢ ### book 243col 11.3 ٤٨ ### book 243col 11.4 ١٠ ### book 243col 11.5 ٤ ### book 243col 11 ٤٥ ### book 244.1 Ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ μήκει, ### book 244.2 ἀσύμμετρόν ἐστι καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΖ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ### book 244.3 ΒΖ. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ### book 244.4 ΑΔ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΖ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ, ὡς ἐν ### book 244.5.1 τῷ λήμματι ἐδείχθη. ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ ἀσύμμετρόν ### book 244.5.2 ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ. αἱ ΑΔ, ΔΒ ἄρα δυνάμει ἀσύμμετροί ### book 244.5.3 εἰσιν. ### book 245.1 Ἡ τῶν τοιούτων ῥητῶν μέση ἀνάλογον μέση ἐστίν. ### book 245.2 οὐδεμία δὲ τούτων οὔτε συναμφότερος μέση, ἡ δὲ συγκει‐ ### book 245.3 μένη ἐξ αὐτῶν ἐκ δύο ὀνομάτων καλεῖται. ἀμφοτέρων τοί‐ ### book 245.4 νυν τῶν ἀλόγων εἰσὶ πρόγονοι κατὰ διαφόρους γενέσεως ### book 245.5 τρόπους. ### book 246.1 Ἔστω ἡ ΑΒ ἑξάπους, ἡ δὲ ΒΓ πεντάπους. ἔστιν ### book 246.2 οὖν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ ἐπίπεμπτος. τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ### book 246.3 ἐστὶ λ· ἑξάκις γὰρ ε λ. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ κε· πεντάκις γὰρ ### book 246.4 πέντε κε. καὶ ὁ λ ἄρα τοῦ κε ἐπίπεμπτός ἐστιν, ὡς ἔχει ἡ ### book 246.5.1 ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ. δεῖ δὲ τὰς πλευρὰς λαβεῖν τοῦ ϛ καὶ ε ### book 246.5.2 καὶ συνθεῖναι καὶ ὁρᾶν τὴν γεγονυῖαν. ### book 247 Δεῖ εἰδέναι, ὅτι οἱ ἐκκείμενοι ἀριθμοὶ ὁ ϛ καὶ ὁ ε ### book 247.1 οὐκ εἰσὶν αἱ ῥηταὶ πλευραὶ αἱ δυνάμει σύμμετροι, ἀλλὰ ### book 247.2 χάριν τῆς κατασκευῆς πρὸς τὸ εὐσύνοπτον αὐτὴν γενέσθαι ### book 247.3 ἐλήφθησαν. δεῖ δὲ λαβεῖν τὴν πλευρὰν τοῦ η ἀντὶ τοῦ ΑΒ, ### book 247.5.1 τὴν δὲ πλευρὰν τοῦ ϛ ἀντὶ τοῦ ΒΓ· οὕτως γὰρ αἱ μὲν πλευ‐ ### book 247.5.2 ραὶ ἔσονται ἀσύμμετροι μήκει ἤτοι μὴ ἔχουσαι κοινὸν ### book 247.5.3 μέτρον μηδὲ λόγον, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, μηδὲ τὰ ### book 247.5.4 ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα ἤτοι ὁ η καὶ ὁ ϛ λόγον ἔχοντα, ὃν ### book 247.5.5 τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. ἔστι δὲ ### book 247.10 ἡ μὲν πλευρὰ τοῦ η β μθ μβ, ἡ δὲ τοῦ ϛ β κϛ νη. ### book 248.1 Μία μὲν ἡ συγκειμένη ἐκ ῥητῶν δυνάμει μόνον ### book 248.2 συμμέτρων, ἥτις λέγεται ἐκ δύο ὀνομάτων. ### book 249.1 Ἐπειδὴ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ### book 249.2 ΒΓ ἀσύμμετρόν ἐστιν, εὔδηλον, ὅτι καὶ τὸ συγκείμενον ἐκ ### book 249.3 τῶν δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, τοῦ‐ ### book 249.4 το δὴ τὸ πᾶν ἀσύμμετρόν ἐστι πρὸς αὐτὸ τὸ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ### book 249.5.1 ΒΓ. εἰ γὰρ χωρὶς τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρόν ### book 249.5.2 ἐστι τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, καὶ ὁμοῦ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ### book 249.5.3 ΒΓ σὺν τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀσύμμετρόν ἐστι πρὸς αὐτὸ ### book 249.5.4 τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. οἷον εἴ ἐστιν ### book 249.5.5 ἀσύμμετρα τὰ ζ καὶ ε, καὶ συνθέντι τὰ ζ καὶ ε ἤτοι τὰ ιβ ### book 249.10 ἀσύμμετρά εἰσι πρὸς τὰ ε. ### book 250.1 Ἡ ΒΓ κ, ἡ ΑΒ ι ιη ε μ, ἡ ὅλη λ ιη ε μ, ἡ ΑΓ λ ιη ### book 250.2 ε μ. ἡ ΑΒ ἐστι πλευρὰ τοῦ ρϛ, ἔστι δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ### book 250.3 μοιρῶν σϛ λεπτῶν α νγ κ. ### book 251.1 Τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον ὑπόκειται ὁ ζ, τὸ δὲ ### book 251.2 ἀπὸ τῆς ΒΓ ὁ ε, καὶ συναμφότερά ἐστιν ὁ ιβ. τὸ δὲ δὶς ὑπὸ ### book 251.3 τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐστιν θ μϛ, ἅπερ θ μϛ πρὸς τὰ ιβ ἀσύμμετρά ### book 251 ἐστιν. ### book 252.1 Τὸ χωρίον τὸ ῥητὸν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ῥητῷ τινι ### book 252.2 σύμμετρον ὂν λέγεται ῥητόν. ἐὰν δὲ ᾖ δύο μεγέθη σύμ‐ ### book 252.3 μετρα, τὸ δὲ ἕτερον αὐτῶν μεγέθει τινὶ ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ ### book 252.4 τὸ λοιπὸν τῷ αὐτῷ ἀσύμμετρον ἔσται. ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ### book 252.5.1 ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ἄλογον ἄρα διὰ τὸν ### book 252.5.2 ὅρον. ### book 253.1 Διὰ τὸ κζʹ τοῦ ιʹ δυνατόν ἐστι πορίσασθαι τὸ ### book 253.2 δεδομένον τῆς προτάσεως. ### book 254.1 Ἔστω ἡ ΑΒ ἡ πλευρὰ τοῦ ζ οὖσα μονάδων ἤ, εἰ ### book 254.2 βούλει, ποδῶν β καὶ λεπτῶν πρώτων λθ, ἡ δὲ ΒΓ ἡ πλευρὰ ### book 254.3 τοῦ ε οὖσα β καὶ ιδ. ἔστιν ἄρα ἡ ὅλη ποδῶν δ λεπτῶν νγ· ### book 254.4 ἄλογος ἄρα. τὸ δὲ ἀπὸ τῶν δ νγ τετράγωνόν ἐστιν κγ να. ### book 255 Ἡ ΑΒ β νη μδ, ἡ ΒΓ α λθ θ, ἡ ὅλη δ λζ νγ. ### book 256.1 Ἐνστάσεως λύσις τοῦ ληʹ θεωρήματος. ### book 256.2 Τοῦ θεωρήματος κατὰ τὸν στοιχειωτὴν ἀποδεικνυμένου ### book 256.3 ἔνστασις παρακολουθεῖ. οὐ γὰρ ἔχομεν ἀποδεδειγμένον, ### book 256.4 ὅτι μέσον μετὰ μέσου συντιθέμενον μέσον τὸ ὅλον ποιεῖ. ### book 256.5.1 δείξομεν δὲ ἡμεῖς οὕτως· συγκείσθω δύο μέσα χωρία τὰ ### book 256.5.2 ΑΔ, ΔΓ. λέγω, ὅτι ὅλον τὸ ΑΖ μέσον ἐστίν. εἰ γὰρ μή ### book 256.5.3 ἐστι μέσον τὸ ΑΖ, ἔστω, εἰ δυνατόν, ῥητόν, καὶ ἐκκείσθω ### book 256.5.4 τις ῥητὴ ἡ ΗΘ, καὶ παρὰ τὴν ΗΘ παραβεβλήσθω τῷ μὲν ### book 256 ΑΖ ἴσον τὸ ΗΝ, τῷ δὲ ΑΔ ἴσον ἀφῃρήσθω τὸ ΗΛ. λοιπὸν [Omitted graphic marker] ### book 256.10.1 ἄρα τὸ ΚΝ λοιπῷ τῷ ΔΓ ἴσον ἐστίν. καὶ ἐπεὶ μέσον ἐστὶν ### book 256.10.2 ἑκάτερον τῶν ΑΔ, ΔΓ, ἴσον δὲ τῷ μὲν ΑΔ τὸ ΗΛ, τῷ δὲ ### book 256.10.3 ΔΓ τὸ ΚΝ, μέσον ἄρα ἑκάτερον τῶν ΗΛ, ΚΝ. καὶ παρὰ ### book 256.10.4 ῥητὴν τὴν ΗΘ παράκειται· ῥητὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ΗΚ, ### book 256.10.5 ΚΜ. πάλιν ἐπεὶ ῥητὸν ὑπόκειται τὸ ΑΖ, ἴσον δέ ἐστι τῷ ### book 256.15.1 ΗΝ καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΗΘ παράκειται, ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ### book 256.15.2 ΗΜ. καὶ ἐπεὶ ῥητὸν μέν ἐστιν τὸ ΗΝ, μέσον δὲ τὸ ΗΛ, ### book 256.15.3 ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ΗΝ τῷ ΗΛ. ὡς δὲ τὸ ΗΝ πρὸς τὸ ### book 256.15.4 ΗΛ, οὕτως ἡ ΗΜ πρὸς ΗΚ. ἀσύμμετρος ἄρα ἡ ΗΜ τῇ ### book 256.15.5 ΗΚ μήκει. ὡς δὲ ἡ ΗΜ πρὸς ΗΚ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ### book 256.20.1 ΗΜ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΜΗ, ΗΚ. σύμμετρον δὲ τὸ μὲν ### book 256.20.2 ἀπὸ τῆς ΗΜ τοῖς ἀπὸ τῶν ΜΗ, ΗΚ (ῥητὸν γὰρ ἑκά‐ ### book 256.20.3 τερον αὐτῶν), τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΜΗ, ΗΚ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ### book 256.20.4 ΜΗ, ΗΚ. τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΜΗ, ΗΚ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΜΗ, ### book 256.20.5 ΗΚ ἀσύμμετρά ἐστιν. ἐὰν δὲ δύο μεγέθη ἀσύμμετρα συν‐ ### book 256.25.1 τεθῇ, καὶ τὸ ὅλον ἑκατέρῳ αὐτῶν ἀσύμμετρόν ἐστιν, κἂν ### book 256.25.2 τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν ἀσύμμετρον ᾖ, καὶ τὰ ἐξ ἀρχῆς ἀσύμ‐ ### book 256.25.3 μετρα ἔσται· ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΜΗ, ΗΚ λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ### book 256.25.4 ΚΜ ἀσύμμετρά ἐστιν. ῥητὰ δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ΜΗ, ΗΚ· ### book 256.25.5 ἄλογον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΚΜ. καὶ αὐτὴ ἄρα ἡ ΚΜ ἄλογός ### book 256.30.1 ἐστιν· ὅπερ ἄτοπον. ἐδείχθη γὰρ καὶ ῥητή. οὐκ ἄρα τὸ ΑΖ ### book 256.30.2 ῥητόν ἐστιν· ἄλογον ἄρα. ἐὰν ἄρα δύο μέσα συντεθῇ, καὶ ### book 256.30.3 τὸ ὅλον μέσον ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 257.1 Ἡ ΑΒ β νθ κη, τὸ ἀπὸ ταύτης η νϛ μη ιζ δ, ἡ ΒΓ ### book 257.2 β ιγ μγ, τὸ ἀπὸ ταύτης δ νη οὐδὲν η μθ, τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ### book 257.3 ΒΓ ϛ λθ νζ μα δ, τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ιγ ιθ νε κβ η, ### book 257 ἡ ΑΓ ὅλη ε ιγ ια, τὸ ἀπὸ ταύτης κζ ιδ μγ μη α. ὥστε ὁμοῦ ### book 257.5.1 τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσα τῷ ### book 257.5.2 ἀπὸ τῆς ΑΓ. ἡ δὲ ῥητὴ δέκα, ἡ ΔΗ β μγ κη κβ μβ, ἡ ΗΘ ### book 257.5.3 α ιθ νθ λβ ιβ, ἡ ΔΘ α κγ κη ν λ. ### book 258.1 Ἐλήφθησαν αἱ εὐθεῖαι ἀπὸ τοῦ κηʹ θεωρήματος· ἡ ### book 258.2 ΔΗ α μγ κδ ιε β, τὸ ΕΘ θ ιδ δέκα μα με, τὸ ΘΖ η οὐδὲν ### book 258.3 μγ κη κ, τὸ ΔΖ ιζ ιδ β λ κ. ### book 259.1 ٦ ### book 259.2 ٢٤ ### book 259.3 ٢٠ ### book 259.4 ٠ ### book 259.5.1 ٥٥ ### book 259.5.2 ٢٥ ### book 259.5.3 ٤ ### book 259.5.4 ١٠ ### book 260.1 Πόθεν δῆλον, ὅτι τὸ ΕΘ, ΘΖ τὸ συγκείμενον ἐκ ### book 260.2 τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον ἐστίν; ἢ ἐπεὶ μέσον ἐστὶν ἑκάτερον ### book 260.3 τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ καὶ σύμμετρον τῷ ἐξ αὐτῶν συγκει‐ ### book 260.4 μένῳ (τοῦτο δὲ ἐδείχθη ἐν τῷ ιϛʹ θεωρήματι), ἀνάγκη καὶ ### book 260.5.1 τὸ ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν συγκείμενον μέσον εἶναι· τὸ γὰρ τῷ ### book 260.5.2 μέσῳ χωρίῳ σύμμετρον μέσον ἐστίν. ### book 261 Ἡ ΑΒ γ μθ μβ, ἡ ΒΓ α θ λβ, ἡ ὅλη δ νθ ιδ. ### book 262 Ἡ ΑΒ κατ’ ἄλλην γραφὴν γ μθ μβ, ἡ ΒΓ α θ λβ. ### book 263 Ἡ ὅλη δ θ μα, ἡ ΑΒ β κε ια, ἡ ΒΓ α μδ λ. ### book 264.1 Ποριζόμεθα τὸ δεδομένον τῆς προτάσεως διὰ τὸ ### book 264.2 λεʹ τοῦ ιʹ. ### book 265.1 Ἡ ΑΒ α μ κζ, ἡ ΒΓ α μ ιϛ, ἡ ὅλη ἡ ΑΓ γ κ μγ, ### book 265.2 τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ β μη ι ιβ θ, τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ β μθ λγ κδ ιϛ, ### book 265.3 ἡ ΔΕ μονάδων δέκα, ἡ ΔΗ τὸ πλάτος οὐδὲν λγ λδ κα λη, ### book 265.4 τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΒΓ β μζ να μζ ιβ, τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ε ### book 265.5 λε μγ λδ κδ, ἡ ΗΚ τὸ πλάτος οὐδὲν λγ λδ κα κϛ. ### book 266.1 Ζήτησον τὸ λεʹ· ἐξ ἐκείνου γὰρ ἐλήφθησαν αἱ εὐ‐ ### book 266.2 θεῖαι. ἡ ΕΔ δ, ἡ ΖΗ δ, ἡ ΘΚ δ, ἡ ΖΘ β μβ νβ νγ ιδ, τὸ ### book 266.3 ΔΖ λδ λη ζ νη κε, ἡ ΕΖ η λθ λα νθ λϛ, τὸ ΗΘ ι να ### book 266.4 λα λβ νϛ, τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ β μζ να μζ ιβ, τὸ δὶς ὑπὸ ### book 266.5 τῶν ΑΒ, ΒΓ ε λε μγ λδ κδ. [Omitted graphic marker] ### book 267.1 Ἡ ΗΚ οὐδὲν λγ λδ κα ιϛ, ἡ ΔΗ οὐδὲν λγ λδ κα ### book 267.2 λη, τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ β μζ να μζ ιβ, τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ### book 267.3 ΒΓ ε λε μγ λδ κδ, τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἤτοι τὸ ΔΖ ε λε ### book 267.4 μγ λϛ κε, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ β μη ι ιβ θ, τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ β μζ ### book 267.5 λγ κδ ιϛ. [Omitted graphic marker] ### book 268 Ζήτησον τὸ λδʹ [Omitted graphic marker]. ἢ καὶ οὕ‐ ### book 268 τως· ἡ ΑΒ β να, ἡ ΒΓ οὐδὲν νγ ε. ### book 269.1 Ἔστω ἴσα τὰ ΑΒ, ΓΔ, μεῖζον δὲ τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ. ### book 269.2 δεικτέον, ὅτι ἡ τῶν ΑΕ, ΓΖ ὑπεροχὴ ἴση ἐστὶ τῇ τῶν ### book 269.3 ΖΔ, ΒΕ ὑπεροχῇ. κείσθω γὰρ τῷ ΓΖ ἴσον τὸ ΑΗ. ἡ ἄρα ### book 269.4 τῶν ΑΕ, ΓΖ ὑπεροχή ἐστι τὸ ΗΕ. ἐπεὶ οὖν ὅλον τὸ ΑΒ ### book 269.5.1 ὅλῳ τῷ ΓΔ ἴσον ἐστίν, ὧν τὸ ΑΗ τῷ ΓΖ [Omitted graphic marker] ### book 269.5.2 ἴσον, λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΒ λοιπῷ τῷ ΖΔ ἴσον. ### book 269.5.3 τὸ δὲ ΗΒ τοῦ ΕΒ ὑπερέχει τῷ ΗΕ. καὶ τὸ ### book 269.5.4 ΖΔ ἄρα τοῦ ΕΒ ὑπερέχει τῷ ΗΕ. ἀλλὰ καὶ τὸ ### book 269.5.5 ΑΕ τοῦ ΓΖ ὑπερέχει τῷ ΗΕ. ἡ ἄρα τῶν ΑΕ, ### book 269.10.1 ΓΖ ὑπεροχὴ ἴση ἐστὶ τῇ τῶν ΖΔ, ΕΒ ὑπερ‐ ### book 269.10.2 οχῇ. ### book 269.10.3 Ἐπεὶ οὖν τῷ προδεδειγμένῳ δύο ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ### book 269.10.4 ΑΒ τετραγώνῳ, ἀφῄρηται δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἐλάσ‐ ### book 269.10.5 σονα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνων. ἐπεὶ οὖν καὶ ### book 269.15.1 τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΔΒ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μεῖζόν ### book 269.15.2 ἐστι· τὸ γὰρ Δ ἔγγιόν ἐστι τῆς διχοτομίας. τοῦτο δὲ τὸ ### book 269.15.3 λῆμμα δέδεικται μὲν ἐν τοῖς ἔμπροσθεν, δειχθήσεται δὲ ### book 269.15.4 καὶ νῦν τοῦ ἑτοίμου ἕνεκα. τὸ οὖν Δ ἔγγιόν ἐστι τῆς διχο‐ ### book 269.15.5 τομίας τῆς ΑΒ εὐθείας ἤπερ τὸ Γ· μείζων γὰρ ὑπόκειται ### book 269.20.1 ἡ ΑΓ τῆς ΑΔ. ᾧ ἄρα ὑπερέχει τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετρά‐ ### book 269.20.2 γωνα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετραγώνων, τούτῳ ὑπερέχει ### book 269.20.3 καὶ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΑ. ### book 270.1 Δεῖξαι τὸ λῆμμα, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ### book 270.2 ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μείζονά εἰσιν. ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ### book 270.1 ΑΒ διῃρημένη εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Δ, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ ### book 270.2 Γ. λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονά ἐστι τῶν ἀπὸ ### book 270.5.1 τῶν ΑΔ, ΔΒ. ἐπεὶ γὰρ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ διπλάσιά ### book 270.5.2 ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ (τοῦτο γὰρ δέδεικται ἐν θεω‐ ### book 270.5.3 ρήματι θʹ τοῦ βʹ στοιχείου), ἔστι δὲ καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ ### book 270.5.4 διπλάσια τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ διὰ τὸ τέως δίχα τέμνεσθαι ### book 270.5.5 τὴν ΑΒ, τοῦ δὲ ἀπὸ τῆς ΔΓ διπλάσιον τὸ δὶς ἀπὸ τῆς ΔΓ, ### book 270.10.1 τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἴσα ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΔ, ### book 270.10.2 ΔΒ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ τῆς ΔΓ. ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ### book 270.10.3 μείζονά ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῷ δὶς ἀπὸ τῆς ΔΓ. ### book 270.10.4 ἀλλὰ δὴ μὴ τετμήσθω δίχα ἡ ΑΒ, ἀλλ’ ὡς ἔτυχεν κατὰ τὰ ### book 270.10.5 Γ, Δ. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονα ### book 270.15.1 τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΒ τέτμηται, ὡς ### book 270.15.2 ἔτυχεν, κατὰ τὸ Δ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον ἴσον ### book 270.15.3 ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ### book 270.15.4 ΓΒ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ ### book 270.15.5 τῶν ΑΔ, ΔΒ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, ὧν τὸ δὶς ### book 270.20.1 ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μεῖζόν ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓΒ, τουτ‐ ### book 270.20.2 έστι τὸ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τοῦ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ### book 270.20.3 ΓΒ. λοιπὸν ἄρα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ### book 270.20.4 ΓΒ ἐλάσσονά ἐστιν. ### book 271.1 Ἡ πρότασις τοῦ λήμματος τοιάδε ἂν εἴη· ἐὰν ### book 271.2 εὐθεῖα γραμμὴ ἄλλως καὶ ἄλλως τμηθῇ εἰς ἄνισα, καθ’ ### book 271.3 ἣν τομὴν ὑπερέχει τὸ μεῖζον τμῆμα τοῦ κατὰ τὴν ἑτέραν ### book 271.4 τομὴν μείζονος τμήματος, τὰ ἀπὸ τῶν κατ’ ἐκείνην γινο‐ ### book 271.5.1 μένων τμημάτων τετράγωνα μείζονά ἐστι τῶν τετραγώ‐ ### book 271.5.2 νων τῶν ἀναγραφομένων ἀπὸ τῶν κατὰ τὴν ἑτέραν τομὴν ### book 271.5.3 γινομένων τμημάτων. ### book 272.1 Ἔστω ὅλη ἡ ΑΒ δεκάπους καὶ τετμήσθω ὡς εἶναι ### book 272.2 τὴν μὲν ΑΓ ὀκτάπουν, τὴν δὲ ΒΓ δίπουν, καὶ ἔτι τὴν ΑΔ ### book 272.1 τετράπουν, ἑξάπουν δὲ τὴν ΔΒ. τὰ οὖν ἀπὸ τῆς ὀκτάποδος ### book 272.2 καὶ ἀπὸ τῆς δίποδος τετράγωνα μείζονά ἐστι τῶν ἀπὸ ### book 272.5.1 τῆς ἑξάποδος καὶ τετράποδος τετραγώνων· τὰ γὰρ ὀκτά‐ ### book 272.5.2 κις ὀκτὼ καὶ δὶς δύο, ἅπερ ἐστὶν ξη, μείζονά ἐστι τῶν ἑξά‐ ### book 272.5.3 κις ϛ καὶ τετράκις δ, ἅπερ ἐστὶ ν. ### book 273.1 Ἰστέον, ὅτι ὡς ἕν τι λαμβάνει χωρίον τὸ συγκείμε‐ ### book 273.2 νον δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ καὶ ἀπὸ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ### book 273.3 τετραγώνων, ὁμοίως δὴ πάλιν ὡς ἕν τι τὸ συγκείμενον δὶς ### book 273.4 ὑπὸ τῆς ΑΔ καὶ ΔΒ καὶ ἀπὸ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετρα‐ ### book 273.5.1 γώνων. καὶ ἐπεὶ συναμφότερα τὰ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ### book 273.5.2 παραλληλόγραμμα μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώ‐ ### book 273.5.3 νων ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ, ὡσαύτως τὰ δὶς ### book 273.5.4 ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ μετὰ τῶν ἀπὸ τῆς ΑΔ καὶ ΔΒ τετρα‐ ### book 273.5.5 γώνων ἴσα ἐστὶ καὶ αὐτὰ τῷ αὐτῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, ἔστι ### book 273.10.1 δὲ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἔλαττον τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ### book 273.10.2 ΔΒ, λείπεται τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετράγωνα μείζονα ### book 273.10.3 εἶναι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετραγώνων. εἰ γάρ, ὥσπερ ### book 273.10.4 τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἔλαττόν ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ### book 273.10.5 ΑΔ, ΔΒ, οὕτως ἦσαν ἐλάττονα καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ### book 273.15.1 τετράγωνα τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετραγώνων, καὶ τὸ ### book 273.15.2 ὅλον τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ### book 273.15.3 τετραγώνων ἔλαττον ἂν ἦν τοῦ ὅλου τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ### book 273.15.4 ΔΒ καὶ ἔτι ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετραγώνων συγκειμένου. ### book 273.15.5 ἔστι δὲ καὶ ἴσον. ὥστε ἐπειδὴ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μετὰ ### book 273.20.1 τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνων ἴσον ὂν τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ### book 273.20.2 ΑΔ, ΔΒ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τετραγώνων ἐλαττοῦ‐ ### book 273.20.3 ται κατὰ τὸ συγκείμενον παραλληλόγραμμον ὑπὸ τοῦ περι‐ ### book 273.20.4 εχομένου δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ, ἀνάγκη κατὰ τὰ τετρά‐ ### book 273.20.5 γωνα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ καὶ ΓΒ ὑπερέχειν. εἰ γὰρ ἦν ### book 273.25.1 ἐλάττονα καὶ τὰ τετράγωνα ὥσπερ καὶ τὸ παραλληλό‐ ### book 273.25.2 γραμμον, καὶ τὸ σύμπαν ἔλαττον ἂν ἦν τοῦ σύμπαντος ### book 273 ἴσον ὄν. ### book 274 Ἐκ τῆς εἰς ἄτοπον ἀπαγωγῆς. ### book 275.1 Εἴ ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ ἡ αὐτή, οὐδέν τι διαφέρουσιν ### book 275.2 ἐν οὐδενί, ὥσπερ οὐδὲ οἶνος καὶ μέθυ. ὥστε ἔσται ὡσαύτως ### book 275.3 καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΓΒ ἡ αὐτή, καὶ ἔσται τὸ λέγειν, ὅτι ὡς ἡ ΑΓ ### book 275.4 πρὸς τὴν ΓΒ, ταὐτὸν τῷ λέγειν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ. ### book 275.5.1 ὥστε οὐ διῄρηται εἰς ἄλλα καὶ ἄλλα τμήματα ὄντα δύο ### book 275.5.2 ῥητά· τοῦτο δὲ οὐχ ὑπόκειται τὸ εἰς τὸ αὐτὸ τμῆμα ### book 275.5.3 διαιρεθῆναι, ἀλλ’ εἰς ἄλλο καὶ ἄλλο. χάριν δὲ τοῦ σαφοῦς ### book 275.5.4 ἔστω ἡ ΑΒ δεκάπους καὶ διαιρεθήτω εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ ### book 275.5.5 τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἔστω τὸ μὲν ΑΓ ὄνομα ἑπτάπουν, τὸ δὲ ### book 275.10.1 ΓΒ τρίπουν. ἐπεὶ οὖν ἡ ΔΒ κατὰ τὴν ὑπόθεσιν ἡ αὐτή ### book 275.10.2 ἐστι τῇ ΑΓ, καὶ ἡ ΔΒ ἑπτάπους ἐστίν. ὥστε καὶ ἡ ΑΔ ### book 275.10.3 τρίπους. καὶ ὥσπερ τὸ Γ σημεῖον ἀπ’ ἀλλήλων διέστησε ### book 275.10.4 τὴν ἑπτάποδα καὶ τρίποδα, οὕτως καὶ τὸ Δ. τὸ Γ ἄρα ση‐ ### book 275.10.5 μεῖον καὶ τὸ Δ ταὐτόν ἐστι, καὶ διῃρέθη ἡ ΑΒ εἰς τὰ ὀνό‐ ### book 275.15.1 ματα οὐ κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο τμῆμα ἤτοι σημεῖον, ὡς ἡ ὑπό‐ ### book 275.15.2 θεσις, ἀλλὰ κατὰ τὸ αὐτό. οὐχ ὑπόκειται δὲ κατὰ τὸ αὐτό, ### book 275.15.3 ἀλλὰ κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο. ὥστε εἰ μέν εἰσιν αἱ αὐταί, οὐ ### book 275.15.4 κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον διῄρηνται, ἀλλὰ κατὰ τὸ ### book 275.15.5 αὐτό, καὶ γέγονε τοιοῦτόν τι, ὡς ἂν εἰ τὴν ὀκτάποδα διέλοι ### book 275.20.1 τις εἰς ε καὶ γ καὶ αὖθις εἰς γ καὶ ε· κατὰ γὰρ τὸ αὐτὸ γί‐ ### book 275.20.2 νεται ἡ διαίρεσις τῶν ε καὶ γ καὶ γ καὶ ε. ὥστε εἰ διῄρηται ### book 275.20.3 εἰς τὰ ὀνόματα κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον, οὐκ ἔστιν ἡ ### book 275.20.4 αὐτὴ ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ, ἀλλ’ ἑτέρα. εἰ δὲ τοῦτο, οὐχ ἡ αὐτὴ ### book 275.20.5 διῄρηται εἰς τὰ ὀνόματα κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον, ### book 275.25.1 ὅπερ ὑπόκειται, λέγω δὴ τὸ διαιρεθῆναι τὴν αὐτὴν κατ’ ### book 275.25.2 ἄλλο εἰς τὰ ὀνόματα. οὔκουν ἡ ΑΒ διῄρηται εἰς τὰ ὀνό‐ ### book 275.25.3 ματα κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο, ἀλλ’ ἑτέρα καὶ ἑτέρα. οὐκ ἦν δὲ ### book 275.25.4 προκείμενον τὸ ἄλλην καὶ ἄλλην τεμεῖν εἰς τὰ ὀνόματα, ### book 275 ἀλλὰ τὴν αὐτὴν κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον. ### book 276.1 Εἰ ὑποθώμεθα τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων διαιρεῖσθαι ### book 276.2 εἰς τὰ ὀνόματα καὶ κατ’ ἄλλο σημεῖον, συμβαίνει τὰς δι‐ ### book 276.3 αιρεθείσας ἐκ τοῦ βʹ σημείου εὐθείας μὴ ὑπάρχειν· ὥστε ### book 276.4 οὐδὲ τὸ δεύτερον σημεῖον ὑπάρξει. εἰ γὰρ ὑπάρχουσι, τὸ ### book 276.5.1 μεῖζον ὄνομα τῆς δευτέρας διαιρέσεως κατὰ τὸ μεῖζον ### book 276.5.2 ὄνομα τῆς πρώτης διαιρέσεως ἢ ἴσον ἐστὶν ἢ ἄνισον. καὶ ### book 276.5.3 εἰ μὲν ἴσον, συμβαίνει τὸ δοθὲν ἕτερον σημεῖον εἶναι τὸ ### book 276.5.4 αὐτὸ τῷ ἐξ ἀρχῆς δοθέντι, καὶ οὐκ ἄρα εἰσὶν ἴσαι. εἰ δὲ ### book 276.5.5 ἄνισον τὸ μεῖζον ὄνομα τῷ μείζονι, συμβαίνει οὕτως ἄτο‐ ### book 276.10.1 πον· μέσον μέσου ὑπερέχει ῥητῷ. ὥστ’ οὖν τὸ μεῖζον ### book 276.10.2 ὄνομα τῆς βʹ διαιρέσεως τῷ μείζονι ὀνόματι τῆς αʹ διαιρέ‐ ### book 276.10.3 σεως οὔτε ἴσον οὔτε ἄνισον. οὐκ ἄρα εἰσὶ τὰ ὀνόματα τῆς ### book 276.10.4 βʹ διαιρέσεως, τουτέστιν αἱ εὐθεῖαι τῆς βʹ διαιρέσεως, ### book 276.10.5 διότι πᾶσα εὐθεῖα πάσῃ εὐθείᾳ ἢ ἴση ἐστὶν ἢ ἄνισος, τὸ ### book 276.15.1 δὲ μὴ ἔχον τῶν εὐθειῶν ἰσότητα ἢ ἀνισότητα οὐδὲ εὐθεῖά ### book 276.15.2 ἐστι δηλονότι, οὐδὲ τὸ διαιροῦν αὐτὰς σημεῖον. ### book 277.1 φανερὸν δή, p. 69, 3] ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ ### book 277.2 τῇ ΔΒ καὶ ἡ ΓΒ τῇ ΔΑ, ἡ ΑΒ διαιρεθεῖσα κατὰ τὸ Δ ### book 277.3 οὐ διῃρέθη κατ’ ἄλλο σημεῖον ἢ κατὰ τὸ Γ. καὶ κατ’ ἄλλο ### book 277.4 σημεῖον λέγεται, ὅταν τῶν σημείων αἱ μείζονα ὀνόματα ### book 277.5 ἔχουσαι εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσι καὶ αἱ ἐλάττονα ἄνισοι. ### book 278.1 κατὰ τὸ αὐτὸ p. 69, 7] καὶ οὐχὶ κατ’ ἄλλο καὶ ### book 278.2 ἄλλο σημεῖον. ### book 279.1 διαφέρει τὰ ἀπὸ p. 69, 11] αἱ ΑΓ, ΔΒ ἄνισοί ### book 279.2 εἰσι, καὶ διὰ τὸ λῆμμα τοῦ μβʹ καὶ τοῦ πρὸ αὐτοῦ διαφέρει ### book 279.3 τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ. ### book 280 Ἐκ τῆς εἰς ἄτοπον ἀπαγωγῆς. ### book 281.1 Ἐπεὶ τὸ αὐτὸ συμβήσεται, δυνατόν ἐστι πορίσα‐ ### book 281.2 σθαι τὸ δεδομένον τῆς προτάσεως διὰ λζʹ τοῦ ιʹ. ### book 282.1 Φανερόν, ὅτι ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτή, καὶ ### book 282.2 ὅτι τὰ Γ, Δ σημεῖα οὐκ ἴσα ἀπέχουσι τῆς διχοτομίας, ### book 282.3 προεδείχθη, καὶ ὅτι διαφέρει τὰ ἐκ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἐκ ### book 282.4 τῶν ΑΔ, ΔΒ. ### book 283 Ἐκ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς. ### book 284.1 διαιρεῖται p. 70, 16] προσυπακουστέον τὸ δηλον‐ ### book 284.2 ότι εἰς τὰ ὀνόματα. ### book 285.1 οὐκ ἔστιν ἡ αὐτή. p. 73, 6] ἐπεὶ οὐκ ἔστιν ἡ αὐτή, ### book 285.2 ἀλλ’ ἑτέρα, ἄλλη καὶ ἄλλη διῃρέθη εἰς τὰ ὀνόματα καὶ οὐχ ### book 285.3 ἡ αὐτὴ κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον, οὐκ ἦν δὲ προκείμενον ### book 285.4 τὸ ἄλλην καὶ ἄλλην διαιρεθῆναι εἰς τὰ ὀνόματα, ἀλλὰ τὴν ### book 285.5 αὐτὴν κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον. ### book 286 Ἐκ τῆς εἰς ἄτοπον ἀπαγωγῆς. ### book 287 Ἐκ τῆς εἰς ἄτοπον ἀπαγωγῆς. ### book 288 Ἐκ τῆς εἰς ἄτοπον ἀπαγωγῆς. ### book 289col 1.1 Τὸ ΕΗ ### book 289col 1.2 ٥ ### book 289col 1.3 ٣٥ ### book 289col 1.4 ٤٣ ### book 289col 1.5.1 ٣٦ ### book 289col 1.5.2 ٢٥ ### book 289col 1 ١٠ ### book 289col 2.1 τὸ ΘΚ ### book 289col 2.2 ٥ ### book 289col 2.3 ٣٥ ### book 289col 2.4 ٤٣ ### book 289col 2.5 ٣٤ ### book 289col 2 ٢٤ ### book 289col 3.1 ἡ ΚΗ ### book 289col 3.2 οὐδέν ### book 289col 3.3 ٣٣ ### book 289col 3.4 ٢٤ ### book 289col 3.5 ٢١ ### book 289col 3 ١٦ ### book 289col 4.1 ἡ ΑΓ ### book 289col 4.2 ١ ### book 289col 4.3 ٤٠ ### book 289col 4 ٢٧ ### book 289col 5.1 ἡ ΓΒ ### book 289col 5.2 ١ ### book 289col 5.3 ٤٠ ### book 289col 5 ١٦ ### book 290.1 Πέμπτον κεφάλαιον τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων, ἥτις ### book 290.2 ἐστὶ πρώτη τῶν κατὰ σύνθεσιν, ἑξαχῶς διαποικιλλομένην ### book 290.3 ἀνευρίσκον. ### book 291.1 τὸ μεῖζον ὄνομα p. 76, 20] μεῖζον ὄνομα αὐτὸ τὸ ### book 291.2 μεῖζον τμῆμα καλεῖται. ### book 292.1 ἡ ὅλη p. 76, 23] ὅλη δηλονότι ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων ### book 292.2 καὶ διαιρεθεῖσα, ὡς ὑπόκειται. ### book 293.1 Ἔστω ὁ ΕΖ ἀριθμὸς μονάδων ϛ, ὁ δὲ ΖΗ μονάδων ### book 293.2 δ καὶ λεπτῶν πρώτων μ, ὧν τεσσάρων μονάδων καὶ λε‐ ### book 293.3 πτῶν πρώτων μ ἔσται δύναμις ἤτοι τετράγωνος ὁ κ ἀριθ‐ ### book 293.4 μός· τοῦ γὰρ εἴκοσι πλευρά εἰσιν αἱ τέσσαρες μονάδες καὶ ### book 293.5.1 μ λεπτά. τούτων οὖν ἐχόντων ὡς ὁ θ πρὸς τὸν πέντε· ### book 293.5.2 ἔχει γὰρ αὐτὸν καὶ τέσσαρα αὐτοῦ μέρη· οὕτως ὁ λϛ τετρά‐ ### book 293.5.3 γωνος ὁ ἀπὸ τῆς ΕΖ τῆς οὔσης ϛ μονάδων πρὸς τὸν εἴκοσι ### book 293.5.4 τετράγωνον τὸν ἀπὸ τῆς ΖΗ οὔσης μονάδων δ καὶ λεπτῶν ### book 293.5.5 πρώτων μ. ἔχει τοίνυν ὁ θ τὸν πέντε καὶ τέσσαρα αὐτοῦ ### book 293.10.1 πέμπτα· καὶ ὁ λϛ οὖν τὸν κ καὶ τέσσαρα αὐτοῦ πέμπτα· ### book 293.10.2 ὁ γὰρ ιϛ, ᾧ ὑπερέχει ὁ λϛ τοῦ κ, ὁ οὖν ιϛ τέσσαρα πέμπτα ### book 293.10.3 ἐστὶ τοῦ κ. ### book 294.1 Ἔστω ὁ ΑΓ ὁ ε, ὁ δὲ ΓΒ ὁ δ. ὁ οὖν ἐξ αὐτῶν ὁ θ ### book 294.2 πρὸς μὲν τὸν δ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον, ### book 294.3 πρὸς δὲ τὸν ε οὐκ ἔχει. λόγον δὲ ἔχειν λέγεται ἀριθμὸς ### book 294.4 πρὸς ἀριθμόν, ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον, ὅταν με‐ ### book 294.5.1 ταξὺ ἐμπίπτῃ ἀριθμὸς ἀναλογίαν σώζων· διὸ ὁ ιϛ καὶ ὁ θ ### book 294.5.2 πρὸς τὸν δ λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον· ### book 294.5.3 πίπτει γὰρ μεταξὺ τοῦ θ καὶ δ ὁ ϛ, καί ἐστιν ὡς ὁ θ πρὸς ### book 294 τὸν ϛ, οὕτως ὁ ϛ πρὸς τὸν δ, μεταξὺ δὲ τοῦ ιϛ καὶ δ ὁ η. ### book 295.1 Ἔστω ἡ Δ ἡ πλευρὰ τοῦ ι οὖσα μονάδων γ λεπτῶν ### book 295.2 λε· ἔστω δὴ καὶ ἡ ΖΗ καὶ αὐτὴ ἡ πλευρὰ τοῦ ι· ἴση ### book 295.3 ἄρα ἡ Δ τῇ ΖΗ· σύμμετροι ἄρα μήκει. ἡ δὲ ΕΗ οὖσα ### book 295.4 μονάδων δ λεπτῶν πρώτων ιϛ ἔστω ἡ πλευρὰ τοῦ ιη. ἔστι ### book 295.5.1 τοίνυν ὡς ὁ ΓΑ ἤτοι ὁ ε πρὸς τὸν ΑΒ (ἔχεται γὰρ αὐτὸς ### book 295.5.2 καὶ τέσσαρα αὐτοῦ πέμπτα), οὕτως καὶ ὁ ἀπὸ τῆς ΖΗ ### book 295.5.3 τετράγωνος ὁ ι πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον τὸν ιη· ### book 295.5.4 ἔχεται γὰρ κἀν τούτοις ὁ ι ὑπὸ τοῦ ι καὶ η καὶ τέσσαρα ### book 295.5.5 αὐτοῦ πέμπτα· τὰ γὰρ ὀκτώ, οἷς ὑπερέχει ὁ ιη τοῦ ι, τέσ‐ ### book 295.10 σαρά εἰσι τοῦ δέκα πέμπτα. ### book 296.1 Κατ’ ἄλλην γραφὴν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ λϛ, τὸ ἀπὸ τῆς ### book 296.2 ΖΗ κζ, ἡ ΖΗ ἡ πλευρὰ τοῦ κζ, τὸ ἀπὸ τῆς Θ θ. ### book 297.1 Ὁ ΑΓ ε, ὁ ΓΒ δ, ἡ ὅλη ΑΒ θ, ἡ Δ ϛ, ἡ ΕΖ δ, τὸ ### book 297.2 ἀπὸ τῆς ΖΗ ὀκτὼ νγ κ, ἡ ΖΗ δύο νη νγ, τὸ ἀπὸ τῆς Θ ζ ### book 297.3 ϛ μ, ἡ Θ β μ, ἡ ὅλη ΕΗ ϛ νη νγ. ### book 298.1 Κατ’ ἄλλην γραφὴν ὁ ΑΓ ιβ, ὁ ΓΒ δ, ὁ ΑΒ ιϛ, ἡ ### book 298.2 Δ δ, ὁ ΖΗ ϛ, τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ μη, ὁ ΖΕ ϛ νε μα, τὸ ἀπὸ τῆς ### book 298.3 Θ ιβ, ἡ Θ ἡ πλευρὰ τοῦ ιβ γ κζ να. ### book 299.1 τῇ Δ σύμμετρος ἔστω μήκει ἡ ΕΖ. p. 77, 19] δυ‐ ### book 299.2 νάμεθα τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ σύμμετρον λαβεῖν, ὅταν ἢ ἴσην ### book 299.3 ἢ διπλασίαν ἢ ἡμίσειαν λάβωμεν, οἷον εἴ ἐστιν ἡ ἐκκειμένη ### book 299.4 ῥητὴ ἑξάπους, καὶ ληψόμεθα τὴν δωδεκάποδα, σύμμετρος ### book 299.5.1 ἔσται αὐτῇ μήκει· μετρεῖ γὰρ ἡ ἑξάπους καὶ ἑαυτήν· ### book 299.5.2 πᾶς γὰρ ἀριθμὸς ὡς ἑαυτῷ ἐφαρμόζων μετρητική ἐστιν ### book 299.5.3 ἑαυτοῦ. ἀλλὰ καὶ τὴν δωδεκάποδα μετρεῖ ἀπαρτιζόντως ἡ ### book 299.5.4 ἑξάπους αὐτὴ καὶ ἑαυτῆς καὶ τῆς δωδεκάποδος. ὁμοίως καὶ ### book 299.5.5 ἐπὶ τῶν ἄλλων τὰ αὐτὰ ῥητέον τῆς τε ἡμισείας τῆς προ‐ ### book 299.10 κειμένης ῥητῆς καὶ τῆς ἴσης καὶ τῆς τριπλασίας καὶ ἑξῆς. ### book 300 Δύναται ἐκτιθέναι εὐθεῖαν καὶ ποιεῖν ἢ διὰ ὅρον ### book 300 ἴσην ἢ διπλασίαν ἢ ἡμίσειαν διὰ πόρισμα ϛʹ ιʹ καὶ ἑξῆς. ### book 301.1 ὥστε σύμμετρόν ἐστι p. 78, 5] τὰ γὰρ τετράγωνα ### book 301.2 τὰ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχοντα, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, ### book 301.3 σύμμετρά ἐστιν. ### book 302.1 Ὁ ΑΓ ε, ὁ ΓΒ δ, ὁ ΑΒ ὅλος θ, ἡ ΖΗ δ, ἡ Δ ϛ, τὸ ### book 302.2 ἀπὸ τῆς ΖΕ κη μη, ἡ ΕΖ ε κα νθ, τὸ ἀπὸ τῆς Θ ιβ μη, ### book 302.3 ἡ Θ γ λδ λθ, ἡ ὅλη ΕΗ θ κα νθ. ### book 303.1 Ἡ ΑΓ ε καὶ ἡ ΓΒ δ καὶ ἡ ὅλη ΑΒ θ, ὁ Δ ιβ, ἡ Ε ### book 303.2 ϛ, τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ κζ, ἡ ΖΗ ἡ πλευρὰ τοῦ κζ ε ια μϛ, τὸ ### book 303.3 ἀπὸ τῆς ΗΘ ιε, ἡ ΗΘ γ νβ κβ, τὸ ἀπὸ τῆς Κ ιβ, ἡ Κ γ κζ ### book 303.4 ν, ἡ ὅλη ἡ ΖΘ θ δ η. ### book 304.1 Τοῦ νʹ θεωρήματος κατ’ ἄλλην γραφήν· ὁ ΑΓ ιβ, ### book 304.2 ὁ ΓΒ δ, ὁ ΑΒ ὅλος ιϛ, ἡ Δ η, ἡ Ε ϛ, τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ ογ, ἡ ### book 304.3 ΖΗ η κθ ζ, τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ νδ, ἡ ΘΗ ζ κ νδ, τὸ ἀπὸ τῆς ### book 304.4 Κ ιη, ἡ Κ δ ιδ λγ. ### book 305.1 Ὁ ΑΓ η, ὁ ΓΒ δ, ἡ Δ ϛ, ἡ ΕΖ θ, τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ ### book 305.2 νδ, ἡ ΖΗ ζ κ νδ, τὸ ἀπὸ τῆς Θ κζ, ἡ Θ ε ια μϛ, τὸ ἀπὸ ### book 305.3 τῆς ΕΖ πα, ἡ ὅλη ΕΗ ιϛ κ νδ. ### book 306.1 Τοῦ ναʹ. ὁ ΑΓ δ, ὁ ΓΒ ζ, ὁ Δ ϛ, ἡ ΕΖ ιβ, ἡ ΖΗ ### book 306.2 θ μζ νβ, τὸ ἀπὸ ταύτης ϙϛ, ἡ Θ πλευρὰ τοῦ μη, ἥτις ### book 306 ἐστὶν ϛ νε μα. ### book 307.1 Ὁ ΑΓ η, ὁ ΓΒ δ, ἡ Δ ϛ, ἡ ΖΗ δ, τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ### book 307.2 κδ, ἡ ΕΖ δ νγ νϛ, τὸ ἀπὸ τῆς Θ η, ἡ Θ β μθ μβ. ἡ ΕΗ ὅλη ### book 307.3 η νγ νϛ. τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ ιϛ. ### book 308.1 Ὁ ΑΓ η, ὁ ΓΒ δ, ἡ Ε ε, τὸ ἀπὸ ταύτης κε, ὁ Δ ε, ### book 308.2 τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ λ, ἡ ΖΗ ε κη λη, τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ κ, ἡ ### book 308.3 ΗΘ δ κη ιθ, τὸ ἀπὸ τῆς Κ δέκα, ἡ Κ γ θ μδ, ὅλη ἡ ΖΘ ### book 308.4 θ νε ιζ. ### book 309.1 Ἕκτον κεφάλαιον δεικνύον τὰς κατὰ σύνθεσιν ἓξ ### book 309.2 ἀλόγους χωρία ποιούσας περιεχόμενα ὑπὸ ῥητῆς καὶ μιᾶς ### book 309.3 τινος τῶν ἓξ ἐκ δύο ὀνομάτων. ### book 310.1 Διὰ τὸ μηʹ καὶ διὰ τὸ λϛʹ δυνατὸν τὰ εἰρημένα ### book 310.2 πορίσασθαι. ### book 311.1 Δεῖ πρῶτον εὑρεῖν τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτην ### book 311.2 καὶ οὕτως διαιρεῖν εἰς τὰ ὀνόματα διὰ μβʹ ιʹ. ### book 312.1 Τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ β ιγ ιθ μη μβ ιε, τὸ ΑΘ κ, τὸ ### book 312.2 ΗΚ τέσσαρες, τὸ ΕΛ ὀκτὼ νϛ λθ, τὸ ΖΔ ὁμοίως τὸ ὑπὸ ### book 312.3 τῶν ΑΒ, ΑΔ μα νγ ιη, ἡ ΑΔ ϛ νη νγ. ### book 313.1 Κατ’ ἄλλην γραφήν· ὁ ΑΔ ια ια μϛ, ἡ ΑΒ ϛ, ἡ ΑΕ ### book 313.2 μονάδων ϛ, ἡ ΕΔ ἡ πλευρὰ τοῦ κζ, τὸ ὑπὸ ΑΒ καὶ ΑΔ ### book 313.3 ξϛ ι λϛ, ἡ ΕΖ β λε νγ, τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ϛ με, ἡ ΑΗ δ λ, ### book 313.4 ἡ ΗΕ α λ, τὸ ΑΘ κζ, ἡ ΜΝ ε ια μϛ, τὸ ΝΠ θ, ἡ ΝΞ γ, ### book 313.5 ἡ ΜΞ η ια μϛ, τὸ ΕΛ ια λϛ ιη. ### book 314 (ΑΒ)٦, (ΑΗ)٣ ٢٠, (ΗΕ)٠ ٤٠, (ΕΖ)١ ٢٩ ٢٦ ٣٠, (ΖΔ)١ ٢٩ ٢٦ ٣٠ ### book 315.1 καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΔ p. 90, 16] εἰ γὰρ οὐ διαιρεῖται ### book 315.2 κατὰ τὰ εἰρημένα, οὐκ ἔστιν ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτη. ### book 316.1 παραβεβλήσθω οὖν p. 91, 8] καὶ ἔστω λοιπὸν εἴδει ### book 316.2 τετραγώνῳ διὰ λῆμμα τοῦ ιζʹ ιʹ καὶ διὰ ιζʹ ιʹ, διότι καὶ εἰς ### book 316.3 σύμμετρα αὐτὴν διαιρεῖ μήκει. ### book 317.1 Τὸ ὑπὸ ΑΗ, ΗΒ χωρίον θέλῃς ἐντὸς τοῦ ΑΓ ### book 317.2 χωρίου ἔγγραψον θέλῃς ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τοῦ προβαίνει ### book 317.3 τὸ θεώρημα τῆς δὲ ΑΒ ἐξ ἑτέρας παραλλήλους διὰ τὸ ΝΕ, ### book 317.4 ΖΔ σημεῖον. ### book 318.1 Ἡ ΑΒ ϛ, ἡ ΑΕ πέντε κα νθ, ἡ ἡμίσεια τῆς ΑΕ ### book 318.2 β μ νθ λ, τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ζ ια νη ιθ οὐδὲν ιε, ἡ ΕΔ ### book 318.3 δ, ἡ ΕΖ β, ἡ ΖΔ β, τὸ καταλειπόμενον μετὰ τὴν ἀφαίρε‐ ### book 318.4 σιν τῆς καταμετρ..... ια νη ιθ ιε, τὸ ΑΓ ὅλον νϛ ια νδ, ### book 318.5.1 ἡ μὴ προστιθεμένης τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν δ κη ιζ λ, ἡ ### book 318.5.2 ΗΕ οὐδὲν νγ μα λ, ἡ προστιθεμένη πλευρὰ τῇ ἑτέρᾳ ἡμι‐ ### book 318.5.3 σείᾳ μεταξὺ τῶν τομῶν, τὸ ΑΘ ἤτοι τὸ ΣΝ κϛ μθ με, ἡ ### book 318.5.4 αὐτῶν πλευρὰ ε ι μϛ, τὸ ΗΚ ἤτοι τὸ ΝΠ ε κβ θ, ἡ αὐτῶν ### book 318.5.5 πλευρὰ β ιθ α, τὸ ΕΛ ιβ, τὸ ΖΓ ιβ, ἡ τὸ ΑΓ δυναμένη ἡ ### book 318.10 ΜΞ ζ κθ μζ. ### book 319.1 αἱ ΑΕ, ΕΔ ἄρα p. 93, 19] εἰ γὰρ οὐ διαιρεῖται οὕ‐ ### book 319.2 τως, οὐκ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστὶ δευτέρα διὰ τὸν ὅρον ### book 319 τῶν δευτέρων, διὰ μβʹ τοῦ ιʹ. ### book 320.1 Καὶ αἱ ΜΝ, ΝΞ ἄρα μέσαι p. 95, 5] γέγραπται ### book 320.2 γάρ, ὅτι ἡ δυναμένη ἄλογον χωρίον ἄλογός ἐστιν. ### book 321.1 Ἡ ΑΔ θ δ η, ἡ ΑΕ ε ια μϛ, τὸ ἀπὸ ταύτης καὶ ### book 321.2 τῆς ῥητῆς τῆς ΑΒ ϛ μονάδων οὔσης νδ κδ μη, ἡ ΜΞ ἡ ### book 321.3 πλευρὰ τοῦ ΒΓ ζ κβ λε, τὸ ἥμισυ τῆς ΑΕ β λε νγ, ἡ ΕΔ ### book 321.4 γ νβ κβ, ἡ ΕΖ α νϛ ια, τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ γ μδ νη λδ α, τὸ ### book 321.5.1 ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΕ ϛ μδ νθ λϛ μθ, τὸ καταλειφθὲν ### book 321.5.2 ἀπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΕ γ οὐδὲν α β μη, ἡ αὐτῶν ### book 321.5.3 πλευρὰ α μγ νε, ἡ ΑΗ δ ιθ μη, ἡ ΗΕ οὐδὲν να νη, τὸ ΑΘ ### book 321.5.4 ἤτοι τὸ ΣΝ κε νη μη, ἡ πλευρὰ αὐτῶν ἡ ΜΝ ε ε μθ, τὸ ### book 321.5.5 ΗΚ ἤτοι τὸ ΝΠ ε ια μη, ἡ πλευρὰ αὐτῶν ἡ ΝΞ β ιϛ μϛ, ### book 321.10 τὸ ΕΛ ια λζ ϛ, τὸ ΖΓ ια λζ ϛ. ### book 322.1 Κατ’ ἄλλην γραφὴν εἰς τὸ νϛʹ· ἡ ΑΒ ϛ, ἡ ΑΕ η ### book 322.2 κθ ζ, ἡ ΕΔ ζ κ νδ, ἡ ΑΔ ιε ν α, τὸ ΑΓ ϙε οὐδὲν ϛ, τὸ ### book 322.3 ΕΖ γ μ κζ, ἡ ΑΗ ϛ κα μα, ἡ ΗΕ β ζ κε, ἡ πλευρὰ τοῦ ### book 322.4 ΑΓ θ μδ μη, τὸ ΑΘ λη ι ιβ, ἡ τούτων πλευρὰ ϛ ι μα, τὸ ### book 322.5 ΗΚ ιβ κδ λ, ἡ τούτων πλευρὰ γ λδ ι. ### book 323.1 Ἡ ΑΕ θ, ἡ ΕΔ ζ κ νδ, ἡ ΑΔ ὅλη ιϛ κ νδ, τὸ ΑΓ ### book 323.2 ϙη ε κδ, ἡ ΑΒ ϛ μονάδων, ἡ ΕΖ γ μ κζ, τὸ ἀπὸ ταύτης ### book 323.3 ἤγουν τὸ ΕΛ ιγ κθ νη ιβ θ, ἡ ΖΔ ὡσαύτως ἴση τῇ ΕΖ, ### book 323.4 ὁμοίως καὶ τὸ ΖΓ ἴσον τῷ ΕΛ, τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ### book 323.5 ΑΕ κ ιε, ἡ ἡμίσεια τῆς ΑΕ δ λ, ἡ ΑΗ ζ ε νγ, ἡ ΗΕ α νδ ζ, ### book 323.1 τὸ ΑΘ ἤτοι τὸ ΣΝ μβ λε ιη, ἡ αὐτῶν πλευρὰ ἡ ΜΝ ϛ ### book 323.2 λα λγ, τὸ ΗΚ ἤτοι τὸ ΝΠ ια κδ μβ, ἡ αὐτῶν πλευρὰ ἡ ### book 323.3 ΝΞ γ κβ μβ, ἡ ὅλη ΜΞ θ νδ ιδ, τὸ ΕΛ κβ β δ, ὁμοίως καὶ ### book 323.4 τὸ ΖΓ. ### book 324.1 Τοῦ νζʹ. ἡ ΑΒ ϛ, ἡ ΑΕ ιβ, ἡ ΕΔ θ κζ νβ, ἡ ΑΔ ### book 324.2 κα κζ νβ, τὸ ΑΓ ρλ μζ ιβ, ἡ τούτων πλευρὰ ια κϛ ι ἡ ΕΖ δ ### book 324.3 νγ νϛ, τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ κδ, ἡ ΑΗ θ κζ ν, ἡ ΗΕ β β ι, τὸ ΑΘ ### book 324.4 νϛ μζ οὐδέν, ἡ τούτων πλευρὰ ζ λβ λζ, τὸ ΗΚ ιε ιγ οὐδέν, ἡ ### book 324.5 τούτων πλευρὰ γ νδ γ. ### book 325.1 Ἡ ΑΔ η νγ νϛ; ἡ ΑΕ δ νγ νϛ, ἡ ΕΔ δ, ἡ ΑΒ ϛ, τὸ ### book 325.2 ΑΓ ὅλον νγ κγ λϛ, ἡ αὐτῶν πλευρὰ ἡ ΜΞ ζ ιη κε, ἡ ΕΖ β, ### book 325.3 τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ δ, ἡ ΑΗ γ να μη, ἡ ΗΕ α β η, τὸ ΑΔ κγ ι ### book 325.4 μη, ἡ αὐτῶν πλευρὰ ἡ ΜΝ δ μη νβ, τὸ ΗΚ ϛ ιβ μη, ἡ αὐ‐ ### book 325.5 τῶν πλευρὰ ἡ ΝΞ β κθ λγ, τὸ ΕΛ ιβ, τὸ ΖΓ ιβ. ### book 326.1 Ἡ ΑΔ ὅλη θ νϛ νζ, ἡ ΑΕ ε κη λη, ἡ ΕΔ δ κη ιθ, ### book 326.2 τὸ ΑΓ νθ μα μβ, ἡ αὐτῶν πλευρὰ ἡ ΜΞ ζ μγ λδ, ἡ ΕΖ ### book 326.3 β ιδ θ λ, ἡ ΕΔ ὁμοίως, τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ δ νθ νη κζ λ ιε, ἡ ### book 326.4 ΑΗ δ ιθ ια, ἡ ΗΕ α θ κζ, τὸ ΑΘ κε νε ϛ, ἡ αὐτῶν πλευρὰ ### book 326.5 ἡ ΜΝ ε ε κζ, τὸ ΗΚ ϛ νϛ μβ, ἡ αὐτῶν πλευρὰ ἡ ΝΞ β ### book 326 λη ζ, τὸ ΕΛ ιγ κδ νζ, ὁμοίως καὶ τὸ ΖΓ. ἡ ΑΒ ϛ. ### book 327.1 Ἔστω ἡ ΑΒ δεκάπους καὶ τετμήσθω εἰς μὲν ἄνισα ### book 327.2 κατὰ τὸ Γ, εἰς δὲ ἴσα κατὰ τὸ Δ ὡς εἶναι τὴν μὲν ΑΓ ### book 327.3 ἑξάπουν, τὴν δὲ ΓΒ τετράπουν, τὴν δὲ ΑΔ πεντάπουν, ### book 327.4 ὁμοίως καὶ τὴν ΔΒ πεντάπουν. τὸ οὖν δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ### book 327.5.1 ΓΒ ὂν ποδῶν μη οὐκ ἔστι διπλάσιον τῆς εἰκοσιπεντάποδος ### book 327.5.2 τῆς γεγονυίας ἀπὸ τῆς ΑΔ πεντάποδος, ἀλλ’ ἐλλείπει· ### book 327.5.3 τοῦτο γάρ ἐστιν, ὃ εἶπε διὰ τοῦ· τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ ### book 327.5.4 ΓΒ ἔλαττον ἢ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΑΔ. ἐπεὶ τοίνυν τὸ ### book 327.5.5 δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ οὐκ ἔστι διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ, ### book 327.10.1 ἀλλ’ ἔλαττον ἢ διπλάσιον, πολλῷ ἄρα οὐκ ἔσται διπλάσιον ### book 327.10.2 τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ τετραγώ‐ ### book 327.10.3 νων. ὥστε ἐπεὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ διπλάσιά εἰσι τῶν ### book 327.10.4 ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ οὐκ ἔστι ### book 327.10.5 διπλάσιον τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ, ἀλλ’ ἔλαττον, τὸ ἄρα δὶς ### book 327.15.1 ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἔλαττόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. οἷον ### book 327.15.2 ὑποδείγματος χάριν, εἰ τὰ ιβ τῶν ϛ ἐστι διπλάσια, τὰ δὲ ### book 327.15.3 ια οὐκ ἔστι τῶν ϛ διπλάσια, τὰ ιβ τῶν ια μείζονά ἐστιν. ### book 328.1 Λῆμμα εἰς τὸ ξβʹ θεώρημα καὶ εἰς τὰ ἑξῆς ὅμοια ### book 328.2 αὐτῷ. ### book 328.3 Ὅτι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ ### book 328.4 τῶν ΑΓ, ΓΒ. ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω, ὡς ### book 328.5.1 ἔτυχεν, κατὰ τὸ Γ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΒ τετρά‐ ### book 328.5.2 γωνον τὸ ΑΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ, καὶ παράλληλος ὁπο‐ ### book 328.5.3 τέρᾳ τῶν ΑΕ, ΒΔ ἔστω ἡ ΓΖ, ὁμοίως καὶ διὰ τοῦ Η ### book 328.5.4 παράλληλος ἡ ΘΗΚ. τετράγωνον ἄρα ἑκάτερον τῶν ΘΖ, ### book 328 ΚΓ, καί ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τὸ δὲ ΑΗ παραπλή‐ ### book 328.10.1 ρωμα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ· ἴση γὰρ [Omitted graphic marker] ### book 328.10.2 ἡ ΗΓ τῇ ΓΒ. λέγω οὖν, ὅτι τῶν ### book 328.10.3 ΕΗ, ΗΒ τετραγώνων μέσον ἀνάλο‐ ### book 328.10.4 γόν ἐστι τὸ ΑΗ. ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ### book 328.10.5 ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς ### book 328.15.1 ΗΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΘ πρὸς ΘΕ, οὕτως ### book 328.15.2 τὸ ΑΗ πρὸς ΗΕ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ΒΗ ### book 328.15.3 πρὸς ΗΑ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς ΗΕ. τῶν ΒΗ, ΗΕ ἄρα ### book 328.15.4 μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ΑΗ. καί ἐστι τὰ μὲν ΒΗ, ΗΕ ### book 328.15.5 τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τὸ δὲ ΓΘ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ### book 328.20.1 τῶν ἄρα ἀπὸ ΑΓ, ΓΒ μέσον ἀνάλογόν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ### book 328.20.2 ΑΓ, ΓΒ. ### book 328.20.3 Ἄλλο λῆμμα εἰς τὸ αὐτὸ θεώρημα καὶ εἰς τὰ ἑξῆς αὐτῷ ### book 328.20.4 ὅμοια. ### book 328.20.5 Ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω εἰς ἄνισα κατὰ τὸ Γ. ### book 328.25.1 δεῖξαι, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετράγωνα μείζονά ἐστι ### book 328.25.2 τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ περιεχομένου ὀρθογωνίου. ### book 328.25.3 δειχθήσεται δὲ οὕτως· ἐπεὶ ἡ ΑΒ εὐθεῖα τέτμηται εἰς ### book 328.25.4 ἄνισα κατὰ τὸ Γ, μία τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζων ἐστίν. ἔστω ἡ [Omitted graphic marker] ### book 328.25.5 ΑΓ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΓ τῇ ἐλάσσονι ### book 328.30.1 τῇ ΓΒ ἴση ἡ ΓΔ. ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμηται, ὡς ### book 328.30.2 ἔτυχεν, κατὰ τὸ Δ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τετράγωνα ### book 328.30.3 ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ ### book 328.30.4 τετραγώνῳ. ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ### book 328.30.5 ΑΓ, ΓΔ μείζονά ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ τετραγώνῳ. ἴσα δὲ ### book 328.35.1 τὰ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ (ἴση γὰρ ### book 328.35.2 ἐτέθη τῇ ΓΒ ἡ ΓΔ), τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΔ τῷ δὶς ### book 328.35.3 ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζονά ### book 328.35.4 ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΔ· ὅπερ ### book 328.35.5 ἔδει δεῖξαι. ### book 329.1 Ἐκ δύο ὀνομάτων πρώτη ἦν, ὅταν τὸ μεῖζον ὄνομα ### book 329.2 σύμμετρον ἦν μήκει τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ. ### book 330.1 Ἔστω ἡ ΑΒ ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων ρπ, καὶ διῃρήσθω ### book 330.2 εἰς τὰ ὀνόματα ὡς εἶναι τὸ μεῖζον ὄνομα ρνε, τὸ δὲ ἔλατ‐ ### book 330.3 τον κε. ἔστω δὲ καὶ ἡ ΔΕ ῥητή, ἤτοι καὶ αὐτὴ ρπ, καὶ ### book 330.4 παραβεβλήσθω ἤτοι μερισθήτω τὸ ἀπὸ τῶν ρπ γινόμενον ### book 330.5.1 τετράγωνον, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῆς ἐκ δύο ὀνομά‐ ### book 330.5.2 των, ἅπερ ὀνόματά ἐστιν, ὡς εἴρηται, ὁ ρνε καὶ ὁ κε, μερι‐ ### book 330.5.3 σθήτω τοίνυν τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ δύο ὀνομάτων τετράγωνον ### book 330.5.4 ὂν τριῶν μυριάδων καὶ δισχιλίων τετρακοσίων παρὰ τὴν ### book 330.5.5 ῥητὴν τὴν ΔΕ οὖσαν ρπ, καὶ τὸ ἀπὸ τοῦ μερισμοῦ εὑρε‐ ### book 330.10.1 θέν, ὅπερ πλάτος παραβολῆς καλεῖται, ἔσται πάντως αὐτὴ ### book 330.10.2 ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων συγκειμένη ἤτοι ἡ ρπ. ### book 331.1 Ἡ ΑΒ ϛ νη νγ, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ μη μδ κγ ιδ μθ, ### book 331.2 ἡ ΔΕ δ, τὸ πλάτος τῆς παραβολῆς ἡ ΔΗ ιβ ια ε μη μβ ιε, ### book 331.3 τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἤτοι τὸ ΔΘ ιϛ, ἡ ΔΚ δ, τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ ### book 331.4 ἤτοι τὸ ΚΛ η νγ ιθ ιδ μθ, ἡ ΚΜ β ιγ ιθ μη μβ ιε, τὸ ἅπαξ ### book 331.5.1 ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ια νε λβ, ἡ ΜΝ β νη νγ, ὁμοίως καὶ ἡ ### book 331.5.2 ΝΗ καὶ τὸ ΝΖ. ### book 332.1 ἑκάτερον ἄρα τῶν p. 104, 11] ὃ λέγει, ἐστίν, ὅτι ### book 332.2 ἕκαστον παραλληλόγραμμον τὸ περιεχόμενον ἅπαξ ὑπὸ ### book 332.3 τῶν ΑΓ, ΓΒ οἷον τὸ ΜΞ ἐστι τὸ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ### book 332 καὶ πάλιν τὸ ΝΖ τὸ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ἐπεὶ γὰρ ### book 332.5.1 ὅλον τὸ ΜΖ ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, τέτμηται δὲ ### book 332.5.2 δίχα ἡ ΜΗ, δῆλον, ὅτι τὸ ΜΞ ἥμισύ ἐστι τοῦ ΜΖ. ὥστε ### book 332.5.3 τὸ ἅπαξ ἐστὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ. ### book 333.1 Μέση ἦν ἡ δυναμένη χωρίον περιεχόμενον ὑπὸ ### book 333.2 ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων, οἷον ἡ εἰκοσιτεσσαρά‐ ### book 333.3 πους καὶ τριακοντάπους μήκει μέν εἰσιν ἀσύμμετροι, δυ‐ ### book 333.4 νάμει δὲ σύμμετροι· τὰ γὰρ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα τά τε ### book 333.5.1 φοϛ καὶ τὸ ἐννακόσιοι κοινῷ χωρίῳ μετροῦνται τῷ ϛ· ### book 333.5.2 ἑξάκις γὰρ ϙϛ φοϛ καὶ ἑξάκις ρν ἐννακόσιοι. ὥστε ἡ εἰκοσι‐ ### book 333.5.3 τεσσαράπους καὶ ἡ τριακοντάπους μήκει μὲν ἀσύμμε‐ ### book 333.5.4 τροι, δυνάμει δὲ σύμμετροί εἰσι, περιέχουσι δὲ χωρίον ### book 333.5.5 ποδῶν ἑπτακοσίων εἴκοσι. ἡ οὖν δυναμένη τὸ τοιοῦτον ### book 333.10.1 χωρίον ἐστὶ μέση. ληπτέον δὴ τὴν τοῦ ψκ πλευρὰν τὴν δυ‐ ### book 333.10.2 ναμένην τὸν ψκ, καὶ ἔσται ἡ μέση. ἔστι δὲ ἡ πλευρὰ τοῦ ### book 333.10.3 ψκ κϛ μθ λη. ### book 334.1 Ἡ ΑΒ δ νζ νγ, ἡ ΔΕ δ, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ κα κϛ νθ η ### book 334.2 μθ, ἡ ΔΗ ε κα μδ μζ ιβ ιε, ἡ ΑΓ β νη μδ, ἡ ΓΒ α λθ θ, ### book 334.3 τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ η νβ κε λϛ ιϛ; ἡ ΔΚ β ιγ ϛ κδ δ, τὸ ἀπὸ τῆς ### book 334.4 ΓΒ β μγ ν μγ κα, ἡ ΚΜ οὐδὲν μ νζ μ ν ιε, τὸ ΜΞ δ νε κα ### book 334.5 κδ λϛ; ἡ ΜΝ α ιγ ν κα θ, ὁμοίως καὶ τὸ ΝΖ καὶ ἡ ΝΗ. ### book 335.1 Ἡ ΑΒ ὅλη ε ιγ ια, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ κζ ιδ μγ μη α, ### book 335.2 ἡ ΑΓ β νθ κη, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ η νϛ μη ιζ δ, ἡ ΓΒ β ιγ μγ, ### book 335.3 τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ δ νη οὐδὲν η μθ, ἡ ΔΕ δ, ἡ ΔΗ ϛ μη μ νζ ### book 335.4 οὐδὲν ιε, ἡ ΔΚ β ιδ ιβ δ ιβ ιϛ, ἡ ΚΜ α ιδ λβ ιβ ιε, τὸ ΜΞ ### book 335.5 ϛ λθ νζ μα δ, τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ἤτοι ΜΖ ιγ ιθ νε ### book 335 κβ η, ἡ ΜΝ α λθ νθ κε ιϛ, ἡ ΜΗ γ ιθ νη ν λβ. ### book 336.1 Ἡ ΑΒ δ νθ ιδ, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ κδ νβ κ λε ιϛ, ἡ ### book 336.2 ΑΓ γ μθ μβ, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ιδ λθ κβ ε κδ, ἡ ΓΒ α θ λβ, ### book 336.3 τὸ ἀπὸ ταύτης α κ λδ νγ μ, ἡ ΔΚ γ λθ ν λα κα, ἡ ΔΕ δ, ἡ ### book 336.4 ΚΜ οὐδὲν κ η μγ ιϛ, τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΒΓ ἤτοι τὸ ΜΞ δ κϛ ### book 336.5 ια μη κδ, τὸ δὶς η νβ κγ λϛ μη, ἡ ΜΗ β ιγ ε νδ ιβ. ### book 337.1 Ἡ ΑΒ δ θ μα, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ιζ ιθ α μϛ α, ἡ ΑΓ ### book 337.2 β κε ια, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ε να ιη ιβ α, ἡ ΓΒ α μδ λ, τὸ ἀπὸ ### book 337.3 τῆς ΓΒ γ β οὐδὲν ιε, ἡ ΔΕ δ, ἡ ΔΗ δ ιθ με κϛ λ ιε, ἡ ### book 337.4 ΚΜ οὐδὲν με λ γ με, ὁμοίως καὶ ἡ ΜΝ, ἡ ΔΜ β ιγ ιθ λϛ ### book 337.5.1 με ιε, ἡ ΔΚ α κζ μθ λγ ιε, τὸ ΜΞ δ ιβ να λθ λ, τὸ ΜΖ η κε ### book 337.5.2 μγ ιθ, ἡ ΜΗ, ἣν δίχα τμητέον εἰς τὴν ΜΝ καὶ ΝΗ, β ϛ ### book 337.5.3 κε μθ με. ### book 338.1 Ἡ ΑΒ γ κ μγ, τὸ ἀπὸ ταύτης ια ια κζ ι μθ, ἡ ΑΓ ### book 338.2 α δ κζ, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ β μη ι ιβ θ, ἡ ΓΒ α μ ιϛ, τὸ ἀπὸ ### book 338.3 τῆς ΓΒ β μζ λγ μδ ιϛ, ἡ ΔΗ β μζ μα μζ μβ ιε, ἡ ΔΕ δ, ### book 338.4 τὸ ΔΛ ε λε μγ λϛ κε, ἡ ΔΜ α κγ νε νδ ϛ ιε, τὸ ὑπὸ τῶν ### book 338.5 ΑΒ, ΒΓ τὸ ΜΞ δύο μζ να μζ ιβ, ἡ ΜΗ α κγ νε νγ λϛ. ### book 339.1 Ἡ ΑΕ δ, ἡ ΕΒ β νη νγ, ἡ ΑΒ ϛ νη νγ, ἡ ΓΔ δέκα ### book 339.2 α νϛ, ἡ ΓΖ ε μδ νβ μγ ν κε ιθ, ἡ ΖΔ δ ιζ γ ιϛ θ λδ μα. ### book 340.1 Ἕβδομον κεφάλαιον, ἐν ᾧ περὶ τῆς πρὸς τὰς κατὰ ### book 340.2 σύνθεσιν ϛ ἀλόγους συμμετρίας διαλέγεται δεικνύων, ὅτι ### book 340.3 ἡ ἑκάστῃ σύμμετρος ὁμοειδής ἐστιν αὐτῇ, καὶ ἔτι τὰς ### book 340.4 δυνάμεις αὐτῶν παρὰ τὰς ῥητὰς παραβάλλων ἐπισκέπτεται ### book 340.5.1 τὰ πλάτη τῶν χωρίων ἀντίστροφον ἑτέραν ἑξάδα τῇ ἐν τῷ ### book 340.5.2 ϛ κεφαλαίῳ παραδοθείσῃ ταύτην εὑρών. ### book 341.1 μήκει p. 113, 20] ἀναγκαίως τὸ μήκει πρόσκειται, ### book 341.2 ἐπεί, ἐάν εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι, προχωρεῖ ἐκ δύο ### book 341.3 ὀνομάτων εἶναι τὴν τῇ ἐκκειμένῃ ἐκ δύο ὀνομάτων σύμ‐ ### book 341.4 μετρον δυνάμει μόνον καὶ αὐτὴν εἶναι ἐκ δύο ὀνομάτων, τῇ ### book 341.5 τάξει δὲ μὴ εἶναι τὴν αὐτήν. ### book 342.1 γεγονέτω ὡς p. 114, 4] πόθεν δῆλον τοῦτο δυνατὸν ### book 342.2 εἶναι, ὡς τὴν ΑΒ πρὸς ΓΔ, οὕτως τὴν ΑΕ πρὸς ἐλάσσονα ### book 342.3 τῆς ΓΔ; διὰ τῆς ἀδυνάτου. ἔστω ἢ πρὸς αὐτὴν ἢ πρὸς τὴν ### book 342.4 μείζονα τῆς ΓΔ· ἐλέγχεται διὰ ιδʹ τοῦ εʹ, ὅτι οὔτε πρὸς ### book 342.5.1 αὐτὴν τὴν ΓΔ οὔτε πρὸς τὴν μείζονα αὐτῆς. λείπεται ### book 342.5.2 πρὸς τὴν ἐλάττονα τῆς ΓΔ, τουτέστι τὴν ΓΖ. ### book 343.1 καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΔ p. 114, 18] διὰ τοῦ κθʹ καὶ λʹ ### book 343.2 τοῦ ιʹ πορίσασθαι ταῦτα δυνατόν. ### book 344.1 Ἡ ΑΒ δ λζ νγ, ἡ ΓΔ ζ μα νζ, ἡ ΑΕ β νη μδ, ἡ ΕΒ ### book 344.2 α λθ θ, ἡ ΓΖ δ νζ ζ μα, ἡ ΖΔ β μδ λζ ιθ. ### book 345.1 Δεῖ πρῶτον εὑρεῖν τὴν ἐκ τῶν δύο μέσων πρώτην ### book 345.2 καὶ δευτέραν· καὶ αὗται δὲ εὑρίσκονται διὰ κηʹ καὶ διὰ κζʹ· ### book 345.1 καὶ οὕτως δίελε εἰς τὰ ὀνόματα, ἔχουσι δὲ αἱ δύο κοινῇ ### book 345.2 δυνάμει μόνον σύμμετρον. ἄλλο ἐστὶ νόημα τὸ λέγειν ### book 345.5.1 εὐθεῖα εὐθείᾳ σύμμετρος μήκει καὶ ἄλλο εὐθεῖα εὐθείᾳ ### book 345.5.2 σύμμετρος δυνάμει μόνον καὶ ἄλλως εὐθεῖα εὐθείᾳ σύμμετ‐ ### book 345.5.3 ρος. τοῦτο γενικώτατον, ταυτίζεται δὲ τὸ λέγειν εὐθεῖα εὐ‐ ### book 345.5.4 θείᾳ δυνάμει σύμμετρος τῷ νοήματι τῷ λέγειν ἁπλῶς εὐθεῖα ### book 345.5.5 εὐθείᾳ σύμμετρος. ### book 346.1 Ἡ ΑΒ δ νθ ιδ, ἡ ΓΔ η β ιζ, ἡ ΑΕ γ μθ μβ, ἡ ΕΒ ### book 346.2 α θ λβ, ἡ ΓΖ ϛ ιβ δ, ἡ ΖΔ α ν ιγ. ### book 347.1 καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ p. 118, 8] διὰ τὸ κδʹ ### book 347.2 τοῦ πέμπτου· πρώτου γὰρ ὑποτεθέντος τοῦ ἀπὸ τοῦ ΕΒ, ### book 347.3 δευτέρου τοῦ ἀπὸ ΑΒ, τρίτου τοῦ ἀπὸ ΔΖ, τετάρτου τοῦ ### book 347.4 ἀπὸ ΓΔ, πέμπτου τοῦ ἀπὸ ΑΕ, ἕκτου τοῦ ἀπὸ ΓΖ, ἐὰν ### book 347.5.1 συντεθῇ πρῶτον καὶ πέμπτον, πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ### book 347.5.2 ἕξει λόγον, καὶ τρίτον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον, καὶ ἀνά‐ ### book 347.5.3 παλιν τὸ δεύτερον πρὸς πρῶτον καὶ πέμπτον συντεθὲν τὸν ### book 347.5.4 αὐτὸν λόγον ἕξει καὶ τὸ τέταρτον πρὸς τρίτον καὶ ἕκτον ### book 347.5.5 συντεθέν. ### book 348.1 Καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ, οὕτως ### book 348.2 τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ διὰ λῆμμα ιαʹ εʹ, καὶ συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ### book 348.3 ἐστιν ὡς ἡ συγκειμένη πρὸς τὴν συγκειμένην, οὕτως τὸ ἀπὸ ### book 348.4 τῆς ΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΔ. σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ### book 348.5.1 ΕΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ· σύμμετρον καὶ τὸ συγκείμενον τῷ ### book 348.5.2 συγκειμένῳ· ῥητὸν ἐκεῖνο καὶ τοῦτο. ### book 349.1 Ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ, ### book 349.2 καί ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΒ, οὕτως τὸ ### book 349.3 ἀπὸ τοῦ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΖΔ, ἐναλλάξ ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ ### book 349.4 τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ ### book 349.5.1 ὑπὸ ΓΖΔ. σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΖ. ### book 349.5.2 σύμμετρον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΑΕΒ· μέσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ### book 349 ΓΖΔ. ### book 350.1 Ἡ ΑΒ δ θ μα, ἡ ΓΔ ιβ κθ γ, ἡ ΑΕ β κε ια, ἡ ΕΒ ### book 350.2 α μδ λ, ἡ ΓΖ ζ ιε λγ, ἡ ΖΔ ε ιγ λ. ### book 351.1 Ἡ ΑΒ γ κ μγ, ἡ ΓΔ ι β θ, ἡ ΑΕ α μ κζ, ἡ ΕΒ ### book 351.2 α μ ιϛ, ἡ ΓΖ ε α κα, ἡ ΖΔ ε οὐδὲν μη. ### book 352.1 Ἑπτά εἰσιν ἑξάδες ἄχρι τῶν ἐνταῦθα εἰρημέναι, ὧν ### book 352.2 ἡ μὲν πρώτη ἐδείκνυ τὴν γένεσιν αὐτῶν, ἡ δὲ δευτέρα τὴν ### book 352.3 διαίρεσιν, ὅτι καθ’ ἓν μόνον σημεῖον διαιροῦνται, ἡ τρίτη ### book 352.4 ἑξὰς τὴν ἐκ δύο ὀνομάτων εὕρεσιν πρώτης, βʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ, ### book 352.5.1 ἀφ’ ἧς ἡ τετάρτη ἑξὰς τὴν διαφορὰν ἐπεδείκνυ τῶν ἀλόγων, ### book 352.5.2 πῇ διαφέρουσιν· προσχρώμενος γὰρ τῇ ἐκ δύο ὀνομάτων ### book 352.5.3 ἀποδείκνυσι τὴν διαφορὰν τῶν ἓξ ἀλόγων. πέμπτην καὶ ### book 352.5.4 ἕκτην ἐξέθετο δεικνύων ἐν μὲν τῇ εʹ τὰς παραβολὰς τῶν ### book 352.5.5 ἀπὸ τῶν ἀλόγων, ποίας ἀλόγους ποιοῦσι τὰ πλάτη τῶν ### book 352.10.1 παραβαλλομένων χωρίων, ἐν δὲ τῇ ἕκτῃ, πῶς αἱ σύμμετροι ### book 352.10.2 ταῖς ἀλόγοις ὁμοειδεῖς αὐταῖς εἰσιν. ### book 352.10.3 Πάλιν ἐν τῇ ἑβδόμῃ σαφῶς τὴν διαφορὰν αὐτῶν ἡμῖν ### book 352.10.4 δείκνυσιν. ἀναφαίνεται δὲ καὶ ἐπὶ τῶν ἀλόγων τούτων ἥ ### book 352.10.5 τε ἀριθμητικὴ ἀναλογία, καὶ ἡ μέση λαμβανομένη ἀνά‐ ### book 352.15.1 λογον τῶν τμημάτων οἱασδήποτε ἀλόγου κατὰ τὴν ἀριθ‐ ### book 352.15.2 μητικὴν ἀναλογίαν καὶ αὐτὴ ὁμοειδής ἐστιν, ὧν ἐστι μέση ### book 352.15.3 ἀνάλογον. καὶ πρῶτον, ὅτι ἡ ἀριθμητικὴ μεσότης ἐν τού‐ ### book 352.1 τοις ἐστίν. κείσθω γὰρ ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων, εἰ τύχοι, ἡ ΑΒ ### book 352.2 καὶ διῃρήσθω εἰς τὰ ὀνόματα κατὰ τὸ Γ. φανερόν, ὅτι ἡ ### book 352.20.1 ΑΓ τῆς ΓΒ ἐστι μείζων. ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΑΓ τῇ ΓΒ ### book 352.20.2 ἴση ἡ ΑΔ, καὶ δίχα τετμήσθω ἡ ΓΔ κατὰ τὸ Ε. φανερόν, ### book 352.20.3 ὅτι ἡ ΕΑ τῇ ΕΒ ἐστιν ἴση. κείσθω ὁποτέρᾳ αὐτῶν ἴση ἡ ### book 352.20.4 ΖΗ. φανερὸν δή, ὅτι, ᾧ διαφέρει ἡ ΑΒ τῆς ΖΗ, τούτῳ ### book 352.20.5 διαφέρει καὶ ἡ ΕΒ τῆς ΓΒ· ἡ μὲν γὰρ ΑΓ τῆς ΖΗ τῇ ### book 352.25.1 ΔΕ, τῷ αὐτῷ δὲ ἡ ΖΗ τῆς ΓΒ, ὅπερ ἐστὶν ἀριθμητικῆς ### book 352.25.2 ἀναλογίας. δῆλον δὲ καί, ὅτι ἡ ΖΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ΑΒ· ### book 352.25.3 τῇ γὰρ ἡμισείᾳ αὐτῆς ἐστιν ἴση. ὥστε ἐστὶν ἐκ δύο ὀνο‐ ### book 352.25.4 μάτων. ὁμοίως δειχθήσεται καὶ ἐκ τῶν ἄλλων. [Omitted graphic marker] ### book 353.1 Ὄγδοον κεφάλαιον ἅμα μὲν ἐκ τῆς συνθέσεως ### book 353.2 τοῦ ῥητοῦ καὶ τοῦ μέσου ἢ τῶν δύο μέσων χωρίων σαφῶς ### book 353.3 ἐπιδεικνύον, ἣν ἔχουσιν αἱ κατὰ σύνθεσιν ἄλογοι πρὸς ### book 353.4 ἀλλήλας διάκρισιν, ἅμα δὲ ἐκ τῶν χωρίων, ἃ δύνανται, ### book 353.5 τὴν διαφορὰν αὐτῶν συλλογιζόμενον. ### book 354.1 Τέσσαρας ἀλόγους λέγει τήν τε ἐκ δύο ὀνομάτων ### book 354.2 κατὰ τὸ λϛʹ θεώρημα τοῦ ιʹ βιβλίου τήν τε ἐκ δύο μέσων ### book 354.3 πρώτην κατὰ τὸ λζʹ θεώρημα τήν τε μείζονα κατὰ τὸ λθʹ ### book 354.4 καὶ τὴν ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένην κατὰ τὸ μ θεώρημα. ### book 355.1 Τὸ ΑΒ ῥητὸν τὸ ιε νδ νϛ νη κη τὸ γινόμενον ἐν ### book 355.2 συνθέσει δύο τετραγώνων τῶν γινομένων ἐξ εὐθειῶν τῶν ### book 355.3 κειμένων ἐν τῷ λθʹ θεωρήματι τοῦ παρόντος βιβλίου, ὧν ### book 355.4 ἡ μὲν μία ἐστὶ γ μθ μβ ποιοῦσα τετράγωνον τὸ ιδ λθ κβ ### book 355.5.1 ε κδ, ἡ δὲ ἑτέρα ἡ α θ λβ ποιοῦσα τετράγωνον τὸ α κ λδ ### book 355.5.2 νγ δ. τὰ μὲν οὖν ἀπὸ τούτων τῶν εὐθειῶν ταῦτα, ὧν τῇ ### book 355.1 συνθέσει τὸ ... τὸ ΑΒ γίνεται, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν εὐθειῶν ### book 355.2 τούτων γινόμενον τὸ ΓΔ τὸ καὶ μέσον δ κϛ ια μη κδ, τὸ δὲ ### book 355.3 συναμφότερον τὸ ΑΔ κ κϛ η μϛ νβ, καὶ ἡ τὸ ΑΔ δυναμένη ### book 355.10.1 δ λα ιδ ἤτοι ἡ ΕΚ. ἡ ΕΘ γ νθ μθ ιδ λζ, ἡ ΘΚ α ϛ λβ νζ ϛ. ### book 355.10.2 ἡ ΕΖ τεσσάρων μονάδων. ἡ τὸ ΑΔ χωρίον δυναμένη δ ### book 355.10.3 λα ϛ. ### book 356col 1.1 Ἡ ΑΓ ### book 356col 1.2 ١ ### book 356col 1.3 ٤٠ ### book 356col 1 ٢٧ ### book 356col 2.1 ἡ ΒΓ ### book 356col 2.2 ١ ### book 356col 2.3 ٤٠ ### book 356col 2 ١٦ ### book 356col 3.1 τὸ ΑΒ ### book 356col 3.2 ٢ ### book 356col 3.3 ٤٨ ### book 356col 3.4 ١٠ ### book 356col 3.5 ١٢ ### book 356col 3 ٩ ### book 356col 4.1 τὸ ΓΔ ### book 356col 4.2 ٢ ### book 356col 4.3 ٤٧ ### book 356col 4.4 ٣٣ ### book 356col 4.5 ٢٤ ### book 356col 4 ١٦ ### book 356col 5 ἡ ΕΖ ### book 356col 5 μονάδων τεσσάρων ### book 356col 6.1 ἡ τὸ ΑΔ δυναμένη ### book 356col 6.2 ٢ ### book 356col 6.3 ٢١ ### book 356col 6.4 ٥٥ ### book 356col 6.5 ٤١ ### book 356col 7.1 ἡ ΕΔ οὐδέν ### book 356col 7.2 ٤٣ ### book 356col 7.3 ٢ ### book 356col 7.4 ٣٣ ### book 356col 7.5 ٢ ### book 356col 7 ١٥ ### book 356col 8.1 ἡ ΘΚ οὐδέν ### book 356col 8.2 ٤١ ### book 356col 8.3 ٥٣ ### book 356col 8.4 ٢١ ### book 356col 8.5 ٤ ### book 356col 9.1 τὸ ΓΔ ### book 356col 9.2 ٢ ### book 356col 9.3 ٤٧ ### book 356col 9.4 ٣٣ ### book 356col 9.5 ٢٤ ### book 356col 9 ١٦ ### book 357.1 Τῇ τάξει διαφέρει τὸ αʹ τοῦ δευτέρου καὶ τοῦτο τοῦ ### book 357.2 γʹ καὶ τοῦτο τοῦ δʹ καὶ ἑξῆς. ### book 358 Ἀρχὴ συνθέσεως τῶν κατὰ ἀφαίρεσιν ἑξάδων. ### book 359 Ἔνατον κεφάλαιον τὰς δι’ ἀφαιρέσεως ϛ ἀλόγους ### book 359.1 παραδιδὸν ὁμοίως ταῖς κατὰ σύνθεσιν ϛ, οἷον τῇ μὲν ἐκ ### book 359.2 δύο ὀνομάτων τὴν ἀποτομήν· δι’ ὧν γὰρ ἐκείνη συνετέθη, ### book 359.3 διὰ τούτων αὕτη κατ’ ἀφαίρεσιν τῆς ἐλάττονος ἀπὸ τῆς ### book 359.5.1 μείζονος ἀνεφάνη· τῇ ἐκ δύο μέσων πρώτῃ τὴν μέσης ἀπο‐ ### book 359.5.2 τομὴν πρώτην καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὡσαύτως· ἐφ’ οἷς δὴ ### book 359.5.3 δείκνυσιν ἑκάστῃ τὴν προσαρμόζουσαν μίαν οὖσαν. ### book 360 Ἡ ΑΒ λ ιη ε μ, ἡ ΑΓ ι ιη ε δ, ἡ ΓΒ κ: —ἡ ΒΓ κ. ### book 361.1 Ἡ ΑΒ δ λζ νγ, ἡ ΑΓ β νη μδ, ἡ ΓΒ α λθ θ, τὸ ὑπὸ ### book 361.2 τῆς ΑΒ καὶ ΓΒ ζ νϛ. ### book 362.1 Τοῦ οδʹ κατ’ ἄλλην γραφήν. ἡ ΑΒ ١٦ ٤٩ ٤, ἥτις καὶ ### book 362.2 μέση λέγεται ὡς δυναμένη χωρίον τὸ γινόμενον ἀπὸ τοῦ ### book 362.3 κ καὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ ς, ὅπερ ἐστὶ σπβ ν κ, μέσον ὡς ὑπὸ ### book 362.4 ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων γινόμενον. ἡ ΓΒ α κε λζ, ### book 362.5.1 τὸ ἀπ’ αὐτῆς β β ιβ μθ, τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΒΓ ιδ κδ, ἡ ΑΓ ιε ### book 362.5.2 κγ κζ· τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΒ μέσον ἐστὶ ὡς σύμμετρον τῷ ### book 362.5.3 μέσῳ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, καὶ ἡ ΓΒ μέση ὡς μέσον δυνα‐ ### book 362.5.4 μένη. ### book 363.1 Ἡ ΑΒ ε ιγ ια, ἡ ΑΓ β νθ κη, ἡ ΒΓ β ιγ μγ, τὸ ### book 363.2 ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ια λζ νζ μθ νγ, τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ κζ ιδ ### book 363.3 μγ μη α, τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ δ νη οὐδὲν η μθ. —σύναμα τὸ ἀπὸ ### book 363.4 τῶν ΑΒ, ΒΓ λβ ιβ μγ νϛ ν, ἡ ΔΗ η γ ι νθ ιβ λ, τὸ δὶς ὑπὸ ### book 363.5 τῶν ΑΒ, ΒΓ κγ ιε νε λθ μϛ, ἡ ΔΖ ε μη νη νδ νϛ λ, τὸ ### book 363.1 ἀπὸ τῆς ΑΓ η νϛ μη ιη δ. ### book 363.2 Ἡ δυναμένη ἢ ἡ ΔΚ μονάδων δ. ### book 364.1 Τοῦ οεʹ κατ’ ἄλλην γραφήν. ἔστω ἡ ΑΒ μέση ε νγ ### book 364.2 ζ δυναμένη χωρίον μέσον τὸ ἀπὸ τῆς ι καὶ τῆς πλευρᾶς ### book 364.3 τοῦ ιβ, ἡ ΓΒ μέση α να μ δυναμένη σύμμετρον χωρίον ### book 364.4 τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τὸ γ κζ μθ κϛ μ, ἡ ΑΓ δ α κζ, τὸ δὲ ὑπὸ ### book 364.5.1 τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσον χωρίον ι νζ ιβ γινόμενον ἀπὸ τῆς ### book 364.5.2 πλευρᾶς τοῦ ιβ καὶ τῆς τοῦ .., τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ λδ λη κ. ### book 365.1 Οὐκοῦν ἐὰν χωρίον περιέχηται ὑπὸ ῥητῆς καὶ ἀπο‐ ### book 365.2 τομῆς, ἡ τὸ χωρίον δυναμένη ἄλογός ἐστι καὶ μέσης ἀπο‐ ### book 365.3 τομὴ δευτέρα, καὶ τὸ ἀπὸ μέσης ἀποτομῆς δευτέρας παρὰ ### book 365.4 ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομήν· ὅπερ ### book 365.5 ἐστὶν ἀληθές· τρίτην γὰρ ἀποτομὴν ποιεῖ. ### book 366col 1.1 Ἡ ΑΒ ὅλη ### book 366col 1.2 ٤ ### book 366col 1.3 ٥٩ ### book 366col 1 ١٤ ### book 366col 2.1 ἡ ΑΓ ### book 366col 2.2 ٣ ### book 366col 2.3 ٤٩ ### book 366col 2 ٤٢ ### book 366col 3.1 ἡ ΒΓ ### book 366col 3.2 ١ ### book 366col 3.3 ٩ ### book 366col 3 ٣٢ ### book 367.1 Εἰς τὸ οϛʹ κατ’ ἄλλην γραφήν. ἡ ΑΒ ὅλη θ νβ κε, ### book 367.2 ἡ ΑΓ η ιϛ μθ, ἡ ΓΒ α λε λϛ. ### book 368.1 καὶ ἀναστρέψαντι λοιπῷ, p. 131, 13] τὰ ἀπὸ τῶν ### book 368.2 ΑΒ, ΒΓ ἴσα ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ### book 368.3 τῆς ΑΓ. ἐπεὶ οὖν ἀσύμμετρά εἰσι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ### book 368.4 τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, καὶ λοιπὸν ἄρα τούτου ἤγουν τῷ ### book 368.5 ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀσύμμετρά ἐστι. τοῦτο δὲ πολλαχῶς δεῖξαι ### book 368.1 δυνατόν· δέδεικται γάρ, ὅτι κἂν τὸ ὅλον ᾖ αὐτῷ ἀσύμ‐ ### book 368.2 μετρον ᾖ, καὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς μέγεθος ἀσύμμετρον ἔσται· ### book 368.3 εἰ δὲ ταῦτα ἐξ ἀρχῆς ἀσύμμετρα, καὶ τῷ ὅλῳ πάντως ἑκά‐ ### book 368.4 τερον αὐτῶν ἀσύμμετρον ἔσται. ὥστε τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ### book 368.10.1 ἀσύμμετρόν ἐστι τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ### book 368.10.2 ΒΓ. ### book 369col 1.1 Ἡ ΑΒ ὅλη ### book 369col 1.2 ٤ ### book 369col 1.3 ٩ ### book 369col 1 ٤٩ ### book 369col 2.1 ἡ ΑΓ ### book 369col 2.2 ٢ ### book 369col 2.3 ٢٥ ### book 369col 2 ١١ ### book 369col 3.1 ἡ ΒΓ ### book 369col 3.2 ١ ### book 369col 3.3 ٤٤ ### book 369col 3 ٣٠ ### book 370.1 Τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἡ ΑΓ ἀπολαβοῦσα ῥητὸν τὸ ὑπὸ ### book 370.2 τῶν ΑΒ, ΒΓ δὶς ποιεῖ, μέσον τὸ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ διὰ ### book 370.3 ζʹ βʹ. ### book 371.1 ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα p. 132, 15. ### book 371.2 16] τὸ γὰρ ὅλον χωρίον τὸ προτεθὲν δύναται αὕτη μετὰ τοῦ ### book 371.3 δὶς ὑπὸ ΑΒ, ΒΓ. ο҅Ͻ⸓:~ ### book 372col 1.1 Ἡ ΑΒ ὅλη ### book 372col 1.2 ٣ ### book 372col 1.3 ٢٠ ### book 372col 1 ٤٣ ### book 372col 2.1 ἡ ΑΓ ### book 372col 2.2 ١ ### book 372col 2.3 ٤٠ ### book 372col 2 ٢٧ ### book 372col 3.1 ἡ ΒΓ ### book 372col 3.2 ١ ### book 372col 3.3 ٤٠ ### book 372col 3 ١٦ ### book 372col 4.1 ἡ ΔΚ ### book 372col 4.2 τεσ‐ ### book 372col 4.3 σάρων ### book 372col 4.4 μο‐ ### book 372col 4.5 νάδων ### book 372col 5.1 τὸ ἀπὸ ### book 372col 5.2 τῆς ΑΒ ### book 372col 5.3 ١١٠ ### book 372col 5.4 ١١٠ ### book 372col 5.5.1 ٢٧ ### book 372col 5.5.2 ١٠ ### book 372col 5 ٤٩ ### book 372col 6.1 τὸ ἀπὸ ### book 372col 6.2 τῆς ### book 372col 6.3 ΓΒ ### book 372col 6.4 ٢ ### book 372col 6.5.1 ٤٧ ### book 372col 6.5.2 ٣٣ ### book 372col 6.5.3 ٢٤ ### book 372col 6 ١٦ ### book 372col 7.1 τὸ σύναμα ### book 372col 7.2 ὑπὸ τῶν ### book 372col 7.3 ΑΒ, ### book 372col 7.4 ΒΓ ### book 372col 7.5.1 ٣ ### book 372col 7.5.2 ٥٩ ### book 372col 7.5.3 οὐδέν ### book 372col 7.5.4 ٣٥ ### book 372col 7 ٥ ### book 372col 8.1 ἡ ΔΗ ἤτοι ### book 372col 8.2 τὸ πλά‐ ### book 372col 8.3 τος τοῦ ### book 372col 8.4 ἀπό ### book 372col 8.5.1 ٣ ### book 372col 8.5.2 ٢٩ ### book 372col 8.5.3 ٤٥ ### book 372col 8.5.4 ٨ ### book 372col 8 ٤٥ ### book 372col 9.1 τὸ ὑπὸ ### book 372col 9.2 τῶν ### book 372col 9.3 ΑΒ, ### book 372col 9.4 ΒΓ ### book 372col 9.5.1 ٥ ### book 372col 9.5.2 ٣٥ ### book 372col 9.5.3 ٢٥ ### book 372col 9.5.4 ١١ ### book 372col 9 ٢٨ ### book 372col 10.1 τὸ δίς ### book 372col 10.2 ١١ ### book 372col 10.3 ١٠ ### book 372col 10.4 ٥٠ ### book 372col 10.5 ٢٢ ### book 372col 10 ٥٦ ### book 372col 11.1 τοῦ ὑπὸ ### book 372col 11.2 τὸ πλά‐ ### book 372col 11.3 τος ἡ ### book 372col 11.4 ΔΖ ### book 372col 11.5.1 ٢ ### book 372col 11.5.2 ٤٧ ### book 372col 11.5.3 ٤٢ ### book 372col 11.5.4 ٣٥ ### book 372col 11 ٤٤ ### book 373 Ἐκ τῆς εἰς ἄτοπον ἀπαγωγῆς. ### book 374col 1 Ἡ ΑΒ ### book 374col 1 ٢٠ ### book 374col 2.1 ἡ ΒΓ ### book 374col 2.2 ١٠ ### book 374col 2.3 ١٨ ### book 374col 2.4 ٥ ### book 374col 2.5 ٤٠ ### book 375 ἐναλλὰξ ἄρα p. 135, 3] διὰ τὸ ιϛʹ τοῦ ϛʹ. ### book 376.1 Διὰ τὴν ἐνάργειαν αὐτήν, οὐ διὰ θεώρημα, ὡς ὁ ### book 376.2 ἡμέτερος διδάσκαλος ἀπέδειξεν· ἀριθμητικὴ γὰρ ἀναλο‐ ### book 376.3 γία ἐνταῦθα, ἀλλ’ οὐ γεωμετρική. ### book 377.1 Διὰ ϛʹ τοῦ εʹ· κοινὸν τὸ θεώρημα γεωμετρικῆς ### book 377.2 ἀναλογίας καὶ ἀριθμητικῆς. ### book 378.1 Ἐν τῷ λόγῳ ἄρα εἰσὶ τῆς ἀριθμητικῆς ἀναλογίας ### book 378.2 ἢ ὑπεροχῇ, καὶ οὐκ ἐν τῷ λόγῳ τῆς γεωμετρικῆς ἀναλο‐ ### book 378.3 γίας. ### book 379 Προσαρμόζουσι κατὰ μῆκος ἄπειροι εὐθεῖαι, ῥητὴ ### book 379 δὲ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα τῇ ὅλῃ μία προσαρμόζει. ### book 380 Ἡ ΑΒ ٢ ٥٨ ٤٤ ἡ ΒΓ ١ ٣٩ ٩ ### book 381 Ἐκ τῆς εἰς ἄτοπον ἀπαγωγῆς. ### book 382col 1.1 Ἡ ΑΓ ### book 382col 1.2 ٥ ### book 382col 1.3 ١٣ ### book 382col 1 ١١ ### book 382col 2.1 ἡ ΑΒ ### book 382col 2.2 ٢ ### book 382col 2.3 ٥٩ ### book 382col 2 ٢٨ ### book 382col 3.1 ἡ ΒΓ ### book 382col 3.2 ٢ ### book 382col 3.3 ١٣ ### book 382col 3 ٤٣ ### book 382col 4 ἡ ΕΖ ### book 382col 4 δ ### book 382col 5.1 τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ### book 382col 5.2 ٢٧ ### book 382col 5.3 ١٤ ### book 382col 5.4 ٤٣ ### book 382col 5.5 ٤٨ ### book 382col 5 ١ ### book 382col 6.1 τὸ δὶς ὑπὸ ### book 382col 6.2 τῶν ΑΒ, ΒΓ ### book 382col 6.3 ١٣ ### book 382col 6.4 ١٩ ### book 382col 6.5.1 ٥٥ ### book 382col 6.5.2 ٢٣ ### book 382col 6 ٨ ### book 382col 7.1 τὸ ἀπὸ ### book 382col 7.2 τῆς ΒΓ ### book 382col 7.3 ٤ ### book 382col 7.4 ٥٨ ### book 382col 7.5.1 ٠ ### book 382col 7.5.2 ٨ ### book 382col 7 ٤٩ ### book 382col 8.1 ἡ ΘΜ ### book 382col 8.2 ٣ ### book 382col 8.3 ١٩ ### book 382col 8.4 ٥٨ ### book 382col 8.5 ٥٠ ### book 382col 8 ٣٢ ### book 382col 9.1 τὸ συναμφότερον ### book 382col 9.2 τῶν ἀπό ### book 382col 9.3 ٣٢ ### book 382col 9.4 ١٢ ### book 382col 9.5.1 ٤٣ ### book 382col 9.5.2 ٥٦ ### book 382col 9 ٥٠ ### book 382col 10.1 ἡ ΕΜ ### book 382col 10.2 ٨ ### book 382col 10.3 ٣ ### book 382col 10.4 ٤٠ ### book 382col 10.5.1 ٥٩ ### book 382col 10.5.2 ١٢ ### book 382col 10 ٣٠ ### book 383 Ἐκ τῆς εἰς ἄτοπον ἀπαγωγῆς. ### book 384 Ἡ ΒΑ ٣ ٤٩ ٤٢ ἡ ΒΓ ١ ٩ ٣٢ ### book 385.1 Τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ῥητά εἰσι, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ### book 385.2 ΓΒ ῥητά εἰσιν ἀμφότερα. τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ τῶν ### book 385.3 ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ διὰ ιγʹ ιʹ ὑπερέχει ῥητῷ. πόθεν δῆλον; ### book 385.4 ἐπεὶ ῥητά ἐστι, σύμμετρά ἐστι· κἂν τὸ ὅλον ἑνὶ αὐτῶν ### book 385.5.1 σύμμετρον ᾖ, καὶ τὰ ἐξ ἀρχῆς μεγέθη σύμμετρά εἰσι· σύμ‐ ### book 385.5.2 μετρον ἄρα τὸ—μ ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ καὶ ἡ ὑπεροχή· ῥη‐ ### book 385.5.3 τόν· ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπεροχή. ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ### book 385.5.4 τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ ὑπερέχει ῥητῷ τουτέστι τὴν ### book 385.5.5 ὑπεροχήν. ### book 386 Ἡ ΑΒ ٢ ٢٥ ١١ ἡ ΒΓ ١ ٤٤ ٣٠ ἡ ΓΔ. ### book 387 Ἐκ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς. ### book 388 Ἐκ τῆς εἰς ἄτοπον ἀπαγωγῆς. ### book 389col 1.1 Ἡ ΑΓ ### book 389col 1.2 ١ ### book 389col 1.3 ٤٠ ### book 389col 1 ٢٧ ### book 389col 2.1 ἡ ΓΒ ### book 389col 2.2 ١ ### book 389col 2.3 ٤٠ ### book 389col 2 ١٦ ### book 389col 3.1 ἡ ΑΒ ### book 389col 3.2 ٣ ### book 389col 3.3 ٢٠ ### book 389col 3 ٤٣ ### book 389col 4.1 ἡ ΕΖ ### book 389col 4.2 μο‐ ### book 389col 4.3 νάδων ### book 389col 4.4 τεσ‐ ### book 389col 4.5 σάρων ### book 389col 5.1 τὸ ἀπὸ ### book 389col 5.2 τῆς ΑΓ ### book 389col 5.3 ١١ ### book 389col 5.4 ١١ ### book 389col 5.5.1 ٢٧ ### book 389col 5.5.2 ١٥ ### book 389col 5 ٤٩ ### book 389col 6.1 τὸ ἀπὸ ### book 389col 6.2 τῆς ΑΒ ### book 389col 6.3 ٢ ### book 389col 6.4 ٤٧ ### book 389col 6.5.1 ٣٣ ### book 389col 6.5.2 ٢٤ ### book 389col 6 ١٦ ### book 389col 7.1 τὸ σύν‐ ### book 389col 7.2 αμα ### book 389col 7.3 ١٣ ### book 389col 7.4 ٥٩ ### book 389col 7.5.1 ٠ ### book 389col 7.5.2 ٣٥ ### book 389col 7 ٥ ### book 389col 8.1 ἡ ΕΜ ### book 389col 8.2 ἤτοι τὸ ### book 389col 8.3 πλάτος ### book 389col 8.4 ٣ ### book 389col 8.5.1 ٢٩ ### book 389col 8.5.2 ٤٥ ### book 389col 8.5.3 ٨ ### book 389col 8 ٤٦ ### book 389col 9.1 τὸ ἅπαξ ### book 389col 9.2 ὑπὸ τῶν ### book 389col 9.3 ΑΒ, ΒΓ ### book 389col 9.4 ٥ ### book 389col 9.5.1 ٣٥ ### book 389col 9.5.2 ٢٥ ### book 389col 9.5.3 ١١ ### book 389col 9 ٢٨ ### book 389col 10.1 τὸ δὶς ### book 389col 10.2 ὑπὸ τῶν ### book 389col 10.3 ΑΒ, ΒΓ ### book 389col 10.4 ١١ ### book 389col 10.5.1 ١٠ ### book 389col 10.5.2 ٥٠ ### book 389col 10.5.3 ٢٢ ### book 389col 10 ٥٦ ### book 389col 11.1 ἡ ΘΜ ### book 389col 11.2 ἤτοι τὸ ### book 389col 11.3 πλάτος ### book 389col 11.4 ٢ ### book 389col 11.5.1 ٤٧ ### book 389col 11.5.2 ٤٢ ### book 389col 11.5.3 ٣٥ ### book 389col 11 ٤٤ ### book 390col 1 Ἡ ΑΒ ### book 390col 1 ٤ ### book 390col 2 ἡ ΒΗ ### book 390col 2 ٦ ### book 390col 3.1 ἡ ΗΓ ٥ ### book 390col 3.2 ١١ ### book 390col 3 ٤٦ ### book 390col 4.1 ἡ ΒΓ οὐδέν ### book 390col 4.2 ٤٨ ### book 390col 4 ١٤ ### book 390col 5 ἡ Θ ### book 390col 5 ٣ ### book 390col 6 ὁ ΔΕ ### book 390col 6 ١٦ ### book 390col 7 ὁ ΔΖ ### book 390col 7 ١٢ ### book 390col 8 ὁ ΖΕ τὸ ἀπὸ τῆς Θ ἐννέα. ### book 390col 8 ٤ ### book 391.1 οὐδ’ ἄρα ὁ ΕΔ p. 144, 17] διὰ πόρισμα τοῦ λήμ‐ ### book 391.2 ματος τοῦ κθʹ τοῦ ιʹ, διὰ ὅρον· εἰ γὰρ ἔχει, ὃν τετράγωνος ### book 391.3 ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἔσται καὶ ἐκεῖνο ### book 391.4 τετράγωνον διὰ κδʹ ηʹ· ὅπερ ἀδύνατον. ### book 392.1 Ὧι γὰρ μεῖζον p. 145, 12] μείζων δὲ ὁ ΕΔ τοῦ ### book 392.2 ΔΖ· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΓ ### book 392.3 διὰ βʹ ιδʹ τοῦ εʹ καὶ διὰ αʹ ϛʹ τοῦ εʹ. ### book 393 Ἡ Α μονάδων τεσσάρων, ἡ ΓΗ δύο, ὁ ΔΕ ιϛ, ὁ ### book 393.1 ΕΖ δ, ὁ ΔΖ ιβ, ὁ ΔΕ ιϛ; τὸ ἀπὸ τῆς ΓΗ δ. —τὸ ἀπὸ τῆς ### book 393.2 ΗΒ, ὅπερ ἐστὶ ε καὶ κ, ἡ ΗΒ β ιη λγ, ἡ ΒΓ οὐδὲν ιη λγ, τὸ ### book 393.3 ἀπὸ τῆς Θ α κ, ἡ Θ α θ ιϛ. ### book 394.1 Εὑρεῖν β τετραγώνους ἀριθμοὺς τοὺς ΓΒ, ΒΔ ### book 394.2 ὥστε τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὴν ΔΓ μὴ εἶναι τετράγωνον ### book 394.3 διὰ πόρισμα τοῦ αʹ λήμματος τοῦ κθʹ τοῦ ιʹ, καὶ ἐκ‐ ### book 394.4 κείσθω ἕτερος ἀριθμὸς ὁ Ε μὴ τετράγωνος καὶ μὴ ὅμοιος ### book 394.5.1 τῇ ὑπεροχῇ, τουτέστι τῷ ΔΓ, ἄνευ θεωρήματος. φανερὸν ### book 394.5.2 δέ, ὅτι τὸ Ε πρὸς ἑκάτερον τῶν ΓΒ, ΒΔ λόγον οὐκ ἔχει, ### book 394.5.3 ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· εἰ ### book 394.5.4 γὰρ ἔχει λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετρά‐ ### book 394.5.5 γωνον ἀριθμόν, τετράγωνος ἔσται διὰ κδʹ ηʹ. ὑπόκειται ### book 394.10.1 δὲ οὐ τετράγωνος· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ὁ Ε πρὸς ἑκά‐ ### book 394.10.2 τερον τῶν ΓΒ, ΒΔ λόγον ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς ### book 394.10.3 πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. ### book 395.1 Ἡ Α μονάδων δύο, ὁ ΒΓ ιϛ, ὁ ΓΔ ιβ, ὁ ΒΔ δ, ὁ Ε ### book 395.2 μονάδων ϛ. —τὸ ἀπὸ τῆς Α μονάδων τεσσάρων, τὸ ἀπὸ τῆς ### book 395.3 ΖΗ δέκα μ. —ἡ ΖΗ γ ιε νζ. —τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ ὀκτώ. — ### book 395.4 ἡ πλευρὰ τοῦ ὀκτὼ β μθ μβ ἤτοι τοῦ ἀπὸ τῆς ΘΗ. —τὸ ### book 395.5.1 ἀπὸ τῆς Κ δύο μ, τοῦ ἀπὸ τῆς Κ ἡ πλευρὰ α λζ νη, ἡ ΖΘ ### book 395.5.2 οὐδὲν κϛ ιε. ### book 396 Ἡ Α β, ἡ ΒΗ ϛ, ὁ ΔΖ ι, ὁ ΖΕ μονάδων τεσσά‐ ### book 396 ρων, ὁ ΔΕ ιδ, τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ λϛ, ### book 396col 1.1 τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ ### book 396col 1.2 ١٠ ### book 396col 1.3 ١٧ ### book 396col 1.4 ٨ ### book 396col 1.5 ٣٤ ### book 396col 1 ١٧ ### book 396col 2.1 ἡ ΒΓ ### book 396col 2.2 ٢ ### book 396col 2.3 ٤٧ ### book 396col 2 ٣٥ ### book 396col 3.1 ἡ ΗΓ ### book 396col 3.2 ٣ ### book 396col 3.3 ١٢ ### book 396col 3 ٢٥ ### book 396col 4.1 τὸ ἀπὸ τῆς Θ ### book 396col 4.2 ٢٥ ### book 396col 4.3 ٤٢ ### book 396col 4.4 ٥١ ### book 396col 4.5.1 ٢٥ ### book 396col 4.5.2 ٤٢ ### book 396col 4 ٥٢ ### book 397.1 Ἡ Α μονάδων τεσσάρων, ἡ ΓΗ ϛ, ὁ ΔΖ ε, ὁ ΖΕ γ, ### book 397.2 ὁ ΕΔ η, τὸ ἀπὸ τῆς ΓΗ λϛ, τὸ ἀπὸ τῆς ΗΒ ϙϛ, ἡ ΗΒ ### book 397.3 ἡ πλευρὰ τοῦ ϙϛ ٣ ٤٧ ٥٢ ἡ ΓΒ ٩ ٤٧ ٥٢ τὰ ἀπὸ τῆς Θ ξ, ἡ Θ ἡ πλευρὰ ### book 397.4 τοῦ ξ ٧ ٤٤ ٤٥ ### book 398 Τοῦτο ἐδείχθη ἐν τῇ εὑρέσει τῆς τρίτης ἀποτομῆς. ### book 399.1 Ἡ Α μονάδων τεσσάρων, ὁ Ε ὀκτώ, ὁ ΒΓ ι, ὁ ΓΔ ### book 399.2 τέσσαρα, ὁ ΒΔ ϛ, τὸ ἀπὸ τῆς Α ιϛ, τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ κ, ἡ ### book 399.3 ΖΗ ἡ πλευρὰ τοῦ κ ٤ ٢٢ ١٩, τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ ὀκτώ, ἡ αὐτοῦ ### book 399.4 πλευρὰ ἡ Θ ٢ ٤٩ ٤٢, τὸ ἀπὸ τῆς Κ ιβ, ἡ αὐτοῦ πλευρὰ ἡ Κ ٣ ٢٧ ٥ ### book 399.5 ἤτοι ἡ ΖΘ· ταὐτὸν γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς Κ τῇ ΖΘ. ### book 400.1 Εὑρεῖν β τετραγώνους ἀριθμοὺς τοὺς ΒΔ, ΔΓ ### book 400.2 ὥστε τὸν συγκείμενον ἐξ αὐτῶν μὴ εἶναι τετράγωνον διὰ ### book 400.3 βʹ λῆμμα τοῦ κδʹ τοῦ ιʹ, καὶ ἐκκείσθω ἕτερος ἀριθμὸς ὁ Ε ### book 400.4 μὴ τετράγωνος καὶ μὴ ὅμοιος τῷ ΒΓ ἄνευ θεωρήματος. ### book 401.1 Τοῦτο δὲ γενήσεται, ὃ ἐπιτάσσει ὁ στοιχειωτής, εἰ ### book 401.2 εὕρωμεν δύο τετραγώνους ἀριθμοὺς τοὺς ΒΔ, ΔΓ ὥστε ### book 401.3 τὸν ἐξ αὐτῶν συγκείμενον τὸν ΒΓ μὴ εἶναι τετράγωνον. ### book 401.4 ἐπεὶ οὖν ὁ ΒΓ οὐκ ἔστι τετράγωνος, οὐκ ἔχει πρὸς τὸν ### book 401.5.1 ΔΓ τετράγωνον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ### book 401.5.2 ἀριθμόν, ἀλλ’ οὐδὲ πρὸς τὸν ΒΔ. εἰλήφθω δὲ καὶ ὁ Ε ἐπί‐ ### book 401.5.3 πεδος ἁπλῶς καὶ μὴ ἔχων πρὸς τὸν ΒΓ λόγον, ὃν τετράγω‐ ### book 401.5.4 νος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν· εὐχερὲς δὲ τοῦτο· ### book 401.5.5 ὥστε ὁ Ε, ἐπεὶ οὐκ ἔστι τετράγωνος, οὐδὲ πρὸς τὸν ΓΔ ### book 401.10.1 λόγον ἕξει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ### book 401.10.2 ἀριθμόν. ### book 402.1 Ἑκάστη ἀποτομὴ ἰδίαν ἔχει τὴν προσαρμόζουσαν ### book 402.2 αὐτῇ εὐθεῖαν καὶ ὅλην ῥητὴν καὶ οὐχὶ τὴν τυχοῦσαν· τοῦτο ### book 402.3 ἡμέτερον νόημα ὡς πρός τι καὶ οὐκ ὡς ἔτυχεν. ### book 403.1 Αἱ ἄλογοι. ### book 403.2 Μέση δύο. ἐκ δύο ὀνομάτων γʹ. ἐκ δύο μέσων πρώτη δʹ. ### book 403.3 ἐκ δύο μέσων δευτέρα εʹ. μείζων ϛʹ. ῥητὸν καὶ μέσον δυνα‐ ### book 403.4 μένη ζʹ. δύο μέσα δυναμένη ηʹ. ἐκ δύο ὀνομάτων αʹ θʹ. ἐκ ### book 403.5.1 δύο ὀνομάτων βʹ ιʹ. ἐκ δύο ὀνομάτων γʹ ιαʹ. ἐκ δύο ὀνο‐ ### book 403.5.2 μάτων δʹ ιβʹ. ἐκ δύο ὀνομάτων εʹ ιγʹ. ἐκ δύο ὀνομάτων ### book 403.5.3 ϛʹ ιδʹ. ἀποτομὴ ιεʹ. μέσης ἀποτομὴ αʹ ιϛʹ. μέσης ἀποτο‐ ### book 403.5.4 μὴ βʹ ιζʹ. ἐλάσσων ιηʹ. ἡ μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα ### book 403.5.5 ιθʹ. ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα, ἀποτομὴ πρώτη, ### book 403.10 δευτέρα, τρίτη, τετάρτη, πέμπτη, ἕκτη. ### book 404 Ἡ ΑΒ ٤ ἡ ΒΓ ٢ ٥٨ ٥٢ ### book 405.1 Ἔοικε τὰ τοῦ δεκάτου βιβλίου καὶ ἐπέκεινα ἀδίδα‐ ### book 405.2 κτα πρὸ πολλῶν γενεῶν μεῖναι δι’ ἀμέλειαν· διὸ καὶ τὰ ### book 405.3 διαγράμματα αὐτῶν ἐσφαλμένα, καὶ οὐδὲ τὰς παραση‐ ### book 405.4 μειώσεις ἔχουσι, δι’ ὧν δείκνυνται. ### book 406.1 καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ p. 156, 13. 14] πῶς τὸ ἀπὸ ### book 406.2 τῆς ΕΗ τέταρτον μέρος εἴρηκε τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΗ; ἢ διότι ### book 406.3 ἡ ΔΗ διπλασία ἐστὶ τῆς ΕΗ· δίχα γὰρ ἐτμήθη ἡ ΔΗ ### book 406.4 κατὰ τὸ Ε. ἐπεὶ οὖν διπλασία ἐστὶν ἡ ΔΗ τῆς ΕΗ, τὰ ### book 406.5.1 δὲ μήκει διπλάσια δυνάμει τετραπλάσιά ἐστι, δῆλον, ὅτι ### book 406.5.2 τὸ ἀπὸ τῆς ΔΗ τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΗ· οἷον ### book 406.5.3 ἔστω ἡ ΔΗ ὀκτάπους, ἡ δὲ ΕΗ τετράπους. ἔστιν οὖν τὸ ### book 406.5.4 μὲν ἀπὸ τῆς ὀκτάποδος ξδ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς τετράποδος ιϛ. ### book 406.5.5 τὰ δὲ ιϛ τέταρτόν εἰσι μέρος τοῦ ξδ. ### book 407.1 ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ p. 157, 1. 2] πόθεν ### book 407.2 τοῦτο δῆλον; ἢ ὅτι κεῖται τὰς ΑΗ, ΗΔ ῥητὰς εἶναι δυνά‐ ### book 407.3 μει μόνον συμμέτρους. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΗ καὶ ΑΓ σύμμετροί ### book 407.4 εἰσι μήκει, ἀσύμμετρος δὲ ἡ ΗΔ τῇ ΑΗ, δῆλον, ὅτι ### book 407.5.1 ἀσύμμετρός ἐστι μήκει καὶ πρὸς τὴν ΑΓ. ἔστιν οὖν ἡ ### book 407.5.2 συναγωγὴ τοιαύτη· ἡ ΗΑ καὶ ΑΓ σύμμετροί εἰσι μήκει· ### book 407.5.3 ἡ ΗΔ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει τῇ ΗΑ· δυνάμει γὰρ μόνον ### book 407.5.4 εἰσὶ σύμμετροι· καὶ ἡ ΗΔ τῇ ΑΓ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει. ### book 408.1 Ταύτην τὴν ῥητὴν ἔκθες, ἣν ἐλάμβανες ἐν τῇ εὑρέ‐ ### book 408.2 σει τῆς αʹ ἀποτομῆς. δεῖ πρῶτον ἡμᾶς εὑρεῖν τὴν ἀποτο‐ ### book 408 μὴν καὶ οὕτως τὴν ἁρμόζουσαν λαμβάνειν καὶ προστιθέναι. ### book 409col 1.1 Ἡ ΛΝ ### book 409col 1.2 ٨ ### book 409col 1.3 ٥٢ ### book 409col 1 ٣٩ ### book 409col 2.1 ἡ ΑΓ δ ### book 409col 2.2 ἡ ΑΔ ### book 409col 2 ٢٠ ### book 409col 3.1 τὸ ΑΒ ### book 409col 3.2 χωρίον ### book 409col 3 ٨٠ ### book 409col 4.1 ἡ ΔΗ ### book 409col 4.2 ١٠ ### book 409col 4.3 ١٨ ### book 409col 4.4 ٥ ### book 409col 4.5 ٤٠ ### book 409col 5.1 ἡ ἡμίσεια τῆς ΔΗ ### book 409col 5.2 ἤτοι ἡ ΕΗ ### book 409col 5.3 ٥ ### book 409col 5.4 ٩ ### book 409col 5.5 ٢ ### book 409col 5 ٥٠ ### book 409col 6.1 τὸ ἀπὸ τῆς ### book 409col 6.2 ἡμισείας τῆς ### book 409col 6.3 ΔΗ ἤτοι ### book 409col 6.4 τῆς ΕΗ ### book 409col 6.5.1 ٢٦ ### book 409col 6.5.2 ٣١ ### book 409col 6.5.3 ٥٠ ### book 409col 6.5.4 ١١ ### book 409col 6.5.5 ٨ ### book 409col 6.10 ١ ### book 409col 6 ٤٠ ### book 409col 7.1 ἡ ἡμί‐ ### book 409col 7.2 σεια ### book 409col 7.3 τῆς ### book 409col 7.4 ΑΗ ### book 409col 7.5.1 ١٥ ### book 409col 7.5.2 ٩ ### book 409col 7.5.3 ٢ ### book 409col 7 ٥٠ ### book 409col 8.1 τῆς ΑΗ ### book 409col 8.2 ٣٠ ### book 409col 8.3 ١٨ ### book 409col 8.4 ٥ ### book 409col 8.5 ٤٠ ### book 409col 9.1 τὸ ἀπὸ τῆς ### book 409col 9.2 ἡμισείας ### book 409col 9.3 ἡ ΑΗ ### book 409col 9.4 ٢٢٩ ### book 409col 9.5.1 ٣٢ ### book 409col 9.5.2 ٤٦ ### book 409col 9.5.3 ٥١ ### book 409col 9.5.4 ٨ ### book 409col 9.5.5 ١ ### book 409col 9.10 ٤٠ ### book 409col 10.1 τὸ ἀπὸ τῆς ### book 409col 10.2 μεταξὺ ### book 409col 10.3 τῶν τομῶν ### book 409col 10.4 ٢٠٣ ### book 409col 10.5.1 ٩ ### book 409col 10.5.2 ٥٦ ### book 409col 10 ٤٠ ### book 409col 11.1 ἡ ΑΖ ### book 409col 11.2 ٢٩ ### book 409col 11.3 ٢٣ ### book 409col 11.4 ٥٦ ### book 409col 11.5 ٥٠ ### book 409col 12.1 ἡ ΖΗ ### book 409col 12.2 ٠ ### book 409col 12.3 ٥٤ ### book 409col 12.4 ٨ ### book 409col 12.5 ٥٠ ### book 409col 13.1 ἡ πλευρὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ### book 409col 13.2 μεταξὺ τῶν τομῶν ### book 409col 13.3 ١٤ ### book 409col 13.4 ١٤ ### book 409col 13.5 ٥٤ ### book 409col 14.1 ἡ ΔΖ ### book 409col 14.2 [٩ ### book 409col 14.3 ٢٣ ### book 409col 14.4 ٥٦ ### book 409col 14.5 ٥٠] ### book 409col 15.1 τὸ ΑΙ παραλληλόγραμμον ### book 409col 15.2 ١١٧ ### book 409col 15.3 ٣٥ ### book 409col 15.4 ٤٧ ### book 409col 15.5 ٢٠ ### book 409col 16.1 τὸ ΚΖ ### book 409col 16.2 ٣ ### book 409col 16.3 ٣٦ ### book 409col 16.4 ٣٥ ### book 409col 16.5 ٢٠ ### book 409col 17.1 τὸ ΛΜ ### book 409col 17.2 ١١٧ ### book 409col 17.3 ٣٥ ### book 409col 17.4 ٤٧ ### book 409col 17.5 ٢٠ ### book 409col 18.1 τὸ ΝΞ ### book 409col 18.2 ٣ ### book 409col 18.3 ٣٦ ### book 409col 18.4 ٣٥ ### book 409col 18.5 ٢٠ ### book 410.1 ὑπὸ ῥητῆς p. 155, 17] ταύτης δηλονότι ἐκείνης, ### book 410.2 ᾗ σύμμετρος ἦν ἡ ὅλη ἡ συγκειμένη, φημί, ἐκ τῆς πρώτης ### book 410.3 ἀποτομῆς καὶ τῆς ταύτῃ προσκειμένης· ὡσαύτως καὶ ἐπὶ ### book 410.4 τῶν ἄλλων τῶν περιεχομένων ὑπὸ ῥητῶν καὶ ἀποτομῶν ### book 410.5.1 τῇ τάξει διαφόρων ῥητὰς ὀφείλεται λαμβάνειν ἐκείνας, αἷς ### book 410.5.2 ἐστι σύμμετρος ἢ ἡ ὅλη ἢ ἡ προσκειμένη ὁποιᾳδηποτοῦν ### book 410.5.3 τῶν ἀποτομῶν ἢ καὶ ἀμφότεραι ἀσύμμετροι ταύταις. ### book 411.1 αἱ ΑΗ, ΗΔ ἄρα p. 156, 3] διὰ τὸ ογʹ. ἐπεὶ ἀπο‐ ### book 411.2 τομή ἐστιν ἡ ΑΔ, ὅλη ἐστὶν ἀποτομὴ καὶ ἐξ ἀνάγκης ἀκό‐ ### book 411.3 λουθος τῇ ὅλῃ εἶναι καὶ τὴν ἀφαιρεθεῖσαν ἐξ αὐτῶν ῥητὴν ### book 411.4 δυνάμει μόνον σύμμετρον. εἰ δὲ ὅλη, καὶ ἡ ἀφαιρεθεῖσα ### book 411.5.1 οὐκ ἔστι ῥητὴ δυνάμει μόνον σύμμετρος οὖσα, ἀποτομή ### book 411.5.2 ἐστιν ἡ ΑΔ, καὶ ἐπεὶ ἀποτομή ἐστι καὶ πρώτη ἡ ΑΔ, ### book 411.5.3 ἕξει ἐξ ἀνάγκης τὴν προσαρμόζουσαν αὐτῇ καὶ τὴν ὅλην, ### book 411.5.4 καὶ ἡ ὅλη μείζων διὰ ηʹ εʹ ιʹ δύναται τῆς προσαρμοζού‐ ### book 411.5.5 σης τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ μήκει, καὶ ἡ ἄλλη σύμμε‐ ### book 411.10.1 τρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει. εἰ δὲ ταῦτα οὐχ ἕπον‐ ### book 411.10.2 ται, αὕτη οὐδὲ ἀποτομή ἐστι αʹ. ### book 412.1 τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ p. 156, 6] ἐπειδὴ γὰρ ἐδόθη ### book 412.2 πρώτη ἀποτομὴ ἡ ΑΔ, προσαρμόζει δὲ αὐτῇ ἡ ΔΗ· ὥστε ### book 412.3 ὅλη ἡ ΑΗ διὰ τὴν ἀρχὴν τῶν δʹ ὅρων σύμμετρός ἐστι τῇ ### book 412.4 ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΑΓ. ### book 413.1 τῷ τετάρτῳ μέρει p. 156, 10] ἐὰν ὦσι β εὐθεῖαι ### book 413.2 ἄνισοι, τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον ### book 413.3 παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, ἡ ### book 413.4 ἡμίσεια τῆς ἐλάσσονος μείζων ἐστὶ τοῦ ἐλάσσονος τμή‐ ### book 413.5.1 ματος τῆς μείζονος. ἔστωσαν β εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ ΑΗ, ΗΔ, ### book 413.5.2 καὶ τετμήσθω ἡ ΔΗ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ### book 413.5.3 ἴσον παραβεβλήσθω παρὰ τὴν μείζονα τὴν ΑΗ καὶ ἔστω ### book 413.1 τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ. λέγω, ὅτι ἡ ἡμίσεια τῆς ἐλάσσονος ἡ ### book 413.2 ΕΗ μείζων ἐστὶ τοῦ ἐλάσσονος τμήματος τῆς μείζονος ### book 413.10.1 τῆς ΑΗ· τὸ γὰρ Ζ ἐπὶ τῆς διχοτομίας οὐ πεσεῖται διὰ λήμ‐ ### book 413.10.2 ματος τοῦ ὑποκάτω τοῦ ιϛʹ ιʹ· αἱ ΑΖ, ΖΗ ἄνισοί εἰσιν· ### book 413.10.3 μία αὐτῶν μείζων ἐστίν. ἔστω μείζων ἡ ΑΖ. τὸ γὰρ ὑπὸ ### book 413.10.4 τῶν ΑΖ, ΖΗ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΗ διὰ αʹ τοῦ ϛʹ· ### book 413.10.5 ὕψος ἡ ΖΗ· ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΗ. ### book 413.15.1 μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΗ διὰ ζʹ τοῦ ### book 413.15.2 εʹ. μείζων ἄρα καὶ ἡ ΕΗ τῆς ΖΗ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. δείκνυ‐ ### book 413.15.3 ται δὲ ἐὰν μέση ἀνάλογον πέσῃ ἡ ΕΗ τῶν ΑΖ, ΖΗ διὰ ### book 413.15.4 τὸ ὑπὸ ο τῷ ἀπὸ διὰ ιζʹ τοῦ ϛʹ· δείκνυται καὶ διὰ λῆμμα ### book 413.15.5 τοῦ καʹ τοῦ ιʹ. ### book 414.1 Δυνατὸν πορίσασθαι τὴν δευτέραν ἀποτομὴν διὰ ### book 414.2 οεʹ τοῦ ιʹ. ### book 415col 1 Ἡ ΑΓ ### book 415col 1 δ ### book 415col 2.1 ἡ ΑΔ ### book 415col 2.2 οὐδέν ### book 415col 2.3 ٨ ### book 415col 2 ٣٣ ### book 415col 3.1 τὸ ΑΒ χωρίον ### book 415col 3.2 οὐδέν ### book 415col 3.3 ٣٤ ### book 415col 3 ١٢ ### book 415col 4.1 ἡ τὸ ΑΒ δυναμένη ### book 415col 4.2 ἡ ΛΝ οὐδέν ### book 415col 4.3 ٥ ### book 415col 4.4 ٥٠ ### book 415col 4.5 ٥٣ ### book 415col 5.1 ἡ ΑΗ ### book 415col 5.2 ١٠ ### book 415col 5.3 ٢٣ ### book 415col 5.4 ٥٦ ### book 415col 5.5 ٣٣ ### book 415col 6.1 ἡ ΔΗ ### book 415col 6.2 ١٠ ### book 415col 6.3 ١٨ ### book 415col 6.4 ٥ ### book 415col 6.5 ٤٠ ### book 415col 7.1 ἡ ἡμίσεια τῆς ### book 415col 7.2 ΔΗ ἢ καὶ ΕΗ ### book 415col 7.3 ٥ ### book 415col 7.4 ٩ ### book 415col 7.5 ٢ ### book 415col 7 ٥٠ ### book 415col 8.1 τὸ ἀπὸ ### book 415col 8.2 τῆς ΕΗ ### book 415col 8.3 ٢٦ ### book 415col 8.4 ٣ ### book 415col 8.5.1 ٥٠ ### book 415col 8.5.2 ١١ ### book 415col 8.5.3 ٨ ### book 415col 8.5.4 ١ ### book 415col 8 ٤٠ ### book 415col 9.1 τὸ ἀπὸ τῆς ### book 415col 9.2 μεταξὺ τῶν τομῶν ### book 415col 9.3 οὐδέν ### book 415col 9.4 ٣٠ ### book 415col 9.5.1 ١٥ ### book 415col 9.5.2 ٥٢ ### book 415col 9.5.3 ٣٠ ### book 415col 9.5.4 ٥٦ ### book 415col 9.5.5 ٥٢ ### book 415col 9.10 ١٥ ### book 415col 10.1 ἡ αὐτῆς ### book 415col 10.2 ἡμίσεια ### book 415col 10.3 ٥ ### book 415col 10.4 ١١ ### book 415col 10.5.1 ٥⸎ ### book 415col 10.5.2 ١٦ ### book 415col 10 ٣٠ ### book 415col 11.1 τὸ ἀπὸ ταύτης ### book 415col 11.2 ἤτοι τῆς ἡμι‐ ### book 415col 11.3 σείας τῆς ΑΗ ### book 415col 11.4 ٢٧ ### book 415col 11.5.1 ٢٦ ### book 415col 11.5.2 ٣ ### book 415col 11.5.3 ٣٨ ### book 415col 11.5.4 ٥٨ ### book 415col 11.5.5 ٣٢ ### book 415col 11.10 ١٥ ### book 415col 12.1 ἡ ΑΖ ### book 415col 12.2 ٥ ### book 415col 12.3 ١٧ ### book 415col 12.4 ٢٨ ### book 415col 12.5 ٢١ ### book 415col 12 ١٧ ### book 415col 13.1 ἡ ΖΗ ### book 415col 13.2 ٥ ### book 415col 13.3 ٦ ### book 415col 13.4 ٢٨ ### book 415col 13.5 ١١ ### book 415col 13 ٤٣ ### book 415col 14.1 ἡ αὐτῶν πλευρὰ ### book 415col 14.2 ἢ καὶ ΔΖ ### book 415col 14.3 ٠ ### book 415col 14.4 ٥ ### book 415col 14.5.1 ٣٠ ### book 415col 14.5.2 ٤ ### book 415col 14 ٤٧ ### book 416.1 καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΑΓ p. 159, 19] ἐὰν γὰρ ἔσται ### book 416.2 σύμμετρος τῇ ΑΓ, ἔσται καὶ ῥητή· ὑπόκειται δὲ ἄλογος ### book 416.3 διὰ οεʹ· ἐπειδὴ γὰρ ἐδόθη ἀποτομὴ β. οὐκ ἄρα σύμμετρός ### book 416.4 ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΑΓ μήκει. ### book 417.1 Εἰ γὰρ ἔσται σύμμετρος ἡ ΑΗ τῇ ΑΓ, ἔστι δὲ τῇ ### book 417.2 ΑΓ σύμμετρος καὶ ἡ ΔΗ, ἔσται καὶ ἡ ΑΗ τῇ ΔΗ σύμ‐ ### book 417.3 μετρος· τὰ γὰρ τῷ αὐτῷ σύμμετρα καὶ ἀλλήλοις σύμμετρα· ### book 417.4 ἀλλ’ ἔστι καὶ ἀσύμμετρος ἡ ΑΗ τῇ ΗΔ. οὐκ ἄρα σύμ‐ ### book 417.5 μετροί εἰσιν αἱ ΑΓ καὶ ΑΗ. ### book 418.1 Ἀποτομὴ δέ ἐστι γʹ, ὅταν μηδετέρα σύμμετρος ᾖ ### book 418.2 τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ μήκει, ἡ δὲ ὅλη τῆς συναρμοζούσης ### book 418.3 μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, κατὰ τοὺς γʹ ### book 418.4 ὅρους. ### book 419col 1 Ἡ ῥητὴ ΑΓ ### book 419col 1 ٤ ### book 419col 2.1 ἡ ΑΔ οὐδέν ### book 419col 2.2 ٢٦ ### book 419col 2 ١٥ ### book 419col 3.1 ἡ ΑΗ ### book 419col 3.2 ١٠ ### book 419col 3.3 ٤٤ ### book 419col 3.4 ٢٠ ### book 419col 3.5 ٤٠ ### book 419col 4.1 ἡ αὐτῆς ### book 419col 4.2 ἡμίσεια ### book 419col 4.3 ٥ ### book 419col 4.4 ٢٢ ### book 419col 4.5 ١٠ ### book 419col 4 ٢٠ ### book 419col 5.1 τὸ ὑπὸ ῥητῆς ### book 419col 5.2 καὶ τῆς ΑΔ ### book 419col 5.3 ١ ### book 419col 5 ٤٥ ### book 419col 6.1 ἡ ΔΗ ### book 419col 6.2 ١٠ ### book 419col 6.3 ١٨ ### book 419col 6.4 ٥ ### book 419col 6.5 ٤٠ ### book 419col 7.1 ἡ ταύτης ### book 419col 7.2 ἡμίσεια ### book 419col 7.3 ٥ ### book 419col 7.4 ٩ ### book 419col 7.5 ٢ ### book 419col 7 ٥٠ ### book 419col 8.1 τὸ ἀπὸ ### book 419col 8.2 ταύτης ### book 419col 8.3 ٢٦ ### book 419col 8.4 ٣١ ### book 419col 8.5.1 ٥٠ ### book 419col 8.5.2 ١١ ### book 419col 8.5.3 ٨ ### book 419col 8.5.4 ١ ### book 419col 8 ٤٠ ### book 419col 9.1 τὸ ἀπὸ τῆς ### book 419col 9.2 μεταξὺ τῶν ### book 419col 9.3 τομῶν ### book 419col 9.4 ٢ ### book 419col 9.5.1 ١٨ ### book 419col 9.5.2 ٤ ### book 419col 9.5.3 ٤٥ ### book 419col 9.5.4 ١٨ ### book 419col 9 ٤٥ ### book 419col 10.1 οὗ ἡ πλευρά ### book 419col 10.2 ١ ### book 419col 10.3 ٣١ ### book 419col 10.4 ١ ### book 419col 10.5 ١٤ ### book 419col 11.1 τὸ ἀπὸ ### book 419col 11.2 ταύτης ### book 419col 11.3 ٢٨ ### book 419col 11.4 ٤٩ ### book 419col 11.5.1 ٥٤ ### book 419col 11.5.2 ٥٦ ### book 419col 11.5.3 ٢٦ ### book 419col 11.5.4 ٤٦ ### book 419col 11 ٤٠ ### book 419col 12.1 ἡ τὸ χωρίον ### book 419col 12.2 δυναμένη τὸ ### book 419col 12.3 ΑΒ ### book 419col 12.4 ١ ### book 419col 12.5 ١٩ ### book 419col 12 ٢١ ### book 419col 13.1 ἡ ΑΖ ### book 419col 13.2 ٦ ### book 419col 13.3 ٥٣ ### book 419col 13.4 ١١ ### book 419col 13.5 ٣٤ ### book 419col 14.1 ἡ ΖΗ ### book 419col 14.2 ٣ ### book 419col 14.3 ٥١ ### book 419col 14.4 ٩ ### book 419col 14.5 ٦ ### book 420.1 Ἠπορήθη τῷ πρὸς τὴν καταγραφὴν ἀποβλεψαμέ‐ ### book 420.2 νῳ, ὡς, ἐπεὶ παρὰ τὴν ΑΗ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ### book 420.3 ἐλάττονος, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ, παραλληλόγραμμον ### book 420.4 τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῶν ΑΖ, ΖΗ περιεχόμενον ἐλλεῖπον ### book 420.5.1 εἴδει τετραγώνῳ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΙ, παράλληλος δὲ ἡ ### book 420.5.2 ΖΙ τῇ ΑΓ, ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΑΓ· τὸ δὲ ὑπὸ δύο ῥητῶν ### book 420.5.3 μήκει συμμέτρων περιεχόμενον ῥητόν ἐστι· ὥστε ῥητόν ### book 420.5.4 ἐστι τὸ ΑΙ· ἀλλὰ καὶ μέσον κατὰ τὸν γεωμέτρην· ἡ γὰρ ### book 420.5.5 ΑΖ ῥητὴ οὖσα ἀσύμμετρος κατ’ αὐτὸν τῇ ΑΓ ῥητῇ οὔσῃ· ### book 420.10.1 ὥστε καὶ μέσον τὸ ΑΙ. ἔστι δὲ τοῦτο ψεῦδος. τὸ γὰρ ἀπὸ ### book 420.10.2 τῆς ΑΖ ἀναγραφόμενον τετράγωνον ἴσας ἕξει τὰς πλευ‐ ### book 420.10.3 ράς, οὐκ ἔστι δὲ ἡ ΑΖ ἴση τῇ ΖΙ· ἦ γὰρ ἂν ἴση ἦν καὶ τῇ ### book 420.10.4 ΑΓ· ἀλλὰ τῇ ΖΙ ἐκβεβλημένῃ καὶ τῇ ΑΓ ὡσαύτως ἐκ‐ ### book 420.10.5 βεβλημένῃ, ὡς φέρε εἰπεῖν ἐπὶ ### book 420.15.1 [Omitted graphic marker] τούτου τοῦ σχήματος· τὸ γὰρ ### book 420.15.2 ἀπὸ τῆς ΑΖ ἀναγραφόμενον τε‐ ### book 420.15.3 τράγωνον τὸ ΖΛ ἐστι καὶ οὐχὶ ### book 420.15.4 τὸ ΖΓ. τὸ μὲν γὰρ ΖΛ ῥητόν, ### book 420.15.5 ὅτι καὶ ἀπὸ ῥητῆς τῆς ΑΖ, τὸ ### book 420.20.1 δὲ ΖΓ μέσον ὡς ὑπὸ δύο ῥητῶν ### book 420.20.2 δυνάμει μόνον συμμέτρων περι‐ ### book 420.20.3 εχόμενον. ὡς οὖν ἡ ΛΞ πρὸς ΞΟ· ### book 420.20.4 σύμμετρος δέ· οὕτω τὸ ΑΞ πρὸς ΞΗ· σύμμετρον ἄρα. καὶ ### book 420.20.5 ὡς ἡ ΛΞ πρὸς ΞΟ, οὕτω τὸ ΓΞ πρὸς ΞΚ· σύμμετρον ἄρα. ### book 420.25.1 ἐὰν δὲ ᾖ ὡς ὅλον πρὸς ὅλον, οὕτως ἀφαιρεθὲν πρὸς ἀφαιρε‐ ### book 420.25.2 θέν, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΙ, ΙΗ ἔσται ὡς ὅλον πρὸς ὅλον. ### book 420.25.3 ἐπεὶ οὖν ἡ αὐτὴ ἀναλογία σώζεται, ἡ δεῖξις προβαίνει ἐπὶ ### book 420.25.4 τῆς ΑΓ διὰ τὸ ταύτην προυποτεθῆναι ῥητὴν καὶ μὴ τὴν ΑΛ. ### book 421.1 ἀσύμμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ p. 163, 9. 10] ἐπεὶ ἡ ### book 421.2 ΑΖ τῇ ΗΔ ἐστιν ἀσύμμετρος, ἡ δὲ ΗΔ τῇ ΕΗ σύμ‐ ### book 421.3 μετρος, ἡ ΑΖ ἄρα τῇ ΕΗ ἀσύμμετρός ἐστιν. ### book 422col 1.1 Ἡ ΑΔ ### book 422col 1.2 ٢ ### book 422col 1.3 ٤٧ ### book 422col 1 ٣٥ ### book 422col 2 ἡ ΑΓ ### book 422col 2 ٤ ### book 422col 3.1 ἡ ΑΗ ### book 422col 3.2 ١٣ ### book 422col 3.3 ٥ ### book 422col 3.4 ٤٠ ### book 422col 3.5 ٤٠ ### book 422col 4.1 ἡ αὐτῆς ### book 422col 4.2 ἡμίσεια ### book 422col 4.3 ٦ ### book 422col 4.4 ٣٢ ### book 422col 4.5 ٥٠ ### book 422col 4 ٢٠ ### book 422col 5.1 τὸ ἀπὸ ### book 422col 5.2 ταύτης ### book 422col 5.3 ٤٢ ### book 422col 5.4 ٥٢ ### book 422col 5.5.1 ٢ ### book 422col 5.5.2 ٢٣ ### book 422col 5.5.3 ٣٣ ### book 422col 5.5.4 ٢٦ ### book 422col 5 ٤٠ ### book 422col 6.1 ὃ μέλλει ### book 422col 6.2 πρὸς τὸ ### book 422col 6.3 ἀπὸ τῆς ### book 422col 6.4 ΘΗ παρα‐ ### book 422col 6.5 βληθῆναι ### book 422col 7.1 τὸ ΑΒ ### book 422col 7.2 χωρίον ### book 422col 7.3 ١١ ### book 422col 7.4 ١٠ ### book 422col 7.5 ٢٠ ### book 422col 8.1 ἡ αὐτοῦ ### book 422col 8.2 πλευρὰ ἡ ΑΓ ### book 422col 8.3 ٣ ### book 422col 8.4 ٢٠ ### book 422col 8.5 ٣٢ ### book 422col 9.1 ἡ πλευρὰ τοῦ ### book 422col 9.2 ἀπὸ τῆς μεταξὺ ### book 422col 9.3 τῶν τομῶν ### book 422col 9.4 ٤ ### book 422col 9.5.1 ٢ ### book 422col 9.5.2 ٣ ### book 422col 9 ٤٤ ### book 422col 10.1 ἡ ΖΗ ### book 422col 10.2 ٢ ### book 422col 10.3 ٣٠ ### book 422col 10.4 ١٩ ### book 422col 10.5 ٣٦ ### book 422col 11.1 ἡ ΑΖ ### book 422col 11.2 ١٠ ### book 422col 11.3 ٣٥ ### book 422col 11.4 ٢١ ### book 422col 11.5 ٤ ### book 423.1 Ταύτην τὴν ῥητὴν λάμβανε, ἣν ἐξέθου ἐν τῇ εὑρέ‐ ### book 423.2 σει τῆς δʹ ἀποτομῆς. ### book 424col 1.1 Ἡ ΔΗ ### book 424col 1.2 ١٠ ### book 424col 1.3 ١٨ ### book 424col 1.4 ٥ ### book 424col 1.5 ٤٠ ### book 424col 2.1 ἡ ΑΔ ### book 424col 2.2 ٣ ### book 424col 2.3 ٤٧ ### book 424col 2 ٥٢ ### book 424col 3 ἡ ΑΓ ### book 424col 3 ٤ ### book 424col 4.1 ἡ ΔΗ ### book 424col 4.2 ١٠ ### book 424col 4.3 ١٨ ### book 424col 4.4 ٥ ### book 424col 4.5 ٤٠ ### book 424col 5.1 ἡ ΑΗ ### book 424col 5.2 ١٤ ### book 424col 5.3 ٥ ### book 424col 5.4 ٥٧ ### book 424col 5.5 ٤٠ ### book 424col 6.1 ἡ αὐτῆς ἡμίσεια ### book 424col 6.2 ٧ ### book 424col 6.3 ٢ ### book 424col 6.4 ٥٨ ### book 424col 6.5 ٥٠ ### book 424col 7.1 τὸ ἀπὸ τῆς ### book 424col 7.2 ἡμισείας ### book 424col 7.3 ٤٩ ### book 424col 7.4 ٤١ ### book 424col 7.5.1 ٥٣ ### book 424col 7.5.2 ٢٣ ### book 424col 7.5.3 ١ ### book 424col 7.5.4 ٢١ ### book 424col 7 ٤٠ ### book 424col 8.1 τὸ ΑΒ ### book 424col 8.2 ١٤ ### book 424col 8.3 ٢٣ ### book 424col 8 ٣٦ ### book 424col 9.1 ἡ αὐτοῦ ### book 424col 9.2 πλευρὰ ἡ ΛΝ ### book 424col 9.3 ٤ ### book 424col 9.4 ٧ ### book 424col 9.5 ٣٧ ### book 424col 10.1 ἡ πλευρὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ### book 424col 10.2 μεταξὺ τῶν τομῶν ### book 424col 10.3 ٤ ### book 424col 10.4 ٤٨ ### book 424col 10.5 ٤٨ ### book 424col 10 ٣٦ ### book 424col 11.1 τὸ ἀπὸ τῆς ### book 424col 11.2 μεταξὺ τῶν τομῶν ### book 424col 11.3 ٢٣ ### book 424col 11.4 ١٠ ### book 424col 11.5.1 ٣ ### book 424col 11.5.2 ١١ ### book 424col 11.5.3 ٥٣ ### book 424col 11 ٢٠ ### book 424col 12.1 ἡ ΑΖ ### book 424col 12.2 ١١ ### book 424col 12.3 ٥١ ### book 424col 12.4 ٤٧ ### book 424col 12.5 ٢٦ ### book 424col 13.1 ἡ ΖΗ ### book 424col 13.2 ٢ ### book 424col 13.3 ١٤ ### book 424col 13.4 ١٠ ### book 424col 13.5 ١٤ ### book 425.1 Ἐπεὶ ἀποτομή ἐστιν ἡ ΑΒ, ἔχει τὴν προσαρμό‐ ### book 425.2 ζουσαν αὐτῇ, καί ἐστιν ἡ ὅλη καὶ ἡ προσαρμόζουσα δυνά‐ ### book 425.3 μει μόνον σύμμετρος. εἰ δὲ οὐκ εἰσὶν ἡ ὅλη καὶ ἡ προσ‐ ### book 425.4 αρμόζουσα ῥηταὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι, οὐδὲ ἀποτομή ### book 425.5 ἐστιν ἡ ΑΒ διὰ ογʹ ιʹ. ### book 426col 1.1 Ἡ ΑΔ ### book 426col 1.2 ٣ ### book 426col 1.3 ٢٧ ### book 426col 1 ٥٠ ### book 426col 2 ἡ ΑΓ ### book 426col 2 ٤ ### book 426col 3.1 ἡ ΔΗ ### book 426col 3.2 ١٠ ### book 426col 3.3 ١٨ ### book 426col 3.4 ٥ ### book 426col 3.5 ٤٠ ### book 426col 4.1 ἡ ΑΗ ### book 426col 4.2 ١٣ ### book 426col 4.3 ٤٥ ### book 426col 4.4 ٥٥ ### book 426col 4.5 ٤٠ ### book 426col 5.1 ἡ ἡμίσεια ### book 426col 5.2 τῆς ΑΗ ### book 426col 5.3 ٦ ### book 426col 5.4 ٥٢ ### book 426col 5.5 ٥٨ ### book 426col 5 ٥٠ ### book 426col 6.1 τὸ ἀπὸ ### book 426col 6.2 ταύτης ### book 426col 6.3 ٤٧ ### book 426col 6.4 ٢٢ ### book 426col 6.5.1 ١٩ ### book 426col 6.5.2 ١٠ ### book 426col 6 ٢٤ ### book 426col 7.1 τὸ ΑΒ ### book 426col 7.2 χωρίον ### book 426col 7.3 ١٣ ### book 426col 7.4 ٥١ ### book 426col 7.5 ٢٠ ### book 426col 8.1 ἡ ΛΝ ἡ ### book 426col 8.2 αὐτοῦ πλευρά ### book 426col 8.3 ٣ ### book 426col 8.4 ٤٣ ### book 426col 8.5 ٢٠ ### book 426col 9.1 τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ ### book 426col 9.2 τῶν τομῶν ### book 426col 9.3 ٢ ### book 426col 9.4 ٥٠ ### book 426col 9.5 ٢٨ ### book 426col 9 ٥٩ ### book 426col 10.1 ἡ αὐτοῦ ### book 426col 10.2 πλευρά ### book 426col 10.3 ١ ### book 426col 10.4 ٤١ ### book 426col 10.5 ٨ ### book 426col 11.1 ἡ ΖΗ ### book 426col 11.2 ٥ ### book 426col 11.3 ١١ ### book 426col 11.4 ٤٩ ### book 426col 11.5 ٥٠ ### book 427col 1.1 Ἡ ΑΒ ### book 427col 1.2 ٢٠ ### book 427col 1.3 τὸ ἀπὸ ### book 427col 1.4 τῆς ΑΒ ### book 427col 1.5 ٤٠٠ ### book 427col 2.1 ἡ ΓΔ ### book 427col 2.2 ٤ ### book 427col 2.3 ἡ ΓΖ ### book 427col 2 ١٠٠ ### book 427col 3.1 ἡ ΗΒ ### book 427col 3.2 ١٠ ### book 427col 3.3 ١٨ ### book 427col 3.4 ٥ ### book 427col 3.5 ٤٠ ### book 427col 4.1 ἡ ΑΗ ### book 427col 4.2 ٣٠ ### book 427col 4.3 ١٢ ### book 427col 4.4 ٥ ### book 427col 4.5 ٤٠ ### book 427col 5.1 τὸ πλάτος τὸ ΚΜ ### book 427col 5.2 ٢٦ ### book 427col 5.3 ٣١ ### book 427col 5.4 ٥٠ ### book 427col 5.5.1 ١١ ### book 427col 5.5.2 ٨ ### book 427col 5.5.3 ١ ### book 427col 5 ٤٠ ### book 427col 6.1 τὸ πλάτος τὸ ΓΚ ### book 427col 6.2 ٢٢٩ ### book 427col 6.3 ٣٢ ### book 427col 6.4 ٤٦ ### book 427col 6.5.1 ٥١ ### book 427col 6.5.2 ⸎ ### book 427col 6.5.3 ١ ### book 427col 6 ٤٠ ### book 427col 7.1 ἡ ΓΜ ### book 427col 7.2 ٢٥٦ ### book 427col 7.3 ٤ ### book 427col 7.4 ٣٧ ### book 427col 7.5.1 ٢ ### book 427col 7.5.2 ١٦ ### book 427col 7.5.3 ٣ ### book 427col 7 ٢٠ ### book 427col 8 ἡ ΓΖ ἡ ἀπὸ μονάδων ρ. ### book 428.1 Τὸ Ν σημεῖον, ὅπερ ἔτεμε τὴν ΖΜ δίχα, οὐ πεσεῖ‐ ### book 428.2 ται ἐπὶ τῆς διχοτομίας τῆς μείζονος τῆς ΓΜ, ἐπεὶ ἔσται ### book 428.3 ἡ ΖΜ τῇ ΓΜ ἴση. οὐ μὴν οὐδὲ μεταξὺ τῶν Κ, Μ σημείων ### book 428.4 πεσεῖται τὸ Ν· εἰ γὰρ πέσῃ, συμβαίνει τὸ μεῖζον τοῦ ### book 428.5.1 ἐλάττονος ἔλαττον εἶναι· ὅπερ ἄτοπον. τὰ γὰρ ἀπὸ τῶν ### book 428.5.2 ΑΗ, ΗΒ ἴσα ἐστὶ τοῖς ΓΘ, ΚΛ, τὸ δὲ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ### book 428.5.3 ΑΗ, ΗΒ ἴσον τῷ ΝΛ. καί ἐστι τὸ ΝΛ μέσον ἀνάλογον ### book 428.5.4 τῶν ΓΘ, ΚΛ· τῶν γὰρ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μέσον ἐδείχθη ### book 428.5.5 τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ΓΘ πρὸς τὸ ΝΛ, ### book 428.10.1 τὸ ΝΛ πρὸς τὸ ΚΛ. μεῖζον δὲ τὸ ΓΘ τοῦ ΝΛ· μεῖζον ### book 428.10.2 ἄρα καὶ τὸ ΝΛ τοῦ ΚΛ· ὅπερ ἄτοπον, τὸ μεῖζον τοῦ ἐλάσ‐ ### book 428.10.3 σονος. οὐκ ἄρα πεσεῖται τὸ Ν μεταξὺ τῶν Κ, Μ σημείων. ### book 429.1 λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΛ p. 172, 24. 25] ἐπεὶ τὰ ἀπὸ ### book 429.2 τῶν ΑΗ, ΗΒ δύο τετράγωνα, ὡς ἐδείχθη, ἴσα εἰσὶ τῷ δὶς ### book 429.3 ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΖ, ἢ καὶ ἀνάπαλιν ### book 429.4 ἐπεὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ ### book 429.5.1 τετραγώνου ἴσα εἰσὶ τοῖς δυσὶ τετραγώνοις τῷ τε ἀπὸ τῆς ### book 429.5.2 ΑΗ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΒ, ἔστι δὲ τὸ ΓΕ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ### book 429.5.3 ΑΒ, λείπεται τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον εἶναι τῷ ΖΛ. ### book 430col 1.1 Ἡ ΑΒ ### book 430col 1.2 ٢ ### book 430col 1.3 ٥⸎ ### book 430col 1 ٤٤ ### book 430col 2 ἡ ΓΔ ### book 430col 2 ٤ ### book 430col 3.1 ἡ ΒΗ ### book 430col 3.2 ١ ### book 430col 3.3 ٣٩ ### book 430col 3 ٩ ### book 430col 4.1 ἡ ΓΚ ### book 430col 4.2 ٥ ### book 430col 4.3 ٢١ ### book 430col 4.4 ٤٤ ### book 430col 4.5 ٤٧ ### book 430col 4 ١٢ ### book 430col 5.1 ἡ ΚΜ ### book 430col 5.2 οὐδέν ### book 430col 5.3 ٤٠ ### book 430col 5.4 ٥٧ ### book 430col 5.5 ٤٠ ### book 430col 5 ٥٠ ### book 430col 6.1 τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ### book 430col 6.2 ⸎ ### book 430col 6.3 ٥٢ ### book 430col 6.4 ٢٥ ### book 430col 6.5 ٣٦ ### book 430col 6 ١٦ ### book 430col 7.1 ἡ ΓΖ ### book 430col 7.2 ٢ ### book 430col 7.3 ١٣ ### book 430col 7.4 ٦ ### book 430col 7.5 ٢٤ ### book 430col 7 ٤ ### book 430col 8.1 ἡ ΑΗ ### book 430col 8.2 ٤ ### book 430col 8.3 ٣٧ ### book 430col 8 ٥٣ ### book 431.1 λοιπὸν ἄρα p. 175, 20] ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ### book 431.2 ἐστὶ τῷ ΓΕ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΗ τὸ ΓΘ, καὶ ἔτι τῷ ἀπὸ ### book 431.3 τῆς ΒΗ ἴσον τὸ ΚΛ, ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ ### book 431.4 ἴσα ἐστὶ τό τε δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ· ### book 431.5.1 τοῦτο γὰρ δέδεικται ἐν τῷ ζʹ θεωρήματι τοῦ βʹ βιβλίου· ### book 431.5.2 ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον τῷ ΓΕ, λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ ### book 431.5.3 τῶν ΑΗ, ΗΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΖΛ. ### book 432.1 ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ΝΛ p. 176, 9] ἐπεὶ ἡ ΖΝ ### book 432.2 ἴση ἐστὶ τῇ ΝΜ· δίχα γὰρ τέτμηται ἡ ΖΜ κατὰ τὸ Ν· ### book 432.3 ἔστι δὲ καὶ ἡ ΝΞ τῇ ΜΛ ἴση· παράλληλοι γάρ εἰσι· καὶ ### book 432.4 περιέχεται τὸ ΖΞ ὑπὸ τῶν ΖΝ, ΝΞ, τὸ δὲ ΝΛ ὑπὸ τῶν ### book 432.5.1 ΝΜ, ΜΛ, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΞ τῷ ΝΛ. καὶ ἐπεὶ τὸ ΖΛ ### book 432.5.2 ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, φανερόν, ὅτι τὸ ΖΞ ### book 432.5.3 ἐστι τὸ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ. ὁμοίως καὶ τὸ ΝΛ τὸ ### book 432.5.4 ἅπαξ ὑπ’ αὐτῶν τῶν ΑΗ, ΗΒ. ἑκάτερον ἄρα τῶν ΖΞ, ### book 432.5.5 ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ, τουτέστιν ἕκαστον ### book 432.10.1 χωρὶς τῶν ΖΞ, ΝΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΒ· ### book 432.10.2 εἰ γὰρ ἓν ἕκαστον ἴσον τῷ ἅπαξ, τὸ ἐκ τῶν δύο συγκείμενον ### book 432.10.3 ἴσον τῷ δίς. ### book 433col 1 Ἡ ΓΔ ### book 433col 1 ٤ ### book 433col 2.1 ἡ ΑΒ ### book 433col 2.2 ٢ ### book 433col 2.3 ٥٩ ### book 433col 2 ٢٨ ### book 433col 3.1 ἡ ΓΖ ### book 433col 3.2 ٢ ### book 433col 3.3 ١٤ ### book 433col 3.4 ١٢ ### book 433col 3.5 ٤ ### book 433col 3 ١٢ ### book 433col 4.1 ἡ ΒΗ ### book 433col 4.2 ٢ ### book 433col 4.3 ١٣ ### book 433col 4 ٤٣ ### book 433col 5.1 ἡ ΑΗ ### book 433col 5.2 ٥ ### book 433col 5.3 ١٣ ### book 433col 5 ١١ ### book 433col 6.1 ἡ ΓΚ ### book 433col 6.2 ٢ ### book 433col 6.3 ٤٨ ### book 433col 6.4 ٤٠ ### book 433col 6.5 ٥٧ ### book 433col 7.1 ἡ ΚΜ ### book 433col 7.2 ١ ### book 433col 7.3 ١٤ ### book 433col 7.4 ٣٠ ### book 433col 7.5 ٢ ### book 433col 7 ١٢ ### book 434 Δυνατόν ἐστι λαβεῖν ἐλάττονα εὐθεῖαν διὰ ογʹ ### book 434 θεώρημα. ### book 434col 1.1 ἡ ΑΒ ### book 434col 1.2 ٣ ### book 434col 1.3 ٤٩ ### book 434col 1 ٤٢ ### book 434col 2 ἡ ΓΔ ### book 434col 2 ٤ ### book 434col 3.1 ἡ ΓΖ ### book 434col 3.2 ٣ ### book 434col 3.3 ٣٩ ### book 434col 3.4 ٥٠ ### book 434col 3.5 ٣١ ### book 434col 3 ٢١ ### book 434col 4.1 ἡ ΒΗ ### book 434col 4.2 ١ ### book 434col 4.3 ٩ ### book 434col 4 ٣٢ ### book 434col 5.1 ἡ ΑΗ ### book 434col 5.2 ٤ ### book 434col 5.3 ٥٩ ### book 434col 5 ١٤ ### book 434col 6.1 ἡ ΓΚ ### book 434col 6.2 ٢ ### book 434col 6.3 ١٣ ### book 434col 6.4 ٥ ### book 434col 6.5 ٨ ### book 434col 6 ٤٩ ### book 434col 7.1 ἡ ΚΜ ### book 434col 7.2 οὐδέν ### book 434col 7.3 ٢٠ ### book 434col 7.4 ٨ ### book 434col 7.5 ٤٣ ### book 434col 7 ١٦ ### book 434col 8.1 ἡ ΓΜ ### book 434col 8.2 ٦ ### book 434col 8.3 ٣٣ ### book 434col 8.4 ١٣ ### book 434col 8.5 ٥٢ ### book 434col 8 ٥ ### book 434col 9.1 ἡ ΖΜ ### book 434col 9.2 ٢ ### book 434col 9.3 ٥٣ ### book 434col 9.4 ٢٣ ### book 434col 9.5 ٢٠ ### book 434col 9 ٤٤ ### book 434col 10.1 ἡ ΖΝ ### book 434col 10.2 ١ ### book 434col 10.3 ٢٦ ### book 434col 10.4 ٤١ ### book 434col 10.5 ٤٠ ### book 434col 10 ٣٢ ### book 435col 1.1 Τὸ ΓΕ ### book 435col 1.2 ٥ ### book 435col 1.3 ٥١ ### book 435col 1.4 ١٨ ### book 435col 1.5 ١٢ ### book 435col 2.1 ἡ ΒΗ ### book 435col 2.2 ١ ### book 435col 2.3 ٤٤ ### book 435col 2 ٣٠ ### book 435col 3.1 ἡ ΑΒ ### book 435col 3.2 ٢ ### book 435col 3.3 ٢٥ ### book 435col 3 ١١ ### book 435col 4 ἡ ΓΔ ### book 435col 4 ٤ ### book 435col 5.1 ἡ ΓΖ ### book 435col 5.2 ١ ### book 435col 5.3 ٢٧ ### book 435col 5.4 ٤٩ ### book 435col 5.5 ٣٣ ### book 435col 6.1 ἡ ΒΗ ### book 435col 6.2 ٤ ### book 435col 6.3 ٩ ### book 435col 6 ٤١ ### book 435col 7.1 ἡ ΓΚ ### book 435col 7.2 ٤ ### book 435col 7.3 ١٩ ### book 435col 7.4 ٤٤ ### book 435col 7.5 ٤٤ ### book 435col 7 ٥٠ ### book 435col 8.1 ἡ ΚΜ ### book 435col 8.2 ٠ ### book 435col 8.3 ٤٥ ### book 435col 8.4 ٣٠ ### book 435col 8.5 ٣ ### book 435col 8 ٤٥ ### book 435col 9.1 ἡ ΚΜ ### book 435col 9.2 ٥ ### book 435col 9.3 ٥ ### book 435col 9.4 ١٤ ### book 435col 9.5 ٤٨ ### book 435col 9 ٣٥ ### book 436col 1.1 ἡ ΑΒ ### book 436col 1.2 ١ ### book 436col 1.3 ٤٠ ### book 436col 1 ٢٧ ### book 436col 2.1 ἡ ΒΗ ### book 436col 2.2 ١ ### book 436col 2.3 ٤٠ ### book 436col 2 ١٦ ### book 436col 3 ἡ ΓΔ ### book 436col 3 ٤ ### book 436col 4.1 ἡ ΑΗ ### book 436col 4.2 ٣ ### book 436col 4.3 ٢٠ ### book 436col 4 ٤٣ ### book 436col 5.1 ἡ ΓΖ ### book 436col 5.2 οὐδέν ### book 436col 5.3 ٤٢ ### book 436col 5.4 ٢ ### book 436col 5.5 ٣٣ ### book 436col 5 ٢ ### book 436col 6.1 ἡ ΓΚ ### book 436col 6.2 ٢ ### book 436col 6.3 ٤٧ ### book 436col 6.4 ٥١ ### book 436col 6.5 ٤٧ ### book 436col 6 ٤٢ ### book 436col 7.1 ἡ ΚΜ ### book 436col 7.2 οὐδέν ### book 436col 7.3 ٤١ ### book 436col 7.4 ٥٣ ### book 436col 7.5 ٢١ ### book 436col 7 ٤ ### book 437col 1 Ἡ ΑΒ ### book 437col 1 ٢٠ ### book 437col 2 ἡ ΓΔ ### book 437col 2 ٢٥ ### book 437col 3.1 ἡ ΒΕ ### book 437col 3.2 ١٠ ### book 437col 3.3 ١٨ ### book 437col 3.4 ٥ ### book 437col 3.5 ٤٠ ### book 437col 4.1 ἡ ΑΕ ### book 437col 4.2 ٣٠ ### book 437col 4.3 ١٨ ### book 437col 4.4 ٥ ### book 437col 4.5 ٤٠ ### book 437col 5.1 ἡ ΔΖ ### book 437col 5.2 ١٢ ### book 437col 5.3 ٥٢ ### book 437col 5.4 ٣٧ ### book 437col 5.5 ٥ ### book 437col 6.1 ἡ ΓΖ ### book 437col 6.2 ٣٧ ### book 437col 6.3 ٥٢ ### book 437col 6.4 ٣٧ ### book 437col 6.5 ٥ ### book 438.1 καὶ αἱ ΓΖ, ΖΔ ἄρα p. 188, 4] τὸ δυνάμει οὕτως ### book 438.2 ἀποδείκνυται· ἐπειδή ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ### book 438.3 ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΔΖ διὰ τὸ ἐναλλάξ, ἔστιν ἄρα διὰ τὸ κβʹ ### book 438.4 τοῦ ϛʹ καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ, οὕτως ### book 438.5.1 τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ. ἀλλὰ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ### book 438.5.2 ΑΕ σύμμετρόν ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΒΕ· δυνάμει γάρ εἰσιν αἱ ### book 438.5.3 εὐθεῖαι σύμμετροι· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ ἄρα σύμμετρόν ἐστι ### book 438.5.4 τῷ ἀπὸ ΔΖ. ὥστε καὶ αὐταὶ δυνάμει εἰσὶ σύμμετροι καὶ ### book 438.5.5 μόνον· ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστι μήκει ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ, ὡς ### book 438.10.1 δὲ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ, ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΔΖ, ἀσύμμετρος ### book 438.10.2 ἄρα ἐστὶ μήκει καὶ ἡ ΓΖ τῇ ΔΖ. δυνάμει δ’ ἐδείχθη σύμ‐ ### book 438.10.3 μετρος· ὥστε δυνάμει μόνον ἐστὶ σύμμετρος ἡ ΓΖ τῇ ΔΖ. ### book 439 Εἴτε δυνάμει μόνον λάβῃς τὸ σύμμετρον εἴτε καὶ ### book 439 μήκει, προβαίνει. ### book 440.1 Διὰ τοὺς τριττοὺς ὅρους ἐστὶ πρώτη ἀποτομὴ ### book 440.2 ἥ τε ΑΒ καὶ ἡ ΓΔ. ὁμοίως καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν ἑκάστη ### book 440.3 ἀποτομὴ ἔχει οἰκείαν προσαρμόζουσαν μίαν εὐθεῖαν καὶ ### book 440.4 ὅλην καὶ ῥητὴν ἐν τῇ ἀποδείξει αὐτῆς. τοῦτο ἡμέτερον ### book 440.5 νόημα. ### book 441col 1.1 Ἡ ΑΒ ### book 441col 1.2 ٧ ### book 441col 1.3 ٣٩ ### book 441col 1 ٢٤ ### book 441col 2.1 ἡ ΓΔ ### book 441col 2.2 ١ ### book 441col 2.3 ٩ ### book 441col 2 ٣٢ ### book 441col 3 ἡ ΒΕ ### book 441col 4.1 ἢ ΕΒ ### book 441col 4.2 ١ ### book 441col 4.3 ٣٩ ### book 441col 4 ٩ ### book 441col 5.1 ἡ ΑΕ ### book 441col 5.2 ٤ ### book 441col 5.3 ٣٧ ### book 441col 5 ٥٣ ### book 441col 6.1 ἡ ΔΖ ### book 441col 6.2 ٣ ### book 441col 6.3 ١٨ ### book 441col 6 ١٨ ### book 441col 7.1 ἡ ΓΖ ### book 441col 7.2 ٩ ### book 441col 7.3 ١٥ ### book 441col 7 ٤٦ ### book 442col 1.1 Ἡ ΑΒ ### book 442col 1.2 ٣ ### book 442col 1.3 ٤٩ ### book 442col 1 ٤٢ ### book 442col 2.1 ἡ ΓΔ ### book 442col 2.2 ٢ ### book 442col 2.3 ٥٨ ### book 442col 2 ٤٤ ### book 442col 3.1 ἡ ΕΒ ### book 442col 3.2 ٥ ### book 442col 3.3 ٥٧ ### book 442col 3 ٢٨ ### book 442col 4.1 ἡ ΑΕ ### book 442col 4.2 ٤ ### book 442col 4.3 ٥٩ ### book 442col 4 ١٤ ### book 442col 5.1 ἡ ΔΖ ### book 442col 5.2 ٢ ### book 442col 5.3 ١٩ ### book 442col 5 ٤ ### book 442col 6.1 ἡ ΓΖ ### book 442col 6.2 ٩ ### book 442col 6.3 ٥٨ ### book 442col 6 ٢٨ ### book 443col 1.1 Ἡ Α ### book 443col 1.2 ٣ ### book 443col 1.3 ٤٩ ### book 443col 1 ٤٢ ### book 443col 2.1 ἡ Β ### book 443col 2.2 ٧ ### book 443col 2.3 ٤٩ ### book 443col 2 ٢٤ ### book 443col 3.1 ἡ ΓΖ ### book 443col 3.2 ٣ ### book 443col 3.3 ٣٩ ### book 443col 3.4 ٥٠ ### book 443col 3.5 ٣١ ### book 443col 3 ٢١ ### book 443col 4 ἡ ΓΔ ### book 443col 4 ٤ ### book 443col 5.1 ἡ ΖΘ ### book 443col 5.2 ١٤ ### book 443col 5.3 ٣٩ ### book 443col 5.4 ٢٢ ### book 443col 5.5 ٥ ### book 443col 5 ١٤ ### book 444col 1 Τοῦ ρζʹ. ### book 444col 2.1 ἡ ΑΒ ### book 444col 2.2 ٢ ### book 444col 2.3 ٢٥ ### book 444col 2 ١١ ### book 444col 3.1 ἡ ΒΕ ### book 444col 3.2 ١ ### book 444col 3.3 ٤٤ ### book 444col 3 ٣ ### book 444col 4.1 ἡ ΓΔ ### book 444col 4.2 ٧ ### book 444col 4.3 ١٥ ### book 444col 4 ٣٣ ### book 444col 5.1 ἡ ΔΖ ### book 444col 5.2 ٥ ### book 444col 5.3 ١٣ ### book 444col 5 ٣٠ ### book 445col 1.1 Ἡ ΓΖ ### book 445col 1.2 ١ ### book 445col 1.3 ٢٧ ### book 445col 1.4 ٤٩ ### book 445col 1.5 ٣٣ ### book 445col 2.1 ἡ ΖΘ ### book 445col 2.2 ١٣ ### book 445col 2.3 ١٠ ### book 445col 2.4 ٢٥ ### book 445col 2.5 ٥٧ ### book 445col 2 ٢ ### book 446col 1 Τοῦ ρηʹ. ### book 446col 2.1 ἡ ΑΒ ### book 446col 2.2 ١ ### book 446col 2.3 ٤٠ ### book 446col 2 ٢٧ ### book 446col 3.1 ἡ ΓΔ ### book 446col 3.2 ٥ ### book 446col 3.3 ١ ### book 446col 3 ٢١ ### book 446col 4.1 ἡ ΒΕ ### book 446col 4.2 ١ ### book 446col 4.3 ٤٠ ### book 446col 4 ١٦ ### book 446col 5.1 ἡ ΔΖ ### book 446col 5.2 ٥ ### book 446col 5.3 οὐδέν ### book 446col 5 ٤٢ ### book 447col 1.1 Ἡ πλευρὰ τοῦ ΕΓ ### book 447col 1.2 ٥ ### book 447col 1.3 ٤٢ ### book 447col 1 ١٤ ### book 447col 2 τὸ ΒΓ ### book 447col 2 ٣٦ ### book 447col 3 ἡ ΖΗ ### book 447col 3 ٤ ### book 447col 4.1 τὸ ΕΓ ### book 447col 4.2 ٣٢ ### book 447col 4.3 ٣٢ ### book 447col 4.4 ٩ ### book 447col 4.5 ٥٢ ### book 447col 4 ٤٢ ### book 447col 5.1 τὸ ΒΔ ### book 447col 5.2 ٣ ### book 447col 5.3 ٢٧ ### book 447col 5.4 ٥٠ ### book 447col 5.5 ٧ ### book 447col 5 ١٨ ### book 447col 6.1 τὸ ΛΘ ### book 447col 6.2 ٣٢ ### book 447col 6.3 ٣٢ ### book 447col 6.4 ٩ ### book 447col 6.5 ٥٢ ### book 447col 6 ٤٢ ### book 447col 7 ἡ ΖΘ ### book 447col 7 ٩ ### book 447col 8.1 ἡ ΚΘ ### book 447col 8.2 ٨ ### book 447col 8.3 ١٤ ### book 447col 8.4 ١٢ ### book 447col 8.5.1 ١٧ ### book 447col 8.5.2 ١٢ ### book 447col 8.5.3 ٢٥ ### book 447col 8 ٣٠ ### book 447col 9.1 ἡ ΖΚ ### book 447col 9.2 οὐδέν ### book 447col 9.3 ٤٥ ### book 447col 9.4 ٤٧ ### book 447col 9.5.1 ٤٢ ### book 447col 9.5.2 ٤٧ ### book 447col 9.5.3 ٣٤ ### book 447col 9 ٣٠ ### book 448.1 Δυνατὸν δὲ ἀφαιρεθῆναι μέσον ἀπὸ ῥητοῦ, εἴ γε ### book 448.2 χωρίον ἐκτεθῇ ῥητὸν τὸ ΑΒΓΔ περιεχόμενον ὑπὸ δύο ### book 448.3 εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΑΓ ῥητῶν μήκει συμμέτρων, καὶ ληφθῶ‐ ### book 448.4 σι δύο ἀριθμοὶ μὴ ἔχοντες λόγον πρὸς ἀλλήλους, ὃν τετρά‐ ### book 448.5.1 γωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθ‐ ### book 448.5.2 μόν, καὶ γένηται ὡς ὁ μείζων ἀριθμὸς ### book 448.5.3 [Omitted graphic marker] πρὸς τὸν ἐλάσσονα, οὕτω μία τῶν ### book 448.5.4 πλευρῶν ἡ ΑΒ πρὸς μέρος αὐτῆς τὴν ### book 448.5.5 ΑΕ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΑΕ ### book 448.10.1 λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς ### book 448.10.2 πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἀσύμμετρος ἡ ΑΒ τῇ ΑΕ. ### book 448.10.3 ὥστε καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΑΕ ἀσύμμετρος μήκει ἐστί. τὸ δὲ ὑπὸ ### book 448.10.4 ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων τῶν ΓΑ, ΑΕ περιεχό‐ ### book 448.10.5 μενον μέσον ἐστίν· ὥστε ἀπὸ ῥητοῦ τοῦ ΑΔ ἀφῄρηται ### book 448.15 μέσον τὸ ΓΕ. ### book 449col 1.1 Ἡ πλευρὰ ### book 449col 1.2 τοῦ .. ### book 449col 1.3 ٥ ### book 449col 1.4 ٢٨ ### book 449col 1.5 ٣٨ ### book 449col 2.1 ἡ πλευρὰ ### book 449col 2.2 τοῦ ΕΓ ### book 449col 2.3 ٢ ### book 449col 2.4 ٥٤ ### book 449col 2.5 ٥١ ### book 449col 3.1 τὸ ΒΓ τὸ ### book 449col 3.2 καὶ μέσον ### book 449col 3.3 ٢٤ ### book 449col 3.4 ٢٩ ### book 449col 3.5.1 ٣٧ ### book 449col 3.5.2 ٤٨ ### book 449col 3 ٢ ### book 449col 4.1 τὸ ΕΓ ### book 449col 4.2 ٨ ### book 449col 4.3 ٢٩ ### book 449col 4.4 ٣٧ ### book 449col 4.5 ٤٨ ### book 449col 4 ٢ ### book 449col 5.1 ἡ πλευρὰ ### book 449col 5.2 τοῦ .. ### book 449col 5.3 ٤ ### book 449col 5.4 ٢٨ ### book 449col 5.5 ١٩ ### book 449col 6.1 τὸ ΗΚ ### book 449col 6.2 ١٦ ### book 449col 6.3 ἡ δυνα‐ ### book 449col 6.4 μένη ### book 449col 6.5 αὐτό ### book 449col 6 ٤ ### book 449col 7.1 ΚΘ ### book 449col 7.2 ٢ ### book 449col 7.3 ٧ ### book 449col 7.4 ٢٤ ### book 449col 7.5 ٢٤ ### book 449col 7 ٧ ### book 449col 8.1 ἡ ΖΘ ### book 449col 8.2 ٦ ### book 449col 8.3 ٥ ### book 449col 8.4 ٢٤ ### book 449col 8.5 ٢٤ ### book 449col 8 ٧ ### book 449col 9 τὸ ΒΔ ### book 449col 9 ١٦ ### book 449col 10 ἡ ΖΗ ### book 449col 10 ٤ ### book 449col 11 ΖΚ ### book 449col 11 ٤ ### book 450.1 Δυνατὸν δὲ ἀπὸ μέσου ῥητὸν ἀφαιρεθῆναι τούτῳ ### book 450.2 τῷ τρόπῳ· ἐκκείσθω χωρὶς μέσον τὸ ΒΑΓΔ περιεχό‐ ### book 450.3 μενον ὑπὸ ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων τῶν ΒΑ, ΓΔ, ### book 450.4 καὶ ἔστω ἐλάσσων ἡ ΒΑ. καὶ ἐκκείσθωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ [Omitted graphic marker] ### book 450.5.1 Ζ, Η λόγον ἔχοντες πρὸς ### book 450.5.2 ἀλλήλους, ὃν τετράγωνος ### book 450.5.3 ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ### book 450.5.4 ἀριθμόν, καὶ ἔστω μείζων ### book 450.5.5 ὁ Ζ, καὶ γεγονέτω ὡς ὁ Ζ ### book 450.10.1 πρὸς τὸν Η, οὕτως ἡ ἐλάσ‐ ### book 450.10.2 σων ἡ ΒΑ πρὸς μέρος τῆς μείζονος τῆς ΑΓ, τουτέστι ### book 450.10.3 τὴν ΑΕ. ἡ ΒΑ ἄρα σύμμετρός ἐστι μήκει τῇ ΑΕ. ὥστε ### book 450.10.4 καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ περιεχόμενον ῥητόν ἐστιν· καὶ ### book 450.10.5 ἀφῄρηται ἀπὸ μέσου τοῦ ΒΓ. ### book 451.1 Δυνατὸν δὲ ἀπὸ μέσου μέσον ἀφελεῖν ἀσύμμετρον ### book 451.2 τῷ ὅλῳ τρόπῳ τοιούτῳ· ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι δυνάμει ### book 451.3 ἀσύμμετροι ποιοῦσαι τὸ μὲν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν ### book 451.4 τετραγώνων μέσον καὶ τὸ ὑπ’ αὐτῶν μέσον καὶ ἔτι ἀσύμ‐ ### book 451.5.1 μετρον τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν ἀπ’ [Omitted graphic marker] ### book 451.5.2 αὐτῶν τὸ ὑπ’ αὐτῶν, καὶ συνεστάτω ### book 451.5.3 τῷ ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν συγκειμένῳ ### book 451.5.4 ἴσον τὸ ΑΒΓΔ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπ’ αὐ‐ ### book 451.5.5 τῶν ἔλασσόν ἐστι τοῦ συγκειμένου ### book 451.10.1 ἐκ τῶν ἀπ’ αὐτῶν, ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ μείζονος τοῦ ΑΔ ### book 451.10.2 ἴσον τῷ ὑπ’ αὐτῶν τὸ ΔΕ. ἀσύμμετρον ἄρα τὸ ΑΔ μέσον ### book 451 χωρίον τῷ ΔΕ μέσῳ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 452 Ἐκ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς. ### book 453col 1.1 Ἡ ἀποτομή ### book 453col 1.2 ἡ ΕΖ ### book 453col 1.3 ١٠ ### book 453col 1.4 ١٨ ### book 453col 1.5 ٥ ### book 453col 1 ٤٠ ### book 453col 2.1 ἐκ δύο ### book 453col 2.2 ὀνομάτων ### book 453col 2.3 ٥ ### book 453col 2.4 ٦ ### book 453col 2.5.1 ٣٢ ### book 453col 2.5.2 ١١ ### book 453col 2 ٥٠ ### book 453col 3.1 ἡ ΑΒ ### book 453col 3.2 ٢٠ ### book 453col 3.3 ἡ ΔΓ ### book 453col 3 ٤ ### book 453col 4.1 τὸ ΓΕ ### book 453col 4.2 υ ### book 453col 4.3 ἡ ΔΕ ### book 453col 4 ἑκτόν ### book 454.1 καὶ λοιπὴ ἄρα p. 200, 1] καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ### book 454.2 ἀφαιρεθῇ καὶ τὰ ἑξῆς, ὁμοίως καὶ ἀπὸ συμμέτρων· συμ‐ ### book 454.3 μέτρων γὰρ ὄντων τῶν ΔΖ, ΔΗ μήκει, ἐὰν ἀπὸ τῆς ΔΖ ### book 454.4 τῷ ΔΗ σύμμετρον ἀφαιρεθῇ τὸ ΔΗ, λοιπὸν ἄρα τῷ ΔΖ ### book 454.5 τὸ ΗΖ ἐστι σύμμετρον. ### book 455 Ὅτι πᾶσαι αἱ ἄλογοι ιγ. ### book 456.1 Ἡ μέση ἀποτομὴ πρώτη καὶ ἡ μέση ἀποτομὴ ### book 456.2 δευτέρα καὶ αἱ μετ’ αὐτὰς ἤτοι ἡ ἐλάσσων, ἡ μετὰ ῥητοῦ ### book 456.3 μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα καὶ ἡ μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ### book 456.4 ποιοῦσα ἤγουν ἡ ἐκ δύο μέσων πρώτη, ἡ ἐκ δύο μέσων ### book 456.5.1 δευτέρα, ἡ μείζων, ἡ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη καὶ ἡ ### book 456.5.2 δύο μέσα δυναμένη. ### book 457.1 τῇ τάξει τῇ καθ’ αὑτήν p. 201, 13. 14] ἡ μέση ### book 457.2 ἀποτομὴ πρώτη, μέση ἀποτομὴ δευτέρα, ἐλάττων, μετὰ ### book 457.3 ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσα, μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ### book 457.4 ποιοῦσα. ### book 457.5 Ἀποτομὴν πρώτην, δευτέραν, τρίτην, τετάρτην, πέμπτην, ### book 457 ἕκτην. ### book 458.1 Ἐκ δύο ὀνομάτων ἦν ἡ ἐκ δύο ῥητῶν δυνάμει μό‐ ### book 458.2 νον συμμέτρων, ὅταν δὲ ἀπὸ ῥητῆς ἀφαιρεθεῖσα ῥητὴ δυνά‐ ### book 458.3 μει μόνον σύμμετρος ἦν τῇ ὅλῃ, ἡ λοιπὴ ἄλογος ἦν καὶ ### book 458.4 ἐκαλεῖτο ἀποτομή. ### book 459.1 ἧς τὰ ὀνόματα p. 202, 13. 14] ἤγουν ἡ προσκει‐ ### book 459.2 μένη καὶ ἡ ὅλη ἡ ἐκ τῆς ἀποτομῆς καὶ τῆς προσκειμένης ### book 459.3 συγκειμένη. ### book 460col 1.1 Ἡ Α ### book 460col 1.2 ٦ ### book 460col 1.3 τὸ ἀπὸ ### book 460col 1.4 ταύτης ### book 460col 1.5 λϛ ### book 460col 2.1 ἡ ΒΓ ### book 460col 2.2 ٣٠ ### book 460col 2.3 ١٨ ### book 460col 2.4 ٥ ### book 460col 2.5 ٤٠ ### book 460col 3 ἡ ΔΓ ### book 460col 3 ٢٠ ### book 460col 4.1 ἡ ΒΔ ### book 460col 4.2 ١٠ ### book 460col 4.3 ١٨ ### book 460col 4.4 ٥ ### book 460col 4.5 ٤٠ ### book 460col 5.1 ἡ ΕΖ ### book 460col 5.2 ١ ### book 460col 5.3 ١١ ### book 460col 5 ١٦ ### book 460col 6.1 ἡ Η ### book 460col 6.2 ٣ ### book 460col 6.3 ٢٩ ### book 460col 6 ٤ ### book 460col 7.1 τὸ ὑπὸ ### book 460col 7.2 ٢٣ ### book 460col 7.3 ٤٥ ### book 460col 7 ٢٠ ### book 460col 8.1 τῶν ΓΔ, ΖΕ ### book 460col 8.2 ᾥτινι ἴσον ### book 460col 8.3 τὸ ὑπὸ τῶν ### book 460col 8 ΔΖ, ΖΘ ### book 460col 9.1 ἡ ΘΖ ### book 460col 9.2 ٢ ### book 460col 9.3 ١٨ ### book 460col 9.4 ٩ ### book 460col 9.5 ٣٦ ### book 460col 10.1 ἡ ΖΚ ### book 460col 10.2 ٢ ### book 460col 10.3 ٣٢ ### book 460col 10.4 ٣٠ ### book 460col 10.5 ٥٦ ### book 460col 11.1 ἡ ΚΕ ### book 460col 11.2 ١ ### book 460col 11.3 ١٣ ### book 460col 11.4 ٣١ ### book 460col 11.5 ٥٥ ### book 461.1 γεγονέτω ὡς p. 203, 5] πόθεν δῆλον, ὡς ἡ ΘΖ ### book 461.2 πρὸς ΖΕ, οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς ΚΕ; δείξομεν κατὰ ἀνάλυσιν. ### book 461.3 ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΘΖ πρὸς ΖΕ, οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς ΚΕ, ### book 461.4 κείσθω τῇ ΖΕ ἴση ἡ ΖΛ· μείζων γὰρ ἡ ΘΖ τῆς ΖΕ. ### book 461.5.1 ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΘΖ πρὸς ΖΛ, οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς ΚΕ. ### book 461.5.2 διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΛ πρὸς ΛΖ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ### book 461.5.3 ΕΚ. κατὰ διαίρεσιν πῶς ποιήσομεν ὡς ἡ ΘΖ πρὸς ΖΕ, ### book 461.5.4 οὕτως ἄλλην τινὰ πρὸς τὴν ἐφαρμόζουσαν τῇ ΖΕ κατὰ τὸ ### book 461.5.5 Ε; κείσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΖΛ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ ΘΛ ### book 461.10.1 πρὸς ΛΖ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ἄλλην τινὰ τυχοῦσαν τὴν ΕΚ ### book 461.10.2 διὰ ιγʹ τοῦ ϛʹ. συνθέντι ὡς ἡ ΘΖ πρὸς ΖΛ, τουτέστι πρὸς ### book 461.10.3 ΖΕ (ἴσαι γάρ), οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς ΚΕ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. ### book 462.1 γεγονέτω p. 203, 5] ἤγουν προσεκβεβλήσθω ἡ ### book 462.2 ΖΕ ὥστε τὴν ΖΕ ὅλην μετὰ τῆς προσεκβεβλημένης πρὸς ### book 462.3 τὴν προσεκβληθεῖσαν εἶναι ἐν λόγῳ τῷ τῆς ΘΖ πρὸς ΖΕ· ### book 462.4 ὅπερ ποιήσομεν οὕτως· ἐκθήσομεν γὰρ εὐθεῖάν τινα ὡς ### book 462.5.1 ἐπὶ παραδείγματος τὴν ΛΜ καὶ ποιήσομεν διὰ τὸ ιβʹ τοῦ ### book 462.5.2 ϛʹ ὡς τὴν ΘΖ πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως τὴν ΛΜ πρὸς μέρος τι ### book 462.5.3 ἑαυτῆς τὴν ΜΝ. δῆλον γάρ, ὡς ἡ ΛΜ ἔσται ἡ μείζων ἐπὶ [Omitted graphic marker] ### book 462.5.4 ταύτης τῆς ἀναλογίας, ἐπειδὴ καὶ ἡ ΘΖ μείζων τῆς ΖΕ ### book 462.5.5 διὰ τὸ τὴν μὲν ΘΖ ἀναλογεῖν τῇ ΓΔ τῷ μείζονι ὀνόματι, ### book 462.10.1 τὴν δὲ ΖΕ τῇ ΔΒ τῷ ἐλάττονι. καὶ πάλιν διὰ τοῦ αὐτοῦ ### book 462.10.2 ποιήσομεν, ὡς τὰ μέρη ἐκεῖνα πρὸς ἄλληλα, τουτέστι τὴν ### book 462.10.3 ΛΝ πρὸς τὴν ΝΜ, οὕτως τὴν προκειμένην ΖΕ πρὸς τὴν ### book 462.10.4 ΕΚ. καὶ συνθέντι ἄρα διὰ τὸ ιηʹ τοῦ εʹ ὡς ἡ ΛΜ πρὸς τὴν ### book 462.10.5 ΜΝ, οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς τὴν ΚΕ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΛΜ πρὸς τὴν ### book 462.15.1 ΜΝ, οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς τὴν ΖΕ. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΖ πρὸς ### book 462.15.2 τὴν ΖΕ, οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς τὴν ΚΕ. προσεκβέβληται ### book 462.15.3 ἄρα καὶ τὰ λοιπά· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. ### book 463.1 σύμμετρον δὲ τὸ ἀπὸ p. 203, 11] αἱ γὰρ ΓΔ, ΔΒ ### book 463.2 δυνάμει εἰσὶ σύμμετροι· ἡ γὰρ ΒΓ ἐκ δύο ὀνομάτων ### book 463.3 ἐστίν. ### book 464.1 καί ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ p. 203, 13] ἐδείχθη γάρ, ὡς ### book 464.2 ἡ ΓΔ πρὸς ΔΒ, οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς ΚΕ, ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ### book 464.3 ΓΔ πρὸς ΔΒ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς ΚΕ. τρεῖς οὖν εὐθεῖαί ### book 464.4 εἰσιν ἀνάλογον, πρώτη μὲν ἡ ΘΚ, δευτέρα δὲ ἡ ΚΖ, τρίτη ### book 464.5.1 ἡ ΚΕ. ἔστιν οὖν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ### book 464.5.2 δευτέρας εἶδος, οὕτως ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, τουτέστιν ### book 464.5.3 ὡς τὸ ἀπὸ ΘΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΖ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς ΚΕ. ### book 465.1 ὥστε καὶ ἡ ΘΕ p. 203, 16] ἰστέον, ὅτι πρῶτον ### book 465.2 μέγεθός ἐστι τὸ ΘΚ, δεύτερον τὸ ΖΚ, τρίτον τὸ ΘΕ καὶ ### book 465.3 τέταρτον τὸ ΕΚ. ἐδείχθη δὲ ἐν τῷ ιαʹ θεωρήματι τοῦ ### book 465.4 βιβλίου τούτου, ὅτι, ἂν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ ### book 465.5.1 δὲ πρῶτον τῷ δευτέρῳ σύμμετρον ᾖ, καὶ τὸ τρίτον τῷ ### book 465.5.2 τετάρτῳ σύμμετρον ἔσται. ὥστε ἡ ΘΕ τὸ τρίτον μέγεθος ### book 465.5.3 σύμμετρόν ἐστι τῷ ΕΚ τῷ τετάρτῳ. ### book 466.1 ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΚ. p. 204, 8] ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ### book 466.2 ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΒ, οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς τὴν ΚΕ, ἐναλλὰξ ### book 466.3 ἄρα, ὡς ἡ ΖΚ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΚΕ πρὸς τὴν ΔΒ. ### book 466.4 ῥητὴ δὲ ἡ ΚΕ καὶ σύμμετρος τῇ ΒΔ μήκει· ῥητὴ ἄρα καὶ ### book 466.5 ἡ ΚΖ καὶ σύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει. ### book 467.1 Ἐπεὶ γὰρ ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΒ, ἡ ΖΚ πρὸς τὴν ### book 467.2 ΚΕ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΚΕ, οὕτως ἡ ΓΔ ### book 467.3 πρὸς τὴν ΚΖ, ἡ δὲ ΒΔ τῇ ΚΕ μήκει σύμμετρος, καὶ ἡ ### book 467.4 ΔΓ ἄρα τῇ ΚΖ μήκει σύμμετρος. ### book 468col 1 Ἡ Α ### book 468col 1 ١ ### book 468col 2 ἡ ΒΔ ### book 468col 2 ٢٠ ### book 468col 3 ἡ ΚΘ ### book 468col 3 ٥ ### book 468col 4.1 ἡ ΔΓ ### book 468col 4.2 ١٠ ### book 468col 4.3 ١٨ ### book 468col 4.4 ٥ ### book 468col 4.5 ٤٠ ### book 468col 5.1 ἡ ΕΘ ### book 468col 5.2 ١ ### book 468col 5 ٤٢ ### book 468col 6.1 ἡ ΒΓ ### book 468col 6.2 ٣٠ ### book 468col 6.3 ١٨ ### book 468col 6.4 ٥ ### book 468col 6.5 ٤٠ ### book 468col 7.1 ἡ ΘΖ ### book 468col 7.2 ١ ### book 468col 7 ٢٠ ### book 468col 8.1 ἡ ΚΖ ### book 468col 8.2 ٣ ### book 468col 8 ٤٠ ### book 468col 9.1 ἡ Η ### book 468col 9.2 ٣ ### book 468col 9 ١٨ ### book 468col 10.1 ἡ ΕΚ ### book 468col 10.2 ٣ ### book 468col 10 ١٨ ### book 468col 11.1 ἡ ΖΕ ### book 468col 11.2 ٠ ### book 468col 11 ٢٢ ### book 469.1 σύμμετρος ἄρα ἐστὶν p. 206, 8] ἐπεὶ γὰρ ἡ Η ### book 469.2 σύμμετρός ἐστι τῇ ΒΓ, ἴση δὲ κατεσκευάσθη ἡ Η τῇ ### book 469.3 ΚΕ, καὶ ἡ ΚΕ ἄρα σύμμετρός ἐστι μήκει τῇ ΒΓ. συλ‐ ### book 469.4 λογιστέον οὖν ὡδί· ἡ ΚΕ καὶ ἡ Η ἴσαι εἰσίν, ἡ δὲ Η ### book 469.5.1 σύμμετρος τῇ ΒΓ μήκει· καὶ ἡ ΚΕ ἄρα σύμμετρος τῇ ### book 469.5.2 ΒΓ μήκει. ### book 470.1 ὥστε ἡ ΚΖ p. 207, 2] διὰ τὸ ιϛʹ τοῦ ιʹ. δέδεικται ### book 470.2 γὰρ ἐκεῖ, ὅτι, ἐὰν τὸ ὅλον ἑνὶ τῶν μερῶν σύμμετρον ᾖ, καὶ ### book 470.3 τῷ λοιπῷ σύμμετρον ἔσται. ### book 471col 1-2.1 Τὸ χωρίον τὸ ὑπὸ ἀπο‐ ### book 471col 1-2.2 τομῆς καὶ τῆς ### book 471col 1-2.3 ἐκ δύο ὀνο‐ ### book 471col 1-2.4 μάτων ### book 471col 1-2.5.1 τὸ ΓΕ ὄνομα ### book 471col 1-2.5.2 ἤτοι ἡ ΓΕ ### book 471col 1-2 ٢٠ ### book 471col 2.1 ١٠ ### book 471col 2.2 ٦ ### book 471col 2.3 ١ ### book 471col 2.4 ٥ ### book 471col 2.5 ٢٣ ### book 471col 3.1 τὸ ΕΔ ### book 471col 3.2 ὄνομα ### book 471col 3.3 ١٠ ### book 471col 3.4 ١٨ ### book 471col 3.5 ٥ ### book 471col 3 ٤٠ ### book 471col 4.1 τὸ ΓΕ ### book 471col 4.2 ὄνομα ### book 471col 4 ٢٠ ### book 471col 5.1 ἡ Η ### book 471col 5.2 ٣ ### book 471col 5.3 ١٠ ### book 471col 5 ٤١ ### book 471col 6.1 ἡ Θ ### book 471col 6.2 ١٦ ### book 471col 6.3 τὸ ἀπὸ ### book 471col 6.4 τῆς Θ ### book 471col 6.5 σνϛ ### book 471col 7.1 ἡ ΚΛ ### book 471col 7.2 ٨ ### book 471col 7.3 ٢٦ ### book 471col 7 ٥٤ ### book 471col 8.1 ἡ ΖΒ ### book 471col 8.2 ١٠ ### book 471col 8.3 ١٨ ### book 471col 8.4 ٥ ### book 471col 8.5 ٤٠ ### book 471col 9.1 ἡ ΑΖ ### book 471col 9.2 ٣٠ ### book 471col 9.3 ١٨ ### book 471col 9.4 ٥ ### book 471col 9.5 ٤٠ ### book 471col 10 ἡ ΑΒ ### book 471col 10 ٢٠ ### book 471col 11.1 ἡ ΓΔ ### book 471col 11.2 ٣٠ ### book 471col 11.3 ١٨ ### book 471col 11.4 ٥ ### book 471col 11.5 ٤٠ ### book 471col 12.1 ἡ ΛΜ ### book 471col 12.2 ١ ### book 471col 12.3 ١٣ ### book 471col 12 ٣١ ### book 471col 13.1 ἡ ΚΜ ### book 471col 13.2 ٩ ### book 471col 13.3 ٤٠ ### book 471col 13 ٢٥ ### book 472.1 καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ p. 209, 7] ἐπειδὴ δύο παραλ‐ ### book 472.2 ληλόγραμμα γίνονται, ἅπερ ἡμεῖς κατεγράψαμεν τοῦ σα‐ ### book 472.3 φοῦς χάριν, ἓν μὲν τὸ ΚΓ, ἄλλο δὲ τὸ ΓΒ, βάσεις μὲν ### book 472.4 ἔχοντα τήν τε ΚΛ καὶ τὴν ΑΒ, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τὸ ΔΓ, ### book 472.5.1 διὰ τοῦτό ἐστιν, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΛΚ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ### book 472.5.2 ΓΔ, ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΛΚ. ἐδείχθη γὰρ ἐν τῷ ### book 472.5.3 αʹ τοῦ ϛʹ βιβλίου, ὅτι τὰ τρίγωνα καὶ τὰ παραλληλόγραμ‐ ### book 472.5.4 μα τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα πρὸς ἄλληλά εἰσιν ὡς αἱ βά‐ ### book 472.5.5 σεις. ὡς οὖν ἡ βάσις ἡ ΒΑ πρὸς βάσιν τὴν ΛΚ, οὕτως καὶ ### book 472.10.1 τὸ ΒΓ παραλληλόγραμμον τὸ ὑπὸ τῆς ΒΑ καὶ τοῦ ὕψους ### book 472.10.2 τῆς ΔΓ περιεχόμενον πρὸς τὸ ΚΓ τὸ ὑπὸ τῆς ΛΚ βά‐ ### book 472.10.3 σεως καὶ τοῦ αὐτοῦ ὕψους τῆς ΔΓ περιεχόμενον. ### book 473 Ἡ Β ٤ ἡ Α ١ ٥١ ٤٠ τὸ ὑπὸ τῶν Β, Α ٧ ٢٧ ٤٠ ### book 474.1 οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ἡ αὐτή· p. 210, 8. 9] ἡ γὰρ ### book 474.2 Γ ἄλογός ἐστιν, ἐπεὶ οὐ ῥητή, καὶ οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον ### book 474.3 ἀλόγων ἡ αὐτή, τουτέστι τῶν ιγ. οὔτε γὰρ μέση, ἐπεὶ τὸ ### book 474.4 ἀπὸ ταύτης παρὰ τὴν Β ῥητὴν παραβληθὲν πλάτος ἂν ### book 474.5.1 ἐποίησε ῥητήν, οὔτε ἐκ β ὀνομάτων, ἐπεὶ πάλιν τὸ ἀπ’ ### book 474.5.2 αὐτῆς παρὰ ῥητὴν παραβληθὲν τὴν Β δηλαδὴ πλάτος ἂν ### book 474.5.3 ἐποίησε τὴν ἐκ β ὀνομάτων αʹ, καὶ ἦν ἂν ἡ Α ἐκ β ὀνομά‐ ### book 474.5.4 των αʹ, οὔτε ἐκ β μέσων αʹ· ἦν γὰρ ἂν ἡ Α ἐκ β ὀνομάτων ### book 474.5.5 βʹ. οὔτε ἐκ β μέσων βʹ· ἦν γὰρ ἂν ἡ Α ἐκ β ὀνομάτων τρίτη. ### book 474.10 οὔτε μείζων ἐστὶν ἡ Γ· ἦν γὰρ ἂν οὕτω ἡ Α ἐκ β ὀνομάτων ### book 474.1 δʹ. οὔτε ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη· ἦν γὰρ πάλιν ἡ Α ἐκ β ### book 474.2 ὀνομάτων εʹ· οὔτε β μέσα δυναμένη· καὶ οὕτω γὰρ ἂν ἦν ἡ ### book 474.3 Α ἐκ β ὀνομάτων ϛʹ· οὔτε ἀποτομή, ἐπεὶ ἡ Α πρώτη ἂν ### book 474.4 ἦν ἀποτομή· οὔτε μέση ἀποτομὴ αʹ· ἡ Α γὰρ ἂν ἦν ἀπο‐ ### book 474.15.1 τομὴ βʹ· οὔτε μέση ἀποτομὴ βʹ· καὶ γὰρ ἡ Α ἦν ἂν τρίτη ### book 474.15.2 ἀποτομή. οὔτε ἐλάσσων ἐστὶν ἡ λεγομένη, τουτέστιν ἡ Γ, ### book 474.15.3 ἐπεὶ ἡ Α τετάρτη ἂν ἦν ἀποτομή. ἀλλ’ οὐδὲ μετὰ ῥητοῦ ### book 474.15.4 μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν ἡ Γ, ἐπεὶ καὶ ἡ Α ἦν ἂν ἀπο‐ ### book 474.15.5 τομὴ πέμπτη. ἀλλ’ οὐδὲ πάλιν μετὰ μέσου μέσον τὸ ὅλον ### book 474.20.1 ποιοῦσά ἐστιν ἡ Γ, ἐπεὶ καὶ ἡ Α ἦν ἂν ἕκτη ἀποτομή. ἐπεὶ ### book 474.20.2 οὖν τὸ ἀπὸ τῆς Γ παρὰ ῥητὴν τὴν Β παραβληθὲν πλάτος ### book 474.20.3 τὴν Α πεποίηκεν, ἣ δὴ Α οὐδεμιᾷ τῶν δώδεκα ἀλόγων ### book 474.20.4 εὐθειῶν ἐστιν ἡ αὐτή, ἀλλ’ οὐδὲ ῥητή· μέση γὰρ ....· ### book 474.20.5 εἰκότως καὶ ἡ Γ οὐδεμιᾷ τῶν πρότερον θεωρηθέντων ### book 474.25.1 ιγ ἀλόγων εὐθειῶν ἐστιν ἡ αὐτή· ἑτέρα τοιγαροῦν παρὰ ### book 474.25.2 τὰς λοιπὰς ἀλόγους ἡ Γ ἐστιν. εἰ γοῦν ἀπ’ ἄλλης τινὸς ### book 474.25.3 ἀνωνύμου εὐθείας χωρίον παρὰ ῥητὴν τὴν Β παραβληθὲν ### book 474.25.4 πλάτος ποιήσει τὴν πολλάκις εἰρημένην Γ, ἡ τὸ χωρίον ### book 474.25.5 ἐκεῖνο δυναμένη, τουτέστιν ἡ Δ, ἑτέρα ἔσται παρὰ τὰς ### book 474.30.1 ἀναφανείσας ἁπάσας ἀλόγους εὐθείας, καὶ τούτου γινο‐ ### book 474.30.2 μένου, τουτέστιν ἀφ’ ἑτέρων εὐθειῶν ἀλόγων χωρίων παρα‐ ### book 474.30.3 βαλλομένων παρὰ τὴν Β ῥητὴν καὶ πλάτη ποιούντων τὰς ### book 474.30.4 εὐθείας ἐκείνας, ὧν τὰ ἀπὸ τούτων χωρία παρὰ τὴν Β ### book 474.30.5 ῥητὴν προπαραβέβληνται, ἐς ἄπειρον ἄλογοι ἂν εὐθεῖαι ### book 474.35.1 ἀνώνυμοι ἀναφαίνοιντο, καὶ ἡ περὶ τούτων θεωρία τέλος ### book 474.35.2 οὐχ ἕξει ποτέ. ### book 475col 1 Ἡ ΑΒ ### book 475col 1 ٤ ### book 475col 2.1 ἡ ΑΓ ### book 475col 2.2 ١ ### book 475col 2.3 ٥١ ### book 475col 2 ٤٠ ### book 476.1 Εἰ ὑποθώμεθα τὴν ΖΔ τῇ ΔΓ εἶναι τὴν αὐτήν, ἡ ### book 476.2 δὲ ΓΔ παρὰ τὴν ΑΒ ῥητὴν παραβληθεὶς πλάτος πεποίηκε ### book 476.3 τὴν ΑΓ μέσην, καὶ ἡ ΔΖ ἄρα παρὰ τὴν ΑΒ παραβληθεῖσα ### book 476.4 πλάτος ποιήσει τὴν ΑΓ μέσην. ἡ αὐτὴ δὲ ἡ ΔΖ παρὰ τὴν ### book 476.5.1 ΓΕ ῥητήν, τουτέστι παρὰ τὴν ΑΒ, παραβληθεῖσα πλάτος ### book 476.5.2 πεποίηκε τὴν ΓΔ. μέση ἄρα καὶ ἡ ΓΔ. ἐλεγχθήσεται δὲ ### book 476.5.3 μὴ εἶναι μέση διὰ κβʹ ιʹ· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἡ ΔΖ ### book 476.5.4 ἡ αὐτή ἐστι τῇ ΓΔ. ### book 477 Ἐκ τῆς εἰς ἄτοπον ἀπαγωγῆς. ### book 478.1 Ἔστω τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ### book 478.2 ἡ ΑΓ. φανερὸν δή, ὅτι ἰσοσκελές ἐστι τὸ ΓΑΔ τρίγωνον ### book 478.3 ἴσην ἔχον τὴν ΔΑ τῇ ΔΓ· ὁμοίως καὶ τὸ ΒΑΓ τρίγωνον ### book 478.4 ἰσοσκελές ἐστιν. ἔστω οὖν ἡ ΔΑ μονάδων δ ἢ ποδῶν δ, ### book 478.5.1 ὡσαύτως καὶ ἡ ΓΔ δ. ὥστε δῆλον, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΔΑ ἐστι ### book 478.5.2 ιϛ ποδῶν ἢ μονάδων, ὁμοίως καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τοιούτων ### book 478.5.3 ιϛ· καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΔΑ, ### book 478.5.4 ΓΔ, ὡς δέδεικται ἐν τῷ μζʹ τοῦ αʹ βιβλίου, δῆλον, ὅτι τὸ ### book 478.5.5 ἀπὸ τῆς ΑΓ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΑ. ἔστι δὲ τὸ ### book 478.10.1 ἀπὸ τῆς ΔΑ ιϛ· τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου ἄρα ἐστὶ λβ ἤτοι ### book 478.10.2 διπλάσιον. καὶ ἐπεὶ μήκει σύμμετροι εὐθεῖαί εἰσιν, ὅταν ### book 478.10.3 μεγέθει καταμετρῶνταί τινι, καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα ### book 478.10.4 λόγον ἔχῃ, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθ‐ ### book 478.10.5 μόν, ἡ δὲ δυναμένη τὸν λβ καὶ ἡ πλευρὰ οὐ καταμετροῦνται ### book 478.15.1 μεγέθει τινί, οὐδὲ τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα λόγον ἔχει, ### book 478.15.2 ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον (οὐδεὶς γὰρ ### book 478.1 τετράγωνος τετραγώνου διπλάσιος), ἀσύμμετρός ἐστι μήκει ### book 478.2 ἡ διάμετρος τῇ πλευρᾷ. ἔστι δὲ ἡ δυναμένη τὸν λβ ἤτοι ἡ ### book 478.3 πλευρὰ πέντε μονάδων καὶ λεπτῶν πρώτων λθ, ἃ ε λθ καὶ ### book 478.20.1 τὰ δ οὐδὲν ἔχουσι κοινὸν μέτρον, ὥσπερ οὐδὲ ὁ λβ, ὡς εἴρη‐ ### book 478.20.2 ται, πρὸς τὸν ιϛ ἔχει λόγον, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς ### book 478.20.3 τετράγωνον ἀριθμόν. ### book 479 Ἐκ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς. ### book 480.1 ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. p. 234, 19] διὰ τὸν ὅρον τοῦ ### book 480.2 ζʹ τὸν λέγοντα· πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοί εἰσιν οἱ ### book 480.3 μονάδι μόνῃ μετρούμενοι. ### book 481.1 Ἀδύνατον γάρ ἐστιν ὁ Η ἀριθμὸς τοὺς ΕΖ, Η ### book 481.2 ἀριθμοὺς πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους μετρεῖν· ἐμάθο‐ ### book 481.3 μεν γὰρ τὸ ἐν τῷ ὅρῳ τοῦ ζʹ βιβλίου· πρῶτοι πρὸς ἀλλή‐ ### book 481 λους ἀριθμοί εἰσιν οἱ μονάδι μόνῃ μετρούμενοι. ### book 1.1 Οἱ παλαιοὶ τὴν τῶν ἐπιπέδων γνῶσιν ἀπὸ τῆς τῶν ### book 1.2 στερεῶν ἐπιστήμης διέστελλον· ἐκείνην μὲν γὰρ γεω‐ ### book 1.3 μετρίαν ἐκάλουν, ὡς καὶ Πλάτων ἐν τῇ Πολιτείᾳ δηλοῖ, ### book 1.4 ταύτην δὲ στερεομετρίαν. οἱ νεώτεροι δὲ διὰ τὸ ἀμφοῖν ### book 1.5.1 τοῖν ἐπιστήμαιν κοινὴν εἶναι τὴν περὶ μεγέθη γνῶσιν ### book 1.5.2 κοινῷ καὶ ὀνόματι τὴν γεωμετρίαν ἐκάλεσαν συνάψαντες ### book 1.5.3 αὐτὰς ὡσανεὶ μίαν πραγματείαν οὖσαν διὰ τὸ περὶ ταὐτό, ### book 1.5.4 ὥσπερ εἴρηται, ἔχειν. ### book 1.5.5 Ὡς ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἦν τὰ μὲν εὐθύγραμμα, τὰ δὲ κυκλι‐ ### book 1.10.1 κά, τὰ δὲ μικτὰ ὡς οἱ θυραῖοι καὶ αἱ ἕλικες, οὕτω καὶ ἐν ### book 1.10.2 τοῖς στερεοῖς τὰ μὲν ἐξ εὐθυγράμμων ἐπιπέδων, τὰ δὲ ### book 1.10.3 ἐκ περιφερογράμμων, τὰ δὲ ἐκ μικτῶν ὡς κύλινδρος καὶ ### book 1.10.4 κῶνος· ἔστι δὲ πρὸς μὲν τοῦ πέρατος τὰ κυκλικά, πρὸς ### book 1.10.5 δὲ τοῦ ἀπείρου τὰ εὐθύγραμμα ἢ ἐξ εὐθυγράμμων, πρὸς δὲ ### book 1.15 τοῦ κρυφίου τὰ μικτά. ### book 2.1 Εἴ τι μὲν σῶμα, τοῦτο καὶ στερέον, οὐκ ἔμπαλιν δέ, ### book 2.2 ὡς ἐπὶ τῶν προκειμένων· ταῦτα γὰρ φανταστά ἐστι στε‐ ### book 2.3 ρεὰ καὶ οὐκ ἀντίτυπα. ### book 3 Εἰ ἐξῆν αὐτὸ τὸ ἐπίπεδον εἰς εὐθείας ἀναλῦσαι, εἶπεν ### book 3.1 ἄν· ὅταν πρὸς πάσας τὰς εὐθείας, ἐξ ὧν τὸ ἐπίπεδον, ὀρθὰς ### book 3.2 ποιῇ γωνίας, τότε καὶ πρὸς αὐτὸ ὀρθὴ ἔσται· ἐπειδὴ δὲ ### book 3.3 ἀπειράκις τεμνόμενον ὑπὸ εὐθειῶν οὐκ ἀναλυθήσεται εἰς ### book 3.5.1 αὐτάς, ἠρκέσθη τῇ τῶν εὐθειῶν ἀπειρίᾳ ἀντὶ ὅλου τοῦ ### book 3.5.2 ἐπιπέδου. τὸ δὲ ἁπτομένας πρόσκειται, ἵνα μὴ παράλληλοι ### book 3.5.3 ὦσιν. ### book 4.1 Ὁ μὲν Εὐκλείδης ἐν τῇ κλίσει τὴν γωνίαν βούλεται ### book 4.2 εἶναι, οἱ δὲ Στωικοὶ τὴν κλίσιν γωνίαν· ὀρθῶς δὲ ὁ Εὐκλεί‐ ### book 4.3 δης· πᾶσα γὰρ γωνία σύννευσίς ἐστι μεγεθῶν πρὸς ἑνὶ ### book 4.4 σημείῳ. ### book 5.1 Οἷον εἰ στερεὸν σχῆμα περιέχεται φέρε εἰπεῖν ὑπὸ δ ### book 5.2 τριγώνων καὶ θ τετραγώνων καὶ τριῶν πενταγώνων, ἔτι ### book 5.3 δὲ καὶ ἕτερον στερεὸν σχῆμα ὁμοίως περιέχεται ὑπὸ δ ### book 5.4 τριγώνων καὶ θ τετραγώνων καὶ γ πενταγώνων ὁμοίων ### book 5.5.1 πάντων τοῖς προειρημένοις, ὅμοιά ἐστι τὰ στερεά, εἰ δὲ ### book 5.5.2 μὴ μόνον ὑπὸ ὁμοίων ἴσων τὸ πλῆθος περιέχεται ἑκάτερον, ### book 5.5.3 ἀλλὰ καὶ ἴσων, ἴσα τε καὶ ὅμοια κληθήσεται. ### book 6 Οὐ φαῦλος ὁ ὁρισμὸς οὗτος. ### book 7.1 Ἐλλιπὴς ὁ ὁρισμὸς οὗτος· ἡ γὰρ τοῦ τεταρτημορίου ### book 7.2 τῆς σφαίρας γωνία ὑπὸ πλειόνων μὲν ἢ δύο ἐπιφανειῶν ### book 7.1 περιέχεται, οὐκ ἐπιπέδων δέ. τὸ γὰρ ἡμικώνιον πρὸς τῇ ### book 7.2 κορυφῇ οὐ ποιεῖ γωνίαν στερεάν· εἰ γάρ ἐστιν ἐκείνη γωνία, ### book 7.5.1 καὶ ἡ κορυφὴ τοῦ κώνου γωνία ἐστίν. ὥστε καὶ ὑπὸ δύο ### book 7.5.2 ἐπιφανειῶν καὶ ὑπὸ μιᾶς εἶναι στερεὰν γωνίαν· ὅπερ οὐκ ### book 7.5.3 ἔστιν ἀληθές. ἄμεινον οὖν ὁρίζεσθαι τὴν στερεὰν γωνίαν ### book 7.5.4 σύννευσιν μεγέθους ἢ μεγεθῶν πρὸς ἑνὶ σημείῳ. ### book 8.1 Δέον προσθεῖναι ἐπιπέδων εὐθυγράμμων διὰ τὸν ### book 8.2 κῶνον. ### book 9.1 Οἷον ἐὰν εὐθύγραμμον ἐπίπεδον, ἀπὸ δὲ τῶν περά‐ ### book 9.2 των τῶν πλευρῶν αὐτοῦ ἀχθῶσι μετέωροι εὐθεῖαι ἐφ’ ἓν ### book 9.3 σημεῖον συννεύουσαι, τὸ περιληφθὲν σχῆμα πυραμίς ἐστιν, ### book 9.4 κορυφὴ δὲ πυραμίδος καλεῖται τὸ σημεῖον, ἐφ’ ᾧ αἱ εὐθεῖαι ### book 9.5 συνέπεσον ἀλλήλαις, βάσις δὲ τὸ ἐξ ἀρχῆς ἐπίπεδον. ### book 10.1 Τὴν γένεσιν ὡρίσατο τῆς σφαίρας· δεῖται γὰρ τούτου ### book 10.2 ἐν τοῖς ἑξῆς· ὁ δὲ Θεοδόσιος τὸν ὁρισμὸν αὐτῆς ἀποδίδω‐ ### book 10.3 σιν. ### book 11.1 Ὁρισμὸς σφαίρας οὐκ ἔστι τοῦτο, ἀλλὰ γένεσις, ἐν ### book 11.2 δὲ τοῖς Θεοδοσίου σφαιρικοῖς εὑρήσεις τὸν ὁρισμόν. τοῦτο ### book 11.3 δὲ οὕτως πεποίηκεν καὶ τὴν γένεσιν τῆς σφαίρας ὡρίσατο, ### book 11.4 ἐπειδὴ δεῖται τούτου ἐν τοῖς ἑξῆς. ### book 12.1 Οὐκ εἴ τις ἄρα διάμετρος, αὕτη καὶ ἄξων. ἀπο‐ ### book 12.2 δέδωκεν γὰρ ἂν αὐτὸ σὺν τῷ ἄξονι ὁ γεωμέτρης· ἀλλ’ εἴ ### book 12.3 τις ἄξων, οὗτος καὶ διάμετρος. οὐ γὰρ περὶ πᾶσαν διά‐ ### book 12 μετρον κινεῖται σφαῖρα. ### book 13.1 Γένεσιν καὶ ἐνταῦθα ὡρίσατο κώνου καὶ οὐ παντός, ### book 13.2 ἀλλὰ τοῦ ἰσοσκελοῦς, ὁ δὲ Ἀπολλώνιος καλῶς ὡρίσατο ### book 13.3 ἐπὶ πλέον τὴν γένεσιν. διαιρεῖ δὲ αὐτοὺς εἰς ἰσοσκελεῖς καὶ ### book 13.4 ἀνισοσκελεῖς, ὁ δὲ Ἀρχιμήδης εἰς ὀρθογωνίους καὶ ὀξυγω‐ ### book 13.5.1 νίους καὶ ἀμβλυγωνίους τὴν πλευρὰν πρὸς τὴν βάσιν ### book 13.5.2 συγκρίνων. δῆλον δέ, ὅτι ἐν πάσῃ γωνίᾳ σκαληνοὶ εἶναι ### book 13.5.3 δύνανται οἱ κῶνοι, ἐν δὲ μόνῃ τῇ ὀξείᾳ οἱ ἰσοσκελεῖς, ἐπεὶ ### book 13.5.4 καὶ τῶν ἰσοσκελῶν ἑκατέρα τῶν πρὸς τῇ βάσει ὀξεῖά ### book 13.5.5 ἐστιν. ### book 14.1 Δεικτέον, ὅπως ἔσται ὀρθογώνιος, ἤτοι ὅτι ἡ κορυ‐ ### book 14.2 φὴ αὐτοῦ ὀρθῆς ἐστι γωνίας. κείσθω ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ### book 14.3 τρίγωνον ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν, ἴσην δὲ τῇ ### book 14.4 ΑΒ εὐθείᾳ τὴν ΒΓ. λέγω, ὅτι ὀρθὴ ἔσται ἡ πρὸς τῷ Α ### book 14.5.1 συνισταμένη γωνία. ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΓΒ ἐπὶ τὸ Δ, ### book 14.5.2 καὶ κείσθω τῇ ΓΒ ἴση ἡ ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ. ἐπεὶ ### book 14.5.3 οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΓΑ ### book 14.5.4 τῇ ὑπὸ ΒΑΓ. ἡμίσεια ἄρα ἑκατέρα αὐτῶν ὀρθῆς διὰ τὸ [Omitted graphic marker] ### book 14.5.5 ὀρθὴν ὑποκεῖσθαι τὴν ὑπὸ ΑΒΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ### book 14.10.1 ΒΑΔ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς. ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνία ### book 14.10.2 ὀρθή ἐστιν. ὀρθογώνιος ἄρα ὁ περὶ τὸ ΑΒΓ γραφόμενος ### book 14.10.3 κῶνος. τῆς γὰρ ΑΒ μενούσης εὐθείας καὶ τῆς ΑΓ ### book 14.1 περιφερομένης, ἕως ἂν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέ‐ ### book 14.2 ρεσθαι, περιφερομένης δὴ τῆς ΑΓ καὶ ΒΓ, μενούσης δὲ ### book 14.15.1 τῆς ΑΒ ἀνάγκη ἐν τῇ περιφορᾷ ἐφαρμόσαι τὴν ΑΓ τῇ ### book 14.15.2 ΑΔ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΓΒ τῇ ΒΔ. ὥστε ὁ γραφόμενος ### book 14.15.3 κύκλος ὑπὸ τοῦ Γ σημείου, ὃς κύκλος καὶ βάσις ἔσται ### book 14.15.4 τοῦ κώνου τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον γραφομένου, ὁ δὴ ### book 14.15.5 γραφόμενος κύκλος διάμετρον ἕξει τὴν ΔΓ βάσιν τοῦ ΔΑΓ ### book 14.20.1 τριγώνου ὀρθὴν ἔχοντος τὴν ὑπὸ ΔΑΓ γωνίαν. εἰ οὖν ### book 14.20.2 διέλῃ τις τὸν κῶνον δίχα εἰς δύο ἀπὸ τῆς κορυφῆς τῆς Α ### book 14.20.3 μέχρι τῆς βάσεως, αἱ τῶν τμημάτων ἐπιφάνειαι οὐκ ἄλλο ### book 14.20.4 τι ἔσονται ἢ τὸ ΑΔΓ τρίγωνον ὀρθογώνιον ὄν· ὥστε καὶ ### book 14.20.5 ἡ τοῦ κώνου κορυφὴ ὀρθογώνιός ἐστιν. εἰ δὲ μείζων ἐστὶν ### book 14.25.1 ἡ ΒΓ τῆς ΑΒ, μείζων ἡμίσεος ὀρθῆς ἔσται καὶ ἡ ὑπὸ ### book 14.25.2 ΒΑΓ γωνία. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΑΒ· ὥστε καὶ ### book 14.25.3 ἡ ὑπὸ ΔΑΓ μείζων ὀρθῆς ἔσται· ἀμβλεῖα ἄρα. ὥστε καὶ ὁ ### book 14.25.4 κῶνος ἀμβλυγώνιος ἤτοι ἡ κορυφὴ αὐτοῦ ἀμβλεῖα γωνία. ### book 14.25.5 εἰ δὲ ἐλάσσων ᾖ ἡ ΒΓ τῆς ΑΒ, ἐλάσσων ἡμίσεος ὀρθῆς ### book 14.30.1 ἔσται καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ· ὥστε διὰ τὰ προδεδειγμένα καὶ ### book 14.30.2 ἡ ὑπὸ ΔΑΓ ἐλάσσων ἔσται ὀρθῆς· ὀξεῖα ἄρα. ὀξυγώνιος ### book 14.30.3 τοίνυν καὶ ὁ κῶνος. ### book 15.1 Ὅτι τὰ Πλάτωνος σχήματα ὁρίζεται, δηλοῖ τὸ ἰσο‐ ### book 15.2 πλεύρων· δυνατὸν γὰρ καὶ ἐξ ἰσοσκελῶν συστήσασθαι, ### book 15.3 ἀλλ’ οὐκέτι τὴν ἀπὸ κορυφῆς ἐπὶ κορυφὴν διχοτομίαν ### book 15.4 τετράγωνον ποιεῖ. ### book 16 Πᾶσαν γὰρ εὐθεῖαν δυνατὸν ἐπ’ εὐθείας ἐκβαλεῖν. ### book 17.1 Δύο εὐθειῶν οὐκ ἔστι κοινὸν τμῆμα. εἰ γὰρ δυνατόν, ### book 17.2 ἔστω δύο εὐθειῶν τῶν ΑΒΓ, ΑΒΔ κοινὸν τμῆμα τὸ ΑΒ, ### book 17.3 καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΒΓ εὐθείας κέντρον τὸ Β, διάστημα ### book 17.4 δὲ τὸ ΒΑ, καὶ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΕΖ. ἐπεὶ οὖν τὸ ### book 17.5.1 Β σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΕΖ κύκλου, διὰ δὲ τοῦ Β ### book 17.5.2 εὐθεῖά τις ἦκται ἡ ΑΒΓ, τοῦ ΑΕΖ ἄρα κύκλου διάμετρός ### book 17.5.3 ἐστιν ἡ ΑΒΓ. ἡ δὲ διάμετρος δίχα τέμνει τὸν κύκλον· ἡμι‐ ### book 17.5.4 κύκλιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΕΓ. πάλιν ἐπεὶ τὸ Β κέντρον ἐστὶ ### book 17.5.5 τοῦ ΑΕΖ κύκλου, διὰ δὲ τοῦ Β εὐθεῖά τις ἦκται ἡ ΑΒΔ, [Omitted graphic marker] ### book 17.10.1 ἡ ΑΒΔ ἄρα διάμετρός ἐστι ### book 17.10.2 τοῦ ΑΕΖ κύκλου. ἐδείχθη δὲ ### book 17.10.3 καὶ ἡ ΑΒΓ διάμετρος τοῦ αὐ‐ ### book 17.10.4 τοῦ ΑΕΖ κύκλου· τὰ δὲ τοῦ ### book 17.10.5 αὐτοῦ κύκλου ἡμικύκλια ἴσα ### book 17.15.1 ἀλλήλοις ἐστίν· ἴσον ἄρα ἐστὶ ### book 17.15.2 τὸ ΑΕΓ ἡμικύκλιον τῷ ΑΕΔ ### book 17.15.3 ἡμικυκλίῳ, τὸ ἔλαττον τῷ μεί‐ ### book 17.15.4 ζονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. ### book 17.15.5 οὐκ ἄρα δύο εὐθειῶν κοινὸν ### book 17.20.1 τμῆμά ἐστι· διάφορα ἄρα. καὶ διὰ τοῦτο οὐδὲ δυνατὸν ### book 17.20.2 τῇ πεπερασμένῃ εὐθείᾳ εὐθείας κατὰ τὸ συνεχὲς ἐκβα‐ ### book 17.20.3 λεῖν, ἀλλ’ εὐθεῖαν, διὰ τὸ δειχθῆναι, ὅτι δύο εὐθειῶν ### book 17.20.4 κοινὸν τμῆμα οὐκ ἔστιν. ### book 18.1 Ἔν τισι οὐδὲ ὅλως εὕρηται γραφὲν τοῦτο, ἀλλὰ τὸ ### book 18.2 ἐπειδὴ ἐὰν κέντρῳ τῷ Α καὶ διαστήματι καὶ τὰ ἑξῆς ἄχρι ### book 18.3 τοῦ συμπεράσματος, ἐν ἄλλοις δὲ τοῦτο μὲν γέγραπται, ### book 18 λεί... ### book 19.1 Τὸ προκείμενόν ἐστι δεῖξαι τὰς τεμνούσας ἐν ἑνὶ ### book 19.2 ἐπιπέδῳ, ἐπειδὴ δὲ διὰ τοῦ τριγώνου δείκνυσι τοῦτο, ### book 19.3 προσέθηκε τὸ πᾶν τρίγωνον. ### book 20.1 Οὐκ ἀληθὲς τὸ ἀντιστρόφιον· ὧν σχημάτων τεμνόν‐ ### book 20.2 των ἄλληλα ἡ κοινὴ τομὴ εὐθεῖά ἐστιν, ἐπίπεδά ἐστι σχή‐ ### book 20.3 ματα. ### book 21.1 Δῆλον, ὅτι ἐφαρμοζουσῶν τῶν εὐθειῶν ἐφαρμόσουσι ### book 21.2 καὶ τὰ πέρατα αὐτῶν, εἰ δὲ τοῦτο, δύο εὐθεῖαι τὰ αὐτὰ ### book 21.3 πέρατα ἔχουσαι χωρίον περιέξουσιν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· ### book 21.4 δύο γὰρ εὐθεῖαι χωρίον οὐ περιέχουσι τὰ αὐτὰ πέρατα ### book 21.5 ἔχουσαι. ### book 22.1 Ἀντιστρόφιον· ἐὰν ὦσι τρεῖς εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ### book 22.2 ἀλλήλων ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ, ἡ τῇ μιᾷ πρὸς ὀρθὰς καὶ ταῖς ### book 22.3 λοιπαῖς εὐθείαις ἐστὶ πρὸς ὀρθάς. ὁμοίως δὲ καί, εἰ πλείους ### book 22.4 ὦσιν εὐθεῖαι, δείκνυται, ὅτι, κἂν πρὸς πλείους ἢ δύο εὐ‐ ### book 22.5.1 θείας ἐν ἑνὶ οὔσας ἐπιπέδῳ εὐθεῖά τις ἴσας γωνίας ποιῇ, ### book 22.5.2 ὀρθαί τέ εἰσιν αἱ γωνίαι, καὶ πρὸς τὸ δι’ αὐτῶν ἐπίπεδον ### book 22.5.3 ὀρθή ἐστιν ἡ ἐφεστηκυῖα. ### book 23 Μὴ οὖσαι ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ εἶπεν, ἵνα δείξει, ὅτι ### book 23 περὶ στερεῶν λέγει. ### book 24.1 Ἀντιστρόφιον· ἐὰν ὦσι δύο γωνίαι ἴσαι ὑπὸ εὐθειῶν ### book 24.2 περιεχόμεναι μὴ οὐσῶν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ᾖ δὲ μία τῶν ### book 24.3 ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ περιεχουσῶν παράλληλος τῇ μιᾷ τῶν ### book 24.4 τὴν λοιπὴν περιεχουσῶν γωνίαν, καὶ ἡ λοιπὴ τῇ λοιπῇ παρ‐ ### book 24.5 άλληλός ἐστιν. ### book 25.1 Εἶεν γὰρ ἂν καὶ παράλληλοι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ### book 25.2 ὀρθὰς οὖσαι διὰ τὸ ϛʹ αἱ αὐταὶ καὶ συμπίπτουσαι· ὅπερ ### book 25.3 ἀδύνατον. ### book 26.1 Ἀντιστρόφιον· ἐὰν ᾖ παράλληλα ἐπίπεδα, ἡ τῷ ἑνὶ ### book 26.2 ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖα καὶ τῷ λοιπῷ πρὸς ὀρθάς ### book 26.3 ἐστιν. ### book 27.1 Ἀντιστρόφιον· καὶ ὧν ἐπιπέδων ὑπό τινος ἐπιπέδου ### book 27.2 τεμνομένων αἱ κοιναὶ τομαὶ παράλληλοί εἰσιν, παράλληλά ### book 27.3 ἐστι τὰ ἐπίπεδα· ἔστι δὲ ψεῦδος. ### book 28.1 Ἀντιστρόφιον· καὶ ἐὰν δύο εὐθεῖαι ὑπό τινων ἐπι‐ ### book 28.2 πέδων τεμνόμεναι εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους τμηθῶσιν, παρ‐ ### book 28 άλληλά ἐστι τὰ τέμνοντα ἐπίπεδα τὰς εὐθείας. ### book 29.1 Ἀντιστρόφιον· ἐὰν πάντα τὰ διά τινος εὐθείας ἐπί‐ ### book 29.2 πεδα ἐκβαλλόμενα τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, ἡ ### book 29.3 εὐθεῖα τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται. ### book 30.1 Ἀντιστρόφιον· καὶ ὧν ἐπιπέδων τεμνόντων ἄλληλα ### book 30.2 ἡ κοινὴ τομὴ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἐπιπέδῳ τινί, τῷ αὐτῷ ### book 30.3 ἐπιπέδῳ καὶ τὰ τέμνοντα ἄλληλα ἐπίπεδα πρὸς ὀρθάς ### book 30.4 ἐστιν. ### book 31.1 λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΓ p. 29, 7. 8] πόθεν δῆλον, ὅτι ἡ ### book 31.2 ΔΓ μείζων ἐστὶ τῆς ΓΕ; ἢ ὅτι, ἐπειδὴ αἱ ΒΔ, ΔΓ τῆς ΒΓ ### book 31.3 μείζονές εἰσιν, εἰ μή ἐστιν ἡ μείζων ἡ ΔΓ τῆς ΓΕ, ἀλλ’ ### book 31.4 ἴση, ἐπειδή ἐστι καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΕ ἴση, ἔσονται καὶ αἱ δύο ### book 31.5.1 αἱ ΒΔ, ΔΓ ἴσαι τῇ ΒΓ. εἰ γάρ ἐστιν ἡ ΔΒ, ΒΕ ἴση καὶ ### book 31.5.2 ἡ ΔΓ τῇ ΓΕ, ἔσται καὶ ἡ ΒΓ ἴση τῇ ΒΔ, ΔΓ, ἡ μία ταῖς ### book 31.5.3 δυσίν. εἰ δὲ μή ἐστιν ἴση ἡ ΕΓ τῇ ΓΔ, ἀλλὰ μείζων ἡ ΕΓ ### book 31.5.4 τῆς ΓΔ, ἴση δὲ ἡ ΕΒ τῇ ΒΔ, ἔσται καὶ ἡ ὅλη ἡ ΒΓ μείζων ### book 31.5.5 τῶν ΒΔ, ΔΓ. ἐπεὶ οὖν οὔτε ἴση ἐστίν, ὡς δέδεικται, ἡ ΕΓ ### book 31.10.1 τῇ ΓΔ οὔτε μείζων, ἐλάττων ἄρα. ἢ καὶ οὕτως συντομώ‐ ### book 31.10.2 τερον· ἴση κεῖται ἡ ΕΒ τῇ ΒΔ· εἰ οὖν ἐστι καὶ ἡ ΕΓ ἴση ### book 31.10.3 τῇ ΓΔ, ἔσονται αἱ δύο αἱ ΕΒ, ΒΔ ἴσαι δυσὶ ταῖς ΕΓ, ΓΔ. ### book 31.10.4 ὥστε αἱ ΒΕ, ΕΓ, τουτέστιν ἡ ΒΓ, ἔσται ἴση δυσὶ ταῖς ### book 31 ΒΔ, ΔΓ· ὅπερ ἄτοπον. ### book 32.1 λοιπαὶ ἄρα p. 31, 1] διαιρετέον τὰς ἐννέα γωνίας εἰς ### book 32.2 ἓξ καὶ τρεῖς, τρεῖς μὲν τὰς ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΔ, καὶ εἰς ἓξ τὰς ### book 32.3 λοιπάς. ἐπεὶ οὖν αἱ ἐννέα ἓξ ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ἔχουσι δὲ ### book 32.4 τῶν ἓξ ὀρθῶν δύο καὶ ἔτι αἱ ἓξ γωνίαι, λείπεται δὴ τὰς τρεῖς ### book 32.5.1 γωνίας ἔχειν τὰς λοιπὰς τῶν ἕξ, αἵτινές εἰσιν αἱ λοιπαὶ οὐ ### book 32.5.2 τέσσαρες, ἀλλ’ ἥττονες τῶν τεσσάρων. ἂν γὰρ ἀπὸ τῶν ἓξ ### book 32.5.3 ἀφῃρέθησαν δύο, αἱ καταλειφθεῖσαι ἦσαν ἂν τέσσαρες, ### book 32.5.4 ἐπεὶ δὲ οὐ δύο μόναι ἀπὸ τῶν ἓξ ὀρθῶν ἀφῃρέθησαν, ἀλλὰ ### book 32.5.5 δύο καὶ ἔτι, αἱ καταλειφθεῖσαί εἰσι τεττάρων ἥττονες. ### book 33.1 Ἐὰν ὦσιν ὁσαιδηποτοῦν γωνίαι ἐπίπεδοι, ὧν μιᾶς ### book 33.2 αἱ λοιπαὶ μείζους εἰσὶ πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, περιέχωσι ### book 33.3 δὲ αὐτὰς ἴσαι εὐθεῖαι, λέγω, ὅτι καὶ τῶν τὰς γωνίας ὑπο‐ ### book 33.4 τεινουσῶν εὐθειῶν μιᾶς αἱ λοιπαὶ μείζους εἰσὶ πάντῃ ### book 33.5.1 μεταλαμβανόμεναι, τουτέστιν δυνατὸν ἐκ τῶν ἐπιζευγνυου‐ ### book 33.5.2 σῶν τὰς γωνίας πολύπλευρον συστήσασθαι. ἔστωσαν αἱ ### book 33.5.3 δοθεῖσαι τέσσαρες γωνίαι αἱ πρὸς τοῖς Α, Η, Δ, Λ σημείοις, ### book 33.5.4 ὧν αἱ τρεῖς τῆς λοιπῆς μείζους ἔστωσαν πάντῃ μεταλαμ‐ ### book 33.5.5 βανόμεναι, ἴσαι δὲ ἔστωσαν αἱ ΒΑ, ΑΓ, ΕΔ, ΔΖ, ΘΗ, ### book 33.10.1 ΗΚ, ΜΛ, ΛΝ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ, ΕΖ, ΘΚ, ΜΝ. ### book 33.10.2 λέγω, ὅτι τῶν ΒΓ, ΕΖ, ΘΚ, ΜΝ αἱ τρεῖς τῆς λοιπῆς ### book 33.1 μείζους εἰσὶ πάντῃ μεταλαμβανόμεναι. εἰ μὲν γὰρ ἴσαι ### book 33.2 εἰσὶν αἱ πρὸς τοῖς Α, Δ, Η, Λ γωνίαι, ἴσαι ἂν ἦσαν καὶ αἱ ### book 33.3 πλευραὶ αἱ ΒΓ, ΕΖ, ΘΚ, ΜΝ· καὶ φανερόν, ὅτι αἱ τρεῖς ### book 33.15.1 τῆς μιᾶς μείζους εἰσὶ πάντῃ μεταλαμβανόμεναι. εἰ δὲ ### book 33.15.2 ἄνισοι ὦσιν, μείζων ἡ πρὸς τῷ Α. βάσις ἄρα ἡ ΒΓ ἑκά‐ ### book 33.15.3 στης τῶν ΕΖ, ΘΚ, ΜΝ μείζων ἐστίν, ὧν καὶ μετὰ μιᾶς ### book 33.15.4 αὐτῶν τῆς ἑτέρας τῶν λοιπῶν ὁποιασοῦν μείζων ἐστίν. εἰ ### book 33.15.5 δὲ τοῦτο, καὶ μετὰ δύο αὐτῶν ὁποιωνοῦν τῆς λοιπῆς πολ‐ ### book 33.20.1 λῷ μείζων ἐστίν. λέγω, ὅτι καὶ αἱ ΕΖ, ΘΚ, ΜΝ τῆς ΒΓ ### book 33.20.2 μείζους εἰσίν. ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία ### book 33.20.3 ἑκάστης τῶν Δ, Η, Λ, συνεστάτω πρὸς τῇ ΒΑ εὐθείᾳ καὶ ### book 33.20.4 τῷ Α σημείῳ τῇ πρὸς τῷ Δ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΞ, πρὸς ### book 33.20.5 δὲ τῇ ΑΞ εὐθείᾳ καὶ τῷ Α σημείῳ τῇ Η γωνίᾳ ἴση γωνία. ### book 33.25.1 ἤτοι δὴ ἐντὸς τῆς ΑΓ πεσεῖται ἢ ἐπ’ αὐτῆς ἢ ἐκτός. πι‐ ### book 33.25.2 πτέτω πρότερον ἐντὸς ὡς ἡ ΑΟ, πρὸς δὲ τῇ ΟΑ εὐθείᾳ ### book 33.25.3 καὶ τῷ Α σημείῳ τῇ πρὸς τῷ Λ γωνίᾳ ἴση ἡ ΟΑΠ· ### book 33.25.4 ἐκτὸς γὰρ πεσεῖται τῆς ΑΓ διὰ τὸ τὰς τρεῖς τὰς Δ, Η, Λ ### book 33.25.5 γωνίας τῆς λοιπῆς μείζους εἶναι· καὶ ταῖς ΑΒ, ΑΓ ἴσαι [Omitted graphic marker] ### book 33.30.1 κείσθωσαν αἱ ΑΞ, ΑΟ, ΑΠ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΞ, ### book 33.30.2 ΞΟ, ΒΟ, ΟΠ, ΒΠ. ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΒΑΠ, ΒΑΓ ἴσαι ### book 33.30.3 εἰσίν, γωνία δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΠ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ μείζων, βάσις ### book 33.1 ἄρα ἡ ΒΠ τῆς ΒΓ μείζων. ἀλλὰ τῆς ΒΠ μείζους αἱ ΒΟ, ### book 33.2 ΟΠ· καὶ τῆς ΒΓ ἄρα πολλῷ μείζους. ἀλλὰ τῆς ΒΟ μεί‐ ### book 33.35.1 ζους αἱ ΒΞ, ΞΟ. αἱ ἄρα ΒΞ, ΞΟ, ΟΠ τῆς ΒΓ πολλῷ ### book 33.35.2 μείζους. καί ἐστιν ἡ μὲν ΒΞ τῇ ΕΖ ἴση, ἐπεὶ καὶ γωνία ἡ ### book 33.35.3 ὑπὸ ΒΑΞ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση, ἡ δὲ ΞΟ τῇ ΘΚ, ἡ δὲ ΟΠ ### book 33.35.4 τῇ ΜΝ. αἱ ἄρα ΕΖ, ΘΚ, ΜΝ τῆς ΒΓ μείζους πολλῷ ### book 33.35.5 εἰσιν. ἀλλὰ δὴ ἡ μετὰ τῆς ΑΞ περιέχουσα τὴν ἴσην τῇ πρὸς ### book 33.40.1 τῷ Η γωνίαν πιπτέτω ἐπὶ τῆς ΑΓ ὡς ἐπὶ τῆς δευτέρας ### book 33.40.2 καταγραφῆς, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΞ, ΞΓ, ΓΠ. ἐπεὶ ### book 33.40.3 οὖν αἱ ΒΞΓ τῆς ΒΓ μείζους εἰσίν, αἱ ΒΞ, ΞΓ, ΓΠ τῆς ### book 33.40.4 ΒΓ πολλῷ μείζους εἰσίν. ἀλλ’ αἱ ΒΞ, ΞΓ, ΓΠ ταῖς ΕΖ, ### book 33.40.5 ΘΚ, ΜΝ ἴσαι εἰσίν· καὶ αἱ ΕΖ, ΘΚ, ΜΝ ἄρα τῆς ΒΓ ### book 33.45.1 πολλῷ μείζους εἰσίν. [Omitted graphic marker] ### book 33.45.2 Ἀλλὰ δὴ πιπτέτω ἐκτὸς τῆς ΑΓ ἡ μετὰ τῆς ΑΞ περιέχου‐ ### book 33.45.3 σα τὴν ἴσην τῇ πρὸς τῷ Η γωνίαν ὡς ἐπὶ τῆς τρίτης κατα‐ ### book 33.45.4 γραφῆς ἡ ΑΟ, καὶ κείσθω ἴση τῇ ΑΠ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ### book 33.45.5 ΒΠ καὶ ἡ ΒΟ καὶ ΟΠ καὶ ΒΞ καὶ ΞΟ. ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ### book 33.1 ΒΑΠ δύο ταῖς ΒΑΓ ἴσαι εἰσίν, γωνία δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΠ ### book 33.2 γωνίας τῆς ὑπὸ ΒΑΓ μείζων ἐστίν, καὶ ἡ ΒΠ ἄρα τῆς ΒΓ ### book 33.3 μείζων ἐστίν. ἐπεὶ οὖν αἱ ΒΟΠ μείζους τῆς ΒΠ, μείζους ### book 33.4 δὲ τῆς ΒΟ αἱ ΒΞ, ΞΟ, αἱ ἄρα ΒΞ, ΞΟ, ΟΠ τῆς ΒΠ πολ‐ ### book 33 λῷ μείζους εἰσίν. ἀλλὰ ἡ ΒΠ τῆς ΒΓ μείζων· αἱ ἄρα ΒΞ, ### book 33.55.1 ΞΟ, ΟΠ τῆς ΒΓ πολλῷ μείζους. ἴσαι δὲ αἱ ΒΞ, ΞΟ, ΟΠ ### book 33.55.2 ταῖς ΕΖ, ΘΚ, ΜΝ· αἱ ἄρα ΕΖ, ΘΚ, ΜΝ τῆς ΒΓ πολλῷ ### book 33.55.3 μείζους. καὶ ἐπεὶ αἱ τρεῖς τῆς λοιπῆς μείζους πάντῃ ### book 33.55.4 μεταλαμβανόμεναι, καὶ δύο ὁποιαιοῦν τῆς λοιπῆς μείζους ### book 33.55.5 πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, ἔσται δυνατὸν ἐκ τριῶν ὁποιων‐ ### book 33.60.1 οῦν τρίγωνον συστήσασθαι καὶ παρὰ τὴν λοιπὴν παρα‐ ### book 33.60.2 βάλλειν, ἔστι δὲ καὶ ἐξ αὐτῶν συστήσασθαι τὸ τετράπλευ‐ ### book 33.60.3 ρον, εἴπερ αἱ τρεῖς τῆς λοιπῆς μείζους εἰσὶ πάντῃ μετα‐ ### book 33.60.4 λαμβανόμεναι. ### book 34.1 Ἐὰν ἔν τινι ἐπιπέδῳ ἀπό τινος μετεώρου σημείου ### book 34.2 ἴσαι εὐθεῖαι προσπίπτωσι, κατὰ κύκλου ἔσονται περι‐ ### book 34.3 φερείας, καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ εἰρημένου σημείου ἐπὶ τὸ κέντρον ### book 34.4 τοῦ κύκλου ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ὀρθὴ ἔσται πρὸς τὸν ### book 34.5.1 κύκλον. ἀπὸ γὰρ τοῦ Α σημείου τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ### book 34.5.2 εὐθεῖαι συμβαλλέτωσαν αἱ ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ, ΑΕ κατὰ τὰ [Omitted graphic marker] ### book 34.5.3 Β, Γ, Δ, Ε σημεῖα. λέγω, ὅτι τὰ Β, ### book 34.5.4 Γ, Δ, Ε σημεῖα ἐπὶ κύκλου εἰσὶ περι‐ ### book 34.5.5 φερείας. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ ἐν τῷ ### book 34.10.1 ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ αἱ ΒΓ, ΓΔ, ### book 34.10.2 ΔΒ, καὶ περὶ τὸ ΒΓΔ τρίγωνον ### book 34.10.3 περιγεγράφθω κύκλος ὁ ΒΓΔΖ. ### book 34.10.4 τὰ Β, Γ, Δ ἄρα σημεῖα ἐν κύκλου ### book 34.10.5 περιφερείᾳ ἐστίν. λέγω, ὅτι καὶ τὸ ### book 34.15.1 Ε. μὴ γάρ, εἰ δυνατόν, ἀλλ’ ἤτοι ἐκτὸς ἢ ἐντὸς πιπτέτω καὶ ### book 34.15.2 ἔστω πρότερον ἐκτός· καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου ### book 34.15.3 τὸ Η σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἐπὶ τὰ Β, Γ, Δ, Ε εὐ‐ ### book 34.1 θεῖαι αἱ ΒΗ, ΗΓ, ΗΔ, ΗΕ, καὶ τεμνέτω ἡ ΗΕ τὸν ### book 34.2 κύκλον κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ, ἐπεζεύχθω δὲ ### book 34.20.1 καὶ ἡ ΑΗ. καὶ ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ τῇ ΑΓ ἴση ἐστίν, ἔστι δὲ ### book 34.20.2 καὶ ἡ ΒΗ τῇ ΓΗ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΗ δυσὶ ταῖς ΑΓ, ΓΗ ### book 34.20.3 ἴσαι εἰσίν. καὶ βάσις κοινὴ ἡ ΑΗ· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΗ ### book 34.20.4 τῇ ὑπὸ ΑΓΗ ἐστιν ἴση καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ### book 34.20.5 καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ### book 34.25.1 ΑΗΒ τῇ ὑπὸ ΑΗΓ. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΓ τῇ ### book 34.25.2 ὑπὸ ΑΗΔ ἴση ἐστίν. ἡ ΑΗ ἄρα πρὸς πλείους ἢ δύο ### book 34.25.3 εὐθείας ἐν τῷ αὐτῷ οὔσας ἐπιπέδῳ ἴσας ποιεῖ γωνίας· ### book 34.25.4 ὀρθὴ ἄρα ἐστὶ πρὸς τὸ δι’ αὐτῶν ἐπίπεδον, ἔστι καὶ πρὸς ### book 34.25.5 τὸν κύκλον. ἐπεὶ οὖν ἡ ΗΔ τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση, κοινὴ δὲ καὶ ### book 34.30.1 πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΑ, βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΑΖ ἴση ### book 34.30.2 ἐστίν. ὥστε καὶ ἑκάστῃ τῶν ΑΒ, ΑΓ, ΑΕ. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ### book 34.30.3 ΑΗΖ ὀρθή ἐστιν, ἡ ὑπὸ ΑΖΕ ἄρα μείζων ἐστὶν ὀρθῆς· ### book 34.30.4 ἐκτὸς γὰρ τοῦ ΑΗΖ· ὥστε ἡ ὑπὸ ΑΕΖ γωνία ἐλάττων ### book 34.30.5 ἐστὶν ὀρθῆς. τοῦ ΑΖΕ ἄρα τριγώνου ἡ πρὸς τῷ Ζ γωνία ### book 34.35.1 μείζων τῆς πρὸς τῷ Ε. ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΑΕ τῆς ΑΖ. ### book 34.35.2 ἐδείχθη δὲ καὶ ἴση· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἐκτὸς πεσεῖται ### book 34.35.3 τοῦ κύκλου τὸ Ε σημεῖον. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ### book 34.35.4 ἐντός. ἐπιζεύξαντες γὰρ ἐπ’ αὐτὸ εὐθεῖαν καὶ ἐκβαλόντες ### book 34.35.5 ἐπὶ τὴν περιφέρειαν καὶ ἐπὶ τὸ γινόμενον σημεῖον ἀπὸ τοῦ ### book 34.40.1 Α ἐπιζεύξαντες δείξομεν τὴν αὐτὴν καὶ ἴσην καὶ ἐλάττονα· ### book 34.40.2 ὅπερ ἄτοπον. εἰ δὲ μήτε ἐντὸς μήτε ἐκτός, ἐπὶ τοῦ κύκλου ### book 34.40.3 ἄρα. αἱ ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ, ΑΕ ἄρα κατὰ κύκλου εἰσὶ περι‐ ### book 34.40.4 φερείας, καὶ ἡ ΑΗ ὀρθὴ πρὸς κύκλον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 34.40.5 Πόρισμα. ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι πάσης στερεᾶς ### book 34.45 γωνίας ὑπὸ ἰσοσκελῶν ἐπιπέδων περιεχομένης τὴν βάσιν ### book 34 κύκλος περιγράψει. ### book 35.1 Ἐξ ἐπιπέδων ὁποσωνοῦν δοθεισῶν γωνιῶν, ὧν μιᾶς ### book 35.2 αἱ λοιπαὶ μείζους εἰσὶ πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, στερεὰν ### book 35.3 γωνίαν συστήσασθαι· δεῖ δὴ τὰς διδομένας τεσσάρων ### book 35.4 ὀρθῶν ἐλάττους εἶναι. ἔστωσαν αἱ εἰρημέναι γωνίαι αἱ ὑπὸ ### book 35.5.1 ΒΑΓ, ΕΔΖ, ΘΗΚ, ΜΛΝ. δεῖ δὴ ἐκ τῶν πρὸς τοῖς Α, ### book 35.5.2 Δ, Η, Λ γωνιῶν στερεὰν γωνίαν συστήσασθαι. ἀπειλήφθω‐ ### book 35.5.3 σαν ἴσαι αἱ περιέχουσαι αὐτὰς εὐθεῖαι, καὶ ἐπεζεύχθω‐ ### book 35.5.4 σαν αἱ ΒΓ, ΕΖ, ΘΚ, ΜΝ. ἰσοσκελῆ ἄρα τὰ τρίγωνα ### book 35.5.5 ἔχοντα μιᾶς ὁποιασοῦν τὰς λοιπὰς γωνίας μείζους πάντῃ ### book 35.10.1 μεταλαμβανομένας. καὶ αἱ ΒΓ, ΕΖ, ΘΚ, ΜΝ ἄρα ποιοῦσι [Omitted graphic marker] ### book 35.10.2 τετράπλευρον. γεγενήσθω καὶ ἔστω τὸ ΞΟΠΡ. καὶ ἐπεὶ ### book 35.10.3 δεῖ ἐκ τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖ, ΘΗΚ, ΜΛΝ ἰσοσκελῶν ### book 35.10.4 τριγώνων στερεὰν γωνίαν συστήσασθαι, πάσης δὲ στε‐ ### book 35.10.5 ρεᾶς γωνίας ὑπὸ ἰσοσκελῶν περιεχομένης τὴν βάσιν κύκλος ### book 35.15.1 περιγράψει, καὶ τῆς ὑπὸ τῶν ΒΑΓ, ΕΔΖ, ΘΗΚ, ΜΛΝ ### book 35.15.2 ἄρα περιεχομένης τὴν βάσιν κύκλος περιγράψει. ἡ δὲ τῆς ### book 35.15.3 εἰρημένης γωνίας περιέχεται ἐκ τῶν βάσεων τῶν εἰρημέ‐ ### book 35.15.4 νων τριγώνων, τουτέστι τοῦ ΞΟΠΡ· τὸ ΞΟΠΡ ἄρα ### book 35.15.5 τετράπλευρον κύκλος περιγράψει. καὶ τὰ αὐτὰ δὲ λοιπὸν ### book 35.20 κατασκευάσαντες τοῖς ἐπὶ τῆς ἐκ τριγώνου βάσεως γωνίας ### book 35 τὸ ἐπιτεταγμένον ποιήσομεν. ### book 36.1 ἀλλὰ αἱ τρεῖς αἱ p. 34, 21] ἐν τῷ ιεʹ θεωρήματι ### book 36.2 τοῦ πρώτου βιβλίου δείξας, ὅτι, ἂν δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ### book 36.3 ἀλλήλας, αἱ κατὰ κορυφὴν γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί, ### book 36.4 συνήγαγε πόρισμα τοιοῦτον· φανερόν, ὅτι, ἂν ὁσαιδηποτ‐ ### book 36.5.1 οῦν εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, τὰς πρὸς τῇ τομῇ γω‐ ### book 36.5.2 νίας τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας ποιήσουσιν. ### book 37.1 παράλληλος ἄρα p. 35, 9] διὰ τὸ ἀντιστρόφιον τοῦ ### book 37.2 βʹ τοῦ ϛʹ βιβλίου. ### book 38.1 ὥστε καὶ λοιπὴ p. 35, 8] ἐπειδὴ ἡ ΞΛ τῇ ΞΜ ### book 38.2 ἴση ἐστί· κέντρον γὰρ τὸ Ξ τοῦ κύκλου κεῖται· ἔστι δὲ ἡ ### book 38.3 ΟΞ τῇ ΞΠ ἴση, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΟΛ λοιπῇ τῇ ΠΜ ἐστιν ### book 38.4 ἴση. ### book 39.1 Ἐπὶ τῆς ΡΞ τὸ μὲν Ρ σημεῖον μετέωρον δεῖ νοεῖν, ### book 39.2 τὸ δὲ Ξ ἐν τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ. ### book 40.1 Εἰ γάρ ἐστιν ἡ ΑΒ τῆς ΛΞ ἐλάττων, δύο αἱ ΑΒ, ### book 40.2 ΒΓ, τουτέστι ΔΕ, ΕΖ, ἐλάττους ἔσονται τῶν ΜΞ, ΞΛ, ### book 40.3 τουτέστι τῆς ΜΝ· ἀλλ’ ἡ ΜΝ ἴση ὑπόκειται τῇ ΔΖ· καὶ ### book 40.4 αἱ ΔΕ, ΕΖ ἄρα ἐλάττους ἔσονται τῆς ΔΖ, αἱ δύο τῆς ### book 40.5.1 μιᾶς· ὅπερ ἀδυνατώτερόν ἐστι, λέγω δή, τὰς δύο τῆς μιᾶς ### book 40.5.2 ἐλάττονας εἶναι· δέδεικται γὰρ ἐν τῷ κʹ τοῦ αʹ βιβλίου, ### book 40.5.3 ὅτι παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς μιᾶς μείζονές εἰσι ### book 40.5.4 πάντῃ μεταλαμβανόμεναι. ### book 41.1 Ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΜΛ τῇ ΠΟ, καὶ εἰς αὐτὰς ### book 41.2 ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΛΞ, ἐὰν δὲ εἰς παραλλήλους εὐθείας ### book 41.3 εὐθεῖα ἐμπέσῃ, τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ ### book 41.4 καὶ τὴν ἐκτὸς τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ ### book 41.5.1 μέρη ἴσην, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΜΛΞ γωνία τῇ ὑπὸ ΠΟΞ. ### book 41.5.2 μείζων δὲ ἡ ὑπὸ ΠΟΞ τῆς ὑπὸ ΣΟΞ· περιέχει γὰρ τὴν ### book 41.5.3 ὑπὸ ΣΟΞ ἡ ὑπὸ ΠΟΞ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΜΛΞ τῆς ### book 41.5.4 ὑπὸ ΣΟΞ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ μείζων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΝΛΞ ### book 41.5.5 τῆς ὑπὸ ΤΟΞ. ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΜΛΝ ὅλης τῆς ὑπὸ ΣΟΤ ### book 41.10 μείζων ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 42.1 Διὰ τοῦ αʹ τοῦ ϛʹ καὶ τοῦ βʹ τοῦ ιαʹ, ὅτι ἐπίπεδά ### book 42.2 ἐστι τὰ λοιπὰ δύο ἑκάστου στερεοῦ, ἔστι δὲ τὰ αὐτὰ καὶ ### book 42.3 παράλληλα. ### book 43.1 Εἰ μὲν οὖν τυγχάνοι ἴση οὖσα μηδεμιᾷ τῶν τοῦ στε‐ ### book 43.2 ρεοῦ πλευρῶν, οὐδὲ τὸ ἀναγραφόμενον ἴσον ἀναγράψαι ### book 43.3 δυνατὸν πρὸς τῷ καὶ ὅμοιον. εἰ δὲ εἴη μιᾷ αὐτῶν ἴση, εἰ ### book 43.4 μὲν μὴ λαμβάνηται ὁμόλογος ἐκείνῃ τῇ πλευρᾷ, οὐδ’ οὕτως ### book 43.5.1 τὸ ἀναγραφόμενον ἔσται ἴσον· εἰ δὲ λαμβάνηται, ἴσον ### book 43.5.2 ἔσται μετὰ τοῦ καὶ ὅμοιον. καὶ ἡ ἀπόδειξις δὲ τούτου ### book 43.5.3 ῥᾳδία. δυνατὸν δὲ καὶ μὴ ὂν παραλληλεπίπεδον στερεὸν ### book 43.5.4 ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας ἀναγράψαι, περιεχόμενον δὲ ### book 43.5.5 ὅμως ὑπὸ ἐπιπέδων, οὐ μόνον δὲ ὅμοιον, ἀλλὰ καί, εἰ τύχοι ### book 43.10.1 ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα τῶν πλευρῶν αὐτῶν ἴση, καθ’ ὃν εἴπομεν ### book 43.10.2 τρόπον, καὶ ἴσον καὶ ὅμοιον. οὐ πᾶν δὲ στερεὸν ὅμοιον ἢ ### book 43.10.3 ἴσον καὶ ὅμοιον δυνατὸν καὶ ὁμοίως κεῖσθαι. εἰ γάρ τις ### book 43.10.4 πυραμίδα φέρε εἰπεῖν ἐκ τετραγώνου βάσεως ἀνισοσκελῆ ### book 43.10.5 μίαν τῶν ἐφεστωσῶν ὀρθὴν ἔχουσαν πρὸς τὴν βάσιν τέμῃ ### book 43.15.1 ἐκ τῆς κορυφῆς δίχα κατὰ τὴν τοῦ τετραγώνου διαγώνιον ### book 43.15.2 τὴν ἀπὸ τῆς ὀρθῆς, ἔσονται δύο στερεαὶ πυραμίδες γὰρ ἴσα ### book 43.1 καὶ ὅμοια, ὁμοίως δὲ τεθῆναι οὐδαμῶς δυνάμεναι, ἀλλ’ ### book 43.2 ἀντιπεπονθότως. ὥστε δυνατὸν ἀπὸ τῆς δοθείσης εὐθείας ### book 43.3 ὁμολόγου καὶ ἴσης οὔσης μιᾷ τῶν τοῦ δοθέντος στερεοῦ ### book 43.20.1 πλευρῶν ἴσον καὶ ὅμοιον στερεὸν ἀναγράψαι, μὴ μέντοι ### book 43.20.2 ὁμοίως κείμενον· ἐὰν δὲ τοῦ δεξιοῦ τμήματος τῆς πυραμί‐ ### book 43.20.3 δος ἴσον καὶ ὅμοιον καὶ δεξιὸν ἄλλο εὑρεθείη, τοῦτο καὶ ### book 43.20.4 ὁμοίως κεῖσθαι δύναται. ### book 44.1 Ἀντιστρόφιον· τὰ ἴσα παραλληλεπίπεδα τὰ ἐπὶ ἴσων ### book 44.2 βάσεων ὄντα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἐστίν. ### book 45.1 Τοῦτό ἐστι τὸ τοῦ Πλάτωνος πρόβλημα, ἡνίκα τὸν ### book 45.2 ἐν Δήλῳ βωμὸν κύβον ὄντα προέκειτο διπλασιάσαι. ### book 46.1 Ἐπεὶ γὰρ τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων στερεὰ παραλληλ‐ ### book 46.2 επίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν, καὶ τὰ ### book 46.3 ἐπὶ ἴσων βάσεων τοιαῦτα σχήματα ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος εἰσίν, ### book 46.4 εἴ γε ἴσα εἰσίν. εἰ γὰρ ἴσα μέν εἰσι καὶ ἐπὶ ἴσων βάσεων, ### book 46.5.1 ὑπὸ δὲ τὸ αὐτὸ ὕψος οὐκ εἰσίν, αὐξηθέντος τοῦ ὕψους τοῦ ### book 46.5.2 παραλληλεπιπέδου τοῦ ἔχοντος τὸ ἔλαττον ὕψος καὶ ἴσου ### book 46.5.3 γεγονότος τῷ ὕψει τοῦ ἑτέρου παραλληλεπιπέδου καὶ ### book 46.5.4 συμπληρωθέντος τοῦ παραλληλεπιπέδου καὶ γεγονότος ### book 46.5.5 μείζονος τοῦ ἔχοντος τὸ ἔλαττον ὕψος ἔσονται τὰ παραλ‐ ### book 46.10.1 ληλεπίπεδα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ### book 46.10.2 ὕψος ἴσα ἀλλήλοις. ἀλλ’ ἔστι καὶ τὸ ἔχον ἔλαττον τὸ ὕψος ### book 46.10.3 κατὰ μὲν τὴν ὑπόθεσιν ἴσον τῷ προτέρῳ, κατὰ δὲ τὴν ### book 46.10.4 κατασκευὴν ἔλαττον τοῦ ἔχοντος τὴν αὐτὴν μὲν αὐτῷ ### book 46 βάσιν, τὸ δὲ ὕψος μεῖζον· ὅπερ ἄτοπον. ### book 47.1 Ἐδείχθη γὰρ ἡ ΘΚ κάθετος τῇ ΜΝ καθέτῳ ἴση, ### book 47.2 αἵτινες κάθετοι ἤχθησαν ἀπὸ τῶν ἐπισταθεισῶν μετ‐ ### book 47.3 εώρων εὐθειῶν τῶν ΑΗ, ΔΜ. ### book 48.1 Τὸ ἀπὸ τῆς μέσης, φησίν, οὐ μόνον ἰσόπλευρόν ἐστιν, ### book 48.2 ἀλλὰ καὶ ἰσογώνιον τῷ προειρημένῳ ἤτοι τῷ ἐκ τῶν ### book 48.3 τριῶν εὐθειῶν. ### book 49.1 Ἔστωσαν τρεῖς ἀριθμοὶ ἀνάλογον ἐν τριπλασίονι ### book 49.2 λόγῳ ὁ κζ θ γ. τὸ μὲν οὖν ἀπὸ τῆς μέσης στερεὸν παραλ‐ ### book 49.3 ληλεπίπεδον ἤτοι τοῦ θ πρὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιαζο‐ ### book 49.4 μένου καὶ ποιοῦντος τὸν πα, εἶτα αὐτοῦ πάλιν τοῦ θ ### book 49.5.1 πολλαπλασιαζομένου εἰς τὸν πα, ὁ ψκθ ἐστιν ἀριθμός. τὸ ### book 49.5.2 δὲ ἐκ τῶν τριῶν ἤγουν τοῦ κζ θ γ γίνεται οὕτως· τρὶς ἐν‐ ### book 49.5.3 νέα κζ· οὗτος οὖν ὁ κζ πολλαπλασιαζόμενος εἰς τὸν τρίτον ### book 49.5.4 τῶν ἐκκειμένων ὅρων τὸν κζ ἀποτελεῖ πάλιν τὸν ψκθ. ### book 50.1 ὥστε τὰ ΛΘ, ΕΚ p. 71, 15] ὕψος γάρ ἐστι πάντων ### book 50.2 σχημάτων ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ### book 50.3 ἀγομένη. ### book 51.1 Τὰ η μετὰ τῶν ιβ ποιεῖ ϙϛ, μετὰ δὲ τῶν β τοῦ ### book 51.2 ὕψους δηλαδὴ ρϙβ. πάλιν τὰ δ μετὰ τῶν ϛ ποιεῖ κδ, μετὰ ### book 51.1 δὲ τῶν α τοῦ ὕψους δηλαδὴ τὰ αὐτά. τὰ ιϛ μετὰ τῶν κδ [Omitted graphic marker] ### book 51.2 ποιεῖ τπδ καὶ τὰ δ τὸ ὕψος δηλαδὴ μετ’ αὐτῶν ͵αφλϛ. τὰ ### book 51.5.1 δὲ η μετὰ τῶν ιβ ϙϛ, μετὰ δὲ τῶν β τοῦ ὕψους ρϙβ. ὀκτα‐ ### book 51.5.2 πλάσιον δὲ τὸ στερεὸν τὰ ρϙβ τοῦ στερεοῦ τῶν κδ, ὀκτα‐ ### book 51.5.3 πλάσιον καὶ τὸ στερεὸν τὰ ͵αφλϛ τῶν ρϙβ. ### book 52 [Omitted graphic marker] τρία τέταρτα ### book 53.1 Κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΔΥΟ, καὶ γίνονται αἱ ### book 53.2 τρεῖς ταῖς τρισὶν ἴσαι. αἱ δὲ τρεῖς δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· καὶ ### book 53.3 αἱ τρεῖς δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι. ἐπ’ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΥ ### book 53.4 εὐθεῖα. ### book 54.1 Ἐν ἄλλῳ οὕτως· ἐὰν κύβου τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέ‐ ### book 54.2 δων αἱ πλευραὶ καὶ τὰ ἑξῆς. ### book 55 Ἓν πρίσμα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕΖ, ἕτερον δὲ τὸ ### book 55 ΘΚΛΜΝ. ### book 1.1 Καὶ τὸ ἀντιστρόφιον τούτου ζητητέον. τοῦτο δὲ καὶ ### book 1.2 τὸ ἑξῆς λημμάτιά ἐστι τῶν μελλόντων λέγεσθαι, ὁμοίως ### book 1.3 δὲ καὶ τὸ τρίτον εἰς τὸν περὶ πυραμίδων καὶ κώνων λόγον. ### book 2.1 Λῆμμα εἰς τὸ αʹ θεώρημα. ### book 2.2 Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον τῷ δοθέντι εἰς κύκλον πολυ‐ ### book 2.3 γώνῳ ὅμοιον πολύγωνον ἐγγράψαι. ἔστωσαν δύο κύκλοι, [Omitted graphic marker] ### book 2.4 ὧν κέντρα τὰ Ζ, Η, καὶ εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον πολύ‐ ### book 2.5.1 γωνον ἐγγεγράφθω τυχὸν τὸ ΑΒΓΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθω‐ ### book 2.5.2 σαν αἱ ΑΖ, ΒΖ, ΓΖ, ΔΖ, ΕΖ, καὶ διήχθω τις εἰς τὸν ### book 2.5.3 ἕτερον κύκλον ἀπὸ τοῦ Η κέντρου, ὡς ἔτυχεν, εὐθεῖα ἡ ### book 2.5.4 ΗΛ, καὶ τῇ μὲν ὑπὸ ΑΖΒ γωνίᾳ συνεστάτω ἴση ἡ ὑπὸ ### book 2 ΛΗΚ, τῇ δὲ ὑπὸ ΒΖΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΚΗΘ, τῇ δὲ ὑπὸ ### book 2.10.1 ΓΖΔ ἴση ἡ ὑπὸ ΘΗΝ, τῇ δὲ ὑπὸ ΔΖΕ ἴση ἡ ὑπὸ ΜΗΝ. ### book 2.10.2 λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΕ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΛΗΜ. καί ἐστιν ### book 2.10.3 ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως ἡ ΛΗ πρὸς τὴν ΗΚ. ### book 2.10.4 ὅμοια ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΖΒ, ΛΗΚ τρίγωνα, ὡς δέδεικται ἐν ### book 2.10.5 τῷ ἕκτῳ θεωρήματι τοῦ ϛʹ στοιχείου. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ἐκ ### book 2.15.1 τοῦ κέντρου πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς ### book 2.15.2 τὴν ΚΛ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ΒΓ, ### book 2.15.3 ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ πρὸς ἑκάστην τῶν ΚΘ, ΘΝ, ΝΜ, ΜΛ ### book 2.15.4 τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. καί εἰσιν ἴσαι αἱ γωνίαι τῶν πολυ‐ ### book 2.15.5 γώνων, ἐπειδήπερ καὶ αἱ τῶν τριγώνων ἴσαι εἰσίν. τὰ ### book 2.20.1 ἄρα ΑΒΓΔΕ, ΘΚΛΜΝ πολύγωνα ἴσας ἔχει τὰς γω‐ ### book 2.20.2 νίας κατὰ μίαν καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλο‐ ### book 2.20.3 γον. ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον τῷ ΘΚΛΜΝ ### book 2.20.4 πολυγώνῳ. εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον τὸν ΘΚΛΜΝ ### book 2.20.5 τῷ ΑΒΓΔΕ ὅμοιον πολύγωνον ἐγγέγραπται· ὅπερ ἔδει ### book 2.25 ποιῆσαι. ### book 3.1 ἀλλ’ ἡ μὲν ὑπὸ p. 79, 7] αἱ γὰρ ἐπὶ τῆς αὐτῆς περι‐ ### book 3.2 φερείας βεβηκυῖαι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν καὶ ἐν τῷ ### book 3.3 αὐτῷ τμήματι διὰ τὸ καʹ τοῦ γʹ. ### book 4.1 ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ p. 79, 10] πᾶσαι γὰρ αἱ ἐν ἡμι‐ ### book 4.2 κυκλίῳ γωνίαι ὀρθαί εἰσιν. ### book 5.1 Ἔστω χάριν τοῦ σαφοῦς τὸ περιγραφὲν τετράγωνον ### book 5.2 ὀκτάπουν, ὁ δὲ περιεχόμενος ὑπ’ αὐτοῦ κύκλος ἑξάπους, ### book 5.1 τὸ δὲ ἐγγεγραμμένον ἐν τῷ ἑξάποδι κύκλῳ τετράγωνον ### book 5.2 ἔστω τετράπουν. τὸ δὴ τετράπουν μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ ### book 5.5.1 τοῦ ἑξάποδος· τρίπουν γὰρ τὸ τοῦ ἑξάποδος ἥμισυ. ὅτι δὲ ### book 5.5.2 τὸ περιγεγραμμένον τετράγωνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἐγ‐ ### book 5.5.3 γραφομένου τετραγώνου, δέδεικται ἐν τῷ μαʹ θεωρήματι ### book 5.5.4 τοῦ αʹ βιβλίου· τὸ γὰρ ΕΖΘ τρίγωνον, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἥμισυ ### book 5.5.5 τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου, ἥμισυ δείκνυται ἐν ἐκείνοις τοῦ ### book 5.10.1 ἡμίσεος τοῦ περιγραφομένου τετραγώνου· ὁμοίως καὶ τὸ ### book 5.10.2 λοιπὸν τὸ ΖΗΘ τρίγωνον ἥμισυ τοῦ λοιποῦ. ὥστε καὶ τὸ ### book 5.10.3 ὅλον ἥμισυ τοῦ ὅλου. ### book 6.1 Ἔστω τὸ Σ χωρίον ποδῶν ἢ πήχεων ἢ ἄλλων τινῶν ιη, ### book 6.2 ὁ δὲ ΑΒΓΔ κύκλος τοιούτων κδ· ὑποεπίτριτος ἄρα ἐστὶν ### book 6.3 ὁ ιη τοῦ κδ. ἔστω πάλιν ὁ ΕΖΗΘ κύκλος ϛ, οἵων ἦν κδ ### book 6.4 μὲν ὁ ΑΒΓΔ, ι δὲ καὶ η τὸ Σ χωρίον, ἔστω ὁ μὲν κύκλος ### book 6.5.1 τοιούτων ϛ, τὸ δὲ Τ χωρίον η. ἔστι δὲ ἡγούμενον μὲν τὸ Σ ### book 6.5.2 χωρίον, ἑπόμενον δὲ τῷ Σ χωρίῳ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος· ### book 6.5.3 ὁμοίως ἡγούμενον μὲν ὁ ΕΖΗΘ κύκλος, ἑπόμενον δὲ τὸ ### book 6.5.4 Τ χωρίον. τούτων οὕτως ἐχόντων δῆλον τὸ συναγόμενον· ### book 6.5.5 πλὴν ἐκεῖνο σκεπτέον καὶ ἐπὶ τῶν ἀριθμῶν, ὅπερ γεω‐ ### book 6.10.1 μετρικῶς συνῆκται, ὅτι ὡς τὸ Σ χωρίον τὰ ιη πρὸς τὸν ### book 6.10.2 ΑΒΓΔ τὰ κδ, οὕτως ὁ ΕΖΗΘ κύκλος τὰ ϛ πρὸς τὸ ### book 6.10.3 χωρίον τὸ Τ τὰ η· ὅ τε γὰρ ιη τοῦ κδ ὑπεπίτριτος καὶ ὁ ϛ ### book 6.10.4 τοῦ η. ### book 7.1 Τὸ τοιοῦτον πολύγωνον καθ’ ἑαυτὸ δεῖ νοεῖν δίχα ### book 7.2 τῶν περιφερειῶν τῶν ΕΚ, ΚΖ, ΖΛ, ΛΗ, ΗΜ, ΜΘ, ### book 7.3 ΘΝ, ΝΕ, ὀνομάζεται δὲ ἑκάστη εὐθεῖα καὶ περιφέρεια ### book 7.4 διὰ τῶν αὐτῶν στοιχείων· ΕΚ λέγεται καὶ ἡ εὐθεῖα καὶ ### book 7.5 ἡ περιφέρεια καὶ αἱ λοιπαὶ ὁμοίως. ### book 8.1 Λῆμμα εἰς τὸ βʹ θεώρημα. ### book 8.2 [Omitted graphic marker] Ἐγγεγράφθω, φησίν, εἰς τὸν ### book 8.3 ΓΔ κύκλον τετράγωνον τὸ ΓΗ ### book 8.4 ΔΖ. τὸ ἄρα ΓΗΔΖ τετράγω‐ ### book 8.5.1 νον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ### book 8.5.2 ΓΔ κύκλου. ἔστω κύκλος ὁ ΓΔ ### book 8.5.3 καὶ ἐν αὐτῷ τετράγωνον ἐγγε‐ ### book 8.5.4 γράφθω τὸ ΗΓΖΔ. δεῖξαι, ὅτι ### book 8.5.5 μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΓΖΔ τετρά‐ ### book 8.10.1 γωνον τοῦ ἡμίσους τοῦ κύκλου, τουτέστι τοῦ ἡμικυ‐ ### book 8.10.2 κλίου. περιγεγράφθω γὰρ περὶ τὸν ΓΗΔΖ κύκλον ### book 8.10.3 τετράγωνον τὸ ΘΚΛΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΔ. ἐπεὶ οὖν ### book 8.10.4 τὸ ΓΖΔ τρίγωνον ἥμισύ ἐστι τοῦ ΘΓΔΜ παραλληλο‐ ### book 8.10.5 γράμμου, ἀλλὰ τὸ ΘΔ μεῖζόν ἐστι τοῦ ΓΖΔ ἡμικυ‐ ### book 8.15.1 κλίου (περιέχει γὰρ αὐτό), καὶ τὸ ΓΖΔ ἄρα τρίγωνον ### book 8.15.2 μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ ΓΖΔ ἡμικυκλίου. ### book 8.15.3 ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ ΓΗΔ τρίγωνον μεῖζόν ### book 8.15.4 ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ ΓΗΔ ἡμικυκλίου. ὥστε καὶ ### book 8.15.5 ὅλον τὸ ΖΓΗΔ τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος ### book 8.20 τοῦ κύκλου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 9.1 Εἰς τὸ αὐτὸ θεώρημα. ### book 9.2 Ἔστω τμῆμα τὸ ΑΒΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒΓ περιφέρεια ### book 9.3 δίχα κατὰ τὸ Β σημεῖον, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Β τῆς ΑΒΓ ### book 9.4 περιφερείας ἐφαπτομένη ἡ ΒΔ. δεῖξαι, ὅτι ἡ ΒΔ παρ‐ ### book 9.5.1 άλληλός ἐστι τῇ ΓΑ. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ· καὶ [Omitted graphic marker] ### book 9.5.2 ἐπεὶ ἐφάπτεται μὲν ἡ ΒΔ, τέμνει δὲ ἡ ΒΑ, ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ### book 9.5.3 ΔΒΑ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τμήματι γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΑ. ἡ ### book 9.5.4 δὲ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἐστιν ἴση διὰ τὴν διχοτομίαν. ### book 9.5.5 ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΑ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ. καί εἰσιν ἐναλλάξ· ### book 9.10 παράλληλος ἄρα ἡ ΔΒ τῇ ΓΑ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 10.1 Εἰς τὸ αὐτό. ### book 10.2 Πόθεν, ὅτι ἡ ἐφαπτομένη παράλληλός ἐστι τῇ δια‐ ### book 10.3 μέτρῳ; καὶ λέγομεν, ὅτι· τετμήσθω ἡ ΖΕΘ περιφέρεια ### book 10.4 δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ διὰ τοῦ Ε ἤχθω ἐφαπτομένη ἡ ΚΛ, [Omitted graphic marker] ### book 10.5.1 καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύ‐ ### book 10.5.2 κλου καὶ ἔστω τὸ Ο, καὶ ἐπεζεύ‐ ### book 10.5.3 χθω ἡ ΟΕ. καὶ ἐπεὶ ἐπὶ τεταρ‐ ### book 10.5.4 τημορίου βέβηκεν, ἡ ὑπὸ ΖΟΕ ### book 10.5.5 γωνία ὀρθή ἐστιν. πάλιν ἐπεὶ ἀπὸ ### book 10.10.1 τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπ‐ ### book 10.10.2 έζευκται ἡ ΟΕ, ἡ ὑπὸ ΚΕΟ ### book 10.10.3 γωνία ὀρθή ἐστιν. καὶ ἐπεὶ εἰς ### book 10.10.4 δύο εὐθείας τὰς ΚΛ, ΖΘ εὐ‐ ### book 10.10.5 θεῖα ἐμπεσοῦσα ἡ ΟΕ τὰς ἐντὸς ### book 10.15.1 καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας ### book 10.15.2 τὰς ὑπὸ ΚΕΟ, ΖΟΕ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιεῖ, παράλληλός ### book 10.15.3 ἐστιν ἡ ΖΘ τῇ ΚΛ. ὁμοίως δὴ καὶ ἐὰν ἀπὸ τῶν Ζ, Η, Θ ### book 10.15.4 σημείων ἄγωμεν ἐφαπτομένας τὰς ΚΜ, ΜΝ, ΝΛ, παρ‐ ### book 10.15.5 άλληλοί εἰσι τῇ ΖΘ· αἱ δὲ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι ### book 10.20.1 καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι. παράλληλοι ἄρα εἰσὶν αἱ ### book 10.20.2 ΚΜ, ΜΝ, ΝΛ, ΛΚ. καὶ φανερόν, ὅτι καὶ συμπίπτουσιν. ### book 10.20.3 ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΕΖ. καὶ ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΚΕΖ, ΕΖΚ ἐλάτ‐ ### book 10.20.4 τονές εἰσι δύο ὀρθῶν, ἐκβαλλόμεναι ἄρα συμπεσοῦνται αἱ ### book 10 ΜΚ, ΛΚ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ ΚΛ, ΛΝ, ΝΜ, ΜΚ ### book 10.25.1 συμπίπτουσιν ἀλλήλαις. καὶ φανερόν, ὅτι καὶ τετράγωνόν ### book 10.25.2 ἐστιν. ἤχθω γὰρ διάμετρος ἡ ΕΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ### book 10.25.3 ΖΘ ἑκατέρᾳ τῶν ΚΛ, ΜΝ (ἀπεναντίον γάρ), ἀλλὰ καὶ ἡ ### book 10.25.4 ΕΗ ἑκατέρᾳ τῶν ΚΜ, ΛΝ ἐστιν ἴση, ἀλλὰ ἡ ΕΗ τῇ ΖΘ ### book 10.25.5 ἐστιν ἴση, καὶ αἱ ΚΛ, ΛΝ, ΝΜ, ΜΚ ἄρα ἴσαι εἰσὶν ἀλλή‐ ### book 10.30.1 λαις. τετράγωνον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΜΝΛ. διπλάσιον τὸ περι‐ ### book 10.30.2 γραφὲν τοῦ ἐγγραφέντος. καὶ πόθεν, ὅτι διπλάσιον τὸ ### book 10.30.3 περιγραφὲν τοῦ ἐγγραφέντος; ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγραμ‐ ### book 10.30.4 μον τὸ ΚΘ τοῦ ΖΘΕ τριγώνου (βάσιν τε γὰρ ἔχει τὴν ### book 10.30.5 αὐτὴν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις), διπλάσιον ἄρα ἐστὶ ### book 10.35.1 τὸ ΚΘ παραλληλόγραμμον τοῦ ΖΘΕ τριγώνου. διὰ τὰ ### book 10.35.2 αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΖΝ παραλληλόγραμμον τοῦ ΖΘΗ τριγώ‐ ### book 10.35.3 νου· ὅλον ἄρα τὸ ΚΝ τετράγωνον ὅλου τοῦ ΕΖΗΘ τετρα‐ ### book 10.35.4 γώνου διπλάσιόν ἐστι. ### book 11.1 Πόθεν δῆλον, ὅτι αἱ ὑπὸ ΚΕΖ, ΕΖΚ ἐλάττονές ### book 11.2 εἰσιν ὀρθῆς; ἐπεὶ ἡ ΟΕ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΚΕ ἐφαπτο‐ ### book 11.3 μένην, ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Ε γωνία. καὶ περιέχει τὴν ### book 11.4 ὑπὸ ΚΕΖ· ἐλάττων ἄρα αὕτη ὀρθῆς. διὰ τὸ αὐτὸ δὴ καὶ ### book 11.5.1 ἡ πρὸς τῷ Ζ ὀρθὴ οὖσα περιέχει τὴν ὑπὸ ΕΖΚ· ἐλάττων ### book 11.5.2 ἄρα καὶ αὕτη ὀρθῆς ἐστιν. καὶ ἄμφω ἄρα δύο ὀρθῶν ### book 11.5.3 ἐλάττονές εἰσιν. ### book 12 Εὐδόξου. ### book 13.1 ἤτοι πρὸς ἔλασσον p. 80, 11] τὸ Σ ἄρα ἢ ἴσον ### book 13.2 ἐστὶν ἢ ἄνισον τῷ κύκλῳ, καὶ εἰ ἄνισον, ἢ μεῖζόν ἐστι τοῦ ### book 13.3 ὑπὲρ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. ### book 14.1 ὥστε τὸ ΕΖΗΘ p. 81, 6. 7] ἐὰν γὰρ τὸ περιγρα‐ ### book 14.2 φόμενον τετράγωνον μεῖζον τοῦ κύκλου, ἥμισυ δὲ τοῦ ### book 14.1 περιγραφομένου τὸ ἐγγραφόμενον, μεῖζον ἄρα τὸ ἐγγρα‐ ### book 14.2 φόμενον τοῦ ἡμίσεος τοῦ κύκλου, ὅτι καὶ τὸ ἥμισυ τοῦ ### book 14.5.1 περιγραφομένου ἤτοι τὸ ἐγγραφόμενον μεῖζον τοῦ ἡμί‐ ### book 14.5.2 σεος τοῦ κύκλου. ἐὰν γὰρ τὸ ὅλον τοῦ ὅλου μεῖζον, καὶ τὸ ### book 14.5.3 ἥμισυ τοῦ ἡμίσεος. ### book 15.1 ἀλλὰ τὸ καθ’ ἑαυτὸ τμῆμα p. 81, 18] περιέχεται ### book 15.2 γὰρ τοῦ κύκλου τὰ τμήματα ὑπὸ τῶν παραλληλογράμμων. ### book 16.1 ἀλλ’ ὡς τὸ Σ χωρίον p. 83, 10. 11] τοῦτο εὐθὺς ### book 16.2 δείξει μετὰ τὸ συμπεράνασθαι τὸ πρόβλημα. ### book 17.1 παράλληλος ἄρα p. 85, 7] δέδεικται ἐν τῷ βʹ τοῦϛʹ ### book 17.2 βιβλίου θεωρήματι, ὅτι, ἐὰν τριγώνου παρὰ μίαν τῶν ### book 17.3 πλευρῶν ἀχθῇ τις εὐθεῖα, ἀνάλογον τεμεῖ τὰς τοῦ τριγώ‐ ### book 17.4 νου πλευράς, καὶ ἐὰν τοῦ τριγώνου αἱ πλευραὶ ἀνάλογον ### book 17.5.1 τμηθῶσιν, ἡ ἐπὶ τὰς τομὰς ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα παρὰ ### book 17.5.2 μίαν ἤτοι παράλληλος ἔσται μιᾷ τῶν τοῦ τριγώνου πλευ‐ ### book 17.5.3 ρῶν. ἐπειδὴ οὖν τριγώνου τοῦ ΑΒΔ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν ### book 17.5.4 εἰσιν (ὡς γὰρ ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ### book 17.5.5 ΘΔ· τέμνει δὲ αὐτὰς οὕτως ἡ ΕΘ), παράλληλος ἄρα ἐστὶ ### book 17.10.1 τῇ ΒΔ. πάλιν ἐπεὶ τὸ αὐτὸ τρίγωνον ἡ ΘΚ ἀνάλογον τέμνει, ### book 17.10.2 παράλληλός ἐστι τῇ ΑΒ. ### book 18.1 Ἐὰν γὰρ τριγώνου αἱ πλευραὶ ἀνάλογον τμηθῶσιν, ### book 18.2 ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα παράλληλός ἐστιν. ### book 19.1 καὶ γωνία ἡ ὑπὸ p. 85, 13] εἰς γὰρ παραλλήλους ### book 19.2 εὐθείας τὰς ΑΒ, ΘΚ καὶ εἰς αὐτὰς εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΑΔ, ### book 19.3 ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΚΘΔ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ### book 19.4 ΕΑΘ ἴση ἐστίν. ### book 20.1 ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΔΒ p. 86, 8] ἐπειδὴ ἐν τῷ ### book 20.2 δευτέρῳ θεωρήματι τοῦ ϛʹ βιβλίου λέγει· ἐὰν τριγώνου ### book 20.3 παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν ἀχθῇ τις εὐθεῖα, ἀνάλογον τεμεῖ ### book 20 τὰς τοῦ τριγώνου πλευράς, ἐν δὲ τῷ εʹ θεωρήματι τοῦ αὐ‐ ### book 20.5.1 τοῦ βιβλίου· ἐάν, φησίν, δύο τρίγωνα τὰς πλευρὰς ἀνάλο‐ ### book 20.5.2 γον ἔχῃ, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα. ### book 21.1 διπλάσιόν ἐστι τὸ ΕΒΖΗ p. 87, 9] δέδεικται ἐν ### book 21.2 τῷ μαʹ θεωρήματι τοῦ αʹ βιβλίου, ὅτι, ἐὰν παραλληλό‐ ### book 21.3 γραμμον χωρίον τριγώνῳ βάσιν τε τὴν αὐτὴν ἔχῃ καὶ ἐν ### book 21.4 ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ᾖ, διπλάσιον ἔσται τὸ παραλληλό‐ ### book 21.5.1 γραμμον τοῦ τριγώνου. καὶ ἐπεὶ ἔχει τὸ ΕΒΖΗ παραλ‐ ### book 21.5.2 ληλόγραμμον βάσιν τὴν ΒΖ, τὸ δὲ ΗΖΓ τρίγωνον τὴν ΖΓ, ### book 21.5.3 ἔστι δὲ ἡ ΖΓ ἴση τῇ ΒΖ, καὶ τὸ ΖΗΓ ἄρα τρίγωνον τὴν ### book 21.5.4 ΒΖ ἔχει βάσιν. διπλάσιον ἄρα τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ ### book 21.5.5 τριγώνου. ### book 22.1 Ἐὰν γὰρ τρίγωνον παραλληλογράμμῳ βάσιν ἴσην ἔχῃ, ### book 22.2 καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις, διπλάσιόν ἐστι τὸ παραλ‐ ### book 22.3 ληλόγραμμον τοῦ τριγώνου. ### book 23.1 παράλληλος ἄρα ἐστὶν p. 90, 1] ἐὰν γὰρ τριγώνου ### book 23.2 αἱ πλευραὶ ἀνάλογον τμηθῶσιν, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυ‐ ### book 23.3 μένη εὐθεῖα παράλληλός ἐστι διὰ τὸ βʹ τοῦ ϛʹ. ### book 24.1 ἔστιν ἄρα ὡς p. 90, 9] ἐὰν γὰρ τέσσαρες εὐθεῖαι ### book 24.2 ἀνάλογον ὦσι, καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ### book 24.3 ὁμοίως ἀναγεγραμμένα ἀνάλογόν εἰσι διὰ τὸ κβʹ τοῦ ϛʹ. ### book 25.1 ἀλλ’ ὡς τὸ ΛΞΓ p. 90, 13] τοῦτο γὰρ ἐφεξῆς δεί‐ ### book 25.2 κνυται. ### book 26.1 εἰς τοὺς αὐτοὺς λόγους p. 92, 4] ἐὰν γὰρ δύο εὐθεῖαι ### book 26.2 ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τέμνωνται, εἰς τοὺς αὐτοὺς ### book 26.3 λόγους τμηθήσονται διὰ τὸ ιζʹ τοῦ ιαʹ. ### book 27 Ἔστω λόγου ἕνεκεν τὸ Χ στερεόν τινων ϛ, ἡ δὲ ### book 27.1 ΔΕΖΘ τοιούτων ι καὶ δ, ὥστε ἡ ὑπεροχὴ τῆς πυραμίδος, ### book 27.2 ᾗ ὑπερέχει τοῦ στερεοῦ, ἔστιν ὀκτὼ τοιούτων, οἵων ἦν ### book 27.3 τὸ μὲν στερεὸν ϛ, ἡ δὲ πυραμὶς ιδ. ἔστωσαν δὲ αἱ πυρα‐ ### book 27.5.1 μίδες αἱ ἐλάττονες, ἥτις ὑπεροχὴ ἦν ὀκτώ, ἔστωσαν δὴ ### book 27.5.2 αἱ δύο ὁμοῦ πυραμίδες ϛ ἐλάττονες τῆς ὑπεροχῆς οὔσης ### book 27.5.3 ὀκτώ. ἐπεὶ οὖν ἡ ὅλη πυραμὶς δέκα καὶ τεσσάρων ἦν, ἀφ’ ### book 27.5.4 ὧν ιδ ἔλαβον αἱ δύο πυραμίδες τὰ ϛ, λείπεται ἄρα τὰ ### book 27.5.5 πρίσματα ἔχειν τὰ λοιπὰ ὀκτὼ μείζονα ὄντα τοῦ Χ στε‐ ### book 27.10.1 ρεοῦ· τὸ γὰρ Χ στερεὸν ϛ ἦν. ῥητέον δὲ περὶ αὐτοῦ καὶ ### book 27.10.2 οὕτως· ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς ἴση ἐστὶ τοῖς δυσὶ τῷ τε Χ ### book 27.10.3 στερεῷ καὶ τῇ ὑπεροχῇ· εἰ γὰρ προσθήσομεν τὴν ὑπεροχὴν ### book 27.10.4 τῷ Χ στερεῷ, ἴσον γενήσεται τὸ ἐξ ἀμφοῖν τῇ ΔΕΖΘ πυ‐ ### book 27.10.5 ραμίδι. καὶ ἐπεὶ ἡ ΔΕΖΘ πυραμὶς οὐδὲν ἄλλο ἐστὶν ἢ αἱ ### book 27.15.1 δύο πυραμίδες καὶ τὰ δύο πρίσματα (εἰς ταῦτα γὰρ διῃρέθη), ### book 27.15.2 εἰσὶ δὲ αἱ πυραμίδες ἐλάττους τῆς ὑπεροχῆς, μείζονα ἔσται ### book 27.15.3 τὰ πρίσματα τοῦ Χ στερεοῦ. ἐπεὶ γάρ, ὡς εἴρηται, τὸ Χ ### book 27.15.4 στερεὸν μετὰ τῆς ὑπεροχῆς ἴσα ἐστὶ τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι, ### book 27.15.5 ἀφῃρέθησαν δὲ ἀπ’ αὐτῆς, λέγω δὴ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος, ### book 27.20.1 αἱ δύο πυραμίδες, εἰ μὲν ἦσαν αἱ ἀφαιρεθεῖσαι αὗται δύο ### book 27.20.2 πυραμίδες ἴσαι τῇ ὑπεροχῇ, ἐλείπετο καὶ τὰ δύο πρίσματα ### book 27.20.3 ἴσα εἶναι τῷ Χ στερεῷ, ἐπεὶ δὲ ἐλάττους εἰσὶν αἱ πυρα‐ ### book 27.20.4 μίδες τῆς ὑπεροχῆς, ἔστι τι τῆς ὑπεροχῆς ἐν τοῖς πρίσμα‐ ### book 27.20.5 σιν· τεσσάρων γὰρ ὄντων μεγεθῶν, δύο μὲν τοῦ τε Χ ### book 27.25.1 στερεοῦ καὶ τῆς ὑπεροχῆς, δύο δὲ τῶν δύο πυραμίδων ὡς ### book 27.25.2 ἑνὸς μεγέθους νοουμένων καὶ τῶν δύο πρισμάτων ὡς ἑνὸς ### book 27.25.3 καὶ αὐτῶν νοουμένων, καὶ ἴσων ὄντων τοῦ Χ στερεοῦ καὶ ### book 27.25.4 τῆς ὑπεροχῆς ταῖς δυσὶ πυραμίσι καὶ τοῖς δυσὶ πρίσμασιν, ### book 27.25.5 ἐὰν ἦν ἡ ὑπεροχὴ ἴση ταῖς δυσὶ πυραμίσιν, λοιπὰ ἄρα τὰ ### book 27.30.1 δύο πρίσματα λοιπῷ τῷ Χ στερεῷ ἦσαν ἂν ἴσα· ἀπὸ γὰρ ### book 27.30.2 ἴσων ἴσα ἂν ἀφαιρεθῇ, τὰ λοιπὰ ἴσα ἐστίν. ἐπεὶ δὲ αἱ ### book 27.30.3 δύο πυραμίδες ἐλάττους εἰσὶ τῆς ὑπεροχῆς, τὰ δύο πρίσ‐ ### book 27.30.4 ματά εἰσι τό τε Χ στερεὸν καὶ τὸ λοιπὸν τῆς ὑπεροχῆς, ὃ ### book 27 καταλελοίπασιν αἱ πυραμίδες· οὐ γὰρ ἅπασαν, ὡς εἴρηται, ### book 27.35.1 τὴν ὑπεροχὴν ἔχουσιν ἢ μᾶλλον οὐ πᾶσα ἡ ὑπεροχή εἰσιν, ### book 27.35.2 ἀλλά τι τῆς ὑπεροχῆς. ### book 28.1 ὡς ἔμπροσθεν ἐδείχθη· p. 94, 28] ἐδείχθη κατὰ ### book 28.2 τὸ τέλος τοῦ βʹ θεωρήματος διὰ τοῦ λήμματος. ### book 29.1 ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΑΓΔ p. 96, 1. 2] ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ### book 29.2 ὕψος· αἱ δὲ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος οὖσαι πυραμίδες πρὸς ἀλλή‐ ### book 29.3 λας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις. ### book 30.1 καὶ δι’ ἴσου ἄρα p. 97, 2] τρία μεγέθη ἐπίπεδα τὰ ### book 30.2 ΑΒΓΔΕ, ΑΔΕ, ΖΗΘ καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τῷ πλήθει ### book 30.3 στερεὰ πρίσματα τρία τὰ ΑΒΓΔΕΜ, ΑΔΕΜ, ΖΗΘΝ ### book 30.4 σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ. ### book 31.1 καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα p. 97, 20] αἱ γὰρ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ### book 31.2 ὕψος οὖσαι πυραμίδες πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις· ### book 31.3 ἴσαι δὲ αἱ βάσεις· ἴσαι ἄρα καὶ αἱ πυραμίδες. ### book 32.1 Καὶ ὡς ἡ ὅλη βάσις πρὸς ἕκαστον τρίγωνον, οὕτως ### book 32.2 ὅλη ἡ πυραμὶς πρὸς ἑκάστην πυραμίδα καὶ ὅλον τὸ πρίσμα ### book 32.3 πρὸς ἕκαστον πρίσμα· ὡς γὰρ τὸ τρίγωνον πρὸς τὸ τρίγω‐ ### book 32.4 νον, ἡ πυραμὶς πρὸς τὴν πυραμίδα. καὶ συνθέντι καὶ πάλιν ### book 32.5.1 συνθέντι ὡς ὅλη ἡ βάσις πρὸς τὸ ἓν τρίγωνον, οὕτως ὅλη ### book 32.5.2 ἡ πυραμὶς πρὸς τὴν μίαν πυραμίδα. πάλιν ὡς ἡ τρίγωνον ### book 32.5.3 ἔχουσα βάσιν πυραμὶς πρὸς τὴν τρίγωνον βάσιν ἔχουσαν ### book 32.5.4 πυραμίδα, οὕτως τὸ πρίσμα πρὸς τὸ πρίσμα διὰ ιεʹ τοῦ εʹ. ### book 32.5.5 καὶ συνθέντι καὶ πάλιν συνθέντι καὶ ὡς ὅλη ἡ πυραμὶς πρὸς ### book 32.10.1 τὴν μίαν πυραμίδα, οὕτως ὅλον τὸ πρίσμα πρὸς ἓν τῶν πρισ‐ ### book 32.10.2 μάτων. ἔστι δὲ καὶ ὡς τὸ πολύγωνον ἡ βάσις πρὸς τὸ ### book 32.1 τρίγωνον, οὕτως ὅλη ἡ πυραμὶς πρὸς μίαν τῶν πυραμίδων ### book 32.2 καὶ διὰ ιαʹ τοῦ εʹ καὶ ὅλον τὸ πρίσμα πρὸς ἓν τῶν πρισ‐ ### book 32.3 μάτων. πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἑκάστη τῶν πυραμίδων πρὸς ### book 32.15.1 ἕκαστον τῶν πρισμάτων ἀνάλογον, διὰ ιβʹ τοῦ εʹ καὶ ὡς ### book 32.15.2 ἡ μία πυραμὶς πρὸς ἓν τῶν πρισμάτων, οὕτως ἅπαντα τὰ ### book 32.15.3 ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα, τουτέστιν οὕτως ἡ ### book 32.15.4 πολύγωνον βάσιν ἔχουσα πυραμὶς πρὸς τὸ πολύγωνον βά‐ ### book 32.15.5 σιν ἔχον πρίσμα. τρίτον μέσης καὶ διὰ αʹ τοῦ εʹ. ὁμοίως ἢ ### book 32.20.1 ὡς ἡ πολύγωνον βάσιν ἔχουσα πυραμὶς πρὸς τὴν πολύ‐ ### book 32.20.2 γωνον βάσιν ἔχουσαν πυραμίδα, οὕτως ἡ πολύγωνος βά‐ ### book 32.20.3 σις πρὸς τὴν πολύγωνον βάσιν διὰ ϛʹ τοῦ ιβʹ. πολύγωνον ### book 32.20.4 δεῖ βάσιν νοεῖν οὐ μόνον τὴν πεντάγωνον, ἀλλὰ καὶ τρίγω‐ ### book 32.20.5 νον καὶ τετράγωνον καὶ ἑξῆς. ### book 33.1 Ἐπειδὴ καὶ αἱ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις πυραμίδες ### book 33.2 αἱ ἐκ τῶν πολυγώνων πυραμίδων διαιρεθεῖσαι ὅμοιοί ### book 33.3 εἰσιν ἀλλήλαις, διὰ ιεʹ τοῦ εʹ προβαίνει ἢ διὰ τοῦ εʹ. ### book 34.1 ἀλλ’ ὡς ἡ ΒΜ βάσις p. 103, 3] ἕκαστον ἥμισύ ἐστι ### book 34.2 τοῦ καθ’ ἑαυτὸ παραλληλογράμμου. ### book 35.1 ἀλλὰ τὸ μὲν τοῦ ΕΘΠΟ p. 103, 7] ἰσουψεῖς γάρ ### book 35.2 εἰσιν. ### book 36.1 ἀλλ’ ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις p. 103, 22] ἕκαστον γὰρ δι‐ ### book 36.2 πλάσιόν ἐστι τοῦ κατ’ αὐτὸ παραλληλογράμμου. ### book 37.1 ἀλλὰ τὸ μὲν τῆς ΔΕΖΘ p. 103, 26] πάλιν γὰρ ### book 37.2 ἰσουψεῖς. ### book 38 Εὐδόξου. ### book 39.1 Εἰ γὰρ τὸ πρίσμα, οὗ βάσις τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ ### book 39.2 πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ, μεῖζόν ἐστιν ἢ τρι‐ ### book 39.3 πλάσιον τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, ### book 39.4 ὕψος δὲ ἴσον, ἀλλὰ τὸ πρίσμα, οὗ βάσις τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ ### book 39.5.1 πολύγωνον, ὕψος δὲ ἴσον τῷ κώνῳ, τριπλάσιόν ἐστι πυρα‐ ### book 39.5.2 μίδος τῆς τὴν αὐτὴν βάσιν ἐχούσης τῷ πρίσματι· τοῦτο ### book 39.5.3 γὰρ δέδεικται ἐν τῷ ζʹ θεωρήματι τοῦ αὐτοῦ βιβλίου· καὶ ### book 39.5.4 ἡ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, ### book 39.5.5 ὕψος δὲ ἴσον τῷ κώνῳ, μεῖζόν ἐστι τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ### book 39.10.1 ἔχοντος τὸν ΑΒΓΔ κύκλον καὶ ὕψος τὸ αὐτό· ὅπερ ἐστὶν ### book 39.10.2 ἀδύνατον· περιέχεται γὰρ ὑπὸ τοῦ κώνου. ### book 40.1 Ἐπειδὴ τὸ ἀνασταθὲν πρίσμα ἀπὸ τοῦ περιγραφέντος ### book 40.2 τετραγώνου περὶ τὸν κύκλον διπλοῦν ἐστι τοῦ πρίσματος ### book 40.3 τοῦ ἀνασταθέντος ἀπὸ τοῦ ἐγγραφέντος τετραγώνου ἐν τῷ ### book 40.4 κύκλῳ, ἔστι δὲ ὁ κύλινδρος μεταξὺ τῶν τοιούτων δύο πρισ‐ ### book 40.5.1 μάτων, ἔστι δέ, ὡς εἴρηται, τὸ πρίσμα τὸ ἀνασταθὲν ἀπὸ ### book 40.5.2 τοῦ τετραγώνου τοῦ ἐγγραφέντος ἐν τῷ κύκλῳ ἥμισυ τοῦ ### book 40.5.3 λοιποῦ πρίσματος, οὐκ ἂν εἴη καὶ τοῦ κυλίνδρου ἥμισυ, ὃς ### book 40.5.4 κύλινδρος ἐλάττων ἐστὶ τοῦ πρίσματος ὡς περιεχόμενος. ### book 40.5.5 εἰ γάρ ἐστι καὶ τοῦ κυλίνδρου ἥμισυ καὶ τοῦ πρίσματος, ### book 40.10.1 εἴη ἂν καὶ ὁ κύλινδρος τῷ πρίσματι ἴσος. ἔστωσαν δὲ χάριν ### book 40.10.2 τοῦ σαφοῦς δύο πρίσματα, τὸ μὲν ἓν ποδῶν ι καὶ ϛ, τὸ ### book 40.10.3 δὲ λοιπὸν η, καὶ μέσον αὐτῶν ὁ κύλινδρος ποδῶν ι καὶ β· ### book 40.10.4 δῆλον, ὅτι τὸ ὀκτάπουν πρίσμα μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμίσεος ### book 40.10.5 τοῦ κυλίνδρου· τὸ γὰρ ἥμισυ τοῦ κυλίνδρου ἑξάπουν ἐστίν. ### book 41.1 Ὥσπερ ἀπὸ τοῦ ἐγγεγραμμένου τετραγώνου πρίσμα ### book 41.2 ἀνιστᾷ, οὕτως καὶ ἀπὸ τοῦ περιγραφομένου πρίσμα ἀνιστᾷ ### book 41.3 καὶ οὐκ ἄλλο τι τῶν στερεῶν. ### book 42 Ἔστω ὁ κύλινδρος ἡ ΑΒ εὐθεῖα καὶ ἔστω ποδῶν ### book 42.1 δέκα καὶ τεσσάρων, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Γ ση‐ ### book 42.2 μεῖον, καὶ ἔστω ἡ ΒΓ ὁ κῶνος, ὁ δὲ κῶνος ἔστω ποδῶν δ. ### book 42.3 δῆλον δή, ὅτι ὁ τεσσαρεσκαιδεκάπους κύλινδρος τοῦ τετρά‐ ### book 42.5.1 ποδος κώνου μείζων ἐστὶν ἢ τριπλάσιος· ὁ γὰρ τριπλάσιος ### book 42.5.2 τοῦ τέσσαρες ὁ δώδεκά ἐστι. τετμήσθω δὴ πάλιν ἡ ΑΒ [Omitted graphic marker] ### book 42.5.3 ὁ κύλινδρος δίχα κατὰ τὸ Δ· αἱ ΑΔ, ΔΒ ἄρα ἴσαι οὖσαι ### book 42.5.4 ἑπτάποδές εἰσι. πάλιν τετμήσθω ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Ε. καὶ ### book 42.5.5 ἐπεὶ ἡ ΒΔ τὸ ἥμισυ τοῦ κυλίνδρου ἐστί, μείζων δὲ τῆς ### book 42.10.1 ΒΔ ἡ ΒΕ, ἡ ἄρα ΒΕ μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κυλίν‐ ### book 42.10.2 δρου, τουτέστιν ἡ ΒΕ μείζων ἐστὶ τοῦ ἡμίσεος μέρους τοῦ ### book 42.10.3 κυλίνδρου. καὶ ἔστω ἡ ΒΕ ποδῶν ι, ἥτις δεκάπους νενοή‐ ### book 42.10.4 σθω τὸ πρίσμα τὸ ἀνασταθὲν ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώ‐ ### book 42.10.5 νου. ἔστιν οὖν ἡ ΒΑ ὁ κύλινδρος, ἡ ΒΕ πρίσμα, ἡ δὲ ΓΒ ### book 42.15.1 ὁ κῶνος ιδ. ι. δ. ### book 42.15.2 Πάλιν τετμήσθω ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἔστω ἡ ΑΒ ### book 42.15.3 εὐθεῖα ἐλάττων τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ κύλινδρος τοῦ ### book 42.15.4 τριπλασίου τοῦ κώνου, καὶ ἔστω αὕτη ἡ ΖΑ τὰ ἀποτμή‐ ### book 42.15.5 ματα τοῦ κυλίνδρου. καὶ ἐπεὶ ὁ κῶνος ποδῶν ὑπόκειται δ, ### book 42.20.1 τριπλασία δὲ τῆς τετράποδος ἡ δωδεκάπους ἐστίν, ἔστι ### book 42.20.2 δὲ ὁ κύλινδρος τεσσαρεσκαιδεκάπους, δῆλον, ὅτι ἡ ὑπεροχὴ ### book 42.20.3 τοῦ κυλίνδρου, ᾗ ὑπερέχει τοῦ τριπλασίου τοῦ κώνου, δί‐ ### book 42.20.4 πους ἐστίν. ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπεροχὴ δίπους ἐστίν, ἔστω ἡ ἐλάτ‐ ### book 42.20.5 των αὐτῆς τῆς ὑπεροχῆς, ἥτις ἐλάττων ἡ ΖΑ ἦν, ἔστω ### book 42.25.1 ἡ ΖΑ ποδιαία. ἡ ΕΖ ἄρα τρίπους ἐστί· τῆς γὰρ ΒΕ, ἥτις ### book 42.25.2 ἦν μείζων τοῦ ἡμίσεος τῆς ΑΒ, τῆς δὴ ΒΕ δεκάποδος ### book 42.25.3 οὔσης λείπεται τὴν ΕΑ τετράποδα εἶναι· ὥστε ἐπεὶ ἡ ΖΑ ### book 42.25.4 ποδιαία ἐστίν, ἡ ΖΕ ἄρα τρίπους ἐστί. δέκα δὴ ποδῶν ### book 42.25.5 οὔσης τῆς ΒΕ, τριῶν δὲ τῆς ΕΖ, ἡ ΒΖ ἄρα τριῶν καὶ δέκα ### book 42.30.1 ποδῶν ἐστιν, ἥτις τρισκαιδεκάπους τὸ ὅλον πρίσμα ἐστὶ ### book 42.30.2 τὸ συγκείμενον ἐκ τῶν πρισμάτων τῶν ἀνασταθέντων ἀπό ### book 42.30.3 τε τοῦ τετραγώνου τοῦ ΑΒΓΔ καὶ τῶν τριγώνων τῶν ### book 42.30.4 ΑΕΒ, ΓΗΔ, ΔΘΑ. ἡ ΒΖ ἄρα ἤτοι τὸ τρισκαιδεκάπουν ### book 42.30.5 πρίσμα μεῖζόν ἐστι τοῦ τριπλασίου τοῦ κώνου· δωδεκά‐ ### book 42.35.1 πουν γάρ ἐστι τὸ τριπλάσιον τοῦ κώνου. συνετέλεσε δὲ ### book 42.35.2 ἡμῖν τὸ λαμβάνειν τὰ μείζονα τῶν ἡμισέων εἰς τὸ λαβεῖν ### book 42.35.3 τὸ ἔλαττον τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερεῖχεν ὁ κύλινδρος τοῦ τρι‐ ### book 42.35.4 πλασίου τοῦ κώνου· ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΕ μείζων ἐστὶ τοῦ ἡμί‐ ### book 42.35.5 σεος τῆς ΑΒ, πάλιν, ἂν τῆς ΕΑ λάβω μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ, ### book 42.40.1 φθάσοιμι ἄν ποτε εἴς τι μέρος τῆς ΑΒ, ὁποῖόν ἐστιν ἐν‐ ### book 42.40.2 ταῦθα τὸ ΖΑ, ἔλαττον ὂν τῆς εἰρημένης ὑπεροχῆς. καὶ ### book 42.40.3 ἐπεὶ τὸ πρίσμα μεῖζόν ἐστιν ἢ τριπλάσιον τοῦ κώνου, ### book 42.40.4 τριπλάσιον δὲ τῆς πυραμίδος, ἡ πυραμὶς μείζων ἐστὶ τοῦ ### book 42.40.5 κώνου. ἔστω τὸ πρίσμα δωδεκάπουν, ἡ πυραμὶς τετρά‐ ### book 42.45.1 πους, ὁ κῶνος τρίπους· καί ἐστι τὸ δωδεκάπουν τοῦ μὲν ### book 42.45.2 τετράποδος τριπλάσιον, τοῦ δὲ τρίποδος μεῖζον ἢ τρι‐ ### book 42.45.3 πλάσιον, καὶ τὸ τετράπουν τοῦ τρίποδος μεῖζον. ### book 43.1 Νενοήσθω ἡ ΑΒ εὐθεῖα ὁ κύλινδρος καὶ ἔστω πο‐ ### book 43.2 δῶν εἴκοσι καὶ τεσσάρων, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ, καὶ ### book 43.3 νενοήσθω ἡ ΒΓ ὁ κῶνος καὶ ἔστω ποδῶν δέκα. ἡ δεκά‐ ### book 43.4 πους δὲ μείζων ἐστὶ τῆς ὀκτάποδος, ἥτις ὀκτάπους τρίτον [Omitted graphic marker] ### book 43.5.1 ἐστὶ τῆς εἴκοσι καὶ τεσσάρων οὔσης ποδῶν. εἴκοσι τεσσά‐ ### book 43.5.2 ρων δὴ οὔσης ποδῶν τῆς ΑΒ, δέκα δὲ τῆς ΒΓ, ἥτις ἐστὶν ### book 43.5.3 ὁ κῶνος, ὁ κῶνος ἄρα μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κυλίν‐ ### book 43.5.4 δρου, ὅς ἐστιν ἡ ΑΒ. τετμήσθω δὴ καὶ ἡ ΒΓ ὁ κῶνος ἡ ### book 43.5.5 δεκάπους κατὰ τὸ Δ, καὶ ἔστω ἡ ΒΔ ἑπτάπους μείζων ἢ ### book 43.10 τὸ ἥμισυ τῆς δεκάποδος, ἥτις ἑπτάπους νενοήσθω ἡ ### book 43.1 ἀνασταθεῖσα πυραμὶς ἀπὸ τοῦ ἐγγραφέντος ἐν τῷ κύκλῳ ### book 43.2 τετραγώνου. λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΔ τρίπους ἐστίν· ἐπεὶ γὰρ ἡ ### book 43.3 ΒΓ δεκάπους ἐστί, κεῖται δὲ ἡ ΒΔ ἑπτάπους, ἡ ΔΓ τρί‐ ### book 43.4 πους ἐστί. τετμήσθω καὶ ἡ ΔΓ ἡ τρίπους κατὰ τὸ Ε, καὶ ### book 43.15.1 ἔστω ἡ ΔΕ μείζων ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ΔΓ τρίποδος, καὶ ### book 43.15.2 ἔστω ἡ ΔΕ δίπους μείζων τοῦ ἡμίσεος τῆς τρίποδος· ἡ ### book 43.15.3 ΕΓ ἄρα ποδός ἐστιν ἑνὸς ἐλάττων οὖσα τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ### book 43.15.4 ὑπερέχει ὁ κῶνος τοῦ τρίτου μέρους τοῦ κυλίνδρου· ὑπερ‐ ### book 43.15.5 έχει δὲ πόδας δύο. ἡ δὲ ΓΕ οὐδέν ἐστιν ἄλλο ἢ τὰ τοῦ ### book 43.20.1 κώνου ἀποτμήματα. ὥστε ἐπεὶ ἡ ΓΕ τὰ ἀποτμήματά ἐστι ### book 43.20.2 τοῦ κώνου, ἡ ΕΒ ἡ ὅλη ἐστὶ πυραμὶς ἡ ἔχουσα βάσιν τὸ ### book 43.20.3 πολύγωνον, ἥτις πυραμίς ἐστιν ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ΒΔ ### book 43.20.4 τῆς ἀνασταθείσης ἀπὸ τοῦ ἐγγραφέντος ἐν τῷ κύκλῳ τετρα‐ ### book 43.20.5 γώνου καὶ ἀπὸ τῶν πυραμίδων τῶν ἀνασταθεισῶν ἀπὸ τῶν ### book 43.25.1 ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων. ἐπεὶ οὖν ἡ ΒΓ ### book 43.25.2 δεκάπους ἐστίν, ἡ δὲ ΓΕ ποδιαία, ἡ ΒΕ ἡ ὅλη πυραμὶς ### book 43.25.3 ἐννεάπους ἐστὶν μείζων οὖσα τῆς ὀκτάποδος τῆς οὔσης ### book 43.25.4 τρίτου τῆς εἰκοσιτεσσαράποδος. μᾶλλον δὲ ῥητέον συντό‐ ### book 43.25.5 μως οὕτως· ἐπειδὴ ἡ πυραμὶς τοῦ μὲν πρίσματος τρίτον ### book 43.30.1 ἐστὶ μέρος, τοῦ δὲ κυλίνδρου μείζων ἢ τὸ τρίτον μέρος, τὸ ### book 43.30.2 πρίσμα μεῖζόν ἐστι τοῦ κυλίνδρου· εἰ γὰρ τὸ αὐτὸ καὶ ἓν ### book 43.30.3 δύο τινῶν τοῦ μὲν ἑνός ἐστι τρίτον μέρος, τοῦ δὲ λοιποῦ ### book 43.30.4 οὐ τρίτον, ἀλλὰ μεῖζον τοῦ τρίτου, τὸ ἓν τῶν δύο τὸ ἔχον ### book 43.30.5 πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν τριπλασίονα λόγον μεῖζόν ἐστι τοῦ μὴ ### book 43.35.1 ἔχοντος τριπλασίονα λόγον, ἀλλ’ ἥττονα. ἔστω οὖν ἐπὶ ### book 43.35.2 ἀριθμῶν τὸ λεγόμενον δῆλον· ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ ὁ θ ### book 43.35.3 καὶ ὁ ϛ καὶ ἄλλος τις ἡ γ. ἡ δὴ γ τοῦ μὲν θ τρίτον ἐστὶ μέ‐ ### book 43.35.4 ρος, τοῦ δὲ ϛ μείζων ἢ τρίτον, καί ἐστιν ὁ θ ὁ τὸν τρι‐ ### book 43.35.5 πλασίονα λόγον ἔχων πρὸς τὸν γ μείζων τοῦ ϛ, ὃς ἓξ οὐκ ### book 43.40.1 ἔχει πρὸς τὸν γ τριπλασίονα λόγον, ἀλλ’ ἥττονα. ἔστωσαν ### book 43.40.2 πάλιν ὁ ιε, ὁ ιβ καὶ ὁ πέντε. ὁ ε τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ ιε, ### book 43.40.3 μείζων δὲ ἢ τὸ τρίτον τοῦ ιβ, καί ἐστιν ὁ ιε μείζων τοῦ ### book 43.40.4 ιβ. νενοήσθω δὴ ὁ μὲν ιε τὸ πρίσμα, ὁ δὲ ιβ ὁ κύλινδρος, ### book 43 ὁ δὲ ε ἡ πυραμίς. ### book 44.1 τὸ δὴ ΑΒΓΔ p. 105, 3] ἐπειδήπερ, ἐὰν διὰ τῶν Α, ### book 44.2 Β, Γ, Δ σημείων ἐφαπτομένας εὐθείας τοῦ κύκλου ἀγά‐ ### book 44.3 γωμεν, τοῦ περιγραφομένου περὶ τὸν κύκλον τετραγώνου ### book 44.4 ἐλάττων ἐστὶν ὁ κύκλος· ὥστε τὸ ΑΒΓΔ ἐγγεγραμμένον ### book 44.5 τετράγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ ἡμίσεος τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου. ### book 45.1 καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν p. 106, 9] ἐὰν γὰρ τὸ ἀναστα‐ ### book 45.2 θὲν πρίσμα ἀπὸ τοῦ παραλληλογράμμου παραλληλεπίπε‐ ### book 45.3 δον τμηθῇ δίχα, διὰ τὸ λβʹ τοῦ ιαʹ ἔσται ὡς ἡ βάσις πρὸς ### book 45.4 τὴν βάσιν, οὕτως τὸ στερεὸν πρὸς τὸ στερεόν. ἴση δὲ ἡ ### book 45.5.1 βάσις τῇ βάσει, καὶ τὸ στερεὸν τῷ στερεῷ. ἐὰν δὲ ἕκαστον ### book 45.5.2 τῶν τμημάτων ἐπιπέδῳ τμηθῇ κατὰ τὰς διαγωνίους, δίχα ### book 45.5.3 τμηθήσεται διὰ τὸ κηʹ τοῦ ιαʹ. διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ### book 45.5.4 πρίσμα τὸ ἀφ’ ἑκατέρου τῶν παραλληλογράμμων τμημά‐ ### book 45.5.5 των τοῦ πρίσματος τοῦ βάσιν ἔχοντος τὸ ἥμισυ τοῦ παρ‐ ### book 45.10.1 αλληλογράμμου τρίγωνον ὂν καὶ ὕψος ἴσον. ἐὰν δὲ μεγέθη ### book 45.10.2 ἀνάλογον ᾖ, ἔσται ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ### book 45.10.3 ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα καὶ τὰ ἑξῆς· δι‐ ### book 45.10.4 πλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τοῦ παραλληλογράμμου ἀνασταθὲν ### book 45.10.5 πρίσμα τοῦ ἀπὸ τοῦ τριγώνου, ὅπερ ἥμισύ ἐστι τοῦ παρ‐ ### book 45.15 αλληλογράμμου, ἀνασταθέντος πρίσματος. ### book 46.1 Ἐπειδὴ ἕκαστον τῶν πρισμάτων τῶν ἀνασταθέντων ### book 46.2 ἀφ’ ἑκάστου τῶν τριγώνων ἥμισύ ἐστιν ἑκάστου τῶν παρ‐ ### book 46.3 αλληλογράμμων, μεταξὺ δὲ τῶν στερεῶν παραλληλογράμ‐ ### book 46.4 μων καὶ τῶν πρισμάτων εἰσὶ τὰ τοῦ κυλίνδρου τμήματα, ### book 46.5.1 περὶ ὧν τμημάτων λέγει, ἐπειδὴ οὖν μεταξύ εἰσι, καὶ δῆ‐ ### book 46.5.2 λον, ὅτι τὰ πρίσματα μείζονά εἰσι τῶν ἡμίσεων τοῦ κυ‐ ### book 46.5.3 λίνδρου τμημάτων· εἰ γάρ εἰσι τὰ πρίσματα οὐ μείζονα ### book 46.5.4 τῶν ἡμίσεων, ἀλλ’ ἴσα, ἔσται καὶ ἕκαστον τῶν τοῦ κυλίν‐ ### book 46.5.5 δρου τμημάτων ἑκάστῳ τῶν στερεῶν παραλληλογράμμων ### book 46.10 ἴσον· ὧν γὰρ ἥμισυ τὸ αὐτό, ἐκεῖνα ἴσα εἰσίν. ### book 47.1 καὶ ἔστω τὰ ΑΕ p. 106, 27] ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ### book 47.2 ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ, ΘΑ οὐ τὰς εὐθείας λέγει, ἀλλὰ τὰς περι‐ ### book 47.3 φερείας. ἐπεὶ γὰρ βάσις τοῦ κώνου ὁ κύκλος ὑπόκειται, ### book 47.4 καὶ τῶν ἀποτμημάτων τοῦ κώνου βάσεις αἱ περιφέρειαι ### book 47.5 ἔσονται καὶ οὐχὶ αἱ εὐθεῖαι. ### book 48.1 καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα, p. 107, 7] ἐπεὶ οὖν τὸ πολύγω‐ ### book 48.2 νον ἔχον βάσιν πρίσμα πρὸς μὲν τὴν πυραμίδα τὴν ἔχουσαν ### book 48.3 τὸ αὐτὸ πολύγωνον βάσιν τριπλασίονα λόγον ἔχει, πρὸς ### book 48.4 δὲ τὸν κῶνον μείζονα ἢ τριπλασίονα, μείζων ἔσται ἡ πυ‐ ### book 48.5 ραμὶς τοῦ κώνου διὰ τὸ δέκατον τοῦ πέμπτου. ### book 49.1 ἐμπεριέχεται γὰρ p. 107, 10] ἐπειδὴ τὸ εὐθύγραμ‐ ### book 49.2 μόν ἐστι βάσις τῆς πυραμίδος, ὁ δὲ κύκλος βάσις τοῦ κώ‐ ### book 49.3 νου, ἐμπεριέχεται καὶ τὸ πολύγωνον ὑπὸ τοῦ κύκλου, δῆ‐ ### book 49.4 λον, ὅτι καὶ ἡ πυραμὶς ὑπὸ τοῦ κώνου. ### book 50.1 ἀνάπαλιν ἄρα p. 107, 16] εἰ γὰρ ὁ κύλινδρος τοῦ ### book 50.2 κώνου ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριπλάσιος, ἔσται ἄρα καὶ ὁ κῶνος ### book 50.3 τοῦ κυλίνδρου μείζων ἢ τριπλάσιον. ### book 51.1 καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν p. 108, 20] ἐὰν γὰρ εὐθεῖά τις ### book 51.2 ἐφαπτομένη τοῦ κύκλου ἀχθῇ παράλληλος τῇ τοῦ ἐγγρα‐ ### book 51.3 φομένου τετραγώνου πλευρᾷ τῇ ΑΒ τυχὸν τῇ καὶ ὑπο‐ ### book 51.4 τεινούσῃ τὴν πρὸς τῷ Ε τοῦ τριγώνου γωνίαν, καὶ ἐπιζευ‐ ### book 51.5.1 χθῶσιν αὗται, γενήσεται παραλληλόγραμμον διπλάσιον ### book 51.5.2 τοῦ ΑΕΒ τριγώνου διὰ τὸ μαʹ τοῦ αʹ βιβλίου. ἐὰν δὲ τὸ ### book 51.5.3 παραλληλόγραμμον δίχα τμηθῇ διὰ τῆς διαγωνίου, καὶ ### book 51.5.4 ἀνασταθῶσιν ἰσουψεῖς τῷ κώνῳ πυραμίδες ἀπὸ τῶν τρι‐ ### book 51.5.5 γώνων, ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται διὰ τὸ εʹ τοῦ ιβʹ βιβλίου. αἱ ### book 51.10.1 δὲ δύο τῆς μιᾶς διπλασίους· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ παραλληλο‐ ### book 51.10.2 γράμμου ἀνασταθεῖσα πυραμὶς ἰσουψὴς τῷ κώνῳ διπλα‐ ### book 51.10.3 σία τῆς ἀπὸ τοῦ ἡμίσεος αὐτοῦ τριγώνου ἀνασταθείσης ### book 51.10.4 ἰσουψοῦς πυραμίδος. ἀλλὰ καὶ τὸ ΑΕΒ τρίγωνον ἥμισύ ### book 51 ἐστι τοῦ παραλληλογράμμου· ὥστε καὶ τῆς ἀπ’ αὐτοῦ ### book 51.15.1 ἀνασταθείσης ἰσουψοῦς πυραμίδος διπλασίων ἔσται. ἐπεὶ ### book 51.15.2 δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ παραλληλογράμμου ἰσουψὴς τῷ κώνῳ πυρα‐ ### book 51.15.3 μὶς μείζων ἐστὶ τοῦ κώνου τμήματος (περιέχει γάρ), καὶ ### book 51.15.4 ἡ ἀπὸ τοῦ τριγώνου ἰσουψὴς τῷ κώνῳ πυραμὶς ἡμίσεια ### book 51.15.5 οὖσα ταύτης μείζων ἔσται ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθ’ ἑαυτὴν κώ‐ ### book 51.20 νου τμήματος· ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων. ### book 52.1 τὸ ἄρα πρίσμα p. 109, 8. 9] εἰ γὰρ ὁ κύλινδρος τοῦ ### book 52.2 κώνου ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριπλασίων, ἀλλὰ τὸ πρίσμα, οὗ ### book 52.3 βάσις μὲν τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ ### book 52.4 αὐτὸ τῷ κώνῳ, μεῖζόν ἐστι ἢ τριπλάσιον τοῦ κώνου, καὶ ### book 52.5.1 τὸ πρίσμα ἄρα, οὗ βάσις τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, ### book 52.5.2 ὕψος δὲ ἴσον τῷ κώνῳ, μεῖζόν ἐστι τοῦ κυλίνδρου τοῦ ### book 52.5.3 βάσιν ἔχοντος τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, ὕψος δὲ ἴσον τῷ κώνῳ. ### book 52.5.4 ἀλλὰ καὶ ἔλαττον· ἐμπεριέχεται γὰρ ὑπ’ αὐτοῦ· ὅπερ ### book 52.5.5 ἐστὶν ἀδύνατον. ### book 53.1 Ὡς τὸ τρίτον μέρος τοῦ κυλίνδρου πρὸς τὸν κύλιν‐ ### book 53.2 δρον, οὕτως ἡ πυραμὶς ἡ τὴν βάσιν ἔχουσα τὴν ### book 53.3 ΑΕΒΖΓΗΔΘ πρὸς τὸ πρίσμα τὸ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχον ### book 53.4 τῇ πυραμίδι καὶ ὕψος ἴσον. μεῖζον δὲ ἡ πυραμὶς τοῦ τρίτου ### book 53.5.1 μέρους τοῦ κυλίνδρου, ὡς ἐδείχθη· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ πρίσ‐ ### book 53.5.2 μα τοῦ κυλίνδρου διὰ ιδʹ τοῦ εʹ· ὅπερ ἄτοπον, τὸ ἐμπερι‐ ### book 53.5.3 εχόμενον τοῦ περιέχοντος. ### book 54.1 Διὰ τὸ δέκατον τοῦ εʹ βιβλίου· τοῦ γὰρ πρίσματος ### book 54.2 τοῦ τὸ πολύγωνον ἔχοντος βάσιν τριπλασίονα λόγον ἔχον‐ ### book 54.3 τος πρὸς τὴν πυραμίδα, ἧς τὸ αὐτὸ πολύγωνον βάσις, τοῦ ### book 54.4 δὲ κυλίνδρου ἐλάττονα διὰ τὸ ταύτην μείζονα δειχθῆναι ### book 54.5.1 ἢ τὸ τρίτον τοῦ κυλίνδρου, ἀνάγκη πάντως τὸ πρίσμα ### book 54.5.2 μεῖζον εἶναι τοῦ κυλίνδρου. τῶν γὰρ πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ### book 54 ἐχόντων τὸ μείζονα λόγον ἔχον ἐκεῖνο μεῖζόν ἐστιν. ### book 55.1 λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς, p. 111, 6] εἰ γὰρ τὰ Ξ, Ψ ### book 55.2 στερεὰ ἴσα ἐστὶ τῷ ΕΝ κώνῳ, ἀλλὰ τὰ ΕΘΟ, ΕΠΖ, ### book 55.3 ΖΡΗ, ΗΣΘ ἀποτμήματα ἐλάσσονά ἐστι τοῦ Ψ στερεοῦ, ### book 55.4 λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς, ἧς βάσις τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύ‐ ### book 55.5.1 γωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ, μείζων ἐστὶ τοῦ Ξ ### book 55.5.2 στερεοῦ. ### book 56.1 ἀλλὰ καὶ ἔλασσον· p. 112, 16] πῶς ἔλασσον τὸ Ξ ### book 56.2 στερεὸν τῆς ἐν τῷ ΕΝ κώνῳ πυραμίδος; δείξομεν οὕτως· ### book 56.3 ἐπεὶ ὁ ΕΝ κῶνος ἴσος ἐστὶ τοῖς Ξ, Ψ στερεοῖς, ἀλλὰ τὰ ### book 56.4 ἀποτμήματα τοῦ κώνου ἐλάσσονα τοῦ Ψ στερεοῦ, τὸ Ξ ### book 56.5 ἄρα ἔλασσον τῆς ἐν τῷ ΕΝ κώνῳ πυραμίδος. ### book 57.1 Τὸ Ξ στερεὸν μεῖζον ὑπόκειται τοῦ ΕΝ κώνου· ὡς ### book 57.2 δὲ τὸ Ξ στερεὸν πρὸς τὸν ΑΛ κῶνον, οὕτως ὁ ΕΝ κῶνος ### book 57.3 πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΑΛ κώνου δείκνυται καὶ διὰ τοῦ ### book 57.4 ἀδυνάτου καὶ ἐπ’ εὐθείας, ὡς καὶ εἰς τὰ ἐπάνω διὰ τὸ βʹ ### book 57.5 προαποδείκνυται τοῦ ἐπάνω. ### book 58.1 Τὸ ἐν τριπλασίονι ἀντὶ τοῦ τρὶς τὸν αὐτὸν λόγον ### book 58.2 ἕξει ὁ κῶνος πρὸς τὸν κῶνον, ὃν ἔχει ἡ βάσις πρὸς τὴν ### book 58.3 βάσιν· οἷον εἴ ἐστιν ἡ βάσις διπλασίων τῆς βάσεως οἷον ### book 58.4 ὡς ὁ δ πρὸς τὸν δύο, ἔσται ὁ κῶνος πρὸς τὸν κῶνον ὡς ὁ ### book 58.5.1 μη πρὸς τὸν ϛ· τρὶς γὰρ ὁ μη πρὸς τὸν ϛ ἔχει τὸν τοῦ δ ### book 58.5.2 πρὸς τὸν β λόγον. ### book 59.1 Λόγον ἔχειν πρὸς ἄλληλα μεγέθη λέγονται, ἃ δύ‐ ### book 59.2 ναται πολλαπλασιαζόμενα, καὶ πᾶν μέγεθος πρὸς πᾶν ### book 59.1 μέγεθος ὁμογενὲς λόγον ἔχει. ἕξει ἄρα καὶ ὁ ΑΒΓΔΛ ### book 59.2 κῶνος πρὸς μέγεθος ὁμογενὲς αὐτῷ τριπλασίονα λόγον ### book 59.5.1 ἢ πρὸς ἑαυτοῦ μόριον ἢ πρὸς ἕτερον μέγεθος, ἐκεῖνο ### book 59.5.2 δὲ ἢ ἴσον ἐστὶν ἢ μεῖζον ἢ ἔλαττον τοῦ ΕΖΗΘΝ κώ‐ ### book 59.5.3 νου. ### book 60.1 λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς, p. 115, 13] εἰ γὰρ ὁ κῶνος τοῦ ### book 60.2 στερεοῦ μείζων ἐστίν, ἀλλὰ τὰ ἀποτμήματα τοῦ κώνου ### book 60.3 ἐλάττονά εἰσι τοῦ Ξ στερεοῦ, λείπει ἄρα ἡ πυραμίς, ἧς ### book 60.4 βάσις τὸ ΕΟΖΠΗΡΘΣ πολύγωνον. ### book 61.1 Ἐὰν ὦσι δύο μεγέθη ἄνισα, καὶ ἀπὸ μείζονος ἀφαι‐ ### book 61.2 ρεθῇ ἔλασσόν τι τῆς ὑπεροχῆς, μεῖζον διαμένει τὸ μεῖζον ### book 61.3 τοῦ ἐλάσσονος. ἐὰν δὲ ὅλη ἡ ὑπεροχὴ ἀφαιρεθῇ ἀπὸ τοῦ ### book 61.4 μείζονος, τὰ λοιπὰ ἴσα διαμένουσι· καί ἐστι κοινὴ ἔννοια. ### book 62.1 καὶ περὶ ἴσας γωνίας p. 116, 4] ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα ### book 62.2 αὐτῶν. ### book 63.1 ὡς ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΚΤ p. 116, 6] ἐπειδήπερ ### book 63.2 ἑκάτεραι αὐτῶν ἐκ τοῦ κέντρου εἰσίν. ### book 64.1 ἐπειδήπερ, ὃ μέρος p. 116, 8] διὰ λγʹ τοῦ ϛʹ ὡς ὁ ### book 64.2 ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὰς δ ὀρθάς, οὕτως καὶ ἑκάστη ### book 64.3 περιφέρεια τῶν τμημάτων τοῦ κύκλου πρὸς ἕκαστον τμῆμα ### book 64.4 γωνίας τῶν τεσσάρων ὀρθῶν. ἐναλλὰξ ὡς ἕκαστον τμῆμα ### book 64.5.1 τοῦ κύκλου πρὸς τὸν κύκλον, οὕτως ἑκάστη ὑποτεινομένη ### book 64.5.2 γωνία πρὸς τὰς δ ὀρθάς· ἀλλ’ ὡς ἑκάστη περιφέρεια τοῦ ### book 64.5.3 κύκλου πρὸς τὸν κύκλον, οὕτως καὶ ἑκάστη περιφέρεια τοῦ ### book 64.5.4 κύκλου πρὸς τὸν κύκλον, οὕτως ἑκάστη περιφέρεια τοῦ ### book 64.5.5 ΕΖΗΘ κύκλου πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, καὶ ὡς ἑκάστη ### book 64.10.1 ὑποτεινομένη γωνία ὑπὸ ἑκάστης περιφερείας πρὸς τὰς ### book 64.10.2 δ ὀρθάς, οὕτως ἑκάστη ὑποτεινομένη γωνία τοῦ ἑτέρου ### book 64.10.3 κύκλου πρὸς τὰς δ ὀρθάς. ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ἑκάστη τῶν ### book 64.1 γωνιῶν τῶν δ ὀρθῶν, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ἑκάστη γω‐ ### book 64.2 νία τοῦ ἑτέρου κύκλου τῶν δ ὀρθῶν. ἴση ἄρα ἑκάστη γω‐ ### book 64.15.1 νία τῇ ἑκάστῃ διὰ θʹ τοῦ εʹ, ἢ τὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ ἡμίσεα ἢ ### book 64.15.2 τρίτα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν. ### book 65.1 Λῆμμα. ### book 65.2 Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ τοῖς ἀπ‐ ### book 65.3 εναντίον αὐτοῦ, ἡ τομὴ κύκλος ἐστίν. κύλινδρος γάρ, οὗ ### book 65.4 ἕδρα μὲν ὁ ΑΒ, ἐφέδρα δὲ ὁ ΓΔ, ἄξων δὲ ὁ ΗΘ, ἐπιπέδῳ [Omitted graphic marker] ### book 65.5.1 τινὶ τετμήσθω παραλλήλῳ ταῖς βάσεσιν ### book 65.5.2 αὐτοῦ, καὶ ποιείτω τομὴν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ ### book 65.5.3 τοῦ κυλίνδρου τὴν ΗΘΚΛ γραμμήν. ὅτι ἡ ### book 65.5.4 γραμμὴ κύκλος ἐστίν. καὶ ἐπεὶ παράλληλόν ### book 65.5.5 ἐστιν ἑκατέρῳ τῶν ΑΒ, ΓΔ, συμβαλλέτω ### book 65.10.1 τῷ ΕΖ ἄξονι τὸ διὰ τῆς ΗΚΘΛ γραμμῆς ### book 65.10.2 ἐπίπεδον κατὰ τὸ Μ, καὶ διήχθω διὰ τοῦ ### book 65.10.3 ἄξονος ἐπίπεδον· τομὴν δὴ ποιήσει παραλ‐ ### book 65.10.4 ληλόγραμμον· δέδεικται γάρ. ποιείτω ἑκά‐ ### book 65.10.5 τερον τῶν ΕΓ, ΕΔ, ἐν δὲ τῷ ΗΘΚΛ εὐ‐ ### book 65.15.1 θεῖαν τὴν ΗΜΘ. πάλιν διήχθω διὰ τοῦ ΕΖ ἄξονος ἕτε‐ ### book 65.15.2 ρον ἐπίπεδον καὶ ποιείτω ἐν μὲν τῇ κυλινδρικῇ ἐπιφανείᾳ ### book 65.15.3 παραλληλόγραμμον ἑκάτερον τῶν ΕΞ, ΖΝ, ἐν δὲ τῷ διὰ ### book 65.15.4 τῆς ΗΚΘΛ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν τὴν ΚΜΛ. ἐπεὶ οὖν δύο ἐπί‐ ### book 65.15.5 πεδα παράλληλα τό τε ΑΒ καὶ τὸ διὰ τῆς ΚΘΛΗ ἐπιπέ‐ ### book 65.20.1 δῳ τινὶ τέτμηται τῷ ΑΕΗΜ ὄντι διὰ τοῦ ἄξονος, αἱ κοι‐ ### book 65.20.2 ναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ### book 65.1 ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΗΜ, ἡ δὲ ΑΗ τῇ ΕΜ. παραλληλόγραμμον ### book 65.2 ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΜ. πάλιν ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τό τε ### book 65.3 ΑΒ καὶ τὸ διὰ τῆς ΗΚΘΛ ἐπιπέδῳ τινὶ τέτμηται παραλ‐ ### book 65.25.1 λήλῳ τῷ ΕΚ ὄντι διὰ τοῦ ἄξονος, αἱ κοιναὶ ἄρα αὐτῶν ### book 65.25.2 τομαὶ παράλληλοί εἰσιν. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΝ τῇ ### book 65.25.3 ΚΜ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΝΚ τῇ ΕΜ· παραλληλόγραμμον ἄρα τὸ ### book 65.25.4 ΕΚ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΝ τῇ ΚΜ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΕ, ΕΝ, ### book 65.25.5 ΕΒ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν (ἐκ γὰρ τοῦ Ε κέντρου), ἀλλ’ ἡ ### book 65.30.1 μὲν ΑΕ τῇ ΗΜ, ἡ δὲ ΝΕ τῇ ΜΚ, ἡ δὲ ΕΒ τῇ ΜΘ, καὶ ### book 65.30.2 αἱ τρεῖς ἄρα ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· κύκλος ἄρα ἐστὶν ἡ ### book 65.30.3 ΗΘΚΛ γραμμή. καὶ φανερόν, ὅτι ὁ ΗΘΚΛ κύκλος τῷ ### book 65.30.4 ΑΒ ἴσος ἐστίν· αἱ γὰρ ἐκ τῶν κέντρων ἴσαι εἰσίν. ### book 66.1 Ἀντιπεπονθέναι γὰρ λέγεται, ὅταν ἐν ἑκάστῳ τῶν ### book 66.2 σχημάτων ἡγούμενοί τε καὶ ἑπόμενοι ὅροι εἰσίν. ### book 67.1 Ληπτέον ἄκρους μὲν ὅρους τὰς βάσεις καὶ τὰ ὕψη, ### book 67.2 μέσον δὲ τοὺς κυλίνδρους καὶ συλλογιστέον ἐν πρώτῳ ### book 67.3 σχήματι οὕτως· ὡς ἡ ΑΒΓΔ βάσις πρὸς τὴν ΕΖΗΘ ### book 67.4 βάσιν, οὕτως ὁ ΑΞ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον· ἀλλ’ ### book 67.5.1 ὡς ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν κύλινδρον, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος ### book 67.5.2 πρὸς τὸ ΠΝ ὕψος. καὶ ὡς ἄρα ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν, τὸ ### book 67.5.3 ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ ὕψος. εἶτα πάλιν ληπτέον ἄκρους ### book 67.5.4 μὲν τοὺς ΑΞ καὶ ΕΣ κυλίνδρους καὶ τοὺς ΕΟ καὶ ΕΣ καὶ ### book 67.5.5 μέσον τὸ ΜΝ καὶ ΠΝ ὕψος, καὶ συλλογιστέον ἐν πρώτῳ ### book 67.10.1 σχήματι οὕτως· ὡς ὁ ΑΞ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύ‐ ### book 67.10.2 λινδρον, οὕτως τὸ ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ ὕψος, ὡς δὲ τὸ ### book 67.10.3 ΜΝ ὕψος πρὸς τὸ ΠΝ ὕψος, οὕτως ὁ ΕΟ κύλινδρος πρὸς ### book 67.10.4 τὸν ΕΣ κύλινδρον. καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΞ κύλινδρος πρὸς τὸν ### book 67 ΕΣ κύλινδρον, οὕτως ὁ ΕΟ κύλινδρος πρὸς αὐτὸν τὸν ΕΣ ### book 67.15.1 κύλινδρον. τὰ δὲ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντα ἴσα ### book 67.15.2 ἀλλήλοις ἐστί. ἴσος ἄρα ὁ ΑΞ τῷ ΕΟ· ὃν γὰρ λόγον ἔχει ### book 67.15.3 ὁ ΑΞ πρὸς τὸν ΕΣ, τὸν αὐτὸν ἔχει καὶ ὁ ΕΟ πρὸς αὐτὸν ### book 67.15.4 τὸν ΕΣ. ### book 68.1 Τὰ λαμβανόμενα εἰς τὸ θεώρημα σὺν τοῖς ἐν αὐτῷ ### book 68.2 ζητουμένοις λήμμασίν ἐστι τὰ ὑποτεταγμένα. ### book 68.3 Ἐὰν σφαῖρα ἐπιπέδῳ τινὶ τμηθῇ διὰ τοῦ κέντρου, ἡ τομὴ ### book 68.4 κύκλος ἐστὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ἔχων τῇ σφαίρᾳ. σφαῖρα γὰρ ### book 68.5.1 ἐπιπέδῳ τινὶ τετμήσθω διὰ τοῦ κέντρου αὐτῆς, καὶ ποιείτω ### book 68.5.2 γραμμὴν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ αὐτῆς. αἱ ἄρα ἀπὸ τοῦ κέντρου ### book 68.5.3 αὐτῆς προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ἐν δὲ ### book 68.5.4 τῇ ἐπιφανείᾳ αὐτῆς ἐστιν ἡ εἰρημένη γραμμή· πᾶσαι ἄρα ### book 68.5.5 αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν γραμμὴν προσ‐ ### book 68.10.1 πίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ὥστε κύκλου περι‐ ### book 68.10.2 φέρειά ἐστιν ἡ γραμμὴ τὸ κέντρον ἔχουσα τὸ αὐτὸ τῇ ### book 68.10.3 σφαίρᾳ. ἐὰν ἄρα σφαῖρα ἐπιπέδῳ τμηθῇ διὰ τοῦ κέντρου, ### book 68.10.4 ἡ τομὴ κύκλος ἐστὶ κέντρον ἔχων τὸ αὐτὸ τῇ σφαίρᾳ. τοῦτο ### book 68.10.5 μὲν οὖν ἐπὶ τὸ παρὸν δέδεικται διὰ τὸ νῦν χρησιμεῦον ### book 68.15.1 ἡμῖν, ἐν δὲ τοῖς Θεοδοσίου σφαιρικοῖς καθολικώτερον ### book 68.15.2 δείκνυται, ὅτι, κἂν μὴ διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ᾖ τὸ ### book 68.15.3 τεμνόμενον ἐπίπεδον, ὁμοίως ἡ τομὴ κύκλος ἐστίν. ### book 69.1 Τὸ διὰ τῆς ΑΞ καὶ ΒΔ ἐπίπεδον ὀρθὸν χρὴ νοεῖν ### book 69.2 πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον, ὁμοίως δὲ καὶ τὸ ### book 69.3 διὰ τῆς ΑΞ καὶ ΚΝ ὀρθὸν καὶ αὐτὸ νοεῖν δεῖ πρὸς τὸ ### book 69.4 αὐτὸ ἐπίπεδον τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου, διότι καὶ ἡ ΑΞ πρὸς ### book 69.5.1 ὀρθὰς ἵσταται ἐν τῷ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπιπέδῳ. καὶ δὴ ### book 69.5.2 καὶ τὸ ΒΞΔ ἡμικύκλιον καὶ ἔτι τὸ ΚΞΝ πρὸς ὀρθὰς ### book 69 ἱστάμενα χρὴ νοεῖν ἐν τῷ τοῦ ΒΓΔΕ ἐπιπέδῳ. ### book 70.1 καὶ ἐπεὶ ἡ ΞΑ ὀρθή p. 128, 2] ἐπειδήπερ, ἐὰν ### book 70.2 εὐθεῖα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ πάντα τὰ δι’ αὐτῆς ### book 70.3 ἐπίπεδα τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται. ### book 71.1 ὅσαι ἄρα εἰσὶν p. 129, 2] ἐὰν τοσαυτάκις διαιρεθῶσι ### book 71.2 καὶ τὰ ἴσα τῷ ΒΕ δύο τεταρτημόρια δίχα, ἴσα εἰσὶ καὶ τὰ ### book 71.3 τμήματα διὰ λγʹ τοῦ γʹ καὶ αἱ εὐθεῖαι διὰ κθʹ τοῦ γʹ. ### book 72.1 πεσοῦνται δὴ ἐπὶ p. 129, 8] ἐὰν ᾖ ἐπίπεδον πρὸς ### book 72.2 ἐπίπεδον ὀρθόν, καὶ ληφθῇ τυχὸν σημεῖον ἐπὶ ἑνὸς τῶν ### book 72.3 ἐπιπέδων, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ ληφθέντος σημείου ἐπὶ τὸ ἕτερον ### book 72.4 ἐπίπεδον κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν κοινὴν τομὴν πίπτει ### book 72.5.1 τῶν ἐπιπέδων· δειχθήσεται δὲ οὕτως· ἔστω γὰρ τὸ ΑΒΓΔ ### book 72.5.2 ἐπίπεδον πρὸς ὀρθὰς τῷ ΒΕΖΔ, καὶ εἰλήφθω ἐν τῷ ### book 72.5.3 ΑΒΓΔ ἐπιπέδῳ τυχὸν σημεῖον τὸ Η. λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ ### book 72.5.4 Η ἐπὶ τὸ ΒΕΖΔ ἐπίπεδον κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν κοι‐ ### book 72.5.5 νὴν τομὴν τῶν ἐπιπέδων τὴν ### book 72.10.1 [Omitted graphic marker] ΒΔ εὐθεῖαν πίπτει. ἤχθω γὰρ ### book 72.10.2 ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν ΒΔ κάθ‐ ### book 72.10.3 ετος ἡ ΗΘ. ἐπεὶ οὖν τὸ ΑΔ ### book 72.10.4 ἐπίπεδον πρὸς τὸ ΖΒ ἐπίπε‐ ### book 72.10.5 δον ὀρθόν ἐστι, καὶ τῇ κοινῇ ### book 72.15.1 τομῇ τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρ‐ ### book 72.15.2 θὰς γωνίας ἦκται ἐν ἑνὶ τῶν ### book 72.15.3 ἐπιπέδων εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΗΘ, ἡ ἄρα ΘΗ τῷ λοιπῷ ### book 72.15.4 ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν, τουτέστι τῷ ΒΖ. ὥστε ἡ ἀπὸ ### book 72.15.5 τοῦ Η ἐπὶ τὸ ΒΖ ἐπίπεδον κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν ### book 72.20 κοινὴν τομὴν τὴν ΒΔ πίπτει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 73.1 Ἐὰν γὰρ ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὀρθὸν ᾖ, καὶ ἀπό ### book 73.2 τινος σημείου τοῦ ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων ἐπὶ τὸ ἕτερον ἐπί‐ ### book 73.3 πεδον κάθετος ἀχθῇ, ἐπὶ τῆς κοινῆς πεσεῖται τῶν ἐπιπέ‐ ### book 73.4 δων τομῆς ἡ ἀγομένη κάθετος διὰ τὸ ληʹ τοῦ ιαʹ. ### book 74.1 ἴση ἄρα ἐστὶν p. 129, 14] ἔστω ἴσα τμήματα ἴσων ### book 74.2 κύκλων τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ ἀπειλήφθωσαν ἴσαι περι‐ ### book 74.3 φέρειαι αἱ ΑΒ, ΔΕ, καὶ κάθετοι ἀπὸ τῶν Β, Ε αἱ ΒΗ, ### book 74.4 ΕΘ ἐπὶ τὰς ΑΓ, ΔΖ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΒΗ τῇ ### book 74.5.1 ΕΘ, ἡ δὲ ΑΗ τῇ ΔΘ. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΔΕ. καὶ ### book 74.5.2 ἐπεὶ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΑΒ, ΔΕ, καὶ ### book 74.5.3 λοιπαὶ ἄρα αἱ ΒΓ, ΕΖ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ὥστε καὶ αἱ ### book 74.5.4 ἐπ’ αὐτῶν βεβηκυῖαι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ἴση ἄρα ἡ ### book 74.5.5 ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΔΖ. ἀλλὰ καὶ ὀρθαὶ αἱ Η, Θ· [Omitted graphic marker] ### book 74.10.1 δύο δὴ τρίγωνα τὰ ΑΒΗ, ΔΕΘ τὰς δύο γωνίας ταῖς δύο ### book 74.10.2 γωνίαις ἴσας ἔχει ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν ### book 74.10.3 τὴν ΒΑ μιᾷ πλευρᾷ τῇ ΔΕ ἴσην τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ ### book 74.10.4 μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν· πάντα ἄρα πᾶσιν ἴσα ἐστίν. ἴση ### book 74.10.5 ἄρα ἡ μὲν ΑΗ τῇ ΔΘ, ἡ δὲ ΒΗ τῇ ΕΘ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 75.1 Διὰ τὸ κϛʹ τοῦ αʹ· δύο γὰρ τρίγωνά ἐστι τὰ ΟΒΦ, ### book 75.2 ΣΚΧ τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ ΟΒΦ, ΒΦΟ ταῖς δυσὶ ταῖς ### book 75.3 ὑπὸ ΣΚΧ, ΚΧΣ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν ### book 75.4 πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν ΒΟ τῇ ΚΣ· ὥστε καὶ τὰς ### book 75.5.1 λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει ἑκατέραν ### book 75.5.2 ἑκατέρᾳ καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ. ### book 76.1 Πόθεν, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΣΧ τῇ ΟΦ, ἡ δὲ ΒΦ τῇ ### book 76.2 ΚΧ; καὶ λέγομεν οὕτως· ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΧΣ τῇ ### book 76.3 ὑπὸ ΟΦΒ (ὀρθαὶ γὰρ ἀμφότεραι), ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ### book 76.4 ΣΚΧ τῇ ὑπὸ ΟΒΦ ἴση, ἐπειδὴ ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν ### book 76.5.1 βεβήκασι τῶν ΣΝ, ΟΔ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ΟΒ τῇ ΣΚ ἴση, ### book 76.5.2 δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΒΟΦ, ΚΣΧ τὰς δύο γωνίας δυσὶ ### book 76.1 γωνίαις ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν ### book 76.2 μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γω‐ ### book 76.3 νιῶν, καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ἴσον ἔσται· ἴση ἄρα καὶ ### book 76.10 ἡ ΣΧ τῇ ΟΦ, ἡ δὲ ΒΦ τῇ ΚΧ. ### book 77.1 παράλληλος ἄρα p. 129, 20] ἐὰν γὰρ δύο εὐθεῖαι ### book 77.2 τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσι, παράλληλοι ἔσονται ### book 77.3 αἱ εὐθεῖαι διὰ τὸ ϛʹ τοῦ ιαʹ. ### book 78.1 παράλληλος ἄρα ἐστὶν p. 129, 17. 18] ἡ μὲν ΒΑ ### book 78.2 καὶ ἡ ΚΑ οὐκ εἰσὶ παράλληλοι· συμπίπτουσι γάρ· ἡ δὲ ### book 78.3 ΧΦ τῇ ΚΒ παράλληλός ἐστιν. ### book 79.1 καὶ αἱ ΧΦ, ΣΟ p. 129, 21] αἱ τὰς ἴσας γὰρ παραλ‐ ### book 79.2 λήλους ἐπιζευγνύουσαι εὐθεῖαι καὶ αὐταὶ ἴσαι τε καὶ παρ‐ ### book 79.3 άλληλοί εἰσιν διὰ τὸ λγʹ τοῦ αʹ. ### book 80.1 τὸ ΚΒΟΣ ἄρα τετράπλευρον p. 129, 24sq.] τετρά‐ ### book 80.2 πλευρόν ἐστιν, οὐ μὴν καὶ παραλληλόγραμμον· ὥστε οὐκ ### book 80.3 ἀνάγκη τὴν ΣΟ ἴσην εἶναι τῇ ΚΒ. ### book 81.1 καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ p. 131, 5. 6] ἐκ κέν‐ ### book 81.2 τρου γὰρ βϊ αʹ μζʹ καὶ πᾶν τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ. ### book 82.1 ὁμοίως δὴ δείξομεν p. 131, 11] βϊ ϛʹ ηʹ πόρισμα. ### book 82.2 ὀρθογώνιον τὸ ΔΚΒ τρίγωνον διὰ λαʹ τοῦ γʹ. πῶς; ἐπεζεύ‐ ### book 82.3 χθωσαν γὰρ αἱ ΑΟ, ΑΣ, ΨΟ, ΨΣ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ### book 82.4 ἀπὸ τῆς ΑΟ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΣ (ἐκ κέντρου γάρ), ἴσον δέ ἐστι ### book 82.5.1 τὸ ἀπὸ τῆς ΑΟ τοῖς ἀπὸ τῶν ΨΟ, ΨΑ (ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς ### book 82.5.2 τῷ Ψ), τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΨΣ, ΨΑ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΣΑ, ### book 82.5.3 κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΨ. λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ### book 82.5.4 ΨΟ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΨΣ. ἴσον δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΣ ### book 82.5.5 τῷ ἀπὸ τῆς ΑΚ· ἐκ κέντρου γάρ· ὥστε αἱ δ εὐθεῖαι αἱ ### book 82.10 ΒΨ, ΨΚ, ΨΟ, ΨΣ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ### book 83.1 Καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν p. 131, 16] εἰ μὴ γὰρ μείζων ### book 83.2 ἐστὶν ἡ ΒΚ τῆς ΧΦ, οὐ συμπεσοῦνται αἱ ΒΦ, ΚΧ· συμ‐ ### book 83.3 πίπτουσι δὲ κατὰ τὸ Α· οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ΚΒ τῇ ΧΦ. ### book 84.1 Ἐδείχθη ἡ ΦΧ τῇ ΒΚ παράλληλος, ἀλλ’ οὐκ ἀνάγκη, ### book 84.2 ἐπειδὴ παράλληλός ἐστι, καὶ ἴσην αὐτῇ εἶναι. εἰ μὲν γὰρ ### book 84.3 ἦν, καὶ ἡ ΚΧ τῇ ΒΦ παράλληλος ἦν ἄν, καὶ τὸ ΒΚΧΦ ### book 84.4 χωρίον παραλληλόγραμμον, καὶ ἦν ἂν καὶ ἡ ΦΧ τῇ ΒΚ ### book 84.5.1 ἴση· τῶν γὰρ παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπεναντίον ### book 84.5.2 γωνίαι τε καὶ πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ἐπεὶ δὲ οὐκ ### book 84.5.3 ἔστι τὸ χωρίον παραλληλόγραμμον, παράλληλος μέν ἐστιν ### book 84.5.4 ἡ ΦΧ, ὡς δέδεικται, τῇ ΒΚ, οὐ μὴν καὶ ἴση. καὶ ἐπεὶ ἡ ### book 84.5.5 ΒΚ τὴν πρὸς τῷ Ψ ὑποτείνει γωνίαν ὀρθὴν οὖσαν, ἡ δὲ ### book 84.10.1 ΦΧ τὴν ὑπὸ ΚΑΒ μὴ οὖσαν ὀρθήν, μείζων ἄρα ἡ ΒΚ ### book 84.10.2 τῆς ΦΧ. ### book 85.1 τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΒ 131, 22] ἔστω ἐν κύκλῳ τετρά‐ ### book 85.2 πλευρον τὸ ΜΓΟΥ, καὶ αἱ τρεῖς αἱ ΥΜ, ΜΓ, ΓΟ ἔστω‐ ### book 85.3 σαν ἴσαι ἀλλήλαις, καὶ ἔστω μεί‐ ### book 85.4 ζων ἡ ΓΜ τῆς ΥΟ, καὶ εἰλήφθω [Omitted graphic marker] ### book 85.5.1 τὸ κέντρον τοῦ περὶ τὸ ΜΓΟΥ ### book 85.5.2 τετράπλευρον κύκλου. ἔστω τὸ Ψ ### book 85.5.3 σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΨ. ### book 85.5.4 λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΜΓ τοῦ ἀπὸ ### book 85.5.5 τῆς ΓΨ μεῖζόν ἐστιν ἢ διπλάσιον. ### book 85.10.1 ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΟΨ, ΥΨ, ### book 85.10.2 ΨΜ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΨ τῇ ΨΥ, καὶ κοινὴ ἡ ΨΟ, δύο ### book 85.10.3 δὴ αἱ ΓΨ, ΨΟ δυσὶ ταῖς ΥΨ, ΨΟ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκα‐ ### book 85.10.4 τέρᾳ· καὶ βάσις ἡ ΓΟ βάσεως τῆς ΟΥ μείζων ἐστίν· γωνία ### book 85.10.5 ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΨΟ γωνίας τῆς ὑπὸ ΟΨΥ μείζων. καὶ ἐπεὶ ἴση ### book 85.15.1 ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΨΟ ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΓΨΜ, ΜΨΥ (ἐπὶ ### book 85.15.2 γὰρ ἴσων περιφερειῶν βεβήκασι τῶν ΟΓ, ΓΜ, ΥΜ τῷ ### book 85.15.3 τὰς εὐθείας ἴσας εἶναι), καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΓΨΜ, ### book 85.15.4 ΜΨΥ τῆς ὑπὸ ΥΨΟ μείζων ἐστίν. αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ### book 85.15.5 ὑπὸ ΟΨΥ, ΟΨΓ, ΓΨΜ, ΜΨΥ τέσσαρσιν ὀρθαῖς ἴσαι ### book 85.20.1 εἰσίν· πρὸς ἑνὶ γὰρ σημείῳ τῷ Ψ· ἀμβλεῖα ἄρα ἑκάστη ### book 85.20.2 τῶν ὑπὸ ΟΨΓ, ΓΨΜ, ΜΨΥ· ἀμβλυγώνιον ἄρα τὸ ### book 85.20.3 ΓΨΜ τρίγωνον. ἐν δὲ τοῖς ἀμβλυγωνίοις τριγώνοις τὸ ### book 85.20.4 ἀπὸ τῆς τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετρά‐ ### book 85.20.5 γωνον μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν ### book 85.25.1 περιεχουσῶν εὐθειῶν τετραγώνων. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΓΜ ### book 85.25.2 μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΜΨ, ΨΓ. ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΜΨ, ### book 85.25.3 ΨΓ διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΨΓ· ἴση γὰρ ἡ ΜΨ τῇ ### book 85.25.4 ΨΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΜΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΨ μεῖζόν ἐστιν ἢ ### book 85.25.5 διπλάσιον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 86.1 Πόθεν, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΚΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΨ μεῖζόν ### book 86.2 ἐστιν ἢ διπλάσιον; καὶ δεικτέον οὕτως· ἐπεὶ γὰρ ἐπιζευ‐ ### book 86.3 γνυμένων τῶν ΨΟ, ΨΣ αἱ ὑπὸ ΚΨΒ, ΚΨΣ, ΣΨΟ, ### book 86.4 ΟΨΒ γωνίαι τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν (πρὸς γὰρ τῷ ### book 86.5 κέντρῳ τοῦ κύκλου τῷ Ψ), καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΣΚ τῇ ΚΒ, ### book 86.1 κοινὴ δὲ ἡ ΚΨ, καὶ βάσις ἡ ΣΨ βάσει τῇ ΨΒ ἐστιν ἴση, ### book 86.2 καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΣΨΚ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΨΒ ἴση· διὰ ### book 86.3 τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΨΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΟΨΒ ἐστιν [Omitted graphic marker] ### book 86.4 ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΨ τῇ ΨΣ, ### book 86.10.1 κοινὴ δὲ ἡ ΨΟ, βάσις δὲ ἡ ΒΟ βά‐ ### book 86.10.2 σεως τῆς ΣΟ μείζων ἐστίν, καὶ ### book 86.10.3 γωνία ἡ ὑπὸ ΒΨΟ γωνίας τῆς ὑπὸ ### book 86.10.4 ΟΨΣ μείζων ἐστίν. ὥστε αἱ ὑπὸ ### book 86.10.5 ΣΨΚ, ΚΨΒ, ΒΨΟ ἀμβλεῖαί εἰσιν. ### book 86.15.1 καὶ ἐπεὶ ἐν ἀμβλυγωνίοις τριγώνοις ### book 86.15.2 τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ἀμβλεῖαν ὑποτει‐ ### book 86.15.3 νούσης πλευρᾶς μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ἀμβλεῖαν ### book 86.15.4 γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν, μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΚΒ ### book 86.15.5 τῶν ἀπὸ τῶν ΒΨ, ΨΚ. ἴση δὲ ἡ ΒΨ τῇ ΨΚ· ὥστε τὸ ἀπὸ ### book 86.20.1 τῆς ΒΚ μεῖζόν ἐστιν ἢ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΨ· ὅπερ ### book 86.20.2 ἔδει δεῖξαι. ### book 87.1 Πῶς αἱ ὑπὸ ΟΨΥ, ΟΨΓ, ΓΨΜ, ΜΨΥ τέσσαρ‐ ### book 87.2 σιν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι, νῦν δείξομεν. ἐπὶ παντὸς τριγώνου αἱ ### book 87.3 γὰρ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· αἱ ἄρα ὑπὸ ΨΥΜ, ### book 87.4 ΥΜΨ, ΜΨΥ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ὁμοίως καὶ αἱ ### book 87.5.1 ὑπὸ ΨΜΓ, ΨΓΜ, ΜΨΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, καὶ ### book 87.5.2 αἱ ὑπὸ ΓΨΟ, ΨΟΓ, ΟΓΨ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, καὶ ### book 87.5.3 ἔτι αἱ ὑπὸ ΥΨΟ, ΨΟΥ, ΟΥΨ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ### book 87.5.4 αἱ ἄρα ὑπὸ ΨΥΜ, ΥΜΨ, ΜΨΥ, ΨΜΓ, ΜΓΨ, ΓΨΜ, ### book 87.5.5 ΓΨΟ, ΨΟΓ ΟΓΨ, ΟΨΥ, ΨΥΟ, ΥΟΨ ἐπὶ τὸ αὐτὸ ὀκτὼ ### book 87.10.1 ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ὧν αἱ ὑπὸ ΟΥΜ, ΥΜΓ, ΜΓΟ, ΓΟΥ τέσ‐ ### book 87.10.2 σαρσιν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· παντὸς γὰρ τετραπλεύρου αἱ τέσ‐ ### book 87.10.3 σαρες γωνίαι τέσσαρσιν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. λοιπὸν ἄρα αἱ ὑπὸ ### book 87.10.4 ΥΨΜ, ΜΨΓ, ΓΨΟ, ΟΨΥ τέσσαρσιν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ### book 88.1 Ἐπεὶ ἐκ τοῦ κέντρου αἱ δ εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί, ### book 88.2 εἰ ἦσαν καὶ τοῦ τετραπλεύρου αἱ δ πλευραὶ ἴσαι, αἱ δ γω‐ ### book 88 νίαι ὀρθαὶ ἂν ἦσαν, καὶ τὸ ἀπὸ ΚΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΨ ... ### book 89.1 κάθετος ἡ ΚΩ. p. 131, 23] ἡ ἀπὸ τοῦ Κ καὶ ἔτι ### book 89.2 ἐπὶ τὴν ΒΦ πεσεῖται ἐπὶ τὸ σημεῖον, ἐφ’ ὃ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ ### book 89.3 Ο κάθετος, ἐπὶ τὸ Φ· ἡ δὲ ἀπόδειξις ἡ αὐτή. ### book 90.1 καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΔ p. 132, 1] εἰ γὰρ ἡ ΒΔ τῆς ΔΑ διπλῆ ### book 90.2 ἐστιν, μείζων δέ ἐστιν ἡ ΔΦ τῆς ΔΑ, ἡ ἄρα ΒΔ τῆς ΔΦ ### book 90.3 ἐλάττων ἐστὶν ἢ διπλῆ. ### book 91.1 Ἡ γὰρ ΒΔ τῆς ΑΔ ἐστι διπλῆ, μείζων δὲ ἡ ΦΔ τῆς ### book 91.2 ΑΔ· διὰ τὸ αʹ τοῦ ϛʹ. ### book 92.1 καί ἐστι τῆς ΚΔ p. 132, 6] τῆς ΚΔ ἐπιζευγνυμένης ### book 92.2 γίνεται τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΔΚΒ ὀρθὴν ἔχον τὴν ### book 92.3 ὑπὸ ΔΚΒ γωνίαν. τὸ ἄρα ἀναγραφόμενον ἀπὸ τῆς ΒΦ ### book 92.4 τετράγωνον καὶ τὸ συμπληρούμενον ὑπὸ τῆς ΦΔ παρ‐ ### book 92.5.1 αλληλόγραμμον τὸ ΚΔ ἐστιν ὅλον παραλληλόγραμμον ### book 92.5.2 περιεχόμενον ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΒΚ εὐθειῶν. ἐπέζευξε δὲ ### book 92.5.3 τὴν ΚΔ πρὸς παράστασιν τοῦ τὸ ΚΔ παραλληλόγραμμον ### book 92.5.4 περιέχεσθαι ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΒΦ ἤτοι μῆκος μὲν γίνεσθαι ### book 92.5.5 τὴν ΚΒ, πλάτος δὲ τὴν ΒΔ. ἐπεὶ γὰρ τὸ ΚΔ παραλληλό‐ ### book 92.10.1 γραμμον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΔΚΒ τριγώνου, ὡς δέδεικται ### book 92.10.2 ἐν τῷ λδʹ θεωρήματι τοῦ αʹ βιβλίου· δίχα γὰρ τὸ παραλ‐ ### book 92.10.3 ληλόγραμμον τέμνει· εἰ δὲ δίχα, δῆλον, ὅτι ἡ ΚΒ ὕψος τέ ### book 92.10.4 ἐστι τοῦ ΚΔ παραλληλογράμμου καὶ βάσις τοῦ ΔΚΒ τριγώ‐ ### book 92.10.5 νου· τούτων οὕτως ἐχόντων γίνεται ἡ ΚΒ μέση ἀνάλογον, ### book 92.15.1 ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΚ, οὕτως ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΒΦ· ἐὰν ### book 92.15.2 δὲ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσι, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχό‐ ### book 92.15.3 μενον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης. ### book 93.1 πολλῷ ἄρα ἡ ΑΨ p. 132, 18] ἐπειδὴ τὰ ἀπὸ τῶν ### book 93.2 ΒΨ, ΨΑ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΛ, ἔστι δὲ τὸ ### book 93.1 ἀπὸ τῆς ΑΗ, ὡς πρὸ ὀλίγου δέδεικται, μεῖζον τοῦ ἀπὸ τῆς ### book 93.2 ΒΨ, λείπεται τὸ ἀπὸ τῆς ΑΨ μεῖζον εἶναι τοῦ ἀπὸ τῆς ### book 93.5.1 ΗΛ. ἴση δὲ ἡ ΗΛ τῇ ΗΑ, ὡς δείξω· μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ ### book 93.5.2 τῆς ΑΨ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΗ. ὥστε καὶ ἡ ΑΨ μείζων ἐστὶ τῆς ### book 93.5.3 ΑΗ· εἰ γὰρ ἡ ΨΑ μείζων τῆς ΛΗ, ἡ δὲ ΛΗ ἴση τῇ ΑΗ, ### book 93.5.4 ἡ ΨΑ ἄρα μείζων ἐστὶ τῆς ΑΗ. δεικτέον δή, ὅτι ἡ ΑΗ ### book 93.5.5 ἴση ἐστὶ τῇ ΗΛ, οὕτως· ἐπειδὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΑΗΛ γωνία ### book 93.10.1 τοῦ ΑΗΛ τριγώνου ὀρθή ἐστιν, ἑκατέρα ἡ ὑπὸ ΗΑΛ καὶ ### book 93.10.2 ΑΛΗ ἡμίσεια ὀρθῆς ἐστιν. ὥστε ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΑΛ ### book 93.10.3 τῇ ὑπὸ ΑΛΗ. αἱ δὲ τὰς ἴσας ὑποτείνουσαι ἴσαι ἀλλήλαις ### book 93.10.4 εἰσίν· ὑποτείνει δὲ τὴν μὲν ὑπὸ ΗΑΛ γωνίαν ἡ ΗΛ, τὴν ### book 93.10.5 δὲ ὑπὸ ΗΛΑ ἡ ΑΗ· ἴση ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΗΛ. ἡ δὲ ΗΛ ### book 93.15.1 ἐλάττων ἐδείχθη τῆς ΑΨ· καὶ ἡ ΑΗ ἄρα ἐλάττων ἐστὶ ### book 93.15.2 τῆς ΑΨ. ### book 94.1 Ἐν ἄλλοις ἀντιγράφοις οὐκ ἔστιν ΗΛ, ἀλλὰ η͵α, ### book 94.2 ἤτοι τὸ ἦτα στοιχεῖον καὶ τὸ ἐπίσημον τῶν χίλια. ### book 95.1 Πολλῷ ἄρα ἡ ΑΨ τῆς ΑΗ· ἐπεὶ πλέον ἀπέχει τὸ Ψ ### book 95.2 σημεῖον τοῦ Η ἤπερ τὸ Φ διὰ τὸ καὶ τὴν ΑΨ μείζονα ### book 95.3 δεδεῖχθαι τῆς ΑΦ, οὐ ψαύσει· εἰ γὰρ ἔψαυεν, ἦν ἂν ἡ ΨΑ ### book 95.4 τῇ ΗΑ ἴση. ### book 96.1 Ἔστω ἡ ΒΔ ιβ, ἡ δὲ ΒΦ δ, ἡ δὲ ΦΔ η. ἡ οὖν ΒΔ ### book 96.2 ὁ ιβ ἡμιόλιός ἐστι πρὸς τὴν ΦΔ τὸν η· ἀλλὰ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ### book 96.3 ΔΒ, ΒΦ, τουτέστιν ὁ ὑπὸ τοῦ ιβ καὶ τοῦ δ, μη πρὸς τὸ ### book 96.4 ὑπὸ τῶν ΔΦ, ΦΒ, τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τοῦ η καὶ τοῦ δ, ### book 96.5.1 τὰ λβ, ἡμιόλιόν ἐστιν. ὡς γὰρ τὰ ιβ τῶν η ἡμιόλια, οὕτως ### book 96.5.2 τὰ μη τῶν λβ. ### book 97.1 Εἰπών, ὅτι ἡ ΑΒ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, σαφη‐ ### book 97.2 νίζων, ποίας σφαίρας, ἐπήγαγε· τῆς περὶ τὸ κέντρον τὸ Α, ### book 97 ὡς εἰ ἔλεγε· τῆς σφαίρας, ἧς κέντρον ἐστὶ τὸ Α. ### book 98.1 ἔστιν ἄρα ὡς p. 135, 15] ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν· ### book 98.2 ἀναλογία ἐστὶν ἡ τῶν λόγων ταυτότης. ἐτανύσθησαν οἱ λό‐ ### book 98.3 γοι, ὥσπερ ἐπὶ τῶν μεγεθῶν τὰ τοῦ αὐτοῦ τριπλάσια ἴσα ### book 98.4 ἀλλήλοις εἰσίν, οἱ τοῦ αὐτοῦ λόγου τριπλοῖ ἴσοι ἀλλήλοις ### book 98.5 καὶ ταὐτοί εἰσιν. ### book 99.1 ὡς δὲ ἡ ΛΜΝ σφαῖρα p. 136, 7] διὰ τὸ βʹ τοῦ ιβʹ· ### book 99.2 πληρώσας γὰρ τὴν τοῦ βʹ θεωρήματος ἀπόδειξιν οὕτως ### book 99 ἔδειξε τὸ προκείμενον. ### book 1.1 Ἐν τούτῳ τῷ βιβλίῳ, τουτέστι τῷ ιγʹ, γράφεται τὰ ### book 1.2 λεγόμενα Πλάτωνος ε σχήματα, ἃ αὐτοῦ μὲν οὐκ ἔστιν, ### book 1.3 τρία δὲ τῶν προειρημένων ε σχημάτων τῶν Πυθαγορείων ### book 1.4 ἐστίν, ὅ τε κύβος καὶ ἡ πυραμὶς καὶ τὸ δωδεκάεδρον, ### book 1.5.1 Θεαιτήτου δὲ τό τε ὀκτάεδρον καὶ τὸ εἰκοσάεδρον. τὴν δὲ ### book 1.5.2 προσωνυμίαν ἔλαβεν Πλάτωνος διὰ τὸ μεμνῆσθαι αὐτὸν ### book 1.5.3 ἐν τῷ Τιμαίῳ περὶ αὐτῶν· Εὐκλείδου δὲ ἐπιγράφεται καὶ ### book 1.5.4 τοῦτο τὸ βιβλίον διὰ τὸ στοιχειώδη τάξιν ἐπιτεθεικέναι ### book 1.5.5 καὶ ἐπὶ τούτου τοῦ στοιχείου. ### book 2.1 Ἄκρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα τετμῆσθαι λέγεται, ### book 2.2 ὅταν ᾖ ὡς ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα, οὕτως τὸ μεῖζον πρὸς ### book 2.3 τὸ ἔλαττον. αὕτη δέ ἐστιν ἄλογος· οὐχ ὑποπίπτει γὰρ ἀριθ‐ ### book 2.4 μῷ. ### book 3.1 Τοῦτό ἐστι τὸ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῆναι ### book 3.2 εὐθεῖαν, ὅταν τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων ### book 3.3 περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ᾖ τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμή‐ ### book 3.4 ματος τετραγώνῳ ὡς ἐπὶ τῆς ἐκκειμένης εὐθείας. ### book 4 πενταπλάσιον δύναται p. 137, 3. 4] δύναται εἶπεν, ### book 4.1 τουτέστιν ὅτι τὸ ἀπὸ τοῦ μείζονος τμήματος μετὰ τοῦ ἀπὸ ### book 4.2 τῆς ἡμισείας τῆς ὅλης πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ### book 4.3 ἡμισείας. ### book 5.1 καί ἐστι τὸ μὲν p. 137, 17] ἐπειδὴ τὸ ΑΕ τετράγωνον ### book 5.2 ὑπόκειται, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΕ. περιέχεται δὲ τὸ ΓΕ ### book 5.3 ὑπὸ τῶν ΕΒ, ΒΓ, δηλονότι ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιέχεται· ### book 5.4 ἴση γάρ, ὡς εἴρηται, ἡ ΑΒ τῇ ΒΕ. ### book 6.1 εἰσὶ δὲ καὶ p. 138, 4] τὰ γὰρ παραπληρώματα ἴσα ### book 6.2 ἐστὶν ἀλλήλοις διὰ τὸ μγʹ τοῦ αʹ. ### book 7.1 τετραπλάσιόν ἐστι p. 138, 8] τὰ γὰρ μήκει διπλάσια ### book 7.2 δυνάμει τετραπλάσια. ### book 8.1 τουτέστι τὸ ΑΕ τοῦ ΔΘ. p. 138, 9] τὰ γὰρ περὶ ### book 8.2 τὴν αὐτὴν διάμετρον τετράγωνά εἰσιν. ### book 9 Τοῦτο ἀντιστρόφιον τοῦ πρὸ αὐτοῦ. ### book 10.1 τετραπλάσιον ἄρα p. 139, 8] τὰ γὰρ μήκει διπλάσια ### book 10.2 δυνάμει τετραπλάσια. ### book 11.1 τουτέστι τὸ ΓΗ τοῦ ΑΘ. p. 139, 9] τετράγωνα ### book 11.2 γάρ. ### book 12.1 διπλάσιον ἄρα καὶ p. 139, 13] ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ### book 12.2 ὕψος. ### book 13.1 ἔστιν ἄρα ὡς p. 139, 24] ἐὰν γὰρ ὦσι τρεῖς εὐθεῖαι, ### book 13.2 καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ᾖ τῷ ἀπὸ τῆς μέσης, αἱ τρεῖς ### book 13.3 εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν. ### book 14.1 Ἡ διπλῆ τῆς ΓΑ ἢ ἴση ἐστὶ τῇ ΓΒ ἢ ἐλάσσων ἢ ### book 14.2 μείζων· ἴση δὲ ἢ ἐλάσσων οὐκ ἔστιν, ὡς δεικνύει· μείζων ### book 14.3 ἄρα ἡ διπλῆ τῆς ΓΑ τῆς ΓΒ· διὰ δʹ τοῦ βʹ βιβλίου. ### book 15.1 ὅπερ ἀδύνατον p. 140, 16] τὸ γὰρ ἀπὸ τῆς ΒΑ ### book 15.2 ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΓ, ΓΑ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΓ, ### book 15 ΓΑ, ὡς δέδεικται ἐν τῷ δʹ θεωρήματι τοῦ βʹ βιβλίου. ### book 16.1 Καὶ τὸ ἀντιστρόφιον· ἐὰν εὐθεῖα τμήματος ἑαυτῆς ### book 16.2 πενταπλάσιον δύνηται, ἡ τοῦ τμήματος διπλῆ προστεθεῖσα ### book 16.3 τῷ λοιπῷ τμήματι τὴν ὅλην ποιεῖ εἰς ἄκρον καὶ μέσον λό‐ ### book 16.4 γον τεμνομένην, καὶ τὸ μεῖζον ὄνομά ἐστιν ἡ προστεθεῖσα ### book 16.5 εὐθεῖα· δύναται δὲ εἶναι καὶ τὸ ἀντιστρόφιον τοῦ πρώτου. ### book 17.1 τετραπλάσιον ἄρα p. 141, 7] τὰ γὰρ μήκει διπλάσια ### book 17.2 δυνάμει τετραπλάσια. ### book 18 Ἀπεναντίον γάρ. —ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψος. ### book 19.1 Ἔστιν οὖν διπλάσιον εὑρεῖν ἐκ τῆς διαγωνίου, τρι‐ ### book 19.2 πλάσιον ἐκ τούτου τοῦ θεωρήματος, τετραπλάσιον ἐκ τοῦ ### book 19.3 μήκει διπλασίους εἶναι τὰς πλευράς, πενταπλάσιον ἐκ τοῦ ### book 19.4 πρώτου καὶ τρίτου, ἑξαπλάσιον διὰ τοῦ τριπλασίου· ἐκεί‐ ### book 19.5 νου γὰρ διπλάσιον ποιήσαντες ἔχομεν ἑξαπλάσιον. ### book 20.1 τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν p. 142, 16] ὅταν γὰρ εὐθεῖα ἄκρον ### book 20.2 καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ἐστὶ τῷ ### book 20.3 ἀπὸ τῆς μέσης. ### book 21.1 Ἄκρον γὰρ καὶ μέσον λόγον τμηθείσης τῆς ΑΒ ### book 21.2 κατὰ τὸ Γ ἁρμόττει ἐπ’ αὐτῆς τὸ ιζʹ θεώρημα τοῦ ϛʹ βι‐ ### book 21.3 βλίου τὸ λέγον· ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσι, τὸ ὑπὸ ### book 21.4 τῶν ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ### book 21.5 τῆς μέσης τετραγώνῳ. ### book 22 καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ p. 142, 21] παραπλήρωμα γάρ· ### book 22 διὰ τὸ μγʹ τοῦ αʹ. ### book 23.1 Ἐὰν p. 143, 13] ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον ### book 23.2 λόγον τμηθῇ, ἔσται ὡς συναμφότερος ἡ ὅλη καὶ τὸ μεῖζον ### book 23.3 τμῆμα πρὸς τὴν ὅλην, οὕτως ἡ ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα. ### book 24.1 ἀλλὰ τῷ μὲν ΓΕ p. 144, 3. 4] τῶν γὰρ παραπλη‐ ### book 24.2 ρωμάτων ἴσων ὄντων καὶ κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ΖΕ ### book 24.3 τὸ ΓΕ τῷ ΘΕ ἴσον ἐστί. ### book 25.1 ἐδείχθη ἴση p. 149, 6] ἡ αὐτὴ δεῖξις τῇ δεικνυούσῃ ### book 25.2 τὴν ὑπὸ ΕΔΓ γωνίαν ἴσην τῇ ὑπὸ ΑΒΓ ἤτοι τῇ ὑπο‐ ### book 25.3 τεταγμένῃ. ### book 26.1 Ἔδειξε τοῦτο, ἐν οἷς ἄνωθεν ἔλεγεν ἴσην εἶναι τὴν ### book 26.2 ὑπὸ ΒΑΓ ἤτοι τὴν ὑπὸ ΒΑΘ τῇ ὑπὸ ΑΒΕ ἤτοι τῇ ὑπὸ ### book 26.3 ΑΒΘ. ### book 27.1 ὁμοίως δὴ δείξομεν p. 149, 16] ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΓ ### book 27.2 ἴση τῇ ΒΕ, ὧν ἡ ΑΘ τῇ ΘΒ ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΘ λοιπῇ ### book 27.3 τῇ ΘΕ ἴση ἐστίν. ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΘ, ἡ ΑΓ πρὸς ### book 27.4 τὴν ΓΘ, καὶ ὡς ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΒ, ἡ ΓΘ πρὸς τὴν ΘΑ· ### book 27.5.1 καὶ ἡ ΑΓ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Θ, ### book 27.5.2 καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΓΘ. ### book 28 πενταπλασίων ἄρα p. 150, 8. 9] ὅτι μὲν ἡμικύκλιόν ### book 28.1 ἐστι τὸ ΑΓΒ, δῆλον· διάμετρος γάρ ἐστι τοῦ κύκλου ἡ ### book 28.2 ΒΑ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΓ περιφέρεια δέκατόν ἐστι μέρος τοῦ ### book 28.3 ὅλου κύκλου· δεκαγώνου γάρ ἐστι πλευρὰ ἡ ΒΓ· ἐπεὶ οὖν, ### book 28.5.1 ὡς εἴρηται, ἡ ΒΓ δέκατόν ἐστι μέρος τοῦ ὅλου κύκλου, ### book 28.5.2 τοῦ ἡμικυκλίου τοῦ ΑΒΓ πέμπτον ἐστίν. ### book 29.1 ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΕΓ γωνία p. 150, 14] ἐκτὸς γάρ ἐστι ### book 29.2 τοῦ ΒΕΓ τριγώνου, παντὸς δὲ τριγώνου ἡ ἐκτὸς δύο ταῖς ### book 29.3 ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση ἐστίν· ὥστε τῆς μιᾶς διπλασία ### book 29.4 ἐστίν. ### book 30.1 ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΛΑΝ p. 153, 23] τουτέστιν ἡ ὑπὸ ### book 30.2 ΚΛΑΝΒΘ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΒΘΝΑ γωνίᾳ ἐστὶν ἴση· ἡ ### book 30.3 γὰρ ΑΚ περιφέρεια τῇ ΚΒ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση. ### book 31.1 Μᾶλλον δὲ καὶ ἡ ΒΚ εὐθεῖα τῇ ΚΑ εὐθείᾳ ἴση ἐστὶ ### book 31.2 διὰ τὸ καὶ τὰς περιφερείας ἴσας εἶναι. ### book 32.1 Τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΝ καὶ ΒΑ, ΑΝ οὐδὲν ἄλλο ### book 32.2 ἐστὶν ἢ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΝ, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ### book 32.3 ΒΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ### book 32.4 ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΝ, τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΝ ### book 32.5.1 ἴσον δέδεικται τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΚ, ### book 32.5.2 συμπέρασμα, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ### book 32.5.3 ΒΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΚ. ### book 33 Ζήτει τὴν ἐλάσσονα ἐν τῷ ϙε τοῦ ιʹ. ### book 34.1 ῥητὴ δὲ ἡ ΑΖ· p. 155, 4] ῥητὴ ἡ ΑΖ, ὅτι ἡμίσεια ### book 34.2 τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου, ἡ δὲ ὑπόκειται ῥητή· τοῦτο δὲ ### book 34 διὰ τὸ ϛʹ τοῦ ιʹ. ### book 35.1 ὧν ἡ ΑΒΓ p. 155, 6. 7] ἀμφότερα γὰρ τὰ τμή‐ ### book 35.2 ματα ὑπὸ ἴσων δύο πλευρῶν τοῦ πενταγώνου ἀποτέμνον‐ ### book 35.3 ται. ### book 36.1 καὶ διπλῆ ἡ ΓΔ τῆς ΓΛ p. 155, 9] συναχθήσεται ### book 36.2 οὕτως· ἐὰν ἐπιζευχθῇ ἡ ΑΔ, ἴση ἔσται τῇ ΑΓ· τὰς γὰρ ### book 36.3 ἴσας περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν. ἀλλὰ καὶ αἱ ### book 36.4 πρὸς τῷ Α γωνίαι ἴσαι ἔσονται· ἐπὶ γὰρ ἴσων περιφερειῶν ### book 36.5.1 τῶν ΓΗ, ΗΔ βεβήκασιν. ἔστι δὲ κοινὴ ἡ ΑΛ. ὥστε δύο ### book 36.5.2 τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΓΛ, ΑΛΔ τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δυσὶ ### book 36.5.3 πλευραῖς ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὰς ὑπὸ τῶν ### book 36.5.4 ἴσων εὐθειῶν περιεχομένας γωνίας ἴσας· καὶ τὴν βάσιν ### book 36.5.5 ἄρα τῇ βάσει ἴσην ἕξουσι καὶ τὰς λοιπὰς γωνίας ταῖς λοιπαῖς ### book 36.10.1 γωνίαις. ὥστε ἴσαι ἔσονται αἱ πρὸς τῷ Λ γωνίαι ἀλλήλαις. ### book 36.10.2 ἴσαι δὲ καὶ αἱ ΓΛ, ΛΔ βάσεις· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΓΔ τῆς ### book 36.10.3 ΓΛ. ### book 37.1 ὡς δὲ ἡ τῆς ΜΖ διπλῆ p. 156, 5] τοῦτο δῆλον· ### book 37.2 ὡς γὰρ ἡ διπλῆ πρὸς τὴν ὅλην, οὕτως ἡ ἁπλῆ πρὸς τὴν ### book 37.3 ἡμίσειαν τῆς ὅλης. ἔστω γὰρ λόγου χάριν ἡ ΜΖ ιβ, ἡ δὲ ### book 37.4 ΖΑ ϛ· ὡς οὖν τὰ κδ τὰ διπλάσια τῶν ιβ πρὸς τὰ ϛ, οὕτως ### book 37.5 τὰ ιβ πρὸς τὰ γ τὰ ἡμίση τῶν ϛ. ### book 38.1 πενταπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ p. 157, 6. 7] ἔστω ἡ ΖΚ ### book 38.2 δίπους, ἡ δὲ ΒΖ ὀκτάπους· τετραπλασία ἄρα ἡ ὀκτάπους ### book 38.3 τῆς δίποδος. καὶ ἐπεὶ ὀκτάπους μέν ἐστιν ἡ ΒΖ, δίπους δὲ ### book 38.4 ἡ ΖΚ, ὅλη ἄρα ἡ ΒΚ δεκάπους ἐστίν. πενταπλασία ἄρα ἡ ### book 38.5.1 δεκάπους ἐστὶ τῆς ΖΚ τῆς δίποδος. ἔστι δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ### book 38.5.2 ΒΚ τετράγωνον τῆς δεκάποδος ἑκατοντάπουν, τὸ δὲ ἀπὸ ### book 38.5.3 τῆς ΖΚ τῆς δίποδος τετράπουν, τὸ δὲ ἑκατοντάπουν ### book 38.1 εἰκοσιπενταπλάσιόν ἐστι τοῦ τετράποδος. καὶ ἐπεὶ πεντα‐ ### book 38.2 πλάσιον ἐν τῷ παρόντι θεωρήματι προαποδέδεικται τὸ ### book 38.10.1 ἀπὸ τῆς ΜΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΚ, ἔστι δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΚ ### book 38.10.2 τετράπουν, τὸ ἀπὸ τῆς ΜΚ τὸ πενταπλάσιον αὐτοῦ ἔσται ### book 38.10.3 εἰκοσάπουν. ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ ἑκατοντάπουν ὂν πεν‐ ### book 38.10.4 ταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΜΚ εἰκοσάποδος. ### book 39.1 Εὐλόγως πενταπλάσιον τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ τοῦ ἀπὸ ### book 39.2 τῆς ΚΜ. τοῦ γὰρ ΖΚ τὸ ΚΜ πενταπλάσιον, οὗ ΖΚ ### book 39.3 εἰκοσιπενταπλάσιον τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ. λείπεται ἄρα πεν‐ ### book 39.4 ταπλάσιον εἶναι τοῦ οὗ μέρος γίνεται τὸ εἰκοσιπενταπλά‐ ### book 39.5 σιον ἤτοι τὸ ΖΚ ἤτοι τοῦ ΚΜ. ### book 40.1 λόγον οὐκ ἔχει p. 157, 8] οὐδὲ γὰρ ἔστιν εὑρεῖν ### book 40.2 ἀριθμὸν τετράγωνον τετραγώνου πενταπλάσιον. ### book 41.1 ἀναστρέψαντι ἄρα p. 157, 22] ἐπεὶ πενταπλάσιόν ### book 41.2 ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΜ, τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ ### book 41.3 δηλονότι τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΜ τέσσαρσιν ὑπερέχει. εἰ οὖν ### book 41.4 ἀναστρέψομεν, ἔσται τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ν ### book 41.5.1 μονάδι ὑπερέχον. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς Ν ὑπερεῖχε τοῦ ἀπὸ τῆς ### book 41.5.2 ΚΜ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΚ. εἰ οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ πέντε ἐστί, ### book 41.5.3 καὶ μονάδι ἔλαττόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς Ν τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΚ, τὸ ### book 41.5.4 ἀπὸ τῆς Ν πάντως τέσσαρα ἔσται. ὥστε λόγον ἕξει τὸ ἀπὸ ### book 41.5.5 τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ν, ὃν πέντε πρὸς δ. ἀναστροφὴ ### book 41.10.1 δὲ λόγου ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου πρὸς τὴν ὑπεροχήν, ᾗ ### book 41.10.2 ὑπερέχει τὸ ἡγούμενον τοῦ ἑπομένου. ### book 42.1 ἰσογώνιον γίνεσθαι p. 158, 11] ἔσται ἰσογώνια ### book 42.2 οὕτως· εἰ γὰρ ἐπιζεύξομεν τὴν ΑΘ, ὀρθὴ ἔσται ἡ πρὸς ### book 42.3 τῷ Α γωνία ὡς ἐν ἡμικυκλίῳ οὖσα. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ### book 42.4 ΑΜΒ γωνία ὀρθή· ἐδείχθη γάρ· καὶ κοινὴ τῶν δύο τρι‐ ### book 42.5 γώνων ἡ πρὸς τῷ Β· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΘΒ λοιπῇ ### book 42 τῇ ὑπὸ ΒΑΜ ἴση ἐστίν. ### book 43.1 Λῆμμα εἰς τὸ ιβʹ θεώρημα πρῶτον τόδε· ### book 43.2 Ἔστω τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ. λέγω, ὅτι τοῦ περὶ ### book 43.3 τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλου γραφομένου τὸ κέντρον ἐντός ### book 43.4 ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. μὴ γάρ, ἀλλ’ εἰ δυνατόν, ἔστω ### book 43.5.1 πρότερον ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ [Omitted graphic marker] ### book 43.5.2 ΑΔ. ἐπεὶ οὖν τὸ Δ σημεῖον κέντρον ### book 43.5.3 ἐστὶ τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ### book 43.5.4 κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ. ### book 43.5.5 ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΔ τῇ ### book 43.10.1 ὑπὸ ΔΑΒ ἴση ἐστίν. ὑπόκειται δὲ ### book 43.10.2 καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία τῇ ὑπὸ ### book 43.10.3 ΒΑΓ ἴση· ἰσόπλευρον γὰρ τὸ ΑΒΓ ### book 43.10.4 τρίγωνον. καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ἄρα τῇ ### book 43.10.5 ὑπὸ ΒΑΔ ἴση, ἡ μείζων τῇ ἐλάσ‐ ### book 43.15.1 σονι· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα τὸ κέν‐ ### book 43.15.2 τρον τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλου ἐστὶν ἐπὶ μιᾶς τῶν ### book 43.15.3 πλευρῶν. λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐκτός. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ### book 43.15.4 τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΒΕ. ἐπεὶ οὖν πάλιν τὸ ### book 43.15.5 Ε κέντρον ἐστὶ τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλου, ἴση ### book 43.20.1 ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ. ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΒ τῇ ὑπὸ ### book 43.20.2 ΑΒΕ ἐστιν ἴση. καί ἐστι μείζων ἡ ὑπὸ ΑΒΕ τῆς ὑπὸ ### book 43.20.3 ΑΒΓ. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ τῆς ὑπὸ ΑΒΓ μείζων ἐστίν. ### book 43.20.4 ἀλλὰ τῆς ὑπὸ ΒΑΕ μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ· πολλῷ ἄρα ### book 43.20.5 ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῆς ὑπὸ ΑΒΓ μείζων. ἀλλὰ καὶ ἴση· ἰσό‐ ### book 43.25.1 πλευρον γὰρ ὑπόκειται τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. οὐκ ἄρα οὐδὲ ### book 43.25.2 ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ κέντρον τοῦ κύκλου. ### book 43.25.3 ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν. ἐντὸς ἄρα· ### book 43 ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 44.1 Δεύτερον λῆμμα. ### book 44.2 Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ καὶ κάθετος ἡ ΑΔ ἐπὶ τὴν ΒΓ ### book 44.3 καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΔΑ. ### book 44.4 λέγω, ὅτι ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία. ἐπεὶ γὰρ τὸ ### book 44.5.1 ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ### book 44.5.2 ἀπὸ τῆς ΔΑ τετραγώνῳ, καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ [Omitted graphic marker] ### book 44.5.3 ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ἀπὸ τῆς ΔΑ. κοινὰ προσκείσθω τὰ ἀπὸ ### book 44.5.4 τῶν ΒΔ, ΔΓ τετράγωνα· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ μετὰ ### book 44.5.5 τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ, ἴσον ### book 44.10.1 ἐστὶ τῷ τε δὶς ἀπὸ τῆς ΑΔ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ. ### book 44.10.2 ἀλλὰ τὰ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, ### book 44.10.3 τὰ δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσα τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ ### book 44.10.4 τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ ### book 44.10.5 τετραγώνοις. ἐὰν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἴσον ᾖ τοῖς ἀπὸ τῶν ### book 44.15.1 ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις, ὀρθὴ ἔσται ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία· ### book 44.15.2 ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 45.1 Τρίτον λῆμμα. ### book 45.2 Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γω‐ ### book 45.3 νίαν. λέγω, ὅτι τὸ ἐπὶ τῆς ΒΓ γραφόμενον ἡμικύκλιον ### book 45.4 ἥξει καὶ διὰ τοῦ Α σημείου. τετμήσθω γὰρ ἡ ΒΓ δίχα ### book 45.5 κατὰ τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ, καὶ διὰ τοῦ Δ τῇ ΑΒ ### book 45.1 παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΕ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΓ, ### book 45.2 [Omitted graphic marker] καὶ παράλληλος ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ, ### book 45.3 καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, ὀρθὴ ### book 45.4 ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΔΕΓ. ἐπεὶ οὖν ### book 45.10.1 ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΓ, κοινὴ ### book 45.10.2 δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΔ, βάσις ### book 45.10.3 ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΔΓ ἐστιν ἴση. ἀλλὰ ἡ ΔΓ τῇ ΔΒ ### book 45.10.4 ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ΑΔ ἄρα τῇ ΔΒ ἐστιν ἴση. αἱ τρεῖς ἄρα ### book 45.10.5 αἱ ΓΔ, ΔΑ, ΔΒ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν ### book 45.15.1 τῷ Δ, διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΔΒ, ΔΑ, ΔΓ κύκλος γρα‐ ### book 45.15.2 φόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Α σημείου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 46.1 καὶ ἐπεί ἐστιν p. 161, 17] πόθεν φαίνεται, ὡς ἡ ### book 46.2 ΑΓ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΓΒ; εἰ γὰρ ἐπι‐ ### book 46.3 ζεύξομεν τὴν ΔΒ, ἴση ἔσται ἡ ὑπὸ ΑΔΒ γωνία τῇ ὑπὸ ### book 46.4 ΑΓΔ· ὀρθὴ γὰρ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΔΒ ὡς ἐν ἡμικυκλίῳ οὖσα. ### book 46.5.1 καὶ κοινὴ τῶν β τριγώνων τοῦ τε ΑΓΔ καὶ τοῦ ΑΔΒ ἡ ### book 46.5.2 πρὸς τῷ Α γωνία. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΓ λοιπῇ τῇ ### book 46.5.3 ὑπὸ ΑΒΔ ἐστιν ἴση. εἰ οὖν ἡ ὑπὸ ΑΔΓ γωνία τῇ ὑπὸ ### book 46.5.4 ΑΒΔ ἐστιν ἴση, εἰσὶ δὲ καὶ αἱ πρὸς τῷ Γ ἐφεξῆς γωνίαι ### book 46.5.5 ὀρθαὶ καὶ διὰ τοῦτο ἴσαι, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Α γω‐ ### book 46.10.1 νία λοιπῇ τῇ τοῦ ΓΔΒ τριγώνου. ἀνάλογον ἄρα ὡς ἡ ΑΓ ### book 46.10.2 πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΓΒ, ὡς ἐν τῷ δʹ ### book 46.10.3 τοῦ ϛʹ δέδεικται. ### book 47.1 ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ε p. 162, 2] εἰ γὰρ οὐχ ἥξει διὰ ### book 47.2 τοῦ Ε, συμβαίνει ἄτοπον· ἡ ἐκτὸς γωνία ἴση γὰρ τῇ ἐντὸς ### book 47.3 καὶ ἀπεναντίον τοῦ τριγώνου. ### book 48 διὰ τὸ ἰσογώνιον γίνεσθαι p. 162, 4] ἰσογώνια γί‐ ### book 48.1 νονται τὰ τρίγωνα διὰ τὸ ϛʹ τοῦ ϛʹ. πόθεν δὲ δῆλον, ὅτι ### book 48.2 ὀρθογωνίου γινομένου τοῦ ΚΕΛ τριγώνου τὸ ἐπὶ τῆς ΚΛ ### book 48.3 γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει διὰ τῆς πρὸς τῷ Ε ὀρθῆς ### book 48.5.1 γωνίας; ἡ μὲν γὰρ ἐν ἡμικυκλίῳ γωνία ὀρθή ἐστιν, ἄδηλον ### book 48.5.2 δέ, εἰ καὶ ἀντιστρέφει. φαμὲν οὖν οὕτως· ἔστω τρίγωνον ### book 48.5.3 ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν. ### book 48.5.4 λέγω, ὅτι τὸ ἐπὶ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευ‐ ### book 48.5.5 ρᾶς τῆς ΑΓ γραφόμενον ἡμικύκλιον διὰ τοῦ Β ἐλεύσεται. ### book 48.10.1 εἰ γὰρ μὴ δι’ αὐτοῦ ἔλθοι, εἴτε ὑπερβαλεῖ πάντως τὸ Β ### book 48.10.2 καὶ ὑπεράνω τῆς πρὸς τῷ Β ὀρθῆς γωνίας πεσεῖται εἴτε ### book 48.10.3 ἐλλείψει καὶ τεμεῖ τὰς ΑΒ, ΒΓ εὐθείας. ὑπερβαλέτω πρό‐ ### book 48.10.4 τερον καὶ πιπτέτω ἐκτὸς τοῦ Β σημείου ὡς τὸ ΑΔΓ ### book 48.10.5 ἡμικύκλιον, καὶ ἤχθω ἐπ’ εὐθείας τῇ ΑΒ εὐθεῖα ἡ ΒΔ, ### book 48.15.1 καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΓ. ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ [Omitted graphic marker] ### book 48.15.2 γωνία, ὀρθή ἐστι καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΓ ἐφεξῆς αὐτῇ. ἔστι δὲ ### book 48.15.3 καὶ ἡ ὑπὸ ΑΔΓ γωνία ὀρθὴ καὶ ἐν ἡμικυκλίῳ οὖσα. τρι‐ ### book 48.15.4 γώνου δὴ τοῦ ΔΒΓ αἱ β γωνίαι δύο ὀρθῶν οὐκ εἰσὶν ### book 48.15.5 ἐλάσσονες· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τὸ ἐπὶ τῆς ΑΓ γρα‐ ### book 48.20.1 φόμενον ἡμικύκλιον ὑπερβαλεῖ τὴν πρὸς τῷ Β ὀρθὴν γω‐ ### book 48.20.2 νίαν. ἀλλὰ δὴ ἐλλειπέτω τὸ ἐπὶ τῆς ΑΓ γραφόμενον ἡμι‐ ### book 48.20.3 κύκλιον ὡς τὸ ΑΕΖΓ, καὶ τεμνέτω τὰς ΑΒ, ΒΓ εὐθείας ### book 48.20.4 κατὰ τὰ Ε, Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ. ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ### book 48.20.5 γωνία ὀρθή ἐστι· ὑπόκειται γάρ· ἔστι δὲ ὀρθὴ καὶ ἡ ὑπὸ ### book 48.25 ΒΕΓ ἐφεξῆς οὖσα τῇ ὑπὸ ΑΕΓ ὀρθῇ ἐν ἡμικυκλίῳ ### book 48.1 οὔσῃ· ὥστε τριγώνου τοῦ ΒΕΓ ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΓ ### book 48.2 ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΕΒΓ· ἀλλὰ καὶ ### book 48.3 μείζων ἀναγκάζεται εἶναι· ὅπερ ἄτοπον. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ ### book 48.4 τῆς ΑΓ γραφόμενον ἡμικύκλιον οὔτε ὑπὲρ τὸ Β οἷόν τε ### book 48.30.1 ἐλθεῖν οὔτε ἐλλεῖψαι καὶ τὸ τρίγωνον τεμεῖν, ὥστε διὰ τοῦ ### book 48.30.2 Β ἐλεύσεται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 49.1 σφαίρᾳ περιλαβεῖν p. 165, 9] περίληψις συναποδει‐ ### book 49.2 κνυμένην ἔχουσα τὴν σύγκρισιν τῆς διαμέτρου τοῦ περι‐ ### book 49.3 λαμβάνοντος πρὸς τὴν πλευρὰν τοῦ περιλαμβανομένου. ### book 50.1 τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΛΜ p. 165, 21] ἰσόπλευρον ἀπ‐ ### book 50.2 εδείχθη τὸ ΛΕΘ τρίγωνον, τούτου δὲ ὄντος, ἐπειδὴ ἡ ΔΒ ### book 50.3 ἴση κεῖται τῇ ΕΘ, ἡ δὲ ΕΘ ἴση ἐστὶ τῇ ΛΕ διὰ τὸ τὸ ### book 50.4 τρίγωνον εἶναι ἰσόπλευρον, καὶ ἡ ΔΒ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ ΛΕ. ### book 50.5.1 καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἴση ἐστὶ τῇ ΛΜ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΛΕ, ἔστι ### book 50.5.2 δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΒ, καὶ τὸ ἀπὸ ### book 50.5.3 τῆς ΜΛ ἄρα διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΕ. ἔστι δὲ ἡ ### book 50.5.4 ΜΛ διάμετρος τῆς σφαίρας, ἡ δὲ ΛΕ πλευρὰ τοῦ ὀκτα‐ ### book 50.5.5 έδρου· ἡ διάμετρος ἄρα ἡ ΛΜ δυνάμει διπλασίων ἐστὶ τῆς ### book 50.10 ΛΕ πλευρᾶς. ### book 51.1 ὡς δὲ ἡ ΑΒ p. 165, 23] πόθεν, ὅτι ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ### book 51.2 τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ; καὶ ### book 51.3 λέγομεν, ὅτι ἐπιζευγνυμένης τῆς ΑΔ ὀρθογώνιον γίνεται ### book 51.4 τὸ ΑΔΒ τρίγωνον· καὶ ἀπὸ τῆς πρὸς τῷ Δ γωνίας κάθετος ### book 51.5.1 ἐπὶ τὴν ΑΒ βάσιν ἦκται ἡ ΔΓ, ὡς γίνεσθαι διὰ τὸ πόρισμα ### book 51.5.2 τοῦ ηʹ τοῦ ϛʹ τῆς ΑΒ βάσεως καὶ τοῦ ἑνὸς τῶν τῆς βάσεως ### book 51.5.3 τμημάτων τὴν πρὸς τῷ τμήματι πλευρὰν μέσην ἀνάλογον ### book 51.5.4 τὴν ΔΒ· ὥστε ἔσται ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ ἤγουν ὡς ἡ ### book 51.5.5 πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης τῆς ### book 51.10 ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τῆς ΔΒ ὡς ἐν τῷ πορίσματι ### book 51 τοῦ κʹ τοῦ ϛʹ φησίν. ### book 52.1 Διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν ὑπὸ ΚΕΗ γωνίαν· ὅτι δὲ ### book 52.2 ἥξει, ἐν τῷ ιγʹ διὰ σχολίου ἀπεδείχθη. ### book 53.1 ὥστε καὶ ἐὰν p. 167, 21] ἐπιζευγνυμένης τῆς ΖΚ ### book 53.2 ὀρθὴ γίνεται ἡ ὑπὸ ΖΚΗ γωνία· ὀρθὴ δὲ διὰ τὴν ΗΖ ### book 53.3 ὀρθὴν οὖσαν πρὸς τὸ ΖΚ ἐπίπεδον καὶ πρὸς πάσας ἄρα ### book 53.4 τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ αὐτῷ ἐπι‐ ### book 53.5 πέδῳ ὀρθὰς ποιεῖν γωνίας. ### book 54.1 ὡς δὲ ἡ ΑΒ p. 168, 7] τοῦτο ἐν τῷ πρὸ τούτου ἐδεί‐ ### book 54.2 χθη διὰ σχολίου, ὃ καὶ ἐν τῇ ἀρχῇ τοῦ κατ... κεῖται, ὅτι ### book 54.3 διὰ τὸ πόρισμα τοῦ ηʹ τοῦ ϛʹ καὶ τοῦ κʹ τοῦ ϛʹ. ### book 55.1 τὸ ΛΜΝΞΟ p. 169, 8] ΛΜΝΞΟ τὰς ΛΜ, ΜΝ, ### book 55.2 ΝΞ, ΞΟ, ΟΛ λέγει, καί εἰσι τοῦ μὲν προτέρου πενταγώ‐ ### book 55.3 νου πλευραὶ αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΚ, ΚΕ. ἐδήλωσε δὲ τὴν ### book 55.4 μὲν ΕΖ διὰ τοῦ Ε, τὴν δὲ ΖΗ διὰ τοῦ Ζ, τὴν δὲ ΗΘ διὰ ### book 55.5.1 τοῦ Η, τὴν δὲ ΘΚ διὰ τοῦ Θ, τὴν δὲ ΚΕ διὰ τοῦ Κ. καὶ ### book 55.5.2 τοῦ μὲν προτέρου πενταγώνου αὗται, τοῦ δὲ δευτέρου αἱ ### book 55.5.3 ΛΜ, ΜΝ, ΝΞ, ΞΟ, ΟΛ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΟΛ πενταγώνου ἐστὶ ### book 55.5.4 πλευρά, ἡμίσεια δὲ αὐτῆς ἡ ΕΟ, ἡ ΟΕ ἄρα δεκαγώνου ### book 55.5.5 ἐστὶ πλευρά. ### book 56.1 καὶ ἐπεὶ ἑξαγώνου p. 169, 25] ἴση γὰρ ὑπόκειται ### book 56.2 τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου. ### book 57.1 Ἐπεὶ δέδοται ἡ ΠΕ ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, ἑξαγώ‐ ### book 57.2 νου ἄρα ἐστὶ πλευρὰ διὰ πόρισμα τοῦ ιεʹ τοῦ δʹ. ### book 58.1 καὶ τὸ μεῖζον p. 171, 19. 20] ἡ γὰρ ΦΧ ἑξαγώνου ### book 58.2 ἐστὶ πλευρά, ἡ δὲ ΧΩ δεκαγώνου, μείζων δὲ ἡ τοῦ ἑξαγώ‐ ### book 58 νου τῆς τοῦ δεκαγώνου. ### book 59.1 ἴση δὲ ἡ μὲν ΩΦ p. 172, 2] ἐπειδὴ ἡ ΩΧ καὶ ### book 59.2 ἡ ΦΨ ἴσαι εἰσί· δεκαγώνου γάρ εἰσι πλευραὶ τοῦ εἰς τὸν ### book 59.3 αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένου· κοινὴ δὲ ἡ ΦΧ, ἡ ΩΦ ἄρα ### book 59.4 ἴση ἐστὶ τῇ ΧΨ. ### book 60.1 Ἀμφότεραι γὰρ δεκαγώνου τοῦ εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ### book 60.2 ἐγγραφομένου, κοινὴ δὲ ἡ ΦΧ· ἡ ΩΦ ἄρα τῇ ΧΨ ἐστιν ### book 60.3 ἴση. ### book 61.1 πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ p. 172, 18] ἐπεὶ πεντα‐ ### book 61.2 πλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΩΑʹ τοῦ ἀπὸ τῆς ΧΑʹ, ἔστι ### book 61.3 δὲ τῆς ΩΑʹ διπλῆ ἡ ΩΨ, τῆς δὲ ΧΑʹ διπλῆ ἡ ΧΦ, καὶ τὸ ### book 61.4 ἀπὸ τῆς ΩΨ ἄρα πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΧΦ. εἰ ### book 61.5.1 γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ἁπλῆς πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ### book 61.5.2 ἁπλῆς, καὶ τὸ ἀπὸ τῆς διπλῆς πενταπλάσιον ἔσται τοῦ ### book 61.5.3 ἀπὸ τῆς διπλῆς· οἷον εἰ τὰ πέντε πενταπλάσιά ἐστι τοῦ ### book 61.5.4 ἑνός, καὶ τὰ δέκα τὰ διπλάσια τῶν πέντε πενταπλάσια ### book 61.5.5 ἔσται τῶν δύο τῶν διπλασίων τοῦ ἑνός. ### book 62.1 ἔστι δὲ καὶ ἡ ΦΥ p. 175, 24] παραλληλόγραμμον ### book 62.2 γάρ ἐστι τὸ ΡΣΦΥ χωρίον, τῶν δὲ παραλληλογράμμων ### book 62.3 χωρίων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι τε καὶ πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις ### book 62.4 εἰσίν· ὥστε ἴση ἐστὶν ἡ ΣΡ τῇ ΦΥ. διπλῆ δὲ ἡ ΣΡ τῆς ### book 62.5.1 ΟΡ· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΦΥ τῆς ΟΡ. ἴση δὲ ὑπόκειται ἡ ΟΡ ### book 62.5.2 τῇ ΡΥ· διπλῆ ἄρα ἡ ΦΥ τῆς ΡΥ. ### book 63.1 ὁμοίως δὴ δειχθήσεται p. 176, 2] δειχθήσεται δὲ ### book 63.2 ἑκατέρα τῶν ΒΧ, ΧΓ ἴση ἑκατέρᾳ τῶν ΒΥ, ΥΦ οὕτως· ### book 63.3 ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τῶν Β, Γ σημείων ἐπὶ τὸ Τ αἱ ΒΤ, ### book 63.4 ΓΤ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΠΘ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ ### book 63.5.1 τὸ Τ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστι τὸ ΠΤ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ### book 63.5.2 ΠΘ, ΘΤ τριπλάσια τοῦ ἀπὸ ΠΤ. ἡ δὲ ΠΘ ἑκατέρᾳ τῶν ### book 63.5.3 ΒΘ, ΘΓ ἴση ἐστίν, ἡ δὲ ΠΤ τῇ ΤΧ· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ### book 63.5.4 ΒΘ, ΘΤ τριπλάσια τοῦ ἀπὸ ΤΧ. ὁμοίως καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ### book 63.5.5 ΓΘ, ΘΓ τριπλάσια τοῦ ἀπὸ ΤΧ. ἀλλὰ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΘ, ### book 63.10.1 ΘΤ ἴσα τῷ ἀπὸ ΒΤ· ὁμοίως καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΘ, ΘΤ ἴσα ### book 63.10.2 τῷ ἀπὸ ΓΤ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΤ τριπλάσιον τοῦ ἀπὸ ΤΧ· ### book 63.10.3 ὁμοίως καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΤ τριπλάσιον τοῦ ἀπὸ ΤΧ. τὰ ### book 63.10.4 ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΤ, ΤΧ τετραπλάσια τοῦ ἀπὸ ΤΧ. ἀλλὰ ### book 63.10.5 τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΤ, ΤΧ ἴσον τὸ ἀπὸ ΒΧ· ὡσαύτως καὶ τοῖς ### book 63.15.1 ἀπὸ τῶν ΓΤ, ΤΧ ἴσον τὸ ἀπὸ ΓΧ. τὸ ἄρα ἀφ’ ἑκατέρας ### book 63.15.2 τῶν ΒΧ, ΓΧ τετραπλάσιον τοῦ ἀπὸ ΤΧ. διπλῆ ἄρα ἑκα‐ ### book 63.15.3 τέρα τῶν ΒΧ, ΓΧ τῆς ΧΤ. ἀλλὰ ἡ ΧΤ ἴση τῇ ΥΡ· ἴση ### book 63.15.4 ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΒΧ, ΓΧ ἑκατέρᾳ τῶν ΒΥ, ΥΦ. ### book 63.15.5 ὁμοίως δὴ καὶ τὴν ΦΓ δείξομεν ἴσην ταῖς τέτρασιν ἐπι‐ ### book 63.20.1 ζεύξαντες τὴν ΣΓ καὶ λαβόντες εἰς τὴν ἀπόδειξιν τὴν ### book 63.20.2 ΞΓ ἴσην τῇ ΟΞ. ἴσαι ἄρα πᾶσαι αἱ τοῦ πενταγώνου ### book 63.20.3 πλευραί εἰσι πρὸς ἀλλήλας. ἕξομεν δὲ καὶ τὴν ὑπὸ ΥΦΓ ### book 63.20.4 γωνίαν ἴσην τῇ ὑπὸ ΒΧΓ, εἰ λάβοιμεν ἀντὶ τῆς ΝΣ τὴν ### book 63.20.5 ΟΞ καὶ ἐπιζεύξαιμεν τὴν ΡΓ, ΥΓ καὶ τοῖς ῥηθεῖσιν ἐπὶ ### book 63.25.1 τῇ ἀποδείξει τοῦ ἴσας εἶναι τὰς πρὸς τοῖς Υ, Χ γωνίας καὶ ### book 63.25.2 ἡμεῖς χρησαίμεθα. ### book 64.1 Ἐπεὶ γὰρ ἑκατέρα τῶν ΥΦ, ΒΓ τῇ ΡΣ ἐστι παράλ‐ ### book 64.2 ληλος, καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι διὰ τὸ θʹ τοῦ ιαʹ. καὶ ### book 64.3 ἐπεὶ ἡ ΨΧ καὶ ἡ ΒΓ τέμνουσιν ἀλλήλας, ἐν ἑνί εἰσιν ### book 64.4 ἐπιπέδῳ διὰ τὸ δεύτερον τοῦ ιαʹ· ἐν δὲ τῷ δι’ αὐτῶν ἐπι‐ ### book 64.5.1 πέδῳ τὸ πεντάγωνόν ἐστιν· ἐν ἑνὶ ἄρα ἐστὶν ἐπιπέδῳ τὸ ### book 64.5.2 πεντάγωνον. ### book 65.1 Σχόλιον. διὰ βʹ τοῦ ιαʹ δεῖ ἐπιζεῦξαι καὶ τὰς ΧΥ, ### book 65.2 ΥΦ εὐθείας διὰ ιηʹ τοῦ ιαʹ τελέως ἀποδεῖξαι τὸ πεντά‐ ### book 65.3 γωνον ἐν ἑνὶ ὂν ἐπιπέδῳ ἢ διὰ αʹ τοῦ ιαʹ. ### book 66.1 Ἐὰν δύο εὐθεῖαι τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὦσι, ### book 66.2 παράλληλοί εἰσιν αἱ εὐθεῖαι διὰ ϛʹ τοῦ ιαʹ. αἱ ΡΥ, ΣΦ ### book 66.3 εὐθεῖαι παράλληλοι ἀλλήλαις εἰσίν. εἰσὶ δὲ καὶ ἴσαι .... ### book 66.4 αὐταῖς τὰς ΡΟ, ΟΣ ἀλλήλαις εἶναι· αὗται δὲ ἴσαι εἰσὶ διὰ ### book 66.5.1 αʹ τοῦ ιγʹ. καὶ αἱ ΥΦ, ΡΣ ἴσαι καὶ παράλληλοί εἰσι. ### book 66.5.2 παράλληλος δὲ ἡ ΡΣ τῇ ΒΓ· καὶ ἡ ΥΦ ἄρα τῇ ΒΓ παρ‐ ### book 66.5.3 άλληλός ἐστι διὰ θʹ τοῦ ιαʹ, καὶ αἱ ΒΥ, ΓΦ ἐν τῷ αὐτῷ ### book 66.5.4 ἐπιπέδῳ εἰσὶ ταῖς ΥΦ, ΒΓ παραλλήλοις· τὸ ΡΒΓΦ ἐν ### book 66.5.5 ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ. ### book 67.1 ἴση δὲ ἡ μὲν ΝΣ p. 178, 23] δείκνυσι τὴν ΨΩ ἴσην ### book 67.2 τῇ ΝΣ οὕτως· ἐπειδὴ ἡ ΟΩ ἡμίσειά ἐστι τῆς πλευρᾶς ### book 67.3 τοῦ κύβου, ἔστι δὲ ἡμίσεια τῆς πλευρᾶς τοῦ κύβου καὶ ἡ ### book 67.4 ΝΟ, αἱ ΝΟ καὶ ΟΩ ἴσαι εἰσίν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΨΟ· ὑπό‐ ### book 67.5.1 κειται γὰρ τοῦτο· ἔστι δὲ καὶ ἡ ΨΟ τῇ ΟΣ ἴση· τοῖς δὲ ### book 67.5.2 ἴσοις ἴσα ἂν προστεθῇ, τὰ ὅλα ἴσα ἐστίν. ἴση ἄρα ἡ ΝΣ ### book 67.5.3 τῇ ΨΩ. ἔστιν οὖν, ὡς εἴρηται, ἡ ΝΟ τῇ ΟΩ ἴση, ἡ δὲ ### book 67.5.4 ΨΟ τῇ ΟΣ ἴση, καὶ αἱ ΨΟ, ΟΩ ἴσαι εἰσὶ ταῖς ΝΟ, ΟΣ ### book 67.5.5 ἤτοι ἡ ΨΩ τῇ ΝΣ. ### book 68.1 τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν p. 178, 25] ἐπειδὴ τὰ ἀπὸ τῶν ### book 68.2 ΝΣ, ΣΟ τριπλάσιά εἰσι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΟ, ἐδείχθη δὲ ἡ ### book 68.3 ΨΩ τῇ ΝΣ ἴση, ἡ δὲ ΣΟ τῇ ΨΥ ἴση, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΩΨ, ### book 68.4 ΨΥ τριπλάσιά εἰσι τοῦ ἀπὸ τῆς ΟΝ. ῥητέον οὖν οὕτως· ### book 68.5.1 τὰ ἀπὸ τῶν ΝΣ, ΣΟ, τουτέστι τὰ ἀπὸ τῶν ΩΨ, ΨΥ, τρι‐ ### book 68.5.2 πλάσιά εἰσι τοῦ ἀπὸ τῆς ΟΝ. ### book 69.1 ἐὰν δὲ ῥητὴ γραμμὴ p. 180, 10] ῥητὴ γὰρ ἡ ΑΒ ### book 69.2 ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔστω ### book 69.3 μεῖζον τὸ ΑΓ. προσκείσθω δὲ ἡ ΑΔ ἡμίσεια τῆς ΑΒ· ### book 69.4 ῥητὴ ἄρα καὶ ἡ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ πενταπλάσιον τὸ ἀπὸ ΓΔ ### book 69.5.1 τοῦ ἀπὸ ΔΑ, αἱ ΓΔ, ΔΑ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον [Omitted graphic marker] ### book 69.5.2 σύμμετροι· ἀποτομὴ ἄρα ἡ ΑΓ. ῥητὴ δὲ ἡ ΑΒ· τὸ δὲ ἀπὸ ### book 69.5.3 ἀποτομῆς παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀπο‐ ### book 69.5.4 τομήν· ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ. ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΓ, ### book 69.5.5 ΓΒ ἀποτομή ἐστιν, προσαρμόζουσα δὲ τῆς μὲν ΑΓ ἡ ΑΔ, ### book 69.10 τῆς δὲ ΓΒ ἡ ΓΔ. ### book 70.1 Ἔστω ἡ ΑΒ ιβ· αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα ϛ εἰσι· διπλῆ ἄρα ἡ ### book 70.2 ΑΒ τῆς ΓΒ. πάλιν ἔστω ἡ ΑΔ ὀκτώ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΒ ### book 70.3 δ ἐστι. καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΒ ϛ ἐστι, ἡ δὲ ΔΒ δ, ἡ ΔΓ ἄρα β ### book 70.4 ἐστι· ἡ ΔΒ ἄρα ἡ δ τῆς ΔΓ τῆς β διπλῆ ἐστι. ### book 71.1 ὡς δὲ ἡ ΒΑ p. 181, 8] ἴση γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΖΒ ### book 71.2 γωνία τῇ ὑπὸ ΑΔΖ· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα. καὶ διὰ τὸ εἶναι ### book 71.3 ἰσογώνια ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΖ, οὕτως ἡ ΑΖ ### book 71.4 πρὸς τὴν ΑΔ. καί εἰσι πρώτη μὲν ἡ ΒΑ, δευτέρα ἡ ΑΖ ### book 71.5.1 καὶ τρίτη ἡ ΑΔ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, ### book 71.5.2 οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας. ### book 72.1 ἴση δὲ ἡ ΘΓ p. 182, 12] ἄκουσον, διότι ἴση ἡ ΘΓ ### book 72.2 τῇ ΓΒ. δίχα γὰρ τέτμηται ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Γ σημεῖον· ### book 72.3 ὥστε τὸ Γ κέντρον ἐστὶ τοῦ ἡμικυκλίου τοῦ ΑΕΒ. αἱ δὲ ### book 72.4 ἀπὸ τοῦ κέντρου πρὸς τὴν περιφέρειαν ἴσαι· ἴση ἄρα ἡ ### book 72.5.1 ΓΘ τῇ ΓΑ· ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΓΒ· καὶ ἡ ΓΘ ἄρα τῇ ΓΒ ἴση ### book 72.5.2 ἐστί. ### book 73.1 λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΔ p. 182, 14] ἔστω ἡ ΑΒ δωδεκά‐ ### book 73.2 πους· αἱ ΑΓ, ΓΒ ἄρα ἑξάποδές εἰσι· διπλῆ ἄρα ἡ ΑΒ τῆς ### book 73.3 ΓΒ. πάλιν ἔστω ἡ ΑΔ ὀκτάπους· λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΒ τετρά‐ ### book 73.4 πους ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΓ ἑξάπους ἐστί, ἡ δὲ ΔΒ τετρά‐ ### book 73.5 πους, ἡ ΔΓ ἄρα δίπους ἐστίν. ἡ ΒΔ ἄρα ἡ τετράπους τῆς ### book 73 ΔΓ τῆς δίποδος διπλῆ ἐστιν. ### book 74.1 ἡ ΝΒ ἄρα δωδεκαέδρου p. 183, 17] ἡ γὰρ τοῦ κύ‐ ### book 74.2 βου πλευρὰ δωδεκαέδρου ἦν, ἀλλὰ καὶ ἄκρον καὶ μέσον ### book 74.3 λόγον ἐτέμνετο. ### book 75.1 Ὥστε μεγίστη μὲν ἡ τῆς πυραμίδος πλευρά, ταύτῃ ### book 75.2 δὲ ἑξῆς ἡ τοῦ ὀκταέδρου καὶ μετ’ αὐτὴν ἡ τοῦ κύβου καὶ ### book 75.3 μετ’ αὐτὴν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ μετ’ αὐτὴν ἡ τοῦ δωδε‐ ### book 75.4 καέδρου. ### book 76 ἡμιολία p. 183, 26] τὰ γὰρ ϛ τοῦ δ ἡμιόλια. ### book 77.1 Ἡ μείζων πλευρὰ τὴν μείζονα γωνίαν ὑποτείνει. καὶ ### book 77.2 ἐπεὶ ἡ ΜΒ τὴν ὑπὸ ΜΛΒ γωνίαν ὑποτείνει, ἡ δὲ ΜΛ ### book 77.3 τὴν ὑπὸ ΜΒΛ, μείζων δὲ ἡ ὑπὸ ΜΛΒ τῆς ὑπὸ ΜΒΛ, ### book 77.4 μείζων ἄρα καὶ ἡ ΜΒ τῆς ΜΛ. ἀλλὰ πόθεν δῆλον, ὅτι ἡ ### book 77.5.1 ὑπὸ ΜΛΒ γωνία μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΜΒΛ; ἢ ἐπειδὴ ### book 77.5.2 τοῦ τριγώνου τοῦ ΜΛΒ αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ### book 77.5.3 ἴσαι εἰσίν, ἔστι δὲ ἡ ὑπὸ ΜΛΒ ὀρθή· ἡ ὑπὸ ΜΒΛ ἄρα ### book 77.5.4 ἐλάττων ὀρθῆς ἐστιν. ### book 78.1 Ἔστω ἡ ὀρθὴ μοίρας μιᾶς· δῆλον δή, ὅτι λεπτῶν ἐστιν ### book 78.2 ξ. ἐπεὶ οὖν αἱ τρεῖς τοῦ τριγώνου δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ### book 78.3 αἱ δὲ δύο ὀρθαὶ ρκ λεπτῶν εἰσιν, ἑκάστη τῶν τριῶν γω‐ ### book 78.4 νιῶν ἀνὰ μ ἔσται λεπτῶν. τὰ δὲ μ λεπτὰ δίμοιρόν εἰσι τῶν ### book 78.5.1 ξ λεπτῶν ἤτοι τῆς μοίρας. ἐπεὶ γὰρ τὰ κ τρίτον εἰσὶ τῶν ξ, ### book 78.5.2 τὰ μ δίμοιρόν ἐστι τῶν ξ. ### book 79.1 Ἄκρον γὰρ καὶ μέσον λόγον τέτμηται ἡ ΒΖ κατὰ ### book 79.2 τὸ Ν, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ### book 79.3 μέσης. ### book 80 Σφαῖρα ϛ πυραμίς δ ὀκτάεδρον γ κύβος β. ### book 81.1 Πυραμίδα τῷ πυρί, ὀκτάεδρον ἀέρι, κύβον τῇ γῇ, ### book 81.2 εἰκοσάεδρον ὕδατι, δωδεκάεδρον τῷ παντί. ### book 82.1 Τί ἐστι τὸ κατὰ ἀνάλυσιν; ὅταν προβλήματος δο‐ ### book 82.2 θέντος λάβῃ τις τὸ ζητούμενον ὡς εὑρημένον καὶ ἀναλύσῃ ### book 82.3 ἐπί τι γνώριμον τῶν ἤδη προαποδεδειγμένων, καὶ ὅταν ### book 82.4 εὕρῃ, λελύσθαι λέγεται τότε τὸ πρόβλημα κατὰ ἀνάλυ‐ ### book 82.5 σιν:~ Τί ἐστι τὸ κατὰ σύνθεσιν; ὅταν τις ἀπὸ τῶν γνωρί‐ ### book 82 μων ἀρξάμενος καὶ συνθεὶς εὕρηται τὸ ζητούμενον. ### book 1.1 καὶ κείσθω τῇ ΕΖ p. 2, 24] ἡ γὰρ ΔΕ μείζων τῆς ### book 1.2 ΕΖ. ὅτι δὲ μείζων ἡ ΔΕ τῆς ΕΖ, δῆλον ἐκ τοῦ δύνασθαι ### book 1.3 τὴν μὲν ΔΓ ἑξαγώνου πλευρὰν οὖσαν τὰ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ### book 1.4 ΕΓ, τὴν δὲ ΖΓ δεκαγώνου οὖσαν τὰ ἀπὸ τῶν ΖΕ, ΕΓ. ### book 1.5.1 ἐπεὶ οὖν ἡ ΔΓ μείζων τῆς ΖΓ, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΓ ### book 1.5.2 μείζονά εἰσι τῶν ἀπὸ τῶν ΖΕ, ΕΓ, καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέν‐ ### book 1.5.3 τος τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ μεῖζον τὸ ἀπὸ τῆς ΔΕ τοῦ ἀπὸ τῆς ### book 1.5.4 ΕΖ· ὥστε καὶ ἡ ΔΕ τῆς ΕΖ μείζων ἐστίν. ### book 2.1 καὶ ἡ ΑΓΖ ἄρα περιφέρεια p. 3, 5] ὡς τὸ ὅλον ### book 2.2 πρὸς τὸ ὅλον, οὕτως καὶ τὸ ἥμισυ πρὸς τὸ ἥμισυ. ### book 3.1 ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΖΓ, p. 3, 6. 7] διὰ τὸ λγʹ τοῦ ### book 3.2 ἕκτου τὸ λέγον· ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ γωνίαι τὸν αὐτὸν ### book 3.3 λόγον ἔχουσι ταῖς περιφερείαις, ἐφ’ ὧν βεβήκασι. ### book 4.1 διπλῆ δὲ p. 3, 8] διὰ τὸ εἶναι τὸ ΖΔΓ τρίγωνον ### book 4.2 ἰσοσκελές· ἐπεὶ δὲ παντὸς τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία ἴση ### book 4.3 ἐστὶ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον, αὗται δὲ ἴσαι αἱ πρὸς ### book 4.4 τῷ Ζ καὶ Γ, διπλῆ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΔΓ τῆς πρὸς τῷ Ζ γω‐ ### book 4.5 νίας. ### book 5.1 διπλῆ ἄρα p. 3, 9] διὰ τὸ τὰ ὑποδιπλάσιά τινος δι‐ ### book 5.2 πλάσια εἶναι τοῦ ὑποτετραπλασίου ἐκείνου. ### book 6.1 ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΖΓ p. 3, 10] δύο γὰρ τρίγωνα τὰ ### book 6.2 ΗΓΕ, ΕΓΖ τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δυσὶ πλευραῖς ἴσας ### book 6.3 ἔχει καὶ τὰς πρὸς τῷ Ε γωνίας ἴσας· ὀρθαὶ γάρ· καὶ τὴν ### book 6 βάσιν τῇ βάσει ἴσην ἕξει ἤτοι τὴν ΗΓ τῇ ΓΖ καὶ τὰς ### book 6.5.1 γωνίας τὰς πρὸς τῷ Η καὶ Ζ ἴσας, ὑφ’ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ### book 6.5.2 ὑποτείνουσι. ### book 7.1 ἴση ἄρα καὶ ἡ ΔΗ τῇ ΖΓ. p. 3, 12] τριγώνου γὰρ τοῦ ### book 7.2 ΗΔΓ ἐκτός ἐστι γωνία ἡ ὑπὸ ΕΗΓ, καί ἐστιν ἴση δυσὶ ### book 7.3 ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἤτοι ταῖς πρὸς τῷ Δ καὶ Γ. ### book 7.4 ἔστι δὲ τῆς πρὸς τῷ Δ διπλῆ· καὶ τῆς πρὸς τῷ Γ ἄρα. ἴση ### book 7.5.1 ἄρα ἡ πρὸς τῷ Δ τῇ πρὸς τῷ Γ· ἴση ἄρα ἡ ΔΗ πλευρὰ τῇ ### book 7.5.2 ΗΓ. ### book 8.1 Ἐπεὶ γὰρ κάθετος ὑπόκειται ἡ ΔΖ ἐπὶ τὴν ΒΓ, ἡ ΑΖ ### book 8.2 ἄρα ἐκβληθεῖσα ἐπὶ τὸ Ε ὀρθὰς ποιήσει καὶ τὰς ὑπὸ [Omitted graphic marker] ### book 8.3 ΒΖΕ, ΓΖΕ· ἐὰν γὰρ δύο εὐθεῖαι τέ‐ ### book 8.4 μνωσιν ἀλλήλας, τὰς κατὰ κορυφὴν ### book 8.5.1 γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιήσουσι. ἔστι ### book 8.5.2 δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Δ γωνία ἴση τῇ πρὸς ### book 8.5.3 τῷ Ε· ἰσοσκελὲς γὰρ τὸ ΔΒΕ τρίγω‐ ### book 8.5.4 νον διὰ τὸ ἑξαγώνου πλευρὰν εἶναι ### book 8.5.5 τὴν ΒΕ, ἴσην δὲ εἶναι ταύτῃ τὴν ἐκ ### book 8.10.1 τοῦ κέντρου τὴν ΔΒ. δύο δὴ τρίγωνα ### book 8.10.2 τὰ ΔΒΖ, ΖΒΕ ἰσογώνιά εἰσιν· ἀνάλογον ἄρα ὡς ἡ ΒΔ ### book 8.10.3 πρὸς ΔΖ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς ΕΖ. ἴσαι δὲ αἱ ΔΒ, ΒΕ· ### book 8.10.4 ἴσαι ἄρα καὶ αἱ ΔΖ, ΖΕ. ἡ ΔΕ ἄρα διπλῆ τῆς ΔΖ. ### book 9.1 τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΕ p. 5, 10] ἡμικύκλιον γάρ ἐστι τὸ ### book 9.2 ΒΑΕ, ἡ δὲ ἐν ἡμικυκλίῳ γωνία ὀρθή ἐστιν, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ### book 9.3 ὑποτεινούσης τὴν ὀρθὴν γωνίαν τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ### book 9.4 ἀπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν τετραγώνοις. ### book 10.1 Ἐὰν δὲ κύβου πλευρὰ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, ### book 10.2 τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρά. ### book 11.1 Ἐν γὰρ τῇ συστάσει τοῦ εἰκοσαέδρου δείκνυται, ὅτι ### book 11.2 ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ δύναται τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ### book 11.3 κύκλου, ἀφ’ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγράφεται, καὶ τὴν τοῦ ### book 11.4 δεκαγώνου τοῦ εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένου. ### book 12.1 Ἐὰν γὰρ ὑπὸ μίαν ἑκάστην γωνίαν τοῦ πενταγώνου ### book 12.2 ἰσογωνίου ὄντος ἀγάγωμεν εὐθείας, εὑρίσκονται ε εὐθεῖαι ### book 12.3 ἴσαι ἀλλήλαις τό τε τετράγωνον δηλαδὴ καὶ τὸ ὕψος τοῦ ### book 12.4 κύβου. ### book 13.1 Διὰ τὸ ηʹ τοῦ ιγʹ βιβλίου· ἐὰν γὰρ πενταγώνου ἰσο‐ ### book 13.2 γωνίου καὶ ἰσοπλεύρου τὰς κατὰ τὸ ἑξῆς δύο γωνίας ὑπο‐ ### book 13.3 τείνωσιν εὐθεῖαι, ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμνουσιν ἀλλή‐ ### book 13.4 λας, καὶ τὰ μείζονα τμήματα ἴσα εἰσὶ ταῖς τοῦ πενταγώνου ### book 13.5 πλευραῖς. ### book 14.1 Ἐπεί, ἐὰν δύο εὐθεῖαι ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμη‐ ### book 14.2 θῶσιν, ἐν ἀναλογίᾳ εἰσὶ τῇ ὑποκειμένῃ, τέτμηνται δὲ αἱ ### book 14.3 ΔΗ, ΜΝ ἄκρον καὶ μέσον λόγον, καί εἰσι μείζονα τμή‐ ### book 14.4 ματα αἱ ΗΓ, ΜΞ, ὡς ἄρα ἡ ΔΗ πρὸς τὴν ΗΓ, οὕτως ### book 14.5.1 ἡ ΜΝ πρὸς τὴν ΜΞ· καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ### book 14.5.2 ΔΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ, οὕτως τρία τὰ ἀπὸ τῆς ΔΗ ### book 14.5.3 πρὸς τρία τὰ ἀπὸ τῆς ΗΓ διὰ τὸ ιβʹ τοῦ εʹ. ὁμοίως δὲ καὶ ### book 14.5.4 ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΜΞ, οὕτως ε τὰ ἀπὸ ### book 14.5.5 ΜΝ πρὸς ε τὰ ἀπὸ ΜΞ διὰ τὸ αὐτὸ ιβʹ τοῦ εʹ. καὶ ὡς ἄρα ### book 14.10.1 τρία τὰ ἀπὸ τῆς ΔΗ πρὸς τρία τὰ ἀπὸ τῆς ΗΓ, οὕτως ε ### book 14.10.2 τὰ ἀπὸ ΜΝ πρὸς ε τὰ ἀπὸ ΜΞ. ὅτι δὲ ἡ ΗΓ μεῖζον τμῆμα ### book 14.10.3 τῆς ΔΗ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθείσης, ἀπὸ τοῦ ἐν τῷ ### book 14.10.4 ιζʹ τοῦ ιγʹ τῶν στοιχείων πορίσματος δῆλον. ### book 15.1 Διὰ τὸ ἐναλλάξ, ὡς τρία τὰ ἀπὸ ΔΗ πρὸς ε τὰ ἀπὸ ### book 15.2 ΜΝ, οὕτως γ τὰ ἀπὸ ΗΓ πρὸς ε τὰ ἀπὸ ΜΞ· τρία δὲ τὰ ### book 15.3 ἀπὸ ΔΗ ε τοῖς ἀπὸ τῆς ΜΝ ἴσα. καὶ τρία ἄρα τὰ ἀπὸ ### book 15.4 τῆς ΗΓ ε τοῖς ἀπὸ τῆς ΜΞ εἰσιν ἴσα. ἀλλὰ ε τὰ ἀπὸ τῆς ### book 15.5.1 ΜΝ καὶ ε τὰ ἀπὸ τῆς ΜΞ ἴσα ε τοῖς ἀπὸ τῆς [ΚΛ], ἤτοι ε ### book 15.5.2 τὰ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἀφ’ οὗ τὸ εἰκο‐ ### book 15.5.3 σάεδρον ἀναγράφεται, καὶ ε τὰ ἀπὸ τῆς τοῦ ἐν τῷ αὐτῷ ### book 15.1 κύκλῳ ἐγγραφομένου δεκαγώνου πλευρᾶς ἴσα ε τοῖς ἀπὸ ### book 15.2 τῆς ΚΛ εἰκοσαέδρου πλευρᾶς, ὡς ἐν τῇ συστάσει τοῦ ### book 15.10.1 εἰκοσαέδρου δείκνυται. καὶ ε ἄρα τὰ ἀπὸ τῆς ΚΛ ἴσα τρισὶ ### book 15.10.2 τοῖς ἀπὸ ΔΗ καὶ τρισὶ τοῖς ἀπὸ ΗΓ. ### book 16.1 Ὡς τὸ ἀπὸ ΑΒ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας πρὸς τὸ ### book 16.2 ἀπὸ τῆς ΔΗ πλευρᾶς οὔσης τοῦ κύβου (ἔχει δὲ τριπλα‐ ### book 16.3 σίονα λόγον διὰ τὸ ιηʹ τοῦ ιγʹ βιβλίου), οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ### book 16.4 τοῦ ΚΛΘ τριγώνου ἰσοπλεύρου, ἐξ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ### book 16.5.1 ἀναγράφεται, πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ ἐκ τοῦ κέντρου οὔσης ### book 16.5.2 τοῦ κύκλου, ἐν ᾧ τὸ τοιοῦτον ἐγγράφεται τρίγωνον, διὰ ### book 16.5.3 τὸ ιβʹ τοῦ ιγʹ βιβλίου· καὶ ἐναλλάξ· ἀλλὰ τρία τὰ ἀπὸ τῆς ### book 16.5.4 ΔΗ ἴσα ε τοῖς ἀπὸ ΜΝ. ε ἄρα τὰ ἀπὸ ΚΛ ἴσα τρισὶ τοῖς ### book 16.5.5 ἀπὸ ΑΒ. πέντε οὖν τὰ ἀπὸ τῆς ΚΛ ἴσα ἔσονται τρισὶ τοῖς ### book 16.10.1 ἀπὸ ΔΗ, ΗΓ. ὅπως δὲ πέντε τὰ ἀπὸ ΚΛ ἴσα τρισὶ τοῖς ### book 16.10.2 ἀπὸ ΑΒ, δῆλον· ἐπεὶ γὰρ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ πενταπλάσιον ### book 16.10.3 τοῦ ἀπὸ τῆς ΜΝ ἐκ κέντρου οὔσης τοῦ κύκλου, ᾧ ἐγγρά‐ ### book 16.10.4 φεται τὸ ἰσόπλευρον τρίγωνον, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς πλευρᾶς τοῦ ### book 16.10.5 τοιούτου τριγώνου τριπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΜΝ, ἐὰν τὸ ### book 16.15.1 πενταπλάσιον τριπλασιασθῇ καὶ τὸ τριπλάσιον πεντα‐ ### book 16.15.2 πλασιασθῇ, ἰσωθήσονται. ὅτι δὲ καὶ τρία τὰ ἀπὸ τῶν .. ### book 16.15.3 ΔΗ καὶ ΗΓ, τῆς ὑποτεινούσης λέγω τὴν τοῦ πενταγώνου ### book 16.15.4 γωνίαν καὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ πενταγώνου, ἴσα τρισὶ τοῖς ### book 16.15.5 ἀπὸ ΑΒ, δῆλον ἐντεῦθεν· δέδεικται ἐν ιʹ τοῦ ιγʹ βιβλίου, ### book 16.20.1 ὡς ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τὴν τοῦ ἑξαγώνου καὶ ### book 16.20.2 δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων. ἐπεὶ ### book 16.20.3 οὖν ἐν τῷ προρρηθέντι θεωρήματι ἐδείχθη τὸ ἀπὸ τῆς ### book 16.20.4 ὑποτεινούσης τὴν τοῦ πενταγώνου γωνίαν καὶ τῆς πλευρᾶς ### book 16.20.5 τοῦ πενταγώνου πενταπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ### book 16.25.1 τοῦ κύκλου, ᾧ ἐγγράφεται τὸ πεντάγωνον (ἡ γὰρ τοῦ πεν‐ ### book 16.25.2 ταγώνου πλευρὰ δύναται τὴν τοῦ ἑξαγώνου καὶ τοῦ δεκα‐ ### book 16.25.3 γώνου, ὡς εἴρηται), ἴσον ἔσται τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ καὶ τὰ ἀπὸ ### book 16.1 τῶν ΔΗ, ΗΓ· τοῦ γὰρ ἀπὸ τῆς ΜΝ πενταπλάσιον κἀκεῖνο ### book 16.2 καὶ ταῦτα. ὥστε καὶ τρία τὰ ἀπὸ τῆς ΑΒ τρισὶ τοῖς ἀπὸ ### book 16.30.1 τῶν ΔΗ, ΗΓ ἴσα. τρισὶ δὲ τοῖς ἀπὸ τῆς ΑΒ πέντε τὰ ### book 16.30.2 ἀπὸ τῆς ΚΛ ἴσα· πέντε ἄρα τὰ ἀπὸ τῆς ΚΛ τρισὶ τοῖς ### book 16.30.3 ἀπὸ τῶν ΔΗ, ΗΓ ἴσα. καὶ τὰ λοιπὰ δῆλα. ### book 17.1 Τὸ γὰρ παραλληλόγραμμον τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔ, ΗΖ ### book 17.2 διπλάσιον τοῦ ΓΖΔ τριγώνου· καὶ τὸ πεντάκις ἄρα ὑπὸ ### book 17.3 τῶν ΓΔ, ΗΖ ἴσον τριγώνοις δέκα ἐν δυσὶ γραφομένοις ### book 17.4 πενταγώνοις. τὰ ὅλα οὖν ἑξάκις τά τε δύο πεντάγωνα καὶ ### book 17.5 τὰ ε παραλληλόγραμμα τὰ ὑπὸ ΓΔ, ΗΖ. ### book 18.1 Ἐπεὶ ὡς τὸ ὑπὸ τῆς ΖΗ καθέτου καὶ τῆς ΓΔ πλευ‐ ### book 18.2 ρᾶς τοῦ πενταγώνου πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ δωδεκαέδρου, ### book 18.3 οὕτως τὸ ὑπὸ τῆς ΔΕ καθέτου καὶ τῆς ΒΓ πλευρᾶς τοῦ ### book 18.4 τριγώνου πρὸς τὴν τοῦ εἰκοσαέδρου ἐπιφάνειαν· ἑκά‐ ### book 18.5.1 τερον γὰρ τῶν παραλληλογράμμων τριακοστὸν τῆς ἐπι‐ ### book 18.5.2 φανείας τοῦ πολυέδρου· καὶ ὡς τὸ παραλληλόγραμμον ### book 18.5.3 πρὸς τὸ παραλληλόγραμμον, ἡ ἐπιφάνεια πρὸς τὴν ἐπι‐ ### book 18.5.4 φάνειαν. ### book 19.1 Ἐπεὶ δύο τρίγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΔΕ, ΒΓ παραλ‐ ### book 19.2 ληλογράμμῳ, ἐὰν τριπλασιασθῶσιν, γίνονται τὰ μὲν τρίγω‐ ### book 19.3 να ἕξ, τὰ δὲ παραλληλόγραμμα τρία. ἓξ δὲ τρίγωνα ὡς τὰ ### book 19.4 ΔΒΓ ἴσα ἐστὶ δυσὶ τριγώνοις τοῖς ΑΒΓ. καὶ πάντα ### book 19.5.1 ἑξάκις, ἤτοι τὰ τρία παραλληλόγραμμα τὰ ὑπὸ ΔΕ, ΒΓ ### book 19.5.2 καὶ τὰ δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ· γίνεται οὖν τὰ μὲν τριάκοντα, ### book 19.5.3 τὰ δὲ εἴκοσι· εἴκοσι δὲ τὰ ΑΒΓ τρίγωνα ἡ ἐπιφάνειά ἐστι ### book 19.5.4 τοῦ εἰκοσαέδρου. ### book 20.1 Ἐπεὶ τῆς ΕΒΓ ὡς μιᾶς ἡμίσειά ἐστιν ἡ ΕΗ διὰ τὸ ### book 20.2 πρῶτον τοῦ παρόντος βιβλίου, ἔστι δὲ καὶ τῆς ΕΒ ἡμίσεια ### book 20.3 ἡ ΕΖ διὰ τὸ πόρισμα τοῦ αὐτοῦ πρώτου θεωρήματος, ὡς ### book 20.4 ἄρα ἡ ΕΒΓ ὅλη πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς ΕΖ· δι‐ ### book 20.5.1 πλῆ γὰρ ἑκατέρα ἑκατέρας. καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΕΒΓ ὅλη ### book 20.5.2 πρὸς ΕΒ (τεμνομένη γὰρ ἄκρον καὶ μέσον λόγον μεῖζον ### book 20.1 τμῆμα ἔχει τὸ ΕΒ διὰ τὸ θʹ τοῦ ιγʹ βιβλίου), οὕτω καὶ ἡ ### book 20.2 ΕΗ πρὸς ΕΖ. τεμνομένη ἄρα καὶ ἡ ΕΗ ἄκρον καὶ μέσον ### book 20.3 λόγον μεῖζον ἕξει τμῆμα τὸ ΕΖ. ἀλλὰ καὶ ἡ Θ ἡ τοῦ κύβου ### book 20.10.1 πλευρά, εἰ τμηθήσεται ἄκρον καὶ μέσον λόγον, τὸ μεῖζον ### book 20.10.2 ἕξει τμῆμα τὴν τοῦ πενταγώνου πλευρὰν διὰ τὸ πόρισμα ### book 20.10.3 τοῦ ιζʹ τοῦ ιγʹ βιβλίου. ὡς ἄρα ἡ Θ πρὸς τὴν ΓΑ τὴν τοῦ ### book 20.10.4 πενταγώνου πλευράν, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς ΕΖ. τὸ ἄρα ὑπὸ ### book 20.10.5 τῆς Θ καὶ τῆς ΕΖ ἴσον ἔσται τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ καὶ ΗΕ ### book 20.15.1 διὰ τὸ ιϛʹ τοῦ ϛʹ βιβλίου. τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς Θ καὶ ΕΖ περι‐ ### book 20.15.2 εχόμενον παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ΑΓ, ΕΖ ### book 20.15.3 λόγον ἕξει, ὃν ἡ Θ βάσις πρὸς ΑΓ βάσιν διὰ τὸ τὸ αὐτὸ ### book 20.15.4 ὕψος ἔχειν τὴν ΕΖ. καὶ ὡς ἄρα ἡ Θ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ### book 20.15.5 τὸ ὑπὸ ΓΑ, ΗΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΔ, ΖΕ. ἐδείχθη δέ, ὅτι τὸ ### book 20.20.1 τριακοντάκις ὑπὸ μιᾶς τοῦ ἰσοπλεύρου καὶ ἰσογωνίου ### book 20.20.2 πενταγώνου καὶ τῆς ἐπὶ ταύτην καθέτου ἀπὸ τοῦ κέντρου ### book 20.20.3 τοῦ κύκλου, ἐν ᾧ ἐγγράφεται, ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ δωδε‐ ### book 20.20.4 καέδρου ἐπιφανείᾳ. ὡσαύτως καὶ τὸ τριακοντάκις ὑπὸ τῆς ### book 20.20.5 τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου καὶ τῆς ἐπὶ ταύτην καθέτου ἀπὸ ### book 20.25.1 κέντρου τοῦ κύκλου, ἐν ᾧ ἐγγράφεται τὸ τοιοῦτον τρίγωνον, ### book 20.25.2 ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ εἰκοσαέδρου ἐπιφανείᾳ. καὶ ὡς ἄρα ἡ Θ ### book 20.25.3 πρὸς ΔΓ, οὕτως ἡ τοῦ δωδεκαέδρου ἐπιφάνεια πρὸς τὴν ### book 20.25.4 τοῦ εἰκοσαέδρου. ### book 21.1 ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΑΔ, ΒΗ p. 12, 11] τὸ γὰρ παρ‐ ### book 21.2 αλληλόγραμμον τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῆς ΑΔ, ΒΗ διπλά‐ ### book 21.3 σιόν ἐστι τοῦ ΑΒΔ τριγώνου. ### book 22.1 τὸ ὑπὸ ΑΖ, ΗΘ διπλοῦν p. 12, 16. 17] ἐὰν γὰρ ὕψος ### book 22.2 κοινὸν ποιήσωμεν τὴν ΖΑ, ἔσται ὡς ἡ ΗΘ βάσις πρὸς ### book 22.3 ΘΓ βάσιν, οὕτω τὸ ὑπὸ ΗΘ, ΖΑ παραλληλόγραμμον πρὸς ### book 22.4 τὸ ὑπὸ ΘΓ, ΖΑ παραλληλόγραμμον. ### book 23.1 ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ p. 13, 22] ἐπεὶ γὰρ ἡ ΕΖ ἴση ### book 23.2 οὖσα τῇ ΑΕ (ἐκ κέντρου γάρ) διπλῆ ἐστι τῆς ἐπὶ τὴν βάσιν ### book 23.1 τοῦ ΑΔΜ τριγώνου ἀγομένης ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ### book 23.2 ἐν ᾧ ἐγγέγραπται τὸ τρίγωνον, ἰσόπλευρόν ἐστι τὸ ΑΔΜ ### book 23.5 τρίγωνον. ### book 24.1 τὸ δὲ ὑπὸ ΑΗΔ p. 13, 23. 24] τὸ γὰρ παραλληλό‐ ### book 24.2 γραμμον τὸ ὑπὸ ΑΗΔ περιεχόμενον διπλοῦν ἐστι τοῦ ### book 24.3 ΑΔΗ τριγώνου· ἴσον ἄρα τῷ ΑΔΜ. ### book 25.1 ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ p. 13, 24] τὸ ὑπὸ ΑΗ, ΘΒ ### book 25.2 περιεχόμενον παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ πενταγώνῳ, ### book 25.3 τὸ δὲ ὑπὸ ΑΗΔ παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ ΑΔΜ ἰσο‐ ### book 25.4 πλεύρῳ τριγώνῳ. ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΗ, ΘΒ παραλληλό‐ ### book 25.5.1 γραμμον πρὸς τὸ πεντάγωνον, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΗΔ παρ‐ ### book 25.5.2 αλληλόγραμμον πρὸς τὸ τρίγωνον. ἐναλλὰξ ἄρα. ### book 26.1 καί εἰσι δώδεκα p. 14, 5] ἐπεὶ γὰρ ἡ μὲν ΒΘ ### book 26.2 πενταπλασίων τῆς ΘΓ, ἡ δὲ ΒΓ τῆς ΘΓ ἑξαπλασίων, ### book 26.3 ἑξάκις ἡ ΒΘ πεντάκις τῇ ΒΓ ἴση ἔσται, καὶ ἀναλόγως ### book 26.4 δωδεκάκις ἡ ΒΘ δεκάκις τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση. ### book 27.1 Ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Η πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ε, οὕτως [τὸ ### book 27.2 τετράγωνον] τὸ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΓ, ΓΔ πρὸς τὸ τετρά‐ ### book 27.3 γωνον τὸ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΓ, ΖΔ. ### book 28.1 ἐν δὲ ταῖς σφαίραις p. 17, 16] ὡς ἐν τοῖς σφαιρικοῖς ### book 28.2 τοῦ Θεοδοσίου δέδεικται. ### book 29.1 Ὅτι μὲν ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου οἱ ἐν τῇ ### book 29.2 σφαίρᾳ ἴσοι κύκλοι, δείκνυταί πως διὰ τοῦ ϛʹ τοῦ πρώτου ### book 29.3 τῶν σφαιρικῶν· ὅτι δὲ καὶ ἐπὶ τὰ κέντρα τῶν κύκλων ### book 29.4 πίπτουσιν αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὰ ἐπίπεδα ### book 29.5.1 κάθετοι ἀγόμεναι, δῆλον ἀπὸ τοῦ πορίσματος τοῦ πρώτου ### book 29.5.2 θεωρήματος τοῦ αʹ βιβλίου τῶν σφαιρικῶν. ### book 30.1 ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ p. 20, 4] ἀλλὰ τὸ τετράκις ### book 30.2 ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ### book 30.3 ἀπὸ τῆς ΑΒ καὶ τοῦ λοιποῦ τμήματος τῆς ΒΓ δηλαδὴ ὡς ### book 30.4 ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ διὰ τὸ ηʹ τοῦ δευτέρου ### book 30.5 βιβλίου. ### book 31.1 ὡς συναμφότερος ἡ ΑΒΓ p. 20, 6] αἱ ΑΒ, ΒΓ ### book 31.2 μετὰ τῆς ΑΓ δύο εἰσὶν αἱ ΑΒ· ἡ γὰρ ΑΓ προσλαβοῦσα ### book 31.3 τὴν ΒΓ ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ· ὡσαύτως καὶ ἡ ΔΖ προσλαβοῦσα ### book 31.4 τὴν ΖΕ ἴση γίνεται τῇ ΔΕ. ### book 32.1 καὶ τὰ ἡμίση p. 20, 9] ἐπεὶ γὰρ τῶν ΑΒ, ΒΓ ### book 32.2 μετὰ τῆς ΑΓ ἡμίσειά ἐστιν ἡ ΑΒ, ὡσαύτως δὲ καὶ τῶν ### book 32.3 ΔΕ, ΕΖ μετὰ τῆς ΔΖ ἡμίσεια ἡ ΔΕ, τὰ μέρη τοῖς ὡσαύ‐ ### book 32.4 τως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον. ### book 33.1 ἐπεὶ γάρ ἐστιν p. 21, 18] ὡς δὲ ἡ τοῦ δωδεκαέδρου ### book 33.2 ἐπιφάνεια πρὸς τὴν τοῦ εἰκοσαέδρου, οὕτως ἡ τοῦ κύβου ### book 33.3 πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ εἰκοσαέδρου πλευράν. ### book 1.1 Ἀπὸ μὲν τοῦ Κ ἐπὶ τὸ ΕΖΛΘ, ἀπὸ δὲ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ ### book 1.2 ΖΗΘΚ, ἀπὸ δὲ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ ΗΕΚΛ. ### book 2.1 Ἔστω βάσις πυραμίδος τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ### book 2.2 τετμήσθω ἡ μὲν ΑΒ πλευρὰ κατὰ τὸ Ε, ἡ δὲ ΑΓ κατὰ τὸ ### book 2.3 Η, ἡ δὲ ΒΓ κατὰ τὸ Ζ, ἡ δὲ τοῦ ὕψους πλευρὰ ἡ μὲν ### book 2.4 ΑΔ κατὰ τὸ Θ, ἡ δὲ ΒΔ κατὰ τὸ Κ, ἡ δὲ ΓΔ κατὰ τὸ Λ. ### book 2.5.1 ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ πρός τε τὴν ἐν τῷ ὑποκειμένῳ τριγώνῳ τῷ ### book 2.5.2 ΑΒΓ παράλληλον ἠγμένην αὐτῇ τὴν ΗΖ καὶ τὴν ἐν τῷ ### book 2.5.3 ΑΔΒ ἠγμένην παράλληλον τὴν ΚΘ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ### book 2.5.4 πρὸς ἃ δὲ τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἴσα ἀλλήλοις, ἴση ### book 2.5.5 ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΗΖ· αἱ γὰρ παράλληλοι τῇ ΑΒ ἡ ΘΚ καὶ ### book 2.10.1 ἡ ΗΖ ἀνάλογον τέμνουσι τὰς τοῦ τριγώνου πλευράς. εἰσὶ ### book 2.10.2 δὲ καὶ παράλληλοι ἡ ΘΚ τῇ ΗΖ· αἱ γὰρ τῇ αὐτῇ παρ‐ ### book 2.10.3 άλληλοι καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι. ὁμοίως δὲ καὶ τὰ ### book 2.10.4 λοιπὰ δειχθήσεται. ὅτι μὲν οὖν ἰσόπλευρόν τε καὶ παρ‐ ### book 2 αλληλόγραμμον τὸ ΘΚΖΗ τετράπλευρον, δῆλον· ὅτι δὲ ### book 2.15.1 καὶ ἰσογώνιον, φανερὸν ἀπὸ τοῦ ὅρου τοῦ ιαʹ· ἐπιπέδου ### book 2.15.2 γάρ, φησίν, πρὸς ἐπίπεδον κλίσις ἐστὶν ἡ περιεχομένη ὑπὸ ### book 2.15.3 τῶν πρὸς ὀρθὰς τῇ κοινῇ τομῇ ἀγομένων πρὸς τῷ αὐτῷ ### book 2.15.4 σημείῳ ἐν ἑκατέρῳ τῶν ἐπιπέδων. εἰ μὲν οὖν ὀρθὸν εἶναι ### book 2.15.5 φήσει τις πρὸς τὸ ὑποκείμενον τρίγωνον τὸ ΘΚΖΕ ἰσό‐ ### book 2.20.1 πλευρον, ἔχομεν τὸ ζητούμενον· εἰ δὲ κεκλιμένον, ὃ δῆτα ### book 2.20.2 καὶ ἀληθές, ἀπὸ τοῦ ὅρου δῆλον· ἡ γὰρ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ### book 2.20.3 ἐπιπέδων ἀπὸ τοῦ τοιούτου ἐπιπέδου καὶ τοῦ ὑποκειμένου ### book 2.20.4 τριγώνου ὀρθὰς ποιήσει γωνίας μετ’ αὐτῆς. ### book 3.1 φανερόν, ὅτι καὶ ὀρθογώνιον p. 25, 10. 11] αἱ γὰρ ΚΜ, ### book 3.2 ΛΝ διάμετροι ἴσαι ἀλλήλαις· ἡ γὰρ ΚΜ παράλληλος ### book 3.3 οὖσα τῇ ΟΠ ἴση ἐστὶν αὐτῇ διὰ τὸ ἴσας ἐπιζευγνύειν καὶ ### book 3.4 παραλλήλους τὰς ΚΟ, ΠΜ. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ΛΝ ἴση ### book 3.5.1 τῇ ΞΟ. ἴσαι δὲ αἱ ΞΟ, ΟΠ· τετραγώνου γὰρ πλευραί. καὶ ### book 3.5.2 αἱ ΚΜ, ΛΝ ἄρα ἴσαι. δύο ἄρα αἱ ΚΛ, ΛΜ ἴσαι εἰσὶ δυσὶ ### book 3.5.3 ταῖς ΛΜ, ΜΝ, καὶ βάσις ἡ ΛΝ βάσει τῇ ΚΜ ἴση, καὶ ἡ ### book 3.5.4 γωνία τῇ γωνίᾳ, καὶ τὰ λοιπὰ δῆλα. ### book 4.1 Ὅτι δὲ καὶ ἕκαστον τῶν τοῦ ὀκταέδρου τριγώνων ### book 4.2 ἴσον ἐστί, δῆλον ἐντεῦθεν· περιέχεται γὰρ τὸ ὀκτάεδρον ### book 4.3 ὑπὸ δ τετραγώνων τῶν ΛΚΕΗ, ΗΘΚΞ, ΖΚΛΕ, ἃ καί ### book 4.4 εἰσιν ἴσα. ἐὰν οὖν διαχθῶσι διάμετροι ἐπὶ τῶν τετραγώνων ### book 4.5.1 ὡς γενέσθαι τὴν τοῦ ἑνὸς κάθετον πρὸς τὰς τῶν λοιπῶν ### book 4.5.2 δύο, δειχθήσεται, ὡς καὶ παρὰ τοῦ στοιχειωτοῦ ἐδείχθη ### book 4.5.3 [ἐν τῇ] τοῦ ὀκταέδρου συστάσει. ### book 5.1 Τὰ κέντρα τῶν περὶ τὰ τρίγωνα κύκλων. ἤχθωσαν ### book 5.2 ταῖς βάσεσι τῶν τριγώνων παράλληλοι αἱ ΗΘ, ΘΚ, ΚΛ, ### book 5.3 ΛΗ. παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΘΚΛ τετράπλευ‐ ### book 5.4 ρον· ἀλλὰ καὶ ἰσόπλευρον· τὸν γὰρ αὐτὸν λόγον ἔχουσιν ### book 5.5.1 αἱ βάσεις τῶν τριγώνων πρὸς τὰς παραλλήλους διὰ τὴν ### book 5.5.2 ἰσότητα. ἀλλὰ καὶ ὀρθογώνιον διὰ τὸ ιʹ τοῦ ιαʹ. ### book 6.1 Ὅτι δὲ ὀρθογώνιον, δῆλον ἐντεῦθεν· ἐπεὶ γὰρ εἰς τὴν ### book 6.2 ΠΟ εὐθεῖα ἡ ΚΛ ἐφέστηκε, τὰς ἐφεξῆς γωνίας τὰς ὑπὸ ### book 6.3 ΠΛΚ, ΚΛΟ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιήσει· ὧν αἱ ὑπὸ ΚΛΟ, ### book 6.4 ΜΛΠ μιᾷ ὀρθῇ ἴσαι· ἑκατέρα γὰρ ἡμίσεια ὀρθῆς· λοιπὴ ### book 6.5 ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΛΜ ὀρθή ἐστιν. ὡσαύτως καὶ αἱ λοιπαί. ### book 7.1 ἴση ἄρα ἡ ΝΘ τῇ ΜΘ. p. 26, 9. 10] ἐπεὶ τρίγωνον ### book 7.2 ἰσόπλευρόν ἐστι τὸ ΒΑΓ, δύο δυσὶν εὐθεῖαι αἱ ΒΑ, ΑΘ, ### book 7.3 ΓΑ, ΑΘ ἴσαι εἰσί. καὶ βάσις ἡ ΘΒ τῇ ΘΓ ἴση· ἐκ κέν‐ ### book 7.4 τρου γὰρ τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλου. ἴσαι ἄρα αἱ ### book 7.5.1 ὑπὸ ΒΑΘ, ΘΑΓ γωνίαι. διὰ τοῦτο δὴ καὶ ἡ βάσις τμηθή‐ ### book 7.5.2 σεται δίχα. ### book 8.1 Τὰ κέντρα τῶν ἐφεστώτων τετραγώνων ἤτοι τῶν ### book 8.2 κύκλων τῶν περὶ ταῦτα γραφομένων ἢ τὰ σημεῖα μᾶλλον ### book 8.3 τά, δι’ ὧν αἱ διηγμέναι εὐθεῖαι τέμνουσιν ἀλλήλας. ### book 9.1 Ὅπως δὲ καὶ τὸ ὕψος ἴσον ἔσται τῇ τοῦ τετραγώνου ### book 9.2 πλευρᾷ, δείξομεν οὕτως· ἀναγεγράφθω τετράγωνον ἀπὸ ### book 9.3 μιᾶς τῶν διηγμένων παρὰ μίαν ἑκάστην τῶν βάσεων τῶν ### book 9.4 τριγώνων, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ τετράγωνον. ἴσαι ἄρα ### book 9.5.1 πᾶσαι. αἱ τοίνυν διηγμέναι παρὰ τὴν κοινὴν βάσιν τῶν ἐφ’ ### book 9.5.2 ἑκάτερα τριγώνων ἴσαι οὖσαι πρὸς τὴν εἰρημένην κοινὴν ### book 9.5.3 βάσιν τὸν αὐτὸν ἕξουσι λόγον· τὰ γὰρ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ ### book 9.5.4 τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον. ἀλλὰ ὃν λόγον ἔχουσιν αὗται βάσεις ### book 9.5.5 οὖσαι τῶν ἐλαττόνων τριγώνων πρὸς τὴν κοινὴν βάσιν ### book 9.10.1 ἑκατέρου τῶν μειζόνων, οὕτω καὶ αἱ πλευραὶ τῶν ἐλατ‐ ### book 9.10.2 τόνων τριγώνων πρὸς τὰς τῶν μειζόνων διὰ τὴν ὁμοιότητα. ### book 9.10.3 ἀλλ’ αἱ τῶν μειζόνων τριγώνων πλευραὶ ἴσαι. ὥστε καὶ αἱ ### book 9.10.4 τῶν ἐλαττόνων ἴσαι. ὥστε καὶ τὰ ἐγγραφέντα τετράγωνα ### book 9.10.5 ἴσον ἀπέχοντα τοῦ τετραγώνου, ἀφ’ οὗ τὸ ὀκτάεδρον ### book 9.15 ἀναγράφεται, ἴσα ἔσται. ### book 10.1 Εἰς δοθὲν εἰκοσάεδρον δωδεκάεδρον ἐγγράψαι. ### book 10.2 Κέντρον λέγει τῶν κύκλων τῶν περὶ τὰ τρίγωνα γεγραμ‐ ### book 10.1 μένων τὰ ἀπὸ μιᾶς ἑκάστης τοῦ πενταγώνου πλευρᾶς ἀνα‐ ### book 10.2 σταθέντα καὶ συγκορυφωθέντα πρὸς τὸ Ζ σημεῖον. ἐπι‐ ### book 10.5.1 ζευχθεισῶν οὖν τῶν ἀπὸ τῶν κέντρων τῶν εἰρημένων τρι‐ ### book 10.5.2 γώνων γίνεται πεντάγωνον ἰσόπλευρον. ἐὰν οὖν ἀφ’ ἑκά‐ ### book 10.5.3 στης τῶν πλευρῶν τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπιζεύξεως τῶν ἐκ τῶν ### book 10.5.4 κέντρων γεγονότος πενταγώνου ἀνασταθῶσι τρίγωνα συγ‐ ### book 10.5.5 κορυφωθέντα πρὸς τὸ Ζ, ἑκάστη τῶν πρὸς τῷ Ζ γωνιῶν ### book 10.10.1 τῶν τοιούτων τριγώνων δίχα τμηθήσεται. ἂν γὰρ καὶ τῶν ### book 10.10.2 τοιούτων τριγώνων τὰ κέντρα ληφθῶσι, ἔσονται [αἱ Θ]Ζ, ### book 10.10.3 ΖΠ, ΗΖ, ΖΠ ἴσαι· καὶ βάσις ἡ ΘΠ τῇ ΠΗ ἴση· ἐκ ### book 10.10.4 κέντρου γὰρ τοῦ περὶ τὸ κέντρον γραφομένου κύκλου [Omitted graphic marker] ### book 10.10.5 τὸ Π δηλαδή. καὶ ἡ γωνία ἄρα ### book 10.15.1 ἡ ὑπὸ ΘΖΠ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΗΖΠ ### book 10.15.2 ἴση. διὰ δὴ τοῦτο καὶ ἡ ΘΗ ### book 10.15.3 εἰς ἴσα τμηθήσεται διὰ τὸ γʹ τοῦ ### book 10.15.4 ϛʹ, καὶ αἱ λοιπαὶ τοῦ πεντα‐ ### book 10.15.5 γώνου πλευραὶ τοῦ ΑΒΓΕΔ ### book 10.20.1 ἐκβαλλομένων ἀπὸ τοῦ Ζ τῶν ### book 10.20.2 τεμνουσῶν ταύτας δίχα ἐπὶ τὰς ### book 10.20.3 πλευρὰς τοῦ πενταγώνου τούτου τὰς ΑΒΓΔΕ δηλαδή. ### book 10.20.4 ἐπεὶ δὲ δίχα τέτμηνται αἱ τοιαῦται πλευραί, ἐὰν ἐπι‐ ### book 10.20.5 ζευχθῶσιν ἀπὸ τῶν διχοτομιῶν εὐθεῖαι, ἴσαι ἀλλήλαις ### book 10.25.1 ἔσονται. ἐὰν δὲ δύο εὐθεῖαι παρὰ δύο εὐθείας ἁπτόμεναι ### book 10.25.2 ἀλλήλων μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ὦσι, ἴσας γωνίας περι‐ ### book 10.25.3 έξουσι διὰ τὸ ιʹ τοῦ ιαʹ. ἔσται οὖν καὶ ἰσογώνιον τὸ ### book 10.25.4 ΗΘΚΛΜ πεντάγωνον. δειχθήσεται δέ, ὅτι καὶ ἐν ἑνὶ ἐπι‐ ### book 10.25.5 πέδῳ, οὕτως· ἐπεὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου ἐπὶ τὰς πλευρὰς ### book 10.30.1 τοῦ μετεώρου πενταγώνου τοῦ ΗΘΚΛΜ τοῦ καὶ παρ‐ ### book 10.30.2 αλλήλου τῷ ὑποκειμένῳ πενταγώνῳ τῷ ΑΒΓΔΕ ἀγό‐ ### book 10.30.3 μεναι εὐθεῖαι διχοτομοῦσι ταύτας, προσεκβληθεῖσαι διχο‐ ### book 10.30.4 τομήσουσι καὶ τὰς τοῦ ΑΒΓΔΕ πενταγώνου πλευράς. ### book 10.30.5 ἐκβεβλήσθωσαν καὶ διχοτομείτωσαν τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ ### book 10.35.1 κατὰ τὰ Ξ, Ν, Ο σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΞΝ, ΝΟ ### book 10.35.2 εὐθεῖαι. ἴσαι ἄρα. ἂν δὴ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓΔΕ ### book 10.35.3 πενταγώνου ἐπίπεδον κάθετος ἀχθῇ, ἐπὶ τὸ κέντρον ### book 10.35.4 πεσεῖται τοῦ περὶ τὸ πεντάγωνον κύκλου διὰ τὸ θʹ τοῦ αʹ ### book 10.35.5 τῶν Θεοδοσίου σφαιρικῶν· ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἀπὸ ### book 10.40.1 δέ τινος τῶν πόλων αὐτοῦ ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἀχθῇ, ἐπὶ τὸ ### book 10.40.2 κέντρον πεσεῖται τοῦ κύκλου. ἐὰν δὴ ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὸ ### book 10.40.3 σημεῖον, καθ’ ὃ συμβάλλει ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος, τουτ‐ ### book 10.40.4 έστι τὸ κέντρον τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον κύκλου, ### book 10.40.5 ἀχθῇ τις εὐθεῖα, ὀρθὴν γωνίαν ποιήσει μετὰ τῆς ἀπὸ Ζ ### book 10.45.1 τοῦ πόλου τοῦ περὶ τὸ ἐκκείμενον πεντάγωνον κύκλου ### book 10.45.2 ἀχθείσης καθέτου ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον αὐτοῦ διὰ τὸν ὅρον ### book 10.45.3 τοῦ ιαʹ τῶν στοιχείων. ἐὰν δὴ ἀπὸ τοῦ Θ σημείου παρ‐ ### book 10.45.4 άλληλον ταύτῃ τῇ ἀπὸ τοῦ Ν ἀχθείσῃ εὐθείᾳ, συμβαλεῖται ### book 10.45.5 τῇ ἀπὸ τοῦ Ζ καθέτῳ· ἡ γὰρ αὐτὴ κάθετος πεσεῖται καὶ ### book 10.1 ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ περὶ τὸ ΗΘΚΛΜ πεντάγωνον κύκλου· ### book 10.2 ἐν σφαίρᾳ γὰρ παράλληλοί εἰσιν οἱ κύκλοι. καὶ ἐπεὶ εἰς δύο ### book 10.3 εὐθείας τήν τε ἀπὸ Ν καὶ τὴν ἀπὸ Θ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ἀπὸ ### book 10.4 τοῦ Ζ κάθετος, μεθ’ ἑκατέρας αὐτῶν ὀρθὴν ποιήσει γω‐ ### book 10.5 νίαν, καὶ ἡ ἐκτὸς τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση, τουτέστιν ἡ ### book 10.55.1 ἀπὸ Θ μετὰ τῆς ἀπὸ Ζ καθέτου τῇ ἀπὸ Ν μετὰ τῆς αὐτῆς ### book 10.55.2 καθέτου ἴση ἔσται. πάλιν ἐὰν ἀπὸ τοῦ Μ ἐπὶ τὸ σημεῖον, ### book 10.55.3 καθ’ ὃ συμβάλλει ἡ ἀπὸ Θ τῇ ἀπὸ Ζ καθέτῳ, ἀχθῇ εὐθεῖα, ### book 10.55.4 ὀρθὴν ποιήσει μετὰ τῆς αὐτῆς καθέτου, καὶ διὰ τὸ ιδʹ τοῦ ### book 10.55.5 αʹ τῶν στοιχείων ἐπ’ εὐθείας ἔσονται ἡ ἀπὸ Θ τῇ ἀπὸ Μ. ### book 10.60.1 μία ἄρα εὐθεῖα ἔσται ἡ ΘΜ. διὰ δὲ τὸ αʹ τοῦ ιαʹ τῶν ### book 10.60.2 στοιχείων εὐθείας γραμμῆς μέρος μέν τι οὐκ ἔστιν ἐν τῷ ### book 10.60.3 ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, μέρος δέ τι ἐν μετεωροτέρῳ· δέδεικ‐ ### book 10.60.4 ται ἄρα, ὅτι καὶ ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ ἐστὶ τὸ ΗΘΚΛΜ πεντά‐ ### book 10.60.5 γωνον. ### book 11.1 Ἤτοι τῆς πλευρᾶς τοῦ ἑνὸς τετραγώνου τοῦ κύβου, ### book 11.2 ἀφ’ οὗ τὸ δωδεκάεδρον ἀναγράφεται. ### book 12.1 ἡ ὑπὸ ΒΖΔ ἄρα γωνία p. 33, 8] εἰ γὰρ ἡ ΒΖ ### book 12.2 κάθετος τοῦ τριγώνου νοηθείη ἐκβεβλημένη, ἡ τοῦ ἑτέρου ### book 12.3 τριγώνου κάθετος ἡ ΖΔ μετὰ ταύτης ἐκβεβλημένης ἐπ’ ### book 12.4 εὐθείας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιήσει, ὧν λείπουσά ἐστιν ὡς ### book 12.5 πρὸς δύο ὀρθὰς ἡ ὑπὸ ΔΖΒ. ### book 13.1 δέδοται καὶ ἡ ΒΔ p. 33, 13] διὰ τὸ μβʹ τῶν Δεδο‐ ### book 13.2 μένων Εὐκλείδου. ### book 14.1 Εἰ γὰρ καταχθὲν νοηθείη τὸ ὑπὸ ΒΗΔ τρίγωνον, ### book 14.2 ἐντὸς πεσεῖται τοῦ ὑπὸ ΒΓΔ διὰ τὸ καʹ τοῦ αʹ τῶν ### book 14.3 στοιχείων. ἐλάττονες δὲ τῶν ΒΓ, ΓΔ αἱ ΒΗ, ΗΔ· τῶν ### book 14.4 μὲν γὰρ ΒΓ, ΓΔ ἑκατέρᾳ ἴση ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρά. ### book 14.5.1 αἱ δὲ ΒΗ, ΗΔ κάθετοι, μείζων δὲ ἡ πλευρὰ τοῦ τριγώνου ### book 14.5.2 τῆς ἐν αὐτῷ καθέτου ὡς ὑποτείνουσα μείζονα γωνίαν ### book 14.5.3 τὴν ὑπὸ τῆς καθέτου καὶ τῆς ἡμισείας πλευρᾶς τοῦ τριγώ‐ ### book 14.5.4 νου περιεχομένην. ### book 15 Ἡ γὰρ τοῦ πενταγώνου ὀρθῆς καὶ πέμπτου. ### book 16.1 τῆς ΒΔ δεδομένης p. 35, 8] διὰ τὸ μβʹ τῶν Δεδο‐ ### book 16.2 μένων Εὐκλείδου. ### book 17.1 ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΚΛΠ p. 35, 24 sq.] ἡ ὑπὸ ΚΘΟ γωνία ### book 17.2 τρίτου ἐστίν. ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ ΘΚΟ γωνία ἰσοπλεύρου ### book 17.3 τριγώνου ἐστὶ γωνία, διμοίρου ὀρθῆς ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ ### book 17.4 ἡ ὑπὸ ΚΟΘ ὀρθή· τρίτου ἄρα ὀρθῆς ἡ πρὸς τῷ Θ. ἡ δὲ ### book 17.5.1 ὑπὸ ΚΛΜ ἡμίσειά ἐστι πενταγώνου ἤτοι ἡμίσεια ὀρθῆς ### book 17.5.2 καὶ δεκάτου. ἐπεὶ οὖν καὶ ἡ ὑπὸ ΡΛΠ τρίτου ὀρθῆς ἐστιν, ### book 17.5.3 ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΛΠΡ ὀρθή, καὶ ἡ πρὸς τῷ Ρ διμοίρου ### book 17.5.4 ὀρθῆς ἔσται. κάθετος ἄρα ἔσται ἡ ΛΠ τριγώνου ἰσο‐ ### book 17.5.5 πλεύρου, οὗ πλευρὰ ἡ ΛΡ. ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΛΡΠ ὀξεῖα ### book 17.10.1 γωνία ἐστίν, ἀμβλεῖα ἔσται ἡ ὑπὸ ΚΡΛ. ἐν τριγώνῳ οὖν ### book 17.10.2 τῷ ΚΛΡ μείζων ἐστὶν ἡ ΛΚ τῆς ΛΡ· αὕτη δὲ τῆς ΛΠ ### book 17.10.3 μείζων. ὥστε καὶ ἡ ΚΛ τῆς ΛΠ μείζων. ### book 18 καὶ διὰ τοῦτο ἡ ὑπὸ ΜΚΛ p. 37, 9] ὅτι ἡ ὑπὸ ### book 18.1 ΛΚΜ γωνία ἀμβλεῖά ἐστι, δῆλον ἐντεῦθεν· ἐπεὶ γὰρ ἡ ### book 18.2 ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ τετράγωνον κάθετος ἀγομένη ἐλάττων ### book 18.3 ἐστὶ τῆς ἡμισείας τῆς ΜΛ ὡς ἴση τῇ ἡμισείᾳ τῆς πλευρᾶς ### book 18.5.1 τοῦ πενταγώνου, ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῆς καθέτου δὶς καὶ τὸ ἀπὸ ### book 18.5.2 τῆς ἡμισείας τῆς ΜΛ δὶς ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΚ, ΚΜ, ### book 18.5.3 τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΛΜ ἴσον ἐστὶ τῷ τετράκις ἀπὸ τῆς ἡμισείας, ### book 18.5.4 μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΜ τῶν ἀπὸ τῶν ΛΚ, ΚΜ, ### book 18.5.5 ἐπεὶ καὶ ἡ ἡμίσεια τῆς ΛΜ τῆς καθέτου μείζων ἐστίν. ### book 18.10 ἀμβλεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΚΜ γωνία. ### book 1.1 Ἐπίπεδον ἐπιφανείας διαφέρει, ὅτι τὸ μὲν ἐπίπεδον ### book 1.2 ἐπὶ τοῦ λεῖα καὶ ἴσα τὰ οἰκεῖα μόρια ἔχοντος λέγεται, ἡ δὲ ### book 1.3 ἐπιφάνεια καὶ ἐπὶ τοῦ ἄνισα. ### book 2.1 Ἐν ἐπιπέδῳ εἶπεν, ἵνα διακρίνῃ τὴν τοῦ στερεοῦ γω‐ ### book 2.2 νίαν οὐκ οὖσαν ἐν ἐπιπέδῳ, δύο δὲ γραμμῶν εἶπεν, ἐπειδὴ ### book 2.3 ἐκ μιᾶς γωνίαν γενέσθαι ἀδύνατον, καὶ διὰ τὴν τοῦ στε‐ ### book 2.4 ρεοῦ· ἐκεῖ γὰρ οὐκ ἐκ δύο, ἀλλ’ ἐκ πλειόνων. τὸ δὲ ἁπτο‐ ### book 2.5.1 μένων διὰ τὰς ἀπ’ ἀλλήλων κειμένας καὶ γωνίαν ποιῆσαι ### book 2.5.2 οὐ δυναμένας διὰ τὸ κεχωρίσθαι. ### book 3.1 Ὁ κύκλος διχῶς νοεῖται ἤτοι τὸ ὑπὸ τῆς γραμμῆς ### book 3.2 περιεχόμενον σχῆμα ἢ καὶ αὐτὴ ἡ περιφέρεια. νοητέον οὖν, ### book 3.3 ἐὰν λέγῃ κύκλος κύκλον τέμνει τὴν περιφέρειαν λέγει, ### book 3.4 ἐὰν δὲ ἐν κύκλῳ ἡ διάμετρος μεγίστη ἐστί, τῶν δὲ ἄλλων ### book 3.5.1 καὶ τὰ ἑξῆς, τὸ ὑπὸ τῆς γραμμῆς λέγω ὡρισμένον σχῆμα. ### book 3.5.2 καὶ τὰ ἄλλα σχήματα διχῶς νοεῖται, ὁτὲ μὲν μετὰ τῆς ### book 3.5.3 ὕλης, ὁτὲ δὲ ἄνευ τῆς ὕλης, τουτέστι ἐπίνοια ψιλή. ### book 4.1 Πᾶν τρίγωνον ὀξεῖαν ἔχει γωνίαν καὶ οὐ μίαν ταύτην, ### book 4.2 ἀλλὰ δύο· εἴτε ὀρθογώνιον εἴτε ἀμβλυγώνιόν ἐστι, τὰς ### book 4.3 λοιπὰς δύο γωνίας ὀξείας ἔχει. τὸ δὲ ἰσόπλευρον οὐ τὰς ### book 4.4 δύο, ἀλλὰ τὰς τρεῖς ἔχει ὀξείας, καὶ διὰ τοῦτο ὀξυγώνιον ### book 4.5 τοῦτο ἐκάλεσεν μόνον, τῶν δ’ ἄλλων τὸ μὲν ὀρθογώνιον ### book 4.1 ἀπὸ τοῦ καλλιστεύοντος εἴδους, τὸ δὲ ἀμβλυγώνιον ἀπὸ ### book 4.2 τοῦ τῷ μεγέθει καὶ αὐτὸ καλλιστεύοντος ὑπάρχειν· μεῖζον ### book 4.3 γὰρ αὐτὸ καὶ τῆς ὀρθῆς εἶπεν. ### book 5.1 Τὸ ἑτερόμηκες τῷ τῶν πλευρῶν ἀνίσῳ μόνον ἀπο‐ ### book 5.2 λείπεται τετραγώνου· οὐ πάντως ὁμοίως ἔχει τὰς πλευρὰς ### book 5.3 ἴσας. εἶτά ἐστι ῥόμβος· ἀπὸ γὰρ τοῦ τετραγώνου πιεσθέν‐ ### book 5.4 τος κατὰ τὰς ἀπεναντίον γωνίας γίνεται ὁ ῥόμβος τετρά‐ ### book 5.5.1 γωνον ἐν διαστροφῇ. τέταρτον δὲ τὸ ῥομβοειδὲς ὡς ἀπὸ ### book 5.5.2 τοῦ ἑτερομήκους καθ’ ὁμοιότητα ῥόμβου γεγονὸς καὶ ### book 5.5.3 αὐτὸ διαστροφῇ τοῦ ἑτερομήκους· ἑκάτερον γὰρ ἑκα‐ ### book 5.5.4 τέρου ἀντικεῖται. ### book 6.1 Ἐπειδὴ τρεῖς εἰσι τοῦ τριγώνου κατὰ τὰς πλευρὰς ### book 6.2 διαφοραί, ἰσοπλεύρου, ἰσοσκελοῦς καὶ σκαληνοῦ, ἀνάγκη καὶ ### book 6.3 τὴν σύστασιν τῶν λοιπῶν δύο ἀποδεῖξαι. συνίσταται οὖν ### book 6.4 τὸ ἰσοσκελὲς τρίγωνον ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας οὕτως· ### book 6.5.1 ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ κέντρῳ τῷ Α, διαστή‐ ### book 6.5.2 ματι δὲ τῷ ΑΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΔΕ, καὶ κέντρῳ ### book 6.5.3 τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ΒΑ κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΔΖ, ### book 6.5.4 καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. ἴση δή ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΒΖ· ### book 6 ἀλλ’ ἡ ΑΕ τῇ ΑΗ ἴση. καὶ ἡ ΑΗ ἄρα τῇ ΒΖ ἴση. ἀλλ’ ἡ [Omitted graphic marker] ### book 6.10.1 ΒΖ τῇ ΒΗ ἴση· καὶ ἡ ΒΗ ἄρα τῇ ΑΗ ἴση. ἰσοσκελὲς ### book 6.10.2 ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΑΒ τρίγωνον καὶ συνέστη ἐπὶ τῆς ΑΒ. ὅτι ### book 6.10.3 δὲ ἡ ΑΒ ἐλάττων τῆς ΑΗ, δῆλον, ὅτι καὶ τῆς ΑΕ ἐλάττων. ### book 6.10.4 Ἀλλ’ ἐπεὶ τὸ ΗΑΒ τρίγωνον συνέστη ἐπὶ τῆς ΑΓ εὐ‐ ### book 6.10.5 θείας ἐλάττονος τῶν ΗΑ, ΗΒ, ἔστι δυνατὸν συστήσασθαι ### book 6.15.1 τὸ τοιοῦτον ἰσοσκελὲς τρίγωνον ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας ### book 6.15.2 καὶ μείζονα εἶναι τὴν δοθεῖσαν τῶν δύο ἴσων σκελῶν. ### book 6.15.3 ἔστω γὰρ ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΓ, ἐφ’ ἧς δεῖ τὸ τοιοῦτον ### book 6.15.4 ἰσοσκελὲς τρίγωνον συστήσασθαι, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ### book 6.15.5 τυχὸν σημεῖον τὸ Γ. εἰ μὲν οὖν ἐπὶ τῆς διχοτομίας ἐστὶ τὸ ### book 6.20.1 Γ, φανερόν ἐστι τὸ ζητούμενον. ληφθέντος γὰρ τοῦ ση‐ ### book 6.20.2 μείου ἐπὶ τῆς ΑΓ καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Γ, διαστήματι δὲ ### book 6.20.3 τῷ Γ καὶ τῷ ληφθέντι σημείῳ κύκλου γραφέντος ἀφεξ‐ ### book 6.20.4 αιρηθήσονται ἀπὸ τῶν περάτων τῆς ΑΒ εὐθείας διὰ τοῦ ### book 6.20.5 τοιούτου κύκλου ἴσαι εὐθεῖαι αἱ ΑΔ, ΕΒ, καὶ οὕτως ### book 6.25.1 ἔσται ῥᾴδιον τὸ ζητούμενον. ἴση γὰρ ἔσται ἡ ΒΔ τῇ ΑΕ. ### book 6.25.2 καὶ κέντρῳ τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ΒΔ κύκλος γραφή‐ ### book 6.25.3 σεται, καὶ πάλιν κέντρῳ τῷ Α, [Omitted graphic marker] ### book 6.25.4 διαστήματι δὲ τῷ ΑΕ κύκλος ### book 6.25.5 γραφήσεται. καὶ τμηθήσονται ὑπ’ ### book 6.30.1 ἀλλήλων οἱ κύκλοι, καὶ ἀπὸ τῆς ### book 6.30.2 τομῆς ἐπιζευχθήσονται ἐπὶ τὰ πέ‐ ### book 6.30.3 ρατα τῆς ΑΒ εὐθείας εὐθεῖαι, καὶ ### book 6.30.4 οὕτως συσταθήσεται τὸ ζητούμε‐ ### book 6.30.5 νον τρίγωνον, εἴπερ ἐπὶ τῆς διχοτο‐ ### book 6.35.1 μίας ἐστὶ τὸ Γ σημεῖον. εἰ δὲ μὴ ἐπὶ τῆς διχοτομίας ἐλήφθη ### book 6.35.2 τὸ Γ σημεῖον, μία τῶν ΑΓ, ΓΒ μείζων ἐστίν. ἔστω μείζων ### book 6.35.3 ἡ ΓΒ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῷ ΓΑ κύκλος ### book 6.35.4 γεγράφθω ὁ ΑΗΕ, καὶ πάλιν κέντρῳ τῷ Γ, διαστήματι δὲ ### book 6.35.5 τῷ ΓΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΔΚΒ, καὶ πάλιν κέντρῳ τῷ Α, ### book 6.40.1 διαστήματι δὲ τῷ ΑΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΔΘΖ. ἴση δή ### book 6.40.2 ἐστιν ἡ ΓΒ τῇ ΓΔ, ὧν ἡ ΓΑ τῇ ΓΕ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΔ ### book 6.1 λοιπῇ τῇ ΕΒ ἴση. ἀλλ’ ἡ ΑΔ τῇ ΑΖ ἴση· καὶ ἡ ΑΖ ἄρα τῇ ### book 6.2 [Omitted graphic marker] ΕΒ ἴση. κοινὴ προσκείσθω ἡ ### book 6.3 ΖΕ. ὅλη ἄρα ἡ ΑΕ ὅλῃ τῇ ΒΖ ### book 6.45.1 ἴση. καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β, δια‐ ### book 6.45.2 στήματι δὲ τῷ ΒΖ κύκλος γε‐ ### book 6.45.3 γράφθω ὁ ΖΜΛ, καὶ πάλιν κέν‐ ### book 6.45.4 τρῳ μὲν τῷ Α, διαστήματι δὲ τῷ ### book 6.45.5 ΑΕ κύκλος γεγράφθω ὁ ΝΜΕ, ### book 6.1 καὶ ἀπὸ τοῦ Μ σημείου, καθ’ ὃ ### book 6.2 τέμνουσιν ἀλλήλους οἱ κύκλοι, ### book 6.3 ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΑ, ΜΒ. ### book 6.4 φανερὸν δή, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΑΒ ἑκατέρας τῶν ΑΜ, ΜΒ. ### book 6.5 λέγω, ὅτι καὶ ἴσαι ἀλλήλαις. ἐπεὶ γὰρ ἐδείχθη, ὅτι ἴση ἐστὶν ### book 6.55.1 ἡ ΑΕ τῇ ΒΖ, ἴση δὲ ἡ ΑΕ τῇ ΑΜ, καὶ ἡ ΑΜ ἄρα τῇ ΒΖ ### book 6.55.2 ἴση ἐστίν. ἀλλ’ ἡ ΒΖ τῇ ΒΜ ἴση· καὶ ἡ ΑΜ ἄρα τῇ ### book 6.55.3 ΜΒ ἴση. ἰσοσκελὲς ἄρα ἐστὶ τὸ ΜΑΒ τρίγωνον, καὶ συν‐ ### book 6.55.4 έστη ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας τῆς ΑΒ. ### book 7.1 Τινὲς διὰ τὸ τὸν Εὐκλείδην μετ’ ὀλίγον ἰσοσκελοῦς ### book 7.2 μεμνῆσθαι τριγώνου ὡς ἐνδέον τῇ αὐτοῦ πραγματείᾳ τῶν ### book 7.3 τῆς γεωμετρίας στοιχείων συνιστῶσι ἰσοσκελὲς μετὰ τὸ ### book 7.4 ἰσόπλευρον μηδενὸς ἑτέρου προσδεηθέντες θεωρήματος ἢ ### book 7.5.1 προβλήματος, ἀλλ’ ἐκ μόνων τῶν ἀρχῶν. τοῦτο δὲ περιττῆς ### book 7.5.2 ἐστιν ἀντικρὺς φιλοτιμίας· οὔτε γὰρ ἐνδεῖ ἐν τῷ τόπῳ τῇ ### book 7.5.3 πραγματείᾳ, οὔτε ὁ Εὐκλείδης πάντη παρῆκε τὴν τῶν ἄλ‐ ### book 7.5.4 λων παρὰ τὸ ἰσόπλευρον τριγώνων κατασκευήν· μετὰ ταῦτα ### book 7.5.5 γὰρ πᾶν εἶδος συνίστησι τριγώνου ἐκ τριῶν εὐθειῶν, αἵ ### book 7.10.1 εἰσιν ἴσαι ταῖς δοθείσαις, καὶ οὐδέ γε λαμβάνει ὁ Εὐκλείδης ### book 7.10.2 τὸ ἰσοσκελὲς καὶ τοῦτο μὴ ἰσόπλευρον πρὸς κατασκευὴν καὶ ### book 7.10.3 σύστασιν σχήματος ἑτέρου, ἀλλὰ πρὸς δεῖξιν θεωρήματος, ### book 7.10.4 λέγων τάδε τινὰ συμβαίνειν τοῖς ἰσοσκελέσι, κἂν ἰσόπλευρα ### book 7.10.5 δηλονότι εἴη κἂν μή, μόνον ἂν ὦσιν ἰσοσκελῆ, ὥσπερ λέγει ### book 7.15 καί· ἐὰν τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσι, καίτοι ### book 7.1 μήπω διδάξας, πῶς τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ### book 7.2 ἔσονται τῆς ἑτέρας μὴ οὔσης ταύταις ἴσης. ἐπὶ πάντων ### book 7.3 γὰρ τῶν θεωρημάτων τὸ ἐὰν ὦσι λέγομεν τάδε τινά, τάδε ### book 7.4 συμβαίνειν· ἐν μόνοις γὰρ τοῖς προβλήμασι δεῖ εἶναι προ‐ ### book 7.20.1 συνεσταμένα τε καὶ προδεδειγμένα ἡμῖν τὰ πρὸς τὴν ### book 7.20.2 τούτων κατασκευὴν χρησιμεύοντα. εἰ δέ γε χρεία ἦν τῷ ### book 7.20.3 στοιχειωτῇ παντὸς εἴδους ἰσοσκελοῦς, ἐν τῷ δʹ θεωρήματι ### book 7.20.4 ἦν ἂν αὐτῷ, καὶ ἡμεῖς ἂν δεηθέντες τοῦ βʹ τε καὶ τοῦ τρί‐ ### book 7.20.5 του πᾶν εἶδος ἰσοσκελοῦς συνεστήσαμεν παρὰ τὸ ἰσόπλευ‐ ### book 7.25.1 ρον, ἐπεὶ τοῦτο αὐτὸς συνίστησιν ὁ Εὐκλείδης πρὸ τῶν ### book 7.25.2 ἄλλων πάντων σχημάτων. καὶ δὴ συσταίη ἂν ἰσοσκελὲς ### book 7.25.3 μείζονας ἔχον τὰς δύο τῆς μιᾶς ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας [Omitted graphic marker] ### book 7.25.4 οὕτως· ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφ’ ### book 7.25.5 ἑκάτερα ἐπὶ τὰ Γ, Δ, καὶ κείσθω ἴση ἡ ΑΔ τῇ ΒΓ, καὶ ### book 7.30.1 κέντρῳ μὲν τῷ Α, διαστήματι δὲ τῷ ΑΓ κύκλος γεγράφθω ### book 7.30.2 ὁ ΕΖΗΓ, κέντρῳ δὲ τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ΒΔ κύκλος ### book 7.30.3 γεγράφθω ὁ ΕΘΗΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΒΕ. ### book 7.30.4 καὶ συνέσταται ἐπὶ τῆς ΑΒ τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΕΒ ### book 7.30.5 ἐπὶ τῆς ΑΒ· ἐπεὶ γὰρ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΕΖΗΓ κύκλου ### book 7.35.1 τὸ Α, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΑΕ. πάλιν ἐπεὶ κέντρον ἐστὶ τοῦ ### book 7.35.2 ΕΘΗΔ κύκλου τὸ Β, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΔ τῇ ΒΕ. ἴση δὲ ἡ ΑΓ ### book 7.35.3 τῇ ΒΔ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΔ τῇ ΒΓ ἴση. ἐλάττων δὲ ἡ ΑΒ ### book 7.1 ὁποτέρας τῶν ΔΒ, ΑΓ. ὁμοίως δὲ κἂν ἀφέλῃς ἑκατέρω‐ ### book 7.2 θεν ἴσας τῆς ΑΒ, κατασκευάσεις ἰσοσκελὲς τὴν βάσιν ### book 7.40.1 τῶν λοιπῶν πλευρῶν μείζονα ἔχον. ### book 7.40.2 Καὶ μηδενὸς δὲ δεηθέντες καὶ ἡμεῖς ἄλλως συστήσομεν ### book 7.40.3 τρίγωνον ἰσοσκελὲς ὁμοίως μείζονα ἢ ἐλάττονα ἔχον τὴν ### book 7.40.4 βάσιν, εἰ καὶ μὴ ἐπὶ ὡρισμένης τῆς βάσεως, ἀλλ’ ἐπὶ τῆς ### book 7.40.5 ἴσης αὐτῇ· καὶ ἐλάττονα μὲν ἕξει τὴν βάσιν οὕτως· ἔστω ### book 7.45.1 τις εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ ἐκβεβλήσθω ὁσονδήποτε ἐπὶ τὸ Γ, [Omitted graphic marker] ### book 7.45.2 καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῷ ΑΓ κύκλος γε‐ ### book 7.45.3 γράφθω ὁ ΑΔΕΖ, κέντρῳ δὲ τῷ Α, διαστήματι δὲ τῷ ### book 7.45.4 ΑΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΖΗΔ· καὶ συνέσταται τὸ ΑΓΔ ### book 7.45.5 τρίγωνον ἐπὶ τῆς ἴσης τῇ δοθείσῃ τῇ ΒΑ τῆς ΑΔ ἴσας ### book 7.1 μὲν ἔχον τὰς ΑΓ, ΓΔ, τὴν δὲ ΑΔ ἐλάττονα ἴσην οὖσαν ### book 7.2 τῇ ΑΒ. ### book 7.3 Μείζονα δὲ ἕξει τὴν βάσιν οὕτως· ἔστω ἡ ΑΒ εὐθεῖα, ### book 7.4 καὶ εἰλήφθω ἐπ’ αὐτῆς τυχὸν σημεῖον τὸ Γ, καὶ κέντρῳ ### book 7.5 μὲν τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ΒΑ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΔΕ, ### book 7.55 κέντρῳ δὲ τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῷ ΓΒ κύκλος γεγράφθω ### book 7.1 ὁ ΒΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΔ, ΔΓ· καὶ γέγονε τρί‐ ### book 7.2 γωνον τὸ ΒΓΔ ἔχον τὰς μὲν ΒΓ, ΓΔ ἴσας, τὴν δὲ ΒΔ ### book 7.3 μείζονα ἴσην οὖσαν τῇ ΒΑ. καὶ γεγόνασιν ἰσοσκελῆ ἐπὶ ### book 7.4 τῆς ἴσης τῇ δοθείσῃ βάσεως ἢ ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας ### book 7.60.1 ἑνὸς τῶν δύο σκελῶν γενομένου, τὴν δὲ βάσιν ἑτέραν ### book 7.60.2 ἔχοντα, ὅπ... δὲ γέγονε ..., τὸ ἰσοσκελὲς ἑκατέρως ### book 7.60.3 συνέσταται τρίγωνον. [Omitted graphic marker] ### book 8.1 Τινὰ τῶν ἀντιγράφων ταῦτα μόνα τὰ β σχήματα ### book 8.2 ἔχει ἐν ὅλῳ τῷ κϛʹ θεωρήματι, καὶ οὐκ ἀπεικότως, ἔνια δὲ ### book 8.3 διὰ τὸ σαφέστερον ἰδίαν ἔχοντα τὴν Θ πλευρὰν ἕτερα δύο ### book 8.4 καταγεγραμμένα ἔχουσι σχήματα καὶ τὰ προκείμενα ### book 8.5.1 τμήματα χωρὶς τῆς Θ. ἐνταῦθα οὖν καὶ ἀμφότερα ἐσχη‐ ### book 8.5.2 μάτισται. ### book 9 Νῦν λέγει τὰ παραπληρώματα· περιέχεται γὰρ τὸ ### book 9.1 μὲν ἀπὸ τῆς ΑΓ παραπλήρωμα, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΒ ἤτοι [Omitted graphic marker] ### book 9.2 τῆς ΗΚ· ἴση γὰρ ἡ ΓΒ τῇ ΗΚ. λέγει οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ### book 9.3 ὅλον τετράγωνον ἴσον εἶναι τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΘΗ, ΔΖ καὶ ### book 9.5 ΓΒ, ΗΚ τετραγώνοις καὶ τοῖς παραπληρώμασιν. ### book 10.1 Σώζοιεν ἂν οἱ ἀριθμοί, καὶ εἴ τις ἀντὶ τῶν προτεθέν‐ ### book 10.2 των θείη τὸ μὲν ΑΒ ὅλον ١٢, τεμεῖ δὲ τὴν μὲν ΑΕ εἰς ٣, ### book 10.3 τὴν δὲ ΕΒ εἰς ٩, καὶ τὴν Γ θείη ὁμοίως ٩, τὴν Δ δὲ ٧, καὶ ### book 10.4 τὴν μὲν ΖΗ ٩, τὴν δὲ ΗΘ ٢٧, ὅλην δὲ τὴν ΖΘ ٣٦, εἶτα ### book 10.5.1 κατὰ τὸν στοιχειωτὴν τὴν μὲν Λ διπλασίαν τῆς Δ οὖσαν ١٤, ### book 10.5.2 τὴν δὲ Μ τριπλασίαν ٢١, τὴν δὲ Ν ٢٨ καὶ τὴν Κ ٢٧, ### book 10.5.3 Κείσθω πάλιν τὸ μὲν ΑΕ٥, τὸ δὲ ΕΒ٧, ἢ τὸ μὲν ΑΕ٩, ### book 10.5.4 τὸ δὲ ΕΒ ٣, ἂν ὅλον τὸ ΑΒ τεθείη ١٢. ὁμοίως οὖν καὶ διὰ ### book 10.5.5 τῶν αὐτῶν πάλιν τὸ θεώρημα κατασκευασθήσεται. ### book 11.1 Τῶν πρὸς II p. 16, 19] τῶν ἀνίσων μεγεθῶν δη‐ ### book 11.2 λονότι. τοῦτο τὸ ιʹ ἐστιν ἀντίστροφον τοῦ ηʹ τὸ τὸν μείζονα ### book 11.3 λόγον ἔχον, τὸ ἀπὸ τῶν τριῶν μεγεθῶν λέγον τὸ μέγιστον, ### book 11.4 ἐκεῖνο μεῖζόν ἐστιν, οὐ τοῦ πάνυ σμικροῦ, ἀλλὰ καὶ τοῦ ### book 11.5.1 μέσου, πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, τὸ σμικρό‐ ### book 11.5.2 τατον λέγον μέγεθος πρὸς τὸ μέσον, ἐκεῖνο ἔλαττόν ἐστι, ### book 11.5.3 τουτέστι τὸ μέσον, εἰ καὶ μὴ ᾖ ... ἐστιν ἔχει γὰρ τὸ β πρὸς ### book 11.5.4 τὸ γ τὸν ἡμιόλιον, τυχὸν δὲ καὶ τὸν διπλασίονα λόγον· ἀλλ’ ### book 11.5.5 οὖν πρὸς τὸ τῶν ἄλλων μέγιστον ἤτοι πρὸς τὸ α μέγεθος ### book 11.10 ἔλασσόν ἐστι τὸ μέσον. ### book 12.1 Ἰστέον, ὅτι τὸ καὶ ἄνισα δύναται συναριθμεῖσθαι ἐν ### book 12.2 τῷ κειμένῳ καὶ μή· καὶ γὰρ τὸ ἐν διπλασίονι λόγῳ δύναται ### book 12.3 οὐ μόνον ἐπὶ τῶν ἀνίσων, ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τῶν ἴσων λαμβάνε‐ ### book 12.4 ται λαμβανομένου τότε τοῦ διπλασίονος οὐ κατὰ τὴν ὑπερ‐ ### book 12.5.1 οχήν, ἀλλὰ κατὰ τὸ θεωρεῖσθαι μόνον τῷ μεταξύ τι ἕτερον ### book 12.5.2 ἴσον ἐκείνοις, οἷον ἂν τριῶν μεγεθῶν ἴσων ἀλλήλοις πρὸς ### book 12.5.3 ἄλληλα θεωρουμένων φῶμεν τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ἔσχατον ### book 12.1 διπλασίονα λόγον ἔχειν, κατὰ τὴν θέσιν μόνον τὸ διπλάσιον ### book 12.2 λέγομεν. ὁμοίως δὲ κἂν πλείω μεγέθη τὰ θεωρούμενα ### book 12.10.1 πρὸς ἄλληλα ὦσιν, τὸ τριπλάσιον ἢ τὸ πολλαπλάσιον ### book 12.10.2 νοοῦμεν κατὰ μόνην τὴν θέσιν. ὅτε δέ εἰσιν τὰ θεωρούμενα ### book 12.10.3 ἄνισα, τότε οὐ μόνον κατὰ τὴν θέσιν, ἀλλὰ καὶ κατὰ τὴν ### book 12.10.4 ὑπεροχὴν τὸ διπλάσιον θεωρεῖται. τὰ αὐτὰ δέ φαμεν καὶ ### book 12.10.5 ἐπὶ τῶν τριγώνων καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων· ὥστε κατὰ μὲν τὰ ### book 12.15.1 πρότερον ῥηθέντα ἐπὶ τῶν ἴσων δύναται χωρὶς τοῦ ἄνισα τὸ ### book 12.15.2 παρὸν θεώρημα κεῖσθαι, κατὰ δὲ τὸν βʹ λόγον δεῖ προσ‐ ### book 12.15.3 κεῖσθαι τὸ καὶ ἄνισα. ### book 13.1 [Omitted graphic marker] ὅλη ἡ βε ١٦. ὅλη ἡ ηλ ٨ ### book 13.2 Ἄφες ταῦτα· ὅρα τοὺς ἐν τῷ σχήματι κειμένους ἀριθ‐ ### book 13.3 μοὺς ἐμοὶ πολλὰ καμόντι ἐφευρεθέντας. ### book 14.1 Μετὰ τὸ εὑρεῖν τῶν Α καὶ Β καὶ Γ τριῶν ἀριθμῶν ### book 14.2 τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον τὸ Δ δηλαδὴ καὶ ἀποδεῖξαι τοῦ‐ ### book 14.3 το ἐξ εὐθείας καὶ διὰ ἀδύνατον λύει τὴν θέσιν ταύτην καὶ ### book 14.4 ζητεῖ ἐκ περιουσίας εὑρεῖν καὶ τοῦ κοινοῦ καὶ μεγίστου ### book 14.5.1 μέτρου αὐτοῦ τε καὶ ἐκείνων τῶν τριῶν ἕτερον κοινὸν καὶ ### book 14.5.2 μέγιστον μέτρον διὰ τὸ πόρισμα τοῦ πρὸ αὐτοῦ προβλήμα‐ ### book 14.5.3 τος καὶ εὑρίσκει τὸν Ε δι’ ἀποδείξεως ὁμοίας τῷ ἀνωτέρω. ### book 15.1 Ἐπεὶ γὰρ τετράγωνος ἀριθμός ἐστιν ὁ ὑπὸ δύο ἴσων ### book 15.2 ἀριθμῶν περιεχόμενος, εἰπὲ οὕτως· δωδεκάκις δώδεκα, ### book 15 καὶ γίνονται ρμδ. ### book 16.1 Εἰ βούλει εὑρῆσαι τὸν μέσον ἀνάλογον τῶν Α, Β, λαβὲ ### book 16.2 τὰς πλευρὰς ἀλλήλων, καί εἰσι τοῦ μὲν Α πλευραὶ τὰ γ ### book 16.3 καὶ ϛ, τοῦ δὲ β τὰ δύο καὶ δ. πολλαπλασίασον τὴν ἐλάττονα ### book 16.4 πλευρὰν τοῦ Α μετὰ τῆς μείζονος πλευρᾶς τοῦ Β, καὶ ### book 16.5.1 εὑρήσεις τὸν μέσον ἀνάλογον. εἰπὲ γάρ· τρὶς δ· καὶ γίνεται ### book 16.5.2 ιβ· καὶ πάλιν δὶς ϛ· καὶ γίνεται τὰ αὐτά. ### book 17.1 Πλευραὶ τοῦ κδ τὰ δ καὶ ϛ, τοῦ ϛ τὰ β καὶ γ. εἰπὲ ### book 17.2 γοῦν δὶς ϛ ιβ καὶ πάλιν τρὶς δ ιβ· καὶ εὑρίσκεται ὁ μέσος ### book 17.3 ἀνάλογον ἀπὸ τῶν πλευρῶν. ### book 18.1 Ἔστω κύβος ὁ Α η καὶ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας ### book 18.2 ποιείτω τὸν ξδ· ὁ ξδ κύβος ἐστί, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ ὁ δ καὶ ### book 18.3 ὁ ιϛ· τετράκις γὰρ τὰ δ ιϛ καὶ τετράκις τὰ ιϛ ξδ. ### book 19.1 Καὶ ἔχεις τοῦτο διὰ τοῦ πορίσματος τοῦ βʹ βιβλίου ### book 19.2 τοῦ ηʹ ὅτι· ἐὰν δὲ δ ἀριθμοὶ ἀνάλογον ἔχωσιν, οἱ ἄκροι ### book 19.3 αὐτῶν κύβοι· ἡ γὰρ μονὰς δυνάμει ἐστὶ τὰ πάντα. ### book 20.1 Εἰπὲ οὕτως· τρὶς πέντε ιε καὶ ἑπτάκις ιε ρε· εἰ δὲ ### book 20.2 βούλει, οὕτως· τρὶς ἑπτὰ κα καὶ πεντάκις κα ρε. ### book 21.1 Τοῦ δευτέρου ἤτοι τοῦ ΘΚ ξβ ὄντος ἔστιν ἡ ὑπερ‐ ### book 21.2 οχή, ᾗ ὑπερέχει τοῦ πρώτου ἤτοι τοῦ Ε ἐστι λα, ἔστι γοῦν ### book 21.3 ὑπεροχὴ τοῦ δευτέρου πρὸς τὸν πρῶτον ἀριθμὸν ἴση· λα ### book 21.4 γὰρ ὁ Ε, καὶ ἡ ὑπεροχὴ τοῦ δευτέρου ἤτοι ὁ ΝΚ λα· ὥστε ### book 21.5.1 ἡ ὑπεροχὴ τοῦ δευτέρου πρὸς τὸν πρῶτον ἴση. ὡς γοῦν ἡ ### book 21.5.2 τοῦ δευτέρου ὑπεροχὴ πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως καὶ ἡ τοῦ ### book 21.5.3 ἐσχάτου ὑπεροχὴ ἤτοι τοῦ ΞΗ πρὸς τοὺς πρὸ ἑαυτοῦ ### book 21.5.4 πάντας. ὑπεροχὴ δὲ τοῦ ἐσχάτου ἐστὶν ὁ ΞΗ, ἥτις ἐστὶ ### book 21.5.5 υξε· ἐκ γὰρ τῶν υϙϛ ἀφαιρεθέντος τοῦ λα ἴσου τῷ Ε ἐναπ‐ ### book 21.10 ελείφθησαν τὰ υξε, ἅτινα ἔχουσι πρὸς τοὺς πρὸ ἑαυτοῦ ### book 21.1 οὕτως, ὡς ἡ τοῦ δευτέρου ὑπεροχὴ πρὸς τὸν πρῶτον· ὡς ### book 21.2 γὰρ ἐκεῖ ἴση ἦν ἡ ὑπεροχὴ τοῦ δευτέρου πρὸς τὸν πρῶτον, ### book 21.3 οὕτως καὶ ὧδε ἡ ὑπεροχὴ τοῦ ἐσχάτου ἤτοι τὰ υξε ἴσα εἰσὶ ### book 21.4 τοῖς πρὸ αὐτοῦ οἷον τῷ Μ, Λ, ΘΚ καὶ Ε. τὰ γὰρ σμη καὶ ### book 21.15.1 ρκδ καὶ ξβ καὶ λα ποιοῦσι πάλιν συντεθέντα τὸν υξε. ὥστε ### book 21.15.2 ἴσαι αἱ ὑπεροχαί. ### book 22.1 Αἱ λαμβανόμεναι δύο εὐθεῖαι, ἐξ ὧν αἱ κατὰ σύν‐ ### book 22.2 θεσιν ἢ ἀφαίρεσιν ἄλογοι γίνονται. ### book 22col 1 ἢ δυνάμει μόνον ἀλλήλαις σύμ‐ ### book 22col 1 μετροι ### book 22col 2 ἢ καὶ μήκει καὶ δυνάμει ### book 22col 2 ἀσύμμετροι ### book 22col 3 μέσαι ### book 22col 4.1 ῥηταὶ τὸ ### book 22col 4.2 μὲν ἀπ’ αὐ‐ ### book 22col 4.3 τῶν συγ‐ ### book 22col 4.4 κείμενον ### book 22col 4.5.1 ῥητόν, τὸ ### book 22col 4.5.2 δ’ ὑπ’ ### book 22col 4.5.3 αὐτῶν ### book 22col 4 μέσον. ### book 22col 5.1 τὸ μὲν ἀπ’ ### book 22col 5.2 αὐτῶν μέ‐ ### book 22col 5.3 σον, τὸ δὲ ### book 22col 5.4 ὑπὸ ῥητὸν ### book 22col 5.5.1 μέσαι ῥη‐ ### book 22col 5.5.2 τὸν περι‐ ### book 22col 5 έχουσαι. ### book 22col 6.1 τὸ ἀπὸ καὶ ### book 22col 6.2 τὸ ὑπὸ μέ‐ ### book 22col 6.3 σον μέσαι ### book 22col 6.4 μέσον πε‐ ### book 22col 6.5 ριέχουσαι. ### book 22col 7.1 ἢ τὸ μὲν ### book 22col 7.2 ἀπ’ αὐτῶν ### book 22col 7.3 συγκείμε‐ ### book 22col 7.4 νον ῥητόν, ### book 22col 7.5 τὸ δὲ ὑπὸ ### book 22col 7 μέσον. ### book 22col 8.1 ἢ τὸ ἀνά‐ ### book 22col 8.2 παλιν ### book 22col 8.3 τὸ ἀπὸ ### book 22col 8.4 μέσον, τὸ ### book 22col 8.5 ὑπὸ ### book 22col 8 ῥητόν. ### book 22col 9.1 ἢ ἑκάτε‐ ### book 22col 9.2 ρον καὶ ### book 22col 9.3 τὸ ἀπὸ ### book 22col 9.4 καὶ τὸ ### book 22col 9.5 ὑπὸ ### book 22col 9 μέσον. ### book 22col 10 Τῶν ἀλόγων ### book 22col 11.1 αἱ μὲν κατὰ γεω‐ ### book 22col 11.2 μετρικὴν γίνονται με‐ ### book 22col 11 σότητα· αἱ μέσαι. ### book 22col 12.1 αἱ δὲ κατὰ ἀριθμη‐ ### book 22col 12.2 τικήν· αἱ κατὰ σύν‐ ### book 22col 12 θεσιν ἄλογοι. ### book 22col 13.1 αἱ δὲ κατὰ ἁρμονι‐ ### book 22col 13.2 κήν· αἱ κατὰ ἀφαί‐ ### book 22col 13 ρεσιν ἄλογοι. ### book 23.1 Ὁ τοῦ εἰκοσιεπτὰ ἀριθμοῦ τετραγωνισμὸς δίδωσι τῇ ### book 23.2 οἰκείᾳ πλευρᾷ μοίρας πέντε, λεπτὰ πρῶτα ιαʹ, μϛʹʹ ηʹʹʹ ### book 23.3 νεʹʹʹʹ, καὶ ἀποτελεῖται τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ μοῖραι κϛ λεπτὰ ### book 23 νθʹ νθʹʹ νθʹʹʹ νεʹʹʹʹ ναʹʹʹʹʹ ληʹʹʹʹʹʹ νγʹʹʹʹʹʹʹ κε ὄγδοα. καὶ ### book 23.5.1 ἄλλως ἐν τῷ αὐτῷ τετραγωνισμῷ τοῦ εἰκοσιεπτὰ ἀριθμοῦ ### book 23.5.2 δίδονται τῇ πλευρᾷ μοῖραι πέντε, λεπτὰ πρῶτα ἕνδεκα, ### book 23.5.3 δεύτερα τεσσαράκοντα ἕξ, τρίτα ὀκτώ, πεντήκοντα ἑπτὰ ### book 23.5.4 τέταρτα. καὶ οὕτως τῷ τετραγωνισμῷ συνάγονται μονά‐ ### book 23.5.5 δες εἰκοσιεπτὰ διὰ τῶν τεσσάρων γνωμόνων ἀπό τε αὐτοῦ ### book 23.10.1 τοῦ προυποτεθειμένου τετραγώνου τοῦ ἔχοντος μοίρας ### book 23.10.2 εἰκοσιπέντε. περιττεύουσι δὲ ἐν τοῖς καταγεγραμμένοις ### book 23.10.3 γνώμοσι λεπτὰ τέταρτα ιε πέμπτα β ἕκτα μϛ ἕβδομα ϛ ### book 23.10.4 ὄγδοα θ, ἅτινα παρεῶνται ὡς λεπτότατον λίαν πολλο‐ ### book 23.10.5 στημόριον τῆς μονάδος, ἃ καὶ ἀνεπαίσθητα τῇ φύσει κα‐ ### book 23.15 λοῦσι. ### book 24.1 Οὐ χρεία σοι ὦ οὗτος ἀριθμῶν καὶ λεπτῶν ὧδε, ἀλλ’ ### book 24.2 οὐδὲ λεπτῶν ὅλως ἐν ὅλῃ γεωμετρίᾳ· ματαία γὰρ αὕτη ### book 24.3 φιλοτιμία· ἀλλ’ ὡς ὁ γεωμέτρης δείκνυσι ταῦτα, οὕτω χρὴ ### book 24.4 κατανοεῖν τὴν τούτων ἀπόδειξιν. ἐν δ’ ἀστρονομίᾳ οἰκεῖος ### book 24.5.1 ὁ τῶν λεπτῶν ἐπιλογισμός, καθὸ καὶ ὁ Πτολεμαῖος τοῦτο ### book 24.5.2 ποιεῖ· ἐκ γὰρ τοῦ συνεγγίζοντος καὶ τοῦ πρὸς αἴσθησιν ### book 24.5.3 ἀκριβοῦς αἱ ἀστρονομικαὶ ἀποδείξεις· ἐνταῦθα δὲ ἐκ τοῦ ### book 24.5.4 πλήρους, ὅπερ εὑρεῖν οὐ δύναται ὁ ἐκ τῶν λεπτῶν συμ‐ ### book 24.5.5 ψηφισμός. ### book 25.1 Ῥηταὶ παρὰ τῶν παλαιῶν οὐ μόνον αἱ μήκει σύμ‐ ### book 25.2 μετροι ἐλέγοντο, ἀλλὰ καὶ αἱ δυνάμει σύμμετροι καὶ αὐταὶ ### book 25 ῥηταὶ ἐλέγοντο. ### book 1.1 αʹ γένος. πολλαπλάσιος ἀριθμός ἐστιν ὁ μετρούμενος ### book 1.2 ὑπὸ τοῦ, οὗ ἐστι πολλαπλάσιος, καὶ λέγεται κατὰ γένος, ### book 1.3 κατὰ εἶδος δὲ διπλάσιος, τριπλάσιος καὶ εἰς ἄπειρον. ### book 1.4 βʹ. κατὰ γένος ἐπιμόριος ἀριθμός ἐστιν ὁ ὑπὸ ἑτέρου ### book 1.5.1 μετρούμενος ἅπαξ καὶ περισσεύων τινός, ὅπερ τινὸς μετρεῖ ### book 1.5.2 τὸν μετρήσαντα, οἷον ὁ θ καὶ ὁ ιβ· μετρεῖ ὁ θ τὸν ιβ καὶ ### book 1.5.3 περισσεύει γ, καὶ ὁ γ μετρεῖ τὸν θ. κατὰ εἶδος δὲ ἐπίτριτος, ### book 1.5.4 ἐπιτέταρτος, ἐπιέβδομος καὶ εἰς ἄπειρον. ### book 1.5.5 γʹ. κατὰ γένος ἐπιμερὴς δὲ ὁ μετρούμενος ὑπὸ ἑτέρου ### book 1.10.1 ἅπαξ, καὶ περισσεύει τι, ὅπερ οὐ μετρεῖ τὸν μετρήσαντα, ### book 1.10.2 οἷον ὁ θ καὶ ὁ ια. κατὰ εἶδος δὲ ἐπιδισμόριος ἢ ἐπιτρισμό‐ ### book 1.10.3 ριος καὶ ἔτι κατὰ εἶδος ἐπιδισέννατος καὶ ἐπιτρισέννατος. ### book 1.10.4 Ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἡ πρώτη πρὸς τὴν γʹ ### book 1.10.5 διπλασίονα λόγον ἔχειν λέγεται ἤπερ πρὸς τὴν βʹ, τουτ‐ ### book 1.15.1 έστιν ἐὰν ἔχῃ ἡ αʹ πρὸς τὴν βʹ λόγον τριπλασίονα, ἡ αʹ ### book 1.15.2 πρὸς τὴν γʹ λόγον ἕξει δὶς τὸν αὐτὸν τὸν τριπλασίονα, ### book 1.15.3 τουτέστιν ἐννεαπλασίονα· τρὶς γὰρ τὰ τρία θ. τοῦτο γάρ ### book 1.15.4 ἐστι καὶ τὸ λεγόμενον ἐν τοῖς ὅροις τοῦ ϛʹ βιβλίου. ### book 1.15.5 Λόγος ἐκ λόγων συγκεῖσθαι λέγεται καὶ τὰ ἑξῆς· οἷον ### book 1.20 τρὶς τρὶς θ, ὁ ἐννεαπλοῦς διπλασίων ἐστὶ τοῦ τριπλασίου, ### book 1.1 καί ἐστι λόγος ἐκ λόγων συγκείμενος. ὁ δὲ δωδεκαπλάσιος ### book 1.2 λόγος σύγκειται ἐκ β λόγων τριπλασίου τε καὶ τετραπλα‐ ### book 1.3 σίου ἢ διπλασίου καὶ ἑξαπλασίου, καὶ ἐπὶ πάντων τὸ αὐτὸ ### book 1.4 νοείσθω. τὰ ὅμοια τρίγωνα πρὸς ἄλληλα ἐν διπλασίονι [Omitted graphic marker] ### book 1.25.1 λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν, καί ἐστιν ὁ μὲν τῆς ### book 1.25.2 εὐθείας πρὸς τὴν εὐθεῖαν τὴν ὁμόλογον τῆς βγ πρὸς τὴν εζ ### book 1.25.3 τριπλάσιος, ὁ δὲ λόγος τοῦ αβγ τριγώνου πρὸς τὸ εδζ ### book 1.25.4 τρίγωνον ἐννεαπλάσιος, ὁ δὲ λόγος τοῦ λόγου διπλάσιος. [Omitted graphic marker] ### book 1.25.5 [Start of a diagram]ἁπλοῖ ἁπλοῖ ἁπλοῖ ### book 1.30.1 πολλαπλάσιος ἐπιμόριος ἐπιμερίς ### book 1.30.2 διπλοῖ οἱ πολλαπλάσιοι ### book 1.30.3 πολλαπλασιεπιμόριος πολλαπλασιεπιμερίς ### book 1.30.4 ὑποπολλαπλάσιος ὑποεπιμόριος ὑποεπιμερίς ### book 1.30.5 ὑποπολλαπλασιεπιμόριος ὑποπολλαπλασιεπιμερίς[End of a diagram] ### book 1.35.1 Ἡ πηλικότης τοῦ τριπλασίου ἐστὶν ὁ τρία πρὸς ἕνα, τοῦ ### book 1.35.2 τετραπλασίου ὁ τέσσαρα πρὸς ἕνα, τοῦ ἡμιολίου ὁ τρία ### book 1.1 πρὸς δύο καὶ τὸ ἑξῆς. ### book 1.2 [Omitted graphic marker] Ὁ ἐκ διπλασίου καὶ ἡμιολίου ὁ τοῦ ἓξ πρὸς τρία καὶ τρία ### book 1.3 πρὸς δύο. ὁ ἐξ ἡμιολίου καὶ τριπλασίου λαμβανόμενος ὁ ### book 1.40.1 τρία καὶ δύο ἡμιόλιος, ὁ δύο καὶ ἕνα διπλάσιος. ὁ ἐξ [Omitted graphic marker] ### book 1.40.2 ἐπιτρίτου καὶ τετραπλασίου λαμβανόμενος ἐπίτριτος ὁ ιϛ ### book 1.40.3 τοῦ ιβ, καὶ ὁ ιβ τοῦ τρία τετραπλάσιος. ὁ ἐξ ἀφαιρέσεως ### book 1.40.4 διπλασίου τριπλάσιος ὁ καταλειπόμενος ὑποημιόλιος. ὁ ### book 1.40.5 ἓξ διπλάσιός ἐστι τοῦ γ. ἐὰν ἀπὸ τοῦ ϛ ἀφαιρῇς πρὸς δύο ### book 1.45 ἤγουν τὸ τριπλάσιον, καταλείπεται ὁ δύο πρὸς τρία ὑπο‐ ### book 1.1 ημιόλιος. ### book 1.2 Ὁ ἐξ ἀφαιρέσεως τοῦ διπλασίου τριπλάσιος πρὸς τὸν ### book 1.3 ἐλάσσονα ὁ καταλειπόμενος ὑποημιόλιος. ὁ β πρὸς ἕνα ### book 1.4 διπλάσιος, ἐὰν ἀφέλωμεν ἀπὸ τοῦ ἑνὸς τὸν τρία πρὸς ἕνα ### book 1.1 τριπλάσιον, καταλείπεται δύο πρὸς τρία ὑποημιόλιος. ### book 1.2 Ὅτε οἱ τρεῖς ὅροι οὐκ εἰσὶν ἐν τῇ ταυτότητι τῶν λόγων ### book 1.3 τῆς ἀναλογίας, τότε οὐ λέγομεν τὸ πρῶτον καὶ τὸ τρίτον ### book 1.4 διπλασίονα λόγον ἔχειν ἤπερ πρὸς τὸ δεύτερον. ### book 1.5 Ἔστωσαν γὰρ ἀριθμοὶ οἱ α, β, γ, καὶ ὁ μὲν ὑπὸ α, β ### book 1.55.1 ἔστω ὁ δ, ὁ δὲ ὑπὸ β, γ ὁ ε, ὁ δὲ ὑπὸ α, γ ὁ ζ, καὶ ὁ μὲν α τὸν ### book 1.55.2 ε πολλαπλασιάσας τὸν η ποιείτω, ὁ δὲ β τὸν ζ πολλαπλα‐ ### book 1.55.3 σιάσας τὸν θ ποιείτω, καὶ ἔτι ὁ γ τὸν δ πολλαπλασιάσας [Omitted graphic marker] ### book 1.55.4 τὸν κ ποιείτω. λέγω, ὅτι ἴσοι εἰσὶν οἱ η, ### book 1.55.5 θ, κ ἀριθμοί. ἐπεὶ γὰρ ὁ α τὸν β πολ‐ ### book 1.60.1 λαπλασιάσας τὸν δ πεποίηκεν, τὸν δὲ γ ### book 1.60.2 πολλαπλασιάσας τὸν ζ πεποίηκεν, ἔστιν ### book 1.60.3 ἄρα, ὡς ὁ β πρὸς τὸν γ, οὕτως ὁ δ πρὸς ### book 1.60.4 τὸν ζ. ὁ ἄρα ὑπὸ β, ζ, τουτέστιν ὁ θ, ἴσος ### book 1.60.5 ἐστὶ τῷ ὑπὸ γ, δ, τουτέστι τῷ κ. πάλιν ### book 1.65.1 ἐπεὶ ὁ γ τὸν μὲν α πολλαπλασιάσας τὸν ### book 1.65.2 ζ πεποίηκεν, τὸν δὲ β πολλαπλασιάσας ### book 1.65.3 τὸν ε πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα, ὡς ὁ α πρὸς τὸν β, οὕτως ὁ ζ ### book 1.65.4 πρὸς τὸν ε. ὁ ἄρα ὑπὸ α, ε, τουτέστιν ὁ η, ἴσος ἐστὶ τῷ ### book 1.65.5 ὑπὸ β, ζ, τουτέστι τῷ θ. οἱ ἄρα η, θ, κ ἀριθμοὶ ἴσοι ### book 1.70.1 ἀλλήλοις εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 1.70.2 Ἔστω β μεγέθη τὰ α, γ, καὶ ἐχέτω λόγον τὸ α πρὸς τὸ γ, ### book 1.70.3 οὗ πηλικότης ὁ δ, καὶ παρεμπεσέτω μέσον τῶν α, γ μεγε‐ ### book 1.70.4 θῶν τυχὸν μέγεθος τὸ β. λέγω, ὅτι ὁ τοῦ α πρὸς τὸ γ λόγος ### book 1.70.5 ὁ δ σύγκειται ἐκ τοῦ, ὃν ἔχει τὸ α πρὸς τὸ β, οὗ πηλικότης ### book 1.75.1 τὸ ζ, καὶ τοῦ β πρὸς τὸ γ, οὗ πηλικότης τὸ ε. ἐπεὶ γὰρ ὁ δ ### book 1.75.2 τὸ γ πολλαπλασιάσας τὸ α πεποίηκεν, τὸ α ἄρα τοῦ γ ### book 1.1 πολλαπλάσιόν ἐστι κατὰ τὸ δ. πάλιν ἐπεὶ ὁ ε τὸ γ πολλα‐ ### book 1.2 πλασιάσας τὸ β πεποίηκε, ὁ δὲ ζ τὸ β [Omitted graphic marker] ### book 1.3 πολλαπλασιάσας τὸ α πεποίηκεν, ὁ ἄρα ### book 1.80.1 ζ τὸν ἐκ τῶν ε, γ πολλαπλασιάσας τὸ α ### book 1.80.2 πεποίηκεν. καὶ ὁ γ ἄρα τὸν ἐκ τῶν ζ, ε ### book 1.80.3 πολλαπλασιάσας τὸ α πεποίηκεν διὰ ### book 1.80.4 τὸ πρὸ ἑαυτοῦ λῆμμα. ἴσος ἄρα ἐστὶν ### book 1.80.5 ὁ ἐκ τῶν ζ, ε τῷ δ. ὁ δ ἄρα σύγκειται ### book 1.85.1 ἐκ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῶν ζ, ε. ### book 1.85.2 Ὑπόμνημα σχόλιον εἰς τὰς τῶν λόγων σύνθεσίν τε καὶ ### book 1.85.3 ἀφαίρεσιν Λέοντος. ### book 1.85.4 Ἔστωσαν ἀριθμοὶ οἱ α, β, γ, καὶ ὁ μὲν ὑπὸ α, β ἔστω ### book 1.85.5 ὁ δ, ὁ δὲ ὑπὸ β, γ ὁ ε, καὶ ἔτι ὁ ὑπὸ α, γ ὁ ζ, καὶ πάλιν ὁ [Omitted graphic marker] ### book 1.90.1 μὲν ὑπὸ α, ε ἔστω ὁ η, ὁ δὲ ὑπὸ β, ζ ὁ ### book 1.90.2 θ, καὶ ἔτι ὁ ὑπὸ γ, δ ὁ κ. λέγω, ὅτι οἱ ### book 1.90.3 η, θ, κ ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοις εἰσίν. ### book 1.90.4 ἐπεὶ γὰρ ὁ μὲν ὑπὸ α, β ἐστιν ὁ δ, ὁ δὲ ### book 1.90.5 ὑπὸ α, γ ἐστιν ὁ ζ, ἔστιν ἄρα, ὡς ὁ β ### book 1.95.1 πρὸς τὸν γ, οὕτως ὁ δ πρὸς τὸν ζ. ὁ ἄρα ### book 1.95.2 ὑπὸ γ, δ ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ β, ζ, τουτ‐ ### book 1.95.3 έστιν ὁ κ ἴσος ἐστὶ τῷ θ. πάλιν ἐπεὶ ὁ ### book 1.95.4 μὲν ὑπὸ α, β ἐστιν ὁ δ, ὁ δὲ ὑπὸ β, γ ### book 1.95.5 ἐστιν ὁ ε, ἔστιν ἄρα, ὡς ὁ α πρὸς τὸν γ, οὕτως ὁ δ πρὸς ### book 1.1 τὸν ε· ὁ ἄρα ὑπὸ γ, δ, τουτέστιν ὁ κ, ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ α, ### book 1.2 ε, τουτέστι τῷ η. ἀλλ’ ὁ κ τῷ θ ἐστιν ἴσος· οἱ τρεῖς ἄρα οἱ ### book 1.3 η, θ, κ ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοις εἰσίν. ### book 1.4 Λῆμμα βʹ ### book 1.5 Ἔστω ἀριθμὸς ὁ α τοῦ β πολλαπλάσιος κατὰ τὸν γ. λέγω, ### book 1.105 ὅτι καὶ ὁ β τοῦ α πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ τὸ ὁμώνυμον ### book 1.1 μέρος τοῦ γ. ἐπεὶ γὰρ ὁ β τὸν α μετρεῖ κατὰ τὸν γ, ἔστιν ### book 1.2 ἄρα, ὡς ὁ β πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν γ. ### book 1.3 ὡς δὲ ἡ μονὰς πρὸς τὸν γ, οὕτως τὸ ὁμώνυμον μόριον τοῦ γ ### book 1.4 πρὸς μονάδα. καὶ ὡς ἄρα ὁ β πρὸς τὸν α, ### book 1.110.1 οὕτως τὸ ὁμώνυμον μόριον τοῦ γ πρὸς ### book 1.110.2 μονάδα. ὁ ἄρα ὑπὸ τοῦ β καὶ μονάδος, τουτ‐ ### book 1.110.3 έστιν αὐτὸς ὁ β, ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ τοῦ ### book 1.110.4 α καὶ τοῦ ὁμωνύμου τῷ γ. ### book 1.110.5 ια ιβ ### book 1.115.1 ιγ μ̊ ὁμώνυμον ### book 1.115.2 τοῦ γ μόριον ### book 1.115.3 τὸ γʹ ### book 1.115.4 Ἵνα δὲ καὶ ἀριθμητικῶς σαφηνισθῇ τὰ τοιαῦτα, ἐπὶ μὲν ### book 1.115.5 τοῦ αʹ λήμματος λέγομεν, ὅτι ὁ τετράκις πέντε ἑξάκις ### book 1.120.1 ἴσος ἐστὶ τῷ πεντάκις τε ἓξ τετράκις καὶ τῷ ἑξάκις τέσσαρα ### book 1.120.2 πεντάκις, τουτέστι τῷ ρκ. ἐπὶ δὲ τοῦ βʹ λήμματος ὁ ἑκατὸν ### book 1.120.3 τοῦ εἴκοσι πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ τὸν ε, καὶ ὁ κ τοῦ ρ ### book 1.120.4 πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ τὸν εʹ. ### book 1.120.5 Λῆμμα γʹ ### book 1.125.1 Ἔστω ὁ α τοῦ β ἐπιμόριος κατὰ τὸν γ. λέγω, ὅτι καὶ ὁ β ### book 1.125.2 τοῦ α ἐπιμόριός ἐστι κατὰ τὸ ὁμώνυμον μόριον τοῦ γ ### book 1.125.3 ἐναλλάξ, τουτέστιν, εἴ ἐστιν ὁ α τοῦ β ἐπίτριτος, τουτέστιν ### book 1.125.4 ἔχων αὐτοῦ τρίτα τέσσαρα, καὶ ὁ β τοῦ α ἔσται τέταρτα ### book 1.125.5 τρία. ἐπεὶ γὰρ ὁ α πρὸς τὸν β λόγον ἔχει, ὃν τέσσαρα πρὸς ### book 1.130.1 τρία, καὶ ὁ β ἄρα πρὸς τὸν α λόγον ἕξει, ὃν τρία πρὸς τέσ‐ ### book 1.130.2 σαρα, καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς ἐπιμορίων ὡσαύτως. ### book 1.130.3 Λῆμμα δʹ ### book 1.130.4 Ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τῶν ἐπιμερῶν τὸ αὐτὸ συμβαίνει. εἰ γὰρ ὁ ### book 1.130.5 α πρὸς τὸν β λόγον ἔχει, ὃν ὁ ζ πρὸς τὸν ε, καὶ ὁ β πρὸς ### book 1.135.1 τὸν α λόγον ἕξει, ὃν ὁ ε πρὸς τὸν ζ ἐναλλάξ, τουτέστιν ἀντὶ ### book 1.135.2 τοῦ ἑπταπέμπτου τὸν πενταέβδομον, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ### book 1.135.3 ὡσαύτως. τὰ δ’ αὐτὰ νοεῖν δεῖ καὶ ἐπὶ τῶν συνθέτων λόγων ### book 1.135.4 οἷον πολλαπλασιεπιμορίων καὶ πολλαπλασιεπιμερῶν. εἰ ### book 1.135.5 γὰρ ἔσται τυχὸν ὁ α τοῦ β διπλασιεπίτριτος, τουτέστι ### book 1.140 λόγον ἔχων πρὸς τὸν β, ὃν ὁ ζ πρὸς τὸν γ, τουτέστιν ἑπτά‐ ### book 1.1 τριτος αὐτοῦ, ἔσται καὶ ὁ β τοῦ α ὑποδιπλασιεπίτριτος, ### book 1.2 τουτέστι λόγον ἔχων πρὸς αὐτόν, ὃν ὁ γ πρὸς τὸν ζ, τουτ‐ ### book 1.3 έστι τριέβδομος. τὸ δ’ αὐτὸ νοητέον καὶ ἐπὶ τῶν πολλα‐ ### book 1.4 πλασιεπιμερῶν. εἰ γὰρ ὁ α τοῦ β διπλασιεπιτρίπεμπτος εἴη, ### book 1.145.1 τουτέστι λόγον ἔχων πρὸς αὐτόν, ὃν ὁ ιγ πρὸς τὸν ε, τουτ‐ ### book 1.145.2 έστι τρισκαιδεκαπέμπτος, ἔσται καὶ ὁ β τοῦ α πεντατρισ‐ ### book 1.145.3 καιδέκατος, καὶ τὰ ἄλλα οὕτως. ### book 1.145.4 Τούτων δὲ προθεωρηθέντων ἔστω τὸ α μέγεθος πρὸς ### book 1.145.5 τὸ β λόγον ἔχον, οὗ λόγου πηλικότης ἔστω τὸ γ, καὶ ### book 1.1 μεταξὺ τῶν α, β ἐμπιπτέτω τυχὸν μέγεθος τὸ δ. λέγω. ### book 1.2 ὅτι ὁ τοῦ α πρὸς τὸ β λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ### book 1.3 τὸ α πρὸς τὸ δ καὶ τὸ δ πρὸς τὸ β. ὅτι μὲν γὰρ τὸ β τὴν γ ### book 1.4 πηλικότητα τοῦ λόγου πολλαπλασιάσαν τὸ α ἐποίησεν, ### book 1.5 δῆλον· ἀλλ’ ἐπεὶ πάλιν τὸ β μέγεθος τὴν ζ πηλικότητα ### book 1.155.1 τοῦ λόγου τῶν δ, β πολλαπλασιάσαν τὸ δ πεποίηκεν, ### book 1.155.2 ἀλλὰ καὶ τὸ δ μέγεθος τὴν ε πηλικότητα τοῦ λόγου τῶν α, ### book 1.155.3 δ πολλαπλασιάσαν τὸ α πεποίηκεν, διὰ τὸ αʹ ἄρα λῆμμα, [Omitted graphic marker] ### book 1.155.4 ἐπειδὴ τὸ ε τὸν ἐκ τῶν β, ζ πολλα‐ ### book 1.155.5 πλασιάσαν τὸ α πεποίηκεν, καὶ τὸ β ἄρα ### book 1.160.1 τὸν ἐκ τῶν ε, ζ πολλαπλασιάσαν τὸ α ### book 1.160.2 πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ ὑπὸ β, γ ### book 1.160.3 ἐστιν ὁ α, καὶ πάλιν ὁ ὑπὸ β, ζ, ε ἐστιν ### book 1.160.4 ὁ α· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ὑπὸ β, γ τῷ ὑπὸ ### book 1.160.5 β, ε, ζ. ἡ ἄρα γ πηλικότης τοῦ τῶν α, ### book 1.165.1 β μεγεθῶν λόγου ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ τῶν ### book 1.165.2 ε, ζ πηλικοτήτων γενομένῃ. σύγκειται ἄρα ἡ γ πηλικότης ### book 1.165.3 ἐκ τῆς ε ἐπὶ τὴν ζ πολλαπλασιασθεῖσαν. τὰ δ’ αὐτὰ ἐροῦ‐ ### book 1.165.4 μεν, καὶ ἐὰν μεταξὺ τῶν α, δ ἐμπέσῃ μέγεθος, καὶ πάλιν ### book 1.165.5 ἐὰν μεταξὺ τῶν β, δ ἄλλο ἐμπέσῃ· ἡ γὰρ αὐτὴ ἔφοδός ### book 1.170.1 ἐστιν. ### book 1.170.2 Ὑπόδειγμα ### book 1.170.3 Ἔστω ὁ α πρὸς τὸν β λόγον ἔχων, ὃν ὁ ζ πρὸς τὸν ε· ἡ ### book 1.1 ἄρα γ πηλικότης οὖσα τοῦ λόγου τῶν α, β ἔσται πεμπτη‐ ### book 1.2 μορίων ζ. ἐμπιπτέτω δὴ μεταξὺ τῶν α, β μέγεθος τὸ δ ### book 1.175.1 ἔχον καὶ αὐτὸ μονάδας ια. ἡ ἄρα ζ πηλικότης οὖσα τῶν δ, ### book 1.175.2 β τοῦ λόγου ἔσται πεμπτημορίων ια· ἡ ἄρα ε πηλικότης ### book 1.175.3 οὖσα τῶν α, δ τοῦ λόγου ἔσται ἑνδεκάτων ζ. ### book 1.175.4 Ὅτι δὲ τὸ ὀρθογώνιον τὸ περιεχόμενον ὑπό τε ἑνδεκά‐ ### book 1.175.5 των ζ καὶ ὑπὸ πεμπτημορίων ια γίνεται πεμπτημορίων ζ, [Omitted graphic marker] ### book 1.180.1 φανερόν· τὰ γὰρ ζ ἐπὶ τὰ ια γίνεται οζ, τὸ δὲ ἑνδεκατημό‐ ### book 1.180.2 ριον ἐπὶ τὸ πεμπτημόριον πολλαπλασιαζόμενον γίνεται ### book 1.180.3 πεντηκοστοπεμπτημόριον· τὰ οὖν οζ πεντηκοστοπεμπτη‐ ### book 1.180.4 μόρια γίνεται πεμπτημόρια ζ, τουτέστιν ἡ πηλικότης τοῦ ### book 1.180.5 λόγου τῶν α, β. [Omitted graphic marker] ### book 1.185.1 Ἀλλὰ δὴ νῦν ὑποκείσθω τὸ α πρὸς τὸ β λόγον ἔχον, ὃν ὁ ### book 1.185.2 ιζ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ιγ, καὶ δὲ ἐξ αὐτοῦ ἀφελεῖν, ὃν ἔχει ### book 1.185.3 λόγον ὁ ιθ πρὸς τὸν ια. ποιῶ οὖν, ὡς ὁ ιθ πρὸς τὸν ια, ### book 1.185.4 οὕτως τὸν ιζ πρὸς ρπζ ἐννεακαιδέκατα. λοιπὸς ἄρα λόγος ### book 1.185.5 μένει ὁ τῶν ρπζ ιθʹ πρὸς μονάδας ιγ, τουτέστιν ἐὰν ἐννεακαι‐ ### book 1.190.1 δεκάκις τὰ ιγ ποιήσωμεν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς τοῖς τῶν [Omitted graphic marker] ### book 1.190.2 ρπζ πρὸς σμζ· ἅπερ προέκειτο δεῖξαι. ### book 1.190.3 [Start of a diagram]αἱ ἐπίπεδοι γωνίαι περιέχονται ### book 1.190.4 [Start of a diagram section]ἢ ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ ὁμοίων γραμμῶν ### book 1.190.5 ἢ εὐθύγραμμοι ### book 1.195.1 ἢ ὀξεῖα ### book 1.195.2 ἢ ὀρθὴ ### book 1.195.3 ἢ ἀμβλεῖα ### book 1.195.4 ἢ περιφερόγραμμοι ### book 1.195.5 αἱ δύο κυρταί ### book 1.1 αἱ δύο κοῖλαι[End of a diagram section] ### book 1.2 [Start of a diagram section]ἢ ὑπὸ ἀνομοίων ### book 1.3 ἢ ὑπὸ περιφερειῶν ἀνομοίων ### book 1.4 ἢ ὑπὸ εὐθείας καὶ περιφερείας ### book 1.5 ἢ κυρτῆς ὡς ἡ κερατοειδής ### book 1.205.1 ἢ κοίλης ὡς ἡ τῶν τμημάτων[End of a diagram section][End of a diagram] ### book 1.205.2 [Start of a diagram]τῶν τριπλεύρων ### book 1.205.3 ἰσόπλευρον ἰσοσκελές σκαληνόν[End of a diagram] ### book 1.205.4 [Start of a diagram] τῶν τριγώνων ### book 1 ἀμβλυγώνιον ὀρθογώνιον ὀξυγώνιον[End of a diagram] ### book 1.210.1 [Start of a diagram]τῶν τετραπλεύρων ### book 1.210.2 [Start of a diagram section]παραλληλόγραμμον ### book 1.210.3 ὀρθογώνιον ### book 1.210.4 ἰσόπλευρον ### book 1.210.5 ἑτερόμηκες ### book 1.215.1 οὐκ ὀρθογώνιον ### book 1.215.2 ἰσόπλευρον ῥόμβος ### book 1.215.3 ῥομβοειδές[End of a diagram section] ### book 1.215.4 [Start of a diagram section]τραπέζια ### book 1.215.5 τὸ ἀπεναντίον ον τ = ### book 1.220.1 α εὐθύγραμμος ### book 1.220.2 β ἐκ δύο κυρτῶν ### book 1.220.3 γ ἐκ δύο κοίλων ### book 1.220.4 δ τῶν μηνίσκων ### book 1.220.5 ε τῶν τμημάτων ### book 1.225 ϛ κερατοειδής[End of a diagram section][End of a diagram] ### book 2.1 Ἡ τῶν λόγων σύνθεσις ἐν τρισὶν ὅροις γίγνεται τοῦ ### book 2.2 μέσου ὅρου ὁτὲ μὲν τοῦ μὲν τῶν ἄκρων ἐλάττονος, τοῦ δὲ ### book 2.3 μείζονος λαμβανομένου, ὁτὲ δὲ καὶ ἑκατέρου μείζονος, ὁτὲ ### book 2.4 δὲ καὶ ἑκατέρου ἐλάττονος, καὶ τούτου ἐν τῶν λόγων τῇ ### book 2.5.1 συνθέσει ὑπεξαιρουμένου· ἡ δὲ λόγου ἀπὸ λόγου ἀφαίρεσις ### book 2.5.2 ἐκκειμένων τριῶν ὅρων, ὧν εἷς κοινὸς τοῦ τε ἀφαιρουμέ‐ ### book 2.5.3 νου λόγου καὶ ἀφ’ οὗ δεῖ τὸν ἀφαιρούμενον τοῦτον ἀφελεῖν, ### book 2.5.4 καὶ ἔπειτα τετάρτου ἀνάλογον προσευρημένου τὸν λοιπὸν ### book 2.5.5 ὅρον ἐν τῷ τε κοινῷ τῶν προεκκειμένων καὶ τῷ τετάρτῳ ### book 2.10.1 τούτῳ προσευρημένῳ καταλείπει μέσῳ ληφθέντι τῶν τὸν ### book 2.10.2 λόγον περιεχόντων ὅρων, ἀφ’ οὗ δεῖ τὸν ἀφαιρούμενον ### book 2.10.3 ἀφελεῖν, καὶ ἔπειτα θατέρου τῶν ἄκρων ὑπεξῃρημένου. ὁ ### book 2.10.4 δὲ τέταρτος ἀνάλογον ὅρος προσευρίσκεται δυοῖν μὲν ὅρων ### book 2 ἀλλήλους πολλαπλασιασάντων, τοῦ δὲ ἐκ τοῦ πολλαπλα‐ ### book 2.15.1 σιασμοῦ γεγονότος παρὰ τὸν λοιπὸν μεμερισμένου· ὁ γὰρ ### book 2.15.2 ἐκ τοῦ τοιούτου μερισμοῦ γεγονὼς ὁ τέταρτος ἀνάλογον ### book 2.15.3 ὅρος ἐστίν, ὅς, ἐὰν μὲν τῶν ἐξ ἀρχῆς ὅρων οἱ ἄκροι, τουτ‐ ### book 2.15.4 έστιν ὅ τε μέγιστος καὶ ὁ ἐλάχιστος, ἀλλήλους πολλα‐ ### book 2.15.5 πλασιάσωσι, παρὰ δὲ τὸν μέσον ὁ μερισμὸς γένηται, μέσος ### book 2.20.1 ληφθήσεται τοῦ τε ἑτέρου τῶν ἄκρων καὶ τοῦ τῶν ἐξ ἀρχῆς ### book 2.20.2 μέσου, ἐὰν δὲ τῶν ἐξ ἀρχῆς ὁ μὲν μέσος τὸν ἕτερον τῶν ### book 2.20.3 ἄκρων πολλαπλασιάσῃ, παρὰ δὲ τὸν λοιπὸν ὁ μερισμὸς ### book 2.20.4 γένηται, οἱ μὲν ἀλλήλους πολλαπλασιάσαντες μέσοι, παρ’ ### book 2.20.5 ὃν δ’ ἂν ὁ μερισμὸς γένηται, καὶ ὁ ἐκ τοῦ μερισμοῦ οὗτος ### book 2.25 γεγονὼς οἱ ἄκροι ἔσονται. ### book 3.1 Γεωμετρία ἐστὶ γνῶσις ποσοῦ συνεχοῦς ἐν θέσει ### book 3.2 ἀκινήτῳ· ποσὸν γὰρ συνεχὲς θέσει ἀκίνητόν ἐστιν ἡ γῆ. ### book 3.3 ἀστρονομία δὲ γνῶσις ποσοῦ διωρισμένου ἐν θέσει ἀκινή‐ ### book 3.4 τῳ. ἄλλως· γεωμετρία ἐστὶν ἐπιστήμη περὶ ποσὸν κατα‐ ### book 3.5.1 γινομένη συνεχὲς ἀκίνητον συλλογιστικαῖς μεθόδοις δι’ ### book 3.5.2 ἀξιωματικῶν ἐννοιῶν μήκους, πλάτους καὶ βάθους μέτρη‐ ### book 3.5.3 σιν εὑρίσκουσα. ### book 4.1 Πρόβλημα μέν ἐστι μέρος λόγου εἰς ἑτέρου δεῖξιν ### book 4.2 προβαλλόμενον, ὡς ὅταν λέγωμέν τινι· δεῖξον, εἰ ἡ ψυχὴ ### book 4.3 ἀθάνατός ἐστιν, ἰδοὺ τοῦτο πρόβλημά ἐστι. θεώρημα δέ ### book 4.4 ἐστι ἐπισκεπτόμενον πρᾶγμα μόνῃ διανοίᾳ καὶ μέχρι ### book 4.5 ταύτης ἱστάμενον. ### book 5.1 Ὁ Μεγαρικὸς οὗτος Εὐκλείδης ἰσόχρονος ἦν τῷ ### book 5.2 Ἀλεξάνδρῳ, ὁ δὲ Θέων τῷ Ἁδριανῷ. ### book 6.1 Ἕτερον. ### book 6.2 Μαθεῖν νοητῶν εἰ ποθεῖς ὄντων φύσιν ### book 6.3 ἐκ τῶν ὁρατῶν ὑλικῶν ποιημάτων ### book 6.4 ἕξει, μέτελθε γράμματα τάδ’ Εὐκλείδου ### book 6.5.1 γραμμικά τε γνώρισον ὡς δέον λόγοις ### book 6.5.2 ἐπίπεδά τε καὶ διπλῆν ἄλλην ὕλην ### book 6.5.3 μαθηματικῶν μὴ παραδράμῃς φίλος ### book 6.5.4 τοὺς μετρικούς τε συμβαλὼν τούτοις λόγοις ### book 6.5.5 καὶ νοῦν ἐν αὐτοῖς ἐργασάμενος μέγαν ### book 6.10.1 ἧξον πρὸς αἰθέριον ἐν τάχει θέαν ### book 6.10.2 τὴν τῶν νοητῶν ἱστορῶν πᾶσαν φύσιν. ### book 7.1 Τὰ θεωρήματα τῆς γεωμετρίας εἰσὶ ταῦτα· τοῦ αʹ ### book 7.2 μη τοῦ βʹ ιδ τοῦ γʹ λζʹ τοῦ δʹ ιϛ τοῦ εʹ κε τοῦ ϛʹ λγ τοῦ ### book 7.3 ζʹ μα τοῦ ηʹ κζ τοῦ θʹ λϛ τοῦ ιʹ ρκγ τοῦ ιαʹ μ τοῦ ιβʹ ιη ### book 7.4 τοῦ ιγʹ ιζ ὁμοῦ .. ### book 8.1 Ὅτι δυνατὸν ἑκάστην τῶν ἀλόγων ἐπ’ ἄπειρον λαμ‐ ### book 8.2 βάνειν. ### book 8.3 Πτῶσίς ἐστιν διάφορος μετάθεσις σημείου τε καὶ εὐ‐ ### book 8.4 θείας. ### book 8.5.1 Ὅτι ἑπτὰ εἴδη τῶν τριγώνων· τὸ ἰσόπλευρον μονοειδῶς, ### book 8.5.2 τὸ δὲ ἰσοσκελὲς ἢ ὀρθογώνιόν ἐστιν ἢ ἀμβλυγώνιον ἢ ### book 8.5.3 ὀξυγώνιον, καὶ τὸ σκαληνὸν ὡσαύτως. ### book 8.5.4 Ὅτι οὐκ ἔστιν εὑρεῖν τετράγωνον ἀριθμὸν τετραγώνου ### book 8.5.5 διπλάσιον, ἀλλ’ οὐδὲ ἰσοπλεύρου τριγώνου ὀρθογώνιον τὴν ### book 8.10.1 ὑποτείνουσαν ἴσον τῶν δύο τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ### book 8.10.2 ἔχον. ### book 8.10.3 Ῥητὰ μεγέθη λέγεται, ὅσα ἐστὶν ἀλλήλοις σύμμετρα, ### book 8.10.4 ὅσα δὲ ἀσύμμετρα, ἄλογά ἐστι μὴ ἔχοντα λόγον πρὸς ### book 8.10.5 ἄλληλα. ### book 9.1 Ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, ἀπὸ δὲ τοῦ ση‐ ### book 9.2 μείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσιν δύο εὐθεῖαι ἐφαπτό‐ ### book 9.3 μεναι τοῦ κύκλου, ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ### book 9.4 Κύκλου γὰρ τοῦ αγβ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ ε, καὶ ### book 9.5.1 ἀπὸ τοῦ ε πρὸς τὸν αγβ κύκλον προσπιπτέτωσαν δύο ### book 9.5.2 εὐθεῖαι αἱ εα, εβ ἐφαπτόμεναι αὐτοῦ κατὰ τὰ α, β σημεῖα. ### book 9.1 λέγω, ὅτι αἱ εα, εβ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. εἰλήφθω τὸ κέντρον [Omitted graphic marker] ### book 9.2 τοῦ κύκλου καὶ ἔστω τὸ δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ αδ, δβ, ### book 9.3 βα. καὶ ἐπεὶ αἱ βε, εα εὐθεῖαι ἐφάπτουσι τοῦ κύκλου, ἀπὸ ### book 9.10.1 δὲ τοῦ δ κέντρου ἐπιζευχθεῖσαί εἰσιν εἰς αὐτὰς εὐθεῖαι αἱ ### book 9.10.2 δα, δβ, αἱ ἄρα ὑπὸ δαε, δβε ὀρθαί εἰσιν. δῆλον δέ, ὅτι καὶ ### book 9.10.3 γωνίαι αἱ ὑπὸ δαβ, δβα ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· λοιπὴ ἄρα ἡ ### book 9.10.4 ὑπὸ βαε λοιπῇ τῇ ὑπὸ αβε ἴση ἐστίν. ἐὰν δὲ τριγώνου αἱ ### book 9.10.5 δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ### book 9.15.1 ὑποτείνουσαι πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται. ἴση ἄρα καὶ ἡ ### book 9.15.2 αε τῇ εβ. ἐὰν ἄρα κύκλου καὶ τὰ ἑξῆς· ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ### book 10.1 Νικηφόρου τοῦ Γρηγορᾶ πρόβλημα. ### book 10.2 Ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας τετράπλευρον συστήσασθαι ### book 10.3 ὥστε εἶναι τὰς μὲν τρεῖς πλευρὰς ἴσας ἀλλήλαις, τὴν δὲ ### book 10.4 τετάρτην μείζονα ἑκάστης τούτων, καὶ γίνεσθαι τὸ ἀπὸ ### book 10.5.1 ταύτης τετράγωνον μεῖζον τῶν τριῶν τετραγώνων ὁμοῦ ### book 10.5.2 συναγομένων τῶν ἀπὸ τῶν τριῶν πλευρῶν ἰδίᾳ γινομένων ### book 10.5.3 τῷ ἀπὸ τῆς μιᾶς πλευρᾶς τῶν τριῶν γινομένῳ τετραγώνῳ. ### book 10.5.4 Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ αβ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ ### book 10.5.5 τὸ ε, καὶ συνεστάτω ἐφ’ ἑκατέρου τῶν τμημάτων ἰσόπλευρα ### book 10.10.1 τρίγωνα τό τε αγε καὶ τὸ εδβ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ γδ. λέγω, ### book 10.10.2 ὅτι τῇ αβ παράλληλός ἐστιν ἡ γδ. ἐπεὶ γὰρ τὰ δύο τρίγωνα ### book 10.10.3 τό τε αγε καὶ τὸ εδβ ἴσα ὄντα ἐπὶ ἴσων βάσεων βεβήκασι ### book 10.10.4 καὶ ἐπ’ εὐθείας ἔχουσιν αὐτὰς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη εἰσί, ### book 10.10.5 καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις εἰσί· παράλληλος ἄρα ### book 10.15.1 τῇ αβ ἡ γδ. λέγω δή, ὅτι καὶ τῆς γδ μεῖζον δύνα‐ ### book 10.15.2 ται ἡ αβ τῷ ἀπὸ ἴσων αὐτῇ τριῶν πλευρῶν. ἐπεὶ ### book 10.15.3 γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστιν ἑκάτερον τῶν αγδε καὶ ### book 10.15.4 βδγε καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς γδ, αβ καὶ ἐπὶ ### book 10.15.5 τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς γδ, ἴσα ἀλλήλοις εἰσίν. ἴση ἄρα ἐστὶν [Omitted graphic marker] ### book 10.20.1 ἡ αγ τῇ εδ καὶ ἡ βδ τῇ εγ· τῶν γὰρ ### book 10.20.2 παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπ‐ ### book 10.20.3 εναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ### book 10.20.4 ἀλλήλαις εἰσίν. ἴση ἄρα καὶ ἡ γδ ### book 10.20.5 ἑκατέρᾳ τῶν αε, εβ τὸν ὅμοιον τρό‐ ### book 10.25.1 πον. ὅλη ἄρα ἡ αβ διπλασίων ἐστὶ ### book 10.25.2 τῆς γδ· τὰ δὲ μήκει διπλάσια δυνάμει τετραπλάσια· ### book 10.25.3 τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς αβ τοῦ ἀπὸ τῆς γδ. τὰ ### book 10.25.4 ἄρα ἀπὸ τῶν τριῶν πλευρῶν τετράγωνα τῆς τε αγ ### book 10.25.5 καὶ γδ καὶ δβ ἐλάττονά εἰσι τοῦ ἀπὸ τῆς αβ ἑνὶ τούτων ### book 10.30.1 τετραγώνῳ. μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς αβ τῶν ἀπὸ τῶν ### book 10.30.2 τριῶν πλευρῶν γινομένων τετραγώνων τῷ ἀπὸ μιᾶς ### book 10.30.3 πλευρᾶς τῶν τριῶν γινομένῳ τετραγώνῳ. ἐπὶ τῆς δοθείσης ### book 10.30.4 ἄρα εὐθείας τετράπλευρον συνέσταται καὶ τὰ ἑξῆς· ὅπερ ### book 10 ἔδει δεῖξαι. ## License and provenance This text is licensed CC0 1.0 Universal. The canonical record is the JSON at https://eulogikon.org/data/works/grc/thucydides-scholia-euclid-elements-tii-ad.json (sha256:33283d02af7839838c1f5b89fd2d5fe53156437f34ca9d824a22f43706dee000). Cite as `eul_wid: tii-ad`.